Project Gutenberg's Cours de philosophie positive. (1/6), by Auguste Comte

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Title: Cours de philosophie positive. (1/6)

Author: Auguste Comte

Release Date: April 4, 2010 [EBook #31881]
[Last updated: August 11, 2013]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

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COURS
DE
PHILOSOPHIE POSITIVE.

VERAT, IMPRIMEUR, RUE DU CADRAN, N 16.




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formules algbriques. Les correcteurs d'preuve ont tent de reproduire
ces formules tant bien que mal, cependant comme le format .txt ne se
prte pas trs bien  cet exercice. Ces corrections pourront s'avrer
incomprhensibles pour la plupart des lecteurs, et possiblement
incorrectes pour les autres. Pour une version plus complte, et plus
prcise le lecteur aura grand avantage  consulter la version HTML de
ce document.]




COURS
DE
PHILOSOPHIE POSITIVE,

Par M. Auguste Comte,

ANCIEN LVE DE L'COLE POLYTECHNIQUE.


TOME PREMIER,

CONTENANT
LES PRLIMINAIRES GNRAUX ET LA PHILOSOPHIE
MATHMATIQUE.


PARIS.
ROUEN FRRES, LIBRAIRES-DITEURS,
RUE DE L'COLE DE MDECINE, N 13.
BRUXELLES,
AU DPT DE LA LIBRAIRIE MDICALE FRANAISE.

1830.



 MES ILLUSTRES AMIS

        M. le Baron Fourier, Secrtaire
        perptuel de l'Acadmie Royale des
        Sciences,

        M. le Professeur G. M. D. de
        Blainville, Membre de l'Acadmie
        Royale des Sciences,


En tmoignage de ma respectueuse affection,


Auguste Comte,

Ancien lve de l'cole Polytechnique.




AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR.


Ce cours, rsultat gnral de tous mes travaux depuis ma sortie de
l'cole Polytechnique en 1816, fut ouvert pour la premire fois en avril
1826. Aprs un petit nombre de sances, une maladie grave m'empcha, 
cette poque, de poursuivre une entreprise encourage, ds sa naissance,
par les suffrages de plusieurs savans du premier ordre, parmi lesquels
je pouvais citer ds-lors MM. Alexandre de Humboldt, de Blainville et
Poinsot, membres de l'Acadmie des Sciences, qui voulurent bien suivre
avec un intrt soutenu l'exposition de mes ides. J'ai refait ce cours
en entier l'hiver dernier,  partir du 4 janvier 1829, devant un
auditoire dont avaient bien voulu faire partie M. Fourier, secrtaire
perptuel de l'Acadmie des Sciences, MM. de Blainville, Poinsot,
Navier, membres de la mme acadmie, MM. les professeurs Broussais,
Esquirol, Binet, etc., auxquels je dois ici tmoigner publiquement ma
reconnaissance pour la manire dont ils ont accueilli cette nouvelle
tentative philosophique.

Aprs m'tre assur par de tels suffrages que ce cours pouvait utilement
recevoir une plus grande publicit, j'ai cru devoir,  cette intention,
l'exposer cet hiver  l'Athne Royal de Paris, o il vient d'tre
ouvert le 9 dcembre. Le plan est demeur compltement le mme.
Seulement les convenances de cet tablissement m'obligent  restreindre
un peu les dveloppemens de mon cours. Ils se retrouvent tout entiers
dans la publication que je fais aujourd'hui de mes leons, telles
qu'elles ont eu lieu l'anne dernire.

Pour complter cette notice historique, il est convenable de faire
observer, relativement  quelques-unes des ides fondamentales exposes
dans ce cours, que je les avais prsentes antrieurement dans la
premire partie d'un ouvrage intitul _Systme de politique positive_,
imprime  cent exemplaires en mai 1822, et rimprime ensuite en avril
1824,  un nombre d'exemplaires plus considrable. Cette premire partie
n'a point encore t formellement publie, mais seulement communique,
par la voie de l'impression,  un grand nombre de savans et de
philosophes europens. Elle ne sera mise dfinitivement en circulation
qu'avec la seconde partie que j'espre pouvoir faire paratre  la fin
de l'anne 1830.

J'ai cru ncessaire de constater ici la publicit effective de ce
premier travail, parce que quelques ides offrant une certaine analogie
avec une partie des miennes, se trouvent exposes, sans aucune mention
de mes recherches, dans divers ouvrages publis postrieurement, surtout
en ce qui concerne la rnovation des thories sociales. Quoique des
esprits diffrens aient pu, sans aucune communication, comme le montre
souvent l'histoire de l'esprit humain, arriver sparment  des
conceptions analogues en s'occupant d'une mme classe de travaux, je
devais nanmoins insister sur l'antriorit relle d'un ouvrage peu
connu du public, afin qu'on ne suppose pas que j'ai puis le germe de
certaines ides dans des crits qui sont, au contraire, plus rcens.

Plusieurs personnes m'ayant dj demand quelques claircissemens
relativement au titre de ce cours, je crois utile d'indiquer ici,  ce
sujet, une explication sommaire.

L'expression _philosophie positive_ tant constamment employe, dans
toute l'tendue de ce cours, suivant une acception rigoureusement
invariable, il m'a paru superflu de la dfinir autrement que par l'usage
uniforme que j'en ai toujours fait. La premire leon, en particulier,
peut tre regarde tout entire comme le dveloppement de la dfinition
exacte de ce que j'appelle la _philosophie positive_. Je regrette
nanmoins d'avoir t oblig d'adopter,  dfaut de tout autre, un terme
comme celui de _philosophie_, qui a t si abusivement employ dans une
multitude d'acceptions diverses. Mais l'adjectif _positive_ par lequel
j'en modifie le sens me parat suffire pour faire disparatre, mme au
premier abord, toute quivoque essentielle, chez ceux, du moins, qui en
connaissent bien la valeur. Je me bornerai donc, dans cet avertissement,
 dclarer que j'emploie le mot _philosophie_ dans l'acception que lui
donnaient les anciens, et particulirement Aristote, comme dsignant le
systme gnral des conceptions humaines; et, en ajoutant le mot
_positive_, j'annonce que je considre cette manire spciale de
philosopher qui consiste  envisager les thories, dans quelque ordre
d'ides que ce soit, comme ayant pour objet la coordination des faits
observs, ce qui constitue le troisime et dernier tat de la
philosophie gnrale, primitivement thologique et ensuite mtaphysique,
ainsi que je l'explique ds la premire leon.

Il y a, sans doute, beaucoup d'analogie entre ma _philosophie positive_
et ce que les savans anglais entendent, depuis Newton surtout, par
_philosophie naturelle_. Mais je n'ai pas d choisir cette dernire
dnomination, non plus que celle de _philosophie des sciences_ qui
serait peut-tre encore plus prcise, parce que l'une et l'autre ne
s'entendent pas encore de tous les ordres de phnomnes, tandis que la
_philosophie positive_, dans laquelle je comprends l'tude des
phnomnes sociaux aussi bien que de tous les autres, dsigne une
manire uniforme de raisonner applicable  tous les sujets sur lesquels
l'esprit humain peut s'exercer. En outre, l'expression _philosophie
naturelle_ est usite, en Angleterre, pour dsigner l'ensemble des
diverses sciences d'observation, considres jusque dans leurs
spcialits les plus dtailles; au lieu que par _philosophie positive_,
compar  _sciences positives_, j'entends seulement l'tude propre des
gnralits des diffrentes sciences, conues comme soumises  une
mthode unique, et comme formant les diffrentes parties d'un plan
gnral de recherches. Le terme que j'ai t conduit  construire est
donc,  la fois, plus tendu et plus restreint que les dnominations,
d'ailleurs analogues, quant au caractre fondamental des ides, qu'on
pourrait, de prime-abord, regarder comme quivalentes.


Paris, le 18 dcembre 1829.




COURS
DE
PHILOSOPHIE POSITIVE.




PREMIRE LEON.

SOMMAIRE. Exposition du but de ce cours, ou considrations gnrales sur
la nature et l'importance de la philosophie positive.


L'objet de cette premire leon est d'exposer nettement le but du cours,
c'est--dire de dterminer exactement l'esprit dans lequel seront
considres les diverses branches fondamentales de la philosophie
naturelle, indiques par le programme sommaire que je vous ai prsent.

Sans doute, la nature de ce cours ne saurait tre compltement
apprcie, de manire  pouvoir s'en former une opinion dfinitive, que
lorsque les diverses parties en auront t successivement dveloppes.
Tel est l'inconvnient ordinaire des dfinitions relatives  des
systmes d'ides trs-tendus, quand elles en prcdent l'exposition.
Mais les gnralits peuvent tre conues sous deux aspects, ou comme
aperu d'une doctrine  tablir, ou comme rsum d'une doctrine tablie.
Si c'est seulement sous ce dernier point de vue qu'elles acquirent
toute leur valeur, elles n'en ont pas moins dj, sous le premier, une
extrme importance, en caractrisant ds l'origine le sujet 
considrer. La circonscription gnrale du champ de nos recherches,
trace avec toute la svrit possible, est, pour notre esprit, un
prliminaire particulirement indispensable dans une tude aussi vaste
et jusqu'ici aussi peu dtermine que celle dont nous allons nous
occuper. C'est afin d'obir  cette ncessit logique que je crois
devoir vous indiquer, ds ce moment, la srie des considrations
fondamentales qui ont donn naissance  ce nouveau cours, et qui seront
d'ailleurs spcialement dveloppes, dans la suite, avec toute
l'extension que rclame la haute importance de chacune d'elles.

Pour expliquer convenablement la vritable nature et le caractre propre
de la philosophie positive, il est indispensable de jeter d'abord un
coup-d'oeil gnral sur la marche progressive de l'esprit humain,
envisage dans son ensemble: car une conception quelconque ne peut tre
bien connue que par son histoire.

En tudiant ainsi le dveloppement total de l'intelligence humaine dans
ses diverses sphres d'activit, depuis son premier essor le plus simple
jusqu' nos jours, je crois avoir dcouvert une grande loi fondamentale,
 laquelle il est assujti par une ncessit invariable, et qui me
semble pouvoir tre solidement tablie, soit sur les preuves
rationnelles fournies par la connaissance de notre organisation, soit
sur les vrifications historiques rsultant d'un examen attentif du
pass. Cette loi consiste en ce que chacune de nos conceptions
principales, chaque branche de nos connaissances, passe successivement
par trois tats thoriques diffrens: l'tat thologique, ou fictif;
l'tat mtaphysique, ou abstrait; l'tat scientifique, ou positif. En
d'autres termes, l'esprit humain, par sa nature, emploie successivement
dans chacune de ses recherches trois mthodes de philosopher, dont le
caractre est essentiellement diffrent et mme radicalement oppos:
d'abord la mthode thologique, ensuite la mthode mtaphysique, et
enfin la mthode positive. De l, trois sortes de philosophies, ou de
systmes gnraux de conceptions sur l'ensemble des phnomnes, qui
s'excluent mutuellement: la premire est le point de dpart ncessaire
de l'intelligence humaine; la troisime, son tat fixe et dfinitif: la
seconde est uniquement destine  servir de transition.

Dans l'tat thologique, l'esprit humain dirigeant essentiellement ses
recherches vers la nature intime des tres, les causes premires et
finales de tous les effets qui le frappent, en un mot, vers les
connaissances absolues, se reprsente les phnomnes comme produits par
l'action directe et continue d'agens surnaturels plus ou moins nombreux,
dont l'intervention arbitraire explique toutes les anomalies apparentes
de l'univers.

Dans l'tat mtaphysique, qui n'est au fond qu'une simple modification
gnrale du premier, les agens surnaturels sont remplacs par des forces
abstraites, vritables entits (abstractions personnifies) inhrentes
aux divers tres du monde, et conues comme capables d'engendrer par
elles-mmes tous les phnomnes observs, dont l'explication consiste
alors  assigner pour chacun l'entit correspondante.

Enfin, dans l'tat positif, l'esprit humain reconnaissant
l'impossibilit d'obtenir des notions absolues, renonce  chercher
l'origine et la destination de l'univers, et  connatre les causes
intimes des phnomnes, pour s'attacher uniquement  dcouvrir, par
l'usage bien combin du raisonnement et de l'observation, leurs lois
effectives, c'est--dire leurs relations invariables de succession et de
similitude. L'explication des faits, rduite alors  ses termes rels,
n'est plus dsormais que la liaison tablie entre les divers phnomnes
particuliers et quelques faits gnraux, dont les progrs de la science
tendent de plus en plus  diminuer le nombre.

Le systme thologique est parvenu  la plus haute perfection dont il
soit susceptible, quand il a substitu l'action providentielle d'un tre
unique au jeu vari des nombreuses divinits indpendantes qui avaient
t imagines primitivement. De mme, le dernier terme du systme
mtaphysique consiste  concevoir, au lieu des diffrentes entits
particulires, une seule grande entit gnrale, la _nature_, envisage
comme la source unique de tous les phnomnes. Pareillement, la
perfection du systme positif, vers laquelle il tend sans cesse,
quoiqu'il soit trs-probable qu'il ne doive jamais l'atteindre, serait
de pouvoir se reprsenter tous les divers phnomnes observables comme
des cas particuliers d'un seul fait gnral, tel que celui de la
gravitation, par exemple.

Ce n'est pas ici le lieu de dmontrer spcialement cette loi
fondamentale du dveloppement de l'esprit humain, et d'en dduire les
consquences les plus importantes. Nous en traiterons directement, avec
toute l'extension convenable, dans la partie de ce cours relative 
l'tude des phnomnes sociaux[1]. Je ne la considre maintenant que
pour dterminer avec prcision le vritable caractre de la philosophie
positive, par opposition aux deux autres philosophies qui ont
successivement domin, jusqu' ces derniers sicles, tout notre systme
intellectuel. Quant  prsent, afin de ne pas laisser entirement sans
dmonstration une loi de cette importance, dont les applications se
prsenteront frquemment dans toute l'tendue de ce cours, je dois me
borner  une indication rapide des motifs gnraux les plus sensibles
qui peuvent en constater l'exactitude.

      [Note 1: Les personnes qui dsireraient immdiatement 
      ce sujet des claircissemens plus tendus, pourront
      consulter utilement trois articles de _Considrations
      philosophiques sur les sciences et les savans_ que j'ai
      publis, en novembre 1825, dans un recueil intitul _le
      Producteur_ (nos 7, 8 et 10), et surtout la premire partie
      de mon _Systme de politique positive_, adresse, en avril
      1824,  l'Acadmie des Sciences, et o j'ai consign, pour
      la premire fois, la dcouverte de cette loi.]

En premier lieu, il suffit, ce me semble, d'noncer une telle loi, pour
que la justesse en soit immdiatement vrifie par tous ceux qui ont
quelque connaissance approfondie de l'histoire gnrale des sciences. Il
n'en est pas une seule, en effet, parvenue aujourd'hui  l'tat
positif, que chacun ne puisse aisment se reprsenter, dans le pass,
essentiellement compose d'abstractions mtaphysiques, et, en remontant
encore davantage, tout--fait domine par les conceptions thologiques.
Nous aurons mme malheureusement plus d'une occasion formelle de
reconnatre, dans les diverses parties de ce cours, que les sciences les
plus perfectionnes conservent encore aujourd'hui quelques traces
trs-sensibles de ces deux tats primitifs.

Cette rvolution gnrale de l'esprit humain peut d'ailleurs tre
aisment constate aujourd'hui, d'une manire trs-sensible, quoique
indirecte, en considrant le dveloppement de l'intelligence
individuelle. Le point de dpart tant ncessairement le mme dans
l'ducation de l'individu que dans celle de l'espce, les diverses
phases principales de la premire doivent reprsenter les poques
fondamentales de la seconde. Or, chacun de nous, en contemplant sa
propre histoire, ne se souvient-il pas qu'il a t successivement, quant
 ses notions les plus importantes, _thologien_ dans son enfance,
_mtaphysicien_ dans sa jeunesse, et _physicien_ dans sa virilit? Cette
vrification est facile aujourd'hui pour tous les hommes au niveau de
leur sicle.

Mais, outre l'observation directe, gnrale ou individuelle, qui prouve
l'exactitude de cette loi, je dois surtout, dans cette indication
sommaire, mentionner les considrations thoriques qui en font sentir la
ncessit.

La plus importante de ces considrations, puise dans la nature mme du
sujet, consiste dans le besoin,  toute poque, d'une thorie quelconque
pour lier les faits, combin avec l'impossibilit vidente, pour
l'esprit humain  son origine, de se former des thories d'aprs les
observations.

Tous les bons esprits rptent, depuis Bacon, qu'il n'y a de
connaissances relles que celles qui reposent sur des faits observs.
Cette maxime fondamentale est videmment incontestable, si on
l'applique, comme il convient,  l'tat viril de notre intelligence.
Mais en se reportant  la formation de nos connaissances, il n'en est
pas moins certain que l'esprit humain, dans son tat primitif, ne
pouvait ni ne devait penser ainsi. Car, si d'un ct, toute thorie
positive doit ncessairement tre fonde sur les observations, il est
galement sensible, d'un autre ct, que, pour se livrer 
l'observation, notre esprit a besoin d'une thorie quelconque. Si en
contemplant les phnomnes, nous ne les rattachions point immdiatement
 quelques principes, non-seulement il nous serait impossible de
combiner ces observations isoles, et par consquent, d'en tirer aucun
fruit, mais nous serions mme entirement incapables de les retenir; et,
le plus souvent, les faits resteraient inaperus sous nos yeux.

Ainsi, press entre la ncessit d'observer pour se former des thories
relles, et la ncessit non moins imprieuse de se crer des thories
quelconques pour se livrer  des observations suivies, l'esprit humain,
 sa naissance, se trouverait enferm dans un cercle vicieux dont il
n'aurait jamais eu aucun moyen de sortir, s'il ne se ft heureusement
ouvert une issue naturelle par le dveloppement spontan des conceptions
thologiques, qui ont prsent un point de ralliement  ses efforts, et
fourni un aliment  son activit. Tel est, indpendamment des hautes
considrations sociales qui s'y rattachent et que je ne dois pas mme
indiquer en ce moment, le motif fondamental qui dmontre la ncessit
logique du caractre purement thologique de la philosophie primitive.

Cette ncessit devient encore plus sensible en ayant gard  la
parfaite convenance de la philosophie thologique avec la nature propre
des recherches sur lesquelles l'esprit humain dans son enfance concentre
si minemment toute son activit. Il est bien remarquable, en effet, que
les questions les plus radicalement inaccessibles  nos moyens, la
nature intime des tres, l'origine et la fin de tous les phnomnes,
soient prcisment celles que notre intelligence se propose par-dessus
tout dans cet tat primitif, tous les problmes vraiment solubles tant
presque envisags comme indignes de mditations srieuses. On en conoit
aisment la raison; car c'est l'exprience seule qui a pu nous fournir
la mesure de nos forces; et, si l'homme n'avait d'abord commenc par en
avoir une opinion exagre, elles n'eussent jamais pu acqurir tout le
dveloppement dont elles sont susceptibles. Ainsi l'exige notre
organisation. Mais, quoi qu'il en soit, reprsentons-nous, autant que
possible, cette disposition si universelle et si prononce, et
demandons-nous quel accueil aurait reu  une telle poque, en la
supposant forme, la philosophie positive, dont la plus haute ambition
est de dcouvrir les lois des phnomnes, et dont le premier caractre
propre est prcisment de regarder comme ncessairement interdits  la
raison humaine tous ces sublimes mystres, que la philosophie
thologique explique, au contraire, avec une si admirable facilit
jusque dans leurs moindres dtails.

Il en est de mme en considrant sous le point de vue pratique la nature
des recherches qui occupent primitivement l'esprit humain. Sous ce
rapport, elles offrent  l'homme l'attrait si nergique d'un empire
illimit  exercer sur le monde extrieur, envisag comme entirement
destin  notre usage, et comme prsentant dans tous ses phnomnes des
relations intimes et continues avec notre existence. Or, ces esprances
chimriques, ces ides exagres de l'importance de l'homme dans
l'univers, que fait natre la philosophie thologique, et que dtruit
sans retour la premire influence de la philosophie positive, sont, 
l'origine, un stimulant indispensable, sans lequel on ne pourrait
certainement concevoir que l'esprit humain se ft dtermin
primitivement  de pnibles travaux.

Nous sommes aujourd'hui tellement loigns de ces dispositions
premires, du moins quant  la plupart des phnomnes, que nous avons
peine  nous reprsenter exactement la puissance et la ncessit de
considrations semblables. La raison humaine est maintenant assez mre
pour que nous entreprenions de laborieuses recherches scientifiques,
sans avoir en vue aucun but tranger capable d'agir fortement sur
l'imagination, comme celui que se proposaient les astrologues ou les
alchimistes. Notre activit intellectuelle est suffisamment excite par
le pur espoir de dcouvrir les lois des phnomnes, par le simple dsir
de confirmer ou d'infirmer une thorie. Mais il ne pouvait en tre
ainsi dans l'enfance de l'esprit humain. Sans les attrayantes chimres
de l'astrologie, sans les nergiques dceptions de l'alchimie, par
exemple, o aurions-nous puis la constance et l'ardeur ncessaires pour
recueillir les longues suites d'observations et d'expriences qui ont,
plus tard, servi de fondement aux premires thories positives de l'une
et l'autre classe de phnomnes?

Cette condition de notre dveloppement intellectuel a t vivement
sentie depuis long-temps par Kpler, pour l'astronomie, et justement
apprcie de nos jours par Berthollet, pour la chimie.

On voit donc, par cet ensemble de considrations, que, si la philosophie
positive est le vritable tat dfinitif de l'intelligence humaine,
celui vers lequel elle a toujours tendu de plus en plus, elle n'en a pas
moins d ncessairement employer d'abord, et pendant une longue suite de
sicles, soit comme mthode, soit comme doctrine provisoires, la
philosophie thologique; philosophie dont le caractre est d'tre
spontane, et, par cela mme, la seule possible  l'origine, la seule
aussi qui pt offrir  notre esprit naissant un intrt suffisant. Il
est maintenant trs-facile de sentir que, pour passer de cette
philosophie provisoire  la philosophie dfinitive, l'esprit humain a
d naturellement adopter, comme philosophie transitoire, les mthodes et
les doctrines mtaphysiques. Cette dernire considration est
indispensable pour complter l'aperu gnral de la grande loi que j'ai
indique.

On conoit sans peine, en effet, que notre entendement, contraint  ne
marcher que par degrs presque insensibles, ne pouvait passer
brusquement, et sans intermdiaires, de la philosophie thologique  la
philosophie positive. La thologie et la physique sont si profondment
incompatibles, leurs conceptions ont un caractre si radicalement
oppos, qu'avant de renoncer aux unes pour employer exclusivement les
autres, l'intelligence humaine a d se servir de conceptions
intermdiaires, d'un caractre btard, propres, par cela mme,  oprer
graduellement la transition. Telle est la destination naturelle des
conceptions mtaphysiques: elles n'ont pas d'autre utilit relle. En
substituant, dans l'tude des phnomnes,  l'action surnaturelle
directrice une entit correspondante et insparable, quoique celle-ci ne
ft d'abord conue que comme une manation de la premire, l'homme s'est
habitu peu  peu  ne considrer que les faits eux-mmes, les notions
de ces agens mtaphysiques ayant t graduellement subtilises au point
de n'tre plus, aux yeux de tout esprit droit, que les noms abstraits
des phnomnes. Il est impossible d'imaginer par quel autre procd
notre entendement aurait pu passer des considrations franchement
surnaturelles aux considrations purement naturelles, du rgime
thologique au rgime positif.

Aprs avoir ainsi tabli, autant que je puis le faire sans entrer dans
une discussion spciale qui serait dplace en ce moment, la loi
gnrale du dveloppement de l'esprit humain, tel que je le conois, il
nous sera maintenant ais de dterminer avec prcision la nature propre
de la philosophie positive; ce qui est l'objet essentiel de ce discours.

Nous voyons, par ce qui prcde, que le caractre fondamental de la
philosophie positive est de regarder tous les phnomnes comme assujtis
 des _lois_ naturelles invariables, dont la dcouverte prcise et la
rduction au moindre nombre possible sont le but de tous nos efforts, en
considrant comme absolument inaccessible et vide de sens pour nous la
recherche de ce qu'on appelle les _causes_, soit premires, soit
finales. Il est inutile d'insister beaucoup sur un principe devenu
maintenant aussi familier  tous ceux qui ont fait une tude un peu
approfondie des sciences d'observation. Chacun sait, en effet, que,
dans nos explications positives, mme les plus parfaites, nous n'avons
nullement la prtention d'exposer les _causes_ gnratrices des
phnomnes, puisque nous ne ferions jamais alors que reculer la
difficult, mais seulement d'analyser avec exactitude les circonstances
de leur production, et de les rattacher les unes aux autres par des
relations normales de succession et de similitude.

Ainsi, pour en citer l'exemple le plus admirable, nous disons que les
phnomnes gnraux de l'univers sont _expliqus_, autant qu'ils
puissent l'tre, par la loi de la gravitation newtonienne, parce que,
d'un ct, cette belle thorie nous montre toute l'immense varit des
faits astronomiques, comme n'tant qu'un seul et mme fait envisag sous
divers points de vue; la tendance constante de toutes les molcules les
unes vers les autres en raison directe de leurs masses, et en raison
inverse des carrs de leurs distances; tandis que, d'un autre ct, ce
fait gnral nous est prsent comme une simple extension d'un phnomne
qui nous est minemment familier, et que, par cela seul, nous regardons
comme parfaitement connu, la pesanteur des corps  la surface de la
terre. Quant  dterminer ce que sont en elles-mmes cette attraction et
cette pesanteur, quelles en sont les causes, ce sont des questions que
nous regardons tous comme insolubles, qui ne sont plus du domaine de la
philosophie positive, et que nous abandonnons avec raison 
l'imagination des thologiens, ou aux subtilits des mtaphysiciens. La
preuve manifeste de l'impossibilit d'obtenir de telles solutions, c'est
que, toutes les fois qu'on a cherch  dire  ce sujet quelque chose de
vraiment rationnel, les plus grands esprits n'ont pu que dfinir ces
deux principes l'un par l'autre, en disant, pour l'attraction, qu'elle
n'est autre chose qu'une pesanteur universelle, et ensuite, pour la
pesanteur, qu'elle consiste simplement dans l'attraction terrestre. De
telles explications, qui font sourire quand on prtend  connatre la
nature intime des choses et le mode de gnration des phnomnes, sont
cependant tout ce que nous pouvons obtenir de plus satisfaisant, en nous
montrant comme identiques deux ordres de phnomnes, qui ont t si
long-temps regards comme n'ayant aucun rapport entre eux. Aucun esprit
juste ne cherche aujourd'hui  aller plus loin.

Il serait ais de multiplier ces exemples, qui se prsenteront en foule
dans toute la dure de ce cours, puisque tel est maintenant l'esprit qui
dirige exclusivement les grandes combinaisons intellectuelles. Pour en
citer en ce moment un seul parmi les travaux contemporains, je choisirai
la belle srie de recherches de M. Fourier sur la thorie de la
chaleur. Elle nous offre la vrification trs-sensible des remarques
gnrales prcdentes. En effet, dans ce travail, dont le caractre
philosophique est si minemment positif, les lois les plus importantes
et les plus prcises des phnomnes thermologiques se trouvent
dvoiles, sans que l'auteur se soit enquis une seule fois de la nature
intime de la chaleur, sans qu'il ait mentionn, autrement que pour en
indiquer le vide, la controverse si agite entre les partisans de la
matire calorifique et ceux qui font consister la chaleur dans les
vibrations d'un ther universel. Et nanmoins les plus hautes questions,
dont plusieurs n'avaient mme jamais t poses, sont traites dans cet
ouvrage, preuve palpable que l'esprit humain, sans se jeter dans des
problmes inabordables, et en se restreignant dans les recherches d'un
ordre entirement positif, peut y trouver un aliment inpuisable  son
activit la plus profonde.

Aprs avoir caractris, aussi exactement qu'il m'est permis de le faire
dans cet aperu gnral, l'esprit de la philosophie positive, que ce
cours tout entier est destin  dvelopper, je dois maintenant examiner
 quelle poque de sa formation elle est parvenue aujourd'hui, et ce qui
reste  faire pour achever de la constituer.

 cet effet, il faut d'abord considrer que les diffrentes branches de
nos connaissances n'ont pas d parcourir d'une vitesse gale les trois
grandes phases de leur dveloppement indiques ci-dessus, ni, par
consquent, arriver simultanment  l'tat positif. Il existe, sous ce
rapport, un ordre invariable et ncessaire, que nos divers genres de
conceptions ont suivi et d suivre dans leur progression, et dont la
considration exacte est le complment indispensable de la loi
fondamentale nonce prcdemment. Cet ordre sera le sujet spcial de la
prochaine leon. Qu'il nous suffise, quant  prsent, de savoir qu'il
est conforme  la nature diverse des phnomnes, et qu'il est dtermin
par leur degr de gnralit, de simplicit et d'indpendance
rciproque, trois considrations qui, bien que distinctes, concourent au
mme but. Ainsi, les phnomnes astronomiques d'abord, comme tant les
plus gnraux, les plus simples, et les plus indpendans de tous les
autres, et successivement, par les mmes raisons, les phnomnes de la
physique terrestre proprement dite, ceux de la chimie, et enfin les
phnomnes physiologiques, ont t ramens  des thories positives.

Il est impossible d'assigner l'origine prcise de cette rvolution; car
on en peut dire avec exactitude, comme de tous les autres grands
vnemens humains, qu'elle s'est accomplie constamment et de plus en
plus, particulirement depuis les travaux d'Aristote et de l'cole
d'Alexandrie, et ensuite depuis l'introduction des sciences naturelles
dans l'Europe occidentale par les Arabes. Cependant, vu qu'il convient
de fixer une poque pour empcher la divagation des ides, j'indiquerai
celle du grand mouvement imprim  l'esprit humain, il y a deux sicles,
par l'action combine des prceptes de Bacon, des conceptions de
Descartes, et des dcouvertes de Galile, comme le moment o l'esprit de
la philosophie positive a commenc  se prononcer dans le monde, en
opposition vidente avec l'esprit thologique et mtaphysique. C'est
alors, en effet, que les conceptions positives se sont dgages
nettement de l'alliage superstitieux et scolastique qui dguisait plus
ou moins le vritable caractre de tous les travaux antrieurs.

Depuis cette mmorable poque, le mouvement d'ascension de la
philosophie positive, et le mouvement de dcadence de la philosophie
thologique et mtaphysique, ont t extrmement marqus. Ils se sont
enfin tellement prononcs, qu'il est devenu impossible aujourd'hui, 
tous les observateurs ayant conscience de leur sicle, de mconnatre la
destination finale de l'intelligence humaine pour les tudes positives,
ainsi que son loignement dsormais irrvocable pour ces vaines
doctrines et pour ces mthodes provisoires qui ne pouvaient convenir
qu' son premier essor. Ainsi, cette rvolution fondamentale
s'accomplira ncessairement dans toute son tendue. Si donc il lui reste
encore quelque grande conqute  faire, quelque branche principale du
domaine intellectuel  envahir, on peut tre certain que la
transformation s'y oprera, comme elle s'est effectue dans toutes les
autres. Car, il serait videmment contradictoire de supposer que
l'esprit humain, si dispos  l'unit de mthode, conservt
indfiniment, pour une seule classe de phnomnes, sa manire primitive
de philosopher, lorsqu'une fois il est arriv  adopter pour tout le
reste une nouvelle marche philosophique, d'un caractre absolument
oppos.

Tout se rduit donc  une simple question de fait: la philosophie
positive, qui, dans les deux derniers sicles, a pris graduellement une
si grande extension, embrasse-t-elle aujourd'hui tous les ordres de
phnomnes? Il est vident que cela n'est point, et que, par consquent,
il reste encore une grande opration scientifique  excuter pour donner
 la philosophie positive ce caractre d'universalit, indispensable 
sa constitution dfinitive.

En effet, dans les quatre catgories principales de phnomnes naturels
numres tout  l'heure, les phnomnes astronomiques, physiques,
chimiques et physiologiques, on remarque une lacune essentielle relative
aux phnomnes sociaux, qui, bien que compris implicitement parmi les
phnomnes physiologiques, mritent, soit par leur importance, soit par
les difficults propres  leur tude, de former une catgorie distincte.
Ce dernier ordre de conceptions, qui se rapporte aux phnomnes les plus
particuliers, les plus compliqus, et les plus dpendans de tous les
autres, a d ncessairement, par cela seul, se perfectionner plus
lentement que tous les prcdens, mme sans avoir gard aux obstacles
plus spciaux que nous considrerons plus tard. Quoi qu'il en soit, il
est vident qu'il n'est point encore entr dans le domaine de la
philosophie positive. Les mthodes thologiques et mtaphysiques qui,
relativement  tous les autres genres de phnomnes, ne sont plus
maintenant employes par personne, soit comme moyen d'investigation,
soit mme seulement comme moyen d'argumentation, sont encore, au
contraire, exclusivement usites, sous l'un et l'autre rapport, pour
tout ce qui concerne les phnomnes sociaux, quoique leur insuffisance 
cet gard soit dj pleinement sentie par tous les bons esprits, lasss
de ces vaines contestations interminables entre le droit divin et la
souverainet du peuple.

Voil donc la grande, mais videmment la seule lacune qu'il s'agit de
combler pour achever de constituer la philosophie positive. Maintenant
que l'esprit humain a fond la physique cleste, la physique terrestre,
soit mcanique, soit chimique; la physique organique, soit vgtale,
soit animale, il lui reste  terminer le systme des sciences
d'observation en fondant la _physique sociale_. Tel est aujourd'hui,
sous plusieurs rapports capitaux, le plus grand et le plus pressant
besoin de notre intelligence: tel est, j'ose le dire, le premier but de
ce cours, son but spcial.

Les conceptions que je tenterai de prsenter relativement  l'tude des
phnomnes sociaux, et dont j'espre que ce discours laisse dj
entrevoir le germe, ne sauraient avoir pour objet de donner
immdiatement  la physique sociale le mme degr de perfection qu'aux
branches antrieures de la philosophie naturelle, ce qui serait
videmment chimrique, puisque celles-ci offrent dj entre elles  cet
gard une extrme ingalit, d'ailleurs invitable. Mais elles seront
destines  imprimer  cette dernire classe de nos connaissances, ce
caractre positif dj pris par toutes les autres. Si cette condition
est une fois rellement remplie, le systme philosophique des modernes
sera enfin fond dans son ensemble; car aucun phnomne observable ne
saurait videmment manquer de rentrer dans quelqu'une des cinq grandes
catgories ds lors tablies des phnomnes astronomiques, physiques,
chimiques, physiologiques et sociaux. Toutes nos conceptions
fondamentales tant devenues homognes, la philosophie sera
dfinitivement constitue  l'tat positif; sans jamais pouvoir changer
de caractre, il ne lui restera qu' se dvelopper indfiniment par les
acquisitions toujours croissantes qui rsulteront invitablement de
nouvelles observations ou de mditations plus profondes. Ayant acquis
par l le caractre d'universalit qui lui manque encore, la philosophie
positive deviendra capable de se substituer entirement, avec toute sa
supriorit naturelle,  la philosophie thologique et  la philosophie
mtaphysique, dont cette universalit est aujourd'hui la seule proprit
relle, et qui, prives d'un tel motif de prfrence, n'auront plus pour
nos successeurs qu'une existence historique.

Le but spcial de ce cours tant ainsi expos, il est ais de comprendre
son second but, son but gnral, ce qui en fait un cours de philosophie
positive, et non pas seulement un cours de physique sociale.

En effet, la fondation de la physique sociale compltant enfin le
systme des sciences naturelles, il devient possible et mme ncessaire
de rsumer les diverses connaissances acquises, parvenues alors  un
tat fixe et homogne, pour les coordonner en les prsentant comme
autant de branches d'un tronc unique, au lieu de continuer  les
concevoir seulement comme autant de corps isols. C'est  cette fin
qu'avant de procder  l'tude des phnomnes sociaux je considrerai
successivement, dans l'ordre encyclopdique annonc plus haut, les
diffrentes sciences positives dj formes.

Il est superflu, je pense, d'avertir qu'il ne saurait tre question ici
d'une suite de cours spciaux sur chacune des branches principales de la
philosophie naturelle. Sans parler de la dure matrielle d'une
entreprise semblable, il est clair qu'une pareille prtention serait
insoutenable de ma part, et je crois pouvoir ajouter de la part de qui
que ce soit, dans l'tat actuel de l'ducation humaine. Bien au
contraire, un cours de la nature de celui-ci exige, pour tre
convenablement entendu, une srie pralable d'tudes spciales sur les
diverses sciences qui y seront envisages. Sans cette condition, il est
bien difficile de sentir et impossible de juger les rflexions
philosophiques dont ces sciences seront les sujets. En un mot, c'est un
_Cours de philosophie positive_, et non de sciences positives, que je
me propose de faire. Il s'agit uniquement ici de considrer chaque
science fondamentale dans ses relations avec le systme positif tout
entier, et quant  l'esprit qui la caractrise, c'est--dire, sous le
double rapport de ses mthodes essentielles et de ses rsultats
principaux. Le plus souvent mme je devrai me borner  mentionner ces
derniers d'aprs les connaissances spciales pour tcher d'apprcier
leur importance.

Afin de rsumer les ides relativement au double but de ce cours, je
dois faire observer que les deux objets, l'un spcial, l'autre gnral,
que je me propose, quoique distincts en eux-mmes, sont ncessairement
insparables. Car, d'un ct, il serait impossible de concevoir un cours
de philosophie positive sans la fondation de la physique sociale,
puisqu'il manquerait alors d'un lment essentiel, et que, par cela
seul, les conceptions ne sauraient avoir ce caractre de gnralit qui
doit en tre le principal attribut, et qui distingue notre tude
actuelle de la srie des tudes spciales. D'un autre ct, comment
procder avec sret  l'tude positive des phnomnes sociaux, si
l'esprit n'est d'abord prpar par la considration approfondie des
mthodes positives dj juges pour les phnomnes moins compliqus, et
muni, en outre, de la connaissance des lois principales des phnomnes
antrieurs, qui toutes influent, d'une manire plus ou moins directe,
sur les faits sociaux?

Bien que toutes les sciences fondamentales n'inspirent pas aux esprits
vulgaires un gal intrt, il n'en est aucune qui doive tre nglige
dans une tude comme celle que nous entreprenons. Quant  leur
importance pour le bonheur de l'espce humaine, toutes sont certainement
quivalentes, lorsqu'on les envisage d'une manire approfondie. Celles,
d'ailleurs, dont les rsultats prsentent, au premier abord, un moindre
intrt pratique, se recommandent minemment, soit par la plus grande
perfection de leurs mthodes, soit comme tant le fondement
indispensable de toutes les autres. C'est une considration sur laquelle
j'aurai spcialement occasion de revenir dans la prochaine leon.

Pour prvenir, autant que possible, toutes les fausses interprtations
qu'il est lgitime de craindre sur la nature d'un cours aussi nouveau
que celui-ci, je dois ajouter sommairement aux explications prcdentes
quelques considrations directement relatives  cette universalit de
connaissances spciales, que des juges irrflchis pourraient regarder
comme la tendance de ce cours, et qui est envisage  si juste raison
comme tout--fait contraire au vritable esprit de la philosophie
positive. Ces considrations auront, d'ailleurs, l'avantage plus
important de prsenter cet esprit sous un nouveau point de vue, propre 
achever d'en claircir la notion gnrale.

Dans l'tat primitif de nos connaissances il n'existe aucune division
rgulire parmi nos travaux intellectuels; toutes les sciences sont
cultives simultanment par les mmes esprits. Ce mode d'organisation
des tudes humaines, d'abord invitable et mme indispensable, comme
nous aurons lieu de le constater plus tard, change peu  peu,  mesure
que les divers ordres de conceptions se dveloppent. Par une loi dont la
ncessit est vidente, chaque branche du systme scientifique se spare
insensiblement du tronc, lorsqu'elle a pris assez d'accroissement pour
comporter une culture isole, c'est--dire quand elle est parvenue  ce
point de pouvoir occuper  elle seule l'activit permanente de quelques
intelligences. C'est  cette rpartition des diverses sortes de
recherches entre diffrens ordres de savans, que nous devons videmment
le dveloppement si remarquable qu'a pris enfin de nos jours chaque
classe distincte des connaissances humaines, et qui rend manifeste
l'impossibilit, chez les modernes, de cette universalit de recherches
spciales, si facile et si commune dans les temps antiques. En un mot,
la division du travail intellectuel, perfectionne de plus en plus, est
un des attributs caractristiques les plus importans de la philosophie
positive.

Mais, tout en reconnaissant les prodigieux rsultats de cette division,
tout en voyant dsormais en elle la vritable base fondamentale de
l'organisation gnrale du monde savant, il est impossible, d'un autre
ct, de n'tre pas frapp des inconvniens capitaux qu'elle engendre,
dans son tat actuel, par l'excessive particularit des ides qui
occupent exclusivement chaque intelligence individuelle. Ce fcheux
effet est sans doute invitable jusqu' un certain point, comme inhrent
au principe mme de la division; c'est--dire que, par aucune mesure
quelconque, nous ne parviendrons jamais  galer sous ce rapport les
anciens, chez lesquels une telle supriorit ne tenait surtout qu'au peu
de dveloppement de leurs connaissances. Nous pouvons nanmoins, ce me
semble, par des moyens convenables, viter les plus pernicieux effets de
la spcialit exagre, sans nuire  l'influence vivifiante de la
sparation des recherches. Il est urgent de s'en occuper srieusement;
car ces inconvniens, qui, par leur nature, tendent  s'accrotre sans
cesse, commencent  devenir trs-sensibles. De l'aveu de tous, les
divisions, tablies pour la plus grande perfection de nos travaux, entre
les diverses branches de la philosophie naturelle, sont finalement
artificielles. N'oublions pas que, nonobstant cet aveu, il est dj bien
petit dans le monde savant le nombre des intelligences embrassant dans
leurs conceptions l'ensemble mme d'une science unique, qui n'est
cependant  son tour qu'une partie d'un grand tout. La plupart se
bornent dj entirement  la considration isole d'une section plus ou
moins tendue d'une science dtermine, sans s'occuper beaucoup de la
relation de ces travaux particuliers avec le systme gnral des
connaissances positives. Htons-nous de remdier au mal, avant qu'il
soit devenu plus grave. Craignons que l'esprit humain ne finisse par se
perdre dans les travaux de dtail. Ne nous dissimulons pas que c'est l
essentiellement le ct faible par lequel les partisans de la
philosophie thologique et de la philosophie mtaphysique peuvent encore
attaquer avec quelque espoir de succs la philosophie positive.

Le vritable moyen d'arrter l'influence dltre dont l'avenir
intellectuel semble menac, par suite d'une trop grande spcialisation
des recherches individuelles, ne saurait tre, videmment, de revenir 
cette antique confusion des travaux, qui tendrait  faire rtrograder
l'esprit humain, et qui est, d'ailleurs, aujourd'hui heureusement
devenue impossible. Il consiste, au contraire, dans le perfectionnement
de la division du travail elle-mme. Il suffit, en effet, de faire de
l'tude des gnralits scientifiques une grande spcialit de plus.
Qu'une classe nouvelle de savans, prpars par une ducation convenable,
sans se livrer  la culture spciale d'aucune branche particulire de la
philosophie naturelle, s'occupe uniquement, en considrant les diverses
sciences positives dans leur tat actuel,  dterminer exactement
l'esprit de chacune d'elles,  dcouvrir leurs relations et leur
enchanement,  rsumer, s'il est possible, tous leurs principes propres
en un moindre nombre de principes communs, en se conformant sans cesse
aux maximes fondamentales de la mthode positive. Qu'en mme temps, les
autres savans, avant de se livrer  leurs spcialits respectives,
soient rendus aptes dsormais, par une ducation portant sur l'ensemble
des connaissances positives,  profiter immdiatement des lumires
rpandues par ces savans vous  l'tude des gnralits, et
rciproquement  rectifier leurs rsultats, tat de choses dont les
savans actuels se rapprochent visiblement de jour en jour. Ces deux
grandes conditions une fois remplies, et il est vident qu'elles peuvent
l'tre, la division du travail dans les sciences sera pousse, sans
aucun danger, aussi loin que le dveloppement des divers ordres de
connaissances l'exigera. Une classe distincte, incessamment contrle
par toutes les autres, ayant pour fonction propre et permanente de lier
chaque nouvelle dcouverte particulire au systme gnral, on n'aura
plus  craindre qu'une trop grande attention donne aux dtails empche
jamais d'apercevoir l'ensemble. En un mot, l'organisation moderne du
monde savant sera ds lors compltement fonde, et n'aura qu' se
dvelopper indfiniment, en conservant toujours le mme caractre.

Former ainsi de l'tude des gnralits scientifiques une section
distincte du grand travail intellectuel, c'est simplement tendre
l'application du mme principe de division qui a successivement spar
les diverses spcialits; car, tant que les diffrentes sciences
positives ont t peu dveloppes, leurs relations mutuelles ne
pouvaient avoir assez d'importance pour donner lieu, au moins d'une
manire permanente,  une classe particulire de travaux, et en mme
temps la ncessit de cette nouvelle tude tait bien moins urgente.
Mais aujourd'hui chacune des sciences a pris sparment assez
d'extension pour que l'examen de leurs rapports mutuels puisse donner
lieu  des travaux suivis, en mme temps que ce nouvel ordre d'tudes
devient indispensable pour prvenir la dispersion des conceptions
humaines.

Telle est la manire dont je conois la destination de la philosophie
positive dans le systme gnral des sciences positives proprement
dites. Tel est, du moins, le but de ce cours.

Maintenant que j'ai essay de dterminer, aussi exactement qu'il m'a t
possible de le faire, dans ce premier aperu, l'esprit gnral d'un
cours de philosophie positive, je crois devoir, pour imprimer  ce
tableau tout son caractre, signaler rapidement les principaux avantages
gnraux que peut avoir un tel travail, si les conditions essentielles
en sont convenablement remplies, relativement aux progrs de l'esprit
humain. Je rduirai ce dernier ordre de considrations  l'indication de
quatre proprits fondamentales.

Premirement l'tude de la philosophie positive, en considrant les
rsultats de l'activit de nos facults intellectuelles, nous fournit le
seul vrai moyen rationnel de mettre en vidence les lois logiques de
l'esprit humain, qui ont t recherches jusqu'ici par des voies si peu
propres  les dvoiler.

Pour expliquer convenablement ma pense  cet gard, je dois d'abord
rappeler une conception philosophique de la plus haute importance,
expose par M. de Blainville dans la belle introduction de ses
_Principes gnraux d'anatomie compare_. Elle consiste en ce que tout
tre actif, et spcialement tout tre vivant, peut tre tudi, dans
tous ses phnomnes sous deux rapports fondamentaux, sous le rapport
statique et sous le rapport dynamique, c'est--dire comme apte  agir et
comme agissant effectivement. Il est clair, en effet, que toutes les
considrations qu'on pourra prsenter rentreront ncessairement dans
l'un ou l'autre mode. Appliquons cette lumineuse maxime fondamentale 
l'tude des fonctions intellectuelles.

Si l'on envisage ces fonctions sous le point de vue statique, leur tude
ne peut consister que dans la dtermination des conditions organiques
dont elles dpendent; elle forme ainsi une partie essentielle de
l'anatomie et de la physiologie. En les considrant sous le point de vue
dynamique, tout se rduit  tudier la marche effective de l'esprit
humain en exercice, par l'examen des procds rellement employs pour
obtenir les diverses connaissances exactes qu'il a dj acquises, ce qui
constitue essentiellement l'objet gnral de la philosophie positive,
ainsi que je l'ai dfinie dans ce discours. En un mot, regardant toutes
les thories scientifiques comme autant de grands faits logiques, c'est
uniquement par l'observation approfondie de ces faits qu'on peut
s'lever  la connaissance des lois logiques.

Telles sont videmment les deux seules voies gnrales, complmentaires
l'une de l'autre, par lesquelles on puisse arriver  quelques notions
rationnelles vritables sur les phnomnes intellectuels. On voit que,
sous aucun rapport, il n'y a place pour cette psychologie illusoire,
dernire transformation de la thologie, qu'on tente si vainement de
ranimer aujourd'hui, et qui, sans s'inquiter ni de l'tude
physiologique de nos organes intellectuels, ni de l'observation des
procds rationnels qui dirigent effectivement nos diverses recherches
scientifiques, prtend arriver  la dcouverte des lois fondamentales de
l'esprit humain, en le contemplant en lui-mme, c'est--dire en faisant
compltement abstraction et des causes et des effets.

La prpondrance de la philosophie positive est successivement devenue
telle depuis Bacon; elle a pris aujourd'hui, indirectement, un si grand
ascendant sur les esprits mme qui sont demeurs les plus trangers 
son immense dveloppement, que les mtaphysiciens livrs  l'tude de
notre intelligence n'ont pu esprer de ralentir la dcadence de leur
prtendue science qu'en se ravisant pour prsenter leurs doctrines comme
tant aussi fondes sur l'observation des faits.  cette fin, ils ont
imagin, dans ces derniers temps, de distinguer, par une subtilit fort
singulire, deux sortes d'observations d'gale importance, l'une
extrieure, l'autre intrieure, et dont la dernire est uniquement
destine  l'tude des phnomnes intellectuels. Ce n'est point ici le
lieu d'entrer dans la discussion spciale de ce sophisme fondamental. Je
dois me borner  indiquer la considration principale qui prouve
clairement que cette prtendue contemplation directe de l'esprit par
lui-mme est une pure illusion.

On croyait, il y a encore peu de temps, avoir expliqu la vision, en
disant que l'action lumineuse des corps dtermine sur la rtine des
tableaux reprsentatifs des formes et des couleurs extrieures.  cela
les physiologistes ont object avec raison que, si c'tait comme
_images_ qu'agissaient les impressions lumineuses, il faudrait un autre
oeil pour les regarder. N'en est-il pas encore plus fortement de mme
dans le cas prsent?

Il est sensible, en effet, que, par une ncessit invincible, l'esprit
humain peut observer directement tous les phnomnes, except les siens
propres. Car, par qui serait faite l'observation? On conoit,
relativement aux phnomnes moraux, que l'homme puisse s'observer
lui-mme sous le rapport des passions qui l'animent, par cette raison
anatomique, que les organes qui en sont le sige sont distincts de ceux
destins aux fonctions observatrices. Encore mme que chacun ait eu
occasion de faire sur lui de telles remarques, elles ne sauraient
videmment avoir jamais une grande importance scientifique, et le
meilleur moyen de connatre les passions sera-t-il toujours de les
observer en dehors; car tout tat de passion trs-prononc, c'est--dire
prcisment celui qu'il serait le plus essentiel d'examiner, est
ncessairement incompatible avec l'tat d'observation. Mais, quant 
observer de la mme manire les phnomnes intellectuels pendant qu'ils
s'excutent, il y a impossibilit manifeste. L'individu pensant ne
saurait se partager en deux, dont l'un raisonnerait, tandis que l'autre
regarderait raisonner. L'organe observ et l'organe observateur tant,
dans ce cas, identiques, comment l'observation pourrait-elle avoir lieu?

Cette prtendue mthode psychologique est donc radicalement nulle dans
son principe. Aussi, considrons  quels procds profondment
contradictoires elle conduit immdiatement! D'un ct, on vous
recommande de vous isoler, autant que possible, de toute sensation
extrieure, il faut surtout vous interdire tout travail intellectuel;
car, si vous tiez seulement occups  faire le calcul le plus simple,
que deviendrait l'observation _intrieure_? D'un autre ct, aprs
avoir, enfin,  force de prcautions, atteint cet tat parfait de
sommeil intellectuel, vous devrez vous occuper  contempler les
oprations qui s'excuteront dans votre esprit, lorsqu'il ne s'y
passera plus rien! Nos descendans verront sans doute de telles
prtentions transportes un jour sur la scne.

Les rsultats d'une aussi trange manire de procder sont parfaitement
conformes au principe. Depuis deux mille ans que les mtaphysiciens
cultivent ainsi la psychologie, ils n'ont pu encore convenir d'une seule
proposition intelligible et solidement arrte. Ils sont, mme
aujourd'hui, partags en une multitude d'coles qui disputent sans cesse
sur les premiers lmens de leurs doctrines. L'_observation intrieure_
engendre presque autant d'opinions divergentes qu'il y a d'individus
croyant s'y livrer.

Les vritables savans, les hommes vous aux tudes positives, en sont
encore  demander vainement  ces psychologues de citer une seule
dcouverte relle, grande ou petite, qui soit due  cette mthode si
vante. Ce n'est pas  dire pour cela que tous leurs travaux aient t
absolument sans aucun rsultat relativement aux progrs gnraux de nos
connaissances, indpendamment du service minent qu'ils ont rendu en
soutenant l'activit de notre intelligence,  l'poque o elle ne
pouvait pas avoir d'aliment plus substantiel. Mais on peut affirmer que
tout ce qui, dans leurs crits, ne consiste pas, suivant la judicieuse
expression d'un illustre philosophe positif (M. Cuvier), en mtaphores
prises pour des raisonnemens, et prsente quelque notion vritable, au
lieu de provenir de leur prtendue mthode, a t obtenu par des
observations effectives sur la marche de l'esprit humain, auxquelles a
d donner naissance, de temps  autre, le dveloppement des sciences.
Encore mme, ces notions si clair-semes, proclames avec tant
d'emphase, et qui ne sont dues qu' l'infidlit des psychologues  leur
prtendue mthode, se trouvent-elles le plus souvent ou fort exagres,
ou trs-incompltes, et bien infrieures aux remarques dj faites sans
ostentation par les savans sur les procds qu'ils emploient. Il serait
ais d'en citer des exemples frappans, si je ne craignais d'accorder ici
trop d'extension  une telle discussion: voyez, entre autres, ce qui est
arriv pour la thorie des signes.

Les considrations que je viens d'indiquer, relativement  la science
logique, sont encore plus manifestes, quand on les transporte  l'art
logique.

En effet, lorsqu'il s'agit, non-seulement de savoir ce que c'est que la
mthode positive, mais d'en avoir une connaissance assez nette et assez
profonde pour en pouvoir faire un usage effectif, c'est en action qu'il
faut la considrer; ce sont les diverses grandes applications dj
vrifies que l'esprit humain en a faites qu'il convient d'tudier. En
un mot, ce n'est videmment que par l'examen philosophique des sciences
qu'il est possible d'y parvenir. La mthode n'est pas susceptible d'tre
tudie sparment des recherches o elle est employe; ou, du moins, ce
n'est l qu'une tude morte, incapable de fconder l'esprit qui s'y
livre. Tout ce qu'on en peut dire de rel, quand on l'envisage
abstraitement, se rduit  des gnralits tellement vagues, qu'elles ne
sauraient avoir aucune influence sur le rgime intellectuel. Lorsqu'on a
bien tabli, en thse logique, que toutes nos connaissances doivent tre
fondes sur l'observation, que nous devons procder tantt des faits aux
principes, et tantt des principes aux faits, et quelques autres
aphorismes semblables, on connat beaucoup moins nettement la mthode
que celui qui a tudi, d'une manire un peu approfondie, une seule
science positive, mme sans intention philosophique. C'est pour avoir
mconnu ce fait essentiel, que nos psychologues sont conduits  prendre
leurs rveries pour de la science, croyant comprendre la mthode
positive pour avoir lu les prceptes de Bacon ou le discours de
Descartes.

J'ignore si, plus tard, il deviendra possible de faire _ priori_ un
vritable cours de mthode tout--fait indpendant de l'tude
philosophique des sciences; mais je suis bien convaincu que cela est
inexcutable aujourd'hui, les grands procds logiques ne pouvant encore
tre expliqus avec la prcision suffisante sparment de leurs
applications. J'ose ajouter, en outre, que lors mme qu'une telle
entreprise pourrait tre ralise dans la suite, ce qui, en effet, se
laisse concevoir, ce ne serait jamais nanmoins que par l'tude des
applications rgulires des procds scientifiques qu'on pourrait
parvenir  se former un bon systme d'habitudes intellectuelles; ce qui
est pourtant le but essentiel de l'tude de la mthode. Je n'ai pas
besoin d'insister davantage en ce moment sur un sujet qui reviendra
frquemment dans toute la dure de ce cours, et  l'gard duquel je
prsenterai spcialement de nouvelles considrations dans la prochaine
leon.

Tel doit tre le premier grand rsultat direct de la philosophie
positive, la manifestation par exprience des lois que suivent dans leur
accomplissement nos fonctions intellectuelles, et, par suite, la
connaissance prcise des rgles gnrales convenables pour procder
srement  la recherche de la vrit.

Une seconde consquence, non moins importante, et d'un intrt bien plus
pressant, qu'est ncessairement destin  produire aujourd'hui
l'tablissement de la philosophie positive dfinie dans ce discours,
c'est de prsider  la refonte gnrale de notre systme d'ducation.

En effet, dj les bons esprits reconnaissent unanimement la ncessit
de remplacer notre ducation europenne, encore essentiellement
thologique, mtaphysique et littraire, par une ducation _positive_,
conforme  l'esprit de notre poque, et adapte aux besoins de la
civilisation moderne. Les tentatives varies qui se sont multiplies de
plus en plus depuis un sicle, particulirement dans ces derniers temps,
pour rpandre et pour augmenter sans cesse l'instruction positive, et
auxquelles les divers gouvernemens europens se sont toujours associs
avec empressement quand ils n'en ont pas pris l'initiative, tmoignent
assez que, de toutes parts, se dveloppe le sentiment spontan de cette
ncessit. Mais, tout en secondant autant que possible ces utiles
entreprises, on ne doit pas se dissimuler que, dans l'tat prsent de
nos ides, elles ne sont nullement susceptibles d'atteindre leur but
principal, la rgnration fondamentale de l'ducation gnrale. Car, la
spcialit exclusive, l'isolement trop prononc qui caractrisent encore
notre manire de concevoir et de cultiver les sciences, influent
ncessairement  un haut degr sur la manire de les exposer dans
l'enseignement. Qu'un bon esprit veuille aujourd'hui tudier les
principales branches de la philosophie naturelle, afin de se former un
systme gnral d'ides positives, il sera oblig d'tudier sparment
chacune d'elles d'aprs le mme mode et dans le mme dtail que s'il
voulait devenir spcialement ou astronome, ou chimiste, etc.; ce qui
rend une telle ducation presque impossible et ncessairement fort
imparfaite, mme pour les plus hautes intelligences places dans les
circonstances les plus favorables. Une telle manire de procder serait
donc tout--fait chimrique, relativement  l'ducation gnrale. Et
nanmoins celle-ci exige absolument un ensemble de conceptions positives
sur toutes les grandes classes de phnomnes naturels. C'est un tel
ensemble qui doit devenir dsormais, sur une chelle plus ou moins
tendue, mme dans les masses populaires, la base permanente de toutes
les combinaisons humaines; qui doit, en un mot, constituer l'esprit
gnral de nos descendans. Pour que la philosophie naturelle puisse
achever la rgnration, dj si prpare, de notre systme
intellectuel, il est donc indispensable que les diffrentes sciences
dont elle se compose, prsentes  toutes les intelligences comme les
diverses branches d'un tronc unique, soient rduites d'abord  ce qui
constitue leur esprit, c'est--dire,  leurs mthodes principales et 
leurs rsultats les plus importans. Ce n'est qu'ainsi que l'enseignement
des sciences peut devenir parmi nous la base d'une nouvelle ducation
gnrale vraiment rationnelle. Qu'ensuite  cette instruction
fondamentale s'ajoutent les diverses tudes scientifiques spciales,
correspondantes aux diverses ducations spciales qui doivent succder 
l'ducation gnrale, cela ne peut videmment tre mis en doute. Mais la
considration essentielle que j'ai voulu indiquer ici consiste en ce que
toutes ces spcialits, mme pniblement accumules, seraient
ncessairement insuffisantes pour renouveler rellement le systme de
notre ducation, si elles ne reposaient sur la base pralable de cet
enseignement gnral, rsultat direct de la philosophie positive dfinie
dans ce discours.

Non-seulement l'tude spciale des gnralits scientifiques est
destine  rorganiser l'ducation, mais elle doit aussi contribuer aux
progrs particuliers des diverses sciences positives; ce qui constitue
la troisime proprit fondamentale que je me suis propos de signaler.

En effet, les divisions que nous tablissons entre nos sciences, sans
tre arbitraires, comme quelques-uns le croient, sont essentiellement
artificielles. En ralit, le sujet de toutes nos recherches est un;
nous ne le partageons que dans la vue de sparer les difficults pour
les mieux rsoudre. Il en rsulte plus d'une fois que, contrairement 
nos rpartitions classiques, des questions importantes exigeraient une
certaine combinaison de plusieurs points de vue spciaux, qui ne peut
gure avoir lieu dans la constitution actuelle du monde savant; ce qui
expose  laisser ces problmes sans solution beaucoup plus long-temps
qu'il ne serait ncessaire. Un tel inconvnient doit se prsenter
surtout pour les doctrines les plus essentielles de chaque science
positive en particulier. On en peut citer aisment des exemples
trs-marquans, que je signalerai soigneusement,  mesure que le
dveloppement naturel de ce cours nous les prsentera.

J'en pourrais citer, dans le pass, un exemple minemment mmorable, en
considrant l'admirable conception de Descartes relative  la gomtrie
analytique. Cette dcouverte fondamentale, qui a chang la face de la
science mathmatique, et dans laquelle on doit voir le vritable germe
de tous les grands progrs ultrieurs, qu'est-elle autre chose que le
rsultat d'un rapprochement tabli entre deux sciences, conues
jusqu'alors d'une manire isole? Mais l'observation sera plus dcisive
en la faisant porter sur des questions encore pendantes.

Je me bornerai ici  choisir dans la chimie, la doctrine si importante
des proportions dfinies. Certainement, la mmorable discussion leve
de nos jours, relativement au principe fondamental de cette thorie, ne
saurait encore, quelles que soient les apparences, tre regarde comme
irrvocablement termine. Car, ce n'est pas l, ce me semble, une simple
question de chimie. Je crois pouvoir avancer que, pour obtenir  cet
gard une dcision vraiment dfinitive, c'est--dire, pour dterminer si
nous devons regarder comme une loi de la nature que les molcules se
combinent ncessairement en nombres fixes, il sera indispensable de
runir le point de vue chimique avec le point de vue physiologique. Ce
qui l'indique, c'est que, de l'aveu mme des illustres chimistes qui ont
le plus puissamment contribu  la formation de cette doctrine, on peut
dire tout au plus qu'elle se vrifie constamment dans la composition des
corps inorganiques; mais elle se trouve au moins aussi constamment en
dfaut dans les composs organiques, auxquels il semble jusqu' prsent
tout--fait impossible de l'tendre. Or, avant d'riger cette thorie en
un principe rellement fondamental, ne faudra-t-il pas d'abord s'tre
rendu compte de cette immense exception? Ne tiendrait-elle pas  ce mme
caractre gnral, propre  tous les corps organiss, qui fait que,
dans aucun de leurs phnomnes, il n'y a lieu  concevoir des nombres
invariables? Quoi qu'il en soit, un ordre tout nouveau de
considrations, appartenant galement  la chimie et  la physiologie,
est videmment ncessaire pour dcider finalement, d'une manire
quelconque, cette grande question de philosophie naturelle.

Je crois convenable d'indiquer encore ici un second exemple de mme
nature, mais qui, se rapportant  un sujet de recherches bien plus
particulier, est encore plus concluant pour montrer l'importance
spciale de la philosophie positive dans la solution des questions qui
exigent la combinaison de plusieurs sciences. Je le prends aussi dans la
chimie. Il s'agit de la question encore indcise, qui consiste 
dterminer si l'azote doit tre regard, dans l'tat prsent de nos
connaissances, comme un corps simple ou comme un corps compos. Vous
savez par quelles considrations purement chimiques l'illustre Berzlius
est parvenu  balancer l'opinion de presque tous les chimistes actuels,
relativement  la simplicit de ce gaz. Mais ce que je ne dois pas
ngliger de faire particulirement remarquer, c'est l'influence exerce
 ce sujet sur l'esprit de M. Berzlius, comme il en fait lui-mme le
prcieux aveu, par cette observation physiologique, que les animaux qui
se nourrissent de matires non azotes renferment dans la composition de
leurs tissus tout autant d'azote que les animaux carnivores. Il est
clair, en effet, d'aprs cela, que pour dcider rellement si l'azote
est ou non un corps simple, il faudra ncessairement faire intervenir la
physiologie, et combiner avec les considrations chimiques proprement
dites, une srie de recherches neuves sur la relation entre la
composition des corps vivans et leur mode d'alimentation.

Il serait maintenant superflu de multiplier davantage les exemples de
ces problmes de nature multiple, qui ne sauraient tre rsolus que par
l'intime combinaison de plusieurs sciences cultives aujourd'hui d'une
manire tout--fait indpendantes. Ceux que je viens de citer suffisent
pour faire sentir, en gnral, l'importance de la fonction que doit
remplir dans le perfectionnement de chaque science naturelle en
particulier la philosophie positive, immdiatement destine  organiser
d'une manire permanente de telles combinaisons, qui ne pourraient se
former convenablement sans elle.

Enfin, une quatrime et dernire proprit fondamentale que je dois
faire remarquer ds ce moment dans ce que j'ai appel la philosophie
positive, et qui doit sans doute lui mriter plus que toute autre
l'attention gnrale, puisqu'elle est aujourd'hui la plus importante
pour la pratique, c'est qu'elle peut tre considre comme la seule base
solide de la rorganisation sociale qui doit terminer l'tat de crise
dans lequel se trouvent depuis si long-temps les nations les plus
civilises. La dernire partie de ce cours sera spcialement consacre 
tablir cette proposition, en la dveloppant dans toute son tendue.
Mais l'esquisse gnrale du grand tableau que j'ai entrepris d'indiquer
dans ce discours manquerait d'un de ses lmens les plus
caractristiques, si je ngligeais de signaler ici une considration
aussi essentielle.

Quelques rflexions bien simples suffiront pour justifier ce qu'une
telle qualification parat d'abord prsenter de trop ambitieux.

Ce n'est pas aux lecteurs de cet ouvrage que je croirai jamais devoir
prouver que les ides gouvernent et bouleversent le monde, ou, en
d'autres termes, que tout le mcanisme social repose finalement sur des
opinions. Ils savent surtout que la grande crise politique et morale des
socits actuelles tient, en dernire analyse,  l'anarchie
intellectuelle. Notre mal le plus grave consiste, en effet, dans cette
profonde divergence qui existe maintenant entre tous les esprits
relativement  toutes les maximes fondamentales dont la fixit est la
premire condition d'un vritable ordre social. Tant que les
intelligences individuelles n'auront pas adhr par un assentiment
unanime  un certain nombre d'ides gnrales capables de former une
doctrine sociale commune, on ne peut se dissimuler que l'tat des
nations restera, de toute ncessit, essentiellement rvolutionnaire,
malgr tous les palliatifs politiques qui pourront tre adopts, et ne
comportera rellement que des institutions provisoires. Il est galement
certain que si cette runion des esprits dans une mme communion de
principes peut une fois tre obtenue, les institutions convenables en
dcouleront ncessairement, sans donner lieu  aucune secousse grave, le
plus grand dsordre tant dj dissip par ce seul fait. C'est donc l
que doit se porter principalement l'attention de tous ceux qui sentent
l'importance d'un tat de choses vraiment normal.

Maintenant, du point de vue lev o nous ont placs graduellement les
diverses considrations indiques dans ce discours, il est ais  la
fois et de caractriser nettement dans son intime profondeur l'tat
prsent des socits, et d'en dduire par quelle voie on peut le changer
essentiellement. En me rattachant  la loi fondamentale nonce au
commencement de ce discours, je crois pouvoir rsumer exactement toutes
les observations relatives  la situation actuelle de la socit, en
disant simplement que le dsordre actuel des intelligences tient, en
dernire analyse,  l'emploi simultan des trois philosophies
radicalement incompatibles: la philosophie thologique, la philosophie
mtaphysique et la philosophie positive. Il est clair, en effet, que si
l'une quelconque de ces trois philosophies obtenait en ralit une
prpondrance universelle et complte, il y aurait un ordre social
dtermin, tandis que le mal consiste surtout dans l'absence de toute
vritable organisation. C'est la coexistence de ces trois philosophies
opposes qui empche absolument de s'entendre sur aucun point essentiel.
Or, si cette manire de voir est exacte, il ne s'agit plus que de savoir
laquelle des trois philosophies peut et doit prvaloir par la nature des
choses; tout homme sens devra ensuite, quelles qu'aient pu tre, avant
l'analyse de la question, ses opinions particulires, s'efforcer de
concourir  son triomphe. La recherche tant une fois rduite  ces
termes simples, elle ne parat pas devoir rester long-temps incertaine;
car il est vident, par toutes sortes de raisons dont j'ai indiqu dans
ce discours quelques-unes des principales, que la philosophie positive
est seule destine  prvaloir selon le cours ordinaire des choses.
Seule elle a t, depuis une longue suite de sicles, constamment en
progrs, tandis que ses antagonistes ont t constamment en dcadence.
Que ce soit  tort ou  raison, peu importe; le fait gnral est
incontestable, et il suffit. On peut le dplorer, mais non le dtruire,
ni par consquent le ngliger, sous peine de ne se livrer qu' des
spculations illusoires. Cette rvolution gnrale de l'esprit humain
est aujourd'hui presque entirement accomplie: il ne reste plus, comme
je l'ai expliqu, qu' complter la philosophie positive en y comprenant
l'tude des phnomnes sociaux, et ensuite  la rsumer en un seul corps
de doctrine homogne. Quand ce double travail sera suffisamment avanc,
le triomphe dfinitif de la philosophie positive aura lieu spontanment,
et rtablira l'ordre dans la socit. La prfrence si prononce que
presque tous les esprits, depuis les plus levs jusqu'aux plus
vulgaires, accordent aujourd'hui aux connaissances positives sur les
conceptions vagues et mystiques, prsage assez l'accueil que recevra
cette philosophie, lorsqu'elle aura acquis la seule qualit qui lui
manque encore, un caractre de gnralit convenable.

En rsum, la philosophie thologique et la philosophie mtaphysique se
disputent aujourd'hui la tche, trop suprieure aux forces de l'une et
de l'autre, de rorganiser la socit: c'est entre elles seules que
subsiste encore la lutte, sous ce rapport. La philosophie positive n'est
intervenue jusqu'ici dans la contestation que pour les critiquer toutes
deux, et elle s'en est assez bien acquitte pour les discrditer
entirement. Mettons-la enfin en tat de prendre un rle actif, sans
nous inquiter plus long-temps de dbats devenus inutiles. Compltant la
vaste opration intellectuelle commence par Bacon, par Descartes et par
Galile, construisons directement le systme d'ides gnrales que cette
philosophie est dsormais destine  faire indfiniment prvaloir dans
l'espce humaine, et la crise rvolutionnaire qui tourmente les peuples
civiliss sera essentiellement termine.

Tels sont les quatre points de vue principaux sous lesquels j'ai cru
devoir indiquer ds ce moment l'influence salutaire de la philosophie
positive, pour servir de complment essentiel  la dfinition gnrale
que j'ai essay d'en exposer.

Avant de terminer, je dsire appeler un instant l'attention sur une
dernire rflexion qui me semble convenable pour viter, autant que
possible, qu'on se forme d'avance une opinion errone de la nature de ce
cours.

En assignant pour but  la philosophie positive de rsumer en un seul
corps de doctrine homogne l'ensemble des connaissances acquises,
relativement aux diffrens ordres de phnomnes naturels, il tait loin
de ma pense de vouloir procder  l'tude gnrale de ces phnomnes en
les considrant tous comme des effets divers d'un principe unique, comme
assujtis  une seule et mme loi. Quoique je doive traiter
spcialement cette question dans la prochaine leon, je crois devoir,
ds  prsent, en faire la dclaration, afin de prvenir les reproches
trs-mal fonds que pourraient m'adresser ceux qui, sur un faux aperu,
classeraient ce cours parmi ces tentatives d'explication universelle
qu'on voit clore journellement de la part d'esprits entirement
trangers aux mthodes et aux connaissances scientifiques. Il ne s'agit
ici de rien de semblable; et le dveloppement de ce cours en fournira la
preuve manifeste  tous ceux chez lesquels les claircissemens contenus
dans ce discours auraient pu laisser quelques doutes  cet gard.

Dans ma profonde conviction personnelle, je considre ces entreprises
d'explication universelle de tous les phnomnes par une loi unique
comme minemment chimriques, mme quand elles sont tentes par les
intelligences les plus comptentes. Je crois que les moyens de l'esprit
humain sont trop faibles, et l'univers trop compliqu pour qu'une telle
perfection scientifique soit jamais  notre porte, et je pense,
d'ailleurs, qu'on se forme gnralement une ide trs-exagre des
avantages qui en rsulteraient ncessairement, si elle tait possible.
Dans tous les cas, il me semble vident que, vu l'tat prsent de nos
connaissances, nous en sommes encore beaucoup trop loin pour que de
telles tentatives puissent tre raisonnables avant un laps de temps
considrable. Car, si on pouvait esprer d'y parvenir, ce ne pourrait
tre, suivant moi, qu'en rattachant tous les phnomnes naturels  la
loi positive la plus gnrale que nous connaissions, la loi de la
gravitation, qui lie dj tous les phnomnes astronomiques  une partie
de ceux de la physique terrestre. Laplace a expos effectivement une
conception par laquelle on pourrait ne voir dans les phnomnes
chimiques que de simples effets molculaires de l'attraction
newtonienne, modifie par la figure et la position mutuelle des atomes.
Mais, outre l'indtermination dans laquelle resterait probablement
toujours cette conception, par l'absence des donnes essentielles
relatives  la constitution intime des corps, il est presque certain que
la difficult de l'appliquer serait telle, qu'on serait oblig de
maintenir, comme artificielle, la division aujourd'hui tablie comme
naturelle entre l'astronomie et la chimie. Aussi Laplace n'a-t-il
prsent cette ide que comme un simple jeu philosophique, incapable
d'exercer rellement aucune influence utile sur les progrs de la
science chimique. Il y a plus, d'ailleurs; car, mme en supposant
vaincue cette insurmontable difficult, on n'aurait pas encore atteint 
l'unit scientifique, puisqu'il faudrait ensuite tenter de rattacher 
la mme loi l'ensemble des phnomnes physiologiques; ce qui, certes, ne
serait pas la partie la moins difficile de l'entreprise. Et, nanmoins,
l'hypothse que nous venons de parcourir serait, tout bien considr, la
plus favorable  cette unit si dsire.

Je n'ai pas besoin de plus grands dtails pour achever de convaincre que
le but de ce cours n'est nullement de prsenter tous les phnomnes
naturels comme tant au fond identiques, sauf la varit des
circonstances. La philosophie positive serait sans doute plus parfaite
s'il pouvait en tre ainsi. Mais cette condition n'est nullement
ncessaire  sa formation systmatique, non plus qu' la ralisation des
grandes et heureuses consquences que nous l'avons vue destine 
produire. Il n'y a d'unit indispensable pour cela que l'unit de
mthode, laquelle peut et doit videmment exister, et se trouve dj
tablie en majeure partie. Quant  la doctrine, il n'est pas ncessaire
qu'elle soit une; il suffit qu'elle soit homogne. C'est donc sous le
double point de vue de l'unit des mthodes et de l'homognit des
doctrines que nous considrerons, dans ce cours, les diffrentes classes
de thories positives. Tout en tendant  diminuer, le plus possible, le
nombre des lois gnrales ncessaires  l'explication positive des
phnomnes naturels, ce qui est, en effet, le but philosophique de la
science, nous regarderons comme tmraire d'aspirer jamais, mme pour
l'avenir le plus loign,  les rduire rigoureusement  une seule.

J'ai tent, dans ce discours, de dterminer, aussi exactement qu'il a
t en mon pouvoir, le but, l'esprit et l'influence de la philosophie
positive. J'ai donc marqu le terme vers lequel ont toujours tendu et
tendront sans cesse tous mes travaux, soit dans ce cours, soit de toute
autre manire. Personne n'est plus profondment convaincu que moi de
l'insuffisance de mes forces intellectuelles, fussent-elles mme
trs-suprieures  leur valeur relle, pour rpondre  une tche aussi
vaste et aussi leve. Mais ce qui ne peut tre fait ni par un seul
esprit, ni en une seule vie, un seul peut le proposer nettement. Telle
est toute mon ambition.

Ayant expos le vritable but de ce cours, c'est--dire fix le point de
vue sous lequel je considrerai les diverses branches principales de la
philosophie naturelle, je complterai, dans la leon prochaine, ces
prolgomnes gnraux, en passant  l'exposition du plan, c'est--dire 
la dtermination de l'ordre encyclopdique qu'il convient d'tablir
entre les diverses classes des phnomnes naturels, et par consquent
entre les sciences positives correspondantes.




DEUXIME LEON.

SOMMAIRE. Exposition du plan de ce cours, ou considrations gnrales
sur la hirarchie des sciences positives.


Aprs avoir caractris aussi exactement que possible, dans la leon
prcdente, les considrations  prsenter dans ce cours sur toutes les
branches principales de la philosophie naturelle, il faut dterminer
maintenant le plan que nous devons suivre, c'est--dire, la
classification rationnelle la plus convenable  tablir entre les
diffrentes sciences positives fondamentales, pour les tudier
successivement sous le point de vue que nous avons fix. Cette seconde
discussion gnrale est indispensable pour achever de faire connatre
ds l'origine le vritable esprit de ce cours.

On conoit aisment d'abord qu'il ne s'agit pas ici de faire la
critique, malheureusement trop facile, des nombreuses classifications
qui ont t proposes successivement depuis deux sicles, pour le
systme gnral des connaissances humaines, envisag dans toute son
tendue. On est aujourd'hui bien convaincu que toutes les chelles
encyclopdiques construites, comme celles de Bacon et de d'Alembert,
d'aprs une distinction quelconque des diverses facults de l'esprit
humain, sont par cela seul radicalement vicieuses, mme quand cette
distinction n'est pas, comme il arrive souvent, plus subtile que relle;
car, dans chacune de ses sphres d'activit, notre entendement emploie
simultanment toutes ses facults principales. Quant  toutes les autres
classifications proposes, il suffira d'observer que les diffrentes
discussions leves  ce sujet ont eu pour rsultat dfinitif de montrer
dans chacune des vices fondamentaux, tellement qu'aucune n'a pu obtenir
un assentiment unanime, et qu'il existe  cet gard presqu'autant
d'opinions que d'individus. Ces diverses tentatives ont mme t, en
gnral, si mal conues, qu'il en est rsult involontairement dans la
plupart des bons esprits une prvention dfavorable contre toute
entreprise de ce genre.

Sans nous arrter davantage sur un fait si bien constat, il est plus
essentiel d'en rechercher la cause. Or, on peut aisment s'expliquer la
profonde imperfection de ces tentatives encyclopdiques, si souvent
renouveles jusqu'ici. Je n'ai pas besoin de faire observer que, depuis
le discrdit gnral dans lequel sont tombs les travaux de cette nature
par suite du peu de solidit des premiers projets, ces classifications
ne sont conues le plus souvent que par des esprits presque entirement
trangers  la connaissance des objets  classer. Sans avoir gard 
cette considration personnelle, il en est une beaucoup plus importante,
puise dans la nature mme du sujet, et qui montre clairement pourquoi
il n'a pas t possible jusqu'ici de s'lever  une conception
encyclopdique vritablement satisfaisante. Elle consiste dans le dfaut
d'homognit qui a toujours exist jusqu' ces derniers temps entre les
diffrentes parties du systme intellectuel, les unes tant
successivement devenues positives, tandis que les autres restaient
thologiques ou mtaphysiques. Dans un tat de choses aussi incohrent,
il tait videmment impossible d'tablir aucune classification
rationnelle. Comment parvenir  disposer, dans un systme unique, des
conceptions aussi profondment contradictoires? c'est une difficult
contre laquelle sont venus chouer ncessairement tous les
classificateurs, sans qu'aucun l'ait aperue distinctement. Il tait
bien sensible nanmoins, pour quiconque et bien connu la vritable
situation de l'esprit humain, qu'une telle entreprise tait prmature,
et qu'elle ne pourrait tre tente avec succs que lorsque toutes nos
conceptions principales seraient devenues positives.

Cette condition fondamentale pouvant maintenant tre regarde comme
remplie, d'aprs les explications donnes dans la leon prcdente, il
est ds lors possible de procder  une disposition vraiment rationnelle
et durable d'un systme dont toutes les parties sont enfin devenues
homognes.

D'un autre ct, la thorie gnrale des classifications, tablie dans
ces derniers temps par les travaux philosophiques des botanistes et des
zoologistes, permet d'esprer un succs rel dans un semblable travail,
en nous offrant un guide certain par le vritable principe fondamental
de l'art de classer, qui n'avait jamais t conu distinctement
jusqu'alors. Ce principe est une consquence ncessaire de la seule
application directe de la mthode positive  la question mme des
classifications, qui, comme toute autre, doit tre traite par
observation, au lieu d'tre rsolue par des considrations _ priori_.
Il consiste en ce que la classification doit ressortir de l'tude mme
des objets  classer, et tre dtermine par les affinits relles et
l'enchanement naturel qu'ils prsentent, de telle sorte que cette
classification soit elle-mme l'expression du fait le plus gnral,
manifest par la comparaison approfondie des objets qu'elle embrasse.

Appliquant cette rgle fondamentale au cas actuel, c'est donc d'aprs la
dpendance mutuelle qui a lieu effectivement entre les diverses sciences
positives, que nous devons procder  leur classification; et cette
dpendance, pour tre relle, ne peut rsulter que de celle des
phnomnes correspondans.

Mais avant d'excuter, dans un tel esprit d'observation, cette
importante opration encyclopdique, il est indispensable, pour ne pas
nous garer dans un travail trop tendu, de circonscrire avec plus de
prcision que nous ne l'avons fait jusqu'ici, le sujet propre de la
classification propose.

Tous les travaux humains sont, ou de spculation, ou d'action. Ainsi, la
division la plus gnrale de nos connaissances relles consiste  les
distinguer en thoriques et pratiques. Si nous considrons d'abord cette
premire division, il est vident que c'est seulement des connaissances
thoriques qu'il doit tre question dans un cours de la nature de
celui-ci; car, il ne s'agit point d'observer le systme entier des
notions humaines, mais uniquement celui des conceptions fondamentales
sur les divers ordres de phnomnes, qui fournissent une base solide 
toutes nos autres combinaisons quelconques, et qui ne sont,  leur tour,
fondes sur aucun systme intellectuel antcdent. Or, dans un tel
travail, c'est la spculation qu'il faut considrer, et non
l'application, si ce n'est en tant que celle-ci peut claircir la
premire. C'est l probablement ce qu'entendait Bacon, quoique fort
imparfaitement, par cette _philosophie premire_ qu'il indique comme
devant tre extraite de l'ensemble des sciences, et qui a t si
diversement et toujours si trangement conue par les mtaphysiciens qui
ont entrepris de commenter sa pense.

Sans doute, quand on envisage l'ensemble complet des travaux de tout
genre de l'espce humaine, on doit concevoir l'tude de la nature comme
destine  fournir la vritable base rationnelle de l'action de l'homme
sur la nature, puisque la connaissance des lois des phnomnes, dont le
rsultat constant est de nous les faire prvoir, peut seule videmment
nous conduire, dans la vie active,  les modifier  notre avantage les
uns par les autres. Nos moyens naturels et directs pour agir sur les
corps qui nous entourent sont extrmement faibles, et tout--fait
disproportionns  nos besoins. Toutes les fois que nous parvenons 
exercer une grande action, c'est seulement parce que la connaissance des
lois naturelles nous permet d'introduire parmi les circonstances
dtermines sous l'influence desquelles s'accomplissent les divers
phnomnes, quelques lmens modificateurs, qui, quelque faibles qu'ils
soient en eux-mmes, suffisent, dans certains cas, pour faire tourner 
notre satisfaction les rsultats dfinitifs de l'ensemble des causes
extrieures. En rsum, _science, d'o prvoyance; prvoyance, d'o
action_: telle est la formule trs-simple qui exprime, d'une manire
exacte, la relation gnrale de la _science_ et de l'_art_, en prenant
ces deux expressions dans leur acception totale.

Mais, malgr l'importance capitale de cette relation, qui ne doit jamais
tre mconnue, ce serait se former des sciences une ide bien imparfaite
que de les concevoir seulement comme les bases des arts, et c'est  quoi
malheureusement on n'est que trop enclin de nos jours. Quels que soient
les immenses services rendus  l'_industrie_ par les thories
scientifiques, quoique, suivant l'nergique expression de Bacon, la
puissance soit ncessairement proportionne  la connaissance, nous ne
devons pas oublier que les sciences ont, avant tout, une destination
plus directe et plus leve, celle de satisfaire au besoin fondamental
qu'prouve notre intelligence de connatre les lois des phnomnes. Pour
sentir combien ce besoin est profond et imprieux, il suffit de penser
un instant aux effets physiologiques de l'_tonnement_, et de considrer
que la sensation la plus terrible que nous puissions prouver est celle
qui se produit toutes les fois qu'un phnomne nous semble s'accomplir
contradictoirement aux lois naturelles qui nous sont familires. Ce
besoin de disposer les faits dans un ordre que nous puissions concevoir
avec facilit (ce qui est l'objet propre de toutes les thories
scientifiques) est tellement inhrent  notre organisation, que, si nous
ne parvenions pas  le satisfaire par des conceptions positives, nous
retournerions invitablement aux explications thologiques et
mtaphysiques auxquelles il a primitivement donn naissance, comme je
l'ai expos dans la dernire leon.

J'ai cru devoir signaler expressment ds ce moment une considration
qui se reproduira frquemment dans toute la suite de ce cours, afin
d'indiquer la ncessit de se prmunir contre la trop grande influence
des habitudes actuelles qui tendent  empcher qu'on se forme des ides
justes et nobles de l'importance et de la destination des sciences. Si
la puissance prpondrante de notre organisation ne corrigeait, mme
involontairement, dans l'esprit des savans, ce qu'il y a sous ce
rapport d'incomplet et d'troit dans la tendance gnrale de notre
poque, l'intelligence humaine, rduite  ne s'occuper que de recherches
susceptibles d'une utilit pratique immdiate, se trouverait par cela
seul, comme l'a trs-justement remarqu Condorcet, tout--fait arrte
dans ses progrs, mme  l'gard de ces applications auxquelles on
aurait imprudemment sacrifi les travaux purement spculatifs; car, les
applications les plus importantes drivent constamment de thories
formes dans une simple intention scientifique, et qui souvent ont t
cultives pendant plusieurs sicles sans produire aucun rsultat
pratique. On en peut citer un exemple bien remarquable dans les belles
spculations des gomtres grecs sur les sections coniques, qui, aprs
une longue suite de gnrations, ont servi, en dterminant la rnovation
de l'astronomie,  conduire finalement l'art de la navigation au degr
de perfectionnement qu'il a atteint dans ces derniers temps, et auquel
il ne serait jamais parvenu sans les travaux si purement thoriques
d'Archimde et d'Apollonius; tellement que Condorcet a pu dire avec
raison  cet gard: le matelot, qu'une exacte observation de la
longitude prserve du naufrage, doit la vie  une thorie conue, deux
mille ans auparavant, par des hommes de gnie qui avaient en vue de
simples spculations gomtriques.

Il est donc vident qu'aprs avoir conu, d'une manire gnrale,
l'tude de la nature comme servant de base rationnelle  l'action sur la
nature, l'esprit humain doit procder aux recherches thoriques, en
faisant compltement abstraction de toute considration pratique; car,
nos moyens pour dcouvrir la vrit sont tellement faibles, que si nous
ne les concentrions pas exclusivement vers ce but, et si, en cherchant
la vrit, nous nous imposions en mme temps la condition trangre d'y
trouver une utilit pratique immdiate, il nous serait presque toujours
impossible d'y parvenir.

Quoi qu'il en soit, il est certain que l'ensemble de nos connaissances
sur la nature, et celui des procds que nous en dduisons pour la
modifier  notre avantage, forment deux systmes essentiellement
distincts par eux-mmes, qu'il est convenable de concevoir et de
cultiver sparment. En outre, le premier systme tant la base du
second, c'est videmment celui qu'il convient de considrer d'abord dans
une tude mthodique, mme quand on se proposerait d'embrasser la
totalit des connaissances humaines, tant d'application que de
spculation. Ce systme thorique me parat devoir constituer
exclusivement aujourd'hui le sujet d'un cours vraiment rationnel de
philosophie positive: c'est ainsi du moins que je le conois. Sans
doute, il serait possible d'imaginer un cours plus tendu, portant  la
fois sur les gnralits thoriques et sur les gnralits pratiques.
Mais je ne pense pas qu'une telle entreprise, mme indpendamment de son
tendue, puisse tre convenablement tente dans l'tat prsent de
l'esprit humain. Elle me semble, en effet, exiger pralablement un
travail trs-important et d'une nature toute particulire, qui n'a pas
encore t fait, celui de former, d'aprs les thories scientifiques
proprement dites, les conceptions spciales destines  servir de bases
directes aux procds gnraux de la pratique.

Au degr de dveloppement dj atteint par notre intelligence, ce n'est
pas immdiatement que les sciences s'appliquent aux arts, du moins dans
les cas les plus parfaits; il existe entre ces deux ordres d'ides un
ordre moyen, qui, encore mal dtermin dans son caractre philosophique,
est dj plus sensible quand on considre la classe sociale qui s'en
occupe spcialement. Entre les savans proprement dits et les directeurs
effectifs des travaux productifs il commence  se former de nos jours
une classe intermdiaire, celle des _ingnieurs_, dont la destination
spciale est d'organiser les relations de la thorie et de la pratique.
Sans avoir aucunement en vue le progrs des connaissances scientifiques,
elle les considre dans leur tat prsent pour en dduire les
applications industrielles dont elles sont susceptibles. Telle est, du
moins, la tendance naturelle des choses, quoiqu'il y ait encore  cet
gard beaucoup de confusion. Le corps de doctrine propre  cette classe
nouvelle, et qui doit constituer les vritables thories directes des
diffrens arts, pourrait, sans doute, donner lieu  des considrations
philosophiques d'un grand intrt et d'une importance relle. Mais, un
travail qui les embrasserait conjointement avec celles fondes sur les
sciences proprement dites, serait aujourd'hui tout--fait prmatur;
car, ces doctrines intermdiaires entre la thorie pure et la pratique
directe ne sont point encore formes: il n'en existe jusqu'ici que
quelques lmens imparfaits relatifs aux sciences et aux arts les plus
avancs, et qui permettent seulement de concevoir la nature et la
possibilit de semblables travaux pour l'ensemble des oprations
humaines. C'est ainsi, pour en citer ici l'exemple le plus important,
qu'on doit envisager la belle conception de Monge, relativement  la
gomtrie descriptive, qui n'est rellement autre chose qu'une thorie
gnrale des arts de construction. J'aurai soin d'indiquer
successivement le petit nombre d'ides analogues dj formes et de
faire apprcier leur importance,  mesure que le dveloppement naturel
de ce cours nous les prsentera. Mais il est clair que des conceptions
jusqu' prsent aussi incompltes ne doivent point entrer, comme partie
essentielle, dans un cours de philosophie positive qui ne doit
comprendre, autant que possible, que des doctrines ayant un caractre
fixe et nettement dtermin.

On concevra d'autant mieux la difficult de construire ces doctrines
intermdiaires que je viens d'indiquer, si l'on considre que chaque art
dpend non-seulement d'une certaine science correspondante, mais  la
fois de plusieurs, tellement que les arts les plus importans empruntent
des secours directs  presque toutes les diverses sciences principales.
C'est ainsi que la vritable thorie de l'agriculture, pour me borner au
cas le plus essentiel, exige une intime combinaison de connaissances
physiologiques, chimiques, physiques et mme astronomiques et
mathmatiques: il en est de mme des beaux-arts. On aperoit aisment,
d'aprs cette considration, pourquoi ces thories n'ont pu encore tre
formes, puisqu'elles supposent le dveloppement pralable de toutes les
diffrentes sciences fondamentales. Il en rsulte galement un nouveau
motif de ne pas comprendre un tel ordre d'ides dans un cours de
philosophie positive, puisque, loin de pouvoir contribuer  la formation
systmatique de cette philosophie, les thories gnrales propres aux
diffrens arts principaux doivent, au contraire, comme nous le voyons,
tre vraisemblablement plus tard une des consquences les plus utiles de
sa construction.

En rsum, nous ne devons donc considrer dans ce cours que les thories
scientifiques et nullement leurs applications. Mais avant de procder 
la classification mthodique de ses diffrentes parties, il me reste 
exposer, relativement aux sciences proprement dites, une distinction
importante, qui achvera de circonscrire nettement le sujet propre de
l'tude que nous entreprenons.

Il faut distinguer, par rapport  tous les ordres de phnomnes, deux
genres de sciences naturelles: les unes abstraites, gnrales, ont pour
objet la dcouverte des lois qui rgissent les diverses classes de
phnomnes, en considrant tous les cas qu'on peut concevoir; les autres
concrtes, particulires, descriptives, et qu'on dsigne quelquefois
sous le nom de sciences naturelles proprement dites, consistent dans
l'application de ces lois  l'histoire effective des diffrens tres
existans. Les premires sont donc fondamentales, c'est sur elles
seulement que porteront nos tudes dans ce cours; les autres, quelle que
soit leur importance propre, ne sont rellement que secondaires, et ne
doivent point, par consquent, faire partie d'un travail que son
extrme tendue naturelle nous oblige  rduire au moindre dveloppement
possible.

La distinction prcdente ne peut prsenter aucune obscurit aux esprits
qui ont quelque connaissance spciale des diffrentes sciences
positives, puisqu'elle est  peu prs l'quivalent de celle qu'on nonce
ordinairement dans presque tous les traits scientifiques en comparant
la physique dogmatique  l'histoire naturelle proprement dite. Quelques
exemples suffiront d'ailleurs pour rendre sensible cette division, dont
l'importance n'est pas encore convenablement apprcie.

On pourra d'abord l'apercevoir trs-nettement en comparant, d'une part,
la physiologie gnrale, et, d'une autre part, la zoologie et la
botanique proprement dites. Ce sont videmment, en effet, deux travaux
d'un caractre fort distinct, que d'tudier, en gnral, les lois de la
vie, ou de dterminer le mode d'existence de chaque corps vivant, en
particulier. Cette seconde tude, en outre, est ncessairement fonde
sur la premire.

Il en est de mme de la chimie, par rapport  la minralogie; la
premire est videmment la base rationnelle de la seconde. Dans la
chimie, on considre toutes les combinaisons possibles des molcules,
et dans toutes les circonstances imaginables; dans la minralogie, on
considre seulement celles de ces combinaisons qui se trouvent ralises
dans la constitution effective du globe terrestre, et sous l'influence
des seules circonstances qui lui sont propres. Ce qui montre clairement
la diffrence du point de vue chimique et du point de vue minralogique,
quoique les deux sciences portent sur les mmes objets, c'est que la
plupart des faits envisags dans la premire n'ont qu'une existence
artificielle, de telle manire qu'un corps, comme le chlore ou le
potassium, pourra avoir une extrme importance en chimie par l'tendue
et l'nergie de ses affinits, tandis qu'il n'en aura presque aucune en
minralogie; et rciproquement, un compos, tel que le granit ou le
quartz, sur lequel porte la majeure partie des considrations
minralogiques, n'offrira, sous le rapport chimique, qu'un intrt
trs-mdiocre.

Ce qui rend, en gnral, plus sensible encore la ncessit logique de
cette distinction fondamentale entre les deux grandes sections de la
philosophie naturelle, c'est que non-seulement chaque section de la
physique concrte suppose la culture pralable de la section
correspondante de la physique abstraite, mais qu'elle exige mme la
connaissance des lois gnrales relatives  tous les ordres de
phnomnes. Ainsi, par exemple, non seulement l'tude spciale de la
terre, considre sous tous les points de vue qu'elle peut prsenter
effectivement, exige la connaissance pralable de la physique et de la
chimie, mais elle ne peut tre faite convenablement, sans y introduire,
d'une part, les connaissances astronomiques, et mme, d'une autre part,
les connaissances physiologiques; en sorte qu'elle tient au systme
entier des sciences fondamentales. Il en est de mme de chacune des
sciences naturelles proprement dites. C'est prcisment pour ce motif
que la _physique concrte_ a fait jusqu' prsent si peu de progrs
rels, car elle n'a pu commencer  tre tudie d'une manire vraiment
rationnelle qu'aprs la _physique abstraite_, et lorsque toutes les
diverses branches principales de celle-ci ont pris leur caractre
dfinitif, ce qui n'a eu lieu que de nos jours. Jusqu'alors on n'a pu
recueillir  ce sujet que des matriaux plus ou moins incohrens, qui
sont mme encore fort incomplets. Les faits connus ne pourront tre
coordonns de manire  former de vritables thories spciales des
diffrens tres de l'univers, que lorsque la distinction fondamentale
rappele ci-dessus, sera plus profondment sentie et plus rgulirement
organise, et que, par suite, les savans particulirement livrs 
l'tude des sciences naturelles proprement dites, auront reconnu la
ncessit de fonder leurs recherches sur une connaissance approfondie de
toutes les sciences fondamentales, condition qui est encore aujourd'hui
fort loin d'tre convenablement remplie.

L'examen de cette condition confirme nettement pourquoi nous devons,
dans ce cours de philosophie positive, rduire nos considrations 
l'tude des sciences gnrales, sans embrasser en mme temps les
sciences descriptives ou particulires. On voit natre ici, en effet,
une nouvelle proprit essentielle de cette tude propre des gnralits
de la physique abstraite; c'est de fournir la base rationnelle d'une
physique concrte vraiment systmatique. Ainsi, dans l'tat prsent de
l'esprit humain, il y aurait une sorte de contradiction  vouloir
runir, dans un seul et mme cours, les deux ordres de sciences. On peut
dire, de plus, que quand mme la physique concrte aurait dj atteint
le degr de perfectionnement de la physique abstraite, et que, par
suite, il serait possible, dans un cours de philosophie positive,
d'embrasser  la fois l'une et l'autre, il n'en faudrait pas moins
videmment commencer par la section abstraite, qui restera la base
invariable de l'autre. Il est clair, d'ailleurs, que la seule tude des
gnralits des sciences fondamentales, est assez vaste par elle-mme,
pour qu'il importe d'en carter, autant que possible, toutes les
considrations qui ne sont pas indispensables; or, celles relatives aux
sciences secondaires seront toujours, quoi qu'il arrive, d'un genre
distinct. La philosophie des sciences fondamentales, prsentant un
systme de conceptions positives sur tous nos ordres de connaissances
relles, suffit, par cela mme, pour constituer cette _philosophie
premire_ que cherchait Bacon, et qui tant destine  servir dsormais
de base permanente  toutes les spculations humaines, doit tre
soigneusement rduite  la plus simple expression possible.

Je n'ai pas besoin d'insister davantage en ce moment sur une telle
discussion, que j'aurai naturellement plusieurs occasions de reproduire
dans les diverses parties de ce cours. L'explication prcdente est
assez dveloppe pour motiver la manire dont j'ai circonscrit le sujet
gnral de nos considrations.

Ainsi, en rsultat de tout ce qui vient d'tre expos dans cette leon,
nous voyons: 1 que la science humaine se composant, dans son ensemble,
de connaissances spculatives et de connaissances d'application, c'est
seulement des premires que nous devons nous occuper ici; 2 que les
connaissances thoriques ou les sciences proprement dites, se divisant
en sciences gnrales et sciences particulires, nous devons ne
considrer ici que le premier ordre, et nous borner  la physique
abstraite, quelque intrt que puisse nous prsenter la physique
concrte.

Le sujet propre de ce cours tant par l exactement circonscrit, il est
facile maintenant de procder  une classification rationnelle vraiment
satisfaisante des sciences fondamentales, ce qui constitue la question
encyclopdique, objet spcial de cette leon.

Il faut, avant tout, commencer par reconnatre que, quelque naturelle
que puisse tre une telle classification, elle renfermera toujours
ncessairement quelque chose, sinon d'arbitraire, du moins d'artificiel,
de manire  prsenter une imperfection vritable.

En effet, le but principal que l'on doit avoir en vue dans tout travail
encyclopdique, c'est de disposer les sciences dans l'ordre de leur
enchanement naturel, en suivant leur dpendance mutuelle; de telle
sorte qu'on puisse les exposer successivement, sans jamais tre entran
dans le moindre cercle vicieux. Or, c'est une condition qu'il me parat
impossible d'accomplir d'une manire tout--fait rigoureuse. Qu'il me
soit permis de donner ici quelque dveloppement  cette rflexion, que
je crois importante pour caractriser la vritable difficult de la
recherche qui nous occupe actuellement. Cette considration, d'ailleurs,
me donnera lieu d'tablir, relativement  l'exposition de nos
connaissances, un principe gnral dont j'aurai plus tard  prsenter de
frquentes applications.

Toute science peut tre expose suivant deux marches essentiellement
distinctes, dont tout autre mode d'exposition ne saurait tre qu'une
combinaison, la marche _historique_, et la marche _dogmatique_.

Par le premier procd, on expose successivement les connaissances dans
le mme ordre effectif suivant lequel l'esprit humain les a rellement
obtenus, et en adoptant, autant que possible, les mmes voies.

Par le second, on prsente le systme des ides tel qu'il pourrait tre
conu aujourd'hui par un seul esprit, qui, plac au point de vue
convenable, et pourvu des connaissances suffisantes, s'occuperait 
refaire la science dans son ensemble.

Le premier mode est videmment celui par lequel commence, de toute
ncessit, l'tude de chaque science naissante; car, il prsente cette
proprit, de n'exiger, pour l'exposition des connaissances, aucun
nouveau travail distinct de celui de leur formation, toute la didactique
se rduisant alors  tudier successivement, dans l'ordre
chronologique, les divers ouvrages originaux qui ont contribu aux
progrs de la science.

Le mode dogmatique, supposant au contraire, que tous ces travaux
particuliers ont t refondus en un systme gnral, pour tre prsents
suivant un ordre logique plus naturel, n'est applicable qu' une science
dj parvenue  un assez haut degr de dveloppement. Mais,  mesure que
la science fait des progrs, l'ordre _historique_ d'exposition devient
de plus en plus impraticable, par la trop longue suite d'intermdiaires
qu'il obligerait l'esprit  parcourir; tandis que l'ordre _dogmatique_
devient de plus en plus possible, en mme temps que ncessaire, parce
que de nouvelles conceptions permettent de prsenter les dcouvertes
antrieures sous un point de vue plus direct.

C'est ainsi, par exemple, que l'ducation d'un gomtre de l'antiquit
consistait simplement dans l'tude successive du trs-petit nombre de
traits originaux produits jusqu'alors sur les diverses parties de la
gomtrie, ce qui se rduisait essentiellement aux crits d'Archimde et
d'Apollonius; tandis que, au contraire, un gomtre moderne a
communment termin son ducation, sans avoir lu un seul ouvrage
original, except relativement aux dcouvertes les plus rcentes, qu'on
ne peut connatre que par ce moyen.

La tendance constante de l'esprit humain, quant  l'exposition des
connaissances, est donc de substituer de plus en plus  l'ordre
historique l'ordre dogmatique, qui peut seul convenir  l'tat
perfectionn de notre intelligence.

Le problme gnral de l'ducation intellectuelle consiste  faire
parvenir, en peu d'annes, un seul entendement, le plus souvent
mdiocre, au mme point de dveloppement qui a t atteint, dans une
longue suite de sicles, par un grand nombre de gnies suprieurs
appliquant successivement, pendant leur vie entire, toutes leurs forces
 l'tude d'un mme sujet. Il est clair, d'aprs cela, que, quoiqu'il
soit infiniment plus facile et plus court d'apprendre que d'inventer, il
serait certainement impossible d'atteindre le but propos, si l'on
voulait assujtir chaque esprit individuel  passer successivement par
les mmes intermdiaires qu'a d suivre ncessairement le gnie
collectif de l'espce humaine. De l, l'indispensable besoin de l'ordre
dogmatique, qui est surtout si sensible aujourd'hui pour les sciences
les plus avances, dont le mode ordinaire d'exposition ne prsente plus
presqu'aucune trace de la filiation effective de leurs dtails.

Il faut, nanmoins, ajouter, pour prvenir toute exagration, que tout
mode rel d'exposition est, invitablement, une certaine combinaison de
l'ordre dogmatique avec l'ordre historique, dans laquelle seulement le
premier doit dominer constamment et de plus en plus. L'ordre dogmatique
ne peut, en effet, tre suivi d'une manire tout--fait rigoureuse; car,
par cela mme qu'il exige une nouvelle laboration des connaissances
acquises, il n'est point applicable,  chaque poque de la science, aux
parties rcemment formes, dont l'tude ne comporte qu'un ordre
essentiellement historique, lequel ne prsente pas, d'ailleurs, dans ce
cas, les inconvniens principaux qui le font rejeter en gnral.

La seule imperfection fondamentale qu'on pourrait reprocher au mode
dogmatique, c'est de laisser ignorer la manire dont se sont formes les
diverses connaissances humaines, ce qui, quoique distinct de
l'acquisition mme de ces connaissances, est, en soi, du plus haut
intrt pour tout esprit philosophique. Cette considration aurait, 
mes yeux, beaucoup de poids, si elle tait rellement un motif en faveur
de l'ordre historique. Mais il est ais de voir qu'il n'y a qu'une
relation apparente entre tudier une science en suivant le mode dit
_historique_, et connatre vritablement l'histoire effective de cette
science.

En effet, non seulement les diverses parties de chaque science, qu'on
est conduit  sparer dans l'ordre _dogmatique_, se sont, en ralit,
dveloppes simultanment et sous l'influence les unes des autres, ce
qui tendrait  faire prfrer l'ordre _historique_: mais en considrant,
dans son ensemble, le dveloppement effectif de l'esprit humain, on voit
de plus que les diffrentes sciences ont t, dans le fait,
perfectionnes en mme temps et mutuellement; on voit mme que les
progrs des sciences et ceux des arts ont dpendu les uns des autres,
par d'innombrables influences rciproques, et enfin que tous ont t
troitement lis au dveloppement gnral de la socit humaine. Ce
vaste enchanement est tellement rel que souvent, pour concevoir la
gnration effective d'une thorie scientifique, l'esprit est conduit 
considrer le perfectionnement de quelque art qui n'a avec elle aucune
liaison rationnelle, ou mme quelque progrs particulier dans
l'organisation sociale, sans lequel cette dcouverte n'et pu avoir
lieu. Nous en verrons dans la suite de nombreux exemples. Il rsulte
donc de l que l'on ne peut connatre la vritable histoire de chaque
science, c'est--dire, la formation relle des dcouvertes dont elle se
compose, qu'en tudiant, d'une manire gnrale et directe, l'histoire
de l'humanit. C'est pourquoi tous les documens recueillis jusqu'ici
sur l'histoire des mathmatiques, de l'astronomie, de la mdecine, etc.,
quelque prcieux qu'ils soient, ne peuvent tre regards que comme des
matriaux.

Le prtendu ordre _historique_ d'exposition, mme quand il pourrait tre
suivi rigoureusement pour les dtails de chaque science en particulier,
serait dj purement hypothtique et abstrait sous le rapport le plus
important, en ce qu'il considrerait le dveloppement de cette science
comme isol. Bien loin de mettre en vidence la vritable histoire de la
science, il tendrait  en faire concevoir une opinion trs-fausse.

Ainsi, nous sommes certainement convaincus que la connaissance de
l'histoire des sciences est de la plus haute importance. Je pense mme
qu'on ne connat pas compltement une science tant qu'on n'en sait pas
l'histoire. Mais cette tude doit tre conue comme entirement spare
de l'tude propre et dogmatique de la science, sans laquelle mme cette
histoire ne serait pas intelligible. Nous considrerons donc avec
beaucoup de soin l'histoire relle des sciences fondamentales qui vont
tre le sujet de nos mditations; mais ce sera seulement dans la
dernire partie de ce cours, celle relative  l'tude des phnomnes
sociaux, en traitant du dveloppement gnral de l'humanit, dont
l'histoire des sciences constitue la partie la plus importante, quoique
jusqu'ici la plus nglige. Dans l'tude de chaque science, les
considrations historiques incidentes qui pourront se prsenter, auront
un caractre nettement distinct, de manire  ne pas altrer la nature
propre de notre travail principal.

La discussion prcdente, qui doit d'ailleurs, comme on le voit, tre
spcialement dveloppe plus tard, tend  prciser davantage, en le
prsentant sous un nouveau point de vue, le vritable esprit de ce
cours. Mais, surtout, il en rsulte, relativement  la question
actuelle, la dtermination exacte des conditions qu'on doit s'imposer et
qu'on peut justement esprer de remplir dans la construction d'une
chelle encyclopdique des diverses sciences fondamentales.

On voit, en effet, que, quelque parfaite qu'on pt la supposer, cette
classification ne saurait jamais tre rigoureusement conforme 
l'enchanement historique des sciences. Quoi qu'on fasse, on ne peut
viter entirement de prsenter comme antrieure telle science qui aura
cependant besoin, sous quelques rapports particuliers plus ou moins
importans, d'emprunter des notions  une autre science classe dans un
rang postrieur. Il faut tcher seulement qu'un tel inconvnient n'ait
lieu relativement aux conceptions caractristiques de chaque science,
car alors la classification serait tout--fait vicieuse.

Ainsi, par exemple, il me semble incontestable que, dans le systme
gnral des sciences, l'astronomie doit tre place avant la physique
proprement dite, et nanmoins plusieurs branches de celle-ci, surtout
l'optique, sont indispensables  l'exposition complte de la premire.

De tels dfauts secondaires, qui sont strictement invitables, ne
sauraient prvaloir contre une classification, qui remplirait d'ailleurs
convenablement les conditions principales. Ils tiennent  ce qu'il y a
ncessairement d'artificiel dans notre division du travail intellectuel.

Nanmoins, quoique, d'aprs les explications prcdentes, nous ne
devions pas prendre l'ordre historique pour base de notre
classification, je ne dois pas ngliger d'indiquer d'avance, comme une
proprit essentielle de l'chelle encyclopdique que je vais proposer,
sa conformit gnrale avec l'ensemble de l'histoire scientifique; en ce
sens, que, malgr la simultanit relle et continue du dveloppement
des diffrentes sciences, celles qui seront classes comme antrieures
seront, en effet, plus anciennes et constamment plus avances que celles
prsentes comme postrieures. C'est ce qui doit avoir lieu
invitablement si, en ralit, nous prenons, comme cela doit tre, pour
principe de classification, l'enchanement logique naturel des diverses
sciences, le point de dpart de l'espce ayant d ncessairement tre le
mme que celui de l'individu.

Pour achever de dterminer avec toute la prcision possible la
difficult exacte de la question encyclopdique que nous avons 
rsoudre, je crois utile d'introduire une considration mathmatique
fort simple qui rsumera rigoureusement l'ensemble des raisonnemens
exposs jusqu'ici dans cette leon. Voici en quoi elle consiste.

Nous nous proposons de classer les sciences fondamentales. Or, nous
verrons bientt que, tout bien considr, il n'est pas possible d'en
distinguer moins de six; la plupart des savans en admettraient mme
vraisemblablement un plus grand nombre. Cela pos, on sait que six
objets comportent 720 dispositions diffrentes. Les sciences
fondamentales pourraient donc donner lieu  720 classifications
distinctes, parmi lesquelles il s'agit de choisir la classification
ncessairement unique, qui satisfait le mieux aux principales conditions
du problme. On voit que, malgr le grand nombre d'chelles
encyclopdiques successivement proposes jusqu' prsent, la discussion
n'a port encore que sur une bien faible partie des dispositions
possibles; et nanmoins, je crois pouvoir dire sans exagration qu'en
examinant chacune de ces 720 classifications, il n'en serait peut-tre
pas une seule en faveur de laquelle on ne pt faire valoir quelques
motifs plausibles; car, en observant les diverses dispositions qui ont
t effectivement proposes, on remarque entre elles les plus extrmes
diffrences; les sciences qui sont places par les uns  la tte du
systme encyclopdique, tant renvoyes par d'autres  l'extrmit
oppose, et rciproquement. C'est donc dans ce choix d'un seul ordre
vraiment rationnel, parmi le nombre trs-considrable des systmes
possibles, que consiste la difficult prcise de la question que nous
avons pose.

Abordant maintenant d'une manire directe cette grande question,
rappelons-nous d'abord, que pour obtenir une classification naturelle et
positive des sciences fondamentales, c'est dans la comparaison des
divers ordres de phnomnes dont elles ont pour objet de dcouvrir les
lois que nous devons en chercher le principe. Ce que nous voulons
dterminer, c'est la dpendance relle des diverses tudes
scientifiques. Or, cette dpendance ne peut rsulter que de celle des
phnomnes correspondans.

En considrant sous ce point de vue tous les phnomnes observables,
nous allons voir qu'il est possible de les classer en un petit nombre de
catgories naturelles, disposes d'une telle manire, que l'tude
rationnelle de chaque catgorie soit fonde sur la connaissance des lois
principales de la catgorie prcdente, et devienne le fondement de
l'tude de la suivante. Cet ordre est dtermin par le degr de
simplicit, ou, ce qui revient au mme, par le degr de gnralit des
phnomnes, d'o rsulte leur dpendance successive, et, en consquence,
la facilit plus ou moins grande de leur tude.

Il est clair, en effet, _ priori_, que les phnomnes les plus simples,
ceux qui se compliquent le moins des autres, sont ncessairement aussi
les plus gnraux; car, ce qui s'observe dans le plus grand nombre de
cas est, par cela mme, dgag le plus possible des circonstances
propres  chaque cas spar. C'est donc par l'tude des phnomnes les
plus gnraux ou les plus simples qu'il faut commencer, en procdant
ensuite successivement jusqu'aux phnomnes les plus particuliers ou les
plus compliqus, si l'on veut concevoir la philosophie naturelle d'une
manire vraiment mthodique; car, cet ordre de gnralit ou de
simplicit dterminant ncessairement l'enchanement rationnel des
diverses sciences fondamentales par la dpendance successive de leurs
phnomnes, fixe ainsi leur degr de facilit.

En mme temps, par une considration auxiliaire que je crois important
de noter ici, et qui converge exactement avec toutes les prcdentes,
les phnomnes les plus gnraux ou les plus simples se trouvant
ncessairement les plus trangers  l'homme, doivent, par cela mme,
tre tudis dans une disposition d'esprit plus calme, plus rationnelle,
ce qui constitue un nouveau motif pour que les sciences correspondantes
se dveloppent plus rapidement.

Ayant ainsi indiqu la rgle fondamentale qui doit prsider  la
classification des sciences, je puis passer immdiatement  la
construction de l'chelle encyclopdique d'aprs laquelle le plan de ce
cours doit tre dtermin, et que chacun pourra aisment apprcier 
l'aide des considrations prcdentes.

Une premire contemplation de l'ensemble des phnomnes naturels nous
porte  les diviser d'abord, conformment au principe que nous venons
d'tablir, en deux grandes classes principales, la premire comprenant
tous les phnomnes des corps bruts, la seconde tous ceux des corps
organiss.

Ces derniers sont videmment, en effet, plus compliqus et plus
particuliers que les autres; ils dpendent des prcdens, qui, au
contraire, n'en dpendent nullement. De l la ncessit de n'tudier les
phnomnes physiologiques qu'aprs ceux des corps inorganiques. De
quelque manire qu'on explique les diffrences de ces deux sortes
d'tres, il est certain qu'on observe dans les corps vivans tous les
phnomnes, soit mcaniques, soit chimiques, qui ont lieu dans les corps
bruts, plus un ordre tout spcial de phnomnes, les phnomnes vitaux
proprement dits, ceux qui tiennent  l'_organisation_. Il ne s'agit pas
ici d'examiner si les deux classes de corps sont ou ne sont pas de la
mme _nature_, question insoluble qu'on agite encore beaucoup trop de
nos jours, par un reste d'influence des habitudes thologiques et
mtaphysiques; une telle question n'est pas du domaine de la philosophie
positive, qui fait formellement profession d'ignorer absolument _la
nature_ intime d'un corps quelconque. Mais il n'est nullement
indispensable de considrer les corps bruts et les corps vivans comme
tant d'une nature essentiellement diffrente pour reconnatre la
ncessit de la sparation de leurs tudes.

Sans doute, les ides ne sont pas encore suffisamment fixes sur la
manire gnrale de concevoir les phnomnes des corps vivans. Mais,
quelque parti qu'on puisse prendre  cet gard par suite des progrs
ultrieurs de la philosophie naturelle, la classification que nous
tablissons n'en saurait tre aucunement affecte. En effet,
regardt-on comme dmontr, ce que permet  peine d'entrevoir l'tat
prsent de la physiologie, que les phnomnes physiologiques sont
toujours de simples phnomnes mcaniques, lectriques et chimiques,
modifis par la structure et la composition propres aux corps organiss,
notre division fondamentale n'en subsisterait pas moins. Car il reste
toujours vrai, mme dans cette hypothse, que les phnomnes gnraux
doivent tre tudis avant de procder  l'examen des modifications
spciales qu'ils prouvent dans certains tres de l'univers, par suite
d'une disposition particulire des molcules. Ainsi, la division, qui
est aujourd'hui fonde dans la plupart des esprits clairs sur la
diversit des lois, est de nature  se maintenir indfiniment  cause de
la subordination des phnomnes et par suite des tudes, quelque
rapprochement qu'on puisse jamais tablir solidement entre les deux
classes de corps.

Ce n'est pas ici le lieu de dvelopper, dans ses diverses parties
essentielles, la comparaison gnrale entre les corps bruts et les corps
vivans, qui sera le sujet spcial d'un examen approfondi dans la section
physiologique de ce cours. Il suffit, quant  prsent, d'avoir reconnu,
en principe, la ncessit logique de sparer la science relative aux
premiers de celle relative aux seconds, et de ne procder  l'tude de
la _physique organique_ qu'aprs avoir tabli les lois gnrales de la
_physique inorganique_.

Passons maintenant  la dtermination de la sous-division principale
dont est susceptible, d'aprs la mme rgle, chacune de ces deux grandes
moitis de la philosophie naturelle.

Pour la _physique inorganique_, nous voyons d'abord, en nous conformant
toujours  l'ordre de gnralit et de dpendance des phnomnes,
qu'elle doit tre partage en deux sections distinctes, suivant qu'elle
considre les phnomnes gnraux de l'univers, ou, en particulier, ceux
que prsentent les corps terrestres. D'o la physique cleste, ou
l'astronomie, soit gomtrique, soit mcanique; et la physique
terrestre. La ncessit de cette division est exactement semblable 
celle de la prcdente.

Les phnomnes astronomiques tant les plus gnraux, les plus simples,
les plus abstraits de tous, c'est videmment par leur tude que doit
commencer la philosophie naturelle, puisque les lois auxquelles ils sont
assujtis influent sur celles de tous les autres phnomnes, dont
elles-mmes sont, au contraire, essentiellement indpendantes. Dans tous
les phnomnes de la physique terrestre, on observe d'abord les effets
gnraux de la gravitation universelle, plus quelques autres effets qui
leur sont propres, et qui modifient les premiers. Il s'ensuit que,
lorsqu'on analyse le phnomne terrestre le plus simple, non-seulement
en prenant un phnomne chimique, mais en choisissant mme un phnomne
purement mcanique, on le trouve constamment plus compos que le
phnomne cleste le plus compliqu. C'est ainsi, par exemple, que le
simple mouvement d'un corps pesant, mme quand il ne s'agit que d'un
solide, prsente rellement, lorsqu'on veut tenir compte de toutes les
circonstances dterminantes, un sujet de recherches plus compliqu que
la question astronomique la plus difficile. Une telle considration
montre clairement combien il est indispensable de sparer nettement la
physique cleste et la physique terrestre, et de ne procder  l'tude
de la seconde qu'aprs celle de la premire, qui en est la base
rationnelle.

La physique terrestre,  son tour, se sous-divise, d'aprs le mme
principe, en deux portions trs-distinctes, selon qu'elle envisage les
corps sous le point de vue mcanique, ou sous le point de vue chimique.
D'o la physique proprement dite, et la chimie. Celle-ci, pour tre
conue d'une manire vraiment mthodique, suppose videmment la
connaissance pralable de l'autre. Car, tous les phnomnes chimiques
sont ncessairement plus compliqus que les phnomnes physiques; ils en
dpendent sans influer sur eux. Chacun sait, en effet, que toute action
chimique est soumise d'abord  l'influence de la pesanteur, de la
chaleur, de l'lectricit, etc., et prsente, en outre, quelque chose de
propre qui modifie l'action des agens prcdens. Cette considration,
qui montre videmment la chimie comme ne pouvant marcher qu'aprs la
physique, la prsente en mme temps comme une science distincte. Car,
quelque opinion qu'on adopte relativement aux affinits chimiques, et
quand mme on ne verrait en elles, ainsi qu'on peut le concevoir, que
des modifications de la gravitation gnrale produites par la figure et
par la disposition mutuelle des atmes, il demeurerait incontestable que
la ncessit d'avoir continuellement gard  ces conditions spciales ne
permettrait point de traiter la chimie comme un simple appendice de la
physique. On serait donc oblig, dans tous les cas, ne ft-ce que pour
la facilit de l'tude, de maintenir la division et l'enchanement que
l'on regarde aujourd'hui comme tenant  l'htrognit des phnomnes.

Telle est donc la distribution rationnelle des principales branches de
la science gnrale des corps bruts. Une division analogue s'tablit, de
la mme manire, dans la science gnrale des corps organiss.

Tous les tres vivans prsentent deux ordres de phnomnes
essentiellement distincts, ceux relatifs  l'individu, et ceux qui
concernent l'espce, surtout quand elle est sociable. C'est
principalement par rapport  l'homme, que cette distinction est
fondamentale. Le dernier ordre de phnomnes est videmment plus
compliqu et plus particulier que le premier; il en dpend sans influer
sur lui. De l, deux grandes sections dans la _physique organique_, la
physiologie proprement dite, et la physique sociale, qui est fonde sur
la premire.

Dans tous les phnomnes sociaux, on observe d'abord l'influence des
lois physiologiques de l'individu, et, en outre, quelque chose de
particulier qui en modifie les effets, et qui tient  l'action des
individus les uns sur les autres, singulirement complique, dans
l'espce humaine, par l'action de chaque gnration sur celle qui la
suit. Il est donc vident que, pour tudier convenablement les
phnomnes sociaux, il faut d'abord partir d'une connaissance
approfondie des lois relatives  la vie individuelle. D'un autre ct,
cette subordination ncessaire entre les deux tudes ne prescrit
nullement, comme quelques physiologistes du premier ordre ont t ports
 le croire, de voir dans la physique sociale un simple appendice de la
physiologie. Quoique les phnomnes soient certainement homognes, ils
ne sont point identiques, et la sparation des deux sciences est d'une
importance vraiment fondamentale. Car, il serait impossible de traiter
l'tude collective de l'espce comme une pure dduction de l'tude de
l'individu, puisque les conditions sociales, qui modifient l'action des
lois physiologiques, sont prcisment alors la considration la plus
essentielle. Ainsi, la physique sociale doit tre fonde sur un corps
d'observations directes qui lui soit propre, tout en ayant gard, comme
il convient,  son intime relation ncessaire avec la physiologie
proprement dite.

On pourrait aisment tablir une symtrie parfaite entre la division de
la physique organique et celle ci-dessus expose pour la physique
inorganique, en rappelant la distinction vulgaire de la physiologie
proprement dite en vgtale et animale. Il serait facile, en effet, de
rattacher cette sous-division au principe de classification que nous
avons constamment suivi, puisque les phnomnes de la vie animale se
prsentent, en gnral du moins, comme plus compliqus et plus spciaux
que ceux de la vie vgtale. Mais la recherche de cette symtrie prcise
aurait quelque chose de puril, si elle entranait  mconnatre ou 
exagrer les analogies relles ou les diffrences effectives des
phnomnes. Or, il est certain que la distinction entre la physiologie
vgtale et la physiologie animale, qui a une grande importance dans ce
que j'ai appel la _physique concrte_, n'en a presque aucune dans la
_physique abstraite_, la seule dont il s'agisse ici. La connaissance des
lois gnrales de la vie, qui doit tre,  nos yeux, le vritable objet
de la physiologie, exige la considration simultane de toute la srie
organique sans distinction de vgtaux et d'animaux, distinction qui,
d'ailleurs, s'efface de jour en jour,  mesure que les phnomnes sont
tudis d'une manire plus approfondie.

Nous persisterons donc  ne considrer qu'une seule division dans la
physique organique, quoique nous ayons cru devoir en tablir deux
successives dans la physique inorganique.

En rsultat de cette discussion, la philosophie positive se trouve donc
naturellement partage en cinq sciences fondamentales, dont la
succession est dtermine par une subordination ncessaire et
invariable, fonde, indpendamment de toute opinion hypothtique, sur la
simple comparaison approfondie des phnomnes correspondans: ce sont
l'astronomie, la physique, la chimie, la physiologie, et enfin la
physique sociale. La premire considre les phnomnes les plus
gnraux, les plus simples, les plus abstraits et les plus loigns de
l'humanit; ils influent sur tous les autres, sans tre influencs par
eux. Les phnomnes considrs par la dernire sont, au contraire, les
plus particuliers, les plus compliqus, les plus concrets et les plus
directement intressans pour l'homme; ils dpendent, plus ou moins, de
tous les prcdens, sans exercer sur eux aucune influence. Entre ces
deux extrmes, les degrs de spcialit, de complication et de
personnalit des phnomnes vont graduellement en augmentant, ainsi que
leur dpendance successive. Telle est l'intime relation gnrale que la
vritable observation philosophique, convenablement employe, et non de
vaines distinctions arbitraires, nous conduit  tablir entre les
diverses sciences fondamentales. Tel doit donc tre le plan de ce cours.

Je n'ai pu ici qu'esquisser l'exposition des considrations principales
sur lesquelles repose cette classification. Pour la concevoir
compltement, il faudrait maintenant, aprs l'avoir envisage d'un point
de vue gnral, l'examiner relativement  chaque science fondamentale en
particulier. C'est ce que nous ferons soigneusement en commenant
l'tude spciale de chaque partie de ce cours. La construction de cette
chelle encyclopdique, reprise ainsi successivement en partant de
chacune des cinq grandes sciences, lui fera acqurir plus d'exactitude,
et surtout mettra pleinement en vidence sa solidit. Ces avantages
seront d'autant plus sensibles que nous verrons alors la distribution
intrieure de chaque science s'tablir naturellement d'aprs le mme
principe, ce qui prsentera tout le systme des connaissances humaines
dcompos, jusque dans ses dtails secondaires, d'aprs une
considration unique constamment suivie, celle du degr d'abstraction
plus ou moins grand des conceptions correspondantes. Mais des travaux de
ce genre, outre qu'ils nous entraneraient maintenant beaucoup trop
loin, seraient certainement dplacs dans cette leon, o notre esprit
doit se maintenir au point de vue le plus gnral de la philosophie
positive.

Nanmoins, pour faire apprcier aussi compltement que possible, ds ce
moment, l'importance de cette hirarchie fondamentale, dont je ferai,
dans toute la suite de ce cours, des applications continuelles, je dois
signaler rapidement ici ses proprits gnrales les plus essentielles.

Il faut d'abord remarquer, comme une vrification trs-dcisive de
l'exactitude de cette classification, sa conformit essentielle avec la
coordination, en quelque sorte spontane, qui se trouve en effet
implicitement admise par les savans livrs  l'tude des diverses
branches de la philosophie naturelle.

C'est une condition ordinairement fort nglige par les constructeurs
d'chelles encyclopdiques, que de prsenter comme distinctes les
sciences que la marche effective de l'esprit humain a conduit, sans
dessein prmdit,  cultiver sparment, et d'tablir entr'elles une
subordination conforme aux relations positives que manifeste leur
dveloppement journalier. Un tel accord est nanmoins videmment le plus
sr indice d'une bonne classification; car, les divisions qui se sont
introduites spontanment dans le systme scientifique n'ont pu tre
dtermines que par le sentiment long-temps prouv des vritables
besoins de l'esprit humain, sans qu'on ait pu tre gar par des
gnralits vicieuses.

Mais, quoique la classification ci-dessus propose remplisse entirement
cette condition, ce qu'il serait superflu de prouver, il n'en faudrait
pas conclure que les habitudes gnralement tablies aujourd'hui par
exprience chez les savans, rendraient inutile le travail encyclopdique
que nous venons d'excuter. Elles ont seulement rendu possible une telle
opration, qui prsente la diffrence fondamentale d'une conception
rationnelle  une classification purement empirique. Il s'en faut
d'ailleurs que cette classification soit ordinairement conue et surtout
suivie avec toute la prcision ncessaire, et que son importance soit
convenablement apprcie; il suffirait, pour s'en convaincre, de
considrer les graves infractions qui sont commises tous les jours
contre cette loi encyclopdique, au grand prjudice de l'esprit humain.

Un second caractre trs-essentiel de notre classification, c'est d'tre
ncessairement conforme  l'ordre effectif du dveloppement de la
philosophie naturelle. C'est ce que vrifie tout ce qu'on sait de
l'histoire des sciences, particulirement dans les deux derniers
sicles, o nous pouvons suivre leur marche avec plus d'exactitude.

On conoit, en effet, que l'tude rationnelle de chaque science
fondamentale exigeant la culture pralable de toutes celles qui la
prcdent dans notre hirarchie encyclopdique, n'a pu faire de progrs
rels et prendre son vritable caractre, qu'aprs un grand
dveloppement des sciences antrieures relatives  des phnomnes plus
gnraux, plus abstraits, moins compliqus, et indpendans des autres.
C'est donc dans cet ordre que la progression, quoique simultane, a d
avoir lieu.

Cette considration me semble d'une telle importance, que je ne crois
pas possible de comprendre rellement, sans y avoir gard, l'histoire
de l'esprit humain. La loi gnrale qui domine toute cette histoire, et
que j'ai expose dans la leon prcdente, ne peut tre convenablement
entendue, si on ne la combine point dans l'application avec la formule
encyclopdique que nous venons d'tablir. Car, c'est suivant l'ordre
nonc par cette formule que les diffrentes thories humaines ont
atteint successivement, d'abord l'tat thologique, ensuite l'tat
mtaphysique, et enfin l'tat positif. Si l'on ne tient pas compte dans
l'usage de la loi de cette progression ncessaire, on rencontrera
souvent des difficults qui paratront insurmontables, car il est clair
que l'tat thologique ou mtaphysique de certaines thories
fondamentales a d temporairement concider et a quelquefois concid en
effet avec l'tat positif de celles qui leur sont antrieures dans notre
systme encyclopdique, ce qui tend  jeter sur la vrification de la
loi gnrale une obscurit qu'on ne peut dissiper que par la
classification prcdente.

En troisime lieu, cette classification prsente la proprit
trs-remarquable de marquer exactement la perfection relative des
diffrentes sciences, laquelle consiste essentiellement dans le degr de
prcision des connaissances, et dans leur coordination plus ou moins
intime.

Il est ais de sentir en effet que plus des phnomnes sont gnraux,
simples et abstraits, moins ils dpendent des autres, et plus les
connaissances qui s'y rapportent peuvent tre prcises, en mme temps
que leur coordination peut tre plus complte. Ainsi, les phnomnes
organiques ne comportent qu'une tude  la fois moins exacte et moins
systmatique que les phnomnes des corps bruts. De mme, dans la
physique inorganique, les phnomnes clestes, vu leur plus grande
gnralit et leur indpendance de tous les autres, ont donn lieu  une
science bien plus prcise et beaucoup plus lie que celle des phnomnes
terrestres.

Cette observation, qui est si frappante dans l'tude effective des
sciences, et qui a souvent donn lieu  des esprances chimriques ou 
d'injustes comparaisons, se trouve donc compltement explique par
l'ordre encyclopdique que j'ai tabli. J'aurai naturellement occasion
de lui donner toute son extension dans la leon prochaine, en montrant
que la possibilit d'appliquer  l'tude des divers phnomnes l'analyse
mathmatique, ce qui est le moyen de procurer  cette tude le plus haut
degr possible de prcision et de coordination, se trouve exactement
dtermine par le rang qu'occupent ces phnomnes dans mon chelle
encyclopdique.

Je ne dois point passer  une autre considration, sans mettre le
lecteur en garde  ce sujet contre une erreur fort grave, et qui, bien
que trs-grossire, est encore extrmement commune. Elle consiste 
confondre le degr de prcision que comportent nos diffrentes
connaissances avec leur degr de certitude, d'o est rsult le prjug
trs-dangereux que, le premier tant videmment fort ingal, il en doit
tre ainsi du second. Aussi parle-t-on souvent encore, quoique moins que
jadis, de l'ingale certitude des diverses sciences, ce qui tend
directement  dcourager la culture des sciences les plus difficiles. Il
est clair, nanmoins, que la prcision et la certitude sont deux
qualits en elles-mmes fort diffrentes. Une proposition tout--fait
absurde peut tre extrmement prcise, comme si l'on disait, par
exemple, que la somme des angles d'un triangle est gale  trois angles
droits; et une proposition trs-certaine peut ne comporter qu'une
prcision fort mdiocre, comme lorsqu'on affirme, par exemple, que tout
homme mourra. Si, d'aprs l'explication prcdente, les diverses
sciences doivent ncessairement prsenter une prcision trs-ingale, il
n'en est nullement ainsi de leur certitude. Chacune peut offrir des
rsultats aussi certains que ceux de toute autre, pourvu qu'elle sache
renfermer ses conclusions dans le degr de prcision que comportent les
phnomnes correspondans, condition qui peut n'tre pas toujours
trs-facile  remplir. Dans une science quelconque, tout ce qui est
simplement conjectural n'est que plus ou moins probable, et ce n'est pas
l ce qui compose son domaine essentiel; tout ce qui est positif,
c'est--dire, fond sur des faits bien constats, est certain: il n'y a
pas de distinction  cet gard.

Enfin, la proprit la plus intressante de notre formule
encyclopdique,  cause de l'importance et de la multiplicit des
applications immdiates qu'on en peut faire, c'est de dterminer
directement le vritable plan gnral d'une ducation scientifique
entirement rationnelle. C'est ce qui rsulte sur le champ de la seule
composition de la formule.

Il est sensible, en effet, qu'avant d'entreprendre l'tude mthodique de
quelqu'une des sciences fondamentales, il faut ncessairement s'tre
prpar par l'examen de celles relatives aux phnomnes antrieurs dans
notre chelle encyclopdique, puisque ceux-ci influent toujours d'une
manire prpondrante sur ceux dont on se propose de connatre les lois.
Cette considration est tellement frappante, que, malgr son extrme
importance pratique, je n'ai pas besoin d'insister davantage en ce
moment sur un principe qui, plus tard, se reproduira d'ailleurs
invitablement, par rapport  chaque science fondamentale. Je me
bornerai seulement  faire observer que, s'il est minemment applicable
 l'ducation gnrale, il l'est aussi particulirement  l'ducation
spciale des savans.

Ainsi, les physiciens qui n'ont pas d'abord tudi l'astronomie, au
moins sous un point de vue gnral; les chimistes qui, avant de
s'occuper de leur science propre, n'ont pas tudi pralablement
l'astronomie et ensuite la physique; les physiologistes qui ne se sont
pas prpars  leurs travaux spciaux par une tude prliminaire de
l'astronomie, de la physique et de la chimie, ont manqu  l'une des
conditions fondamentales de leur dveloppement intellectuel. Il en est
encore plus videmment de mme pour les esprits qui veulent se livrer 
l'tude positive des phnomnes sociaux, sans avoir d'abord acquis une
connaissance gnrale de l'astronomie, de la physique, de la chimie et
de la physiologie.

Comme de telles conditions sont bien rarement remplies de nos jours, et
qu'aucune institution rgulire n'est organise pour les accomplir, nous
pouvons dire qu'il n'existe pas encore pour les savans, d'ducation
vraiment rationnelle. Cette considration est,  mes yeux, d'une si
grande importance, que je ne crains pas d'attribuer en partie  ce vice
de nos ducations actuelles, l'tat d'imperfection extrme o nous
voyons encore les sciences les plus difficiles, tat vritablement
infrieur  ce que prescrit en effet la nature plus complique des
phnomnes correspondans.

Relativement  l'ducation gnrale, cette condition est encore bien
plus ncessaire. Je la crois tellement indispensable, que je regarde
l'enseignement scientifique comme incapable de raliser les rsultats
gnraux les plus essentiels qu'il est destin  produire dans la
socit pour la rnovation du systme intellectuel, si les diverses
branches principales de la philosophie naturelle ne sont pas tudies
dans l'ordre convenable. N'oublions pas que, dans presque toutes les
intelligences, mme les plus leves, les ides restent ordinairement
enchanes suivant l'ordre de leur acquisition premire; et que, par
consquent, c'est un mal le plus souvent irrmdiable que de n'avoir pas
commenc par le commencement. Chaque sicle ne compte qu'un bien petit
nombre de penseurs capables,  l'poque de leur virilit, comme Bacon,
Descartes et Lebnitz, de faire vritablement table rase, pour
reconstruire de fond en comble le systme entier de leurs ides
acquises.

L'importance de notre loi encyclopdique pour servir de base 
l'ducation scientifique, ne peut tre convenablement apprcie qu'en la
considrant aussi par rapport  la mthode, au lieu de l'envisager
seulement, comme nous venons de le faire, relativement  la doctrine.

Sous ce nouveau point de vue, une excution convenable du plan gnral
d'tudes que nous avons dtermin doit avoir pour rsultat ncessaire de
nous procurer une connaissance parfaite de la mthode positive, qui ne
pourrait tre obtenue d'aucune autre manire.

En effet, les phnomnes naturels ayant t classs de telle sorte, que
ceux qui sont rellement homognes restent toujours compris dans une
mme tude, tandis que ceux qui ont t affects  des tudes
diffrentes sont effectivement htrognes, il doit ncessairement en
rsulter que la mthode positive gnrale sera constamment modifie
d'une manire uniforme dans l'tendue d'une mme science fondamentale,
et qu'elle prouvera sans cesse des modifications diffrentes et de plus
en plus composes, en passant d'une science  une autre. Nous aurons
donc ainsi la certitude de la considrer dans toutes les varits
relles dont elle est susceptible, ce qui n'aurait pu avoir lieu, si
nous avions adopt une formule encyclopdique qui ne remplt pas les
conditions essentielles poses ci-dessus.

Cette nouvelle considration est d'une importance vraiment fondamentale;
car, si nous avons vu en gnral, dans la dernire leon, qu'il est
impossible de connatre la mthode positive, quand on veut l'tudier
sparment de son emploi, nous devons ajouter aujourd'hui qu'on ne peut
s'en former une ide nette et exacte qu'en tudiant successivement, et
dans l'ordre convenable, son application  toutes les diverses classes
principales des phnomnes naturels. Une seule science ne suffirait
point pour atteindre ce but, mme en la choisissant le plus
judicieusement possible. Car, quoique la mthode soit essentiellement
identique dans toutes, chaque science dveloppe spcialement tel ou tel
de ses procds caractristiques, dont l'influence, trop peu prononce
dans les autres sciences, demeurerait inaperue. Ainsi, par exemple,
dans certaines branches de la philosophie, c'est l'observation
proprement dite; dans d'autres c'est l'exprience, et telle ou telle
nature d'expriences, qui constitue le principal moyen d'exploration. De
mme, tel prcepte gnral, qui fait partie intgrante de la mthode, a
t fourni primitivement par une certaine science; et, bien qu'il ait pu
tre ensuite transport dans d'autres, c'est  sa source qu'il faut
l'tudier pour le bien connatre; comme, par exemple, la thorie des
classifications.

En se bornant  l'tude d'une science unique, il faudrait sans doute
choisir la plus parfaite, pour avoir un sentiment plus profond de la
mthode positive. Or, la plus parfaite tant en mme temps la plus
simple, on n'aurait ainsi qu'une connaissance bien incomplte de la
mthode, puisque on n'apprendrait pas quelles modifications essentielles
elle doit subir pour s'adapter  des phnomnes plus compliqus. Chaque
science fondamentale a donc, sous ce rapport, des avantages qui lui sont
propres; ce qui prouve clairement la ncessit de les considrer toutes,
sous peine de ne se former que des conceptions trop troites et des
habitudes insuffisantes. Cette considration devant se reproduire
frquemment dans la suite, il est inutile de la dvelopper davantage en
ce moment.

Je dois nanmoins ici, toujours sous le rapport de la mthode, insister
spcialement sur le besoin, pour la bien connatre, non-seulement
d'tudier philosophiquement toutes les diverses sciences fondamentales,
mais de les tudier suivant l'ordre encyclopdique tabli dans cette
leon. Que peut produire de rationnel,  moins d'une extrme supriorit
naturelle, un esprit qui s'occupe de prime abord de l'tude des
phnomnes les plus compliqus, sans avoir pralablement appris 
connatre, par l'examen des phnomnes les plus simples, ce que c'est
qu'une _loi_, ce que c'est qu'_observer_, ce que c'est qu'une conception
positive, ce que c'est mme qu'un raisonnement suivi? Telle est pourtant
encore aujourd'hui la marche ordinaire de nos jeunes physiologistes,
qui abordent immdiatement l'tude des corps vivans, sans avoir le plus
souvent t prpars autrement que par une ducation prliminaire
rduite  l'tude d'une ou deux langues mortes, et n'ayant, tout au
plus, qu'une connaissance trs-superficielle de la physique et de la
chimie, connaissance presque nulle sous le rapport de la mthode,
puisqu'elle n'a pas t obtenue communment d'une manire rationnelle,
et en partant du vritable point de dpart de la philosophie naturelle.
On conoit combien il importe de rformer un plan d'tudes aussi
vicieux. De mme, relativement aux phnomnes sociaux, qui sont encore
plus compliqus, ne serait-ce point avoir fait un grand pas vers le
retour des socits modernes  un tat vraiment normal, que d'avoir
reconnu la ncessit logique de ne procder  l'tude de ces phnomnes,
qu'aprs avoir dress successivement l'organe intellectuel par l'examen
philosophique approfondi de tous les phnomnes antrieurs? On peut mme
dire avec prcision que c'est l toute la difficult principale. Car, il
est peu de bons esprits qui ne soient convaincus aujourd'hui qu'il faut
tudier les phnomnes sociaux d'aprs la mthode positive. Seulement,
ceux qui s'occupent de cette tude, ne sachant pas et ne pouvant pas
savoir exactement en quoi consiste cette mthode, faute de l'avoir
examine dans ses applications antrieures, cette maxime est jusqu'
prsent demeure strile pour la rnovation des thories sociales, qui
ne sont pas encore sorties de l'tat thologique ou de l'tat
mtaphysique, malgr les efforts des prtendus rformateurs positifs.
Cette considration sera, plus tard, spcialement dveloppe; je dois
ici me borner  l'indiquer, uniquement pour faire apercevoir toute la
porte de la conception encyclopdique que j'ai propose dans cette
leon.

Tels sont donc les quatre points de vue principaux, sous lesquels j'ai
d m'attacher  faire ressortir l'importance gnrale de la
classification rationnelle et positive, tablie ci-dessus pour les
sciences fondamentales.

Afin de complter l'exposition gnrale du plan de ce cours, il me reste
maintenant  considrer une lacune immense et capitale, que j'ai laisse
 dessein dans ma formule encyclopdique, et que le lecteur a sans doute
dj remarque. En effet, nous n'avons point marqu dans notre systme
scientifique le rang de la science mathmatique.

Le motif de cette omission volontaire est dans l'importance mme de
cette science, si vaste et si fondamentale. Car, la leon prochaine
sera entirement consacre  la dtermination exacte de son vritable
caractre gnral, et par suite  la fixation prcise de son rang
encyclopdique. Mais pour ne pas laisser incomplet, sous un rapport
aussi capital, le grand tableau que j'ai tch d'esquisser dans cette
leon, je dois indiquer ici sommairement, par anticipation, les
rsultats gnraux de l'examen que nous entreprendrons dans la leon
suivante.

Dans l'tat actuel du dveloppement de nos connaissances positives, il
convient, je crois, de regarder la science mathmatique, moins comme une
partie constituante de la philosophie naturelle proprement dite, que
comme tant, depuis Descartes et Newton, la vraie base fondamentale de
toute cette philosophie, quoique,  parler exactement, elle soit  la
fois l'une et l'autre. Aujourd'hui, en effet, la science mathmatique
est bien moins importante par les connaissances, trs-relles et
trs-prcieuses nanmoins, qui la composent directement, que comme
constituant l'instrument le plus puissant que l'esprit humain puisse
employer dans la recherche des lois des phnomnes naturels.

Pour prsenter  cet gard une conception parfaitement nette et
rigoureusement exacte, nous verrons qu'il faut diviser la science
mathmatique en deux grandes sciences, dont le caractre est
essentiellement distinct: la mathmatique abstraite, ou le _calcul_, en
prenant ce mot dans sa plus grande extension, et la mathmatique
concrte, qui se compose, d'une part de la gomtrie gnrale, d'une
autre part de la mcanique rationnelle. La partie concrte est
ncessairement fonde sur la partie abstraite, et devient  son tour la
base directe de toute la philosophie naturelle, en considrant, autant
que possible, tous les phnomnes de l'univers comme gomtriques ou
comme mcaniques.

La partie abstraite est la seule qui soit purement instrumentale,
n'tant autre chose qu'une immense extension admirable de la logique
naturelle  un certain ordre de dductions. La gomtrie et la mcanique
doivent, au contraire, tre envisages comme de vritables sciences
naturelles, fondes ainsi que toutes les autres, sur l'observation,
quoique, par l'extrme simplicit de leurs phnomnes, elles comportent
un degr infiniment plus parfait de systmatisation, qui a pu
quelquefois faire mconnatre le caractre exprimental de leurs
premiers principes. Mais ces deux sciences physiques ont cela de
particulier, que, dans l'tat prsent de l'esprit humain, elles sont
dj et seront toujours davantage employes comme mthode, beaucoup plus
que comme doctrine directe.

Il est, du reste, vident qu'en plaant ainsi la science mathmatique 
la tte de la philosophie positive, nous ne faisons qu'tendre davantage
l'application de ce mme principe de classification, fond sur la
dpendance successive des sciences en rsultat du degr d'abstraction de
leurs phnomnes respectifs, qui nous a fourni la srie encyclopdique,
tablie dans cette leon. Nous ne faisons maintenant que restituer 
cette srie son vritable premier terme, dont l'importance propre
exigeait un examen spcial plus dvelopp. On voit, en effet, que les
phnomnes gomtriques et mcaniques sont, de tous, les plus gnraux,
les plus simples, les plus abstraits, les plus irrductibles, et les
plus indpendans de tous les autres, dont ils sont, au contraire, la
base. On conoit pareillement que leur tude est un prliminaire
indispensable  celle de tous les autres ordres de phnomnes. C'est
donc la science mathmatique qui doit constituer le vritable point de
dpart de toute ducation scientifique rationnelle, soit gnrale, soit
spciale, ce qui explique l'usage universel qui s'est tabli depuis
long-temps  ce sujet, d'une manire empirique, quoiqu'il n'ait eu
primitivement d'autre cause que la plus grande anciennet relative de la
science mathmatique. Je dois me borner en ce moment  une indication
trs-rapide de ces diverses considrations, qui vont tre l'objet
spcial de la leon suivante.

Nous avons donc exactement dtermin dans cette leon, non d'aprs de
vaines spculations arbitraires, mais en le regardant comme le sujet
d'un vritable problme philosophique, le plan rationnel qui doit nous
guider constamment dans l'tude de la philosophie positive. En rsultat
dfinitif, la mathmatique, l'astronomie, la physique, la chimie, la
physiologie, et la physique sociale; telle est la formule encyclopdique
qui, parmi le trs-grand nombre de classifications que comportent les
six sciences fondamentales, est seule logiquement conforme  la
hirarchie naturelle et invariable des phnomnes. Je n'ai pas besoin de
rappeler l'importance de ce rsultat, que le lecteur doit se rendre
minemment familier, pour en faire dans toute l'tendue de ce cours une
application continuelle.

La consquence finale de cette leon, exprime sous la forme la plus
simple, consiste donc dans l'explication et la justification du grand
tableau synoptique plac au commencement de cet ouvrage, et dans la
construction duquel je me suis efforc de suivre, aussi rigoureusement
que possible, pour la distribution intrieure de chaque science
fondamentale, le mme principe de classification qui vient de nous
fournir la srie gnrale des sciences.




TROISIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations philosophiques sur l'ensemble de la science
mathmatique.


En commenant  entrer directement en matire par l'tude philosophique
de la premire des six sciences fondamentales tablies dans la leon
prcdente, nous avons lieu de constater immdiatement l'importance de
la philosophie positive pour perfectionner le caractre gnral de
chaque science en particulier.

Quoique la science mathmatique soit la plus ancienne et la plus
parfaite de toutes, l'ide gnrale qu'on doit s'en former n'est point
encore nettement dtermine. La dfinition de la science, ses
principales divisions, sont demeures jusqu'ici vagues et incertaines.
Le nom multiple par lequel on la dsigne habituellement suffirait mme
seul pour indiquer le dfaut d'unit de son caractre philosophique,
tel qu'il est conu communment.

 la vrit, c'est seulement au commencement du sicle dernier que les
diverses conceptions fondamentales qui constituent cette grande science
ont pris chacune assez de dveloppement pour que le vritable esprit de
l'ensemble pt se manifester clairement. Depuis cette poque,
l'attention des gomtres  t trop justement et trop exclusivement
absorbe par le perfectionnement spcial des diffrentes branches, et
par l'application capitale qu'ils en ont faite aux lois les plus
importantes de l'univers, pour pouvoir se diriger convenablement sur le
systme gnral de la science.

Mais aujourd'hui le progrs des spcialits n'est plus tellement rapide,
qu'il interdise la contemplation de l'ensemble. La mathmatique[2] est
maintenant assez dveloppe, soit en elle-mme, soit quant  ses
applications les plus essentielles, pour tre parvenue  cet tat de
consistance, dans lequel on doit s'efforcer de coordonner en un systme
unique les diverses parties de la science, afin de prparer de nouveaux
progrs. On peut mme observer que les derniers perfectionnemens
capitaux prouvs par la science mathmatique ont directement prpar
cette importante opration philosophique, en imprimant  ses principales
parties un caractre d'unit qui n'existait pas auparavant; tel est
minemment et hors de toute comparaison l'esprit des travaux de
l'immortel auteur de la _Thorie des Fonctions_ et de la _Mcanique
analytique_.

      [Note 2: J'emploierai souvent cette expression au
      singulier, comme l'a propos Condorcet, afin d'indiquer avec
      plus d'nergie l'esprit d'unit dans lequel je conois la
      science.]

Pour se former une juste ide de l'objet de la science mathmatique
considre dans son ensemble, on peut d'abord partir de la dfinition
vague et insignifiante qu'on en donne ordinairement,  dfaut de toute
autre, en disant qu'elle est _la science des grandeurs_, ou, ce qui est
plus positif, _la science qui a pour but la mesure des grandeurs_. Cet
aperu scolastique a, sans doute, singulirement besoin d'acqurir plus
de prcision et plus de profondeur. Mais l'ide est juste au fond; elle
est mme suffisamment tendue, lorsqu'on la conoit convenablement. Il
importe d'ailleurs, en pareille matire, quand on le peut sans
inconvnient, de s'appuyer sur des notions gnralement admises. Voyons
donc comment, en partant de cette grossire bauche, on peut s'lever 
une vritable dfinition de la mathmatique,  une dfinition qui soit
digne de correspondre  l'importance,  l'tendue et  la difficult de
la science.

La question de _mesurer_ une grandeur ne prsente par elle-mme 
l'esprit d'autre ide que celle de la simple comparaison immdiate de
cette grandeur avec une autre grandeur semblable suppose connue, qu'on
prend pour _unit_ entre toutes celles de la mme espce. Ainsi, quand
on se borne  dfinir les mathmatiques comme ayant pour objet la mesure
des grandeurs, on en donne une ide fort imparfaite, car il est mme
impossible de voir par l comment il y a lieu, sous ce rapport,  une
science quelconque, et surtout  une science aussi vaste et aussi
profonde qu'est rpute l'tre avec raison la science mathmatique. Au
lieu d'un immense enchanement de travaux rationnels trs-prolongs, qui
offrent  notre activit intellectuelle un aliment inpuisable, la
science paratrait seulement consister, d'aprs un tel nonc, dans une
simple suite de procds mcaniques, pour obtenir directement,  l'aide
d'oprations analogues  la superposition des lignes, les rapports des
quantits  mesurer  celles par lesquelles on veut les mesurer.
Nanmoins, cette dfinition n'a point rellement d'autre dfaut que de
n'tre pas suffisamment approfondie. Elle n'induit point en erreur sur
le vritable but final des mathmatiques; seulement elle prsente comme
direct un objet qui, presque toujours, est, au contraire, fort
indirect, et par l, elle ne fait nullement concevoir la nature de la
science.

Pour y parvenir, il faut d'abord considrer un fait gnral, trs-facile
 constater. C'est que la mesure _directe_ d'une grandeur, par la
superposition ou par quelque procd semblable, est le plus souvent pour
nous une opration tout--fait impossible: en sorte que si nous n'avions
pas d'autre moyen pour dterminer les grandeurs que les comparaisons
immdiates, nous serions obligs de renoncer  la connaissance de la
plupart de celles qui nous intressent.

On comprendra toute l'exactitude de cette observation gnrale, en se
bornant  considrer spcialement le cas particulier qui prsente
videmment le plus de facilit, celui de la mesure d'une ligne droite
par une autre ligne droite. Cette comparaison, qui, de toutes celles que
nous pouvons imaginer, est sans contredit la plus simple, ne peut
nanmoins presque jamais tre effectue immdiatement. En rflchissant
 l'ensemble des conditions ncessaires pour qu'une ligne droite soit
susceptible d'une mesure directe, on voit que le plus souvent elles ne
peuvent point tre remplies  la fois, relativement aux lignes que nous
dsirons connatre. La premire et la plus grossire de ces conditions,
celle de pouvoir parcourir la ligne d'un bout  l'autre, pour porter
successivement l'unit dans toute son tendue, exclut videmment dj la
trs-majeure partie des distances qui nous intressent le plus; d'abord
toutes les distances entre les diffrens corps clestes, ou de la terre
 quelqu'autre corps cleste, et ensuite mme la plupart des distances
terrestres, qui sont si frquemment inaccessibles. Quand cette premire
condition se trouve accomplie, il faut encore que la longueur ne soit ni
trop grande ni trop petite, ce qui rendrait la mesure directe galement
impossible; il faut qu'elle soit convenablement situe, etc. La plus
lgre circonstance, qui abstraitement ne paratrait devoir introduire
aucune nouvelle difficult, suffira souvent, dans la ralit, pour nous
interdire toute mesure directe. Ainsi, par exemple, telle ligne que nous
pourrions mesurer exactement avec la plus grande facilit, si elle tait
horizontale, il suffira de la concevoir redresse verticalement, pour
que la mesure en devienne impossible. En un mot, la mesure immdiate
d'une ligne droite, prsente une telle complication de difficults,
surtout quand on veut y apporter quelque exactitude, que presque jamais
nous ne rencontrons d'autres lignes susceptibles d'tre mesures
directement avec prcision, du moins parmi celles d'une certaine
grandeur, que des lignes purement artificielles, cres expressment
par nous pour comporter une dtermination directe, et auxquelles nous
parvenons  rattacher toutes les autres.

Ce que je viens d'tablir relativement aux lignes se conoit,  bien
plus forte raison, des surfaces, des volumes, des vitesses, des temps,
des forces, etc., et, en gnral, de toutes les autres grandeurs
susceptibles d'apprciation exacte, et qui, par leur nature, prsentent
ncessairement beaucoup plus d'obstacles encore  une mesure immdiate.
Il est donc inutile de s'y arrter, et nous devons regarder comme
suffisamment constate l'impossibilit de dterminer, en les mesurant
directement, la plupart des grandeurs que nous dsirons connatre. C'est
ce fait gnral qui ncessite la formation de la science mathmatique,
comme nous allons le voir. Car, renonant, dans presque tous les cas, 
la mesure immdiate des grandeurs, l'esprit humain a d chercher  les
dterminer indirectement, et c'est ainsi qu'il a t conduit  la
cration des mathmatiques.

La mthode gnrale qu'on emploie constamment, la seule videmment qu'on
puisse concevoir, pour connatre des grandeurs qui ne comportent point
une mesure directe, consiste  les rattacher  d'autres qui soient
susceptibles d'tre dtermines immdiatement, et d'aprs lesquelles on
parvient  dcouvrir les premires, au moyen des relations qui existent
entre les unes et les autres. Tel est l'objet prcis de la science
mathmatique envisage dans son ensemble. Pour s'en faire une ide
suffisamment tendue, il faut considrer que cette dtermination
indirecte des grandeurs peut-tre indirecte  des degrs fort diffrens.
Dans un grand nombre de cas, qui souvent sont les plus importans, les
grandeurs,  la dtermination desquelles on ramne la recherche des
grandeurs principales qu'on veut connatre, ne peuvent point elles-mmes
tre mesures immdiatement, et doivent par consquent,  leur tour,
devenir le sujet d'une question semblable, et ainsi de suite; en sorte
que, dans beaucoup d'occasions, l'esprit humain est oblig d'tablir une
longue suite d'intermdiaires entre le systme des grandeurs inconnues
qui sont l'objet dfinitif de ses recherches, et le systme des
grandeurs susceptibles de mesure directe, d'aprs lesquelles on
dtermine finalement les premires, et qui ne paraissent d'abord avoir
avec celles-ci aucune liaison.

Quelques exemples vont suffire pour claircir ce que les gnralits
prcdentes pourraient prsenter de trop abstrait.

Considrons, en premier lieu, un phnomne naturel trs-simple qui
puisse nanmoins donner lieu  une question mathmatique relle et
susceptible d'applications effectives, le phnomne de la chute
verticale des corps pesans.

En observant ce phnomne, l'esprit le plus tranger aux conceptions
mathmatiques reconnat sur-le-champ que les deux quantits qu'il
prsente, savoir: la hauteur d'o un corps est tomb, et le temps de sa
chute, sont ncessairement lies l'une  l'autre, puisqu'elles varient
ensemble, et restent fixes simultanment; ou, suivant le langage des
gomtres, qu'elles sont _fonction_ l'une de l'autre. Le phnomne,
considr sous ce point de vue, donne donc lieu  une question
mathmatique, qui consiste  suppler  la mesure directe de l'une de
ces deux grandeurs lorsqu'elle sera impossible, par la mesure de
l'autre. C'est ainsi, par exemple, qu'on pourra dterminer indirectement
la profondeur d'un prcipice, en se bornant  mesurer le temps qu'un
corps emploierait  tomber jusqu'au fond; et, en procdant
convenablement, cette profondeur inaccessible sera connue avec tout
autant de prcision que si c'tait une ligne horizontale place dans les
circonstances les plus favorables  une mesure facile et exacte. Dans
d'autres occasions, c'est la hauteur d'o le corps est tomb qui sera
facile  connatre, tandis que le temps de la chute ne pourrait point
tre observ directement; alors le mme phnomne donnera lieu  la
question inverse, dterminer le temps d'aprs la hauteur; comme, par
exemple, si l'on voulait connatre quelle serait la dure de la chute
verticale d'un corps tombant de la lune sur la terre.

Dans l'exemple prcdent, la question mathmatique est fort simple, du
moins quand on n'a pas gard  la variation d'intensit de la pesanteur,
ni  la rsistance du fluide que le corps traverse dans sa chute. Mais,
pour agrandir la question, il suffira de considrer le mme phnomne
dans sa plus grande gnralit, en supposant la chute oblique, et tenant
compte de toutes les circonstances principales. Alors, au lieu d'offrir
simplement deux quantits variables lies entr'elles par une relation
facile  suivre, le phnomne en prsentera un plus grand nombre,
l'espace parcouru, soit dans le sens vertical, soit dans le sens
horizontal, le temps employ  le parcourir, la vitesse du corps 
chaque point de sa course, et mme l'intensit et la direction de son
impulsion primitive, qui pourront aussi tre envisages comme variables,
et enfin, dans certains cas, pour tenir compte de tout, la rsistance du
milieu et l'nergie de la gravit. Toutes ces diverses quantits seront
lies entr'elles, de telle sorte que chacune  son tour pourra tre
dtermine indirectement d'aprs les autres, ce qui prsentera autant de
recherches mathmatiques distinctes qu'il y aura de grandeurs
coexistantes dans le phnomne considr. Ce changement trs-simple dans
les conditions physiques d'un problme pourra faire, comme il arrive en
effet pour l'exemple cit, qu'une recherche mathmatique, primitivement
fort lmentaire, se place tout--coup au rang des questions les plus
difficiles, dont la solution complte et rigoureuse surpasse jusqu'
prsent toutes les plus grandes forces de l'esprit humain.

Prenons un second exemple dans les phnomnes gomtriques. Qu'il
s'agisse de dterminer une distance qui n'est pas susceptible de mesure
directe; on la concevra gnralement comme faisant partie d'une
_figure_, ou d'un systme quelconque de lignes, choisi de telle manire
que tous ses autres lmens puissent tre observs immdiatement; par
exemple, dans le cas le plus simple et auquel tous les autres peuvent se
rduire finalement, on considrera la distance propose comme
appartenant  un triangle, dans lequel on pourrait dterminer
directement, soit un autre ct et deux angles, soit deux cts et un
seul angle. Ds-lors, la connaissance de la distance cherche, au lieu
d'tre obtenue immdiatement, sera le rsultat d'un travail mathmatique
qui consistera  la dduire des lmens observs, d'aprs la relation
qui la lie avec eux. Ce travail pourra devenir successivement de plus
en plus compliqu, si les lmens supposs connus ne pouvaient,  leur
tour, comme il arrive le plus souvent, tre dtermins que d'une manire
indirecte,  l'aide de nouveaux systmes auxiliaires, dont le nombre,
dans les grandes oprations de ce genre, finit par devenir quelquefois
trs-considrable. La distance une fois dtermine, cette seule
connaissance suffira frquemment pour faire obtenir de nouvelles
quantits, qui offriront le sujet de nouvelles questions mathmatiques.
Ainsi, quand on sait  quelle distance est situ un objet, la simple
observation, toujours possible, de son diamtre apparent, doit
videmment permettre de dterminer indirectement, quelqu'inaccessible
qu'il puisse tre, ses dimensions relles, et, par une suite de
recherches analogues, sa surface, son volume, son poids mme, et une
foule d'autres proprits, dont la connaissance semblait devoir nous
tre ncessairement interdite.

C'est par de tels travaux, que l'homme a pu parvenir  connatre,
non-seulement les distances des astres  la terre, et par suite,
entr'eux, mais leur grandeur effective, leur vritable figure, jusqu'aux
ingalits de leur surface, et, ce qui semble se drober bien plus
encore  nos moyens d'investigation, leurs masses respectives, leurs
densits moyennes, les circonstances principales de la chute des corps
pesans  la surface de chacun d'eux, etc. Par la puissance des thories
mathmatiques, tous ces divers rsultats, et bien d'autres encore
relatifs aux diffrentes classes de phnomnes naturels, n'ont exig
dfinitivement d'autres mesures immdiates que celles d'un trs-petit
nombre de lignes droites, convenablement choisies, et d'un plus grand
nombre d'angles. On peut mme dire, en toute rigueur, pour indiquer d'un
seul trait la porte gnrale de la science, que si l'on ne craignait
pas avec raison de multiplier sans ncessit les oprations
mathmatiques, et si, par consquent, on ne devait pas les rserver
seulement pour la dtermination des quantits qui ne pourraient
nullement tre mesures directement, ou d'une manire assez exacte, la
connaissance de toutes les grandeurs susceptibles d'estimation prcise
que les divers ordres de phnomnes peuvent nous offrir, serait
finalement rductible  la mesure immdiate d'une ligne droite unique et
d'un nombre d'angles convenable.

Nous sommes donc parvenu maintenant  dfinir avec exactitude la science
mathmatique, en lui assignant pour but, la mesure _indirecte_ des
grandeurs, et disant qu'on s'y propose constamment de _dterminer les
grandeurs les unes par les autres, d'aprs les relations prcises qui
existent entre elles_. Cet nonc, au lieu de donner seulement
l'ide d'un art, comme le font jusqu'ici toutes les dfinitions
ordinaires, caractrise immdiatement une vritable science, et la
montre sur-le-champ compose d'un immense enchanement d'oprations
intellectuelles, qui pourront videmment devenir trs compliques, 
raison de la suite d'intermdiaires qu'il faudra tablir entre les
quantits inconnues et celles qui comportent une mesure directe, du
nombre des variables co-existantes dans la question propose, et de la
nature des relations que fourniront entre toutes ces diverses grandeurs
les phnomnes considrs. D'aprs une telle dfinition, l'esprit
mathmatique consiste  regarder toujours comme lies entre elles toutes
les quantits que peut prsenter un phnomne quelconque, dans la vue de
les dduire les unes des autres. Or, il n'y a pas videmment de
phnomne qui ne puisse donner lieu  des considrations de ce genre;
d'o rsulte l'tendue naturellement indfinie et mme la rigoureuse
universalit logique de la science mathmatique: nous chercherons plus
loin  circonscrire aussi exactement que possible son extension effective.

Les explications prcdentes tablissent clairement la
justification du nom employ pour dsigner la science que nous
considrons. Cette dnomination, qui a pris aujourd'hui une acception si
dtermine, signifie simplement par elle-mme la _science_ en gnral. Une
telle dsignation, rigoureusement exacte pour les Grecs, qui n'avaient
pas d'autre science relle, n'a pu tre conserve par les modernes que
pour indiquer les mathmatiques comme la _science_ par excellence. Et, en
effet, la dfinition  laquelle nous venons d'tre conduits, si on en
carte la circonstance de la prcision des dterminations, n'est autre
chose que la dfinition de toute vritable science quelconque, car
chacune n'a-t-elle pas ncessairement pour but de dterminer des
phnomnes les uns par les autres, d'aprs les relations qui existent
entre eux? Toute _science_ consiste dans la coordination des faits ; si
les diverses observations taient entirement isoles, il n'y aurait pas
de _science_. On peut mme dire gnralement que la _science_ est
essentiellement destine  dispenser, autant que le comportent les
divers phnomnes, de toute observation directe, en permettant de
dduire du plus petit nombre possible de donnes immdiates, le plus
grand nombre possible de rsultats. N'est-ce point l, en effet, l'usage
rel, soit dans la spculation, soit dans l'action, des _lois_ que nous
parvenons  dcouvrir entre les phnomnes naturels? La science
mathmatique ne fait, d'aprs cela, que  pousser au plus haut degr
possible, tant sous le rapport de la quantit que sous celui de la
qualit, sur les sujets vritablement de son ressort, le mme genre de
recherches que poursuit,  des degrs plus ou moins infrieurs, chaque
science relle, dans sa sphre respective.

C'est donc par l'tude des mathmatiques, et seulement par elle, que
l'on peut se faire une ide juste et approfondie de ce que c'est qu'une
_science_. C'est l uniquement qu'on doit chercher  connatre avec
prcision la mthode gnrale que l'esprit humain emploie constamment
dans toutes ses recherches positives, parce que nulle part ailleurs les
questions ne sont rsolues d'une manire aussi complte, et les
dductions prolonges aussi loin avec une svrit rigoureuse. C'est l
galement que notre entendement a donn les plus grandes preuves de sa
force, parce que les ides qu'il y considre sont du plus haut degr
d'abstraction possible dans l'ordre positif. Toute ducation
scientifique qui ne commence point par une telle tude, pche donc
ncessairement par sa base.

Nous avons jusqu'ici envisag la science mathmatique seulement dans son
ensemble total, sans avoir aucun gard  ses divisions. Nous devons
maintenant, pour complter cette vue gnrale et nous former une juste
ide du caractre philosophique de la science, considrer sa division
fondamentale. Les divisions secondaires seront examines dans les leons
suivantes.

Cette division principale ne saurait tre vraiment rationnelle, et
driver de la nature mme du sujet, qu'autant qu'elle se prsentera
spontanment, en faisant l'analyse exacte d'une question mathmatique
complte. Ainsi, aprs avoir dtermin ci-dessus quel est l'objet
gnral des travaux mathmatiques, caractrisons maintenant avec
prcision les divers ordres principaux de recherches dont ils se
composent constamment.

La solution complte de toute question mathmatique se dcompose
ncessairement en deux parties, d'une nature essentiellement distincte,
et dont la relation est invariablement dtermine. En effet, nous avons
vu que toute recherche mathmatique a pour objet de dterminer des
grandeurs inconnues, d'aprs les relations qui existent entre elles et
des grandeurs connues. Or, il faut videmment d'abord,  cette fin,
parvenir  connatre avec prcision les relations existantes entre les
quantits que l'on considre. Ce premier ordre de recherches constitue
ce que j'appelle la partie _concrte_ de la solution. Quand elle est
termine, la question change de nature; elle se rduit  une pure
question de nombres, consistant simplement dsormais  dterminer des
nombres inconnus, lorsqu'on sait quelles relations prcises les lient 
des nombres connus. C'est dans ce second ordre de recherches que
consiste ce que je nomme la partie _abstraite_ de la solution. De l
rsulte la division fondamentale de la science mathmatique gnrale en
deux grandes sciences, la mathmatique abstraite et la mathmatique
concrte.

Cette analyse peut tre observe dans toute question mathmatique
complte, quelque simple ou quelque complique qu'elle soit. Il suffira,
pour la faire bien comprendre, d'en indiquer un seul exemple.

Reprenant le phnomne dj cit de la chute verticale d'un corps
pesant, et considrant le cas le plus simple, on voit que pour parvenir
 dterminer l'une par l'autre la hauteur d'o le corps est tomb et la
dure de sa chute, il faut commencer par dcouvrir la relation exacte de
ces deux quantits, ou, suivant le langage des gomtres, l'_quation_
qui existe entre elles. Avant que cette premire recherche soit
termine, toute tentative pour dterminer numriquement la valeur de
l'une de ces deux grandeurs par celle de l'autre serait videmment
prmature, car elle n'aurait aucune base. Il ne suffit pas de savoir
vaguement qu'elles dpendent l'une de l'autre, ce que tout le monde
aperoit sur-le-champ, mais il faut dterminer en quoi consiste cette
dpendance; ce qui peut tre fort difficile, et constitue en effet, dans
le cas actuel, la partie incomparablement suprieure du problme. Le
vritable esprit scientifique est si moderne et encore tellement rare,
que personne peut-tre avant Galile n'avait seulement remarqu
l'accroissement de vitesse qu'prouve un corps dans sa chute, ce qui
exclut l'hypothse, vers laquelle notre intelligence, toujours porte
involontairement  supposer dans chaque phnomne les _fonctions_ les
plus simples, sans aucun autre motif que sa plus grande facilit  les
concevoir, serait naturellement entrane, la hauteur proportionnelle au
temps. En un mot, ce premier travail aboutit  la dcouverte de la loi
de Galile. Quand cette partie concrte est termine, la recherche
devient d'une tout autre nature. Sachant que les espaces parcourus par
le corps dans chaque seconde successive de sa chute croissent comme la
suite des nombres impairs, c'est alors une question purement numrique
et abstraite que d'en dduire ou la hauteur d'aprs le temps, ou le
temps par la hauteur, ce qui consistera  trouver que, d'aprs la loi
tablie, la premire de ces deux quantits est un multiple connu de la
seconde puissance de l'autre, d'o l'on devra finalement conclure la
valeur de l'une quand celle de l'autre sera donne.

Dans cet exemple, la question concrte est plus difficile que la
question abstraite. Ce serait l'inverse, si l'on considrait le mme
phnomne dans sa plus grande gnralit, tel que je l'ai envisag plus
haut pour un autre motif. Suivant les cas, ce sera tantt la premire,
tantt la seconde de ces deux parties qui constituera la principale
difficult de la question totale; la loi mathmatique du phnomne
pouvant tre trs-simple, mais difficile  obtenir, et, dans d'autres
occasions, facile  dcouvrir, mais fort complique: en sorte que les
deux grandes sections de la science mathmatique, quand on les compare
en masse, doivent tre regardes comme exactement quivalentes en
tendue et en difficult, aussi bien qu'en importance, ainsi que nous le
constaterons plus tard en considrant chacune d'elles sparment.

Ces deux parties, essentiellement distinctes, d'aprs l'explication
prcdente, par l'objet que l'esprit s'y propose, ne le sont pas moins
par la nature des recherches dont elles se composent.

La premire doit porter le nom de _concrte_, car elle dpend videmment
du genre des phnomnes considrs, et doit varier ncessairement
lorsqu'on envisagera de nouveaux phnomnes; tandis que la seconde est
compltement indpendante de la nature des objets examins, et porte
seulement sur les relations numriques qu'ils prsentent, ce qui doit la
faire appeler _abstraite_. Les mmes relations peuvent exister dans un
grand nombre de phnomnes diffrens, qui, malgr leur extrme
diversit, seront envisags par le gomtre comme offrant une question
analytique, susceptible, en l'tudiant isolment, d'tre rsolue une
fois pour toutes. Ainsi, par exemple, la mme loi qui rgne entre
l'espace et le temps, quand on examine la chute verticale d'un corps
dans le vide, se retrouve pour d'autres phnomnes qui n'offrent aucune
analogie avec le premier ni entre eux: car elle exprime aussi la
relation entre l'aire d'un corps sphrique et la longueur de son
diamtre; elle dtermine galement le dcroissement de l'intensit de la
lumire ou de la chaleur  raison de la distance des objets clairs ou
chauffs, etc. La partie abstraite, commune  ces diverses questions
mathmatiques, ayant t traite  l'occasion d'une seule d'entre elles,
se trouvera l'tre, par cela mme, pour toutes les autres; tandis que la
partie concrte devra ncessairement tre reprise pour chacune
sparment, sans que la solution de quelques-unes puisse fournir, sous
ce rapport, aucun secours direct pour celle des suivantes. Il est
impossible d'tablir de vritables mthodes gnrales qui, par une
marche dtermine et invariable, assurent, dans tous les cas, la
dcouverte des relations existantes entre les quantits, relativement 
des phnomnes quelconques: ce sujet ne comporte ncessairement que des
mthodes spciales pour telle ou telle classe de phnomnes
gomtriques, ou mcaniques, ou thermologiques, etc. On peut, au
contraire, de quelque source que proviennent les quantits considres,
tablir des mthodes uniformes pour les dduire les unes des autres, en
supposant connues leurs relations exactes. La partie abstraite des
mathmatiques est donc, de sa nature, gnrale; la partie concrte,
spciale.

En prsentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut
dire que la mathmatique concrte a un caractre philosophique
essentiellement exprimental, physique, phnomnal; tandis que celui de
la mathmatique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas
ici le lieu de discuter exactement les procds qu'emploie l'esprit
humain pour dcouvrir les lois mathmatiques des phnomnes. Mais, soit
que l'observation prcise suggre elle-mme la loi, soit, comme il
arrive plus souvent, qu'elle ne fasse que confirmer la loi construite
par le raisonnement d'aprs les faits les plus communs; toujours est-il
certain que cette loi n'est envisage comme relle qu'autant qu'elle se
montre d'accord avec les rsultats de l'exprience directe. Ainsi, la
partie concrte de toute question mathmatique est ncessairement fonde
sur la considration du monde extrieur, et ne saurait jamais, quelle
qu'y puisse tre la part du raisonnement, se rsoudre par une simple
suite de combinaisons intellectuelles. La partie abstraite, au
contraire, quand elle a t d'abord bien exactement spare, ne peut
consister que dans une srie de dductions rationnelles plus ou moins
prolonge. Car, si l'on a une fois trouv les quations d'un phnomne,
la dtermination des unes par les autres des quantits qu'on y
considre, quelques difficults d'ailleurs qu'elle puisse souvent
offrir, est uniquement du ressort du raisonnement. C'est 
l'intelligence qu'il appartient de dduire, de ces quations, des
rsultats qui y sont videmment compris, quoique d'une manire peut-tre
fort implicite, sans qu'il y ait lieu  consulter de nouveau le monde
extrieur, dont la considration, devenue ds lors trangre, doit mme
tre soigneusement carte pour rduire le travail  sa vritable
difficult propre.

On voit, par cette comparaison gnrale, dont je dois me borner ici 
indiquer les traits principaux, combien est naturelle et profonde la
division fondamentale tablie ci-dessus dans la science mathmatique.

Pour terminer l'exposition gnrale de cette division, il ne nous reste
plus qu' circonscrire, aussi exactement que nous puissions le faire
dans ce premier aperu, chacune des deux grandes sections de la science
mathmatique.

La _mathmatique concrte_ ayant pour objet de dcouvrir les _quations_
des phnomnes, semblerait, _ priori_, devoir se composer d'autant de
sciences distinctes qu'il y a de catgories rellement diffrentes pour
nous parmi les phnomnes naturels. Mais il s'en faut de beaucoup qu'on
soit encore parvenu  dcouvrir des lois mathmatiques dans tous les
ordres de phnomnes; nous verrons mme tout--l'heure que, sous ce
rapport, la majeure partie se drobera trs-vraisemblablement toujours 
nos efforts. En ralit, dans l'tat prsent de l'esprit humain, il n'y
a directement que deux grandes catgories gnrales de phnomnes dont
on connaisse constamment les quations; ce sont d'abord les phnomnes
gomtriques, et ensuite les phnomnes mcaniques. Ainsi, la partie
concrte des mathmatiques se compose donc de la gomtrie et de la
mcanique rationnelle.

Cela suffit, il est vrai, pour lui donner un caractre complet
d'universalit logique, quand on considre l'ensemble des phnomnes du
point de vue le plus lev de la philosophie naturelle. En effet, si
toutes les parties de l'univers taient conues comme immobiles, il n'y
aurait videmment  observer que des phnomnes gomtriques, puisque
tout se rduirait  des relations de forme, de grandeur, et de
situation; ayant ensuite gard aux mouvemens qui s'y excutent, il y a
lieu  considrer de plus des phnomnes mcaniques. En appliquant ici,
aprs l'avoir suffisamment gnralise, une conception philosophique,
due  M. de Blainville, et dj cite pour un autre usage dans la 1re
leon (page 32), on peut donc tablir que, vu sous le rapport statique,
l'univers ne prsente que des phnomnes gomtriques; et, sous le
rapport dynamique, que des phnomnes mcaniques. Ainsi la gomtrie et
la mcanique constituent, par elles-mmes, les deux sciences naturelles
fondamentales, en ce sens, que tous les effets naturels peuvent tre
conus comme de simples rsultats ncessaires, ou des lois de l'tendue,
ou des lois du mouvement.

Mais, quoique cette conception soit toujours logiquement possible, la
difficult est de la spcialiser avec la prcision ncessaire, et de la
suivre exactement dans chacun des cas gnraux que nous offre l'tude de
la nature, c'est--dire, de rduire effectivement chaque question
principale de philosophie naturelle, pour tel ordre de phnomnes
dtermin,  la question de gomtrie ou de mcanique,  laquelle on
pourrait rationnellement la supposer ramene. Cette transformation, qui
exige pralablement de grands progrs dans l'tude de chaque classe de
phnomnes, n'a t rellement excute jusqu'ici que pour les
phnomnes astronomiques, et pour une partie de ceux que considre la
physique terrestre proprement dite. C'est ainsi que l'astronomie,
l'acoustique, l'optique, etc., sont devenues finalement des applications
de la science mathmatique  de certains ordres d'observations[3]. Mais,
ces applications n'tant point, par leur nature, rigoureusement
circonscrites, ce serait assigner  la science un domaine indfini et
entirement vague, que de les confondre avec elle, comme on le fait dans
la division ordinaire, si vicieuse  tant d'autres gards, des
mathmatiques en pures et appliques. Nous persisterons donc  regarder
la mathmatique concrte comme uniquement compose de la gomtrie et de
la mcanique.

      [Note 3: Je dois faire ici, par anticipation, une
      mention sommaire de la thermologie,  laquelle je
      consacrerai plus tard une leon spciale. La thorie
      mathmatique des phnomnes de la chaleur a pris, par les
      mmorables travaux de son illustre fondateur, un tel
      caractre, qu'on peut aujourd'hui la concevoir, aprs la
      gomtrie et la mcanique, comme une vritable troisime
      section distincte de la mathmatique concrte, puisque M.
      Fourier a tabli, d'une manire entirement directe, les
      quations thermologiques, au lieu de se reprsenter
      hypothtiquement les questions comme des applications de la
      mcanique, ainsi qu'on a tent de le faire pour les
      phnomnes lectriques, par exemple. Cette grande
      dcouverte, qui, comme toutes celles qui se rapportent  la
      mthode, n'est pas encore convenablement apprcie, mrite
      singulirement notre attention; car, outre son importance
      immdiate pour l'tude vraiment rationnelle et positive d'un
      ordre de phnomnes aussi universel et aussi fondamental,
      elle tend a relever nos esprances philosophiques, quant 
      l'extension future des applications lgitimes de l'analyse
      mathmatique, ainsi que je l'expliquerai dans le second
      volume de ce cours, en examinant le caractre gnral de
      cette nouvelle srie de travaux. Je n'aurais pas hsit ds
       prsent  traiter la thermologie, ainsi conue, comme une
      troisime branche principale de la mathmatique concrte, si
      je n'avais craint de diminuer l'utilit de cet ouvrage en
      m'cartant trop des habitudes ordinaires.]

Quant  la _mathmatique abstraite_, dont j'examinerai la division
gnrale dans la leon suivante, sa nature est nettement et exactement
dtermine. Elle se compose de ce qu'on appelle le _calcul_, en prenant
ce mot dans sa plus grande extension, qui embrasse depuis les oprations
numriques les plus simples jusqu'aux plus sublimes combinaisons de
l'analyse transcendante. Le _calcul_ a pour objet propre de rsoudre
toutes les questions de nombres. Son point de dpart est, constamment et
ncessairement, la connaissance de relations prcises, c'est--dire
d'_quations_, entre les diverses grandeurs que l'on considre
simultanment, ce qui est, au contraire, le terme de la mathmatique
concrte. Quelque compliques ou quelque indirectes que puissent tre
d'ailleurs ces relations, le but final de la science du _calcul_ est
d'en dduire toujours les valeurs des quantits inconnues par celles des
quantits connues. Cette _science_, bien que plus perfectionne
qu'aucune autre, est, sans doute, rellement peu avance encore, en
sorte que ce but est rarement atteint d'une manire compltement
satisfaisante. Mais tel n'en est pas moins son vrai caractre. Pour
concevoir nettement la vritable nature d'une science, il faut toujours
la supposer parfaite.

Afin de rsumer le plus philosophiquement possible les considrations
ci-dessus exposes sur la division fondamentale des mathmatiques, il
importe de remarquer qu'elle n'est qu'une application du principe
gnral de classification qui nous a permis d'tablir, dans la leon
prcdente, la hirarchie rationnelle des diffrentes sciences
positives.

Si l'on compare, en effet, d'une part le calcul, et d'une autre part la
gomtrie et la mcanique, on vrifie, relativement aux ides
considres dans chacune de ces deux sections principales de la
mathmatique, tous les caractres essentiels de notre mthode
encyclopdique. Les ides analytiques sont videmment  la fois plus
abstraites, plus gnrales et plus simples que les ides gomtriques
ou mcaniques. Bien que les conceptions principales de l'analyse
mathmatique, envisages historiquement, se soient formes sous
l'influence des considrations de gomtrie ou de mcanique, au
perfectionnement desquelles les progrs du calcul sont troitement lis,
l'analyse n'en est pas moins, sous le point de vue logique,
essentiellement indpendante de la gomtrie et de la mcanique, tandis
que celles-ci sont, au contraire, ncessairement fondes sur la
premire.

L'analyse mathmatique est donc, d'aprs les principes que nous avons
constamment suivis jusqu'ici, la vritable base rationnelle du systme
entier de nos connaissances positives. Elle constitue la premire et la
plus parfaite de toutes les sciences fondamentales. Les ides dont elle
s'occupe, sont les plus universelles, les plus abstraites et les plus
simples que nous puissions rellement concevoir. On ne saurait tenter
d'aller plus loin, sous ces trois rapports quivalens, sans tomber
invitablement dans les rveries mtaphysiques. Car, quel _substractum_
effectif pourrait-il rester dans l'esprit pour servir de sujet positif
au raisonnement, si on voulait supprimer encore quelque circonstance
dans les notions des quantits indtermines, constantes ou variables,
telles que les gomtres les emploient aujourd'hui, afin de s'lever 
un prtendu degr suprieur d'abstraction, comme le croient les
ontologistes?

Cette nature propre de l'analyse mathmatique permet de s'expliquer
aisment pourquoi, lorsqu'elle est convenablement employe, elle nous
offre un si puissant moyen, non-seulement pour donner plus de prcision
 nos connaissances relles, ce qui est vident de soi-mme, mais
surtout pour tablir une coordination infiniment plus parfaite dans
l'tude des phnomnes qui comportent cette application. Car, les
conceptions ayant t gnralises et simplifies le plus possible, 
tel point qu'une seule question analytique, rsolue abstraitement,
renferme la solution implicite d'une foule de questions physiques
diverses, il doit ncessairement en rsulter pour l'esprit humain une
plus grande facilit  apercevoir des relations entre des phnomnes qui
semblaient d'abord entirement isols les uns des autres, et desquels on
est ainsi parvenu  tirer, pour le considrer  part, tout ce qu'ils ont
de commun. C'est ainsi qu'en examinant la marche de notre intelligence
dans la solution des questions importantes de gomtrie et de mcanique,
nous voyons surgir naturellement, par l'intermdiaire de l'analyse, les
rapprochemens les plus frquens et les plus inattendus entre des
problmes qui n'offraient primitivement aucune liaison apparente, et
que nous finissons souvent par envisager comme identiques.
Pourrions-nous, par exemple, sans le secours de l'analyse, apercevoir la
moindre analogie entre la dtermination de la direction d'une courbe 
chacun de ses points, et celle de la vitesse acquise par un corps 
chaque instant de son mouvement vari, questions qui, quelque diverses
qu'elles soient, n'en font qu'une, aux yeux du gomtre?

La haute perfection relative de l'analyse mathmatique, compare 
toutes les autres branches de nos connaissances positives, se conoit
avec la mme facilit, quand on a bien saisi son vrai caractre gnral.
Cette perfection ne tient pas, comme l'ont cru les mtaphysiciens, et
surtout Condillac, d'aprs un examen superficiel,  la nature des signes
minemment concis et gnraux qu'on emploie comme instrumens de
raisonnement. Dans cette importante occasion spciale, comme dans toutes
les autres, l'influence des signes a t considrablement exagre, bien
qu'elle soit sans doute, trs relle, ainsi que l'avaient reconnu, avant
Condillac, et d'une manire bien plus exacte, la plupart des gomtres.
En ralit, toutes les grandes conceptions analytiques ont t formes
sans que les signes algbriques fussent d'aucun secours essentiel,
autrement que pour les exploiter aprs que l'esprit les avait obtenues.
La perfection suprieure de la science du calcul tient principalement 
l'extrme simplicit des ides qu'elle considre, par quelques signes
qu'elles soient exprimes: en sorte qu'il n'y a pas le moindre espoir, 
l'aide d'aucun artifice quelconque du langage scientifique, mme en le
supposant possible, de perfectionner, au mme degr, des thories qui,
portant sur des notions plus complexes, sont ncessairement condamnes,
par leur nature,  une infriorit logique plus ou moins grande suivant
la classe correspondante de phnomnes.

L'examen que nous avons tent de faire, dans cette leon, du caractre
philosophique de la science mathmatique, resterait incomplet, si, aprs
l'avoir envisage dans son objet et dans sa composition, nous
n'indiquions pas quelques considrations gnrales directement relatives
 l'tendue relle de son domaine.

 cet effet, il est indispensable de reconnatre avant tout, pour se
faire une juste ide de la vritable nature des mathmatiques, que, sous
le point de vue purement logique, cette science est, par elle-mme,
ncessairement et rigoureusement universelle. Car il n'y a pas de
question quelconque qui ne puisse finalement tre conue comme
consistant  dterminer des quantits les unes par les autres d'aprs
certaines relations, et, par consquent, comme rductible, en dernire
analyse,  une simple question de nombres. On le comprendra si l'on
remarque effectivement que, dans toutes nos recherches,  quelque ordre
de phnomnes qu'elles se rapportent, nous avons dfinitivement en vue
d'arriver  des nombres,  des doses. Quoique nous n'y parvenions le
plus souvent que d'une manire fort grossire et d'aprs des mthodes
trs incertaines, il n'en est pas moins vident que tel est le terme
rel de tous nos problmes quelconques. Ainsi, pour prendre un exemple
dans la classe de phnomne la moins accessible  l'esprit mathmatique,
les phnomnes des corps vivans, considrs mme, pour plus de
complication, dans le cas pathologique, n'est-il pas manifeste que
toutes les questions de thrapeutique peuvent tre envisages comme
consistant  dterminer les quantits de tous les divers modificateurs
de l'organisme qui doivent agir sur lui pour le ramener  l'tat normal,
en admettant, suivant l'usage des gomtres, les valeurs nulles,
ngatives, ou mme contradictoires, pour quelques-unes de ces quantits
dans certains cas? Sans doute, une telle manire de se reprsenter la
question ne peut tre en effet rellement suivie, comme nous allons le
voir, pour les phnomnes les plus complexes, parce qu'elle nous
prsente dans l'application des difficults insurmontables; mais quand
il s'agit de concevoir abstraitement toute la porte intellectuelle
d'une science, il importe de lui supposer l'extension totale dont elle
est logiquement susceptible.

On objecterait vainement contre une telle conception la division
gnrale des ides humaines selon les deux catgories de Kant, de la
quantit, et de la qualit, dont la premire seule constituerait le
domaine exclusif de la science mathmatique. Le dveloppement mme de
cette science a montr positivement depuis long-temps le peu de ralit
de cette superficielle distinction mtaphysique. Car la conception
fondamentale de Descartes sur la relation du concret  l'abstrait en
mathmatiques, a prouv que toutes les ides de qualit taient
rductibles  des ides de quantit. Cette conception, tablie d'abord,
par son immortel auteur, pour les phnomnes gomtriques seulement, a
t ensuite effectivement tendue par ses successeurs aux phnomnes
mcaniques; et elle vient de l'tre de nos jours aux phnomnes
thermologiques. En rsultat de cette gnralisation graduelle, il n'y a
pas maintenant de gomtres qui ne la considrent, dans un sens purement
thorique, comme pouvant s'appliquer  toutes nos ides relles
quelconques, en sorte que tout phnomne soit logiquement susceptible
d'tre reprsent par une _quation_, aussi bien qu'une courbe ou un
mouvement, sauf la difficult de la trouver, et celle de la _rsoudre_,
qui peuvent tre et sont souvent suprieures aux plus grandes forces de
l'esprit humain.

Mais si, pour se former une ide convenable de la science mathmatique,
il importe de la concevoir comme tant ncessairement doue par sa
nature d'une rigoureuse universalit logique, il n'est pas moins
indispensable de considrer maintenant les grandes limitations relles
qui, vu la faiblesse de notre intelligence, rtrcissent singulirement
son domaine effectif,  mesure que les phnomnes se compliquent en se
spcialisant.

Toute question peut sans doute, ainsi que nous venons de le voir, tre
conue comme rductible  une pure question de nombres. Mais la
difficult de la traiter rellement sous ce point de vue, c'est--dire
d'effectuer une telle transformation, est d'autant plus grande, dans les
diverses parties essentielles de la philosophie naturelle, que l'on
considre des phnomnes plus compliqus, en sorte que sauf pour les
phnomnes les plus simples et les plus gnraux, elle devient bientt
insurmontable.

On le sentira aisment, si l'on considre que, pour faire rentrer une
question dans le domaine de l'analyse mathmatique, il faut d'abord
tre parvenu  dcouvrir des relations prcises entre les quantits
coexistantes dans le phnomne tudi, l'tablissement de ces quations
des phnomnes tant le point de dpart ncessaire de tous les travaux
analytiques. Or, cela doit tre videmment d'autant plus difficile,
qu'il s'agit de phnomnes plus particuliers, et par suite plus
compliqus. En examinant sous ce point de vue les diverses catgories
fondamentales des phnomnes naturels tablis dans la leon prcdente,
on trouvera que, tout bien considr, c'est seulement au plus pour les
trois premires, comprenant toute la _physique inorganique_, qu'on peut
lgitimement esprer d'atteindre un jour ce haut degr de perfection
scientifique, autant du moins qu'une telle limite peut tre pose avec
prcision. Comme je dois plus tard traiter spcialement cette discussion
par rapport  chaque science fondamentale, il suffira de l'indiquer ici
de la manire la plus gnrale.

La premire condition pour que des phnomnes comportent des lois
mathmatiques susceptibles d'tre dcouvertes, c'est videmment que les
diverses quantits qu'ils prsentent puissent donner lieu  des nombres
fixes. Or, en comparant,  cet gard, les deux grandes sections
principales de la philosophie naturelle, on voit que la _physique
organique_ tout entire, et probablement aussi les parties les plus
compliques de la physique inorganique, sont ncessairement
inaccessibles, par leur nature,  notre analyse mathmatique, en vertu
de l'extrme variabilit numrique des phnomnes correspondans. Toute
ide prcise de nombres fixes est vritablement dplace dans les
phnomnes des corps vivans, quand on veut l'employer autrement que
comme moyen de soulager l'attention, et qu'on attache quelque importance
aux relations exactes des valeurs assignes. Sous ce rapport, les
rflexions de Bichat, sur l'abus de l'esprit mathmatique en
physiologie, sont parfaitement justes; on sait  quelles aberrations a
conduit cette manire vicieuse de considrer les corps vivans.

Les diffrentes proprits des corps bruts, surtout les plus gnrales,
se prsentent dans chacun d'eux avec des degrs presque invariables, ou
du moins elles n'prouvent que des variations simples, spares par de
longs intervalles d'uniformit, et qu'il est possible, en consquence,
d'assujtir  des lois prcises et rgulires. Ainsi, les qualits
physiques d'un corps inorganique, principalement quand il est solide, sa
forme, sa consistance, sa pesanteur spcifique, son lasticit, etc.,
prsentent, pour un temps considrable, une fixit numrique
remarquable, qui permet de les considrer rellement et utilement sous
un point de vue mathmatique. On sait qu'il n'en est dj plus ainsi 
beaucoup prs pour les phnomnes chimiques que prsentent les mmes
corps, et qui, plus compliqus, dpendant d'un bien plus grand nombre de
circonstances, prsentent des variations plus tendues, plus frquentes,
et par suite plus irrgulires. Aussi, d'aprs quelques considrations
dj indiques dans la premire leon (page 45) et qui seront
spcialement dveloppes dans le troisime volume de ce cours, on ne
peut pas seulement assurer aujourd'hui, d'une manire gnrale, qu'il y
ait lieu  concevoir des nombres fixes en chimie, mme sous le rapport
le plus simple, quant aux proportions relatives des corps dans leurs
combinaisons, ce qui montre clairement combien un tel ordre de
phnomnes est encore loin de comporter de vritables lois
mathmatiques. Admettons-en nanmoins, pour ce cas, la possibilit et
mme la probabilit futures, afin de ne pas rendre trop minutieuse la
discussion de la limite gnrale qu'il s'agit d'tablir ici par rapport
 l'extension, effectivement possible, du domaine rel de l'analyse
mathmatique. Il n'y aura plus le moindre doute aussitt que nous
passerons aux phnomnes que prsentent les corps, considrs dans cet
tat d'agitation intestine continuelle de leurs molcules, qui
constitue essentiellement ce que nous nommons la _vie_, envisage de la
manire la plus gnrale, dans l'ensemble des tres qui nous la
manifestent. En effet, un caractre minemment propre aux phnomnes
physiologiques, et que leur tude plus exacte rend maintenant plus
sensible de jour en jour, c'est l'extrme instabilit numrique qu'ils
prsentent, sous quelque aspect qu'on les examine, et que nous verrons
plus tard, quand l'ordre naturel des matires nous y conduira, tre une
consquence ncessaire de la dfinition mme des corps vivans. Quant 
prsent, il suffit de noter cette observation incontestable, vrifie
par tous les faits, que chaque proprit quelconque d'un corps organis,
soit gomtrique, soit mcanique, soit chimique, soit vitale, est
assujtie, dans sa quantit,  d'immenses variations numriques
tout--fait irrgulires, qui se succdent aux intervalles les plus
rapprochs sous l'influence d'une foule de circonstances, tant
extrieures qu'intrieures, variables elles-mmes; en sorte que toute
ide de nombres fixes, et, par suite, de lois mathmatiques que nous
puissions esprer d'obtenir, implique rellement contradiction avec la
nature spciale de cette classe de phnomnes. Ainsi, quand on veut
valuer avec prcision, mme uniquement les qualits les plus simples
d'un tre vivant, par exemple sa densit moyenne, ou celle de l'une de
ses principales parties constituantes, sa temprature, la vitesse de sa
circulation intrieure, la proportion des lmens immdiats qui
composent ses solides ou ses fluides, la quantit d'oxigne qu'il
consomme en un temps donn, la masse de ses absorptions ou de ses
exhalations continuelles, etc., et,  plus forte raison, l'nergie de
ses forces musculaires, l'intensit de ses impressions, etc., il ne faut
pas seulement, ce qui est vident, faire, pour chacun de ces rsultats,
autant d'observations qu'il y a d'espces ou de races et de varits
dans chaque espce; on doit encore mesurer le changement
trs-considrable qu'prouve cette quantit en passant d'un individu 
un autre, et, quant au mme individu, suivant son ge, son tat de sant
ou de maladie, sa disposition intrieure, les circonstances de tout
genre incessamment mobiles sous l'influence desquelles il se trouve
plac, telles que la constitution atmosphrique, etc. Que peuvent donc
signifier ces prtendues valuations numriques si soigneusement
enregistres pour les divers phnomnes physiologiques ou mme
pathologiques, et dduites, dans le cas le plus favorable, d'une seule
mesure relle, lorsqu'il en faudrait une multitude? Elles ne peuvent
qu'induire en erreur sur la vraie marche des phnomnes, et ne doivent
tre appliques rationnellement que comme un moyen, pour ainsi dire
mnmonique, de fixer les ides. Dans tous les cas, il y a videmment
impossibilit totale d'obtenir jamais de vritables lois mathmatiques.
Il en est encore plus fortement de mme pour les phnomnes sociaux, qui
offrent une complication encore suprieure, et, par suite, une
variabilit plus grande, comme nous l'tablirons spcialement dans le
quatrime volume de ce cours.

Ce n'est pas nanmoins qu'on doive cesser, d'aprs cela, de concevoir,
en thse philosophique gnrale, les phnomnes de tous les ordres comme
ncessairement soumis par eux-mmes  des lois mathmatiques, que nous
sommes seulement condamns  ignorer toujours dans la plupart des cas, 
cause de la trop grande complication des phnomnes. Il n'y a en effet
aucune raison de penser que, sous ce rapport, les phnomnes les plus
complexes des corps vivans soient essentiellement d'une autre nature
spciale que les phnomnes les plus simples des corps bruts. Car, s'il
tait possible d'isoler rigoureusement chacune des causes simples qui
concourent  produire un mme phnomne physiologique, tout porte 
croire qu'elle se montrerait doue, dans des circonstances dtermines,
d'un genre d'influence et d'une quantit d'action aussi exactement fixes
que nous le voyons dans la gravitation universelle, vritable type des
lois fondamentales de la nature. Ce qui engendre la variabilit
irrgulire des effets, c'est le grand nombre d'agens divers dterminant
 la fois un mme phnomne, et d'o il rsulte que, dans les phnomnes
trs-compliqus, il n'y a peut-tre pas deux cas rigoureusement
semblables. Nous n'avons pas besoin, pour trouver une telle difficult,
d'aller jusqu'aux phnomnes des corps vivans. Elle se prsente dj
dans ceux des corps bruts, quand nous considrons les cas les plus
complexes; par exemple, en tudiant les phnomnes mtorologiques. On
ne peut douter que chacun des nombreux agens qui concourent  la
production de ces phnomnes ne soit soumis sparment  des lois
mathmatiques, quoique nous ignorions encore la plupart d'entr'elles;
mais leur multiplicit rend les effets observs aussi irrgulirement
variables que si chaque cause n'tait assujtie  aucune condition
prcise.

La considration prcdente conduit  apercevoir un second motif
distinct en vertu duquel il nous est ncessairement interdit, vu la
faiblesse de notre intelligence, de faire rentrer l'tude des phnomnes
les plus compliqus dans le domaine des applications de l'analyse
mathmatique. En effet, indpendamment de ce que, dans les phnomnes
les plus spciaux, les rsultats effectifs sont tellement variables que
nous ne pouvons pas mme y saisir des valeurs fixes, il suit de la
complication des cas, que, quand mme nous pourrions connatre un jour
la loi mathmatique  laquelle est soumis chaque agent pris  part, la
combinaison d'un aussi grand nombre de conditions rendrait le problme
mathmatique correspondant tellement suprieur  nos faibles moyens, que
la question resterait le plus souvent insoluble. Ce n'est donc pas ainsi
qu'on peut faire une tude relle et fconde de la majeure partie des
phnomnes naturels.

Pour apprcier aussi exactement que possible cette difficult,
considrons  quel point se compliquent les questions mathmatiques,
mme relativement aux phnomnes les plus simples des corps bruts, quand
on veut rapprocher suffisamment l'tat abstrait de l'tat concret, en
ayant gard  toutes les conditions principales qui peuvent exercer sur
l'effet produit, une influence vritable. On sait, par exemple, que le
phnomne trs-simple de l'coulement d'un fluide, en vertu de sa seule
pesanteur, par un orifice donn, n'a pas jusqu' prsent de solution
mathmatique complte, quand on veut tenir compte de toutes les
circonstances essentielles. Il en est encore ainsi, mme pour le
mouvement encore plus simple d'un projectile solide dans un milieu
rsistant.

Pourquoi l'analyse mathmatique a-t-elle pu s'adapter, avec un succs
si admirable,  l'tude approfondie des phnomnes clestes? Parce
qu'ils sont, malgr les apparences vulgaires, beaucoup plus simples que
tous les autres. Le problme le plus compliqu qu'ils prsentent, celui
de la modification que produit, dans le mouvement de deux corps tendant
l'un vers l'autre en vertu de leur gravitation, l'influence d'un
troisime corps agissant sur tous deux de la mme manire, est bien
moins compos que le problme terrestre le plus simple. Et, nanmoins,
il offre dj une telle difficult, que nous n'en possdons encore que
des solutions approximatives. Il est mme ais de voir, en examinant ce
sujet plus profondment, que la haute perfection  laquelle a pu
s'lever l'astronomie solaire par l'emploi de la science mathmatique
est encore essentiellement due  ce que nous avons profit avec adresse
de toutes les facilits particulires, et, pour ainsi dire,
accidentelles, qu'offrait pour la solution des problmes la constitution
spciale, trs-favorable sous ce rapport, de notre systme plantaire.
En effet, les plantes dont il se compose sont assez peu nombreuses,
mais surtout elles sont, en gnral, de masses fort ingales et bien
moindres que celle du soleil, et de plus fort loignes les unes des
autres; elles ont des formes presque sphriques; leurs orbites sont
presque circulaires, et prsentent de faibles inclinaisons mutuelles,
etc. Il rsulte de cet ensemble de circonstances que les perturbations
sont le plus souvent peu considrables, et que pour les calculer il
suffit ordinairement de tenir compte, concurremment avec l'action du
soleil sur chaque plante en particulier, de l'influence d'une seule
autre plante, susceptible, par sa grosseur et sa proximit, de
dterminer des drangemens sensibles. Mais si, au lieu d'un tel tat de
choses, notre systme solaire et t compos d'un plus grand nombre de
plantes concentres dans un moindre espace, et  peu prs gales en
masse; si leurs orbites avaient offert des inclinaisons fort
diffrentes, et des excentricits considrables; si ces corps eussent
t d'une forme plus complique, par exemple, des ellipsodes
trs-excentriques, etc.; il est certain qu'en supposant la mme loi
relle de gravitation, nous ne serions pas encore parvenus  soumettre
l'tude des phnomnes clestes  notre analyse mathmatique, et
probablement nous n'eussions pas mme pu dmler jusqu' prsent la loi
principale.

Ces conditions hypothtiques se trouveraient prcisment ralises au
plus haut degr dans les phnomnes chimiques, si on voulait les
calculer d'aprs la thorie de la gravitation gnrale.

En pesant convenablement les diverses considrations qui prcdent, on
sera convaincu, je crois, qu'en rduisant aux diverses parties de la
physique inorganique l'extension future des grandes applications
rellement possibles de l'analyse mathmatique, j'ai bien plutt exagr
que rtrci l'tendue de son domaine effectif. Autant il importait de
rendre sensible la rigoureuse universalit logique de la science
mathmatique, autant je devais signaler les conditions qui limitent pour
nous son extension relle, afin de ne pas contribuer  carter l'esprit
humain de la vritable direction scientifique dans l'tude des
phnomnes les plus compliqus, par la recherche chimrique d'une
perfection impossible.

Ainsi, tout en s'efforant d'agrandir autant qu'on le pourra le domaine
rel des mathmatiques, on doit reconnatre que les sciences les plus
difficiles sont destines, par leur nature,  rester indfiniment dans
cet tat prliminaire qui prpare pour les autres l'poque o elles
deviennent accessibles aux thories mathmatiques. Nous devons, pour les
phnomnes les plus compliqus, nous contenter d'analyser avec
exactitude les circonstances de leur production, de les rattacher les
uns aux autres d'une manire gnrale, de connatre le genre d'influence
qu'exerce chaque agent principal, etc.; mais sans les tudier sous le
point de vue de la quantit, et par consquent sans espoir
d'introduire, dans les sciences correspondantes, ce haut degr de
perfection que procure, quant aux phnomnes les plus simples, un usage
convenable de la mathmatique, soit sous le rapport de la prcision de
nos connaissances, soit, ce qui est peut-tre encore plus remarquable,
sous le rapport de leur coordination.

C'est par les mathmatiques que la philosophie positive a commenc  se
former: c'est d'elles que nous vient la _mthode_. Il tait donc
naturellement invitable que, lorsque la mme manire de procder a d
s'tendre  chacune des autres sciences fondamentales, on s'effort d'y
introduire l'esprit mathmatique  un plus haut degr que ne le
comportaient les phnomnes correspondans; ce qui a donn lieu ensuite 
des travaux d'puration plus ou moins tendus, comme ceux de Berthollet
sur la chimie, pour se dgager de cette influence exagre. Mais chaque
science, en se dveloppant, a fait subir  la mthode positive gnrale
des modifications dtermines par les phnomnes qui lui sont propres,
d'o rsulte son gnie spcial; c'est seulement alors qu'elle a pris son
vritable caractre dfinitif, qui ne doit jamais tre confondu avec
celui d'aucune autre science fondamentale.

Ayant expos, dans cette leon, le but essentiel et la composition
principale de la science mathmatique, ainsi que ses relations gnrales
avec l'ensemble de la philosophie naturelle, son caractre philosophique
se trouve dtermin, autant qu'il puisse l'tre par un tel aperu. Nous
devons passer maintenant  l'examen spcial de chacune des trois grandes
sciences dont elle est compose, le calcul, la gomtrie et la
mcanique.




QUATRIME LEON.

SOMMAIRE. Vue gnrale de l'Analyse mathmatique.


Dans le dveloppement historique de la science mathmatique depuis
Descartes, les progrs de la partie abstraite ont presque toujours t
dtermins par ceux de la partie concrte. Mais il n'en est pas moins
ncessaire, pour concevoir la science d'une manire vraiment
rationnelle, de considrer le calcul dans toutes ses branches
principales avant de procder  l'tude philosophique de la gomtrie et
de la mcanique. Les thories analytiques, plus simples et plus
gnrales que celles de la mathmatique concrte, en sont, par
elles-mmes, essentiellement indpendantes; tandis que celles-ci ont, au
contraire, de leur nature, un besoin continuel des premires, sans le
secours desquelles elles ne pourraient faire presque aucun progrs.
Quoique les principales conceptions de l'analyse conservent encore
aujourd'hui quelques traces trs-sensibles de leur origine gomtrique
ou mcanique, elles sont maintenant nanmoins essentiellement dgages
de ce caractre primitif, qui ne se manifeste plus gure que pour
quelques points secondaires; en sorte que, depuis les travaux de
Lagrange surtout, il est possible, dans une exposition dogmatique, de
les prsenter d'une manire purement abstraite, en un systme unique et
continu. C'est ce que je vais entreprendre dans cette leon et dans les
cinq suivantes, en me bornant, comme il convient  la nature de ce
cours, aux considrations les plus gnrales sur chaque branche
principale de la science du calcul.

Le but dfinitif de nos recherches dans la mathmatique concrte tant
la dcouverte des _quations_, qui expriment les lois mathmatiques des
phnomnes considrs, et ces _quations_ constituant le vritable point
de dpart du calcul, dont l'objet est d'en dduire la dtermination des
quantits les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller
plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette ide
fondamentale d'_quation_, sujet continuel, soit comme terme, soit comme
origine, de tous les travaux mathmatiques. Outre l'avantage de mieux
circonscrire le vritable champ de l'analyse, il en rsultera
ncessairement cette importante consquence, de tracer d'une manire
plus exacte la ligne relle de dmarcation entre la partie concrte et
la partie abstraite des mathmatiques, ce qui compltera l'exposition
gnrale de la division fondamentale tablie dans la leon prcdente.

On se forme ordinairement une ide beaucoup trop vague de ce que c'est
qu'une _quation_, lorsqu'on donne ce nom  toute espce de relation
d'galit entre deux fonctions _quelconques_ des grandeurs que l'on
considre. Car, si toute quation est videmment une relation d'galit,
il s'en faut de beaucoup que, rciproquement, toute relation d'galit
soit une vritable _quation_, du genre de celles auxquelles, par leur
nature, les mthodes analytiques sont applicables.

Ce dfaut de prcision dans la considration logique d'une notion aussi
fondamentale en mathmatiques, entrane le grave inconvnient de rendre
 peu prs inexplicable, en thse gnrale, la difficult immense et
capitale que nous prouvons  tablir la relation du concret 
l'abstrait, et qu'on fait communment ressortir avec tant de raison pour
chaque grande question mathmatique prise  part. Si le sens du mot
_quation_ tait vraiment aussi tendu qu'on le suppose habituellement
en le dfinissant, on ne voit point, en effet, de quelle grande
difficult pourrait tre rellement, en gnral, l'tablissement des
quations d'un problme quelconque. Car tout paratrait consister ainsi
en une simple question de forme, qui ne devrait pas mme exiger jamais
de grands efforts intellectuels, attendu que nous ne pouvons gure
concevoir de relation prcise qui ne soit pas immdiatement une certaine
relation d'galit, ou qui n'y puisse tre promptement ramene par
quelques transformations trs-faciles.

Ainsi, en admettant, en gnral, dans la dfinition des _quations_,
toute espce de _fonctions_, on ne rend nullement raison de l'extrme
difficult qu'on prouve le plus souvent  mettre un problme en
quation, et qui est si frquemment comparable aux efforts qu'exige
l'laboration analytique de l'quation une fois obtenue. En un mot,
l'ide abstraite et gnrale qu'on donne de l'_quation_ ne correspond
aucunement au sens rel que les gomtres attachent  cette expression
dans le dveloppement effectif de la science. Il y a l un vice logique,
un dfaut de corlation, qu'il importe beaucoup de rectifier.

Pour y parvenir, je distingue d'abord deux sortes de _fonctions_: les
fonctions _abstraites_, analytiques, et les fonctions _concrtes_. Les
premires peuvent seules entrer dans les vritables _quations_, en
sorte qu'on pourra dsormais dfinir, d'une manire exacte et
suffisamment approfondie, toute _quation_: une relation d'galit entre
deux fonctions _abstraites_ des grandeurs considres. Afin de n'avoir
plus  revenir sur cette dfinition fondamentale, je dois ajouter ici,
comme un complment indispensable sans lequel l'ide ne serait point
assez gnrale, que ces fonctions abstraites peuvent se rapporter
non-seulement aux grandeurs que le problme prsente en effet de
lui-mme, mais aussi  toutes les autres grandeurs auxiliaires qui s'y
rattachent, et qu'on pourra souvent introduire, simplement par artifice
mathmatique, dans la seule vue de faciliter la dcouverte des quations
des phnomnes. Je ne fais ici, dans cette explication, qu'emprunter
sommairement, par anticipation, le rsultat d'une discussion gnrale de
la plus haute importance, qui se trouvera  la fin de cette leon.
Revenons maintenant  la distinction essentielle des fonctions en
abstraites et concrtes.

Cette distinction peut tre tablie par deux voies essentiellement
diffrentes, complmentaires l'une de l'autre; _ priori_, et _
posteriori_: c'est--dire, en caractrisant d'une manire gnrale la
nature propre de chaque espce de fonctions, et ensuite en faisant, ce
qui est possible, l'numration effective de toutes les fonctions
abstraites aujourd'hui connues, du moins quant aux lmens dont elles
se composent.

_A priori_, les fonctions que j'appelle _abstraites_ sont celles qui
expriment entre des grandeurs un mode de dpendance qu'on peut concevoir
uniquement entre nombres, sans qu'il soit besoin d'indiquer aucun
phnomne quelconque o il se trouve ralis. Je nomme, au contraire,
fonctions _concrtes_ celles pour lesquelles le mode de dpendance
exprim ne peut tre dfini ni conu qu'en assignant un cas physique
dtermin, gomtrique, mcanique, ou de tout autre nature, dans lequel
il ait effectivement lieu.

La plupart des fonctions,  leur origine, celles mmes qui sont
aujourd'hui le plus purement _abstraites_, ont commenc par tre
_concrtes_; en sorte qu'il est ais de faire comprendre la distinction
prcdente, en se bornant  citer les divers points de vue successifs
sous lesquels,  mesure que la science s'est forme, les gomtres ont
considr les fonctions analytiques les plus simples. J'indiquerai pour
exemple les puissances, devenues en gnral fonctions abstraites, depuis
seulement les travaux de Vite et de Descartes. Ces fonctions x^2, x^3,
qui, dans notre analyse actuelle, sont si bien conues comme simplement
_abstraites_, n'taient, pour les gomtres de l'antiquit, que des
fonctions entirement _concrtes_, exprimant la relation de la
superficie d'un carr ou du volume d'un cube  la longueur de leur ct.
Elles avaient si exclusivement  leurs yeux un tel caractre, que c'est
seulement d'aprs leur dfinition gomtrique qu'ils avaient dcouvert
les proprits algbriques lmentaires de ces fonctions, relativement 
la dcomposition de la variable en deux parties, proprits qui
n'taient,  cette poque, que de vrais thormes de gomtrie, auxquels
on n'a attach que beaucoup plus tard un sens numrique.

J'aurai encore occasion de citer tout  l'heure, pour un autre motif, un
nouvel exemple trs-propre  faire bien sentir la distinction
fondamentale que je viens d'exposer; c'est celui des fonctions
circulaires, soit directes, soit inverses, qui sont encore aujourd'hui
tantt concrtes, tantt abstraites, selon le point de vue sous lequel
on les envisage.

Considrant maintenant, _ posteriori_, cette division des fonctions,
aprs avoir tabli le caractre gnral qui rend une fonction abstraite
ou concrte, la question de savoir si telle fonction dtermine est
vritablement abstraite, et par-l susceptible d'entrer dans de vraies
quations analytiques, va devenir une simple question de fait, puisque
nous allons numrer toutes les fonctions de cette espce.

Au premier abord, cette numration semble impossible, les fonctions
analytiques distinctes tant videmment en nombre infini. Mais, en les
partageant en _simples_ et _composes_, la difficult disparat. Car, si
le nombre des diverses fonctions considres dans l'analyse mathmatique
est rellement infini, elles sont, au contraire, mme aujourd'hui,
composes d'un fort petit nombre de fonctions lmentaires, qu'on peut
aisment assigner, et qui suffisent videmment pour dcider du caractre
abstrait ou concret de telle fonction dtermine, qui sera de l'une ou
de l'autre nature, selon qu'elle se composera exclusivement de ces
fonctions abstraites simples, ou qu'elle en comprendra d'autres. Voici
le tableau de ces lmens fondamentaux de toutes nos combinaisons
analytiques, dans l'tat prsent de la science. On ne doit, videmment,
considrer,  cet effet, que les fonctions d'une seule variable; celles
relatives  plusieurs variables indpendantes tant constamment, par
leur nature, plus ou moins _composes_.

Soit x la variable indpendante, y la variable corelative qui en dpend.
Les diffrens modes simples de dpendance abstraite que nous pouvons
maintenant concevoir entre y et x, sont exprims par les dix formules
lmentaires suivantes, dans lesquelles chaque fonction est accouple
avec son _inverse_, c'est--dire, avec celle qui aurait lieu, d'aprs
la fonction _directe_, si on y rapportait x  y, au lieu de rapporter y
 x:

1er couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=a+x&/ldots/
/mbox{fonction}somme,// 2^{/rm o}/;y=a-x&/ldots/ /mbox{fonction
/em{diff/'erence}},/end{array}/right.

2me couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=ax&/ldots/
/mbox{fonction}produit,// 2^{/rm o}/;y=/frac{a}{x}&/ldots/
/mbox{fonction}quotient,/end{array}/right.

3me couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=x^a&/ldots/
/mbox{fonction}puissance,// 2^{/rm o}/;y=/sqrt[a]{x}&/ldots/
/mbox{fonction}racine,/end{array}/right.

4me couple /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=a^x&/ldots/
/mbox{fonction}exponentielle,// 2^{/rm o}/;l_ax&/ldots/
/mbox{fonction}logarithmique,/end{array}/right.

5me couple[4] /left/begin{array}{ll}1^{/rm o}/;y=/mbox{sin}x&/ldots/
/mbox{/rm fonction}circulaire/;directe,// 2^{/rm
o}/;y=/mbox{arc(sin}=x)&/ldots/
/mbox{fonction}circulaire/;inverse./end{array}/right.


      [Note 4: Dans la vue d'augmenter autant que possible les
      ressources et l'tendue si insuffisantes de l'analyse
      mathmatique, les gomtres comptent ce dernier couple de
      fonctions parmi les lmens analytiques. Quoique cette
      inscription soit strictement lgitime, il importe de
      remarquer que les fonctions circulaires ne sont pas
      exactement dans le mme cas que les autres fonctions
      abstraites lmentaires. Il y a entr'elles cette diffrence
      fort essentielle, que les fonctions des quatre premiers
      couples sont vraiment  la fois simples et abstraites,
      tandis que les fonctions circulaires, qui peuvent manifester
      successivement l'un et l'autre caractre suivant le point de
      vue sous lequel on les envisage et la manire dont elles
      sont employes, ne prsentent jamais simultanment ces deux
      proprits.

      La fonction sin x est introduite dans l'analyse comme une
      nouvelle fonction simple, quand on la conoit seulement
      comme indiquant la relation gomtrique dont elle drive;
      mais alors elle n'est videmment qu'une fonction _concrte_.
      Dans d'autres circonstances, elle remplit analytiquement les
      conditions d'une vritable fonction _abstraite_, lorsqu'on
      ne considre sin x que comme l'expression abrge de la
      formule /frac{e^{x/sqrt{-1}}-e^{-x/sqrt{-1}}}{2/sqrt{-1}} ou
      de la srie quivalente; mais sous ce dernier point de vue,
      ce n'est plus rellement une nouvelle fonction analytique,
      puisqu'elle ne se prsente que comme un compos des
      prcdentes.

      Nanmoins, les fonctions circulaires ont quelques qualits
      spciales qui permettent de les maintenir au tableau des
      lmens rationnels de l'analyse mathmatique.

      1 Elles sont susceptibles d'valuation, quoique conservant
      leur caractre concret; ce qui autorise  les introduire
      dans les quations, tant qu'elles ne portent que sur des
      donnes, sans qu'il soit ncessaire d'avoir gard  leur
      expression algbrique.

      2 On sait effectuer sur les diffrentes fonctions
      circulaires, compares entr'elles seulement, une certaine
      suite de transformations, qui n'exigent pas davantage la
      connaissance de leur dfinition analytique. Il en rsulte
      videmment la facult d'introduire ces fonctions dans les
      quations, mme par rapport aux inconnues, pourvu qu'il n'y
      entre pas concurremment des fonctions non-trigonomtriques
      des mmes variables.

      C'est donc uniquement dans les cas o les fonctions
      circulaires, relativement aux inconnues, sont combines dans
      les quations avec des fonctions abstraites d'une autre
      espce, qu'il est indispensable d'avoir gard  leur
      interprtation algbrique pour pouvoir rsoudre les
      quations, et ds lors elles cessent, en effet, d'tre
      traites comme de nouvelles fonctions simples. Mais alors
      mme, pourvu qu'on tienne compte de cette interprtation,
      leur admission n'empche point les relations d'avoir le
      caractre de vritables _quations_ analytiques, ce qui est
      ici le but essentiel de notre numration des fonctions
      abstraites lmentaires.

      Il est  remarquer, d'aprs les considrations indiques
      dans cette note, que plusieurs autres fonctions concrtes
      peuvent tre utilement introduites au nombre des lmens
      analytiques, si les conditions principales poses ci-dessus
      pour les fonctions circulaires ont t pralablement bien
      remplies. C'est ainsi, par exemple, que les travaux de M.
      Legendre, et rcemment ceux de M. Jacobi, sur les fonctions
      _elliptiques_, ont vraiment agrandi le champ de l'analyse;
      il en est de mme pour quelques intgrales dfinies obtenues
      par M. Fourier, dans la thorie de la chaleur.]

Tels sont les lmens trs-peu nombreux qui composent directement toutes
les fonctions abstraites aujourd'hui connues. Quelque peu multiplis
qu'ils soient, ils suffisent videmment pour donner lieu  un nombre
tout--fait infini de combinaisons analytiques.

Aucune considration rationnelle ne circonscrit rigoureusement _
priori_ le tableau prcdent, qui n'est que l'expression effective de
l'tat actuel de la science. Nos lmens analytiques sont aujourd'hui
plus nombreux qu'ils ne l'taient pour Descartes, et mme pour Newton et
Lebnitz; il y a tout au plus un sicle que les deux derniers couples
ont t introduits dans l'analyse par les travaux de Jean Bernouilli et
d'Euler. Sans doute on en admettra de nouveaux dans la suite; mais,
comme je l'indiquerai  la fin de cette leon, nous ne pouvons pas
esprer qu'ils soient jamais fort multiplis, leur augmentation relle
donnant lieu  de trs-grandes difficults.

Nous pouvons donc maintenant nous former une ide positive, et nanmoins
suffisamment tendue, de ce que les gomtres entendent par une
vritable _quation_. Cette explication est minemment propre  nous
faire comprendre combien il doit tre difficile d'tablir rellement les
_quations_ des phnomnes, puisqu'on n'y est effectivement parvenu que
lorsqu'on a pu concevoir les lois mathmatiques de ces phnomnes 
l'aide de fonctions entirement composes des seuls lmens analytiques
que je viens d'numrer. Il est clair, en effet, que c'est uniquement
alors que le problme devient vraiment _abstrait_, et se rduit  une
pure question de nombres, ces fonctions tant les seules relations
simples que nous sachions concevoir entre les nombres, considrs en
eux-mmes. Jusqu' cette poque de la solution, quelles que soient les
apparences, la question est encore essentiellement concrte, et ne
rentre pas dans le domaine du _calcul_. Or, la difficult fondamentale
de ce passage du _concret_  l'_abstrait_ consiste surtout, en gnral,
dans l'insuffisance de ce trs-petit nombre d'lmens analytiques que
nous possdons, et d'aprs lesquels nanmoins, malgr le peu de varit
relle qu'ils nous offrent, il faut parvenir  se reprsenter toutes
les relations prcises que peuvent nous manifester tous les diffrens
phnomnes naturels. Vu l'infinie diversit qui doit ncessairement
exister  cet gard dans le monde extrieur, on comprend sans peine
combien nos conceptions doivent se trouver frquemment au-dessous de la
vritable difficult; surtout si l'on ajoute que, ces lmens de notre
analyse nous ayant t fournis primitivement par la considration
mathmatique des phnomnes les plus simples, puisqu'ils ont tous,
directement ou indirectement, une origine gomtrique, nous n'avons _
priori_ aucune garantie rationnelle de leur aptitude ncessaire 
reprsenter les lois mathmatiques de toute autre classe de phnomnes.
J'exposerai tout  l'heure l'artifice gnral, si profondment
ingnieux, par lequel l'esprit humain est parvenu  diminuer
singulirement cette difficult fondamentale que prsente la relation du
concret  l'abstrait en mathmatiques, sans cependant qu'il ait t
ncessaire de multiplier le nombre de ces lmens analytiques.

Les explications prcdentes dterminent avec prcision le vritable
objet et le champ rel de la mathmatique abstraite; je dois passer
maintenant  l'examen de ses divisions principales, car nous avons
toujours jusqu'ici considr le _calcul_ dans son ensemble total.

La premire considration directe  prsenter sur la composition de la
science du _calcul_, consiste  la diviser d'abord en deux branches
principales, auxquelles, faute de dnominations plus convenables, je
donnerai les noms de _calcul algbrique_ ou _algbre_, et de _calcul
arithmtique_ ou _arithmtique_, mais en avertissant de prendre ces deux
expressions dans leur acception logique la plus tendue, au lieu du sens
beaucoup trop restreint qu'on leur attache ordinairement.

La solution complte de toute question de _calcul_, depuis la plus
lmentaire jusqu' la plus transcendante, se compose ncessairement de
deux parties successives dont la nature est essentiellement distincte.
Dans la premire, on a pour objet de transformer les quations
proposes, de faon  mettre en vidence le mode de formation des
quantits inconnues par les quantits connues; c'est ce qui constitue la
question _algbrique_. Dans la seconde, on a en vue d'_valuer_ les
_formules_ ainsi obtenues, c'est--dire, de dterminer immdiatement la
valeur des nombres cherchs, reprsents dj par certaines fonctions
explicites des nombres donns; telle est la question _arithmtique_[5].
On voit que, dans toute solution vraiment rationnelle, elle suit
ncessairement la question algbrique, dont elle forme le complment
indispensable, puisqu'il faut videmment connatre la gnration des
nombres cherchs avant de dterminer leurs valeurs effectives pour
chaque cas particulier. Ainsi, le terme de la partie algbrique devient
le point de dpart de la partie arithmtique.

      [Note 5: Supposons, par exemple, qu'une question
      fournisse entre une grandeur inconnue x et deux grandeurs
      connues a et b l'quation: /[x^3 + 3ax = 2b/] comme il
      arriverait pour la trisection d'un angle. On voit, de suite,
      que la dpendance entre x d'une part, et a, b de l'autre,
      est compltement dtermine; mais, tant que l'quation
      conserve sa forme primitive, on n'aperoit nullement de
      quelle manire l'inconnue drive des donnes. C'est
      cependant ce qu'il faut dcouvrir avant de penser 
      l'valuer. Tel est l'objet de la partie algbrique de la
      solution. Lorsque, par une suite de transformations qui ont
      successivement rendu cette drivation de plus en plus
      sensible, on est arriv  prsenter l'quation propose sous
      la forme /x = /sqrt[3]{b+/sqrt{b^2+a^3}} +
      /sqrt(3){b-/sqrt{b^2+a^3}}/ le rle de l'algbre est
      termin; et, quand mme on ne saurait point effectuer les
      oprations arithmtiques indiques par cette formule, on en
      n'aurait pas moins obtenu une connaissance trs-relle et
      souvent fort importante. Le rle de l'arithmtique
      consistera maintenant, en partant de cette formule,  faire
      trouver le nombre x quand les valeurs des nombres a et b
      auront t fixes.]

Le calcul _algbrique_ et le calcul _arithmtique_ diffrent donc
essentiellement par le but qu'on s'y propose. Ils ne diffrent pas moins
par le point de vue sous lequel on y considre les quantits,
envisages, dans le premier, quant  leurs relations, et, dans le
second, quant  leurs valeurs. Le vritable esprit du _calcul_, en
gnral, exige que cette distinction soit maintenue avec la plus svre
exactitude, et que la ligne de dmarcation entre les deux poques de la
solution soit rendue aussi nettement tranche que le permet la question
propose. L'observation attentive de ce prcepte, trop mconnu, peut
tre d'un utile secours dans chaque question particulire, en dirigeant
les efforts de notre esprit,  un instant quelconque de la solution,
vers la vritable difficult correspondante.  la vrit, l'imperfection
de la science du calcul oblige souvent, comme je l'expliquerai dans la
leon suivante,  mler trs-frquemment les considrations algbriques
et les considrations arithmtiques pour la solution d'une mme
question. Mais, quoiqu'il soit impossible alors de partager l'ensemble
du travail en deux parties nettement tranches, l'une purement
algbrique, et l'autre purement arithmtique, on pourra toujours viter,
 l'aide des indications prcdentes, de confondre les deux ordres de
considrations, quelque intime que puisse tre jamais leur mlange.

En cherchant  rsumer le plus succinctement possible la distinction que
je viens d'tablir, on voit que l'_algbre_ peut se dfinir, en gnral,
comme ayant pour objet la _rsolution_ des _quations_, ce qui, quoique
paraissant d'abord trop restreint, est nanmoins suffisamment tendu,
pourvu qu'on prenne ces expressions dans toute leur acception logique,
qui signifie transformer des fonctions _implicites_ en fonctions
_explicites_ quivalentes: de mme, l'_arithmtique_ peut tre dfinie
comme destine  l'_valuation_ des fonctions. Ainsi, en contractant les
expressions au plus haut degr, je crois pouvoir donner nettement une
juste ide de cette division, en disant, comme je le ferai dsormais
pour viter les priphrases explicatives, que l'_algbre_ est le _calcul
des fonctions_, et l'_arithmtique_ le _calcul des valeurs_.

Il est ais de comprendre par-l combien les dfinitions ordinaires sont
insuffisantes et mme vicieuses. Le plus souvent, l'importance exagre
accorde aux signes a conduit  distinguer ces deux branches
fondamentales de la science du calcul par la manire de dsigner dans
chacune les sujets du raisonnement, ce qui est videmment absurde en
principe et faux en fait. Mme la clbre dfinition donne par Newton,
lorsqu'il a caractris l'_algbre_ comme l'_arithmtique universelle_,
donne certainement une trs-fausse ide de la nature de l'algbre et de
celle de l'arithmtique[6].

      [Note 6: J'ai cru devoir signaler spcialement cette
      dfinition; parce qu'elle sert de base  l'opinion que
      beaucoup de bons esprits, trangers  la science
      mathmatique, se forment de la partie abstraite de cette
      science, sans considrer qu' l'poque o cet aperu a t
      form, l'analyse mathmatique n'tait point assez dveloppe
      pour que le caractre gnral propre  chacune de ses
      parties principales pt tre convenablement saisi, ce qui
      explique pourquoi Newton a pu proposer alors une dfinition
      qu'il rejetterait certainement aujourd'hui.]

Aprs avoir tabli la division fondamentale du _calcul_ en deux branches
principales, je dois comparer, en gnral, l'tendue, l'importance et la
difficult de ces deux sortes de calcul, afin de n'avoir plus 
considrer que le _calcul des fonctions_, qui doit tre le sujet
essentiel de notre tude.

Le _calcul des valeurs_, ou l'_arithmtique_, parat, au premier abord,
devoir prsenter un champ aussi vaste que celui de l'_algbre_,
puisqu'il semble devoir donner lieu  autant de questions distinctes
qu'on peut concevoir de formules algbriques diffrentes  valuer. Mais
une rflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul
des valeurs est, par sa nature, infiniment moins tendu que celui du
calcul des fonctions. Car, en distinguant les fonctions en _simples_ et
_composes_, il est vident que lorsqu'on sait _valuer_ les fonctions
simples, la considration des fonctions composes ne prsente plus, sous
ce rapport, aucune difficult. Sous le point de vue algbrique, une
fonction compose joue un rle trs-diffrent de celui des fonctions
lmentaires qui la constituent, et c'est de l prcisment que naissent
toutes les principales difficults analytiques. Mais il en est tout
autrement pour le calcul arithmtique. Ainsi, le nombre des oprations
arithmtiques, vraiment distinctes, est seulement marqu par celui des
fonctions abstraites lmentaires, dont j'ai prsent ci-dessus le
tableau trs-peu tendu. L'valuation de ces dix fonctions donne
ncessairement celle de toutes les fonctions, en nombre infini, que l'on
considre dans l'ensemble de l'analyse mathmatique, telle, du moins,
qu'elle existe aujourd'hui.  quelques formules que puisse conduire
l'laboration des quations, il n'y aurait lieu  de nouvelles
oprations arithmtiques que si l'on en venait  crer de vritables
nouveaux lmens analytiques, dont le nombre sera toujours, quoi qu'il
arrive, extrmement petit. Le champ de l'_arithmtique_ est donc, par sa
nature, infiniment restreint, tandis que celui de l'_algbre_ est
rigoureusement indfini.

Il importe cependant de remarquer que le domaine du _calcul des valeurs_
est, en ralit, beaucoup plus tendu qu'on ne se le reprsente
communment. Car plusieurs questions, vritablement _arithmtiques_,
puisqu'elles consistent dans des _valuations_, ne sont point
ordinairement classes comme telles, parce qu'on a l'habitude de ne les
traiter que comme incidentes, au milieu d'un ensemble de recherches
analytiques plus ou moins leves: la trop haute opinion qu'on se forme
communment de l'influence des signes est encore la cause principale de
cette confusion d'ides. Ainsi, non-seulement la construction d'une
table de logarithmes, mais aussi le calcul des tables trigonomtriques,
sont de vritables oprations arithmtiques d'un genre suprieur. On
peut citer encore comme tant dans le mme cas, quoique dans un ordre
trs-distinct et plus lev, tous les procds par lesquels on dtermine
directement la valeur d'une fonction quelconque pour chaque systme
particulier de valeurs attribues aux quantits dont elle dpend,
lorsqu'on ne peut point parvenir  connatre gnralement la forme
explicite de cette fonction. Sous ce point de vue, la rsolution
_numrique_ des quations qu'on ne sait pas rsoudre _algbriquement_,
et de mme le calcul des intgrales dfinies dont on ignore les
intgrales gnrales, font rellement partie, malgr les apparences, du
domaine de l'_arithmtique_, dans lequel il faut ncessairement
comprendre tout ce qui a pour objet l'_valuation_ des fonctions. Les
considrations relatives  ce but, sont en effet, constamment homognes,
de quelques _valuations_ qu'il s'agisse, et toujours bien distinctes
des considrations vraiment _algbriques_.

Pour achever de se former une juste ide de l'tendue relle du calcul
des valeurs, on doit y comprendre aussi cette partie de la science
gnrale du calcul qui porte aujourd'hui spcialement le nom de
_thorie des nombres_, et qui est encore si peu avance. Cette branche,
fort tendue par sa nature, mais dont l'importance dans le systme
gnral de la science n'est pas trs-grande, a pour objet de dcouvrir
les proprits inhrentes aux diffrens nombres en vertu de leurs
valeurs et indpendamment de toute numration particulire. Elle
constitue donc une sorte d'_arithmtique transcendante_; c'est  elle
que conviendrait effectivement la dfinition propose par Newton pour
l'_algbre_.

Le domaine total de l'_arithmtique_ est donc, en ralit, beaucoup plus
tendu qu'on ne le conoit ordinairement. Mais, nanmoins, quelque
dveloppement lgitime qu'on puisse lui accorder, il demeure certain
que, dans l'ensemble de la mathmatique abstraite, le _calcul des
valeurs_ ne sera jamais qu'un point, pour ainsi dire, en comparaison du
_calcul des fonctions_, dans lequel la science consiste essentiellement.
Cette apprciation va devenir encore plus sensible par quelques
considrations qui me restent  indiquer sur la vritable nature des
questions arithmtiques en gnral, quand on les examine d'une manire
approfondie.

En cherchant  dterminer avec exactitude en quoi consistent proprement
les _valuations_, on reconnat aisment qu'elles ne sont pas autre
chose que de vritables _transformations_ des fonctions  valuer,
transformations qui, malgr leur but spcial, n'en sont pas moins
essentiellement de la mme nature que toutes celles enseignes par
l'analyse. Sous ce point de vue, le _calcul des valeurs_ pourrait tre
conu simplement comme un appendice et une application particulire du
_calcul des fonctions_, de telle sorte que l'_arithmtique_
disparatrait, pour ainsi dire, dans l'ensemble de la mathmatique
abstraite, comme section distincte.

Pour bien comprendre cette considration, il faut observer que, lorsque
l'on propose d'_valuer_ un nombre inconnu dont le mode de formation est
donn, il est, par le seul nonc mme de la question arithmtique, dj
dfini et exprim sous une certaine forme; et qu'en l'_valuant_, on ne
fait que mettre son expression sous une autre forme dtermine, 
laquelle on est habitu  rapporter la notion exacte de chaque nombre
particulier, en le faisant rentrer dans le systme rgulier de la
_numration_. L'_valuation_ consiste si bien dans une simple
_transformation_, que lorsque l'expression primitive du nombre se trouve
elle-mme conforme  la numration rgulire, il n'y a plus, 
proprement parler, d'_valuation_, ou plutt on rpond  la question par
la question mme. Qu'on demande, par exemple, d'ajouter les deux nombres
trente et sept, on rpondra en se bornant  rpter l'nonc mme de la
question, et on croira nanmoins avoir _valu_ la somme, ce qui
signifie que, dans ce cas, la premire expression de la fonction n'a pas
besoin d'tre transforme; tandis qu'il n'en serait point ainsi pour
ajouter vingt-trois et quatorze, car alors la somme ne serait pas
immdiatement exprime d'une manire conforme au rang qu'elle occupe
dans l'chelle fixe et gnrale de la numration.

En prcisant, autant que possible, la considration prcdente, on peut
dire qu'_valuer_ un nombre n'est autre chose que mettre son expression
primitive sous la forme /[a + b/beta + c/beta^2 + d/beta^3 + e/beta^4
/ldots + p/beta^m/] /beta tant ordinairement gal  10; et les
coefficiens a, b, c, d, etc. tant assujtis  ces conditions d'tre
nombres entiers moindres que /beta, pouvant devenir nuls, mais jamais
ngatifs. Ainsi, toute question arithmtique est susceptible d'tre
pose comme consistant  mettre sous une telle forme une fonction
abstraite quelconque de diverses quantits que l'on suppose avoir dj
elles-mmes une forme semblable. On pourrait donc ne voir dans les
diffrentes oprations de l'arithmtique que de simples cas particuliers
de certaines transformations algbriques, sauf les difficults
spciales tenant aux conditions relatives  l'tat des coefficiens.

Il rsulte clairement, de ce qui prcde, que la mathmatique abstraite
se compose essentiellement du _calcul des fonctions_, qui en tait
videmment dj la partie la plus importante, la plus tendue, et la
plus difficile. Tel sera donc dsormais le sujet exclusif de nos
considrations analytiques. Ainsi, sans m'arrter davantage au _calcul
des valeurs_, je vais passer immdiatement  l'examen de la division
fondamentale du _calcul des fonctions_.

Nous avons dtermin, au commencement de cette leon, en quoi consiste
proprement la vritable difficult qu'on prouve  mettre en _quation_
les questions mathmatiques. C'est essentiellement  cause de
l'insuffisance du trs-petit nombre d'lmens analytiques que nous
possdons, que la relation du concret  l'abstrait est ordinairement si
difficile  tablir. Essayons maintenant d'apprcier philosophiquement
le procd gnral par lequel l'esprit humain est parvenu, dans un si
grand nombre de cas importans,  surmonter cet obstacle fondamental.

En considrant directement l'ensemble de cette question capitale, on est
naturellement conduit  concevoir d'abord un premier moyen pour
faciliter l'tablissement des quations des phnomnes. Puisque le
principal obstacle  ce sujet vient du trop petit nombre de nos lmens
analytiques, tout semblerait se rduire  en crer de nouveaux. Mais ce
parti, quelque naturel qu'il paraisse, est vritablement illusoire,
quand on l'examine d'une manire approfondie. Quoiqu'il puisse
certainement tre utile, il est ais de se convaincre de son
insuffisance ncessaire.

En effet, la cration d'une vritable nouvelle fonction abstraite
lmentaire prsente, par elle-mme, les plus grandes difficults. Il y
a mme, dans une telle ide, quelque chose qui semble contradictoire.
Car un nouvel lment analytique ne remplirait pas videmment les
conditions essentielles qui lui sont propres, si on ne pouvait
immdiatement l'_valuer_: or, d'un autre ct, comment _valuer_ une
nouvelle fonction qui serait vraiment _simple_, c'est--dire, qui ne
rentrerait pas dans une combinaison de celles dj connues? Cela parat
presque impossible. L'introduction, dans l'analyse, d'une autre fonction
abstraite lmentaire, ou plutt d'un autre couple de fonctions (car
chacune serait toujours accompagne de son _inverse_), suppose donc
ncessairement la cration simultane d'une nouvelle opration
arithmtique, ce qui est certainement fort difficile.

Si nous cherchons  nous faire une ide des moyens que l'esprit humain
pourrait employer pour inventer de nouveaux lmens analytiques, par
l'examen des procds  l'aide desquels il a effectivement conu ceux
que nous possdons, l'observation nous laisse  cet gard dans une
entire incertitude, car les artifices dont il s'est dj servi pour
cela sont videmment puiss. Afin de nous en convaincre, considrons le
dernier couple de fonctions simples qui ait t introduit dans
l'analyse, et  la formation duquel nous avons pour ainsi dire assist,
savoir le quatrime couple, car, comme je l'ai expliqu, le cinquime
couple ne constitue pas,  proprement parler, de vritables nouveaux
lmens analytiques. La fonction a^x, et, par suite, son inverse, ont
t formes en concevant sous un nouveau point de vue une fonction dj
connue depuis long-temps, les puissances, lorsque la notion en a t
suffisamment gnralise. Il a suffi de considrer une puissance
relativement  la variation de l'exposant, au lieu de penser  la
variation de la base, pour qu'il en rsultt une fonction simple
vraiment nouvelle, la variation suivant alors une marche toute
diffrente. Mais cet artifice, aussi simple qu'ingnieux, ne peut plus
rien fournir. Car, en retournant, de la mme manire, tous nos lmens
analytiques actuels, on n'aboutit qu' les faire rentrer les uns dans
les autres.

Nous ne concevons donc nullement de quelle manire on pourrait procder
 la cration de nouvelles fonctions abstraites lmentaires,
remplissant convenablement toutes les conditions ncessaires. Ce n'est
pas  dire, nanmoins, que nous ayons atteint aujourd'hui la limite
effective pose  cet gard par les bornes de notre intelligence. Il est
mme certain que les derniers perfectionnemens spciaux de l'analyse
mathmatique ont contribu  tendre nos ressources sous ce rapport, en
introduisant dans le domaine du calcul certaines intgrales dfinies,
qui,  quelques gards, tiennent lieu de nouvelles fonctions simples,
quoiqu'elles soient loin de remplir toutes les conditions convenables,
ce qui m'a empch de les inscrire au tableau des vrais lmens
analytiques. Mais, tout bien considr, je crois qu'il demeure
incontestable que le nombre de ces lmens ne peut s'accrotre qu'avec
une extrme lenteur. Ainsi, ce ne peut tre dans un tel procd que
l'esprit humain ait puis ses ressources les plus puissantes pour
faciliter autant que possible l'tablissement des quations.

Ce premier moyen tant cart, il n'en reste videmment qu'un seul;
c'est, vu l'impossibilit de trouver directement les quations entre les
quantits que l'on considre, d'en chercher de correspondantes entre
d'autres quantits auxiliaires, lies aux premires suivant une certaine
loi dtermine, et de la relation desquelles on remonte ensuite  celle
des grandeurs primitives. Telle est, en effet, la conception,
minemment fconde, que l'esprit humain est parvenu  fonder, et qui
constitue son plus admirable instrument pour l'exploration mathmatique
des phnomnes naturels, l'_analyse_ dite _transcendante_.

En thse philosophique gnrale, les quantits auxiliaires que l'on
introduit, au lieu des grandeurs primitives ou concurremment avec elles,
pour faciliter l'tablissement des quations, pourraient driver suivant
une loi quelconque des lmens immdiats de la question. Ainsi, cette
conception a beaucoup plus de porte que ne lui en ont suppos
communment, mme les plus profonds gomtres. Il importe extrmement de
se la reprsenter dans toute son tendue logique; car c'est peut-tre en
tablissant un mode gnral de _drivation_ autre que celui auquel on
s'est constamment born jusqu'ici, bien qu'il ne soit pas, videmment,
le seul possible, qu'on parviendra un jour  perfectionner
essentiellement l'ensemble de l'analyse mathmatique, et par suite 
fonder, pour l'investigation des lois de la nature, des moyens encore
plus puissans que nos procds actuels, susceptibles, sans doute,
d'puisement.

Mais, pour n'avoir gard qu' la constitution prsente de la science,
les seules quantits auxiliaires introduites habituellement  la place
des quantits primitives dans l'_analyse transcendante_, sont ce qu'on
appelle les lmens _infiniment petits_, les _diffrentielles_ de divers
ordres de ces quantits, si l'on conoit cette analyse  la manire de
Lebnitz; ou les _fluxions_, les _limites_ des rapports des
accroissemens simultans des quantits primitives compares les unes aux
autres, ou, plus brivement, les _premires_ et _dernires raisons_ de
ces accroissemens, en adoptant la conception de Newton; ou bien, enfin,
les _drives_ proprement dites de ces quantits, c'est--dire, les
coefficiens des diffrens termes de leurs accroissemens respectifs,
d'aprs la conception de Lagrange. Ces trois manires principales
d'envisager notre analyse transcendante actuelle, et toutes les autres
moins distinctement tranches que l'on a proposes successivement, sont,
par leur nature, ncessairement identiques, soit dans le calcul, soit
dans l'application, ainsi que je l'expliquerai d'une manire gnrale
dans la sixime leon. Quant  leur valeur relative, nous verrons alors
que la conception de Lebnitz a jusqu'ici, dans l'usage, une supriorit
incontestable, mais que son caractre logique est minemment vicieux;
tandis que la conception de Lagrange, admirable par sa simplicit, par
sa perfection logique, par l'unit philosophique qu'elle a tablie dans
l'ensemble de l'analyse mathmatique, jusqu'alors partage en deux
mondes presque indpendans, prsente encore, dans les applications, de
graves inconvniens, en ralentissant la marche de l'intelligence: la
conception de Newton tient  peu prs le milieu sous ces divers
rapports, tant moins rapide, mais plus rationnelle que celle de
Lebnitz, moins philosophique, mais plus applicable que celle de
Lagrange.

Ce n'est pas ici le lieu d'expliquer avec exactitude comment la
considration de ce genre de quantits auxiliaires introduites dans les
quations  la place des grandeurs primitives facilite rellement
l'expression analytique des lois des phnomnes. La sixime leon sera
spcialement consacre  cet important sujet, envisag sous les
diffrens points de vue gnraux auxquels a donn lieu l'analyse
transcendante. Je me borne en ce moment  considrer cette conception de
la manire la plus gnrale, afin d'en dduire la division fondamentale
du _calcul des fonctions_ en deux calculs essentiellement distincts,
dont l'enchanement, pour la solution complte d'une mme question
mathmatique, est invariablement dtermin.

Sous ce rapport, et dans l'ordre rationnel des ides, l'analyse
transcendante se prsente comme tant ncessairement la premire,
puisqu'elle a pour but gnral de faciliter l'tablissement des
quations, ce qui doit videmment prcder la _rsolution_ proprement
dite de ces quations, qui est l'objet de l'analyse ordinaire. Mais,
quoiqu'il importe minemment de concevoir ainsi le vritable
enchanement de ces deux analyses, il n'en est pas moins convenable,
conformment  l'usage constant, de n'tudier l'analyse transcendante
qu'aprs l'analyse ordinaire; car, si, au fond, elle en est par
elle-mme logiquement indpendante, ou que, du moins, il soit possible
aujourd'hui de l'en dgager essentiellement, il est clair que son emploi
dans la solution des questions ayant toujours plus ou moins besoin
d'tre complt par celui de l'analyse ordinaire, on serait contraint de
laisser les questions en suspens, si celle-ci n'avait t tudie
pralablement.

En rsultat de ce qui prcde, le _calcul des fonctions_, ou
l'_algbre_, en prenant ce mot dans sa plus grande extension, se compose
de deux branches fondamentales distinctes, dont l'une a pour objet
immdiat la _rsolution_ des quations, lorsque celles-ci sont
immdiatement tablies entre les grandeurs mmes que l'on considre; et
dont l'autre, partant d'quations, beaucoup plus aises  former en
gnral, entre des quantits indirectement lies  celles du problme, a
pour destination propre et constante d'en dduire, par des procds
analytiques invariables, les quations correspondantes entre les
grandeurs directes que l'on considre, ce qui fait rentrer la question
dans le domaine du calcul prcdent. Le premier calcul porte, le plus
souvent, le nom d'_analyse ordinaire_, ou d'_algbre_ proprement dite;
le second constitue ce qu'on appelle l'_analyse transcendante_, qui a
t dsigne par les diverses dnominations de _calcul infinitsimal_,
_calcul des fluxions et des fluentes_, _calcul des vanouissans_, etc.,
selon le point de vue sous lequel on l'a conue. Pour carter toute
considration trangre, je proposerai de la nommer _calcul des
fonctions indirectes_, en donnant  l'analyse ordinaire le titre de
_calcul des fonctions directes_. Ces expressions, que je forme
essentiellement en gnralisant et en prcisant les ides de Lagrange,
sont destines  indiquer simplement avec exactitude le vritable
caractre gnral propre  chacune des deux analyses.

Ayant tabli la division fondamentale de l'analyse mathmatique, je dois
maintenant considrer sparment l'ensemble de chacune de ses deux
parties, en commenant par le _calcul des fonctions directes_, et
rservant ensuite des dveloppemens plus tendus aux diverses branches
du _calcul des fonctions indirectes_.




CINQUIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations gnrales sur le calcul des fonctions directes.


D'aprs l'explication gnrale qui termine la leon prcdente, le
_calcul des fonctions directes_, ou l'_algbre_ proprement dite, suffit
entirement  la solution des questions mathmatiques, quand elles sont
assez simples pour qu'on puisse former immdiatement les quations entre
les grandeurs mmes que l'on considre, sans qu'il soit ncessaire
d'introduire  leur place ou conjointement avec elles aucun systme de
quantits auxiliaires _drives_ des premires.  la vrit, dans le
plus grand nombre des cas importans, son emploi a besoin d'tre prcd
et prpar par celui du _calcul des fonctions indirectes_, destin 
faciliter l'tablissement des quations. Mais quoique le rle de
l'algbre ne soit alors que secondaire, elle n'en a pas moins toujours
une part ncessaire dans la solution complte de la question, en sorte
que le _calcul des fonctions directes_ doit continuer  tre, par sa
nature, la base fondamentale de toute l'analyse mathmatique. Nous
devons donc, avant d'aller plus loin, considrer, d'une manire
gnrale, la composition rationnelle de ce calcul, et le degr de
dveloppement auquel il est parvenu aujourd'hui.

L'objet dfinitif de ce calcul tant la _rsolution_ proprement dite des
_quations_, c'est--dire, la dcouverte du mode de formation des
quantits inconnues par les quantits connues d'aprs les _quations_
qui existent entre elles; il prsente naturellement autant de parties
diffrentes que l'on peut concevoir de classes d'quations vraiment
distinctes; et par consquent, son tendue propre est rigoureusement
indfinie, le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entrer
dans les quations, tant par lui-mme tout--fait illimit, bien
qu'elles ne soient composes que d'un trs-petit nombre d'lmens
primitifs.

La classification rationnelle des quations, doit tre videmment
dtermine par la nature des lmens analytiques dont se composent leurs
membres; toute autre classification serait essentiellement arbitraire.
Sous ce rapport, les analystes divisent d'abord les quations  une ou 
plusieurs variables en deux classes principales, selon qu'elles ne
contiennent que des fonctions des trois premiers couples (_voy._ le
tableau, 4^e. leon, page 173), ou qu'elles renferment aussi des
fonctions, soit exponentielles, soit circulaires. Les dnominations de
fonctions _algbriques_ et fonctions _transcendantes_, donnes
communment  ces deux groupes principaux d'lmens analytiques, sont,
sans doute, fort peu convenables. Mais la division universellement
tablie entre les quations correspondantes, n'en est pas moins
trs-relle, en ce sens que la rsolution des quations contenant les
fonctions dites _transcendantes_, prsente ncessairement plus de
difficults que celles des quations dites _algbriques_. Aussi l'tude
des premires est-elle jusqu'ici excessivement imparfaite,  tel point
que souvent la rsolution des plus simples d'entre elles, nous est
encore inconnue[7]; c'est sur l'laboration des secondes que portent
presqu'exclusivement nos mthodes analytiques.

      [Note 7: Quelque simple que puisse paratre, par
      exemple, l'quation /[a^x + b^x = c^x,/] on ne sait point
      encore la _rsoudre_; ce qui peut donner une ide de
      l'extrme imperfection de cette partie de l'algbre.]

Ne considrant maintenant que ces quations _algbriques_, il faut
observer d'abord que, quoiqu'elles puissent souvent contenir des
fonctions _irrationnelles_ des inconnues aussi bien que des fonctions
_rationnelles_; on peut toujours, par des transformations plus ou moins
faciles, faire rentrer le premier cas dans le second; en sorte que c'est
de ce dernier que les analystes ont d s'occuper uniquement, pour
rsoudre toutes les quations _algbriques_.

Dans l'enfance de l'algbre, ces quations avaient t classes d'aprs
le nombre de leurs termes. Mais cette classification tait videmment
vicieuse; comme sparant des cas rellement semblables, et en runissant
d'autres qui n'avaient rien de commun qu'un caractre sans aucune
importance vritable[8]. Elle n'a t maintenue que pour les quations 
deux termes, susceptibles, en effet, d'une rsolution commune qui leur
est propre.

      [Note 8: On a commis plus tard la mme erreur momentane
      dans les premiers temps du calcul infinitsimal, pour
      l'intgration des quations diffrentielles.]

La classification des quations, d'aprs ce qu'on appelle leurs
_degrs_, universellement admise depuis long-temps par les analystes,
est, au contraire, minemment naturelle, et mrite d'tre signale ici.
Car, en ne comparant, dans chaque _degr_, que les quations qui se
correspondent, quant  leur complication relative, on peut dire que
cette distinction dtermine rigoureusement la difficult plus ou moins
grande de leur _rsolution_. Cette gradation est sensible
effectivement, pour toutes les quations que l'on sait rsoudre. Mais
on peut s'en rendre compte d'une manire gnrale, indpendamment du
fait de la rsolution. Il suffit, pour cela, de considrer que
l'quation la plus gnrale de chaque degr comprend ncessairement
toutes celles des divers degrs infrieurs, en sorte qu'il en doit tre
ainsi de la formule qui dtermine l'inconnue. En consquence, quelque
faible qu'on pt supposer _ priori_ la difficult propre au _degr_ que
l'on considre, comme elle se complique invitablement, dans
l'excution, de celles que prsentent tous les _degrs_ prcdens, la
rsolution offre donc rellement plus d'obstacles  mesure que le degr
de l'quation s'lve.

Cet accroissement de difficult est tel, que jusqu'ici la rsolution des
quations algbriques ne nous est connue que dans les quatre premiers
degrs seulement.  cet gard, l'algbre n'a pas fait de progrs
considrables depuis les travaux de Descartes, et des analystes italiens
du seizime sicle, quoique, dans les deux derniers sicles, il n'ait
peut-tre pas exist un seul gomtre qui ne se soit occup de pousser
plus avant la rsolution des quations. L'quation gnrale du cinquime
degr elle-mme, a jusqu'ici rsist  toutes les tentatives.

La complication toujours croissante que doivent ncessairement
prsenter les formules pour rsoudre les quations  mesure que le degr
augmente, l'extrme embarras qu'occasione dj l'usage de la formule du
quatrime degr, et qui le rend presqu'inapplicable, ont dtermin les
analystes  renoncer, par un accord tacite,  poursuivre de semblables
recherches, quoiqu'ils soient loin de regarder comme impossible
d'obtenir jamais la rsolution des quations du cinquime degr, et de
plusieurs autres degrs suprieurs. La seule question de ce genre, qui
offrirait vraiment une grande importance, du moins sous le rapport
logique, ce serait la rsolution gnrale des quations algbriques d'un
degr quelconque. Or, plus on mdite sur ce sujet, plus on est conduit 
penser, avec Lagrange, qu'il surpasse rellement la porte effective de
notre intelligence. Il faut d'ailleurs observer que la formule qui
exprimerait la _racine_ d'une quation du degr m devrait ncessairement
renfermer des radicaux de l'ordre m (ou des fonctions d'une multiplicit
quivalente),  cause des m dterminations quelle doit comporter.
Puisque nous avons vu, de plus, qu'elle doit aussi embrasser, comme cas
particulier, celle qui correspond  tout autre degr infrieur, il
s'ensuit qu'elle contiendrait, en outre, invitablement, des radicaux de
l'ordre m-1, d'autres de l'ordre m-2, etc., de telle manire que, s'il
tait possible de la dcouvrir, elle offrirait presque toujours une trop
grande complication pour pouvoir tre utilement employe,  moins qu'on
ne parvnt  la simplifier, en lui conservant cependant toute la
gnralit convenable, par l'introduction d'un nouveau genre d'lmens
analytiques, dont nous n'avons encore aucune ide. Il y a donc lieu de
croire que, sans avoir dj atteint sous ce rapport les bornes imposes
par la faible porte de notre intelligence, nous ne tarderions pas  les
rencontrer en prolongeant avec une activit forte et soutenue cette
srie de recherches.

Il importe d'ailleurs d'observer que, mme en supposant obtenue la
rsolution des quations _algbriques_ d'un degr quelconque, on
n'aurait encore trait qu'une trs-petite partie de l'_algbre_
proprement dite, c'est--dire, du calcul des fonctions directes,
embrassant la rsolution de toutes les quations que peuvent former les
fonctions analytiques aujourd'hui connues. Enfin, pour achever
d'claircir la considration philosophique de ce sujet, il faut
reconnatre que, par une loi irrcusable de la nature humaine, nos
moyens pour concevoir de nouvelles questions tant beaucoup plus
puissans que nos ressources pour les rsoudre, ou, en d'autres termes,
l'esprit humain tant bien plus apte  imaginer qu' raisonner, nous
resterons ncessairement toujours au-dessous de la difficult,  quelque
degr de dveloppement que parviennent jamais nos travaux intellectuels.
Ainsi, quand mme on dcouvrirait un jour la rsolution complte de
toutes les quations analytiques actuellement connues, ce qui, 
l'examen, doit tre jug tout--fait chimrique, il n'est pas douteux
qu'avant d'atteindre  ce but, et probablement mme comme moyen
subsidiaire, on aurait dj surmont la difficult bien moindre, quoique
trs-grande cependant, de concevoir de nouveaux lmens analytiques,
dont l'introduction donnerait lieu  des classes d'quations que nous
ignorons compltement aujourd'hui; en sorte qu'une pareille imperfection
relative de la science algbrique se reproduirait encore, malgr
l'accroissement rel, trs-important d'ailleurs, de la masse absolue de
nos connaissances.

Dans l'tat prsent de l'algbre, la rsolution complte des quations
des quatre premiers degrs, des quations binomes quelconques, de
certaines quations spciales des degrs suprieurs, et d'un trs-petit
nombre d'quations exponentielles, logarithmiques, ou circulaires,
constituent donc les mthodes fondamentales que prsente le calcul des
fonctions directes pour la solution des problmes mathmatiques. Mais,
avec des lmens aussi borns, les gomtres n'en sont pas moins
parvenus  traiter, d'une manire vraiment admirable, un trs-grand
nombre de questions importantes, comme nous le reconnatrons
successivement dans la suite de ce volume. Les perfectionnemens gnraux
introduits depuis un sicle dans le systme total de l'analyse
mathmatique ont eu pour caractre principal d'utiliser  un degr
immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions
directes, au lieu de tendre  les augmenter. Ce rsultat a t obtenu 
un tel point, que le plus souvent ce calcul n'a de rle effectif dans la
solution complte des diverses questions que par ses parties les plus
simples, celles qui se rapportent aux quations des deux premiers
degrs,  une seule ou  plusieurs variables.

L'extrme imperfection de l'algbre, relativement  la rsolution des
quations, a dtermin les analystes  s'occuper d'une nouvelle classe
de questions, dont il importe de marquer ici le vritable caractre.
Quand ils ont cru devoir renoncer  poursuivre plus long-temps la
rsolution des quations algbriques des degrs suprieurs au quatrime,
ils se sont occups de suppler, autant que possible,  cette immense
lacune, par ce qu'ils ont nomm la _rsolution numrique_ des quations.
Ne pouvant obtenir, dans la plupart des cas, la _formule_ qui exprime
quelle fonction explicite l'inconnue est des donnes, on a cherch, 
dfaut de cette rsolution, la seule rellement _algbrique_, 
dterminer, du moins, indpendamment de cette formule, la _valeur_ de
chaque inconnue pour tel ou tel systme dsign de valeurs particulires
attribues aux donnes. Par les travaux successifs des analystes, cette
opration incomplte et btarde, qui prsente un mlange intime des
questions vraiment algbriques avec des questions purement
arithmtiques, a pu, du moins, tre entirement effectue dans tous les
cas, pour des quations d'un degr et mme d'une forme quelconques. Sous
ce rapport, les mthodes qu'on possde aujourd'hui sont suffisamment
gnrales, quoique les calculs auxquels elles conduisent soient souvent
presque inexcutables,  cause de leur complication. Il ne reste donc
plus,  cet gard, qu' simplifier assez les procds pour qu'ils
deviennent rgulirement applicables, ce qu'on peut esprer d'obtenir
dans la suite. D'aprs cet tat du calcul des fonctions directes, on
s'efforce ensuite, dans l'application de ce calcul, de disposer, autant
que possible, les questions proposes de faon  n'exiger finalement que
cette rsolution _numrique_ des quations.

Quelque prcieuse que soit videmment une telle ressource,  dfaut de
la vritable solution, il est essentiel de ne pas mconnatre le vrai
caractre de ces procds, que les analystes regardent avec raison
comme une algbre fort imparfaite. En effet, il s'en faut de beaucoup
que nous puissions toujours rduire nos questions mathmatiques  ne
dpendre, en dernire analyse, que de la rsolution _numrique_ des
quations. Cela ne se peut que pour les questions tout--fait isoles,
ou vraiment finales, c'est--dire, pour le plus petit nombre. La plupart
des questions ne sont, en effet, que prparatoires, et destines 
servir de prliminaire indispensable  la solution d'autres questions.
Or, pour un tel but, il est vident que ce n'est pas la _valeur_
effective de l'inconnue qu'il importe de dcouvrir, mais la _formule_
qui montre comment elle drive des autres quantits considres. C'est
ce qui arrive, par exemple, dans un cas trs-tendu, toutes les fois
qu'une question dtermine renferme simultanment plusieurs inconnues.
Il s'agit alors, comme on sait, d'en faire, avant tout, la sparation.
En employant convenablement,  cet effet, le procd simple et gnral
heureusement imagin par les analystes, et qui consiste  rapporter
l'une des inconnues  toutes les autres, la difficult disparatrait
constamment, si l'on savait toujours rsoudre algbriquement les
quations considres, sans que la rsolution _numrique_ puisse tre
alors d'aucune utilit. C'est uniquement faute de connatre la
rsolution _algbrique_ des quations  une seule inconnue, qu'on est
oblig de traiter l'_limination_ comme une question distincte, qui
forme une des plus grandes difficults spciales de l'algbre ordinaire.
Quelque pnibles que soient les mthodes  l'aide desquelles on surmonte
cette difficult, elles ne sont pas mme applicables d'une manire
entirement gnrale,  l'limination d'une inconnue entre deux
quations de forme quelconque.

Dans les questions les plus simples, et lorsqu'on n'a vritablement 
rsoudre qu'une seule quation  une seule inconnue, cette rsolution
_numrique_ n'en est pas moins un procd trs-imparfait, mme quand
elle est strictement suffisante. Elle prsente, en effet, ce grave
inconvnient d'obliger  refaire toute la suite des oprations pour le
plus lger changement qui peut survenir dans une seule des quantits
considres, quoique leur relation reste toujours la mme, sans que les
calculs faits pour un cas puissent dispenser en aucune manire de ceux
qui concernent un autre cas trs-peu diffrent, faute d'avoir pu
abstraire et traiter distinctement cette partie purement algbrique de
la question qui est commune  tous les cas rsultant de la simple
variation des nombres donns.

D'aprs les considrations prcdentes, le calcul des fonctions
directes, envisag dans son tat actuel, se divise donc naturellement en
deux parties fort distinctes, suivant qu'on traite de la rsolution
_algbrique_ des quations ou de leur rsolution _numrique_. La
premire partie, la seule vraiment satisfaisante, est malheureusement
fort peu tendue, et restera vraisemblablement toujours trs-borne; la
seconde, le plus souvent insuffisante, a du moins l'avantage d'une
gnralit beaucoup plus grande. La ncessit de distinguer nettement
ces deux parties est vidente,  cause du but essentiellement diffrent
qu'on se propose dans chacune, et par suite, du point de vue propre sous
lequel on y considre les quantits. De plus, si on les envisage
relativement aux diverses mthodes dont chacune est compose, on trouve
dans leur distribution rationnelle une marche toute diffrente. En
effet, la premire partie doit se diviser d'aprs la nature des
quations que l'on sait rsoudre, et indpendamment de toute
considration relative aux _valeurs_ des inconnues. Dans la seconde
partie, au contraire, ce n'est pas suivant les _degrs_ des quations
que les procds se distinguent naturellement, puisqu'ils sont
applicables  des quations d'un degr quelconque; c'est selon l'espce
numrique des _valeurs_ des inconnues. Car, pour calculer directement
ces nombre sans les dduire des formules qui en feraient connatre les
expressions, le moyen ne saurait videmment tre le mme, quand les
nombres ne sont susceptibles d'tre valus que par une suite
d'approximations toujours incomplte, que lorsqu'on peut les obtenir
exactement. Cette distinction si importante, dans la rsolution
numrique des quations, des racines incommensurables, et des racines
commensurables, qui exigent des principes tout--fait diffrens pour
leur dtermination, est entirement insignifiante dans l rsolution
algbrique, o la nature _rationnelle_ ou _irrationnelle_ des nombres
obtenus est un simple accident du calcul, qui ne peut exercer aucune
influence sur les procds employs. C'est, en un mot, une simple
considration arithmtique. On en peut dire autant, quoique  un moindre
degr, de la distinction des racines commensurables elles-mmes en
entires et fractionnaires. Enfin, il en est aussi de mme,  plus forte
raison, pour la classification la plus gnrale des racines, en
_relles_ et _imaginaires_. Toutes ces diverses considrations, qui sont
prpondrantes quant  la rsolution numrique des quations, et qui
n'ont aucune importance dans la rsolution algbrique, rendent de plus
en plus sensible la nature essentiellement distincte de ces deux parties
principales de l'algbre proprement dite.

Ces deux parties, qui constituent l'objet immdiat du calcul des
fonctions directes, sont domines par une troisime purement
spculative,  laquelle l'une et l'autre empruntent leurs ressources les
plus puissantes, et qui a t trs-exactement dsigne par le nom
gnral de _thorie des quations_, quoique cependant elle ne porte
encore que sur les quations dites _algbriques_. La rsolution
numrique des quations,  cause de sa gnralit, exige spcialement
cette base rationnelle.

Cette dernire branche si importante de l'algbre se divise
naturellement en deux ordres de questions, d'abord celles qui se
rapportent  la composition des quations, et ensuite celles qui
concernent leur transformation; ces dernires ayant pour objet de
modifier les racines d'une quation sans les connatre, suivant une loi
quelconque donne, pourvu que cette loi soit uniforme relativement 
toutes ces racines[9].

      [Note 9: Je crois devoir, au sujet de la thorie des
      quations, signaler ici une lacune de quelque importance. Le
      principe fondamental sur lequel elle repose, et qui est si
      frquemment appliqu dans toute l'analyse mathmatique, la
      dcomposition des fonctions algbriques, rationnelles, et
      entires, d'un degr quelconque, en facteurs du premier
      degr, n'est jamais employ que pour les fonctions d'une
      seule variable, sans que personne ait examin si on doit
      l'tendre aux fonctions de plusieurs variables, ce que
      nanmoins on ne devrait pas laisser incertain. Quant aux
      fonctions de deux ou de trois variables, les considrations
      gomtriques dcident clairement, quoique d'une manire
      indirecte, que leur dcomposition en facteurs est
      ordinairement impossible; car il en rsulterait que chaque
      classe correspondante d'quations ne pourrait reprsenter
      une ligne ou une surface _sui generis_, et que son lieu
      gomtrique rentrerait toujours dans le systme de ceux
      appartenant  des quations de degr infrieur, de telle
      sorte que, de proche en proche, toute quation ne produirait
      jamais que des lignes droites ou des plans. Mais,
      prcisment  cause de cette interprtation concrte, ce
      thorme, quoique purement ngatif, me semble avoir une si
      grande importance pour la gomtrie analytique, que je
      m'tonne qu'on n'ait pas cherch  tablir directement une
      diffrence aussi caractristique entre les fonctions  une
      seule variable et celles  plusieurs variables. Je vais
      rapporter ici sommairement la dmonstration abstraite et
      gnrale que j'en ai trouve, quoiqu'elle ft plus
      convenablement place dans un trait spcial.

      1 Si f(x,y) pouvait se dcomposer en facteurs du premier
      degr, on les obtiendrait en rsolvant l'quation f(x,y)=0.
      Or, d'aprs les considrations indiques dans le texte,
      cette quation, rsolue par rapport  x, fournirait des
      formules qui contiendraient ncessairement divers radicaux,
      dans lesquels entrerait y. Les fonctions de y, renfermes
      sous chaque radical, ne sauraient videmment tre en gnral
      des puissances parfaites. Or, il faudrait qu'elles le
      devinssent pour que les facteurs lmentaires correspondans
      de f(x,y), et qui sont dj du premier degr en x, fussent
      aussi du premier degr, ou mme simplement rationnels,
      relativement  y. Cela ne pourra donc avoir lieu que dans
      certains cas particuliers, lorsque les coefficiens
      rempliront les conditions plus ou moins nombreuses, mais
      constamment dtermines, qu'exige la disparition des
      radicaux. Le mme raisonnement s'appliquerait videmment, 
      bien plus forte raison, aux fonctions de trois, quatre, etc.
      variables.

      2 Une autre dmonstration, de nature trs-diffrente, se
      tire de la mesure du degr de gnralit des fonctions 
      plusieurs variables, lequel s'estime par le nombre de
      constantes arbitraires entrant dans leur expression la plus
      complte et la plus simple. Je me bornerai  l'indiquer pour
      les fonctions de deux variables; il serait ais de l'tendre
       celles qui en contiennent davantage.

      On sait que le nombre de constantes arbitraires contenues
      dans la formule gnrale d'une fonction du degr m  deux
      variables, est /frac{m(m+3)}{2}. Or, si une telle fonction
      pouvait seulement se dcomposer en deux facteurs, l'un du
      degr n, et l'autre du degr m-n, le produit renfermerait un
      nombre de constantes arbitraires gal  /[/frac{n(n+3)}{2} +
      /frac{(m-n)(m-n+3)}{2}./] Ce nombre tant, comme il est ais
      de le voir, infrieur au prcdent de n(m-n), il en rsulte
      qu'un tel produit, ayant moins de gnralit que la fonction
      primitive, ne peut la reprsenter constamment. On voit mme
      qu'une telle comparaison exigerait n(m-n) relations
      spciales entre les coefficiens de cette fonction, qu'on
      trouverait aisment en dveloppant l'identit.

      Ce nouveau genre de dmonstration, fond sur une
      considration ordinairement nglige, pourrait probablement
      tre employ avec avantage dans plusieurs autres
      circonstances.]

Pour complter cette rapide numration gnrale des diverses parties
essentielles du calcul des fonctions directes, je dois enfin mentionner
expressment une des thories les plus fcondes et les plus importantes
de l'algbre proprement dite, celle relative  la transformation des
fonctions en sries  l'aide de ce qu'on appelle la mthode des
coefficiens indtermins. Cette mthode, si minemment analytique, et
qui doit tre regarde comme une des dcouvertes les plus remarquables
de Descartes, a sans doute perdu de son importance depuis l'invention et
le dveloppement du calcul infinitsimal, dont elle pouvait tenir lieu
si heureusement sous quelques rapports particuliers. Mais l'extension
croissante de l'analyse transcendante, quoique ayant rendu cette mthode
bien moins ncessaire, en a, d'un autre ct, multipli les applications
et agrandi les ressources; en sorte que par l'utile combinaison qui
s'est finalement opre entre les deux thories, l'usage de la mthode
des coefficiens indtermins est devenu aujourd'hui beaucoup plus tendu
qu'il ne l'tait mme avant la formation du calcul des fonctions
indirectes.

Aprs avoir esquiss le tableau gnral de l'algbre proprement dite, il
me reste maintenant  prsenter quelques considrations sur divers
points principaux du calcul des fonctions directes, dont les notions
peuvent tre utilement claircies par un examen philosophique.

Les difficults relatives  plusieurs symboles singuliers auxquels
conduisent les calculs algbriques et notamment aux expressions dites
_imaginaires_, ont t, ce me semble, beaucoup exagres par suite des
considrations purement mthaphysiques qu'on s'est efforc d'y
introduire, au lieu d'envisager ces rsultats anormaux sous leur vrai
point de vue, comme de simples faits analytiques. En les concevant
ainsi, il est ais de reconnatre, en thse gnrale, que l'esprit de
l'analyse mathmatique consistant  considrer les grandeurs sous le
seul point de vue de leurs relations, et indpendamment de toute ide de
valeur dtermine, il en rsulte ncessairement pour les analystes
l'obligation constante d'admettre indiffremment toutes les sortes
d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons
algbriques. S'ils voulaient s'en interdire une seule,  raison de sa
singularit apparente, comme elle est toujours susceptible de se
prsenter d'aprs certaines suppositions particulires sur les valeurs
des quantits considres, ils seraient contraints d'altrer la
gnralit de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans chaque
raisonnement, une suite de distinctions vraiment trangres, ils
feraient perdre  l'analyse mathmatique, son principal avantage
caractristique, la simplicit et l'uniformit des ides qu'elle
combine. L'embarras que l'intelligence prouve ordinairement au sujet de
ces expressions singulires, me parat provenir essentiellement de la
confusion vicieuse qu'elle fait  son insu entre l'ide de _fonction_
et l'ide de _valeur_, ou, ce qui revient au mme, entre le point de vue
_algbrique_, et le point de vue _arithmtique_. Si la nature de cet
ouvrage me permettait de prsenter  cet gard les dveloppemens
suffisans, il me serait, je crois, facile, par un usage convenable des
considrations indiques dans cette leon et dans les deux prcdentes,
de dissiper les nuages dont une fausse manire de voir entoure
habituellement ces diverses notions. Le rsultat de cet examen
dmontrerait expressment que l'analyse mathmatique est, par sa nature,
beaucoup plus claire, sous les diffrens rapports dont je viens de
parler, que ne le croient communment les gomtres eux-mmes, gars
par les objections vicieuses des mtaphysiciens.

Relativement aux quantits ngatives, qui, par suite du mme esprit
mtaphysique, ont donn lieu  tant de discussions dplaces, aussi
dpourvues de tout fondement rationnel que dnues de toute vritable
utilit scientifique, il faut distinguer, en considrant toujours le
simple fait analytique, entre leur signification abstraite et leur
interprtation concrte, qu'on a presque toujours confondues jusqu'
prsent. Sous le premier rapport, la thorie des quantits ngatives
peut tre tablie d'une manire complte par une seule vue algbrique.
Quant  la ncessit d'admettre ce genre de rsultats concurremment avec
tout autre, elle drive de la considration gnrale que je viens de
prsenter: et quant  leur emploi comme artifice analytique pour rendre
les formules plus tendues, ce mcanisme de calcul ne peut rellement
donner lieu  aucune difficult srieuse. Ainsi, on peut envisager la
thorie abstraite des quantits ngatives comme ne laissant rien
d'essentiel  dsirer: elle ne prsente vraiment d'obstacles que ceux
qu'on y introduit mal  propos par des considrations sophistiques.
Mais, il n'en est nullement de mme pour leur thorie concrte.

Sous ce point de vue, elle consiste essentiellement dans cette admirable
proprit des signes + et - de reprsenter analytiquement les
oppositions de sens dont sont susceptibles certaines grandeurs. Ce
thorme gnral sur les relations du concret  l'abstrait en
mathmatique, est une des plus belles dcouvertes que nous devions au
gnie de Descartes, qui l'a obtenue comme un simple rsultat de
l'observation philosophique convenablement dirige. Un grand nombre de
gomtres ont tent depuis d'en tablir directement la dmonstration
gnrale. Mais jusqu'ici leurs efforts ont t illusoires, soit qu'ils
aient essay de trancher la difficult par de vaines considrations
mtaphysiques, ou par des comparaisons trs-hasardes, soit qu'ils aient
pris de simples vrifications dans quelque cas particulier plus ou moins
born pour de vritables dmonstrations. Ces diverses tentatives
vicieuses, et le mlange htrogne du point de vue abstrait avec le
point de vue concret, ont mme introduit communment  cet gard une
telle confusion, qu'il devient ncessaire d'noncer ici distinctement le
fait gnral, soit qu'on veuille se contenter d'en faire usage, soit
qu'on se propose de l'expliquer. Il consiste, indpendamment de toute
explication, en ce que: si dans une quation quelconque exprimant la
relation de certaines quantits susceptibles d'opposition de sens, une
ou plusieurs de ces quantits viennent  tre comptes dans un sens
contraire  celui qu'elles affectaient quand l'quation a t
primitivement tablie; il ne sera pas ncessaire de former directement
une nouvelle quation pour ce second tat du phnomne; il suffira de
changer, dans la premire quation, le signe de chacune des quantits
qui auront chang de sens, et l'quation ainsi modifie concidera
toujours rigoureusement avec celle qu'on aurait trouve en recommenant
 chercher pour ce nouveau cas la loi analytique du phnomne. C'est
dans cette concidence constante et ncessaire que consiste le thorme
gnral. Or, jusqu'ici on n'est point parvenu rellement  s'en rendre
compte directement; on ne s'en est assur que par un grand nombre de
vrifications gomtriques et mcaniques, qui sont, il est vrai, assez
multiplies et surtout assez varies pour qu'il ne puisse rester dans
aucun esprit juste le moindre doute sur l'exactitude et la gnralit de
cette proprit essentielle, mais qui, sous le rapport philosophique, ne
dispensent nullement de chercher une explication aussi importante.
L'extrme tendue du thorme doit faire comprendre  la fois et la
difficult capitale de cette recherche si souvent reprise
infructueusement, et la haute utilit dont serait sans doute, pour le
perfectionnement de la science mathmatique, la conception gnrale de
cette grande vrit, l'esprit ne pouvant videmment s'y lever qu'en se
plaant  un point de vue d'o il dcouvrirait invitablement de
nouvelles ides, par la considration directe et approfondie de la
relation du concret  l'abstrait. Quoi qu'il en soit, l'imperfection que
prsente encore la science sous ce rapport, n'a point empch les
gomtres de faire l'usage le plus tendu et le plus important de cette
proprit dans toutes les parties de la mathmatique concrte, o l'on
en prouve un besoin presque continuel. On peut mme retirer une
certaine utilit logique de la simple considration nette de ce fait
gnral, tel que je l'ai dcrit ci-dessus; il en rsulte, par exemple,
indpendamment de toute dmonstration, que la proprit dont nous
parlons ne doit jamais tre applique aux grandeurs qui affectent des
directions continuellement variables, sans donner lieu  une simple
opposition de sens: dans ce cas, le signe dont se trouve ncessairement
affect tout rsultat de calcul n'est susceptible d'aucune
interprtation concrte, et c'est  tort qu'on s'efforce quelquefois
d'en tablir; cette circonstance a lieu, entre autres occasions, pour
les rayons vecteurs en gomtrie, et pour les forces divergentes en
mcanique.

Un second thorme gnral sur la relation du concret  l'abstrait en
mathmatique, que je crois devoir considrer expressment ici, est celui
qu'on dsigne ordinairement sous le nom de principe de l'_homognit_.
Il est sans doute bien moins important dans ses applications que le
prcdent. Mais il mrite particulirement notre attention, comme ayant,
par sa nature, une tendue encore plus grande, puisqu'il s'applique
indistinctement  tous les phnomnes, et  cause de l'utilit relle
qu'on en retire souvent pour la vrification de leurs lois analytiques.
Je puis d'ailleurs en exposer une dmonstration directe et gnrale, qui
me semble fort simple. Elle est fonde sur cette seule observation,
vidente par elle-mme: l'exactitude de toute relation entre des
grandeurs concrtes quelconques est indpendante de la valeur des
_units_ auxquelles on les rapporte pour les exprimer en nombres. Par
exemple, la relation qui existe entre les trois cts d'un triangle
rectangle, a lieu soit qu'on les value en mtres, ou en lieues, ou en
pouces, etc.

Il suit de cette considration gnrale, que toute quation qui exprime
la loi analytique d'un phnomne quelconque, doit jouir de cette
proprit de n'tre nullement altre, quand on fait subir simultanment
 toutes les quantits qui s'y trouvent, le changement correspondant 
celui qu'prouveraient leurs units respectives. Or, ce changement
consiste videmment en ce que toutes les quantits de chaque espce
deviendraient  la fois m fois plus petites, si l'unit qui leur
correspond devient m fois plus grande, ou rciproquement. Ainsi, toute
quation qui reprsente une relation concrte quelconque, doit offrir ce
caractre de demeurer la mme, quand on y rend m fois plus grandes
toutes les quantits qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs
entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les nombres
qui dsignent simplement les _rapports_ mutuels de ces diverses
grandeurs, lesquels restent invariables dans le changement des units.
C'est dans cette proprit que consiste la loi de l'homognit, suivant
son acception la plus tendue, c'est--dire, de quelques fonctions
analytiques que les quations soient composes.

Mais, le plus souvent, on ne considre que les cas o ces fonctions sont
de celles qu'on appelle particulirement _algbriques_, et auxquelles la
notion de _degr_ est applicable. Dans ce cas, on peut prciser
davantage la proposition gnrale, en dterminant le caractre
analytique que doit prsenter ncessairement l'quation pour que cette
proprit soit vrifie. Il est ais de voir alors, en effet, que, par
la modification ci-dessus expose, tous les _termes_ du premier degr,
quelle que soit leur forme, rationnelle ou irrationnelle, entire ou
fractionnaire, deviendront m fois plus grands; tous ceux du second
degr, m^2 fois; ceux du troisime, m^3 fois, etc. Ainsi, les termes du
mme degr, quelque diverse que puisse tre leur composition, variant de
la mme manire, et les termes de degrs diffrens variant dans une
proportion ingale, quelque similitude que puisse offrir leur
composition, il faudra ncessairement, pour que l'quation ne soit pas
trouble, que tous les termes qu'elle contient soient d'un mme degr.
C'est en cela que consiste proprement le thorme ordinaire de
l'_homognit_; et c'est de cette circonstance que la loi gnrale 
tir son nom, qui cependant cesse d'tre exactement convenable pour
toute autre espce de fonctions.

Afin de traiter ce sujet dans toute son tendue, il importe d'observer
une condition essentielle,  laquelle on devra avoir gard en appliquant
cette proprit, lorsque le phnomne exprim par l'quation prsentera
des grandeurs de natures diverses. En effet, il pourra arriver que les
units respectives soient compltement indpendantes les unes des
autres, et alors le thorme de l'homognit aura lieu, soit par
rapport  toutes les classes correspondantes de quantits, soit qu'on ne
veuille considrer qu'une seule ou plusieurs d'entre elles. Mais, il
arrivera, dans d'autres occasions, que les diverses units auront entre
elles des relations obliges, dtermines par la nature de la question.
Alors, il faudra avoir gard  cette subordination des units dans la
vrification de l'homognit, qui n'existera plus en un sens purement
algbrique, et dont le mode prcis variera suivant le genre des
phnomnes. Ainsi, par exemple, pour fixer les ides, quand on
considrera dans l'expression analytique des phnomnes gomtriques, 
la fois des lignes, des aires, et des volumes, il faudra observer que
les trois units correspondantes, sont ncessairement lies entre elles,
de telle sorte que, suivant la subordination gnralement tablie  cet
gard, lorsque la premire devient m fois plus grande, la seconde le
devient m^2 fois, et la troisime m^3 fois. C'est avec une telle
modification que l'homognit existera dans les quations, o l'on
devra alors, si elles sont _algbriques_, estimer le degr de chaque
terme, en doublant les exposans des facteurs qui correspondent  des
aires, et triplant ceux des facteurs relatifs  des volumes[10].

Telles sont les principales considrations gnrales, trs-insuffisantes
sans doute, mais auxquelles je suis contraint de me rduire par les
limites naturelles de ce cours, relativement au calcul des fonctions
directes. Nous devons passer maintenant  l'examen philosophique du
calcul des fonctions indirectes, dont l'importance et l'tendue bien
suprieures rclament un plus grand dveloppement.

      [Note 10: J'ai t conduit, il y a douze ans, par mon
      enseignement journalier de la science mathmatique, 
      construire cette thorie gnrale de l'homognit. J'ai
      trouv depuis que M. Fourier, dans son grand ouvrage sur la
      chaleur, publi en 1822, avait suivi, de son ct, une
      marche essentiellement semblable. Malgr cette heureuse
      concidence, qu'a d naturellement dterminer la
      considration directe d'un sujet aussi simple, je n'ai pas
      cru devoir ici renvoyer  sa dmonstration; celle que je
      viens d'exposer ayant pour principal objet d'embrasser
      l'ensemble de la question, sans gard  aucune application
      spciale.]

SIXIME LEON.

SOMMAIRE. Exposition comparative des divers points de vue gnraux sous
lesquels on peut envisager le calcul des fonctions indirectes.

Nous avons dtermin, dans la quatrime leon, le caractre
philosophique propre  l'analyse transcendante, de quelque manire qu'on
puisse la concevoir, en considrant seulement la nature gnrale de sa
destination effective dans l'ensemble de la science mathmatique. Cette
analyse a t, comme on sait, prsente par les gomtres sous plusieurs
points de vue rellement distincts, quoique ncessairement quivalens,
et conduisant toujours  des rsultats identiques. On peut les rduire 
trois principaux, ceux de Lebnitz, de Newton et de Lagrange, dont tous
les autres ne sont que des modifications secondaires. Dans l'tat
prsent de la science, chacune de ces trois conceptions gnrales offre
des avantages essentiels qui lui appartiennent exclusivement, sans
qu'on soit encore parvenu  construire une mthode unique runissant
toutes ces diverses qualits caractristiques. En mditant sur
l'ensemble de cette grande question, on est convaincu, je crois, que
c'est dans la conception de Lagrange, que s'oprera un jour cette
combinaison. Quand cet important travail philosophique, qui exige une
profonde laboration de toutes les ides mathmatiques fondamentales,
sera convenablement excut; on pourra se borner alors, pour connatre
l'analyse transcendante,  la seule tude de cette conception
dfinitive; les autres ne prsentant plus essentiellement qu'un intrt
historique. Mais jusqu' cette poque, la science devra tre considre,
sous ce rapport, comme tant dans un vritable tat provisoire, qui
exige absolument, mme pour l'exposition dogmatique de cette analyse, la
considration simultane des divers modes gnraux propres au calcul des
fonctions indirectes. Quelque peu satisfaisante que puisse paratre,
sous le rapport logique, cette multiplicit de conceptions d'un sujet
toujours identique, il est certain que, sans cette indispensable
condition, on ne pourrait se former aujourd'hui qu'une notion
trs-insuffisante de cette analyse, soit en elle-mme, soit surtout
relativement  ses applications, quelque ft le mode unique que l'on
aurait cru devoir choisir. Ce dfaut de systmatisation dans la partie
la plus importante de l'analyse mathmatique, ne paratra nullement
trange, si l'on considre, d'une part, son extrme tendue, sa
difficult suprieure, et d'une autre part, sa formation presque
rcente. La gnration des gomtres est  peine renouvele depuis la
production primitive de la conception destine sans doute  coordonner
la science, de manire  lui imprimer un caractre fixe et uniforme;
ainsi, les habitudes intellectuelles n'ont pu encore, sous ce rapport,
tre suffisamment formes.

S'il s'agissait ici de tracer l'histoire raisonne de la formation
successive de l'analyse transcendante, il faudrait pralablement
distinguer avec soin du calcul des fonctions indirectes proprement dit,
l'ide mre de la mthode infinitsimale, laquelle peut tre conue par
elle-mme, indpendamment de tout calcul. Nous verrions, ds-lors, que
le premier germe de cette ide, se trouve dj dans le procd constant,
employ par les gomtres grecs, sous le nom de _mthode d'exhaustion_,
pour passer de ce qui est relatif aux lignes droites  ce qui concerne
les lignes courbes, et qui consistait essentiellement  substituer  la
courbe la considration auxiliaire d'un polygone inscrit ou circonscrit,
d'aprs lequel on s'levait  la courbe elle-mme, en prenant
convenablement les limites des relations primitives.
Quelqu'incontestable que soit cette filiation des ides, on lui
donnerait une importance fort exagre, en voyant dans cette mthode
d'exhaustion, l'quivalent rel de nos mthodes modernes, comme l'ont
fait plusieurs gomtres. Car, les anciens n'avaient aucun moyen
rationnel et gnral pour la dtermination de ces limites, qui
constituait ordinairement la plus grande difficult de la question; en
sorte que leurs solutions n'taient point soumises  des rgles
abstraites et invariables, dont l'application uniforme dt conduire avec
certitude  la connaissance cherche, ce qui est le principal caractre
de notre analyse transcendante. En un mot, il restait  gnraliser la
conception employe par les anciens, et surtout, en la considrant d'une
manire purement abstraite,  la rduire en calcul, ce qui leur tait
impossible. La premire ide qui ait t produite dans cette nouvelle
direction, remonte vritablement  notre grand gomtre Fermat, que
Lagrange a justement prsent comme ayant bauch la formation directe
de l'analyse transcendante, par sa mthode pour la dtermination des
_maxima_ et _minima_, et pour la recherche des tangentes, qui consistait
essentiellement, en effet,  introduire la considration auxiliaire des
accroissemens corlatifs des variables proposes, accroissemens
supprims ensuite comme nuls, aprs que les quations avaient subi
certaines transformations convenables. Mais, quoique Fermat et le
premier conu cette analyse d'une manire vraiment abstraite, elle tait
encore loin d'tre rgulirement forme en un calcul gnral et
distinct, ayant sa notation propre, et surtout dgag de la
considration superflue des termes, qui finissaient par n'tre plus
compts dans l'analyse de Fermat, aprs avoir nanmoins singulirement
compliqu par leur prsence toutes les oprations. C'est ce qu'a si
heureusement excut Lebnitz un demi-sicle plus tard, aprs quelques
modifications intermdiaires apportes par Wallis, et surtout par
Barrow, aux ides de Fermat; et par l il a t le vritable crateur de
l'analyse transcendante, telle que nous l'employons aujourd'hui. Cette
dcouverte capitale tait tellement mre, comme toutes les grandes
conceptions de l'esprit humain au moment de leur manifestation, que
Newton, de son ct, tait parvenu en mme temps, ou un peu auparavant,
 une mthode exactement quivalente, en considrant cette analyse sous
un point de vue trs-diffrent, et qui, bien que plus rationnel en
lui-mme, est rellement moins convenable pour donner  la mthode
fondamentale commune toute l'tendue et la facilit que lui ont
imprimes les ides de Lebnitz. Enfin, Lagrange, cartant les
considrations htrognes qui avaient guid Lebnitz et Newton, est
parvenu plus tard  rduire l'analyse transcendante, dans sa plus grande
perfection,  un systme purement algbrique, auquel il ne manque encore
que plus d'aptitude aux applications.

Aprs ce coup-d'oeil sommaire sur l'histoire gnrale de l'analyse
transcendante, procdons  l'exposition dogmatique des trois conceptions
principales, afin d'apprcier exactement leurs proprits
caractristiques, et de constater l'identit ncessaire des mthodes qui
en drivent. Commenons par celle de Lebnitz.

Elle consiste, comme on sait,  introduire dans le calcul, pour
faciliter l'tablissement des quations, les lmens infiniment petits
dont on considre comme composes les quantits entre lesquelles on
cherche des relations. Ces lmens ou _diffrentielles_ auront entre eux
des relations constamment et ncessairement plus simples et plus faciles
 dcouvrir que celles des quantits primitives, et d'aprs lesquelles
on pourrait ensuite, par un calcul spcial ayant pour destination propre
l'limination de ces infinitsimales auxiliaires, remonter aux quations
cherches, qu'il et t le plus souvent impossible d'obtenir
directement. Cette analyse indirecte pourra l'tre  des degrs divers;
car, si on trouve quelquefois trop de difficult  former immdiatement
l'quation entre les diffrentielles mmes des grandeurs que l'on
considre, il faudra, par un emploi redoubl du mme artifice gnral,
traiter,  leur tour, ces diffrentielles comme de nouvelles quantits
primitives, et chercher la relation entre leurs lmens infiniment
petits, qui, par rapport aux objets dfinitifs de la question, seront
les _diffrentielles secondes_; et ainsi de suite, la mme
transformation pouvant tre rpte un nombre quelconque de fois,  la
condition toujours d'liminer finalement le nombre de plus en plus grand
des quantits infinitsimales introduites comme auxiliaires.

Un esprit encore tranger  ces considrations n'aperoit pas
sur-le-champ comment l'emploi de ces quantits auxiliaires peut
faciliter la dcouverte des lois analytiques des phnomnes; car les
accroissemens infiniment petits des grandeurs proposes tant de mme
espce qu'elles, leurs relations ne paraissent pas devoir s'obtenir plus
aisment, la valeur plus ou moins petite d'une quantit ne pouvant, en
effet, exercer aucune influence sur une recherche ncessairement
indpendante, par sa nature, de toute ide de valeur. Mais il est ais,
nanmoins, de s'expliquer trs-nettement, et d'une manire tout--fait
gnrale,  quel point, par un tel artifice, la question doit se
trouver simplifie. Il faut, pour cela, commencer par distinguer les
diffrens ordres d'infiniment petits, dont on peut se faire une ide
fort prcise, en considrant que ce sont ou les puissances successives
d'un mme infiniment petit primitif, ou des quantits qu'on peut
prsenter comme ayant avec ces puissances des rapports finis, en sorte
que, par exemple, les diffrentielles seconde, troisime, etc., d'une
mme variable, sont classes comme infiniment petits du second ordre, du
troisime, etc., parce qu'il est ais de montrer en elles des multiples
finis des puissances seconde, troisime, etc., d'une certaine
diffrentielle premire. Ces notions prliminaires tant poses,
l'esprit de l'analyse infinitsimale consiste  ngliger constamment les
quantits infiniment petites  l'gard des quantits finies, et,
gnralement, les infiniment petits d'un ordre quelconque vis--vis tous
ceux d'un ordre infrieur. On conoit immdiatement combien une telle
facult doit faciliter la formation des quations entre les
diffrentielles des quantits, puisque, au lieu de ces diffrentielles,
on pourra substituer tels autres lmens qu'on voudra, et qui seraient
plus simples  considrer, en se conformant  cette seule condition, que
les nouveaux lmens ne diffrent des prcdens que de quantits
infiniment petites par rapport  eux. C'est ainsi qu'il sera possible,
en gomtrie, de traiter les lignes courbes comme composes d'une
infinit d'lmens rectilignes, les surfaces courbes comme formes
d'lmens plans; et, en mcanique, les mouvemens varis comme une suite
infinie de mouvemens uniformes, se succdant  des intervalles de temps
infiniment petits. Vu l'importance de cette conception admirable, je
crois devoir ici, par l'indication sommaire de quelques exemples
principaux, achever d'claircir son caractre fondamental.

Qu'il s'agisse de dterminer, en chaque point d'une courbe plane dont
l'quation est donne, la direction de sa tangente, question dont la
solution gnrale a t l'objet primitif qu'avaient en vue les
inventeurs de l'analyse transcendante. On considrera la tangente comme
une scante qui joindrait deux points infiniment voisins; et alors, en
nommant dy et dx les diffrences infiniment petites des coordonnes de
ces deux points, les premiers lmens de la gomtrie fourniront
immdiatement l'quation t=/frac{dy}{dx}, pour la tangente
trigonomtrique de l'angle que fait avec l'axe des x la tangente
cherche, ce qui, dans un systme de coordonnes rectilignes, est la
manire la plus simple d'en fixer la position. Cette quation, commune 
toutes les courbes, tant pose, la question est rduite  un simple
problme analytique, qui consistera  liminer les infinitsimales dx et
dy, introduites comme auxiliaires, en dterminant, dans chaque cas
particulier, d'aprs l'quation de la courbe propose, le rapport de dy
 dx, ce qui se fera constamment par des procds uniformes et
trs-simples.

En second lieu, qu'on veuille connatre la longueur de l'arc d'une
courbe quelconque, considr comme une fonction des coordonnes de ses
extrmits. Il serait impossible d'tablir immdiatement l'quation
entre cet arc s et ces coordonnes, tandis qu'il est ais de trouver la
relation correspondante entre les diffrentielles de ces diverses
grandeurs. Les plus simples thormes de la gomtrie lmentaire
donneront, en effet, sur-le-champ, en considrant l'arc infiniment petit
ds comme une ligne droite, les quations /[ds^2 = dy^2 + dx^2,
/mbox{ou}ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2, /] suivant que la courbe sera plane
ou  double courbure. Dans l'un et l'autre cas, la question est
maintenant tout entire du domaine de l'analyse, qui fera remonter,
d'aprs cette relation,  celle qui existe entre les quantits finies
elles-mmes que l'on considre, par l'limination des diffrentielles,
qui est l'objet propre du calcul des fonctions indirectes.

Il en serait de mme pour la quadrature des aires curvilignes. Si la
courbe est plane et rapporte  des coordonnes rectilignes, on concevra
l'aire A comprise entre elle, l'axe des x, et deux coordonnes extrmes,
comme augmentant d'une quantit infiniment petite dA, en rsultat d'un
accroissement analogue de l'abcisse. Alors la relation entre ces deux
diffrentielles pourra s'obtenir immdiatement avec la plus grande
facilit, en substituant  l'lment curviligne de l'aire propose le
rectangle form par l'ordonne extrme et l'lment de l'abcisse, dont
il ne diffre videmment que d'une quantit infiniment petite du second
ordre, ce qui fournira aussitt, quelle que soit la courbe, l'quation
diffrentielle trs-simple /[dA = ydx,/] d'o le calcul des fonctions
indirectes, quand la courbe sera dfinie, apprendra  dduire l'quation
finie, objet immdiat du problme.

Pareillement, en dynamique, quand on voudra connatre l'expression de la
vitesse acquise  chaque instant par un corps anim d'un mouvement vari
suivant une loi quelconque, on considrera le mouvement comme uniforme
pendant la dure d'un lment infiniment petit du temps t, et on formera
ainsi immdiatement l'quation diffrentielle de=vdt, v dsignant la
vitesse acquise quand le corps a parcouru l'espace e, et de l il sera
facile de conclure, par de simples procds analytiques invariables, la
formule qui donnerait la vitesse dans chaque mouvement particulier,
d'aprs la relation correspondante entre le temps et l'espace; ou,
rciproquement, quelle serait cette relation si le mode de variation de
la vitesse tait suppos connu, soit par rapport  l'espace, soit par
rapport au temps.

Enfin, pour indiquer une autre nature de questions, c'est par une marche
semblable que, dans l'tude des phnomnes thermologiques, comme l'a si
heureusement conue M. Fourier, on peut former trs-simplement, ainsi
que nous le verrons plus tard, l'quation diffrentielle gnrale qui
exprime la rpartition variable de la chaleur dans un corps quelconque 
quelques influences qu'on le suppose soumis, d'aprs la seule relation,
fort aise  obtenir, qui reprsente la distribution uniforme de la
chaleur dans un paralllipipde rectangle, en considrant
gomtriquement tout autre corps comme dcompos en lmens infiniment
petits d'une telle forme, et thermologiquement le flux de chaleur comme
constant pendant un temps infiniment petit. Ds-lors, toutes les
questions que peut prsenter la thermologie abstraite se trouveront
rduites, comme pour la gomtrie et la mcanique,  de pures
difficults d'analyse, qui consisteront toujours dans l'limination des
diffrentielles introduites comme auxiliaires pour faciliter
l'tablissement des quations.

Des exemples de nature aussi diverse sont plus que suffisans pour faire
nettement comprendre en gnral l'immense porte de la conception
fondamentale de l'analyse transcendante, telle que Lebnitz l'a forme,
et qui constitue sans aucun doute la plus haute pense  laquelle
l'esprit humain se soit jamais lev jusqu' prsent.

On voit que cette conception tait indispensable pour achever de fonder
la science mathmatique, en permettant d'tablir d'une manire large et
fconde, la relation du concret  l'abstrait. Sous ce rapport, elle doit
tre envisage comme le complment ncessaire de la grande ide-mre de
Descartes, sur la reprsentation analytique gnrale des phnomnes
naturels, ide qui n'a commenc  tre dignement apprcie et
convenablement exploite que depuis la formation de l'analyse
infinitsimale, sans laquelle elle ne pouvait encore produire, mme en
gomtrie, de rsultats trs-importans[11].

      [Note 11: Il est bien remarquable, en effet, que des
      hommes tels que Pascal, aient fait aussi peu d'attention 
      la conception fondamentale de Descartes, sans pressentir
      nullement la rvolution gnrale qu'elle tait
      ncessairement destine  produire dans le systme entier de
      la science mathmatique. Cela est venu de ce que, sans le
      secours de l'analyse transcendante, cette admirable mthode
      ne pouvait rellement encore conduire  des rsultats
      essentiels, qui ne pussent tre obtenus presqu'aussi bien
      par la mthode gomtrique des anciens. Les esprits mmes
      les plus minens ont toujours bien moins apprci jusqu'ici
      les mthodes gnrales par leur simple caractre
      philosophique, que par les connaissances effectives qu'elles
      pouvaient procurer immdiatement.]

Quoique j'aie cru devoir, dans les considrations prcdentes, insister
particulirement sur l'admirable facilit que prsente par sa nature
l'analyse transcendante pour la recherche des lois mathmatiques de tous
les phnomnes, je ne dois pas ngliger de faire ressortir une seconde
proprit fondamentale, peut-tre aussi importante que la premire, et
qui ne lui est pas moins inhrente: je veux parler de l'extrme
gnralit des formules diffrentielles, qui expriment en une seule
quation chaque phnomne dtermin, quelque varis que puissent tre
les sujets dans lesquels on le considre. Ainsi, sous le point de vue de
l'analyse infinitsimale, on voit, dans les exemples qui prcdent, une
seule quation diffrentielle donner les tangentes  toutes les courbes,
une autre leurs rectifications, une troisime leurs quadratures; et de
mme, une formule invariable exprimer la loi mathmatique de tout
mouvement vari; enfin une quation unique reprsenter constamment la
rpartition de la chaleur dans un corps et pour un cas quelconques.
Cette gnralit si minemment remarquable, et qui est pour les
gomtres la base des considrations les plus leves, est une heureuse
consquence ncessaire et presqu'immdiate de l'esprit mme de l'analyse
transcendante, surtout dans la conception de Lebnitz. Elle rsulte de
ce que, en substituant aux lmens infiniment petits des grandeurs
considres, d'autres infinitsimales plus simples, qui seules entrent
dans les quations diffrentielles, ces infinitsimales se trouvent, par
leur nature, tre constamment les mmes pour chaque classe totale de
questions, quels que soient les objets divers du phnomne tudi.
Ainsi, par exemple, toute courbe, quelle qu'elle soit, tant toujours
dcompose en lmens rectilignes, on conoit _ priori_ que la relation
entre ces lmens uniformes doit ncessairement tre la mme pour un
mme phnomne gomtrique quelconque, quoique l'quation finie
correspondante  cette loi diffrentielle doive varier d'une courbe 
une autre. Il en est videmment de mme dans tout autre cas quelconque.
L'analyse infinitsimale n'a donc pas seulement fourni un procd
gnral pour former indirectement des quations qu'il et t impossible
de dcouvrir d'une manire directe; elle a permis en outre de
considrer, pour l'tude mathmatique des phnomnes naturels, un ordre
nouveau de lois plus gnrales et nanmoins offrant une signification
claire et prcise  tout esprit habitu  leur interprtation. Ces lois
sont constamment les mmes pour chaque phnomne, dans quelques objets
qu'on l'tudie, et ne changent qu'en passant d'un phnomne  un autre;
d'o l'on a pu d'ailleurs, en comparant ces variations, s'lever
quelquefois, par une vue encore plus gnrale,  des rapprochemens
positifs entre diverses classes de phnomnes tout--fait divers,
d'aprs les analogies prsentes par les expressions diffrentielles de
leurs lois mathmatiques. Dans l'tude philosophique de la mathmatique
concrte, je m'attacherai  faire exactement apprcier cette seconde
proprit caractristique de l'analyse transcendante, non moins
admirable que la premire, et en vertu de laquelle le systme entier
d'une science immense, comme la gomtrie ou la mcanique, a pu se
trouver condens en un petit nombre de formules analytiques, d'o
l'esprit humain peut dduire, par des rgles certaines et invariables,
la solution de tous les problmes particuliers.

Pour terminer l'exposition gnrale de la conception de Lebnitz, il me
reste maintenant  considrer en elle-mme la dmonstration du procd
logique auquel elle conduit, ce qui constitue malheureusement la partie
la plus imparfaite de cette belle mthode.

Dans les premiers temps de l'analyse infinitsimale, les gomtres les
plus clbres, tels que les deux illustres frres Jean et Jacques
Bernouilli attachrent, avec raison, bien plus d'importance  tendre,
en la dveloppant, l'immortelle dcouverte de Lebnitz, et  en
multiplier les applications, qu' tablir rigoureusement les bases
logiques sur lesquelles reposaient les procds de ce nouveau
calcul[12]. Ils se contentrent pendant long-temps de rpondre par la
solution inespre des problmes les plus difficiles  l'opposition
prononce de la plupart des gomtres du second ordre contre les
principes de la nouvelle analyse, persuads sans doute, contrairement
aux habitudes ordinaires, que, dans la science mathmatique bien plus
que dans aucune autre, on peut accueillir avec hardiesse les nouveaux
moyens, mme quand leur rationnalit est imparfaite, pourvu qu'ils
soient fconds, puisque, les vrifications tant bien plus faciles et
plus multiplies, l'erreur ne saurait demeurer long-temps inaperue.
Nanmoins, aprs le premier lan, il tait impossible d'en rester l; et
il fallait revenir ncessairement sur les fondemens mmes de l'analyse
lebnitzienne pour constater gnralement l'exactitude rigoureuse des
procds employs, malgr les infractions apparentes qu'on s'y
permettait aux rgles ordinaires du raisonnement. Lebnitz, press de
rpondre, avait lui-mme prsent une explication tout--fait errone,
en disant qu'il traitait les infiniment petits comme des
_incomparables_, et qu'il les ngligeait vis--vis des quantits finies
_comme des grains de sable par rapport  la mer_, considration qui et
compltement dnatur son analyse, en la rduisant  n'tre plus qu'un
simple calcul d'approximation, qui, sous ce rapport, serait radicalement
vicieux, puisqu'il serait impossible de prvoir, en thse gnrale, 
quel point les oprations successives peuvent grossir ces erreurs
premires, dont l'accroissement pourrait mme videmment devenir ainsi
quelconque. Lebnitz n'avait donc entrevu que d'une manire extrmement
confuse les vritables fondemens rationnels de l'analyse qu'il avait
cre. Ses premiers successeurs se bornrent d'abord  en vrifier
l'exactitude par la conformit de ses rsultats, dans certains usages
particuliers, avec ceux que fournissait l'algbre ordinaire ou la
gomtrie des anciens, en reproduisant, autant qu'ils le pouvaient,
d'aprs les anciennes mthodes, les solutions de quelques problmes,
une fois qu'elles avaient t obtenues par la mthode nouvelle, seule
capable primitivement de les faire dcouvrir. Quand cette grande
question a t considre d'une manire plus gnrale, les gomtres, au
lieu d'aborder directement la difficult, ont prfr l'luder en
quelque sorte, comme l'ont fait Euler et d'Alembert, par exemple, en
dmontrant abstraitement la conformit ncessaire et constante de la
conception de Lebnitz, envisage dans tous ses usages quelconques, avec
d'autres conceptions fondamentales de l'analyse transcendante, celle de
Newton surtout, dont l'exactitude tait  l'abri de toute objection. Une
telle vrification gnrale est sans doute strictement suffisante pour
dissiper toute incertitude sur l'emploi lgitime de l'analyse
lebnitzienne. Mais la mthode infinitsimale est tellement importante,
elle prsente encore, dans presque toutes les applications, une telle
supriorit effective sur les autres conceptions gnrales
successivement proposes, qu'il y aurait vritablement imperfection dans
le caractre philosophique de la science  ne pouvoir la justifier en
elle-mme, et  la fonder logiquement sur des considrations d'un autre
ordre, qu'on cesserait ensuite d'employer efficacement. Il tait donc
d'une importance relle d'tablir directement et d'une manire gnrale
la rationnalit ncessaire de la mthode infinitsimale. Aprs diverses
tentatives plus ou moins imparfaites pour y parvenir, les travaux
philosophiques de Lagrange ayant fortement report, vers la fin du
sicle dernier, l'attention des gomtres sur la thorie gnrale de
l'analyse infinitsimale, un gomtre trs-recommandable, Carnot,
prsenta enfin la vritable explication logique directe de la mthode de
Lebnitz, en la montrant comme fonde sur le principe de la compensation
ncessaire des erreurs, ce qui est vraisemblablement, en effet, la
manifestation prcise et lumineuse de ce que Lebnitz avait vaguement et
confusment aperu, en concevant les bases rationnelles de son analyse.
Carnot a rendu ainsi  la science un service essentiel[13], et dont
l'importance me semble n'tre pas encore suffisamment apprcie,
quoique, comme nous le verrons  la fin de cette leon, tout cet
chafaudage logique de la mthode infinitsimale proprement dite ne soit
susceptible trs-vraisemblablement que d'une existence provisoire, en
tant que radicalement vicieux par sa nature. Je n'en crois pas moins,
cependant, devoir considrer ici, afin de complter cette importante
exposition, le raisonnement gnral propos par Carnot, pour lgitimer
directement l'analyse de Lebnitz. Voici en quoi il consiste
essentiellement.

      [Note 12: On ne peut contempler, sans un profond
      intrt, le naf enthousiasme de l'illustre Huyghens, au
      sujet de cette admirable cration, quoique son ge avanc ne
      lui permt point d'en faire lui-mme aucun usage important,
      et qu'il se ft dj lev sans ce puissant secours  des
      dcouvertes capitales. _Je vois avec surprise et avec
      admiration_, crivait-il, en 1692, au marquis de L'Hpital,
      _l'tendue et la fcondit de cet art; de quelque ct que
      je tourne la vue, j'en aperois de nouveaux usages; enfin,
      j'y conois un progrs et une spculation infinis._]


      [Note 13: Voyez l'ouvrage remarquable qu'il a publi
      sous le titre de _Rflexions sur la Mtaphysique du calcul
      infinitsimal_, et dans lequel on trouve d'ailleurs une
      exposition claire et utile, quoique trop peu approfondie, de
      tous les divers points de vue sous lesquels a t conu le
      systme gnral du calcul des fonctions indirectes.]


Lorsqu'on tablit l'quation diffrentielle d'un phnomne, on substitue
aux lmens immdiats des diverses quantits considres, d'autres
infinitsimales plus simples qui en diffrent infiniment peu par rapport
 eux, et cette substitution constitue le principal artifice de la
mthode de Lebnitz, qui, sans cela, n'offrirait aucune facilit relle
pour la formation des quations. Carnot regarde une telle hypothse
comme produisant vritablement une erreur dans l'quation ainsi obtenue,
et que, pour cette raison, il appelle _imparfaite_; seulement, il est
clair que cette erreur ne peut tre qu'infiniment petite. Or, d'un autre
ct, tous les procds analytiques, soit de diffrentiation, soit
d'intgration, qu'on applique  ces quations diffrentielles pour
s'lever aux quations finies en liminant toutes les infinitsimales
introduites comme auxiliaires, produisent aussi constamment, par leur
nature, ainsi qu'il est ais de le voir, d'autres erreurs analogues, en
sorte qu'il a pu s'oprer une exacte compensation, et que les quations
dfinitives peuvent, suivant l'expression de Carnot, tre devenues
_parfaites_. Carnot considre comme un symptme certain et invariable de
l'tablissement effectif de cette compensation ncessaire, l'limination
complte des diverses quantits infiniment petites, qui est constamment,
en effet, le but dfinitif de toutes les oprations de l'analyse
transcendante. Car, si on n'a jamais commis d'autres infractions aux
rgles gnrales du raisonnement que celles ainsi exiges par la nature
mme de la mthode infinitsimale, les erreurs infiniment petites
produites de cette manire n'ayant jamais pu engendrer que des erreurs
infiniment petites dans toutes les quations, les relations sont
ncessairement d'une exactitude rigoureuse aussitt qu'elles n'ont plus
lieu qu'entre des quantits finies, puisqu'il ne saurait videmment
exister alors que des erreurs finies, tandis qu'il n'a pu en survenir
aucune de ce genre. Tout ce raisonnement gnral est fond sur la notion
des quantits infinitsimales, conues comme indfiniment dcroissantes,
lorsque celles dont elles drivent sont envisages comme fixes.

Ainsi, pour claircir cette exposition abstraite par un seul exemple,
reprenons la question des tangentes, qui est la plus facile  analyser
compltement. On regardera l'quation t=/frac{dy}{dx} obtenue ci-dessus
comme affecte d'une erreur infiniment petite, puisqu'elle ne serait
tout--fait rigoureuse que pour la scante. Maintenant, on achvera la
solution en cherchant, d'aprs l'quation de chaque courbe, le rapport
entre les diffrentielles des coordonnes. Si cette quation est, je
suppose, y=ax^2, on aura videmment /[dy = 2axdx + dx^2./]

Dans cette formule, on devra ngliger le terme dx^2 comme infiniment
petit du second ordre. Ds lors la combinaison des deux quations
_imparfaites_ /[t=/frac{dy}{dx},/;dy = 2axdx,/] suffisant pour liminer
entirement les infinitsimales, le rsultat fini t = 2ax sera
ncessairement rigoureux par l'effet de la compensation exacte des deux
erreurs commises puisqu'il ne pourrait, par sa nature, tre affect
d'une erreur infiniment petite, la seule nanmoins qu'il pt y avoir,
d'aprs l'esprit des procds qui ont t suivis.

Il serait ais de reproduire uniformment le mme raisonnement par
rapport  toutes les autres applications gnrales de l'analyse de
Lebnitz.

Cette ingnieuse thorie est sans doute plus subtile que solide, quand
on cherche  l'approfondir. Mais elle n'a cependant en ralit d'autre
vice logique radical que celui de la mthode infinitsimale elle-mme,
dont elle est, ce me semble, le dveloppement naturel et l'explication
gnrale, en sorte qu'elle doit tre adopte aussi long-temps qu'on
jugera convenable d'employer directement cette mthode.

Je passe maintenant  l'exposition gnrale des deux autres conceptions
fondamentales de l'analyse transcendante, en me bornant pour chacune 
l'ide principale, le caractre philosophique de cette analyse ayant
t, du reste, suffisamment dtermin ci-dessus, d'aprs la conception
de Lebnitz,  laquelle j'ai d spcialement m'attacher, parce qu'elle
permet de le saisir plus aisment dans son ensemble, et de le dcrire
avec plus de rapidit.

Newton a prsent successivement, sous plusieurs formes diffrentes, sa
manire propre de concevoir l'analyse transcendante. Celle qui est
aujourd'hui le plus communment adopte, du moins parmi les gomtres du
continent, a t dsigne par Newton, tantt sous le nom de _mthode des
premires et dernires raisons_, tantt sous celui de _mthode des
limites_, qu'on emploie plus frquemment.

Sous ce point de vue, l'esprit gnral de l'analyse transcendante
consiste  introduire comme auxiliaires,  la place des quantits
primitives ou concurremment avec elles, pour faciliter l'tablissement
des quations, les limites des rapports des accroissemens simultans de
ces quantits, ou, en d'autres termes, les dernires raisons de ces
accroissemens, limites ou dernires raisons qu'on peut aisment montrer
comme ayant une valeur dtermine et finie. Un calcul spcial, qui est
l'quivalent du calcul infinitsimal, est ensuite destin  s'lever de
ces quations entre ces limites aux quations correspondantes entre les
quantits primitives elles-mmes.

La facult que prsente une telle analyse pour exprimer plus aisment
les lois mathmatiques des phnomnes tient, en gnral,  ce que le
calcul portant, non sur les accroissemens mmes des quantits proposes,
mais sur les limites des rapports de ces accroissemens, on pourra
toujours substituer  chaque accroissement toute autre grandeur plus
simple  considrer, pourvu que leur dernire raison soit la raison
d'galit, ou, en d'autres termes, que la limite de leur rapport soit
l'unit. Il est clair, en effet, que le calcul des limites ne saurait
tre nullement affect de cette substitution. En partant de ce principe,
on retrouve  peu prs l'quivalent des facilits offertes par l'analyse
de Lebnitz, qui sont seulement conues alors sous un autre point de
vue. Ainsi, les courbes seront envisages comme les limites d'une suite
de polygones rectilignes, les mouvemens varis comme les limites d'un
ensemble de mouvemens uniformes de plus en plus rapprochs, etc.

Qu'on veuille, par exemple, dterminer la direction de la tangente  une
courbe; on la regardera comme la limite vers laquelle tendrait une
scante, qui tournerait autour du point donn, de manire que son second
point d'intersection se rapprocht indfiniment du premier. En nommant
/Delta y et /Delta x les diffrences des coordonnes des deux points, on
aurait,  chaque instant, pour la tangente trigonomtrique de l'angle
que fait la scante avec l'axe des abcisses, t=/frac{/Delta y}{/Delta
x}; d'o, en prenant les limites, on dduira, relativement  la tangente
elle-mme, cette formule gnrale d'analyse transcendante /[t =
L/frac{/Delta y}{/Delta x};[14]/] d'aprs laquelle le calcul des
fonctions indirectes enseignera, dans chaque cas particulier, quand
l'quation de la courbe sera donne,  dduire la relation entre t et x,
en liminant les quantits auxiliaires introduites. Si, pour achever la
solution, on suppose que y = ax^2 soit l'quation de la courbe propose,
on aura videmment, /[/Delta y = 2ax/Delta x + (/Delta x)^2;/] d'o l'on
conclura /[/frac{/Delta y}{/Delta x} = 2ax + /Delta x./] Or, il est
clair que la limite vers laquelle tend le second membre,  mesure que
/Delta x diminue, est 2ax. On trouvera donc par cette mthode, t=2ax,
comme nous l'avions obtenu ci-dessus pour le mme cas, d'aprs l'analyse
de Lebnitz.

      [Note 14: J'emploie la caractristique L pour dsigner
      la limite.]

Pareillement, quand on cherche la rectification d'une courbe, il faut
substituer  l'accroissement de l'arc s, la corde de cet accroissement,
qui est videmment avec lui dans une relation telle, que la limite de
leur rapport est l'unit, et alors on trouve, en suivant d'ailleurs la
mme marche qu'avec la mthode de Lebnitz, cette quation gnrale des
rectifications /[/left(L/frac{/Delta s}{/Delta x}/right)^2 = 1 +
/left(L/frac{/Delta y}{/Delta x}/right)^2/] ou /[/left(L/frac{/Delta
s}{/Delta x}/right)^2 = 1 + /left(L/frac{/Delta y}{/Delta x}/right)^2 +
/left(L/frac{/Delta z}{/Delta x}/right)^2,/] selon que la courbe est
plane ou  double courbure. Il faudra maintenant, pour chaque courbe
particulire, passer de cette quation  celle entre l'arc et l'abcisse,
ce qui dpend du calcul transcendant proprement dit.

On reprendrait avec la mme facilit, d'aprs la mthode des limites,
toutes les autres questions gnrales, dont la solution a t indique
ci-dessus, suivant la mthode infinitsimale.

Telle est, essentiellement, la conception que Newton s'tait forme,
pour l'analyse transcendante, ou, plus exactement, celle que Maclaurin
et d'Alembert ont prsente comme la base la plus rationnelle de cette
analyse, en cherchant  fixer et  coordonner les ides de Newton  ce
sujet.

Je dois, nanmoins, avant de procder  l'exposition de la conception de
Lagrange, signaler ici une autre forme distincte sous laquelle Newton a
prsent cette mme mthode, et qui mrite de fixer particulirement
notre attention, tant par son ingnieuse clart dans quelques cas, que
comme ayant fourni la notation la mieux approprie  cette manire
d'envisager l'analyse transcendante, et enfin, comme tant encore
aujourd'hui la forme spciale du calcul des fonctions indirectes
communment adopte par les gomtres anglais. Je veux parler du calcul
des _fluxions_ et des _fluentes_, fond sur la notion gnrale des
_vitesses_.

Pour en faire concevoir l'ide-mre avec plus de facilit, considrons
toute courbe comme engendre par un point anim d'un mouvement vari
suivant une loi quelconque. Les diverses quantits que la courbe peut
offrir, l'abcisse, l'ordonne, l'arc, l'aire, etc., seront envisages
comme simultanment produites par degrs successifs pendant ce
mouvement. La _vitesse_ avec laquelle chacune aura t dcrite sera dite
la _fluxion_ de cette quantit, qui, en sens inverse, en serait nomme
la _fluente_. Ds lors, l'analyse transcendante consistera, dans cette
conception,  former immdiatement les quations entre les fluxions des
quantits proposes pour en dduire ensuite, par un calcul spcial, les
quations entre les fluentes elles-mmes. Ce que je viens d'noncer
relativement aux courbes peut d'ailleurs videmment se transporter  des
grandeurs quelconques, envisages,  l'aide d'une image convenable,
comme produites par le mouvement les unes des autres.

Il est ais de comprendre l'identit gnrale et ncessaire de cette
mthode avec celle des limites, complique de l'ide trangre du
mouvement. En effet, reprenant le cas de la courbe, si l'on suppose,
comme on peut videmment toujours le faire, que le mouvement du point
dcrivant est uniforme suivant une certaine direction, par exemple,
dans le sens de l'abcisse, alors la fluxion de l'abcisse sera constante,
comme l'lment du temps. Pour toutes les autres quantits engendres,
le mouvement ne pourrait tre conu comme uniforme que pendant un temps
infiniment petit. Cela pos, la vitesse tant gnralement, d'aprs sa
notion mcanique, le rapport de chaque espace au temps employ  le
parcourir, et ce temps tant ici proportionnel  l'accroissement de
l'abcisse, il s'ensuit que la fluxion de l'ordonne, de l'arc, de
l'aire, etc., ne sont vritablement autre chose, en faisant disparatre
la considration intermdiaire du temps, que les dernires raisons des
accroissemens de ces diverses quantits compars  celui de l'abcisse.
Cette mthode des fluxions et des fluentes n'est donc en ralit qu'une
manire de se reprsenter, d'aprs une comparaison mcanique, la mthode
des premires et dernires raisons, qui seule est rductible en calcul.
Elle comporte donc ncessairement les mmes avantages gnraux dans les
diverses applications principales de l'analyse transcendante, sans que
nous ayons besoin de le constater spcialement.

Je considre enfin la conception de Lagrange.

Elle consiste, dans son admirable simplicit,  se reprsenter l'analyse
transcendante comme un grand artifice algbrique, d'aprs lequel, pour
faciliter l'tablissement des quations, on introduit, au lieu de
fonctions primitives ou avec elles, leurs fonctions _drives_,
c'est--dire, suivant la dfinition de Lagrange, le cofficient du
premier terme de l'accroissement de chaque fonction, ordonn selon les
puissances ascendantes de l'accroissement de sa variable. Le calcul des
fonctions indirectes proprement dit, est toujours destin, ainsi que
dans les conceptions de Lebnitz et de Newton,  liminer ces _drives_
employes comme auxiliaires, pour dduire de leurs relations les
quations correspondantes entre les grandeurs primitives.

L'analyse transcendante n'est alors autre chose qu'une simple extension
trs-considrable de l'analyse ordinaire. C'tait dj depuis long-temps
un procd familier aux gomtres, que d'introduire, dans les
considrations analytiques, au lieu des grandeurs mmes qu'ils avaient 
tudier, leurs diverses puissances, ou leurs logarithmes, ou leurs
sinus, etc., afin de simplifier les quations, et mme de les obtenir
plus aisment. La _drivation_ successive est un artifice gnral de la
mme nature, qui prsente seulement beaucoup plus d'tendue, et procure,
en consquence, pour ce but commun, des ressources bien plus
importantes.

Mais, quoiqu'on conoive sans doute _ priori_ que la considration
auxiliaire de ces drives, _peut_ faciliter l'tablissement des
quations, il n'est pas ais d'expliquer pourquoi cela _doit_ tre
ncessairement d'aprs le mode de drivation adopt plutt que suivant
toute autre transformation. Tel est le ct faible de la grande pense
de Lagrange. On n'est point, en effet, rellement parvenu jusqu'ici 
saisir en gnral d'une manire abstraite, et sans rentrer dans les
autres conceptions de l'analyse transcendante, les avantages prcis que
doit constamment prsenter, par sa nature, cette analyse ainsi conue,
pour la recherche des lois mathmatiques des phnomnes. Il est
seulement possible de les constater, en considrant sparment chaque
question principale, et cette vrification devient mme pnible, quand
on choisit une question complique.

Pour indiquer sommairement comment cette manire de concevoir l'analyse
transcendante peut s'adapter effectivement  la solution des problmes
mathmatiques, je me bornerai  reprendre sous ce point de vue le
problme le plus simple de tous ceux ci-dessus examins, celui des
tangentes.

Au lieu de concevoir la tangente comme le prolongement de l'lment
infiniment petit de la courbe, suivant la notion de Lebnitz; ou comme
la limite des scantes, suivant les ides de Newton; Lagrange la
considre d'aprs ce simple caractre gomtrique, analogue aux
dfinitions des anciens, d'tre une droite telle qu'entre elle et la
courbe il ne peut passer, par le point de contact, aucune autre droite.
Ds lors, pour en dterminer la direction, il faut chercher l'expression
gnrale de sa distance  la courbe, dans un sens quelconque, dans celui
de l'ordonne, par exemple, en un second point distinct du premier, et
disposer de la constante arbitraire relative  l'inclinaison de la
droite, qui entrera ncessairement dans cette expression, de manire 
diminuer cet cartement le plus possible. Or, cette distance tant
videmment gale  la diffrence des deux ordonnes de la courbe et de
la droite qui correspondent  une mme nouvelle abcisse x+h, sera
reprsente par la formule /[(f'(x)-t)h + qh^2 + rh^3 + /mbox{/rm
etc.},/] o t dsigne, comme ci-dessus, la tangente trigonomtrique
inconnue de l'angle que fait avec l'axe des (x), la droite cherche, et
f'(x), la fonction drive de l'ordonne f(x). Cela pos, il est ais de
voir qu'en disposant de t de faon  annuler le premier terme de la
formule prcdente, on aura rendu l'intervalle des deux lignes le plus
petit possible, tellement que toute autre droite pour laquelle t
n'aurait point la valeur ainsi dtermine, s'carterait ncessairement
davantage de la courbe propose. On a donc, pour la direction de la
tangente cherche, l'expression gnrale t=f'(x); rsultat exactement
quivalent  ceux que fournissent la mthode infinitsimale, et la
mthode des limites. Il restera maintenant, dans chaque courbe
particulire,  trouver f'(x), ce qui est une pure question d'analyse,
tout--fait identique avec celles que prescrivent alors les autres
mthodes.

Aprs avoir suffisamment considr dans leur ensemble les principales
conceptions gnrales successivement produites jusqu'ici pour l'analyse
transcendante, je ne dois pas m'arrter  l'examen de quelques autres
thories proposes, telles que le _calcul des vanouissans_ d'Euler, qui
ne sont rellement que des modifications plus ou moins importantes, et
d'ailleurs inusites, des mthodes prcdentes. Il me reste maintenant,
afin de complter cet ensemble de considrations,  tablir la
comparaison et l'apprciation de ces trois mthodes fondamentales. Je
dois pralablement constater d'une manire gnrale, leur conformit
parfaite et ncessaire.

Il est d'abord vident, par ce qui prcde, qu' considrer ces trois
mthodes quant  leur destination effective, indpendamment des ides
prliminaires, elles consistent toutes en un mme artifice logique
gnral, que j'ai caractris dans la quatrime leon, savoir:
l'introduction d'un certain systme des grandeurs auxiliaires,
uniformment corrlatives  celles qui sont l'objet propre de la
question, et qu'on leur substitue expressment pour faciliter
l'expression analytique des lois mathmatiques des phnomnes,
quoiqu'elles doivent finalement tre limines,  l'aide d'un calcul
spcial. C'est ce qui m'a dtermin  dfinir rgulirement l'analyse
transcendante _le calcul des fonctions indirectes_, afin de marquer son
vrai caractre philosophique, en cartant toute discussion sur la
manire la plus convenable de la concevoir et de l'appliquer. L'effet
gnral de cette analyse, quelle que soit la mthode employe, est donc
de faire rentrer beaucoup plus promptement chaque question mathmatique
dans le domaine du _calcul_, et de diminuer ainsi considrablement la
difficult capitale que prsente ordinairement le passage du concret 
l'abstrait. Quoiqu'on fasse, on ne peut esprer que le calcul s'empare
jamais de chaque question de philosophie naturelle, gomtrique, ou
mcanique, ou thermologique, etc., immdiatement  sa naissance, ce qui
serait videmment contradictoire. Il y aura constamment dans tout
problme, un certain travail prliminaire  effectuer sans que le calcul
puisse tre d'aucun secours, et qui ne saurait tre, par sa nature,
assujti  des rgles abstraites et invariables; c'est celui qui a pour
objet propre l'tablissement des _quations_, qui sont le point de
dpart indispensable de toutes les recherches analytiques. Mais cette
laboration pralable a t singulirement simplifie par la cration de
l'analyse transcendante, qui a ainsi ht l'poque o la solution
comporte l'application uniforme et prcise de procds gnraux et
abstraits; en rduisant, dans chaque cas, ce travail spcial  la
recherche des quations entre les grandeurs auxiliaires, d'o le calcul
conduit ensuite aux quations directement relatives aux grandeurs
proposes, qu'il fallait, avant cette admirable conception, tablir
immdiatement. Que ces quations indirectes soient des quations
_diffrentielles_, suivant la pense de Lebnitz; ou des quations _aux
limites_, conformment aux ides de Newton; ou enfin des quations
_drives_, d'aprs la thorie de Lagrange; le procd gnral est
videmment toujours le mme.

Mais la concidence de ces trois mthodes principales ne se borne pas 
l'effet commun qu'elles produisent; elle existe, en outre, dans la
manire mme de l'obtenir. En effet, non-seulement toutes trois
considrent,  la place des grandeurs primitives, certaines grandeurs
auxiliaires; de plus, les quantits ainsi introduites subsidiairement,
sont exactement identiques dans les trois mthodes, qui ne diffrent,
par consquent, que par la manire de les envisager. C'est ce qu'on peut
aisment constater, en prenant pour terme gnral de comparaison une
quelconque des trois conceptions, celle de Lagrange surtout, la plus
propre  servir de type, comme tant la plus dgage de considrations
trangres. N'est-il pas vident, par la seule dfinition des _fonctions
drives_, qu'elles ne sont autre chose que ce que Lebnitz appelle les
_cofficiens diffrentiels_, ou les rapports de la diffrentielle de
chaque fonction  celle de la variable correspondante, puisque, en
dterminant la premire diffrentielle, on devra, par la nature mme de
la mthode infinitsimale, se borner  prendre le seul terme de
l'accroissement de la fonction qui contient la premire puissance de
l'accroissement infiniment petit de la variable? De mme, la fonction
drive n'est elle pas aussi par sa nature, la _limite_ ncessaire vers
laquelle tend le rapport entre l'accroissement de la fonction primitive
et celui de sa variable,  mesure que ce dernier diminue indfiniment,
puisqu'elle exprime videmment ce que devient ce rapport, en supposant
nul l'accroissement de la variable. Ce qu'on dsigne par /frac{dy}{dx}
dans la mthode de Lebnitz, ce qu'on devrait noter L /frac{/Delta
y}{/Delta x} dans celle de Newton, et ce que Lagrange a indiqu par
f'(x), est toujours une mme fonction, envisage sous trois points de
vue diffrens; les considrations de Lebnitz et de Newton, consistant
proprement  faire connatre deux proprits gnrales ncessaires de la
fonction drive. L'analyse transcendante, examine abstraitement, et
dans son principe, est donc toujours la mme, quelle que soit la
conception qu'on adopte: les procds du calcul des fonctions indirectes
sont ncessairement identiques dans ces diverses mthodes, qui,
pareillement, doivent, pour une application quelconque, conduire
constamment  des rsultats rigoureusement conformes.

Si maintenant nous cherchons  apprcier la valeur relative de ces trois
conceptions quivalentes, nous trouverons dans chacune des avantages et
des inconvniens qui lui sont propres, et qui empchent encore les
gomtres de s'en tenir strictement  une seule d'entr'elles, considre
comme dfinitive.

La conception de Lebnitz prsente, incontestablement, dans l'ensemble
des applications, une supriorit trs-prononce, en conduisant d'une
manire beaucoup plus rapide, et avec bien moins d'efforts
intellectuels,  la formation des quations entre les grandeurs
auxiliaires. C'est  son usage que nous devons la haute perfection
qu'ont enfin acquise toutes les thories gnrales de la gomtrie et de
la mcanique. Quelles que soient les diverses opinions spculatives des
gomtres sur la mthode infinitsimale, envisage abstraitement, tous
s'accordent tacitement  l'employer de prfrence, aussitt qu'ils ont 
traiter une question nouvelle, afin de ne point compliquer la difficult
ncessaire par cet obstacle purement artificiel, provenant d'une
obstination dplace  vouloir suivre une marche moins expditive.
Lagrange lui-mme, aprs avoir reconstruit sur de nouvelles bases
l'analyse transcendante, a rendu, avec cette haute franchise qui
convenait si bien  son gnie, un hommage clatant et dcisif aux
proprits caractristiques de la conception de Lebnitz, en la suivant
exclusivement dans le systme entier de la _mcanique analytique_. Un
tel fait nous dispense,  ce sujet, de toute autre rflexion.

Mais quand on considre en elle-mme, et sous le rapport logique, la
conception de Lebnitz, on ne peut s'empcher de reconnatre avec
Lagrange qu'elle est radicalement vicieuse, en ce que, suivant ses
propres expressions, la notion des infiniment petits, est une _ide
fausse_, qu'il est impossible, en effet, de se reprsenter nettement,
quoiqu'on se fasse quelquefois illusion  cet gard. L'analyse
transcendante, ainsi conue, prsente,  mes yeux, cette grande
imperfection philosophique, de se trouver encore essentiellement fonde
sur ces principes mtaphysiques, dont l'esprit humain a eu tant de peine
 dgager toutes ses thories positives. Sous ce rapport, on peut dire
que la mthode infinitsimale porte vraiment l'empreinte caractristique
de l'poque de sa fondation, et du gnie propre de son fondateur. On
peut bien, il est vrai, par l'ingnieuse ide de la compensation des
erreurs, s'expliquer d'une manire gnrale, comme nous l'avons fait
ci-dessus, l'exactitude ncessaire des procds gnraux qui composent
la mthode infinitsimale. Mais cela seul n'est-il pas un inconvnient
radical, que d'tre oblig de distinguer, en mathmatique, deux classes
de raisonnemens, ceux qui sont parfaitement rigoureux, et ceux dans
lesquels on commet  dessein des erreurs qui devront se compenser plus
tard? Une conception qui conduit  des consquences aussi tranges, est,
sans doute, rationnellement, bien peu satisfaisante.

Ce serait videmment luder la difficult sans la rsoudre, que de dire,
comme on l'a fait quelquefois, qu'il est possible, par rapport  chaque
question, de faire rentrer la mthode infinitsimale proprement dite
dans celle des limites, dont le caractre logique est irrprochable.
D'ailleurs, une telle transformation enlve presqu'entirement  la
conception de Lebnitz les avantages essentiels qui la recommandent si
minemment, quant  la facilit et  la rapidit des oprations
intellectuelles.

Enfin n'et-on mme aucun gard aux importantes considrations qui
prcdent, la mthode infinitsimale n'en prsenterait pas moins
videmment, par sa nature, ce dfaut capital de rompre l'unit de la
mathmatique abstraite, en crant un calcul transcendant fond sur des
principes si diffrens de ceux qui servent de base  l'analyse
ordinaire. Ce partage de l'analyse en deux mondes presque indpendans,
tend  empcher la formation de conceptions analytiques vritablement
gnrales. Pour en bien apprcier les consquences, il faudrait se
reporter, par la pense,  l'tat dans lequel se trouvait la science,
avant que Lagrange et tabli entre ces deux grandes sections une
harmonie gnrale et dfinitive.

Passant  la conception de Newton, il est vident que, par sa nature,
elle se trouve  l'abri des objections logiques fondamentales que
provoque la mthode de Lebnitz. La notion des _limites_ est, en effet,
remarquable par sa nettet et par sa justesse. Dans l'analyse
transcendante prsente de cette manire, les quations sont envisages
comme exactes ds l'origine, et les rgles gnrales du raisonnement
sont aussi constamment observes que dans l'analyse ordinaire. Mais,
d'un autre ct, elle est bien loin d'offrir, pour la solution des
problmes, d'aussi puissantes ressources que la mthode infinitsimale.
Cette obligation qu'elle impose de ne considrer jamais les
accroissemens des grandeurs sparment et en eux-mmes, ni seulement
dans leurs rapports, mais uniquement dans les limites de ces rapports
ralentit considrablement la marche de l'intelligence pour la formation
des quations auxiliaires. On peut mme dire qu'elle gne beaucoup les
transformations purement analytiques. Aussi le calcul transcendant,
considr sparment de ses applications, est-il loin d'offrir dans
cette mthode l'tendue et la gnralit que lui a imprimes la
conception de Lebnitz. C'est trs-pniblement, par exemple, qu'on
parvient  tendre la thorie de Newton aux fonctions de plusieurs
variables indpendantes. Quoi qu'il en soit, c'est surtout par rapport
aux applications, que l'infriorit relative de cette thorie se trouve
marque.

Je ne dois pas ngliger  ce sujet de faire observer que plusieurs
gomtres du continent, en adoptant, comme plus rationnelle, la mthode
de Newton, pour servir de base  l'analyse transcendante, ont dguis en
partie cette infriorit, par une grave inconsquence, qui consiste 
appliquer  cette mthode la notation imagine par Lebnitz pour la
mthode infinitsimale, et qui n'est rellement propre qu' elle. En
dsignant par /frac{dy}{dx} ce que, rationnellement, il faudrait, dans
la thorie des limites, noter L/frac{/Delta y}{/Delta x}, et en tendant
 toutes les autres notions analytiques ce dplacement de signes, on se
propose sans doute de combiner les avantages spciaux des deux mthodes;
mais on ne parvient, en ralit, qu' tablir entr'elles une confusion
vicieuse, dont l'habitude tend  empcher de se former des ides nettes
et exactes de l'une ou de l'autre. Il serait sans doute trange, 
considrer cet usage en lui-mme, que, par le seul moyen des signes, on
pt effectuer une vritable combinaison entre deux thories gnrales
aussi distinctes.

Enfin la mthode des limites, prsente aussi, quoiqu' un moindre degr,
l'inconvnient majeur que j'ai signal ci-dessus, dans la mthode
infinitsimale, d'tablir une sparation totale entre l'analyse
ordinaire et l'analyse transcendante. Car l'ide des _limites_, quoique
nette et rigoureuse, n'en est pas moins, par elle-mme, comme Lagrange
l'a remarqu, une ide trangre, dont les thories analytiques ne
devraient pas se trouver dpendantes.

Cette unit parfaite de l'analyse, ce caractre purement abstrait de ses
notions fondamentales, se trouvent au plus haut degr dans la conception
de Lagrange, et ne se trouvent que l. Elle est, pour cette raison, la
plus rationnelle et la plus philosophique de toutes. cartant avec soin
toute considration htrogne, Lagrange a rduit l'analyse
transcendante  son vritable caractre propre, celui d'offrir une
classe trs-tendue de transformations analytiques,  l'aide desquelles
on facilite singulirement l'expression des conditions des divers
problmes. En mme temps, cette analyse s'est ncessairement prsente
par l comme une simple extension de l'analyse ordinaire; elle n'a plus
t qu'une algbre suprieure. Toutes les diverses parties, jusqu'alors
si incohrentes, de la mathmatique abstraite, ont pu tre conues, ds
ce moment, comme formant un systme unique.

Malheureusement, une conception doue, indpendamment de la notation si
simple et si lucide qui lui correspond, de proprits aussi
fondamentales, et qui est, sans doute, destine  devenir la thorie
dfinitive de l'analyse transcendante,  cause de sa haute supriorit
philosophique sur toutes les autres mthodes proposes, prsente dans
son tat actuel, trop de difficults, quant aux applications, lorsqu'on
la compare  la conception de Newton, et surtout  celle de Lebnitz,
pour pouvoir tre encore exclusivement adopte. Lagrange lui-mme, n'est
parvenu que trs-pniblement  retrouver, d'aprs sa mthode, les
rsultats principaux dj obtenus par la mthode infinitsimale pour la
solution des questions gnrales de gomtrie et de mcanique; on peut
juger par l combien on trouverait d'obstacles  traiter, de la mme
manire, des questions vraiment nouvelles et de quelque importance. Il
est vrai que Lagrange, en plusieurs occasions, a montr que les
difficults, mme artificielles, dterminent, dans les hommes de gnie,
des efforts suprieurs, susceptibles de conduire  des rsultats plus
tendus. C'est ainsi qu'en tentant d'adapter sa mthode  l'tude de la
courbure des lignes, qui paraissait si peu pouvoir en comporter
l'application, il s'est lev  cette belle thorie des contacts, qui a
tant perfectionn cette partie importante de la gomtrie. Mais, malgr
ces heureuses exceptions, la conception de Lagrange n'en est pas moins
jusqu'ici demeure, dans son ensemble, essentiellement impropre aux
applications.

Le rsultat final de la comparaison gnrale que je viens d'esquisser,
et qui exigerait de plus amples dveloppemens, est donc, comme je
l'avais avanc en commenant cette leon, que, pour connatre rellement
l'analyse transcendante, il faut non-seulement la considrer, dans son
principe, d'aprs les trois conceptions fondamentales distinctes,
produites par Lebnitz, par Newton, et par Lagrange, mais, en outre,
s'habituer  suivre presqu'indiffremment d'aprs ces trois mthodes
principales, et surtout d'aprs les deux extrmes, la solution de toutes
les questions importantes, soit du calcul des fonctions indirectes en
lui-mme, soit de ses applications. C'est une marche que je ne saurais
trop fortement recommander  tous ceux qui dsirent juger
philosophiquement cette admirable cration de l'esprit humain, comme 
ceux qui veulent essentiellement apprendre  se servir avec succs et
avec facilit de ce puissant instrument. Dans toutes les autres parties
de la science mathmatique, la considration de diverses mthodes pour
une seule classe de questions peut tre utile, mme indpendamment de
l'intrt historique qu'elle prsente; mais elle n'est point
indispensable: ici, au contraire, elle est strictement ncessaire.

Ayant dtermin avec prcision, dans cette leon, le caractre
philosophique du calcul des fonctions indirectes, d'aprs les
principales conceptions fondamentales dont il est susceptible, il me
reste maintenant  considrer, dans la leon suivante, la division
rationnelle et la composition gnrale de ce calcul.




SEPTIME LEON.

SOMMAIRE. Tableau gnral du calcul des fonctions indirectes.


Par suite des considrations exposes dans la leon prcdente, on
conoit que le calcul des fonctions indirectes se divise ncessairement
en deux parties, ou, pour mieux dire, se dcompose en deux calculs
tout--fait distincts, quoique, par leur nature, intimement lis;
suivant qu'on se propose de trouver les relations entre les grandeurs
auxiliaires, dont l'introduction constitue l'esprit gnral de ce
calcul, d'aprs les relations entre les grandeurs primitives
correspondantes; ou qu'on cherche, en sens inverse,  dcouvrir ces
quations directes d'aprs les quations indirectes tablies
immdiatement. Tel est, en effet, le double objet qu'on a
continuellement en vue dans l'analyse transcendante.

Ces deux calculs ont reu diffrens noms, selon le point de vue sous
lequel a t envisag l'ensemble de cette analyse. La mthode
infinitsimale proprement dite tant jusqu'ici la plus usite, par les
raisons que j'ai discutes, presque tous les gomtres du continent
emploient habituellement, pour dsigner ces deux calculs, les
dnominations de _calcul diffrentiel_ et de _calcul intgral_, tablies
par Lebnitz, et qui sont, en effet, des consquences trs-rationnelles
de sa conception. Newton, d'aprs sa mthode, a nomm le premier, le
_calcul des fluxions_, et le second le _calcul des fluentes_,
expressions communment adoptes en Angleterre. Enfin, en suivant la
thorie minemment philosophique fonde par Lagrange, on appellerait
l'un, le _calcul des fonctions drives_ et l'autre le _calcul des
fonctions primitives_. Je continuerai  me servir des termes de
Lebnitz, comme plus propres, dans notre langue,  la formation des
expressions secondaires, quoique je doive, d'aprs les explications
contenues dans la leon prcdente, employer concurremment toutes les
diverses conceptions, en me rapprochant, autant que possible, de celle
de Lagrange.

Le calcul diffrentiel est videmment la base rationnelle du calcul
intgral. Car nous ne savons et ne pouvons savoir intgrer immdiatement
que les expressions diffrentielles produites par la diffrentiation des
diverses fonctions simples qui constituent les lmens gnraux de notre
analyse. L'art de l'intgration consiste ensuite essentiellement 
ramener, autant que possible, tous les autres cas  ne dpendre
finalement que de ce petit nombre d'intgrations fondamentales.

En considrant l'ensemble de l'analyse transcendante, tel que je l'ai
caractris dans la leon prcdente, on ne voit pas d'abord quelle peut
tre l'utilit propre du calcul diffrentiel, indpendamment de cette
relation ncessaire avec le calcul intgral, qui semble devoir tre, par
lui-mme, le seul directement indispensable. En effet, l'limination des
infinitsimales ou des drives, introduites comme auxiliaires pour
faciliter l'tablissement des quations, constituant, d'aprs ce que
nous avons vu, l'objet dfinitif et invariable du calcul des fonctions
indirectes; il est naturel de penser que le calcul qui enseigne 
dduire des quations entre ces grandeurs auxiliaires, celles qui ont
lieu entre les grandeurs primitives elles-mmes, doit strictement
suffire aux besoins gnraux de l'analyse transcendante, sans qu'on
aperoive, au premier coup-d'oeil, quelle part spciale et constante
peut avoir, dans une telle analyse, la solution de la question inverse.
Ce serait abusivement que, suivant l'usage ordinaire, pour expliquer
l'influence directe et ncessaire propre au calcul diffrentiel, on lui
assignerait la destination de former les quations diffrentielles,
d'o le calcul intgral fait parvenir ensuite aux quations finies. Car
la formation primitive des quations diffrentielles n'est, et ne peut
tre,  proprement parler, l'objet d'aucun calcul, puisqu'elle
constitue, au contraire, par sa nature, le point de dpart indispensable
de tout calcul quelconque. Comment, en particulier, le calcul
diffrentiel qui, par lui-mme, se rduit  enseigner les moyens de
_diffrentier_ les diverses quations, pourrait-il tre un procd
gnral pour en tablir? Ce qui, dans toute application de l'analyse
transcendante, facilite en effet la formation des quations, c'est la
_mthode_ infinitsimale, et non le _calcul_ infinitsimal, qui en est
parfaitement distinct, quoiqu'en tant le complment indispensable. Une
telle considration donnerait donc une fausse ide de la destination
spciale qui caractrise le calcul diffrentiel dans le systme gnral
de l'analyse transcendante.

Mais ce serait, nanmoins, concevoir bien imparfaitement la vritable
importance propre de cette premire branche du calcul des fonctions
indirectes, que d'y voir seulement un simple travail prliminaire,
n'ayant d'autre objet gnral et essentiel que de prparer au calcul
intgral des fondemens indispensables. Comme les ides sont
ordinairement confuses  cet gard, je crois devoir expliquer
sommairement ici cette importante relation, telle que je la conois, et
montrer que, dans chaque application quelconque de l'analyse
transcendante, une premire part directe et ncessaire est constamment
assigne au calcul diffrentiel.

En formant les quations diffrentielles d'un phnomne quelconque, il
est bien rare qu'on se borne  introduire diffrentiellement les seules
grandeurs dont on cherche les relations. S'imposer cette condition, ce
serait diminuer inutilement les ressources que prsente l'analyse
transcendante pour l'expression des lois mathmatiques des phnomnes.
Le plus souvent on fait entrer aussi par leurs diffrentielles, dans ces
quations premires, d'autres grandeurs, dont la relation est dj
connue ou suppose l'tre, et sans la considration desquelles il serait
frquemment impossible d'tablir les quations. C'est ainsi, par
exemple, que dans le problme gnral de la rectification des courbes,
l'quation diffrentielle, /[ds^2 = dy^2 + dx^2, /mbox{/rm ou}ds^2 =
dx^2 + dy^2 + dz^2, /] n'est pas seulement tablie entre la fonction
cherche s et la variable indpendante x  laquelle on veut la
rapporter; mais on a introduit en mme temps, comme intermdiaires
indispensables, les diffrentielles d'une ou deux autres fonctions y et
z, qui sont au nombre des donnes du problme; il n'et pas t
possible de former immdiatement l'quation entre ds et dx, qui serait
d'ailleurs particulire  chaque courbe considre. Il en est de mme
pour la plupart des questions. Or, dans ces cas, il est vident que
l'quation diffrentielle n'est pas immdiatement propre 
l'intgration. Il faut, auparavant, que les diffrentielles des
fonctions supposes connues, qui ont t employes comme intermdiaires,
soient entirement limines, afin que les quations se trouvent
tablies entre les diffrentielles des seules fonctions cherches et
celles des variables rellement indpendantes, aprs quoi la question ne
dpend plus effectivement que du calcul intgral. Or, cette limination
prparatoire de certaines diffrentielles, afin de rduire les
infinitsimales au plus petit nombre possible, est simplement du ressort
du calcul diffrentiel. Car elle doit se faire, videmment, en
dterminant, d'aprs les quations entre les fonctions supposes connues
prises pour intermdiaires, les relations de leurs diffrentielles, ce
qui n'est qu'une question de diffrentiation. Ainsi, par exemple, dans
le cas des rectifications, il faudra d'abord calculer dy ou dy et dz, en
diffrentiant l'quation ou les quations de chaque courbe propose; et,
d'aprs ces expressions, la formule diffrentielle gnrale nonce
ci-dessus ne contiendra plus que ds et dx; parvenue  ce point,
l'limination des infinitsimales ne peut plus tre acheve que par le
calcul intgral.

Tel est donc l'office gnral ncessairement propre au calcul
diffrentiel dans la solution totale des questions qui exigent l'emploi
de l'analyse transcendante: prparer, autant que possible, l'limination
des infinitsimales, c'est--dire rduire, dans chaque cas, les
quations diffrentielles primitives  ne plus contenir que les
diffrentielles des variables rellement indpendantes et celles des
fonctions cherches, en faisant disparatre, par la diffrentiation, les
diffrentielles de toutes les autres fonctions connues qui ont pu tre
prises pour intermdiaires lors de la formation des quations
diffrentielles du problme.

Pour certaines questions, qui, quoiqu'en petit nombre, n'en ont pas
moins, ainsi que nous le verrons plus tard, une trs-grande importance,
les grandeurs cherches se trouvent mme entrer directement, et non par
leurs diffrentielles, dans les quations diffrentielles primitives,
qui ne contiennent alors diffrentiellement que les diverses fonctions
connues, employes comme intermdiaires d'aprs l'explication
prcdente. Ces cas sont, de tous, les plus favorables, car, il est
vident que le calcul diffrentiel suffit alors entirement 
l'limination complte des infinitsimales, sans que la question puisse
donner lieu  aucune intgration. C'est ce qui arrive, par exemple, dans
le problme des tangentes, en gomtrie; dans celui des vitesses, en
mcanique, etc.

Enfin, plusieurs autres questions, dont le nombre est aussi fort petit,
mais dont l'importance n'est pas moins grande, prsentent un second cas
d'exception, qui est, par sa nature, exactement l'inverse du prcdent.
Ce sont celles o les quations diffrentielles se trouvent tre
immdiatement propres  l'intgration, parce qu'elles ne contiennent,
ds leur premire formation, que les infinitsimales relatives aux
fonctions cherches ou aux variables rellement indpendantes, sans
qu'on ait t oblig d'introduire diffrentiellement d'autres fonctions
comme intermdiaires. Si, dans ces nouveaux cas, on a effectivement
employ ces dernires fonctions, comme, par hypothse, elles entreront
directement et non par leurs diffrentielles, l'algbre ordinaire
suffira pour les liminer, et rduire la question  ne plus dpendre que
du calcul intgral. Le calcul diffrentiel n'aura donc alors aucune part
spciale  la solution complte du problme, qui sera tout entire du
ressort du calcul intgral. La question gnrale des quadratures en
offre un exemple important, car l'quation diffrentielle tant alors,
dA=ydx, deviendra immdiatement propre  l'intgration aussitt qu'on
aura limin, d'aprs l'quation de la courbe propose, la fonction
intermdiaire y, qui n'y entre point diffrentiellement: la mme
circonstance a lieu pour le problme des cubatures, et pour quelques
autres aussi essentiels.

En rsultat gnral des considrations prcdentes, il faut donc
partager en trois classes les questions mathmatiques qui exigent
l'emploi de l'analyse transcendante: la premire classe comprend les
problmes susceptibles d'tre entirement rsolus au moyen du seul
calcul diffrentiel, sans aucun besoin du calcul intgral; la seconde,
ceux qui sont, au contraire, entirement du ressort du calcul intgral,
sans que le calcul diffrentiel ait aucune part  leur solution; enfin,
dans la troisime et la plus tendue, qui constitue le cas normal, les
deux autres n'tant que d'exception, les deux calculs ont successivement
une part distincte et ncessaire  la solution complte du problme, le
calcul diffrentiel faisant subir aux quations diffrentielles
primitives, une prparation indispensable  l'application du calcul
intgral. Telles sont exactement les relations gnrales de ces deux
calculs, dont on se forme communment des ides trop peu prcises.

Jetons maintenant un coup-d'oeil gnral sur la composition rationelle
de chacun d'eux, en commenant, comme il convient videmment, par le
calcul diffrentiel.

Dans l'exposition de l'analyse transcendante, on a l'habitude de mler 
la partie purement analytique, qui se rduit au trait abstrait de la
diffrentiation et de l'intgration, l'tude de ses diverses
applications principales, surtout de celles qui concernent la gomtrie.
Cette confusion d'ides, qui est une suite du mode effectif suivant
lequel la science s'est dveloppe, prsente, sous le rapport
dogmatique, de graves inconvniens en ce qu'elle empche de concevoir
convenablement, soit l'analyse, soit la gomtrie. Devant considrer ici
la coordination la plus rationnelle possible, je ne comprendrai, dans le
tableau suivant, que le calcul des fonctions indirectes proprement dit,
rservant, pour la portion de ce volume relative  l'tude philosophique
de la mathmatique concrte, l'examen gnral de ses grandes
applications gomtriques et mcaniques[15].

      [Note 15: J'ai tabli depuis long-temps, dans mon
      enseignement ordinaire de l'analyse transcendante, l'ordre
      que je vais exposer. Un nouveau professeur d'analyse
      transcendante  l'cole Polytechnique, avec lequel je me
      flicite de m'tre rencontr, M. Mathieu a adopt, dans son
      cours de cette anne, une marche essentiellement semblable.]

La division fondamentale du calcul diffrentiel pur, ou du trait
gnral de la diffrentiation, consiste  distinguer deux cas, suivant
que les fonctions analytiques qu'il s'agit de diffrentier sont
_explicites_ ou _implicites_; d'o deux parties ordinairement dsignes
par les noms de diffrentiation _des formules_ et diffrentiation _des
quations_. Il est ais de concevoir _ priori_ l'importance de cette
classification. En effet, une telle distinction serait illusoire si
l'analyse ordinaire tait parfaite, c'est--dire, si l'on savait
rsoudre algbriquement toutes les quations; car alors il serait
possible de rendre _explicite_ toute fonction _implicite_; et, en ne la
diffrentiant que dans cet tat, la seconde partie du calcul
diffrentiel rentrerait immdiatement dans la premire, sans donner lieu
 aucune nouvelle difficult. Mais la rsolution algbrique des
quations tant, comme nous l'avons vu, encore presque dans l'enfance,
et ignore jusqu' prsent pour le plus grand nombre des cas, on
comprend qu'il en doit tre tout autrement; puisqu'il s'agit ds lors, 
proprement parler, de diffrentier une fonction sans la connatre, bien
qu'elle soit dtermine. La diffrentiation des fonctions implicites
constitue donc, par sa nature, une question vraiment distincte de celle
que prsentent les fonctions explicites, et ncessairement plus
complique. Ainsi c'est videmment par la diffrentiation des formules
qu'il faut commencer, et on parvient ensuite  ramener gnralement  ce
premier cas la diffrentiation des quations, par certaines
considrations analytiques invariables, que je ne dois pas mentionner
ici.

Ces deux cas gnraux de la diffrentiation sont encore distincts sous
un autre rapport galement ncessaire, et trop important pour que je
nglige de le signaler. La relation obtenue entre les diffrentielles
est constamment plus indirecte, par rapport  celle des quantits
finies, dans la diffrentiation des fonctions implicites que dans celle
des fonctions explicites. On sait, en effet, d'aprs les considrations
prsentes par Lagrange sur la formation gnrale des quations
diffrentielles, que, d'une part, la mme quation primitive peut donner
lieu  un plus ou moins grand nombre d'quations drives de formes
trs-diverses, quoique, au fond, quivalentes, suivant celles des
constantes arbitraires que l'on limine, ce qui n'a pas lieu dans la
diffrentiation des formules explicites; et que, d'une autre part, le
systme infini d'quations primitives diffrentes qui correspondent 
une mme quation drive, prsente une varit analytique bien plus
profonde que celle des diverses fonctions susceptibles d'une mme
diffrentielle explicite, et qui ne se distinguent les unes des autres
que par un terme constant. Les fonctions implicites doivent donc tre
envisages comme tant rellement encore plus modifies par la
diffrentiation que les fonctions explicites. Nous retrouverons tout 
l'heure cette considration relativement au calcul intgral, o elle
acquiert une importance prpondrante.

Chacune des deux parties fondamentales du calcul diffrentiel se
subdivise elle-mme en deux thories trs-distinctes, suivant qu'il
s'agit de diffrentier des fonctions  une seule variable, ou des
fonctions  plusieurs variables indpendantes. Ce second cas est, par sa
nature, tout--fait distinct du premier, et prsente videmment plus de
complication, mme en ne considrant que les fonctions explicites, et 
plus forte raison pour les fonctions implicites. Du reste, l'un se
dduit gnralement de l'autre,  l'aide d'un principe invariable fort
simple, qui consiste  regarder la diffrentielle totale d'une fonction
en vertu des accroissemens simultans des diverses variables
indpendantes qu'elles contient, comme la somme des diffrentielles
partielles que produirait l'accroissement spar de chaque variable
successivement, si toutes les autres taient constantes. Il faut,
d'ailleurs, soigneusement remarquer  ce sujet une notion nouvelle
qu'introduit, dans le systme de l'analyse transcendante, la distinction
des fonctions  une seule variable et  plusieurs: c'est la
considration de ces diverses fonctions drives spciales, relatives 
chaque variable isolment, et dont le nombre crot de plus en plus 
mesure que l'ordre de la drivation s'lve, et aussi quand les
variables sont plus multiplies. Il en rsulte que les relations
diffrentielles propres aux fonctions de plusieurs variables, sont, par
leur nature, et bien plus indirectes, et surtout beaucoup plus
indtermines que celles relatives aux fonctions d'une seule variable.
Cela est principalement sensible pour les fonctions implicites o, au
lieu des simples constantes arbitraires que l'limination fait
disparatre quand on forme les quations diffrentielles propres aux
fonctions d'une seule variable, ce sont des fonctions arbitraires des
variables proposes qui se trouvent limines, d'o doivent rsulter,
lors des intgrations, des difficults spciales.

Enfin, pour complter ce tableau sommaire des diverses parties
essentielles du calcul diffrentiel proprement dit, je dois ajouter que,
dans la diffrentiation des fonctions implicites, soit  une seule
variable, soit  plusieurs, il faut encore distinguer le cas o il
s'agit de diffrentier  la fois diverses fonctions de ce genre, mles
dans certaines quations primitives, de celui o toutes ces fonctions
sont spares.

Les fonctions sont videmment, en effet, encore plus implicites dans le
premier cas que dans le second, si l'on considre que la mme
imperfection de l'analyse ordinaire, qui empche de convertir toute
fonction implicite en une fonction explicite quivalente, ne permet pas
davantage de sparer les fonctions qui entrent simultanment dans un
systme quelconque d'quations. Il s'agit alors de diffrentier,
non-seulement sans savoir rsoudre les quations primitives, mais mme
sans pouvoir effectuer entr'elles les liminations convenables, ce qui
constitue une nouvelle difficult.

Tels sont donc l'enchanement naturel et la distribution rationnelle des
diverses thories principales dont se compose le trait gnral de la
diffrentiation. On voit que, la diffrentiation des fonctions
implicites se dduisant de celle des fonctions explicites par un seul
principe constant, et la diffrentiation des fonctions  plusieurs
variables se ramenant, par un autre principe fixe,  celle des fonctions
 une seule variable, tout le calcul diffrentiel se trouve reposer, en
dernire analyse, sur la diffrentiation des fonctions explicites  une
seule variable, la seule qui s'excute jamais directement. Or, il est
ais de concevoir que cette premire thorie, base ncessaire du systme
entier, consiste simplement dans la diffrentiation des dix fonctions
simples, qui sont les lmens uniformes de toutes nos combinaisons
analytiques, et dont j'ai prsent le tableau (4e leon, page 173). Car
la diffrentiation des fonctions composes se dduit videmment, d'une
manire immdiate et ncessaire, de celle des fonctions simples qui les
constituent. C'est donc  la connaissance de ces dix diffrentielles
fondamentales, et  celle des deux principes gnraux, ci-dessus
mentionns, qui y ramnent tous les autres cas possibles, que se rduit,
 proprement parler, tout le trait de la diffrentiation. On voit, par
la combinaison de ces diverses considrations, combien est  la fois
simple et parfait le systme entier du calcul diffrentiel proprement
dit. Il constitue certainement, sous le rapport logique, le spectacle le
plus intressant que l'analyse mathmatique puisse prsenter  notre
intelligence.

Le tableau gnral que je viens d'esquisser sommairement offrirait,
nanmoins, une lacune essentielle, si je n'indiquais ici distinctement
une dernire thorie, qui forme, par sa nature, le complment
indispensable du trait de la diffrentiation. C'est celle qui a pour
objet la transformation constante des fonctions drives, en rsultat
des changemens dtermins de variables indpendantes, d'o rsulte la
possibilit de rapporter  de nouvelles variables toutes les formules
diffrentielles gnrales tablies primitivement pour d'autres. Cette
question est maintenant rsolue de la manire la plus complte et la
plus simple, comme toutes celles dont se compose le calcul diffrentiel.
On conoit aisment l'importance gnrale qu'elle doit avoir dans les
applications quelconques de l'analyse transcendante, dont elle peut tre
considre comme augmentant les ressources fondamentales, en permettant
de choisir, pour former d'abord plus aisment les quations
diffrentielles, le systme de variables indpendantes qui paratra le
plus avantageux, bien qu'il ne doive pas tre maintenu plus tard. C'est
ainsi, par exemple, que la plupart des questions principales de la
gomtrie se rsolvent beaucoup plus aisment en rapportant les lignes
et les surfaces  des coordonnes rectilignes, et qu'on peut nanmoins
tre conduit  les appliquer  des formes exprimes analytiquement, 
l'aide de coordonnes _polaires_, ou de toute autre manire. On pourra
commencer alors la solution diffrentielle du problme en employant
toujours le systme rectiligne, mais seulement comme un intermdiaire,
d'aprs lequel, par la thorie gnrale que nous avons en vue ici, on
passera au systme dfinitif, qu'il et t quelquefois impossible de
considrer directement.

Dans la classification rationnelle que je viens d'exposer pour
l'ensemble du calcul diffrentiel, on serait naturellement tent de
signaler une omission grave, puisque je n'ai pas sous-divis chacune des
quatre parties essentielles d'aprs une autre considration gnrale,
qui semble d'abord fort importante en elle-mme, celle de l'ordre plus
ou moins lev de la diffrentiation. Mais il est ais de comprendre que
cette distinction n'a aucune influence relle dans le calcul
diffrentiel, en ce qu'elle n'y donne lieu  aucune difficult nouvelle.
En effet, si le calcul diffrentiel n'tait pas rigoureusement complet,
c'est--dire, si on ne savait point diffrentier indistinctement toute
fonction quelconque, la diffrentiation au second ordre, ou  un ordre
suprieur, de chaque fonction dtermine, pourrait engendrer des
difficults spciales. Mais la parfaite universalit du calcul
diffrentiel donne videmment l'assurance de pouvoir diffrentier  un
ordre quelconque toutes les fonctions analytiques connues, la question
se rduisant sans cesse  une diffrentiation au premier ordre,
successivement redouble. Ainsi, la considration des divers ordres de
diffrentielles peut bien donner naissance  de nouvelles remarques plus
ou moins importantes, surtout en ce qui concerne la formation des
quations diffrentielles, et les drives partielles successives des
fonctions  plusieurs variables. Mais elle ne saurait, videmment,
constituer aucun nouveau problme gnral dans le trait de la
diffrentiation. Nous verrons tout  l'heure que cette distinction, qui
n'a, pour ainsi dire, aucune importance dans le calcul diffrentiel, en
acquiert, au contraire, une trs-grande dans le calcul intgral, en
vertu de l'extrme imperfection de ce dernier calcul.

Enfin, quoique j'aie cru, en thse gnrale, ne devoir nullement
envisager en ce moment les diverses applications principales du calcul
diffrentiel, il convient nanmoins de faire une exception pour celles
qui consistent dans la solution de questions purement analytiques, qui
doivent, en effet, tre rationnellement places  la suite du trait de
la diffrentiation proprement dite,  cause de l'homognit vidente
des considrations. Ces questions peuvent se rduire  trois
essentielles: 1 le dveloppement en sries des fonctions  une seule ou
 plusieurs variables, ou, plus gnralement, la transformation des
fonctions, qui constitue la plus belle et la plus importante application
du calcul diffrentiel  l'analyse gnrale, et qui comprend, outre la
srie fondamentale dcouverte par Taylor, les sries si remarquables
trouves par Maclaurin, par Jean Bernouilli, par Lagrange, etc.; 2 la
thorie gnrale des valeurs maxima et minima pour les fonctions
quelconques  une seule ou  plusieurs variables, un des plus
intressans problmes que puisse prsenter l'analyse, quelque
lmentaire qu'il soit devenu aujourd'hui, et  la solution complte
duquel le calcul diffrentiel s'applique trs-naturellement; 3 enfin,
la dtermination gnrale de la vraie valeur des fonctions qui se
prsentent sous une apparence indtermine pour certaines hypothses
faites sur les valeurs des variables correspondantes, ce qui est le
problme le moins tendu et le moins important des trois, quoiqu'il
mrite d'tre not ici. La premire question est, sans contredit, la
principale sous tous les rapports: elle est aussi la plus susceptible
d'acqurir dans la suite une extension nouvelle, surtout en concevant,
d'une manire plus large qu'on ne l'a fait jusqu'ici, l'emploi du calcul
diffrentiel pour la transformation des fonctions, au sujet de laquelle
Lagrange a laiss quelques indications prcieuses, qui n'ont encore t
ni gnralises ni suivies.

Je regrette beaucoup d'tre oblig, par les limites ncessaires de cet
ouvrage, de me borner  des considrations sommaires aussi insuffisantes
sur tous les divers sujets que je viens de passer en revue, et qui
comporteraient, par leur nature, des dveloppemens beaucoup plus
tendus, en continuant toujours nanmoins  rester dans les gnralits
qui sont le sujet propre de ce cours. Je passe maintenant  l'exposition
galement rapide du tableau systmatique du calcul intgral proprement
dit, c'est--dire du trait abstrait de l'intgration.

La division fondamentale du calcul intgral est fonde sur le mme
principe que celle ci-dessus expose pour le calcul diffrentiel, en
distinguant l'intgration des formules diffrentielles explicites, et
l'intgration des diffrentielles implicites, ou des quations
diffrentielles. La sparation de ces deux cas est mme bien plus
profonde relativement  l'intgration, que sous le simple rapport de la
diffrentiation. Dans le calcul diffrentiel, en effet, cette
distinction ne repose, comme nous l'avons vu, que sur l'extrme
imperfection de l'analyse ordinaire. Mais, au contraire, il est ais de
voir que, quand mme toutes les quations seraient rsolues
algbriquement, les quations diffrentielles n'en constitueraient pas
moins un cas d'intgration tout--fait distinct de celui que prsentent
les formules diffrentielles explicites. Car, en se bornant, par
exemple, au premier ordre et  une fonction unique y d'une seule
variable x, pour plus de simplicit, si l'on suppose rsolue, par
rapport  /fracdy{dx}, une quation diffrentielle quelconque entre x,
y, et /frac{dy}{dx}, l'expression de la fonction drive se trouvant
alors contenir gnralement la fonction primitive elle-mme qui est
l'objet de la recherche, la question d'intgration n'aurait nullement
chang de nature, et la solution n'aurait fait rellement d'autre
progrs que d'avoir amen l'quation diffrentielle, propose  ne plus
tre que du premier degr relativement  la fonction drive, ce qui
est, en soi, de peu d'importance. La diffrentielle n'en serait donc pas
moins dtermine d'une manire  peu prs aussi _implicite_
qu'auparavant, sous le rapport de l'intgration, qui continuerait 
prsenter essentiellement la mme difficult caractristique. La
rsolution algbrique des quations ne pourrait faire rentrer le cas que
nous considrons dans la simple intgration des diffrentielles
explicites, que dans les occasions trs-particulires o l'quation
diffrentielle propose ne contiendrait point la fonction primitive
elle-mme, ce qui permettrait, par consquent, en la rsolvant, de
trouver /frac{dy}{dx} en fonction de x seulement, et de rduire ainsi la
question aux quadratures.

La considration que je viens d'indiquer pour les quations
diffrentielles les plus simples aurait videmment encore plus
d'importance pour celles des ordres suprieurs ou qui contiendraient
simultanment diverses fonctions de plusieurs variables indpendantes.
Ainsi, l'intgration des diffrentielles qui ne sont dtermines
qu'implicitement constitue par sa nature, et, sans aucun gard  l'tat
de l'algbre, un cas entirement distinct de celui relatif aux
diffrentielles explicitement exprimes en fonction des variables
indpendantes. L'intgration des quations diffrentielles est donc
ncessairement plus complique que celle des diffrentielles explicites,
par l'laboration desquelles le calcul intgral a pris naissance, et
dont ensuite on s'est efforc de faire, autant que possible, dpendre
les autres. Tous les divers procds analytiques proposs jusqu'ici pour
intgrer les quations diffrentielles, soit la sparation des
variables, soit la mthode des multiplicateurs, etc, ont en effet pour
but de ramener ces intgrations  celles des formules diffrentielles,
la seule qui, par sa nature, puisse tre entreprise directement.
Malheureusement, quelqu'imparfaite que soit jusqu'ici cette base
ncessaire de tout le calcul intgral, l'art d'y rduire l'intgration
des quations diffrentielles est encore bien moins avanc.

Chacune de ces deux branches fondamentales du calcul intgral se
sous-divise ensuite en deux autres, comme dans le calcul diffrentiel,
et par des motifs exactement analogues (que je me dispenserai, par
consquent, de reproduire), suivant que l'on considre des fonctions 
une seule variable ou des fonctions  plusieurs variables indpendantes.
Je ferai seulement observer que cette distinction est, comme la
prcdente, encore plus importante pour l'intgration que pour la
diffrentiation. Cela est surtout remarquable, relativement aux
quations diffrentielles. En effet, celles qui se rapportent 
plusieurs variables indpendantes peuvent videmment prsenter cette
difficult caractristique, et d'un ordre bien plus lev, que la
fonction cherche soit dfinie diffrentiellement par une simple
relation entre ses diverses drives spciales relatives aux diffrentes
variables prises sparment. De l rsulte la branche la plus difficile,
et aussi la plus tendue du calcul intgral, ce qu'on nomme
ordinairement le _calcul intgral aux diffrences partielles_, cr par
d'Alembert, et dans lequel, suivant la juste apprciation de Lagrange,
les gomtres auraient d voir rellement un calcul nouveau, dont le
caractre philosophique n'est pas assez exactement jug. Une diffrence
trs-saillante entre ce cas et celui des quations  une seule variable
indpendante consiste, comme je l'ai observ ci-dessus, dans les
fonctions arbitraires qui remplacent les simples constantes arbitraires
pour donner aux intgrales correspondantes toute la gnralit
convenable.

 peine ai-je besoin de dire que cette branche suprieure de l'analyse
transcendante est encore entirement dans l'enfance, puisque, seulement
dans le cas le plus simple, celui d'une quation du premier ordre entre
les drives partielles d'une seule fonction  deux variables
indpendantes, on ne sait point mme jusqu'ici compltement ramener
l'intgration  celle des quations diffrentielles ordinaires.
L'intgration relative aux fonctions de plusieurs variables est beaucoup
plus avance, dans le cas, infiniment plus simple,  la vrit, o il ne
s'agit que des formules diffrentielles explicites. On sait alors en
effet, quand ces formules remplissent les conditions convenables
d'intgrabilit, rduire constamment leur intgration aux quadratures.

Une nouvelle distinction gnrale, applicable, comme sous-division, 
l'intgration des diffrentielles explicites ou implicites,  une seule
variable ou  plusieurs, se tire de l'ordre plus ou moins lev des
diffrentiations, qui ne donne lieu  aucune question spciale dans le
calcul diffrentiel, ainsi que nous l'avons remarqu.

Relativement aux diffrentielles explicites, soit  une variable, soit 
plusieurs, la ncessit de distinguer leurs divers ordres ne tient qu'
l'extrme imperfection du calcul intgral. En effet, si l'on savait
constamment intgrer toute formule diffrentielle du premier ordre,
l'intgration d'une formule du second ordre ou de tout autre ne
constituerait point, videmment, une question nouvelle, puisqu'en
l'intgrant d'abord au premier ordre, on parviendrait  l'expression
diffrentielle de l'ordre immdiatement prcdent, d'o, par une suite
convenable d'intgrations analogues, on serait certain de remonter
finalement  la fonction primitive, objet propre d'un tel travail. Mais
le peu de connaissances que nous possdons sur les intgrations
premires fait qu'il n'en est point ainsi, et que l'ordre plus ou moins
lev des diffrentielles engendre des difficults nouvelles. Car, ayant
des formules diffrentielles d'un ordre quelconque suprieur au premier,
il peut arriver qu'on sache les intgrer une premire fois ou plusieurs
fois de suite, et que, nanmoins, on ne puisse remonter ainsi aux
fonctions primitives, si ces travaux prliminaires ont produit, pour les
diffrentielles d'un ordre infrieur, des expressions dont les
intgrales ne sont pas connues. Cette circonstance doit se prsenter
d'autant plus frquemment, le nombre des intgrales connues tant encore
fort petit, que ces intgrales successives sont gnralement, comme on
sait, des fonctions trs-diffrentes des drives qui les ont
engendres.

Par rapport aux diffrentielles implicites, la distinction des ordres
est encore plus importante; car, outre le motif prcdent, dont
l'influence est videmment ici analogue, et mme  un plus haut degr,
il est ais de sentir que l'ordre suprieur des quations
diffrentielles donne lieu ncessairement  des questions d'une nature
nouvelle. En effet, st-on mme intgrer indistinctement toute quation
du premier ordre relative  une fonction unique, cela ne suffirait
point pour faire obtenir l'intgrale dfinitive d'une quation d'un
ordre quelconque, toute quation diffrentielle n'tant pas rductible 
celle d'un ordre immdiatement infrieur. Si l'on a par exemple, pour
dterminer une fonction y de la variable x, une relation quelconque
entre x, y, /frac{dy}{dx}, et /frac{d^2y}{dx^2}, on n'en pourra point
dduire immdiatement, en effectuant une premire intgration, la
relation diffrentielle correspondante entre x, y, et /frac{dy}{dx},
d'o, par une seconde intgration on remonterait  l'quation primitive.
Cela n'aurait lieu ncessairement, du moins sans introduire de nouvelles
fonctions auxiliaires, que si l'quation du second ordre propose ne
contenait point la fonction cherche y, concourremment avec ses
drives. En thse gnrale, les quations diffrentielles devront donc
rellement tre envisages comme prsentant des cas d'autant plus
_implicites_ que leur ordre est plus lev, et qui ne pourront rentrer
les uns dans les autres que par des mthodes spciales, dont la
recherche constitue, par consquent, une nouvelle classe de questions, 
l'gard desquelles on ne sait jusqu'ici presque rien, mme pour les
fonctions d'une seule variable[16].

      [Note 16: Le seul cas important de ce genre qui ait t
      compltement trait jusqu'ici, est l'intgration gnrale
      des quations _linaires_ d'un ordre quelconque, 
      coefficiens constans. Encore se trouve-t-elle dpendre
      finalement de la rsolution algbrique des quations d'un
      degr gal  l'ordre de la diffrentiation.]

Au reste, quand ou examine, d'une manire trs-approfondie, cette
distinction des divers ordres d'quations diffrentielles, on trouve
qu'elle pourrait rentrer constamment dans une dernire distinction
gnrale, relative aux quations diffrentielles, que j'ai encore 
signaler. En effet, les quations diffrentielles  une seule ou 
plusieurs variables indpendantes peuvent ne contenir simplement qu'une
seule fonction, ou bien, dans un cas videmment plus compliqu et plus
implicite, qui correspond  la diffrentiation des fonctions implicites
simultanes, on peut avoir  dterminer en mme temps plusieurs
fonctions d'aprs des quations diffrentielles o elles se trouvent
mles, concurremment avec leurs diverses drives. Il est clair qu'un
tel tat de la question prsente ncessairement une nouvelle difficult
spciale, celle d'tablir la sparation des diffrentes fonctions
cherches, en formant pour chacune, d'aprs les quations
diffrentielles proposes, une quation diffrentielle isole, qui ne
contienne plus les autres fonctions ni leurs drives. Ce travail
prliminaire, qui est l'analogue de l'limination en algbre, est
videmment indispensable avant de tenter aucune intgration directe,
puisqu'on ne peut entreprendre gnralement,  moins d'artifices
spciaux trs-rarement applicables, de dterminer immdiatement  la
fois plusieurs fonctions distinctes. Or, il est ais d'tablir la
concidence exacte et ncessaire de cette nouvelle distinction avec la
prcdente, relative  l'ordre des quations diffrentielles. On sait,
en effet, que la mthode gnrale pour isoler les fonctions dans les
quations diffrentielles simultanes, consiste essentiellement  former
des quations diffrentielles, sparment relatives  chaque fonction,
et dont l'ordre est gal  la somme de tous ceux des diverses quations
proposes. Cette transformation peut s'effectuer constamment. D'un autre
ct, toute quation diffrentielle d'un ordre quelconque relative  une
seule fonction pourrait videmment se ramener toujours au premier ordre,
en introduisant un nombre convenable d'quations diffrentielles
auxiliaires, contenant simultanment les diverses drives antrieures
considres comme nouvelles fonctions  dterminer. Ce procd a mme
t quelquefois employ avec succs, quoique, en gnral, il ne soit pas
normal. Ce sont donc deux genres de conditions ncessairement
quivalens, dans la thorie gnrale des quations diffrentielles, que
la simultanit d'un plus ou moins grand nombre de fonctions, et l'ordre
de diffrentiation plus ou moins lev d'une fonction unique. En
augmentant l'ordre des quations diffrentielles, on peut isoler toutes
les fonctions; et, en multipliant artificiellement le nombre des
fonctions, on peut ramener toutes les quations au premier ordre. Il n'y
a, par consquent, dans l'un et l'autre cas, qu'une mme difficult,
envisage sous deux points de vue diffrens. Mais, de quelque manire
qu'on la conoive, cette nouvelle difficult commune n'en est pas moins
relle, et n'en constitue pas moins, par sa nature, une sparation
tranche entre l'intgration des quations du premier ordre et celle des
quations d'un ordre suprieur. Je prfre indiquer la distinction sous
cette dernire forme, comme plus simple, plus gnrale et plus
rationnelle.

D'aprs les diverses considrations indiques ci-dessus sur
l'enchanement rationnel des diffrentes parties principales du calcul
intgral, on voit que l'intgration des formules diffrentielles
explicites du premier ordre  une seule variable est la base ncessaire
de toutes les autres intgrations, qu'on ne parvient jamais  effectuer
qu'autant qu'on peut les faire rentrer dans ce cas lmentaire, le seul
videmment qui, par sa nature, soit susceptible d'tre trait
directement. Cette intgration simple et fondamentale est souvent
dsigne par l'expression commode de _quadratures_, attendu que toute
intgrale de ce genre Sf(x)dx, peut, en effet, tre envisage comme
reprsentant l'aire d'une courbe dont l'quation en coordonnes
rectilignes serait y=f(x). Une telle classe de questions correspond,
dans le calcul diffrentiel, au cas lmentaire de la diffrentiation
des fonctions explicites  une seule variable. Mais la question
intgrale est, par sa nature, bien autrement complique, et surtout
beaucoup plus tendue que la question diffrentielle. Celle-ci se rduit
ncessairement, en effet, comme nous l'avons vu,  la diffrentiation
des dix fonctions simples, lmens de toutes celles que l'analyse
considre. Au contraire, l'intgration des fonctions composes ne se
dduit point ncessairement de celle des fonctions simples, dont chaque
nouvelle combinaison doit prsenter, sous le rapport du calcul intgral,
des difficults spciales. De l, l'tendue naturellement indfinie, et
la complication si varie de la question des quadratures, sur laquelle,
malgr tous les efforts des analystes, on possde encore si peu de
connaissances compltes.

En dcomposant cette question, comme il est naturel de le faire, suivant
les diverses formes que peut affecter la fonction drive, on distingue
d'abord le cas des fonctions algbriques, et ensuite celui des fonctions
transcendantes. L'intgration vraiment analytique de ce dernier ordre
d'expressions est jusqu'ici fort peu avance, soit pour les fonctions
exponentielles, soit pour les fonctions logarithmiques, soit pour les
fonctions circulaires. On n'a trait encore qu'un trs-petit nombre de
cas de ces trois divers genres, en les choisissant parmi les plus
simples, qui conduisent mme ordinairement  des calculs extrmement
pnibles. Ce que nous devons surtout remarquer  ce sujet sous le
rapport philosophique, c'est que les divers procds de quadrature ne
tiennent  aucune vue gnrale sur l'intgration, et consistent en de
simples artifices de calcul fort incohrens entre eux, et dont le nombre
est trs-multipli,  cause de l'tendue trs-borne de chacun d'eux. Je
dois cependant signaler ici un de ces artifices qui, sans tre
rellement une mthode d'intgration, est nanmoins remarquable par sa
gnralit: c'est le procd invent par Jean Bernouilli, et connu sous
le nom de l'_intgration par parties_, d'aprs lequel toute intgrale
peut tre ramene  une autre, qui se trouve quelquefois tre plus
facile  obtenir. Cette ingnieuse relation mrite d'tre note sous un
autre rapport, comme ayant offert la premire ide de cette
transformation les unes dans les autres des intgrales encore inconnues,
qui a reu dans ces derniers temps une plus grande extension, et dont M.
Fourier surtout a fait un usage si nouveau et si important pour les
questions analytiques engendres par la thorie de la chaleur.

Quant  l'intgration des fonctions _algbriques_, elle est plus
avance. Cependant, on ne sait encore presque rien relativement aux
fonctions irrationnelles, dont les intgrales n'ont t obtenues que
dans des cas extrmement borns, et surtout en les rendant rationnelles.
L'intgration des fonctions rationnelles est jusqu'ici la seule thorie
de calcul intgral qui ait pu tre traite d'une manire vraiment
complte: sous le rapport logique, elle en constitue donc la partie la
plus satisfaisante, mais peut-tre aussi la moins importante. Il est
mme essentiel de remarquer, pour avoir une juste ide de l'extrme
imperfection du calcul intgral, que ce cas si peu tendu n'est
entirement rsolu que pour ce qui concerne proprement l'intgration,
envisage d'une manire abstraite; car, dans l'excution, la thorie se
trouve le plus souvent, indpendamment de la complication des calculs,
tout--fait arrte par l'imperfection de l'analyse ordinaire, attendu
qu'elle fait dpendre finalement l'intgration de la rsolution
algbrique des quations, ce qui en limite singulirement l'usage.

Pour saisir, d'une manire gnrale, l'esprit des divers procds
d'aprs lesquels on procde aux quadratures, nous devons reconnatre
d'ailleurs que, par leur nature, ils ne peuvent tre fonds
primitivement que sur la diffrentiation des dix fonctions simples, dont
les rsultats, considrs sous le point de vue inverse, tablissent
autant de thormes immdiats de calcul intgral, les seuls qui puissent
tre connus directement, tout l'art de l'intgration consistant ensuite,
comme je l'ai exprim en commenant cette leon,  faire rentrer, autant
que possible, toutes les autres quadratures dans ce petit nombre de
quadratures lmentaires, ce qui malheureusement nous est encore le plus
souvent inconnu.

Dans cette numration raisonne des diverses parties essentielles de
calcul intgral suivant leurs relations logiques, j'ai nglig 
dessein, pour ne pas interrompre l'enchanement, de considrer
distinctement une thorie fort importante, qui forme implicitement une
portion de la thorie gnrale de l'intgration des quations
diffrentielles, mais que je dois ici signaler sparment, comme tant,
pour ainsi dire, en dehors du calcul intgral, et offrant nanmoins le
plus grand intrt, soit par sa perfection rationnelle, soit par
l'tendue de ses applications. Je veux parler de ce qu'on appelle les
solutions _singulires_ des quations diffrentielles, dites
quelquefois, mais  tort, solutions _particulires_, qui ont t le
sujet de travaux trs-remarquables de la part d'Euler et de Laplace, et
dont Lagrange surtout a prsent une si belle et si simple thorie
gnrale. On sait que Clairaut, qui le premier, eut occasion d'en
remarquer l'existence, y vit un paradoxe de calcul intgral, puisque ces
solutions ont pour caractre propre de satisfaire aux quations
diffrentielles sans tre nanmoins comprises dans les intgrales
gnrales correspondantes. Lagrange a, depuis, expliqu ce paradoxe de
la manire la plus ingnieuse et la plus satisfaisante, en montrant
comment de telles solutions drivent toujours de l'intgrale gnrale
par la variation des constantes arbitraires. Il a aussi, le premier,
convenablement apprci l'importance de cette thorie, et c'est avec
raison qu'il lui a consacr, dans ses _leons sur le calcul des
fonctions_, un si grand dveloppement. Sous le point de vue rationnel,
cette thorie mrite en effet toute notre attention, par le caractre de
parfaite gnralit qu'elle comporte, puisque Lagrange a expos des
procds invariables et fort simples pour trouver la solution
_singulire_ de toute quation diffrentielle quelconque qui en est
susceptible; et, ce qui n'est pas moins remarquable, ces procds
n'exigent aucune intgration, consistant seulement dans des
diffrentiations, et par l mme toujours applicables. La
diffrentiation est ainsi devenue, par un heureux artifice, un moyen de
suppler dans certaines circonstances  l'imperfection du calcul
intgral. En effet, certains problmes exigent surtout, par leur nature,
la connaissance de ces solutions _singulires_. Telles sont, par
exemple, en gomtrie, toutes les questions o il s'agit de dterminer
une courbe d'aprs une proprit quelconque de sa tangente ou de son
cercle osculateur. Dans tous les cas de ce genre, aprs avoir exprim
cette proprit par une quation diffrentielle, ce sera, sous le
rapport analytique, l'quation _singulire_ qui constituera l'objet le
plus important de la recherche, puisqu'elle seule reprsentera la courbe
demande, l'intgrale gnrale, qui devient ds lors inutile 
connatre, ne devant dsigner autre chose que le systme des tangentes
ou des cercles osculateurs de cette courbe. On conoit aisment, d'aprs
cela, toute l'importance de cette thorie, qui me semble n'tre pas
encore suffisamment apprcie par la plupart des gomtres.

Enfin, pour achever de signaler le vaste ensemble de recherches
analytiques dont se compose le calcul intgral proprement dit, il me
reste  mentionner une thorie fort importante dans toutes les
applications de l'analyse transcendante, que j'ai d laisser en dehors
du systme comme n'tant pas rellement destine  une vritable
intgration, et se proposant au contraire de remplacer la connaissance
des intgrales vraiment analytiques, qui sont le plus souvent ignores.
On voit qu'il s'agit de la dtermination des _intgrales dfinies_.

L'expression, toujours possible, des intgrales en sries indfinies,
peut d'abord tre envisage comme un heureux moyen gnral de compenser
souvent l'extrme imperfection du calcul intgral. Mais l'emploi de
telles sries,  cause de leur complication et de la difficult de
dcouvrir la loi de leurs termes, est ordinairement d'une mdiocre
utilit sous le rapport algbrique, bien qu'on en ait dduit quelquefois
des relations fort essentielles. C'est surtout sous le rapport
arithmtique que ce procd acquiert une grande importance, comme moyen
de calculer ce qu'on appelle les intgrales _dfinies_, c'est--dire,
les valeurs des fonctions cherches pour certaines valeurs dtermines
des variables correspondantes.

Une recherche de cette nature correspond exactement, dans l'analyse
transcendante,  la rsolution numrique des quations dans l'analyse
ordinaire. Ne pouvant obtenir le plus souvent la vritable intgrale,
celle qu'on nomme par opposition, l'intgrale _gnrale_ ou _indfinie_,
c'est--dire, la fonction qui, diffrentie, a produit la formule
diffrentielle propose, les analystes ont d s'attacher  dterminer,
du moins, sans connatre une telle fonction, les valeur numriques
particulires qu'elle prendrait en assignant aux variables des valeurs
dsignes. C'est videmment rsoudre la question arithmtique, sans
avoir pralablement rsolu la question algbrique correspondante, qui,
le plus souvent, est prcisment la plus importante. Une telle analyse
est donc par sa nature, aussi imparfaite que nous avons vu l'tre la
rsolution numrique des quations. Elle prsente, comme celle-ci, une
confusion vicieuse du point de vue arithmtique avec le point de vue
algbrique; d'o rsultent, soit sous le rapport purement logique, soit
relativement aux applications, des inconvniens analogues. Je puis donc
me dispenser de reproduire ici les considrations indiques dans la
cinquime leon au sujet de l'algbre. On conoit nanmoins que, dans
l'impossibilit o nous sommes presque toujours de connatre les
vritables intgrales, il est de la plus haute importance d'avoir pu
obtenir au moins cette solution incomplte et ncessairement
insuffisante. Or, c'est  quoi on est heureusement parvenu aujourd'hui
pour tous les cas, l'valuation des intgrales dfinies ayant t
ramene  des mthodes entirement gnrales, qui ne laissent  dsirer,
dans un grand nombre d'occasions, qu'une moindre complication des
calculs, but vers lequel se dirigent aujourd'hui toutes les
transformations spciales des analystes. Regardant maintenant comme
parfaite cette sorte d'_arithmtique transcendante_, la difficult, dans
les applications, se rduit essentiellement  ne faire dpendre
finalement la recherche propose que d'une simple dtermination
d'intgrales dfinies, ce qui, videmment, ne saurait tre toujours
possible, quelque habilet analytique qu'on puisse employer  effectuer
une transformation aussi force.

Par l'ensemble des considrations indiques dans cette leon, on voit
que, si le calcul diffrentiel constitue, de sa nature, un systme
limit et parfait auquel il ne reste plus  ajouter rien d'essentiel, le
calcul intgral proprement dit, ou le simple trait de l'intgration,
prsente ncessairement un champ inpuisable  l'activit de l'esprit
humain, indpendamment des applications indfinies dont l'analyse
transcendante est videmment susceptible. Les motifs gnraux par
lesquels j'ai tch de faire sentir, dans la cinquime leon,
l'impossibilit de dcouvrir jamais la rsolution algbrique des
quations d'un degr et d'une forme quelconques, ont sans aucun doute,
infiniment plus de force encore relativement  la recherche d'un procd
unique d'intgration, invariablement applicable  tous les cas. _C'est_,
dit Lagrange, _un de ces problmes dont on ne saurait esprer de
solution gnrale_. Plus on mditera sur ce sujet, plus on sera
convaincu, je ne crains pas de l'affirmer, qu'une telle recherche est
totalement chimrique, comme tant beaucoup trop suprieure  la faible
porte de notre intelligence, bien que les travaux des gomtres doivent
certainement augmenter dans la suite l'ensemble de nos connaissances
acquises sur l'intgration, et crer aussi des procds d'une plus
grande gnralit. L'analyse transcendante est encore trop prs de sa
naissance, il y a surtout trop peu de temps qu'elle est conue d'une
manire vraiment rationelle, pour que nous puissions nous faire une
juste ide de ce qu'elle pourra devenir un jour. Mais, quelles que
doivent tre nos lgitimes esprances, n'oublions pas de considrer
avant tout les limites imposes par notre constitution intellectuelle,
et qui, pour n'tre pas susceptibles d'une dtermination prcise, n'en
ont pas moins une ralit incontestable.

Au lieu de tendre  imprimer au calcul des fonctions indirectes, tel que
nous le concevons aujourd'hui, une perfection chimrique, je suis port
 penser que lorsque les gomtres auront puis les applications les
plus importantes de notre analyse transcendante actuelle, ils se
creront plutt de nouvelles ressources, en changeant le mode de
drivation des quantits auxiliaires introduites pour faciliter
l'tablissement des quations, et dont la formation pourrait suivre une
infinit d'autres lois que la relation trs-simple qui a t choisie,
d'aprs une conception que j'ai dj indique dans la quatrime leon.
Les moyens de cette nature me paraissent susceptibles, en eux-mmes,
d'une plus grande fcondit que ceux qui consisteraient seulement 
pousser plus loin notre calcul actuel des fonctions indirectes. C'est
une pense que je soumets aux gomtres dont les mditations se sont
tournes vers la philosophie gnrale de l'analyse.

Du reste, quoique j'aie d, dans l'exposition sommaire qui tait l'objet
propre de cette leon, rendre sensible l'tat d'extrme imperfection o
se trouve encore le calcul intgral, on aurait une fausse ide des
ressources gnrales de l'analyse transcendante, si on accordait  cette
considration une trop grande importance. Il en est ici, en effet, comme
dans l'analyse ordinaire, o l'on est parvenu  utiliser,  un degr
immense, un trs-petit nombre de connaissances fondamentales sur la
rsolution des quations. Quelque peu avancs qu'ils soient rellement
jusqu'ici dans la science des intgrations, les gomtres n'en ont pas
moins tir, de notions abstraites aussi peu multiplies, la solution
d'une multitude de questions de premire importance en gomtrie, en
mcanique, en thermologie, etc. L'explication philosophique de ce
double fait gnral rsulte de l'importance et de la porte
ncessairement prpondrantes des connaissances abstraites, dont la
moindre se trouve naturellement correspondre  une foule de recherches
concrtes, l'homme n'ayant d'autre ressource pour l'extension successive
de ses moyens intellectuels, que dans la considration d'ides de plus
en plus abstraites et nanmoins positives.

Pour achever de faire connatre, dans toute son tendue, le caractre
philosophique de l'analyse transcendante, il me reste  considrer une
dernire conception par laquelle l'immortel Lagrange, que nous
retrouvons sur toutes les grandes voies de la science mathmatique, a
rendu cette analyse encore plus propre  faciliter l'tablissement des
quations dans les problmes les plus difficiles, en considrant une
classe d'quations encore plus _indirectes_ que les quations
diffrentielles proprement dites. C'est le _calcul_ ou plutt la
_mthode des variations_, dont l'apprciation gnrale sera l'objet de
la leon suivante.




HUITIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations gnrales sur le calcul des variations.


Afin de saisir avec plus de facilit le caractre philosophique de la
mthode des variations, il convient d'abord de considrer sommairement
la nature spciale des problmes dont la rsolution gnrale a ncessit
la formation de cette analyse hyper-transcendante. Ce calcul est encore
trop prs de son origine, les applications en ont t jusqu'ici trop peu
varies, pour qu'on pt en concevoir une ide gnrale suffisamment
claire, si je me bornais  une exposition purement abstraite de sa
thorie fondamentale, bien qu'une telle exposition doive tre ensuite,
sans aucun doute, l'objet principal et dfinitif de cette leon.

Les questions mathmatiques qui ont donn naissance au _calcul des
variations_ consistent, en gnral, dans la recherche des _maxima_ et
des _minima_ de certaines formules intgrales indtermines, qui
expriment la loi analytique de tel ou tel phnomne gomtrique ou
mcanique, considr indpendamment d'aucun sujet particulier. Les
gomtres ont dsign pendant long-temps toutes les questions de ce
genre par le nom commun de _problmes des isoprimtres_, qui ne
convient cependant qu'au plus petit nombre d'entre elles.

Dans la thorie ordinaire des _maxima_ et _minima_, on se propose de
dcouvrir, relativement  une fonction donne d'une seule ou de
plusieurs variables, quelles valeurs particulires il faut assigner 
ces variables pour que la valeur correspondante de la fonction propose
soit un _maximum_ ou un _minimum_, par rapport  celles qui prcdent et
qui suivent immdiatement, c'est--dire qu'on cherche,  proprement
parler,  quel instant la fonction cesse de crotre pour commencer 
dcrotre, ou rciproquement. Le calcul diffrentiel suffit pleinement,
comme on sait,  la rsolution gnrale de cette classe de questions, en
montrant que les valeurs des diverses variables qui conviennent, soit au
_maximum_, soit au _minimum_, doivent toujours rendre nulles les
diffrentes drives du premier ordre de la fonction donne, prises
sparment par rapport  chaque variable indpendante; et en indiquant
de plus un caractre propre  distinguer le _maximum_ du _minimum_, qui
consiste, dans le cas d'une fonction d'une seule variable, par exemple,
en ce que la fonction drive du second ordre doit prendre une valeur
ngative pour le _maximum_, et positive pour le _minimum_. Telles sont,
du moins, les conditions fondamentales qui se rapportent au plus grand
nombre des cas; les modifications qu'elles doivent subir pour que la
thorie soit compltement applicable  certaines questions, sont
d'ailleurs galement assujetties  des rgles abstraites aussi
invariables, quoique plus compliques.

La construction de cette thorie gnrale ayant fait disparatre
ncessairement le principal intrt que les questions de ce genre
pouvaient inspirer aux gomtres, ils se sont levs presque aussitt 
la considration d'un nouvel ordre de problmes,  la fois beaucoup plus
importans et d'une difficult bien suprieure, ceux des _isoprimtres_.
Ce ne sont plus alors les valeurs des variables propres au _maximum_ ou
au _minimum_ d'une fonction donne, qu'il s'agit de dterminer. C'est la
forme de la fonction elle-mme qu'on se propose de dcouvrir, d'aprs la
condition du _maximum_ ou du _minimum_ d'une certaine intgrale dfinie,
seulement indique, qui dpend de cette fonction.

La plus ancienne question de cette nature est celle du solide de moindre
rsistance, traite par Newton, dans le second livre des _Principes_, o
il dtermine quelle doit tre la courbe mridienne d'un solide de
rvolution, pour que la rsistance prouve par ce corps dans le sens de
son axe, en traversant avec une vitesse quelconque un fluide immobile,
soit la plus petite possible. Mais la marche suivie par Newton n'avait
point un caractre assez simple, assez gnral et surtout assez
analytique, par la nature de sa mthode spciale d'analyse
transcendante, pour qu'une telle solution pt suffire  entraner les
gomtres vers ce nouvel ordre de problmes. L'impulsion vraiment
dcisive  cet gard ne pouvait gure partir que de l'un des gomtres
occups sur le continent  laborer et  appliquer la mthode
infinitsimale proprement dite. C'est ce que fit, en 1695, Jean
Bernouilli, en proposant le problme clbre de la brachystochrone, qui
suggra depuis une si longue suite de questions analogues. Il consiste 
dterminer la courbe qu'un corps pesant doit suivre pour descendre d'un
point  un autre dans le temps le plus court. En se bornant  la simple
chute dans le vide, seul cas qu'on ait d'abord considr, on trouve
assez facilement que la courbe cherche doit tre une cyclode
renverse,  base horizontale, ayant son origine au point le plus lev.
Mais la question peut tre singulirement complique, soit en ayant
gard  la rsistance du milieu, soit en tenant compte du changement
d'intensit de la pesanteur.

Quoique cette nouvelle classe de problmes ait t primitivement fournie
par la mcanique, c'est nanmoins dans la gomtrie qu'on a puis plus
tard les sujets des principales recherches. Ainsi, on s'est propos de
dcouvrir, parmi toutes les courbes de mme contour traces entre deux
points donns, quelle est celle dont l'aire est un _maximum_ ou un
_minimum_, d'o est venu proprement le nom de _problme des
iprimtres_; ou bien on a demand que le _maximum_ et le _minimum_
eussent lieu pour la surface engendre par la rvolution de la courbe
cherche autour d'un axe, ou pour le volume correspondant; dans d'autres
cas, c'tait la hauteur verticale du centre de gravit de la courbe
inconnue, ou de la surface et du volume qu'elle pouvait engendrer, qui
devait devenir un _maximum_ ou un _minimum_, etc. Enfin, ces problmes
ont t successivement varis et compliqus, pour ainsi dire  l'infini,
par les Bernouilli, par Taylor, et surtout par Euler, avant que Lagrange
en et assujetti la solution  une mthode abstraite et entirement
gnrale, dont la dcouverte a fait cesser l'empressement des gomtres
pour un tel ordre de recherches. Il ne s'agit point ici de tracer, mme
sommairement, l'histoire de cette partie suprieure des mathmatiques,
quelque intressante qu'elle ft. Je n'ai fait l'numration de
certaines questions principales choisies parmi les plus simples,
qu'afin de rendre sensible la destination gnrale qu'avait
essentiellement,  son origine, la mthode des variations.

On voit que, considrs sous le point de vue analytique, tous ces
problmes consistent, par leur nature,  dterminer quelle forme doit
avoir une certaine fonction inconnue d'une ou de plusieurs variables,
pour que telle ou telle intgrale dpendante de cette fonction se trouve
avoir, entre des limites assignes, une valeur qui soit un _maximum_ ou
un _minimum_, relativement  toutes celles qu'elle prendrait si la
fonction cherche avait une autre forme quelconque. Ainsi, par exemple,
dans le problme de la brachystochrone, on sait que si y=f(z),
x=/varphi(z) sont les quations rectilignes de la courbe cherche, en
supposant les axes des x et des y horizontaux, et l'axe z des vertical,
le temps de la chute d'un corps pesant le long de cette courbe, depuis
le point dont l'ordonne est z_1 jusqu' celui dont l'ordonne est z_2
est gnralement exprim par l'intgrale dfinie[17]. /[/int^{z_1}_{z_2}
/sqrt{/frac{1+(f'(z))^2+(/varphi'(z))^2}{2gz}}dz/.]

      [Note 17: J'emploie la notation simple et lumineuse
      propose par M. Fourier, pour dsigner les intgrales
      dfinies, en mentionnant distinctement leurs limites.]

Il faut donc trouver quelles doivent tre les deux fonctions inconnues f
et /varphi pour que cette intgrale soit un minimum. De mme, demander
quelle est, parmi toutes les courbes planes isoprimtres, celle qui
renferme la plus grande aire, c'est proposer de trouver, parmi toutes
les fonctions f(x) qui peuvent donner  l'intgrale /[/int
dx/sqrt{1+(f'(x))^2}/] une certaine valeur constante, celle qui rend un
maximum l'intgrale /int f(x)dx, prise entre les mmes limites. Il en
est videmment toujours ainsi dans toutes les autres questions de ce
genre.

Dans les solutions que les gomtres donnaient de ces problmes avant
Lagrange, on se proposait essentiellement de les ramener  la thorie
ordinaire des maxima et minima. Mais les moyens employs pour effectuer
cette transformation consistaient en de simples artifices particuliers,
propres  chaque cas, et dont la dcouverte ne comportait point de
rgles invariables et certaines, en sorte que toute question vraiment
nouvelle reproduisait constamment des difficults analogues, sans que
les solutions dj obtenues pussent tre rellement d'aucun secours
essentiel, autrement que par les habitudes qu'elles avaient fait
contracter  l'intelligence. En un mot, cette branche des mathmatiques
prsentait alors l'imperfection ncessaire qui existe constamment tant
qu'on n'est point parvenu  saisir distinctement, pour la traiter d'une
manire abstraite et ds-lors gnrale, la partie commune  toutes les
questions d'une mme classe.

En cherchant  rduire tous les divers problmes des isoprimtres 
dpendre d'une analyse commune, organise abstraitement en un calcul
distinct, Lagrange a t conduit  concevoir une nouvelle nature de
diffrentiations, auxquelles il a appliqu la caractristique /delta, en
rservant la caractristique d pour les simples diffrentielles
ordinaires. Ces diffrentielles d'une espce nouvelle, qu'il a dsignes
sous le nom de _variations_, consistent dans les accroissemens
infiniment petits que reoivent les intgrales, non en vertu
d'accroissemens analogues de la part des variables correspondantes,
comme pour l'analyse transcendante ordinaire, mais en supposant que la
forme de la fonction place sous le signe d'intgration vienne  changer
infiniment peu. Cette distinction se conoit, par exemple, avec
facilit, relativement aux courbes, o l'on voit l'ordonne ou toute
autre variable de la courbe, comporter deux sortes de diffrentielles
videmment trs-diffrentes, suivant que l'on passe d'un point  un
autre infiniment voisin sur la mme courbe, ou bien au point
correspondant de la courbe infiniment voisine produite par une certaine
modification dtermine de la premire[18]. Il est clair, du reste, que,
par leur nature, les _variations_ relatives de diverses grandeurs lies
entre elles par des lois quelconques, se calculent,  la caractristique
prs, exactement de la mme manire que les diffrentielles. Enfin, on
dduit galement de la notion gnrale des _variations_ les principes
fondamentaux de l'algorithme propre  cette mthode et qui consistent
simplement dans la facult vidente de pouvoir transposer  volont les
caractristiques spcialement affectes aux variations avant ou aprs
celles qui correspondent aux diffrentielles ordinaires.

      [Note 18: Lebnitz avait dj considr la comparaison
      d'une courbe  une autre infiniment voisine; c'est ce qu'il
      appelait _diffrentiatio de curv in curvam_. Mais cette
      comparaison n'avait aucune analogie avec la conception de
      Lagrange, les courbes de Lebnitz tant renfermes dans une
      mme quation gnrale, d'o elles se dduisent par le
      simple changement d'une constante arbitraire.]

Cette conception abstraite une fois forme, Lagrange a pu rduire
aisment, de la manire la plus gnrale, tous les problmes des
isoprimtres  la simple thorie ordinaire des _maxima_ et des
_minima_. Pour se faire une ide nette de cette grande et heureuse
transformation, il faut pralablement considrer une distinction
essentielle  laquelle donnent lieu les diverses questions des
isoprimtres.

On doit, en effet, partager ces recherches en deux classes gnrales,
selon que les _maxima_ et _minima_ demands sont _absolus_ ou
_relatifs_, pour employer les expressions abrges des gomtres. Le
premier cas est celui o les intgrales dfinies indtermines dont on
cherche le _maximum_ ou le _minimum_, ne sont assujetties, par la nature
du problme,  aucune condition; comme il arrive, par exemple, dans le
problme de la brachystochrone, o il s'agit de choisir entre toutes les
courbes imaginables. Le second cas a lieu, quand, au contraire, les
intgrales variables ne peuvent changer que suivant certaines
conditions, consistant ordinairement en ce que d'autres intgrales
dfinies, dpendant galement des fonctions cherches, conservent
constamment une mme valeur donne; comme, par exemple, dans toutes les
questions gomtriques concernant les figures _isoprimtres_ proprement
dites, et o, par la nature du problme, l'intgrale relative  la
longueur de la courbe ou  l'aire de la surface, doit rester constante
pendant le changement de celle qui est l'objet de la recherche propose.

Le calcul des variations donne immdiatement la solution gnrale des
questions de la premire espce. Car, il suit videmment de la thorie
ordinaire des _maxima_ et _minima_, que la relation cherche doit rendre
nulle la _variation_ de l'intgrale propose par rapport  chaque
variable indpendante, ce qui donne la condition commune au maximum et
au minimum; et, comme caractre propre  distinguer l'un de l'autre, que
la variation du second ordre de la mme intgrale doit tre ngative
pour le maximum et positive pour le minimum. Ainsi, par exemple, dans le
problme de la brachystochrone, on aura, pour dterminer la nature de la
courbe cherche, l'quation de condition, /[/delta/int_{z_1}^{z_2}
/sqrt{/frac{1+(f'(z))^2+(/varphi'(z))^2}{2gz}}dz=0/] qui, se dcomposant
en deux, par rapport aux deux fonctions inconnues f et /varphi qui sont
indpendantes l'une de l'autre, exprimera compltement la dfinition
analytique de la courbe demande. La seule difficult propre  cette
nouvelle analyse consiste dans l'limination de la caractristique
/delta, pour laquelle le calcul des variations fournit des rgles
invariables et compltes, fondes, en gnral, sur le procd de
l'intgration par parties, dont Lagrange a su tirer ainsi un parti
immense. Le but constant de cette premire laboration analytique, dans
l'exposition de laquelle je ne dois nullement entrer ici, est de faire
parvenir aux quations diffrentielles proprement dites, ce qui se peut
toujours, et par-l la question rentre dans le domaine de l'analyse
transcendante ordinaire, qui achve la solution, du moins en la ramenant
 l'algbre pure, si on sait effectuer l'intgration. La destination
gnrale, propre  la mthode des variations, est d'oprer cette
transformation, pour laquelle Lagrange a tabli des rgles simples,
invariables, et d'un succs toujours assur.

Je ne dois pas ngliger, dans cette rapide indication gnrale, de faire
remarquer, comme un des plus grands avantages spciaux de la mthode des
variations compare aux solutions isoles qu'on avait auparavant des
problmes des isoprimtres, l'importante considration de ce que
Lagrange appelle les _quations aux limites_, entirement ngliges
avant lui, et sans lesquelles nanmoins la plupart des solutions
particulires restaient ncessairement incompltes. Quand les limites
des intgrales proposes doivent tre fixes, leurs variations tant
nulles, il n'y a pas lieu d'en tenir compte. Mais il n'en est plus ainsi
quand ces limites, au lieu d'tre rigoureusement invariables, sont
assujetties seulement  certaines conditions; comme, par exemple, si
les deux points entre lesquels doit tre trace la courbe cherche ne
sont pas fixes, et doivent seulement rester sur des lignes ou des
surfaces donnes. Alors, il faut avoir gard aux variations de leurs
coordonnes, et tablir entr'elles les relations correspondantes aux
quations de ces lignes ou de ces surfaces.

Cette considration essentielle n'est que le dernier complment d'une
considration plus gnrale et plus importante relative aux variations
des diverses variables indpendantes. Si ces variables sont rellement
indpendantes les unes des autres, comme lorsqu'on compare toutes les
courbes imaginables susceptibles d'tre traces entre deux points, il en
sera de mme de leurs variations, et par suite les termes relatifs 
chacune de ces variations devront tre sparment nuls dans l'quation
gnrale qui exprime le maximum ou le minimum. Mais si, au contraire, on
suppose les variables assujetties  de certaines conditions quelconques,
il faudra tenir compte de la relation qui en rsulte entre leurs
variations, de telle sorte que le nombre des quations dans lesquelles
se dcompose alors cette quation gnrale soit toujours gal  celui
seulement des variables qui restent vraiment indpendantes. C'est ainsi,
par exemple, qu'au lieu de chercher le plus court chemin pour aller
d'un point  un autre, en choisissant parmi tous les chemins possibles,
on peut se proposer de trouver seulement quel est le plus court entre
tous ceux qu'on peut suivre sur une surface quelconque donne, question
dont la solution gnrale constitue certainement une des plus belles
applications de la mthode des variations.

Les problmes o l'on considre de telles conditions modificatrices se
rapprochent beaucoup, par leur nature, de la seconde classe gnrale
d'applications de la mthode des variations, caractrise ci-dessus
comme consistant dans la recherche des maxima et minima _relatifs_. Il y
a nanmoins, entre les deux cas, cette diffrence essentielle, que, dans
ce dernier, la modification est exprime par une intgrale qui dpend de
la fonction cherche, tandis que, dans l'autre, elle se trouve dsigne
par une quation finie qui est immdiatement donne. On conoit par l,
que la recherche des maxima et minima _relatifs_ est toujours et
ncessairement plus complique que celle des maxima et minima _absolus_.
Heureusement, un thorme gnral fort important, trouv avant
l'invention du calcul des variations, et qui est une des plus belles
dcouvertes dues au gnie du grand Euler, donne un moyen uniforme et
trs-simple de faire rentrer ces deux classes de questions l'une dans
l'autre. Il consiste, en ce que si l'on ajoute  l'intgrale qui doit
tre un maximum ou un minimum un multiple constant et indtermin de
celle qui doit rester constante par la nature du problme, il suffira de
chercher, suivant le procd gnral de Lagrange, ci-dessus indiqu, le
maximum ou le minimum _absolu_ de cette expression totale. On peut
aisment concevoir, en effet, que la partie de la variation complte qui
proviendrait de la dernire intgrale doit aussi bien tre nulle, 
cause de la constance de celle-ci, que la portion due  la premire
intgrale, qui s'anantit en vertu de l'tat maximum ou minimum. Ces
deux conditions distinctes, s'accordent videmment pour produire, sous
ce rapport, des effets exactement semblables.

Telle est, par aperu, la manire gnrale dont la mthode des
variations s'applique  toutes les diverses questions qui composent ce
qu'on appelait la thorie des isoprimtres. On aura sans doute remarqu
dans cette exposition sommaire,  quel degr s'est trouve utilise par
cette nouvelle analyse la seconde proprit fondamentale de l'analyse
transcendante, apprcie dans la sixime leon, savoir: la gnralit
des expressions infinitsimales pour reprsenter un mme phnomne
gomtrique ou mcanique, en quelque corps qu'il soit considr. C'est,
en effet, sur cette gnralit que sont fondes, par leur nature, toutes
les solutions dues  la mthode des variations. Si une formule unique ne
pouvait point exprimer la longueur ou l'aire de toute courbe quelconque,
si on n'avait point une autre formule fixe pour dsigner le temps de la
chute d'un corps pesant, suivant quelque ligne qu'il descende, etc.,
comment et-il t possible de rsoudre des questions qui exigent
invitablement, par leur nature, la considration simultane de tous les
cas que peuvent dterminer dans chaque phnomne les divers sujets qui
le manifestent?

Quelle que soit l'extrme importance de la thorie des isoprimtres, et
quoique la mthode des variations n'ait eu primitivement d'autre objet
que la rsolution rationnelle et gnrale de cet ordre de problmes, on
n'aurait cependant qu'une ide incomplte de cette belle analyse, si on
bornait l sa destination. En effet, la conception abstraite de deux
natures distinctes de diffrentiations, est videmment applicable
non-seulement aux cas pour lesquels elle a t cre, mais aussi  tous
ceux qui prsentent, par quelque cause que ce soit, deux manires
diffrentes de faire varier les mmes grandeurs. C'est ainsi que
Lagrange lui-mme a fait, dans sa _mcanique analytique_, une immense
application capitale de son calcul des variations, en l'employant 
distinguer les deux sortes de changemens que prsentent si naturellement
les questions de mcanique rationnelle pour les divers points que l'on
considre, suivant que l'on compare les positions successives qu'occupe,
en vertu du mouvement, un mme point de chaque corps dans deux instans
conscutifs, ou que l'on passe d'un point du corps  un autre dans le
mme instant. L'une de ces comparaisons produit les diffrentielles
ordinaires; l'autre donne lieu aux variations, qui ne sont, l comme
partout, que des diffrentielles prises sous un nouveau point de vue.
C'est dans une telle acception gnrale qu'il faut concevoir le calcul
des variations, pour apprcier convenablement l'importance de cet
admirable instrument logique, le plus puissant que l'esprit humain ait
construit jusqu'ici.

La mthode des variations n'tant qu'une immense extension de l'analyse
transcendante gnrale, je n'ai pas besoin de constater spcialement
qu'elle est susceptible d'tre envisage sous les divers points de vue
fondamentaux que comporte le calcul des fonctions indirectes, considr
dans son ensemble. Lagrange a invent le calcul des variations d'aprs
la conception infinitsimale proprement dite, et mme bien avant d'avoir
entrepris la reconstruction gnrale de l'analyse transcendante. Quand
il eut excut cette importante rformation, il montra aisment comment
elle pouvait aussi s'appliquer au calcul des variations, qu'il exposa
avec tout le dveloppement convenable, suivant sa thorie des fonctions
drives. Mais, plus l'emploi de la mthode des variations est difficile
pour l'intelligence  cause du degr d'abstraction suprieur des ides
considres, plus il importe de mnager dans son application les forces
de notre esprit, en adoptant la conception analytique la plus directe et
la plus rapide, c'est--dire, celle de Lebnitz. Aussi Lagrange lui-mme
l'a-t-il constamment prfre dans l'important usage qu'il a fait du
calcul des variations pour la _mcanique analytique_. Il n'existe pas,
en effet, la moindre hsitation  cet gard parmi les gomtres.

Afin d'claircir aussi compltement que possible le caractre
philosophique du calcul des variations, je crois devoir terminer en
indiquant sommairement ici une considration qui me semble importante,
et par laquelle je puis le rapprocher de l'analyse transcendante
ordinaire  un plus haut degr que Lagrange ne me parat l'avoir
fait[19].

      [Note 19: Je me propose de dvelopper plus tard cette
      considration nouvelle, dans un travail spcial sur le
      _calcul des variations_, qui a pour objet de prsenter
      l'ensemble de cette analyse hyper-transcendante sous un
      nouveau point de vue, que je crois propre  en tendre la
      porte gnrale.]

Nous avons remarqu, d'aprs Lagrange, dans la leon prcdente, la
formation du calcul aux diffrences partielles, cr par d'Alembert,
comme ayant introduit, dans l'analyse transcendante, une nouvelle ide
lmentaire, la notion de deux sortes d'accroissemens distincts et
indpendans les uns des autres que peut recevoir une fonction de deux
variables, en vertu du changement de chaque variable sparment. C'est
ainsi que l'ordonne verticale d'une surface, ou toute autre grandeur
qui s'y rapporte, varie de deux manires tout--fait distinctes et qui
peuvent suivre les lois les plus diverses, en faisant crotre tantt
l'une tantt l'autre des deux coordonnes horizontales. Or, une telle
considration me semble trs-rapproche, par sa nature, de celle qui
sert de base gnrale  la mthode des variations. Celle-ci, en effet,
n'a rellement fait autre chose que transporter aux variables
indpendantes elles-mmes la manire de voir dj adopte pour les
fonctions de ces variables, ce qui en a singulirement agrandi l'usage.
Je crois, d'aprs cela, que, sous le seul rapport des conceptions
fondamentales, on peut envisager le calcul cr par d'Alembert, comme
ayant tabli une transition naturelle et ncessaire entre le calcul
infinitsimal ordinaire et le calcul des variations, dont une telle
filiation me parat devoir claircir et simplifier la notion gnrale.

D'aprs les diverses considrations indiques dans cette leon, la
mthode des variations se prsente comme le plus haut degr de
perfection connu jusqu'ici de l'analyse des fonctions indirectes. Dans
son tat primitif, cette dernire analyse s'est prsente comme un
puissant moyen gnral de faciliter l'tude mathmatique des phnomnes
naturels, en introduisant, pour l'expression de leurs lois, la
considration de grandeurs auxiliaires choisies de telle manire, que
leurs relations soient ncessairement plus simples et plus aises 
obtenir que celles des grandeurs directes. Mais la formation de ces
quations diffrentielles n'tait point conue comme pouvant comporter
aucunes rgles gnrales et abstraites. Or, l'analyse des variations,
considre sous le point de vue le plus philosophique, peut tre
envisage comme essentiellement destine, par sa nature,  faire
rentrer, autant que possible, dans le domaine du calcul, l'tablissement
mme des quations diffrentielles, car tel est, pour un grand nombre de
questions importantes et difficiles, l'effet gnral des quations
_varies_ qui, encore plus _indirectes_ que les simples quations
diffrentielles par rapport aux objets propres de la recherche, sont
aussi bien plus aises  former, et desquelles on peut ensuite, par des
procds analytiques invariables et complets, destins  liminer le
nouvel ordre d'infinitsimales auxiliaires introduit, dduire ces
quations diffrentielles ordinaires, qu'il et t souvent impossible
d'tablir immdiatement. La mthode des variations constitue donc la
partie la plus sublime de ce vaste systme de l'analyse mathmatique
qui, partant des plus simples lmens de l'algbre, organise, par une
succession d'ides non-interrompue, des moyens gnraux de plus en plus
puissans pour l'tude approfondie de la philosophie naturelle, et qui,
dans son ensemble, prsente, sans aucune comparaison, le monument le
plus imposant et le moins quivoque de la porte de l'esprit humain.
Mais, il faut reconnatre aussi que les conceptions habituellement
considres dans la mthode des variations tant, par leur nature, plus
indirectes, plus gnrales, et surtout beaucoup plus abstraites que
toutes les autres, l'emploi d'une telle mthode exige ncessairement, et
d'une manire soutenue, le plus haut degr connu de contention
intellectuelle, pour ne jamais perdre de vue l'objet prcis de la
recherche en suivant des raisonnemens qui offrent  l'esprit des points
d'appui aussi peu dtermins, et dans lesquels les signes ne sont
presque jamais d'aucun secours. On doit, sans doute, attribuer en
grande partie  cette difficult ncessaire le peu d'usage rel que les
gomtres, except Lagrange, ont fait jusqu'ici d'une conception aussi
admirable.



NEUVIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations gnrales sur le calcul aux diffrences finies.


Les diverses considrations fondamentales indiques dans les cinq leons
prcdentes constituent rellement toutes les bases essentielles d'une
exposition complte de l'analyse mathmatique, envisage sous le point
de vue philosophique. Nanmoins, pour ne ngliger aucune conception
gnrale vraiment importante relative  cette analyse, je crois devoir,
avant de passer  l'tude philosophique de la mathmatique concrte,
expliquer trs-sommairement le vritable caractre propre  un genre de
calcul fort tendu, et qui, bien que rentrant au fond dans l'analyse
ordinaire, est cependant encore regard comme tant d'une nature
essentiellement distincte. Il s'agit de ce qu'on appelle le _calcul aux
diffrences finies_, qui sera le sujet spcial de cette leon.

Ce calcul, cr par Taylor, dans son clbre ouvrage intitul _mthodes
incrumentorum_, consiste essentiellement, comme on sait, dans la
considration des accroissemens finis que reoivent les fonctions par
suite d'accroissemens analogues de la part des variables
correspondantes. Ces accroissemens ou _diffrences_, auxquels on
applique la caractristique /Delta, pour les distinguer des
_differentielles_ ou accroissemens infiniment petits, peuvent tre, 
leur tour, envisags comme de nouvelles fonctions, et devenir le sujet
d'une seconde considration semblable, et ainsi de suite, d'o rsulte
la notion des diffrences des divers ordres successifs, analogues, au
moins en apparence, aux ordres conscutifs des diffrentielles. Un tel
calcul prsente, videmment, comme le calcul des fonctions indirectes,
deux classes gnrales de questions: 1 dterminer les diffrences
successives de toutes les diverses fonctions analytiques  une ou 
plusieurs variables, en rsultat d'un mode d'accroissement dfini des
variables indpendantes, que l'on suppose, en gnral, augmenter en
progression arithmtique; 2 rciproquement, en partant de ces
diffrences, ou, plus gnralement, d'quations quelconques tablies
entre elles, remonter aux fonctions primitives elles-mmes, ou  leurs
relations correspondantes. D'o la dcomposition de ce calcul total en
deux calculs distincts, auxquels on donne ordinairement les noms de
_calcul direct aux diffrences finies_, et de _calcul inverse aux
diffrences finies_, ce dernier tant aussi appel quelquefois _calcul
intgral aux diffrences finies_. Chacun de ces deux calculs serait
d'ailleurs videmment susceptible d'une distribution rationnelle
semblable  celle expose dans la septime leon pour le calcul
diffrentiel et le calcul intgral, ce qui me dispense d'en faire une
mention distincte.

Il n'est pas douteux que, par une telle conception, Taylor a cru fonder
un calcul d'une nature entirement nouvelle, absolument distinct de
l'analyse ordinaire, et plus gnral que le calcul de Lebnitz, quoique
consistant dans une considration analogue. C'est aussi de cette manire
que presque tous les gomtres ont jug l'analyse de Taylor. Mais
Lagrange, avec sa profondeur habituelle, a clairement aperu que ces
proprits appartenaient bien plus aux formes et aux notations employes
par Taylor qu'au fond mme de sa thorie. En effet, ce qui fait le
caractre propre de l'analyse de Lebnitz, et la constitue en un calcul
vraiment distinct et suprieur, c'est que les fonctions drives sont,
en gnral, d'une toute autre nature que les fonctions primitives, en
sorte qu'elles peuvent donner lieu  des relations plus simples et d'une
formation plus facile, d'o rsultent les admirables proprits
fondamentales de l'analyse transcendante, expliques dans les leons
prcdentes. Mais il n'en est nullement ainsi pour les _diffrences_
considres par Taylor. Car ces diffrences sont, par leur nature, des
fonctions essentiellement semblables  celles qui les ont engendres, ce
qui les rend impropres  faciliter l'tablissement des quations, et ne
leur permet pas davantage de conduire  des relations plus gnrales.
Toute quation aux diffrences finies est vraiment, au fond, une
quation directement relative aux grandeurs mmes dont on compare les
tats successifs. L'chafaudage de nouveaux signes, qui fait illusion
sur le vritable caractre de ces quations, ne le dguise cependant que
d'une manire fort imparfaite, puisqu'on pourrait toujours le mettre
aisment en vidence en remplaant constamment les _diffrences_ par les
combinaisons quivalentes des grandeurs primitives, dont elles ne sont
rellement autre chose que les dsignations abrges. Aussi, le calcul
de Taylor n'a-t-il jamais offert et ne peut-il offrir, dans aucune
question de gomtrie ou de mcanique, ce puissant secours gnral que
nous avons vu rsulter ncessairement de l'analyse de Lebnitz. Lagrange
a, d'ailleurs, trs-nettement tabli que la prtendue analogie observe
entre le calcul aux diffrences et le calcul infinitsimal tait
radicalement vicieuse, en ce sens que les formules propres au premier
calcul ne peuvent nullement fournir, comme cas particuliers, celles qui
conviennent au second, dont la nature est essentiellement distincte.

D'aprs l'ensemble de considrations que je viens d'indiquer, je crois
que le calcul aux diffrences finies est ordinairement class  tort
dans l'analyse transcendante proprement dite, c'est--dire dans le
calcul des fonctions indirectes. Je le conois, au contraire, en
adoptant pleinement les importantes rflexions de Lagrange, qui ne sont
pas encore suffisamment apprcies, comme tant seulement une branche
trs-tendue et fort importante de l'analyse ordinaire, c'est--dire, de
ce que j'ai nomm le calcul des fonctions directes. Tel est, en effet,
ce me semble, son vrai caractre philosophique, que les quations qu'il
considre sont toujours, malgr la notation, de simples quations
_directes_.

En prcisant, autant que possible, l'explication prcdente, on doit
envisager le calcul de Taylor comme ayant constamment pour vritable
objet la thorie gnrale des _suites_, dont, avant cet illustre
gomtre, on n'avait encore considr que les cas les plus simples.
J'aurais d, rigoureusement, mentionner cette importante thorie en
traitant, dans la cinquime leon, de l'algbre proprement dite, dont
elle est une branche si tendue. Mais, afin d'viter tout double emploi,
j'ai prfr ne la signaler qu'en considrant le calcul aux diffrences
finies, qui, rduit  sa plus simple expression gnrale, n'est autre
chose, dans toute son tendue, qu'une tude rationnelle complte des
questions relatives aux _suites_.

Toute _suite_, ou succession de nombres dduits les uns des autres
d'aprs une loi constante quelconque, donne lieu ncessairement  ces
deux questions fondamentales: 1 la loi de la suite tant suppose
connue, trouver l'expression de son terme gnral, de manire  pouvoir
calculer immdiatement un terme d'un rang quelconque, sans tre oblig
de former successivement tous les prcdens; 2 dans les mmes
circonstances, dterminer la _somme_ d'un nombre quelconque de termes de
la suite en fonction de leurs rangs, en sorte qu'on puisse la connatre
sans tre forc d'ajouter continuellement ces termes les uns aux autres.
Ces deux questions fondamentales tant supposes rsolues, on peut en
outre se proposer rciproquement de trouver la loi d'une srie d'aprs
la forme de son terme gnral, ou l'expression de la somme. Chacun de
ses divers problmes comporte d'autant plus d'tendue et de difficult,
que l'on peut concevoir un plus grand nombre de _lois_ diffrentes pour
les sries, suivant le nombre de termes prcdens dont chaque terme
dpend immdiatement, et suivant la fonction qui exprime cette
dpendance. On peut mme considrer des sries  plusieurs indices
variables, comme l'a fait Laplace dans la _thorie analytique des
probabilits_, par l'analyse  laquelle il a donn le nom de _thorie
des fonctions gnratrices_, bien qu'elle ne soit rellement qu'une
branche nouvelle et suprieure du calcul aux diffrences finies, ou de
la thorie gnrale des suites.

Les divers aperus gnraux que je viens d'indiquer ne donnent mme
qu'une ide imparfaite de l'tendue et de la varit vraiment infinie
des questions auxquelles les gomtres se sont levs d'aprs cette
seule considration des sries, si simple en apparence, et si borne 
son origine. Elle prsente ncessairement autant de cas divers que la
rsolution algbrique des quations envisage dans toute son tendue; et
elle est, par sa nature, beaucoup plus complique, tellement mme
qu'elle en dpend toujours, pour conduire  une solution complte. C'est
assez faire pressentir quelle doit tre encore son extrme imperfection,
malgr les travaux successifs de plusieurs gomtres du premier ordre.
Nous ne possdons, en effet, jusqu'ici que la solution totale et
rationnelle des plus simples questions de cette nature.

Il est maintenant ais de concevoir l'identit ncessaire et parfaite
que j'ai annonce ci-dessus, d'aprs les indications de Lagrange, entre
le calcul aux diffrences finies, et la thorie des suites prise dans
son ensemble. En effet, toute diffrentiation  la manire de Taylor
revient videmment  trouver la _loi_ de formation d'une suite  un ou 
plusieurs indices variables, d'aprs l'expression de son terme gnral;
de mme, toute intgration analogue peut tre regarde comme ayant pour
objet la sommation d'une suite, dont le terme gnral serait exprim par
la diffrence propose. Sous ce rapport, les divers problmes de calcul
aux diffrences, direct ou inverse, rsolus par Taylor et par ses
successeurs, ont rellement une trs-grande valeur, comme traitant des
questions importantes relativement aux suites. Mais il est fort douteux
que la forme et la notation introduites par Taylor apportent rellement
aucune facilit essentielle dans la solution des questions de ce genre.
Il serait peut-tre plus avantageux pour la plupart des cas, et
certainement plus rationnel, de remplacer les _diffrences_ par les
termes mmes dont elles dsignent certaines combinaisons. Le calcul de
Taylor ne reposant pas sur une pense fondamentale vraiment distincte,
et n'ayant de propre que son systme de signes, il ne saurait y avoir
rellement, dans la supposition mme la plus favorable, aucun avantage
important  le concevoir comme dtach de l'analyse ordinaire, dont il
n'est,  vrai dire, qu'une branche immense. Cette considration des
_diffrences_, le plus souvent inutile quand elle ne complique pas, me
semble conserver encore le caractre d'une poque o les ides
analytiques n'tant pas assez familires aux gomtres, ils devaient
naturellement prfrer les formes spciales propres aux simples
comparaisons numriques.

Quoi qu'il en soit, je ne dois pas terminer cette apprciation gnrale
du calcul aux diffrences finies, sans signaler une nouvelle notion 
laquelle il a donn naissance, et qui a pris ensuite une grande
importance. C'est la considration de ces fonctions _priodiques_ ou
_discontinues_, conservant toujours la mme valeur pour une suite
infinie de valeurs assujties  une certaine loi dans les variables
correspondantes, et qui doivent tre ncessairement ajoutes aux
intgrales des quations aux diffrences finies pour les rendre
suffisamment gnrales, comme on ajoute de simples constantes
arbitraires  toutes les quadratures afin d'en complter la gnralit.
Cette ide, primitivement introduite par Euler, est devenue, dans ces
derniers temps, le sujet de travaux fort tendus de la part de M.
Fourier, qui l'a transporte dans le systme gnral de l'analyse, et
qui en a fait un usage tellement neuf et si essentiel pour la thorie
mathmatique de la chaleur que cette conception, dans son tat actuel,
lui appartient vraiment d'une manire exclusive.

Afin de signaler compltement le caractre philosophique du calcul aux
diffrences finies, je ne dois pas ngliger de mentionner ici rapidement
les principales applications gnrales qu'on en a faites jusqu'
prsent.

Il faudrait placer au premier rang, comme la plus tendue et la plus
importante, la solution des questions relatives aux suites, si, d'aprs
les explications donnes ci-dessus, la thorie gnrale des suites ne
devait pas tre considre comme constituant, par sa nature, le fond
mme du calcul de Taylor. Cette grande classe de problmes tant donc
carte, la plus essentielle des vritables _applications_ de l'analyse
de Taylor, est sans doute, jusqu'ici, la mthode gnrale des
_interpolations_, si frquemment et si utilement employe dans la
recherche des lois _empiriques_ des phnomnes naturels. La question
consiste, comme on sait,  intercaler, entre certains nombres donns,
d'autres nombres intermdiaires assujtis  la mme loi que l'on suppose
exister entre les premiers. On peut pleinement vrifier, dans cette
application principale du calcul de Taylor, combien, ainsi que je l'ai
expliqu plus haut, la considration des _diffrences_ est vraiment
trangre et souvent gnante, relativement aux questions qui dpendent
de cette analyse. En effet, Lagrange a remplac les formules
d'interpolation dduites de l'algorithme ordinaire du calcul aux
diffrences finies par des formules gnrales beaucoup plus simples, qui
sont aujourd'hui presque toujours prfres, et qui ont t trouves
directement, sans faire jouer aucun rle  la notion superflue des
_diffrences_, qui ne faisaient que compliquer la question.

Une dernire classe importante d'applications du calcul aux diffrences
finies, qui mrite d'tre distingue de la prcdente, consiste dans
l'usage minemment utile qu'on en fait, en gomtrie, pour dterminer
par approximation la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit,
et, de mme, la quadrature et la cubature d'un corps ayant une forme
quelconque. Ce procd, qui peut d'ailleurs tre conu abstraitement
comme dpendant de la mme recherche analytique que la question des
interpolations, prsente souvent un supplment prcieux aux mthodes
gomtriques entirement rationnelles, qui conduisent frquemment  des
intgrations qu'on ne sait point encore effectuer, ou  des calculs
d'une excution trs-complique.

Telles sont les diverses considrations principales que j'ai cru devoir
indiquer relativement au calcul des diffrences finies. Cet examen
complte l'tude philosophique que je m'tais propos d'esquisser pour
la mathmatique abstraite. Nous devons maintenant procder  un travail
semblable sur la mathmatique concrte, o nous nous attacherons surtout
 concevoir comment, en supposant parfaite la science gnrale du
calcul, on a pu, par des procds invariables, rduire  de pures
questions d'analyse tous les problmes que peuvent prsenter la
gomtrie et la mcanique, et imprimer ainsi  ces deux bases
fondamentales de la philosophie naturelle, un degr de prcision et
surtout d'unit, en un mot, un caractre de haute perfection, qu'une
telle marche pouvait seule leur communiquer.




DIXIME LEON.

SOMMAIRE. Vue gnrale de la gomtrie.


D'aprs l'explication gnrale prsente dans la troisime leon
relativement au caractre philosophique de la mathmatique concrte,
compar  celui de la mathmatique abstraite, je n'ai pas besoin
d'tablir ici, d'une manire spciale, que la gomtrie doit tre
considre comme une vritable science naturelle, seulement bien plus
simple et par suite beaucoup plus parfaite qu'aucune autre. Cette
perfection ncessaire de la gomtrie, obtenue essentiellement par
l'application, qu'elle comporte si minemment, de l'analyse
mathmatique, fait ordinairement illusion sur la nature relle de cette
science fondamentale, que la plupart des esprits conoivent aujourd'hui
comme une science purement rationnelle, tout--fait indpendante de
l'observation. Il est nanmoins vident, pour quiconque examine avec
attention le caractre des raisonnemens gomtriques, mme dans l'tat
actuel de la gomtrie abstraite, que, si les faits qu'on y considre
sont beaucoup plus lis entr'eux que ceux relatifs  toute autre
science, il existe toujours cependant, par rapport  chaque corps tudi
par les gomtres, un certain nombre de phnomnes primitifs, qui,
n'tant tablis par aucun raisonnement, ne peuvent tre fonds que sur
l'observation, et constituent la base ncessaire de toutes les
dductions. L'erreur commune  cet gard doit tre regarde comme un
reste d'influence de l'esprit mtaphysique, qui a si long-temps domin,
mme dans les tudes gomtriques. Indpendamment de sa gravit logique,
cette fausse manire de voir prsente continuellement, dans les
applications de la gomtrie rationnelle, les plus grands inconvniens,
en ce qu'elle empche de concevoir nettement le passage du concret 
l'abstrait.

La supriorit scientifique de la gomtrie tient, en gnral,  ce que
les phnomnes qu'elle considre sont, ncessairement, les plus
universels et les plus simples de tous. Non-seulement tous les corps de
la nature peuvent videmment donner lieu  des recherches gomtriques,
aussi bien qu' des recherches mcaniques, mais, de plus, les phnomnes
gomtriques subsisteraient encore, quand mme toutes les parties de
l'univers seraient supposes immobiles. La gomtrie est donc, par sa
nature, plus gnrale que la mcanique. En mme temps, ses phnomnes
sont plus simples; car ils sont videmment indpendans des phnomnes
mcaniques, tandis que ceux-ci se compliquent toujours ncessairement
des premiers. Il en est de mme, en comparant la gomtrie  la
thermologie abstraite, qu'on peut concevoir aujourd'hui, depuis les
travaux de M. Fourier, ainsi que je l'ai indiqu dans la troisime
leon, comme une nouvelle branche gnrale de la mathmatique concrte.
En effet, les phnomnes thermologiques, considrs mme indpendamment
des effets dynamiques qui les accompagnent presque constamment, surtout
dans les corps fluides, dpendent ncessairement des phnomnes
gomtriques, puisque la forme des corps influe singulirement sur la
rpartition de la chaleur.

C'est pour ces diverses raisons que nous avons d classer prcdemment
la gomtrie comme la premire partie de la mathmatique concrte, celle
dont l'tude, outre son importance propre, sert de base indispensable 
toutes les autres.

Avant de considrer directement l'tude philosophique des divers ordres
de recherches qui constituent la gomtrie actuelle, il faut se faire
une ide nette et exacte de la destination gnrale de cette science,
envisage dans son ensemble. Tel est l'objet de cette leon.

On dfinit communment la gomtrie d'une manire trs-vague et
tout--fait vicieuse, en se bornant  la prsenter comme _la science de
l'tendue_. Il conviendrait d'abord d'amliorer cette dfinition, en
disant, avec plus de prcision, que la gomtrie a pour objet la
_mesure_ de l'tendue. Mais une telle explication serait, par elle-mme,
fort insuffisante, bien que, au fond, elle soit exacte. Un aperu aussi
imparfait ne peut nullement faire connatre le vritable caractre
gnral de la science gomtrique.

Pour y parvenir, je crois devoir claircir pralablement deux notions
fondamentales, qui, trs-simples en elles-mmes, ont t singulirement
obscurcies par l'emploi des considrations mtaphysiques.

La premire est celle de l'_espace_, qui a donn lieu  tant de
raisonnemens sophistiques,  des discussions si creuses et si puriles
de la part des mtaphysiciens. Rduite  son acception positive, cette
conception consiste simplement en ce que, au lieu de considrer
l'tendue dans les corps eux-mmes, nous l'envisageons dans un milieu
indfini, que nous regardons comme contenant tous les corps de
l'univers. Cette notion nous est naturellement suggre par
l'observation, quand nous pensons  l'_empreinte_ que laisserait un
corps dans un fluide o il aurait t plac. Il est clair, en effet,
que, sous le rapport gomtrique, une telle _empreinte_ peut tre
substitue au corps lui-mme, sans que les raisonnemens en soient
altrs. Quant  la nature physique de cet _espace_ indfini, nous
devons spontanment nous le reprsenter, pour plus de facilit, comme
analogue au milieu effectif dans lequel nous vivons, tellement que si ce
milieu tait liquide, au lieu d'tre gazeux, notre _espace_ gomtrique
serait sans doute conu aussi comme liquide. Cette circonstance n'est
d'ailleurs videmment que trs-secondaire, l'objet essentiel d'une telle
conception tant seulement de nous faire envisager l'tendue sparment
des corps qui nous la manifestent. On comprend aisment _ priori_
l'importance de cette image fondamentale, puisqu'elle nous permet
d'tudier les phnomnes gomtriques en eux-mmes, abstraction faite de
tous les autres phnomnes qui les accompagnent constamment dans les
corps rels, sans cependant exercer sur eux aucune influence.
L'tablissement rgulier de cette abstraction gnrale doit tre regard
comme le premier pas qui ait t fait dans l'tude rationnelle de la
gomtrie, qui et t impossible s'il avait fallu continuer 
considrer avec la forme et la grandeur des corps l'ensemble de toutes
leurs autres proprits physiques. L'usage d'une semblable hypothse,
qui est peut-tre la plus ancienne conception philosophique cre par
l'esprit humain, nous est maintenant devenu si familier, que nous avons
peine  mesurer exactement son importance, en apprciant les
consquences qui rsulteraient de sa suppression.

Les spculations gomtriques ayant pu ainsi devenir abstraites, elles
ont acquis non-seulement plus de simplicit, mais encore plus de
gnralit. Tant que l'tendue est considre dans les corps eux-mmes,
on ne peut prendre pour sujet des recherches que les formes
effectivement ralises dans la nature, ce qui restreindrait
singulirement le champ de la gomtrie. Au contraire, en concevant
l'tendue dans l'_espace_, l'esprit humain peut envisager toutes les
formes quelconques imaginables, ce qui est indispensable pour donner 
la gomtrie un caractre entirement rationnel.

La seconde conception gomtrique prliminaire que nous devons examiner
est celle des diffrentes sortes d'tendue, dsignes par les mots de
_volume_[20], _surface_, _ligne_, et mme _point_, et dont l'explication
ordinaire est si peu satisfaisante.

      [Note 20: M. Lacroix a critiqu avec raison l'expression
      de _solide_, communment employe par les gomtres pour
      dsigner un _volume_. Il est certain, en effet, que lorsque
      nous voulons considrer sparment une certaine portion de
      l'_espace_ indfini, conu comme gazeux, nous en solidifions
      par la pense l'enceinte extrieure, en sorte qu'une _ligne_
      et une _surface_ sont habituellement, pour notre esprit,
      tout aussi _solides_ qu'un _volume_. On peut mme remarquer
      que, le plus souvent, afin que les corps se pntrent
      mutuellement avec plus de facilit, nous sommes obligs de
      nous reprsenter comme creux l'intrieur des _volumes_, ce
      qui rend encore plus sensible l'improprit du mot
      _solide_.]

Quoiqu'il soit videmment impossible de concevoir aucune tendue
absolument prive de l'une quelconque des trois dimensions
fondamentales, il n'est pas moins incontestable que, dans une foule
d'occasions, mme d'une utilit immdiate, les questions gomtriques ne
dpendent que de deux dimensions, considres sparment de la
troisime, ou d'une seule dimension, considre sparment des deux
autres. D'un autre ct, indpendamment de ce motif direct, l'tude de
l'tendue  une seule dimension et ensuite  deux se prsente clairement
comme un prliminaire indispensable pour faciliter l'tude des corps
complets ou  trois dimensions, dont la thorie immdiate serait trop
complique. Tels sont les deux motifs gnraux qui obligent les
gomtres  considrer isolment l'tendue sous le rapport d'une ou de
deux dimensions, aussi bien que relativement  toutes les trois
ensemble.

C'est afin de pouvoir penser, d'une manire permanente,  l'tendue dans
deux sens ou dans un seul, que l'esprit humain se forme les notions
gnrales de _surface_, et de _ligne_. Les expressions hyperboliques
habituellement employes par les gomtres pour les dfinir, tendent 
en faire concevoir une fausse ide. Mais, examines en elles-mmes,
elles n'ont d'autre destination que de nous permettre de raisonner avec
facilit sur ces deux genres d'tendue, en faisant compltement
abstraction de ce qui ne doit pas tre pris en considration. Or, il
suffit, pour cela, de concevoir la dimension que l'on veut liminer
comme devenue graduellement de plus en plus petite, les deux autres
restant les mmes, jusqu' ce qu'elle soit parvenue  un tel degr de
tnuit qu'elle ne puisse plus fixer l'attention. C'est ainsi qu'on
acquiert naturellement l'ide relle d'une _surface_, et, par une
seconde opration analogue, l'ide d'une _ligne_, en renouvelant pour la
largeur ce qu'on a d'abord fait pour l'paisseur. Enfin, si l'on rpte
encore le mme travail, on parvient  l'ide d'un _point_, ou d'une
tendue considre uniquement par rapport  son lieu, abstraction faite
de toute grandeur, et destine, par consquent,  prciser les
positions. Les surfaces ont d'ailleurs videmment la proprit gnrale
de circonscrire exactement les volumes; et, de mme les lignes,  leur
tour, circonscrivent les surfaces, et sont limites par les points. Mais
cette considration,  laquelle on a donn souvent trop d'importance,
n'est que secondaire.

Les surfaces et les lignes sont donc rellement toujours conues avec
trois dimensions; il serait, en effet, impossible de se reprsenter une
surface autrement que comme une plaque extrmement mince, et une ligne
autrement que comme un fil infiniment dli. Il est mme vident que le
degr de tnuit attribu par chaque individu aux dimensions dont il
veut faire abstraction, n'est pas constamment identique, car il doit
dpendre du degr de finesse de ses observations gomtriques
habituelles. Ce dfaut d'uniformit n'a d'ailleurs aucun inconvnient
rel, puisqu'il suffit, pour que les ides de surface et de ligne
remplissent la condition essentielle de leur destination, que chacun se
reprsente les dimensions  ngliger comme plus petites que toutes
celles dont ses expriences journalires lui donnent occasion
d'apprcier la grandeur.

On doit sans doute regretter qu'il soit encore ncessaire aujourd'hui
d'indiquer expressment une explication aussi simple que la prcdente,
dans un ouvrage tel que celui-ci. Mais j'ai cru devoir signaler
rapidement ces considrations  cause du nuage ontologique dont une
fausse manire de voir enveloppe ordinairement ces notions premires. On
voit par l combien sont dpourvues de toute espce de sens les
discussions fantastiques des mtaphysiciens sur les fondemens de la
gomtrie. On doit aussi remarquer que ces ides primordiales sont
habituellement prsentes par les gomtres d'une manire peu
philosophique, puisqu'ils exposent, par exemple, les notions des
diffrentes sortes d'tendue dans un ordre absolument inverse de leur
enchanement naturel, ce qui engendre souvent, pour l'enseignement
lmentaire, les plus graves inconvniens.

Ces prliminaires tant poss, nous pouvons procder directement  la
dfinition gnrale de la gomtrie, en concevant toujours cette science
comme ayant pour but final la _mesure_ de l'tendue.

Il est tellement ncessaire d'entrer  cet gard dans une explication
approfondie, fonde sur la distinction des trois espces d'tendue, que
la notion de _mesure_ n'est pas exactement la mme par rapport aux
surfaces et aux volumes que relativement aux lignes, en sorte que, sans
cet examen, on se formerait une fausse ide de la nature des questions
gomtriques.

Si l'on prend le mot _mesure_ dans son acception mathmatique directe et
gnrale, qui signifie simplement l'valuation des _rapports_ qu'ont
entr'elles des grandeurs homognes quelconques, on doit considrer, en
gomtrie, que la _mesure_ des surfaces et des volumes, par opposition
 celle des lignes, n'est jamais conue, mme dans les cas les plus
simples et les plus favorables, comme s'effectuant immdiatement. On
regarde comme directe la comparaison de deux lignes; celle de deux
surfaces ou de deux volumes est, au contraire, constamment indirecte. En
effet, on conoit que deux lignes puissent tre superposes; mais la
superposition de deux surfaces, ou,  plus forte raison, celle de deux
volumes, est videmment impossible  tablir dans le plus grand nombre
des cas; et, lors mme qu'elle devient rigoureusement praticable, une
telle comparaison n'est jamais ni commode, ni susceptible d'exactitude.
Il est donc bien ncessaire d'expliquer en quoi consiste proprement la
mesure vraiment gomtrique d'une surface ou d'un volume.

Il faut considrer, pour cela, que, quelle que puisse tre la forme d'un
corps, il existe toujours un certain nombre de lignes, plus ou moins
faciles  assigner, dont la longueur suffit pour dfinir exactement la
grandeur de sa surface ou de son volume. La gomtrie, regardant ces
lignes comme seules susceptibles d'tre mesures immdiatement, se
propose de dduire, de leur simple dtermination, le rapport de la
surface ou du volume cherchs,  l'unit de surface ou  l'unit de
volume. Ainsi l'objet gnral de la gomtrie, relativement aux surfaces
et aux volumes, est proprement de ramener toutes les comparaisons de
surfaces ou de volumes,  de simples comparaisons de lignes.

Outre la facilit immense que prsente videmment une telle
transformation pour la mesure des volumes et des surfaces, il en
rsulte, en la considrant d'une manire plus tendue et plus
scientifique, la possibilit gnrale de rduire  des questions de
lignes, toutes les questions relatives aux volumes et aux surfaces,
envisags quant  leur grandeur. Tel est souvent l'usage le plus
important des expressions gomtriques qui dterminent les surfaces et
les volumes en fonction des lignes correspondantes.

Ce n'est pas que les comparaisons immdiates entre surfaces ou entre
volumes ne soient jamais employes. Mais de telles mesures ne sont pas
regardes comme gomtriques, et on n'y voit qu'un supplment
quelquefois ncessaire, quoique trop rarement applicable, 
l'insuffisance ou  la difficult des procds vraiment rationnels.
C'est ainsi que souvent on dtermine le volume d'un corps, et, dans
certains cas, sa surface, d'aprs son poids. De mme, en d'autres
occasions, quand on peut substituer au volume propos un volume liquide
quivalent, on tablit immdiatement la comparaison de deux volumes, en
profitant de la proprit que prsentent les masses liquides, de
pouvoir prendre aisment toutes les formes qu'on veut leur donner. Mais
tous les moyens de cette nature sont purement mcaniques, et la
gomtrie rationnelle les rejette ncessairement.

Pour rendre plus sensible la diffrence de ces dterminations avec les
vritables mesures gomtriques, je citerai un seul exemple
trs-remarquable, la manire dont Galile valua le rapport de l'aire de
la cyclode ordinaire  celle du cercle gnrateur. La gomtrie de son
temps tant encore trop infrieure  la solution rationnelle d'un tel
problme, Galile imagina de chercher ce rapport par une exprience
directe. Ayant pes le plus exactement possible deux lames de mme
matire et d'gale paisseur, dont l'une avait la forme d'un cercle et
l'autre celle de la cyclode engendre, il trouva le poids de celle-ci
constamment triple de celui de la premire, d'o il conclut que l'aire
de la cylode est triple de celle du cercle gnrateur, rsultat
conforme  la vritable solution obtenue plus tard par Pascal et Wallis.
Un tel succs, sur lequel d'ailleurs Galile n'avait pas pris le change,
tient videmment  l'extrme simplicit relle du rapport cherch; et on
conoit l'insuffisance ncessaire de semblables expdiens, mme
lorsqu'ils seraient effectivement praticables.

On voit clairement, d'aprs ce qui prcde, en quoi consistent
proprement la partie de la gomtrie relative aux volumes et celle
relative aux surfaces. Mais on ne conoit pas aussi nettement le
caractre de la gomtrie des lignes, puisque nous avons sembl, pour
simplifier l'exposition, considrer la mesure des lignes comme se fesant
immdiatement. Il faut donc, par rapport  elles, un complment
d'explication.

 cet effet, il suffit de distinguer, entre la ligne droite et les
lignes courbes; la mesure de la premire tant seule regarde comme
directe, et celle des autres comme constamment indirecte. Bien que la
superposition soit quelquefois rigoureusement praticable pour les lignes
courbes, il est vident nanmoins que la gomtrie vraiment rationnelle
doit la rejeter ncessairement, comme ne comportant, lors mme qu'elle
est possible, aucune exactitude. La gomtrie des lignes a donc pour
objet gnral de ramener constamment la mesure des lignes courbes 
celle des lignes droites; et par suite, sous un point de vue plus
tendu, de rduire  de simples questions de lignes droites toutes les
questions relatives  la grandeur des courbes quelconques. Pour
comprendre la possibilit d'une telle transformation, il faut remarquer
que, dans toute courbe quelconque, il existe constamment certaines
droites dont la longueur doit suffire pour dterminer celle de la
courbe. Ainsi, dans un cercle, il est vident que de la longueur du
rayon on doit pouvoir conclure celle de la circonfrence; de mme, la
longueur d'une ellipse dpend de celle de ses deux axes; la longueur
d'une cyclode, du diamtre du cercle gnrateur, etc.; et si, au lieu
de considrer la totalit de chaque courbe, on demande plus gnralement
la longueur d'un arc quelconque, il suffira d'ajouter, aux divers
paramtres rectilignes qui dterminent l'ensemble de la courbe, la corde
de l'arc propos, ou les coordonnes de ses extrmits. Dcouvrir la
relation qui existe entre la longueur d'une ligne courbe et celle de
semblables lignes droites, tel est le problme gnral qu'on a
essentiellement en vue dans la partie de la gomtrie relative  l'tude
des lignes.

En combinant cette considration avec celles prcdemment exposes sur
les volumes et sur les surfaces, on peut se former une ide trs-nette
de la science gomtrique, conue dans son ensemble, en lui assignant
pour destination gnrale de rduire finalement les comparaisons de
toutes les espces d'tendue, volumes, surfaces, ou lignes,  de simples
comparaisons de lignes droites, les seules regardes comme pouvant tre
effectues immdiatement, et qui, en effet, ne sauraient videmment tre
ramenes  d'autres plus faciles. En mme temps qu'une telle conception
manifeste clairement le vritable caractre de la gomtrie, elle me
semble propre  faire apercevoir, d'un coup-d'oeil unique, son utilit
et sa perfection.

Afin de complter rigoureusement cette explication fondamentale, il me
reste  indiquer comment il peut y avoir, en gomtrie, une section
spciale relative  la ligne droite, ce qui parat d'abord incompatible
avec le principe que la mesure de cette classe de lignes doit tre
toujours regarde comme immdiate.

Elle l'est, en effet, par rapport  celle des lignes courbes, et de tous
les autres objets que la gomtrie considre. Mais il est vident que
l'estimation d'une ligne droite ne peut tre envisage comme directe
qu'autant qu'on peut immdiatement porter sur elle l'unit linaire. Or,
c'est ce qui prsente le plus souvent des difficults insurmontables,
comme j'ai eu occasion de l'exposer spcialement pour un autre motif
dans la troisime leon. On doit alors faire dpendre la mesure de la
droite propose d'autres mesures analogues, susceptibles d'tre
immdiatement effectues. Il y a donc ncessairement une premire tude
gomtrique distincte, exclusivement consacre  la ligne droite; elle a
pour objet de dterminer les lignes droites, les unes par les autres,
d'aprs les relations propres aux figures quelconques rsultant de leur
assemblage. Cette partie prliminaire de la gomtrie, qui semble pour
ainsi dire imperceptible quand on envisage l'ensemble de la science, est
nanmoins susceptible d'un trs-grand dveloppement, lorsqu'on veut la
traiter dans toute son tendue. Elle est videmment d'autant plus
importante, que, toutes les mesures gomtriques devant se ramener,
autant que possible,  celle des lignes droites, l'impossibilit de
dterminer ces dernires suffirait pour rendre incomplte la solution de
chaque question quelconque.

Telles sont donc, suivant leur enchanement naturel, les diverses
parties fondamentales de la gomtrie rationnelle. On voit que, pour
suivre dans son tude gnrale un ordre vraiment dogmatique, il faut
considrer d'abord la gomtrie des lignes, en commenant par la ligne
droite, et passer ensuite  la gomtrie des surfaces, pour traiter
enfin celle des volumes. Il y a lieu de s'tonner, sans doute, qu'une
classification mthodique qui drive aussi simplement de la nature mme
de la science n'ait pas t constamment suivie.

Aprs avoir dtermin avec prcision l'objet gnral et dfinitif des
recherches gomtriques, il faut maintenant considrer la science sous
le rapport du champ embrass par chacune de ses trois sections
fondamentales.

Ainsi envisage, la gomtrie est videmment susceptible, par sa
nature, d'une extension rigoureusement indfinie; car la mesure des
lignes, des surfaces ou des volumes, prsente ncessairement autant de
questions distinctes que l'on peut concevoir de formes diffrentes,
assujetties  des dfinitions exactes, et le nombre en est videmment
infini.

Les gomtres se sont borns d'abord  considrer les formes les plus
simples que la nature leur fournissait immdiatement, ou qui se
dduisaient de ces lmens primitifs par les combinaisons les moins
compliques. Mais ils ont senti, depuis Descartes, que, pour constituer
la science de la manire la plus philosophique, il fallait
ncessairement la faire porter, en gnral, sur toutes les formes
imaginables. Ils ont ainsi acquis la certitude raisonne que cette
gomtrie abstraite comprendrait invitablement, comme cas particuliers,
toutes les diverses formes relles que le monde extrieur pourrait
prsenter, de faon  n'tre jamais pris au dpourvu. Si, au contraire,
on s'tait toujours rduit  la seule considration de ces formes
naturelles, sans s'y tre prpar par une tude gnrale et par l'examen
spcial de certaines formes hypothtiques plus simples, il est clair que
les difficults auraient t le plus souvent insurmontables au moment de
l'application effective. C'est donc un principe fondamental, dans la
gomtrie vraiment rationnelle, que la ncessit de considrer, autant
que possible, toutes les formes qu'on peut concevoir rigoureusement.

L'examen le moins approfondi suffit pour faire comprendre que ces formes
prsentent une varit tout--fait infinie. Relativement aux lignes
courbes, en les regardant comme engendres par le mouvement d'un point
assujetti  une certaine loi, il est clair qu'on aura, en gnral,
autant de courbes diffrentes que l'on supposera de lois diffrentes
pour ce mouvement, qui peut videmment s'oprer suivant une infinit de
conditions distinctes, quoiqu'il puisse arriver accidentellement
quelquefois que de nouvelles gnrations produisent des courbes dj
obtenues. Ainsi, pour me borner aux seules courbes planes, si un point
se meut de manire  rester constamment  la mme distance d'un point
fixe, il engendrera un cercle; si c'est la somme ou la diffrence de ses
distances  deux points fixes qui demeure constante, la courbe dcrite
sera une ellipse ou une hyperbole; si c'est leur produit, on aura une
courbe toute diffrente; si le point s'carte toujours galement d'un
point fixe et d'une droite fixe, il dcrira une parabole; s'il tourne
sur un cercle en mme temps que ce cercle roule sur une ligne droite, on
aura une cyclode; s'il s'avance le long d'une droite, tandis que cette
droite, fixe par une de ses extrmits, tourne d'une manire
quelconque, il en rsultera ce qu'on appelle, en gnral, des spirales
qui,  elles seules, prsentent videmment autant de courbes
parfaitement distinctes, qu'on peut supposer de relations diffrentes
entre ces deux mouvemens de translation et de rotation, etc., etc.
Chacune de ces diverses courbes peut ensuite en fournir de nouvelles,
par les diffrentes constructions gnrales que les gomtres ont
imagines, et qui donnent naissance aux dveloppes, aux picyclodes,
aux caustiques, etc., etc. Enfin il existe videmment une varit encore
plus grande parmi les courbes  double courbure.

Relativement aux surfaces, les formes en sont ncessairement bien plus
diverses encore, en les regardant comme engendres par le mouvement des
lignes. En effet, la forme peut alors varier, non seulement en
considrant, comme dans les courbes, les diffrentes lois en nombre
infini auxquelles peut tre assujetti le mouvement de la ligne
gnratrice, mais aussi en supposant que cette ligne elle-mme vienne 
changer de nature, ce qui n'a pas d'analogue dans les courbes, les
points qui les dcrivent ne pouvant avoir aucune figure distincte. Deux
classes de conditions trs-diverses peuvent donc faire varier les formes
des surfaces, tandis qu'il n'en existe qu'une seule pour les lignes. Il
est inutile de citer spcialement une srie d'exemples propres 
vrifier cette multiplicit doublement infinie qu'on remarque parmi les
surfaces. Il suffirait, pour s'en faire une ide, de considrer
l'extrme varit que prsente le seul groupe des surfaces dites
_rgles_, c'est--dire engendres par une ligne droite, et qui comprend
toute la famille des surfaces cylindriques, celle des surfaces coniques,
la classe plus gnrale des surfaces dveloppantes quelconques, etc. Par
rapport aux volumes, il n'y a lieu  aucune considration spciale,
puisqu'ils ne se distinguent entr'eux que par les surfaces qui les
terminent.

Afin de complter cet aperu gomtrique, il faut ajouter que les
surfaces elles-mmes fournissent un nouveau moyen gnral de concevoir
des courbes nouvelles, puisque toute courbe peut tre envisage comme
produite par l'intersection de deux surfaces. C'est ainsi, en effet,
qu'ont t obtenues les premires lignes qu'on puisse regarder comme
vraiment inventes par les gomtres, puisque la nature donnait
immdiatement la ligne droite et le cercle. On sait que l'ellipse, la
parabole et l'hyperbole, les seules courbes compltement tudies par
les anciens, avaient t seulement conues, dans l'origine, comme
rsultant de l'intersection d'un cne  base circulaire par un plan
diversement situ. Il est vident que par l'emploi combin de ces
diffrens moyens gnraux pour la formation des lignes et des surfaces,
on pourrait produire une suite rigoureusement infinie de formes
distinctes, en partant seulement d'un trs-petit nombre de figures
directement fournies par l'observation.

Du reste, tous les divers moyens immdiats pour l'invention des formes,
n'ont presque plus aucune importance, depuis que la gomtrie
rationnelle a pris, entre les mains de Descartes, son caractre
dfinitif. En effet, comme nous le verrons spcialement dans la douzime
leon, l'invention des formes se rduit aujourd'hui  l'invention des
quations, en sorte que rien n'est plus ais que de concevoir de
nouvelles lignes et de nouvelles surfaces, en changeant  volont les
fonctions introduites dans les quations. Ce simple procd abstrait
est, sous ce rapport, infiniment plus fcond que les ressources
gomtriques directes, dveloppes par l'imagination la plus puissante,
qui s'appliquerait uniquement  cet ordre de conceptions. Il explique
d'ailleurs, de la manire la plus gnrale et la plus sensible, la
varit ncessairement infinie des formes gomtriques, qui correspond
ainsi  la diversit des fonctions analytiques. Enfin, il montre non
moins clairement que les diffrentes formes de surfaces doivent tre
encore plus multiplies que celles des lignes, puisque les lignes sont
reprsentes analytiquement par des quations  deux variables, tandis
que les surfaces donnent lieu  des quations  trois variables, qui
prsentent ncessairement une plus grande diversit.

Les considrations prcdemment indiques suffisent pour montrer
nettement l'extension rigoureusement infinie que comporte, par sa
nature, chacune des trois sections gnrales de la gomtrie,
relativement aux lignes, aux surfaces et aux volumes, en rsultat de la
varit infinie des corps  mesurer.

Pour achever de nous faire une ide exacte et suffisamment tendue de la
nature des recherches gomtriques, il est maintenant indispensable de
revenir sur la dfinition gnrale donne ci-dessus, afin de la
prsenter sous un nouveau point de vue, sans lequel l'ensemble de la
science ne serait que fort imparfaitement conu.

En assignant pour but  la gomtrie la _mesure_ de toutes les sortes de
lignes, de surfaces et de volumes, c'est--dire, comme je l'ai expliqu,
la rduction de toutes les comparaisons gomtriques  de simples
comparaisons de lignes droites, nous avons videmment l'avantage
d'indiquer une destination gnrale trs-prcise et trs-facile 
saisir. Mais, si cartant toute dfinition, on examine la composition
effective de la science gomtrique, on sera d'abord port  regarder la
dfinition prcdente comme beaucoup trop troite, car il n'est pas
douteux que la majeure partie des recherches qui constituent notre
gomtrie actuelle ne paraissent nullement avoir pour objet la _mesure_
de l'tendue. C'est probablement une telle considration qui maintient
encore, pour la gomtrie, l'usage de ces dfinitions vagues, qui ne
comprennent tout que parce qu'elles ne caractrisent rien. Je crois
nanmoins, malgr cette objection fondamentale, pouvoir persister 
indiquer la _mesure_ de l'tendue comme le but gnral et uniforme de la
science gomtrique, et en y comprenant cependant tout ce qui entre dans
sa composition relle. En effet, si, au lieu de se borner  considrer
isolment les diverses recherches gomtriques, on s'attache  saisir
les questions principales, par rapport auxquelles toutes les autres,
quelque importantes qu'elles soient, ne doivent tre regardes que comme
secondaires, on finira par reconnatre que la _mesure_ des lignes, des
surfaces et des volumes, est le but invariable, quelquefois _direct_, et
le plus souvent _indirect_, de tous les travaux gomtriques. Cette
proposition gnrale tant fondamentale, puisqu'elle peut seule donner 
notre dfinition toute sa valeur, il est indispensable d'entrer  ce
sujet dans quelques dveloppemens.

En examinant avec attention les recherches gomtriques qui ne
paraissent point se rapporter  la _mesure_ de l'tendue, on trouve
qu'elles consistent essentiellement dans l'tude des diverses
_proprits_ de chaque ligne ou de chaque surface, c'est--dire, en
termes prcis, dans la connaissance des diffrens modes de gnration,
ou du moins de dfinition, propres  chaque forme que l'on considre.
Or, on peut aisment tablir, de la manire la plus gnrale, la
relation ncessaire d'une telle tude avec la question de _mesure_, pour
laquelle la connaissance la plus complte possible des proprits de
chaque forme est un prliminaire indispensable. C'est ce que concourent
 prouver deux considrations galement fondamentales, quoique de nature
tout--fait distincte.

La premire, purement scientifique, consiste  remarquer que si l'on ne
connaissait, pour chaque ligne ou pour chaque surface, d'autre proprit
caractristique que celle d'aprs laquelle les gomtres l'ont
primitivement conue, il serait le plus souvent impossible de parvenir 
la solution des questions relatives  sa _mesure_. En effet, il est
facile de sentir que les diffrentes dfinitions dont chaque forme est
susceptible ne sont pas toutes galement propres  une telle
destination, et qu'elles prsentent mme, sous ce rapport, les
oppositions les plus compltes. Or, d'un autre ct, la dfinition
primitive de chaque forme n'ayant pu videmment tre choisie d'aprs
cette condition, il est clair qu'on ne doit pas s'attendre, en gnral,
 la trouver la plus convenable; d'o rsulte la ncessit d'en
dcouvrir d'autres, c'est  dire d'tudier, autant que possible, les
_proprits_ de la forme propose. Qu'on suppose, par exemple, que le
cercle soit dfini, la courbe qui, sous le mme contour, renferme la
plus grande aire, ce qui est certainement une proprit tout--fait
caractristique, on prouverait videmment des difficults
insurmontables pour dduire d'un tel point de dpart la solution des
questions fondamentales relatives  la rectification ou  la quadrature
de cette courbe. Il est clair, _ priori_, que la proprit d'avoir tous
ses points  gale distance d'un point fixe, doit ncessairement
s'adapter bien mieux  des recherches de cette nature, sans qu'elle soit
prcisment la plus convenable. De mme, Archimde et-il jamais pu
dcouvrir la quadrature de la parabole, s'il n'avait connu de cette
courbe d'autre proprit que d'tre la section d'un cne  base
circulaire, par un plan parallle  sa gnratrice? Les travaux purement
spculatifs des gomtres prcdens, pour transformer cette premire
dfinition, ont videmment t des prliminaires indispensables  la
solution directe d'une telle question. Il en est de mme,  plus forte
raison, relativement aux surfaces. Il suffirait, pour s'en faire une
juste ide, de comparer, par exemple, quant  la question de la cubature
ou de la quadrature, la dfinition ordinaire de la sphre avec celle,
non moins caractristique sans doute, qui consisterait  regarder un
corps sphrique comme celui qui, sous la mme aire, contient le plus
grand volume.

Je n'ai pas besoin d'indiquer un plus grand nombre d'exemples pour faire
comprendre, en gnral, la ncessit de connatre, autant que possible,
toutes les proprits de chaque ligne ou de chaque surface, afin de
faciliter la recherche des rectifications, des quadratures, et des
cubatures, qui constitue l'objet final de la gomtrie. On peut mme
dire que la principale difficult des questions de ce genre consiste 
employer, dans chaque cas, la proprit qui s'adapte le mieux  la
nature du problme propos. Ainsi en continuant  indiquer, pour plus de
prcision, la mesure de l'tendue, comme la destination gnrale de la
gomtrie, cette premire considration, qui touche directement au fond
du sujet, dmontre clairement la ncessit d'y comprendre l'tude,
aussi approfondie que possible, des diverses gnrations ou dfinitions
propres  une mme forme.

Un second motif, d'une importance au moins gale, consiste en ce qu'une
telle tude est indispensable pour organiser, d'une manire rationnelle,
la relation de l'abstrait au concret en gomtrie.

La science gomtrique devant considrer, ainsi que je l'ai indiqu
ci-dessus, toutes les formes imaginables qui comportent une dfinition
exacte, il en rsulte ncessairement, comme nous l'avons remarqu, que
les questions relatives aux formes quelconques prsentes par la nature,
sont toujours implicitement comprises dans cette gomtrie abstraite,
suppose parvenue  sa perfection. Mais quand il faut passer
effectivement  la gomtrie concrte, on rencontre constamment une
difficult fondamentale, celle de savoir auxquels des diffrens types
abstraits on doit rapporter, avec une approximation suffisante, les
lignes ou les surfaces relles qu'il s'agit d'tudier. Or, c'est pour
tablir une telle relation qu'il est particulirement indispensable de
connatre le plus grand nombre possible de proprits de chaque forme
considre en gomtrie.

En effet, si l'on se bornait toujours  la seule dfinition primitive
d'une ligne ou d'une surface, en supposant mme qu'on pt alors la
_mesurer_ (ce qui, d'aprs le premier genre de considrations, serait
le plus souvent impossible), ces connaissances resteraient presque
ncessairement striles dans l'application, puisqu'on ne saurait point
ordinairement reconnatre cette forme dans la nature, quand elle s'y
prsenterait. Il faudrait pour cela que le caractre unique, d'aprs
lequel les gomtres l'auraient conue, ft prcisment celui dont les
circonstances extrieures comporteraient la vrification, concidence
purement fortuite, sur laquelle videmment on ne doit pas compter, bien
qu'elle puisse avoir lieu quelquefois. Ce n'est donc qu'en multipliant
autant que possible les proprits caractristiques de chaque forme
abstraites, que nous pouvons tre assurs d'avance de la reconnatre 
l'tat concret, et d'utiliser ainsi tous nos travaux rationnels, en
vrifiant, dans chaque cas, la dfinition qui est susceptible d'tre
constate directement. Cette dfinition est presque toujours unique dans
des circonstances donnes, et varie, au contraire, pour une mme forme,
avec des circonstances diffrentes: double motif de dtermination.

La gomtrie cleste nous fournit,  cet gard, l'exemple le plus
mmorable, bien propre  mettre en vidence la ncessit gnrale d'une
telle tude. On sait, en effet, que l'ellipse a t reconnue par Kpler
comme tant la courbe que dcrivent les plantes autour du soleil et les
satellites autour de leurs plantes. Or, cette dcouverte fondamentale,
qui a renouvel l'astronomie, et-elle jamais t possible, si l'on
s'tait toujours born  concevoir l'ellipse comme la section oblique
d'un cne circulaire par un plan? Aucune telle dfinition ne pouvait
videmment comporter une semblable vrification. La proprit la plus
usuelle de l'ellipse, que la somme des distances de tous ses points 
deux points fixes soit constante, est bien plus susceptible sans doute,
par sa nature, de faire reconnatre la courbe dans ce cas; mais elle
n'est point encore directement convenable. Le seul caractre qui puisse
tre alors vrifi immdiatement, est celui qu'on tire de la relation
qui existe dans l'ellipse entre la longueur des distances focales et
leur direction, l'unique relation qui admette une interprtation
astronomique, comme exprimant la loi qui lie la distance de la plante
au soleil au temps coul depuis l'origine de sa rvolution. Il a donc
fallu que les travaux purement spculatifs des gomtres grecs sur les
proprits des sections coniques eussent pralablement prsent leur
gnration sous une multitude de points de vue diffrens, pour que
Kpler ait pu passer ainsi de l'abstrait au concret, en choisissant
parmi tous ces divers caractres celui qui pouvait le plus facilement
tre constat pour les orbites plantaires.

Je puis citer encore un exemple du mme ordre, relativement aux
surfaces, en considrant l'importante question de la figure de la terre.
Si on n'avait jamais connu d'autre proprit de la sphre que son
caractre primitif d'avoir tous ses points galement distans d'un point
intrieur, comment aurait-on pu jamais dcouvrir que la surface de la
terre tait sphrique? Il a t ncessaire pour cela de dduire
pralablement de cette dfinition de la sphre quelques proprits
susceptibles d'tre vrifies par des observations effectues uniquement
 la surface, comme, par exemple, le rapport constant qui existe pour la
sphre entre la longueur du chemin parcouru le long d'un mridien
quelconque en s'avanant vers un ple, et la hauteur angulaire de ce
ple sur l'horizon en chaque point. Il en a t videmment de mme, et
avec une bien plus longue suite de spculations prliminaires, pour
constater plus tard que la terre n'tait point rigoureusement sphrique,
mais que sa forme est celle d'un ellipsode de rvolution.

Aprs de tels exemples, il serait sans doute inutile d'en rapporter
d'autres, que chacun peut d'ailleurs aisment multiplier. On y vrifiera
toujours que, sans une connaissance trs-tendue des diverses
proprits de chaque forme, la relation de l'abstrait au concret en
gomtrie serait purement accidentelle, et que, par consquent, la
science manquerait de l'un de ses fondemens les plus essentiels.

Tels sont donc les deux motifs gnraux qui dmontrent pleinement la
ncessit d'introduire en gomtrie une foule de recherches qui n'ont
pas pour objet direct la _mesure_ de l'tendue, en continuant cependant
 concevoir une telle mesure comme la destination finale de toute la
science gomtrique. Ainsi, nous pouvons conserver les avantages
philosophiques que prsentent la nettet et la prcision de cette
dfinition, et y comprendre nanmoins, d'une manire trs-rationnelle,
quoiqu'indirecte, toutes les recherches gomtriques connues, en
considrant celles qui ne paraissent point se rapporter  la _mesure_ de
l'tendue, comme destines soit  prparer la solution des questions
finales, soit  permettre l'application des solutions obtenues.

Aprs avoir reconnu, en thse gnrale, les relations intimes et
ncessaires de l'tude des proprits des lignes et des surfaces avec
les recherches qui constituent l'objet dfinitif de la gomtrie, il est
d'ailleurs vident que, dans la suite de leurs travaux, les gomtres ne
doivent nullement s'astreindre  ne jamais perdre de vue un tel
enchanement. Sachant, une fois pour toutes, combien il importe de
varier le plus possible les manires de concevoir chaque forme, ils
doivent poursuivre cette tude sans considrer immdiatement de quelle
utilit peut tre telle ou telle proprit spciale pour les
rectifications, les quadratures ou les cubatures. Ils entraveraient
inutilement leurs recherches, en attachant une importance purile 
l'tablissement continu de cette coordination. L'esprit humain doit
procder,  cet gard, comme il le fait en toute occasion semblable,
quand, aprs avoir conu, en gnral, la destination d'une certaine
tude, il s'attache exclusivement  la pousser le plus loin possible, en
faisant compltement abstraction de cette relation, dont la
considration perptuelle compliquerait tous ses travaux.

L'explication gnrale que je viens d'exposer est d'autant plus
indispensable, que, par la nature mme du sujet, cette tude des
diverses proprits de chaque ligne et de chaque surface compose
ncessairement la trs-majeure partie de l'ensemble des recherches
gomtriques. En effet, les questions immdiatement relatives aux
rectifications, aux quadratures et aux cubatures, sont videmment, par
elles-mmes, en nombre fort limit pour chaque forme considre. Au
contraire, l'tude des proprits d'une mme forme prsente 
l'activit de l'esprit humain un champ naturellement indfini, o l'on
peut toujours esprer de faire de nouvelles dcouvertes. Ainsi, par
exemple, quoique les gomtres se soient occups depuis vingt sicles,
avec plus ou moins d'activit sans doute, mais sans aucune interruption
relle, de l'tude des sections coniques, ils sont loin de regarder ce
sujet si simple comme puis; et il est certain en effet qu'en
continuant  s'y livrer, on ne manquerait pas de trouver encore des
proprits inconnues de ces diverses courbes. Si les travaux de ce genre
se sont considrablement ralentis depuis environ un sicle, ce n'est pas
qu'ils soient termins; cela tient seulement, comme je l'expliquerai
tout--l'heure,  ce que la rvolution philosophique opre en gomtrie
par Descartes a d singulirement diminuer l'importance de semblables
recherches.

Il rsulte des considrations prcdentes que non-seulement le champ de
la gomtrie est ncessairement infini  cause de la varit des formes
 considrer, mais aussi en vertu de la diversit des points de vue sous
lesquels une mme forme peut tre envisage. Cette dernire conception
est mme celle qui donne l'ide la plus large et la plus complte de
l'ensemble des recherches gomtriques. On voit que les tudes de ce
genre consistent essentiellement, pour chaque ligne ou pour chaque
surface,  rattacher tous les phnomnes gomtriques qu'elle peut
prsenter  un seul phnomne fondamental, regard comme dfinition
primitive.

Aprs avoir expos, d'une manire gnrale et pourtant prcise, l'objet
final de la gomtrie, et montr comment la science, ainsi dfinie,
comprend une classe de recherches trs-tendue qui ne paraissaient point
d'abord s'y rapporter ncessairement, il me reste  considrer, dans son
ensemble, la mthode  suivre pour la formation de cette science. Cette
dernire explication est indispensable pour complter ce premier aperu
du caractre philosophique de la gomtrie. Je me bornerai en ce moment
 indiquer  cet gard la considration la plus gnrale, cette
importante notion fondamentale devant tre dveloppe et prcise dans
les leons suivantes.

L'ensemble des questions gomtriques peut tre trait suivant deux
mthodes tellement diffrentes, qu'il en rsulte, pour ainsi dire, deux
sortes de gomtries, dont le caractre philosophique ne me semble pas
avoir t encore convenablement saisi. Les expressions de gomtrie
_synthtique_ et gomtrie _analytique_, habituellement employes pour
les dsigner, en donnent une trs-fausse ide. Je prfrerais de
beaucoup les dnominations purement historiques de _gomtrie des
anciens_ et _gomtrie des modernes_, qui ont, du moins, l'avantage de
ne pas faire mconnatre leur vrai caractre. Mais je propose d'employer
dsormais les expressions rgulires de _gomtrie spciale_ et
_gomtrie gnrale_, qui me paraissent propres  caractriser avec
prcision la vritable nature des deux mthodes.

Ce n'est point, en effet, dans l'emploi du calcul, comme on le pense
communment, que consiste prcisment la diffrence fondamentale entre
la manire dont nous concevons la gomtrie depuis Descartes, et la
manire dont les gomtres de l'antiquit traitaient les questions
gomtriques. Il est certain, d'une part, que l'usage du calcul ne leur
tait point entirement inconnu, puisqu'ils faisaient, dans leur
gomtrie, des applications continuelles et fort tendues de la thorie
des proportions, qui tait pour eux, comme moyen de dduction, une sorte
d'quivalent rel, quoique trs-imparfait et surtout extrmement born,
de notre algbre actuelle. On peut mme employer le calcul d'une manire
beaucoup plus complte qu'ils ne l'ont fait pour obtenir certaines
solutions gomtriques, qui n'en auront pas moins le caractre essentiel
de la gomtrie ancienne; c'est ce qui arrive trs-frquemment, par
rapport  ces problmes de gomtrie  deux ou  trois dimensions,
qu'on dsigne vulgairement sous le nom de _dtermins_. D'un autre ct,
quelque capitale que soit l'influence du calcul dans notre gomtrie
moderne, plusieurs solutions, obtenues sans algbre, peuvent manifester
quelquefois le caractre propre qui la distingue de la gomtrie
ancienne, quoique, en thse gnrale, l'analyse soit indispensable; j'en
citerai, comme exemple, la mthode de Roberval pour les tangentes, dont
la nature est essentiellement moderne, et qui cependant conduit, en
certains cas,  des solutions compltes, sans aucun secours du calcul.
Ce n'est donc point par l'instrument de dduction employ qu'on doit
principalement distinguer les deux marches que l'esprit humain peut
suivre en gomtrie.

La diffrence fondamentale, jusqu'ici imparfaitement saisie, me parat
consister rellement dans la nature mme des questions considres. En
effet, la gomtrie, envisage dans son ensemble, et suppose parvenue 
son entire perfection, doit, comme nous l'avons vu, d'une part,
embrasser toutes les formes imaginables, et d'une autre part, dcouvrir
toutes les proprits de chaque forme. Elle est susceptible, d'aprs
cette double considration, d'tre traite suivant deux plans
essentiellement distinctifs: soit en groupant ensemble toutes les
questions, quelque diverses qu'elles soient, qui concernent une mme
forme, et isolant celles relatives  des corps diffrens, quelque
analogie qui puisse exister entre elles; soit, au contraire, en
runissant sous un mme point de vue toutes les recherches semblables, 
quelques formes diverses qu'elles se rapportent d'ailleurs, et sparant
les questions relatives aux proprits rellement diffrentes d'un mme
corps. En un mot, l'ensemble de la gomtrie peut tre essentiellement
ordonn ou par rapport aux corps tudis, ou par rapport aux phnomnes
 considrer. Le premier plan, qui est le plus naturel, a t celui des
anciens; le second, infiniment plus rationnel, est celui des modernes
depuis Descartes.

Tel est, en effet, le caractre principal de la gomtrie ancienne,
qu'on tudiait, une  une, les diverses lignes et les diverses surfaces,
ne passant  l'examen d'une nouvelle forme que lorsqu'on croyait avoir
puis tout ce que pouvaient offrir d'intressant les formes connues
jusqu'alors. Dans cette manire de procder, quand on entreprenait
l'tude d'une courbe nouvelle, l'ensemble des travaux excuts sur les
prcdentes ne pouvait prsenter directement aucune ressource
essentielle, autrement que par l'exercice gomtrique auquel il avait
dress l'intelligence. Quelle que pt tre la similitude relle des
questions proposes sur deux formes diffrentes, les connaissances
compltes acquises pour l'une ne pouvaient nullement dispenser de
reprendre pour l'autre l'ensemble de la recherche. Aussi la marche de
l'esprit n'tait-elle jamais assure; en sorte qu'on ne pouvait tre
certain d'avance d'obtenir une solution quelconque, quelqu'analogue que
ft le problme propos  des questions dj rsolues. Ainsi, par
exemple, la dtermination des tangentes aux trois sections coniques ne
fournissait aucun secours rationnel pour mener la tangente 
quelqu'autre courbe nouvelle, comme le conchode, la cissode, etc. En
un mot, la gomtrie des anciens tait, suivant l'expression propose
ci-dessus, essentiellement _spciale_.

Dans le systme des modernes, la gomtrie est, au contraire, minemment
_gnrale_, c'est--dire, relative  des formes quelconques. Il est ais
de comprendre d'abord que toutes les questions gomtriques de
quelqu'intrt peuvent tre proposes par rapport  toutes les formes
imaginables. C'est ce qu'on voit directement pour les problmes
fondamentaux, qui constituent, d'aprs les explications donnes dans
cette leon, l'objet dfinitif de la gomtrie, c'est--dire, les
rectifications, les quadratures, et les cubatures. Mais cette remarque
n'est pas moins incontestable, mme pour les recherches relatives aux
diverses _proprits_ des lignes et des surfaces, et dont les plus
essentielles, telles que la question des tangentes ou des plans tangens,
la thorie des courbures, etc., sont videmment communes  toutes les
formes quelconques. Les recherches trs-peu nombreuses qui sont vraiment
particulires  telle ou telle forme n'ont qu'une importance extrmement
secondaire. Cela pos, la gomtrie moderne consiste essentiellement 
abstraire, pour la traiter  part, d'une manire entirement gnrale,
toute question relative  un mme phnomne gomtrique, dans quelques
corps qu'il puisse tre considr. L'application des thories
universelles ainsi construites  la dtermination spciale du phnomne
dont il s'agit dans chaque corps particulier, n'est plus regarde que
comme un travail subalterne,  excuter suivant des rgles invariables
et dont le succs est certain d'avance. Ce travail est, en un mot, du
mme ordre que l'valuation numrique d'une formule analytique
dtermine. Il ne peut y avoir sous ce rapport d'autre mrite que celui
de prsenter, dans chaque cas, la solution ncessairement fournie par la
mthode gnrale, avec toute la simplicit et l'lgance que peut
comporter la ligne ou la surface considre. Mais on n'attache
d'importance relle qu' la conception et  la solution complte d'une
nouvelle question propre  une forme quelconque. Les travaux de ce
genre sont seuls regards comme faisant faire  la science de vritables
pas. L'attention des gomtres, ainsi dispense de l'examen des
particularits des diverses formes, et dirige tout entire vers les
questions gnrales, a pu s'lever par l  la considration de
nouvelles notions gomtriques, qui, appliques aux courbes tudies par
les anciens, en ont fait dcouvrir des proprits importantes qu'ils
n'avaient pas mme souponnes. Telle est la gomtrie depuis la
rvolution radicale opre par Descartes dans le systme gnral de la
science.

La simple indication du caractre fondamental propre  chacune des deux
gomtries, suffit sans doute pour mettre en vidence l'immense
supriorit ncessaire de la gomtrie moderne. On peut mme dire
qu'avant la grande conception de Descartes, la gomtrie rationnelle
n'tait pas vraiment constitue sur des bases dfinitives, soit sous le
rapport abstrait, soit sous le rapport concret. En effet, pour la
science considre spculativement, il est clair qu'en continuant
indfiniment, comme l'ont fait les modernes avant Descartes et mme un
peu aprs,  suivre la marche des anciens, en ajoutant quelques
nouvelles courbes au petit nombre de celles qu'ils avaient tudies, les
progrs, quelque rapides qu'ils eussent p tre, n'auraient t, aprs
une longue suite de sicles, que fort peu considrables par rapport au
systme gnral de la gomtrie, vu l'infinie varit des formes qui
seraient toujours restes  tudier. Au contraire,  chaque question
rsolue suivant la marche des modernes, le nombre des problmes
gomtriques  rsoudre se trouve, une fois pour toutes, diminu
d'autant, par rapport  tous les corps possibles. Sous un second point
de vue, du dfaut complet de mthodes gnrales il rsultait que les
gomtres anciens, dans toutes leurs recherches, taient entirement
abandonns  leurs propres forces, sans avoir jamais la certitude
d'obtenir tt ou tard une solution quelconque. Si cette imperfection de
la science tait minemment propre  mettre dans tout son jour leur
admirable sagacit, elle devait rendre leurs progrs extrmement lents:
on peut s'en faire une ide par le temps considrable qu'ils ont employ
 l'tude des sections coniques. La gomtrie moderne, assurant d'une
manire invariable la marche de notre esprit, permet, au contraire,
d'utiliser au plus haut degr possible les forces de l'intelligence, que
les anciens devaient consumer frquemment sur des questions bien peu
importantes.

Une diffrence non moins capitale se manifeste entre les deux systmes,
quand on vient  considrer la gomtrie sous le rapport concret. En
effet, nous avons remarqu plus haut que la relation de l'abstrait au
concret en gomtrie ne peut tre solidement fonde sur des bases
rationnelles qu'autant qu'on fait directement porter les recherches sur
toutes les formes imaginables. En n'tudiant les lignes et les surfaces
qu'une  une, quel que soit le nombre, toujours ncessairement fort
petit, de celles qu'on aura considres, l'application de thories
semblables aux formes rellement existantes dans la nature n'aura jamais
qu'un caractre essentiellement accidentel, puisque rien n'assure que
ces formes pourront effectivement rentrer dans les types abstraits
envisags par les gomtres.

Il y a certainement, par exemple, quelque chose de fortuit dans
l'heureuse relation qui s'est tablie entre les spculations des
gomtres grecs sur les sections coniques et la dtermination des
vritables orbites plantaires. En continuant sur le mme plan les
travaux gomtriques, on n'avait point, en gnral, le droit d'esprer
de semblables concidences; et il et t possible, dans ces tudes
spciales, que les recherches des gomtres se fussent diriges sur des
formes abstraites indfiniment inapplicables, tandis qu'ils en auraient
nglig d'autres, susceptibles peut-tre d'une application importante et
prochaine. Il est clair, du moins, que rien ne garantissait
positivement l'applicabilit ncessaire des spculations gomtriques.
Il en est tout autrement dans la gomtrie moderne. Par cela seul qu'on
y procde par questions gnrales, relatives  des formes quelconques,
on a d'avance la certitude vidente que les formes ralises dans le
monde extrieur se sauraient jamais chapper  chaque thorie, si le
phnomne gomtrique qu'elle envisage vient  s'y prsenter.

Par ces diverses considrations, on voit que le systme de gomtrie des
anciens porte essentiellement le caractre de l'enfance de la science,
qui n'a commenc  devenir compltement rationnelle que par suite de la
rvolution philosophique opre par Descartes. Mais il est vident, d'un
autre ct, que la gomtrie n'a pu tre conue d'abord que de cette
manire _spciale_. La gomtrie _gnrale_ n'et point t possible, et
la ncessit n'et pu mme en tre sentie, si une longue suite de
travaux spciaux sur les formes les plus simples n'avait point
pralablement fourni des bases  la conception de Descartes, et rendu
sensible l'impossibilit de persister indfiniment dans la philosophie
gomtrique primitive.

En prcisant autant que possible cette dernire considration, il faut
mme en conclure que, quoique la gomtrie que j'ai appel _gnrale_
doive tre aujourd'hui regarde comme la seule vritable gomtrie
dogmatique, celle  laquelle nous nous bornerons essentiellement,
l'autre n'ayant plus, principalement, qu'un intrt historique,
nanmoins il n'est pas possible de faire disparatre entirement la
gomtrie _spciale_ dans une exposition rationnelle de la science. On
peut sans doute se dispenser, comme on l'a fait depuis environ un
sicle, d'emprunter directement  la gomtrie ancienne tous les
rsultats qu'elle a fournis. Les recherches les plus tendues et les
plus difficiles dont elle tait compose, ne sont plus mme
habituellement prsentes aujourd'hui que d'aprs la mthode moderne.
Mais, par la nature mme du sujet, il est ncessairement impossible de
se passer absolument de la mthode ancienne, qui, quoi qu'on fasse,
servira toujours dogmatiquement de base prliminaire  la science, comme
elle l'a fait historiquement. Le motif en est facile  comprendre. En
effet, la gomtrie _gnrale_ tant essentiellement fonde, comme nous
l'tablirons bientt, sur l'emploi du calcul, sur la transformation des
considrations gomtriques en considrations analytiques, une telle
manire de procder ne saurait s'emparer du sujet immdiatement  son
origine. Nous savons que l'application de l'analyse mathmatique, par
sa nature, ne peut jamais commencer aucune science quelconque,
puisqu'elle ne saurait avoir lieu que lorsque la science a dj t
assez cultive pour tablir, relativement aux phnomnes considrs,
quelques _quations_ qui puissent servir de point de dpart aux travaux
analytiques. Ces quations fondamentales une fois dcouvertes, l'analyse
permettra d'en dduire une multitude de consquences, qu'il et t mme
impossible de souponner d'abord; elle perfectionnera la science  un
degr immense, soit sous le rapport de la gnralit des conceptions,
soit quant  la coordination complte tablie entre elles. Mais, pour
constituer les bases mmes d'une science naturelle quelconque, jamais,
videmment, la simple analyse mathmatique ne saurait y suffire, pas
mme pour les dmontrer de nouveau lorsqu'elles ont t dj fondes.
Rien ne peut dispenser,  cet gard, de l'tude directe du sujet,
pousse jusqu'au point de la dcouverte de relations prcises. Tenter de
faire rentrer la science, ds son origine, dans le domaine du calcul, ce
serait vouloir imposer  des thories portant sur des phnomnes
effectifs, le caractre de simples procds logiques, et les priver
ainsi de tout ce qui constitue leur corrlation ncessaire avec le monde
rel. En un mot, une telle opration philosophique, si par elle-mme
elle n'tait pas ncessairement contradictoire, ne saurait aboutir
videmment qu' replonger la science dans le domaine de la mtaphysique,
dont l'esprit humain a eu tant de peine  se dgager compltement.

Ainsi, la gomtrie des anciens aura toujours, par sa nature, une
premire part ncessaire et plus ou moins tendue dans le systme total
des connaissances gomtriques. Elle constitue une introduction
rigoureusement indispensable  la gomtrie _gnrale_. Mais c'est 
cela que nous devons la rduire dans une exposition compltement
dogmatique. Je considrerai donc directement, dans la leon suivante,
cette gomtrie _spciale_ ou _prliminaire_, restreinte exactement 
ses limites ncessaires, pour ne plus m'occuper ensuite que de l'examen
philosophique de la gomtrie _gnrale_ ou _dfinitive_, la seule
vraiment rationnelle, et qui aujourd'hui compose essentiellement la
science.




ONZIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations gnrales sur la gomtrie _spciale_ ou
_prliminaire_.


La mthode gomtrique des anciens devant avoir ncessairement, d'aprs
les motifs indiqus  la fin de la leon prcdente, une part
prliminaire dans le systme dogmatique de la gomtrie, pour fournir 
la gomtrie _gnrale_ des fondemens indispensables, il convient
maintenant de fixer d'abord en quoi consiste strictement cette fonction
pralable de la gomtrie _spciale_, ainsi rduite au moindre
dveloppement possible.

En la considrant sous ce point de vue, il est ais de reconnatre qu'on
pourrait la restreindre  la seule tude de la ligne droite pour ce qui
concerne la gomtrie des lignes,  la quadrature des aires planes
rectilignes, et enfin  la cubature des corps termins par des faces
planes. Les propositions lmentaires relatives  ces trois questions
fondamentales constituent, en effet, le point de dpart ncessaire de
toutes les recherches gomtriques; elles seules ne peuvent tre
obtenues que par une tude directe du sujet; tandis qu'au contraire la
thorie complte de toutes les autres formes quelconques, mme celle du
cercle et des surfaces et volumes qui s'y rapportent, peut aujourd'hui
rentrer entirement dans le domaine de la gomtrie _gnrale_ ou
_analytique_, ces lmens primitifs fournissant dj des _quations_,
qui suffisent pour permettre l'application du calcul aux questions
gomtriques, qui n'et pas t possible sans cette condition pralable.

Il rsulte de cette considration que, dans l'usage ordinaire, on donne
 la gomtrie _lmentaire_ plus d'tendue qu'il ne serait
rigoureusement ncessaire, puisque, outre la ligne droite, les polygones
et les polydres, on y comprend aussi le cercle et les corps _ronds_,
dont l'tude pourrait cependant tre aussi purement _analytique_ que
celle, par exemple, des sections coniques. Une vnration irrflchie
pour l'antiquit contribue, sans doute,  maintenir ce dfaut de
mthode. Mais comme ce respect n'a point empch de faire rentrer dans
le domaine de la gomtrie moderne la thorie des sections coniques, il
faut bien que, relativement aux formes circulaires, l'habitude
contraire, encore universelle, soit fonde sur d'autres motifs. La
raison la plus sensible qu'on en puisse donner, c'est le grave
inconvnient qu'il y aurait, pour l'enseignement ordinaire,  ajourner 
une poque assez loigne de l'ducation mathmatique la solution de
plusieurs questions essentielles, susceptibles d'une application
immdiate et continuelle  une foule d'usages importans. Pour procder,
en effet, de la manire la plus rationnelle, ce ne serait qu' l'aide du
calcul intgral qu'on pourrait obtenir les intressans rsultats,
relatifs  la mesure de la longueur ou de l'aire du cercle, ou  la
quadrature de la sphre, etc., tablis par les anciens d'aprs des
considrations extrmement simples. Cet inconvnient serait peu
important,  l'gard des esprits destins  tudier l'ensemble de la
science mathmatique, et l'avantage de procder avec une rationnalit
parfaite aurait, comparativement, une bien plus grande valeur. Mais, le
cas contraire tant encore le plus frquent, on a d s'attacher 
conserver dans la gomtrie lmentaire proprement dite des thories
aussi essentielles. En admettant l'influence d'une telle considration,
et ne restreignant plus cette gomtrie prliminaire  ce qui est
strictement indispensable, on peut mme concevoir l'utilit, pour
certains cas particuliers, d'y introduire plusieurs tudes importantes
qui en ont t gnralement exclues, comme celles des sections
coniques, de la cyclode, etc., afin de renfermer, dans un enseignement
born, le plus grand nombre possible de connaissances usuelles, quoique,
mme sous le simple rapport du temps, il ft prfrable de suivre la
marche la plus rationnelle.

Je ne dois point,  ce sujet, tenir compte ici des avantages que peut
prsenter cette extension habituelle de la mthode gomtrique des
anciens au-del de la destination ncessaire qui lui est propre, par la
connaissance plus profonde qu'on acquiert ainsi de cette mthode, et par
la comparaison instructive qui en rsulte avec la mthode moderne. Ce
sont l des qualits qui, dans l'tude d'une science quelconque,
appartiennent  la marche que nous avons nomme _historique_, et
auxquelles il faut savoir renoncer franchement, quand on a bien reconnu
la ncessit de suivre la marche vraiment _dogmatique_. Aprs avoir
conu toutes les parties d'une science de la manire la plus
rationnelle, nous savons combien il importe, pour complter cette
ducation, d'tudier l'_histoire_ de la science, et par consquent, de
comparer exactement les diverses mthodes que l'esprit humain a
successivement employes; mais ces deux sries d'tudes doivent tre, en
gnral, comme nous l'avons vu, soigneusement spares. Cependant, dans
le cas dont il s'agit ici, la mthode gomtrique des modernes est
peut-tre encore trop rcente pour qu'il ne convienne pas, afin de la
mieux caractriser par la comparaison, de traiter d'abord, suivant la
mthode des anciens, certaines questions qui, par leur nature, doivent
rentrer rationnellement dans la gomtrie moderne.

Quoi qu'il en soit, cartant maintenant ces diverses considrations
accessoires, nous voyons que cette introduction  la gomtrie, qui ne
peut tre traite que suivant la mthode des anciens, est strictement
rductible  l'tude de la ligne droite, des aires polygonales et des
polydres. Il est mme vraisemblable qu'on finira par la restreindre
habituellement  ces limites ncessaires, quand les grandes notions
analytiques seront devenues plus familires, et qu'une tude de
l'ensemble des mathmatiques sera universellement regarde comme la base
philosophique de l'ducation gnrale.

Si cette portion prliminaire de la gomtrie, qui ne saurait tre
fonde sur l'application du calcul, se rduit, par sa nature,  une
suite de recherches fondamentales trs-peu tendues, il est certain,
d'un autre ct, qu'on ne peut la restreindre davantage, quoique, par un
vritable abus de l'esprit analytique, on ait quelquefois essay, dans
ces derniers temps, de prsenter sous un point de vue purement
algbrique l'tablissement des thormes principaux de la gomtrie
lmentaire. C'est ainsi qu'on a prtendu dmontrer par de simples
considrations abstraites d'analyse mathmatique la relation constante
qui existe entre les trois angles d'un triangle rectiligne, la
proposition fondamentale de la thorie des triangles semblables, la
mesure des rectangles, celle des paralllipipdes, etc., en un mot,
prcisment les seules propositions gomtriques qui ne puissent tre
obtenues que par une tude directe du sujet, sans que le calcul soit
susceptible d'y avoir aucune part. Je ne signalerais point ici de telles
aberrations, si elles n'avaient pas t dtermines par l'intention
vidente de perfectionner, au plus haut degr possible, le caractre
philosophique de la science gomtrique, en la faisant rentrer
immdiatement, ds sa naissance, dans le domaine des applications de
l'analyse mathmatique. Mais l'erreur capitale commise  cet gard par
quelques gomtres doit tre soigneusement remarque, parce qu'elle
rsulte de l'exagration irrflchie de cette tendance aujourd'hui
trs-naturelle et minemment philosophique, qui porte  tendre de plus
en plus l'influence de l'analyse dans les tudes mathmatiques. La
contemplation des rsultats prodigieux auxquels l'esprit humain est
parvenu en suivant une telle direction, a d involontairement entraner
 croire que mme les fondemens de la mathmatique concrte pourraient
tre tablis sur de simples considrations analytiques. Ce n'est point,
en effet, pour la gomtrie seulement que nous devons noter de
semblables aberrations; nous aurons bientt  en constater de
parfaitement analogues relativement  la mcanique,  l'occasion des
prtendues dmonstrations analytiques du paralllogramme des forces.
Cette confusion logique a mme aujourd'hui bien plus de gravit en
mcanique, o elle contribue effectivement  rpandre encore un nuage
mtaphysique sur le caractre gnral de la science; tandis que, du
moins en gomtrie, ces considrations abstraites ont t jusqu'ici
laisses en dehors, sans s'incorporer  l'exposition normale de la
science.

D'aprs les principes prsents dans cet ouvrage, sur la philosophie
mathmatique, il n'est pas ncessaire d'insister beaucoup pour faire
sentir le vice d'une telle manire de procder. Nous avons dj reconnu,
en effet, que le calcul n'tant et ne pouvant tre qu'un moyen de
dduction, c'est s'en former une ide radicalement fausse que de vouloir
l'employer  tablir les fondemens lmentaires d'une science
quelconque; car, sur quoi reposeraient, dans une telle opration, les
argumentations analytiques? Un travail de cette nature, bien loin de
perfectionner vritablement le caractre philosophique d'une science,
constituerait un retour vers l'tat mtaphysique, en prsentant des
connaissances relles comme de simples abstractions logiques.

Quand on examine en elles-mmes ces prtendues dmonstrations
analytiques des propositions fondamentales de la gomtrie lmentaire,
on vrifie aisment leur insignifiance ncessaire. Elles sont toutes
fondes sur une manire vicieuse de concevoir le principe de
l'_homognit_, dont j'ai expos, dans la cinquime leon, la vritable
notion gnrale. Ces dmonstrations supposent que ce principe ne permet
point d'admettre la coexistence dans une mme quation de nombres
obtenus par des comparaisons concrtes diffrentes, ce qui est
videmment faux et visiblement contraire  la marche constante des
gomtres. Aussi, il est facile de reconnatre qu'en employant la loi de
l'homognit dans cette acception arbitraire et illgitime, on pourrait
parvenir  _dmontrer_ avec tout autant de rigueur apparente des
propositions dont l'absurdit est manifeste au premier coup-d'oeil. En
examinant avec attention, par exemple, le procd  l'aide duquel on a
tent de prouver analytiquement que la somme des trois angles d'un
triangle rectiligne quelconque est constamment gale  deux angles
droits, on voit qu'il est fond sur cette notion prliminaire, que si
deux triangles ont deux de leurs angles respectivement gaux, le
troisime angle sera aussi, de part et d'autre, ncessairement gal. Ce
premier point tant accord, la relation propose s'en dduit
immdiatement, d'une manire trs-exacte et fort simple. Or, la
considration analytique, d'aprs laquelle on a voulu tablir cette
proposition pralable, est d'une telle nature que, si elle pouvait tre
juste, on en dduirait rigoureusement, en la reproduisant en sens
inverse, cette absurdit palpable, que deux cots d'un triangle
suffisent, sans aucun angle,  l'entire dtermination du troisime
ct. On peut faire des remarques analogues sur toutes les
dmonstrations de ce genre, dont le sophisme sera ainsi vrifi d'une
manire parfaitement sensible.

Plus nous devons ici considrer la gomtrie comme tant aujourd'hui
essentiellement analytique, plus il tait ncessaire de prmunir les
esprits contre cette exagration abusive de l'analyse mathmatique,
suivant laquelle on prtendrait se dispenser de toute observation
gomtrique proprement dite, en tablissant sur de pures abstractions
algbriques les fondemens mmes de cette science naturelle. J'ai d
attacher d'autant plus d'importance  caractriser des aberrations ainsi
lies au dveloppement normal de l'esprit humain, qu'elles ont t pour
ainsi dire consacres dans ces derniers temps par l'assentiment formel
d'un gomtre fort distingu, dont l'autorit exerce sur l'enseignement
lmentaire de la gomtrie une trs-grande influence.

Je crois devoir remarquer  cette occasion que, sous plus d'un autre
rapport, on a, ce me semble, trop perdu de vue le caractre de science
naturelle ncessairement inhrent  la gomtrie. Il est ais de le
reconnatre, en considrant les vains efforts tents si long-temps par
les gomtres pour _dmontrer_ rigoureusement, non  l'aide du calcul,
mais d'aprs certaines constructions, plusieurs propositions
fondamentales de la gomtrie lmentaire. Quoi qu'on puisse faire, on
ne saurait videmment viter de recourir quelquefois en gomtrie  la
simple observation immdiate, comme moyen d'tablir divers rsultats.
Si, dans cette science, les phnomnes que l'on considre sont, en vertu
de leur extrme simplicit, beaucoup plus lis entr'eux que ceux
relatifs  toute autre science physique, il doit nanmoins s'en trouver
ncessairement quelques-uns qui ne peuvent tre dduits, et qui servent
au contraire de point de dpart. Qu'il convienne, en thse gnrale,
pour la plus grande perfection rationnelle de la science, de les
rduire au plus petit nombre possible, cela est sans doute
incontestable; mais il serait absurde de prtendre les faire disparatre
compltement. J'avoue d'ailleurs que je trouve moins d'inconvniens
rels  tendre un peu au del de ce qui serait strictement ncessaire
le nombre de ces notions gomtriques ainsi tablies par l'observation
immdiate, pourvu qu'elles soient d'une simplicit suffisante, qu' en
faire le sujet de dmonstrations compliques et indirectes, mme quand
ces dmonstrations peuvent tre logiquement irrprochables.

Aprs avoir caractris aussi exactement que possible la vritable
destination dogmatique de la gomtrie des anciens rduite  son moindre
dveloppement indispensable, il convient de considrer sommairement dans
son ensemble chacune des parties principales dont elle doit se composer.
Je crois pouvoir me borner ici  envisager la premire et la plus
tendue de ces parties, celle qui a pour objet l'tude de la ligne
droite; les deux autres sections, savoir: la quadrature des polygones et
la cubature des polydres, ne pouvant donner lieu, vu leur nature trop
restreinte,  aucune considration philosophique de quelque importance,
distincte de celles indiques dans la leon prcdente relativement 
la mesure des aires et des volumes en gnral.

La question dfinitive que l'on a constamment en vue dans l'tude de la
ligne droite, consiste proprement  dterminer les uns par les autres
les divers lmens d'une figure rectiligne quelconque, ce qui permet de
connatre toujours indirectement une ligne droite dans quelques
circonstances qu'elle puisse tre place. Ce problme fondamental est
susceptible de deux solutions gnrales, dont la nature est tout--fait
distincte, l'une graphique, l'autre algbrique. La premire, quoique
fort imparfaite, est celle qu'on doit considrer d'abord, parce qu'elle
drive spontanment de l'tude directe du sujet; la seconde, bien plus
parfaite sous les rapports les plus importans, ne peut tre tudie
qu'en dernier lieu, parce qu'elle est fonde sur la connaissance
pralable de l'autre.

La solution graphique consiste  _rapporter_  volont la figure
propose, soit avec les mmes dimensions, soit surtout avec des
dimensions varies dans une proportion quelconque. Le premier mode ne
peut gure tre mentionn que pour mmoire, comme tant le plus simple,
et celui que l'esprit doit envisager d'abord, car il est, videmment,
d'ailleurs presque entirement inapplicable par sa nature. Le second
est, au contraire, susceptible de l'application la plus tendue et la
plus utile. Nous en faisons encore aujourd'hui un usage important et
continuel, non-seulement pour reprsenter exactement les formes des
corps et leurs positions mutuelles, mais mme pour la dtermination
effective des grandeurs gomtriques, quand nous n'avons pas besoin
d'une grande prcision. Les anciens, vu l'imperfection de leurs
connaissances gomtriques, employaient ce procd d'une manire
beaucoup plus tendue, puisqu'il a t long-temps le seul qu'ils pussent
appliquer, mme dans les dterminations prcises les plus importantes.
C'est ainsi, par exemple, qu'Aristarque de Samos estimait la distance
relative du soleil et de la lune  la terre, en prenant des mesures sur
un triangle construit le plus exactement possible de faon  tre
semblable au triangle rectangle form par les trois astres,  l'instant
o la lune se trouve en quadrature, et o, en consquence, il suffirait,
pour dfinir le triangle, d'observer l'angle  la terre. Archimde
lui-mme, quoiqu'ayant, le premier, introduit en gomtrie les
dterminations calcules, a plusieurs fois employ de semblables moyens.
La formation de la trigonomtrie n'y a pas fait mme renoncer
entirement, quoiqu'elle en ait beaucoup diminu l'usage; les Grecs et
les Arabes ont continu  s'en servir pour une foule de recherches, o
nous regardons aujourd'hui l'emploi du calcul comme indispensable.

Cette exacte reproduction d'une figure quelconque suivant une chelle
diffrente, ne peut prsenter aucune grande difficult thorique lorsque
toutes les parties de la figure propose sont comprises dans un mme
plan. Mais, si l'on suppose, comme il arrive le plus souvent, qu'elles
soient situes dans des plans diffrens, on voit natre alors un nouvel
ordre de considrations gomtriques. La figure artificielle, qui est
constamment plane, ne pouvant plus, en ce cas, tre une image
parfaitement fidle de la figure relle, il faut d'abord fixer avec
prcision le mode de reprsentation, ce qui donne lieu aux divers
systmes de _projection_. Cela pos, il reste  dterminer suivant
quelles lois les phnomnes gomtriques se correspondent dans les deux
figures. Cette considration engendre une nouvelle srie de recherches
gomtriques, dont l'objet dfinitif est proprement de dcouvrir comment
on pourra remplacer les constructions en relief par des constructions
planes. Les anciens ont eu  rsoudre plusieurs questions lmentaires
de ce genre, pour les divers cas o nous employons aujourd'hui la
trigonomtrie sphrique; et principalement pour les diffrens problmes
relatifs  la sphre cleste. Telle tait la destination de leurs
_analemnes_, et des autres figures planes qui ont suppl pendant si
long-temps  l'usage du calcul. On voit par l que les anciens
connaissaient rellement les lmens de ce que nous nommons maintenant
la _gomtrie descriptive_, quoiqu'ils ne les eussent point conus d'une
manire distincte et gnrale.

Je crois convenable de signaler ici rapidement,  cette occasion, le
vritable caractre philosophique de cette gomtrie descriptive, bien
que, comme tant une science essentiellement d'application, elle ne
doive pas tre comprise dans le domaine propre de cet ouvrage, tel que
je l'ai circonscrit en commenant.

Toutes les questions quelconques de gomtrie  trois dimensions,
donnent lieu ncessairement, quand on considre leur solution graphique,
 une difficult gnrale qui leur est propre, celle de substituer aux
diverses constructions en relief ncessaires pour les rsoudre, et qui
sont presque toujours d'une excution impossible, de simples
constructions planes quivalentes, susceptibles de dterminer finalement
les mmes rsultats. Sans cette indispensable conversion, chaque
solution de ce genre serait videmment incomplte et rellement
inapplicable dans la pratique, quoique, pour la thorie, les
constructions dans l'espace soient ordinairement prfrables comme plus
directes. C'est afin de fournir les moyens gnraux d'effectuer
constamment une telle transformation que la _gomtrie descriptive_ a
t cre, et constitue en un corps de doctrine distinct et homogne
par une vue de gnie de notre illustre Monge. Il a pralablement conu
un mode uniforme de reprsenter les corps par des figures traces sur un
seul plan,  l'aide des _projections_ sur deux plans diffrens,
ordinairement perpendiculaires entre eux, et dont l'un est suppos
tourner autour de leur intersection commune pour venir se confondre avec
le prolongement de l'autre; il a suffi, dans ce systme, ou dans tout
autre quivalent, de regarder les points et les lignes, comme dtermins
par leurs projections, et les surfaces par les projections de leurs
gnratrices. Cela pos, Monge, analysant avec une profonde sagacit les
divers travaux partiels de ce genre excuts avant lui d'aprs une foule
de procds incohrens, et considrant mme, d'une manire gnrale et
directe, en quoi devaient consister constamment les questions
quelconques de cette nature, a reconnu qu'elles taient toujours
rductibles  un trs-petit nombre de problmes abstraits invariables,
susceptibles d'tre rsolus sparment une fois pour toutes par des
oprations uniformes, et qui se rapportent essentiellement les uns aux
contacts et les autres aux intersections des surfaces. Ayant form des
mthodes simples et entirement gnrales pour la solution graphique de
ces deux ordres de problmes, toutes les questions gomtriques
auxquelles peuvent donner lieu les divers arts quelconques de
construction, la coupe des pierres, la charpente, la perspective, la
gnonomonique, la fortification, etc., ont pu tre traites dsormais
comme de simples cas particuliers d'une thorie unique, dont
l'application invariable conduira toujours ncessairement  une solution
exacte, susceptible d'tre facilite dans la pratique en profitant des
circonstances propres  chaque cas.

Cette importante cration mrite singulirement de fixer l'attention de
tous les philosophes qui considrent l'ensemble des oprations de
l'espce humaine, comme tant un premier pas, et jusqu'ici le seul
rellement complet, vers cette rnovation gnrale des travaux humains,
qui doit imprimer  tous nos arts un caractre de prcision et de
rationnalit, si ncessaire  leurs progrs futurs. Une telle rvolution
devait, en effet, commencer invitablement par cette classe de travaux
industriels qui se rapporte essentiellement  la science la plus simple,
la plus parfaite, et la plus ancienne. Elle ne peut manquer de
s'tendre successivement dans la suite, quoique avec moins de facilit,
 toutes les autres oprations pratiques. Nous aurons mme bientt
occasion de remarquer que Monge, qui a conu plus profondment que
personne la vritable philosophie des arts, avait essay d'baucher pour
l'industrie mcanique une doctrine correspondante  celle qu'il avait si
heureusement forme pour l'industrie gomtrique, mais sans obtenir pour
ce cas, dont la difficult est bien suprieure, aucun autre succs que
celui d'indiquer assez nettement la direction que doivent prendre les
recherches de cette nature.

Quelqu'essentielle que soit rellement la conception de la gomtrie
descriptive, il importe beaucoup de ne pas se mprendre sur la vritable
destination qui lui est si expressment propre, comme l'ont fait,
surtout dans les premiers temps de cette dcouverte, ceux qui y ont vu
un moyen d'agrandir le domaine gnral et abstrait de la gomtrie
rationnelle. L'vnement n'a nullement rpondu depuis  ces esprances
mal conues. Et, en effet, n'est-il pas vident que la gomtrie
descriptive n'a de valeur spciale que comme science d'application,
comme constituant la vritable thorie propre des arts gomtriques?
Considre sous le rapport abstrait, elle ne saurait introduire aucun
ordre vraiment distinct de spculations gomtriques. Il ne faut point
perdre de vue que, pour qu'une question gomtrique tombe dans le
domaine propre de la gomtrie descriptive, elle doit ncessairement
avoir toujours t rsolue pralablement par la gomtrie spculative,
dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment
besoin d'tre prpares pour la pratique de manire  suppler aux
constructions en relief par des constructions planes, substitution qui
constitue rellement la seule fonction caractristique de la gomtrie
descriptive.

Il convient nanmoins de remarquer ici que, sous le rapport de
l'ducation intellectuelle, l'tude de la gomtrie descriptive prsente
une importante proprit philosophique, tout--fait indpendante de sa
haute utilit industrielle. C'est l'avantage qu'elle offre si
minemment, en habituant  considrer dans l'espace des systmes
gomtriques quelquefois trs-composs, et  suivre exactement leur
correspondance continuelle avec les figures effectivement traces,
d'exercer ainsi au plus haut degr de la manire la plus sre et la plus
prcise, cette importante facult de l'esprit humain qu'on appelle
l'_imagination_ proprement dite, et qui consiste, dans son acception
lmentaire et positive,  se reprsenter nettement, avec facilit, un
vaste ensemble variable d'objets fictifs, comme s'ils taient sous nos
yeux.

Enfin, pour achever d'indiquer la nature gnrale de la gomtrie
descriptive en dterminant son caractre logique, nous devons observer
que si, par le genre de ses solutions, elle appartient  la gomtrie
des anciens, d'un autre ct elle se rapproche de la gomtrie des
modernes par l'espce des questions qui la composent. Ces questions
sont, en effet, minemment remarquables par cette gnralit que nous
avons vue, dans la dernire leon, constituer le vrai caractre
fondamental de la gomtrie moderne; les mthodes y sont toujours
conues comme applicables  des formes quelconques, les particularits
propres  chaque forme n'y pouvant avoir qu'une influence purement
secondaire. Les solutions y sont donc graphiques comme la plupart de
celles des anciens, et gnrales comme celles des modernes.

Aprs cette importante digression, dont le lecteur aura sans doute
reconnu la ncessit, poursuivons l'examen philosophique de la gomtrie
_spciale_, considre toujours comme rduite  son moindre
dveloppement possible, pour servir d'introduction indispensable  la
gomtrie _gnrale_. Ayant suffisamment envisag la solution graphique
du problme fondamental relatif  la ligne droite, c'est--dire, de la
dtermination les uns par les autres des divers lmens d'une figure
rectiligne quelconque, nous devons maintenant en examiner d'une manire
gnrale la solution algbrique.

Cette seconde solution, dont il est inutile ici d'apprcier expressment
la supriorit vidente, appartient ncessairement, par la nature mme
de la question, au systme de la gomtrie ancienne, quoique le procd
logique employ l'en fasse ordinairement sparer mal  propos. Nous
avons lieu de vrifier ainsi, sous un rapport trs-important, ce qui a
t tabli en gnral dans la leon prcdente, que ce n'est point par
l'emploi du calcul qu'on doit distinguer essentiellement la gomtrie
moderne de celle des anciens. Les anciens sont, en effet, les vrais
inventeurs de la trigonomtrie actuelle, tant sphrique que rectiligne,
qui seulement tait beaucoup moins parfaite entre leurs mains, vu
l'extrme infriorit de leurs connaissances algbriques. C'est donc
rellement dans cette leon, et non, comme on pourrait le croire
d'abord, dans celles que nous consacrerons ensuite  l'examen
philosophique de la gomtrie _gnrale_, qu'il convient d'apprcier le
caractre de cette importante thorie prliminaire, habituellement
comprise  tort dans ce qu'on appelle la _gomtrie analytique_, et qui
n'est effectivement qu'un complment de la _gomtrie lmentaire_
proprement dite.

Toutes les figures rectilignes pouvant tre dcomposes en triangles,
il suffit videmment de savoir dterminer les uns par les autres les
divers lmens d'un triangle, ce qui rduit la _polygonomtrie_  la
simple _trigonomtrie_.

Pour qu'une telle question puisse tre rsolue algbriquement, la
difficult consiste essentiellement  former entre les angles et les
cts d'un triangle trois quations distinctes, qui, une fois obtenues,
rduiront videmment tous les problmes trigonomtriques  de pures
recherches de calcul. En considrant de la manire la plus gnrale
l'tablissement de ces quations, on voit natre immdiatement une
distinction fondamentale relativement au mode d'introduction des angles
dans le calcul, suivant qu'on les y fera entrer directement par eux-mmes
ou par les arcs circulaires qui leur sont proportionnels, ou que, au
contraire, on leur substituera certaines droites, comme, par exemple,
les cordes de ces arcs qui leur sont inhrentes, et que, par cette
raison, on appelle ordinairement leurs lignes trigonomtriques. De ces
deux systmes de trigonomtrie, le second a d tre,  l'origine, le
seul adopt, comme tant le seul praticable, puisque l'tat de la
gomtrie permettait alors de trouver assez aisment des relations
exactes entre les cts des triangles et les lignes trigonomtriques des
angles, tandis qu'il et t absolument impossible,  cette poque,
d'tablir des quations entre les cts et les angles eux-mmes. La
solution pouvant aujourd'hui tre obtenue indiffremment dans l'un et
dans l'autre systme, ce motif de prfrence ne subsiste plus. Mais les
gomtres n'en ont pas moins d persister  suivre par choix le systme
primitivement admis par ncessit; car, la mme raison qui a permis
ainsi d'obtenir les quations trigonomtriques avec beaucoup plus de
facilit, doit galement, comme il est encore plus ais de le concevoir
_ priori_, rendre ces quations bien plus simples, puisqu'elles
existent alors seulement entre des lignes droites, au lieu d'tre
tablies entre des lignes droites et des arcs de cercle. Une telle
considration a d'autant plus d'importance qu'il s'agit l de formules
minemment lmentaires, destines  tre continuellement employes dans
toutes les parties de la science mathmatique aussi bien que dans toutes
ses diverses applications.

On peut objecter, il est vrai, que, lorsqu'un angle est donn, c'est
toujours en effet par lui-mme et non par sa ligne trigonomtrique; et
que, lorsqu'il est inconnu, c'est sa valeur angulaire qu'il s'agit
proprement de dterminer, et non celle d'aucune de ses lignes
trigonomtriques. Il semble, d'aprs cela, que de telles lignes ne sont
entre les cts et les angles qu'un intermdiaire inutile, qui doit
tre finalement limin, et dont l'introduction ne parat point
susceptible de simplifier la recherche qu'on se propose. Il importe, en
effet, d'expliquer avec plus de gnralit et de prcision qu'on ne le
fait d'ordinaire l'immense utilit relle de cette manire de procder.
Elle consiste en ce que l'introduction de ces grandeurs auxiliaires
partage la question totale de la trigonomtrie en deux autres
essentiellement distinctes, dont l'une a pour objet de passer des angles
 leurs lignes trigonomtriques ou rciproquement, et dont l'autre se
propose de dterminer les cts des triangles par les lignes
trigonomtriques de leurs angles ou rciproquement. Or, la premire de
ces deux questions fondamentales est videmment susceptible, par sa
nature, d'tre entirement traite et rduite en tables numriques une
fois pour toutes, en considrant tous les angles possibles, puisqu'elle
ne dpend que de ces angles, et nullement des triangles particuliers o
ils peuvent entrer dans chaque cas; tandis que la solution de la seconde
question doit ncessairement tre renouvele, du moins sous le rapport
arithmtique,  chaque nouveau triangle qu'il faut rsoudre. C'est
pourquoi la premire portion du travail total, qui serait prcisment la
plus pnible, n'est plus compte ordinairement, tant toujours faite
d'avance; tandis que si une telle dcomposition n'avait point t
institue, on se serait trouv videmment dans l'obligation de
recommencer dans chaque cas particulier le calcul tout entier. Telle est
la proprit essentielle du systme trigonomtrique adopt, qui, en
effet, ne prsenterait rellement aucun avantage effectif si, pour
chaque angle  considrer, il fallait calculer continuellement sa ligne
trigonomtrique ou rciproquement: l'intermdiaire serait alors plus
gnant que commode.

Afin de comprendre nettement la vraie nature de cette conception, il
sera utile de la comparer  une conception encore plus importante,
destine  produire un effet analogue, soit sous le rapport algbrique,
soit surtout sous le rapport arithmtique, l'admirable thorie des
logarithmes. En examinant d'une manire philosophique l'influence de
cette thorie, on voit, en effet, que son rsultat gnral est d'avoir
dcompos toutes les oprations arithmtiques imaginables en deux
parties distinctes, dont la premire, qui est la plus complique, est
susceptible d'tre excute  l'avance une fois pour toutes, comme ne
dpendant que des nombres  considrer et nullement des diverses
combinaisons quelconques dans lesquelles ils peuvent entrer, et qui
consiste  se reprsenter tous les nombres comme des puissances
assignables d'un nombre constant; la seconde partie du calcul, qui doit
ncessairement tre recommence pour chaque formule nouvelle  valuer,
tant ds lors rduite  excuter sur ces exposans des oprations
corrlatives infiniment plus simples. Je me borne  indiquer ce
rapprochement, que chacun peut aisment dvelopper.

Nous devons de plus observer comme une proprit, secondaire
aujourd'hui, mais capitale  l'origine, du systme trigonomtrique
adopt, la circonstance trs-remarquable que la dtermination des angles
par leurs lignes trigonomtriques ou rciproquement, est susceptible
d'une solution arithmtique, la seule qui soit directement indispensable
pour la destination propre de la trigonomtrie, sans avoir pralablement
rsolu la question algbrique correspondante. C'est sans doute  une
telle particularit que les anciens ont d de pouvoir connatre la
trigonomtrie. La recherche ainsi conue a t d'autant plus facile que,
les anciens ayant pris naturellement la corde pour ligne
trigonomtrique, les tables se trouvaient avoir t d'avance construites
en partie pour un tout autre motif, en vertu du travail d'Archimde sur
la rectification du cercle, d'o rsultait la dtermination effective
d'une certaine suite de cordes, en sorte que, lorsque plus tard
Hipparque eut invent la trigonomtrie, il put se borner  complter
cette opration par des intercalations convenables, ce qui marque
nettement la filiation des ides  cet gard.

Afin d'esquisser entirement cet aperu philosophique de la
trigonomtrie, il convient d'observer maintenant que l'extension du mme
motif qui conduit  remplacer les angles ou les arcs de cercle par des
ligues droites dans la vue de simplifier les quations, doit aussi
porter  employer concurremment plusieurs lignes trigonomtriques, au
lieu de se borner  une seule, comme le faisaient les anciens, pour
perfectionner ce systme en choisissant celle qui sera algbriquement la
plus convenable en telle ou telle occasion. Sous ce rapport, il est
clair que le nombre de ces lignes n'est par lui-mme nullement limit;
pourvu qu'elles soient dtermines d'aprs l'arc, et que rciproquement
elles le dterminent, suivant quelque loi qu'elles en drivent
d'ailleurs, elles sont aptes  lui tre substitues dans les quations.
En se bornant aux constructions les plus simples, les Arabes et les
modernes ensuite ont successivement port  quatre ou  cinq le nombre
des lignes trigonomtriques _directes_, qui pourrait tre tendu bien
davantage. Mais, au lieu de recourir  des formations gomtriques qui
finiraient par devenir trs-compliques, on conoit avec une extrme
facilit autant de nouvelles lignes trigonomtriques que peuvent
l'exiger les transformations analytiques, au moyen d'un artifice
remarquable, qui n'est pas ordinairement saisi d'une manire assez
gnrale. Il consiste, sans multiplier immdiatement les lignes
trigonomtriques propres  chaque arc considr,  en introduire de
nouvelles en regardant cet arc comme dtermin indirectement par toutes
les lignes relatives  un arc qui soit une fonction trs-simple du
premier. C'est ainsi, par exemple, que souvent, pour calculer un angle
avec plus de facilit, on dterminera, au lieu de son sinus, le sinus de
sa moiti ou de son double, etc. Une telle cration de lignes
trigonomtriques _indirectes_ est videmment bien plus fconde que tous
les procds gomtriques immdiats pour en obtenir de nouvelles. On
peut dire, d'aprs cela, que le nombre des lignes trigonomtriques
effectivement employes aujourd'hui par les gomtres est rellement
indfini, puisque,  chaque instant pour ainsi dire, les transformations
analytiques peuvent conduire  l'augmenter par le procd que je viens
d'indiquer. Seulement, on n'a donn jusqu'ici de noms spciaux qu'
celles de ces lignes _indirectes_ qui se rapportent au complment de
l'arc primitif, les autres ne revenant pas assez frquemment pour
ncessiter de semblables dnominations, ce qui a fait communment
mconnatre la vritable tendue du systme trigonomtrique.

Cette multiplicit des lignes trigonomtriques fait natre videmment,
dans la trigonomtrie, une troisime question fondamentale, l'tude des
relations qui existent entre ces diverses lignes; puisque, sans une
telle connaissance, on ne pourrait point utiliser, pour les besoins
analytiques, cette varit de grandeurs auxiliaires, qui n'a pourtant
pas d'autre destination. Il est clair, en outre, d'aprs la
considration indique tout  l'heure, que cette partie essentielle de
la trigonomtrie, quoique simplement prparatoire, est, par sa nature,
susceptible d'une extension indfinie quand on l'envisage dans son
entire gnralit, tandis que les deux autres sont ncessairement
circonscrites dans un cadre rigoureusement dfini.

Je n'ai pas besoin d'ajouter expressment que ces trois parties
principales de la trigonomtrie doivent tre tudies dans un ordre
prcisment inverse de celui suivant lequel nous les avons vues driver
ncessairement de la nature gnrale du sujet; car la troisime est
visiblement indpendante des deux autres, et la seconde de celle qui
s'est prsente la premire, la rsolution des triangles proprement
dite, qui doit, pour cette raison, tre traite en dernier lieu, ce qui
rendait d'autant plus importante la considration de la filiation
naturelle.

Il tait inutile d'envisager ici distinctement la trigonomtrie
sphrique, qui ne peut donner lieu  aucune considration philosophique
spciale, puisque, quelque essentielle qu'elle soit par l'importance et
la multiplicit de ses usages, on ne peut plus la traiter aujourd'hui,
dans son ensemble, que comme une simple application de la trigonomtrie
rectiligne, qui fournit immdiatement ses quations fondamentales, en
substituant au triangle sphrique l'angle tridre correspondant.

J'ai cru devoir indiquer cette exposition sommaire de la philosophie
trigonomtrique, qui pourrait d'ailleurs donner lieu  beaucoup d'autres
considrations intressantes, afin de rendre sensibles, par un exemple
important, cet enchanement rigoureux et cette ramification successive
que prsentent les questions les plus simples en apparence de la
gomtrie lmentaire.

Avant ainsi suffisamment considr pour le but de cet ouvrage le
caractre propre de la gomtrie _spciale_, rduite  sa seule
destination dogmatique, de fournir  la gomtrie _gnrale_ une base
prliminaire indispensable, nous devons dsormais porter toute notre
attention sur la vritable science gomtrique, envisage dans son
ensemble de la manire la plus rationnelle. Il faut d'abord,  cet
effet, soigneusement examiner la grande ide-mre de Descartes, sur
laquelle elle est entirement fonde, ce qui fera l'objet de la leon
suivante.




DOUZIME LEON.

SOMMAIRE. Conception fondamentale de la gomtrie _gnrale_ ou
_analytique_.


La gomtrie _gnrale_ tant entirement fonde sur la transformation
des considrations gomtriques en considrations analytiques
quivalentes, nous devons d'abord examiner directement et d'une manire
approfondie la belle conception d'aprs laquelle Descartes a tabli
uniformment la possibilit constante d'une telle corlation. Outre son
extrme importance propre, comme moyen de perfectionner minemment la
science gomtrique, ou plutt de la constituer dans son ensemble sur
des bases rationnelles, l'tude philosophique de cette admirable
conception doit avoir  nos yeux un intrt d'autant plus lev, qu'elle
caractrise avec une parfaite vidence la mthode gnrale  employer
pour organiser les relations de l'abstrait au concret en mathmatique,
par la reprsentation analytique des phnomnes naturels. Il n'y a
point, dans la philosophie mathmatique, de pense qui mrite davantage
de fixer toute notre attention.

Afin de parvenir  exprimer par de simples relations analytiques tous
les divers phnomnes gomtriques que l'on peut imaginer, il faut
videmment tablir d'abord un mode gnral pour reprsenter
analytiquement les sujets mmes dans lesquels ces phnomnes rsident,
c'est--dire les lignes ou les surfaces  considrer. Le _sujet_ tant
ainsi habituellement envisag sous un point de vue purement analytique,
on comprend que ds-lors il a t possible de concevoir de la mme
manire les _accidens_ quelconques dont il est susceptible.

Pour organiser la reprsentation des formes gomtriques par des
quations analytiques, on doit surmonter pralablement une difficult
fondamentale, celle de rduire  des ides simplement numriques les
lmens gnraux des diverses notions gomtriques; en un mot, de
substituer, en gomtrie, de pures considrations de _quantit_  toutes
les considrations de _qualit_.

 cet effet, observons d'abord que toutes les ides gomtriques se
rapportent ncessairement  ces trois catgories universelles: la
grandeur, la forme et la position des tendues  considrer. Quant  la
premire, il n'y a videmment aucune difficult; elle rentre
immdiatement dans les ides de nombres. Pour la seconde, il faut
remarquer qu'elle est toujours rductible par sa nature  la troisime.
Car la forme d'un corps rsulte videmment de la position mutuelle des
diffrens points dont il est compos, en sorte que l'ide de position
comprend ncessairement celle de forme, et que toute circonstance de
forme peut tre traduite par une circonstance de position. C'est ainsi,
en effet, que l'esprit humain a procd pour parvenir  la
reprsentation analytique des formes gomtriques, la conception n'tant
directement relative qu'aux positions. Toute la difficult lmentaire
se rduit donc proprement  ramener les ides quelconques de situation 
des ides de grandeur. Telle est la destination immdiate de la
conception prliminaire sur laquelle Descartes a tabli le systme
gnral de la gomtrie analytique.

Son travail philosophique a simplement consist, sous ce rapport, dans
l'entire gnralisation d'un procd lmentaire qu'on peut regarder
comme naturel  l'esprit humain, puisqu'il se forme pour ainsi dire
spontanment chez toutes les intelligences, mme les plus vulgaires. En
effet, quand il s'agit d'indiquer la situation d'un objet sans le
montrer immdiatement, le moyen que nous adoptons toujours, et le seul
videmment qui puisse tre employ, consiste  rapporter cet objet 
d'autres qui soient connus, en assignant la grandeur des lmens
gomtriques quelconques, par lesquels on le conoit li  ceux-ci[21].
Ces lmens constituent ce que Descartes, et d'aprs lui tous les
gomtres, ont appel les _coordonnes_ de chaque point considr, qui
sont ncessairement au nombre de deux si l'on sait d'avance dans quel
plan le point est situ, et au nombre de trois, s'il peut se trouver
indiffremment dans une rgion quelconque de l'espace. Autant de
constructions diffrentes on peut imaginer pour dterminer la position
d'un point, soit sur un plan, soit dans l'espace, autant on conoit de
systmes de coordonnes distincts, qui sont susceptibles, par
consquent, d'tre multiplis  l'infini. Mais quelque soit le systme
adopt, on aura toujours ramen les ides de situation  de simples
ides de grandeur, en sorte que l'on se reprsentera le dplacement d'un
point comme produit par de pures variations numriques dans les valeurs
de ses coordonnes. Pour ne considrer d'abord que le cas le moins
compliqu, celui de la gomtrie plane, c'est ainsi qu'on dtermine le
plus souvent la position d'un point sur un plan, par ses distances plus
ou moins grandes  deux droites fixes supposes connues, qu'on nomme
_axes_, et qu'on suppose ordinairement perpendiculaires entre elles. Ce
systme est le plus adopt,  cause de sa simplicit; mais les gomtres
en emploient quelquefois encore une infinit d'autres. Ainsi, la
position d'un point sur un plan peut tre dtermine par ses distances 
deux points fixes; ou par sa distance  un seul point fixe, et la
direction de cette distance, estime par l'angle plus ou moins grand
qu'elle fait avec une droite fixe, ce qui constitue le systme des
coordonnes dites _polaires_, le plus usit aprs celui dont nous avons
parl d'abord; ou par les angles que forment les droites allant du point
variable  deux points fixes avec la droite qui joint ces derniers; ou
par les distances de ce point  une droite fixe et  un point fixe, etc.
En un mot, il n'y a pas de figure gomtrique quelconque d'o l'on ne
puisse dduire un certain systme de coordonnes, plus ou moins
susceptible d'tre employ.

      [Note 21: C'est ainsi, par exemple, que nous dterminons
      habituellement la position des lieux sur la terre par leurs
      distances plus ou moins grandes  l'quateur et  un premier
      mridien.]

Une observation gnrale qu'il importe de faire  cet gard, c'est que
tout systme de coordonnes revient  dterminer un point, dans la
gomtrie plane, par l'intersection de deux lignes, dont chacune est
assujtie  certaines conditions fixes de dtermination; une seule de
ces conditions restant variable, et tantt l'une, tantt une autre,
selon le systme considr. On ne saurait, en effet, concevoir d'autre
moyen de construire un point que de le marquer par la rencontre de deux
lignes quelconques. Ainsi, dans le systme le plus frquent, celui des
_coordonnes rectilignes_ proprement dites, le point est dtermin par
l'intersection de deux droites, dont chacune reste constamment parallle
 un axe fixe, en s'en loignant plus ou moins; dans le systme
_polaire_, c'est la rencontre d'un cercle de rayon variable et dont le
centre est fixe, avec une droite mobile assujtie  tourner autour de ce
centre, qui marque la position du point; en choisissant d'autres
systmes, le point pourrait tre dsign par l'intersection de deux
cercles, ou de deux autres lignes quelconques, etc. En un mot, assigner
la valeur d'une des coordonnes d'un point dans quelque systme que ce
puisse tre, c'est toujours ncessairement dterminer une certaine ligne
sur laquelle ce point doit tre situ. Les gomtres de l'antiquit
avaient dj fait cette remarque essentielle, qui servait de base  leur
mthode des _lieux gomtriques_, dont ils faisaient un si heureux usage
pour diriger leurs recherches dans la rsolution des problmes de
gomtrie _dtermins_, en apprciant isolment l'influence de chacune
des deux conditions par lesquelles tait dfini chaque point constituant
l'objet, direct ou indirect, de la question propose: c'est prcisment
cette mthode dont la systmatisation gnrale a t pour Descartes le
motif immdiat des travaux qui l'ont conduit  fonder la gomtrie
analytique.

Aprs avoir nettement tabli cette conception prliminaire, en vertu de
laquelle les ides de position, et, par suite implicitement, toutes les
notions gomtriques lmentaires, sont rductibles  de simples
considrations numriques, il est ais de concevoir directement, dans
son entire gnralit, la grande ide-mre de Descartes, relative  la
reprsentation analytique des formes gomtriques, ce qui constitue
l'objet propre de cette leon. Je continuerai  ne considrer d'abord,
pour plus de facilit, que la gomtrie  deux dimensions, la seule que
Descartes ait traite, devant ensuite examiner sparment sous le mme
point de vue ce qui est propre  la thorie des surfaces ou des courbes
 double courbure.

D'aprs la manire d'exprimer analytiquement la position d'un point sur
un plan, on peut aisment tablir que, par quelque proprit qu'une
ligne quelconque puisse tre dfinie, cette dfinition est toujours
susceptible d'tre remplace par une quation correspondante entre les
deux coordonnes variables du point qui dcrit cette ligne, quation qui
sera ds lors la reprsentation analytique de la ligne propose, dont
tout phnomne devra se traduire par une certaine modification
algbrique de son quation. Si l'on suppose, en effet, qu'un point se
meuve sur un plan sans que son cours soit dtermin en aucune manire,
on devra videmment regarder ses deux coordonnes, dans quelque systme
que ce soit, comme deux variables entirement indpendantes l'une de
l'autre. Mais, si au contraire ce point est assujti  dcrire une
certaine ligne quelconque, il faudra ncessairement concevoir que ses
coordonnes conservent entre elles, dans toutes les positions qu'il peut
prendre, une certaine relation permanente et prcise, susceptible, par
consquent, d'tre exprime par une quation convenable, qui deviendra
la dfinition analytique trs-nette et trs-rigoureuse de la ligne
considre, puisqu'elle exprimera une proprit algbrique exclusivement
relative aux coordonnes de tous les points de cette ligne. Il est
clair, en effet, que lorsqu'un point n'est soumis  aucune condition, sa
situation n'est dtermine qu'autant qu'on donne  la fois ses deux
coordonnes, distinctement l'une de l'autre; tandis que quand le point
doit se trouver sur une ligne dfinie, une seule coordonne suffit pour
fixer entirement sa position. La seconde coordonne est donc alors une
_fonction_ dtermine de la premire, ou, en d'autres termes, il doit
exister entre elles une certaine _quation_, d'une nature correspondante
 celle de la ligne sur laquelle le point est assujti  rester. En un
mot, chacune des coordonnes d'un point l'obligeant  tre situ sur une
certaine ligne, on conoit rciproquement que la condition, de la part
d'un point, de devoir appartenir  une ligne dfinie d'une manire
quelconque, quivaut  assigner la valeur de l'une des deux coordonnes,
qui se trouve, dans ce cas, tre entirement dpendante de l'autre. La
relation analytique qui exprime cette dpendance peut tre plus ou moins
difficile  dcouvrir; mais on doit videmment en concevoir toujours
l'existence, mme dans les cas o nos moyens actuels seraient
insuffisans pour la faire connatre. C'est par cette simple
considration que, indpendamment des vrifications particulires sur
lesquelles est ordinairement tablie cette conception fondamentale 
l'occasion de telle ou telle dfinition de ligne, on peut dmontrer,
d'une manire entirement gnrale, la ncessit de la reprsentation
analytique des lignes par les quations.

En reprenant en sens inverse les mmes rflexions, on mettrait aussi
facilement en vidence la ncessit gomtrique de la reprsentation de
toute quation  deux variables, dans un systme dtermin de
coordonnes, par une certaine ligne, dont une telle relation serait, 
dfaut d'aucune autre proprit connue, une dfinition
trs-caractristique, et qui aura pour destination scientifique de fixer
immdiatement l'attention sur la marche gnrale des solutions de
l'quation, qui se trouvera ainsi note de la manire la plus sensible
et la plus simple. Cette peinture des quations est un des avantages
fondamentaux les plus importans de la gomtrie analytique, qui a par l
ragi au plus haut degr sur le perfectionnement gnral de l'analyse
elle-mme, non seulement en assignant aux recherches purement abstraites
un but nettement dtermin et une carrire inpuisable, mais, sous un
rapport encore plus direct, en fournissant un nouveau moyen
philosophique de mditation analytique, qui ne pourrait tre remplac
par aucun autre. En effet, la discussion purement algbrique d'une
quation en fait sans doute connatre les solutions de la manire la
plus prcise, mais en les considrant seulement une  une, de telle
sorte que, par cette voie, leur marche gnrale ne saurait tre conue
qu'en rsultat dfinitif d'une longue et pnible suite de comparaisons
numriques, aprs laquelle l'activit intellectuelle doit ordinairement
se trouver mousse. Au contraire, le lieu gomtrique de l'quation
tant uniquement destin  reprsenter distinctement et avec une
nettet parfaite le rsum de cet ensemble de comparaisons, permet de le
considrer directement en fesant compltement abstraction des dtails
qui l'ont fourni, et par l peut indiquer  notre esprit des vues
analytiques gnrales, auxquelles nous serions difficilement parvenus de
toute autre manire, faute d'un moyen de caractriser clairement leur
objet. Il est vident, par exemple, que la simple inspection de la
courbe logarithmique ou de la courbe y = /sin x fait connatre d'une
manire bien plus distincte le mode gnral de variations des
logarithmes par rapport aux nombres ou des sinus par rapport aux arcs,
que ne pourrait le permettre l'tude la plus attentive d'une table de
logarithmes ou d'une table trigonomtrique. On sait que ce procd est
devenu aujourd'hui entirement lmentaire, et qu'on l'emploie toutes
les fois qu'il s'agit de saisir nettement le caractre gnral de la loi
qui rgne dans une suite d'observations prcises d'un genre quelconque.

Revenant  la reprsentation des lignes par les quations, qui est notre
objet principal, nous voyons que cette reprsentation est, par sa
nature, tellement fidle, que la ligne ne saurait prouver aucune
modification, quelque lgre qu'elle soit, sans dterminer dans
l'quation un changement correspondant. Cette complte exactitude donne
mme lieu souvent  des difficults spciales, en ce que, dans notre
systme de gomtrie analytique, les simples dplacemens des lignes se
fesant aussi bien ressentir dans les quations que les variations
relles de grandeur ou de forme, on pourrait tre expos  confondre
analytiquement les uns avec les autres, si les gomtres n'avaient pas
dcouvert une mthode ingnieuse expressment destine  les distinguer
constamment. Cette mthode est fonde sur ce que, bien qu'il soit
impossible de changer analytiquement  volont la position d'une ligne
par rapport aux axes des coordonnes, on peut changer d'une manire
quelconque la situation des axes eux-mmes, ce qui est videmment
quivalent; ds lors,  l'aide des formules gnrales trs-simples par
lesquelles on opre cette transformation d'axes, il devient ais de
reconnatre si deux quations diffrentes ne sont que l'expression
analytique d'une mme ligne diversement situe, ou se rapportent  des
lieux gomtriques vraiment distincts, puisque, dans le premier cas,
l'une d'elles doit rentrer dans l'autre en changeant convenablement les
axes ou les autres constantes du systme de coordonnes considr. Du
reste, il faut remarquer  ce sujet que les inconvniens gnraux de
cette nature paraissent, en gomtrie analytique, devoir tre
strictement invitables; puisque les ides de position tant, comme nous
l'avons vu, les seules ides gomtriques immdiatement rductibles 
des considrations numriques, et les notions de forme ne pouvant y tre
ramenes qu'en voyant en elles des rapports de situation, il est
impossible que l'analyse ne confonde point d'abord les phnomnes de
forme avec de simples phnomnes de position, les seuls que les
quations expriment directement.

Pour complter l'explication philosophique de la conception fondamentale
qui sert de base  la gomtrie analytique, je crois devoir indiquer ici
une nouvelle considration gnrale, qui me semble particulirement
propre  mettre dans tout son jour cette reprsentation ncessaire des
lignes par des quations  deux variables. Elle consiste en ce que
non-seulement, ainsi que nous l'avons tabli, toute ligne dfinie doit
ncessairement donner lieu  une certaine quation entre les deux
coordonnes de l'un quelconque de ses points; mais, de plus, toute
dfinition de ligne peut tre envisage comme tant dj elle-mme une
quation de cette ligne dans un systme de coordonnes convenable.

Il est ais d'tablir ce principe, en faisant d'abord une distinction
logique prliminaire relativement aux diverses sortes de dfinition. La
condition rigoureusement indispensable de toute dfinition, c'est de
distinguer l'objet dfini d'avec tout autre, en assignant une proprit
qui lui appartienne exclusivement. Mais ce but peut tre atteint, en
gnral, de deux manires trs-diffrentes: ou par une dfinition
simplement _caractristique_, c'est--dire, indiquant une proprit qui,
quoique vraiment exclusive, ne fait pas connatre la gnration de
l'objet; ou par une dfinition rellement _explicative_, c'est--dire,
caractrisant l'objet par une proprit qui exprime un de ses modes de
gnration. Par exemple, en considrant le cercle comme la ligne qui,
sous le mme contour, renferme la plus grande aire, on a videmment une
dfinition du premier genre; tandis qu'en choisissant la proprit
d'avoir tous ses points  gale distance d'un point fixe, ou toute autre
semblable, on a une dfinition du second genre. Il est, du reste,
vident, en thse gnrale, que quand mme un objet quelconque ne serait
d'abord connu que par une dfinition _caractristique_, on ne devrait
pas moins l'envisager comme susceptible de dfinitions _explicatives_,
que ferait ncessairement dcouvrir l'tude ultrieure de cet objet.

Cela pos, il est clair que ce n'est point aux dfinitions simplement
_caractristiques_ que peut s'appliquer l'observation gnrale annonce
ci-dessus, qui reprsente toute dfinition de ligne comme tant
ncessairement une quation de cette ligne dans un certain systme de
coordonnes. On ne peut l'entendre que des dfinitions vraiment
_explicatives_. Mais, en ne considrant que celle-ci, le principe est
ais  constater. En effet, il est videmment impossible de dfinir la
gnration d'une ligne, sans spcifier une certaine relation entre les
deux mouvemens simples, de translation ou de rotation, dans lesquels se
dcomposera  chaque instant le mouvement du point qui la dcrit. Or, en
se formant la notion la plus gnrale de ce que c'est qu'un _systme de
coordonnes_, et admettant tous les systmes possibles, il est clair
qu'une telle relation ne sera autre chose que l'_quation_ de la ligne
propose, dans un systme de coordonnes d'une nature correspondante 
celle du mode de gnration considr. Ainsi, par exemple, la dfinition
vulgaire du cercle peut videmment tre envisage comme tant
immdiatement l'_quation polaire_ de cette courbe, en prenant pour ple
le centre du cercle; de mme, la dfinition lmentaire de l'ellipse ou
de l'hyperbole, comme tant la courbe engendre par un point qui se meut
de telle manire que la somme ou la diffrence de ses distances  deux
points fixes demeure constante, donne sur-le-champ, pour l'une ou
l'autre courbe, l'quation y+x=c, en prenant pour systme de coordonnes
celui dans lequel on dterminerait la position d'un point par ses
distances  deux points fixes, et choisissant pour ces ples les deux
foyers donns; pareillement encore, la dfinition ordinaire de la
cyclode quelconque fournirait directement, pour cette courbe,
l'quation y=mx, en adoptant comme coordonnes de chaque point l'arc
plus ou moins grand qu'il marque sur un cercle de rayon invariable 
partir du point de contact de ce cercle avec une droite fixe, et la
distance rectiligne de ce point de contact  une certaine origine prise
sur cette droite. On peut faire des vrifications analogues et aussi
faciles relativement aux dfinitions habituelles des spirales, des
picyclodes, etc. On trouvera constamment qu'il existe un certain
systme de coordonnes, dans lequel on obtient immdiatement une
quation trs-simple de la ligne propose, en se bornant  crire
algbriquement la condition impose par le mode de gnration que l'on
considre.

Outre son importance directe, comme moyen de rendre parfaitement
sensible la reprsentation ncessaire de toute ligne par une quation,
la considration prcdente me parat pouvoir offrir une vritable
utilit scientifique, en caractrisant avec exactitude la principale
difficult gnrale qu'on rencontre dans l'tablissement effectif de
ces quations, et, par consquent, en fournissant une indication
intressante relativement  la marche  suivre dans les recherches de ce
genre, qui, par leur nature, ne sauraient comporter des rgles compltes
et invariables. En effet, si une dfinition quelconque de ligne, du
moins parmi celles qui indiquent un mode de gnration, fournit
directement l'quation de cette ligne dans un certain systme de
coordonnes, ou pour mieux dire constitue par elle-mme cette quation,
il s'ensuit que la difficult qu'on prouve souvent  dcouvrir
l'quation d'une courbe, d'aprs telle ou telle de ses proprits
caractristiques, difficult qui quelquefois est trs-grande, ne doit
provenir essentiellement que de la condition qu'on s'impose
ordinairement d'exprimer analytiquement cette courbe  l'aide d'un
systme de coordonnes dsign, au lieu d'admettre indiffremment tous
les systmes possibles. Ces divers systmes ne peuvent pas tre
regards, en gomtrie analytique, comme tant tous galement
convenables; pour diffrens motifs, dont les plus importans vont tre
discuts ci-dessous, les gomtres croient devoir presque toujours
rapporter, autant que possible, les courbes  des coordonnes
rectilignes proprement dites. Or, on conoit, d'aprs ce qui prcde,
que souvent ces coordonnes uniques ne seront pas celles relativement
auxquelles l'quation de la courbe se trouverait immdiatement tablie
par la dfinition propose. La principale difficult que prsente la
formation de l'quation d'une ligne consiste donc rellement, en
gnral, dans une certaine transformation de coordonnes. Sans doute,
cette considration n'assujtit point l'tablissement de ces quations 
une vritable mthode gnrale complte, dont le succs soit toujours
assur ncessairement, ce qui, par la nature mme du sujet, est
videmment chimrique; mais une telle vue peut nous clairer utilement 
cet gard sur la marche qu'il convient d'adopter pour parvenir au but
propos. Ainsi, aprs avoir d'abord form l'quation prparatoire qui
drive spontanment de la dfinition que l'on considre, il faudra, pour
obtenir l'quation relative au systme de coordonnes qui doit tre
admis dfinitivement, chercher  exprimer en fonction de ces dernires
coordonnes celles qui correspondent naturellement au mode de gnration
dont il s'agit. C'est sur ce dernier travail qu'il est videmment
impossible de donner des prceptes invariables et prcis. On peut dire
seulement qu'on aura d'autant plus de ressources  cet gard, qu'on
saura davantage de vritable gomtrie analytique, c'est--dire, qu'on
connatra l'expression algbrique d'un plus grand nombre de phnomnes
gomtriques diffrens.

Pour complter l'exposition philosophique de la conception qui sert de
base  la gomtrie analytique, il me reste  indiquer les
considrations relatives au choix du systme de coordonnes qui est, en
gnral, le plus convenable, ce qui fournira l'explication rationnelle
de la prfrence unanimement accorde au systme rectiligne ordinaire,
prfrence qui a t plutt jusqu'ici l'effet d'un sentiment empirique
de la supriorit de ce systme, que le rsultat exact d'une analyse
directe et approfondie.

Afin de dcider nettement entre tous les divers systmes de coordonnes,
il est indispensable de distinguer avec soin les deux points de vue
gnraux, inverses l'un de l'autre, propres  la gomtrie analytique,
savoir: la relation de l'algbre  la gomtrie, fonde sur la
reprsentation des lignes par les quations; et rciproquement la
relation de la gomtrie  l'algbre fonde sur la peinture des
quations par les lignes.

Il est vident que, dans toute recherche quelconque de gomtrie
gnrale, ces deux points de vue fondamentaux se trouvent ncessairement
combins sans cesse, puisqu'il s'agit toujours de passer
alternativement, et  des intervalles pour ainsi dire insensible, des
considrations gomtriques aux considrations analytiques, et des
considrations analytiques aux considrations gomtriques. Mais la
ncessit de les sparer ici momentanment n'en est pas moins relle;
car la rponse  la question de mthode que nous examinons est, en
effet, comme nous allons le voir, fort loin de pouvoir tre la mme sous
l'un et sous l'autre de ces deux rapports, en sorte que sans cette
distinction on ne saurait s'en former aucune ide nette.

Sous le premier point de vue, rigoureusement isol, le seul motif qui
puisse faire prfrer un systme de coordonnes  un autre, ne peut tre
que la plus grande simplicit de l'quation de chaque ligne, et la
facilit plus grande d'y parvenir. Or, il est ais de voir qu'il
n'existe et ne doit exister aucun systme de coordonnes mritant  cet
gard une prfrence constante sur tous les autres. En effet, nous avons
remarqu ci-dessus que, pour chaque dfinition gomtrique propose, on
peut concevoir un systme de coordonnes dans lequel l'quation de la
ligne s'obtient immdiatement et se trouve ncessairement tre en mme
temps fort simple: de plus, ce systme varie invitablement avec la
nature de la proprit caractristique que l'on considre. Ainsi, le
systme rectiligne ne saurait tre, en ce sens, constamment le plus
avantageux, quoiqu'il soit souvent trs-favorable; il n'en est
probablement pas un seul qui, dans certains cas particuliers, ne doive
 cet gard lui tre prfr, aussi bien qu' tout autre systme.

Il n'en est, au contraire, nullement de mme sous le second point de
vue. On peut, en effet, facilement tablir, en thse gnrale, que le
systme rectiligne ordinaire doit s'adapter ncessairement mieux que
tout autre  la peinture des quations par les lieux gomtriques
correspondans, c'est--dire que cette peinture y est constamment plus
simple et plus fidle.

Considrons, pour cela, que, tout systme de coordonnes consistant 
dterminer un point par l'intersection de deux lignes, le systme propre
 fournir les lieux gomtriques les plus convenables doit tre celui
dans lequel ces deux lignes sont les plus simples possibles, ce qui
restreint d'abord le choix  ne pouvoir porter que sur des systmes
_rectilignes_.  la vrit, il y a videmment une infinit de systmes
qui mritent ce nom, c'est--dire qui n'emploient que des lignes droites
pour dterminer les points, outre le systme ordinaire qui assigne pour
coordonnes les distances  deux droites fixes; tel serait, par exemple,
celui dans lequel les coordonnes de chaque point se trouveraient tre
les deux angles que font les droites qui aboutissent de ce point  deux
points fixes avec la droite de jonction de ces derniers; en sorte que
cette premire considration n'est pas rigoureusement suffisante pour
expliquer la prfrence accorde unanimement au systme ordinaire. Mais,
en examinant d'une manire plus approfondie la nature de tout systme de
coordonnes, nous avons reconnu, en outre, que chacune des deux lignes
dont la rencontre dtermine le point considr, doit ncessairement
offrir  chaque instant, parmi ses diverses conditions quelconques de
dtermination, une seule condition variable, qui donne lieu  l'ordonne
correspondante, et toutes les autres fixes, qui constituent les _axes_
du systme, en prenant ce terme dans son acception mathmatique la plus
tendue: la variation est indispensable pour que toutes les positions
puissent tre considres, et la fixit ne l'est pas moins pour qu'il
existe des moyens de comparaison. Ainsi, dans tous les systmes
_rectilignes_, chacune des deux droites sera assujtie  une condition
fixe, et l'ordonne rsultera de la condition variable. Sous ce rapport,
il est vident, en thse gnrale, que le systme le plus favorable  la
construction des lieux gomtriques, sera ncessairement celui d'aprs
lequel la condition variable de chaque droite sera la plus simple
possible, sauf  compliquer pour cela, s'il le faut, la condition fixe.
Or, de toutes les manires possibles de dterminer deux droites
mobiles, la plus aise  suivre gomtriquement est certainement celle
dans laquelle, la direction de chaque droite restant invariable, elle ne
fait que se rapprocher ou s'loigner plus ou moins d'un axe constant. Il
serait, par exemple, videmment plus difficile de se figurer nettement
le dplacement d'un point produit par l'intersection de deux droites,
qui tourneraient chacune autour d'un point fixe en fesant avec un
certain axe un angle plus ou moins grand, comme dans le systme de
coordonnes prcdemment indiqu. Telle est la vritable explication
gnrale de la proprit fondamentale que prsente, par sa nature, le
systme rectiligne ordinaire, d'tre plus apte qu'aucun autre  la
reprsentation gomtrique des quations, comme tant celui dans lequel
il est le plus ais de concevoir le dplacement d'un point en rsultat
du changement de valeur de ses coordonnes. Pour sentir nettement toute
la force de cette considration, il suffirait, par exemple, de comparer
soigneusement ce systme avec le systme polaire, dans lequel cette
image gomtrique si simple et si aise  suivre, de deux droites se
mouvant chacune paralllement  l'axe correspondant, se trouve remplace
par le tableau compliqu d'une srie infinie de cercles concentriques
coups par une droite assujtie  tourner autour d'un point fixe. Il
est d'ailleurs facile de concevoir _ priori_ quelle doit tre, pour la
gomtrie analytique, l'extrme importance d'une proprit aussi
profondment lmentaire, qui, par cette raison, doit se reproduire 
chaque instant et prendre une valeur progressivement croissante dans
tous les travaux quelconques de cette nature[22].

      [Note 22: Devant me borner ici  la comparaison la plus
      gnrale, je n'ai point considr plusieurs autres
      inconvniens lmentaires de moindre importance, mais
      cependant fort graves, que prsente le systme des
      coordonnes polaires, comme de ne point admettre
      d'interprtation gomtrique pour le signe du rayon recteur,
      et mme d'assigner quelquefois un point unique pour diverses
      solutions distinctes, d'o il rsulte que la peinture des
      quations y est ncessairement imparfaite. Quels que soient
      ces inconvniens, comme plusieurs systmes autres que le
      systme rectiligne ordinaire pourraient aussi en tre
      exempts, il ne fallait point en tenir compte pour tablir la
      supriorit gnrale de ce dernier.]

En prcisant davantage la considration qui dmontre la supriorit du
systme de coordonnes ordinaire sur tout autre quant  la peinture des
quations, on peut mme se rendre compte de l'utilit que prsente sous
ce rapport l'usage habituel de prendre autant que possible les deux axes
perpendiculaires entre eux plutt qu'avec aucune autre inclinaison. Sous
le rapport de la reprsentation des lignes par les quations, cette
circonstance secondaire n'est pas plus universellement convenable que
nous n'avons vu l'tre la nature mme du systme; puisque, suivant les
occasions, toute autre inclinaison des axes peut mriter  cet gard la
prfrence. Mais, sous le point de vue inverse, il est ais de voir que
des axes rectangulaires permettent constamment de peindre les quations
d'une manire plus simple et mme plus fidle. Car, avec des axes
obliques, l'espace se trouvant partag par eux en rgions dont
l'identit n'est plus parfaite, il en rsulte que, si le lieu
gomtrique de l'quation s'tend  la fois dans toutes ces rgions, il
y prsentera,  raison de la seule ingalit des angles, des diffrences
de figure qui, ne correspondant  aucune diversit analytique,
altreront ncessairement l'exactitude rigoureuse du tableau, en se
mlant aux rsultats propres des comparaisons algbriques. Par exemple,
une quation comme x^m + y^m = c, qui, par sa symtrie parfaite, devrait
donner videmment une courbe compose de quatre quarts identiques, sera
reprsente, au contraire, en prenant des axes non-rectangulaires, par
un lieu gomtrique dont les quatre parties seront ingales. On voit que
le seul moyen d'viter toute disconvenance de ce genre est de supposer
droit l'angle des deux axes.

La discussion prcdente tablit clairement que, si, sous l'un des deux
points de vue fondamentaux continuellement combins en gomtrie
analytique, le systme des coordonnes rectilignes proprement dit n'a
aucune supriorit constante sur tout autre; comme il n'est pas non plus
 cet gard constamment infrieur, sa plus grande aptitude ncessaire et
absolue  la peinture des quations doit lui faire gnralement accorder
la prfrence, quoiqu'il puisse videmment arriver, dans quelques cas
particuliers, que le besoin de simplifier les quations et de les
obtenir plus aisment dtermine les gomtres  adopter un systme moins
parfait. C'est, en effet, d'aprs le systme rectiligne, que sont
ordinairement construites les thories les plus essentielles de
gomtrie gnrale, destines  exprimer analytiquement les phnomnes
gomtriques les plus importans. Quand on juge ncessaire d'en choisir
un autre, c'est presque toujours le systme polaire auquel on s'arrte,
ce systme tant d'une nature assez oppose  celle du systme
rectiligne pour que les quations trop compliques relativement 
celui-ci deviennent, en gnral, suffisamment simples par rapport 
l'autre. Les coordonnes polaires ont d'ailleurs souvent l'avantage de
comporter une signification concrte plus directe et plus naturelle,
comme il arrive en mcanique pour les questions gomtriques auxquelles
donne lieu la thorie des mouvemens de rotation, et dans presque tous
les cas de gomtrie cleste.

Afin de simplifier l'exposition, nous n'avons jusqu'ici considr la
conception fondamentale de la gomtrie analytique que relativement aux
seules courbes planes, dont l'tude gnrale avait t l'objet unique de
la grande rnovation philosophique opre par Descartes. Il s'agit
maintenant, pour complter cette importante explication, de montrer
sommairement de quelle manire cette pense lmentaire a t tendue,
environ un sicle aprs, par notre illustre Clairaut,  l'tude gnrale
des surfaces et des courbes  double courbure. Les considrations
indiques ci-dessus me permettront de me borner  ce sujet  l'examen
rapide de ce qui est strictement propre  ce nouveau cas.

L'entire dtermination analytique d'un point dans l'espace exige
videmment qu'on assigne les valeurs de trois coordonnes; par exemple,
d'aprs le systme le plus frquemment adopt et qui correspond au
systme _rectiligne_ de la gomtrie plane, des distances de ce point 
trois plans fixes, ordinairement perpendiculaires entre eux, ce qui
prsente le point comme l'intersection de trois plans dont la direction
est invariable. On pourrait galement employer les distances du point
mobile  trois points fixes, ce qui le dterminerait par la rencontre de
trois sphres  centre constant. De mme, la position d'un point serait
dfinie en donnant sa distance plus ou moins grande  un point fixe, et
la direction de cette distance, au moyen des deux angles que fait cette
droite avec deux axes invariables; c'est le systme _polaire_ propre 
la gomtrie  trois dimensions; le point est alors construit par
l'intersection d'une sphre  centre constant avec deux cnes droits 
base circulaire dont les axes et le sommet commun ne changent pas. En un
mot, il y a videmment, dans ce cas, au moins la mme varit infinie
entre les divers systmes possibles de coordonnes que nous avons dj
observe pour la gomtrie  deux dimensions. En gnral, il faut
concevoir un point comme toujours dtermin par l'intersection de trois
surfaces quelconques, ainsi qu'il l'tait auparavant par celle de deux
lignes; chacune de ces trois surfaces a pareillement toutes ses
conditions de dtermination constantes, except une, qui donne lieu  la
coordonne correspondante, dont l'influence gomtrique propre est ainsi
d'astreindre le point  tre situ sur cette surface.

Cela pos, il est clair que si les trois coordonnes d'un point sont
entirement indpendantes entre elles, ce point pourra prendre
successivement dans l'espace toutes les positions possibles. Mais, si le
point est assujti  rester sur une certaine surface, dfinie d'une
manire quelconque, alors deux coordonnes suffisent videmment pour
dterminer  chaque instant sa situation, puisque la surface propose
tiendra lieu de la condition impose par la troisime coordonne. On
doit donc concevoir ncessairement dans ce cas, sous le point de vue
analytique, cette dernire coordonne comme une fonction dtermine des
deux autres, celles-ci demeurant entre elles compltement indpendantes.
Ainsi, il y aura entre les trois coordonnes variables une certaine
quation permanente, et qui sera unique afin de correspondre au degr
prcis d'indtermination de la position du point. Cette quation, plus
ou moins facile  dcouvrir, mais toujours possible, sera la dfinition
analytique de la surface propose, puisqu'elle devra se vrifier pour
tous les points de cette surface, et seulement pour eux. Si la surface
vient  prouver un changement quelconque, mme un simple dplacement,
l'quation devra subir une modification correspondante plus ou moins
profonde. En un mot, tous les phnomnes gomtriques quelconques
relatifs aux surfaces seront susceptibles d'tre traduits par certaines
conditions analytiques quivalentes propres aux quations  trois
variables, et c'est dans l'tablissement et l'interprtation de cette
harmonie gnrale et ncessaire que consistera essentiellement la
science de la gomtrie analytique  trois dimensions.

Considrant ensuite cette conception fondamentale sous le point de vue
inverse, on voit de la mme manire que toute quation  trois variables
peut tre, en gnral, reprsente gomtriquement par une surface
dtermine, primitivement dfinie d'aprs la proprit
trs-caractristique, que les coordonnes de tous ses points conservent
toujours entre elles la relation nonce dans cette quation. Ce lieu
gomtrique changera videmment, pour la mme quation, suivant le
systme de coordonnes qui servira  la construction de ce tableau. En
adoptant, par exemple, le systme rectiligne, il est clair que dans
l'quation entre les trois variables x, y, z, chaque valeur particulire
attribue  z, donnera une quation entre x et y, dont le lieu
gomtrique sera une certaine ligne situe dans un plan parallle au
plan des x, y, et  une distance de ce dernier gale  la valeur de z,
de telle sorte que le lieu gomtrique total se prsentera comme compos
d'une suite infinie de lignes superposes dans une srie de plans
parallles, sauf les interruptions qui pourront exister, et formera, par
consquent, une vritable surface. Il en serait de mme en considrant
tout autre systme de coordonnes, quoique la construction gomtrique
de l'quation devnt plus difficile  suivre.

Telle est la conception lmentaire, complment de l'ide-mre de
Descartes, sur laquelle est fonde la gomtrie gnrale relativement
aux surfaces. Il serait inutile de reprendre directement ici les autres
considrations indiques ci-dessus par rapport aux lignes, et que chacun
peut aisment tendre aux surfaces, soit pour montrer que toute
dfinition d'une surface par un mode quelconque de gnration est
rellement une quation directe de cette surface dans un certain systme
de coordonnes, soit pour dterminer entre tous les divers systmes de
coordonnes possibles quel est gnralement le plus convenable.
J'ajouterai seulement, sous ce dernier rapport, que la supriorit
ncessaire du systme rectiligne ordinaire, quant  la peinture des
quations, est videmment encore plus prononce dans la gomtrie
analytique  trois dimensions que dans celle  deux,  cause de la
complication gomtrique incomparablement plus grande qui rsulterait
alors du choix de tout autre systme, ainsi qu'on peut le vrifier de la
manire la plus sensible en considrant, par opposition, le systme
polaire en particulier, qui est, pour les surfaces comme pour les
courbes, et en vertu des mmes motifs, le plus usit aprs le systme
rectiligne proprement dit.

Afin de complter l'exposition gnrale de la conception fondamentale
relative  l'tude analytique des surfaces, nous aurons encore 
examiner philosophiquement, dans la quatorzime leon, un dernier
perfectionnement de la plus haute importance, que Monge a rcemment
introduit dans les lmens mmes de cette thorie, pour la
classification des surfaces en familles naturelles, tablies d'aprs le
mode de gnration, et exprimes algbriquement par des quations
diffrentielles communes, ou par des quations finies contenant des
fonctions arbitraires.

Considrons maintenant le dernier point de vue lmentaire de la
gomtrie analytique  trois dimensions, celui qui se rapporte  la
reprsentation algbrique des courbes, envisages dans l'espace de la
manire la plus gnrale. En continuant  suivre le principe constamment
employ ci-dessus, celui du degr d'indtermination du lieu gomtrique,
correspondant au degr d'indpendance des variables, il est vident, en
thse gnrale, que, lorsque un point doit tre situ sur une certaine
courbe quelconque, une seule coordonne suffit pour achever de
dterminer entirement sa position, par l'intersection de cette courbe
avec la surface qui rsulte de cette coordonne. Ainsi, dans ce cas, les
deux autres coordonnes du point doivent tre conues comme des
fonctions ncessairement dtermines et distinctes de la premire. Par
consquent, toute ligne, considre dans l'espace, est donc reprsente
analytiquement, non plus par une seule quation, mais par le systme de
deux quations entre les trois coordonnes de l'un quelconque de ses
points. Il est clair, en effet, d'un autre ct, que chacune de ces
quations, envisage sparment, exprimant une certaine surface, leur
ensemble prsente la ligne propose comme l'intersection de deux
surfaces dtermines. Telle est la manire la plus gnrale de concevoir
la reprsentation algbrique d'une ligne dans la gomtrie analytique 
trois dimensions. Cette conception est ordinairement envisage d'une
manire trop troite, lorsqu'on se borne  considrer une ligne comme
dtermine par le systme de ses deux _projections_ sur deux des plans
coordonns, systme caractris analytiquement par cette particularit
que chacune des deux quations de la ligne ne contient alors que deux
des trois coordonnes, au lieu de renfermer simultanment les trois
variables. Cette considration, qui consiste  regarder la ligne comme
l'intersection de deux surfaces cylindriques parallles  deux des trois
axes des coordonnes, outre l'inconvnient d'tre borne au systme
rectiligne ordinaire, a le dfaut, lorsqu'on croit devoir s'y rduire
strictement, d'introduire des difficults inutiles dans la
reprsentation analytique des lignes, puisque la combinaison de ces
deux cylindres ne saurait tre videmment toujours la plus convenable
pour former les quations d'une ligne. Ainsi, envisageant cette notion
fondamentale dans son entire gnralit, il faudra, dans chaque cas,
parmi l'infinit de couples de surfaces dont l'intersection pourrait
produire la courbe propose, choisir celui qui se prtera le mieux 
l'tablissement des quations, comme se composant des surfaces les plus
connues. Par exemple, s'agit-il d'exprimer analytiquement un cercle dans
l'espace, il sera videmment prfrable de le considrer comme
l'intersection d'une sphre et d'un plan, plutt que suivant toute autre
combinaison de surfaces qui pourrait galement le produire.

 la vrit, cette manire de concevoir la reprsentation des lignes par
des quations dans la gomtrie analytique  trois dimensions, engendre,
par sa nature, un inconvnient ncessaire, celui d'une certaine
confusion analytique, consistant en ce que la mme ligne peut se trouver
ainsi exprime, avec un mme systme de coordonnes, par une infinit de
couples d'quations diffrens, vu l'infinit de couples de surfaces qui
peuvent la former, ce qui peut prsenter quelques difficults pour
reconnatre cette ligne  travers tous les dguisemens algbriques dont
elle est susceptible. Mais il existe un procd gnral fort simple
pour faire disparatre cet inconvnient, se priver des facilits qui
rsultent de cette varit de constructions gomtriques. Il suffit, en
effet, quel que soit le systme analytique tabli primitivement pour une
certaine ligne, de pouvoir en dduire le systme correspondant  un
couple unique de surfaces uniformment engendres, par exemple,  celui
des deux surfaces cylindriques qui _projettent_ la ligne propose sur
deux des plans coordonns, surfaces qui videmment seront toujours
identiques de quelque manire que la ligne ait t obtenue, et ne
varieront que lorsque cette ligne elle-mme changera. Or, en choisissant
ce systme fixe, qui est effectivement le plus simple, on pourra
gnralement dduire des quations primitives celles qui leur
correspondent dans cette construction spciale, en les transformant, par
deux liminations successives, en deux quations ne contenant chacune
que deux des coordonnes variables, et qui conviendront par cela seul
aux deux surfaces de projection. Telle est rellement la principale
destination de cette sorte de combinaison gomtrique, qui nous offre
ainsi un moyen invariable et certain de reconnatre l'identit des
lignes malgr la diversit quelquefois trs-grande de leurs quations.

Aprs avoir considr dans son ensemble la conception fondamentale de
la gomtrie analytique sous les principaux aspects lmentaires qu'elle
peut prsenter, il convient, pour complter, sous le rapport
philosophique, une telle esquisse, de signaler ici les imperfections
gnrales que prsente encore cette conception, soit relativement  la
gomtrie, soit relativement  l'analyse.

Relativement  la gomtrie, il faut remarquer que les quations ne sont
propres jusqu'ici qu' reprsenter des lieux gomtriques entiers, et
nullement des portions dtermines de ces lieux gomtriques. Il serait
cependant ncessaire, dans plusieurs circonstances, de pouvoir exprimer
analytiquement une partie de ligne ou de surface, et mme une ligne ou
surface _discontinue_ compose d'une suite de sections appartenant  des
figures gomtriques distinctes, par exemple le contour d'un polygone ou
la surface d'un polydre. La thermologie surtout donne lieu frquemment
 de semblables considrations, auxquelles notre gomtrie analytique
actuelle se trouve ncessairement inapplicable. Nanmoins il importe
d'observer que, dans ces derniers temps, les travaux de M. Fourier sur
les fonctions discontinues ont commenc  remplir cette grande lacune,
et ont par l directement introduit un nouveau perfectionnement
essentiel dans la conception fondamentale de Descartes. Mais cette
manire de reprsenter des formes htrognes ou partielles, tant
fonde sur l'emploi de sries trigonomtriques procdant selon les sinus
d'une suite infinie d'arcs multiples, ou sur l'usage de certaines
intgrales dfinies quivalentes  ces sries et dont l'intgrale
gnrale est ignore, prsente encore trop de complication pour pouvoir
tre immdiatement introduite dans le systme propre de la gomtrie
analytique.

Relativement  l'analyse, il faut commencer par reconnatre que
l'impossibilit o nous sommes de concevoir gomtriquement pour des
quations contenant quatre, cinq variables ou un plus grand nombre, une
reprsentation analogue  celles que comportent toutes les quations 
deux ou  trois variables, ne doit pas tre envisage comme une
imperfection de notre systme de gomtrie analytique, car elle tient
videmment  la nature mme du sujet. L'analyse tant ncessairement
plus gnrale que la gomtrie, puisqu'elle est relative  tous les
phnomnes possibles, il serait peu philosophique de vouloir constamment
trouver parmi les seuls phnomnes gomtriques une reprsentation
concrte de toutes les lois que l'analyse peut exprimer. Mais il existe
une autre imperfection de moindre importance qu'on doit rellement
envisager comme provenant de la manire mme dont nous concevons la
gomtrie analytique. Elle consiste en ce que notre reprsentation
actuelle des quations  deux ou  trois variables par des lignes ou des
surfaces est videmment toujours plus ou moins incomplte, puisque, dans
la construction du lieu gomtrique, nous n'avons gard qu'aux solutions
_relles_ des quations, sans tenir aucun compte des solutions
_imaginaires_. La marche gnrale de ces dernires serait cependant, par
sa nature, tout aussi susceptible que celle des autres d'une peinture
gomtrique. Il rsulte de cette omission que le tableau graphique de
l'quation est constamment imparfait, et quelquefois mme au point qu'il
n'y a plus de reprsentation gomtrique, lorsque l'quation n'admet que
des solutions imaginaires. Cependant, mme dans ce dernier cas, il y
aurait videmment lieu de distinguer sous le rapport gomtrique des
quations aussi diffrentes en elles-mmes que celles-ci, par exemple,
/[x^2+y^2+1=0,/;x^6+y^4+1=0,/;y^2+e^x=0./] On sait de plus que cette
imperfection principale entrane souvent, dans la gomtrie analytique 
deux ou  trois dimensions, une foule d'inconvniens secondaires, tenant
 ce que plusieurs modifications analytiques se trouvent ne correspondre
 aucun phnomne gomtrique.

Un de nos plus grands gomtres actuels, M. Poinsot, a prsent une
considration trs-ingnieuse et fort simple,  laquelle on n'a pas fait
communment assez d'attention, et qui permet, lorsque les quations sont
peu compliques, de concevoir la reprsentation graphique des solutions
imaginaires, en se bornant  peindre leurs rapports quand ils sont
rels[23]. Mais cette considration, qu'il serait ais de gnraliser
abstraitement, est jusqu'ici trop peu susceptible d'tre effectivement
employe,  cause de l'tat extrme d'imperfection o se trouve encore
la rsolution algbrique des quations, et d'o il rsulte ou que la
forme des racines imaginaires est le plus souvent ignore, ou qu'elle
prsente une trop grande complication; en sorte que de nouveaux travaux
sont indispensables  cet gard, avant qu'on puisse regarder comme
comble cette lacune essentielle de notre gomtrie analytique.

      [Note 23: M. Poinsot a montr, par exemple, dans son
      excellent _mmoire sur l'analyse des sections angulaires_,
      que l'quation x^2+y^2+a^2=0, ordinairement carte comme
      n'ayant pas de lieu gomtrique, peut tre reprsente, de
      la manire la plus simple et la plus nette, par une
      hyperbole quilatre, qui remplit  son gard le mme office
      que le cercle pour l'quation x^2+y^2-a^2=0.]

L'exposition philosophique essaye dans cette leon de la conception
fondamentale de la gomtrie analytique, nous montre clairement que
cette science consiste essentiellement  dterminer quelle est, en
gnral, l'expression analytique de tel ou tel phnomne gomtrique
propre aux lignes ou aux surfaces, et rciproquement  dcouvrir
l'interprtation gomtrique de telle ou telle considration analytique.
Nous avons maintenant  examiner, en nous bornant aux questions
gnrales les plus importantes, comment les gomtres sont parvenus 
tablir effectivement cette belle harmonie, et  imprimer ainsi  la
science gomtrique, envisage dans son ensemble total, le caractre
parfait de rationalit et de simplicit qu'elle prsente aujourd'hui si
minemment. Tel sera l'objet essentiel des deux leons suivantes, l'une,
consacre  l'tude gnrale des lignes, et l'autre,  l'tude gnrale
des surfaces.




TREIZIME LEON.

SOMMAIRE. De la gomtrie _gnrale_  deux dimensions.


D'aprs la marche habituellement adopte jusqu' ce jour pour
l'exposition de la science gomtrique, la destination vraiment
essentielle de la gomtrie analytique n'est encore sentie que d'une
manire fort imparfaite, qui ne correspond nullement  l'opinion que
s'en forment les vritables gomtres, depuis que l'extension des
conceptions analytiques  la mcanique rationnelle a permis de s'lever
 quelques ides gnrales sur la philosophie mathmatique. La
rvolution fondamentale opre par la grande pense de Descartes n'est
point encore dignement apprcie dans notre ducation mathmatique, mme
la plus haute.  la manire dont elle est ordinairement prsente et
surtout employe, cette admirable mthode ne semblerait d'abord avoir
d'autre but rel que de simplifier l'tude des sections coniques, ou de
quelques autres courbes, considres toujours une  une suivant l'esprit
de la gomtrie ancienne, ce qui serait sans doute de fort peu
d'importance. On n'a point encore convenablement senti que le vritable
caractre distinctif de notre gomtrie moderne, ce qui constitue son
incontestable supriorit, consiste  tudier, d'une manire entirement
gnrale, les diverses questions relatives  des lignes ou  des
surfaces quelconques, en transformant les considrations et les
recherches gomtriques en considrations et en recherches analytiques.
Il est remarquable que dans les tablissemens, mme les plus justement
clbres, consacrs  la haute instruction mathmatique, on n'ait point
institu de cours vraiment dogmatique de gomtrie gnrale, conu d'une
manire  la fois distincte et complte[24]. Cependant une telle tude
est la plus propre  manifester clairement le vrai caractre
philosophique de la science mathmatique, en dmontrant avec une nettet
parfaite l'organisation gnrale de la relation de l'abstrait au concret
dans la thorie mathmatique d'un ordre quelconque de phnomnes
naturels.

      [Note 24: La profonde mdiocrit qu'on observe
      gnralement  cet gard, surtout dans l'enseignement de la
      partie lmentaire des mathmatiques, quoique deux sicles
      se soient couls dj depuis la publication de la gomtrie
      de Descartes, montre combien notre ducation mathmatique
      ordinaire est encore loin de correspondre au vritable tat
      de la science; ce qui tient sans doute, en grande partie, on
      ne doit pas se le dissimuler,  l'extrme infriorit de la
      plupart des personnes auxquelles on confie un enseignement
      aussi important, sur la haute direction duquel les
      vritables chefs de la science ne sont d'ailleurs admis 
      exercer aucune influence rgulire et permanente.]

Ces considrations indiquent assez quelle peut tre, outre son extrme
importance philosophique, l'utilit spciale et directe de l'exposition
 laquelle nous conduit maintenant le plan de cet ouvrage. Il s'agit
donc, en partant de la conception fondamentale explique dans la leon
prcdente, relativement  la reprsentation analytique des formes
gomtriques, d'examiner comment les gomtres sont parvenus  rduire
toutes les questions de gomtrie gnrale  de pures questions
d'analyse, en dterminant les lois analytiques de tous les phnomnes
gomtriques, c'est--dire les modifications algbriques qui leur
correspondent dans les quations des lignes et des surfaces. Je ne
m'occuperai d'abord que des courbes, et mme des courbes planes,
rservant pour la leon suivante l'tude gnrale des surfaces et des
courbes  double courbure. L'esprit de cet ouvrage prescrit d'ailleurs
de se borner  l'examen philosophique des questions gnrales les plus
importantes, et surtout d'carter toute application  des formes
particulires. Le but essentiel que nous devons avoir en vue ici, est
seulement de constater avec prcision comment la conception
fondamentale de Descartes a tabli le systme gnral de la science
gomtrique sur des bases rationnelles et dfinitives. Toute autre tude
rentrerait dans un trait spcial de gomtrie; mais, quant  celle-ci,
elle est indispensable pour l'objet que nous nous proposons. On peut
sans doute concevoir _ priori_, comme je l'ai indiqu dans la leon
prcdente, que, une fois le sujet des recherches gomtriques
reprsent analytiquement, tous les _accidens_ ou phnomnes quelconques
dont il est susceptible doivent comporter ncessairement une
interprtation semblable. Mais il est clair qu'une telle considration
ne dispense nullement, mme sous le simple rapport philosophique,
d'tudier l'organisation effective de cette harmonie gnrale entre la
gomtrie et l'analyse, dont on ne se formerait sans cela qu'une ide
vague et confuse, entirement insuffisante.

La premire et la plus simple question qu'on puisse se proposer
relativement  une courbe quelconque, c'est de connatre, d'aprs son
quation[25], le nombre de points ncessaire  sa dtermination. Outre
l'importance propre d'une telle notion, qui n'est pas tablie jusqu'ici
d'une manire assez rationnelle, je crois devoir exposer avec quelque
dveloppement la solution gnrale de ce problme lmentaire, parce
qu'elle me semble minemment apte, sous le rapport de la mthode, vu
l'extrme simplicit des considrations analytiques correspondantes, 
faire saisir le vritable esprit de la gomtrie analytique,
c'est--dire la corrlation ncessaire et continue entre le point de vue
concret et le point de vue abstrait.

      [Note 25: Je considrerai toujours, pour fixer les
      ides,  moins d'avertissement formel, le systme de
      coordonnes rectilignes ordinaire, soit dans cette leon,
      soit dans la suivante.]

Pour rsoudre compltement cette question, il faut distinguer deux cas,
suivant que la courbe propose est dfinie analytiquement par son
quation la plus gnrale, c'est--dire convenant  toutes les positions
de la courbe relativement aux axes, ou par une quation particulire et
plus simple, qui n'a lieu que dans une certaine situation de la courbe 
l'gard des axes.

Dans le premier cas, il est vident que la condition, de la part de la
courbe, de devoir passer par un point donn, quivaut analytiquement 
ce que les constantes arbitraires que renferme son quation gnrale
conservent entre elles la relation marque par la substitution des
coordonnes particulires de ce point dans cette quation. Chaque point
donn imposant ainsi  ces constantes une certaine condition algbrique,
pour que la courbe soit entirement dtermine il faudra donc assigner
un nombre de points gal au nombre des constantes arbitraires contenues
dans son quation. Telle est la rgle gnrale. Il convient cependant
d'observer qu'elle pourrait induire en erreur, et indiquer un nombre de
points trop considrable, si, dans l'quation propose, le nombre des
termes distincts renfermant les constantes arbitraires tait moindre que
celui de ces constantes, auquel cas il faudrait videmment juger du
nombre de points ncessaire  l'entire dtermination de la courbe,
seulement par celui de ces termes, ce qui signifierait gomtriquement
que les constantes considres pourraient alors prouver certains
changemens sans qu'il en rsultt aucun pour la courbe. Tel serait, par
exemple, le cas du cercle, si on le dfinissait comme la courbe dcrite
par le sommet d'un angle de grandeur invariable qui se meut de manire 
ce que chacun de ses cts passe toujours par un certain point fixe. Il
faut donc, pour plus de gnralit, compter sparment le nombre des
constantes entrant dans l'quation de la courbe propose et le nombre
des termes qui les contiennent, et dterminer combien de points exige
l'entire spcification de la courbe par le plus petit de ces deux
nombres,  moins qu'ils ne soient gaux.

Quand une courbe n'est primitivement dfinie que par une quation du
genre de celles que nous avons nommes plus haut _particulires_, on
peut,  l'aide d'une transformation invariable et fort simple, faire
rentrer ce cas dans le prcdent, en _gnralisant_ convenablement
l'quation propose. Il suffit, pour cela, de rapporter la courbe,
d'aprs les formules connues,  un nouveau systme d'axes, dont la
situation par rapport aux premiers soit regarde comme indtermine. Si
cette transformation ne change pas essentiellement la composition
analytique de l'quation primitive, ce sera la preuve que celle-ci tait
dj suffisamment gnrale; dans le cas contraire, elle le sera devenue,
et ds lors la question se rsoudra facilement par l'application de la
rgle prcdemment tablie. On peut mme observer, pour simplifier
encore davantage cette solution, que cette gnralisation de l'quation
introduira toujours, quelle que soit l'quation primitive, trois
nouvelles constantes arbitraires, savoir les deux coordonnes de la
nouvelle origine et l'inclinaison des nouveaux axes sur les anciens; en
sorte que, sans effectuer le calcul, on pourra connatre le nombre des
constantes arbitraires qui entreraient dans l'quation la plus gnrale,
et par suite en dduire directement le nombre de points ncessaire  la
dtermination de la courbe propose, toutes les fois du moins qu'on
pourra tre certain d'avance, ce qui a lieu trs-frquemment, que le
nombre des termes qui contiendraient ces constantes ne serait pas
moindre que celui des constantes elles-mmes.

Afin de montrer  quel degr de facilit peut parvenir la solution
gnrale de cette question, il importe de remarquer que, l'opration
analytique prescrite pour la rsoudre se rduisant  une simple
numration, cette numration peut tre faite avant mme que l'quation
de la courbe soit obtenue, et d'aprs sa seule dfinition gomtrique.
Il suffit, en effet, d'analyser cette dfinition sous ce point de vue,
en estimant combien de points donns, ou de droites donnes soit en
longueur, soit en direction, ou de cercles donns, etc., elle exige pour
l'entire dtermination de la courbe propose. Cela pos, on saura aussi
d'avance combien il devra entrer de constantes arbitraires dans
l'quation la plus gnrale de cette courbe, en considrant que chaque
point fixe donn par la dfinition en introduira deux, chaque droite
donne galement deux, chaque longueur donne une, chaque cercle
entirement donn trois, etc. On pourra donc juger immdiatement par l
du nombre de points qu'exige la dtermination de la courbe, avec autant
d'exactitude que si l'on avait sous les yeux son quation gnrale; 
cela prs nanmoins de la restriction indique ci-dessus pour le cas o
le nombre des termes renfermant les constantes arbitraires serait
infrieur  celui des constantes; restriction qu'on pourra souvent
reconnatre comme inapplicable, si l'analyse de la dfinition propose a
montr clairement que les donnes qu'elle prescrit ne pourraient
nullement varier, soit isolment, soit ensemble, sans qu'il en rsultt
pour la courbe un changement quelconque. Mais, lorsque cette restriction
devra tre rellement applique, cette considration ne fournira d'abord
qu'une limite suprieure du nombre cherch, qui ne pourra tre alors
entirement connu qu'en consultant effectivement l'quation gnrale.

J'ai suppos jusqu'ici que les points par lesquels on veut dterminer le
cours d'une ligne fussent absolument quelconques; mais, pour complter
la mthode, il faut examiner le cas o l'on introduirait parmi eux des
points _singuliers_, c'est--dire distincts de tous les autres par une
proprit caractristique quelconque, comme ce que l'on nomme les
_foyers_ dans les sections coniques, les _sommets_, les _centres_, les
points d'_inflexion_ ou de _rebroussement_, etc. Ces points ayant tous
pour caractre d'tre uniques, ou du moins dtermins, dans une mme
courbe, leurs deux coordonnes sont donc chacune une fonction
dtermine, connue ou inconnue, des constantes qui spcifient
exactement la courbe propose. Ainsi, donner un seul de ces points,
c'est imposer  ces constantes arbitraires deux conditions algbriques,
ce qui, par consquent, quivaut analytiquement  donner deux points
ordinaires. La rgle gnrale et fort simple se rduit donc,  cet
gard,  compter toujours pour deux chaque point _singulier_, par
quelque proprit qu'il puisse tre dfini:  cela prs, on rentrera
dans la loi tablie ci-dessus.

Toute application spciale de la thorie gnrale que je viens
d'indiquer serait ici dplace. Je crois cependant utile de remarquer,
au sujet de cette application, que le nombre de points ncessaires 
l'entire dtermination de chaque courbe, quoique constituant une
circonstance fort importante, n'est point aussi intimement li qu'on le
croirait d'abord, soit  la nature analytique de l'quation, soit  la
forme gomtrique de la ligne. Ainsi, par exemple, on trouve, d'aprs la
mthode prcdente, que la parabole ordinaire, et mme les paraboles de
tous les degrs, la logarithmique, la cyclode, la spirale d'Archimde,
etc., exigent galement quatre points pour leur dtermination, quoiqu'on
n'ait pu dcouvrir jusqu'ici aucune autre proprit commune entre des
courbes aussi diffrentes sous le rapport analytique que sous le
rapport gomtrique. Il est nanmoins vraisemblable que cette analogie
ne doit pas tre entirement isole.

Je choisirai, comme second exemple intressant, parmi les questions
lmentaires relatives  l'tude gnrale des lignes, la dtermination
des _centres_ dans une courbe plane quelconque. Le caractre gomtrique
du _centre_ d'une figure tant, en gnral, d'tre le milieu de toutes
les cordes qui y passent, il en rsulte videmment que, si l'on y place
l'origine du systme des coordonnes rectilignes, les points de la
figure auront, deux  deux, par rapport  une telle origine, des
coordonnes gales et de signe contraire. On peut donc reconnatre
immdiatement, d'aprs l'quation d'une courbe quelconque, si elle a
pour centre l'origine actuelle des coordonnes, puisqu'il suffit
d'examiner si cette quation n'est point altre, en y changeant  la
fois les signes des deux coordonnes variables, ce qui exige, dans le
cas o il n'y entre que des fonctions algbriques, rationnelles et
entires, que les termes soient tous de degr pair ou tous de degr
impair, suivant le degr de l'quation. Cela pos, quand un tel
changement trouble l'quation, il faut dplacer l'origine d'une manire
indtermine, et chercher  disposer des deux constantes arbitraires que
cette transformation introduit dans l'quation pour les coordonnes de
la nouvelle origine, de faon  ce que l'quation puisse jouir,
relativement aux nouveaux axes, de la proprit prcdente. Si, par des
valeurs relles convenables des coordonnes de la nouvelle origine, on
peut faire disparatre tous les termes qui empchaient l'quation de
prsenter ce caractre analytique, la courbe aura un centre dont ces
valeurs feront connatre la position: dans le cas contraire, il sera
constat que la courbe n'a point de centre.

Parmi les questions de gomtrie gnrale  deux dimensions dont la
solution complte ne dpend que de l'analyse ordinaire, je crois devoir
encore indiquer ici celle qui se rapporte  la dtermination des
conditions de la _similitude_ entre des courbes quelconques d'un mme
_genre_, c'est--dire susceptibles d'une mme dfinition ou _quation_,
qui ne les distingue les unes des autres que par les diverses valeurs de
certaines constantes arbitraires relatives  la grandeur de chacune
d'elles. Cette question, importante en elle-mme, a d'autant plus
d'intrt sous le rapport de la mthode, que le phnomne gomtrique
qu'il s'agit alors de caractriser analytiquement, est videmment
purement relatif  la forme, et nullement un phnomne de situation, ce
qui, comme nous l'avons remarqu dans la leon prcdente, donne
toujours lieu  des difficults spciales par rapport  notre systme
de gomtrie analytique, o les ides de position sont seules
directement considres.

L'emploi de l'analyse diffrentielle fournirait immdiatement la
solution de ce problme gnral, en tendant aux courbes, comme il
convient, la dfinition lmentaire de la similitude pour les figures
rectilignes. Il suffirait, en effet, 1 de calculer, d'aprs l'quation
de chacune des deux courbes, l'angle de _contingence_ en un point
quelconque, et d'exprimer que cet angle a la mme valeur dans les deux
courbes pour des points correspondans; 2 d'aprs l'expression
diffrentielle gnrale de la longueur d'un lment infiniment petit de
chaque courbe, d'exprimer que les lmens homologues des deux courbes
sont entre eux dans un rapport constant. Les conditions analytiques de
la similitude se trouveraient ainsi dpendre des deux premires
fonctions drives de l'ordonne rapporte  l'abcisse. Mais le problme
peut tre rsolu d'une manire beaucoup plus simple, et nanmoins tout
aussi gnrale, quoique moins directe, par le simple usage de l'analyse
ordinaire.

Pour cela, il faut d'abord remarquer une proprit lmentaire que
peuvent toujours prsenter deux figures semblables de forme quelconque,
quand elles sont places dans une situation _parallle_, c'est--dire,
de telle faon que tous les lmens de chacune soient respectivement
parallles aux lmens homologues de l'autre, ce que la similitude
permet videmment de faire constamment. Dans cette situation, il est
ais de voir que, si on joint deux  deux par des droites les points
homologues des deux figures, toutes ces lignes de jonction concourront
ncessairement en un point unique,  partir duquel leurs longueurs,
comptes jusqu' l'une et  l'autre des deux figures semblables, auront
entre elles un rapport constant, gal  celui des deux figures. Il
rsulte immdiatement de cette proprit, considre sous le point de
vue analytique, que, si l'origine des coordonnes rectilignes est
suppose place au point particulier dont nous venons de parler, les
points homologues des deux courbes semblables auront des coordonnes
constamment proportionnelles, en sorte que l'quation de la premire
courbe devra rentrer dans celle de la seconde, en y changeant x en mx,
et y en my, m tant une constante arbitraire gale au rapport linaire
des deux figures. Avec des coordonnes polaires z et /varphi, dont le
ple serait plac au mme point, les deux quations deviendraient
identiques en changeant seulement z en mz dans l'une d'elles, sans
changer /varphi. La vrification d'un tel caractre algbrique suffira
donc videmment pour constater la similitude. Mais, de sa
non-vrification, il est clair qu'on ne devra point conclure
immdiatement la dissimilitude des deux courbes compares, puisque
l'origine ou le ple pourraient n'tre pas placs au point unique pour
lequel cette relation a lieu, ou mme que les deux courbes pourraient
n'tre pas poses actuellement dans la situation _parallle_. Il est
nanmoins facile de gnraliser et de complter la mthode sous l'un et
l'autre de ces deux rapports, quoiqu'il semble d'abord impossible
analytiquement de modifier la situation relative de deux courbes. Il
suffira pour cela de changer,  l'aide des formules connues,  la fois
l'origine et la direction des axes si les coordonnes sont rectilignes,
ou le ple et la direction de l'axe si elles sont polaires, mais en
effectuant cette transformation seulement dans l'une des deux quations.
On cherchera alors  disposer des trois constantes arbitraires
introduites par l, pour que cette quation ainsi modifie prsente,
relativement  l'autre, la proprit analytique indique. Si cette
relation peut avoir lieu d'aprs certaines valeurs relles des
constantes arbitraires, les deux courbes seront semblables; sinon, leur
dissimilitude sera constate.

Quoiqu'il ne convienne point de considrer ici aucune application
spciale de la thorie prcdente, je crois cependant utile d'indiquer
 ce sujet une remarque gnrale. Elle consiste en ce que, toutes les
fois que l'quation d'une courbe, simplifie le plus possible par la
disposition des axes, ne renfermera qu'une seule constante arbitraire,
toutes les courbes de ce genre seront ncessairement semblables entre
elles. On peut augmenter l'utilit de cette observation, en ce que, sans
considrer mme l'quation de la courbe, il suffira d'examiner, dans ce
cas, si sa dfinition gomtrique primitive ne fait dpendre que d'une
seule donne l'entire dtermination de sa grandeur[26]. Quand, au
contraire, l'quation la plus simple de la courbe propose contiendra
deux constantes arbitraires ou davantage, ou, ce qui est exactement
quivalent, lorsque la dfinition fera dpendre sa grandeur de plusieurs
donnes distinctes, les courbes de ce genre ne pourront tre semblables
qu' l'aide de certaines relations entre ces constantes ou ces donnes,
qui consisteront ordinairement dans leur proportionnalit. C'est ainsi
que toutes les paraboles d'un mme degr, d'ailleurs quelconque, sont
semblables entre elles, aussi bien que toutes les logarithmiques, toutes
les cyclodes ordinaires, tous les cercles, etc.; tandis que deux
ellipses ou deux hyperboles, par exemple, ne sont semblables qu'autant
que leurs axes sont proportionnels.

      [Note 26: Cette proprit, qui est une consquence
      vidente de la thorie indique ci-dessus, pourrait
      d'ailleurs tre tablie directement par une considration
      fort simple. Il suffirait de remarquer que, dans ce cas, les
      diverses courbes de ce genre pourraient concider en les
      construisant sur une chelle diffrente, d'o rsulte
      clairement leur similitude ncessaire.]

Je me borne  ce petit nombre de questions gnrales relatives aux
lignes, parmi celles dont la solution complte dpend seulement de
l'analyse ordinaire. On n'y doit pas comprendre la dtermination de ce
qu'on appelle les _foyers_, la recherche des _diamtres_, etc., et
plusieurs autres problmes de ce genre, qui, bien que susceptibles
d'tre proposs et rsolus pour des courbes quelconques, n'ont de
vritable intrt qu' l'gard des sections coniques. Relativement aux
_diamtres_, par exemple, c'est--dire aux lieux gomtriques des
milieux d'un systme quelconque de cordes parallles, il est ais de
former une mthode gnrale pour dduire de l'quation d'une courbe
l'quation commune de tous ses diamtres. Mais une telle considration
ne peut faciliter l'tude d'une courbe qu'autant que les diamtres se
trouvent tre des lignes plus simples et plus connues que la courbe
primitive; et mme cette recherche n'a vraiment une grande utilit que
lorsque tous les diamtres sont des lignes droites. Or, c'est ce qui n'a
lieu que dans les courbes du second degr. Pour toutes les autres, les
diamtres sont, en gnral, des courbes aussi peu connues et souvent
mme d'une tude plus difficile que la courbe propose. C'est pourquoi
je ne dois point ici considrer une telle question, ni aucune autre
semblable, quoique, dans les traits spciaux de gomtrie analytique,
il convnt d'ailleurs de les prsenter d'abord, autant que possible,
sous un point de vue entirement gnral.

Je passe donc immdiatement  l'examen des thories de gomtrie
gnrale  deux dimensions qui ne peuvent tre compltement tablies
qu' l'aide de l'analyse transcendante.

La premire et la plus simple d'entre elles consiste dans la
dtermination des tangentes aux courbes planes. Ayant eu occasion, dans
la sixime leon, d'indiquer la solution gnrale de cet important
problme, d'aprs chacun des divers points de vue fondamentaux propres 
l'analyse transcendante, il est inutile d'y revenir ici. Je ferai
seulement observer  ce sujet que la question fondamentale ainsi
considre suppose connu le point de contact de la droite avec la
courbe, tandis que la tangente peut tre dtermine par plusieurs autres
conditions, qu'il faut alors faire rentrer dans la prcdente, en
dterminant pralablement les coordonnes du point de contact, ce qui
est ordinairement trs-facile. Ainsi, par exemple, si la tangente est
assujtie  passer par un point donn extrieur  la courbe, les
coordonnes de ce point devant satisfaire  la formule gnrale de
l'quation de la tangente  cette courbe, formule qui contient les
coordonnes inconnues du point de contact, ce dernier point sera
dtermin par une telle relation combine avec l'quation de la courbe
propose. De mme, si la tangente cherche doit tre parallle  une
droite donne, il faudra galer le cofficient gnral qui marque sa
direction en fonction des coordonnes du point de contact  celui qui
dtermine celle de la droite donne, et la combinaison de cette
condition avec l'quation de la courbe fera encore connatre ces
coordonnes.

Afin de considrer sous un point de vue plus tendu les problmes
relatifs aux tangentes, il peut tre utile d'exprimer distinctement la
relation qui doit exister entre les deux constantes arbitraires
contenues dans l'quation gnrale d'une ligne droite et les diverses
constantes propres  une courbe quelconque donne, pour que la droite
soit tangente  la courbe.  cet effet, il suffit d'observer que les
deux constantes par lesquelles se trouve fixe  chaque instant la
position de la tangente tant des fonctions connues des coordonnes du
point de contact, l'limination de ces deux coordonnes entre ces deux
formules et l'quation de la courbe propose fournira une relation
indpendante du point de contact et contenant seulement les constantes
des deux lignes, qui sera le caractre analytique cherch du phnomne
d'un contact indtermin. On se servirait, par exemple, de telles
expressions pour dterminer une tangente commune  deux courbes donnes,
en calculant les deux constantes propres  cette droite d'aprs les deux
relations qu'entranerait ainsi son contact avec l'une et l'autre
courbe.

La question fondamentale des tangentes est le point de dpart de
plusieurs autres recherches gnrales plus ou moins importantes
relativement aux courbes, qu'il est ais d'en faire dpendre. La plus
directe et la plus simple de ces questions secondaires consiste dans la
dtermination des _asymptotes_, ou du moins des _asymptotes_
rectilignes, les seules, en gnral, qu'il soit intressant de
connatre, parce qu'elles seules contribuent rellement  faciliter
l'tude d'une courbe. On sait que l'_asymptote_ est une droite qui
s'approche indfiniment et d'aussi prs qu'on veut d'une courbe, sans
cependant pouvoir jamais l'atteindre rigoureusement. Elle peut donc tre
envisage comme une tangente dont le point de contact s'loigne 
l'infini. Ainsi, pour la dterminer, il suffit de supposer infinies les
coordonnes du point de contact dans les deux formules gnrales qui
expriment, d'aprs l'quation de la courbe, en fonction de ces
coordonnes, les deux constantes par lesquelles est fixe la position de
la tangente. Si ces deux constantes prennent alors des valeurs relles
et compatibles entre elles, la courbe donne aura des asymptotes dont un
tel calcul fera connatre le nombre et la situation; si ces valeurs sont
imaginaires ou incompatibles, ce sera la preuve que la courbe propose
n'a point d'asymptotes, du moins rectilignes. On voit que cette
dtermination est exactement analogue  celle d'une tangente mene par
un point de la courbe dont les coordonnes seraient finies. Il arrivera
seulement, dans un assez grand nombre de cas, que les deux valeurs
cherches se prsenteront sous une forme indtermine, ce qui est un
inconvnient gnral des formules algbriques, quoiqu'il doive sans
doute avoir lieu plus frquemment en attribuant aux variables des
valeurs infinies. Mais on sait qu'il existe une mthode analytique
gnrale pour estimer la vraie valeur de toute expression semblable; il
suffira donc alors d'y recourir.

On peut rattacher aussi, quoique d'une manire beaucoup moins directe, 
la thorie des tangentes, la thorie tout entire des divers points
_singuliers_, dont la dtermination contribue minemment  la
connaissance de toute courbe qui en prsente, comme les points
d'_inflexion_, les points _multiples_, les points de _rebroussement_,
etc. Relativement aux points d'_inflexion_, par exemple, c'est--dire 
ceux o une courbe de concave devient convexe, ou de convexe concave, il
faut d'abord examiner le caractre analytique immdiatement propre  la
concavit ou  la convexit, ce qui dpend de la manire dont varie la
direction de la tangente. Quand la courbe est concave vers l'axe des
abcisses, elle fait avec lui un angle de plus en plus petit  mesure
qu'elle s'en loigne; au contraire, lorsqu'elle est convexe, l'angle
qu'elle fait avec l'axe devient de plus en plus grand en s'en cartant
davantage. On peut donc directement reconnatre, d'aprs l'quation
d'une courbe, le sens de sa courbure  chaque instant: il suffit
d'examiner si le cofficient qui marque l'inclinaison de la tangente,
c'est--dire la fonction drive de l'ordonne, prend des valeurs
croissantes ou des valeurs dcroissantes  mesure que l'ordonne
augmente; dans le premier cas, la courbe tourne sa convexit vers l'axe
des abcisses; dans le second, sa concavit. Cela pos, s'il y a
_inflexion_ en quelque point, c'est--dire si la courbure change de
sens, il est clair qu'en ce point l'inclinaison de la tangente sera
devenue un _maximum_ ou un _minimum_, suivant qu'il s'agira du passage
de la convexit  la concavit, ou du passage inverse. On trouvera donc
en quels points ce phnomne peut avoir lieu,  l'aide de la thorie
ordinaire des _maxima_ et _minima_, dont l'application  cette recherche
apprendra videmment que, pour l'abcisse du point d'inflexion, la
seconde fonction drive de l'ordonne propose doit tre nulle, ce qui
suffira pour dterminer l'existence et la position de ce point. Cette
recherche peut ainsi tre rattache  la thorie des tangentes,
quoiqu'elle soit ordinairement prsente d'aprs la thorie du cercle
osculateur. Il en serait de mme, avec plus ou moins de difficult,
relativement  tous les autres points _singuliers_.

Un second problme fondamental que prsente l'tude gnrale des
courbes, et dont la solution complte exige un emploi plus tendu de
l'analyse transcendante, est l'importante question de la mesure de la
_courbure_ des courbes au moyen du cercle _osculateur_ en chaque point,
dont la dcouverte suffirait seule pour immortaliser le nom du grand
Huyghens.

Le cercle tant la seule courbe qui prsente en tous ses points une
courbure uniforme, d'autant plus grande d'ailleurs que le rayon est plus
petit, quand les gomtres se sont propos de soumettre  une
estimation prcise la courbure de toute autre courbe quelconque, ils ont
d naturellement la comparer en chaque point au cercle qui pouvait avoir
avec elle le plus intime contact possible, et qu'ils ont nomm, pour
cette raison, cercle _osculateur_, afin de le distinguer des cercles
simplement _tangens_, qui sont en nombre infini au mme point de courbe,
tandis que le cercle osculateur est videmment unique. En considrant
cette question sous un autre aspect, on conoit que la courbure d'une
courbe en chaque point pourrait aussi tre estime par l'angle plus ou
moins grand de deux lmens conscutifs, qu'on appelle angle de
_contingence_. Mais, il est ais de reconnatre que ces deux mesures
sont ncessairement quivalentes, puisque le centre du cercle osculateur
sera d'autant plus loign que cet angle de contingence sera plus obtus:
on voit mme, sous le point de vue analytique, que l'expression du rayon
de ce cercle fournit immdiatement la valeur de cet angle. D'aprs cette
conformit vidente des deux points de vue, les gomtres ont d
prfrer habituellement la considration du cercle osculateur, comme
plus tendue et se prtant mieux  la dduction des autres thories
gomtriques qui se rattachent  cette conception fondamentale.

Cela pos, la manire la plus simple et la plus directe de dterminer
le cercle osculateur consiste  l'envisager, d'aprs la mthode
infinitsimale proprement dite, comme passant par trois points
infiniment voisins de la courbe propose, ou, en d'autres termes, comme
ayant avec elle deux lmens conscutifs communs, ce qui le distingue
nettement de tous les cercles simplement tangens, avec lesquels la
courbe n'a qu'un seul lment commun. Il rsulte de cette notion, en
ayant gard  la construction ncessaire pour dcrire un cercle passant
par trois points donns, que le centre du cercle osculateur, ou ce qu'on
appelle le _centre de courbure_ de la courbe en chaque point, peut tre
regard comme le point d'intersection de deux normales infiniment
voisines, en sorte que la question se rduit  trouver ce dernier point.
Or, cette recherche est facile, en formant, d'aprs l'quation gnrale
de la tangente  une courbe quelconque, celle de la normale qui lui est
perpendiculaire, et faisant ensuite varier d'une quantit infiniment
petite, dans cette dernire quation, les coordonnes du point de
contact, afin de passer  la normale infiniment voisine: la
dtermination de la solution commune  ces deux quations, qui sont du
premier degr par rapport aux deux coordonnes du point d'intersection,
suffit pour faire trouver les deux formules gnrales qui expriment les
coordonnes du centre de courbure d'une courbe en un point quelconque.
Ces formules une fois obtenues, la recherche du rayon de courbure
n'offre plus aucune difficult, puisqu'elle se rduit  calculer la
distance de ce centre de courbure au point correspondant de la courbe.
En appelant /alpha, /beta, les coordonnes rectilignes du centre de
courbure d'une courbe quelconque en un point dont les coordonnes sont
x, y, et nommant r le rayon de courbe, on trouve par cette mthode les
formules connues. /[/alpha =
x-/frac{/frac{dy}{dx}/left(1+/frac{dy^2}{dx^2}/right)}{/frac{d^2y}{dx^2}},
;/beta
= y+/frac{/left(1+/frac{dy^2}{dx^2}/right)}{/frac{d^2y}{dx^2}},/]
/[r=/frac{/left(1+/frac{dy^2}{dx^2}/right)^{/frac{3}{2}}}{/frac{d^2y}
{dx^2}}/]

On conoit de quelle importance est la dtermination du rayon de
courbure, et combien la discussion de la manire gnrale dont il varie
aux diffrens points d'une courbe, doit contribuer  la connaissance
approfondie de cette courbe. Cet lment a surtout ceci de
trs-remarquable, entre tous les autres sujets ordinaires de recherches
dans la gomtrie analytique, qu'il se rapporte directement, par sa
nature,  la forme mme de la courbe, sans dpendre aucunement de sa
position. On voit que, sous le rapport analytique, il exige la
considration simultane des deux premires fonctions drives de
l'ordonne.

La thorie des centres de courbure conduit naturellement  l'importante
notion des _dveloppes_, qui sont maintenant dfinies comme tant les
lieux gomtriques de tous les centres de courbure de chaque courbe en
ses diffrens points, quoique, au contraire, dans la conception
primitive de cette branche de la gomtrie, Huyghens et dduit l'ide
du cercle osculateur de celle de la dveloppe, directement envisage
comme engendrant par son dveloppement la courbe primitive, ou la
_dveloppante_. Il est ais de reconnatre que ces deux manires de voir
rentrent l'une dans l'autre. Cette dveloppe prsente videmment, par
quelque mode qu'on l'obtienne, deux proprits gnrales et ncessaires
relativement  la courbe quelconque, dont elle drive: la premire,
d'avoir pour tangentes les normales  celle-ci; et la seconde, que la
longueur de ses arcs soit gale  celle des rayons de courbure
correspondans de la dveloppante. Quant au moyen d'obtenir l'quation de
la dveloppe d'une courbe donne, il est clair qu'entre les deux
formules cites ci-dessus pour exprimer les coordonnes du centre de
courbure, il suffit d'liminer, dans chaque cas, les coordonnes x, y,
du point correspondant de la courbe propose,  l'aide de l'quation de
cette courbe: l'quation en /alpha, /beta qui rsultera de
l'limination, sera celle de la dveloppe demande. On pourrait
galement entreprendre de rsoudre la question inverse, c'est--dire de
trouver la dveloppante d'aprs la dveloppe. Mais il faut remarquer
qu'une limination analogue  la prcdente ne fournirait alors, pour la
courbe cherche, qu'une quation contenant, outre x et y, les deux
fonctions drives dy/dx, d^2y/dx^2; en sorte qu'aprs cette analyse
prparatoire, la solution complte du problme exigerait encore
l'intgration de cette quation diffrentielle du second ordre ce qui,
vu l'extrme imperfection du calcul intgral, serait le plus souvent
impossible, si, par la nature propre d'une telle recherche, la courbe
demande ne devait point, comme j'ai eu occasion de l'indiquer dans la
septime leon, tre reprsente par la solution _singulire_, que la
simple diffrentiation peut toujours faire obtenir, l'intgrale gnrale
ne dsignant ici que le systme des cercles osculateurs, dont la
connaissance n'est point l'objet de la question propose. Il en serait
de mme toutes les fois qu'on aurait  dterminer une courbe d'aprs une
proprit quelconque de son rayon de courbure. Cet ordre de questions
est exactement analogue aux problmes plus simples qui constituent ce
que, dans l'origine de l'analyse transcendante, on appelait la _Mthode
inverse des tangentes_, o l'on se proposait de dterminer une courbe
par une proprit donne de sa tangente en un point quelconque.

Par des considrations gomtriques plus ou moins compliques, analogues
 celle qui fournit les dveloppes, les gomtres ont dduit d'une mme
courbe primitive quelconque diverses autres courbes secondaires, dont
les quations peuvent tre obtenues d'aprs des procds semblables. Les
plus remarquables d'entre elles sont les _caustiques_ par rflexion ou
par rfraction, dont la premire ide est due  Tschirnas, quoique
Jacques Bernouilli en ait seul tabli la vritable thorie gnrale. Ce
sont, comme on sait, des courbes formes par l'intersection continuelle
des rayons de lumire infiniment voisins qu'on supposerait rflchis ou
rfracts par la courbe primitive. En partant de la loi gomtrique de
la rflexion ou de la rfraction de la lumire, consistant en ce que
l'angle de rflexion est gal  l'angle d'incidence, ou en ce que le
sinus de l'angle de rfraction est un multiple constant et connu du
sinus de l'angle d'incidence, il est vident que la recherche de ces
_caustiques_ se rduit  une pure question de gomtrie, parfaitement
semblable  celle des dveloppes, conues comme formes par
l'intersection continuelle des normales infiniment voisines. Le problme
se rsoudra donc analytiquement en suivant une marche analogue, au sujet
de laquelle toute autre indication serait ici superflue. Le calcul sera
seulement plus laborieux, surtout si les rayons incidens ne sont pas
supposs parallles entre eux ou mans d'un mme point.

Les dveloppes, les caustiques, et toutes les autres lignes dduites
d'une mme courbe principale  l'aide de constructions analogues, sont
formes par les intersections continuelles de droites infiniment
voisines soumises  une certaine loi. Mais on peut aussi, en
gnralisant le plus possible cette considration gomtrique, concevoir
des courbes produites par l'intersection continuelle de certaines
courbes infiniment voisines, assujties  une mme loi quelconque. Cette
loi consiste ordinairement en ce que toutes ces courbes sont
reprsentes par une quation commune, d'ailleurs quelconque, d'o elles
drivent successivement en donnant diverses valeurs  une certaine
constante arbitraire. On peut alors se proposer de trouver le lieu
gomtrique des points d'intersection de ces courbes conscutives, qui
correspondent  des valeurs infiniment rapproches de cette constante
arbitraire conue comme variant d'une manire continue. Lebnitz a
imagin le premier les recherches de cette nature, qui ont ensuite t
fort tendues par Clairaut et surtout par Lagrange. Pour traiter le cas
le plus simple, celui que je viens de caractriser exactement, il suffit
videmment de diffrentier l'quation gnrale propose par rapport  la
constante arbitraire que l'on considre, et d'liminer ensuite cette
constante entre cette quation diffrentielle et l'quation primitive;
on obtiendra ainsi, entre les deux coordonnes variables, une quation
indpendante de cette constante, qui sera celle de la courbe cherche,
dont la forme diffrera souvent beaucoup de celle des courbes
gnratrices. Lagrange a tabli, au sujet de cette relation gomtrique,
un important thorme gnral, en montrant que, sous le point de vue
analytique, la courbe ainsi obtenue et les courbes gnratrices ont
ncessairement une mme quation diffrentielle, dont l'intgrale
complte reprsente le systme des courbes gnratrices, tandis que sa
solution _singulire_ correspond  la courbe des intersections.

J'ai considr jusqu'ici la thorie de la courbure des courbes suivant
l'esprit de la mthode infinitsimale proprement dite, qui s'adapte en
effet bien plus simplement qu'aucune autre  toute recherche de ce
genre. La conception de Lagrange, relativement  l'analyse
transcendante, prsentait surtout, par sa nature, de grandes
difficults spciales pour la solution directe d'une telle question,
comme je l'ai dj remarqu dans la sixime leon. Mais ces difficults
ont si heureusement excit le gnie de Lagrange, qu'elles l'ont conduit
 la formation de la thorie gnrale des contacts, dont l'ancienne
thorie du cercle osculateur se trouve n'tre plus qu'un cas particulier
fort simple. Il importe au but de cet ouvrage de considrer maintenant
cette belle conception, qui est peut-tre, sous le rapport
philosophique, l'objet le plus profondment intressant que puisse
offrir jusqu'ici la gomtrie analytique.

Comparons une courbe quelconque donne y=f(x)  une autre courbe
variable z=/varphi(x), et cherchons  nous former une ide prcise des
divers degrs d'intimit qui pourront exister entre ces deux courbes, en
un point commun, suivant les relations qu'on supposera entre la fonction
/varphi et la fonction f. Il suffira pour cela de considrer la distance
verticale des deux courbes en un autre point de plus en plus rapproch
du premier, afin de la rendre successivement la moindre possible, eu
gard  la corrlation des deux fonctions. Si h dsigne l'accroissement
qu'prouve l'abcisse en passant  ce nouveau point, cette distance, qui
est gale  la diffrence des deux ordonnes correspondantes, pourra
tre dveloppe, d'aprs la formule de Taylor, suivant les puissances
ascendantes de h, et aura pour expression la srie,
/[D=/left(f'(x)-/varphi(x)/right)h +
/left(f''(x)-/varphi''(x)/right)/frac{h^2}{1.2}/] /[+
/left(f'''(x)-/varphi'''(x)/right)/frac{h^3}{1.2.3} + /mbox{/rm etc}./]
En concevant, ce qui est videmment toujours possible, h tellement
petit, que le premier terme de cette srie soit suprieur  la somme de
tous les autres, il est clair que la courbe z aura avec la courbe y un
rapprochement d'autant plus intime, que la nature de la fonction
variable /varphi permettra de supprimer un plus grand nombre de termes
dans ce dveloppement,  partir du premier. Le degr d'intimit des deux
courbes sera donc exactement apprci, sous le point de vue analytique,
par le nombre plus ou moins grand de fonctions drives successives de
leurs ordonnes qui auront la mme valeur au point que l'on considre.
De l, l'importante conception gnrale des divers ordres de _contacts_
plus ou moins parfaits, dont la notion du cercle osculateur compar aux
cercles simplement tangens n'avait prsent jusqu'alors qu'un seul
exemple particulier. Ainsi, aprs la simple intersection, le premier
degr de rapprochement entre deux courbes a lieu quand les premires
drives de leurs ordonnes sont gales; c'est le _contact du premier
ordre_, ou ce qu'on appelle ordinairement le simple contact, parce qu'il
a t long-temps le seul connu. Le _contact du second ordre_ exige de
plus que les secondes drives des fonctions f et /varphi soient gales:
en y joignant encore l'galit de leurs troisimes drives, on
constitue un _contact du troisime ordre_, et ainsi de suite  l'infini.
Au del du premier ordre, les contacts portent souvent le nom
d'_osculations_ du premier ordre, du second ordre, etc.

Les contacts du premier et du second ordre peuvent tre caractriss
gomtriquement par une observation fort simple, en ce qu'il en rsulte
videmment que les deux courbes compares ont au point commun, dans un
cas, la mme tangente, et, dans l'autre, le mme cercle de courbure,
puisque la tangente  chaque courbe dpend de la premire drive de son
ordonne, et le cercle de courbure, des deux premires drives
successives. Mais cette considration ne conviendrait plus au-del du
second ordre pour dterminer l'ide gomtrique du contact. Lagrange
s'est born, sous ce rapport,  assigner le caractre gnral qui
rsulte immdiatement de l'analyse ci-dessus indique, et qui consiste
en ce que lorsque la courbe z est dtermine de manire  avoir avec la
courbe y un contact de l'ordre n, produit analytiquement par l'galit
de toutes les fonctions drives jusqu' celle de l'ordre n, aucune
autre courbe z, de mme nature que la prcdente, mais qui ne
satisferait qu' un moindre nombre de conditions analytiques, et qui,
par consquent, n'aurait avec la courbe y qu'un contact moins intime, ne
pourrait passer entre les deux courbes, puisque l'intervalle de
celles-ci a reu la plus petite valeur dont il tait susceptible d'aprs
une telle relation des deux quations.

Lorsqu'on a particularis la nature de la courbe z ainsi compare  une
courbe quelconque donne y, l'ordre du contact le plus intime qu'elle
peut avoir avec celle-ci dpend videmment du nombre plus ou moins grand
de constantes arbitraires que renferme son quation la plus gnrale, un
contact de l'ordre n exigeant n+1 conditions analytiques, qui ne
sauraient tre remplies qu'avec un pareil nombre de constantes
disponibles. Par consquent, une ligne droite, dont l'quation la plus
gnrale contient seulement deux constantes arbitraires, ne peut avoir
avec une courbe quelconque qu'un contact du premier ordre: d'o dcoule
la thorie ordinaire des tangentes. L'quation du cercle renfermant, en
gnral, trois constantes arbitraires, le cercle peut avoir avec une
courbe quelconque un contact du second ordre, et de l rsulte, comme
cas particulier, l'ancienne thorie du cercle osculateur. En
considrant une parabole, comme il y a quatre constantes arbitraires
dans son quation la plus complte et la plus simple, elle est
susceptible, compare  toute autre courbe, d'une intimit plus
profonde, qui peut aller jusqu'au contact du troisime ordre: de mme,
une ellipse comporterait un contact du quatrime ordre, etc.

La considration prcdente est propre  suggrer une interprtation
gomtrique de cette thorie gnrale des contacts, qui me semble
destine  complter le travail de Lagrange, en assignant, pour dfinir
directement les divers ordres de contacts, un caractre concret plus
simple et plus clair que celui indiqu par Lagrange. En effet, ce nombre
plus ou moins grand de constantes arbitraires contenues dans une
quation a pour signification gomtrique, comme nous l'avons tabli en
commenant cette leon, le nombre des points ncessaires  l'entire
dtermination de la courbe correspondante, lequel se trouve ainsi
marquer le degr d'intimit dont cette courbe est susceptible
relativement  toute autre. Or, d'un autre ct, la loi analytique qui
exprime ce contact par l'galit d'un pareil nombre de drives
successives des deux ordonnes, indique videmment que les deux courbes
ont alors autant de points infiniment voisins communs; puisque, d'aprs
la nature des diffrentielles, il est clair que la diffrentielle de
l'ordre n dpend de la comparaison de n+1 ordonnes conscutives. On
peut donc se faire directement une ide nette des divers ordres de
contacts, en disant qu'ils consistent dans la communaut d'un nombre
plus ou moins grand de points infiniment voisins entre les deux courbes.
En termes plus rigoureux, on dfinirait, par exemple, l'ellipse
osculatrice au troisime ordre, en la regardant comme la limite vers
laquelle tendraient les ellipses passant par cinq points de la courbe
propose,  mesure que quatre de ces points supposs mobiles se
rapprocheraient indfiniment du cinquime suppos fixe.

Cette thorie gnrale des contacts est videmment propre, par sa
nature,  fournir une connaissance de plus en plus profonde de la
courbure d'une courbe quelconque, en lui comparant successivement
diverses courbes connues, susceptibles d'un contact de plus en plus
intime; ce qui permettrait de rendre aussi exacte qu'on voudrait la
mesure de la courbure, en changeant convenablement le terme de
comparaison. Ainsi, il est clair, d'aprs les considrations
prcdentes, que l'assimilation de tout arc de courbe infiniment petit 
un arc de parabole, en ferait connatre la courbure avec plus de
prcision que par l'emploi du cercle osculateur; et la comparaison avec
l'ellipse procurerait encore plus d'exactitude, etc.; en sorte qu'en
destinant chaque type primitif  approfondir l'tude du type suivant, on
pourrait perfectionner  l'infini la thorie des courbes. Mais la
ncessit d'avoir une connaissance nette et familire de la courbe ainsi
adopte comme unit de courbure, dtermine les gomtres  renoncer 
cette haute perfection spculative, pour se contenter, en ralit, de
comparer toutes les courbes au cercle seulement, en vertu de
l'uniformit de courbure, proprit caractristique du cercle. Aucune
autre courbe, en effet, ne peut tre regarde, sous ce rapport, comme
assez simple et assez connue pour pouvoir tre utilement employe,
quoique l'on n'ignore plus que le cercle n'est pas l'unit de courbure
la plus convenable abstraitement. Lagrange s'est donc born
dfinitivement  dduire de sa conception gnrale la thorie du cercle
osculateur, ainsi prsente sous un point de vue purement analytique. Il
est mme remarquable que de cette seule considration il ait pu conclure
avec facilit les deux proprits fondamentales ci-dessus indiques pour
les dveloppes, que la simple analyse paraissait d'abord si peu propre
 tablir.

J'ai cru devoir considrer la thorie des contacts des courbes dans sa
plus grande extension spculative, afin d'en faire saisir convenablement
le vritable caractre. Quoiqu'on doive la rduire finalement  la
seule dtermination effective du cercle osculateur, il y a sans doute,
sous le rapport philosophique, une profonde diffrence entre concevoir
cette dernire considration, pour ainsi dire, comme le dernier terme
des efforts de l'esprit humain dans l'tude des courbes, ainsi qu'on le
faisait avant Lagrange, et n'y voir, au contraire, qu'un simple cas
particulier d'une thorie gnrale trs-tendue,  l'examen duquel on
doit habituellement se borner, en sachant nanmoins que d'autres
comparaisons pourraient perfectionner davantage la doctrine gomtrique.

Aprs avoir envisag les principales questions de gomtrie gnrale
relatives aux proprits des courbes, il me reste  signaler celles qui
se rapportent aux rectifications et aux quadratures, dans lesquelles
consiste proprement, suivant l'explication donne dans la dixime leon,
le but dfinitif de la science gomtrique. Mais ayant eu occasion
prcdemment (_voyez_ la 6me leon) d'tablir les formules gnrales
qui expriment,  l'aide de certaines intgrales, la longueur et l'aire
d'une courbe plane quelconque dont l'quation rectiligne est donne, et
devant d'ailleurs m'interdire ici toute application  aucune courbe
particulire, cette partie importante du sujet se trouve suffisamment
traite. Je me bornerai seulement  indiquer les formules propres 
dterminer l'aire et le volume des corps produits par la rvolution des
courbes planes autour de leurs axes.

Supposons, comme on peut videmment toujours le faire, que l'axe de
rotation soit pris pour axe des abcisses; et, suivant l'esprit de la
mthode infinitsimale proprement dite, la seule bien convenable
jusqu'ici aux recherches de cette nature, concevons que l'abcisse
augmente d'une quantit infiniment petite: cet accroissement dterminera
dans l'arc et dans l'aire de la courbe des augmentations diffrentielles
analogues qui, par la rvolution autour de l'axe, engendreront les
_lmens_ de la surface et du volume cherchs. Il est ais de voir que,
en ngligeant seulement un infiniment petit du second ordre tout au
plus, on pourra regarder ces lmens comme gaux  la surface et au
volume du tronc de cne ou du cylindre correspondant, ayant pour hauteur
la diffrentielle de l'abcisse, et pour rayon de sa base l'ordonne du
point considr. D'aprs cela, en appelant S et V la surface et le
volume demands, les plus simples propositions de la gomtrie
lmentaire fourniront immdiatement les quations diffrentielles
gnrales /[dS=2/pi ydx,/;dV=/pi y^2dx./] Ainsi, lorsque la relation
entre y et x sera donne dans chaque cas particulier, les valeurs de S
et de V seront exprimes par les deux intgrales /[S=2/pi /int
yds,/;V=/pi/int y^2dx;/] prises entre les limites convenables. Telles
sont les formules invariables d'aprs lesquelles, depuis Lebnitz, les
gomtres ont rsolu un grand nombre de questions de ce genre, quand les
progrs du calcul intgral l'ont permis.

On pourrait aussi comprendre au nombre des recherches de gomtrie
gnrale  deux dimensions, l'importante dtermination des centres de
gravit des arcs ou des aires appartenant  des courbes quelconques,
quoique cette considration ait son origine dans la mcanique
rationnelle. Car, en dfinissant le centre de gravit comme tant le
_centre des moyennes distances_, c'est--dire un point dont la distance
 un plan ou  un axe quelconque est la moyenne arithmtique entre les
distances de tous les points du corps  ce plan ou  cet axe, il est
clair que cette question devient purement gomtrique, et peut tre
traite sans aucun recours  la mcanique. Mais, malgr une telle
considration, dont nous reconnatrons plus tard l'importance pour
gnraliser suffisamment et avec facilit la notion du centre de
gravit, il est certain, d'un autre ct, que la destination
essentielle de cette recherche doit continuer  la faire classer plus
convenablement parmi les questions de mcanique; quoique, par sa nature
propre, et aussi par le caractre analytique de la mthode
correspondante, elle appartienne rellement  la gomtrie, ce qui m'a
engag  l'indiquer ici par anticipation.

Telles sont les principales questions fondamentales dont se compose le
systme actuel de notre gomtrie gnrale  deux dimensions. On voit
que, sous le rapport analytique, elles peuvent tre nettement
distingues en trois classes: la premire, comprenant les recherches
gomtriques qui dpendent seulement de l'analyse ordinaire; la seconde,
celles dont la solution exige l'emploi du calcul diffrentiel; la
troisime, enfin, celles qui ne peuvent tre rsolues qu' l'aide du
calcul intgral.

Il nous reste maintenant  considrer sous le mme aspect, dans la leon
suivante, l'ensemble de la gomtrie gnrale  trois dimensions.




QUATORZIME LEON.

SOMMAIRE. De la gomtrie _gnrale_  trois dimensions.


L'tude des surfaces se compose d'une suite de questions gnrales
exactement analogues  celles indiques dans la leon prcdente par
rapport aux lignes. Il est inutile de considrer ici distinctement
celles qui ne dpendent que de l'analyse ordinaire, car elles se
rsolvent par des mthodes essentiellement semblables; soit qu'il
s'agisse de connatre le nombre des points ncessaires  l'entire
dtermination d'une surface, soit qu'on s'occupe de la recherche des
centres, soit qu'on demande les conditions prcises de la similitude
entre deux surfaces du mme genre, etc. Il n'y a d'autre diffrence
analytique que d'envisager des quations  trois variables au lieu
d'quations  deux variables. Je passe donc immdiatement aux questions
qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante, en insistant seulement
sur les considrations nouvelles qu'elles prsentent relativement aux
surfaces.

La premire thorie gnrale est celle des plans tangens. En se servant
de la mthode infinitsimale proprement dite, on peut aisment trouver
l'quation du plan qui touche une surface quelconque en un point donn,
et qui est alors dfini comme concidant avec la surface dans une
tendue infiniment petite tout autour du point de contact. Il suffit, en
effet, de considrer que, afin de remplir une telle condition,
l'accroissement infiniment petit reu par l'ordonne verticale en
rsultat des accroissemens infiniment petits des deux coordonnes
horizontales, doit tre le mme pour le plan que pour la surface, et
cela indpendamment d'aucune relation dtermine entre ces deux derniers
accroissemens, sans quoi la concidence n'aurait pas lieu en tout sens.
D'aprs cette ide, l'analyse donne immdiatement l'quation gnrale:
/[z-z' = /frac{dz'}{dx'}(x-x') + /frac{dz'}{dy'}(y-y')/] pour celle du
plan tangent, x', y', z', dsignant les coordonnes du point de contact.
La dtermination de ce plan, dans chaque cas particulier, se trouve
ainsi rduite  une simple diffrentiation de l'quation de la surface
propose.

On peut aussi obtenir cette quation gnrale du plan tangent, en
faisant dpendre sa recherche de la seule thorie des tangentes aux
courbes planes. Il faut, pour cela, considrer ce plan, ainsi qu'on le
fait habituellement en gomtrie descriptive, comme dtermin par les
tangentes  deux sections planes quelconques de la surface passant au
point donn. En choisissant les plans de ces sections parallles  deux
des plans coordonns, on parvient sur-le-champ  l'quation prcdente.
Cette manire de concevoir le plan tangent donne lieu d'tablir
facilement un important thorme de gomtrie gnrale, que Monge a
dmontr le premier, et qui consiste en ce que les tangentes  toutes
les courbes qu'on peut tracer en un mme point sur une surface
quelconque sont toujours comprises dans un mme plan.

Enfin, il est encore possible de parvenir  l'quation gnrale du plan
tangent en le considrant comme perpendiculaire  la normale
correspondante, et dfinissant celle-ci par sa proprit gomtrique
directe d'tre le chemin _maximum_ ou _minimum_ pour aller d'un point
extrieur  la surface. La mthode ordinaire des _maxima_ et _minima_
suffit pour former, d'aprs cette notion, les deux quations de la
normale, en appliquant cette mthode  l'expression de la distance
entre deux points, l'un situ sur la surface, l'autre extrieur, dont
le premier conu comme variable, est ensuite suppos fixe quand les
conditions analytiques ont t exprimes, tandis que le second,
primitivement constant, est alors envisag comme mobile, et dcrit la
droite cherche. Les quations de la normale une fois obtenues, on en
dduit aisment celle du plan tangent. Cette ingnieuse manire de
l'tablir est galement due  Monge.

La question fondamentale que nous venons d'examiner devient, comme dans
le cas des courbes, la base d'un grand nombre de recherches relatives 
la dtermination du plan tangent, lorsqu'on remplace le point de contact
donn par d'autres conditions quivalentes. Le plan tangent ne peut
point videmment tre dtermin par un seul point donn extrieur, comme
l'est la tangente: il faut l'assujtir  contenir une droite donne; 
cela prs, l'analogie est parfaite, et les deux questions se rsolvent
de la mme manire. Il en est de mme si le plan tangent doit tre
parallle  un plan donn, ce qui fixe la valeur des deux constantes qui
assignent sa direction, et par suite dtermine les coordonnes du point
de contact, dont ces constantes sont, pour chaque surface dsigne, des
fonctions connues. Enfin on peut aussi trouver comme dans les courbes,
la relation analytique qui exprime gnralement le simple phnomne du
contact entre un plan et une surface, sans spcifier le lieu de ce
contact; d'o rsulte pareillement la solution de plusieurs questions
relatives aux plans tangens, entr'autres celle qui consiste  dterminer
un plan qui touche  la fois trois surfaces quelconques donnes,
recherche analogue  celle de la tangente commune  deux courbes.

La thorie gnrale des contacts plus ou moins intimes qui peuvent
exister entre deux surfaces quelconques par suite des relations plus ou
moins nombreuses de leurs quations, se forme d'aprs une mthode
exactement semblable  celle indique dans la leon prcdente
relativement aux courbes, en exprimant,  l'aide de la srie de Taylor
pour les fonctions de deux variables, la distance verticale des deux
surfaces en un second point voisin de leur point d'intersection, et dont
les coordonnes horizontales auraient reu deux accroissemens h et k
entirement indpendans l'un de l'autre. La considration de cette
distance, dveloppe selon les puissances croissantes de h et k, et dans
l'expression de laquelle on suprimera successivement les termes du
premier degr en h et k, ensuite ceux du second, etc., dterminera les
conditions analytiques des contacts de diffrens ordres que peuvent
avoir les deux surfaces suivant le plus ou moins grand nombre de
constantes arbitraires contenues dans l'quation gnrale de celle qu'on
regarde comme variable. Mais, malgr la conformit de mthode, cette
thorie prsentera avec celle des courbes une diffrence fondamentale
relativement au nombre de ces conditions, par suite de la ncessit o
l'on se trouve dans ce cas de considrer deux accroissemens indpendant
au lieu d'un seul. Il en rsulte, en effet, que, afin que chaque contact
ait lieu dans tous les sens possibles autour du point commun, on doit
annuler sparment tous les diffrens termes du mme degr
correspondant, et, dont le nombre augmentera d'autant plus que ce degr
ou l'ordre du contact sera plus lev. Ainsi, aprs la condition de
l'galit des deux ordonnes verticales z ncessaire pour la simple
intersection, on trouvera que le contact du premier ordre exige, en
outre, deux relations distinctes, consistant dans l'galit respective
des deux fonctions drives partielles du premier ordre propres  chaque
ordonne verticale. En passant au contact du second ordre, il faudra
ajouter encore trois nouvelles conditions,  cause des trois termes
distincts du second degr en h et k dans l'expression de la distance, et
dont la suppression complte exigera l'galit respective des trois
fonctions drives partielles du second ordre relatives au z de chaque
surface. On trouvera de la mme manire que le contact du troisime
ordre donne lieu en outre  quatre autres relations, et ainsi de suite,
le nombre des drives partielles de chaque ordre restant constamment
gal au nombre de termes en h et k du degr correspondant. Il est ais
d'en conclure, en gnral, que le nombre total des conditions distinctes
ncessaires au contact de l'ordre n, a pour valeur (n+1)(n+2)/2, tandis
que dans les courbes, il tait simplement gal  n+1.

Par suite de cette seule diffrence essentielle, la thorie des surfaces
est loin d'offrir  cet gard la mme facilit et de comporter la mme
perfection que celle des courbes. Quand on se borne au contact du
premier ordre, il y a parit complte, puisque ce contact n'exige que
trois conditions, auxquelles on peut toujours satisfaire  l'aide des
trois constantes arbitraires que renferme l'quation gnrale d'un plan;
de l rsulte, comme cas particulier, la thorie des plans tangens,
exactement analogue  celle des tangentes aux courbes, et prsentant la
mme utilit pour tudier la forme d'une surface quelconque. Mais il
n'en est plus ainsi lorsqu'on considre le contact du second ordre, afin
de mesurer la courbure des surfaces. Il serait naturel alors de comparer
toutes les surfaces  la sphre, la seule qui prsente une courbure
uniforme, comme on compare toutes les courbes au cercle. Or, le contact
du second ordre entre deux surfaces exigeant six conditions, tandis que
l'quation la plus gnrale d'une sphre contient seulement quatre
constantes arbitraires, il n'est pas possible de trouver, en chaque
point d'une surface quelconque, une sphre qui soit compltement
osculatrice en tous sens, au lieu que nous avons vu un arc de courbe
infiniment petit pouvoir toujours tre assimil  un certain arc de
cercle. D'aprs cette impossibilit de mesurer la courbure d'une surface
en chaque point  l'aide d'une seule sphre, les gomtres ont dtermin
les coordonnes du centre et le rayon d'une sphre qui, au lieu d'tre
osculatrice en tout sens indistinctement, le serait seulement dans une
certaine direction particulire, correspondante  un rapport donn entre
les deux accroissemens h et k. Il suffit alors, en effet, pour tablir
ce contact du second ordre _relatif_, d'ajouter, aux trois conditions
ordinaires du contact du premier ordre, la condition unique qui rsulte
de la suppression totale des termes du second degr en h et k envisags
collectivement, sans qu'il soit ncessaire de les annuler chacun
sparment; le nombre des relations se trouve par l seulement gal 
celui des constantes disponibles renfermes dans l'quation gnrale de
la sphre, qui est ainsi dtermine. Ce procd se rduit proprement 
tudier la courbure d'une surface en chaque point par celle des
diffrentes courbes que tracerait sur cette surface une suite de plans
mens par la normale correspondante.

D'aprs la formule gnrale qui exprime le rayon de courbure de chacune
de ces sections normales en fonction de sa direction, Euler, auquel est
essentiellement due toute cette thorie, a dcouvert plusieurs thormes
importans relatifs  une surface quelconque. Il a d'abord aisment
tabli que, parmi toutes les sections normales d'une surface en un mme
point, on en pouvait distinguer deux principales, dont la courbure,
compare  celle de toutes les autres, tait un _minimum_ pour la
premire, et un _maximum_ pour la seconde, et dont les plans prsentent
cette circonstance remarquable d'tre constamment perpendiculaires entre
eux. Il a fait voir ensuite que, quelle que pt tre la surface
propose, et sans qu'il ft mme ncessaire de la dfinir, la courbure
de ces deux sections principales suffisait seule pour dterminer
compltement celle d'une autre section normale quelconque,  l'aide
d'une formule invariable et trs-simple, d'aprs l'inclinaison du plan
de cette section sur celui de la section de plus grande ou de plus
petite courbure. En considrant cette formule comme l'quation polaire
d'une certaine courbe plane, il en a dduit une ingnieuse construction,
minemment remarquable par sa gnralit et par sa simplicit. Elle
consiste en ce que, si l'on construit une ellipse telle que les
distances d'un de ses foyers aux deux extrmits du grand axe soient
gales aux deux rayons de courbure _maximum_ et _minimum_, le rayon de
courbure de toute autre section normale sera gal  celui des rayons
vecteurs de l'ellipse qui fera avec l'axe un angle double de
l'inclinaison du plan de cette section sur celui d'une des sections
principales. Cette ellipse se change en une hyperbole construite de la
mme manire, quand les deux sections principales ne tournent pas leur
concavit dans le mme sens: enfin elle devient une parabole, lorsque la
surface est du genre de celles qui peuvent tre engendres par une ligne
droite, ou qu'elle prsente une _inflexion_ au point que l'on considre.
De cette belle proprit fondamentale, on a conclu plus tard un grand
nombre de thormes secondaires plus ou moins intressans, que ce n'est
pas ici le lieu d'indiquer. Je dois seulement signaler le thorme
essentiel par lequel Meunier a complt le travail d'Euler, en
rattachant la courbure de toutes les courbes quelconques qui peuvent
tre traces sur une surface en un mme point,  celle des sections
normales, les seules qu'Euler et considres. Ce thorme consiste en
ce que le centre de courbure de toute section oblique peut tre envisag
comme la projection sur le plan de cette section, du centre de courbure
correspondant  la section normale qui passerait par la mme tangente:
d'o Meunier a dduit une construction fort simple, d'aprs laquelle,
par l'emploi d'un cercle analogue  l'ellipse d'Euler, on dtermine la
courbure des sections obliques, connaissant celle des sections normales;
en sorte que, par la combinaison des deux thormes, la seule courbure
des deux sections normales _principales_ suffit pour obtenir celle de
toutes les autres courbes qu'on peut tracer sur une surface d'une
manire quelconque en chaque point considr.

La thorie prcdente permet d'tudier compltement, point par point, la
courbure d'une surface quelconque. Afin de lier plus aisment entre
elles les considrations relatives aux divers points d'une mme surface,
les gomtres ont cherch  dterminer ce qu'ils appellent les _lignes
de courbure_ d'une surface, c'est--dire, celles qui jouissent de la
proprit que les normales conscutives  la surface peuvent y tre
regardes comme comprises dans un mme plan. En chaque point d'une
surface quelconque, il existe deux de ces lignes, qui se trouvent tre
constamment perpendiculaires entre elles, et dont les directions
concident  leur origine avec celles des deux sections normales
_principales_ considres ci-dessus, ce qui peut dispenser d'envisager
distinctement ces dernires. La dtermination de ces lignes de courbure
s'effectue trs-simplement sur les surfaces les plus usuelles, telles
que les surfaces cylindriques, coniques, et de rvolution. Cette
nouvelle considration fondamentale est d'ailleurs devenue le point de
dpart de plusieurs autres recherches gnrales moins importantes, comme
celle des _surfaces de courbure_, qui sont les lieux gomtriques des
centres de courbure des diverses sections _principales_; celle des
surfaces dveloppables formes par les normales  la surface menes aux
diffrens points de chaque ligne de courbure, etc.

Pour terminer l'examen de la thorie de la courbure, il me reste 
indiquer sommairement ce qui se rapporte aux _courbes  double
courbure_, c'est--dire,  celles qui ne peuvent tre contenues dans un
plan.

Quant  la dtermination de leurs tangentes, elle n'offre videmment
aucune difficult. Si la courbe est donne analytiquement par les
quations de ses projections sur deux des plans coordonnes, les
quations de sa tangente seront simplement celles des tangentes  ces
deux projections, ce qui fait rentrer la question dans le cas des
courbes planes. Si, sous un point de vue plus gnral, la dfinition
analytique de la courbe consiste, ainsi que l'indique la douzime leon,
dans le systme des quations des deux surfaces quelconques dont elle
serait l'intersection, on regardera la tangente comme tant
l'intersection des plans tangens  ces deux surfaces, et le problme
sera ramen  celui du plan tangent, rsolu ci-dessus.

La courbure des courbes de cette nature donne lieu  l'tablissement
d'une notion nouvelle fort importante. En effet, dans une courbe plane,
la courbure se trouve tre suffisamment apprcie en mesurant
l'inflexion plus ou moins grande des lmens conscutifs les uns sur les
autres, qui est estime indirectement par le rayon du cercle osculateur.
Mais il n'en est nullement ainsi dans une courbe qui n'est point plane.
Les lmens conscutifs n'tant plus alors contenus dans un mme plan,
on ne peut avoir une ide exacte de la courbure qu'en considrant
distinctement les angles qu'ils forment entre eux et aussi les
inclinaisons mutuelles des plans qui les comprennent. Il faut donc,
avant tout, commencer par fixer ce qu'on doit entendre  chaque instant
par _le plan_ de la courbe, c'est--dire, celui que dterminent trois
points infiniment voisins, et qu'on appelle, pour cette raison, le plan
_osculateur_, qui change continuellement d'un point  un autre. La
position de ce plan une fois obtenue, la mesure de la courbure
ordinaire,  l'aide du cercle osculateur, ne prsente plus videmment
aucune difficult nouvelle. Quant  la seconde courbure, elle est
estime par l'angle plus ou moins grand que forment entre eux deux plans
osculateurs conscutifs, et dont il est ais de trouver gnralement
l'expression analytique. Pour tablir plus d'analogie entre la thorie
de cette courbure et celle de la premire, on pourrait galement la
regarder comme mesure indirectement d'aprs le rayon de la sphre
_osculatrice_ qui passerait par quatre points infiniment voisins de la
courbe propose, et dont l'quation se formerait de la mme manire que
celle du plan osculateur. On l'apprcie ordinairement par la courbure
maximum que prsente, au point considr, la surface dveloppable qui
est le lieu gomtrique de toutes les tangentes  la courbe propose.

Nous devons passer maintenant  l'indication des questions de gomtrie
gnrale  trois dimensions qui dpendent du calcul intgral; elles
comprennent la quadrature des surfaces courbes, et la cubature des
volumes correspondans.

Relativement  la quadrature des surfaces courbes, il faut, pour tablir
l'quation diffrentielle gnrale, concevoir la surface partage en
lmens plans infinimens petits dans tous les sens, par quatre plans
perpendiculaires deux  deux aux axes des coordonnes x et y. Chacun de
ces lmens, situ dans le plan tangent correspondant, aurait videmment
pour projection horizontale, le rectangle form par les diffrentielles
des deux coordonnes horizontales, et dont l'aire serait dxdy. Cette
aire donnera celle de l'lment lui-mme, d'aprs un thorme
lmentaire fort simple, en la divisant par le cosinus de l'angle que
fait le plan tangent avec le plan des x, y. On trouvera ainsi que
l'expression de cet lment est gnralement: /[d^2S =
dxdy/sqrt{/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}+1}/] C'est donc par la
double intgration de cette formule diffrentielle  deux variables
qu'on connatra, dans chaque cas particulier, l'aire de la surface
propose, autant que pourra le permettre l'imperfection actuelle du
calcul intgral. Les limites de chaque intgrale successive seront
dtermines par la nature des surfaces dont l'intersection avec celle
que l'on considre devra circonscrire l'tendue  mesurer, en sorte que,
dans l'application de cette mthode gnrale, il faudra apporter un soin
particulier  la manire de fixer les constantes arbitraires ou les
fonctions arbitraires introduites par l'intgration.

Relativement  la cubature des volumes termins par les surfaces
courbes, le systme de plans  l'aide duquel nous venons de diffrentier
l'aire, peut aussi servir immdiatement  dcomposer le volume en
lmens polydres. Il est clair, en effet, que l'espace infiniment petit
du second ordre compris entre ces quatre plans, doit tre envisag,
suivant l'esprit de la mthode infinitsimale, comme gal au
paralllipipde rectangle ayant pour hauteur l'ordonne verticale z du
point que l'on considre et pour base le rectangle dxdy, puisque leur
diffrence est videmment un infiniment petit du troisime ordre,
moindre que dzdydz. D'aprs cela, un des plus simples thormes de la
gomtrie lmentaire fournira directement, pour l'expression
diffrentielle du volume cherch, l'quation gnrale /[d^2V = zdxdy;/]
d'o l'on dduira, par une double intgration, dans chaque cas
particulier, la valeur effective de ce volume, en ayant le mme gard
que prcdemment  la dtermination des limites de chaque intgrale,
conformment  la nature des surfaces qui devront circonscrire
latralement le volume propos.

Sans entrer ici dans aucun dtail relatif  la solution dfinitive de
l'une ou de l'autre de ces deux questions fondamentales, il peut tre
utile de remarquer, d'aprs les quations diffrentielles prcdentes,
une analogie gnrale et singulire qui existe ncessairement entre
elles, et qui permettrait de transformer toute recherche relative  la
quadrature en une recherche correspondante relative  la cubature. On
voit, en effet, que les deux quations diffrentielles ne diffrent que
par le changement de z en /sqrt{dz^2/dx^2+dz^2/dy^2+1} en passant de la
seconde  la premire. Ainsi l'aire d'une surface courbe quelconque peut
tre regarde comme numriquement gale au volume d'un corps termin par
une surface dont l'ordonne verticale aurait  chaque instant pour
valeur la scante de l'angle que fait avec le plan horizontal le plan
tangent correspondant  la surface primitive, les limites tant
d'ailleurs supposes respectivement les mmes.

Pour terminer l'examen philosophique de la gomtrie gnrale  trois
dimensions, il me reste  considrer sommairement la belle conception
fondamentale tablie par Monge relativement  la classification
analytique des surfaces en familles naturelles, qui doit tre regarde
comme le perfectionnement le plus important qu'ait reu la science
gomtrique depuis Descartes et Lebnitz.

Quand on se propose d'tudier, sous un point de vue gnral, les
proprits spciales des diverses surfaces, la premire difficult qui
se prsente consiste dans l'absence d'une bonne classification,
dtermine par les caractres gomtriques les plus essentiels, et
d'ailleurs suffisamment simple. Ds la fondation de la gomtrie
analytique, les gomtres ont t involontairement conduits  classer
les surfaces, comme les courbes, par la forme et le degr de leurs
quations, seule considration qui s'offrt d'elle-mme  l'esprit pour
servir de base  une distinction dont l'importance n'avait d'abord t
nullement sentie. Mais il est ais de voir que ce principe de
classification, convenablement applicable aux quations du premier et du
second degr, ne remplit aucune des conditions principales auxquels doit
satisfaire un tel travail. En effet, on sait que Newton, en discutant
l'quation gnrale du troisime degr  deux variables, pour se borner
 la simple numration des diverses courbes planes qu'elle peut
reprsenter, a reconnu que, bien qu'elles fussent toutes ncessairement
indfinies en tout sens, on devait en distinguer 74 espces
particulires, aussi diffrentes les unes des autres que le sont entre
elles les trois courbes du second degr. Quoique personne n'ait analys
sous le mme point de vue l'quation gnrale du quatrime degr  deux
variables, il n'est pas douteux qu'elle ne dt faire natre un nombre
beaucoup plus considrable encore de courbes distinctes; et ce nombre
devrait videmment augmenter avec une prodigieuse rapidit d'aprs le
degr de l'quation. Si maintenant l'on passe aux quations  trois
variables, qui, vu leur plus grande complication, prsentent
ncessairement bien plus de varit, il est incontestable que le nombre
des surfaces vraiment distinctes qu'elles peuvent exprimer doit tre
encore plus multipli, et crotre beaucoup plus rapidement d'aprs le
degr. Cette multiplicit devient telle, qu'on s'est toujours born 
analyser ainsi les quations des deux premiers degrs, aucun gomtre
n'ayant tent pour les surfaces du troisime degr ce qu'a excut
Newton pour les courbes correspondantes. Il suit donc de cette
considration vidente que, quand mme l'imperfection de l'algbre ne
s'opposerait pas  l'emploi indfini d'un procd semblable, la
classification gnrale des surfaces par le degr et la forme de leurs
quations serait entirement impraticable. Mais ce motif n'est pas le
seul qui doive faire rejeter une telle classification; il n'est point
mme le plus important. En effet, cette manire de disposer les
surfaces, outre l'impossibilit de la suivre, se trouve directement
contraire  la principale destination de toute bonne classification
quelconque, consistant  rapprocher le plus les uns des autres les
objets qui offrent les relations les plus importantes, et  loigner
ceux dont les analogies ont peu de valeur. L'identit du degr de leurs
quations est, pour les surfaces, un caractre d'une valeur gomtrique
trs-mdiocre, qui n'indique pas mme exactement le nombre des points
ncessaires  l'entire dtermination de chacune. La proprit commune
la plus importante  considrer entre des surfaces consiste videmment
dans leur mode de gnration; toutes celles qui sont engendres de la
mme manire devant offrir ncessairement une grande analogie
gomtrique, tandis qu'elles ne sauraient avoir que de trs-faibles
ressemblances si elles sont engendres d'aprs des modes essentiellement
diffrens. Ainsi, par exemple, toutes les surfaces cylindriques, quelle
que soit la forme de leur base, constituent une mme famille naturelle,
dont les diverses espces prsentent un grand nombre de proprits
communes de premire importance: il en est de mme pour toutes les
surfaces coniques, et aussi pour toutes les surfaces de rvolution, etc.
Or, cet ordre naturel se trouve compltement dtruit par la
classification fonde sur le degr des quations. Car des surfaces
assujties  un mme mode de gnration, les surfaces cylindriques, par
exemple, peuvent fournir des quations de tous les degrs imaginables,
 raison de la seule diffrence secondaire de leurs bases; tandis, que
d'un autre ct, des quations d'un mme degr quelconque expriment
souvent des surfaces de nature gomtrique oppose, les unes
cylindriques, les autres coniques, ou de rvolution, etc. Une telle
classification analytique est donc radicalement vicieuse, comme sparant
ce qui doit tre runi, et rapprochant ce qui doit tre distingu.
Cependant, la gomtrie gnrale tant entirement fonde sur l'emploi
des considrations et des mthodes analytiques, il est indispensable que
la classification puisse prendre aussi un caractre analytique.

Tel tait donc l'tat prcis de la difficult fondamentale, si
heureusement vaincue par Monge: les familles naturelles entre les
surfaces tant clairement tablies sous le point de vue gomtrique
d'aprs le mode de gnration, il fallait dcouvrir un genre de
relations analytiques destin  prsenter constamment une interprtation
abstraite de ce caractre concret. Cette dcouverte capitale tait
rigoureusement indispensable pour achever de constituer la thorie
gnrale des surfaces.

La considration, que Monge a employe pour y parvenir, consiste dans
cette observation gnrale, aussi simple que directe: les surfaces
assujties  un mme mode de gnration sont ncessairement
caractrises par une certaine proprit commune de leur plan tangent en
un point quelconque; en sorte qu'en exprimant analytiquement cette
proprit d'aprs l'quation gnrale du plan tangent  une surface
quelconque, on formera une quation diffrentielle reprsentant  la
fois toutes les surfaces de cette famille.

Ainsi, par exemple, toute surface cylindrique prsente ce caractre
exclusif: que le plan tangent en un point quelconque de la surface est
constamment parallle  la droite fixe qui indique la direction des
gnratrices. D'aprs cela, il est ais de voir que les quations de
cette droite tant supposes tre /[x=az,/;y=bz,/] l'quation gnrale
du plan tangent tablie ci-dessus donnera, pour l'quation
diffrentielle commune  toutes les surfaces cylindriques,
/[a/frac{dz}{dx} + b/frac{dz}{dy} =1./]

De mme, relativement aux surfaces coniques, elles sont toutes
caractrises sous ce point de vue par la proprit ncessaire que leur
plan tangent en un point quelconque passe constamment par le sommet du
cne. Si donc /alpha, /beta, /gamma, dsignent les coordonnes de ce
sommet, on trouvera immdiatement /[(x-/alpha)/frac{dz}{dx} +
(y-/beta)/frac{dz}{dy} = z-/gamma,/] pour l'quation diffrentielle
reprsentant la famille entire des surfaces coniques.

Dans les surfaces de rvolution, le plan tangent en un point quelconque
est toujours perpendiculaire au plan _mridien_, c'est--dire  celui
qui passe par ce point et par l'axe de la surface. Afin d'exprimer
analytiquement cette proprit d'une manire plus simple, supposons que
l'axe de rvolution soit pris pour celui des z: l'quation
diffrentielle commune  toute cette famille de surfaces, sera
/[y/frac{dz}{dx}-x/frac{dz}{dy} = 0./]

Il serait superflu de citer ici un plus grand nombre d'exemples pour
tablir clairement, en gnral, que, quel que soit le mode de
gnration, toutes les surfaces d'une mme famille naturelle sont
susceptibles d'tre reprsentes analytiquement par une mme quation
_aux diffrences partielles_ contenant des constantes arbitraires,
d'aprs une proprit commune de leur plan tangent.

Afin de complter cette correspondance fondamentale et ncessaire entre
le point de vue gomtrique et le point de vue analytique, Monge a
considr en outre les quations finies qui sont les intgrales de ces
quations diffrentielles, et qu'on peut d'ailleurs presque toujours
facilement obtenir aussi par des recherches directes. Chacune de ces
quations finies doit, comme on le sait par la thorie gnrale de
l'intgration, contenir une fonction arbitraire, si l'quation
diffrentielle est seulement du premier ordre; ce qui n'empche pas que
de telles quations, quoique beaucoup plus gnrales que celles dont on
s'occupe ordinairement, ne prsentent un sens nettement dtermin, soit
sous le rapport gomtrique, soit sous le simple rapport analytique.
Cette fonction arbitraire correspond  ce qu'il y a d'indtermin dans
la gnration des surfaces proposes,  la base, par exemple, si les
surfaces sont cylindriques ou coniques,  la courbe mridienne, si elles
sont de rvolution, etc.[27]. Dans certains cas mme, l'quation finie
d'une famille de surfaces contient  la fois deux fonctions arbitraires,
affectes  des combinaisons distinctes des coordonnes variables; c'est
ce qui a lieu lorsque l'quation diffrentielle correspondante doit tre
du second ordre; sous le point de vue gomtrique, cette indtermination
plus grande indique une famille plus gnrale, et nanmoins
caractrise. Telle est, par exemple, la famille des surfaces
dveloppables, qui comprend, comme subdivisions, toutes les surfaces
cylindriques, toutes les surfaces coniques, et une infinit d'autres
familles analogues, et qui peut cependant tre nettement dfinie, dans
sa plus grande gnralit, comme tant l'_enveloppe_ de l'espace
parcouru par un plan qui se meut en restant toujours tangent  deux
surfaces fixes quelconques, ou comme le lieu gomtrique de toutes les
tangentes  une mme courbe quelconque  double courbure. Ce groupe
naturel de surfaces a, pour quation diffrentielle invariable, cette
quation trs-simple, dcouverte par Euler, entre les trois drives
partielles du second ordre, /[/left(/frac{d^2z}{dxdy}/right)^2 =
/frac{d^2z}{dx^2}/frac{d^2z}{dy^2}/].

      [Note 27: On trouve, par exemple, soit d'aprs les
      considrations directes de gomtrie analytique, soit en
      rsultat des mthodes d'intgration, que les surfaces
      cylindriques et les surfaces coniques ont pour quations
      finies /x-az = /varphi(y-bz),/; /frac{x-/alpha}{z-/gamma} =
      /varphi/left(/frac{y-/beta}{z-/gamma}/right)/ /varphi,
      dsignant une fonction entirement arbitraire.]

L'quation finie contient donc ncessairement deux fonctions arbitraires
distinctes, qui correspondent gomtriquement aux deux surfaces
indtermines sur lesquelles doit glisser le plan gnrateur, ou aux
deux quations quelconques de la courbe directrice.

Quoiqu'il soit utile de considrer les quations finies des familles
naturelles de surfaces, on conoit nanmoins que l'indtermination des
fonctions arbitraires qu'elles renferment invitablement, doit les
rendre peu propres  des travaux analytiques soutenus, pour lesquels il
est bien prfrable d'employer les quations diffrentielles, o il
n'entre que de simples constantes arbitraires, malgr leur nature
indirecte. C'est par l que l'tude gnrale et rgulire des proprits
des diverses surfaces est rellement devenue possible, le point de vue
commun ayant pu ainsi tre saisi et spar par l'analyse. On conoit
qu'une telle conception ait permis de dcouvrir des rsultats d'un degr
de gnralit et d'intrt infiniment suprieurs  ceux qu'on pouvait
obtenir auparavant. Pour ne citer qu'un seul exemple trs-simple, qui
est fort loin d'tre le plus remarquable, c'est par une semblable
mthode de gomtrie analytique qu'on a pu reconnatre cette singulire
proprit de toute quation _homogne_  trois variables, de reprsenter
ncessairement une surface conique dont le sommet est situ  l'origine
des coordonnes; de mme, parmi les recherches plus difficiles, il a
t possible de dterminer,  l'aide du calcul des variations, le plus
court chemin d'un point  un autre sur une surface dveloppable
quelconque, sans qu'il ft ncessaire de la particulariser, etc.

J'ai cru devoir ici accorder quelque dveloppement  l'exposition
philosophique de cette belle conception de Monge, qui constitue, sans
contredit, son premier titre  la gloire, et dont la haute importance ne
me semble point avoir encore t dignement sentie, except par Lagrange,
si juste apprciateur de tous ses mules. Je regrette mme d'tre
rduit, par les limites naturelles de cet ouvrage,  une indication
aussi imparfaite, o je n'ai pu seulement signaler l'heureuse raction
ncessaire de cette nouvelle gomtrie sur le perfectionnement de
l'analyse, quant  la thorie gnrale des quations diffrentielles 
plusieurs variables.

En mditant sur cette classification philosophique des surfaces,
essentiellement analogue aux mthodes naturelles que les physiologistes
ont tent d'tablir en zoologie et en botanique, on est conduit  se
demander si les courbes elles-mmes ne comportent pas une opration
semblable. Vu la varit infiniment moindre qui existe entre elles, un
tel travail est  la fois moins important et plus difficile, les
caractres qui pourraient servir de base n'tant point alors  beaucoup
prs aussi tranchs. Il a donc t naturel que l'esprit humain s'occupt
d'abord de classer les surfaces. Mais on doit sans doute esprer que cet
ordre de considrations s'tendra plus tard jusqu'aux courbes. On peut
mme apercevoir dj entre elles quelques familles vraiment naturelles,
comme celle des paraboles quelconques, et celle des hyperboles
quelconques, etc. Nanmoins, il n'a t encore produit aucune conception
gnrale directement propre  dterminer une telle classification.

Ayant ainsi expos aussi nettement qu'il m'a t possible, dans cette
leon et dans l'ensemble des quatre prcdentes, le vritable caractre
philosophique de la section la plus gnrale et la plus simple de la
mathmatique concrte, je dois maintenant entreprendre le mme travail
relativement  la science immense et plus complique de la mcanique
rationnelle. Ce sera l'objet des quatre leons suivantes.




QUINZIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations philosophiques sur les principes fondamentaux
de la mcanique rationnelle.


Les phnomnes mcaniques sont, par leur nature, comme nous l'avons dj
remarqu,  la fois plus particuliers, plus compliqus et plus concrets
que les phnomnes gomtriques. Aussi, conformment  l'ordre
encyclopdique tabli dans cet ouvrage, plaons-nous la mcanique
rationnelle aprs la gomtrie dans cette exposition philosophique de la
mathmatique concrte, comme tant ncessairement d'une tude plus
difficile, et par suite moins perfectionne. Les questions gomtriques
sont toujours compltement indpendantes de toute considration
mcanique, tandis que les questions mcaniques se compliquent
constamment des considrations gomtriques, la forme des corps devant
influer invitablement sur les phnomnes du mouvement ou de
l'quilibre. Cette complication est souvent telle, que le plus simple
changement dans la forme d'un corps suffit seul pour augmenter
extrmement les difficults du problme de mcanique dont il est le
sujet, comme on peut s'en faire une ide en considrant, par exemple,
l'importante dtermination de la gravitation mutuelle de deux corps en
rsultat de celle de toutes leurs molcules, question qui n'est encore
compltement rsolue qu'en supposant  ces corps une forme sphrique, et
o, par consquent, le principal obstacle vient videmment des
circonstances gomtriques.

Puisque nous avons reconnu dans les leons prcdentes que le caractre
philosophique de la science gomtrique tait encore altr  un certain
degr par un reste d'influence trs-sensible de l'esprit mtaphysique,
on doit s'attendre naturellement, vu cette plus grande complication
ncessaire de la mcanique rationnelle,  l'en trouver bien plus
profondment affecte. C'est ce qui n'est, en effet, que trop facile 
constater. Le caractre de science naturelle, encore plus videmment
inhrent  la mcanique qu' la gomtrie, est aujourd'hui compltement
dguis dans presque tous les esprits, par l'emploi des considrations
ontologiques. On remarque, dans toutes les notions fondamentales de
cette science, une confusion profonde et continuelle entre le point de
vue abstrait et le point de vue concret, qui empche de distinguer
nettement ce qui est rellement physique de ce qui est purement logique,
et de sparer avec exactitude les conceptions artificielles uniquement
destines  faciliter l'tablissement des lois gnrales de l'quilibre
ou du mouvement, des faits naturels fournis par l'observation effective
du monde extrieur, qui constituent les bases relles de la science. On
peut mme reconnatre que l'immense perfectionnement de la mcanique
rationnelle depuis un sicle, soit sous le rapport de l'extension de ses
thories, soit quant  leur coordination, a fait en quelque sorte
rtrograder sous ce rapport la conception philosophique de la science,
qui est communment expose aujourd'hui d'une manire beaucoup moins
nette que Newton ne l'avait prsente. Ce dveloppement ayant t, en
effet, essentiellement obtenu par l'usage de plus en plus exclusif de
l'analyse mathmatique, l'importance prpondrante de cet admirable
instrument a fait graduellement contracter l'habitude de ne voir dans la
mcanique rationnelle que de simples questions d'analyse; et, par une
extension abusive, quoique trs-naturelle, d'une telle manire de
procder, on a tent d'tablir, _a priori_, d'aprs des considrations
purement analytiques, jusqu'aux principes fondamentaux de la science,
que Newton s'tait sagement born  prsenter comme des rsultats de la
seule observation. C'est ainsi, par exemple, que Daniel Bernouilli,
d'Alembert, et, de nos jours, Laplace, ont essay de prouver la rgle
lmentaire de la composition des forces par des dmonstrations
uniquement analytiques, dont Lagrange seul a bien aperu l'insuffisance
radicale et ncessaire. Tel est, maintenant encore, l'esprit qui domine
plus ou moins chez tous les gomtres. Il est nanmoins vident en thse
gnrale, comme nous l'avons plusieurs fois remarqu, que l'analyse
mathmatique, quelle que soit son extrme importance, dont j'ai tch de
donner une juste ide, ne saurait tre, par sa nature, qu'un puissant
moyen de dduction, qui, lorsqu'il est applicable, permet de
perfectionner une science au degr le plus minent, aprs que les
fondemens en ont t poss, mais qui ne peut jamais suffire  tablir
ces bases elles-mmes. S'il tait possible de constituer entirement la
science de la mcanique d'aprs de simples conceptions analytiques, on
ne pourrait se reprsenter comment une telle science deviendrait jamais
vraiment applicable  l'tude effective de la nature. Ce qui tablit la
ralit de la mcanique rationnelle, c'est prcisment, au contraire,
d'tre fonde sur quelques faits gnraux, immdiatement fournis par
l'observation, et que tout philosophe vraiment positif doit envisager,
ce me semble, comme n'tant susceptibles d'aucune explication
quelconque. Il est donc certain qu'on a abus en mcanique de l'esprit
analytique, beaucoup plus encore qu'en gomtrie. L'objet spcial de
cette leon est d'indiquer comment, dans l'tat actuel de la science, on
peut tablir nettement son vritable caractre philosophique, et la
dgager dfinitivement de toute influence mtaphysique, en distinguant
constamment le point de vue abstrait du point de vue concret, et en
effectuant une sparation exacte entre la partie simplement
exprimentale de la science, et la partie purement rationnelle. D'aprs
le but de cet ouvrage, un tel travail doit ncessairement prcder les
considrations gnrales sur la composition effective de cette science,
qui seront successivement exposes dans les trois leons suivantes.

Commenons par indiquer avec prcision l'objet gnral de la science.

On a l'habitude de remarquer d'abord, et avec beaucoup de raison, que la
mcanique ne considre point, non-seulement les causes premires des
mouvemens, qui sont en dehors de toute philosophie positive, mais mme
les circonstances de leur production, lesquelles, quoique constituant
rellement un sujet intressant de recherches positives dans les
diverses parties de la _physique_, ne sont nullement du ressort de la
mcanique, qui se borne  envisager le mouvement en lui-mme, sans
s'enqurir de quelle manire il a t dtermin. Ainsi les _forces_ ne
sont autre chose, en mcanique, que les mouvemens produits ou tendant 
se produire; et deux forces qui impriment  un mme corps la mme
vitesse dans la mme direction sont regardes comme identiques, quelque
diverse que puisse tre leur origine, soit que le mouvement provienne
des contractions musculaires d'un animal, ou de la pesanteur vers un
centre attractif, ou du choc d'un corps quelconque, ou de la dilatation
d'un fluide lastique, etc. Mais, quoique cette manire de voir soit
heureusement devenue aujourd'hui tout--fait familire, il reste encore
aux gomtres  oprer, sinon dans la conception mme, du moins dans le
langage habituel, une rforme essentielle pour carter entirement
l'ancienne notion mtaphysique des _forces_, et indiquer plus nettement
qu'on ne le fait encore le vritable point de vue de la mcanique[28].

      [Note 28: Il importe de remarquer aussi que le nom mme
      de la science est extrmement vicieux, en ce qu'il rappelle
      seulement une de ses applications les plus secondaires, ce
      qui devient habituellement une source de confusion, qui
      oblige  ajouter frquemment l'adjectif _rationnelle_, dont
      la rptition, quoiqu'indispensable, est fastidieuse. Les
      philosophes allemands, pour viter cet inconvnient, ont
      cr la dnomination beaucoup plus philosophique de
      _phoronomie_, employe dans le trait d'Hermann, et dont
      l'adoption gnrale serait trs-dsirable.]

Cela pos, on peut caractriser d'une manire trs-prcise le problme
gnral de la mcanique rationnelle. Il consiste  dterminer l'effet
que produiront sur un corps donn diffrentes forces quelconques
agissant simultanment, lorsqu'on connat le mouvement simple qui
rsulterait de l'action isole de chacune d'elles; ou, en prenant la
question en sens inverse,  dterminer les mouvemens simples dont la
combinaison donnerait lieu  un mouvement compos connu. Cet nonc
montre exactement quelles sont ncessairement les donnes et les
inconnues de toute question mcanique. On voit que l'tude de l'action
d'une force unique n'est jamais,  proprement parler, du domaine de la
mcanique rationnelle, o elle est toujours suppose connue, car le
second problme gnral n'est susceptible d'tre rsolu que comme tant
l'inverse du premier. Toute la mcanique porte donc essentiellement sur
la combinaison des forces, soit que de leur concours il rsulte un
mouvement dont il faut tudier les diverses circonstances, soit que par
leur neutralisation mutuelle le corps se trouve dans un tat
d'quilibre dont il s'agit de fixer les conditions caractristiques.

Les deux problmes gnraux, l'un direct, l'autre inverse, dans la
solution desquels consiste la science de la mcanique, ont, sous le
rapport des applications, une importance gale; car, tantt les
mouvemens simples peuvent tre immdiatement tudis par l'observation,
tandis que la connaissance du mouvement qui rsultera de leur
combinaison ne saurait tre obtenue que par la thorie; et tantt, au
contraire, le mouvement compos peut seul tre effectivement observ,
tandis que les mouvemens simples, dont on le regardera comme le produit,
ne sont susceptibles d'tre dtermins que rationnellement. Ainsi, par
exemple, dans le cas de la chute oblique des corps pesans  la surface
de la terre, on connat les deux mouvemens simples que prendrait le
corps par l'action isole de chacune des forces dont il est anim,
savoir, la direction et la vitesse du mouvement uniforme que produirait
la seule impulsion, et la loi d'acclration du mouvement vertical
vari, qui rsulterait de la seule pesanteur; ds-lors, on se propose de
dcouvrir les diverses circonstances du mouvement compos produit par
l'action combine de ces deux forces, c'est--dire de dterminer la
trajectoire que dcrira le mobile, sa direction et sa vitesse acquise 
chaque instant, le temps qu'il emploiera  parvenir  une certaine
position, etc.; on pourra, pour plus de gnralit, joindre aux deux
forces donnes la rsistance du milieu ambiant, pourvu que la loi en
soit galement connue. La mcanique cleste prsente un exemple capital
de la question inverse, dans la dtermination des forces qui produisent
le mouvement des plantes autour du soleil, ou des satellites autour des
plantes. On ne peut alors connatre immdiatement que le mouvement
compos, et c'est d'aprs les circonstances caractristiques de ce
mouvement, telles que les lois de Kpler les ont rsumes, qu'il faut
remonter aux forces lmentaires dont les astres doivent tre conus
anims pour correspondre aux mouvemens effectifs; ces forces une fois
connues, les gomtres peuvent utilement reprendre la question sous le
point de vue oppos, qu'il et t impossible de suivre primitivement.

La vritable destination gnrale de la mcanique rationnelle tant
ainsi nettement conue, considrons maintenant les principes
fondamentaux sur lesquels elle repose, et d'abord examinons un artifice
philosophique de la plus haute importance relativement  la manire dont
les corps doivent tre envisags en mcanique. Cette conception mrite
d'autant plus notre attention qu'elle est encore habituellement
entoure d'un pais nuage mtaphysique, qui en fait mconnatre la vraie
nature.

Il serait entirement impossible d'tablir aucune proposition gnrale
sur les lois abstraites de l'quilibre ou du mouvement, si on ne
commenait par regarder les corps comme absolument _inertes_,
c'est--dire comme tout--fait incapables de modifier spontanment
l'action des forces qui leur sont appliques. Mais la manire dont cette
conception fondamentale est ordinairement prsente me semble
radicalement vicieuse. D'abord cette notion abstraite, qui n'est qu'un
simple artifice logique imagin par l'esprit humain pour faciliter la
formation de la mcanique rationnelle, ou plutt pour la rendre
possible, est souvent confondue avec ce qu'on appelle fort improprement
_la loi d'inertie_, qui doit tre regarde, ainsi que nous le verrons
plus bas, comme un rsultat gnral de l'observation. En second lieu, le
caractre de cette ide est d'ordinaire tellement indcis, qu'on ne sait
point exactement si cet tat passif des corps est purement hypothtique,
ou s'il reprsente la ralit des phnomnes naturels. Enfin, il rsulte
frquemment de cette indtermination, que l'esprit est involontairement
port  regarder les lois gnrales de la mcanique rationnelle comme
tant par elles-mmes exclusivement applicables  ce que nous appelons
les corps bruts, tandis qu'elles se vrifient ncessairement, au
contraire, tout aussi bien dans les corps organiss, quoique leur
application prcise y rencontre de bien plus grandes difficults. Il
importe beaucoup de rectifier sous ces divers rapports les notions
habituelles.

Nous devons nettement reconnatre avant tout que cet tat passif des
corps est une pure abstraction, directement contraire  leur vritable
constitution.

Dans la manire de philosopher primitivement employe par l'esprit
humain, on concevait, en effet, la matire comme tant rellement par sa
nature essentiellement inerte ou passive, toute activit lui venant
ncessairement du dehors, sous l'influence de certains tres surnaturels
ou de certaines entits mtaphysiques. Mais depuis que la philosophie
positive a commenc  prvaloir, et que l'esprit humain s'est born 
tudier le vritable tat des choses, sans s'enqurir des _causes_
premires et gnratrices, il est devenu vident pour tout observateur
que les divers corps naturels nous manifestent tous une activit
spontane plus ou moins tendue. Il n'y a sous ce rapport, entre les
corps bruts et ceux que nous nommons par excellence _anims_, que de
simples diffrences de degrs. D'abord, les progrs de la philosophie
naturelle ont pleinement dmontr, comme nous le constaterons
spcialement plus tard, qu'il n'existe point de matire vivante
proprement dite _sui generis_, puisqu'on retrouve dans les corps anims
des lmens exactement identiques  ceux que prsentent les corps
inanims. De plus, il est ais de reconnatre dans ces derniers une
activit spontane exactement analogue  celle des corps vivans, mais
seulement moins varie. N'y et-il dans toutes les molcules matrielles
d'autre proprit que la pesanteur, cela suffirait pour interdire  tout
physicien de les regarder comme essentiellement passives. Ce serait
vainement qu'on voudrait prsenter les corps sous un point de vue
entirement inerte dans l'acte de la pesanteur, en disant qu'ils ne font
alors qu'obir  l'attraction du globe terrestre. Cette considration
ft-elle exacte, on n'aurait fait videmment que dplacer la difficult,
en transportant  la masse totale de la terre l'activit refuse aux
molcules isoles. Mais, de plus, on voit clairement que, dans sa chute
vers le centre de notre globe, un corps pesant est tout aussi actif que
la terre elle-mme, puisqu'il est prouv que chaque molcule de ce corps
attire une partie quivalente de la terre tout autant qu'elle en est
attire, quoique cette dernire attraction produise seule un effet
sensible,  raison de l'immense ingalit des deux masses. Enfin, dans
une foule d'autres phnomnes galement universels, thermologiques,
lectriques, ou chimiques, la matire nous prsente videmment une
activit spontane trs-varie, dont nous ne saurions plus la concevoir
entirement prive. Les corps vivans ne nous offrent rellement  cet
gard d'autre caractre particulier que de manifester, outre tous ces
divers genres d'activit, quelques-uns qui leur sont propres, et que les
physiologistes tendent d'ailleurs de plus en plus  envisager comme une
simple modification des prcdens. Quoi qu'il en soit, il est
incontestable que l'tat purement passif, dans lequel les corps sont
considrs en mcanique rationnelle, prsente, sous le point de vue
physique, une vritable absurdit.

Examinons maintenant comment il est possible qu'une telle supposition
soit employe sans aucun inconvnient dans l'tablissement des lois
abstraites de l'quilibre et du mouvement, qui n'en seront pas moins
susceptibles ensuite d'tre convenablement appliques aux corps rels.
Il suffit, pour cela, d'avoir gard  l'importante remarque prliminaire
rappele ci-dessus, que les mouvemens sont simplement considrs en
eux-mmes dans la mcanique rationnelle, sans aucun gard au mode
quelconque de leur production. De l rsulte videmment, pour me
conformer au langage adopt, la facult de remplacer  volont toute
force par une autre d'une nature quelconque, pourvu qu'elle soit capable
d'imprimer au corps exactement le mme mouvement. D'aprs cette
considration vidente, on conoit qu'il est possible de faire
abstraction des diverses forces qui sont rellement inhrentes aux
corps, et de regarder ceux-ci comme seulement sollicits par des forces
extrieures, puisqu'on pourra substituer  ces forces intrieures des
forces extrieures mcaniquement quivalentes. Ainsi, par exemple,
quoique tout corps soit ncessairement pesant, et que nous ne puissions
mme concevoir rellement un corps qui ne le serait pas, les gomtres
considrent, dans la mcanique abstraite, les corps comme tant d'abord
entirement dpouills de cette proprit, qui est implicitement
comprise au nombre des forces extrieures, si l'on a envisag, comme il
convient, un systme de forces tout--fait quelconque. Que le corps,
dans sa chute, soit m par une attraction interne, ou qu'il obisse 
une simple impulsion extrieure, cela est indiffrent pour la mcanique
rationnelle, si le mouvement effectif se trouve tre exactement
identique, et l'on pourra par consquent adopter de prfrence la
dernire conception. Il en est ncessairement ainsi relativement 
toute autre proprit naturelle, qu'il sera toujours possible de
remplacer par la supposition d'une action externe, construite de manire
 produire le mme mouvement, ce qui permettra de se reprsenter le
corps comme purement passif; seulement,  mesure que l'observation ou
l'exprience feront connatre avec plus de prcision les lois de ces
forces intrieures, il faudra toujours modifier en consquence le
systme des forces extrieures qu'on leur substitue hypothtiquement, ce
qui conduira souvent  une trs-grande complication. Ainsi, par exemple,
l'observation ayant appris que le mouvement vertical d'un corps en vertu
de sa pesanteur n'est point uniforme, mais continuellement acclr, on
ne pourra point l'assimiler  celui qu'imprimerait au corps une
impulsion unique dont l'action ne se renouvellerait plus, puisqu'il en
rsulterait videmment une vitesse constante: on sera donc oblig de
concevoir le corps comme ayant reu successivement,  des intervalles de
temps infiniment petits, une srie infinie de chocs infiniment petits,
tels que, la vitesse produite par chacun s'ajoutant d'une manire
continue  celle qui rsulte de l'ensemble des prcdens, le mouvement
effectif soit indfiniment vari; et si l'exprience prouve que
l'acclration du mouvement est uniforme, on supposera tous ces chocs
successifs constamment gaux entre eux: dans tout autre cas, il faudra
leur supposer, soit pour la direction, soit pour l'intensit, une
relation exactement conforme  la loi relle de la variation du
mouvement; mais,  ces conditions, il est clair que la substitution sera
toujours possible.

Il serait inutile d'insister beaucoup pour faire sentir l'indispensable
ncessit de supposer les corps dans cet tat compltement passif, o
l'on n'a plus  considrer que les forces extrieures qui leur sont
appliques, afin d'tablir les lois abstraites de l'quilibre et du
mouvement. On conoit que s'il fallait d'abord tenir compte de la
modification quelconque que le corps peut imprimer, en vertu de ses
forces naturelles,  l'action de chacune de ces puissances extrieures,
on ne pourrait tablir, en mcanique rationnelle, la moindre proposition
gnrale, d'autant plus que cette modification est loin, dans la plupart
des cas, d'tre exactement connue. Ce n'est donc qu'en commenant par en
faire totalement abstraction, pour ne penser qu' la raction des forces
les unes sur les autres, qu'il devient possible de fonder une mcanique
abstraite, de laquelle on passera ensuite  la mcanique concrte, en
restituant aux corps leurs proprits actives naturelles, primitivement
cartes. Cette restitution constitue, en effet, la principale
difficult qu'on prouve pour oprer la transition de l'abstrait au
concret en mcanique, difficult qui limite singulirement dans la
ralit les applications importantes de cette science, dont le domaine
thorique est, en lui-mme, ncessairement indfini. Afin de donner une
ide de la porte de cet obstacle fondamental, on peut dire que, dans
l'tat actuel de la science mathmatique, il n'y a vraiment qu'une seule
proprit naturelle et gnrale des corps dont nous sachions tenir
compte d'une manire convenable, c'est la pesanteur, soit terrestre,
soit universelle; et encore faut-il supposer, dans ce dernier cas, que
la forme des corps est suffisamment simple. Mais si cette proprit se
complique de quelques autres circonstances physiques, comme la
rsistance des milieux, les frottemens, etc., si mme les corps sont
seulement supposs  l'tat fluide, ce n'est encore que fort
imparfaitement qu'on est parvenu jusqu'ici  en apprcier l'influence
dans les phnomnes mcaniques. A plus forte raison nous est-il
impossible de prendre en considration les proprits lectriques ou
chimiques, et, bien moins encore, les proprits physiologiques. Aussi
les grandes applications de la mcanique rationnelle sont-elles
rellement bornes jusqu'ici aux seuls phnomnes clestes, et mme 
ceux de notre systme solaire, o il suffit d'avoir uniquement gard 
une gravitation gnrale, dont la loi est simple et bien dtermine, et
qui prsente nanmoins des difficults qu'on ne sait point encore
surmonter compltement, lorsqu'on veut tenir un compte exact de toutes
les actions secondaires susceptibles d'effets apprciables. On conoit
par l  quel degr les questions doivent se compliquer quand on passe 
la mcanique terrestre, dont la plupart des phnomnes, mme les plus
simples, ne comporteront probablement jamais, vu la faiblesse de nos
moyens rels, une tude purement rationnelle et pourtant exacte d'aprs
les lois gnrales de la mcanique abstraite, quoique la connaissance de
ces lois, d'ailleurs videmment indispensable, puisse souvent conduire 
des _indications_ importantes.

Aprs avoir expliqu la vritable nature de la conception fondamentale
relative  l'tat dans lequel les corps doivent tre supposs en
mcanique rationnelle, il nous reste  considrer les faits gnraux ou
les _lois physiques du mouvement_ qui peuvent fournir une base relle
aux thories dont la science se compose. Cette importante exposition est
d'autant plus indispensable, que, comme je l'ai indiqu ci-dessus,
depuis qu'on s'est cart de la route suivie par Newton, on a
compltement mconnu le vrai caractre de ces lois, dont la notion
ordinaire est encore essentiellement mtaphysique.

Les lois fondamentales du mouvement me semblent pouvoir tre rduites 
trois, qui doivent tre envisages comme de simples rsultats de
l'observation, dont il est absurde de vouloir tablir _ priori_ la
ralit, bien qu'on l'ait tent frquemment.

La premire loi est celle qu'on dsigne fort mal  propos sous le nom de
_loi d'inertie_. Elle a t dcouverte par Kpler. Elle consiste
proprement en ce que tout mouvement est naturellement rectiligne et
uniforme, c'est--dire que tout corps soumis  l'action d'une force
unique quelconque, qui agit sur lui instantanment, se meut constamment
en ligne droite et avec une vitesse invariable. L'influence de l'esprit
mtaphysique se manifeste particulirement dans la manire dont cette
loi est communment prsente. Au lieu de se borner  la regarder comme
un fait observ, on a prtendu la dmontrer abstraitement, par une
application du principe de la raison suffisante, qui n'a pas la moindre
solidit. En effet, pour expliquer, par exemple, la ncessit du
mouvement rectiligne, on dit que le corps devait suivre la ligne droite,
parce qu'il n'y a pas de raison pour qu'il s'carte d'un ct plutt que
d'un autre de sa direction primitive. Il est ais de constater
l'invalidit radicale et mme l'insignifiance complte d'une telle
argumentation. D'abord, comment pourrions-nous tre assurs _qu'il n'y a
pas de raison_ pour que le corps se dvie? que pouvons-nous savoir  cet
gard, autrement que par l'exprience? Les considrations _ priori_
fondes sur la _nature_ des choses ne nous sont-elles pas compltement
et ncessairement interdites en philosophie positive? D'ailleurs un tel
principe, mme quand on l'admettrait, ne comporte par lui-mme qu'une
application vague et arbitraire. Car,  l'origine du mouvement,
c'est--dire  l'instant mme o l'argument devrait tre employ, il est
clair que la trajectoire du corps n'a point encore de caractre
gomtrique dtermin, et que c'est seulement aprs que le corps a
parcouru un certain espace qu'on peut constater quelle ligne il dcrit.
Il est vident, par la gomtrie, que le mouvement initial, au lieu
d'tre regard comme rectiligne, pourrait tre indiffremment suppos
circulaire, parabolique, ou suivant toute autre ligne tangente  la
trajectoire effective, en sorte que la mme argumentation rpte pour
chacune de ces lignes, ce qui serait tout aussi lgitime, conduirait 
une conclusion absolument indtermine. Pour peu qu'on rflchisse sur
un tel raisonnement, on ne tardera pas  reconnatre que, comme toutes
les prtendues explications mtaphysiques, il se rduit rellement 
rpter en termes abstraits le fait lui-mme, et  dire que les corps
ont une tendance naturelle  se mouvoir en ligne droite, ce qui tait
prcisment la proposition  tablir. L'insignifiance de ces
considrations vagues et arbitraires finira par devenir palpable si l'on
remarque que, par suite de semblables argumens, les philosophes de
l'antiquit, et particulirement Aristote, avaient, au contraire,
regard le mouvement circulaire comme naturel aux astres, en ce qu'il
est le plus _parfait_ de tous, conception qui n'est galement que
l'nonciation abstraite d'un phnomne mal analys.

Je me suis born  indiquer la critique des raisonnemens ordinaires
relativement  la premire partie de la loi d'inertie. On peut faire des
remarques parfaitement analogues au sujet de la seconde partie, qui
concerne l'invariabilit de la vitesse, et qu'on prtend aussi pouvoir
dmontrer abstraitement, en se bornant  dire qu'il n'y a pas de raison
pour que le corps se meuve jamais plus lentement ou plus rapidement qu'
l'origine du mouvement.

Ce n'est donc point sur de telles considrations qu'on peut solidement
tablir une loi aussi importante, qui est un des fondemens ncessaires
de toute la mcanique rationnelle. Elle ne saurait avoir de ralit
qu'autant qu'on la conoit comme base sur l'observation. Mais, sous ce
point de vue, l'exactitude en est vidente d'aprs les faits les plus
communs. Nous avons continuellement occasion de reconnatre qu'un corps
anim d'une force unique se meut constamment en ligne droite; et, s'il
se dvie, nous pouvons aisment constater que cette modification tient 
l'action simultane de quelque autre force, active ou passive: enfin les
mouvemens curvilignes eux-mmes nous montrent clairement, par les
phnomnes varis dus  ce qu'on appelle la _force centrifuge_, que les
corps conservent constamment leur tendance naturelle  se mouvoir en
ligne droite. Il n'y a pour ainsi dire aucun phnomne dans la nature
qui ne puisse nous fournir une vrification sensible de cette loi, sur
laquelle est en partie fonde toute l'conomie de l'univers. Il en est
de mme relativement  l'uniformit du mouvement. Tous les faits nous
prouvent que, si le mouvement primitivement imprim se ralentit toujours
graduellement et finit par s'teindre entirement, cela provient des
rsistances que les corps rencontrent sans cesse, et sans lesquelles
l'exprience nous porte  penser que la vitesse demeurerait indfiniment
constante, puisque nous voyons augmenter sensiblement la dure de ce
mouvement  mesure que nous diminuons l'intensit de ces obstacles. On
sait que le simple mouvement d'un pendule cart de la verticale, qui,
dans les circonstances ordinaires, se maintient  peine pendant quelques
minutes, a pu se prolonger jusqu' plus de trente heures, en diminuant
autant que possible le frottement au point de la suspension, et faisant
osciller le corps dans un vide trs-approch, lors des expriences de
Borda  l'Observatoire de Paris pour dterminer la longueur du pendule 
secondes par rapport au mtre. Les gomtres citent aussi avec beaucoup
de raison, comme une preuve manifeste de la tendance naturelle des corps
 conserver indfiniment leur vitesse acquise, l'invariabilit
rigoureuse qu'on remarque si clairement dans les mouvemens clestes,
qui, s'excutant dans un milieu d'une raret extrme, se trouvent dans
les circonstances les plus favorables  une parfaite observation de la
loi d'inertie, et qui, en effet, depuis vingt sicles qu'on les tudie
avec quelque exactitude, ne nous prsentent point encore la moindre
altration certaine, quant  la dure des rotations, ou  celle des
rvolutions, quoique la suite des temps et le perfectionnement de nos
moyens d'apprciation doivent probablement nous dvoiler un jour
quelques variations encore inconnues.

Nous devons donc regarder comme une grande loi de la nature cette
tendance spontane de tous les corps  se mouvoir en ligne droite et
avec une vitesse constante. Vu la confusion extrme des ides communes
relativement  ce premier principe fondamental, il peut tre utile de
remarquer expressment ici que cette loi naturelle est tout aussi
applicable aux corps vivans qu'aux corps inertes pour lesquels on la
croit souvent exclusivement tablie. Quelle que soit l'origine de
l'impulsion qu'il a reue, un corps vivant tend  persister, comme un
corps inerte, dans la direction de son mouvement, et  conserver sa
vitesse acquise: seulement il peut se dvelopper en lui des forces
susceptibles de modifier ou de supprimer ce mouvement, tandis que, pour
les autres corps, ces modifications sont exclusivement dues  des agens
extrieurs. Mais, dans ce cas mme, nous pouvons acqurir une preuve
directe et personnelle de l'universalit de la loi d'inertie, en
considrant l'effort trs-sensible que nous sommes obligs de faire pour
changer la direction ou la vitesse de notre mouvement effectif,  tel
point, que lorsque ce mouvement est trs-rapide, il nous est impossible
de le modifier ou de le suspendre  l'instant prcis o nous le
dsirerions.

La seconde loi fondamentale du mouvement est due  Newton. Elle consiste
dans le principe de l'galit constante et ncessaire entre l'action et
la raction; c'est--dire, que toutes les fois qu'un corps est m par un
autre d'une manire quelconque, il exerce sur lui, en sens inverse, une
raction telle, que le second perd, en raison des masses, une quantit
de mouvement exactement gale  celle que le premier a reue. On a
essay quelquefois d'tablir aussi _ priori_, ce thorme gnral de
philosophie naturelle, qui n'en est pas plus susceptible que le
prcdent. Mais il a t beaucoup moins le sujet de considrations
sophistiques, et presque tous les gomtres s'accordent maintenant  le
regarder d'aprs Newton comme un simple rsultat de l'observation, ce
qui me dispense ici de toute discussion analogue  celle de la loi
d'inertie. Cette galit dans l'action rciproque des corps se manifeste
dans tous les phnomnes naturels, soit que les corps agissent les uns
sur les autres par impulsion, soit qu'ils agissent par attraction; il
serait superflu d'en citer ici des exemples. Nous avons mme tellement
occasion de constater cette mutualit dans nos observations les plus
communes, que nous ne saurions plus concevoir un corps agissant sur un
autre, sans que celui-ci ragisse sur lui.

Je crois devoir seulement indiquer, ds ce moment, au sujet de cette
seconde loi du mouvement, une remarque qui me semble importante, et qui
d'ailleurs sera convenablement dveloppe dans la dix-septime leon.
Elle consiste en ce que le clbre principe de d'Alembert, d'aprs
lequel on parvient  transformer si heureusement toutes les questions de
dynamique en simples questions de statique, n'est vraiment autre chose
que la gnralisation complte de la loi de Newton, tendue  un systme
quelconque de forces. Ce principe en effet concide videmment avec
celui de l'galit entre l'action et la raction, lorsqu'on ne considre
que deux forces. Une telle corrlation permet de concevoir dsormais la
proposition gnrale de d'Alembert comme ayant une base exprimentale,
tandis qu'elle n'est communment tablie jusqu'ici que sur des
considrations abstraites peu satisfaisantes.

La troisime loi fondamentale du mouvement me parat consister dans ce
que je propose d'appeler le principe de l'indpendance ou de la
coexistence des mouvemens, qui conduit immdiatement  ce qu'on appelle
vulgairement la composition des forces. Galile est,  proprement
parler, le vritable inventeur de cette loi, quoiqu'il ne l'ait point
conue prcisment sous la forme que je crois devoir prfrer ici.
Considre sous le point de vue le plus simple, elle se rduit  ce fait
gnral, que tout mouvement exactement commun  tous les corps d'un
systme quelconque n'altre point les mouvemens particuliers de ces
diffrens corps les uns  l'gard des autres, mouvemens qui continuent 
s'excuter comme si l'ensemble du systme tait immobile. Pour noncer
cet important principe avec une prcision rigoureuse, qui n'exige plus
aucune restriction, il faut concevoir que tous les points du systme
dcrivent  la fois des droites parallles et gales, et considrer que
ce mouvement gnral, avec quelque vitesse et dans quelque direction
qu'il puisse avoir lieu, n'affectera nullement les mouvemens relatifs.

Ce serait vainement qu'on tenterait d'tablir par aucune ide _ priori_
cette grande loi fondamentale, qui n'en est pas plus susceptible que les
deux prcdentes. On pourrait, tout au plus, concevoir que si les corps
du systme sont entre eux  l'tat de repos, ce dplacement commun, qui
ne change videmment ni leurs distances ni leurs situations respectives,
ne saurait altrer cette immobilit relative: encore mme, l'ignorance
absolue o nous sommes ncessairement de la nature intime des corps et
des phnomnes, ne nous permet point d'affirmer rationnellement, avec
une scurit parfaite, que l'introduction de cette circonstance nouvelle
ne modifiera pas d'une manire inconnue les conditions primitives du
systme. Mais l'insuffisance d'une telle argumentation devient surtout
sensible quand on essaie de l'appliquer au cas le plus tendu et le plus
important,  celui o les diffrens corps du systme sont en mouvement
les uns  l'gard des autres. En s'attachant  faire abstraction, aussi
compltement que possible, des observations si connues et si varies qui
nous font reconnatre alors l'exactitude physique de ce principe, il
sera facile de constater qu'aucune considration rationnelle ne nous
donne le droit de conclure _a priori_ que le mouvement gnral ne fera
natre aucun changement dans les mouvemens particuliers. Cela est
tellement vrai, que lorsque Galile a expos pour la premire fois cette
grande loi de la nature, il s'est lev de toutes parts une foule
d'objections _a priori_ tendant  prouver l'impossibilit rationnelle
d'une telle proposition, qui n'a t unanimement admise, que lorsqu'on a
abandonn le point de vue logique pour se placer au point de vue
physique.

C'est donc seulement comme un simple rsultat gnral de l'observation
et de l'exprience que cette loi peut tre en effet solidement tablie.
Mais, ainsi considre, il est vident qu'aucune proposition de
philosophie naturelle n'est fonde sur des observations aussi simples,
aussi diverses, aussi multiplies, aussi faciles  vrifier. Il ne
s'opre point dans le monde rel un seul phnomne dynamique qui n'en
puisse offrir une preuve sensible; et toute l'conomie de l'univers
serait videmment bouleverse de fond en comble, si on supposait que
cette loi n'existt plus. C'est ainsi, par exemple, que dans le
mouvement gnral d'un vaisseau, quelque rapide qu'il puisse tre et
suivant quelque direction qu'il ait lieu, les mouvemens relatifs
continuent  s'excuter, sauf les altrations provenant du roulis et du
tangage, exactement comme si le vaisseau tait immobile, en se composant
avec le mouvement total pour un observateur qui n'y participerait pas.
De mme, nous voyons continuellement le dplacement gnral d'un foyer
chimique, ou d'un corps vivant, n'affecter en aucune manire les
mouvemens internes qui s'y excutent. C'est ainsi surtout, pour citer
l'exemple le plus important, que le mouvement du globe terrestre ne
trouble nullement les phnomnes mcaniques qui s'oprent  sa surface
ou dans son intrieur. On sait que l'ignorance de cette troisime loi du
mouvement a t prcisment le principal obstacle scientifique qui s'est
oppos pendant si long-temps  l'tablissement de la thorie de
Copernic, contre laquelle une telle considration prsentait alors, en
effet, des objections insurmontables, dont les coperniciens n'avaient
essay de se dgager que par de vaines subtilits mtaphysiques avant la
dcouverte de Galile. Mais, depuis que le mouvement de la terre a t
universellement reconnu, les gomtres l'ont prsent, avec raison,
comme offrant lui-mme une confirmation essentielle de la ralit de
cette loi. Laplace a propos  ce sujet une considration indirecte fort
ingnieuse, que je crois utile d'indiquer ici, parce qu'elle nous montre
le principe de l'indpendance des mouvemens sous la vrification d'une
exprience continuelle et trs-sensible. Elle consiste  remarquer que,
si le mouvement gnral de la terre pouvait altrer en aucune manire
les mouvemens particuliers qui s'excutent  sa surface, cette
altration ne saurait videmment tre la mme pour tous ces mouvemens
quelle que ft leur direction, et qu'ils en seraient ncessairement
diversement affects suivant l'angle plus ou moins grand que ferait
cette direction avec celle du mouvement du globe. Ainsi, par exemple, le
mouvement oscillatoire d'un pendule devrait alors nous prsenter des
diffrences trs-considrables selon l'azimuth du plan vertical dans
lequel il s'excute, et qui lui donne une direction tantt conforme,
tantt contraire, et fort ingalement contraire,  celle du mouvement de
la terre; tandis que l'exprience ne nous manifeste jamais,  cet gard,
la moindre variation, mme en mesurant le phnomne avec l'extrme
prcision que comporte, sous ce rapport, l'tat actuel de nos moyens
d'observation.

Afin de prvenir toute interprtation inexacte et toute application
vicieuse de la troisime loi du mouvement, il importe de remarquer que,
par sa nature, elle n'est relative qu'aux mouvemens de translation, et
qu'on ne doit jamais l'tendre  aucun mouvement de rotation. Les
mouvemens de translation sont videmment, en effet, les seuls qui
puissent tre rigoureusement communs, pour le degr aussi bien que pour
la direction,  toutes les diverses parties d'un systme quelconque.
Cette exacte parit ne saurait jamais avoir lieu quand il s'agit d'un
mouvement de rotation, qui prsente toujours ncessairement des
ingalits entre les diverses parties du systme, suivant qu'elles sont
plus ou moins loignes du centre de la rotation. C'est pourquoi tout
mouvement de ce genre tend constamment  altrer l'tat du systme, et
l'altre en effet si les conditions de liaison entre les diverses
parties ne constituent pas une rsistance suffisante. Ainsi, par
exemple, dans le cas d'un vaisseau, ce n'est pas le mouvement gnral de
progression qui peut troubler les mouvemens particuliers; le drangement
n'est d qu'aux effets secondaires du roulis et du tangage, qui sont des
mouvemens de rotation. Qu'une montre soit simplement transporte dans
une direction quelconque avec autant de rapidit qu'on voudra, mais sans
tourner nullement, elle n'en sera jamais affecte; tandis qu'un mdiocre
mouvement de rotation suffira seul pour dranger promptement sa marche.
La diffrence entre ces deux effets deviendrait surtout sensible, en
rptant l'exprience sur un corps vivant. Enfin, c'est par suite d'une
telle distinction, que nous ne saurions avoir aucun moyen de constater,
par des phnomnes purement terrestres, la ralit du mouvement de
translation de la terre, qui n'a pu tre dcouvert que par des
observations clestes; tandis que, relativement  son mouvement de
rotation, il dtermine ncessairement  la surface de la terre, vu
l'ingalit de force centrifuge entre les diffrens points du globe, des
phnomnes trs-sensibles, quoique peu considrables, dont l'analyse
pourrait suffire pour dmontrer, indpendamment de toute considration
astronomique, l'existence de cette rotation.

Le principe de l'indpendance ou de la coexistence des mouvemens tant
une fois tabli, il est facile de concevoir qu'il conduit immdiatement
 la rgle lmentaire ordinairement usite pour ce qu'on appelle la
_composition des forces_, qui n'est vraiment autre chose qu'une nouvelle
manire de considrer et d'noncer la troisime loi du mouvement. En
effet, la proposition du paralllogramme des forces, envisage sous le
point de vue le plus positif, consiste proprement en ce que, lorsqu'un
corps est anim  la fois de deux mouvemens uniformes dans des
directions quelconques, il dcrit, en vertu de leur combinaison, la
diagonale du paralllogramme dont il et dans le mme temps dcrit
sparment les cts en vertu de chaque mouvement isol. Or n'est-ce pas
l videmment une simple application directe du principe de
l'indpendance des mouvemens, d'aprs lequel le mouvement particulier du
corps le long d'une certaine droite n'est nullement troubl par le
mouvement gnral qui entrane paralllement  elle-mme la totalit de
cette droite le long d'une autre droite quelconque? Cette considration
conduit sur-le-champ  la construction gomtrique nonce par la rgle
du paralllogramme des forces. C'est ainsi que ce thorme fondamental
de la mcanique rationnelle me parat tre prsent directement comme
une loi naturelle, ou du moins comme une application immdiate d'une des
plus grandes lois de la nature. Telle est,  mon gr, la seule manire
vraiment philosophique d'tablir solidement cette importante
proposition, pour carter dfinitivement tous les nuages mtaphysiques
dont elle est encore environne et la mettre compltement  l'abri de
toute objection relle. Toutes les prtendues dmonstrations analytiques
qu'on a successivement essay d'en donner d'aprs des considrations
purement abstraites, outre qu'elles reposent ordinairement sur une
interprtation vicieuse et sur une fausse application du principe
analytique de l'homognit, supposent d'ailleurs que la proposition est
_vidente_ par elle-mme dans certains cas particuliers, quand les deux
forces, par exemple, agissent suivant une mme droite, vidence qui ne
peut rsulter alors que de l'observation effective de la loi naturelle
de l'indpendance des mouvemens, dont l'indispensabilit se trouve ainsi
irrcusablement manifeste. Il serait trange, en effet, pour quiconque
envisage directement la question sous un point de vue philosophique,
que, par de simples combinaisons logiques, l'esprit humain pt ainsi
dcouvrir une loi relle de la nature, sans consulter aucunement le
monde extrieur.

Cette notion tant de la plus haute importance quant  la manire de
concevoir la mcanique rationnelle, et s'cartant beaucoup de la marche
habituellement adopte aujourd'hui, je crois devoir la prsenter encore
sous un dernier point de vue qui achvera de l'claircir, en montrant
que, malgr tous les efforts des gomtres pour luder  cet gard
l'emploi des considrations exprimentales, la loi physique de
l'indpendance des mouvemens reste implicitement, mme de leur aveu
unanime, une des bases essentielles de la mcanique, quoique prsente
sous une forme diffrente et  une autre poque de l'exposition.

Il suffit, pour cela, de reconnatre que cette loi, au lieu d'tre
expose directement dans l'tude des prolgomnes de la science, se
retrouve plus tard admise par tous les gomtres, comme tablissant le
principe de la proportionnalit des vitesses aux forces, base ncessaire
de la dynamique ordinaire.

Afin de saisir convenablement le vrai caractre de cette question, il
faut remarquer que les rapports des forces peuvent tre dtermins de
deux manires diffrentes, soit par le procd statique, soit par le
procd dynamique. En effet, nous ne jugeons pas toujours du rapport de
deux forces d'aprs l'intensit plus ou moins grande des mouvemens
qu'elles peuvent imprimer  un mme corps. Nous l'apprcions frquemment
aussi d'aprs de simples considrations d'quilibre mutuel, en regardant
comme gales les forces qui, appliques en sens contraire, suivant une
mme droite, se dtruisent rciproquement, et ensuite comme double,
triple, etc. d'une autre, la force qui ferait quilibre  deux, trois,
etc., forces gales  celle-ci, et toutes directement opposes  la
seconde. Ce nouveau moyen de mesure est, en ralit, tout aussi usit
que le prcdent. Cela pos, la question consiste essentiellement 
savoir si les deux moyens sont toujours et ncessairement quivalens,
c'est--dire si, les rapports des forces tant d'abord seulement dfinis
par la considration statique, il s'ensuivra, sous le point de vue
dynamique, qu'elles imprimeront  une mme masse des vitesses qui leur
soient exactement proportionnelles. Cette corrlation n'est nullement
vidente par elle-mme; tout au plus peut-on concevoir _ priori_ que
les plus grandes forces doivent ncessairement donner les plus grandes
vitesses. Mais l'observation seule peut dcider si c'est  la premire
puissance de la force ou  toute autre fonction croissante que la
vitesse est proportionnelle.

C'est pour dterminer quelle est,  cet gard, la vritable loi de la
nature, que, de l'aveu de tous les gomtres et particulirement de
Laplace, il faut considrer le fait gnral de l'indpendance ou de la
coexistence des mouvemens. Il est facile de voir, d'aprs le
raisonnement de Laplace, que la thorie de la proportionnalit des
vitesses aux forces est une consquence ncessaire et immdiate de ce
fait gnral, appliqu  deux forces qui agissent dans la mme
direction. Car, si un corps, en vertu d'une certaine force, a parcouru
un espace dtermin suivant une certaine droite, et qu'on vienne 
ajouter, selon la mme direction, une seconde force gale  la premire;
d'aprs la loi de l'indpendance des mouvemens, cette nouvelle force ne
fera que dplacer la totalit de la droite d'application d'une gale
quantit dans le mme temps, sans altrer le mouvement du corps le long
de cette droite, en sorte que par la composition des deux mouvemens, ce
corps aura effectivement parcouru un espace double de celui qui
correspondait  la force primitive. Telle est la seule manire dont on
puisse rellement constater la proportionnalit gnrale des vitesses
aux forces, que je dois ainsi me dispenser de regarder comme une
quatrime loi fondamentale du mouvement, puisqu'elle rentre dans la
troisime.

Il est donc vident que, quand on a cru pouvoir se dispenser en
mcanique du fait gnral de l'indpendance des mouvemens pour tablir
la loi fondamentale de la composition des forces, la ncessit de
regarder cette proposition de philosophie naturelle comme une des bases
indispensables de la science s'est reproduite invitablement pour
dmontrer la loi non moins importante des forces proportionnelles aux
vitesses, ce qui met cette ncessit hors de toute contestation. Ainsi
quel a t le rsultat rel de tous les efforts intellectuels qui ont
t tents pour viter d'introduire directement, dans les prolgomnes
de la mcanique, cette observation fondamentale? seulement de paratre
s'en dispenser en statique, et de ne la prendre videmment en
considration qu'aussitt qu'on passe  la dynamique. Tout se rduit
donc effectivement  une simple transposition. Il est clair qu'un
rsultat aussi peu important n'est nullement proportionn  la
complication des procds indirects qui ont t employs pour y
parvenir, quand mme ces procds seraient logiquement irrprochables,
et nous avons expressment reconnu le contraire. Il est donc, sous tous
les rapports, beaucoup plus satisfaisant de se conformer franchement et
directement  la ncessit philosophique de la science, et, puisqu'elle
ne saurait se passer d'une base exprimentale, de reconnatre nettement
cette base ds l'origine. Aucune autre marche ne peut rendre
compltement positive une science qui, sans de tels fondemens,
conserverait encore un certain caractre mtaphysique.

Telles sont donc les trois lois physiques du mouvement qui fournissent 
la mcanique rationnelle une base exprimentale suffisante, sur laquelle
l'esprit humain, par de simples oprations logiques, et sans consulter
davantage le monde extrieur, peut solidement tablir l'difice
systmatique de la science. Quoique ces trois lois me semblent pouvoir
suffire, je ne vois _ priori_ aucune raison de n'en point augmenter le
nombre, si on parvenait effectivement  constater qu'elles ne sont pas
strictement compltes. Cette augmentation me paratrait un fort lger
inconvnient pour la perfection rationnelle de la science, puisque ces
lois ne sauraient jamais videmment tre trs-multiplies; je
regarderais comme prfrable, en thse gnrale, d'en tablir une ou
deux de plus, si, pour l'viter, il fallait recourir  des
considrations trop dtournes, qui fussent de nature  altrer le
caractre positif de la science. Mais l'ensemble des trois lois
ci-dessus exposes remplit convenablement,  mes yeux, toutes les
conditions essentielles rellement imposes par la nature des thories
de la mcanique rationnelle. En effet, la premire, celle de Kpler,
dtermine compltement l'effet produit par une force unique agissant
instantanment: la seconde, celle de Newton, tablit la rgle
fondamentale pour la communication du mouvement par l'action des corps
les uns sur les autres; enfin la troisime, celle de Galile, conduit
immdiatement au thorme gnral relatif  la composition des
mouvemens. On conoit, d'aprs cela, que toute la mcanique des
mouvemens uniformes ou des forces instantanes peut tre entirement
traite comme une consquence directe de la combinaison de ces trois
lois, qui, tant de leur nature extrmement prcises, sont videmment
susceptibles d'tre aussitt exprimes par des quations analytiques
faciles  obtenir. Quant  la partie la plus tendue et la plus
importante de la mcanique, celle qui en constitue essentiellement la
difficult, c'est--dire la mcanique des mouvemens varis ou des forces
continues, on peut concevoir, d'une manire gnrale, la possibilit de
la ramener  la mcanique lmentaire dont nous venons d'indiquer le
caractre, par l'application de la mthode infinitsimale, qui permettra
de substituer, pour chaque instant infiniment petit, un mouvement
uniforme au mouvement vari, d'o rsulteront immdiatement les
quations diffrentielles relatives  cette dernire espce de
mouvemens. Il sera sans doute fort important d'tablir directement et
avec prcision, dans les leons suivantes, la manire gnrale
d'employer une telle mthode pour rsoudre les deux problmes essentiels
de la mcanique rationnelle, et de considrer soigneusement les
principaux rsultats que les gomtres ont ainsi obtenus relativement
aux lois abstraites de l'quilibre et du mouvement. Mais il est, ds ce
moment, vident que la science se trouve rellement fonde par
l'ensemble des trois lois physiques tablies ci-dessus, et que tout le
travail devient dsormais purement rationnel, devant consister seulement
dans l'usage  faire de ces lois pour la solution des diffrentes
questions gnrales. En un mot, la sparation entre la partie
ncessairement physique et la partie simplement logique de la science me
semble pouvoir tre ainsi nettement effectue d'une manire exacte et
dfinitive.

Pour terminer cet aperu gnral du caractre philosophique de la
mcanique rationnelle, il ne nous reste plus maintenant qu' considrer
sommairement les divisions principales de cette science, les divisions
secondaires devant tre envisages dans les leons suivantes.

La premire et la plus importante division naturelle de la mcanique
consiste  distinguer deux ordres de questions, suivant qu'on se propose
la recherche des conditions de l'quilibre, ou l'tude des lois du
mouvement, d'o la _statique_, et la _dynamique_. Il suffit d'indiquer
une telle division, pour en faire comprendre directement la ncessit
gnrale. Outre la diffrence effective qui existe videmment entre ces
deux classes fondamentales de problmes, il est ais de concevoir _
priori_ que les questions de statique doivent tre, en gnral, par leur
nature, bien plus faciles  traiter que les questions de dynamique.
Cela rsulte essentiellement de ce que, dans les premires, on fait,
comme on l'a dit avec raison, _abstraction du temps_; c'est--dire que,
le phnomne  tudier tant ncessairement instantan, on n'a pas
besoin d'avoir gard aux variations que les forces du systme peuvent
prouver dans les divers instans successifs. Cette considration qu'il
faut, au contraire, introduire dans toute question de dynamique, y
constitue un lment fondamental de plus, qui en fait la principale
difficult. Il suit, en thse gnrale, de cette diffrence radicale,
que la statique tout entire, quand on la traite comme un cas
particulier de la dynamique, correspond seulement  la partie de
beaucoup la plus simple de la dynamique,  celle qui concerne la thorie
des mouvemens uniformes, comme nous l'tablirons spcialement dans la
leon suivante.

L'importance de cette division est bien clairement vrifie par
l'histoire gnrale du dveloppement effectif de l'esprit humain. Nous
voyons, en effet, que les anciens avaient acquis quelques connaissances
fondamentales trs-essentielles relativement  l'quilibre, soit des
solides, soit des fluides, comme on le voit surtout par les belles
recherches d'Archimde, quoiqu'ils fussent encore fort loigns de
possder une statique rationnelle vraiment complte. Au contraire, ils
ignoraient entirement la dynamique, mme la plus lmentaire; la
premire cration de cette science toute moderne est due  Galile.

Aprs cette division fondamentale, la distinction la plus importante 
tablir en mcanique consiste  sparer, soit dans la statique, soit
dans la dynamique, l'tude des solides et celle des fluides. Quelque
essentielle que soit cette division, je ne la place qu'en seconde ligne,
et subordonne  la prcdente, suivant la mthode tablie par Lagrange,
car c'est, ce me semble, s'exagrer son influence que de la constituer
division principale, comme on le fait encore dans les traits ordinaires
de mcanique. Les principes essentiels de statique ou de dynamique sont,
en effet, ncessairement les mmes pour les fluides que pour les
solides; seulement les fluides exigent d'ajouter aux conditions
caractristiques du systme une considration de plus, celle relative 
la variabilit de forme, qui dfinit gnralement leur constitution
mcanique propre. Mais, tout en plaant cette distinction au rang
convenable, il est facile de concevoir _ priori_ son extrme
importance, et de sentir, en gnral, combien elle doit augmenter la
difficult fondamentale des questions, soit dans la statique, soit
surtout dans la dynamique. Car cette parfaite indpendance rciproque
des molcules, qui caractrise les fluides, oblige de considrer
sparment chaque molcule, et, par consquent, d'envisager toujours,
mme dans le cas le plus simple, un systme compos d'une infinit de
forces distinctes. Il en rsulte, pour la statique, l'introduction d'un
nouvel ordre de recherches, relativement  la figure du systme dans
l'tat d'quilibre, question trs-difficile par sa nature, et dont la
solution gnrale est encore peu avance, mme pour le seul cas de la
pesanteur universelle. Mais la difficult est encore plus sensible dans
la dynamique. En effet, l'obligation o l'on se trouve alors strictement
de considrer  part le mouvement propre de chaque molcule, pour faire
une tude vraiment complte du phnomne, introduit dans la question,
envisage sous le point de vue analytique, une complication jusqu'
prsent inextricable en gnral, et qu'on n'est encore parvenu 
surmonter, mme dans le cas trs-simple d'un fluide uniquement m par sa
pesanteur terrestre, qu' l'aide d'hypothses fort prcaires, comme
celle de Daniel Bernouilli sur le paralllisme des tranches, qui
altrent d'une manire notable la ralit des phnomnes. On conoit
donc, en thse gnrale, la plus grande difficult ncessaire de
l'hydrostatique, et surtout de l'hydrodynamique, par rapport  la
statique et  la dynamique proprement dites, qui sont en effet bien plus
avances.

Il faut ajouter  ce qui prcde, pour se faire une juste ide gnrale
de cette diffrence fondamentale, que la dfinition caractristique par
laquelle les gomtres distinguent les solides et les fluides en
mcanique rationnelle, n'est vritablement,  l'gard des uns comme 
l'gard des autres, qu'une reprsentation exagre, et, par consquent,
strictement infidle de la ralit. En effet, quant aux fluides
principalement, il est clair que leurs molcules ne sont point
rellement dans cet tat rigoureux d'indpendance mutuelle o nous
sommes obligs de les supposer en mcanique, en les assujtissant
seulement  conserver entre elles un volume constant s'il s'agit d'un
liquide, ou, s'il s'agit d'un gaz, un volume variable suivant une
fonction donne de la pression, par exemple, en raison inverse de cette
pression, d'aprs la loi de Mariotte. Un grand nombre de phnomnes
naturels sont, au contraire, essentiellement dus  l'adhrence mutuelle
des molcules d'un fluide, liaison qui est seulement beaucoup moindre
que dans les solides. Cette adhsion, dont on fait abstraction pour les
fluides mathmatiques, et qu'il semble, en effet, presqu'impossible de
prendre convenablement en considration, dtermine, comme on sait, des
diffrences trs-sensibles entre les phnomnes effectifs et ceux qui
rsultent de la thorie, soit pour la statique, soit surtout, pour la
dynamique, par exemple relativement  l'coulement d'un liquide pesant
par un orifice dtermin, o l'observation s'carte notablement de la
thorie quant  la dpense de liquide en un temps donn.

Quoique la dfinition mathmatique des solides se trouve reprsenter
beaucoup plus exactement leur tat rel, on a cependant plusieurs
occasions de reconnatre la ncessit de tenir compte en certains cas de
la possibilit de sparation mutuelle qui existe toujours entre les
molcules d'un solide, si les forces qui leur sont appliques,
acquirent une intensit suffisante, et dont on fait compltement
abstraction en mcanique rationnelle. C'est ce qu'on peut aisment
constater surtout dans la thorie de la rupture des solides, qui, 
peine bauche par Galile, par Huyghens, et par Lebnitz, se trouve
aujourd'hui dans un tat fort imparfait et mme trs-prcaire, malgr
les travaux de plusieurs autres gomtres, et qui nanmoins serait
importante pour clairer plusieurs questions de mcanique terrestre,
principalement de mcanique industrielle. On doit pourtant remarquer, 
ce sujet, que cette imperfection est  la fois beaucoup moins sensible
et bien moins importante que celle ci-dessus note, relativement  la
mcanique des fluides. Car elle se trouve ne pouvoir nullement influer
sur les questions de mcanique cleste, qui constituent rellement,
comme nous avons eu plusieurs occasions de le reconnatre, la principale
application, et probablement la seule qui puisse tre jamais vraiment
complte, de la mcanique rationnelle.

Enfin nous devons encore signaler, en thse gnrale, dans la mcanique
actuelle, une lacune, secondaire il est vrai, mais qui n'est pas sans
importance, relativement  la thorie d'une classe de corps qui sont
dans un tat intermdiaire entre la solidit et la fluidit rigoureuses,
et qu'on pourrait appeler semi-fluides, ou semi-solides: tels sont par
exemple, d'une part, les sables, et, d'une autre part, les fluides 
l'tat glatineux. Il a t prsent quelques considrations
rationnelles au sujet de ces corps, sous le nom _fluides imparfaits_,
surtout relativement  leurs surfaces d'quilibre. Mais leur thorie
propre n'a jamais t rellement tablie d'une manire gnrale et
directe.

Tels sont les principaux aperus gnraux que j'ai cru devoir indiquer
sommairement pour faire apprcier le caractre philosophique qui
distingue la mcanique rationnelle, envisage dans son ensemble. Il
s'agit maintenant, en considrant sous le mme point de vue
philosophique la composition effective de la science, d'apprcier
comment, par les importans travaux successifs des plus grands
gomtres, cette seconde section gnrale si tendue, si essentielle, et
si difficile de la mathmatique concrte, a pu tre leve  cet minent
degr de perfection thorique qu'elle a atteint de nos jours dans
l'admirable trait de Lagrange, et qui nous prsente toutes les
questions abstraites qu'elle est susceptible d'offrir, ramenes, d'aprs
un principe unique,  ne plus dpendre que de recherches purement
analytiques, comme nous l'avons dj reconnu pour les problmes
gomtriques. Ce sera l'objet des trois leons suivantes; la premire
consacre  la _statique_, la seconde  la dynamique, et la troisime, 
l'examen des thormes gnraux de la mcanique rationnelle.




SEIZIME LEON.

SOMMAIRE. Vue gnrale de la statique.


L'ensemble de la mcanique rationnelle peut tre trait d'aprs deux
mthodes gnrales essentiellement distinctes et ingalement parfaites,
suivant que la statique est conue d'une manire directe, ou qu'elle est
considre comme un cas particulier de la dynamique. Par la premire
mthode, on s'occupe immdiatement de dcouvrir un principe d'quilibre
suffisamment gnral, qu'on applique ensuite  la dtermination des
conditions d'quilibre de tous les systmes de forces possibles. Par la
seconde, au contraire, on cherche d'abord quel serait le mouvement
rsultant de l'action simultane des diverses forces quelconques
proposes, et on en dduit les relations qui doivent exister entre ces
forces pour que ce mouvement soit nul.

La statique tant ncessairement d'une nature plus simple que la
dynamique, la premire mthode a pu seule tre employe  l'origine de
la mcanique rationnelle. C'est, en effet, la seule qui ft connue des
anciens, entirement trangers  toute ide de dynamique, mme la plus
lmentaire. Archimde, vrai fondateur de la statique, et auquel sont
dues toutes les notions essentielles que l'antiquit possdait  cet
gard, commence  tablir la condition d'quilibre de deux poids
suspendus aux deux extrmits d'un levier droit, c'est--dire la
ncessit que ces poids soient en raison inverse de leurs distances au
point d'appui du levier; et il s'efforce ensuite de ramener autant que
possible  ce principe unique la recherche des relations d'quilibre
propres  d'autres systmes de forces. Pareillement, quant  la statique
des fluides, il pose d'abord son clbre principe, consistant en ce que
tout corps plong dans un fluide perd une partie de son poids gale au
poids du fluide dplac; et ensuite il en dduit, dans un grand nombre
de cas, la thorie de la stabilit des corps flottans. Mais le principe
du levier n'avait point par lui-mme une assez grande gnralit pour
qu'il ft possible de l'appliquer rellement  la dtermination des
conditions d'quilibre de tous les systmes de forces. Par quelques
ingnieux artifices qu'on ait successivement essay d'en tendre
l'usage, on n'a pu effectivement y ramener que les systmes composs de
forces parallles. Quant aux forces dont les directions concourent, on a
d'abord essay de suivre une marche analogue, en imaginant de nouveaux
principes directs d'quilibre spcialement propres  ce cas plus
gnral, et parmi lesquels il faut surtout remarquer l'heureuse ide de
Stvin, relative  l'quilibre du systme de deux poids poss sur deux
plans inclins adosss. Cette nouvelle ide-mre et peut-tre suffi
strictement pour combler la lacune que laissait dans la statique le
principe d'Archimde, puisque Stvin tait parvenu  en dduire les
rapports d'quilibre entre trois forces appliques en un mme point,
dans le cas du moins o deux de ces forces sont  angles droits; et il
avait mme remarqu que les trois forces sont alors entre elles comme
les trois cts d'un triangle dont les angles seraient gaux  ceux
forms par ces trois forces. Mais, la dynamique ayant t fonde dans le
mme temps par Galile, les gomtres cessrent de suivre l'ancienne
marche statique directe, prfrant procder  la recherche des
conditions d'quilibre d'aprs les lois ds lors connues de la
composition des forces. C'est par cette dernire mthode que Varignon
dcouvrit la vritable thorie gnrale de l'quilibre d'un systme de
forces appliques en un mme point, et que plus tard d'Alembert tablit
enfin, pour la premire fois, les quations d'quilibre d'un systme
quelconque de forces appliques aux diffrens points d'un corps solide
de forme invariable. Cette mthode est encore aujourd'hui la plus
universellement employe.

Au premier abord, elle semble peu rationnelle, puisque, la dynamique
tant plus complique que la statique, il ne parat nullement convenable
de faire dpendre celle-ci de l'autre. Il serait, en effet, plus
philosophique de ramener au contraire, s'il est possible, la dynamique 
la statique, comme on y est parvenu depuis. Mais on doit nanmoins
reconnatre que, pour traiter compltement la statique comme un cas
particulier de la dynamique, il suffit d'avoir form seulement la partie
la plus lmentaire de celle-ci, la thorie des mouvemens uniformes,
sans avoir aucun besoin de la thorie des mouvemens varis. Il importe
d'expliquer avec prcision cette distinction fondamentale.

A cet effet, observons d'abord qu'il existe, en gnral, deux sortes de
forces: 1 les forces que j'appelle _instantanes_, comme les
impulsions, qui n'agissent sur un corps qu' l'origine du mouvement, en
l'abandonnant  lui-mme aussitt qu'il est en marche; 2 les forces
qu'on appelle assez improprement _acclratrices_, et que je prfre
nommer _continues_, comme les attractions, qui agissent sans cesse sur
le mobile pendant toute la dure du mouvement. Cette distinction
quivaut videmment  celle des mouvemens _uniformes_ et des mouvemens
_varis_; car il est clair, en vertu de la premire des trois lois
fondamentales du mouvement exposes dans la leon prcdente, que toute
force instantane doit ncessairement produire un mouvement uniforme,
tandis que toute force continue doit, au contraire, par sa nature,
imprimer au mobile un mouvement indfiniment vari. Cela pos, on
conoit fort aisment, _ priori_, comme je l'ai dj indiqu plusieurs
fois, que la partie de la dynamique relative aux forces instantanes ou
aux mouvemens uniformes doit tre, sans aucune comparaison, infiniment
plus simple que celle qui concerne les forces continues ou les mouvemens
varis, et dans laquelle consiste essentiellement toute la difficult de
la dynamique. La premire partie prsente une telle facilit, qu'elle
peut tre traite dans son ensemble comme une consquence immdiate des
trois lois fondamentales du mouvement, ainsi que je l'ai expressment
remarqu  la fin de la leon prcdente. Or il est maintenant ais de
concevoir, en thse gnrale, que c'est seulement de cette premire
partie de la dynamique qu'on a besoin pour constituer la statique comme
un cas particulier de la dynamique.

En effet, le phnomne d'quilibre, dont il s'agit alors de dcouvrir
les lois, est videmment, par sa nature, un phnomne instantan, qui
doit tre tudi sans aucun gard au temps. La considration du temps ne
s'introduit que dans les recherches relatives  ce qu'on appelle la
_stabilit_ de l'quilibre; mais ces recherches ne font plus, 
proprement parler, partie de la statique, et rentrent essentiellement
dans la dynamique. En un mot, suivant l'aphorisme ordinaire dj cit,
on fait toujours, en statique, abstraction du temps. Il en rsulte qu'on
y peut regarder comme instantanes toutes les forces que l'on considre,
sans que les thories cessent pour cela d'avoir toute la gnralit
ncessaire. Car,  chaque poque de son action, une force continue peut
toujours videmment tre remplace par une force instantane
mcaniquement quivalente, c'est--dire susceptible d'imprimer au mobile
une vitesse gale  celle que lui donne effectivement en cet instant la
force propose. A la vrit, il faudra, dans le moment infiniment petit
suivant, substituer  cette force instantane une nouvelle force de mme
nature, pour reprsenter le changement effectif de la vitesse, de telle
sorte que, en dynamique, o l'on doit considrer l'tat du mobile dans
les divers instans successifs, on retrouvera ncessairement par la
variation de ces forces instantanes la difficult fondamentale
inhrente  la nature des forces continues, et qui n'aura fait que
changer de forme. Mais, en statique, o il ne s'agit d'envisager les
forces que dans un instant unique, on n'aura point  tenir compte de ces
variations, et les lois gnrales de l'quilibre, ainsi tablies en
considrant toutes les forces comme instantanes, n'en seront pas moins
applicables  des forces continues, pourvu qu'on ait soin, dans cette
application, de substituer  chaque force continue la force instantane
qui lui correspond en ce moment.

On conoit donc nettement par l comment la statique abstraite peut tre
traite avec facilit comme une simple application de la partie la plus
lmentaire de la dynamique, celle qui se rapporte aux mouvemens
uniformes. La manire la plus convenable d'effectuer cette application
consiste  remarquer que, lorsque des forces quelconques sont en
quilibre, chacune d'entre elles, considre isolment, peut tre
regarde comme dtruisant l'effet de l'ensemble de toutes les autres.
Ainsi la recherche des conditions de l'quilibre se rduit, en gnral,
 exprimer que l'une quelconque des forces du systme, est gale et
directement oppose  la _rsultante_ de toutes les autres. La
difficult ne consiste donc, dans cette mthode, qu' dterminer cette
rsultante, c'est--dire  _composer_ entre elles les forces proposes.
Cette composition s'effectue immdiatement pour le cas de deux forces
d'aprs la troisime loi fondamentale du mouvement, et l'on en dduit
ensuite la composition d'un nombre quelconque de forces. La question
lmentaire prsente, comme on sait, deux cas essentiellement distincts,
suivant que les deux forces  composer agissent dans des directions
convergentes ou dans des directions parallles. Chacun de ces deux cas
peut tre trait comme drivant de l'autre, d'o rsulte parmi les
gomtres une certaine divergence dans la manire d'tablir les lois
lmentaires de la composition des forces, suivant le cas que l'on
choisit pour point de dpart. Mais, sans contester la possibilit
rigoureuse de procder autrement, il me semble plus rationnel, plus
philosophique et plus strictement conforme  l'esprit de cette manire
de traiter la statique, de commencer par la composition des forces qui
concourent, d'o l'on dduit naturellement celle des forces parallles
comme cas particulier, tandis que la dduction inverse ne peut se faire
qu' l'aide de considrations indirectes, qui, quelque ingnieuses
qu'elles puissent tre, prsentent ncessairement quelque chose de
forc.

Aprs avoir tabli les lois lmentaires de la composition des forces,
les gomtres, avant de les appliquer  la recherche des conditions de
l'quilibre, leur font prouver ordinairement une importante
transformation, qui, sans tre compltement indispensable, prsente
nanmoins, sous le rapport analytique, la plus haute utilit, par
l'extrme simplification qu'elle introduit dans l'expression algbrique
des conditions d'quilibre. Cette transformation consiste dans ce qu'on
appelle la thorie des _momens_, dont la proprit essentielle est de
rduire analytiquement toutes les lois de la composition des forces  de
simples additions et soustractions. La dnomination de _momens_,
entirement dtourne aujourd'hui de sa signification premire, ne
dsigne plus maintenant que la considration abstraite du produit d'une
force par une distance. Il faut distinguer, comme on sait, deux sortes
de _momens_, les momens par rapport  un point, qui indiquent le produit
d'une force par la perpendiculaire abaisse de ce point sur sa
direction, et les momens par rapport  un plan, qui dsignent le produit
de la force par la distance de son point d'application  ce plan. Les
premiers ne dpendent videmment que de la direction de la force, et
nullement de son point d'application; ils sont spcialement appropris
par leur nature  la thorie des forces non parallles: les seconds au
contraire, ne dpendent que du point d'application de la force, et
nullement de sa direction; ils sont donc essentiellement destins  la
thorie des forces parallles. Nous aurons occasion d'indiquer plus bas
par quelle heureuse ide fondamentale M. Poinsot est parvenu  attribuer
gnralement, et de la manire la plus naturelle, une signification
concrte directe  l'un et  l'autre genre de momens, qui n'avaient
rellement avant lui qu'une valeur abstraite.

La notion des momens une fois tablie, leur thorie lmentaire consiste
essentiellement dans ces deux proprits gnrales trs-remarquables,
qu'on dduit aisment de la composition des forces: 1 si l'on considre
un systme de forces toutes situes dans un mme plan, et disposes
d'ailleurs d'une manire quelconque, le moment de leur rsultante, par
rapport  un point quelconque de ce plan, est gal  la somme algbrique
des momens de toutes les composantes par rapport  ce mme point, en
attribuant  ces divers momens le signe convenable, d'aprs le sens
suivant lequel chaque force tendrait  faire tourner son bras de levier
autour de l'origine des momens suppose fixe; 2 en considrant un
systme de forces parallles disposes d'une manire quelconque dans
l'espace, le moment de leur rsultante par rapport  un plan quelconque
est gal  la somme algbrique des momens de toutes les composantes par
rapport  ce mme plan, le signe de chaque moment tant alors
naturellement dtermin, conformment aux rgles ordinaires, d'aprs le
signe propre  chacun des facteurs dont il se compose. Le premier de ces
deux thormes fondamentaux a t dcouvert par un gomtre auquel la
mcanique rationnelle doit beaucoup, et dont la mmoire a t dignement
releve par Lagrange d'un injuste oubli, Varignon. La manire dont
Varignon tablit ce thorme dans le cas de deux composantes, d'o
rsulte immdiatement le cas gnral, est mme spcialement remarquable.
En effet, regardant le moment de chaque force par rapport  un point
comme videmment proportionnel  l'aire du triangle qui aurait ce point
pour sommet et pour base la droite qui reprsente la force, Varignon,
d'aprs la loi du paralllogramme des forces, prsente d'abord le
thorme des momens sous une forme gomtrique trs-simple, en
dmontrant que si, dans le plan d'un paralllogramme, on prend un point
quelconque, et que l'on considre les trois triangles ayant ce point
pour sommet commun, et pour bases les deux cts contigus du
paralllogramme et la diagonale correspondante, le triangle construit
sur la diagonale sera constamment quivalent  la somme o  la
diffrence des triangles construits sur les deux cts; ce qui est en
soi, comme l'observe avec raison Lagrange, un beau thorme de
gomtrie, indpendamment de son utilit en mcanique.

A l'aide de cette thorie des momens, on parvient  exprimer aisment
les relations analytiques qui doivent exister entre les forces dans
l'tat d'quilibre, en considrant d'abord, pour plus de facilit, les
deux cas particuliers d'un systme de forces toutes situes d'une
manire quelconque dans un mme plan, et d'un systme quelconque de
forces parallles. Chacun de ces deux systmes exige, en gnral, trois
quations d'quilibre, qui consistent: 1 pour le premier, en ce que la
somme algbrique des produits de chaque force, soit par le cosinus, soit
par le sinus de l'angle qu'elle fait avec une droite fixe prise
arbitrairement dans le plan soit sparment nulle, ainsi que la somme
algbrique des momens de toutes les forces par rapport  un point
quelconque de ce plan; 2 pour le second, en ce que la somme algbrique
de toutes les forces proposes soit nulle, ainsi que la somme algbrique
de leurs momens pris sparment par rapport  deux plans diffrens
parallles  la direction commune de ces forces. Aprs avoir trait ces
deux cas prliminaires, il est facile d'en dduire celui d'un systme de
forces tout--fait quelconque. Il suffit, pour cela, de concevoir chaque
force du systme dcompose en deux, l'une situe dans un plan fixe
quelconque, l'autre perpendiculaire  ce plan. Le systme propos se
trouvera ds lors remplac par l'ensemble de deux systmes secondaires
plus simples, l'un compos de forces diriges toutes dans un mme plan,
l'autre de forces toutes perpendiculaires  ce plan et consquemment
parallles entre elles. Comme ces deux systmes partiels ne sauraient
videmment se faire quilibre l'un  l'autre, il faudra donc, pour que
l'quilibre puisse avoir lieu dans le systme gnral primitif, qu'il
existe dans chacun d'eux en particulier, ce qui ramne la question aux
deux questions prliminaires dj traites. Telle est du moins la
manire la plus simple de concevoir, en traitant la statique par la
mthode dynamique, la recherche gnrale des conditions analytiques de
l'quilibre pour un systme quelconque de forces; quoiqu'il ft
d'ailleurs possible videmment, en compliquant la solution, de rsoudre
directement le problme dans son entire gnralit, de faon  y faire
rentrer au contraire, comme une simple application, les deux cas
prliminaires. Quelque marche qu'on juge  propos d'adopter, on trouve
pour l'quilibre d'un systme quelconque de forces, les six quations
suivantes: /[SPcos/alpha = 0,/;SPcos/beta = 0,/;SPcos/gamma = 0,/]
/[SP(ycos/alpha-xcos/beta) = 0,/;SP(zcos/alpha-xcos/gamma) = 0,/]
/[SP(ycos/gamma-zcos/beta) = 0;/] en dsignant par P l'intensit de
l'une quelconque des forces du systme, par /alpha, /beta, /gamma, les
angles que forme sa direction avec trois axes fixes rectangulaires
choisis arbitrairement, et par x, y, z, les coordonnes de son point
d'application relativement  ces trois axes. J'emploie ici la
caractristique S pour dsigner la somme des produits semblables,
propres  toutes les forces du systme P, P', P'', etc.

Telle est, en substance, la manire de procder  la dtermination des
conditions gnrales de l'quilibre, en concevant la statique comme un
cas particulier de la dynamique lmentaire. Mais, quelque simple que
soit en effet cette mthode, il serait videmment plus rationnel et plus
satisfaisant de revenir, s'il est possible,  la mthode des anciens, en
dgageant la statique de toute considration dynamique, pour procder
directement  la recherche des lois de l'quilibre envisag en lui-mme,
 l'aide d'un principe d'quilibre suffisamment gnral, tabli
immdiatement. C'est effectivement ce que les gomtres ont tent, quand
une fois les quations gnrales de l'quilibre ont t dcouvertes par
la mthode dynamique. Mais ils ont surtout t dtermins  tablir une
mthode statique directe, par un motif philosophique d'un ordre plus
lev et en mme temps plus pressant que le besoin de prsenter la
statique sous un point de vue logique plus parfait. C'est maintenant ce
qu'il nous importe minemment d'expliquer, puisque telle est la marche
qui a conduit Lagrange  imprimer  l'ensemble de la mcanique
rationnelle cette haute perfection philosophique qui la caractrise
dsormais.

Ce motif fondamental rsulte de la ncessit o l'ont se trouve pour
traiter, en gnral, les questions les plus difficiles et les plus
importantes de la dynamique, de les faire rentrer dans de simples
questions de statique. Nous examinerons spcialement, dans la leon
suivante, le clbre principe gnral de dynamique dcouvert par
d'Alembert, et  l'aide duquel toute recherche relative au mouvement
d'un corps ou d'un systme quelconque, peut tre convertie immdiatement
en un problme d'quilibre. Ce principe, qui, sous le point de vue
philosophique, n'est vraiment, comme je l'ai dj indiqu dans la leon
prcdente, que la plus grande gnralisation possible de la seconde
loi fondamentale du mouvement, sont depuis prs d'un sicle de base
permanente  la solution de tous les grands problmes de dynamique, et
doit videmment dsormais recevoir de plus en plus une telle
destination, vu l'admirable simplification qu'il apporte dans les
recherches les plus difficiles. Or il est clair qu'une semblable manire
de procder oblige ncessairement  traiter  son tour la statique par
une mthode directe, sans la dduire de la dynamique, qui ainsi est, au
contraire, entirement fonde sur elle. Ce n'est pas qu'il y ait, 
proprement parler, aucun vritable cercle vicieux  persister encore
dans la marche ordinaire expose ci-dessus, puisque la partie
lmentaire de la dynamique, sur laquelle seule on a fait reposer la
statique, se trouve, en ralit, tre compltement distincte de celle
qu'on ne peut traiter qu'en la rduisant  la statique. Mais il n'en est
pas moins vident que l'ensemble de la mcanique rationnelle ne prsente
alors, en procdant ainsi, qu'un caractre philosophique peu
satisfaisant,  cause de l'alternative frquente entre le point de vue
statique et le point de vue dynamique. En un mot, la science, mal
coordonne, se trouve, par l, manquer essentiellement d'unit.

L'adoption dfinitive et l'usage universel du principe de d'Alembert
rendaient donc indispensable aux progrs futurs de l'esprit humain une
refonte radicale du systme entier de la mcanique rationnelle, o, la
statique tant traite directement d'aprs une loi primitive d'quilibre
suffisamment gnrale, et la dynamique rappele  la statique,
l'ensemble de la science pt acqurir un caractre d'unit dsormais
irrvocable. Telle est la rvolution minemment philosophique excute
par Lagrange dans son admirable trait de _mcanique analytique_, dont
la conception fondamentale servira toujours de base  tous les travaux
ultrieurs des gomtres sur les lois de l'quilibre et du mouvement,
comme nous avons vu la grande ide mre de Descartes devoir diriger
indfiniment toutes les spculations gomtriques.

En examinant les recherches des gomtres antrieurs sur les proprits
de l'quilibre, pour y puiser un principe direct de statique qui pt
offrir toute la gnralit ncessaire, Lagrange s'est arrt  choisir
le _principe des vitesses virtuelles_, devenu dsormais si clbre par
l'usage immense et capital qu'il en a fait. Ce principe, dcouvert
primitivement par Galile dans le cas de deux forces, comme une
proprit gnrale que manifestait l'quilibre de toutes les machines,
avait t, plus tard, tendu par Jean Bernouilli  un nombre quelconque
de forces, constituant un systme quelconque; et Varignon avait ensuite
remarqu expressment l'emploi universel qu'il tait possible d'en faire
en statique. La combinaison de ce principe avec celui de d'Alembert a
conduit Lagrange  concevoir et  traiter la mcanique rationnelle tout
entire comme dduite d'un seul thorme fondamental, et  lui donner
ainsi le plus haut degr du perfection qu'une science puisse acqurir
sous le rapport philosophique, une rigoureuse unit.

Pour concevoir nettement avec plus de facilit le principe gnral des
vitesses virtuelles, il est encore utile de le considrer d'abord dans
le simple cas de deux forces, comme l'avait fait Galile. Il consiste
alors en ce que, deux forces se faisant quilibre  l'aide d'une machine
quelconque, elles sont entre elles en raison inverse des espaces que
parcouraient dans le sens de leurs directions leurs points
d'application, si on supposait que le systme vnt  prendre un
mouvement infiniment petit: ces espaces portent le nom de _vitesses
virtuelles_, afin de les distinguer des vitesses relles qui auraient
effectivement lieu si l'quilibre n'existait pas. Dans cet tat
primitif, ce principe, qu'on peut trs-aisment vrifier relativement 
toutes les machines connues, prsente dj une grande utilit pratique,
vu l'extrme facilit avec laquelle il permet d'obtenir effectivement
la condition mathmatique d'quilibre d'une machine quelconque, dont la
constitution serait mme entirement inconnue. En appelant _moment
virtuel_ ou simplement _moment_, suivant l'acception primitive de ce
terme parmi les gomtres, le produit de chaque force par sa _vitesse
virtuelle_, produit qui, en effet, mesure alors l'effort de la force
pour mouvoir la machine, on peut simplifier beaucoup l'nonce du
principe en se bornant  dire que, dans ce cas, les momens des deux
forces doivent tre gaux et de signe contraire pour qu'il y ait
quilibre; le signe positif ou ngatif de chaque _moment_ est dtermin
d'aprs celui de la vitesse virtuelle, qu'on estimera, conformment 
l'esprit ordinaire de la thorie mathmatique des signes, positive ou
ngative selon que, par le mouvement fictif que l'on imagine, la
projection du point d'application se trouverait tomber sur la direction
mme de la force ou sur son prolongement. Cette expression abrge du
principe des vitesses virtuelles est surtout utile pour noncer ce
principe d'une manire gnrale, relativement  un systme de forces
tout--fait quelconque. Il consiste alors en ce que la somme algbrique
des momens virtuels de toutes les forces, estims suivant la rgle
prcdente, doit tre nulle pour qu'il y ait quilibre; et cette
condition doit avoir lieu distinctement par rapport  tous les
mouvemens lmentaires que le systme pourrait prendre en vertu des
forces dont il est anim. En appelant P, P', P'', etc., les forces
proposes, et, suivant la notation ordinaire de Lagrange, /delta/rho,
/delta/rho', /delta/rho'', etc., les vitesses virtuelles
correspondantes, ce principe se trouve immdiatement exprim par
l'quation /[P/delta/rho + P'/delta/rho' + P''/delta/rho'' + /mbox{/rm
etc.} = 0,/] ou, plus brivement, /[/int P/delta/rho = 0,/] dans
laquelle, par les travaux de Lagrange, la mcanique rationnelle tout
entire peut tre regarde comme implicitement renferme. Quant  la
statique, la difficult fondamentale de dvelopper convenablement cette
quation gnrale se rduira essentiellement, lorsque toutes les forces
dont il faut tenir compte seront bien connues,  une difficult purement
analytique, qui consistera  rapporter, dans chaque cas, d'aprs les
conditions de liaison caractristiques du systme considr, toutes les
variations infiniment petites /delta p, /delta p', etc., au plus petit
nombre possible de variations rellement indpendantes, afin d'annuler
sparment les divers groupes de termes relatifs  chacune de ces
dernires variations, ce qui fournit, pour l'quilibre, autant
d'quations distinctes qu'il pourrait exister de mouvemens lmentaires
vraiment diffrens par la nature du systme propos. En supposant que
les forces soient entirement quelconques, et qu'elles soient appliques
aux divers points d'un corps solide, qui ne soit d'ailleurs assujetti 
aucune condition particulire, on parvient aussi immdiatement et de la
manire la plus simple aux six quations gnrales de l'quilibre
rapportes ci-dessus d'aprs la mthode dynamique. Si le solide, au lieu
d'tre compltement libre, doit tre plus ou moins gn, il suffit
d'introduire au nombre des forces du systme les rsistances qui en
rsultent aprs les avoir convenablement dfinies, ce qui ne fera
qu'ajouter quelques nouveaux termes  l'quation fondamentale. Il en est
de mme quand la forme du solide n'est point suppose rigoureusement
invariable, et qu'on vient, par exemple,  considrer son lasticit. De
semblables modifications n'ont d'autre effet, sous le point de vue
logique, que de compliquer plus ou moins l'quation des vitesses
virtuelles, qui ne cesse point pour cela de conserver ncessairement son
entire gnralit, quoique ces conditions secondaires puissent
quelquefois rendre presqu'inextricables les difficults purement
analytiques que prsente la solution effective de la question propose.

Tant que le thorme des vitesses virtuelles n'avait t conu que comme
une proprit gnrale de l'quilibre, on avait pu se borner  le
vrifier par sa conformit constante avec les lois ordinaires de
l'quilibre dj obtenues autrement, et dont il prsentait ainsi un
rsum trs-utile par sa simplicit et son uniformit. Mais, pour faire
de ce thorme fondamental la base effective de toute la mcanique
rationnelle, en un mot, pour la convertir en un vritable principe, il
tait indispensable de l'tablir directement sans le dduire d'aucun
autre, ou du moins en ne supposant que des propositions prliminaires
susceptibles par leur extrme simplicit d'tre prsentes comme
immdiates. C'est ce qu'a si heureusement excut Lagrange par son
ingnieuse dmonstration fonde sur le principe des mouffles et dans
laquelle il parvient  prouver gnralement le thorme des vitesses
virtuelles avec une extrme facilit, en imaginant un poids unique, qui,
 l'aide de mouffles convenablement construites, se trouve remplacer
simultanment toutes les forces du systme. On a successivement propos
depuis quelques autres dmonstrations directes et gnrales du principe
des vitesses virtuelles, mais qui, beaucoup plus compliques que celle
de Lagrange, ne lui sont, en ralit, nullement suprieures quant  la
rigueur logique. Pour nous, sous le point de vue philosophique, nous
devons regarder ce thorme gnral comme une consquence ncessaire des
lois fondamentales du mouvement, d'o elle peut tre dduite de diverses
manires, et qui devient ensuite le point de dpart effectif de la
mcanique rationnelle tout entire.

L'emploi d'un tel principe ramenant l'ensemble de la science  une
parfaite unit, il devient videmment fort peu intressant dsormais de
connatre d'autres principes plus gnraux encore, en supposant qu'on
puisse en obtenir. On peut donc regarder comme essentiellement oiseuses
par leur nature les tentatives qui pourraient tre projetes pour
substituer quelque nouveau principe  celui des vitesses virtuelles. Un
tel travail ne saurait plus perfectionner nullement le caractre
philosophique fondamental de la mcanique rationnelle, qui, dans le
trait de Lagrange, est aussi fortement coordonne qu'elle puisse jamais
l'tre. On n'y pourrait rellement avoir en vue d'autre utilit
effective que de simplifier considrablement les recherches analytiques
auxquelles la science est maintenant rduite, ce qui doit paratre
presque impossible quand on envisage avec quelle admirable facilit le
principe des vitesses virtuelles a t adapt par Lagrange 
l'application uniforme de l'analyse mathmatique.

Telle est donc la manire incomparablement la plus parfaite de concevoir
et de traiter la statique, et par suite l'ensemble de la mcanique
rationnelle. Dans un ouvrage tel que celui-ci surtout, nous ne pouvions
hsiter un seul moment  accorder  cette mthode une prfrence
clatante sur tout autre, puisque son principal avantage caractristique
est de perfectionner au plus haut degr la philosophie de cette science.
Cette considration doit avoir  nos yeux bien plus d'importance que
nous ne pouvons en attribuer en sens inverse aux difficults propres
qu'elle prsente encore frquemment dans les applications, et qui
consistent essentiellement dans l'extrme contention intellectuelle
qu'elle exige souvent, ce qui peut tre regard comme tant jusqu' un
certain point inhrent  toute mthode trs-gnrale o les questions
quelconques sont constamment ramenes  un principe unique. Nanmoins
ces difficults sont assez grandes jusqu'ici pour qu'on ne puisse point
encore regarder la mthode de Lagrange comme vraiment lmentaire, de
manire  pouvoir dispenser entirement d'en considrer aucune autre
dans un enseignement dogmatique. C'est ce qui m'a dtermin 
caractriser d'abord avec quelques dveloppemens la mthode dynamique
proprement dite, la seule encore gnralement usite. Mais ces
considrations ne peuvent tre videmment que provisoires; les
principaux embarras qu'occasione l'emploi de la conception de Lagrange
n'ayant rellement d'autre cause essentielle que sa nouveaut. Une telle
mthode n'est point indfiniment destine sans doute  l'usage exclusif
d'un trs-petit nombre de gomtres, qui en ont seuls encore une
connaissance assez familire pour utiliser convenablement les admirables
proprits qui la caractrisent: elle doit certainement devenir plus
tard aussi populaire dans le monde mathmatique que la grande conception
gomtrique de Descartes, et ce progrs gnral serait vraisemblablement
dj presqu'effectu si les notions fondamentales de l'analyse
transcendante taient plus universellement rpandues.

Je ne croirais pas avoir convenablement caractris toutes les notions
philosophiques essentielles relatives  la statique rationnelle, si je
ne faisais maintenant une mention distincte d'une nouvelle conception
fort importante, introduite dans la science par M. Poinsot, et que je
regarde comme le plus grand perfectionnement qu'ait prouv, sous le
point de vue philosophique, le systme gnral de la mcanique, depuis
la rgnration opre par Lagrange, quoiqu'elle ne soit pas exactement
dans la mme direction. Il s'agit, comme on voit, de l'ingnieuse et
lumineuse thorie des couples, que M. Poinsot a si heureusement cre
pour perfectionner directement dans ses conceptions fondamentales la
mcanique rationnelle, et dont la porte ne me parat point avoir t
encore suffisamment apprcie par la plupart des gomtres. On sait que
ces _couples_, ou systmes de forces parallles gales et contraires,
avaient  peine t remarqus avant M. Poinsot comme une sorte de
paradoxe en statique, et qu'il s'est empar de cette notion isole pour
en faire immdiatement le sujet d'une thorie fort tendue et
entirement originale relative  la transformation,  la composition et
 l'usage de ces groupes singuliers, qu'il a montrs dous de proprits
si remarquables par leur gnralit et leur simplicit. Ces proprits
fondamentales consistent essentiellement: 1 sous le rapport de la
direction, en ce que l'effet d'un couple dpend seulement de la
direction de son plan ou de son axe, et nullement de la position de ce
plan, ni de celle du couple dans le plan; 2 quant  l'intensit, en ce
que l'effet d'un couple ne dpend proprement ni de la valeur de chacune
des forces gales qui le composent, ni du bras de levier sur lequel
elles agissent, mais uniquement du produit de cette force par cette
distance, auquel M. Poinsot a donn avec raison le nom de moment du
couple.

En adoptant la mthode dynamique proprement dite pour procder  la
recherche des conditions gnrales de l'quilibre, M. Poinsot l'a
prsente sous un point de vue compltement neuf  l'aide de sa
conception des couples, qui l'a considrablement simplifie et
claircie. Pour caractriser ici sommairement cette varit de la
mthode dynamique, il suffira de concevoir que, en ajoutant en un point
quelconque du systme deux forces gales  chacune de celles que l'on
considre et qui agissent, en sens contraire l'une de l'autre, suivant
une droite parallle  sa direction, on pourra ainsi, sans jamais
altrer videmment l'tat du systme propos, le regarder comme
remplac: 1 par un systme de forces gales aux forces primitives
transportes toutes paralllement  leurs directions au point unique que
l'on aura choisi, et qui, en consquence, seront gnralement
rductibles en une seule; 2 par un systme de couples ayant pour mesure
de leur intensit les momens des forces proposes relativement  ce mme
point, et dont les plans, passant tous en ce mme point, les rendront
aussi rductibles gnralement  un couple unique. On voit, d'aprs
cela, avec quelle facilit on pourra procder ainsi  la dtermination
des relations d'quilibre, puisqu'il suffira de trouver, par les lois
connues de la composition des forces convergentes, cette rsultante
unique, afin d'exprimer qu'elle est nulle; et ensuite, par les lois que
M. Poinsot a tablies pour la composition des couples, obtenir galement
ce couple rsultant, et l'annuler aussi sparment; car il est clair
que, la force et le couple ne pouvant se dtruire mutuellement,
l'quilibre ne saurait exister qu'en les supposant individuellement
nuls.

Il faut, sans doute, reconnatre que cette nouvelle manire de procder
n'est point indispensable pour appliquer la mthode dynamique  la
dtermination des conditions gnrales de l'quilibre. Mais, outre
l'extrme simplification qu'elle introduit dans une telle recherche,
nous devons surtout apprcier, quant aux progrs gnraux de la science,
la clart inattendue qu'elle y apporte, c'est--dire l'aspect minemment
lucide sous lequel elle prsente une partie essentielle de ces
conditions d'quilibre, toutes celles qui sont relatives aux _momens_
des forces proposes, et qui constituent la plus importante moiti des
quations statiques. Ces _momens_, qui n'indiquaient jusqu'alors qu'une
considration purement abstraite, artificiellement introduite dans la
statique pour faciliter l'expression algbrique des lois de l'quilibre,
ont pris dsormais une signification concrte parfaitement distincte,
et sont entrs aussi naturellement que les forces elles-mmes dans les
spculations statiques, comme tant la mesure directe des couples
auxquels ces forces donnent immdiatement naissance. On conoit aisment
_ priori_ quelle facilit cette interprtation gnrale et lmentaire
doit ncessairement procurer pour la combinaison de toutes les ides
relatives  la thorie des momens, comme on en voit dj d'ailleurs la
preuve effective dans l'extension et le perfectionnement de cette
importante thorie, par les travaux de M. Poinsot lui-mme.

Quelles que soient, en ralit, les qualits fondamentales de la
conception de M. Poinsot par rapport  la statique, on doit nanmoins
reconnatre, ce me semble, que c'est surtout au perfectionnement de la
dynamique qu'elle se trouve, par sa nature, essentiellement destine; et
je crois pouvoir assurer,  cet gard, que cette conception n'a point
encore exerc jusqu'ici son influence la plus capitale. Il faut la
regarder, en effet, comme directement propre  perfectionner sous un
rapport trs-important les lmens mmes de la dynamique gnrale, en
rendant la notion des mouvemens de rotation aussi naturelle, aussi
familire, et presqu'aussi simple que celle des mouvemens de
translation. Car le couple peut tre envisag comme l'lment naturel
du mouvement de rotation, aussi bien que la force l'est du mouvement de
translation. Ce n'est pas ici le lieu d'indiquer plus distinctement
cette considration, qui sera convenablement reproduite dans les leons
suivantes. Nous devons seulement concevoir, en thse gnrale, qu'un
usage bien entendu de la thorie des couples tablit la possibilit de
rendre l'tude des mouvemens de rotation, qui constitue jusqu'ici la
partie la plus complique et la plus obscure de la dynamique, aussi
lmentaire et aussi nette que l'tude des mouvemens de translation.
Nous aurons occasion de constater effectivement plus tard  quel degr
de simplicit et de clart M. Poinsot est parvenu  rduire ainsi
diverses propositions essentielles, relatives aux mouvemens de rotation,
et qui n'taient tablies avant lui que de la manire la plus pnible et
la plus indirecte, principalement en ce qui concerne les proprits des
_aires_, dont il a mme sensiblement augment l'tendue et rgularis
l'application sous divers rapports importans, surtout, en dernier lieu,
quant  la dtermination de ce qu'on appelle le _plan invariable_.

Pour complter ces considrations philosophiques sur l'ensemble de la
statique, je crois devoir ajouter ici l'indication sommaire d'une
dernire notion gnrale, qu'il me parat utile d'introduire dans la
thorie de l'quilibre, de quelque manire qu'on ait d'ailleurs jug
convenable de l'tablir.

Quand on veut se faire une juste ide de la nature des diverses
quations qui expriment les conditions de l'quilibre d'un systme
quelconque de forces, il est, ce me semble, insuffisant de se borner 
constater que l'ensemble de ces quations est indispensable pour
l'quilibre, et l'tablit invitablement. Il faut, de plus, pouvoir
assigner nettement la signification statique distinctement propre 
chacune de ces quations envisage isolment, c'est--dire dterminer
avec prcision en quoi chacune contribue sparment  la production de
l'quilibre, analyse  laquelle on ne s'attache point ordinairement,
quoiqu'elle soit, sans doute, importante. Par quelque mthode qu'on
procde  l'tablissement des quations statiques, il est clair _
priori_ que l'quilibre ne peut rsulter que de la destruction de tous
les mouvemens lmentaires que le corps pourrait prendre en vertu des
forces dont il est anim, si ces forces n'avaient point entr'elles les
relations ncessaires pour se contrebalancer exactement. Ainsi chaque
quation prise  part doit ncessairement anantir un de ces mouvemens,
en sorte que l'ensemble de ces quations produise l'quilibre, par
l'impossibilit o se trouve ds-lors, le corps de se mouvoir d'aucune
manire. Examinons maintenant sommairement le principe gnral d'aprs
lequel une telle analyse me semble pouvoir s'oprer dans un cas
quelconque.

En considrant le mouvement sous le point de vue le plus positif, comme
le simple transport d'un corps d'un lieu dans un autre, indpendamment
du mode quelconque suivant lequel il peut tre produit, il est vident
que tout mouvement doit tre envisag, dans le cas le plus gnral,
comme ncessairement compos  la fois de _translation_ et de
_rotation_. Ce n'est pas, sans doute, qu'il ne puisse rellement exister
de translation sans rotation, ou de rotation sans translation; mais on
doit regarder l'un et l'autre cas comme tant d'exception, le cas normal
consistant en effet dans la coexistence de ces deux sortes de mouvemens,
qui s'accompagnent constamment  moins de conditions particulires
trs-prcises, et par suite fort rares, relativement aux circonstances
du phnomne. Cela est tellement vrai, que la seule vrification de l'un
de ces mouvemens est habituellement regarde avec raison par les
gomtres, qui connaissent toute la porte de cette observation
lmentaire, comme un puissant motif, non d'affirmer, mais de prsumer
trs-vraisemblablement l'existence de l'autre. Ainsi, par exemple, la
seule connaissance du mouvement de rotation du soleil sur son axe,
parfaitement constat depuis Galile, serait _ priori_ pour un
gomtre une preuve presque certaine d'un mouvement de translation de
cet astre accompagn de toutes ses plantes, quand mme les astronomes
n'auraient point commenc dj  reconnatre effectivement, par des
observations directes, la ralit de ce transport, dans un sens encore
peu dtermin. Pareillement, c'est d'aprs une semblable considration
qu'on admet communment, avec raison, outre le motif d'analogie,
l'existence d'un mouvement de rotation dans les plantes mme  l'gard
desquelles on n'a point encore pu le constater directement, par cela
seul qu'elles ont un mouvement de translation bien connu autour du
soleil.

Il rsulte de cette premire analyse que les quations qui expriment les
conditions d'quilibre d'un corps, sollicit par des forces quelconques,
doivent avoir pour objet, les unes de dtruire tout mouvement de
translation, les autres d'anantir tout mouvement de rotation. Voyons
maintenant, d'aprs le mme point de vue, afin de complter cet aperu
gnral, quel doit tre _a priori_ le nombre des quations de chaque
espce.

Quant  la translation, il suffit de considrer que, pour empcher un
corps de marcher dans un sens quelconque, il faut videmment l'en
empcher selon trois axes principaux situs dans des plans diffrens, et
qu'on suppose d'ordinaire perpendiculaires entr'eux. En effet, quelle
progression serait possible, par exemple, dans un corps qui ne pourrait
avancer ni de l'est  l'ouest ou de l'ouest  l'est, ni du nord au sud
ou du sud au nord, ni enfin du haut en bas ou du bas en haut? Toute
progression dans un autre sens quelconque, pouvant videmment se
concevoir comme compose de progressions partielles correspondantes dans
ces trois sens principaux, serait ds lors devenue ncessairement
impossible. D'un autre ct, il est clair qu'on ne doit pas considrer
moins de trois mouvemens lmentaires indpendans, car le corps pourrait
se mouvoir dans le sens d'un des axes, sans avoir aucune translation
dans le sens d'aucun des deux autres. On conoit ainsi que, en gnral,
trois quations de condition seront ncessaires et suffisantes pour
tablir, dans un systme quelconque, l'quilibre de translation; et
chacune d'elles sera spcialement destine  dtruire un des trois
mouvemens de translation lmentaires que le corps pourrait prendre.

On peut prsenter une considration exactement analogue relativement 
la rotation: il n'y a de nouvelle difficult que celle d'apercevoir
distinctement une image mcanique plus complique. La rotation d'un
corps dans un plan ou autour d'un axe quelconque, pouvant toujours se
concevoir dcompose en trois rotations lmentaires dans les trois
plans coordonns ou autour des trois axes, il est clair que, pour
empcher toute rotation dans un corps, il faut aussi l'empcher de
tourner sparment par rapport  chacun de ces trois plans ou de ces
trois axes. Trois quations sont donc, pareillement, ncessaires et
suffisantes pour tablir l'quilibre de rotation; et l'on aperoit, avec
la mme facilit que dans le cas prcdent, la destination mcanique
propre  chacune d'elles.

En appliquant l'analyse prcdente  l'ensemble des six quations
gnrales rapportes au commencement de cette leon, pour l'quilibre
d'un corps solide anim de forces quelconques, il est ais de
reconnatre que les trois premires sont relatives  l'quilibre de
translation, et les trois autres  l'quilibre de rotation. Dans le
premier groupe, la premire quation empche la translation suivant
l'axe des x, la seconde suivant l'axe des y, et la troisime suivant
l'axe des z. Dans le second groupe, la premire quation empche le
corps de tourner suivant le plan des x, y, la seconde suivant le plan
des x, z, et la troisime suivant le plan des y, z. On conoit nettement
par l comment la coexistence de toutes ces quations tablit
ncessairement l'quilibre.

Cette dcomposition serait encore utile pour rduire, dans chaque cas,
les quations d'quilibre au nombre strictement ncessaire, quand on
vient  particulariser plus ou moins le systme de forces considr, au
lieu de le supposer entirement quelconque. Sans entrer ici dans aucun
dtail spcial  ce sujet, il suffira de dire, conformment au point de
vue prcdent, que, la particularisation du systme propos restreignant
plus ou moins les mouvemens possibles, soit quant  la translation, soit
quant  la rotation, aprs avoir d'abord exactement dtermin dans
chaque cas, ce qui sera toujours facile, en quoi consiste cette
restriction, il faudra supprimer, comme superflues, les quations
d'quilibre relatives aux translations ou aux rotations qui ne peuvent
avoir lieu, et conserver seulement celles qui se rapportent aux
mouvemens rests possibles. C'est ainsi que, suivant la limitation plus
ou moins grande du systme de forces particulier que l'on considre, il
peut, au lieu de six quations ncessaires en gnral pour l'quilibre,
n'en plus subsister que trois, ou deux, ou mme une seule, qu'il sera
par l facile d'obtenir dans chaque cas.

On doit faire des remarques parfaitement analogues quant aux
restrictions de mouvemens qui rsulteraient, non de la constitution
spciale du systme des forces, mais des gnes plus ou moins troites
auxquelles le corps pourrait tre assujetti dans certains cas, et qui
produiraient des effets semblables. Il suffirait galement alors de voir
nettement quels mouvemens sont rendus impossibles par la nature des
conditions imposes, et de supprimer les quations d'quilibre qui s'y
rapportent, en conservant celles relatives aux mouvemens rests libres.
C'est ainsi, par exemple, que, dans le cas d'un systme quelconque de
forces, on trouverait que les trois dernires quations suffisent pour
l'quilibre, si le corps est retenu par un point fixe autour duquel il
peut tourner librement en tout sens, tout mouvement de translation tant
alors devenu impossible; de mme on verrait les quations d'quilibre
tre au nombre de deux, ou mme se rduire  une seule, s'il y avait 
la fois deux points fixes, suivant que le corps pourrait ou non glisser
le long de l'axe qui les joint; et enfin on arriverait  reconnatre que
l'quilibre existe ncessairement sans aucune condition, quelles que
soient les forces du systme, si le corps solide prsente trois points
fixes non en ligne droite. Enfin on pourrait encore employer le mme
ordre de considrations lorsque les points, au lieu d'tre
rigoureusement fixes, seraient seulement astreints  demeurer sur des
courbes ou des surfaces donnes.

L'esprit de l'analyse que je viens d'esquisser est, comme on le voit,
entirement indpendant de la mthode quelconque d'aprs laquelle auront
t obtenues les quations de l'quilibre. Mais les diverses mthodes
gnrales sont loin cependant de se prter avec la mme facilit 
l'application de cette rgle. Celle qui s'y adapte le mieux, c'est
incontestablement la mthode statique proprement dite, fonde, comme
nous l'avons vu, sur le principe des vitesses virtuelles. On doit
mettre, en effet, au nombre des proprits caractristiques de ce
principe, la nettet parfaite avec laquelle il analyse naturellement le
phnomne de l'quilibre, en considrant distinctement chacun des
mouvemens lmentaires que permettent les forces du systme, et
fournissant aussitt une quation d'quilibre spcialement relative  ce
mouvement. La mthode dynamique ne prsente point cet avantage
important. Il faut reconnatre toutefois que, dans la manire dont M.
Poinsot l'a conue, elle se trouve  cet gard considrablement
amliore, puisque la seule distinction des conditions d'quilibre
relatives aux forces et de celles qui concernent les couples,
distinction qui s'tablit alors ncessairement, ralise par elle-mme la
dtermination spare entre l'quilibre de translation et l'quilibre de
rotation. Mais la mthode dynamique ordinaire, exclusivement usite en
statique avant la rforme de M. Poinsot, et que j'ai caractrise dans
son ensemble au commencement de cette leon, ne remplit nullement cette
condition essentielle, sans laquelle nanmoins il me parat impossible
de concevoir nettement l'expression analytique des lois gnrales de
l'quilibre.

Aprs avoir considr les diverses manires principales de parvenir aux
lois exactes de l'quilibre abstrait pour un systme quelconque des
forces, en supposant les corps dans cet tat compltement passif que
nous avions d'abord reconnu, quoique purement hypothtique, tre
strictement indispensable  l'tablissement des principes fondamentaux
de la mcanique rationnelle; nous devons maintenant examiner comment les
gomtres ont pu tenir compte des proprits gnrales naturelles aux
corps rels, et auxquelles il faut ncessairement avoir gard dans toute
application effective de la mcanique abstraite. La seule que l'on sache
jusqu'ici prendre en considration d'une manire vraiment complte,
c'est la pesanteur terrestre. Voyons comment on a pu l'introduire, en
effet, dans les quations statiques. Cet important examen constitue,
sans doute, dans l'ordre strictement logique de nos tudes
philosophiques, une anticipation vicieuse sur la partie de ce cours
relative  la physique proprement dite, o nous envisagerons
spcialement la science de la pesanteur. Mais la thorie des centres de
gravit,  laquelle se rduit essentiellement cette tude statique de la
pesanteur terrestre, joue un rle trop tendu et trop important dans
toutes les parties de la mcanique rationnelle, pour que nous puissions
nous dispenser de l'indiquer ici,  l'exemple de tous les gomtres,
quoique ce ne soit pas strictement rgulier. Du reste, je dois faire
observer  ce sujet qu'on viterait presqu'entirement tout ce qu'il y a
vraiment d'irrationnel dans cette disposition scientifique, sans se
priver nanmoins des avantages capitaux que prsente la rsolution
pralable d'une telle question, si on contractait l'habitude de classer
la thorie des centres de gravit parmi les recherches de pure
gomtrie, comme je l'ai propos  la fin de la treizime leon.

Pour tenir compte de la pesanteur terrestre, dans les questions
statiques, il suffit, comme on sait, de se reprsenter, sous ce rapport,
chaque corps homogne comme un systme de forces parallles et gales,
appliques  toutes les molcules du corps, et dont il faut dterminer
compltement la rsultante, qu'on introduira ds lors sans aucune
difficult parmi les forces extrieures primitives. En ralit, ce
paralllisme et cette galit des pesanteurs molculaires ne sont
effectivement que des approximations, puisque, de fait, toutes ces
forces concourraient au centre de la terre si cette plante tait
rigoureusement sphrique, et que leur intensit absolue, indpendamment
des ingalits qui tiennent  la force centrifuge produite par le
mouvement de rotation de la terre, varie en raison inverse des carrs
des distances des molcules correspondantes au centre de notre globe.
Mais, quand il ne s'agit que des masses terrestres  notre disposition,
auxquelles sont ordinairement destines ces applications de la statique,
les dimensions n'en sont jamais assez grandes pour que le dfaut de
paralllisme et d'galit entre les pesanteurs des diverses molcules de
chaque masse, doive tre rellement pris en considration. On suppose
donc alors, avec raison, toutes ces forces rigoureusement parallles et
gales, ce qui simplifie extrmement la question de leur composition. En
effet, leur rsultante est, ds ce moment, gale  leur somme, et agit
suivant une droite parallle  leur direction commune, en sorte que son
intensit et sa direction sont immdiatement connues. Toute la
difficult se rduit donc  trouver son point d'application,
c'est--dire ce qu'on appelle le _centre de gravit_ du corps. D'aprs
les proprits gnrales du point d'application de la rsultante dans un
systme quelconque de forces parallles, la distance de ce point  un
plan quelconque est gale  la somme des momens de toutes les forces du
systme par rapport  ce mme plan, divise par la somme de ces forces
elles-mmes. En appliquant cette formule au centre de gravit, et ayant
gard  la simplification que produit alors l'galit de toutes les
forces proposes, on trouve que la distance du centre de gravit  un
plan quelconque est gale  la somme des distances de tous les points du
corps considr, divise par le nombre de ces points; c'est--dire, que
cette distance est, ce qu'on appelle proprement la moyenne arithmtique
entre les distances de tous les points proposs. Cette considration
fondamentale rduit videmment la notion du centre de gravit  tre
purement gomtrique, puisqu'en le cherchant ainsi comme _centre des
moyennes distances_, suivant la dnomination trs-rationnelle des
anciens gomtres, la question ne conserve plus aucune trace de son
origine mcanique, et consiste seulement dans ce problme de gomtrie
gnrale: tant donn un systme quelconque de points disposs entr'eux
d'une manire dtermine, trouver un point dont la distance  un plan
quelconque soit moyenne entre les distances de tous les points donns 
ce mme plan. Il y aurait, comme je l'ai dj indiqu, des avantages
importans  concevoir habituellement ainsi la notion gnrale du centre
de gravit, en faisant compltement abstraction de toute considration
de pesanteur, car cette ide simple et purement gomtrique est
prcisment celle qu'on doit s'en former dans la plupart des thories
principales de la mcanique rationnelle, surtout quand on envisage les
grandes proprits dynamiques du centre des moyennes distances, o
l'ide htrogne et surabondante de la gravit introduit ordinairement
une complication et une obscurit vicieuses. Cette manire de concevoir
la question conduit naturellement, il est vrai,  l'exclure de la
mcanique pour la faire rentrer dans la gomtrie, comme je l'ai
propos. Si je ne l'ai pas ainsi classe effectivement, c'est uniquement
afin de ne m'carter que le moins possible des habitudes universellement
reues, quoique je fusse trs-convaincu qu'une telle transposition
serait la seule disposition vraiment rationnelle. Quoi qu'il en soit de
cette discussion d'ordre, ce qui importe essentiellement c'est de ne
point se mprendre sur la vritable nature de la question, 
quelqu'poque et sous quelque dnomination qu'on juge convenable de la
traiter.

La seule dfinition gomtrique du centre de gravit donnerait
immdiatement le moyen de le dterminer, si le systme des points que
l'on considre n'tait compos que d'un nombre fini de points isols,
car il en rsulterait directement alors des formules trs-simples et qui
n'auraient nullement besoin d'tre transformes pour exprimer les
coordonnes du point cherch, relativement  trois axes rectangulaires
fixes arbitrairement. Mais ces formules fondamentales ne peuvent plus
tre employes sans transformation, aussitt qu'il s'agit d'un systme
compos d'une infinit de points formant un vritable corps continu, ce
qui est le cas ordinaire. Car le numrateur et le dnominateur de chaque
formule devenant ds lors simultanment infinis, ces formules n'offrent
plus aucune signification distincte, et ne sauraient tre appliques
qu'aprs avoir t convenablement transformes. C'est dans cette
transformation gnrale que consiste, sous le rapport analytique, toute
la difficult fondamentale de la question du centre de gravit envisage
sous le point de vue le plus tendu. Or il est clair que le calcul
intgral donne immdiatement les moyens de la surmonter, puisque ces
deux sommes infinies qui constituent les deux termes de chaque formule,
sont videmment par elles-mmes de vritables intgrales, dont celle qui
exprime le dnominateur commun des trois formules se rapporte aux
lmens gomtriques infiniment petits de la masse considre, et celle
qui reprsente le numrateur propre  chaque formule se rapporte aux
produits de ces lmens par leurs coordonnes correspondantes. Il suit
de l, pour ne considrer ici que le cas le plus gnral, qu'en
dcomposant le corps seulement en lmens infiniment petits dans deux
sens par deux sries de plans infiniment rapprochs parallles les uns
au plan des x, z, les autres au plan des y, z, on trouvera aussitt les
formules fondamentales, /[x_1 = /frac{/iint xzdxdy}{/iint zdxdy},/;y_1 =
/frac{/iint yzdxdy}{/iint zdxdy},/;z_1 = /frac{1}{2}/frac{/iint
z^2dxdy}{/iint zdydx}/] qui feront connatre les trois coordonnes du
centre de gravit du volume d'un corps homogne de forme quelconque,
limit par une surface dont l'quation en x, y, et z, est suppose
donne. On obtiendra de la mme manire, pour le centre de gravit de la
surface seule de ce corps, les formules /[x_1 = /frac{/iint
xdxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}{/iint
dxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}/]

/[y_1 = /frac{/iint
ydxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}{/iint
dxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}/] /[z_1 = /frac{/iint
zdxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}{/iint
dxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}/] La dtermination des
centres de gravit sera donc rduite ainsi, dans chaque cas particulier,
 des recherches purement analytiques, tout--fait analogues  celles
qu'exigent, comme nous l'avons vu, les quadratures et les cubatures.
Seulement, ces intgrations tant, en gnral, plus compliques, l'tat
d'extrme imperfection dans lequel se trouve jusqu'ici le calcul
intgral permettra bien plus rarement encore de parvenir  une solution
dfinitive. Mais ces formules gnrales n'en ont pas moins, par
elles-mmes, une importance capitale, pour introduire la considration
du centre de gravit dans les thories gnrales de la mcanique
analytique, ainsi que nous aurons spcialement occasion de le
reconnatre bientt. Il faut d'ailleurs considrer, quant  la question
mme, que ces formules prouvent de trs-grandes simplifications, quand
on vient  supposer que la surface qui termine le corps propos est une
surface de rvolution, ce qui heureusement a lieu dans la plupart des
applications vraiment importantes.

Telle est donc essentiellement la manire de tenir compte de la
pesanteur terrestre dans les applications de la statique abstraite.
Quant  la pesanteur universelle, on peut dire que jusqu'ici elle n'a
t prise en considration d'une manire vraiment complte, que
relativement aux corps sphriques. Ce n'est pas que, lorsque la loi de
la gravitation est suppose connue, et surtout en la concevant
inversement proportionnelle au carr de la distance, comme dans la
vritable pesanteur universelle, on ne puisse aisment construire, 
l'aide d'intgrales convenables, des formules qui expriment l'attraction
d'un corps de figure et de constitution quelconques sur un point donn,
et mme sur un autre corps. Mais ces expressions symboliques gnrales
sont demeures jusqu'ici le plus souvent inapplicables, faute de pouvoir
effectuer les intgrations qu'elles indiquent, mme quand on suppose,
pour simplifier la question, que chaque corps est homogne. Ce n'est
encore que par une approximation fort imparfaite qu'on a pu parvenir 
la dtermination dfinitive dans le cas trs-simple de l'attraction de
deux ellipsodes, et les approximations n'ont pu tre conduites jusqu'au
degr de prcision convenable, qu'en supposant ces elipsodes trs-peu
diffrens de la sphre, ce qui a lieu heureusement pour toutes nos
plantes. Il faut d'ailleurs considrer que, dans la ralit, ces
formules supposent la connaissance pralable de la loi de la densit 
l'intrieur de chaque corps propos, ce que nous ignorons jusqu'ici
compltement.

Dans l'tat prsent de cette importante et difficile thorie, on peut
dire que les thormes primitifs de Newton sur l'attraction des corps
sphriques constituent effectivement encore la partie la plus utile de
cet ordre de notions. Ces proprits si remarquables, et que Newton a si
simplement tablies, consistent, comme on sait, en ce que 1
l'attraction d'une sphre dont toutes les molcules attirent en raison
inverse du carr de la distance, est la mme, sur un point extrieur
quelconque, que si la masse entire de cette sphre tait toute
condense  son centre; 2 quand un point est plac dans l'intrieur
d'une sphre dont les molcules agissent sur lui suivant cette mme loi,
il n'prouve absolument aucune attraction de la part de toute la portion
du globe qui se trouve  une plus grande distance que lui du centre, du
moins, en supposant, si le globe n'est pas homogne, que chacune de ses
couches sphriques concentriques prsente en tous ses points la mme
densit.

La pesanteur est la seule force naturelle dont nous sachions rellement
tenir compte en statique rationnelle: encore voit-on combien cette tude
est encore peu avance par rapport  la gravit universelle. Quant aux
circonstances extrieures gnrales, dont on a d galement faire
d'abord compltement abstraction pour tablir les lois rationnelles de
la mcanique, comme le frottement, la rsistance des milieux, etc., on
peut dire que nous ne connaissons encore nullement la manire de les
introduire dans les relations fondamentales donnes par la mcanique
analytique, car on n'y est parvenu jusqu'ici qu' l'aide d'hypothses
fort prcaires, et mme videmment inexactes, qui ne peuvent tre
rellement considres, dans le plus grand nombre des cas, que comme
propres  fournir des exercices de calcul. Du reste, nous devrons
naturellement revenir sur ce sujet dans la partie de ce cours relative 
la physique proprement dite.

Pour complter l'examen philosophique de l'ensemble de la statique, il
nous reste enfin  considrer sommairement la manire gnrale d'tablir
la thorie de l'quilibre, lorsque le corps auquel les forces sont
appliques est suppos se trouver  l'tat fluide, soit liquide, soit
gazeux.

L'hydrostatique peut tre compltement traite d'aprs deux mthodes
gnrales parfaitement distinctes, suivant qu'on cherche directement les
lois de l'quilibre des fluides d'aprs des considrations statiques
exclusivement propres  cette classe de corps, ou qu'on se borne  les
dduire simplement des principes fondamentaux qui ont dj fourni les
quations statiques des corps solides, en ayant seulement gard, comme
il convient, aux nouvelles conditions caractristiques qui rsultent de
la fluidit.

La premire mthode a d naturellement commencer par tre la seule
employe, comme tant primitivement la plus facile, sinon la plus
rationnelle. Tel a t effectivement le caractre des travaux des
gomtres du dix-septime et du dix-huitime sicle sur cette importante
section de la mcanique gnrale. Divers principes statiques
particuliers aux fluides, et plus ou moins satisfaisans, ont t
successivement proposs, principalement  l'occasion de la clbre
question dans laquelle les gomtres se proposaient de dterminer _
priori_ la vritable figure de la terre, suppose originairement toute
fluide, question capitale qui, envisage dans son ensemble, se rattache
en effet, directement ou indirectement,  toutes les thories
essentielles de l'hydrostatique. On sait que Huyghens avait d'abord
essay de la rsoudre, en prenant pour principe d'quilibre la
perpendicularit videmment ncessaire de la pesanteur  la surface
libre du fluide. Newton de son ct avait,  la mme poque, choisi pour
considration fondamentale la ncessit non moins vidente de l'galit
de poids entre les deux colonnes fluides allant du centre, l'une au
ple, l'autre  un point quelconque de l'quateur. Bouguer, en discutant
plus tard cette importante question, montra clairement que ces deux
manires de procder taient galement vicieuses, en ce que le principe
d'Huyghens et celui de Newton, bien que tous deux incontestables, ne
s'accordaient point, dans un grand nombre de cas,  donner la mme forme
 la masse fluide en quilibre, ce qui mettait pleinement en vidence
leur insuffisance commune. Mais Bouguer se trompa gravement  son tour,
en croyant que la runion de ces deux principes, lorsqu'ils
s'accordaient  indiquer une mme figure, tait entirement suffisante
pour l'quilibre. Clairaut, dans son immortel trait _de la figure de la
terre_, dcouvrit, le premier, les vritables lois gnrales de
l'quilibre d'une masse fluide, en parlant de la considration vidente
de l'quilibre isol d'un canal quelconque infiniment petit; et, d'aprs
ce _criterium_ infaillible, il montra qu'il pouvait exister une infinit
de cas dans lesquels la combinaison exige par Bouguer se trouvait
observe sans que cependant l'quilibre et lieu. Depuis que l'ouvrage
de Clairaut eut fond dans son ensemble l'hydrostatique rationnelle,
plusieurs grands gomtres, continuant  adopter la mme manire
gnrale de procder, s'occuprent d'tablir la thorie mathmatique de
l'quilibre des fluides sur des considrations plus naturelles et plus
distinctes que celle employe par son illustre inventeur. On doit
principalement distinguer,  cet gard, les travaux de Maclaurin et
surtout ceux d'Euler, qui ont donn  cette thorie fondamentale la
forme simple et rgulire qu'elle a maintenant dans tous les traits
ordinaires, en la fondant sur le principe de l'galit de pression en
tout sens, qu'on peut regarder comme une loi gnrale indique par
l'observation relativement  la constitution statique des fluides. Ce
principe est incontestablement, en effet, le plus convenable qu'on
puisse employer dans une telle recherche, lorsqu'on veut traiter
directement par quelque considration propre aux fluides la thorie de
leur quilibre, dont il fournit immdiatement les quations gnrales
avec une extrme facilit. Il suffit alors, pour les obtenir le plus
simplement possible, aprs avoir conu la masse fluide partage en
molcules cubiques par trois sries de plans infiniment rapprochs,
parallles aux trois plans coordonns, d'exprimer que chaque molcule
est galement presse suivant les trois axes perpendiculaires  ses
faces par l'ensemble des forces du systme, la pression de la molcule
en chaque sens tant gale  la diffrence des pressions exerces sur
les deux faces opposes correspondantes. On trouve ainsi que la loi
mathmatique de l'quilibre d'un fluide quelconque, par quelques forces
qu'il soit sollicit, est exprime par les trois quations:
/[/frac{dP}{dx} = pX,/;/frac{dP}{dy} = pY,/;/frac{dP}{dz} = pZ,/] o P
exprime la pression supporte par la molcule dont les coordonnes sont
x, y, z, et la densit ou pesanteur spcifique p, et X, Y, Z, dsignent
les composantes totales des forces dont le fluide est anim suivant les
trois axes coordonns. Comme on peut videmment dduire, de l'ensemble
de ces trois quations, la formule /[P = /int p(Xdx + Ydy + Zdz)/] pour
la dtermination de la pression en chaque point, quand les forces seront
connues ainsi que la loi de la densit, il est possible de donner une
autre forme analytique  la loi gnrale de l'quilibre des fluides, en
se bornant  dire que la fonction diffrentielle, place ici sous le
signe S, doit satisfaire aux conditions connues d'intgrabilit
relativement aux trois variables indpendantes x, y, z, ce qui est
prcisment l'expression trs-simple trouve primitivement par Clairaut
quant  la thorie mathmatique de l'hydrostatique.

L'tude de l'quilibre des fluides donne constamment lieu  une nouvelle
question gnrale fort importante qui leur est propre, celle qui
consiste  dterminer, dans le cas d'quilibre, la figure de la surface
qui limite la masse fluide. La solution abstraite de cette question est
implicitement comprise dans la formule fondamentale prcdente,
puisqu'il suffit videmment de supposer que la pression est nulle ou du
moins constante, pour caractriser les points de la surface, ce qui
donne indistinctement /[Xdx + Ydy + Zdz = 0/] quant  l'quation
diffrentielle gnrale de cette surface. Toute la difficult concrte
se rduit donc essentiellement, en chaque cas,  connatre la loi relle
relative  la variation de la densit dans l'intrieur de la masse
fluide propose,  moins qu'elle ne soit homogne, dtermination qui
prsente des obstacles tout--fait insurmontables dans les applications
les plus importantes. Si l'on en fait abstraction, la question ne
prsente ds lors qu'une recherche analytique plus ou moins complique,
consistant dans l'intgration, le plus souvent encore inconnue, de
l'quation prcdente. On doit remarquer d'ailleurs que cette quation
est, par sa nature, assez gnrale pour qu'on puisse l'appliquer mme 
l'quilibre d'une masse fluide qui serait anime d'un mouvement de
rotation dtermin, comme l'exige surtout la grande question de la
figure des plantes. Il suffit alors en effet de comprendre, parmi les
forces du systme propos, les forces centrifuges qui rsultent de ce
mouvement de rotation.

Telle est, par aperu, la manire gnrale d'tablir la thorie
mathmatique de l'quilibre des fluides, en la fondant directement sur
des principes statiques particuliers  ce genre de corps. On conoit,
comme je l'ai dj indiqu, que cette mthode ait d d'abord tre seule
employe; car,  l'poque des premires recherches, les diffrences
caractristiques entre les solides et les fluides devaient
ncessairement paratre trop considrables pour qu'aucun gomtre pt
alors se proposer d'appliquer  ceux-ci les principes gnraux
uniquement destins aux autres, en ayant seulement gard, dans cette
dduction,  quelques nouvelles conditions spciales. Mais, quand les
lois fondamentales de l'hydrostatique ont enfin t obtenues, et que
l'esprit humain, cessant d'tre proccup de la difficult de leur
tablissement, a pu mesurer avec justesse la diversit relle qui existe
entre la thorie des fluides et celle des solides, il tait impossible
qu'il ne chercht point  les ramener toutes deux aux mmes principes
essentiels, et qu'il ne reconnt pas, en thse gnrale, l'applicabilit
ncessaire des rgles fondamentales de la statique  l'quilibre des
fluides, pourvu qu'on tnt compte convenablement de la variabilit de
forme qui les caractrise. En un mot, la science ne pouvait rester sous
ce rapport dans son tat primitif, o l'on accordait une importance
videmment exagre aux conditions propres aux fluides. Mais, pour
subordonner l'hydrostatique  la statique proprement dite, et augmenter
ainsi par une plus grande unit la perfection rationnelle de la science,
il tait indispensable que la thorie abstraite de l'quilibre ft
pralablement traite d'aprs un principe statique suffisamment gnral,
qui seul pouvait tre directement appliqu aux fluides aussi bien qu'aux
solides, car on ne pouvait point recourir,  cet effet, aux quations
d'quilibre proprement dites, dans la formation desquelles on avait
toujours eu, ncessairement, plus ou moins gard  l'invariabilit du
systme. Cette condition invitable a t remplie, lorsque Lagrange a
conu la manire de fonder la statique, et par suite toute la mcanique
rationnelle, sur le seul principe des vitesses virtuelles. Ce principe
est videmment, en effet, par sa nature, tout aussi directement
applicable aux fluides qu'aux solides, et c'est l une de ses proprits
les plus prcieuses. Ds lors l'hydrostatique, philosophiquement classe
 son rang naturel, n'a plus t, dans le trait de Lagrange, qu'une
division secondaire de la statique. Quoique cette manire de la
concevoir n'ait pas encore pu devenir suffisamment familire, et que la
mthode hydrostatique directe soit reste jusqu'ici la seule usuelle, il
n'est pas douteux que la mthode de Lagrange finira par tre
habituellement et exclusivement adopte, comme tant celle qui imprime 
la science son vritable caractre dfinitif, en la faisant driver tout
entire d'un principe unique.

Pour se reprsenter nettement, en gnral, comment le principe des
vitesses virtuelles peut conduire aux quations fondamentales de
l'quilibre des fluides, il suffit de considrer que tout ce qu'une
telle application exige de particulier consiste seulement  comprendre
parmi les forces quelconques du systme une force nouvelle, la pression
exerce sur chaque molcule, qui introduira un terme de plus dans
l'quation gnrale, ou, plus exactement, qui donnera lieu  trois
nouveaux momens virtuels, si l'on distingue, comme il convient, les
variations sparment relatives  chacun des trois axes coordonns. En
procdant ainsi, on parviendra immdiatement aux trois quations
gnrales de l'quilibre des fluides, qui ont t rapportes ci-dessus
d'aprs la mthode hydrostatique proprement dite. Si le fluide considr
est liquide, il faudra concevoir le systme assujti  cette condition
caractristique de pouvoir changer de forme, sans cependant jamais
changer de volume. Cette condition d'incompressibilit s'introduira
d'autant plus naturellement dans l'quation gnrale des vitesses
virtuelles, qu'elle peut s'exprimer immdiatement, comme l'a fait
Lagrange, par une formule analytique analogue  celle des termes de
cette quation, en exprimant que la variation du volume est nulle, ce
qui mme a permis  Lagrange de se reprsenter abstraitement cette
incompressibilit comme l'effet d'une certaine force nouvelle, dont il
suffit d'ajouter le moment virtuel  ceux des forces du systme. Si l'on
veut tablir, au contraire, la thorie de l'quilibre pour les fluides
gazeux, il faudra remplacer la condition de l'incompressibilit par
celle qui assujtit le volume du fluide  varier suivant une fonction
dtermine de la pression, par exemple en raison inverse de cette
pression, conformment  la loi physique sur laquelle Mariotte a fond
toute la mcanique des gaz. Cette nouvelle circonstance donnera lieu 
une quation analogue  celle des liquides, quoique plus complique.
Seulement cette dernire section de la thorie gnrale de l'quilibre,
outre les grandes difficults analytiques qui lui sont propres, se
ressentira ncessairement, dans les applications, de l'incertitude o
l'on est encore sur la vritable loi des gaz relativement  la fonction
de la pression qui exprime rellement la densit, car la loi de
Mariotte, si prcieuse par son extrme simplicit, ne peut
malheureusement tre regarde que comme une approximation, qui,
suffisamment exacte pour des circonstances moyennes, ne saurait tre
tendue rigoureusement  un cas quelconque.

Tel est le caractre fondamental de la mthode incontestablement la plus
rationnelle qu'on puisse employer pour former la thorie abstraite de
l'quilibre des fluides, et que nous devons regarder, surtout dans cet
ouvrage, comme constituant dsormais la conception dfinitive de
l'hydrostatique. Cette conception paratra d'autant plus philosophique
que, dans la statique ainsi traite, on trouve une suite de cas en
quelque sorte intermdiaires entre les solides et les fluides, lorsqu'on
considre les questions relatives aux corps solides susceptibles de
changer de forme jusqu' un certain degr d'aprs des lois dtermines,
c'est--dire quand on tient compte de la flexibilit et de
l'lasticit, ce qui tablit, sous le rapport analytique, une filiation
naturelle qui fait passer, par une succession de recherches
presqu'insensible, des systmes dont la forme est rigoureusement
invariable  ceux o elle est au contraire minemment variable.

Aprs avoir examin sommairement comment la statique rationnelle,
envisage dans son ensemble, a pu tre leve enfin  ce haut degr de
perfection spculative o toutes les questions qu'elle est susceptible
de prsenter, constamment traites d'aprs un principe unique
directement tabli, sont uniformment rduites  de simples problmes
d'analyse mathmatique, nous devons maintenant entreprendre la mme
tude relativement  la dernire branche de la mcanique gnrale,
ncessairement plus tendue, plus complique, et par suite plus
difficile, celle qui a pour objet la thorie du mouvement. Ce sera le
sujet de la leon suivante.




DIX-SEPTIME LEON.

SOMMAIRE. Vue gnrale de la dynamique.


L'objet essentiel de la dynamique consiste, comme nous l'avons vu, dans
l'tude des mouvemens varis produits par les forces _continues_, la
thorie des mouvemens uniformes dus aux forces _instantanes_ n'tant
entirement qu'une simple consquence immdiate des trois lois
fondamentales du mouvement. Dans cette dynamique des mouvemens varis ou
des forces continues on distingue ordinairement et avec raison deux cas
gnraux, suivant qu'on considre le mouvement d'un point ou celui d'un
corps. Sous le point de vue le plus positif, cette distinction revient 
concevoir que, dans certains cas, toutes les parties du corps prennent
exactement le mme mouvement, en sorte qu'il suffit alors en effet de
dterminer le mouvement d'une seule molcule, chacune se mouvant comme
si elle tait isole, sans aucun gard aux conditions de liaison du
systme; tandis que, dans le cas le plus gnral, chaque portion du
corps ou chaque corps du systme prenant un mouvement distinct, il faut
examiner ces divers effets et connatre l'influence qu'exercent sur eux
les relations qui caractrisent le systme considr. La seconde thorie
tant videmment plus complique que la premire, c'est par celle-ci
qu'il convient ncessairement de commencer l'tude spciale de la
dynamique, mme quand on les dduit toutes deux de principes uniformes.
Tel est aussi l'ordre que nous adopterons ici dans l'indication de nos
considrations philosophiques.

Relativement au mouvement d'un point, nous savons dj que la question
gnrale consiste  dterminer exactement toutes les circonstances du
mouvement curviligne compos, rsultant de l'action simultane de
diverses forces continues quelconques, en supposant entirement connu le
mouvement rectiligne que prendrait le mobile sous l'influence exclusive
de chaque force envisage isolment. Nous avons galement constat que
ce problme tait susceptible, comme tout autre, d'tre considr en
sens inverse, lorsqu'on se proposait, au contraire, de dcouvrir par
quelles forces le corps est sollicit, d'aprs les circonstances
caractristiques directement connues du mouvement compos.

Mais, avant d'entrer dans l'examen philosophique de ces deux questions
gnrales, nous devons d'abord arrter notre attention sur une thorie
prliminaire fort importante, celle du mouvement vari envisag en
lui-mme, c'est--dire conformment  l'expression ordinaire, la thorie
du mouvement rectiligne produit par une seule force continue, agissant
indfiniment selon la mme direction. Cette thorie lmentaire est
indispensable pour tablir les notions fondamentales qui se reproduisent
sans cesse dans toutes les parties de la dynamique. Voici en quoi elle
consiste essentiellement, d'aprs notre manire de concevoir la
mcanique rationnelle.

Nous avons prcdemment remarqu que, dans la question dynamique
directe, il fallait ncessairement supposer connu l'effet de chaque
force unique, la vritable inconnue du problme gnral tant l'effet
dtermin par le concours de toutes les forces. Cette observation est
incontestable. Mais, d'aprs cela, quel peut tre l'objet de cette
partie prliminaire de la dynamique qu'on destine  l'tude du mouvement
rsultant de l'action d'une seule force continue? La contradiction
apparente ne tient qu'aux expressions peu exactes qu'on emploie
ordinairement, et d'aprs lesquelles une telle question semblerait aussi
distincte et aussi directe que les vritables questions dynamiques,
tandis qu'elle n'est rellement qu'un prliminaire. Pour en concevoir
nettement le vrai caractre, il faut observer que le mouvement vari
produit par une seule force continue peut tre dfini de plusieurs
manires, qui dpendent les unes des autres, et qui, par consquent, ne
sauraient jamais tre donnes simultanment, quoique chacune puisse tre
sparment la plus convenable, d'o rsulte la ncessit de savoir
passer, en gnral, de l'une quelconque d'entre elles  toutes les
autres: c'est dans ces transformations que consiste proprement la
thorie gnrale prliminaire du mouvement vari, dsigne fort
inexactement sous le nom d'tude de l'action d'une force unique. Ces
diverses dfinitions quivalentes d'un mme mouvement vari rsultent de
la considration simultane des trois fonctions fondamentales
distinctes, quoique co-relatives, qu'on y peut envisager, l'espace, la
vitesse et la force, conus comme dpendant du temps coul. La loi du
mouvement peut tre immdiatement donne par la relation entre l'espace
parcouru et le temps coul, et alors il importe d'en dduire la
_vitesse acquise_ par le mobile  chaque instant, c'est--dire celle du
mouvement uniforme qui aurait lieu si, la force continue cessant tout 
coup d'agir, le corps ne se mouvait plus qu'en vertu de l'impulsion
naturelle rsultant, d'aprs la loi d'inertie, du mouvement dj
effectu: il est galement intressant de dterminer aussi quelle est, 
chaque instant, l'intensit de la force continue, compare  celle d'une
force acclratrice constante bien connue, telle, par exemple, que la
gravit terrestre, la seule force de ce genre qui nous soit assez
familire pour servir habituellement de type convenable. Dans d'autres
occasions, au contraire, le mouvement pourra tre naturellement dfini
par la loi qui rgle la variation de la vitesse en raison du temps, et
d'o il faudra conclure celle relative  l'espace, ainsi que celle qui
concerne la force. Il en serait de mme si la dfinition primitive du
mouvement consistait dans la loi de la force continue, qui pourrait
n'tre pas toujours immdiatement donne en fonction du temps, mais
quelquefois par rapport  l'espace, comme par exemple lorsqu'il s'agit
de la gravitation universelle, ou d'autres fois relativement  la
vitesse, ainsi qu'on le voit pour la rsistance des milieux. Enfin, si
l'on considre cet ordre de questions sous le point de vue le plus
tendu, il faut concevoir, en gnral, que la dfinition d'un mouvement
vari peut tre donne par une quation quelconque, pouvant contenir 
la fois ces quatre variables dont une seule est indpendante, le temps,
l'espace, la vitesse, et la force; le problme consistera  dduire de
cette quation la dtermination distincte des trois lois
caractristiques relatives  l'espace,  la vitesse et  la force, en
fonction du temps, et, par suite, en corlation mutuelle. Ce problme
gnral se rduit constamment  une recherche purement analytique, 
l'aide des deux formules dynamiques fondamentales qui expriment, en
fonction du temps, la vitesse et la force, quand on suppose connue la
loi relative  l'espace.

La mthode infinitsimale conduit  ces deux formules avec la plus
grande facilit. Il suffit en effet, pour les obtenir, de considrer,
suivant l'esprit de cette mthode, le mouvement comme uniforme pendant
la dure d'un mme intervalle de temps infiniment petit, et comme
uniformment acclr pendant deux intervalles conscutifs. Ds lors, la
vitesse, suppose momentanment constante, d'aprs la premire
considration, sera naturellement exprime par la diffrentielle de
l'espace divise par celle du temps; et, de mme, la force continue,
d'aprs la seconde considration, sera videmment mesure par le rapport
entre l'accroissement infiniment petit de la vitesse, et le temps
employ  produire cet accroissement. Ainsi, en appelant t le temps
coul, e l'espace parcouru, v la vitesse acquise et /varphi l'intensit
de la force continue  chaque instant, la corrlation gnrale et
ncessaire de ces quatre variables simultanes sera exprime
analytiquement par les deux formules fondamentales, /[v =
/frac{de}{dt},/; /varphi = /frac{dv}{dt} = /frac{d^2e}{dt^2}./] D'aprs
ces formules, toutes les questions relatives  cette thorie
prliminaire du mouvement vari se rduiront immdiatement  de simples
recherches analytiques, qui consisteront ou dans des diffrentiations,
ou, le plus souvent, dans des intgrations. En considrant le cas le
plus gnral, o la dfinition primitive du mouvement propos serait
donne seulement par une quation entre les quatre variables, le
problme analytique consistera dans l'intgration d'une quation
diffrentielle du second ordre, relative  la fonction e, et qui pourra
tre frquemment inexcutable, vu l'extrme imperfection actuelle du
calcul intgral.

La conception fondamentale de Lagrange, relativement  l'analyse
transcendante, l'ayant ncessairement oblig  se priver des facilits
qu'offre l'emploi de la mthode infinitsimale pour l'tablissement des
deux formules dynamiques prcdentes, il a t conduit  prsenter cette
thorie sous un nouveau point de vue, dont on n'a pas communment, ce me
semble, assez apprci l'importance, et qui me parat singulirement
propre  claircir la vritable nature de ces notions lmentaires.
Lagrange a montr dans sa _thorie des fonctions analytiques_ que cette
considration dynamique consistait rellement  concevoir un mouvement
vari quelconque comme compos  chaque instant d'un certain mouvement
uniforme et d'un autre mouvement uniformment vari, en l'assimilant au
mouvement vertical d'un corps pesant lanc avec une impulsion initiale.
Mais, pour donner  cette lumineuse conception toute sa valeur
philosophique, je crois devoir la prsenter sous un point de vue plus
tendu que ne l'a fait Lagrange, comme donnant lieu  une thorie
complte de l'assimilation des mouvemens, exactement semblable  la
thorie gnrale des contacts des courbes et des surfaces, expose dans
les treizime et quatorzime leons.

 cet effet, supposons deux mouvemens rectilignes quelconques, dfinis
par les quations e=f(t), E=F(t); que les deux mobiles soient parvenus
au bout du temps t  une mme situation; et considrons leur distance
mutuelle aprs un certain temps t+h. Cette distance, qui sera gale  la
diffrence des valeurs correspondantes des deux fonctions f et F aura
videmment pour expression, d'aprs la formule de Taylor, la srie
/[(f'(t)-F'(t))h + (f''(t)-F''(t))/frac{h^2}{1.2.} +/]
/[(f'''(t)-F'''(t))/frac{h^3}{1.2.3.} + /mbox{/rm etc.}/]  l'aide de
cette srie, on pourra, par des considrations entirement analogues 
celles employes dans la thorie des courbes, se faire une ide nette de
l'assimilation plus ou moins parfaite des deux mouvemens, suivant les
relations analytiques plus ou moins tendues des deux fonctions
primitives f et F. Si leurs drives du premier ordre ont une mme
valeur, il existera entre les deux mouvemens ce qu'on pourrait appeler
une _assimilation du premier ordre_, semblable au contact du premier
ordre dans les courbes, et qu'on pourra caractriser, sous le rapport
concret, en disant alors que le mouvement des deux corps sera le mme
pendant un instant infiniment petit. Si, en outre, les deux drives du
second ordre prennent encore la mme valeur, l'assimilation des
mouvemens deviendra plus intime, et s'lvera au second ordre; elle
consistera physiquement alors en ce que les deux mobiles auront le mme
mouvement pendant deux instans infiniment petits conscutifs.
Pareillement, en ajoutant  ces deux premires relations l'galit des
troisimes drives, on tablira, entre les mouvemens considrs, une
_assimilation du troisime ordre_, qui les fera concider pendant trois
_instans_ conscutifs, et ainsi de suite indfiniment. Le degr de
similitude des deux mouvemens, dtermin analytiquement par le nombre de
fonctions drives successives qui auront respectivement la mme valeur,
aura toujours pour interprtation concrte la concidence des deux
mobiles pendant un nombre gal d'instans conscutifs; comme nous avons
vu l'ordre du contact des courbes mesur gomtriquement par la
communaut d'un nombre correspondant d'lmens successifs. Si la loi
caractristique de l'un des mouvemens proposs contient, dans son
expression analytique, quelques constantes arbitraires, on pourra
l'_assimiler_  un autre mouvement quelconque jusqu' un _ordre_ marqu
par le nombre de ces constantes, qui seront alors dtermines d'aprs
les quations destines  tablir, suivant la thorie prcdente, ce
degr d'intimit entre les deux mouvemens.

Cette conception fondamentale conduit  apercevoir la possibilit, du
moins sous le point de vue abstrait, d'acqurir une connaissance de plus
en plus approfondie d'un mouvement vari quelconque, en le comparant
successivement  une suite de mouvemens connus, dont la loi analytique
dpende d'un nombre de plus en plus grand de constantes arbitraires, et
qui pourront, par consquent, avoir avec lui une concidence de plus en
plus prolonge. Mais, de mme que nous avons vu la thorie gnrale des
contacts des lignes, applique  la mesure de la courbure les unes par
les autres, devoir se rduire effectivement  la comparaison d'une
courbe quelconque d'abord avec une ligne droite et ensuite avec un
cercle, ces deux lignes tant les seules qu'on puisse regarder comme
assez connues pour servir utilement de type  l'gard des autres,
pareillement la thorie dynamique relative  la mesure des mouvemens les
uns par les autres doit tre rellement limite  la comparaison
effective de tout mouvement vari, d'abord avec un mouvement uniforme o
l'espace est proportionnel au temps, et ensuite avec un mouvement
uniformment vari o l'espace crot en raison du carr du temps; ou
bien, afin de tout embrasser en une seule considration, avec un
mouvement compos d'un mouvement uniforme, et d'un autre uniformment
vari, tel que celui d'un corps pesant anim d'une impulsion initiale.
Ces deux mouvemens lmentaires sont, en effet, comme le remarque
Lagrange, les seuls dont nous ayons rellement une notion assez
familire pour que nous puissions les appliquer avec succs  la mesure
de tous les autres. En tablissant cette assimilation, on trouve,
d'aprs la thorie prcdente, que tout mouvement vari peut tre 
chaque instant compar  celui d'un corps pesant qui aurait reu une
vitesse initiale gale  la premire drive de l'espace parcouru
envisag comme une fonction du temps coul, et qui serait anim d'une
gravit mesure par la seconde drive de cette mme fonction, ce qui
nous fait rentrer dans les deux formules fondamentales obtenues
ci-dessus par la mthode infinitsimale. Le mouvement propos concidera
pendant un instant infiniment petit avec le mouvement uniforme exprim
dans la premire partie de cette comparaison, et pendant deux instans
conscutifs avec le mouvement uniformment acclr qui correspond  la
seconde partie. On se formera donc ainsi une ide nette du mouvement du
mobile  chaque moment, et de la manire dont il varie d'un moment 
l'autre, ce qui est strictement suffisant.

Quoique la conception de Lagrange, telle que je l'ai gnralise,
conduise finalement aux mmes rsultats que la thorie ordinaire, il est
ais de sentir cependant sa supriorit rationnelle, puisque ces deux
thormes fondamentaux, dans lesquels on avait vu jusqu'alors le terme
absolu des efforts de l'esprit humain, relativement  l'tude des
mouvemens varis, peuvent tre envisags maintenant comme une simple
application particulire d'une mthode trs-gnrale, qui nous permet
abstraitement d'entrevoir une mesure beaucoup plus parfaite de tout
mouvement vari, quoique de puissans motifs de convenance nous obligent
 considrer seulement la mesure primitivement adopte. On conoit,
d'aprs ce qui prcde, que si la nature nous offrait un exemple simple
et familier d'un mouvement rectiligne dans lequel l'espace crotrait
proportionnellement au cube du temps, en ajoutant  nos notions
dynamiques ordinaires la considration habituelle de ce mouvement, nous
obtiendrions une connaissance plus approfondie de la nature d'un
mouvement vari quelconque, qui pourrait alors avoir avec le triple
mouvement ainsi compos une assimilation du troisime ordre, ce qui nous
permettrait d'envisager directement, par une seule vue de l'esprit,
l'tat du mobile pendant trois instans conscutifs, tandis que nous
sommes maintenant forcs de nous arrter  deux instans. Sous le rapport
analytique, au lieu de nous borner aux deux premires fonctions drives
de l'espace relativement au temps, cette mthode reviendrait 
considrer simultanment la troisime drive, qui aurait ds lors aussi
une signification dynamique, dont elle est actuellement dpourvue. Dans
cette supposition, de mme que nous concevons habituellement la force
acclratrice pour nous reprsenter les changemens de la vitesse, nous
aurions pareillement une considration dynamique propre  nous figurer
les variations de la force continue. Notre tude gnrale des mouvemens
varis deviendrait encore plus parfaite si, tendant cette hypothse, il
existait en outre un mouvement connu dans lequel l'espace ft
proportionnel  la quatrime puissance du temps, et ainsi de suite. Mais
en ralit, parmi les mouvemens simples o l'espace parcouru se trouve
crotre proportionnellement  une puissance entire et positive du temps
coul, l'observation ne nous faisant connatre que le mouvement
uniforme produit par une impulsion unique et le mouvement uniformment
acclr qui rsulte de la pesanteur terrestre suivant la dcouverte de
Galile, nous sommes contraints de nous arrter aux deux premiers degrs
de la thorie prcdente pour la mesure gnrale des mouvemens varis
quelconques. Telle est la vritable explication philosophique de la
mthode universellement adopte, estime  sa valeur relle.

J'ai cru devoir insister sur cette explication, parce que cette
conception fondamentale me semble n'tre pas encore apprcie d'une
manire convenable, quoiqu'elle soit la base de la dynamique tout
entire.

Aprs l'examen gnral de cette importante thorie prliminaire, je
passe maintenant  considrer sommairement le caractre philosophique de
la vritable dynamique rationnelle directe, c'est--dire de l'tude du
mouvement curviligne produit par l'action simultane de diverses forces
continues quelconques, en continuant  supposer d'abord que le mobile
soit regard comme un point, ou, ce qui revient au mme, que toutes les
molcules du corps prenant exactement le mme mouvement, chacune se
meuve isolment sans tre affecte par sa liaison avec les autres.

On doit distinguer, en gnral, dans le mouvement curviligne d'une
molcule soumise  l'action de forces quelconques, deux cas
trs-diffrens, suivant qu'elle est d'ailleurs entirement libre, de
manire  devoir dcrire la trajectoire qui rsultera naturellement de
la combinaison des forces proposes, ou que, au contraire, elle est
astreinte  se mouvoir sur une seule courbe ou sur une surface donne.
La thorie fondamentale du mouvement curviligne peut tre tablie dans
son ensemble suivant deux modes fort distincts, en prenant pour base
l'un ou l'autre de ces deux cas, car chacun d'eux peut tre trait
directement et se trouve en mme temps susceptible de se rattacher 
l'autre, les deux considrations tant presqu'galement naturelles selon
le point de vue o l'esprit se place. En parlant du premier cas, il
suffira, pour en dduire le second, de regarder la rsistance, tant
active que passive, de la courbe ou de la surface sur laquelle le corps
est assujetti  rester, comme une nouvelle force  joindre  celles du
systme propos, ainsi que nous avons vu qu'on a coutume de le faire en
statique. Si, au contraire, on prfre d'tablir d'abord la thorie du
second cas, on y ramnera ensuite le premier, en considrant le mobile
comme forc  dcrire la courbe qu'il doit effectivement parcourir, ce
qui suffira entirement pour former les quations fondamentales, malgr
que cette courbe soit alors primitivement inconnue. Quoique cette
dernire mthode ne soit point ordinairement employe, il convient, je
crois, de les caractriser ici toutes deux, pour donner le plus
compltement possible une juste ide de la thorie gnrale du mouvement
curviligne, car chacune d'elles a, ce me semble, des avantages importans
qui lui sont propres. Considrons d'abord la premire.

Examinant, en premier lieu, le mouvement curviligne d'une molcule
entirement libre soumise  l'action de forces continues quelconques, on
peut former de deux manires distinctes les quations fondamentales de
ce mouvement, en les dduisant par deux modes diffrens de la thorie
du mouvement rectiligne. Le premier mode, qui a d'abord t le plus
employ par les gomtres, quoique, sous le rapport analytique, il ne
soit pas le plus simple, consiste  dcomposer  chaque instant la
rsultante totale des forces continues qui agissent sur le mobile en
deux forces, l'une dirige selon la tangente  la trajectoire qu'il
dcrit, l'autre suivant la normale. Considrons alors pendant un instant
infiniment petit, le mouvement comme rectiligne et ayant lieu dans la
direction de la tangente, d'aprs la premire loi fondamentale du
mouvement. La progression du corps en ce sens ne sera videmment due
qu' la premire de ces deux composantes,  laquelle, par consquent, on
pourra appliquer la formule lmentaire rapporte ci-dessus par le
mouvement rectiligne. Cette composante, qui est d'ailleurs gale  la
force acclratrice totale multiplie par le cosinus de son inclinaison
sur la tangente, sera donc exprime par la seconde fonction drive de
l'arc de la courbe relativement au temps. En dveloppant cette quation
par les formules gomtriques connues, et introduisant dans le calcul
les composantes de la force acclratrice totale paralllement aux trois
axes coordonns rectangulaires, on parvient finalement aux trois
quations fondamentales ordinaires du mouvement curviligne Le second
mode, plus simple et plus rgulier, d  Euler, et depuis gnralement
adopt, consiste  obtenir immdiatement ces quations en dcomposant
directement le mouvement du corps  chaque instant, ainsi que la force
continue totale dont il est anim, en trois autres dans le sens des
trois axes coordonns. D'aprs la troisime loi fondamentale du
mouvement, le mouvement selon chaque axe tant indpendant des mouvemens
suivant les deux autres n'est d qu' la composante totale des forces
acclratrices paralllement  cet axe, en sorte que le mouvement
curviligne se trouve ainsi continuellement remplac par le systme de
trois mouvemens rectilignes,  chacun desquels on peut aussitt
appliquer la thorie dynamique prliminaire indique ci-dessus. En
nommant X, Y, Z, les composantes totales, paralllement aux trois axes
des x, des y, et des z, des forces continues qui agissent  chaque
instant dt sur la molcule dont les coordonnes sont x, y, z, on obtient
ainsi immdiatement les quations /[/frac{d^2x}{dt^2} =
X,/;/frac{d^2y}{dt^2} = Y,/;/frac{d^2z}{dt^2} = Z,/] auxquelles on ne
parvient que par un assez long calcul en suivant le premier mode.

Telles sont les quations diffrentielles fondamentales du mouvement
curviligne, d'aprs lesquelles les questions quelconques de dynamique
relatives  un corps dont toutes les molcules prennent exactement le
mme mouvement se rduisent immdiatement  des problmes purement
analytiques, lorsque les donnes ont t convenablement exprimes. En
considrant d'abord la question gnrale directe, qui est la plus
importante, on se propose, connaissant la loi des forces continues dont
le corps est anim, de dterminer toutes les circonstances de son
mouvement effectif. Pour cela, de quelque manire que cette loi soit
donne, ou en fonction du temps, ou en fonction des coordonnes, ou en
fonction de la vitesse, il suffira en gnral d'intgrer ces trois
quations du second ordre, ce qui donnera lieu  des difficults
analytiques plus ou moins leves, que l'imperfection du calcul intgral
pourra rendre frquemment insurmontables. Les six constantes arbitraires
successivement introduites par cette intgration se dtermineront
d'ailleurs en ayant gard aux circonstances de l'tat initial du mobile,
dont les quations diffrentielles n'ont pu conserver aucune trace. On
obtiendra ainsi les trois coordonnes du corps en fonction du temps, de
manire  pouvoir assigner exactement sa position  chaque instant; et
on trouvera ensuite les deux quations caractristiques de la courbe
qu'il dcrit, en liminant le temps entre ces trois expressions. Quant
 la vitesse acquise par le mobile  une poque quelconque, on pourra
ds lors la dterminer aussi d'aprs les valeurs de ses trois
composantes, dans le sens des axes, /frac{dx}{dt}, /frac{dy}{dt},
/frac{dz}{dt}. Il est d'ailleurs utile de remarquer,  cet gard, que
cette vitesse v sera souvent susceptible d'tre immdiatement calcule
par une combinaison fort simple des trois quations diffrentielles
fondamentales, qui donne videmment la formule gnrale /[v^2 = 2/int
(Xdx + Ydy + Zdz),/]  l'aide de laquelle une seule intgration suffira
pour la dtermination directe de la vitesse, lorsque l'expression place
sous le signe /int satisfera aux conditions connues d'intgrabilit
relativement aux trois variables x, y, z, envisages comme
indpendantes. Cette proprit n'a pas lieu, sans doute, relativement 
toutes les forces continues possibles, ni mme par rapport  toutes
celles que nous prsentent en effet les phnomnes naturels, puisque,
par exemple, elle ne saurait se vrifier pour les forces qui
reprsentent la rsistance des milieux, ou les frottemens, ou, en
gnral, quant  toutes celles dont la loi primitive dpend du temps ou
de la vitesse elle-mme. La remarque prcdente n'en est pas moins
regarde avec raison par les gomtres comme ayant une extrme
importance pour simplifier les recherches analytiques auxquelles se
rduisent les problmes de dynamique, car la condition nonce se
vrifie constamment, ainsi qu'il est ais de le prouver, dans un cas
particulier fort tendu, qui comprend toutes les grandes applications de
la dynamique rationnelle  la mcanique cleste, c'est--dire celui o
toutes les forces continues dont le corps est anim sont des tendances
vers des centres fixes, agissant suivant une fonction quelconque de la
distance du corps  chaque centre, mais indpendamment de la direction.

Si, prenant maintenant en sens inverse la thorie gnrale du mouvement
curviligne d'une molcule libre, on se propose de dterminer, au
contraire, d'aprs les circonstances caractristiques du mouvement
effectif, la loi des forces acclratrices qui ont pu le produire, la
question sera ncessairement beaucoup plus simple sous le rapport
analytique, puisqu'elle ne consistera essentiellement qu'en des
diffrentiations. Car il sera toujours possible alors, par des
recherches prliminaires plus ou moins compliques, qui ne pourront
porter que sur des considrations purement gomtriques, de dduire, de
la dfinition primitive du mouvement propos, les valeurs des trois
coordonnes du mobile  chaque instant en fonction du temps coul; et
ds lors, en diffrentiant deux fois ces trois expressions, on obtiendra
les composantes des forces continues suivant les trois axes, d'o l'on
pourra conclure immdiatement la loi de la force acclratrice totale,
de quelque nature qu'elle soit. C'est ainsi que nous verrons, dans la
seconde section de ce cours, les trois lois gomtriques fondamentales
trouves par Kpler pour les mouvemens des corps clestes qui composent
notre systme solaire, nous conduire ncessairement  la loi de
gravitation universelle, qui devient ensuite la base de toute la
mcanique gnrale de l'univers.

Aprs avoir tabli la thorie du mouvement curviligne d'une molcule
libre, il est ais d'y faire rentrer le cas o cette molcule est
assujtie, au contraire,  rester sur une courbe donne. Il suffit,
comme je l'ai indiqu, de comprendre alors, parmi les forces continues
auxquelles la molcule est primitivement soumise, la rsistance totale
exerce par la courbe propose, ce qui permettra videmment de
considrer le mobile comme entirement libre. Toute la difficult propre
 ce second cas se rduit donc essentiellement  analyser avec
exactitude cette rsistance. Or il faut,  cet effet, distinguer
d'abord, dans la rsistance de la courbe, deux parties trs-diffrentes
qu'on pourrait appeler, pour les caractriser nettement, l'une
_statique_, l'autre _dynamique_. La rsistance _statique_ est celle qui
aurait lieu lors mme que le corps serait immobile; elle provient de la
pression exerce sur la courbe propose par les forces acclratrices
dont il est anim; ainsi on l'obtiendra en dterminant la composante de
la force continue totale suivant la normale  la courbe donne au point
que l'on considre. La rsistance _dynamique_ a une origine toute
diffrente; elle n'est engendre que par le mouvement, et rsulte de la
tendance perptuelle du corps  abandonner la courbe qu'il est forc de
dcrire, pour continuer  suivre, en vertu de la premire loi
fondamentale du mouvement, la direction de la tangente. Cette seconde
rsistance, qui se manifeste dans le passage du corps d'un lment de la
courbe  l'lment suivant, est videmment dirige  chaque instant
selon la normale  la courbe situe dans le plan osculateur, et pourra,
par consquent, n'avoir pas la mme direction que la rsistance
statique, si le plan osculateur ne contient pas la droite suivant
laquelle agit la force acclratrice totale. C'est  cette rsistance
dynamique qu'on donne, en gnral, le nom de _force centrifuge_, tenant
 ce que les seules forces acclratrices considres d'abord par les
gomtres taient des forces _centriptes_, ou des tendances vers des
centres fixes. Quant  son intensit, en concevant cette force
centrifuge comme une nouvelle force acclratrice, elle sera mesure par
la composante normale que produit, dans chaque instant infiniment petit,
la vitesse du mobile, lorsqu'il passe d'un lment de la courbe  un
autre. On trouve aisment ainsi, aprs avoir limin les infinitsimales
auxiliaires introduites d'abord naturellement par cette considration,
que la force centrifuge est continuellement gale au carr de la vitesse
effective du mobile divis par le rayon de courbure correspondant de la
courbe propose. Du reste, cette expression fondamentale, aussi bien que
la direction mme de la force centrifuge, pourraient tre entirement
obtenues par le calcul, en introduisant pralablement cette force, d'une
manire compltement indtermine, dans les trois quations
diffrentielles gnrales du mouvement curviligne rapportes ci-dessus.
Quoi qu'il en soit, aprs avoir dtermin la rsistance dynamique, on la
composera convenablement avec la rsistance statique, et, en faisant
entrer la rsistance totale parmi les forces proposes, le problme sera
immdiatement ramen au cas prcdent. La question la plus remarquable
de ce genre consiste dans l'tude du mouvement oscillatoire d'un corps
pesant sur une courbe quelconque (et particulirement sur un cercle ou
sur une cyclode), dont l'examen philosophique doit naturellement tre
renvoy  la partie de ce cours qui concerne la physique proprement
dite.

Il serait superflu de considrer distinctement ici le cas o le mobile,
au lieu de devoir dcrire une courbe donne, serait seulement assujti 
rester sur une certaine surface. C'est essentiellement par les mmes
considrations qu'on ramne ce nouveau cas, d'ailleurs peu important
dans les applications,  celui d'un corps libre. Il n'y a d'autre
diffrence relle qu'en ce qu'alors la trajectoire du mobile n'est pas
d'abord entirement dtermine, et qu'on est oblig, pour la connatre,
de joindre  l'quation de la surface propose une autre quation
fournie par l'tude dynamique du problme.

Considrons maintenant, par aperu, le second mode gnral distingu
prcdemment pour construire la thorie fondamentale du mouvement
curviligne d'une molcule isole, en partant, au contraire, du cas o la
molcule est pralablement assujtie  dcrire une courbe donne.

Toute la difficult relle consiste alors  tablir directement le
thorme fondamental relatif  la mesure de la forme centrifuge. Or
c'est ce qu'on peut faire aisment, en considrant d'abord le mouvement
uniforme du corps dans un cercle, en vertu d'une impulsion initiale, et
sans aucune force acclratrice, ainsi que l'a suppos Huyghens, auquel
est due la base de cette thorie. La force centrifuge est ds lors
videmment proportionnelle au sinus-verse de l'arc de cercle dcrit dans
un instant infiniment petit, convenablement compar au temps
correspondant, d'o il est facile de conclure, comme l'a fait Huyghens,
qu'elle a pour expression le carr de la vitesse constante avec laquelle
le mobile dcrit le cercle divis par le rayon de ce cercle. Ce rsultat
une fois obtenu, en le combinant avec une autre notion fondamentale due
 Huyghens, on en dduit immdiatement la valeur de la force centrifuge
dans une courbe quelconque. Il suffit, pour cela, de concevoir que la
dtermination de cette force exigeant seulement la considration
simultane de deux lmens conscutifs de la courbe propose, le
mouvement peut tre continuellement envisag comme ayant lieu dans le
cercle osculateur correspondant, puisque ce cercle prsente relativement
 la courbe deux lmens successifs communs. On peut donc directement
transporter  une courbe quelconque l'expression de la force centrifuge
trouve primitivement pour le cas du cercle, et tablir, comme dans la
premire mthode, mais bien plus simplement, qu'elle est gnralement
gale au carr de la vitesse divis par le rayon du cercle osculateur.
Cette manire de procder prsente l'avantage de donner une ide plus
nette de la force centrifuge.

Le cas du mouvement dans une courbe dtermine tant ainsi trait
pralablement avec toute la gnralit convenable, il est ais d'y
ramener celui d'un corps entirement libre, dcrivant la trajectoire qui
doit naturellement rsulter de l'action simultane de certaines forces
acclratrices quelconques. Il suffit, en effet, suivant l'indication
prcdemment exprime, de concevoir le corps comme assujti  rester sur
la courbe qu'il dcrira rellement, ce qui revient videmment au mme,
puisqu'il importe peu, en dynamique, le corps ne pouvant point
vritablement parcourir toute autre courbe, qu'il y soit contraint par
la nature des forces dont il est anim, ou par des conditions de liaison
spciales. Ds lors ce mouvement donnera naissance  une vritable force
centrifuge, exprime par la formule gnrale trouve ci-dessus.
Maintenant il est clair que, si la force continue totale dont le mobile
est anim a t d'abord conue comme dcompose  chaque instant en deux
autres, l'une dirige suivant la tangente  la trajectoire, et l'autre
selon la normale situe dans le plan osculateur, cette dernire doit
ncessairement tre gale et directement oppose  la force centrifuge.
Or, cette composante normale ayant pour expression la force continue
totale multiplie par le cosinus de l'angle que sa direction forme avec
la normale, en galant cette valeur  celle de la force centrifuge, on
formera une quation fondamentale d'o l'on pourra dduire les quations
gnrales du mouvement curviligne prcdemment obtenues par une autre
mthode. On n'aura, pour cela, d'autre transformation  faire que
d'introduire dans cette quation, au lieu de la force continue totale et
de sa direction, ses composantes selon les trois axes coordonns, et de
remplacer, dans la formule qui exprime la force centrifuge, la vitesse
et le rayon de courbure par leurs valeurs gnrales en fonction des
coordonnes. L'quation ainsi obtenue se dcomposera naturellement en
trois, si l'on considre que, devant avoir lieu pour quelque systme que
ce soit de forces acclratrices et pour une trajectoire quelconque,
elle doit se vrifier sparment par rapport  chacune des trois
coordonnes, envisages momentanment comme trois variables entirement
indpendantes. Ces trois quations se trouveront tre exactement
identiques  celles rapportes ci-dessus. Quoique cette manire de les
obtenir soit bien moins directe, et qu'elle exige un plus grand appareil
analytique, j'ai cependant cru ncessaire de l'indiquer distinctement,
parce qu'elle me semble propre  clairer, sous un rapport fort
important, la thorie ordinaire du mouvement curviligne, en rendant
sensible l'existence de la force centrifuge, mme dans le cas d'un corps
libre, notion sur laquelle la mthode habituellement adopte aujourd'hui
laisse communment beaucoup d'incertitude et d'obscurit.

Ayant suffisamment tudi, dans ce qui prcde, le caractre gnral de
la partie de la dynamique relative au mouvement d'un point, ou, ce qui
revient au mme, d'un corps dont toutes les molcules se meuvent
identiquement, nous devons maintenant examiner, sous un semblable point
de vue, la partie de la dynamique la plus difficile et la plus tendue,
celle qui se rapporte au cas plus rel du mouvement d'un systme de
corps lis entre eux d'une manire quelconque, et dont les mouvemens
propres sont altrs par les conditions dpendantes de leur liaison. Je
considrerai soigneusement, dans la leon suivante, les rsultats
gnraux obtenus jusqu'ici par les gomtres, relativement  cet ordre
de recherches. Je dois donc me borner strictement ici  caractriser la
mthode gnrale d'aprs laquelle on est parvenu  convertir tous les
problmes de cette nature en de pures questions d'analyse.

Dans cette dernire partie de la dynamique, il faut pralablement
tablir une nouvelle notion lmentaire, relativement  la mesure des
forces. En effet, les forces considres jusqu'ici tant toujours
appliques  une molcule unique, ou du moins agissant toutes sur un
mme corps, leur intensit se trouvait tre suffisamment mesure, en
ayant seulement gard  la vitesse plus ou moins grande qu'elles
pouvaient imprimer au mobile  chaque instant. Mais, quand on vient 
envisager simultanment les mouvemens de plusieurs corps diffrens,
cette manire de mesurer les forces devient videmment insuffisante,
puisqu'on ne saurait se dispenser de tenir compte de la masse de chaque
mobile, aussi bien que de sa vitesse. Pour la prendre convenablement en
considration, les gomtres ont tabli cette notion fondamentale, que
les forces susceptibles d'imprimer  diverses masses une mme vitesse
sont exactement entre elles comme ces masses; ou, en d'autres termes,
que les forces sont proportionnelles aux masses, aussi bien que nous les
avons reconnues, dans la quinzime leon, d'aprs la troisime loi
physique du mouvement, tre proportionnelles aux vitesses. Tous les
phnomnes relatifs  la communication du mouvement par le choc, ou de
toute autre manire, ont constamment confirm la supposition de cette
nouvelle proportionnalit. Il en rsulte videmment que lorsqu'il faut
comparer, dans le cas le plus gnral, des forces qui impriment  des
masses ingales des vitesses diffrentes, chacune d'elles doit tre
mesure d'aprs le produit de la masse sur laquelle elle agit par la
vitesse correspondante. Ce produit, auquel les gomtres ont donn
communment le nom de _quantit de mouvement_, dtermine exactement, en
effet, la force d'impulsion d'un corps dans le choc, la _percussion_
proprement dite, ainsi que la _pression_ qu'un corps peut exercer contre
tout obstacle fixe  son mouvement. Telle est la nouvelle notion
lmentaire relative  la mesure gnrale des forces, dont il serait
peut-tre convenable de faire une quatrime et dernire loi fondamentale
du mouvement, en tant du moins que cette notion n'est point rellement
susceptible, comme quelques gomtres l'ont pens, d'tre logiquement
dduite des notions prcdentes, et ne saurait tre solidement tablie
que sur des considrations physiques qui lui soient propres.

Cette notion prliminaire tant tablie, examinons maintenant la
conception gnrale d'aprs laquelle peut tre traite la dynamique d'un
systme quelconque de corps soumis  l'action de forces quelconques. La
difficult caractristique de cet ordre de questions consiste
essentiellement dans la manire de tenir compte de la liaison des
diffrens corps du systme, en vertu de laquelle leurs ractions
mutuelles altreront ncessairement les mouvemens propres que chaque
corps prendrait, s'il tait seul, par l'influence des forces qui le
sollicitent, sans qu'on sache nullement _ priori_ en quoi peut
consister cette altration. Ainsi, pour choisir un exemple trs-simple,
et nanmoins important, dans le clbre problme du mouvement d'un
pendule compos, qui a t primitivement le principal sujet des
recherches des gomtres sur cette partie suprieure de la dynamique, il
est vident que, par suite de la liaison tablie entre les corps ou les
molcules les plus rapprochs du point de suspension, et les corps ou
les molcules qui en sont les plus loigns, il s'exercera une raction
telle que ni les uns ni les autres n'oscilleront comme s'ils taient
libres, le mouvement des premiers tant retard, et celui des derniers
tant acclr en vertu de la ncessit o ils se trouvent d'osciller
simultanment, sans qu'aucun principe dynamique dj tabli puisse faire
connatre la loi qui dtermine ces ractions. Il en est de mme dans
tous les autres cas relatifs au mouvement d'un systme de corps. On
prouve donc videmment ici le besoin de nouvelles conceptions
dynamiques. Les gomtres, obissant  ce sujet,  l'habitude impose
presque constamment par la faiblesse de l'esprit humain, ont d'abord
trait cette nouvelle srie de recherches, en crant pour ainsi dire un
nouveau principe particulier relativement  chaque question
essentielle. Telles ont t l'origine et la destination des diverses
proprits gnrales du mouvement que nous examinerons dans la leon
suivante, et qui, primitivement envisages comme autant de _principes_
indpendans les uns des autres, ne sont plus aujourd'hui, aux yeux des
gomtres, que des thormes remarquables fournis simultanment par les
quations dynamiques fondamentales. On peut suivre, dans la _Mcanique
analytique_, l'histoire gnrale de cette srie de travaux, que Lagrange
a prsente d'une manire si profondment intressante pour l'tude de
la marche progressive de l'esprit humain. Cette manire de procder a
t continuellement adopte jusqu' d'Alembert, qui a mis fin  toutes
ces recherches isoles, en s'levant  une conception gnrale sur la
manire de tenir compte de la raction dynamique des corps d'un systme
en vertu de leurs liaisons, et en tablissant par suite les quations
fondamentales du mouvement d'un systme quelconque. Cette conception,
qui a toujours servi depuis, et qui servira indfiniment de base 
toutes les recherches relatives  la dynamique des corps, consiste
essentiellement  faire rentrer les questions de mouvement dans de
simples questions d'quilibre,  l'aide de ce clbre principe gnral
auquel l'accord unanime des gomtres a donn, avec tant de raison, le
nom de principe de d'Alembert. Considrons donc maintenant ce principe
d'une manire directe.

Lorsque, par les ractions que divers corps exercent les uns sur les
autres en vertu de leur liaison, chacun d'eux prend un mouvement
diffrent de celui que les forces dont il est anim lui eussent imprim
s'il et t libre, on peut videmment regarder le mouvement naturel
comme dcompos en deux, dont l'un est celui qui aura effectivement
lieu, et dont l'autre, par consquent, a t dtruit. Le principe de
d'Alembert consiste proprement en ce que tous les mouvemens de ce
dernier genre, ou, en d'autres termes, les quantits de mouvemens
perdues ou gagnes par les diffrens corps du systme dans leur
raction, se font ncessairement quilibre, en ayant gard aux
conditions de liaison qui caractrisent le systme propos. Cette
lumineuse conception gnrale a t d'abord entrevue par Jacques
Bernouilli dans un cas particulier; car telle est videmment la
considration qu'il emploie pour rsoudre le problme du pendule
compos, lorsqu'il regarde la quantit de mouvement perdue par le corps
le plus rapproch du point de suspension, et la quantit de mouvement
gagne par celui qui en est le plus loign, comme devant ncessairement
satisfaire  la loi d'quilibre du levier, relativement au point de
suspension, ce qui le conduit  former immdiatement une quation
susceptible de dterminer le centre d'oscillation du systme de poids le
plus simple. Mais cette ide n'tait, pour Jacques Bernouilli, qu'un
artifice isol qui n'te rien au mrite de la grande conception de
d'Alembert, dont la proprit essentielle consiste dans son entire
gnralit ncessaire.

En considrant le principe de d'Alembert sous le point de vue le plus
philosophique, on peut, ce me semble, en reconnatre le vritable germe
primitif dans la seconde loi fondamentale du mouvement (voyez la
quinzime leon), tablie par Newton sous le nom d'galit de la
raction  l'action. Le principe de d'Alembert concide exactement, en
effet, avec cette loi de Newton, quand on envisage seulement un systme
de deux corps, agissant l'un sur l'autre suivant la ligne qui les joint.
Ce principe peut donc tre envisag comme la plus grande gnralisation
possible de la loi de la raction gale et contraire  l'action; et
cette manire nouvelle de le concevoir me parat propre  faire
ressortir sa vritable nature, en lui donnant ainsi un caractre
physique, au lieu du caractre purement logique qui lui avait t
imprim par d'Alembert. En consquence nous ne verrons dsormais dans ce
grand principe que notre seconde loi du mouvement tendue  un nombre
quelconque de corps, disposs entr'eux d'une manire quelconque.

D'aprs ce principe gnral, on conoit que toute question de dynamique
pourra tre immdiatement convertie en une simple question de statique,
puisqu'il suffira de former, dans chaque cas, les quations d'quilibre
entre les mouvemens dtruits; ce qui donne la certitude ncessaire de
pouvoir mettre en quation un problme quelconque de dynamique, et de le
faire ainsi dpendre uniquement de recherches analytiques. Mais la forme
sous laquelle le principe de d'Alembert a t primitivement conu n'est
point la plus convenable pour effectuer avec facilit cette
transformation fondamentale, vu la grande difficult qu'on prouve
souvent  discerner quels doivent tre les mouvemens dtruits, comme on
peut pleinement s'en convaincre par l'examen attentif du _Trait de
dynamique_ de d'Alembert, dont les solutions sont ordinairement si
compliques. Hermann, et surtout Euler ont cherch  faire disparatre
la considration embarrassante des quantits de mouvement perdues ou
gagnes, en remplaant les mouvemens dtruits par les mouvemens
primitifs composs avec les mouvemens effectifs pris en sens contraire,
ce qui revient videmment au mme, puisque, quand une force a t
dcompose en deux, on peut rciproquement substituer  l'une des
composantes la combinaison de la rsultante avec l'autre composante
prise en sens contraire. Ds lors le principe de d'Alembert, envisag
sous ce nouveau point de vue, consiste simplement, en ce que les
mouvemens effectifs conformes  la liaison des corps du systme devront
ncessairement, tant pris en sens inverse, faire toujours quilibre aux
mouvemens primitifs qui rsulteraient de la seule action des forces
proposes sur chaque corps suppos libre; ce qui peut d'ailleurs tre
tabli directement, car il est vident que le systme serait en
quilibre si on imprimait  chaque corps une quantit de mouvement gale
et contraire  celle qu'il prendra effectivement. Cette nouvelle forme
donne par Euler au principe de d'Alembert est la plus convenable pour
en faire usage, comme ne prenant en considration que les mouvemens
primitifs et les mouvemens effectifs, qui sont les vritables lmens du
problme dynamique, dont les uns constituent les donnes et les autres
les inconnues. Tel est, en effet, le point de vue dfinitif sous lequel
le principe de d'Alembert a t habituellement conu depuis.

Les questions relatives au mouvement tant ainsi gnralement rduites,
de la manire la plus simple possible,  de pures questions d'quilibre,
la mthode la plus philosophique pour traiter la dynamique rationnelle
consiste  combiner le principe de d'Alembert avec le principe des
vitesses virtuelles, qui fournit directement, comme nous l'avons vu dans
la leon prcdente, toutes les quations ncessaires  l'quilibre
d'un systme quelconque. Telle est la combinaison conue par Lagrange,
et si admirablement dveloppe dans sa _Mcanique analytique_, qui a
lev la science gnrale de la mcanique abstraite au plus haut degr
de perfection que l'esprit humain puisse ambitionner sous le rapport
logique, c'est--dire  une rigoureuse unit, toutes les questions qui
peuvent s'y rapporter tant dsormais uniformment rattaches  un
principe unique, d'aprs lequel la solution dfinitive d'un problme
quelconque ne prsente plus ncessairement que des difficults
analytiques. Pour tablir le plus simplement possible la formule
gnrale de la dynamique, concevons que toutes les forces acclratrices
du systme quelconque propos aient t dcomposes paralllement aux
trois axes des coordonnes, et soient X, Y, Z, les groupes de forces
correspondant aux axes des x, y, z; en dsignant par m la masse du
systme, il devra y avoir quilibre, d'aprs le principe de d'Alembert,
entre les quantits primitives de mouvement mX, mY, mZ, et les quantits
de mouvement effectives prises en sens contraire, qui seront videmment
exprimes par -m{d^2x}/over{dt^2}, -m{d^2y}/over{dt^2},
-m{d^2z}/over{dt^2}, suivant les trois axes. Ainsi, appliquant  cet
ensemble de forces le principe gnral des vitesses virtuelles, en ayant
soin de distinguer les variations relatives aux diffrens axes, on
obtiendra l'quation /[/int m/left(X-/frac{d^2x}{dt^2}/right)/delta x +
/int m/left(Y-/frac{d^2y}{dt^2}/right)/delta y +/] /[/int
m/left(Z-/frac{d^2z}{dt^2}/right)/delta z = 0,/] qui peut tre regarde
comme comprenant implicitement toutes les quations ncessaires pour
l'entire dtermination des diverses circonstances relatives au
mouvement d'un systme quelconque de corps sollicits par des forces
quelconques. Les quations explicites se dduiront convenablement, dans
chaque cas, de celle formule gnrale, en rduisant toutes les
variations au plus petit nombre possible, d'aprs les conditions de
liaison qui caractriseront le systme propos, ce qui fournira autant
d'quations distinctes qu'il restera de variations rellement
indpendantes.

Afin de faire ressortir, sous le point de vue philosophique, toute la
fcondit de cette formule, et de montrer qu'elle comprend
rigoureusement l'ensemble total de la dynamique, il convient de
remarquer qu'on en pourrait mme tirer, comme un simple cas particulier,
la thorie du mouvement curviligne d'une molcule unique; que nous avons
spcialement considre dans la premire partie de cette leon. En effet
il est vident que, si toutes les forces continues proposes agissent
sur une seule molcule, la masse m disparat de l'quation gnrale
prcdente, qui, en distinguant sparment le mouvement virtuel relatif
 chaque axe, fournit immdiatement les trois quations fondamentales
tablies ci-dessus pour le mouvement d'un point. Mais, bien qu'on doive
considrer cette filiation, sans laquelle on ne concevrait pas toute
l'tendue relle de la formule gnrale de la dynamique, la thorie du
mouvement d'une seule molcule n'exige point vritablement l'emploi du
principe de d'Alembert, qui est essentiellement destin  l'tude
dynamique des systmes de corps. Cette premire thorie est trop simple
par elle-mme, et rsulte trop immdiatement des lois fondamentales du
mouvement, pour que je n'aie pas cru devoir, conformment  l'usage
ordinaire, la prsenter d'abord isolment, afin de rendre plus nettes
les importantes notions gnrales auxquelles elle donne naissance,
quoique nous devions finir par la faire rentrer, en vue d'une
coordination plus parfaite, dans la formule invariable qui renferme
ncessairement toutes les thories dynamiques possibles.

Ce serait sortir des limites naturelles de ce cours que d'indiquer ici
aucune application spciale de cette formule gnrale  la solution
effective d'un problme dynamique quelconque, la mthode devant tre le
seul objet essentiel de nos considrations philosophiques, sauf
l'indication des rsultats principaux qu'elle a produits, et dont nous
nous occuperons dans la leon suivante. Je crois cependant devoir
rappeler  ce sujet, comme une conception vraiment relative  la
_mthode_ bien plus qu' la _science_, la distinction ncessaire,
signale dans la leon prcdente, entre les mouvemens de _translation_
et les mouvemens de _rotation_. Pour tudier convenablement le mouvement
d'un systme quelconque, il faut, en effet, l'envisager comme compos
d'une translation commune  toutes ses parties, et d'une rotation propre
 chacun de ses points autour d'un certain axe constant ou variable. Par
des motifs de simplification analytique dont nous aurons occasion, dans
la leon suivante, d'indiquer l'origine, les gomtres considrent
toujours de prfrence le mouvement de rotation d'un systme quelconque
relativement  son centre de gravit, ou, pour mieux dire,  son centre
des moyennes distances, qui prsente, sous ce rapport, des proprits
gnrales trs-remarquables, dont la dcouverte est due  Euler. Ds
lors l'analyse complte du mouvement d'un systme anim de forces
quelconques consiste essentiellement: 1  dterminer  chaque instant
la vitesse du centre de gravit et la direction dans laquelle il se
meut, ce qui suffit pour faire connatre, comme nous le constaterons,
tout ce qui concerne la translation du systme; 2  dterminer
galement  chaque instant la direction de l'axe instantan de rotation
passant par le centre de gravit, et la vitesse de rotation de chaque
partie du systme autour de cet axe. Il est clair, en effet, que toutes
les circonstances secondaires du mouvement pourront ncessairement tre
dduites, dans chaque cas, de ces deux dterminations principales.

La formule gnrale de la dynamique, tablie ci-dessus, est videmment,
par sa nature, tout aussi directement applicable au mouvement des
fluides qu' celui des solides, pourvu qu'on prenne convenablement en
considration les conditions qui caractrisent l'tat fluide, soit
liquide, soit gazeux, ce que nous avons eu occasion d'indiquer dans la
leon prcdente au sujet de l'quilibre. Aussi d'Alembert, aprs avoir
dcouvert le principe fondamental qui lui a permis, vu les progrs de la
statique, de traiter dans son ensemble la dynamique d'un systme
quelconque, en a-t-il fait immdiatement application  l'tablissement
des quations gnrales du mouvement des fluides, entirement inconnues
jusqu'alors. Ces quations s'obtiennent surtout avec une grande facilit
d'aprs le principe des vitesses virtuelles, tel qu'il est exprim par
la formule gnrale prcdente. Cette partie de la dynamique ne laisse
donc rellement rien  dsirer sous le rapport concret, et ne prsente
plus que des difficults purement analytiques, relatives  l'intgration
des quations aux diffrences partielles auxquelles on parvient. Mais il
faut reconnatre que cette intgration gnrale offrant jusqu'ici des
obstacles insurmontables, les connaissances effectives qu'on peut
dduire de cette thorie sont encore extrmement imparfaites, mme dans
les cas les plus simples; ce qui nous semblera sans doute invitable, en
considrant la grande complication que nous avons dj reconnue  cet
gard dans les questions de pure statique, dont la nature est cependant
bien moins complexe. Le seul problme de l'coulement d'un liquide
pesant par un orifice donn, quelque facile qu'il doive paratre, n'a pu
encore tre rsolu d'une manire vraiment satisfaisante. Afin de
simplifier suffisamment les recherches analytiques dont il dpend, les
gomtres ont t obligs d'adopter la clbre hypothse propose par
Daniel Bernouilli sous le nom de _paralllisme des tranches_, qui permet
de ne considrer le mouvement que par tranches, au lieu de devoir
l'envisager molcule  molcule. Mais cette hypothse, qui consiste 
regarder chaque section horizontale du liquide comme se mouvant en
totalit et prenant la place de la suivante, est videmment en
contradiction formelle avec la ralit dans presque tous les cas,
except dans un petit nombre de circonstances choisies pour ainsi dire
expressment,  cause des mouvemens latraux dont une telle hypothse
fait compltement abstraction, et dont l'existence sensible impose
ncessairement la loi d'tudier isolment le mouvement de chaque
molcule. La science gnrale de l'hydrodynamique ne peut donc
rellement tre encore envisage que comme tant  sa naissance, mme
relativement aux liquides, et  plus forte raison  l'gard des gaz.
Mais il importe minemment de reconnatre, d'un autre ct, que tous les
grands travaux qui restent  faire sous ce rapport consistent
essentiellement dans les progrs de la seule analyse mathmatique, les
quations fondamentales du mouvement des fluides tant irrvocablement
tablies.

Aprs avoir considr sous ses divers aspects principaux le caractre
gnral de la mthode en mcanique rationnelle, et indiqu comment
toutes les questions qu'elle petit offrir se rduisent  des recherches
purement analytiques, il nous reste maintenant, pour complter l'examen
philosophique de cette science fondamentale,  envisager, dans la leon
suivante, les rsultats principaux obtenus par l'esprit humain en
procdant ainsi, c'est--dire les proprits gnrales les plus
remarquables de l'quilibre et du mouvement.




DIX-HUITIME LEON.

SOMMAIRE. Considrations sur les thormes gnraux de mcanique
rationnelle.


Le but et l'esprit de cet ouvrage, aussi bien que son tendue naturelle,
nous interdisent ncessairement ici tout dveloppement spcial relatif 
l'application des quations fondamentales de l'quilibre et du
mouvement,  la solution effective d'aucun problme mcanique
particulier. Nanmoins, on ne se formerait qu'une ide incomplte du
caractre philosophique de la mcanique rationnelle envisage dans son
ensemble, si, aprs avoir convenablement tudi la mthode, on ne
considrait enfin les grands rsultats thoriques de la science,
c'est--dire les principales proprits gnrales de l'quilibre et du
mouvement dcouvertes jusqu'ici par les gomtres, et qui nous restent
maintenant  examiner. Ces diverses proprits ont t conues dans
l'origine comme autant de vritables _principes_, dont chacun tait
destin primitivement  procurer la solution d'un certain ordre de
nouveaux problmes mcaniques, suprieurs aux mthodes connues
jusqu'alors. Mais, depuis que l'ensemble de la mcanique rationnelle a
pris son caractre systmatique dfinitif, chacun de ces anciens
_principes_ a t ramen  n'tre plus qu'un simple _thorme_ plus ou
moins gnral, rsultat ncessaire des thories fondamentales de la
statique et de la dynamique abstraites: c'est seulement sous ce point de
vue philosophique que nous devons les envisager ici. Commenons par ceux
qui se rapportent  la statique.

Le thorme le plus remarquable qui ait t dduit jusqu' prsent des
quations gnrales de l'quilibre est la clbre proprit,
primitivement dcouverte par Torricelli, relativement  l'quilibre des
corps pesans. Elle consiste proprement en ce que, quand un systme
quelconque de corps pesans est dans sa situation d'quilibre, son centre
de gravit est ncessairement plac au point le plus bas ou le plus haut
possible, comparativement  toutes les positions qu'il pourrait prendre
d'aprs toute autre situation du systme. Torricelli  d'abord prsent
cette proprit comme immdiatement vrifie par les conditions
d'quilibre connues de tous les systmes de poids considrs
jusqu'alors. Mais les considrations gnrales d'aprs lesquelles il a
tent ensuite de la dmontrer directement sont rellement peu
satisfaisantes, et offrent un exemple sensible de la ncessit de se
dfier, dans les sciences mathmatiques, de toute ide dont le caractre
n'est point parfaitement prcis, quelque plausible qu'elle puisse
d'ailleurs paratre. En effet le raisonnement de Torricelli consiste
essentiellement  remarquer que la tendance naturelle du poids tant de
descendre, il y aura ncessairement quilibre si le centre de gravit se
trouve plac le plus bas possible. L'insuffisance de cette considration
est vidente, puisqu'elle n'explique point pourquoi il y a galement
quilibre quand le centre de gravit est plac le plus haut possible, et
qu'elle tendrait mme  dmontrer que ce second cas d'quilibre ne peut
exister, tandis que, sous le point de vue thorique, il est aussi rel
que le premier, quoique, par le dfaut de stabilit, on ait rarement
occasion de l'observer dans la pratique. Ainsi, pour choisir un exemple
trs-simple, la loi d'quilibre d'un pendule exige que le centre de
gravit du poids soit plac sur la verticale mene par le point de
suspension, ce qui offre une vrification palpable du thorme de
Torricelli; mais, quand on fait abstraction de la stabilit, il est
vident que ce centre de gravit peut d'ailleurs tre indiffremment
au-dessus ou au-dessous du point de suspension, l'quilibre ayant
galement lieu dans les deux cas.

La vritable dmonstration gnrale du thorme de Torricelli consiste 
le dduire du principe fondamental des vitesses virtuelles, qui le
fournit immdiatement avec la plus grande facilit. Il suffit, en effet,
pour cela, d'appliquer directement ce principe  l'quilibre d'un
systme quelconque de corps pesans,  l'gard duquel il donne aussitt
l'quation /[/int Pdz = 0,/] o P dsigne un quelconque des poids, et z
la hauteur verticale de son centre de gravit. Or, d'aprs la dfinition
gnrale du centre de gravit de tout systme de poids, on a videmment
en nommant P. le poids total du systme, et z, l'ordonne verticale de
son centre de gravit, la relation /[/int Pdz = P_1dz_1./] Ainsi
l'quation des vitesses virtuelles devient, dans ce cas, dz_1 = 0; ce
qui, conformment  la thorie analytique gnrale des _maxima_ et
_minima_, dmontre immdiatement que la hauteur verticale du centre de
gravit du systme est alors un _maximum_ ou un _minimum_, comme
l'indique le thorme de Torricelli.

Cette importante proprit, indpendamment du grand intrt qu'elle
prsente sous le point de vue physique, peut mme tre avantageusement
employe pour faciliter la solution gnrale de plusieurs problmes
essentiels de statique rationnelle, relativement aux corps pesans.
Ainsi, par exemple, elle suffit  l'entire rsolution de la clbre
question de la _chanette_, c'est--dire de la figure que prend une
chane pesante suspendue  deux points fixes, et ensuite librement
abandonne  la seule influence de la gravit, en la supposant
parfaitement flexible, et de plus inextensible. En effet, le thorme de
Torricelli indiquant alors que le centre de gravit doit tre plac le
plus bas possible, le problme appartient immdiatement  la thorie
gnrale des isoprimtres, indique dans la huitime leon, puisqu'il
se rduit  dterminer, parmi toutes les courbes de mme contour traces
entre les deux points fixes donns, quelle est celle qui jouit de cette
proprit caractristique, que la hauteur verticale de son centre de
gravit totale soit un _minimum_, condition qui suffit pour dterminer
compltement,  l'aide du calcul des variations, l'quation
diffrentielle, et ensuite l'quation finie de la courbe cherche. Il
en est de mme dans quelques autres questions intressantes relatives 
l'quilibre des poids.

Le thorme de Torricelli a prouv plus tard une importante
gnralisation par les travaux de Maupertuis, qui, sous le nom de _loi
du repos_, a dcouvert une proprit trs-tendue de l'quilibre, dont
celle ci-dessus considre n'est plus qu'un simple cas particulier.
C'est seulement  la pesanteur terrestre, ou  la gravit proprement
dite, que s'applique la loi trouve par Torricelli. Celle de Maupertuis
s'tend, au contraire,  toutes les forces attractives qui peuvent faire
tendre les corps d'un systme quelconque vers des centres fixes, ou les
uns vers les autres, suivant une fonction quelconque de la distance,
indpendante de la direction, ce qui comprend toutes les grandes forces
naturelles. On sait que, dans ce cas, l'expression P/delta p+P'/delta
p'+ etc., qui forme le premier membre de l'quation gnrale des
vitesses virtuelles, se trouve ncessairement tre toujours une
diffrentielle exacte. Par consquent, le principe des vitesses
virtuelles consiste alors proprement en ce que la variation de son
intgrale est nulle, ce qui indique videmment, d'aprs la thorie
fondamentale des _maxima_ et _minima_, que cette intgrale /int P/delta
p est constamment, dans le cas d'quilibre, un _maximum_ ou un
_minimum_. C'est en cela que consiste la loi de Maupertuis, considre
sous le point de vue le plus gnral, et dduite ainsi directement avec
une extrme simplicit du principe fondamental des vitesses virtuelles,
qui doit ncessairement renfermer implicitement toutes les proprits
auxquelles peut donner lieu la thorie de l'quilibre. Le thorme de
Maupertuis a t prsent par Lagrange sous un aspect plus concret et
plus remarquable, en le rattachant  la notion des _forces vives_, dont
nous nous occuperons plus bas. Lagrange, considrant que l'intgrale
/int P/delta p envisage par Maupertuis est ncessairement toujours,
d'aprs la thorie analytique gnrale du mouvement, le complment de la
somme des forces vives du systme  une certaine constante, en a conclu
que cette somme de forces vives est un _minimum_ lorsque l'intgrale
prcdente est un _maximum_, et rciproquement. D'aprs cela, le
thorme de Maupertuis peut tre envisag plus simplement comme
consistant en ce que la situation d'quilibre d'un systme quelconque
est constamment celle dans laquelle la somme des forces vives se trouve
tre un _maximum_ ou un _minimum_. Il est vident que, dans le cas
particulier de la pesanteur terrestre, cette loi concide exactement
avec celle de Torricelli, la force vive tant alors gale, comme on
sait, au produit du poids par la hauteur verticale du centre de
gravit, laquelle doit donc devenir ncessairement un _maximum_ ou un
_minimum_, s'il y a quilibre.

Une autre proprit gnrale trs-remarquable de l'quilibre, qui peut
tre regarde comme le complment indispensable du thorme de
Torricelli et de Maupertuis, consiste dans la distinction fondamentale
des cas de _stabilit_ ou d'_instabilit_ de l'quilibre. On sait que
l'quilibre peut tre _stable_ ou _instable_, c'est--dire que le corps,
infiniment peu cart de sa situation d'quilibre, peut tendre  y
revenir, et y retourne en effet aprs un certain nombre d'oscillations
bientt ananties par la rsistance du milieu, les frottemens, etc., ou
bien qu'il tend, au contraire,  s'en loigner de plus en plus, pour ne
s'arrter que dans une nouvelle position d'quilibre stable. Ce que nous
appelons physiquement l'tat de _repos_ d'un corps n'est rellement
autre chose que l'_quilibre stable_, car le _repos_ abstrait, tel que
les gomtres le conoivent, lorsqu'ils supposent un corps qui ne serait
sollicit par aucune force, ne saurait videmment exister dans la
nature, o il ne peut y avoir que des quilibres plus ou moins durables.
L'quilibre _instable_, au contraire, constitue effectivement ce que le
vulgaire appelle proprement _quilibre_, qui dsigne toujours un tat
plus ou moins passager et artificiel. La proprit gnrale que nous
considrons maintenant, et dont la dmonstration complte est due 
Lagrange, consiste en ce que, dans un systme quelconque, l'quilibre
est _stable_ ou _instable_, suivant que l'intgrale envisage par
Maupertuis, et qui a t indique, ci-dessus, se trouve tre un
_minimum_ ou un _maximum_; ou, ce qui revient au mme, comme nous
l'avons dit, suivant que la somme des forces vives est un _maximum_ ou
un _minimum_. Ce beau thorme de mcanique, appliqu au cas le plus
simple et le plus remarquable,  celui de l'quilibre des corps pesans
considr par Torricelli, apprend alors que le systme est dans un tat
d'quilibre stable, quand le centre de gravit est plac le plus bas
possible, et dans un tat d'quilibre instable quand, au contraire, le
centre de gravit est plac le plus haut possible, ce qu'il est ais de
vrifier directement pour les systmes les moins compliqus. Ainsi, par
exemple, l'quilibre d'un pendule est videmment stable, quand le centre
de gravit du poids se trouve tre situ au dessus du point de
suspension, et instable quand il est au dessous. De mme, un ellipsode
de rvolution, pos sur un plan horizontal, est en quilibre stable
quand il repose sur le sommet de son petit axe, et en quilibre instable
quand c'est sur le sommet de son grand axe. La seule observation aurait
suffi sans doute pour distinguer les deux tats dans des cas aussi
simples. Mais la thorie la plus profonde a t ncessaire pour dvoiler
aux gomtres que cette distinction fondamentale tait galement
applicable aux systmes les plus composs, en montrant que lorsque
l'intgrale relative  la somme des momens virtuels est un _minimum_, le
systme ne peut faire autour de sa situation d'quilibre que des
oscillations trs-petites et dont l'tendue est dtermine, tandis que,
si cette intgrale est, au contraire, un _maximum_, ces oscillations
peuvent acqurir et acquirent en effet une tendue finie et quelconque.
Il est d'ailleurs inutile d'avertir que, par leur nature, ces
proprits, ainsi que les prcdentes, ont lieu dans les fluides tout
aussi bien que dans les solides, ce qui est galement le caractre de
toutes les proprits mcaniques gnrales  l'examen desquelles nous
avons destin cette leon.

Considrons maintenant les thormes gnraux de mcanique relatifs au
mouvement.

Depuis que ces proprits ont cess d'tre envisages comme autant de
_principes_, et qu'on n'y a vu que des simples rsultats ncessaires des
thories dynamiques fondamentales, la manire la plus directe et la plus
convenable de les tablir consiste  les prsenter, ainsi que l'a fait
Lagrange, comme des consquences immdiates de l'quation gnrale de
la dynamique, dduite de la combinaison du principe d'Alembert avec le
principe des vitesses virtuelles, telle que nous l'avons expose dans la
leon prcdente. On doit mettre au nombre des avantages les plus
sensibles de cette mthode, comme Lagrange l'a justement remarqu, cette
facilit qu'elle offre pour la dmonstration de ces grands thormes de
dynamique dans leur plus grande gnralit, dmonstration  laquelle on
ne pouvait autrement parvenir que par des considrations indirectes et
fort compliques. Nanmoins la nature de ce cours nous interdit
d'indiquer spcialement ici chacune de ces dmonstrations, et nous
devons nous borner  considrer seulement les divers rsultats.

Le premier thorme gnral de dynamique est celui que Newton a
dcouvert relativement au mouvement du centre de gravit d'un systme
quelconque, et qui est habituellement connu sous le nom de _principe de
la conservation du mouvement du centre de gravit_. Newton a reconnu le
premier et dmontr par des considrations extrmement simples, au
commencement de son grand trait des _principes mathmatiques de la
philosophie naturelle_, que l'action mutuelle des corps d'un systme les
uns sur les autres, soit par attraction, soit par impulsion, en un mot
d'une manire quelconque, en ayant convenablement gard  l'galit
constante et ncessaire entre la raction et l'action, ne peut nullement
altrer l'tat du centre de gravit, en sorte que, s'il n'y a pas
d'autres forces acclratrices que ces actions rciproques, et si les
forces extrieures du systme se rduisent seulement  des forces
instantanes, le centre de gravit restera toujours immobile ou se
mouvera uniformment en ligne droite. D'Alembert a, depuis, gnralis
cette proprit, et prouv que, quelqu'altration que puisse introduire
l'action mutuelle des corps du systme dans le mouvement de chacun
d'eux, le centre de gravit n'en est jamais affect, et que son
mouvement a constamment lieu comme si toutes les forces du systme y
taient directement appliques paralllement  leur direction, quelles
que soient les forces extrieures de ce systme, et en supposant
seulement qu'il ne prsente aucun point fixe. C'est ce qu'il est ais de
dmontrer, en dveloppant, dans la formule gnrale de la dynamique, les
quations relatives au mouvement de translation, qui, par la proprit
analytique fondamentale du centre de gravit, se trouvent concider avec
celles qu'aurait fourni le mouvement isol de ce centre si la masse
totale du systme y et t suppose condense, et qu'on l'et conue
anime de toutes les forces extrieures du systme. Le principal
avantage de ce beau thorme est de pouvoir ainsi, en ce qui concerne le
mouvement du centre de gravit, faire rentrer le cas d'un corps ou d'un
systme quelconque dans celui d'une molcule unique. Comme le mouvement
de translation d'un systme doit tre estim par le mouvement de son
centre de gravit, on parvient donc de cette manire  rduire la
seconde partie de la dynamique  la premire pour tout ce qui se
rapporte aux mouvemens de translation, d'o rsulte, ainsi qu'il est
ais de le sentir, une importante simplification dans la solution de
tout problme dynamique particulier, puisqu'on peut alors ngliger, dans
cette partie de la recherche, les effets de l'action mutuelle de tous
les corps proposs, dont la dtermination constitue ordinairement la
principale difficult de chaque question.

On ne se fait pas communment une assez juste ide de l'entire
gnralit thorique des grands rsultats de la mcanique rationnelle,
qui sont ncessairement applicables, par eux-mmes,  tous les ordres de
phnomnes naturels, puisque nous avons reconnu que les lois
fondamentales sur lesquelles repose tout l'difice systmatique de la
science ne souffrent d'exception dans aucune classe quelconque de
phnomnes, et constituent les faits les plus gnraux de l'univers
rel, quoiqu'on paraisse ordinairement, dans ce genre de conceptions,
avoir seulement en vue le monde inorganique. Aussi est-il  propos, ce
me semble, de faire remarquer formellement ici, au sujet de cette
premire proprit gnrale du mouvement, que le thorme a galement
lieu dans les corps vivans comme dans les corps inanims. Quelle que
puisse tre, en effet, la nature des phnomnes qui caractrisent les
corps vivans, ils ne sauraient consister tout au plus qu'en certaines
actions particulires des molcules les unes sur les autres, qui ne
s'observeraient point dans les corps bruts, sans qu'on doive douter
d'ailleurs que la raction y soit toujours, aussi bien qu'en tout autre
cas, gale au contraire  l'action. Ainsi, par la nature mme du
thorme que nous venons de considrer, il doit ncessairement se
vrifier aussi bien pour les corps vivans que pour les corps bruts,
puisque le mouvement du centre de gravit est indpendant de ces actions
intrieures mutuelles. Il en rsulte, par exemple, qu'un corps vivant,
quel que soit le jeu interne de ses organes, ne saurait de lui-mme
dplacer son centre de gravit, quoiqu'il puisse faire excuter 
quelques-uns de ses points certains mouvemens partiels autour de ce
centre. Ne vrifie-t-on pas clairement, en effet, que la locomotion
totale d'un corps vivant serait entirement impossible sans le secours
extrieur que lui fournit la rsistance et le frottement du sol sur
lequel il se meut, ou du fluide qui le contient? On peut faire des
remarques exactement analogues, relativement  toutes les autres
proprits dynamiques gnrales qui nous restent  considrer, et pour
chacune desquelles je me dispenserai, par consquent, d'indiquer
spcialement son applicabilit ncessaire aux corps vivans aussi bien
qu'aux corps inertes.

Le second thorme gnral de dynamique consiste dans le clbre et
important _principe des aires_, dont la premire ide est due  Kpler,
qui dcouvrit et dmontra fort simplement cette proprit pour le cas du
mouvement d'une molcule unique, ou en d'autres termes, d'un corps dont
tous les points se meuvent identiquement. Kpler tablit, par les
considrations les plus lmentaires, que si la force acclratrice
totale dont une molcule est anime tend constamment vers un point fixe,
le rayon vecteur du mobile dcrit autour de ce point des aires gales en
temps gaux, de telle sorte que l'aire dcrite au bout d'un temps
quelconque crot proportionnellement  ce temps. Il fit voir en outre
que, rciproquement, si une semblable relation a t vrifie dans le
mouvement d'un corps par rapport  un certain point, c'est une preuve
suffisante de l'action sur ce corps d'une force dirige sans cesse vers
ce point. Cette belle proprit se dduit d'ailleurs trs-aisment des
quations gnrales du mouvement curviligne d'une molcule, exposes
dans la leon prcdente, en plaant l'origine des coordonnes au centre
des forces, et considrant l'expression de l'aire dcrite sur l'un
quelconque des plans coordonns par la projection correspondante du
rayon vecteur du mobile. Cette dcouverte de Kpler est d'autant plus
remarquable qu'elle a eu lieu avant que la dynamique et t rellement
cre par Galile. Nous aurons occasion de remarquer, dans la partie
astronomique de ce cours, que Kpler ayant reconnu que les rayons
vecteurs des plantes dcrivent autour du soleil des aires
proportionnelles aux temps, ce qui constitue la premire de ses trois
grandes lois astronomiques, en conclut ainsi que les plantes sont
continuellement animes d'une tendance vers le soleil, dont il tait
rserv  Newton de dcouvrir la loi.

Mais, quelle que soit l'importance de ce premier thorme des aires, qui
est ainsi une des bases essentielles de la mcanique cleste, on ne doit
plus y voir aujourd'hui que le cas particulier le plus simple du grand
thorme gnral des aires, dcouvert presque simultanment et sous des
formes diffrentes par d'Arcy, par Daniel Bernouilli et par Euler, vers
le milieu du sicle dernier. La dcouverte de Kpler n'tait relative
qu'au mouvement d'un point: celle de d'Arcy se rapporte au mouvement de
tout systme quelconque de corps agissant les uns sur les autres d'une
manire quelconque, ce qui constitue un cas, non-seulement plus
compliqu, mais mme essentiellement diffrent,  cause de ces actions
mutuelles. Le thorme consiste alors en ce que, par suite de ces
influences rciproques, l'aire que dcrira sparment le rayon vecteur
de chaque molcule du systme  chaque instant autour d'un point
quelconque pourra bien tre altre, mais que la somme algbrique des
aires ainsi dcrites par les projections sur un plan quelconque des
rayons vecteurs de toutes les molcules, en donnant  chacune de ces
aires le signe convenable d'aprs la rgle ordinaire, ne souffrira aucun
changement, en sorte que, s'il n'y  pas d'autres forces acclratrices
dans le systme que ces actions mutuelles, cette somme des aires
dcrites demeurera invariable en un temps donn, et crotra par
consquent proportionnellement au temps. Quand le systme ne prsente
aucun point fixe, cette proprit remarquable a lieu relativement  un
point quelconque de l'espace; tandis qu'elle se vrifie seulement en
prenant le point fixe pour centre des aires, si le systme en offre un.
Enfin, lorsque les corps du systme sont anims de forces acclratrices
extrieures, si ces forces tendent constamment vers un mme point, le
thorme des aires subsiste encore, mais uniquement  l'gard de ce
point. Cette dernire partie de la proposition gnrale fournit
videmment comme cas particulier, le thorme de Kpler, en supposant
que le systme se rduise  une seule molcule.

Dans l'application de ce thorme, on remplace ordinairement la somme
des aires correspondantes  toutes les molcules du systme par la somme
quivalente des produits de la masse de chaque corps par l'aire qui s'y
rapporte, ce qui dispense de partager le systme en molcules de mme
masse.

Telle est la forme sous laquelle le thorme gnral des aires a t
dcouvert par d'Arcy; c'est celle qu'on emploie habituellement. Comme
l'aire dcrite par le rayon vecteur de chaque corps dans un instant
infiniment petit, est videmment proportionnelle au produit de la
vitesse de ce corps par sa distance au point fixe que l'on considre, on
peut substituer  la somme des aires la somme des _momens_ par rapport 
ce point de toutes les forces du systme projetes sur un mme plan
quelconque. Sous ce point de vue, le thorme des aires prsente,
suivant la remarque de Laplace, une proprit gnrale du mouvement
analogue  une de celles de l'quilibre, puisqu'il consiste alors en ce
que cette somme des momens, nulle dans le cas de l'quilibre, est
constante dans le cas du mouvement. C'est ainsi que ce thorme a t
trouv par Euler et par Daniel Bernouilli.

Quelle que soit l'interprtation concrte qu'on juge convenable de lui
donner, il est une simple consquence analytique directe de la formule
gnrale de la dynamique. Il suffit, pour l'en dduire, de dvelopper
cette formule en formant les quations qui se rapportent au mouvement de
rotation, et dans lesquelles on apercevra immdiatement l'expression
analytique du thorme des aires ou des momens, en ayant gard aux
conditions ci-dessus indiques. Sous le rapport analytique, on peut dire
que l'utilit de ce thorme consiste essentiellement  fournir dans
tous les cas trois intgrales premires des quations gnrales du
mouvement qui sont par elles-mmes du second ordre, ce qui tend 
faciliter singulirement la solution dfinitive de chaque problme
dynamique particulier.

Le thorme des aires suffit pour dterminer, dans le mouvement gnral
d'un systme quelconque, tout ce qui se rapporte aux mouvemens de
rotation, comme le thorme du centre de gravit dtermine tout ce qui
est relatif aux mouvemens de translation. Ainsi, par la seule
combinaison de ces deux proprits gnrales, on pourrait procder 
l'tude complte du mouvement d'un systme quelconque de corps, soit
quant  la translation, soit quant  la rotation.

Je ne dois pas ngliger de signaler sommairement ici, au sujet du
thorme des aires, la clart inespre et la simplicit admirable que
M. Poinsot y a introduites en y appliquant sa conception fondamentale
relative aux mouvemens de rotation, que nous avons considre sous le
point de vue statique dans la seizime leon. En substituant aux aires,
ou aux momens considrs jusqu'alors par les gomtres, les couples
qu'engendrent les forces proposes, M. Poinsot a fait prouver  cette
thorie un perfectionnement philosophique trs-important, qui ne me
parat pas encore avoir t suffisamment senti. Il a donn ainsi une
valeur concrte, un sens dynamique propre et direct,  ce qui n'tait
auparavant qu'un simple nonc gomtrique d'une partie des quations
fondamentales du mouvement. Une aussi heureuse transformation gnrale
est destine, sans doute,  accrotre ncessairement les ressources de
l'esprit humain pour l'laboration des ides dynamiques, en tout ce qui
concerne la thorie des mouvemens de rotation. On peut voir dans le
beau mmoire de M. Poinsot sur les proprits des momens et des aires,
qui se trouve annex  sa _Statique_, avec quelle facilit il est
parvenu, d'aprs cette lumineuse conception, non-seulement  rendre
lmentaire une thorie jusqu'alors fonde sur la plus haute analyse,
mais  dcouvrir  cet gard de nouvelles proprits gnrales
trs-remarquables, que nous ne devons point considrer ici, et qu'il et
t difficile d'obtenir par les mthodes antrieures.

Le thorme des aires a t, pour l'illustre Laplace, l'origine de la
dcouverte d'une autre proprit dynamique trs-remarquable, celle de ce
qu'il a nomm le _plan invariable_, dont la considration est surtout si
importante dans la mcanique cleste. La somme des aires projetes par
tous les corps du systme sur un plan quelconque tant constante en un
temps donn, Laplace a cherch la direction du plan  l'gard duquel
cette somme se trouvait tre la plus grande possible. Or, d'aprs la
manire dont ce plan de la plus grande aire ou du plus grand moment est
dtermin, Laplace a dmontr que sa direction est ncessairement
indpendante de la raction mutuelle des diffrentes parties du systme,
en sorte que, par sa nature, ce plan doit rester continuellement
invariable, quelles que puissent jamais tre les altrations introduites
dans la situation de ces corps par leurs influences rciproques, pourvu
qu'il ne survienne aucune nouvelle force extrieure. On conoit aisment
de quelle importance doit tre, comme nous l'expliquerons spcialement
dans la seconde partie de ce cours, la dtermination d'un tel plan
relativement  notre systme solaire, puisque, en y rapportant tous nos
mouvemens clestes, il nous procure l'inapprciable avantage d'avoir un
terme de comparaison ncessairement fixe,  travers tous les drangemens
que l'action mutuelle de nos plantes pourra faire subir dans la suite
des temps  leurs distances,  leurs rvolutions et mme aux plans de
leurs orbites, ce qui est une premire condition videmment
indispensable pour que nous puissions exactement connatre en quoi
consistent ces altrations. Malheureusement nous aurons occasion de
remarquer que l'incertitude o nous sommes jusqu'ici relativement  la
valeur exacte de plusieurs donnes essentielles, ne nous permet pas
encore de dterminer avec toute la prcision suffisante la situation de
ce plan. Mais cette difficult d'application n'affecte en aucune manire
le caractre de ce beau thorme, considr sous le point de vue de la
mcanique rationnelle, le seul que nous devions adopter ici.

La thorie du plan invariable a t notablement perfectionne dans ces
derniers temps par M. Poinsot, qui a d naturellement y transporter sa
conception propre relativement  la thorie gnrale des aires ou des
momens. Il a d'abord considrablement simplifi la notion fondamentale
de ce plan, de faon  la rendre aussi lmentaire qu'il est possible,
en montrant qu'un tel plan n'est rellement autre chose que le plan du
couple gnral rsultant de tous les couples engendrs par les
diffrentes forces du systme, ce qui le dfinit immdiatement par une
proprit dynamique trs-sensible, au lieu de la seule proprit
gomtrique du maximum des aires. Quand une conception quelconque a t
vraiment simplifie dans sa nature, l'laboration en tant par cela mme
facilite, elle ne saurait manquer de prendre plus d'extension et de
conduire  des rsultats nouveaux: telle est, en effet, la marche
ordinaire de l'esprit humain dans les sciences, que les thories les
plus fcondes en dcouvertes n'ont t le plus souvent,  leur origine,
qu'un moyen de rendre plus simple la solution de questions dj
traites. Le travail que nous considrons ici en a offert une nouvelle
preuve. Car la thorie de M. Poinsot a permis d'introduire un plus haut
degr de prcision dans la dtermination du plan invariable propre 
notre systme solaire, en signalant et rectifiant une importante lacune
que Laplace y avait laisse. Ce grand gomtre, en calculant la
situation du plan du _maximum_ des aires, avait cru ne devoir prendre
en considration que les aires principales, produites par la circulation
des plantes autour du soleil, sans tenir aucun compte de celles dues
aux mouvemens des satellites autour des plantes, ou  la rotation de
tous ces astres et du soleil lui-mme. M. Poinsot vient de prouver la
ncessit d'avoir gard  ces divers lmens, sans quoi le plan ainsi
dtermin ne pourrait point tre regard comme rigoureusement
invariable; et en cherchant la direction du vritable plan invariable
aussi exactement que le comporte l'imperfection actuelle de la plupart
des donnes, il a fait voir que ce plan diffre sensiblement de celui
trouv par Laplace; ce qu'il est facile de concevoir par la seule
considration de l'aire immense que doit introduire dans le calcul la
masse norme du soleil, quoique sa rotation soit trs-lente.

Pour complter l'indication des proprits dynamiques les plus
importantes relatives au mouvement de rotation, il convient maintenant
de signaler ici les beaux thormes dcouverts par Euler sur ce qu'il a
nomm les _momens d'inertie_ et les _axes principaux_, qu'on doit mettre
au nombre des rsultats gnraux les plus importans de la mcanique
rationnelle. Euler a donn le nom de _moment d'inertie_ d'un corps 
l'intgrale qui exprime la somme des produits de la masse de chaque
molcule par le carr de sa distance  l'axe autour duquel le corps
tourne, intgrale dont la considration doit videmment tre
trs-essentielle, puisqu'elle peut tre naturellement regarde comme la
mesure exacte de l'nergie de rotation du corps. Quand la masse propose
est homogne, ce moment d'inertie se dtermine comme les autres
intgrales analogues relatives  la forme d'un corps; lorsque, au
contraire, cette masse est htrogne, il faut de plus connatre la loi
de la densit dans les diverses couches qui la composent, et,  cela
prs, l'intgration n'est alors seulement que plus complique. Cette
notion tant tablie, Euler, comparant, en gnral, les momens d'inertie
d'un mme corps quelconque par rapport  tous les axes de rotation
imaginables passant en un point donn, dtermina les axes relativement
auxquels le moment d'inertie doit tre un _maximum_ ou un _minimum_, en
considrant surtout ceux qui se coupent au centre de gravit, et qui se
distinguent en ce qu'ils produisent ncessairement des momens moindres
que si, avec la mme direction, ils taient placs partout ailleurs. Il
dcouvrit ainsi qu'il existe constamment, en un point quelconque d'un
corps, et particulirement au centre de gravit, trois axes
rectangulaires, tels que le moment d'inertie du corps est un _maximum_ 
l'gard de l'un d'entre eux, et un _minimum_  l'gard d'un autre. Ces
axes sont d'ailleurs caractriss par une autre proprit commune qui
leur sert habituellement aujourd'hui de dfinition analytique, et qui
constitue, en effet, pour l'analyse, le principal avantage que l'on
trouve  rapporter le mouvement du corps  ces trois axes. Cette
proprit consiste en ce que, lorsque ces trois axes sont pris pour ceux
des coordonnes x, y, z, les intgrales /int xzdm, /int xydm, /int yzdm
(m exprimant la masse du corps), sont nulles relativement au corps tout
entier, ce qui simplifie notablement les quations gnrales du
mouvement de rotation. Mais le principal thorme dynamique dcouvert
par Euler  l'gard de ces axes, et d'aprs lequel il les a justement
appels _axes principaux de rotation_, consiste dans la stabilit des
rotations qui leur correspondent; c'est--dire, que si le corps a
commenc  tourner autour d'un de ces axes, cette rotation persistera
indfiniment de la mme manire, ce qui n'aurait pas lieu pour tout
autre axe quelconque, la rotation instantane s'excutant en gnral
autour d'un axe continuellement variable. Ce systme des axes principaux
est gnralement unique dans chaque corps: cependant, si tous les momens
d'inertie taient constamment gaux entre eux, la direction de ces axes
deviendrait totalement indtermine, pourvu qu'on les choist toujours
perpendiculaires entre eux, ce qui a lieu, par exemple, dans une sphre
homogne, o l'on peut regarder comme des axes permanens de rotation
tous les systmes d'axes rectangulaires passant par le centre. Il y
aurait encore un certain degr d'indtermination si le corps tait un
solide de rvolution, l'axe gomtrique tant alors un des axes
dynamiques principaux; mais les deux autres pouvant videmment tre pris
 volont dans un plan perpendiculaire au premier. La dtermination des
axes principaux prsente souvent de grandes difficults en considrant
des corps de figure et de constitution quelconques; mais elle s'effectue
avec une extrme facilit dans les cas peu compliqus, que la mcanique
cleste nous prsente heureusement comme les plus communs. Par exemple
dans un ellipsode homogne, ou mme seulement compos de couches
semblables et concentriques d'ingale densit, mais dont chacune est
homogne, les trois diamtres conjugus rectangulaires sont eux-mmes
les axes dynamiques principaux: le moment d'inertie du corps est un
_maximum_ relativement du plus petit de ces diamtres, et un _minimum_ 
l'gard du plus grand. Quand les axes principaux d'un corps ou d'un
systme sont dtermins ainsi que les momens d'inertie correspondans, si
le systme ne tourne pas autour de l'un de ces axes, Euler a tabli des
formules gnrales trs-simples, qui font connatre constamment les
angles que doit faire avec eux la droite autour de laquelle s'excute
spontanment la rotation instantane, et la valeur du moment d'inertie
qui s'y rapporte, ce qui suffit pour l'analyse complte du mouvement de
rotation.

Tels sont les thormes gnraux de dynamique qui se rapportent
directement  l'entire dtermination du mouvement d'un corps ou d'un
systme quelconque, soit quant  la translation, soit quant  la
rotation. Mais outre ces proprits fondamentales, les gomtres en ont
encore dcouvert plusieurs autres trs-gnrales, qui, sans tre aussi
strictement indispensables, mritent singulirement d'tre signals dans
un examen philosophique de la mcanique rationnelle,  cause de leur
extrme importance pour la simplification des recherches spciales.

La premire et la plus remarquable d'entre elles, celle qui prsente les
plus prcieux avantages pour les applications, consiste dans le clbre
thorme de la _conservation des forces vives_. La dcouverte primitive
en est due  Huyghens, qui fonda sur cette considration sa solution du
problme du centre d'oscillation. La notion en fut ensuite gnralise
par Jean Bernouilli, car Huyghens ne l'avait tabli que relativement au
mouvement des corps pesans. Mais Jean Bernouilli, accordant une
importance exagre et vicieuse  la fameuse distinction introduite par
Lebnitz, entre les forces _mortes_ et les forces _vives_, tenta
vainement d'riger ce thorme en une loi primitive de la nature, tandis
qu'il ne saurait tre qu'une consquence plus ou moins gnrale des
thories dynamiques fondamentales. Les travaux les plus importans dont
cette proprit du mouvement ait t le sujet sont certainement ceux de
l'illustre Daniel Bernouilli, qui donna au thorme des forces vives sa
plus grande extension, ainsi que la forme systmatique sous laquelle
nous le concevons aujourd'hui, et qui en fit surtout un si heureux usage
pour l'tude du mouvement des fluides.

On sait que, depuis Lebnitz, les gomtres appellent _force vive_ d'un
corps le produit de sa masse par le carr de sa vitesse, en faisant
d'ailleurs compltement abstraction des considrations trop vagues qui
avaient conduit Lebnitz  former une telle expression. Le thorme
gnral que nous envisageons ici consiste en ce que quelques altrations
qui puissent survenir dans le mouvement de chacun des corps d'un systme
quelconque en vertu de leur action rciproque, la somme des forces vives
de tous ces corps reste constamment la mme en un temps donn. C'est ce
qu'on dmontre aujourd'hui avec la plus grande facilit d'aprs les
quations fondamentales du mouvement d'un systme quelconque, et
surtout, comme l'a fait Lagrange, en partant de la formule gnrale de
la dynamique expose dans la leon prcdente. Sous le point de vue
analytique, l'extrme utilit de ce beau thorme consiste
essentiellement en ce qu'il fournit toujours d'avance une premire
quation finie entre les masses et les vitesses des diffrens corps du
systme. Cette relation, qui peut tre envisage comme une des
intgrales dfinitives des quations diffrentielles du mouvement,
suffit  l'entire solution du problme, toutes les fois qu'il est
rductible  la dtermination du mouvement d'un seul des corps que l'on
considre, dtermination qui s'effectue alors avec une grande facilit.

Mais pour se faire une juste ide de cette importante proprit, il est
indispensable de remarquer qu'elle est assujtie  une limitation
considrable, qui ne permet point, sous le rapport de la gnralit, de
la placer sur la mme ligne que les thormes prcdemment examins.
Cette limitation, dcouverte  la fin du dernier sicle par Carnot,
consiste en ce que la somme des forces vives subit constamment une
diminution dans le choc des corps qui ne sont pas parfaitement
lastiques, et gnralement toutes les fois que le systme prouve un
changement brusque quelconque. Carnot a dmontr qu'alors il y a une
perte de forces vives gale  la somme des forces vives dues aux
vitesses perdues par ce changement. Ainsi le thorme de la conservation
des forces vives n'a lieu qu'autant que le mouvement du systme varie
seulement par degrs insensibles, ou qu'il ne survient de choc qu'entre
des corps dous d'une lasticit parfaite. Cette importante
considration complte la notion gnrale qu'on doit se former d'une
proprit aussi remarquable.

De tous les grands thormes de mcanique rationnelle, celui que nous
venons d'envisager est sans contredit le plus important pour les
applications  la mcanique industrielle; c'est--dire en ce qui
concerne la thorie du mouvement des machines, en tant qu'elle est
susceptible d'tre tablie d'une manire exacte et prcise. Le thorme
des forces vives a commenc  fournir jusqu'ici, sous ce point de vue,
des indications gnrales trs-prcieuses, qui ont t surtout
prsentes avec une nettet et une concision parfaites dans le travail
de Carnot, auquel on n'a ajout depuis rien de vraiment essentiel. Ce
thorme prsente directement, en effet, la considration dynamique
d'une machine quelconque sous son vritable aspect, en montrant que,
dans toute transmission et modification du mouvement effectue par une
machine, il y a simplement change de force vive entre la masse du
moteur et celle du corps  mouvoir. Cet change serait complet,
c'est--dire toute la force vive du moteur serait utilise en vitant
les changemens brusques, si les frottemens, la rsistance des milieux,
etc., n'en absorbaient ncessairement une portion plus ou moins
considrable suivant que la machine est plus ou moins complique. Cette
notion met dans tout son jour l'absurdit de ce qu'on a appel le
mouvement perptuel, en indiquant mme d'une manire gnrale  quel
instant la machine abandonne  sa seule impulsion primitive doit
s'arrter spontanment; mais cette absurdit est d'ailleurs de sa nature
tellement sensible, qu'Huyghens avait, au contraire, fond en partie sa
dmonstration du thorme des forces vives sur l'vidence manifeste
d'une telle impossibilit. Quoi qu'il en soit, ce thorme donne une
ide nette de la vritable perfection dynamique d'une machine, en la
rduisant  utiliser la plus grande fraction possible de la force vive
du moteur, ce qui ne peut avoir lieu gnralement qu'en s'efforant de
simplifier le mcanisme autant que le comporte la nature du moteur. On
conoit en effet que si l'on mesure, comme il semble naturel de le
faire, l'effet dynamique utile d'un moteur en un temps donn par le
produit du poids qu'il peut lever et de la hauteur  laquelle il le
transporte, cet effet quivaut immdiatement, d'aprs les lois du
mouvement vertical des corps pesans,  une force vive, et non  une
quantit de mouvement. Sous ce point de vue, la fameuse discussion
souleve par Lebnitz au sujet des forces vives, et  laquelle prirent
part tous les grands gomtres de cette poque, ne doit point tre
regarde comme aussi dpourvue de ralit que d'Alembert a paru le
croire. On s'tait sans doute mpris en pensant que la mcanique
rationnelle tait intresse dans cette contestation, qui ne saurait en
effet, selon la remarque de d'Alembert, exercer sur elle la moindre
influence relle. Le point de vue thorique et le point de vue pratique
n'avaient pas t assez soigneusement spars par les gomtres qui
suivirent cette discussion. Mais, sous le seul point de vue de la
mcanique industrielle, elle n'en avait pas moins une vritable
importance. Elle pourrait mme tre utilement reprise aujourd'hui, car
les objections qui ont t faites contre la mesure vulgaire de la valeur
dynamique des moteurs mritent d'tre prises en srieuse considration,
vu qu'il semble en effet peu rationnel de prendre pour unit un
mouvement qui n'est point uniforme.

Mais, quelque dcision qu'on finisse par adopter sur cette contestation
non-termine, l'application du thorme des forces vives n'en conservera
pas moins toute son importance pour montrer sous son vrai jour la
destination relle des machines, en prouvant que ncessairement elles
font perdre en vitesse ou en temps ce qu'elles font gagner en force ou
rciproquement, de telle sorte que leur utilit consiste essentiellement
 changer les uns dans les autres les divers facteurs de l'effet 
produire, sans pouvoir jamais l'augmenter par elles-mmes dans sa
totalit, et en lui faisant constamment subir au contraire une
invitable diminution, ordinairement trs-notable. Il est douteux, du
reste, que l'application de ce thorme puisse  aucune poque tre
pousse beaucoup plus loin que les indications gnrales de ce genre,
car le vritable calcul _ priori_ de l'effet prcis d'une machine
quelconque donne prsente, comme problme de dynamique, une trop grande
complication, et exige la connaissance exacte d'un trop grand nombre de
relations encore compltement inconnues, pour pouvoir tre efficacement
tent dans la plupart des cas[29].

      [Note 29: La vritable thorie propre de la mcanique
      industrielle, qui n'est nullement, ainsi qu'on le croit
      souvent, une simple drivation de la _phoronomie_ ou
      mcanique rationnelle, et qui se rapporte  un ordre d'ides
      compltement distinct, n'a point encore t conue. Il en
      est,  cet gard, comme de toute autre _science
      d'application_ dont l'esprit humain ne possde jusqu'ici que
      quelques lmens insuffisans, selon la remarque indique
      dans notre seconde leon. La mcanique industrielle,
      abstraction faite de la formation des moteurs, qui dpend de
      l'ensemble de nos connaissances sur la nature, se compose de
      deux classes de recherches trs-diffrentes, les unes
      dynamiques, les autres gomtriques. Les premires ont pour
      objet la dtermination des appareils les plus convenables,
      afin d'utiliser autant que possible les forces motrices
      donnes; c'est--dire d'obtenir entre la force vive du corps
       mouvoir et celle du moteur le rapport le plus rapproch de
      l'unit, en ayant gard aux modifications exiges dans la
      vitesse par la destination connue de la machine. Quant aux
      autres, on s'y propose de changer  volont,  l'aide d'un
      mcanisme convenable, les lignes dcrites par les points
      d'application des forces. En un mot, le mouvement est
      modifi, dans les unes, quant  son intensit; dans les
      autres, quant  sa direction. Les premires se rapportent 
      une doctrine entirement neuve, au sujet de laquelle il n'a
      encore t produit aucune conception directe et vraiment
      rationnelle. Il en est  peu prs de mme pour les autres,
      qui dpendent de cette _gomtrie de situation_ entrevue par
      Lebnitz, mais qui n'a fait jusqu'ici presqu'aucun progrs.
      Je ne connais,  cet gard, d'autre travail rel qu'une
      ingnieuse considration lmentaire prsente par Monge, et
      qui, quoique simplement empirique, mrite d'tre note ici,
      ne fut-ce que pour indiquer la vritable nature de cet ordre
      d'ides.

      Monge est parti de cette observation, trs-plausible en
      effet, que, dans la ralit, les mouvemens excuts par les
      machines sont ou rectilignes ou circulaires, chacun pouvant
      tre d'ailleurs ou continu ou alternatif. Il a, ds lors,
      envisag toute machine comme destine, sous le rapport
      gomtrique,  transformer ces divers mouvemens lmentaires
      les uns dans les autres. Cela pos, en puisant toutes les
      combinaisons diverses qu'une telle transformation peut
      offrir, il en a vu rsulter ncessairement dix sries
      d'appareils dans lesquelles peuvent tre ranges toutes les
      machines connues, ainsi que celles qu'on imaginera plus
      tard. Les tableaux rsultant de cette classification peuvent
      donc tre envisags comme prsentant au mcanicien les
      moyens empiriques de rsoudre, dans chaque cas, le problme
      de la transformation du mouvement, en choisissant, parmi
      tous les appareils propres  remplir la condition propose,
      celui qui prsente d'ailleurs le plus d'avantages.]

Le mouvement d'un systme quelconque prsente une autre proprit
gnrale trs-remarquable, quoique moins importante, soit sous le
rapport analytique, soit surtout sous le rapport physique, que celle qui
vient d'tre examine: c'est la proprit exprime par le clbre
thorme gnral de dynamique auquel Maupertuis a donn la dnomination
si vicieuse de _principe de la moindre action_.

La filiation des ides au sujet de cette dcouverte remonte  une poque
trs loigne, car les gomtres de l'antiquit avaient dj fait
quelques remarques qu'on peut concevoir aujourd'hui comme quivalentes
 la vrification de ce thorme dans le cas particulier le plus simple.
Ptolme, en effet, observe expressment, quant  la loi de la rflexion
de la lumire, que par la nature de cette loi, la lumire en se
rflchissant se trouve suivre le plus court chemin possible pour
parvenir d'un point  un autre. Lorsque Descartes et Snellius eurent
dcouvert la loi relle de la rfraction, Fermat rechercha si on ne
pourrait point y arriver _ priori_ d'aprs quelque considration
analogue  la remarque de Ptolme. Le _minimum_ ne pouvant alors avoir
lieu relativement  la longueur du chemin parcouru, puisque la route
rectiligne et t possible dans ce cas, Fermat prsuma qu'il existerait
 l'gard du temps. Il se proposa donc, en regardant la route de la
lumire comme compose de deux droites diffrentes, spares, sous un
angle inconnu,  la surface du corps rfringent, quelle devait tre
cette direction relative pour que le temps employ par la lumire dans
son trajet ft le moindre possible, et il eut le bonheur de trouver
d'aprs cette seule considration une loi de la rfraction exactement
conforme  celle directement dduite des observations par Snellius et
par Descartes. Cette belle solution est d'ailleurs minemment
remarquable dans l'histoire gnrale des progrs de l'analyse
mathmatique, comme ayant offert  Fermat la premire application
importante de sa clbre mthode _de maximis et minimis_, qui contient
le vritable germe primitif du calcul diffrentiel.

La comparaison de la remarque de Ptolme avec le travail de Fermat
envisag sous le point de vue dynamique, devint pour Maupertuis la base
de la dcouverte du thorme que nous considrons. Quoiqu'gar, bien
plus que conduit, par de vagues considrations mtaphysiques sur la
prtendue conomie des forces dans la nature, il finit par arriver  ce
rsultat important, que la trajectoire d'un corps soumis  l'action de
forces quelconques devait ncessairement tre telle, que l'intgrale du
produit de la vitesse du mobile par l'lment de la courbe dcrite ft
toujours un _minimum_, relativement  sa valeur dans toute autre courbe.
Mais Lagrange est avec justice gnralement regard par les gomtres
actuels comme le vritable fondateur de ce thorme, non-seulement pour
l'avoir gnralis autant que possible, mais surtout pour en avoir
dcouvert la vritable dmonstration en le rattachant aux thories
dynamiques fondamentales, et en le dgageant des notions confuses et
arbitraires que Maupertuis avait employes. Il ne subsiste maintenant
d'autre trace du travail de Maupertuis que le nom qu'il a impos  ce
thorme, et dont l'improprit est universellement reconnue, quoique,
pour plus de brivet, on ait continu  s'en servir. Le thorme, tel
qu'il a t tabli par Lagrange relativement  un systme quelconque de
corps, consiste en ce que, quelles que soient leurs attractions
rciproques, ou leurs tendances vers des centres fixes, les trajectoires
dcrites par ces corps sont toujours telles que la somme des produits de
la masse de chacun d'eux, et de l'intgrale relative  sa vitesse
multiplie par l'lment de la courbe correspondante, est ncessairement
un _maximum_ ou un _minimum_, cette somme tant tendue  la totalit du
systme. Il importe d'ailleurs de remarquer que la dmonstration de ce
thorme gnral tant fonde sur le thorme des forces vives, il est
invitablement assujti aux mmes limitations que celui-ci.

Outre la belle proprit du mouvement contenue dans cette proposition
remarquable, on conoit que, sous le rapport analytique, elle peut tre
envisage comme un nouveau moyen de former les quations diffrentielles
qui doivent conduire  la dtermination de chaque mouvement spcial. Il
suffit, en effet, conformment  la mthode gnrale des _maxima_ et
_minima_ fournie par le calcul des variations, d'exprimer que la somme
prcdemment indique est un _maximum_ ou un _minimum_ (soit absolu,
soit relatif suivant les cas), en rendant sa variation nulle. Lagrange a
expressment montr comment, d'aprs cette seule considration, on peut,
en gnral, retrouver la formule fondamentale de la dynamique. Mais,
quelqu'utile que puisse tre en certains cas une telle manire de
procder, il ne faut point s'exagrer son importance; car on ne doit pas
perdre de vue qu'elle ne fournit par elle-mme aucune intgrale finie
des quations du mouvement; elle se borne seulement  tablir ces
quations d'une autre manire, qui peut quelquefois tre plus
convenable. Sous ce rapport, le thorme de la moindre action est
certainement moins prcieux que celui des forces vives. Quoi qu'il en
soit, il convient de remarquer ici avec Lagrange que l'ensemble de ces
deux thormes peut tre regard, en thse gnrale, comme suffisant
pour l'entire dtermination du mouvement d'un corps.

Le thorme de la moindre action a aussi t prsent par Lagrange sous
une autre forme gnrale, spcialement destine  rendre plus sensible
son interprtation concrte. En effet, l'lment de la trajectoire
pouvant videmment tre remplac dans l'nonc de ce thorme par le
produit quivalent de la vitesse et de l'lment du temps, le thorme
consiste alors en ce que chaque corps du systme dcrit constamment une
courbe telle que la somme des forces vives consommes en un temps donn
pour parvenir d'une position  une autre est ncessairement un _maximum_
ou un _minimum_.

L'histoire philosophique des travaux relatifs au thorme de la moindre
action est particulirement propre  mettre dans tout son jour
l'insuffisance complte et le vice radical des considrations
mtaphysiques employes comme moyens de dcouvertes scientifiques. On ne
peut nier sans doute que le principe thologique et mtaphysique des
causes finales n'ait eu ici quelque utilit, en contribuant dans
l'origine  veiller l'attention des gomtres sur cette importante
proprit dynamique, et mme en leur fournissant  cet gard quelques
indications vagues. L'esprit de ce cours, tel que nous l'avons dj
expressment signal, et tel qu'il se dveloppera de plus en plus par la
suite, nous prescrit, en effet, de regarder, en thse gnrale, les
hypothses thologiques et mtaphysiques comme ayant t utiles et mme
ncessaires aux progrs rels de l'intelligence humaine, en soutenant
son activit aussi long-temps qu'a dur l'absence de conceptions
positives d'une gnralit suffisante. Mais, alors mme, les nombreux
inconvniens fondamentaux inhrens  une telle manire de procder
vrifient clairement qu'elle ne peut tre envisage que comme
provisoire. L'exemple actuel en offre une preuve sensible. Car, sans
l'introduction des considrations exactes et relles fondes sur les
lois gnrales de la mcanique, on disputerait encore, ainsi que le
remarque Lagrange avec tant de raison, sur ce qu'il faut entendre par
_la moindre action_ de la nature, la prtendue conomie des forces
consistant tantt dans l'espace, tantt dans le temps, et le plus
souvent n'tant en effet ni l'une ni l'autre. Il est d'ailleurs vident
que cette proprit n'a point ce caractre absolu qu'on avait d'abord
voulu lui imposer, puisqu'elle prouve dans un grand nombre de cas des
restrictions dtermines. Mais ce qui rend surtout manifeste le vice
radical des considrations primitives, c'est que, d'aprs l'analyse
exacte de la question traite par Lagrange, on voit que l'intgrale
ci-dessus dfinie n'est nullement assujettie  tre ncessairement un
_minimum_, et qu'elle peut, au contraire, tre tout aussi bien un
_maximum_, comme il arrive effectivement en certains cas, le vritable
thorme gnral consistant seulement en ce que la variation de cette
intgrale est nulle: que devient alors l'_conomie_ des forces, de
quelque manire qu'on prtende caractriser l'_action_? L'insuffisance
et mme l'erreur de l'argumentation de Maupertuis sont ds lors
pleinement videntes. Dans cette occasion, comme dans toutes celles o
il a pu jusqu'ici y avoir concours, la comparaison a expressment
constat la supriorit immense et ncessaire de la philosophie positive
sur la philosophie thologique et mtaphysique, non-seulement quant  la
justesse et  la prcision des rsultats effectifs, mais mme quant 
l'tendue des conceptions et  l'lvation relle du point de vue
intellectuel.

Pour complter cette numration raisonne des proprits gnrales du
mouvement, je crois devoir enfin signaler ici une dernire proposition
fort remarquable, qu'on ne place point ordinairement dans la mme
catgorie que les prcdentes, et qui mrite cependant,  un aussi haut
degr, de fixer notre attention, soit par sa beaut intrinsque, soit
surtout par l'importance et l'tendue de ses applications aux problmes
dynamiques les plus difficiles. Il s'agit du clbre thorme gnral
dcouvert par Daniel Bernouilli, sur la _coexistence des petites
oscillations_. Voici en quoi il consiste.

Nous avons vu, en commenant cette leon, qu'il existe, pour tout
systme de forces, une situation d'quilibre _stable_, celle dans
laquelle la somme des forces vives est un des _maximum_, suivant la loi
de Maupertuis gnralise par Lagrange. Quand le systme est infiniment
peu cart de cette situation par une cause quelconque, il tend  y
revenir, en faisant autour d'elle une suite d'oscillations infiniment
petites, graduellement diminues et bientt dtruites par la rsistance
du milieu et les frottemens, et qu'on peut assimiler  celles d'un
pendule d'une longueur convenable soumis  l'influence d'une gravit
dtermine. Mais plusieurs causes diffrentes peuvent faire
simultanment osciller le systme de diverses manires autour de la
position de stabilit. Cela pos, le thorme de Daniel Bernouilli
consiste en ce que toutes les espces d'oscillations infiniment petites
produites par ces divers drangemens simultans, quelle que soit leur
nature, ne font simplement que se superposer, en coexistant sans se
nuire, chacune d'elles ayant lieu comme si elle tait seule. On conoit
aisment l'extrme importance de cette belle proposition pour faciliter
l'tude d'un tel genre de mouvemens, puisqu'il suffit d'aprs cela
d'analyser isolment chaque sorte d'oscillations produite par chaque
perturbation spare. Cette dcomposition est surtout de la plus grande
utilit dans les recherches relatives au mouvement des fluides, o un
tel ordre de considrations se prsente presque constamment. Mais la
proprit dcouverte par Daniel Bernouilli n'est pas moins intressante
sous le rapport physique que sous le point de vue logique. En effet,
envisage comme une loi de la nature, elle explique directement, de la
manire la plus satisfaisante, une foule de faits divers, que
l'observation avait depuis long-temps constats, et qu'on cherchait
vainement  concevoir jusqu'alors. Telle est, par exemple, la
coexistence des ondes produites  la surface d'un liquide, lorsqu'elle
se trouve agite  la fois en plusieurs points diffrens par diverses
causes quelconques. Telle est, surtout, dans l'acoustique, la
simultanit des sons distincts produits par divers branlemens de
l'air. Cette coexistence qui a lieu sans confusion entre les
diffrentes ondes sonores, avait videmment t souvent observe,
puisqu'elle est une des bases essentielles du mcanisme de notre
audition; mais elle paraissait inexplicable; on n'y voit plus maintenant
qu'une consquence immdiate du beau thorme de Daniel Bernouilli.

En considrant ce thorme sous le point de vue le plus philosophique,
on ne le trouve peut-tre pas moins remarquable par la manire dont il
rsulte des quations gnrales du mouvement, que par son importance
analytique ou physique. En effet cette coexistence des divers ordres
d'oscillations infiniment petites d'un systme quelconque, autour de sa
situation de stabilit, a lieu parce que l'quation diffrentielle qui
exprime la loi de l'un quelconque de ces mouvemens se trouve tre
_linaire_, et consquemment de la classe de celles dont l'intgrale
gnrale est ncessairement la simple somme d'un certain nombre
d'intgrales particulires. Ainsi, sous le rapport analytique, la
superposition des divers mouvemens oscillatoires a pour cause l'espce
de superposition qui s'tablit alors entre les diffrentes intgrales
correspondantes. Cette importante corrlation est certainement, comme
l'observe avec raison Laplace, un des plus beaux exemples de cette
harmonie ncessaire entre l'abstrait et le concret, dont la philosophie
mathmatique nous a offert tant de vrifications admirables.

Telles sont les principales considrations philosophiques relatives aux
diffrens thormes gnraux dcouverts jusqu'ici dans la mcanique
rationnelle, et qui tous drivent, comme de simples dductions
analytiques plus ou moins loignes, des lois fondamentales du mouvement
sur lesquelles repose le systme entier de la science phoronomique.
L'examen sommaire de ces thormes, dont l'ensemble constitue un des
monumens les plus imposans de l'activit de l'intelligence humaine
convenablement dirige, tait indispensable pour achever de dterminer
le caractre philosophique de la science de l'quilibre et du mouvement,
dj suffisamment trac dans les leons prcdentes,  l'gard de la
mthode. Nous pouvons donc maintenant nous former nettement une ide
gnrale de la nature propre de cette seconde branche de la mathmatique
concrte, ce qui devait tre le seul objet essentiel de notre travail 
ce sujet.



Je me suis efforc, dans ce volume, de faire sentir, autant qu'il a t
en mon pouvoir, en quoi consiste rellement la philosophie
mathmatique, soit quant  ses conceptions abstraites, soit quant  ses
divers ordres de considrations concrtes, soit enfin quant  la
corrlation intime et permanente qui existe ncessairement entre les
unes et les autres. Je regrette vivement que les limites dans lesquelles
j'ai d me renfermer, vu la destination de cet ouvrage, ne m'aient point
permis de faire passer, autant que je l'aurais dsir, dans l'esprit du
lecteur mon sentiment profond de la nature de cette immense et admirable
science, qui, base ncessaire de la philosophie positive tout entire,
constitue d'ailleurs videmment, en elle-mme, le tmoignage le plus
irrcusable de la porte du gnie humain. Mais j'espre que les penseurs
qui n'ont pas le malheur d'tre entirement trangers  cette science
fondamentale pourront, d'aprs les rflexions que j'ai indiques,
parvenir  en concevoir nettement le vritable caractre philosophique.

Pour prsenter un aperu vraiment complet de la philosophie mathmatique
dans son tat actuel, j'ai indiqu d'avance (voyez la 3e Leon) qu'il
me reste encore  considrer une troisime branche de la mathmatique
concrte, celle qui consiste dans l'application de l'analyse  l'tude
des phnomnes thermologiques, dernire grande conqute de l'esprit
humain, due  l'illustre ami dont je dplore la perte rcente,
l'immortel Fourier, qui vient de laisser dans le monde savant une si
profonde lacune, long-temps destine  tre de jour en jour plus
fortement sentie. Mais, afin de ne m'carter que le moins possible des
habitudes encore universellement adoptes, j'ai annonc que je croyais
devoir ajourner cet important examen jusqu' ce que l'ordre naturel des
considrations exposes dans cet ouvrage nous ait conduits  la partie
de la physique qui traite de la thermologie. Quoiqu'une telle
transposition ne soit point vritablement rationnelle, il n'en saurait
rsulter cependant qu'un inconvnient secondaire, l'apprciation
philosophique que je prsenterai ayant d'ailleurs exactement le mme
caractre que si elle et t place  son vritable rang logique.

Considrant donc maintenant la philosophie mathmatique comme
compltement caractrise, nous devons procder  l'examen de son
application plus ou moins parfaite  l'tude des divers ordres de
phnomnes naturels suivant leur degr de simplicit, application qui,
par elle-mme, est d'ailleurs videmment propre  jeter un nouveau jour
sur les vrais principes de cette philosophie, et sans laquelle, en
effet, ils ne sauraient tre convenablement apprcis. Tel sera l'objet
du volume suivant, en nous conformant  l'ordre encyclopdique
rigoureusement dtermin dans la seconde leon, d'aprs la nature
spciale de chacune des classes principales de phnomnes que nous avons
tablies, et, par consquent, en commenant par les phnomnes
astronomiques  l'tude approfondie desquels la science mathmatique est
minemment destine.


FIN DU TOME PREMIER.




TABLE DES MATIRES
CONTENUES DANS LE TOME PREMIER.


Ddicace v

Avertissement de l'auteur.

Tableau synoptique de l'ensemble du cours de philosophie positive.

1re LEON.--Exposition du but de ce cours, ou considrations gnrales
sur la nature et l'importance de la philosophie positive.

2e LEON.--Exposition du plan de ce cours, ou considrations gnrales
sur la hirarchie des sciences positives.

3e LEON.--Considrations philosophiques sur l'ensemble de la science
mathmatique.

4e LEON.--Vue gnrale de l'analyse mathmatique.

5e LEON.--Considrations gnrales sur le calcul des fonctions
directes.

6e LEON.--Exposition comparative des divers points de vue gnraux
sous lesquels on peut envisager le calcul des fonctions indirectes.

7e LEON.--Tableau gnral du calcul des fonctions indirectes.

8e LEON.--Considrations gnrales sur le calcul des variations.

9e LEON.--Considrations gnrales sur le calcul aux diffrences
finies.

10e LEON.--Vue gnrale de la gomtrie.

11e LEON.--Considrations gnrales sur la gomtrie _spciale_ ou
_prliminaire_.

12e LEON.--Conception fondamentale de la gomtrie _gnrale_ ou
_analytique_.

13e LEON.--De la gomtrie _gnrale_  deux dimensions.

14e LEON.--De la gomtrie _gnrale_  trois dimensions.

15e LEON.--Considrations philosophiques sur les principes
fondamentaux de la mcanique rationnelle.

16e LEON.--Vue gnrale de la statique.

17e LEON.--Vue gnrale de la dynamique.

18e LEON.--Considrations sur les thormes gnraux de mcanique
rationnelle.




ERRATA DU TOME PREMIER.

NOTE DU TRANSCRIPTEUR: Ces erreurs ont t corriges dans le prsent
document. La liste en est reproduite ici seulement pour fin de
rfrence.


Page 147, ligne 25, _au lieu de_ ides, _lisez_ conceptions.

201 1 fait, _lisez_ sait.

236 12 M. Fournier, _lisez_ M. Fourier.

248 26 _supprimez_ ou moins.

351 17 _aprs_ influe, _ajoutez_ singulirement.

420 11 _au lieu de_ signes, _lisez_ lignes.

469 1 jusqu'ici, _lisez_ jusqu' ce jour.

504 20 intensit, _lisez_ intimit.

508 18, _aprs_ volume du, _ajoutez_ tronc de cne ou du.

509 3, _au lieu de_ S=2/pi/int ydx, _lisez_ S=2/pi/int yds.

530 20 divers individus, _lisez_ diverses espces.

534 dernire ligne de la note, _avant_ dsignant, _ajoutez_.

556 6 _au lieu de_ relations, _lisez_ actions.

624 4 oprations, _lisez_ quations.









End of the Project Gutenberg EBook of Cours de philosophie positive. (1/6), by 
Auguste Comte

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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
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Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
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Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
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501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
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number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
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The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
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business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
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page at http://pglaf.org

For additional contact information:
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     Chief Executive and Director
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