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Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen
                            Felix Klein
                               1872

                             Erlangen
                     Verlag von Andreas Deichert

Unter den Leistungen der letzten fünfzig Jahre auf dem Gebiete der
Geometrie nimmt die Ausbildung der projectivischen[^1] Geometrie die
erste Stelle ein. Wenn es anfänglich schien, als sollten die sogenannten
metrischen Beziehungen ihrer Behandlung nicht zugänglich sein, da sie
beim Projiciren nicht ungeändert bleiben, so hat man in neuerer Zeit
gelernt, auch sie vom projectivischen Standpuncte aufzufassen, so dass
nun die projectivische Methode die gesammte Geometrie umspannt. Die
metrischen Eigenschaften erscheinen in ihr nur nicht mehr als
Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, sondern als Beziehungen
derselben zu einem Fundamental-Gebilde, dem unendlich fernen
Kugelkreise.

Vergleicht man mit der so allmählich gewonnenen Auffassungsweise der
räumlichen Dinge die Vorstellungen der gewöhnlichen (elementaren)
Geometrie, so entsteht die Frage nach einem allgemeinen Principe, nach
welchem die beiden Methoden sich ausbilden konnten. Diese Frage
erscheint um so wichtiger als sich neben die elementare und die
projectivische Geometrie, ob auch minder entwickelt, eine Reihe anderer
Methoden stellt, denen man dasselbe Recht selbständiger Existenz
zugestehen muss. Dahin gehören die Geometrie der reciproken Radien, die
Geometrie der rationalen Umformungen etc., wie sie in der Folge noch
erwähnt und dargestellt werden sollen.

Wenn wir es im Nachstehenden unternehmen, ein solches Princip
aufzustellen, so entwickeln wir wohl keinen eigentlich neuen Gedanken,
sondern umgränzen nur klar und deutlich, was mehr oder minder bestimmt
von Manchem gedacht worden ist. Aber es schien um so berechtigter,
derartige zusammenfassende Betrachtungen zu publiciren, als die
Geometrie, die doch ihrem Stoffe nach einheitlich ist, bei der raschen
Entwicklung, die sie in der letzten Zeit genommen hat, nur zu sehr in
eine Reihe von beinahe getrennten Disciplinen zerfallen ist[^2], die
sich ziemlich unabhängig von einander weiter bilden. Es lag dabei aber
auch noch die besondere Absicht vor, Methoden und Gesichtspuncte
darzulegen, welche von Lie und mir in neueren Arbeiten entwickelt
wurden. Es haben unsere beiderseitigen Arbeiten, auf wie
verschiedenartige Gegenstände sie sich auch bezogen, übereinstimmend auf
die hier dargelegte allgemeine Auffassungsweise hingedrängt, so dass es
eine Art von Nothwendigkeit war, auch einmal diese zu erörtern und von
ihr aus die betr. Arbeiten nach Inhalt und Tendenz zu characterisiren.

War bisher nur von geometrischen Forschungen die Rede, so sollen
darunter mit verstanden sein die Untersuchungen über beliebig
ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, die sich, unter Abstreifung des für die
rein mathemathische Betrachtung unwesentlichen räumlichen Bildes[^3],
aus der Geometrie entwickelt haben[^4]. Es gibt bei der Untersuchung von
Mannigfaltigkeiten eben solche verschiedene Typen, wie in der Geometrie,
und es gilt, wie bei der Geometrie, das Gemeinsame und das
Unterscheidende unabhängig von einander unternommener Forschungen
hervorzuheben. Abstract genommen war es im Folgenden nur nöthig,
schlechthin von mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten zu reden; aber
durch Anknüpfung an die geläufigeren räumlichen Vorstellungen wird die
Auseinandersetzung einfacher und verständlicher. Indem wir von der
Betrachtung der geometrischen Dinge ausgehen und an ihnen als einem
Beispiele die allgemeinen Gedanken entwickeln, verfolgen wir den Gang,
den die Wissenschaft in ihrer Ausbildung genommen hat, und den bei der
Darstellung zu Grunde zu legen gewöhnlich das Vorteilhafteste ist. –

Eine vorläufige Exposition des im Folgenden besprochenen Inhaltes ist
hier wohl nicht möglich, da sich derselbe kaum in eine knappere Form[^5]
fügen will; die Ueberschriften der Paragraphen werden den allgemeinen
Fortschritt des Gedankens angeben. Ich habe zum Schlusse eine Reihe von
Noten zugefügt, in welchen ich entweder, wo es im Interesse der
allgemeinen Auseinandersetzung des Textes nützlich schien, besondere
Punkte weiter entwickelt habe, oder in denen ich bemüht war, den
abstract mathematischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Textes
maßgebend ist, gegen verwandte abzugränzen.

§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. Aufstellung
eines allgemeinen Problems.
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Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden Auseinandersetzungen
nothwendig ist, ist der einer Gruppe von räumlichen Aenderungen.

Beliebig viele Transformationen des Raumes[^6] ergeben zusammengesetzt
immer wieder eine Transformation. Hat nun eine gegebene Reihe von
Transformationen die Eigenschaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr
angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder
angehört, so soll die Reihe eine Transformationsgruppe[^7] genannt
werden.

Ein Beispiel für eine Transformationsgruppe bildet die Gesammtheit der
Bewegungen (jede Bewegung als eine auf den ganzen Raum ausgeführte
Operation betrachtet). Eine in ihr enthaltene Gruppe bilden etwa die
Rotationen um einen Punct[^8]. Eine Gruppe, welche umgekehrt die Gruppe
der Bewegungen umfasst, wird durch die Gesammtheit der Collineationen
vorgestellt. Die Gesammtheit der dualistischen Umformungen bildet
dagegen keine Gruppe — denn zwei dualistische Umformungen ergeben
zusammen wieder eine Collineation —, wohl aber wird wieder eine Gruppe
erzeugt, wenn man die Gesammtheit der dualistischen mit der Gesammtheit
der collinearen zusammenfügt[^9].

Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen
Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen.
Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig
von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Raume einnimmt, von
seiner absoluten Grösse, endlich auch von dem Sinne[^10], in welchem
seine Theile geordnet sind. Die Eigenschaften eines räumlichen Gebildes
bleiben also ungeändert durch alle Bewegungen des Raumes, durch seine
Aehnlichkeitstransformationen, durch den Process der Spiegelung, sowie
durch alle Transformationen, die sich aus diesen zusammensetzen. Den
Inbegriff aller dieser Transformationen bezeichnen wir als die
Hauptgruppe[^11] räumlicher Aenderungen; geometrische Eigenschaften
werden durch die Transformationen der Hauptgruppe nicht geändert. Auch
umgekehrt kann man sagen: Geometrische Eigenschaften sind durch ihre
Unveränderlichkeit gegenüber den Transformationen der Hauptgruppe
characterisirt. Betrachtet man nämlich den Raum einen Augenblick als
unbeweglich etc., als eine starre Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur
ein individuelles Interesse; von den Eigenschaften, die sie als
Individuum hat, sind es nur die eigentlich geometrischen, welche bei den
Aenderungen der Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier etwas
unbestimmt formulirte Gedanke wird im weiteren Verlaufe der
Auseinandersetzung deutlicher erscheinen.

Streifen wir jetzt das mathematisch unwesentliche sinnliche Bild ab, und
erblicken im Raume nur eine mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also,
indem wir an der gewohnten Vorstellung des Punctes als Raumelement
festhalten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den räumlichen
Transformationen reden wir von Transformationen der Mannigfaltigkeit;
auch sie bilden Gruppen. Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe
vor den übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe ist mit
jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeinerung der Geometrie
entsteht so das folgende umfassende Problem:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe
gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde
hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die
Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.

In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die man freilich nur auf
eine bestimmte Gruppe, die Gruppe aller linearen Umformungen, zu
beziehen pflegt, mag man auch so sagen:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe
gegeben. Man entwickele die auf die Gruppe bezügliche
Invariantentheorie.

Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhnliche Geometrie nicht
nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen
Methoden und die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter
Mannigfaltigkeiten unter sich begreift. Was besonders betont sein mag,
ist die Willkürlichkeit, die hinsichtlich der Wahl der zu adjungirenden
Transformationsgruppe besteht, und die daraus fliessende und in diesem
Sinne zu verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter die
allgemeine Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen.

§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst,
werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geometrischer
Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.
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Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge durch alle
Transformationen der Hauptgruppe ungeändert bleiben, so ist es an und
für sich absurd, nach solchen Eigenschaften derselben zu fragen, bei
denen dies nur gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall
ist. Diese Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch nur formal,
wenn wir die räumlichen Gebilde in ihrer Beziehung zu fest gedachten
Elementen untersuchen. Betrachten wir z. B., wie in der sphärischen
Trigonometrie, die räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines Punctes.
Dann ist zunächst die Forderung: die unter Adjunction der Hauptgruppe
invarianten Eigenschaften nicht mehr der räumlichen Dinge an sich,
sondern des von ihnen mit dem gegebenen Puncte gebildeten Systems zu
entwickeln. Aber dieser Forderung können wir die andere Form ertheilen:
Man untersuche die räumlichen Gebilde an sich hinsichtlich solcher
Eigenschaften, welche ungeändert bleiben durch diejenigen
Transformationen der Hauptgruppe, welche noch stattfinden können, wenn
wir den Punct fest halten. Mit anderen Worten: Es ist dasselbe, ob wir
die räumlichen Gebilde im Sinne der Hauptgruppe untersuchen und ihnen
den gegebenen Punct hinzufügen, oder ob wir, ohne ihnen irgend ein
Gegebenes hinzuzufügen, die Hauptgruppe durch die in ihr enthaltene
Gruppe ersetzen, deren Transformationen den bez. Punct ungeändert
lassen.

Es ist dies ein in der Folge häufig angewandtes Princip, das wir
desshalb gleich hier allgemein formuliren wollen; etwa in der folgenden
Weise:

Es sei eine Mannigfaltigkeit und zu ihrer Behandlung eine auf sie
bezügliche Transformationsgruppe gegeben. Es werde das Problem
vorgelegt, die in der Mannigfaltigkeit enthaltenen Gebilde hinsichtlich
eines gegebenen Gebildes zu untersuchen. So kann man entweder dem
Systeme der Gebilde das gegebene hinzufügen, und es fragt sich dann nach
den Eigenschaften des erweiterten Systems im Sinne der gegebenen Gruppe
— oder, man lasse das System unerweitert, beschränke aber die
Transformationen, die man bei der Behandlung zu Grunde legt, auf
diejenigen in der gegebenen Gruppe enthaltenen, welche das gegebene
Gebilde ungeändert lassen (und die nothwendig wieder eine Gruppe
bilden). —

Im Gegensatze zu der zu Anfang des Paragraphen aufgeworfenen Frage
beschäftige uns nun die umgekehrte, die von Vornherein verständlich ist.
Wir fragen nach denjenigen Eigenschaften räumlicher Dinge, welche bei
einer Transformationsgruppe erhalten bleiben, die die Hauptgruppe als
einen Theil umfasst. Jede Eigenschaft, die wir bei einer solchen
Untersuchung finden, ist eine geometrische Eigenschaft des Dings an
sich, aber das Umgekehrte gilt nicht. Bei der Umkehr tritt vielmehr das
eben vorgetragene Princip in Kraft, wobei die Hauptgruppe nun die
kleinere Gruppe ist. Wir erhalten so:

Ersetzt man die Hauptgruppe durch eine umfassendere Gruppe, so bleibt
nur ein Theil der geometrischen Eigenschaften erhalten. Die übrigen
erscheinen nicht mehr als Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich,
sondern als Eigenschaften des Systems, welches hervorgeht, wenn man
denselben ein ausgezeichnetes Gebilde hinzufügt. Dieses ausgezeichnete
Gebilde ist (soweit es überhaupt ein bestimmtes[^12] ist) dadurch
definirt, dass es, fest gedacht, dem Raume unter den Transformationen
der gegebenen Gruppe nur noch die Transformationen der Hauptgruppe
gestattet.

In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu besprechenden neueren
geometrischen Richtungen und ihr Verhältniss zur elementaren Methode.
Sie sind dadurch eben zu characterisiren, dass sie an Stelle der
Hauptgruppe eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen der
Betrachtung zu Grunde legen. Ihr gegenseitiges Verhältniss ist, sofern
sich ihre Gruppen einschliessen, durch einen entsprechenden Satz
bestimmt. Dasselbe gilt von den verschiedenen hier zu betrachtenden
Behandlungsweisen mehrfach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies
nun an den einzelnen Methoden gezeigt werden, wobei denn die Sätze, die
in diesem und dem vorigen Paragraphen allgemein hingestellt wurden, ihre
Erläuterung an concreten Gegenständen finden.

§.3. Die projectivische Geometrie.
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Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der Hauptgruppe angehört,
kann dazu benutzt werden, um Eigenschaften bekannter Gebilde auf neue
Gebilde zu übertragen. So verwerthen wir die Geometrie der Ebene für die
Geometrie der Flächen, die sich auf die Ebene abbilden lassen; so
schloss man schon lange vor dem Entstehen einer eigentlichen
projectivischen Geometrie von den Eigenschaften einer gegebenen Figur
auf Eigenschaften anderer, die durch Projection aus ihr hervorgingen.
Aber die projectivische Geometrie erwuchs erst, als man sich gewöhnte,
die ursprüngliche Figur mit allen aus ihr projectivisch ableitbaren als
wesentlich identisch zu erachten und die Eigenschaften, welche sich beim
Projiciren übertragen, so auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von
der mit dem Projiciren verknüpften Aenderung in Evidenz tritt. Hiermit
war denn der Behandlung im Sinne von §.1 die Gruppe aller
projectivischen Umformungen zu Grunde gelegt und dadurch eben der
Gegensatz zwischen projectivischer und gewöhnlicher Geometrie
geschaffen.

Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschilderte, kann bei
jeder Art von räumlicher Transformation als möglich gedacht werden; wir
werden noch öfter darauf zurückkommen. Er hat sich innerhalb der
projectivischen Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die
eine Weiterbildung der Auffassung geschah durch Aufnahme der
dualistischen Umformungen in die Gruppe der zu Grunde gelegten
Aenderungen. Für den heutigen Standpunct sind zwei einander dualistisch
entgegenstehende Figuren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als
wesentlich dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt bestand in
der Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe collinearer und
dualistischer Umformungen durch Aufnahme der bez. imaginären
Transformationen. Dieser Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der
eigentlichen Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert habe
— ganz dem entsprechend, wie die Aufnahme der dualistischen Umformungen
in die zu Grunde gelegte Gruppe die gleichzeitige Einführung von Punct
und Ebene als Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der Ort,
auf die Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Elemente zu verweisen,
durch welche allein der genaue Anschluss der Raumlehre an das einmal
gewählte Gebiet algebraischer Operationen erreicht wird. Dagegen muss
betont werden, dass der Grund für die Einführung eben in der Betrachtung
algebraischer Operationen, nicht aber in der Gruppe der projectivischen
und dualistischen Umformungen liegt. So gut wir uns bei den letzteren
auf reelle Transformationen beschränken können, da schon die reellen
Collineationen und dualistischen Transformationen eine Gruppe bilden; —
so gut können wir imaginäre Raumelemente einführen, auch wenn wir nicht
auf projektivischem Standpuncte stehen, und sollen es, sofern wir
principiell algebraische Gebilde untersuchen.

Wie man vom projectivischem Standpuncte aus die metrischen Eigenschaften
aufzufassen hat, bestimmt sich nach dem allgemeinen Satze des
vorangehenden Paragraphen. Die metrischen Eigenschaften sind als
projectivische Beziehungen zu einem Fundamentalgebilde, dem unendlich
fernen Kugelkreise[^13], zu betrachten, einem Gebilde, das die
Eigenschaft hat, nur durch diejenigen Transformationen der
projectivischen Gruppe, die eben auch Transformationen der Hauptgruppe
sind, in sich überzugehen. Der so schlechthin ausgesprochene Satz bedarf
noch einer wesentlichen Ergänzung, die der Beschränkung der gewöhnlichen
Anschauungsweise auf reelle Raumelemente (und reelle Transformationen)
entspricht. Man muss dem Kugelkreise, um diesem Standpuncte gerecht zu
werden, noch das System der rellen Raumelemente (Puncte) ausdrücklich
hinzufügen; Eigenschaften im Sinne der elementaren Geometrie sind
projectivisch entweder Eigenschaften der Dinge an sich oder Beziehungen
zu diesem Systeme der reellen Elemente, oder zum Kugelkreise oder
endlich zu beiden.

Es mag hier noch der Art gedacht werden, wie v. Staudt in seiner
Geometrie der Lage[2] die projectivische Geometrie aufbaut — d. h.
diejenige projectivische Geometrie, welche sich auf Zugrundelegung der
Gruppe aller reeller projectivisch-dualistischer Umformung
beschränkt[^14].

Es ist bekannt, wie er dabei aus dem gewöhnlichen Anschauungsmaterial
nur solche Momente herausgreift, die auch bei projectivischen
Umformungen erhalten bleiben. Wollte man weiterhin zur Betrachtung auch
metrischer Eigenschaften übergehen, so hätte man die letzteren geradezu
als Beziehungen zum Kugelkreise einzuführen. Der so vervollständigte
Gedankengang ist für die hier vorliegenden Betrachtungen insofern von
grosser Bedeutung, als ein entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne
jeder einzelnen der noch anzuführenden Methoden möglich ist.

§.4. Uebertragung durch Abbildung.
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Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Methoden, die sich neben
die elementare und die projectivische Geometrie stellen, weiter gehen,
mögen allgemein einige Betrachtungen entwickelt werden, die im Folgenden
immer wieder vorkommen und zu denen die bisher berührten Dinge bereits
hinreichend viele Beispiele liefern. Auf diese Erörterungen bezieht sich
der gegenwärtige und der nächstfolgende Paragraph.

Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrundelegung einer
Gruppe B untersucht. Führt man sodann A durch irgendwelche
Transformation in eine andere Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der
Gruppe B von Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine
Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen. Dann ist es ein
selbstverständliches Princip, dass die Behandlungsweise von A unter
Zugrundelegung von B die Behandlungsweise von A' unter Zugrundelegung
von B' ergibt, d. h. jede Eigenschaft, welche ein in A enthaltenes
Gebilde mit Bezug auf die Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des
entsprechenden Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'.

Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach unendlich vielen
linearen Transformationen bedeuten, welche dieselbe in sich überführen.
Die Behandlungsweise von A ist dann eben diejenige, welche die neuere
Algebra als Theorie der binären Formen bezeichnet. Nun kann man die
gerade Linie auf einen Kegelschnitt A' der Ebene durch Protection von
einem Puncte des letzteren aus beziehen. Aus den linearen
Transformationen B der Geraden in sich selbst werden dann die linearen
Transformationen B' des Kegelschnittes in sich selbst, wie man leicht
zeigt, d. h. diejenigen Aenderungen des Kegelschnittes, welche mit den
linearen Transformationen der Ebene, die den Kegelschnitt in sich
überführen, verknüpft sind.

Es ist nun aber nach dem Princip des zweiten Paragraphen[^15] dasselbe:
nach der Geometrie auf einem Kegelschnitte zu fragen, wenn man sich den
Kegelschnitt als fest denkt und nur auf diejenigen linearen
Transformationen der Ebene achtet, welche ihn in sich überführen; oder
die Geometrie auf dem Kegelschnitte zu studiren, indem man überhaupt die
linearen Transformationen der Ebene betrachtet und sich den Kegelschnitt
mit ändern lässt. Die Eigenschaften, welche wir an den Punctsystemen auf
dem Kegelschnitte auffassten, sind mithin im gewöhnlichen Sinne
projectivische. Die Verknüpfung der letzten Ueberlegung mit dem eben
abgeleiteten Resultate gibt also:

Binäre Formentheorie und projectivische Geometrie der Punctsysteme auf
einem Kegelschnitte ist dasselbe, d. h. jedem binären Satze entspricht
ein Satz über derartige Punctsysteme und umgekehrt[^16].

Ein anderes Beispiel, welches geeignet ist, diese Art von Betrachtungen
zu veranschaulichen, ist das folgende: Wenn man eine Fläche zweiten
Grades mit einer Ebene durch stereographische Projection in Verbindung
setzt, so tritt auf der Fläche ein Fundamentalpunct auf: der
Projectionspunct, in der Ebene sind es zwei: die Bilder der durch den
Projectionspunct gehenden Erzeugenden. Man zeigt nun ohne Weiteres: Die
linearen Transformationen der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte
derselben ungeändert lassen, gehen durch die Abbildung in lineare
Transformationen der Fläche zweiten Grades in sich selbst über, aber nur
in diejenigen, welche den Projectionspunct ungeändert lassen. Unter
linearen Transformationen der Fläche in sich selbst sind dabei
diejenigen Aenderungen verstanden, welche die Fläche erfährt, wenn man
lineare Raumtransformationen ausführt, welche die Fläche mit sich selbst
zur Deckung bringen. Hiernach wird also die projectivische Untersuchung
einer Ebene unter Zugrundelegung zweier Puncte und die projectivische
Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Zugrundelegung eines
Punctes identisch. Die erstere ist nun — sofern man imaginäre Elemente
mit in Betracht zieht — nichts Anderes, als die Untersuchung der Ebene
im Sinne der elementaren Geometrie. Denn die Hauptgruppe der ebenen
Transformationen besteht eben in den linearen Umformungen, welche ein
Punctepaar (die unendlich fernen Kreispuncte) ungeändert lassen. Wir
erhalten also schliesslich:

Die elementare Geometrie der Ebene und die projectivische Untersuchung
einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer Puncte sind
dasselbe.

Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen[^17]; die beiden
hier entwickelten sind gewählt worden, da wir in der Folge noch
Gelegenheit haben werden, auf dieselben zurückzukommen.

§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hessesche
Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.
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Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Raumes, überhaupt einer zu
untersuchenden Mannigfaltigkeit kann statt des Punctes jedes in der
Mannigfaltigkeit enthaltene Gebilde: die Punctgruppe, ev. die Curve, die
Fläche u. s. w. verwandt werden[^18]. Indem über die Zahl willkürlicher
Parameter, von denen man diese Gebilde abhängig setzen will, von
Vornherein gar Nichts fest steht, erscheinen Linie, Ebene, Raum etc. je
nach der Wahl des Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet.
Aber so lange wir der geometrischen Untersuchung dieselbe Gruppe von
Aenderungen zu Grunde legen, bleibt der Inhalt der Geometrie
unverändert, das heißt, jeder Satz, der bei einer Annahme des
Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei beliebiger anderer
Annahme, nur die Anordnung und Verknüpfung der Sätze ist geändert.

Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe; die Zahl der
Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit beilegen wollen, erscheint
als etwas Secundäres.

Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip des vorigen Paragraphen
ergibt eine Reihe schöner Anwendungen, von denen hier einige entwickelt
werden mögen, da diese Beispiele mehr als alle lange Auseinandersetzung
geeignet scheinen, den Sinn der allgemeinen Betrachtung darzulegen.

Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die Theorie der binären
Formen) ist nach dem vorigen Paragraphen mit der projectivischen
Geometrie auf dem Kegelschnitte gleichbedeutend. Auf letzterem mögen wir
jetzt statt des Punctes das Punctepaar als Element betrachten

Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt sich aber auf
die Gesammtheit der Geraden der Ebene beziehen, indem man jede Gerade
dem Punctepaare zuordnet, in welchem sie den Kegelschnitt trifft. Bei
dieser Abbildung gehen die linearen Transformationen des Kegelschnitts
in sich selbst in die linearen Transformationen der (aus Geraden
bestehend gedachten) Ebene über, welche den Kegelschnitt ungeändert
lassen. Ob wir aber die aus den letzteren bestehende Gruppe betrachten,
oder die Gesammtheit der linearen Transformationen der Ebene zu Grunde
legen und den zu untersuchenden Gebilden der Ebene den Kegelschnitt
allemal hinzufügen, ist nach §.2 gleichbedeutend. Indem wir alle diese
Ueberlegungen zusammen nehmen, haben wir:

Die Theorie der binären Formen und die projectivische Geometrie der
Ebene unter Zugrundelegung eines Kegelschnittes sind gleichbedeutend.

Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter Zugrundelegung eines
Kegelschnittes eben wegen der Gleichheit der Gruppe mit der
projectivischen Maßgeometrie coincidirt, die man in der Ebene auf einen
Kegelschnitt gründen kann[^19], so mögen wir auch so sagen:

Die Theorie der binären Formen und die allgemeine projectivische
Maßgeometrie in der Ebene sind dasselbe.

Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in der vorstehenden
Betrachtung die Curve dritter Ordnung im Raume setzen etc., doch mag
dies unausgeführt bleiben. Der hier dargelegte Zusammenhang zwischen der
Geometrie der Ebene, weiterhin des Raumes oder einer beliebig
ausgedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im Wesentlichen mit dem von
Hesse vorgeschlagenen Uebertragungsprincipe [7].

Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische Geometrie des
Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theorie der quaternären Formen.
Fasst man die gerade Linie als Raumelement und ertheilt ihr, wie in der
Liniengeometrie geschieht, sechs homogene Coordinaten, zwischen denen
eine Bedingungsgleichung vom zweiten Grade Statt findet, so erscheinen
die linearen und dualistischen Transformationen des Raumes als
diejenigen linearen Transformationen der unabhängig gedachten sechs
Veränderlichen, welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch
eine Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben entwickelt
wurden, erhält man hieraus den Satz:

Die Theorie der quaternären Formen deckt sich mit der projectivischen
Maßbestimmung in einer durch 6 homogene Veränderliche erzeugten
Mannigfaltigkeit.

Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung verweise ich auf einen
demnächst in den Math. Annalen (Bd. VI) erscheinenden Aufsatz: „Ueber
die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie"[8], sowie auf eine Note am
Schlusse dieser Mittheilung[^20].

Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen noch zwei
Bemerkungen, von denen die erste zwar schon implicite in dem Bisherigen
enthalten ist, aber ausgeführt werden soll, weil der Gegenstand, auf den
sie sich bezieht, zu leicht Missverständnissen ausgesetzt ist.

Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente einführen, so erhält der
Raum beliebig viele Dimensionen. Wenn wir dann aber an der uns
geläufigen (elementaren oder projectivischen) Anschauungsweise
festhalten, so ist die Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte
Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein gegeben; es
ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der projectivischen
Umformungen. Wollten wir eine andere Gruppe zu Grunde legen, so müssten
wir von der gewöhnlichen bez. der projectivischen Anschauung abgehen. So
richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raumelemente der Raum
Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Ausdehnungen repräsentirt, so
wichtig ist es, hinzuzufügen, dass bei dieser Repräsentation entweder
von Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behandlung der
Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen ist, oder dass wir, wollen wir über
die Gruppe verfügen, unsere geometrische Auffassung entsprechend
auszubilden haben. — Es könnte, ohne diese Bemerkung, z. B. eine
Repräsentation der Liniengeometrie in der folgenden Weise gesucht
werden. Die Gerade erhält in der Liniengeometrie sechs Coordinaten; eben
so viele Coefficienten besitzt der Kegelschnitt in der Ebene. Das Bild
der Liniengeometrie würde also die Geometrie in einem
Kegelschnittsysteme sein, das aus der Gesammtheit der Kegelschnitte
durch eine quadratische Gleichung zwischen den Coefficienten
ausgesondert wird. Das ist richtig, sowie wir als Gruppe der ebenen
Geometrie die Gesammtheit der Transformationen zu Grunde legen, die
durch lineare Umformungen der Kegelschnitts-Coefficienten repräsentirt
werden, welche die quadratische Bedingungsgleichung in sich überführen.
Halten wir aber an der elementaren bez. der projectivischen Auffassung
der ebenen Geometrie fest, so haben wir eben kein Bild.

Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Begriffsbildung. Sei im
Raume irgend eine Gruppe, etwa die Hauptgruppe gegeben. So wähle man ein
einzelnes räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder eine Gerade, oder
auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf dasselbe alle Transformationen
der Hauptgruppe an. Man erhält dann eine mehrfach unendliche
Mannigfaltigkeit mit einer Anzahl von Dimensionen, die im Allgemeinen
gleich der Zahl der in der Gruppe enthaltenen willkürlichen Parameter
ist, die in besonderen Fällen herabsinkt, wenn nämlich das ursprünglich
gewählte Gebilde die Eigenschaft besitzt, durch unendlich viele
Transformationen der Gruppe in sich übergeführt zu werden. Jede so
erzeugte Mannigfaltigkeit heiße mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein
Körper[^21]. Wollen wir nun den Raum im Sinne der Gruppe untersuchen und
dabei bestimmte Gebilde als Raumelemente auszeichnen, und wollen wir
nicht, dass Gleichberechtigtes ungleichartig dargestellt werde, so
müssen wir die Raumelemente ersichtlich so wählen, dass ihre
Mannigfaltigkeit entweder selbst einen Körper bildet oder in Körper
zerlegt werden kann. Von dieser evidenten Bemerkung soll später (§.9)
eine Anwendung gemacht werden. Der Körper-Begriff selbst wird im
Schlussparagraphen in Verbindung mit verwandten Begriffen noch einmal
zur Sprache kommen.

§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die Interpretation von x+iy.
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Wir kehren mit diesem Paragraphen zur Besprechung der verschiedenen
Richtungen der geometrischen Forschung zurück, wie sie in §§.2.3
begonnen wurde.

Als ein Seitenstück zu den Betrachtungsweisen der projectivischen
Geometrie kann man in vielfacher Hinsicht eine Classe geometrischer
Ueberlegungen betrachten, bei denen von der Umformung durch reciproke
Radien fortlaufender Gebrauch gemacht wird. Es gehören hierher die
Untersuchungen über die sog. Cycliden und anallagmatische Flächen, über
die allgemeine Theorie der Orthogonalsysteme, ferner Untersuchungen über
das Potential etc. Wenn man die in denselben enthaltenen Betrachtungen
noch nicht gleich den projectivischen zu einer besonderen Geometrie
zusammengefasst hat, die dann als Gruppe die Gesammtheit derjenigen
Umformungen zu Grunde zu legen hätte, welche durch Verbindung der
Hauptgruppe mit der Transformation durch reciproke Radien entstehen, so
ist das wohl dem zufälligen Umstande zuzuschreiben, dass die genannten
Theorien seither nicht im Zusammenhange dargestellt worden sind; den
einzelnen Autoren, die in dieser Richtung arbeiteten, wird eine solche
methodische Auffassung nicht fern gelegen haben.

Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken Radien und der
projectivischen ergibt sich, sowie einmal die Frage nach einem
Vergleiche vorhanden ist, von selbst, und es mag daher nur ganz im
Allgemeinen auf die folgenden Puncte aufmerksam gemacht werden:

In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade, Ebene die
Elementar-Begriffe. Kreis und Kugel sind nur specielle Fälle von
Kegelschnitt und Fläche zweiten Grades. Das unendlich Ferne der
elementaren Geometrie erscheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf
welches sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich ferner,
imaginärer Kegelschnitt.

In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct, Kreis und Kugel die
Elementarbegriffe. Gerade und Ebene sind specielle Fälle der letzteren,
dadurch charakterisirt, dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens
nicht weiter ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct
enthalten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie man diesen Punct
fest denkt.

Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Einkleidung fähig, welche
sie neben die Theorie der binären Formen und die Liniengeometrie stellt,
falls man die letzteren in der Weise behandelt, wie das im vorigen
Paragraphen angedeutet wurde. Wir mögen zu diesem Zwecke die Betrachtung
zunächst auf ebene Geometrie und also auf Geometrie der reciproken
Radien in der Ebene[^22] beschränken.

Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der zwischen der elementaren
Geometrie der Ebene und der projectivischen Geometrie der mit einem
ausgezeichneten Puncte versehenen Fläche zweiten Grades besteht (§.4).
Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab und betrachtet also die
projectivische Geometrie auf der Fläche an sich, so hat man ein Bild der
Geometrie der reciproken Radien in der Ebene. Denn man überzeugt sich
leicht[^23], dass der Transformationsgruppe der reciproken Radien in der
Ebene vermöge der Abbildung der Fläche zweiten Grades die Gesammtheit
der linearen Transformationen der letzteren in sich selbst entspricht.
Man hat also:

Geometrie der reciproken Radien in der Ebene und projectivische
Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades ist dasselbe,

und ganz entsprechend:

Geometrie der reciproken Radien im Raume ist mit der projectivischen
Behandlung einer Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch eine
quadratische Gleichung zwischen fünf homogenen Veränderlichen
dargestellt wird.

Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der reciproken Radien in
ganz dieselbe Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen
gesetzt, wie vermöge der Liniengeometrie mit einer Mannigfaltigkeit von
fünf Ausdehnungen.

Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene gestattet, sofern man
nur auf reelle Transformationen achten will, noch nach einer anderen
Seite eine interessante Darstellung, resp. Verwendung. Breitet man
nämlich eine complexe Variable x+iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene
aus, so entspricht ihren linearen Transformationen die Gruppe der
reciproken Radien, mit der erwähnten Beschränkung auf das Reelle. Die
Untersuchung der Functionen einer complexen Veränderlichen, die
beliebigen linearen Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber
nichts Anderes, als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungsweise
Theorie der binären Formen genannt wird. Also:

Die Theorie der binären Formen findet ihre Darstellung durch die
Geometrie der reciproken Radien in der reellen Ebene, so zwar, dass auch
die complexen Werthe der Variabeln repräsentirt werden.

Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren Vorstellungskreis der
projectivischen Umformungen zu gelangen, zur Fläche zweiten Grades
aufsteigen. Da wir nur reelle Elemente der Ebene betrachteten, ist es
nicht mehr gleichgültig, wie man die Fläche wählt; sie ist ersichtlich
nicht geradlinig zu nehmen. Insbesondere können wir uns dieselbe — wie
man das zur Interpretation einer complexen Veränderlichen auch sonst
thut — als Kugelfläche denken und erhalten so den Satz:

Die Theorie der binären Formen complexer Variablen findet ihre
Repräsentation in der projectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche.

Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note[^24] noch
auseinanderzusetzen, wie schön dieses Bild die Theorie der binären
cubischen und biquadratischen Formen erläutert.

§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lies Kugelgeometrie.
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An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken Radien
und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt und nur durch
die Zahl der Veränderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse
Erweiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden mögen.
Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Gedanken, dass die Gruppe,
welche die Behandlungsweise gegebener Gebiete bestimmt, beliebig
erweitert werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist
namentlich die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer
neueren Abhandlung niedergelegt hat[^25], in ihrer Beziehung zu den hier
vorgetragenen Ueberlegungen darzulegen. Der Weg, auf welchem wir zu Lies
Kugelgeometrie gelangen, weicht insofern von dem von Lie eingeschlagenen
ab, als Lie an liniengeometrische Vorstellungen anknüpft, während wir,
um uns mehr der gewöhnlichen geometrischen Anschauung anzuschliessen und
im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zu bleiben, bei den bez.
Auseinandersetzungen eine geringere Zahl von Veränderlichen
voraussetzen. Die Betrachtungen sind, wie bereits Lie selbst
hervorgehoben hat (Göttinger Nachrichten 1871. N. 7, 22 [11]) von der
Zahl der Variabeln unabhängig. Sie gehören dem grossen Kreise von
Untersuchungen an, welche sich mit der projectivischen Untersuchung
quadratischer Gleichungen zwischen beliebig vielen Veränderlichen
beschäftigen, Untersuchungen, die wir bereits öfter berührt haben und
die uns noch wiederholt begegnen werden (vergl. §.10 u. a.)

Ich knüpfe an den Zusammenhang an, der zwischen der reellen Ebene und
der Kugelfläche durch stereographische Projection hergestellt wird. Wir
setzten bereits in §.5 die Geometrie der Ebene mit der Geometrie auf
einem Kegelschnitte in Verbindung, indem wir der Geraden der Ebene das
Punctepaar zuordneten, in welchem sie den Kegelschnitt trifft.
Entsprechend können wir einen Zusammenhang zwischen der Raumgeometrie
und der Geometrie auf der Kugel aufstellen, indem wir jeder Ebene des
Raumes den Kreis zuordnen, in welchem sie die Kugel schneidet.
Uebertragen wir dann durch stereographische Projection die Geometrie auf
der Kugel von derselben auf die Ebene, wobei jeder Kreis in einen Kreis
übergeht, so entsprechen einander also:

-   die Raumgeometrie, welche als Element die Ebene, als Gruppe
    diejenigen linearen Transformationen benutzt, welche eine Kugel in
    sich überführen;
-   die ebene Geometrie, deren Element der Kreis, deren Gruppe die
    Gruppe der reciproken Radien ist.

Die erstere Geometrie wollen wir nun nach zwei Seiten verallgemeinern,
indem wir statt ihrer Gruppe eine umfassendere setzen. Die resultirende
Erweiterung überträgt sich dann durch die Abbildung ohne Weiteres auf
ebene Geometrie.

Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden Raumes,
welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, entweder die
Gesammtheit der linearen Transformationen des Raumes, oder die
Gesammtheit der Ebenen-Transformationen des Raumes zu wählen, welche die
Kugel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der Kugel, das
andere Mal von dem linearen Character der anzuwendenden Transformationen
absehen. Die erste Verallgemeinerung ist ohne Weiteres verständlich und
wir mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer Bedeutung für ebene
Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen wir hernach zurück, wobei es
sich denn zunächst darum handelt, die allgemeinste betreffende
Transformation zu bestimmen.

Die linearen Transformationen des Raumes haben die Eigenschaft gemein,
Ebenenbüschel und Ebenenbündel wieder in solche überzuführen. Aber auf
die Kugel übertragen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h.
eine einfach unendliche Reihe von Kreisen mit gemeinsamen
Schnittpunkten; das Ebenenbündel ergibt ein Kreisbündel, d. h. eine
zweifach unendliche Schaar von Kreisen, die auf einem festen Kreise
senkrecht stehen (dem Kreise, dessen Ebene die Polarebene des den Ebenen
des geg. Bündels gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transformationen
des Raumes entsprechen also auf der Kugel und weiterhin in der Ebene
Kreistransformationen von der characteristischen Eigenschaft,
Kreisbüschel und Kreisbündel in ebensolche überzuführen[^26]. Die ebene
Geometrie welche die Gruppe der so gewonnenen Transformationen benutzt,
ist das Bild der gewöhnlichen projectivischen Raumgeometrie. Als Element
der Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den Punct benutzen können,
da die Puncte für die gewählte Transformationsgruppe keinen Körper
bilden (§.5), sondern man wird die Kreise als Elemente wählen.

Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es zunächst die Frage
nach der Art der bez. Transformationsgruppe erledigen. Es handelt sich
darum, Ebenen-Transformationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel,
dessen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bündel machen.
Wir mögen der kürzeren Ausdrucksweise wegen zunächst die Frage
dualistisch umkehren und überdies einen Schritt in der Zahl der
Dimensionen hinab gehen; wir wollen also nach Puncttransformationen der
Ebene fragen, welche aus jeder Tangente eines gegebenen Kegelschnittes
wiederum eine Tangente erzeugen. Zu dem Zwecke betrachten wir die Ebene
mit ihrem Kegelschnitte als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man
von einem nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die Ebene
projicirt hat, dass der bez. Kegelschnitt die Uebergangscurve vorstellt.
Den Tangenten des Kegelschnitts entsprechen die Erzeugenden der Fläche,
und die Frage ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der
Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen die
Erzeugenden Erzeugende bleiben.

Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich viele: denn
man braucht nur den Punct der Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden
zweierlei Art zu betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in
sich zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind insbesondere
die linearen. Nur auf diese wollen wir achten. Hätten wir nämlich nicht
mit einer Fläche, sondern mit einer mehrfach ausgedehnten
Mannigfaltigkeit zu thun, die durch eine quadratische Gleichung
repräsentirt wird, so blieben nur die linearen Transformationen, die
anderen kämen in Wegfall[^27].

Diese linearen Transformationen der Fläche in sich selbst ergeben, durch
(nicht stereographische) Projection auf die Ebene übertragen,
zweideutige Puncttransformationen, vermöge deren aus jeder Tangente des
Kegelschnittes, der die Uebergangscurve bildet, allerdings wieder eine
Tangente wird, aus jeder anderen Geraden aber im Allgemeinen ein
Kegelschnitt, der die Uebergangscurve doppelt berührt. Es lässt sich
diese Transformationsgruppe passend characterisiren, wenn man auf den
Kegelschnitt, der die Uebergangscurve bildet, eine projectivische
Maßbestimmung gründet. Die Transformationen haben dann die Eigenschaft,
Puncte, welche im Sinne der Maßbestimmung von einander eine Entfernung
gleich Null haben, sowie Puncte, welche von einem anderen Puncte eine
constante Entfernung haben, wieder in solche Puncte zu verwandeln.

Alle diese Betrachtungen lassen sich auf beliebig viele Variabeln
übertragen, insbesondere also für die ursprüngliche Fragestellung, die
sich auf die Kugel und die Ebene als Element bezog, verwerthen. Man kann
dem Resultate dabei eine besonders anschauliche Form geben, weil der
Winkel, den zwei Ebenen im Sinne der auf eine Kugel gegründeten
projectivischen Maßbestimmung mit einander bilden, mit dem Winkel gleich
ist, den ihre Durchschnittskreise mit der Kugel im gewöhnlichen Sinne
mit einander bilden.

Wir erhalten also auf der Kugel und weiterhin auf der Ebene eine Gruppe
von Kreistransformationen, welche die Eigenschaft haben, Kreise, die
einander berühren (einen Winkel gleich Null einschliessen), sowie
Kreise, die einen anderen Kreis unter gleichem Winkel schneiden, in eben
solche Kreise überzuführen. In der Gruppe dieser Transformationen sind
auf der Kugel die bez. linearen, in der Ebene die Transformationen der
Gruppe der reciproken Radien enthalten.

Die auf diese Gruppe zu gründende Kreisgeometrie ist nun das Analogon zu
der Kugelgeometrie, wie sie Lie für den Raum entworfen hat, und wie sie
bei Untersuchungen über Krümmung der Flächen von ausgezeichneter
Bedeutung scheint. Sie schliesst die Geometrie der reciproken Radien in
demselben Sinne in sich, wie letztere wieder die elementare Geometrie. —

Die nunmehr gewonnenen Kreis-(Kugel-)Transformationen haben insbesondere
die Eigenschaft, sich berührende Kreise (Kugeln) in eben solche
überzuführen. Betrachtet man alle Curven (Flächen) als Umhüllungsgebilde
von Kreisen (Kugeln), so werden in Folge dessen Curven (Flächen), die
sich berühren, immer in wieder solche übergehen. Die fraglichen
Transformationen gehören also in die Classe der später allgemein zu
betrachtenden Berührungstransformationen, d. h. solcher Umformungen, bei
denen Berührung von Punctgebilden eine invariante Beziehung ist. Die im
vorliegenden Paragraphen zuerst erwähnten Kreistransformationen, denen
man analoge Kugeltransformationen an die Seite stellen kann, sind keine
Berührungstransformationen. —

Wurden vorstehend die zweierlei Erweiterungen nur an die Geometrie der
reciproken Radien angeknüpft, so gelten dieselben in entsprechender
Weise für Liniengeometrie, überhaupt für die projectivische Untersuchung
einer durch eine quadratische Gleichung ausgeschiedenen
Mannigfaltigkeit, wie bereits angedeutet wurde, hier aber nicht weiter
ausgeführt werden soll.

§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von
Puncttransformationen zu Grunde liegt.
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Elementare Geometrie, Geometrie der reciproken Radien und auch
projectivische Geometrie, sofern man von den mit Wechsel des
Raumelements verknüpften dualistischen Umformungen absieht, subsumiren
sich als einzelne Glieder unter die grosse Menge von denkbaren
Betrachtungsweisen, welche überhaupt Gruppen von Puncttransformationen
zu Grunde legen. Wir mögen hier nur die folgenden drei Methoden, die
hierin mit den genannten übereinstimmen, hervorheben. Sind diese
Methoden auch lange nicht in dem Maße, wie die projectivische Geometrie,
zu selbständigen Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deutlich
erkennbar in den neueren Untersuchungen auf.

1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.

Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden werden, ob dieselben
für alle Puncte des Gebietes, in welchem man operirt, also des Raumes
oder der Ebene etc., rational sind, oder nur für die Puncte einer in dem
Gebiete enthaltenen Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve. Nur die
ersteren sind zu verwenden, wenn es gilt, im bisherigen Sinne eine
Geometrie des Raumes, der Ebene zu entwerfen; die letzteren gewinnen von
dem hier gegebenen Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie auf
einer gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe
Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Analysis situs.

Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben sich aber
wesentlich mit Transformationen der zweiten Art beschäftigt. Insofern
dabei nicht die Frage nach der Geometrie auf der Fläche, der Curve war,
es sich vielmehr darum handelte, Criterien zu finden, damit zwei
Flächen, Curven in einander transformirt werden können, treten diese
Untersuchungen aus dem Kreise der hier zu betrachtenden heraus. Der hier
aufgestellte allgemeine Schematismus umspannt eben nicht die Gesammtheit
mathematischer Forschung überhaupt, sondern er bringt nur gewisse
Richtungen unter einen gemeinsamen Gesichtspunct.

Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie sie sich unter
Zugrundelegung der Transformationen der ersten Art ergeben muss, sind
bis jetzt erst die Anfänge vorhanden. Im Gebiete erster Stufe, auf der
geraden Linie, sind die rationalen Umformungen mit den linearen
identisch und liefern also nichts Neues. In der Ebene kennt man freilich
die Gesammtheit der rationalen Umformungen (der Cremonaschen
Transformationen), man weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung
quadratischer erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charactere der
ebenen Curven: ihr Geschlecht, die Existenz der Moduln; aber eigentlich
zu einer Geometrie der Ebene in dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind
diese Betrachtungen noch nicht. Im Raume ist die ganze Theorie noch erst
im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umformungen kennt man bis
jetzt nur wenige und benutzt dieselben, um bekannte Flächen mit
unbekannten durch Abbildung in Verbindung zu setzen. —

2. Die Analysis situs.

In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende gegenüber solchen
Umformungen, die aus unendlich kleinen Verzerrungen durch
Zusammensetzung entstehen. Auch hier muss man, wie bereits gesagt,
unterscheiden, ob das ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object der
Transformationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm
ausgesonderte Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Transformationen der
ersten Art sind es, die man einer Raumgeometrie würde zu Grunde legen
können. Ihre Gruppe wäre wesentlich anders constituirt, als die bisher
betrachteten es waren. Indem sie alle Transformationen umfasst, die sich
aus reell gedachten unendlich kleinen Puncttransformationen
zusammensetzen, trägt sie die principielle Beschränkung auf reelle
Raumelemente in sich, und bewegt sich auf dem Gebiete der willkürlichen
Function. Man kann diese Transformationsgruppe nicht ungeschickt
erweitern, indem man sie noch mit den reellen Collineationen, die auch
das unendlich Ferne modificiren, verbindet. —

3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.

Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle
Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch Transformationen der
Gruppe übergeführt werden kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren
Untersuchung die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der
Auffassung der Geometrie, wie sie hier zu Grunde gelegt ist, kann es
gleichgültig sein, wenn diese Gebilde seither nicht sowohl als
geometrische sondern nur als analytische betrachtet wurden, die
gelegentlich geometrische Anwendung fanden, und wenn man bei ihrer
Untersuchung Processe anwandte (wie eben beliebige
Puncttransformationen), die man erst in neuerer Zeit bewusst als
geometrische Umformungen aufzufassen begonnen hat. Unter diese
analytischen Gebilde gehören vor allen die homogenen
Differentialausdrücke, sodann auch die partiellen
Differentialgleichungen. Bei der allgemeinen Discussion der letzteren
scheint aber, wie in dem folgenden Paragraphen ausgeführt wird, die
umfassendere Gruppe aller Berührungstransformationen noch vorteilhafter.

Der Hauptsatz, der in der Geometrie, welche die Gruppe aller
Puncttransformationen zu Grunde legt, in Geltung ist, ist der, dass eine
Puncttransformation für eine unendlich kleine Partie des Raumes immer
den Werth einer linearen Transformation hat. Die Entwickelungen der
projectivischen Geometrie haben also nun ihren Werth für das
Unendlichkleine, und hierin liegt, mag sonst die Wahl der Gruppe bei
Behandlung von Mannigfaltigkeiten willkürlich sein — hierin liegt ein
auszeichnender Character für die projectivische Anschauungsweise.

Nachdem nun schon lange von dem Verhältnisse der Betrachtungsweisen, die
einander einschliessende Gruppen zu Grunde legen, nicht mehr die Rede
war, mag hier noch einmal ein Beispiel für die allgemeine Theorie des
§.2 gegeben werden. Wir mögen uns die Frage vorlegen, wie denn vom
Standpuncte „aller Puncttransformationen" projectivische Eigenschaften
aufzufassen sind, wobei von den dualistischen Umformungen, die
eigentlich mit zur Gruppe der projectivischen Geometrie gehören,
abgesehen werden mag. Die Frage deckt sich dann mit der andern: durch
welche Bedingung aus der Gesammtheit der Puncttransformationen die
Gruppe der linearen ausgeschieden wird. Das Characteristische der
letzteren ist, dass sie jeder Ebene eine Ebene zuordnen: sie sind
diejenigen Puncttransformationen, vermöge deren die Mannigfaltigkeit der
Ebenen (oder, was auf dasselbe hinaus kommt, der geraden Linien)
erhalten bleibt. Die projectivische Geometrie ist aus der Geometrie
aller Puncttransformationen ebenso durch Adjunction der Mannigfaltigkeit
der Ebenen zu gewinnen, wie die elementare Geometrie aus der
projectivischen durch Adjunction des unendlich fernen Kugelkreises.
Insbesondere haben wir z. B. vom Standpuncte aller Puncttransformationen
die Bezeichnung einer Fläche als einer algebraischen von einer gewissen
Ordnung als eine invariante Beziehung zur Mannigfaltigkeit der Ebenen
aufzufassen. Es wird dies recht deutlich, wenn man, mit Grassmann, die
Erzeugung der algebraischen Gebilde an ihre lineale Construction knüpft.

§.9. Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.
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Berührungstransformationen sind zwar in einzelnen Fällen schon lange
betrachtet; auch hat Jacobi bei analytischen Untersuchungen bereits von
den allgemeinsten Berührungstransformationen Gebrauch gemacht; aber in
die lebendige geometrische Anschauung wurden sie erst durch neuere
Arbeiten von Lie eingeführt[^28]. Es ist daher wohl nicht überflüssig,
hier ausdrücklich auseinanderzusetzen, was eine Berührungstransformation
ist, wobei wir uns, wie immer, auf den Punctraum mit seinen drei
Dimensionen beschränken.

Unter einer Berührungstransformation hat man, analytisch zu reden, jede
Substitution zu verstehen, welche die Variabel-Werthe x, y, z und ihre
partiellen Differentialquotienten dz/dx = p, dz/dy = q durch neue x',
y', z', p', q' ausdrückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende
Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen über, was den
Namen Berührungstransformation begründet. Die Berührungstransformationen
zerfallen, wenn man vom Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen:
solche, die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen
— das sind die eben betrachteten Puncttransformationen —, solche, die
sie in Curven, endlich solche, die sie in Flächen überführen. Diese
Eintheilung hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten,
als bei Benutzung anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa
der Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen eintritt,
die aber mit der Theilung, die unter Zugrundelegung der Puncte statt
fand, nicht coincidirt.

Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransformationen an, so geht
er in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen über. In ihrer
Gesammtheit erst bilden also Puncte, Curven und Flächen einen Körper
unserer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel abnehmen, dass die
formale Behandlung eines Problems im Sinne aller
Berührungstransformationen (also etwa die sogleich vorzutragende Theorie
der partiellen Differentialgleichungen) eine unvollkommene werden muss,
sowie man mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu
Grunde gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden.

Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als Raumelemente
einzuführen, geht aber, will man in Verbindung mit den gewöhnlichen
Methoden bleiben, nicht an, da deren Zahl unendlichfach unendlich ist.
Hierin liegt die Notwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den
Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flächenelement,
d. h. das Werthsystem x, y, z, p, q als Raumelement einzuführen. Bei
jeder Berührungstransformation wird aus jedem Flächenelemente ein neues;
die fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also einen Körper.

Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Fläche gleichmässig als
Aggregate von Flächenelementen auffassen, und zwar von zweifach
unendlich vielen. Denn die Fläche wird von ∞^2 Elementen bedeckt,
die Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞^2
hindurch. Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen haben
noch eine characteristische Eigenschaft gemein. Man bezeichne als
vereinigte Lage zweier consecutiven Flächenelemente x, y, z, p, q und
x+dx, y+dy, z+dz, p+dp, q+dq die Beziehung, welche durch
dz - pdx - qdy = 0
 dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche übereinstimmend zweifach
unendliche Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes mit den einfach
unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt liegt. Dadurch sind Punct,
Curve, Fläche gemeinsam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man
die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will,
analytisch repräsentirt werden.

Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger
Berührungstransformation invariante Beziehung. Aber auch umgekehrt
können die Berührungstransformationen definirt werden als diejenigen
Substitutionen der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren die
Relation dz-pdx-qdy=0 in sich selbst übergeführt wird. Der Raum ist also
bei diesen Untersuchungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen
anzusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln, indem man als
Gruppe die Gesammtheit aller Transformationen der Variabeln zu Grunde
legt, welche eine bestimmte Relation zwischen den Differentialen
ungeändert lassen.

Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie diejenigen
Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder mehrere Gleichungen zwischen
den Variabein dargestellt werden, d. h. die partiellen
Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage
wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen, die gegebenen
Gleichungen genügen, einfach, zweifach unendliche Reihen von Elementen
ausscheiden lassen, deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt.
Auf eine solche Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer
partiellen Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll — so
kann man sie formuliren — aus den vierfach unendlich vielen Elementen,
die der Gleichung genügen, alle zweifach unendlichen Mannigfaltigkeiten
der bewussten Art ausscheiden. Insbesondere die Aufgabe der
vollständigen Lösung nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die
vierfach unendlich vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf eine
Weise in zweifach unendlich viele derartige Mannigfaltigkeiten zerlegen.

Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differentialgleichungen
kann hier nicht in der Absicht liegen; ich verweise in Bezug hierauf auf
die citirten Lieschen Arbeiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für
den Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle
Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in
jede andere übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen
Gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind. Unterscheidungen treten
erst ein, wenn man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen
zurückgeht.

Die Gruppen der Berührungstransformationen, der Puncttransformationen,
endlich der projectivischen Umformungen lassen sich in einer
einheitlichen Weise characterisiren, die ich hier nicht unterdrücken
mag[^29]. Berührungstransformationen wurden bereits definirt als
diejenigen Umformungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver
Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransformationen haben dagegen
die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene consecutive
Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die linearen und
dualistischen Transformationen endlich bewahren die vereinigte Lage
consecutiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente verstehe ich
die Vereinigung eines Flächenelementes mit einem in ihm enthaltenen
Linienelemente; consecutive Connexelemente heißen vereinigt gelegen,
wenn nicht nur der Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem
Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens vorläufige)
Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf die von Clebsch
neuerdings[^30] in die Geometrie eingeführten Gebilde, welche durch eine
Gleichung dargestellt werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct-, eine
Reihe Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und deren
Analoga in der Ebene Clebsch als Connexe bezeichnet.

§.10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.
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Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der Anknüpfung der
bisherigen Auseinandersetzungen an die räumliche Vorstellung nur der
Wunsch maßgebend war, die abstracten Begriffe durch Anlehnung an
anschauliche Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich
sind die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unabhängig und gehören
dem allgemeinen Gebiete mathematischer Forschung an, das man als die
Lehre von den ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann)
kurz als Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Uebertragung des
Vorhergehenden vom Raume auf den blossen Mannigfaltigkeitsbegriff zu
bewerkstelligen hat, ist ersichtlich. Es sei dabei nur noch einmal
bemerkt, dass wir bei der abstracten Untersuchung, der Geometrie
gegenüber, den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen, welche
wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wählen zu können, während
in der Geometrie eine kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein
gegeben war.

Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese
ganz kurz berühren.

1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne Algebra
(Invariantentheorie).

Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen
Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der
Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die
Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie. Es wurde bereits
hervorgehoben wie diese Behandlungsweise bei der Discussion des
unendlich Kleinen in einer um eine Dimension mehr ausgedehnten
Mannigfaltigkeit zur Verwendung kommt. Sie schliesst die beiden noch zu
nennenden Behandlungsweisen in dem Sinne ein, als ihre Gruppe die bei
jenen zu Grunde zu legende Gruppe umfasst.

2. Die Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.

Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei Riemann aus der allgemeineren
einer Mannigfaltigkeit, in der ein Differentialausdruck der
Veränderlichen gegeben ist. Die Gruppe besteht bei ihm aus der
Gesammtheit der Transformationen der Variabeln, welche den gegebenen
Ausdruck ungeändert lassen. Von einer andern Seite kommt man zur
Vorstellung einer Mannigfaltigkeit von constanter Krümmung, wenn man im
projectivischen Sinne auf eine zwischen den Veränderlichen gegebene
quadratische Gleichung eine Maßbestimmung gründet. Bei dieser Weise
tritt gegenüber der Riemannschen die Erweiterung ein, dass die Variabeln
als complex gedacht werden; man mag hinterher die Veränderlichkeit auf
das reelle Gebiet beschränken. Hierher gehören die grosse Reihe von
Untersuchungen, die wir in §§. 5, 6, 7 berührt haben.

3. Die ebene Mannigfaltigkeit.

Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die Mannigfaltigkeit von
constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre Theorie ist die
unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe
kann, — wie die Hauptgruppe der Geometrie — aus der Gruppe der
projectivischen dadurch ausgeschieden werden, dass man ein Gebilde fest
hält, welches durch zwei Gleichungen, eine lineare und eine
quadratische, dargestellt wird. Dabei hat man zwischen Reellem und
Imaginärem zu unterscheiden, wenn man sich der Form, unter der die
Theorie gewöhnlich dargestellt wird, anschliessen will. Hierher zu
rechnen sind vor Allem die elementare Geometrie selbst, dann z. B. die
in neuerer Zeit entwickelten Verallgemeinerungen der gewöhnlichen
Krümmungstheorie u. s. w.

Schlussbemerkungen.
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Zum Schlusse mögen noch zwei Bemerkungen ihre Stelle finden, die mit dem
bisher Vorgetragenen in enger Beziehung stehen; die eine betrifft den
Formalismus, durch welche man die begrifflichen Entwicklungen den
Vorangehenden repräsentiren will, die andere soll einige Probleme
kennzeichnen, deren Inangriffnahme nach den hier gegebenen
Auseinandersetzungen als wichtig und lohnend erscheint.

Man hat der analytischen Geometrie häufig den Vorwurf gemacht, durch
Einführung des Coordinatensystems willkürliche Elemente zu bevorzugen,
und dieser Vorwurf trifft gleichmässig jede Behandlungsweise
ausgedehnter Mannigfaltigkeiten, welche das Einzelne durch die Werthe
von Veränderlichen characterisirt. War dieser Vorwurf bei der
mangelhaften Art, mit der man namentlich früher die Coordinatenmethode
handhabte, nur zu oft gerechtfertigt, so verschwindet er bei einer
rationellen Behandlung der Methode. Die analytischen Ausdrücke, welche
bei der Untersuchung einer Mannigfaltigkeit im Sinne einer Gruppe
entstehen können, müssen, ihrer Bedeutung nach, von dem
Coordinatensysteme, insofern es zufällig gewählt ist, unabhängig sein,
und es gilt nun, diese Unabhängigkeit auch formal in Evidenz zu setzen.
Dass dies möglich ist und wie es zu geschehen hat, zeigt die moderne
Algebra, in der der formale Invariantenbegriff, um den es sich hier
handelt, am deutlichsten ausgeprägt ist. Sie besitzt ein allgemeines und
erschöpfendes Bildungsgesetz für invariante Ausdrücke und operirt
principiell nur mit solchen. Die gleiche Forderung soll man an die
formale Behandlung stellen, auch wenn andere Gruppen, als die
projectivische, zu Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich
doch mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus nur als
präcisen und durchsichtigen Ausdruck der Begriffsbildung verwerthen,
oder will man ihn benutzen, um an seiner Hand in noch unerforschte
Gebiete einzudringen. —

Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten, erwächst durch
einen Vergleich der vorgetragenen Anschauungen mit der sog. Galoisschen
Theorie der Gleichungen.

In der Galoisschen Theorie, wie hier, concentrirt sich das Interesse auf
Gruppen von Aenderungen. Die Objecte, auf welche sich die Aenderungen
beziehen, sind allerdings verschieden; man hat es dort mit einer
endlichen Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von
Elementen einer stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber der Vergleich
lässt sich bei der Identität des Gruppenbegriffes doch weiter
verfolgen[^31], und es mag dies hier um so lieber angedeutet werden, als
dadurch die Stellung characterisirt wird, die man gewissen von Lie und
mir begonnenen Untersuchungen[^32] im Sinne der hier entwickelten
Anschauungen zuzuweisen hat.

In der Galoisschen Theorie, wie sie z. B. in Serrets Traité d'Algèbre
supérieure[19] oder in C. Jordans Traité des substitutions[20]
dargestellt wird, ist der eigentliche Untersuchungsgegenstand die
Gruppen- oder Substitutionstheorie selbst, die Gleichungstheorie fliesst
aus ihr als eine Anwendung. Entsprechend verlangen wir eine
Transformationstheorie, eine Lehre von den Gruppen, welche von
Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt werden können. Die
Begriffe der Vertauschbarkeit, der Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in
der Substitutionstheorie, zur Verwendung. Als eine Anwendung der
Transformationstheorie erscheint die aus der Zugrundelegung der
Transformationsgruppen fliessende Behandlung der Mannigfaltigkeit.

In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symmetrischen Functionen
der Coefficienten, die das Interesse auf sich ziehen, sodann aber
diejenigen Ausdrücke, welche, wenn nicht bei allen, so durch eine
grössere Reihe von Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei
der Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung einer Gruppe
fragen wir entsprechend zunächst nach den Körpern (§.5), nach den
Gebilden, die durch alle Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben.
Aber es gibt Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der
Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe
gegründeten Behandlung besonders interessant, sie haben ausgezeichnete
Eigenschaften. Es kommt das also darauf hinaus, im Sinne der
gewöhnlichen Geometrie symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und
Schraubenflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Standpunct der
projectivischen Geometrie und verlangt insbesondere, dass die
Transformationen, durch welche die Gebilde in sich übergehen,
vertauschbar sein sollen, so kommt man auf die von Lie und mir in dem
citirten Aufsatze[18] betrachteten Gebilde und auf das in §.6. desselben
gestellte allgemeine Problem. Die dort in §§. 1, 3 gegebene Bestimmung
aller Gruppen unendlich vieler vertauschbarer linearer Transformationen
in der Ebene gehört als ein Theil in die soeben genannte allgemeine
Transformationstheorie[^33].

Noten.
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I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen Richtung in
der neueren Geometrie.
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Den Unterschied zwischen neuerer Synthese und neuerer analytischer
Geometrie hat man zur Zeit nicht mehr als einen wesentlichen zu
betrachten, da der gedankliche Inhalt sowohl als die Schlussweise sich
auf beiden Seiten allmählich ganz ähnlich gestaltet haben. Daher wählen
wir im Texte zur gemeinsamen Bezeichnung beider das Wort „projectivische
Geometrie". Wenn die synthetische Methode mehr mit räumlicher Anschauung
arbeitet und ihren ersten, einfachen Entwickelungen dadurch einen
ungemeinen Reiz ertheilt, so ist das Gebiet räumlicher Anschauung der
analytischen Methode nicht verschlossen, und man kann die Formeln der
analytischen Geometrie als einen präcisen und durchsichtigen Ausdruck
der geometrischen Beziehungen auffassen. Man hat auf der anderen Seite
den Vortheil nicht zu unterschätzen, den ein gut angelegter Formalismus
der Weiterforschung dadurch leistet, dass er gewissermaßen dem Gedanken
vorauseilt. Es ist zwar immer an der Forderung festzuhalten, dass man
einen mathematischen Gegenstand noch nicht als erledigt betrachten soll,
so lange er nicht begrifflich evident geworden ist, und es ist das
Vordringen an der Hand des Formalismus eben nur ein erster aber schon
sehr wichtiger Schritt.

II. Trennung der heutigen Geometrie in Disciplinen.
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Wenn man z. B. beachtet, wie der mathematische Physiker sich durchgängig
der Vortheile entschlägt, die ihm eine nur einigermaßen ausgebildete
projectivische Anschauung in vielen Fällen gewähren kann, wie auf der
anderen Seite der Projectiviker die reiche Fundgrube mathematischer
Wahrheiten unberührt lässt, welche die Theorie der Krümmung der Flächen
aufgedeckt hat, so muss man den gegenwärtigen Zustand des geometrischen
Wissens als recht unvollkommen und als hoffentlich vorübergehend
betrachten.

III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.
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Wenn wir im Texte die räumliche Anschauung als etwas Beiläufiges
bezeichnen, so ist dies mit Bezug auf den rein mathematischen Inhalt der
zu formulirenden Betrachtungen gemeint. Die Anschauung hat für ihn nur
den Werth der Veranschaulichung, der allerdings in pädagogischer
Beziehung sehr hoch anzuschlagen ist. Ein geometrisches Modell z. B. ist
auf diesem Standpuncte sehr lehrreich und interessant.

Ganz anders stellt sich aber, die Frage nach dem Werthe der räumlichen
Anschauung überhaupt. Ich stelle denselben als etwas selbständiges hin.
Es gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht, wie die im Texte
besprochenen Untersuchungen, nur eine veranschaulichte Form abstracterer
Untersuchungen sein will. In ihr gilt es, die räumlichen Figuren nach
ihrer vollen gestaltlichen Wirklichkeit aufzufassen und (was die
mathematische Seite ist) die für sie geltenden Beziehungen als evidente
Folgen der Grundsätze räumlicher Anschauung zu verstehen. Ein Modell —
mag es nun ausgeführt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein —
ist für diese Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke sondern die Sache
selbst.

Wenn wir so, neben und unabhängig von der reinen Mathematik, Geometrie
als etwas Selbständiges hinstellen, so ist das an und für sich gewiss
nichts Neues. Es ist aber wünschenswerth, diesen Gesichtspunct
ausdrücklich einmal wieder hervorzuheben, da die neuere Forschung ihn
fast ganz übergeht. Hiermit hängt zusammen, dass umgekehrt die neuere
Forschung selten dazu verwendet wurde, wenn es galt, gestaltliche
Verhältnisse räumlicher Erzeugnisse zu beherrschen, und doch scheint sie
gerade in dieser Richtung sehr fruchtbar.

IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen.
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Dass der Raum, als Ort für Puncte aufgefasst, nur drei Dimensionen hat,
braucht vom mathematischen Standpuncte aus nicht discutirt zu werden;
ebenso wenig kann man aber vom mathematischen Standpuncte aus Jemanden
hindern, zu behaupten, der Raum habe eigentlich vier, oder unbegränzt
viele Dimensionen, wir seien aber nur im Stande, drei wahrzunehmen. Die
Theorie der mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie sie je länger
je mehr in den Vordergrund neuerer mathematischer Forschung tritt, ist,
ihrem Wesen nach, von einer solchen Behauptung vollkommen unabhängig. Es
hat sich in ihr aber eine Redeweise eingebürgert, die allerdings dieser
Vorstellung entflossen ist. Man spricht, statt von den Individuen einer
Mannigfaltigkeit, von den Puncten eines höheren Raumes etc. An und für
sich hat diese Redeweise manches Gute, insofern sie durch Erinnern an
die geometrischen Anschauungen das Verständniss erleichtert. Sie hat
aber die nachtheilige Folge gehabt, dass in ausgedehnten Kreisen die
Untersuchungen über Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen Dimensionen
als solidarisch erachtet werden mit der erwähnten Vorstellung von der
Beschaffenheit des Raumes. Nichts ist grundloser als diese Auffassung.
Die betr. mathematischen Untersuchungen würden allerdings sofort
geometrische Verwendung finden, wenn die Vorstellung richtig wäre, —
aber ihr Werth und ihre Absicht ruht, gänzlich unabhängig von dieser
Vorstellung, in ihrem eigenen mathematischen Inhalte.

Etwas ganz anders ist es, wenn Plücker gelehrt hat, den wirklichen Raum
als eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen aufzufassen,
indem man als Element des Raumes ein von beliebig vielen Parametern
abhängendes Gebilde (Curve, Fläche etc.) einführt (vergl. §.5 des
Textes).

Die Vorstellungsweise, welche das Element der beliebig ausgedehnten
Mannigfaltigkeit als ein Analogon zum Puncte des Raumes betrachtet, ist
wohl zuerst von Grassmann in seiner Ausdehnungslehre (1844, [17])
entwickelt worden. Bei ihm ist der Gedanke völlig frei von der erwähnten
Vorstellung von der Natur des Raumes; letztere geht auf gelegentliche
Bemerkungen von Gauss zurück und wurde durch Riemanns Untersuchungen
über mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, in welche sie mit
eingeflochten ist, in weiteren Kreisen bekannt.

Beide Auffassungsweisen — die Grassmannsche wie die Plückersche — haben
ihre eigentümlichen Vorzüge; man verwendet sie beide, zwischen ihnen
abwechselnd, mit Vortheil.

V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.
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Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, wie neuere
Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der Maßgeometrie,
welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms entworfen werden kann
und die zur Zeit unter dem Namen der Nicht-Euklidischen Geometrie
vielfach besprochen und disputirt wird. Wenn wir im Texte diesen Namen
überhaupt nicht berührt haben, so geschah es aus einem Grunde, der mit
den in der vorstehenden Note gegebenen Auseinandersetzungen verwandt
ist. Man verknüpft mit dem Namen Nicht-Euklidische Geometrie eine Menge
unmathematischer Vorstellungen, die auf der einen Seite mit eben so viel
Eifer gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden, mit denen aber
unsere rein mathematischen Betrachtungen gar Nichts zu schaffen haben.
Der Wunsch, in dieser Richtung etwas zur Klärung der Begriffe
beizutragen, mag die folgenden Auseinandersetzungen motiviren.

Die gemeinten Untersuchungen über Parallelentheorie haben mit ihren
Weiterbildungen mathematisch nach zwei Seiten einen bestimmten Werth.

Sie zeigen einmal — und dieses ihr Geschäft kann man als ein einmaliges,
abgeschlossenes betrachten —, dass das Parallelenaxiom keine
mathematische Folge der gewöhnlich vorangestellten Axiome ist, sondern
dass ein wesentlich neues Anschauungselement, welches in den
vorhergehenden Untersuchungen nicht berührt wurde, in ihm zum Ausdruck
gelangt. Aehnliche Untersuchungen könnte man und sollte man mit Bezug
auf jedes Axiom nicht nur der Geometrie durchführen; man würde dadurch
an Einsicht in die gegenseitige Stellung der Axiome gewinnen.

Dann aber haben uns diese Untersuchungen mit einem werthvollen
mathematischen Begriffe beschenkt: dem Begriffe einer Mannigfaltigkeit
von constanter Krümmung. Er hängt, wie bereits bemerkt und wie in §.10
des Textes noch weiter ausgeführt ist, mit der unabhängig von aller
Parallelentheorie erwachsenen projectivischen Maßbestimmung auf das
Innigste zusammen. Wenn das Studium dieser Maßbestimmung an und für sich
hohes mathematisches Interesse bietet und zahlreiche Anwendungen
gestattet, so kommt hinzu, dass sie die in der Geometrie gegebene
Maßbestimmung als speciellen Fall (Gränz-fall) umfasst und uns lehrt,
dieselbe von einem erhöhten Standpuncte aufzufassen.

Völlig unabhängig von den entwickelten Gesichtspunkten steht die Frage,
welche Gründe das Parallelen-Axiom stützen, ob wir dasselbe als absolut
gegeben — wie die Einen wollen — oder als durch Erfahrung nur
approximativ erwiesen — wie die Anderen sagen — betrachten wollen.
Sollten Gründe sein, das letztere anzunehmen, so geben uns die fragl.
mathematischen Untersuchungen an die Hand, wie man dann eine exactere
Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung ist offenbar eine
philosophische, welche die allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntniss
betrifft. Den Mathematiker als solchen interessirt die Fragestellung
nicht, und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig
betrachtet werden von der Antwort, die man von der einen oder der
anderen Seite auf die Frage geben mag.

VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von
constantem Krümmungsmaße.
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Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Maßbestimmung in einer
fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen, müssen wir
beachten, dass wir in den geraden Linien nur die (im Sinne der
Maßbestimmung) unendlich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns
haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine
projectivische Maßbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente hat, und
das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um Schwierigkeiten, die
sich sonst der Auffassung der Liniengeometrie als einer Maßgeometrie
entgegen stellen, zu entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen
an das anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades
gegründete projectivische Maßbestimmung ergibt.

Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf die
Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelverhältniss zu den beiden
Durchschnittspuncten ihrer Verbindungsgeraden mit der Fläche. Rücken
aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss
unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle,
dass die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es
unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in ihrer
Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen, und wir haben
also den Satz:

Die projectivische Maßbestimmung, welche man im Raume auf eine Fläche
zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der Fläche
noch keine Maßbestimmung.

Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Transformationen der
Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei anderen
zusammenfallen lassen kann[^34].

Will man auf der Fläche selbst eine Maßbestimmung haben, so muss man die
Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht man, indem
man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) festhält. Der
Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man
die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als
Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man in der
Ebene eine projectivische Maßbestimmung, die man dann rückwärts auf die
Fläche überträgt[^35]. Dies ist eine eigentliche Maßbestimmung von
constanter Krümmung und man hat also den Satz:

Auf der Fläche erhält man eine solche Maßbestimmung, sowie man einen
ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält.

Entsprechend findet man[^36]:

Eine Maßbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man auf der
Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst
wählt.

Für alle diese Maßbestimmungen auf der Fläche sind die Erzeugenden der
Fläche Linien von verschwindender Länge. Der Ausdruck für das
Bogenelement auf der Fläche ist also für die verschiedenen Bestimmungen
nur um einen Factor verschieden. Ein absolutes Bogenelement auf der
Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den
Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. —

Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für
Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linienraum selbst existirt
zunächst keine eigentliche Maßbestimmung. Eine solche erwächst erst,
wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält sie
constante oder verschwindende Krümmung, je nachdem der Complex ein
allgemeiner oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung
eines Complexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten
Bogenelements geknüpft. Unabhängig davon sind die
Fortschreitungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene
schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem Winkel reden,
den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit einander bilden[^37].

VII. Zur Interpretation der binären Formen.
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Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter
Zugrundelegung der Interpretation von x+iy auf der Kugelfläche, dem
Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form
ertheilt werden kann.

Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine
quadratische Δ, und eine Invariante R[^38]. Aus f und Q setzt sich
eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades
Q^2 + λ ⋅ Rf^2
 zusammen, unter denen auch Δ^3 enthalten ist. Man kann
zeigen[^39], dass jede Covariante der cubischen Form in solche Gruppen
von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe
annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.

Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun
folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare
Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte,
welche f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten
Kreises. Derselbe mag als Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die
drei Puncte f die geographische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch
die Puncte des Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, Δ durch die
beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q^2+λ Rf^2 ist durch 6 Puncte
repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α und
β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema enthalten
ist:

(α, β), (α, 120+β), (α, 240+β) , (-α,
-β), (-α, 120-β), (-α, 240-β)

Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es interessant, zu
sehen, wie f und Q doppelt, Δ dreifach zählend aus denselben
entsteht.

Eine biquadratische Form f hat eine ebensolche Covariante H, eine
Covariante sechsten Grades T, zwei Invarianten i und j. Besonders zu
bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen iH+λ jf, die alle
zu dem nämlichen T gehören, und unter denen die drei quadratischen
Factoren, in welche man T zerlegen kann, doppelt zählend enthalten sind.
—

Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander
rechtwinklige Axen OX, OY, OZ. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der Kugel
bilden die Form T. Die 4 Puncte eines Quadrupels iH+λ jf sind,
unter x, y, z Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden,
durch das Schema

     x,  y,  z,
     x, -y, -z,
    -x,  y, -z,
    -x, -y,  z

vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines
symmetrischen Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den Axen
des Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, welche T in
der Theorie der biquadratischen Gleichungen als Resolvente von
iH+λ jf spielt, gekennzeichnet ist.

Erlangen im October 1872.

* * * * *

[1] C. Jordan, “Mémoire sur les groupes de mouvements.” In: Annali di
Matematica pura et applicata 1896, 2, 167-215 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610.

[2] K. G. C. v. Staudt, Geometrie Der Lage, Fr. Korn, Nürnberg, 1847.

[3] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Erstes Heft,
Fr. Korn, Nürnberg, 1856.

[4] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Zweites Heft,
Fr. Korn, Nürnberg, 1857.

[5] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Drittes Heft,
Fr. Korn, Nürnberg, 1860.

[6] F. Klein, “Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie” In:
Mathematische Annalen 1872, 5, 257-277 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841.

[7] O. Hesse, “Ein Uebertragungsprinzip” In: Crelle’s Journal für die
reine und angewandte Mathematik 1866, 66, 15-22 −
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6.

[8] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Zweiter
Aufsatz.” In: Mathematische Annalen 1873, 6, 112-145 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189.

[9] P. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen Über Zahlentheorie, Vieweg,
Braunschweig, 1863.

[10] S. Lie, “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe,
mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen.” In:
Mathematische Annalen 1872, 5, 145-208 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331.

[11] S. Lie, “Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beleibig vielen
Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes
entspricht.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1871, 7,
191-209 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871.

[12] H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre, Enslin, Berlin, 1862.

[13] S. Lie, “Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster
Ordnung; insbesondere über eine Classification derselben.” In:
Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der
Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 8, 473-490 −
http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872.

[14] A. Clebsch, “Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie.”
In: Mathematische Annalen 1872, 5, 427-434 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803.

[15] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen
Geometrie.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der
Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 22,
429-448 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872.

[16] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen
Geometrie der Ebene.” In: Mathematische Annalen 1872, 6, 203-215 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192.

[17] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre / Ein Neuer Zweig Der
Mathematik / Dargestellt Und Durch Anwendungen Auf Die Übrigen Zweige
Der Mathematik, Wie Auch Auf Die Statik, Mechanik, Die Lehre Vom
Magnetismus Und Die Krystallonomie Erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

[18] F. und L. S. Klein, “Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch
ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren
linearen Transformationen in sich übergehen.” In: Mathematische Annalen
1871, 3, 50-84 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297.

[19] J. A. Serret, Cours D’algèbre Supérieure, Gauthier-villard, Paris,
1866.

[20] C. Jordan, Traité Des Substitutions Et Des Équations Algébriques,
Gauthier-villard, Paris, 1870.

[21] A. Clebsch, Theorie Der Binären Algebraischen Formen, Teubner,
Leipzig, 1872.

[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen
algebraischer Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1871, 4, 346-358 −
http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600.

[^1]: Vergl. Note I. des Anhangs.

[^2]: Vergl. Note II

[^3]: Vergl. Note III

[^4]: Vergl. Note IV

[^5]: Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen
    Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich
    erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel
    weitere Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die
    Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt
    worden wären.

[^6]: Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der
    räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb
    schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen
    können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere
    Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden.

[^7]: Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der
    Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transformationen
    eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer endlichen
    Zahl discreter Grössen auftreten.

[^8]: Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in der
    Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de mouvements.
    Annali di Matematica. t. II[1]

[^9]:  Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus
    nicht, wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings
    immer der Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu
    sein. Eine Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von
    Bewegungen, die einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur
    Deckung bringen, oder die unendliche, aber discrete Reihe, welche
    eine Sinuslinie sich selber superponiren.

[^10]: Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung,
    welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem
    Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also
    z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie.

[^11]: Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich
    nothwendig.

[^12]: Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein
    beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der
    gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die
    Transformationen der Hauptgruppe anwendet.

[^13]: Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von
    Chasles zu betrachten; durch sie erst gewinnt die Eintheilung in
    Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, wie man sie gern
    an die Spitze der projectivischen Geometrie stellt, einen präcisen
    Inhalt.

[^14]: Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt,
    hat v. Staudt erst in den „Beiträgen zur Geometrie der Lage"[3–5] zu
    Grunde gelegt.

[^15]: Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form
    angewendet.

[^16]: Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem
    Erfolge eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei n
    Dimensionen etwas Entsprechendes aufstellen

[^17]: Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf
    mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf
    bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie auf die
    sogleich noch zu nennenden Lieschen Arbeiten.

[^18]: Vergl. Note III.

[^19]: Vergl. Note V

[^20]: Vergl. Note VI.

[^21]: Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der
    Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn es aus
    gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden ist
    (Zweite Auflage von Dirichlets Vorlesungen [9].)

[^22]: Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der
    projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die
    bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der
    Geometrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von
    vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden.

[^23]: Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und
    metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6].

[^24]: Vergl. Note VII.

[^25]: Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen
    V.[10]

[^26]: Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmanns
    Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, [12] p. 278).

[^27]: Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man
    den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im
    Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe
    der reciproken Radien befinden, keine conformen
    Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele
    andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie ([10,11]).

[^28]: Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle
    Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte
    gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe
    ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von Lie entnommen; vergl.
    dessen Note[13]: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen.
    Göttinger Nachrichten. Oct. 1872.

[^29]: Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie.

[^30]: Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamentalaufgabe
    der Invariantentheorie[14], sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872.
    Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der
    Ebene[15,16].

[^31]: Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Einleitung
    zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) die
    Combinatorik und die Ausdehnungslehre parallelisirt.

[^32]: Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen
    Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich
    vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen,
    Math. Annalen Bd. IV. [18].

[^33]: Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit
    hinzuweisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner
    Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In
    §.7. der citirten Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche
    Differentialgleichungen, welche gleiche unendlich kleine
    Transformationen zugeben, bieten gleiche
    Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle
    Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an
    verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math.
    Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt
    (vergl. namentlich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania.
    Mai 1872.)

[^34]: Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei
    unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute
    Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen
    Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit
    finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen
    befindlichen Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das
    Unendlich-Ferne überhaupt nicht ändern.

[^35]: Vergl. §.7 des Textes.

[^36]: Vergl. §.4 des Textes.

[^37]: Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische
    Geometrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6]

[^38]: Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der
    binären Formen[21]

[^39]: Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
    selbst, vergl. Math. Ann, IV. p. 352 [22]


Anmerkungen zur Transkription
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Die Rechtschreibung wurde belassen (Ausnahmen: Maß/Mass, Genitiv-Apostroph), kleinere Fehler ausgebessert. Die Einzelnachweise wurden nachrecherchiert und, wo vorhanden, mit URL versehen und als bibtex-Datenbank verarbeitet.

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