The Project Gutenberg EBook of Mathmatiques et Mathmaticiens, by Various

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Title: Mathmatiques et Mathmaticiens
       Penses et Curiosits

Author: Various

Release Date: February 3, 2013 [EBook #41991]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MATHMATIQUES ET MATHMATICIENS ***




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of Mathematics at the University of Glasgow.)









MATHMATIQUES ET MATHMATICIENS




DU MME AUTEUR  LA MME LIBRAIRIE


LES FEMMES DANS LA SCIENCE

  Un beau vol. in-8, IX-362 pp.,
  orn de portraits, autographes et fac-simile         5 fr.




MATHMATIQUES ET MATHMATICIENS


PENSES ET CURIOSITS

Recueillies

Par

A. REBIRE




TROISIME DITION

AMLIORE




  PARIS
  LIBRAIRIE NONY & Cie
  17, RUE DES COLES, 17
  1898

  (Tous droits rservs)




_Nous n'avons pas voulu grossir encore un volume dj trop gros. Nous
nous sommes borns  amliorer l'dition prcdente, par la mthode
des substitutions. Les lecteurs trouveront ainsi des parties nouvelles
aux pages 14, 22, 166, 228, 261, 289, 302, 362, 418, 422, etc., etc._

_M. de Tilly a dit: Les Mathmatiques rgissent le monde, mais elles
le rgissent sans l'amuser. Stendhal l'avait dj dclar: C'est la
patrie du billement et du raisonnement triste. Nous nous sommes
permis quand mme, sur un sujet austre, quelques sourires mesurs._

_Nous venons de donner  notre livre un frre, ou plutt une soeur,
qui s'appelle_ Les femmes dans la science. _Voulez-vous connatre les
mathmaticiennes et autres savantes? Aimez-vous les portraits et les
autographes?_

                                        _Paris, le 15 mars 1897._




MORCEAUX CHOISIS ET PENSES




Les gnralits qui suivent se rapportent aux principes, aux mthodes,
 la classification,  l'enseignement et  l'histoire des
Mathmatiques. Nous les avons puises  bonne source, dans les savants
et les penseurs anciens et modernes.




OBJET ET CARACTRE DES MATHMATIQUES


De quoi s'occupent les mathmatiques, si ce n'est de la proportion et
de l'ordre?

                                                        ARISTOTE.

                                          

Je me demandai d'abord ce que tout le monde entendait prcisment par
ce mot (mathmatiques), et pourquoi on regardait comme faisant partie
des mathmatiques, non seulement l'arithmtique et la gomtrie, mais
encore l'astronomie, la musique, l'optique, la mcanique et plusieurs
autres sciences.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il n'est personne, pour peu qu'il ait touch seulement le seuil des
coles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se
prsentent  lui, ceux qui se rattachent aux mathmatiques, et ceux
qui appartiennent aux autres sciences. En rflchissant  cela, je
dcouvris enfin qu'on ne devrait rapporter aux mathmatiques que
toutes les choses dans lesquelles on examine l'ordre ou la mesure, et
qu'il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les
astres, les sons ou dans tout autre objet qu'on cherche cette mesure.

                                                       DESCARTES.

                                          

Les spculations mathmatiques ont pour caractre commun et essentiel
de se rattacher  deux ides ou catgories fondamentales: l'ide
d'_ordre_ sous laquelle il est permis de ranger... les ides de
situation, de configuration, de forme et de combinaison; et l'ide de
_grandeur_ qui implique celles de quantit, de proportion et de
mesure.

                                                         COURNOT.

                                          

La validit de l'analyse algbrique dpend, non de l'interprtation
des symboles employs, mais uniquement des lois de leurs
combinaisons... La mathmatique abstraite et gnrale n'a pas
seulement pour objet des notions de quantits numriques, gomtriques
ou mcaniques: elle traite des oprations en elles-mmes,
indpendamment des matires diverses auxquelles elles peuvent tre
appliques.

                                                           LIARD.

                                          

Nous sommes donc parvenus maintenant  dfinir avec exactitude la
science mathmatique, en lui assignant pour but la mesure _indirecte_
des grandeurs et en disant qu'on s'y propose constamment de
_dterminer les grandeurs les unes par les autres, d'aprs les
relations prcises qui existent entre elles_. Cet nonc, au lieu de
donner l'ide d'un _art_, caractrise immdiatement une vritable
_science_, et la montre sur-le-champ compose d'un immense
enchanement d'oprations intellectuelles qui pourront videmment
devenir trs compliques,  raison de la suite d'intermdiaires qu'il
faudra tablir entre les quantits inconnues et celles qui comportent
une mesure directe... D'aprs cette dfinition, l'esprit mathmatique
consiste  regarder toujours comme lies entre elles, toutes les
quantits que peut prsenter un phnomne quelconque, dans la vue de
les dduire les unes des autres.

                                                      AUG. COMTE.

                       ------

 propos de cette citation, Hoppe, de Berlin, fait remarquer qu'il
s'agit aussi en Mathmatiques de l'quivalence des oprations.

                                          

La dfinition la plus gnralement reue des mathmatiques est
celle-ci: les mathmatiques sont la _science des grandeurs_. Cette
dfinition est vraie au fond, mais elle est superficielle et demande
explication.

De quelles grandeurs s'agit-il en mathmatiques? Est-ce de toute
grandeur en gnral? Non, car alors tout serait objet des
mathmatiques, puisque tout est grandeur, si du moins on se contente
de dfinir la grandeur comme on le fait d'ordinaire: ce qui est
susceptible d'augmentation ou de diminution; car cela s'applique 
tout; une chose peut tre _plus ou moins_ belle, une action _plus ou
moins_ bonne, un plaisir _plus ou moins_ vif, un homme _plus ou moins_
spirituel; ce ne sont pas l des grandeurs mathmatiques. Pourquoi?
Parce que ce ne sont pas l des grandeurs _mesurables_. Qu'est-ce
qu'une grandeur mesurable et, en gnral, qu'est-ce que mesurer? C'est
comparer une grandeur quelconque  une grandeur donne prise pour
unit. Mesurer une route, c'est comparer la longueur de la route  une
unit de longueur qu'on appelle le _mtre_, et dire combien de fois
elle comprend cette unit. Mais qui pourra dire, par exemple, combien
de fois le talent de Catulle est contenu dans le gnie d'Homre?

Il n'y a donc que les grandeurs mesurables qui soient l'objet des
mathmatiques. De l cette nouvelle dfinition: c'est la science _de
la mesure des grandeurs_.

Cette dfinition est plus juste que la prcdente; mais elle est
encore superficielle. En effet, mesurer ne semble gure en ralit
qu'une opration purement mcanique. Or c'est l l'objet d'un _art_ et
non d'une _science_. L'arpentage n'est pas la gomtrie. C'est
l'arpenteur qui mesure, c'est le gomtre qui fournit les moyens de
mesurer. La mesure n'est donc pas l'objet immdiat de la science. Elle
n'en est que l'objet indirect et loign. Voyons comment elle peut
devenir un objet vraiment scientifique.

La comparaison directe et immdiate d'une grandeur quelconque 
l'unit est, la plupart du temps, impossible. Par exemple, si je
demande combien il y a d'arbres dans une fort, je ne puis le savoir
qu'en comptant les arbres un  un, ce qui demanderait un temps infini.
Il en est de mme dans la plupart des cas. Prenons le plus facile: la
mesure d'une ligne droite par la superposition d'une de ses parties.
Cela suppose: 1 que nous pouvons parcourir la ligne, ce qui exclut
les longueurs inaccessibles (par exemple la distance des corps
clestes); 2 que la ligne ne soit ni trop grande, ni trop petite,
qu'elle soit convenablement situe: par exemple horizontale, non
verticale. Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai  plus
forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et  plus
forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces
quantits peuvent-elles tre mesures? C'est l le problme qui rend
ncessaire les mathmatiques.

Les mathmatiques, dans leur essence mme, ont donc pour objet de
ramener les grandeurs non immdiatement mesurables  des grandeurs
immdiatement mesurables. C'est par l qu'elles sont une science. En
effet, l'intervalle qui spare une grandeur  mesurer de la grandeur
immdiatement mesurable peut tre plus ou moins grand. De l une srie
de rductions, depuis la grandeur la plus loigne jusqu' la plus
prochaine; et c'est la rduction de ces grandeurs les unes aux autres
qui constitue la science; soit, par exemple,  mesurer la chute
verticale d'un corps pesant. Il y a ici deux quantits distinctes: la
hauteur d'o le corps est tomb, et le temps de la chute. Or ces deux
quantits sont lies l'une  l'autre; elles sont, comme on dit en
mathmatique, _fonction_ l'une de l'autre. D'o il suit que l'on peut
mesurer l'une par l'autre; par exemple dans le cas d'un corps tombant
dans un prcipice, on mesure la hauteur de la chute par le temps qu'il
met  tomber; en d'autres cas, au contraire, le temps n'tant pas
directement observable, sera dduit de la hauteur. Si donc on trouve
une loi qui lie ces deux quantits et qui permette de conclure de
l'une  l'autre, on aura rduit une grandeur non mesurable directement
 une autre qui peut l'tre. C'est l un problme mathmatique. Autre
exemple. Comment mesurer la distance des corps clestes qui sont
inaccessibles? On regardera cette distance comme faisant partie d'un
triangle, dont on connatra un ct et deux angles. Or, la gomtrie
nous apprend dans ce cas  dcouvrir les deux cts du triangle, et
par consquent nous donne le moyen de construire le triangle dans
lequel il suffira de tirer une ligne du sommet  la base pour avoir la
distance relle. Maintenant, la distance tant connue, on peut, du
diamtre apparent conclure le diamtre rel, passer de l au volume et
mme au poids, en y ajoutant d'autres lments.

                                                      PAUL JANET.

                       ------

Le mathmaticien prpare d'avance des moules que le physicien viendra
plus tard remplir.

                                                           TAINE.

                       ------

En d'autres termes, l'ordre mathmatique inspire la conception de
l'ordre physique.

                                          

Les mathmatiques offrent ce caractre particulier et bien remarquable
que tout s'y dmontre par le raisonnement seul, sans qu'on ait besoin
de faire aucun emprunt  l'exprience, et que nanmoins tous les
rsultats obtenus sont susceptibles d'tre confirms par l'exprience,
dans les limites d'exactitude que l'exprience comporte. Par l, les
mathmatiques runissent au caractre de science rationnelle, celui de
science positive, dans le sens que la langue moderne donne  ce mot.

                                                         COURNOT.

                                          

Les mathmatiques forment pour ainsi dire un pont entre la
mtaphysique et la physique.

                                                            KANT.

                                          

D'aprs Leibniz, il n'y a de mesure que l o il y a antrieurement
de l'ordre. On peut dire, par suite, que les mathmatiques sont _la
science de l'ordre_.

                                          

Quelques-uns ont prtendu que toute la partie des mathmatiques qui
n'est susceptible d'aucune vrification exprimentale devrait tre
transporte dans la philosophie. Tels seraient les nombres
incommensurables et,  plus forte raison, les nombres ngatifs et
imaginaires. Mais on est arriv  interprter ces symboles d'une
faon concrte, et du reste cette limitation si troite et si
arbitraire des mathmatiques les restreindrait  presque rien.

                                          

Les vrits gomtriques sont en quelque sorte l'_asymptote_ des
vrits physiques, c'est--dire le terme dont celles-ci peuvent
indfiniment approcher, sans jamais y arriver exactement.

                                                      D'ALEMBERT.

                                          

Les figures gomtriques sont de pures conceptions de l'esprit et
cependant la gomtrie n'est pas seulement une science spculative
trs propre  dvelopper les facults intellectuelles.....; mais elle
est encore utile par ses nombreuses applications aux arts. Cela tient
 ce que les volumes de certains corps, leurs surfaces, les portions
communes  deux portions de ces surfaces peuvent tre regards comme
tant _sensiblement_ des volumes, des surfaces et des lignes
gomtriques.

                                                       COMPAGNON.

                                          

Avec des dfinitions prcises et des axiomes certains, la Mathmatique
tablit des dductions sres tant que le raisonnement se maintient
dans les voies de l'vidence logique. C'est pourquoi la science des
grandeurs porte,  l'exclusion de toute autre, le titre glorieux
d'exacte.

Cela signifie surtout que, moins qu'aucune autre, elle est sujette 
l'erreur. La perception a ses mprises, la conception ses lacunes,
l'induction ses tmrits, l'opinion ses dissidences, l'observation
ses mcomptes, l'exprience ses garements. Seule, la dduction ne
trompe point, quand elle suit la loi du raisonnement. La science
qu'elle tablit progresse avec plus ou moins de lenteur; mais ses
vrits une fois dmontres, sont parfaites, dfinitives, et ne
changent plus.

La thorie des grandeurs est l'unique exemple d'une construction
scientifique ne laissant rien  dsirer.....  ce titre, elle mritait
le nom de science par excellence (_mathsis_) que les Grecs lui
avaient donn. Elle est la science type, l'idal de connaissance
certaine propos pour modle  toutes les sciences de fait, mais dont
celles-ci ne se rapprochent qu'en lui empruntant sa mthode et en
subordonnant leurs mensurations  ses lois.

                                                        BOURDEAU.

                       ------

Dire que les mathmatiques ne laissent rien  dsirer, c'est trop
dire. L aussi, il reste encore des questions  lucider.

                                          

Ce qui est acquis dans les sciences de dmonstration, dans les
mathmatiques, par exemple, est absolument parfait; ce qui est acquis
dans les sciences d'observation est indfiniment perfectible et
consquemment variable, ou du moins conserve ce caractre jusqu'au
moment o la dmonstration devient possible.

                                                     DUVAL-JOUVE.

                                          

Les mathmatiques ont des inventions trs subtiles et qui peuvent
beaucoup servir, tant  contenter les curieux qu' faciliter tous les
arts et  diminuer le travail des hommes.

                                                       DESCARTES.

                                          

Les objets de la Gomtrie, disent-ils, n'ont aucune ralit et ne
peuvent exister; des lignes sans largeur, des surfaces sans
profondeur, un point mathmatique, c'est--dire sans longueur,
largeur, ni paisseur, sont des tres de raison, de pures chimres. Il
en est de mme des figures dont la Gomtrie dmontre les proprits;
il n'y a et il ne saurait y avoir aucun cercle parfait, aucune sphre
parfaite: ainsi, concluent-ils, cette science ne s'occupe que d'objets
chimriques et impossibles...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Il importe peu aux gomtres qu'il existe physiquement une sphre
parfaite, un plan parfait; ces figures ne sont que les limites
intellectuelles des grandeurs matrielles qu'ils considrent, et ce
qu'ils dmontrent  l'gard de ces limites est d'autant plus vrai
pour les corps matriels, qu'ils en approchent davantage...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Mais insistera-t-on peut-tre... demandera-t-on si ces corps dous
de figures parfaites sont possibles?...

... Il suffit aux Gomtres que l'ide mtaphysique de ces figures
soit claire et vidente pour servir de fondement  leurs recherches,
et pour que leurs consquences jouissent de la mme vidence et de la
mme clart.

                                                        MONTUCLA.

                                          

Les ennemis de la Gomtrie, ceux qui ne la connaissent
qu'imparfaitement, regardent les problmes thoriques, qui en forment
la partie la plus difficile, comme des jeux d'esprit qui absorbent un
temps et des mditations qu'on pourrait mieux employer; opinion fausse
et trs nuisible au progrs des sciences, si elle pouvait
s'accrditer. Mais, outre que les propositions spculatives, d'abord
striles en apparence, finissent souvent par s'appliquer  des objets
d'utilit publique, elles subsisteront toujours comme un des moyens
les plus propres  dvelopper et  faire connatre toutes les forces
de l'intelligence humaine.

                                                          BOSSUT.

                                          

La science des grandeurs, considre dans son ensemble, a une parfaite
unit que le mot Mathmatiques (au pluriel) parat mconnatre, en
faisant prsumer un groupe de sciences plutt qu'une science unique.

Il serait prfrable, comme l'avait propos Condorcet, et comme
Auguste Comte en donne l'exemple, de dire la Mathmatique, afin de
mieux marquer l'unit gnrale de la science des grandeurs. Il est
d'ailleurs  noter que cette rforme nous remet dans le vrai courant
de la langue.

Le terme Mathmatique tait usit au XVIIe sicle et se lit trois
fois dans une page de la notice sur Pascal, par Mme Prier, sa soeur.

                                          

La Mathmatique n'est pas seulement _une_ science, mais _la science_;
et son nom ne signifie que cela; car pour les Grecs c'tait la seule
science.

                                          

Le matelot qu'une exacte observation de la longitude prserve du
naufrage, doit la vie  une thorie conue, deux mille ans
auparavant[1], par les hommes qui avaient en vue de simples
spculations gomtriques.

                                                       CONDORCET.

[Note 1: Il s'agit des courbes appeles _coniques_, dj tudies
par les Grecs.]

                                          

C'est par les sciences mathmatiques qu'il convient de commencer la
srie des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent
pour point de dpart et qui ont pour objet un plus petit nombre
d'ides. De plus, on peut tudier les vrits dont elles se composent
sans recourir aux autres branches de nos connaissances, et celles-ci
leur empruntent, au contraire, de nombreux secours, tels par exemple
que les thormes et les calculs sur lesquels s'appuient les sciences
physiques et industrielles; la mesure des champs et le calendrier, si
ncessaires  l'agriculture; la mesure prcise des diffrents degrs
de probabilit de celles de nos connaissances qui ne sont pas
susceptibles d'une certitude complte, et les exemples les plus
frappants de la diversit des mthodes que la philosophie doit
examiner; la dtermination des lieux et des temps, bases de la
gographie et de l'histoire; et, parmi les sciences politiques, o
leurs applications sont si nombreuses, quels indispensables secours ne
prtent-elles pas surtout  toutes les parties de l'art militaire?

                                                          AMPRE.




NOTIONS PRIMITIVES


On trouvera peut-tre trange que la gomtrie[2] ne puisse dfinir
aucune des choses qu'elle a pour principaux objets; car elle ne
dfinit ni le mouvement, ni le nombre, ni l'espace; et cependant ces
trois choses sont celles qu'elle considre particulirement... Mais on
n'en sera pas surpris, si l'on remarque que cette admirable science ne
s'attachant qu'aux choses les plus simples, cette mme qualit qui les
rend dignes d'tre ses objets, les rend incapables d'tre dfinies; de
sorte que le manque de dfinition est plutt une perfection qu'un
dfaut, parce qu'il ne vient pas de leur obscurit, mais au contraire
de leur extrme vidence...

[Note 2: Le mot est pris ici dans le sens gnral de
mathmatiques; on dit de mme gomtre pour mathmaticien.]

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Quand elle (la gomtrie) est arrive aux premires vrits
connues, elle s'arrte l et demande qu'on les accorde, n'ayant rien
de plus clair pour les prouver; de sorte que tout ce que la gomtrie
propose est parfaitement dmontr, ou par la lumire naturelle, ou par
les preuves. De l vient que si cette science ne dfinit et ne
dmontre pas toutes choses, c'est par cette seule raison que cela nous
est impossible.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Se tenir dans ce milieu de ne point dfinir les choses claires et
entendues de tous les hommes et de dfinir toutes les autres; et de ne
point prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver
toutes les autres. Contre cet ordre pchent galement ceux qui
entreprennent de tout dfinir et de tout prouver, et ceux qui
ngligent de le faire dans les choses qui ne sont pas videntes
d'elles-mmes.

                                                          PASCAL.

                                          

Il est des notions premires qu'on est en droit de supposer aux
lves. Elles serviront  leur donner d'autres connaissances. Nous ne
chercherons pas  les claircir elles-mmes, parce que les
explications n'ont pour but que de ramener ce que l'on ne connat pas
 ce que l'on connat et qu'il faut par consquent admettre _a priori_
certaines notions, certaines ides par leur simple nonc, ou par la
simple dnomination par laquelle on les a dsignes.

                                                         DUHAMEL.

                                          

La figure est inhrente  l'objet, le nombre dpend de l'unit.

                                          

C'est dans la sphre propre de l'esprit, et bien au del des
rsultats de l'observation, non dans ces rsultats eux-mmes, qu'il
faut chercher la vritable source des ides gomtriques, quoique leur
point d'application soit plus bas, dans la sphre exprimentale, l o
la matire et l'esprit se joignent et o les ides, prenant corps,
nous deviennent en quelque sorte palpables.

Le monde idal a son autonomie, ses lois distinctes, comme le monde
physique. Mais ils s'appellent l'un l'autre, l'harmonie rgne entre
eux, jusqu' un haut degr d'approximation qui d'ailleurs nous
chappe.

                                                      BOUSSINESQ.

                                          

L'origine des notions mathmatiques a donn lieu  des controverses
encore pendantes parmi les philosophes. Pour les uns, nombres et
figures sont des types crs de toutes pices par l'esprit, et qui
s'imposent aux choses de l'exprience, en vertu d'une mystrieuse
concordance entre la pense et la ralit extrieure. Pour les autres,
au contraire, nombres et figures ne font pas exception  cette loi
gnrale d'aprs laquelle toute connaissance driverait, soit
directement, soit indirectement, de l'exprience sensible. Dans un
cas, les notions mathmatiques seraient des modles; dans l'autre,
elles seraient des copies.

Ce n'est pas le lieu d'entrer dans cette controverse et de peser les
raisons invoques de part et d'autre. Il nous suffira de constater
deux faits: en premier lieu, quelque opinion qu'on professe sur
l'origine des notions mathmatiques, on ne contestera pas qu'elles ne
sont pas des reprsentations absolument exactes des ralits
extrieures. L'unit est divisible en parties rigoureusement gales;
il n'en est pas ainsi d'un objet rel; jamais la moiti, le quart, le
dixime de cet objet ne sera rigoureusement gal  l'autre moiti, 
chacun des trois autres quarts,  chacun des neuf autres diximes, et
mme plus les subdivisions se multiplieront, plus l'ingalit relle
des parties augmentera. Le cercle des gomtres a des rayons
absolument gaux; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'un cercle
rel; tous les points d'une surface sphrique sont quidistants du
centre; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'une sphre matrielle.
En second lieu, le mathmaticien considre souvent des nombres et des
figures dont il n'a jamais trouv les modles dans la ralit. Toute
division d'un objet rel en parties gales a une limite que nos sens
et nos instruments de prcision, mme les plus perfectionns, sont
impuissants  franchir; cette limite, la pense du mathmaticien la
franchit aisment, et au del des plus petites divisions possibles
d'un objet, il conoit d'autres divisions encore et toujours 
l'infini; de mme il est des limites  l'addition des objets; il n'en
est pas  celle des units mathmatiques; la nature a bien vite cess
de fournir; la numration ne s'arrte jamais. De mme en gomtrie, si
varies que soient les formes ralises dans la nature, il en est dont
le gomtre tudie les proprits, sans les avoir jamais rencontres
dans le monde extrieur. Qui a vu un polygone rgulier d'un millier de
cts?

Il rsulte de ce double fait que, mme dans le cas o l'esprit
tirerait de l'exprience les premiers lments dont il compose les
notions mathmatiques, il les labore, les transforme, et ne tarde
pas  s'affranchir des suggestions exprimentales. Il procde alors
comme s'il les tirait de son propre fonds. Aussi, sans prendre ici
part dans ce conflit de doctrines sur l'origine premire des notions
mathmatiques, on peut et on doit considrer ces notions comme des
_constructions_ faites par l'esprit suivant des lois qu'il pose,
constructions qui sont en partie, mais en partie seulement et
imparfaitement reproduites par la ralit sensible.

                                                           LIARD.

                                          

L'tendue n'existe qu'avec trois dimensions; mais, pour la considrer
suivant la mthode analytique, on commence par la dpouiller de deux
de ses dimensions et en la rduisant ainsi  une seule, on a l'ide de
_la ligne_. Si, dans cette ide, on carte tout rapport avec deux
dimensions, on a l'ide de _la ligne droite_; car, quoiqu'une ligne
courbe n'ait qu'une dimension, cependant l'ide de courbure suppose
ncessairement la considration de deux dimensions. L'extrmit de la
ligne forme le _point_, qui est la dernire abstraction de
l'entendement dans la considration de l'tendue. La _surface_ est
l'tendue envisage avec deux dimensions et si, dans cette ide, on
fait entirement abstraction de la troisime, on a l'ide du _plan_.
Enfin l'tendue avec ses trois dimensions forme le _solide_.

                                                         LAPLACE.

                                          

L'espace tant ncessairement homogne, il suit qu'on peut le
concevoir divis en deux parties telles qu'on ne puisse rien dire de
l'une qui ne puisse se dire galement de l'autre; telles, de plus, que
leur limite commune ait  chacune d'elles les mmes rapports, soit
qu'on la considre en son entier, soit qu'on n'en considre qu'une
partie. C'est cette limite qu'on appelle _plan_, et le plan, comme
l'espace, peut tre conu divis en deux parties telles, qu'on ne
puisse rien dire de l'une qui ne puisse se dire galement de l'autre;
telles, de plus, que leur limite commune ait  chacune d'elles les
mmes rapports, soit qu'on la considre en son entier, soit qu'on n'en
considre qu'une partie...

                                             BERTRAND, de Genve.

                                          

La srie des axiomes gomtriques habituellement adopte est  la fois
insuffisante et surabondante. Elle est insuffisante parce que, en
ralit, on suppose plusieurs faits non noncs; mais elle est en mme
temps surabondante, parce qu'on y admet des faits qui peuvent tre
rigoureusement dmontrs au moyen de ceux qu'il faut admettre comme
axiomes....

Les axiomes de la gomtrie peuvent se rduire  _trois_, savoir:
celui de la distance et de ses proprits essentielles, celui de
l'augmentation indfinie de la distance et celui de la parallle
unique.

                                                        DE TILLY.

                                          

L'tude de la mcanique, succdant  la gomtrie, peut tre
considre comme le dveloppement de trois ides fondamentales, qui
existent dans l'esprit humain antrieurement  tout enseignement
scientifique: ce sont les ides de force, de temps et de masse. Ces
ides sont irrductibles et on ne peut pas plus dfinir la force, le
temps ou la masse qu'on ne peut dfinir l'tendue.

                                                       CH. SIMON.

                                          

Quelque objet que les mathmatiques considrent, elles le dpouillent
de toutes ses qualits sensibles, de toutes ses proprits
individuelles; bientt il n'est plus qu'un rapport abstrait de nombre
ou de grandeur: on dsigne ce rapport par une lettre ou une ligne;
l'objet lui-mme est alors oubli, il cesse d'exister pour les
mathmatiques. Ces signes, arbitraires en apparence, sont l'unique
objet de leurs mditations; c'est sur eux seuls qu'elles oprent, et
ce n'est qu'aprs tre parvenu au dernier rsultat que revenant sur
leurs premires oprations, elles appliquent ce rsultat  l'objet
rel dont elles avaient cess de s'occuper. Les vrits certaines,
trouves par cette mthode, paraissent au premier coup d'oeil n'tre
que des vrits intellectuelles et abstraites: on a pu les prendre
pour des propositions identiques, en oubliant que les combinaisons
diverses des mmes lments ne sont pas une mme chose. On serait
encore plus tent de croire qu'elles n'appartiennent point  la nature
relle. Mais ce serait une erreur: car elles sont des vrits relles,
si l'objet auquel vous les avez appliques existe dans la nature tel
que vous l'avez suppos.

                                                       CONDORCET.




MTHODES


1 N'entreprendre de dfinir aucune des choses tellement connues
d'elles-mmes, qu'on n'ait point de termes plus clairs pour les
exprimer.

2 N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou quivoques, sans
dfinition.

3 N'employer dans les dfinitions que des termes parfaitement connus
ou dj expliqus.

4 N'omettre aucun des principes ncessaires, sans avoir demand si on
l'accorde, quelque clair et vident qu'il puisse tre.

5 Ne demander en axiomes que des choses parfaitement videntes
d'elles-mmes.

6 N'entreprendre de dmontrer aucune des choses qui sont tellement
videntes d'elles-mmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les
prouver.

7 Prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'employant 
leur preuve que des axiomes trs vidents d'eux-mmes ou des
propositions dj dmontres ou accordes.

8 N'abuser jamais de l'quivoque des termes, en manquant de
substituer mentalement les dfinitions qui les restreignent et les
expliquent.

                                                          PASCAL.

                                          

Lorsque l'on aura  trouver la dmonstration d'une proposition
nonce, on cherchera d'abord si elle peut se dduire comme une
consquence ncessaire de propositions admises, auquel cas, elle devra
tre admise elle-mme, et sera par consquent dmontre. Si l'on
n'aperoit pas de quelles propositions connues elle pourrait tre
dduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourra
l'tre, et alors la question sera ramene  dmontrer la vrit de
cette dernire. Si celle-ci peut se dduire de propositions admises,
elle sera reconnue vraie, et par suite la propose; sinon, on
cherchera de quelle proposition non encore admise elle pourrait tre
dduite, et la question serait ramene  dmontrer la vrit de cette
dernire. On continuera ainsi jusqu' ce que l'on parvienne  une
proposition reconnue vraie: et alors la vrit de la propose sera
dmontre.

On voit que cette mthode, que l'on appelle _analyse_, consiste 
tablir une chane de propositions commenant  celle qu'on veut
dmontrer, finissant  une proposition connue et telle qu'en partant
de la premire, chacune soit une consquence ncessaire de celle qui
la suit; d'o il rsulte que la premire est une consquence de la
dernire, et, par consquent, vraie comme elle.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La _mthode synthtique_ consiste  partir de propositions reconnues
vraies,  en dduire d'autres comme consquences ncessaires, de
celles-ci de nouvelles, jusqu' ce qu'on parvienne  la propose, qui
se trouve alors reconnue elle-mme comme vraie. Elle n'est donc qu'une
mthode de dduction. D'o l'on voit que, si l'on connaissait la
dmonstration analytique d'un thorme, on en obtiendrait
immdiatement la dmonstration synthtique en renversant l'ordre des
propositions.

                                                         DUHAMEL.

                                          

Il est en mathmatiques une mthode pour la recherche de la vrit,
que Platon passe pour avoir invente, que Thon a nomme analyse et
qu'il a dfinie ainsi: _Regarder la chose cherche, comme si elle
tait donne, et marcher de consquences en consquences, jusqu' ce
que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherche._ Au contraire, la
synthse se dfinit: _Partir d'une chose donne, pour arriver, de
consquences en consquences,  trouver une chose cherche._

                                                           VITE.

                                          

On peut remarquer que la mthode analytique qui est une mthode
rigoureuse par _rduction_, en ralit identique  la mthode
synthtique par _dduction_, n'est pas la mme que l'analyse des
Anciens, qui tait dductive et tait une sorte d'exprimentation sur
la vrit  dmontrer.

Aujourd'hui nous ne faisons plus de synthse, parce qu'il est de rgle
de ne procder en analyse que par conclusions immdiatement
rversibles. Si A est vrai, B est vrai n'est employ que si l'on
peut dire: B est vrai, donc A est vrai. Il est rare que les Anciens
aient t assez assurs de la pratique de leurs procds pour se
croire dispenss de la contre-preuve, la synthse aprs l'analyse.

                                                      P. TANNERY.

                                          

Si vous substituez  une proposition ou  une question, une
proposition ou une question plus gnrale, vous pouvez trouver des
solutions en plus, des solutions trangres.

Par contre, si la nouvelle proposition ou la nouvelle question est
moins gnrale, vous pouvez perdre des solutions.

                                          

Voici, d'aprs la _Logique de Port-Royal_, quelques dfauts qui se
rencontrent dans la mthode des gomtres:

1 Avoir plus de soin de la certitude que de l'vidence, et de
convaincre l'esprit que de l'clairer.

2 Dmonstration par l'impossible.

3 Dmonstrations tires par des voies trop longues.

4 N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature.

5 Ne point se servir de divisions et de partitions.

                                          

Il serait  dsirer qu'on ne laisst pas autant dans l'oubli certains
rsultats des travaux des gomtres des sicles passs, et qu'on
revnt un peu sur les principes presque toujours faciles et souvent
ingnieux  l'aide desquels les grands hommes de ces temps-l y
taient parvenus; car ce ne sont pas tant les vrits particulires
que les mthodes qu'il ne faut pas laisser prir.

                                                        PONCELET.

                                          

Pour bien faire sentir la diffrence entre les rsultats de la mthode
exprimentale et inductive et les rsultats de la mthode
mathmatique, supposons qu'un malin gnie..... se plaise  nous
embrouiller dans nos oprations,  crer ou  annihiler un objet entre
nos doigts, au moment o nous comptons quel nombre d'objets font deux
groupes de cinq objets,  faire varier les angles du triangle que nous
mesurons, ou les angles du rapporteur qui nous sert d'unit de mesure;
nous n'aurons aucun moyen de dcouvrir la supercherie, nous
enregistrerons ingnument les divers rsultats obtenus, et nous
conclurons en toute scurit de conscience, que les angles d'un
triangle valent tantt deux droits, tantt plus, tantt moins; et que
cinq et cinq font, suivant le cas, dix, douze ou tout autre nombre.

Mais si nous avons une fois _dmontr_ rationnellement que cinq et
cinq font dix, que les angles d'un triangle valent deux angles droits,
alors, quand mme un malin gnie, intervenant lorsque nous voulons
vrifier exprimentalement ces vrits, brouillerait nos comptes et
nos mesures, nous n'en maintiendrions pas moins la vrit absolue de
notre dmonstration faite dans l'abstrait, et nous en conclurions
seulement que, pour des raisons  nous inconnues, ces vrits se
trouvent modifies dans le concret par l'association, dans les objets
rels, de proprits de divers genres aux proprits mathmatiques.

                                                          RABIER.

                                          

Les questions aises doivent tre traites par des moyens galement
faciles; il faut rserver l'analyse savante pour les questions qui
exigent les grands moyens et il ne faut pas ressembler  ce personnage
de la Fable, qui, pour se dlivrer d'une puce, voulait emprunter 
Jupiter sa foudre ou  Hercule sa massue.

                                                        DELAMBRE.

                                          

C'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches
mathmatiques: ces quantits auxiliaires, ces calculs longs et
difficiles o l'on se trouve entran, y sont presque toujours la
preuve que notre esprit n'a point, ds le commencement, considr les
choses en elles-mmes et d'une vue assez directe, puisqu'il nous faut
tant d'artifices et de dtours pour y arriver; tandis que tout
s'abrge et se simplifie, sitt que l'on se place au vrai point de
vue.

                                                         POINSOT.

                                          

Les dfinitions gomtriques ne prcdent jamais l'apparition des
figures qu'il s'agit d'tudier; elles les suivent, au contraire, et
les fixent. Ce n'est qu'aprs avoir dmontr qu'une figure est
_possible_ et _unique_, qu'il est permis de rsumer par un mot, le
rsultat de cette dmonstration, et de regarder conventionnellement ce
mot comme l'quivalent ou comme la dfinition de la figure.

                                                    J. F. BONNEL.

                                          

Il semble que dans l'tat actuel des sciences mathmatiques, le seul
moyen d'empcher que leur domaine devienne trop vaste pour notre
intelligence, c'est de gnraliser de plus en plus les thories que
ces sciences embrassent, afin qu'un petit nombre de vrits gnrales
et fcondes soit, dans la tte des hommes, l'expression abrge de la
plus grande varit de faits particuliers.

                                                   CHARLES DUPIN.

                                          

L'tendue et les progrs de la gomtrie sont tels que, plutt que de
se refuser  toute tude des nouvelles mthodes, il faudra peut-tre
avant peu tenir compte seulement des mthodes gnrales, afin d'avoir
en sa possession un plus grand nombre de moyens pour arriver  la
connaissance des vrits dont on a besoin. Il est effectivement
impossible dsormais d'avoir prsentes  l'esprit toutes les vrits
qui sont dcouvertes.

                                                      BELLAVITIS.

                                          

Voulant rsoudre quelque problme, on doit d'abord le considrer comme
dj fait, et donner des noms  toutes les lignes qui semblent
ncessaires pour le construire, aussi bien  celles qui sont inconnues
qu'aux autres. Puis, sans considrer aucune diffrence entre ces
lignes connues et inconnues..... on cherche  exprimer une mme
quantit en deux faons, ce qui se nomme une quation..... On doit
trouver autant de telles quations qu'on a suppos de lignes qui
taient inconnues.

                                                       DESCARTES.

                                          

Certaines parties d'une figure, considres dans un tat gnral de
construction, peuvent tre indiffremment relles ou imaginaires. Or
il arrive souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de la
ralit,  la dmonstration d'un thorme, et que cette dmonstration
n'a plus lieu quand ces mmes parties deviennent imaginaires. Alors on
dit qu'en vertu du _principe de continuit_ le thorme dmontr dans
le premier cas s'tend au second, et on l'nonce d'une manire
gnrale. Quelquefois le contraire a lieu, et c'est quand certaines
parties d'une figure sont imaginaires, que l'on y trouve les lments
d'une dmonstration facile, dont on applique les consquences, en
vertu du _principe de continuit_, au cas o ces mmes parties sont
relles et o la dmonstration n'existe plus.

                                                         CHASLES.

                                          

Un jour qu'il prsidait un concours d'agrgation, Poisson, oubliant un
instant le candidat qu'il avait  juger, prit la parole et dveloppa
ceci: qu'il y a en gomtrie quatre mthodes: mthode de
superposition; mthode de rduction  l'absurde; mthode des limites;
mthode infinitsimale. La superposition, disait-il, n'est applicable
que dans trs peu de cas; la rduction  l'absurde suppose la vrit
connue, et prouve alors qu'il ne peut pas en tre autrement, mais sans
montrer pourquoi. La mthode des limites, plus gnralement applicable
que les deux autres, suppose la vrit connue, et ce n'est, par
consquent, pas davantage une mthode d'investigation; ce sont trois
mthodes de dmonstration applicables chacune, dans certains cas, aux
vrits dj connues. Au contraire, la mthode des _infiniment petits_
se trouve tre  la fois une mthode, gnrale et toujours applicable,
et de dmonstration et d'investigation.

                                                          GRATRY.

                                          

On peut tablir dans les Mathmatiques une autre classification,
fonde non plus sur l'objet de la science, mais sur ses mthodes.  ce
nouveau point de vue, nous aurions  distinguer deux sortes d'Analyse:

1 Celle des quantits discontinues;

2 Celle des quantits continues.

Dans la premire, on cherche les relations qui existent entre
certaines quantits fixes donnes _a priori_. Cette mthode est
employe dans les parties lmentaires des Mathmatiques, et plus
spcialement en Arithmtique et au dbut de la Gomtrie, sauf pour un
petit nombre de thormes fondamentaux, dont la dmonstration exige la
notion des quantits incommensurables.

Dans l'Analyse des quantits continues, on considre au contraire les
lments de la question propose comme susceptibles de varier par
degrs insensibles et l'on cherche  dterminer les lois qui rgissent
leurs variations simultanes.

Cette mthode dont Euclide et Archimde avaient donn autrefois de
remarquables exemples, tait tombe en oubli pendant plusieurs
sicles, lorsque la mmorable dcouverte de Descartes sur
l'application de l'Algbre  la thorie des courbes obligea les
gomtres  y revenir, pour rsoudre les deux questions qui
s'imposaient  eux, le problme des tangentes et celui des
quadratures.

                                                          JORDAN.




GOMTRIE ET ANALYSE


On a dit que la gomtrie tait l'art _de raisonner juste sur des
figures fausses_. Une figure grossire n'est trace que pour soutenir
l'attention et on raisonne en ralit sur la figure idale et
parfaite.

                                          

Celui-l est indigne du nom d'homme, a dit Platon, qui ignore que la
diagonale du carr est incommensurable avec son ct.

                                          

L'algbre n'est qu'une gomtrie crite, la gomtrie n'est qu'une
algbre figure.

                                                  SOPHIE GERMAIN.

                                          

L'Algbre emploie des signes abstraits, elle reprsente les grandeurs
absolues par des caractres qui n'ont aucune valeur par eux-mmes, et
qui laissent  ces grandeurs toute l'indtermination possible; par
suite elle opre et raisonne forcment sur les signes de
non-existence comme sur des quantits toujours absolues, toujours
relles: _a_ et _b_ par exemple, reprsentant deux quantits
quelconques, il est impossible, dans le cours des calculs, de se
rappeler et de reconnatre quel est l'ordre de leurs grandeurs
numriques; l'on est, malgr soi, entran  raisonner sur les
expressions _a-b_, _[[V]a-b]_, etc., comme si c'taient des
quantits toujours absolues et relles. Le rsultat doit donc lui-mme
participer de cette gnralit, et s'tendre  tous les cas possibles,
 toutes les valeurs des lettres qui y entrent; de l aussi ces formes
extraordinaires, ces tres de raison, qui semblent l'apanage exclusif
de l'Algbre.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dans la Gomtrie ordinaire, qu'on nomme souvent la _synthse_, les
principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus svre;
la figure est dcrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on
raisonne sur des grandeurs, des formes relles et existantes, et
jamais on ne tire de consquences qui ne puissent se peindre, 
l'imagination ou  la vue, par des objets sensibles; on s'arrte ds
que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue, une
existence physique. La rigueur est mme pousse jusqu'au point de ne
pas admettre les consquences d'un raisonnement tabli dans une
certaine disposition gnrale des objets d'une figure, pour une autre
disposition galement gnrale de ces objets, et qui aurait toute
l'analogie possible avec la premire; en un mot, dans cette Gomtrie
restreinte, on est forc de reprendre toutes la srie des
raisonnements primitifs, ds l'instant o une ligne, un point ont
pass de la droite  la gauche d'un autre, etc.

                                                        PONCELET.

                       ------

Le clbre auteur du _Trait des proprits projectives des figures_
montre ensuite comment les modernes se sont efforcs de donner  la
Gomtrie la gnralit de l'Algbre.

                                          

L'exactitude de toute relation entre des grandeurs concrtes
quelconques est indpendante de la valeur des _units_ auxquelles on
les rapporte pour les exprimer en nombres. Par exemple, la relation
qui existe entre les trois cts d'un triangle rectangle a lieu, soit
qu'on les value en mtres, ou en lignes, ou en pouces, etc.

Il suit de cette considration gnrale, que toute opration qui
exprime la loi analytique d'un phnomne quelconque doit jouir de
cette proprit de n'tre nullement altre, quand on fait subir
simultanment  toutes les quantits qui s'y trouvent le changement
qu'prouveraient leurs units respectives. Or, ce changement consiste
videmment en ce que toutes les quantits de mme espce deviendraient
 la fois _m_ fois plus petites, si l'unit qui leur correspond
devenait _m_ fois plus grande, ou rciproquement. Ainsi, toute
quation qui reprsente une relation concrte quelconque, doit offrir
ce caractre de demeurer la mme quand on y rend _m_ fois plus grandes
toutes les quantits qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs
entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les
nombres qui dsignent les _rapports_ mutuels de ces grandeurs,
lesquels restent invariables dans le changement des units. C'est dans
cette proprit que consiste la _loi de l'homognit_, suivant son
acception la plus tendue..

                                                   AUGUSTE COMTE.

                                          

C'est une simplification intressante que de rsoudre par le second
livre de Gomtrie un problme, plac ordinairement dans le troisime.
Citons, par exemple, la circonfrence, passant par deux points et
tangente  une droite. Nous voyons ainsi que l'ordre logique des
propositions n'est pas aussi fix qu'on l'admet gnralement.

                                          

L'Algbre plane pour ainsi dire galement sur l'Arithmtique et sur la
Gomtrie: son objet n'est pas de trouver les valeurs mmes des
quantits cherches, mais le systme d'oprations  faire sur les
quantits donnes pour en dduire les valeurs des quantits que l'on
cherche. Le tableau de ces oprations, reprsentes par les caractres
algbriques, est ce que l'on nomme en Algbre une _formule_.

                                                        LAGRANGE.

                                          

L'Algbre est gnreuse, a dit d'Alembert, elle donne souvent plus
qu'on ne lui demande. On interprte alors les solutions dites
trangres et qui sont celles du problme largi, gnralis. Le
calcul ne tient nul compte de nos restrictions.

                                          

Les extensions successives que l'on fait subir aux oprations et aux
dfinitions mathmatiques doivent tre soumises au principe de la
_permanence des rgles de calcul_.

                                                          HANKEL.

                                          

Les _formules_ sont un secours admirable pour l'esprit, elles le
dispensent de toute attention pnible, il n'a qu' les suivre: elles
ne le dirigent pas seulement, elles le portent. Il n'a besoin que de
l'attention ncessaire pour ne pas manquer  la formule et  ses
rgles et cette attention est presque matrielle: elle est des yeux
plutt que de l'esprit. Les formules, en un mot, sont des espces de
machines avec lesquelles on opre presque machinalement.

                                                       CONDORCET.

                       ------

Il faut pouvoir, au besoin, raisonner directement chaque cas
particulier.

                                          

On dit que l'_analyse_ mathmatique est un instrument. Cette
comparaison peut tre admise, pourvu qu'on admette que cet instrument,
comme le Prote de la fable, doit sans cesse changer de forme.

                                                           ARAGO.

                                          

L'emploi du calcul est comparable  celui d'un instrument dont on
connat exactement la prcision.

                                                      J. FOURIER.

                                          

Dans les oprations on peut distinguer le signe indiquant l'opration,
le nombre, c'est--dire le sujet sur lequel on opre, et le rsultat
obtenu. On peut faire abstraction des deux dernires choses, qui
paraissent pourtant les plus importantes, et ne raisonner que sur les
_signes indicateurs_. On a alors des thormes, de nature
philosophique, qui constituent le _calcul des oprations_.

Exemple: _[[mV][nV]] = [[nV][mV]] = [mnV]_

                                          

Les formules d'algbre, dans leur troite enceinte, contiennent toute
la courbe dont elles sont la loi.

                                                           TAINE.

                                          

L'Algbre est une langue bien faite, et c'est la seule. L'analogie,
qui n'chappe jamais, conduit insensiblement d'expression en
expression... La simplicit du style en fait toute l'lgance.

                                                       CONDILLAC.

                                          

Parmi les mathmaticiens, les uns ont une prdilection exclusive pour
les symboles les plus gnraux et les plus abstraits et ils vitent
les interprtations gomtriques, comme imparfaites et limites; les
autres, au contraire, ne jugent claires, que celles des conceptions
analytiques qui sont susceptibles d'une traduction concrte. Il faut
avouer que ces derniers se font une ide bien troite de la science de
l'ordre.

                                          

L'algbre est la plus gnrale des sciences mathmatiques, puisqu'elle
tudie non pas _telle ou telle_ quantit, mais _la_ quantit.

La gomtrie n'est qu'une science mathmatique particulire, puisque
son objet, l'tendue, n'est qu'une sorte de quantit.

L'algbre est  la fois un art et une science: une science parce
qu'elle se compose d'un ensemble de vrits; et un art, parce qu'elle
fournit un grand nombre de rgles infaillibles pour rsoudre un grand
nombre de difficults.

Arriv  ce point, Descartes fut naturellement amen  penser que
toute question de gomtrie pouvait se ramener  une question
d'algbre, et il conjectura justement qu' cause du caractre
mthodique de l'algbre une telle substitution serait toujours ou du
moins presque toujours avantageuse. Telles furent les vues  la fois
trs leves et trs simples qui firent concevoir  Descartes le
dessein d'appliquer l'algbre  la gomtrie.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les sciences mathmatiques ne furent plus un assemblage de
spculations isoles; elles formrent un corps dans lequel les parties
furent dans une dpendance mutuelle et facile  saisir.

                                               T. V. CHARPENTIER.

                                          

En gomtrie, comme en algbre, la plupart des ides diffrentes ne
sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus fcondes
sont pour nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine
avec le plus de facilit dans le discours et dans le calcul.

                       ------

Le calcul n'est qu'un instrument qui ne produit rien par lui-mme, et
qui ne rend en quelque sorte que les ides qu'on lui confie. Si nous
n'avons que des ides imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la
question que d'un point de vue born, ni l'analyse, ni le calcul ne
lui apporteront plus de lumire, et ne donneront  nos rsultats plus
de justesse ou plus d'tendue: au contraire, on peut dire que cet art
de raliser en quelque sorte par le calcul de vagues conceptions n'est
propre qu' rendre l'erreur plus durable, en lui donnant pour ainsi
dire une consistance.

                       ------

Sitt qu'un auteur ingnieux a su parvenir directement et simplement 
quelque vrit nouvelle, n'est-il pas  craindre que le calculateur le
plus strile ne s'empresse d'aller la chercher dans ses formules comme
pour la dcouvrir une seconde fois et  sa manire, qu'il dit tre la
bonne et la vritable; de sorte qu'on ne s'en croit plus redevable
qu' son analyse, et que l'auteur lui-mme, quelquefois peu exerc 
ce langage et  ce symbole, sous lesquels on lui drobe ses ides, ose
 peine rclamer ce qui lui appartient et se retire presque confus,
comme s'il avait mal invent ce qu'il a si bien dcouvert.

                                                         POINSOT.

                                          

Les ressources puissantes que la Gomtrie a acquises depuis une
trentaine d'annes sont comparables, sous plusieurs rapports, aux
mthodes analytiques, avec lesquelles cette science peut rivaliser
dsormais, sans dsavantage, dans un ordre trs tendu de questions...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Htons-nous de dire, cependant, pour viter toute interprtation
inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux mthodes qui
se partagent le domaine des sciences mathmatiques, que notre
admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est
sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallle sur
tous les points, la mthode gomtrique. Mais, convaincu qu'on ne
saurait avoir trop de moyens d'investigation dans la recherche des
vrits mathmatiques, qui toutes peuvent devenir galement faciles et
intuitives quand on a trouv et suivi la voie troite qui leur est
propre et naturelle, nous avons pens qu'il ne pouvait tre qu'utile
de montrer... que les doctrines de la pure Gomtrie offrent souvent,
et dans une foule de questions, cette voie simple et nouvelle qui,
pntrant jusqu' l'origine des vrits, met  nu la chane
mystrieuse qui les unit entre elles et les fait connatre
individuellement de la manire la plus lumineuse et la plus complte.

                       ------

Cette troisime branche de la Gomtrie, qui constitue aujourd'hui ce
que nous appelons la _Gomtrie rcente_, est exempte de calculs
algbriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations
numriques des figures que de leurs relations de situation; mais elle
ne considre que des rapports de distance rectiligne, d'un certain
genre, qui n'exigent ni les symboles, ni les oprations de l'Algbre.
Cette Gomtrie est la continuation de l'_Analyse gomtrique_ des
Anciens, sur laquelle elle offre d'immenses avantages par la
gnralit, l'uniformit et l'abstraction de ses mthodes.

                       ------

La mthode par le calcul a le merveilleux privilge de ngliger les
propositions intermdiaires dont la mthode gomtrique a toujours
besoin, et qu'il faut crer quand la question est nouvelle. Mais cet
avantage si beau et si prcieux de l'Analyse a son ct faible, comme
toutes les conceptions humaines: c'est que cette marche pntrante et
rapide n'claire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse
ignorer les vrits intermdiaires qui rattachent le point de dpart 
la vrit trouve, et qui doivent former avec l'un et l'autre, un
ensemble complet et une vritable thorie. Car, est-ce assez dans
l'tude philosophique et approfondie d'une science, de savoir qu'une
chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et
quelle place elle occupe dans l'ordre des vrits auquel elle
appartient?

                                                         CHASLES.

                                          

Il est certain que l'analyse de situation est une chose qui manque 
l'algbre ordinaire: c'est ce dfaut qui fait qu'un problme parat
souvent avoir plus de solutions qu'il n'en doit avoir dans les
circonstances o on le considre. Il est vrai que cette abondance de
l'algbre, qui donne ce qu'on ne lui demande pas, est admirable 
plusieurs gards; mais aussi elle fait souvent qu'un problme qui n'a
rellement qu'une solution, en prenant son nonc  la rigueur, se
trouve renferm dans une quation de plusieurs dimensions et, par l,
ne peut en quelque manire tre rsolu. Il serait fort  souhaiter que
l'on trouvt moyen de faire entrer la situation dans le calcul des
problmes.

                                                      D'ALEMBERT.

                                          

La gomtrie et l'algbre ont entre elles des relations ncessaires
sur lesquelles il importe d'tre fix.

Faut-il riger en principe les vues de Pythagore sur les nombres, puis
essayer d'y rattacher les vues gomtriques?

Faut-il, au contraire, suivre la voie trace par Descartes et dduire
les lments de l'algbre des premires donnes de la gomtrie pure?

De ces deux mthodes, la seconde semble tre la plus rationnelle.

En effet, si peu qu'elle interroge l'exprience, la Gomtrie n'en est
pas moins une science d'observation. Elle considre les corps, leurs
parois, leurs artes afin d'en abstraire les solides, les surfaces et
les lignes; puis elle commence par tudier ces figures et finit par
les mesurer pour en faciliter la comparaison. Descartes est donc
autoris par l mme  fonder l'Algbre sur la considration des
droites et des oprations qu'elles comportent. Mais, ce qui fait
surtout le mrite de sa mthode, c'est qu'elle se guide uniquement
sur les allures de la grandeur continue pour en conclure toutes les
proprits du nombre et les lois qui le rgissent; tandis qu'en
suivant la loi contraire, on est bien vite rduit  ne raisonner que
sur de purs symboles.

                                                         MOUCHOT.




LES NOMBRES, LES SYMBOLES

ET LES FONCTIONS


L'apparition d'un nombre suppose l'existence d'une grandeur
mathmatique soumise  une opration simple qu'on nomme sa mesure.
S'il n'y avait pas de grandeurs mathmatiques, il n'y aurait pas de
nombres, tandis que les grandeurs mathmatiques existent, mme pour
celui qui n'a pas l'ide de nombre. L'emploi des nombres tire
principalement son utilit de ce que ceux-ci ne conservent pas la
trace des grandeurs qui leur ont donn naissance; d'o il rsulte que
les combinaisons qu'on peut en faire, et les consquences qu'on tire
de leurs combinaisons, ont un certain degr de gnralit, qui permet
de les appliquer  toutes les espces de grandeurs et que ne sauraient
avoir les oprations effectues directement sur les grandeurs mmes.

                                                    J. F. BONNEL.

                                          

Aucun nombre entier lev au carr ne donne 2, et l'on dmontre
qu'aucun nombre fractionnaire ne le donne non plus.

Nous rsignerons-nous  conclure que 2 n'a pas de racine carre?

Si nous nous bornons  dire que [[V]2] est _incommensurable_,
nous n'en donnerons pas une dfinition.

Dirons-nous que [[V]2] est le nombre qui multipli par lui-mme
produit 2? Ce serait faire un cercle vicieux, puisque pour comprendre
la multiplication par [[V]2], il faut avoir pralablement dfini
[[V]2].

Nous dfinissons d'abord la racine carre de 2  un dixime prs, le
plus grand nombre de diximes dont le carr est contenu dans 2; nous
dfinissons ensuite de mme la racine carre de 2  un centime,  un
millime prs, etc.

La racine carre de 2 est maintenant pour nous la _limite_ de ses
racines carres  un dixime,  un centime prs, etc.

Voici la dfinition rigoureuse: La racine carre d'un nombre est la
limite des nombres dont les carrs ont pour limite le nombre propos.

On prouve, bien entendu, que la limite existe et qu'elle est unique.

                                          

Cournot a rapproch l'extension de l'ide de multiplication aux
fractions et l'extension des rgles de calcul aux nombres ngatifs.
Ces deux gnralisations permettent de rendre les relations entre les
grandeurs, indpendantes de l'unit et du zro-origine choisis.

                                          

Les nombres incommensurables donnent dj de la gnralit 
l'arithmtique. Le vrai passage  l'algbre se fait lorsqu'apparaissent
les nombres ngatifs, permettant de gnraliser davantage les rgles et
les formules. Viennent ensuite les imaginaires et les autres symboles
qui tendent de plus en plus la gnralisation.

                                          

Les signes + et - modifient la quantit devant laquelle ils sont placs,
comme l'adjectif modifie le substantif.

                                                          CAUCHY.

                                          

Il convient de considrer le signe-prcdant un coefficient comme
soud au coefficient.

                                          

Le signe-s'explique en gomtrie en rtrogradant et les solutions
par-reculent l o les solutions par + avanaient.

                                             ALBERT GIRARD, 1629.

                                          

 l'inverse des autres sciences, l'algbre a une manire toute
spciale et bien caractristique de traiter les impossibilits; si tel
problme d'algbre est impossible, si telle quation est insoluble,
l'algbre, au lieu de s'arrter l pour passer  une autre question,
accorde droit de cit  ces solutions impossibles et en enrichit son
domaine au lieu de les exclure.

Le moyen qu'elle emploie est le _symbole_.

Ds les quations du premier degr  une inconnue, au lieu de diviser
les quations en deux classes, suivant les valeurs des lettres
qu'elles renferment, celles qui admettent une solution et celles qui
n'en admettent pas, l'algbre dit que toute quation du premier degr
admet une solution, cette solution pouvant tre ngative ou infinie et
tant, dans ce dernier cas, _symbolique_.

Dans un grand nombre d'quations du second degr, il semblerait qu'on
doit tre arrt net, l'impossibilit se manifestant d'une manire
pour ainsi dire absolue; l'algbre admet pourtant ces solutions comme
elle a dj fait pour le premier degr, et, toujours  l'aide de
symboles, elle donne droit de cit aux incommensurables et aux
imaginaires.

                                                       DE CAMPOU.

                                          

Convenons de reprsenter  l'aide du symbole

  (1)    _ai + bj + c = a'i + b'j + c'_

la triple galit

         _a = a',   b = b',   c = c',_

sans attacher aux lettres _i_, _j_ d'autre sens que celui de
sparation. Les signes _i_, _j_, qui pourraient tre en plus grand
nombre, ont reu de Cauchy le nom de _clefs_. Les formules telles que
(1) portent le nom d'_galits symboliques_, et l'on dit, pour abrger
le langage, que _a_ et _a'_ sont les coefficients de _i_ et que _b_ et
_b'_ sont les coefficients de _j_. L'ensemble des quantits qui
forment le premier membre de la formule (1) s'appelle une _quantit
imaginaire_.

Ainsi, pour nous, une quantit imaginaire se compose de l'ensemble de
plusieurs nombres qui, dans un calcul ultrieur, doivent tre
respectivement gals  des nombres donns.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les clefs tendent  s'introduire tous les jours davantage dans
l'analyse; leur emploi donne beaucoup d'lgance et de simplicit au
calcul.

De toutes les clefs, celle qui a t le mieux tudie, celle qui est
le plus anciennement connue, est celle que l'on est convenu de
reprsenter par le symbole [[V]-1].

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hamilton est le crateur d'un systme d'imaginaires auxquelles il a
donn le nom de _quaternions_; ces imaginaires contiennent trois
clefs; elles sont par consquent de la forme

  _ai + bj + ck + d._

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Autrefois, les quantits imaginaires avaient en elles quelque chose de
fantastique: elles ne reprsentaient rien, elles servaient
d'instrument dans les recherches; mais  la suite d'une dcouverte due
 l'emploi des imaginaires, les gomtres amis de la rigueur
rclamaient une confirmation du rsultat obtenu, par d'autres voies:
c'est ce qui a valu leur nom  ce genre de quantits.

                                                      H. LAURENT.

                                          

Je montre au dbut ce qui constitue vraiment la ligne de sparation de
l'arithmtique et de l'algbre.

Tant que les grandeurs ne sont considres que dans leurs _modules_,
c'est--dire dans leurs rapports abstraits avec l'unit choisie, on
fait de l'arithmtique ou de l'arithmologie. On tablit les rgles de
calcul sur les modules ou sur les nombres; on tudie les proprits
diverses des nombres entiers auxquels tous les autres se ramnent.

Quand,  la considration du module, on joint celle de la direction et
que l'on reprsente les grandeurs directives par un symbole complexe
qui donne  la fois le module et l'_argument_, c'est--dire un signe
marquant nettement le sens de la grandeur, on fait de l'algbre.

Les grandeurs directives que l'on tudie dans les diverses branches
des sciences peuvent tre classes en plusieurs groupes:

1 Les unes, et c'est le plus grand nombre, ne sont susceptibles que
de deux sens opposs l'un  l'autre... On pourrait les dsigner sous
le nom de grandeurs _diodes_...

2 D'autres grandeurs, qu'on pourrait nommer _polyodes_, peuvent avoir
toute direction, soit sur un plan, soit dans l'espace...

... On les reprsente par des droites de longueurs dtermines suivant
leurs modules, portes dans certaines directions,  partir d'un
point-origine.

Il faut distinguer particulirement les grandeurs _polyodes planes_...
Ces grandeurs polyodes planes comprennent videmment les grandeurs
diodes, comme cas particulier.

3 Les grandeurs absolues, dans l'tude desquelles l'ide de direction
n'intervient pas, peuvent aussi tre regardes comme un cas
particulier des grandeurs polyodes planes, car on peut toujours
reprsenter leur module par la longueur d'une droite et porter ce
module dans une mme direction, sur un axe indfini,  partir d'une
origine fixe. Les grandeurs absolues ainsi reprsentes pourraient
tre appeles _monodes_.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'algbre, comme nous l'entendons, a pour but de donner les rgles de
calcul des grandeurs polyodes planes...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les considrations un peu nouvelles que j'ai dveloppes... renferment
implicitement les rgles du calcul des _quipollences_ de M.
Bellavitis.

Les ides philosophiques qui m'ont guid... me conduisaient
naturellement  la considration des symboles propres  reprsenter
les grandeurs polyodes de l'espace, c'est--dire aux _quaternions_
d'Hamilton.

                                                      J. BOURGET.

                                          

Ce n'est plus l'algbre qui est responsable de cette manifestation de
rsultats impossibles, c'est nous-mmes qui y donnons lieu par
l'introduction de certaines contradictions dans nos demandes. Cette
circonstance dans laquelle l'esprit du calculateur intervient comme
partie au dbat, nous parat mriter une attention toute
particulire. Il est intressant d'tudier comment, dans ce cas, la
raction de l'algbre cherche  se mettre en quilibre avec l'action
gare de notre intelligence; comment elle se maintient dans le vrai
alors que nous voudrions l'entraner dans le faux, comment du moins
elle refuse de nous suivre dans cette voie, et par quels moyens,
toujours logique et toujours utile, tout en nous disant que nous
l'avons frappe d'impuissance, elle nous indique en quoi consiste
l'erreur que nous n'avions pas mme souponne.

                                                          VALLS.

                                          

Les difficults relatives  plusieurs symboles singuliers auxquels
conduisent les calculs algbriques et notamment aux expressions dites
_imaginaires_, ont t, ce me semble, beaucoup exagres par suite des
considrations purement mtaphysiques qu'on s'est efforc d'y
introduire, au lieu d'envisager ces rsultats anormaux sous leur vrai
point de vue, comme de simples faits analytiques. En les considrant
ainsi, il est ais de reconnatre, en thse gnrale, que l'esprit de
l'analyse mathmatique consistant  considrer les grandeurs sous le
seul point de vue de leurs relations, et indpendamment de toute ide
de valeur dtermine, il en rsulte ncessairement pour les analystes,
l'obligation constante d'admettre indiffremment toutes les sortes
d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons
algbriques. S'ils voulaient s'en interdire une seule  raison de sa
singularit apparente, comme elle est toujours susceptible de se
prsenter d'aprs certaines suppositions particulires sur les
valeurs des quantits considres, ils seraient contraints d'altrer
la gnralit de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans
chaque raisonnement, une suite de distinctions vraiment trangres,
ils feraient perdre  l'analyse mathmatique son principal avantage
caractristique, la simplicit et l'uniformit des ides qu'elle
combine.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Relativement aux quantits _ngatives_ qui ont donn lieu  tant de
discussions dplaces... il faut distinguer, en considrant toujours
le simple fait analytique, entre leur signification abstraite et leur
interprtation concrte qu'on a presque toujours confondues jusqu'
prsent. Sous le premier rapport, la thorie des quantits ngatives
peut tre tablie d'une manire complte par une seule vue algbrique.
Quant  la ncessit d'admettre ce genre de rsultats, concurremment
avec tout autre, elle drive de la considration gnrale que je viens
de prsenter: et quant  leur emploi comme artifice analytique pour
rendre les formules plus tendues, ce mcanisme de calcul ne peut
rellement donner lieu  aucune difficult srieuse. Ainsi, on peut
envisager la thorie abstraite des quantits ngatives comme ne
laissant rien d'essentiel  dsirer, mais il n'en est nullement de
mme pour leur thorie concrte.

                                                      AUG. COMTE.

                                          

Partons de l'chelle des nombres entiers; entre deux chelons
conscutifs intercalons un ou plusieurs chelons intermdiaires, puis
entre ces chelons nouveaux d'autres encore et ainsi de suite
indfiniment. Nous aurons ainsi un nombre illimit de termes, ce
seront les nombres que l'on appelle fractionnaires, rationnels ou
commensurables. Mais ce n'est pas assez encore; entre ces termes qui
sont pourtant dj en nombre infini, il faut encore en intercaler
d'autres, que l'on appelle irrationnels ou incommensurables.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On dira peut-tre que les mathmaticiens qui se contentent de cette
dfinition (du continu mathmatique) sont dupes de mots, qu'il
faudrait dire d'une faon prcise ce que sont chacun de ces chelons
intermdiaires, expliquer comment il faut les intercaler et dmontrer
qu'il est possible de le faire. Mais ce serait  tort; la seule
proprit de ces chelons qui intervienne dans leurs raisonnements,
c'est celle de se trouver avant ou aprs tels chelons...

                                                     H. POINCAR.

                                          

Dans une mme question, on a souvent  considrer deux sortes de
grandeurs, les constantes et les variables. Une _constante_ possde
une valeur fixe et dtermine; une _variable_ peut recevoir
successivement diverses valeurs.

Une quantit est dite _fonction_ d'une autre quantit, lorsqu'elle
varie avec elle et qu'elle acquiert une ou plusieurs valeurs
dtermines pour chaque valeur attribue  _la variable_.

                                          

La science, en tant qu'elle n'envisage que les lments isols de
l'objet, peut tre nomme _statique_; en tant qu'elle compare les
lments et cherche comment les variations des uns dterminent les
variations des autres, elle est _dynamique_, car elle reprsente alors
le mouvement mme des choses et les suit dans leur dveloppement.
Cette distinction fondamentale permet de classer les connaissances
humaines en deux catgories bien nettes et en montre aussi le point de
contact: le _nombre_, ou rapport invariable, la _fonction_, ou rapport
variable, rsument en deux mots les deux faces de la science.

                                                          LAUGEL.

                                          

On tudie, en mathmatiques, une fonction pour elle-mme. Peut-tre
plus tard un phnomne mieux connu s'exprimera par cette fonction.
Branger a dit:

  Combien de temps une pense,
  Vierge obscure, attend son poux!

                                          

Les nombres imitent l'espace, qui est de nature si diffrente.

                                                          PASCAL.




LA LIMITE, L'INFINIMENT GRAND

ET L'INFINIMENT PETIT


On appelle _limite_ d'une grandeur variable, une grandeur fixe dont la
grandeur variable se rapproche indfiniment, de faon  pouvoir en
diffrer aussi peu qu'on voudra, mais sans jamais l'atteindre.

On appelle _infiniment petit_ une quantit variable qui a pour limite
zro.

                                          

Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de mme et les
infinis ou infiniment petits ne signifient que des grandeurs qu'on
peut prendre aussi grandes ou aussi petites que l'on voudra.....

..... On entend par infiniment petit l'tat de l'vanouissement ou du
commencement d'une grandeur, conue  l'imitation des grandeurs dj
formes.

                                                         LEIBNIZ.

                                          

La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire un mystre en
Mathmatiques, se rduit  ceci: Aprs chaque nombre entier, il y en a
un autre.

                                                      J. TANNERY.

                                          

C'est l'lan de l'esprit au-del de ce que montre l'observation,
au-del mme de tout ce qu'elle est capable de donner, qui seul a pu
nous faire connatre la srie des nombres entiers, celle des grandeurs
continues, et nous conduire par l aux ides d'infiniment petit, de
point, de ligne, de surface, limites de quantits indfiniment
dcroissantes ou d'tendues dont certaines dimensions diminuent
jusqu' zro. Ces notions se prsentent donc  nous comme des
crations de l'intelligence dans sa recherche de la simplicit et de
la perfection absolue pour ce qui concerne les grandeurs, comme des
donnes que la vue des choses n'implique pas logiquement, c'est--dire
dductivement, mais qu'elle suggre  notre facult d'intuition
idale, ou, si l'on veut,  notre pouvoir de gnralisation.
L'infiniment petit, notamment, n'est pas le zro pur, le zro
considr isolment, mais bien le zro en tant que limite des
dcroissements d'une grandeur, ou en tant que point de dpart d'une
quantit qui nat et augmente.

                                                      BOUSSINESQ.

                                          

La continuit d'une grandeur est une proprit purement idale, en ce
sens qu'il n'y a pas dans la nature de grandeur qui soit
matriellement continue. Cette continuit n'existe que dans
l'imagination du gomtre.

                                                    J.-F. BONNEL.

                                          

On est conduit  l'ide des infiniment petits, lorsqu'on considre
les variations successives d'une grandeur soumise  la loi de
continuit. Ainsi le temps crot par degrs moindres qu'aucun
intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les
espaces parcourus par les diffrents points d'un corps croissent aussi
par des infiniment petits, car chaque point ne peut aller d'une
position  une autre sans traverser toutes les positions
intermdiaires; et l'on ne saurait assigner aucune distance, aussi
petite que l'on voudra, entre deux positions successives. Les
infiniment petits ont une existence relle; ils ne sont pas seulement
un moyen d'investigation imagin par les gomtres.

                                                         POISSON.

                       ------

Opinion isole et inexacte. La continuit d'une grandeur est une
fiction de l'esprit; il n'y a pas dans la nature, de grandeur
rigoureusement continue.

                                          

Le cercle n'est que le compos d'une infinit de triangles dont le
sommet est au centre et dont les bases forment la circonfrence; le
cne est compos d'une infinit de pyramides, appuyes sur des
triangles infiniment petits de la base circulaire et ayant leur sommet
commun avec celui du cne, tandis que le cylindre de mme base et de
mme hauteur est form d'un pareil nombre de petits prismes appuys
sur les mmes bases et ayant mme hauteur qu'elles.

                                                          KEPLER.

                                          

Les quantits sont appeles _infinitsimales_ non point parce qu'on
les regarde comme trs petites, ce qui est fort indiffrent, mais
parce qu'on peut les considrer comme aussi petites que l'on voudra,
sans qu'on soit oblig de rien changer  la valeur des quantits,
telles que les paramtres, les coordonnes, normales, sous-tangentes,
rayons de courbure, etc., dont on cherche la relation. Il suit de l
que toute quantit dite _infiniment petite_ peut se ngliger dans le
courant du calcul, vis--vis de ces mmes quantits dont on cherche la
relation, sans que le rsultat du calcul puisse en aucune manire s'en
trouver affect.

                                                     LAZ. CARNOT.

                                          

Nous avons distingu les diffrentes manires dont les grandeurs 
mesurer, ou celles auxquelles on les ramne, pouvaient tre
considres comme limites de variables d'une espce plus simple, et
nous avons dit qu'elles pouvaient en gnral se rduire  trois. La
premire, employe dans quelques cas par Euclide et Archimde,
consiste  regarder les grandeurs comme limites de sries; la
deuxime, due  Archimde, comme limites de sommes de quantits
infiniment petites; la troisime, comme limites de rapports
d'infiniment petits. Les deux premires se sont prsentes  propos de
la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphre,
des volumes des corps engendrs par la rvolution de sections
coniques, etc. La troisime, due aux modernes, s'est prsente 
l'occasion du problme des tangentes, et s'applique  beaucoup
d'autres questions.

                                                         DUHAMEL.

                                          

C'est en cherchant  dterminer les tangentes des courbes, que les
gomtres sont parvenus au calcul diffrentiel, qu'on a prsent
depuis sous des points de vue trs varis; mais quelle que soit
l'origine qu'on lui assigne, il reposera toujours sur un _fait
analytique_ antrieur  toute hypothse, comme la chute des corps
graves vers la surface de la terre est antrieure  toutes les
explications qu'on en a donnes; et ce fait est prcisment la
proprit dont jouissent toutes les fonctions, d'admettre une limite
dans les rapports que leurs accroissements ont avec ceux de la
variable dont elles dpendent. Cette limite, diffrente pour chaque
fonction, et toujours indpendante des valeurs absolues des
accroissements, caractrise d'une manire qui lui est propre, la
_marche_ de la fonction dans les divers tats par lesquels elle peut
passer.

                                                         LACROIX.

                                          

Nous avons des ides nettes de la grandeur, nous voyons que les choses
en gnral peuvent tre augmentes ou diminues, et l'ide d'une chose
devenue plus grande ou plus petite, est une ide qui nous est prsente
et aussi familire que celle de la chose mme; une chose quelconque
nous tant donc prsente ou tant seulement imagine, nous voyons
qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrte,
rien ne dtruit cette possibilit, on peut toujours concevoir la
moiti de la plus petite chose et le double de la plus grande chose;
on peut mme concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois,
cent mille fois plus petite ou plus grande, et c'est cette proprit
d'augmentation sans bornes en quoi consiste la vritable ide qu'on
doit avoir de l'infini; cette ide nous vient de l'ide du fini; une
chose finie est une chose qui a des termes, des bornes, une chose
infinie n'est que cette mme chose finie  laquelle nous tons ses
termes et ses bornes; ainsi l'ide de l'infini n'est qu'une ide de
privation et n'a point d'objet rel. Ce n'est pas ici le lieu de faire
voir que l'espace, le temps, la dure, ne sont pas des infinis rels;
il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement
infini ou infiniment petit.....

On ne doit donc considrer l'infini, soit en petit, soit en grand que
comme une privation, un retranchement  l'ide du fini, dont on peut
se servir comme d'une supposition qui peut aider  simplifier les
ides, et doit gnraliser leurs rsultats dans la pratique des
sciences.

                                                          BUFFON.

                                          

L'ide d'infini apparat ds le seuil des mathmatiques: il y a une
infinit de nombres entiers; la ligne droite doit tre conue comme
prolonge indfiniment.

                                          

Au fond, les motifs des rpugnances manifestes contre les infiniment
petits se rsument dans cette pense de Lagrange, qu'on a le grand
inconvnient de considrer les quantits dans l'tat o elles
cessent, pour ainsi dire, d'tre quantits, autrement dit, les
infiniment petits n'existent pas. Il me parat qu'il y a l un
malentendu. Veut-on parler des quantits _naturelles_, ou de l'objet
de nos conceptions _rationnelles_? Si l'on entend que dans la nature
il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui
existe est dtermin et par consquent fini. Mais  ce point de vue,
il n'y a pas non plus de quantit variable: une quantit, par cela
seul qu'elle est, a une valeur actuelle prcise. Notre esprit seul
cre la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantits
voisines et les regardant comme les valeurs successives d'une mme
quantit. La notion de variable n'est pas plus lgitime que celle
d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes
les deux.

                                                    DE FREYCINET.




MATHMATIQUES APPLIQUES


Le vaste champ des mathmatiques embrasse, d'une part, les thories
abstraites; de l'autre, leurs nombreuses applications. Par cette
dernire face, ces sciences intressent au plus haut degr la
gnralit des hommes; aussi les voit-on,  toutes les poques,
cherchant, suggrant, proposant sans cesse de nouveaux problmes,
puiss dans l'observation des phnomnes naturels ou dans les besoins
de la vie commune...

                                                           ARAGO.

                                          

L'tude approfondie de la nature est la source la plus fconde des
dcouvertes mathmatiques. Non seulement cette tude, en offrant aux
recherches un but dtermin, a l'avantage d'exclure les questions
vagues et les calculs sans issue, elle est encore un moyen assur de
former l'Analyse elle-mme, et d'en dcouvrir les lments qu'il nous
importe le plus de connatre et que cette science doit toujours
conserver: ces lments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent
dans tous les effets naturels.

                                                      J. FOURIER.

                                          

La gomtrie et surtout l'algbre, sont la clef de toutes les
recherches sur la grandeur. Ces sciences qui ne s'occupent que de
rapports abstraits et d'ides simples, peuvent paratre infructueuses
tant qu'elles ne sortent point, pour ainsi dire, du monde
intellectuel; mais les mathmatiques mixtes, qui descendent  la
matire et qui considrent les mouvements des astres, l'augmentation
des forces mouvantes,..... en un mot toutes les sciences qui
dcouvrent des rapports particuliers de grandeurs sensibles, vont
d'autant plus loin et plus srement, que l'art de dcouvrir des
rapports en gnral est plus parfait. L'instrument universel ne peut
devenir trop tendu, trop maniable, trop ais  appliquer  tout ce
qu'on voudra.

                                                      FONTENELLE.

                                          

L'artillerie est mise ordinairement au nombre des branches des
mathmatiques..... On y considre principalement le chemin dcrit par
le projectile que lance le canon, et l'on conclut les rgles suivant
lesquelles il faut diriger le canon pour que le boulet frappe un lieu
donn. Or on suppose, dans cette recherche, que le projectile dcrit
une parabole, ainsi que Galile l'a dmontr. Mais cela n'est pas
conforme  la vrit ds que le mouvement n'a pas lieu dans le vide.
On est donc induit grandement en erreur par les rgles et les Tables
fondes sur cette hypothse, leurs auteurs mmes l'avouent; ils
rejettent l'erreur sur le compte de la thorie, et s'imaginent qu'elle
n'a de valeur que lorsque la pratique la corrige. Or l'air nous
parat tre un fluide trop subtil pour produire une rsistance
sensible; et pourtant dans les mouvements trs rapides tels que ceux
des boulets et des bombes, la rsistance de l'air est assez grande
pour que les projectiles dcrivent une courbe trs diffrente de la
parabole. Pour corriger cette erreur notable, pour suppler  l'emploi
inopportun de la parabole, il faut introduire la courbe vritable
suivant laquelle le projectile se meut dans l'air. Newton parat avoir
fait beaucoup d'efforts pour la dcouvrir, et cependant son extrme
habilet dans l'analyse suprieure ne lui suffit pas pour rsoudre ce
problme. Il laissa l'honneur de cette dcouverte au clbre Jean
Bernoulli. Nous voyons par l combien doit tre vers dans les
mathmatiques suprieures celui qui veut rsoudre les questions
d'artillerie.

                                                           EULER.

                                          

Les _Mathmatiques pures_ se bornent  spculer sur les grandeurs
abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se dduit de
notions primitives, d'axiomes, sans rien emprunter  l'exprience. Ses
branches sont l'arithmtique, la gomtrie et l'analyse (algbre et
calcul infinitsimal).

                       ------

La mcanique et l'astronomie forment ce qu'on appelle les _Sciences
physico-mathmatiques_.

Viennent ensuite les nombreuses _Applications des mathmatiques_. Nous
allons rapidement numrer les principales.

                                          

_Calcul des probabilits._--La thorie des probabilits a dit Laplace,
n'est que le bon sens rduit en calcul: elle fait apprcier avec
exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte
d'instinct.

Le calcul des probabilits est utile dans toutes les sciences et aussi
dans la vie sociale.

                                          

_Physique mathmatique._--La physique, enfin matresse de ses
principes, tend  s'absorber dans les mathmatiques. On fait la
thorie analytique de la chaleur, de l'lectricit, de la lumire, de
l'lasticit, de l'acoustique, etc.

La chimie commence  suivre le bon exemple, grce  la thermochimie.

                                          

_Statistique et conomie politique._--Quelques lois ont t
dcouvertes, il y a tendance  plus de prcision dans ces utiles
tudes. Cependant Cournot et Walras se sont trop presss d'appliquer
l'Algbre  des donnes encore un peu flottantes; on dit assez
heureusement que la monnaie sert de dnominateur commun aux diverses
valeurs.

                                          

_Loterie; jeux._--On peut raisonner les chances de la loterie et du
jeu, mais on ne corrige gure les amateurs. La Science a obtenu la
suppression de la loterie d'tat, mais il nous reste d'autres
loteries, les valeurs  lots, etc.

Quant aux jeux de combinaisons, ils se rattachent  la gomtrie et 
l'analyse indtermine.

                                          

_Arithmtique applique et commerciale._--Il faut considrer, non
comme thorie, mais comme applications, les rgles de trois,
d'alliage, de partage, etc., et le systme mtrique.

D'autre part, la tenue des livres de commerce a une grande importance
pratique.

                                          

_Finances._--Intrts simples et composs; annuits; banques,
tablissements de crdit et de prvoyance; assurances sur les choses
et sur la vie; rentes viagres.

La Bourse.

Rpartition des impts; budget, etc.

                                          

_Calcul mental._--Il est bon d'acqurir une certaine habilet 
calculer de tte, sans chiffrer hors de propos. Il y a quelques
mthodes, mais c'est surtout affaire d'exercice.

                                          

_Gomtrie et trigonomtrie pratiques._--Comme en arithmtique, on
mle trop, en gomtrie, les applications  la thorie.

Instruments pour les tracs sur le papier et sur le terrain.

Arpentage, lev des plans, nivellement; le cadastre; partage des
terrains, etc.

Les divers mesurages: mtrage, cubage; fts, troncs d'arbre, tas de
pierres, etc.

Application de la trigonomtrie au lev des plans.

                                          

_Gomtrie descriptive._--Par la mthode des projections, on peut
reprsenter rigoureusement par un trac plan les figures et les
constructions dans l'espace.

Application aux ombres,  la perspective,  la charpente,  la coupe
des pierres, etc.

                                          

_Dessin._--Les divers dessins constituent une langue trs tendue et
trs expressive.

Le dessin dit gomtrique l'emporte sur les autres par sa prcision.

                                          

_Les graphiques._--Une courbe, parlant aux yeux, rsume de nombreuses
observations numriques. Aussi, se sert-on, dans toutes les tudes,
de ces tracs commodes.

Par exemple, les Guides de chemins de fer donnent bien des rsultats
isols, mais les employs s'aident de graphiques pour se rendre compte
des rapports entre les divers trains.

                                          

_Arts mcaniques._--Il convient que l'ouvrier sache raisonner ses
mesures et ses tracs, au lieu de se servir de rgles empiriques et de
patrons.

Ferblantiers, menuisiers, tourneurs, etc.

                                          

_Les machines._--Quelle varit, quelle dlicatesse et quelle
puissance, depuis les machines  coudre,  calculer,  crire,
jusqu'aux machines qui soulvent les cuirasss ou creuseront le
Panama!

                                          

_Constructions civiles et militaires._--C'est aux ingnieurs et aux
architectes que nous devons surtout notre civilisation matrielle.
Ponts et chausses, chemins de fer, canaux, construction des
monuments, etc.

                                          

_Gographie._--Cartes gographiques, surtout celle de l'tat-Major,
que tout le monde devrait savoir lire.

Topographie, godsie, etc.

De nos jours, la gographie devient enfin une science. Ici, dit
Drapeyron, le corps c'est la topographie, l'me c'est la gographie
mathmatique.

                                          

_Navigation._--Constructions navales, conduite du navire (dterminer 
un moment quelconque la position et la route); tables astronomiques,
etc.

                                          

_Chronologie, horlogerie, gnomonique._--Calendrier, comput
ecclsiastique; montres, horloges, chronomtres; cadrans solaires.

                                          

_Arts militaires._--Le fusil et le canon perfectionns; balistique ou
questions du tir.

Stratgie, dont le problme dpend d'lments si varis.

                                          

Aprs trente ans de travail, le regrett M. Sonnet a publi sous le
titre de _Dictionnaire des Mathmatiques appliques_, en un seul
volume, le plus riche et le plus prcis des rpertoires connus sur ces
matires.




SYSTME MTRIQUE


La rflexion et l'exprience font connatre les _conditions d'un bon
ensemble de mesures_. Nous allons passer en revue les plus importantes
de ces conditions et justifier ainsi l'excellence des mesures
mtriques.

1 _Units parfaitement dfinies et fixes._--Les anciennes mesures de
longueur se dduisaient des dimensions du corps humain (toises,
coudes, mains, pouces, doigts, etc.) ou des dimensions de certains
temples. Ces bases taient vagues et variables, les modles n'en
taient point arrts. On a pu dire que, sous l'ancien rgime, il y
avait autant d'arpents et de boisseaux que de villages. Le mtre,
fraction dtermine de la circonfrence terrestre, est une longueur
prcise, immuable, indpendante du temps et des nations. On
retrouverait le mtre, dit Arago, quand mme des tremblements de
terre, des cataclysmes pouvantables viendraient  bouleverser notre
plante et  dtruire les talons prototypes religieusement conservs
aux Archives.

2 _Units d'espces diffrentes lies entre elles._--La gomtrie
ramne la mesure des surfaces et des volumes  la mesure de certaines
longueurs, qu'on appelle les dimensions de ces figures. Les rgles
simples qu'on tablit supposent qu'on prend pour units les carrs et
les cubes construits sur l'unit linaire.--On se servait de la toise
carre et de la toise cube, avant de connatre le mtre carr et le
mtre cube. Il y a plus, les units de poids et de monnaie drivent
aussi du mtre, quoique moins directement. On pourrait,  la rigueur,
avec les monnaies, peser les corps et mesurer les longueurs. Nos
mesures s'enchanent ainsi compltement et leur ensemble mrite le nom
de _systme_.

3 _Units assez nombreuses pour chaque espce de grandeur._--Il
convient de rapporter chaque grandeur particulire  une unit
proportionne, parce que l'esprit ne voit clairement et rapidement que
les nombres ordinaires, ni trop grands, ni trop petits. De l
l'utilit d'units secondaires, substitues souvent  l'unit
principale.--Nous avons actuellement des multiples et des
sous-multiples de chaque unit; la plupart sont des instruments
effectifs de mesurage; tandis que les autres ne sont pas fabriqus
(huit rgles pour les longueurs, treize vases pour les capacits,
vingt-quatre poids et quatorze monnaies).

4 _Units de mme nature lies simplement._--Dans l'ancien systme,
l'chelle tait parfois bizarre et variable d'un genre d'unit  un
autre (exemple: les longueurs et les poids). De l le _calcul des
nombres complexes_, assez pnible, malgr les simplifications
provenant des diviseurs de douze.--Les units nouvelles procdent
toutes de dix en dix, comme notre systme de numration. Les grandeurs
s'expriment par suite en nombres dcimaux, aussi faciles  combiner
que les entiers. Les changements d'unit se traduisent par un simple
dplacement de la virgule.--On comprend pourquoi le systme mtrique
s'appelle aussi systme dcimal des poids et mesures. (On avait mme
propos de diviser dcimalement le temps, jour de vingt heures, heure
de cent minutes, etc., et le cercle en quatre cents grades de cent
minutes chacun, etc.)

5 _Nomenclature expressive et ne comprenant qu'un petit nombre de
mots._--Les mesures antrieures portaient des noms trs varis et
n'indiquant pas les rapports, qu'il fallait retenir  part. Nous
n'avons maintenant que six mesures principales: le mtre, l'are, le
litre, le stre, le gramme et le franc;  ces six mots il suffit de
joindre sept abrviations, tires du grec ou du latin, pour composer
les noms des multiples et des sous-multiples. _Dca_ signifie dix,
_hecto_ cent, _kilo_ mille, _myria_ dix-mille; _dci_ signifie
dixime, _centi_ centime et _milli_ millime. Ds qu'on parle du
dcamtre et du dcimtre, chacun se rappelle qu'il s'agit de dix
mtres et du dixime du mtre.--Cependant, quelque commode que soit la
nomenclature prcdente, elle n'est pas essentielle au systme
mtrique, qui rside dans les choses et non dans les mots.

6 _Mesures obligatoires et soigneusement contrles._--Depuis 1840,
les mesures mtriques sont dfinitivement imposes par la loi, sur
tout le territoire franais, et les dnominations mmes des anciennes
mesures sont prohibes. Les instruments de mesure sont conformes  des
modles dont les rglements prcisent la valeur, les dimensions, la
forme et la substance. Sur ces mesures sont inscrits non seulement le
nom de la mesure mais encore celui du fabricant responsable, et ces
instruments sont soumis  un contrle au dbut, puis  un contrle
priodique, faits par des _vrificateurs des poids et mesures_.--Notre
systme justifie la qualification de systme _lgal_ des poids et
mesures.

7 _Systme offrant un caractre international._--Base ne dpendant
d'aucune nationalit particulire, puisqu'elle est prise dans la
nature. Organisation par des savants de tous les pays qui ont sign
les rapports et se sont distribu cent douze des mtres nouveaux. Mots
provenant d'une langue morte, du grec ou du latin. Si la mmoire des
travaux venait  s'effacer, dit Laplace, si les rsultats seuls en
taient conservs, ils n'offriraient rien qui pt faire connatre
quelle nation en a eu l'ide, en a suivi l'excution.--L'adoption par
tous les peuples des mmes mesures faciliterait grandement les
relations commerciales et scientifiques. Le systme mtrique est dj
adopt, entirement ou partiellement, par les pays suivants: Belgique,
Hollande, Espagne, Portugal, Grce, Allemagne, Danemark, Sude,
Mexique, Brsil, Rpubliques de l'Amrique du Sud, gypte, etc.
Ajoutons que dans les tats anglais et dans les tats-Unis l'usage de
nos mesures est facultatif.




GOMTRIE DESCRIPTIVE


Une figure plane peut tre reprsente sur une surface plane sans
aucune altration dans les proportions de ses parties.

... Il n'en est pas de mme d'un corps  trois dimensions, d'un corps
ayant longueur, largeur et profondeur. Sa reprsentation sur une
surface plane est invitablement altre. Des lignes qui sur le corps
sont gales entres elles, peuvent tre extrmement ingales dans la
reprsentation plane. Les angles forms dans l'espace par les artes
ou par les diagonales du corps n'prouvent pas de moindres altrations
comparatives, quand elles viennent  tre figures sur un plan.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Des hommes de gnie, Desargues en tte, russirent enfin  rattacher
aux rgles de la gomtrie lmentaire la plupart des mthodes, des
tracs en usage dans la coupe des pierres et dans la charpente.
Malheureusement leurs dmonstrations taient longues, embarrasses;
elles devaient toujours rester hors de la porte des simples ouvriers.

 quoi tenaient ces complications? Elles tenaient  ce qu'on tait
oblig de crer la science tout entire,  l'occasion de chaque
problme. Adoptez cette mthode dans telle autre branche quelconque
des mathmatiques, et la plus inextricable confusion en sera aussi la
consquence invitable.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Monge dbrouilla ce chaos. Il fit voir que les solutions graphiques de
tous les problmes de la gomtrie  trois dimensions se fondaient sur
un trs petit nombre de principes qu'il exposa avec une merveilleuse
clart. Dsormais aucune question, parmi les plus complexes, ne devait
tre l'apanage exclusif des esprits d'lite; avec des instruments bien
dfinis et une mthode de recherche uniforme, la gomtrie
descriptive, dont Monge devint le crateur, pntra jusque dans les
rangs nombreux de la classe ouvrire.

                                                           ARAGO.

                                          

Une branche considrable de la gomtrie, qui se recommande par des
applications nombreuses, et que cultivaient par instinct plutt que
mthodiquement tous les ouvriers employs aux arts de construction, a
t rduite en corps de doctrine.. On sent qu'il s'agit ici de la
thorie et de la pratique des oprations qui rsultent de la
combinaison des lignes, des plans et des surfaces dans l'espace, et
que M. Monge a fait connatre sous le nom de _gomtrie descriptive_.
La coupe des pierres, la charpente, certaines parties de la
fortification et de l'architecture, la perspective, la gnomonique: en
un mot, toutes les parties des mathmatiques, soit pures, soit
appliques, dans lesquelles on considre l'espace avec ses trois
dimensions, sont du ressort de ce complment nouveau de la gomtrie
lmentaire qui jusque-l s'tait arrte  la mesure des aires et des
volumes... Ce n'est pas qu'avant M. Monge, les gomtres n'eussent
connu la mthode des projections et ne l'eussent employe  la
rsolution de plusieurs problmes..., mais cette thorie... n'avait
pas encore cette indpendance et cet enchanement de questions qui en
ont fait une vritable science...

                                                        DELAMBRE.

                                          

La Gomtrie descriptive donne des mthodes pour reprsenter
exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d'une dfinition
prcise, et pour dduire de cette reprsentation les vritables
grandeurs des diverses parties du corps que l'on considre.

C'est  l'aide de pareils dessins faits sur des aires planes, que les
tailleurs de pierre et les charpentiers parviennent  donner aux
matriaux solides des formes dtermines.

La Gomtrie descriptive est donc aussi utile  l'ouvrier qui excute
un projet qu' l'ingnieur qui l'a conu. Ses principales applications
sont la perspective, la thorie des ombres, la charpente, la coupe des
pierres, le trac des routes dans les pays accidents, le dfilement
dans l'art des fortifications, etc., etc.

                                                          ROUCH.

                                          

Selon la manire dont la position des sommets des angles d'un solide
est dfinie, la construction de leurs projections peut tre plus ou
moins facile, et la nature de l'opration doit dpendre de celle de la
dfinition. Il en est prcisment de cet objet comme de l'Algbre,
dans laquelle il n'y a aucun procd gnral pour mettre un problme
en quations. Dans chaque cas particulier, la marche dpend de la
manire dont la relation entre les quantits donnes et celles qui
sont inconnues est exprime; et ce n'est que par des exemples varis
que l'on peut accoutumer les commenants  saisir ces relations et 
les crire par des quations. Il en est de mme pour la Gomtrie
descriptive. C'est par des exemples nombreux et par l'usage de la
rgle et du compas dans les salles d'exercice que l'on peut acqurir
l'habitude des constructions, et qu'on s'accoutume au choix des
mthodes les plus simples et les plus lgantes, dans chaque cas
particulier. Mais aussi, de mme qu'en Analyse, lorsqu'un problme est
mis en quations, il existe des procds pour traiter ces quations,
et pour en dduire les valeurs de chaque inconnue; de mme aussi, dans
la Gomtrie descriptive, lorsque les projections sont faites, il
existe des mthodes gnrales pour construire tout ce qui rsulte de
la forme et de la position respective des corps.

Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Gomtrie
descriptive  l'Algbre; ces deux sciences ont les rapports les plus
intimes. Il n'y a aucune construction de Gomtrie descriptive, qui ne
puisse tre traduite en Analyse; et lorsque les questions ne
comportent pas plus de trois inconnues, chaque opration analytique
peut tre regarde comme l'criture d'un spectacle en Gomtrie.

                                                           MONGE.




MCANIQUE


On connat la dclaration attribue  Archimde: Donnez-moi un point
d'appui et je soulverai le monde. Je ne veux pas en contester la
beaut littraire, mais quand on songe au nombre de tentatives
insenses dont elle a t la cause, il peut tre permis de dire que,
pratiquement, elle est absolument vaine.

                                                PRIVAT-DESCHANEL.

                       ------

Le monde, il s'agit sans doute de la terre. Comment l'homme
pourrait-il prendre un point d'appui extrieur? Du reste la force d'un
homme tant extrmement petite par rapport au poids du globe, le
dplacement de celui-ci serait insignifiant. Le mot clbre n'exprime
qu'une vue thorique.

                                          

On ne gagne rien avec les instruments, d'autant que, si l'on applique
une petite force  un grand fardeau, il faut beaucoup de temps, et
que, si on veut le transporter en trs peu de temps, il faut une
grande force...

Nanmoins les machines sont utiles, pour mouvoir de grands fardeaux
tout d'un coup sans les diviser, parce que _l'on a souvent beaucoup
de temps et peu de force_. Mais celui-l se tromperait qui voudrait
abrger le temps en n'usant que d'une petite force, et montrerait
qu'il n'entend pas la nature des machines ni la raison de leurs
effets...

Il faut conclure de tout ce discours que _l'on ne peut rien gagner en
force qu'on ne le perde en temps_, et consquemment que ceux qui
travaillent  suppler la force et le temps tout ensemble, ne mritent
nullement d'avoir du temps, puisqu'ils l'emploient si mal.

                                                         GALILE.

                                          

On pousse un corps avec la main, et l'on voit qu'il se meut dans une
direction dfinie.  premire vue, il semble qu'il n'y ait pas moyen
de douter de la ralit de son mouvement ni de la direction qu'il
suit. Cependant il est facile de montrer que non seulement nous
pouvons avoir tort, mais que d'ordinaire nous avons tort de porter
l'un ou l'autre de ces deux jugements. Voici par exemple un vaisseau
que, pour plus de simplicit, nous supposerons mouill  l'quateur,
l'avant tourn vers l'ouest. Quand le capitaine va de l'avant 
l'arrire, dans quelle direction se meut-il? Vers l'est, rpondra-t-on
videmment, et pour le moment cette rponse peut passer. Mais on lve
l'ancre et le vaisseau vogue vers l'ouest avec une vitesse gale 
celle du capitaine qui marche vers l'est. Dans quelle direction se
meut  prsent le capitaine, quand il va de l'avant  l'arrire de son
navire? Nous ne pouvons plus dire: l'est, comme tout  l'heure,
puisque tandis qu'il va vers l'est, le vaisseau l'emporte vers
l'ouest; et rciproquement nous ne pouvons pas dire: l'ouest. Par
rapport  l'espace ambiant il ne bouge pas, quoiqu'il paraisse se
mouvoir pour tout ce qui est  bord. Mais sommes-nous tout  fait srs
de cette conclusion? Le capitaine est-il rellement toujours au mme
point? Quand nous tenons compte du mouvement de la terre autour de son
axe nous voyons que loin d'tre stationnaire, le capitaine voyage vers
l'est  raison de 1000 milles par heure; de sorte que la perception de
celui qui le regarde, pas plus que celle de celui qui tient compte du
mouvement du vaisseau, ne se rapproche de la vrit. De plus, un
examen plus attentif nous fera voir que cette conclusion corrige ne
vaut pas mieux que les autres. En effet, nous avons oubli le
mouvement de la terre dans son orbite. Comme il est de 68000 milles
par heure, il s'en suit qu'en supposant qu'il soit midi, le capitaine
se meut non pas  raison de 1000 milles  l'heure vers l'est, mais 
raison de 67000 milles vers l'ouest. Et pourtant nous n'avons pas
encore trouv le vrai sens et la vraie vitesse de son mouvement. Au
mouvement de la terre dans son orbite il faut joindre celui du systme
solaire tout entier vers la constellation d'Hercule, et si nous le
faisons, nous voyons que le capitaine ne va ni vers l'est ni vers
l'ouest, mais qu'il suit une ligne incline sur le plan de
l'cliptique, et qu'il va avec une vitesse plus grande ou moindre
(suivant l'poque de l'anne) que celle que nous avons donne.  cela,
il faut encore ajouter que si les arrangements dynamiques de notre
systme sidral nous taient compltement connus, nous dcouvririons
probablement que la direction et la vitesse du mouvement rel
diffrent encore considrablement des rsultats obtenus.

                                                 HERBERT SPENCER.

                       ------

Nous n'observons que des mouvements relatifs. Lorsque nous croyons
marcher en ligne droite dans notre chambre, notre trajectoire dans
l'espace est en ralit une ligne courbe complique. En effet, la
terre se dplace rapidement dans l'espace, en emportant nos maisons.

                                          

Si on est fortement pench d'un ct, le corps se porte de l'autre
pour faire le contrepoids, et se balance lui-mme en diverses
manires, pour prvenir une chute, ou pour la rendre moins incommode.
Par la mme raison, si l'on porte un grand poids d'un des cts, on se
sert de l'autre  contre-peser. Une femme qui porte un seau d'eau
pendu  la droite tend le bras gauche et se penche de ce ct-l.
Celui qui porte sur le dos se penche en avant; et, au contraire, quand
on porte sur la tte, le corps se tient naturellement droit. Enfin, il
ne manque jamais de se situer de la manire la plus convenable pour se
soutenir; en sorte que les parties ont toujours un mme centre de
gravit, qu'on prend au juste, comme si l'on savait la Mcanique.

                                                         BOSSUET.

                                          

Je me suis propos de rduire la thorie de cette Science (la
Mcanique), et l'art de rsoudre les problmes qui s'y rapportent, 
des formules gnrales, dont le simple dveloppement donne toutes les
quations ncessaires pour la solution de chaque problme.

On ne trouve point de figure dans cet Ouvrage (_Mcanique
analytique_). Les mthodes que j'y expose ne demandent ni
constructions, ni raisonnements gomtriques ou mcaniques, mais
seulement des oprations algbriques, assujetties  une marche
rgulire et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir
la Mcanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gr d'en
avoir tendu ainsi le domaine.

                                                        LAGRANGE.

                                          

Dans la mcanique, le calcul diffrentiel est le passage de l'effet 
la cause, de l'espace parcouru dans un temps donn  la vitesse
acquise et de cette vitesse  la force acclratrice. Inversement, le
calcul intgral est le passage de la cause  l'effet, de la force  la
vitesse qu'elle produit, et de cette vitesse  l'espace parcouru en
vertu de cette vitesse elle-mme.

                                                     E. JACQUIER.




ASTRONOMIE


J'ai pens, puisque d'autres avant moi ont os imaginer une foule de
cercles pour dmontrer les phnomnes astronomiques, que je pourrais
me permettre aussi d'essayer si, en supposant la Terre immobile, on ne
parviendrait pas  trouver, sur la rvolution des corps clestes, des
dmonstrations plus solides que celles qui ont t mises en avant.
Aprs de longues recherches, je me suis enfin convaincu: que le Soleil
est une toile fixe, entoure de plantes qui tournent autour d'elle,
et dont elle est le centre et le flambeau; qu'outre les plantes
principales, il en est d'autres de second ordre, qui circulent d'abord
comme satellites autour de leurs plantes principales, et avec
celles-ci autour du Soleil; que la Terre est une plante principale,
assujettie  un triple mouvement; et que tous les phnomnes du
mouvement diurne et annuel, le retour priodique des saisons, toutes
les vicissitudes de la lumire et de la chaleur de l'atmosphre qui
les accompagnent sont des rsultats de la rotation de la Terre autour
de son axe et de son mouvement priodique autour du Soleil.

                                                        COPERNIC.

                                          

Quand Newton mit au jour cette grande pense (l'attraction
universelle) appuye sur une gomtrie neuve et sublime, l'astronomie
changea de face, et les cieux parurent raconter pour la premire fois
la gloire de leur Auteur: cependant, la thorie n'avait pas rempli
toute sa tche, il s'en fallait bien; des phnomnes importants lui
chappaient; d'tonnantes exceptions, des dsordres inexplicables la
troublaient; la loi mal assure semblait quelquefois se dconcerter et
se contredire. Un sicle s'tait coul depuis la publication des
_Principes mathmatiques de la philosophie naturelle_, et, dans ce
sicle, plusieurs gnrations de grands gomtres, d'observateurs
infatigables, avaient runi leurs efforts gigantesques contre les
difficults, et ils n'avaient pu les vaincre toutes. Il y avait
encore, il n'y a pas trente ans, des scandales dans le ciel; il y
avait des plantes rfractaires aux tables des astronomes. Bien plus,
en promulguant la loi de gravitation, Newton avait dout qu'elle ft
capable de porter ce poids du monde qu'il lui imposait; il avait pens
qu'elle vieillirait comme les lois humaines, et qu'un jour viendrait,
il l'a crit, o il faudrait que la main du Crateur s'tendt _pour
remettre les choses en place_.

Newton se trompait, Messieurs. Non, _pour remettre le systme en
ordre_, il ne sera pas besoin de la main du Crateur; il suffira d'un
autre Newton. M. Laplace est venu, et, par ses immenses travaux, par
la puissance et les ressources de son gnie, l'astronomie rduite  un
problme de mcanique, ne dcouvre plus dans les cieux que
l'accomplissement mathmatique de lois invariables. Jupiter et ses
satellites, Saturne, la Lune sont dompts dans leurs carts; ce qui
paraissait exception est la rgle mme; ce qui semblait dsordre est
un ordre plus savant; partout la simplicit de la cause triomphe dans
la complication infinie des effets. Enfin, et c'est le comble de la
gloire de M. Laplace, il lui a t rserv d'absoudre la loi de
l'univers, c'est--dire la sagesse divine, de ces reproches
d'imprvoyance ou d'impuissance o le gnie de Newton tait tomb; le
premier, il a dmontr que le systme solaire reoit, dans les
conditions qui lui sont imposes, le gage de son imperturbable dure.

                                                   ROYER-COLLARD.

                                          

L'astronomie, considre de la manire la plus gnrale, est un grand
problme de mcanique...; sa solution dpend  la fois de l'exactitude
des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe
extrmement d'en bannir tout empirisme, et de la rduire  n'emprunter
de l'observation que les donnes indispensables.

                                                         LAPLACE.

                                          

La plus magnifique confirmation qu'aient reue les thories
astronomiques a t la dcouverte de la plante Neptune par Leverrier
en 1846.

Les observations prolonges de la plante Uranus avaient montr un
dsaccord constant entre le calcul et les faits. Cette plante pas
plus qu'une autre ne dcrit exactement l'ellipse de Kepler; elle
prouve des perturbations de la part des autres astres du systme
solaire. Mais on avait beau tenir compte de toutes celles qui
pouvaient tre produites par les plantes connues, on n'arrivait pas 
faire disparatre ce dsaccord et  pouvoir construire des tables
suffisamment exactes; il subsistait constamment des diffrences
sensibles et inexpliques. On en vint  penser que la cause de ces
diffrences rsidait probablement dans l'existence d'une plante
encore inconnue.

Ce fut Leverrier qui eut la gloire de transformer cette supposition en
certitude. Renversant le problme ordinaire du calcul des
perturbations, il parvint  dterminer la masse et l'orbite de la
plante inconnue, d'aprs les effets qu'elle produisait sur Uranus; il
alla jusqu' pouvoir assigner la place qu'elle devait occuper dans le
ciel  une date qu'il dsigna. Il suffit  M. Galle, de Berlin, de
diriger une lunette vers cette place pour apercevoir tout prs de l
un astre, invisible  l'oeil nu, qui n'tait marqu sur aucune carte
du ciel: les observations des jours suivants montrrent qu'il se
dplaait parmi les toiles; c'tait donc bien une plante.

                                                       GUIRAUDET.

                                          

En rflchissant au mouvement diurne auquel tous les corps clestes
sont assujettis, on reconnat videmment l'existence d'une cause
gnrale qui les entrane ou qui parat les entraner autour de l'axe
du monde. Si l'on considre que ces corps sont isols entre eux, et
placs loin de la terre,  des distances trs diffrentes; que le
soleil et les toiles en sont beaucoup plus loigns que la lune, et
que les variations des diamtres apparents des plantes indiquent de
grands changements dans leurs distances; enfin que les comtes
traversent librement le ciel dans tous les sens; il sera trs facile
de concevoir qu'une mme cause imprime  tous ces corps un mouvement
commun de rotation. Mais les astres se prsentent  nous de la mme
manire, soit que le ciel les entrane autour de la terre suppose
immobile, soit que la terre tourne en sens contraire, sur elle-mme;
il parat beaucoup plus naturel d'admettre ce dernier mouvement et de
regarder celui du ciel comme une apparence.

La terre est un globe dont le rayon n'est pas de sept millions de
mtres: le soleil est, comme on l'a vu, incomparablement plus gros. Si
son centre concidait avec celui de la terre, son volume embrasserait
l'orbe de la lune, et s'tendrait une fois plus loin, d'o l'on peut
juger de son immense grandeur: il est d'ailleurs loign de nous
d'environ vingt-trois mille rayons terrestres. N'est-il pas infiniment
plus simple de supposer au globe que nous habitons un mouvement de
rotation sur lui-mme, que d'imaginer, dans une masse aussi
considrable et aussi distante que le soleil, le mouvement extrmement
rapide qui lui serait ncessaire pour tourner, en un jour, autour de
la terre? Quelle force immense ne faudrait-il pas alors pour le
contenir et balancer sa force centrifuge? Chaque astre prsente des
difficults semblables qui sont toutes leves par la rotation de la
terre.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Entrans par un mouvement commun  tout ce qui nous environne, nous
ressemblons au navigateur que les vents emportent avec son vaisseau
sur les mers. Il se croit immobile; et le rivage, les montagnes et
tous les objets placs hors du vaisseau, lui paraissent se mouvoir.
Mais en comparant l'tendue du rivage et des plaines, et la hauteur
des montagnes  la petitesse de son vaisseau, il reconnat que leur
mouvement n'est qu'une apparence produite par son mouvement rel. Les
astres nombreux rpandus dans l'espace cleste, sont,  notre gard,
ce que le rivage et les montagnes sont par rapport au navigateur; et
les mmes raisons par lesquelles il s'assure de la ralit de son
mouvement nous prouvent celui de la terre.

                                                         LAPLACE.

                                          

Pendant des sicles on a fait de la Terre le centre du monde, en
obligeant les plantes, le soleil et jusqu'aux toiles  tourner
autour d'elle. Copernic est survenu et ds lors la Terre a pris une
place des plus modestes dans le cortge des plantes que gouverne le
soleil. Voici maintenant que le soleil  son tour n'est plus qu'une
des innombrables toiles de la Voie lacte....

                                                    F. TISSERAND.

                                          

Toutes nos notions, en fait de distances clestes ou terrestres,
reposent, en dernire analyse, sur quelques bases mesures  et l,
principalement par des Franais.

                                                            FAYE.




PROBABILITS


Il y a des jeux o dix personnes mettant chacune un cu, il n'y en a
qu'une qui gagne le tout et toutes les autres perdent: ainsi chacun
des joueurs n'est au hasard que de perdre un cu, et pour en gagner
neuf. Si l'on ne considrait que la perte et le gain en soi, il
semblerait que tous y ont de l'avantage; mais il faut de plus
considrer que si chacun peut gagner neuf cus, et n'est au hasard que
d'en perdre un, il est aussi neuf fois plus probable,  l'gard de
chacun, qu'il perdra son cu et ne gagnera pas les neuf. Ainsi, chacun
a pour soi neuf cus  esprer, un cu  perdre, neuf degrs de
probabilit de perdre un cu et un seul de gagner les neuf cus: ce
qui met la chose dans une parfaite galit.

Tous les jeux qui sont de cette sorte sont quitables, autant que les
jeux peuvent l'tre, et ceux qui sont hors de cette proportion sont
manifestement injustes; et c'est par l qu'on peut faire voir qu'il y
a une injustice vidente dans ces espces de jeux qu'on appelle
loteries, parce que le matre de loterie prenant d'ordinaire sur le
tout une dixime partie pour son prciput, tout le corps des joueurs
est dup de la mme manire que si un homme jouait un jeu gal,
c'est--dire o il y a autant d'apparence de gain que de perte, dix
pistoles contre neuf. Or si cela est dsavantageux  tout le corps,
cela l'est aussi  chacun de ceux qui le composent, puisqu'il arrive
de l que la probabilit de la perte surpasse plus la probabilit du
gain que l'avantage qu'on espre ne surpasse le dsavantage auquel on
s'expose, qui est de perdre ce qu'on y met.

                                           Logique de Port-Royal.

                                          

Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons
ces deux cas: si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous
ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hsiter.

--Cela est admirable: oui, il faut gager; mais je gage peut-tre trop.

--Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte, si vous
n'aviez qu' gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager.
Mais s'il y en avait trois  gagner, il faudrait jouer (puisque vous
tes dans la ncessit de jouer) et vous seriez imprudent, lorsque
vous tes forc  jouer, de ne pas hasarder votre vie pour en gagner
trois  un jeu o il y a pareil hasard de perte et de gain.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mais il y a ici une infinit de vies infiniment heureuses  gagner, un
hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que
vous jouez est fini. Cela est tout parti: partout o est l'infini et
o il n'y a pas une infinit de hasards de perte contre celui de
gain, il n'y a point  balancer, il faut tout donner; et ainsi, quand
on est forc  jouer, il faut renoncer  la raison, pour garder la vie
plutt que de la hasarder pour le gain infini aussi prt  arriver que
la perte du nant.

Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si l'on gagnera, et
qu'il est certain qu'on hasarde, et que l'infinie distance qui est
entre la _certitude_ de ce qu'on s'expose et l'_incertitude_ de ce
qu'on gagnera gale le bien fini qu'on expose certainement  l'infini
qui est incertain. Cela n'est pas ainsi: tout joueur hasarde avec
certitude pour gagner avec incertitude; et nanmoins il hasarde
certainement le fini pour gagner incertainement le fini, sans pcher
contre la raison. Il n'y a pas infinit de distance entre cette
certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est
faux. Il y a,  la vrit, infinit de distance entre la certitude de
gagner et la certitude de perdre. Mais l'incertitude de gagner est
proportionne  la certitude de ce qu'on hasarde, selon la proportion
des hasards de gain et de perte; et de l vient que s'il y a autant de
hasard d'un ct que de l'autre, le parti est  jouer gal contre
gal; et alors la certitude de ce qu'on expose est gale 
l'incertitude du gain; tant s'en faut qu'elle soit infiniment
distante. Et ainsi notre proposition est dans une force infinie, quand
il y a le fini  hasarder  un jeu o il y a pareils hasards de gain
que de perte, et l'infini  gagner. Cela est dmonstratif; si les
hommes sont capables de quelques vrits, celle-l l'est.

                                                          PASCAL.

                       ------

     Nous devions citer ce morceau clbre, mais nous nous empressons
     d'y joindre le commentaire de M. J. Bertrand:

On a cru, dans une page de Pascal, voir l'application du calcul des
probabilits  la dmonstration de l'existence de Dieu. C'est lui
prter injustement un ridicule. Pascal, acceptant, comme hypothse, le
doute sur l'existence de Dieu, doit, la logique l'exige, rencontrer le
dilemme: Ou Dieu existe ou il n'existe pas. L'incrdule hsite! Chaque
opinion est donc pour lui plus ou moins probable; Pascal ne tente
nullement l'examen du problme pour le rduire en formule et en
chiffres. Il n'associe au mot probabilit rien qui tienne  l'algbre;
la mesure exacte ou approche des chances reste en dehors de son
argument. Puisque deux hypothses sont possibles, on pourrait tablir
un pari. Il y a deux choses dans un pari: la chance de gagner et la
somme hasarde. Pascal ne s'occupe que de l'enjeu. L'impie qui parie
pour l'athisme, sera damn s'il perd. Rien n'est trop cher, quelles
que soient les chances, pour se soustraire  ce formidable risque.

                                          

Ainsi des chances favorables et nombreuses tant constamment attaches
 l'observation des principes ternels de raison, de justice et
d'humanit, qui fondent et maintiennent les socits, il y a grand
avantage  se conformer  ces principes, et de graves inconvnients 
s'en carter. Que l'on consulte les histoires et sa propre exprience,
on y verra tous les faits venir  l'appui de ce rsultat du calcul.
Considrez les heureux effets des institutions fondes sur la raison
et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les
tablir et les conserver. Considrez encore les avantages que la bonne
foi a procurs aux gouvernements qui en ont fait la base de leur
conduite, et comme ils ont t ddommags des sacrifices qu'une
scrupuleuse exactitude  tenir ses engagements leur a cots. Quel
immense crdit au dedans! Quelle prpondrance au dehors! Voyez au
contraire dans quel abme de malheurs, les peuples ont t souvent
prcipits par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes
les fois qu'une grande puissance enivre de l'amour des conqutes
aspire  la domination universelle, le sentiment de l'indpendance
produit, entre les nations menaces, une coalition dont elle devient
presque toujours la victime.

                                                         LAPLACE.

                                          

L'extrme difficult des problmes relatifs au systme du monde a
forc les gomtres  recourir  des approximations qui laissent
toujours  craindre que les quantits ngliges n'aient une influence
sensible. Lorsqu'ils ont t avertis de cette influence, par les
observations, ils sont revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils
ont toujours retrouv la cause des anomalies observes; ils en ont
dtermin les lois, et souvent ils ont devanc l'observation, en
dcouvrant des ingalits qu'elle n'avait pas encore indiques. Ainsi
l'on peut dire que la nature elle-mme a concouru  la perfection
analytique des thories fondes sur la pesanteur universelle; et
c'est,  mon sens, une des plus fortes preuves de la vrit de ce
principe admirable.

                                                         LAPLACE.

                                          

Il est bien important de tenir compte, dans chaque branche de
l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont
produits les divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant
d'expriences faites en grand par les gouvernements. Appliquons aux
sciences politiques et morales la mthode fonde sur l'observation et
sur le calcul, mthode qui nous a si bien servi dans les sciences
naturelles. N'opposons point une rsistance inutile et souvent
dangereuse aux effets invitables du progrs des lumires; mais ne
changeons qu'avec une circonspection extrme nos institutions et les
usages auxquels nous sommes depuis si longtemps plis. Nous
connaissons bien par l'exprience du pass les inconvnients qu'ils
prsentent; mais nous ignorons quelle est l'tendue des maux que leur
changement peut produire. Dans cette ignorance, la thorie des
probabilits prescrit d'viter tout changement: surtout il faut viter
tout changement brusque qui, dans l'ordre moral, comme dans l'ordre
physique, ne s'opre jamais sans une grande perte de force vive.

                                                         LAPLACE.

                                          

La probabilit des dcisions d'une assemble dpend de la pluralit
des voix, des lumires et de l'impartialit des membres qui la
composent. Tant de passions et d'intrts particuliers y mlent si
souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul
cette probabilit. Il y a cependant quelques rsultats gnraux dicts
par le simple bon sens, et que le calcul confirme. Si, par exemple,
l'assemble est trs peu claire sur l'objet soumis  sa dcision; si
cet objet exige des considrations dlicates, ou si la vrit sur ce
point est contraire  des prjugs reus, en sorte qu'il y ait plus
d'un  parier contre un que chaque votant s'en cartera; alors la
dcision de la majorit sera probablement mauvaise, et la crainte 
cet gard sera d'autant plus fonde, que l'assemble sera plus
nombreuse. Il importe donc  la chose publique, que les assembles
n'aient  se prononcer que sur des sujets  la porte du plus grand
nombre: il lui importe que l'instruction soit gnralement rpandue,
et que de bons ouvrages fonds sur la raison et sur l'exprience
clairent ceux qui sont appels  dcider du sort de leurs semblables
ou  les gouverner, et les prmunissent d'avance contre les faux
aperus et les prventions de l'ignorance. Les savants ont de
frquentes occasions de remarquer que les premiers aperus trompent
souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

                                                         LAPLACE.

                                          

Cependant l'induction, en faisant dcouvrir les principes gnraux des
sciences, ne suffit pas pour les tablir en rigueur... Je citerai
pour exemple un thorme de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand
gomtre, qui avait longuement mdit sur leur thorie, cherchait une
formule qui, ne renfermant que des nombres premiers, donnt
directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable.
L'induction le conduisit  penser que deux, lev  une puissance qui
tait elle-mme une puissance de deux, formait avec l'unit un nombre
premier.

Ainsi deux, lev au carr, plus un, forme le nombre premier cinq;
deux, lev  la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le
nombre premier dix-sept. Il trouva que cela tait encore vrai pour la
huitime et la seizime puissance de deux, augmentes de l'unit; et
cette induction, appuye de plusieurs considrations arithmtiques,
lui fit regarder ce rsultat comme gnral. Cependant il avoua qu'il
ne l'avait pas dmontr. En effet, Euler a reconnu que cela cesse
d'avoir lieu pour la trente-deuxime puissance de deux, qui, augmente
de l'unit, donne 4294967297, nombre divisible par 641.

                                                         LAPLACE.

                                          

Le physicien Jacobi raconte que son frre, le grand mathmaticien,
croyant avoir dcouvert une loi gnrale des nombres, l'essaya sur un
nombre pris au hasard. Ce nombre la mit en dfaut, tandis que beaucoup
d'autres nombres essays  leur tour la vrifirent. Plus tard, le
grand Jacobi reconnut que le nombre pris d'abord appartenait  la
seule catgorie de nombres formant _exception_  la loi considre.

                                          

Un paradoxe singulier rend ce jeu,--le _problme de
Saint-Ptersbourg_, c'est le nom qu'on lui donne,--mmorable et
clbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions: Pierre jettera
une pice de monnaie autant de fois qu'il sera ncessaire pour qu'elle
montre le ct face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera
un cu; si ce n'est qu'au second, deux cus; s'il faut attendre au
troisime coup, il en donnera quatre, huit au quatrime, toujours en
doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent tre ceux
de Pierre? La science consulte par Daniel Bernoulli, donne pour
rponse: une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacr,
est au-dessus de toute mesure.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..... Il faut approuver absolument et simplement la rponse rpute
absurde. Pierre possde, je suppose, un million d'cus et les donne 
Paul en change des promesses convenues. Il est fou! dira-t-on. Le
placement est aventureux, mais excellent; l'avantage infini est
ralisable. Qu'il joue obstinment, il perdra une partie, mille, mille
millions de milliards peut-tre; qu'il ne se rebute pas, qu'il
recommence un nombre de fois que la plume s'userait  crire, qu'il
diffre surtout le rglement des comptes, la victoire pour lui est
certaine, la ruine de Paul invitable. Quel jour? quel sicle? On
l'ignore; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera
colossal.

                                                     J. BERTRAND.

                                          

L'application du calcul aux dcisions judiciaires est, dit Stuart
Mill, le scandale des mathmatiques. L'accusation est injuste. On peut
peser du cuivre et le donner pour de l'or, la balance reste sans
reproche. Dans leurs travaux sur la thorie des jugements, Condorcet,
Laplace et Poisson n'ont pes que du cuivre.

La runion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est
remplace dans leurs tudes par des urnes o l'on puise des boules
blanches ou noires.....

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..... Mais une autre objection est sans rplique: l'indpendance des
tirages est suppose; les urnes, dans les calculs, chappent  toute
influence commune. Les juges, au contraire, s'clairent les uns les
autres, les mmes faits les instruisent, les mmes sollicitations les
tourmentent, la mme loquence les gare, c'est sur les mmes
considrants qu'ils font reposer la vrit ou l'erreur. L'assimilation
est impossible.

                                                     J. BERTRAND.

                                          

Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les
joueurs auxquels les conditions acceptes accordent un avantage.

Le fermier des jeux  Monte-Carlo peut accrotre sans crainte le
nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.

Lorsque le jeu est quitable, la ruine tt ou tard est certaine.

La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le
jeu enrichit l'autre; en s'exposant  perdre une fortune, on a
l'espoir de la doubler.

Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est double, le
thorme s'y applique avec la mme certitude; elle peut doubler
encore, centupler peut-tre, tout sera emport  la fois par un
caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait; la probabilit
augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude.

                                                     J. BERTRAND.

                                          

Les philosophes, qui veulent dterminer l'avenir indfini de l'espce
humaine par la seule observation du pass, sont dans une grande
erreur... Ils ne s'occupent du prsent qu'aprs avoir _dcouvert_
l'avenir. C'est comme si, pour connatre les affections de la courbe
des observations, on se servait du prolongement conjectural de cette
courbe, qui peut n'avoir rien de commun avec ce qui rsulterait de la
loi inconnue du phnomne...

Rien ne serait plus dangereux que de confier la direction de la
socit  des chefs qui se seraient fait un type bien arrt de l'tat
dfinitif de la socit et la pousseraient sans mnagement dans cette
voie.

                                                         DUHAMEL.




ENSEIGNEMENT


Nous estimons que l'tude complte de toute science devrait comprendre
une priode prparatoire ou d'amorce, une priode thorique ne portant
que sur les parties  la fois importantes et simples et une priode
complmentaire o la discussion s'aiguiserait et se gnraliserait.

                                          

Les premires notions de mathmatiques doivent faire partie de
l'ducation des enfants. Les chiffres et les lignes parlent plus qu'on
ne croit  leur imagination naissante et c'est un moyen sr de
l'exercer sans l'garer.

                                                       CONDORCET.

                                          

La longue formation de l'humanit recommence en chaque petit enfant...

Le premier calculateur n'a pas dbut par les rgles abstraites qu'on
trouve dans les livres d'cole. Il est assez vident qu'il a d se
trouver d'abord en prsence de problmes pratiques, dont il n'a pu se
tirer qu'en tendant tous les ressorts de son intelligence pour crer
la rgle, et qu'il n'a pas fait de l'art pour l'art. Faire dbuter
l'enfant par la rgle abstraite, et lui poser ensuite les problmes 
rsoudre, c'est aller au rebours de la marche de l'esprit humain, qui
en est chez lui au point o il en tait dans l'enfance de l'espce.

Alors, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligence, ainsi brusque, se
refuse  l'abstraction qui se prsente avant l'heure, et que sa
mmoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et
de pratiques dont le sens lui chappe.

La vraie mthode est donc ici de le replacer dans les conditions du
commencement, et de le faire assister en quelque sorte  la cration
de l'arithmtique.

                                                         J. MAC.

                                          

Nous concevons la possibilit d'un enseignement gradu de la gomtrie
lmentaire, conduit,  tous ses degrs, d'aprs un plan unique et
invariable, toujours soumis aux rgles de la plus svre logique, et
o les difficults ne se montreraient qu' mesure que les esprits
seraient prpars  les aborder.

Pour cela, l'tude de la gomtrie devrait tre reprise  divers
points de vue, correspondant aux divers degrs d'initiation des
lves. Pour les commenants, il s'agit avant tout de se familiariser
avec les figures et leurs dnominations, d'apprendre des faits,
d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus
immdiates, celles surtout qui se rapportent aux usages de la vie
ordinaire.

On devra donc au dbut multiplier les axiomes, employer, au lieu de
dmonstrations, les vrifications exprimentales, l'analogie,
l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition
est essentiellement provisoire. On exercera l'lve aux tracs
graphiques,  la solution de divers problmes de lev des plans et
d'arpentage,  la construction des figures en relief... Le matre
saura proportionner au degr de dveloppement intellectuel de l'lve
la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement dans
cette premire bauche des tudes gomtriques.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le premier enseignement sera donc exclusivement exprimental, et peu 
peu on fera voir  l'lve comment toutes les vrits n'ont pas besoin
d'tre sparment constates par l'exprience, et comment elles sont
les consquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on
restreindra de plus en plus,  mesure que l'on avancera dans l'tude
de la science, jusqu' ce qu'on soit arriv aux axiomes fondamentaux,
dont le nombre ne peut plus tre rduit.

                                                           HOEL.

                                          

J'ai dit que la Gomtrie n'tait pas  la porte des enfants; mais
c'est notre faute. Nous ne sentons pas que leur mthode n'est point la
ntre, et que ce qui devient pour nous l'art de raisonner ne doit tre
pour eux que l'art de voir. Au lieu de leur donner notre mthode, nous
ferions mieux de prendre la leur; car notre manire d'apprendre la
gomtrie est bien autant une affaire d'imagination que de
raisonnement. Quand la proposition est nonce, il faut en imaginer
la dmonstration, c'est--dire trouver de quelle proposition dj sue
celle-l doit tre une consquence, et, de toutes les consquences
qu'on peut tirer de cette proposition, choisir prcisment celle dont
il s'agit.

De cette manire le raisonneur le plus exact, s'il n'est inventif,
doit rester court. Aussi qu'arrive-t-il de l? Qu'au lieu de nous
faire trouver les dmonstrations, on nous les dicte; qu'au lieu de
nous apprendre  raisonner, le matre raisonne pour nous et n'exerce
que notre mmoire.

Faites des figures exactes, combinez-les, posez-les l'une sur l'autre,
examinez leurs rapports; vous trouvez toujours la gomtrie
lmentaire en marchant d'observation en observation, sans qu'il soit
question ni de dfinitions, ni de problmes, ni d'aucune autre forme
dmonstrative que la simple superposition. Pour moi, je ne prtends
point apprendre  mile la gomtrie, c'est lui qui me l'apprendra; je
chercherai des rapports et il les trouvera, car je les chercherai de
manire  les lui faire trouver. Par exemple, au lieu de me servir
d'un compas pour tracer un cercle, je le tracerai avec une pointe au
bout d'un fil tournant sur un pivot. Aprs cela, quand je voudrai
comparer les rayons entre eux, mile se moquera de moi, et il me fera
comprendre que le mme fil toujours tendu ne peut avoir trac des
distances ingales.

Si je veux mesurer un angle de soixante degrs, je dcris du sommet de
cet angle, non pas un arc mais un cercle entier; car avec les enfants
il ne faut jamais rien sous-entendre. Je trouve que la portion de
cercle comprise entre les deux cts de l'angle est la sixime partie
du cercle. Aprs cela, je dcris du mme sommet un autre plus grand
cercle, et je trouve que ce second arc est encore la sixime partie de
son cercle. Je dcris un troisime arc concentrique sur lequel je fais
la mme preuve; et je la continue sur de nouveaux cercles, jusqu' ce
qu'mile, choqu de ma stupidit, m'avertisse que chaque arc, grand ou
petit, compris par le mme angle, sera toujours la sixime partie de
son cercle...

Nous voil tout  l'heure  l'usage du rapporteur.

Pour prouver que les angles de suite sont gaux  deux droits, on
dcrit un cercle; moi, tout au contraire, je fais en sorte qu'mile
remarque cela premirement dans le cercle, et puis je lui dis: si l'on
tait le cercle, et qu'on laisst les lignes droites, les angles
auraient-ils chang de grandeur? etc... On nglige la justesse des
figures, on la suppose, et l'on s'attache  la dmonstration. Entre
nous, au contraire, il ne sera jamais question de dmonstration; notre
plus importante affaire sera de tirer des lignes bien droites, bien
justes, bien gales; de faire un carr parfait, de tracer un cercle
bien rond. Pour vrifier la justesse de la figure, nous l'examinerons
par toutes ses proprits sensibles; et cela nous donnera l'occasion
d'en dcouvrir chaque jour de nouvelles. Nous plierons par le diamtre
les deux demi-cercles; par la diagonale, les deux moitis du carr:
nous comparerons nos deux figures pour voir celle dont les bords
conviennent le plus exactement et par consquent la mieux faite; nous
distinguerons si cette galit de partage doit avoir toujours lieu
dans les paralllogrammes, dans les trapzes, etc... On essaiera
quelquefois de prvoir le succs de l'exprience avant de la faire, on
tchera de trouver des raisons, etc...

La gomtrie n'est pour mon lve que l'art de se bien servir de la
rgle et du compas...

                                                  J.-J. ROUSSEAU.

                                          

Il est temps d'entrer dans le vif de la question pdagogique: _Comment
convient-il d'tudier une figure avec les commenants?_ Vous
m'excuserez si je numrote les parties successives de la rponse.--1
Avant tout, montrez le modle matriel, faites-le circuler et manier,
puis, dessinez-le au tableau et que toute la classe vous imite.--2
Faites dgager la proprit principale de la figure, celle qui servira
de dfinition. Cette proprit est jointe  d'autres, simples aussi,
et il faudra parfois aider un peu l'enfant.--3 L'essentiel de la
figure tant connu, prononcez son nom, pour la premire fois. On
s'empresse autour de vous d'crire le nom sur la chose. Vous demandez
des exemples familiers, etc.--4 Vous invitez un lve  formuler la
dfinition. Elle est un peu embarrasse, cette dfinition; vous la
rectifiez et vous la dictez, pour qu'elle soit apprise par coeur. La
dfinition se borne ainsi  rsumer nettement ce qui est dj su.--5
Il faut ensuite connatre la figure plus en dtail. Faites deviner ou
remarquer les autres proprits, sans les dmontrer, c'est--dire sans
les dduire de la proprit fondamentale. Les nouvelles proprits
sont seulement constates et vrifies.--6 Terminez enfin par les
constructions et les problmes simples, se rattachant  la figure
soumise  vos investigations.

                                          

On peut enseigner d'abord une algbre modeste et, pour ainsi dire,
prliminaire, o les rgles dcoulent d'exemples particuliers et non
de raisonnements gnraux et abstraits. Voici les indications
principales pour un enseignement dirig dans cet esprit.

1 _Gnraliser lentement._--Je ne saurais trop le rpter, l'esprit
se refuse aux abstractions brusquement imposes. C'est graduellement
qu'on passe d'une de ces ides  la suivante: trois chevaux, le nombre
_trois_ en gnral, un nombre quelconque reprsent par _a_ ou par
_x_.

2 _Laisser de ct les nombres ngatifs, 0/0, m/0 et les
imaginaires._--Ces symboles sont dlicats  comprendre et il faut les
rserver pour une tude approfondie de l'algbre. Composez, en
consquence, des exercices et problmes ne prsentant pas
d'impossibilits arithmtiques.

3 _Supprimer les discussions._--Ces examens  fond des questions, de
toutes leurs particularits et de toutes leurs exceptions, supposent
des esprits aiguiss. Reportons-les aussi, sans hsiter,  la seconde
priode d'enseignement.

4 _Ds le dbut, de petits problmes rsolus  l'aide de x._--Vous
amorcez ainsi le nouveau sujet au moyen d'un chapitre, pour ainsi
dire complmentaire de l'arithmtique. Le calcul algbrique ne vient
qu'ensuite.

5 _Glisser sur la thorie du calcul algbrique._--Ce sujet est assez
aride; il est, du reste, peu important pour le moment. C'est la
pratique qui importe, en vitant les oprations trop longues.

Insister sur le carr d'un binome et passer sous silence la division
des polynomes.

6 _Raisonner directement des problmes gradus._--La mthode des
quations s'accuse ainsi d'elle-mme plus clairement qu'en la
formulant _a priori_.

7 _quations abstraites._--Nous pouvons maintenant passer aux
quations spares des problmes concrets leur servant de supports. On
n'a qu' reprendre des raisonnements dj faits, mais en les
prsentant d'une faon plus gnrale. Se borner  noncer les
principes qui sont presque vidents.

                                          

La Gomtrie est peut-tre, de toutes les parties des mathmatiques,
celle que l'on doit apprendre la premire; elle me parat trs propre
 intresser les enfants, pourvu qu'on la leur prsente principalement
par rapport  ses applications, soit sur le papier, soit sur le
terrain. Les oprations de _trac_ et de _mesurage_ ne manqueront pas
de les occuper agrablement, et les conduiront ensuite, comme par la
main, au raisonnement.

                       ------

Les lments de Gomtrie de Clairaut, ordonns suivant la mthode
des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le matre dans
cette circonstance.....

                                                         LACROIX.

                                          

Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens
les lments de la gomtrie; il voulut remonter  la source, et
suivre la marche de nos dcouvertes et des besoins qui les ont
produites.

Cette mthode parat agrable et utile; mais elle n'a pas t suivie;
elle exige chez le matre une flexibilit d'esprit qui sait se
proportionner, et un agrment rare dans ceux qui suivent la routine de
leur profession.

                                                        VOLTAIRE.

                                          

Il y a deux manires d'tudier les mathmatiques et deux poques pour
faire ces tudes avec des fruits divers.

On peut les tudier matriellement, machinalement, en demeurant dans
les faits mathmatiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les
formules d'un enseignement sans plnitude et sans lvation.....

Ou bien, on peut les tudier intellectuellement, originalement, en
comparant le sens et le lien des mots, des ides et des choses, en
s'levant aux grandes et aux simples lumires de la science, en
saisissant, pntrant, possdant rellement la vrit.

                                                       DUPANLOUP.

                                          

Aujourd'hui la partie philosophique de la science est trs nglige;
les moyens de briller dans un examen ou concours marchent en premire
ligne; sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus
 familiariser les lves avec le mcanisme du calcul qu' leur en
faire sonder les principes. Je ne sais, en vrit, si l'on ne pourrait
pas dire de certaines personnes qu'elles emploient l'analyse comme la
plupart des manufacturiers se servent de la machine  vapeur, sans se
douter de son mode d'action. Et qu'on ne prtende pas que cet
enseignement vicieux soit un sacrifice oblig  la passion dominante
de notre poque,  la rage d'aller vite en toutes choses.

                                                           ARAGO.

                                          

Prfrez, dans l'enseignement, les mthodes les plus gnrales.
Attachez-vous  les prsenter de la manire la plus simple, et vous
verrez en mme temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles.

                                                         LAPLACE.

                                          

Les exemples instruisent mieux que les prceptes.

                                                          NEWTON.

                                          

Au moyen-ge et jusqu'au XVIIe sicle, l'enseignement portait sur les
sept arts libraux et il comprenait le _Trivium_ (grammaire,
rhtorique et dialectique) et le _Quadrivium_ (arithmtique,
gomtrie, musique et astronomie).

                                          

Sommes-nous revenus au systme de Ptolme?

Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier
volume d'un de nos plus savants traits d'astronomie, voyant l'auteur
toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt,
de sa rvolution diurne, de ses mouvements annuels, progrs, stations
et rtrogradations, croyait, d'aprs cet expos, que l'Acadmie des
sciences tait revenue au systme de Ptolme.

Pourquoi commencer par dcrire longuement et minutieusement  l'lve
des apparences dont il apprendra ensuite la fausset? Pourquoi ne pas
lui dire tout de suite et franchement ce qui en est?

                                                          GRATRY.

                                          

  _Ne dites pas:_                  _Dites:_

  Une ligne (pour une droite),
  un cercle (pour une circonfrence).
                                   Une droite, une circonfrence.

  Je mne par un point _une_ perpendiculaire
   une droite, _une_ parallle...
                                   _La_ perpendiculaire, _la_ parallle...

  7  8: ne se lit pas 7 qui multiplie 8.
                                   7 multipli par 8.

  Le lieu des points est _sur_  telle ligne.
                                   Le lieu des points est telle ligne.

  Le lieu des points est le segment circulaire, etc.
                                   L'arc du segment circulaire, etc.

  Inscrire _dans_ ...
                                   Inscrire __ ...

  Je divise l'quation par tel nombre.
                                   Je divise les deux membres de
                                   l'quation ...

  La racine ngative de l'quation du second degr.
                                   La racine o le radical est prcd
                                   du signe -.

  Les puissances impaires.
                                    exposant impair.

  Plus grand ou gal  (>=).
                                   Suprieur ou gal .

  7 x 3/11 x 3.--Je multiplie la fraction par _trois_.
                                   Je multiplie les deux termes de la
                                   fraction par _trois_.

  4/15 et 8/30.--La plus grande fraction.
                                   La fraction qui a des termes plus
                                   grands.

  _a/b, a'/b', a''/b''_ puis _(a+a'+a'')/(b+b'+b'')_.--Ajouter
  les fractions. Etc., etc.
                                   Ajouter les fractions terme  terme.
                                   Etc., etc.

                                          

Dans le domaine des Mathmatiques pures, on peut distinguer deux
parties: l'une, la plus leve, qui s'augmente constamment, presque
toujours par degrs insensibles, ne regarde que les mathmaticiens;
l'autre, longtemps immuable, s'accrot brusquement,  des intervalles
loigns, par l'adoption de quelque thorie nouvelle: c'est la matire
de l'enseignement, ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les
hommes qui s'adonnent aux sciences et, sans cultiver les
Mathmatiques, ont toujours besoin de les connatre.

                                                         HALPHEN.

                                          

Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de
propositions simples irrductibles  d'autres plus simples, appeles
axiomes, et sur les dfinitions. Ces lments, convenablement mis en
oeuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus
complexes, qui ne sont donc, en dfinitive, que des composs logiques
de ces lments. Dans la gomtrie lmentaire, l'arithmtique, la
statique et plus gnralement dans toutes les sciences o l'on fait
usage de la mthode synthtique, en allant du simple au compos, on
prend pour point de dpart ces lments, axiomes ou dfinitions, et on
s'lve de proche en proche, jusqu'aux propositions les plus
complexes...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Frapp de cette difficult que les lves prouvent  saisir
l'ensemble et les dductions du Cours, j'ai souvent employ avec
succs un mode d'exercice, que j'appelle la recherche des antcdents
d'une proposition et qui n'est en quelque sorte que l'_analyse_ d'une
proposition trouve d'abord par la _synthse_... On prend une
proposition quelconque et l'on relve toutes les propositions
antcdentes (lemmes, thormes, corollaires), toutes les dfinitions
et tous les axiomes invoqus dans la dmonstration. On a ainsi une
premire analyse de la proposition donne. On reprend ensuite chacune
des propositions antcdentes invoques, on les analyse  leur tour et
l'on continue de la sorte jusqu' ce que l'on arrive  n'avoir plus
que des axiomes et des dfinitions.

                                                       JABLONSKI.

                                          

Allez en avant, a dit d'Alembert, la foi vous viendra. Le
remarquable morceau qui suit est un commentaire de ce conseil parfois
contest.

                                          

Quoique les vrits mathmatiques se dduisent, dans un ordre
rigoureux, d'un petit nombre de principes rputs vidents, on ne
parvient point  les possder pleinement, en en suivant pas  pas les
dductions, en allant toujours dans le mme sens du connu  l'inconnu,
sans jamais revenir en arrire sur un chemin o l'on n'a rien laiss
d'obscur. Le sens et la porte des principes chappent au dbutant,
qui saisit mal la distinction entre ce qu'on lui demande d'accorder et
les consquences purement logiques des hypothses ou des axiomes;
parfois, la dmonstration lui parat plus obscure que l'nonc; c'est
en vain qu'il s'attarderait dans la rgion des principes pour la mieux
connatre, il faut que son esprit acquire des habitudes qu'il n'a
pas, qu'il aille en avant sans trop savoir ni o il va, ni d'o il
part; il prendra confiance dans ce mode de raisonnement auquel il lui
faut plier son intelligence, il s'habituera aux symboles et  leurs
combinaisons. Revenant ensuite sur ses pas, il sera capable de voir,
du point de dpart et d'un seul coup d'oeil, le chemin parcouru:
quelques parties de la route resteront pour lui dans l'ombre,
quelques-unes mme seront peut-tre entirement obscures, mais
d'autres sont vivement claires; il sait clairement comment on peut
arriver de cette vrit  cette autre; il sait o il doit porter son
attention; ses yeux, mieux exercs, parviennent  voir clair dans ces
passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre matre, s'il
ne les avait franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou
de suivre une autre direction; il entre en possession des vrits
nouvelles qui s'ajoutent aux vrits anciennes et qui les clairent;
il s'tonne parfois des perspectives inattendues qui s'ouvrent devant
lui et lui laissent voir, sous un aspect nouveau, des rgions qu'il
croyait connatre entirement; peu  peu les ombres disparaissent et
la beaut de la science, si une dans sa riche diversit lui apparat
avec tout son clat.

Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui tudie les mathmatiques
n'est que l'image de ce qui s'est pass dans la cration et dans
l'organisation de la science; dans ce long travail, la rigueur
dductive n'a pas t seule  jouer un rle. On peut raisonner fort
bien et fort longtemps sans avancer d'un pas, et la rigueur n'empche
pas un raisonnement d'tre inutile. Mme en mathmatiques, c'est
souvent par des chemins peu srs que l'on va  la dcouverte. Avant de
faire la grande route qui y mne, il faut connatre la contre o l'on
veut aller; c'est cette connaissance mme qui permet de trouver les
voies les plus directes; c'est l'exprience seule qui indique les
points o il faut porter l'effort; ce sont les difficults parfois
imprvues qui se dressent devant les gomtres qui les forcent 
revenir au point de dpart,  chercher une route nouvelle qui permette
de tourner l'obstacle. S'imagine-t-on, par exemple, les inventeurs du
calcul diffrentiel et intgral s'acharnant, avant d'aller plus loin,
sur les notions de drive et d'intgrale dfinie?

                                                      J. TANNERY.

                                          

La science mme la plus exacte renferme quelques principes gnraux
que l'on saisit par une sorte d'instinct qui ne permet pas d'en
douter, et auquel il est bon de se livrer d'abord. Aprs les avoir
suivis dans toutes leurs consquences et s'tre fortifi l'esprit par
un long exercice dans l'art de raisonner, on peut sans danger revenir
sur ces principes qui se prsentent alors dans un plus grand jour...

                                                         LAPLACE.

                                          

J'avoue mme que j'attacherai moins de prix  mettre dans la
dmonstration d'un thorme cette rigueur extrme, si recherche
maintenant, qu' faire clairement apercevoir la raison de ce thorme
et ses connexions avec les autres vrits mathmatiques. Je prie donc
que l'on m'accorde quelquefois, pour la commodit de l'exposition et
pour ne point dcourager ds le dbut mes jeunes lecteurs, des
dmonstrations qui ont satisfait si longtemps les plus grands
gomtres.

                                                         COURNOT.

                                          

Il ne faut pas prvenir  contre-temps des difficults trop subtiles.

                                                     J. BERTRAND.

                                          

Voulez-vous simplifier une thorie, une mthode, inscrivez-la dans
les programmes. Les professeurs se chargeront de l'clairer et de la
rduire  sa plus simple expression.

                                          

Je me dfie un peu des dmonstrations trop lgantes, trop
symtriques, reposant sur une heureuse notation. Elles empchent
parfois de rflchir au fond des choses, elles persuadent plus
qu'elles n'clairent.

                                          

Il importe de bien comprendre l'importance de la condition
_ncessaire_ et _suffisante_ ou de la rciprocit des conditions ou,
comme on dit encore, de la proprit caractristique. Combien de
raisonnements faux ou incomplets entrane une analyse imparfaite!

La dmonstration des rciproques--lorsqu'elles sont vraies--est trop
nglige.

Pour tablir un lien mathmatique, il faut deux propositions dont la
seconde est,  volont, la rciproque ou la contraire de la premire.

                                          

Ce n'est pas dans la manire de figurer les nombres, de les habiller
pour ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmtique de l'Algbre,
mais c'est surtout dans l'essence mme des nombres, dans la manire de
les concevoir. La ligne de dmarcation de l'Arithmtique et de
l'Algbre provient de l'ide que l'on se fait du nombre, suivant
qu'on le considre comme grandeur ou seulement comme numro d'ordre,
c'est--dire suivant que l'on accepte ou que l'on refuse la notion de
continuit; c'est ainsi que la doctrine des nombres irrationnels, des
logarithmes, etc., appartient exclusivement au domaine de l'Algbre,
c'est--dire des fonctions analytiques.

                                                        E. LUCAS.




HISTOIRE


Ds les temps les plus reculs, les hommes ont compt les objets et
mesur grossirement l'tendue et le temps. Ces notions ont commenc 
se prciser chez les Phniciens, commerants et calculateurs, chez les
gyptiens, arpenteurs (inondations du Nil) et architectes (Pyramides);
enfin chez les Chaldens, pasteurs et observateurs des astres. Tels
seraient les commencements de l'arithmtique, de la gomtrie et de
l'astronomie.

Les premiers documents historiques nous montrent la Gomtrie prenant
son admirable dveloppement chez les Grecs. Presque oublies pendant
le Moyen ge, les Mathmatiques renaissent au seizime sicle chez les
Occidentaux. Le sicle suivant voit paratre la Gomtrie analytique
et le Calcul infinitsimal, grandes dcouvertes qui renouvellent et
tendent la science.

Nous allons esquisser les principales priodes de l'histoire des
mathmatiques.

I. PHILOSOPHES GRECS.--Ils taient aussi presque tous gomtres et
astronomes.

On attribue  _Thals_ (600 ans av. J.-C.) et  son cole ionienne
les propositions les plus simples de la Gomtrie, les premires
mesures de distances inaccessibles et des observations astronomiques
au gnomon.

_Pythagore_ (550 ans av. J.-C.) et les Pythagoriciens connaissent la
somme des angles d'un triangle, le carr de l'hypotnuse, les
polydres rguliers et l'un au moins des deux mouvements de la Terre.

_Platon_ (400 ans av. J.-C.) et les Platoniciens dgagent la mthode
d'analyse en Gomtrie; ils imaginent les coniques et d'autres lieux
gomtriques pour oprer la duplication du cube; ils raisonnent dj
les incommensurables.

II. L'COLE GRECQUE D'ALEXANDRIE.--Dans cette clbre cole, qui dure
plus de mille ans, les Mathmatiques brillent du plus vif clat et
atteignent leur apoge.

_Euclide_ (300 ans av. J.-C.) coordonne, dans ses _lments_, toute la
Gomtrie, sauf les coniques. Ce livre domine encore l'enseignement de
nos jours.

_Archimde_ (250 ans av. J.-C), le plus grand peut-tre de tous les
mathmaticiens, mesure le cercle et la sphre; fait la quadrature de
la parabole; tudie la premire srie; fonde la statique sur la
thorie du levier, etc.

_Apollonius_ de Perge (200 ans av. J.-C.) rsume, dans son _Trait des
coniques_, les proprits dj connues de ces courbes et celles plus
caches qu'il dcouvre  son tour.

_Hipparque_ (150 ans av. J.-C.) refait toutes les observations
astronomiques et, malgr l'imperfection de ses instruments, il trouve
des nombres assez exacts pour servir de base  la thorie.

_Ptolme_ (150 ans ap. J.-C.) admet, dans son _Almageste_, la fixit
de la Terre et parvient nanmoins  reprsenter les mouvements
clestes,  l'aide d'un systme compliqu de cercles.

_Diophante_ (350 ans ap. J.-C), surnomm le Pre de l'Algbre, cre
enfin cette nouvelle branche dans ses _Arithmtiques_.

La science plit ensuite  Alexandrie. Il n'y a plus que des
commentateurs, parmi lesquels on doit distinguer _Pappus_: il nous
conserve, dans ses _Collections mathmatiques_, des fragments
d'ouvrages perdus.

III. LES AUTRES PEUPLES JUSQU' LA RENAISSANCE.--Les _gyptiens_
possdent des connaissances arithmtiques et gomtriques, bien des
sicles avant notre re, comme le prouve le papyrus d'Ahms, rcemment
dchiffr. Ils restent stationnaires, tandis que les Grecs, qui leur
font des emprunts, progressent rapidement.

De mme, les _Chinois_ paraissent savoir des Mathmatiques ds
l'antiquit la plus recule; mais ce peuple, lui aussi, reste
immobile.

Les _Hindous_, tels que Aryabhata, Bramagupta et Bascara, ont, de
temps immmorial, la curiosit des grands nombres; ils cultivent
l'Algbre et rsolvent les quations des deux premiers degrs.

Les _Arabes_, tels que Mohamed-ben-Musa, Aboul-Wefa, etc., servent
d'intermdiaires entre les Grecs et les Indiens d'une part et les
Occidentaux de l'autre.

En _Europe_, le Moyen-ge reste obscur et strile. Citons cependant
_Gerbert_ qui s'instruit, vers l'an 1000, auprs des Maures d'Espagne
et apporte aux Chrtiens les chiffres modernes. Citons encore les
Algbristes italiens, _Lonard de Pise_, qui fait le commerce en
Orient au douzime sicle, et _Lucas de Burgo_ (quinzime sicle).

IV. LE SEIZIME SICLE.--La science reprend enfin son essor, et les
grandes dcouvertes se prparent.

Le Polonais _Copernic_ (1473-1543) propose le vritable systme du
monde et en montre l'admirable simplicit.

L'Italien _Cardan_ (1501-1576) tablit la formule de rsolution des
quations du 3e degr; il tenait la rgle de Tartaglia.

_Vite_ (1540-1603), n dans le Bas-Poitou, entrevoit les proprits
gnrales des quations, rsout par l'algbre les problmes de
gomtrie et complte la trigonomtrie.

L'cossais _Neper_ (1550-1617), inventeur des logarithmes, double,
pour ainsi dire, la vie des calculateurs.

_Harriot_ (1568-1621), d'Oxford, trouve les relations entre les
coefficients et les racines des quations, et il calcule les racines
entires et fractionnaires.

_Galile_, de Florence (1564-1642), tudie le pendule, dcouvre les
lois de la chute des corps et des projectiles; il confirme le systme
de Copernic, par ses observations astronomiques.

V. LE DIX-SEPTIME SICLE.--Ce sicle, aussi grand dans les sciences
que dans les lettres, nous donne d'une part la gomtrie analytique et
le calcul infinitsimal, de l'autre les lois de Kepler et de
l'attraction universelle.

L'Allemand _Kepler_ (1571-1630), utilisant les observations de
Tycho-Brahe, trouve les trois lois du mouvement des plantes autour du
soleil.

Notre grand _Descartes_ (1596-1650) tend l'algbre pure et il cre la
Gomtrie analytique ou tude des courbes  l'aide de leurs quations.

_Fermat_, de Toulouse (1601-1665), rsout aussi les problmes des
tangentes et des maximums, et il rvle les proprits les plus
secrtes des nombres.

_Pascal_ (1623-1662) cre l'analyse combinatoire et le calcul des
probabilits; il perfectionne la gomtrie des courbes.

Le Hollandais _Huygens_ (1629-1695) fait progresser  la fois la
gomtrie, la mcanique et l'astronomie.

Le grand _Newton_ (1642-1727) invente le Calcul infinitsimal ou des
_fluxions_, et dcouvre la loi de l'attraction universelle. Il a
autant de gnie que le vieil Archimde.

_Leibniz_ (1646-1716) imagine le nouveau Calcul presque en mme temps
que Newton, et avec une notation plus heureuse.

VI. LE DIX-HUITIME SICLE.--Les mathmaticiens appliquent l'analyse
infinitsimale aux questions les plus varies et les plus difficiles.

Le Suisse _Euler_ (1707-1783) fait de nombreuses recherches sur les
fonctions, les sries, les intgrales, etc.

_D'Alembert_ (1717-1783) traite la prcession des quinoxes par le
calcul, et il ramne l'tude du mouvement  celle de l'quilibre.

_Lagrange_ (1736-1813) manie avec une rare lgance l'algbre et le
calcul infinitsimal; il cre la mcanique rationnelle.

_Monge_ (1746-1818) fonde la gomtrie descriptive, si utile aux
ingnieurs.

_Laplace_ (1749-1827) se rend clbre par sa _Mcanique cleste_ ou
application du calcul au systme du monde.

_Carnot_ (1753-1823), gomtre-philosophe, cherche  prciser les
nombres ngatifs et imaginaires, les intgrales, etc.

VII. PREMIRE MOITI DU DIX-NEUVIME SICLE.--Cette priode se fait
remarquer  la fois par des vues trs gnrales et par la curiosit du
dtail.

L'Allemand _Gauss_ (1777-1855) tudie les quations binomes et la
thorie des nombres.

Le gnral _Poncelet_ (1788-1867) tend la gomtrie par les mthodes
de transformation.

_Cauchy_ (1789-1857) se livre  de profondes recherches sur les
sries, les imaginaires et l'infini.

L'Allemand _Jacobi_ (1804-1851) s'occupe de fonctions nouvelles et, en
particulier, des fonctions elliptiques.

_Chasles_ (1793-1880) systmatise, dans sa _Gomtrie suprieure_, la
convention des signes, le rapport anharmonique, l'homographie,
l'involution, etc.

Dans la dernire moiti de ce sicle, les efforts se dirigent vers la
physique mathmatique qui se constitue peu  peu. En analyse pure, la
recherche se particularise et s'aiguise de plus en plus, on creuse les
proprits des fonctions et des quations diffrentielles, le calcul
infinitsimal porte tous ses fruits.

                                          

     Nous allons passer une revue rapide des _plus grands
     mathmaticiens_, de ces gnies crateurs qui ont dcouvert et
     fond la science. Nous essaierons de caractriser chacun d'eux en
     reproduisant un jugement comptent et en citant l'oeuvre
     capitale.

_Euclide_ (300 av. J.-C.) ou la Gomtrie lmentaire.

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que
les _lments d'Euclide_. Ils ont t traduits et comments dans
toutes les langues, enseigns exclusivement pendant des sicles dans
toutes les coles de Mathmatiques: on les suit encore en Angleterre.

                                                          ROUCH.

                                          

_Archimde_ (287-212 av. J.-C.) ou la Gomtrie infinitsimale.

Ceux qui sont en tat de comprendre Archimde admirent moins les
dcouvertes des plus grands hommes modernes.

                                                         LEIBNIZ.

                                          

_Apollonius_ (de Perge) (200 av. J.-C.) ou la Gomtrie des coniques.

L'ouvrage d'Apollonius sur les _sections coniques_ est pour ainsi dire
le couronnement de la Gomtrie grecque.... Tout y est coordonn
symtriquement; l'unit du plan reflte, jusque dans les moindres
dtails, la pense directrice de l'auteur, qui tend  lier entre elles
toutes les sections du cne.

                                                          HOEFER.

                                          

_Hipparque_ (150 av. J.-C.) ou les Observations astronomiques.

Quand on runit tout ce qu'il a invent ou perfectionn, et qu'on
songe au nombre de ses ouvrages,  la grande quantit de calculs
qu'ils supposent, on trouve dans Hipparque un des hommes les plus
tonnants de l'Antiquit, et le plus grand de tous dans les sciences
qui ne sont pas purement spculatives.

                                                        DELAMBRE.

                                          

_Ptolme_ (150 ap. J.-C.) ou l'Astronomie gomtrique.

L'difice astronomique lev par Ptolme a subsist pendant prs de
quatorze sicles; aujourd'hui mme qu'il est entirement dtruit, son
_Almageste_... est un des plus prcieux monuments de l'Antiquit.

                                                         LAPLACE.

                                          

_Diophante_ (350 ap. J.-C.) ou l'Algbre naissante.

On ne peut pas dire que l'Algbre, mme lmentaire, soit sortie
constitue de ses mains, et cependant on ne peut nier qu'elle n'y ait
pris un dveloppement trs remarquable.

                                                        M. MARIE.

                                          

_Vite_ (1540-1603) ou l'Algbre en progrs.

C'est dans son ouvrage d'analyse, intitul _Isagoge in artem
analyticam_, que l'auteur expose pour la premire fois une des
thories les plus profondes et les plus abstraites que l'esprit humain
ait inventes.

                                                      J. FOURIER.

                                          

_Galile_ (1564-1642) ou la Mcanique.

La thorie gnrale du mouvement vari, inconnue aux Anciens, prit
naissance entre les mains de Galile. Il trouva la loi de
l'acclration des corps qui tombent librement par la pesanteur ou qui
glissent sur des plans inclins et il tablit  ce sujet les
proprits gnrales du mouvement uniformment acclr.

                                                          BOSSUT.

                                          

_Descartes_ (1596-1650) ou la Gomtrie analytique.

Ce qui a surtout immortalis le nom de ce grand homme, c'est
l'application qu'il a su faire de l'algbre  la gomtrie, ide des
plus vastes et des plus heureuses que l'esprit humain ait jamais eues,
et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non
seulement dans la gomtrie, mais dans toutes les sciences
physico-mathmatiques.

                                                      D'ALEMBERT.

                                          

_Fermat_ (1601-1665) ou l'Arithmtique suprieure.

Cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numriques...
pour moi, je confesse que cela me dpasse de bien loin.

                                                          PASCAL.

                                          

_Pascal_ (1623-1662) ou l'Algbre suprieure.

C'est le gnie le plus tonnant, unique dans les Lettres, dans la
Philosophie, la Religion et aussi dans les Mathmatiques o sa
profondeur est incroyable.

                                          

_Newton_ (1642-1727) ou le Calcul infinitsimal.

Newton tait matre de la mthode des fluxions avant que Leibniz ft
en possession du Calcul diffrentiel, mais l'invention de Leibniz
tait indpendante de celle de Newton et l'avait prcde comme
publication.

                                                            BIOT.

                                          

_Monge_ (1746-1818) ou la Gomtrie descriptive.

Les constructeurs de toutes les professions, les architectes, les
mcaniciens, les tailleurs de pierre, les charpentiers, soustraits
dsormais  des prceptes routiniers,  des mthodes sans
dmonstration, se rappelleront avec reconnaissance que s'ils savent,
que s'ils parlent la langue de l'ingnieur, c'est Monge qui l'a cre,
qui l'a rendue accessible  tout le monde, qui l'a fait pntrer dans
les plus modestes ateliers.

                                                           ARAGO.

                                          

_Laplace_ (1749-1827) ou la Mcanique cleste.

La loi newtonienne explique aujourd'hui tous les phnomnes connus.
Plus les observations sont prcises, plus elles sont conformes  la
thorie. Laplace est de tous les gomtres celui qui a le plus
approfondi ces grandes questions; il les a pour ainsi dire termines.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Laplace tait n pour tout perfectionner, pour tout approfondir, pour
reculer toutes les limites, pour rsoudre ce que l'on aurait pu croire
insoluble. Il aurait achev la science du ciel (dans sa _Mcanique
cleste_), si cette science pouvait tre acheve.

                                                      J. FOURIER.

                                          

_Lagrange_ (1736-1813) ou la Mcanique rationnelle.

Le trait distinctif de son gnie consiste dans l'unit et la grandeur
des vues. Il s'attachait en tout  une pense simple, juste et trs
leve. Son principal ouvrage, la _Mcanique analytique_, pourrait
tre nomm la Mcanique philosophique, car il ramne toutes les lois
de l'quilibre et du mouvement  un seul principe; et, ce qui n'est
pas moins admirable, il les soumet  une seule mthode de calcul dont
il est lui-mme l'inventeur. Toutes ses compositions mathmatiques
sont remarquables par une lgance singulire, par la symtrie des
formes et la gnralit des mthodes et, si l'on peut parler ainsi,
par la perfection du style analytique.

                                                      J. FOURIER.

                                          

_Cauchy_ (1789-1857) ou les Symboles.

Mathmaticien trs profond, mais parfois un peu obscur; son oeuvre
est considrable: de fidles disciples lucident et prcisent des vues
nouvelles et hardies qui fixeront la science.

                                          

_Chasles_ (1793-1876) ou la Gomtrie suprieure.

Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrs continus
raliss par la Gomtrie depuis soixante ans. Il suffit de citer
l'_Aperu historique_, la _Gomtrie suprieure_... La Gomtrie... a
regagn sur l'analyse le terrain perdu.

                                                          ROUCH.

                                          

Charlemagne substitua aux mesures romaines le pied-de-roi ou
pied-de-Paris, emprunt aux Arabes, et les drivs de cette longueur.
Il chercha  rpandre dans son vaste empire ces units qui devaient
durer dix sicles, mais en s'altrant et en se compliquant beaucoup.

Les tats gnraux rclamrent maintes fois l'ordre dans les poids et
les monnaies.

Louis XI, Franois Ier et Louis XIV tentrent en vain, dans leurs
dits royaux, d'imposer partout les mesures de Paris.

 l'occasion de la mesure du mridien par Picard, on fit en 1668, dit
Saigey, une toise en fer portant une arte  chaque bout, et on la
fixa au bas du grand escalier du Chtelet, pour servir de rgulateur
au commerce et  la justice.

La toise qui, aprs avoir t compare  celle du Chtelet, avait t
employe dans les mesures mridiennes du Prou, par Bouguer et La
Condamine, servit  son tour d'talon, et quatre-vingts modles en
furent expdis aux parlements de France et aux astronomes trangers.
C'tait un premier pas vers l'uniformit, et bientt la toise du
Prou, comme on l'appelait, servit  l'talonnage du mtre.

Parmi les rformes urgentes, demandes dans les cahiers de 1789, on
retrouve sans cesse celle des poids et des mesures: on les veut
simples et les mmes dans tout le pays.

Le 8 mai 1790, sur la proposition de Talleyrand, l'Assemble
constituante engage les rois de France et d'Angleterre  se concerter
pour adopter la mme unit. Cette mesure (par exemple, la longueur du
pendule  seconde propose autrefois par Picard) et t fixe par une
commission compose, en nombre gal, d'acadmiciens de Paris et de
membres de la Socit royale de Londres.

L'Acadmie des sciences discuta seule la question, et sa commission
(Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Lavoisier) rejeta le pendule pour
ne pas mler  une question de longueur des considrations de
mouvement et de temps, et elle proposa la dix-millionime partie du
quart du mridien. La tradition attribue  Laplace la conception de
l'ensemble du systme,  Borda le plan des oprations godsiques, et
 Lavoisier le kilogramme.

Le 26 mars 1791, un dcret de l'Assemble constituante adopta la
circonfrence terrestre comme base et prescrivit les travaux
ncessaires.

Prendre pour unit de longueur usuelle la dix-millionime partie du
quart du mridien et rapporter la pesanteur de tous les corps  celle
de l'eau distille, en reliant par l'chelle dcimale toutes les
mesures principales aux mesures plus grandes ou plus petites.

Ds 1792, Delambre et Mchain furent chargs, par leurs collgues de
l'Acadmie des sciences, de mesurer l'arc de Dunkerque  Barcelone, en
Espagne, qui comprend dix degrs environ[3]. La triangulation s'appuya
sur deux bases, prs de Melun et de Perpignan. Aux mesures directes
devaient succder un long travail de comparaison aux mesures
antrieures, de rductions et de calculs. Sans attendre la fin de ce
travail, l'Acadmie calcula provisoirement le mtre d'aprs les
observations anciennes, avec une exactitude suffisante pour tous les
besoins de la socit; d'autre part elle avait dtermin, par des
expriences prcises, la longueur du pendule  seconde et le poids
d'un centimtre cube d'eau distille: c'taient les lments de toutes
les autres mesures. Les observations nouvelles ne pouvaient apporter 
leurs valeurs que des corrections insensibles. (Biot.)

[Note 3: Le gnral Perrier, mort en 1888, a runi godsiquement
l'Espagne  l'Algrie, par dessus la Mditerrane. Nous connaissons
maintenant la longueur d'un arc de mridien allant du nord de
l'Angleterre au Sahara.]

Dans la sance du 1er aot 1793, la Convention, sur un rapport
prsent par Arbogast au nom du Comit d'instruction publique, vota
l'tablissement du systme mtrique dans toute l'tendue de la
Rpublique. Toutefois, le systme ne fut rendu obligatoire que par le
dcret du 18 germinal an III (7 avril 1795). Ce dcret fixa
dfinitivement la nomenclature; il y est dit que l'talon sera une
rgle de platine, excute avec la plus grande prcision d'aprs les
expriences et les observations de la commission. On le dposera prs
le Corps lgislatif, ainsi que le procs-verbal des oprations qui
auront servi  le dterminer.

Une commission gnrale de trente-deux membres, tant franais
qu'trangers, avait t charge des calculs dfinitifs.

Le 4 messidor an VII (22 juin 1799), cette commission, par l'organe de
ses rapporteurs, le hollandais Swiden et le suisse Tralls, annona
aux deux conseils lgislatifs de la Rpublique que le quart du
mridien valait 5130740 toises, d'o se dduisait la longueur du
mtre. Les deux dlgus prsentrent aussi les talons du mtre et du
kilogramme, en platine; la rgle doit tre prise  zro et le poids
cylindrique doit tre pes dans le vide. Ces deux _prototypes_
furent, le mme jour, placs dans une bote fermant  clef, et dposs
aux Archives de la Rpublique dans la double armoire en fer, fermant 
quatre clefs.

Sous le Consulat, la loi du 2 novembre 1801 se borna  _autoriser_
l'usage des nouvelles mesures de prfrence aux anciennes; et sous
l'Empire, le dcret rtrograde du 12 fvrier 1812 organisa un systme
mixte et btard qui devait retarder de vingt-cinq ans l'avnement du
vrai systme mtrique. Il y eut une toise mtrique, une livre
mtrique, etc.

Enfin, la loi clbre du 4 juillet 1837, reprenant les traditions de
la Rvolution, remit en vigueur le systme mtrique pur, et prohiba,
non seulement l'emploi de toutes les anciennes mesures, mais mme
leurs dnominations.

Depuis le 1er janvier 1840, le nouveau systme est impos par la loi
 tous les citoyens franais, et les dlinquants sont punis de
l'amende ou de la prison.

En 1869, l'Acadmie des sciences de Saint-Ptersbourg proposa une
rvision europenne du mtre. Delambre, disait-elle, a adopt un
aplatissement de la terre un peu trop faible, et en outre une erreur
matrielle s'est glisse dans les calculs de rduction. L'allemand
Bessel, discutant toutes les mesures du mridien, et en particulier
celles de Biot et Arago (1808) a trouv 5131180 toises au lieu de
5130740 toises; le nombre fondamental du systme mtrique est ainsi
trop petit de 440 toises. De plus, le kilogramme doit tre rapport 
zro, non  4. Il est regrettable, ajoutait l'Acadmie de
Saint-Ptersbourg, que les nouvelles mesures ne soient pas tablies
par des savants de toutes les nations, travaillant en commun. Les
talons envoys de Paris aux gouvernements trangers sont imparfaits,
ils sont relevs sur le mtre du Conservatoire des arts et mtiers et
non sur celui des Archives, et par des procds qu'il faudrait
perfectionner.-- ces critiques, l'Acadmie des sciences de Paris
rpondit que la diffrence entre les nombres de Delambre et de Bessel
tait assez lgre, que tout nombre nouveau devrait d'ailleurs tre
modifi plus tard, par suite du progrs de la science: or on ne peut
pas changer de mtre chaque sicle. Des savants de tous les pays ont
collabor avec les savants franais, et l'unit qu'ils ont arrte
ensemble peut tre transmise trs exactement.-- la suite de cet
change d'observations, les deux Acadmies se mirent d'accord pour
demander la runion d'un congrs du mtre, devant tudier la question
des mesures et de leurs meilleurs talons.

La premire runion  Paris du _Congrs international du mtre_ ayant
t interrompue par la guerre, une seconde runion eut lieu en 1872.
Vingt tats y furent reprsents. Il fut rsolu qu'on ne ferait pas
une nouvelle mesure du mridien; que le mtre et le kilogramme actuels
seraient perptus tels quels; que les talons seraient en platine
iridi, de 102 centimtres pour limiter le mtre  deux traits, etc.

En 1873, les chimistes Deville et Debray coulrent,  une temprature
dpassant 2000, les premiers mtres internationaux,  l'cole normale
suprieure. Ces mtres ont la mme valeur scientifique, sinon
historique, que le prototype des Archives qu'ils reproduisent
parfaitement, et ils font loi  l'tranger.

Un muse du mtre a t, dans ces dernires annes, runi 
l'Observatoire par M. Wolf.

                                          

Les prtres me dirent encore que Ssostris fit le partage des terres,
assignant  chaque gyptien une portion gale et quarre, qu'on tirait
au sort,  la charge nanmoins, de lui payer tous les ans une certaine
redevance qui composerait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait
 quelqu'un une portion de son lot, il allait trouver Ssostris pour
lui exposer l'accident, et le Roi envoyait sur les lieux des
Arpenteurs pour mesurer de combien l'hritage tait diminu, afin de
ne faire payer la redevance convenue qu' proportion du fonds qui
restait. Voil, je crois, l'origine de la gomtrie, qui a pass de ce
pays en Grce.

                                                        HRODOTE.

                                          

Les dbuts de la science ont d tre bien humbles. Il est probable,
par exemple, que la lgitimit de l'interversion des facteurs du
produit de plusieurs nombres n'a t tablie pendant longtemps que par
des vrifications rptes. On a d aussi reconnatre par l'exprience
que la longueur du fil entourant la circonfrence contient toujours le
mme nombre de fois celle du diamtre.

                                          

Nictas de Syracuse croyait, au rapport de Thophraste, que le ciel,
le soleil, la lune, les toiles, en un mot tous les corps qui sont
au-dessus de nous, sont immobiles, et que la terre seule est en
mouvement dans l'Univers; qu'elle tourne sur son axe avec une extrme
vitesse et produit les mmes _apparences_ que si elle tait immobile
et le ciel en mouvement.

                                                         CICRON.

                                          

Hankel, l'historien des mathmatiques, mort il y a quelques annes,
admettait, contrairement  l'opinion reue, l'volution et le progrs
_continu_. D'abord les Grecs gomtres, puis les Hindous purs
algbristes, et enfin les Modernes qui unissent l'algbre et la
gomtrie. De son ct, Chasles avait dj dit: Les Grecs taient
surtout gomtres; ce n'est que trs tard qu'on trouve chez eux le
Trait d'Algbre de Diophante. Leur gomtrie tait pure, sans mlange
de calcul... Chez les Hindous, au contraire, l'Algbre parat tre la
science la plus cultive; les thories algbriques s'y trouvent dans
une perfection surprenante... (dans les temps modernes) une rnovation
gnrale des mathmatiques leur a donn, avec le caractre
d'abstraction et de gnralit qui leur convient, des ressources
puissantes dont les Grecs n'avaient point eu l'ide.

                                          

Les gomtres grecs spculaient sur les grandeurs elles-mmes, jamais
sur leurs mesures.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les douze cents ans qui sparent Pappus de Vite, de Descartes et de
Galile ne sont qu'une longue nuit.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il serait impossible de mconnatre la rare habilet des Hindous dans
les recherches relatives soit aux proprits des nombres, soit aux
transformations algbriques; mais si l'on considre... leur
quasi-nullit en gomtrie... on ne peut s'empcher de les mettre
infiniment au-dessous des Grecs.

                                                        M. MARIE.

                                          

Les mathmatiques anciennes nous offrent l'exemple d'une dcadence
profonde aprs un brillant apoge; et l'on peut affirmer, de ce point
de vue, que le vrai problme qui s'impose aujourd'hui dans l'histoire
des mathmatiques est de prciser les circonstances et de dterminer
les causes de la dcadence passe, en vue de connatre les prcautions
 prendre pour viter une dcadence future.

                                                      P. TANNERY.

                                          

La dcouverte en mathmatiques a atteint deux maximums, l'un en
gomtrie pure aux temps d'Euclide, d'Archimde et d'Apollonius, et
l'autre au XVIIe sicle, qui nous a donn l'Application de l'Algbre 
la Gomtrie, le Calcul infinitsimal et le Principe de l'attraction.

                                          

La rsolution des quations du troisime et du quatrime degr, le
dnoment du fameux cas irrductible furent la grande affaire des
algbristes du XVIe sicle.

                                                       LIOUVILLE.

                                          

L'ide prconue que les mouvements clestes devaient tre circulaires
et uniformes a gar les Grecs.

La mme hypothse d'une certaine simplicit des lois de la nature a,
au contraire, guid Kepler. S'il avait su combien sont complexes, les
mouvements perturbs des plantes, il n'aurait pas dcouvert les lois
qui donnent une premire approximation de ces mouvements.

                                          

Les philosophes qui, dans l'antiquit, soutenaient l'opinion du
mouvement de la terre furent taxs d'impit; au XVIe sicle, il se
trouve encore des esprits assez malaviss pour commettre la mme faute
et pour transformer en question religieuse une question purement
scientifique. On alla chercher dans les livres sacrs des textes dont
on se fit des arguments; chacun les interprta suivant sa fantaisie,
et l'on vit tout  coup surgir les disputes les plus pres et les plus
draisonnables, au dtriment commun de la science et de la religion.

                                                          VALSON.

                                          

 dire vrai, nous n'avons fait depuis les Grecs, que trois grandes
dcouvertes en Mathmatiques pures, mais elles ont une immense porte.

Descartes a invent la _Gomtrie analytique_, en reprsentant chaque
courbe par une quation en _x_ et _y_, qui est la relation constante
entre les coordonnes d'un point quelconque de la courbe. Toute
question de gomtrie est alors transforme en une question d'algbre.

Leibniz et Newton ont, presque simultanment, trouv le _Calcul
infinitsimal_ qui permet d'analyser si finement la variation continue
des fonctions.

Enfin de nos jours, Cauchy a su donner  l'Analyse, grce aux
imaginaires mieux comprises, une admirable et complte gnralit.

                                          

Les histoires gnrales des mathmatiques les plus importantes sont
celles de Montucla en quatre volumes (dont les deux derniers sont de
Lalande); de Bossut, plus courte; de Hankel, malheureusement inacheve
 la mort de l'auteur; de Maximilien Marie (12 vol.) et de Moriz
Cantor. Ce dernier livre, fruit de longues recherches est le plus
complet, le plus approfondi.

M. Enestrm publie  Stockholm un journal d'histoire des
mathmatiques, la _Bibliotheca mathematica_.

Nous devons aussi citer les nombreux travaux d'rudition et de
critique de Paul Tannery et de Charles Henry.

Enfin le prince Balthasar Boncompagni a publi plus de vingt volumes
de son _Bulletin de bibliographie et d'histoire des mathmatiques_.

                                          

Les _loges des acadmiciens_ par Fontenelle ont leur place marque
dans la bibliothque de l'homme de got. L'auteur a popularis le
premier les savants et la Science. Son influence a t plus grande
qu'on ne le croit, il l'a exerce dlicatement et discrtement en
parsemant de penses brillantes un fond srieux. Voltaire compare ces
loges  ces moissons abondantes o les fleurs croissent
naturellement avec les pis.

                                          

M. P. Lafitte traite au Collge de France de l'histoire gnrale des
Sciences, au point de vue positiviste. Nous n'avons,  vrai dire,
aucune chaire d'histoire des mathmatiques. C'est l une lacune
regrettable dans notre haut enseignement.

En Belgique,  l'universit de Gand, M. Mansion fait un cours rgulier
d'histoire des mathmatiques et ce cours est obligatoire pour les
tudiants scientifiques.

Combien ai-je vu, dit M. Bertrand, d'anciens candidats  l'cole
Polytechnique qui, connaissant fort bien un trait d'algbre classique
et n'ayant rien lu au del, ignoraient les noms d'Euler et de
Bernoulli, et mettaient sur le mme plan dans leur souvenir Newton et
Bezout, Descartes et Budan, Cauchy et Sarrus.

                                          

Les sciences mathmatiques ont compos longtemps tout le domaine des
ides exactes; partout ailleurs on ne retrouvait que les vains efforts
du gnie pour arriver  la connaissance de la vrit, et les erreurs
sans nombre que les doctrines insuffisantes des premiers inventeurs
tranaient  leur suite. Le langage mystrieux employ par les
philosophes formait avec la langue prcise et claire des sciences
exactes, un contraste singulier qui inspirait au gomtre le plus
profond mpris pour les autres sciences. Mais, lorsque les phnomnes
clestes vinrent se ranger sous les lois du calcul, l'tude des
mathmatiques devint plus gnrale, et les bons esprits furent
frapps d'une manire d'argumenter si diffrente de celle de l'cole.

La langue mathmatique est celle de la raison dans toute sa puret;
elle interdit la divagation, elle signale l'erreur involontaire; il
faudrait ne pas la connatre pour la faire servir  l'imposture.

                                                  SOPHIE GERMAIN.

                                          

 l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance, le roi de Sude et
de Norvge a institu un grand prix de mathmatiques et tous les
gomtres de l'Europe ont t invits  concourir. Le prix a t
obtenu par M. Poincar et la seconde rcompense, une mdaille d'or,
par M. Appell. (Fvrier 1889.)

                                          

Les principaux journaux de mathmatiques sont, en France: le _Journal
de Mathmatiques pures et appliques_, fond par Liouville et dirig
par Jordan; le _Bulletin des Sciences mathmatiques_, fond et dirig
par Darboux; les _Nouvelles annales de Mathmatiques_, fondes par O.
Terquem et Grono et diriges par Laisant et Antomari; le _Journal de
Mathmatiques lmentaires et spciales_, fond par J. Bourget et
dirig par G. de Longchamps; la _Revue de Mathmatiques spciales_
rdige par E. Humbert; le _Journal de Mathmatiques lmentaires_,
dirig par notre collaborateur Vuibert, etc.

                                          

L'_Acadmie des sciences_,  l'Institut de France, comprend cinq
sections pour les Mathmatiques. Voici les noms des membres par ordre
de nomination:

_Gomtrie._--Hermite; Jordan; Darboux; Poincar; mile Picard;
Appell.

_Mcanique._--Maurice Lvy; Boussinesq; Deprez; Sarrau; Laut;
gnral Sebert.

_Astronomie._--Faye; Janssen; Loevy; Wolf; Callandreau; Radau.

_Gographie et navigation._--Bouquet de La Grye; Grandidier; de Bussy;
Bassot; Guyou; Hatt.

_Physique gnrale._--Cornu; Mascart; Lippmann; A.-H. Becquerel;
Potier; Violle.

_Secrtaires perptuels de l'Acadmie._--J. Bertrand, pour les
sciences mathmatiques, et Berthelot, pour les sciences physiques.

Parmi les _Acadmiciens libres_, on remarque de Freycinet; Haton de la
Goupillire; amiral de Jonquires; Rouch, etc.

                                          

Parmi les Mathmaticiens vivants, nous citerons: en Belgique, Mansion
et Neuberg; en Angleterre, Forsight, Sylvester et Salmon; en Norvge,
S. Lie (actuellement  Leipzig), Bjirknes, Syllow; en Sude, Bcklund,
Lindsteedt; en Danemark, Petersen, Zeuthen; en Russie, Liapounoff,
Markoff; en Allemagne, Dedekind; Fuchs; Gordan; Klein; Schwarz; Weber;
Wemgarten; en Italie, Beltrami, Brioschi et Cremona, etc., etc.

Voici les noms de quelques autres mathmaticiens franais: D. Andr,
Borel, Brisse, Brocard, Fouret, Goursat, Hadamard, G. Humbert, le P.
Joubert, Koenigs, Laisant, H. Laurent, de Longchamps, Mannheim, Mray,
Moutard, Painlev, J. Tannery, etc., etc.

                                          

On a organis  Paris, en 1872, une _Socit mathmatique_ qui compte
prs de trois cents membres et qui publie le Bulletin de ses travaux.
Les sances ont lieu deux fois par mois. Le sige est rue des
Grands-Augustins, 7.

                                          

     Le 24 dcembre 1892, on a ft,  la Sorbonne, les soixante et
     dix ans de notre grand gomtre Hermite. Nous extrayons du
     discours du Ministre de l'Instruction publique le passage
     suivant:

Pascal voit dans la gomtrie le plus haut exercice de
l'intelligence; il place les gomtres au premier rang des princes
de l'esprit. C'est l'honneur de notre France d'avoir produit plus
qu'aucune autre nation, de ces gnies subtils et puissants, capables
d'embrasser l'ensemble des vrits qui constituent les lois des
nombres et de l'tendue. Dj au dix-septime sicle, Descartes,
Pascal et Fermat nous permettent de n'envier personne, pas mme
l'intelligence suprme de Newton; au dix-huitime sicle nous prenons
dcidment le premier rang avec d'Alembert, avec Lagrange, avec
Laplace, et le sicle dont nous sommes a vu affirmer et consolider
cette matrise franaise de la gomtrie par une suite de savants
illustres, les Monge, les Carnot, les Ampre, les Cauchy, les Chasles,
les Liouville, pour ne citer que quelques-uns de ceux qui ne sont
plus...

                                                       CH. DUPUY.

                                          

L'_Intermdiaire des mathmaticiens_, dirig par MM. Laisant et E.
Lemoine, contient les questions les plus varies et les plus
difficiles puis les rponses venues de divers cts.




PHILOSOPHIE ET MORALE.--MLANGES


Vous avez dispos toutes choses avec nombre, poids et mesure.

                                                           BIBLE.

                                          

Les nombres gouvernent le monde.

                                                          PLATON.

                                          

Il y a de la gomtrie partout.

                                                         LEIBNIZ.

                                          

Dieu, le grand gomtre.--Dieu gomtrise sans cesse.

                                                          PLATON.

                                          

Dieu est un cercle dont le centre est partout et la circonfrence
nulle part.

                                     RABELAIS; MONTAIGNE; PASCAL.

                                          

Il n'y a point de nombre aux yeux de Dieu. Comme il voit tout  la
fois, il ne compte rien.

                                                       CONDILLAC.

                                          

Au milieu de causes variables et inconnues, que nous comprenons sous
le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrgulire la marche
des vnements, on voit natre  mesure qu'ils se multiplient une
rgularit frappante qui semble tenir d'un dessein, et que l'on a
considre comme une preuve de la providence.

                                                         LAPLACE.

                                          

Je ne puis concevoir comment de si habiles mathmaticiens nieraient un
mathmaticien ternel.

                                                        VOLTAIRE.

                                          

Platon avait crit sur la porte de son cole de philosophie ces mots:
_Que nul n'entre ici, s'il n'est gomtre._

                                          

Sans les mathmatiques, on ne pntre point au fond de la philosophie:
sans la philosophie, on ne pntre point au fond des mathmatiques;
sans les deux, on ne pntre au fond de rien.

                                                BORDAS-DEMOULINS.

                                          

Le nombre rside dans tout ce qui est connu. Sans lui, il est
impossible de rien penser, de rien connatre.... Le nombre et
l'harmonie repoussent l'erreur; le faux ne convient pas  leur nature.
L'erreur et l'envie sont filles de l'indfini, sans pense, sans
raison; jamais le faux ne peut pntrer dans le nombre, il est son
ternel ennemi. La vrit seule convient  la nature du nombre et est
ne avec lui.

                                                       PHILOLAS.

                                          

Les lignes et les figures de la gomtrie sont trs propres pour
reprsenter  l'imagination les rapports qui sont entre les grandeurs,
ou entre les choses qui diffrent du plus et du moins, comme les
espaces, les temps, les poids, etc., tant  cause que ce sont des
objets trs simples, qu' cause qu'on les imagine avec beaucoup de
facilit. On pourrait mme dire  l'avantage de la gomtrie, que les
lignes peuvent reprsenter  l'imagination plus de choses que l'esprit
n'en peut connatre, puisque les lignes peuvent exprimer les rapports
des grandeurs incommensurables, c'est--dire des grandeurs dont on ne
peut connatre les rapports  cause qu'elles n'ont aucune commune
mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ce qui ne peut se faire qu'en beaucoup de temps par l'arithmtique se
fait en un moment par l'algbre et l'analyse, sans que l'esprit se
brouille par le changement des chiffres et par la longueur des
oprations. Une opration particulire d'arithmtique ne dcouvre
qu'une vrit, une semblable opration d'algbre en dcouvre une
infinit.

L'algbre... apprend  faire sur les grandeurs littrales tous les
calculs qui servent  dduire les rapports les plus difficiles et les
plus composs qu'on puisse dsirer de savoir des mmes grandeurs qui
sont dj connues. Ses calculs sont les plus simples, les plus faciles
et en mme temps les plus gnraux qu'on puisse concevoir.

                                                     MALEBRANCHE.

                                          

Les plus grands gomtres n'ont pas t exempts de ce prjug qui fait
regarder l'analyse algbrique comme une sorte d'oracle qui ne fait pas
toujours des rponses intelligibles, mais dont les nigmes doivent
toujours renfermer un sens dont il faut s'tudier  pntrer le
mystre.

                                                         DUHAMEL.

                                          

Il y a beaucoup de diffrence entre l'esprit de gomtrie et l'esprit
de finesse. En l'un, les principes sont palpables, mais loigns de
l'usage commun; de sorte qu'on a peine  tourner la tte de ce
ct-l, manque d'habitude; mais, pour peu qu'on s'y tourne, on voit
les principes  plein; et il faudrait avoir tout  fait l'esprit faux
pour mal raisonner sur des principes si gros qu'il est presque
impossible qu'ils chappent.

Mais, dans l'esprit de finesse, les principes sont dans l'usage
commun et devant les yeux de tout le monde. On n'a que faire de
tourner la tte, ni de se faire violence. Il n'est question que
d'avoir bonne vue, mais il faut l'avoir bonne, car les principes sont
si dlis et en si grand nombre qu'il est presque impossible qu'il
n'en chappe. Or, l'omission d'un principe mne  l'erreur: ainsi il
faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite
l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes
connus.

Tous les gomtres seraient donc fins s'ils avaient la vue bonne et
les esprits fins seraient gomtres s'ils pouvaient plier leur vue
vers les principes inaccoutums de la gomtrie.

Ce qui fait que certains esprits fins ne sont pas gomtres, c'est
qu'ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de gomtrie;
mais ce qui fait que des gomtres ne sont pas fins, c'est qu'ils ne
voient pas ce qui est devant eux; et qu'tant accoutums aux principes
nets et grossiers de la gomtrie, et  ne raisonner qu'aprs avoir
bien vu et mani leurs principes, ils se perdent dans les choses de
finesse, o les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit
 peine, on les sent plutt qu'on ne les voit: ce sont choses
tellement dlicates et si nombreuses, qu'il faut un sens bien dli et
bien net pour les sentir, et sans pouvoir le plus souvent les
dmontrer par ordre comme en gomtrie, parce qu'on n'en possde pas
ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de
l'entreprendre. Il faut tout d'un coup voir la chose d'un seul regard,
et non pas par progrs de raisonnement, au moins jusqu' un certain
degr. Et ainsi il est rare que les gomtres soient fins, et que les
esprits fins soient gomtres;  cause que les gomtres veulent
traiter gomtriquement les choses fines, et se rendent ridicules,
voulant commencer par les dfinitions, et ensuite par les principes;
ce qui n'est pas la manire d'agir dans cette sorte de raisonnement.
Ce n'est pas que l'esprit ne le fasse; mais il le fait tacitement,
naturellement et sans art, car l'expression en passe tous les hommes,
et le sentiment n'en appartient qu' peu.

Et les esprits fins, au contraire, ayant accoutum  juger d'une seule
vue, sont si tonns quand on leur prsente des propositions o ils ne
comprennent rien, et o, pour entrer, il faut passer par des
dfinitions et des principes striles, et qu'ils n'ont pas accoutum
de voir ainsi en dtail, qu'ils s'en rebutent et s'en dgotent. Mais
les esprits faux ne sont jamais ni fins ni gomtres.

Les gomtres qui ne sont que gomtres ont donc l'esprit droit, mais
pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par dfinitions et par
principes: car ils ne sont droits que sur les principes bien
claircis. Et les esprits fins qui ne sont que fins, ne peuvent avoir
la patience de descendre jusqu'aux premiers principes des choses
spculatives et d'imagination, qu'ils n'ont jamais vues dans le monde
et dans l'usage.

                                                          PASCAL.

                                          

On peut regarder la gomtrie comme une logique pratique, parce que
les vrits dont elle s'occupe, tant les plus simples et les plus
sensibles de toutes, sont par cette raison, les plus susceptibles
d'une application facile et palpable des rgles du raisonnement.

                                                      D'ALEMBERT.

                                          

J'ai insinu que les Mathmatiques taient fort utiles pour accoutumer
l'esprit  raisonner juste et avec ordre; ce n'est pas que je croie
ncessaire que tous les hommes deviennent des mathmaticiens: mais
lorsque par cette tude, ils ont acquis la bonne mthode du
raisonnement, ils peuvent l'employer dans toutes les autres parties de
nos connaissances...

L'algbre donne de nouvelles vues et fournit de nouveaux secours 
l'entendement...

                                                           LOCKE.

                                          

Il existe des vrits autres que les vrits de l'algbre, des
ralits autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les
sciences mathmatiques, sans vouloir les tendre au-del de leur
domaine; et n'allons pas nous imaginer qu'on puisse attaquer
l'histoire avec des formules, ni donner pour sanction  la morale des
thormes d'algbre et de calcul intgral.

                                                          CAUCHY.

                                          

Des lments de Gomtrie traits ainsi deviendraient en quelque sorte
d'excellents lments de logique, et seraient peut-tre les seuls
qu'il faudrait tudier. Lorsque l'esprit est naturellement juste, il
porte avec lui la facult de reconnatre si une proposition simple est
vraie ou non. Il est beaucoup plus utile d'exercer cette facult que
de disserter  perte de vue sur sa nature. Si l'on voulait remporter
le prix de la course, on penserait plutt sans doute  exercer ses
jambes qu' raisonner sur le mcanisme de la marche. Les rgles, dit
Condillac, sont comme des garde-fous mis sur les ponts, non pas pour
faire marcher les voyageurs, mais pour les empcher de tomber. Si
cela est, ainsi qu'il n'est pas permis d'en douter, il faut que les
rgles soient fort simples et en petit nombre. Celles de Descartes et
de Pascal me paraissent suffisantes pour les esprits droits; quant aux
autres, la Gomtrie ne saurait exister pour eux.

                                                         LACROIX.

                                          

Nous voyons par exprience qu'entre esprits gaux, et toutes choses
pareilles, celui qui a de la gomtrie l'emporte et acquiert une
vigueur toute nouvelle.

                                                          PASCAL.

                                          

SOCRATE.--Faisons donc une loi  ceux qui sont destins chez nous 
remplir les premires places de s'appliquer  la science du calcul, de
l'tudier, non pas superficiellement, mais jusqu' ce que, par le
moyen de la pure intelligence, ils soient parvenus  connatre
l'essence des nombres; non pour faire servir cette science, comme les
marchands et les ngociants, aux ventes et aux achats, mais pour
l'appliquer aux besoins de la guerre, et faciliter  l'me la route
qui doit la conduire de la sphre des choses prissables  la
contemplation de la vrit et de l'tre.

GLAUCON.--Fort bien.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SOCRATE.--Si l'on demande  ceux qui s'occupent de cette science: De
quel nombre parlez-vous? O sont ces units telles que vous les
supposez, parfaitement gales entre elles, sans qu'il y ait la moindre
diffrence, et qui ne sont point composes de parties? Mon cher
Glaucon, que crois-tu qu'ils rpondent?

GLAUCON.--Je crois qu'ils rpondraient qu'ils parlent de ces nombres
qui ne tombent pas sous les sens et qu'on ne peut saisir autrement que
par la pense.

SOCRATE.--Ainsi, tu vois, mon cher ami, que nous ne pouvons absolument
nous passer de cette science, puisqu'il est vident qu'elle oblige
l'me  se servir de l'entendement pour connatre la vrit.

GLAUCON.--Il est certain qu'elle est merveilleusement propre 
produire cet effet.

SOCRATE.--As-tu aussi observ que ceux qui sont ns calculateurs,
ayant l'esprit de combinaison, ont beaucoup de facilit pour presque
toutes les autres sciences et que mme les esprits pesants, lorsqu'ils
se sont exercs et rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage
d'acqurir plus de facilit et de pntration?

GLAUCON.--La chose est ainsi.

SOCRATE.--Au reste, il te serait difficile de trouver beaucoup de
sciences qui cotent plus  apprendre et  approfondir que celle-l.

GLAUCON.--Je le crois.

SOCRATE.--Ainsi, par toutes ces raisons nous ne devons pas la
ngliger; mais il faut y appliquer de bonne heure ceux qui seront ns
avec un excellent caractre.

GLAUCON.--J'y consens.

                                                          PLATON.

                                          

Ceux qui ne voient dans les mathmatiques que leur utilit
d'application ordinaire, en ont une ide bien imparfaite; ce serait,
en vrit, acqurir bien peu de chose  grands frais; car, except les
savants et quelques artistes, je ne vois gure personne qui ait besoin
de la Gomtrie ou de l'Algbre une fois dans sa vie. Ce ne sont donc
ni les thories, ni les procds, ni les calculs en eux-mmes, qui
sont vritablement utiles, c'est leur admirable enchanement, c'est
l'exercice qu'ils donnent  l'esprit, c'est la bonne et fine logique
qu'ils y introduisent pour toujours.

Les mathmatiques jouissent de cet avantage inapprciable, et sans
lequel il serait le plus souvent superflu de les tudier, c'est qu'il
n'est pas ncessaire de les savoir actuellement pour en ressentir les
avantages, mais il suffit de les avoir bien sues; toutes les
oprations, toutes les thories qu'elles nous enseignent peuvent
sortir de la mmoire, mais la justesse et la force qu'elles impriment
 nos raisonnements restent; l'esprit des mathmatiques demeure comme
un flambeau qui nous sert de guide au milieu de nos lectures et de nos
recherches; c'est lui, qui, dissipant la foule oiseuse des ides
trangres, nous dcouvre si promptement l'erreur et la vrit; c'est
par lui que les esprits attentifs dans les discussions les plus
irrgulires reviennent sans cesse  l'objet principal qu'ils ne
perdent jamais de vue; c'est ainsi qu'ils abrgent le temps et
l'ennui, recueillent sans peine le fruit des bons ouvrages et
traversent ces vains et nombreux volumes o se perdent les esprits
vulgaires. Si les mathmatiques ont trouv beaucoup de dtracteurs,
c'est que leurs lumires importunes dtruisent tous les vains systmes
o se complaisent les esprits faux. C'est que si les mathmatiques
cessaient d'tre la vrit mme, une foule d'ouvrages ridicules
deviendraient trs srieux; plusieurs mme commenceraient d'tre
sublimes; mais il tait bien naturel que les esprits suprieurs et les
meilleurs crivains ne parlassent des sciences exactes qu'avec une
sorte d'admiration; les grands hommes, dans quelque genre que ce soit,
ne ravalent jamais les grandes choses; ils tchent de s'y lever.

                                                         POINSOT.

                                          

Si l'esprit d'un homme s'gare, faites-lui tudier les mathmatiques;
car dans les dmonstrations, pour peu qu'il s'carte, il sera oblig
de recommencer.

                                                        F. BACON.

                                          

L'avancement, le perfectionnement des mathmatiques sont lis  la
prosprit de l'tat.

                                                        NAPOLON.

                                          

Une rigoureuse discipline de l'esprit prpare aux devoirs militaires,
et l'on ne peut douter que les tudes mathmatiques contribuent 
former cette facult d'abstraction indispensable aux chefs pour se
faire une reprsentation intrieure, une image de l'action, par
laquelle ils se dirigent en oubliant le danger, dans le tumulte et
l'obscurit du combat.

                                                         HERMITE.

                                          

Le sicle est plus que jamais domin par les mathmatiques

                                                         RAMBAUD.

                                          

Lors de la cration de l'Universit impriale, on dut enseigner le
franais, le latin et les mathmatiques. Ce n'tait pas assez, mais
nous enseignons trop de choses maintenant.

                                          

Nul n'atteindra la gloire de Newton, dit Lagrange, car il n'y avait
qu'un monde  dcouvrir.

                                          

Ce qui passe la gomtrie nous surpasse.

                                                          PASCAL.

                                          

Aucune investigation humaine ne doit s'appeler vraie science, si elle
ne passe pas par les dmonstrations mathmatiques.

                                                LONARD DE VINCI.

                                          

Mesurer, c'est savoir.

                                                          KEPLER.

                                          

L'action de nos sens et celle de notre entendement ont des bornes; le
calcul n'en a pas.

                                                        PORTALIS.

                                          

Nous devons plutt nous fier au calcul algbrique qu' notre jugement.

                                                           EULER.

                                          

La vie n'est bonne qu' tudier et  enseigner les mathmatiques.

                                                         POISSON.

                                          

Le commentaire de Bachet sur Diophante ne fera pas diminuer le prix du
pain, remarquait le judicieux Malherbe.

                                          

Le dessin, dit Condorcet, est la gomtrie des yeux, la musique est
celle des oreilles.

                                          

L'Art est la plus haute expression d'une arithmtique intrieure et
inconsciente.

                                                         LEIBNIZ.

                                          

... tous nos esprits mathmatiques, polytechniques, soi-disant
positifs, tous ceux qu'on a appels spirituellement de bons esprits
faux.

                                                    SAINTE-BEUVE.

                                          

Le calcul est ncessaire  tous ceux qui ne savent pas, ou qui ne
peuvent pas, ou qui ne veulent pas beaucoup penser.

                                                       DE RAMSAY.

                                          

Le bon sens ne perd jamais ses droits: opposer  l'vidence une
formule dmontre, c'est  peu prs comme si, pour refuser  un homme
le droit de vivre, on allguait devant lui un acte de dcs
authentique.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les mathmatiques ne doivent pas dgnrer en une dbauche de logique.

                                                     J. BERTRAND.

                                          

L'analyse pure, c'est l'esprit du nombre s'aiguisant lui-mme.

                                          

Je comparerai volontiers les lumires des mathmatiques  ces ples
soleils du nord, sous lesquels on reste glac... Ils ne font clore
que des fleurs sans parfum et des fruits sans saveur.

                                                       DUPANLOUP.

                                          

Une logique rigoureuse, la recherche et l'amour de la vrit pour
elle-mme, forment la partie _morale_ des mathmatiques, qui par l
appartiennent essentiellement  l'cole stoque. Offrir  la jeunesse,
au dbut de la vie, des applications _utiles_, des mthodes
d'_approximation_, comme objet principal d'tude, c'est dnaturer le
but de l'ducation et cela peut avoir de funestes rsultats.
Toutefois, il ne faut pas confondre cette _rigueur_ avec la manie
dmonstrative, qui, se dfiant du sens commun, enlve au lecteur toute
spontanit.... Savoir ce qu'il ne faut pas dire est un art difficile,
qu'on rencontre rarement.

                                                      O. TERQUEM.

                                          

L'idal de l'amiti, c'est de se sentir un et de rester deux.

                                                   Mme SWETCHINE.

                                          

Celui qui compte dix amis, n'en a pas un.

                                          

Un homme est un chiffre: deux hommes placs  ct l'un de l'autre
valent dix fois davantage; trois hommes en valent cent, quand ils ont
mis ensemble leur esprit, leur argent et leur bonne volont.

                                                     B. FRANKLIN.

                                          

La vie morale de l'goste est l'quivalent exact de l'unit
multiplie par elle-mme.

                                                         SAUVAGE.

                                          

Dans tout ce que l'on entreprend, il faut donner les deux tiers  la
raison et l'autre tiers au hasard. Augmentez la premire fraction,
vous serez pusillanime; augmentez la seconde, vous serez tmraire.

                                                        NAPOLON.

                                          

Par la dfinition du point, de la ligne, de la surface, et par
d'autres principes trs familiers, nous parvenons  des connaissances
qui mesurent enfin le ciel et la terre.

                                                     LA FONTAINE.

                                          

Les transformations de l'me sont lentes; elles ne se font qu'avec la
douleur multiplie par le temps.

                                                     LE P. DIDON.

                                          

Les mathmatiques pures sont une clef d'or qui ouvre toutes les
sciences.

                                                        V. DURUY.

                                          

Crer en nous l'art de raisonner, et surtout de raisonner
gomtriquement, n'est qu'une bien faible partie de l'ducation. Ce
sont les sentiments qui nous mnent, et non pas la logique ni la
gomtrie.

                                                      A. CROISET.

                                          

Rien n'est moins applicable  la vie qu'un raisonnement mathmatique.
Une proposition, en fait de chiffres, est dcidment fausse ou vraie;
sous tous les autres rapports, le vrai se mle avec le faux...

                                                    Mme DE STAL.

                                          

La gomtrie est la meilleure et la plus simple de toutes les
logiques, la plus propre  donner de l'inflexibilit au jugement et 
la raison. C'est la lime sourde de tous les prjugs populaires.....

                                                         DIDEROT.

                                          

La logique a emprunt les rgles de la gomtrie sans en comprendre la
force..... Je suis bien loign de mettre les logiciens en parallle
avec les gomtres qui apprennent la vritable manire de conduire la
raison..... La mthode de ne point errer est recherche de tout le
monde. Les logiciens font profession d'y conduire, les gomtres seuls
y arrivent, et hors de leur science il n'y a point de vritable
dmonstration.

                                                          PASCAL.

                       ------

Pascal confond l'art avec la science, et parce que les logiciens ne
conduisent pas infailliblement au vrai, il immole la logique  ses
chres mathmatiques. C'est Leibniz qui a pleine raison quand il dit,
contrairement  Pascal: La logique des gomtres est une extension ou
promotion particulire de la logique gnrale. Les mathmatiques
empruntent donc la puissance de leur forme  la logique, loin de la
lui donner.

                                        BARTHLEMY SAINT-HILAIRE.

                       ------

La raison mathmatique se contente de fournir, dans le domaine le plus
favorable, un type de clart, de prcision et de consistance dont la
contemplation familire peut seule disposer l'esprit  rendre les
autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature.

                                                      AUG. COMTE.

                                          

En mathmatiques, comme ailleurs, la raison profonde des choses, le
fond mystrieux de l'tre sur lequel nous spculons ou que nous
observons, nous chappera peut-tre toujours; peut-tre aussi
l'inquitude qui en rsulte pour nos intelligences est-elle
l'aiguillon secret de cette passion que les savants apportent dans
leurs recherches.

                                                      J. TANNERY.

                                          

Il est toujours utile de penser juste, mme sur des sujets inutiles.
Quand les nombres et les lignes ne conduiraient absolument  rien, ce
seraient toujours les seules connaissances certaines qui aient t
accordes  nos lumires naturelles, et elles serviraient  donner 
notre raison la premire habitude et le premier pli du vrai.....

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'esprit gomtrique n'est pas si attach  la gomtrie qu'il n'en
puisse tre tir et transport  d'autres connaissances. Un ouvrage de
morale, de politique, de critique, peut-tre mme d'loquence, en sera
plus beau, toutes choses d'ailleurs gales, s'il est fait de main de
gomtre.

                                                      FONTENELLE.

                                          

Le raisonnement mathmatique est si particulier et si exclusif qu'une
fois matre d'un cerveau, il s'en empare en entier et le rend inapte,
pour ainsi dire, aux autres manires, pourtant aussi lgitimes,
d'arriver  la vrit.

                                                        DELBOEUF.

                       ------

Ne restons pas mathmaticien partout et quand mme. Il y a un vieil
adage: _purus mathematicus, purus asinus_. Montucla dit plus
poliment que parmi les hommes qui se sont distingus en
mathmatiques, il y en a toujours eu un grand nombre dont la sagacit
ne sortait pas du domaine gomtrique.

                                          

Le got de l'exactitude, l'impossibilit de se contenter de notions
vagues, de s'attacher  des hypothses quelque sduisantes qu'elles
soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions
et le but o elles tendent, sont les fruits les plus prcieux de
l'tude des mathmatiques.

                                                         LACROIX.

                                          

Les nuances dlicates des ides morales chappent  la rigueur des
raisonnements mathmatiques, et une habitude trop exclusive de ceux-ci
porte assez souvent l'esprit  vouloir tout rduire  des rgles
invariables,  des principes absolus; mthode si dangereuse, quand on
l'applique au gouvernement des socits humaines, ou seulement aux
rapports particuliers qui nous lient avec les autres hommes.

                                                         CUVIER.

                                          

L'tude des mathmatiques nous accoutume  un enchanement de
dductions logiques dans lequel chaque anneau se rattache au
prcdent; elle donne ainsi de la continuit  l'attention, de la
cohrence aux ides; elle apprend  l'intelligence  saisir les points
fondamentaux d'un raisonnement, et  classer avec ordre les divers
lments de conviction, en leur accordant leur juste degr
d'importance; qualits que l'on rencontre trop rarement dans le monde.

                                                        WHEWELL.

                                          

Les mathmatiques donneront une fausse prcision, une rigueur
apparente qui masque la faiblesse des raisonnements, une raideur
inflexible qui multiplie les erreurs, les rend irrparables et empche
la juste notion des choses. Hlas! qu'il y a peu de mathmatiques dans
les choses de la vie: elles sont complexes, changeantes, faites de
finesses, de sous-entendus, de dtails, et impossibles  exprimer par
une formule.

                                                        CHANDOS.

                       ------

Les mathmatiques partout, une chimre de quelques esprits simplistes.
Il ne faut pas abuser des meilleures choses.

                                          

Dans les Mathmatiques, la censure et la critique ne peuvent tre
permises  tout le monde; les discours des rhteurs et les dfenses
des avocats n'y valent rien.

                                                          VITE.

                                          

Les vrits mathmatiques doivent tre juges par des mathmaticiens.

                                                       COPERNIC.

                                          

Depuis huit jours, j'ai vu le premier rayon de lumire; depuis trois,
j'ai vu le jour; enfin,  cette heure, je vois le soleil de la plus
admirable contemplation. Rien ne me retient plus, je m'abandonne  mon
enthousiasme; je veux braver les mortels par l'aveu franc que j'ai
drob les vases d'or des gyptiens, pour en former  mon Dieu un
tabernacle loin de l'gypte idoltre. Si l'on me pardonne, je m'en
rjouis; si l'on s'irrite, je me rsigne. Le sort en est jet, j'cris
mon livre. On le lira dans l'ge prsent ou dans l'avenir, que
m'importe! Il peut attendre son lecteur: Dieu n'a-t-il pas attendu six
mille ans pour se donner un contemplateur de ses oeuvres?

                                                         KEPLER.

                       ------

Certains prtendent que les mathmatiques desschent le coeur.

                                          

Il me semble que je n'ai t qu'un enfant jouant sur le bord de la mer
et trouvant, tantt un caillou plus poli, tantt un coquillage plus
joli que les autres, tandis que le vaste ocan de la Vrit s'tendait
inexplor devant moi.

                                                         NEWTON.

                                          

L'tude des mathmatiques peut distraire des grandes douleurs: elle
absorbe l'homme tout entier.

                                                         BOISTE.

                                          

Le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et, 
ce titre, une question de la thorie des nombres vaut autant qu'une
question du systme du monde.

                                                         JACOBI.

                                          

Les mathmatiques sont une forte cole de logique applique: elles
nous forment indirectement  bien raisonner sur d'autres sujets que
les nombres et les lignes.

                       ------

Vous aimez, vous voulez le vrai; il importe que vous soyez pntrs de
la mthode  l'aide de laquelle on le dcouvre et on l'tablit. Cette
mthode est la mme, qu'il s'agisse des plus hautes spculations ou
des questions de la vie ordinaire; ce n'est pas le syllogisme presque
exclusivement dtaill jadis: il condamne la dduction lorsqu'elle est
fautive, mais il n'apprend pas  la mettre en mouvement, pour
augmenter la connaissance. La mthode gnrale, c'est l'analyse, non
pas l'insuffisante analyse de Condillac, qui se borne  dcomposer le
tout en ses parties pour le mieux tudier, mais cette analyse plus
large et plus fconde que les Anciens nous ont transmise.

Chaque fois que l'esprit veut chercher ou prouver, il substitue 
plusieurs reprises  la chose en question une chose dont elle est la
consquence jusqu' ce qu'il arrive  une chose connue. Le succs
dpend du choix des relais; c'est un art prcieux, dit Leibniz, que
celui de s'aviser quand il faut de ce qu'on sait. On peut ainsi
dfinir rapidement l'analyse pour la rappeler  ceux qui la
connaissent, mais une pratique longue et attentive est seule capable
d'en faire une habitude aise et dfinitive.

Les mathmatiques, par la clart et le petit nombre des donnes
primitives,--car l non plus on ne dfinit pas tout et on ne prouve
pas tout,--les mathmatiques fournissent la premire application,
l'application commode, je dirai mme indispensable de l'analyse.
Platon crivant sur la porte de son cole: que nul n'entre ici s'il
n'est gomtre, dclarait incapable d'aborder les questions
philosophiques ceux qui n'avaient pas d'abord appris  raisonner en
gomtrie.

On admet au dbut quelques notions, quelques propositions qui brillent
par elles-mmes et c'est avec elles seules que toute la science se
fait. Nous devons ainsi  Euclide et  ses successeurs une trame
serre de vrits utiles ou curieuses, enchanes dans un bel ordre.
Mais ce n'est pas assez de comprendre la doctrine des matres, il faut
pouvoir y rattacher vous-mmes les problmes nouveaux et dcouvrir
aussi  votre tour: voil pourquoi on soumet  vos efforts des
exercices mathmatiques nombreux et gradus. D'une part, vous
apprenez, par la dmonstration des thormes et la vrification des
problmes,  tirer d'un principe ses consquences, et de l'autre vous
apprenez, par l'invention des problmes et par l'exposition des
thormes,--lorsque le professeur cherche devant vous,-- rattacher un
fait particulier aux principes d'o il dcoule. Plus tard, je le
crains et je m'y rsigne, vous oublierez le dtail de Legendre et vos
propres travaux, mais toute cette gomtrie aura aiguis votre esprit,
vous serez experts sur tout sujet  dgager d'une ide ce qu'elle
contient,  substituer  une question d'autres questions plus aises,
 avancer vers la solution. Cette solution, vous ne l'atteindrez pas
toujours, mais vous aurez d'autant plus de chances de l'atteindre que
vous serez mieux dresss  chercher,  chercher patiemment,
mthodiquement. Tout au moins, vous n'humilierez pas la raison, en
tirant le faux du vrai.

Presque toujours et quel que soit l'objet qui vous occupe, vous aurez
recours  une analyse progressive, tenace, prudente qui vous
prservera des aventures. Il ne faut pas cependant bannir de la
recherche, dans les sciences et ailleurs, une certaine hardiesse,
l'audace mme. Parfois l'inventeur, heureusement inspir, court vers
le but et l'atteint en sautant les intermdiaires. Mais il doit
ensuite serrer la chane logique, autrement sa dcouverte ne serait
dfinitive, ni pour les autres ni pour lui-mme.

                       ------

Trois groupes d'esprits ne mritent pas qu'on leur livre des vrits.
Les premiers n'en font aucun usage, ils sont inertes, ils ne vont
jamais en avant, ce sont des enfants trop faibles pour marcher seuls.
Les seconds croyant raisonner rencontrent l'erreur, ils marchent,
mais, hlas! c'est pour tomber souvent. Les troisimes ne sont plus 
plaindre mais  fltrir, ils faussent le vrai de parti pris, ce sont
des sophistes, ils connaissent la route, mais ils suivent les chemins
tortueux qui les mnent o leur passion veut. Une consciencieuse
frquentation des sciences vous vitera d'tre classs dans ces
catgories: vous saurez et vous voudrez marcher seuls et marcher
droit.

Vous repousserez non seulement le faux, mais encore l'incomplet,
l'approximatif, le vague qui nous envahissent. Voil l'ennemi de tous
les jours, ennemi fuyant, insaisissable. Que d'assertions qui ne sont
pour ainsi dire, ni vraies ni fausses, que de penses  peine
bauches, chappant par l mme  la rfutation! La faute en est aux
hommes seulement littraires, sans lest scientifique, ils sont
frivoles et vains, ils dissertent avec facilit sur ce qu'ils
ignorent. Vous vous tairez, lorsque vous n'aurez rien  dire; mais
lorsque vous parlerez, lorsque vous crirez, ce sera judicieusement,
fermement, chaque mot signifiera.

                       ------

J'ai jusqu'ici suppos expressment des principes faciles, clairs et
certains, comme le sont ceux des sciences formes, mais, dans beaucoup
de spculations, on n'a pas cette commodit. De l un pril grave
contre lequel vous vous tiendrez en garde. Les esprits rigoureux, qui
sont mal partis, avancent hroquement en ligne droite; srs de leurs
dductions, ils sont d'une tnacit dplorable, ils proclament, ils
imposent leurs conclusions telles quelles, comme des dogmes. Un
historien irrit est all jusqu' accuser les hommes de science des
malheurs de la patrie vers la fin du sicle dernier. Vous vous
arrterez donc ds le seuil,--c'est absolument indispensable,--vous
vous arrterez longtemps sur les ides et les assertions
fondamentales, et vous ferez porter directement sur elles tout
l'effort de votre attention. Cette tude intrinsque des principes est
souvent complique, quelquefois impuissante, mais malheur  qui la
nglige. Il n'y a presque rien  dire de gnral sur cette tude; elle
dpend de la justesse, de la force, de la finesse native ou acquise de
l'esprit; mais elle dpend surtout de la nature des questions: vous
invoquerez tantt des axiomes, tantt l'observation, cette grande
matresse, tantt des conventions, tantt des hypothses. Quoi qu'il
en soit, n'oubliez jamais que, tant valent les prmisses, tant valent
les dductions; pesez de votre mieux ces prmisses, et si elles sont
seulement probables, recevez aussi comme seulement probable tout ce
que vous en tirerez. Le raisonnement garde dans tous les cas sa valeur
relative, et, au pis aller, vous aurez cette consolation de ne pas
ajouter  l'imperfection des donnes.

                       ------

Le domaine de la pure raison est vaste et soumis  des rgles
absolues, mais il y a  ct des domaines plus libres. Vous ne serez
pas positif toujours et quand mme, vous ne traiterez pas avec une
rigueur trop grande des sujets qui ne comportent pas cette rigueur.

Je veux parler d'abord des tudes dont les lments sont trop
complexes: la politique, une fois d'accord avec la morale, doit tre
flexible et tenir grand compte des races, des moeurs, des traditions;
la mdecine s'occupe de la matire anime que les lois physiques
ordinaires ne rgissent pas seules, elle varie ses prescriptions
d'aprs le temprament et l'esprit du malade; le droit lui-mme laisse
beaucoup  l'apprciation du juge, parce que nos codes, malgr leur
tendue, ne peuvent pas prvoir tous les cas, toutes les
circonstances.

Je veux parler en second lieu des questions toutes de nuance et
d'impression personnelle: de certains sentiments qui naissent et
grandissent mystrieusement dans l'me, de l'art qui choisit et pure
les belles ralits, du got individuel, de la posie. Il faut laisser
en paix l'humanit, croire, esprer, rver. N'allez pas criant  tout
propos et hors de propos: Pourquoi cela? Qu'est-ce que cela prouve?
Mot de je ne sais quel mathmaticien aprs la lecture de l'_Iphignie_
de Racine. Lorsque votre imagination s'veille, laissez-la voler  sa
fantaisie. Ne prenez pas de grosses balances pour peser des toiles
d'araigne.

Ces ides dont j'ai fait deux classes et qui, pour des motifs
diffrents, chappent  la dduction formelle, ont leur grande
importance, leur irrsistible attrait; vous vous garderez de les
ddaigner, comme incertaines ou futiles. Pascal a tort d'affirmer que
ce qui passe la gomtrie nous surpasse.

                       ------

Quelques-uns ont une estime outre, exclusive, pour la forme du
raisonnement en mathmatiques, forme concise, sche, nerveuse et tout
 fait dplace dans beaucoup de questions susceptibles pourtant de
prcision. Du reste, la rigueur est dans le fond mme du
raisonnement, et, s'il est faible, vous aurez beau le couper de
conjonctions et lui donner un faux dehors scientifique. Spinosa ne
fortifie gure sa philosophie en la disposant par thormes et par
corollaires, il rend seulement son accs plus difficile. N'imitez pas
ces formalistes impitoyables qui distinguent, divisent, subdivisent et
arrivent parfois  sacrifier le fond  la forme et  quelle forme! Ils
font comprendre ce vers paradoxal:

  Et le raisonnement en bannit la raison.

Vous voilerez cet appareil et vous craindrez de compromettre une bonne
cause par une argumentation peut-tre exacte mais raide, hrisse,
rebutante. Il convient, dans la vie, de varier, de dlayer un peu les
preuves, de les fleurir discrtement, enfin d'avoir raison avec un
certain agrment.

Il est un autre travers du mme genre, mais plus spcial. C'est celui
d'invoquer le secours de l'Algbre, de ses signes et de ses quations,
l o elle n'a rien  voir. Ne s'est-on pas avis de traiter
algbriquement l'conomie politique? Pour qu'un problme puisse tre
mis en quation, il faut que ses donnes soient d'une simplicit,
d'une nettet bien rares. Presque toujours les nombreuses quations de
condition, alors qu'on pourrait les crire, embarrasseraient le calcul
qui se tranerait pniblement. N'oubliez pas d'ailleurs que le calcul
n'est qu'un instrument, il ne facilite pas l'analyse par une vertu
propre, il ne dirige pas l'esprit, il doit tre dirig par lui. Cet
instrument ne travaille que quelques matires, mais alors que vous
pourriez lui soumettre des conceptions peu prcises qu'il aiderait 
dployer, il ne leur donnerait aucune consistance.

En rsum, les mathmatiques, par leurs types excellents d'analyse,
nous apprennent, suivant l'expression de Descartes,  conduire par
ordre nos penses et nous prparent ainsi aux divers travaux de
l'esprit et aux affaires de la vie, parce que l'_analyse sert
partout_.

Il y a cependant quelques prils, quelques abus  signaler: l'adhsion
trop confiante aux principes, le traitement trop rigoureux de certains
sujets, un got trop prononc pour la forme du raisonnement
gomtrique et pour la mise en formules.




VARITS ET ANECDOTES




Quittant la rgion svre des gnralits, des principes et des
abstractions, reposons-nous, en observant les Savants et la Science
par le ct familier.

Nous faisons un petit classement des aperus et des anecdotes runis
ici, mais le lecteur peut feuilleter au hasard.




MOEURS, OPINIONS. DISTRACTIONS DE SAVANTS


UN GOMTRE

Je passais l'autre jour sur le Pont-Neuf avec un de mes amis: il
rencontra un homme de sa connaissance qu'il me dit tre un gomtre;
et il n'y avait rien qui y part, car il tait dans une rverie
profonde: il fallut que mon ami le tirt longtemps par la manche et le
secout pour le faire descendre jusqu' lui, tant il tait proccup
d'une courbe qui le tourmentait peut-tre depuis plus de huit
jours!...

Son esprit rgulier toisait tout ce qui se disait dans la
conversation. Il ressemblait  celui qui, dans un jardin, coupait
avec son pe la tte des fleurs qui s'levaient au-dessus des autres.
Martyr de sa justesse, il tait offens d'une saillie, comme une vue
dlicate est offense par une lumire trop vive. Rien ne lui tait
indiffrent, pourvu qu'il ft vrai. Aussi, sa conversation tait-elle
singulire. Il tait arriv ce jour-l de la campagne avec un homme
qui avait vu un chteau superbe et des jardins magnifiques; et il
n'avait vu, lui, qu'un btiment de soixante pieds de long sur
trente-cinq de large et un bosquet long de dix arpents (_sic_); il
aurait souhait que les rgles de la perspective eussent t tellement
observes, que les alles des avenues eussent paru partout de mme
largeur; et il aurait donn pour cela une mthode infaillible. Il
parut fort satisfait d'un cadran qu'il y avait dml; et il
s'chauffa fort contre un savant qui tait auprs de moi, qui
malheureusement lui demanda si ce cadran marquait les heures
babyloniennes. Un nouvelliste lui parla du bombardement du chteau de
Fontarabie; et il nous donna soudain les proprits de la ligne que
les bombes avaient dcrite en l'air; et charm de savoir cela, il
voulut en ignorer entirement le succs.

                                                    MONTESQUIEU.

                       ------

Le mathmaticien exclusif ne voit en chaque chose qu'un prtexte pour
calculer.

                                          

ROUTE ROYALE

Le roi Ptolme ayant demand  Euclide de lui rendre plus faciles les
mathmatiques, celui-ci rpondit: Il n'y a pas de route royale en
Gomtrie.

Il tait meilleur courtisan que l'Alexandrin, ce chimiste professant
devant un prince: Monseigneur, ces gaz vont avoir l'honneur de se
combiner devant vous.

                                          

DERNIRE CONVERSATION

J'ai t bien mal avant-hier, dit Lagrange, je me sentais mourir; mon
corps s'affaiblissait peu  peu, mes facults morales et physiques
s'teignaient insensiblement; j'observais avec plaisir la progression
bien gradue de la diminution de mes forces, et j'arrivais au terme
sans douleur, sans regrets, et par une pente bien douce; c'est une
dernire fonction qui n'est ni pnible ni dsagrable...

Quelques instants de plus, et il n'y avait plus de fonctions, la mort
tait partout... Je voulais mourir, oui, je voulais mourir; mais ma
femme n'a pas voulu: j'eusse prfr une femme moins bonne, moins
empresse  ranimer mes forces, et qui m'et laiss finir doucement.

J'ai fourni ma carrire; j'ai acquis quelque clbrit dans les
mathmatiques. Je n'ai ha personne; je n'ai point fait de mal; il
faut bien finir.

                                          

IL EST FACILE DE VOIR

Une fois, ayant demand  Laplace quelque explication sur sa mcanique
cleste, je le vis passer prs d'une heure  tcher de ressaisir la
chane des raisonnements qu'il avait supprims en disant ngligemment:
_il est facile de voir que..._

                                                           BIOT.

                                          

DFIS ET PARIS

Autrefois les mathmaticiens se proposaient des problmes les uns aux
autres, ils cachaient leurs propres solutions et le gagnant recevait
une somme d'argent. Les correspondances des savants au XVIe et au
XVIIe sicles sont pleines de piquants dtails  ce sujet. Le P.
Mersenne tait souvent pris pour arbitre. L'Acadmie des sciences a
maintenant rgularis ces concours, en proposant des questions et en
donnant des prix.

Pascal soumit aux recherches des savants ses problmes sur la
cyclode, en promettant une forte somme. Wallis seul trouva les
principales rponses.

Le grand Descartes, au service de la Hollande en 1617, vit contre un
mur une affiche en flamand qu'il se fit traduire par un passant. Il
s'agissait d'un problme difficile propos par un gomtre. Descartes
le rsolut sur le champ.

Jean Bernoulli tenait en mdiocre estime les travaux de son fils
Daniel. Un jour que le pre et le fils avaient concouru dans un de ces
tournois, le mmoire du fils fut prfr  celui du pre qui ne
pardonna jamais  Daniel de l'avoir emport sur lui.

                                          

AUTOBIOGRAPHIE

On lit dans celle que Leibniz a laisse: Taille moyenne. Figure
ple. Mains froides. Pieds et doigts longs. Cheveux d'un brun fonc,
droits et non friss. Vue basse ds l'enfance. Corps maigre. Voix
mince, mais claire, haute plutt que forte. Difficult de prononcer
les gutturales et le _R_.

Aimant les odeurs fortes, les spiritueux; les choses sucres et le
sucre. Ayant l'habitude de mettre du sucre dans son vin.

N'est jamais ni trop gai, ni trop triste.

Se passionne promptement en penses et en paroles et peut  peine se
modrer, mais devient bientt calme et doux.

Got mdiocre pour la conversation, mais la prfrant aux jeux de
cartes et aux exercices qui exigent du mouvement.

Menant et aimant de prfrence une vie sdentaire.

Souriant plus souvent que riant.

Colre prompte et courte.

Commenant une entreprise avec hsitation et la continuant ferme, avec
persvrance.

Mmoire mdiocre.

Plus affect d'un petit mal prsent que d'un grand mal pass.

                                          

DPUT MUET

On raconte que Newton, qui fut membre de la Chambre des Communes, y
restait silencieux et distrait. Il n'ouvrit la bouche qu'une fois pour
prier un huissier de fermer une fentre qui produisait un courant
d'air.

Peu parlementaire, quoique anglais, mais pratique.

                                          

DOUZE FOIS DOUZE?

Lagny, le mathmaticien, tait  l'agonie; on le croyait dj mort,
lorsqu'un de ses confrres lui demanda: Douze fois douze? Cent
quarante-quatre, rpondit faiblement le moribond.

D'autres prtendent que l'exprience a t faite sur l'abb Bossut.

                                          

LE TONNEAU

Comme je venais de me marier, dit Kepler, la vendange tant abondante
et le vin  bon march, il tait du devoir d'un bon pre de famille
d'en faire provision et de garnir ma cave. Ayant donc achet plusieurs
tonneaux, quelques jours aprs, je vis arriver mon vendeur pour fixer
le prix en mesurant leur capacit: sans excuter aucun calcul, il
plongeait une baguette de fer dans chaque tonneau et dclarait
immdiatement leur contenance.

Sous l'influence d'un bon gnie qui sans doute tait gomtre, les
constructeurs de tonneaux leur ont prcisment donn la forme qui,
pour une mme longueur donne  la ligne mesure par les jauges, leur
assure la plus grande capacit possible; et comme aux environs du
maximum les variations sont insensibles, les petits carts accidentels
n'exercent aucune influence apprciable sur la capacit, dont la
mesure expditive est par suite suffisamment exacte.

..... Qui peut nier que la nature seule, sans aucun raisonnement,
puisse engendrer la gomtrie, lorsqu'on voit nos tonneliers, conduits
par leurs yeux et par l'instinct du beau, deviner la forme qui se
prte le mieux  une mesure exacte!

                                          

GOMTRE AU POUVOIR

Gomtre de premier rang, Laplace ne tarda pas  se montrer
administrateur plus que mdiocre; ds son premier travail, nous
reconnmes que nous nous tions tromp. Laplace ne saisissait aucune
question sous son vritable point de vue; il cherchait des subtilits
partout, n'avait que des ides problmatiques, et portait enfin
l'esprit des _infiniment petits_ jusque dans l'administration.

                                                       NAPOLON.

                                          

MODESTIE

Je vais dans quelques jours entrer dans ma quatre-vingtime anne;
j'ai dj vcu prs de deux ans de plus que M. de Lagrange qui n'a
vcu que soixante-dix-sept ans et soixante-dix-sept jours, et d'un an
de plus que M. de Laplace qui a vcu soixante-dix-huit ans moins
dix-huit jours; je dois donc compter un  un les jours qu'il plaira 
Dieu de m'accorder, et je n'ai pas un moment  perdre pour achever la
tche que j'ai entreprise dans la vue de complter, par un dernier
effort, mes travaux sur les fonctions elliptiques et sur les
transcendantes analogues..... C'est, en effet, la gloire de M. Abel
que je mettrai dans tout son jour, en faisant voir que son thorme
gnralise  l'infini tous ceux que l'immortel Euler avait dcouverts
sur les fonctions elliptiques. Une nouvelle branche d'analyse, bien
plus vaste que celle des fonctions elliptiques, est ouverte par ce
thorme admirable.

                                                       LEGENDRE.

                                          

AVEUGLES

Saunderson, quoique aveugle, fut professeur de mathmatiques et
d'optique,  l'Universit de Cambridge.

Le clbre Euler tait aveugle, lorsqu'il composa son algbre, si
simple et si attrayante.

Plateau, de Gand, atteint de ccit, a continu ses recherches sur les
figures d'quilibre des liquides.

Le jeune aveugle Penjon, qui suivait les cours du lyce Charlemagne, a
eu en 1806 un prix de mathmatiques au concours gnral et il a t
nomm professeur de ces sciences au lyce d'Angers.

                       ------

L'homme pense plus librement lorsqu'il ferme les yeux: il est moins
distrait par les choses extrieures.

                       ------

On appelle problme de Molyneux (gomtre anglais du XVIIIe sicle) le
problme suivant: Un aveugle-n devenu subitement clairvoyant par une
opration, pourrait-il tout d'abord et sans le secours du toucher
distinguer une sphre d'un cube et dire: Voici la sphre et voil le
cube?

                                          

SUR L'CHAFAUD

Le 12 novembre 1793, lorsque l'astronome Bailly, ancien maire de
Paris, fut conduit  l'chafaud, un des gardes l'interpella: Tu
trembles, Bailly. Oui, je tremble, rpondit ce dernier, mais c'est
de froid.

                                          

SAVANTS FOUS

Le clbre algbriste Cardan, qui tait mdecin, a cherch si les
remdes agissent d'aprs les progressions arithmtiques ou
gomtriques des doses. Ayant foi en l'astrologie, il avait tir son
horoscope et rgl en consquence sa fortune. Mais le terme qu'il
avait fix tant arriv, il se trouva rduit  une si grande misre
qu'il dut mettre fin  ses jours.

                       ------

Un autre, Fatio de Duiller, avait annonc qu'il ressusciterait un
mort, mais le mort rsista.

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Il y a peu d'annes, l'Acadmie des sciences a dcern le prix dans un
concours de hautes mathmatiques  un mmoire dont l'auteur s'est
trouv tre un pensionnaire de la maison nationale de Charenton. Il
n'y avait pas d'inadvertance. Le mmoire tait de tout premier mrite,
d'autre part, l'auteur n'avait pas du tout song  protester d'une
faon dtourne contre son sort. Sa raison tait atteinte, mais non
pas le casier des mathmatiques. Et qui sait si ce n'est pas
l'activit de cette portion privilgie de la matire crbrale qui
avait atrophi une partie du reste?

                                          

DEUX TRISTES PERSONNAGES

L'un est le trop fameux Libri, savant et rudit, auteur d'une histoire
des Mathmatiques en Italie, qui a pill nos bibliothques dont il
tait l'Inspecteur. Il s'est sauv en Angleterre, il a t condamn
par les tribunaux, et il est mort misrablement en 1869. Notre
Bibliothque nationale a pu racheter la plupart des livres rares dont
elle avait t dpouille.

                       ------

L'autre est l'escroc Vrain Lucas qui a mystifi le gomtre Chasles en
lui vendant, de 1867  1869, des autographes d'aprs lesquels Pascal
aurait fait la plupart des dcouvertes attribues  Newton. Le
faussaire a t condamn  deux ans de prison: il avait avou avoir
fait et trafiqu plus de vingt mille faux autographes.

                                          

MARIAGE

Dans ce temps-l, sauf de rares exceptions, les savants, les
mathmaticiens surtout, taient regards dans le monde comme des tres
d'une nature  part. On aurait voulu leur interdire le concert, le
bal, le spectacle, comme  des ecclsiastiques. Un gomtre qui se
mariait semblait enfreindre un principe de droit. Le clibat passait
pour la condition oblige de quiconque s'adonnait aux sublimes
thories de l'analyse. Le tort tait-il tout entier du ct du public?
Les gomtres ne l'avaient-ils pas eux-mmes excit  voir la question
sous ce jour-l?...

D'Alembert reoit indirectement de Berlin la nouvelle que Lagrange
vient de donner son nom  une de ses jeunes parentes. Il est quelque
peu tonn qu'un ami avec lequel il entretient une correspondance
suivie ne lui en ait rien dit. Cela mme ne le dtourne pas d'en
parler avec moquerie: J'apprends, lui crit-il, que vous avez fait ce
qu'entre nous philosophes nous appelons le saut prilleux... Un grand
mathmaticien doit, avant toutes choses, savoir calculer son bonheur.
Je ne doute pas qu'aprs avoir fait ce calcul, vous n'ayez trouv pour
solution le mariage.

Lagrange rpond de cette trange manire: Je ne sais pas si j'ai bien
ou mal calcul, ou, plutt, je crois ne pas avoir calcul du tout; car
j'aurais peut-tre fait comme Leibniz qui,  force de rflchir, ne
put jamais se dterminer. Je vous avouerai que je n'ai jamais eu de
got pour le mariage,... mais les circonstances m'ont dcid... 
engager une de mes parentes...  venir prendre soin de moi et de tout
ce qui me regarde. Si je ne vous en ai pas fait part, c'est qu'il m'a
paru que la chose tait si indiffrente d'elle-mme, qu'il ne valait
pas la peine de vous en entretenir.

                                                          ARAGO.

                                          

RECONSTRUCTION

Le gnral Poncelet, officier du gnie sous le premier empire, fut
fait prisonnier pendant la terrible guerre de Russie et intern 
Saratof, sur le Volga. Lorsque, pour se distraire, il voulut
travailler les mathmatiques, il constata qu'il les avait compltement
oublies, par suite du froid et de la fatigue. Alors, sans aucun
livre, il reconstitua peu  peu toutes ces sciences  sa manire. Il a
conserv et publi ses notes, pleines d'aperus nouveaux et tout 
fait personnels.

                                          

PORTRAITS

Le _mathmaticien_, du flamand Bol, est au muse du Louvre. Le savant,
en noir, tient d'une main une rgle et de l'autre il montre une figure
gomtrique; il est grave et semble mditer.--Il y a aussi _un
mathmaticien_, de Vlasquez, au muse de Besanon.

                                          

UNE CASQUETTE

Lorsqu'en 1826, Abel, mathmaticien sudois, vint  Paris voir nos
savants, il tait coiff d'une casquette trange qui lui nuisit
beaucoup.

Abel, mort jeune, avait du gnie: c'est lui qui a dcouvert les
fonctions dites abliennes et tabli l'impossibilit de la rsolution
_algbrique_ des quations de degr suprieur au quatrime.

                                          

DNOMINATEUR  LA MAISON

Dans un cours public, le professeur, M. Lefbure de Fourcy, crivant
au tableau d'aprs ses notes une trs longue formule, dut s'excuser en
disant: Messieurs, j'ai oubli le dnominateur  la maison.

                                          

DISTRACTIONS

Distrait comme un mathmaticien, est un dicton justifi. Le grand
Newton a donn le mauvais exemple: un jour, ne voulant pas interrompre
son travail, il se prparait un oeuf  la coque, lorsqu'au bout d'un
moment, il s'aperut qu'il tenait l'oeuf  la main et qu'il avait fait
cuire sa montre  secondes, bijou du plus grand prix,  cause de sa
prcision.

Le mme Newton avait habitu ses chats  s'installer sans faon dans
son cabinet de travail, mais la longueur des calculs du savant lassait
souvent leur patience proverbiale. Les vieux matous allaient se mettre
en expectative prs de la porte; les plus jeunes, plus impatients,
miaulaient imprieusement pour qu'on leur ouvrt. Continuellement
interrompu, le savant se dcida  faire une chattire juste assez
grande pour laisser passer les petits flins qui taient les plus
turbulents de la troupe. Mais les gros, qui voyaient les petits aller
et venir  leur guise, se livrrent  un tel sabbat que Newton prit
enfin le parti de faire pratiquer une grande chattire _ ct de la
petite_.

                       ------

Ampre, surnomm le distrait, remarqua, une fois qu'il se rendait 
son cours, un petit caillou sur son chemin, et comme il n'tait pas un
savant exclusif, il le ramassa et l'examina. Tout  coup, le cours
qu'il doit faire revient  son esprit, il tire sa montre, s'apercevant
que l'heure approche, il double prcipitamment le pas, remet le
caillou dans sa poche et lance sa montre par-dessus le parapet du pont
des Arts.

Ampre ne manquait jamais, lorsqu'il avait termin une dmonstration
sur le tableau,  l'cole polytechnique, d'essuyer les chiffres avec
son mouchoir et de remettre dans sa poche le torchon traditionnel,
toutefois, bien entendu, aprs s'en tre pralablement servi.

Enfin Ampre se mit un jour  calculer sur la caisse noire d'un
fiacre, avec le bout de craie qu'il portait toujours sur lui. Le
fiacre se mettant en marche, le mathmaticien le suivit en courant
pour continuer ses quations.

                       ------

Mais, voici qui est plus fort: on raconte qu'un gomtre, dont le nom
nous chappe, quittant Paris pour aller se marier en province et
craignant d'oublier la chose, avait crit en grosses lettres sur son
calepin me marier en passant  Tours.

                                          

AUTEUR EMBARRASS

De tous les mtiers actuels, le plus dur est celui d'crire des livres
de mathmatiques, et surtout des livres astronomiques.

Si, en effet, vous oubliez d'observer la rigueur propre des
propositions et de leur enchanement, des dmonstrations et des
conclusions, le livre n'offre pas le caractre mathmatique. Si, au
contraire, vous en tenez compte, la lecture devient trs pnible...

Moi-mme,... lorsque je viens  relire le prsent ouvrage, je sens les
forces de mon esprit s'affaiblir pendant que je rappelle  mon
souvenir, en voyant les figures, les lments des dmonstrations que,
ds l'origine, j'avais tires de mon esprit, pour les traduire... en
langage ordinaire. Aussi, pendant que je remdie  l'obscurit du
sujet par un tissu de circonlocutions, me semble-t-il que, par un
dfaut contraire, je deviens trop verbeux en matire mathmatique.

Or la prolixit a aussi son obscurit, non moins que la concision
extrme....

                                                         KEPLER.

                                          

DE L'ARGENT

La reine d'Angleterre, ayant daign visiter une nuit l'Observatoire de
Greenwich, exprima  Bradley l'intention de lui faire allouer un
traitement plus convenable. Je supplie Votre Majest de ne pas donner
suite  son projet, rpliqua Bradley. Si la place de Directeur
rapportait de l'argent, ce ne serait plus un astronome qui demeurerait
ici.

                                          

NEZ PERDU

L'astronome Tycho-Brahe, voyageant en Allemagne, se prit de querelle
avec un savant,  propos d'un thorme. Un duel s'en suivit, et le
pauvre Tycho y perdit son nez! Il dut s'en faire mouler un en cire.

                                          

BONS JOUEURS

C'est une ide trs gnralement rpandue que la plupart des
personnes que l'on sait adonnes aux mathmatiques passent aussi pour
tre habiles au jeu d'checs. Ce jugement est habituellement formul
par des gens qui, ne connaissant pas le jeu d'checs, s'imaginent
qu'en raison de sa difficult et de la grande attention qu'il exige,
il emprunte ncessairement des ressources  l'emploi des
mathmatiques, qu'il ne saurait tre convenablement jou que par des
mathmaticiens, et enfin, qu'il doit tre naturellement jou par des
mathmaticiens.

Il est pourtant bien tabli que le jeu d'checs n'a aucune relation
avec les mathmatiques. Il n'y a pas eu et il n'y aura sans doute
jamais d'ouvrage traitant de la thorie mathmatique du jeu d'checs,
pas plus d'ailleurs que du jeu de dames; tandis qu'il existe des
tudes mathmatiques du jeu d'cart (Dormoy), du jeu de billard
(Coriolis), et de certains autres.

Il est  prsumer que si les mathmaticiens passent pour connatre ou
aimer le jeu d'checs, c'est sans doute parce que les mathmaticiens
ayant l'esprit familiaris avec les notions de rapport et de
combinaison, aperoivent rapidement le pour et le contre de chaque
trait du jeu. Mais, encore une fois, s'il existe,--et nous en
connaissons,--des mathmaticiens trs habiles au jeu d'checs, il ne
s'en suit vraiment pas qu'on puisse tendre cette qualit  tous les
mathmaticiens indistinctement.

Voir, dans Edgar Poe, l'_Automate joueur d'checs_. Aucun coup dans
le jeu des checs ne rsulte ncessairement d'un autre coup
quelconque.

                                          

BONHOMIE

L'acadmicien Ozanam, l'auteur des _Rcrations mathmatiques_, disait
qu'il appartient  la Sorbonne de disputer, au pape de dcider et au
mathmaticien d'aller au ciel en ligne perpendiculaire.

                                          

MODESTIE

Sturm, lorsqu'il parlait du clbre thorme qu'il a dcouvert,
disait: le thorme dont j'ai l'honneur de porter le nom.

                                          

COUP DE FOUDRE

Parfois le mathmaticien rflchit longtemps sur une question sans
parvenir  rien trouver et tout  coup, parfois mme au moment o il y
songe le moins, une ide se prsente  son esprit et l'envahit tout
entier; puis, sans tre arrte par aucun obstacle, elle se dveloppe
et amne aprs elle la srie de ses consquences logiques: c'est un
trait de lumire; tout ce qui avait embarrass le savant devient
clair, tout s'explique et s'enchane; il est dans une sorte d'ivresse
dlicieuse, de transport, d'extase. Mais parfois il est pris de
craintes et de scrupules: il tremble d'avoir cru trop vite aux
suggestions de son imagination et d'avoir t la dupe d'une illusion;
tout cela lui semble trop beau pour tre vrai. Il revient en arrire,
il contrle par le raisonnement l'exactitude de conjectures et il en
reconnat la justesse, c'est--dire la rigueur logique.

                                                       E. JOYAU.

                                          

HUMILIT

Je demande que cet ouvrage soit lu avec indulgence, et que les dfauts
invitables dans une matire aussi difficile, soient moins un sujet de
blme qu'une occasion de tentatives nouvelles et de recherches plus
heureuses.

                                                         NEWTON.

                       ------

Cet extrait de la prface du grand livre des _Principes_ nous montre
combien les hommes de gnie sont modestes.

                                          

MORT D'ARCHIMDE

Archimde tait seul, occup  rflchir sur une figure de gomtrie,
les yeux et la pense tout entiers  cette mditation, et ne
s'apercevant ni du bruit des Romains qui couraient par la ville, ni de
la prise de Syracuse. Tout  coup un soldat se prsente et lui ordonne
de le suivre devant Marcellus. Archimde voulut rsoudre auparavant le
problme, et en tablir la dmonstration; mais le soldat en colre
tira son pe et le tua.

D'autres disent que le Romain arriva droit sur lui l'pe nue pour le
tuer; qu'Archimde le pria, le conjura d'attendre un instant, pour
qu'il ne laisst pas son problme inachev et sans dmonstration, mais
que le soldat, ne se souciant pas du problme, l'gorgea.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quoi qu'il en soit, tout le monde s'accorde  dire que Marcellus en
fut vivement afflig; qu'il repoussa, comme sacrilge, le meurtrier
d'Archimde, et qu'il fit chercher et traita honorablement les parents
de la victime.

                                                      PLUTARQUE.

                                          

EFFORTS GLORIEUX

Il est bien rude le travail que j'ai dj accompli, et bien rude celui
que j'entreprends d'accomplir encore. Ce n'est ni le labeur ni la
mmoire qui me conduiront au but: ils ne sont que d'humbles esclaves
au service de l'ide pure qui se dirige elle-mme. Mais la mditation
opinitre, celle qui brise le front, exige plus de puissance que le
labeur le plus soutenu. Si grce  un exercice continuel de cette
mditation, j'y ai acquis quelque force, qu'on ne dise pas qu'elle me
soit devenue facile par quelque heureux don de la nature. C'est un
rude, bien rude travail qu'il me faut soutenir, et le tourment
d'esprit que me causent ces efforts a souvent branl gravement ma
sant. Mais la conscience de la force acquise me donne de mon travail
la plus belle rcompense, et m'encourage de nouveau  le poursuivre
sans relche. Des hommes sans ides, pour qui ce travail et par suite
cette conscience qu'on a de sa force sont choses tout  fait
inconnues, cherchent  dtruire cette consolation, qui seule pourtant
peut empcher l'esprit de se laisser dfaillir dans cette pnible
carrire, en rendant odieuse, sous les noms de prsomption et
d'orgueil, la conscience qu'on a d'tre indpendant et libre; car
c'est par le mouvement seul de la pense que l'homme est libre et
s'appartient. Quiconque porte en soi l'ide d'une science, ne peut
manquer d'apprcier les choses d'aprs la manire dont l'intelligence
humaine s'y rvle: de ce point de vue lev, bien des choses devront
lui paratre futiles, qui peuvent sembler aux autres d'un assez grand
prix.

                                         CHARLES-GUSTAVE JACOBI.

                                          

POSTILLON

En 1829, quand le grand mathmaticien (Ampre), atteint des premiers
symptmes d'une maladie de larynx, voyageait sur la route d'Hyres, o
il allait chercher le repos et le soleil, assis au fond d'une calche
 ct de son fils qui l'accompagnait, il se chargeait volontiers de
payer les postillons. Aux portes d'Avignon, dans ce pays dj
mridional, o le langage populaire se colore et s'accentue
d'pithtes nergiques, Andr Ampre essayait laborieusement de rgler
ses frais de route; mais d'un ct la distraction, de l'autre
l'impatience, embrouillaient incessamment toutes ses additions.

L'affaire s'arrange enfin au gr de l'Avignonnais, qui reoit son
pourboire et dit d'un air de superbe ddain: En voil un _mtin_ qui
n'est pas malin! O celui-l a-t-il appris  _carculer_?

Tout entier  l'admiration que m'inspirait le gnie de mon pre,
disait notre ami (J.-J. Ampre), en rappelant ses souvenirs, je
l'coutais parler sur la classification des connaissances humaines,
quand cet incident vint nous interrompre.

                                                       Mme H. C.

                                          

PARESSE

Les grands gomtres connaissent cette espce de paresse, qui prfre
la peine de dcouvrir une vrit  la contrainte peu agrable de la
suivre dans l'ouvrage d'autrui. En gnral ils se lisent peu les uns
les autres, et peut-tre perdraient-ils  lire beaucoup: une tte
pleine d'ides empruntes n'a plus de place pour les siennes propres,
et trop de lecture peut touffer le gnie.

                                                     D'ALEMBERT.

                                          

DSINTRESSEMENT

Au retour de son voyage astronomique au Cap de Bonne-Esprance, l'abb
La Caille avait obtenu la faveur de faire passer en France toutes ses
malles, affranchies des droits de visite. Il pouvait,  cette
occasion, faire un gain considrable et l'on fut surpris, lorsqu'au
lieu de prendre des marchandises, il se borna  remplir une grande
valise de paille et d'instruments. Quoique doux, il reut fort mal un
particulier qui lui offrit alors cent mille livres comptant, s'il
voulait lui transmettre secrtement son privilge.

On avait allou  l'astronome dix mille livres pour tous ses frais et
ceux de son aide pendant l'expdition qui dura quatre ans (1750-1754).
Il ne dpensa que 9145 livres et il s'empressa de rembourser le
restant au trsor. Il parat qu'on fit des difficults pour accepter,
le cas n'tant pas prvu par les rglements.

                                          

ZOZO

Le recteur de Montpellier, nomm Gergonne, tait un de ces types
complets de la vieille Universit. Son visage orn d'un long nez en
forme de bec  corbin, ne se dridait jamais; ses lvres serres et
ddaigneuses ne s'ouvraient que pour laisser passer la critique, le
reproche ou des mots piquants. Malheur au professeur qui osait
s'carter des bornes du programme ou quitter les routes battues!
Jubinal, titulaire du cours de littrature trangre, en fit l'preuve
 ses dpens. Instruit de la forme un peu lgre et de la dsinvolture
de son enseignement, le vieux Gergonne vint l'entendre un jour; puis
le faisant appeler, le rprimanda vertement et le somma de devenir
plus srieux, sous peine de suspension. Jubinal, ayant rpondu, pour
s'excuser, qu'il y avait beaucoup de monde  son cours:--Monsieur, dit
Gergonne, de sa voix aigre et mordante comme des tenailles, Zozo, le
charlatan du Peyrou, en a encore plus que vous!

Ce fut un mot malheureux pour le professeur de littrature trangre,
que les tudiants n'appelrent plus que Zozo.

                                                     MARY-LAFON.

                                          

ROBINSON

Encore enfant, Lacroix s'tait mu  la lecture des aventures
romanesques de Robinson Cruso. Lui aussi, il voulait trouver cette
le fortune o il serait possible de mener, dans la compagnie de sa
mre, une vie plus tranquille et moins prouve par la pauvret. Cette
ide qui a inspir plus d'un beau rve  de jeunes esprits, captiva
son ardente imagination et excita son ardeur pour le travail. La
construction du vaisseau qui devait le transporter vers ces rives
enchantes exigeait des connaissances approfondies, il les chercha
dans des traits spciaux; les termes de gomtrie l'arrtaient
frquemment, il en demanda l'explication et le commentaire aux cours
que Mauduit faisait alors au Collge de France. C'est sur les bancs de
cette cole que son rve devait finir...  dix-sept ans, Lacroix
professait les mathmatiques  l'cole des Gardes de la Marine 
Rochefort.

                                                     J. LORIDAN.




PROFESSEURS ET TUDIANTS


EXAMINATEUR

On trouvait Monge inflexible chaque fois que l'intrt public semblait
exiger qu'il ft prvaloir les dcisions de l'examinateur. Vous avez
refus un candidat qui appartient  de bien puissantes familles, lui
disait le marchal de Castries, ministre de la marine. Votre dcision
me donne mille tracas; je suis accabl de rclamations.--Vous tes
parfaitement le matre, repartit l'austre examinateur, d'admettre le
candidat qui m'a paru inacceptable; mais si vous prenez cette
dcision, Monsieur le marchal, il faudra supprimer en mme temps la
place que j'occupe. Les fonctions que je remplis ne seraient plus
ensuite ni utiles ni acceptables. Le candidat inadmissible ne fut pas
admis.

                                          

RCOMPENS

Dans ma longue carrire de professeur et d'examinateur, dit Lam, rien
ne m'a plus tonn que la brusque et subite apparition de la facult
du raisonnement mathmatique chez un lve que je suivais depuis
plusieurs annes, plein de bonne volont, de zle pour le travail, du
dsir de comprendre ce qu'il tait forc d'abandonner  la mmoire,
seule active chez lui. Un jour,  un certain instant, au milieu d'une
dmonstration mainte fois rpte, une porte s'ouvrit tout  coup dans
son esprit: il comprenait! La joie, l'motion de l'lve ne sauraient
se dcrire... Ds le lendemain son lan tait pris, et il regagnait 
pas de gant les retards du pass, de manire  primer tous ses
camarades.

                                          

PONCTUALIT

Poisson avait un genre de mrite dont se dispensent trop souvent
ceux-l mmes qui ne pourraient invoquer pour excuse le rang qu'ils
occupent dans la science: l'exactitude. Jamais il ne manqua une leon
sans tre retenu au lit par la maladie; jamais, tant que sa voix put
se faire entendre, il ne confia  un supplant la satisfaction
d'initier  la science la jeunesse studieuse. On pourrait vraiment, en
y changeant un seul mot, appliquer  ce savant les paroles qui
terminent l'loge d'Euler par Condorcet: Tel jour, Poisson cessa de
professer et de vivre.

                                          

TOUCHANTE RCIPROQUE

Jamblique raconte que Pythagore, ayant distingu un ouvrier, lui
enseigna les mathmatiques, en le payant trois oboles par thorme:
c'tait le prix de la journe de l'ouvrier. Bientt, pour prouver son
lve, le philosophe feignit d'tre tomb dans la misre et le jeune
homme lui offrit  son tour trois oboles pour chaque nouveau thorme.

                                          

RAIDEUR

Nous empruntons  Arago, le rcit de ses examens d'entre et de sortie
 l'cole Polytechnique.

Mon camarade, intimid, choua compltement. Lorsqu'aprs lui, je me
rendis au tableau, il s'tablit entre M. Monge (le jeune),
l'examinateur et moi, la conversation la plus trange: Si vous devez
rpondre comme votre camarade, il est inutile que je vous interroge.

--Monsieur, mon camarade en sait beaucoup plus qu'il ne l'a montr;
j'espre tre plus heureux que lui, mais ce que vous venez de me dire
pourrait bien m'intimider et me priver de tous mes moyens.

--La timidit est toujours l'excuse des ignorants; c'est pour vous
viter la honte d'un chec que je vous ai fait la proposition de ne
pas vous examiner.

--Je ne connais pas de honte plus grande que celle que vous m'infligez
en ce moment. Veuillez m'interroger, c'est votre devoir.

--Vous le prenez de bien haut, monsieur! Nous allons voir tout 
l'heure si cette fiert est lgitime.

--Allez, monsieur, je vous attends!

M. Monge m'adressa alors une question de gomtrie  laquelle je
rpondis de manire  affaiblir ses prsomptions. De l, il passa 
une question d'algbre,  la rsolution d'une quation numrique. Je
savais l'ouvrage de Lagrange sur le bout du doigt....

J'tais depuis deux heures et quart au tableau; M. Monge passant d'un
extrme  l'autre, se leva, vint m'embrasser et dclara solennellement
que j'occuperais le premier rang sur sa liste.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'examinateur tait cette fois l'illustre gomtre Legendre.

... On venait d'emporter un lve compltement vanoui.

Comment vous appelez-vous? me dit-il brusquement.--Arago,
rpondis-je.--Vous n'tes donc pas Franais...

M'ayant fait une question qui exigeait l'emploi des intgrales
doubles, il m'arrta en me disant: La mthode que vous suivez ne vous
a pas t donne par le professeur. O l'avez-vous prise?--Dans un de
vos mmoires.--Pourquoi l'avez-vous choisie? tait-ce pour me
sduire?--Non, rien n'a t plus loign de ma pense. Je l'ai adopte
parce qu'elle m'a paru prfrable.--Si vous ne parvenez pas 
m'expliquer les raisons de votre prfrence, je vous dclare que vous
serez mal not, du moins pour le caractre.

                                          

Un professeur anglais avait habitu ses lves  se lever  chaque
grand nom de mathmaticien qu'il prononait et  pousser un hurrah
lorsqu'il tait question d'Archimde ou de Newton.

                                          

PETITS MANDARINS

En Chine, tous les trois ans, le 8e jour de la 8e lune, les candidats
sont enferms dans des espces de niches qui les isolent compltement.
 la porte, se tient un soldat arm d'une lance.

Si deux jeunes gens parvenaient  se communiquer leurs copies, ils
seraient, assure un voyageur, condamns  mort et excuts sur le
champ (?)

Chaque candidat jug par trop faible est puni, dit-on, de cinquante
coups de bambou sur la plante des pieds.

                                          

PRSIDENT

M. Thiers, le prsident de la Rpublique, tait comme Chevreul un
vieil tudiant. La gomtrie lui tait enseigne sur le tard par l'un
de nos savants, M. Mannheim, qui lui parla un jour des diverses
sections du cne, mais M. Thiers rpliqua: Allons donc, chacun sait
que la section d'un cne de rvolution par un plan est toujours un
cercle! Vous croyez, M. le Prsident, h bien, nous allons faire
l'exprience sur une carotte.

                                          

CORRESPONDANCE

Un matre d'cole des environs de Mayence rencontra quelques
difficults dans l'arithmtique qu'il enseignait aux enfants du
village. Il en crivit  un homme considrable attach  l'lecteur et
qui avait la rputation d'tre trs vers dans les sciences de calcul.
 quelques semaines de l, l'homme considrable s'excuse auprs du
matre d'cole sur ses nombreuses occupations, de n'avoir pas rpondu
plus tt, et entre ensuite dans tous les dtails ncessaires pour
faire disparatre les difficults arithmtiques.

Cet homme considrable se nommait Leibniz.

                                          

 LA HALLE

Un polytechnicien, marchandant un bouquet et insult par la poissarde,
rpliqua gravement, comme s'il rcitait un thorme: Eh! vas donc,
vieux paralllogramme pyramide tronque, octadre rgulier, espce de
secteur, quation binome, tangente, etc. Stupfaction de la femme.

                                          

UN EXAMEN PRILLEUX

Bezout, examinateur de la marine, arrive  Toulon. Un des lves tait
retenu au lit par la petite vrole; s'il n'est pas examin sur le
champ, sa carrire est perdue. Bezout n'a pas eu la petite vrole, il
redoute extrmement les atteintes de cette terrible maladie;
nanmoins il se rend dans la chambre de l'lve, l'examine et le
reoit.

                                          

SENIOR WRANGLER

 l'Universit de Cambridge, les tudiants d'lite terminent leurs
tudes par une srie d'examens sur les hautes mathmatiques et le
laurat, ou _senior wrangler_, est encore plus ft que notre Prix
d'honneur au concours gnral. En 1890, les examinateurs ont dclar
que, s'ils avaient eu le droit de comprendre dans le classement final
les jeunes filles autorises seulement  prendre une part platonique
au concours, c'est miss Philippa Fawcett qui aurait remport la
victoire.

                                          

LES TROIS HUIT

Certains pdagogues amricains ont rsum ainsi l'emploi du temps
qu'ils proposent pour la jeunesse et qui consiste  rpartir la
journe galement entre le travail, le repos ordinaire et le sommeil.

On sait que, de leur ct, des socialistes rclament aussi la
rduction  huit heures de la journe du travailleur, mme lorsqu'il
est agriculteur ou pcheur.

                                          

DANS L'INDE

Il n'est pas rare... de voir des oprations de mathmatiques,
multiplications de facteurs  plusieurs chiffres, transformations
algbriques ou trigonomtriques faites de tte en un clin d'oeil par
de trs jeunes enfants.

                                                    LE P. GOUB.

                       ------

Les petits Indiens marchent ainsi sur les traces de leurs anctres.

Consulter _Les Mathmatiques aux Indes_, par Delbos.

                                          

RESPONSABILIT

Charg de corriger les compositions crites du concours d'admission 
l'cole polytechnique, Le Verrier crit  son pre: Le concours crit
dont je suis seul charg est une sorte de magistrature que j'exerce et
dont je comprends toute la porte; je ne dormirais plus, si je pensais
que, par distraction, j'ai pu commettre une de ces injustices si
cruelles pour un jeune homme et qui tuent son avenir. J'ai trop
ressenti, il y a peu d'annes, les douleurs d'un candidat pour ne pas
considrer leurs droits comme sacrs.

                                          

FORT EN THME

Nous lisons dans un petit livre anonyme sur l'enseignement: Le fort en
thme et le fort en _x_ vivent en assez bonne intelligence, en se
faisant des concessions rciproques. Le premier ne croit point  la
supriorit relle de son mule. Le second est d'une indulgence
crasante pour les toquades de l'autre.

                                          

GRAND'SOIF

Aux examens de l'cole polytechnique, en 1833, l'Examinateur M.
Reynaud, ayant appel un candidat absent, demande un lve de bonne
volont, pour le remplacer. Le jeune Catalan, pouss par ses
camarades, se risque, quoiqu'il n'ait jamais assist  un examen.
Pauvrement et grotesquement vtu, il a l'air d'un jeune sauvage. Il
hsite au dbut, puis il se relve et mme il brille. Aprs avoir
longuement parl, il aperoit un verre, une carafe d'eau, du sucre,
et... il se prpare un verre d'eau sucre. M. Reynaud accourt, et
s'crie: tes-vous indispos? Non, Monsieur, mais voil longtemps
que je parle: j'ai grand'soif! L'apparente effronterie n'tait que de
la navet. La lgende dura plusieurs annes: Catalan qui boit le
verre d'eau de l'examinateur!




ENFANTS ET IGNORANTS


ENFANT TERRIBLE

Toto tait interrog avec bonhomie par son pre sur la soustraction:
Si tu as huit pommes et que tu m'en donnes trois, combien t'en
reste-t-il?--Le tout petit rplique aussitt: Si j'ai cinq-z-yeux et
que tu m'en crves six, combien qu'i'm'en reste?

                                          

TROP COURT

On dit  un enfant de faire une mesure avec le mtre, il essaye mais
en vain: le mtre n'tait pas assez long!

                                          

REP... D'MATH...

_Loulou._--Rptiteur d'math...

_Papa._--Hein?

_Loulou_, condescendante.--... matique... mathmatiques... nous
disons math... c'est plus court...

_Papa._--En effet...

_Loulou._--C'est du reste pour toi qu'j'avais dit rptiteur
d'math... car on doit dire: l'rep... d'math... c'est le vrai
genre...

_Papa._--Ah!... c'est le genre!... et pourquoi as-tu un rptiteur de
math... puisque math... il y a?

_Loulou._--Parc'que c'est ce qui me chante l'moins!... j'suis oblige
d'les bcher trs dur, ces sales math!...

                                                            GYP.

                                          

PAROLE D'HONNEUR

Lorsqu'au temps jadis, le duc d'Angoulme fut nomm grand-matre de la
Marine, on s'aperut avec stupeur qu'il savait  peine compter.
Immdiatement le plus clbre gomtre de France fut mand pour
l'instruire _en la mathmatique_, comme on disait alors. Mais c'est en
vain qu'il tenta d'en dmontrer les principes les plus lmentaires 
son auguste disciple. Celui-ci l'coutait avec une exquise politesse,
mais en hochant la tte avec un doux air d'incrdulit.--Un jour, 
bout d'arguments, le pauvre matre s'cria: Monseigneur, je vous en
donne ma parole! Que ne le disiez-vous plus tt! Monsieur, rpondit
le duc en s'inclinant: je ne me permettrai plus jamais d'en douter.

                                          

FACTIES GOMTRIQUES

Deux paysans ont chang leurs champs, l'un carr de 6m de ct,
l'autre rectangulaire de 9m de long sur 3 de large, chacun des champs
ayant ainsi 24m de tour. Le second paysan se prtend ls.

Mon arrire-grand-pre, ayant emprunt un sac de bl de 6 pieds de
haut sur 4 pieds de large, en a ensuite rendu quatre de 6 pieds aussi
de haut et d'un pied de large chacun. Le prteur n'a pas accept.

Un jardinier a droit  l'eau que lui apporte un conduit circulaire. Il
paye pour avoir le double d'eau et il double  cet effet le diamtre
du conduit. On lui fait un procs.

                                          

ENTTEMENT

Bernardin de Saint-Pierre ne comprenait pas la question du rayon de
courbure de l'ellipsode terrestre et il fatiguait l'Institut de ses
notes. Apprenez le calcul diffrentiel, lui dit un jour Napolon, et
vous lverez vous-mme vos ridicules objections.

Voir la prface de _La chaumire indienne_ o l'on trouve
l'explication des mares par la fonte des neiges polaires.

                                          

PEU INTELLIGENT

Arago, qui fut un admirable vulgarisateur dans ses cours de
l'Observatoire, regardait toujours celui de ses auditeurs qui lui
paraissait tre le moins intelligent, et lorsque cet auditeur lui
semblait avoir compris, il tait assur de la clart de sa
dmonstration.

Or, un jour, dans un salon o il venait de raconter ce fait, un jeune
homme entra, qu'il ne connaissait pas et dont il eut  subir les
saluts les plus empresss.

-- qui ai-je l'honneur de parler? lui demanda-t-il.

--Oh! monsieur Arago, vous devez bien me connatre, car j'assiste
assidment  vos leons, et vous ne cessez de me regarder pendant tout
le temps.

                                          

CHEZ LES TURCS

On rapporte qu'un ambassadeur, visitant une cole suprieure de
Constantinople, proposa de dmontrer que la somme des angles d'un
triangle est gale  deux angles droits. Aprs mres rflexions, le
collge des Muhendis ou des gomtres conclut  l'exactitude de la
proposition pour le triangle quilatral.

Olry Terquem, auquel nous empruntons l'anecdote, s'est tromp. Le
baron de Tott dit, dans ses mmoires, qu'il lui fut rpondu: C'est
selon le triangle.

                                          

POLICE VOLE

D'aprs un journal de la Triplice (ne pas confondre avec la triple
_x_), la police russe a fait emprisonner un voyageur porteur d'une
Table de logarithmes qu'elle considre comme une longue correspondance
chiffre des plus compromettantes.

Nous faisions  l'cole, un usage plus gai de nos tables de
logarithmes: nous les chantions... d'aprs la mthode Chev.

                                          

DCIMTRE CARR

Sous le gouvernement de Juillet, il a t promulgu une loi sur le
Timbre et l'Enregistrement dans le texte de laquelle le dcimtre
carr tait confondu avec le dixime du mtre carr. Les instituteurs
ont bien ri.

Plus rcemment, la Chambre a impos les verres  vitre dont la surface
est suprieure  50 centimtres de ct.

                                          

JEUNE ANGLAIS

Dickens raconte qu'un tudiant, ayant nglig l'arithmtique,
procdait toujours par addition. Il entra un jour dans une boutique
d'picerie et l'utilit de la multiplication lui fut enfin rvle.

                                          

COMPLAISANCES ASTRONOMIQUES

Un monsieur porteur d'une carte d'entre  l'Observatoire pour
observer une clipse arriva trop tard: Je connais particulirement
Arago, affirma-t-il, il aura la bont de recommencer pour moi.

                       ------

Des signaux de triangulation ayant t tablis prs du chteau de M.
X..., dput, on s'exclamait sur sa grande influence qui lui avait
permis de faire passer le mridien dans son domaine.

                       ------

Un orateur de club, voulant chapper au bon plaisir des
administrateurs municipaux d'Auxerre, demandait que les noms des
quartiers du Nord, de l'Est, du Sud et de l'Ouest fussent tirs au
sort.

                                          

COMTES

Un jour viendra o le cours des comtes sera connu et assujetti  des
rgles comme celui des plantes.

                                                        SNQUE.

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  Je viens vous annoncer une grande nouvelle:
  Nous l'avons, en dormant, Madame, chapp belle.
  Un monde prs de nous a pass tout du long,
  Est chu tout au travers de notre tourbillon;
  Et s'il et en chemin rencontr notre terre,
  Elle et t brise en morceaux comme verre.
                                                        MOLIRE.

Nous avons ici une comte qui est bien tendue, c'est la plus belle
queue qu'il soit possible de voir. Tous les plus grands personnages
sont alarms et croient que le ciel, bien occup de leur perte, en
donne des avertissements par cette comte. On dit que le cardinal
Mazarin, tant dsespr des mdecins, les courtisans crurent qu'il
fallait honorer son agonie d'un prodige, et lui dirent qu'il
paraissait une grande comte qui leur faisait peur. Il eut la force de
se moquer d'eux, et leur dit plaisamment que cette comte lui faisait
trop d'honneur. En vrit on devrait en dire autant que lui, et
l'orgueil humain se fait aussi trop d'honneur de croire qu'il y ait de
grandes affaires dans les astres quand on doit mourir.

                                                 Mme DE SVIGN.

                       ------

  Comtes que l'on craint  l'gal du tonnerre,
  Cessez d'pouvanter les peuples de la Terre:
  Dans une ellipse immense achevez votre cours;
  Remontez, descendez prs de l'astre du jour;
  Lancez vos feux, volez et revenant sans cesse,
  Des mondes puiss ranimez la vieillesse.
                                                       VOLTAIRE.

                       ------

  D'avance,  l'avenir, nous crivons leur route:
  Nous disons  celui qui n'est pas encor n,
  Quel jour, au point du ciel, tel astre ramen
  Viendra de sa lueur clairer l'tendue,
  Et rendre au firmament son toile perdue.
                                                      LAMARTINE.

                                          

OPINIONS AMRES

L'enseignement mathmatique fait l'homme machine et dgrade la pense.
L'me d'un peuple n'est pas ce chiffre muet et mort  l'aide duquel il
compte des quantits et mesure des tendues: la toise et le compas en
font autant.

                                                      LAMARTINE.

                       ------

Dfiez-vous des ensorcellements et des attraits diaboliques de la
gomtrie.

                                                        FNELON.

                       ------

Un mathmaticien de plus, un homme de moins.

                                                      DUPANLOUP.

                       ------

Le naturaliste Owen demandait en souriant une sous-classe, celle de
l'_homo mathematicus_.

                                          

ASTROLOGIE

L'astrologie est la fille de l'astronomie, mais c'est la fille trs
folle d'une mre trs sage.

                                                       VOLTAIRE.

                       ------

De quoi vous plaignez-vous, philosophes dlicats, si une fille que
vous estimez folle soutient et nourrit sa mre qui est sage mais
pauvre? Les hommes ne sont-ils pas encore plus fous de ne pouvoir
supporter la mre qu' cause des folies de sa fille? Pensez-vous
qu'ils eussent jamais tudi la science pour elle-mme, s'ils
n'eussent espr d'arriver ainsi  lire l'avenir dans le ciel? Si vous
prtendez que la science vous mne  la philosophie, vous attendrez
longtemps.

                                                         KEPLER.

                       ------

Le grand Kepler, pour se procurer quelque argent et continuer ses
travaux, dut se rsigner  publier des almanachs avec des prophties.

                                          

ARCHITECTE MAL PAY

Le premier des czars, Ivan IV, demanda  un gomtre combien il
faudrait de briques pour construire un btiment rgulier dont il lui
indiqua les dimensions. La rponse fut rapide et l'exprience la
justifia, aussi Ivan, dit le terrible, fit-il brler le
calculateur..... comme sorcier.

                                          

GAL  ZRO

Un gentilhomme, membre amateur de l'Ancienne Acadmie des Sciences,
ayant entendu disserter sur les quations, n'abordait plus ses
confrres de mathmatiques qu'en leur demandant: Est-ce que c'est
toujours gal  zro?

                                          

CLIPSE DU COLONEL

On annonait une clipse de soleil. La veille au soir, le colonel d'un
rgiment fait venir tous les sergents et leur dit: Une clipse de
soleil aura lieu demain matin. Le rgiment se runira sur la place
d'armes en petite tenue. Je viendrai moi-mme expliquer l'clipse
avant l'exercice. Si le temps est couvert, on se runira au mange
comme d'habitude.

Aussitt les sergents de rdiger leur ordre du jour:

Une clipse de soleil aura lieu demain matin, par ordre du colonel.
Le rgiment se runira sur la place d'armes, o le colonel viendra
diriger l'clipse en personne. Si le temps est couvert, l'clipse aura
lieu dans le mange.

                                          

 DIX MOIS

Bien avant de savoir compter, l'enfant se fait une certaine ide des
nombres. M. Preyer parle d'un petit de dix mois auquel il tait
impossible d'emporter une de ses neuf quilles sans qu'il s'en apert.
 dix-huit mois, cet enfant avait t habitu  apporter  sa mre
deux mouchoirs qu'il remportait ensuite  leur place; il ne lui en fut
rendu un jour qu'un seul, il vint chercher le second avec un regard et
des intonations qui indiquaient son dsir de l'obtenir.

Voir sur les ides enfantines de grandeur et de nombre les expriences
de M. Binet, dans la _Revue philosophique_ de juillet 1890.

                                          

VALEUR RELATIVE

Un marin, arrivant d'Australie, avec une caisse de coquillages
prcieux, en prend un et se rend chez un marchand de curiosits.

--Voulez-vous m'acheter ce coquillage?

--Certainement, c'est superbe, j'en donne vingt-cinq francs.

--Vingt-cinq francs, s'crie le marin avec joie, mais me voil riche,
j'en ai apport six mille.

--Doucement, dit le marchand, si vous en avez six mille... a vaut
deux sous pice.

                                          

CANCRE

Il passait pour tel, ce pauvre garon, jusqu' l'incident qu'il nous
raconte ainsi:

Mon attention tait si tendue, que par moment je retenais mon
haleine, comme un plongeur. Pas  pas, je suivis la dmonstration, et
je fus littralement abasourdi, lorsque le professeur arriva  la
conclusion, en m'apercevant que j'avais tout compris jusqu'au dernier
mot.

Aprs la joie de dcouvrir la vrit par lui-mme, la plus grande joie
pour un homme, dans l'ordre des joies de l'esprit, est celle de
concevoir la vrit dmontre. Il est probable que mon contentement se
marqua sur ma figure car, lorsque le professeur se retourna de notre
ct, il me sembla que c'tait moi qu'il regardait plus
particulirement.

Quand il demanda, comme d'habitude: Quelqu'un dsire-t-il venir au
tableau pour reprendre cette dmonstration? quelques mains se
levrent, la mienne fut du nombre. Pourquoi? Comment? Je ne saurais
vraiment le dire, car lorsque je m'en aperus, il me sembla qu'elle
s'tait leve spontanment, de sa propre autorit, sans me demander
mon assentiment. Ce fut moi que le professeur dsigna d'un signe de
tte plein de bienveillance.

                                                 JULES GIRARDIN.

                                          

FIN DU MONDE

Lalande avait prpar en 1773 pour l'Acadmie des sciences un mmoire
qu'une circonstance quelconque l'empcha de lire. Le bruit se rpandit
dans le public que l'astronome y prdisait  courte chance la
destruction de notre plante. L'motion fut telle que le lieutenant de
police demanda  lire le mmoire; il n'y trouva rien d'alarmant et,
pour calmer les esprits, il en ordonna la publication immdiate.
Toutefois beaucoup de personnes restrent persuades qu'on avait
supprim le passage menaant. On lit dans une chanson de l'poque:

  Oui, de vous landerirette
  Monsieur Lalande rira.

                                          

TREIZE  TABLE

  Voyez-vous treize humains en troupe,
  Attabls et mangeant la soupe,
  Sachez que l'un d'iceux sera
  Trpass quand l'an finira.

Le _Club des treize_ a t fond  Londres pour combattre les
superstitions: les tables comportent toujours treize couverts et le
menu est toujours compos de treize plats.

                                          

LENTEMENT

L'enfant ne fait d'abord de distinction qu'entre l'objet simple et la
pluralit.  l'ge de 18 mois seulement il distingue entre un, deux et
plusieurs. En Europe, il faut arriver  l'ge de 10 ans pour apprcier
l'ide de centaine. L'enfant peut sans doute rpter par coeur la
srie avant ce moment, mais sans dterminer intellectuellement le
nombre dans son abstraction.

                                                        HOUZEAU.

                                          

LONGVIT

Nous lisons dans une pice de vers  Louis XVIII:

  Grand Dieu, c'est pour Louis que mon zle t'implore
          Prolonge ses jours prcieux!
  Laisse-nous en jouir quelques sicles encore!

                                          

VITE

C'est  deux lieues, mon petit ami.--Mais en marchant vite, bien vite?

                                          

NAF

On a surpris un pauvre enfant s'acharnant  rduire une fraction, une
seule fraction,.. au mme dnominateur!

Le mme, interrog sur les triangles semblables, traa un seul
triangle au tableau: soit le triangle semblable ABC....

                                          

CONSCIENCIEUSE

Madame ***, qui a du temps  perdre, mesure chaque fois le diamtre et
la circonfrence. N'essayez pas de lui expliquer... Elle fait comme
ses aeules.

Une autre dame, moins consciencieuse, faisait ainsi le compte de son
ge: Je me suis marie  18 ans; mon mari en avait trente et il en a
maintenant le double... donc j'ai 36 ans. Vous devez vous tromper,
Madame, vous paraissez plus jeune que vous ne dites.




PHILOSOPHIE


SALADE

Hier, raconte Kepler, fatigu d'crire et l'esprit troubl par des
mditations sur les atomes, je fus appel pour dner, et ma femme
Barbara apporta sur la table une salade.--Penses-tu, lui dis-je, que
si, depuis la cration, des plats d'tain, des feuilles de laitues,
des grains de sel, des gouttes d'huile et de vinaigre et des fragments
d'oeufs durs, flottaient dans l'espace, le hasard pt les rapprocher
aujourd'hui pour former une salade?--Pas si bonne,  coup sr, me
rpondit ma belle pouse, ni si bien faite que celle-ci.

                                          

COMPAS

  Nul ne peut d'hrsie accuser le compas,
  Ni dcrter qu'un corps tournant ne tourne pas.
                                             PONSARD: _Galile._

                       ------

  La terre, nuit et jour  sa marche fidle,
  Emporte Galile et son juge avec elle!
                                                  RACINE _fils_.

                       ------

  Plus d'une erreur passe et repasse
  Entre les branches d'un compas.
                                                       BRANGER.

                                          

UN FAUX PAS

Je venais de lire, dans la _Revue scientifique_, un article de
mcanique sur l'art de descendre d'omnibus. J'essayai cette fois de
descendre par principes et..... je me foulai un pied.

                                          

DTERMINISME

Le monde matriel est soumis  des lois rigoureuses. Celui qui
connatrait les positions exactes de tous les corps, leur masse et les
forces qui les sollicitent, pourrait prdire minutieusement les plus
petits mouvements des plus petits d'entre eux.

Tous les vnements, dit Laplace, ceux mmes qui, par leur petitesse,
semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite
aussi ncessaire que les rvolutions du soleil.... La courbe dcrite
par une simple molcule d'air ou de vapeur est rgle d'une manire
aussi certaine que les orbites plantaires: il n'y a de diffrence
entre elles que celle qu'y met notre ignorance.

Le mme savant dit encore ailleurs: Une intelligence qui pour un
instant donn connatrait toutes les forces dont la nature est anime
et les situations respectives des tres qui la composent, si,
d'ailleurs elle tait assez vaste pour soumettre ces donnes 
l'analyse, embrasserait dans la mme formule les mouvements des plus
grands corps de l'univers et ceux du plus lger atome: rien ne serait
incertain pour elle, et l'avenir comme le pass seraient prsents 
ses yeux.

                                          

MORT DE LA SCIENCE

  Et toi, divine mort, o tout rentre et s'efface,
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Dlivre-nous du temps, du nombre et de l'espace.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                               LECONTE DE LISLE.

                                          

ALGBRE MORALE

Je divise en deux colonnes, par un trait, une feuille de papier;
j'cris en tte de l'une de ces colonnes le mot _pour_, en tte de
l'autre le mot _contre_..... Lorsque j'ai runi sur ce petit mmorial
une masse suffisante de raisons contradictoires, je me mets en devoir
de peser leurs valeurs respectives; si je trouve que _deux_ raisons
(une de chaque ct) soient de mme poids, je les limine toutes les
deux; qu'_une_ raison _pour_ gale deux raisons _contre_, je supprime
le tout; que _deux_ raisons _contre_ galent _trois_ raisons _pour_,
j'efface les _cinq_, et ainsi de suite, jusqu' ce que je trouve enfin
de quel ct penche la balance.

                                                    B. FRANKLIN.

                       ------

L'arithmtique est d'un besoin journalier et continuel dans le moral
autant que dans les affaires; car, en cette vie, o tout est ml de
probabilits et de doutes, de projets et d'obstacles, de demi-plaisir
et de peine, tout est affaire de calcul.

                                                        DIDEROT.

                       ------

La morale est l'arithmtique du bonheur.

                                                          VINET.

                       ------

Il y a une morale plus haute.

                                          

RELATIVIT

Lorsque nous disons d'un arbre qu'il est grand ou petit, nous le
comparons implicitement  la moyenne stature des arbres au-dessus ou
au-dessous de laquelle nous entendons exprimer qu'il se trouve, et
nous ne pouvons nous exprimer ainsi que parce que la hauteur des
arbres a deux limites qui mme ne se trouvent pas trs distantes l'une
de l'autre; mais il ne saurait plus en tre de mme d'objets dont la
grandeur ou la petitesse n'ont plus de limites ncessaires et celui
qui, par exemple, demanderait une ligne droite de grandeur ordinaire,
ferait une question dont l'ineptie serait manifeste pour tout le
monde.

Nous ne connaissons donc des grandeurs que les rapports qui existent
entre elles, et c'est aussi tout ce qu'il nous est possible d'en faire
connatre  autrui. En vain tenterait-on de torturer la langue, d'y
introduire des mots ou des tours nouveaux, jamais on ne parviendrait
 lui faire exprimer une grandeur indpendamment de quelque autre
grandeur de sa nature.

                                                        TERQUEM.

                                          

TROP POSITIF

Il faut bien distinguer entre la gomtrie utile et la gomtrie
curieuse... Carrez des courbes tant qu'il vous plaira: vous montrez
une extrme sagacit. Vous ressemblez  un arithmticien qui examine
les proprits des nombres au lieu de compter sa fortune...

Un bon ingnieur vaut mieux que tous ces calculateurs de fadaises si
difficiles.

                                                       VOLTAIRE.

                       ------

Je demandais un jour  un grand gomtre,  quoi servent les
mathmatiques au-del des lments d'Euclide et de l'arithmtique
dcimale.--Monsieur, me rpondit-il, cela sert  faire des livres qui
ne sont lus que par une demi-douzaine de personnes,  faire arriver
leur auteur  l'Acadmie des Sciences...--J'entends bien  quoi cela
peut vous servir; mais  moi,  tout autre,  quoi cela sert-il?

                                                      J.-B. SAY.

                       ------

Cet utilitarisme troit a t dj rfut plusieurs fois.

                                          

LES JEUX

Aprs les jeux qui dpendent uniquement des nombres, viennent les jeux
o entre la situation, comme dans le tric-trac, dans les dames, et
surtout dans les checs... Mais  quoi bon cela? dira-t-on. Je
rponds:  perfectionner l'art d'inventer; car il faudrait avoir des
mthodes pour venir  bout de tout ce qui se peut trouver par raison.
Aprs les jeux o n'entrent que le nombre et la situation, viendraient
les jeux o entre le mouvement comme dans le jeu de billard, le jeu de
paume, etc. Enfin, il serait  souhaiter qu'on et un cours entier des
jeux, traits mathmatiquement...

                                                        LEIBNIZ.

                                          

TRIANGLE ET POSIE

  Je forme un triangle,  merveille!
  Le peuple des lois endormi
  S'agite avec lenteur, s'veille
  Et se droule  l'infini.

  Avec trois lignes sur le sable,
  Je connais, je ne doute plus!
  Un triangle est donc prfrable
  Aux mots sonores que j'ai lus?
                                                SULLY-PRUDHOMME.

Du mme pote:

  Et la terre suffit  soutenir la base
  D'un triangle o l'algbre a dpass l'extase;
  L'astronomie atteint o ne meut plus l'azur.
  ................

C'est par une triangulation grandiose que nous calculons la distance
des astres, qui se meuvent dans l'ther.

Du mme encore:

  Ils rpondent: La cause et la fin sont dans l'ombre,
  Rien n'est sr que le poids, la figure et le nombre;
  Nous voulons conqurir un chiffre seulement.

Il s'agit des positivistes qui se bornent aux faits et aux lois, sans
remonter aux causes premires.

                                          

GALIT CIRCULAIRE

Le cercle, qui est le symbole de l'ternit, est aussi quelquefois le
symbole de l'galit.

Les anciens, pour ne donner de prfrence  personne, ni aux dieux, ni
 leurs amis, crivaient leurs noms sur un cercle, de sorte que, ne
leur donnant point de rang, on ne pouvait pas dire qui tait le
premier, ni le second, ni le dernier dans leur estime. Tout tait
gal, et l'honneur galement partag.

L'institution des chevaliers de la Table ronde tait fonde sur un
principe d'galit et la table tait un symbole.

Dans les congrs, la table des ambassadeurs est ordinairement ronde,
afin d'viter, autant que possible, les distinctions trop marques de
prsance.

                                          

UNE ROYAUT

Les gomtres ont plus que d'autres besoin d'tre jugs par leurs
pairs: la gomtrie en effet est un arcane. Elle tient ses assises 
part, dcerne ses prix sans phrases, et contemplant avec une juste
fiert l'unit soumise en ses plus intimes profondeurs aux lois dont
elle a saisi l'enchanement, se rfugie, calme et impassible, dans sa
royaut silencieuse. C'est bien une royaut, en effet, et une royaut
absolue qu'exerce cette science matresse qui ne connat pas le doute
comme ses soeurs et n'a jamais, depuis le temps d'Euclide, bti sur le
sable.

                                          JURIEN DE LA GRAVIRE.

                                          

GOMTRIE ET MORALE

Il y a, dit Leibniz, de la gomtrie partout et de la morale
partout. C'est--dire qu'il y a du gomtrique jusque dans le moral
et du moral jusque dans le gomtrique. En effet, les choses morales,
les choses de l'me et de la volont, en tant qu'il s'y rencontre des
rapports d'identit et de diffrence, d'galit et d'ingalit, sont
sujettes  la ncessit gomtrique; et, d'autre part, si la gomtrie
est exclusive, dans son dveloppement, de toute ncessit purement
morale, nanmoins,  en juger par les travaux o on l'a rcemment le
plus approfondie, elle semble avoir pour premier fondement des
principes d'harmonie qu'on doit peut-tre concevoir, ainsi que l'avait
sans doute compris Descartes, qui faisait tout dpendre du libre
dcret de Dieu, comme l'expression sensible de l'absolue et infinie
volont. On prtend, disait Aristote, que les mathmatiques n'ont
absolument rien de commun avec l'ide du bien. L'ordre, les
proportions, la symtrie, ne sont-ce pas de trs grandes formes de
beaut?

                                                   F. RAVAISSON.

                                          

NOTRE PETITE TERRE

Sduit par les illusions des sens et de l'amour-propre, l'homme s'est
regard longtemps comme le centre du mouvement des astres; et son vain
orgueil a t puni par les craintes qu'ils lui ont inspires. Enfin
plusieurs sicles de travaux ont fait tomber le voile qui lui cachait
le systme du monde. Alors il s'est vu sur une plante presque
imperceptible dans le systme solaire, dont la vaste tendue n'est
elle-mme qu'un point insensible dans l'immensit de l'espace. Les
rsultats sublimes auxquels cette dcouverte l'a conduit sont bien
propres  le consoler du rang qu'elle assigne  la terre, en lui
montrant sa propre grandeur dans l'extrme petitesse de la base qui
lui a servi pour mesurer les cieux.

                                                        LAPLACE.

                                          

CHEVEUX

Je dis un jour  Madame de Longueville que je pouvais parier et
dmontrer qu'il y avait dans Paris au moins deux habitants qui avaient
le mme nombre de cheveux, quoique je ne puisse pas marquer quels sont
ces deux hommes. Elle me dit que je ne pouvais jamais en tre assur
qu'aprs avoir compt les cheveux de ces deux hommes. Voici ma
dmonstration, lui dis-je: je pose en fait que la tte la mieux garnie
de cheveux n'en a pas plus de deux cent mille, et que la moins garnie
est celle qui n'a qu'un cheveu. Si maintenant vous supposez que deux
cent mille ttes ont toutes un nombre de cheveux diffrent, il faut
qu'elles aient chacune un des nombres de cheveux qui vont depuis un
jusqu' deux cent mille, car si on supposait qu'il y en avait deux
parmi les deux cent mille qui eussent le mme nombre de cheveux,
j'aurais gagn le pari. Or en supposant que ces deux cent mille
habitants ont tous un nombre diffrent de cheveux, si j'y apporte un
seul habitant de plus qui ait des cheveux et qui n'en ait pas plus de
deux cent mille, il faut ncessairement que le nombre des cheveux,
quel qu'il soit, se trouve de un jusqu' deux cent mille, et, par
consquent, soit gal au nombre de cheveux de l'une des deux cent
mille ttes, or au lieu d'un habitant en sus des deux cent mille, il y
en a tout prs de huit cent mille, vous voyez bien qu'il faut qu'il y
ait beaucoup de ttes gales en nombre de cheveux, quoique je ne les
aie pas comptes.

                                                         NICOLE.

                       ------

Il parat que la clbre duchesse n'a jamais pu comprendre le
raisonnement, un peu copieux, du philosophe.

Schopenhauer a dit: La femme a les cheveux longs et les ides
courtes.

                                          

MYSTRE

Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent
toutes par un mystre: le mathmaticien ttonne sur les bases du
calcul des quantits imaginaires, quoique ses oprations soient trs
justes; il comprend encore moins le principe du calcul infinitsimal,
l'un des instruments les plus puissants que Dieu ait confis 
l'homme...

                                              JOSEPH DE MAISTRE.

                       ------

Ces prtendus mystres sont devenus de moins en moins mystrieux.

                                          

PLUS TARD

Lorsque les lois gnrales de la nature ont t une fois bien saisies
par l'esprit, lorsqu'il s'est familiaris avec le plus grand nombre
des ralits matrielles de l'univers, l'tude des hautes
mathmatiques devient pour lui extraordinairement attrayante: c'est
alors qu'il aperoit les utiles applications des nombreuses vrits de
cette science. Au contraire, les jeunes gens qui se livrent d'abord 
l'tude des mathmatiques pures et abstraites trouvent le plus souvent
cette tude d'une aridit excessive; elle devient pour eux aussi
fatigante que le serait pour d'autres la lecture du vocabulaire d'une
langue qu'ils seraient certains de ne jamais parler.....

                                                  DE GRANDSAGNE.

                                          

MOURANT

On dit que Barrow, voyant approcher la mort, en tmoigna de la joie en
disant qu'il allait enfin apprendre, dans le sein de la divinit, la
solution de beaucoup de problmes de gomtrie et d'astronomie..... Il
aimait tellement la gomtrie qu'il avait crit ces mots  la tte de
son Apollonius.....  Seigneur, quel gomtre tu es! Car, quoique la
gomtrie n'ait point de bornes, tu vois, par une simple intuition,
les vrits admirables qu'elle renferme.

                                                       MONTUCLA.

                                          

APPLICABLE  TOUT

Si l'on croit que la mthode des gomtres n'est pas applicable 
tout, on se trompe; si l'on prtend qu'il ne faut pas l'appliquer 
tout, on a raison. Chaque sujet a sa manire d'tre trait; la mthode
gomtrique serait trop sche pour les matires d'agrment et nos
langues trop imparfaites pour s'y prter, les acceptions des mots trop
vagues, trop indtermines pour comporter cette rigueur. Mais si l'on
doit se dispenser souvent de l'employer, il ne faut jamais la perdre
de vue; c'est la boussole d'un bon esprit, c'est le frein de
l'imagination.

                                                        DIDEROT.

                                          

FICTIF ET BORN

Lorsqu'on prconise les mathmatiques, comme le modle par excellence
d'une mthode pour apprendre  raisonner, sait-on bien  quelles
conditions la logique de la gomtrie est si rigoureuse, pourquoi ses
dmonstrations sont si videntes? Ces sciences qui se sont dcores du
nom d'exactes, ne doivent cette exactitude qu' l'absence de ralit
des objets sur lesquels elles oprent. Ces objets ne sont que des
pures abstractions, des points de vue de l'esprit, des entits idales
mais qui n'ont pas d'existence dans la nature. Toutes les proprits
sont rigoureusement dtermines  l'avance par la convention qui les
nomme et qui les dfinit. Certainement la gomtrie est exacte; mais
elle n'est pas relle. Avez-vous rencontr quelque part le triangle
abstrait et la ligne droite des gomtres? O rsident les nombres
spars des tres rels dont les proprits sont si multiples et si
complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir tre
dnombrs? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathmatiques?
C'est l'troite simplicit des faits dont elles raisonnent; leurs
formules ne sont si prcises, et si rigoureuses que parce que leur
point de vue est born.

Vous avez sous les yeux dix personnes, dix animaux mme ou dix
plantes, et vous tes thologien ou pote. Tandis que votre esprit est
entran  travers les mille jugements divers que ce spectacle suggre
au philosophe ou  l'artiste, moi, algbriste, je raisonne des
proprits du nombre dix. Dans une opration aussi simple, aussi
pauvre,  ct du monde de penses qui s'lve en vous, aurai-je grand
sujet de me vanter si mes conclusions sont plus nettes, sont plus
exactes que les vtres?

                                                     DE LAPRADE.

                       ------

Les notions mathmatiques ont, dans l'esprit, une ralit absolue. De
ces ides simples, nous concluons rigoureusement toutes les proprits
du nombre et de la forme, jusqu'aux plus fines et aux plus complexes.

                                          

NATURALISTES

Le mathmaticien se plat  suivre un raisonnement rigoureux dans une
direction unique. Le naturaliste, comme l'historien ou le
jurisconsulte, est un homme dispos  comparer plusieurs faits, dont
aucun n'est absolument prouv, et plusieurs arguments, dont aucun
n'est absolument rigoureux. Son travail consiste  estimer des
probabilits, pour conclure dans le sens le plus vraisemblable.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les uns cherchent le raisonnement troit, profond et rigoureux des
mathmatiques....; les autres prfrent le raisonnement large et
plutt diffus, vari mais peu rigoureux des sciences d'observation. Il
faut aux uns plus de force de raisonnement pour russir, aux autres
plus de jugement.

                                                    DE CANDOLLE.

                       ------

Par le jugement, on pse le pour et le contre; par le raisonnement on
suit les ides corrlatives. Le mathmaticien qui raisonne juste a
quelquefois peu de jugement.

                                          

MTAPHORES

La gomtrie sert entre autres choses  prouver l'esprit, comme le
creuset sert  prouver l'or; les bons esprits s'y raffinent, les
esprits faux s'y vaporent.

Les gomtres travaillent sur un terrain si solide qu'aprs y avoir
pos la premire pierre, ils lvent sans crainte leurs btiments
jusqu'aux cieux.

Sur un terrain bien diffrent, les Philosophes btissent des difices
superbes qu'on appelle systmes: ils commencent par les fonder en
l'air, et quand ils croient tre parvenus au solide, le btiment
s'vanouit, et l'architecte tombe des nues.

                                                    R. DUFRESNY.

                                          

HYPOTHSES

Dans les autres sciences, dit Dugald Stewart, les propositions 
tablir doivent exprimer des faits, tandis que celles que les
mathmatiques dmontrent, noncent seulement une _connexion_ entre
certaines _suppositions_ et certaines _consquences_... Elles ont pour
but, non de constater des _vrits_ concernant des existences relles,
mais de dterminer la filiation logique qui dcoule d'une _hypothse_
donne. Si, partant de cette hypothse, nous raisonnons avec
exactitude, il est manifeste que rien ne pourrait manquer  l'vidence
du rsultat.

Kant fait remarquer qu'il n'y a que le concept de _quantit_ qui se
prte  une construction _a priori_.

                                          

DBAT PDAGOGIQUE

L'tude des mathmatiques est-elle favorable au dveloppement
intellectuel du jeune homme? Peut-elle servir de pivot  l'ducation
librale? Trois philosophes anglais ont dbattu entre eux la question.
Whewell veut beaucoup de mathmatiques, Hamilton les repousse
(Fragments de philosophie traduits par Peisse) et Stuart Mill les
exalte  son tour. Nous ne pouvons rsumer cette clbre discussion;
nous nous bornons  trois extraits.

                       ------

Toute personne qui s'est occupe de mathmatiques doit voir
clairement la diffrence qui existe entre les mathmatiques et les
faits empiriques, entre l'vidence des proprits d'un triangle et
celle des lois gnrales de la structure des plantes. Le caractre
spcial de la vrit mathmatique est qu'elle est ncessairement et
invitablement vraie; et une des leons les plus importantes qu'on
puisse retirer des tudes mathmatiques est de connatre qu'il y a des
vrits de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et leur
caractre.

                                                        WHEWELL.

                       ------

L'tude des mathmatiques, poursuivie avec modration et efficacement
contrebalance, peut tre utile pour dtruire un dfaut, et dvelopper
la qualit correspondante. Ce dfaut est l'habitude de la distraction;
la qualit, l'habitude de l'attention soutenue. C'est l le seul
avantage auquel puisse justement prtendre cette tude dans la culture
de l'esprit.

                                                       HAMILTON.

                       ------

Si nous voulons bien dresser une intelligence, l'tude qui se
recommande le plus  nous est celle qui a l'avantage d'habituer de
bonne heure l'esprit  conserver en lui-mme un type de preuve
complte. Un esprit ainsi meubl, s'il n'est pas suffisamment instruit
des autres sujets peut commettre l'erreur de croire qu'il trouvera
dans toutes les preuves une ressemblance parfaite avec le type qui lui
est familier. On peut et on doit largir ce type par une grande
varit d'tudes, mais celui qui ne l'a jamais acquis n'a pas le
sentiment juste de la diffrence qui spare le prouv du non prouv:
le premier fondement des habitudes scientifiques n'a pas t jet.

                                                    STUART MILL.

                       ------

..... Dj Platon (Rpublique, livre VII) faisait observer que la
science des nombres, en obligeant l'homme  raisonner sur les nombres
en soi et sur des vrits qui ne sont ni visibles ni palpables, a la
vertu d'lever l'me. Les mathmatiques donnent au jeune homme la
claire notion de la dmonstration et l'habituent  former de longues
suites d'ides et de raisonnements, mthodiquement enchans et
soutenus par la certitude finale du rsultat. Aussi a-t-on pu dire,
que celui qui n'a pas fait de gomtrie n'a pas le sentiment rigoureux
de la certitude. Au point de vue moral, rien n'est plus propre que
cette notion pour donner le respect absolu de la vrit.

Les mathmatiques, l'algbre et l'analyse infinitsimale
principalement suscitent  un haut degr la conception des signes et
des symboles, instruments ncessaires qui augmentent la puissance et
la porte de l'esprit humain, en rsumant sous une forme condense et
en quelque sorte mcanique tout un ensemble de relations: ces
auxiliaires sont surtout prcieux en mathmatiques, parce qu'ils y
sont adquats  leurs dfinitions; caractres qu'ils ne possdent pas
au mme degr dans les sciences physiques et naturelles. Quoi qu'il en
soit, il y a l tout un ensemble de facults qui ne sauraient tre
pleinement mises en jeu que par l'enseignement des mathmatiques.

                                                      BERTHELOT.

                                          

CULTURE D'EUCLIDE

Quand un jeune homme d'un talent ordinaire commence  tudier Euclide,
tout l'tonne d'abord. Sa conception est incertaine et son jugement
faible, il s'appuie en partie sur l'vidence de la chose, et en partie
sur l'autorit du matre. Mais  mesure qu'il avance  travers les
dfinitions, les axiomes, les propositions lmentaires, une plus
grande lumire frappe ses regards. Le langage lui devient plus
familier et produit des conceptions plus claires et plus nettes; son
jugement s'affermit: il commence  comprendre ce que c'est qu'une
dmonstration, et il est impossible qu'il le comprenne sans s'y
plaire; il s'aperoit que c'est une espce d'vidence indpendante de
l'autorit; il lui semble qu'il sort d'un esclavage, et il se sent si
fier de croire ainsi, qu'il se rvolte contre l'autorit, et voudrait
avoir des dmonstrations pour toutes les vrits; il faut que
l'exprience lui apprenne qu'une foule de choses ne sont pas
susceptibles de cette sorte d'vidence et qu'il doit se rsigner  des
probabilits dans les choses qui lui importent le plus.

                                                       TH. REID.

                                          

CALCULS DES OUVRIERS

Il faut que l'ouvrier calcule le produit comme l'emploi de ses ans, de
ses mois, de ses jours, et je dirais presque de ses heures et de ses
minutes. Il faut qu'il calcule ses forces et ses mouvements, pour n'en
rien perdre, et pour en tirer les plus puissants rsultats. Il faut
qu'il calcule et mesure les dimensions et la figure soit de ses
outils, soit des objets auxquels il va donner la forme et la position
requises; il faut qu'il calcule,  chaque instant, des distances et
des longueurs, des superficies et des volumes; il faut enfin qu'il
suppute, et la quantit des matires premires, et le prix de son
travail, valus d'aprs les principes de la gomtrie.

                                                      CH. DUPIN.

                                          

MTAPHYSIQUE ET MORALE

Si quelqu'un voulait crire en mathmaticien dans la mtaphysique ou
dans la morale, rien ne l'empcherait de le faire avec rigueur. Si on
l'entreprenait comme il faut, je crois qu'on n'aurait pas lieu de s'en
repentir.

                                                        LEIBNIZ.

                       ------

Le conseil nous parat plus facile  donner qu' suivre.

                                          

INTUITION

L'intuition gomtrique c'est cette proprit de notre esprit qui nous
permet de voir intuitivement derrire les formes relles et
contingentes de notre univers physique, d'autres formes trs peu
diffrentes mais simplifies, idales et se prtant, par suite de
leurs dfinitions rigoureuses,  la dduction gomtrique.

                                                        CALINON.

                                          

CALCUL

Si calculer est raisonner, raisonner n'est pas calculer..... Un calcul
n'est pas seulement un raisonnement, c'est un raisonnement sur des
ides de quantit, et susceptible, par cette circonstance, d'tre fait
avec des signes particuliers; en un mot, c'est un raisonnement ayant
des caractres qui lui sont propres..... Le raisonnement est le genre,
le calcul n'est que l'espce. C'est pour cela que vous pouvez
transformer tout calcul en un raisonnement, mais que vous ne pouvez
transformer tout raisonnement en un calcul.

                                                  DESTUTT-TRACY.

                       ------

La quantit tant par essence divisible en parties gales, les ides
de grandeur jouissent de l'incommunicable proprit de pouvoir tre
exactement reprsentes dans des symboles, chiffres ou lettres. Cette
exacte rigueur d'expression permet  l'esprit de concentrer son
attention sur les symboles seuls, et en les combinant d'aprs des
rgles trs simples, ce qui constitue _le calcul_. C'est ce qui fait
que la forme, en mathmatiques, prend une si grande importance: une
notation simplifie peut y amener une rvolution, comme il est arriv
en algbre par l'introduction des exposants numriques, due 
Descartes. Telle est cette vertu merveilleuse des symboles, qu'on peut
les employer avec succs sans tre en tat d'en saisir la vraie
nature. Longtemps le calcul diffrentiel a dvoil les secrets les
plus cachs de la quantit, avant qu'on ft parvenu  lui assigner une
base rationnelle.

                                                         F. HUET.

                                          

MOTS ET SIGNES

Les signes et les mots, employs dans les raisonnements mathmatiques,
reprsentent vritablement les choses elles-mmes; dans ce cas,
lorsque nous employons le langage ou les signes, nous n'introduisons
pas, en en faisant usage, des notions trangres; nous n'excluons non
plus,  raison de cette circonstance, rien qui se rapporte au fait
dont il s'agit.

                                                    W. HERSCHEL.

                                          

SYLLOGISMES

Voyez dans les _Lettres d'Euler  une princesse d'Allemagne_
l'ingnieuse reprsentation de la thorie du syllogisme par les
positions relatives des cercles.

                       ------

Leibniz rappelle le mmorable exploit de deux logiciens zls mais de
lourde cervelle, Herlinus et Dasypodius, qui mirent en syllogismes
formels les six premiers livres d'Euclide.

                                          

PLUS HAUT

Vous apprenez les principes des sciences, soit mathmatiques, soit
physiques, qui contiennent les lois de la nature: ce n'est pas
proprement pour en connatre l'usage matriel; c'est surtout pour
apprendre et vrifier que tout dans la nature est nombre, proportion,
harmonie; c'est, davantage encore, pour acqurir, en considrant les
nombres qui constituent les corps, une plus pleine conscience de ces
autres nombres que notre me renferme, et par lesquels elle juge ceux
du dehors, comme l'ont dit Platon et Shaftsbury; c'est enfin pour
acqurir cet usage des rapports et des proportions intellectuels qui
est l'exercice propre de la raison et qu'on appelle la logique.

                                                   F. RAVAISSON.

                                          

RAISONNEMENT

Les tudes suivies  l'cole polytechnique sont loin d'tre uniquement
destines  faire connatre une suite de calculs, de formules, de
figures, de phnomnes physiques et chimiques. Leur utilit principale
est d'exercer cette facult de l'intelligence  laquelle on donne le
nom de raisonnement.

                                                           LAM.

                                          

PARFAITEMENT

Un avantage de l'tude de la gomtrie est de porter l'esprit  croire
qu'on ne sait suffisamment que ce qu'on sait parfaitement.

                                                 Abb TERRASSON.

                                          

LE NOMBRE!

tez le _nombre_, vous tez les arts, les sciences, la parole et par
consquent l'intelligence. Ramenez-le: avec lui apparaissent ses deux
filles clestes, l'harmonie et la beaut, le cri devient _chant_, le
bruit reoit le nom de _rythme_, le saut est _danse_, la force
s'appelle _dynamique_, et les lignes sont des _figures_.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jadis, un navigateur, jet par le naufrage sur une le qu'il croyait
dserte, aperut en parcourant le rivage une figure de gomtrie
trace sur le sable: il reconnut l'homme et rendit grce  Dieu. Si
cette figure n'et point t gomtrique, elle n'et t pour lui
qu'une trace muette, oeuvre du hasard et non de l'intelligence; mais
elle lui attestait le _nombre_ et par cela mme lui attesta l'homme.

                                                  J. DE MAISTRE.

                                          

MESURE DE L'ESPRIT

La gomtrie a par elle-mme une beaut relle, indpendante de toute
utilit vraie ou prtendue: quand elle n'aurait d'autres
prrogatives, que de nous offrir sans aucun mlange des connaissances
videntes et certaines, un si grand avantage ne la rendrait-il pas
digne de notre tude? Elle est pour ainsi dire la mesure la plus
prcise de notre esprit, de son degr d'tendue, de sagacit, de
profondeur et de justesse. Si elle ne peut nous donner ces qualits,
on conviendra du moins qu'elle les fortifie, et fournit les moyens les
plus faciles de nous assurer nous-mmes, et de faire connatre aux
autres, jusqu' quel point nous les possdons.

                                                     D'ALEMBERT.

                       ------

Ces considrations justifient l'importance attribue aux Mathmatiques
dans la plupart des examens.

                                          

ORIGINE

Les mathmatiques, dit-on, ne peuvent avoir leur premire origine dans
l'observation: car les objets qu'elles tudient sont fort diffrents
de ceux que l'observation nous montre. Les mathmatiques raisonnent
sur des cercles et des triangles parfaits; mais, dans la nature, aucun
objet n'est parfaitement circulaire ni parfaitement triangulaire; les
mathmatiques n'ont donc pu prendre leur objet  l'observation de la
nature, et les ides sur lesquelles elles raisonnent sont de pures
crations de l'esprit.

Voici la rponse qu'il convient de faire  cette objection. Sans
doute, aucun objet matriel n'est termin par des lignes parfaitement
droites, par des surfaces parfaitement planes; mais chacun dvie de
la ligne droite, de la surface plane dans un sens diffrent; si bien
que, quand on fond en une ide unique les ides de ces divers objets,
ces dviations en sens contraire se neutralisent.

                                                       R. WORMS.

                       ------

On a tent bien des fois, depuis Hume, d'expliquer les vrits
gomtriques par les seules donnes de l'exprience.

                                          

GNRALIT

Nous allons chez le gros mathmaticien qui fume; nous le saluons et
nous l'abordons ainsi: Monsieur, nous sommes philosophes,
c'est--dire fort embarrasss et  court. Il s'agit des propositions
ncessaires; si vous en connaissez, comment les dcouvrez-vous?

--Messieurs, c'est mon mtier, je n'en dcouvre pas d'autres; prenez
des chaises; je vais en trouver devant vous.

Avec de la craie, je trace sur le tableau un triangle ABC; par le
sommet C je mne la parallle  la base... Donc la deuxime somme qui
est celle des angles du triangle, gale deux angles droits. Donc,
ncessairement et universellement, la somme des trois angles gale
deux angles droits.

--Monsieur, comment avez-vous fait?

--J'ai trac un triangle particulier, dtermin, contingent,
prissable ABC pour retenir mon imagination et prciser mes ides.
J'ai extrait de lui le triangle en gnral; pour cela, je n'ai
considr en lui que des proprits communes  tous les triangles, et
je n'ai fait sur lui que des constructions, dont tout triangle
pourrait s'accommoder. Analysant ces proprits gnrales et ces
constructions gnrales, j'en ai extrait une vrit ou rapport
universel et ncessaire. J'ai retir le triangle gnral compris dans
le triangle particulier; ce qui est une abstraction. J'ai retir un
rapport universel et ncessaire, contenu dans les proprits gnrales
de la construction gnrale, ce qui est encore une abstraction. Pour
dcouvrir une proprit gnrale et ncessaire, il suffit donc
d'employer l'abstraction.

                                                          TAINE.

                                          

DISCIPLINE

L'tude de la gomtrie est indispensable pour accoutumer l'esprit 
marcher pas  pas,  ne rien admettre sans preuve,  ne se plaire
qu'au vrai. Elle a de plus l'avantage d'exercer les forces de
l'esprit, de l'accoutumer  l'attention et de le rendre inventif, car
rien n'exige plus d'invention que la solution des problmes: elle
habitue  deviner le vrai, lors mme que, pour le dcouvrir, on a
recours  des hypothses, parce que le rsultat fait toujours
connatre si ces hypothses ont t bien choisies; enfin elle met un
frein  l'imagination et nous force  la soumettre  la raison.

                                                        DELEUZE.

                                          

DMONSTRATION ET SYLLOGISME

La mthode des sciences mathmatiques est la dmonstration.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le but de la dmonstration est d'tablir des vrits ncessaires; elle
le fait en montrant que ces vrits sont les consquences logiques
d'autres vrits admises comme videntes ou prcdemment dmontres.

On voit par l en quoi la dmonstration, bien qu'elle se prsente sous
forme dductive, diffre du syllogisme. Dans le syllogisme proprement
dit, o n'intervient aucune considration touchant la vrit objective
des propositions traites, la conclusion sort _ncessairement_ des
prmisses; tant donn que A est B, et que B est C, il ne se peut pas
que A ne soit pas C; mais une connaissance ncessaire peut fort bien
n'tre pas une vrit ncessaire; la vrit des deux prmisses d'o
sort ncessairement la conclusion n'est pas garantie; il suffit au
logicien que la consquence soit extraite des prmisses, conformment
aux lois de la pense. Tout autre est la dmonstration; elle est un
instrument de science, et  ce titre, elle n'a pas seulement  tirer
des consquences logiques, mais  tablir des vrits; elle est
astreinte  toutes les rgles de la procdure logique; mais en mme
temps elle a des principes qu'elle ne trouve pas dans le syllogisme
proprement dit, principes ncessaires comme les vrits qu'elle
tablit.

                                                          LIARD.




MTHODES


DIVISEUR ET RAMASSE-TOUT

Jean Mac, dans l'_Arithmtique de grand papa_, personnifie ainsi
l'analyse et la synthse: le livre est enfantin, mais il est ingnieux
et charmant.

                                          

LA DIVISION

Jadis, la division, qu'on appelait l'_pine_ de l'arithmtique,
s'effectuait  la franaise,  la portugaise ou  l'italienne. La
rgle actuelle de l'opration a t rsume, par Leslie, en un seul
vers:

  Divide, multiplica, subduc, transferque secantem.

Un professeur, pour faire retenir la thorie rpute difficile de la
division, disait: Dans le second cas, vous coupez la tte du diviseur
et, dans le troisime, vous coupez la tte du quotient.

                                          

ANATOMISTES

O. Terquem crivait quelques jours avant sa mort: L'ouvrage de
Borelli (_De motu animalium_) est un petit chef-d'oeuvre qui me
procure des heures dlicieuses; on voit l'avantage qu'il y a aux
anatomistes d'tre gomtres. Il est  dsirer qu'on fasse sur le mme
plan une nouvelle dition de l'_Anatomie descriptive de Richerand_, ce
serait une excellente acquisition. Malheureusement, nos anatomistes
sont peu gomtres et nos mdecins de faibles chimistes.

                                          

FROMAGE

M. Mannheim raconte qu'un ingnieur embarrass pour pratiquer un
escalier tournant dans une vote hmisphrique, dit au conducteur de
prparer l'pure. Le subalterne creusa dans un bloc de gruyre une
cavit en forme de bassin, dressa dans l'axe une vis de pressoir qu'il
fit tourner. La troue  pratiquer dans le dme de pierre se dessina
ainsi trs nettement.

                                          

EXPRIENCE GOMTRIQUE

Pour trouver l'aire de la cyclode, Galile pesa avec une grande
prcision deux lames minces de mme matire, dont l'une tait gale au
cercle et l'autre  la cyclode engendre. Il constata par cette
exprience que le poids de cette dernire est le triple de celui du
cercle, rsultat prouv plus tard thoriquement par Pascal. Le succs
de l'expdient tint  la simplicit du rapport, non seulement
commensurable, mais entier.

                                          

JETONS BARDOT

Ce sont des cubes en bois, les uns blancs et les autres noirs, 
l'aide desquels on explique matriellement la numration aux
commenants. Dix de ces jetons, runis en une baguette, forment une
_dizaine_; dix baguettes, runies en une plaque, forment une
_centaine_; dix plaques superposes composent un cube qui est un
_mille_. Continuons: si l'on groupait dix de ces gros cubes qui sont
des mille, on aurait une _dizaine de mille_; si l'on juxtaposait dix
dizaines de mille, la grande plaque serait une _centaine de mille_; si
l'on tageait enfin dix des plaques prcdentes, on aurait un cube
norme qui serait un _million_. Ainsi de suite pour la _dizaine de
millions_, la _centaine de millions_, le _billion_, etc., etc.

                                          

MACHINES ARITHMTIQUES

On remarque, parmi les petites machines, les rglettes de Neper,
l'inventeur des logarithmes, de Mannheim, de Lalanne, de Grenaille et
d'Ed. Lucas, etc. Dans certains pays, tous les contrematres se
servent couramment d'une rgle  calcul.

Les machines plus considrables sont d'abord celle de Pascal,
simplifie par de Lpine et rcemment par Roth, qui en a rduit le
volume; puis celle de Thomas de Colmar,  l'aide de laquelle on
multiplie en une demi-minute deux nombres de dix chiffres: on s'en
sert aux Magasins du Louvre,  l'Observatoire, aux Compagnies
d'Assurances, etc.; on en vend plus d'une centaine par an. Il y a
aussi la machine  mouvement continu de Tchebychef.

Toute machine arithmtique se compose de quatre organes essentiels: le
gnrateur, le reproducteur, le renverseur et l'effaceur.

On a reconnu que pour un calculateur exerc, il faut 7 minutes 19
secondes pour multiplier un nombre de 14 chiffres par un nombre de 8
chiffres. Les agents inorganiques, eux, ne se fatiguent gure et ne se
trompent pas,  moins que les ressorts ne se faussent. Mais, il y a
les machines gomtriques, sans ressorts, et l'admirable machine de
Tchebychef, qui se romprait plutt que de ne pas dire vrai.

Voir M. d'Ocagne: _Nomographie. Les calculs usuels effectus au moyen
des abaques._

                                          

INTGRATEURS ET INTGRAPHES

Les intgrateurs sont des instruments qui effectuent mcaniquement la
sommation d'une srie infinie de grandeurs infiniment petites, qu'il
s'agisse d'une aire limite par une courbe, d'un travail mcanique,
etc. Mais les planimtres, les totaliseurs dynamomtriques, etc., ne
donnent que le rsultat final de l'intgration. Abdank-Abakonowicz est
all plus loin: ses intgraphes donnent, sous forme d'un trac
graphique, la loi complte qui rgit la sommation, en un mot ce qu'on
peut appeler la courbe intgrale.

Le planimtre polaire d'Amsler est celui qui semble tre appel 
l'emploi le plus frquent. Les applications des planimtres sont
nombreuses; les contributions directes, les administrations du
cadastre et des forts, le service topographique du gnie, les
architectes, les ingnieurs, les gomtres arpenteurs ont recours 
ces instruments pour rsoudre ce problme si dlicat de la
dtermination des aires planes  contours curvilignes.

En Allemagne, on possde un planimtre comme on a une bote de compas.

                                          

ARITHMTIQUE POLITIQUE

tant donnes la population, les moeurs, la religion, la situation
gographique, les relations politiques, les richesses, les bonnes et
mauvaises qualits d'une nation, trouver les lois qui lui conviennent.

                                                  J. DE MAISTRE.

                       ------

Nous ne demandons  nos lgislateurs qu'une solution par
approximations successives du problme pos.

                                          

OPRATIONS ABRGES

On faisait remarquer  un candidat qu'il aurait pu employer les
oprations _abrges_. Il rpliqua qu'il n'avait pas eu le temps.

Lorsqu'on est press, on prfre la grande route qu'on connat bien au
chemin de traverse dont on n'est pas sr.

                       ------

La rflexion suivante de J.-J. Rousseau s'applique aux calculateurs
de profession: .... alors on trouve des mthodes abrges dont
l'invention flatte l'amour-propre, dont la justesse satisfait l'esprit
et qui font faire avec plaisir un travail ingrat par lui-mme.

                                          

GAUFRES

Je n'oublierai jamais d'avoir vu  Turin un jeune homme  qui, dans
son enfance, on avait appris les rapports des contours et des surfaces
en lui donnant chaque jour  choisir, dans toutes les figures
gomtriques, des gaufres isoprimtres. Le petit gourmand avait
puis l'art d'Archimde, pour trouver dans laquelle il y avait le
plus  manger.

                                                 J.-J. ROUSSEAU.

                                          

PLAIES

Aristote dit que le mdecin constate que les plaies circulaires sont
les plus longues  gurir, et le gomtre dmontre qu'il ne peut en
tre autrement, puisque de toutes les figures qui ont un primtre
gal, le cercle est celle qui prsente la plus grande surface.

                                          

TACHYMTRIE

L'ingnieur Lagout, mort depuis quelques annes, est l'auteur d'une
tentative de rnovation des mathmatiques, dans l'intention de les
simplifier en les matrialisant, pour les mettre  la porte du plus
humble ouvrier. Il a eu quelques ides ingnieuses: son matriel et
ses tableaux en couleur sont saisissants. Malheureusement, gris par
son systme, l'inventeur a cru, bien  tort, tre aussi rigoureux
qu'Euclide. Son _prompt-mesurage_ n'est qu'un aperu populaire qui
parle aux yeux.

M. C. Rey a port sur la mthode ce jugement piquant et plus svre:
La Gomtrie est la science qui apprend  raisonner juste, mme sur
des figures qui sont fausses, tandis que la Tachymtrie est un art qui
apprend  raisonner faux, sur des figures qui sont justes.

                                          

VINGT CENTIMES

Quand, sous le second empire, on frappa pour la premire fois des
pices de vingt centimes, un homme d'esprit s'cria: on dira
maintenant cinq fois quatre font vingt et non plus quatre fois cinq
font vingt.

J'ai lu dans un livre belge cette question inquitante: Le produit de
un franc par un franc est-il gal au produit de cent centimes par cent
centimes?

                                          

POTAGE

Dans son explication de l'addition, un lve avait oubli de dire
qu'on n'ajoute que des choses de mme espce, le professeur lui
demanda: Combien font 150 grammes de navets, 200 grammes de carottes
et 225 grammes de pommes de terre?--Rponse: Cela ferait un excellent
potage.

Autre exemple. Un soldat aveugle portait cet criteau: batailles 8;
blessures 10; enfants 6; total 24.

                                          

ANARCHIE

Le cinquime livre de la gomtrie fait le dsespoir des lves et des
examinateurs, tant l'ordre et l'nonc des propositions varient.
Legendre et Rouch ne s'accordent nullement et il y a beaucoup
d'opinions intermdiaires. On demande un dictateur pour imposer une
thorie unique.

Dernire nouvelle: on annonce des prliminaires de paix.

                                          

MTRES CARRS

C'est grce  la gomtrie que les marchands de mesures ne vendent ni
mtres carrs ni mtres cubes.

Quelques dames confondent encore le mtre courant, le mtre carr et
le mtre cube.

Un mot spirituel: le professeur avait fait crire au tableau le nombre
1000000000; il s'agit de mtres carrs, dit-il, combien cela
pse-t-il? Bien peu de craie, rpondit l'lve.

                                          

ANXIT

On ne peut baser aucun raisonnement sur une srie divergente,
c'est--dire sur une suite rgulire de termes dont la somme crot
au-del de toute limite. Les gomtres du XVIIIe sicle n'ont gure
tenu compte de la convergence des sries et c'est Cauchy qui a clair
le premier la question. On raconte qu'aprs une communication de ce
dernier  l'Acadmie, Laplace quitta brusquement ses confrres, et se
renferma chez lui pendant prs d'un mois, pour vrifier la convergence
de toutes les sries sur lesquelles est fonde sa mcanique cleste.
Heureusement, aucune n'tait divergente!

Abel a dit que: Avec une srie divergente, on prouve tout ce qu'on
veut, l'impossible aussi bien que le possible.

                                          

IMPOSSIBLE

En mathmatiques, il n'y a de vraiment impossible que le
contradictoire. On peut lever l'impossibilit provisoire provenant
d'une vue trop troite de la question: Pourquoi exiger le rsultat
sous une certaine forme ou entre certaines limites? D'autre part, si
vous ne trouvez pas la solution rigoureuse d'un problme, vous pouvez
chercher des valeurs de plus en plus approches et raisonner
l'approximation.

                                          

RELIEFS

Il s'agissait de passer au cubage des corps solides, et ceci fut plus
difficile; les figures du tableau ne suffisaient plus; les enfants ne
se rendaient pas compte de toutes les formes que reprsentait un
simple trac. L'ide me vint de parler au vieux cuvelier Sylvestre,
qui tout de suite comprit ce que je lui demandais; il me fit des
cubes, des prismes, des cnes en bois, capables de se monter et de se
dmonter, comme on le voulait; tout devint clair, sensible pour les
lves. Nous raisonnions des choses, les pices en main, et nous
faisions ensuite nos calculs. Ce systme de fabriquer des figures
gomtriques en bois s'est depuis rpandu partout; des centaines
d'ouvriers de la Fort-Noire ne font plus que cela. Quelques-uns ont
pouss la chose jusqu' fabriquer des figures en cristal, afin d'en
voir du premier coup d'oeil les artes et les angles opposs.

                                              ERCKMANN-CHATRIAN.

                       ------

On veut enseigner aux enfants ce que c'est qu'un cne, comment on le
coupe, le volume de la sphre, et on leur montre des lignes, des
lignes! Donnez-leur le cne en bois, la figure en pltre,
apprenez-leur cela comme on dcoupe une orange!

                                                      J. VALLS.

                                          

COTON ET MUSIQUE

La fonction d'une variable indpendante la plus importante  Liverpool
est peut-tre le prix du coton. Une courbe montrant le prix du coton,
s'levant quand ce prix est lev, s'abaissant quand il est bas,
montre  l'oeil toutes les variations si complexes de cette fonction.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Songez  la complexit de l'effet produit par un orchestre qui joue
(un orchestre de cent instruments), et deux cents voix qui chantent en
choeur, accompagnes par l'orchestre. Songez  l'tat de l'air; songez
combien il est dchir quelquefois... Une simple courbe, dessine de
la mme manire que celle des prix du coton, reprsente tout ce que
l'oreille peut entendre dans l'excution la plus complique.

                                                     W. THOMSON.

                                          

RGLES DE BOIS

Ces pauvres instruments, avec lesquels il a rform l'astronomie,
Copernic les avait taills et diviss lui-mme. Tycho-Brahe les a
clbrs en vers latins: C'est avec ces frles morceaux de bois,
ouvrage grossier et sans art, que Copernic entreprit de donner des
lois au ciel et de rgler le cours des astres; il est parvenu, par son
gnie,  une hauteur o nul mortel n'avait atteint avant lui.

 monuments inestimables d'un si grand homme! Ils sont faits d'un bois
vulgaire, et cependant l'or le plus pur plirait devant eux!

                                          

ALPHABET

Lorsqu'on apprend  un enfant  lire et  crire, on peut lui donner
quelques notions gomtriques, en lui faisant analyser les formes des
majuscules romaines. Dans A, il y a un triangle dont deux cts sont
prolongs; C est un arc; D un demi-cercle, avec son diamtre; E
prsente des angles droits; H des parallles et une perpendiculaire; M
des angles aigus, etc.

                                          

TRAVAIL PERSONNEL

On flicitait le chimiste Regnault de sa force en mathmatiques. Il
rpondit: Notre principal professeur  l'cole polytechnique tait si
obscur que les sergents devaient se runir aprs chaque leon pour la
refaire. C'est moi qui ai rdig, pendant quelque temps, les cahiers
pour mes camarades. Vous pouvez vous figurer combien cela m'a fait
travailler.

                                          

RACTIFS

On sait que le chimiste introduit des ractifs contenant des lments
souvent trangers au produit qu'il veut obtenir, mais dont la prsence
favorise les transformations intermdiaires que doit subir le
phnomne: le mme rle appartient aux lignes auxiliaires que trace le
gomtre, diagonales, droites parallles ou perpendiculaires  des
directions dtermines, etc., ces lignes sparent les lments
primitifs, suggrent entre eux des groupements nouveaux,
paralllogrammes, triangles gaux ou semblables, etc., et de ces
figures l'analyse dgage certaines proprits qui ont un rapport plus
direct avec la conclusion vise.

                                                      H. HARANT.

                                          

FAGOTS ET FAGOTS

Un profane n'aperoit que des coefficients dans les quations; tous lui
paraissent gaux en importance, et s'il veut se renseigner sur les
solutions, il se figure qu'il faut aller les interroger sparment, de
mme qu'on arrte dans la rue le premier ouvrier venu pour lui demander
son chemin. Mais non, il y a des chefs qu'on n'aperoit pas; c'est 
leur bureau qu'il faut s'adresser. Soient, par exemple, dix quations
littrales du premier degr  dix inconnues. L'oprateur..... veut
savoir si les solutions sont possibles, ou impossibles, ou
indtermines. Qu'il n'aille donc pas interroger la vile plbe des
coefficients. Non; il y a un personnage considrable qui sait le secret;
c'est un polynome, le dnominateur commun. On l'appelle le _dterminant_
du systme; et ce nom est bien choisi, car c'est lui _qui vous sert 
dterminer_ la nature des solutions.

                                                  LE P. POULAIN.

                       ------

Le dterminant est aid par le conseil des numrateurs, assists
eux-mmes de dterminants mineurs, etc.

                                          

PLURALIT DES MONDES

Les astronomes qui calculent les mouvements apparents des astres dans
leur passage de chaque jour au mridien, ceux qui annoncent l'arrive
des clipses, des phnomnes clestes, des comtes priodiques, ceux
qui observent avec tant de soin les positions prcises des toiles et
des plantes aux divers degrs de la sphre cleste, ceux qui
dcouvrent des comtes, des plantes, des satellites, des toiles
variables, ceux qui recherchent et dterminent les perturbations
apportes aux mouvements de la terre par l'attraction de la lune et
des plantes, ceux qui consacrent leurs veilles  dcouvrir les
lments fondamentaux du systme du monde, tous, observateurs ou
calculateurs, sont des prcurseurs de l'astronomie nouvelle. Ce sont
d'immenses travaux, des labeurs dignes d'admiration et de
transcendantes oeuvres. Mais c'est l'arme du pass. Mathmaticiens et
gomtres, dsormais le coeur des savants va battre pour une conqute
plus noble encore. Tous ces grands esprits, en tudiant le ciel, ne
sont en ralit, pas sortis de la Terre. Le but de l'Astronomie n'est
pas de nous montrer la position apparente de points brillants, ni de
peser des pierres en mouvement dans l'espace, ni de nous faire
connatre d'avance les clipses, les phases de la lune ou des mares.
Tout cela est beau mais insuffisant.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le jour viendra, et trs prochainement, puisque tu es appel  le
voir, o cette tude des conditions de la vie dans les diverses
provinces de l'univers sera l'objet essentiel--et le grand charme--de
l'Astronomie.

                                                     FLAMMARION.

                                          

TRANSFORMATIONS

Dans la Gomtrie ancienne les vrits taient isoles; de nouvelles
taient difficiles  imaginer,  crer; et ne devenait pas gomtre
inventeur qui voulait.

Aujourd'hui chacun peut se prsenter, prendre une vrit quelconque
connue, et la soumettre aux divers principes gnraux de
transformation; il en retirera d'autres vrits, diffrentes ou plus
gnrales; et celles-ci seront susceptibles de pareilles oprations;
de sorte qu'on pourra multiplier, presqu' l'infini, le nombre des
vrits nouvelles dduites de la premire.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Peut donc qui voudra, dans l'tat actuel de la science, gnraliser et
crer en gomtrie; le gnie n'est plus indispensable pour ajouter une
pierre  l'difice.

                                                        CHASLES.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INVISIBLE

L'astronomie de l'invisible, n'est, pour ainsi parler, pas plus
difficile que celle des astres observables. Le gomtre dans son
cabinet de travail, n'a pas besoin de voir les astres pour en calculer
la marche. Le Verrier l'a prouv en dcouvrant Neptune par le calcul,
Bessel en dmontrant l'existence du compagnon de Sirius. Tous deux
ont vu l'astre inconnu, comme Christophe Colomb voyait l'Amrique des
rivages de l'Espagne, et, avec la mme foi, ils ont os assigner la
place o devait les voir l'oeil merveill de l'astronome.

                                                           WOLF.

                                          

PRCISION

Si de Parme comme centre, avec un rayon gal  60 lieues, on dcrit
une demi-circonfrence, cette demi-circonfrence passe par les sommets
des Alpes.

                                                       NAPOLON.

                                          

DEUX TENDANCES

Il semble que l'on puisse aujourd'hui distinguer, dans les
mathmaticiens, deux tendances d'esprit diffrentes. Les uns se
proccupent principalement d'largir le champ des notions connues;
sans se soucier toujours des difficults qu'ils laissent derrire eux,
ils ne craignent pas d'aller en avant et cherchent de nouveaux sujets
d'tude. Les autres prfrent rester, pour l'approfondir davantage,
dans le domaine de notions mieux labores; ils veulent en puiser les
consquences, et s'efforcent de mettre en vidence dans la solution de
chaque question les vritables lments dont elle dpend. Ces deux
directions de la pense mathmatique s'observent dans les diffrentes
branches de la science; on peut dire toutefois, d'une manire
gnrale, que la premire tendance se rencontre le plus souvent dans
les travaux qui touchent au calcul intgral et  la thorie des
fonctions; les travaux d'algbre moderne et de gomtrie analytique
relvent surtout de la seconde.

                                                      E. PICARD.

                                          

EN PROBLMES

Exposez toute science de raisonnement sous forme de problmes proposs
d'abord, et rsolus ensuite, la thorie rgulire et suivie ne venant
qu'aprs pour coordonner et classer les vrits acquises. Sous la
forme vive et saisissante de problmes, la science pntre plus
profondment dans l'esprit dont les facults inventives sont
d'ailleurs toujours en pleine action.

                                                       DESBOVES.

                                          

COEFFICIENTS DE CORRECTION

Si l'on peut dire de la gomtrie rationnelle, telle qu'elle est
enseigne depuis l'antiquit, que c'est l'art de faire des
raisonnements exacts sur des figures fausses, par opposition on peut
dire de la gomtrie pratique, dont on fait usage dans les levers de
terrain, que c'est l'art de faire des figures exactes avec des
instruments infidles.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En gomtrie, n'y aurait-il pas un grand avantage  faire inscrire des
hexagones rguliers dans des circonfrences, avant de dmontrer que le
ct de ces polygones est gal au rayon? Cette marche ne
mettrait-elle pas en garde, contre les affirmations trop absolues de
la thorie, l'esprit d'un lve qui aurait constat, par sa propre
exprience, que rarement,  la fin de l'opration la pointe du compas
retombe sur le point de dpart? Cela ne le ferait-il pas rflchir aux
causes d'insuccs de cette opration? Son professeur ne serait-il pas
oblig de les lui expliquer? Et peu  peu n'en viendrait-il pas  se
familiariser avec ce principe d'exprience, que, dans les applications
des vrits les mieux dmontres, de celles qui prsentent le
caractre le plus indubitable de la vrit absolue, on doit toujours
compter, si je puis m'exprimer ainsi, avec les rsistances passives
contre lesquelles il faut lutter dans chaque action matrielle.

Si je ne me trompe, l'enseignement dirig dans cette voie,
dvelopperait le jugement, le tact pratique. En tout cas, il viterait
des illusions frquentes  ceux qui acceptent comme des vrits
absolues les rsultats des recherches physico-mathmatiques,
recherches dans lesquelles on nglige tant de choses.

                                                        GOULIER.

                       ------

Le clbre topographe ne restait gure dans les rgions de l'idal. Il
faisait la part des rsistances de la matire et des dfaillances de
l'oprateur.




HISTOIRE


LE TRIBUNAL DES MATHMATIQUES

Les instruments dont le tribunal des mathmatiques fait actuellement
usage, pour rdiger l'almanach prsent  S. M. Kouang-Siu et dsigner
les jours fastes ou nfastes, ont t construits en 1670, sous la
direction du Pre Verbiest, missionnaire belge. Ils ne permettent
qu'une prcision de dix minutes de degr tandis que nous pouvons
valuer  l'aide des ntres jusqu'aux diximes de seconde, d'o une
prcision six mille fois plus grande. On ne s'occupe gure  Pkin que
de calendrier et d'astrologie et on est port  y croire la Terre
toujours immobile au centre de l'espace cleste.

Nous avons tenu entre les mains une table de sinus de l'empereur de
Chine, Kang-Hi. Le texte, imprim en Europe, est prcd de 4
feuillets (8 pages), contenant des chiffres arabes et chinois tracs 
l'encre de Chine. Chaque page imprime des tables de sinus et
tangentes est prcde et suivie de caractres chinois tracs au
pinceau rouge. D'aprs une note ancienne qui se lit sur la garde et
dont voici le texte, ces caractres seraient tracs par l'empereur
lui-mme: L'empereur Kang-Hi se servit de ce livre lorsqu'il
calculait  l'europenne. Les caractres rouges sont de sa main.

                                          

UNE CALOMNIE

Sous prtexte de mesurer un degr du mridien, si bien dtermin par
les Anciens, ils (les charlatans acadmiques) se sont fait accorder
par le ministre 100 000 cus pour les frais de l'opration, petit
gteau qu'ils se partageront en frres.

                                         MARAT, l'ami du peuple.

                                          

DODCADRE

Les doctrines mathmatiques des pythagoriciens devaient tre tenues
secrtes. Un des initis (leur signe de reconnaissance tait le
pentagone toil), nomm Hippasos, ayant dvoil la construction du
dodcadre inscrit dans la sphre, fut noy en mer.

                                          

JARDINIERS, QUINCAILLIERS, ETC.

Le duc d'Argyle, ayant trouv les _Principia_ de Newton sur une
pelouse de son chteau, interrogea le jardinier _Stone_: cet homme de
trente ans avait appris seul les lments de mathmatiques, le latin
et il comprenait Newton! Dans la suite, Stone a compos un trait de
calcul diffrentiel, qu'on a traduit en franais pour complter celui
de de l'Hpital.

Aux tats-Unis, le commis quincaillier _Bowdwitch_, parvint aussi seul
 lire Newton. Aprs s'tre enrichi  Boston, dans une compagnie
d'assurances, il publia  ses frais sa traduction de la Mcanique
cleste de Laplace, augmente de commentaires.

_lazar Fronce_ vivait vers 1625, aux environs de Grenoble; il tait
jardinier dans un chteau; il faisait des observations  l'aide
d'instruments qu'il se construisait lui-mme.

Le cordonnier hollandais, _Thodore Rembrandsz_, n vers 1610, publia
un ouvrage tendu sur le systme de Copernic.

Un ouvrier pelletier-fourreur, _Jean Jordan_, de Stuttgard, fut un
mathmaticien et un mcanicien ingnieux.

Un tisserand de Lisieux, nomm _Jean Lefvre_, tait assez fort
mathmaticien pour calculer une table des passages de la lune au
mridien. On l'attacha au bureau de la Connaissance des temps.

Vers 1710, un berger d'cosse, _Jacques Fergusson_ s'tait construit
en bois des instruments d'astronomie; il s'adonna aux mathmatiques et
devint membre de la Socit royale de Londres.

Le cultivateur saxon, _Jean-Georges Palitzch_, n en 1723,
mathmaticien et astronome, correspondant de la Socit royale de
Londres, employait ses loisirs  tudier; il n'abandonna jamais le
mtier de laboureur.

L'astronome _Jean-Louis Pons_, n en 1761, d'abord concierge 
l'Observatoire de Marseille, a dcouvert 37 comtes.

Un simple cordonnier, _Rigaut_, qui s'tait instruit seul, a prsent
 l'Acadmie des sciences de bons mmoires de mathmatiques.

                                          

MATHMATICIENNES

Sous le titre de _Les femmes dans la Science_, nous venons de publier,
chez l'diteur Nony, un volume de 350 pages, orn de portraits et
d'autographes. Voici un extrait de l'avant-propos.

Depuis plus de quinze sicles, nous honorons Hypatie, cette grecque
d'Alexandrie, si belle et si savante, lapide par une populace
stupide. Les travaux d'astronomie et de mcanique de la marquise du
Chtelet dfendent sa mmoire. Marie Agnesi, aprs avoir enseign le
calcul infinitsimal  l'Italie, est morte comme une sainte. 
l'occasion d'un problme pos par Napolon, Sophie Germain a cr, une
des premires, la physique mathmatique. Mary Somerville a compos,
aprs Laplace, une mcanique cleste. Une russe, Mme Kowalewski,
couronne par notre Acadmie des Sciences, a t enleve, il y a
quelques annes, en pleine floraison de son gnie.

Nous avons runi, pour la premire fois, ces belles et nobles figures.
Nous avons trac, de ces femmes hors pair et de quelques autres, des
notices  grands traits, sans dtails techniques. Le groupe d'lite a
t encadr dans un tableau assez complet des autres savantes:
l'arme en marche, avec son tat-major.

Nous avons surtout tudi les savantes professionnelles, qui ont
consacr aux tudes scientifiques la plus grande partie de leur vie,
mathmaticiennes, physiciennes, naturalistes et philosophes. Puis sont
venues les simples curieuses qui,  l'occasion, ont dit leur mot sur
les sciences; les collaboratrices qui ont aid les savants,
discrtement et activement; les professeurs, les vulgarisatrices,
modestes et utiles; enfin les protectrices, princesses ou riches
bourgeoises, qui ont fond des prix dans les acadmies ou rpandu
leurs bienfaits sous d'autres formes. Les unes et les autres, par des
moyens divers, ont exerc une heureuse influence sur le progrs des
sciences.

Deux notes, provenant d'une collaboration varie, terminent le livre.
Dans l'une, nous avons runi des opinions opposes sur cette question:
_Si la femme est capable de science._ La seconde note est forme de
_Menus propos sur les femmes et les sciences_, aperus divers,
citations, anecdotes, penses, etc.

                                          

SONS

Ayant remarqu, un jour qu'il passait devant un atelier de forgerons,
que les sons des marteaux formaient la quarte, la quinte et l'octave,
Pythagore eut l'ide de peser les trois marteaux et, des rapports de
leur poids, il conclut une thorie mathmatique de l'harmonie des
sons.

On sait que le mme philosophe a, dit-on, compos la table qui fait le
dsespoir des petits enfants, et, ce qui est plus important, qu'il a
dcouvert le carr de l'hypotnuse.  l'occasion de cette admirable
proposition, Pythagore a sacrifi une hcatombe aux dieux.

                                          

DEUX DYNASTIES

Depuis le milieu du XVIIe sicle jusqu' nos jours, les Bernoulli,
d'origine suisse, ont t des savants distingus. Les anctres, les
deux frres Jacques et Jean, mathmaticiens de premier ordre, ont
dvelopp le calcul infinitsimal. Ensuite sont venus Nicolas II,
Daniel, Jean II, Jean III, Jrme, Jacques II et Christophe. Le
dernier descendant des grands Bernoulli, physicien et naturaliste, est
mort  Ble en 1863.

Jean-Dominique Cassini, clbre astronome, fut le premier membre
marquant de la famille. Son fils Jacques fut aussi astronome, son
petit-fils Csar-Franois Cassini de Thury devint membre de l'Acadmie
des sciences  vingt-deux ans. Enfin son arrire-petit-fils
Jacques-Dominique, directeur de l'Observatoire, termina la carte de
France.

                                          

RECOMMANDATION

Sire, les princes clairs et gnreux aiment  dcouvrir le mrite
modeste et  rparer envers lui les torts de la fortune. Ils se
plaisent  donner  l'homme de gnie les moyens de jeter sur les
sciences cet clat qu'elles recevront de ses travaux et qui rflchit
sur leur gouvernement.  ce titre, les soussigns, membres de
l'Institut de France, se permettent de signaler  la royale
bienveillance de Votre Majest un jeune gomtre M. Abel, dont les
productions annoncent un esprit de premier ordre, et qui nanmoins
languit  Christiania dans un poste peu digne de son rare et prcoce
mrite.

                                     LEGENDRE, POISSON, LACROIX.

                                          

COLE POLYTECHNIQUE

La Convention tablit, en 1794, l'_cole centrale des travaux
publics_,  l'instigation de Monge, Lamblardie, Carnot et Prieur.
Place au Palais-Bourbon, ne recevant que des externes, l'cole devait
d'abord alimenter seulement le corps des ingnieurs civils et
militaires. C'est en 1795 que l'cole prit son nom d'_cole
polytechnique_ et son caractre actuel. Nous ne pouvons pas raconter
ici sa glorieuse histoire, et nous allons nous borner  quelques
anecdotes.

Dans la priode du dbut, chaque candidat doit faire constater par la
municipalit de sa ville natale qu'il a constamment manifest l'amour
de la libert et de l'galit et la haine des tyrans. On lit dans un
rapport de l'poque: La manifestation du patriotisme a t
gnralement nulle. Ils sont presque tous ignorants ou indiffrents,
tandis que les enfants eux-mmes balbutient dj les principes et les
hymnes de la libert! C'est en vain que j'ai tch, par des questions
brusques, imprvues et mme captieuses, de suppler  l'insuffisance
des papiers qu'ils ont produits; presque tous m'ont montr qu'ils
avaient toujours t indiffrents au bonheur de leurs semblables, 
leur propre bonheur et mme aux vnements... Quarante de ces jeunes
gens, par leur insouciance de tout ce qui est bon, vertueux et utile,
mritent d'tre rejets!

Jeunes citoyens, disait plus tard un Ministre de l'Intrieur dans un
discours, ayez toujours l'amour de la patrie. Si cet amour agit par
sentiment sur le reste des hommes, il est permis de penser que c'est
grce aux savants que cet amour est gomtriquement dmontr. Je peux
le dire ici, dans la langue qui vous est familire, la libert est le
thorme donn par la nature, la Rpublique en est la dmonstration,
l'amour de la patrie en est le corollaire.

Le dimanche matin, l'ordinaire est augment d'une omelette au lard,
transformation conomique du plat qu'on appelait le cochon de Mme
Laplace. En effet, la veuve de l'illustre gomtre, lorsqu'elle avait
fond un prix pour l'lve sortant le premier et consistant dans les
oeuvres de Laplace, avait dispos d'une somme dont le revenu devait
tre employ  donner un plat supplmentaire le dimanche. Ce plat
consista au dbut en ctelettes de porc frais.

En 1894, il y a eu de belles ftes polytechniciennes,  l'occasion du
centenaire de la fondation de l'cole. Des livres commmoratifs ont
t publis.

                                          

COLE NORMALE

Cre  Paris par la Convention, ses quinze cents lves externes
reurent au Musum les leons des matres les plus illustres et ces
leons, qui ont t recueillies, sont encore consultes. La plupart de
ces lves enseignrent,  leur sortie, dans les coles centrales des
dpartements. C'est en 1808, que Napolon rorganisa l'cole qui,
beaucoup moins nombreuse, devint un internat dans le Lyce
Louis-le-Grand et dont les lves suivirent les cours du Collge de
France, de l'cole polytechnique et du Musum. Elle a t transfre 
la rue d'Ulm, en 1847, et l'enseignement de ses Matres de confrences
est devenu  peu prs indpendant des cours extrieurs.

Pendant la dernire guerre, les lves Lande et Szymanski ont gagn la
mdaille militaire, M. Burdeau a t dcor de la lgion d'honneur et
Lemoine a t tu  l'ennemi. Deux plaques de marbre noir portent les
noms de Lemoine et de Thuillier, lve de M. Pasteur, mort pour la
science  Alexandrie o il tait all tudier le cholra.

 la fin des vacances de Pques de 1895, l'cole normale a ft
joyeusement son centenaire. Un grand et beau livre illustr,
historique et biographique a t publi chez Hachette, grce  une
collaboration varie. Nous avions ouvert une souscription, en famille,
pour faire face aux dpenses. Le reliquat a t dpos dans la caisse
de l'Association des anciens lves.

                                          

SCIENCES MILITAIRES

Le marchal Vaillant proposait de crer  l'Institut une section des
sciences militaires.--Je ne connais pas cela, s'cria M. Chasles. Il
y a la science, puis viennent les applications.--On eut beau faire, il
ameuta tout le monde contre le projet des spcialistes.

                                          

BROUETTES ET OMNIBUS

La brouette, grce  laquelle le manoeuvre ne s'puise plus 
transporter directement les fardeaux, et l'omnibus, le vulgaire
omnibus chant comme symbole du progrs par Edmond About, ces deux
inventions fort pratiques sont dues, dit-on, au grand Pascal.

Le fait a t contest (voir l'_Intermdiaire des chercheurs et des
curieux_ du 10 mai 1891).

                                          

BONNE POLITIQUE

Sous le second Empire, Cauchy, professeur  la Facult des sciences,
fut dispens d'un serment qu'il avait refus en 1830. La mme
exception fut faite en faveur d'Arago, directeur de l'Observatoire,
vulgarisateur et historien des sciences.

                                          

PRCOCIT

Pascal enfant ayant demand ce que c'tait que la gomtrie, on
s'tait born  lui rpondre qu'il s'agissait de faire des figures
exactes et de trouver les proportions qu'elles avaient entre elles.
Sur cette seule indication et sans aucun livre, Pascal devina tout le
commencement d'Euclide jusqu' la trente-deuxime proposition.

Lagrange disait en 1801  propos de Cauchy: vous voyez ce petit jeune
homme, eh bien! il nous remplacera tous, tant que nous sommes de
gomtres.

Parmi les mathmaticiens prcoces on peut citer encore Huygens,
Clairaut et J. Bertrand.

                                          

TOMBEAU D'ARCHIMDE

Je mis tous mes soins  dcouvrir ce tombeau. Les Syracusains
m'affirmaient qu'il n'existait point.  force de recherches, je le
trouvai enfin, couvert de ronces et de broussailles. Je fus guid,
dans cette dcouverte, par quelques lignes d'une inscription qu'on
disait avoir t graves sur le monument, et qui se rapportaient  une
sphre et  un cylindre, poss au sommet du tombeau. Parcourant des
yeux les nombreux tombeaux qui se trouvent vers la porte d'Agrigente,
j'aperus une petite colonne qui s'levait au-dessus des buissons: il
y avait la figure d'une sphre et d'un cylindre[4]. Je m'criai
aussitt devant les principaux habitants de Syracuse qui
m'accompagnaient. Voil ce que je cherche! Beaucoup se jetrent alors
sur les broussailles pour les couper et mettre l'emplacement 
dcouvert. Ce travail achev, nous nous approchmes de la colonne.
Nous vmes l'inscription  moiti ronge par le temps. Ainsi, la plus
noble et jadis la plus instruite des cits de la Grce ignorerait la
place du tombeau du plus ingnieux de ses citoyens, si un inconnu
d'Arpinum n'tait pas venu la lui apprendre.

                                                        CICRON.

[Note 4: Archimde a dmontr que toute sphre est les 2/3 du
cylindre circonscrit.]

                                          

ATTRACTION UNIVERSELLE

Nous sommes redevables de cette importante dcouverte  feu M. Newton.
Ce grand philosophe et mathmaticien anglais se trouvait un jour
couch dans un jardin, sous un pommier, une pomme lui tomba sur la
tte, et lui fournit l'occasion de faire plusieurs rflexions. Il
conut bien que c'tait la pesanteur qui avait fait tomber la pomme,
aprs qu'elle eut t dgage de la branche, peut-tre par le vent ou
quelque autre cause. Cette ide paraissait fort naturelle, et tout
paysan aurait peut-tre fait la mme rflexion; mais le philosophe
anglais allait plus loin. Il faut, dit-il, que l'arbre ait t fort
haut; et c'est ce qui lui fit former la question si la pomme serait
aussi tombe en bas dans le cas o l'arbre aurait t encore beaucoup
plus haut, ce dont il ne pouvait pas douter.

Mais si l'arbre avait t si haut qu'il parvnt jusqu' la lune, il se
trouva embarrass de dcider si la pomme tomberait ou non. En cas
qu'elle tombt, ce qui lui paraissait pourtant fort vraisemblable,
puisqu'on ne saurait concevoir un terme, dans la hauteur de l'arbre,
o la pomme cesserait de tomber; dans ce cas, il faudrait que la pomme
et encore quelque pesanteur qui la pousserait vers la terre: donc,
parce que la lune se trouverait au mme endroit, il faudrait qu'elle
ft pousse vers la terre par une force semblable  celle de la lune.
Cependant, comme la lune ne lui tombait point sur la tte, il comprit
que le mouvement en pourrait tre la cause, de la mme manire qu'une
bombe peut passer au-dessus de nous sans tomber verticalement en bas.
Cette comparaison du mouvement de la lune avec une bombe le dtermina
 examiner plus attentivement la chose, et, aid des secours de la
plus sublime gomtrie, il trouva que la lune suivait dans son
mouvement les mmes rgles qu'on observe dans le mouvement d'une
bombe; de sorte que s'il tait possible de jeter une bombe  la
hauteur de la lune et avec la mme vitesse, la bombe aurait le mme
mouvement que la lune. Il a seulement remarqu cette diffrence, que
la pesanteur de la bombe  cette distance de la terre serait beaucoup
plus petite qu'ici-bas.

                                                          EULER.

                       ------

On rapporte que Newton, voulant calculer la quantit dont la lune
tombe vers la terre en une seconde et ayant dispos les oprations
arithmtiques, reconnut qu'il allait obtenir ce qu'il pressentait. Son
motion fut si grande qu'il ne put continuer le calcul et qu'il fallut
qu'un de ses lves l'achevt.

                                          

TOUT PAR DIX

Lors de la cration du systme mtrique, on avait song  diviser le
jour en vingt heures, chaque heure en cent minutes, etc., et la
circonfrence en quatre cents _grades_, le grade en cent minutes, etc.
Cette question de la dcimalisation du temps et de la circonfrence
revient sur l'eau aujourd'hui.

                                          

PRTRES MENACS

Au plus fort de la Terreur, Lalande, quoique paroissien mdiocre,
cacha  l'Observatoire plusieurs prtres menacs de mort. Je vous
ferai passer, leur dit-il, pour des lves astronomes: nous nous
occupons du Ciel, vous et moi.

                                          

CIEL EN CRISTAL

Le ciel est ce qui tourne incessamment autour de la terre et de la mer
sur deux pivots qui forment les extrmits d'un axe: car en ces
endroits, la puissance qui gouverne la nature a fabriqu et mis ces
pivots comme deux centres, l'un au-dessus de la terre et de la mer, en
haut du ciel et derrire les toiles du septentrion, l'autre 
l'oppos, sous la terre, vers le midi; et autour de ces deux pivots,
comme autour de deux centres, elle a mis de petits moyeux, pareils 
ceux d'une roue et d'un tour, sur lequel le ciel tourne
continuellement.

                                                        VITRUVE.

                       ------

On voit, par ce passage, que les anciens ont cru  l'existence de
cieux solides de cristal, tournant sur deux pivots matriels.

                                          

 ATHNES

Lysias apprit  la fois l'arithmtique par principes et en se jouant:
car pour en faciliter l'tude aux enfants, on les accoutume tantt 
partager entre eux, selon qu'ils sont en plus grand ou en plus petit
nombre, une certaine quantit de pommes ou de couronnes; tantt  se
mler, dans leurs exercices, suivant des combinaisons donnes, de
manire que le mme occupe chaque place  son tour. Apollodore ne
voulut pas que son fils connt ni ces prtendues proprits que les
Pythagoriciens attribuent aux nombres, ni l'application qu'un intrt
sordide peut faire du calcul aux oprations du commerce. Il estimait
l'arithmtique, parce qu'entre autres avantages elle augmente la
sagacit de l'esprit et le prpare  la connaissance de la gomtrie
et de l'astronomie.

Lysias prit une teinture de ces deux sciences. Avec le secours de la
premire, il pourrait plus aisment asseoir un camp, presser un sige,
ranger des troupes en bataille, les faire rapidement mouvoir dans une
marche ou dans une action. La seconde devait la garantir des frayeurs
que les clipses et les phnomnes extraordinaires inspiraient il n'y
a pas longtemps aux soldats.

                                                ABB BARTHLEMY.

                                          

PORTRAIT CHERCH

La ville de Dax, patrie du chevalier de Borda, n en 1733 et mort en
1799, devait lever une statue  cet illustre ingnieur, gomtre et
marin.

Le comit charg de recueillir les souscriptions a rapidement trouv
les fonds ncessaires, mais il a t en prsence d'une difficult
srieuse, qui a menac mme de rduire  nant ses patriotiques
intentions: on ne possdait aucun portrait du chevalier de Borda. Le
comit fit appel  tous ceux qui pouvaient dtenir un buste, un
portrait ou une miniature. Peine inutile: Borda n'avait jamais song 
poser devant un statuaire ou un peintre quelconque.

On se trouvait donc expos  un avortement imprvu quand on se souvint
qu'il y avait  Brest un vaisseau portant le nom de Borda,  bord
duquel tait installe l'cole navale. On sut que la poulaine de ce
navire tait orne d'un buste dor: ce ne pouvait tre que celui du
chevalier de Borda. On s'adressa donc  la marine pour en obtenir une
photographie. La difficult allait donc tre tranche. Erreur! Le
vaisseau le _Borda_, avant de recevoir ce nom illustre, avait t
baptis du nom de Valmy et l'on apprit en mme temps que le buste qui
en ornait la poulaine tait celui de Kellermann, le vainqueur des
Prussiens en 1792. Mais en poursuivant les recherches, on parvint 
trouver dans le Muse naval du port de Brest, o Borda a longtemps
servi comme ingnieur et comme inspecteur gnral des constructions,
non pas un buste mais bien deux, portant son nom, au milieu de
beaucoup d'autres bustes portant les noms illustres de Jean-Bart, de
Vauban, etc. Mais, nouvelle cause d'indcision, ces deux bustes ne se
ressemblent pas: l'un reprsente les traits d'un personnage gras et
suffisamment joufflu; l'autre prsente l'aspect d'un homme maigre et
fluet. Lequel des deux bustes est le bon? Les deux assurment, si ce
que l'on suppose est fond,  savoir que l'un, le fluet, a d
reprsenter Borda dans sa jeunesse, et l'autre, le joufflu, dans son
ge mr,  une poque o le chevalier a d prendre de l'embonpoint. 
moins que ce ne soit ni l'un ni l'autre, ce qui serait regrettable
mais ce qu'on ne saurait supposer.

Quoi qu'il en soit, la Marine se rendant au dsir de la ville de Dax,
a expdi au comit d'organisation la photographie des deux bustes
dissemblables qu'elle possde. On a choisi et la statue de Borda a t
rige le 24 mai 1891.

                                          

SURSUM CORDA.

Une grande erreur est de penser que l'enthousiasme est inconciliable
avec les vrits mathmatiques. Je suis persuad qu'il est tel
problme, de calcul, d'analyse de Kepler, de Galile, de Newton,
d'Euler, la solution de telle quation, qui supposent autant
d'invention, d'inspiration que la plus belle ode de Pindare. Ces pures
et incorruptibles formules, qui taient avant que le monde ft, qui
seront aprs lui, qui dominent tous les temps, tous les espaces, qui
sont, pour ainsi dire, une partie intgrante de Dieu, ces formules
sacres qui survivront  la ruine de tous les univers, mettent le
mathmaticien qui mrite ce nom, en communication avec la pense
divine. Dans ces vrits immuables, il savoure le plus pur de la
cration; il prie dans sa langue. Il dit au monde comme cet ancien:
Faisons silence, nous entendrons le murmure des dieux!

                                                  EDGARD QUINET.

                       ------

Il est des vrits scientifiques, dit Descartes, qui sont des
batailles gagnes; racontez aux jeunes gens les principales et les
plus hroques de ces batailles: vous les intresserez aux rsultats
mmes des sciences, et vous dvelopperez chez eux l'esprit
scientifique, au moyen de l'enthousiasme pour la conqute de la
vrit; vous leur ferez comprendre la puissance de raisonnement qui a
amen les dcouvertes actuelles et en amne d'autres. Quel intrt
prendraient l'arithmtique et la gomtrie, si l'on joignait un peu de
leur histoire  l'exposition de leurs principales thories, si l'on
assistait aux efforts des Pythagore, des Platon, des Euclide, ou, plus
tard des Vite, des Pascal, des Leibniz! Les grandes thories, au lieu
d'tre des abstractions mortes et anonymes, deviendraient des vrits
vivantes, humaines, ayant leur histoire, comme une statue qui est de
Michel-Ange, comme un tableau qui est de Raphal.

                                               ALFRED FOUILLIE.

                                          

PRCURSEUR

D'aprs Grgori et Maclaurin, Pythagore aurait devin la loi prcise
de la gravitation universelle. Voici un curieux extrait du premier de
ces savants:

Une corde de musique, dit Pythagore, donne les mmes sons qu'une
autre corde, dont la longueur est double, lorsque la tension ou la
force avec laquelle la dernire est tendue est quadruple; et, la
_gravitation d'une plante est quadruple de la gravitation d'une
autre, qui est  distance double_. En gnral, pour qu'une corde de
musique puisse devenir  l'unisson d'une corde plus courte de mme
espce, sa tension doit tre augmente dans la mme proportion que le
carr de sa longueur est plus grand; et _afin que la gravit d'une
plante devienne gale  celle d'une autre plante plus proche du
soleil, elle doit tre augmente  proportion que le quarr de sa
distance au soleil est plus grand_. Si donc nous supposons des cordes
de musique _tendues du soleil  chaque plante_, pour que ces cordes
deviennent  l'unisson, _il faudrait augmenter leur tension, dans les
mmes proportions qui seraient ncessaires pour rendre les gravits
des plantes gales_. C'est de la similitude de ces rapports que
Pythagore a tir sa doctrine de l'harmonie des sphres.

                                          

COURTISANS

Louis XVIII dit, un jour,  un mathmaticien clbre: Monsieur, vous
pourriez peut-tre m'aider  rsoudre un problme? Comment se fait-il
qu'ayant t accompagn par une cinquantaine de personnes quand je
suis parti pour Gand, j'en trouve aujourd'hui dix mille qui prtendent
y avoir t avec moi?

                                          

UN DUEL

N en 1811, variste Galois, mathmaticien de gnie, est mort  vingt
ans dans un duel. M. P. Dupuy a publi, en 1896, une notice sur
Galois, dans les Annales de l'cole normale suprieure et il a
reconstitu, avec un soin extrme, une vie malheureuse et peu connue.

                                          

VRIT HISTORIQUE

Dans le premier volume de son _Cours d'tudes historiques_, Daunou
explique assez longuement pourquoi, suivant lui, le calcul n'est pas
applicable  l'apprciation des tmoignages en histoire.

On trouve sur le mme sujet, dans _les Indications de Clio_ par
Zchokke, cette anecdote assez curieuse. Un amateur avait enregistr,
d'aprs les journaux du temps, le nombre des victimes de la Rvolution
et des guerres de l'Empire. Il tait arriv ainsi au total de
142.214.817 morts et il allait publier ce grand nombre avec dtails et
preuves  l'appui, lorsqu'un ami lui fit remarquer l'absurdit du
rsultat. L'Europe ne comptait que cent quatre-vingts millions, de
sorte que les journalistes l'avaient presque dpeuple en vingt ans!

                                          

LGENDE

J'ai entendu dire qu'aux environs de Naucratis d'gypte exista un des
plus anciens dieux, celui auquel est consacr l'oiseau qu'on appelle
Ibis: que son nom est Theut, et que le premier, il avait dcouvert le
Nombre, le Calcul, la Gomtrie, les Dames et les Ds.

                                                PLATON (Phdre.)

                                          

INVENTEURS

N'est-il pas, pour le moins, aussi ncessaire d'enseigner les
ressources employes,  diverses poques, par les hommes de gnie,
pour parvenir  la vrit, que les efforts pnibles qu'ils ont t
ensuite obligs de faire pour la dmontrer selon le got des esprits
ou timides ou peu capables de se mettre  leur porte?

                                                       PONCELET.

                                          

DOCUMENTS

Que, dans l'tude des mathmatiques, on fasse table rase du pass,
qu'on les enseigne dgages de tout document historique, cela n'est
pas sans inconvnients.

                                                    J.-B. DUMAS.

                                          

NAPOLON

Arago rapporte ces paroles de Napolon  M. Lemercier, membre de
l'Institut:

Pensez-vous que si je n'tais pas devenu gnral en chef et
l'instrument d'un grand peuple, j'aurais couru les bureaux et les
salons pour me mettre dans la dpendance de qui que ce ft, en
qualit de ministre ou d'ambassadeur? Non, non! je me serais jet dans
l'tude des sciences exactes, j'aurais fait mon chemin dans la route
des Galile et des Newton; et puisque j'ai russi constamment dans mes
grandes entreprises, eh bien! je me serais hautement distingu aussi
par des travaux scientifiques; j'aurais laiss le souvenir de belles
dcouvertes: aucune autre gloire n'aurait pu tenter mon ambition.

On conserve aux Archives de l'Institut un rapport de Laplace,
Bonaparte et Lacroix (23 octobre 1799) sur un mmoire de Biot
intitul: _Considrations sur les quations aux diffrences mles._

Napolon trouvait avec une facilit prodigieuse la solution de
problmes gomtriques trs compliqus. Il tonnait Monge lui-mme.

                                          

EXPRIMENTONS

Les progrs des sciences exprimentales ont insensiblement amen les
esprits  concevoir toute science sur leur modle. Le type de
certitude scientifique tait autrefois la dmonstration gomtrique;
c'est maintenant la vrification exprimentale. Non que les
mathmatiques aient rien perdu,  nos yeux, de leur inflexible
rigueur, et d'ailleurs, la possibilit d'une mesure exacte avec la
rduction  une formule mathmatique est de plus en plus le signe
d'une thorie scientifique faite; mais nous regardons moins volontiers
du ct de la gomtrie pure.

                                                   OLL-LAPRUNE.

                       ------

Les mathmatiques, transcendantes surtout, ne conduisent  rien de
prcis sans l'exprience: c'est une espce de mtaphysique gnrale o
les corps sont dpouills de leurs qualits individuelles;--il
resterait  faire un grand ouvrage qu'on pourrait appeler
l'_Application de l'Exprience  la Gomtrie ou Trait de
l'Aberration des Mesures_.

                                                        DIDEROT.

                       ------

 l'aide de quelques axiomes, tirs soit de l'esprit humain, soit de
l'observation et en procdant uniquement par voie de raisonnement, la
gomtrie avait commenc, ds le temps des Grecs,  lever ce
merveilleux difice, qui a subsist et qui subsistera toujours sans
aucun changement essentiel. La logique rgne ici en souveraine, mais
c'est dans le monde des abstractions. Les dductions mathmatiques ne
sont certaines que pour leur ordre mme; elles n'ont aucune existence
effective en dehors de la logique. Si on les applique  l'ordre des
ralits, elles y constituent un instrument puissant, mais elles ne
sont pas autre chose; leurs affirmations tombent aussitt sous la
condition commune, c'est--dire que les prmisses doivent tre tires
de l'observation, et que la conclusion doit tre contrle par cette
mme observation.

                                                      BERTHELOT.

                       ------

Les sciences de la matire relvent toutes, sans exception, des
sciences de l'esprit, parmi lesquelles on doit ranger les
mathmatiques... Pas une application ne serait possible sans le
secours de leurs formules abstraites, pas le plus petit progrs sans
leur concours et leur permission.

                                                       CHARRAUX.

                       ------

Dans les mathmatiques, on suit surtout une mthode dductive.

Une science ne peut tre considre comme arrive  la perfection que
quand,  l'exemple des mathmatiques, toutes les vrits partielles
peuvent tre dmontres  l'aide de quelques axiomes gnraux.

La division des sciences en inductives et dductives ne se rapporte
qu' leur dveloppement successif. Plus la science est parfaite, plus
la dduction y a d'application.

                                                        BOUGAEV.

                                          

HARDIESSE

La thorie des parallles n'a fait aucun progrs depuis Euclide
jusqu'au commencement de notre sicle. Tous les efforts pour dmontrer
le _postulatum_ d'Euclide ou une proposition quivalente taient
rests infructueux, lorsque Lobattcheffsky en 1829 et Bolyai en 1832,
changeant rsolument de voie, conurent et excutrent sparment le
projet hardi de supposer que la proposition n'tait pas vraie et de
constituer un nouveau systme de gomtrie non contradictoire, en
poussant jusqu' ses dernires limites le dveloppement de leur
hypothse. Gauss qui par ses propres mditations avait obtenu les
mmes rsultats ds 1792, sans toutefois avoir rien publi sur ce
sujet, assura par son patronage le succs de l'oeuvre de
Lobattcheffsky qui, crivait-il  Schumacher avait trait la matire
de main de matre. Depuis lors, un grand nombre de gomtres, parmi
lesquels il faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont
considrablement agrandi le champ de ces spculations.

                                                         ROUCH.

                                          

PREMIRE SCIENCE

Les mathmatiques tant une science de raisonnement, dans laquelle
l'observation n'a presque rien, et l'exprience absolument rien 
faire, a d tre constitue longtemps avant les autres sciences. Il
est clair que pour compter ou pour comparer des grandeurs entre elles,
l'homme n'a pas eu besoin de connatre la nature. Le calcul et la
gomtrie se sont donc forms dans une indpendance absolue vis--vis
des autres catgories de connaissances. Mais, par cela mme, le calcul
et la gomtrie ont eu pendant des sicles, un dveloppement de
perfection trs suprieur  ce qu'exigeaient les besoins de la vie en
socit. Chez les Anciens, les seuls esprits cultivs jouissaient de
la contemplation des vrits abstraites formules par Pythagore,
Archimde et Euclide. Aussi ces vrits indispensables 
l'tablissement des sciences d'observation comme l'astronomie, et des
sciences exprimentales comme la physique, taient-elles condamnes 
attendre que le dveloppement de la vie collective et acquis des
proportions convenables.

                                                         FOUCOU.

                                          

CANONISS

Saint Anatolius est l'auteur d'_Institutions arithmtiques_.

Gerbert, devenu pape sous le nom de Saint Sylvestre II, tait un
remarquable mathmaticien.

Saint Guillaume d'Hirschau a crit sur le comput ecclsiastique et
invent des instruments d'astronomie.

Enfin, d'aprs Cantor, l'historien des mathmatiques, Boce, et
Symmaque, auraient aussi t canoniss.

                       ------

Voici un extrait de la prface jansniste d'une gomtrie rformatrice
due  Arnauld:

Entre les exercices humains qui peuvent le plus disposer l'esprit 
recevoir les vrits Chrestiennes avec moins d'opposition et de
dgoust, il semble qu'il n'y en ait gures de plus propre que la
gomtrie. Car rien n'est plus capable de dtacher l'me de cette
application aux sens, qu'une autre application  un objet qui n'a rien
d'agrable selon les sens; et c'est ce qui se rencontre parfaitement
dans cette science. Elle n'a rien du tout qui puisse favoriser tant
soit peu la pente de l'me vers les sens; son objet n'a aucune liaison
avec la concupiscence; elle est incapable d'loquence et d'agrment
dans le langage; rien n'y excite les passions; elle n'a rien du tout
d'aimable que la vrit, et elle la prsente  l'me toute nue et
dtache de tout ce que l'on aime de plus dans les autres choses.

                       ------

Agripa, l'auteur du _Trait de la vanit des sciences_, est d'avis
diffrent:

Combien que ces disciplines (les mathmatiques) n'aient caus en
l'glise de Dieu gures d'hrsies, ou point du tout, si est ce que
comme dit Saint Augustin, elles sont inutiles  notre salut, plutt
nous dtournant de Dieu, et induisant  pcher que autrement; et ne
sont ainsi que Saint Hierome affirme, sciences de personnes craignans
Dieu.

                       ------

Michelet fait, dans son _Journal_, cette dclaration assez inattendue
de sa part. J'aime assez ce rgime: les mathmatiques et l'vangile;
il y a l tout ce qu'il faut pour l'me.




LANGUE ET LITTRATURE


TYMOLOGIES

_Calcul_ vient du mot latin signifiant _caillou_, parce qu'on comptait
jadis avec des cailloux, d'o le titre l'_Arnaire_ d'un ouvrage
d'Archimde. Au XIIe sicle, l'indien Bhscara a fait un livre, le
_Bijaganitam_, sur le comptage  l'aide des graines.

Au XVIe sicle, nous nous servions de jetons: Enseigne l'arithmtique
et calcul, tant au jet qu' la plume. Au dbut de la comdie de
Molire, c'est  l'aide de jetons que le malade imaginaire additionne
le compte de son apothicaire. Madame de Svign crit  sa fille
qu'elle vient de faire le compte de sa fortune avec les jetons de
l'abb (de Coulanges), qui sont si justes et si bons.

Le mot calcul a conserv son sens tymologique, lorsqu'il s'agit des
petites pierres qui se forment dans la vessie. (Maladie de la pierre.)

Les tymologies de calcul, arithmtique et gomtrie, sont claires,
mais _algbre_ viendrait de l'arabe _Al-jbr_, raccorder un membre,
rtablir le tout d'aprs ses parties? En espagnol, algbriste signifie
chirurgien.

                                          

TRIGONOMTRIE DRAMATIQUE

Lisez le roman de Jules Verne intitul: _Histoire de trois Russes et
de quatre Anglais._ Il est question des angles adjacents  la base du
8e triangle, du 103e logarithme de la table de Volaston, d'un
calculateur menac par les crocodiles, de deux registres vols par des
singes, etc., etc. Trianguler ou mourir, voil la devise de ces
fiers oprateurs.

Les aventures relles de Delambre et Mchain, puis de Biot et Arago
sont autrement mouvantes. (Voyez _La mesure du mtre_, un petit livre
de W. de Fonvielle.)

                                          

BIEN RDIGER

 la suite d'une tude de M. J. Liouville, lve-ingnieur, insre en
1830 dans les _Annales de Mathmatiques_, le rdacteur, Gergonne avait
crit.

Je crois devoir m'excuser vis--vis du lecteur de lui livrer un
mmoire aussi maussadement, je puis dire aussi inintelligiblement
rdig...

Je ne prtends contester aucunement la capacit mathmatique de M.
Liouville: mais  quoi sert cette capacit, si elle n'est accompagne
de l'art de disposer, de l'art de se faire lire, entendre et goter.
Malheureusement, il n'est aujourd'hui que trop de jeunes gens, de
beaucoup de mrite d'ailleurs qui regardent, comme un accessoire
indiffrent ce que je regarde, moi, comme le mrite essentiel, le
mrite par excellence, au dfaut duquel tout le reste n'est
absolument rien.

On sait que Liouville a fond le clbre Journal de Mathmatiques qui
porte encore son nom.

                                          

THTRE SCIENTIFIQUE

Sous ce titre, M. de Mirval a essay de dramatiser plusieurs pisodes
de la vie des savants, par exemple, les perscutions de Kepler.
Ponsard avait dj fait un _Galile_ en cinq actes. Enfin Louis
Figuier, le clbre vulgarisateur, a aussi publi des pices curieuses
 donnes scientifiques: _la Science au thtre_, 2 vol.

                                          

UN VAUDEVILLE

Lors de l'invention du calcul infinitsimal, il donna lieu  un
vaudeville et  un air intitul: _les Infiniment petits_, o l'on
plaisantait sur la frle sant du marquis de l'Hpital et sur les
caprices de la marquise.

Madame de l'Hpital a rfut, dans le _Journal des Savants_ de 1691,
les thories gomtriques d'un nomm Lamontre.

                                          

LES MATHMATICIENS

C'est l le titre d'une comdie du hollandais Langendick (1715); il
s'agit d'un tuteur bafou, comme d'habitude, par son pupille, pendant
qu'il disserte sur les sciences avec un vieil ami.

                                          

TRE SUR SON TRENTE ET UN

Au moyen-ge, des rglements fort svres punissaient non seulement
les ouvriers qui avaient employ dans leur fabrication des matires
premires avaries, mais encore ceux qui ne donnaient pas  leurs
produits les formes et les dimensions requises. En ce qui concernait
les tisserands de laine, ces rglements allaient jusqu' fixer le
nombre de fils dont devait se composer la trame.

On trouve  ce sujet des dtails curieux dans l'_Histoire de
l'industrie franaise_, d'Alexis Monteil. Le collage de la chane, le
foulage, le feutrage, le soufrage, le calendrage, tout est prvu, sans
oublier la longueur ni la largeur de la pice; et le contrevenant
pouvait tre condamn, en certain cas,  avoir le poing coup, ce qui
tait bien fait, car les honntes tisserands voulaient conserver leurs
deux mains.

Suivant la qualit des draps, la trame devait se composer de 1400 ou
de 1800 fils. Pour le drap fin destin aux vtements de luxe, le
nombre de fils tait de 30 fois 100 fils; ce qui fit donner  ce drap
le nom de _trentain_.

Porter du _trentain_ tait donc le fait d'un homme riche qui ne
regardait pas aux dpenses de la toilette.

_Trentain_, terme technique, se mtamorphosa facilement en trente-un
dans la bouche de ceux qui ne connaissaient pas l'origine de cette
appellation; et comme l'usage a prvalu de dire _trente et un_, ces
mots sont rests pour dsigner une toilette soigne.

                                          

BIBLIOGRAPHIE

Ne pas prendre le _Trait de la Roulette_, de Pascal, pour une tude
sur le jeu du mme nom: il s'agit de la courbe appele aussi
_cyclode_.

Bien se garder de confondre le _Trait des Fluxions_, de Newton ou de
Maclaurin, ni une tude sur les Caustiques, avec un livre de mdecine.

Les deux plus anciens manuscrits franais d'algorithme et de gomtrie
sont  la Bibliothque Sainte-Genevive. Ils datent de 1275 et ont t
publis par M. Charles Henry.

On a un trait d'arithmtique imprim  Trvise en 1478 et deux 
Bamberg en 1482 et 1483. L'allemand Ratdolt, mort en 1505, a imprim
le premier des figures dans un texte de mathmatiques.

                                          

RPERTOIRE

D'aprs le Rpertoire bibliographique des sciences mathmatiques, en
voie de publication, les crits sont rpartis d'aprs leur objet,
_indpendamment des mthodes_, en _classes_ dsignes par une lettre
capitale; les classes seront subdivises en _sous-classes_ dsignes
par la lettre capitale de la classe affecte d'un exposant; les
classes et les sous-classes sont partages en _divisions_ dsignes
par un chiffre arabe; les divisions en _sections_ dsignes par une
minuscule latine; les sections en _sous-sections_ reprsentes par
une minuscule grecque. La notation relative  un crit mathmatique
est note dans un encadrement rectangulaire. Ainsi

  L^{1}4_b[alpha]_

est la notation qui dsigne un mmoire traitant des proprits du lieu
gomtrique d'un angle droit circonscrit  une conique.

En effet L signifie _coniques et quadriques_; L^{1}, _coniques_;
L^{1}4, _tangentes aux coniques_; L^{1}4_b_, _tangentes aux coniques
faisant un angle donn_; la sous-section [alpha] traite du cas o
l'angle est droit.

Les auteurs ou diteurs d'crits mathmatiques originaux sont pris
d'accompagner le titre de ces crits de la notation symbolique qui
indique leur place dans la classification du rpertoire.

Le Secrtaire de la commission permanente du Rpertoire est M.
Laisant, 162, avenue Victor Hugo,  Paris.

Le rpertoire parat chez Gauthier-Villars par sries de 100 fiches
in-32,  2 fr. la srie. Les 5 premires sries sont en vente.

                                          

FIGURES

On ne saurait contester les relations des mathmatiques avec la
littrature. La rhtorique sacre ou profane lui emprunte ses plus
belle _figures_. Le Nouveau-Testament abonde en _paraboles_; les
crivains anciens et modernes ont fait avec succs usage de
l'_ellipse_ et du _cercle_; tel orateur vhment a recours 
l'_hyperbole_; tel autre a fait briller ses arguments sous les vives
couleurs du _prisme_. Certain grand gnral n'a-t-il pas eu l'heureuse
inspiration d'associer la beaut gomtrique des _pyramides_  leur
fabuleuse antiquit?

                                          

GRAVITATION

  Dans le centre clatant de ces orbes immenses,
  Qui n'ont pu nous cacher leur marche et leurs distances,
  Luit cet astre du jour par Dieu mme allum,
  Qui tourne autour de soi sur son axe enflamm;
  De lui partent sans fin des torrents de lumire;
  Il donne, en se montrant, la vie  la matire,
  Il dispense les jours, les saisons et les ans
   des mondes divers autour de lui flottants.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Par del tous ces cieux, le Dieu des cieux rside.
                                                       VOLTAIRE.

  Pourquoi ces mouvements et ces orbes divers
  Que six mondes errants tracent dans l'univers?
  Quel pouvoir auprs d'eux retient leurs satellites?
  O l'ardente comte a-t-elle ses limites?
  Pourquoi l'astre du jour, sur son axe agit,
  Vers le centre commun semble-t-il arrt?
  Tout fut lanc des mains du crateur suprme.
  Tout pse, attire, fuit, par un destin pareil;
  Le moindre grain de sable attire le soleil.
  Soumis aux mmes lois, dous d'une puissance
  Qui s'accrot par leur masse et perd par la distance,
  Les astres voyageurs dans les plaines du ciel
  Exercent l'un sur l'autre un effort mutuel.
                                                           DARU.

                                          

VANOUISSEMENT

Que dites-vous? Comment? Je n'y suis pas: vous plairait-il de
recommencer? Vous voulez, Acis, me dire qu'il fait froid; que ne
disiez-vous: il fait froid!

Ce passage de La Bruyre m'est revenu en mmoire  l'occasion d'une
locution nouvelle dj fort rpandue, et qui consiste  nommer
_varit vanouissante_ le cas particulier d'une conique qui se rduit
 un point ou  deux droites. J'avoue que je n'ai pas compris tout
d'abord. En bon franais, une _varit vanouissante_ devrait vouloir
dire une varit qui s'vanouit, qui cesse d'exister, en sorte qu'une
ellipse qui cependant est un genre et non une varit cesserait d'tre
une varit quand elle se rduirait  un point. Quel galimatias!
Revenons  La Bruyre. Vous voulez dire, Acis, que votre courbe se
rduit  un point ou  deux droites: dites qu'elle se rduit  un
point ou  deux droites. Mais, rpondez-vous, cela est bien uni et
bien clair, et d'ailleurs qui ne pourrait en dire autant? Qu'importe,
Acis? Est-ce un si grand mal d'tre entendu quand on parle et de
parler comme tout le monde?

                                                        PROUHET.

                                          

APOLOGUE ORIENTAL

DDI  LA COMMISSION DES EXERCICES PHYSIQUES

Un savant s'embarque sur une nacelle pour traverser un large fleuve.
Il dit au batelier:

--Connais-tu l'histoire?

--Non.

--Alors tu as perdu la moiti de ta vie. Connais-tu les mathmatiques?

--Non.

--Alors tu as perdu les trois quarts de ta vie!

 peine le savant avait-il prononc ces mots qu'un coup de vent fit
chavirer la barque.

--Sais-tu nager? demande  son tour le batelier, au pauvre professeur
qui se dbattait dans les flots.

--Hlas, non.

--Eh bien, tu as perdu ta vie tout entire.

                                          

DIVINE PROPORTION

La locution Moyenne et extrme raison viendrait de ce que si l'on
considre la petite partie, la grande partie et la droite entire, on
peut dire que, dans cet ordre, la raison de l'extrme gale la raison
de la moyenne. Quoi qu'il en soit, Lucas de Burgo consacre 66 pages
aux mrites d'une proportion qu'il qualifie de divine.

                       ------

Un moderne, M. de Bonald affirme, dans sa _Lgislation primitive_ une
autre proportion, obscure mais merveilleuse aussi, qui rglerait tout.
On doit donc tablir cette proportion gnrale: _la cause est au moyen,
ce que le moyen est  l'effet_; ce qu'on peut considrer comme une
expression algbrique A : B :: B : C, dont on fait l'application  toute
sorte de valeurs.

                       ------

J.-J. Rousseau avait dj dit qu'il y a proportion continue entre le
souverain, le prince et le peuple. Mais il avait ajout qu'on ne doit
pas conclure  une moyenne proportionnelle calculable par racine
carre. En empruntant un moment des termes de gomtrie, je n'ignore
pas que la prcision gomtrique n'a pas lieu dans les quantits
morales.

                                          

PHOBOS ET DEIMOS

Ces deux satellites de Mars, rcemment dcouverts, ont t devins,
grce  un hasard singulier, par Voltaire dans son roman de
_Micromegas_ et par Swift qui en attribue l'observation aux astronomes
de Laputa.

On lit dans Micromegas: En ctoyant la plante Mars... nos deux
voyageurs virent deux lunes qui servent de satellites  cette plante,
et qui ont chapp aux regards de nos astronomes. Or, ce n'est qu'en
1877 que Hall a dcouvert les deux satellites de Mars.

                                          

FOUGUEUX

Il se livrait  son temprament d'algbriste. Ce n'tait point des
chiffres minuscules qu'il employait dans ses calculs, non! c'taient
des chiffres fantaisistes, gigantesques, tracs d'une main fougueuse.
Ses 2 et ses 3 s'arrondissaient comme des cocottes de papier; ses 7 se
dessinaient comme des potences, et il n'y manquait qu'un pendu; ses 8
se recourbaient comme de larges lunettes; ses 6 et ses 9 se
parafaient de queues interminables.

Et les lettres avec lesquelles il tablissait ses formules, les
premires de l'alphabet, _a_, _b_, _c_, qui lui servaient 
reprsenter les quantits connues ou donnes, et les dernires, _x_,
_y_, _z_, dont il se servait pour les quantits inconnues ou 
dterminer, comme elles taient accuses d'un trait plein, sans
dlis, et plus particulirement ses _z_, qui se contorsionnaient en
zig-zags fulgurants! Et quelle tournure, ses lettres grecques, les
[pi], les [lambda], les [omga] etc., dont un Archimde ou un Euclide
eussent t fiers!

Quant aux signes, tracs d'une craie pure et sans tache, c'tait tout
simplement merveilleux. Ses + montraient bien que ce signe marque
l'addition de deux quantits. Ses-, s'ils taient plus humbles,
faisaient encore bonne figure. Ses X se dressaient comme des croix de
Saint-Andr. Quant  ses =, leurs deux traits, rigoureusement gaux,
indiquaient vraiment que J.-T. Maston tait d'un pays o l'galit
n'est pas une vaine formule, du moins entre types de race blanche.
Mme grandiose de facture, pour ses <, ses >, pour ses [>/<] dessins dans
des proportions extraordinaires. Quant au signe [V], qui indique la
racine d'un nombre ou d'une quantit, c'tait son triomphe, et,
lorsqu'il le compltait de la barre horizontale pour cette formule:

  [V]

il semblait que ce bras indicateur dpassant la limite du tableau
noir, menaait le monde entier de le soumettre  ses quations
furibondes!

Et ne croyez pas que l'intelligence mathmatique de J.-T. Maston se
bornt  l'horizon de l'algbre lmentaire! Non! Ni le calcul
diffrentiel, ni le calcul intgral, ni le calcul des variations ne
lui taient trangers, et c'est d'une main sre qu'il traait ce
fameux signe de l'intgration; cette lettre effrayante dans sa
simplicit,

[intgrale]

somme d'une infinit d'lments infiniment petits!

Il en tait de mme du signe [sigma], qui reprsente la somme d'un
nombre fini d'lments finis, du signe [infini] par lequel les
mathmaticiens dsignent l'infini, et de tous les symboles mystrieux
qu'emploie cette langue incomprhensible du commun des mortels.

                                                    JULES VERNE.

                       ------

J.-T. Maston est le hros du roman _Sans dessus dessous_ (1889): des
amricains achtent la calotte polaire qu'ils veulent utiliser, aprs
avoir chang la direction de l'axe de la terre,  l'aide d'un choc
formidable. Malheureusement le calculateur a donn par mgarde 40.000
mtres au lieu de 40.000 kilomtres  la circonfrence terrestre.

                                          

NERF DE LA GUERRE

Je dois avant tout louer l'activit et le dvouement du vaillant
capitaine Tycho-Brahe, qui, sous les auspices des souverains de
Danemark, Frdric et Christian, a, pendant vingt annes successives,
tudi, chaque nuit et presque sans relche, toutes les habitudes de
l'ennemi, dvoil ses plans de campagne et dcouvert les mystres de
ses marches. Les observations, qu'il m'a lgues, m'ont aid  bannir
cette crainte vague et indfinie qu'on prouve d'abord pour un ennemi
inconnu...

Enfin l'ennemi se rsigna  la paix, et par l'intermdiaire de sa mre
la nature, il m'envoya l'aveu de sa dfaite, se rendit prisonnier sur
parole, et l'Arithmtique et la Gomtrie l'escortrent sans
rsistance jusque dans notre camp. Depuis lors, il a montr qu'on peut
se fier  sa parole; content de son sort, il ne demande qu'une grce 
Votre Majest: toute sa famille est dans le ciel; Jupiter est son
pre, Saturne son aeul, Mercure son frre, et Vnus son amie et sa
soeur; habitu  leur auguste socit, il brle de les retrouver et
voudrait les voir avec lui, jouissant, comme il le fait aujourd'hui,
de votre hospitalit; il faut pour cela profiter de nos succs et
poursuivre la guerre avec vigueur; elle n'offre plus de prils,
puisque Mars est en notre pouvoir. Mais je supplie Votre Majest de
songer que l'argent est le nerf de la guerre, et de vouloir bien
commander  son trsorier de livrer  votre gnral les sommes
ncessaires pour la leve de nouvelles troupes.

                                                         KEPLER.

                                          

BARME SUFFIT

  Tu me crois obsd par un mauvais gnie,
  Alcippe, tu te plains de l'trange manie
  Qui fait qu'en ma maison devenu prisonnier,
  D'un flot d'_x_ et d'_y_ je couvre mon papier.
  Laisse l, me dis-tu, l'algbre et ses formules,
  Laisse l ton compas, laisse l tes modules;
  C'est un emploi bien triste et des nuits et des jours
  Que d'intgrer sans fin et de chiffrer toujours.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Mais ont-ils ces mortels que le destin caresse,
  Au calcul intgral demand la richesse?
  Vois ce vieux financier. Sans cesse  son comptoir,
  Il revient supputer son doit et son avoir.
  D'enchrir sur Euclide il n'a point la folie;
  Il ajoute, soustrait, divise ou multiplie,
  Et, de Barme seul coutant la leon,
  Laisse dormir en paix Descartes et Newton.
                                                         CAUCHY.

                       ------

M. Faurie, mort il y a quelques annes, avait compos, dit-on, un
pome pique sur la guerre de Crime.

                                          

CARR LONG

Ma chambre est situe sous le quarante-huitime degr de latitude,
selon les mesures du pre Beccaria; sa direction est du levant au
couchant; elle forme un carr long qui a trente-six pas de tour, en
rasant la muraille de bien prs. Mon voyage en contiendra cependant
davantage; car je la traverserai souvent en long et en large, ou bien
diagonalement, sans suivre de rgle ni de mthode.--Je ferai mme des
zig-zags, et je parcourrai toutes les lignes possibles en gomtrie,
si le besoin l'exige.

                                                  X. DE MAISTRE.

                                          

BEAUX ESPRITS

L'esprit gomtrique donne beaucoup de flegme, de modration,
d'attention et de circonspection.

... Tout ce qui fera donc ces esprits brillants,  qui on a donn par
privilge le titre de beaux esprits, je veux dire l'abondance, la
varit, la libert, la promptitude, la vivacit; tout cela est
directement oppos aux oprations gomtriques, qui sont simples,
lentes, sches, forces et ncessaires.

                                                        D. HUET.

                       ------

Je sais qu'on me dira que les mathmatiques rendent particulirement
appliqu; mais elles n'habituent pas  rassembler,  apprcier, 
concentrer: l'attention qu'elles exigent, est, pour ainsi dire, en
ligne droite.

                                                   Mme DE STAL.

                                          

PIGRAMME

Deux rois de France, Charles VI et Louis XV, ont reu  tort le surnom
de _bien-aim_.

Les Parisiens firent au dernier cet pitaphe:

  Ci-gt Louis le quinzime,
  Du nom de bien-aim le deuxime;
  Dieu nous prserve du troisime!

                                          

IMAGE

Platon dit que la ligne droite est celle dont les points milieux
ombragent les extrmes. Il dit aussi que le plan est une surface
dont les parties du milieu ombragent les extrmes. Ces dfinitions,
qui font image, sont pleines de grce et de posie.

                                          

ICONOLOGIE

La gomtrie est reprsente par une femme, d'ge moyen, couverte
d'un voile blanc et transparent. Un globe est  ses pieds et elle
trace, avec un compas, un cercle sur un papier o sont dj d'autres
figures.

                                          

TROIS-SIX

On dsigne, sous cette brve indication, l'alcool dont la force est
telle qu'avec trois parties de cet alcool et trois d'eau, on fait six
parties d'alcool ordinaire.

                                          

SYNTAXE

La syntaxe franaise est incorruptible. C'est de l que rsulte cette
admirable clart, base ternelle de notre langue... On dirait que
c'est d'une gomtrie tout lmentaire, de la simple ligne droite, que
s'est forme la langue franaise.

                                                        RIVAROL.

                                          

SCIENCES OU LETTRES?

Votre rpublique dose, mesure et rgle l'homme; la mienne l'emporte en
plein azur; c'est la diffrence qu'il y a entre un thorme et un
aigle.

--Tu te perds dans le nuage.

--Et vous dans le calcul.

--Il y a du rve dans l'harmonie.

--Il y en a aussi dans l'algbre.

Je voudrais l'homme fait par Euclide.

--Et moi, dit Gauvain, je l'aimerais mieux fait par Homre.

--.........

--.........

--..... La rpublique, c'est deux et deux font quatre. Quand j'ai
donn  chacun ce qui lui revient...

                                                    VICTOR HUGO.

                                          

ADMIRATION

L'tranget de cette science m'tonnait; rien ne m'y avait prpar
dans ma vie. Tout tait galement nouveau, inattendu, comme si j'eusse
respir sur une autre plante perdue aux confins de l'univers. Et je
n'tais pas assez fantasque pour ne pas jouir de ces vrits
inbranlables, les mmes partout, les seules qui m'eussent donn
jusque l le sentiment de la certitude. C'taient  mes yeux comme des
colonnes d'meraude, fixes, immuables, qui se dressaient tout  coup
au milieu du chaos que mon intelligence enfermait. Je m'appuyais avec
scurit sur ces colonnes; le monde se raffermissait  mes yeux, et
j'osais m'engager plus avant.

J'aimais comme un Pythagoricien la puret incorruptible de la
gomtrie. M. Clerc, intraitable sur les figures que nous devions
tracer comme au burin, faisait de cette incorruptibilit un devoir. La
langue de l'algbre, mystrieuse et lumineuse, me saisissait. Ce que
j'admirais surtout dans cet idiome, c'est qu'il ne consent  exprimer
que des vrits gnrales, universelles, et qu'il ddaigne les vrits
particulires. Je lui attribuais en cela une fiert que je refusais
aux idiomes humains;  ce point de vue l'algbre me semblait la langue
du Dieu de l'esprit.

Je comprenais assez bien aussi le genre de style propre  l'algbre;
j'tais frapp de l'art avec lequel les mathmaticiens loignent,
rejettent, liminent peu  peu tout ce qui est inutile pour arriver 
exprimer l'absolu, avec le plus petit nombre possible de termes, tout
en conservant dans l'arrangement de ces termes un choix, un
paralllisme, une symtrie qui semble tre l'lgance et la beaut
visible d'une ide ternelle.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si l'algbre m'avait frapp, je fus bloui par l'application de
l'algbre  la gomtrie... L'ide, la possibilit d'exprimer une
ligne, une courbe par des termes algbriques, par une quation, me
parut aussi belle que l'Iliade. Quand je vis cette quation
fonctionner et se rsoudre, pour ainsi dire, toute seule, entre mes
mains, et clater en une infinit de vrits, toutes galement
indubitables, galement ternelles, galement resplendissantes, je
crus avoir en ma possession le talisman qui m'ouvrait la porte de tous
les mystres.

                                                  EDGARD QUINET.

                       ------

E. Quinet s'est prpar  l'cole polytechnique, comme Victor Hugo et
Sully-Prudhomme.

                                          

EN MORALE

Les mathmatiques rendent l'esprit juste en mathmatiques, tandis que
les lettres le rendent juste en morale.

                                                     J. JOUBERT.

                                          

PASCAL

Il y avait un homme qui,  douze ans, avec des barres et des ronds
avait cr les mathmatiques; qui,  seize, avait fait le plus savant
trait des coniques qu'on et vu, depuis l'antiquit; qui,  dix-neuf,
rduisait en machine une science qui existe tout entire dans
l'entendement; qui,  vingt-trois, dmontra les phnomnes de la
pesanteur de l'air et dtruisit une des plus grandes erreurs de
l'ancienne physique; qui,  cet ge o les autres hommes commencent 
peine  natre, ayant achev de parcourir le cercle des connaissances
humaines, s'aperut de leur nant et tourna toutes ses penses vers la
religion.

                                                  CHATEAUBRIAND.

                       ------

Peut-tre ce singulier phnomne (la supriorit de Pascal comme
crivain) doit-il en partie s'expliquer par l'influence mme des
tudes abstraites qu'avait embrasses Pascal  une poque o ces
hautes connaissances, destitues encore de la perfection et de la
facilit des mthodes, imposaient  l'esprit l'effort d'une cration
continuelle. Tout tait originalit dans une tude incomplte et
renaissante. Une sorte d'enthousiasme et d'imagination leve
s'attachait  tous les essais de la science. L'amour de la vrit est
une source sublime  laquelle Pascal puisait; il en tira son
loquence. Le bon got, le mpris des faux ornements et de la vaine
Rhtorique naquirent pour lui de la grandeur des objets dont il avait
occup son intelligence. L'originalit le suivit de la Gomtrie dans
les lettres; il inventa son langage comme il avait trouv ses
mthodes en gomtrie, et il enleva  sa science favorite cette
vigueur de dduction et ces raisonnements irrsistibles qui devinrent
les armes de sa parole.

                                                      VILLEMAIN.

                                          

HEUREUX

Que les Gomtres sont heureux!

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oh! produire une indiscutable beaut, comme celle d'un thorme
dmontr avec une simplicit ingnieuse, avec lgance en un mot, et
d'une si haute porte que la prdiction d'un mouvement cleste en
dpende! Vous est-il permis,  vous autres artistes,  vous surtout
potes, de goter jamais le tranquille orgueil d'une cration
pareille?

                                                SULLY-PRUDHOMME.

                                          

BEAUT DE LA SCIENCE

De l'oeuvre d'un Fresnel, d'un Ampre, d'un Cauchy, d'un Chasles, d'un
Bernard, d'un Pasteur, d'un Berthelot, pour ne citer que des noms
appels  rester l'ternel honneur de notre pays et de notre temps,
pouvons-nous admirer la beaut moins que la grandeur et l'utilit
incomparables? En lisant les mmoires de Gauss, dont l'ge bientt
sculaire n'a pas encore terni l'exquise fracheur, ne retrouvons-nous
pas  la fois, dans les dtails, ces splendides arabesques enlaces
par l'imagination inpuisable des artistes de l'Orient; dans
l'ensemble, un de ces temples merveilleux que les architectes de
Pricls levaient aux divinits hellniques?

                                                      CH. MRAY.




RSULTATS


NOMBRES CURIEUX

M. Badoureau, ingnieur des Mines, donne les nombres suivants, dans
son livre _Les Sciences exprimentales en 1889_: l'aile de la mouche
peut faire 230 rvolutions par seconde.--La vitesse des trains atteint
quelquefois 30m par seconde et approche de la vitesse maximum des
hirondelles.--Le zro absolu serait  -273: on n'a pu refroidir aucun
corps jusqu' cette temprature.--L'homme brle actuellement 400
millions de tonnes de charbon par an.--La distance des deux molcules
voisines d'eau liquide est de un millime de micron (Tait).--Ne
produisent de la lumire que les vibrations d'ther dont la dure est
comprise entre 1/394 et 1/758 de trillionime de seconde.--Nous voyons
des corps situs  100 quintillions de mtres.--Le nombre des
molcules dans un mtre cube de charbon,  la surface de la Terre,
comprend 26 ou 27 chiffres.

                                          

PATIENCE

Un amricain a consacr, pendant trois ans, huit heures par jour 
compter les versets, mots et lettres de la Bible. Il a trouv 31.175
versets, 773.692 mots, 3.556.480 lettres, 6.855 fois le nom Jehova,
46.227 fois la conjonction _et_, etc.

Les Musulmans ont, de leur ct, un tel respect pour le Koran qu'ils
savent jusqu'au nombre des mots et mme des lettres qui le composent:
77.639 mots et 323.015 lettres.

                                          

UN COMPTEUR

Un homme qui consacrerait sa vie  noncer ou  crire la suite des
nombres atteindrait  peine un milliard: le temps lui manquerait pour
aller plus loin.

Notre dette publique exige 1.292.319.475 francs par an sur un
budget qui s'lve  trois milliards onze millions neuf cent
soixante-quatorze mille huit cent vingt-huit francs.

                                          

PYRAMIDES

La grande pyramide carre prsente des particularits qui supposent
une science avance(?)

Chaque face triangulaire est quivalente au carr de la hauteur de la
pyramide.

La section mridienne est  l'aire de la base dans le rapport de 1 
[pi].

Son poids est  celui de la terre dans le rapport de 1  10^{15}.

Elle est exactement oriente suivant le mridien et le parallle  30
degrs.

Elle contient les lments de la distance de la terre au soleil, etc.,
etc.

                                          

LOXODROMIE

Les navigateurs ne suivent pas le plus court chemin sur la sphre, qui
est l'arc de grand cercle entre les points extrmes, mais la courbe
appele _loxodromie_ qui coupe tous les mridiens sous le mme angle
et qui est figure par une droite sur la carte marine: ce qui permet
de diriger facilement le navire.

Cependant sur les bateaux  vapeur, on ralise une conomie de charbon
en suivant l'arc de grand cercle.

La raison commerciale l'emporte ainsi sur la raison dmonstrative.

                                          

CALENDRIER

Le bourgeois gentilhomme de Molire demandait  son matre de
philosophie de lui enseigner le calendrier. Ce n'est pas si simple
qu'on croit et on peut consulter sur le sujet une notice scientifique
d'Arago.

Lorsqu'en 1582, le pape Grgoire XIII fit sa clbre rforme, les
protestants rsistrent d'abord, prfrant, a-t-on dit, tre en
dsaccord avec le soleil que d'tre d'accord avec le pape.

On craignait des objections populaires, lorsqu'en 1816 le temps moyen
fut substitu au temps vrai pour les horloges et les montres, mais la
rforme passa inaperue.

Ne rglez pas votre montre sur un cadran solaire. Il obit au soleil
et marque le temps _vrai_, tandis que nos horloges marquent le temps
_moyen_: l'cart peut atteindre vingt minutes.

                                          

QUATION DU 45e DEGR

Un fait qui se rattache  la vie scientifique de Vite, et que je vais
vous raconter, rvle en mme temps l'estime dont Henri IV honorait
son savant conseiller. Ce roi montrait, un jour,  Fontainebleau,  un
ambassadeur de Hollande, les splendides et coteuses curiosits du
palais, et l'entretenait en mme temps de quelques-unes des clbrits
de son royaume. L'ambassadeur se permit de faire sur ce dernier sujet
une rserve aux loges du roi: Sire, dit-il, vous n'avez pas
cependant ici de mathmaticien. Un gomtre flamand, nomm Adrien
Romanus, vient de publier un ouvrage dans lequel il dfie tous les
savants de l'Europe de rsoudre un problme qu'il leur propose, et de
tous les mathmaticiens de notre temps cits dans son livre, je n'en
ai trouv aucun qui ft franais.--Si fait, si fait, rpondit
vivement le roi, nous en avons un excellent; qu'on aille qurir M.
Vite. On soumit  notre savant qui avait suivi la cour 
Fontainebleau, le problme de Romanus. Pour tout autre que le savant
et rudit Fontenaisien, l'nigme et t embarrassante. Il ne
s'agissait de rien moins que de rsoudre une quation du 45e degr,
renfermant 24 termes dont l'un est arbitraire et dont les autres sont
multiplis par des nombres, la plupart de neuf chiffres, c'est--dire
de plusieurs centaines de millions d'units.

Vite, aprs avoir examin attentivement cette quation, eut le
plaisir de retrouver une ancienne connaissance. C'tait une des
nombreuses quations auxquelles donne lieu la division des arcs de
cercle en parties gales. Il aperut aussitt la solution qui faisait
seule l'objet du problme d'Adrien Romanus...

... Mais ce qu'il y eut de plus piquant, fut la remarque de Vite que
ce problme admettait vingt-deux autres solutions auxquelles le bon
Romanus n'avait pas song.

                                                       ALLEGRET.

                                          

STATISTIQUE FUNBRE

Il meurt un tre humain par chaque seconde, sur l'ensemble du globe
terrestre, soit 86.400 par jour, soit environ 31 millions par an, ou
plus de 3 milliards par sicle.

                                          

UNIFICATION DE L'HEURE

On a distribu  la Chambre des dputs un projet de loi, contresign
par tous les ministres, ayant pour objet l'adoption de l'heure, temps
moyen de Paris, comme heure lgale en France et en Algrie. C'est, en
langage vulgaire, l'unification de l'heure sur toute l'tendue du
territoire franais, en Corse et en Algrie, que propose le
gouvernement.

La diversit des heures, dit l'expos des motifs, se justifiait  une
poque o la vie locale tait prdominante, o les relations
extrieures ne comportaient pas les mmes exigences que de nos jours,
o, du reste, les moyens pratiques d'avoir rapidement l'heure de la
capitale eussent fait dfaut. Le dveloppement du commerce et de
l'industrie, l'tablissement des lignes tlgraphiques et des chemins
de fer ont dsormais rendu invitable l'adoption de l'heure unique.
Dj, tout ce qui tient aux relations par lettres ou par tlgrammes,
c'est--dire presque toute la vie active, a continuellement besoin et
se sert de l'heure de Paris. L'administration des postes et
tlgraphes rgle les pendules ou cartels de tous ses tablissements
d'aprs l'heure, temps moyen de Paris. Cette heure est transmise, au
dbut de la journe, dans les bureaux tlgraphiques et les bureaux
mixtes. Elle est prise aux horloges des gares de chemins de fer et
porte par des courriers aux bureaux de poste non pourvus de
tlgraphes. Il en rsulte que la plupart des agglomrations ont les
plus grandes facilits  avoir l'heure, sans observations, sans
cadrans solaires et sans calculs.

D'ailleurs, l'unification horaire est adopte dj par de nombreuses
villes et le monde savant rclame instamment cette rforme qui a fait
l'objet de voeux manant d'associations scientifiques et du bureau des
longitudes.

L'expos des motifs fait remarquer que cette modification sera  peine
sensible sur la plupart des points du territoire et que l'inconvnient
passager qu'elle prsente aura pour contrepoids des avantages positifs
qui le compenseront largement. Il rpond au surplus  la principale
objection par l'observation trs judicieuse qui suit:

Quant  l'objection qu'aprs la rforme le midi lgal ne concidera
plus jamais avec le passage du soleil au mridien, on ne voit pas en
quoi ce nouveau midi, milieu du jour, perd  ne point s'accorder avec
la culmination du soleil. Ce phnomne astronomique n'arrive  Paris 
peu prs  midi que _quatre fois par an_, au moment o l'quation du
temps s'vanouit, et ce ne sera point la diffrence de hauteur du
soleil  ce moment qui pourra, sans instruments, indiquer la
modification survenue dans l'heure du lieu. Il n'y aurait de relle
objection que si l'adoption de l'heure unique devait modifier la
rgularit de la vie agricole, le soleil rglant d'ordinaire les
travaux des champs. Mais cette rgularisation de la journe par le
soleil n'est pas absolue; le paysan n'a besoin de l'heure qu' une
demi-heure prs; il se lve mme, l't, avant que le soleil paraisse,
et les changements apports  ses habitudes ne seront pas
apprciables.

                       ------

Voici l'article unique de la loi promulgue le 14 mars 1891:

L'heure lgale en France et en Algrie est l'heure temps moyen de
Paris.

                                          

ANCTRES

Des esprits peu rflchis se doutent-ils qu'il n'est pas un de nous 
la 20e gnration par exemple, qui n'ait 1 048 576 anctres? Ce simple
calcul, trs connu dans la doctrine de la consanguinit, tablit
vritablement cet tonnant rsultat. Tout le monde peut s'en
convaincre par une progression gomtrique dont le premier terme est 2
et qui doit toujours crotre en raison double, puisque chaque individu
a deux premiers anctres, son pre et sa mre, qui doivent aussi le
jour  deux personnes. Cette progression est donc [] 2, 4, 8, 16,
32, 64, 128, 256..., etc. On trouvera, en la suivant, que chaque homme
a, dans le vingtime degr de parent ou la vingtime gnration, un
million quarante-huit mille cinq cent soixante et seize anctres.
Cette combinaison a t donne pour exacte dans un ouvrage de
Mirabeau. _Lett. de cachet_, p. 281.

                                          

FIL DE SOIE

Un curieux a fait le calcul ci-aprs, qu'il est peut-tre peu facile
de vrifier.

--La ville de Lyon consomme annuellement un million de kilogrammes de
soie monte ou tordue de diffrentes manires. Il faut quatre cocons
pour produire un gramme de soie; la consommation lyonnaise en absorbe
donc  elle seule 4 milliards 200 millions. La longueur du fil de soie
d'un cocon est en moyenne de 500 mtres. Les quatre milliards 200
millions fils annuellement pour l'industrie lyonnaise formeraient
ensemble, d'aprs cela, un fil de 2100 milliards de mtres ou 2
milliards 100 millions de kilomtres.

Cette longueur fait quatorze fois la distance de la terre au soleil,
et 5494 fois celle de la lune  la terre. Elle ferait aussi 52505 fois
le tour de la terre sur l'quateur, et 200 mille fois le tour de la
lune.

                                          

MORTS

Un oisif a calcul que depuis la cration du monde, il est mort 26
quatrillions 628 trillions 843 billions 285 millions 75 mille 840
individus de l'espce humaine. Nous rcrivons ci-dessous ce grand
nombre:

  26 628 843 285 075 840.

                                          

THORME MILITAIRE

Deux troupes s'quivalent quand le produit de leur coefficient
mcanique par leur courage et par le carr de leur effectif est le
mme.

                                                      STPHANOS.

Le courage est-il une grandeur mesurable?




FANTAISIES


LA SAVANTE

  Vous devriez....
  M'ter, pour faire bien, du grenier de cans,
  Cette longue lunette  faire peur aux gens,
  Et cent brinborions dont l'aspect importune:
  Ne point aller chercher ce qu'on fait dans la lune
  Et vous mler un peu de ce qu'on fait chez vous,
  O nous voyons aller tout sans dessus dessous.
                                                        MOLIRE.

                       ------

  Elle rsout d'un mot, en plaant sa fontange,
  Ces grandes questions qui terrassent Lagrange.
  On voit sur sa toilette un Euler, un Pascal,
  Salis et barbouills de rouge vgtal.
  Elle trouve en Newton je ne sais quoi d'aimable
  Et l'algbre a pour elle un charme inexprimable.
  Le soir dans un donjon, d'un regard curieux,
  Au bout d'une lunette interrogeant les cieux,
  Son oeil observateur y poursuit la comte;
  Lalande tous les ans lui vole une plante.
                                                         COLNET.

                                          

UN OUBLI

Le rgiment d'artillerie en garnison dans notre ville est parti pour
les grandes manoeuvres, _en oubliant d'emporter les trajectoires_.

  (_Extrait d'un journal de Toulouse,
  lors de la guerre de Tunisie_.)

                       ------

D'aprs J. Janin: M. Arago, l'oeil  la lunette, voit la plante
dcrire, _ la fois_, les deux axes de son ellipse.

                                          

VENGEANCE

Tout le monde a entendu parler des automates de Vaucanson, des joueurs
de flte, de tambourin ou d'checs; des canards qui barbottaient,
avalaient le grain et le digraient, etc. L'ingnieur mcanicien
inventa aussi des machines pour la fabrication des soieries de Lyon,
mais les ouvriers s'ameutrent contre lui. Il rpondit en construisant
un ne qui excutait une toffe  fleurs.

                                          

NEPTUNE

On cite quelquefois ce vers de Lemierre, pote oubli,

  Le trident de Neptune est le sceptre du monde.

Ce vers (solitaire) a t appliqu  l'astronome Le Verrier, tout
puissant sous le second empire. C'tait un savant illustre, le
continuateur de Laplace: on lui a lev une statue dans la cour de
l'Observatoire de Paris.

                                          

MADRIGAL ALGBRIQUE

  Sans doute vous serez clbre
  Par les grands calculs de l'algbre,
  O votre esprit est absorb:
  J'oserai m'y livrer moi-mme;
  Mais, hlas! A + C - B
  N'est pas =  je vous aime.
                                                       VOLTAIRE.

                                          

PLUS QUE PROBABLE

Un bonhomme, ayant rv qu'il gagnerait un terne  la Loterie,
consulte un ami sur le choix du numro. L'autre est d'avis qu'un fou
pourra, sur ce point, donner un bon conseil. Ils vont aux
Petites-Maisons. Le pensionnaire les coute attentivement, puis il
crit un chiffre sur un bout de papier... et l'avale. Revenez demain,
dit-il, je vous assure que le numro sera sorti.

                                          

VIEUX REFRAINS

    Te souvient-il alors
  Du thorme de Taylor?
  Nous n'y vmes tous deux
        Que du feu.

  Par des tmoins je me suis laiss dire
  Que parfois Sturm et le bon Grono
  Allaient chercher, pleins d'un charmant dlire,
  Un thorme au fond d'un vieux tonneau.

                                          

DIPLOMATIE ET POLITIQUE

Quelques-uns affirment encore, dit en souriant le diplomate, que le
plus court chemin est la ligne droite. N'en croyez rien, mon jeune
ami.

                                          

LES MODRS

Deux et deux font quatre, assure l'un; l'autre rplique avec nergie
que deux et deux ne font que trois; l'homme du juste milieu conclut
que deux et deux font trois et demi.

                                          

SOURD PARLANT

  La Condamine est aujourd'hui
  Reu dans la troupe immortelle;
  Il est bien sourd,--tant mieux pour lui!
  Mais non muet,--tant pis pour elle.
                                                          PIRON.

                                          

ZRO ACADMIQUE

  Quant Labruyre se prsente
  Pourquoi faut-il crier haro?
  Pour faire un nombre de quarante
  Ne fallait-il pas un zro!

Variante:

  Trente-neuf joints  zro,
  Si j'entends bien mon numro,
  N'ont jamais pu faire quarante;
  D'o je conclus, troupe savante,
  Qu'ayant  vos cts admis
  Cottin, cette masse pesante,
  Le digne cousin de Louis,
  La place est encor vacante.

Dans le mme ordre d'ides, on peut citer ce madrigal de Boufflers 
Mme de Stal:

  Je vois l'Acadmie o vous tes prsente;
  Si vous m'y recevez, mon sort est assez beau.
  Nous aurons  tous deux de l'esprit pour quarante,
  Vous comme quatre et moi comme zro.

Les variantes sont nombreuses:

Ils sont l quarante qui ont de l'esprit comme quatre.

N'oublions pas le distique de Fontenelle:

  Sommes-nous trente-neuf, on est  nos genoux,
  Et sommes-nous quarante, on se moque de nous.

                                          

TIERS ET DEMI

Quel est le tiers et demi de cent?

C'est cinquante, puisque le tiers d'une chose plus la moiti de ce
tiers, c'est tout simplement la moiti de la chose.

                                          

AMUSETTES

1 [pi] est incommensurable, en effet: vache = [bta][pi]; d'o
vachel = [bta][pi]_l_; changeant l'ordre des facteurs, cheval =
[bta][pi]_l_; d'o [pi] = cheval/[bta]_l_=cheval/oiseau.

2 bouteille 1/2 pleine = bouteille 1/2 vide, d'o, en divisant les
deux membres par 1/2, bouteille pleine = bouteille vide.

3 10 centimes = 2 sous; d'o, en levant au carr, 100 centimes ou un
franc = 4 sous.

4 Pour peupler un colombier, il suffit de dcrire une circonfrence
avec un jonc pour rayon; en effet, on a ainsi: deux pigeons.

5 Dire l'tendue et le prix d'un champ o du champagne a t bu 
minuit par trois cardinaux.--Rponse: 1 hectare, 7 ares, 3 centiares.

6 Si six scies scient six cigares, six cent six scies scient six cent
six cigares: ce n'est plus une rgle de trois, c'est une rgle de six
ou de scies.

7 Trois joueurs jouent ensemble toute une nuit. Aprs la dernire
partie, il se trouve qu'ils ont gagn chacun 20 fr.--C'taient trois
joueurs de violon.

8 Obtenir le nombre 21 avec trois villes de France et seulement 20
en ajoutant une quatrime.--Troyes, Foix, Cette, Autun.

Etc., etc.

                                          

BON PLACEMENT

Voil de l'argent bien plac! s'cria le duelliste, en sentant la
balle s'aplatir sur une pice de cinq francs, place dans la poche de
son gilet.

                                                           MRY.

                                          

SPECTACLE TOURNANT

Quelquefois, par exemple, je me figure que je suis suspendu en l'air,
et que j'y demeure sans mouvement, pendant que la terre tourne sous
moi en vingt-quatre heures. Je vois passer sous mes yeux tous ces
visages diffrents, les uns blancs, les autres noirs, les autres
olivtres. D'abord ce sont des chapeaux, et puis des turbans, et puis
des ttes chevelues, et puis des ttes rases; tantt des villes 
clocher, tantt des villes  longues aiguilles qui ont des croissants,
tantt des villes  tours de porcelaine, tantt de grands pays qui
n'ont que des cabanes; ici de vastes mers, l des dserts
pouvantables; enfin toute cette varit infinie qui est sur la
surface de la terre.

                                                     FONTENELLE.

                                          

OISEAUX

De six oiseaux, en tuant trois, combien en demeure? Il n'en demeure
aucun, les autres s'enfuient.

                                                        TABARIN.

                                          

JOUETS MATHMATIQUES

E. Lucas nous a encore donn rcemment la Fasioulette, la Pipopipte,
la Tour d'Hano, l'Icosagonal et l'Arithmtique diabolique. C'est
drle et instructif.

                                          

X, Y ET Z

  X... est mon nom; je ne sais quel caprice
  Me fit donner un nom si dur, si sec;
  J'eus pour cadet un frre qu'en nourrice
  On baptisa du joli nom d'Y...
  Pour complter cette liste gentille
  Il nous survint un tiers frre pun
  Qu'on nomma Z..., et voil la famille
  Dont j'ai l'honneur, Messieurs, d'tre l'an.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Je suis tout ce que l'on ignore,
  Ce que l'imprudente Pandore
  Cherchait au fond de son crin
  . . . . . . . . . . . . . . . .
  Je disparais sitt qu'on m'a tenu,
  Et plus l'esprit marche et progresse
  Plus devant lui j'agrandis l'inconnu.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cette boutade, dont nous ne citons que quelques vers, est due  un de
nos grands anciens  l'cole polytechnique (Promotion de 1834).

                       ------

Vacquerie, ancien candidat, dit en parlant de lui-mme:

  On le tordit, depuis les ailes jusqu'au bec,
  Sur l'affreux chevalet des x et des y.

                                          

RASSURANT

--Docteur, l, vraiment, est-ce que j'en reviendrai?

--Infailliblement! rpond le mdecin qui tire un imprim de sa poche.

Et faisant lire ce papier au malade:

--Tenez, voil la statistique de votre cas. Vous voyez qu'on en gurit
un sur cent.

--Eh bien! fait le malade effray.

--Eh bien! vous tes le centime que j'ai entre les mains et les 99
premiers sont morts.

                                          

PLAIDOIRIE EN CHIFFRES

Le docteur Flamand, garde national, ayant manqu  son service le 5
fvrier, adressa l'ptre suivante au conseil de discipline:

  Mes manquements, Messieurs, ne sont pas trs comm.....  1
  Aujourd'hui je demande indulgence pour................  2
  Ma mre tait malade en la ville de...................  3
  Pour partir  l'instant j'ai fait le diable .........  4
  Vous m'avez, il est vrai, command pour le............  5
  Mais auprs d'un malade il faut tre pr..............  6
  Pour appliquer  temps l'onguent et la lan............  7
  Dieu merci! j'ai vaincu la fivre et la pit...........  8
  J'ai fait  la malade un estomac tout ................  9
  Vous pardonnerez bien mon zle, cad.................  10
  Et, pour un fils, vos coeurs ne seront pas de br.....  11
  Alors je monterai des gardes par.....................  12 (aines).

Le conseil de discipline, qui tait ce jour-l plus spirituel que de
coutume, lui rpliqua en ces termes:

  Vous ftes, on le sait, autrefois pour chaque.........  1
  Un modle de zle, et c'est vraiment hi...............  2
  Qu'il n'en soit plus ainsi; votre maman de............  3
  N'est qu'un prtexte ici, dont sans vous mettre en....  4
  Vous auriez d parler en termes plus suc..............  5
  En effet, vous vit-on jamais aux exer.................  6
  Aux gardes! Non, sans doute, ainsi votre pla..........  7
  Ne peut mettre  nant la citation du.................  8
   l'htel Bazancourt vous irez donc le................  9
  La cour vous y condamne: l vous irez, san............ 10
  Mditer  loisir si nous sommes de br................. 11
  Et vous y resterez, Monsieur, jusques au.............. 12

                                          

LE CAF

  Il peut du philosophe gayer les systmes,
  Rendre aimables, badins, les gomtres mmes
  Par lui l'homme d'tat, dispos aprs dner,
  Forme l'heureux projet de nous mieux gouverner.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Il peut de l'astronome claircissant la vue
  L'aider  retrouver son toile perdue.
                                                       BERCHOUX.

                                          

SILENCIEUX

Il y avait  Amadan une clbre Acadmie, dont le premier statut tait
conu en ces termes: _Les Acadmiciens penseront beaucoup, criront
peu, et ne parleront que le moins possible._ On l'appelait l'_Acadmie
silencieuse_, et il n'tait point en Perse de vrai savant qui n'et
l'ambition d'y tre admis. Le docteur Zeb, auteur d'un petit livre
excellent, intitul le Billon, apprit, au fond de sa province, qu'il
vaquait une place dans l'Acadmie silencieuse. Il part aussitt; il
arrive  Amadan, et, se prsentant  la porte de la salle o les
Acadmiciens sont assembls, il prie l'huissier de remettre au
prsident ce billet: _Le docteur Zeb demande humblement la place
vacante._ L'huissier s'acquitta sur-le-champ de la commission; mais le
docteur et son billet arrivaient trop tard; la place tait dj
remplie.

L'Acadmie fut dsole de ce contre-temps; elle avait reu, un peu
malgr elle, un bel esprit de la Cour, dont l'loquence vive et lgre
faisait l'admiration de toutes les ruelles, et elle se voyait rduite
 refuser le docteur Zeb, le flau des bavards, une tte si bien
faite, si bien meuble! Le prsident charg d'annoncer au docteur
cette nouvelle dsagrable, ne pouvait presque s'y rsoudre, et ne
savait comment s'y prendre. Aprs avoir un peu rv, il fit remplir
une grande coupe, mais si remplie, qu'une goutte de plus et fait
dborder la liqueur; puis il fit signe qu'on introduist le candidat.
Il parut avec un air simple et modeste, qui annonce presque toujours
le vrai mrite. Le prsident se leva, et, sans profrer une seule
parole, il lui montra d'un air afflig la coupe emblmatique, cette
coupe si exactement pleine. Le docteur comprit de reste qu'il n'y
avait plus de place dans l'Acadmie; mais, sans perdre courage, il
songeait  faire comprendre qu'un acadmicien surnumraire n'y
drangerait rien. Il voit  ses pieds une feuille de rose, il la
ramasse, il la pose dlicatement sur la surface de l'eau, et fait si
bien qu'il n'en chappe pas une seule goutte.

 cette rponse ingnieuse, tout le monde battit des mains, on laissa
dormir les rgles pour ce jour-l, et le docteur Zeb fut reu par
acclamation. On lui prsenta sur-le-champ le registre de l'Acadmie,
o les rcipiendaires devaient s'inscrire eux-mmes. Il s'y inscrivit
donc, et il ne lui restait plus qu' prononcer suivant l'usage, une
phrase de remerciement. Mais, en acadmicien vraiment silencieux, le
docteur Zeb remercia sans dire mot. Il crivit en marge le nombre
_cent_, c'tait celui de ses nouveaux confrres; puis en mettant un
zro devant le chiffre, il crivit au-dessous: _Ils n'en vaudront ni
moins, ni plus_ (0100). Le prsident rpondit au modeste docteur avec
autant de politesse que de prsence d'esprit. Il mit le chiffre _un_
devant le nombre _cent_ et il crivit: _ils en vaudront dix fois
davantage_ (1100).

                            ABB BLANCHET (apologues orientaux):

Nous pensons que ce prsident dut crire: ils en vaudront mille de
plus.




PARADOXES ET SINGULARITS




Nous passons maintenant aux exceptions, aux fantaisies et aux
trangets qui peuvent nous intresser aussi dans une certaine mesure.

Cette troisime partie du livre se distingue parfois assez faiblement
de la prcdente.

Les ides hardies et neuves, qui sont les paradoxes d'aujourd'hui,
seront peut-tre les vrits de demain.




PHILOSOPHIE


AXIOMES ET THORMES

Qu'est-ce que la plupart de ces axiomes dont la gomtrie est si
orgueilleuse, si ce n'est l'expression d'une mme ide simple par deux
signes ou mots diffrents? Celui qui dit que _deux et deux font
quatre_ a-t-il une connaissance de plus que celui qui se contenterait
de dire que _deux et deux font deux et deux_? Les ides de tout, de
partie, de plus grand et de plus petit ne sont-elles pas,  proprement
parler, la mme ide simple et individuelle, puisqu'on ne saurait
avoir l'une sans que les autres se prsentent toutes en mme temps?
Nous devons, comme l'ont observ quelques philosophes, bien des
erreurs  l'abus des mots; c'est peut-tre  ces mmes abus que nous
devons les axiomes. Je ne prtends point cependant en condamner
absolument l'usage: je veux seulement faire observer  quoi il se
rduit; c'est  nous rendre les ides simples plus familires, par
l'habitude, et plus propres aux diffrents usages auxquels nous
pouvons les appliquer.

J'en dis  peu prs autant avec les restrictions convenables, des
thormes mathmatiques. Considrs sans prjugs, ils se rduisent 
un assez petit nombre de vrits primitives. Qu'on examine une suite
de propositions de gomtrie dduites les unes des autres, en sorte
que deux propositions voisines se touchent immdiatement et sans aucun
intervalle, on s'apercevra qu'elles ne sont que la premire
proposition qui se dfigure, pour ainsi dire, successivement et peu 
peu, dans le passage d'une consquence  la suivante, mais qui
pourtant n'a point t rellement multiplie par cet enchanement et
n'a fait que recevoir diffrentes formes...

... On peut donc regarder l'enchanement de plusieurs vrits
gomtriques comme des traductions plus ou moins diffrentes et plus
ou moins compliques de la mme proposition, et souvent de la mme
hypothse.

Ces traductions sont au reste fort avantageuses par les divers usages
qu'elles nous mettent  la porte de faire du thorme qu'elles
expriment; usages plus ou moins estimables,  proportion de leur
importance et de leur tendue. Mais tout en convenant du mrite rel
de la traduction mathmatique d'une proposition, il faut reconnatre
aussi que ce mrite rside originairement dans la proposition mme.
C'est ce qui doit nous faire sentir combien nous sommes redevables aux
gnies inventeurs qui, en dcouvrant quelqu'une de ces vrits
fondamentales, source et, pour ainsi dire, original d'un grand nombre
d'autres, ont rellement enrichi la gomtrie et tendu son domaine.

                                                     D'ALEMBERT.

                                          

COMPTABLE

Les vrits mathmatiques... sont moins des vrits que des outils
pour en acqurir, puisque, faisant abstraction de la nature des
choses, elles ne s'occupent que de leur grandeur ou de leur forme.
Elles me laissent, au regard du monde, comme ferait un comptable, qui,
voulant dresser l'tat de sa caisse, tablirait le nombre de ses
billets, sans se proccuper de leur valeur.

                                                      J. WALLON.

                       ------

Les mathmatiques ne dveloppent l'esprit que sous une face. Elles ont
pour unique objet la _forme_ et la _quantit_. Elles s'arrtent donc
pour ainsi dire  la surface des choses, sans pntrer jusqu' leurs
qualits essentielles, jusqu' leurs relations internes, de beaucoup
les plus importantes.

                                                         KLUMPF.

                       ------

Aprs cette premire tape, indispensable, on ira plus loin, si l'on
peut.

                       ------

LOGIQUES ANGLAISES

Certains de nos contemporains d'outre-Manche ont tent de rgnrer la
logique, en lui donnant un caractre mathmatique.

                       ------

De Morgan, aprs avoir rappel que, dans toute langue, il y a des noms
positifs et des noms ngatifs, comme vertbr et invertbr, dit que
tout nom, sans exception, doit tre considr comme pouvant tre pris
positivement ou ngativement. Le mot _homme_, par exemple, s'applique
positivement  Alexandre et ngativement  Bucphale, qui tait un
non-homme. Si U est la totalit considre et X sa partie positive, sa
partie ngative U - X est dsigne par _x_. Les propositions s'crivent
alors symboliquement sous forme d'galits.

                       ------

Boole gnralise le problme de la dduction qui n'est d'abord que
l'limination d'un terme moyen dans un systme de trois termes. Il
considre un nombre quelconque de termes et se propose d'liminer
autant de termes moyens qu'on voudra. Le logicien s'est ainsi propos
d'appliquer l'algbre  la logique: il adopte les symboles 1 (tout) et
0 (rien), puis _x_, _y_, _z_, etc., pour reprsenter les choses, en
tant que sujets de nos conceptions, et les signes, +, -, , =, pour les
appliquer aux oprations de l'esprit.

                       ------

Enfin Stanley Jevons a imagin,  l'instar des machines arithmtiques,
une _machine logique_ qui est un petit piano  21 touches, les unes
correspondant aux termes positifs ou ngatifs (sujets ou prdicats)
et les autres aux oprations: copules, etc. On raisonne pour ainsi
dire mcaniquement, en jouant de ce piano.

                                          

AVANT LEIBNIZ ET NEWTON

On a vraiment lieu de s'tonner que le _Calcul infinitsimal_ n'ait
pas t invent plus tt, surtout quand on songe que ceux qui, par
mtier, se livrent  des travaux d'une certaine prcision, auraient d
y tre conduits comme par la main. Ainsi, tout charpentier ou tailleur
de pierre est journellement  mme de voir qu'il est  peu prs
impossible que l'outil, destin  suivre la marque pour diviser une
planche ou une pierre, entame exactement le milieu de la ligne trace,
qu'il y a presque toujours des dviations, plus ou moins sensibles
autour de ce milieu, et que la somme de ces dviations peut devenir
trs marque. Un marchand qui aune un morceau d'toffe, et le coupe
suivant la marque trace, n'ignore pas combien il lui est facile de
retenir  son profit une fraction de mesure qui chappe  l'oeil de
l'acheteur le plus vigilant; et il sait qu' la longue les sommes de
ces quantits imperceptibles peuvent faire des aunes ou des mtres
entiers. Il en est de mme du dtaillant qui vend les denres au
poids: des grains de poussire, salissant le plateau d'une balance,
s'ajoutent au poids, et les sommes de ces infinitsimales,
indfiniment rptes, n'chappent pas  l'esprit mercantile.

Il est  regretter que ces dtails de la vie matrielle, qui ont leur
importance, aient toujours t jugs indignes d'un penseur. Si les
philosophes,  l'poque o la philosophie comprenait toutes les
connaissances humaines, avaient daign y porter leur attention, ils
auraient devanc les grands philosophes gomtres du XVIIe sicle.

                                                      F. HOEFER.

                       ------

Confusion entre le trs petit et l'infiniment petit.

                                          

PDANT

Un instituteur, aprs avoir fait compter des billes et autres objets
matriels aux bambins, s'cria, avant de passer aux nombres isols:
Attention, je vais faire des abstractions!

                                          

L'HARMONIEN

Le Civilis (homme actuel) est  l'Harmonien (homme perfectionn?)
comme 12 est  32, c'est--dire comme l'addition est  la
multiplication, car le nombre 32 est le produit de 8 par 4,
c'est--dire du premier cube par le premier carr, tandis que 12 n'est
que la somme de ces deux chiffres.

                                                   A. TOUSSENEL.

                       ------

Les attractions sont proportionnelles aux destines.

                                                CHARLES FOURIER.

                                          

LA MTAGOMTRIE

Quelques mathmaticiens philosophes se sont propos de reconstituer la
gomtrie, sans admettre que par un point on ne peut mener qu'une
parallle  une droite. De l des _gomtries non euclidiennes_ o la
somme des angles d'un triangle n'est plus gale  deux droits: dans
celle de Riemann, elle est plus petite que deux droits et dans celle
de Lobatschewski, elle est plus grande. On peut interprter ces
hypothses singulires en prenant pour surface fondamentale
l'ellipsode et l'hyperbolode  deux nappes.

                       ------

On a aussi parl d'une gomtrie  plus de trois dimensions et
considr ce qu'on appelle l'_hyperespace_. Il s'agit simplement des
quations  plus de trois variables, mais les calculs ne sont
susceptibles d'aucune traduction concrte.

                       ------

La gomtrie euclidienne est, _ leur sens_, une premire
approximation, applicable en toute rigueur aux figures infiniment
petites et, avec une approximation suffisante, aux figures finies dont
les dimensions ne dpassent pas certaines limites... En dehors de ces
limites, la mme gomtrie usuelle peut au contraire, d'aprs eux,
tomber compltement en dfaut, ou conduire aux erreurs les plus
grossires pour des figures assez grandes.

                                                     BOUSSINESQ.

                       ------

Des trois axiomes de la gomtrie, le premier seul (celui de la
distance et de ses proprits essentielles) est un _axiome principal_,
c'est--dire indispensable pour l'tablissement d'un systme
quelconque de gomtrie. Les deux autres (celui de l'augmentation
indfinie de la distance et celui de la parallle unique) sont
secondaires ou de simplification. Ils servent uniquement  carter
des systmes de gomtrie plus compliqus que le systme usuel, mais
cependant complets, logiquement possibles et conduisant en pratique
aux mmes rsultats que la gomtrie usite, dans les limites de nos
moyens de mesure...

La gomtrie gnrale se divise en trois branches: la gomtrie
usite, la gomtrie abstraite et la gomtrie doublement abstraite.
Dans la seconde on ne se prive que du troisime axiome, tandis que
dans la troisime on se prive aussi du second. Les trois gomtries
s'appellent quelquefois euclidienne, gaussienne et riemanienne.

                                                       DE TILLY.

                       ------

Je ne parlerai point de la Gomtrie  _n_ dimensions; ce n'est que de
l'Analyse, sous des noms emprunts  la Gomtrie. Cette tude remonte
aux _lieux analytiques_ de Cauchy, qui, du moins, ne cherchait pas 
cacher sa pense et  donner le change par des dmonstrations absurdes
(_Comptes-rendus_, 1847). Au moyen de ces espaces, dont nous ne
pouvons avoir aucune ide, et aussi, peut-tre, au moyen de la
considration des points et des lignes  distance _infinie_ ou
_imaginaire_, dont je crains que les modernes n'aient un peu _abus_,
on dpouille la Gomtrie de ce qui forme son meilleur avantage et son
charme particulier, de la proprit de donner une reprsentation
sensible aux rsultats de l'Analyse et l'on remplace cette qualit par
le dfaut contraire, puisque des rsultats qui n'auraient rien de
choquant, sous leur forme analytique, n'offrent plus de prise 
l'esprit ou paraissent _absurdes_ lorsqu'on les exprime par une
nomenclature gomtrique, supposant des points, des lignes ou des
espaces qui n'ont aucune existence relle, et dont l'admission rpugne
au bon sens ou dpasse l'intelligence.

                                                       GENOCCHI.

                       ------

Quelqu'un a dit que les hommes pourraient douter des vrits
mathmatiques, s'ils y avaient intrt; ce n'est pas assez dire, ils
peuvent en douter, par curiosit d'esprit et par simple libert de
supposer.

                                                      RENOUVIER.

                       ------

Tout l'objet des nogomtres, dit encore le mme philosophe, est de
s'exercer  des analyses mathmatiques sur des hypothses varies,
sans se proccuper d'aucune autre vrit que de celle du rapport des
conclusions aux prmisses.

                       ------

Les gomtries singulires qui ont surgi dans ces dernires annes
(gomtries fin-de-sicle) ne doivent inquiter aucun esprit. Ce sont
de purs exercices de logique: des chercheurs paradoxaux se sont
demand ce qu'il resterait de la gomtrie, si l'on refusait
d'admettre le postulatum des parallles.

La gomtrie non euclidienne n'est, suivant M. Mouret, qu'un art, une
sorte de posie gomtrique ou de jeu intellectuel.

                                          

LOI DE MALTHUS

L'conomiste Malthus a _prtendu_ que, tandis que la subsistance
croissait en progression arithmtique, la population croissait en
progression gomtrique, c'est--dire beaucoup plus vite, de l une
rupture d'quilibre  redouter. Le remde consisterait  ralentir
l'accroissement de la population.--Crainte chimrique, la population
peut crotre librement. Sa vitesse d'accroissement a diminu, hlas,
en France.

                                          

L'ME ET LA VIE

Pour peindre plus exactement la diffrence entre l'me et la vie,
Lordat fait usage d'une comparaison emprunte  la gomtrie. Il
reprsente la vie comme un fuseau, qui a un diamtre presque nul  son
extrmit commenante, va en se renflant sans cesse jusqu'au milieu,
puis dcrot insensiblement et finit par redevenir presque nul. Au
contraire, l'me est reprsente par une parabole. Partie d'un point
imperceptible, la parabole se dveloppe lentement, mettant deux
lignes symtriques, qui s'allongent sans cesse pour se perdre dans
l'infini.

                                                     L. FIGUIER.

                       ------

Voir l'_Alliance entre l'me pensante et la force vitale_, par Lordat.
Ce mdecin philosophe admet que l'me gagne en force chez le
vieillard, tandis que la vie s'affaiblit.

                                          

SCEPTICISME

Ce sont des triangles, des carrs, des cercles et d'autres figures
semblables; ils les mlent et les confondent en forme de labyrinthes.
Ce sont aussi des lettres ranges comme un bataillon spar en
plusieurs compagnies: c'est par ces momeries qu'ils blouissent les
sots.

                                                         ERASME.

                       ------

Qui pourra jamais me persuader que d'un amas confus de petites lignes,
de croix, etc., de chiffres, etc., dont leurs livres sont remplis et
qui peut-tre sont mis au hasard (sic), on puisse jamais dduire des
inventions utiles aux hommes et avantageuses  la socit?

                                               SEXTUS EMPIRICUS.

                       ------

Je te ferai voir, dans ce trait, qu'il n'y a pas moins de sujets de
doute en mathmatiques qu'en physique, en morale, etc.

                                                         HOBBES.

                       ------

Nous dmontrons les vrits mathmatiques, parce que nous les faisons.

                                                           VICO.

                       ------

Ce qu'on appelle vrits mathmatiques se rduit  des identits
d'ides, et n'a aucune ralit.

                                                         BUFFON.

                       ------

Le gomtre avance de supposition en supposition, et retournant sa
pense sous mille formes, c'est en rptant sans cesse _le mme est le
mme_, qu'il opre tous ses prodiges.

                                                      CONDILLAC.

                       ------

Rien n'est moins exact, dit M. Liard, que cette doctrine qui ne
tendrait  rien moins qu' faire du systme entier des mathmatiques
une vaste tautologie, o tout progrs apparent se rduirait  une
ternelle rptition. Les notions qu'unissent les propositions
mathmatiques ne sont pas des redites les unes des autres; si le
nombre 10 est gal  5 + 5, il diffre de la somme 5 + 5 par la forme
impose  la runion des 10 units ici assembles en un seul nombre,
l groupes en deux nombres gaux;.... si la somme des trois angles
d'un triangle est quivalente  deux angles droits, autre chose est
tracer dans l'espace les trois angles de ce triangle, autre chose y
tracer deux angles droits.

                       ------

Lorsque Archimde dmontre que le cercle quivaut au triangle qui
aurait pour base la circonfrence et pour hauteur le rayon, il ne
s'agit l ni d'identit, ni d'galit: un cercle et un triangle ne
sont pas une seule et mme chose!

Ampre repoussait bien loin ce qu'il appelait _la ridicule
identit_.

                                          

AVENIR

L'avenir tient dans le prsent, comme les proprits du triangle
tiennent dans sa dfinition.

                                                     P. BOURGET.

                       ------

Aphorisme inconciliable avec la libert humaine.

                                          

BORN

L'homme ne voit pas faux, comme le supposent les sceptiques
subjectifs; il voit born. Il juge son univers grand et vieux; ce
n'est pourtant que _a_ dans la formule [infini] + _a_, or, dans ce
cas, _a_ = 0.

                                                          RENAN.

                                          

NOMBRE INFINI

Tout nombre, c'est--dire toute somme d'units relles, est
essentiellement fini; car, puisque chacun des nombres obtenus par des
additions successives ne diffre du prcdent que par une unit, tous
ces nombres successifs sont donc ncessairement finis  la fois, le
second par le premier, le troisime par le second, etc. Tout nombre
est ncessairement pair ou impair, premier ou non premier; s'il est
pair, il ne contiendra pas tous les nombres impairs; s'il est premier,
il ne contiendra pas le dernier des nombres premiers, car la srie des
nombres premiers est illimite. En tous cas, qu'il soit premier ou non
premier, il ne contiendra pas son carr, son cube, sa quatrime
puissance; il ne sera donc pas plus grand que tout nombre donn; il ne
sera pas infini, mais fini. Tout nombre est essentiellement fini, donc
le nombre des hommes qui ont exist sur la terre est fini et il y a eu
un premier homme; donc le nombre des rvolutions de la terre _autour
du soleil_ est fini et il y a eu une premire rvolution....

                                                    ABB MOIGNO.

                                          

LES PRINCIPES

On peut dire _a priori_ qu'il est absurde d'essayer de dmontrer par
l'analyse les principes de la gomtrie et de la mcanique. Ces
principes sont vidents ou rsultent de l'exprience. Tout calcul les
prsuppose.

Nous admettons difficilement des gomtries sans aucune figure et des
mcaniques o l'on ne parle que d'quations diffrentielles.

                                          

TULIPES

Vous savez que le tout est plus grand que sa partie et que, qui ajoute
choses gales  choses gales, les touts sont gaux: vous savez toutes
les mathmatiques...

Les tulipes qui naissent  prsent taient bien enveloppes dans
celles qui fleurissaient il y a 600 ans. Ainsi les quations de
l'algbre sont-elles bien enveloppes dans les propositions que je
viens de vous dire; mais il ne tient qu' les en tirer. Elles y sont:
vous voyez les plus simples et les plus aises en sortir, puis les
autres. Je ne vous apprends rien, mais je vous fais voir jusqu'o va
ce que vous saviez.

                                                     FONTENELLE.

                       ------

Toutes les vrits mathmatiques sont _implicitement_ contenues dans
les premires notions, soit, mais il s'agit de les dgager!

                                          

LIGNE DE CONDUITE

La ligne courbe reprsente le cours de la vie pratique, toute de
ncessit, de rapport avec nos proches, nos semblables, ou pleine de
mnagement pour autrui, de concessions rciproques, de sacrifices
mutuels. La ligne droite reprsente la vie thorique, l'idal, l'ide
indpendante, absolue.

                                            Mme PAPE-CARPENTIER.

                       ------

Cet extrait est tir du livre _Le secret des grains de sable_ o
l'auteur recherche les heureuses corrlations qui relient la
gomtrie et le sentiment.

                                          

MOULIN

On peut comparer les mathmatiques  un moulin d'un travail admirable,
capable de moudre  tous les degrs de finesse; mais ce qu'on en tire
dpend de ce qu'on y a mis, et comme le plus parfait moulin du monde
ne peut donner de la farine de froment si l'on n'y met que des cosses
de pois, de mme des pages de formules ne tireront pas un rsultat
certain d'une donne incertaine.

                                                         HUXLEY.

                       ------

Les mathmatiques sont comme un moulin  caf qui moud admirablement
ce qu'on lui donne  moudre, mais qui ne rend pas autre chose que ce
qu'on lui a donn.

                                                        FARADAY.

                       ------

Il me semblait que rsoudre un problme de gomtrie par les
quations, c'tait jouer un air en tournant une manivelle.

                                                 J.-J. ROUSSEAU.

                       ------

Lorsqu'on raisonne, on ne peut demander aux prmisses que ce qu'elles
contiennent.

Le calcul constitue une _mthode_ rapide d'analyse, pour rsoudre les
problmes. On pourrait, aprs coup, rtablir tous les intermdiaires.

                                          

SANS AXIOMES

_La Gomtrie sans axiomes_ est le titre d'un livre anglais de
Perronet Thomson, traduit par Van Tenac, o les axiomes, incorpors
dans les dfinitions, ne sont pas formellement noncs.

                                          

IMAGES LOINTAINES

Supposez maintenant que vous vous loigniez de la terre avec une
vitesse _suprieure_  celle de la lumire, qu'arrivera-t-il? Vous
retrouverez,  mesure que vous avancerez dans l'espace, les rayons
partis avant vous, c'est--dire les photographies, qui, de seconde en
seconde, d'instant en instant, s'envolent dans l'tendue.

Si, par exemple, vous partez en 1867 avec une vitesse gale  celle de
la lumire, vous garderez ternellement l'anne 1867 avec vous. Si
vous allez plus vite, vous retrouverez les rayons partis aux annes
antrieures et qui emportent avec eux les photographies de ces annes.

Pour mieux mettre en vidence la ralit de ce fait, je vous prie de
considrer plusieurs rayons lumineux partis de la Terre  diffrentes
poques. Le premier est je suppose, celui d'un instant quelconque, du
1er janvier 1867.  raison de 75000 lieues par seconde, il a, au
moment o je vous parle, dj fait un certain trajet depuis le moment
de son dpart et se trouve maintenant  une certaine distance, que
j'exprimerai par la lettre A. Considrons maintenant un second rayon
parti de la Terre cent ans auparavant, le 1er janvier 1767: il est de
cent ans _en avance_ sur le premier, et il se trouve  une distance
beaucoup plus grande, distance que j'exprimerai par la lettre B. Un
troisime rayon, celui, je suppose, du 1er janvier 1667, est encore
_plus loin_, d'une longueur gale au trajet que parcourt la lumire en
cent ans. J'appelle C le lieu o en est ce troisime rayon. Enfin, un
quatrime, un cinquime, un sixime, sont respectivement des 1er
janvier 1567, 1467, 1367, etc., et sont chelonns  des distances
gales, D, E, F, s'enfonant de plus en plus dans l'infini.

Voil donc une srie de photographies terrestres chelonnes sur une
mme ligne, de distance en distance, dans l'espace. Or _l'esprit_ qui
s'loigne en passant successivement par les points A, B, C, D, E, F, y
retrouve successivement l'histoire sculaire de la Terre  ces
poques.

                                                     FLAMMARION.

                       ------

Un moraliste, plus ingnieux que solide, puise dans les considrations
prcdentes un encouragement au bien. En effet, l'image d'un meurtre
ne disparat plus et,  l'ternelle honte du meurtrier, cette image
qui s'envole dans l'espace proclame le crime jusqu'aux astres les plus
lointains.

                                          

LOI DES SENSATIONS

Les sensations sont proportionnelles aux logarithmes des impressions
ou des excitations.

                                                          WEBER.

                       ------

C'est l un nonc curieux et obscur attribu aussi  Fechner et qui a
t gnralement contest.

C'est le propre des phnomnes vitaux, assure Bichat, d'chapper 
tous les calculs. L'assertion est trop absolue, mais il faut tre
prudent en ces dlicates matires.

                                          

PLUS GRANDS ET PLUS PETITS

La suite continue des nombres entiers, fractionnaires,
incommensurables, o le cas simple est trs exceptionnel, est une
conception dlicate.

                       ------

Quelque petit que soit un nombre, il y a exactement autant de nombres
plus petits que lui que de nombres plus grands, puisque  un nombre
quelconque correspond son inverse.

                       ------

On trouve dans les mathmatiques des rgions philosophiques--ce ne
sont pas les plus claires--o se complaisent certains esprits.

                                          

NOMBRE MYSTRIEUX

Que celui qui a de l'intelligence compte le nombre de la bte... son
nombre est six cent soixante-six.

Il s'agit de l'Antechrist.

                                          

TRE OU NANT

Qu'est-ce que l'lment infinitsimal? C'est la grandeur dcroissante
jusqu' s'vanouir, et prise au moment o elle s'vanouit, car avant,
ce serait trop tt, et aprs ce serait trop tard. C'est la grandeur
prise au moment o, cessant d'tre quelque chose, elle n'est pas
encore rien du tout, c'est--dire au moment o elle participe  la
fconde identit de l'tre et du nant.

                                                          HEGEL.

                       ------

Trs subtil et peu clair.

                                          

CONCILIATION

Le mouvement dans l'espace d'un corps soumis  l'action d'une force
donne et partant d'une position aussi donne doit tre absolument
dtermin. C'est donc par une sorte de _paradoxe_ que les quations
diffrentielles dont ce mouvement dpend peuvent tre satisfaites par
plusieurs quations qui remplissent en outre les conditions initiales
du mouvement.

                                                        POISSON.

                       ------

On peut rattacher  cette remarque deux travaux
philosophico-mathmatiques plus ingnieux que solides. 1 _Accord de
la libert morale avec les lois du mcanisme_, par Saint-Venant
(_Comptes rendus_ du 15 mars 1877); 2 _Conciliation du vritable
dterminisme avec l'existence de la vie et de la libert morale_, par
Boussinesq (_Comptes rendus_ du 19 fvrier et du 5 mars 1877.)

M. J. Bertrand dit  propos de ces tentatives:

Quand une table rigide et pesante repose par plus de trois pieds sur
un sol parfaitement dur, l'effort support par chaque pied est
indtermin. Le calcul l'affirme mais ni les physiciens ni les
gomtres ne l'ont cru un instant; ils se sont bien gards surtout de
supposer  chaque pied la facult de choisir, en lui prtant une
volont devenue indispensable.

                                          

CERTITUDES ANTRIEURES

Il y a des certitudes qui ne reposent pas sur l'exprience. Je sais
qu'il y a des polygones de 7, de 11, de 13 cts, etc., tout en
sachant qu'on ne peut, actuellement du moins, les construire
gomtriquement. On admet qu'il y a un carr gal  un cercle donn,
et personne ne s'avisera plus de chercher ce carr. Rien de plus ais
que de former une quation du _m_^{e} degr, en se donnant au
pralable _m_ racines relles ou imaginaires; l'quation une fois
forme, on sait qu'elle a ces racines et pourtant on ne peut pas
toujours les dgager.

Or, comment sait-on qu'il y a des polygones rguliers de 7, de 11, de
13 cts, etc., qu'il y a un carr gal  un cercle donn...? Par un
raisonnement d'analogie et d'induction, celui-ci par exemple: Je sais
diviser une droite en 7 parties gales; si la circonfrence tait
rectifie, je pourrais la diviser en 7 parties gales. Y a-t-il une
droite gale  une circonfrence donne? Oui, car une circonfrence
est finie et peut crotre indfiniment par infiniment petits; une
ligne droite est dans le mme cas, donc on peut faire crotre une
ligne droite de manire  lui donner la longueur de la circonfrence
propose.

                                                    J. DELBOEUF.

                       ------

On peut tre sr de l'existence d'une figure sans savoir la
construire, d'un nombre sans savoir le calculer.

                                          

COMMENCEMENT

Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas remplis, et ces
lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de
plus prs aux connaissances prliminaires  la gomtrie.

                                                       PONCELET.

                                          

CONTINUIT

D'aprs le principe de continuit de Leibniz, le repos serait un
mouvement infiniment petit; la concidence, une distance infiniment
petite; l'galit, la dernire des ingalits, etc.

                                          

MUNITO

C'tait surtout la manire dont ce chien faisait une addition qui
tait curieuse  voir! Des chiffres taient marqus sur des morceaux
d'os de la grandeur des dominos. Son matre lui posait trois ou quatre
ranges de trois ou quatre chiffres chacun, Munito regardait, puis,
s'il avait:

    3
    9
    7

il allait prendre un carr d'os, et apportait au bas un neuf; puis il
retenait un, et allait ainsi jusqu'au bout sans la moindre erreur.

                                                 JAMES ROUSSEAU.

                       ------

D'aprs Delboeuf, les serins ne comptent que jusqu' trois et une
chienne intelligente ne sait pas distinguer trois de quatre.

Houzeau croit que les mulets savent compter au moins jusqu' cinq. Le
garde-chasse Leroy admet cette limite suprieure pour les corbeaux.
Romanes a enseign  un chimpanz  compter jusqu' cinq.

Nous ne garantissons pas ces diverses assertions.

                                          

SCEPTICISME MATHMATIQUE

Autrefois on prenait pour base de la gomtrie abstraite l'espace
rel, avec les lois que l'exprience rvle, avec les trois dimensions
auxquelles sont soumis tous les corps qui tombent sous nos sens.
Aujourd'hui les gomtres s'affranchissent de ces conditions
vulgaires; ils supposent des espaces diffrents,  quatre, cinq, six
dimensions ou davantage; ils appliquent  ces hypothses fantastiques
l'analyse mathmatique, et les voil partis, dans un monde imaginaire,
 la poursuite de conclusions trs logiquement dduites, mais devant
lesquelles l'esprit se perd.

Puis, quand ils reviennent  ce vieil espace traditionnel au sein
duquel nous habitons, ils prtendent que ces lois n'ont pas, devant la
raison, plus de valeur que les espaces tranges o la somme des angles
d'un triangle est infrieure ou suprieure  deux angles droits, o
une courbe peut servir de parallle  une ligne droite. Le rsultat de
cette dbauche d'analyse, c'est le scepticisme mathmatique.

                                                        D'HULST.

                                          

CHIMRES

La pierre philosophale, le mouvement perptuel, la quadrature du
cercle, le dsintressement parfait, etc.

                                          

DEUX ET DEUX

Vous ne rencontrez nulle part dans la nature deux objets identiques:
dans l'Ordre Naturel, _deux et deux ne peuvent jamais faire quatre_,
car il faudrait assembler des units exactement pareilles, et vous
savez qu'il est impossible de trouver deux feuilles semblables sur un
mme arbre..... Vous pouvez ajouter le ducat du pauvre au ducat du
riche, et vous dire au trsor public que ce sont deux quantits
gales; mais aux yeux du penseur l'un est certes moralement plus
considrable que l'autre.

                                                   H. DE BALZAC.

                       ------

Les mathmatiques sont la science des formes et des quantits; le
raisonnement mathmatique n'est autre que la simple logique applique
 la forme et  la quantit. La grande erreur consiste  supposer que
les vrits qu'on nomme _purement_ algbriques sont des vrits
abstraites ou gnrales. Et cette erreur est si norme, que je suis
merveill de l'unanimit avec laquelle elle est accueillie. Les
axiomes mathmatiques ne sont pas des axiomes d'une vrit gnrale.
Ce qui est vrai d'un rapport de forme ou de quantit est souvent une
grossire erreur relativement  la morale. Par exemple, dans cette
dernire science, il est communment faux que la somme des fractions
soit gale au tout.... Il y a une foule d'autres vrits mathmatiques
qui ne sont des vrits que dans des limites de rapport. Mais le
mathmaticien argumente incorrigiblement d'aprs ses _vrits finies_,
comme si elles taient d'une application gnrale et absolue...

                                  EDGAR POE (_La lettre vole_).

                                          

CRITRIUM

Quelques-uns disent que le mouvement excentrique ou d'extension parat
indiquer une supriorit physique ou morale. Un professeur de
gomtrie prtend qu'il juge trs vite du caractre d'un lve par sa
manire de tracer spontanment une circonfrence au tableau: les
_forts_ la tracent de dedans en dehors, les _mous_ de dehors en
dedans.

                                          

ME DE LA TERRE

Kepler croyait que la terre a une me qui la guide. Cette me,
dit-il, a le sentiment des raisons et des proportions gomtriques;
c'est ainsi que la terre peut apprcier les distances, valuer les
angles et reconnatre s'ils sont harmoniques ou incongrus.

                                          

COEUR ET RAISON

Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace, et que les
nombres sont infinis; et la raison dmontre ensuite qu'il n'y a point
deux nombres carrs dont l'un soit double de l'autre. Les principes se
sentent, les propositions se concluent; et le tout avec certitude,
quoique par diffrentes voies. Et il est aussi ridicule que la raison
demande au coeur des preuves de ces premiers principes pour vouloir y
consentir, qu'il serait ridicule que le coeur demandt  la raison un
sentiment de toutes les propositions qu'elle dmontre, pour vouloir
les recevoir.

                                                         PASCAL.

                       ------

Il a t donn  bien peu d'hommes de sentir aussi vivement les choses
abstraites.

                                          

ABSTRACTIONS

Qu'est-ce que les mathmatiques? Des sciences toutes _formelles_.
L'arithmtique et l'algbre sont la rhtorique des nombres. On
raisonne et on raisonne, on dduit et on dduit, tant donn n'importe
quoi dans l'abstrait. On applique les principes gnraux  des
problmes particuliers et la solution de ces problmes devient un
petit talent mcanique, comme la syllogistique du moyen ge, ou comme
la machine  raisonner de Raymond Lulle. La science mme du mouvement,
la reine du sicle, la mcanique, roule encore sur des relations
formelles dans l'espace et dans le temps, et elle ne cesse pas de
dduire, de raisonner  perte de vue sur une hypothse qui est
l'quivalent scientifique d'une matire de discours latin. Il est vrai
que, dans un cas, il faut raisonner juste; dans l'autre, ce n'est pas
ncessaire, et mme, quand la cause  soutenir est mauvaise, il est
bon de draisonner. Mais le mathmaticien ne raisonnera pas mieux
qu'un autre dans la vie relle parce qu'il sera habitu  raisonner
dans l'abstrait,  dduire des consquences rectilignes d'une
hypothse, non  observer et  runir toutes les donnes de
l'exprience, non  induire,  deviner,  apprcier les probabilits.
L'esprit mathmatique, dans la vie prive et dans la vie publique,
c'est l'art de ne voir qu'un des cts de la question. Dans les
sciences mathmatiques, nous faisons nous-mmes nos dfinitions; dans
la ralit, c'est l'exprience qui nous les impose et, sans cesse, les
transforme, les corrige par des dterminations nouvelles. Nous
trouvons toujours dans les rsultats plus que nous n'avions mis dans
nos dfinitions et dans nos principes. Nous avions dit: deux et deux
font quatre, et nous trouvons cinq; nos troites formules sont
dbordes par la nature et par la vie.

                                               ALFRED FOUILLIE.

                       ------

Selon d'Alembert, pour acqurir la sagacit, cette qualit premire de
l'esprit, il faut s'exercer aux dmonstrations rigoureuses, mais ne
pas s'y borner.

                                          

BENZINE

La benzine, pour l'allemand, c'est C^{6}H^{6}, un hexagone ou un
paralllpipde, puisque cette tendance amne  reprsenter les corps
chimiques par des images gomtriques ou des formules d'algbre; la
benzine, pour l'anglais, est un produit qui sert  dtacher.

                                                 LON A. DAUDET.

                       ------

On connat le mot de Lagrange: la chimie devient aussi facile que de
l'algbre.

                                          

SYMBOLES

Dans les mathmatiques le raisonnement est devenu automatique  un si
haut degr, que les mathmaticiens ont presque tous perdu de vue le
point de dpart, et qu'on les tonne beaucoup, quand on leur rappelle
que les symboles des mathmatiques ne sont pas de pures crations de
l'esprit... qu'un symbole n'est un symbole qu'autant qu'il symbolise
quelque chose, et que sous chaque signe il y a la chose signifie.

Malgr cet oubli de la chose et le souci du signe, les raisonnements
des mathmaticiens sont cependant rigoureux et les rsultats auxquels
ils parviennent sont exacts, mais on ne peut dire qu'ils aient une
notion adquate de la science sur laquelle s'exercent leurs efforts.

                                                      G. MOURET.

                                          

AXIOMES

Quel est le fondement de notre croyance aux axiomes? Sur quoi repose
leur vidence? Je rponds: Ce sont des vrits exprimentales, des
gnralisations de l'observation.

                                               JOHN STUART MILL.

                       ------

La gomtrie est fonde sur l'observation; mais sur une observation si
familire et si vidente que les notions premires qu'elle fournit
pourraient sembler intuitives.

                                                         LESLIE.

                       ------

Assertions trs contestables. Nous les avons dj discutes.

                                          

PASSIONS

Si la gomtrie s'opposait autant  nos passions et  nos intrts
prsents que la morale, nous ne la contesterions et nous ne la
violerions gure moins, malgr toutes les dmonstrations d'Euclide et
d'Archimde.

                                                        LEIBNIZ.

                                          

CONCEPTIONS

La gomtrie ne prouve rien du tout de l'existence des choses, mais
seulement ce qu'elles sont, suppos qu'elles existent rellement.

                                                  LE P. BUFFIER.

                                          

HYPERESPACE

Imaginons un tre rduit  un point, mais dou d'intelligence et de
sens, assujetti  pouvoir se dplacer sur une ligne droite pour fixer
les ides, mais ne pouvant sortir de cette droite; supposons que ses
sens soient tels qu'ils ne lui permettent pas d'avoir conscience du
monde extrieur  son domaine qui est la droite en question. Si cet
tre est conduit  faire de la gomtrie, il ne fera que de la
gomtrie  une dimension; appelons cet tre A. On peut de mme
imaginer un tre B assujetti  se mouvoir dans un monde rduit  une
simple surface et n'ayant pas conscience du monde extrieur  cette
surface. Si B fait de la gomtrie, cette gomtrie sera  deux
dimensions. Nous autres, nous pouvons faire de la gomtrie  trois
dimensions, parce que notre espace est constitu de telle sorte que
trois quantits sont ncessaires pour dfinir la position d'un point;
B fait de la gomtrie  deux dimensions, parce que deux quantits
seulement lui sont ncessaires pour dfinir la position d'un point
dans l'espace dont il a conscience. On peut donc se demander si ce que
nous considrons comme notre univers ne serait pas une varit d'un
espace  plus de trois dimensions, dont l'organisation simple de nos
sens nous empcherait d'avoir connaissance.

                                                     H. LAURENT.

                                          

CHERCHEUR

La vie la plus belle, la mieux remplie, la moins sujette aux
dceptions, est encore celle du fou sublime qui cherche  dterminer
l'inconnue d'une quation  racines imaginaires.

                                                   H. DE BALZAC.

                                          

LES MARIER

On pourrait se passer compltement de l'ide de nombre et emprunter
tout  l'ide d'espace.

L'algbre est une symbolie ou criture hiroglyphique qui exprime les
faits de dplacement dans des espaces  nombre variable de dimensions:
l'arithmtique raconte ce qui se passe dans un espace  une dimension;
l'algbre des fonctions algbriques dans des espaces  deux
dimensions; l'algbre des quantits complexes, dans un espace  _n_
dimensions.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 qui la palme?  la symbolie?  la graphie? Il serait bien difficile
de dcider, chacun suivant son organisation crbrale peut accorder
son vote  l'une ou  l'autre. Pour viter des discussions
interminables, le mieux serait, je crois, de les marier.

                                                         ARNOUX.

                                          

GRADGRIND

C'est dans son roman _Les temps difficiles_ que Dickens nous prsente
ce personnage.

Thomas Gradgrind, monsieur, l'homme des faits, l'homme qui procde
d'aprs le principe: deux et deux font quatre, rien de plus, et
qu'aucun raisonnement n'amnera jamais  concder une fraction en sus!
Thomas Gradgrind, monsieur, avec une rgle et des balances, et une
table de multiplication dans la poche, monsieur, toujours prt 
mesurer et  peser le premier colis humain venu et  vous en donner
exactement la jauge...

                                          

VALEUR VARIABLE

Un franc, considr aujourd'hui, ne valait pas encore un franc hier et
il vaudra plus d'un franc demain, du moins dans certaines questions de
finance. L'hypothse du placement continuel  intrts composs est
une fiction hardie et certains pessimistes attribuent une partie des
souffrances de la socit moderne,  l'excrable fcondit de
l'argent.

J'ai deux voisins; l'un se lamente de ce que l'argent ne rapporte plus
que 2%; l'autre rclame le prt gratuit.




HISTOIRE


CALCUL MENTAL

Mme de Lautr, dont parle Mme de Genlis, faisait dans les salons, des
multiplications de nombres de huit chiffres.

Diner, le berger de Stuttgard, devint pniblement matre d'cole.
N'ont pas perc davantage les autres petits calculateurs prodiges:
Annich, Buxton, Colburn, Bidder, Pughiesi, Magiamele, etc. Malgr les
meilleures leons, Henri Mondeux n'a pas pu s'lever au dessus des
calculs numriques.

De nos jours, c'est Inaudy, qu'on promne comme une curiosit: il a
t prsent  l'Acadmie des Sciences, comme son prdcesseur. Inaudy
n'est pas un visuel, c'est un auditif: il a pu retenir _d'un seul
coup_ jusqu' 42 chiffres. La capacit de sa mmoire est le secret de
sa force.

Dans leur enfance, Gauss et Ampre ont calcul trs vite, mais cette
facult s'est ralentie chez eux ds qu'ils se sont livrs  la
recherche mathmatique.

                       ------

Un de nos amis, lorsqu'il voyageait, dcomposait de tte les numros
des wagons en facteurs premiers, en prenait la racine carre, etc.

                                          

TAUTOCHRONE ET BRACHISTOCHRONE

La _cyclode_ ou roulette, qui a t tudie par Pascal, jouit de deux
proprits bien curieuses. Un point pesant descendant le long de sa
concavit arrive toujours dans le mme temps au sommet infrieur, de
quelque hauteur qu'il parte. De plus, c'est cette courbe, et non une
ligne droite, que doit dcrire un point pesant pour descendre dans le
moins de temps possible.

                                          

QUADRATURE DU CERCLE

Il est dit, dans la Bible, qu'il y avait, dans le Temple de Salomon,
un grand bassin hmisphrique dont le diamtre tait de dix coudes et
la circonfrence de trente.

                       ------

J'tais semblable  ce gomtre qui s'efforce de quarrer le cercle et
cherche en vain dans sa pense le principe qui lui manque.

                                                          DANTE.

                       ------

PISTHTROS.--Mais, dites-moi, quels instruments avez-vous l?

MTON.--Ce sont des rgles pour mesurer le ciel... J'appliquerai une
rgle droite et je prendrai si bien mes dimensions, que _je ferai d'un
cercle un carr_.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PISTHTROS.--...Croyez-moi, retirez-vous au plus vite.

                                                    ARISTOPHANE.

                       ------

Plutarque affirme qu'Anaxagore avait trouv la quadrature du cercle.
Roger Bacon parle de la question comme si elle tait compltement
connue de son temps. Or il est maintenant prouv qu'on ne peut
rsoudre le clbre problme avec la rgle et le compas.

                                          

LONGUES FORMULES

Dans la _Thorie de la lune_, de l'astronome Delaunay (qui s'est noy
en se baignant  Cherbourg) il y a une formule dont le second membre
occupe 138 pages.

L'oeuvre de Delaunay comprend dans le premier volume l'expression de
la longitude de la lune et, dans le second, celle de sa latitude.

On m'a parl d'un mmoire d'Olbers qui se compose d'une seule phrase.

                                          

CONCESSION

L'Acadmie des Sciences de Paris se refusa pendant quelque temps 
admettre une doctrine (il s'agit des infiniment petits) qui semblait
altrer la puret gomtrique; elle vit natre d'ardentes discussions
dans lesquelles plusieurs de ses membres, s'attachant avec obstination
 de fausses ides qu'ils s'taient formes, et  des locutions qui
les choquaient sans qu'ils voulussent considrer le fond des choses,
contestrent non seulement la rigueur des raisonnements, mais encore
l'exactitude des rgles de Leibniz. Cette opposition fut utile, en
forant les _gomtres infinitsimaux_  donner une forme nette aux
principes contests, qui peut-tre n'avaient t mal compris des uns
que pour avoir t jusque-l mal expliqus par les autres. Leibniz
lui-mme, que les plus grands gomtres de l'Europe avaient enfin
admir et compris, loin de s'envelopper dans sa gloire et de mpriser
les critiques, ne ddaigna pas de rpliquer avec courtoisie  des
adversaires qu'il estimait malgr la faiblesse de leurs arguments. Sa
rponse au _Journal de Trvoux_ est reste clbre par une concession
singulire qui semblerait passer condamnation sur le manque de rigueur
qu'on lui reprochait; il assimile en effet les infiniment petits des
divers ordres  des grandeurs incomparables  cause de leur extrme
ingalit, comme le serait un grain de sable par rapport au globe de
la terre. Un tel langage, il faut l'avouer, ne signifie rien de prcis
et conduirait  confondre l'infiniment petit avec le trs petit.
Leibniz ressemble dans cette circonstance, dit Fontenelle,  un
architecte qui a fait un btiment si hardi qu'il n'ose lui-mme s'y
loger, tandis que d'autres, plus confiants que lui, s'y logent sans
crainte, et qui plus est, sans accident. Mais  cette citation, on
doit ajouter que, la lettre de Leibniz n'tant pas crite pour des
gomtres, la concession qui semble trop timide n'tait peut-tre que
prudente.

                                                    J. BERTRAND.

                                          

PIERRE  AIGUISER

Robert Record (auquel nous devons le signe =, _gale_) a publi, en
1557, la seconde partie de son arithmtique, sous le titre de
_Whetstone of wit_ c'est--dire Pierre  aiguiser l'esprit. C'est un
dialogue, et, l'lve tant surpris par les deux racines de l'quation
du second degr, le matre lui rpond: Cette varit de racines fait
voir qu'une seule quation peut servir  deux questions diffrentes.
La nature de la question vous indiquera facilement laquelle de ces
deux racines vous devez prendre; et il est des cas o vous pourrez les
prendre toutes les deux.

                                          

CHOSE

Les premiers algbristes italiens appelaient l'inconnue la chose, de
l le nom de _cossites_ donn  ces initiateurs.

                                          

CHICANE

Qu'Euclide se donne la peine de dmontrer que deux cercles qui se
coupent n'ont pas le mme centre, qu'un triangle renferm dans un
autre a la somme de ses cts plus petite que celle des cts du
triangle dans lequel il est renferm, on n'en sera pas surpris. Ce
gomtre avait  combattre des sophistes obstins, qui se faisaient
gloire de se refuser aux vrits les plus videntes; il fallait
qu'alors la Gomtrie et, comme la logique, le secours des
raisonnements en forme, pour fermer la bouche  la chicane.

                                                       CLAIRAUT.

                                          

QUADRATURES ET RECTIFICATIONS

Je ne cite pas ici comme une vritable quadrature celle que dcouvrit
Hippocrate de Chio d'un espace termin par des arcs de cercle
(lunules), qui retranchent d'un ct d'un espace rectiligne, ce qu'ils
y avaient ajout de l'autre; cette quadrature, et d'autres semblables
que l'on a donnes depuis, ne sont que des espces de tours de
passe-passe.

Mais la subtilit d'Archimde lui fit trouver un espace curviligne
vritable quarrable. C'tait l'espace parabolique, dont il dtermina
exactement la mesure.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dcouvrir, comme a dcouvert le subtil Bernoulli, que la circonfrence
du cercle est  son diamtre comme une quantit imaginaire (le
logarithme de moins un) est  une autre quantit imaginaire (la racine
carre de moins un), ce n'est qu'un jeu d'esprit qui nous rejette dans
des abmes plus profonds que ceux dont nous voulions sortir.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Descartes,  qui la gomtrie doit tant, sut qu'il y avait des courbes
dont on dterminait les aires: mais il crut qu'il n'y en avait aucune
dont on pt dterminer la longueur; et assura l'impossibilit de toute
rectification. Cependant un gomtre qui n'tait pas  lui comparer,
rectifia une courbe qui porte encore son nom (la parabole de Neil); et
bientt aprs une infinit d'autres courbes furent rectifies.

                                                     MAUPERTUIS.

                                          

AVATAR DU NOMBRE

Voici, d'aprs Ed. Lucas, quelques-unes des transformations curieuses et
subtiles du nombre: au dbut, on fit des marques sur les arbres et des
stries sur les os des animaux; le nombre prit plus tard la forme
digitale (Alcuin); il devint ensuite successivement mystique
(Pythagore), nuptial (Platon); magique (Persans), abracadabrant
(Zoroastre); premier ou compos, entier ou fractionnaire, commensurable
ou incommensurable, exact ou approch (Euclide); triangulaire, carr,
pentagonal, polygonal, pyramidal (Diophante); cubo-cubique (Indiens);
ortho-triangulaire, congruent (Arabes); sourd, aveugle (Moyen-ge);
plaisant et dlectable (Bachet), rcratif (Ozanam); indivisible
(Cavalieri); diffrentiel, incrmentiel (Leibniz), fluent (Newton);
exponentiel, logarithmique, rhabdologique (Neper); parfait, amiable,
abondant, dficient, aliquotaire (Fermat, Frnicle, etc.); congru ou
incongru (Gauss); complexe, idal, norme (Kummer); rel ou imaginaire,
quivalent, anastrophique (Cauchy); quipollent (Bellavitis); quaternion
(Hamilton); enfin hypertranscendantal (Hermite).

                                          

AU BRSIL

La rpublique a t proclame au Brsil, le 15 novembre 1889. Le
promoteur du mouvement rvolutionnaire fut Benjamin Constant Botelho
de Magalhes, n en 1833 d'un pre portugais et d'une mre
brsilienne. lve de l'cole militaire puis astronome 
l'Observatoire, il avait une aptitude distingue pour les
mathmatiques. Il avait t class le premier  la suite d'un concours
pour une chaire de calcul infinitsimal.

                                          

QUADRATEUR

Au XVIIIe sicle, le chevalier de Caussans, prtendit avoir rsolu la
quadrature du cercle et dposa mille cus chez un notaire pour celui
qui prouverait la fausset de sa solution. Une dame fit la preuve et
actionna Caussans devant le Chtelet. Les juges indulgents dclarrent
le pari nul et le quadrateur mourut dans l'impnitence finale.

Ceux qui ne savent pas de mathmatiques, dit La Caille, n'ont que
trop souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle
refuse aux autres.

                                          

RUDITS

Baardi avait cherch le point du Ciel o Dieu plaa le soleil, lors
de la cration. Il venait de dcouvrir ce point, dit l'abb
Barthlemy, et il me le montra sur un globe.

Moreri affirme que: Adam avait une profonde connaissance des sciences
et surtout de l'astronomie dont il apprit plusieurs secrets  ses
enfants, et il grava sur deux tables diverses observations qu'il avait
faites sur le cours des astres.

Ils croient savoir bien des choses, les rudits.

                                          

MOUJIK

Je ne dois savoir qu'une chose, ma langue et celle de l'glise, avec
les lois du calcul; quant aux autres sciences, si j'en ai besoin, je
les apprendrai moi-mme.

                                                        TOLSTO.

                                          

CLUB

 la Socit populaire de Colmar, Bach employa presque toute une
sance  rfuter un citoyen du Mont-Adour qui avait envoy un procd
pour valuer exactement la racine carre de 2. (tude, de M.
Vron-Rville, sur la Rvolution dans le Haut-Rhin.)

                                          

CERCLE DE POPILIUS

Popilius, envoy du peuple romain et porteur d'une sommation du Snat
 l'adresse d'Antiochus, traa un cercle autour de ce roi, en lui
prescrivant de rpondre, avant de sortir du cercle.

                                          

VIEUX COMPTE

Parmi les objets dcouverts par Lartet dans la clbre grotte
spulcrale d'Aurignac, appartenant  la priode quaternaire et  la
fin de l'ge du Mammouth, on remarque une lame de bois de renne
prsentant sur l'une de ses faces planes, de nombreuses raies
transversales, galement distances, avec une lacune d'interruption
qui les divise en deux sries; sur chacun des bords latraux ont t
entailles de champ d'autres sries d'encoches plus profondes et
rgulirement espaces. On serait tent, dit Lartet, de voir l des
signes de numration exprimant des valeurs diverses ou s'appliquant 
des objets distincts.

                                          

MARCHAL DE SAXE

Le marchal est mort  cinquante-cinq ans et l'on s'est amus 
composer ainsi son pitaphe en vers blancs:

  Son courage l'a fait admirer de chac................  1
  Il eut des ennemis mais il triompha.................  2
  Les rois qu'il dfendit sont au nombre de...........  3
  Pour Louis son grand coeur se serait mis en.........  4
  Des victoires par an il gagna plus de...............  5
  Il fut fort comme Hercule et beau comme Thyr........  6
  Pleurez, braves soldats, ce grand homme _hic ja_....  7
  Il mourut en novembre et de ce mois le..............  8
  Strasbourg contient son corps en un tombeau tout....  9
  Pour tant de _te Deum_, pas un _de profun_.......... 10
                                                       --
                                                       55




MTHODES


DMONSTRATIONS FAUSSES

1 Deux ttradres de bases quivalentes et de hauteurs gales sont
quivalents: on partage la hauteur commune en beaucoup de parties
gales, on mne des plans parallles aux bases et l'on considre comme
des prismes les troncs partiels extrmement minces.--On n'a jamais le
droit de considrer comme parallles des droites qui ds leur origine
diffrent de direction.

2 Pour dmontrer qu'une fraction qui a pour termes des nombres
premiers entre eux est irrductible, il ne suffit pas de dire qu'alors
on ne peut plus diviser les deux termes par un mme nombre.--En effet,
peut-tre pourrait-on simplifier une fraction autrement que par voie
de division, par exemple en retranchant aux deux termes des nombres
convenables.

3 Il ne faut pas dire, pour arriver au volume de la sphre par la
mthode des limites, qu'on inscrit  la sphre un polydre _rgulier_
dont on augmente indfiniment le nombre des faces.--Il n'y a en effet
que cinq polydres rguliers et celui qui a le plus de faces en a
vingt.

                                          

DANS LA RUE

Chasles exagre un peu, lorsqu'il affirme, dans son _Aperu
historique_, qu'on ne peut se flatter d'avoir clair et rduit
convenablement une thorie, tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu
de mots  un passant dans la rue.

Poinsot dclare, de son ct, en parlant des mathmatiques, que ce
n'est jamais assez simple.

Il faut pourtant reconnatre que certaines conceptions mathmatiques
ne deviendront jamais accessibles  tous. (Chimre de l'instruction
intgrale.)

Les hautes mathmatiques, dit M. Richet, deviennent de plus en plus
difficiles et il n'y a gure plus d'une vingtaine de personnes dans le
monde qui soient en tat de comprendre tous leurs dveloppements.

                                          

NOMBRE INDISPENSABLE

Voici un quatrain mnmonique pour retenir le rapport [pi] de la
circonfrence au diamtre:

  Que j'aime  faire apprendre un nombre utile aux sages!
  Immortel Archimde, artiste ingnieur,
  Qui de ton jugement peut priser la valeur?
  Pour moi, ton problme eut de pareils avantages.

Les nombres de lettres de chaque mot donnent les chiffres successifs.

  [pi] = 3,14159265....

Si l'on ne veut que les cinq premires dcimales de [pi], retenir que:
un quatre, un cinq font neuf.

Pour l'inverse, 1/[pi], souvent utile,

  1/[pi] = 0,3183098..,

on peut se dire, sans faire de politique, que les trois journes de
1830 sont un 89 renvers.

                                          

SANS CHIFFRES

Je voudrais qu'on ft faire toute l'arithmtique aux enfants avant
qu'ils connussent la forme d'un chiffre.

                                                          HEISS.

                       ------

On raconte que Alcuin faisait compter jusqu' dix mille, avec les dix
doigts.

Il vaut mieux compter de tte, en se rappelant que le calcul mental
commence par la gauche, c'est--dire par les units les plus fortes.

                       ------

Voici une boutade d'un anonyme sur les chiffres:

Le nombre, rduit  la condition de chiffre, a cess d'tre l'_Ordre_
et a perdu sa vertu surnaturelle.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quand l'huissier griffonne ses sommations, la blanchisseuse ses
mmoires, l'picier ses factures, quand le traiteur enfle l'addition
de ses menus, ce sont des chiffres que je vois tomber de toutes parts;
je relve le front et regarde les cieux, ce sont les nombres que j'y
vois resplendir.

                                                      NEMZETSEG.

                                          

NUMROTAGE

Ces signes + et - n me rappellent ces poteaux qui indiquent au piton
la route qu'il doit suivre; et, si j'en crois mes jambes, une lieue 
droite est aussi longue qu'une lieue  gauche.

Dans les villes, ces poteaux sont remplacs par des plaques o sont
inscrits les noms des rues et les numros des maisons.  Paris, par
exemple, lorsqu'on va de la Bastille  la Madeleine, on rencontre
successivement sur les boulevards: la rue du Temple  gauche en mme
temps que la rue du Faubourg-du-Temple  droite, puis les rues
Saint-Martin et du Faubourg-Saint-Martin, etc.

Eh bien! l'algbre donne  la Ville de Paris un moyen bien simple de
supprimer ce nom de faubourg qui ne saurait convenir  de belles rues
qui ne sont pas au-del de son enceinte. Pour cela, il suffit de
donner, par exemple, le signe + aux numros de la rue Montmartre, et
le signe- ceux de la rue dite Faubourg-Montmartre. La chose une fois
convenue, on pourra effacer le mot faubourg sans le moindre
inconvnient.

                                                        REDOULY.

                       ------

En chronologie, on considre comme positives les dates postrieures 
Jsus-Christ et comme ngatives celles qui sont antrieures.

                                          

LE POSTULATUM

Le postulatum des parallles fait, depuis tant de sicles, le scandale
de la gomtrie et le dsespoir des gomtres.

                                                     D'ALEMBERT.

                       ------

Au commencement de ce sicle, Lobatschewski et Bolyai ont enfin tabli
l'impossibilit de la dmonstration du postulatum d'Euclide.

                       ------

Autre aspect de la question:

Les lignes parallles peuvent tre considres selon deux notions
diffrentes: l'une ngative et l'autre positive. La ngative est de ne
se rencontrer jamais, quoique prolonges  l'infini. La positive est
d'tre toujours galement distantes l'une de l'autre.

On a ainsi essay de faire la thorie des parallles en les
dfinissant par l'quidistance: la difficult ne serait que dplace.

                                          

DSORIENT

Un lve commenait une dmonstration du premier livre de gomtrie en
disant: je prends le milieu de la droite AB..., lorsqu'il fut
interrompu par cette objection: Vous n'tes pas cens savoir prendre
le milieu d'une droite, c'est une construction du second livre.

                                          

SYSTMES DE NUMRATION

Le systme dcimal est adopt par tous les hommes,  cause des dix
doigts de la main.

Leibniz admirait beaucoup le systme binaire.

Il a t publi une arithmtique ttractique, c'est--dire  base
quatre.

Le Prote d'Homre comptait par cinq les phoques qu'il conduisait.

Huit a eu des partisans, mais c'est douze qui a le plus lutt contre
dix: on a fait justement remarquer les nombreux facteurs de douze,
mais Lagrange a rpliqu plaisamment que si l'on prenait la base onze
et en gnral un nombre premier, toutes les fractions auraient le mme
dnominateur!

                       ------

Auguste Comte remarque qu'on pourrait, pour compter, tirer meilleur
parti des doigts diviss en phalanges et il compare le pouce et les
autres doigts au caporal commandant ses quatre hommes.

                       ------

Une arithmtique, dont l'chelle aurait eu le nombre douze pour
racine, aurait t bien plus commode, les plus grands nombres auraient
occup moins de place, et en mme temps les fractions auraient t
plus rondes; les hommes ont si bien senti cette vrit, qu'aprs avoir
adopt l'arithmtique dennaire, ils ne laissent pas de se servir de
l'chelle duodnaire; on compte souvent par douzaines, par douzaines
de douzaines ou grosses; le pied est dans l'chelle duodnaire la
troisime puissance de la ligne, le pouce la seconde puissance.
L'anne se divise en douze mois, le jour en douze heures, le zodiaque
en douze signes, le sou en douze deniers: toutes les plus petites
mesures affectent le nombre douze, parce qu'on peut le diviser par
deux, par trois, par quatre et par six...

                                                         BUFFON.

                       ------

On a des exemples d'animaux qui, attachs  une meule,  un
tourne-broche,  une corde de puits, etc., apprennent  calculer leur
tche avec la dernire prcision. Ces animaux n'ont aucun systme de
numration, comment donc savent-ils compter?

                                                       PROUDHON.

                                          

UN IRRGULIER

Que faisiez-vous dans l'alle des soupirs?

--Une assez triste figure.

--Au sortir de l vous battiez le pav.

--D'accord.

--Vous donniez des leons de mathmatiques.

--Sans en savoir un mot. N'est-ce pas l que vous voulez en venir?

--Justement.

--J'apprenais en montrant aux autres et j'ai fait quelques bons
lves.

                                                        DIDEROT.

                       ------

Le paradoxal crivain affirme ailleurs qu'il est plus facile
d'apprendre la gomtrie que d'apprendre  lire.

On trouve dans ses oeuvres compltes cinq mmoires de mathmatiques.

                                          

GOSME

_Il me disait:_ Quand vous aurez trouv une nouvelle vrit
mathmatique ou la solution d'une question importante, gardez-vous
d'en simplifier l'exposition. Prsentez-la, au contraire, avec toute
sa complication originelle. Vos contemporains apprcieront d'autant
mieux votre dcouverte qu'ils auront plus de peine  la bien saisir.
Il est vrai que l'avenir lui restituera toujours sa vritable valeur;
mais la belle avance, si ceux avec lesquels vous devez vivre, tromps
par l'imprudente simplification que vous serez parvenu  lui donner,
l'accueillent comme une niaiserie! N'imitez donc ni Lagrange, ni
Poinsot, suivez plutt l'exemple de Laplace et celui de Poisson, dont
la lucidit n'atteignait toute sa perfection que lorsqu'ils exposaient
les travaux des autres...

... C'est une vritable duperie que de se livrer  des travaux
toujours trs pnibles et trs difficiles de concentration et de
simplification. Si leur publication a pour effet d'acclrer
notablement l'oeuvre scientifique d'une poque, c'est toujours au
dtriment de l'auteur qui semble d'autant moins profond mathmaticien
qu'on le lit plus facilement.

                                                           LAM.

                       ------

En d'autres termes: plus on est obscur, plus on parat savant.

                                          

UN NOUVEL ENSEIGNEMENT

Tous les hommes apportent en naissant la facult des mathmatiques.
Elle se dveloppe chez quelques-uns et s'atrophie, chez la plupart,
par dfaut d'exercice et d'enseignement. Le but de cette facult est
la dcouverte successive des lois qui rgissent le monde.

Cela pos, cherchons quel mode d'enseignement peut accrotre le nombre
de gomtres _inventeurs_, les diriger vers le but signal, et cela le
plus promptement possible...

Le nouvel enseignement doit essentiellement satisfaire aux deux
conditions suivantes:

1 _carter  tout jamais la division de la science en Mathmatiques
pures et en Mathmatiques appliques._

La premire classe n'existe plus aujourd'hui. L'arithmtique est
minemment pratique; la thorie des nombres elle-mme retrouve ses
plus beaux thormes dans l'tude des vibrations. La Gomtrie et la
Mcanique sont deux branches de la Physique mathmatique qui tudient
deux proprits distinctes de la matire, l'tendue et le mouvement.
L'Algbre, le Calcul diffrentiel, ne sont que les instruments
analytiques, indispensables, insparables, de toutes les thories
physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus gnrales des
phnomnes qu'on tudie. Le Calcul intgral, trait isolment, est un
non-sens, car chacun de ses progrs a son origine naturelle dans une
application.

2 _Prsenter toutes les parties de chaque science  l'aide de leurs
propres mthodes d'invention, en se gardant soigneusement de ne parler
que des mthodes d'aprs-coup ou de pure vrification, dites plus
rigoureuses, mais compltement striles._

Il ne saurait exister de mthode gnrale pour inventer. Chaque
dcouverte a la sienne, qui lui est propre et mme exclusive. Le seul
moyen d'exercer l'esprit de recherche consiste  retracer toutes les
dcouvertes dj connues, telles qu'elles ont t faites. La
multiplicit de ces exemples peut seule veiller la facult d'en
accrotre le nombre. Et si, dans la srie des mthodes d'invention,
l'Analyse et la Gomtrie agissent, tantt runies, tantt isoles, il
faut conserver religieusement cet ordre naturel.

                                                           LAM.

                       ------

C'est en vain qu'on espre un grand profit dans les sciences en
greffant toujours sur le vieux tronc que l'on surcharge; il faut tout
renouveler, jusqu'aux plus profondes racines,  moins que l'on ne
veuille toujours tourner dans le mme cercle, avec un progrs sans
importance et presque digne de mpris.

                                                          BACON.

                       ------

Tout ce qu'on peut esprer des bases actuelles a t ressass, et l'on
tombera toujours dans la mme ornire. Il faut refaire la science, la
placer sur un nouveau pidestal, en tirer toutes les consquences,
sauf  intercaler les anciens rsultats. On ne peut envisager une
thorie sous un nouveau point de vue, sans qu'il en dcoule une foule
de rsultats inattendus, et il serait  dsirer que ce ft un homme
nouveau, qui ft tranger au mouvement et au progrs des sciences et
n'en connt que les premiers lments, qui s'en occupt.

                                                        LAPLACE.

                                          

MATHMATIQUES DE ROBINSON

Nous soumettons  M. Tissandier, directeur du journal _La Nature_, une
ide qui lui sourira. Il a enseign avec succs la mcanique, la
physique et la chimie  l'aide d'expriences amusantes. Ne pourrait-il
pas, sans thorie abstraite, donner aussi un aperu des mathmatiques,
 l'aide de problmes faciles et piquants?

                                          

TROP SCRUPULEUX

Quelques savants semblent trouver banales et incompltes les
propositions et les dmonstrations habituelles. Ils ont un got
maladif pour le difficile, le rare, l'exceptionnel. Ils font penser 
un naturaliste qui n'tudierait que les monstres et  un casuiste qui
se chercherait toujours des pchs.

                                          

BALANCE FAUSSE

Chaque jour on pse trs exactement avec une balance fausse, en
procdant par la mthode des _doubles peses_, due  Borda; aucune
pese un peu prcise ne se fait autrement.

                                          

PHOTOGRAPHIES CLESTES

Les cartes clestes exigent un trs grand nombre de mesures prcises.
On se borne maintenant, grce aux frres Henry,  photographier le
ciel avec toutes ses toiles. Un congrs d'astronomes s'est runi 
l'Observatoire de Paris pour rgler tous les dtails de l'ingnieuse
opration.

Voir _La carte photographique du ciel_, par Ch. Trpied, dans les
n^{os} du 30 aot et du 15 septembre 1892 de la _Revue gnrale des
sciences_.

                                          

MESURE DE LA SIMPLICIT

Voici en gros comment M. Em. Lemoine procde  cette mesure qui semble
paradoxale.

La simplicit d'une _dmonstration_ dpend du nombre des syllogismes
par lesquels on dduit des vrits premires le thorme considr.

La simplicit d'une _construction_ dpend du nombre des constructions
lmentaires  l'aide desquelles on rsout le problme propos.

Ne pas considrer toujours une dmonstration et une construction comme
d'autant plus simples qu'elles s'expriment dans un langage plus
simple.

                                          

MOUVEMENT PERPTUEL

Supposons qu'une machine ait t mise en mouvement d'une manire
quelconque, et que les forces mouvantes viennent  disparatre. Alors
 cause des rsistances passives qu'on ne peut viter, la vitesse de
la machine ira en diminuant et finira par devenir nulle. Il est
chimrique de chercher  construire une machine qui puisse se passer
de moteur.

                                          

VRAI MAXIMUM

En mathmatiques, le maximum peut ne pas tre la plus grande de toutes
les valeurs et le minimum peut tre plus grand que le maximum: c'est
qu'on compare chaque valeur seulement aux valeurs infiniment voisines
de part et d'autre. Ainsi les mathmaticiens diront que le carr
inscrit dans un carr donn n'a pas de maximum et cependant il est
clair qu'il ne peut surpasser le carr primitif.

                                          

D'ABORD LA SPHRE

C'est par la sphre qu'il conviendrait, parat-il, de commencer la
gomtrie, parce que son tude est indpendante du postulatum
d'Euclide (?). De la gomtrie et de la trigonomtrie sphriques, on
dduirait ensuite la gomtrie et la trigonomtrie planes.

                                          

MOINS QUE RIEN

Cet homme possde moins que rien est une locution populaire, pour
dire qu'il a des dettes.--_Retirer_ 4 fois une _dette_ de 12 fr.
c'est _ajouter_ 4 fois 12 francs, ce qui correspond  (-12)  (-4) =
+ (12  4).--On a rappel aussi pour justifier la rgle moins par
moins que deux ngations valent une affirmation.

                                          

LOUPS

Dans un prochain avenir, le fantme des imaginaires aura disparu des
coles franaises, comme autrefois les loups furent chasss
d'Angleterre.

                                                   J.-F. BONNEL.

                       ------

L'imaginaire tend  absorber le rel, de mme que le gnral comprend
le particulier. Peut tre faudrait-il changer des dnominations
troites et vieillies?

                                          

SERRURIER

La collection des thormes peut-tre compare  une sorte de
trousseau de clefs que l'on essaye aux serrures _ secret_ des
problmes, mais un habile serrurier n'essaye que quelques-unes des
clefs.

                                          

ERRATUM

M. Poincar vient de dmontrer que les sries servant  calculer les
perturbations, en Mcanique cleste, sont divergentes, quoique leurs
premiers termes forment des suites convergentes. Ces sries permettent
bien de prvoir les mouvements et les positions des astres, plusieurs
annes  l'avance, mais elles n'assurent plus la stabilit indfinie
du systme du monde. (Voir _Les Mthodes nouvelles de la Mcanique
cleste_.)

                                          

PROCD SINGULIER

Pour trouver le rapport de la circonfrence au diamtre, tracez des
parallles quidistantes, prenez une aiguille cylindrique de longueur
moindre que l'quidistance des parallles et jetez-la, au hasard, _un
grand nombre de fois_, sur les parallles. Comptez combien de fois
l'aiguille rencontre l'une quelconque des parallles et multipliez le
rapport de ce nombre au nombre total des jets par le double du rapport
de la longueur de l'aiguille  l'quidistance des parallles.

                                          

RFORMONS

coutez: Jeunes lves, on vous trompe!

La meilleure sphre n'est pas la sphre d'Archimde!

Disons plus et disons mieux: il n'y a pas de sphre, il n'y a que
l'quidomode!

C'est--dire que la sphre n'a pas droit  une existence indpendante,
elle n'est que le corollaire de l'quidomode.

L'quidomode est le gnrateur polygonal de la sphre.

crivons et mditons ceci:

quidomode : sphre :: prisme : cylindre.

                                                        L. HUGO.

                       ------

L'auteur appelle quidomode un cristallode dont les onglets sont
concaves vers l'axe.

                                          

CALCUL INFAILLIBLE

Nos calculs n'ont pas tant besoin que l'on pense d'tre clairs; ils
portent avec eux une lumire propre et c'est d'ordinaire de leur sein
mme que sort toute celle que l'on prtend rpandre sur eux.... Ce
n'est pas le calcul qui nous trompe, quand il est bien fait; il n'a
pas besoin d'tre appuy par des raisonnements; mais, d'ordinaire, ce
sont les raisonnements qui nous trompent, et qui ne doivent nous
dterminer qu'autant qu'ils sont appuys par le calcul.

                                                         SAURIN.

                       ------

Le calcul est un raisonnement abrg et il ne vaut que par le
raisonnement qu'il condense.

                                          

CIT MODLE

Savez-vous pourquoi Platon exige que sa ville idale se compose de
cinq mille quarante citoyens libres, ni plus ni moins? C'est que cet
heureux nombre est exactement divisible par les dix premiers nombres!

                                          

PERRUQUIERS

Grce  une ingnieuse prparation des formules et  un systme de
vrification rciproque des calculs, de Prony est parvenu  faire
excuter, par des hommes fonctionnant comme des machines, les
magnifiques tables de logarithmes du cadastre. Il put employer,
dit-on,  ce travail peu rcratif les garons perruquiers que la
suppression de la poudre et des queues avait laisss sans ouvrage,
dans le cours de la Rvolution.

                                                W. DE FONVIELLE.

                                          

MESURES SUBTILES

Buffon dit dans la prface de son Arithmtique morale: La mesure des
choses incertaines fait ici mon objet: je vais tcher de donner
quelques rgles pour estimer les rapports de vraisemblance, les degrs
de probabilit, le poids des tmoignages, l'influence des hasards,
l'inconvnient des risques, et juger en mme temps la valeur relle de
nos craintes et de nos esprances.

                                          

VUE DIRECTE

L'esprit de calcul mousse toujours le gnie: or, c'est le gnie qui
fait les vritables dcouvertes; le calcul,  la vrit, facilite les
choses, aide  dvelopper,  tendre,  puiser ce que l'on a dj
trouv; mais il y a beaucoup de mcanique  tout cela, et pour ce qui
s'appelle dcouvrir, il faut voir, pntrer, ce qui est l'affaire du
gnie.

                                                   LE P. CASTEL.

                                          

ALLGORIE

On peut comparer le calcul dans la Gomtrie, aux troupes auxiliaires
dans les Armes romaines. Tant que ces troupes ne furent
qu'auxiliaires et le tiers tout au plus d'une Lgion, Rome s'agrandit
et conquit l'Univers. Mais la Paresse gagna les Lgions avec les
richesses des Nations. On dposa donc le casque, la cuirasse et le
courage; et les troupes trangres et barbares, les Huns, les Goths,
les Visigoths, les Arabes sous le nom d'Auxiliaires, gagnrent les
Armes, les remplirent, les anantirent, et, le tiers, devenant le
tout, le tout fut rduit  rien et il n'y eut plus d'Empire romain.

C'est le train que prend la Gomtrie, depuis qu'elle est
mtamorphose en calcul arabe et presque ostrogoth et que le tiers y
est devenu aussi le tout. La tte presque dlivre du soin de penser,
devient paresseuse et l'esprit laisse aller les doigts: on se repose
de tout sur les formules.

                                                   LE P. CASTEL.

                                          

 TOUTES LES SOURCES

 l'Association Britannique pour l'Avancement des Sciences, en 1868,
il y eut un curieux dbat entre deux professeurs clbres.

Le naturaliste Huxley, suivant l'opinion traditionnelle, affirma que
la Science Mathmatique est seulement dductive et qu'elle n'emprunte
rien  l'observation, rien  l'exprience, rien  l'induction. Alors
le mathmaticien Sylvester rpliqua, avec vivacit et humour, que
l'Analyse mathmatique invoque constamment le secours de nouveaux
principes, d'ides nouvelles et de nouvelles mthodes; qu'elle fait un
appel incessant aux facults d'observation et de comparaison; que son
arme principale est l'induction; enfin qu'elle offre un champ illimit
 l'exercice des plus hauts efforts de l'imagination et de
l'invention.  l'appui de sa thse hardie, Sylvester cita l'exemple de
Lagrange, si profondment convaincu de l'importance, pour le
mathmaticien, de la facult d'observation; celui de Gauss appelant
les Mathmatiques la science de l'oeil; celui de Riemann considrant
l'espace, non comme une forme de l'entendement, mais comme une
ralit physique objective. Il dit avoir trouv lui-mme jusque dans
ses conceptions les plus abstraites, un fond gomtrique et finit par
conclure que la plupart, sinon la totalit, des grandes ides
mathmatiques, ont leur origine dans l'observation.

                                          

PARTAGE

Un chasseur, riche et affam, rencontre deux bergers; l'un avait
_cinq_ fromages et l'autre _trois_ qu'ils allaient manger. Le chasseur
djeune avec les bergers puis il leur donne _huit_ pices d'or, pour
payer les _huit_ fromages. Il s'agit de partager cet or inattendu.

Le premier berger dit qu'il prendrait _cinq_ pices et laisserait les
_trois_ autres  son camarade.--Ce dernier rpliqua qu'il fallait
d'abord partager galement les pices, quatre  chacun, et que, lui,
il rembourserait le prix d'un fromage.--L'instituteur dut les mettre
d'accord: Vous avez partag chaque fromage en trois parts gales, et
vous avez mang, le chasseur et vous, chacun huit parts. Vous, le
premier berger qui aviez cinq fromages ou quinze parts, vous en avez
cd sept au chasseur. Vous, le second berger, qui n'aviez que trois
fromages ou neuf parts, vous n'avez pu qu'en donner une au chasseur.
Le premier de vous a donc gagn _sept_ pices d'or et le second _une_
seule.--Qu'aurait fait le juge de La Fontaine? Il se serait fait
d'abord remettre les huit pices; il en aurait cd une au greffier
qui aurait pay les fromages aux bergers et gard la monnaie. Quant 
lui, le juge, il se serait pay avec les sept autres pices d'or.

                                          

SIMULTANMENT

J'ai abandonn la distinction d'usage entre la gomtrie plane et la
gomtrie dans l'espace. Outre qu'elle n'est pas dans la ralit des
choses, puisque la nature ne nous offre que des figures dans l'espace,
elle met un long intervalle entre la thorie de la ligne droite et
celle du plan, dont chacune cependant est ncessaire  la parfaite
intelligence de l'autre; elle ncessite mme une interruption dans
l'tude de la ligne droite. Enfin, elle est encore plus nuisible dans
l'enseignement professionnel, car la pratique des arts rclame bien
plus la connaissance des principales combinaisons de droites et de
plans, que celle de propositions thoriques comme les proprits des
scantes du cercle. Ces inconvnients m'ont paru surpasser de beaucoup
les avantages que cette mthode peut avoir comme artifice didactique;
si elle divise et aplanit un peu les premires difficults de la
Gomtrie, on ne peut nier qu'elle soit pour beaucoup dans la lenteur
que mettent les lves  acqurir la facult de _lire dans l'espace_.

                                                       C. MRAY.

                                          

PARAPLUIES

Un marchand de parapluies, de la Xaintrie (Corrze), meurt en
laissant trois fils et un testament ainsi conu: Je lgue 17
parapluies  mes trois fils et je stipule que l'an en aura la
moiti, le second le tiers et le troisime le neuvime.--Grand
embarras des fils qui ne savent comment rduire des parapluies en
fractions. On s'en rapporte au notaire qui, aussi malin que Salomon,
commence par emprunter un 18e parapluie, puis effectue ainsi le
partage: l'an reoit la moiti de 18, soit 9 parapluies; le second
le tiers, soit 6; le troisime le neuvime, soit 2; total 17.
L'opration faite, le notaire rend le parapluie qu'il avait emprunt
et les hritiers ont la satisfaction d'avoir reu plus qu'il ne leur
revenait.

                                          

SERPENT D'GLISE

La vrit d'une proposition est absolument indpendante du trac de la
figure. Ce n'est jamais  cette figure, bien ou mal excute, que
s'applique le raisonnement ou la dmonstration, mais toujours au
contraire  la figure idale dont le trac est et ne peut tre qu'une
reprsentation grossire, propre  aider l'intelligence et  soulager
la mmoire... L'un de mes principaux soins dans mes leons, c'est
d'viter cette erreur  mes lves... Je repousse comme une peste, les
rgles, les querres, les compas et je trace des figures trs informes
et en pleine contradiction avec l'nonc. Je fais des lignes droites
grosses de toute la largeur de la craie et droites comme un serpent
d'glise.

                                                      DELEZENNE.

                       ------

Ne pas suivre ce mauvais exemple.

                                          

LIGNES DE L'QUERRE

Un jour, Delezenne, professeur  Lille, montrant une querre  ses
lves, leur demanda combien de lignes elle offrait. Les rponses se
croisrent: trois, six, neuf. Faidherbe, le futur gnral, trouva
qu'en ajoutant aux neuf lignes de l'querre, considre comme un
volume, les deux circonfrences du trou, on obtenait onze lignes.
C'tait la rponse que le professeur attendait et il augura bien de
l'avenir scientifique du jeune Faidherbe.

                                          

IRRATIONNEL

Je ne connais rien de plus insupportable en mathmatiques que les
nombres irrationnels; leur introduction en arithmtique est un
vritable scandale; dans ce domaine si lmentaire,  ct de cette
notion du nombre entier qui est la plus claire du monde,  ct de ces
propositions si prcises, de ces dmonstrations si nettes que les plus
grands mathmaticiens ont pris  coeur d'accrotre et de simplifier,
et qui ont toute la beaut, toute la perfection de celles que les
Grecs nous ont lgues, voici venir tout le cortge du transcendant et
de l'infini. C'est l, non ailleurs, que sont condenses toutes les
difficults des ides de limite, de convergence, de continuit. Que
faire pourtant si l'on veut seulement crire [[V]2] + [[V]3]? Nous
n'y pouvons rien, et c'est en vain qu'on se rvoltera: cette ide de
l'infini est dans la ncessit des choses; on la rduira si l'on veut
 ses termes les plus simples,  dire qu'aprs un nombre entier il y
en a un autre, on ne s'en dbarrassera pas, pas plus en Arithmtique
qu'ailleurs.

 vrai dire, la sagesse est de reconnatre les difficults l o elles
sont, et l'honntet dans l'enseignement ne consiste pas  dire tantt
_on verra plus tard_, tantt _on a dj vu_, sans jamais rien
montrer.....  chaque longueur est attach un nombre rationnel ou non;
 chaque nombre rationnel ou non, une longueur est attache: cette
longueur sert  dfinir l'galit, comme l'addition et la
soustraction: d'ailleurs, on montre comment on peut se passer de cette
considration concrte, au moyen d'oprations arithmtiques effectues
sur des nombres rationnels, et poursuivies jusqu' l'infini.

                                                     J. TANNERY.




OBJECTIONS


MOYEU DE LA ROUE

Mairan, successeur de Fontenelle comme secrtaire de l'Acadmie des
Sciences, eut, nous l'avons dj dit, une discussion avec Madame du
Chtelet sur les forces vives et ce fut Madame de Geoffrin qui le
calma: Que pensera-t-on de vous, si vous tirez l'pe contre un
ventail? Nous lisons dans un loge de cet estimable savant quelques
lignes sur un vieux paradoxe:

On savait bien qu'un cercle qui avance en ligne droite sur un plan, et
qui tourne en mme temps autour de son centre, dcrit sur ce plan une
ligne droite gale  sa circonfrence. Lorsque ce cercle emporte avec
lui un plus petit cercle qui lui est concentrique, et qui n'a pas
d'autre mouvement que celui qu'il emprunte au premier (ce qu'on voit
dans une roue de carrosse, qui emporte son moyeu), celui-ci dcrira
une ligne droite gale non  sa circonfrence, mais  celle de la
roue, puisque c'est le mme centre qui avance en ligne droite, dans
l'un et l'autre cas. Mais comment concevoir que la petite roue,
quoique plus petite, puisse parcourir autant de chemin que la grande?
Aristote avait senti cette difficult sans la rsoudre; Galile...
l'avait tent en vain; elle va s'vanouir devant le gnie de Mairan.
Il dmontrera que la petite roue a un autre mouvement que le
roulement, le mouvement de glissement ou de razion; mouvement qui ne
doit point paratre puisqu'il est ml avec le roulement _per intim_,
et qu'il l'affecte  chaque instant infiniment petit. Ainsi, Mairan
parvint  rsoudre ce problme qui avait paru insoluble  Aristote et
 tous les savants.

                                          

MOINS PAR MOINS

Il ne faudra plus dire que _moins par moins_ donne _plus_, fausse
rgle qui a toujours choqu l'oreille et la raison, mis en droute les
plus fameux calculateurs, occasionn des contestations et des disputes
interminables sur les quantits ngatives, les racines imaginaires, le
cas irrductible, les exposants et les logarithmes ngatifs, etc.

                                                          PORRO.

                       ------

L'oreille est peut-tre choque, mais non la raison, puisqu'on
constate le fait, dans la multiplication algbrique.

                                          

OBJECTION

Dans la proportion -1/1 = 1/-1, le premier terme est plus petit que le
second, tandis que le troisime est plus grand que le quatrime, ce
qui est contradictoire.

                                                     D'ALEMBERT.

                       ------

On peut tirer de la proportion prcdente

  [[V]-1]/[[V]1] = [[V]1]/[[V]-1]

d'o

  ([[V]-1])^{2} = ([[V]1])^{2}

  -1 = 1.

Un nombre positif gal  un nombre ngatif! Continuons et ajoutons 2
aux deux membres

  -1 + 2 = 1 + 2

ou enfin

  1 = 3.

Conclusion visiblement fausse.

Variante: Partons de

  4 - 10 = 9 - 15

Nous en concluons

  (2 - 5/2)^{2} = (3 - 5/2)^{2}

donc

  2 = 3!

                                          

IMAGINAIRE GAL AU REL

D'aprs les rgles ordinaires du calcul, on aurait

  [[4V]_a_][[V]-1] = [[4V]_a_][[4V](-1)^{2}] = [[4V]_a_],

rsultat contradictoire, puisque, si _a_ est positif, le premier
membre est imaginaire et le second rel.

                                          

TOUS LES NOMBRES SONT GAUX

Posons

  _a - b = c_,

multiplions les deux membres par _a - b_, il vient

  (_a - b_)(_a - b_) = _ca - cb_

  d'o    _a_(_a - b - c_) = _b_(_ a - b - c_)

  et enfin       _a = b_.

                                          

LE CAS IRRDUCTIBLE

On doit  Cardan (qui l'avait drobe  Tartaglia) une formule
exprimant les trois racines de l'quation du troisime degr, mais,
dans le cas o les trois racines sont relles, la formule, les
prsentant sous une forme complique d'imaginaires, n'est plus utile.

                                          

ASYMPTOTES

Je lui rpliquay lors que j'aimois mieulx suyvre les effects que la
raison. Or ce sont choses qui se chocquent souvent: et l'on ma dict
qu'en la gomtrie (qui pense avoir gaign le hault poinct de
certitude parmi les sciences), il se trouve des dmonstrations
invitables, subvertissant la vrit de l'exprience: comme Jacques
Peletier me disoit chez moy, qu'il avoit trouv deux lignes
s'acheminant l'une vers l'autre pour se joindre, qu'il vrifioit
toutesfois ne pouvoir jamais, jusques  l'infinit, arriver  se
toucher.

                                                      MONTAIGNE.

                       ------

Il n'y a aucun mystre dans l'existence des asymptotes.

                                          

DEMI-CIRCONFRENCE

Ayant divis le diamtre d'une demi-circonfrence en un certain nombre
de parties gales, et dcrit sur chacune des parties comme diamtre
une demi-circonfrence, il est facile de voir que la grande
demi-circonfrence est gale  la somme des autres. Cela est vrai,
quelque nombreuses que soient les divisions du diamtre, et par
suite vrai encore  la limite, lorsque la somme des petites
demi-circonfrences s'est rduite au diamtre de la demi-circonfrence
primitive.--Donc toute demi-circonfrence est gale  son diamtre.

Paradoxe analogue suivant lequel un ct d'un triangle serait gal 
la somme des deux autres.

L'explication consiste en ce que la limite d'un nombre _infini_ de
parties peut ne pas tre gale  la somme des limites. Ainsi, divisez
un rectangle en petits rectangles gaux trs minces dont vous
augmenterez indfiniment le nombre, alors chaque rectangle tendra vers
zro et pourtant leur somme ne sera pas nulle, puisqu'elle gale
toujours le rectangle total.

                                          

SRIE TRANGE

Posons

  _x_ = 1 - 1 + 1 - 1 + .....

Il vient successivement

  _x_ = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + .....) = 1 - _x_

d'o

  2_x_ = 1

  _x_ = 1/2

Ainsi, en additionnant ou en soustrayant des nombres entiers, on
obtiendrait une fraction.

La faute provient de ce que la srie n'est pas convergente; la somme
des termes est alternativement 1, 0, 1, 0, etc.

                                          

TORTUE D'ACHILLE

Le sophiste Znon prouvait ainsi qu'Achille ne rattrapera jamais la
tortue, qui a une lieue d'avance, quoiqu'il marche dix fois plus vite:
lorsqu'Achille a fait la premire lieue, la tortue a fait 1/10 de
lieue et garde ainsi une avance de 1/10 de lieue; lorsqu'Achille fait
ce 1/10 de lieue, la tortue fait un 1/10 de ce dixime de lieue et
garde ainsi une avance de un centime de lieue; lorsqu'Achille fait ce
centime de lieue, la tortue fait 1/10 de ce centime et garde ainsi
une avance de un millime de lieue, etc., indfiniment. La tortue ne
sera jamais atteinte, puisqu'elle aura toujours une avance gale au
dixime du chemin qu'aura parcouru Achille.

Quiconque connat la limite de la somme des termes d'une progression
gomtrique dcroissante voit le vice de ce singulier raisonnement.

Consulter le mmoire de M. Brochard sur les arguments de Znon contre
le mouvement. Outre l'Achille, il y en a trois autres: la Dichotomie,
la Flche, et enfin le Stade.

Voir aussi l'tude de M. Frontera sur le mme sujet.

                                          

DIMINUER EN MULTIPLIANT

Tous les arithmticiens dclarent qu'en multipliant un nombre par une
fraction proprement dite on le diminue.

M. Berdell propose de remplacer les mots multiplier et multiplication
par les mots _prorater_ et _proratation_.

                                          

L'HEURE EN EUROPE

La France a conserv, jusqu' nouvel ordre, son heure nationale,
d'aprs le mridien de Paris. Les autres nations europennes viennent
d'adopter le systme amricain des fuseaux, d'aprs lequel il y a, 
partir de Greenwich, trois zones d'heure, celles de l'ouest, du centre
et de l'est. Par suite, en passant maintenant de France en Suisse,
l'heure avance brusquement de 50 minutes 30 secondes.

Un Franais allant  Constantinople a le plaisir de changer trois fois
d'heure. Il parat vieillir par soubresauts. La vitesse de
l'_Express-Orient_ est surpasse dans le cas suivant, o le paradoxe
s'aiguise  outrance.

                       ------

Sans tlgraphe ni chemin de fer, Alexandre Dumas fils voyage trs
vite:

Si avec une voiture  deux chevaux je vais de Paris  Saint-Cloud en
une demi-heure, avec quatre chevaux j'y serai en un quart d'heure,
avec huit chevaux j'y serai tout de suite, avec seize chevaux me voil
revenu avant d'tre arriv et mme avant d'tre parti.

                                          

ANTIPODES

Jamais vous ne persuaderez  un ignorant que d'autres hommes marchent
les pieds et la tte opposs  ses propres pieds et  sa propre tte.
Le pote Lucrce, quoique sans prjugs, affirme que la doctrine des
antipodes est une folie.

                                          

JOUR PERDU OU GAGN

Voici quelques dtails sur l'erreur de date que commirent  leur
retour les premiers navigateurs qui firent le tour du monde. Le
Portugais Magellan, parti le 20 septembre 1519, traversa l'Atlantique,
rencontra la cte orientale de l'Amrique, dcouvrit au sud de ce
continent le dtroit qui porte son nom, aborda aux les Philippines,
et fut tu dans l'une d'elles, l'le Zbu, par les naturels.
L'expdition fut continue par l'un de ses compagnons, Sbastien del
Cano, qui ramena les matelots par le cap de Bonne-Esprance.  leur
retour en Europe, le livre de bord marquait le 5 septembre 1522, et
cependant la vritable date tait le 6 septembre. C'est que les
navigateurs, ayant fait le tour de la terre vers l'ouest, c'est--dire
en sens contraire de la rotation du globe, avaient accompli une
rvolution de moins autour de la ligne des ples que s'ils taient
rests en place; ils avaient vu un lever et un coucher de soleil de
moins. De mme les voyageurs qui font le tour du monde vers l'est
tournent une fois de plus qu'un point fixe du globe autour de l'axe
terrestre, et comptent un jour de plus.

Pour viter les erreurs de ce genre, il est de rgle dans la
navigation d'avancer ou de retarder la date d'un jour lorsqu'on
franchit le 180e degr de longitude vers l'ouest ou vers l'est: le
mridien qui rpond  cette longitude s'appelle _ligne de
dmarcation_.

                       ------

On lit dans _Le tour du monde en 80 jours_, de Jules Verne:

Philas Fogg avait sans s'en douter gagn un jour sur son
itinraire,--et cela uniquement parce qu'il avait fait le tour du
monde en allant vers l'_Est_, et il et au contraire perdu ce jour en
allant en sens inverse, soit vers l'_Ouest_.

En effet, en marchant vers l'Est, Philas Fogg allait au-devant du
soleil, et, par consquent, les jours diminuaient pour lui d'autant de
fois quatre minutes qu'il franchissait de degrs dans cette direction.
Or on compte trois cent soixante degrs sur la circonfrence
terrestre, et ces trois cent soixante degrs multiplis par quatre
minutes, donnent prcisment vingt-quatre heures,--c'est--dire ce
jour inconsciemment gagn. En d'autres termes, pendant que Philas
Fogg, en marchant vers l'est, voyait le soleil passer _quatre-vingts
fois_ au mridien, ses collgues rests  Londres ne le voyaient
passer que _soixante-dix-neuf_ fois. C'est pourquoi, ce jour-l mme,
qui tait le samedi et non le dimanche, comme le croyait M. Fogg,
ceux-ci l'attendaient dans le salon de Reform-Club.

                                          

CONTOURS TROMPEURS

Des gographes ont t repris par les gomtres, pour avoir cru que la
dimension des les tait suffisamment indique par le circuit de la
navigation. En effet, plus une forme est parfaite, plus elle a de
capacit. Si donc le contour figure une circonfrence, qui est la
courbe plane la plus parfaite, elle embrassera un plus grand espace,
que si elle trace un carr d'gale longueur;  son tour le carr en
renfermera plus que le triangle, et le triangle  cts gaux, plus
que le triangle  cts ingaux.

                                                     QUINTILIEN.

                                          

SOPHISMES SIMPLES

1 _Le tas de bl:_ un grain de bl ajout  un autre grain de bl ne
fait pas un tas; un autre grain ajout ne le fait pas non plus, et
ainsi de suite; donc on ne fera jamais un tas de bl avec des grains
de bl.

2 _Le chauve:_ en tant un cheveu  une tte garnie de cheveux, on ne
rend pas un homme chauve; en en tant deux, trois, pas davantage; donc
on peut lui ter tous les cheveux de la tte sans le rendre chauve.

                                          

COLOMBE

Les corps lancs de haut en bas, tandis que la terre tourne et
s'loigne, ne devraient pas retomber au point d'o ils sont partis.

Cette objection des ignorants en mcanique a t potise par Buchanan
dans son pome sur _La Sphre_: La tourterelle n'oserait quitter son
nid et s'lever dans l'air dans la crainte de ne plus revoir ses
petits.

                                          

MOUVEMENT SINGULIER

On tablit, trs simplement et trs exactement, que dans l'hypothse
de l'attraction inversement proportionnelle au cube de la distance, un
mobile dcrirait une spirale logarithmique: Bien que le mobile
dcrive une infinit de rvolutions autour du centre, le temps au bout
duquel il l'atteindra est fini. (Faye, Cours d'Astronomie. T. II,
page 120.)

On se fait difficilement une ide du temps _fini_, suffisant pour
accomplir un nombre _infini_ de rvolutions autour d'un centre.
D'ailleurs, rassurons-nous. Il s'agit d'un _point matriel_ parcourant
une trajectoire asymptotique  un point. Tout peut se passer aisment
dans le domaine de la thorie.




DESIDERATA


 DMONTRER

Fermat affirme, sans dmonstration, qu'au-dessus du carr, la somme
des puissances semblables de deux nombres n'est jamais la puissance
semblable d'un troisime nombre. La proposition est-elle vraie? Fermat
en possdait-il une dmonstration? Quoi qu'il en soit, les plus
habiles mathmaticiens n'ont pu dmontrer, d'une manire gnrale, le
_Thorme de Fermat_.

Il ne faut pas, bien entendu, confondre le thorme prcdent avec un
autre du mme savant, qu'on tablit dans les Cours.

                                          

NOMBRE DE PLATON

Ce nombre mystrieux, sur lequel les traducteurs et les commentateurs
sont loin d'tre d'accord, parat li  l'galit

  3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3},

analogue  celle de Pythagore

  3^{2} + 4^{2} = 5^{2}.

Il s'agirait d'une priode rglant les mariages et les naissances
(d'o le nom de nombre nuptial) ou de la grande anne au bout de
laquelle le soleil, la lune et les plantes reprennent les mmes
positions relatives dans le ciel.

Voici quelques-unes des valeurs proposes;

12960000; 1728; 8128; 216; 5040; 864; 7500; 2700; 760000. (Voir les
mmoires de M. J. Dupuis sur _Le nombre gomtrique de Platon_.)

                                          

UN GRAND NOMBRE

On lit dans une lettre au Pre Mersenne: Vous me demandez si le
nombre 100895598169 est premier ou non, et une mthode pour dcouvrir
dans l'espace d'un jour, s'il est premier ou compos.  cette
question, je rponds que ce nombre est compos et se fait du produit
de ces deux: 898423 et 112303 qui sont premiers. Je suis toujours, mon
rvrend Pre, votre trs humble et trs affectionn serviteur,
_Fermat_.

La question pourrait embarrasser nos contemporains, et on ignore la
mthode suivie par Fermat.

                       ------

Parlons d'un autre grand nombre. Lorsqu'on place bout  bout les
dominos, de faon que deux conscutifs quelconques se touchent par des
points quivalents, le dernier lment est toujours gal au premier.
Le problme de Reiss consiste  trouver le nombre de combinaisons,
lorsque la range se termine  un double indiqu. M. G. Tarry a rsolu
la question assez simplement, et il trouve jusqu'au double-huit, ce
nombre de combinaisons.

10.752.728.122.249.860.612.096.000

                                          

MOQUERIE

Quel est cet an quarante dont on se moque tant?

Pourquoi se moque-t-on aussi du tiers et du quart?

                                          

PRIHLIE

Le mouvement anormal du prihlie de Neptune attend encore une
explication. La loi de Newton n'a pas permis, jusqu' prsent, d'en
rendre compte.

Il en est de mme, depuis Clairaut, du mouvement du prige de la
lune. En deux sicles, la lune s'carte progressivement de la position
calcule, mais sans que la diffrence dpasse une seconde de temps.




LANGUE, LITTRATURE ET BEAUX-ARTS


GARGANTUA

En ce moyen entra en affection d'icelle science numrale, et touts les
jours aprs disner et souper y passait temps aussi plaisantement qu'il
soulait, en dez ou s chartes.  tant sceut d'icelle et thoricque et
practicque, que Tunstal Anglois, qui en avait amplement escript,
confessa que vrayement en comparaison de luy il n'y entendoit que le
hault Alemant.

                                                       RABELAIS.

                                          

INCOMMENSURABLE

Beaucoup de personnes voulant parler d'un trs grand nombre disent un
nombre incommensurable. La locution est mauvaise, puisqu'il y a des
nombres incommensurables petits et grands, ainsi [[V]2] vaut
1,4142..., et [pi] vaut 3,141592..., etc.

                                          

LES INCONNUES

Les anciens Indiens dsignaient toutes les inconnues par la mme
syllabe _ya_ (initiale du mot), mais diversement colore.

                                          

ESTHTIQUE

Le problme de l'esthtique des formes revient videmment  celui-ci:
quelles sont les lignes les plus agrables?

Mais d'abord qu'est-ce qu'une ligne?

Jamais nous n'avons vu de lignes; nos yeux ne connaissent que des
directions. Ce que nous appelons une ligne est la synthse de deux
sens parallles et contraires. La ralit, c'est la direction, ce sont
ce que les gomtres contemporains appellent des _demi-droites_. Je ne
vois pas de cercles mais je vois des cercles dcrits dans un sens ou
dans un autre, ce que l'on appelle des _cycles_. Par exemple, le
cercle eucliden, le cercle abstrait, peut avoir quatre tangentes
parallles entre elles; le cercle rel, le cycle, ne peut en avoir que
deux. Donner quatre tangentes parallles entre elles  un cercle,
c'est faire une figure dtestable, parce que cette figure oblige
l'oeil  changer deux fois de direction; donner deux tangentes au
cycle, c'est faire une figure agrable.

                                                       C. HENRY.

                       ------

Les nombres harmoniques sont ceux qui sont forms uniquement des
facteurs premiers 2, 3 et 5 et dont la formule est par suite 2^{_a_} 
3^{_b_}  5^{_c_}.

Nombres harmoniques: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20,
24, 25, 27, 30...

Nombres qui ne sont pas harmoniques: 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22,
23, 26, 28, 29, 31...

Tout est harmonie dans la nature, tout s'y rgle par des nombres
harmoniques. Exemples: cristallographie, acoustique, etc.

Telles sont les affirmations du vieil Euler, d'aprs l'ide vague de
la simplicit dans la nature. Helmholtz a rfut ces opinions quant 
la musique et, d'aprs un thoricien nouveau, Charles Henry, elles
sont aussi inexactes pour l'esthtique des formes.

 la conception primitive d'un ordre trs simple partout, succde peu
 peu celle d'un ordre plus savant et plus dlicat.

                                          

MESURE DE L'NE

Il parat que cette mesure est le kilomtre, auquel, tromps par une
faute d'orthographe, nous attribuons la signification de mille mtres.
Quant au kilomtre, disent MM. Brachet et Dussouchet, on peut hsiter
pour son tymologie entre mesure de l'ne (killos-metron) ou mesure du
foin (chilos-metron). Le vrai mot et t _chiliomtre_, mille
mtres.

                                          

ARGOT DES COLES

Deux camarades qui vivent et travaillent dans la mme salle sont deux
_binomes_.

Les lves de mathmatiques spciales s'appellent des _taupins_, sans
doute parce qu'ils sont presque tous myopes comme des taupes. En
premire anne, ils sont _bizuth_, puis ils deviennent _carrs_, et
quelquefois, hlas, _cubes_ et mme _bicarrs_.

Les candidats font, ensemble, aprs les examens de l'cole
polytechnique, une promenade  travers Paris. Cette longue file qui
serpente en chantant, c'est le joyeux _monome_!

Les lves de l'cole polytechnique sont des _x_, la tangente au ct.

Nous signalons ici avec plaisir un curieux livre illustr, _L'Argot de
l'X_, par Albert Lvy et G. Pinet.

                                          

TIRADE

  Gomtrie! algbre! arithmtique! Zone
  O l'invisible plan coupe le vague cne,
  O l'asymptote cherche, o l'hyperbole fuit;
  Cristallisation du prisme dans la nuit;
  Mer dont le polydre est l'affreux madrpore;
  Nue o l'univers en calculs s'vapore.
                                  VICTOR HUGO (_Toute la lyre._)

Nous ne donnons qu'un chantillon. Le discours continue hardi et
obscur...

                                          

PROFESSEUR DE TRIANGLE (MONOLOGUE)

Je suis professeur!--Professeur, de quoi?--De quoi? Je vous le donne
en mille... Eh bien, je suis professeur de triangle..., oui, de
triangle!

J'ai toujours ador le triangle; cela doit venir de ce que, en
nourrice, on m'avait fait un petit triangle avec des faveurs roses et
des grelots, pour m'amuser; je m'en souviens encore, comme si j'y
tais, de mon petit triangle.

Lorsque je commenais  marcher, je m'amusais  tracer des triangles
sur le sable. Plus tard au collge, lorsqu'on jouait aux billes, je ne
jouais jamais qu'au triangle. En gomtrie, je ne savais que ce qui
avait rapport aux triangles.

Ah! que de douces heures il m'a fait passer mon triangle, mon cher
triangle; grce  lui, je suis devenu chef de fanfare, chef
d'orchestre, etc., etc.

                                          

OEUF

Prenons un oeuf en nos mains. Cette forme elliptique, la plus
comprhensive, la plus belle, celle qui offre le moins de prise 
l'attaque extrieure... Les choses inorganiques n'affectent gure
cette forme parfaite.

                                                       MICHELET.

                       ------

Rien n'est rond dans la nature, except le globe de l'oeil... et,
encore, il n'est pas rond.

                                          

BUSES GRAVES

Tel est le titre d'une parodie des _Burgraves_, de Victor Hugo. On y
lit:

  Je possde zro, prenez-en la moiti.

                                          

STATUE PRIODIQUE

Un sculpteur doit faire la statue de Charlemagne, assis sur son trne,
couronne en tte, tenant d'une main le globe du monde, de l'autre le
sceptre surmont d'une rduction _exacte_ de la mme statue _avec tous
ses accessoires_.

L'artiste a consenti  n'tre pay que lorsqu'il aura compltement
termin le travail...

                                                       BERDELL.

                       ------

Le vrai symbole de l'infini, dit le mme auteur, c'est l'enseigne du
barbier factieux: Ici on rasera gratis demain.

                                          

PARURE

Qui le croirait? c'est par des lignes arides, c'est par l'austre
gomtrie que doit commencer l'tude de la parure. Cette jolie femme
est enferme  son insu dans un rseau de parallles, comme le serait
un oiseau dans sa cage, un invisible treillis de verticales et
d'horizontales emprisonne sa beaut mouvante et libre.

                                                  CHARLES BLANC.

                                          

COULEURS

On suppose le plan d'un territoire divis en autant de parcelles que
l'on voudra. Quel est le minimum de couleurs distinctes qu'il faudra
employer pour colorier ces parcelles, sans qu'aucune des parcelles
contigus ne possde la mme couleur?

Rponse: quatre.

Ainsi, avec quatre couleurs seulement, on peut colorier une carte
quelconque de France en dpartements ou en arrondissements, ou en
communes ou mme le plan cadastral de la France.

Les personnes auxquelles on pose cette question  brle-pourpoint ont
toujours quelque peine  concevoir que quatre couleurs seulement
puissent suffire.

                                          

RAISON SOCIALE

Ce nouveau venu tait une raison sociale. Nous nous amusions, en ce
temps,  crire  propos d'Erckmann-Chatrian et des frres de
Goncourt:

Les _deux_ romanciers peut-tre les plus remarquables de ce temps,
sont _quatre_.

                                                    J. CLARETIE.

                                          

PERDU!

Dans ses crits mathmatiques, Sylvester est parfois loquent. Son
style est fleuri. Ses mmoires sont frquemment coups de courtes
pices de posie, cites d'autrui ou de sa propre composition. Ainsi
dans son article dans _Nature_, janvier 1886, il y a un court pome
sur un terme perdu dans une famille de groupes de termes d'une
formule algbrique.

                                          

REBUFFADE

 propos des visites des candidats  l'Acadmie franaise, M. Jules
Simon raconte l'anecdote suivante:

Il y avait des rebuffades clbres. Celle entre autres d'un
acadmicien qui dit  un auteur dramatique: Je ne vais pas dans ces
thtres-l! Le pauvre auteur avait pourtant t jou  la Comdie
franaise. Je me rappelle mme, aprs soixante-trois ans, trois de ces
vers qui taient clbres  l'cole normale:

  lve distingu d'une clbre cole,
  Charle est ingnieur et dans tout ce qu'il dit
  De la polytechnique on reconnat l'esprit

                                          

CONTRADICTIONS

L'auteur d'un livre sur les vnements de 1870 raconte qu'il sortit
vers deux heures du matin de la Chambre aprs la sance de nuit du 4
septembre o fut prononce la dchance de l'Empire: Au bout du pont
de la Concorde, j'aperois M. Thiers pench  la portire de sa
voiture, il raconte Sedan.... et l-bas, dans le fond, derrire les
tours de Notre-Dame et derrire la flche de la Sainte-Chapelle,
derrire les clochetons du Palais-de-Justice, dans l'azur plein
d'toiles glisse doucement la lune.

Or le 4 septembre, ds 11 heures du soir, la lune se trouvait dans la
direction du Champ-de-Mars  l'oppos de la Sainte-Chapelle, rplique
un astronome.

Menu dtail, est-ce que les peintres se proccupent de placer comme il
faut les cornes de la lune?

Lamartine a dit: Vnus _se lve_  l'horizon...

Dans un roman: La lune,  son znith, annonait minuit.  son
znith! Puis, l'heure du passage de la lune au mridien varie chaque
jour.

Ces navets astronomiques ont t releves par des membres de la
Socit d'astronomie de M. Vinot.

                                          

CHEMINS

L'homme n'arrive jamais  une ide simple et vraie qu' force de
dtour; pour lui, la ligne courbe est le chemin qui conduit  la ligne
droite.

                                                       SAINTINE.

                                          

RGULIER

Pour moi,  ne consulter mme que mes yeux, je ne vois rien de si beau
qu'une figure qui seule renferme toutes les autres, qui n'a rien de
coup par des angles, rien qui aille de biais, rien de raboteux, point
d'ingalit, point de bosse, point de creux. Ainsi les deux figures
les plus estimes, savoir le globe parmi les solides, et le cercle
parmi les planes, sont les seules dont toutes les parties soient
semblables entre elles, et o le bas et le haut soient galement
loigns du centre. Que peut-on imaginer de plus juste?

                                                        CICRON.

                                          

ABRGEONS

Un professeur connu disait, pour abrger, _perpenculaire_ et on
l'appelait lui-mme le _pre pencu_. Un autre prononait _portionnel_
pour proportionnel. Un troisime rejetant paralllipipde et
paralllpipde prfrait _parlipde_; pourquoi pas _spath_, comme les
Allemands, d'aprs la cristallographie?

                                          

PROTESTATION

  S'il n'en est plus que mille, eh bien! j'en suis; si mme
  Ils ne sont plus que cent, je brave encor Scylla;
  S'il en demeure dix, je serai le dixime,
  Et s'il n'en reste qu'un, je serai celui-l!
                                 VICTOR HUGO (_Les Chtiments_).

                                          

CLAIR-OBSCUR

On sait ce que fut la rvolution cartsienne: le Nombre prenant
possession de la Gomtrie, acceptant l'hritage des Anciens, mais
sous bnfice d'inventaire et comme pour soumettre toutes les vrits
reues  ses vrifications; poussant ensuite au-del, avec nous,
tantt menant et infaillible, tantt men et n'oubliant rien derrire
soi; nous abandonnant, il est vrai, le choix de nos problmes, se
rservant, lui, pour les rsoudre: admirable gomtre qui, portant la
gomtrie  une impossible perfection, la supprimait du mme coup si,
capable comme il l'est de rpondre  toutes nos questions, il ne
devenait muet  la fin, se refusant  nous suppler davantage et nous
laissant l'interprtation de ses oracles. Ainsi fait le Nombre. Ce
qu'il sait le mieux, c'est encore son commencement. Toutes les
obscurits dont il nous dlivre, de prime abord, il nous les laisse
pour la fin, accumules en un mme point: quelquefois plus
transparentes, s'il s'agit d'une chose simple, ou dj connue, ou
seulement suppose; plus opaques d'autres fois et d'une densit telle
que, mme en connaissant d'avance ce que l'on cherche, on ne le
retrouve point.

                                                      P. SERRET.

                                          

PAN!

Nous jouons  compter, dit Charlotte, attention! Je commence de
droite  gauche: vous comptez! Chacun son chiffre!  mesure que le
tour lui vient, celui qui hsite ou qui se trompe, un soufflet! et
ainsi de suite jusqu' mille. C'tait amusant  voir. Elle parcourait
le cercle le bras tendu. Le premier dit: Un.--Deux, fit le
second.--Trois, poursuivit l'autre; et toujours ainsi. Mais bientt
elle commena d'aller plus vite: il y en eut un qui se trompa, pan! un
soufflet et tous de rire; le suivant aussi, pan! et toujours plus
vite...

                                                         GOETHE.

                                          

TOUT ET MOITI

  Je ne connais de biens que ceux que l'on partage.
  Coeurs dignes de sentir le prix de l'Amiti,
            Retenez cet ancien adage:
            Le tout ne vaut pas la moiti.
                                                        FLORIAN.

                                          

DIX-HUIT

En argot, un _dix-huit_, c'est un habit dgraiss, un chapeau retap,
etc. tymologie: dix-huit, c'est deux fois neuf.

                                          

BATAILLE OU RANON?

On lit, dans _Le Sige de Paris_, par le vicomte d'Arlincourt:

  Pour chasser de ces murs les farouches normands,
  Le roi Charles s'avance avec vingt mille francs.

                                          

VERS NOMBREUX

Un vers nombreux est un vers bien rythm, on dit des vers nombreux
lorsqu'il s'agit de beaucoup de vers, nous nous permettons de
qualifier ici de _nombreux_ des vers qui contiennent des nombres.
Boileau surtout avait le got du numrique et celles de nos citations
dont les auteurs ne sont pas nomms doivent tre attribues  Nicolas.

LE NOMBRE 1.

  Qu'en 1 lieu, qu'en 1 jour, 1 seul fait accompli
  Tienne jusqu' la fin le thtre rempli.

  Brontin tient 1 maillet, et Boirude 1 marteau.

(On pourrait continuer longtemps ces citations.)

                       ------

LE NOMBRE 2.

  Que Rheinberg et Wesel, terrasss en 2 jours,
  D'1 joug dj prochain menacent tout son cours.

  Sur 1 pont en 2 jours trompa tous tes efforts.

  C'est donc trop peu, dit-il, que l'Escaut, en 2 mois,
  Ait appris  couler sous de nouvelles lois.

  2 marmitons crasseux, revtus de serviettes,
  Lui servaient de massiers, et portaient 2 assiettes.

  2 nobles campagnards, grands lecteurs de romans.

  1 lit et 2 placets composaient tout son bien.

  Qui des 2, en effet, est le plus aveugl?

  1 ais sur 2 pavs forme un troit passage.

  O sont ces 2 amants? Pour couronner ma joie,
  Dans leur sang, dans le mien, il faut que je me noie.
                                                    (J. RACINE.)

  2 voyageurs  jeun rencontrrent une hutre.
  Tous 2 la contestaient, lorsque dans leur chemin
  La Justice passa, la balance  la main.
  Devant elle  grand bruit ils expliquent la chose:
  Tous 2 avec dpens veulent gagner leur cause.
                                                  (LA FONTAINE.)

                       ------

LE NOMBRE 3.

  Dans 3 jours nous verrons le phnix des guerriers.

  Elle a vu 3 guerriers, ennemis de la paix.

  Mais les 3 champions, pleins de vie et d'audace.

  Si dans les droits du roi, sa funeste science
  Par 2 ou 3 avis n'et ravag la France.

  Et que l'1 des Capets, pour honorer leur nom,
  Ait de 3 fleurs de lys dot leur cusson.

   3 longueurs de trait, tayaut, voil d'abord
  Le cerf donn aux chiens. J'appuie et sonne fort.
                                                      (MOLIRE.)

  Mais 3 fois plus heureux le jeune homme prudent.
                                                      (GILBERT.)

  Il faut voir ce marchand, philosophe en boutique
  Qui, dclarant 3 fois sa ruine authentique,
  3 fois s'est enrichi d'un heureux dshonneur,
  Trancher du financier, jouer le grand seigneur.
                                                      (GILBERT.)

  Que vouliez-vous qu'il ft contre 3?--Qu'il mourt....
                                                    (CORNEILLE.)

                       ------

LE NOMBRE 4.

  4 boeufs attels, d'un pas tranquille et lent,
  Promenaient dans Paris le monarque indolent.

  1 valet le portait, marchant  pas compts
  Comme 1 recteur suivi des 4 facults.

  Bientt 4 bandits, lui serrant les cts.

  Les 4 contenaient 4 choeurs de musique.
                                                    (CORNEILLE.)

  Laissez-leur prendre 1 pied chez vous,
  Ils en auront bientt pris 4.
                                                  (LA FONTAINE.)

                       ------

LE NOMBRE 5.

  J'avais pris 5 bateaux pour mieux tout ajuster.
                                                    (CORNEILLE.)

  De 5 autres beauts la sienne fut suivie.
                                                    (CORNEILLE.)

                       ------

LE NOMBRE 6.

  Sur 1 livre flanqu de 6 poulets tiques
  S'levaient 3 lapins, animaux domestiques.

  6 chevaux attels  ce fardeau pesant
  Ont peine  l'mouvoir sur le pav glissant.

  Il n'est fort, entre ceux que tu prends par centaines,
  Qui ne puisse arrter un rimeur 6 semaines.

  Vous saurez seulement qu'en ce lieu de dlices
  On servit 12 plats, et qu'on fit 6 services.
  Cependant que les eaux, les rochers et les airs
  Rpondaient aux accents de nos 4 concerts.
                                                    (CORNEILLE.)

  Dans cette cage resserre
  On peut former jusqu' 6 pas.
                                                      (GRESSET.)

  6 brins de paille dlabre
  Tresss sur 2 vieux chalas.
                                                      (GRESSET.)

                       ------

LE NOMBRE 7.

  Ni sans raison d'crire en quel affreux pays
  Par 7 bouches l'Euxin reoit le Tanas.

  5 et 4 font 9, tez 2, reste 7.

                       ------

LE NOMBRE 8.

  Je n'ai rien fait en vers; mais j'ai lieu d'esprer
  Que je pourrai bientt vous montrer en amie
  8 chapitres du plan de notre acadmie.
                                                      (MOLIRE.)

                       ------

LE NOMBRE 9.

  Les 9 trompeuses soeurs dans leur douce retraite

  Ou de 30 feuillets, rduits peut-tre  9,
  Parer demi-rongs les rebords du Pont-Neuf.

                       ------

LE NOMBRE 10.

  Firent plus en 10 ans que Louis en 10 jours.

  De ces gens qui, suivis de 10 hourets galeux
  Disent Ma meute, et font les chasseurs merveilleux.
                                                      (MOLIRE.)

                       ------

LE NOMBRE 15.

  C'est elle qui, m'ouvrant le chemin qu'il faut suivre
  M'inspira, ds 15 ans, la haine d'un sot livre.

  Un clerc, pour 15 sous, sans craindre le hol.

                       ------

LE NOMBRE 20.

  Et le teint plus jauni que de 20 ans de hle.
  20 fois sur le mtier remettez votre ouvrage.

  Voulez-vous sur la scne taler des ouvrages
  O tout Paris en foule apporte ses suffrages
  Et qui, toujours plus beaux, plus ils sont regards,
  Soient au bout de 20 ans encore redemands?

  En vain pour te louer ma muse toujours prte
  20 fois de la Hollande a tent la conqute.

   ce triste discours, qu'un long soupir achve,
  La Mollesse, en pleurant, sur un bras se relve,
  Ouvre un oeil languissant, et, d'une faible voix,
  Laisse tomber ces mots qu'elle interrompt 20 fois.

  Ils atteignaient dj le superbe portique
  O Ribou, le libraire, au fond de sa boutique
  Sous 20 fidles clefs garde et tient en dpt
  L'amas toujours entier des crits de Hainaut.

  Ainsi recommenant un ouvrage 20 fois,
  Si j'cris 4 mots, j'en effacerai 3.

  Je me suis vu 20 fois prt  quitter la table.

  La Seine, au pied des monts que son flot vient laver
  Voit du sein de ses eaux 20 les s'lever,
  Qui partageant son cours en diverses manires,
  D'une rivire seule y forment 20 rivires.

  Et maudissant 20 fois le dmon qui m'inspire.

  C'est encor pis 20 fois en quittant la maison.

  20 carrosses bientt arrivant  la file.

  Je saute 20 ruisseaux, j'esquive, je me pousse.

  Achille mit 20 fois tout Ilion en deuil.

  Et 20 fois, comme ouvrages nouveaux
  J'ai lu des vers de vous qu'il n'a point trouvs beaux.
                                                    (MOLIRE.)

  20 familles enfin couleraient d'heureux jours.
                                                      (GILBERT.)

                       ------

LE NOMBRE 30.

  L, depuis 30 hivers, un hibou retir
  Trouvait contre le jour un refuge assur.

  Par ses soins cependant 30 lgers vaisseaux.
  Et que tantt, aux yeux du chapitre assembl,
  Il soit sous 30 mains en plein jour accabl.

  Elle a d'une insolence  nulle autre pareille
  Aprs 30 leons, insult mon oreille.
                                                      (MOLIRE.)

                       ------

LE NOMBRE 32.

  Et tel est le sublime sige
  D'o, flanqu des 32 vents,
  L'auteur de l'Almanach de Lige
  Lorgne l'histoire du beau temps.
                                                      (GRESSET.)

                       ------

LE NOMBRE 40.

  Puisqu'ainsi dans 2 mois tu prends 40 villes,
  Assur des bons vers dont ton bras me rpond,
  Je t'attends dans 2 ans au bord de l'Hellespont.

  Qu'au bout de 40 ans, Cinna, Pompe, Horace
  Reviennent  la mode et retrouvent leur place.
                                                    (CORNEILLE.)

                       ------

LE NOMBRE 50.

  50 rats  mon oreille
  Ronflent en faux bourdon.
                                                      (GRESSET.)

                       ------

LE NOMBRE 100.

  N'avons-nous pas 100 fois, en faveur de la France,
  Comme lui dans nos vers pris Memphis et Bysance.

  Horace eut 100 talents; mais la nature avare
  Ne vous a rien donn qu'un peu d'humeur bizarre.

  J'aime mieux mettre encore 100 arpents au niveau.

  Tu pourras les rpandre et par 20 et par 100.

  Ce pays o 100 murs n'ont pu te rsister.

  Nous l'avons vu, dit-il, affronter la tempte
  De 100 foudres d'airain, tourns contre sa tte.

  Il voit 100 bataillons qui, loin se dfendre,
  Attendent sur des murs l'ennemi pour se rendre.

  100 guerriers s'y jetant signalent leur audace.

  Bientt victorieux de 100 peuples altiers.

  De morts et de mourants 100 montagnes plaintives.

  En 100 lieux contre lui les cabales s'amassent.

  Balzac en fait l'loge en 100 endroits divers.

  De 100 coups de marteau me va fendre la tte.

  Entre 100 vieux appuis dont l'affreuse grand'salle
  Soutient l'norme poids de sa vote infernale.

  Et ses ruses perant et digues et remparts,
  Par 100 brches dj rentrent de toutes parts.

  Thmis a vu 100 fois chanceler sa balance.

  Et leur art, attirant le culte des mortels,
   sa gloire en 100 lieux vit dresser des autels.

  Comme on voit qu'en un bois que 100 routes sparent.

  D'Hozier lui trouvera 100 aeux dans l'histoire.

  Aussitt 100 chevaux, dans la foule appels.

  100 francs au denier 5 combien font-ils?--20 livres.

  Non; mais 100 fois la bte a vu l'homme hypocondre.

  Dont les noms en 100 lieux, placs comme en leurs niches.

  Qui, sans sujet, courant chez 100 peuples divers.

  En transposant 100 fois et le nom et le verbe.

  Et j'en ai refus 100 pistoles, crois-moi.
                                                      (MOLIRE.)

  N'as-tu pas d 100 fois te le faire redire?
                                                    (J. RACINE.)

  Aux filles de 100 rois je vous ai prfre.
                                                    (J. RACINE.)

                              On me menace
  Si je ne sors d'ici, de me bailler 100 coups.
                                                      (MOLIRE.)

  L, 100 figures d'air en leurs moules gardes.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Le peuple rentre et sort en 100 parts divis.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Un mourant qui comptait plus de 100 ans de vie.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Eh! n'as-tu pas 100 ans? Trouve-moi dans Paris
  2 mortels aussi vieux; trouve-m'en 10 en France.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Prenez ces 100 cus; gardez-les avec soin,
          Pour vous en servir au besoin.
  Le savetier crut voir tout l'argent que la terre
          Avait, depuis plus de 100 ans
          Produit pour l'usage des gens.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Rendez-moi, lui dit-il, mes chansons et mon somme,
          Et reprenez vos 100 cus.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Et 100 brimborions dont l'aspect importune.
                                                      (MOLIRE.)

  Et 100 portes d'airain s'ouvrent  ses regards.
                                                     (VOLTAIRE.)

  Dans cette pdantesque rue
  O 30 faquins d'imprimeurs
  Avec un air de consquence
  Donnent froidement audience
   100 famliques auteurs.
                                                      (GRESSET.)

  Et tous ces demi-dieux que l'Europe en dlire
  A depuis 100 hivers l'indulgence de lire.
                                                      (GILBERT.)

                       ------

LE NOMBRE 1000

  1000 oiseaux effrayants, 1000 corbeaux funbres.

  Lorsqu'un cri tout  coup suivi de 1000 cris.

  Et de 1000 remparts mon onde environne.

  Je fais 1000 serments de ne jamais crire.

  Malheureux 1000 fois celui dont la manie
  Veut aux rgles de l'art asservir son gnie.

  1000 de ces beaux traits, aujourd'hui si vants

  Et 1000 autres qu'ici je ne puis faire entrer.

  Au pied du mont Adule, entre 1000 roseaux.

  Mieux que vous 1000 fois, dit le noble en furie.

  Venez de 1000 aeux; et, si ce n'est assez,
  Feuilletez  loisir tous les sicles passs.

  Son coeur, toujours flottant entre 1000 embarras.

  Au comble de son art, est 1000 fois mont.

  Le pote s'gaye en 1000 inventions.

  Et qui de 1000 auteurs retenus mot pour mot.

  S'est couvert 1000 fois d'une noble poussire.

  Eh bien! je m'adoucis. Votre race est connue;
  Depuis quand? Rpondez: Depuis 1000 ans entiers,
  Et vous pouvez fournir 2 fois 16 quartiers.

  Va par 1000 beaux faits mriter son estime.

  Enfin sous 1000 crocs, la maison abme
  Entrane aussi le feu, qui se perd en fume.

  Et pour 1 que je veux, j'en trouve plus de 1000.

  1 stupide animal, sujet  1000 maux.

  En vain il a reu l'encens de 1000 auteurs.

  De possder enfin 1000 dons prcieux.

  On a vu 1000 fois des fanges Motides
  Sortir des conqurants goths, vandales, gpides.

  Sans le secours des vers, leurs noms tant publis
  Seraient depuis 1000 ans avec eux oublis.

  Tu viens m'embarrasser de 1000 autres vertus.

   peine dans Gombaut, Maynard et Malleville,
  En peut-on admirer 2 ou 3 entre 1000.

  La Fable offre  l'esprit 1000 agrments divers.

  Et sur son bois dtruit btit 1000 procs.

  Dcouvrir la nature en 1000 expriences.
                                                      (MOLIRE.)

  Aprs 1000 ans et plus de guerre dclare.
                                                  (LA FONTAINE.)

  La Seine au flot royal, la Loire dans son sein
  Incertaine, et la Sane, et 1000 autres enfin.
                                                      (GILBERT.)

  Aprs qu'on eut mang, 1000 et 1000 fuses.
                                                    (CORNEILLE.)

  Il nous faudrait 1000 personnes
  Pour plucher tout ce canton.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Au sein de ses amis rpandre 1000 choses.
                                                  (LA FONTAINE.)

                       ------

LE NOMBRE 6000

  Fuyez le Char glac des 7 astres de l'Ourse:
  Embrassez dans le cours de vos longs mouvements
  200 sicles entiers par del 6000 ans.
                                                     (VOLTAIRE.)

                       ------

LE NOMBRE 100 000

  J'ai 100 000 vertus en louis bien compts.

                       ------

LE NOMBRE 1000000

  Qu' 1000000 comptant par ses fourbes acquis,
  De clerc, jadis laquais, a fait comte et marquis.

                       ------

LES FRACTIONS

  Rien ne me fche tant que les crmonies,
  Et si l'on m'en croyait, elles seraient bannies.
  C'est un maudit usage, et la plupart des gens
  Y perdent sottement les 2/3 de leur temps.
                                                      (MOLIRE.)

                       ------

Les trop nombreuses citations prcdentes sont empruntes aux seuls
classiques. Qu'on nous permette de citer encore le premier vers du
Cromwel de Victor Hugo et trois vers de son Ruy Blas.

  Demain 25 juin mil six cent cinquante-sept.

  La maison de la reine, ordinaire et civile,
  Cote par an six cent soixante-quatre mille
  Soixante-six ducats: c'est un pactole obscur.




CURIOSITS ET TRANGETS


COURBE RENAISSANTE

Lorsqu'on transforme la _spirale logarithmique_, pour construire sa
_dveloppe_ et sa _caustique_, on retrouve la premire courbe.
Jacques Bernoulli voyait l comme un symbole de la rsurrection et
aurait voulu qu'on gravt la courbe sur son tombeau avec ces mots:
_Eadem mutata resurgo._

                                          

CARRS MAGIQUES

On donne ce nom  tout carr divis en cases o sont inscrits des
nombres tels qu'en les prenant dans une colonne verticale, une range
horizontale ou une diagonale, on ait toujours le mme total. Voici par
exemple un carr magique  neuf cases et  la somme constante 15; il
est form des neuf premiers nombres.

  ===============
  || 4 | 3 | 8 ||
  ||---|---|---||
  || 9 | 5 | 1 ||
  ||---|---|---||
  || 2 | 7 | 6 ||
  ===============

Remarquons que le carr reste _magique_ si l'on ajoute un mme nombre
 tous ses nombres ou si on les multiplie par un mme nombre.

On a donn dans l'Antiquit une importance symbolique  ces
combinaisons qu'on retrouve dans presque tous les talismans.

Les carrs magiques deviennent _diaboliques_, s'ils sont tels que si
on divise le carr en deux rectangles gaux ou ingaux et qu'on
change les deux parties, le carr reste magique.

Exemple:

  =======================
  || 15 |  6 |  9 |  4 ||
  ||----|----|----|----||
  || 10 |  3 | 16 |  5 ||
  ||----|----|----|----||
  ||  8 | 13 |  2 | 11 ||
  ||----|----|----|----||
  ||  1 | 12 |  7 | 14 ||
  =======================

                                          

CHARLES XII

Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon
mathmaticien; il avait sans doute beaucoup de pntration dans
l'esprit, mais la preuve que l'on donne de ses connaissances en
mathmatiques n'est pas bien concluante; il voulait changer la manire
de compter par dizaines et il proposait  la place le nombre
soixante-quatre, parce que ce nombre contenait  la fois un cube et un
carr et, qu'tant divis par deux, il tait enfin rductible 
l'unit. Cette ide prouvait seulement qu'il aimait en tout
l'extraordinaire et le difficile.

                                                       VOLTAIRE.

                                          

NOMBRES GOMTRIQUES

On appelle nombres triangulaires des nombres tels que

                   *
          *       * *
   *     * *     * * *
  * *   * * *   * * * *  etc.

   3      6       10

C'est ainsi ranges que voyagent les grues.

Il y a aussi les nombres _quadrangulaires_, _pyramidaux_, etc.

On croit tous les nombres semblables, mais Leibniz insiste sur leurs
dissemblances.

                                          

COURBE BANALE

Malgr son nom savant, la cyclode est banale.

En effet, chaque clou de chaque roue de voiture dcrit la courbe en
question, lorsque la voiture roule.

                                          

PLANTES HABITES

Il y a d'abord la terre sur laquelle nous vivons. Quant aux autres
plantes, elles sont peut-tre occupes par des tres plus ou moins
analogues aux hommes. C'est l l'objet d'hypothses en l'air, sur
lesquelles Fontenelle badine agrablement.

                                          

LES AUTRES ET SOI

Aimer, c'est prfrer autrui  soi-mme. La grandeur de l'amour est
une fraction dont le numrateur,--mes prfrences, mes sympathies pour
autrui,--ne dpend pas de moi, tandis que mon amour pour moi-mme peut
tre agrandi ou rduit par moi  l'infiniment petit, suivant
l'importance que j'attache  mon individualit... Les raisonnements du
monde sur l'amour et ses degrs sont des raisonnements sur la valeur
des fractions, selon les numrateurs seuls, sans tenir compte des
dnominateurs.

                                                        TOLSTO.

                                          

GOMTRIE DES ABEILLES

C'est le titre d'un ouvrage anglais de Taylor dans lequel sont
expliqus les divers problmes auxquels donne lieu la construction des
ruches.

Les remarquables proprits gomtriques des alvoles des abeilles ont
t dcrites par plusieurs observateurs: Pappus (IVe sicle av.
J.-C.); Maraldi (1712), Raumur (1702-1739); Mac-Laurin; Castillon et
Lhuillier (1781); Lord Brougham (1858); Terquem (1856-1860); Hultman
(1868); Mullenhoff (1883); Hennessy (1885).

                                          

PAIR OU IMPAIR

Il vaut mieux parier pour impair, parce qu'on dmontre que, dans un
nombre donn de combinaisons, il y en a une de plus o les choses
sont prises en nombre impair.

En matire de rythme potique, Verlaine n'est pas moins affirmatif:

  De la musique avant toute chose,
  Et pour cela prfre l'Impair,
  Plus vague et plus soluble dans l'air,
  Sans rien en lui qui pse ou qui pose.

                                          

NOMBRES PARFAITS

Ce sont les nombres entiers qui sont gaux chacun  la somme de leurs
diviseurs.

Exemples: 6, 28, 496, etc.

On ne connat actuellement que neuf nombres parfaits:

2 x 3, 4 x 7, 16 x 31, 64 x 127, 4096 x 8191, 65536 x 131071,
262144 x 524287, 1073741824 x 2147483647 et 2^{60}(2^{61}-1).

On sait, depuis Euclide, que les nombres parfaits sont de la forme
2^{n}(2^{n + 1} - 1),  condition que _n + 1_ et 2^{n + 1} - 1 soient
des nombres premiers.

                                          

NOMBRES AMIABLES

On dit que deux nombres sont amiables lorsque chacun est gal  la
somme des diviseurs de l'autre. On en connat trois paires: 234 et
220; 17296 et 18416; 9363584 et 9437056.

                                          

ARITHMOMANIE

M. de W... est g de 45 ans. Il est presque continuellement renferm
dans son cabinet o on le croit adonn  de srieux travaux... En
ralit, il passe tout son temps  compter combien de fois les mmes
lettres tantt l'S, tantt le T, tantt le G, tantt le Z, etc., sont
rptes dans la _Gense_, dans l'_Exode_, dans le _Lvitique_, etc.;
combien de pages dans telle dition commencent par un P, combien par
un B, combien par un A, etc.; combien finissent par un P, combien par
un G, etc.

                                                      Dr TRLAT.

                       ------

Il lui vint  l'esprit l'ide de la fatalit du nombre 13 et
quelquefois, avant de se coucher, il touchait 13 fois sa table de nuit
ou 13 objets diffrents pars dans sa chambre. Peu  peu, il lui est
arriv de rpter plusieurs fois de suite ces 13 contacts et
finalement il passait des nuits entires pour satisfaire  cette
obsession.

Le nombre 13 le domine de plus en plus: il vite de mettre 13 mots
dans une phrase et s'il en a crit 12, sans complter le sens, il se
hte d'en ajouter au moins deux pour dpasser 13, par crainte que le
treizime ne soit cause d'un malheur. Il en est de mme pour le
langage, il compte de manire  viter les phrases de 13 mots. Ce
travail fatigant et ridicule le dtourne de toute occupation srieuse.

                                                      Dr MAGNAN.

                                          

RSOLUTION LECTRIQUE

M. Flix Lucas se sert de l'lectricit pour rsoudre,  l'aide d'un
seul graphique et sans calcul, une quation numrique de degr
quelconque. (Comptes-rendus de l'Acadmie les sciences du 5 mars et du
9 avril 1888 et aussi du 22 dcembre 1889.) Le moyen est fond sur la
production de figures par l'lectrolyse.

                                          

CSARINE

... Cette petite, servant d'grie au vieux licenci et plus _trapue
en x_ que les candidats  Polytechnique et  Normale, cette petite est
Csarine en personne...

... Vacquant lui-mme, dit-il, Vacquant (c'est le professeur de
spciales) n'est que de la gnognotte auprs d'elle.

... Certains ouvrages qu'elle seule peut lire couramment... Elle est
si tonnante, un gnie mathmatique. Son pre tait fort lui-mme,
seulement trop imbu de Wronski[5].

Tout se rsout en somme, dans la vie, mme les actes les plus
extraordinaires, par des quations bien faites. (Mot de Csarine)...
De ces quations morales, je n'ai vu moi que les _inconnues_ dgages,
je veux dire les faits... je ne puis ainsi que noter des _points_, en
laissant  de plus perspicaces le soin de retrouver les _coordonnes_
psychologiques.

                                                       RICHEPIN.

[Note 5: Lagrange et Laplace ont jug incomprhensible la
philosophie des mathmatiques de Wronski.]

                                          

PASSIONS

L'_amiti_ et l'_amour_, qui agissent dans une sphre circonscrite,
qui se proccupent exclusivement de la gnration prsente, d'un
nombre limit d'individus, sont reprsents par le _cercle_ et
l'_ellipse_, courbes finies, fermes, embrassant un espace nettement
circonscrit.

La _parabole_ et l'_hyperbole_, au contraire, sont des courbes qui ne
se terminent pas, qui s'allongent indfiniment, comme le _familisme_
qui songe aux arrire-neveux, comme l'_ambition_ qui rve la
postrit.

Dans le groupe d'_amiti_ rgnent l'galit et la confusion des rangs.
Dans le cercle tous les rayons sont gaux, tous partent du centre et
se rflchissent au centre.

L'ellipse prsente deux foyers. Tout ce qui part de l'un se rflchit
 l'autre, image exacte de ce qui se passe entre deux coeurs unis par
l'_amour_. Si le plan de l'ellipse s'incline de plus en plus sur une
des artes du cne, un des foyers s'loigne et va se perdre 
l'infini. Alors l'ellipse se transforme en une parabole. C'est ainsi
que l'amour dgnre insensiblement et conduit au _familisme_, c'est
ainsi que l'affection qui rayonnait sur un seul tre tend  s'largir,
 en embrasser plusieurs,  l'infini, dans le temps, comme les rayons
de la parabole qui vont chercher le second foyer  l'infini dans
l'espace.

Le rayon parti du foyer de l'hyperbole remonte en s'loignant de
l'axe, aprs avoir t rflchi sur la courbe; il remonte d'autant
plus qu'il a atteint dj, du premier jet, un point plus lev. C'est
ainsi que l'_ambitieux_ tend toujours  dpasser le point o il est
parvenu et que ses dsirs se grossissent de tous ses succs
prcdents.

L'hyperbole, comme l'ellipse, a pour limite la parabole, parce que
l'ambition, comme l'amour, conduit au familisme. L'ambitieux, quand il
n'a plus rien  esprer pour lui-mme, songe  ses descendants,  sa
maison,  son nom qu'il veut remettre aux ges futurs.

                                                      H. RENAUD.

                                          

IMPT CUBIQUE

Un socialiste a imagin ce systme d'impt unique d'aprs lequel
chaque citoyen ne payerait plus qu'une somme base sur le nombre des
mtres cubes qui lui seraient ncessaires pour se loger, faire un
commerce, etc.

                                          

SYSTME BINAIRE

Leibniz crut voir l'image de la cration dans son arithmtique binaire
o il n'employait que les deux caractres zro et l'unit. Il imagina
que Dieu pouvait tre reprsent par l'unit, et le nant par zro;
l'tre suprme avait tir du nant tous les tres, comme l'unit avec
le zro exprime les nombres dans ce systme d'arithmtique. Cette ide
plut tellement  Leibniz, qu'il en fit part au jsuite Grimaldi,
prsident du Tribunal de mathmatiques de la Chine, dans l'esprance
que cet emblme de la cration convertirait au christianisme
l'empereur qui aimait particulirement les sciences.

                                          

UNE CHENILLE

Les naturalistes ont nomm chenille gomtre une chenille qui, en
marchant, semble mesurer ou arpenter le terrain avec la longueur de
son corps.

                                          

LAPUTA

De l nous entrmes dans l'cole de Mathmatiques dont le Matre
enseignait  ses disciples une mthode que les Europens auront de la
peine  s'imaginer. Chaque proposition, chaque dmonstration tait
crite sur du pain  chanter, avec une certaine encre de teinture
cphalique. L'colier  jeun tait oblig, aprs avoir aval ce pain 
chanter, de s'abstenir de boire et de manger pendant trois jours, en
sorte que le pain  chanter tant digr, la teinture cphalique pt
monter au cerveau et y porter avec elle la proposition et sa
dmonstration.

                                                          SWIFT.

                       ------

Les philosophes, disait Bacbuc  Panurge, prescheurs et docteurs de
vostre monde, vous paissent de belles paroles par les aureilles, ici
nous ralement incorporons nos prceptions par la bouche. Pourtant je
ne vous di lisez ce chapitre, entendez ceste glose: je vous di
goustez ce chapitre, avalez ceste glose. Jadis un antique mangea un
livre et fut clerc jusques aux dents; prsentement vous emboirez un,
et serez clerc jusques au foye. Venez, ouvrez les mandibules.

                                                       RABELAIS.

                       ------

Nous ne parlerons pas de certains prparateurs au baccalaurat, dits
marchands de soupe.

                                          

PARLER DE CE QU'ON SAIT

Voici trois citations tranges de Chateaubriand:

1 Le _trois_ est une fraction qui n'est point engendre et qui
engendre toutes les autres fractions.

2 Le calcul dcimal peut convenir  un peuple mercantile, mais il
n'est ni beau ni commode, dans les autres rapports de la vie et dans
les quations clestes. La nature l'emploie rarement, il gne l'anne
et le cours du soleil; et la loi de la pesanteur ou de la gravitation,
peut-tre l'unique loi de l'univers, s'accomplit par le carr et non
par le quintuple des distances.

3 Ce globe  la longue anne (Jupiter) qui ne marche qu' la lueur de
quatre torches plissantes; cette terre en deuil (Saturne) qui, loin
des rayons du jour, porte un anneau comme une veuve inconsolable...

                       ------

Le mme Chateaubriand dit dans ses _Mmoires d'Outre-tombe_:

Je fis des progrs rapides en mathmatiques o j'apportai une clart
de conception qui tonnait l'abb Leprince..... J'appris par coeur mes
tables de logarithmes...

                                          

GOMTRES AU POUVOIR

La France doit devenir un tat rpublicain et que les gomtres
gouverneront, en soumettant toutes les oprations au calcul
infinitsimal.

                                                    FRDRIC II.

                       ------

Le grand Frdric de Prusse n'aimait pas les mathmatiques suprieures
et il a crit contre elles une longue et lourde satire.

Il est amusant dans sa dernire lettre  Voltaire:

Euler calcula l'effort des roues pour faire monter l'eau dans un
bassin d'o elle devait retomber, par des canaux, afin de jaillir 
_Sans-souci_. Mon moulin a t excut gomtriquement, et il n'a pas
pu lever une goutte d'eau  cinquante pas du bassin. Vanit des
vanits! Vanit de la Gomtrie!

                                          

NOMBREUSE FAMILLE

Vauban, dans ses _Oisivets_, commence un petit chapitre sous ce
titre: La cochonnerie ou calcul estimatif pour connatre jusqu'o
peut aller la production d'une truie pendant dix annes de temps.

                                          

MATHMATIQUES EN VERS

                            .... Une convention
  Explique avec clart la Numration.
   la gauche d'un autre, un chiffre a l'avantage;
  Sa valeur est dcuple, ainsi le veut l'usage.
  Alors, quand _cinq_ se place  la gauche de _huit_,
  Il vaut _cinquante_, plus le chiffre qui le suit.

                       ------

  La perpendiculaire se pique
  D'tre plus courte que l'oblique.

                       ------

  L'angle dont le sommet  la courbe se rend
  A moiti des degrs de l'arc qu'il comprend.

                       ------

  Le carr de l'hypotnuse
  Est gal, si je ne m'abuse,
   la somme des carrs
  Construits sur les autres cts.

                       ------

   l'abri de l'envie, en compagnes fidles,
  On voit marcher de front, deux droites parallles.

                       ------

                  .... Deux camps bien ordonns
  Rangent, en force gaux, leurs groupes enchans;
  Voici qu'une inconnue entre avec eux masque,
  Souvent multiple, en plus d'un endroit embusque.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il s'agit d'une quation et de la poursuite de l'inconnue. La
conclusion est un peu dure mais philosophique:

                .... en ce grand domaine
  L'impossible est possible, et le sort nous amne
  Tantt le positif, ou son signe oppos
  Ou l'incommensurable ou le sens prcis,
  Tantt c'est l'infini, tantt l'imaginaire.
  _On joue avec cela._ Chose extraordinaire,
  Ce qui n'existe pas est soumis  nos lois!

                                          

DROITE BIZARRE

On ne peut pas la tracer avec la rgle; la distance de deux
quelconques de ses points est nulle; elle fait un angle constant avec
une nouvelle droite quelconque; elle est perpendiculaire  sa propre
direction, etc.

(On dit que l'quation x + y [[V]-1] = 0 reprsente une droite
_imaginaire_: elle jouit des proprits indiques.)

On peut demander aussi de trouver sur une conique un point tel que la
tangente et la normale en ce point se confondent.

(C'est un point _imaginaire_ de rencontre de la courbe et d'une de ses
directrices.)

                       ------

La droite de l'infini, la circonfrence de l'infini, les deux ombilics
du plan ou points circulaires  l'infini possdent aussi des
proprits qui semblent contradictoires.

                                          

TITRE SINGULIER

J'ouvre, dit le P. Gratry, le livre de Saint Augustin qui porte ce
titre trange: Des dimensions de l'me. J'aperois des figures de
gomtrie mles au texte...

Herbart a orn sa philosophie de cercles, de carrs, de chiffres et de
signes algbriques.

                                          

SCANTE

La justice et la misricorde de Dieu sont deux parallles qui peuvent
s'unir par une scante appele le repentir.

                                                     LACORDAIRE.

                                          

TOILE AVALE

L'toile bleue avale une autre toile trs petite et, bientt aprs,
elle la rend. Voil comment les Sibriens interprtent l'clipse d'un
satellite de Jupiter.

Nos paysans de Vivarais dsignent sous le nom de _casserole_ la
constellation de l'Ourse,  cause de sa forme.

                                          

PRIX DU BL

On a cherch si les taches solaires produisent sur la terre des effets
notables: c'est ainsi que W. Herschel essaya d'tablir un rapport
entre le prix du bl et le nombre des taches.

                                          

ROND ET TRIANGULAIRE

Le monde, dit un prdicateur du XVIe sicle, ne saurait remplir le
coeur de l'homme par la raison que le monde tant rond et le coeur
triangulaire, un rond inscrit dans un triangle ne le remplit pas.

Nous lisons, dans un crit moderne, qu'en affaires il faut tre rond
et carr.

                                          

INCOMPRHENSIBLE

D'aprs Pythagore, l'me est un nombre qui se meut sur lui-mme; la
vertu, un nombre carr, et la justice, une proportion gomtrique.

                                          

HENRI IV

Ce diable  quatre qui eut le triple talent..., est n le 14 dcembre,
14 sicles, 14 dcades et 14 ans aprs Jsus-Christ.

Il est mort le 14 mai.

Son nom tait compos de 14 lettres (Henri de Bourbon).

Il a vcu 4 fois 14 ans, 4 fois 14 jours, et 14 semaines.

Il a t roi de France et de Navarre trois fois 14 ans.

Il a t bless par Chtel 14 jours aprs le 14 dcembre, en l'anne
1594.

Entre ce jour et celui de sa mort, il y a eu 14 ans, 14 mois et 5 fois
14 jours.

Il a gagn la bataille d'Ivry le 14 mars.

Le dauphin est n 14 jours aprs le 14 septembre et a t baptis le
14 aot.

Henri a t assassin le 14 mai, 14 sicles et 14 olympiades aprs
l'Incarnation.

Le crime a eu lieu 2 fois 14 heures aprs l'entre de la reine 
Saint-Denis.

Ravaillac a t excut 14 jours aprs la mort du roi, et dans l'anne
1610, qui est divisible par 14.

                                          

FIN DU MONDE

On a essay d'appliquer le calcul  l'apprciation des tmoignages
historiques. Un gomtre anglais, Jean Craig, persuad que, par la
nature mme des faits de l'ordre politique ou moral, leur crdibilit
s'affaiblit  mesure qu'ils se transmettent d'une gnration 
l'autre, a cru prouver que certains vnements, qui remontent au
commencement de notre re vulgaire, cesseront tout  fait d'tre
croyables l'an de cette mme re 9153 et en consquence il a indiqu
cette anne-l comme l'poque assure de la fin ou de la rnovation du
monde.

                                          

LE SPHRIQUE

Froebel, le pdagogue, a publi en 1811 son _Trait du sphrique_; on
y lit: La sphre apparat comme le prototype, comme l'unit de tous
les corps et de toutes les formes. Pas un angle, pas une ligne, pas un
plan, pas une surface ne se montre en elle, et cependant elle a tous
les points et toutes les surfaces.

 cette obscure gomtrie, succdent des vues sur les rapports
mystrieux de la sphre et de la vie morale. Travailler
consciencieusement au dveloppement de la nature sphrique d'un tre,
c'est faire son ducation. Comprendra qui pourra!

                                          

TESTAMENT ASTRONOMIQUE

On lit dans le testament de Madame Guzman, morte  Pau, en juin 1891:

Un prix de 100.000 francs est lgu  l'Institut de France (section
des sciences) pour la personne de n'importe quel pays qui trouvera le
moyen, d'ici  dix annes, de communiquer avec un astre (plante ou
autre) et d'en recevoir rponse. La testatrice dsigne spcialement la
plante Mars, sur laquelle se portent dj l'attention et les
investigations de tous les savants.

                       ------

Voici le commentaire de M. Flammarion:

Pour entrer en communication avec les habitants de Mars, il faut leur
photophoner: tes-vous l? Et puis.... il faut aussi qu'ils y soient
et qu'ils comprennent.

Dj Mars communique avec la Terre, par l'attraction et par la
lumire. Les astronomes analysent ces deux ordres de communication. Ce
que l'on pourrait souhaiter maintenant et ce qui arrivera probablement
quelque jour, ce serait un mode plus subtil, plus humain.

L'ide n'a rien d'absurde en elle-mme, et elle est peut-tre moins
hardie que celle du tlphone, du phonographe, du photophone et du
cintographe. Elle a t mise, pour la premire fois,  propos de la
lune.

Un triangle trac sur le sol lunaire, par trois lignes lumineuses, de
douze  quinze kilomtres chacune, serait visible d'ici,  l'aide de
nos tlescopes. Nous observons mme des dtails beaucoup plus petits,
par exemple les singuliers dessins topographiques remarqus dans le
cirque lunaire auquel on a donn le nom de Platon. Donc, un triangle,
un carr, un cercle de cette dimension, construits par nous sur une
vaste plaine,  l'aide de points lumineux, soit pendant le jour en
rflchissant la lumire solaire, soit pendant la nuit,  l'aide de la
lumire lectrique, seraient visibles pour les astronomes de la Lune,
si ces astronomes existent, et s'ils ont des instruments d'optique
quivalents aux ntres.

La suite du raisonnement est des plus simples. Si nous observions sur
la lune un triangle correctement construit, nous en serions quelque
peu intrigus, nous croirions avoir mal vu, nous nous demanderions si
le hasard des formations gologiques et slnologiques peut avoir
donn naissance  une figure rgulire. Sans doute finirions-nous par
admettre cette possibilit exceptionnelle. Mais si, tout d'un coup,
nous voyions le triangle se changer en carr, puis, quelques mois plus
tard tre remplac par un cercle, alors nous admettrions logiquement
qu'un effet intelligent prouve une cause intelligente, et nous
penserions avec quelque raison que de telles figures rvlent,  n'en
pas douter, la prsence de gomtres sur ce monde voisin.

De l  chercher la raison du trac de pareils dessins  la surface du
sol lunaire, de l  nous demander pourquoi et dans quel but nos
frres inconnus formeraient ces figures, il n'y a qu'un pas, bien vite
franchi. Serait-ce dans l'ide d'entrer en relations avec nous?
L'hypothse n'est pas draisonnable. On l'met, on la discute, on la
repousse comme arbitraire, on la dfend comme ingnieuse. Et pourquoi
pas, aprs tout? Pourquoi les habitants de la Lune ne seraient-ils pas
aussi curieux que nous, plus intelligents peut-tre, plus levs dans
leurs aspirations, moins emptrs que nous dans la glu des besoins
matriels? Pourquoi n'auraient-ils pas suppos que la terre peut tre
habite aussi bien que leur monde, et pourquoi ces appels gomtriques
n'auraient-ils pas pour but de nous demander si nous existons?
D'ailleurs il n'est pas difficile d'y rpondre. On nous montre un
triangle: reproduisons-le ici. On nous trace un cercle: imitons-le. Et
voil une communication tablie entre le ciel et la terre, pour la
premire fois depuis le commencement du monde.

La gomtrie tant la mme pour les habitants de tous les mondes,
deux et deux faisant quatre dans toutes les rgions de l'infini, et
partout les trois angles d'un triangle tant gaux  deux angles
droits, les signaux ainsi changs entre la terre et la lune
n'auraient mme pas l'obscurit des hiroglyphes dchiffrs par
Champollion, et la communication tablie deviendrait vite rgulire et
fconde.

                       ------

On a propos de communiquer avec les habitants des plantes en traant
et en illuminant sur la terre une immense figure du _carr de
l'hypotnuse_.

                       ------

M. Fvre, dans sa pice _L'toile rouge_, a tent de transporter ces
ides sur le thtre.

                                          

ONZE MILLE

Sainte Ursule fut martyrise avec sa compagne _Undecimilla_, dont le
nom a donn lieu  la lgende des onze mille vierges.




FANTAISIES


L'GE DU CAPITAINE

Sous ce nom l'on dsigne tout problme ridicule et compltement
indtermin. Il parat, en effet, difficile, connaissant la vitesse
d'un vaisseau, la hauteur du grand mt, la latitude et la longitude,
d'en conclure l'ge du capitaine.

On causait de cette nigme, lorsque tout  coup, Lon Gozlan assura
que le problme venait d'tre rsolu  Marseille. Stupfaction de
tous.--Pas possible!--C'est comme je vous l'affirme.--Contez-nous
cela.--Ce fut  l'occasion d'un navire qui paraissait suspect au
conseil de salubrit; l'quipage fut mis en quarantaine; le capitaine
supporta sa claustration pendant quelques jours; mais enfin
l'impatience le gagna, et il quitta le lazaret en transgressant la
consigne.

Ici le narrateur s'arrta tout court, au grand tonnement de la
galerie.--Eh bien?... fit quelqu'un.--H bien, dit Gozlan, le problme
tait rsolu.--Comment cela? Comment cela? demandrent plusieurs
voix.--C'est tout simple: le capitaine avait franchi la quarantaine.

                                          

L'UNIT EST UN NOMBRE

Un major de place avait indiqu l'exercice pour telle heure. Il arrive
et ne voit qu'un trompette: Parlez donc, messieurs, pourquoi
n'tes-vous qu'un?

                                                      CHAMPFORT.

                       ------

  En arrivant  Melun,
    Nous tions un;
  En arrivant  Carcassonne,
    Nous tions personne.
                                                     R. PONCHON.

                       ------

Victor Hugo avait dj rim des nombres moins problmatiques:

  En partant du golfe d'Otrante,
        Nous tions trente;
  Mais en arrivant  Cadix,
        Nous tions dix.

                       ------

 propos de cette discussion: _si l'unit est un nombre_, voir la
Logique de Port-Royal, o l'opinion de Stevin est combattue.

                                          

FONCTIONS TRANSCENDANTES

Si je nomme un logarithme, une exponentielle, un cosinus, une
diffrentielle, une intgrale, on me demandera quels sont ces tres
inconnus? Vont-ils  deux ou  quatre pieds? Cela vole-t-il,
rampe-t-il ou nage-t-il dans la mer ou dans l'eau douce? Sont-ce des
tres saisissables  nos sens, pesants, sonores, blancs ou noirs,
chauds ou froids? Si ce sont des tres mtaphysiques, que peuvent-ils
faire dans le monde matriel auquel ils sont trangers? La pense ne
transporte point les montagnes et ce n'est pas avec des formules
mathmatiques que la nature meut et conserve le monde.

                                                        BABINET.

                       ------

Propos ironique.

                                          

AUX ENCHRES

Dernirement un astronome allemand a fait annoncer dans les journaux
qu'ayant dcouvert une nouvelle plante, il lui donnerait le nom de la
personne qui lui offrirait la plus forte somme d'argent. Ajoutons que
le savant dsirait acheter des instruments plus puissants pour son
observatoire.

                                          

MOITI PLUS UN

Aujourd'hui le nombre est une religion. Le droit est une question
d'arithmtique. La moiti plus un est persuade qu'elle est la raison
et la justice, par cela seul qu'elle est la moiti plus un.

                                                   PAUL LAFITTE.

                       ------

L'arithmtique est un procd trop sec de gouvernement.

                                                         ROMIEU.

                                          

BOUTADES

On raconte que le roi Alphonse, fatigu de cette complication de
cercles et d'picycles qui figuraient dans les conceptions de
Ptolme, s'cria: Si Dieu m'et consult au moment de la cration,
je lui eusse donn de bons avis. On a bien  tort tax d'impit
cette boutade qui visait les hypothses de l'astronome grec.

                                                          ARAGO.

                       ------

Laplace n'tait pas un athe comme Lalande. Il ne faudrait pas prendre
au pied de la lettre la rponse qu'il fit, dit-on,  Napolon lui
demandant pourquoi il n'avait pas nomm Dieu dans sa Mcanique
cleste: Sire, je n'ai pas eu besoin de cette hypothse.

(Voir la prface de la _Vie de Cauchy_, par Valson).

                                          

NORD ET SUD

Le Nord et le Sud sont les points les plus diamtralement opposs 
l'horizon.

(_Extrait d'un dictionnaire._)

                       ------

Voici un vers assez drle, qui date du premier empire:

  Et du ple glac jusqu'au ple brlant.

                                          

SEMAINE DES TROIS JEUDIS

Quoi qu'on en pense, il peut y avoir trois jeudis dans une mme
semaine, mais pour trois personnes diffrentes. Il suffit de supposer
qu'il est jeudi dans un port, le lendemain et la veille du retour de
deux vaisseaux qui ont parcouru la terre, l'un d'Orient en Occident,
l'autre en sens contraire,  raison de trois degrs de longitude par
jour.

                                          

AVOCAT

Les donnes des problmes algbriques sont ncessairement antrieures
et suprieures  l'Algbre. Pour les gomtres, mcaniciens,
astronomes, physiciens et autres, ces donnes ne sauraient tre
arbitraires. Pour les algbristes proprement dits, toutes les donnes
qui peuvent tre mises en quation sont galement bonnes.  ce titre,
il en est de l'algbriste comme de l'avocat, qui est prt  plaider
toutes causes.

                                                 J. A. LANGLOIS.

                       ------

J'ai eu des relations avec les premiers mathmaticiens du sicle, et
il me semble qu'il y avait presque chez tous un petit grain de folie.
Les calculs ont beau ne prsenter aucune erreur, ils ne justifient pas
les donnes imparfaites: or, les donnes ne sont assises que sur
l'observation, l'exprience et le jugement. Sur une donne que l'on
croit vraie et qui ne l'est pas, on fait des calculs en l'air.

                                                      J. B. SAY.

                       ------

Le raisonnement algbrique n'accuse pas toujours la fausset des
prmisses.

                                          

FINANCIERS

Quand on sait bien les quatre rgles, on est un aigle en finances.

                                                       MIRABEAU.

                       ------

    Prends-moi le bon parti. Laisse l tous les livres.
    Cent francs au denier cinq, combien font-ils? vingt livres.
    C'est bien dit. Vas, tu sais tout ce qu'il faut savoir
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    C'est ainsi qu' son fils un usurier habile
    Trace vers la richesse une route facile:
    Et souvent tel y vient qui sait pour tout secret,
    Cinq et quatre font neuf, tez deux: reste sept.
                                                        BOILEAU.

                                          

CE PAUVRE ROTHSCHILD

  Il fait le compte,  ciel! de ses deux milliards,
              Cette somme en dmence,
  Et si le malheureux s'est tromp de deux liards,
              Il faut qu'il recommence.
                                   DE BANVILLE (_Occidentales._)

                                          

AU BACCALAURAT

--Quelle est la ligne la plus courte d'un point  un autre?

Le candidat, aprs un instant d'hsitation:

--C'est une ligne de chemin de fer.

Le professeur:--Vous oubliez la ligne tlgraphique.

                                          

HUMOUR

Si vous tes du nombre de ces esprits positifs qui ne se contentent
que des vrits absolues, et qui ne recevraient pas une ide frappe
au coin de Montaigne et de Platon sans lui faire subir l'preuve du
trbuchet...

Si vous faites plus de cas d'une bonne addition que d'une similitude
ou mme que d'une comparaison... Eh, mon Dieu! vous n'avez qu'
parler! Il faut seulement s'entendre sur un point de dpart,
c'est--dire sur le calcul de Diocls de Smyrne qui reprsente
l'esprit de l'homme par le nombre _mille_.

    Valeur en compte...........................    1000

  Passons  l'analyse:

    Soit Thodore, ou mon imagination..........       0

    Soit don Pic de Fanferluchio ou ma mmoire.       1

    Soit Breloque, ou mon jugement.............     999

Je n'ai pas besoin de faire la synthse devant vous; mais vous pouvez
la vrifier facilement avec votre professeur de mathmatiques, ou avec
votre intendant, ou avec votre blanchisseuse.

Je pose donc hardiment le total!.. 1000.

                                                     CH. NODIER.

                                          

DANSEUR

On pense  moi pour une place, mais par malheur j'y tais propre: il
fallait un calculateur, ce fut un danseur qui l'obtint!

                                                   BEAUMARCHAIS.

                                          

VIN

Diogne avait demand  Platon quelques bouteilles de vin, Platon lui
en envoya trois douzaines. Diogne le rencontrant le lendemain, lui
dit _quand on vous demande combien font deux fois deux, au lieu de
rpondre quatre, vous rpondez vingt_: en faisant semblant de le
remercier, il lui reprochait la longueur de ses dialogues.

                                          

CUISINE

Combien de grains de sel faut-il mettre dans un oeuf? demande Argand,
dans Molire.--Six, huit, dix, par les nombres pairs, rpond
Diafoirus, comme dans les mdicaments par les nombres impairs.

Voici, d'autre part, une fire dclaration que Hugues Le Roux met dans
la bouche de nos matres queux:

Mais patience! La cuisine aura son Chevreul. Un homme de gnie
dmontrera que les saveurs, comme les sons, comme les couleurs sont
des vibrations. Toutes les vrits mathmatiques qui rglent les
combinaisons musicales et lumineuses seront appliques aux saveurs. On
verra des lves de l'cole normale crire au tableau des formules de
sauces inconnues, que nous autres nous chercherons dans notre creuset,
dans la casserole. Le sicle ne sera pas tourn que l'on ne pourra
plus tre un grand cuisinier si l'on n'est un grand mathmaticien.
Avant dix ans, notre corps se recrutera parmi les anciens lves de
l'cole polytechnique.

                       ------

Charles Dupin indique srieusement quelque part le profit que les
cuisiniers peuvent retirer des mathmatiques.

                                          

IMPERTINENCE

On demandait  Galile  quoi servait la Gomtrie. _ peser, 
mesurer et  compter_, rpondit-il,  peser les ignorants,  mesurer
les sots et  compter les uns et les autres.

                                          

PREMIER VENU

Un solliciteur demande un emploi et cherche  se faire valoir:

--Croyez bien, dit-il, que je ne suis pas le premier venu...

--En effet, vous tes le douzime depuis ce matin...




PROBLMES CURIEUX

ET HUMORISTIQUES




Nos anctres gotaient les _rcrations mathmatiques_ et en
particulier les problmes plaisants et dlectables (sic) de Bachet de
Mziriac.

Nous proposons ici quelques questions de ce genre, en avertissant
qu'un nonc qui parat facile conduit parfois  une quation
suprieure.




ARITHMTIQUE


Combien faut-il de chiffres pour crire les 10, les 100, les 1000, les
10000 premiers nombres, etc.?

                                          

Si l'on crit bout  bout les nombres successifs, quel sera le chiffre
occupant dans la suite un rang donn?--On trouvera, par exemple, que
le 75872e chiffre est 4.

tendons la question: on a crit par ordre tous les nombres de 1 
99999. Combien a-t-on crit de chiffres en tout? Quel est le 40000e
chiffre crit?  quel nombre appartient-il? Enfin, combien y a-t-il de
0, de 1, de 2..... et de 9 dans la suite considre?

                                          

Vaincus par les Romains, quarante juifs et l'historien Josphe se
rfugirent dans une caverne, bien dcids  se tuer plutt que de se
rendre. Ils se mirent sur un seul rang, se comptrent trois par trois,
et turent chaque fois le troisime. On demande quelle place choisit
Josphe pour chapper au massacre?

Josphe se plaa au 16e ou au 31e rang et il resta finalement avec un
seul homme qui devait se laisser tuer  son tour, mais qui prfra se
rendre  l'ennemi.

                                          

Un navire est menac de sombrer. Il faut sacrifier la moiti de
l'quipage.

Il y a 32 marins, 16 blancs et 16 noirs. Le capitaine les fait ranger
sur une seule ligne pour les _dcimer_. Dans quel ordre, pour sauver
les 16 blancs?

                                          

Parmi les nombres 1; 11; 111; 1111... uniquement forms avec le
chiffre 1, quels sont ceux qui sont _composs_, c'est--dire qui ne
sont pas premiers?

                                          

Rendre compte de la particularit que prsentent les produits de
12345679 par 9 et chacun des multiples de 9 jusqu' 81.

                                          

Combien faut-il de temps pour compter jusqu' un trillion, en
supposant qu'on compte 200 nombres  la minute?

_Rponse:_ 9512 ans.

                                          

3 ouvriers mettent 5 heures pour aller de Paris  Versailles. Combien
d'heures mettront 7 ouvriers pour faire le mme voyage?

                                          

Le 26 mai 1876, l'ge de Louis tait les 55/71 de l'ge de son frre
Jean. Le 26 juillet suivant, il n'en tait plus que les 7/9. Trouver
la date de la naissance de chacun d'eux.

                                          

Faire crire, par exemple, 7 nombres de 5 chiffres, puis en crire
soi-mme, immdiatement, 7 autres de faon que la somme des 14 nombres
gale (7  99999 ou) 499993.

                                          

Expliquer pourquoi tous les produits de 37 par 3 et ses multiples
sont chacun forms de plusieurs fois le mme chiffre.--De mme, pour
les produits de 12345679 par 9 et ses puissances.

                                          

Une fontaine tait forme d'un lion en bronze, portant cette
inscription: Je puis jeter de l'eau par les yeux, par la gueule et
par le pied droit. Si j'ouvre l'oeil droit, je remplirai mon bassin en
deux jours et, si j'ouvre le gauche, en trois jours; avec mon pied il
me faudrait quatre jours et avec ma gueule six heures. Dites combien
il me faudrait de temps pour remplir le bassin en jetant de l'eau  la
fois par les yeux, par la gueule et par le pied.

                                          

Deviner la date de la naissance d'une personne.

Faites crire bout  bout les nombres obtenus en ajoutant
respectivement 30, 60 et 50 au quantime, au numro du mois et 
l'ge, puis retranchez 306050 du nombre obtenu, il suffit ensuite de
lire le reste.

Exemple: 18 mars 1842, alors 18 + 30 = 48, puis mars tant le 3e mois,
3 + 60 = 63 et enfin puisque, en 1890, l'ge est 48, 48 + 50 = 98; on
crit 486398 dont on retranche 306050, il reste 18348, soit le 18 du
3e mois et la personne est ge de 48 ans.

                                          

Trouver la racine carre de 2/3  1/3 prs, de 3/4  1/4 prs, de 5/6
 1/6 prs, etc., en gnral de _n - 1/n_  _1/n_.--Mme question pour
la racine cubique, la racine quatrime, etc.

                                          

Une femme doit partager un hritage de 350000 fr. avec son enfant 
natre: si elle a un fils, elle ne recevra que la moiti de la part de
ce fils, mais si elle a une fille elle prendra au contraire le double
de la part de sa fille. Il advient que la femme a deux jumeaux, un
fils et une fille. Comment rpartira-t-on l'hritage?

_Rponse._-- la mre 100 000 fr., au fils 200 000 fr.,  la fille 50
000 fr.

                                          

Montrer que la diffrence des deux escomptes gale l'escompte en
dehors de l'escompte en dedans et qu'elle gale aussi l'escompte en
dedans de l'escompte en dehors.

                                          

On appelait _rgle d'or_ notre vulgaire _rgle de trois_, qui est un
problme et non une rgle, et o il s'agit gnralement de plus de
trois nombres.

                                          

Voir dans Taine (_De l'Intelligence_, t. 1) la philosophie de la rgle
de trois.

J'ai un jardin enclos de haies, et on me vole mes fruits; je me
dcide  l'entourer d'un mur, je prends ce que je trouve d'ouvriers
dans le village, quatre par exemple et je vois au bout d'un jour
qu'ils m'ont fait ensemble seulement douze mtres. J'envoie chercher
six autres ouvriers au village voisin...

                                          

Le _fameux_ 45 peut tre divis en 4 parties telles qu'on obtienne le
mme rsultat, en ajoutant 2  la premire, en retranchant 2  la
seconde, en multipliant la 3e par 2 et enfin en divisant la 4e par 2.
(Question analogue pour 75 et 4.)

En second lieu, on a:

  987654321 45
  123456789 45
  ---------
  864197532 45

                                          

Trouver _m_ nombres entiers conscutifs dont aucun ne soit premier.

Former N = 2  3  4  5  6...  _m_  (_m_ + 1), puis prendre N +
2, N + 3, N + 4,... N + _m_ + 1.

                                          

D'un nombre de trois chiffres, on retranche le nombre renvers et on
donne le nombre des units de la diffrence. Deviner les deux autres
chiffres.

_Rponse:_ Dans la diffrence, le chiffre des dizaines est toujours 9
et la somme des deux autres chiffres est toujours 9.

                                          

Combien y avait-il de pches dans un panier que j'ai distribu  mes
trois enfants? Le premier a reu la moiti du tout plus la moiti
d'une pche; le second la moiti du reste plus la moiti d'une pche;
enfin le 3e la moiti du reste plus la moiti d'une pche. Il m'est
alors rest quatre pches et je n'ai eu  couper aucune pche.

_Rponse:_ 39.--Autres solutions, lorsqu'on n'indique plus le nombre
des pches restantes: 7; 15; 23; 34; 47... Gnralisation pour _n_
enfants.

                                          

Les enfants _montrent_ que 6 et 7 font 9; que 6 et 3 font 8; que 4 et
2 font 1, etc. Pour cela, ils tracent autant de petits traits
verticaux que l'indique le premier des trois nombres et ils les
joignent convenablement par autant de traits horizontaux ou inclins
que l'indique le second nombre, de faon  crire, en lettres
capitales, le troisime nombre.

                                          

Sur le bord d'une rivire se trouvent trois rois et trois valets. Ces
derniers ont projet de tuer les rois. Il n'y a qu'un bateau si petit
que deux personnes seules peuvent y tenir. Il s'agit d'oprer
l'embarquement de telle sorte que les valets ne soient jamais sur une
rive en nombre suprieur aux matres.

                                          

Trouver un nombre de trois chiffres sachant qu'il est divisible par 5
et que le quotient est le nombre form par les deux derniers chiffres
du nombre demand.

Les seules solutions sont 125, 250 et 375.

                                          

Trouver deux nombres sachant que l'un d'eux surpasse l'autre de 13-1/2
et le contient 13 fois 1/2.

                                          

Vous demandez mon ge et mon prnom?

Mon ge est gal  son tiers plus le produit de son neuvime par les
deux tiers de son septime. Quant  mon prnom, vous le trouverez dans
le calendrier si  la moiti du nombre des jours couls depuis le
commencement de l'anne vous ajoutez le tiers des jours  courir du
jour de ma fte jusqu' la fin de l'anne ordinaire.

                                          

Trouver un nombre de 4 chiffres gal au carr du nombre form par ses
deux derniers chiffres.

_Rponse:_ 5776.

                                          

De combien de marches se compose un escalier quand en le montant de
deux en deux, il en reste une; de trois en trois, il en reste deux; de
quatre en quatre, il en reste trois; de cinq en cinq, il en reste
quatre; de six en six, il en reste cinq; et de sept en sept il n'en
reste pas.

                                          

Trouver un nombre gal au cube de la somme de ses chiffres.

_Rponse:_ 6859; 4913; 1; 512; 17576; 19683.

                                          

Dans son Monte-Christo, Alexandre Dumas demande d'tablir une addition
compose de tous les neuf premiers chiffres sans les rpter et sans
employer le zro, de faon que le total soit cent.

_Rponse:_ 74; 25; 3/6; 9/18.

                                          

Les nombres 49; 4 [48/] 9; 44 [48/] 89; 444 [48/] 889 etc.,
obtenus en insrant 48 au milieu du prcdent sont des carrs
parfaits.

                                          

Trouver un nombre entier _x_ tel que la somme des _x_ premiers nombres
entiers se compose de 3 chiffres gaux.

_Rponse:_ seulement _x = 36_ et alors la somme des 36 premiers
nombres est 666.

                                          

Un nombre quelconque tant donn, si on le rcrit en plaant le 1er
chiffre sous le 4e et si l'on ajoute, on a le nombre primitif
multipli par 7  11  13.

                                          

Dans un compte, on trouve l'article suivant:

  _{*}1  2^{f},_{*}8 ci............ _{*}98^{f},38.

Les astrisques indiquent des chiffres effacs ou illisibles qu'il
s'agit de rtablir.

                                          

Trois frres ont 30 ans, 20 ans et 6 ans; dans combien d'annes la
somme des ges des deux plus jeunes galera-t-elle l'ge de l'an?

                                          

Combien faut-il de chiffres pour paginer un livre de 1645 pages?

Il en faut 5473.

                                          

Quel est le nombre de pages d'un dictionnaire dont la pagination a
ncessit 15321 chiffres?

4107 pages.

                                          

On demande le nombre de 3 chiffres dont le double reprsente le nombre
des chiffres de tous les nombres non suprieurs au nombre cherch.

_Rponse:_ 108.

                                          

Trouver deux nombres entiers tels que leur somme gale leur
produit.--Mme question pour trois nombres.

_Rponses:_ 1 2 et 2; 2 1, 2 et 3.

                                          

Trouver un nombre entier de deux chiffres qui soit gal au double
produit de ses chiffres.

_Rponse:_ 36.

                                          

Une brebis, un agneau et deux lapins mangeraient l'herbe d'un enclos,
la premire en 30 jours, le 2e en 45 jours et les deux derniers en 90
jours, si cette herbe ne poussait pas; mais l'herbe se renouvellerait
en 60 jours. Dans combien de jours, l'herbe de l'enclos sera-t-elle
puise?

                                          

Quels sont les nombres gaux  la somme des chiffres de leurs cubes?

Ce sont 1, 8, 17, 18, 26 et 27.

                                          

Un escargot grimpant le long d'un poteau de 12 mtres fait 3 mtres le
jour et redescend 2 mtres la nuit. Au bout de combien de jours et de
nuits aura-t-il atteint le sommet du poteau?

                                          

Une ficelle a 30m de long; chaque jour, d'un coup de ciseau, on en
coupe un mtre. Dans combien de jours aura-t-on fini?

                                          

Un arabe laisse  ses trois fils 17 chameaux. Le premier doit en avoir
la moiti, le second le tiers et le troisime le neuvime. Comment
rpartir les 17 chameaux?

Le cadi appel arrive mont sur son chameau, il y a alors 18 chameaux,
le premier des frres en reoit 9, le deuxime 6 et le troisime 2. Le
cadi remonte sur son propre chameau et rentre sous sa tente.

                                          

Y a-t-il sur le globe deux hommes ayant le mme nombre de cheveux?

Soit 100 000, par exemple, le nombre de cheveux maximum sur une seule
tte, alors il n'y a pas plus de 100 000 individus ayant un nombre de
cheveux diffrent, or la terre compte plus de 100 000 habitants...

Question propose par Nicole  la duchesse de Longueville.--Auguste
Comte en parle aussi.

                                          

Trouver 6 fois 13 en 12.

crire les 12 premiers nombres, prendre les produits des extrmes et
ceux des nombres qui en sont quidistants.

                                          

Les trois Grces, portant chacune le mme nombre de couronnes,
rencontrent les neuf Muses et leur distribuent des couronnes de faon
que chaque Grce et chaque Muse en ait autant l'une que l'autre. On
demande combien chaque Grce portait d'abord de couronnes?

Extrait de l'_Anthologie grecque_.

                                          

Sur le bord d'une rivire se trouvent un loup, une chvre et un chou;
il n'y a qu'un bateau si petit, que le batelier seul et l'un d'eux
peuvent y tenir. Il s'agit de les passer tous les trois, de telle
sorte que le loup ne mange pas la chvre, ni la chvre le chou en
l'absence du batelier.

Ce problme de Bachet a peut-tre donn lieu  la locution: Mnager
la chvre et le chou,  moins qu'il n'ait t inspir par elle.

                                          

Trois pitons, marchant ensemble, ont fait 24 lieues; combien chacun
a-t-il fait de lieues?

                                          

Nous empruntons aux _Rcrations scientifiques_ de M. Lagarrigue, le
problme suivant:

Trois femmes vont au march pour vendre des oranges; la 1re en a 50,
la 2e 30 et la 3e 10. Comment pourront-elles faire pour vendre leurs
oranges au mme prix et pour rapporter cependant chacune la mme
somme?

_Rponse._--Les femmes vendent leurs moins belles oranges  7 pour 5
centimes autant de fois que possible, puis le reste  15 centimes
pice.

                                          

Un cuisinier donne la moiti de ses oeufs et la moiti d'un oeuf, 
son 1er aide; au 2e aide, la moiti du reste des oeufs et la moiti
d'un oeuf; au 3e aide, encore la moiti du reste des oeufs et la
moiti d'un oeuf. Combien le cuisinier avait-il d'oeufs et comment
a-t-il pu procder, pour ne pas casser d'oeufs?

_Rponse._--39 oeufs, par exemple, et il en reste ensuite 4 au
cuisinier.




GOMTRIE


Diviser un triangle en deux parties qui aient  la fois mme primtre
et mme surface.

                                          

Construire un triangle, un pentagone, et plus gnralement un polygone
d'un nombre impair de cts, connaissant les milieux de tous les
cts.

                                          

Quelle est la graduation de l'arc qui a la mme longueur que le rayon?

                                          

Tout triangle dont deux des bissectrices sont gales est isoscle.

                                          

Connaissant le rayon d'un rouleau de papier peint et le nombre des
feuilles, dterminer la longueur du rouleau.

                                          

Dcrire une route circulaire quidistante de quatre points.

                                          

tant donn un point sur une sphre impntrable, construire le point
diamtralement oppos, en se servant du compas sphrique.

                                          

Trouver avec le compas seulement les points de division d'une
circonfrence en quatre parties gales.--De mme, en cinq, huit,
douze, etc. parties gales.

On peut rsoudre des problmes avec le compas seul; on peut aussi en
rsoudre avec la rgle seule.

On a ainsi la _gomtrie du compas_ et la _gomtrie de la rgle_.

                                          

Inscrire dans un cercle un polygone rgulier de dix-sept cts.

_Gauss_, dans ses _Disquisitiones arithmetic_, dmontre qu'on peut
construire, avec la rgle et le compas, le ct de tout polygone
rgulier inscrit dont le nombre des cts est premier de la forme
_2^{m} + 1_.

Il y a de curieuses relations entre les quations binomes et
l'inscription des polygones rguliers.

                                          

Le triangle de Pythagore a pour cts les nombres conscutifs 3, 4 et
5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on
obtient une infinit de triangles rectangles,  cts entiers.

Ce triangle simple permet d'lever,  l'aide de trois cordeaux, la
perpendiculaire en un point d'une droite.

On dduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle  cts
entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour cts de
l'angle droit la diffrence des carrs des deux cts primitifs et le
double produit de ces mmes cts. On trouve 7, 24 et 25.

                                          

Si les cts de trois polygones semblables sont proportionnels  3, 4
et 5, la surface du plus grand vaut la somme des surfaces des deux
autres.

Proposition analogue pour quatre polydres semblables dont les cts
sont proportionnels  3, 4, 5 et 6. On considre alors les volumes.

                                          

Deux villages occupent des positions connues des deux cts d'un
ruisseau, tablir un pont qui soit quidistant de chacun d'eux.

                                          

tant donn un triangle isoscle, construire un second triangle
isoscle de mme surface et de mme primtre que le premier.

                                          

Un gourmet paye un franc une botte d'asperges, entoure d'une ficelle;
le lendemain, il demande pour deux francs une botte des mmes
asperges, qui soit entoure d'une ficelle double. Est-ce quitable?

                                          

Couper une pyramide quadrangulaire quelconque suivant un
paralllogramme.

Couper un cube suivant un hexagone rgulier.

Couper un prisme suivant un triangle quilatral.

                                          

On propose de recouvrir entirement une portion de plan avec un
carrelage form de polygones rguliers de mme espce, ou d'espces
diffrentes.

Montrer qu'on peut excuter un pavage avec des triangles quilatraux,
ou avec des carrs, ou avec des hexagones rguliers, mais qu'on ne le
peut avec des pentagones rguliers ou des polygones rguliers de plus
de six cts.

                                          

M. X... laisse  sa mort un pr carr dont on doit donner le quart aux
pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du dfunt, en
quatre parties de mme surface et de mme forme.

                                          

Trouver un triangle rectangle dont les cts soient des nombres
entiers et dont l'aire soit exprime par le mme nombre que le
contour.

_Rponses:_ 5, 12 et 13; 6, 8 et 10.

                                          

Dcrire une circonfrence tangente  trois circonfrences donnes.

                                          

Dcrire trois circonfrences telles que chacune touche les deux autres
et soit tangente  un ct d'un triangle donn.

                                                       MALFATTI.

                                          

Construire un triangle connaissant ses trois mdianes ou ses trois
hauteurs.

                                          

Tracer sur le terrain l'_ovale de jardinier_ avec trois piquets et un
cordeau.

                                          

Inscrire un carr  un triangle.--Sur lequel ct s'appuie le plus
grand carr?

                                          

Dcomposer un pentagone rgulier en sept parties, de faon
qu'assembles convenablement, elles forment un carr.

                                          

Trouver la surface d'une figure qu'il est impossible de dcomposer en
figures gomtriques calculables.--Mme question pour le volume.

                                          

Trouver la distance des centres de deux sphres donnes, en ne se
servant que de la rgle et du compas.

                                          

1 Mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut pas prolonger les
cts jusqu' leur point de rencontre.

2 Mener par un point donn une droite qui irait passer par le sommet
de l'angle prcdent.

3 Distance d'un point  un point inaccessible.

4 Distance de deux points inaccessibles.

5 Hauteur d'une tour dont le pied est accessible.

6 Hauteur d'une tour ou d'une montagne dont le pied est inaccessible.

7 Rayon d'un bassin inaccessible.

8 Prolonger une droite au-del d'un obstacle.

9 Dterminer la largeur d'une rivire qu'on ne peut traverser.

10 Reconnatre si quatre points sont dans un mme plan, puis s'ils
sont sur une mme circonfrence.

                                          

  Au grand soleil, je viens de mettre
  La lance de mon tendard;
  Sa longueur vaut trois fois le mtre;
  Son ombre a cinq mtres un quart.
  Vois aussi la tour de l'glise:
  Par son nombre elle marque cent.
  Calcule la hauteur prcise
  Du vieux clocher retentissant.
                                                         VITREY.

                                          

Dcomposer un carr en portions telles, qu'en les runissant
convenablement, on forme: 1 huit carrs gaux, 2 cinq carrs gaux,
3 trois carrs gaux.

                                          

Un jour d't, une pie aperoit de l'eau dans un trou conique de 3
pouces de diamtre au fond. Elle accourt et constate que l'eau a une
surface de 6 pouces de diamtre et s'lve  une hauteur de 2 pouces.
La pie ne pourrait atteindre l'eau que si sa surface avait 8 pouces de
diamtre. Elle vole vers un trsor qu'elle a dcouvert, combien
faudra-t-il qu'elle y prenne de pices de monnaie d'une ligne
d'paisseur et de 16 pouces de diamtre pour qu'en les portant dans
l'eau elle puisse boire  son aise?

Cette pie n'tait pas curieuse du systme mtrique.

                                          

Un tang a la forme d'un carr; au sommet de chacun des angles est
plant un arbre extrieur. Donner  l'tang une surface double sans
changer sa forme et sans dplacer les arbres qui doivent toujours
rester en dehors de l'tang.

                                          

Faire un dodcagone quilatral et rectangulaire.

(Il est concave: c'est la croix de Genve.)

                                          

Au milieu d'une pice d'eau carre de 10 pieds de longueur et de
largeur pousse un roseau qui s'lve d'un pied au-dessus de l'eau. En
le tirant vers le milieu d'un ct, il atteint juste le bord. Quelle
est la profondeur de l'eau?

La rponse  ce trs ancien problme chinois est 12 pieds.

                                          

Partager un cercle en un nombre donn quelconque de parties ayant
toutes le mme primtre et la mme surface.

                                          

tant donns deux sommets d'un carr, dterminer les deux autres 
l'aide du compas seul.




ALGBRE


  Passant, sous ce tombeau repose Diophante,
  Et quelques vers tracs par une main savante
  Vont te faire connatre  quel ge il est mort;
  Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
  Le sixime marqua le temps de son enfance;
  Le douzime fut pris par son adolescence.
  Des sept parts de sa vie une encore s'coula,
  Puis, s'tant mari, sa femme lui donna
  Cinq ans aprs un fils, qui, du destin svre,
  Reut de jours, hlas! deux fois moins que son pre.
  De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survcut:
  Dis, si tu sais compter,  quel ge il mourut.

SOLUTION

  Reprsente par _x_ le nombre en question
  Et, sans rien oublier, pose une quation
  O dans le premier membre on trouve le sixime,
  Puis le douzime d'_x_, augments du septime.
  Ajoutes-y neuf ans: le tout galera
  La moiti d'_x_. Transpose, ajoute... et ctera.
  Tu verras aisment, sans qu'on puisse en rabattre,
  Que l'ge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre.

                                          

Un mulet et un ne portent des charges de quelques quintaux. L'ne se
plaint de la sienne et dit au mulet: il ne me manque que de porter
encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit le double de la
tienne. Le mulet rpond: et moi, si je prends un quintal de ta charge,
la mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils
portent chacun.

                                                          EULER.

                                          

En supposant qu'il faille 24 clous, pour ferrer un cheval, et que le
marchal prenne un centime pour le 1er clou, 2 centimes pour le 2e, 4
centimes pour le 3e, etc., en doublant toujours.  combien reviendront
le 24e clou et tous les clous ensemble?

_Rponse:_ 83.886 fr. 08 et 167.772 fr. 15.

                                          

Quelqu'un a un vase de douze litres plein de vin; il veut faire un
cadeau de six litres ou de la moiti, mais il n'a pour mesurer les six
litres que deux vases, l'un de huit litres, l'autre de cinq. Comment
s'y prendre pour mettre les six litres dans le vase de huit?

                                          

Un gentilhomme fait faire deux habits, l'un bleu et l'autre carlate,
mais il n'en fait garnir qu'un en or. Le bleu vaut 84 fr., sans le
galon. Si l'on pose le galon sur le bleu, son prix est double de celui
de l'autre. Si, au contraire, le galon est mis sur l'habit carlate,
le prix de celui-ci sera triple de celui du bleu. Calculer sparment
le prix de l'habit carlate et le prix du galon.

                                          

Il y a actuellement prs d'un milliard trois cents millions d'hommes
et l'augmentation annuelle de la population est d'environ 1/200.
Combien y a-t-il d'annes que vivaient Adam et ve?

_Rponse:_ 4.100 ans.

                                          

            Bacchus, ayant vu Silne
            Auprs de sa cuve endormi,
            Se mit  boire sans gne
            Au dpens de son ami.
  Ce jeu dura pendant le triple du cinquime
  Du temps qu' boire seul Silne eut employ;
  Il s'veille bientt, et son chagrin extrme
  Dans le reste du vin est aussitt noy.
            S'il et bu prs de Bacchus mme,
            Ils auraient, suivant le problme,
            Achev six heures plus tt;
      Alors Bacchus et bu, pour son cot,
            Deux tiers de ce qu' l'autre il laisse.
            Ce qui maintenant m'intresse,
            Est de savoir exactement,
  Le temps qu' chaque drle il faut sparment
            Pour vider la cuve entire,
  Sans le secours de son digne confrre.

Voici la rponse, par un lve du lyce Charlemagne:

  Dans cette occasion Silne eut tout l'honneur.
  En quinze heures, Bacchus acheva la besogne;
  Il n'en fallut que dix au digne prcepteur:
  J'en conclus qu'il tait de moiti plus ivrogne!

                                          

Un matre promet  son valet 360 fr. par an et une livre; il le
renvoie au bout de 10 mois et en lui donnant 290 fr. et la livre.
Combien valait cette livre?

                                          

Combien doit-on  un maon qui s'tait engag  creuser un puits de 20
mtres de profondeur et qui tombe malade aprs avoir creus le dixime
mtre?

_Rponse:_ 125 francs, si l'on suppose qu'on paye cinq francs pour
creuser une profondeur d'un mtre et pour emporter la terre.

                                          

Construire avec un carton carr, la bote de capacit maximum.--Cas o
le carton est rectangulaire.

                                          

Construire avec une toile carre la tente rgulire carre de capacit
maximum.

                                          

 quelle distance du pied de la colonne Vendme, un vieux soldat
doit-il se placer pour voir son Empereur sous le plus grand angle
possible?

                                          

Une dame, ayant laiss tomber un bijou dans le lac de Genve, promet
100 fr. aux plongeurs qui le lui rapporteront. Trois socits de
bateliers se prsentent, l'une de Genve, la 2e de Suisse et la 3e de
Savoie. Les bateliers de la socit qui fera la dcouverte recevront 5
fr. par tte et le reste sera partag galement entre les autres. Si
les Genevois russissent, les autres auront 2^{f}(1/4); si ce sont les
Suisses, les autres auront 1^{f}(2/3); enfin si ce sont les
Savoisiens, les autres auront 1 fr. par tte. On demande de combien de
bateliers se compose chaque socit.

                                          

Deux horloges A et B sonnent l'heure en mme temps; A avance de 3
secondes sur B. Les coups de l'horloge A se succdent  5 secondes
d'intervalle, ceux de B  4 secondes, d'ailleurs lorsque l'intervalle
qui spare deux coups ne surpasse pas une seconde, l'oreille ne
peroit qu'un son. On a entendu 14 coups; quelle heure est-il?

_Rponse:_ 10 heures.

                                          

Comment deviner un nombre pens?

1 Du carr du nombre immdiatement suprieur, faites retrancher le
carr du nombre; on vous dit la diffrence, vous retrancherez un, puis
vous prenez la moiti.

2 Vous pouvez aussi faire multiplier le nombre immdiatement
suprieur par le nombre immdiatement infrieur; on vous dit le
produit, vous ajoutez un, puis vous prenez la racine carre.

3 Autrement: faites tripler le nombre pens, retranchez ensuite un,
triplez le nouveau rsultat et ajoutez ensuite le nombre pens;
demandez ce qu'on a ainsi obtenu, ajoutez 3 au rsultat et prenez les
dizaines du nombre obtenu.

4 On peut encore faire tripler le nombre, prendre la moiti du
triple, tripler cette moiti et enfin prendre le neuvime du rsultat:
en doublant ce neuvime, on aura le nombre primitif.

                                          

Dans une cage de lapins et de faisans, il y a en tout 35 ttes et 94
pattes.

Combien y a-t-il d'animaux de chaque espce?

                                          

Lorsqu'un ouvrier travaille tous les jours, mme le lundi, il
conomise 5 francs par semaine; mais quand il ne travaille pas le
lundi, il se met en retard de 3 fr. Au bout de 12 semaines il a
pargn 36 fr.; combien a-t-il eu de bonnes semaines?

                                          

Combien un piton fait-il de kilomtres  l'heure, sachant qu'ayant
fait 24 kilomtres, s'tant repos une heure et ayant fait ensuite 15
kilomtres en marchant deux fois moins vite, son voyage a dur 14
heures et demie?

                                          

Archimde, voulant connatre la composition en or et en argent de la
couronne du roi Hiron, constata qu'elle pesait 20 livres dans l'air
et qu'elle perdait une livre 1/4, lorsqu'on la pesait dans l'eau. Les
densits de l'argent et de l'or sont 10,5 et 19. Quelle tait la
composition de la couronne?

(On sait qu'un corps plong dans un liquide perd une partie de son
poids gale  celui du liquide qu'il dplace.)

C'est Vitruve qui nous a fait connatre l'exprience d'Archimde.

                                          

Deux localits A et B tant distantes de 225 kilomtres, le quintal de
charbon cote 3 fr. 75 en A et 4 fr. 25 en B et le transport 0 fr. 08
par tonne et par kilomtre. On demande le point entre A et B o le
charbon revient au mme prix, qu'on le fasse venir de A ou de
B.--Montrer que c'est en ce point que le charbon revient le plus cher.

                                          

On vous nomme un nombre, faites crire  la suite le nombre renvers
et diviser le nombre total successivement par 7, par 11 et par 13.
Deviner le dernier quotient.

                                          

Un vieillard, fin spculateur, qui a ses trente-deux dents, fait le
march suivant: les sommes qu'il touchera pour chaque _dent extraite_
de sa bouche seront en progression gomtrique de premier terme et de
raison 2. Mais pour chaque dent _non extraite_ de la mme bouche, les
sommes  payer au dentiste seront en progression gomtrique de
premier terme et de raison 3. Contrairement  ses prvisions, le
vieillard se trouve mal aprs l'extraction de la dix-neuvime dent et
renonce  continuer. Calculez: 1 la somme qui et t gagne si
l'extraction des trente-deux dents avait t complte; 2 la somme 
payer au dentiste par suite des treize dents non arraches.

(Ce problme de dentiste est baroque.)

                                          

18 boeufs ont mang en 2 jours l'herbe contenue dans 55 ares de
terrain, plus l'herbe qui y a pouss pendant ces 5 jours.--15 boeufs
ont mang en 8 jours l'herbe contenue dans 70 ares de terrain, plus
l'herbe qui y a pouss pendant ces 8 jours.--Combien faudra-t-il de
boeufs pour manger en 20 jours l'herbe contenue dans 385 ares de pr,
plus l'herbe qui y pousserait pendant ces 20 jours?

_Rponse:_ 39 boeufs.

                                                         NEWTON.

                                          

Un banquier qui fait pour 10 millions d'affaires par an, veut savoir
ce qu'il gagne  renouveler le placement de ses capitaux 2 fois, 3
fois, 4 fois, etc., par an et enfin en les replaant _ chaque
instant_. (Les intrts se composent  6%.)

_Rponse:_ Au lieu de 10600000 fr., le banquier a au bout de l'anne
10612080 fr., etc., etc., et enfin 10618365 fr.

                                          

Trouver entre 1000 et 2000 deux nombres conscutifs dont la diffrence
des cubes soit un carr?

M. L. Thomas trouve 1455 et 1456.

                                          

Un marchand de bestiaux achte 40 moutons  32 fr. pice; il en perd
un certain nombre et revend les autres en augmentant par tte le prix
d'achat d'autant de francs qu'il a perdu de moutons. Il gagne ainsi 15
fr. sur son march. Combien avait-il perdu de moutons?

Mme question, en supposant que le marchand ne gagne ni ne perd sur
son march.

Mme question encore, en supposant que le marchand perd 20 fr. sur son
march.

                                          

Un voyageur, d'une taille de 1m,80, s'avance vers un phare allum; au
dbut son ombre est de 3m et, lorsqu'il a avanc de 100 mtres, son
ombre est de 2m,20;  quelle distance est-il du phare dans sa seconde
position et quelle est la hauteur du phare?--Mme question lorsqu'on
ne donne pas la taille de l'homme et qu'on ne demande pas la hauteur
du phare.

                                          

Trouver l'ge, en 1892, d'une personne, sachant qu'il est gal  la
somme des chiffres de l'anne de la naissance.

_Rponse:_ 19 ans.

                                          

Une montre  trois aiguilles marque deux heures;  quelle heure
l'aiguille des secondes sera-t-elle bissectrice de l'angle des deux
autres?--Les pointes des trois aiguilles peuvent-elles former un
triangle quilatral?

                                          

D'aprs l'article 757 du Code civil, le droit de l'enfant naturel est
d'un tiers de la portion hrditaire qu'il aurait eue s'il et t
lgitime. Partager en consquence la succession d'une personne qui
laisse _l_ enfants lgitimes et _n_ enfants naturels.

_Rponse._--En prenant l'hritage pour unit, M. Catalan trouve
pour la part d'un enfant lgitime:

  (1/_l_)-(_n_/3_l_(_l_+1))+(_n_(_n_+1)/3^{2}_l_(_l_+1)(_l_+2))-...
  (_n_(_n_-1)...3.2.1/3^{_n_}_l_(_l_+1)...(_l_+_n_)_)

                                          

Un renard poursuivi par un lvrier a 60 sauts d'avance; le renard fait
9 sauts pendant que le lvrier en fait 6, mais trois sauts du lvrier
en valent 7 du renard. Aprs combien de sauts le lvrier
atteindra-t-il le renard?

                                          

Un lvrier vient d'atteindre un livre qui avait 77 sauts d'avance. On
sait que 12 sauts du lvrier en valent 17 du livre et que pendant que
le lvrier aurait fait autant de sauts qu'en a fait le livre,
celui-ci en aurait fait 216 de plus. Combien le livre avait-il fait
de sauts avant d'tre atteint?

                                          

Un pre a 49 ans et son fils en a 10. Dans combien d'annes l'ge du
pre sera-t-il le quadruple de celui du fils?

                                          

 quel prix un bouquiniste avait-il achet un vieux livre, sachant
que, l'ayant revendu 171 fr., il a gagn autant pour cent que le livre
lui avait cot?

                                          

Deux bureaux de bienfaisance ont distribu chacun 1200 francs  des
pauvres; le second en a secouru 40 de plus que le premier, mais il a
donn 5 francs de moins  chacun. Combien chaque bureau a-t-il secouru
de pauvres?

                                          

Quand les deux orifices sont ouverts, un rservoir est vid en 15
heures; le petit tant seul ouvert, met 16 heures de plus que le grand
pour vider le bassin. Combien de temps chaque orifice met-il seul pour
vider le bassin?

                                          

Le roi des Perses ayant demand  Sessa, l'inventeur du jeu des
checs, quelle rcompense il dsirait, Sessa rpondit qu'il dsirait
un grain de bl pour la premire case, deux pour la seconde, quatre
pour la troisime, huit pour la quatrime et ainsi de suite, en
doublant toujours jusqu' la soixante-quatrime case.

Le roi sourit; or, en faisant le calcul, on trouve 2^{64}-1 =
18.446.744.073.709.551.615 grains de bl, huit fois plus que la terre
ne produirait en un an, si toute sa surface tait ensemence en bl.

                                          

Un tonneau contient cinquante litres de vin pur; on en retire deux
litres qu'on remplace par de l'eau; du nouveau vin on retire encore
deux litres qu'on remplace par de l'eau; on agit de mme une troisime
fois, on demande la composition en vin et en eau du mlange final.

                                          

Combien a-t-on eu de mtres d'toffe pour 180 fr.; sachant que si,
pour ce prix on avait eu 2 mtres de plus, chaque mtre aurait cot 3
francs de moins?

                                                          EULER.

                                          

Combien une horloge, sonnant les heures, les quarts, les demies, les
trois quarts, frappe-t-elle de coups pendant le tour du cadran?

                                          

Dterminer sur la droite qui joint deux lumires le point galement
clair.

                                                       CLAIRAUT.

                                          

Trouver un triangle ayant pour cts trois nombres entiers conscutifs
et dont le plus grand angle soit double du plus petit.

                                          

Un arpenteur, aprs avoir mesur un terrain rectangulaire, en a oubli
les dimensions, mais il sait que leur somme est 650 mtres et que la
superficie du terrain est de 10 hectares 46 ares 45 centiares.
Calculer les deux dimensions du champ.

                                          

  Des singes s'amusaient: de la troupe bruyante
  Un huitime au carr gambadait dans le bois;
        Douze criaient tous  la fois
  Au haut de la colline verdoyante.
        Combien taient-ils au total?

                                          

            D'un essaim de mouches  miel
            Prends la moiti, puis la racine;
  Dans un champ de jasmin, cette troupe butine.
  Huit neuvimes du tout voltigent dans le ciel.
            Une abeille solitaire
  Entend, dans un lotus, son mari bourdonner:
  Attir par le miel, pendant la nuit dernire,
            Il s'tait fait emprisonner.
  De combien est l'essaim, le saurais-tu, ma chre?

Ce problme et le prcdent sont traduits par M. L. Rodet du Lilawti,
recueil mathmatique en vers que l'hindou Bhscara, vivant au XIIe
sicle, ddia  sa fille.

                                          

Trouver les rayons d'un cylindre et d'un cne, de mme hauteur connue,
sachant qu'ils sont quivalents en volume et en surface.

                                          

Le prix du diamant tant proportionnel au carr de son poids, un
diamant cass en deux morceaux quelconques perd de sa valeur; dans
quel cas la dprciation est-elle la plus grande possible?

                                          

Quelle annuit faut-il payer pour rduire de moiti, au bout d'un
temps donn, une dette contracte  intrts composs  un certain
taux?

                                          

Dans le trajet d'une voiture, on a remarqu que la roue du devant, qui
a 2m,20 de tour, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrire,
qui a 4 mtres de tour. Quelle est la longueur du trajet?

                                          

On fait une premire saigne et on pse la partie solide du sang
coul; on injecte un poids connu d'eau distille: on fait une seconde
saigne de mme poids que la premire et on pse encore la partie
solide. Calculer d'aprs ces expriences, le poids du sang circulant
dans le corps.

                                                       VALENTIN.

 l'aide de donnes numriques que nous omettons, on trouve 14
kilogrammes, nombre un peu trop fort parce qu'on nglige l'eau
transsude pendant les cinq minutes ncessaires pour que l'eau se
rpartisse dans tout le sang.

                                          

Pour calculer la profondeur d'un puits, on peut noter, avec une montre
 secondes, combien de temps il s'coule entre l'instant o on laisse
tomber une pierre  l'ouverture du puits et l'instant o l'on entend
le choc contre le fond.

                                                         NEWTON.

                                          

Calculer la vitesse propre d'un bateau, sachant que pour descendre 24
kilomtres sur une rivire dont le courant est de 3 kilomtres par
heure et pour remonter ensuite 13 kilomtres, il a fallu en tout 7
heures au bateau.

                                          

Trouver un nombre de deux chiffres gal au produit de la somme de ses
chiffres par leur diffrence.

                                          

Sur le bord d'une rivire s'lve une colonne surmonte d'une statue;
un observateur, plac sur la rive oppose, voit sous un mme angle la
statue et un soldat plac au pied de la colonne: on demande,
connaissant les hauteurs de la colonne, de la statue et du soldat, de
calculer la largeur de la rivire.

                                          

Voici un joli tour: il s'agit de deviner une carte _pense_.

On prend au hasard 21 cartes que l'on range en 3 paquets de 7 cartes,
en en plaant d'abord 3  ct l'une de l'autre, puis les 3 cartes
suivantes successivement sur les 3 premires et ainsi de suite. On
demande  une personne de penser une des cartes qu'elle voit ainsi
ranger et on lui demande dans quel paquet se trouve la carte pense.
On met alors les 3 paquets l'un au-dessus de l'autre, en ayant soin de
placer au milieu le paquet contenant la carte pense, les rectos des
cartes tant tous du mme ct. On range de nouveau les cartes en 3
paquets de 7 cartes en procdant comme tout  l'heure, on demande
encore dans quel paquet se trouve la carte pense, on place ce paquet
entre les deux autres et on recommence une troisime fois la mme
manoeuvre.--Finalement, la carte pense se trouve tre la onzime!




MCANIQUE


Deux courriers marchant uniformment sur deux droites, quelle position
occupent-ils lorsque leur distance est minimum?

                                          

Faire tourner les deux pieds autour des talons restant fixes, jusqu'
ce que la base d'appui soit maximum: c'est alors que la stabilit est
la mieux assure.

                                          

Une marchande de cerises a perdu ses poids; arrive sur le march,
elle trouve un grs de 40 livres, le partage en quatre morceaux et
vend au dtail la marchandise: Quels sont les poids des quatre
fragments qui servent pour les peses entre 1 et 40 livres?

                                          

 deux de ses clients, un marchand pse un mme poids de marchandise,
avec une balance  bras ingaux. Il intervertit dans les deux cas
l'usage des plateaux. Le marchand, en procdant ainsi, gagne-t-il ou
perd-il?

Il perd.

                                          

Centre de gravit d'une sphre dans l'intrieur de laquelle est
pratique une cavit sphrique; 2 lorsque la cavit est remplie de
substance diffrente.

                                          

Calculer l'heure indique par une horloge, sachant que les aiguilles
sont diriges: la petite dans l'intervalle entre les chiffres XI et
XII du cadran, la grande dans celui entre les chiffres XII et I et que
la marche naturelle du mcanisme peut  un autre instant les
substituer l'une  l'autre.

                                          

Un commerant se servant d'une balance fausse gagne 11% de plus que si
elle tait exacte. Mais s'il changeait de plateau, la marchandise et
les poids, son gain serait nul. Quel serait le gain pour cent, si la
balance tait exacte?

                                          

Expliquer la suspension des cerfs-volants sous l'action du vent et de
la traction de la corde.

                                          

Faire voir qu'en orientant convenablement la voile, on peut, sous
l'action d'un vent de direction donne, faire prendre  un bateau des
directions presque en sens contraire.

                                          

Les deux problmes suivants sont ds  M. G. Tarry:

3 ballons se meuvent uniformment en ligne droite; on donne leurs
positions  2 instants diffrents. Construire une droite qui puisse
tre parcourue uniformment par un ballon, de faon que les trois
premiers ballons paraissent immobiles  l'aronaute du 4e.

                                          

4 trains se meuvent uniformment sur des voies rectilignes; on donne
leurs positions  2 instants diffrents. Construire une voie
rectiligne qui puisse tre parcourue uniformment par un train de
faon qu' tout instant les 4 premiers trains paraissent immobiles
aux voyageurs du 5e.




ASTRONOMIE


On demande combien de kilomtres par minute parcourt un paralytique du
Prou, qui se croit clou sur son fauteuil.

                                          

Les aiguilles concident  midi, on demande l'heure exacte de
leur prochaine rencontre, puis de leur position en ligne
droite.--Qu'arriverait-il si elles marchaient en sens contraire l'une
de l'autre?

En supposant trois aiguilles,  quelle heure l'aiguille des secondes
divisera-t-elle en deux parties gales l'angle des deux autres?

                                          

Trouver, en un point donn, le jour du plus petit crpuscule.

                                                   NONIUS, 1573.

                                          

Quel est le dernier jour de la semaine? Quel jour finira le XIXe
sicle?

Henri Heine, se vieillissant de quelques jours, prtendait tre n le
1er janvier 1800, pour pouvoir se dire le premier homme de son sicle.
Faute analogue de calcul de la part de Victor Hugo, n en 1802,
lorsqu'il en conclut: Ce sicle avait deux ans...

Le XIXe sicle a commenc le 1er janvier 1801, et non en 1800, car
aucune anne ne porte le numro zro; il finira le 31 dcembre 1900.

                                          

Se servir du cadran solaire comme d'un cadran lunaire, connaissant
l'_ge_ de la lune.

                                          

Quelle heure est-il, sachant qu'il reste encore  s'couler de la
journe les quatre tiers de ce qui s'est coul?

                                          

 quelle distance deux marins dont les vaisseaux marchent en sens
contraire cessent-ils de s'apercevoir? On connat leur hauteur commune
au-dessus du niveau de la mer.

                                          

Calculer la diffrence des chemins parcourus par le sommet et le pied
de la tour Eiffel, haute de 300 mtres, pendant une rotation de la
terre sur elle-mme.--Calculer aussi la surface alors engendre par
l'axe de la tour.

                                          

Quelles seraient les apparences astronomiques pour un observateur
situ sur la lune?

                                          

Un habitant de Nogent-le-Rotrou fait, par son testament, lgataire
universel, l'an de ses deux neveux, qu'il ne dsigne pas autrement.
L'un est n  Nancy  six heures du matin et l'autre le mme jour 
Brest  cinq heures et demie du matin (heures locales). Lequel des
deux doit hriter?




MATHMATIQUES SUPRIEURES


Une caisse paralllpipdique, tant remplie d'un trs grand nombre de
petites boules gales, on demande quelle partie de la caisse est
occupe par les boules.

_Rponse:_ [pi]/3[[V]2], environ les 3/4.

Mme question, avec des cercles dans le plan.

Conclure qu'on ne peut remplir le plan avec des cercles, ni l'espace
avec des sphres.

                                          

Huit personnes, contentes de dner ensemble, se proposent de s'inviter
mutuellement, jusqu' ce qu'elles aient puis toutes les faons de se
placer  table.

_Rponse:_ 40 320 dners, soit 110 ans.

                                          

On casse au hasard une barre en trois morceaux; quelle est la
probabilit pour qu'on puisse former un triangle avec les trois
morceaux?

                                          

Disposer 30 prunes et 10 pches, de faon  avoir toutes les pches en
les prenant de 12 en 12.

_Rponse:_ Pches aux places 7. 8. 11. 12. 21. 22. 24. 26. 37.

                                          

Au jeu d'checs, faire parcourir au cavalier les 64 cases, l'une aprs
l'autre, sans le faire passer deux fois dans la mme.

Chacun sait qu'un cavalier plac sur une case d'une certaine couleur
ne peut passer que sur les cases de l'autre couleur qui sont  deux
rangs de la sienne.

                                          

Deux tonneaux de capacit diffrente sont pleins de deux vins
diffrents, trouver quel mme nombre de litres il faut prendre dans
les deux pour qu'aprs l'change les deux pices aient la mme
composition.

                                          

Mme question en supposant une proportion diffrente de mme vin et
d'eau dans les deux tonneaux.

                                          

Le nombre des dcs tant de 1/42 de la population et le nombre des
naissances de 1/35, on demande en combien de temps la population d'un
pays sera double.

                                          

Pierre et Paul sont soumis  un scrutin de ballottage; l'urne contient
_m_ bulletins favorables  Pierre; _n_ favorables  Paul; _m_ est plus
grand que _n_, Pierre sera lu. Quelle est la probabilit pour que,
pendant le dpouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un
ordre tel que Pierre ne cessera pas un seul instant d'avoir
l'avantage?

                                          

On tire  la cible. L'arme, sans tre parfaite, ne prsente aucun
dfaut systmatique; les dviations ont en tous sens la mme
probabilit. Quelle est la probabilit pour que le point frapp soit 
une distance du but comprise entre _r_ et _r + dr_?

Donnes insuffisantes.

                                          

Combien y a-t-il de mots forms de neuf lettres? (les mots peuvent
n'avoir aucune signification et mme ne pas tre prononables).

_Rponse:_ 98 956 601 600 mots.

                                          

Trouver l'arc double de sa corde.

Ce problme donne lieu  une quation transcendante; il ne peut pas
tre rsolu avec la rgle et le compas. De mme pour les trois
exercices suivants.

                                          

Partager un demi-cercle en deux parties quivalentes par une parallle
au diamtre.

                                          

Quelle doit tre la longueur de la longe d'un cheval pour qu'en la
fixant au contour d'un pr circulaire l'animal ne puisse tondre que la
moiti du pr?

                                          

Percer une vote hmisphrique de quatre fentres gales de faon que
le reste de la surface soit exactement carrable. (Fentres de
Viviani.)

                                          

Dans un pays qui compte 10 millions d'lecteurs, on en dsigne 20.000
par un tirage au sort, pour leur faire lire un reprsentant. En
supposant que le pays soit partag entre deux opinions, 4.500.000 d'un
ct et 5.500.000 de l'autre, quelle est la probabilit pour que le
candidat lu appartienne  la minorit?

                                          

Dans la question des _intrts composs continus_, on demande ce que
devient, au bout d'un nombre donn d'annes, un capital plac  un
taux connu, en supposant que l'intrt se capitalise d'_instant en
instant_.

                                          

Trouver le diamtre d'un cercle, tant donnes les longueurs de trois
cordes formant un contour ferm termin aux extrmits de ce diamtre.

                                                         NEWTON.

                                          

On place, bout  bout, _n_ couples de cartes inclines l'une sur
l'autre et une carte entre deux couples; par dessus, on met _n - 1_
couples dont on assure la stabilit de mme, et ainsi de suite.
Combien faudra-t-il de cartes pour faire ce chteau?

Mme question pour un chteau  tages carrs, la stabilit tant
obtenue en remplaant chaque couple par un nombre de couples gal 
celui des couples primitifs.

                                          

Un chien part d'un point en dehors de la route et court vers son
matre qui chemine uniformment. tudier la _courbe du chien_.

                                          

Trouver le lieu du point tel que le produit de ses distances 
plusieurs droites donnes soit dans un rapport constant avec le
produit de ses distances  d'autres droites donnes.

Ce problme, qui avait occup les Anciens, est trait par Descartes au
commencement de sa Gomtrie.

                                          

Comment passer successivement sur tous les ponts de Paris, sans passer
deux fois sur aucun d'eux?

Cas o l'on ne tient pas compte du pont en bois de l'Estacade et cas
o l'on en tient compte.

                                          

Donner un triangle dont les trois cts et la surface soient
reprsents par des nombres entiers. Il suffit de prendre pour cts
3, 4 et 5 ou 13, 14 et 15.

Voici une autre solution donne par M. Catalan:

_a = 12355_, _b = 12363_, _c = 34_, _s = 204204_.

                                          

Des enfants dansent en rond en se donnant la main, autour d'un autre
plac au centre. Comment faut-il disposer les enfants, dans leurs
rondes successives, pour que chacun d'eux se trouve une fois au
centre, et deux fois voisin de tous ses camarades?

                                          

Quinze jeunes filles se promnent journellement trois par trois; on
demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que
chaque jeune fille se trouve successivement une seule fois en
compagnie avec toutes les autres.

                                          

On sacrifiait  Apollon sur un autel cubique en or. Pendant une
pidmie, on fit demander au dieu, pour l'apaiser, ce qu'il dsirait;
l'oracle rpondit: Doublez l'autel.

Les prtres construisirent un autel de ct double, mais la peste ne
cessa point.

Le problme de la _duplication du cube_ n'est pas _lmentaire_,
c'est--dire qu'il ne peut pas se rsoudre avec la rgle et le compas,
en traant seulement des droites et des circonfrences.

                                          

Diviser un angle en trois parties gales. Problme de la _trisection_.

Mme observation que pour la question prcdente: on ne peut que
procder approximativement.

                                          

Construire le carr quivalent  un cercle de rayon donn: tel est le
problme de la _quadrature du cercle_.

Il faudrait savoir d'abord rectifier la circonfrence, c'est--dire
tracer la droite de mme longueur qu'une circonfrence de rayon donn,
puis prendre la moyenne proportionnelle entre cette droite et la moiti
du rayon.--Voici une solution trs approche, due au jsuite polonais
Koskanski: aux extrmits du diamtre d'une demi-circonfrence, levez
les perpendiculaires gales au triple du rayon et au demi-ct de
l'hexagone rgulier, la distance des deux points obtenus a sensiblement
mme longueur que la demi-circonfrence.

On a dmontr rcemment que le problme de la quadrature du cercle
est impossible avec la rgle et le compas. Ce n'est pas seulement
parce que [pi] est incommensurable, puisqu'on sait construire
rigoureusement certains nombres incommensurables.

Les Anciens avaient imagin, pour rsoudre les trois problmes
prcdents, les courbes appeles _cissode_, _conchode_ et
_quadratrice_.

                                          

Un jardin circulaire renferme un puits  son centre. Le jardinier
puise de l'eau dans le puits et s'en sert pour arroser le jardin.
Combien mettra-t-il de temps pour l'arroser en entier?

                                          

Un bon bourgeois fait faire dans sa cave un casier de neuf cases
disposes en carrs; la case du milieu tait destine  recevoir les
bouteilles vides provenant de la consommation de soixante bouteilles
pleines, qu'il disposa dans les huit autres cases en mettant six
bouteilles dans chaque case des angles et neuf dans chacune des autres
cases. Son domestique enleva d'abord quatre bouteilles qu'il vendit,
et disposa les bouteilles restantes de manire qu'il y en et toujours
vingt et une sur chaque ct du carr. Le matre, tromp par cette
disposition, pensa que son domestique n'avait fait qu'une
transposition de bouteilles, et qu'il y en avait toujours le mme
nombre. Le domestique profita de la simplicit de son matre pour
enlever de nouveau quatre bouteilles, et ainsi de suite jusqu' ce
qu'il n'y ft plus possible d'en enlever quatre sans que le nombre
vingt et un cesst de se trouver sur chaque ct du carr. On demande
comment il s'y prit  chaque fois et de combien de bouteilles il fit
tort  son matre.

                                             BACHET DE MZIRIAC.

L'erreur provenait de ce que les bouteilles places dans les coins
comptaient double.

                                          

Dterminer toutes les manires possibles de placer huit reines sur
l'chiquier ordinaire, de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse
tre prise par une autre.

                                                          GAUSS.

                                          

Faire rapidement la somme des piles de boulets _sphriques_: piles
carres, rectangulaires ou triangulaires.

                                          

Le problme du dblai et du remblai a beaucoup occup les
mathmaticiens. Il s'agit de partager la tranche  creuser et le
remblai  lever en volumes lmentaires, se correspondant deux 
deux, de faon qu'en multipliant la masse de chacun des volumes
lmentaires du dblai par le chemin qui le spare du volume
quivalent du remblai, la somme des produits obtenus soit la plus
petite possible. Les frais de transformation du dblai en remblai
seront alors minimums.

                                          

Discuter l'quation de la _courbe du diable_:

_y^{4} - x^{4} + ay^{2} + bx^{2} = 0_.

                                          

De combien de manires peut-on replier sur un seul une bande d'un
nombre donn de timbres-poste?

Nous croyons qu'on n'a pas encore pu rsoudre ce problme propos par
M. Em. Lemoine.




NOTE BIBLIOGRAPHIQUE


Aux renseignements sur les livres clbres de mathmatiques, pars
dans cet ouvrage, nous allons ajouter les titres seulement de quelques
livres sur la philosophie, l'histoire, les applications,
l'enseignement et les curiosits des mathmatiques.


PHILOSOPHIE DES MATHMATIQUES

AMPRE.--Philosophie des sciences, 2 vol.

J. F. BONNEL.--De l'imagination dans les principes des sciences
exactes.

DE BROGLIE (abb).--Influence du 1er livre d'Euclide sur la formation
philosophique des esprits.

DE CAMPOU.--Thorie des nombres ngatifs.

L. CARNOT.--Rflexions sur la mtaphysique du calcul infinitsimal.

T.-V. CHARPENTIER.--Descartes.

CHASLES.--Gomtrie suprieure.

COYTEUX.--Expos des vrais principes des mathmatiques.

A. COMTE.--Philosophie positive (fin du premier volume et commencement
du second).

DELBOEUF.--Prolgomnes philosophiques de la gomtrie.

EVELLIN.--Infini et quantit.

DE FREYCINET.--Essai sur la mtaphysique du haut calcul.

GIGON.--Nombres incommensurables.

HOEL.--Essai de critique sur les principes fondamentaux de la
gomtrie lmentaire.--Thorie lmentaire des quantits complexes.

L. HUGO.--Du symbolisme licite en mathmatiques.

JACQUIER.--De l'esprit des mathmatiques suprieures.

LAGUERRE.--Recherches sur la gomtrie de direction.

LAISANT.--Thorie des quaternions.

LIARD.--1 Dfinitions gomtriques et dfinitions empiriques; 2
Descartes; 3 Les logiciens anglais contemporains.

MOIGNO (abb).--De l'impossibilit du nombre actuellement infini.

MOUREY.--La vraie thorie des quantits ngatives et des quantits
prtendues imaginaires.

PASCAL.--Presque toutes ses oeuvres.

PONCELET.--Trait des proprits projectives.

DE TILLY.--Essai sur les principes fondamentaux de la gomtrie et de
la mcanique.

F. VALLS.--Des formes imaginaires en algbre.

WOLF.--Les hypothses cosmogoniques.


HISTOIRE

ALLEGRET.--Pascal, Vite, Newton et Leibniz.

MARIE AGNESI.--Trait de calcul infinitsimal (Traduction de Bossut).

F. ARAGO.--Notices biographiques.

J. BERTRAND.--Les fondateurs de l'astronomie moderne.

BOSSUT.--Histoire des mathmatiques (2 vol., 1810).

CHASLES.--Aperu sur les mthodes en gomtrie.

CANTOR.--Histoire des mathmatiques (en allemand).--Les deux premiers
volumes, jusqu'en 1668.

DELAMBRE.--Rapport sur les progrs des sciences mathmatiques (1810).

DESBOVES.--tude sur Pascal.

ENESTRM.--Programme d'un cours universitaire d'histoire des
mathmatiques. Stockholm, 1890.

LOUIS FIGUIER.--Vies des savants illustres (cinq volumes).

FONTENELLE.--loges des acadmiciens.

GARNIER.--Trisection de l'angle (1809).

DE FONVIELLE.--La mesure du mtre.

SOPHIE GERMAIN.--Mmoire sur les surfaces lastiques.

CHARLES HENRY.--Lettres de Lagrange, de Laplace, d'Euler; les deux
plus anciens traits franais de mathmatiques; introduction  une
esthtique scientifique, etc.

HERMITE.--Discours  l'inauguration de la nouvelle Sorbonne.

G. HUMBERT.--Progrs des mathmatiques en France de 1878  1888. (Dans
le compte rendu du Congrs bibliographique.)

E. LEBON.--Notions sur l'histoire de l'astronomie. (Dans le _Bulletin
scientifique_.)

MAINDRON.--L'Acadmie des sciences.

MANSION.--Prcis de l'histoire des Mathmatiques.

MAXIMILIEN MARIE.--Histoire des sciences mathmatiques (12 volumes).

MONTUCLA.--Histoire des Mathmatiques (4 volumes).

PINET.--Histoire de l'cole polytechnique.

SAVRIEN.--Progrs de l'esprit humain dans les sciences exactes.

P. TANNERY.--La gomtrie grecque.

VALSON.--Essai sur la vie et les travaux de Cauchy.


APPLICATIONS

AMIGUES.-- travers le ciel.

Annuaire du bureau des longitudes. (Petit mmorial indispensable, avec
des notes scientifiques.)

J. BERTRAND.--Calcul des probabilits.

BUFFON.--Essai d'arithmtique politique.

CHARLON.--Thorie mathmatique des oprations financires.

COLLET.--La carte dite de l'tat-Major.

COURNOT.--Recherches sur les principes mathmatiques de la thorie des
richesses.

DORMOY.--Thorie mathmatique des assurances sur la vie.

CHARLES DUPIN.--Gomtrie et mcanique des Arts et mtiers (4
volumes).

FLAMMARION.--tudes et lectures sur l'astronomie (9 petits vol.).

DE LA GOURNERIE ET E. LEBON.--Arches biaises.

GUYOU ET SIMART.--Gomtrie du navire.

LABOSNE.--Instruction sur la rgle  calcul.

LAPLACE.--Exposition du systme du monde; Essai philosophique sur le
calcul des probabilits.

SBASTIEN LECLERC.--Pratique de la gomtrie sur le papier et sur le
terrain (1764).

MAURICE LVY.--La statique graphique (4 vol.).

DOUARD LUCAS.--Application de l'arithmtique  la construction de
l'armure des satins rguliers.

G. DE LONGCHAMPS.--Essai sur la gomtrie de la rgle et de l'querre.

MAHISTRE.--L'art de tracer les cadrans solaires.

AMIRAL MOUCHEZ.--La photographie astronomique.

PERRY.--Physiologie mathmatique.

A. PICARD.--Introduction aux principes mathmatiques du monde
physique.

LE P. SECCHI.--Le soleil.

SONNET.--Dictionnaire des mathmatiques appliques.

F. THOMAN.--Thorie des intrts composs et des annuits.


ENSEIGNEMENT

DAUGE.--Mthodologie mathmatique.

DEVELAY.--Arithmtique et algbre d'mile. (Avec cette pigraphe: Que
mon lve n'apprenne pas la science; qu'il l'invente).

DUHAMEL.--Des mthodes dans les sciences de raisonnement (5 vol.).

JOANET.--Trait des rciproques de la gomtrie de Legendre.

LACROIX.--Essai sur l'enseignement des mathmatiques.

LAGOUT.--Tachimtrie.

REDOULY.--ABC de l'X: Grammaire et logique des mathmatiques.

PAUL SERRET.--Des mthodes en gomtrie.


CURIOSITS

BACHET DE MZIRIAC.--Problmes plaisants et dlectables.

BALL.--Rcrations et problmes. (En Anglais).

BERGERY.--L'arithmtique sans chiffres.

BOISSIRE.--Rhythmomachie ou combat des nombres.

PRINCE BONCOMPAGNI.--Cinq lettres de Sophie Germain  Gauss.

BOUCHET (Ch.)--La posie des mathmatiques.

BUSSCHOP.--Recherche sur le jeu du solitaire (Bruges, 1879).

CALINON.--tude sur la sphre, la ligne droite et le plan.

CARLET.--Application des Mathmatiques  la Mdecine.

Carrs magiques.--Frnicle, Sauveur, Euler, Violle, Thompson, Horner,
Laquire, Frolow, etc.

CARTAUD.--Penses critiques sur les mathmatiques.

CHAM.--Arithmtique illustre.

CHAVIGNAUD.--Nouvelle arithmtique mise en vers.

CLOAREC.--Dynamique intellectuelle ou application de l'algbre  la
Thologie.

CORIOLIS.--Thorie mathmatique du billard.

COSSERAT.--Sur le cercle considr comme lment gnrateur de
l'espace.

DELBOEUF.--Sur le thorme de d'Alembert.

VAN ETTEN.--Rcrations mathmatiques (1633).

FLAMMARION.--Lumen.

FLEURY.--Cl du taquin (Marseille, 1880).

FONTENELLE.--Entretiens sur la pluralit des mondes.

FOUCHER.--La gomtrie mtaphysique. La gomtrie en vers techniques
(1807).

GAUKES.--De medicin ad certitudem mathematicam evehenda.

GUYOT.--Nouvelles rcrations mathmatiques.

DU HAYS.--Sur le jeu du loto.

Intgration de God save the queen.

JACOBY.--Henri Mondeux.

DE LABOURDONNAYE.--Trait du jeu des checs (1833).

LAISANT.--Gomtrie des quinconces.

LAMBERG.--Courbe algbrique reproduisant les traits d'un visage.

DE LA LANDELLE.--Phylon Binome.

LAQUIRE.--Gomtrie de l'chiquier.

LEIBNIZ.--Arithmtique binaire.

EM. LEMOINE.--Mesure de la simplicit en mathmatiques.

DOUARD LUCAS.--Rcrations mathmatiques (4 vol.).

LUYA.--Amusements arithmtiques et algbriques de la campagne
(Genve, 1799).

MARIAGE.--Numration par huit.

MASCHERONI.--La gomtrie du compas.

LE P. MERSENNE.--Questions inouyes (1633).

MEYNIEZ.--Paradoxes contre les mathmaticiens qui abusent la jeunesse.

DE MIRVAL.--Thtre scientifique.

MONTUCLA.--Histoire des recherches sur la quadrature du cercle.

MYDORGE.--Rcrations mathmatiques.

OZANAM.--Rcrations mathmatiques (4 vol.).

J. B. PRS.--Comme quoi Napolon n'a jamais exist.

DE POLIGNAC.--Sur la course du cavalier au jeu des checs.

POTT.--Le systme numral quinaire et vigsimal.

REISS.--Combinaisons au jeu des 28 dominos.

RICARD (DOMINIQUE).--La sphre, pome en huit chants.

STOMMA.--Les checs.

STUPUY.--Oeuvres philosophiques de Sophie Germain.

TARNIER.--Le langage des nombres.

THOMSON.--La gomtrie sans axiomes.

Trois livres d'arithmtique de Tahiti, en langue indigne (Oahu,
1836).

VINOT.--Rcrations mathmatiques.

VITREY.--Contes et comptes; 148 problmes en vers.

WEIGEL.--Arithmtique ttractique.

H. DE WRONSKI.--Technie de l'algorithmie (1811).




INDEX


Cette table analytique comprend les noms de choses et ceux de
_personnes_, ces derniers en italique. On pourra ainsi suivre le mme
sujet dans tout le livre, en se reportant aux divers renvois.


  A

  _Abdank-Abakonowicz_, 255

  Abeilles, 443

  _Abel_, 185, 190, 260, 275

  _Aboul-Wefa_, 121

  _About_, 279

  Abrgeons, 427

  Abstractions, 20, 365

  Absurde (Par l'), 26, 31

  Acadmie, 132, 143, 182, 219, 229, 290, 330, 335, 374, 529

  Addition, 258, 465

  Admiration, 313

  _Achille_, 410

  ge du capitaine, 460

  _Agnesi (Marie)_, 273, 528

  _Agripa_, 295

  _Ahms_, 121

  _Albert Girard_, 47

  _Albert-Lvy_, 422

  _Alcuin_, 384

  _D'Alembert_, 10, 36, 42, 113, 123, 127, 144, 151, 188, 199, 247,
    341, 385, 406

  _Alexandrie_ (cole d'), 120

  Algbre, 297, 493

  Algbre morale, 227

  Allgorie, 398

  _Allegret_, 321, 528

  Almageste, 121, 126

  Alphabet, 263

  Amateurs (Appel aux), 1

  me de la terre, 364

  L'me et la vie, 350

  _Amigues_, 529

  Amiti, 160, 443

  _A. Ampre_, 14, 145, 191, 198, 316, 352, 372, 527

  _J. Ampre_, 198

  _Amsler_, 255

  Amusettes, 331

  Analyse, 4, 24, 33, 42, 113, 168

  Anarchie, 259

  Anatomistes, 252

  _Anaxagore_, 374

  Anctres, 324

  _D. Andr_, 144

  ne (sa mesure), 421

  Anecdotes, 177

  Anglais (Jeune), 215

  _Angoulme_ (Duc d'), 212

  Animaux (Savent-ils compter?), 361, 387

  Annuaire du Bureau des longitudes, 529

  Anonyme, 71, 106, 119, 130, 168

  An quarante, 418

  Antechrist, 358

  Anthologie grecque, 483

  Antipodes, 412

  Anxit, 260

  L'Aperu historique, 130, 383

  _Apollonius_, 120, 125, 138, 236, 273

  Apologue, 304

  _Appell_, 142, 143

  Applicable  tout, 236

  Applications, 12, 63, 529

  Approximations, 94, 160

  Arabes, 121

  _Arago_, 37, 63, 71, 75, 110, 128, 188, 204, 213, 215, 279, 298, 462, 528

  _Arbogast_, 132

  _Archimde_, 32, 79, 120, 125, 138, 196, 206, 297, 352, 377, 499

  Architecte mal pay, 218

  Arnaire, 297

  Argent (De l'), 193, 353

  Argot, 421, 429

  Argot de l'X, 422

  Argument, 50

  _Aristophane_, 373

  _Aristote_, 3, 232, 257

  Arithmtique, 67, 471, 531

  Arithmtique de grand-papa, 252

  Arithmtique politique, 256

  Arithmomanie, 444

  _D'Arlincourt_, 430

  _Arnauld_, 295

  _Arnoux_, 369

  Arpentage, 6, 68, 135, 505

  Artillerie, 64

  Arts (Beaux), 159, 419

  Arts mcaniques, 69

  Arts militaires, 70

  _Aryabhata_, 121

  Assembles dlibrantes, 95

  Assurances, 67, 529

  Astrologie, 218

  Astronomie, 84, 513

  Asymptotes, 10, 408

   Athnes, 284

  Attraction universelle, 123, 281, 288, 303, 418

  _Saint-Augustin_, 296, 453

  Auteur embarrass, 192

  Autobiographie, 182

  Autres et soi, 443

  Auxerre, 215

  Avant Leibniz et Newton, 345

  Avatar du nombre, 378

  Avenir, 352

  Aveugles, 186

  Avocat, 166, 464

  Axiomes, 21, 102, 341, 347, 356, 367


  B

  _Babinet_, 461

  Baccalaurat, 465

  _Bacchus et Silne_, 495

  _Bach_, 380

  _Bachet de Mziriac_, 158, 471, 523, 530

  _Bcklund_, 143

  _F. Bacon_, 156, 391

  _R. Bacon_, 374

  _Badoureau_, 318

  _Bailly_, 187

  Balances, 99, 392, 510, 511

  Balistique, 70

  _Ball_, 530

  Ballottage, 518

  _H. de Balzac_, 363, 369

  Banques, 67, 501

  _De Banville_, 465

  _Barbara_, 225

  _Bardot_, 254

  Barme suffit, 309

  _Barrow_, 236

  Abb _Barthlemy_, 284, 379

  _Barthlemy Saint-Hilaire_, 163

  _Bassot_, 143

  Bataille ou ranon? 430

  _Beaumarchais_, 466

  Beaut de la science, 316

  Beaux esprits, 310

  _Becquerel_, 143

  _Bellavitis_, 29, 51

  _Beltrami_, 143

  Benzine, 366

  _Branger_, 55, 226

  _Berchoux_, 335

  _Berdell_, 411, 424

  _Bergery_, 530

  _Cl. Bernard_, 316

  _Bernardin de Saint-Pierre_, 213

  Les _Bernoulli_, 98, 141, 182, 275, 377, 440

  _Berthelot_, 143, 241, 292, 316

  _Bertrand_ (de Genve), 20

  _Joseph Bertrand_, 92, 98, 99, 116, 141, 143, 159, 280, 359, 374,
    528, 529

  _Bessel_, 266

  _Bezout_, 141, 207

  _Bhscara_, 121, 297, 506

  Bible, 146, 318, 373

  Bibliographie, 301, 302, 527

  _Bichat_, 358

  Billard, 194, 531

  _Binet_, 220

  _Biot_, 128, 181, 298

  _Bjirknes_, 143

  _Charles Blanc_, 424

  _Blanchet_, 335

  Bl (Prix du), 158, 454

  _Bowdwich_, 272

  _Boileau_, 430, 464

  _Boissire_, 531

  _Boiste_, 168

  _Bol_, 190

  _Bolyai_, 293, 386

  _de Bonald_, 305

  _Prince Boncompagni_, 140, 531

  Bonhomie, 195

  _J.-F. Bonnel_, 29, 45, 57, 394, 527

  Bon sens, 14

  _Boole_, 344

  _Borda_, 131, 284

  _Bordas-Demoulin_, 147

  _Borel_, 144

  _Borelli_, 252

  Born, 352

  _Bossuet_, 82

  _Bossut_, 13, 127, 140, 184, 273, 528

  _Bouchet_, 531

  _de Boufflers_, 330

  _Bougaev_, 293

  _Bouguer_, 130

  _Bouquet de la Grye_, 143

  _Bourdeau_, 10

  _J. Bourget_, 50, 142

  _P. Bourget_, 352

  Bourse (La), 67

  _Boussinesq_, 17, 57, 143, 347, 359

  Boutades, 462

  Brachistochrone, 373

  _Bradley_, 193

  _Bramagupta_, 121

  Brsil, 378

  _Brioschi_, 143

  _Brisse_, 142, 144

  _Brocard_, 144

  _Brochard_, 410

  _De Broglie_, 527

  Brouette, 279

  _Buchanan_, 415

  _Budan_, 141

  Budget, 67

  Le P. _Buffier_, 368

  _Buffon_, 60, 351, 387, 397, 529

  _Burdeau_, 278

  Buses graves, 423

  _Busschop_, 531


  C

  Cadastre, 68, 425

  Cadrans solaires, 70

  Caf, 335

  Calcul, 244, 297, 356

  Calculateur, 423, 466

  Calcul infaillible, 149, 396

  Calcul infinitsimal, 123, 128, 139, 345

  Calcul mental, 67, 372

  Calculs des ouvriers, 243

  Calendrier, 70, 320

  _Calinon_, 244, 531

  _Callandreau_, 143

  Calomnie, 271

  Cambridge, 208

  _de Campou_, 47, 527

  Cancre, 220

  _de Candolle_, 238

  Canoniss, 295

  _Cantor_, 140, 295, 528

  Caractre des mathmatiques, 3

  _Cardan_, 122, 187, 408

  Cardinaux (Points), 216, 463

  _Carlet_, 531

  Carnavalet (Muse), 283

  _Laz. Carnot_, 58, 124, 145

  Carr de l'hypotnuse, 452, 459

  Carr long, 310

  Carrer, 229

  Carrs diaboliques, 441

  Carrs magiques, 440

  _Cartaud_, 531

  Carte de l'tat-Major, 69, 529

  Carte pense, 508

  Cartes gographiques, 69

  Cas irrductible, 138, 408

  Casquette, 190

  Casserole, 454

  _Cassini_, 275

  _Le P. Castel_, 398

  _Marchal de Castries_, 202

  _Catalan_, 210

  _Catulle_, 6

  _Cauchy_, 47, 48, 124, 129, 139, 141, 145, 152, 260, 279, 309, 316

  _de Caussans_, 379

  Caustiques, 301, 440

  Centenaires, 144, 277, 278

  Cercle, 231, 358, 364

  Cercle de Popilius, 380

  Certitudes antrieures, 360

  _Csarine_, 446

  Chaldens, 119

  _Cham_, 531

  _Champfort_, 461

  _Chandos_, 166

  Charenton, 187

  _Charlemagne_, 130

  _Charles VI_, 311

  _Charles XII_, 441

  _Charlon_, 529

  Charpente, 68

  _T. V. Charpentier_, 39, 527

  _Charraux_, 292

  _Chasles_, 30, 41, 124, 130, 136, 266, 278, 316, 527, 528

  _Chateaubriand_, 315, 450

  Chteaux de cartes, 520

  _du Chtelet (Marquise)_, 273, 405

  Chats, 191

  Chaumire indienne, 213

  _Chavignau_, 531

  Chemin de fer, 69, 512

  Chemins, 69

  Chenille, 449

  Chercheur, 369

  Cheval, 519

  _Chev_, 214

  Cheveux, 233, 482

  Chvre et chou, 483

  _Chevreul_, 206

  Chicane, 376

  Chien (sa courbe), 520

  Chiffres, 384, 530

  Chinois, 121

  Chose, 376

  _Christophe Colomb_, 267

  Chronologie, 70

  _Cicron_, 136, 280, 427

  Ciel en cristal, 283

  Cinq mille quarante, 397

  Cinquime livre, 259

  Cit modle, 397

  Civilis, 346

  Civisme, 276

  _Clairaut_, 108, 109, 280, 376, 505

  Clair-obscur, 428

  _J. Claretie_, 425

  Classification, 31

  Clefs, 48, 162, 395

  _Cloarec_, 531

  Club, 215, 222, 380

  Code civil, 502

  Coefficients de correction, 268

  Coeur et raison, 365

  _Collet_, 529

  _Colnet_, 327

  Colombe, 331, 415

  Combinaisons, 67, 417

  Comtes, 216

  Commencements, 361

  _Compagnon_, 10

  Compas, 225, 532

  Complaisances astronomiques, 215

  Comptable, 343

  Comptes (Vieux), 380, 480

  Compteur, 319

  _Aug. Comte_, 5, 14, 35, 52, 163, 387, 527

  Conceptions, 368

  Concepts mathmatiques, 16

  Concession, 374

  Conciliation, 359

  Concours gnral, 208

  _Condillac_, 38, 147, 153, 168, 351

  Condition ncessaire et suffisante, 117

  _Condorcet_, 14, 22, 37, 101, 159, 203

  Cne, 506

  Coniques, 14, 120, 125, 447

  Consciencieuse, 223

  Conservation et progrs, 95

  Conservatoire des Arts-et-Mtiers, 134

  _Benjamin Constant_, 379

  Constante, 54

  Constantinople, 214

  Construction, 20, 239

  Constructions civiles et militaires, 69

  Constructions navales, 70

  Contes et comptes, 532

  Continuit, 30, 32, 57, 118, 361

  Continu mathmatique, 53

  Contours trompeurs, 414

  Contradictions, 426

  Conversation (Dernire), 181

  _Copernic_, 84, 89, 122, 167, 262

  _Coriolis_, 194, 531

  _Cornu_, 143

  Correspondance, 207

  Cosmographie, 84, 513

  _Cosserat_, 531

  Cossistes, 376

  Coton et musique, 261

  _Cottin_, 330

  Couleurs, 420, 424

  Coup de foudre, 195

  Coupe des pierres, 68, 76

  Courbe banale, 442

  Courbe du diable, 525

  Courbe renaissante, 440

  _Cournot_, 4, 9, 46, 66, 116, 529

  Courtisans, 180, 288

  _Coyteux_, 527

  _Craig_, 455

  _Cremona_, 143

  Critrium, 364

  _A. Croiset_, 162

  Cuisine, 467, 484, 488

  Culture d'Euclide, 242

  Curiosits, 440, 530

  _Cuvier_, 165

  Cyclides, 274

  Cyclode, 253, 301, 373, 442

  Cylindre, 506


  D

  Dames, 230, 290

  Danse en rond, 521

  Danseur, 466

  _Dante_, 373

  _Darboux_, 142, 143

  _Daru_, 303

  _Dasypodius_, 245

  _L. A. Daudet_, 366

  _Dauge_, 530

  _Daunou_, 289

  Dax, 284

  Dbat pdagogique, 240

  Dblai et remblai, 524

  _Debray_, 135

  Dcadents, 444

  Dcimtre carr, 215

  Dcisions judiciaires, 99

  Dcouverte aprs coup, 40

  _Dedekind_, 143

  Dduction, 10, 25, 293

  Dfinir (On ne peut pas tout), 17

  Dfinition, 29

  Dfis, 182

  De froid, 187

  _Delambre_, 28, 76, 126, 132, 134, 298, 528

  _Delaunay_, 374

  _Delboeuf_, 164, 360, 362, 527, 531

  _Delbos_, 209

  _Deleuze_, 250

  _Delezenne_, 402

  Demi-circonfrence, 409

  Dmonstration et syllogisme, 250

  Dmonstrations fausses, 382

  Dmontrer, 24, 27, 117

  Dmontrer (On ne peut pas tout), 16

  Dnominateur  la maison, 190

  _Deprez_, 143

  Dputs, 95, 183

  Dernire conversation, 181

  _Desargues_, 75

  _Desboves_, 268, 528

  _Descartes_, 3, 12, 30, 32, 39, 123, 127, 139, 141, 144, 153, 175,
    182, 287, 377, 527

  Desiderata, 416

  Dsintressement, 199

  Dsorient, 386

  Dessins, 68

  _Destut-Tracy_, 244

  Dterminant, 264

  Dterminisme, 226

  Deux droits, 459

  Deux et deux, 329, 341, 363, 459

  _Develay_, 530

  Dveloppe, 440

  _H. Deville_, 135

  Diagonale du carr, 33

  Diamant, 506

  _Dickens_, 215, 371

  Dictionnaire, 70, 463, 530

  _Diderot_, 162, 228, 236, 292, 388

  _Le P. Didon_, 161

  _Dieu_, 85, 91, 146, 147, 236, 303

  _Diogne_, 466

  _Diophante_, 121, 126, 137, 158, 493

  Diplomatie, 329

  Discipline, 250

  Disquisitiones arithmetic, 486

  Distractions, 179, 191

  Dites et ne dites pas, 111

  Divine proportion, 305

  Diviseur et ramasse-tout, 252

  Division, 252

  Dix (Tout par), 282

  Dix-huit, 429

  Dix-huitime sicle, 123, 144

  Dix mois (A), 219

  Dix-neuvime sicle, 124, 144, 514

  Dix-septime sicle, 122, 138, 144

  Documents, 290

  Dodcadre, 271

  Dominos, 417

  _Dormoy_, 194, 529

  Double pese, 392

  Douze, 387

  Douze fois douze, 184

  _Drapeyron_, 70

  Droite bizarre, 452

  Un duel, 289

  _Dufresny_, 239

  _Dugald-Stewart_, 239

  _Duhamel_, 17, 24, 59, 100, 149, 530

  _Du Hays_, 531

  _Alexandre Dumas, fils_, 411

  _Alexandre Dumas, pre_, 479

  _J.-B. Dumas_, 290

  _Dupanloup_, 109, 160, 217

  _Charles Dupin_, 29, 243, 467, 529

  Duplication du cube, 120, 521

  _Ch. Dupuy_, 144

  _J. D. Dupuis_, 417

  _V. Duruy_, 162

  _Duval-Jouve_, 11

  Dynasties (Deux), 275


  E

  Sur l'chafaud, 187

  checs, 193, 517, 524, 532

  clipse du colonel, 219

  cole normale, 277

  cole polytechnique, 209, 246, 263, 276, 529

  conomie politique, 66

  Efforts glorieux, 197

  gal  zro, 219

  galit circulaire, 231

  gosme, 388

  gyptiens, 119, 121, 135, 167, 289

  Eiffel (Tour), 514

  lections, 207, 518

  lgance et symtrie, 38

  Ellipse, 87

  _mile_, 104, 105

  _Sextus Empiricus_, 351

  En avant, 113

  Enchres, 462

  _Enestrm_, 140, 528

  Enfant terrible, 211

  Enfants (Gomtrie des), 103

  Enfants et ignorants, 101, 211

  Enseignement, 101, 530

  Enseignement (Nouvel), 389

  Enttement, 213

  Enthousiasme, 167

  pigramme, 311

  pine, 252

  quations, 35, 138, 262, 264, 321, 445, 452

  quidomode, 396

  quipollence, 51

  _Erasme_, 350

  _Erkmann-Chatrian_, 261, 425

  Erratum, 395

  rudits, 379

  Escalier, 253

  Espace, 16

  Esprit (Sa mesure), 247

  Esprit de finesse et de gomtrie, 149

  Esprit mathmatique, 5

  Esprit qui s'gare, 156

  Esthtique, 420

  tapes pdagogiques, 101

  toile avale, 453

  trangets, 440

  tre et nant, 359

  tudiants, 202

  tymologies, 297

  _Euclide_, 32, 120, 125, 169, 180, 229, 242, 246, 280, 376, 394, 444

  _Euler_, 64, 97, 123, 141, 158, 186, 203, 245, 281, 451, 493, 505, 531

  vanouissement, 304

  _Evellin_, 527

  volution, 136

  Exactes (Sciences), 10

  Exagrations, 158

  Examen prilleux, 207

  Examens (Prparation aux), 110

  Examinateur, 202

  Exceptions, 97

  Exprience, 17, 18

  Exprience gomtrique, 253

  Exprimentons, 291

  Extension du raisonnement mathmatique, 168


  F

  Facties gomtriques, 212

  Facile de voir, 181

  Facults intellectuelles, 148

  Fagots et fagots, 264

  _Faidherbe_, 403

  Famille (Nombreuse), 451

  Fantaisies, 327, 460

  _Faraday_, 355

  _Fatio de Duillier_, 187

  _Faurie_, 310

  _Miss Fawcett_, 208

  _Faye_, 89, 143, 415

  _Fechner_, 358

  _Fnelon_, 217

  Fentre, 519

  _Fergusson_, 272

  _Fermat_, 97, 123, 127, 273, 416, 417

  _Fronce_, 272

  _Fvre_, 459

  Fictif et born, 236

  _L. Figuier_, 299, 350, 528

  Figures, 10, 17, 33, 247, 302

  Fil de soie, 325

  Finances, 67, 464, 529

  Fin de sicle, 349, 514

  Fin du monde, 221, 455

  _Flammarion_, 265, 356, 456, 529, 531

  _H. Fleury_, 531

  _Florian_, 429

  Fluxions, 123, 301

  Fonctions, 8, 45, 54, 55

  Fonctions transcendantes, 461

  Fontainebleau, 321

  _Fontenelle_, 64, 140, 164, 330, 332, 354, 528, 531

  _Fonvielle (De)_, 298, 397, 529

  Force, 22

  _Forsight_, 143

  Fort-Noire, 261

  Formules, 36, 37, 374

  Fort en thme, 209

  _Foucher_, 531

  _Foucou_, 294

  Fougueux, 306

  _Fouillie_, 287, 365

  _Fouret_, 144

  _Charles Fourier_, 346

  _Joseph Fourier_, 37, 63, 126, 128, 129

  Fous, 187

  _Franois Ier_, 130

  _Franklin_, 161, 227

  _Frdric II_, 451

  _Fresnel_, 316

  _De Freycinet_, 61, 143, 527

  _Froebel_, 456

  Fromage, 253, 400

  _Frontera_, 410

  _Fuchs_, 143

  Fuseaux amricains, 411


  G

  _Galile_, 64, 79, 122, 127, 225, 253, 468

  _Galle_, 87

  _E. Galois_, 289

  Gamma (Point), 277

  Garde nationale, 334

  Gargantua, 419

  _Garnier_, 528

  Gaufres, 257

  _Gaukes_, 531

  _Gauss_, 124, 273, 293, 316, 372, 399, 486, 524

  _Genaille_, 254

  Gnraliser, 29, 47

  Gnralit, 249

  Gnralits, 3

  _Mme de Genlis_, 372

  _Genocchi_, 348

  Godsie, 69

  _Mme Geoffrin_, 405

  Gographie, 69

  Gomtre (Un), 179

  Gomtres, 144, 179, 316

  Gomtres au pouvoir, 185, 450

  Gomtrie, 33, 68, 480

  Gomtrie analytique, 39, 127, 139

  Gomtrie des abeilles, 443

  Gomtrie des enfants, 103

  Gomtrie des chiens, 520

  Gomtrie descriptive, 68, 75, 128

  Gomtrie et analyse, 33

  Gomtrie et morale, 232

  Gomtrie infinitsimale, 58

  Gomtries non euclidiennes, 346

  _Gerbert_, 121, 295

  _Gergonne_, 200, 298

  _Sophie Germain_, 33, 141, 273, 529, 531

  _Grono_, 142, 329

  _Gigon_, 527

  _A. Girard_, 47

  _J. Girardin_, 220

  _Glaucon_, 154

  Gnomonique, 70

  _Goethe_, 429

  _De Goncourt_, 425

  _Gordan_, 143

  _Le P. Goub_, 208

  _Goulier_, 268

  _De la Gournerie_, 529

  _Goursat_, 144

  Gouvernement des gomtres, 185, 450

  _Gozlan_, 460

  _Gradgrind_, 371

  Grces, 483

  Grandeurs, 4, 5

  Grandeurs (Leur mesure indirecte), 5

  Grandeurs directives, 47, 50

  _Grandidier_, 143

  _De Grandsagne_, 235

  Graphiques, 68

  _Le P. Gratry_, 31, 111

  Gravitation (voir Attraction universelle).

  Grecs, 11, 14, 119, 136, 137, 138, 231, 529

  Greenwich, 193

  _Pape Grgoire XIII_, 320

  _Grgory_, 287

  _Le P. Grimaldi_, 448

  Grues, 442

  _Guiraudet_, 86

  _Guyot_, 531

  _Guyou_, 143, 529

  _Mme Guzman_, 456

  _Gyp_, 211


  H

  Habitabilit des plantes, 263, 442

  _Hadamard_, 144

  Halle ( la), 207

  _Halphen_, 112

  _Hamilton_, 49, 51, 240

  _Hankel_, 37, 136, 140

  _H. Harant_, 263

  Hardiesse, 293

  Harmonie des sphres, 288

  Harmonien (L'), 346

  Harmoniques (Nombres), 420

  _Hariot_, 122

  _Haton de la Goupillire_, 143

  _Hatt_, 143

  _Hegel_, 359

  _H. Heine_, 513

  _Heiss_, 384

  _Henri IV_, 321, 454

  _Charles Henry_, 140, 301, 420, 529

  _Henry_ (Les frres), 392

  _Herbart_, 453

  _Hercule_, 81

  _Herlinus_, 245

  _Hermite_, 143, 144, 157, 529

  _Hrodote_, 135

  _W. Herschel_, 245, 454

  Heure europenne, 411

  Heure nationale, 322, 515

  Heureux, 316

  Hindous, 121, 136, 137, 208

  _Hipparque_, 120, 126

  _Hippasos_, 271

  _Hippocrate_, 377

  Histoire, 119, 140, 270, 372, 528

  _Hobbes_, 351

  _Hoefer_, 125, 345

  _Homre_, 6, 386

  Homognit, 36

  Homo mathematicus, 217

  _Mme de l'Hpital_, 299

  _Marquis de l'Hpital_, 272, 299

  _Hoppe_, 5

  Horlogerie, 70, 180, 320, 497, 502, 511

  _Hoel_, 102, 528

  _Houzeau_, 222, 362

  _F. Huet_, 244

  _D. Huet_, 310

  _L. Hugo_, 396, 528

  _V. Hugo_, 312, 422, 423, 428, 482

  _Hugues le Roux_, 467

  _d'Hulst_, 362

  Huit (Les trois), 208

  Huit reines, 524

  _E. Humbert_, 142

  _G. Humbert_, 144, 529

  _Hume_, 249

  Humilit, 196

  Humour, 465

  _Huxley_, 355, 399

  _Huygens_, 123, 280

  _Hypatie_, 273

  Hyperespace, 347, 368

  Hypothses, 239, 528


  I

  Ibis, 290

  Iconologie, 311

  Ides gomtriques, 10, 17, 18

  Identit, 351

  Ignorants, 211

  Image, 311

  Images lointaines, 356

  Imaginaires, 9, 34, 49, 52, 377, 394, 407, 528

  Impertinence, 468

  Impossible, 47, 51, 260

  Impt cubique, 448

  Inaccessibles, 490

  _Inaudy_, 372

  Incommensurables, 33, 45, 148, 331, 419, 527

  Incomprhensible, 446, 454

  Inconnues, 419

  Inde (Dans l'), 208

  Indfini, 358

  Index alphabtique, 533

  Indiens (voir Hindous)

  Induction, 96

  Infini, 56, 61, 424, 453

  Infiniment grands, 56

  Infiniment petits, 31, 56

  Infinitsimale (Dcomposition), 58, 59

  Initis, 271

  Instrument, 37

  Intgraphes, 255

  Intgrateurs, 255

  Intellectuel (Perfectionnement), 155

  Intelligent (Peu), 213

  Intrts composs, 354, 501, 523, 530

  Intrts composs continus, 519

  L'Intermath, 145

  Intermdiaire des chercheurs et des curieux, 279

  Interprtation, 36, 38

  Interversion des facteurs, 136

  Intuition, 244

  Inventeurs, 290

  Invisible, 266

  _Iphignie_, 159, 173

  Irrationnel, 403

  Irrgulier (Un), 388

  Isagoge in artem analyticam, 126

  Isoprimtres, 212, 257, 414

  Italiens, 122

  _Ivan_ le terrible, 218


  J

  _Jablonski_, 112

  _Jacobi_, 97, 124, 168, 197

  _Jacoby_, 531

  _E. Jacquier_, 83, 528

  _Jamblique_, 203

  _P. Janet_, 5, 358

  _Janssen_, 143

  Jardiniers, 213, 271

  Jetons, 297

  Jetons Bardot, 254

  Le jeu, 66

  Jeune anglais, 215

  Jeunes filles, 521

  Les jeux, 66, 230

  _Jevons_, 344

  _Joanet_, 530

  _De Jonquires_, 143

  _C. Jordan_, 31, 142, 143

  _J. Jordan_, 272

  _Josphe_, 472

  _Le P. Joubert_, 144

  _J. Joubert_, 314

  Jouets mathmatiques, 333

  Joueur (La ruine du), 99

  Joueurs (Bons), 193

  Journal des savants, 299

  Journaux de mathmatiques, 142

  Jour perdu ou gagn, 412, 463

  _Joyau_, 195

  _Jubinal_, 200

  Jupiter, 86, 453

  _Jurien de la Gravire_, 231


  K

  _Kang-Hi_, 270

  _Kant_, 9, 239

  _Kepler_, 58, 87, 123, 138, 158, 167, 184, 192, 218, 225, 308, 364

  _Klein_, 143

  _Klumpf_, 343

  _Koenigs_, 144

  Le Koran, 319

  _Le P. Koskanski_, 522

  _Mme de Kowalewski_, 274

  _Kuang Siu_, 270


  L

  _Labosne_, 530

  _De Labourdonnaye_, 531

  _La Bruyre_, 330

  _La Caille_, 199

  _La Condamine_, 130, 330

  _Lacordaire_, 453

  _Lacroix_, 60, 108, 152, 165, 201, 275, 378, 530

  _Paul Lafitte_, 462

  _Pierre Lafitte_, 141

  _La Fontaine_, 161, 400

  _Lagarrigue_, 484

  _Lagny_, 184

  _Lagout_, 257, 530

  _Lagrange_, 36, 82, 123, 129, 131, 144, 157, 181, 185, 189, 205, 280, 399

  _Laguerre_, 528

  _Laisant_, 144, 145, 302, 528, 531

  _Lalande_, 140, 221, 283, 463

  _De La Landelle_, 531

  _Lalanne_, 254

  _Lamartine_, 217

  _Lamberg_, 531

  _Lam_, 202, 246, 388, 389

  _Lande_, 278

  Langage (Fautes de), 111

  _Langendick_, 299

  _J.-A. Langlois_, 464

  Langue, 38, 111, 297, 419

  Lapins et faisans, 498

  _Laplace_, 20, 66, 86, 87, 93, 94, 95, 96, 110, 116, 123, 126, 128,
     147, 181, 185, 226, 233, 391, 449, 463, 530

  _De Laprade_, 236

  _Laputa_, 449

  _Laquire_, 531

  _Lartet_, 380

  _Laugel_, 55

  _H. Laurent_, 48, 144, 368

  _Mme de Lautr_, 372

  _Lavoisier_, 131

  _Laut_, 143

  _E. Lebon_, 529

  _S. Leclerc_, 530

  _Leconte de Lisle_, 227

  _Lefbure de Fourcy_, 190

  _Lefvre_, 272

  Lgende, 289

  _Legendre_, 170, 185, 205, 259, 275

  _Leibniz_, 9, 56, 123, 125, 139, 146, 159, 169, 182, 207, 230, 232,
    243, 245, 345, 361, 368, 375, 386, 442, 448, 531

  _Lemercier_, 290

  _Lemierre_, 328

  _Lemoine_, 145, 278, 302

  _E. Lemoine_, 393, 525, 531

  Lentement, 222

  _Lonard de Pise_, 122

  _Lonard de Vinci_, 158

  _De Lpine_, 254

  _Leslie_, 252, 368

  Lev des plans, 68

  _Le Verrier_, 86, 209, 266, 328

  Levier, 79

  _M. Lvy_, 143

  _Liapounoff_, 143

  _Liard_, 4, 18, 250, 351, 528

  _Libri_, 188

  _S. Lie_, 143

  Livres et lvriers, 503

  Lignes de conduite, 354

  Lignes de l'querre, 403

  _Lilawti_, 506

  Limite, 31, 46, 56, 59

  _Linsteedt_, 143

  Lion, 474

  _Liouville_, 138, 142, 145, 298

  _Lippmann_, 143

  Lire dans l'espace, 401

  Littrature, 297, 419

  _Lobatschewski_, 293, 386

  _Locke_, 152

  _Loevy_, 143

  Logarithmes, 122, 214, 397, 440, 450

  Logique, 162

  Logique de Port-Royal, 26, 90

  Logiques anglaises, 344

  Lois sociales et morales, 93

  _G. de Longchamps_, 142, 144, 530

  Longvit, 223

  _Duchesse de Longueville_, 233

  _Lordat_, 350

  _Loridan_, 201

  Loterie, 66, 329

  _Louis XVIII_, 223, 288

  _Louis XV_, 311

  _Loulou_, 211

  Loups, 394

  Loxodromie, 320

  _E. Lucas_, 117, 254, 378, 530, 531

  _F. Lucas_, 445

  _Lucas de Burgo_, 122, 305

  _Lucrce_, 412

  Lune, 86, 374, 418, 515

  Lunules, 377

  _Luya_, 531


  M

  _J. Mac_, 101, 252

  Machines, 69, 79

  Machines arithmtiques, 254

  Machines logiques, 344

  _Mac Laurin_, 287, 301, 443

  Madrigal algbrique, 328, 330

  _Dr Magnan_, 445

  _Mahistre_, 530

  _Maindron_, 529

  _Mairan_, 273, 405

  _J. de Maistre_, 235, 247, 256

  _X. de Maistre_, 310

  _Malebranche_, 148

  _Malfatti_, 489

  _Malherbe_, 158

  _Malthus_, 349

  Mandarins (Petits), 206

  _Mannheim_, 144, 206, 253, 254

  _Mansion_, 141, 143, 529

  _Marat_, 271

  _Marcellus_, 196

  _Marchal de Saxe_, 381

  Mariage, 188, 192, 369

  _Mariage_, 532

  _M. Marie_, 126, 137, 140, 529

  _Markoff_, 143

  Mars, 456

  Marseille, 460

  _Mary-Lafon_, 200

  _Mascart_, 143

  _Mascheroni_, 532

  Masse, 22

  Matelot et coniques, 14

  Mathmaticiens (Les), 299

  Mathmaticiens (Les grands), 125

  Mathmaticiens de Laputa, 449

  Mathmaticiens vivants, 143

  Mathmaticiennes, 273

  Mathmatique (La), 4, 10, 13, 14, 212

  Mathmatique (Esprit), 5

  Mathmatiques appliques, 63, 390

  Mathmatiques en vers, 451, 531

  Mathmatiques de Robinson, 391

  Mathmatiques suprieures, 516

  Mathsis, 11

  _Mauduit_, 201

  _Maupertuis_, 377

  Maximum, 138, 393, 496, 510

  Mayence, 207

  _Mazarin_, 216

  Mcanique, 21, 79, 127, 129, 510

  Mcanique cleste, 128, 271

  _Mchain_, 132, 298

  Mdecine, 507, 531

  Mlanges, 146, 504

  _Mray_, 144, 316, 401

  Mridien, 215

  _Le P. Mersenne_, 182, 417, 532

  _Mry_, 332

  Mesurages, 68, 211

  Mesure, 5, 6

  Mesure de l'esprit, 247

  Mesures subtiles, 393, 397

  Mtagomtrie, 346

  Mtaphores, 239

  Mtaphysique, 9, 243, 527

  Mthodes, 23, 110, 252, 382

  Mtre, 71, 211

  Mtres carrs, 259

  _Meyniez_, 532

  _Michelet_, 296, 423

  Micromegas, 306

  Micron, 318

  Militaires (Sciences), 278

  _Stuart Mill_, 99, 241, 367

  Mille, 466

  _Mirabeau_, 324, 464

  _de Mirval_, 299, 532

  _Mittag-Leffler_, 143

  Mnmonique, 383

  Modrs, 329

  Modestie, 195

  Module, 50

  Moeurs des savants, 179

  _Mohamed ben Musa_, 121

  _Abb Moigno_, 353, 528

  Moins (Signe), 47

  Moins par moins, 394, 406

  Moins que rien, 394

  Moiti plus un, 462

  _Molire_, 216, 297, 327, 467

  _Molyneux_, 186

  Monde (Soulever le), 79

  _H. Mondeux_, 372, 531

  _Monge_, 76, 77, 124, 128, 131, 145, 202, 204

  Monnaie, 66, 258

  Monologue, 422

  Monome (Le), 422

  _Montaigne_, 146, 408, 465

  Monte-Carlo, 99

  _Monteil_, 300

  _Montesquieu_, 179

  _Montucla_, 12, 140, 165, 236, 529, 532

  Moquerie, 418

  Morale, 146, 160, 243, 314

  Morceaux choisis, 1

  _Moreri_, 379

  _De Morgan_, 344

  Mort d'Archimde, 196

  Mort de la Science, 227

  Morts, 325

  Mots et signes, 245

  _Mouchot_, 43

  _Amiral Mouchez_, 530

  Moujik, 380

  Moulin, 355

  Mourant, 236

  _Mouret_, 367

  _Mourey_, 528

  _Moutard_, 144

  Moutons, 501

  Mouvement, 16

  Mouvement diurne, 87

  Mouvement perptuel, 362, 393

  Mouvement singulier, 415

  Moyeu de la roue, 405

  Muhendis, 214

  Mulet, 362

  Multiplication, 46, 411

  _Munito_, 361

  Muses, 483

  Musique, 274

  _Mydorge_, 532

  Mystre, 235


  N

  Naf, 223

  _Napolon_, 157, 161, 185, 213, 267, 290, 463, 532

  Naturalistes, 238

  Nature (son tude mathmatique), 63

  Navigation, 70, 80, 472, 529

  _Neil_, 378

  _Nemzetseg_, 384

  Nogomtres, 349

  _Neper_, 122, 254

  Neptune, 86, 328, 418

  Nerf de la guerre, 308

  _Neuberg_, 143

  _Newton_, 85, 110, 123, 128, 139, 141, 144, 157, 167, 183, 191, 196,
    206, 281, 345, 418, 500, 520

  Nez perdu, 193

  _Nictas_, 136

  _Nicole_, 233

  Nil, 119, 135

  Nivellement, 68

  _Ch. Nodier_, 465

  Nombre (Un grand), 417

  Nombre (son avatar), 378

  Le nombre! 247

  Nombre de Platon, 416

  Nombre indispensable, 383

  Nombre infini, 353

  Nombre mystrieux, 358, 454

  Nombre pens, 497

  Nombres, 16, 17, 45, 247

  Nombres (Thorie des), 417

  Nombres amiables, 444

  Nombres curieux, 318

  Nombres harmoniques, 420

  Nombres gomtriques, 442

  Nombres ngatifs, 9, 34, 47, 53, 384, 394, 527

  Nombres parfaits, 444

  Nomographie, 255

  _Nonius_, 513

  Nord et Sud, 463

  Notions primitives, 16

  Numration (Systmes de), 386, 441

  Numrotage, 384


  O

  Objections, 405, 406

  Objet des mathmatiques, 3

  Observatoire, 213, 215, 328, 462

  _d'Ocagne_, 255

  Oeuf, 423

  Oiseaux, 332, 362

  Oisivets, 451

  _Olbers_, 374

  _Oll-Laprune_, 291

  Omnibus, 226, 279

  Onze mille, 459

  Oprations (Calcul des), 4, 38

  Oprations abrges, 256

  Opinions amres, 217

  Opinions des savants, 179

  Oracle, 149, 428

  Ordre et mesure, 3, 4, 5

  Ordre mathmatique, 8

  Ordre physique, 8

  Origine, 18, 135, 248

  Oubli, 327

  Ourse, 454

  _Owen_, 217

  _Ozanam_, 195, 532


  P

  _Painlev_, 144

  Pair ou impair? 443

  _Palitzch_, 272

  Pan! 429

  Panama (Le), 69

  _Mme Pape-Carpentier_, 354

  _Pappus_, 121, 137, 443

  Parabole, 64, 180

  Paradoxes, 339

  Parallles, 293, 385

  Parapluies, 401

  Paresse, 199

  Parfaitement, 247

  Paris et Dfis, 182

  Parler de ce qu'on sait, 450

  Parole d'honneur, 212

  Partage, 400, 401, 475

  Parure, 424

  Pas (Faux), 226

  _Pascal_, 14, 16, 23, 91, 123, 127, 128, 146, 149, 153, 158, 162,
    173, 182, 254, 279, 301, 315, 365, 528

  Passions, 368, 446

  _Pasteur_, 278, 316

  Patience, 318

  Paume (Jeu de), 230

  Pdant, 346

  _Penjon_, 186

  Penses, 1

  Pentagone toil, 271

  Perdu, 425

  _J. B. Prs_, 532

  _Mme Prier_, 14

  Prihlie, 418

  Permanence des rgles, 37

  _Pre Pencu_, 427

  _Gnral Perrier_, 132

  Perruquiers, 397

  Personnages (Tristes), 188

  Perspective, 68, 180

  _Petersen_, 143

  Perturbations clestes, 87

  Petites-Maisons, 329

  Phare, 501

  Phniciens, 119

  _Philolas_, 148

  Philosophie, 146, 225, 341

  Phobos et Deimos, 306

  Photographies clestes, 392

  Physique, 8, 9, 66

  Pi, 331, 383, 395, 419

  _A. Picard_, 530

  _E. Picard_, 143, 267

  _J. Picard_, 130

  Pie, 491

  Pierre  aiguiser, 376

  _Pinet_, 422, 529

  _Piron_, 330

  Placement (Bon), 332

  Placements rpts, 501

  Plaidoirie en chiffres, 334

  Plaies, 257

  Plan et droites (Leur notion), 20, 21

  Plantes, 462

  Planimtres, 255

  _Plateau_, 186

  _Platon_, 25, 33, 120, 146, 147, 153, 241, 289, 311, 397, 416, 466

  Pluralit des mondes, 265, 442, 457

  Plus haut, 246

  Plus tard, 235

  _Plutarque_, 196, 374

  _Poe_, 194, 363

  _H. Poincar_, 53, 142, 143, 395

  _Poinsot_, 28, 39, 155, 383

  _Poisson_, 31, 57, 158, 203, 275, 359

  Police, 214

  _De Polignac_, 532

  Politique, 279, 329

  _Poncelet_, 27, 33, 124, 189, 290, 361, 528

  _R. Ponchon_, 461

  Ponctualit, 203

  _Pons_, 272

  _Ponsard_, 225, 299

  Pont, 9, 153, 179

  Pontes, 99

  Ponts (Passage des), 521

  Ponts et chausses, 69

  _Popilius_, 380

  Porcs, 451

  _Porro_, 406

  _Portalis_, 158

  Portrait cherch, 284

  Portraits, 190

  Port-Royal (Logique de), 26, 90

  Positifs (Trop), 229

  Positivistes, 141, 231

  Postillon, 198

  Postulatum, 293, 385

  Potage, 258

  _Potier_, 143

  _Pott_, 532

  _Le P. Poulain_, 264

  Prcision, 267

  Prcocit, 279

  Prcurseur, 287

  Prface, 1

  Premier venu, 468

  Prsident, 206, 336

  Prtres menacs, 283

  _Preyer_, 219

  Principes (Les), 253

  Principes mathmatiques de la philosophie naturelle, 85, 196, 271

  _Privat-Deschanel_, 79

  Prix, 142, 158

  Probabilits (Calcul des), 66, 90, 516, 518, 529

  Probable (Plus que), 329

  Problmes (En), 268

  Problmes curieux et humoristiques, 469

  Procd singulier, 395

  Professeur de triangle, 422

  Professeurs et tudiants, 202

  Progrs et conservation, 95

  _De Prony_, 397

  Proportion, 3

  Proportion divine, 305

  Proposition (Son tude analytique), 112

  Protestation, 428

  Prototype, 133

  _Proudhon_, 387

  _Prouhet_, 304

  Providence, 147

  _Ptolme_, 111, 121, 126, 273, 462

  _Roi Ptolme_, 180

  Puits (Problme du), 507

  Pyramides, 119, 319

  _Pythagore_, 43, 120, 203, 271, 274, 287, 454


  Q

  Quadrateur, 379

  Quadrature du cercle, 373, 522

  Quadratures, 32, 377

  Quadrivium, 111

  Quantit, 4

  Quarantaine, 460

  Quarante-cinq, 476

  Quaternions, 49, 51, 528

  Quatorze, 454

  Quincaillier, 271

  _Quinet_, 286, 313

  _Quintilien_, 414


  R

  _Rabelais_, 146, 419, 449

  _Rabier_, 27

  _Racine_, 159, 173

  _Racine fils_, 225

  Racines, 45

  Raideur, 204

  Raisonnement, 246

  Raison sociale, 425

  _Rambaud_, 157

  _De Ramsay_, 159

  Rapport de la circonfrence au diamtre, 136, 331, 383, 395, 419

  Rassurant, 334

  _Ratdolt_, 301

  _Ravaisson_, 232, 246

  Ractifs, 263

  Rebuffade, 425

  Rciprocit, 203

  Rciproques, 117

  Rciproque touchante, 203

  Recommandation, 275

  Rcompens, 202

  Reconstruction, 189

  _Record_, 376

  Rcrations mathmatiques, 195, 531

  Rectifications, 377

  Rdiger (Bien), 298

  _Redouly_, 384, 530

  Rduction, 25

  Rformons, 396

  Refrains (Vieux), 329

  Rgle  calcul, 530

  Rgle d'or ou de trois, 475

  Rgle et compas, 522

  Rgles de bois, 262

  Rgles pour les mathmatiques, 23

  _Regnault_, 263

  Rgulier, 427

  _Th. Reid_, 242

  _Reiss_, 417, 532

  Relativit, 228

  Reliefs, 261

  _Rembrandsz_, 272

  _Renan_, 352

  _H. Renaud_, 446

  _Renouvier_, 349

  Rep... d'math..., 211

  Rpertoire bibliographique, 301

  Rsolution lectrique, 445

  Responsabilit, 209

  Rsultats, 318

  Revue scientifique, 226

  _C. Rey_, 258

  _Reynaud_, 210

  _D. Ricard_, 532

  _Richepin_, 446

  _Richerand_, 253

  _Richet_, 383

  _Riemann_, 347, 399

  Rien ne se perd, 356

  _Rigaut_, 273

  _Rivarol_, 312

  Robinson, 201, 391

  _Rodet_, 506

  Romains, 231, 472

  _Romanus_, 321

  _Romieux_, 462

  Rond et triangulaire, 454

  Rotation de la terre, 87

  _Roth_, 254

  _Rothschild_ (Ce pauvre), 465

  _Rouch_, 77, 125, 130, 143, 144, 259, 293

  Roulette (voir cyclode)

  _J.-J. Rousseau_, 103, 256, 257, 305, 355

  Route royale, 180

  Royaut (Une), 231

  _Royer-Collard_, 85

  Rue (Dans la), 383

  Ruine du joueur, 99


  S

  _Saigey_, 130

  _Sainte-Beuve_, 159

  _Saintine_, 427

  Saint-Ptersbourg (Paradoxe de), 98

  _Saint-Venant_, 359

  Salade, 225

  _Salmon_, 143

  Sang (sa mesure), 507

  Sans-Souci, 451

  _Sarrau_, 143

  _Sarrus_, 141

  Saturne, 86, 450

  _Saunderson_, 186

  _Saurin_, 396

  _Sauvage_, 161

  Savante (La), 327

  Savant modeste, 185

  Savants fous, 187

  _Savrien_, 529

  _J.-B. Say_, 229, 464

  Scandale, 99

  Scepticisme mathmatique, 362

  Sceptiques, 350

  _Schopenhauer_, 234

  _Schumacher_, 294

  _Schwarz_, 143

  Science (Premire), 294

  Science (Statique ou dynamique), 55

  Sciences exactes, 10

  Sciences militaires, 278

  Sciences ou lettres? 312

  Scrupuleux (Trop), 392

  _Sebert_, 143

  Scante, 453

  _Le P. Secchi_, 530

  Seizime sicle, 122, 138, 139, 454

  Semaine des trois jeudis, 463

  _Snque_, 216

  Senior Wrangler, 208

  Sensations, 358

  Sries, 59, 409

  Serpent d'glise, 402

  _P. Serret_, 428, 530

  Serrurier, 395

  _Ssostris_, 135

  _Sessa_, 504

  _Mme de Svign_, 216, 297

  _Shaftsbury_, 246

  Sibriens, 453

  Signes, 47, 245

  Silencieux, 335

  _Simart_, 529

  _Ch. Simon_, 21

  _J. Simon_, 425

  Simplicit, 28

  Simplicit (Mesure de la), 393

  Simplification, 36, 116

  Simultanment, 401

  Singularits, 339

  Sirius, 266

  Six cent soixante-six, 358

  Socialistes, 100, 208, 346, 448

  Socit mathmatique, 144

  _Socrate_, 153

  Soif, 210

  Soldat (Problme du vieux), 496

  Soleil, 288

  _Somerville (Mary)_, 274

  _Sonnet_, 70, 530

  Sons, 274

  Sophismes, 414

  Sorcier, 218

  Sources ( toutes les), 399

  Sourd parlant, 330

  Soustraction, 211, 332

  Spectacle tournant, 332

  Spculation et application, 10, 64

  _Herbert Spencer_, 80

  Sphre, 394, 532

  Sphrique (Le), 456

  _Spinoza_, 174

  Stabilit du monde, 85, 395

  _Mme de Stal_, 162, 311, 330

  Statistique, 66, 322, 334

  Statue priodique, 424

  _Stendhal_, I

  _Stphanos_, 326

  _Stevin_, 461

  _Stomma_, 532

  Stratgie, 70

  _Stone_, 271

  _Stupuy_, 532

  _Sturm_, 195

  _Sully-Prudhomme_, 230, 314, 316

  Superposition, 31

  Surfaces lastiques, 273

  Sursum corda, 286

  _Mme Swetchine_, 160

  _Swiden_, 133

  _Swift_, 449

  Syllogismes, 245, 250

  _Syllow_, 143

  _Sylvester_, 143, 399, 425

  Symboles, 4, 38, 45, 48, 129, 367

  Syntaxe, 312

  Synthse, 25

  Syracuse, 136

  Systme binaire, 448

  Systme mtrique, 71, 130

  _Szymanski_, 278


  T

  _Tabarin_, 332

  Table des matires, 557

  Table ronde, 231

  Tables astronomiques, 374

  Tachymtrie, 257, 530

  Tahiti, 532

  _Taine_, 8, 38, 249, 475

  Tangentes, 32, 60, 422

  _J. Tannery_, 56, 114, 144, 163, 403

  _P. Tannery_, 25, 137, 140, 529

  _Tarnier_, 532

  _G. Tarry_, 417, 512

  _Tartaglia_, 408

  Tautochrone, 373

  _Taylor_, 329, 443

  _Tchebycheff_, 254

  Temps, 22, 320, 322

  Tendances (Deux), 267

  Tenue des livres, 67

  _O. Terquem_, 142, 160, 214, 228, 252, 443

  _Terrasson_, 247

  Terre (Notre petite), 233

  Testament astronomique, 456

  _Thals_, 119

  Thtre scientifique, 299, 532

  _Thon_, 25, 273

  _Thophraste_, 136

  Thorme militaire, 326

  Thormes, 341

  Thermochimie, 66

  _Theut_, 290

  _Thiers_, 206, 426

  _Thoman_, 530

  _L. Thomas_, 501

  _Thomas (de Colmar)_, 254

  _Thomson_, 261, 356

  _Thuillier_, 278

  Tiers et demi, 331

  _De Tilly_, I, 21, 347, 528

  Timbre et Enregistrement, 215

  Timbres-poste, 525

  Tirade, 422

  _Tissandier_, 391

  _F. Tisserand_, 89

  Titre singulier, 453

  Toise, 130

  _Tolsto_, 380, 443

  Tombeau d'Archimde, 280

  Tonneau, 184, 329, 517

  Topographie, 69, 268

  Tortue, 410

  Torture, 333

  _Toto_, 211

  _Tott_, 214

  _H. Toussenel_, 346

  Tout et moiti, 429

  Trajectoire, 327

  _Tralls_, 133

  Transformations, 39, 266

  Travail personnel, 263

  Treize, 222, 445

  _Dr Trlat_, 444

  Trente et un, 300

  _Trpied_, 392

  Triangle et posie, 230

  Triangle de Pythagore, 486

  Triangulation, 215, 230, 298

  Tribunal, 99

  Tribunal des mathmatiques, 270, 448

  Tric-trac, 230

  Trigonomtrie dramatique, 298

  Trigonomtrie pratique, 68

  Trisection de l'angle, 522, 528

  Tristes personnages, 188

  Trivium, 110

  Trois dcouvertes depuis les Grecs, 139

  Trois-Huit, 208

  Trois-Six, 312

  Trop court, 211

  Tulipes, 354

  Turcs, 214

  _Tycho Brahe_, 193, 262, 308


  U

  _Undecimilla_, 459

  Unification de l'heure, 322

  L'Unit est un nombre, 461

  Universit (L'), 157

  Uranus, 86

  Urne, 99


  V

  _Vacquerie_, 333

  _Vaillant_, 278

  _Valentin_, 507

  Valeur relative, 220

  _F. Valls_, 51, 528

  _J. Valls_, 261

  _Valson_, 139, 463, 529

  _Van Etten_, 531

  Variable, 54, 353

  Varits, 177

  _Vauban_, 285, 451

  _Vaucanson_, 328

  Vaudeville, 299

  _Vlasquez_, 190

  Vnration, 206

  Vengeance, 328

  _Le P. Verbiest_, 270

  Vrification, 9, 73, 136

  Vrit historique, 289

  _Verlaine_, 444

  _Jules Verne_, 298, 306, 413

  Vers nombreux, 430

  _Vico_, 351

  _Vite_, 25, 122, 126, 137, 166, 321

  _Villemain_, 315

  Vin, 466, 494

  _Vinet_, 228

  Vingt centimes, 258

  _Vinot_, 427, 532

  _Violle_, 143

  Vis, 253

  Vite, 223

  Vitre, 215

  _Vitrey_, 491, 532

  _Vitruve_, 283, 499

  _Viviani_ (Fentres de), 519

  _Voltaire_, 109, 140, 147, 217, 218, 229, 303, 306, 328, 441, 451

  _Vrain-Lucas_, 188

  Vue directe, 398

  _Vuibert_, 142


  W

  _Wallis_, 182

  _J. Wallon_, 343

  _Walras_, 66

  _Weber_, 143, 358

  _Weigel_, 532

  _Whewell_, 165, 240

  _Wolf_, 135, 143, 266, 528

  _Worms_, 248

  _Wronski_, 446, 532


  X, Y, Z

  Xaintrie (La), 401

  _x, y, z_, 333

  _Zchokke_, 289

  _Zeb_, 334

  Zro, 219, 330, 448

  _Zeuthen_, 143

  _Zozo_, 200




TABLE DES MATIRES


PRFACE 1


MORCEAUX CHOISIS ET PENSES

  Objet et caractre des mathmatiques (Aristote, Descartes,
  Cournot, Liard, A. Comte, P. Janet, Kant, d'Alembert, Montucla,
  Bossut, Condorcet)                                                 3

  Notions primitives (Pascal, Duhamel, Boussinesq, Laplace, de
  Tilly)                                                            16

  Mthodes (Pascal, Duhamel, Vite, P. Tannery, Port-Royal,
  Poncelet, Delambre, Poinsot, Dupin, Bellavitis, Descartes,
  Chasles, Poisson)                                                 23

  Gomtrie et Analyse (Platon, Chasles, A. Comte, Lagrange,
  Hankel, Condorcet, Arago, J. Fourier, Poinsot)                    33

  Les nombres, les symboles et les fonctions (Cournot, Cauchy, A.
  Girard, J. Bourget, A. Comte)                                     45

  La limite, l'infiniment grand et l'infiniment petit (Leibniz,
  J. Tannery, Poisson, Kepler, Laz, Carnot, Duhamel, Lacroix)       56

  Mathmatiques appliques (Arago, J. Fourier, Fontenelle, Euler,
  Sonnet)                                                           63

  Systme mtrique (Anonyme)                                        71

  Gomtrie descriptive (Arago, Delambre, Rouch, Monge)            75

  Mcanique (Galile, Lagrange)                                     79

  Astronomie (Copernic, Royer-Collard, Laplace, F. Tisserand,
  Faye)                                                             84

  Probabilits (Port-Royal, Pascal, Laplace, J. Bertrand,
  Duhamel)                                                          90

  Enseignement (Condorcet, Hoel, J.-J. Rousseau, Anonyme,
  Lacroix, Voltaire, Dupanloup, Arago, Laplace, Newton,
  d'Alembert, J. Tannery, Cournot, J. Bertrand)                    101

  Histoire (Rouch, Leibniz, Hoefer, Delambre, M. Marie, J.
  Fourier, Bossut, Pascal, d'Alembert, Biot, Arago, Rouch,
  Hrodote, Hankel, Chasles, P. Tannery, Liouville, Cantor, C.
  Henry, Fontenelle, Sophie Germain)                               119

  Philosophie et Morale.--Mlanges (Bible, Platon, Leibniz,
  Rabelais, Montaigne, Pascal, Condillac, Laplace, Voltaire,
  Malebranche, Duhamel, Locke, Cauchy, Lacroix, F. Bacon,
  Napolon, Newton, Kepler, Euler, Poinsot, Poisson,
  Sainte-Beuve, J. Bertrand, Dupanloup, O. Terquem, Franklin, La
  Fontaine, Duruy, Mme de Stal, Diderot, Barthlemy
  Saint-Hilaire, A. Comte, J. Tannery, Fontenelle, Cuvier,
  Whewell, Vite, Copernic, Jacobi, Anonyme)                       146


VARITS ET ANECDOTES


MOEURS, OPINIONS, DISTRACTIONS DES SAVANTS

  Un gomtre                                                      179

  Route royale                                                     180

  Dernire conversation                                            181

  Facile de voir                                                   181

  Dfis et paris                                                   182

  Autobiographie                                                   182

  Dput muet                                                      183

  Douze fois douze                                                 184

  Le tonneau                                                       184

  Gomtre au pouvoir                                              185

  Modestie                                                         185

  Aveugles                                                         186

  Sur l'chafaud                                                   187

  Savants fous                                                     187

  Deux tristes personnages                                         188

  Mariage                                                          188

  Reconstruction                                                   189

  Portraits                                                        190

  Une casquette                                                    190

  Dnominateur  la maison                                         190

  Distractions                                                     191

  Auteur embarrass                                                192

  De l'argent                                                      193

  Nez perdu                                                        193

  Bons joueurs                                                     193

  Bonhomie                                                         195

  Modestie                                                         195

  Coup de foudre                                                   195

  Humilit                                                         196

  Mort d'Archimde                                                 196

  Efforts glorieux                                                 197

  Postillon                                                        198

  Paresse                                                          199

  Dsintressement                                                 199

  Zozo                                                             200

  Robinson                                                         201


PROFESSEURS ET TUDIANTS

  Examinateur                                                      202

  Rcompens                                                       202

  Ponctualit                                                      203

  Touchante rciproque                                             203

  Raideur                                                          204

  Vnration                                                       206

  Petits mandarins                                                 206

  Prsident                                                        206

  Correspondance                                                   207

   la halle                                                       207

  Un examen prilleux                                              207

  Senior wrangler                                                  208

  Les trois huit                                                   208

  Dans l'Inde                                                      208

  Responsabilit                                                   209

  Fort en thme                                                    209

  Grand'soif                                                       210


ENFANTS ET IGNORANTS

  Enfant terrible                                                  211

  Trop court                                                       211

  Rep... d'math...                                                 211

  Parole d'honneur                                                 212

  Facties gomtriques                                            212

  Enttement                                                       213

  Peu intelligent                                                  213

  Chez les Turcs                                                   214

  Police vole                                                     214

  Dcimtre carr                                                  215

  Jeune Anglais                                                    215

  Complaisances astronomiques                                      215

  Comtes                                                          216

  Opinions amres                                                  217

  Astrologie                                                       218

  Architecte mal pay                                              218

  gal  zro                                                      219

  clipse du colonel                                               219

   dix mois                                                       219

  Valeur relative                                                  220

  Cancre                                                           220

  Fin du monde                                                     221

  Treize  table                                                   222

  Lentement                                                        222

  Longvit                                                        223

  Vite                                                             223

  Naf                                                             223

  Consciencieuse                                                   223


PHILOSOPHIE

  Salade                                                           225

  Compas                                                           225

  Un faux pas                                                      226

  Dterminisme                                                     226

  Mort de la science                                               227

  Algbre morale                                                   227

  Relativit                                                       228

  Trop positif                                                     229

  Les jeux                                                         230

  Triangle et posie                                               230

  galit circulaire                                               231

  Une royaut                                                      231

  Gomtrie et morale                                              232

  Notre petite terre                                               233

  Cheveux                                                          233

  Mystre                                                          235

  Plus tard                                                        235

  Mourant                                                          236

  Applicable  tout                                                236

  Fictif et born                                                  236

  Naturalistes                                                     238

  Mtaphores                                                       239

  Hypothses                                                       239

  Dbat pdagogique                                                240

  Culture d'Euclide                                                242

  Calculs des ouvriers                                             243

  Mtaphysique et morale                                           243

  Intuition                                                        244

  Calcul                                                           244

  Mots et signes                                                   245

  Syllogismes                                                      245

  Plus haut                                                        246

  Raisonnement                                                     246

  Parfaitement                                                     247

  Le nombre!                                                       247

  Mesure de l'esprit                                               247

  Origine                                                          248

  Gnralit                                                       249

  Discipline                                                       250

  Dmonstration et syllogisme                                      250


MTHODES

  Diviseur et ramasse-tout                                         252

  La division                                                      252

  Anatomistes                                                      252

  Fromage                                                          253

  Exprience gomtrique                                           253

  Jetons Bardot                                                    254

  Machines arithmtiques                                           254

  Intgrateurs et intgraphes                                      255

  Arithmtique politique                                           256

  Oprations abrges                                              256

  Gaufres                                                          257

  Plaies                                                           257

  Tachimtrie                                                      257

  Vingt centimes                                                   258

  Potage                                                           258

  Anarchie                                                         259

  Mtres carrs                                                    259

  Anxit                                                          260

  Impossible                                                       260

  Reliefs                                                          261

  Coton et musique                                                 261

  Rgles de bois                                                   262

  Alphabet                                                         263

  Travail personnel                                                263

  Ractifs                                                         263

  Fagots et fagots                                                 264

  Pluralit des mondes                                             265

  Transformations                                                  266

  Invisible                                                        266

  Prcision                                                        267

  Deux tendances                                                   267

  Problmes (En)                                                   268

  Coefficients de correction                                       268


HISTOIRE

  Tribunal des mathmatiques                                       270

  Une calomnie                                                     271

  Dodcadre                                                       271

  Jardiniers, quincailliers, etc.                                  271

  Mathmaticiennes                                                 273

  Sons                                                             274

  Deux dynasties                                                   275

  Recommandation                                                   275

  cole polytechnique                                              276

  cole normale                                                    277

  Sciences militaires                                              278

  Brouettes et omnibus                                             279

  Bonne politique                                                  279

  Prcocit                                                        279

  Tombeau d'Archimde                                              280

  Attraction universelle                                           281

  Tout par dix                                                     282

  Prtres menacs                                                  283

  Ciel en cristal                                                  283

   Athnes                                                        284

  Portrait cherch                                                 284

  Sursum corda                                                     286

  Prcurseur                                                       287

  Courtisans                                                       288

  Un duel                                                          289

  Vrit historique                                                289

  Lgende                                                          289

  Inventeurs                                                       290

  Documents                                                        290

  Napolon                                                         290

  Exprimentons                                                    291

  Hardiesse                                                        293

  Premire science                                                 294

  Canoniss                                                        295


LANGUE ET LITTRATURE

  tymologies                                                      297

  Trigonomtrie dramatique                                         298

  Bien rdiger                                                     298

  Thtre scientifique                                             299

  Un vaudeville                                                    299

  Les Mathmaticiens                                               299

  Trente et un                                                     300

  Bibliographie                                                    301

  Rpertoire bibliographique                                       301

  Figures                                                          302

  Gravitation                                                      303

  vanouissement                                                   304

  Apologue oriental                                                304

  Divine proportion                                                305

  Phobos et Deimos                                                 306

  Fougueux                                                         306

  Nerf de la guerre                                                308

  Barme suffit                                                    309

  Carr long                                                       310

  Beaux esprits                                                    310

  pigramme                                                        311

  Image                                                            311

  Iconologie                                                       311

  Trois-Six                                                        312

  Syntaxe                                                          312

  Sciences ou lettres?                                             312

  Admiration                                                       313

  En morale                                                        314

  Pascal                                                           315

  Heureux                                                          316

  Beaut de la science                                             316


RSULTATS

  Nombres curieux                                                  318

  Patience                                                         318

  Un compteur                                                      319

  Pyramides                                                        319

  Loxodromie                                                       320

  Calendrier                                                       320

  quation du 45e degr                                            321

  Funbre statistique                                              322

  Unification de l'heure                                           322

  Anctres                                                         324

  Fil de soie                                                      325

  Morts                                                            325

  Thorme militaire                                               326


FANTAISIES

  La savante                                                       327

  Un oubli                                                         327

  Vengeance                                                        328

  Neptune                                                          328

  Madrigal algbrique                                              328

  Plus que probable                                                329

  Vieux refrains                                                   329

  Diplomatie et politique                                          329

  Les Modrs                                                      329

  Sourd parlant                                                    330

  Zro acadmique                                                  330

  Tiers et demi                                                    331

  Amusettes                                                        331

  Bon placement                                                    332

  Spectacle tournant                                               332

  Oiseaux                                                          332

  Jouets mathmatiques                                             333

  X, Y et Z                                                        333

  Rassurant                                                        334

  Plaidoirie en chiffres                                           334

  Caf                                                             335

  Silencieux                                                       335


PARADOXES ET SINGULARITS

PHILOSOPHIE

  Axiomes et thormes                                             341

  Comptable                                                        343

  Logiques anglaises                                               344

  Avant Leibniz et Newton                                          345

  Pdant                                                           346

  L'harmonien                                                      346

  La mtagomtrie                                                 346

  Loi de Malthus                                                   349

  L'me et la vie                                                  350

  Scepticisme                                                      350

  Avenir                                                           352

  Born                                                            352

  Nombre infini                                                    353

  Principes (Les)                                                  353

  Tulipes                                                          354

  Ligne de conduite                                                354

  Moulin                                                           355

  Sans axiomes                                                     356

  Images lointaines                                                356

  Loi des sensations                                               358

  Grands et petits                                                 358

  Nombre mystrieux                                                358

  tre et nant                                                    359

  Conciliation                                                     359

  Certitudes antrieures                                           360

  Commencement                                                     361

  Continuit                                                       361

  Munito                                                           361

  Scepticisme mathmatique                                         362

  Deux et deux                                                     363

  Critrium                                                        364

  me de la terre                                                  364

  Coeur et raison                                                  365

  Abstractions                                                     365

  Benzine                                                          366

  Symboles                                                         367

  Axiomes                                                          367

  Passions                                                         368

  Conceptions                                                      368

  Hyperespace                                                      368

  Chercheur                                                        369

  Les marier                                                       369

  _Gradgrind_                                                      370

  Valeur variable                                                  371


HISTOIRE

  Calcul mental                                                    372

  Tautochrone et brachistochrone                                   373

  Quadrature du cercle                                             373

  Longues formules                                                 374

  Concession                                                       374

  Pierre  aiguiser                                                376

  Chose                                                            376

  Chicane                                                          376

  Quadratures et rectifications                                    377

  Avatar du nombre                                                 378

  Au Brsil                                                        378

  Quadrateur                                                       379

  rudits                                                          379

  Moujik                                                           380

  Club                                                             380

  Cercle de Popilius                                               380

  Vieux compte                                                     380

  Marchal de Saxe                                                 381


MTHODES

  Dmonstrations fausses                                           382

  Dans la rue                                                      383

  Nombre indispensable                                             383

  Sans chiffres                                                    384

  Numrotage                                                       384

  Le postulatum                                                    385

  Dsorient                                                       386

  Systmes de numration                                           386

  Un irrgulier                                                    388

  gosme                                                          388

  Un nouvel enseignement                                           389

  Mathmatiques de Robinson                                        391

  Trop scrupuleux                                                  392

  Balance fausse                                                   392

  Photographies clestes                                           392

  Mesure de la simplicit                                          393

  Mouvement perptuel                                              393

  Vrai maximum                                                     393

  D'abord la sphre                                                394

  Moins que rien                                                   394

  Loups                                                            394

  Serrurier                                                        395

  Erratum                                                          395

  Procd singulier                                                395

  Rformons                                                        396

  Calcul infaillible                                               396

  Cit modle                                                      397

  Perruquiers                                                      397

  Mesures subtiles                                                 397

  Vue directe                                                      398

  Allgorie                                                        398

   toutes les sources                                             399

  Partage                                                          400

  Simultanment                                                    401

  Parapluies                                                       401

  Serpent d'glise                                                 402

  Lignes de l'querre                                              403

  Irrationnel                                                      403


OBJECTIONS

  Moyeu de la roue                                                 405

  Moins par moins                                                  406

  Objection                                                        406

  Imaginaire gal au rel                                          407

  Tous les nombres sont gaux                                      407

  Le cas irrductible                                              408

  Asymptotes                                                       408

  Demi-circonfrence                                               409

  Srie trange                                                    409

  Tortue d'Achille                                                 410

  Diminuer en multipliant                                          411

  L'heure europenne                                               411

  Antipodes                                                        412

  Jour perdu ou gagn                                              412

  Contours trompeurs                                               414

  Sophismes simples                                                414

  Colombe                                                          415

  Mouvement singulier                                              415


DESIDERATA

   dmontrer                                                      416

  Nombre de Platon                                                 416

  Un grand nombre                                                  417

  Moquerie                                                         418

  Prihlie                                                        418


LANGUE, LITTRATURE ET BEAUX-ARTS

  Gargantua                                                        419

  Incommensurable                                                  419

  Les inconnues                                                    419

  Esthtique                                                       420

  Mesure de l'ne                                                  421

  Argot des coles                                                 421

  Tirade                                                           422

  Professeur de triangle                                           422

  L'oeuf                                                           423

  Buses graves                                                     423

  Statue priodique                                                424

  Parure                                                           424

  Couleurs                                                         424

  Raison sociale                                                   425

  Perdu!                                                           425

  Rebuffade                                                        425

  Contradictions                                                   426

  Chemins                                                          427

  Rgulier                                                         427

  Abrgeons                                                        427

  Protestation                                                     428

  Clair-obscur                                                     428

  Pan!                                                             429

  Tout et moiti                                                   429

  Dix-huit                                                         429

  Bataille ou ranon?                                              430

  Vers nombreux                                                    430


CURIOSITS ET TRANGETS

  Courbe renaissante                                               440

  Carrs magiques et diaboliques                                   440

  Charles XII                                                      441

  Nombres gomtriques                                             442

  Courbe banale                                                    442

  Plantes habites                                                442

  Les autres et soi                                                443

  Gomtrie des abeilles                                           443

  Pair ou impair?                                                  443

  Nombres parfaits                                                 444

  Nombres amiables                                                 444

  Arithmomanie                                                     444

  Rsolution lectrique                                            445

  Csarine                                                         446

  Passions                                                         446

  Impt cubique                                                    448

  Systme binaire                                                  448

  Chenille                                                         449

  Laputa                                                           449

  Parler de ce qu'on sait                                          450

  Gomtres au pouvoir                                             450

  Nombreuse famille                                                451

  Mathmatiques en vers                                            451

  Droite bizarre                                                   452

  Titre singulier                                                  453

  Scante                                                          453

  toile avale                                                    453

  Prix du bl                                                      454

  Rond et triangulaire                                             454

  Incomprhensible                                                 454

  Henri IV                                                         454

  Fin du monde                                                     455

  Le sphrique                                                     456

  Testament astronomique                                           456

  Onze mille                                                       459


FANTAISIES

  ge du capitaine                                                 460

  L'unit est un nombre                                            461

  Fonctions transcendantes                                         461

  Aux enchres                                                     462

  Moiti plus un                                                   462

  Boutades                                                         462

  Nord et Sud                                                      463

  Semaine des trois jeudis                                         463

  Avocat                                                           464

  Financiers                                                       464

  Ce pauvre Rothschild                                             465

  Au baccalaurat                                                  465

  Humour                                                           465

  Danseur                                                          466

  Vin                                                              466

  Cuisine                                                          467

  Impertinence                                                     468

  Premier venu                                                     468


PROBLMES CURIEUX ET HUMORISTIQUES

  Arithmtique                                                     471

  Gomtrie                                                        485

  Algbre                                                          493

  Mcanique                                                        510

  Astronomie                                                       513

  Mathmatiques suprieures                                        516


NOTE BIBLIOGRAPHIQUE

  Philosophie des mathmatiques                                    527

  Histoire                                                         528

  Applications                                                     529

  Enseignement                                                     530

  Curiosits                                                       530


  INDEX ALPHABTIQUE                                               533

  TABLE MTHODIQUE                                                 557


FIN


BAR-LE-DUC.--IMPRIMERIE COMTE-JACQUET.




Notes aux lecteurs de ce fichier numrique:

Les mots en italique sont encadrs par des tirets bas: _italique_.

Signes utiliss pour reprsenter les symboles mathmatiques:

--[V]n : Racine carre de n.

--[xV]n : Racine x (cubique, etc.) de n.

--^{exposant ou lettre suprieure}.

--_{indice}.

--[nom du signe].

--[>/<] "Suprieur " sur "Infrieur ".

--Ligne 1677: La phrase "Les nombres imitent l'espace qui sont de nature
si diffrente." a t corrige: "Les nombres imitent l'espace, qui est
de nature si diffrente."





End of Project Gutenberg's Mathmatiques et Mathmaticiens, by Various

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MATHMATIQUES ET MATHMATICIENS ***

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work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation information page at www.gutenberg.org


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at 809
North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887.  Email
contact links and up to date contact information can be found at the
Foundation's web site and official page at www.gutenberg.org/contact

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org

Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
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where we have not received written confirmation of compliance.  To
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particular state visit www.gutenberg.org/donate

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
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Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
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concept of a library of electronic works that could be freely shared
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Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.

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