% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, by 
% Isaac Newton                                                            %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica                     %
%                                                                         %
% Author: Isaac Newton                                                    %
%                                                                         %
% Release Date: March 1, 2009 [EBook #28233]                              %
%                                                                         %
% Language: Latin                                                         %
%                                                                         %
% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS ***    %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{28233}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Philosophić Naturalis Principia Mathematica, by Isaac Newton          %%
%%                                                                       %%
%% Packages and substitutions:                                           %%
%%                                                                       %%
%% book   :   Document class.                                            %%
%% amsmath:   Basic AMS math package.                                    %%
%% amssymb:   Basic AMS symbols                                          %%
%% babel:     Hyphenation                                                %%
%% graphicx   Basic graphics for images.                                 %%
%% inputenc:  Encoding                                                   %%
%% needspace  Conditional new page                                       %%
%% teubner    polyphonic Greek support                                   %%
%% wasysym    Additional symbols                                         %%
%% wrapfig    textflow round images                                      %%
%% verbatim   Preformated text                                           %%
%%                                                                       %%
%% PDF Pages: 316                                                        %%
%%                                                                       %%
%% 40 underfull hboxes                                                   %%
%%                                                                       %%
%% 185 includegraphics calls - some appear twice, there are 166 files    %%
%% included as nnn.png or nnnx.png in the images directory.              %%
%%                                                                       %%
%% Compile sequence:                                                     %%
%%         pdflatex x 2                                                  %%
%%                                                                       %%
%% Compile History:                                                      %%
%%                                                                       %%
%% Feb 09: Laverock. Compiled with pdflatex:                             %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.1415926-1.40.9 (MiKTeX 2.7)]              %%
%%                                                                       %%
%%                                                                       %%
%% March 2009: pglatex.                                                  %%
%%   Compile this project with:                                          %%
%%   pdflatex 28233-t.tex ..... TWO times                                %%
%%                                                                       %%
%%   pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)                  %%
%%                                                                       %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[reqno]{amsmath}[2000/07/18]       % basic math support
\usepackage{amssymb}[2002/01/22]              % math symbols
\usepackage[greek,latin]{babel}[2008/07/06]   % hyphenation
\usepackage{graphicx}[1999/02/16]             % basic graphics for images.
\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]     % encoding system
\usepackage{needspace}[2003/02/18]            % support testing for enough room at end of page for new section
\usepackage[or]{teubner}[2008/02/10]          % polyphonic Greek support
\usepackage{wasysym}[2003/10/30]              % astronomical Symbols
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31]              % textflow round images
\usepackage{verbatim}[2003/08/22]             % preformated text

\newcounter{wrapwidth}
\newcount \Zw
\newcount \Zh

% text flowed image - file name, width, height pixels, vertical offset (normally -24, -12 for top of page)
\newcommand\pngright[4]{
\Zw=#2 \divide \Zw by 10
\Zh=#3 \divide \Zh by 120  \advance\Zh by 1
\setcounter{wrapwidth}{\Zw}
\begin{wrapfigure}[\Zh]{r}{\value{wrapwidth}pt}
\begin{center}
\vspace{#4pt}
\includegraphics*[width=\Zw pt]{images/#1}
\end{center}
\end{wrapfigure}}

% text flowed image scaling * #4 / #5 (never occurs at top of page)
\newcommand\pngrightsc[5]{
\Zw=#2 \multiply \Zw by #4 \divide \Zw by #5
\Zh=#3 \multiply \Zh by #4 \divide \Zh by #5
\pngright{#1}{\Zw}{\Zh}{-24}}

% centred image - file name, width, height pixels (height is comment only, easier for developer to change to & from flowed)
\newcommand\pngcent[3]{
\Zw=#2 \divide \Zw by 10
\begin{center}
\includegraphics*[width=\Zw pt]{images/#1}
\end{center}}

% simple replacements
% degrees of minutenesss
\newcommand\minute{^{\prime}}
\newcommand\second{^{\prime\prime}}
\newcommand\third{^{\prime\prime\prime}}
\newcommand\fourth{^{\mathrm{iv}}}
\newcommand\fifth{^{\mathrm{v}}}
% fixed spacing in Corol. n. etc.
\newcommand\fsp{\hspace{0.3em}}
\newcommand\wsp{\hspace{0.5em}}
% italic long s emulated by small integral sign
\newcommand\longs{\textrm{\raisebox{1pt}{$\scriptstyle \int$}\hspace{-1.5pt}}}
% Q. E. D. etc.
\newcommand\QEDit{\hspace{6pt}\textit{Q.~E.~D.}\quad}
\newcommand\QEFit{\hspace{6pt}\textit{Q.~E.~F.}\quad}
\newcommand\QEIit{\hspace{6pt}\textit{Q.~E.~I.}\quad}
\newcommand\QEDup{\hspace{6pt}Q.~E.~D.\quad}
\newcommand\QEFup{\hspace{6pt}Q.~E.~F.\quad}
\newcommand\QEIup{\hspace{6pt}Q.~E.~I.\quad}
\newcommand\QEOup{\hspace{6pt}Q.~E.~O.\quad}
% que abbreviation
\newcommand\que{q;}
% horizontal rules
\newcommand\tblong{\vspace{\baselineskip} \hrule \vspace{\baselineskip}}
\newcommand\tbshort{\hspace{1.5in} \hrulefill \hspace*{1.7in}}
\newcommand\pagelines{\newpage\hrule\vspace{0.2em}\hrule\vspace{\baselineskip}}

% italic text in maths with spacing
\newcommand\opit[1]{\operatorname{\textit{#1}}}

% small text in maths
\newcommand\smallinmath[1]{{\scriptstyle #1}}
\newcommand\decimals[1]{,{\!}{\scriptstyle #1}}

% Header with conditional page skip
\newcommand\condpagelarge[1]{
\vspace{\baselineskip}
\Needspace*{4\baselineskip}\begin{center}{\large #1}\end{center}}

% Proposition with page
\newcommand\forcepageprop[1]{
\newpage
\begin{center}{\large #1}\end{center}}

% Proposition without page
\newcommand\propnopage[1]{
\begin{center}{\large #1}\end{center}}

% Section with page
\newcommand\sectpage[1]{
\vspace{\baselineskip}\hrule\newpage\hrule\vspace{\baselineskip}
\begin{center}{\LARGE \gesperrt{SECT}{6}.\hspace{12pt}#1}\end{center}}

% Section without page
\newcommand\sectnopage[1]{
\begin{center}{\LARGE \gesperrt{SECT}{6}.\hspace{12pt}#1}\end{center}}

% Macro & command to spread a slightly short line right across page.
% Useful with \noindent to hide the location of a paragraph break and sneak in a figure.
\def\sspreadout#1 {\def\tmp{#1}%
\ifx\tmp\empty
\def\next{}
\else
\def\next{ {{\hfill}#1}\sspreadout}%
\fi \next}

\newcommand\spreadout[1]{\sspreadout#1 }

% Macro & command for gesperrt. Use W/w for AE ae - no w in Latin.
\def\bigW{W}
\def\littlew{w}
\def\ggesperrt#1#2 {\def\arg{#1}\def\brg{#2}%
\def\next{#1\hspace{\Zw pt}\ggesperrt#2 }%
\ifx\arg\bigW
\def\next{\AE\hspace{\Zw pt}\ggesperrt#2 }%
\fi
\ifx\arg\littlew
\def\next{\ae\hspace{\Zw pt}\ggesperrt#2 }%
\fi
\ifx\brg\empty
    \def\next{#1}%
    \ifx\arg\bigW
    \def\next{\AE}%
    \fi
    \ifx\arg\littlew
	\def\next{\ae}%
    \fi
\fi
\next}

\newcommand\gesperrt[2]{
\Zw=#2
\ggesperrt#1 }

% For sensible insertion of boilerplate/licence
% overlong lines will wrap and be indented 0.25in
% and text is set in "small" size
\makeatletter
\def\@makeschapterhead#1{%
  \vspace*{10\p@}%
  {\parindent \z@ \centering
    \normalfont
    \interlinepenalty\@M
    \huge \bfseries  #1\par\nobreak
    \vskip 20\p@
 } }
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{0pt}{2.3em}}
\renewcommand\@pnumwidth{2.55em}
\def\@xobeysp{~\hfil\discretionary{}{\kern\z@}{}\hfilneg}
\renewcommand\verbatim@processline{\leavevmode
  \null\kern-0.25in\the\verbatim@line\par}
\addto@hook\every@verbatim{\@totalleftmargin0.25in\small}
\makeatother

\begin{document}
\begin{verbatim}
The Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, by 
Isaac Newton

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Author: Isaac Newton

Release Date: March 1, 2009 [EBook #28233]

Language: Latin

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS ***


Produced by Jonathan Ingram, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
\end{verbatim}
\pagestyle{empty}

% -----File: 001.png---

\begin{center}{\Huge PHILOSOPHI{\AE}}\end{center}

\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{\LARGE NATURALIS}\end{center}

\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{\Huge \gesperrt{PRINCIPIA}{6}}\end{center}

\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{\LARGE MATHEMATICA}\end{center}

\tblong

\begin{center}{Autore \textit{IS.\ NEWTON}, \textit{Trin.\ Coll.\ Cantab.\ Soc.}\ Matheseos \\
Professore \textit{Lucasiano}, \& Societatis Regalis Sodali.}\end{center}

\tblong

%\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{\LARGE IMPRIMATUR.}\end{center}

\begin{center}{\large S.\ PEPYS, \textit{Reg.\ Soc.}\ PR{\AE}SES.}\end{center}

\begin{center}{\textit{Julii 5.\ 1686.}}\end{center}

%\vspace{\baselineskip}

\tblong

%\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{\large \textit{LONDINI,}}\end{center}

%\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{Jussu \textit{Societatis Regi{\ae}} ac Typis \textit{Josephi Streater}. Prostat apud \\
plures Bibliopolas. \textit{Anno} MDCLXXXVII.}\end{center}


% -----File: 002.png---

% -----File: 003.png---

\newpage

\begin{center}{\large \gesperrt{ILLUSTRISSIMW}{6}}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\LARGE \gesperrt{SOCIETATI}{4}\hspace{12pt}\gesperrt{REGALI}{6}}\end{center}

\begin{center}{a Serenissimo}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\Huge REGE CAROLO II.}\end{center}

\begin{center}{\large AD}\end{center}

\begin{center}{\large PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\huge \gesperrt{FUNDATW}{6},}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\large ET AUSPICIIS}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\LARGE POTENTISSIMI MONARCH{\AE}}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\Huge \gesperrt{JACOBI}{6}\hspace{18pt}II.}\end{center}

\vspace{0.2\baselineskip}

\begin{center}{\large FLORENTI.}\end{center}

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{center}{\large Tractatum hunc humillime \textit{D.D.D.}}\end{center}

\begin{center}{\large \textit{IS.\ NEWTON.}}\end{center}


% -----File: 004.png---

% -----File: 005.png---


\pagelines

\begin{center}{\LARGE \gesperrt{PRWFATIO}{6}}\end{center}

\begin{center}{\large AD}\end{center}

\begin{center}{\Huge \gesperrt{LECTOREM}{6}.}\end{center}

\textit{Cum Veteres} Mechanicam \textit{(uti Author est} Pappus\textit{) in verum Naturalium
investigatione maximi fecerint, \& recentiores, missis formis substantialibus
\& qualitatibus occultis, Ph{\ae}nomena Natur{\ae} ad leges Mathematicas revocare
aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu} Mathesin \textit{excolere quatenus ea ad}
Philo\-so\-phiam \textit{spectat.} Mechanicam \textit{vero duplicem Veteres constituerunt:}
Rationalem \textit{qu{\ae} per Demonstrationes accurate procedit, \&} Practicam\textit{. Ad
practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus uti{\que}} Mechanica \textit{nomen mutuata
est. Cum autem Artifices parum accurate operari soleant, fit ut} Mechanica\textit{
omnis a} Geometria \textit{ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad} Geometriam\textit{
referatur, quicquid minus accuratum ad} Mechanicam\textit{. Attamen errores non
sunt Artis sed Artificum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus,
\& si quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium perfectissimus.
Nam \& Linearum rectarum \& Circulorum descriptiones in quibus}
Geometria \textit{fundatur, ad} Mechanicam \textit{pertinent. Has lineas describere} Geometria\textit{
non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate describere
prius didicerit quam limen attingat} Geometri{\ae}\textit{; dein, quomodo
per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas \& circulos describere
Problemata sunt sed non Geometrica. Ex} Mechanica \textit{postulatur horum
solutio, in} Geometria \textit{docetur solutorum usus. Ac gloriatur} Geometria\textit{
quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa pr{\ae}stet. Fundatur igitur}
Geometria \textit{in praxi Mechanica, \& nihil aliud est quam} Mechanic{\ae} universalis\textit{
pars illa qu{\ae} artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat. Cum autem artes
Manuales in corporibus movendis pr{\ae}cipue versentur, fit ut} Geometria \textit{ad
magnitudinem,} Mechanica \textit{ad motum vulgo reseratur. Quo sensu} Mechanica
rationalis \textit{erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscun{\que} resultant, \& virium
qu{\ae} ad motus quoscun{\que} requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars
h{\ae}c} Mechanic{\ae} \textit{a Veteribus in} Potentiis quinque \textit{ad artes manuales spectantibus
exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam
in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus
sed Philosophi{\ae} consulentes, de{\que} potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes,
ea maxime tractamus qu{\ae} ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resistentiam
% -----File: 006.png---
Fluidorum \& ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant: Et
ea propter h{\ae}c nostra tanquam Philosophi{\ae} principia Mathematica proponimus.
Omnis enim Philosophi{\ae} difficultas in eo versari videtur, ut a Ph{\ae}nomenis motuum
investigemus vires Natur{\ae}, deinde ab his viribus demonstremus ph{\ae}nomena
reliqua. Et hac spectant Propositiones generales quas Libro primo \& secundo
pertractavimus. In Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per
explicationem Systematis mundani. Ibi enim, ex ph{\ae}nomenis c{\ae}lestibus, per
Propositiones in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires
gravitatis quibus corpora ad Solem \& Planetas singulos tendunt. Deinde ex his
viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum,
Cometarum, Lun{\ae} \& Maris. Utinam c{\ae}tera Natur{\ae} ph{\ae}nomena ex principiis
Mechanicis eodem argumentandi genere derivare liceret. Nam multa me movent
ut nonnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corporum
particul{\ae} per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur \& secundum
figuras regulares coh{\ae}rent, vel ab invicem fugantur \& recedunt: quibus
viribus ignotis, Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem
quod vel huic Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita
lucem aliquam pr{\ae}bebunt.}

\textit{In his edendis, Vir acutissimus \& in omni literarum genere eruditissimus}
Edmundus Halleius \textit{operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata correxit
\& Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum editionem aggrederer.
Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium c{\ae}lestium impetraverat,
rogare non destitit ut eadem cum} Societate Regali \textit{communicarem, Qu{\ae}
deinde hortatibus \& benignis suis auspiciis effecit ut de eadem in lucem emittenda
cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium in{\ae}qualitates aggressus
essem, deinde etiam alia tentare c{\ae}pissem qu{\ae} ad leges mensuras Gravitatis \&
aliarum virium, ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis
describendas, ad motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis
resistentibus, ad vires, densitates \& motus Mediorum, ad Orbes Cometarum \&
similia spectant, editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut c{\ae}tera rimarer
\& una in publicum darem. Qu{\ae} ad motus Lunares spectant, (imperfecta
cum sint,) in Corollariis Propositionis} LXVI. \textit{simul complexus sum, ne singula
methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, \& sigillatim demonstrare
tenerer, \& seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero
inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum \& citationes
mutare. Ut omnia candide legantur, \& defectus, in materia tam difficili
non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus investigentur, \& benigne
suppleantur, enixe rogo.}


% -----File: 007.png---



\pagelines

\begin{center}{\large IN}\end{center}

\begin{center}{\large VIRI PR{\AE}STANTISSIMI}\end{center}

\begin{center}{\Huge D. ISAACI NEWTONI}\end{center}

\begin{center}{\large OPUS HOCCE}\end{center}

\begin{center}{\large \gesperrt{MATHEMATICO-PHYSICUM}{3}}\end{center}

\begin{center}{\textit{S{\ae}culi Gentisque nostr{\ae} Decus egregium.}}\end{center}


En tibi norma Poli, \& div{\ae} libramina Molis, \\
Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum \\
Pangeret, omniparens Leges violare Creator \\
Noluit, {\ae}ternique operis fundamina fixit. \\
Intima panduntur victi penetralia c{\ae}li, \\
Nec latet extremos qu{\ae} Vis circumrotat Orbes. \\
Sol solio residens ad se jubet omnia prono \\
Tendere descensu, nec recto tramite currus \\
Sidereos patitur vastum per inane moveri; \\
Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris. \\
Jam patet horrificis qu{\ae} sit via flexa Cometis; \\
Jam non miramur barbati Ph{\ae}nomena Astri. \\
Discimus hinc tandem qua causa argentea Ph{\oe}be \\
Passibus haud {\ae}quis graditur; cur subdita nulli \\
Hactenus Astronomo numerorum fr{\ae}na recuset: \\
Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur. \\
Discimus \& quantis refluum vaga Cynthia Pontum \\
Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam \\
% -----File: 008.png---
Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas; \\
Alternis vicibus suprema ad littora pulsans. \\
Qu{\ae} toties animos veterum torsere Sophorum, \\
Qu{\ae}que Scholas frustra rauco certamine vexant \\
Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi. \\
Jam dubios nulla caligine pr{\ae}gravat error \\
Queis Superum penetrare domos atque ardua C{\oe}li \\
Scandere sublimis Genii concessit acumen.

\vspace{2em}

Surgite Mortales, terrenas mittite curas \\
Atque hinc c{\oe}ligen{\ae} vires dignoscite Mentis \\
A pecudum vita longe lateque remot{\ae}. \\
Qui scriptis jussit Tabulis compescere C{\ae}des \\
Furta \& Adulteria, \& perjur{\ae} crimina Fraudis; \\
Quive vagis populis circumdare m{\oe}nibus Urbes \\
Autor erat; Cererisve beavit munere gentes; \\
Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva; \\
Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos \\
Consociare sonos, oculisque exponere Voces; \\
Humanam sortem minus extulit; utpote pauca \\
Respiciens miser{\ae} solummodo commoda vit{\ae}. \\
Jam vero Superis conviv{\ae} admittimur, alti \\
Jura poli tractare licet, jamque abdita c{\oe}c{\ae} \\
Claustra patent Terr{\ae} rerumque immobilis ordo, \\
Et qu{\ae} pr{\ae}teriti latuerunt s{\ae}cula mundi.

\vspace{2em}

Talia monstrantem mecum celebrate Cam{\ae}nis, \\
Vos qui c{\oe}lesti gaudetis nectare vesci, \\
\textit{NEWTONVM} clausi reserantem scrinia Veri, \\
\textit{NEWTONVM} Musis charum, cui pectore puro \\
Ph{\oe}bus adest, totoque incessit Numine mentem: \\
Nec fas est propius Mortali attingere Divos.

\hspace{2in}\textit{EDM. HALLEY.}



% -----File: 009.png---

\pagelines

\pagestyle{plain}


\begin{center}{\Huge PHILOSOPHI{\AE}}\end{center}

\begin{center}{\LARGE NATURALIS}\end{center}

\begin{center}{\huge Principia}\end{center}

\begin{center}{\Huge MATHEMATICA.}\end{center}

\vspace{\baselineskip}\hrule

\begin{center}{\LARGE Definitiones.}\end{center}

\hrule\vspace{\baselineskip}

\begin{center}{\large Def.\ I.}\end{center}

\begin{center}{\textit{Quantitas Materi{\ae} est mensura ejusdem orta ex illius Densitate \&
Magnitudine conjunctim.}}\end{center}

Aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem
intellige de Nive et Pulveribus per compressionem vel
liquefactionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, qu{\ae}
per causas quascun{\que} diversimode condensantur. Medii interea,
si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic nullam
rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel
Mass{\ae} in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujus{\que}
pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta
pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur.
% -----File: 010.png---


\condpagelarge{Def.\ II.}

\begin{center}{\textit{Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate
Materi{\ae} conjunctim.}}\end{center}

Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeo{\que} in
corpore duplo majore {\ae}quali cum Velocitate duplus est, et dupla
cum Velocitate quadruplus.


\condpagelarge{Def.\ III.}

\begin{center}{\textit{Materi{\ae} vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquod{\que}, quantum
in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi
uniformiter in directum.}}\end{center}


H{\ae}c semper proportionalis est suo corpori, ne{\que} differt quicquam
ab inertia Mass{\ae}, nisi in modo concipiendi. Per inertiam
materi{\ae} fit ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi
difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo
vis inerti{\ae} dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo
in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta,
est{\que} exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et Impetus:
Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur
vi impress{\ae}; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi
difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus Resistentiam
quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus
et quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab
invicem, ne{\que} semper vere quiescunt qu{\ae} vulgo tanquam quiescentia
spectantur.


\condpagelarge{Def.\ IV.}

\begin{center}{\textit{Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum
vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.}}\end{center}


Consistit h{\ae}c vis in actione sola, ne{\que} post actionem permanet
in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam
% -----File: 011.png---
vim inerti{\ae}. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex
ictu, ex pressione, ex vi centripeta.


\condpagelarge{Def.\ V.}

\begin{center}{\textit{Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum
trahitur, impellitur, vel utcun{\que} tendit.}}\end{center}

Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terr{\ae}:
Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa,
qu{\ae}cun{\que} sit, qua Planet{\ae} perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis,
et in lineis curvis revolvi coguntur. Est autem vis centripet{\ae}
quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix et motrix.


\condpagelarge{Def.\ VI.}

\begin{center}{\textit{Vis centripet{\ae} quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor
pro efficacia caus{\ae} eam propagantis a centro per regiones in circuitu.}}\end{center}

Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.


\condpagelarge{Def.\ VII.}

\begin{center}{\textit{Vis centripet{\ae} quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati proportionalis,
quam dato tempore generat.}}\end{center}

Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor
in majori: vel vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus
pr{\ae}altorum montium (ut experimento pendulorum constat) at{\que}
adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a Terra; in
{\ae}qualibus autem distantiis eadem undi{\que} propterea quod corpora
omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata Aeris
resistentia, {\ae}qualiter accelerat.


\condpagelarge{Def.\ VIII.}

\begin{center}{\textit{Vis centripet{\ae} quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui,
quem dato tempore generat.}}\end{center}

Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; in{\que} corpore
% -----File: 012.png---
eodem majus prope terram, minus in c{\ae}lis. H{\ae}c vis est corporis
totius centripetentia seu propensio in centrum \& (ut ita dicam)
pondus, \& innotescit semper per vim ipsi contrariam \& {\ae}qualem,
qua descensus corporis impediri potest.

Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires
absolutas, acceleratrices \& motrices, \& distinctionis gratia referre ad
corpora, ad corporum loca, \& ad centrum virium: Nimirum vim motricem
ad corpus, tanquam conatum \& propensionem totius in centrum,
ex propensionibus omnium partium compositum; \& vim acceleratricem
ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per
loca singula in circuitu diffusam, ad movenda corpora qu{\ae} in ipsis
sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua
pr{\ae}ditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in
circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Magnes
in centro vis Magnetic{\ae} vel Terra in centro vis gravitantis) sive
alia aliqua qu{\ae} non apparet. Mathematicus saltem est hic conceptus.
Nam virium causas \& sedes physicas jam non expendo.

Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum.
Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem
Materi{\ae}, \& vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem
ejusdem materi{\ae}. Nam summa actionum vis acceleratricis in
singulas corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta
Superficiem Terr{\ae}, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in
corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut
corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor,
pondus pariter minuetur, erit{\que} semper ut corpus in gravitatem
acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix
duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris
erit quadruplo vel sextuplo minus.

Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices \&
motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis
cujuscun{\que} in centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue
usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum considerando.
% -----File: 013.png---
Unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me
speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi
definire, vel centris (qu{\ae} sunt puncta Mathematica) vires
vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires centrorum
esse dixero.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiend{\ae}
sunt, explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum
et motum ut omnibus notissima non definio. Dicam tamen
quod vulgus quantitates hasce non aliter quam ex relatione ad
sensibilia concipit. Et inde oriuntur pr{\ae}judicia qu{\ae}dam, quibus
tollendis convenit easdem in absolutas \& relativas, veras \& apparentes,
Mathematicas et vulgares distingui.

I\@. Tempus absolutum verum \& Mathematicum, in se \& natura
sua abs{\que} relatione ad externum quodvis, {\ae}quabiliter fluit, alio{\que}
nomine dicitur Duratio; relativum apparens \& vulgare est sensibilis
\& externa qu{\ae}vis Durationis per motum mensura, (seu accurata
seu in{\ae}quabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut
Hora, Dies, Mensis, Annus.

II\@. Spatium absolutum natura sua abs{\que} relatione ad externum
quodvis semper manet similare \& immobile; relativum est spatii
hujus mensura seu dimensio qu{\ae}libet mobilis, qu{\ae} a sensibus nostris
per situm suum ad corpora definitur, \& a vulgo pro spatio immobili
usurpatur: uti dimensio spatii subterranei, aerei vel c{\ae}lestis
definita per situm suum ad Terram. Idem sunt spatium absolutum
\& relativum, specie \& magnitudine, sed non permanent
idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur,
spatium Aeris nostri quod relative \& respectu Terr{\ae} semper manet
idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit,
nunc alia pars ejus, \& sic absolute mutabitur perpetuo.

III\@. Locus est pars spatii quam corpus occupat, est{\que} pro ratione
% -----File: 014.png---
spatii vel absolutus vel relativus. Partem dico spatii, non
situm corporis vel superficiem ambientem. Nam solidorum {\ae}qualium
{\ae}quales semper sunt loci; Superficies autem ob dissimilitudinem
figurarum ut plurimum in{\ae}quales sunt; situs vero proprie loquendo
quantitatem non habent, ne{\que} tam sunt loca quam affectiones
locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium,
hoc est, translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum
partium de locis suis, adeo{\que} locus totius idem cum summa
locorum partium, \& propterea internus \& in corpore toto.

IV\@. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in
locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi
qu{\ae} velis passis fertur, relativus corporis locus est navis regio illa
in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus
implet, qu{\ae}{\que} adeo movetur una cum Navi; \& Quies relativa est
permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis.
At Quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii
illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua \& contentis
universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod relative
quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate
qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur
verus et absolutus corporis motus partim ex Terr{\ae} motu vero in
spatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra; et si corpus
etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus partim
ex vero motu Terr{\ae} in spatio immoto, partim ex relativis motibus
tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus
relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terr{\ae} pars
illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum
\label{wasp6}Velocitate
partium 10010, et velis vento{\que} feratur Navis in Occidentem cum
Velocitate partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Orientem
versus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et
absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in Orientem,
et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis
partibus novem.
% -----File: 015.png---

Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per {\AE}quationem
Temporis vulgi. In{\ae}quales enim sunt dies Naturales,
qui vulgo tanquam {\ae}quales pro Mensura Temporis habentur. Hanc
in{\ae}qualitatem corrigunt Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent
motus c{\ae}lestes. Possibile est ut nullus sit motus {\ae}quabilis quo
Tempus accurate mensuretur. Accelerari \& retardari possunt motus
omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio
seu perseverantia existenti{\ae} rerum, sive motus sint celeres, sive
tardi, sive nulli; proinde h{\ae}c a mensuris suis sensibilibus merito
distinguitur, \& ex ijsdem colligitur per {\AE}quationem Astronomicam.
Hujus autem {\ae}quationis in determinandis Ph{\ae}nomenis necessitas,
tum per experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam
per Eclipses Satellitum Jovis evincitur.

Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium
Spatii. Moveantur h{\ae} de locis suis, \& movebuntur (ut ita
dicam) de seipsis. Nam Tempora \& Spatia sunt sui ipsorum \&
rerum omnium quasi loca. In Tempore quoad ordinem successionis;
in Spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illorum
Essentia est ut sint loca, \& loca primaria moveri absurdum
est. H{\ae}c sunt igitur absoluta loca, \& sol{\ae} translationes de his locis
sunt absoluti motus.

Verum quoniam h{\ae} spatii partes videri nequeunt, \& ab invicem
per sensus nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras
sensibiles. Ex positionibus enim \& distantiis rerum a corpore aliquo,
quod spectamus ut immobile, definimus loca universa; deinde
etiam \& omnes motus {\ae}stimamus cum respectu ad pr{\ae}dicta loca,
quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus. Sic vice locorum
\& motuum absolutorum relativis utimur, nec incommode in
rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a sensibus.
Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca
motus{\que} referantur.

Distinguuntur autem Quies \& Motus absoluti \& relativi ab invicem
per eorum proprietates, causas \& effectus. Quietis proprietas
% -----File: 016.png---
est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideo{\que}
cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe
ultra, quiescat absolute; sciri autem non possit ex situ corporum
ad invicem in regionibus nostris, utrum horum aliquod ad longinquum
illud datam positionem servet, quies vera ex horum situ inter
se definiri nequit.

Motus proprietas est, quod partes qu{\ae} datas servant positiones
ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium
partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium
impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Igitur
motis corporibus ambientibus, moventur qu{\ae} in ambientibus relative
quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus definiri
nequit per translationem e vicinia corporum, qu{\ae} tanquam quiescentia
spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam
quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa
omnia, pr{\ae}ter translationem e vicinia ambientium, participabunt
etiam ambientium motus veros, et sublata illa translatione non
vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur;
sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad
partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice,
nucleus etiam, abs{\que} translatione de vicinia corticis, ceu pars
totius, movetur.

Pr{\ae}cedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur
una locatum, adeo{\que} corpus, quod de loco moto movetur,
participat etiam loci sui motum. Igitur motus omnes, qui de
locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum
et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu
corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et
sic deinceps, us{\que} dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo
Naut{\ae} supra memorato. Unde motus integri et absoluti
non nisi per loca immota definiri possunt, et propterea hos ad
loca immota, relativos ad mobilia supra retuli: Loca autem immota
non sunt, nisi qu{\ae} omnia ab infinito in infinitum datas servant
% -----File: 017.png---
positiones ad invicem, at{\que} adeo semper manent immota, spatium{\que}
constituunt quod immobile appello.

Caus{\ae}, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem,
sunt vires in corpora impress{\ae} ad motum generandum. Motus
verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum
impressas: at motus relativus generari et mutari potest abs{\que}
viribus impressis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in
alia solum corpora ad qu{\ae} fit relatio, ut ijs cedentibus mutetur
relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursus
motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur,
at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam
si e{\ae}dem vires in alia etiam corpora, ad qu{\ae} fit relatio, sic imprimantur
ut situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua
motus relativus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus
ubi verus conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et
propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit.

Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem,
sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu
circulari nude relativo h{\ae} vires null{\ae} sunt, in vero autem et absoluto
majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla
a filo pr{\ae}longo, agatur{\que} perpetuo in orbem donec filum a contorsione
admodum rigescat, dein impleatur aqua, et una cum aqua
quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem,
et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies aqu{\ae}
sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at
postquam, vi in aquam paulatim impressa, effecit vas, ut h{\ae}c quo{\que}
sensibiliter revolvi incipiat, recedet ipsa paulatim e medio, ascendet{\que}
ad latera vasis, figuram concavam induens, (ut ipse expertus
sum) et incitatiore semper motu ascendet magis \& magis, donec
revolutiones in {\ae}qualibus cum vase temporibus peragendo,
quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum recedendi
ab axe motus, \& per talem conatum \& innotescit \& mensuratur
motus aqu{\ae} circularis verus \& absolutus, motui{\que} relativo hic
% -----File: 018.png---
omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aqu{\ae} motus relativus
in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe:
Aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed
plana manebat, \& propterea motus illius circularis verus nondum
inceperat. Postea vero ut aqu{\ae} motus relativus decrevit, ascensus
ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe, at{\que} hic
conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo crescentem,
ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase
relative. Igitur conatus iste non pendet a translatione aqu{\ae} respectu
corporum ambientium, \& propterea motus circularis verus
per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis cujus{\que}
revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio \&
ad{\ae}quato effectui respondens; motus autem relativi pro varijs relationibus
ad externa innumeri sunt, \& relationum instar, effectibus
veris omnino destituuntur, nisi quatenus de vero illo \& unico
motu participant. Unde \& in Systemate eorum qui C{\ae}los nostros
infra C{\ae}los fixarum in orbem revolvi volunt, \& Planetas secum deferre;
Planet{\ae} \& singul{\ae} C{\ae}lorum partes, qui relative quidem in
C{\ae}lis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones
suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) una{\que}
cum c{\ae}lis delati participant eorum motus, \& ut partes revolventium
totorum, ab eorum axibus recedere conantur.

Igitur quantitates relativ{\ae} non sunt e{\ae} ips{\ae} quantitates quarum
nomina pr{\ae} se ferunt, sed earum mensur{\ae} ill{\ae} sensibiles (ver{\ae} an
errantes) quibus vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu definiend{\ae}
sunt verborum significationes; per nomina illa Temporis,
Spatij, Loci \& Motus proprie intelligend{\ae} erunt h{\ae} mensur{\ae}; \&
sermo erit insolens \& pure Mathematicus si quantitates mensurat{\ae}
hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces
hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur. Ne{\que} minus
contaminant Mathesin \& Philosophiam qui quantitates veras
cum ipsarum relationibus \& vulgaribus mensuris confundunt.
% -----File: 019.png---

Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, \&
ab apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea
quod partes spatij illius immobilis in quo corpora vere moventur,
non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata.
Nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui
sunt motuum verorum differenti{\ae}, partim ex viribus qu{\ae} sunt
motuum verorum caus{\ae} \& effectus. Ut si globi duo ad datam ab
invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa
commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus
globorum recedendi ab axe motus, \& inde quantitas motus circularis
computari posset. Deinde si vires qu{\ae}libet {\ae}quales in alternas
globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum
simul imprimerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fili tensione
augmentum vel decrementum motus; \& inde tandem inveniri
possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus
maxime augeretur, id est facies postic{\ae}, sive qu{\ae} in motu circulari
sequuntur. Cognitis autem faciebus qu{\ae} sequuntur \& faciebus
oppositis qu{\ae} pr{\ae}cedunt, cognosceretur determinatio motus.
In hunc modum inveniri posset \& quantitas \& determinatio motus
hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum
\& sensibile, quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur
in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se
positionem servantia, qualia sunt stell{\ae} fix{\ae} in regionibus nostris:
sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter
corpora, utrum his an illis tribuendus esset motus. At si
\label{wasp11}attenderetur
ad filum \& inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse
quam motus globorum requireret; concludere liceret motum esse
globorum, \& tum demum ex translatione globorum inter corpora,
determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex
eorum causis, effectibus \& apparentibus differentijs colligere, \&
contra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas \& effectus,
docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem Tractatum
sequentem composui.
% -----File: 020.png---


\pagelines

\begin{center}{\Huge \gesperrt{AXIOMATA}{6}}\end{center}

\begin{center}{\LARGE SIVE}\end{center}

\begin{center}{\Huge \gesperrt{LEGES}{6} \gesperrt{MOTUS}{6}}\end{center}

\vspace{\baselineskip}\hrule

\condpagelarge{Lex.\ I.}

\textit{Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter
in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum
illum mutare.}

Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia
aeris retardantur \& vi gravitatis impelluntur deorsum.
Trochus, cujus partes coh{\ae}rendo perpetuo retrahunt sese
a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur.
Majora autem Planetarum \& Cometarum corpora motus
suos \& progressivos \& circulares in spatiis minus resistentibus
factos conservant diutius.


\condpagelarge{Lex.\ II.}

\textit{Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress{\ae}, \& fieri secundum
lineam rectam qua vis illa imprimitur.}

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum
generabit, sive simul \& semel, sive gradatim \& successive impressa
suerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam
cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui
ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo
oblique adjicitur, \& cum eo secundum utrius{\que} determinationem
componitur.
% -----File: 021.png---


\condpagelarge{Lex.\ III.}

\textit{Actioni contrariam semper \& {\ae}qualem esse reactionem: sive corporum
duorum actiones in se mutuo semper esse {\ae}quales \& in partes contrarias
dirigi.}

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur
vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur \& hujus
digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahetur
etiam \& equus {\ae}qualiter in lapidem: nam funis utrin{\que} distentus
eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac lapidem
versus equum, tantum{\que} impediet progressum unius quantum
promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus
aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocun{\que} mutaverit, idem
quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem
contrariam vi alterius (ob {\ae}qualitatem pressionis mutu{\ae})
subibit. His actionibus {\ae}quales fiunt mutationes non velocitatum
sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes
enim velocitatum, in contrarias itidem partes fact{\ae}, quia
motus {\ae}qualiter mutantur, sunt corporibus reciproce proportionales.


\condpagelarge{Corol.\ I.}

\textit{Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelo\-grammi eodem tempore
describere, quo latera sep\-ar\-atis.}

\pngright{021.png}{845}{493}{-24}
%Illustration

Si corpus dato tempore, vi sola $M$,
ferretur ab $A$ ad $B$, \& vi sola $N$, ab
$A$ ad $C$, compleatur parallelogrammum
$ABDC$, \& vi utra{\que} feretur id
eodem tempore ab $A$ ad $D$. Nam
quoniam vis $N$ agit secundum lineam
$AC$ ipsi $BD$ parallelam, h{\ae}c vis nihil mutabit velocitatem accedendi
ad lineam illam $BD$ a vi altera genitam. Accedet igitur
corpus eodem tempore ad lineam $BD$ sive vis $N$ imprimatur, sive
non, at{\que} adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea
% -----File: 022.png---
illa $BD$. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur
alicubi in linea $CD$, \& idcirco in utrius{\que} line{\ae} concursu $D$ reperiri
necesse est.


\condpagelarge{Corol.\ II.}

\textit{Et hinc patet compositio vis direct{\ae} $AD$ ex viribus quibusvis obliquis
$AB$ \& $BD$, \& vicissim resolutio vis cujusvis direct{\ae}
$AD$ in obliquas quascun{\que} $AB$ \& $BD$. Qu{\ae} quidem Compositio
\& resolutio abunde confirmatur ex Mechanica.}

\pngright{022.png}{1018}{1021}{-24}
%Illustration

Ut si de rot{\ae} alicujus centro $O$ exeuntes radij in{\ae}quales $OM$, $ON$
filis $MA$, $NP$ sus\-tin\-eant pondera $A$ \& $P$, \& qu{\ae}rantur vires ponderum
ad movendam rotam: per centrum $O$ agatur recta $KOL$
filis perpendiculariter occurrens in $K$ \& $L$, centro{\que} $O$ \& intervallorum
$OK$, $OL$ majore $OL$
describatur circulus occurrens filo
$MA$ in $D$: \& act{\ae} rect{\ae}
$OD$ parallela sit $AC$ \& perpendicularis
$DC$. Quoniam nihil refert
utrum filorum puncta $K$, $L$,
$D$ affixa sint vel non affixa ad
planum rot{\ae}, pondera idem valebunt
ac si suspenderentur a punctis
$K$ \& $L$ vel $D$ \& $L$. Ponderis
autem $A$ exponatur vis tota
per lineam $AD$, \& h{\ae}c resolvetur in vires $AC$, $CD$, quarum
$AC$ trahendo radium $OD$ directe a centro nihil valet ad movendam
rotam; vis autem altera $DC$, trahendo radium $DO$ perpendiculariter,
idem valet ac si perpendiculariter traheret radium $OL$
ipsi $OD$ {\ae}qualem; hoc est idem at{\que} pondus $P$, quod sit ad pondus
$A$ ut vis $DC$ ad vim $DA$, id est (ob similia triangula $ADC$, $DOK$,)
ut $OK$ ad $OD$ seu $OL$.
Pondera igitur $A$ \& $P$, qu{\ae} sunt
reciproce ut radii in directum positi $OK$ \& $OL$, idem pollebunt \&
sic consistent in {\ae}quilibrio: (qu{\ae} est proprietas notissima Libr{\ae},
% -----File: 023.png---
Vectis \& Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit majus
quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.

Quod si pondus $p$ ponderi $P$ {\ae}quale partim suspendatur silo
$Np$, partim incumbat plano obliquo $pG$: agantur $pH$, $NH$, prior
horizonti, posterior plano $pG$ perpendicularis; \& si vis ponderis
$p$ deorsum tendens, exponatur per lineam $pH$, resolvi potest
h{\ae}c in vires $pN$, $HN$. Si filo $pN$ perpendiculare esset planum aliquod
$pQ$ secans planum alterum $pG$ in linea ad horizontem parallela;
\& pondus $p$ his planis $pQ$, $pG$ solummodo incumberet;
urgeret illud h{\ae}c plana viribus $pN$, $HN$ perpendiculariter, nimirum
planum $pQ$ vi $pN$ \& planum $pG$ vi $HN$. Ideoque si tollatur
planum $pQ$ ut pondus tendat filum, quoniam filum sustinendo
pondus, jam vicem pr{\ae}stat plani sublati, tendetur illud eadem
vi $pN$, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus obliqui
erit ad tensionem fili alterius perpendicularis $PN$, ut $pN$ ad
$pH$. Ideo{\que} si pondus $p$ sit ad pondus $A$ in ratione qu{\ae} componitur
ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum
$AM$, $pN$ a centro rot{\ae}, \& ratione directa $pH$ ad $pN$; pondera
idem valebunt ad rotam movendam, at{\que} adeo se mutuo sustinebunt,
ut quilibet experiri potest.

Pondus autem $p$ planis illis duobus obliquis incumbens, rationem
habet cunei inter corporis fissi facies internas: \& inde vires cunei
\& mallei innotescunt: utpote cum vis qua pondus $p$ urget planum
$pQ$ sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum
lineam $pH$ in plano, ut $pN$ ad $pH$; at{\que} ad vim qua
urget planum alterum $pG$ ut $pN$ ad $NH$. Sed \& vis Cochle{\ae} per
similem virium divisionem colligitur; quippe qu{\ae} cuneus est a vecte
impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, \& late
patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica
tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce
enim facile derivantur vires Machinarum, qu{\ae} ex Rotis, Tympanis, Trochleis,
Vectibus, radijs volubilibus, nervis tensis \& ponderibus
directe vel oblique ascendentibus, c{\ae}teris{\que} potentijs Mechanicis
% -----File: 024.png---
componi solent, ut \& vires Nervorum ad animalium ossa movenda.


\condpagelarge{Corol.\ III.}

\textit{Quantitas motus qu{\ae} colligitur capiendo summam motuum factorum ad
eandem partem, \& differentiam factorum ad contrarias, non mutatur
ab actione corporum inter se.}

Etenim actio ei{\que} contraria reactio {\ae}quales sunt per Legem 3,
adeo{\que} per legem 2, {\ae}quales in motibus efficiunt mutationes versus
contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quicquid
additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis
insequentis sic, ut summa maneat eadem qu{\ae} prius. Sin corpora
obviam eant, {\ae}qualis erit subductio de motu utrius{\que}, adeo{\que} differentia
motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.

Ut si corpus sph{\ae}ricum $A$ sit triplo majus corpore sph{\ae}rico $B$, habeat{\que}
duas velocitatis partes, et $B$ sequatur in eadem recta cum
velocitatis partibus decem, adeo{\que} motus ipsius $A$ sit ad motum
ipsius $B$ ut sex ad decem; ponantur motus illis esse partium sex \&
decem, \& summa erit partium sexdecim. In corporum igitur
concursu, si corpus $A$ lucretur motus partes tres vel quatuor vel
quin{\que} corpus $B$ amittet partes totidem, adeo{\que} perget corpus
$A$ post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim;
\& $B$ cum partibus septem vel sex vel quin{\que} existente semper
summa partium sexdecim ut prius. Sin corpus $A$ lucretur partes
novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeo{\que} progrediatur
post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel
septendecim vel octodecim; corpus $B$ amittendo, tot partes quot
$A$ lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus novem,
vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel
regredietur cum una parte amisso motu suo \& (ut ita dicam)
una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum
motum progressivum partium duodecim. At{\que} ita summ{\ae}
motuum conspirantium $15 + 1$ vel $16 + 0$, differenti{\ae}
\label{wasp16}contrariorum
% -----File: 025.png---
$17 - 1$ \& $18 - 2$ semper erunt partium sexdecim ut ante concursum
\& reflexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora
post reflexionem pergent, invenietur cujus{\que} velocitas ponendo
eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post ad motum
ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis $A$ motus erat partium
sex ante reflexionem; partium octodecim postea, \& velocitas partium
duarum ante reflexionem; invenietur ejus velocitas partium
sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem
ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes
du{\ae} ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea.

Quod si corpora vel non Sph{\ae}rica vel diversis in rectis moventia
incidant in se mutuo oblique, \& requirantur eorum motus post reflexionem,
cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia
tanguntur in puncto concursus; dein corporis utrius{\que} motus
(per Corol.\ 2.)\ distinguendus est in duos, unum huic plano
perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli,
propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam
huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem
at{\que} antea, \& motibus perpendicularibus mutationes {\ae}quales
in partes contrarias tribuend{\ae} sunt sic, ut summa conspirantium
\& differentia contrariorum maneat eadem qu{\ae} prius. Ex
hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum
circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non considero,
\& nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare.




\condpagelarge{Corol.\ IIII.}

\textit{Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat
statum suum vel motus vel quietis, \& propterea corporum omnium
in se mutuo agentium (exclusis actionibus \& impedimentis
externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur
uniformiter in directum.}

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis
rectis \& distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens
% -----File: 026.png---
vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea
recta, Hoc
postea in Lemmate xxiii demonstratur in plano, \& eadem ratione
demonstrari potest in loco solido. Ergo si corpora quotcun{\que}
moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis
duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur uniformiter in
linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in rectis
uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi
in ratione data: similiter \& commune centrum horum duorum
\& tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in
linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis
corporum duorum \& centri corporis tertii in data ratione.
Eodem modo \& commune centrum horum trium \& quarti cujusvis
vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea
quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium \&
centrum quarti in data ratione, \& sic in infinitum. Igitur in
systemate corporum qu{\ae} actionibus in se invicem, alijs{\que} omnibus
in se extrinsecus impressis, omnino vacant, adeo{\que} moventur
singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum
gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.

Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium,
cum distanti{\ae} centrorum utrius{\que} a communi gravitatis centro sint
reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem
vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, {\ae}quales
inter se. Proinde centrum illud a motuum {\ae}qualibus mutationibus
in partes contrarias factis, at{\que} adeo ab actionibus horum
corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem
patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate
autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo
agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus
mutat statum suum; \& reliquorum, quibuscum actio illa
non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; distantia
autem horum duorum centrorum dividitur, a communi corporum
omnium centro, in partes summis totalibus corporum, quorum
% -----File: 027.png---
sunt centra, reciproce proportionales, adeo{\que} centris illis duobus
statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune
omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod
commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum
inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum \& quietem.
In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter
bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bina composit{\ae}, \& propterea
communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel
Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora
non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta aliqua progreditur
uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum actionibus
inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter
in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur
de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem
qu{\ae} corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus
vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu
systematis corporum ex motu centri gravitatis {\ae}stimari semper debet.


\condpagelarge{Corol.\ V.}

\textit{Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spatium
illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum
abs{\que} motu circulari.}

Nam differenti{\ae} motuum tendentium ad eandem partem, \&
summ{\ae} tendentium ad contrarias, eadem sunt sub initio in utro{\que}
casu (ex hypothesi) \& ex his summis vel differentiis oriuntur congressus
\& impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per
Legem 2 {\ae}quales erunt congressuum effectus in utro{\que} casu, \&
propterea manebunt motus inter se in uno casu {\ae}quales motibus
inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento.
Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive
moveatur uniformiter in directum.
% -----File: 028.png---


\condpagelarge{Corol.\ VI.}

\textit{Si corpora moveantur quomodocun{\que} inter se \& a viribus acceleratricibus
{\ae}qualibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia
eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata.}

Nam vires ill{\ae} {\ae}qualiter (pro quantitatibus movendorum corporum)
\& secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia
{\ae}qualiter (quoad velocitatem) movebunt (per Legem 2.)\ adeo{\que}
nunquam mutabunt positiones \& motus eorum inter se.

\condpagelarge{\textit{Scholium}}

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta \& experientia
multiplici confirmata. Per leges duas primas \& Corollaria duo
prima adinvenit \textit{Galil{\ae}us} descensum gravium esse in duplicata ratione
temporis, \& motum projectilium fieri in Parabola, conspirante
experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum
retardantur. Ab ijsdem Legibus \& Corollariis pendent
demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suffragante
Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem \& Lege tertia
\textit{D. Christopherus Wrennus} Eques auratus, \textit{Johannes Wallisius
S.T.D.} \& \textit{D. Christianus Hugenius}, hujus {\ae}tatis Geometrarum
facile Principes, regulas congressuum \& reflexionum duorum corporum
seorsim adinvenerunt, \& eodem fere tempore cum \textit{Societate
Regia} communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes;
Et primus quidem \textit{D. Wallisius} dein \textit{D. Wrennus} \& \textit{D.
Hugenius} inventum prodidit. Sed \& veritas comprobata est a
\textit{D. Wrenno} coram \textit{Regia Societate} per experimentum Pendulorum,
quod etiam \textit{Clarissimus Mariottus} Libro integro exponere mox
dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim
congruat, habenda est ratio tum resistenti{\ae} aeris, tum etiam
vis Elastic{\ae} concurrentium

\pngright{029.png}{1162}{751}{-24}
%Illustration

\noindent corporum. Pendeant corpora
$A$, $B$ filis parallelis $AC$, $BD$ a centris $C$, $D$. His centris \& intervallis
% -----File: 029.png---
describantur semicirculi $EAF$, $GBH$ radijs $CA$, $DB$ bisecti.
Trahatur corpus $A$ ad arcus $EAF$ punctum quodvis $R$,
\& (subducto corpore $B$) demittatur inde, redeat{\que} post unam
oscillationem ad punctum $V$. Est $RV$ retardatio ex resistentia
aeris. Hujus $RV$ fiat $ST$ pars
quarta sita in medio, \& h{\ae}c
exhibebit retardationem in
descensu ab $S$ ad $A$ quam
proxime. Restituatur corpus
$B$ in locum suum. Cadat corpus
$A$ de puncto $S$, \& velocitas
ejus in loco reflexionis $A$,
abs{\que} errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco $T$.
Exponatur igitur h{\ae}c velocitas per chordam arcus $TA$. Nam
velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut chorda arcus quem
cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post reflexionem
perveniat corpus $A$ ad locum $s$, \& corpus $B$ ad locum
$k$. Tollatur corpus $B$ \& inveniatur locus $v$, a quo si corpus $A$ demittatur
\& post unam oscillationem redeat ad locum $r$, sit $st$ pars
quarta ipsius $rv$ sita in medio, \& per chordam arcus $tA$ exponatur
velocitas quam corpus $A$ proxime post reflexionem habuit in
loco $A$. Nam $t$ erit locus ille verus \& correctus ad quem corpus $A$,
sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo
corrigendus erit locus $k$, ad quem corpus $B$ ascendit, \& inveniendus
locus $l$, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo.
Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti
essemus. Tandem ducendum erit corpus $A$ in chordam arcus
$TA$ (qu{\ae} velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in
loco $A$ proxime ante reflexionem, deinde in chordam arcus $tA$
ut habeatur motus ejus in loco $A$ proxime post reflexionem.
Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus $Bl$, ut habeatur
motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo
ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi
sunt motus utrius{\que} tam ante, quam post reflexionem; \& tum
% -----File: 030.png---
demum conferendi sunt motus inter se \& colligendi effectus reflexionis.
Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando,
id{\que} in corporibus tam in{\ae}qualibus quam {\ae}qualibus, \& faciendo ut
corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim
vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum
in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod
in partes contrarias mutatio motus erat corpori utri{\que} illata, at{\que}
adeo quod actio \& reactio semper erant {\ae}quales. Ut si corpus $A$
incidebat in corpus $B$ cum novem partibus motus, \& amissis septem
partibus pergebat post reflexionem cum duabus, corpus $B$ resiliebat
cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, $A$ cum
duodecim partibus \& $B$ cum sex \& redibat $A$ cum duabus, redibat
$B$ cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque.
De motu ipsius $A$ subducantur partes duodecim \& restabit nihil;
subducantur ali{\ae} partes du{\ae} \& fiet motus duarum partium in plagam
contrariam. \& sic de motu corporis $B$ partium sex subducendo
partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam.
Quod si corpora ibant ad \label{wasp22}eandem
plagam, $A$ velocius cum
partibus quatuordecim \& $B$
tardius cum partibus quin{\que} \&
post reflexionem pergebat $A$
cum quin{\que} partibus, pergebat
$B$ cum quatuordecim, facta
translatione partium novem
de $A$ in $B$. Et sic in reliquis. A congressu \& collisione corporum
nunquam mutabatur quantitas motus qu{\ae} ex summa motuum
conspirantium \& differentia contrariorum colligebatur. Nam{\que}
errorem digiti unius \& alterius in mensuris tribuerim difficultati
peragendi singula satis accurate. Difficile erat tum pendula simul
demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimo
$AB$, tum loca $s$, $k$, notare ad qu{\ae} corpora ascendebant post
concursum. Sed \& in ipsis pilis in{\ae}qualis partium densitas, \& textura
aliis de causis irregularis, errores inducebant.
% -----File: 031.png---

Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum
est hoc experimentum pr{\ae}supponere corpora vel absolute dura
esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in
compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descripta
succedunt in corporibus mollibus {\ae}que ac in duris, nimirum a
conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa
in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo
reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elastic{\ae}.
In Theoria \textit{Wrenni} \& \textit{Hugenij} corpora absolute dura redeunt ab
invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte
Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda
est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes
corporum ex congressu l{\ae}duntur, vel extensionem aliqualem quasi
sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio)
faciat{\que} corpora redire ab invicem cum velocitate relativa qu{\ae} sit ad
relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana
arcte conglomerata \& fortiter constricta sic tentavi. Primum demittendo
Pendula \& mensurando reflexionem, inveni quantitatem
vis Elastic{\ae}; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis
casibus concursuum, \& respondebant experimenta. Redibant
semper pil{\ae} ab invicem cum velocitate relativa, qu{\ae} esset ad velocitatem
relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum
velocitate redibant pil{\ae} ex chalybe: ali{\ae} ex subere cum paulo
minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. At{\que}
hoc pacto Lex tertia quoad ictus \& reflexiones per Theoriam comprobata
est, qu{\ae} cum experientia plane congruit.

In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus
quibusvis $A$, $B$ se mutuo trahentibus, concipe obstaculum
quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus
alterutrum $A$ magis trahitur versus corpus alterum $B$, quam illud alterum
$B$ in prius $A$, obstaculum magis urgebitur pressione corporis
$A$ quam pressione corporis $B$; proinde{\que} non manebit in {\ae}quilibrio.
Pr{\ae}valebit pressio fortior, faciet{\que} systema corporum duorum
% -----File: 032.png---
\& obstaculi moveri in directum in partes versus $B$, motu{\que} in
spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum
\& Legi prim{\ae} contrarium. Nam per Legem primam
debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi
uniformiter in directum, proinde{\que} corpora {\ae}qualiter urgebunt obstaculum,
\& idcirco {\ae}qualiter trahentur in invicem. Tentavi
hoc in Magnete \& ferro. Si h{\ae}c in vasculis propriis sese contingentibus
seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum
propellet alterum, sed {\ae}qualitate attractionis utrin{\que} sustinebunt conatus
in se mutuos, ac tandem in {\ae}quilibrio constituta quiescent.

Ut corpora in concursu \& reflexione idem pollent, quorum velocitates
sunt reciproce ut vires insit{\ae}: sic in movendis Instrumentis
Mechanicis agentia idem pollent \& conatibus contrariis se mutuo
sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium {\ae}stimat{\ae},
sunt reciproce ut vires. Sic pondera {\ae}quipollent ad
movenda brachia Libr{\ae}, qu{\ae} oscillante Libra, sunt reciproce ut
eorum velocitates sursum \& deorsum: hoc est pondera, si recta
ascendunt \& descendunt, {\ae}quipollent, qu{\ae} sunt reciproce ut punctorum
a quibus suspenduntur distanti{\ae} ab axe Libr{\ae}; sin planis
obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt
oblique, {\ae}quipollent qu{\ae} sunt ut ascensus \& descensus quatenus
facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gravitatis
deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus
funem directe trahentis, qu{\ae} sit ad pondus vel directe vel oblique
ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem
manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis \& similibus
instrumentis, qu{\ae} ex rotulis commissus constructa sunt, vires
contrari{\ae} ad motum rotularum promovendum \& impediendum
si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur,
sustinebunt se mutuo. Vis Cochle{\ae} ad premendum corpus
est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas
Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem
progressivam Cochle{\ae} versus corpus pressum. Vires quibus cuneus
% -----File: 033.png---
urget partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut
progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum
impress{\ae}, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum
lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum
omnium.

Harum efficacia \& usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem
augeamus vim, \& contra: Unde solvitur in omni aptorum
instrumentorum genere Problema; \textit{Datum pondus data vi
movendi}, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam
si Machin{\ae} ita formentur ut velocitates Agentis \& Resistentis sint
reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, \& majori cum
velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum
disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, qu{\ae} tam
ex contiguorum \& inter se labentium corporum attritione, quam
ex continuorum \& ab invicem separandorum coh{\ae}sione \& elevandorum
ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis
redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in
partibus Machin{\ae}, partim in corpore resistente producet. C{\ae}terum
Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui
tantum ostendere quam late pateat, quam{\que} certa sit Lex
tertia motus. Nam si {\ae}stimetur Agentis actio ex ejus vi \& velocitate
conjunctim; \& Resistentis reactio ex ejus partium singularum
velocitatibus \& viribus resistendi ab earum attritione, coh{\ae}sione,
pondere \& acceleratione oriundis; erunt actio \& reactio,
in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper {\ae}quales.
Et quatenus actio propagatur per instrumentum \& ultimo imprimitur
in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi
reactionis semper erit contraria.


% -----File: 034.png---

\pagelines

\begin{center}{\large DE}\end{center}

\begin{center}{\Huge MOTU CORPORUM}\end{center}


\vspace{\baselineskip}\hrule


\begin{center}{\large Liber \gesperrt{PRIMUS}{3}}\end{center}

\hrule\vspace{\baselineskip}

\sectnopage{I.}

\begin{center}{\textit{De Methodo Rationum primarum \& ultimarum, cujus ope sequentia
demonstrantur.}}\end{center}

\tblong

\begin{center}{\large LEMMA I.}\end{center}

\textit{Quantitates, ut \& quantitatum rationes, qu{\ae} ad {\ae}qualitatem dato
tempore constanter tendunt \& eo pacto propius ad invicem
accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo
{\ae}quales.}

Si negas, sit earum ultima differentia $D$. Ergo nequeunt propius
ad {\ae}qualitatem accedere quam pro data differentia $D$:
contra hypothesin.
% -----File: 035.png---


\condpagelarge{Lemma II.}

\pngright{035.png}{806}{1080}{-24}
%Illustration

\textit{Si in figura quavis $AacE$ rectis $Aa$, $AE$, \& curva \label{wasp27}$acE$
comprehensa, inscribantur parallelogramma quotcun{\que} $Ab$, $Bc$,
$Cd$, \&c.\ sub basibus $AB$, $BC$, $CD$, \&c.\
{\ae}qualibus, \& lateribus $Bb$, $Cc$, $Dd$,
\&c.\ figur{\ae} lateri $Aa$ parallelis contenta;
\& compleantur parallelogramma
$aKbl$, $bLcm$, $cMdn$, \&c. Dein horum
parallelogrammorum latitudo minuatur,
\& numerus augeatur in infinitum: dico
quod ultim{\ae} rationes, quas habent ad se
invicem figura inscripta $AKbLcMdD$,
circumscripta $AalbmcndoE$, \&
curvilinea $AabcdE$, sunt rationes
{\ae}qualitatis.}

Nam figur{\ae} inscript{\ae} \& circumscript{\ae} differentia est summa
parallelogrammorum $Kl + Lm + Mn + Do$, hoc est (ob {\ae}quales
omnium bases) rectangulum sub unius basi $Kb$ \& altitudinum
summa $Aa$, id est rectangulum $ABla$. Sed hoc rectangulum,
eo quod latitudo ejus $AB$ in infinitum minuitur, sit minus
quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta \& circumscripta
\& multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo
{\ae}quales. \QEDit


\condpagelarge{Lemma III.}

\textit{E{\ae}dem rationes ultim{\ae} sunt etiam {\ae}qualitatis, ubi
\label{wasp27bis}parallelogrammorum
latitudines $AB$, $BC$, $CD$, \&c.\ sunt in{\ae}quales, \& omnes
minuuntur in infinitum.}

Sit enim $AF$ {\ae}qualis latitudini maxim{\ae} \& compleatur parallelogrammum
$FAaf$. Hoc erit majus quam differentia
figur{\ae} inscript{\ae} \& figur{\ae} circumscripta, at latitudine sua $AF$
% -----File: 036.png---
in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium
coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et multo magis figura rectilinea, qu{\ae} chordis evanescentium
arcuum $ab$, $bc$, $cd$, \textit{\&c.}\ comprehenditur, coincidit ultimo
cum figura curvilinea.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ut \& figura rectilinea qu{\ae} tangentibus eorundem
arcuum circumscribitur.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et propterea h{\ae} figur{\ae} ultim{\ae} (quoad perimetros
$acE$,) non sunt rectiline{\ae}, sed rectilinearum limites curvilinei.


\condpagelarge{Lemma IV.}

\pngright{036.png}{1578}{1094}{-24}
%Illustration

\textit{Si in duabus figuris $AacE$, $PprT$, inscribantur (ut supra)
du{\ae} parallelogrammorum series, sit{\que} idem amborum numerus, \&
ubi latitudines in infinit\-um diminuitur, rationes ultim{\ae} parallelogrammorum
in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum
ad singula, sint e{\ae}dem; dico quod figur{\ae} du{\ae} $AacE$, $PprT$,
sunt ad invicem in eadem illa ratione.}

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo)
fit summa omnium ad summam omnium, \& ita figura
% -----File: 037.png---
ad figuram; existente ni\-mir\-um figura priore (per Lemma III.)
ad summam priorem, \& posteriore figura ad summam posteriorem
in ratione {\ae}qualitatis.

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc si du{\ae} cujuscun{\que} generis quantitates in eundem
partium numerum utcun{\que} dividantur, \& partes ill{\ae}, ubi numerus
earum augetur \& magnitudo diminuitur in infinitum, datam
obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam
c{\ae}ter{\ae}{\que} suo ordine ad c{\ae}teras; erunt tota ad invicem
in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris
sumantur parallelogramma inter se ut partes, summ{\ae} partium semper
erunt ut summ{\ae} parallelogrammorum; at{\que} adeo, ubi partium
\& parallelogrammorum numerus augetur \& magnitudo diminuitur
in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum,
id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad
partem.


\condpagelarge{Lemma V.}

\textit{Similium figurarum latera omnia, qu{\ae} sibi mutuo respondent, sunt proportionalia,
tam curvilinea quam rectilinea, \& are{\ae} sunt in duplicata
ratione laterum.}

\condpagelarge{Lemma VI.}

\pngright{037.png}{768}{1047}{-24}
%Illustration

\textit{Si arcus quilibet positione datus $AB$ subtendatur chorda $AB$, \& in
puncto aliquo $A$, in medio curvatur{\ae}
continu{\ae}, tangatur a recta utrin{\que} producta
$AD$; dein puncta $A$, $B$ ad invicem
accendant \& coeant; dico quod
angulus $BAD$ sub chorda \& tangente
contentus minuetur in infinitum \& ultimo
evanescet.}

Nam producatur $AB$ ad $b$ \& $AD$
ad $d$, \& punctis $A$, $B$ coeuntibus, nulla{\que}
adeo ipsius $Ab$ parte $AB$ jacente
amplius intra curvam, manifestum esi quod h{\ae}c recta $Ab$,
% -----File: 038.png---
vel coincidet cum tangente $Ad$, vel ducetur inter tangentem \&
curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvatur{\ae}, ergo
prior obtinet. \QEDit


\condpagelarge{Lemma VII.}

\textit{Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chord{\ae} \& tangentis ad
invicem est ratio {\ae}qualitatis. Vide} Fig.\ \textit{Lem.\ 6 \& 8 vi.}

Nam producantur $AB$ \& $AD$ ad $b$ \& $d$ secanti $BD$ parallela
agatur $bd$. Sit{\que} arcus $Ab$ similis arcui $AB$. Et punctis
$A$, $B$ coeuntibus, angulus $dAb$, per Lemma superius, evanescet;
adeo{\que} rect{\ae} $Ab$, $Ad$ arcus intermedius $Ab$ coincident, \& propterea
{\ae}quales erunt. Unde \& hisce semper proportionales rect{\ae}
$AB$, $AD$, \& arcus intermedius $AB$ rationem ultimam habebunt
{\ae}qualitatis. \QEDit

\pngright{038.png}{1057}{424}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde si per $B$ ducatur tan\-gen\-ti parallela $BF$ rectam
quamvis $AF$ per $A$ transeuntem
perpetuo secans in $F$, h{\ae}c ultimo
ad arcum evanescentem $AB$ rationem
habebit {\ae}qualitatis, eo quod
completo parallelogrammo $AFBD$,
rationem semper habet {\ae}qualitatis
ad $AD$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si per $B$ \& $A$ ducantur plures rect{\ae} $BE$, $BD$, $AF$,
$AG$, secantes tangentem $AD$ \& ipsius parallelam $BF$, ratio ultima
abscissarum omnium $AD$, $AE$, $BF$, $BG$, chord{\ae}{\que} \& arcus
$AB$ ad invicem erit ratio {\ae}qualitatis.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et propterea h{\ae} omnes line{\ae} in omni de rationibus
ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.


\condpagelarge{Lemma VIII.}

\textit{Si rect{\ae} dat{\ae} $AR$, $BR$ cum arcu $AB$, chorda $AB$ \& tangente $AD$,
triangula tria $ARB$, $ARB$, $ARD$ constituunt, dein puncta
$A, B$ accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum
evanescentium est similitudinis, \& ultima ratio {\ae}qualitatis.}

% -----File: 039.png---

\pngright{037.png}{768}{1047}{-12}
%Illustration

Nam producantur $AB$, $AD$, $AR$ ad $b$, $d$ \& $r$. Ipsi $RD$
agatur parallela $rbd$, \& arcui $AB$ similis ducatur arcus $Ab$.
Coeuntibus punctis $A$, $B$, angulus $bAd$
evanescet, \& propterea triangula tria
$rAb$, $rAb$, $rAd$ coincident, sunt{\que} eo
nomine similia \& {\ae}qualia. Unde \&
hisce semper similia \& proportionalia
$RAB$, $RAB$, $RAD$ fient ultimo sibi
invicem similia \& {\ae}qualia. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Et hinc triangula illa in omni de
rationibus ultimis argumentatione pro se
invicem usurpari possunt.


\condpagelarge{Lemma IX.}

\pngright{039.png}{1050}{1171}{-24}
%Illustration

\textit{Si recta $AE$ \& Curva $AC$ positione dat{\ae} se mutuo secent in angulo
dato $A$, \& ad rectam illam in
alio dato angulo ordinatim applicentur
$BD$, $EC$, curv{\ae} occurrentes
in $B$, $C$; dein puncta
$B$, $C$ accedant ad punctum $A$:
dico quod are{\ae} triangulorum
$ADB$, $AEC$ erunt ultimo ad
invicem in duplicata ratione laterum.}

Etenim in $AD$ producta capiantur
$Ad$, $Ae$ ipsis $AD$, $AE$
proportionales, \& erigantur ordinat{\ae}
$db$, $ec$ ordinatis $DB$, $EC$ parallel{\ae} \& proportionales.
Producatur $AC$ ad $c$, ducatur curva $Abc$ ipsi $ABC$ similis, \&
recta $Ag$ tangatur curva utra{\que} in $A$; \& secantur ordinatim applicat{\ae}
in $F$, $G$, $f$, $g$. Tum coeant puncta $B$, $C$ cum puncto $A$, \&
angulo $cAg$ evanescente, coincident are{\ae} curviline{\ae} $Abd$, $Ace$
cum rectilineis $Afd$, $Age$, adeo{\que} per Lemma V, erunt in duplicata
% -----File: 040.png---
ratione laterum $Ad$, $Ae$: Sed his areis proportionales
semper sunt are{\ae} $ABD$, $ACE$, \& his lateribus latera $AD$, $AE$.
Ergo \& are{\ae} $ABD$, $ACE$ sunt ultimo in duplicata ratione laterum
$AD$, $AE$. \QEDit


\condpagelarge{Lemma X.}

\textit{Spatia, qu{\ae} corpus urgente quacun{\que} vi regulari describit, sunt ipso
motus initio in duplicata ratione temporum.}

Exponantur tempora per lineas $AD$, $AE$, \& velocitates genit{\ae}
per ordinatas $DB$, $EC$, \& spatia his velocitatibus descripta
erunt ut are{\ae} $ABD$, $ACE$ his ordinatis descript{\ae}, hoc est ipso
motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum
$AD$, $AE$. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium
figurarum partes temporibus proportionalibus describentium
errores, qui viribus {\ae}qualibus in partibus istis ad corpora similiter
applicatis generantur, \& mensurantur a locis figurarum, ad qu{\ae}
corpora temporibus ijsdem proportionalibus abs{\que} viribus istis pervenirent,
sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam
proxime.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Errores autem qui viribus proportionalibus similiter
applicatis generantur, sunt ut vires \& quadrata temporum conjunctim.


\condpagelarge{Lemma XI.}

\textit{Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata
subtens{\ae} arcus contermini.}

\pngright{041.png}{636}{1298}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit arcus ille $AB$, tangens ejus $AD$, subtensa anguli
contactus ad tangentem perpendicularis $BD$, subtensa arcus $AB$.
Huic subtens{\ae} $AB$ \& tangenti $AD$ perpendiculares erigantur $AG$,
$BG$, concurrentes in $G$; dein accedant puncta $D$, $B$, $G$, ad puncta
$d$, $b$, $g$, sit{\que} $J$ intersectio linearum $BG$, $AG$ ultimo facta ubi
puncta $D$, $B$ accedunt us{\que} ad $A$. Manifestum est quod distantia
% -----File: 041.png---
$GJ$ minor esse potest quam assignata qu{\ae}vis. Est autem
(ex natura circulorum per puncta $ABG$, $Abg$ transeuntium)
$AB \opit{quad.}$ {\ae}quale $AG \times BD$ \& $Ab \opit{quad.}$ {\ae}quale
$Ag \times bd$, adeo{\que} ratio $AB \opit{quad.}$ ad
$Ab \opit{quad.}$ componitur ex rationibus $AG$ ad
$Ag$ \& $BD$ ad $bd$. Sed quoniam $JG$ assumi
potest minor longitudine quavis assignata,
fieri potest ut ratio $AG$ ad $Ag$ minus
differat a ratione {\ae}qualitatis quam pro
differentia quavis assignata, adeo{\que} ut ratio
$AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad.}$ minus differat a ratione
$BD$ ad $bd$ quam pro differentia
quavis assignata. Est ergo, per Lemma I,
ratio ultima $AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad.}$ {\ae}qualis
rationi ultim{\ae} $BD$ ad $bd$. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Inclinetur jam $BD$ ad $AD$ in angulo quovis dato, \&
eadem semper erit ratio ultima $BD$ ad $bd$ qu{\ae} prius, adeo{\que} eadem
ac $AB \opit{quad.}$ ad $Ab \opit{quad}$. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli $D$, $d$
ad {\ae}qualitatem semper vergent \& propius accedent ad invicem
quam pro differentia quavis assignata, adeo{\que} ultimo {\ae}quales erunt,
per Lem.\ I. \& propterea line{\ae} $BD$, $bd$ in eadem ratione
ad invicem ac prius. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde cum tangentes $AD$, $Ad$, arcus $AB$, $Ab$ \& eorum
sinus $BC$, $bc$ fiant ultimo chordis $AB$, $Ab$ {\ae}quales; erunt
etiam illorum quadrata ultimo ut subtens{\ae} $BD$, $bd$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Triangula rectilinea $ADB$, $Adb$ sunt ultimo in triplicata
ratione laterum $AD$, $Ad$, in{\que} sesquiplicata laterum $DB$,
$db$: Utpote in composita ratione laterum $AD$ \& $DB$, $Ad$ \& $db$
existentia. Sic \& triangula $ABC$, $Abc$ sunt ultimo in triplicata
ratione laterum $BC$, $bc$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et quoniam $DB$, $db$ sunt ultimo parallel{\ae} \& in duplicata
ratione ipsarum $AD$, $Ad$; erunt are{\ae} ultim{\ae} curviline{\ae}
% -----File: 042.png---
$ADB$, $Adb$ (ex natura Parabol{\ae}) du{\ae} terti{\ae} partes triangulorum
rectilineorum $ADB$, $Adb$, \& segmenta $AB$, $Ab$ partes
terti{\ae} eorundem triangulorum. Et inde h{\ae} are{\ae} \& h{\ae}c segmenta
erunt in triplicata ratione tum tangentium $AD$, $Ad$; tum chordarum
\& arcuum $AB$, $Ab$.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

C{\ae}terum in his omnibus supponimus angulum contactus nec
infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent
cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam
ad punctum $A$, nec infinite parvam esse nec infinite magnam,
seu intervallum $AJ$ finit{\ae} esse magnitudinis. Capi enim
potest $DB$ ut $AD^3$: quo in casu circulus nullus per punctum $A$
inter tangentem $AD$ \& curvam $AB$ duci potest, proinde{\que} angulus
contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento
si fiat $DB$ successive ut $AD^4$, $AD^{5}$, $AD^6$, $AD^{7}$, \&c.\
habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum
quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiat $DB$
successive ut $AD^{2}$, $AD^{\frac{3}{2}}$, $AD^{\frac{4}{3}}$, $AD^{\frac{5}{4}}$, $AD^{\frac{6}{5}}$, $AD^{\frac{7}{6}}$, \&c.\ habebitur
alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est
ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, \& quilibet
posterior infinite major priore. Sed \& inter duos quosvis
ex his angulis potest series utrin{\que} in infinitum pergens angulorum
intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major
priore. Ut si inter terminos $AD^{2}$ \& $AD^3$ inseratur series
$AD^{\frac{13}{6}}$, $AD^{\frac{11}{5}}$, $AD^{\frac{9}{4}}$, $AD^{\frac{7}{3}}$, $AD^{\frac{5}{2}}$,
$AD^{\frac{8}{3}}$, $AD^{\frac{11}{4}}$, $AD^{\frac{14}{5}}$, $AD^{\frac{17}{6}}$,
\&c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest
series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis
differentium. Ne{\que} novit natura limitem.

Qu{\ae} de curvis lineis de{\que} superficiebus comprehensis demonstrata
sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas \&
% -----File: 043.png---
contenta. Pr{\ae}misi vero h{\ae}c Lemmata ut effugerem t{\ae}dium deducendi
perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum,
ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per
methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium
Hypothesis; \& propterea Methodus illa minus Geometrica censetur,
malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum
evanescentium summas \& rationes, primas{\que} nascentium,
id est, ad limites summarum \& rationum deducere, \& propterea
limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate pr{\ae}mittere.
His enim idem pr{\ae}statur quod per methodum indivisibilium, \&
principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus,
siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero,
vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim indivisibilia
sed evanescentia divisibilia, non summas \& rationes
partium determinatarum, sed summarum \& rationum limites semper
intelligi, vim{\que} talium demonstrationum ad methodum pr{\ae}cedentium
Lemmatum semper revocari.

Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima
proportio; quippe qu{\ae}, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi
evanuerunt, nulla est. Sed \& eodem argumento {\ae}que contendi
posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem
ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non
esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per
velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur ne{\que} antequam
attingit locum ultimum \& motus cessat, ne{\que} postea, sed
tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus
attingit locum ultimum \& quacum motus cessat. Et similiter per
ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse
rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea,
sed quacum evanescunt. Pariter \& ratio prima nascentium est
ratio quacum nascuntur. Et summa prima \& ultima est quacum
esse (vel augeri \& minui) incipiunt \& cessant. Extat limes quem
velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi.
% -----File: 044.png---
H{\ae}c est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum \&
proportionum omnium incipientium \& cessantium. Cum{\que} hic limes
sit certus \& definitus, Problema est vere Geometricum eundem
determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis
determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.

Contendi etiam potest, quod si dentur ultim{\ae} quantitatum evanescentium
rationes, dabuntur \& ultim{\ae} magnitudines; \& sic
quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam \textit{Euclides}
de incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonstravit.
Verum h{\ae}c Objectio fals{\ae} innititur hypothesi. Ultim{\ae}
rationes ill{\ae} quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt
rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum
sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, \& quas
propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam
vero transgredi, ne{\que} prius attingere quam quantitates diminuuntur
in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis.
Si quantitates du{\ae} quarum data est differentia augeantur in infinitum,
dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio {\ae}qualitatis,
nec tamen ideo dabuntur quantitates ultim{\ae} seu maxim{\ae} quarum
ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum imaginationi
consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes
vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas,
sed cogita semper diminuendas sine limite.


% -----File: 045.png---




\sectpage{II.}

\begin{center}{\textit{De Inventione Virium Centripetarum.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ I\@. Theorema I.}

\textit{Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium
ductis describunt, \& in planis immobilibus consistere, \& esse temporibus
proportionales.}

%\pngcent{045.png}{1642}{1513}
\pngright{045.png}{1642}{1513}{-24}
%Illustration

Dividatur tempus in partes {\ae}quales, \& prima temporis parte
describat corpus vi insita rectam $AB$. Idem secunda temporis
parte, si nil impediret, recta pergeret ad $c$, (per Leg.\ I) describens
lineam $Bc$ {\ae}qualem ipsi $AB$, adeo ut radiis $AS$, $BS$, $cS$ ad
centrum actis,
consect{\ae} forent
{\ae}quales are{\ae} $ASB$,
$BSc$. Verum
ubi corpus
venit ad $B$, agat
vis centripeta impulsu
unico sed
magno, faciat{\que}
corpus a recta
$Bc$ deflectere \&
pergere in recta
$BC$. Ipsi $BS$ parallela
agatur $cC$
occurrens $BC$ in
$C$, \& completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol.\
I) reperietur in $C$, in eodem plano cum triangulo $ASB$. Junge
$SC$, \& triangulum $SBC$, ob parallelas $SB$, $Cc$, {\ae}quale erit triangulo
$SBc$, at{\que} adeo etiam triangulo $SAB$. Simili argumento si
% -----File: 046.png---
vis centripeta successive agat in $C$, $D$, $E$, \&c.\ faciens ut corpus
singulis temporis particulis singulas describat rectas $CD$, $DE$,
$EF$, \&c.\ jacebunt h{\ae} in eodem plano, \& triangulum $SCD$ triangulo
$SBC$ \& $SDE$ ipsi $SCD$ \& $SEF$ ipsi $SDE$ {\ae}quale erit. {\AE}qualibus
igitur temporibus {\ae}quales are{\ae} in plano immoto describuntur:
\& componendo, sunt arearum summ{\ae} qu{\ae}vis $SADS$,
$SAFS$ inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam
numerus \& minuatur latitudo triangulorum in infinitum, \& eorum
ultima perimeter $ADF$, (per Corollarium quartum Lemmatis
tertii) erit linea curva; adeo{\que} vis centripeta qua corpus de tangente
hujus curv{\ae} perpetuo retrahitur, aget indesinenter; are{\ae}
vero qu{\ae}vis descript{\ae} $SADS$, $SAFS$ temporibus descriptionum
semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}In mediis non resistentibus, si are{\ae} non sunt temporibus
proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur,
vires non tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in
consequentia.


\condpagelarge{Pro.\ II\@. Theor.\ II.}

\textit{Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, \& radio ducto
ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens,
describit areas circa punctum illud temporibus proportionales,
urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.}

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur
de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem.
(per Leg.\ I\@.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur
\& cogitur triangula quam minima $SAB$, $SBC$, $SCD$
\&c.\ circa punctum immobile $S$, temporibus {\ae}qualibus {\ae}qualia describere,
agit in loco $B$ secundum lineam parallelam ipsi $cC$ (per
Prop.\ 40 Lib.\ I Elem.\ \& Leg.\ II.) hoc est secundum lineam
% -----File: 047.png---
$BS$ \& in loco $C$ secundum lineam ipsi $dD$ parallelam, hoc est
secundum lineam $CS$, \&c. Agit ergo semper secundum lineas
tendentes ad punctum illud immobile $S$. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive
quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam,
sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta \& puncto
suo $S$ uniformiter in directum.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus
viribus. In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa qu{\ae} ex
omnibus componitur, tendit ad punctum $S$. Porro si vis aliqua
agat secundum lineam superficiei descript{\ae} perpendicularem, h{\ae}c
faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei
descript{\ae} nec augebit nec minuet, \& propterea in compositione
virium negligenda est.


\condpagelarge{Prop.\ III\@. Theor.\ III.}

\textit{Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcun{\que} moti
ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales,
urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum
\& ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.}

Nam (per Legum Corol.\ 6.)\ si vi nova, qu{\ae} {\ae}qualis \& contraria
sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrum{\que} secundum
lineas parallelas, perget corpus primum describere circa
corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua corpus
alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi {\ae}qualem \&
contrariam, \& propterea (per Leg.\ 1.)\ corpus illud alterum
vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, \& corpus
primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus proportionales
circa corpus alterum describere. Tendit igitur (per
Theor.\ 2.)\ differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum.
\QEDit
% -----File: 048.png---

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit
areas temporibus proportionales, at{\que} de vi tota (sive simplici,
sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,)
qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum
Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur;
vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus
alterum ut centrum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si are{\ae} ill{\ae} sunt temporibus quamproxime proportionales,
vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad
corpus alterum, erunt are{\ae} ill{\ae} temporibus quamproxime proportionales.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit
areas qu{\ae}, cum temporibus collat{\ae}, sunt valde in{\ae}quales, \& corpus
illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum;
actio vis centripet{\ae} ad corpus illud alterum tendentis, vel
nulla est, vel miscetur \& componitur cum actionibus admodum
potentibus aliarum virium: Vis{\que} tota ex omnibus, si plures sunt
vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum
dirigitur, circum quod {\ae}quabilis est arearum descriptio. Idem obtinet
ubi corpus alterum motu quocun{\que} movetur, si modo vis
centripeta sumatur, qu{\ae} restat post subductionem vis totius agentis
in corpus illud alterum.


\condpagelarge{\textit{Scholium}}

Quoniam {\ae}quabilis arearum descriptio Index est centri quod
vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad
hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, \& motus omnis
circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur
de motu rectilineo \& retinetur in Orbita: quidni usurpemus
in sequentibus {\ae}quabilem arearum descriptionem ut Indicem
centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis
peragitur?
% -----File: 049.png---


\condpagelarge{Prop.\ IV\@. Theor.\ IV.}

\pngright{049.png}{1000}{1254}{-24}
%Illustration

\textit{Corporum qu{\ae} diversos circulos {\ae}quabili motu describunt, vires centripetas
ad centra eorundem circulorum tendere, \& esse inter se
ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.}

Corpora $B$, $b$ in circumferentiis circulorum $BD$, $bd$ gyrantia,
simul describant arcus $BD$, $bd$. Quoniam sola vi insita describerent
tangentes $BC$, $bc$ his arcubus {\ae}quales, manifestum
est quod vires centripet{\ae} sunt qu{\ae}
perpetuo retrahunt corpora de
tangentibus ad circumferentias
circulorum, at{\que} adeo h{\ae} sunt
ad invicem in ratione prima spatiorum
nascentium $CD$, $cd$: tendunt
vero ad centra circulorum
per Theor.\ II, propterea
quod are{\ae} radiis descript{\ae} ponuntur
temporibus proportionales.
Fiat figura $tkb$ figur{\ae} $DCB$
similis, \& per Lemma V,
lineola $CD$ erit ad lineolam $kt$ ut
arcus $BD$ ad arcum $bt$: nec non, per Lemma XI, lineola nascens
$tk$ ad lineolam nascentem $dc$ ut $bt \opit{quad.}$ ad $bd \opit{quad.}$ \& ex {\ae}quo
lineola nascens $DC$ ad lineolam nascentem $dc$ ut $BD \times bt$
ad $bd \opit{quad.}$ seu quod perinde est, ut
$\frac{BD \times bt}{Sb}$ ad $\frac{bd \opit{quad.}}{Sb}$, adeo{\que}
(ob {\ae}quales rationes $\frac{bt}{Sb}$ \& $\frac{BD}{SB}$)
ut $\frac{BD \opit{quad.}}{SB}$ ad $\frac{bd \opit{quad.}}{Sb}$
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc vires centripet{\ae} sunt ut velocitatum quadrata
applicata ad radios circulorum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata
% -----File: 050.png---
ad radios ita sunt h{\ae} vires inter se. Id est (ut cum Geometris
loquar) h{\ae} vires sunt in ratione composita ex duplicata
ratione velocitatum directe \& ratione simplici radiorum inverse:
necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe
\& ratione duplicata temporum periodicorum inverse.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde si tempora periodica {\ae}quantur, erunt tum vires
centripet{\ae} tum velocitates ut radii, \& vice versa.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii,
vires centripet{\ae} sunt {\ae}quales, \& velocitates in dimidiata ratione
radiorum: Et vice versa.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata
radiorum, vires centripet{\ae} sunt reciproce ut radii, \& velocitates
{\ae}quales; Et vice versa.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum,
vires centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum;
velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Eadem omnia de temporibus, velocitatibus \& viribus,
quibus corpora similes figurarum quarumcun{\que} similium, centra{\que}
similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex
Demonstratione pr{\ae}cedentium ad hosce casus applicata.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus c{\ae}lestibus (ut seorsum
colligerunt etiam nostrates \textit{Wrennus, Hookius \& Halleus})
\& propterea qu{\ae} spectant ad vim centripetam decrescentem in
duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus
exponere.

Porro pr{\ae}cedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam
proportio vis centripet{\ae} ad vim quamlibet notam, qualis est ea
gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit
arcum $BC$, impellat ipsum per spatium $CD$, quod ipso motus
initio {\ae}quale est quadrato arcus illius $BD$ ad circuli diametrum
applicato; \& corpus omne vi eadem in eandem semper plagam
% -----File: 051.png---
continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis
illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit,
efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium
quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato {\ae}quale;
adeo{\que} est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod
grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus
\textit{Hugenius}, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio,
vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.

Demonstrari etiam possunt pr{\ae}cedentia in hunc modum. In
circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcun{\que}
Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo,
ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus
impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeo{\que}
summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa \& numerus reflexionum
conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut
longitudo dato illo tempore descripta \& longitudo eadem applicata
ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum
ad Radium; adeo{\que} si Polygonum lateribus infinite diminutis
coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore
descripti applicatum ad radium. H{\ae}c est vis qua corpus urget
circulum, \& huic {\ae}qualis est vis contraria qua circulus continuo
repellit corpus centrum versus.


\condpagelarge{Prop.\ V\@. Prob.\ I.}

\textit{Data quibuscun{\que} in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus
ad com\-mune aliquod centrum tendentibus describit, centrum
illud invenire.}

\pngright{052a.png}{1150}{934}{-24}
%Illustration

Figuram descriptam tangant rect{\ae} tres $PT$, $TQV$, $VR$ in
punctis totidem $P$, $Q$, $R$, concurrentes in $T$ \& $V$. Ad tangentes
erigantur perpendicula $PA$, $QB$, $RC$, velocitatibus corporis
in punctis illis $P$, $Q$, $R$ a quibus eriguntur reciproce proportionalia;
id est ita ut sit $PA$ ad $QB$ ut velocitas in $Q$ ad velocitatem
in $P$, \& $QB$ ad $RC$ ut velocitas in $R$ ad velocitatem
% -----File: 052.png---
in $Q$. Per perpendiculorum terminos $A$, $B$, $C$ ad angulos rectos
ducantur $AD$, $DBE$, $EC$ concurrentia in $D$ \& $E$: Et act{\ae}
$TD$, $VE$ concurrent in centro qu{\ae}sito $S$.

Nam cum corpus in $P$ \& $Q$
radiis ad centrum ductis areas
describat temporibus proportionales,
sint{\que} are{\ae} ill{\ae} simul
descript{\ae} ut velocitates
in $P$ \& $Q$ duct{\ae} respective in
perpendicula a centro in tangentes
$PT$, $QT$ demissa: Erunt
perpendicula illa ut velocitates
reciproce, adeo{\que} ut
perpendicula $AP$, $BQ$ directe,
id est ut perpendicula a puncto $D$ in tangentes demissa.
Unde facile colligitur quod puncta $S$, $D$, $T$ sunt in una recta.
Et simili argumento puncta $S$, $E$, $V$ sunt etiam in una recta; \&
propterea centrum $S$ in concursu rectarum $TD$, $VE$ versatur.
\QEDit


\condpagelarge{Pro.\ VI\@. Theor.\ V.}

\pngright{052b.png}{1045}{560}{-24}
%Illustration

\textit{Si corpus $P$ revolvendo circa centrum $S$, describat lineam quamvis
curvam $APQ$, tangat vero recta $ZPR$ curvam illam in puncto
quovis $P$, \& ad tangentem ab alio quovis curv{\ae} $Q$ agatur
$QR$ distanti{\ae} $SP$ parallela, ac demittatur $QT$ perpendicularis ad
distantiam $SP$: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum
$\frac{SP \opit{quad.} \times QT \opit{quad.}}{QR}$, si modo solidi illius ea semper
sumatur quantitas qu{\ae} ultimo fit
ubi coeunt puncta $P$ \& $Q$.}

Nam{\que} in figura indefinite
parva $QRPT$ lineola nascens
$QR$, dato tempore, est ut vis
centripeta (per Leg.\ II.) \&
% -----File: 053.png---
data vi, ut quadratum temporis (per Lem.\ X.) at{\que} adeo, neutro
dato, ut vis centripeta \& quadratum temporis conjunctim, adeo{\que}
vis centripeta ut lineola $QR$ directe \& quadratum temporis
inverse. Est autem tempus ut area $SPQ$, ejus dupla $SP \times QT$,
id est ut $SP$ \& $QT$ conjunctim, adeo{\que} vis centripeta ut $QR$
directe at{\que} $SP \opit{quad.}$ in $QT \opit{quad.}$ inverse, id est ut
$\frac{SP \opit{quad.} \times QT \opit{quad.}}{QR}$
inverse. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc si detur figura qu{\ae}vis, \& in ea punctum ad quod
vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripet{\ae} qu{\ae}
corpus in figur{\ae} illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum
est solidum
$\frac{SP \opit{quad.} \times QT \opit{quad.}}{QR}$
huic vi reciproce
proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.


\condpagelarge{Prop.\ VII\@. Prob.\ II.}

\textit{Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripet{\ae}
tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.}

\pngright{053.png}{1043}{662}{-24}
%Illustration

Esto circuli circumferentia $SQPA$, centrum vis centripet{\ae}
$S$, corpus in circumferentia latum
$P$, locus proximus in quem movebitur
$Q$. Ad diametrum $SA$
\& rectam $SP$ demitte perpendiculi
$PK$, $QT$, \& per $Q$ ipsi $SP$
parallelam age $LR$ occurrentem
circulo in $L$ \& tangenti $PR$ in
$R$, \& coeant $TQ$, $PR$ in $Z$.
Ob similitudinem triangulorum $ZQR$, $ZTP$, $SPA$ erit $RP
\opit{quad.}$ (hoc est $QRL$) ad $QT \opit{quad.}$ ut $SA \opit{quad.}$ ad $SP \opit{quad.}$
Ergo $\frac{QRL \times SP \opit{quad.}}{SA \opit{quad.}}$
{\ae}quatur $QT \opit{quad.}$ Ducantur h{\ae}c {\ae}qualia
% -----File: 054.png---
in
$\frac{SP \opit{quad.}}{QR}$,
\& punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus, scribatur $SP$ pro $RL$.
Sic fiet
$\frac{SP \opit{qc.}}{SAq.}$ {\ae}quale $\frac{QTq. \times SPq.}{QR}$.
Ergo (per Corol.\ Theor.\ V.)
vis centripeta reciproce est ut
$\frac{SP \opit{qc.}}{SAq.}$,
id est (ob datum $SA \opit{quad.}$)
ut quadrato-cubus distanti{\ae} $SP$. Quod erat inveniendum.


\condpagelarge{Prop.\ VIII\@. Prob.\ III.}

\pngright{054.png}{1053}{894}{-24}
%Illustration

\textit{Moveatur corpus in circulo $PQA$: ad hunc effectum requiritur lex
vis centripet{\ae} tendentis ad punctum adeo longinquum, ut line{\ae} omnes
$PS$, $RS$ ad id duct{\ae}, pro parallelis haberi possint.}

A circuli centro $C$ agatur semidiameter $CA$ parallelas istas perpendiculariter
secans in $M$ \& $N$, \& jungantur $CP$. Ob similia
triangula $CPM$, \& $TPZ$, vel
(per Lem.\ VIII.) $TPQ$, est $CPq.$
ad $PMq.$ ut $PQq.$ vel (per Lem.\
VII.) $PRq.$ ad $QTq.$ \& ex natura
circuli rectangulum $QR \times RN
+ QN$ {\ae}quale est $PR$ quadrato.
Coeuntibus autem punctis
$P$, $Q$ fit $RN + QN$ {\ae}qualis $2PM$.
Ergo est $CP \opit{quad.}$ ad $PM \opit{quad.}$
ut $QR \times 2PM$ ad $QT \opit{quad.}$ adeo{\que}
$\frac{QT \opit{quad.}}{QR}$ {\ae}quale $\frac{2PM \opit{cub.}}{CP \opit{quad.}}$,
\& $\frac{QT \opit{quad.} \times SP \opit{quad.}}{QR}$ {\ae}quale
$\frac{2PM \opit{cub.} \times SP \opit{quad.}}{CP \opit{quad.}}$
Est ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta
reciproce ut
$\frac{2PM \opit{cub.} \times SP \opit{quad.}}{CP \opit{quad.}}$
hoc est (neglecta ratione
determinata
$\frac{2SP \opit{quad.}}{CP \opit{quad.}}$) reciproce ut $PM \opit{cub.}$ \QEIit

% -----File: 055.png---


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in
Hyperbola vel Parabola, vi centripeta qu{\ae} sit reciproce ut cubus
ordinatim applicat{\ae} ad centrum virium maxime longinquum
tendentis.


\condpagelarge{Prop.\ IX\@. Prob.\ IV.}

\pngright{055.png}{1074}{528}{-24}
%Illustration

\textit{Gyretur corpus in spiral $PQS$ secante radios omnes $SP$, $SQ$, \&c.\
in angulo dato: Requiritur lex
vis centripet{\ae} tendentis ad centrum
spiralis.}

Detur angulus indefinite parvus
$PSQ$, \& ob datos omnes
angulos dabitur specie figura
$SPQRT$. Ergo datur ratio
$\frac{QT}{RQ}$ est{\que} $\frac{QT \opit{quad.}}{QR}$ ut $QT$, hoc est ut $SP$.
Mutetur jam utcun{\que} angulus $PSQ$, \& recta $QR$ angulum contactus $QPR$
subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione
ipsius $PR$ vel $QT$. Ergo manebit
$\frac{QT \opit{quad.}}{QR}$
eadem qu{\ae} prius,
hoc est ut $SP$. Quare
$\frac{QTq. \times SPq.}{QR}$
est ut $SP \opit{cub.}$ id est (per Corol.\
Theor.\ V.) vis centripeta ut cubus distanti{\ae} $SP$. \QEIit


\condpagelarge{Lemma XII.}

\textit{Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se
{\ae}qualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum
diametros ejus descriptis.}

Constat utrum{\que} ex Conicis.
% -----File: 056.png---

% page to work round next figure
\condpagelarge{Prop.\ X\@. Prob.\ V.}

\textit{Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis ad
centrum Ellipseos.}

Sunto $CA$, $CB$
semiaxes Ellipseos;
$GP$, $DK$ diametri
conjugat{\ae}; $PF$,
$Qt$, perpendicula
ad diametros; $Qv$
ordinatim applicata
ad diametrum
$GP$; \& si compleatur
parallelogrammum
$QvRP$, erit
(ex Conicis) $PvG$
ad $Qv \opit{quad.}$ ut
$PC \opit{quad.}$ ad $CD
\opit{quad.}$ \& (ob similia
triangula $Qvt$, $PCF$) $Qv \opit{quad.}$ est ad $Qt \opit{quad.}$ ut $PC \opit{quad.}$
ad $PF \opit{quad.}$ \& conjunctis rationibus, $PvG$ ad $Qt \opit{quad.}$ ut $PC \opit{quad.}$
ad $CD \opit{quad.}$ \& $PC \opit{quad.}$ ad $PF \opit{quad.}$ id est $vG$ ad
$\frac{Qt \opit{quad.}}{Pv}$ ut $PC \opit{quad.}$
ad $\frac{CDq. \times PFq.}{PCq.}$. Scribe $QR$ pro $Pv$, \& (per Lemma
xii.)\ $BC \times CA$ pro $CD \times PF$, nec non (punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus)
$2PC$ pro $vG$, \& ductis extremis \& medijs in se mutuo, fiet
$\frac{QTq. \times PCq.}{QR}$ {\ae}quale $\frac{2BCq. \times CAq.}{PC}$. Est ergo (per
Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce ut
$\frac{2BCq. \times CAq.}{PC}$, id est
% -----File: 057.png---
(ob datum $2BCq. \times CAq.$) ut $\frac{1}{PC}$, hoc est, directe ut distantia
$PC$. \QEIit

\pngright{056.png}{1544}{1619}{-12}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus
in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo,
in quem Ellipsis migrare potest.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et {\ae}qualia erunt revolutionum in Figuris universis
circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora
illa in Ellipsibus similibus {\ae}qualia sunt per Corol.\ 3 \& 7 Prop.\
IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem,
sunt ad invicem ut Ellipseon are{\ae} tot{\ae} directe \& arearum particul{\ae}
simul descript{\ae} inverse; id est ut axes minores directe \&
corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est
ut axes illi directe \& ordinatim applicat{\ae} ad axes alteros inverse,
\& propterea (ob {\ae}qualitatem rationum directarum \& inversarum)
in ratione {\ae}qualitatis.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam,
corpus move\-bitur in hac Parabola, \& vis ad centrum infinite
distans jam tendens, evadet {\ae}quabilis. Hoc est Theorema
\textit{Galilei}. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum
sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in
hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.


% -----File: 058.png---




\sectpage{III.}

\begin{center}{\textit{De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XI\@. Prob.\ VI.}

\textit{Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis
ad umbilicum Ellipseos.}

\pngright{056.png}{1544}{1619}{-24}
%Illustration

Esto Ellipseos superioris umbilicus $S$. Agatur $SP$ secans Ellipseos
tum dia\-met\-rum $DK$ in $E$, tum ordinatim applicatam $Qv$
in $x$, \& compleatur parallelogrammum $QxPR$. Patet $EP$ {\ae}qualem
esse semiaxi
majori $AC$, eo
quod acta ab altero
Ellipseos umbilico
$H$ linea $HI$ ipsi $EC$
parallela, (ob {\ae}quales
$CS$, $CH$)
{\ae}quentur $ES$, $EI$, adeo
ut $EP$ semisumma
sit ipsarum $PS$,
$PI$, id est (ob parallelas
$HI$, $PR$ \&
angulos {\ae}quales $IPR$,
$HPZ$) ipsorum
$PS$, $PH$, qu{\ae}
conjunctim axem totum $2AC$ ad{\ae}quant. Ad $SP$ demittatur
perpendicularis $QT$, \& Ellipseos latere recto principali (seu
$\frac{2BC \opit{quad.}}{AC}$)
dicto $L$, erit $L \times QR$ ad $L \times Pv$ ut $QR$ ad $Pv$;
id est ut $PE$ (seu $AC$) ad $PC$; \& $L \times Pv$ ad $GvP$ ut $L$ ad $Gv$;
% -----File: 059.png---
\& $GvP$ ad $Qv \opit{quad.}$ ut $CP \opit{quad.}$ ad $CD \opit{quad.}$; \& (per Lem.\ VIII.)
$Qv \opit{quad.}$ ad $Qx \opit{quad.}$ punctis $Q$ \& $P$ coeuntibus, est ratio {\ae}qualitatis,
\& $Qx \opit{quad.}$ seu $Qv \opit{quad.}$ est ad $QT \opit{quad.}$ ut $EP \opit{quad.}$
ad $PF \opit{quad.}$, id est ut $CA \opit{quad.}$ ad $PF \opit{quad.}$ sive (per Lem.\ XII.)
ut $CD \opit{quad.}$ ad $CB \opit{quad}$. Et conjunctis his omnibus rationibus,
$L \times QR$ fit ad $QT \opit{quad.}$ ut $AC$ ad $PC + L$ ad $Gv + CPq.$
ad $CDq. + CDq.$ ad $CBq.$ id est ut $AC \times L$ (seu $2CBq.$) $\times CPq.$
ad $PC \times Gv \times CBq.$ sive ut $2PC$ ad $Gv$. Sed punctis $Q$
\& $P$ coeuntibus, {\ae}quantur $2PC$ \& $Gv$. Ergo \& his proportionalia
$L \times QR$ \& $QT \opit{quad.}$ {\ae}quantur. Ducantur h{\ae}c aqualia in
$\frac{SPq.}{QR}$ \& fiet $L \times SPq.$ {\ae}quale $\frac{SPq. \times QTq.}{QR}$. Ergo (per Corol.\
Theor.\ V.) vis centripeta reciproce est ut $L \times SPq.$ id est reciproce
in ratione duplicata distanti{\ae} $SP$. \QEIit

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam,
\& Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem
Problematis \& usum ejus in sequentibus, non pigebit casus
c{\ae}teros demonstratione confirmare.


\condpagelarge{Prop.\ XII\@. Prob.\ VII.}

\textit{Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripet{\ae} tendentis
ad umbilicum figur{\ae}.}

\pngright{060.png}{1735}{2582}{-12}
%[Illustration]

Sunto $CA$, $CB$ semi-axes Hyperbol{\ae}; $PG$, $KD$ diametri
conjugat{\ae}; $PF$, $Qt$ perpendicula ad diametros; \& $Qv$ ordinatim
applicata ad dia\-met\-rum $GP$. Agatur $SP$ secans tum diametrum
$DK$ in $E$, tum ordinatim applicatam $Qv$ in $x$, \& compleatur
parallelogrammum $QRPx$. Patet $EP$ {\ae}qualem esse semi-axi
transverso $AC$, eo quod, acta ab altero Hyperbol{\ae} umbilico
$H$ linea $HI$ ipsi $EC$ parallela, ob {\ae}quales $CS$, $CH$, {\ae}quentur $ES$,
$EI$; adeo ut $EP$ semidifferentia sit ipsarum $PS$, $PI$, id est (ob
parallelas $HI$, $PR$ \& angulos {\ae}quales $IPR$, $HPZ$) ipsarum
$PI$, $PH$, quarum differentia axem totum $2AC$ ad{\ae}quat. Ad $SP$
% -----File: 060.png---
demittatur perpendicularis $QT$. Et Hyperbol{\ae} latere recto
principali (seu $\frac{2BCq.}{AC}$) dicto $L$, erit $L \times QR$ ad $L \times Pv$ ut $QR$
ad $Pv$, id est, ut $PE$ (seu $AC$) ad $PC$; Et $L \times Pv$ ad $GvP$
ut $L$ ad $Gv$; \& $GvP$ ad $Qvq.$ ut $CPq.$
ad $CDq.$; \& (per Lem.\ VIII.) $Qvq.$ ad
$Qxq.$, punctis $Q$ \& $P$ coeuntibus
fit ratio {\ae}qualitatis; \& $Qxq.$ seu
$Qvq.$ est ad $QTq.$ ut $EPq.$ ad $PFq.$,
id est ut $CAq.$ ad $PFq.$, sive (per
Lem.\ XII.) ut $CDq.$ ad
$CBq.$: \& conjunctis his omnibus
rationibus $L \times QR$ fit
ad $QTq.$ ut $AC$
ad $PC + L$ ad
$Gv + CPq.$ ad
$CDq. + CDq.$
ad $CBq.$: id est
ut $AC \times L$ (seu
$2BCq.$) $\times PCq.$
ad $PC \times
Gv \times CB \opit{quad.}$
sive ut $2PC$
ad $Gv$, sed
punctis $Q$ \& $P$
coeuntibus
{\ae}quantur $2PC$
\& $Gv$. Ergo \& his proportionalia $L \times QR$ \& $QTq.$ {\ae}quantur.
Ducantur h{\ae}c {\ae}qualia in $\frac{SPq.}{QR}$ \& fiet $L \times SPq.$ {\ae}quale $\frac{SPq. \times QTq.}{QR}$.
Ergo (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta reciproce est ut
$L \times SPq.$ id est in ratione duplicata distanti{\ae} $SP$. \QEIit
% -----File: 061.png---

Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in
centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.


\condpagelarge{Lemma XIII.}

\textit{Latus rectum Parabol{\ae} ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum
distanti{\ae} verticis illius ab umbilico figur{\ae}.} Patet ex Conicis.

\condpagelarge{Lemma XIV.}

\textit{Perpendiculum quod ab umbilico Parabol{\ae} ad tangentem ejus demittitur,
medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto
contactus \& a vertice principali figur{\ae}.}

\pngright{062.png}{1758}{1023}{-12}
%Illustration

Sit enim $APQ$ Parabola, $S$ umbilicus ejus, $A$ vertex principalis,
$P$ punctum
contactus,
$PO$ ordinatim
applicata
ad diametrum
principalem,
$PM$
tangens diametro
principali
occurrens
in $M$, \& $SN$ linea perpendicularis ab umbilico in tangentem.
Jungatur $AN$, \& ob {\ae}quales $MS$ \& $SP$, $MN$ \& $NP$, $MA$ \&
$AO$, parallel{\ae} erunt rect{\ae} $AN$ \& $OP$, \& inde triangulum $SAN$
rectangulum erit ad $A$ \& simile triangulis {\ae}qualibus $SMN$, $SPN$.
Ergo $PS$ est ad $SN$ ut $SN$ ad $SA$. \QEDit

Corol.\fsp{}1.\wsp{}$PSq.$ est ad $SNq.$ ut $PS$ ad $SA$.

Corol.\fsp{}2.\wsp{}Et ob datam $SA$, est $SNq.$ ut $PS$.

Corol.\fsp{}3.\wsp{}Et concursus tangentis cujusvis $PM$ cum recta $SN$
qu{\ae} ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam
$AN$, qu{\ae} Parabolam tangit in vertice principali.
% -----File: 062.png---




\condpagelarge{Prop.\ XIII\@. Prob.\ VIII.}

\textit{Moveatur corpus in perimetro Parabol{\ae}: requiritur Lex vis centripet{\ae}
tendentis ad umbilicum hujus figur{\ae}.}


\pngright{062.png}{1758}{1023}{-24}
%Illustration

Maneat constructio Lemmatis, sit{\que} $P$ corpus in perimetro Parabo\-l{\ae},
\& a loco $Q$ in quem corpus proxime movetur, age ipsi $SP$
Parallelam $QR$ \& perpendicularem $QT$, necnon $Qv$ tangentiparallelam
\& \label{wasp54}occurrentem tum diametro $YPG$ in $v$, tum distanti{\ae}
$SP$ in $x$. Jam ob similia triangula $Pxv$, $MSP$ \& {\ae}qualia unius
latera $SM$, $SP$, {\ae}qualia sunt alterius latera $Px$ seu $QR$ \& $Pv$.
Sed, ex Conicis, quadratum ordinat{\ae} $Qv$ {\ae}quale est rectangulo
sub latere recto \& segmento diametri $Pv$, id est (per Lem.\ XIII.)
rectangulo $4PS \times Pv$ seu $4PS \times QR$; \& punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus,
ratio $Qv$ ad $Qx$ (per Lem.\ 8.)\ fit {\ae}qualitatis. Ergo
$Qxq.$ eo in
casu, {\ae}quale
est rectangulo
$4PS \times QR$.
Est autem
(ob {\ae}quales
angulos
$QxT$, $MPS$,
$PMO$)
$Qxq.$ ad $QTq.$
ut $PSq.$ ad $SNq.$ hoc est (per Corol.\ I. Lem.\ XIV.) ut $PS$ ad
$AS$, id est ut $4PS \times QR$ ad $4AS \times QR$, \& inde (per Prop.\
9.\ Lib.\ V. Elem.)\ $QTq.$ \& $4AS \times QR$ {\ae}quantur. Ducantur
h{\ae}c {\ae}qualia in $\frac{SPq.}{QR}$, \& fiet $\frac{SPq. \times QTq.}{QR}$ {\ae}quale $SPq. \times 4AS$:
\& propterea (per Corol.\ Theor.\ V.) vis centripeta est reciproce
ut $SPq. \times 4AS$, id est, ob datam $4AS$, reciproce in duplicata
ratione distanti{\ae} $SP$. \QEIit
% -----File: 063.png---

\textit{Corol.\fsp{}I\@.}\wsp{}Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est,
quod si corpus quodvis $P$, secundum lineam quamvis rectam $PR$,
quacun{\que} cum velocitate exeat de loco $P$, \& vi centripeta qu{\ae} sit
reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae} a centro, simul agitetur;
movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum
habente in centro virium; \& contra.

\textit{Corol.\fsp{}II\@.}\wsp{}Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo $P$, ea sit,
qua lineola $PR$ in minima aliqua temporis particula describi possit,
\& vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere
per spatium $QR$: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione
cujus latus rectum est quantitas illa $\frac{QTq.}{QR}$ qu{\ae} ultimo fit ubi
lineol{\ae} $PR$, $QR$ in infinitum diminuuntur. Circulum in his
Corollariis refero ad Ellipsin, \& casum excipio ubi corpus recta
descendit ad centrum.


\condpagelarge{Prop.\ XIV\@. Theor.\ VI.}

\textit{Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, \& vis centripeta
decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico
quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas
corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.}

Nam per Corol.\ II. Prob.\ VIII. Latus rectum $L$ {\ae}quale est
quantitati $\frac{QTq.}{QR}$ qu{\ae} ultimo fit ubi coeunt puncta $P$ \& $Q$. Sed
linea minima $QR$, dato tempore, est ut vis centripeta generans,
hoc est (per Hypothesin) reciproce ut $SPq$. Ergo $\frac{QTq.}{QR}$ est
ut $QTq. \times SPq.$ hoc est, latus rectum $L$ in duplicata ratione are{\ae}
$QT \times SP$. \QEDit

Corol. Hinc Ellipseos area tota, ei{\que} proportionale rectangulum
sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris
recti \& integra ratione temporis periodici.
% -----File: 064.png---


\condpagelarge{Prop.\ XV\@. Theor.\ VII.}

\textit{Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in ratione
sesquiplicata transversorum axium.}

Nam{\que} axis minor est medius proportionalis inter axem majorem
(quem transversum appello) \& latus rectum, at{\que} adeo
rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione
lateris recti \& sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc
rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione
composita ex dimidiata ratione lateris recti \& integra ratione periodici
temporis. Dematur utrobi{\que} dimidiata ratio lateris recti
\& manebit sesquiplicata ratio axis transversi {\ae}qualis rationi periodici
temporis. \QEDit

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem
ac in circulis, quorum diametri {\ae}quantur majoribus axibus Ellipseon.


\condpagelarge{Prop.\ XVI\@. Theor.\ VIII.}

\textit{Iisdem positis, \& actis ad corpora lineis rectis, qu{\ae} ibidem tangant
orbitas, demissis{\que} ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus:
dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita
ex ratione perpendiculorum inverse \& dimidiata ratione laterum
rectorum directe.} Vide Fig.\ Prop.\ X. \&.\ XI.

Ab umbilico $S$ ad tangentem $PR$ demitte perpendiculum $SY$
\& velocitas corporis $P$ erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis
$\frac{SYq.}{L}$. Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus $PQ$
in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem.\ VII.)
ut tangens $PR$, id est (ob proportionales $PR$ ad $QT$ \& $SP$ ad
$SY$) ut $\frac{SP \times QT}{SY}$, sive ut $SY$ reciproce \& $SP \times QT$ directe; est{\que}
% -----File: 065.png---
$SP \times QT$ ut area dato tempore descripta, id est, per Theor.\ VI.
in dimidiata ratione lateris recti \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata
ratione perpendiculorum \& duplicata ratione velocitatum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Velocitates corporum in maximis \& minimis ab umbilico
communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione
distantiarum inverse \& dimidiata ratione laterum rectorum directe.
Nam perpendicula jam sunt ips{\ae} distanti{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ideo{\que} velocitas in Conica sectione, in minima ab
umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro
distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam
duplicatam.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in
mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt e{\ae}dem qu{\ae} corporum
gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per
Corol.\ VI. Theor.\ IV.) reciproce in dimidiata ratione distantiarum.
Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, \& hi sunt
ut medi{\ae} proportionales inter distantias \& latera recta. Componatur
h{\ae}c ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum
directe, \& fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}In eadem vel {\ae}qualibus figuris, vel etiam in figuris
in{\ae}qualibus, quarum latera recta sunt {\ae}qualia, velocitas corporis
est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione
distanti{\ae} corporis ab umbilico figur{\ae}, in Ellipsi minor est,
in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol.\ 2
Lem.\ XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem
Parabol{\ae} est in dimidiata ratione distanti{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}In Parabola, velocitas ubi{\que} est ad velocitatem corporis
revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione
numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola major
% -----File: 066.png---
quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secundum,
velocitas in vertice Parabol{\ae} est in hac ratione, \& per Corollaria
sexta hujus \& Theorematis quarti, servatur eadem proportio
in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas
ubi{\que} {\ae}qualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam
distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad
velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis,
ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem
Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Unde cum (per Corol.\ 6.\ Theor.\ IV.) velocitas
gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis
alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex {\ae}quo
velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis
in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distantiam
illam communem \& semissem lateris recti sectionis, ad perpendiculum
ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum.


\condpagelarge{Prop.\ XVII\@. Prob.\ IX.}

\textit{Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae}
a centro, \& quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; requiritur
linea quam corpus describit, de loco dato cum data velocitate
secundum datam rectam egrediens.}

\pngright{067.png}{1490}{789}{-24}
%Illustration

Vis centripeta tendens ad punctum $S$ ea sit qu{\ae} corpus $p$ in
orbita quavis data $pq$ gyrare faciat, \& cognoscatur hujus velocitas
in loco $p$. De loco $P$ secundum lineam $PR$ exeat corpus $P$
cum data velocitate, \& mox inde, cogente vi centripeta, deflectat
illud in Conisectionem $PQ$. Hanc igitur recta $PR$ tanget in
$P$. Tangat itidem recta aliqua $pr$ orbitam $pq$ in $p$, \& si ab $S$
ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per
Corol.\ 1.\ Theor.\ VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rectum
% -----File: 067.png---
orbit{\ae} dat{\ae}, in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum
\& duplicata ratione velocitatum, at{\que} adeo datur.
Sit istud $L$. Datur
pr{\ae}terea Conisectionis
umbilicus $S$.
Anguli $RPS$ complementum
ad duos
rectos fiat angulus
$RPH$, \& dabitur
positione linea
$PH$, in qua umbilicus alter $H$ locatur. Demisso ad $PH$ perpendiculo
$SK$, \& erecto semiaxe conjugato $BC$, est $SPq. - 2KPH +
PHq.$ (per Prop.\ 13.\ Lib.\ II. Elem.)\ = $SHq.$ = $4CHq.$ = $4BHq.
- 4BCq.$ =
$\overline{SP + PH} \opit{quad.} - L \times \overline{SP + PH}$ = $SPq. + 2SPH
+ PHq. - L \times \overline{SP + PH}$. Addantur utrobi{\que} $2KPH + L \times
\overline{SP + PH} - SPq. - PHq.$ \& fiet $L \times \overline{SP + PH}$ = $2SPH + 2KPH$,
seu $SP + PH$ ad $PH$ ut $2SP + 2KP$ ad $L$. Unde datur
$PH$ tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis
in $P$ velocitas, ut latus rectum $L$ minus fuerit quam $2SP + 2KP$,
jacebit $PH$ ad eandem partem tangentis $PR$ cum linea $PS$,
adeo{\que} figura erit Ellipsis, \& ex datis umbilicis $S$, $H$, \& axe principali
$SP + PH$, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus
rectum $L$ {\ae}quale fuerit $2SP + 2KP$, longitudo $PH$ infinita
erit, \& propterea figura erit Parabola axem habens $SH$ parallelum
line{\ae} $PK$, \& inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc
cum velocitate de loco suo $P$ exeat, capienda erit longitudo $PH$
ad alteram partem tangentis, adeo{\que} tangente inter umbilicos
pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem {\ae}qualem
differenti{\ae} linearum $SP$ \& $PH$, \& inde dabitur. \QEIit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali
$D$, latere recto $L$, \& umbilico $S$, datur umbilicus alter $H$ capiendo
$DH$ ad $DS$ ut est latus rectum ad differentiam inter latus
% -----File: 068.png---
rectum \& $4DS$. Nam proportio $SP + PH$ ad $PH$ ut $2SP$
ad $L$, in casu hujus Corollarii, fit $DS + DH$ ad $DH$ ut $4DS$
ad $L$, \& divisim $DS$ ad $DH$ ut $4DS - L$ ad $L$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si datur corporis velocitas in vertice principali
$D$, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum
ejus, ad duplam distantiam $DS$, in duplicata ratione velocitatis
hujus dat{\ae} ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam $DS$
gyrantis: (Per Corol.\ 3.\ Theor.\ VIII.) dein $DH$ ad $DS$ ut latus
rectum ad differentiam inter latus rectum \& $4DS$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun{\que}
Conica, \& ex orbe suo impulsu quocun{\que} exturbetur; cognosci
potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam
componendo proprium corporis motum cum motu illo quem
impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato
impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo
perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo
mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, \& ex seriei
analogia, mutationes continuas in locis intermediis {\ae}stimando.


% -----File: 069.png---




\sectpage{IV.}

\begin{center}{\textit{De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum \& Hyperbolicorum
ex umbilico dato.}}\end{center}


\begin{center}{\large \textit{Lemma XV.}}\end{center}

\pngright{069.png}{897}{794}{-24}
%Illustration

\textit{Si ab Ellipseos vel Hyperbol{\ae} cujusvis umbilicis du\-obus $S$, $H$, ad punctum
quodvis tertium $V$ inflectantur rect{\ae} du{\ae} $SV$, $HV$, quarum una
$HV$ {\ae}qualis sit axi transverso figur{\ae}, altera $SV$ a perpendiculo
$TR$ in se demisso bisecetur in $T$; perpendiculum illud $TR$ sectionem
Conicam alicubi tangit: \&
contra, si tangit, erit $VH$ {\ae}qualis
axi figur{\ae}.}

Secet enim $VH$ sectionem conicam
in $R$, \& jungatur $SR$. Ob {\ae}quales
rectas $TS$, $TV$, {\ae}quales erunt
anguli $TRS$, $TRV$. Bisecat
ergo $RT$ angulum $VRS$ \& propterea
figuram tangit: \& contra. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XVIII\@. Prob.\ X.}

\textit{Datis umbilico \& axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas
\& Hyperbolicas, qu{\ae} transibunt per puncta data, \& rectas positione
datas contingent.}

\pngright{070a.png}{1192}{1225}{-24}
%Illustration

Sit $S$ communis umbilicus figuraram; $AB$
longitudo axis transversi
Trajectori{\ae} cujusvis; $P$ punctum per quod Trajectoria debet
transire; \& $TR$ recta quam debet tangere. Centro $P$ intervallo
$AB - SP$, si orbita sit Ellipsis, vel $AB + SP$, si ea sit Hyperbola,
describatur circulus $HG$. Ad tangentem $TR$ demittatur perpendiculum
% -----File: 070.png---
$ST$, \& producatur ea ad $V$ ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$;
centro{\que} $V$ \& intervallo $AB$
describatur circulus $FH$. Hac methodo
sive dentur duo puncta
$P$, $p$, sive du{\ae} tangentes $TR$,
$tr$, sive punctum $P$ \& tangens
$TR$, describendi sunt
circuli duo. Sit $H$ eorum
intersectio communis, \& umbilicis
$S$, $H$, axe illo dato
describatur Trajectoria. Dico
factum. Nam Trajectoria
descripta (eo quod $PH
+ SP$ in Ellipsi, \& $PH - SP$
in Hyperbola {\ae}quatur axi)
transibit per punctum $P$, \&
(per Lemma superius) tanget rectam $TR$. Et eodem argumento
vel transibit eadem per puncta duo $P$, $p$, vel tanget rectas
duas $TR$, $tr$. \QEFit


\condpagelarge{Prop.\ XIX\@. Prob.\ XI.}

\textit{Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, qu{\ae} transibit
per puncta data, \& rectas positione datas continget.}

\pngright{070b.png}{620}{948}{-24}
%Illustration

Sit $S$ umbilicus, $P$ punctum \& $TR$ tangens trajectori{\ae} describend{\ae}.
Centro $P$, intervallo $PS$ describe
circulum $FG$. Ab umbilico ad tangentem
demitte perpendicularem $ST$, \& produc eam
ad $V$, ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$. Eodem
modo describendus est alter circulus $fg$, si datur
alterum punctum $p$; vel inveniendum
alterum punctum $v$, si datur altera tangens
$tr$; dein ducenda recta $IF$ qu{\ae} tangat duos
circulos $FG$, $fg$ si dantur duo puncta $P$,
% -----File: 071.png---
$p$; vel transeat per duo puncta $V$, $v$, si dantur du{\ae} tangentes $TR$,
$tr$, vel tangat circulum $FG$ \& transeat per punctum $V$, si datur
punctum $P$ \& tangens $TR$. Ad $FI$ demitte perpendicularem
$SI$, eam{\que} biseca in $K$, \& axe $SK$, vertice principali $K$ describatur
Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob {\ae}quales
$SK$ \& $IK$, $SP$ \& $FP$ transibit per punctum $P$; \& (per Lemmatis
XIV. Corol.\ 3.)\ ob {\ae}quales $ST$ \& $TV$ \& angulum rectum
$STR$, tanget rectam $TR$. \QEFit


\condpagelarge{Prop.\ XX\@. Prob.\ XII.}

\textit{Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere,
qu{\ae} per data puncta transibit \& rectas tanget positione datas.}

\pngright{071.png}{1058}{537}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Dato umbilico $S$, describenda sit Trajectoria $ABC$
per puncta duo $B$, $C$. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur
ratio axis transversi ad
distantiam umbilicorum. In ea
ratione cape $KB$ ad $BS$, \& $LC$
ad $CS$. Centris $B$, $C$, intervallis
$BK$, $CL$, describe circulos
duos, \& ad rectam $KL$, qu{\ae}
tangat eosdem in $K$ \& $L$, demitte
perpendiculum $SG$, idem{\que} seca in $A$ \& $a$, ita ut sit $SA$
ad $AG$ \& $Sa$ ad $aG$, ut est $SB$ ad $BK$, \& axe $Aa$, verticibus $A$,
$a$, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim $H$ umbilicus alter
figur{\ae} descript{\ae}, \& cum sit $SA$ ad $AG$ ut $Sa$ ad $aG$, erit divisim
$Sa - SA$ seu $SH$ ad $aG - AG$ seu $Aa$ in eadem ratione,
adeo{\que} in ratione quam habet axis transversus figur{\ae} describend{\ae}
ad distantiam umbilicorum ejus; \& propterea figura descripta
est ejusdem speciei cum describenda. Cum{\que} sint $KB$ ad $BS$
\& $LC$ ad $CS$ in eadem ratione, transibit h{\ae}c Figura per puncta $B$,
$C$, ut ex Conicis manifestum est.
% -----File: 072.png---

\pngright{072.png}{1072}{904}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Dato umbilico $S$, describenda sit Trajectoria qu{\ae} rectas
duas $TR$, $tr$ alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte
perpendicula $ST$, $St$ \& produc eadem ad $V$, $v$, ut sint $TV$,
$tv$ {\ae}quales $TS$, $ts$. Biseca $Vv$
in $O$, \& erige perpendiculum infinite
$OH$, rectam{\que} $VS$ infinite
productam seca in $K$ \& $k$
ita, ut sit $VK$ ad $KS$ \& $Vk$ ad
$kS$ ut est Trajectori{\ae} describend{\ae}
axis transversus ad umbilicorum
distantiam. Super diametro
$Kk$ describatur circulus secans
rectam $OH$ in $H$; \& umbilicis
$S$, $H$, axe transverso ipsam $VH$ {\ae}quante, describatur Trajectoria.
Dico factum. Nam biseca $Kk$ in $X$, \& junge $HX$,
$HS$, $HV$, $Hv$. Quoniam est $VK$ ad $KS$ ut $Vk$ ad $kS$; \&
composite ut $VK + Vk$ ad $KS + kS$; divisim{\que} ut $Vk - VK$ ad
$kS - KS$ id est ut $2VX$ ad $2KX$ \& $2KX$ ad $2SX$, adeo{\que}
ut $VX$ ad $HX$ \& $HX$ ad $SX$, similia erunt triangula $VXH$,
$HXS$, \& propterea $VH$ erit ad $SH$ ut $VX$ ad $XH$, adeo{\que}
ut $VK$ ad $KS$. Habet igitur Trajectoria; descript{\ae} axis transversus
$VH$ eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam $SH$, quam
habet Trajectori{\ae} describend{\ae} axis transversus ad ipsius umbilicorum
distantiam, \& propterea ejusdem est speciei. Insuper cum
$VH$, $vH$ {\ae}quentur axi transverso, \& $VS$, $vS$ a rectis $TR$, $tr$
perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas
Trajectoriam descriptam tangere. \QEFit

\pngright{073.png}{1108}{724}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Dato umbilico $S$ describenda sit Trajectoria qu{\ae} rectam
$TR$ tanget in puncto dato $R$. In rectam $TR$ demitte perpendicularem
$ST$, \& produc eandem ad $V$, ut sit $TV$ {\ae}qualis $ST$.
Junge $VR$, \& rectam $VS$ infinite productam seca in $K$ \& $k$, ita
ut sit $VK$ ad $SK$ \& $Vk$ ad $Sk$ ut Ellipseos describend{\ae} axis transversus
ad distantiam umbilicorum; circulo{\que} super diametro $Kk$
% -----File: 073.png---
descripto, secetur producta recta $VR$ in $H$, \& umbilicis $S$, $H$,
axe transverso rectam $HV$ {\ae}quante, describatur Trajectoria. Dico
factum. Nam{\que} $VH$ esse
ad $SH$ ut $VK$ ad $SK$, at{\que} adeo
ut axis transversus Trajectori{\ae}
describend{\ae} ad distantiam
umbilicorum ejus, patet
ex demonstratis in Cas.\ secundo,
\& propterea Trajectoriam
descriptam ejusdem
esse speciei cum describenda: rectam vero $TR$ qua angulus $VRS$
bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto $R$, patet ex Conicis.
\QEFit

\pngright{074.png}{2214}{1362}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}4.} Circa umbil\-icum $S$ describenda jam sit Trajectoria
$APB$, qu{\ae} tangat rectam $TR$, trans\-eat{\que} per punctum quodvis
$P$ extra tangentem datum, qu{\ae}{\que} similis sit figur{\ae} $apb$, axe
transverso $ab$ \& umbilicis $s$, $h$ descript{\ae}. In tangentem $TR$ demitte
perpendicul\-um $ST$, \& produc idem ad $V$, ut sit $TV$ {\ae}qualis
$ST$. Angulis autem $VSP$, $SVP$ fac angulos $hsq$, $shq$ {\ae}quales;
centro{\que} $q$ intervallo quod sit ad $ab$ ut $SP$ ad $VS$ describe
% -----File: 074.png---
circulum secantem figuram $apb$ in $p$. Junge $sp$ \& age $SH$ qu{\ae}
sit ad $sh$ ut est $SP$ ad $sp$ qu{\ae}{\que} angulum $PSH$ angulo $psh$ \&
angulum $VSH$ angulo $psq$ {\ae}quales constituat. Deni{\que} umbilicis
$S$, $H$, axe distantiam $VH$ {\ae}quante, describatur sectio conica.

Dico factum. Nam si agatur $sv$ qu{\ae} sit ad $sp$ ut est $sh$ ad $sq$,
qu{\ae}{\que} constituat angulum $vsp$ angulo $hsq$ \& angulum $vsh$ angulo
$psq$ {\ae}quales, triangula $svh$, $spq$ erunt similia, \& propterea
$vh$ erit ad $pq$ ut est $sh$ ad $sq$, id est (ob similia triangula
$VSP$, $hsq$) ut est $VS$ ad $SP$ seu $ab$ ad $pq$. {\AE}quantur ergo
$vh$ \& $ab$. Porro ob similia triangula $VSH$, $vsh$ est $VH$ ad
$SH$ ut $vh$ ad $sh$, id est, axis Conic{\ae} actionis jam descripta: ad
\label{wasp66}illius
umbilicorum intervallum, ut axis $ab$ ad umbilicorum intervallum
$sh$, \& propterea figura jam descripta similis est figur{\ae} $apb$.
Transit autem h{\ae}c figura per punctum $P$, eo quod triangulum
$PSH$ simile sit triangulo $psh$; \& quia $VH$ {\ae}quatur ipsius
axi \& $VS$ bisecatur perpendiculariter a recta $TR$ tangit eadem
rectam $TR$. \QEFit
% -----File: 075.png---



\condpagelarge{Lemma XVI.}

\textit{A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas
quarum differenti{\ae} vel dantur vel null{\ae} sunt.}

\pngright{075.png}{1052}{1056}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sunto puncta illa data $A$, $B$, $C$ \& punctum quartum
$Z$, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum $AZ$,
$BZ$, locabitur punctum $Z$ in Hyperbola cujus umbilici sunt $A$ \&
$B$, \& axis transversus differentia illa data. Sit axis ille $MN$. Cape
$PM$ ad $MA$ ut est $MN$ ad $AB$, \& erecto $PR$ perpendiculari
ad $AB$, demisso{\que} $ZR$ perpendiculari ad $PR$, erit ex natura
hujus Hyperbol{\ae} $ZR$ ad $AZ$ ut est $MN$ ad $AB$. Simili discursu
punctum $Z$ locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt $A$,
$C$ \& axis transversus differentia inter $AZ$ \& $CZ$, duci{\que} potest
$QS$ ipsi $AC$ perpendicularis, ad quam si ab Hyperbol{\ae} hujus
puncto quovis $Z$ demittatur normalis $ZS$, h{\ae}c fuerit ad $AZ$ ut
est differentia inter $AZ$ \& $CZ$ ad $AC$. Dantur ergo rationes
ipsarum $ZR$ \& $ZS$ ad $AZ$, \& idcirco datur earundem $ZR$ \&
$ZS$ ratio ad invicem; adeo{\que}
rectis $RP$, $SQ$ concurrentibus in
$T$, locabitur punctum $Z$ in recta
$TZ$ positione data. Eadem
Methodo per Hyperbolam tertiam,
cujus umbilici sunt $B$ \& $C$
\& axis transversus differentia
rectarum $BZ$, $CZ$, inveniri potest
alia recta in qua punctum $Z$
locatur. Habitis autem duobus
locis rectilineis, habetur punctum
qu{\ae}situm $Z$ in earum intersectione, \QEIit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Si du{\ae} ex tribus lineis, puta $AZ$ \& $BZ$ {\ae}quantur,
punctum $Z$ locabitur in perpendiculo bisecante distantiam $AB$, \&
locus alius rectilineus invenietur ut supra. \QEIit
% -----File: 076.png---

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Si omnes tres {\ae}quantur, locabitur punctum $Z$ in centro
circuli per puncta $A$, $B$, $C$ transeuntis. \QEIit

Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum
\textit{Apollonii} a \textit{Vieta} restitutum.


\condpagelarge{Prop.\ XXI\@. Prob.\ XIII.}

\textit{Trajectoriam circa datum umbilicum describere, qu{\ae} transibit per
puncta data \& rectas positione datas con\-tin\-get.}

\pngright{076.png}{894}{653}{-12}
%Illustration

Detur umbilicus $S$, punctum $P$, \& tangens $TR$, \& inveniendus
sit umbilicus alter $H$. Ad tangentem demitte perpendiculum
$ST$, \& produc idem ad $Y$, ut sit $TY$ {\ae}qualis $ST$, \& erit $YH$
{\ae}qualis axi transverso. Junge $SP$, $HP$ \& erit $SP$ differentia inter
$HP$ \& axem transversum. Hoc modo si dentur plures tangentes
$TR$, vel plura puncta $P$, devenietur semper ad lineas totidem
$YH$, vel $PH$, a dictis punctis $Y$ vel $P$ ad umbilicum $H$ ductas,
qu{\ae} vel {\ae}quantur axibus, vel datis longitudinibus $SP$ differunt
ab iisdem, at{\que} adeo qu{\ae} vel {\ae}quantur
sibi invicem, vel datas habent differentias;
\& inde, per Lemma superius,
datur umbilicus ille alter $H$. Habitis
autem umbilicis una cum axis longitudine
(qu{\ae} vel est $YH$, vel si Trajectoria
Ellipsis est, $PH + SP$; sin Hyperbola
$PH - SP$) habetur Trajectoria. \QEIit

\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

\pngright{077.png}{1465}{966}{-24}
%Illustration

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur
puncta $B$, $C$, $D$. Junctas $BC$, $CD$ produc ad $E$, $F$, ut sit $EB$
ad $EC$ ut $SB$ ad $SC$, \& $FC$ ad $FD$ ut $SC$ ad $SD$. Ad $EF$ ductam
\& productam demitte normales $SG$, $BH$, in{\que} $GS$ infinite producta
cape $GA$ ad $AS$ \& $Ga$ ad $aS$ ut est $HB$ ad $BS$; \& erit $A$
% -----File: 077.png---
vertex, \& $Aa$ axis transversus Trajectori{\ae}: qu{\ae}, perinde ut $GA$
minor, {\ae}qualis vel major fuerit quam $AS$, erit Ellipsis, Parabola vel
Hyperbola; puncto
$a$ in primo casu cadente
ad eandem
partem line{\ae} $GK$
cum puncto $A$; in
secundo casu \label{wasp69}abeunte in
infinitum; in tertio
cadente ad contrariam
partem line{\ae} $GK$.
Nam si demittantur
ad $GF$ perpendicula $CI$, $DK$, erit $IC$ ad $HB$ ut $EC$ ad $EB$,
hoc est ut $SC$ ad $SB$; \& vicissim $IC$ ad $SC$ ut $HB$ ad $SB$, seu
$GA$ ad $SA$. Et simili argumento probabitur esse $KD$ ad $SD$ in
eadem ratione. Jacent ergo puncta $B$, $C$, $D$ in Conisectione
circa umbilicum $S$ ita descripta, ut rect{\ae} omnes ab umbilico $S$ ad
singula Sectionis puncta duct{\ae}, sint ad perpendicula a punctis iisdem
ad rectam $GK$ demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem
tradit Clarissimus Geometra \textit{De la Hire}, Conicorum suorum Lib.\
VIII. Prop.\ XXV.


% -----File: 078.png---




\sectpage{V.}

\begin{center}{\textit{Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur.}}\end{center}


\begin{center}{\large \textit{Lemma XVII.}}\end{center}

\textit{Si a dat{\ae} conic{\ae} sectionis puncto quovis $P$, ad Trapezii alicujus
$ABCD$, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite
producta $AB$, $CD$, $AC$, $DB$, totidem rect{\ae} $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$
in datis angulis ducantur, singul{\ae}
ad singula: rectangulum
ductarum ad opposita duo
latera $PQ \times PR$, erit ad
rectangulum ductarum ad alia
duo latera opposita $PS \times
PT$ in data ratione.}

\pngright{078.png}{1036}{1058}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Ponamus imprimis
lineas ad opposita latera ductas
parallelas esse alterutri reliquorum
laterum, puta $PQ$
\& $PR$ lateri $AC$, \& $PS$ ac $PT$ lateri $AB$. Sint{\que} insuper latera
duo ex oppositis, puta $AC$ \& $BD$, parallela. Et recta qu{\ae} bisecat
parallela illa latera erit una ex diametris Conic{\ae} sectionis, \&
bisecabit etiam $RQ$. Sit $O$ punctum in quo $RQ$ bisecatur, \& erit
$PO$ ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc $PO$ ad $K$
ut sit $OK$ {\ae}qualis $PO$, \& erit $OK$ ordinatim applicata ad contrarias
partes diametri. Cum igitur puncta $A$, $B$, $P$ \& $K$ sint
ad Conicam sectionem, \& $PR$ secet $AB$ in dato angulo, erit (per
Prop.\ 17 \& 18 Lib.\ III \textit{Apollonii}) rectangulum $PQK$ ad rectangulum
$AQB$ in data ratione. Sed $QK$ \& $PR$ {\ae}quales sunt, utpote
{\ae}qualium $OK$, $OP$, \& $OQ$, $OR$ differenti{\ae}, \& inde etiam
% -----File: 079.png---
rectangula $PQK$ \& $PQ \times PR$ {\ae}qualia sunt; at{\que} adeo rectangulum
$PQ \times PR$ est ad rectangulum $AQB$, hoc est ad rectangulum
$PS \times PT$ in data ratione. \QEDit

\pngright{079a.png}{1055}{1030}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus jam Trapezii latera opposita $AC$ \& $BD$ non
esse parallela. Age $Bd$ parallelam $AC$ \& occurrentem tum rect{\ae}
$ST$ in $t$, tum Conic{\ae} sectioni in $d$. Junge $Cd$ secantem $PQ$ in $r$,
\& ipsi $PQ$ parallelam age $DM$
secantem $Cd$ in $M$ \& $AB$ in $N$.
Jam ob similia triangula $BTt$,
$DBN$, est $Bt$ seu $PQ$ ad $Tt$ ut
$DN$ ad $NB$. Sic \& $Rr$ est ad
$AQ$ seu $PS$ ut $DM$ ad $AN$. Ergo
ducendo antecedentes in antecedentes
\& consequentes in
consequentes, ut rectangulum
$PQ$ in $Rr$ est ad rectangulum
$Tt$ in $PS$, ita rectangulum $NDM$
est ad rectangulum $ANB$, \& (per Cas.\ 1) ita rectangulum
$QPr$ est ad rectangulum $SPt$, ac divisim ita rectangulum
$QPR$ est ad rectangulum $PS \times PT$. \QEDit

\newpage

\pngright{079b.png}{984}{931}{-12}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Ponamus deni{\que} lineas
quatuor $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$
non esse parallelas lateribus $AC$,
$AB$, sed ad ea utcun{\que} inclinatas.
Earum vice age $Pq$, $Pr$ parallelas
ipsi $AC$; \& $Ps$, $Pt$ parallelas
ipsi $AB$; \& propter datos
angulos triangulorum $PQq$,
$PRr$, $PSs$, $PTt$, dabuntur rationes
$PQ$ ad $Pq$, $PR$ ad $Pr$,
$PS$ ad $Ps$ \& $PT$ ad $Pt$, at{\que} adeo rationes composit{\ae} $PQ$ in
$PR$ ad $Pq$ in $Pr$, \& $PS$ in $PT$ ad $Ps$ in $Pt$. Sed per superius
demonstrata, ratio $Pq$ in $Pr$ ad $Ps$ in $Pt$ data est: Ergo \& ratio
$PQ$ in $PR$ ad $PS$ in $PT$. \QEDit
% -----File: 080.png---



\condpagelarge{\textit{Lemma XVIII.}}

\textit{Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Trapezii
$PQ \times PR$ sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera
$PS \times PT$ in data ratione; punctum $P$, a quo line{\ae} ducuntur,
tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.}

\pngright{080.png}{1146}{1144}{-24}
%Illustration

Per puncta $A$, $B$, $C$, $D$ \& aliquod infinitorum punctorum $P$,
puta $p$, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum $P$
hanc semper tangere. Si negas,
junge $AP$ secantem hanc
Conicam sectionem alibi
quam in $P$ si fieri potest, puta
in $b$. Ergo si ab his punctis
$p$ \& $b$ ducantur in datis angulis
ad latera Trapezii rect{\ae}
$pq$, $pr$, $ps$, $pt$ \& $bk$, $b\textrm{r}$, $b\longs$,
$bd$; erit ut $bk \times b\textrm{r}$ ad $bd \times b\longs$
ita (per Lemma XVII) $pq
\times pr$ ad $ps \times pt$ \& ita (per
hypoth.)\ $PQ \times PR$ ad $PS \times PT$. Est \& propter similitudinem
Trapeziorum $bkA\longs$, $PQAS$, ut $bk$ ad $b\longs$ ita $PQ$ ad $PS$. Quare
applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes
hujus, erit $b\textrm{r}$ ad $bd$ ut $PR$ ad $PT$. Ergo Trapezia {\ae}quiangula
$D\textrm{r}bd$, $DRPT$ similia sunt, \& eorum diagonales $Db$,
$DP$ propterea coincidunt. Incidit ita{\que} $b$ in intersectionem rectarum
$AP$, $DP$ adeo{\que} coincidit cum puncto $P$. Quare punctum
$P$, ubicun{\que} sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem.
\QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc si rect{\ae} tres $PQ$, $PR$, $PS$ a puncto communi $P$
ad alias totidem positione datas rectas $AB$, $CD$, $AC$, singul{\ae} ad singulas,
in datis angulis ducantur, sit{\que} rectangulum sub duabus ductis
$PQ \times PR$ ad quadratum tertii, $PS \opit{quad.}$ in data ratione: punctum
% -----File: 081.png---
$P$, a quibus rect{\ae} ducuntur, locabitur in sectione Conica qu{\ae}
tangit lineas $AB$, $CD$ in $A$ \& $C$ \& contra. Nam coeat linea
$BD$ cum linea $AC$ manente positione trium $AB$, $CD$, $AC$; dein
coeat etiam linea $PT$ cum linea $PS$: \& rectangulum $PS \times PT$
evadet $PS \opit{quad.}$ rect{\ae}{\que} $AB$, $CD$ qu{\ae} curvam in punctis $A$ \& $B$,
$C$ \& $D$ secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius
secare possunt sed tantum tangent.



\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Nomen Conic{\ae} sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita
ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis
basi parallela includatur. Nam si punctum $p$ incidit in
rectam, qua qu{\ae}vis ex punctis quatuor $A$, $B$, $C$, $D$ junguntur,
Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta
illa in quam punctum $p$ incidit, \& altera recta qua alia duo ex
punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul
sumpti {\ae}quentur duobus rectis, \& line{\ae} quatuor $PQ$, $PR$,
$PS$, $PT$ ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis
quibusvis {\ae}qualibus, sit{\que} rectangulum sub duabus ductis $PS
\times PR$ {\ae}quale rectangulo sub duabus aliis $PS \times PT$, Sectio conica
evadet Circulus. Idem fiet si line{\ae} quatuor ducantur in angulis
quibusvis \& rectangulum sub duabus ductis $PQ \times PR$ sit ad rectangulum
sub aliis duabus $PS \times PT$ ut rectangulum sub sinubus
angulorum $S$, $T$, in quibus du{\ae} ultim{\ae} $PS$, $PT$ ducuntur, ad rectangulum
sub sinubus angulorum $Q$, $R$, in quibus du{\ae} prim{\ae} $PQ$,
$PR$ ducuntur. C{\ae}teris in casibus Locus puncti $P$ erit aliqua trium
figurarum qu{\ae} vulgo nominantur Sectiones Conic{\ae}. Vice
autem Trapezii $ABCD$ substitui potest quadrilaterum cujus latera
duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed \&
e punctis quatuor $A$, $B$, $C$, $D$ possunt unum vel duo abire in infinitum,
eo{\que} pacto latera figur{\ae} qu{\ae} ad puncta illa convergunt,
% -----File: 082.png---
evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per c{\ae}tera
puncta, \& in plagas parallelarum abibit in infinitum.


\condpagelarge{Lemma XIX.}

\textit{Invenire punctum $P$, a quo si rect{\ae} quatuor $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$ ad
alias totidem positione datas rectas $AB$, $CD$, $AC$, $BD$ singul{\ae}
ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus
ductis, $PQ \times PR$, sit ad rectangulum sub aliis duabus, $PS \times PT$, in
data ratione.}

\pngright{082.png}{1176}{1222}{-24}
%Illustration

Line{\ae} $AB, CD$, ad quas rect{\ae} du{\ae} $PQ$, $PR$, unum rectangulorum
continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione
datis lineis in punctis
$A$, $B$, $C$, $D$. Ab eorum aliquo
$A$ age rectam quamlibet
$AH$, in qua velis punctum
$P$ reperiri. Secet ea
lineas oppositas $BD$, $CD$,
nimirum $BD$ in $H$ \& $CD$
in $I$, \& ob datos omnes angulos
figur{\ae}, dabuntur rationes
$PQ$ ad $PA$ \& $PA$ ad
$PS$, adeo{\que} ratio $PQ$ ad
$PS$. Auferendo hanc a data
ratione $PQ \times PR$ ad $PS \times PT$, dabitur ratio $PR$ ad $PT$, \&
addendo datas rationes $PI$ ad $PR$, \& $PT$ ad $PH$ dabitur ratio
$PI$ ad $PH$ at{\que} adeo punctum $P$. \QEIit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum $P$ punctum
quodvis $D$ tangens duci potest. Nam chorda $PD$ ubi puncta
$P$ ac $D$ conveniunt, hoc est, ubi $AH$ ducitur per punctum $D$,
tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium $IP$
\& $PH$ invenietur ut supra. Ipsi igitur $AD$ duc parallelam
$CF$, occurrentem $BD$ in $F$, \& in ea ultima ratione sectam in $E$,
% -----File: 083.png---
\& $DE$ tangens erit, propterea quod $CF$ \& evanescens $IH$ parallel{\ae}
sunt, \& in $E$ \& $P$ similiter sect{\ae}.

\pngright{083.png}{1036}{1096}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam Locus punctorum omnium $P$ definiri potest.
Per quodvis punctorum $A$, $B$, $C$, $D$, puta $A$, duc Loci
tangentem $AE$, \& per aliud quodvis punctum $B$ duc tangenti
parallelam $BF$ occurrentem Loco
in $F$. Invenietur autem punctum
$F$ per Lemma superius.
Biseca $BF$ in $G$, \& acta $AG$ diameter
erit ad quam $BG$ \& $FG$
ordinatim applicantur. H{\ae}c
$AG$ occurrat Loco in $H$, \& erit
$AH$ latus transversum, ad quod
latus rectum est ut $BGq.$ ad $AGH$.
Si $AG$ nullibi occurrit Loco,
linea $AH$ existente infinita, Locus
erit Parabola \& latus rectum
ejus $\frac{BGq.}{AG}$. Sin ea alicubi occurrit,
Locus Hyperbola erit ubi puncta $A$ \& $H$ sita sunt ad easdem
partes ipsius $G$: \& Ellipsis, ubi $G$ intermedium est, nisi forte angulus
$AGB$ rectus sit \& insuper $BG \opit{quad.}$ {\ae}quale rectangulo
$AGH$, quo in casu circulus habebitur.

At{\que} ita Problematis veterum de quatuor lineis ab \textit{Euclide} inc{\ae}pti
\& ab \textit{Apollonio} continuati non calculus, sed compositio
Geometrica, qualem Veteres qu{\ae}rebant, in hoc Corollario exhibetur.


\condpagelarge{Lemma XX.}

\textit{Si parallelogrammum quodvis $ASPQ$ angulis duobus oppositis $A$
\& $P$ tangit sectionem quamvis Conicam in punctis $A$ \& $P$, \&
lateribus unius angulorum illorum infinite productis $AQ$, $AS$
occurrit eidem sectioni Conic{\ae} in $B$ \& $C$; a punctis autem occursuum
% -----File: 084.png---
$B$ \& $C$ ad quintum quodvis sectionis Conic{\ae} punctum $D$
agantur rect{\ae} du{\ae} $BD$, $CD$ occurrentes alteris duobus infinite productis
parallelogrammi lateribus $PS$, $PQ$ in $T$ \& $R$: erunt semper
absciss{\ae} laterum partes $PR$ \& $PT$ ad invicem in data ratione.
Et contra, si partes ill{\ae} absciss{\ae} sunt ad invicem in data ratione,
punctum $D$ tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor $A$, $B$, $P$,
$C$ transeuntem.}

\pngright{084.png}{1261}{1042}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Jungantur $BP$, $CP$ \& a puncto $D$ agantur rect{\ae} du{\ae}
$DG$, $DE$, quarum prior
$DG$ ipsi $AB$ parallela sit
\& occurrat $PB$, $PQ$, $CA$
in $H$, $I$, $G$; altera $DE$ parallela
sit ipsi $AC$ \& occurrat
$PC$, $PS$, $AB$ in $F$, $K$, $E$:
\& erit (per Lemma XVII.)
rectangulum $DE \times DF$ ad
rectangulum $DG \times DH$ in
ratione data. Sed est $PQ$
ad $DE$ seu $IQ$, ut $PB$ ad
$HB$, adeo{\que} ut $PT$ ad $DH$; \& vicissim $PQ$ ad $PT$ ut $DE$ ad
$DH$. Est \& $PR$ ad $DF$ ut $RC$ ad $DC$, adeo{\que} ut $IG$ vel $PS$
ad $DG$, \& vicissim $PR$ ad $PS$ ut $DF$ ad $DG$; \& conjunctis
rationibus fit rectangulum $PQ \times PR$ ad rectangulum $PS \times PT$ ut
rectangulum $DE \times DF$ ad rectangulum $DG \times DH$, at{\que} adeo
in data ratione. Sed dantur $PQ$ \& $PS$ \& propterea ratio $PR$
ad $PT$ datur. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Quod si $PR$ \& $PT$ ponantur in data ratione ad invicem,
tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum
$DE \times DF$ ad rectangulum $DG \times DH$ in ratione data, adeo{\que}
punctum $D$ (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem
transeuntem per puncta $A$, $B$, $P$, $C$. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si agatur $BC$ secans $PQ$ in $r$, \& in $PT$ capiatur
$Pt$ in ratione ad $Pr$ quam habet $PT$ ad $PR$, erit $Bt$ Tangens
% -----File: 085.png---
Conic{\ae} sectionis ad punctum $B$. Nam concipe punctum $D$ coire
cum puncto $B$ ita ut, chorda $BD$ evanescente, $BT$ Tangens
evadet; \& $CD$ ac $BT$ coincident cum $CB$ \& $Bt$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et vice versa si $Bt$ sit Tangens, \& ad quodvis Conic{\ae}
sectionis punctum $D$ conveniant $BD$, $CD$ erit $PR$ ad $PT$
ut $Pr$ ad $Pt$. Et contra, si sit $PR$ ad $PT$ ut $Pr$ ad $Pt$, convenient
$BD$, $CD$ ad Conic{\ae} sectionis punctum aliquod $D$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis
pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant du{\ae}
Conic{\ae} sectiones per quin{\que} puncta $A$, $B$, $C$, $D$, $P$, eas{\que} secet
recta $BD$ in punctis $D$, $d$, \& ipsam $PQ$ secet recta $Cd$ in $\mathrm{r}$.
Ergo $PR$ est ad $PT$ ut $P\mathrm{r}$ ad $PT$, hoc est, $PR$ \& $P\mathrm{r}$ sibi invicem
{\ae}quantur, contra Hypothesin.


\condpagelarge{Lemma XXI.}

\textit{Si recta du{\ae} mobiles \& infinit{\ae} $BM$, $CM$ per data puncta $B$, $C$,
ceu polos duct{\ae},
concursu suo $M$ describant
tertiam
positione datam
rectam $MN$; \&
ali{\ae} du{\ae} infinit{\ae}
rect{\ae} $BD$, $CD$
cum prioribus duabus
ad puncta
illa data $B$, $C$, datos
angulos $MBD$,
$MCD$ efficientes
ducantur; dico
quod h{\ae} du{\ae} $BD$,
$CD$ concursu suo
$D$ describent \label{wasp77}sectionem
% -----File: 086.png---
Conicam. Et vice versa, si rect{\ae} $BD$, $CD$ concursu suo
$D$ describant Sectionem Conicam per puncta $B$, $C$, $A$ transeuntem,
\& harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod $A$, cum
alter{\ae} du{\ae} $BM$, $CM$ coincidunt cum linea $BC$, punctum $M$ continget
rectam positione datam.}

\pngright{086.png}{1383}{1575}{-24}
%Illustration

Nam in recta $MN$ detur punctum $N$, \& ubi punctum mobile
$M$ incidit in immotum $N$, incidat punctum mobile $D$ in immotum
$P$. Junge $CN$,
$BN$, $CP$, $BP$, \& a
puncto $P$ age rectas
$PT$, $PR$ occurrentes
ipsis $BD$, $CD$
in $T$ \& $R$, \& facientes
angulum $BPT$
{\ae}qualem angulo $BNM$
\& angulum
$CPR$ {\ae}qualem angulo
$CNM$. Cum
ergo (ex Hypothesi)
{\ae}quales sint
anguli $MBD$, $NBP$,
ut \& anguli $MCD$,
$NCP$: aufer communes
$NBD$ \& $MCP$, \& restabunt {\ae}quales $NBM$ \& $PBT$, $NCM$
\& $PCR$: adeo{\que} triangula $NBM$, $PBT$ similia sunt, ut \&
triangula $NCM$, $PCR$. Quare $PT$ est ad $NM$ ut $PB$ ad $NB$,
\& $PR$ ad $NM$ ut $PC$ ad $NC$. Ergo $PT$ \& $PR$ datam habent
rationem ad $NM$, proinde{\que} datam rationem inter se, at{\que} adeo,
per Lemma XX, punctum $P$ (perpetuus rectarum mobilum $BT$
\& $CR$ concursus) contingit sectionem Conicam. \QEDit

Et contra, si punctum $D$ contingit sectionem Conicam transeuntem
per puncta $B$, $C$, $A$, \& ubi rect{\ae} $BM$, $CM$ coincidunt cum
recta $BC$, punctum illud $D$ incidit in aliquod sectionis punctum
% -----File: 087.png---
$A$; ubi vero punctum $D$ incidit successive in alia duo qu{\ae}vis sectionis
puncta $p$, $P$, punctum mobile $M$ incidit successive in puncta
immobilia $n$, $N$: per eadem $n$, $N$ agatur recta $nN$, \& h{\ae}c erit
Locus perpetuus puncti illius mobilis $M$. Nam, si fieri potest,
versetur punctum $M$ in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum
$D$ sectionem Conicam per puncta quin{\que} $C$, $p$, $P$, $B$, $A$, transeuntem,
ubi punctum $M$ perpetuo tangit lineam curvam. Sed
\& ex jam demonstratis tanget etiam punctum $D$ sectionem Conicam
per eadem quin{\que} puncta $C$, $p$, $P$, $B$, $A$, transeuntem, ubi
punctum $M$ perpetuo tangit lineam rectam. Ergo du{\ae} sectiones
Conic{\ae} transibunt per eadem quin{\que} puncta, contra Corol.\ 3.\
Lem.\ XX\@. Igitur punctum $M$ versari in linea curva absurdum
est. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XXII\@. Prob.\ XIV.}

\textit{Trajectoriam per data quin{\que} puncta describere.}

\pngright{087.png}{1389}{1213}{-24}
%Illustration

Dentur puncta quin{\que} $A$, $B$, $C$, $D$, $P$. Ab eorum aliquo $A$ ad
alia duo qu{\ae}vis $B$, $C$, qu{\ae} poli nominentur, age rectas $AB$, $AC$
his{\que} parallelas $TPS$,
$PRQ$ per punctum
quartum $P$. Deinde
a polis duobus
$B$, $C$ age per punctum
quintum $D$ infinitas
duas $BDT$,
$CRD$, novissime ductis
$TPS$, $PRQ$
(priorem priori \&
posteriorem posteriori)
\label{wasp79}occurrentes in
$T$ \& $R$. Deni{\que} de
rectis $PT$, $PR$, acta recta $tr$ ipsi $TR$ parallela, abscinde quasvis
% -----File: 088.png---
$Pt$, $Pr$ ipsis $PT$, $PR$ proportionales, \& si per earum terminos
$t$, $r$ \& polos $B$, $C$ act{\ae} $Bt$, $Cr$ concurrant in $d$, locabitur
punctum illud $d$ in
Trajectoria qu{\ae}sita.
Nam punctum illud
$d$ (per Lem.\ XX)
versatur in Conica
Sectione per puncta
quatuor $A$, $B$, $P$, $C$
transeunte; \& lineis
$Rr$, $Tt$ evanescentibus,
coit punctum
$d$ cum puncto $D$.
Transit ergo sectio
Conica per puncta quin{\que} $A$, $B$, $C$, $D$, $P$. \QEDit


\condpagelarge{\textit{Idem aliter.}}

E punctis datis junge
tria qu{\ae}vis $A$, $B$, $C$,
\& circum duo eorum
$B$, $C$ ceu polos, rotando
angulos magnitudine
datos $ABC$,
$ACB$, applicentur crura
$BA$, $CA$ primo ad
punctum $D$ deinde
ad punctum $P$, \& notentur
puncta $M$, $N$ in
quibus altera crura
$BL$, $CL$ casu utro{\que}
se decussant. Agatur
recta infinita $MN$, \&
rotentur anguli illi mobiles circum polos suos $B$, $C$, ea lege ut
% -----File: 089.png---
crurum $BL$, $CL$ vel $BM$, $CM$ intersectio, qu{\ae} jam sit $m$, incidat semper in rectam
illam\spreadout{infinitam $MN$, \& crurum $BA$, $CA$, vel $BD$, $CD$ intersectio, qu{\ae} jam sit}

\pngright{086.png}{1383}{1575}{-12}
%Illustration

\noindent $d$, Trajectoriam
qu{\ae}sitam $PADdB$ delineabit. Nam punctum $d$ per
Lem.\ XXI continget sectionem Conicam per puncta $B$, $C$ transeuntem
\& ubi punctum $m$ accedit ad puncta $L$, $M$, $N$, punctum
$d$ (per constructionem) accedet ad puncta $A$, $D$, $P$. Describetur
ita{\que} sectio Conica transiens per puncta quin{\que} $A$, $B$, $C$, $D$, $P$.
\QEFit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc rect{\ae} expedite duci possunt qu{\ae} trajectoriam
in punctis quibusvis datis $B$, $C$ tangent. In casu utrovis accedat
punctum $d$ ad punctum $C$ \& recta $Cd$ evadet tangens qu{\ae}sita.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri \& latera
recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.


\condpagelarge{\textit{Schol.}}

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo
$BP$, \& in ea si opus est producta, capiendo $Bp$ ad $BP$ ut est
$PR$ ad $PT$, \& per $p$ agendo rectam infinitam $p\smallinmath{D}$ ipsi $SPT$ parallelam,
in{\que} ea capiendo semper $p\smallinmath{D}$ {\ae}qualem $Pr$, \& agendo
rectas $B\smallinmath{D}$, $Cr$ concurrentes in $d$. Nam cum sint $Pr$ ad $Pt$, $PR$
ad $PT$, $pB$ ad $PB$, $p\smallinmath{D}$ ad $Pt$ in eadem ratione, erunt $p\smallinmath{D}$ \&
$Pr$ semper {\ae}quales. Hac methodo puncta Trajectori{\ae} inveniuntur
expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, describere
Mechanice.


\condpagelarge{Prop.\ XXIII\@. Prob.\ XV.}

\pngright{090a.png}{1193}{1256}{-24}
%Illustration

\textit{Trajectoriam describere qu{\ae} per data quatuor puncta transibit, \&
rectam continget positione datam.}

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Dentur tangens $HB$, punctum contactus $B$, \& alia
tria puncta $C$, $D$, $P$. Junge $BC$, \& agendo $PS$ parallelam
% -----File: 090.png---
$BH$, \& $PQ$ parallelam $BC$, comple parallelogrammum $BSPQ$.
Age $BD$ secantem $SP$ in
$T$, \& $CD$ secantem $PQ$
in $R$. Deni{\que} agendo quamvis
$tr$ ipsi $TR$ parallelam,
de $PQ$, $PS$ abscinde $Pr$,
$Pt$ ipsis $PR$, $PT$ proportionales
respective; \& actarum
$Cr$, $Bt$ concursus $d$
(per Corol.\ 2.\ Lem.\ XX)
incidet semper in Trajectoriam
describendam.



\condpagelarge{\textit{Idem aliter.}}

\pngright{090b.png}{1756}{1748}{-24}
%Illustration

Revolvatur tum angulus magnitudine datus $CBH$ circa polum
$B$, tum radius
quilibet rectilineus
\& utrin{\que}
productus
$DC$
circa polum
$C$. Notentur
puncta $M$, $N$
in quibus anguli
crus $BC$
secat radium
illum ubi crus
alterum $BH$
concurrit cum
eodem radio
in punctis $D$ \& $P$. Deinde ad actam infinitam $MN$ concurrant
perpetuo radius ille $CP$ vel $CD$ \& anguli crus $CB$, \&
% -----File: 091.png---
cruris alterius $BH$ concursus cum radio delineabit Trajectoriam
qu{\ae}sitam.

Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat
punctum $A$ ad punctum $B$, line{\ae} $CA$ \& $CB$ coincident, \& linea
$AB$ in ultimo suo situ fiet tangens $BH$, at{\que} adeo constructiones
ibi posit{\ae} evadent e{\ae}dem cum constructionibus hic descriptis.
Delineabit igitur cruris $BH$ concursus cum radio sectionem
Conicam per puncta $C$, $D$, $P$ transeuntem, \& rectam $BH$ tangentem
in puncto $B$. \QEFit

\pngright{091.png}{1185}{1144}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Dentur puncta quatuor $B$, $C$, $D$, $P$ extra tangentem
$HI$ sita. Junge bina $BD$, $CP$ concurrentia in $G$, tangenti{\que} occurrentia
in $H$ \& $I$. Secetur
tangens in $A$, ita ut
sit $HA$ ad $AI$, ut est rectangulum
sub media proportionali
inter $BH$ \& $HD$
\& media proportionali
inter $CG$ \& $GP$, ad rectangulum
sub media proportionali
inter $PI$ \& $IC$
\& media proportionali inter
$DG$ \& $GB$, \& erit $A$
punctum contactus. Nam
si rect{\ae} $PI$ parallela $HX$
trajectoriam secet in punctis quibusvis $X$ \& $Y$: erit (ex Conicis)
$HA \opit{quad.}$ ad $AI \opit{quad.}$ ut rectangulum $XHY$ ad rectangulum
$BHD$ (seu rectangulum $CGP$ ad rectangulum $DGB$) \& rectangulum
$BHD$ ad rectangulum $PIC$ conjunctim. Invento autem
contactus puncto $A$, describetur Trajectoria ut in casu primo.
\QEFit Capi autem potest punctum $A$ vel inter puncta $H$ \& $I$,
vel extra; \& perinde Trajectoria dupliciter describi.
% -----File: 092.png---




\condpagelarge{Prop.\ XXIV\@. Prob.\ XVI.}

\textit{Trajectoriam describere qu{\ae} transibit per data tria puncta \& rectas
duas positione datas continget.}

Dentur tangentes $HI$, $KL$ \& puncta $B$, $C$, $D$. Age $BD$
tangentibus occurrentem in punctis $H$, $K$ \& $CD$ tangentibus
occurrentem in punctis $I$, $L$. Actas
ita\spreadout{seca in $R$ \& $S$, ut sit $HR$ ad $KR$ ut est media proportionalis inter $BH$ \&}

\pngright{092.png}{1080}{1371}{-12}
%Illustration

\noindent $HD$ ad
mediam proportionalem inter
$BK$ \& $KD$; \& $IS$ ad
$LS$ ut est media proportionalis
inter $CI$ \& $ID$ ad mediam
proportionalem inter
$CL$ \& $LD$. Age $RS$ secantem
tangentes in $A$ \& $P$, \&
erunt $A$ \& $P$ puncta contactus.
Nam si
$A$ \& $P$ sint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, \&
per punctorum
$H$, $I$, $K$, $L$ quodvis $I$ agatur
recta $IY$ tangenti $KL$ parallela
\& occurrens curv{\ae} in $X$
\& $Y$, \& in ea sumatur $IZ$ media proportionalis inter $IX$ \& $IY$:
erit, ex Conicis, rectangulum $XIY$ (seu $IZ \opit{quad.}$) ad $LP \opit{quad.}$
ut rectangulum $CID$ ad rectangulum $CLD$; id est (per constructionem)
ut $SI \opit{quad.}$ ad $SL \opit{quad.}$ at{\que} adeo $IZ$ ad $LP$ ut
$SI$ ad $SL$. Jacent ergo puncta $S$, $P$, $Z$ in una recta. Porro tangentibus
concurrentibus in $G$, erit (ex Conicis) rectangulum
$XIY$ (seu $IZ \opit{quad.}$) ad $IA \opit{quad.}$ ut $GP \opit{quad.}$ ad $GA \opit{quad.}$,
adeo{\que} $IZ$ ad $IA$ ut $GP$ ad $GA$. Jacent ergo puncta $P$, $Z$ \&
$A$ in una recta, adeo{\que} puncta $S$, $P$ \& $A$ sunt in una recta. Et
eodem argumento probabitur quod puncta $R$, $P$ \& $A$ sunt in
una recta. Jacent igitur puncta contactus $A$ \& $P$ in recta $SR$.
% -----File: 093.png---
Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo
Problematis superioris. \QEFit




\condpagelarge{Lemma XXII.}

\textit{Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.}

\pngright{093.png}{1386}{1018}{-24}
%Illustration

Transmutanda sit figura qu{\ae}vis $HGI$. Ducantur pro lubitu
rect{\ae} du{\ae} parallel{\ae} $AO$, $BL$ tertiam quamvis positione datam
$AB$ secantes in $A$
\& $B$, \& a figur{\ae} puncto
quovis $G$, ad rectam
$AB$ ducatur $GD$,
ipsi $OA$ parallela. Deinde
a puncto aliquo
$O$ in linea $OA$ dato ad
punctum $D$ ducatur
recta $OD$, ipsi $BL$
occurrens in $d$; \& a puncto
occursus erigatur
recta $gd$, datum quemvis angulum cum recta $BL$ continens,
at{\que} eam habens rationem ad $Od$ quam habet $GD$ ad $OD$; \&
erit $g$ punctum in figura nova $hgi$ puncto $G$ respondens. Eadem
ratione puncta singula figur{\ae} prim{\ae} dabunt puncta totidem figur{\ae}
nov{\ae}. Concipe igitur punctum $G$ motu continuo percurrere
puncta omnia figur{\ae} prim{\ae}, \& punctum $g$ motu itidem continuo
percurret puncta omnia figur{\ae} nov{\ae} \& eandem describet.
Distinctionis gratia nominemus $DG$ ordinatam primam, $dg$
ordinatam novam; $BD$ abscissam primam, $Bd$ abscissam novam;
$O$ polum, $OD$ radium abscindentem, $OA$ radium ordinatum
primum \& $Oa$ (quo parallelogrammum $OABa$ completur) radium
ordinatum novum.

Dico jam quod si punctum $G$ tangit rectam lineam positione
datam, punctum $g$ tanget etiam lineam rectam positione datam.
% -----File: 094.png---
Si punctum $G$ tangit Conicam sectionem, punctum $g$ tanget etiam
conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero.
Porro si punctum $G$ tangit lineam tertii ordinis Analytici,
punctum $g$ tanget lineam
tertii itidem ordinis;
\& sic de curvis
lineis superiorum ordinum:
Line{\ae} du{\ae} erunt
ejusdem semper
ordinis Analytici quas
puncta $G$, $g$ tangunt.
Etenim ut est $ad$ ad
$OA$ ita sunt $Od$ ad
$OD$, $dg$ ad $DG$, \&
$AB$ ad $AD$; adeo{\que} $AD$ {\ae}qualis est $\frac{OA \times AB}{ad}$ \& $DG$ {\ae}qualis
est $\frac{OA \times dg}{ad}$. Jam si punctum $D$ tangit rectam lineam, at{\que}
adeo in {\ae}quatione quavis, qua relatio inter abscissam $AD$ \& ordinatam
$DG$ habetur, indeterminat{\ae} ill{\ae} $AD$ \& $DG$ ad unicam
tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac {\ae}quatione
$\frac{OA \times AB}{ad}$ pro $AD$, \& $\frac{OA \times dg}{ad}$ pro $DG$, producetur {\ae}quatio
nova, in qua abscissa nova $ad$ \& ordinata noua $dg$ ad unicam tantum
dimensionem ascendent, at{\que} adeo qu{\ae} designat lineam rectam.
Sin $AD$ \& $DG$ (vel earum alterutra) ascendebant ad
duas dimensiones in {\ae}quatione prima, ascendent itidem $ad$ \& $dg$
ad duas in {\ae}quatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus.
Indeterminat{\ae} $ad$, $dg$ in {\ae}quatione secunda \&
$AD$, $DG$ in prima ascendent semper ad eundem dimensionum
numerum, \& propterea line{\ae}, quas puncta $G$, $g$ tangunt, sunt ejusdem
ordinis Analytici.

Dico pr{\ae}terea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in
% -----File: 095.png---
figura prima; h{\ae}c recta translata tanget lineam curvam in figura
nova: \& contra. Nam si Curv{\ae} puncta qu{\ae}vis duo accedunt
ad invicem \& coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt
in figura nova, at{\que} adeo rect{\ae}, quibus h{\ae}c puncta junguntur
simul, evadent curvarum tangentes in figura utra{\que}. Componi
possent harum assertionum Demonstrationes more magis
Geometrico. Sed brevitati consulo.

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit
rectarum intersectiones transferre, \& per easdem in figura nova
lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet,
transferenda sunt puncta, tangentes \& ali{\ae} rect{\ae} quarum ope
Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum
Problematum, transmutando figuras propositas in
simpliciores. Nam rect{\ae} qu{\ae}vis convergentes transmutantur in
parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo $AO$ lineam quamvis
rectam, qu{\ae} per concursum convergentium transit; id adeo
quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, line{\ae} autem parallel{\ae}
sunt qu{\ae} ad punctum infinite distans tendunt. Postquam
autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes
transmutetur h{\ae}c figura in figuram primam, habebitur Solutio
qu{\ae}sita.

Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum.
Nam quoties du{\ae} sectiones conic{\ae} obvenerint, quarum intersectione
Problema solvi potest, transmutare licet unum earum
in circulum. Recta item \& sectio Conica in constructione planorum
problematum vertuntur in rectam \& circulum.


\condpagelarge{Prop.\ XXV\@. Prob.\ XVII.}

\textit{Trajectoriam describere qu{\ae} per data duo puncta transibit \& rectas
tres continget positione datas.}

Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem,
\& concursum tangentis terti{\ae} cum recta illa, qu{\ae} per puncta duo
% -----File: 096.png---
data transit, age rectam infinitam; ea{\que} adhibita pro radio ordinato
primo, transmutetur figura, per
Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes ill{\ae} du{\ae} evadent
parallel{\ae},\spreadout{\& tangens tertia fiet parallela rect{\ae} per puncta duo transeunti.}

\pngright{096.png}{1065}{1154}{-12}
%Illustration

\noindent Sunto
$hi$, $kl$ tangentes du{\ae} parallel{\ae},
$ik$ tangens tertia, \& $hl$
recta huic parallela transiens per
puncta illa $a$, $b$, per qu{\ae} Conica
sectio in hac figura nova transire
debet, \& parallelogrammum $hikl$
complens. Secentur rect{\ae}
$hi$, $ik$, $kl$ in $c$, $d$ \& $e$, ita ut
sit $hc$ ad latus quadratum rectanguli
$ahb$, $ic$ ad $id$, \& $ke$ ad
$kd$ ut est summa rectarum $hi$ \& $kl$ ad summam trium linearum
quarum prima est recta $ik$, \& alter{\ae} du{\ae} sunt latera quadrata
rectangulorum $ahb$ \& $alb$: Et erunt $c$, $d$, $e$ puncta contactus.
Etenim, ex Conicis, sunt $hc$ quadratum ad rectangulum $ahb$, \&
$ic$ quadratum ad $id$ quadratum, \& $ke$ quadratum ad $kd$ quadratum,
\& $el$ quadratum ad $alb$ rectangulum in eadem ratione,
\& propterea $hc$ ad latus quadratum ipsius $ahb$, $ic$ ad $id$, $ke$ ad
$kd$ \& $el$ ad latus quadratum ipsius $alb$ sunt in dimidiata illa ratione,
\& composite, in data ratione omnium antecedentium $hi$ \&
$kl$ ad omnes consequentes, qu{\ae} sunt latus quadratum rectanguli
$ahb$ \& recta $ik$ \& latus quadratum rectanguli $alb$. Habentur
igitur ex data illa ratione puncta contactus $c$, $d$, $e$, in figura
nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur
h{\ae}c puncta in figuram primam \& ibi, per casum primum Problematis
XIV, describetur Trajectoria. \QEFit C{\ae}terum perinde
ut puncta $a$, $b$ jacent vel inter puncta $h$, $l$, vel extra, debent
puncta $c$, $d$, $e$ vel inter puncta $h$, $i$, $k$, $l$ capi, vel extra. Si
punctorum $a$, $b$ alterutrum cadit inter puncta $h$, $l$, \& alterum extra,
Problema impossibile est.
% -----File: 097.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXVI\@. Prob.\ XVIII.}

\textit{Trajectoriam describere qu{\ae} transibit per punctum datum \& rectas
quatuor positione datas continget.}

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium
ad intersectio\-nem communem reliquarum duarum agatur recta
infinita, \& eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur
figura (per Lem.\ XXII) in figuram novam, \& Tangentes
bin{\ae}, qu{\ae} ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent parallel{\ae}.
Sunto ill{\ae} $hi$ \& $kl$, $ik$ \& $hl$ continentes parallelogrammum
$hikl$. Sit{\que} $p$ punctum in hac nova figura, puncto in figura
prima dato respondens. Per figur{\ae} centrum $O$ agatur $pq$, \&
existente $Oq$ {\ae}quali $Op$ erit $q$ punctum alterum per quod sectio
Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII
operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam,
\& ibi habebuntur puncta duo per qu{\ae} Trajectoria describenda
est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per
Prob.\ XVII\@. \QEFit


\condpagelarge{Lemma XXIII.}

\textit{Si rect{\ae} du{\ae} positione dat{\ae} $AC$,
$BD$ ad data puncta $A$,
$B$ terminentur, datam{\que} habeant
rationem ad invicem,
\& recta $CD$, qua puncta
indeterminata $C$, $D$ junguntur
secetur in ratione data
in $K$: dico quod punctum $K$
locabitur in recta positione
data.}

\pngright{097.png}{1175}{1016}{-12}
%Illustration

Concurrant enim rect{\ae} $AC, BD$ in $E$, \& in $BE$ capiatur $BG$
ad $AE$ ut est $BD$ ad $AC$, sit{\que} $FD$ {\ae}qualis $EG$, \& erit $EC$ ad
% -----File: 098.png---
$GD$, hoc est ad $EF$ ut $AC$ ad $BD$, adeo{\que} in ratione data, \& propterea
dabitur specie triangulum $EFC$. Secetur $CF$ in $L$ in ratione
$CK$ ad $CD$, \& dabitur
etiam specie triangulum $EFL$,
proinde{\que} punctum $L$ locabitur
in recta $EL$ positione
data. Junge $LK$, \& ob datam
$FD$ \& datam rationem
$LK$ ad $FD$, dabitur $LK$.
Huic {\ae}qualis capiatur $EH$, \&
erit $ELKH$ parallelogrammum.
Locatur igitur punctum
$K$ in parallelogrammi
latere positione dato $HK$. \QEDit


\condpagelarge{Lemma XXIV.}

\textit{Si rect{\ae} tres tangant quamcun{\que} conisectionem, quarum du{\ae} parallel{\ae}
sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce
duabus parallela,
sit media proportionalis
inter harum
segmenta,
punctis contactum
\& tangenti
terti{\ae} interjecta.}

\pngright{098.png}{1516}{1184}{-24}
%Illustration

Sunto $AF$, $GB$
parallel{\ae} du{\ae} Conisectionem
$ADB$
tangentes in $A$
\& $B$; $EF$ recta tertia
Conisectionem tangens in $I$, \& occurrens prioribus tangentibus
in $F$ \& $G$; sit{\que} $CD$ semidiameter Figur{\ae} tangentibus parallela:
Dico quod $AF$, $CD$, $BG$ sunt continue proportionales.
% -----File: 099.png---

Nam si diametri conjugat{\ae} $AB$, $DM$ tangenti $FG$ occurrant
in $E$ \& $H$, se{\que} mutuo secent in $C$, \& compleatur parallelogrammum
$IKCL$; erit ex natura sectionum Conicarum, ut $EC$ ad $CA$ ita
$CA$ ad $LC$, \& ita divisim $EC - CA$ ad $CA - CL$ seu $EA$ ad
$AL$, \& composite $EA$ ad $EA + AL$ seu $EL$ ut $EC$ ad $EC + CA$
seu $EB$; adeo{\que} (ob similitudinem triangulorum $EAF$, $ELI$,
$ECH$, $EBG$) $AF$ ad $LI$ ut $CH$ ad $BG$. Est itidem ex
natura sectionum Conicarum $LI$ seu $CK$ ad $CD$ ut $CD$ ad $CH$
at{\que} adeo ex {\ae}quo perturbate $AF$ ad $CD$ ut $CD$ ad $BG$.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si tangentes du{\ae} $FG$, $PQ$ tangentibus parallelis
$AF$, $BG$ occurrant in $F$ \& $G$, $P$ \& $Q$, se{\que} mutuo secent in $O$,
erit (ex {\ae}quo perturbate) $AF$ ad $BQ$ ut $AP$ ad $BG$, \& divisim
ut $FP$ ad $GQ$, at{\que} adeo ut $FO$ ad $OG$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde etiam rect{\ae} du{\ae} $PG$, $FQ$ per puncta $P$ \&
$G$, $F$ \& $Q$ duct{\ae}, concurrent ad rectam $ACB$ per centrum figur{\ae}
\& puncta contactuum $A$, $B$ transeuntem.


\condpagelarge{Lemma XXV.}

\textit{Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem
quamcun{\que} Conicam
\& abscindantur
ad tangentem
quamvis quintam;
sumantur aut\-em
abscisse terminate
ad angulos
oppositos parallelogrammi:
dico
quod abscissa unius lateris ad latus illud, ut pars lateris contermini
inter punctum contactus \& latus tertium, ad abscissam lateris
hujus contermini.}

\pngright{100.png}{1507}{945}{-24}
%Illustration

Tangant parallelogrammi $MIKL$ latera quatuor $ML$, $IK$,
% -----File: 100.png---
$KL$, $MI$ sectionem Conicam in $A$, $B$, $C$, $D$, \& secet tangens
quinta $FQ$ h{\ae}c latera in $F$, $Q$, $H$ \& $E$: dico quod sit $ME$ ad
$MI$ ut $BK$ ad $KQ$
\& $KH$ ad $KL$ ut
$AM$ ad $MF$. Nam
per Corollarium
Lemmatis superioris,
est $ME$ ad $EI$
ut $AM$ seu $BK$ ad
$BQ$, \& componendo
$ME$ ad $MI$ ut
$BK$ ad $KQ$. \QEDup
Item $KH$ ad $HL$ ut $BK$ seu $AM$ ad $AF$, \& dividendo
$KH$ ad $KL$ ut $AM$ ad $MF$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc\spreadout{si parallelogrammum $IKLM$ datur, dabitur rectangulum} \\
$KQ \times ME$, ut \& huic {\ae}quale rectangulum $KH \times
MF$. {\AE}quantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum
$KQH$, $MFE$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si sexta ducatur tangens $eq$ tangentibus $KI$, $MI$
occurrens in $e$ \& $q$, rectangulum $KQ \times ME$ {\ae}quabitur rectangulo
$Kq \times Me$, erit{\que} $KQ$ ad $Me$ ut $Kq$ ad $ME$, \& divisim ut $Qq$
ad $Ee$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde etiam si $Eq$, $eQ$ jungantur \& bisecentur, \&
recta per puncta bisectionum agatur, transibit h{\ae}c per centrum
Sectionis Conic{\ae}. Nam cum sit $Qq$ ad $Ee$ ut $KQ$ ad $Me$,
transibit eadem recta per medium omnium $Eq$, $eQ$, $MK$; (per
Lemma XXIII) \& medium rect{\ae} $MK$ est centrum Sectionis.


\condpagelarge{Prop.\ XXVII\@. Prob.\ XIX.}

\textit{Trajectoriam describere qu{\ae} rectas quin{\que} positione datas continget.}

\pngright{101.png}{1715}{1728}{-24}
%Illustration

Dentur positione tangentes $ABG$, $BCF$, $GCD$, $FDE$,
$EA$. Figur{\ae} quadrilater{\ae} sub quatuor quibusvis content{\ae} $ABFE$
% -----File: 101.png---
diagonales $AF$, $BE$ biseca, \& (per Cor.\ 3.\ Lem.\ XXV)
recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajectori{\ae}.
Rursus figur{\ae} quadrilater{\ae} $BGDF$, sub alijs quibusvis
quatuor
tangentibus
content{\ae},
diagonales
(ut ita dicam)
$BD$, $GF$ biseca,
\& recta per
puncta bisectionum
acta transibit
per centrum
sectionis.
Dabitur ergo
centrum in concursu bisecantium. Sit illud $O$. Tangenti cuivis
$BC$ parallelam age $KL$, ad eam distantiam ut centrum $O$ in
medio inter parallelas locetur, \& acta $KL$ tanget trajectoriam
describendam. Secet h{\ae}c tangentes alias quasvis duas $CD$, $FDE$
in $L$ \& $K$. Per tangentium non parallelarum $CL$, $FK$ cum
parallelis $CF$, $KL$ concursus $C$ \& $K$, $F$ \& $L$ age $CK$, $FL$ concurrentes
in $R$, \& recta $OR$ ducta \& producta secabit tangentes
parallelas $CF$, $KL$ in punctis contactuum. Patet hoc per Corol.\
2.\ Lem.\ XXIV\@. Eadem methodo invenire licet alia contactuum
puncta, \& tum demum per Casum 1.\ Prob.\ XIV.
Trajectoriam describere. \QEFit

% -----File: 102.png---


\condpagelarge{\textit{Schol.}}

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti
includuntur in pr{\ae}cedentibus. Nam datis punctis \& tangentibus
una cum centro, dantur alia totidem puncta ali{\ae}{\que} tangentes
a centro ex altera ejus parte {\ae}qualiter distantes. Asymptotos
autem pro tangente habenda est, \& ejus terminus infinite distans
(si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis
cujusvis punctum contactus abire in infinitum, \& tangens vertetur
in Asymptoton, at{\que} constructiones Problematis XV \& Casus
primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum
ubi Asymptoti dantur.

\pngright{102.png}{1343}{1559}{-24}
%Illustration

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes \& umbilicos
ejus hac methodo. In constructione \& Figura Lemmatis XXI,
fac ut angulorum mobilium
$PBN$, $PCN$ crura
$BP$, $CP$ quorum
concursu Trajectoria describebatur
sint sibi invicem
parallela, eum{\que}
servantia situm revolvantur
circa polos suos
$B$, $C$ in figura illa. Interea
vero describant
altera angulorum illorum
crura $CN$, $BN$ concursu
suo $K$ vel $k$, circulum
$IBKGC$. Sit
circuli hujus centrum $O$.
Ab hoc centro ad Regulam $MN$, ad quam altera illa crura $CN$,
$BN$ interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte
normalem $OH$ circulo occurrentem in $K$ \& $L$. Et ubi crura
% -----File: 103.png---
illa altera $CK$, $BK $concurrant ad punctum istud $K$ quod
Regul{\ae} proprius est, crura prima $CP$, $BP$ parallela erunt axi
majori \& perpendicularia minori;
\& contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad
punctum remotius $L$. Unde si detur Trajectori{\ae} centrum, dabuntur
axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

\vspace{\baselineskip}

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut $KH$ ad $LH$, \& inde
facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere.
Nam si duo ex punctis datis constituantur poli $C$, $B$,
tertium dabit angulos mobiles $PCK$, $PBK$. Tum ob datam
specie Trajectoriam, dabitur ratio $OH$ ad $OK$, centro{\que} $O$ \& intervallo
$OH$ describendo circulum, \& per punctum quartum agendo
rectam qu{\ae} circulum illum tangat, dabitur regula $MN$ cujus
ope Trajectoria describatur. Unde etiam vicissim Trapezium
specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in
data quavis sectione Conica inscribi potest.

\vspace{\baselineskip}

Sunt \& alia Lemmata quorum ope Trajectori{\ae} specie dat{\ae},
datis punctis \& tangentibus, describi possunt. Ejus generis est
quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur,
qu{\ae} datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, \&
intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget
aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, at{\que} axes habentem
prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.


\condpagelarge{Lemma XXVI.}

\textit{Trianguli specie \& magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem
positione datas, qu{\ae} non sunt omnes parallel{\ae}, singulos ad singulas
ponere.}

\pngright{104a.png}{1322}{1044}{-24}
%Illustration

Dantur positione tres rect{\ae} infinit{\ae} $AB$, $AC$, $BC$, \& oportet
triangulum $DEF$ ita locare, ut angulus ejus $D$ lineam $AB$,
% -----File: 104.png---
angulus $E$ lineam $AC$, \& angulus $F$ lineam $BC$ tangat. Super $DE$,
$DF$ \& $EF$ describe tria circulorum segmenta $DRE$, $DGF$,
$EMF$, qu{\ae} capiant angulos
angulis $BAC$, $ABC$,
$ACB$ {\ae}quales respective.
Describantur autem h{\ae}c
segmenta ad eas partes
linearum $DE$, $DF$, $EF$
ut liter{\ae} $DRED$ eodem
ordine cum literis $BACB$,
liter{\ae} $DGFD$ eodem
cum literis $ABCA$,
\& liter{\ae} $EMFE$ eodem
cum literis $ACBA$ in orbem redeant: deinde compleantur h{\ae}c
segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in $G$,
sint{\que} centra eorum
$P$ \& $Q$. Junctis $GP$,
$PQ$, cape $Ga$ ad
$AB$ ut est $GP$ ad $PQ$,
\& centro $G$, intervallo
$Ga$ describe
circulum, qui secet
circulum primum $DGE$
in $a$. Jungatur
tum $aD$ secans circulum
secundum $DFG$
in $b$, tum $aE$ secans
circulum tertium $GEc$
in $c$. Et compleatur
figura $ABCdef$
similis \& {\ae}qualis
figur{\ae} $abcDEF$. Dico factum.

\pngright{104b.png}{1459}{1717}{-24}
%Illustration

Agatur enim $Fc$ ipsi $aD$ occurrens in $n$. Jungantur $aG$,
% -----File: 105.png---
$bG$, $PD$, $QD$ \& producatur $PQ$ ad $R$. Ex constructione est
angulus $EaD$ {\ae}qualis angulo $CAB$, \& angulus $EcF$ {\ae}qualis angulo
$ACB$, adeo{\que} triangulum $anc$ triangulo $ABC$ {\ae}quiangulum.
Ergo angulus $anc$ seu $FnD$ angulo $ABC$, adeo{\que} angulo
$FbD$ {\ae}qualis est, \& propterea punctum $n$ incidit in punctum
$b$. Porro angulus $GPQ$, qui dimidius est anguli ad centrum $GPD$,
{\ae}qualis est angulo ad circumferentiam $GaD$; \& angulus $GQR$,
qui dimidius est complementi anguli ad centrum $GQD$,
{\ae}qualis est angulo ad circumferentiam $GbD$, adeo{\que} eorum complementa
$PQG$, $abG$ {\ae}quantur, sunt{\que} ideo triangula $GPQ$,
$Gab$ similia, \& $Ga$ est ad $ab$ ut $GP$ ad $PQ$; id est (ex constructione)
ut $Ga$ ad $AB$. {\AE}quantur ita{\que} $ab$ \& $AB$, \& propterea
triangula $abc$, $ABC$, qu{\ae} modo similia esse probavimus, sunt
etiam {\ae}qualia. Unde cum tangant insuper trianguli $DEF$ anguli
$D$, $E$, $F$ trianguli $abc$ latera $ab$, $ac$, $bc$ respective, compleri
potest figura $ABCdef$ figur{\ae} $abcDEF$ similis \& {\ae}qualis, at{\que}
eam complendo solvetur Problema. \QEFit

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc recta duci potest cujus partes longitudine dat{\ae} rectis
tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum $DEF$,
puncto $D$ ad latus $EF$ accedente, \& lateribus $DE$, $DF$ in directum
positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data $DE$, rectis
positione datis $AB$, $AC$, \& pars data $DF$ rectis positione datis
$AB$, $BC$ interponi debet; \& applicando constructionem pr{\ae}cedentem
ad hunc casum solvetur Problema.


\condpagelarge{Prop.\ XXVIII\@. Prob.\ XX.}

\textit{Trajectoriam specie \& magnitudine datam describere, cujus partes
dat{\ae} rectis tribus positione datis interjacebunt.}

\pngright{106.png}{2269}{1053}{-24}
%Illustration

Describenda sit Trajectoria qu{\ae} sit similis \& {\ae}qualis line{\ae} curv{\ae}
$DEF$, qu{\ae}{\que} a rectis trib\-us $AB$, $AC$, $BC$ positione datis, in
% -----File: 106.png---
partes datis hujus partibus $DE$ \& $EF$ similes \& {\ae}quales secabitur.

Age rectas $DE$, $EF$, $DF$, \& trianguli hujus $DEF$ pone angulos
$D$, $E$, $F$ ad rectas illas positione datas: (per Lem.\ XXVI)
Dein circa triangulum describe Trajectoriam curv{\ae} $DEF$ similem
\& {\ae}qualem. \QEFit


\condpagelarge{Lemma XXVII.}

\textit{Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione
datas (qu{\ae} ne{\que} omnes parallel{\ae} sunt, ne{\que} ad commune
punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.}

\pngrightsc{108.png}{2265}{1709}{11}{12}
%Illustration

Dentur positione rect{\ae} quatuor $ABC$, $AD$, $BD$, $CE$, quarum
prima secet secundam in $A$, tertiam in $B$, \& quartam in $C$:
\& describendum sit Trapezium $fghi$ quod sit Trapezio $FGHI$
simile, \& cujus angulus $f$, angulo dato $F$ {\ae}qualis, tangat rectam
$ABC$ c{\ae}teri{\que} anguli $g$, $h$, $i$ c{\ae}teris angulis datis $G$, $H$, $I$ {\ae}quales
tangant c{\ae}teras lineas $AD$, $BD$, $CE$ respective. Jungatur $FH$,
\& super $FG$, $FH$, $FI$ describantur totidem circulorum segmenta
$FSG$, $FTH$, $FVI$; quorum primum $FSG$ capiat angulum {\ae}qualem
angulo $BAD$, secundum $FTH$ capiat angulum {\ae}qualem angulo
$CBE$; ac tertium $FVI$ capiat angulum {\ae}qualem angulo $ACE$.
% -----File: 107.png---
Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum $FG$,
$FH$, $FI$, ut literarum $FSGF$ idem sit ordo circularis qui literarum
$BADB$, ut{\que} liter{\ae} $FTHF$ eodem ordine cum literis $CBEC$,
\& liter{\ae} $FVIF$ eodem cum literis $ACEA$ in orbem redeant.
Compleantur segmenta in circulos, sit{\que} $P$ centrum circuli
primi $FSG$, \& $Q$ centrum secundi $FTH$. Jungatur \& utrin{\que}
producatur $PQ$, \& in ea capiatur $QR$ in ea ratione ad $PQ$ quam
habet $BC$ ad $AB$. Capiatur autem $QR$ ad eas partes puncti $Q$
ut literarum $P$, $Q$, $R$ idem sit ordo circularis at{\que} literarum $A$,
$B$, $C$: centro{\que} $R$ \& intervallo $RF$ describatur circulus quartus $FNc$
secans circulum tertium $FVI$ in $c$. Jungatur $Fc$ secans circulum
primum in $a$ \& secundum in $b$. Agantur $aG$, $bH$, $cI$, \&
figur{\ae} $abcFGHI$ similis constituatur figura $ABCfghi$: Erit{\que}
Trapezium $fghi$ illud ipsum quod constituere oportuit.

Secent enim circuli duo primi $FSG$, $FTH$ se mutuo in $K$.
Jungantur $PK$, $QK$, $RK$, $aK$, $bK$, $cK$ \& producatur $QP$ ad
% -----File: 108.png---
$L$. Anguli ad circumferentias $FaK$, $FbK$, $FcK$, sunt semisses
angulorum $FPK$, $FQK$, $FRK$ ad centra, adeo{\que} angulorum
illorum dimidiis $LPK$, $LQK$, $LRK$ {\ae}quales. Est ergo figura
$PQRK$ figur{\ae} $abcK$ {\ae}quiangula \& similis, \& propterea $ab$ est
ad $bc$ ut $PQ$ ad $QR$, id est ut $AB$ ad $BC$. Angulis insuper $FaG$,
$FbH$, $FcI$ {\ae}quantur $fAg$, $fBh$, $fCi$ per constructionem.
Ergo figur{\ae} $abcFGHI$ figura similis $ABCfghi$ compleri potest.
Quo facto Trapezium $fghi$ constituetur simile Trapezio $FGHI$
\& angulis suis $f$, $g$, $h$, $i$ tanget rectas $AB$, $AD$, $BD$, $CE$. \QEFit

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione
datis dato ordine interject{\ae}, datam habebunt proportionem
ad invicem. Augeantur anguli $FGH$, $GHI$ us{\que} eo, ut rect{\ae} $FG$,
$GH$, $HI$ in directum jaceant, \& in hoc casu construendo Problema,
ducetur recta $fghi$ cujus partes $fg$, $gh$, $hi$, rectis quatuor positione
datis $AB$ \& $AD$, $AD$ \& $BD$, $BD$ \& $CE$ interject{\ae}, erunt
ad invicem ut line{\ae} $FG$, $GH$, $HI$, eundem{\que} servabunt ordinem
inter se. Idem vero sic fit expeditius.
% -----File: 109.png---

\pngright{109.png}{1806}{1685}{-24}
%Illustration

Producantur $AB$ ad $K$, \& $BD$ ad $L$, ut sit $BK$ ad $AB$ ut $HI$
ad $GH$; \& $DL$ ad $BD$ ut $GI$ ad $FG$; \& jungatur $KL$ occurrens
rect{\ae} $CE$ in $i$. Producatur $iL$ ad $M$, ut sit $LM$ ad $iL$ ut $GH$
ad $HI$, \& agatur tum $MQ$ ipsi $LB$ parallela rect{\ae}{\que} $AD$ occurrens
in $g$, tum $gi$ secans $AB$, $BD$ in $f$, $h$. Dico factum.

Secet enim
$Mg$ rectam
$AB$ in
$Q$, \& $AD$
rectam $KL$
in $S$, \& agatur
$AP$, qu{\ae}
sit ipsi $BD$
parallela \&
occurrat $iL$
in $P$, \& erunt
$Mg$ ad
$Lh$ ($Mi$ ad
$Li$, $gi$ ad $hi$,
$AK$ ad $BK$)
\& $AP$ ad $BL$
in eadem
ratione. Secetur $DL$ in $R$ ut sit $DL$ ad $RL$ in eadem illa ratione,
\& ob proportionales $gS$ ad $gM$, $AS$ ad $AP$ \& $DS$ ad
$DL$, erit ex {\ae}quo ut $gS$ ad $Lh$ ita $AS$ ad $BL$ \& $DS$ ad $RL$; \&
mixtim, $BL - RL$ ad $Lh - BL$ ut $AS - DS$ ad $gS - AS$. Id
est $BR$ ad $Bh$ ut $AD$ ad $Ag$, adeo{\que} ut $BD$ ad $gQ$. Et vicissim
$BR$ ad $BD$ ut $Bh$ ad $gQ$ seu $fh$ ad $fg$. Sed ex constructione
est $BR$ ad $BD$ ut $FH$ ad $FG$. Ergo $fh$ est ad $fg$ ut $FH$
ad $FG$. Cum igitur sit etiam $ig$ ad $ih$ ut $Mi$ ad $Li$, id est, ut
$IG$ ad $IH$, patet lineas $FI$, $fi$ in $g$ \& $h$, $G$ \& $H$ similiter sectas
esse. \QEFit

In constructione Corollarii hujus postquam ducitur $LK$ secans
% -----File: 110.png---
$CE$ in $i$, producere licet $iE$ ad $V$, ut sit $EV$ ad $iE$ ut $FH$ ad $HI$,
\& agere $Vf$ parallelam ipsi $BD$. Eodem recidit si centro $i$, intervallo
$IH$ describatur circulus secans $BD$ in $X$, producatur $iX$
ad $Y$, ut sit $iY$ {\ae}qualis $IF$, \& agatur $Yf$ ipsi $BD$ parallela.


\condpagelarge{Prop.\ XXIX\@. Prob.\ XIX.}

\textit{Trajectoriam specie datam describere, qu{\ae} a rectis quatuor positione datis
in partes secabitur, ordine, specie \& proportione datas.}

\pngright{110.png}{1975}{1835}{-24}
%Illustration

Describenda sit Trajectoria $fghi$, qu{\ae} similis sit line{\ae} curv{\ae}
$FGHI$, \& cujus partes $fg$, $gh$, $hi$ illius partibus $FG$, $GH$, $HI$
similes \&
proportionales,
rectis $AB$
\& $AD$,
$AD$ \&
$BD$, $BD$ \& $EC$
positione datis, prima primis, secunda
secundis, tertia tertiis interjace\-ant.
Actis rectis $FG$, $GH$, $HI$,
$FI$, describatur Trapezium $fghi$
quod sit Trapezio $FGHI$ simile
\& cujus anguli $f$, $g$, $h$, $i$ tangant rectas
illas positione datas $AB$, $AD$,
$BD$, $CE$ singuli singulas dicto ordine.
Dein (per Lem.\ XXVII)
circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curv{\ae} line{\ae} $FGHI$
consimilis.
% -----File: 111.png---



\condpagelarge{\textit{Scholium.}}


Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis $FG$,
$GH$, $HI$, $FI$ produc $GF$ ad $V$, junge{\que} $FH$, $IG$, \& angulis
$FGH$, $VFH$ fac angulos $CAK$, $DAL$ {\ae}quales. Concurrant
$AK$, $AL$ cum recta $BD$ in $K$ \& $L$, \& inde aguntur $KM$, $LN$,
quarum $KM$ constituat angulum $AKM$ {\ae}qualem angulo $GHI$,
sit{\que} ad $AK$ ut est $HI$ ad $GH$; \& $LN$ constituat angulum $ALN$
{\ae}qualem angulo $FHI$, sit{\que} ad $AL$ ut $HI$ ad $FH$. Ducantur
autem $AK$, $KM$, $AL$, $LN$ ad eas partes linearum $AD$, $AK$,
$AL$, ut liter{\ae} $CAKMC$, $ALK$, $DALND$ eodem ordine cum
literis $FGHIF$ in orbem redeant, \& acta $MN$ occurrat rect{\ae}
$CE$ in $i$. Fac angulum $iEP$ {\ae}qualem angulo $IGF$, sit{\que} $PE$ ad
$Ei$ ut $FG$ ad $GI$; \& per $P$ agatur $QPf$, qu{\ae} cum recta $AED$
contineat angulum $PQE$ {\ae}qualem angulo $FIG$, rect{\ae}{\que} $AB$ occurrat
in $f$, \& jungatur $fi$. Agantur autem $PE$ \& $PQ$ ad eas
partes linearum $CE$, $PE$, ut literarum $PEiP$ \& $PEQP$ idem sit
ordo circularis qui literarum $FGHIF$, \& si super linea $fi$ eodem
quo{\que} literarum ordine constituatur Trapezium $fghi$ Trapezio
$FGHI$ simile, \& circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur
Problema.

\pngcent{111.png}{2285}{1185}
%Illustration

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum
orbibus inventis determinemus.



% -----File: 112.png---




\sectpage{VI.}

\begin{center}{\textit{De inventione motuum in Orbibus datis.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XXX\@. Prob.\ XXII.}

\textit{Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad
tempus assignatum.}

\pngright{112.png}{918}{1298}{-24}
%Illustration

Sit $S$ umbilicus \& $A$ vertex principalis Parabol{\ae}, sit{\que} $4AS \times
M$ area Parabolica $APS$, qu{\ae} radio $SP$, vel post excessum corporis
de vertice descripta fuit, vel ante
appulsum ejus ad verticem describenda
est. Innotescit area illa ex
tempore ipsi proportionali. Biseca
$AS$ in $G$, erige{\que} perpendiculum
$GH$ {\ae}quale $3M$, \& circulus centro
$H$, intervallo $HS$ descriptus secabit
Parabolam in loco qu{\ae}sito $P$. Nam
demissa ad axem perpendiculari $PO$,
est $HGq. + GSq.$ (= $HSq.$ = $HPq.$ =
$GOq. +
\overline{PO - HG}q.$)
= $GOq. + HGq
- 2HG \times PO + POq$. Et deleto utrin{\que}
$HGq.$ fiet $GSq.$ = $GOq. - 2HG \times PO + POq.$ seu $2HG
\times PO$ (= $GOq. + POq. - GSq.$ = $AOq. - 2GAO + POq.$)
= $AOq. + \frac{3}{4}POq$. Pro $AOq.$ scribe $AO \times \frac{POq.}{4AS}$, \& applicatis
terminis omnibus ad $3PO$, ductis{\que} in $2AS$, fiet $\frac{4}{3}GH \times AS$ (=
$\frac{1}{6}AO \times PO + \frac{1}{2}AS \times PO$ = $\frac{AO + 3AS}{6} \times PO$ = $\frac{4AO - 3SO}{6} \times PO$ =
are{\ae} $APO - SPO$) = are{\ae} $APS$. Sed $GH$ erat $3M$, \& inde
% -----File: 113.png---
$\frac{4}{3}HG \times AS$ est $4AS \times M$. Ergo area $APS$ {\ae}qualis est $4AS \times
M$. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc $GH$ est ad $AS$, ut tempus quo corpus descripsit
arcum $AP$ ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem
$A$ \& perpendiculum ad axem ab umbilico $S$ erectum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et circulo $ASP$ per corpus movens perpetuo transeunte,
velocitas puncti $H$
est ad velocitatem quam corpus habuit
in vertice $A$, ut 3 ad 8; adeo{\que} in ea etiam ratione est linea $GH$
ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab $A$ ad $P$, ea
cum velocitate quam habuit in vertice $A$, describere posset.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus
descripsit arcum quemvis assignatum $AP$. Junge $AP$ \& ad
medium ejus punctum erige perpendiculum rect{\ae} $GH$ occurrens
in $H$.


\condpagelarge{Lemma XXVIII.}

\textit{Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per
{\ae}quationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter
inveniri.}

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum
revolvatur perpetuo linea recta, \& interea in recta illa exeat punctum
mobile de polo, pergat{\que} semper ea cum velocitate, qu{\ae} sit
ut rect{\ae} illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum
illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per
finitam {\ae}quationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem
{\ae}quationem distantia puncti a polo; qu{\ae} huic are{\ae} proportionalis
est, adeo{\que} omnia Spiralis puncta per {\ae}quationem finitam inveniri
possunt: \& propterea rect{\ae} cujusvis positione dat{\ae} intersectio
cum spirali inveniri etiam potest per {\ae}quationem finitam.
Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero
infinitis, \& {\ae}quatio, qua intersectio aliqua duarum linearum
invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem,
% -----File: 114.png---
adeo{\que} ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam
circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una
non invenitur nisi per {\ae}quationem duarum dimensionum, qua intersectio
altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum
Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua
earum generaliter inveniri nisi per {\ae}quationem quatuor dimensionum,
qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones ill{\ae}
seorsim qu{\ae}rantur, quoniam eadem est omnium lex \& conditio,
idem erit calculus in casu unoquo{\que} \& propterea eadem semper
conclusio, qu{\ae} igitur debet omnes intersectiones simul complecti
\& indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum
Conicarum \& curvarum terti{\ae} potestatis, eo quod sex esse possunt,
simul prodeunt per {\ae}quationes sex dimensionum, \& intersectiones
duarum curvarum terti{\ae} potestatis, quia novem esse
possunt, simul prodeunt per {\ae}quationes dimensionum novem.
Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida
ad Plana, \& plusquam solida ad solida. Eadem de causa
intersectiones bin{\ae} rectarum \& sectionum Conicarum prodeunt
semper per {\ae}quationes duarum dimensionum; tern{\ae} rectarum \&
curvarum terti{\ae} potestatis per {\ae}quationes trium, quatern{\ae} rectarum
\& curvarum quart{\ae} potestatis per {\ae}quationes dimensionum
quatuor, \& sic in \label{wasp106}infinitum. Ergo intersectiones numero infinit{\ae}
rectarum, propterea quod omnium eadem est lex \& idem
calculus, requirunt {\ae}quationes numero dimensionum \& radicum
infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam
illam secantem demittatur perpendiculum, \& perpendiculum una
cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt
in se mutuo, qu{\ae}{\que} prima erat seu proxima, post unam revolutionem
secunda erit, post duas tertia, \& sic deinceps: nec interea
mutabitur {\ae}quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per
quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates ill{\ae} post
singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, {\ae}quatio redibit
ad formam primam, adeo{\que} una eadem{\que} exhibebit intersectiones
% -----File: 115.png---
omnes, \& propterea radices habebit numero infinitas, quibus
omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rect{\ae} \& spiralis
per {\ae}quationem finitam generaliter inveniri, \& idcirco nulla extat
Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem {\ae}quationem
generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli \& puncti, quo spiralis
describitur, capiatur Ovalis perimetro absciss{\ae} proportionale, probari
potest quod longitudo perimetri nequit per finitam {\ae}quationem
generaliter exhiberi.


\condpagelarge{\textit{Corollarium.}}

Hinc area Ellipseos, qu{\ae} radio ab umbilico ad corpus
mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per {\ae}quationem
finitam; \& propterea per descriptionem Curuarum
Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice
rationales appello quarum puncta omnia per longitudines {\ae}quationibus
definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas,
determinari possunt; c{\ae}teras{\que} (ut Spirales, Quadratrices,
Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines qu{\ae}
sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in
decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales.
Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo
per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.


\condpagelarge{Prop.\ XXXI\@. Prob.\ XXIII.}

\textit{Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus
assignatum.}

Ellipseos $APB$ sit $A$ vertex principalis, $S$ umbilicus, $O$ centrum,
sit{\que} $P$ corporis locus inveniendus. Produc $OA$ ad $G$ ut sit $OG$
% -----File: 116.png---
ad $OA$ ut $OA$ ad $OS$. Erige perpendiculum $GH$, centro{\que} $O$ \&
intervallo $OG$ describe circulum $EFG$, \& super regula $GH$, ceu
fundo, progrediatur rota $GEF$ revolvendo circa axem suum, \&
interea puncto suo $A$ describendo Trochoidem $ALI$. Quo facto,
cape $GK$ in ratione ad rot{\ae} perimetrum $GEFG$, ut est tempus
quo corpus progrediendo ab $A$ descripsit arcum $AP$, ad tempus
revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculum $KL$ occurrens
Trochoidi in $L$, \& acta $LP$ ipsi $KG$ parallela occurret
Ellipsi in corporis loco qu{\ae}sito $P$.

\pngright{116.png}{2127}{1249}{-24}
%Illustration

Nam centro $O$ intervallo $OA$ describatur semicirculus $AQB$, \&
arcui $AQ$ occurrat $LP$ producta in $Q$, jungantur{\que} $SQ$, $OQ$.
Arcui $EFG$ occurrat $OQ$ in $F$, \& in eandem $OQ$ demittatur perpendiculum
$SR$. Area $APS$ est ut area $AQS$, id est, ut differentia
inter sectorem $OQA$ \& triangulum $OQS$, sive ut differentia
rectangulorum $\frac{1}{2}Q \times AQ$ \& $\frac{1}{2}OQ \times SR$, hoc est, ob datam $\frac{1}{2}OQ$,
ut differentia inter arcum $AQ$ \& rectam $SR$, adeo{\que}
(ob {\ae}qualitatem rationum $SR$ ad sinum arcus $AQ$, $OS$ ad
$OA$, $OA$ ad $OG$, $AQ$ ad $GF$, \& divisim $AQ - SR$ ad $GF -
\operatorname{sin. arc.} AQ$) ut $GK$ differentia inter arcum $GF$ \& sinum arcus
$AQ$. \QEDit
% -----File: 117.png---


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

C{\ae}terum ob difficultatem describendi hanc curvam pr{\ae}stat
constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos
cujusvis $APB$ sit $AB$ axis major, $O$ centrum, $S$ umbilicus,
$OD$ semiaxis minor, \& $AK$ dimidium lateris recti. Secetur
$AS$ in $G$, ut sit $AG$ ad $AS$ ut $BO$ ad $BS$; \& qu{\ae}ratur longitudo
$L$, qu{\ae} sit ad $\frac{1}{2}GK$ ut est $AO \opit{quad.}$ ad rectangulum $AS \times OD$.
Bisecetur $OG$ in $C$, centro{\que} $C$ \& intervallo $CG$ describatur semicirculus
$GFO$. Deni{\que} capiatur angulus $GCF$ in ea ratione ad
angulos quatuor rectos,
quam habet tempus
datum, quo corpus
descripsit arcum
qu{\ae}situm $AP$,
ad tempus
periodicum
seu revolutionis
unius in
Ellipsi: Ad $AO$ demittatur normalis $FE$, \& producatur eadem
versus $F$ ad us{\que} $N$, ut sit $EN$ ad longitudinem $L$, ut anguli illius
sinus $EF$ ad radium $CF$; centro{\que} $N$ \& intervallo $AN$ descriptus
circulus secabit Ellipsin in corporis loco qu{\ae}sito $P$ quam proxime.

\label{wasp109}\pngright{118.png}{1741}{1178}{-24}
%Illustration

Nam completo dimidio temporis periodici, corpus $P$ semper
reperietur in Apside summa $B$, \& completo altero temporis dimidio,
redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime
abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum $ASP$,
$GCF$, \& ratio ultima evanescentium $BSP$ \& $OCF$, eadem
est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis
% -----File: 118.png---
$P$, $F$ \& $N$ incidentibus in loca $p$, $f$ \& $n$ axi $AB$ quam proximis;
ob {\ae}quales $An$, $pn$, recta $nq$, qu{\ae} ad arcum $Ap$ perpendicularis
est, adeo{\que} concurrit cum axe in puncto $K$, bisecat arcum
$Ap$. Proinde est $\frac{1}{2}Ap$ ad $Gn$ ut $AK$ ad $GK$, \& $Ap$ ad $Gn$ ut
$2AK$ ad $GK$. Est \& $Gn$ ad $Gf$ ut $EN$ ad $EF$, seu $L$ ad $CF$, id
est, ut $\frac{GK \times AOq.}{2AS \times OD}$ ad $CF$,
seu $GK \times AOq.$ ad $2AS \times OD \times CF$,
\& ex {\ae}quo $Ap$ ad $Gf$ ut $2AK$ ad $GK + GK \times AOq.$ ad $2AS \times
OD \times CF$, id est, ut $AK \times AOq.$ ad $AS \times OD \times CF$, hoc est, ob
{\ae}qualia $AK \times AO \times ODq.$ ut $AO \times OD$ ad $AS \times CF$. Proinde
$Ap \times \frac{1}{2}AS$ est ad $Gf \times \frac{1}{2}GC$ ut $AO \times OD \times AS$ ad $AS \times CF
\times GC$, seu $AO \times OD$ ad $CGq.$ id est, sector nascens $ASp$ ad
sectorem nascentem $GCf$ ut $AO \times OD$ ad $CGq.$ \& propterea ut
area Ellipseos totius ad aream circuli totius. \QEDit Argumento
prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus
$BSP$, $OCF$: ideo{\que} locus puncti $P$ prope Apsides
satis accurate
inventus
est. In quadraturis
error
quasi
quingentesim{\ae}
partis are{\ae}
Ellipseos
totius vel
paulo major
obvenire solet:
qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem
sequentem.

Per puncta $G$, $O$, duc arcum circularem $GTO$ just{\ae} magnitudinis;
dein produc $EF$ hinc inde ad $T$ \& $N$ ut sit $EN$ ad $FT$ ut
$\frac{1}{2}L$ ad $CF$; centro{\que} $N$ \& intervallo $AN$ describe circulum qui
secet Ellipsin in $P$, ut supra. Arcus autem $GTO$ determinabitur
% -----File: 119.png---
qu{\ae}rendo ejus punctum aliquod $T$; quod constructionem in illo
casu accuratam reddet.

Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum,
\& motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur,
(qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e
puncto $G$ rectam $GI$ axi $AB$ perpendicularem, \& in ea ratione
ad $GK$ quam habet area $AVPS$ ad rectangulum $AK \times AS$; dein
centro $I$ \& intervallo $AI$ circulum describere. Hic enim secabit
Ellipsim in corporis loco qu{\ae}sito $P$ quamproxime. Et
eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in
Hyperbola. H{\ae} autem constructiones demonstrantur ut supra,
\& si Figura (vertice ulteriore $B$ in infinitum abeunte) vertatur
in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem
Problematis XXII.

\pngright{119.png}{1596}{1114}{-24}
%Illustration

Si quando locus ille $P$ accuratius determinandus sit, inveniatur
tum angulus quidam $B$, qui sit ad angulum graduum $57\decimals{29578}$
quem arcus radio {\ae}qualis subtendit, ut est umbilicorum distantia
$SH$ ad Ellipseos diametrum $AB$; tum etiam longitudo qu{\ae}dam
$L$, qu{\ae} sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel
inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin.
Per constructionem
superiorem
(vel utcun{\que} conjecturam
faciendo)
cognoscatur
corporis locus $P$
quam proxime.
Demissa{\que} ad axem
Ellipseos ordinatim
applicata
$PR$, ex proportione
diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti $AQB$
ordinatim applicata $RQ$, qu{\ae} sinus est anguli $ACQ$ existente
% -----File: 120.png---
$AC$ radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris
proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori
\label{wasp112}proportionalis,
id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo
corpus descripsit arcum $AP$, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi.
Sit angulus iste $N$. Tum capiatur \& angulus $D$ ad angulum
$B$, ut est sinus iste anguli $ACQ$ ad Radium, \& angulus $E$
ad angulum $N - ACQ + D$, ut est longitudo $L$ ad longitudinem
eandem $L$ cosinu anguli $ACQ + \frac{1}{2}D$ diminutam, ubi angulus
iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum
\label{wasp112bis}angulus
$F$ ad angulum $B$, ut est sinus anguli $ACQ + E$ ad radium,
tum angulus $G$ ad angulum $N - ACQ - E + F$ ut est longitudo
$L$ ad Longitudinem eandem cosinu anguli $ACQ + E + \frac{1}{2}F$ diminutam
ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia
vice capiatur angulus $H$ ad angulum $B$, ut est sinus anguli $ACQ
+ E + G$ ad radium; \& angulus $I$ ad angulum $N - ACQ -
E - G + H$, ut est longitudo $L$ ad eandem longitudinem cosinu
anguli $ACQ + E + G + \frac{1}{2}H$ diminutam, ubi angulus iste recto
minor est, auctam
ubi major. Et
sic pergere licet
in infinitum. Deni{\que}
capiatur angulus
$ACq$ {\ae}qualis
angulo $ACQ
+ E + G + I$
\&c.\ \& ex cosinu
ejus $Cr$ \& ordinata
$pr$, qu{\ae} est
ab sinum $qr$ ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur
corporis locus correctus $p$. Siquando angulus $N - ACQ +
D$ negativus est, debet signum + ipsius $E$ ubi{\que} mutari in -, \& signum
- in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum $G$ \& $I$, ubi
anguli $N - ACQ - E + F$, \& $N - ACQ - E - G + H$ negative
% -----File: 121.png---
prodeunt. Convergit autem series infinita $ACQ + E + G
+ I$ quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi
quam ad terminum secundum $E$. Et fundatur calculus in
hoc Theoremate, quod area $APS$ sit ut differentia inter arcum
$AQ$ \& rectam ab umbilico $S$ in Radium $CQ$ perpendiculariter
demissam.

\pngright{121.png}{1034}{876}{-12}
%Illustration

Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit
ejus centrum $C$, Vertex $A$, Umbilicus $S$ \&
\label{wasp113}Asymptotos $CK$. Cognoscatur
quantitas are{\ae} $APS$ tempori proportionalis. Sit ea $A$, \&
fiat conjectura de positione rect{\ae} $SP$, qu{\ae} aream illam abscindat
quamproxime. Jungatur $CP$, \&
ab $A$ \& $P$ ad Asymptoton agantur
$AI$, $PK$ Asymptoto alteri parallel{\ae},
\& per Tabulam Logarithmorum
dabitur Area $AIKP$, ei{\que}
{\ae}qualis area $CPA$, qu{\ae} subducta
de triangulo $CPS$ relinquet aream
$APS$. Applicando arearum $A$
\& $APS$ semidifferentiam $\frac{1}{2}APS - \frac{1}{2}A$ vel $\frac{1}{2}A - \frac{1}{2}APS$ ad lineam
$SN$, qu{\ae} ab umbilico $S$ in tangentem $PT$ perpendicularis est, orietur
longitudo $PQ$. Capiatur autem $PQ$ inter $A$ \& $P$, si area $APS$
major sit area $A$, secus ad puncti $P$ contrarias partes: \& punctum
$Q$ erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur
idem accuratius in perpetuum.

%!!Page reference
At{\que} his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum
usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis
qui sequitur. Existentibus $AO$, $OB$, $OD$ semiaxibus Ellipseos,
(\textit{Vide fig.\ pag.\ \pageref{wasp109}.})\ \& $L$ ipsius latere recto, qu{\ae}re tum
angulum $Y$, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium differentia
$AO - OD$ ad eorum summam $AO + OD$; tum angulum
$Z$, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum
distantia $SH$ \& semiaxium differentia $AO - OD$ ad triplum rectangulum
sub $OQ$ semiaxe minore \& $AO - \frac{1}{4}L$ differentia inter semiaxem
% -----File: 122.png---
majorem \& quartam partem lateris recti. His angulis semel
inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume
angulum $T$ proportionalem tempori quo arcus $BP$ descriptus est,
seu motui medio (ut loquuntur) {\ae}qualem; \& angulum $V$
(primam medii motus {\ae}quationem) ad angulum $Y$ ({\ae}quationem
maximam primam) ut est sinus anguli $T$ duplicati ad radium;
at{\que} angulum $X$ ({\ae}quationem secundam) ad angulum $Z$
({\ae}quationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli $T$
duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut
est quadratum sinus anguli $T$ ad quadratum Radii. Angulorum
$T$, $V$, $X$ vel summ{\ae} $T + X + V$, si angulus $T$ recto minor est, vel
differenti{\ae} $T + X - V$, si is recto major est rectis{\que} duobus minor,
{\ae}qualem cape angulum $BHP$ (motum medium {\ae}quatum;) \&
si $HP$ occurrat Ellipsi in $P$, acta $SP$ abscindet aream $BSP$ tempori
proportionalem quamproxime. H{\ae}c Praxis satis expedita
videtur, propterea quod angulorum perexiguorum $V$ \& $X$ (in
minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve
primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii {\ae}quati
$BHP$, angulus veri motus $HSP$ \& distantia $SP$ in promptu
sunt per methodum notissimam Dris.\ \textit{Sethi Wardi} Episcopi \textit{Salisburiensis}
mihi plurimum colendi.

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest
ut mobile recta descendat vel recta ascendat, \& qu{\ae} ad istiusmodi
motus spectant, pergo jam exponere.


% -----File: 123.png---




\sectpage{VII.}

\begin{center}{\textit{De Corporum Ascensu \& Descensu Rectilineo.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XXXII\@. Prob.\ XXIV.}

\textit{Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quad\-rato
distanti{\ae} locorum a centro, spatia definire qu{\ae} corpus recta cadendo datis
temporibus describit.}

\pngright{123.png}{640}{1856}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem
aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum
centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII \& earum Corollariis
constat. Sit sectio illa Conica $ARPB$
\& umbilicus inferior $S$. Et primo si Figura
illa Ellipsis est, super hujus axe majore
$AB$ describatur semicirculus $ADB$, \& per
corpus decidens transeat recta $DPC$ perpendicularis
ad axem; actis{\que} $DS$, $PS$ erit
area $ASD$ are{\ae} $ASP$ at{\que} adeo etiam tempori
proportionalis. Manente axe $AB$ minuatur
perpetuo latitudo Ellipseos, \& semper
manebit area $ASD$ tempori proportionalis.
Minuatur latitudo illa in infinitum,
\& orbe $APB$ jam coincidente cum axe $AB$
\& umbilico $S$ cum axis termino $B$, descendet
corpus in recta $AC$, \& area $ABD$ evadet
tempori proportionalis. Dabitur ita{\que} spatium
$AC$, quod corpus de loco $A$ perpendiculariter
cadendo tempore dato describit, si modo tempori proportionalis
capiatur area $ABD$, \& a puncto $D$ ad rectam $AB$
demittatur perpendicularis $DC$. \QEIit
% -----File: 124.png---

\pngright{126.png}{1059}{1758}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Sin figura superior $RPB$ Hyperbola est, describatur
ad eandem diametrum principalem $AB$ Hyperbola rectangula
$BD$: \& quoniam are{\ae} $CSP$, $CBfP$, $SPfB$ sunt ad areas $CSD$,
$CBED$, $SDEB$, singul{\ae} ad singulas,
in data ratione altitudinum
$CP$, $CD$; \& area $SPfB$
proportionalis est tempori quo
corpus $P$ movebitur per arcum
$PB$, erit etiam area $SDEB$ eidem
tempori proportionalis. Minuatur
latus rectum Hyperbol{\ae}
$RPB$ in infinitum manente latere
transverso, \& coibit arcus
$PB$ cum recta $CB$, \& umbilicus
$S$ cum vertice $B$ \& recta $SD$ cum
recta $BD$. Proinde area $BDEB$
proportionalis erit tempori quo
corpus $C$ recto descensu describit
lineam $CB$. \QEIit

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Et simili argumento
si figura $RPB$ Parabola est, \&
eodem vertice principali $B$ describatur
alia Parabola $BED$, qu{\ae} semper maneat data, interea
dum Parabola prior in cujus perimetro corpus $P$ movetur, diminuto
\& in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum linea
$CB$, fiet segmentum Parabolicum $BDEB$ proportionale tempori
quo corpus illud $P$ vel $C$ descendet ad centrum $B$. \QEIit


\condpagelarge{Prop.\ XXXIII\@. Theor.\ IX.}

\textit{Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis
$C$ est ad velocitatem corporis centro $B$ intervallo $BC$ circulum
describentis, in dimidiata ratione quam $CA$, distantia corporis a
Circuli vel Hyperbol{\ae} vertice ulteriore $A$, habet ad figur{\ae} semidiametrum
principalem $\frac{1}{2}AB$.}

% -----File: 125.png---

\pngright{123.png}{640}{1856}{-24}
%Illustration

Nam{\que} ob proportionales $CD$, $CP$, linea $AB$ communis est
utrius{\que} figur{\ae} $RPB$, $DEB$ diameter. Bisecetur eadem in $O$,
\& agatur recta $PT$ qu{\ae} tangat figuram $RPB$ in $P$, at{\que} etiam secet
communem illam diametrum $AB$ (si opus est productam)
in $T$; sit{\que} $SY$ ad hanc rectam \& $BQ$ ad
hanc diametrum perpendicularis, at{\que} figur{\ae}
$RPB$ latus rectum ponatur $L$. Constat
per Cor.\ 9.\ Theor.\ VIII.\ quod corporis in
linea $RPB$ circa centrum $S$ moventis velocitas
in loco quovis $P$ sit ad velocitatem corporis
intervallo $SP$ circa idem centrum circulum
describentis in dimidiata ratione rectanguli
$\frac{1}{2}L \times SP$ ad $SY$ quadratum. Est
autem ex Conicis $ACB$ ad $CPq.$ ut $2AO$ ad
$L$, adeo{\que} $\frac{2CPq. \times AO}{ACB}$ {\ae}quale $L$. Ergo velocitates
ill{\ae} sunt ad invicem in dimidiata
ratione $\frac{CPq. \times AO \times SP}{ACB}$ ad $SY \opit{quad}$. Porro
ex Conicis est $CO$ ad $BO$ ut $BO$ ad $TO$, \&
composite vel divisim ut $CB$ ad $BT$. Unde
dividendo vel componendo fit $BO$ - uel
+ $CO$ ad $BO$ ut $CT$ ad $BT$, id est $AC$ ad $AO$ ut $CP$ ad $BQ$;
inde{\que} $\frac{CPq. \times AO \times SP}{ACB}$ {\ae}quale est
$\frac{BQq. \times AC \times SP}{AO \times BC}$. Minuatur
jam in infinitum figur{\ae} $RPB$ latitudo $CP$, sic ut punctum $P$ coeat
cum puncto $C$, punctum{\que} $S$ cum puncto $B$, \& linea $SP$ cum linea
$BC$, linea{\que} $SY$ cum linea $BQ$; \& corporis jam recta
descendentis\spreadout{in linea $CB$ velocitas fiet ad velocitatem corporis centro $B$}
interuallo\spreadout{$BC$ circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius $\frac{BQq.\times AC{}\times{}SP}{AO\times{}BC}$}

%\pngright{126.png}{1059}{1758}{-24}
%height parameter empirically adjusted to compensate for presence of header line
\pngright{126.png}{1059}{1320}{-24}
%Illustration

\noindent ad $SYq.$ hoc est (neglectis {\ae}qualitatis rationibus
$SP$ ad $BC$ \& $BQq.$ ad $SYq.$)
in dimidiata ratione $AC$ ad $AO$.
\QEDit
% -----File: 126.png---

\textit{Corol.}\wsp{}Punctis $B$ \& $S$ coeuntibus, fit $TC$ ad $ST$ ut $AC$ ad
$AO$.


\condpagelarge{Prop.\ XXXIV\@. Theor.\ X.}

\textit{Si figura $BED$ Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas
in loco quovis $C$ {\ae}qualis est velocitati qua corpus centro $B$ dimidio
intervalli sui $BC$ circulum
uniformiter describere potest.}

Nam corporis Parabolam $RPB$
circa centrum $S$ describentis
velocitas in loco quovis $S$
(per Corol.\ 7.\ Theor.\ VIII)
{\ae}qualis est velocitati corporis dimidio
intervalli $SP$ circulum circa
idem $S$ uniformiter describentis.
Minuatur Parabol{\ae} latitudo
$CP$ in infinitum eo, ut arcus
Parabolicus $PfB$ cum recta $CB$,
centrum $S$ cum vertice $B$, \& interuallum
$SP$ cum intervallo $BP$
coincidat, \& constabit Propositio.
\QEDit

\condpagelarge{Prop.\ XXXV\@. Theor.\ XI.}

\textit{Iisdem positis, dico quod area figur{\ae} $DES$, radio indefinito $SD$ descripta,
{\ae}qualis sit are{\ae} quam corpus, radio dimidium lateris recti
figur{\ae} $DES$ {\ae}quante, circa centrum $S$ uniformiter gyrando, eo\-dem
tempore describere potest.}

\pngright{127.png}{569}{1691}{-24}
%Illustration

Nam concipe corpus $C$ quam minima temporis particula lineolam
$Cc$ cadendo describere, \& interea corpus aliud $K$, uniformiter
in circulo $OKk$ circa centrum $S$ gyrando, arcum $Kk$ describere.
% -----File: 127.png---
Erigantur perpendicula $CD$, $cd$ occurrentia figur{\ae} $DES$
in $D$, $d$. Jungantur $SD$, $SK$, $Sk$ \& ducatur $Dd$ axi $AS$ occurrens
in $T$, \& ad eam demittatur perpendiculum $SY$.

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Jam si figura $DES$ Circulus est vel Hyperbola, bisecetur
ejus transversa diameter $AS$ in $O$, \& erit
$SO$ dimidium Lateris recti. Et quoniam est
$TC$ ad $TD$ ut $Cc$ ad $Dd$, \& $TD$ ad $TS$ ut $CD$
ad $SY$, erit ex {\ae}quo $TC$ ad $TS$ ut $CD \times Cc$ ad
$SY \times Dd$. Sed per Corol.\ Prop.\ 33.\ est $TC$
ad $ST$ ut $AC$ ad $AO$, puta si in coitu punctorum
$D$, $d$ capiantur linearum rationes ultim{\ae}.
Ergo $AC$ est ad $AO$, id est ad $SK$, ut
$CD \times Cc$ ad $SY \times Dd$. Porro corporis descendentis
velocitas in $C$ est ad velocitatem
corporis circulum intervallo $SC$ circa centrum
$S$ describentis in dimidiata ratione $AC$ ad $AO$
vel $SK$ (per Theor.\ IX\@.) Et h{\ae}c velocitas
ad velocitatem corporis describentis circulum
$OKk$ in dimidiata ratione $SK$ ad $SC$ per
Cor.\ 6.\ Theor.\ IV.\ \& ex {\ae}quo velocitas prima
ad ultimam, hoc est lineola $Cc$ ad arcum $Kk$ in dimidiata
ratione $AC$ ad $SC$, id est in ratione $AC$ ad $CD$. Quare est
$CD \times Cc$ {\ae}quale $AC \times Kk$, \& propterea $AC$ ad $SK$ ut

\pngright{128a.png}{1054}{1883}{-24}
%Illustration

\noindent $AC \times Kk$ ad $SY \times Dd$, inde{\que} $SK \times Kk$ {\ae}quale $SY \times Dd$, \& $\frac{1}{2}SK \times Kk$ {\ae}quale
$\frac{1}{2}SY \times Dd$, id est area $KSk$ {\ae}qualis are{\ae} $SDd$.
Singulis igitur temporis
particulis generantur arearum duarum particul{\ae} $KSk$, $SDd$, qu{\ae}, si magnitudo
earum minuatur \& numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent {\ae}qualitatis, \& propterea (per
Corollarium Lemmatis IV) are{\ae} tot{\ae} simul genit{\ae}
sunt semper {\ae}quales. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Quod si figura $DES$ Parabola sit, invenietur ut supra
$CD \times Cc$ esse ad $SY \times Dd$ ut $TC$ ad $ST$, hoc est ut 2 ad 1, adeo{\que}
$\frac{1}{4}CD \times Cc$ {\ae}qualem esse $\frac{1}{2}SY \times Dd$. Sed corporis cadentis
% -----File: 128.png---
velocitas in $C$ {\ae}qualis est velocitati
qua circulus intervallo $\frac{1}{2}SC$
uniformiter describi possit (per
Theor.\ X\@.) Et h{\ae}c velocitas ad velocitatem
qua circulus radio $SK$
describi possit, hoc est, lineola $Cc$
ad arcum $Kk$ est in dimidiata ratione
$SK$ ad $\frac{1}{2}Sc$, id est, in ratione
$SK$ ad $\frac{1}{2}CD$, per Corol.\ 6.\ Theorem.\
IV\@. Quare est $\frac{1}{2}SK \times Kk$
{\ae}quale $\frac{1}{4}CD \times Cc$, adeo{\que} {\ae}quale
$\frac{1}{2}SY \times Dd$, hoc est, area $KSk$ {\ae}qualis
Are{\ae} $SDd$, ut supra. \textit{Quod
erat demonstrandum.}


\condpagelarge{Prop.\ XXXVI\@. Prob.\ XXV.}

\pngright{128b.png}{452}{1259}{-24}
%Illustration

\textit{Corporis de loco dato $A$ cadentis determinare tempora
descen\-sus.}

Super diametro $AS$ (distantia corporis a centro
sub initio) describe semicirculum $ADS$, ut \&
huic {\ae}qualem semicirculum $OKH$ circa centrum
$S$. De corporis loco quovis $C$ erige ordinatim applicatam
$CD$. Junge $SD$, \& are{\ae} $ASD$ {\ae}qualem
constitue Sectionem $OSK$. Patet per Theor.\
XI, quod corpus cadendo describet spatium $AC$
eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa
centrum $S$ gyrando, describere potest arcum
$OK$. \textit{Quod erat faciendum.}

\condpagelarge{Prop.\ XXXVII\@. Prob.\ XXVI.}

\textit{Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora
ascensus vel descensus.}

% -----File: 129.png---

\pngrightsc{129a.png}{585}{1880}{15}{16}
%Illustration



Exeat corpus de loco dato $G$ secundum lineam $ASG$ cum velocitate
quacun{\que}. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem
in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum
$SG$ circa centrum $S$ revolvi posset, cape $CA$
ad $\frac{1}{2}AS$. Si ratio illa est numeri binarii ad
unitatem, punctum $A$ cadet ad infinitam distantiam,
quo in casu Parabola uertice $S$, axe
$SC$, latere quovis recto describenda est. Patet
hoc per Theorema X\@. Sin ratio illa minor
vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus,
posteriore Hyperbola rectangula super diametro
$SA$ describi debet. Patet per Theorema
IX\@. Tum centro $S$, intervallo {\ae}quante dimidium
lateris recti, describatur circulus $HKk$,
\& ad corporis ascendentis vel descendentis loca
duo qu{\ae}vis $G$, $C$, erigantur perpendicula
$GI$, $CD$ occurrentia Conic{\ae} Sectioni vel circulo
in $I$ ac $D$. Dein junctis $SI$, $SD$, fiant segmentis
$SEIS$, $SEDS$ Sectores $HSK$, $HSk$
{\ae}quales, \& per Theorema XI. corpus $G$ describet
spatium $GC$ eodem tempore quo corpus
$K$ describere potest arcum $Kk$. \QEFup


\condpagelarge{Prop.\ XXXVIII\@. Theor.\ XII.}

\textit{Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distanti{\ae} locorum
a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates \& spatia
descripta sunt arcubus arcuum{\que} sinibus
versis \& sinibus rectis respective proportionales.}

\pngright{129b.png}{717}{741}{-12}
%Illustration

Cadat corpus de loco quovis $A$ secundum
rectam $AS$; \& centro virium $S$, intervallo
$AS$, describatur circuli quadrans
$AE$, sit{\que} $CD$ sinus rectus arcus cujusvis
% -----File: 130.png---
$AD$, \& corpus $A$, tempore $AD$, cadendo describet spatium
$AC$, in{\que} loco $C$ acquisierit velocitatem $CD$. Demonstratur eodem
modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione
XI. demonstrata fuit. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc {\ae}qualia sunt tempora quibus corpus unum de
loco $A$ cadendo provenit ad centrum $S$, \& corpus aliud revolvendo
describit arcum quadrantalem $ADE$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Proinde\spreadout{{\ae}qualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis} \\
quibusvis ad us{\que} centrum cadunt. Nam revolventium
tempora omnia periodica (per Corol.\ 3.\ Prop.\ IV.) {\ae}quantur.


\condpagelarge{Prop.\ XXXIX\@. Prob.\ XXVII.}

\textit{Posita cujuscun{\que} generis vi centripeta, \& concessis figurarum curvilinearum
quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis
tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad
locum quemvis perveniet: Et contra.}

\pngright{130.png}{872}{1649}{-24}
%Illustration

De loco quovis $A$ in recta $ADEC$ cadat corpus $E$, de{\que} loco
ejus $E$ erigatur semper perpendicularis $EG$, vi centripet{\ae} in loco
illo ad centrum $C$ tendenti proportionalis:
Sit{\que} $BFG$ linea curva quam punctum
$G$ perpetuo tangit. Coincidat autem
$EG$ ipso motus initio cum perpendiculari
$AB$, \& erit corporis velocitas in loco
quovis $E$ ut are{\ae} curviline{\ae} $ABGE$ latus
quadratum. \QEIit In $EG$ capiatur
$EM$ lateri quadrato are{\ae} $ABGE$
reciproce proportionalis, \& sit $ALM$ linea
curva quam punctum $M$ perpetuo tangit,
\& erit tempus quo corpus cadendo
describit lineam $AE$ ut area curvilinea $ALME$.
\textit{Quod erat Inveniendum.}

Etenim in recta $AE$ capiatur linea
quam minima $DE$ dat{\ae} longitudinis, sit{\que} $DLF$ locus line{\ae} $EMG$
% -----File: 131.png---
ubi corpus versabatur in $D$; \& si ea sit vis centripeta, ut area $ABGE$
latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa
in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in $D$
\& $E$ scribantur $V$ \& $V + I$, erit area $ABFD$ ut $V^2$, \& area $ABGE$
ut $V^2 + 2VI + I^2$, \& divisim area $DFGE$ ut $2VI + I^2$,
adeo{\que} $\frac{DFGE}{DE}$ ut $\frac{{2I \times V + \frac{1}{2}I}}{DE}$, id est, si prim{\ae} quantitatum nascentium
rationes sumantur, longitudo $DF$ ut quantitas $\frac{2I \times V}{DE}$,
adeo{\que} etiam ut quantitatis hujus dimidium $\frac{I \times V}{DE}$. Est autem
tempus quo corpus cadendo describit lineolam $DE$, ut lineola
illa directe \& velocitas $V$ inverse, est{\que} vis ut velocitatis incrementum
$I$ directe \& tempus inverse, adeo{\que} si prim{\ae} nascentium
rationes sumantur, ut $\frac{I \times V}{DE}$, hoc est, ut longitudo $DF$. Ergo vis
ipsi $DF$ vel $EG$
proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere
qu{\ae} sit ut are{\ae} $ABGE$ latus quadratum. \QEDup

Porro cum tempus, quo qu{\ae}libet longitudinis dat{\ae} lineola $DE$
describatur, sit ut velocitas, adeo{\que} ut are{\ae} $ABFD$ latus quadratum
inverse; sit{\que} $DL$, at{\que} adeo are{\ae} nascens $DLME$, ut
idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area $DLME$, \&
summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est
(per Corol.\ Lem.\ IV.) tempus totum quo linea $AE$ describitur
ut area tota $AME$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si $P$ sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente
aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur
gravitas) velocitatem acquirat in loco $D$ {\ae}qualem velocitati
quam corpus aliud vi quacun{\que} cadens acquisivit eodem loco $D$,
\& in perpendiculari $DF$ capiatur $DR$, qu{\ae} sit ad $DF$ ut vis illa
uniformis ad vim alteram in loco $D$, \& compleatur rectangulum
$PDRQ$, ei{\que} {\ae}qualis abscindatur area $ABFD$; erit $A$ locus
de quo corpus alterum cecidit. Nam{\que} completo rectangulo
% -----File: 132.png---
$EDRS$, cum sit area $ABFD$ ad aream $DFGE$ ut $VV$ ad $2V \times I$,
adeo{\que} ut $\frac{1}{2}V$ ad $I$, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum
velocitatis corporis vi in{\ae}quabili cadentis; \& similiter
area $PQRD$ ad aream $DRSE$ ut semissis velocitatis totius
ad incrementum velocitatis corporis
uniformi vi cadentis; sint{\que} incrementa
illa (ob {\ae}qualitatem temporum nascentium)
ut vires generatrices, id est
ut ordinatim applicat{\ae} $DF$, $DR$, adeo{\que}
ut are{\ae} nascentes $DFGE$, $DRSE$;
erunt (ex {\ae}quo) are{\ae} tot{\ae} $ABFD$,
$PQRD$ ad invicem ut semisses totarum
velocitatum, \& propterea (ob {\ae}qualitatem
velocitatum) {\ae}quantur.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si corpus quodlibet
de loco quocun{\que} $D$ data cum velocitate
vel sursum vel deorsum projiciatur,
\& detur lex vis centripet{\ae}, invenietur
velocitas ejus in alio quovis loco
$e$, erigendo ordinatam $eg$, \& capiendo
velocitatem illam ad velocitatem in loco $D$ ut est latus quadratum
rectanguli $PQRD$ area curvilinea $DFge$ vel aucti, si locus
$e$ est loco $D$ inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum
rectanguli solius $PQRD$, id est ut
$\surd \overline{PQRD + \textrm{vel} - DFge}$ ad $\surd PQRD$.


\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Tempus quo{\que} innotescet erigendo ordinatam $em$ reciproce
proportionalem lateri quadrato ex $PQRD$ + vel - $DFge$,
\& capiendo tempus quo corpus descripsit lineam $De$ ad tempus
quo corpus alterum vi uniformi cecidit a $P$ \& cadendo pervenit
ad $D$, ut area curvilinea $DLme$ ad rectangulum $2PD \times DL$.
Nam{\que} tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit
lineam $PD$ est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam
$PE$ in dimidiata ratione $PD$ ad $PE$, id est (lineola $DE$
% -----File: 133.png---
jamjam nascente) in ratione $PD$ ad $PD + \frac{1}{2}DE$ seu $2PD$ ad
$2PD + DE$, \& divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit
lineolam $DE$ ut $2PD$ ad $DE$, adeo{\que} ut rectangulum $2PE \times
DL$ ad aream $DLME$; est{\que} tempus quo corpus utrum{\que} descripsit
lineolam $DE$ ad tempus quo corpus alterum in{\ae}quabili
motu descripsit lineam $De$ ut area $DLME$ ad aream $DLme$,
\& ex {\ae}quo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum
$2PD \times DL$ ad aream $DLme$.




\sectpage{VIII.}

\begin{center}{\textit{De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscun{\que} centripetis
agitata revolventur.} }\end{center}


\propnopage{Prop.\ XL\@. Theor.\ XIII.}

\textit{Si corpus, cogente vi quacun{\que} centripeta, moveatur utcun{\que}, \& corpus
aliud recta ascendat vel descendat, sint{\que} eorum velocitates in
aliquo {\ae}qualium altitudinum casu {\ae}quales, velocitates eorum in
omnibus {\ae}qualibus altitudinibus erunt {\ae}quales.}

\pngcent{136.png}{2391}{1688}
%Illustration

Descendat corpus aliquod ab $A$ per $D$, $E$, ad centrum $C$, \&
moveatur corpus aliud a $V$ in linea curva $VIKk$. Centro $C$ intervallis
quibusvis describantur circuli concentrici $DI$, $EK$ rect{\ae}
$AC$ in $D$ \& $E$, curv{\ae}{\que} $VIK$ in $I$ \& $K$ occurrentes. Jungatur
$IC$ occurrens ipsi $KE$ in $N$; \& in $IK$ demittatur perpendiculum
$NT$; sit{\que} circumferentiarum circulorum intervallum $DE$
vel $IN$ quam minimum, \& habeant corpora in $D$ \& $I$ velocitates
{\ae}quales. Quoniam distanti{\ae} $CD$, $CI$ {\ae}quantur, erunt vires
centripet{\ae} in $D$ \& $I$ {\ae}quales. Exponantur h{\ae} vires per {\ae}quales
lineolas $DE$, $IN$; \& si vis una $IN$, per Legum Corol.\ 2.\
resolvatur in duas $NT$ \& $IT$, vis $NT$, agendo secundum lineam
% -----File: 134.png---
$NT$ corporis cursui $ITK$ perpendicularem, nil mutabit velocitatem
corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu
rectilineo, faciet{\que} ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere,
in{\que} via curvilinea $ITKk$, progredi. In hoc effectu producendo
vis illa tota consumetur: vis autem altera $IT$, secundum corporis
cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam
minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde
corporum in $D$ \& $I$ accelerationes {\ae}qualibus temporibus fact{\ae}
(si sumantur linearum nascentium $DE$, $IN$, $IK$, $IT$, $NT$
rationes prim{\ae}) sunt ut line{\ae} $DE$, $IT$: temporibus autem in{\ae}qualibus
ut line{\ae} ill{\ae} \& tempora conjunctim. Tempora ob {\ae}qualitatem
velocitatum sunt ut vi{\ae} descript{\ae} $DE$ \& $IK$, adeo{\que}
accelerationes, in cursu corporum per lineas $DE$ \& $IK$, sunt ut
$DE$ \& $IT$, $DE$ \& $IK$ conjunctim, id est ut $DE \opit{quad.}$ \& $IT \times
IK$ rectangulum. Sed rectangulum $IT \times IK$ {\ae}quale est $IN \opit{quadrato}$,
hoc est, {\ae}quale $DE \opit{quadrato}$ \& propterea accelerationes in
transitu corporum a $D$ \& $I$ ad $E$ \& $K$ {\ae}quales generantur. {\AE}quales
igitur sunt corporum velocitates in $E$ \& $K$ \& eodem argumento
% -----File: 135.png---
semper reperientur {\ae}quales in subsequentibus {\ae}qualibus
distantiis. \QEDup Sed \& eodem argumento corpora {\ae}quivelocia
\& {\ae}qualiter a centro distantia, in ascensu ad {\ae}quales distantias
{\ae}qualiter retardabuntur. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento
quovis politissimo \& perfecte lubrico cogatur in linea
curva moveri, \& corpus aliud recta ascendat vel descendat,
sint{\que} velocitates eorum in eadem quacun{\que} altitudine {\ae}quales: erunt
velocitates eorum in aliis quibuscun{\que} {\ae}qualibus altitudinibus
{\ae}quales. Nam{\que} impedimento vasis absolute lubrici idem
pr{\ae}statur quod vi transversa $NT$. Corpus eo non retardatur,
non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam si quantitas $P$ sit maxima a centro distantia,
ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacun{\que}
revolvens, de{\que} quovis trajectori{\ae} puncto, ea quam ibi habet
velocitate sursum projectum ascendere possit; sit{\que} quantitas $A$
distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, \& vis
centripeta semper sit ut ipsius $A$ dignitas qu{\ae}libet $A^{n - 1}$, cujus
Index $n$ - 1 est numerus quilibet $n$ unitate diminutus; velocitas
corporis in omni altitudine $A$ erit ut
$\surd \overline{nP^{n} - nA^{n}}$,
at{\que} adeo datur. Nam{\que} velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop.\
XXXIX.) est in hac ipsa ratione.


\condpagelarge{Prop.\ XLI\@. Prob.\ XXVIII.}

\textit{Posita cujuscun{\que} generis vi centripeta \& concessis figurarum curvilinearum
quadraturis, requiruntur tum Trajectori{\ae} in quibus corpora
movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.}

\pngcent{136.png}{2391}{1688}
%Illustration

Tendat vis qu{\ae}libet ad centrum $C$ \& invenienda sit Trajectoria
$VITKk$. Detur circulus $VXY$ centro $C$ intervallo quovis $CV$
descriptus, centro{\que} eodem describantur alii quivis circuli $ID$,
% -----File: 136.png---
$KE$ trajectoriam secantes in $I$ \& $K$ rectam{\que} $CV$ in $D$ \& $E$. Age
tum rectam $CNIX$ secantem circulos $KE$, $VY$ in $N$ \& $X$, tum
rectam $CKY$ occurrentem circulo $VXY$ in $Y$. Sint autem puncta
$I$ \& $K$ sibi invicem vicinissima, \& pergat corpus ab $V$ per $I$, $T$ \&
$K$ ad $k$; sit{\que} $A$ altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet
ut in loco $D$ velocitatem acquirat {\ae}qualem velocitati corporis
prioris in $I$; \& stantibus qu{\ae} in Propositione XXXIX, quoniam
lineola $IK$, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas
at{\que} adeo ut latus quadratum are{\ae} $ABFD$, \& triangulum $ICK$
tempori proportionale datur, adeo{\que} $KN$ est reciproce ut
altitudo $IC$, id est, si detur quantitas aliqua $Q$, \& altitudo
$IC$ nominetur $A$, ut $\frac{Q}{A}$; quam nominemus $Z$. Ponamus eam
esse magnitudinem ipsius $Q$ ut sit $\surd ABFD$ in aliquo casu ad
$Z$ ut est $IK$ ad $KN$, \& erit semper $\surd ABFD$ ad $Z$ ut $IK$ ad
$KN$, \& $ABFD$ ad $ZZ$ ut $IK \opit{quad.}$ ad $KN \opit{quad.}$ \& divisim
$ABFD - ZZ$ ad $ZZ$ ut $IN \opit{quad.}$ ad $KN \opit{quad.}$ adeo{\que}
$\surd \overline{ABFD - ZZ}$
ad $Z$ ut $IN$ ad $KN$, \& propterea $A \times KN$
% -----File: 137.png---
{\ae}quale
$\frac{Q \times IN}{\surd \overline{ABFD - ZZ}}$.
Unde cum $YX \times XC$ sit ad $A \times KN$
in duplicata ratione $YC$ ad $KC$, erit rectang.\ $YX \times XC$ {\ae}quale
$\frac{Q \times IN \times CX \opit{quad.}}{AA \surd \overline{ABFD - ZZ}}$.
Igitur si in perpendiculo $DF$ capiantur
semper $Db$, $Dc$ ipsis
$\frac{Q}{2\surd \overline{ABFD - ZZ}}$ \& $\frac{Q \times CX \opit{quad.}}{2AA \surd \overline{ABFD - ZZ}}$
{\ae}quales respective, \& describantur curv{\ae} line{\ae} $ab$, $cd$ quas
puncta $b$, $c$ perpetuo tangunt; de{\que} puncto $V$ ad lineam $AC$ erigatur
perpendiculum $Vad$ abscindens areas curvilineas $VDba$, $VDdc$,
\& erigantur etiam ordinat{\ae} $Ez$, $Ex$: quoniam rectangulum
$Db \times IN$ seu $DbzE$ {\ae}quale est dimidio rectanguli $A \times KN$,
seu triangulo $ICK$; \& rectangulum $Dc \times IN$ seu $Dc \times E$ {\ae}quale
est dimidio rectanguli $YX$ in $CX$, seu triangulo $XCY$; hoc
est, quoniam arearum $VDba$, $VIC$ {\ae}quales semper sunt nascentes
particul{\ae} $DbzE$, $ICK$, \& arearum $VDcd$, $VCX$ {\ae}quales
semper sunt nascentes particul{\ae} $DExc$, $XCY$, erit area
genita $VDba$ {\ae}qualis are{\ae} genit{\ae}, $VIC$, adeo{\que} tempori proportionalis,
\& area genita $VDdc$ {\ae}qualis Sectori genito $VCX$.
Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco $V$, dabitur
area ipsi proportionalis $VDba$, \& inde dabitur corporis
altitudo $CD$ vel $CI$; \& area $VDcd$, ei{\que} {\ae}qualis Sector $VCX$
una cum ejus angulo $VCI$. Datis autem angulo $VCI$ \& altitudine
$CI$ datur locus $I$, in quo corpus completo illo tempore reperietur.
\QEIup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc maxim{\ae} minim{\ae}{\que} corporum altitudines, id
est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim
Apsides in puncta illa in quibus recta $IC$ per centrum ducta
incidit perpendiculariter in Trajectoriam $VIK$: id quod fit ubi
rect{\ae} $IK$ \& $NK$ {\ae}quantur, adeo{\que} ubi area $ABFD$ {\ae}qualis
est $ZZ$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Sed \& angulus $KIN$, in quo Trajectoria alibi secat
lineam illam $IC$, ex data corporis altitudine $IC$ expedite invenitur,
% -----File: 138.png---
nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut $KN$ ad $IK$, id est ut
$Z$ ad latus quadratum are{\ae} $ABFD$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si centro $C$ \& vertice principali $V$ describatur sectio
qu{\ae}libet Conica $VRS$, \& a quovis ejus puncto $R$ agatur Tangens
$RT$ occurrens axi infinite producto $CV$ in puncto $T$; dein
juncta $CR$ ducatur recta $CP$, qu{\ae} {\ae}qualis sit
absciss{\ae} $CT$, angulum{\que} $VCP$ Sectori $VCR$ proportionalem constituat; tendat

\pngright{138.png}{1751}{1414}{-12}
%Illustration

\noindent autem ad
centrum $C$
vis centripeta
cubo distanti{\ae}
locorum
a centro reciproce
proportionalis,
\& exeat corpus
de loco $V$ justa cum velocitate secundum lineam rect{\ae} $CV$
perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria
quam punctum $P$ perpetuo tangit; adeo{\que} si conica sectio $CVRS$
Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis
sit, ascendet illud perpetuo \& abibit in infinitum. Et contra, si
corpus quacun{\que} cum velocitate exeat de loco $V$, \& perinde ut inc{\ae}perit
vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere,
figura $CVRS$ vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest
Trajectoria augendo vel minuendo angulum $VCP$ in data aliqua
ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus
oblique in Trajectoria $VPQ$ qu{\ae} invenitur capiendo angulum $VCP$
Sectori Elliptico $CVRC$ proportionalem, \& longitudinem $CP$ longitudini
$CT$ {\ae}qualem: ut supra. Consequuntur h{\ae}c omnia ex
% -----File: 139.png---
Propositione pr{\ae}cedente, per Curv{\ae} cujusdam quadraturam, cujus
inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio.


\condpagelarge{Prop.\ XLII\@. Prob.\ XXIX.}

\textit{Data lege vis centripet{\ae}, requiritur motus corporis de loco dato data
cum velocitate secundum datam rectam egressi.}

Stantibus qu{\ae} in tribus Propositionibus pr{\ae}cedentibus: exeat
corpus de loco $I$ secundum lineolam $IT$, ea cum velocitate quam
corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco $P$ cadendo
acquirere posset in $D$: sit{\que} h{\ae}c vis uniformis ad vim qua corpus
primum urgetur in $I$, ut $DR$ ad $DF$. Pergat autem corpus versus
$k$; centro{\que} $C$ \& intervallo $Ck$ describatur circulus $ke$ occurrens
rect{\ae} $PD$ in $e$, \& erigantur curvarum $ALMm$, $BFGg$, $abzv$,
$dcxw$ ordinatim applicat{\ae} $em$, $eg$, $ev$, $ew$. Ex dato rectangulo
$PDRQ$, data{\que} lege vis centripet{\ae} qua corpus primum agitatur,
dantur curv{\ae} line{\ae} $BFGg$, $ALMm$, per constructionem
Problematis XXVIII. \& ejus \textit{Corol.\ 1.} Deinde ex dato angulo
$CIT$ datur proportio nascentium $IK$, $KN$ \& inde, per constructionem
Prob.\ XXVIII, datur quantitas $Q$, una cum curvis
lineis $abzv$, $dcxw$: adeo{\que} completo tempore quovis $Dbve$,
datur tum corporis altitudo $Ce$ vel $Ck$, tum area $Dcwe$, ei{\que}
{\ae}qualis Sector $XCy$, angulus{\que} $XCy$ \& locus $k$ in quo corpus tunc
versabitur. \QEIup

Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in
recessu quidem a centro variari secundum legem quamcun{\que} quam
quis imaginari potest, in {\ae}qualibus autem a centro distantiis esse
undi{\que} eandem. At{\que} hactenus corporum in Orbibus immobilibus
consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui
circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.


% -----File: 140.png---




\sectpage{IX.}

\begin{center}{\textit{De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, de{\que} motu Apsidum.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XLIII\@. Prob.\ XXX.}

\textit{Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacun{\que} circa centrum virium
revolvente perinde moveri possit, at{\que} corpus aliud in eadem
Trajectoria quiescente.}

\pngright{140.png}{1352}{1427}{-24}
%Illustration

In Orbe $VPK$ positione dato revolvatur corpus $P$ pergendo a
$V$ versus $K$. A centro $C$ agatur semper $Cp$, qu{\ae} sit ipsi $CP$ {\ae}qualis,
angulum{\que} $VCp$ angulo $VCP$ proportionalem constituat;
\& area quam linea $Cp$ describit erit ad aream $VCP$ quam linea
$CP$ describit, ut velocitas
line{\ae} describentis
$Cp$ ad velocitatem line{\ae}
describentis $CP$; hoc
est, ut angulus $VCp$ ad
angulum $VCP$, adeo{\que} in
data ratione, \& propterea
tempori proportionalis.
Cum area tempori
proportionalis sit
quam linea $Cp$ in plano
immobili describit, manifestum
est quod corpus,
cogente just{\ae} quantitatis
vi centripeta, revolvi possit una cum puncto $p$ in curva illa
linea quam punctum idem $p$ ratione jam exposita describit in
plano immobili. Fiat angulus $VCv$ angulo $PCp$, \& linea $Cv$ line{\ae}
% -----File: 141.png---
$CV$, at{\que} figura $vCp$ figur{\ae} $VCP$ {\ae}qualis, \& corpus in $p$
semper existens movebitur in perimetro figur{\ae} revolventis $vCp$,
eodem{\que} tempore describet arcum ejus $vp$ quo corpus aliud $P$
arcum ipsi similem \& {\ae}qualem $VP$ in figura quiescente $VPK$ describere
potest. Qu{\ae}ratur igitur, per Corollarium Propositionis
VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea
quam punctum $p$ describit in plano immobili, \& solvetur Problema.
\QEFup


\condpagelarge{Prop.\ XLIV\@. Theor.\ XIV.}

\textit{Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, \& corpus
aliud in eodem Orbe revolvente {\ae}qualiter moveri possunt, est in
triplicata ratione communis altitudinis inverse.}

Partibus orbis quiescentis $VP$, $PK$ sunto similes \& {\ae}quales
orbis revolventis partes $vp$, $pk$. A puncto $k$ in rectam, $pC$ demitte
perpendiculum $kr$, idem{\que} produc ad $m$, ut sit $mr$ ad $kr$ ut
angulus $VCp$ ad angulum $VCP$. Quoniam corporum altitudines
$PC$ \& $pC$, $KC$ \& $kC$ semper {\ae}quantur, manifestum est
quod si corporum in locis $P$ \& $p$ existentium distinguantur motus
singuli (per Legum Corol.\ 2.)\ in binos, (quorum hi versus
centrum, sive secundum lineas $PC$, $pC$; alteri prioribus transversi
secundum lineas ipsis $PC$, $pC$ perpendiculares determinantur)
motus\spreadout{versus centrum erunt {\ae}quales, \& motus transversus cor-}

\pngright{140.png}{1352}{1427}{-12}
%Illustration

\noindent poris
$p$ erit ad motum transversum corporis $P$, ut motus angularis line{\ae}
$pC$ ad motum angularem line{\ae} $PC$, id est ut angulus $VCp$ ad
angulum $VCP$. Igitur eodem tempore quo corpus $P$ motu suo
utro{\que} pervenit ad punctum $K$, corpus $p$ {\ae}quali in centrum motu
{\ae}qualiter movebitur a $P$ versus $C$, adeo{\que} completo illo tempore
reperietur alicubi in linea $mkr$, qu{\ae} per punctum $k$ in lineam
$pC$ perpendicularis est; \& motu transverso acquiret distantiam
a linea $pC$, qu{\ae} sit ad distantiam quam corpus alterum
acquirit a linea $PC$, ut est hujus motus transversus ad motum
% -----File: 142.png---
transversum alterius. Quare cum $kr$ {\ae}qualis sit distanti{\ae} quam
corpus alterum acquirit a linea $pC$, sit{\que} $mr$ ad $kr$ ut angulus
$VCp$ ad angulum $VCP$, hoc est, ut motus transversus corporis $p$
ad motum transversum corporis $P$, manifestum est quod corpus
$p$ completo illo tempore reperietur in loco $m$. H{\ae}c ita se habebunt
ubi corpora $P$ \& $p$ {\ae}qualiter secundum lineas $pC$ \& $PC$ moventur,
adeo{\que} {\ae}qualibus viribus secundum lineas illas urgentur.
Capiatur autem angulus $pCn$ ad angulum $pCk$ ut est angulus $VCp$
ad angulum $VCP$, sit{\que} $nC$ {\ae}qualis $kC$, \& corpus $p$ completo
illo tempore revera reperietur in $n$; adeo{\que} vi majore urgetur,
si modo angulus $mCp$
angulo $kCp$ major est,
id est si orbis $Vpk$ movetur
in consequentia, \&
minore, si orbis regreditur;
est{\que} virium differentia
ut locorum intervallum
$mn$, per quod
corpus illud $p$ ipsius actione,
dato illo temporis
spatio transferri debet.
Centro $C$ intervallo
$Cn$ vel $Ck$ describi intelligetur
circulus secans
lineas $mr$, $mn$ productas in $s$ \& $t$, \& erit rectangulum $mn \times mt$
{\ae}quale rectangulo $mk \times ms$, adeo{\que} $mn$ {\ae}quale
$\frac{mk \times ms}{mt}$.
Cum autem triangula $pCk$, $pCn$ dentur magnitudine, sunt $kr$ \& $mr$,
earum{\que} differentia $mk$ \& summa $ms$ reciproce ut altitudo $pC$,
adeo{\que} rectangulum $mk \times ms$ est reciproce ut quadratum altitudinis
$pC$. Est \& $mt$ directe ut $\frac{1}{2}mt$, id est ut altitudo $pC$. H{\ae}
sunt prim{\ae} rationes linearum nascentium; \& hinc fit
$\frac{mk \times ms}{mt}$, id
% -----File: 143.png---
est lineola nascens $mn$, ei{\que} proportionalis virium differentia reciproce
ut cubus altitudinis $pC$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc differentia virium in locis $P$ \& $p$ vel $K$ \& $k$ est
ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab $r$ ad $k$, eodem
tempore quo corpus $P$ in orbe immobili describit arcum $PK$, ut
$mk \times ms$ ad $rk$ quadratum; hoc est si capiantur dat{\ae} quantitates
$F$, $G$ in ea ratione ad invicem quam habet angulus $VCP$ ad
angulum $VCp$, ut $Gq. - Fq.$ ad $Fq$. Et propterea, si centro $C$
intervallo quovis $CP$ vel $Cp$ describatur Sector circularis {\ae}qualis
are{\ae} toti $VPC$, quam corpus $P$ tempore quovis in orbe immobili
revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium,
quibus corpus $P$ in orbe immobili \& corpus $p$ in orbe mobili revolvuntur,
erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio
ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta
sit area $VPC$, uniformiter describere potuisset, ut $Gq. - Fq.$ ad
$Fq$. Nam{\que} sector ille \& area $pCk$ sunt ad invicem ut tempora
quibus describuntur.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si orbis $VPK$ Ellipsis sit umbilicum habens $C$ \& Apsidem
summam $V$; ei{\que} similis \& {\ae}qualis ponatur Ellipsis $vpk$,
ita ut sit semper $pc$ {\ae}qualis $PC$, \& angulus $VCp$ sit ad angulum
$VCP$ in data ratione $G$ ad $F$; pro altitudine autem $PC$ vel $pc$
scribatur $A$, \& pro Ellipseos latere recto ponatur $2R$: erit vis qua
corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut
$\frac{Fq.}{Aq.} + \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$
\& contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota
Ellipsi per quantitatem
$\frac{Fq.}{Aq.}$,
\& vis in $V$ erit
$\frac{Fq.}{CV \opit{quad.}}$
Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam $CV$ ea cum velocitate
revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in $V$,
est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside
$V$, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum
$CV$, adeo{\que} valet
$\frac{RFq.}{CV \opit{cub.}}$:
\& vis qu{\ae} sit ad hanc ut $Gq. - Fq.$
% -----File: 144.png---
ad $Fq.$, valet $\frac{RGq. - RFq.}{CV \opit{cub.}}$: est{\que} h{\ae}c vis (per hujus Corol.\
1.)\ differentia virium quibus corpus $P$ in Ellipsi immota $VPK$,
\& corpus $p$ in Ellipsi mobili $vpk$ revolvuntur. Unde cum (per
hanc Prop.)\ differentia illa in alia quavis altitudine $A$ sit ad seipsam
in altitudine $CV$ ut $\frac{1}{A \opit{cub.}}$ ad $\frac{1}{CV \opit{cub.}}$, eadem differentia
in omni altitudine $A$ valebit $\frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ Igitur ad vim $\frac{Fq.}{Aq.}$
qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili $VPK$, addatur excessus
$\frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$ \& componetur vis tota $\frac{Fq.}{Aq.} +
\frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$
qua corpus in Ellipsi mobili $vpk$ iisdem temporibus revolvi
possit.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis
$VPK$ Ellipsis sit centrum habens in virium centro $C$; ei{\que}
similis, {\ae}qualis \& concentrica ponatur Ellipsis mobilis $vpk$, sit{\que}
$2R$ Ellipseos hujus latus rectum, \& $2T$ latus transversum at{\que}
angulus $VCp$ semper sit ad angulum $VCP$ ut $G$ ad $F$; vires quibus
corpora in Ellipsi immobili \& mobili temporibus {\ae}qualibus
revolvi possunt, erunt ut $\frac{Fq.A}{T \opit{cub.}}$ \& $\frac{Fq.A}{T \opit{cub.}}
+ \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$
respective.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et universaliter, si corporis altitudo maxima $CV$ nominetur
$T$, \& radius curvatur{\ae} quam Orbis $VPK$ habet in $V$, id
est radius circuli {\ae}qualiter curvi, nominetur $R$, \& vis centripeta
qua corpus in Trajectoria quacun{\que} immobili $VPK$ revolvi potest,
in loco $V$ dicatur $\frac{Fq.}{Tq.} V$, at{\que} aliis in locis $P$ indefinite dicatur
$X$, altitudine $CP$ nominata $A$, \& capiatur $G$ ad $F$ in data
ratione anguli $VCp$ ad angulum $VCP$: erit vis centripeta qua
corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria $vpk$ circulariter
% -----File: 145.png---
mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium
$X + \frac{VRGq. - VRFq.}{A \opit{cub.}}$

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Dato igitur motu corporis in Orbe quocun{\que} immobili,
augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum
virium in ratione data, \& inde inveniri novi orbes immobiles in
quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

\pngright{145.png}{923}{804}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Igitur si ad rectam $CV$ positione datam erigatur perpendiculum
$VP$ longitudinis indeterminat{\ae}, jungatur{\que} $PC$, \& ipsi
{\ae}qualis agatur $Cp$, constituens angulum $VCp$, qui sit ad angulum
$VCP$ in data ratione; vis qua corpus
gyrari potest in Curva illa $Vpk$ quam
punctum $p$ perpetuo tangit, erit reciproce
ut cubus altitudinis $Cp$. Nam
corpus $P$, per vim inerti{\ae}, nulla alia vi
urgente, uniformiter progredi potest
in recta $VP$. Addatur vis in centrum
$C$, cubo altitudinis $CP$ vel $Cp$ reciproce
proportionalis, \& (per jam demonstrata)
detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam
$Vpk$. Est autem h{\ae}c Curva $Vpk$ eadem cum Curva illa $VPQ$
in Corol.\ 3.\ Prop.\ XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi
viribus attracta oblique ascendere.


\condpagelarge{Prop.\ XLV\@. Prob.\ XXXI.}

\textit{Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.}

Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus
in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol.\ 2.\ vel 3.\
revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis
cujus Apsides requiruntur, \& qu{\ae}rendo Apsides orbis quem corpus
illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent
formam, si vires centripet{\ae} quibus describuntur, inter se
% -----File: 146.png---
collat{\ae}, in {\ae}qualibus altitudinibus reddantur proportionales.
Sit punctum $V$ Apsis summa, \& scribantur $T$ pro altitudine maxima
$CV$, $A$ pro altitudine quavis alia $CP$ vel $Cp$, \& $X$ pro altitudinum
differentia $CV - CP$; \& vis qua corpus in Ellipsi
circa umbilicum ejus $C$ (ut in Corollario 2.)\ revolvente movetur,
qu{\ae}{\que} in Corollario 2.\ erat ut
$\frac{Fq.}{Aq.} + \frac{RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$
id est ut
$\frac{Fq. A + RGq. - RFq.}{A \opit{cub.}}$,
substituendo $T - X$ pro $A$, erit ut
$\frac{RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X}
{A \opit{cub.}}$.
Reducenda similiter est vis alia
qu{\ae}vis centripeta ad fractionem cujus denominator sit $A \opit{cub.}$ \&
numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi
sunt analogi. Res Exemplis parebit.

\textit{Exempl.\fsp{}1.}\wsp{}Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeo{\que}
ut $\frac{A \opit{cub.}}{A \opit{cub.}}$,
sive (scribendo $T - X$ pro $A$ in Numeratore) ut
$\frac{T \opit{cub.} - 3Tq.X + 3TXq. - X \opit{cub.}}{A \opit{cub.}}$;
\& collatis Numeratorum
terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis \& non datis
cum non datis, fiet $RGq. - RFq. + TFq.$ ad $T \opit{cub.}$ ut $-Fq.X$ ad
$-3Tq.X + 3TXq. - X \opit{cub.}$ sive ut $-Fq.$ ad $-3Tq. + 3TX
- Xq$. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus,
coeat orbis cum circulo; \& ob factas $R$, $T$ {\ae}quales, at{\que} $X$ in infinitum
diminutam, rationes ultim{\ae} erunt $RGq.$ ad $T \opit{cub.}$ ut $-Fq.$
ad $-3Tq.$ seu $Gq.$ ad $Tq.$ ut $Fq.$ ad $3Tq.$ \& vicissim $G \opit{quadrat.}$
ad $F \opit{quadrat.}$ ut $T \opit{quad.}$ ad $3T \opit{quad.}$ id est, ut 1 ad 3; adeo{\que}
$G$ ad $F$, hoc est angulus $VCp$ ad angulum $VCP$ ut 1 ad $\surd 3$.
Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem
imam descendendo conficiat angulum $VCP$ (ut ita dicam)
graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, at{\que} adeo in
orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem
imam descendendo conficiet angulum $VCp$ graduum $\frac{180}{\surd 3}$: id
% -----File: 147.png---
adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi
vi centripeta describit, \& orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente
gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem
terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non
universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime
appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in
orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam
\& Apsidem imam conficiet semper angulum $\frac{180}{\surd 3}$ graduum, seu
103 \textit{gr.}\ 55 \textit{m.}\ ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem
imam, ubi semel confecit hunc angulum, \& inde ad Apsidem
summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, \&
sic deinceps in infinitum.

\textit{Exempl.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis $A$ dignitas
qu{\ae}libet $A^{n - 3}$ seu $\frac{A^{n}}{A^3}$: ubi $n$ - 3 \& $n$ significant dignitatum
indices quoscun{\que} integros vel fractos, rationales vel
irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille $A^{n}$ seu
$\overline{T - X}^n$
in seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum
convergentium reducta, evadit
$T^{n} - nXT^{n - 1} + \frac{nn - n}{2} Xq.T^{n - 2}$
\&c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris
alterius $RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X$, fit $RGq. - RFq.
+ TFq.$ ad $T^{n}$ ut $-Fq.$ ad
$-nT^{n - 1} + \frac{nn - n}{2} XT^{n - 2}$
\&c. Et
sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt,
fit $RGq.$ ad $T^{n}$ ut $-Fq.$ ad $-nT^{n - 1}$, seu $Gq.$ ad $T^{n - 1}$
ut $Fq.$ ad $nT^{n - 1}$, \& vicissim $Gq.$ ad $Fq.$ ut $T^{n - 1}$ ad $nT^{n - 1}$
id est ut 1 ad $n$; adeo{\que} $G$ ad $F$, id est angulus $VCp$ ad angulum
$VCP$, ut 1 ad $\surd n$. Quare cum angulus $VCP$, in descensu corporis
% -----File: 148.png---
ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus,
sit graduum 180, conficietur angulus $VCp$, in descensu corporis
ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari,
quem corpus quodvis vi centripeta dignitati $A^{n - 3}$ proportionali
describit, {\ae}qualis angulo graduum $\frac{180}{\surd n}$; \& hoc angulo
repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, \&
sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis
a centro, id est ut $A$ seu $\frac{A^4}{A^3}$, erit $n$ {\ae}qualis 4 \& $\surd 4$ {\ae}qualis
2; adeo{\que} angulus inter Apsidem summam \& Apsidem imam {\ae}qualis
$\frac{180}{2}$ \textit{gr.}\ seu 90 \textit{gr.} Completa igitur quarta parte revolutionis
unius corpus perveniet ad Apsidem imam, \& completa alia
quarta parte ad Apsidem summam, \& sic deinceps per vices in
infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est.
Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi immobili,
cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta
sit reciproce ut distantia, id est directe ut $\frac{1}{A}$ seu $\frac{A^2}{A^3}$, erit $n = 2$, adeo{\que}
inter Apsidem summam \& imam angulus erit graduum $\frac{180}{\surd 2}$
seu 127 \textit{gr.}\ 17 \textit{min.}\ \& propterea corpus tali vi revolvens, perpetua
anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad
imam \& ab ima ad summam perveniet in {\ae}ternum. Porro si vis
centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecim{\ae}
dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut $A^{\frac{11}{4}}$, adeo{\que} directe ut
$\frac{1}{A^{\frac{11}{4}}}$
seu ut
$\frac{A^{\frac{1}{4}}}{A^3}$
erit $n$ {\ae}qualis $\frac{1}{4}$, \&
$\frac{180}{\surd n}$
\textit{gr.}\ {\ae}qualis 360 \textit{gr.}\ \& propterea
corpus de Apside summa discedens \& subinde perpetuo descendens,
perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem
integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem
integram, redibit ad Apsidem summam: \& sic per vices in {\ae}ternum.
% -----File: 149.png---

\textit{Exempl.\fsp{}3.}\wsp{}Assumentes $m$ \& $n$ pro quibusvis indicibus dignitatum
Altitudinis, \& $b$, $c$ pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam esse ut
$\frac{bA^m + cA^n}{A \opit{cub.}}$
id est ut
$\frac{b \operatorname{in} \overline{T - X}^m + c \operatorname{in} \overline{T - X}^n}{A \opit{cub.}}$
seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut

\begin{math}
\frac{bT^m - mbXT^{m - 1} + \frac{mm - m}{2} bX^2 T^{m - 2} + cT^n - ncXT^{n - 1} + \frac{nn - n}{2} cX^2 T^{n - 2} \opit{\&c.}}{A \opit{cub.}}
\end{math}

\noindent \& collatis numeratorum terminis, fiet $RGq. - RFq. + TFq.$ ad
$bT^m + cT^n$, ut $-Fq.$
ad $-mbT^{m - 1} - ncT^{n - 1}
+ \frac{mm - m}{2} XT^{m - 2}
+ \frac{nn - n}{2} XT^{n - 2}$ \&c.
Et sumendo rationes ultimas
qu{\ae} prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit $Gq.$ ad
$bT^{m - 1} + cT^{n - 1}$, ut $Fq.$ ad $mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}$, \&
vicissim $Gq.$ ad $Fq.$ ut $bT^{m - 1} + cT^{n - 1}$ ad $mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}$.
Qu{\ae} proportio, exponendo altitudinem maximam $CV$ seu $T$ Arithmetice
per unitatem, fit $Gq.$ ad $Fq.$ ut $b + c$ ad $mb + nc$, adeo{\que} ut
1 ad $\frac{mb + nc}{b + c}$. Unde est $G$ ad $F$, id est angulus $VCp$ ad angulum
$VCP$, ut 1 ad $\surd \frac{mb + nc}{b + c}$. Et propterea cum angulus $VCP$ inter
Apsidem summam \& Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 \textit{gr.}\
erit angulus $VCp$ inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi
centripeta quantitati $\frac{bA^m + cA^n}{A \opit{cub.}}$ proportionali describit, {\ae}qualis
angulo graduum $180 \surd \frac{b + c}{mb + nc}$. Et eodem argumento si vis
centripeta sit ut $\frac{bA^m - cA^n}{A \opit{cub.}}$, angulus inter Apsides invenietur
$180 \surd \frac{b - c}{mb - nc}$ graduum. Nec secus resolvetur Problema in
% -----File: 150.png---
casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis
est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem
habentes $A \opit{cub}$. Dein pars data Numeratoris hujus $RGq. - RFq.
+ TFq. - Fq.X$ ad partem non datam in eadem ratione ponend{\ae}
sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendo{\que} unitatem
pro $T$, obtinebitur proportio $G$ ad $F$.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas,
inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; \& contra.
Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem,
sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum
360, ut numerus aliquis $m$ ad numerum alium $n$, \& altitudo nominetur
$A$: erit vis ut altitudinis dignitas illa $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$, cujus Index
est $\frac{nn}{mm} - 3$. Id quod per Exempla secunda manifestum est.
Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione
decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens de{\que} Apside
discedens, si c{\ae}perit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem
imam seu altitudinem minimam, sed descendet us{\que} ad centrum,
describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol.\ 3.\
Prop.\ XLI\@. Sin c{\ae}perit illud de Apside discedens vel minimum
ascendere, ascendet in infinitum, ne{\que} unquam perveniet ad Apsidem
summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum
est in eodem Corol.\ \& in Corol.\ 6.\ Prop.\ XLIV\@. Sic \& ubi
vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione
altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut c{\ae}perit descendere
vel ascendere, vel descendet ad centrum us{\que} vel ascendet
in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori
quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione
quacun{\que} Corpus nunquam descendet ad centrum us{\que} sed ad Apsidem
imam aliquando perveniet: \& contra, si corpus de Apside
ad Apsidem alternis vicibus descendens \& ascendens nunquam appellat
ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in
% -----File: 151.png---
minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: \& quo citius
corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium
recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel
4 vel 2 vel $1\frac{1}{2}$ de Apside summa ad Apsidem summam alterno
descensu \& ascensu redierit, hoc est, si fuerit $m$ ad $n$ ut 8 vel 4 vel
2 vel $1\frac{1}{2}$ ad 1, adeo{\que} $\frac{nn}{mm} - 3$ ualeat $\frac{1}{64} - 3$ vel $\frac{1}{16} - 3$ vel $\frac{1}{4} - 3$
vel $\frac{4}{9} - 3$, erit vis ut $A^{\frac{1}{64} - 3}$ vel $A^{\frac{1}{16} - 3}$ vel $A^{\frac{1}{4} - 3}$ vel $A^{\frac{4}{9} - 3}$,
id est reciproce ut $A^{3 - \frac{1}{64}}$ vel $A^{3 - \frac{1}{16}}$ vel $A^{3 - \frac{1}{4}}$ vel $A^{3 - \frac{4}{9}}$. Si
corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam,
erit $m$ ad $n$ ut 1 ad 1, adeo{\que} $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$ {\ae}qualis $A^{-2}$ seu $\frac{1}{A^2}$,
\& propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis,
ut in pr{\ae}cedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis
unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia,
vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit $m$ ad $n$ ut
$\frac{3}{4}$ vel $\frac{2}{3}$ vel $\frac{1}{3}$ vel $\frac{1}{4}$ ad 1,
adeo{\que} $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$ {\ae}qualis $A^{\frac{16}{9} - 3}$ vel
$A^{\frac{9}{4} - 3}$ vel $A^{9 - 3}$ vel $A^{16 - 3}$ \& propterea Vis aut reciproce ut
$A^{\frac{11}{9}}$ vel $A^{\frac{3}{4}}$, aut directe ut $A^6$ vel $A^{13}$. Deni{\que} si Corpus pergendo
ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem
integram, \& pr{\ae}terea gradus tres, adeo{\que} Apsis illa singulis
corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres,
erit $m$ ad $n$ ut 363\textit{gr.}\ ad 360\textit{gr.}\ adeo{\que} $A^{\frac{nn}{mm} - 3}$ erit {\ae}quale
$A^{-\frac{265707}{131769}}$, \& propterea Vis centripeta reciproce ut $A^{\frac{265707}{131769}}$ seu
$A^{2\frac{4}{243}}$. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore
quam duplicata, sed qu{\ae} vicibus $60\frac{3}{4}$ propius ad duplicatam
quam ad triplicatam accedit.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam si corpus, vi centripeta qu{\ae} sit reciproce
ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente
in centro virium, \& huic vi centripet{\ae} addatur vel auferatur
vis alia qu{\ae}vis extranea; cognosci potest (per Exempla
% -----File: 152.png---
tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: \& contra.
Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut $\frac{1}{A^2}$, \& vis
extranea ablata ut $cA$, adeo{\que} vis reliqua ut $\frac{A - cA^4}{A^3}$; erit (in
Exemplis tertiis) $A$ {\ae}qualis 1 \& $n$ {\ae}qualis 4, adeo{\que} angulus revolutionis
inter Apsides {\ae}qualis angulo graduum $180\surd \frac{1 - c}{1 - 4c}$. Ponatur
vim illam extraneam esse $357\decimals{45}$ vicibus minorem quam
vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est $c$ esse $\frac{100}{35745}$,
\& $180\surd \frac{1 - c}{1 - 4c}$ evadet $180\surd \frac{35645}{35345}$ seu $180\decimals{7602}$, id est 180\textit{gr.}\
45\textit{m.}\ 37\textit{s.} Igitur corpus de Apside summa discedens, motu
angulari 180\textit{gr.}\ 45\textit{m.}\ 37\textit{s.}\ perveniet ad Apsidem imam, \& hoc
motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeo{\que} Apsis summa
singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1\textit{gr.}\ 31\textit{m.}\ 14\textit{s.}

Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum
virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus
in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant,
considerare solent ascensus \& descensus ponderum, tam obliquos
in planis quibuscun{\que} datis, quam perpendiculares: \& pari
jure motus corporum viribus quibuscun{\que} centra petentium, \&
planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem
supponimus esse politissima \& absolute lubrica ne corpora retardent.
Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus
corpora incumbunt quas{\que} tangunt incumbendo, usurpamus
plana his parallela, in quibus centra corporum moventur \& orbitas
movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in
superficiebus curvis peractos subinde determinamus.


% -----File: 153.png---



\sectpage{X.}

\begin{center}{\textit{De Motu Corporum in Superficiebus datis, de{\que} Funipendulorum
Motu reciproco.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XLVI\@. Prob.\ XXXII.}

\textit{Posita cujuscun{\que} generis vi centripeta, dato{\que} tum virium centro tum
plano quocun{\que} in quo corpus revolvitur, \& concessis Figurarum
curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato
data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.}

\pngright{153.png}{1431}{1464}{-24}
%Illustration

Sit $S$ centrum virium, $SC$ distantia minima centri hujus a plano
dato, $P$ corpus de loco $P$ secundum rectam $PZ$ egrediens, $Q$
corpus idem in Trajectoria
sua revolvens, \&
$PQR$ Trajectoria illa
in plano dato descripta,
quam invenire oportet.
Jungantur $CQ$,
$QS$, \& si in $QS$ capiatur
$SV$ proportionalis
vi centripet{\ae} qua corpus
trahitur versus centrum
$S$, \& agatur $VT$
qu{\ae} sit parallela $CQ$
\& occurrat $SC$ in $T$:
Vis $SV$ resolvetur (per
Legum Corol.\ 2.)\ in vires $ST$, $TV$; quarum $ST$ trahendo corpus
secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum
ejus in hoc plano. Vis autem altera $TV$, agendo secundum
positionem plani, trahit corpus directe versus punctum $C$ in plano
% -----File: 154.png---
datum, adeo{\que} facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis
$ST$ tolleretur, \& corpus vi sola $TV$ revolveretur circa centrum
$C$ in spatio libero. Data autem vi centripeta $TV$ qua corpus $Q$
in spatio libero circa centrum datum $C$ revolvitur, datur per Prop.\
XLII. tum Trajectoria $PQR$ quam corpus describit, tum locus
$Q$ in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum deni{\que}
velocitas corporis in loco illo $Q$; \& contra. \QEIup


\condpagelarge{Prop.\ XLVII\@. Theor.\ XV.}

\textit{Posito quod vis centripeta proportionalis sit distanti{\ae} corporis a centro;
corpora omnia in planis quibuscun{\que} revolventia describent
Ellipses, \& revolutiones temporibus {\ae}qualibus peragent; qu{\ae}{\que}
moventur in lineis rectis ultro citro{\que} discurrendo, singulas eundi \&
redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.}

Nam stantibus qu{\ae} in superiore Propositione; vis $SV$ qua corpus
$Q$ in plano quovis $PQR$ revolvens trahitur versus centrum $S$
est ut distantia $SQ$;
at{\que} adeo ob proportionales
$SV$ \& $SQ$, $TV$
\& $CQ$, vis $TV$ qua
corpus trahitur versus
punctum $C$ in Orbis
plano datum, est ut
distantia $CQ$. Vires
igitur, quibus corpora
in plano $PQR$ versantia
trahuntur versus
punctum $C$, sunt pro
ratione distantiarum
{\ae}quales viribus quibus
corpora \label{wasp146}unaqua{\que} trahuntur versus centrum $S$; \& propterea
corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano
% -----File: 155.png---
quovis $PQR$ circa punctum $C$, at{\que} in spatiis liberis circa centrum
$S$, adeo{\que} (per Corol.\ 2.\ Prop.\ X. \& Corol.\ 2.\ Prop.\
XXXVIII.) temporibus semper {\ae}qualibus, vel describent Ellipses
in plano illo circa centrum $C$, vel periodos movendi ultro citro{\que}
in lineis rectis per centrum $C$ in plano illo ductis, complebunt.
\QEDup

\pngcent{153.png}{1431}{1464}
%Illustration

\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus
curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa
axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, \& ea
revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri
ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si
corpora illa oblique ascendendo \& descendendo currant ultro citro{\que}
peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus,
at{\que} adeo in lineis curvis quarum revolutione curv{\ae} ill{\ae} superficies
genit{\ae} sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis
curvis considerare.


\condpagelarge{Prop.\ XLVIII\@. Theor.\ XVI.}

\textit{Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, \& more rotarum
revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei,
quod punctum quodvis in rot{\ae} perimetro datum, ex quo globum
tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii
qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum
globi \& rot{\ae} ad semidiametrum globi.}

\condpagelarge{Prop.\ XLIX\@. Theor.\ XVII.}

\textit{Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat \& revolvendo
progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei
% -----File: 156.png---
quod punctum quodvis in Rot{\ae} Perimetro datum, ex quo globum
tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii
qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum
globi \& rot{\ae} ad semidiametrum globi.}

\pngcent{156.png}{2880}{2410}
%Illustration

Sit $ABL$ globus, $C$ centrum ejus, $BPV$ rota ei insistens, $E$
centrum rot{\ae}, $B$ punctum contactus, \& $P$ punctum datum in perimetro
rot{\ae}. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo
$ABL$ ab $A$ per $B$ versus $L$, \& inter eundum ita revolvi ut arcus
$AB$, $PB$ sibi invicem semper {\ae}quentur, at{\que} punctum illud
$P$ in Perimetro rot{\ae} datum interea describere viam curvilineam
$AP$. Sit autem $AP$ via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum
tetigit in $A$, \& erit vi{\ae} hujus longitudo $AP$ ad duplum sinum
versum arcus $\frac{1}{2}PB$, ut $2CE$ ad $CB$. Nam recta $CE$ (si
% -----File: 157.png---
opus est producta) occurrat Rot{\ae} in $V$, jungantur{\que} $CP$, $BP$,
$EP$, $VP$, \& in $CP$ productam demittatur Normalis $VF$. Tangant
$PH$, $VH$ circulum in $P$ \& $V$ concurrentes in $H$, secet{\que} $PH$
ipsam $VF$ in $G$, \& ad $VP$ demittantur Normales $GI$, $HK$. Centro
item $C$ \& intervallo quovis describatur circulus $nom$ secans
rectam $CP$ in $n$, Rot{\ae} perimetrum $Bp$ in $o$ \& viam curvilineam
$AP$ in $m$, centro{\que} $V$ \& intervallo $Vo$ describatur circulus secans
$VP$ productam in $q$.

Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus
$B$, manifestum est quod recta $BP$ perpendicularis est ad
lineam illam curvam $AP$, quam Rot{\ae} punctum $P$ describit, at{\que}
adeo quod recta $VP$ tanget hanc curvam in puncto $P$. Circuli
$nom$ radius sensim auctus {\ae}quetur tandem distanti{\ae} $CP$, \& ob similitudinem
figur{\ae} evanescentis $Pnomq$ \& figur{\ae} $PFGVI$, ratio
ultima lineolarum evanescentium $Pm$, $Pn$, $Po$, $Pq$, id est ratio
incrementorum momentaneorum curv{\ae} $AP$, rect{\ae} $CP$ \& arcus
circularis $BP$, ac decrementi rect{\ae} $VP$, eadem erit qu{\ae} linearum
$PV$, $PF$, $PG$, $PI$ respective. Cum autem $VF$ ad $CF$ \&
$VH$ ad $CV$ perpendiculares sunt, anguli{\que} $HVG$, $VCF$ propterea
{\ae}quales; \& angulus $VHP$, (ob angulos quadrilateri $HVEP$
ad $V$ \& $P$ rectos,) complet angulum $VEP$ ad duos rectos, adeo{\que}
angulo $CEP$ {\ae}qualis est, similia erunt triangula $VHG$, $CEP$; \&
inde fiet ut $EP$ ad $CE$ ita $HG$ ad $HV$ seu $HP$, \& ita $KI$ ad $KP$,
\& divisim ut $CB$ ad $CE$ ita $PI$ ad $PK$, \& duplicatis consequentibus
ut $CB$ ad $2CE$ ita $PI$ ad $PV$. Est igitur decrementum
line{\ae} $VP$, id est incrementum line{\ae} $BV - VP$, ad incrementum
line{\ae} curv{\ae} $AP$ in data ratione $CB$ ad $2CE$, \& propterea (per
Corol.\ Lem.\ IV.) longitudines $BV - VP$ \& $AP$ incrementis illis
genit{\ae} sunt in eadem ratione. Sed existente $BV$ radio, est $VP$
cosinus anguli $VPB$ seu $\frac{1}{2}BEP$, adeo{\que} $BV - VP$ sinus versus
ejusdem anguli, \& propterea in hac Rota cujus radius est $\frac{1}{2}BV$,
erit $BV - VP$ duplus sinus versus arcus $\frac{1}{2}BP$. Ergo $AP$ est ad
duplum sinum versum arcus $\frac{1}{2}BP$ ut $2CE$ ad $CB$. \QEDup
% -----File: 158.png---

Lineam autem $AP$ in Propositione priore Cycloidem extra
Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis
gratia nominabimus.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si describatur Cyclois integra $ASL$ \& bisecetur
ea in $S$, erit longitudo partis $PS$ ad longitudinem $VP$ (qu{\ae}
duplus est sinus anguli $VBP$, existente $EB$ radio) ut $2CE$ ad
$CB$ at{\que} adeo in ratione data.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et longitudo semiperimetri Cycloidis $AS$ {\ae}quabitur
line{\ae} rect{\ae}, qu{\ae} est ad Rot{\ae} diametrum $BV$ ut $2CE$ ad $CB$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Ideo{\que} longitudo illa est ut rectangulum $BEC$, si modo
Globi detur semidiameter.


\condpagelarge{Prop.\ L\@. Prob.\ XXXIII.}

\pngrightsc{159.png}{1747}{1993}{15}{16}
%Illustration

\textit{Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.}

Intra Globum $QVS$ centro $C$ descriptum detur Cyclois $QRS$
bisecta in $R$ \& punctis suis extremis $Q$ \& $S$ superficiei Globi hinc
inde occurrens. Agatur $CR$ bisecans arcum $QS$ in $O$, \& producatur
ea ad $A$, ut sit $CA$ ad $CO$ ut $CO$ ad $CR$. Centro $C$ intervallo
$CA$ describatur Globus exterior $ABD$, \& intra hunc globum
Rota, cujus diameter sit $AO$, describantur du{\ae} semicycloides
$AQ$, $AS$, qu{\ae} globum interiorem tangant in $Q$ \& $S$ \& globo exteriori
occurrant in $A$. A puncto illo $A$, filo $APT$ longitudinem
$AR$ {\ae}quante, pendeat corpus $T$, \& ita intra semicycloides $AQ$,
$AS$ oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo $AR$,
filum parte sui superiore $AP$ applicetur ad semicycloidem illam
$APS$, versus quam peragitur motus, \& circum eam ceu obstaculum
flectatur, parte{\que} reliqua $PT$ cui semicyclois nondum objicitur,
protendatur in lineam rectam; \& pondus $T$ oscillabitur in
Cycloide data $QRS$. \QEFup

Occurrat enim filum $PT$ tum Cycloidi $QRS$ in $T$, tum circulo
$QOS$ in $V$, agatur{\que} $CV$ occurrens circulo $ABD$ in $B$; \&
ad fili partem rectam $PT$, e punctis extremis $P$ ac $T$, erigantur
% -----File: 159.png---
perpendicula $PB$, $TW$, occurrentia rect{\ae} $CV$ in $B$ \& $W$. Patet
enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa $PB$, $TW$, abscindent
de $CV$ longitudines $VB$, $VW$ rotarum diametris $OA$, $OR$
{\ae}quales, at{\que} adeo quod punctum $B$ incidet in circulum $ABD$.
Est igitur $TP$ ad $VP$ (duplum sinum anguli $VBP$ existente $\frac{1}{2}BV$
radio) ut $BW$ ad $BV$, seu $AO + OR$ ad $AO$, id est (cum sint
$CA$ ad $CO$, $CO$ ad $CR$ \& divisim $AO$ ad $OR$ proportionales,)
ut $CA + CO$
seu $2CE$ ad
$CA$. Proinde
per Corol.\
1.\ Prop.\
XLIX. longitudo
$PT$
{\ae}quatur Cycloidis
arcui
$PS$, \& filum
totum
$APT$ {\ae}quatur
Cycloidis
arcui dimidio
$APS$,
hoc est (per
Corollar.\ 2.\
Prop.\ XLIX)
longitudini $AR$. Et propterea vicissim si filum manet semper
{\ae}quale longitudini $AR$ movebitur punctum $T$ in Cycloide $QRS$.
\QEDup

\textit{Corol.}\wsp{}Filum $AR$ {\ae}quatur Cycloidis arcui dimidio $APS$.

\condpagelarge{Prop.\ LI\@. Theor.\ XVIII.}

\textit{Si vis centripeta tendens undi{\que} ad Globi centrum $C$ sit in locis singulis
ut distantia loci cujus{\que} a centro, \& hac sola vi agente Corpus $T$
% -----File: 160.png---
oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis $QRS$: dico quod
oscillationum utcun{\que} in{\ae}qualium {\ae}qualia erunt Tempora.}

Nam in Cycloidis tangentem $TW$ infinite productam cadat
perpendiculum $CX$ \& jungatur $CT$. Quoniam vis centripeta
qua corpus $T$ impellitur versus $C$ est ut distantia $CT$, (per Legum
Corol.\ 2.)\ resolvitur in partes $CX$, $TX$, quarum $CX$ impellendo
corpus directe a $P$ distendit filum $PT$ \& per cujus resistentiam
tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera $TX$
urgendo corpus transversim seu versus $X$, directe accelerat motum
ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic
vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo
$TX$, id est, ob datas $CV$, $WV$ iis{\que} proportionales $TX$, $TW$, ut
longitudo $TW$, hoc est (per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLIX.) ut longitudo
arcus Cycloidis $TR$. Pendulis igitur duabus $APT$, $Apt$ de
perpendiculo $AR$ in{\ae}qualiter deductis \& simul dimissis, accelerationes
eorum semper erunt ut arcus describendi $TR$, $tR$. Sunt
autem partes sub initio descript{\ae} ut accelerationes, hoc est ut
tot{\ae} sub initio describend{\ae}, \& propterea partes qu{\ae} manent
describend{\ae} \& accelerationes subsequentes his partibus proportionales
sunt etiam ut tot{\ae}; \& sic deinceps. Sunt igitur accelerationes
at{\que} adeo velocitates genit{\ae} \& partes his velocitatibus
descript{\ae} partes{\que} describend{\ae}, semper ut tot{\ae}; \& propterea
partes describend{\ae} datam servantes rationem ad invicem simul evanescent,
id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum
$AR$. Cum{\que} vicissim ascensus perpendiculorum de
loco infimo $R$, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado
facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus
accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum
per eosdem arcus factorum {\ae}quales esse, at{\que} adeo temporibus {\ae}qualibus
fieri; \& propterea, cum Cycloidis partes du{\ae} $RS$ \& $RQ$
ad utrum{\que} perpendiculi latus jacentes sint similes \& {\ae}quales, pendula
duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus
semper peragent. \QEDup
% -----File: 161.png---


\condpagelarge{Prop.\ LII\@. Prob.\ XXXIV.}

\textit{Definire \& velocitates Pendulorum in locis singulis, \& Tempora
quibus tum oscillationes tot{\ae}, tum singul{\ae} oscillationum partes peraguntur.}

\pngright{161.png}{1071}{759}{-24}
%Illustration

Centro quovis $G$, intervallo $GH$ Cycloidis arcum $RS$ {\ae}quante,
describe semicirculum $HKMG$ semidiametro $GK$ bisectum. Et
si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis tendat
ad centrum $G$, sit{\que} ea in perimetro $HIK$ {\ae}qualis vi centripet{\ae}
in perimetro globi $QOS$ (\textit{Vide Fig.\ Prop.\ L. \& LI.}) ad ipsius centrum
tendente; \& eodem tempore quo pendulum $T$ dimittitur e
loco supremo $S$, cadat corpus aliquod $L$ ab $H$ ad $G$: quoniam
vires quibus corpora urgentur
sunt {\ae}quales sub initio \& spatiis
describendis $TR$, $GL$ semper
proportionales, at{\que} adeo, si
{\ae}quantur $TR$ \& $LG$, {\ae}quales in
locis $T$ \& $L$; patet corpora illa
describere spatia $ST$, $HL$ {\ae}qualia
sub initio, adeo{\que} subinde pergere
{\ae}qualiter urgeri, \& {\ae}qualia spatia describere. Quare, per Prop.\
XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum $ST$ est ad tempus
oscillationis unius, ut arcus $HI$ (tempus quo corpus $H$ perveniet
ad $L$) ad semicirculum $HKM$ (tempus quo corpus $H$
perveniet ad $M$.) Et velocitas corporis penduli in loco $T$ est ad
velocitatem ipsius in loco infimo $R$, (hoc est velocitas corporis
$H$ in loco $L$ ad velocitatem ejus in loco $G$, seu incrementum momentaneum
line{\ae} $HL$ ad incrementum momentaneum line{\ae} $HG$,
arcubus $HI$, $HK$ {\ae}quabili fluxu crescentibus) ut ordinatim applicata
$LI$ ad radium $GK$, sive ut
$\surd \overline{SRq. - TRq.}$
ad $SR$. Unde cum
in Oscillationibus in{\ae}qualibus describantur {\ae}qualibus temporibus
arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis
% -----File: 162.png---
temporibus \& velocitates \& arcus descripti in Oscillationibus universis.
Qu{\ae} erant primo invenienda.

\pngright{162.png}{2004}{788}{-24}
%Illustration

Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus in{\ae}qualibus
\& ea\-rum semiarcubus {\ae}quales capiantur rect{\ae} $GH$, $gh$,
centris{\que} $G$, $g$ \& intervallis $GH$, $gh$ describantur semicirculi
$HZKM$, $hzkm$. In eorum diametris $HM$, $hm$ capiantur lineol{\ae}
{\ae}quales $HY$, $hy$, \& erigantur normaliter $YZ$, $yz$ circumferentiis
occurrentes in $Z$ \& $z$. Quoniam corpora pendula sub
initio motus versantur in circumferentia globi $QOS$, adeo{\que} a viribus
{\ae}qualibus urgentur in centrum, incipiunt{\que} directe versus
centrum moveri, spatia simul consecta {\ae}qualia erunt sub initio.
Urgeantur igitur corpora $H$, $h$ a viribus iisdem in $H$ \& $h$, sint{\que}
$HY$, $hy$ spatia {\ae}qualia ipso motus initio descripta, \& arcus $HZ$,
$hz$ denotabunt {\ae}qualia tempora. Horum arcuum nascentium
ratio prima duplicata est eadem qu{\ae} rectangulorum $GHY$, $ghy$,
id est, eadem qu{\ae} linearum $GH$, $gh$ adeo{\que} arcus capti in dimidiata
ratione semidiametrorum denotant {\ae}qualia tempora. Est
ergo tempus totum in circulo $HKM$, Oscillationi in una Cycloide
respondens, ad tempus totum in circulo $hkm$ Oscillationi in
altera Cycloide respondens, ut semiperiferia $HKM$ ad medium
proportionale inter hanc semiperiferiam \& semiperiferiam circuli
alterius $hkm$, id est in dimidiata ratione diametri $HM$ ad diametrum
$hm$, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis prim{\ae}
ad perimetrum Cycloidis alterius, adeo{\que} tempus illud in Cycloide
% -----File: 163.png---
quavis est (per Corol.\ 3.\ Prop.\ XLIX.) ut latus quadratum
rectanguli $BEC$ contenti sub semidiametro Rot{\ae}, qua Cyclois
descripta fuit, \& differentia inter semidiametrum illam \& semidiametrum
globi. \QEIup Est \& idem tempus (per Corol.\
Prop.\ L.) in dimidiata ratione longitudinis fili $AR$. \QEIup

Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides:
quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum \& vires
in analogis perimetrorum locis sunt ut distanti{\ae} locorum a communi
globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, at{\que}
adeo ut Cycloidum perimetri \& perimetrorum partes similes, {\ae}qualia
erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscillationibus
similibus describuntur, \& propterea Oscillationes omnes
erunt Isochron{\ae}. Cum igitur Oscillationum tempora in Globo
dato sint in dimidiata ratione longitudinis $AR$, at{\que} adeo
(ob datam $AC$) in dimidiata ratione numeri $\frac{AR}{AC}$, id est in ratione
integra numeri $\surd \frac{AR}{AC}$; \& hic numerus $\surd \frac{AR}{AC}$ servata ratione
$AR$ ad $AC$ (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat,
\& propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit
ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio
quovis globo dato, at{\que} adeo in globis omnibus concentricis sunt
ut numerus $\surd \frac{AR}{AC}$, id est, in ratione composita ex dimidiata ratione
longitudinis fili $AR$ directe \& dimidiata ratione semidiametri
globi $AC$ inverse. \QEIup

Deni{\que} si vires absolut{\ae} diversorum globorum ponantur in{\ae}quales,
accelerationes temporibus {\ae}qualibus fact{\ae}, erunt ut vires.
Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse,
velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, \& propterea
spatia erunt {\ae}qualia qu{\ae} his temporibus describuntur. Ergo Oscillationes
in globis \& Cycloidibus omnibus, quibuscun{\que} cum
viribus absolutis fact{\ae}, sunt in ratione qu{\ae} componitur ex dimidiata
% -----File: 164.png---
ratione longitudinis Penduli directe, \& dimidiata ratione
distanti{\ae} inter centrum Penduli \& centrum globi inverse, \&
dimidiata ratione vis absolut{\ae} etiam inverse, id est, si vis illa dicatur
$V$, in ratione numeri $\surd \frac{AR}{AC \times V}$. \QEIup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc etiam Oscillantium, cadentium \& revolventium
corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rot{\ae}, qua
Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur {\ae}qualis
semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi
transiens, \& Oscillatio jam erit descensus \& subsequens ascensus
in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis
ad centrum, tum tempus huic {\ae}quale quo corpus uniformiter
circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum
quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum)
ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis $APS$
ut $\frac{1}{2}BC$ ad $\surd BEC$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam consectantur qu{\ae} \textit{D. C. Wrennus} \& \textit{D. C.
Hugenius} de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter
augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sph{\ae}rica
in planum, vis{\que} centripeta aget uniformiter secundum lineas huic
plano perpendiculares, \& Cyclois nostra abibit in Cycloidem
vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum
illud \& punctum describens, {\ae}qualis evadet quadruplicato sinui
verso dimidii arcus Rot{\ae} inter idem planum \& punctum describens;
ut invenit \textit{D. C. Wrennus}: Et pendulum inter duas ejusmodi
Cycloides in simili \& {\ae}quali Cycloide temporibus {\ae}qualibus
Oscillabitur, ut demonstravit \textit{Hugenius}. Sed \& descensus gravium,
tempore Oscillationis unius, is erit quem \textit{Hugenius} indicavit.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstrat{\ae} ad veram
constitutionem Terr{\ae}, quatenus Rot{\ae} eundo in ejus circulis maximis
describunt motu clavorum Cycloides extra globum; \& Pendula
inferius in fodinis \& cavernis Terra suspensa, in Cycloidibus
% -----File: 165.png---
intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochron{\ae}.
Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decrescit
in progressu a superficie Terr{\ae}, sursum quidem in duplicata
ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici.


\condpagelarge{Prop.\ LIII\@. Prob.\ XXXV.}

\textit{Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus
corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas
peragent.}

\pngright{165.png}{1708}{1986}{-24}
%Illustration

Oscilletur corpus
$T$ in curva
quavis linea $STRQ$,
cujus axis
sit $OR$ transiens
per virium centrum
$C$. Agatur
$TX$ qu{\ae} curvam
illam in corporis
loco quovis $T$
contingat, in{\que}
hac Tangente $TX$
capiatur $TY$
{\ae}qualis arcui $TR$.
Nam longitudo
arcus illius ex
figurarum Quadraturis
per Methodos vulgares innotescit. De puncto $Y$ educatur
recta $YZ$ Tangenti perpendicularis. Agatur $CT$ perpendiculari
illi occurrens in $Z$, \& erit vis centripeta proportionalis rect{\ae}
$TZ$. \QEIup

Nam si vis, qua corpus trahitur de $T$ versus $C$, exponatur per
rectam $TZ$ captam ipsi proportionalem, resolvetur h{\ae}c in vires
% -----File: 166.png---
$TY$, $YZ$; quarum $YZ$ trahendo corpus secundum longitudinem
fili $PT$, motum ejus nil mutat, vis autem altera $TY$ motum ejus
in curva $STRQ$ directe accelerat vel directe retardat. Proinde
cum h{\ae}c sit ut via describenda $TR$, accelerationes corporis vel
retardationes in Oscillationum duarum (majoris \& minoris) partibus
proportionalibus describendis, erunt semper ut partes ill{\ae},
 \& propterea facient ut partes ill{\ae} simul describantur. Corpora
autem qu{\ae} partes totis semper proportionales simul describunt,
simul describent totas. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpus $T$ filo rectilineo $AT$ a centro $A$ pendens,
describat arcum circularem $STRQ$, \& interea urgeatur
secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, qu{\ae} sit ad vim uniformem
gravitatis, ut arcus $TR$ ad ejus sinum $TN$: {\ae}qualia erunt
Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas
$TZ$, $AR$, similia erunt triangula $ANT$, $TYZ$; \& propterea
$TZ$ erit ad $AT$ ut $TY$ ad $TN$; hoc est, si gravitatis vis uniformis
exponatur per longitudinem datam $AT$, vis $TZ$, qua Oscillationes
evadent Isochron{\ae}, erit ad vim gravitatis $AT$, ut arcus
$TR$ ipsi $TY$ {\ae}qualis ad arcus illius sinum $TN$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum
ad motum conservandum impress{\ae} ita cum vi gravitatis componi
possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea qu{\ae} oritur applicando
rectangulum sub arcu $TR$ \& radio $AR$, ad sinum $TN$,
Oscillationes omnes erunt Isochron{\ae}.


\condpagelarge{Prop.\ LIV\@. Prob.\ XXXVI.}

\textit{Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus
corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscun{\que} curvis in plano
per centrum virium transeunte descriptis, descendent \& ascendent.}

\pngright{167.png}{876}{1492}{-24}
%Illustration

Descendat enim corpus de loco quovis $S$ per lineam quamvis
curvam $STtR$ in plano per virium centrum $C$ transeunte datam.
Jungatur $CS$ \& dividatur eadem in partes innumeras {\ae}quales,
% -----File: 167.png---
sit{\que} $Dd$ partium illarum aliqua. Centro $C$, intervallis $CD$, $Cd$
describantur circuli $DT$, $dt$, Line{\ae} curv{\ae} $STtR$ occurrentes in
$T$ \& $t$. Et ex data tum lege vis centripet{\ae}, tum altitudine $CS$ de
qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine
$CT$, per Prop.\ XXXIX\@. Tempus autem, quo corpus describit
lineolam $Tt$, est ut lineol{\ae} hujus
longitudo (id est ut secans anguli
$tTC$) directe, \& velocitas inverse.
Tempori huic proportionalis sit ordinatim
applicata $DN$ ad rectam $CS$
per punctum $D$ perpendicularis, \& ob
datam $Dd$ erit rectangulum $Dd \times DN$,
hoc est area $DNnd$, eidem
tempori proportionale. Ergo si $SNn$
sit curva illa linea quam punctum $N$
perpetuo tangit, erit area $SNDS$
proportionalis tempori quo corpus
descendendo descripsit lineam $ST$;
proinde{\que} ex inventa illa area dabitur
tempus. \QEIup





\condpagelarge{Prop.\ LV\@. Theor.\ XIX.}

\textit{Si corpus movetur in superficie quacun{\que} curva, cujus axis per centrum
virium transit, \& a corpore in axem demittatur perpendicularis,
ei{\que} parallela \& {\ae}qualis ab axis puncto quovis ducatur:
dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.}

\pngright{168.png}{1330}{1800}{-12}
%Illustration


Sit $BSKL$ superficies curva, $T$ corpus in ea revolvens, $STtR$
Trajectoria quam corpus in eadem describit, $S$ initium Trajectori{\ae},
$OMNK$ axis superficiei curv{\ae}, $TN$ recta a corpore in axem
perpendicularis, $OP$ huic parallela \& {\ae}qualis a puncto $O$
quod in axe datur educta, $AP$ vestigium Trajectori{\ae} a puncto $P$
% -----File: 168.png---
in line{\ae} volubilis $OP$ plano $AOP$ descriptum, $A$ vestigii initium
puncto $S$ respondens, $TC$ recta a corpore ad centrum ducta; $TG$
pars ejus vi centripet{\ae} qua corpus urgetur in centrum $C$ proportionalis;
$TM$ recta ad superficiem curvam perpendicularis; $TI$
pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissim{\que} urgetur
versus $M$ a superficie, proportionalis; $PHTF$ recta axi parallela
per corpus transiens,
\& $GF$, $IH$ rect{\ae} a
punctis $G$ \& $I$ in parallelam
illam $PHTF$ perpendiculariter
demiss{\ae}.
Dico jam quod area $AOP$,
radio $OP$ ab initio
motus descripta, sit tempori
proportionalis. Nam
vis $TG$ (per Legum Corol.\
2.)\ resolvitur in vires
$TF$, $FG$; \& vis $TI$ in vires
$TH$, $HI$: Vires autem
$TF$, $TH$ agendo secundum
lineam $PF$ plano
$AOP$ perpendicularem
mutant solummodo
motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideo{\que}
motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est
motus puncti $P$, quo Trajectori{\ae} vestigium $AP$ in hoc plano describitur,
idem est ac si vires $TF$, $TH$ tollerentur, \& corpus solis
viribus $FG$, $HI$ agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano
$AOP$ vi centripeta ad centrum $O$ tendente \& summam virium
$FG$ \& $HI$ {\ae}quante, describeret curvam $AP$. Sed vi tali
describetur area $AOP$ (per Prop.\ I.) tempori proportionalis.
\QEDup

\textit{Corol.}\wsp{}Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra
% -----File: 169.png---
duo vel plura in eadem quavis recta $CO$ data tendentibus, describeret
in spatio libero lineam quamcun{\que} curvam $ST$, foret area
$AOP$ tempori semper proportionalis.




\condpagelarge{Prop.\ LVI\@. Prob.\ XXXVII.}

\textit{Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datis{\que} tum lege vis
centripet{\ae} ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus
axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam
corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate
versus plagam in superficie illa datam egressum.}

Stantibus qu{\ae} in superiore Propositione constructa sunt, exeat
corpus de loco $S$ in Trajectoriam inveniendam $STtR$ \& ex data
ejus velocitate in altitudine $SC$ dabitur ejus velocitas in alia
quavis altitudine $TC$. Ea cum velocitate, dato tempore quam
minimo, describat corpus Trajectori{\ae} su{\ae} particulam $Tt$, sit{\que} $Pp$
vestigium ejus plano $AOP$ descriptum. Jungatur $Op$, \& circelli
centro $T$ intervallo $Tt$ in superficie curva descripti sit $PpQ$ vestigium
Ellipticum in eodem plano $OAPp$ descriptum. Et ob datum
magnitudine \& positione circellum, dabitur Ellipsis illa
$PpQ$. Cum{\que} area $POp$ sit tempori proportionalis, at{\que} adeo
ex dato tempore detur, dabitur $Op$ positione, \& inde dabitur communis
ejus \& Ellipseos intersectio $p$, una cum angulo $OPp$, in
quo Trajectori{\ae} vestigium $APp$ secat lineam $OP$. Inde autem
invenietur Trajectori{\ae} vestigium illud $APp$, eadem methodo qua
curva linea $VIKk$ in Propositione XLI. ex similibus datis inventa
fuit. Tum ex singulis vestigii punctis $P$ erigendo ad planum
$AOP$ perpendicula $PT$ superficiei curv{\ae} occurrentia in $T$,
dabuntur singula Trajectori{\ae} puncta $T$. \QEIup


% -----File: 170.png---




\sectpage{XI.}

\begin{center}{\textit{De Motu Corporum Sph{\ae}ricorum viribus centripetis se mutuo petentium.}}\end{center}


Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum
immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones
enim fieri solent ad corpora; \& corporum trahentium \& attractorum
actiones semper mutu{\ae} sunt \& {\ae}quales, per Legem
tertiam: adeo ut ne{\que} attrahens possit quiescere ne{\que} attractum,
si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum)
quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune
revolvantur: \& si plura sint corpora (qu{\ae} vel ab unico
attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) h{\ae}c ita inter se moveri
debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter
moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum
exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires
centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur,
verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam
versamur, \& propterea missis disputationibus Physicis, familiari
utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.


\propnopage{Prop.\ LVII\@. Theor.\ XX.}

\textit{Corpora duo se invicem trahentia describunt, \& circum commune
centrum gravitatis, \& circum se mutuo, figuras similes.}

Sunt enim distanti{\ae} a communi gravitatis centro reciproce proportionales
corporibus, at{\que} adeo in data ratione ad invicem, \&
componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora.
Feruntur autem h{\ae} distanti{\ae} circum terminos suos communi motu
% -----File: 171.png---
angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant
inclinationem ad se mutuo. Line{\ae} autem rect{\ae}, qu{\ae} sunt in
data ratione ad invicem, \& {\ae}quali motu angulari circum terminos
suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis qu{\ae} una
cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari
moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figur{\ae}
qu{\ae} his distantiis circumactis describuntur. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ LVIII\@. Theor.\ XXI.}

\textit{Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, \& interea revolvuntur
circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas
corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis
\& {\ae}qualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.}

Revolvantur corpora $S$, $P$ circa commune gravitatis centrum
$C$, pergendo de $S$ ad $T$ de{\que} $P$ ad $Q$. A dato puncto $s$ ipsis $SP$,
$TQ$ {\ae}quales \& parallel{\ae} ducantur semper $sp$, $sq$; \& curva $pqv$
quam punctum $p$, revolvendo circum punctum immotum $s$, describit,
erit similis \& {\ae}qualis curvis quas corpora $S$, $P$ describunt circum
se mutuo: proinde{\que} (per Theor.\ XX.) similis curvis $ST$
\& $PQV$, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis
centrum $C$: id adeo quia proportiones linearum $SC$, $CP$ \&
$SP$ vel $sp$ ad invicem dantur.

\pngright{172.png}{1945}{733}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Commune illud gravitatis centrum $C$, per Legum Corollarium
% -----File: 172.png---
quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.
Ponamus primo quod id quiescit, in{\que} $s$ \& $p$ locentur corpora
duo, immobile in $s$, mobile in $p$, corporibus $S$ \& $P$ similia
\& {\ae}qualia. Dein tangant rect{\ae} $PR$ \& $pr$ Curvas $PQ$ \& $pq$ in
$P$ \& $p$, \& producantur $CQ$ \& $sq$ ad $R$ \& $r$. Et ob similitudinem
figurarum $CPRQ$, $sprq$, erit $RQ$ ad $rq$ ut $CP$ ad $sp$, adeo{\que}
in data ratione. Proinde si vis qua Corpus $P$ versus Corpus
$S$, at{\que} adeo versus centrum intermedium $C$ attrahitur, esset ad
vim qua corpus $p$ versus centrum $s$ attrahitur in eadem illa ratione
data, h{\ae} vires {\ae}qualibus temporibus attraherent semper corpora
de tangentibus $PR$, $pr$ ad arcus $PQ$, $pq$, per intervalla ipsis proportionalia
$RQ$, $rq$; adeo{\que} vis posterior efficeret ut corpus $p$
gyraretur in curva $pqv$, qu{\ae} similis esset curv{\ae} $PQV$, in qua vis
prior efficit ut corpus $P$ gyretur, \& revolutiones iisdem temporibus
complerentur. At quoniam vires ill{\ae} non sunt ad invicem in
ratione $CP$ ad $sp$, sed (ob similitudinem \& {\ae}qualitatem corporum
$S$ \& $s$, $P$ \& $p$, \& {\ae}qualitatem distantiarum $SP$, $sp$) sibi
mutuo {\ae}quales, corpora {\ae}qualibus temporibus {\ae}qualiter trahentur
de Tangentibus; \& propterea ut corpus posterius $p$ trahatur
per intervallum majus $rq$, requiritur tempus majus, id{\que} in dimidiata
ratione intervallorum; propterea quod, per Lemma decimum,
spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione
temporum. Ponatur igitur velocitas corporis $p$ esse ad velocitatem
corporis $P$ in dimidiata ratione distanti{\ae} $sp$ ad distantiam
$CP$, eo ut temporibus qu{\ae} sint in eadem dimidiata ratione describantur
% -----File: 173.png---
arcus $PQ$, $pq$, qui sunt in ratione integra: Et corpora
$P$, $p$ viribus {\ae}qualibus semper attracta describent circum
centra quiescentia $C$ \& $s$ figuras similes $PQV$, $pqv$, quarum posterior
$pqv$ similis est \& {\ae}qualis figur{\ae} quam corpus $P$ circum corpus
mobile $S$ describit. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una
cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uniformiter
in directum; \&, per Legum Corollarium sextum, motus
omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeo{\que} corpora describent
circum se mutuo figuras easdem ac prius, \& propterea figur{\ae}
$pqv$ similes \& {\ae}quales. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc corpora duo viribus distanti{\ae} su{\ae} proportionalibus
se mutuo trahentia, describunt (per Prop.\ X.) \& circum
commune gravitatis centrum, \& circum se mutuo, Ellipses concentricas:
\& vice versa, si tales figur{\ae} describuntur, sunt vires
distanti{\ae} proportionales.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et corpora duo viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce
proportionalibus describunt (per Prop.\ XI, XII, XIII.)
\& circum commune gravitatis centrum, \& circum se mutuo sectiones
conicas umbilicos habentes in centro circum quod figur{\ae} describuntur.
Et vice versa, si tales figur{\ae} describuntur, vires centripet{\ae}
sunt quadrato distanti{\ae} reciproce proportionales.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Corpora duo qu{\ae}vis circum gravitatis centrum commune
gyrantia, radiis \& ad centrum illud \& ad se mutuo ductis,
describunt areas temporibus proportionales.


\condpagelarge{Prop.\ LIX\@. Theor.\ XXII.}

\textit{Corporum duorum $S$ \& $P$ circa commune gravitatis centrum $C$ revolventium
tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius
$P$, circa alterum immotum $S$ gyrantis \& figuris qu{\ae} corpora
circum se mutuo describunt figuram similem \& {\ae}qualem describentis,
in dimidiata ratione corporis alterius $S$, ad summam
corporum $S + P$.}

% -----File: 174.png---

Nam{\que} ex demonstratione superioris Propositionis, tempora
quibus arcus quivis similes $PQ$ \& $pq$ describuntur, sunt in dimidiata
ratione distantiarum $CP$ \& $SP$ vel $sp$, hoc est, in dimidiata
ratione corporis $S$ ad summam corporum $S + P$. Et componendo,
summ{\ae} temporum quibus arcus omnes similes $PQ$ \& $pq$
describuntur, hoc est tempora tota quibus figur{\ae} tot{\ae} similes describuntur,
sunt in eadem dimidiata ratione. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ LX\@. Theor.\ XXIII.}

\textit{Si corpora duo $S$ \& $P$, viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce proportionalibus
se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum
commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum $P$ hoc
motu circa alterum $S$ describit, Axis transversus erit ad axem transversum
Ellipseos, quam corpus idem $P$ circa alterum quiescens $S$
eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorum
$S + P$ ad primam duarum medie proportionalium inter hanc
summam \& corpus illud alterum $S$.}

Nam si descript{\ae} Ellipses essent sibi invicem {\ae}quales, tempora
periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione
corporis $S$ ad summam corporum $S + P$. Minuatur in hac ratione
tempus periodicum in Ellipsi posteriore, \& tempora periodica
evadent {\ae}qualia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema
VII. minuetur in ratione cujus h{\ae}c est sesquiplicata, id est
in ratione, cujus ratio $S$ ad $S + P$ est triplicata; adeo{\que} ad axem
transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium
inter $S + P$ \& $S$ ad $S + P$. Et inverse, axis transversus
Ellipseos circa corpus mobile descript{\ae} erit ad axem transversum
descript{\ae} circa immobile, ut $S + P$ ad primam duarum medie
proportionalium inter $S + P$ \& $S$. \QEDup
% -----File: 175.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXI\@. Theor.\ XXIV.}

\textit{Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, ne{\que} alias agitata
vel impedita, quomodocun{\que} moveantur; motus eorum perinde
se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrum{\que} a corpore
tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur:
Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distanti{\ae}
corporum a centro illo communi at{\que} respectu distanti{\ae} totius inter
corpora.}

Nam vires ill{\ae}, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad
corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium,
adeo{\que} e{\ae}dem sunt ac si a corpore intermedio manarent. \QEDup

Et quoniam data est ratio distanti{\ae} corporis utriusvis a centro
illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur
ratio cujusvis potestatis distanti{\ae} unius ad eandem potestatem
distanti{\ae} alterius; ut \& ratio quantitatis cujusvis, qu{\ae} ex una
distantia \& quantitatibus datis utcun{\que} derivatur, ad quantitatem
aliam, qu{\ae} ex altera distantia \& quantitatibus totidem datis datam{\que}
illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur.
Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit
directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut qu{\ae}libet
hujus distanti{\ae} potestas; vel deni{\que} ut quantitas qu{\ae}vis ex
hac distantia \& quantitatibus datis quomodocun{\que} derivata: erit
eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur,
directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro
illo communi, vel ut eadem distanti{\ae} hujus potestas, vel deni{\que}
ut quantitas ex hac distantia \& analogis quantitatibus datis
similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu
distanti{\ae} utrius{\que}. \QEDup
% -----File: 176.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXII\@. Prob.\ XXXVIII.}

\textit{Corporum duorum qu{\ae} viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce
proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare
motus.}

Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si
a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur;
\& centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin)
\& propterea (per Legum Corol.\ 4.)\ semper quiescet. Determinandi
sunt igitur motus Corporum (per Probl.\ XXV.) perinde ac
si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, \& habebuntur
motus corporum se mutuo trahentium. \QEIup


\condpagelarge{Prop.\ LXIII\@. Prob.\ XXXIX.}

\textit{Corporum duorum qu{\ae} viribus quadrato distanti{\ae} su{\ae} reciproce proportionalibus
se mutuo trahunt, de{\que} locis datis, secundum datas
rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.}

Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus
centri communis gravitatis, ut \& motus spatii quod una cum hoc
centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus
initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes
(per Legum Corollarium quintum \& Theorema novissimum)
perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi
illo gravitatis centro quiesceret, \& corpora non traherent se
mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis
igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum
datam rectam, data cum velocitate exeuntis, \& vi centripeta ad
centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per
Problema nonum \& vicesimum sextum: \& habebitur simul motus
corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus
est uniformis ille Systematis spatii \& corporum in eo gyrantium
% -----File: 177.png---
motus progressivus supra inventus, \& habebitur motus absolutus
corporum in spatio immobili. \QEIup


\condpagelarge{Prop.\ LXIV\@. Prob.\ XL.}

\textit{Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione
distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum
inter se.}

Ponantur imprimis corpora duo $T$ \& $L$ commune habentia
gravitatis centrum $D$. Describent h{\ae}c per Corollarium primum
Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in $D$, quarum magnitudo
ex Problemate V. innotescit.

\pngright{177.png}{1208}{844}{-24}
%Illustration

Trahat jam corpus tertium $S$ priora duo $T$ \& $L$ viribus acceleratricibus
$ST$, $SL$, \& ab
ipsis vicissim trahatur. Vis
$ST$ per Legum Corol.\ 2.\ resolvitur
in vires $SD$, $DT$;
\& vis $SL$ in vires $SD$, $DL$.
Vires autem $DT$, $DL$, qu{\ae}
sunt ut ipsarum summa $TL$,
at{\que} adeo ut vires acceleratrices
quibus corpora $T$ \& $L$
se mutuo trahunt, addit{\ae} his viribus corporum $T$ \& $L$, prior
priori \& posterior posteriori, componunt vires distantiis $DT$ ac
$DL$ proportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeo{\que}
(per Corol.\ 1.\ Prop.\ X. \& Corol.\ 1 \& 7.\ Prop.\ IV.) efficiunt ut
corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore. Vires
reliqu{\ae} acceleratrices $SD$ \& $SD$, actionibus motricibus $SD \times T$
\& $SD \times L$, qu{\ae} sunt ut corpora, trahendo corpora illa {\ae}qualiter
\& secundum lineas $TI$, $LK$, ipsi $DS$ parallelas, nil mutant situs earum
ad invicem, sed faciunt ipsa {\ae}qualiter accedere ad lineam $IK$;
quam ductam concipe per medium corporis $S$, \& line{\ae} $DS$ perpendicularem.
Impedietur autem iste ad lineam $IK$ accessus
% -----File: 178.png---
faciendo ut Systema corporum $T$ \& $L$ ex una parte, \& corpus $S$
ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis
centrum $C$. Tali motu corpus $S$ (eo quod summa virium
motricium $SD \times T$ \& $SD \times L$, distanti{\ae} $CS$ proportionalium, trahitur
versus centrum $C$) describit Ellipsin circa idem $C$; \& punctum
$D$ ob proportionales $CS$, $CD$ describet Ellipsin consimilem,
e regione. Corpora autem $T$ \& $L$ viribus motricibus $SD \times T$ \&
$SD \times L$, (prius priore, posterius posteriore) {\ae}qualiter \& secundum
lineas parallelas $TI$ \& $LK$ (ut dictum est) attracta, pergent
(per Legum Corollarium quintum \& sextum) circa centrum
mobile $D$ Ellipses suas describere, ut prius. \QEIup

Addatur jam corpus quartum
$V$, \& simili argumento
concludetur hoc \& punctum
$C$ Ellipses circa omnium commune
centrum gravitatis $B$
describere; manentibus motibus
priorum corporum $T$,
$L$ \& $S$ circa centra $D$ \& $C$,
sed paulo acceleratis. Et
eadem methodo corpora plura adjungere licebit. \QEIup

H{\ae}c ita se habent ubi corpora $T$ \& $L$ trahunt se mutuo viribus
acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora
reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutu{\ae} omnium attractiones
acceleratrices ad invicem ut distanti{\ae} duct{\ae} in corpora
trahentia, \& ex pr{\ae}cedentibus facile deducetur quod corpora
omnia {\ae}qualibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium
commune gravitatis centrum $B$, in plano immobili describunt.
\QEIup


\condpagelarge{Prop.\ LXV\@. Theor.\ XXV.}

\textit{Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum
% -----File: 179.png---
ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, \&
radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales
quam proxime.}

In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures
peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium
a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus,
ne{\que} fieri potest ut corpora secundum legem hic positam se mutuo
trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam
proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus
non multum ab Ellipsibus errabitur.

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Pone corpora plura minora circa maximum aliquod
ad varias ab eo distantias revolvi, tendant{\que} ad singula vires absolut{\ae}
proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune
gravitatis centrum (per Legum Corol.\ quartum.)\ vel
quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpora
minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet
sensibiliter ab hoc centro: \& maximum illud vel quiescet vel movebitur
uniformiter in directum, abs{\que} errore sensibili; minora autem
revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, at{\que} radiis ad
idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi quatenus
errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo
gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mutuo.
Diminui autem possunt corpora minora us{\que} donec error
iste \& actiones mutu{\ae} sint datis quibusvis minores, at{\que} adeo
donec orbes cum Ellipsibus quadrent, \& are{\ae} respondeant temporibus,
abs{\que} errore qui non sit minor quovis dato. \QEOup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam
descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum
circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter
in directum, \& interea vi corporis alterius longe maximi
\& ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam {\ae}quales
vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas parallelas
urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut Systema
% -----File: 180.png---
totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur
efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum,
nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se,
nisi vel ex attractionum acceleratricum in{\ae}qualitate, vel ex inclinatione
linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt.
Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum
esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, \& augendo corporis
maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum
minores sint differenti{\ae} \& inclinationes ad invicem quam
dat{\ae} qu{\ae}vis, perseverabunt motus partium Systematis inter se
abs{\que} erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam,
ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema totum
ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac
attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravitatis
describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Conicam
(\textit{viz.}\ Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipsim
fortiore,) \& Radio ad maximum ducto, verret areas temporibus
proportionales, abs{\que} ullis erroribus, nisi quas partium distanti{\ae}
(perexigu{\ae} sane \& pro lubitu minuend{\ae}) valeant efficere.
\QEOup

Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in
infinitum.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium
maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur
motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum
a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem,
major{\que} proportionis in{\ae}qualitas.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones
acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum,
non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a
corpore illo maximo; pr{\ae}sertim si proportionis hujus in{\ae}qualitas
major sit quam in{\ae}qualitas proportionis distantiarum a corpore
maximo: Nam si vis acceleratrix, {\ae}qualiter \& secundum lineas
% -----File: 181.png---
parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex
actionis in{\ae}qualitate perturbatio oriatur, major{\que} sit vel minor pro
majore vel minore in{\ae}qualitate. Excessus impulsuum majorum
agendo in aliqua corpora \& non agendo in alia, necessario mutabunt
situm eorum inter se. Et h{\ae}c perturbatio addita perturbationi,
qu{\ae} ex linearum inclinatione \& in{\ae}qualitate oritur, majorem
reddet perturbationem totam.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis
sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod
e{\ae}dem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut
non urgentur nisi levissime, aut urgentur {\ae}qualiter \& secundum
lineas parallelas quamproxime.


\condpagelarge{Prop.\ LXVI\@. Theor.\ XXVI.}

\textit{Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum,
se mutuo trahant, \& attractiones acceleratrices binorum
quorumcun{\que} in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum;
minora autem circa maximum in plano communi revolvantur:
Dico quod interius circa intimum \& maximum, radiis ad
ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, \&
figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis
magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus
agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum
quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo
minus aut multo magis agitetur.}

\pngright{185.png}{1492}{806}{-24}
%Illustration

Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis
pr{\ae}cedentis; sed argumento magis distincto \& latius cogente
sic evincitur.

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Revolvantur corpora minora $P$ \& $Q$ in eodem plano
circa maximum $S$, quorum $P$ describat orbem interiorem $PAB$,
\& $Q$ exteriorem $QE$. Sit $QK$ mediocris distantia corporum $P$
\& $Q$; \& corporis $P$ versus $Q$ attractio acceleratrix in mediocri
illa distantia exponatur per eandem. In duplicata ratione $QK$
% -----File: 182.png---
ad $QP$ capiatur $QL$ ad $QK$, \& erit $QL$ attractio acceleratrix
corporis $P$ versus $Q$ in distantia quavis $QP$. Junge $PS$, ei{\que} parallelam
age $LM$ occurrentem $QS$ in $M$, \& attractio $QL$ resolvetur
(per Legum Corol.\ 2.)\ in attractiones $QM$, $LM$. Et
sic urgebitur corpus $P$ vi acceleratrice triplici: una tendente ad $S$
\& oriunda a mutua attractione corporum $S$ \& $P$. Hac vi sola
corpus $P$, circum corpus $S$ sive immotum, sive hac attractione agitatum,
describere deberet \& areas, radio $PS$ temporibus proportionales,
\& Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis $S$. Patet
hoc per Prob.\ VI. \& Corollaria Theor.\ XXI\@. Vis altera est
attractionis $LM$, qu{\ae}
quoniam tendit a $P$
ad $S$, superaddita vi
priori coincidet cum
ipsa, \& sic faciet ut
are{\ae} etiamnum temporibus
proportionales
describantur
per Corol.\ 3.\ Theor.\
XXI\@. At quoniam non est quadrato distanti{\ae} $PS$ reciproce proportionalis,
componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem,
id{\que} eo magis quo major est proportio hujus vis ad
vim priorem, c{\ae}teris paribus. Proinde cum (per Corol.\ 1.\ Prob.\
VIII. \& Corol.\ 2.\ Theor.\ XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum
S describitur tendere debeat ad umbilicum illum, \& esse quadrato
distanti{\ae} $PS$ reciproce proportionalis; vis illa composita aberrando
ab hac proportione, faciet ut Orbis $PAB$ aberret a forma
Ellipseos umbilicum habentis in $S$; id{\que} eo magis quo major est
aberratio ab hac proportione; at{\que} adeo etiam quo major est
proportio vis secund{\ae} $LM$ ad vim primam, c{\ae}teris paribus. Jam
vero vis tertia $QM$, trahendo corpus $P$ secundum lineam ipsi
$QS$ parallelam, componet cum viribus prioribus vim qu{\ae} non
amplius dirigitur a $P$ in $S$, qu{\ae}{\que} ab hac determinatione tanto
% -----File: 183.png---
magis aberrat, quanto major est proportio hujus terti{\ae} vis ad vires
priores, c{\ae}teris paribus; at{\que} adeo qu{\ae} faciet ut corpus $P$, radio
$SP$, areas non amplius temporibus proportionales describet, at{\que}
aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto
major est proportio vis hujus terti{\ae} ad vires c{\ae}teras. Orbis vero
$PAB$ aberrationem a forma Elliptica pr{\ae}fata h{\ae}c vis tertia duplici
de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a $P$ ad $S$, tum
etiam quod non sit proportionalis quadrato distanti{\ae} $PS$. Quibus
intellectis, manifestum est quod are{\ae} temporibus tum maxime
fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus c{\ae}teris,
fit minima; \& quod Orbis $PAB$ tum maxime accedit ad pr{\ae}fatam
formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed pr{\ae}cipue
vis tertia, fit minima, vi prima manente.

Exponatur corporis $S$ attractio acceleratrix versus $Q$ per lineam
$QN$; \& si attractiones acceleratrices $QM$, $QN$ {\ae}quales essent,
h{\ae} trahendo corpora $S$ \& $P$ {\ae}qualiter \& secundum lineas parallelas,
nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent
corporum illorum motus inter se (par Legum Corol.\ 6.)\ ac si
h{\ae} attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio $QN$ minor
esset attractione $QM$, tolleret ipsa attractionis $QM$ partem
$QN$, \& maneret pars sola $MN$, qua temporum \& arearum proportionalitas
\& Orbit{\ae} forma illa Elliptica perturbaretur. Et
similiter si attractio $QN$ major esset attractione $QM$, oriretur ex
differentia sola $MN$ perturbatio proportionalitatis \& Orbit{\ae}. Sic
per attractionem $QN$ reducitur semper attractio tertia superior
$QM$ ad attractionem $MN$, attractione prima \& secunda manentibus
prorsus immutatis: \& propterea are{\ae} ac tempora ad proportionalitatem,
\& Orbita $PAB$ ad formam pr{\ae}fatam Ellipticam
tum maxime accedunt, ubi attractio $MN$ vel nulla est, vel quam
fieri possit minima; hoc est ubi corporum $P$ \& $S$ attractiones
acceleratrices,
fact{\ae} versus corpus $Q$, accedunt quantum fieri potest
ad {\ae}qualitatem; id est ubi attractio $QN$ non est nulla, ne{\que} minor
minima attractionum omnium $QM$, sed inter attractionum omnium
% -----File: 184.png---
$QM$ maximam \& minimam quasi mediocris, hoc est, non
multo major ne{\que} multo minor attractione $QK$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Revolvantur jam corpora minora $P$, $Q$ circa maximum
$S$ in planis diversis, \& vis $LM$, agendo secundum lineam $PS$ in
plano Orbit{\ae} $PAB$ sitam, eundem habebit effectum ac prius, ne{\que}
corpus $P$ de plano Orbit{\ae} su{\ae} deturbabit. At vis altera $NM$,
agendo secundum lineam qu{\ae} ipsi $QS$ parallela est, (at{\que} adeo,
quando corpus $Q$ versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad
planum Orbit{\ae} $PAB$;) pr{\ae}ter perturbationem motus in longitudinem
jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem,
trahendo corpus $P$ de plano su{\ae} Orbit{\ae}. Et h{\ae}c perturbatio
in dato quovis corporum $P$ \& $S$ ad invicem situ, erit ut
vis illa generans $MN$, adeo{\que} minima evadet ubi $MN$ est minima,
hoc est (uti jam exposui) ubi attractio $QN$ non est multo major
ne{\que} multo minor attractione $QK$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ex his facile colligitur quod si corpora plura minora
$P$, $Q$, $R$ \&c.\ revolvantur circa maximum $S$: motus corporis intimi
$P$ minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus
maximum $S$ pariter a c{\ae}teris, pro ratione virium acceleratricum,
attrahitur \& agitatur at{\que} c{\ae}teri a se mutuo.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In Systemate vero trium corporum $S$, $P$, $Q$; si attractiones
acceleratrices binorum quorumcun{\que} in tertium sint ad invicem
reciproce ut quadrata distantiarum, corpus $P$ radio $PS$ aream
circa corpus $S$ velocius describet prope conjunctionem $A$ \& oppositionem
$B$, quam prope quadraturas $C$, $D$. Nam{\que} vis omnis
qua corpus $P$ urgetur \& corpus $S$ non urgetur, qu{\ae}{\que} non agit
secundum lineam $PS$, accelerat vel retardat descriptionem are{\ae},
perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Talis
est vis $NM$. H{\ae}c in transitu corporis $P$ a $C$ ad $A$ tendit in
antecedentia, motum{\que} accelerat; dein us{\que} ad $D$ in consequentia,
\& motum retardat; tum in antecedentia us{\que} ad $B$, \& ultimo in
\label{wasp176}consequentia transeundo a $B$ ad $C$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et eodem argumento patet quod corpus $P$, c{\ae}teris
% -----File: 185.png---
paribus, velocius movetur in Conjunctione \& Oppositione quam
in Quadraturis.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Orbita corporis $P$ c{\ae}teris paribus curvior est in quadraturis
quam in Conjunctione \& Oppositione. Nam corpora
velociora minus deflectunt a recto tramite. Et pr{\ae}terea vis $NM$,
in Conjunctione \& Oppositione, contraria est vi qua corpus $S$
trahit corpus $P$, adeo{\que} vim illam minuit; corpus autem $P$ minus
deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus $S$.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Unde corpus $P$, c{\ae}teris paribus, longius recedet a
corpore $S$ in quadraturis, quam in Conjunctione \& Oppositione.
H{\ae}c ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si
Orbita corporis $P$ excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in
hujus Corol.\ 9.\ ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in
Syzygiis; inde{\que} fieri potest ut corpus $P$, ad Apsidem summam
appellans, absit longius a corpore $S$ in Syzygiis quam in Quadraturis.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Quoniam
vis centripeta
corporis centralis $S$,
qua corpus $P$ retinetur
in Orbe suo, augetur
in quadraturis
per additionem vis
$LM$, ac diminuitur
in Syzygiis per ablationem
vis $KL$, \& ob magnitudinem vis $KL$, magis diminuitur
quam augeatur, est autem vis illa centripeta (per Corol.\ 2,
Prop.\ IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii $SP$ directe
\& ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc
rationem compositam diminui per actionem vis $KL$, adeo{\que} tempus
periodicum, si maneat Orbis radius $SP$, augeri, id{\que} in dimidiata
ratione qua vis illa centripeta diminuitur: aucto{\que} adeo
vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel diminui
% -----File: 186.png---
minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol.\
6.\ Prop.\ IV\@. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret,
corpus $P$ minus semper \& minus attractum perpetuo recederet
longius a centro $S$; \& contra, si vis illa augeretur, accederet
propius. Ergo si actio corporis longinqui $Q$, qua vis illa diminuitur,
augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac
diminuetur Radius $SP$ per vices, \& tempus periodicum augebitur
ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata
Radii \& ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis
$S$ per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui
$Q$ diminuitur vel augetur.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Ex pr{\ae}missis consequitur etiam quod Ellipseos a corpore
$P$ descript{\ae} axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem
progreditur \& regreditur per vices, sed magis tamen progreditur,
\& in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis
fertur in consequentia. Nam vis qua corpus $P$ urgetur
in corpus $S$ in Quadraturis, ubi vis $MN$ evanuit, componitur
ex vi $LM$ \& vi centripeta qua corpus $S$ trahit corpus $P$. Vis prior
$LM$, si augeatur distantia $PS$, augetur in eadem fere ratione
cum hac distantia, \& vis posterior decrescit in duplicata illa ratione,
adeo{\que} summa harum virium decrescit in minore quam duplicata
ratione distanti{\ae} $PS$, \& propterea, per Corol.\ 1.\ Prop.\
XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunctione
vero \& Oppositione, vis qua corpus $P$ urgetur in corpus $S$
differentia est inter vim qua corpus $S$ trahit corpus $P$ \& vim $KL$;
\& differentia illa, propterea quod vis $KL$ augetur quamproxime
in ratione distanti{\ae} $PS$, decrescit in majore quam duplicata
ratione distanti{\ae} $PS$, adeo{\que} per Corol.\ 1.\ Prop.\ XLV. facit Augem
progredi. In locis inter Syzygias \& Quadraturas, pendet
motus Augis ex causa utra{\que} conjunctim, adeo ut pro hujus vel
alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis
$KL$ in Syzygiis sit quasi
duplo major quam
vis $LM$ in quadraturis, excessus in
tota revolutione erit penes vim $KL$, transferet{\que} Augem singulis
% -----File: 187.png---
revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus \& pr{\ae}cedentis
Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum
duorum $S$, $P$ corporibus pluribus $Q$, $Q$, $Q$ \&c.\ in Orbe $QE$ consistentibus,
undi{\que} cingi. Nam{\que} horum actionibus actio ipsius $S$ minuetur
undi{\que}, decrescet{\que} in ratione plusquam duplicata distanti{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus
a decremento vis centripet{\ae} facto in majori vel minori quam
duplicata ratione distanti{\ae} $SP$, in transitu corporis ab Apside ima
ad Apsidem summam; ut \& a simili incremento in reditu ad Apsidem
imam; at{\que} adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside
summa ad vim in
Apside ima maxime
recedit a duplicata
ratione distantiarum
inversa: manifestum
est quod Apsides in
Syzygiis suis, per vim
ablatitiam $KL$ seu
$NM - LM$, progredientur
velocius, in{\que} Quadraturis suis tardius recedent per vim
addititiam $LM$. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas
progressus vel tarditas regressus continuatur, fit h{\ae}c in{\ae}qualitas
longe maxima.

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato
distanti{\ae} su{\ae} a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi,
\& mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem
imam, vis illa per accessum perpetuum vis nov{\ae} augeretur in ratione
plusquam duplicata distanti{\ae} diminut{\ae}: Manifestum est
quod corpus, perpetuo accessu vis illius nov{\ae} impulsum semper
in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi
sola crescente in duplicata ratione distanti{\ae} diminut{\ae}, adeo{\que}
Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, \& in Apside ima
propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu
% -----File: 188.png---
hujus vis nov{\ae}, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu
corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem
gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem,
adeo{\que} si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus
attractum ascendet ad distantiam majorem \& sic Orbis Excentricitas
adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi \& decrementi
vis centripet{\ae} singulis revolutionibus augeatur, augebitur
semper Excentricitas; \& e contra, diminuetur eadem si ratio
illa decrescat. Jam vero in Systemate corporum $S$, $P$, $Q$, ubi
Apsides orbis $PAB$ sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac
decrementi minima est, \& maxima fit ubi Apsides sunt in Syzygiis.
Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsides
minor est, \& prope Syzygias major quam duplicata distantiarum,
\& ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus,
uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi
totius in progressu inter Apsides, h{\ae}c minor est quam
duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside
summa in minore quam duplicata ratione distanti{\ae} Apsidis summ{\ae}
ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis im{\ae} ab eodem
umbilico: \& e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis
in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata
ratione distantiarum. Nam vires $LM$ in Quadraturis addit{\ae}
viribus corporis $S$ componunt vires in ratione minore, \& vires
$KL$ in Syzygiis subduct{\ae} viribus corporis $S$ relinquunt vires in
ratione majore. Est igitur ratio decrementi \& incrementi totius
in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Syzygiis:
\& propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzygias
perpetuo augetur, auget{\que} Excentricitatem \label{wasp180}Ellipseos; in{\que}
transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, \& Excentricitatem
diminuit.

\textit{Corol.\fsp{}10.}\wsp{}Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus
planum Orbis $QES$ immobile manere; \& ex errorum exposita
causa manifestum est, quod ex viribus $NM$, $ML$, qu{\ae} sunt
% -----File: 189.png---
causa illa tota, vis $ML$ agendo semper secundum planum Orbis
$PAB$, nunquam perturbat motus in latitudinem, quod{\que} vis $NM$
ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis
planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis
eos maxime perturbat, corpus{\que} $P$ de plano Orbis sui perpetuo
trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis
ad Syzygias, auget{\que} vicissim eandem in transitu a Syzygiis
ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente
inclinatio evadat omnium minima, redeat{\que} ad priorem magnitudinem
circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si
Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter $C$
\& $A$, $D$ \& $B$, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporis
$P$ a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio
plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45
gradus, us{\que} ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, \& postea
denuo in transitu per alios 45 gradus, us{\que} ad nodum proximum,
diminuitur. Magis ita{\que} diminuitur inclinatio quam augetur,
\& propterea minor est semper in nodo subsequente quam in
pr{\ae}cedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam
diminuitur, ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter $A$ \& $D$, $B$
\& $C$. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium maxima.
In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis
corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fit{\que} omnium minima
ubi nodi sunt in quadraturis \& corpus in Syzygiis: dein crescit
iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodis{\que} ad Syzygias
proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur.

\textit{Corol.\fsp{}11.}\wsp{}Quoniam corpus $P$ ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo
trahitur de plano Orbis sui, id{\que} in partem versus $Q$, in
transitu suo a nodo $C$ per Conjunctionem $A$ ad nodum $D$; \& in
contrariam partem in transitu a nodo $D$ per Oppositionem $B$ ad
nodum $C$; manifestum est quod in motu suo a nodo $C$, corpus
perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo $CD$, us{\que} dum perventum
est ad nodum proximum; adeo{\que} in hoc nodo, longissime
distans a plano illo primo $CD$, transit per planum Orbis $QES$,
% -----File: 190.png---
non in plani illius Nodo altero $D$, sed in puncto quod inde vergit
ad partes corporis $Q$, quod{\que} proinde novus est Nodi locus in
anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in
transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur
in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi
motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis intermediis
conditionis utrius{\que} participes recedunt tardius, adeo{\que}
semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur
in antecedentia.

\textit{Corol.\fsp{}12.}\wsp{}Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt
paulo majores in conjunctione Corporum $P$, $Q$ quam in eorum
Oppositione, id{\que} ob majores vires generantes $NM$ \& $ML$.

\textit{Corol.\fsp{}13.}\wsp{}Cum{\que} rationes horum Corollariorum non pendeant
a magnitudine corporis $Q$, obtinent pr{\ae}cedentia omnia, ubi
corporis $Q$ tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur
corporum duorum $S$ \& $P$ Systema. Et ex aucto corpore $Q$,
aucta{\que} adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis $P$ oriuntur,
evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in
hoc casu quam in altero, ubi corpus $Q$ circum Systema corporum
$P$ \& $S$ revolvitur.

\textit{Corol.\fsp{}14.}\wsp{}Cum autem vires $NM$, $ML$, ubi corpus $Q$ longinquum
est, sint quamproxime ut vis $QK$ \& ratio $PS$ ad $QS$ conjunctim,
hoc est, si detur tum distantia $PS$, tum corporis $Q$ vis
absoluta, ut $QS \opit{cub.}$ reciproce; sint autem vires ill{\ae} $NM$, $ML$
caus{\ae} errorum \& effectuum omnium de quibus actum est in pr{\ae}cedentibus
Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes,
stante corporum $S$ \& $P$ Systemate, sint quamproxime in ratione
composita ex ratione directa vis absolut{\ae} corporis $Q$ \& ratione
triplicata inversa distanti{\ae} $QS$. Unde si Systema corporum $S$ \&
$P$ revolvatur circa corpus longinquum $Q$, vires ill{\ae} $NM$, $ML$
\& earum effectus erunt (per Corol.\ 2.\ \& 6.\ Prop.\ IV.) reciproce
in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo
corporis $Q$ proportionalis sit ipsius vi absolut{\ae}, erunt vires ill{\ae}
% -----File: 191.png---
$NM$, $ML$ \& earum effectus directe ut cubus diametri apparentis
longinqui corporis $Q$ e corpore $S$ spectati, \& vice versa. Nam{\que}
h{\ae} rationes e{\ae}dem sunt at{\que} ratio superior composita.

\textit{Corol.\fsp{}15.}\wsp{}Et quoniam si, manentibus Orbium $QE$ \& $PAB$
forma, proportionibus \& inclinatione ad invicem, mutetur eorum
magnitudo, \& si corporum $Q$ \& $S$ vel maneant vel mutentur vires
in data quavis ratione, h{\ae} vires (hoc est vis corporis $S$, qua
corpus $P$ de recto tramite in Orbitam $PAB$ deflectere, \& vis corporis
$Q$, qua corpus idem $P$ de Orbita illa deviare cogitur) agunt
semper eodem modo \& eadem proportione: necesse est ut similes
\& proportionales sint effectus omnes \& proportionalia effectuum
tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium
diametri, angulares vero iidem qui prius, \& errorum linearium
similium vel angularium {\ae}qualium tempora ut Orbium tempora
periodica.

\textit{Corol.\fsp{}16.}\wsp{}Unde, si dentur Orbium form{\ae} \& inclinatio ad
invicem, \& mutentur utcun{\que} corporum magnitudines, vires \&
distanti{\ae}; ex datis erroribus \& errorum temporibus in uno Casu
colligi possunt errores \& errorum tempora in alio quovis, quam
proxime: Sed brevius hac Methodo. Vires $NM$, $ML$ c{\ae}teris
stantibus sunt ut Radius $SP$, \& harum effectus periodici (per
Corol.\ 2, Lem.\ X) ut vires \& quadratum temporis periodici corporis
$P$ conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis $P$; \& hinc
errores angulares e centro $S$ spectati (id est tam motus Augis \&
Nodorum, quam omnes in longitudinem \& latitudinem errores apparentes)
sunt in qualibet revolutione corporis $P$, ut quadratum
temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur h{\ae} rationes
cum rationibus Corollarii 14.\ \& in quolibet corporum $S$, $P$,
$Q$ Systemate, ubi $P$ circum $S$ sibi propinquum, \& $S$ circum $Q$
longinquum revolvitur, errores angulares corporis $P$, de centro
$S$ apparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illius $P$,
ut quadratum temporis periodici corporis $P$ directe \& quadratum
temporis periodici corporis $S$ inverse. Et inde motus medius
% -----File: 192.png---
Augis erit in data ratione ad motum medium Nodorum; \& motus
uter{\que} erit ut tempus periodicum corporis $P$ directe \& quadratum
temporis periodici corporis $S$ inverse. Augendo vel minuendo
Excentricitatem \& Inclinationem Orbis $PAB$ non mutantur motus
Augis \& Nodorum \label{wasp184}sensibiliter, nisi ubi e{\ae}dem sunt nimis
magn{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}17.}\wsp{}Cum autem linea $LM$ nunc major si nunc minor
quam radius $PS$, Exponatur vis mediocris $LM$ per radium
illum $PS$, \& erit h{\ae}c ad vim mediocrem $QK$ vel $QN$ (quam
exponere licet per $QS$) ut longitudo $PS$ ad longitudinem $QS$.
Est autem vis mediocris $QN$ vel $QS$, qua corpus retinetur in
orbe suo circum $Q$, ad vim qua corpus $P$ retinetur in Orbe
suo circum $S$, in ratione composita ex ratione radii $QS$ ad
radium $PS$, \& ratione duplicata temporis periodici corporis $P$
circum $S$ ad tempus periodicum corporis $S$ circum $Q$. Et ex {\ae}quo,
vis mediocris $LM$, ad vim qua corpus $P$ retinetur in Orbe
suo circum $S$ (quave corpus idem $P$ eodem tempore periodico
circum punctum quodvis immobile $S$ ad distantiam $PS$ revolvi
posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum.
Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia $PS$, datur
vis mediocris $LM$; \& ea data datur etiam vis $MN$ quamproxime
per analogiam linearum $PS$, $MN$.

\textit{Corol.\fsp{}18.}\wsp{}Iisdem legibus quibus corpus $P$ circum corpus $S$
revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem $S$ ad {\ae}quales
ab ipso distantias moveri; deinde ex his contiguis factis conflari
annulum fluidum, rotundum ac corpori $S$ concentricum;
\& singul{\ae} annuli partes, motus suos omnes ad legem corporis $P$
peragendo, propius accedent ad corpus $S$, \& celerius movebuntur
in Conjunctione \& Oppositione ipsarum \& corporis $Q$, quam
in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus
cum plano Orbit{\ae} corporis $Q$ vel $S$, quiescent in Syzygiis; extra
Syzygias vero movebuntur in antecedentia, \& velocissime quidem
in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quo{\que} inclinatio
% -----File: 193.png---
variabitur, \& axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur, completa{\que}
revolutione ad pristinum situm redibit, nisi quatenus
per pr{\ae}cessionem Nodorum circumfertur.

\textit{Corol.\fsp{}19.}\wsp{}Fingas jam globum corporis $S$ ex materia non fluida
constantem ampliari \& extendi us{\que} ad hunc annulum, \& alveo
per circuitum excavato continere Aquam, motu{\que} eodem
periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per
vices acceleratus \& retardatus (ut in superiore Lemmate) in
Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies
Globi, \& sic fluet in alveo refluet{\que} ad modum Maris. Aqua
revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio
$Q$, nullum acquiret motum fluxus \& refluxus. Par est ratio Globi
uniformiter progredientis in directum \& interea revolventis circa
centrum suum (per Legum Corol.\ 5) ut \& Globi de cursa
rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol.\ 6.) Accedat autem
corpus $Q$, \& ab ipsius in{\ae}quabili attractione mox turbabitur
Aqua. Etenim major erit attractio aqu{\ae} propioris, minor ea
remotioris. Vis autem $LM$ trahet aquam deorsum in Quadraturis,
faciet{\que} ipsam descendere us{\que} ad Syzygias; \& vis $KL$ trahet
eandem sursum in Syzygiis, sistet{\que} descensum ejus \& faciet ipsam
ascendere us{\que} ad Quadraturas.

\textit{Corol.\fsp{}20.}\wsp{}Si annulus jam rigeat \& minuatur Globus, cessabit
motus fluendi \& refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis
motus \& pr{\ae}cessio Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem
axem cum annulo, gyros{\que} compleat iisdem temporibus, \&
superficie sua contingat ipsum interius, ei{\que} inh{\ae}reat; \& participando
motum ejus, compages utrius{\que} Oscillabitur \& Nodi regredientur.
Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas impressiones
omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus
inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in progressu
Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam
minuere, \& isto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet
Globus motum impressum us{\que} dum annulus conatu contrario
% -----File: 194.png---
motum hunc tollat, imprimat{\que} motum novum in contrariam partem:
At{\que} hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus
fit in Quadraturis Nodorum, \& minimus inclinationis angulus
in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis motus
in Syzygiis \& maximus angulus in Octantibus proximis. Et
eadem est ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus {\ae}quatoris
vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo
densiore. Supplet enim vicem annuli iste materi{\ae} in {\ae}quatoris
regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcun{\que} Globi hujus
vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum,
ad modum gravitantium partium telluris, tamen Ph{\ae}nomena
hujus \& pr{\ae}cedentis Corollarii vix inde mutabuntur.

\textit{Corol.\fsp{}21.}\wsp{}Eadem ratione qua materia Globi juxta {\ae}quatorem
redundans efficit ut Nodi regrediantur, at{\que} adeo per hujus incrementum
augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur
\& per ablationem tollitur; si materia plusquam redundans
tollatur, hoc est, si Globus juxta {\ae}quatorem vel depressior
reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum
in consequentia.

\textit{Corol.\fsp{}22.}\wsp{}Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit constitutio
Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter servat
\& motus fit in antecedentia, materia juxta {\ae}quatorem redundat;
si in consequentia, deficit. Pone Globum uniformem
\& perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiescere; dein impetu
quocun{\que} oblique in superficiem suam facto propelli, \&
motum inde concipere partim circularem, partim in directum.
Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes
indifferenter se habet, ne{\que} propensior est in unum axem,
unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod
is axem suum axis{\que} inclinationem vi propria nunquam mutabit.
Impellatur jam Globus oblique in eadem illa superficiei
parte qua prius, impulsu quocun{\que} novo; \& cum citior vel serior
impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duo impulsus
% -----File: 195.png---
successive impressi eundem producent motum ac si simul impressi
fuissent, hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utro{\que}
(per Legum Corol.\ 2.)\ composita impulsus fuisset, at{\que} adeo
simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio impulsus
secundi facti in locum alium quemvis in {\ae}quatore motus
primi; ut \& impulsus primi facti in locum quemvis in {\ae}quatore
motus, quem impulsus secundus abs{\que} primo generaret; at{\que} adeo
impulsuum amborum factorum in loca qu{\ae}cun{\que}: Generabunt
hi eundem motum circularem ac si simul \& semel in locum
intersectionis {\ae}quatorum motuum illorum, quos seorsim generarent,
fuissent impressi. Globus igitur homogeneus \& perfectus
non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit
\& ad unum reducit, \& quatenus in se est, gyratur semper motu
simplici \& uniformi circa axem unicum inclinatione semper invariabili
datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis
velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocun{\que}
per centrum suum \& centrum in quod vis dirigitur transeunte
dividi intelligatur in duo hemisph{\ae}ria, urgebit semper vis illa utrum{\que}
hemisph{\ae}rium {\ae}qualiter, \& propterea Globum quoad
motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi
inter polum \& {\ae}quatorem materia nova in formam montis
cumulata, \& h{\ae}c, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus,
turbabit motum Globi, faciet{\que} polos ejus errare per ipsius
superficiem, \& circulos circum se punctum{\que} sibi oppositum perpetuo
describere. Ne{\que} corrigetur ista vagationis enormitas, nisi
locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Casu, per
Corol.\ 21, Nodi {\ae}quatoris progredientur; vel in {\ae}quatore, qua ratione,
per Corol.\ 20, Nodi regredientur; vel deni{\que} ex altera
axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum
libretur: \& hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, perinde
ut mons \& h{\ae}cce nova materia sunt vel polo vel {\ae}quatori
propiores.
% -----File: 196.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXVII\@. Theor.\ XXVII.}

\textit{Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius $Q$, circa
interiorum $P$, $S$ commune Gravitatis centrum $C$, radiis ad centrum
illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales \&
Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis
accedentem, quam circa corpus intimum \& maximum $S$, radiis
ad ipsum ductis, describere potest.}

Nam corporis $Q$ attractiones versus $S$ \& $P$ componunt ipsius
attractionem absolutam, qu{\ae} magis dirigitur in corporum $S$ \& $P$
commune gravitatis centrum $C$, quam in corpus maximum $S$, qu{\ae}{\que}
quadrato distanti{\ae} $QC$ magis est proportionalis reciproce,
quam quadrato distanti{\ae} $QS$: ut rem perpendenti facile constabit.


\condpagelarge{Prop.\ LXVIII\@. Theor.\ XXVIII.}

\textit{Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius $Q$ circa
interiorum $P$ \& $S$ commune gravitatis centrum $C$, radiis ad
centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales,
\& Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem
habentis magis accedentem, si corpus intimum \& maximum his
attractionibus perinde at{\que} c{\ae}tera agitetur, quam si id vel non attractum
quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum
aut multo magis aut multo minus agitetur.}

\pngright{185.png}{1492}{806}{-24}
%Illustration

Demonstratur eodem fere modo cum Prop.\ LXVI, sed argumento
prolixiore, quod ideo pr{\ae}tereo. Suffecerit rem sic {\ae}stimare.
Ex demonstratione Propositionis novissim{\ae} liquet centrum
in quod corpus $Q$ conjunctis viribus urgetur, proximum esse
communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret
hoc centrum cum centro illo communi, \& quiesceret commune
centrum gravitatis corporum trium; describerent corpus $Q$ ex una
% -----File: 197.png---
parte, \& commune centrum aliorum duorum ex altera parte,
circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses accuratas.
Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII. collatum
cum demonstratis in Prop.\ LXIV. \& LXV\@. Perturbatur
iste motus Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a
centro in quod tertium $Q$ attrahitur. Detur pr{\ae}terea motus
communi trium centro, \& augebitur perturbatio. Proinde minima
est perturbatio, ubi commune trium centrum quiescit, hoc
est ubi corpus intimum \& maximum $S$ lege c{\ae}terorum attrahitur:
fit{\que} major semper ubi trium commune illud centrum, minuendo
motum corporis $S$, moveri incipit \& magis deinceps magis{\que}
agitatur.

\textit{Corol.}\wsp{}Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa maximum,
colligere licet
quod Orbit{\ae} descript{\ae}
propius accedent
ad Ellipticas,
\& arearum descriptiones
fient magis {\ae}quabiles,
si corpora
omnia viribus acceleratricibus,
qu{\ae}
sunt ut eorum vires absolut{\ae} directe \& quadrata distantiarum
inverse, se mutuo trahant agitent{\que}, \& Orbit{\ae} cujus{\que} umbilicus
collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum
(nimirum umbilicus Orbit{\ae} prim{\ae} \& intim{\ae} in centro
gravitatis corporis maximi \& intimi; ille Orbit{\ae} secund{\ae}, in
communi centro gravitatis corporum duorum intimorum; iste
terti{\ae}, in communi centro gravitatis trium interiorum \& sic deinceps)
quam si corpus intimum quiescat \& statuatur communis
umbilicus orbitarum Omnium.
% -----File: 198.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXIX\@. Theor.\ XXIX.}

\textit{In Systemate corporum plurium $A$, $B$, $C$, $D$ \&c.\ si corpus aliquod
$A$ trahit c{\ae}tera omnia $B$, $C$, $D$ \&c.\ viribus acceleratricibus qu{\ae}
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; \& corpus aliud
$B$ trahit etiam c{\ae}tera $A$, $C$, $D$ \&c.\ viribus qu{\ae} sunt reciproce
ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolut{\ae} corporum
trahentium $A$, $B$ vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora $A$, $B$, quorum
sunt vires.}

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium $B$, $C$, $D$
versus $A$, par\-ibus distantiis, sibi invicem {\ae}quantur ex hypothesi,
\& similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus
$B$, paribus distantiis, sibi invicem {\ae}quantur. Est autem absoluta
vis attractiva corporis $A$ ad vim absolutam attractivam corporis
$B$, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus $A$ ad attractionem
acceleratricem corporum omnium versus $B$, paribus distantiis;
\& ita est attractio acceleratrix corporis $B$ versus $A$, ad attractionem
acceleratricem corporis $A$ versus $B$. Sed attractio acceleratrix
corporis $B$ versus $A$ est ad attractionem acceleratricem
corporis $A$ versus $B$, ut massa corporis $A$ ad massam corporis $B$;
propterea quod vires motrices, qu{\ae} (per Definitionem secundam,
septimam \& octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora
attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi
invicem {\ae}quales. Ergo absoluta vis attractiva corporis $A$ est ad
absolutam vim attractivam corporis $B$, ut massa corporis $A$ ad
massam corporis $B$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si singula Systematis corpora $A$, $B$, $C$, $D$, \&c.\
seorsim spectata trahant c{\ae}tera omnia viribus acceleratricibus
qu{\ae} sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt
corporum illorum omnium vires absolut{\ae} ad invicem ut sunt ipsa
corpora.
% -----File: 199.png---

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Eodem argumento, si singula Systematis corpora
$A$, $B$, $C$, $D$ \&c.\ seorsim spectata trahant c{\ae}tera omnia viribus acceleratricibus
qu{\ae} sunt vel reciproce vel directe in ratione dignitatis
cujuscun{\que} distantiarum a trahente, qu{\ae}ve secundum
legem quamcun{\que} communem ex distantiis ab unoquo{\que} trahente
definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolut{\ae} sunt
ut corpora.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in
ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in Ellipsibus
umbilicum communem in maximi illius centro habentibus
quam fieri potest accuratissimis revolvantur, \& radiis ad maximum
illud ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales:
erunt corporum illorum vires absolut{\ae} ad invicem,
aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; \& contra.
Patet per Corol.\ Prop.\ LXVIII. collatum cum hujus Corol.\ 1.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas
\& corpora centralia, ad qu{\ae} vires ill{\ae} dirigi solent. Rationi
enim consentaneum est, ut vires qu{\ae} ad corpora diriguntur
pendeant ab eorundem natura \& quantitate, ut fit in Magneticis.
Et quoties hujusmodi casus incidunt, {\ae}stimand{\ae} erunt corporum
attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias,
\& colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaliter
usurpo pro corporum conatu quocun{\que} accedendi ad
invicem; sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo
petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive
is ab actione {\AE}theris aut Aeris mediive cujuscun{\que} seu corporei
seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcun{\que}
impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non
species virium \& qualitates physicas, sed quantitates \& proportiones
Mathematicas in hoc Tractatu expendens; ut in Definitionibus
% -----File: 200.png---
explicui. In Mathesi investigand{\ae} sunt virium quantitates
\& rationes ill{\ae}, qu{\ae} ex conditionibus quibuscun{\que} positis
consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, conferend{\ae}
sunt h{\ae} rationes cum Ph{\ae}nomenis, ut innotescat qu{\ae}nam
virium conditiones singulis corporum attractivorum generibus
competant. Et tum demum de virium speciebus, causis \&
rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur quibus
viribus corpora Sph{\ae}rica, ex particulis modo jam exposito
attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, \& quales motus
inde consequantur.




\sectpage{XII.}

\begin{center}{\textit{De Corporum Sph{\ae}ricorum Viribus attractivis.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ LXX\@. Theor.\ XXX.}

\textit{Si ad Sph{\ae}ric{\ae} superficiei puncta singula tendant vires {\ae}quales centripet{\ae}
decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis:
dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus
nullam in partem attrahitur.}

\pngright{201.png}{945}{1048}{-24}
%Illustration

Sit $HIKL$ superficies illa Sph{\ae}rica, \& $P$ corpusculum intus
constitutum. Per $P$ agantur ad hanc superficiem line{\ae} du{\ae} $HK$,
$IL$, arcus quam minimos $HI$, $KL$ intercipientes; \& ob triangula
$HPI$, $LPK$ (per Corol.\ 3.\ Lem.\ VII.) similia, arcus illi erunt
distantiis $HP$, $LP$ proportionales, \& superficiei Sph{\ae}ric{\ae} particul{\ae}
qu{\ae}vis, ad $HI$ \& $KL$ rectis per punctum $P$ transeuntibus
undi{\que} terminat{\ae}, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires
% -----File: 201.png---
harum particularum in corpus $P$ exercit{\ae} sunt inter se aquales.
Sunt enim ut particul{\ae} directe \& quadrata distantiarum inverse.
Et h{\ae} du{\ae} rationes componunt rationem
{\ae}qualitatis. Attractiones
igitur in contrarias partes {\ae}qualiter
fact{\ae} se mutuo destruunt. Et simili
argumento attractiones omnes per
totam Sph{\ae}ricam superficiem a
contrariis attractionibus destruuntur.
Proinde corpus $P$ nullam in
partem his attractionibus impellitur.
\QEDup


\condpagelarge{Prop.\ LXXI\@. Theor.\ XXXI.}

\textit{Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sph{\ae}ricam superficiem
constitutum attrahitur ad centrum Sph{\ae}r{\ae}, vi reciproce proportionali
quadrato distanti{\ae} su{\ae} ab eodem centro.}

\pngcent{202.png}{2373}{829}
%Illustration

Sint $AHKB$, $ahkb$ {\ae}quales du{\ae} superficies Sph{\ae}ric{\ae}, centris
$S$, $s$, diametris $AB$, $ab$ descript{\ae}, \& $P$, $p$ corpuscula sita extrinsecus
in diametris illis productis. Agantur a corpusculis line{\ae}
$PHK$, $PIL$, $phk$, $pil$, auferentes a circulis maximis $AHB$,
$ahb$, {\ae}quales arcus quam minimos $HK$, $hk$ \& $HL$, $hl$: Et ad
eas demittantur perpendicula $SD$, $sd$; $SE$, $se$; $IR$, $ir$; quorum
% -----File: 202.png---
$SD$, $sd$ secent $PL$, $pl$ in $F$ \& $f$. Demittantur etiam ad diametros
perpendicula $IQ$, $iq$; \& ob {\ae}quales $DS$ \& $ds$, $ES$ \&
$es$, \& angulos evanescentes $DPE$ \& $dpe$, line{\ae} $PE$, $PF$ \& $pe$,
$pf$ \& lineol{\ae} $DF$, $df$ pro {\ae}qualibus habeantur: quippe quarum
ratio ultima, angulis illis $DPE$, $dpe$ simul evanescentibus,
est {\ae}qualitatis. His ita{\que} constitutis, erit $PI$ ad $PF$ ut $RI$ ad
$DF$, \& $pf$ ad $pi$ ut $DF$ vel $df$ ad $ri$; \& ex {\ae}quo
$PI \times pf$ ad
$PF \times pi$ ut $RI$ ad $ri$, hoc est (per Corol.\ 3.\ Lem.\ VII.) ut arcus
$IH$ ad arcum $ih$. Rursus $PI$ ad $PS$ ut $IQ$ ad $SE$, \& $ps$ ad $pi$
ut $SE$ vel $se$ ad $iq$; \& ex {\ae}quo $PI \times ps$ ad $PS \times pi$ ut $IQ$ ad
$iq$. Et conjunctis rationibus $PI \opit{quad.} \times pf \times ps$ ad
$pi \opit{quad.} \times PF \times PS$, ut $IH \times IQ$ ad $ih \times iq$; hoc est, ut superficies circularis,
quam arcus $IH$ convolutione semicirculi $AKB$ circa diametrum
$AB$ describet, ad superficiem circularem, quam arcus $ih$ convolutione
semicirculi $akb$ circa diametrum $ab$ describet. Et vires, quibus
h{\ae} superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula
$P$ \& $p$, sunt (per Hypothesin) ut ips{\ae} superficies applicat{\ae}
ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut
$pf \times ps$ ad $PF \times PS$. Sunt{\que} h{\ae} vires ad ipsarum partes obliquas
qu{\ae} (facta per Legum Corol.\ 2 resolutione virium) secundum
lineas $PS$, $ps$ ad centra tendunt, ut $PI$ ad $PQ$, \& $pi$ ad $pq$; id
est (ob similia triangula $PIQ$ \& $PSF$, $piq$ \& $psf$) ut $PS$ ad
$PF$ \& $ps$ ad $pf$. Unde ex {\ae}quo fit attractio corpusculi hujus $P$
versus $S$ ad attractionem corpusculi $p$ versus $s$,
ut $\frac{PF \times pf \times ps}{PS}$ ad
% -----File: 203.png---
$\frac{pf \times PF \times PS}{ps}$,
hoc es ut $ps \opit{quad.}$ ad $PS \opit{quad.}$ Et simili argumento
vires, quibus superficies convolutione arcuum $KL$, $kl$
descript{\ae} trahunt corpuscula, erunt ut $ps \opit{quad.}$ ad $PS \opit{quad.}$;
in{\que} eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium
in quas utra{\que} superficies Sph{\ae}rica, capiendo semper $sd = SD$ \&
$se = SE$, distingui potest. Et per Compositionem, vires totarum
superficierum Sph{\ae}ricarum in corpuscula exercit{\ae} erunt in
eadem ratione. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ LXXII\@. Theor.\ XXXII.}

\textit{Si ad Spher{\ae} cujusvis puncta singula tendant vires {\ae}quales centripet{\ae}
decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur
ratio diametri Spher{\ae} ad distantiam corpusculi a centro ejus;
dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro
Sph{\ae}r{\ae}.}

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sph{\ae}ris duabus attrahi,
\& distantias a centris proportionales esse diametris, Sph{\ae}ras
autem resolvi in particulas similes \& similiter positas ad corpuscula.
Hinc attractiones corpusculi unius, fact{\ae} versus singulas particulas
Sph{\ae}r{\ae} unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas
totidem particulas Sph{\ae}r{\ae} alterius, in ratione composita ex
ratione particularum directe \& ratione duplicata distantiarum inverse.
Sed particul{\ae} sunt ut Sph{\ae}r{\ae}, hoc est in ratione triplicata
diametrorum, \& distanti{\ae} sunt ut diametri, \& ratio prior
directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri
ad diametrum. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpuscula in circulis circa Sph{\ae}ras ex materia
{\ae}qualiter attractiva constantes revolvantur, sint{\que} distanti{\ae}
a centris Sph{\ae}rarum proportionales earundem diametris; tempora
periodica erunt {\ae}qualia.

% -----File: 204.png---
\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et vice versa, si tempora periodica sunt {\ae}qualia;
distanti{\ae} erunt proportionales diametris. Constant h{\ae}c duo per
Corol.\ 3.\ Theor.\ IV.


\condpagelarge{Prop.\ LXXIII\@. Theor.\ XXXIII.}

\pngright{204.png}{763}{981}{-24}
%Illustration

\textit{Si ad sph{\ae}r{\ae} alicujus dat{\ae} puncta singula tendant {\ae}quales vires centripet{\ae}
decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico
quod corpusculum intra Sph{\ae}r\-am constitutum attrahitur vi proportionali
distanti{\ae} su{\ae} ab ipsius centro.}

In Sph{\ae}ra $ABCD$, centro $S$ descripta, locetur corpusculum $P$,
\& centro eodem $S$ intervallo $SP$ concipe Sph{\ae}ram interiorem
$PEQF$ describi. Manifestum est, per
Theor.\ XXX. quod Sph{\ae}ric{\ae} superficies
concentric{\ae}, ex quibus Sph{\ae}rarum
differentia $AEBF$ componitur, attractionibus
per attractiones contrarias destructis,
nil agunt in corpus $P$. Restat
sola attractio Sph{\ae}r{\ae} interioris $PEQF$.
Et per Theor.\ XXXII, h{\ae}c est ut
distantia $PS$. \QEDup


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure
Mathematic{\ae}, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar
nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sph{\ae}ra ultimo
constat, ubi Orbium illorum numerus augetur \& crassitudo minuitur
in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis generalibus
expositam. Similiter per puncta, ex quibus line{\ae}, superficies
\& solida componi dicuntur, intelligend{\ae} sunt particul{\ae} {\ae}quales
magnitudinis contemnend{\ae}.
% -----File: 205.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXXIV\@. Theor.\ XXXIV.}

\textit{Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sph{\ae}ram constitutum
attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} su{\ae} ab ipsius
centro.}

Nam distinguatur Sph{\ae}ra in superficies Sph{\ae}ricas innumeras
concentricas, \& attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriund{\ae}
erunt reciproce proportionales quadrato distanti{\ae} corpusculi
a centro, per Theor.\ XXXI\@. Et componendo, fiet summa
attractionum, hoc est attractio Sph{\ae}r{\ae} totius, in eadem ratione.
\QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc in {\ae}qualibus distantiis a centris homogenearum
Sph{\ae}rarum, attractiones sunt ut Sph{\ae}r{\ae}. Nam per Theor.\
XXXII. si distanti{\ae} sunt proportionales diametris Sph{\ae}rarum,
vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione,
\& distantiis jam factis {\ae}qualibus, augebitur attractio in duplicata
illa ratione, adeo{\que} erit ad attractionem alteram in triplicata
illa ratione, hoc est in ratione Sph{\ae}rarum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sph{\ae}r{\ae}
applicat{\ae} ad quadrata distantiarum.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si corpusculum extra Sph{\ae}ram homogeneam positum
trahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti{\ae} su{\ae} ab
ipsius centro, constet autem Sph{\ae}ra ex particulis attractivis; decrescet
vis particul{\ae} cujus{\que} in duplicata ratione distanti{\ae} a particula.


\condpagelarge{Prop.\ LXXV\@. Theor.\ XXXV.}

\textit{Si ad Sph{\ae}r{\ae} dat{\ae} puncta singula tendant vires {\ae}quales centripet{\ae}
decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod
Sph{\ae}ra qu{\ae}vis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali
quadrato distanti{\ae} centrorum.}

Nam particul{\ae} cujusvis attractio est reciproce ut quadratum
distanti{\ae} ejus a centro Sph{\ae}r{\ae} trahentis, (per Theor.\ XXXI,) \&
% -----File: 206.png---
propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo
unico sito in centro hujus Sph{\ae}r{\ae}. H{\ae}c autem attractio
tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si
modo illud a singulis Sph{\ae}r{\ae} attract{\ae} particulis eadem vi traheretur
qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio
(per Theor.\ XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distanti{\ae}
ejus a centro Sph{\ae}r{\ae}; adeo{\que} huic {\ae}qualis attractio Sph{\ae}r{\ae}
est in eadem ratione. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Attractiones Sph{\ae}rarum, versus alias Sph{\ae}ras homogeneas,
sunt ut Sph{\ae}r{\ae} trahentes applicat{\ae} ad quadrata distantiarum
centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Idem valet ubi Sph{\ae}ra attracta etiam attrahit. Nam{\que}
hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab
ipsis vicissim trahuntur, adeo{\que} cum in omni attractione urgeatur
(per Legem 3.)\ tam punctum attrahens, quam punctum
attractum, geminabitur vis attractionis mutu{\ae}, conservatis proportionibus.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Eadem omnia, qu{\ae} superius de motu corporum circa
umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent
ubi Sph{\ae}ra attrahens locatur in umbilico \& corpora moventur
extra Sph{\ae}ram.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Ea vero qu{\ae} de motu corporum circa centrum Conicarum
Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur
intra Sph{\ae}ram.


\condpagelarge{Prop.\ LXXVI\@. Theor.\ XXXVI.}

\pngright{207.png}{1761}{888}{-24}
%Illustration

\textit{Si Sph{\ae}r{\ae} in progressu a centro ad circumferentiam (quod materi{\ae}
densitatem \& vim attractivam) utcun{\que} dissimilares, in progressu
vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undi{\que}
similares, \& vis attractiva puncti cujus{\que} decrescit in duplicata
ratione distanti{\ae} corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi
Sph{\ae}ra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato
distanti{\ae} centrorum.}

% -----File: 207.png---

Sunto Sph{\ae}r{\ae} quotcun{\que} concentric{\ae} similares $AB$, $CD$, $EF$
\&c.\ quarum interiores addit{\ae} exterioribus componant materiam
densiorem versus centrum, vel subduct{\ae} relinquant tenuiorem;
\& h{\ae}, per Theor.\ XXXV, trahent Sph{\ae}ras alias quotcun{\que} concentricas
similares $GH$, $IK$, $LM$, \&c.\ singul{\ae} singulas, viribus
reciproce proportionalibus quadrato distanti{\ae} $SP$. Et componendo
vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel excessus
aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sph{\ae}ra tota ex concentricis
quibuscun{\que} vel concentricarum differentiis composita
$AB$, trahit totam ex concentricis quibuscun{\que} vel concentricarum
differentiis
compositam
$GH$, erit
in eadem ratione.
Augeatur
numerus
Sph{\ae}rarum
concentricarum
in infinitum
sic, ut materi{\ae} densitas una cum vi attractiva, in progressu
a circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcun{\que} crescat
vel decrescat: \& addita materia non attractiva compleatur ubivis
densitas deficiens, eo ut Sph{\ae}r{\ae} acquirant formam quamvis
optatam; \& vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum
(per argumentum superius) in eadem illa distanti{\ae} quadrat{\ae} ratione
inversa. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si ejusmodi Sph{\ae}r{\ae} complures sibi invicem per
omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum
in singulas erunt in {\ae}qualibus quibusvis centrorum distantiis
ut Sph{\ae}r{\ae} attrahentes.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In{\que} distantiis quibusvis in{\ae}qualibus, ut Sph{\ae}r{\ae} attrahentes
applicat{\ae} ad quadrata distantiarum inter centra.
% -----File: 208.png---

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Attractiones vero motrices, seu pondera Sph{\ae}rarum
in Sph{\ae}ras erunt, in {\ae}qualibus centrorum distantiis, ut Sph{\ae}r{\ae} attrahentes
\& attract{\ae} conjunctim, id est, ut contenta sub Sph{\ae}ris
per multiplicationem producta.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}In{\que} distantiis in{\ae}qualibus, ut contenta illa applicata
ad quadrata distantiarum inter centra.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Eadem valent ubi attractio oritur a Sph{\ae}r{\ae} utrius{\que}
virtute attractiva, mutuo exercita in Sph{\ae}ram alteram. Nam viribus
ambabus geminatur attractio, proportione servata.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si hujusmodi Sph{\ae}r{\ae} aliqu{\ae} circa alias quiescentes
revolvantur, singul{\ae} circa singulas, sint{\que} distanti{\ae} inter centra
revolventium \& quiescentium proportionales quiescentium diametris;
{\ae}qualia erunt tempora periodica.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Et vicissim, si tempora periodica sunt {\ae}qualia, distanti{\ae}
erunt proportionales diametris.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Eadem omnia, qu{\ae} superius de motu corporum circa
umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent
ubi Sph{\ae}ra attrahens, form{\ae} \& conditionis cujusvis jam descript{\ae},
locatur in umbilico.

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Ut \& ubi gyrantia sunt etiam Sph{\ae}r{\ae} attrahentes,
conditionis cujusvis jam descript{\ae}.


\condpagelarge{Prop.\ LXXVII\@. Theor.\ XXXVII.}

\pngright{210.png}{1091}{829}{-24}
%Illustration

\textit{Si ad singula Sph{\ae}rarum puncta tendant vires centripet{\ae} proportionales
distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis
composita, qua Sph{\ae}r{\ae} du{\ae} se mutuo trahent, est ut distantia inter
centra Sph{\ae}rarum.}

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit $ACBD$ Sph{\ae}ra, $S$ centrum ejus, $P$ corpusculum
attractum, $PASB$ axis Sph{\ae}r{\ae} per centrum corpusculi transiens,
$EF$, $ef$ plana duo quibus Sph{\ae}ra secatur, huic axi perpendicularia,
\& hinc inde {\ae}qualiter distantia a centro Sph{\ae}r{\ae}; $Gg$ intersectiones
planorum \& axis, \& $H$ punctum quodvis in plano $EF$.
% -----File: 209.png---
Puncti $H$ vis centripeta in corpusculum $P$ secundum lineam $PH$
exercita est ut distantia $PH$, \& (per Legum Corol.\ 2.)\ secundum
lineam $PG$, seu versus centrum $S$, ut longitudo $PG$. Igitur
punctorum omnium in plano $EF$, hoc est plani totius vis,
qua corpusculum $P$ trahitur versus centrum $S$, est ut numerus
punctorum ductus in distantiam $PG$: id est ut contentum sub
plano ipso $EF$ \& distantia illa $PG$. Et similiter vis plani $ef$,
qua corpusculum $P$ trahitur versus centrum $S$, est ut planum illud
ductum in distantiam suam $Pg$; sive ut huic {\ae}quale planum
$EF$ ductum in distantiam illam $Pg$; \& summa virium plani utrius{\que}
ut planum $EF$ ductum in
summam distantiarum $PG + Pg$,
id est, ut planum illud
ductum in duplam centri \&
corpusculi distantiam $PS$, hoc
est, ut duplum planum $EF$
ductum in distantiam $PS$, vel
ut summa {\ae}qualium planorum
$EF + ef$ ducta in distantiam
eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sph{\ae}ra
tota, hinc inde {\ae}qualiter a centro Sph{\ae}r{\ae} distantium, sunt ut
summa planorum ducta in distantiam $PS$, hoc est, ut Sph{\ae}ra tota
ducta in distantiam centri sui $S$ a corpusculo $P$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Trahat jam corpusculum $P$ Sph{\ae}ram $ACBD$. Et
eodem argumento probabitur quod vis, qua Sph{\ae}ra illa trahitur,
erit ut distantia $PS$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Componatur jam Sph{\ae}ra altera ex corpusculis innumeris
$P$; \& quoniam vis, qua corpusculum unumquod{\que} trahitur,
est ut distantia corpusculi a centro Sph{\ae}r{\ae} prim{\ae} ducta in Sph{\ae}ram
eandem, at{\que} adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo
unico in centro Sph{\ae}r{\ae}; vis tota qua corpuscula omnia in
Sph{\ae}ra secunda trahuntur, hoc est, qua Sph{\ae}ra illa tota trahitur,
eadem erit ac si Sph{\ae}ra illa traheretur vi prodeunte de corpusculo
% -----File: 210.png---
unico in centro Sph{\ae}r{\ae} prim{\ae}, \& propterea proportionalis
est distanti{\ae} inter centra Sph{\ae}rarum. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}4.}\wsp{}Trahant Sph{\ae}r{\ae} se mutuo, \& vis geminata proportionem
priorem servabit. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}5.}\wsp{}Locetur jam corpusculum $p$ intra Sph{\ae}ram $ACBD$,
\& quoniam vis plani $ef$ in corpusculum est ut contentum sub
plano illo \& distantia $pg$; \& vis contraria plani $EF$ ut contentum
sub plano illo \& distantia $pG$; erit vis ex utra{\que} composita ut
differentia contentorum, hoc est, ut summa {\ae}qualium planorum
ducta in semissem differenti{\ae} distantiarum, id est, ut summa
illa ducta in $pS$, distantiam
corpusculi a centro Sph{\ae}r{\ae}.
Et simili argumento attractio
planorum omnium $EF$, $ef$ in
Sph{\ae}ra tota, hoc est attractio
Sph{\ae}r{\ae} totius, est ut summa
planorum omnium, seu Sph{\ae}ra
tota, ducta in $pS$ distantiam
corpusculi a centro Sph{\ae}r{\ae}.
\QEDup

\textit{Cas.\fsp{}6.}\wsp{}Et si ex corpusculis innumeris $p$ componatur Sph{\ae}ra
nova intra Sph{\ae}ram priorem $ACBD$ sita, probabitur ut
prius, quod attractio, sive simplex Sph{\ae}r{\ae} unius in alteram, sive
mutua utrius{\que} in se invicem, erit ut distantia centrorum $pS$.
\QEDup


\condpagelarge{Prop.\ LXXVIII\@. Theor.\ XXXVIII.}

\textit{Si Sph{\ae}r{\ae} in progressu a centro ad circumferentiam sint utcun{\que} dissimilares
\& in{\ae}quabiles, in progressu vero per circuitum ad datam
omnem a centro distantiam sint undi{\que} similares; \& vis attractiva
puncti cujus{\que} sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota
qua hujusmodi Sph{\ae}r{\ae} du{\ae} se mutuo trahunt sit proportionalis distanti{\ae}
inter centra Sph{\ae}rarum.}
% -----File: 211.png---

Demonstratur\spreadout{ex Propositione pr{\ae}cedente, eodem modo quo Propositio} \\
LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.

\textit{Corol.}\wsp{}Qu{\ae} superius in Propositionibus X. \& LXIV. de motu
corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt,
valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sph{\ae}ricorum,
conditionis jam descript{\ae}, sunt{\que} corpora attracta Sph{\ae}r{\ae} conditionis
ejusdem.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum
ubi vires centripet{\ae} decrescunt in duplicata distantiarum
ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes
in utro{\que} Cas.\ ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, \&
componentes corporum Sph{\ae}ricorum vires centripetas eadem lege
in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis.
Quod est notatu dignum. Casus c{\ae}teros, qui conclusiones minus
elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim
cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare,
ut sequitur.

\condpagelarge{Lemma XXIX.}

\textit{Si describantur centro $S$ circulus quilibet $AEB$,} (Vide Fig.\ Prop.\
sequentis) \textit{\& centro $P$ circuli duo $EF$, $ef$, secantes priorem in
$E$, $e$, lineam{\que} $PS$ in $F$, $f$; \& ad $PS$ demittantur perpendicula
$ED$, $ed$: dico quod si distantia arcuum $EF$, $ef$ in infinitum minui
intelligatur, ratio ultima line{\ae} evanescentis $Dd$ ad lineam
evanescentem $Ff$ ea sit, qu{\ae} line{\ae} $PE$ ad lineam $PS$.}

Nam si linea $Pe$ secet arcum $EF$ in $q$; \& recta $Ee$, qu{\ae} cum
arcu evanescente $Ee$ coincidit, producta occurrat rect{\ae} $PS$ in $T$;
\& ab $S$ demittatur in $PE$ normalis $SG$: ob similia triangula
$EDT$, $edt$, $EDS$; erit $Dd$ ad $Ee$, ut $DT$ ad $ET$ seu $DE$ ad
% -----File: 212.png---
$ES$, \& ob triangula $Eqe$, $ESG$ (per Lem.\ VIII. \& Corol.\ 3.\
Lem.\ VII.) similia, erit $Ee$ ad $qe$ seu $Ff$, ut $ES$ ad $SG$, \& ex
{\ae}quo $Dd$ ad $Ff$ ut $DE$ ad $SG$; hoc est (ob similia triangula
$PDE$, $PGS$) ut $PE$ ad $PS$. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ LXXIX\@. Theor.\ XXXIX.}

\textit{Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens
$EFfe$, convolutione sui circa axem $PS$, describat solidum Sph{\ae}ricum
concavo-con\-vex\-um, ad cujus particulas singulas {\ae}quales tendant
{\ae}quales vires centripet{\ae}: dico quod vis, qua solidum illud
trahit corpusculum situm in $P$, est in ratione composita ex ratione
solidi $DEq. \times Ff$ \& ratione vis qua particula data in loco $Ff$
traheret idem corpusculum.}

\pngright{215.png}{1820}{1150}{-24}
%Illustration

Nam si primo consideremus vim superficiei Sph{\ae}ric{\ae} $FE$, qu{\ae}
convolutione arcus $FE$ generatur, \& linea $de$ ubivis secatur in $r$;
erit superficiei
pars annularis,
convolutione
arcus $rE$
genita, ut lineola
$Dd$,
manente
Sph{\ae}r{\ae} radio
$PE$, (uti
demonstravit
$Archimedes$
in Lib.\ de Sph{\ae}ra \& Cylindro.) Et hujus vis secundum
lineas $PE$ vel $Pr$ undi{\que} in superficie conica sitas exercita, ut
h{\ae}c ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola $Dd$, vel
quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sph{\ae}r{\ae} radio $PE$ \&
lineola illa $Dd$: at secundum lineam $PS$ ad centrum $S$ tendentem
% -----File: 213.png---
minor, in ratione $PD$ ad $PE$, adeo{\que} ut $PD \times Dd$. Dividi
jam intelligatur linea $DF$ in particulas innumeras {\ae}quales, qu{\ae}
singul{\ae} nominentur $Dd$; \& superficies $FE$ dividetur in totidem
{\ae}quales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium $PD \times Dd$,
hoc est, cum lineol{\ae} omnes $Dd$ sibi invicem {\ae}quentur, adeo{\que}
pro datis haberi possint, ut summa omnium $PD$ ducta in $Dd$, id
est, ut $\frac{1}{2}PFq. - \frac{1}{2}PDq.$ sive $\frac{1}{2}PEq. - \frac{1}{2}PDq.$ vel $\frac{1}{2}DEq.$ ductum
in $Dd$; hoc est, si negligatur data $\frac{1}{2}Dd$, ut $DE \opit{quad.}$ Ducatur
jam superficies $FE$ in altitudinem $Ff$; \& fiet solidi $EFfe$ vis exercita
in corpusculum $P$ ut $DEq. \times Ff$: puta si detur vis quam
particula aliqua data $Ff$ in distantia $PF$ exercet in corpusculum
$P$. At si vis illa non detur, fiet vis solidi $EFfe$ ut solidum
$DEq. \times Ff$ \& vis illa non data conjunctim. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ LXXX\@. Theor.\ XL.}

\textit{Si ad Sph{\ae}r{\ae} alicujus $AEB$, centro $S$ descript{\ae}, particulas singulas {\ae}quales
tendant {\ae}quales vires centripet{\ae}, \& ad Sph{\ae}r{\ae} axem $AB$,
in quo corpusculum aliquod $P$ locatur, erigantur de punctis singulis
$D$ perpendicula $DE$, Sph{\ae}r{\ae} occurrentia in $E$, \& in ipsis capiantur
longitudines $DN$, qu{\ae} sint ut quantitas $\frac{DEq. \times PS}{PE}$ \& vis quam
Sph{\ae}r{\ae} particula sita in axe ad distantiam $PE$ exercet in corpusculum
$P$ conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum $P$
trahitur versus Sph{\ae}ram, est ut area comprehensa sub axe Sph{\ae}r{\ae}
$AB$ \& linea curva $ANB$, quam punctum $N$ perpetuo tangit.}

Etenim stantibus qu{\ae} in Lemmate \& Theoremate novissimo
constructa sunt, concipe axem Sph{\ae}r{\ae} $AB$ dividi in particulas
innumeras {\ae}quales $Dd$, \& Sph{\ae}ram totam dividi in totidem
laminas Sph{\ae}ricas concavo-convexas $EFfe$; \& erigatur perpendiculum
$dn$. Per Theorema superius, vis qua lamina $EFfe$
trahit corpusculum $P$ est ut $DEq. \times Ff$ \& vis particul{\ae} unius ad
distantiam $PE$ vel $PF$ exercita conjunctim. Est autem per Lemma
% -----File: 214.png---
novissimum, $Dd$ ad $Ff$ ut $PE$ ad $PS$, \& inde $Ff$ {\ae}qualis
$\frac{PS \times Dd}{PE}$;
\& $DEq. \times Ff$ {\ae}quale $Dd$ in
$\frac{DEq. \times PS}{PE}$, \& propterea
vis lamin{\ae} $EFfe$ est ut $Dd$ in
$\frac{DEq. \times PS}{PE}$ \& vis particul{\ae} ad
distantiam $PF$ exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut
$DN \times Dd$, seu area evanescens $DNnd$. Sunt igitur laminarum
omnium vires in corpus $P$ exercit{\ae}, ut are{\ae} omnes $DNnd$,
hoc est Sph{\ae}r{\ae} vis tota ut area tota $ABNA$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens,
eadem semper maneat in omnibus distantiis, \& fiat $DN$ ut
$\frac{DEq. \times PS}{PE}$: erit vis tota qua corpusculum a Sph{\ae}ra attrahitur,
ut area $ABNA$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia
corpusculi a se attracti, \& fiat $DN$ ut
$\frac{DEq. \times PS}{PEq.}$: erit vis
qua corpusculum $P$ a Sph{\ae}ra tota attrahitur ut area $ABNA$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus
distanti{\ae} corpusculi a se attracti, \& fiat $DN$ ut
$\frac{DEq. \times PS}{PE\opit{qq.}}$:
erit vis qua corpusculum a tota Sph{\ae}ra attrahitur ut area $ABNA$.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sph{\ae}r{\ae}
particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas $V$, fiat autem
$DN$ ut
$\frac{DEq. \times PS}{PE \times V}$; erit vis qua corpusculum a Sph{\ae}ra tota
attrahitur ut area $ABNA$.


\condpagelarge{Prop.\ LXXXI\@. Prob.\ XLI.}

\textit{Stantibus jam positis, mensuranda est Area $ABNA$.}

\pngright{215.png}{1820}{1150}{-24}
%Illustration

A puncto $P$ ducatur recta $PH$ Sph{\ae}ram tangens in $H$, \& ad
axem $PAB$ demissa Normali $HI$, bisecetur $PI$ in $L$; \& erit
% -----File: 215.png---
(per Prop.\ 12, Lib.\ 2.\ Elem.)\ $PEq.$ {\ae}quale $PSq. + SEq.$ +
$2PSD$. Est autem $SEq.$ seu $SHq.$ (ob similitudinem triangulorum
$SPH$, $SHI$) {\ae}quale rectangulo $PSI$. Ergo $PEq.$ {\ae}quale
est contento
sub $PS$ \&
$PS + SI + 2SD$,
hoc est, sub $PS$
\& $2LS + 2SD$,
id est, sub $PS$ \&
$2LD$. Porro
$DE \opit{quad.}$
{\ae}quale est
$SEq. - SDq.$
seu $SEq. - LSq. + 2SLD - LDq.$ id est, $SLD - LDq. - ALB$.
Nam $LSq. - SEq.$ seu $LSq. - SAq.$ (per Prop.\ 6 Lib.\ 2.\
Elem) {\ae}quatur rectangulo $ALB$. Scribatur ita{\que} $2SLD - LDq. - ALB$
pro $DEq.$ \& quantitas
$\frac{DEq. \times PS}{PE \times V}$, qu{\ae} secundum
Corollarium quartum Propositionis pr{\ae}cedentis est ut longitudo
ordinatim applicat{\ae} $DN$, resolvet sese in tres partes
$\frac{2SLD \times PS}{PE \times V} - \frac{LDq. \times PS}{PE \times V} - \frac{ALB \times PS}{PE \times V}$:
ubi si pro $V$ scribatur ratio inversa
vis centripet{\ae}, \& pro $PE$ medium proportionale inter
$PS$ \& $2LD$; tres ill{\ae} partes evadent ordinatim applicat{\ae}
linearum totidem curvarum, quarum are{\ae} per Methodos vulgatas
innotescunt. \QEFup

\textit{Exempl.\fsp{}1.}\wsp{}Si vis centripeta ad singulas Sph{\ae}r{\ae} particulas
tendens sit reciproce ut distantia; pro $V$ scribe distantiam $PE$,
dein $2PS \times LD$ pro $PEq.$, \& fiet $DN$ ut
$SL - \frac{1}{2}LD - \frac{ALB}{2LD}$.
% -----File: 216.png---
Pone $DN$ {\ae}qualem duplo ejus $2SL - LD - \frac{ALB}{LD}$: \& ordinat{\ae}
pars data $2SL$ ducta in longitudinem $AB$ describet aream rectangulam
$2SL \times AB$; \& pars indefinita $LD$ ducta normaliter in eandem longitudinem
per\spreadout{motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo}
{\ae}quetur\spreadout{semper longitudini $LD$, describet aream $\frac{LBq. - LAq.}{2}$, id est, aream}

\pngright{216.png}{823}{1021}{-12}
%Illustration

\noindent $SL \times AB$;
qu{\ae} subducta de area priore $2SL \times AB$ relinquit aream
$SL \times
AB$. Pars autem tertia $\frac{ALB}{LD}$ ducta itidem per motum localem
normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam;
qu{\ae} subducta de area $SL \times AB$ relinquet aream qu{\ae}sitam
$ABNA$. Unde talis emergit Problematis
constructio. Ad puncta $L$, $A$,
$B$ erige perpendicula $Ll$, $Aa$, $Bb$, quorum
$Aa$ ipsi $LB$, \& $Bb$ ipsi $LA$ {\ae}quetur.
Asymptotis $Ll$, $LB$, per puncta
$a$, $b$ describatur Hyperbola $ab$. Et
acta chorda $ba$ claudet aream $aba$ are{\ae}
qu{\ae}sit{\ae} $ABNA$ {\ae}qualem.

\pngright{217.png}{886}{951}{-24}
%Illustration

\textit{Exempl.\fsp{}2.}\wsp{}Si vis centripeta ad singulas
Sph{\ae}r{\ae} particulas tendens sit reciproce
ut cubus distanti{\ae}, vel (quod perinde est) ut cubus ille
applicatus ad planum quodvis datum; scribe $\frac{PE \opit{cub.}}{2ASq.}$ pro $V$,
dein $2PS \times LD$ pro $PEq.$; \& fiet $DN$ ut
$\frac{SL \times ASq.}{PS \times LD} - \frac{ASq.}{2PS} - \frac{ALB \times ASq.}{2PS \times LDq.}$
id est (ob continue proportionales $PS$, $AS$, $SI$) ut
$\frac{LSI}{LD} - \frac{1}{2}SI - \frac{ALB \times SI}{2LDq.}$.
Si ducantur hujus partes
% -----File: 217.png---
tres in longitudinem $AB$, prima $\frac{LSI}{LD}$ generabit aream Hyperbolicam;
secunda $\frac{1}{2}SI$ aream $\frac{1}{2}AB \times SI$; tertia $\frac{ALB \times SI}{2LDq.}$ aream
$\frac{ALB \times SI}{2LA} - \frac{ALB \times SI}{2LB}$,
id est $\frac{1}{2}AB \times SI$. De prima subducatur
summa secund{\ae} ac terti{\ae}, \&
manebit area qu{\ae}sita $ABNA$. Unde
talis emergit Problematis constructio.
Ad puncta $L$, $A$, $S$, $B$ erige
perpendicula $Ll$, $Aa$, $Ss$, $Bb$,
quorum $Ss$ ipsi $SI$ {\ae}quetur, per{\que}
punctum $s$ Asymptotis $Ll$, $LB$ describatur
Hyperbola $asb$ occurrens
perpendiculis $Aa$, $Bb$ in $a$ \& $b$; \&
rectangulum $2ASI$ subductum de
area Hyperbolica $AasbB$ relinquet aream qu{\ae}sitam $ABNA$.

\textit{Exempl.\fsp{}3.}\wsp{}Si Vis centripeta, ad singulas Sph{\ae}r{\ae} particulas
tendens, decrescit in quadruplicata ratione distanti{\ae} a particulis,
scribe $\frac{PE^4}{2AS^3}$
pro $V$, dein $\surd 2PS \times LD$ pro $PE$, \& fiet $DN$ ut
$\frac{SL \times SI^{\frac{3}{2}}}{\surd 2 \times LD^{\frac{3}{2}}}
- \frac{SI^{\frac{3}{2}}}{2\surd 2 \times LD^{\frac{1}{2}}}
- \frac{ALB \times SI^{\frac{3}{2}}}{2\surd 2 \times LD^{\frac{5}{2}}}$.
Cujus tres partes
duct{\ae} in longitudinem $AB$, producunt Areas totidem, \textit{viz.}\
$\frac{\surd 2 \times SL \times SI^{\frac{3}{2}}}{LA^{\frac{1}{2}}} - \frac{\surd 2 \times SL \times SI^{\frac{3}{2}}}{LB^{\frac{1}{2}}}$,
$\frac{LB^{\frac{1}{2}} \times SI^{\frac{3}{2}} - LA^{\frac{1}{2}} - SI^{\frac{3}{2}}}{\surd 2}$ \&
$\frac{ALB \times SI^{\frac{3}{2}}}{3\surd 2 \times LA^{\frac{3}{2}}} - \frac{ALB \times SI^{\frac{3}{2}}}{3\surd 2 \times LB^{\frac{3}{2}}}$.
Et h{\ae} post debitam reductionem,
subductis posterioribus de priori, evadunt $\frac{8SI \opit{cub.}}{3LI}$. Igitur
vis tota, qua corpusculum $P$ in Sph{\ae}r{\ae} centrum trahitur, est ut
$\frac{SI \opit{cub.}}{PI}$, id est reciproce ut $PS \opit{cub.} \times PI$. \QEIup
% -----File: 218.png---

Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti
intra Sph{\ae}ram, sed expeditius per Theorema sequens.


\condpagelarge{Prop.\ LXXXII\@. Theor.\ XLI.}

\textit{In Sph{\ae}ra centro $S$ intervallo $SA$ descripta, si capiantur $SI$, $SA$,
$SP$ continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sph{\ae}ram
in loco quovis $I$ attractio est ad attractionem ipsius extra Sph{\ae}ram
in loco $P$, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a
centro $IS$, $PS$ \& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis
illis $P$ \& $I$, ad centrum tendentium.}

\pngright{215.png}{1820}{1150}{-24}
%Illustration

Ut si vires centripet{\ae} particularum Sph{\ae}r{\ae} sint reciproce ut
distanti{\ae} corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in
$I$ trahitur a Sph{\ae}ra tota, erit ad vim qua trahitur in $P$, in ratione
composita
ex dimidiata
ratione distanti{\ae}
$SI$ ad
distantiam
$SP$ \& ratione
dimidiata
vis centripet{\ae}
in loco $I$,
a particula aliqua
in centro
oriund{\ae},
ad vim centripetam in loco $P$ ab eadem in centro particula oriundam,
id est, ratione dimidiata distantiarum $SI$, $SP$ ad invicem
reciproce. H{\ae} du{\ae} rationes dimidiat{\ae} componunt rationem {\ae}qualitatis,
\& propterea attractiones in $I$ \& $P$ a Sph{\ae}ra tota fact{\ae}
{\ae}quantur. Simili computo, si vires particularum Sph{\ae}r{\ae} sunt
reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio
in $I$ sit ad attractionem in $P$, ut distantia $SP$ ad Sph{\ae}r{\ae}
% -----File: 219.png---
semidiametrum $SA$: Si vires ill{\ae} sunt reciproce in triplicata ratione
distantiarum, attractiones in $I$ \& $P$ erunt ad invicem ut $SP \opit{quad.}$
ad $SA \opit{quad.}$; si in quadruplicata, ut $SP \opit{cub.}$ ad $SA \opit{cub.}$ Unde
cum attractio in $P$, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut
$PS \opit{cub.} \times PI$, attractio in $I$ erit reciproce ut $SA \opit{cub.} \times PI$, id est
(ob datum $SA \opit{cub.}$) reciproce ut $PI$. Et similis est progressus
in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Stantibus jam ante constructis, \& existente corpore in loco
quovis $P$, ordinatim applicata $DN$ inventa fuit ut
$\frac{DEq. \times PS}{PE \times V}$.
Ergo si agatur $IE$, ordinata illa ad alium quemvis locum $I$, mutatis
mutandis, evadet ut
$\frac{DEq. \times IS}{IE \times V}$.
Pone vires centripetas, e
Sph{\ae}r{\ae} puncto quovis $E$ manantes, esse ad invicem in distantiis
$IE$, $PE$, ut $PE^n$ ad $IE^n$, (ubi numerus $n$ designet indicem
potestatum $PE$ \& $IE$) \& ordinat{\ae} ill{\ae} fient ut
$\frac{DEq. \times PS}{PE \times PE^n}$ \& $\frac{DEq. \times IS}{IE \times IE^n}$,
quarum ratio ad invicem est ut $PS \times IE \times IE^n$ ad
$IS \times PE \times PE^n$. Quoniam ob similia triangula $SPE$, $SEI$, fit
$IE$ ad $PE$ ut $IS$ ad $SE$ vel $SA$; pro ratione $IE$ ad $PE$ scribe
rationem $IS$ ad $SA$; \& ordinatarum ratio evadet $PS \times IE^n$ ad
$SA \times PE^n$. Sed $PS$ ad $SA$ dimidiata est ratio distantiarum
$PS$, $SI$; \& $IE^n$ ad $PE^n$ dimidiata est ratio virium in distantiis
$PS$, $IS$. Ergo ordinat{\ae}, \& propterea are{\ae} quas ordinat{\ae}
describunt, his{\que} proportionales attractiones, sunt in ratione composita
ex dimidiatis illis rationibus. \QEDup
% -----File: 220.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXXXIII\@. Prob.\ XLII.}

\textit{Invenire vim qua corpusculum in centro Sph{\ae}r{\ae} locatum ad ejus
segmentum quodcun{\que} attrahitur.}

Sit $P$ corpus in centro Sph{\ae}r{\ae}, \& $RBSD$ segmentum ejus
plano $RDS$ \&
superficie\spreadout{Sph{\ae}rica $RBS$ contentum. Superficie Sph{\ae}rica $EFG$ centro $P$ des-}

\pngright{220.png}{902}{1280}{-12}
%Illustration

\noindent cripta
secetur $DB$ in $F$, ac distinguatur
segmentum in partes $BREFGS$,
$FEDG$.
Sit autem superficies illa
non pure Mathematica, sed Physica,
profunditatem habens quam
minimam. Nominetur ista profunditas
$O$, \& erit h{\ae}c superficies
(per demonstrata $Archimedis$) ut
$PF \times DF \times O$. Ponamus pr{\ae}terea
vires attractivas particularum Sph{\ae}r{\ae}
esse reciproce ut distantiarum dignitas
illa cujus Index est $n$; \& vis
qua superficies $FE$ trahit corpus $P$ erit ut
$\frac{DF \times O}{PF^{n - 1}}$.
Huic proportionale sit perpendiculum $FN$ ductum in $O$; \& area curvilinea
$BDLIB$, quam ordinatim applicata $FN$ in longitudinem
$DB$ per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua
segmentum totum $RBSD$ trahit corpus $P$. \QEIup


\condpagelarge{Prop.\ LXXXIV\@. Prob.\ XLIII.}

\textit{Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sph{\ae}r{\ae} in axe segmenti
cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.}

A segmento $EBK$ trahatur corpus $P$ (\textit{Vide Fig.\ Prop.\ 79.\
80.\ 81.})\ in ejus axe $ADB$ locatum. Centro $P$ intervallo $PE$
% -----File: 221.png---
describatur superficies Sph{\ae}rica $EFK$, qua distinguatur segmentum
in partes duas $EBKF$ \& $EFKD$. Qu{\ae}ratur vis partis
prioris per Prop.\ LXXXI. \& vis partis posterioris per Prop.\
LXXXIII.; \& summa virium erit vis segmenti totius $EBKD$.
\QEIup


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Explicatis attractionibus corporum Sph{\ae}ricorum, jam pergere
liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis
attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim
tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones
quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, de{\que}
motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem
usum, subjungere.




\sectpage{XIII.}

\begin{center}{\textit{De Corporum etiam non Sph{\ae}ricorum viribus attractivis.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ LXXXV\@. Theor.\ XLII.}

\textit{Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior
sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires
particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione
plusquam duplicata distantiarum a particulis.}

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a
particulis; attractio versus corpus Sph{\ae}ricum, propterea quod
(per Prop.\ LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distanti{\ae} attracti
% -----File: 222.png---
corporis a centro Sph{\ae}r{\ae}, haud sensibiliter augebitur ex
contactu; at{\que} adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in
recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igitur
Propositio de Sph{\ae}ris attractivis. Et par est ratio Orbium
Sph{\ae}ricorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo
magis res constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus,
cum attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus
contrariis (per Prop.\ LXX.) tollantur, ideo{\que} vel
in ipso contactu null{\ae} sunt. Quod si Sph{\ae}ris hisce Orbibus{\que}
Sph{\ae}ricis partes qu{\ae}libet a loco contactus remot{\ae} auferantur, \&
partes nov{\ae} ubivis addantur: mutari possunt figur{\ae} horum corporum
attractivorum pro lubitu, nec tamen partes addit{\ae} vel
subduct{\ae}, cum sint a loco contactus remot{\ae}, augebunt notabiliter
attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igitur
Propositio de corporibus figurarum omnium. \QEDup

\condpagelarge{Prop.\ LXXXVI\@. Theor.\ XLIII.}

\textit{Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in
recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata
ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior erit
in contactu, quam cum attrahens \& attractum intervallo vel
minimo separantur ab invicem.}

Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi
Sph{\ae}ram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem
Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem,
per Exempla illa \& Theorema XLI inter se collata, facile
colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-convexos,
sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra
in eorum cavitatibus. Sed \& addendo vel auferendo his Sph{\ae}ris
\& Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam,
eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam,
constabit Propositio de corporibus universis. \QEDup
% -----File: 223.png---


\condpagelarge{Prop.\ LXXXVII\@. Theor.\ XLIV.}

\textit{Si corpora duo sibi invicem similia \& ex materia {\ae}qualiter attractiva
constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia
\& ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum
in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum
in eorum particulas totis proportionales \& in totis similiter positas.}

Nam si corpora distinguantur in particulas, qu{\ae} sint totis proportionales
\& in totis similiter sit{\ae}; erit, ut attractio in particulam
quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem
in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas
primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas
correspondentes; \& componendo, ita attractio in totum primum
corpus ad attractionem in totum secundum. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ergo si vires attractiv{\ae} particularum, augendo distantias
corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis
cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota
erunt ut corpora directe \& distantiarum dignitates ill{\ae} inverse.
Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum
a corpusculis attractis, corpora autem sint ut $A \opit{cub.}$ \& $B \opit{cub.}$
adeo{\que} tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum
distanti{\ae} a corporibus, ut $A$ \& $B$: attractiones acceleratrices
in corpora erunt ut $\frac{A \opit{cub.}}{A \opit{quad.}}$
\& $\frac{B \opit{cub.}}{B \opit{quad.}}$ id est, ut corporum latera
illa cubica $A$ \& $B$. Si vires particularum decrescant in ratione
triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones
acceleratrices in corpora tota erunt ut $\frac{A \opit{cub.}}{A \opit{cub.}}$
\& $\frac{B \opit{cub.}}{B \opit{cub.}}$ id est, {\ae}quales.
Si vires decrescant in ratione quadruplicata, attractiones
in corpora erunt ut $\frac{A \opit{cub.}}{A\opit{qq.}}$ \& $\frac{B \opit{cub.}}{B\opit{qq.}}$ id est, reciproce ut latera
cubica $A$ \& $B$. Et sic in c{\ae}teris.
% -----File: 224.png---

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt
corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi
virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti;
si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione
aliqua distantiarum.


\condpagelarge{Prop.\ LXXXVIII\@. Theor.\ XLV.}

\textit{Si particularum {\ae}qualium corporis cujuscun{\que} vires attractiv{\ae} sint ut
distanti{\ae} locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius
centrum gravitatis; \& eadem erit cum vi globi ex materia consimili
\& {\ae}quali constantis \& centrum habentis in ejus centro gravitatis.}

\pngright{224.png}{1043}{990}{-24}
%Illustration

Corporis $RSTV$ particul{\ae} $A$, $B$ trahant corpusculum aliquod
$Z$ viribus qu{\ae}, si particul{\ae} {\ae}quantur inter se, sint ut distanti{\ae}
$AZ$, $BZ$; sin particul{\ae} statuantur
in{\ae}quales, sint ut h{\ae}
particul{\ae} in distantias suas $AZ$,
$BZ$ respective duct{\ae}. Et exponantur
h{\ae} vires per contenta
illa $A \times AZ$ \& $B \times BZ$. Jungatur
$AB$, \& secetur ea in $G$ ut
sit $AG$ ad $BG$ ut particula $B$ ad
particulam $A$; \& erit $G$ commune
centrum gravitatis particularum
$A$ \& $B$. Vis $A \times AZ$ per Legum Corol.\ 2.\ resolvitur in
vires $A \times GZ$ \& $A \times AG$, \& vis $B \times BZ$ in vires $B \times GZ$ \& $B \times
BG$. Vires autem $A \times AG$ \& $B \times BG$, ob proportionales $A$ ad
$B$ \& $BG$ ad $AG$, {\ae}quantur, adeo{\que}, cum dirigantur in partes
contrarias, se mutuo destruunt. Restant vires $A \times GZ$ \& $B \times
GZ$. Tendunt h{\ae} ab $Z$ versus centrum $G$, \& vim $A + B \times GZ$
componunt; hoc est, vim eandem ac si particul{\ae} attractiv{\ae} $A$ \&
$B$ consisterent in eorum communi gravitatis centro $G$, globum ibi
componentes.
% -----File: 225.png---

Eodem argumento si adjungatur particula tertia $C$; \& componatur
hujus vis cum vi $A + B \times GZ$ tendente ad centrum $G$,
vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius
$G$ \& particul{\ae} $C$; hoc est, ad commune centrum gravitatis
trium particularum $A$, $B$, $C$; \& eadem erit ac si globus \& particula
$C$ consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi
componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur
vis tota particularum omnium corporis cujuscun{\que} $RSTV$ ac si
corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret.
\QEDup

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc motus corporis attracti $Z$ idem erit ac si corpus
attrahens $RSTV$ esset Sph{\ae}ricum: \& propterea si corpus illud
attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum,
corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attrahentis
centro gravitatis.


\condpagelarge{Prop.\ LXXXIX\@. Theor.\ XLVI.}

\textit{Si Corpora sint plura ex particulis {\ae}qualibus constantia, quarum vires
sunt ut distanti{\ae} locorum a singulis: vis ex omnium viribus
composita, qua corpusculum quodcun{\que} trahitur, tendet ad trahentium
commune centrum gravitatis, \& eadem erit ac si trahentia
illa, servato gravitatis centro communi, coirent \& in globum formarentur.}

Demonstratur eodem modo, at{\que} Propositio superior.

\textit{Corol.}\wsp{}Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora
trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent \& in globum
formarentur. Ideo{\que} si corporum trahentium commune gravitatis
centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea
recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in
communi illo trahentium centro gravitatis.
% -----File: 226.png---


\condpagelarge{Prop.\ XC\@. Prob.\ XLIV.}

\pngright{226.png}{1025}{1125}{-24}
%Illustration

\textit{Si ad singula circuli cujuscun{\que} puncta tendant vires centripet{\ae} decrescentes
in quacun{\que} distantiarum ratione: invenire vim qua corpusculum
attrahitur ubivis in recta qu{\ae} ad planum circuli per centrum
ejus perpendicularis consistit.}

Centro $A$ intervallo quovis $AD$, in plano cui recta $AP$ perpendicularis
est, describi intelligatur circulus; \& invenienda sit
vis qua corpus quodvis $P$ in eundem attrahitur. A circuli puncto
quovis $E$ ad corpus attractum $P$ agatur recta $PE$: In recta
$PA$ capiatur $PF$ ipsi $PE$ {\ae}qualis,
\& erigatur Normalis $FK$, qu{\ae} sit
ut vis qua punctum $E$ trahit corpusculum
$P$. Sit{\que} $IKL$ curva
linea quam punctum $K$ perpetuo
tangit. Occurrat eadem circuli
plano in $L$. In $PA$ capiatur $PH$
{\ae}qualis $PD$, \& erigatur perpendiculum
$HI$ curv{\ae} pr{\ae}dict{\ae} occurrens
in $I$; \& erit corpusculi $P$
attractio in circulum ut area $AHIL$
ducta in altitudinem $AP$. \QEIup

Etenim in $AE$ capiatur linea quam minima $Ee$. Jungatur
$Pe$, \& in $PA$ capiatur $Pf$ ipsi $Pe$ {\ae}qualis. Et quoniam vis, qua
annuli punctum quodvis $E$ trahit ad se corpus $P$, ponitur esse ut
$FK$, \& inde vis qua punctum illud trahit corpus $P$ versus $A$ est ut
$\frac{AP \times FK}{PE}$,
\& vis qua annulus totus trahit corpus $P$ versus $A$, ut
annulus \&
$\frac{AP \times FK}{PE}$
conjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum
sub radio $AE$ \& latitudine $Ee$, \& hoc rectangulum (ob
proportionales $PE$ \& $AE$, $Ee$ \& $cE$) {\ae}quatur rectangulo $PE
% -----File: 227.png---
\times cE$ seu $PE \times Ff$; erit vis qua annulus iste trahit corpus $P$
versus $A$ ut $PE \times Ff$ \&
$\frac{AP \times FK}{PE}$
conjunctim, id est, ut contentum
$Ff \times AP \times FK$, sive ut area $FKkf$ ducta in $AP$. Et propterea
summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro $A$
\& intervallo $AD$ describitur, trahunt corpus $P$ versus $A$, est ut
area tota $AHIKL$ ducta in $AP$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum
ratione, hoc est, si sit $FK$ ut
$\frac{1}{PF \opit{quad.}}$,
at{\que} adeo area
$AHIKL$ ut
$\frac{1}{PA} - \frac{1}{PH}$;
erit attractio corpusculi $P$ in circulum
\label{wasp219}$1 - \frac{PA}{PH}$,
id est, ut
$\frac{AH}{PH}$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et universaliter, si vires punctorum ad distantias $D$
sint reciproce ut distantiarum dignitas qu{\ae}libet $D^n$, hoc est, si sit
$FK$ ut
$\frac{1}{D^n}$,
adeo{\que} area $AHIKL$ ut
$\frac{1}{PA^{n - 1}} - \frac{1}{PH^{n - 1}}$;
erit attractio corpusculi $P$ in circulum ut
$\frac{1}{PA^{n - 2}} - \frac{PA}{PH^{n - 1}}$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et si diameter circuli augeatur in infinitum, \& numerus
$n$ sit unitate major; attractio corpusculi $P$ in planum totum
infinitum erit reciproce ut $PA^{n - 2}$, propterea quod terminus
alter
$\frac{PA}{PH^{n - 1}}$
evanescet.


\condpagelarge{Prop.\ XCI\@. Prob.\ XLV.}

\textit{Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula
tendunt vires centripet{\ae} in quacun{\que} distantiarum ratione decrescentes.}
% -----File: 228.png---

\pngright{228.png}{1134}{933}{-24}
%Illustration

In solidum $ADEFG$ trahatur corpusculum $P$, situm in ejus
axe $AB$. Circulo quolibet $RFS$ ad hunc axem perpendiculari
secetur hoc solidum, \& in ejus diametro $FS$, in plano aliquo
$PALKB$ per axem transeunte, capiatur (per Prop.\ XC.) longitudo
$FK$ vi qua corpusculum $P$ in circulum illum attrahitur
proportionalis. Tangat autem
punctum $K$ curvam lineam
$LKI$, planis extimorum circulorum
$AL$ \& $BI$ occurrentem
in $A$ \& $B$; \& erit attractio
corpusculi $P$ in solidum ut area
$LABI$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde si solidum
Cylindrus sit, parallelogrammo
$ADEB$ circa axem $AB$ revoluto
descriptus, \& vires centripet{\ae} in singula ejus puncta tendentes
sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio
corpusculi $P$ in hunc Cylindrum ut $BA - PE + PD$. Nam
ordinatim applicata $FK$ (per Corol.\ 1.\ Prop.\ XC.) erit ut
$1 - \frac{PF}{PR}$.
Hujus pars 1 ducta in longitudinem $AB$, describit aream
$1 \times AB$; \& pars altera $\frac{PF}{PR}$ ducta in longitudinem $PB$, describit
aream 1 in
$\overline{PE - AD}$
(id quod ex curv{\ae} $LKI$ quadratura
facile ostendi potest:) \& similiter pars eadem ducta in longitudinem
$PA$ describit aream 1 in $PD - AD$, ducta{\que} in ipsarum
$PB$, $PA$ differentiam $AB$ describit arearum differentiam 1 in
$\overline{PE - PD}$.
De contento primo $1 \times AB$ auferatur contentum
postremum 1 in $PE - PD$, \& restabit area $LABI$ {\ae}qualis 1
in $AB - PE + PD$. Ergo vis huic are{\ae} proportionalis est ut
$AB - PE + PD$.

\pngright{229.png}{1344}{1081}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam vis innotescit qua Sph{\ae}rois $AGBCD$ attrahit
% -----File: 229.png---
corpus quodvis $P$, exterius in axe suo $AB$ situm. Sit
$NKRM$
Sectio Conica cujus ordinatim applicata $ER$, ipsi $PE$ perpendicularis,
{\ae}quetur semper longitudini $PD$, qu{\ae} ducitur ad
punctum illud $D$, in quo applicata ista Sph{\ae}roidem secat. A
Sph{\ae}roidis verticibus $A$, $B$ ad ejus axem $AB$ erigantur perpendicula
$AK$, $BM$ ipsis
$AP$, $BP$ {\ae}qualia respective,
\& propterea
Sectioni Conic{\ae} occurrentia
in $K$ \& $M$; \& jungantur
$KM$ auferens ab
eadem segmentum $KMRK$.
Sit autem Sph{\ae}roidis
centrum $S$ \& semidiameter
maxima $SC$:
\& vis qua Sph{\ae}rois trahit
corpus $P$ erit ad vim qua Sph{\ae}ra, diametro $AB$ descripta, trahit
idem corpus, ut
$\frac{AS \times CSq. - PS \times KMRK}{PSq. + CSq. - ASq.}$ ad $\frac{AS \opit{cub.}}{3PS \opit{quad.}}$.
Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum
Sph{\ae}roidis.


\pngright{230.png}{898}{881}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Quod si corpusculum intra Sph{\ae}roidem in data quavis
ejusdem diametro collocetur; attractio
erit ut ipsius distantia a centro.
Id quod facilius colligetur hoc
argumento. Sit $AGOF$ Sph{\ae}rois attrahens,
$S$ centrum ejus \& $P$ corpus
attractum. Per corpus illud $P$ agantur
tum semidiameter $SPA$, tum
rect{\ae} du{\ae} qu{\ae}vis $DE$, $FG$ Sph{\ae}roidi
hinc inde occurrentes in $D$ \&
$E$, $F$ \& $G$: Sint{\que} $PCM$, $HLN$ superficies Sph{\ae}roidum duarum
interiorum, exteriori similium \& concentricarum, quarum prior
% -----File: 230.png---
transeat per corpus $P$ \& secet rectas $DE$ \& $FG$ in $B$ \& $C$, posterior
secet easdem rectas in $H$, $I$ \& $K$, $L$. Habeant autem Sph{\ae}roides
omnes axem communem, \& erunt rectarum partes hinc
inde intercept{\ae} $DP$ \& $BE$, $FP$ \& $CG$, $DH$ \& $IE$, $FK$ \&
$LG$ sibi mutuo {\ae}quales; propterea quod rect{\ae} $DE$, $PB$ \& $HI$
bisecantur in eodem puncto, ut \& rect{\ae} $FG$, $PC$ \& $KL$. Concipe
jam $DPF$, $EPG$ designare Conos oppositos, angulis verticalibus
$DPF$, $EPG$ infinite parvis descriptos, \& lineas etiam
$DH$, $EI$ infinite parvas esse; \& Conorum particul{\ae} Sph{\ae}roidum
superficiebus absciss{\ae} $DHKF$, $GLIE$, ob {\ae}qualitatem linearum
$DH$, $EI$, erunt ad invicem ut
quadrata distantiarum suarum a corpusculo
$P$, \& propterea corpusculum
illud {\ae}qualiter trahent. Et \label{wasp222}pari
ratione, si superficiebus Sph{\ae}roidum
innumerarum similium concentricarum
\& axem communem habentium
dividantur spatia $DPF$, $EGCB$
in particulas, h{\ae} omnes utrin{\que} {\ae}qualiter
trahent corpus $P$ in partes contrarias. {\AE}quales igitur
sunt vires coni $DPF$ \& segmenti Conici $EGCB$, \& per contrarietatem
se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materi{\ae}
omnis extra Sph{\ae}roidem intimam $PCBM$. Trahitur igitur corpus
$P$ a sola Sph{\ae}roide intima $PCBM$, \& propterea (per Corol.\
3.\ Prop.\ LXXII.) attractio ejus est ad vim, qua corpus $A$
trahitur a Sph{\ae}roide tota $AGOD$, ut distantia $PS$ ad distantiam
$AS$. \QEIup

\condpagelarge{Prop.\ XCII\@. Prob.\ XLVI.}

\textit{Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum
in ejus puncta singula tendentium.}

E corpore dato formanda est Sph{\ae}ra vel Cylindrus aliave figura
% -----File: 231.png---
regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens
(per Prop.\ LXXX. LXXXI. \& XCI.) inveniri potest.
Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis
distantiis, \& lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem
decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit.


\condpagelarge{Prop.\ XCIII\@. Theor.\ XLVII.}

\textit{Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infinitum,
constet ex particulis {\ae}qualibus {\ae}qualiter attractivis, quarum
vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum
plusquam quadratic{\ae}, \& vi solidi totius corpusculum
ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi
vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in
ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, \&
Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.}

\pngright{231.png}{1239}{732}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit $LGl$ planum quo Solidum terminatur. Jaceat
autem solidum ex parte plani hujus versus $I$, in{\que} plana innumera
$mHM$, $nIN$ \&c.\ ipsi $GL$
parallela resolvatur. Et primo
collocetur corpus attractum
$C$ extra solidum. Agatur
autem $CGHI$ planis illis
innumeris perpendicularis,
\& decrescant vires attractiv{\ae}
punctorum solidi in ratione
potestatis distantiarum,
cujus index sit numerus $n$ ternario non minor. Ergo (per Corol.\
3.\ Prop.\ XC) vis qua planum quodvis $mHM$ trahit punctum
$C$ est reciproce ut $CH^{n - 2}$. In plano $mHM$ capiatur longitudo
$HM$ ipsi $CH^{n - 2}$ reciproce proportionalis, \& erit vis illa ut
$HM$. Similiter in planis singulis $lGL$, $nIN$, $oKO$ \&c.\ capiantur
% -----File: 232.png---
longitudines $GL$, $IN$, $KO$ \&c.\ ipsis $CG^{n - 2}$, $CI^{n - 2}$,
$CK^{n - 2}$ \&c.\ reciproce proportionales; \& vires planorum eorundem
erunt ut longitudines capt{\ae}, adeo{\que} summa virium ut
summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut area $GLOK$
in infinitum versus $OK$ producta. Sed area illa per notas quadraturarum
methodos est reciproce ut $CG^{n - 3}$, \& propterea vis
solidi totius est reciproce ut $CG^{n - 3}$ \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Collocetur jam corpusculum $C$ ex parte plani $lGL$
intra solidum, \& capiatur
distantia $CK$ {\ae}qualis distanti{\ae}
$CG$. Et solidi pars
$LGloKO$, planis parallelis
$lGL$, $oKO$ terminata, corpusculum
$C$ in medio situm
nullam in partem trahet, contrariis
oppositorum punctorum
actionibus se mutuo per {\ae}qualitatem tollentibus. Proinde
corpusculum $C$ sola vi solidi ultra planum $OK$ siti trahitur. H{\ae}c
autem vis (per Casum primum) est reciproce ut $CK^{n - 3}$, hoc
est (ob {\ae}quales $CG$, $CK$) reciproce ut $CG^{n - 3}$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si solidum $LGIN$ planis duobus infinitis parallelis
$LG$, $IN$ utrin{\que} terminetur; innotescit ejus vis attractiva,
subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti $LGKO$ vim
attractivam partis ulterioris $NIKO$, in infinitum versus $KO$ product{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio
ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est
momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo distantiam
decrescet quam proxime in ratione potestatis $CG^{n - 3}$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et hinc si corpus quodvis finitum \& ex una parte
planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, \& distantia
inter corpusculum \& planum collata cum dimensionibus
% -----File: 233.png---
corporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens
ex particulis homogeneis, quarum vires attractiv{\ae} decrescunt
in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicat{\ae} distantiarum;
vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in
ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, \& Index
ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex
particulis constante, quarum vires attractiv{\ae} decrescunt in ratione
potestatis triplicat{\ae} distantiarum, assertio non valet, propterea
quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti
in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio
partis citerioris.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur,
\& ex data lege attractionis qu{\ae}ratur motus corporis: Solvetur
Problema qu{\ae}rendo (per Prop.\ XXVII.) motum corporis
recta descendentis ad hoc planum, \& (per Legum Corol.\ 2.)\
componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas
eidem plano parallelas facto. Et contra, si qu{\ae}ratur Lex attractionis
in planum secundum lineas perpendiculares fact{\ae} ea conditione
ut corpus attractum in data quacun{\que} curva linea moveatur,
solvetur Problema operando ad exemplum Problematis
tertii.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas
in series convergentes. Ut si ad basem $A$ in angulo quovis
dato ordinatim applicetur longitudo $B$, qu{\ae} sit ut basis dignitas
qu{\ae}libet $A^{\frac{m}{n}}$; \& qu{\ae}ratur vis qua corpus, secundum positionem
ordinatim applicat{\ae}, vel in basem attractum vel a basi fugatum,
moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino
suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri parte
% -----File: 234.png---
quam minima $O$, \& ordinatim applicatam
$\overline{A + O}^{\frac{m}{n}}$
resolvo in
Seriem infinitam
\label{wasp226}$A^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n} OA^{\frac{m - n}{n}} + \frac{mm - mn}{2nn} O^2 A^{\frac{m - 2n}{n}}$ \&c.\
at{\que} hujus termino in quo $O$ duarum est dimensionum, id est termino
$\frac{mm - mn}{2nn} O^2 A^{\frac{m - 2n}{n}}$
vim proportionalem esse suppono. Est igitur
vis qu{\ae}sita ut $\frac{mm - mn}{nn} A^{\frac{m - 2n}{n}}$, vel quod perinde est, ut
$\frac{mm - mn}{nn} B^{\frac{m - 2n}{m}}$.
Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat,
existente $m = 2$, \& $n = 1$: fiet vis ut data $2B^0$, adeo{\que}
dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodum
\textit{Galil{\ae}us} demonstravit. Quod si ordinatim applicata
Hyperbolam attingat, existente $m = 0 - 1$, \& $n = 1$; fiet vis ut
$2B^3$:
adeo{\que} vi, qu{\ae} sit
ut cubus ordinatim
applicat{\ae}, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hujusmodi
Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas
nondum attigi.


% -----File: 235.png---




\sectpage{XIV.}

\begin{center}{\textit{De motu corporum minimorum, qu{\ae} viribus centripetis ad singulas
magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XCIV\@. Theor.\ XLVIII.}

\textit{Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin{\que} terminato, distinguantur
ab invicem, \& corpus in transitu per hoc spatium attrahatur
vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum,
ne{\que} ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio,
in {\ae}qualibus ab utro{\que} plano distantiis ad eandem ipsius partem
captis, ubi{\que} eadem: dico quod sinus incidenti{\ae} in planum
alterutrum erit ad sinum emergenti{\ae} ex plano altero in ratione
data.}

\pngright{235.png}{1308}{1498}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sunto $Aa$, $Bb$ plana duo parallela. Incidat corpus
in planum prius $Aa$ secundam
lineam $GH$, ac
toto suo per spatium intermedium
transitu attrahatur
vel impellatur versus
medium incidenti{\ae},
ea{\que} actione describat lineam
curvam $HI$, \& emergat
secundum lineam
$IK$. Ad planum emergenti{\ae}
$Bb$ erigatur perpendiculum
$IM$, occurrens
tum line{\ae} incidenti{\ae}
$GH$ product{\ae} in $M$, tum plano incidenti{\ae} $Aa$ in $R$; \& linea
emergenti{\ae} $KI$ producta occurrat $HM$ in $L$. Centro $L$ intervallo
% -----File: 236.png---
$LI$ describatur circulus, secans tam $HM$ in $P$ \& $Q$, quam
$MI$ productam in $N$; \& primo si attractio vel impulsus ponatur
uniformis, erit (ex demonstratis \textit{Galil{\ae}i}) curva $HI$ Parabola, cujus
h{\ae}c est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto \&
linea $IM$ {\ae}quale sit $HM$ quadrato; sed \& linea $HM$ bisecabitur
in $L$. Unde si ad $MI$ demittatur
perpendiculum
$LO$, {\ae}quales erunt $MO$,
$OR$; \& additis {\ae}qualibus
$IO$, $ON$, fient tot{\ae} {\ae}quales
$MN$, $IR$. Proinde
cum $IR$ detur, datur etiam
$MN$, est{\que} rectangulum
$NMI$ ad rectangulum
sub latere recto \&
$IM$, hoc est, ad $HMq.$,
in data ratione. Sed rectangulum
$NMI$ {\ae}quale est
rectangulo $PMQ$, id est,
differenti{\ae} quadratorum
$MLq.$ \& $PLq.$ seu $LIq.$; \& $HMq.$ datam rationem habet
ad sui ipsius quartam partem $LMq.$: ergo datur ratio $MLq. - LIq.$
ad $MLq.$, \& divisim, ratio $LIq.$ ad $MLq.$, \& ratio dimidiata
$LI$ ad $ML$. Sed in omni triangulo $LMI$, sinus angulorum
sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio
sinus anguli incidenti{\ae} $LMR$ ad sinum anguli emergenti{\ae} $LIR$.
\QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis
planis terminata, $AabB$, $BbcC$ \&c.\ \& agitetur vi qu{\ae} sit
in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; \& per jam
demonstrata, sinus incidenti{\ae} in planum primum $Aa$ erit ad sinum
emergenti{\ae} ex plano secundo $Bb$, in data ratione; \& hic sinus,
qui est sinus incidenti{\ae} in planum secundum $Bb$, erit ad sinum emergenti{\ae}

% -----File: 237.png---
\pngright{237.png}{1284}{1121}{-12}
%Illustration

\noindent ex plano tertio $Cc$, in data ratione; \& hic sinus
ad sinum emergenti{\ae} ex plano quarto $Dd$, in data ratione; \& sic
in infinitum: \& ex {\ae}quo sinus incidenti{\ae} in planum primum ad
sinum emergenti{\ae} ex plano ultimo in data ratione. Minuatur
jam planorum intervalla
\& augeatur numerus in
infinitum, eo ut attractionis
vel impulsus actio
secundum legem quamcun{\que}
assignatam continua
reddatur; \& ratio sinus
incidenti{\ae} in planum
primum ad sinum emergenti{\ae}
ex plano ultimo,
semper data existens, etiamnum
dabitur. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ XCV\@. Theor.\ XLIX.}

\textit{Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad
ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergenti{\ae} ad sinum
incidenti{\ae}.}

Capiantur $AH$, $Id$ {\ae}quales, \& erigantur perpendicula $AG$,
$dK$ occurrentia lineis incidenti{\ae} \& emergenti{\ae} $GH$, $IK$, in $G$
\& $K$. In $GH$ capiatur $TH$ {\ae}qualis $IK$, \& ad planum $Aa$ demittatur
normaliter $Tv$. Et per Legum Corol.\ 2.\ distinguatur
motus corporis in duos, unum planis $Aa$, $Bb$, $Cc$ \&c.\ perpendicularem,
alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus
agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum
secundum parallelas, \& propterea corpus hoc motu conficiet {\ae}qualibus
temporibus {\ae}qualia illa secundum parallelas intervalla,
qu{\ae} sunt inter lineam $AG$ \& punctum $H$, inter{\que} punctum $I$ \&
lineam $dK$; hoc est, {\ae}qualibus temporibus describet lineas $GH$,
% -----File: 238.png---
$IK$. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post
emergentiam, ut $GH$ ad $IK$ vel $TH$, id est, ut $AH$ vel $Id$ ad
$vH$, hoc est (respectu radii $TH$ vel $IK$) ut sinus emergenti{\ae}
ad sinum incidenti{\ae}. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ XCVI\@. Theor.\ L.}

\textit{Iisdem positis \& quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea:
dico quod corpus, inclinando lineam incidenti{\ae}, reflectetur tandem,
\& angulus reflexionis fiet {\ae}qualis angulo incidenti{\ae}.}

\pngright{238.png}{1293}{640}{-24}
%Illustration

Nam concipe corpus inter plana parallela $Aa$, $Bb$, $Cc$ \&c.\
describere arcus Parabolicos, ut supra; sint{\que} arcus illi $HP$, $PQ$,
$QR$, \&c. Et sit ea line{\ae} incidenti{\ae} $GH$ obliquitas ad planum
primum $Aa$, ut sinus incidenti{\ae} sit ad radium circuli, cujus est sinus,
in ea ratione quam habet idem sinus incidenti{\ae} ad sinum emergenti{\ae}
ex plano $Dd$, in spatium $DdeE$: \& ob sinum emergenti{\ae}
jam factum {\ae}qualem radio, angulus emergenti{\ae} erit rectus,
adeo{\que} linea emergenti{\ae}
coincidet cum plano
$Dd$. Perveniat corpus
ad hoc planum in puncto
$R$; \& quoniam linea emergenti{\ae}
coincidit cum eodem
plano, perspicuum est
quod corpus non potest ultra pergere versus planum $Ee$. Sed
nec potest idem pergere in linea emergenti{\ae} $Rd$, propterea quod
perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidenti{\ae}. Revertetur
ita{\que} inter plana $Cc$, $Dd$ describendo arcum Parabol{\ae}
$QRq$, cujus vertex principalis (juxta demonstrata \textit{Galil{\ae}i}) est
in $R$; secabit planum $Cc$ in eodem angulo in $q$, ac prius in $Q$;
dein pergendo in arcubus parabolicis $qp$, $ph$ \&c.\ arcubus prioribus
$QP$, $PH$ similibus \& {\ae}qualibus, secabit reliqua plana in
iisdem angulis in $p$, $h$ \&c.\ ac prius in $P$, $H$ \&c.\ emerget{\que} tandem
eadem obliquitate in $h$, qua incidit in $H$. Concipe jam planorum
% -----File: 239.png---
$Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$ intervalla in infinitum minui \& numerum
augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum
legem quamcun{\que} assignatam continua reddatur; \& angulus emergenti{\ae}
semper angulo incidenti{\ae} {\ae}qualis existens, eidem etiamnum
manebit {\ae}qualis. \QEDup


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

\pngright{240.png}{775}{589}{-24}
%Illustration

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflexiones
\& refractiones, fact{\ae} secundum datam Secantium rationem,
ut invenit \textit{Snellius}, \& per consequens secundum datam Sinuum
rationem, ut exposuit \textit{Cartesius}. Nam{\que} Lucem successive propagari
\& spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Terram
venire, jam constat per Ph{\ae}nomena Satellitum \textit{Jovis}, Observationibus
diversorum Astronomorum confirmata. Radii autem
in aere existentes (uti dudum \textit{Grimaldus}, luce per foramen in
tenebrosum cubiculum admissa, invenit, \& ipse quo{\que} expertus
sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum
angulos (quales sunt nummorum
ex auro, argento \& {\ae}re cusorum termini
rectanguli circulares, \& cultrorum,
lapidum aut fractorum vitrorum acies)
incurvantur circum corpora, quasi attracti
in eadem; \& ex his radiis, qui in
transitu illo propius accedunt ad corpora
incurvantur magis, quasi magis attracti,
ut ipse etiam diligenter observavi. In figura designat $s$ aciem
cultri vel cunei cujusvis $AsB$; \& $gowog$, $fnvnf$, $emtme$,
$dlsld$ sunt radii, arcubus $owo$, $nvn$, $mtm$, $lsl$ versus cultrum
incurvati; id{\que} magis vel minus pro distantia eorum a cultro. Cum
autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, debebunt
etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere
quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in
% -----File: 240.png---
vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidenti{\ae}, sed paulatim
per continuam incurvationem radiorum, factam partim in
aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, postquam
illud ingressi sunt: uti in radiis $ckzkc$, $biyib$, $ahxha$
incidentibus ad $r$, $q$, $p$, \& inter $k$ \& $z$,
$i$ \& $y$, $h$ \& $x$ incurvatis, delineatum est.
Igitur ob analogiam qu{\ae} est inter propagationem
radiorum lucis \& progressum
corporum, visum est Propositiones
sequentes in usus opticos subjungere; interea
de natura radiorum (utrum sint
corpora necne) nihil omnino disputans,
sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo
determinans.

\condpagelarge{Prop.\ XCVII\@. Prob.\ XLVII.}

\textit{Posito quod sinus incidenti{\ae} in superficiem aliquam sit ad sinum emergenti{\ae}
in data ratione, quod{\que} incurvatio vi{\ae} corporum juxta superficiem
illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considerari
possit; determinare superficiem qu{\ae} corpuscula omnia de loco dato
successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.}

\pngright{241a.png}{1311}{542}{-24}
%Illustration

Sit $A$ locus a quo corpuscula divergunt; $B$ locus in quem
convergere debent; $CDE$ curva linea qu{\ae} circa axem $AB$ revoluta
describat superficiem qu{\ae}sitam; $D$, $E$ curv{\ae} illius puncta
duo qu{\ae}vis; \& $EF$, $EG$ perpendicula in corporis vias $AD$, $DB$
demissa. Accedat punctum $D$ ad punctum $E$; \& line{\ae} $DF$ qua
$AD$ augetur, ad lineam $DG$ qua $DB$ diminuitur, ratio ultima
erit eadem qu{\ae} sinus incidenti{\ae} ad sinum emergenti{\ae}. Datur
ergo ratio incrementi line{\ae} $AD$ ad decrementum line{\ae} $DB$; \&
propterea si in axe $AB$ sumatur ubivis punctum $C$, per quod
curva $CDE$ transire debet, \& capiatur ipsius $AC$ incrementum
$CM$, ad ipsius $BC$ decrementum $CN$ in data ratione; centris{\que} $A$,
% -----File: 241.png---
$B$, \& intervallis $AM$, $BN$ describantur circuli duo se mutuo secantes
in $D$: punctum illud $D$ tanget curvam qu{\ae}sitam $CDE$,
eandem{\que} ubivis tangendo determinabit. \QEIup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Faciendo autem ut punctum $A$ vel $B$ nunc abeat in
infinitum, nunc migret ad
alteras partes puncti $C$,
habebuntur figur{\ae} ill{\ae}
omnes quas \textit{Cartesius} in
Optica \& Geometria ad
refractiones exposuit.
Quarum inventionem
cum \textit{Cartesius} maximi fecerit \& studiose celaverit, visum fuit
hic propositione exponere.

\pngright{241b.png}{1332}{852}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si corpus in superficiem quamvis $CD$, secundum
lineam rectam $AD$ lege quavis ductam incidens, emergat secundum
aliam quamvis rectam
$DK$, \& a puncto $C$ duci
intelligantur line{\ae} curv{\ae}
$CP$, $CQ$ ipsis $AD$, $DK$
semper perpendiculares: erunt
incrementa linearum
$PD$, $QD$, at{\que} adeo line{\ae}
ips{\ae} $PD$, $QD$, incrementis
istis genit{\ae}, ut sinus incidenti{\ae}
\& emergenti{\ae} ad invicem: \& contra.


\condpagelarge{Prop.\ XCVIII\@. Prob.\ XLVIII.}

\textit{Iisdem positis, \& circa axem AB descripta superficie quacun{\que} attractiva
CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A
exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam
EF, qu{\ae} corpora illa ad locum datum B convergere faciat.}

Juncta $AB$ secet superficiem primam in $C$ \& secundam in $E$,
% -----File: 242.png---
puncto $D$ utcun{\que} assumpto. Et posito sinu incidenti{\ae} in superficiem
primam ad sinum emergenti{\ae} ex eadem, \& sinu emergenti{\ae}
e superficie secunda ad sinum incidenti{\ae} in eandem, ut quantitas
aliqua data $M$ ad aliam datam $N$; produc tum $AB$ ad $G$ ut sit
$BG$ ad $CE$ ut $M - N$ ad $N$, tum $AD$ ad $H$ ut sit $AH$ {\ae}qualis
$AG$, tum etiam $DF$ ad $K$ ut sit $DK$ ad $DH$ ut $N$ ad $M$. Junge
$KB$, \& centro $D$ intervallo $DH$ describe circulum occurrentem
$KB$ product{\ae} in $L$, ipsi{\que} $DL$ parallelam age $BF$: \& punctum
$F$ tanget lineam $EF$, qu{\ae} circa axem $AB$ revoluta describet
superficiem qu{\ae}sitam. \QEFup

Nam concipe lineas $CP$, $CQ$ ipsis $AD$, $DF$ respective, \& lineas
$ER$, $ES$ ipsis $FB$, $FD$ ubi{\que} perpendiculares esse, adeo{\que}
$QS$ ipsi $CE$ semper {\ae}qualem; \& erit (per Corol.\ 2.\ Prop.\
XCVII.) $PD$ ad $QD$ ut
$M$ ad $N$, adeo{\que} ut $DL$ ad
$DK$ vel $FB$ ad $FK$; \&
divisim ut $DL - FB$ seu
$PH - PD - FB$ ad $FD$
seu $FQ - QD$; \& composite
ut $HP - FB$ ad $FQ$, id
est (ob {\ae}quales $HP$ \& $CG$,
$QS$ \& $CE$) $CE + BG - FR$ ad $CE - FS$. Verum (ob proportionales
$BG$ ad $CE$ \& $M - N$ ad $N$) est etiam $CE + BG$ ad
$CE$ ut $M$ ad $N$: adeo{\que} divisim $FR$ ad $FS$ ut $M$ ad $N$, \& propterea
per Corol.\ 2.\ Prop.\ XCVII. superficies $EF$ cogit corpus in
se secundum lineam $DF$ incidens pergere in linea $FR$, ad locum
$B$. \QEDup


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures.
Ad usus autem Opticos maxime accommodat{\ae} sunt figur{\ae} Sph{\ae}ric{\ae}.
Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sph{\ae}rice
% -----File: 243.png---
figuratis \& Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri potest
ut a refractionibus aqu{\ae} errores refractionum, qu{\ae} fiunt in
vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia
autem vitra Objectiva vitris Ellipticis \& Hyperbolicis pr{\ae}ferenda
sunt, non solum quod facilius \& accuratius formari possint,
sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius
refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas
impedimento est, quo minus Optica per figuras vel
Sph{\ae}ricas vel alias quascun{\que} perfici possit. Nisi corrigi possint
errores illinc oriundi, labor omnis in c{\ae}teris corrigendis imperite
collocabitur.

\vspace{2em}\hrule\pagelines

% -----File: 244.png---





\begin{center}{\large DE}\end{center}

\begin{center}{\Huge MOTU CORPORUM}\end{center}

\vspace{\baselineskip}

\hrule

\begin{center}{\large Liber \gesperrt{SECUNDUS}{3}}\end{center}

\hrule

\vspace{\baselineskip}

\sectnopage{I.}

\begin{center}{\textit{De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.}}\end{center}

\propnopage{Prop.\ I\@. Theor.\ I.}

\textit{Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia
amissus est ut spatium movendo confectum.}

Nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut
velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit componendo
motus toto tempore amissus ut iter totum. \QEDup

\textit{Corol.}\wsp{}Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis
sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio,
tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, dabitur
spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest.
Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut
motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.
% -----File: 245.png---

\condpagelarge{Lemma I.}

\textit{Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportionales.}

Sit $A$ ad $A - B$ ut $B$ ad $B - C$ \& $C$ ad $C - D$ \&c.\ \& dividendo
fiet $A$ ad $B$ ut $B$ ad $C$ \& $C$ ad $D$ \&c. \QEDup


\condpagelarge{Prop.\ II\@. Theor.\ II.}

\textit{Si corpori resistitur in ratione velocitatis, \& sola vi insita per Medium
similare moveatur, sumantur autem tempora {\ae}qualia: velocitates
in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geometrica,
\& spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates.}

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Dividatur tempus in particulas {\ae}quales, \& si ipsis
particularum initiis agat vis resistenti{\ae} impulsu unico, qu{\ae} sit ut
velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis
ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales,
\& propterea (per Lem.\ I. Lib.\ II.) continue proportionales.
Proinde si ex {\ae}quali particularum numero componantur
tempora qu{\ae}libet {\ae}qualia, erunt velocitates ipsis temporum
initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum
capiuntur, omisso passim {\ae}quali terminorum intermediorum numero.
Componuntur autem horum terminorum rationes ex
{\ae}qualibus rationibus terminorum intermediorum {\ae}qualiter repetitis,
\& propterea sunt {\ae}quales. Igitur velocitates his terminis
proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur
jam {\ae}quales ill{\ae} temporum particul{\ae}, \& augeatur earum numerus
in infinitum, eo ut resistenti{\ae} impulsus reddatur continuus,
\& velocitates in principiis {\ae}qualium temporum, semper continue
proportionales, erunt in hoc etiam Cas.\ continue proportionales.
\QEDup
% -----File: 246.png---

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Et divisim velocitatum differenti{\ae}, hoc est earum
partes singulis temporibus amiss{\ae}, sunt ut tot{\ae}: Spatia autem
singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amiss{\ae},
(per Prop.\ I. Lib.\ II.) \& propterea etiam ut tot{\ae}. \QEDup

\pngright{246a.png}{643}{585}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc si Asymptotis rectangulis $ADC$, $CH$ describatur
Hyperbola $BG$, sint{\que} $AB$, $DG$ ad Asymptoton $AC$ perpendiculares,
\& exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Medii,
ipso motus initio, per lineam quamvis
datam $AC$, elapso autem tempore aliquo
per lineam indefinitam $DC$: exponi potest
tempus per aream $ABGD$, \& spatium eo
tempore descriptum per lineam $AD$. Nam
si area illa per motum puncti $D$ augeatur
uniformiter ad modum temporis, decrescet
recta $DC$ in ratione Geometrica ad modum velocitatis, \& partes
rect{\ae} $AC$ {\ae}qualibus temporibus descript{\ae} decrescent in eadem
ratione.


\condpagelarge{Prop.\ III\@. Prob.\ I.}

\textit{Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, resistitur
in ratione velocitatis, quod{\que} ab uniformi gravitate urgetur,
definire motum.}

\pngright{246b.png}{1190}{950}{-24}
%Illustration

Corpore ascendente, exponatur
gravitas per datum
quodvis rectangulum $BC$, \&
resistentia Medii initio ascensus
per rectangulum $BD$
sumptum ad contrarias partes.
Asymptotis rectangulis
$AC$, $CH$, per punctum
$B$ describatur Hyperbola
secans perpendicula $DE$, $de$ in $G$, $g$; \& corpus ascendendo, tempore
$DGgd$, describet spatium $EGge$, tempore $DGBA$ spatium
% -----File: 247.png---
ascensus totius $EGB$, tempore $AB2G2D$ spatium descensus
$BF2G$, at{\que} tempore $2D2G2g2d$ spatium descensus
$2GF2e2g$: \& velocitates corporis (resistenti{\ae} Medii proportionales)
in horum temporum periodis erunt $ABED$, $ABed$,
nulla, $ABF2D$, $AB2e2d$ respective; at{\que} maxima velocitas,
quam corpus descendendo potest acquirere, erit $BC$.

Resolvatur enim rectangulum $AH$ in rectangula innumera
$Ak$, $Kl$, $Lm$, $Mn$, \&c.\ qu{\ae} sint ut incrementa velocitatum
{\ae}qualibus totidem temporibus facta; \& erunt nihil, $Ak$, $Al$,
$Am$, $An$, \&c.\ ut velocitates tot{\ae}, at{\que} adeo (per Hypothesin)

\pngright{247.png}{1237}{1014}{-12}
%Illustration

\noindent ut resistentia Medii in
principio singulorum temporum
{\ae}qualium. Fiat $AC$
ad $AK$ vel $ABHC$ ad
$ABkK$, ut vis gravitatis
ad resistentiam in principio
temporis secundi, de{\que}
vi gravitatis subducantur
resistenti{\ae}, \& manebunt
$ABHC$, $KkHC$, $LlHC$,
$NnHC$, \&c.\ ut vires absolut{\ae} quibus corpus in principio singulorum
temporum urgetur, at{\que} adeo (per motus Legem II.)
ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula $Ak$, $Kl$, $Lm$,
$Mn$ \&c; \& propterea (per Lem.\ I. Lib.\ II.) in progressione
Geometrica. Quare si rect{\ae} $Kk$, $Ll$, $Mm$, $Nn$ \&c.\ product{\ae} occurrant
Hyperbol{\ae} in $q$, $r$, $s$, $t$ \&c.\ erunt are{\ae} $ABqK$, $KqrL$,
$LrsM$, $MstN$ \&c.\ {\ae}quales, adeo{\que} tum temporibus tum viribus
gravitatis semper {\ae}qualibus analog{\ae}. Est autem area $ABqK$
(per Corol.\ 3.\ Lem.\ VII. \& Lem.\ VIII. Lib.\ I.) ad aream $Bkq$
ut $Kq$ ad $\frac{1}{2}kq$ seu $AC$ ad $\frac{1}{2}AK$, hoc est ut vis gravitatis ad resistentiam
in medio temporis primi. Et simili argumento are{\ae}
$qKLr$, $rLMs$, $sMNt$, \&c.\ sunt ad areas $qklr$, $rlms$, $smnt$
\&c.\ ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi,
% -----File: 248.png---
tertii, quarti, \&c. Proinde cum are{\ae} {\ae}quales $BAKq$, $qKLr$,
$rLMs$, $sMNt$, \&c.\ sint viribus grauitatis analog{\ae}, erunt are{\ae}
$Bkq$, $qklr$, $rlms$, $smnt$, \&c.\ resistentiis in mediis singulorum
temporum, hoc est, (per
Hypothesin) velocitatibus,
at{\que} adeo descriptis
spatiis analog{\ae}. Sumantur
analogarum summ{\ae}, \&
erunt are{\ae} $Bkq$, $Blr$, $Bms$,
$Bnt$, \&c.\ spatiis totis descriptis
analog{\ae}; necnon
are{\ae} $ABqK$, $ABrL$,
$ABsM$, $ABtN$, \&c.\ temporibus.
Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis $ABrL$,
describit spatium $Blr$, \& tempore $LrtN$ spatium $rlnt$.
\QEDup Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu.
\QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest
acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut
vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus
supra vim qua in fine temporis illius resistitur.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Tempore autem aucto in progressione Arithmetica,
summa velocitatis illius maxim{\ae} ac velocitatis in ascensu (at{\que}
etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressione
Geometrica.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Sed \& differenti{\ae} spatiorum, qu{\ae} in {\ae}qualibus temporum
differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione
Geometrica.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Spatium vero a corpore descriptum differentia est
duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab
initio descensus, \& alterum ut velocitas, qu{\ae} etiam ipso descensus
initio {\ae}quantur inter se.
% -----File: 249.png---


\condpagelarge{Prop.\ IV\@. Prob.\ II.}

\textit{Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac
tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum
Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis.}

\pngright{249.png}{1227}{1204}{-12}
%Illustration

E loco quovis $D$ egrediatur Projectile secundum lineam quamvis
rectam $DP$, \& per longitudinem $DP$ exponatur ejusdem
velocitas sub initio motus. A puncto $P$ ad lineam Horizontalem
$DC$ demittatur perpendiculum $PC$, \& secetur $DC$ in $A$ ut
sit $DA$ ad $AC$ ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub initio
orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum
sub $DA$ \& $DP$
ad rectangulum sub $AC$ \&
$CP$ ut resistentia tota sub
initio motus ad vim Gravitatis.
Describatur Hyperbola
qu{\ae}vis $GTBS$ secans
erecta perpendicula $DG$,
$AB$ in $G$ \& $B$; \& compleatur
parallelogrammum $DGKC$,
cujus latus $GK$ secet
$AB$ in $Q$. Capiatur linea
$N$ in ratione ad $QB$ qua
$DC$ sit ad $CP$; \& ad rect{\ae} $DC$ punctum quodvis $R$ erecto perpendiculo
$RT$, quod Hyperbol{\ae} in $T$, \& rectis $GK$, $DP$ in $t$
\& $V$ occurrat; in eo cape $Vr$ {\ae}qualem $\frac{tGT}{N}$, \& Projectile tempore
$DRTG$ perveniet ad punctum $r$, describens curvam lineam
$DraF$, quam punctum $r$ semper tangit; perveniens autem ad
maximam altitudinem $a$ in perpendiculo $AB$, \& postea semper
% -----File: 250.png---
appropinquans ad Asymptoton $PLC$. Est{\que} velocitas ejus in
puncto quovis $r$ ut Curv{\ae} Tangens $rL$. \QEIup

Est enim $N$ ad $QB$ ut $DC$ ad $CP$ seu $DR$ ad $RV$, adeo{\que}
$RV$ {\ae}qualis $\frac{DR \times QB}{N}$,
\& $Rr$ (id est $RV - Vr$ seu $\frac{DR \times QB - tGT}{N}$)
{\ae}qualis $\frac{DR \times AB - RDGT}{N}$. Exponatur jam tempus per aream
$RDGT$, \& (per Legum Corol.\ 2.)\ distinguatur motus
corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia
sit ut motus, distinguetur etiam h{\ae}c in partes duas partibus
motus proportionales \& contrarias: ideo{\que} longitudo a motu
ad latus descripta erit (per Prop.\ II. hujus) ut linea $DR$, altitudo
vero (per Prop.\ III. hujus) ut area $DR \times AB - RDGT$,
hoc est, ut linea $Rr$. Ipso autem motus initio area $RDGT$ {\ae}qualis
est rectangulo $DR \times AQ$, ideo{\que} linea illa $Rr$
(seu $\frac{DR \times AB - DR \times AQ}{N}$)
tunc est ad $DR$ ut $AB - AQ$ (seu
$QB$) ad $N$, id est ut $CP$
ad $DC$; at{\que} adeo ut motus
in altitudinem ad motum
in longitudinem sub
initio. Cum igitur $Rr$ semper
sit ut altitudo, ac $DR$
semper ut longitudo, at{\que}
$Rr$ ad $DR$ sub initio ut altitudo
ad longitudinem:
necesse est ut $Rr$ semper
sit ad $DR$ ut altitudo ad
longitudinem, \& propterea
ut corpus moveatur in linea $DraF$, quam punctum $r$ perpetuo
tangit. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si vertice $D$, Diametro $DE$ deorsum producta,
\& latere recto quod sit ad $2DP$ ut resistentia tota, ipso motus
% -----File: 251.png---
initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas quacum
corpus exire debet de loco $D$ secundum rectam $DP$, ut in Medio
uniformi resistente describat Curvam $DraF$, ea ipsa erit quacum
exire debet de eodem loco $D$, secundum eandem rectam
$DR$, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam
Latus rectum Parabol{\ae} hujus, ipso motus initio, est
$\frac{DV \opit{quad.}}{Vr}$ \& $Vr$ est $\frac{tGT}{N}$ seu $\frac{DR \times Tt}{2N}$. Recta autem, qu{\ae}, si duceretur,
Hyperbolam $GTB$ tangeret in $G$, parallela est ipsi $DK$, ideo{\que}
$Tt$ est $\frac{CK \times DR}{DC}$, \& $N$ erat $\frac{QB \times DC}{CP}$. Et propterea $Vr$ est
$\frac{DRq. \times CK \times CP}{2CDq. \times QB}$,
id est (ob proportionales $DR$ \& $DC$, $DV$
\& $DP$) $\frac{DVq. \times CK \times CP}{2DPq. \times QB}$, \& Latus rectum $\frac{DV \opit{quad.}}{Vr}$ prodit
$\frac{2DPq. \times QB}{CK \times CP}$, id est (ob proportionales $QB$ \& $CK$, $DA$ \& $AC$)
$\frac{2DPq. \times DA}{AC \times CP}$, adeo{\que} ad $2DP$ ut $DP \times DA$ ad $PC \times AC$; hoc
est ut resistentia ad gravitatem. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si corpus de loco quovis $D$, data cum velocitate,
secundum rectam quamvis positione datam $DP$ projiciatur;
\& resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest
Curva $DraF$, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate
datur latus rectum Parabol{\ae}, ut notum est. Et sumendo
$2DP$ ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resistenti{\ae},
datur $DP$. Dein secando $DC$ in $A$, ut sit $CP \times AC$ ad
$DP \times DA$ in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabitur
punctum $A$. Et inde datur Curva $DraF$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et contra, si datur curva $DraF$, dabitur \& velocitas
corporis \& resistentia Medii in locis singulis $r$. Nam ex data
% -----File: 252.png---
ratione $CP \times AC$ ad $DP \times DA$, datur tum resistentia Medii
sub initio motus, tum latus rectum Parabol{\ae}: \& inde datur etiam
velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis
$rL$, datur \& huic proportionalis velocitas, \& velocitati proportionalis
resistentia in loco quovis $r$.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Cum autem longitudo $2DP$ sit ad latus rectum
Parabol{\ae} ut gravitas ad resistentiam in $D$; \& ex aucta Velocitate
augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Parabol{\ae}
augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem
$2DP$ augeri in ratione illa simplici, adeo{\que} velocitati semper proportionalem
esse, ne{\que} ex angulo $CDP$ mutato augeri vel minui,
nisi mutetur quo{\que} velocitas.

\pngright{280.png}{809}{444}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Unde liquet methodus determinandi Curvam $DraF$
ex Ph{\ae}nomenis quamproxime, \& inde colligendi resistentiam \&
velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo
similia \& {\ae}qualia eadem cum velocitate, de loco $D$, secundum
angulos diversos $CDP$, $cDp$ (minuscularum literarum locis subintellectis)
\& cognoscantur loca $F$, $f$, ubi incidunt in horizontale
planum $DC$. Tum, assumpta quacun{\que} longitudine pro $DP$
vel $Dp$, fingatur quod resistentia in $D$ sit ad gravitatem in ratione
qualibet, \& exponatur ratio illa per longitudinem quamvis
$SM$. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta
$DP$, inveniantur longitudines $DF$, $Df$, ac de ratione
$\frac{Ff}{DF}$ per
calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa,
\& exponatur differentia per
perpendiculum $MN$. Idem fac iterum
ac tertio, assumendo semper novam resistenti{\ae}
ad gravitatem rationem $SM$,
\& colligendo novam differentiam $MN$.
Ducantur autem differenti{\ae} affirmativ{\ae}
ad unam partem rect{\ae} $SM$, \& negativ{\ae} ad alteram; \& per
puncta $N$, $N$, $N$ agatur curva regularis $NNN$ secans rectam
% -----File: 253.png---
$SMMM$ in $X$, \& erit $SX$ vera ratio resistenti{\ae} ad gravitatem,
quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudo
$DF$ per calculum; \& longitudo qu{\ae} sit ad assumptam longitudinem
$DP$ ut modo inventa longitudo $DF$ ad longitudinem
eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo $DP$.
Qua inventa, habetur tum Curva Linea $DraF$ quam corpus describit,
tum corporis velocitas \& resistentia in locis singulis.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

C{\ae}terum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est
magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet h{\ae}c ratio quamproxime
ubi corpora in Mediis rigore aliquo pr{\ae}ditis tardissime
moventur. In Mediis autem qu{\ae} rigore omni vacant (uti posthac
demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione velocitatum.
Actione corporis velocioris communicatur eidem
Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris
velocitatis, adeo{\que} tempore {\ae}quali (ob majorem Medii
quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata
ratione major, est{\que} resistentia (per motus Legem 2.\ \& 3.)\ ut
motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus
ex hac lege Resistenti{\ae}.


% -----File: 254.png---



\sectpage{II.}

\begin{center}{\textit{De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ V\@. Theor.\ III.}

\textit{Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, \& sola vi insita
per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progressione
Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico
quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione
Geometrica inverse, \& quod spatia sunt {\ae}qualia qu{\ae} singulis
temporibus describuntur.}

\pngright{254.png}{949}{1030}{-24}
%Illustration

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia
Medii, \& resistenti{\ae} proportionale est decrementum velocitatis;
si tempus in particulas innumeras {\ae}quales dividatur, quadrata
velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem
differentiis proportionalia.
Sunto temporis particul{\ae}
ill{\ae} $AK$, $KL$, $LM$, \&c.\ in recta
$CD$ sumpt{\ae}, \& erigantur perpendicula
$AB$, $Kk$, $Ll$, $Mm$, \&c.\ Hyperbol{\ae}
$BklmG$, centro $C$ Asymptotis
rectangulis $CD$, $CH$ descript{\ae}
occurrentia in $B$, $k$, $l$, $m$, \&c.\ \&
erit $AB$ ad $Kk$ ut $CK$ ad $CA$, \&
divisim $AB - Kk$ ad $Kk$ ut $AK$
ad $CA$, \& vicissim $AB - Kk$ ad
$AK$ ut $Kk$ ad $CA$, adeo{\que} ut $AB \times Kk$
ad $AB \times CA$. Unde cum
$AK$ \& $AB \times CA$ dentur, erit $AB - Kk$ ut $AB \times Kk$; \& ultimo,
ubi coeunt $AB$ \& $Kk$, ut $ABq$. Et simili argumento erunt
% -----File: 255.png---
$Kk - Ll$, $Ll - Mm$, \&c.\ ut $Kkq.$, $Llq.$ \&c. Linearum
igitur $AB$, $Kk$, $Ll$, $Mm$ quadrata sunt ut earundem differenti{\ae},
\& idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum
differenti{\ae}, similis erit ambarum progressio. Quo demonstrato,
consequens est etiam ut are{\ae} his lineis descript{\ae} sint in progressione
consimili cum spatiis qu{\ae} velocitatibus describuntur.
Ergo si velocitas initio primi temporis $AK$ exponatur per lineam
$AB$, \& velocitas initio secundi $KL$ per lineam $Kk$, \& longitudo
primo tempore descripta per arcam $AKkB$, velocitates omnes
subsequentes exponentur per lineas subsequentes $Ll$, $Mm$, \&c.\ \&
longitudines descript{\ae} per areas $Kl$, $Lm$, \&c.\ \& composite, si
tempus totum exponatur per summam partium suarum $AM$,
longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum
$AMmB$. Concipe jam tempus $AM$ ita dividi in partes $AK$,
$KL$, $LM$, \&c.\ ut sint $CA$, $CK$, $CL$, $CM$, \&c.\ in progressione
Geometrica, \& erunt partes ill{\ae} in eadem progressione, \& velocitates
$AB$, $Kk$, $Ll$, $Mm$, \&c.\ in progressione eadem inversa,
at{\que} spatia descripta $Ak$, $Kl$, $Lm$, \&c.\ {\ae}qualia. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Patet\spreadout{ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem} \\
quamvis $AD$, \& velocitas in principio temporis per ordinatim
applicatam $AB$; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam
$DG$, \& spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam
adjacentem $ABGD$; necnon spatium quod corpus aliquod
eodem tempore $AD$, velocitate prima $AB$ in Medio non
resistente describere posset, per rectangulum $AB \times AD$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde datur spatium in Medio resistente descriptum,
capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi $AB$ in Medio
non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica
$ABGD$ ad rectangulum $AB \times AD$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso
motus initio {\ae}qualem esse vi uniformi centripet{\ae}, qu{\ae}, in cadente
corpore, tempore $AC$, in Medio non resistente, generare posset
velocitatem $AB$. Nam si ducatur $BT$ qu{\ae} tangat Hyperbolam
% -----File: 256.png---
in $B$, \& occurrat Asymptoto in $T$; recta $AT$ {\ae}qualis erit ipsi $AC$,
\& tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata
tollere posset velocitatem totam $AB$.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et inde datur etiam proportio hujus resistenti{\ae} ad
vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et viceversa, si datur proportio resistenti{\ae} ad
datam quamvis vim centripetam, datur tempus $AC$, quo vis centripeta
resistenti{\ae} {\ae}qualis generare possit velocitatem quamvis
$AB$; \& inde datur punctum $B$ per quod Hyperbola Asymptotis
$CH$, $CD$ describi debet; ut \& spatium $ABGD$, quod corpus
incipiendo motum suum cum velocitate illa $AB$, tempore quovis
$AD$, in Medio similari resistente describere potest.


\condpagelarge{Prop.\ VI\@. Theor.\ IV.}

\textit{Corpora Sph{\ae}rica homogenea \& {\ae}qualia, resistentiis in duplicata ratione
velocitatum impedita, \& solis viribus insitis incitata, temporibus
qu{\ae} sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper
{\ae}qualia spatia, \& amittunt partes velocitatum proportionales
totis.}

\pngright{256.png}{1169}{1058}{-24}
%Illustration

Asymptotis rectangulis $CD$, $CH$ descripta Hyperbola quavis
$BbEe$ secante perpendicula
$AB$, $ab$, $DE$, $de$, in $B$, $b$, $E$, $e$,
exponantur velocitates initiales
per perpendicula $AB$,
$DE$, \& tempora per lineas
$Aa$, $Dd$. Est ergo ut $Aa$ ad
$Dd$ ita (per Hypothesin)
$DE$ ad $AB$, \& ita (ex natura
Hyperbol{\ae}) $CA$ ad $CD$;
\& componendo, ita $Ca$ ad
$Cd$. Ergo are{\ae} $ABba$, $DEed$,
hoc est spatia descripta {\ae}quantur inter se, \& velocitates prim{\ae}
% -----File: 257.png---
$AB$, $DE$ sunt ultimis $ab$, $de$, \& propterea (dividendo) partibus
etiam suis amissis $AB - ab$, $DE - de$ proportionales.
\QEDup


\condpagelarge{Prop.\ VII\@. Theor.\ V.}

\textit{Corpora Sph{\ae}rica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum,
temporibus qu{\ae} sunt ut motus primi directe \& resistenti{\ae} prim{\ae}
inverse, amittent partes motuum proportionales totis, \& spatia
describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia.}

Nam{\que} motuum partes amiss{\ae} sunt ut resistenti{\ae} \& tempora
conjunctim. Igitur ut partes ill{\ae} sint totis proportionales, debebit
resistentia \& tempus
conjunctim esse ut motus. Proinde tempus
erit ut Motus directe \& resistentia inverse. Quare temporum
particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper
particulas motuum proportionales totis, adeo{\que} retinebunt velocitates
in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, describent
semper spatia qu{\ae} sunt ut velocitates prim{\ae} \& tempora
conjunctim. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si {\ae}quivelocia corpora resistuntur in duplicata
ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscun{\que} cum velocitatibus
moti, describendo spatia diametris suis proportionalia,
amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi
cujus{\que} erit ut ejus velocitas \& Massa conjunctim, id est ut velocitas
\& cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadratum
diametri \& quadratum velocitatis conjunctim; \& tempus (per
hanc Propositionem) est in ratione priore directe \& ratione posteriore
inverse, id est ut diameter directe \& velocitas inverse; adeo{\que}
spatium (tempori \& velocitati proportionale) est ut diameter.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si {\ae}quivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera
diametrorum: Globi homogenei quibuscun{\que} cum velocitatibus
moti, describendo spatia in sesquialtera ratione diametrorum
% -----File: 258.png---
inverse,
amittent partes motuum proportionales totis. Nam tempus
augetur in ratione resistenti{\ae} diminut{\ae}, \& spatium augetur
in ratione temporis.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et universaliter, si {\ae}quivelocia corpora resistuntur
in ratione dignitatis cujuscun{\que} diametrorum, spatia quibus Globi
homogenei, quibuscun{\que} cum velocitatibus moti, amittent partes
motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem
illam applicata. Sunto diametri $D$ \& $E$; \& si resistenti{\ae}
sint ut $D^n$ \& $E^n$, spatia quibus amittent partes motuum
proportionales totis, erunt ut $D^{3 - n}$ \& $E^{3 - n}$. Igitur describendo
spatia ipsis $D^{3 - n}$ \& $E^{3 - n}$ proportionalia, retinebunt
velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Quod si Globi non sint homogenei, spatium a Globo
densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus
enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, \&
tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus directe,
ac spatium descriptum in ratione temporis.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in
Medio, quod c{\ae}teris paribus magis resistit, diminuendum erit in
ratione majoris resistenti{\ae}. Tempus enim (per hanc Propositionem)
diminuetur in ratione resistenti{\ae}, \& spatium in ratione
temporis.


\condpagelarge{Lemma II.}

\textit{Momentum Genit{\ae} {\ae}quatur momentis Terminorum singulorum generantium
in eorundem laterum indices dignitatum \& coefficientia
continue ductis.}

Genitam voco quantitatem omnem qu{\ae} ex Terminis quibuscun{\que}
in Arithmetica per multiplicationem, divisionem, \& extractionem
radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum
\& laterum, vel extremarum \& mediarum proportionalium
abs{\que} additione \& subductione generatur. Ejusmodi quantitates
% -----File: 259.png---
sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera
quadrata, latera cubica \& similes. Has quantitates ut indeterminatas
\& instabiles, \& quasi motu fluxuve perpetuo crescentes
vel decrescentes hic considero, \& eorum incrementa vel decrementa
momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa
pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa
pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris
particulas finitas. Momenta, quam primum finit{\ae} sunt magnitudinis,
desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus
perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda
sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Ne{\que}
enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima
nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum
usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum,
(quas etiam motus, mutationes \& fluxiones quantitatum nominare
licet) vel finit{\ae} qu{\ae}vis quantitates velocitatibus hisce
proportionales. Termini autem cujus{\que} Generantis coefficiens est
quantitas, qu{\ae} oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.

Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcun{\que} perpetuo
motu crescentium vel decrescentium $A$, $B$, $C$, \&c. Momenta,
vel mutationum velocitates dicantur $a$, $b$, $c$, \&c.\ momentum
vel mutatio rectanguli $AB$ fuerit $Ab + aB$, \& contenti $ABC$
momentum fuerit $ABc + AbC + aBC$: \& dignitatum $A^2$, $A^3$, $A^4$,
$A^{\frac{1}{2}}$, $A^{\frac{3}{2}}$, $A^{\frac{1}{3}}$, $A^{\frac{2}{3}}$, $\frac{1}{A}$, $\frac{1}{A^2}$, \& $\frac{1}{A^{\frac{1}{2}}}$
momenta $2Aa$, $3aA^2$, $4aA^3$, $\frac{1}{2}aA^{-\frac{1}{2}}$,
$\frac{3}{2}aA^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{3}aA^{-\frac{2}{3}}$, $\frac{2}{3}aA^{\frac{1}{3}}$, $-aA^{-2}$, $-2aA^{-3}$,
\& $-\frac{1}{2}aA^{-\frac{3}{2}}$ respective.
Et generaliter ut dignitatis cujuscun{\que}
$A^{\frac{n}{m}}$ momentum fuerit $\frac{n}{m} aA^{\frac{n-m}{m}}$.
Item ut Genit{\ae} $A \opit{quad.} \times B$ momentum fuerit
$2aAB + A^2 b$; \& Genit{\ae} $A^3 B^4 C^2$ momentum $3aA^2 B^4 C^2$
+ $4A^3 bB^3 C^2 + 2A^3 B^4 Cc$;
\& Genit{\ae} $\frac{A^3}{B^2}$ sive $A^3 B^{-2}$ momentum
$3aA^2 B^{-2} - 2A^3 bB^{-3}$: \& sic in c{\ae}teris. Demonstratur
vero Lemma in hunc modum.
% -----File: 260.png---


\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum $AB$,
ubi de lateribus $A$ \& $B$ deerant momentorum dimidia
$\frac{1}{2}a$ \& $\frac{1}{2}b$, fuit $A - \frac{1}{2}a$ in $B - \frac{1}{2}b$, seu $AB - \frac{1}{2}aB - \frac{1}{2}Ab + \frac{1}{4}ab$; \& quam
primum latera $A$ \& $B$ alteris momentorum dimidiis aucta sunt,
evadit $A + \frac{1}{2}a$ in $B + \frac{1}{2}b$ seu $AB + \frac{1}{2}aB + \frac{1}{2}Ab + \frac{1}{4}ab$. De hoc
rectangulo subducatur rectangulum prius, \& manebit excessus
$aB + Ab$. Igitur laterum incrementis totis $a$ \& $b$ generatur rectanguli
incrementum $aB + Ab$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponatur $AB$ {\ae}quale $G$, \& contenti $ABC$ seu $GC$ momentum
(per Cas.\ 1.)\ erit $gC + Gc$, id est (si pro $G$ \& $g$ scribantur
$AB$ \& $aB + Ab$) $aBC + AbC + ABc$. Et par est ratio
contenti sub lateribus quotcun{\que}. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Ponantur $A$, $B$, $C$ {\ae}qualia; \& ipsius $A^2$, id est rectanguli
$AB$, momentum $aB + Ab$ erit $2aA$, ipsius autem $A^3$, id est
contenti $ABC$, momentum $aBC + AbC + ABc$ erit $3aA^2$. Et
eodem argumento momentum dignitatis cujuscun{\que} $A^n$ est
$naA^{n - 1}$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}4.}\wsp{}Unde cum $\frac{1}{A}$ in $A$ sit 1, momentum ipsius $\frac{1}{A}$ ductum
in $A$, una cum $\frac{1}{A}$ ducto in $a$ erit momentum ipsius 1,
id est
nihil. Proinde momentum ipsius $\frac{1}{A}$ seu
$A^{-1}$ est $\frac{-a}{A^2}$.
Et generaliter cum $\frac{1}{A^{n}}$ in $A^{n}$ sit 1, momentum ipsius $\frac{1}{A^n}$ ductum
in $A^n$ una cum $\frac{1}{A^n}$ in $naA^{n - 1}$ erit nihil. Et propterea momentum
ipsius $\frac{1}{A^n}$ seu $A^{-n}$ erit $\frac{-na}{A^{n + 1}}$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}5.}\wsp{}Et cum $A^{\frac{1}{2}}$ in $A^{\frac{1}{2}}$ sit $A$, momentum ipsius $A^{\frac{1}{2}}$ in $2A^{\frac{1}{2}}$
erit $a$, per Cas.\ 3: ideo{\que} momentum ipsius $A^{\frac{1}{2}}$ erit
$\frac{a}{2A^{\frac{1}{2}}}$ sive
% -----File: 261.png---
$2aA^{-\frac{1}{2}}$. Et generaliter si ponatur $A^{\frac{m}{n}}$ {\ae}qualem $B$, erit $A^m$
{\ae}quale $B^n$, ideo{\que} $maA^{m - 1}$ {\ae}quale $nbB^{n - 1}$, \& $maA^{-1}$
{\ae}quale $nbB^{-1}$ seu $\frac{nb}{A^{\frac{m}{n}}}$,
adeo{\que} $\frac{m}{n}aA^{\frac{m-n}{n}}$ {\ae}quale $b$, id est
{\ae}quale momento ipsius $A^{\frac{m}{n}}$. \QEDup

\textit{Cas.\fsp{}6.}\wsp{}Igitur Genit{\ae} cujuscun{\que} $A^m B^n$ momentum est momentum
ipsius $A^m$ ductum in $B^n$, una cum momento ipsius $B^n$
ducto in $A^m$, id est $maA^{m - 1} + nbB^{n - 1}$; id{\que} sive dignitatum
indices $m$ \& $n$ sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi
vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus.
\QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus
datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini
multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos \& terminum
datum. Sunto $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ continue proportionales; \& si
detur terminus $C$, momenta reliquorum terminorum erunt inter
se ut $-2A$, $-B$, $D$, $2E$, $3F$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si in quatuor proportionalibus du{\ae} medi{\ae} dentur,
momenta extremarum erunt ut e{\ae}dem extrem{\ae}. Idem intelligendum
est de lateribus rectanguli cujuscun{\que} dati.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur,
momenta laterum erunt reciproce ut latera.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

In literis qu{\ae} mihi cum Geometra peritissimo \textit{G.~G. Leibnitio}
annis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compotem
esse methodi determinandi Maximas \& Minimas, ducendi
% -----File: 262.png---
Tangentes, \& similia peragendi, qu{\ae} in terminis surdis {\ae}que ac
in rationalibus procederet, \& literis transpositis hanc sententiam
involventibus [Data {\ae}quatione quotcun{\que} fluentes quantitates
involvente, fluxiones invenire, \& vice versa] eandem celarem: rescripsit
Vir Clarissimus se quo{\que} in ejusmodi methodum incidisse,
\& methodum suam communicavit a mea vix abludentem pr{\ae}terquam
in verborum \& notarum formulis. Utrius{\que} fundamentum
continetur in hoc Lemmate.



\condpagelarge{Prop.\ VIII\@. Theor.\ VI.}

\textit{Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat
vel descendat, \& spatium totum \label{wasp254}descriptum distinguatur
in partes {\ae}quales, in{\que} principiis singularum partium (addendo
resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit,
vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires
absolut{\ae}; dico quod vires ill{\ae} absolut{\ae} sunt in progressione Geometrica.}

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam $AC$; resistentia
per lineam indefinitam $AK$; vis absoluta in descensu corporis
per differentiam $KC$; velocitas corporis per lineam $AP$ (qu{\ae}
sit media proportionalis inter $AK$ \& $AC$, ideo{\que}
in dimidiata ratione
resistenti{\ae}) incrementum resistenti{\ae} data  temporis

\pngcent{263.png}{2323}{2211}
%Illustration

\noindent particula
factum per lineolam $KL$, \& contemporaneum velocitatis incrementum
per lineolam $PQ$; \& centro $C$ Asymptotis rectangulis
$CA$, $CH$ describatur Hyperbola qu{\ae}vis $BNS$, erectis perpendiculis
$AB$, $KN$, $LO$, $PR$, $QS$ occurrens in $B$, $N$, $O$, $R$, $S$. Quoniam
$AK$ est ut $APq.$, erit hujus momentum $KL$ ut illius momentum
$2APQ$, id est ut $AP$ in $KC$. Nam velocitatis incrementum
$PQ$, per motus Leg.\ 2.\ proportionale est vi generanti
$KC$. Componatur ratio ipsius $KL$ cum ratione ipsius $KN$, \&
fiet rectangulum $KL \times KN$ ut $AP \times KC \times KN$; hoc est, ob datum
rectangulum $KC \times KN$, ut $AP$. Atqui are{\ae} Hyperbolic{\ae}
% -----File: 263.png---
$KNOL$ ad rectangulum $KL \times KN$ ratio ultima, ubi coeunt
puncta $K$ \& $L$, est {\ae}qualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens
est ut $AP$. Componitur igitur area tota Hyperbolica
$ABOL$ ex particulis $KNOL$ velocitati $AP$ semper proportionalibus,
\& propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis
est. Dividatur jam area illa in partes {\ae}quales $ABMI$, $IMNK$,
$KNOL$, \&c.\ \& vires absolut{\ae} $AC$, $IC$, $KC$, $LC$, \&c.\ erunt
in progressione Geometrica. \QEDup Et simili argumento, in
ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti $A$, {\ae}quales
areas $ABmi$, $imnk$, $knol$, \&c.\ constabit quod vires absolut{\ae}
$AC$, $iC$, $kC$, $lC$, \&c.\ sunt continue proportionales. Ideo{\que} si
spatia omnia in ascensu \& descensu capiantur {\ae}qualia; omnes vires
absolut{\ae} $lC$, $kC$, $iC$, $AC$, $IC$, $KC$, $LC$, \&c.\ erunt continue
proportionales. \QEDup
% -----File: 264.png---

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si spatium descriptum exponatur per aream
Hyperbolicam $ABNK$; exponi possunt vis gravitatis, velocitas
corporis \& resistentia Medii per lineas $AC$, $AP$ \& $AK$ respective;
\& vice versa.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et velocitatis maxim{\ae}, quam corpus in infinitum descendendo
potest unquam acquirere, exponens est linea $AC$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia
Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad
velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis
Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Sed\spreadout{\& particula temporis, quo spatii particula quam minima} \\
$NKLO$ in descensu describitur, est ut rectangulum
$KN \times PQ$. Nam quoniam spatium $NKLO$ est ut velocitas
ducta in particulam temporis; erit particula temporis ut spatium
illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam minimum
$KN \times KL$ applicatum ad $AP$. Erat supra $KL$ ut $AP \times PQ$.
Ergo particula temporis est ut $KN \times PQ$, vel quod
perinde est, ut $\frac{PQ}{CK}$. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula
$nklo$ in ascensu describitur, est ut $\frac{pq}{Ck}$.


\condpagelarge{Prop.\ IX\@. Theor.\ VII.}

\textit{Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris
Circularis \& sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales,
existente radio just{\ae} magnitudinis: erit tempus omne ascensus
futuri ut sector Circuli, \& tempus omne descensus pr{\ae}teriti
ut sector Hyperbol{\ae}.}

Rect{\ae} $AC$, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis \& {\ae}qualis
ducatur $AD$. Centro $D$ semidiametro $AD$ describatur
tum circuli Quadrans $AtE$, tum Hyperbola rectangula $AVZ$
% -----File: 265.png---
axem habens $AX$, verticem principalem $A$ \& Asym\-ptoton $DC$.
Jungantur $Dp$, $DP$, \& erit sector circularis $AtD$ ut tempus ascensus
omnis futuri; \& Sector Hyperbolicus $ATD$ ut tempus
descensus omnis pr{\ae}teriti, si modo Sectorem tangentes $Ap$ \& $AP$ sint velocitates.

\pngcent{263.png}{2323}{2211}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Agatur enim $Dvq$ abscindens Sectoris $ADt$ \& trianguli
$ADp$ momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas
$tDv$ \& $pDq$. Cum particul{\ae} ill{\ae}, ob angulum communem
$D$, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula $tDv$
ut $\frac{qDp}{pD \opit{quad.}}$ Sed $pD \opit{quad.}$ est $AD \opit{quad.} + Ap \opit{quad.}$ id est
$AD \opit{quad.} + Ak \times AD$ seu $AD \times Ck$; \& $qDp$ est $\frac{1}{2}AD \times pq$. Ergo
Sectoris particula $vDt$ est ut $\frac{pq}{Ck}$, id est, per Corol.\ 5, Prop.\
VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum
omnium $tDv$ in Sectore $ADt$, ut summa particularum
temporis singulis velocitatis decrescentis $Ap$ particulis amissis $pq$
% -----File: 266.png---
respondentium, us{\que} dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit;
hoc est, Sector totus $ADt$ est ut ascensus totius futuri tempus.
\QEDup

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Agatur $DQV$ abscindens tum Sectoris $DAV$, tum
trianguli $DAQ$ particulas quam minimas $TDV$ \& $PDQ$; \& erunt
h{\ae} particul{\ae} ad invicem ut $DTq.$ ad $DPq.$ id est (si $TX$
\& $AP$ parallel{\ae} sint) ut $DXq.$ ad $DAq.$ vel $TXq.$ ad $APq.$ \&
divisim ut $DXq. - TXq.$ ad $ADq. - APq$. Sed ex natura
Hyperbol{\ae} $DXq. - TXq.$ est $ADq.$, \& per Hypothesin $APq.$
est $AD \times AK$. Ergo particul{\ae} sunt ad invicem ut $ADq.$ ad
$ADq. - AD \times AK$; id est ut $AD$ ad $AD - AK$ seu $AC$ ad $CK$:
ideo{\que} Sectoris particula $TDV$ est $\frac{PDQ \times AC}{CK}$, at{\que} adeo ob
datas $AC$ \& $AD$, ut $\frac{PQ}{CK}$; \& propterea per Corol.\ 5.\ Prop.\
% -----File: 267.png---
VIII. Lib.\ II. ut particula temporis incremento velocitatis $PQ$ respondens.
Et componendo fit summa particularum temporis,
quibus omnes velocitatis $AP$ particul{\ae} $PQ$ generantur, ut summa
particularum Sectoris $ADT$, id est tempus totum ut Sector
totus. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si $AB$ {\ae}quetur quart{\ae} parti ipsius $AC$, spatium
$ABRP$, quod corpus tempore quovis $ATD$ cadendo describit,
erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maxim{\ae}
$AC$, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest,
ut area $ABRP$, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad
aream $ATD$ qua tempus exponitur. Nam cum sit $AC$ ad $AP$
ut $AP$ ad $AK$, erit $2APQ$ {\ae}quale $AC \times KL$ (per Corol.\ 1.\
Lem.\ II. hujus) adeo{\que} $KL$ ad $PQ$ ut $2AP$ ad $AC$, \& inde
$LKN$ ad $PQ \times \frac{1}{2}AD$ seu $DPQ$ ut $2AP \times KN$ ad $\frac{1}{2}AC \times AD$.
Sed erat $DPQ$ ad $DTV$ ut $CK$ ad $AC$. Ergo ex {\ae}quo $LKN$
est ad $DTV$ ut $2AP \times KN \times CK$ ad $\frac{1}{2}AC \opit{cub.}$; id est, ob {\ae}quales
$CKN$ \& $\frac{1}{4}ACq.$, ut $AP$ ad $AC$; hoc est ut velocitas
corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo
potest acquirere. Cum igitur arearum $ABKN$ \& $AVD$
momenta $LKN$ \& $DTV$ sunt ut velocitates, erunt arearum
illarum partes omnes simul genit{\ae} ut spatia simul descripta, ideo{\que}
are{\ae} tot{\ae} ab initio genit{\ae} $ABKN$ \& $AVD$ ut spatia tota
ab initio descensus descripta. \QEDup

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu
describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium,
uniformi cum velocitate $AC$ eodem tempore descriptum, ut est
area $ABnk$ ad Sectorem $ADt$.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Velocitas corporis tempore $ATD$ cadentis est ad
velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret,
ut triangulum $APD$ ad Sectorem Hyperbolicum $ATD$.
Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus $ATD$,
\& in Medio resistente est ut $AP$, id est ut triangulum $APD$.
Et velocitates ill{\ae} initio descensus {\ae}quantur inter se, perinde ut
are{\ae} ill{\ae} $ATD$, $APD$.
% -----File: 268.png---

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem,
qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem
suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum $ApD$ ad
Sectorem circularem $AtD$, sive ut recta $Ap$ ad arcum $At$.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente
cadendo velocitatem $AP$ acquirit, ad tempus quo velocitatem
maximam $AC$ in spatio non resistente cadendo acquirere posset,
ut Sector $ADT$ ad triangulum $ADC$: \& tempus, quo velocitatem
$Ap$ in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus
quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo
posset amittere, ut arcus $At$ ad ejus Tangentem $Ap$.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel
descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis
datur velocitas maxima, per Corol.\ 2.\ \& 3.\ Theor.\ VI, Lib.\ II.
inde{\que} datur \& spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore
describi potest, \& tempus quo corpus velocitatem illam in
spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo
Sectorem $ADT$ vel $ADt$ ad triangulum $ADC$ in ratione temporum;
dabitur tum velocitas $AP$ vel $Ap$, tum area $ABKN$ vel
$ABkn$, qu{\ae} est ad Sectorem ut spatium qu{\ae}situm ad spatium jam
ante inventum.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio
$ABnk$ vel $ABNK$, dabitur tempus $ADt$ vel $ADT$.

\condpagelarge{Prop.\ X\@. Prob.\ III.}

\textit{Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sit{\que}
resistentia ut medii densitas \& quadratum velocitatis conjunctim:
requiritur tum Medii densitas in locis singulis, qu{\ae} faciat ut corpus
in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem
locis.}

\pngright{271.png}{1190}{966}{-24}
%Illustration

Sit $AK$ planum illud plano Schematis perpendiculare; $ACK$
linea curva; $C$ corpus in ipsa motum; \& $FCf$ recta ipsam tangens
% -----File: 269.png---
in $C$. Fingatur autem corpus $C$ nunc progredi ab $A$ ad $K$
per lineam illam $ACK$, nunc vero regredi per eandem lineam;
\& in progressu impediri a Medio, in regressu {\ae}que promoveri,
sic ut in iisdem locis eadem
semper sit corporis progredientis
\& regredientis velocitas.
{\AE}qualibus autem temporibus
describat corpus progrediens
arcum quam minimum
$CG$, \& corpus regrediens arcum
$Cg$; \& sint $CH$, $Ch$
longitudines {\ae}quales rectiline{\ae},
quas corpora de loco $C$ exeuntia,
his temporibus, abs{\que}
Medii \& Gravitatis actionibus describerent: \& a punctis $C$, $G$, $g$,
ad planum horizontale $AK$ demittantur perpendicula $CB$, $GD$,
$gd$, quorum $GD$ ac $gd$ tangenti occurrant in $F$ \& $f$. Per Medii
resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis $CH$,
describat solummodo longitudinem $CF$; \& per vim gravitatis transfertur
corpus de $F$ in $G$: adeo{\que} lineola $HF$ vi resistenti{\ae}, \&
lineola $FG$ vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem.\
X. Lib.\ I.) lineola $FG$ est ut vis gravitatis \& quadratum temporis
conjunctim, adeo{\que} (ob datam gravitatem) ut quadratum
temporis; \& lineola $HF$ ut resistentia \& quadratum temporis,
hoc est ut resistentia \& lineola $FG$. Et inde resistentia fit ut
$HF$ directe \& $FG$ inverse, sive ut $\frac{HF}{FG}$. H{\ae}c ita se habent in
lineolis nascentibus. Nam in lineolis finit{\ae} magnitudinis h{\ae} rationes
non sunt accurat{\ae}.

Et simili argumento est $fg$ ut quadratum temporis, adeo{\que} ob
{\ae}qualia tempora {\ae}quatur ipsi $FG$; \& impulsus quo corpus regrediens
urgetur est ut $\frac{hf}{fg}$. Sed impulsus corporis regredientis
% -----File: 270.png---
\& resistentia progredientis ipso motus initio {\ae}quantur, adeo{\que}
\& ipsis proportionales $\frac{hf}{fg}$ \& $\frac{HF}{FG}$ {\ae}quantur; \& propterea ob
{\ae}quales $fg$ \& $FG$, {\ae}quantur etiam $hf$ \& $HF$, sunt{\que} adeo $CF$,
$CH$ (vel $Ch$) \& $Cf$ in progressione Arithmetica, \& inde $HF$ semidifferentia
est ipsarum $Cf$ \& $CF$; \& resistentia qu{\ae} supra fuit
ut $\frac{HF}{FG}$, est ut $\frac{Cf - CF}{FG}$.

Est autem resistentia ut Medii densitas \& quadratum velocitatis.
Velocitas autem ut descripta longitudo $CF$ directe \& tempus
$\surd FG$ inverse, hoc est ut $\frac{CF}{\surd FG}$, adeo{\que} quadratum velocitatis
ut $\frac{CFq.}{FG}$. Quare resistentia, ipsi{\que} proportionalis $\frac{Cf - CF}{FG}$
est ut Medii densitas \& ut $\frac{CFq.}{FG}$ conjunctim; \& inde Medii densitas
ut $\frac{Cf - CF}{FG}$ directe \& $\frac{CFq.}{FG}$ inverse, id est ut $\frac{Cf - CF}{CFq.}$
\QEIup

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Et hinc colligitur, quod si in $Cf$ capiatur $Ck$ {\ae}qualis
$CF$, \& ad planum horizontale $AK$ demittatur perpendiculum
$ki$, secans curvam $ACK$ in $l$; fiet Medii densitas ut
$\frac{FG - kl}{CF \times \overline{FG + kl}}$.
Erit enim $fC$ ad $kC$ ut $\surd fg$ seu $\surd FG$ ad $\surd kl$, \& divisim $fk$ ad
$kC$, id est $Cf - CF$ ad $CF$ ut $\surd FG$ - $\surd kl$ ad $\surd kl$; hoc est
(si ducatur terminus uter{\que} in $\surd FG$ + $\surd kl$)
ut $FG - kl$ ad $kl$ + $\surd FG \times kl$,
sive ad $FG + kl$. Nam ratio prima nascentium
$kl$ + $\surd FG \times kl$ \& $FG + kl$ est {\ae}qualitatis. Scribatur ita{\que}
$\frac{FK - Kl}{FK + Kl}$ pro $\frac{Cf - CF}{CF}$;
\& Medii densitas, qu{\ae} fuit ut $\frac{Cf - CF}{CF \opit{quad.}}$
evadet ut $\frac{FG - kl}{CF \times FG + kl}$.

% -----File: 271.png---

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde cum $2HF$ \& $Cf - CF$ {\ae}quentur, \& $FG$ \& $kl$
(ob rationem {\ae}qualitatis) componant $2FG$; erit $2HF$ ad $CF$
ut $FG - kl$ ad $2FG$; et inde $HF$ ad $FG$, hoc est resistentia
ad gravitatem, ut rectangulum $CF$ in $FG - kl$ ad $4FG \opit{quad.}$

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter
basem seu abscissam $AB$ \& ordinatim applicatam $BC$; (ut moris
est) \& valor ordinatim applicat{\ae} resolvatur in seriem convergentem:
Problema per primos seriei terminos expedite solvetur:
ut in Exemplis sequentibus.

\textit{Exempl.\fsp{}1.}\wsp{}Sit Linea $ACK$ semicirculus super diametro $AK$
descriptus, \& requiratur Medii densitas qu{\ae} faciat ut Projectile
in hac linea moveatur.

Bisecetur semicirculi diameter $AK$ in $O$; \& dic $OK$ $n$, $OB$ $a$,
$BC$ $e$, \& $BD$ vel $Bi$ $o$: \& erit $DGq.$ seu $OGq. - ODq.$ {\ae}quale
$nn - aa - 2ao - oo$ seu $ee - 2ao - oo$; \& radice per methodum
nostram extracta, fiet
$DG$ = $e - \frac{ao}{e} - \frac{oo}{2e} - \frac{aaoo}{2e^3} - \frac{ao^3}{2e^3} - \frac{a^3 o^3}{2e^5}$ \&c.
Hic scribatur $nn$ pro $ee + aa$ \& evadet
$DG$ = $e - \frac{ao}{e} - \frac{nnoo}{2e^3} - \frac{anno^3}{2e^5}$ \&c.

Hujusmodi Series distinguo
in terminos successivos in hunc
modum. Terminum primum
appello in quo quantitas infinite
parva $o$ non extat; secundum
in quo quantitas illa
extat unius dimensionis; tertium
in quo extat duarum,
quartum in quo trium est, \&
sic in infinitum. Et primus
terminus, qui hic est $e$, denotabit semper longitudinem ordinat{\ae}
$BC$ insistentis ad indefinit{\ae} quantitatis initium $B$; secundus terminus
% -----File: 272.png---
qui hic est $\frac{ao}{e}$, denotabit differentiam inter $BC$ \& $DF$, id est
lineolam $IF$, qu{\ae} abscinditur complendo parallelogrammum $BC - ID$,
at{\que} adeo positionem Tangentis $CF$ semper determinat: ut
in hoc casu capiendo $IF$ ad $IC$ ut est $\frac{ao}{e}$ ad $o$ seu $a$ ad $e$. Terminus
tertius, qui hic est $\frac{nnoo}{2e^3}$ designabit lineolam $FG$, qu{\ae} jacet
inter Tangentem \& Curvam, adeo{\que} determinat angulum contactus
$FCG$, seu curvaturam quam curva linea habet in $C$. Si lineola
illa $FG$ finit{\ae} est magnitudinis, designabitur per terminum
tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola
illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite
minores tertio, ideo{\que} negligi possunt. Terminus quartus,
qui hic est $\frac{anno^3}{2e^5}$, exhibet variationem Curvatur{\ae}; quintus variationem
variationis, \& sic deinceps. Unde obiter patet usus non
contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, qu{\ae}
pendent a Tangentibus \& curvatura Curvarum.

Pr{\ae}terea $CF$ est latus quadratum ex $CIq.$ \& $IFq.$ hoc est ex
$BDq.$ \& quadrato termini secundi. Est{\que} $FG + kl$ {\ae}qualis duplo
termini tertii, \& $FG - kl$ {\ae}qualis duplo quarti. Nam valor ipsius
$DG$ convertitur in valorem ipsius $il$, \& valor ipsius
$FG$ in valorem ipsius $kl$, scribendo $Bi$ pro $BD$, seu $-o$ pro +$o$.
Proinde cum $FG$ sit $-\frac{nnoo}{2e^3} - \frac{anno^3}{2e^5}$ \&c.\
erit $kl = -\frac{nnoo}{2e^3} + \frac{anno^3}{2e^5}$, \&c.
Et horum summa est $-\frac{nnoo}{e^3}$, differentia $-\frac{anno^3}{e^5}$.
Terminum quintum \& sequentes hic negligo, ut infinite minores
quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Ita{\que} si designetur
Series universaliter his terminis $\mp Qo - Roo - So^3$ \&c.\
erit $CF$ {\ae}qualis
$\surd \overline{oo + QQoo}$,
$FG + kl$ {\ae}qualis $2Roo$,
\& $FG - kl$ {\ae}qualis $2So^3$. Pro $CF$, $FG + kl$ \& $FG - kl$ scribantur
% -----File: 273.png---
hi earum valores, \& Medii densitas qu{\ae} erat ut
$\frac{FG - kl}{CF \operatorname{in} FG + kl}$ jam fiet ut
$\frac{S}{R \surd \overline{1 + QQ}}$.
Deducendo igitur Problema unumquod{\que}
ad seriem convergentem, \& hic pro $Q$, $R$ \& $S$ scribendo
terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam
Medii in loco quovis $G$ esse ad Gravitatem ut
$S\surd \overline{1 + QQ}$
ad $2RR$, \& velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco
$C$ secundum rectam $CF$ egrediens, in Parabola, diametrum
$CB$ \& latus rectum $\frac{1 + QQ}{R}$ habente, deinceps moveri posset,
solvetur Problema.

Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur
$\surd \overline{1 + \frac{aa}{ee}}$
seu $\frac{n}{e}$
pro
$\surd \overline{1 + QQ}$,
$\frac{nn}{2e^3}$ pro $R$, \& $\frac{ann}{2e^3}$ pro $S$, prodibit Medii densitas
ut $\frac{a}{ne}$, hoc est (ob datam $n$) ut $\frac{a}{e}$ seu $\frac{OB}{BC}$, id est ut Tangentis
longitudo illa $CT$, qu{\ae} ad semidiametrum $OL$ ipsi $AK$
normaliter insistentem terminatur,
\& resistentia erit ad gravitatem
ut $a$ ad $n$, id est ut
$OB$ ad circuli semidiametrum
$OK$, velocitas autem erit ut
$\surd 2BC$. Igitur si corpus $C$
certa cum velocitate, secundum
lineam ipsi $OK$ parallelam,
exeat de loco $L$, \& Medii
densitas in singulis locis $C$
sit ut longitudo tangentis $CT$,
\& resistentia etiam in loco aliquo $C$ sit ad vim gravitatis ut $OB$
ad $OK$; corpus illud describet circuli quadrantem $LCK$. \QEIup

At si corpus idem de loco $A$ secundum lineam ipsi $AK$ perpendicularem
% -----File: 274.png---
egrederetur, sumenda esset $OB$ seu $a$ ad contrarias
partes centri $O$, \& propterea signum ejus mutandum esset, \&
scribendum $-a$ pro +$a$. Quo pacto prodiret Medii densitas ut
$-\frac{a}{e}$. Negativam autem densitatem (hoc est qu{\ae} motus corporum
accelerat) Natura non admittit, \& propterea naturaliter
fieri non potest ut corpus ascendendo ab $A$ describat circuli
quadrantem $AL$. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio
impellente accelerari, non a resistente impediri.

\textit{Exempl.\fsp{}2.}\wsp{}Sit linea $ALCK$ Parabola, axem habens $OL$ horizonti
$AK$ perpendicularem, \& requiratur Medii densitas qu{\ae}
faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura Parabol{\ae}, rectangulum $ADK$ {\ae}quale est rectangulo
sub ordinata $DG$ \& recta aliqua data: hoc est, si dicantur
recta illa $b$, $AB$ $a$, $AK$ $c$, $BC$ $e$ \& $BD$ $o$; rectangulum $a + o$
in $c - a - o$ seu $ac - aa - 2ao + co - oo$ {\ae}quale est rectangulo $b$
in $DG$, adeo{\que} $DG$ {\ae}quale
$\frac{ac - aa}{b} + \frac{c - 2a}{b}o - \frac{oo}{b}$. Jam scribendus
esset hujus seriei secundus terminus $\frac{c - 2a}{b} o$ pro $Qo$, \&
ejus coefficiens $\frac{c - 2a}{b}$ pro $Q$; tertius item terminus $\frac{oo}{b}$ pro $Roo$,
\& ejus coefficiens $\frac{1}{b}$ pro $R$. Cum vero plures non sint termini,
debebit quarti termini $So^3$ coefficiens $S$ evanescere, \& propterea
quantitas
$\frac{S}{R\surd \overline{1 + QQ}}$
cui Medii densitas proportionalis est, nihil
erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in
Parabola, uti olim demonstravit \textit{Galil{\ae}us}. \QEIup

\newpage

\textit{Exempl.\fsp{}3.}\wsp{}Sit linea $AGK$ Hyperbola, Asymptoton habens
$NX$ plano horizontali $AK$ perpendicularem; \& qu{\ae}ratur Medii
densitas qu{\ae} faciat ut Projectile moveatur in hac linea.

\pngright{275.png}{1724}{1718}{-24}
%Illustration

Sit $MX$ Asymptotos altera, ordinatim applicat{\ae} $DG$ product{\ae}
% -----File: 275.png---
occurrens in $V$, \& ex natura Hyperbol{\ae}, rectangulum
$XV$ in $VG$
dabitur. Datur
autem ratio
$DN$ ad
$VX$, \& propterea
datur etiam
rectangulum
$DN$ in
$VG$. Sit illud
$bb$; \&
completo parallelogrammo
$DNXZ$,
dicatur $BN$ $a$,
$BD$ $o$, $NX$ $c$,
\& ratio data $VZ$ ad $ZX$
vel $DN$ ponatur esse $\frac{m}{n}$. Et erit $DN$ {\ae}qualis $a - o$, $VG$ {\ae}qualis
$\frac{bb}{a - o}$, $VZ$ {\ae}qualis
$\frac{m}{n} \overline{a - o}$,
\& $GD$ seu $NX - VZ - VG$ {\ae}qualis
$c - \frac{m}{n}a + \frac{m}{n}o - \frac{bb}{a - o}$.
Resolvatur terminus $\frac{bb}{a - o}$ in seriem convergentem
$\frac{bb}{a} + \frac{bb}{aa}o + \frac{bb}{a^3}oo + \frac{bb3}{a^4}o^3$ etc.\
\& fiet $GD$ {\ae}qualis
$c - \frac{m}{n}a - \frac{bb}{a} + \frac{m}{n}o
- \frac{bb}{aa}o - \frac{bb}{a^3}o^2 - \frac{bb}{a^4}o^3$ \&c. Hujus seriei terminus
secundus $\frac{m}{n}o - \frac{bb}{aa}o$ usurpandus est pro $Qo$, tertius cum signo
mutato $\frac{bb}{a^3}o^2$ pro $Ro^2$, \& quartus cum signo etiam mutato $\frac{bb}{a^4}o^3$
pro $So^3$, eorum{\que} coefficientes $\frac{m}{n} - \frac{bb}{aa}$,
$\frac{bb}{a^3}$ \& $\frac{bb}{a^4}$ scribend{\ae} sunt,
% -----File: 276.png---
in Regula superiore, pro $Q$, $R$ \& $S$. Quo facto prodit medii densitas ut
$\frac{\frac{bb}{a^4}}{\frac{bb}{a^3}\sqrt{1 - \frac{mm}{nn} - \frac{2mbb}{naa} + \frac{b^4}{a^4}}}$
seu
$\frac{1}{\sqrt{aa + \frac{mm}{nn}aa - \frac{2mbb}{n} + \frac{b^4}{aa}}}$
est, si in $VZ$ sumatur $VY$ {\ae}qualis $VG$, ut $\frac{1}{XY}$.
Nam{\que} $aa$ \& $\frac{mm}{nn}aa - \frac{2mbb}{n} + \frac{b^4}{aa}$
sunt ipsarum $XZ$ \& $ZY$ quadrata. Resistentia
autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet $XY$
ad $YG$, \& velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret
verticem $G$ diametrum $DG$ \& latus rectum $\frac{YX \opit{quad.}}{VG}$ habente.
Ponatur ita{\que} quod Medii densitates in locis singulis $G$ sint reciproce
ut distanti{\ae} $XY$, quod{\que} resistentia in loco aliquo $G$ sit ad
gravitatem ut $XY$ ad $YG$; \& corpus de loco $A$ justa cum velocitate
emissum describet Hyperbolam illam $AGK$. \QEIup

\textit{Exempl.\fsp{}4.}\wsp{}Ponatur indefinite, quod linea $AGK$ Hyperbola
sit, centro $X$ Asymptotis $MX$, $NX$, ea lege descripta, ut constructo
rectangulo $XZDN$ cujus latus $ZD$ secet Hyperbolam
in $G$ \& Asymptoton ejus in $V$, fuerit $VG$ reciproce ut ipsius
$ZX$ vel $DN$ dignitas aliqua $ND^n$, cujus index est numerus $n$: \&
qu{\ae}ratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

Pro $DN$, $BD$, $NX$ scribantur $A$, $O$, $C$ respective, sit{\que} $VZ$
ad $ZX$ vel $DN$ ut $d$ ad $e$,
\& $VG$ {\ae}qualis $\frac{bb}{DN^n}$, \& erit $DN$ {\ae}qualis
$A - O$, $VG = \frac{bb}{A - O^n}$,
$VZ = \frac{d}{e} \operatorname{in} A - O$, \& $GD$ seu
$NX - VZ - VG$ {\ae}qualis
$C - \frac{d}{e}A + \frac{d}{e}O - \frac{bb}{A - O^n}$.
Resolvatur terminus ille
$\frac{bb}{A - O^n}$ in seriam infinitam
$\frac{bb}{A^n} + \frac{nbbO}{A^{n+1}} + \frac{nn + n}{2A^{n+2}} bbO^2 + \frac{n^3 + 3nn + 2n}{6A^{n+3}} bbO^3$ \&c.\
ac fiet $GD$ {\ae}qualis
% -----File: 277.png---
$C - \frac{d}{e} A - \frac{bb}{A^n} + \frac{d}{e} O - \frac{nbb}{A^{n+1}} O - \frac{nn + n}{2A^{n+2}} bbO^2 - \frac{n^3 + 3nn + 2n}{6A^{n+3}} bbO^3$ \&c.
Hujus seriei terminus secundus $\frac{d}{e}O - \frac{nbb}{A^{n+1}}O$ usurpandus est pro $Qo$,
tertius $\frac{nn + n}{2A^{n+2}} bbO^2$ pro $Ro^2$,
quartus $\frac{n^3 + 3nn + 2n}{6A^{n+3}} bbO^3$ pro
$So^3$. Et inde Medii densitas
$\frac{S}{R \times \surd \overline{1 + QQ}}$,
in loco quovis $G$, fit
$\frac{n + 2}{3\sqrt{A^2 + \frac{dd}{ee} A^2 - \frac{2dnbb}{eA^n} A + \frac{nnb^4}{A^{2n}}}}$,
adeo{\que} si in $VZ$ capiatur $VY$
{\ae}qualis $n \times VG$, est reciproce ut $XY$.
Sunt enim $A^2$ \& $\frac{dd}{ee} A^2 - \frac{2dnbb}{eA^n}$
in $A + \frac{nnb^4}{A^{2n}}$ ipsarum $XZ$ \& $ZY$ quadrata. Resistentia autem in
eodem loco $G$ fit ad Gravitatem ut $S$ in $\frac{XY}{A}$ ad $2RR$, id est $XY$ ad
$\frac{3nn + 3n}{n + 2} VG$. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum
in Parabola pergeret, verticem $G$, diametrum $GD$ \& Latus
rectum $\frac{1 + QQ}{R}$ seu $\frac{2XY \opit{quad.}}
{\overline{nn + n} \operatorname{in} VG}$
habente. \QEIit

\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente,
in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam;
perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio
uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas
hasce quam ad Parabolam. Est uti{\que} linea illa Hyperbolici generis,
sed qu{\ae} circa verticem magis distat ab Asymptotis; in
partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam
pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non
% -----File: 278.png---
est inter has \& illam differentia, quin illius loco possint h{\ae} in rebus
practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futur{\ae}
sunt h{\ae}, quam Hyperbola magis accurata \& simul magis
composita. Ips{\ae} vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum $XYGT$, \& ex natura harum
Hyperbolarum facile colligitur quod recta $GT$ tangit Hyperbolam
in $G$, ideo{\que} densitas Medii in $G$ est reciproce ut tangens $GT$,
\& velocitas ibidem ut $\surd \frac{GTq.}{GV}$, resistentia autem ad vim gravitatis
ut $GT$ ad $\frac{3nn + 3n}{n + 2} GV$.

Proinde si corpus de loco $A$ secundum rectam $AH$ projectum
describat Hyperbolam $AGK$, \& $AH$ producta occurrat Asymptoto
$NX$ in $H$, acta{\que} $AI$ occurrat alteri Asymptoto $MX$ in $I$:
erit Medii densitas in $A$ reciproce ut $AH$, \& corporis velocitas ut
$\surd \frac{AHq.}{AI}$, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut $AH$ ad $\frac{3nn + 3n}{n + 2}$
in $AI$. Unde prodeunt sequentes Regul{\ae}.

\textit{Reg.\fsp{}1.}\wsp{}Si servetur Medii densitas in $A$ \& mutetur angulus
$NAH$, manebunt longitudines $AH$, $AI$, $HX$. Ideo{\que} si longitudines
ill{\ae} in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex
dato quovis angulo $NAH$ expedite determinari potest.

\textit{Reg.\fsp{}2.}\wsp{}Si servetur tum angulus $NAH$ tum Medii densitas
in $A$, \& mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur
longitudo $AH$, \& mutabitur $AI$ in duplicata ratione velocitatis
reciproce.

\textit{Reg.\fsp{}3.}\wsp{}Si tam angulus $NAH$ quam corporis velocitas in $A$,
gravitas{\que} acceleratrix servetur, \& proportio resistenti{\ae} in $A$ ad
gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur
proportio $AH$ ad $AI$ eadem ratione, manente Parabol{\ae} latere
recto, ei{\que} proportionali longitudine $\frac{AHq.}{AI}$; \& propterea minuetur
$AH$ in eadem ratione, \& $AI$ minuetur in ratione illa duplicata.
% -----File: 279.png---
Augetur vero proportio resistenti{\ae} ad pondus, ubi vel
gravitas specifica sub {\ae}quali magnitudine fit minor, vel Medii
densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur
in minore ratione quam pondus.

\textit{Reg.\fsp{}4.}\wsp{}Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbol{\ae}
major est quam in loco $A$, ut servetur densitas mediocris, debet
ratio minim{\ae} tangentium $GT$ ad Tangentem $AH$ inveniri, \&
densitas in $A$, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore
quam semisumm{\ae} Tangentium ad Tangentium $AH$.

\textit{Reg.\fsp{}5.}\wsp{}Si dantur longitudines $AH$, $AI$, \& describenda sit
figura $AGK$: produc $HN$ ad $X$, ut sit $HX$ {\ae}qualis facto sub
$n$ + 1 \& $AI$; centro{\que} $X$ \& Asymptotis $MX$, $NX$ per punctum
$A$ describatur Hyperbola, ea lege ut sit $AI$ ad quamvis $VG$
ut $XV^n$ ad $XI^n$.

\textit{Reg.\fsp{}6.}\wsp{}Quo major est numerus $n$, eo magis accurat{\ae} sunt
h{\ae} Hyperbol{\ae} in ascensu corporis ab $A$, \& minus accurat{\ae} in ejus
descensu ad $G$; \& contra. Hyperbola Conica mediocrem
rationem tenet, est{\que} c{\ae}teris simplicior. Igitur si Hyperbola sit
hujus generis, \& punctum $K$, ubi corpus projectum incidet in
rectam quamvis $AN$ per punctum $A$ transeuntem, qu{\ae}ratur: occurrat
producta $AN$ Asymptotis $MX$, $NX$ in $M$ \& $N$, \& sumatur
$NK$ ipsi $AM$ {\ae}qualis.

\pngright{280.png}{809}{444}{-24}
%Illustration

\textit{Reg.\fsp{}7.}\wsp{}Et hinc liquet methodus expedita determinandi
hanc Hyperbolam ex \label{wasp271}Ph{\ae}nomenis. Projiciantur corpora duo similia
\& {\ae}qualia eadem velocitate, in angulis diversis $HAK$,
\label{wasp271bis}$hAk$,
incident{\que} in planum Horizontis in $K$ \& $k$; \& notetur proportio
$AK$ ad $Ak$. Sit ea $d$ ad $e$. Tum erecto cujusvis longitudinis
perpendiculo $AI$, assume utcun{\que} longitudinem $AH$ vel $Ah$,
\& inde collige graphice longitudines $AK$, $Ak$, per Reg.\ 6. Si ratio
$AK$ ad $Ak$ sit eadem cum ratione $d$ ad $e$, longitudo $AH$ recte
assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita $SM$ longitudinem
$SM$ {\ae}qualem assumpt{\ae} $AH$, \& erige perpendiculum $MN$
% -----File: 280.png---
{\ae}quale rationum differenti{\ae} $\frac{AK}{Ak} - \frac{d}{e}$ duct{\ae} in rectam quamvis
datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus
$AH$ invenienda sunt plura puncta $N$: \& tum demum si per omnia
agatur Curva linea regularis $NNXN$,
h{\ae}c abscindet $SX$ qu{\ae}sit{\ae} longitudini
$AH$ {\ae}qualem. Ad usus Mechanicos
sufficit longitudines $AH$,
$AI$ easdem in angulis omnibus $HAK$
retinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam
Medij accuratius determinanda sit, corrigend{\ae} sunt
semper h{\ae} longitudines per Regulam quartam.

\newpage

\pngright{275.png}{1724}{1718}{-12}
%Illustration

\textit{Reg.\fsp{}8.} Inventis longitudinibus $AH$, $HX$; si jam desideretur
positio rect{\ae} $AH$, secundum quam Projectile data illa cum velocitate
emissum
incidit in punctum
quodvis
$K$: ad puncta
$A$ \& $K$ erigantur
rect{\ae}
$AC$, $KF$ horizonti
perpendiculares,
quarum $AC$
deorsum \label{wasp272}tendat,
\& {\ae}quetur
ipsi $AI$
seu $\frac{1}{2}HX$. Asymptotis
$AK$,
$KF$ describatur
Hyperbola,
cujus Conjugata transeat per punctum $C$, centro{\que} $A$ \& intervallo
$AH$ describatur Circulus secans Hyperbolam illam in
% -----File: 281.png---
puncto $H$; \& projectile secundum rectam $AH$ emissum incidet
in punctum $K$. \QEIit Nam punctum $H$, ob datam longitudinem
$AH$, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur $CH$ occurrens
ipsis $AK$ \& $KF$, illi in $C$, huic in $F$, \& ob parallelas $CH$, $MX$
\& {\ae}quales $AC$, $AI$, erit $AE$ {\ae}qualis $AM$, \& propterea etiam
{\ae}qualis $KN$. Sed $CE$ est ad $AE$ ut $FH$ ad $KN$, \& propterea $CE$
\& $FH$ {\ae}quantur. Incidit ergo punctum $H$ in Hyperbolam
Asymptotis $AK$, $KF$ descriptam, cujus conjugata transit per
punctum $C$, at{\que} adeo reperitur in communi intersectione Hyperbol{\ae}
hujus \& circuli descripti. \QEDit Notandum est autem
quod h{\ae}c operatio perinde se habet, sive recta $AKN$ horizonti
parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata:
quod{\que} ex duabus intersectionibus $H$, $H$ duo prodeunt anguli
$NAH$, $NAH$, quorum minor eligendus est; \& quod in Praxi mechanica
sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam
$CH$ ita applicare ad punctum $C$, ut ejus pars $FH$, circulo \&
rect{\ae} $FK$ interjecta, {\ae}qualis sit ejus parti $CE$ inter punctum $C$
\& rectam $HK$ sit{\ae}.

\pngright{281.png}{960}{1246}{-24}
%Illustration

Qu{\ae} de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas.
Nam si $XAGK$ Parabolam designet quam recta $XV$ tangat in
vertice $X$, sint{\que} ordinatim applicat{\ae}
$IA$, $VG$ ut qu{\ae}libet abscissarum
$XI$, $XV$ dignitates $XI^n$,
$XV^n$; agantur $XT$, $TG$, $HA$,
quarum $XT$ parallela sit $VG$,
\& $TG$, $HA$ parabolam tangant
in $G$ \& $A$: \& corpus de loco quovis
$A$, secundum rectam $AH$ productam,
justa cum velocitate projectum,
describet hanc Parabolam,
si modo densitas Medij, in locis
singulis $G$, sit reciproce ut tangens
$GT$. Velocitas autem in $G$ ea erit quacum Projectile pergeret,
% -----File: 282.png---
in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem $G$, diametrum
$VG$ deorsum productam, \& latus rectum
$\surd \frac{2TGq.}{\overline{nn - n} XVG}$
habente. Et resistentia in $G$ erit ad vim Gravitatis ut $TG$ ad
$\frac{3nn - 3n}{n - 2} VG$. Vnde si $NAK$ lineam horizontalem designet, \&
manente tum densitate Medij in $A$, tum velocitate quacum corpus
projicitur, mutetur utcun{\que} angulus $NAH$; manebunt longitudines
$AH$, $AI$, $HX$, \& inde datur Parabol{\ae} vertex $X$, \& positio
rect{\ae} $XI$, \& sumendo $VG$ ad $IA$ ut $XV^n$ ad $XI^n$, dantur
omnia Parabol{\ae} puncta $G$, per qu{\ae} Projectile transibit.



\sectpage{III.}

\begin{center}{\textit{De motu corporum qu{\ae} resistuntur partim in ratione velocitatis, partim
in ejusdem ratione duplicata.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XI\@. Theor.\ VIII.}

\textit{Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis
ratione duplicata, \& sola vi insita in Medio similari movetur,
sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus
reciproce proportionales, data quadam quantitate auct{\ae}, erunt
in progressione Geometrica.}

\pngright{283.png}{1012}{1061}{-24}
%Illustration

Centro $C$, Asymptotis rectangulis $CADd$ \& $CH$ describatur
Hyperbola $BEeS$, \& Asymptoto $CH$ parallel{\ae} sint $AB$, $DE$,
$de$. In Asymptoto $CD$ dentur puncta $A$, $G$: Et si tempus
exponatur per are\-am Hyperbolicam $ABED$ uniformiter crescentem;
dico quod velocitas exponi potest per longitudinem $DF$,
cujus reciproca $GD$ una cum data $CG$ componat longitudinem
$CD$ in progressione Geometrica crescentem.
% -----File: 283.png---

Sit enim areola $DEed$ datum temporis incrementum quam
minimum, \& erit $Dd$ reciproce ut $DE$, adeoque directe ut
$CD$. Ipsius autem $\frac{1}{GD}$ decrementum, quod (per hujus Lem.\ II.)
est $\frac{Dd}{GDq.}$ erit ut $\frac{CD}{GDq.}$
seu $\frac{CG + GD}{GDq.}$, id est, ut $\frac{1}{GD} + \frac{CG}{GDq.}$.
Igitur tempore $ABED$ per additionem
datarum particularum $EDde$
uniformiter crescente, decrescit
$\frac{1}{GD}$ in eadem ratione cum velocitate.
Nam decrementum velocitatis
est ut resistentia, hoc est
(per Hypothesin) ut summa duarum
quantitatum, quarum una
est ut velocitas, altera ut quadratum
velocitatis; \& ipsius $\frac{1}{GD}$ decrementum est ut summa quantitatum
$\frac{1}{GD}$ \& $\frac{CG}{GDq.}$, quarum prior est ipsa $\frac{1}{GD}$, \& posterior
$\frac{CG}{GDq.}$ est ut $\frac{1}{GDq.}$. Proinde $\frac{1}{GD}$, ob analogum decrementum,
est ut velocitas. Et si quantitas $GD$ ipsi $\frac{1}{GD}$ reciproce proportionalis
quantitate data $CG$ augeatur, summa $CD$, tempore
$ABED$ uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si datis punctis $A$, $G$, exponatur tempus per
aream Hyperbolicam $ABED$, exponi potest velocitas per ipsius
$GD$ reciprocam $\frac{1}{GD}$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Sumendo autem $GA$ ad $GD$ ut velocitatis reciproca
sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis
% -----File: 284.png---
$ABED$, invenietur punctum $G$. Eo autem invento, velocitas
ex dato quovis alio tempore inveniri potest.


\condpagelarge{Prop.\ XII\@. Theor.\ IX.}

\textit{Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione
Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auct{\ae} erunt in
progressione Geometrica.}

In Asymptoto $CD$ detur punctum $R$, \& erecto perpendiculo
$RS$, quod occurrat Hyperbol{\ae} in $S$, exponatur descriptum spatium
per aream Hyperbolicam $RSED$; \& velocitas erit ut longitudo
$GD$, qu{\ae} cum data $CG$ componit longitudinem $CD$, in
Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium $RSED$
augetur in Arithmetica.

Etenim ob datum spatii incrementum $EDde$, lineola $Dd$,
qu{\ae} decrementum est ipsius $GD$, erit reciproce ut $ED$, adeo{\que}
directe ut $CD$, hoc est ut summa ejusdem $GD$ \& longitudinis
dat{\ae} $CG$. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce
proportionali, quo data spatii particula $DdeE$ describitur, est ut
resistentia \& tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum
quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis
quadratum, \& inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum
quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas.
Igitur decrementum tam velocitatis quam line{\ae} $GD$, est ut quantitas
data \& quantitas decrescens conjunctim, \& propter analoga
decrementa, analog{\ae} semper erunt quantitates decrescentes: nimirum
velocitas \& linea $GD$. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si velocitas exponatur per longitudinem $GD$,
spatium descriptum erit ut area Hyperbolica $DESR$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si utcunque assumatur punctum $R$, invenietur
punctum $G$, capiendo $GD$ ad $GR$ ut est velocitas sub initio ad
velocitatem post spatium quodvis $ABED$ descriptum. Invento
autem puncto $G$, datur spatium ex data velocitate, \& contra.
% -----File: 285.png---

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde cum, per Prop.\ XI. detur velocitas ex dato
tempore, \& per hanc Propositionem detur spatium ex data
velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: \& contra.


\condpagelarge{Prop.\ XIII\@. Theor.\ X.}

\pngright{285.png}{1203}{1412}{-24}
%Illustration

\textit{Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta
ascendit vel descendit, \& resistitur partim in ratione velocitatis, partim
in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli \& Hyperbol{\ae}
diametris parallel{\ae} rect{\ae} per conjugatarum diametrorum terminos
ducantur, \& velocitates sint ut segmenta qu{\ae}dam parallelarum a
dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro
ad segmentorum terminos ductis abscissi: \& contra.}

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque $D$
\& semidiametro quovis $DB$ describatur circuli quadrans $BETF$,
\& per semidiametri $DB$
terminum $B$ agatur infinita
$BAP$, semidiametro $DF$
parallela. In ea detur punctum
$A$, \& capiatur segmentum
$AP$ velocitati proportionale.
Et cum resistenti{\ae}
pars aliqua sit ut velocitas
\& pars altera ut velocitatis
quadratum, fit resistentia
tota in $P$ ut $AP \opit{quad.}$
+ $2PAB$. Jungantur
$DA$, $DP$ circulum secantes
in $E$ ac $T$, \& exponatur gravitas per $DA$ quadratum, ita
ut sit gravitas ad resistentiam in $P$ ut $DAq.$ ad $APq. + 2PAB$:
\& tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector $EDTE$.

\pngright{286.png}{1519}{1396}{-24}
%Illustration

Agatur enim $DVQ$, abscindens \& velocitatis $AP$ momentum
$PQ$, \& Sectoris $DET$ momentum $DTV$ dato temporis momento
% -----File: 286.png---
respondens: \& velocitatis decrementum illud $PQ$ erit ut summa
virium gravitatis $DBq.$ \& resistenti{\ae} $APq. + 2BAP$, id
est (per \textit{Prop.\ 12.\ Lib.\ II.} Elem.)\ ut $DP \opit{quad.}$ Proinde area
$DPQ$, ipsi $PQ$ proportionalis, est ut $DP \opit{quad.}$; \& area $DTV$,
(qu{\ae} est ad aream $DPQ$ ut $DTq.$ ad $DPq.$) est ut datum $DTq$.
Decrescit igitur area $EDT$ uniformiter ad modum temporis futuri,
per subductionem datarum particularum $DTV$, \& propterea
tempori ascensus futuri proportionalis est. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem
$AP$ ut prius, \& resistentia ponatur esse ut $APq. + 2BAP$,
\& si vis gravitatis minor sit quam qu{\ae} per $DAq.$ exponi possit;
capiatur $BD$ ejus longitudinis, ut sit $ABq. - BDq.$ gravitati
proportionale,
sitque $DF$ ipsi
$DB$ perpendicularis
\& {\ae}qualis, \&
per verticem $F$ describatur
Hyperbola
$FTVE$ cujus semidiametri
conjugat{\ae}
sint $DB$ \& $DF$,
qu{\ae}{\que} secet $DA$ in
$E$, \& $DP$, $DQ$ in
$T$ \& $V$; \& erit tempus
ascensus futuri ut Hyperbol{\ae} sector $TDE$.

Nam velocitatis decrementum $PQ$, in data temporis particula
factum, est ut summa resistenti{\ae} $APq. + 2ABP$ \& gravitatis
$ABq. - BDq.$ id est ut $BPq. - BDq$. Est autem area $DTV$
ad aream $DPQ$ ut $DTq.$ ad $DPq.$ adeoque, si ad $DF$ demittatur
perpendiculum $GT$, ut $GTq.$ seu $GDq. - DFq.$ ad $BDq.$
utque $GDq.$ ad $PBq.$ \& divisim ut $DFq.$ ad $BPq. - DBq$.
Quare cum area $DPQ$ sit ut $PQ$, id est ut $BPq. - BDq.$ erit
area $DTV$ ut datum $DFq$. Decrescit igitur area $EDT$ uniformiter
% -----File: 287.png---
singulis temporis particulis {\ae}qualibus, per subductionem
particularum totidem datarum $DTV$, \& propterea tempori proportionalis
est. \QEDit

\pngright{287.png}{1168}{1676}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Sit $AP$ velocitas in descensu corporis, \& $APq. + 2ABP$
resistentia, \& $DBq. - ABq.$ vis gravitatis, existente angulo $DAB$
recto. Et si centro $D$, vertice
principali $B$, describatur Hyperbola
rectangula $BETV$
secans productas $DA$, $DP$ \&
$DQ$ in $E$, $T$ \& $V$; erit Hyperbol{\ae}
hujus sector $DET$ ut
tempus descensus.

Nam velocitatis incrementum
$PQ$, ei{\que} proportionalis
area $DPQ$, est ut excessus
gravitatis supra resistentiam, id
est, ut $DBq. - ABq. - 2ABP - APq.$
seu $DBq. - BPq$. Et
area $DTV$ est ad aream $DPQ$
ut $DTq.$ ad $DPq.$ adeo{\que} ut
$GTq.$ seu $GDq. - BDq.$ ad $BPq.$ utque $GDq.$ ad $BDq.$ \&
divisim ut $BDq.$ ad $BDq. - BPq$. Quare cum area $DPQ$
sit ut $BDq. - BPq.$ erit area $DTV$ ut datum $BDq$. Crescit
igitur area $EDT$ uniformiter singulis temporis particulis {\ae}qualibus,
per additionem totidem datarum particularum $DTV$, \&
propterea tempori descensus proportionalis est. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Igitur velocitas $AP$ est ad velocitatem quam corpus
tempore $EDT$, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel
descendendo acquirere posset, ut area trianguli $DAP$ ad aream
sectoris centro $D$, radio $DA$, angulo $ADT$ descripti; ideoque
ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente,
tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio
resistente est ut triangulum; \& in Medio utro{\que} ubi quam minima
est, accedit ad rationem {\ae}qualitatis, pro more Sectoris \& Trianguli.
% -----File: 288.png---


\condpagelarge{Prop.\ XIV\@. Prob.\ IV.}

\textit{Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum,
est ut summa vel differentia are{\ae} per quam tempus exponitur, \& are{\ae}
cujusdam alterius qu{\ae} augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica;
si vires ex resistentia \& gravitate composit{\ae} sumantur
in progressione Geometrica.}

Capiatur $AC$ (\textit{in Fig.\ tribus ultimis,}) gravitati, \& $AK$ resistenti{\ae}
proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti
$A$ si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur $Ab$ qu{\ae}
sit ad $DB$ ut $DBq.$ ad $4BAC$: \& area $AbNK$ augebitur vel
diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires $CK$ in progressione
Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis
ab ejus altitudine maxima sit ut excessus are{\ae} $AbNK$ supra
aream $DET$.

Nam cum $AK$ sit ut resistentia, id est ut $APq. + 2BAP$;
assumatur data qu{\ae}vis quantitas $Z$, \& ponatur $AK$ {\ae}qualis
$\frac{APq. + 2BAP}{Z}$; \& (per hujus Lem.\ II.) erit ipsius $AK$ momentum
$KL$ {\ae}quale $\frac{2APQ + 2BA \times PB}{Z}$ seu $\frac{2BPQ}{Z}$, \&
are{\ae} $AbNK$ momentum $KLON$ {\ae}quale $\frac{2BPQ \times LO}{Z}$ seu
$\frac{BPQ \times BD \opit{cub.}}{2Z \times CK \times AB}$.

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut $ABq.$
+ $BDq.$ existente $BET$ circulo, (\textit{in Fig.\ Cas.\ 1.\ Prop.\ XIII.}) linea
$AC$, qu{\ae} gravitati proportionalis est, erit
$\frac{ABq. + BDq.}{Z}$
\& $DPq.$ seu $APq. + 2BAP + ABq. + BDq.$ erit $AK \times Z + AC \times Z$
seu $CK \times Z$; ideoque area $DTV$ erit ad aream $DPQ$ ut $DTq.$
vel $DBq.$ ad $CK \times Z$.
% -----File: 289.png---

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Sin corpus ascendit, \& gravitas sit ut $ABq. - BDq.$
linea $AC$ (\textit{Fig.\ Cas.\ 2.\ Prop.\ XIII.}) erit $\frac{ABq. - BDq.}{Z}$, \& $DTq.$
erit ad $DPq.$ ut $DFq.$ seu $DBq.$ ad $BPq. - BDq.$ seu $APq.$ +
$2BAP + ABq. - BDq.$ id est ad $AK \times Z + AC \times Z$ seu $CK \times Z$.
Ideoque area $DTV$ erit ad aream $DPQ$ ut $DBq.$ ad $CK \times Z$.

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Et eodem argumento, si corpus descendit, \& propterea
gravitas sit ut $BDq. - ABq.$ \& linea $AC$ (\textit{Fig.\ Cas.\ 3.\ Prop.\
pr{\ae}ced.})\ {\ae}quetur
$\frac{BDq. - ABq.}{Z}$
erit area $DTV$ ad aream
$DPQ$ ut $DBq.$ ad $CK \times Z$: ut supra.

Cum igitur are{\ae} ill{\ae} semper sint in hac ratione; si pro area
$DTV$, qua momentum temporis sibimet ipsi semper {\ae}quale exponitur,
scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta
$BD \times m$, erit area $DPQ$, id est, $\frac{1}{2}BD \times PQ$; ad $BD \times m$ ut
$CK$ in $Z$ ad $BDq$. At{\que} inde fit $PQ$ in $BD \opit{cub.}$ {\ae}quale
$2BD \times m \times CK \times Z$, \& are{\ae} $AbNK$ momentum $KLON$ superius
inventum, fit $\frac{BP \times BD \times m}{AB}$. Auferatur are{\ae} $DET$ momentum
$DTV$ seu $BD \times m$, \& restabit $\frac{AP \times BD \times m}{AB}$. Est igitur
differentia momentorum, id est, momentum differenti{\ae} arearum,
{\ae}qualis $\frac{AP \times BD \times m}{AB}$; \& propterea (ob datum $\frac{BD \times m}{AB}$)
ut velocitas $AP$, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo
vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum
\& spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia,
\& simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia.
\QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Igitur si longitudo aliqua $V$ sumatur in ea ratione ad
arcum $ET$, quam habet linea $DA$ ad lineam $DE$; spatium
quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit,
erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore
% -----File: 290.png---
describere posset, ut arearum illarum differentia ad
$\frac{BD \times V^2}{4AB}$,
ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non
resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut $V^2$, \& ob datas
$BD$ \& $AB$, ut $\frac{BD \times V^2}{4AB}$. Tempus autem est ut $DET$
seu $\frac{1}{2}BD \times ET$, \& harum arearum momenta sunt ut $\frac{BD \times V}{2AB}$
ductum in momentum ipsius $V$ \& $\frac{1}{2}BD$ ductum in momentum
ipsius $ET$, id est, ut $\frac{BD \times V}{2AB}$ in $\frac{DAq. \times 2m}{DEq.}$ \& $\frac{1}{2}BD \times 2m$,
sive ut $\frac{BD \times V \times DAq. \times m}{AB \times DEq.}$ \& $BD \times m$. Et propterea momentum
are{\ae} $V^2$ est ad momentum differenti{\ae} arearum $DET$
\& $AKNb$, ut $\frac{BD \times V \times DA \times m}{AB \times DE}$
ad $\frac{AP \times BD \times m}{AB}$ sive ut
$\frac{V \times DA}{DE}$ ad $AP$; adeoque, ubi $V$ \& $AP$ quam minim{\ae} sunt,
in ratione {\ae}qualitatis. {\AE}qualis igitur est area quam minima
$\frac{BD \times V^2}{4AB}$ differenti{\ae} quam minim{\ae} arearum $DET$ \& $AKNb$.
Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel
fine ascensus simul descripta accedunt ad {\ae}qualitatem, adeoque
tunc sunt ad invicem ut area $\frac{BD \times V^2}{4AB}$ \& arearum $DET$ \&
$AKNb$ differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut
in {\ae}qualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa
$\frac{BD \times V^2}{4AB}$ \& arearum $DET$ \& $AKNb$ differentia. \QEDit


% -----File: 291.png---




\sectpage{IV.}

\begin{center}{\textit{De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.}}\end{center}

\condpagelarge{LEM. III.}

\textit{Sit $PQRr$ Spiralis qu{\ae} secet radios omnes $SP$, $SQ$, $SR$, \&c.\
in {\ae}qualibus angulis. Agatur recta $PT$ qu{\ae} tangat eandem in puncto
quovis $P$, secetque radium $SQ$ in $T$; \& ad Spiralem erectis
perpendiculis $PO$, $QO$ concurrentibus in $O$, jungatur $SO$. Dico quod si
puncta $P$ \& $Q$ accedant ad invicem \& coeant, angulus $PSO$ evadet
rectus, \& ultima ratio rectanguli $TQ \times PS$ ad $PQ\opit{quad.}$ erit ratio
{\ae}qualitatis.}

\pngright{292.png}{1222}{1162}{-24}
%Illustration

Etenim de angulis rectis $OPQ$, $OQR$ subducantur anguli
{\ae}quales $SPQ$, $SQR$, \& manebunt anguli {\ae}quales $OPS$, $OQS$.
Ergo circulus qui transit per
puncta $O$, $S$, $P$ transibit etiam
per punctum $Q$. Coeant
puncta $P$ \& $Q$, \& hic circulus
in loco coitus $PQ$ tanget
Spiralem, adeoque perpendiculariter
secabit rectam
$OP$. Fiet igitur $OP$ diameter
circuli hujus, \& angulus
$OSP$ in semicirculo rectus.
\QEDit

Ad $OP$ demittantur perpendicula $QD$, $SE$, \& linearum rationes
ultim{\ae} erunt hujusmodi: $TQ$ ad $PD$ ut $TS$ vel $PS$ ad
$PE$, seu $PO$ ad $PS$. Item $PD$ ad $PQ$ ut $PQ$ ad $PO$. Et ex
{\ae}quo perturbate $TQ$ ad $PQ$ ut $PQ$ ad $PS$. Unde fit $PQq.$
{\ae}qualis $TQ \times PS$. \QEDit
% -----File: 292.png---


\condpagelarge{Prop.\ XV\@. Theor.\ XI.}

\textit{Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum
a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis:
dico quod corpus gyrari potest in Spirali, qu{\ae} radios omnes a
centro illo ductos intersecat in angulo dato.}

Ponantur qu{\ae} in superiore Lemmate, \& producatur $SQ$ ad
$V$, ut sit $SV$ {\ae}qualis $SP$. Temporibus {\ae}qualibus describat corpus
arcus quam minimos $PQ$ \& $QR$, sintque are{\ae} $PSQ$, $QSr$
{\ae}quales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P
est reciproce ut $SPq.$ \&
(per Lem.\ X. Lib.\ I.) lineola
$TQ$, qu{\ae} vi illa generatur,
est in ratione composita
ex ratione hujus vis \&
ratione duplicata temporis
quo arcus $PQ$ describitur,
(Nam resistentiam in hoc
casu, ut infinite minorem
quam vis centripeta negligo)
erit $TQ \times SPq.$ id est (per
Lemma novissimum) $PQq. \times SP$, in ratione duplicata temporis,
adeoque tempus est ut
$PQ\times\surd SP$,\spreadout{\& corporis velocitas qua arcus $PQ$ illo tempore describitur ut}

\pngright{292.png}{1222}{1162}{-12}
%Illustration

\noindent $\frac{PQ}{PQ \times \surd SP}$ seu $\frac{1}{\surd SP}$,
hoc est in dimidiata ratione ipsius $SP$ reciproce. Et
simili argumento velocitas, qua arcus $QR$ describitur, est in dimidiata
ratione ipsius $SQ$ reciproce. Sunt autem arcus illi $PQ$
\& $QR$ ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata
ratione $SQ$ ad $SP$, sive ut $SQ$ ad $\surd SP \times \surd SQ$; \& ob {\ae}quales
angulos $SPQ$, $SQr$ \& {\ae}quales areas $PSQ$, $QSr$, est arcus
% -----File: 293.png---
$PQ$ ad arcum $Qr$ ut $SQ$ ad $SP$. Sumantur proportionalium consequentium
differenti{\ae}, \& fiet arcus $PQ$ ad arcum $Rr$ ut $SQ$ ad
$SP - SP^{\frac{1}{2}} \times SQ^{\frac{1}{2}}$, seu $\frac{1}{2}VQ$; nam punctis $P$ \& $Q$ coeuntibus, ratio
ultima $SP - SP^{\frac{1}{2}} \times SQ^{\frac{1}{2}}$ ad $\frac{1}{2}VQ$ fit {\ae}qualitatis. In Medio
non resistente are{\ae} {\ae}quales $PSQ$, $QSr$ (Theor.\ I. Lib.\ I.)
temporibus {\ae}qualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum
differentia $RSr$, \& propterea resistentia est ut lineol{\ae}
$Qr$ decrementum $Rr$ collatum cum quadrato temporis quo generatur.
Nam lineola $Rr$ (per Lem.\ X. Lib.\ I.) est in duplicata
ratione temporis. Est igitur resistentia ut $\frac{Rr}{PQq. \times SP}$.
Erat autem $PQ$ ad $Rr$ ut $SQ$ ad $\frac{1}{2}VQ$, \& inde $\frac{Rr}{PQq. \times SP}$ fit
ut $\frac{\frac{1}{2}VQ}{PQ \times SP \times SQ}$ sive ut $\frac{\frac{1}{2}OS}{OP \times SPq.}$. Namque punctis $P$ \& $Q$
coeuntibus, $SP$ \& $SQ$ coincidunt; \& ob similia triangula $PVQ$,
$PSO$, fit $PQ$ ad $\frac{1}{2}VQ$ ut $OP$ ad $\frac{1}{2}OS$. Est igitur $\frac{OS}{OP \times SPq.}$ ut
resistentia, id est in ratione densitatis Medii in $P$ \& ratione
duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis,
nempe ratio $\frac{1}{SP}$, \& manebit Medii densitas in $P$ ut
$\frac{OS}{OP \times SP}$. Detur Spiralis, \& ob datam rationem $OS$ ad $OP$, densitas
Medii in $P$ erit ut $\frac{1}{SP}$. In Medio igitur cujus densitas
est reciproce ut distantia a centro $SP$, corpus gyrari potest in hac
Spirali. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Velocitas in loco quovis $P$ ea semper est quacum
corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem
a centro distantiam $SP$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Medii densitas, si datur distantia $SP$, est ut $\frac{OS}{OP}$,
% -----File: 294.png---
sin distantia illa non datur, ut $\frac{OS}{OP \times SP}$. Et inde Spiralis ad
quamlibet Medii densitatem aptari potest.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Vis resistenti{\ae} in loco quovis $P$, est ad vim centripetam
in eodem loco ut $\frac{1}{2}OS$ ad $OP$. Nam vires ill{\ae} sunt ut line{\ae}
$Rr$ \& $TQ$ seu ut $\frac{\frac{1}{2}VQ \times PQ}{SQ}$ \& $\frac{PQq.}{SP}$ quas simul generant,
hoc est, ut $\frac{1}{2}VQ$ \& $PQ$, seu $\frac{1}{2}OS$ \& $OP$. Data igitur Spirali
datur proportio resistenti{\ae} ad vim centripetam, \& viceversa ex
data illa proportione datur Spiralis.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi
vis resistenti{\ae} minor est quam dimidium vis centripet{\ae}. Fiat resistentia
{\ae}qualis dimidio vis centripet{\ae} \& Spiralis conveniet cum
linea recta $PS$, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia
semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in
casu Parabol{\ae} (Theor.\ X. Lib.\ I.) descensum in Medio non
resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora
temporibus illis atque adeo dantur.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et quoniam in {\ae}qualibus a centro distantiis velocitas
eadem est in Spirali $PQR$ atque in recta $SP$, \& longitudo
Spiralis ad longitudinem rect{\ae} $PS$ est in data ratione, nempe in
ratione $OP$ ad $OS$; tempus descensus in Spirali erit ad tempus
descensus in recta $SP$ in eadem illa data ratione, proindeque
datur.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si centro $S$ intervallis duobus describantur duo
circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias
complere potest, est ut $\frac{PS}{OS}$, sive ut Tangens anguli
quem Spiralis continet cum radio $PS$; tempus vero revolutionum
earundem ut $\frac{OP}{OS}$, id est reciproce ut Medii densitas.

\pngright{295.png}{1511}{1579}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut distantia
locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque $AEB$
% -----File: 295.png---
circa centrum illud fecerit, \& Radium primum $AS$ in eodem
angulo secuerit in $B$ quo prius in $A$, idque cum velocitate qu{\ae}
fuerit ad velocitatem suam primam in $A$ reciproce in dimidiata
ratione distantiarum
a centro (id
est ut $BS$ ad mediam
proportionalem
inter $AS$ \&
$CS$:) corpus illud
perget innumeras
consimiles
revolutiones
$BFC$,
$CGD$, \&c.\ facere,
\& intersectionibus
distinguet
Radium $AS$ in
partes $AS$, $BS$,
$CS$, $DS$ \&c.\ continue
proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Perimetri
orbitarum $AEB$, $BFC$, $CGD$ \&c.\ directe, \& velocitates
in principiis $A$, $B$, $C$, inverse; id est ut $AS^{\frac{1}{2}}$, $BS^{\frac{1}{2}}$, $CS^{\frac{1}{2}}$. At{\que}
tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus
revolutionis prim{\ae}, ut summa omnium continue proportionalium
$AS^{\frac{1}{2}}$, $BS^{\frac{1}{2}}$, $CS^{\frac{1}{2}}$ pergentium in infinitum, ad terminum primum
$AS^{\frac{1}{2}}$; id est ut terminus ille primus $AS^{\frac{1}{2}}$ ad differentiam
duorum primorum $AS^{\frac{1}{2}} - BS^{\frac{1}{2}}$, \& quam proxime ut $\frac{2}{3}AS$ ad
$AB$. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Ex his etiam pr{\ae}terpropter colligere licet motus
corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam
quamcunque legem assignatam observat. Centro $S$ intervallis
continue proportionalibus $SA$, $SB$, $SC$ \&c.\ describe circulos
% -----File: 296.png---
quotcunque, \& statue numerum revolutionum inter perimetros
duorum quorumvis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse
ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut
Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii,
de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime;
Sed \& in eadem quo{\que} ratione esse Tangentem anguli quo Spiralis
pr{\ae}finita, in Medio de quo egimus, secat radium $AS$, ad tangentem
anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio proposito:
At{\que} etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse
tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam
proxime. Si h{\ae}c fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus
per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari
possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio
quocunque regulari gyrari debebunt.

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam
Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium
illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis
distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali superius
descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in
hujusmodi Spiralibus peragantur.


\condpagelarge{Prop.\ XVI\@. Theor.\ XII.}

\textit{Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distanti{\ae}
locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia
in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali,
qu{\ae} radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.}

Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore.
Nam si vis centripeta in $P$ sit reciproce ut distanti{\ae} $SP$ dignitas
qu{\ae}libet $SP^{n + 1}$ cujus index est $n$ + 1; colligetur ut supra, quod
tempus quo corpus describit arcum quemvis $PQ$ erit ut $PQ \times SP^{\frac{1}{2}n}$
% -----File: 297.png---
\& resistentia in $P$ ut $\frac{Rr}{PQq. \times SP^n}$
sive ut $\frac{\frac{1}{2}nVQ}{PQ \times SP^n \times SQ}$, adeoque
ut $\frac{\frac{1}{2}OS}{OP \times SP^{n + 1}}$. Et propterea densitas in $P$ est reciproce ut
$SP^n$.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

C{\ae}terum h{\ae}c Propositio \& superiores, qu{\ae} ad Media in{\ae}qualiter
densa spectant, intelligend{\ae} sunt de motu corporum adeo
parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam
ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque c{\ae}teris
paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis
quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque
augeri vel diminui, ut resistenti{\ae} vel tollatur excessus vel defectus
suppleatur.


\condpagelarge{Prop.\ XVII\@. Prob.\ V.}

\textit{Invenire \& vim centripetam \& Medii resistentiam qua corpus in
data Spirali data lege revolvi potest.} Vide \textit{Fig.\ Prop.\ XV.}

Sit spiralis illa $PQR$. Ex velocitate qua corpus percurrit arcum
quam minimum $PQ$ dabitur tempus, \& ex altitudine $TQ$,
qu{\ae} est ut vis centripeta \& quadratum temporis dabitur vis. Deinde
ex arearum, {\ae}qualibus temporum particulis confectarum $PSQ$
\& $QSR$, differentia $RSr$, dabitur corporis retardatio, \& ex retardatione
invenietur resistentia ac densitas Medii.


\condpagelarge{Prop.\ XVIII\@. Prob.\ VI.}

\textit{Data lege vis centripet{\ae}, invenire Medii densitatem in locis singulis,
qua corpus datam Spiralem describet.}

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde
ex velocitatis retardatione qu{\ae}renda Medii densitas: ut in
Propositione superiore.
% -----File: 298.png---

Methodum vero tractandi h{\ae}c Problemata aperui in hujus
Propositione decima, \& Lemmate secundo; \& Lectorem in hujusmodi
perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Addenda
jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum,
deque densitate \& resistentia Mediorum, in quibus motus hactenus
expositi \& his affines peraguntur.



\sectpage{V.}

\begin{center}{\textit{De Densitate \& compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.}}\end{center}


\condpagelarge{Definitio Fluidi.}

Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illat{\ae},
\& cedendo facile movetur inter se.


\propnopage{Prop.\ XIX\@. Theor.\ XIII.}

\textit{Fluidi homogenei \& immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur
\& undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensationis,
gravitatis \& virium omnium centripetarum consideratione) {\ae}qualiter
premuntur undique, \& absque omni motu a pressione illa orto
permanent in locis suis.}

\pngright{299.png}{756}{888}{-24}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}In vase sph{\ae}rico $ABC$ claudatur \& uniformiter comprimatur
fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa
pressione movebitur. Nam si pars aliqua $D$ moveatur, necesse est
ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique
consistentes, simili motu simul moveantur; at{\que} hoc adeo quia similis
\& {\ae}qualis est omnium pressio, \& motus omnis exclusus supponitur,
nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes
ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum condensetur;
contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere
% -----File: 299.png---
nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypothesin.
Non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam
quamcun{\que} quia pari ratione movebuntur
in plagam contrariam; in plagas
autem contrarias non potest pars eadem
eodem tempore moveri. Ergo fluidi
pars nulla de loco suo movebitur. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Dico jam quod fluidi hujus
partes omnes sph{\ae}ric{\ae} {\ae}qualiter premuntur
undique: sit enim $EF$ pars sph{\ae}rica
fluidi, \& si h{\ae}c undi{\que} non premitur
{\ae}qualiter, augeatur pressio minor, us{\que} dum ipsa undi{\que} prematur
{\ae}qualiter; \& partes ejus, per casum primum, permanebunt in
locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis
suis, per casum eundum primum, \& additione pressionis nov{\ae}
movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Qu{\ae} duo repugnant.
Ergo falso dicebatur quod Sph{\ae}ra $EF$ non undique
premebatur {\ae}qualiter. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Dico pr{\ae}terea quod diversarum partium sph{\ae}ricarum
{\ae}qualis sit pressio. Nam partes sph{\ae}ric{\ae} contigu{\ae} se mutuo
premunt {\ae}qualiter in puncto contactus, per motus Legem III\@. Sed
\& per Casum secundum, undi{\que} premuntur eadem vi. Partes
igitur du{\ae} qu{\ae}vis sph{\ae}ric{\ae} non contigu{\ae}, quia pars sph{\ae}rica intermedia
tangere potest utramque, prementur eadem vi. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}4.}\wsp{}Dico jam quod fluidi partes omnes ubi{\que} premuntur
{\ae}qualiter. Nam partes du{\ae} qu{\ae}vis tangi possunt a partibus
Sph{\ae}ricis in punctis quibuscunque, \& ibi partes illas Sph{\ae}ricas
{\ae}qualiter premunt, per Casum 3.\ \& vicissim ab illis {\ae}qualiter
premuntur, per Motus Legem Tertiam. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}5.}\wsp{}Cum igitur fluidi pars qu{\ae}libet $GHI$ in fluido reliquo
tanquam in vase claudatur, \& undique prematur {\ae}qualiter,
partes autem ejus se mutuo {\ae}qualiter premant \& quiescant inter
se; manifestum est quod Fluidi cujuscunque $GHI$, quod undique
% -----File: 300.png---
premitur {\ae}qualiter, partes omnes se mutuo premunt {\ae}qualiter,
\& quiescunt inter se. \QEDit

\textit{Cas.\fsp{}6.}\wsp{}Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, \&
undique non prematur {\ae}qualiter, cedet idem pressioni fortiori,
per Definitionem Fluiditatis.

\textit{Cas.\fsp{}7.}\wsp{}Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem
fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet,
id{\que} in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur
liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum,
\& sic pressio undique ad {\ae}qualitatem verget. Et quoniam Fluidum,
quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur
per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio
undique ad {\ae}qualitatem in momento temporis absque motu locali;
\& subinde, partes fluidi, per Casum quintum, se mutuo prement
{\ae}qualiter, \& quiescent inter se. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem
fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, quatenus
aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes
intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur
inter se.


\condpagelarge{Prop.\ XX\@. Theor.\ XIV.}

\textit{Si Fluidi Sph{\ae}rici, \& in {\ae}qualibus a centro distantiis homogenei,
fundo sph{\ae}rico concentrico incumbentis partes singul{\ae} versus centrum
totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis {\ae}qualis
est superficiei fundi, \& altitudo eadem qu{\ae} Fluidi incumbentis.}

\pngright{301.png}{765}{951}{-24}
%Illustration

Sit $DHM$ superficies fundi, \& $AEI$ superficies superior fluidi.
Superficiebus sph{\ae}ricis innumeris $BFK$, $CGL$ distinguatur
fluidum in Orbes concentricos {\ae}qualiter crassos; \& concipe vim
gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cujusque,
\& {\ae}quales esse actiones in {\ae}quales partes superficierum
omnium. Premitur ergo superficies suprema $AE$ vi simplici gravitatis
propri{\ae}, qua \& omnes Orbis supremi partes \& superficies
% -----File: 301.png---
secunda $BFK$ (per Prop.\ XIX.) premuntur. Premitur pr{\ae}terea
superficies secunda $BFK$ vi propri{\ae} gravitatis, qu{\ae} addita
vi priori facit pressionem duplam.
Hac pressione \& insuper vi propri{\ae} gravitatis,
id est pressione tripla, urgetur
superficies tertia $CGL$. Et similiter pressione
quadrupla urgetur superficies quarta,
quintupla quinta \& sic deinceps.
Pressio igitur qua superficies unaqu{\ae}que
urgetur, non est ut quantitas solida fluidi
incumbentis, sed ut numerus Orbium ad
usque summitatem fluidi; \& {\ae}quatur gravitati Orbis infimi multiplicat{\ae}
per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ultima
ratio ad Cylindrum pr{\ae}finitum, (si modo Orbium augeatur
numerus \& minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis
a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio {\ae}qualitatis.
Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri pr{\ae}finiti.
\QEDit Et simili argumentatione patet Propositio,
ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distanti{\ae} a centro,
ut \& ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis
pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet qu{\ae} in
Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata
sustentato.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In {\ae}qualibus autem a centro distantiis eadem semper
est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti parallela
vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie
pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam
rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates \& canales,
easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas.
Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando
demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluidorum.
% -----File: 302.png---

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop.\
XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis,
acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus
qui ex condensatione oriatur.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specific{\ae} corpus,
quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id
ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non
descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si
Sph{\ae}ricum est manebit sph{\ae}ricum, non obstante pressione; si quadratum
est manebit quadratum: id{\que} sive molle sit, sive fluidissimum;
sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet
enim fluidi pars qu{\ae}libet interna rationem corporis submersi, \&
par est ratio omnium ejusdem \label{wasp294}magnitudinis, figur{\ae} \& gravitatis
specific{\ae} submersorum corporum. Si corpus submersum servato
pondere liquesceret \& indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet
vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret,
etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere
cogeretur: id adeo quia gravitas ejus c{\ae}ter{\ae}que motuum caus{\ae}
permanent. Atqui, per Cas.\ 5.\ Prop.\ XIX. jam quiesceret \&
figuram retineret. Ergo \& prius.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Proinde corpus quod specifice gravius est quam Fluidum
sibi contiguum subsidebit, \& quod specifice levius est ascendet,
motumque \& figur{\ae} mutationem consequetur, quantum
excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque excessus
ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in
{\ae}quilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; \& comparari
potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra libr{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est
Gravitas: altera vera \& absoluta, altera apparens, vulgaris \& comparativa.
Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit:
relativa \& vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis
tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate
partes fluidorum \& corporum omnium gravitant in locis
% -----File: 303.png---
suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius.
Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet;
\& pondus totius {\ae}quale est ponderibus omnium partium, ideoque
ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora
non gravitant in locis suis, id est inter se collata non pr{\ae}gravant,
sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in
locis suis, perinde ac si gravia non essent. Qu{\ae} in Aere sunt \& non
pr{\ae}gravant, Vulgus gravia non judicat. Qu{\ae} pr{\ae}gravant vulgus
gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur.
Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum
supra pondus Aeris. Unde \& vulgo dicuntur levia, qu{\ae}
sunt minus gravia, Aerique pr{\ae}gravanti cedendo superiora petunt.
Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in
vacuo. Sic \& in Aqua, corpora, qu{\ae} ob majorem vel minorem
gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative \& apparenter
gravia vel levia, \& eorum gravitas vel levitas comparativa
\& apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel
superat gravitatem aqu{\ae} vel ab ea superatur. Qu{\ae} vero nec pr{\ae}gravando
descendunt, nec pr{\ae}gravanti cedendo ascendunt, etiamsi
veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen
\& in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum
Casuum Demonstratio.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Qu{\ae} de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis
quibuscunque viribus centripetis.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Proinde si Medium, in quo corpus aliquod movetur,
urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacun{\que} vi centripeta,
\& corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium
est vis illa motrix, quam in pr{\ae}cedentibus Propositionibus ut
vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius,
differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Cum autem fluida premendo corpora inclusa non
mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria
Prop.\ XIX. quod non mutabunt situm partium internarum inter
se: proindeque, si Animalia immergantur, \& sensatio omnis a motu
% -----File: 304.png---
partium oriatur; nec l{\ae}dent corporibus immersis, nec sensationem
ullam excitabunt, nisi quatenus h{\ae}c corpora a compressione
ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum
Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes
iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac
solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum
vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione
conglutinandas requiratur.


\condpagelarge{Prop.\ XXI\@. Theor.\ XV.}

\textit{Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, \& partes
ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum
trahantur: dico quod si distanti{\ae} ill{\ae} sumantur continue proportionales,
densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue
proportionales.}

Designet $ATV$ fundum Sph{\ae}ricum cui fluidum incumbit, $S$
centrum, $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, \&c.\ distantias continue proportionales.
Erigantur perpendicula $AH$, $BI$, $CK$, $DL$, $EM$, \&c.\
qu{\ae} sint ut densitates Medii in locis $A$, $B$, $C$, $D$, $E$; \& specific{\ae}
gravitates in iisdem locis erunt ut $\frac{AH}{AS}$, $\frac{BI}{BS}$, $\frac{CK}{CS}$, \&c.\ vel,
quod\spreadout{perinde est, ut $\frac{AH}{AB}$, $\frac{BI}{BC}$, $\frac{CK}{CD}$ \&c. Finge primum has gravitates uniform-}

\pngright{304.png}{639}{1084}{-12}
%Illustration

\noindent iter continuari ab
$A$ ad $B$, a $B$ ad $C$, a $C$ ad $D$ \&c.\ factis per
gradus decrementis in punctis $B$, $C$, $D$ \&c. Et
h{\ae} gravitates duct{\ae} in altitudines $AB$, $BC$,
$CD$ \&c.\ conficient pressiones $AH$, $BI$, $CK$, quibus
fundum $ATV$ (juxta Theorema XIV.)
urgetur. Sustinet ergo particula $A$ pressiones
omnes $AH$, $BI$, $CK$, $DL$, pergendo in infinitum;
\& particula $B$ pressiones omnes pr{\ae}ter primam $AH$; \&
particula $C$ omnes pr{\ae}ter duas primas $AH$, $BI$; \& sic deinceps:
% -----File: 305.png---
adeoque particul{\ae} prim{\ae} $A$ densitas $AH$ est ad particul{\ae} secund{\ae}
$B$ densitatem $BI$ ut summa omnium $AH + BI + CK + DL$,
in infinitum, ad summam omnium $BI + CK + DL$, \&c. Et $BI$
densitas secund{\ae} $B$, est ad $CK$ densitatem terti{\ae} $C$, ut summa omnium
$BI + CK + DL$, \&c.\ ad summam omnium $CK + DL$, \&c.
Sunt igitur summ{\ae} ill{\ae} differentiis suis $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ proportionales,
atque adeo continue proportionales per hujus Lem.\ I.
proinde{\que} differenti{\ae} $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ summis proportionales, sunt
etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis $A$,
$B$, $C$ sint ut $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ erunt etiam h{\ae} continue proportionales.
Pergatur per saltum, \& (ex {\ae}quo) in distantiis $SA$, $SC$,
$SE$ continue proportionalibus, erunt densitates $AH$, $CK$, $EM$
continue proportionales. Et eodem argumento in distantiis quibusvis
continue proportionalibus $SA$, $SD$, $SQ$ densitates $AH$, $DL$,
\label{wasp297}$QT$
erunt continue proportionales. Coeant jam puncta $A$, $B$, $C$,
$D$, $E$, \&c.\ eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo $A$
ad summitatem Fluidi continua reddatur, \& in distantiis quibusvis
continue proportionalibus $SA$, $SD$, $SQ$, densitates $AH$, $DL$,
$QT$, semper existentes continue proportionales, manebunt etiamnum
continue proportionales. \QEDit

\pngright{305.png}{1183}{1248}{-24}
%Illustration

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta $A$ \&
$E$, colligi potest ejus densitas
in alio quovis loco $Q$. Centro
$S$, Asymptotis rectangulis $SQ$,
$SX$ describatur Hyperbola secans
perpendicula $AH$, $EM$, $QT$
in $a$, $e$, $q$, ut \& perpendicula $HX$,
$MY$, $TZ$ ad asymptoton $SX$
demissa in $h$, $m$, \& $t$. Fiat area
$ZYmtZ$ ad aream datam $YmhX$
ut area data $EeqQ$ ad aream
datam $EeaA$; \& linea
$Zt$ producta abscindet lineam $QT$ densitati proportionalem.
Namque si line{\ae} $SA$, $SE$, $SQ$ sunt continue proportionales, erunt
% -----File: 306.png---
are{\ae} $EeqQ$, $EeaA$ {\ae}quales, \& inde are{\ae} his proportionales
$YmtZ$, $XhmY$ etiam {\ae}quales \& line{\ae} $SX$, $SY$, $SZ$ id est $AH$,
$EM$, $QT$ continue proportionales, ut oportet. Et si line{\ae} $SA$,
$SE$, $SQ$ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium,
line{\ae} $AH$, $EM$, $QT$, ob proportionales areas Hyperbolicas,
obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum
continue proportionalium.


\condpagelarge{Prop.\ XXII\@. Theor.\ XVI.}

\textit{Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, \& partes
ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce
proportionali deorsum trahantur: dico quod si distanti{\ae} sumantur in
progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione
Geometrica.}

\pngright{306.png}{1810}{1364}{-24}
%Illustration

Designet $S$ centrum, \& $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$ distantias in
Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\
qu{\ae} sint ut
Fluidi densitates
in locis $A$, $B$, $C$,
$D$, $E$, \&c.\ \&
ipsius gravitates
specific{\ae}
in iisdem
locis erunt
$\frac{AH}{SAq.}$, $\frac{BI}{SBq.}$, $\frac{CK}{SCq.}$,
\&c. Finge
has gravitates uniformiter continuari, primam ab $A$ ad $B$, secundam
a $B$ ad $C$, tertiam a $C$ ad $D$, \&c. Et h{\ae} duct{\ae} in altitudines
$AB$, $BC$, $CD$, $DE$, \&c.\ vel, quod perinde est, in distantias
$SA$, $SB$, $SC$, \&c.\ altitudinibus illis proportionales, conficient
% -----File: 307.png---
exponentes pressionum $\frac{AH}{SA}$, $\frac{BI}{SB}$, $\frac{CK}{SC}$, \&c. Quare cum densitates
sint ut harum pressionum summ{\ae}, differenti{\ae} densitatum $AH - BI$,
$BI - CK$, \&c.\ erunt ut summarum differenti{\ae}
$\frac{AH}{SA}$, $\frac{BI}{SB}$, $\frac{CK}{SC}$, \&c.
Centro $S$ Asymptotis $SA$, $SX$ describatur Hyperbola
qu{\ae}vis, qu{\ae} secet perpendicula $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ in $a$, $b$, $c$; ut \&
perpendicula ad Asymptoton $SX$ demissa $Ht$, $Iu$, $Kw$ in $h$, $i$, $k$;
\& densitatum differenti{\ae} $tu$, $uw$, \&c.\ erunt ut $\frac{AH}{SA}$, $\frac{BI}{SB}$, \&c.
Et rectangula $tu \times th$, $uw \times ui$, \&c.\ seu $tp$, $uq$, \&c.\ ut $\frac{AH \times th}{SA}$
ut $\frac{BI \times ui}{SB}$, \&c.\ id est ut $Aa$, $Bb$ \&c. Est enim ex natura Hyperbol{\ae}
$SA$ ad $AH$ vel $St$, ut $th$ ad $Aa$, adeoque $\frac{AH \times th}{SA}$ {\ae}quale $Aa$.
Et simili argumento est $\frac{BI \times ui}{SB}$ {\ae}qualis $Bb$, \&c. Sunt autem $Aa$,
$Bb$, $Cc$, \&c.\ continue proportionales, \& propterea differentiis suis
$Aa - Bb$, $Bb - Cc$, \&c.\ proportionales; ideoque differentiis
hisce proportionalia sunt rectangula $tp$, $uq$, \&c.\ ut \& summis differentiarum
$Aa - Cc$ vel $Aa - Dd$ summ{\ae} rectangulorum $tp + uq$,
vel $tp + uq + wr$. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, \& summa
omnium differentiarum, puta $Aa - Ff$, erit summ{\ae} omnium
rectangulorum, puta $zthn$, proportionalis. Augeatur numerus
terminorum \& minuantur distanti{\ae} punctorum $A$, $B$, $C$, \&c.\ in infinitum,
\& rectangula illa evadent {\ae}qualia are{\ae} Hyperbolic{\ae} $zthn$,
adeoque huic are{\ae} proportionalis est differentia $Aa - Ff$. Sumantur
jam distanti{\ae} qu{\ae}libet, puta $SA$, $SD$, $SF$ in Progressione
Musica, \& differenti{\ae} $Aa - Dd$, $Dd - Ff$ erunt {\ae}quales; \&
propterea differentiis hisce proportionales are{\ae} $thlx$, $xlnz$ {\ae}quales
erunt inter se, \& densitates $St$, $Sx$, $Sz$, id est $AH$, $DL$, $FN$,
continue proportionales. \QEDit
% -----File: 308.png---

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc si dentur Fluidi densitates du{\ae} qu{\ae}vis, puta $AH$
\& $CK$, dabitur area $thkw$ harum differenti{\ae} $tw$ respondens; \&
inde invenietur densitas $FN$ in altitudine quacunque $SF$, sumendo
aream $thnz$ ad aream illam datam $thkw$ ut est differentia
$Aa - Ff$ ad differentiam $Aa - Cc$.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum
Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro;
\& quadratorum distantiarum $SA$, $SB$, $SC$, \&c.\ reciproca (nempe
$\frac{SA \opit{cub.}}{SAq.}$, $\frac{SA \opit{cub.}}{SBq.}$, $\frac{SA \opit{cub.}}{SCq.}$)
sumantur in progressione Arithmetica;
densitates $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ erunt in progressione Geometrica.
Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum,
\& cuborum distantiarum reciproca (puta
$\frac{SA \opit{qq.}}{SA \opit{cub.}}$, $\frac{SA \opit{qq.}}{SB \opit{cub.}}$, $\frac{SA \opit{qq.}}{SC \opit{cub.}}$)
sumantur in progressione Arithmetica; densitates
$AH$, $BI$, $CK$, \&c.\ erunt in progressione Geometrica. Et sic in
infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus distantiis
eadem sit, \& distanti{\ae} sint in progressione Arithmetica,
densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl.\ \textit{Edmundus
Halleius} invenit. Si gravitas sit ut distantia, \& quadrata distantiarum
sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione
Geometrica. Et sic in infinitum. H{\ae}c ita se habent
ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis,
vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce
ut h{\ae}c vis. Fingi possunt ali{\ae} condensationis leges, ut quod cubus
vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu
triplicata ratio Vis {\ae}qualis quadruplicat{\ae} rationi densitatis. Quo
in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distanti{\ae} a centro,
densitas erit reciproce ut cubus distanti{\ae}. Fingatur quod cubus
vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, \& si gravitas
est reciproce ut quadratum distanti{\ae}, densitas erit reciproce in
% -----File: 309.png---
sesquiplicata ratione distanti{\ae}. Fingatur quod vis comprimens sit
in duplicata ratione densitatis, \& gravitas reciproce in ratione
duplicata distanti{\ae}, \& densitas erit reciproce ut distantia. Casus
omnes percurrere longum esset.


\condpagelarge{Prop.\ XXIII\@. Theor.\ XVII.}

\textit{Particul{\ae} viribus qu{\ae} sunt reciproce proportionales distantiis centrorum
suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus
densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex
particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vires
centrifug{\ae} particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum.}

\pngright{309.png}{1169}{783}{-24}
%Illustration

Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico $ACE$, dein compressione
redigi in spatium cubicum minus $ace$; \& particularum
similem situm inter se in utroque
spatio obtinentium distanti{\ae}
erunt ut cuborum latera
$AB$, $ab$; \& Medii densitates reciproce
ut spatia continentia
$AB \opit{cub.}$ \& $ab \opit{cub.}$ In latere
cubi majoris $ABCD$ capiatur
quadratum $DP$ {\ae}quale lateri
cubi minoris $db$; \& ex Hypothesi, pressio qua quadratum $DP$
urget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadratum
$db$ urget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem,
hoc est $ab \opit{cub.}$ ad $AB \opit{cub.}$ Sed pressio qua quadratum $DB$ urget
Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum $DP$ urget
idem Fluidum, ut quadratum $DB$ ad quadratum $DP$, hoc est
ut $AB \opit{quad.}$ ad $ab \opit{quad.}$ Ergo ex {\ae}quo pressio qua latus $DB$
urget Fluidum, est ad pressionem qua latus $db$ urget Fluidum, ut
$ab$ ad $AB$. Planis $FGH$, $fgh$ per media cuborum ductis distinguatur
Fluidum in duas partes, \& h{\ae} se mutuo prement iisdem
% -----File: 310.png---
viribus, quibus premuntur a planis $AC$, $ac$, hoc est in proportione
$ab$ ad $AB$: adeoque vires centrifug{\ae}, quibus h{\ae} pressiones sustinentur,
sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum
similem{\que} situm in utroque cubo, vires quas particul{\ae} omnes
secundum plana $FGH$, $fgh$ exercent in omnes, sunt ut vires quas
singul{\ae} exercent in singulas. Ergo vires, quas singul{\ae} exercent
in singulas secundum planum $FGH$ in cubo majore, sunt ad vires
quas singul{\ae} exercent in singulas secundum planum $fgh$ in
cubo minore ut $ab$ ad $AB$, hoc est reciproce ut distanti{\ae} particularum
ad invicem. \QEDit

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce
ut distanti{\ae}, id est reciproce ut cuborum latera $AB$, $ab$; summ{\ae}
virium erunt in eadem ratione, \& pressiones laterum $DB$, $db$
ut summ{\ae} virium; \& pressio quadrati $DP$ ad pressionem lateris
$DB$ ut $ab \opit{quad.}$ ad $AB \opit{quad.}$ Et ex {\ae}quo pressio quadrati
$DP$ ad pressionem lateris $db$ ut $ab \opit{cub.}$ ad $AB \opit{cub.}$ id est vis
compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem.
\QEDit


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Simili argumento si particularum vires centrifug{\ae} sint reciproce
in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium
comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires
centrifug{\ae} sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione
distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi
vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si $D$ ponatur
pro distantia, \& $E$ pro densitate Fluidi compressi, \& vires centrifug{\ae}
sint reciproce ut distanti{\ae} dignitas qu{\ae}libet $Dn$, cujus index
est numerus $n$; vires comprimentes erunt ut latera cubica Dignitatis
$E^{n + 2}$, cujus index est numerus $n$ + 2; \& contra. Intelligenda
vero sunt h{\ae}c omnia de particularum Viribus centrifugis
qu{\ae} terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur.
Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Horum
% -----File: 311.png---
Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi
proximis. Magnetis virtus per interpositam laminam ferri contrahitur,
\& in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non
tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si
particul{\ae} fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas
autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particulas
intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particulis
componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione.
Quod si particul{\ae} cujus{\que} virtus in infinitum propagetur, opus erit
vi majori ad {\ae}qualem condensationem majoris quantitatis Fluidi.
Ut si particula unaqu{\ae}{\que} vi sua, qu{\ae} sit reciproce ut distantia locorum
a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vires
quibus Fluidum in vasis similibus {\ae}qualiter comprimi \& condensari
possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque
vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut
latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica
ex particulis se mutuo fugantibus constent, Qu{\ae}stio Physica est.
Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium
Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam pr{\ae}beamus
Qu{\ae}stionem illam tractandi.


\sectpage{VI.}

\begin{center}{\textit{De Motu \& resistentia Corporum Funependulorum.}}\end{center}

\propnopage{Prop.\ XXIV\@. Theor.\ XVIII.}

\textit{Quantitates materi{\ae} in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum
a centro suspensionis {\ae}qualiter distant, sunt in ratione composita
ex ratione ponderum \& ratione duplicata temporum oscillationum
in vacuo.}

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore
generare potest, est ut vis \& tempus directe, \& materia inverse.
% -----File: 312.png---
Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major
generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam
manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis,
vires motrices in locis a perpendiculo {\ae}qualiter distantibus sunt
ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus
{\ae}quales, \& arcus illi dividantur in partes {\ae}quales; cum tempora
quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes
sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad
invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices
\& tota oscillationum tempora directe \& quantitates materi{\ae}
reciproce: adeoque quantitates materi{\ae} ut vires \& oscillationum
tempora directe \& velocitates reciproce. Sed velocitates
reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe \& velocitates
reciproce sunt ut quadrata temporum, \& propterea quantitates
materi{\ae} sunt ut vires motrices \& quadrata temporum, id
est ut pondera \& quadrata temporum. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ideoque si tempora sunt {\ae}qualia, quantitates materi{\ae}
in singulis corporibus erunt ut pondera.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si pondera sunt {\ae}qualia, quantitates materi{\ae} erunt
ut quadrata temporum.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si\spreadout{quantitates materi{\ae} {\ae}quantur, pondera erunt reciproce ut} \\
quadrata temporum.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Unde cum quadrata temporum c{\ae}teris paribus sint
ut longitudines pendulorum; si \& tempora \& quantitates materi{\ae}
{\ae}qualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et\spreadout{universaliter, quantitas materi{\ae} pendul{\ae} est ut pondus \&} \\
quadratum temporis directe, \& longitudo penduli inverse.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Sed \& in Medio non resistente quantitas Materi{\ae}
pendul{\ae} est ut pondus comparativum \& quadratum temporis directe
\& longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum
est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui;
adeoque idem pr{\ae}stat in tali Medio non resistente atque pondus
absolutum in vacuo.

% -----File: 313.png---

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter
se, quoad quantitatem materi{\ae} in singulis, tum comparandi pondera
ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem
gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis
inveni semper quantitatem materi{\ae} in corporibus singulis eorum
ponderi proportionalem esse.


\condpagelarge{Prop.\ XXV\@. Theor.\ XIX.}

\textit{Corpora Funependula qu{\ae} in Medio quovis resistuntur in ratione
momentorum temporis, qu{\ae}que in ejusdem gravitatis specific{\ae} Medio
non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt,
\& arcuum partes proportionales simul describunt.}

\pngright{313.png}{1429}{1082}{-24}
%Illustration

Sit $AB$ Cycloidis arcus, quem corpus $D$ tempore quovis in
Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in $C$,
ita ut $C$ sit infimum ejus punctum; \& erit vis acceleratrix qua
corpus urgetur in loco quovis $D$ vel $d$ vel $E$ ut longitudo arcus
$CD$ vel $Cd$ vel $CE$. Exponatur vis illa per eundem arcum;
\& cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur,
exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem $CO$, \& sumatur
arcus $Od$ in ratione
ad arcum $CD$
quam habet arcus $OB$
ad arcum $CB$: \& vis
qua corpus in $d$ urgetur
in Medio resistente,
cum sit excessus vis $Cd$
supra resistentiam $CO$,
exponetur per arcum
$Od$, adeoque erit ad
vim qua corpus $D$ urgetur in Medio non resistente, in loco $D$, ut
arcus $Od$ ad arcum $CD$; \& propterea etiam in loco $B$ ut arcus
$OB$ ad arcum $CB$. Proinde si corpora duo, $D$, $d$ exeant de loco
% -----File: 314.png---
$B$ \& his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus $CB$
\& $OB$, erunt velocitates prim{\ae} \& arcus primo descripti in eadem
ratione. Sunto arcus illi $BD$ \& $Bd$, \& arcus reliqui $CD$, $Od$ erunt
in eadem ratione. Proinde vires ipsis $CD$, $Od$ proportionales
manebunt in eadem ratione ac sub initio, \& propterea corpora
pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur
vires \& velocitates \& arcus reliqui $CD$, $Od$ semper erunt ut arcus
toti $CD$, $OB$, \& propterea arcus illi reliqui simul describentur.
Quare corpora duo $D$, $d$ simul pervenient ad loca $C$ \& $O$,
alterum quidem in Medio non resistente ad locum $C$, \& alterum
in Medio resistente ad locum $O$. Cum autem velocitates in $C$ \&
$O$ sint ut arcus $CB$ \& $OB$; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo
simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi $CE$ \& $Oe$.
Vis qua corpus $D$ in Medio non resistente retardatur in $E$ est ut
$CE$, \& vis qua corpus $d$ in Medio resistente retardatur in $e$ est ut
summa vis $Ce$ \& resistenti{\ae} $CO$, id est ut $Oe$; ideoque vires, quibus
corpora retardantur, sunt ut arcubus $CE$, $Oe$ proportionales
arcus $CB$, $OB$; proindeque velocitates in data illa ratione retardat{\ae}
manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur \& arcus
iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum
$CB$ \& $OB$; \& propterea si sumantur arcus toti $AB$, $aB$
in eadem ratione, corpora $D$, $d$ simul describent hos arcus, \& in
locis $A$ \& $a$ motum omnem simul amittent. Isochron{\ae} sunt igitur
oscillationes tot{\ae}, \& arcubus totis $BA$, $BE$ proportionales
sunt arcuum partes qu{\ae}libet $BD$, $Bd$ vel $BE$, $Be$ qu{\ae} simul
describuntur. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit
in punctum infimum $C$, sed reperitur in puncto illo $O$, quo arcus
totus descriptus $aB$ bisecatur. Et corpus subinde pergendo
ad $a$, iisdem gradibus retardatur quibus antea \label{wasp306}accelerabatur in
descensu
suo a $B$ ad $O$.
% -----File: 315.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXVI\@. Theor.\ XX.}

\textit{Corporum Funependulorum, qu{\ae} resistuntur in ratione velocitatum,
oscillationes in Cycloide sunt Isochron{\ae}.}

Nam si corpora duo a centris suspensionum {\ae}qualiter distantia,
oscillando describant arcus in{\ae}quales, \& velocitates in arcuum
partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistenti{\ae}
velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem
arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, qu{\ae} sint
ut iidem arcus auferantur,
conferantur vel addantur h{\ae} resistenti{\ae}, erunt differenti{\ae}
vel summ{\ae} ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque
velocitatum incrementa vel decrementa sint ut h{\ae} differenti{\ae} vel
summ{\ae}, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates,
si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione.
Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere \&
arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt
velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper
erunt ut arcus toti describendi, \& propterea arcus illi simul
describentur. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XXVII\@. Theor.\ XXI.}

\textit{Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum,
differenti{\ae} inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora
oscillationum in ejusdem gravitatis specific{\ae} Medio non resistente, erunt
arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.}

Nam pendulis {\ae}qualibus in Medio resistente describantur arcus
in{\ae}quales $A$, $B$; resistentia corporis in arcu $A$, erit ad resistentiam
corporis in parte correspondente arcus $B$, in duplicata
ratione velocitatum, id est ut $A \opit{quad.}$ ad $B \opit{quad.}$ quamproxime.
Si resistentia in arcu $B$ esset ad resistentiam in arcu $A$ ut rectangulum
$AB$ ad $A \opit{quad.}$ tempora in arcubus $A$ \& $B$ forent {\ae}qualia
% -----File: 316.png---
per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia $A \opit{quad.}$ in
arcu $A$, vel $AB$ in arcu $B$, efficit excessum temporis in arcu $A$ supra
tempus in Medio non resistente; \& resistentia $BB$ efficit excessum
temporis in arcu $B$ supra tempus in Medio non resistente.
Sunt autem excessus illi ut vires efficientes $AB$ \& $BB$ quam proxime,
id est ut arcus $A$ \& $B$. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente
in arcubus in{\ae}qualibus factarum, cognosci possunt tempora
oscillationum in ejusdem gravitatis specific{\ae} Medio non resistente.
Nam si verbi gratia arcus sit altero duplo major,
differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore
supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad
arcum minorem.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Oscillationes breviores sunt magis Isochron{\ae}, \& brevissim{\ae}
iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente,
quam proxime. Earum vero qu{\ae} in majoribus arcubus fiunt,
tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu
corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione longitudinis
in descensu descript{\ae}, quam resistentia in ascensu subsequente
qua tempus contrahitur. Sed \& tempus oscillationum
tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum
Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur
pro ratione velocitatis, \& corpora accelerata paulo magis quam
qu{\ae} uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem
a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore
casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel
minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu
magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, \& ex
utraque causa tempus producitur.


\condpagelarge{Prop.\ XXVIII\@. Theor.\ XXII.}

\textit{Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione
momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus
% -----File: 317.png---
arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente
descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.}

Designet $BC$ arcum descensu descriptum, $Ca$ arcum ascensu
descriptum, \& $Aa$ differentiam arcuum: \& stantibus qu{\ae} in
Propositione XXV. constructa \& demonstrata sunt, erit vis qua
corpus oscillans urgetur in loco quovis $D$, ad uim resistentia ut
arcus $CD$ ad arcum $CO$, qui semissis est differenti{\ae} illius $Aa$. Ideoque
vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu
puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus
Cycloidis inter punctum illud supremum \& punctum infimum
$C$ ad arcum $CO$; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis
totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum $Aa$. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XXIX\@. Prob.\ VII.}

\textit{Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ratione
velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.}

\pngright{317.png}{1500}{1143}{-24}
%Illustration

Sit $Ba$ (\textit{Fig.\ Prop.\ XXV.}) arcus oscillatione integra descriptus,
sitque $C$ infimum Cycloidis punctum, \& $CZ$ semissis arcus Cycloidis
totius, longitudini Penduli {\ae}qualis; \& qu{\ae}ratur resistentia corporis
in loco quovis
$D$. Secetur recta infinita
$OQ$ in punctis $O$,
$C$, $P$, $Q$ ea lege ut (si
erigantur perpendicula
$OK$, $CT$, $PI$,
$QE$, centroque $O$ \&
Asymptotis $OK$, $OQ$
describatur Hyperbola
$TIGE$ secans
perpendicula $CT$, $PI$, $QE$ in $T$, $I$ \& $E$, \& per punctum $I$ agatur
$KF$ occurrens Asymptoto $OK$ in $K$, \& perpendiculis $CT$ \& $QE$
in $L$ \& $F$) fuerit area Hyperbolica $PIEQ$ ad aream Hyperbolicam
% -----File: 318.png---
$PITC$ ut arcus $BC$ descensu corporis descriptus ad arcum $Ca$ ascensu
descriptum, \& area $IEF$ ad aream $ILT$ ut $OQ$ ad $OC$.
Dein perpendiculo $MN$ abscindatur area Hyperbolica $PINM$
qu{\ae} sit ad aream Hyperbolicam $PIEQ$ ut arcus $CZ$ ad arcum
$BC$ descensu descriptum. Et si perpendiculo $RG$ abscindatur area
Hyperbolica $PIGR$, qu{\ae} sit ad aream $PIEQ$ ut arcus quilibet
$CD$ ad arcum $BC$ descensu toto descriptum: erit resistentia
in loco $D$ ad vim gravitatis, ut area $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ ad aream
$PIENM$.

Nam cum vires a gravitate oriund{\ae} quibus corpus in locis $Z$,
$B$, $D$, $a$ urgetur, sint ut arcus $CZ$, $CB$, $CD$, $Ca$, \& arcus illi
sint ut are{\ae} $PINM$, $PIEQ$, $PIGR$, $PITC$; exponatur tum
arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper $Dd$ spatium
quam minimum a corpore descendente descriptum, \& exponatur
idem per aream quam minimam $RGgr$ parallelis $RG$, $rg$ comprehensam;
\& producatur $rg$ ad $h$, ut sint $GHhg$, \& $RGgr$
contemporanea arearum $IGH$, $PIGR$ decrementa. Et are{\ae}
$\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ incrementum $GHhg - \frac{Rr}{OQ} IEF$,
seu $Rr \times HG - \frac{Rr}{OQ} IEF$,
erit ad are{\ae} $PIGR$ decrementum $RGgr$ seu $Rr \times RG$,
ut $HG - \frac{IEF}{OQ}$ ad $RG$;
adeoque ut $OR \times HG - \frac{OR}{OQ} IEF$ ad $OR \times GR$
seu $OP \times PI$: hoc est (ob {\ae}qualia $OR \times HG$, $OR \times HR - OR \times GR$,
$ORHK - OPIK$, $PIHR$ \& $PIGR + IGH$) ut
$PIGR + IGH - \frac{OR}{OQ} IEF$ ad $OPIK$.
Igitur si area $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$
dicatur $Y$, atque are{\ae} $PIGR$ decrementum $RGgr$ detur,
erit incrementum are{\ae} $Y$ ut $PIGR - Y$.

Quod si $V$ designet vim a gravitate oriundam arcui describendo
$CD$ proportionalem, qua corpus urgetur in $D$; \& $R$ pro resistentia
ponatur: erit $V - R$ vis tota qua corpus urgetur in $D$,
% -----File: 319.png---
adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula
factum. Est autem resistentia $R$ (per Hypothesin) ut quadratum
velocitatis, \& inde (per Lem.\ II.) incrementum resistenti{\ae}
ut velocitas \& incrementum velocitatis conjunctim, id est
ut spatium data temporis particula descriptum \& $V - R$ conjunctim;
atque adeo, si momentum spatii detur, ut $V - R$; id est,
si pro vi $V$ scribatur ejus exponens $PIGR$, \& resistentia $R$ exponatur
per aliam aliquam aream $Z$, ut $PIGR - Z$.

Igitur area $PIGR$ per datorum momentorum subductionem
uniformiter decrescente, crescunt area $Y$ in ratione $PIGR - Y$,
\& area $Z$ in ratione $PIGR - Z$. Et propterea si are{\ae} $Y$
\& $Z$ simul incipiant \& sub initio {\ae}quales sint, h{\ae} per additionem
{\ae}qualium momentorum pergent esse {\ae}quales, \& {\ae}qualibus
itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et
vicissim, si simul incipiunt \& simul evanescunt, {\ae}qualia habebunt
momenta \& semper erunt {\ae}quales: id adeo quia si resistentia
$Z$ augeatur, velocitas una cum arcu illo $Ca$, qui in ascensu
corporis describitur, diminuetur; \& puncto in quo motus omnis
una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum $C$, resistentia
citius evanescet quam area $Y$. Et contrarium eveniet ubi
resistentia diminuitur.

Jam vero area $Z$ incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc
est, in principio \& fine motus, ubi arcus $CD$, $CD$ arcubus $CB$ \&
$Ca$ {\ae}quantur, adeoque ubi recta $RG$ incidit in rectas $QE$ \& $CT$.
Et area $Y$ seu $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ incipit desinitque ubi nulla est,
adeoque ubi $\frac{OR}{OQ} IEF$ \& $IGH$ {\ae}qualia sunt: hoc est (per constructionem)
ubi recta $RG$ incidit in rectam $QE$ \& $CT$. Proindeque
are{\ae} ill{\ae} simul incipiunt \& simul evanescunt, \& propterea
semper sunt {\ae}quales. Igitur area $\frac{OR}{OQ} IEF - IGH$ {\ae}qualis
est are{\ae} $Z$, per quam resistentia exponitur, \& propterea est ad
aream $PINM$ per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem.
\QEDit
% -----File: 320.png---

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Est igitur resistentia in loco infimo $C$ ad vim gravitatis,
ut area $\frac{OP}{OQ} IEF$ ad aream $PINM$.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Fit autem maxima, ubi area $PIHR$ est ad aream
$IEF$ ut $OR$ ad $OQ$. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum
$PIGR - Y$) evadit nullum.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis:
quippe qu{\ae} est in dimidiata ratione resistenti{\ae}, \& ipso motus
initio {\ae}quatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque omni
resistentia oscillantis.

C{\ae}terum ob difficilem calculum quo resistentia \& velocitas
per hanc Propositionem inveniend{\ae} sunt, visum est Propositionem
sequentem subjungere, qu{\ae} \& generalior sit \& ad usus Philosophicos
abunde satis accurata.


\condpagelarge{Prop.\ XXX\@. Theor.\ XXIII.}

\textit{Si recta $aB$ {\ae}qualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit,
\& ad singula ejus puncta $D$ erigantur perpendicula $DK$,
qu{\ae} sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis
correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter
arcum descensu toto descriptum, \& arcum ascensu toto subsequente descriptum,
ducta in arcuum \label{wasp312}eorundem semisummam, {\ae}qualis erit are{\ae}
$BKaB$ a perpendiculis omnibus $DK$ occupat{\ae}, quamproxime.}

\pngright{321.png}{1334}{869}{-24}
%Illustration

Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra descriptus,
per rectam illam sibi {\ae}qualem $aB$, tum arcus qui describeretur
in vacuo per longitudinem $AB$. Bisecetur $AB$ in
$C$, \& punctum $C$ repr{\ae}sentabit infimum Cycloidis punctum, \&
erit $CD$ ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in
$D$ secundum Tangentem
Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem
Penduli quam habet vis in $D$ ad vim gravitatis. Exponatur
igitur vis illa per longitudinem $CD$, \& vis gravitatis per
longitudinem penduli; \& si in $DE$ capiatur $DK$ in ea ratione ad
% -----File: 321.png---
longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit
$DK$ exponens resistenti{\ae}. Centro $C$ \& intervallo $CA$ vel $CB$
construatur semicirculus, $BEeA$.
Describat autem corpus tempore
quam minimo spatium $Dd$, \& erectis perpendiculis $DE$, de
circumferenti{\ae} occurrentibus in $E$ \& $e$, erunt h{\ae}c ut velocitates
quas corpus in vacuo, descendendo
a puncto $B$, acquireret
in locis $D$ \& $d$.
Patet hoc per Prop.\ LII.
Lib.\ I\@. Exponantur ita{\que}
h{\ae} velocitates per perpendicula
illa $DE$, $de$;
sitque $DF$ velocitas quam
acquirit in $D$ cadendo de
$B$ in Medio resistente. Et si centro $C$ \& intervallo $CF$ describatur
circulus $FfM$ occurrens rectis $de$ \& $AB$ in $f$ \& $M$, erit $M$ locus
ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, \& $df$
velocitas quam acquireret in $d$. Unde etiam si $Fg$ designet velocitatis
momentum quod corpus $D$, describendo spatium quam
minimum $Dd$, ex resistentia Medii amittit, \& sumatur $CN$ {\ae}qualis
$Cg$: erit $N$ locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore
resistentia ascenderet, \& $MN$ erit decrementum ascensus ex
velocitatis illius amissione oriundum. Ad $df$ demittatur perpendiculum
$Fm$, \& velocitatis $DF$ decrementum $fg$ a resistentia
$DK$ genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum $fma$ vi
$CD$ genitum, ut vis generans $DK$ ad vim generantem $CD$. Sed
\& ob similia triangula $Fmf$, $Fhg$, $FDC$, est $fm$ ad $Fm$ seu
$Dd$, ut $CD$ ad $DF$, \& ex {\ae}quo $Fg$ ad $Dd$ ut $DK$ ad $DF$.
Item $Fg$ ad $Fh$ ut $CF$ ad $DF$; \& ex {\ae}quo perturbate $Fh$ seu
$MN$ ad $Dd$ ut $DK$ ad $CF$. Sumatur $DR$ ad $\frac{1}{2}aB$ ut $DK$ ad
$CF$, \& erit $MN$ ad $Dd$ ut $DR$ ad $\frac{1}{2}aB$; ideoque summa omnium
$MN \times \frac{1}{2}aB$, id est $Aa \times \frac{1}{2}aB$, {\ae}qualis erit summ{\ae} omnium
$Dd \times DR$, id est are{\ae} $BRrSa$, quam rectangula omnia $Dd \times DR$
% -----File: 322.png---
seu $DRrd$ componunt. Bisecentur $Aa$ \& $aB$ in $P$ \& $O$, \& erit
$\frac{1}{2}aB$ seu $OB$ {\ae}qualis $CP$, ideoque $DR$ est ad $DK$ ut $CP$ ad $CF$
vel $CM$, \& divisim $KR$ ad $DR$ ut $PM$ ad $CP$. Ideoque cum
punctum $M$, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco $O$, incidat
circiter in punctum $P$, \& priore oscillationis parte versetur
inter $A$ \& $P$, posteriore autem inter $P$ \& $a$, utroque in casu {\ae}qualiter
a puncto $P$ in partes contrarias errans: punctum $K$ circa
medium oscillationis locum, id est e regione puncti $O$, puta
in $V$, incidet in punctum $R$; in priore autem oscillationis parte
jacebit inter $R$ \& $E$, \& in posteriore inter $R$ \& $D$, utroque in
casu {\ae}qualiter a puncto $R$ in partes contrarias errans. Proinde
area quam linea $KR$ describit, priore oscillationis parte jacebit
extra aream $BRSa$, posteriore intra eandem, idque dimensionibus
hinc inde propemodum {\ae}quatis inter se; \& propterea in
casu priore addita are{\ae} $BRSa$, in posteriore eidem subducta, relinquet
aream $BKTa$ are{\ae} $BRSa$ {\ae}qualem quam proxime.
Ergo rectangulum $Aa \times \frac{1}{2}aB$ seu $AaO$, cum sit {\ae}quale are{\ae}
$BRSa$, erit etiam {\ae}quale are{\ae} $BKTa$ quamproxime. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc ex lege resistenti{\ae} \& arcuum $Ca$, $CB$ differentia $Aa$,
colligi potest proportio resistenti{\ae} ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia $DK$, figura
$aBKkT$ rectangulum
erit sub $Ba$ \& $DK$, \& inde rectangulum sub $\frac{1}{2}Ba$ \& $Aa$
{\ae}qualis erit rectangulo sub $Ba$ \& $DK$, \& $DK$ {\ae}qualis erit $\frac{1}{2}Aa$.
Quare cum $DK$ sit exponens resistenti{\ae}, \& longitudo penduli exponens
gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut $\frac{1}{2}Aa$ ad longitudinem
Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum
est.

Si resistentia sit ut velocitas, Figura
$aBKkT$ Ellipsis erit quam
proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione
integra describeret longitudinem $BA$, velocitas in loco quovis
$D$ foret ut circuli diametro $AB$ descripti ordinatim applicata $DE$.
Proinde cum $Ba$ in Medio resistente \& $BA$ in Medio non resistente,
{\ae}qualibus circiter temporibus describantur; adeoque velocitates
% -----File: 323.png---
in singulis ipsius $Ba$ punctis, sint quam proxime ad velocitates
in punctis correspondentibus longitudinis $BA$, ut est $Ba$
ad $BA$; erit velocitas $DK$ in Medio resistente ut circuli vel Ellipseos
super diametro $Ba$ descripti ordinatim applicata; adeoque
figura $BKVTa$ Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia
velocitati proportionalis supponatur, sit $OV$ exponens resistenti{\ae}
in puncto Medio $O$; \& Ellipsis, centro $O$, semiaxibus $OB$, $OV$ descripta,
figuram $aBKVT$, eique {\ae}quale rectangulum $Aa \times BO$,
{\ae}quabit quam proxime. Est igitur $Aa \times BO$ ad $OV \times BO$ ut
area Ellipseos hujus ad $OV \times BO$: id est $Aa$ ad $OV$ ut area semicirculi,
ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et propterea:
$\frac{7}{11}Aa$ ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia
in $O$ ad ejusdem gravitatem.

Quod si resistentia $DK$ sit in duplicata ratione velocitatis, figura
$BKTVa$ Parabola erit verticem habens $V$ \& axem $OV$,
ideoque {\ae}qualis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub $Ba$
\& $OV$ quam proxime. Est igitur rectangulum sub $\frac{1}{2}Ba$ \& $Aa$
{\ae}quale rectangulo sub $\frac{2}{3}Ba$ \& $OV$, adeoque $OV$ {\ae}qualis $\frac{3}{4}Aa$,
\& propterea corporis oscillantis resistentia in $O$ ad ipsius gravitatem
ut $\frac{3}{4}Aa$ ad longitudinem Penduli.

Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas
esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum
figura $BKVTa$ in puncto medio $V$, h{\ae}c si ad partem alterutram
$BKV$ vel $VTa$ excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad
partem alteram, \& sic eidem {\ae}quabitur quam proxime.


\condpagelarge{Prop.\ XXXI\@. Theor.\ XXIV.}

\textit{Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus
proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia
inter arcum descensu descriptum \& arcum subsequente ascensu
descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.}

Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam
% -----File: 324.png---
Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis
resistentia retardans. In superiore Propositione rectangulum
sub recta $\frac{1}{2}aB$ \& arcuum illorum $CB$, $Ca$ differentia $Aa$,
{\ae}qualis erat are{\ae} $BKT$. Et area illa, si maneat longitudo $aB$,
augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum $DK$;
hoc est in ratione resistenti{\ae}, adeoque est ut longitudo $aB$ \&
resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub $Aa$ \& $\frac{1}{2}aB$
est ut $aB$ \& resistentia conjunctim, \& propterea $Aa$ ut resistentia.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum
in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: \& contra.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis,
differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; \& contra.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia
quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus
totius; \& contra.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis,
partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim
in ratione arcus totius \& partim in ejus ratione duplicata;
\& contra. Eadem erit lex \& ratio resistenti{\ae} pro velocitate, qu{\ae}
est differenti{\ae} illius pro longitudine arcus.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Ideoque si, pendulo in{\ae}quales arcus successive describente,
inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistenti{\ae}
hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi
ac decrementi resistenti{\ae} pro velocitate majore vel minore.


% -----File: 325.png---




\sectpage{VII.}

\begin{center}{\textit{De Motu Fluidorum \& resistentia Projectilium.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XXXII\@. Theor.\ XXV.}

\textit{Si corporum Systemata duo ex {\ae}quali particularum numero constent
\& particul{\ae} correspondentes similes sint, singul{\ae} in uno Systemate
singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem,
\& inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant,
(e{\ae} inter se qu{\ae} in uno sunt Systemate \& e{\ae} inter se qu{\ae} sunt in altero)
\& si non tangant se mutuo qu{\ae} in eodem sunt Systemate, nisi
in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi
viribus acceleratricibus qu{\ae} sint ut particularum correspondentium
diametri inverse \& quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum
particul{\ae} ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter
moveri; \& contra.}

Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter
moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illorum
semper sunt similes: puta si particul{\ae} unius Systematis cum
alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora
erunt proportionalia, in quibus similes \& proportionales figurarum
similium partes a particulis correspondentibus describuntur.
Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particul{\ae} correspondentes,
ob similitudinem inc{\ae}ptorum motuum, pergent similiter moveri
usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus,
progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg.\ I\@.
Si viribus aliquibus se mutuo agitant, \& vires ill{\ae} sint ut particularum
correspondentium diametri inverse \& quadrata velocitatum
directe; quoniam particularum situs sunt similes \& vires
proportionales, vires tot{\ae} quibus particul{\ae} correspondentes agitantur,
% -----File: 326.png---
ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium
secundum) composit{\ae}, similes habebunt determinationes, perinde
ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; \& erunt
vires ill{\ae} tot{\ae} ad invicem ut vires singul{\ae} componentes, hoc est
ut correspondentium particularum diametri inverse, \& quadrata
velocitatum directe: \& propterea efficient ut correspondentes
particul{\ae} figuras similes describere pergant. H{\ae}c ita se habebunt
per Corol.\ 1.\ 2, \& 7.\ Prop.\ IV. si modo centra illa quiescant.
Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes
manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducentur
mutationes in figuris quas particul{\ae} describunt. Similes igitur
erunt correspondentium \& similium particularum motus
usque ad occursus suos primos, \& propterea similes occursus,
\& similes reflexiones, \& subinde (per jam ostensa) similes motus
inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, \& sic deinceps
in infinitum. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si corpora duo qu{\ae}vis, qu{\ae} similia sint \& ad
Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas
temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque
eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum:
h{\ae}c pergent temporibus proportionalibus similiter
moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utriusque
atque particularum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si similes \& similiter posit{\ae} Systematum partes
omnes quiescant inter se: \& earum du{\ae}, qu{\ae} c{\ae}teris majores sint,
\& sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum
lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant:
h{\ae} similes in reliquis systematum partibus excitabunt motus,
\& pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter
moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia describere.
% -----File: 327.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXXIII\@. Theor.\ XXVI.}

\textit{Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in
ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum \& duplicata
ratione diametrorum \& ratione densitatis partium Systematum.}

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis
quibus particul{\ae} systematum se mutuo agitant, partim ex
occursibus \& reflexionibus particularum \& partium majorum.
Prioris autem generis resistenti{\ae} sunt ad invicem ut vires tot{\ae}
motrices a quibus oriuntur, id est ut vires tot{\ae} acceleratrices \&
quantitates materi{\ae} in partibus correspondentibus; hoc est (per
Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe \& distanti{\ae} particularum
correspondentium inverse \& quantitates materi{\ae} in partibus
correspondentibus directe: ideoque (cum distanti{\ae} particularum
systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum
alterius, ut diameter particul{\ae} vel partis in systemate
priore ad diametrum particul{\ae} vel partis correspondentis in altero,
\& quantitates materi{\ae} sint ut densitates partium \& cubi
diametrorum) resistenti{\ae} sunt ad invicem ut quadrata velocitatum
\& quadrata diametrorum \& densitates partium Systematum.
\QEDit Posterioris generis resistenti{\ae} sunt ut reflexionum
correspondentium numeri \& vires conjunctim. Numeri autem reflexionum
sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium
directe, \& spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires
reflexionum sunt ut velocitates \& magnitudines \& densitates partium
correspondentium conjunctim; id est ut velocitates \& diametrorum
cubi \& densitates partium. Et conjunctis his omnibus
rationibus, resistenti{\ae} partium correspondentium sunt ad invicem
ut quadrata velocitatum \& quadrata diametrorum \& densitates
partium conjunctim. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad
modum Aeris, \& partes eorum quiescant inter se: corpora autem
% -----File: 328.png---
duo similia \& partibus fluidorum quoad magnitudinem \&
densitatem proportionalia, \& inter partes illas similiter posita,
secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires autem
motrices, quibus particul{\ae} Fluidorum se mutuo agitant, sint
ut corporum projectorum diametri inverse, \& quadrata velocitatum
directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes
excitabunt motus in Fluidis, \& spatia similia ac diametris suis proportionalia
describent.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur
in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires,
quibus particul{\ae} distantes se mutuo agitant,
\label{wasp320}augerentur in duplicata
ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione
duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem
distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ratione
velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria $A$, $B$, $C$ ex
partibus similibus \& {\ae}qualibus \& secundum distantias {\ae}quales regulariter
dispositis constantia. Partes Mediorum $A$ \& $B$ fugiant se
mutuo viribus qu{\ae} sint ad invicem ut $T$ \& $V$, ill{\ae} Medii $C$ ejusmodi
viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor {\ae}qualia
$D$, $E$, $F$, $G$ in his Mediis moveantur, priora duo $D$ \& $E$ in
prioribus duobus $A$ \& $B$, \& altera duo $F$ \& $G$ in tertio $C$; sitque
velocitas corporis $D$ ad velocitatem corporis $E$, \& velocitas corporis
$F$ ad velocitatem corporis $G$, in dimidiata ratione virium
$T$ ad vires $V$; resistentia corporis $D$ erit ad resistentiam corporis
$E$, \& resistentia corporis $F$ ad resistentiam corporis $G$ in velocitatum
ratione duplicata; \& propterea resistentia corporis $D$ erit ad
resistentiam corporis $F$ ut resistentia corporis $E$ ad resistentiam
corporis $G$. Sunto corpora $D$ \& $F$ {\ae}quivelocia ut \& corpora
$E$ \& $G$; \& augendo velocitates corporum $D$ \& $F$ in ratione quacunque,
ac diminuendo vires particularum Medii $B$ in eadem ratione
duplicata, accedet Medium $B$ ad formam \& conditionem
Medii $C$ pro lubitu, \& idcirco resistenti{\ae} corporum {\ae}qualium \&
{\ae}quivelocium $E$ \& $G$ in his Mediis, perpetuo accedent ad {\ae}qualitatem,
% -----File: 329.png---
ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data
qu{\ae}vis. Proinde cum resistenti{\ae} corporum $D$ \& $F$ sint ad invicem
ut resistenti{\ae} corporum $E$ \& $G$, accedent etiam h{\ae} similiter ad
rationem {\ae}qualitatis. Corporum igitur $D$ \& $F$, ubi velocissime
moventur, resistenti{\ae} sunt {\ae}quales quam proxime: \& propterea
cum resistentia corporis $F$ sit in duplicata ratione velocitatis,
erit resistentia corporis $D$ in eadem ratione quamproxime.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime
moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus
suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo
Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Proinde cum resistenti{\ae} similium \& {\ae}quivelocium
corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt,
sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam {\ae}quivelocium \& celerrime
moventium corporum resistenti{\ae} in Fluido Elastico ut
quadrata diametrorum quam proxime.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et cum corpora similia, {\ae}qualia \& {\ae}quivelocia, in
Mediis ejusdem densitatis, quorum particul{\ae} se mutuo non fugiunt,
sive particul{\ae} ill{\ae} sint plures \& minores, sive pauciores \&
majores, in {\ae}qualem materi{\ae} quantitatem temporibus {\ae}qualibus
inpingant, eique {\ae}qualem motus quantitatem imprimant, \& vicissim
(per motus Legem tertiam) {\ae}qualem ab eadem reactionem
patiantur, hoc est, {\ae}qualiter resistantur: manifestum est
etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime
moventur, {\ae}quales sint eorum resistenti{\ae} quam proxime; sive
Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium
subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia projectilium
celerrime motorum non multum diminuitur.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Cum autem particul{\ae} Fluidorum, propter vires
quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent
particulas alias in circuitu, atque adeo difficilius moveantur inter
se quam si viribus istis destituerentur; \& quo majores sint earum
% -----File: 330.png---
vires centrifug{\ae}, eo difficilius moveantur inter se: manifestum
esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebitur,
quo vires ill{\ae} sunt intensiores; \& propterea si corporis velocissimi
in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoniam
resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo
vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur;
vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia
diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Porro cum vires centrifug{\ae} eo nomine ad augendam
resistentiam conducant, quod particul{\ae} motus suos per Fluidum
ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; \& cum distantia
illa minorem habeat rationem ad majora corpora: manifestum
est quod augmentum resistenti{\ae} ex viribus illis oriundum
in corporibus majoribus minoris sit momenti; \& propterea, quo
corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium
decrescet in duplicata ratione velocitatis.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit
in Fluidis qu{\ae}, pari densitate \& vi Elastica, ex particulis
minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, \&
particul{\ae} Fluidi, manente ejus densitate \& vi Elastica, diminuantur
in eadem ratione; manebit eadem ratio resistenti{\ae} qu{\ae} prius:
ut ex pr{\ae}cedentibus facile colligitur.

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}H{\ae}c omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica
ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod
si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar
Lan{\ae} vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua
motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistentia,
ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus
Corollariis.
% -----File: 331.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXXIV\@. Theor.\ XXVII.}

\textit{Qu{\ae} in pr{\ae}cedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt,
obtinent ubi particul{\ae} Systematum se mutuo contingunt, si modo particul{\ae}
ill{\ae} sint summe lubric{\ae}.}

Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, \& vires
illas in accessu ad superficies particularum augeri in infinitum,
\& contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui \& statim evanescere.
Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eorum
se mutuo contingant, nisi quatenus vires ill{\ae} contactum impediunt.
Sint autem spatia per qu{\ae} vires particularum diffunduntur
quam angustissima, ita ut particul{\ae} se mutuo quam proxime
contingant: \& motus particularum inter se iidem erunt quam
proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur
inter se ac si essent summe lubric{\ae}, \& si impingant in se mutuo
reflectentur ab invicem ope virium pr{\ae}fatarum, perinde ac si essent
Elastic{\ae}. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quatenus
perexigua particularum sese non contingentium intervalla
diversitatem efficiant: qu{\ae} quidem diversitas diminuendo particularum
intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero qu{\ae}
in pr{\ae}cedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent
in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla
particularum, diminuendo spatia per qu{\ae} vires diffunduntur, diminuantur
in infinitum. Et propterea eadem obtinent in particulis
sese contingentibus, exceptis solum differentiis qu{\ae} tandem
differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod
accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quocunque.
Atqui jam probatum est quod differentia minor sit
quam data qu{\ae}vis. Ergo differentia falso assignatur, \& propterea
nulla est. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant
inter se, exceptis duabus, qu{\ae} c{\ae}teris majores sint \& sibi
% -----File: 332.png---
mutuo correspondeant inter c{\ae}teras similiter sit{\ae}. H{\ae} secundum
lineas similiter positas utcunque project{\ae} similes excitabunt motus
in Systematibus, \& temporibus proportionalibus pergent spatia
similia \& diametris suis proportionalia describere; \& resistentur
in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum
\& duplicata ratione diametrorum \& ratione densitatis Systematum.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, \&
eorum partes du{\ae} majores sint corpora in iisdem projecta: sint
autem Fluidorum particul{\ae} summe lubric{\ae}, \& quoad magnitudinem
\& densitatem proportionales corporibus: pergent corpora
temporibus proportionalibus spatia similia \& diametris suis proportionalia
describere, \& resistentur in ratione Corollario superiore
definita.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine
datum resistitur in duplicata ratione velocitatis.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}At\spreadout{si particul{\ae} Fluidi non sint summe lubric{\ae}, vel si viribus} \\
quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas
diminuitur: Projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam,
\& propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione
duplicata.


\condpagelarge{Prop.\ XXXV\@. Theor.\ XXVIII.}

\textit{Si Globus \& Cylindrus {\ae}qualibus diametris descripti, in Medio
raro \& Elastico, secundum plagam axis Cylindri, {\ae}quali cum velocitate
celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia
Cylindri.}

\label{wasp325}\pngright{333.png}{1792}{1260}{-24}
%Illustration

Nam quoniam resistentia (per Corol.\ 3.\ Prop.\ XXXIII.)
eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mutuo
fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus destitutas
per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio
Medii in corpus eadem est (per Legum Corol.\ 5.)\ sive corpus
in Medio quiescente moveatur, sive Medii particul{\ae} eadem cum
% -----File: 333.png---
velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus
tanquam quiescens, \& videamus quo impetu urgebitur a Medio
movente. Designet igitur $ABKI$ corpus Sph{\ae}ricum centro $C$
semidiametro
$CA$ descriptum,
\& incidant
particul{\ae}
Medii data
cum velocitate
in corpus
illud Sph{\ae}ricum,
secundum
rectas ipsi
$AC$ parallelas:
Sitque $FB$
ejusmodi recta. In ea capiatur $LB$ semidiametro $CB$ {\ae}qualis, \&
ducatur $BD$ qu{\ae} Sph{\ae}ram tangat in $B$. In $AC$ \& $BD$ demittantur
perpendiculares $BE$, $DL$, \& vis qua particula Medii, secundum
rectam $FB$ oblique incidendo, Globum ferit in $B$, erit
ad vim qua particula eadem Cylindrum $ONGQ$ axe $ACI$ circa
Globum descriptum perpendiculariter feriret in $b$, ut $LD$ ad
$LB$ vel $BE$ ad $BC$. Rursus efficacia hujus vis ad movendum
globum secundum incidenti{\ae} su{\ae} plagam $FB$ vel $AC$, est ad ejusdem
efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis
su{\ae}, id est secundum plagam rect{\ae} $BC$ qua globum
directe urget, ut $BE$ ad
$BC$. Et conjunctis rationibus, efficacia
particul{\ae}, in globum secundum rectam $FB$ oblique incidentis,
ad movendum eundem secundum plagam incidenti{\ae} su{\ae}, est ad
efficaciam particul{\ae} ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum
perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam
eandem, ut $BE$ quadratum ad $BC$ quadratum. Quare si ad cylindri
basem circularem $NAO$ erigatur perpendiculum $bHE$, \&
sit $bE$ {\ae}qualis radio $AC$, \& $bH$ {\ae}qualis
$\frac{BE \opit{quad.}}{CB}$, erit $bH$ ad
% -----File: 334.png---
$bE$ ut effectus particul{\ae} in globum ad effectum particul{\ae} in
cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus $bH$
occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus $bE$ occupatur,
ut effectus particularum omnium in globum ad effectum
particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Parabolois
vertice $V$, axe $CA$ \& latere recto $CA$ descriptum, \& solidum
posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: \& notum
est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo
vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota
in cylindrum. Et propterea si particul{\ae} Medii quiescerent, \& cylindrus
ac globus {\ae}quali cum velocitate moverentur, foret resistentia
globi duplo minor quam resistentia cylindri. \QEDit


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

\pngright{334.png}{643}{670}{-24}
%Illustration

Eadem methodo figur{\ae} ali{\ae} inter se quoad resistentiam comparari
possunt, e{\ae}que inveniri qu{\ae} ad motus suos in Mediis resistentibus
continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari $CEBH$,
qu{\ae} centro $O$, radio $OC$ describitur, \& altitudine
$OD$, construendum sit frustum coni
$CBGF$, quod omnium eadem basi \& altitudine
constructorum \& secundum plagam axis
sui versus $D$ progredientium frustorum minime
resistatur: biseca altitudinem $OD$ in $Q$
\& produc, $OQ$ ad $S$ ut sit $QS$ {\ae}qualis $QC$,
\& erit $S$ vertex coni cujus frustum qu{\ae}ritur.

Unde obiter cum angulus $CSB$ semper sit acutus, consequens
est, quod si solidum $ADBE$ convolutione figur{\ae} Elliptic{\ae} vel Ovalis
$ADBE$ circa axem $AB$ facta generetur, \& tangatur figura
generans a rectis tribus $FG$, $GH$, $HI$ in punctis $F$, $B$ \& $I$, ea lege
ut $GH$ sit perpendicularis ad axem in puncto contactus $B$, \& $FG$,
$HI$ cum eadem $GH$ contineant angulos $FGB$, $BHI$ graduum
135: solidum, quod convolutione figur{\ae} $ADFGHIE$ circa axem
% -----File: 335.png---
eundem $CB$ generatur, minus resistitur quam solidum prius;
si modo utrumque secundum plagam axis sui $AB$ progrediatur,
\& utriusque terminus $B$ pr{\ae}cedat. Quam quidem propositionem
in construendis Navibus
non inutilem futuram
esse censeo.

\pngright{335.png}{1282}{860}{-12}
%Illustration

Quod si figura $DNFB$
ejusmodi sit ut, si ab ejus
puncto quovis $N$ ad axem
$AB$ demittatur perpendiculum
$NM$, \& a puncto dato
$G$ ducatur recta $GR$
qu{\ae} parallela sit rect{\ae} figuram tangenti in $N$, \& axem productum
secet in $R$, fuerit $MN$ ad $GR$ ut $GR \opit{cub.}$ ad $4BR \times GBq.$: Solidum
quod figur{\ae} hujus revolutione circa axem $AB$ facta describitur,
in Medio raro \& Elastico ab $A$ versus $B$ velocissime movendo,
minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine
\& latitudine descriptum Solidum circulare.


\condpagelarge{Prop.\ XXXVI\@. Prob.\ VIII.}

%!!Page reference

\textit{Invenire resistentiam corporis Sph{\ae}rici in Fluido raro \& Elastico
velocissime progredientis.} (Vide Fig.\ Pag.\ \pageref{wasp325}.)

Designet $ABKI$ corpus Sph{\ae}ricum centro $C$ semidiametro $CA$
descriptum. Producatur $CA$ primo ad $S$ deinde ad $R$, ut sit $AS$
pars tertia ipsius $CA$, \& $CR$ sit ad $CS$ ut densitas corporis Sph{\ae}rici
ad densitatem Medii. Ad $CR$ erigantur perpendicula $PC$,
$RX$, centroque $R$ \& Asymptotis $CR$, $RX$ describatur Hyperbola
qu{\ae}vis $PVY$. In $CR$ capiatur $CT$ longitudinis cujusvis, \&
erigatur perpendiculum $TV$ abscindens aream Hyperbolicam
$PCTV$, \& sit $CZ$ latus hujus are{\ae} applicat{\ae} ad rectam $PC$. Dico
quod motus quem globus, describendo spatium $CZ$, ex resistentia
Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudo
$CT$ ad longitudinem $CR$ quamproxime.
% -----File: 336.png---

Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus
$GNOQ$ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas
amitteret, {\ae}qualis est motui quem imprimeret in easdem particulas.
Ponamus quod particul{\ae} singul{\ae} reflectantur a cylindro,
\& ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas
accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol.\ 3.\ si modo
particul{\ae} quam minime sint, \& vi Elastica quam maxima
reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita
velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem
quam velocitas cylindri, \& propterea motus quem cylindrus
ex reflexione particul{\ae} cujusque amittit, erit ad motum
totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Proinde
cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut $CS$ ad
$CR$; si $Ct$ sit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta,
erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri
ut $2Ct \times CS$ ad $AI \times CR$. Ea enim est ratio materi{\ae} Medii,
a cylindro protrus{\ae} \& reflex{\ae}, ad massam cylindri. Unde
cum globus sit du{\ae} terti{\ae} partes cylindri, \& resistentia globi
(per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia
cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem
$L$ amittit, ad motum totum globi, ut $Ct \times CS$ ad $\frac{2}{3}AI \times CR$, sive
ut $Ct$ ad $CR$. Erigatur perpendiculum $tv$ Hyperbol{\ae} occurrens
in $v$, \& (per Corol.\ 1.\ Prop.\ V. Lib.\ II.) si corpus describendo
longitudinem are{\ae} $CtvP$ proportionalem, amittit motus
sui totius $CR$ partem quamvis $Ct$, idem describendo longitudinem
are{\ae} $CTVP$ proportionalem, amittet motus sui partem
$CT$. Sed longitudo $Ct$
{\ae}qualis est $\frac{CPvt}{CP}$, \& longitudo $CZ$
(per Hypothesin) {\ae}qualis est $\frac{CPTV}{CP}$, adeoque longitudo $Ct$
est ad longitudinem $CZ$ ut area $CPvt$ ad aream $CPVT$. Et
propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam
$Ct$ amittat motus sui partem, qu{\ae} sit ad totum ut $Ct$ ad $CR$, is
% -----File: 337.png---
describendo longitudinem aliam quamvis $CZ$, amittet motus sui
partem qu{\ae} sit ad totum ut $CT$ ad $CR.$ \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus
quo corpus, describendo spatium $Ct$, amittet motus sui partem
$Ct$: \& inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut
ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem
tempore generaret; dabitur proportio resistenti{\ae} ad gravitatem
Globi.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Quoniam in his determinandis supposui quod particul{\ae}
Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo reflectantur,
\& particularum sic reflexarum impetus in Globum
duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod
in Fluido, cujus particul{\ae} vi omni Elastica aliaque omni vi reflexiva
destituuntur, corpus Sph{\ae}ricum resistentiam duplo minorem
patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo
longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus
superius allata.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit
neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat:
resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis \& Corollario
superiore positos, mediocrem rationem tenebit.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam
pro ratione duplicata velocitatis: h{\ae}c describendo longitudinem
quamvis $CZ$ amittent majorem motus sui partem, quam qu{\ae} sit
ad motum suum totum ut $CT$ ad $CR$.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Cognita autem resistentia corporum celerrimorum,
innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistenti{\ae}
pro ratione velocitatis inveniri potest.
% -----File: 338.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXXVII\@. Prob.\ IX.}

\textit{Aqu{\ae} de vase dato per foramen effluentis definire motum.}

Si vas impleatur aqua, \& in fundo perforetur ut aqua per foramen
defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aqu{\ae}
totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculariter
imminet. Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, obstaculum
sustineret pondus aqu{\ae} sibi perpendiculariter incumbentis,
\& fundum vasis sustineret pondus aqu{\ae} reliqu{\ae}. Sublato
autem obstaculo, fundum vasis eadem aqu{\ae} pressione eodemve
ipsius pondere urgebitur ac prius; \& pondus quod obstaculum
sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua descendat
\& per foramen defluat.

Unde consequens est, quod motus aqu{\ae} totius effluentis is erit
quem pondus aqu{\ae} foramini perpendiculariter incumbentis generare
possit. Nam aqu{\ae} particula unaqu{\ae}que pondere suo, quatenus
non impeditur, descendit, idque motu uniformiter accelerato;
\& quatenus impeditur, urgebit obstaculum. Obstaculum
illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; \& propterea
ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit aquam
defluentem \& motum sibi proportionalem generabit.

Designet igitur $F$ aream foraminis, $A$ altitudinem aqu{\ae} foramini
perpendiculariter incumbentis, $P$ pondus ejus, $AF$ quantitatem
ejus, $S$ spatium quod dato quovis tempore $T$ in vacuo
libere cadendo describeret, \& $V$ velocitatem quam in fine temporis
illius cadendo acquisierit: \& motus ejus acquisitus $AF \times V$
{\ae}qualis erit motui aqu{\ae} totius eodem tempore effluentis. Sit
velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem $V$ ut
$d$ ad $e$; \& cum aqua velocitate $V$ describere posset spatium $2S$,
aqua effluens eodem tempore, velocitate sua $\frac{d}{e} V$ describere posset
spatium $\frac{2d}{e} S$. Et propterea columna aqu{\ae} cujus longitudo
% -----File: 339.png---
sit $\frac{2d}{e} S$ \& latitudo eadem qu{\ae} foraminis, posset eo tempore defluendo
egredi de vase, hoc est columna $\frac{2d}{e} SF$. Quare motus
$\frac{2dd}{ee} SFV$, qui fiet ducendo quantitatem aqu{\ae} effluentis in velocitatem
suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius genitus,
{\ae}quabitur motui $AF \times V$. Et si {\ae}quales illi motus
\label{wasp331}applicentur
ad $FV$; fiet $\frac{2dd}{ee} S$ {\ae}qualis $A$. Unde est $dd$ ad $ee$ ut $A$ ad $2S$,
\& $d$ ad $e$ in dimidiata ratione $\frac{1}{2}A$ ad $S$. Est igitur velocitas quacum
aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, \&
tempore $T$ cadendo describens spatium $S$ acquireret, ut altitudo
aqu{\ae} foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium proportionale
inter altitudinem illam duplicatam \& spatium illud $S$, quod
corpus tempore $T$ cadendo describeret.

Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate
$V$ ascenderet ad altitudinem illam $S$ de qua deciderat; \& altitudines
(uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum:
aqua effluens ascenderet ad altitudinem $\frac{1}{2}A$. Et propterea quantitas
aqu{\ae} effluentis; quo tempore corpus cadendo describere
posset altitudinem $\frac{1}{2}A$, {\ae}qualis erit column{\ae} aqu{\ae} totius $AF$ foramini
perpendiculariter imminentis.

Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendiculariter
surgeret ad dimidiam altitudinem aqu{\ae} foramini incumbentis;
consequens est quod si egrediatur oblique per canalem
in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cujus
latus rectum est altitudo aqu{\ae} in vase supra canalis orificium,
\& cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur,
atque ordinatim applicat{\ae} parallel{\ae} sunt axi canalis.

H{\ae}c omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si
aqua ex partibus crassioribus constet, h{\ae}c tardius effluet quam
pro ratione superius assignata, pr{\ae}sertim si foramen angustum sit
per quod effluit.
% -----File: 340.png---

Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur;
quoniam fundum vasis integrum est, \& eadem aqu{\ae} incumbentis
pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas sustinebit
pondus aqu{\ae} totius, non obstante effluxu, sed latus vasis
de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam sustineret
si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis illius
ubi perforatur: qu{\ae} quidem pressio {\ae}qualis est ponderi column{\ae}
aqu{\ae}, cujus basis foramini {\ae}quatur \& altitudo eadem est qu{\ae} aqu{\ae}
totius supra foramen. Et propterea si vas, ad modum corporis
penduli, filo pr{\ae}longo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in
plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet
semper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par est ratio
motus pilarum, qu{\ae} Pulvere tormentario madefacto implentur, \&,
materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a
regione flamm{\ae} \& in partem contrariam cum impetu feruntur.


\condpagelarge{Prop.\ XXXVIII\@. Theor.\ XXIX.}

\textit{Corporum Sph{\ae}ricorum in Mediis quibusque Fluidissimis resistentiam
in anteriore superficie definire.}

\pngright{341.png}{1665}{2402}{-24}
%Illustration

Defluat aqua de vase Cylindrico $ABCD$, per canalem Cylindricum
$EFGH$, in vas inferius $IKLM$; \& inde effluat per
vasis marginem $IM$. Sit autem margo ille ejusdem altitudinis
cum vasis superioris fundo $CD$, eo ut aqua per totum canalem
uniformi cum motu descendat; \& in medio canalis collocetur
Globus $P$, sitque $PR$ altitudo aqu{\ae} supra Globum, \& $SR$ ejusdem
altitudo supra fundum vasis. Sustineatur autem Globus filo
tenuissimo $TV$, lateribus canalis hinc inde affixo. Et manifestum
est per proportionem superiorem, quod quantitas aqu{\ae} dato
tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod defluit;
hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus
adsit, ut spatium undique inter Globum \& canalem. Nam velocitas
aqu{\ae} defluentis (per superiorem Propositionem) ea erit
% -----File: 341.png---
quam corpus cadendo, \& casu suo describendo dimidiam aqu{\ae}
altitudinem $SR$, acquirere posset: adeoque eadem est sive
Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut
amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aqu{\ae} per spatium
angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius,
\& propterea velocitas
ejus ubi
Globus adest,
non potest esse
major quam
cum tollitur: ideoque
major aqu{\ae}
quantitas, ubi
Globus adest,
non effluet quam
pro ratione spatii
per quod transit.
Si aqua non
sit liquor subtilissimus
\& fluidissimus,
hujus
transitus per spatium
angustius,
ob crassitudinem
particularum, erit
aliquanto tardior:
at liquorem fluidissimum esse hic supponimus. Igitur
quantitas aqu{\ae}, cujus descensum Globus dato tempore impedit, est
ad quantitatem aqu{\ae} qu{\ae}, si Globus tolleretur, eodem tempore
descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium
canalis; sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diametri
cavitatis canalis. Et propterea quantitas aqu{\ae} cujus descensum
Globus impedit, {\ae}qualis est quantitati aqu{\ae}, qu{\ae} eodem
% -----File: 342.png---
tempore per foramen circulare in fundo vasis, basi Cylindri illius
{\ae}quale, descendere posset, \& cujus descensus per fundi partem
quamvis circularem basi illi {\ae}qualem impeditur.

Jam vero pondus aqu{\ae}, quod vas \& Globus conjunctim sustinent,
est pondus aqu{\ae} totius in vase, pr{\ae}ter partem illam qu{\ae}
aquam defluentem accelerat, \& ad ejus motum generandum sufficit,
qu{\ae}que, per Propositionem superiorem, {\ae}qualis est ponderi
column{\ae} aqu{\ae} cujus basis {\ae}quatur spatio inter Globum \& canalem
per quod aqua defluit, \& altitudo eadem cum altitudine
aqu{\ae} supra fundum vasis, per lineam $SR$ designata. Vasis igitur
fundum \& Globus conjunctim sustinent pondus aqu{\ae} totius
in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis. Unde cum fundum
vasis sustineat pondus aqu{\ae} sibi perpendiculariter imminentis,
reliquum est ut Globus etiam sustineat pondus aqu{\ae} sibi perpendiculariter
imminentis. Globus quidem non sustinet pondus
aqu{\ae} illius stagnantis \& sibi absque omni motu incumbentis, sed
aqu{\ae} defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; adeoque
vim aqu{\ae} defluentis sustinet ponderi illi {\ae}qualem. Nam
impedit descensum \& effluxum quantitatis aqu{\ae} quem pondus
illud accurate efficeret si Globus tolleretur. Aqua pondere suo,
quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne, ideoque
obstaculum, quatenus descensum aqu{\ae} impedit, vim sustinet
{\ae}qualem ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem
descensum quantitatis aqu{\ae} impedit, quem pondus column{\ae}
aqu{\ae} sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; \&
propterea vim aqu{\ae} decurrentis sustinet ponderi illi {\ae}qualem.
Actio \& reactio aqu{\ae} per motus Legem tertiam {\ae}quantur inter
se, \& in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam descendentem,
ad ejus descensum impediendum, in superiora dirigitur,
\& est ut descendendi motus impeditus, eique tollendo ad{\ae}quate
sufficit: \& propterea actio contraria aqu{\ae} in Globum {\ae}qualis
est vi qu{\ae} motum eundem vel tollere vel generare possit,
% -----File: 343.png---
hoc est ponderi column{\ae} aqu{\ae}, qu{\ae} Globo perpendiculariter imminet
\& cujus altitudo est $RS$.

Si jam canalis orificium superius obstruatur, sic ut aqua descendere
nequeat, Globus quidem, pondere aqu{\ae} in canali \& vase
inferiore $IKLM$ stagnantis, premetur undique; sed non obstante
pressione illa, si ejusdem sit specific{\ae} gravitatis cum aqua,
quiescet. Pressio illa Globum nullam in partem impellet. Et
propterea ubi canalis aperitur \& aqua de vase superiore descendit,
vis omnis, qua Globus impellitur deorsum, orietur ab aqu{\ae} illius
descensu, atque adeo {\ae}qualis erit ponderi column{\ae} aqu{\ae}, cujus altitudo
est $RS$ \& diameter eadem qu{\ae} Globi. Pondus autem istud,
quo tempore data qu{\ae}libet aqu{\ae} quantitas, per foramen basi Cylindri
circa Globum descripti {\ae}quale, sublato Globo effluere posset,
sufficit ad ejus motum omnem generandum; atque adeo quo
tempore aqua in Cylindro uniformiter decurrendo describit duas
tertias partes diametri Globi, sufficit ad motum omnem aqu{\ae} Globo
{\ae}qualis generandum. Nam Cylindrus aqu{\ae}, latitudine Globi
\& duabus tertiis partibus altitudinis descriptus, Globo {\ae}quatur.
Et propterea aqu{\ae} currentis impetus in Globum quiescentem,
quo tempore aqua currendo describit duas tertias partes diametri
Globi, si uniformiter continuetur, generaret motum omnem partis
Fluidi qu{\ae} Globo {\ae}quatur.

Qu{\ae} vero de aqua in canali demonstrata sunt, intelligenda
sunt etiam de aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in ea
quiescens urgetur. Qu{\ae}que de aqua demonstrata sunt obtinent
etiam in Fluidis universis subtilissimis. De his omnibus idem valet
argumentum.

Jam vero per Legum Corol.\ 5, vis Fluidi in Globum eadem
est, sive Globus quiescat \& Fluidum uniformi cum velocitate moveatur,
sive Fluidum quiescat \& Globus eadem cum velocitate
in partem contrariam pergat. Et propterea resistentia Globi in
Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo
tempore Globus duas tertias partes diametri su{\ae} describit, {\ae}qualis
% -----File: 344.png---
est vi, qu{\ae} in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo \& ejusdem
densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore
Globus duas tertias partes diametri su{\ae} progrediendo describit,
velocitatem Globi in corpore illo generare posset. Tanta est resistentia
Globi in superficiei parte pr{\ae}cedente. \QEIit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si solidum Sph{\ae}ricum in ejusdem secum densitatis
Fluido subtilissimo libere moveatur, \& inter movendum eadem
vi urgeatur a tergo atque cum quiescit; ejusdem resistentia ea
erit quam in Corollario secundo Propositionis xxxvi.\ descripsimus.
Unde si computus ineatur, patebit quod solidum dimidiam
motus sui partem prius amittet, quam progrediendo descripserit
longitudinem diametri propri{\ae}; Quod si inter movendum minus
urgeatur a tergo, magis retardabitur: \& contra, si magis
urgeatur, minus retardabitur.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam projectilium
per infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum diminui.
Si Fluidum sit valde crassum, minuetur resistentia aliquantulum
per divisionem partium ejus. At postquam competentem
Fluiditatis gradum acquisiverit, (qualis forte est Fluiditas
Aeris vel aqu{\ae} vel argenti vivi) resistentia in anteriore superficie
solidi, per ulteriorem partium divisionem non multum minuetur.
Nunquam enim minor futura est quam pro limite quem
in Corollario superiore assignavimus.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Media\spreadout{igitur in quibus corpora projectilia sine sensibili motus} \\
diminutione longissime progrediuntur, non solum
Fluidissima sunt, sed etiam longe rariora quam sunt corpora illa
qu{\ae} in ipsis moventur: nisi forte quis dixerit Medium omne Fluidissimum,
impetu perpetuo in posticam projectilis partem facto,
tantum promovere motum ejus quantum impedit \& resistit in parte
antica. Et motus quidem illius, quem projectile imprimit in
Medium, partem aliquam a Medio circulariter lato reddi corpori
a tergo verisimile est. Nam \& experimentis quibusdam factis,
reperi quod in Fluidis satis compressis pars aliqua redditur.
% -----File: 345.png---
Omnem vero in casu quocunque reddi nec rationi consentaneum
videtur, neque cum experimentis hactenus a me tentatis bene
quadrat. Fluidorum enim utcunque subtilium, si densa sint,
vim ad solida movenda resistendaque permagnam esse, \& quomodo
vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius
patebit per Propositiones duas qu{\ae} sequuntur.


\condpagelarge{Lemma IV.}

\textit{Si vas Sph{\ae}ricum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi impressa
moveatur in directum, motuque progessivo semper accelerato
ita pergat ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi,
{\ae}qualiter participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtinebit
in vase figur{\ae} cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget demonstratione.}

\condpagelarge{Prop.\ XXXIX\@. Theor.\ XXX.}

\textit{Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis
progreditur, \& cujus partes inter se quiescunt, rapit omnia ejusdem
densitatis innatantia corpora, \& secum cum eadem velocitate defert.}

Nam per Lemma superius si vas Sph{\ae}ricum, rigidum, Fluidoque
homogeneo quiescente plenum, motu paulatim impresso
progrediatur; Fluidi motum vasis participantis partis omnes
semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes aliqu{\ae} congelarentur,
pergerent h{\ae} quiescere inter partes reliquas. Nam quoniam
partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluid{\ae} sint,
sive aliqu{\ae} earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus
impressa moveatur, \& motum suum imprimat in Fluidum; Fluidum
quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congelatas
easque secum rapiet. Sed partes ill{\ae} congelat{\ae} sunt corpora
solida ejusdem densitates cum Fluido; \& par est ratio Fluidi, sive
id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad modum venti
% -----File: 346.png---
spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato
fertur, \& cujus partes inter se quiescunt, solida qu{\ae}cunque ejusdem
densitatis inclusa, qu{\ae} sub initio quiescebant, rapit secum, \&
una moveri cogit. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XL\@. Prob.\ X.}

\textit{Invenire resistentiam solidorum Sph{\ae}ricorum in Mediis Fluidissimis
densitate datis.}

In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi
specie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic: ut
ejus motus amissus, quo tempore progrediendo longitudinem
semidiametri su{\ae} describit, est ad ejus motum totum sub initio, ita
motus quem solidum quodvis datum, in Fluido eodem jam facto
subtilissimo, describendo diametri su{\ae} longitudinem amitteret,
est ad ejus motum totum sub initio quamproxime. Nam si particul{\ae}
minim{\ae} Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eundemque
situm ad solidum datum in eo movens, quem particul{\ae}
totidem minim{\ae} Fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum;
sintque particul{\ae} Fluidi utrius{\que} summe lubric{\ae}, \& viribus centrifugis
centripetisque omnino destituantur; incipiant autem solida
temporibus quibuscunque proportionalibus in his Fluidis similiter
moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo
tempore describunt spatia semidiametris suis {\ae}qualia, amittent
partes motuum proportionales totis; idque licet partes Medii
subtiliati minuantur, \& magnitudo solidi in Medio non subtiliato
moventis augeatur in infinitum. Ergo ex resistentia solidi aucti
in Medio non subtiliato, dabitur per proportionem superiorem resistentia
solidi non aucti in Medio subtiliato. \QEIit

Si particul{\ae} non sunt summe lubric{\ae}, supponendum est quod
in utro{\que} Fluido sunt {\ae}qualiter lubric{\ae}, eo ut ex defectu lubricitatis
resistentia utrin{\que} {\ae}qualiter augeatur: \& Propositio etiamnum
valebit.

% -----File: 347.png---
\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ergo si ex aucta solidi Sph{\ae}rici magnitudine augeatur
ejus resistentia in ratione duplicata, resistentia solidi Sph{\ae}rici
dati ex diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus
minuetur.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Sin resistentia, augendo solidum Sph{\ae}ricum, augeatur
in minore quam duplicata ratione diametri; eadem diminuendo
particulas Fluidi, diminuetur in ratione qua resistentia aucta
deficit a ratione duplicata diametri.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per
divisionem partium Fluidi non multum diminui potest. Nam resistentia
solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas materi{\ae}
fluid{\ae} resistentis, quam solidum illud movendo protrudit \&
a locis a se invasis \& occupatis propellit: hoc est ut spatium
Cylindricum per quod solidum movetur, adeoque in duplicata ratione
semidiametri solidi quamproxime.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab
altero quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod
minus resistit est altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires
resistendi prope ut eorum densitates; pr{\ae}sertim si solida sint
magna, \& velociter moveantur, \& Fluidorum {\ae}qualis sit compressio.


\condpagelarge{\textit{Scholium Generale.}}

Qu{\ae} hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Globum
ligneum pondere unciarum \textit{Romanarum} $57\frac{7}{22}$, diametro
digitorum \textit{Londinensium} $6\frac{7}{8}$ fabricatum, filo tenui ab unco satis
firmo suspendi, ita ut inter uncum \& centrum oscillationis Globi
distantia esset pedum $10\frac{1}{2}$. In filo punctum notavi pedibus
decem \& uncia una a centro suspensionis distans; \& e regione
puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quorum
ope notarem longitudines arcuum a Pendulo descriptas. Deinde
numeravi oscillationes quibus Globus quartam motus sui partem
amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad distantiam
% -----File: 348.png---
duorum digitorum, \& inde demittebatur; ita ut toto
suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione
prima, ex descensu \& ascensu subsequente composita,
arcum digitorum fere quatuor; idem oscillationibus 164 amisit
octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret
arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo
descensu descripsit arcum digitorum quatuor, amisit octavam
motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo
\label{wasp340}describeret
arcum digitorum $3\frac{1}{2}$. Si primo descensu descripsit arcum
digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor,
amisit octavam motus partem oscillationibus 69, $35\frac{1}{2}$, $18\frac{1}{2}$, $9\frac{2}{3}$,
respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo \& ascensu
ultimo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio,
quarto, quinto, sexto, digitorum $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4, 8 respective. Dividantur
e{\ae} differenti{\ae} per numerum oscillationum in casu unoquoque;
\& in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum
$3\frac{3}{4}$, $7\frac{1}{2}$, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu
\& subsequente ascensu descriptorum, erit $\frac{1}{656}$, $\frac{1}{242}$,
$\frac{1}{69}$, $\frac{4}{71}$, $\frac{8}{37}$, $\frac{24}{29}$
partes digiti respective. H{\ae} autem in majoribus oscillationibus
sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in
minoribus vero paulo majores quam in ea ratione, \& propterea
(per Corol.\ 2.\ Prop.\ xxxi.\ Libri hujus) resistentia Globi, ubi
celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxime;
ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in
Corollariis Propositionis xxxii.\ demonstratum est.

Designet jam $V$ velocitatem maximam in oscillatione quavis,
sintque $A$, $B$, $C$ quantitates dat{\ae}, \& fingamus quod differentia
arcuum sit $AV + BV^{\frac{3}{2}} + CV^2$. Et cum velocitates maxim{\ae} in
pr{\ae}dictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum $1\frac{7}{8}$, $3\frac{3}{4}$, $7\frac{1}{2}$, 15, 30, 60
chord{\ae}, atque adeo ut arcus ipsi quamproxime, hoc est ut numeri
$\frac{1}{2}$, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Cas.\ secundo quarto \& sexto
numeros 1, 4, \& 16 pro $V$; \& prodibit arcuum differentia $\frac{1}{242}$
{\ae}qualis $A + B + C$ in Cas.\ secundo; \& $\frac{2}{35\frac{1}{2}}$ {\ae}qualis $4A + 8B + 16C$
% -----File: 349.png---
in casu quarto; \& $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$ {\ae}qualis $16A + 64B + 256C$ in casu sexto.
Unde si per has {\ae}quationes determinemus quantitates $A$, $B$, $C$;
habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate
quacunque data.

C{\ae}terum cum velocitates maxim{\ae} sint in Cycloide ut arcus
oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum
chord{\ae}, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam
in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tempora
autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis
ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resistentia
in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter
ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici
auctam; \& diminui in ratione chord{\ae} ad arcum, ob tempus (seu
durationem resistenti{\ae} qua arcuum differentia pr{\ae}dicta generatur)
diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjungamus)
debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam
circiter. H{\ae}c ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto
12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia
$\frac{1}{242}$, $\frac{2}{35\frac{1}{2}}$, \& $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$
evadunt $\frac{6283}{6279 \times 242}$, $\frac{25132}{12533 \times 35\frac{1}{2}}$
\& $\frac{201056}{24869 \times 9\frac{2}{3}}$, id est
in numeris decimalibus $0\decimals{004135}$, $0\decimals{056486}$ \& $0\decimals{8363}$. Unde
prodeunt {\ae}quationes $A + B + C = 0\decimals{004135}$: $4A + 8B + 16C =
0\decimals{05648}$ \& $16A + 64B + 256C = 0\decimals{8363}$. Et ex his per debitam
terminorum collationem \& reductionem Analyticam
fit $A = 0\decimals{0002097}$, $B = 0\decimals{0008955}$ \& $C = 0\decimals{0030298}$. Est igitur
differentia arcuum ut \label{wasp341}$0\decimals{0002097}V + 0\decimals{0008955}V^{\frac{3}{2}} +
0\decimals{0030298}V^2$: \& propterea cum per Corol.\ Prop.\ xxx.\ resistentia
Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas
est $V$, sit ad ipsius pondus ut $\frac{7}{11}AV + \frac{16}{23}BV^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}CV^2$
ad longitudinem Penduli; si pro $A$, $B$, \& $C$ scribantur numeri inventi,
fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut $0\decimals{0001334}V + 0\decimals{000623}V^{\frac{3}{2}}
+ 0\decimals{00227235}V^2$ ad longitudinem Penduli inter centrum suspensionis
\& Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum $V$ in
% -----File: 350.png---
casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resistentia
ad pondus Globi in casu secundo ut $0\decimals{003029}$ ad 121, in
quarto ut $0\decimals{042875}$ ad 121, in sexto ut $0\decimals{63013}$ ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in Cas.\ sexto descripsit,
erat $120 - \frac{8}{9\frac{2}{3}}$ seu $119\frac{5}{29}$ digitorum. Et propterea cum radius esset
121 digitorum, \& longitudo penduli inter punctum suspensionis
\& centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum
Globi descripsit erat $124\frac{3}{31}$ digitorum. Quoniam corporis oscillantis
velocitas maxima ob resistentiam Aeris non incidit in punctum
infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius
versatur: h{\ae}c eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto
in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam
digitorum $62\frac{3}{62}$; idque in Cycloide, ad quam motum penduli supra
reduximus: \& propterea velocitas illa {\ae}qualis erit velocitati
quam Globus, perpendiculariter cadendo \& casu suo describendo
altitudinem arcus illius Sinui verso {\ae}qualem, acquirere posset. Est
autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum $62\frac{3}{62}$ ut arcus
idem ad penduli longitudinem duplam 252, \& propterea {\ae}qualis
digitis $15\decimals{278}$. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus cadendo
\& casu suo spatium $15\decimals{278}$ digitorum describendo acquirere
posset. Unde cum corpus tempore minuti unius secundi cadendo
(uti per experimenta pendulorum determinavit \textit{Hugenius})
describat pedes \textit{Parisienses} $15\frac{1}{12}$, id est pedes \textit{Anglicos} $16\frac{11}{24}$ seu
digitos $197\frac{1}{2}$, \& tempora sint in dimidiata ratione spatiorum;
Globus tempore minut.\ $16^{\mathrm{tert.}}$ $38^{\mathrm{quart.}}$ cadendo describet $15\decimals{278}$
digitos, \& velocitatem suam pr{\ae}dictam acquiret; \& propterea
cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem
tempore longitudinem duplam $30\decimals{556}$ digitorum. Tali igitur
cum velocitate Globus resistentiam patitur, qu{\ae} sit ad ejus pondus
ut $0\decimals{63013}$ ad 121, vel (si resistenti{\ae} pars illa sola spectetur
qu{\ae} est in velocitatis ratione duplicata) ut $0\decimals{58172}$ ad 121.

Experimento autem Hydrostatico inveni quod pondus Globi
% -----File: 351.png---
hujus lignei esset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem,
ut 55 ad 97: \& propterea cum 121 sit ad $213\decimals{4}$ in eadem ratione,
erit resistentia Globi aquei pr{\ae}fata cum velocitate progredientis
ad ipsius pondus ut $0\decimals{58172}$ ad $213\decimals{4}$, id est ut 1 ad $366\frac{5}{6}$.
Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate
uniformiter continuata describat longitudinem pedum $30\decimals{556}$,
velocitatem illam omnem in Globo cadente generare posset; manifestum
est quod vis resistenti{\ae} uniformiter continuata tollere
posset velocitatem minorem in ratione 1 ad $366\frac{5}{6}$, hoc est velocitatis
totius partem $\frac{1}{366\frac{5}{6}}$. Et propterea quo tempore Globus,
ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidiametri
su{\ae} seu digitorum $3\frac{7}{16}$ describere posset, eodem amitteret
motus sui partem $\frac{1}{3262}$.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam
motus sui partem amisit. In sequente Tabula numeri supremi
denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis
\& partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudinem
arcus ascensu ultimo descripti; \& loco infimo stant numeri
oscillationum. Experimentum descripsi tanquam magis accuratum
quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum
tentet qui volet.

\vspace{\baselineskip}
\begin{tabular}{lcccccc}
\textit{Descensus Primus} & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\
\textit{Ascensus ultimus} & $1\frac{1}{2}$ & 3 & 6 & 12 & 24 & 48 \\
\textit{Num.\ Oscillat.} & 374 & 272 & $162\frac{1}{2}$ & $83\frac{1}{3}$ & $41\frac{2}{3}$ & $22\frac{2}{3}$
\end{tabular}
\vspace{\baselineskip}

Postea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum \&
pondere unciarum Romanarum $26\frac{1}{4}$ suspendi filo eodem, sic
ut inter centrum Globi \& punctum suspensionis intervallum esset
pedum $10\frac{1}{2}$, \& numerabam oscillationes quibus data motus pars
amitteretur. Tabularum subsequentium prior exhibet numerum
% -----File: 352.png---
oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda
numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

\vspace{\baselineskip}
\begin{tabular}{lccccccc}
\textit{Descensus primus} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\
\textit{Ascensus ultimus} & $\frac{7}{8}$ & $\frac{7}{4}$ & $3\frac{1}{2}$ & 7 & 14 & 28 & 56 \\
\textit{Numerus Oscillat.} & 226 & 228 & 193 & 140 & $90\frac{1}{2}$ & 53 & 30 \\
\\
\textit{Descensus primus} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 \\
\textit{Ascensus ultimus} & $\frac{3}{4}$ & $1\frac{1}{2}$ & 3 & 6 & 12 & 24 & 48 \\
\textit{Numerus Oscillat.} & 510 & 518 & 420 & 318 & 204 & 121 & 70 \\
\end{tabular}
\vspace{\baselineskip}

In Tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam
\& septimam, \& exponendo velocitates maximas in his observationibus
particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, \& generaliter
per quantitatem $V$ ut supra: emerget in observatione
prima $\frac{2}{193} = A + B + C$, in secunda $\frac{2}{90\frac{1}{2}} = 4A + 8B + 16C$,
in tertia $\frac{8}{30}$ {\ae}qu.\ $16A + 64B + 256C$. Qu{\ae} {\ae}quationes per reductiones
superius expositas dant, $A = 0\decimals{000145}$, $B = 0\decimals{000247}$
\& $C = 0\decimals{0009}$. Et inde prodit resistentia Globi cum velocitate
$V$ moventis, in ea ratione ad pondus suum unciarum $26\frac{1}{4}$,
quam habet $0\decimals{000923}V + 0\decimals{000172}V^{\frac{3}{2}} + 0\decimals{000675}V^2$ ad Penduli
longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus eam solummodo
resistenti{\ae} partem qu{\ae} est in duplicata ratione velocitatis,
h{\ae}c erit ad pondus Globi ut $0\decimals{000675}V^2$ ad 121 digitos. Erat
autem h{\ae}c pars resistenti{\ae} in experimento primo ad pondus Globi
lignei unciarum $57\frac{7}{22}$ ut $0\decimals{00227235}V^2$ ad 121: \& inde fit resistentia
Globi lignei ad resistentiam Globi plumbei (paribus
eorum velocitatibus) ut $57\frac{7}{22}$ in $0\decimals{00227235}$ ad $26\frac{1}{4}$ in $0\decimals{000675},$
id est ut 130309 ad 17719 seu $7\frac{1}{3}$ ad 1. Diametri Globorum duorum
erant $6\frac{7}{8}$ \& 2 digitorum, \& harum quadrata sunt ad invicem
ut $47\frac{1}{4}$ \& 4, seu $11\frac{13}{16}$ \& 1 quamproxime. Ergo resistenti{\ae}
% -----File: 353.png---
Globorum {\ae}quivelocium erant in minore ratione quam duplicata
diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, qu{\ae}
certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci
debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem
tamen inveni quam partem tertiam resistenti{\ae} totius minoris penduli,
\& inde didici quod resistenti{\ae} Globorum, dempta fili resistentia,
sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum.
Nam ratio $7\frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ ad $1 - \frac{1}{3}$, id est 7 ad
\label{wasp345}$\frac{2}{3}$ seu $10\frac{1}{2}$ ad 1, non longe
abest a diametrorum ratione duplicata $11\frac{13}{16}$ ad 1.

Cum resistentia fili in Globis majoribus minoris sit momenti,
tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat $18\frac{1}{4}$ digitorum.
Longitudo penduli inter punctum suspensionis \& centrum
oscillationis erat digitorum $122\frac{3}{4}$ inter punctum suspensionis
\& nodum in filo $109\frac{1}{2}$ dig. Arcus primo penduli descensu a
nodo descriptus, 32 dig.\ arcus ascensu ultimo post oscillationes
quinque ab eodem nodo descriptus, 28 dig. Summa arcuum seu
arcus totus oscillatione mediocri descriptus, 30 dig. Differentia
arcuum 4 dig. Ejus pars decima seu differentia inter descensum
\& ascensum in oscillatione mediocri $\frac{2}{5}$ dig. Ut radius $109\frac{1}{2}$ ad radium
$122\frac{1}{2}$, ita arcus totus 60 dig.\ oscillatione mediocri a Nodo
descriptus, ad arcum totum $67\frac{1}{8}$, oscillatione mediocri a centro Globi
descriptum: \& ita differentia $\frac{2}{5}$ ad differentiam novam $0\decimals{4475}$.
Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, augeretur
in ratione 126 ad $122\frac{1}{2}$, velocitas ejus diminueretur in ratione
illa dimidiata; \& arcuum descensu \& subsequente ascensu
descriptorum differentia $0\decimals{4475}$ diminueretur in ratione velocitatis,
adeoque evaderet $0\decimals{4412}$. Deinde si arcus descriptus augeretur
in ratione $67\frac{1}{8}$ ad $124\frac{3}{31}$, differentia ista $0\decimals{4412}$ augeretur
in duplicata illa ratione, adeoque, evaderet $1\decimals{509}$. H{\ae}c ita
se haberent, ex hypothesi quod resistentia Penduli esset in duplicata
ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum totum
$124\frac{3}{31}$ digitorum, \& longitudo ejus inter punctum suspensionis
\& centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum
% -----File: 354.png---
descensu \& subsequente ascensu descriptorum foret $1\decimals{509}$
dig. Et h{\ae}c differentia ducta in pondus Globi penduli, quod
erat unciarum 208, producit $313\decimals{9}$. Rursus ubi pendulum superius
ex Globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod
a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum totum
$124\frac{3}{31}$ digitorum, differentia arcuum descensu \& ascensu descriptorum
fuit $\frac{126}{121}$ in $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$ seu $\frac{25}{29}$, qu{\ae} ducta in pondus Globi, quod
erat unciarum $57\frac{7}{22}$, producit $48\decimals{55}$. Duxi autem differentias
hasce in pondera Globorum ut invenirem eorum resistentias.
Nam differenti{\ae} oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistenti{\ae}
directe \& pondera inverse. Sunt igitur resistenti{\ae} ut numeri $313\decimals{9}$
\& $48\decimals{55}$. Pars autem resistenti{\ae} Globi minoris, qu{\ae} est in duplicata
ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam ut $0\decimals{58172}$ ad
$0\decimals{63013}$, id est ut $44\decimals{4}$ ad $48\decimals{55}$; \& pars resistenti{\ae} Globi
majoris propemodum {\ae}quatur ipsius resistenti{\ae} toti, adeoque
partes ill{\ae} sunt ut $313\decimals{9}$ \& $44\decimals{4}$ quamproxime, id est ut $7\decimals{07}$
ad 1. Sunt autem Globorum diametri $10\frac{3}{4}$ \& $6\frac{7}{8}$; \& harum quadrata
$351\frac{1}{2}$ \& $47\frac{17}{64}$ sunt ut $7\decimals{438}$ \& 1, id est ut Globorum resistenti{\ae}
$7\decimals{07}$ \& 1 quamproxime. Differentia rationum haud major
est quam qu{\ae} ex fili resistentia oriri potuit. Igitur resistentiarum
partes ill{\ae} qu{\ae} sunt (paribus Globis) ut quadrata velocitatum,
sunt etiam (paribus velocitatibus) ut quadrata diametrorum
Globorum; \& propterea (per Corollaria Prop.\ XL. Libri
hujus) resistentia quam Globi majores \& velociores in aere movendo
sentiunt, haud multum per infinitam aeris divisionem \&
subtiliationem diminui potest, proindeque Media omnia in quibus
corpora multo minus resistuntur, sunt aere rariora.

C{\ae}terum Globorum, quibus usus sum in his experimentis,
maximus non erat perfecte Sph{\ae}ricus, \& propterea in calculo hic
allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato
in experimento non satis accurato minime sollicitus. Optarim
itaque (cum demonstratio vacui ex his dependeat) ut experimenta
% -----File: 355.png---
cum Globis \& pluribus \& majoribus \& magis accuratis
tentarentur. Si Globi sumantur in proportione Geometrica,
puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex progressione
experimentorum colligetur quid in Globis adhuc majoribus
evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se
tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum
quatuor, latitudine \& altitudine pedis unius. Hanc operculo
nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula
in medio aqu{\ae} oscillando moverentur. Globus autem plumbeus
pondere $166\frac{1}{6}$ unciarum, diametro $3\frac{5}{8}$ digitorum, movebatur ut
in Tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudine
penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo
notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum $134\frac{1}{8}$ digitorum.

\vspace{\baselineskip}
\noindent\begin{tabular}{@{}p{5cm} @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c @{\hspace{0.8em}}c}
\textit{Arcus descensu primo a puncto in filo notato descriptus digitorum.} & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2} $ & $\frac{1}{4}$ \\
\textit{Arcus ascensu ultimo descriptus digitorum.} & 48 & 24 & 12 & 6 & 3 & $1\frac{1}{2}$ & $\frac{3}{4}$ & $\frac{3}{8}$ & $\frac{3}{16}$ \\
\textit{Arcuum differentia motui amisso proportionalis, digitorum.} & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{16}$ \\
\textit{Numerus oscillationum in aqua.} & & & $\frac{29}{60}$ & $1\frac{1}{5}$ & 3 & 7 & $11\frac{1}{4}$ & $12\frac{2}{3}$ & $13\frac{1}{3}$ \\
\textit{Numerus oscillationum in aere.} & $85\frac{1}{2}$ & & 287 & 535
\end{tabular}
\vspace{\baselineskip}

In experimento column{\ae} quart{\ae}, motus {\ae}quales oscillationibus
535 in aere, \& $1\frac{1}{5}$ in aqua amissi sunt. Erant autem oscillationes
in aere paulo celeriores quam in aqua, nimirum in ratione
44 ad 41. Nam $14\frac{2}{3}$ oscillationes in aqua, \& $13\frac{2}{3}$ in aere
simul peragebantur. Et propterea si oscillationes in aqua in ea
ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utroque
fierent {\ae}quiveloces, numerus oscillationum $1\frac{1}{5}$ in aqua, quibus
motus idem ac prius amitteretur (ob resistentiam auctam in ratione
illa duplicata \& tempus diminutum in ratione eadem simplici)
% -----File: 356.png---
diminueretur in eadem illa ratione 44 ad 41, adeoque
evaderet $1\frac{1}{5}$ in $\frac{41}{44}$ seu $\frac{123}{110}$. Paribus igitur Pendulorum velocitatibus
motus {\ae}quales in aere oscillationibus 535 \& in aqua
oscillationibus $\frac{123}{110}$ amissi sunt; ideoque resistentia penduli in aqua
est ad ejus resistentiam in aere ut 535 ad $\frac{123}{110}$. H{\ae}c est proportio
resistentiarum totarum in Cas.\ column{\ae} quart{\ae}.

Designet jam $AV + CV^2$ resistentiam Globi in aere cum velocitate
$V$ moventis, \& cum velocitas maxima, in Cas.\ column{\ae},
quart{\ae} sit ad velocitatem maximam in casu column{\ae} prim{\ae} ut 1 ad
8, \& resistentia in Cas.\ column{\ae} quart{\ae} ad resistentiam in Casu
column{\ae} prim{\ae} in ratione arcuum differenti{\ae} in his casibus, ad
numeros oscillationum applicat{\ae}, id est ut $\frac{2}{535}$ ad $\frac{16}{85\frac{1}{2}}$ seu ut $85\frac{1}{2}$
ad 4280: scribamus in his Casibus 1 \& 8 pro velocitatibus, atque
$85\frac{1}{2}$ \& 4280 pro resistentiis, \& fiet $A + C = 85\frac{1}{2}$ \& $8A + 64C = 4280$
seu $A + 8C = 535$, indeque per reductionem {\ae}quationum proveniet
$7C = 449\frac{1}{2}$ \& $C = 64\frac{3}{14}$ \& $A = 21\frac{2}{7}$; atque adeo resistentia ut $21\frac{2}{7}V
+ 64\frac{3}{14}V^2$ quamproxime. Quare in Cas.\ column{\ae} quart{\ae} ubi
velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis
proportionalem, ut $21\frac{2}{7} + 64\frac{3}{14}$ seu $85\frac{1}{2}$, ad $64\frac{3}{14}$; \& idcirco
resistentia penduli in aqua est ad resistenti{\ae} partem illam in
aere qu{\ae} quadrato velocitatis proportionalis est, qu{\ae}que sola in
motibus velocioribus consideranda venit, ut $85\frac{1}{2}$ ad $64\frac{3}{14}$ \& 535
ad $\frac{123}{110}$ conjunctim, id est ut 637 ad 1. Si penduli in aqua oscillantis
filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc
major; adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa qu{\ae} velocitatis
quadrato proportionalis est, qu{\ae}que sola in corporibus
velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli
totius, eadem cum velocitate in aqua oscillantis, ut 800 vel 900
ad 1 circiter, hoc est ut densitas aqu{\ae} ad densitatem aeris quamproxime.

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistenti{\ae} penduli
in aqua, qu{\ae} esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mirum
% -----File: 357.png---
forte videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione velocitatis
plusquam duplicata. Ejus rei causam investigando, in
hanc incidi, quod Arca nimis angusta esset pro magnitudine
Globi penduli, \& motum aqu{\ae} cedentis pr{\ae} angustia sua
nimis impediebat. Nam si Globus pendulus, cujus diameter erat
digiti unius, immergeretur, resistentia augebatur in duplicata ratione
velocitatis quamproxime. Id tentabam construendo pendulum
ex Globis duobus, quorum inferior \& minor oscillaretur
in aqua, superior \& major proxime supra aquam filo affixus esset,
\& in Aere oscillando, adjuvaret motum penduli eumque diuturniorem
redderet. Experimenta autem hoc modo instituta
se habebant ut in Tabula sequente describitur.

\vspace{\baselineskip}
\noindent\begin{tabular}{@{}p{5.5cm} ccccccc}
\textit{Arcus descensu primo descriptus} & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $ \frac{1}{4}$ \\
\textit{Arcus ascensu ultimo descriptus.} & 12 & 6 & 3 & $1\frac{1}{2}$ & $ \frac{3}{4}$ & $ \frac{3}{8}$ & $ \frac{3}{16}$ \\
\textit{Arcuum diff.\ motui amisso proportionalis} & 4 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $ \frac{1}{4}$ & $ \frac{1}{8}$ & $ \frac{1}{16}$ \\
\textit{Numerus Oscillationum} & $3\frac{3}{8}$ & $ 6\frac{1}{2}$ & $ 12\frac{1}{12}$ & $ 21\frac{1}{5}$ & 34 & 53 & $62\frac{1}{5}$
\end{tabular}
\vspace{\baselineskip}

Resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plusquam
duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verisimile est,
si modo Arca augeatur in ratione penduli. Debebit tamen resistentia
tam in aere quam in aqua, si velocitas per gradus in infinitum
augeatur, augeri tandem in ratione paulo plusquam duplicata,
propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia
minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in Libri hujus
Prop.\ xxxvi \& xxxviii.\ demonstrata. Nam corpora longe
velocissima spatium a tergo relinquent vacuum, ideoque resistentia
quam sentiunt in partibus pr{\ae}cedentibus, nullatenus minuetur
per pressionem Medii in partibus posticis.

Conferendo resistentias Mediorum inter se, effeci etiam ut pendula
ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei
erat pedum quasi trium, \& diameter Globi penduli quasi tertia
% -----File: 358.png---
pars digiti. Ad filum autem proxime supra Mercurium affixus
erat Globus alius plumbeus satis magnus ad motum penduli diutius
continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi libras
tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo \& aqua
communi, ut pendulo in Fluido utroque successive oscillante invenirem
proportionem resistentiarum: \& prodiit resistentia argenti
vivi ad resistentiam aqu{\ae} ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est
ut densitas argenti vivi ad densitatem aqu{\ae}. Ubi Globum pendulum
paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi
$\frac{1}{2}$ vel $\frac{2}{3}$ partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratione
ad resistentiam aqu{\ae} quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circiter.
Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod
in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine Globi
immersi. Ampliato Globo, deberet etiam vas ampliari. Constitueram
quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus \& in
liquoribus tum Metallorum fusorum, tum aliis quibusdam tam calidis
quam frigidis repetere: sed omnia experiri non vacat, \&
ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum
densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem
esse quamproxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora
pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut
oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua
quam Spiritus vini. Verum in liquoribus qui ad sensum satis
fluidi sunt, ut in Aere, in aqua seu dulci seu falsa, in Spiritibus
vini, Terebinthi \& Salium, in Oleo a f{\oe}cibus per destillationem
liberato \& calefacto, Oleoque Vitrioli \& Mercurio, ac
Metallis liquefactis, \& siqui sint alii, qui tam Fluidi sunt ut in
vasis agitati motum impressum diutius conservent, effusique liberrime
in guttas decurrendo resolvantur, nullus dubito quin regula
allata satis accurate obtineat: pr{\ae}sertim si experimenta in
corporibus pendulis \& majoribus \& velocius motis instituantur.

Quare cum Globus aqueus in aere movendo resistentiam patiatur
qua motus sui pars $\frac{1}{3261}$, interea dum longitudinem semidiametri
% -----File: 359.png---
su{\ae} describat (ut jam ante ostensum est) tollatur, sitque
densitas aeris ad densitatem aqu{\ae} ut 800 vel 850 ad 1 circiter,
consequens est ut h{\ae}c Regula generaliter obtineat. Si corpus
quodlibet Sph{\ae}ricum in Medio quocunque satis Fluido moveatur,
\& spectetur resistenti{\ae} pars illa sola qu{\ae} est in duplicata ratione
velocitatis, h{\ae}c pars erit ad vim qu{\ae} totum corporis motum, interea
dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiametrorum
motu illo uniformiter continuato describat, vel tollere posset
vel eundem generare, ut densitas Medii ad densitatem corporis
quamproxime. Igitur resistentia quasi triplo major est quam
pro lege in Corollario primo Propositionis xxxviii.\ allata; \&
propterea partes quasi du{\ae} terti{\ae} motus illius omnis quem Globi
partes antic{\ae} movendo imprimunt in Medium, restituuntur in
Globi partes posticas a Medio in orbem redeunte, inque spatium
irruente quod Globus alias vacuum post se relinqueret. Unde si
velocitas Globi eousque augeatur ut Medium non posset adeo celeriter
in spatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi
semper relinquatur, resistentia tandem evadet quasi triplo major
quam pro Regula generali novissime posita.

Hactenus experimentis usi sumus oscillantium pendulorum, eo
quod eorum motus facilius \& accuratius observari \& mensurari
possint. Motus autem pendulorum in gyrum actorum \&
in orbem redeundo circulos describentium, propterea quod sint
uniformes \& eo nomine ad investigandam resistentiam dat{\ae} velocitati
competentem longe aptiores videantur, in consilium etiam
adhibui. Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duodecies
revolveretur, notavi magnitudines circulorum duorum, quos
prima \& ultima revolutione descripsit. Et inde collegi velocitates
corporis sub initio \& fine. Tum dicendo quod corpus, velocitate
mediocri describendo circulos duodecim mediocres, amitteret
velocitatum illarum differentiam, collegi resistentiam qua differentia
illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti
posset; \& resistentia inventa, quanquam hujus generis experimenta
% -----File: 360.png---
minus accurate tentare licuit, probe tamen cum pr{\ae}cedentibus
congruebat.

Denique cum receptissima Philosophorum {\ae}tatis hujus opinio
sit, Medium quoddam {\ae}thereum \& longe subtilissimum extare,
quod omnes omnium corporum poros \& meatus liberrime permeet;
a tali autem Medio per corporum poros fluente resistentia
oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis corporibus
experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero
partes etiam intern{\ae} in superficiebus propriis resistentiam notabilem
sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim
longitudinis, ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo
chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum
pendulum longitudinis pr{\ae}dict{\ae}. Uncus sursum pr{\ae}acutus
erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus
liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum.
Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam
quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare,
ne annulus, oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro
citroque laberetur. Nam punctum suspensionis in quo annulus
uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate
notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso
notabam alia tria loca ad qu{\ae} redibat in fine oscillationis prim{\ae},
secund{\ae} ac terti{\ae}. Hoc repetebam s{\ae}pius, ut loca illa quam
potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo \& gravioribus,
qu{\ae} ad manus erant, metallis implebam. Sed prius
ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili qu{\ae} circum pyxidem
volvebatur ac dimidio partis reliqu{\ae} qu{\ae} inter uncum \&
pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio
ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget.)
Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et
pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum
plen{\ae}. Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere
suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam
% -----File: 361.png---
filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac
prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac
dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta \& septem,
donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subinde
donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem
donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde
concludo quod resistentia tota pyxidis plen{\ae} non majorem habebat
proportionem ad resistentiam pyxidis vacu{\ae} quam 78 ad 77.
Nam si {\ae}quales essent ambarum resistenti{\ae}, pyxis plena ob vim
suam insitam septuagies \& octies majorem vi insita pyxidis vacui,
motum suum oscillatorium tanto diutius conservare deberet,
atque adeo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa notata
redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77.

Designet igitur $A$ resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa,
\& $B$ resistentiam pyxidis vacu{\ae} in partibus internis; \& si
resistenti{\ae} corporum {\ae}quivelocium in partibus internis sint ut
materia, seu numerus particularum qu{\ae} resistuntur: erit $78B$
resistentia pyxidis plen{\ae} in ipsius partibus internis: adeoque pyxidis
vacu{\ae} resistentia tota $A + B$ erit ad pyxidis plen{\ae} resistentiam
totam $A + 78B$ ut 77 ad 78, \& divisim $A + B$ ad $77B$ ut 77,
ad 1, indeque $A + B$ ad $B$ ut $77 \times 77$ ad 1, \& divisim $A$ ad $B$
ut 5928 ad 1. Est igitur resistentia pyxidis vacu{\ae} in partibus
internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa
superficie, \& amplius. Sic disputamus ex hypothesi quod
major illa resistentia pyxidis plen{\ae} oriatur ab actione Fluidi alicujus
subtilis in Metallum inclusum. Ac causam longe aliam esse
opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plen{\ae} minora sunt
quam tempora oscillationum pyxidis vacu{\ae}, \& propterea resistentia
pyxidis plen{\ae} in externa superficie major est, pro ipsius
velocitate \& longitudine spatii oscillando descripti, quam ea pyxidis
vacu{\ae}. Quod cum ita sit, resistentia pyxidum in partibus
internis aut nulla erit aut plane insensibilis.
% -----File: 362.png---

Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua
illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam
numerorum partes, qu{\ae} memoria exciderunt, omittere compulsus
sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice,
cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur.
Causam qu{\ae}rendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi
pyxidis, \& ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur.
Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis
immotum maneret, \& tunc omnia ita evenerunt uti supra
descripsimus.

Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sph{\ae}ricorum
in Aqua \& argento vivo, inveniri potest resistentia corporum
figurarum aliarum; \& sic Navium figur{\ae} vari{\ae} in Typis
exiguis construct{\ae} inter se conferri, ut qu{\ae}nam ad navigandum
aptissim{\ae} sint, sumptibus parvis tentetur.


\sectpage{VIII.}

\begin{center}{\textit{De Motu per Fluida propagato.}}\end{center}


\propnopage{Prop.\ XLI\@. Theor.\ XXXI.}

\textit{Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi
ubi particul{\ae} Fluidi in directum jacent.}

\pngright{362.png}{709}{603}{-24}
%Illustration

Si jaceant particul{\ae} $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ in linea recta, potest quidem
pressio directe propagari ab $a$ ad $e$; at
particula $e$ urgebit particulas oblique positas
$f$ \& $g$ oblique, \& particul{\ae} ill{\ae} $f$ \& $g$
non sustinebunt pressionem illatam, nisi fulciantur
a particulis ulterioribus $h$ \& $k$;
quatenus autem fulciuntur, premunt particulas
fulcientes; \& h{\ae} non sustinebunt pressionem nisi fulciantur
% -----File: 363.png---
ab ulterioribus $l$ \& $m$ easque premant, \& sic deinceps in infinitum.
Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas
qu{\ae} non in directum jacent, divaricare incipiet \& oblique propagabitur
in infinitum; \& postquam incipit oblique propagari, si
inciderit in particulas ulteriores, qu{\ae} non in directum jacent, iterum
divaricabit; idque toties, quoties in particulas non accurate
in directum jacentes inciderit. \QEDit

\pngrightsc{365.png}{2252}{2032}{16}{17}
%Illustration

\textit{Corol.}\wsp{}Si pressionis a dato puncto per Fluid\-um propagat{\ae} pars
aliqua obstaculo intercipiatur, pars reliqua qu{\ae} non intercipitur
divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam
demonstrari pot\-est. A puncto $A$ propagetur pressio quaquaversum,
id\-que si fieri potest secundum lineas rectas, \& obstaculo
$NBCK$ perforato in $BC$, intercip\-iatur ea omnis, pr{\ae}ter partem
Coniformem $APQ$, qu{\ae} per foramen circulare $BC$ transit.
Planis transversis $de$, $fg$, $hi$ distinguatur conus $APQ$ in frusta
% -----File: 364.png---
\& interea dum conus $ABC$, pressionem propagando, urget
frustum conicum ulterius $degf$ in superficie $de$, \& hoc frustum
urget frustum proximum $fgih$ in superficie $fg$, \& frustum illud
urget frustum tertium, \& sic deinceps in infinitum; manifestum
est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum
$defg$, reactione frusti secundi $fghi$, tantum urgebitur \& premetur
in superficie $fg$, quantum urget \& premit frustum illud
secundum. Frustum igitur $degf$ inter Conum $Ade$ \& frustum
$fhig$ comprimitur utrinque, \& propterea (per Corol.\ 6.\ Prop.\
XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur
undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus
$de$, $fg$ conabitur cedere ad latera $df$, $eg$; ibique (cum rigidum
non sit, sed omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur,
nisi Fluidum ambiens adsit, quo conatus iste cohibeatur.
Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum
ambiens ad latera $df$, $eg$ quam frustum $fghi$ eodem impetu;
\& propterea pressio non minus propagabitur a lateribus $df$, $eg$
in spatia $NO$, $KL$ hinc inde, quam propagatur a superficie $fg$
versus $PQ$. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XLII\@. Theor.\ XXXII.}

\textit{Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in
spatia immota.}

\pngrightsc{365.png}{2252}{2032}{16}{17}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Propagetur motus a puncto $A$ per foramen $BC$, pergatque
(si fi\-eri potest) in spatio conico $BCQP$, secundum lineas
rectas divergentes a puncto $C$. Et ponamus primo quod motus
iste sit undarum in superficie stagnantis aqu{\ae}. Sintque $de$,
$fg$, $hi$, $kl$, \&c.\ undarum singularum partes altissim{\ae}, vallibus
totidem intermediis ab invicem distinct{\ae}. Igitur quoniam aqua
in undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis $LK$,
$NO$, defluet eadem de jugorum terminis $e$, $g$, $i$, $l$, \&c.\ $d$, $f$, $h$, $k$, \&c.\
hinc inde versus $KL$ \& $NO$: \& quoniam in undarum vallibus
depressior est quam in Fluidi partibus immotis $KL$, $NO$; defluet
% -----File: 365.png---
eadem de partibus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore
undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur \& propagantur
versus $KL$ \& $NO$. Et quoniam motus undarum ab
$A$ versus $PQ$ fit per continuum defluxum jugorum in valles proximos,
adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus; \&
descensus aqu{\ae} hinc inde versus $KL$ \& $NO$ eadem velocitate peragi
debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus
$KL$ \& $NO$, eadem velocitate qua und{\ae} ips{\ae} ab $A$ versus $PQ$
recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde versus
$KL$ \& $NO$ ab undis dilatatis $rfgr$, $shis$, $tklt$, $vmnv$, \&c.\
occupabitur. \QEDit H{\ae}c ita se habere quilibet in aqua stagnante
experiri potest.

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Ponamus jam quod $de$, $fg$, $hi$, $kl$, $mn$ designent
pulsus a puncto $A$ per Medium Elasticum successive propagatos.
Pulsus propagari concipe per successivas condensationes \& rarefactiones
Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sph{\ae}ricam
% -----File: 366.png---
occupet superficiem circa centrum $A$ descriptam, \& inter pulsus
successivos {\ae}qualia intercedant intervalla. Designent autem line{\ae}
$de$, $fg$, $hi$, $kl$, \&c.\ densissimas pulsuum partes per foramen $BC$
propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis
hinc inde versus $KL$ \& $NO$, dilatabit sese tam versus spatia illa
$KL$, $NO$ utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla;
eo{\que} pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac densius
e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam
pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium
densiorum versus antecedentia intervalla rariora; \& pulsus
eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes $KL$, $NO$ hinc
inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt
undique in spatia immota $KL$, $NO$, qua propagantur directe a
centro $A$; adeoque spatium totum $KLON$ occupabunt. \QEDit
Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel
in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes
dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parietibus
oppositis sed a fenestra directe propagati.

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Ponamus denique quod motus cujuscunque generis
propagetur ab $A$ per foramen $BC$: \& quoniam propagatio ista
non fit nisi quatenus partes Medii centro $A$ propiores urgent
commoventque partes ulteriores; \& partes qu{\ae} urgentur Fluid{\ae}
sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur:
recedent e{\ae}dem versus Medii partes omnes quiescentes,
tam laterales $KL$ \& $NO$, quam anteriores $PQ$, eoque pacto motus
omnis, quam primum per foramen $BC$ transiit, dilatari incipiet,
\& abinde tanquam a principio \& centro in partes omnes
directe propagari. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ XLIII\@. Theor.\ XXXIII.}

\textit{Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsuum
undi\-que in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem
excitabit.}
% -----File: 367.png---

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo \&
redeundo, itu suo urgebunt \& propellent partes Medii sibi proximas,
\& urgendo compriment easdem \& condensabunt; dein reditu
suo sinent partes compressas recedere \& sese expandere. Igitur
partes Medii corpori tremulo proxim{\ae} ibunt \& redibunt
per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: \& qua ratione
partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, h{\ae} similibus
tremoribus agitat{\ae} agitabunt partes sibi proximas, e{\ae}que similiter
agitat{\ae} agitabunt ulteriores, \& sic deinceps in infinitum.
Et quemadmodum Medii partes prim{\ae} eundo condensantur \&
redeundo relaxantur, sic partes reliqu{\ae} quoties eunt condensabuntur,
\& quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes
ibunt \& simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distantias
servando non rarefierent \& condensarentur per vices) sed
accedendo ad invicem ubi condensantur, \& recedendo ubi rarefiunt,
aliqu{\ae} earum ibunt dum ali{\ae} redeunt; idque vicibus alternis
in infinitum. Partes autem euntes \& eundo condensat{\ae}, ob
motum suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus;
\& propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum
propagabuntur; idque {\ae}qualibus circiter ab invicem distantiis,
ob {\ae}qualia temporis intervalla, quibus corpus tremoribus suis singulis
singulos pulsus excitat. \QEDit Et quanquam corporis
tremuli partes eant \& redeant secundum plagam aliquam certam
\& determinatam, tamen pulsus inde per Medium propagati sese
dilatabunt ad latera, per Propositionem pr{\ae}cedentem; \& a
corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum superficies
propemodum Sph{\ae}ricas \& concentricas, undique propagabuntur.
Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, qu{\ae} si digito
tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum
plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum,
digitum statim cingent \& undique propagabuntur. Nam gravitas
undarum supplet locum vis Elastic{\ae}.

Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a corporis
% -----File: 368.png---
tremuli partibus vibratis press{\ae} condensari nequeunt, propagabitur
motus in instanti ad partes ubi Medium facillime cedit,
hoc est ad partes qu{\ae} corpus tremulum alioqui vacuas
a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in
Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non
recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia qu{\ae}
corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum pergit
in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circulum
ad partes quas corpus relinquit, \& quoties corpus regreditur
ad locum priorem, Medium inde repelletur \& ad locum suum
priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum,
sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat,
quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi
eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus
ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes qu{\ae} eidem cedunt.

\textit{Corol.}\wsp{}Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium
flamm{\ae} ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas
rectas propagandam conducere. Debebit ejusmodi pressio non
ab agitatione sola partium flamm{\ae} sed a totius dilatatione derivari.


\condpagelarge{Prop.\ XLIV\@. Theor.\ XXXIV.}

\textit{Si Aqua in canalis cruribus erectis $KL$, $MN$ vicibus alternis
ascendat \& descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo
inter punctum suspensionis \& centrum oscillationis {\ae}quetur semissi
longitudinis aqu{\ae} in Canali: dico quod aqua ascendet \& descendet iisdem
temporibus quibus pendulum oscillatur.}

\pngright{369.png}{2328}{898}{-24}
%Illustration

Longitudinem aqu{\ae} mensuro secundum axes canalis \& crurum,
eandem summ{\ae} horum axium {\ae}quando. Designent igitur
$AB$, $CD$ mediocrem altitudinem aqu{\ae} in crure utroque; \&
ubi aqua in crure $KL$ ascendit ad altitudinem $EF$, descenderit
aqua in crure $MN$ ad altitudinem $GH$. Sit autem $P$ corpus
% -----File: 369.png---
pendulum, $VP$ filum, $V$ punctum suspensionis, $SPQR$ Cyclois
quam Pendulum describat, $P$ ejus punctum infimum, $PQ$ arcus
altitudini $AE$ {\ae}qualis. Vis, qua motus aqu{\ae} alternis vicibus
acceleratur \& retardatur, est excessus ponderis aqu{\ae} in alterutro
crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure $KL$ ascendit
ad $EF$, \& in crure altero descendit ad $GH$, vis illa est pondus
duplicatum aqu{\ae} $EABF$, \& propterea est ad pondus aqu{\ae}
totius ut $AE$ seu $PQ$ ad $VP$ seu $PR$. Vis etiam, qua pondus $P$
in loco quovis $Q$ acceleratur \& retardatur in Cycloide, est ad ejus
pondus totum, ut ejus distantia $PQ$ a loco infimo $P$, ad Cycloidis
longitudinem $PR$. Quare aqu{\ae} \& penduli, {\ae}qualia spatia
$AE$, $PQ$ describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda;
ideoque vires ill{\ae}, si aqua \& pendulum in principio, {\ae}quali
cum velocitate moveantur; pergent eadem temporibus {\ae}qualiter
movere, efficientque ut motu reciproco simul eant \& redeant.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur aqu{\ae} ascendentis \& descendentis, sive motus
intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochron{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si longitudo aqu{\ae} totius in canali sit pedum \textit{Parisiensium}
$6\frac{1}{9}$, aqua tempore minuti unius secundi descendet, \&
tempore minuti alterius secundi ascendet; \& sic deinceps vicibus
alternis in infinitum. Nam pendulum pedum $3\frac{1}{18}$ longitudinis,
tempore minuti unius secundi oscillatur.
% -----File: 370.png---

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Aucta autem vel diminuta longitudine aqu{\ae}, augetur
vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione
dimidiata.


\condpagelarge{Prop.\ XLV\@. Theor.\ XXXV.}

\textit{Undarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.}

Consequitur ex constructione Propositionis sequentis.


\condpagelarge{Prop.\ XLVI\@. Prob.\ XI.}

\textit{Invenire velocitatem Undarum.}

Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis
\& centrum oscillationis {\ae}quetur latitudini Undarum: \& quo
tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Und{\ae}
progrediendo latitudinem suam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco mensuram transversam qu{\ae} vel vallibus
imis vel summis culminibus interjacet. Designet $ABCDEF$
superficiem aqu{\ae} stagnantis, undis successivis ascendentem ac descendentem,
sintque $A$, $C$, $E$, \&c.\ undarum culmina, \& $B$, $D$, $F$, \&c.\
valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aqu{\ae} successivum
ascensum \& descensum, sic ut ejus partes $A$, $C$, $E$, \&c.\
qu{\ae} nunc infim{\ae} sunt, mox fiant altissim{\ae}; \& vis motrix, qua
partes altissim{\ae} descendunt \& infim{\ae} ascendunt, est pondus
aqu{\ae} elevat{\ae}; alternus ille ascensus \& descensus analogus erit
motui reciproco aqu{\ae} in canali, easdemque temporis leges observabit:
\& propterea (per Prop.\ XLIV.) si distanti{\ae} inter undarum
loca altissima $A$, $C$, $E$, \& infima $B$, $D$, $F$ {\ae}quentur dupl{\ae}
penduli longitudini, partes altissim{\ae} $A$, $C$, $E$ tempore oscillationis
unius evadent infim{\ae}, \& tempore oscillationis alterius denuo
ascendent. Igitur inter transitum Undarum singularum
tempus erit oscillationum duarum; hoc est Unda describet
latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur;
sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est,
% -----File: 371.png---
adeoque {\ae}quat undarum latitudinem, oscillabitur semel. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur Und{\ae}, qu{\ae} pedes \textit{Parisienses} $3\frac{1}{18}$ lat{\ae} sunt,
tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam
conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes
$183\frac{1}{3}$, \& hor{\ae} spatio pedes 11000 quamproxime.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et undarum majorum vel minorum velocitas augebitur
vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.

H{\ae}c ita se habent ex Hypothesi quod partes aqu{\ae} recta ascendunt
vel recta descendunt; sed ascensus \& descensus ille verius
fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quamproxime
definitum esse affirmo.


\condpagelarge{Prop.\ XLVII\@. Theor.\ XXXVI.}

\textit{Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione
composita ex dimidiata ratione vis Elastic{\ae} directe \& dimidiata ratione
densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem condensationi
proportionalis esse supponatur.}

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Si Media sint homogenea, \& pulsuum distanti{\ae} in his
Mediis {\ae}quentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit:
contractiones \& dilatationes partium analogarum erunt ut iidem
motus. Accurata quidem non est h{\ae}c proportio. Verum tamen nisi
contractiones \& dilatationes sint valde intens{\ae}, non errabit sensibiliter,
ideoque pro Physice accurata haberi potest. Sunt autem
vires Elastic{\ae} motrices ut contractiones \& dilatationes; \& velocitates
partium {\ae}qualium simul genit{\ae} sunt ut vires. Ideoque {\ae}quales
\& correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus
\& reditus suos per spatia contractionibus \& dilatationibus proportionalia,
cum velocitatibus qu{\ae} sunt ut spatia, simul peragent:
\& propterea pulsus, qui tempore itus \& reditus unius latitudinem
suam progrediendo conficiunt, \& in loca pulsuum proxime
pr{\ae}cedentium semper succedunt, ob {\ae}qualitatem distantiarum,
{\ae}quali cum velocitate in Medio utroque progredientur.
% -----File: 372.png---

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Sin pulsuum distanti{\ae} seu longitudines sint majores in
uno Medio quam in altero; ponamus quod partes correspondentes
spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus
eundo \& redeundo describant: \& {\ae}quales erunt earum contractiones
\& dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea,
{\ae}quales erunt etiam vires ill{\ae} Elastic{\ae} motrices quibus reciproco
motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est
ut pulsuum latitudo; \& in eadem ratione est spatium per quod
singulis vicibus eundo \& redeundo moveri debent. Estque tempus
itus \& reditus unius in ratione composita ex ratione dimidiata
materi{\ae} \& ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium.
Pulsus autem temporibus itus \& reditus unius eundo latitudines
suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia percurrunt;
\& propterea sunt {\ae}quiveloces.

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}In Mediis igitur densitate \& vi elastica paribus, pulsus
omnes sunt {\ae}quiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis
Elastica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elastic{\ae}, \&
materia movenda in ratione densitatis augetur; tempus quo motus
iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione densitatis,
ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elastic{\ae}. Et propterea
velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione dimidiata
densitatis Medii inverse \& ratione dimidiata vis Elastic{\ae}
directe. \QEDit

\condpagelarge{Prop.\ XLVIII\@. Theor.\ XXXVII.}

\pngright{374.png}{586}{4350}{-24}
%Illustration

\textit{Pulsibus per Fluidum propagatis, singul{\ae} Fluidi particul{\ae}, motu
reciproco brevissimo euntes \& redeuntes, accelerantur semper \& retardantur
pro lege oscillantis Penduli.}

Designent $AB$, $BC$, $CD$, \&c.\ pulsuum successivorum {\ae}quales
distantias; $ABC$ plagam motus pulsuum ab $A$ versus $B$ propagati;
$E$, $F$, $G$ puncta tria Physica Medii quiescentis, in recta
$AC$ ad {\ae}quales ab invicem distantias sita; $Ee$, $Ff$, $Gg$, spatia
% -----File: 373.png---
{\ae}qualia perbrevia per qu{\ae} puncta illa motu reciproco
singulis vibrationibus eunt \& redeunt;
$\epsilon$, $\varphi$, $\gamma$ loca qu{\ae}vis intermedia eorundem punctorum;
\& $EF$, $FG$ lineolas
Physicas seu Medii partes lineares punctis illis interjectas, \&
successive
translatas in loca $\epsilon\varphi$, $\varphi\gamma$ \& $ef$, $fg$.
Rect{\ae}
$Ee$ {\ae}qualis ducatur recta $PS$. Bisecetur
eadem in $O$,
centroque $O$ \& intervallo $OP$ describatur
circulus $SIPi$. Per
hujus circumferentiam totam
cum partibus suis exponatur
tempus totum vibrationis
unius cum ipsius partibus
proportionalibus; sic ut
completo tempore quovis
$PH$ vel $PHSh$, si demittatur
ad $PS$ perpendiculum $HL$ vel $hl$, \& capiatur
$Ee$ {\ae}qualis $PL$ vel $Pl$, punctum Physicum
$E$ reperiatur in $\epsilon$. Hac lege punctum quodvis $E$
eundo ab $E$ per $\epsilon$ ad $e$, \& inde redeundo per $\epsilon$
ad $E$ iisdem accelerationis ac retardationis gradibus,
vibrationes singulas peraget cum oscillante
Pendulo. Probandum est quod singula Medii
puncta Physica tali motu agitari debeant. Fingamus
igitur Medium tali motu a causa quacunque
cieri, \& videamus quid inde sequatur.

In circumferentia $PHSh$ capiantur {\ae}quales
arcus $HI$, $IK$ vel $hi$, $ik$, eam habentes rationem
ad circumferentiam totam quam habent {\ae}quales
rect{\ae} $EF$, $FG$ ad pulsuum intervallum totum
$BC$. Et demissis perpendiculis $IM$, $KN$
vel $im$, $kn$; quoniam puncta $E$, $F$, $G$ motibus
similibus successive agitantur, si $PH$ vel $PHSk$
sit tempus ab initio motus puncti $E$, erit $PI$
% -----File: 374.png---
vel $PHSi$ tempus ab initio motus puncti $F$, \&
$PK$ vel $PHSh$ tempus ab initio motus puncti
$G$; \& propterea $E\epsilon$, $F\varphi$, $G\gamma$ erunt ipsis $PL$, $PM$,
$PN$ in itu punctorum, vel ipsis $Pn$, $Pm$, $Pl$ in
punctorum reditu, {\ae}quales respective. Unde $\epsilon\gamma$
in itu punctorum {\ae}qualis erit $EG - LN$, in reditu
autem {\ae}qualis $EG + ln$. Sed $\epsilon\gamma$ latitudo
est seu expansio partis Medii $EG$ in loco $\epsilon\gamma$, \&
propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus
expansionem mediocrem ut $EG - LN$ ad $EG$;
in reditu autem ut $EG + ln$ seu $EG + LN$ ad
$EG$.\spreadout{Quare cum sit $LN$ ad $KH$ ut $IM$ ad radium $OP$, \& $EG$ ad $BC$ ut $HK$}

\pngright{373.png}{694}{861}{-12}
%Illustration

\noindent ad circumferentiam
$PHShP$, \& vicissim $EG$ ad $HK$ ut $BC$
ad circumferentiam $PHShP$, id est (si circumferentia
dicatur $Z$) ut $\frac{OP \times BC}{Z}$ ad $OP$, \& ex
{\ae}quo $LN$ ad $EG$ ut $IM$ ad $\frac{OP \times BC}{Z}$: erit expansio
partis $EG$ in loco $\epsilon\gamma$ ad expansionem
mediocrem quam habet in loco suo primo $EG$, ut
$\frac{OP \times BC}{Z} - IM$ ad $\frac{OP \times BC}{Z}$
in itu, utque $\frac{OP \times BC}{Z}
+ im$ ad $\frac{OP \times BC}{Z}$ in reditu. Unde si $\frac{OP \times BC}{Z}$
dicatur $V$, erit expansio partis $EG$, punctive Physici
$F$, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut
$V - IM$ ad $V$, in reditu ut $V + im$ ad $V$; \& ejusdem
vis elastica ad vim suam elasticam
\label{wasp366}mediocrem
in itu, ut $\frac{1}{V - IM}$ ad $\frac{1}{V}$; in reditu, ut $\frac{1}{V + im}$ ad $\frac{1}{V}$.
Et eodem argumento vires Elastic{\ae} punctorum
Physicorum $E$ \& $G$ in itu, sunt ut
$\frac{1}{V - HL}$ \& $\frac{1}{V - KN}$ ad $\frac{1}{V}$; \& virium differentia ad Medii
% -----File: 375.png---
vim elasticam mediocrem, ut
$\frac{HL - KN}{VV - V \times HL - V \times KN + HL \times KN}$ ad $\frac{1}{V}$.
Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus $HK$ \&
$KN$ indefinite minores esse quantitate $V$) ut
$\frac{HL - KN}{VV}$ ad $\frac{1}{V}$,
sive ut $HL - KN$ ad $V$. Quare cum quantitas $V$ detur, differentia
virium est ut $HL - KN$, hoc est (ob proportionales $HL - KN$
ad $HK$, \& $OM$ ad $OI$ vel $OP$, datasque
$HK$ \& $OP$) ut $OM$; id est, si $Ff$ bisecetur
in $\Omega$, ut $\Omega\varphi$. Et eodem argumento differentia
virium Elasticarum punctorum Physicorum
$\epsilon$ \& $\gamma$, in reditu lineol{\ae} Physic{\ae} $\epsilon\gamma$
est ut $\Omega\varphi$. Sed differentia illa (id est excessus
vis Elastic{\ae} puncti $\epsilon$ supra vim elasticam puncti
$\gamma$,) est vis qua interjecta Medii lineola
Physica $\epsilon\gamma$ acceleratur; \& propterea vis acceleratrix
lineol{\ae} Physic{\ae} $\epsilon\gamma$ est ut ipsius distantia a Medio vibrationis
loco $\Omega$. Proinde tempus (per Prop.\ XXXVIII. Lib.\ I.)
recte exponitur per arcum $PI$; \& Medii pars linearis $\epsilon\gamma$ lege
pr{\ae}scripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ratio
partium omnium linearium ex quibus Medium totum componitur. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem
sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur
in eorum progressu. Nam lineola Physica $\epsilon\gamma$, quamprimum
ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps
movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu
pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur.
Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari
desinunt.


\condpagelarge{Prop.\ XLIX\@. Prob.\ XII.}

\textit{Datis Medii densitate \& vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.}

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris nostri
% -----File: 376.png---
comprimi, sitque $A$ altitudo Medii homogenei, cujus pondus
ad{\ae}quet pondus incumbens, \& cujus densitas eadem sit cum
densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui
autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum
suspensionis \& centrum oscillationis sit $A$: \& quo tempore pendulum
illud oscillationem integram ex itu \& reditu compositam
peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferenti{\ae}
circuli radio $A$ descripti {\ae}quale.

Nam stantibus qu{\ae} in Propositione superiore constructa sunt,
si linea qu{\ae}vis Physica, $EF$ singulis vibrationibus describendo spatium
$PS$, urgeatur in extremis itus \& reditus cujusque locis $P$ \&
$S$, a vi Elastica qu{\ae} ipsius ponderi {\ae}quetur; peraget h{\ae}c vibrationes
singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter
tota longitudini $PS$ {\ae}qualis est, oscillari posset: id adeo quia vires
{\ae}quales {\ae}qualia corpuscula per {\ae}qualia spatia simul impellent.
Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione longitudinis
pendulorum, \& longitudo penduli {\ae}quetur dimidio arcui
Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus
oscillationis Penduli cujus longitudo est $A$, in dimidiata ratione
longitudinis $\frac{1}{2}PS$ seu $PO$ ad longitudinem $A$. Sed vis Elastica
qua lineola Physica $EG$, in locis suis extremis $P$, $S$ existens, urgetur,
erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus
vim totam Elasticam ut $HL - KN$ ad $V$, hoc est (cum punctum
$K$ jam incidat in $P$) ut $HK$ ad $V$: \& vis illa tota, hoc est pondus
incumbens, qua lineola $EG$ comprimitur, est ad pondus lineol{\ae}
ut ponderis incumbentis altitudo $A$ ad lineol{\ae} longitudinem
$EG$; adeoque ex {\ae}quo, vis qua lineola $EG$ in locis suis $P$ \& $S$
urgetur, est ad lineol{\ae} illius pondus ut $HK \times A$ ad $V \times EG$.
Quare cum tempora, quibus {\ae}qualia corpora per {\ae}qualia spatia
impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tempus
vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibrationis
urgente vi ponderis, in dimidiata ratione $V \times EG$ ad $HK \times A$,
atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est $A$,
in dimidiata ratione $V \times EG$ ad $HK \times A$ \& $PO$ ad $A$ conjunctim;
% -----File: 377.png---
id est (cům fuerit, in superiore Propositione,
$V$ {\ae}qualis $\frac{PO \times BC}{Z}$,
\& $HK$ {\ae}qualis $\frac{EG \times Z}{BC}$)
in dimidiata ratione $\frac{PO \opit{qu.} \times BC \times EG}{Z}$ ad
$\frac{EG \times Z \times A \opit{qu.}}{BC}$
seu $PO \opit{qu.} \times BC \opit{qu.}$ ad $Z \opit{qu.} \times A \opit{qu.}$ hoc est in ratione
$PO \times BC$ ad $Z \times A$, seu $BC$ ad $\frac{Z \times A}{PO}$. Sed tempore vibrationis
unius ex itu \& reditu composit{\ae}, pulsus progrediendo conficit latitudinem
suam $BC$. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium
$BC$, est ad tempus oscillationis unius ex itu \& reditu composit{\ae}, ut
$BC$ ad $\frac{Z \times A}{PO}$, id est ut $BC$ ad circumferentiam circuli cujus radius
est $A$. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium $BC$, est ad
tempus quo percurret longitudinem huic circumferenti{\ae} {\ae}qualem,
in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret
longitudinem huic circumferenti{\ae} {\ae}qualem. \QEDit


\condpagelarge{Prop.\ L\@. Prob.\ XIII.}

\textit{Invenire pulsuum distantias.}

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus
Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spatium
quod pulsus eodem tempore percurrere possit, \& pars inventa
erit pulsus unius latitudo. \QEIit

\condpagelarge{\textit{Schol.}}

Spectant Propositiones novissim{\ae} ad motum Lucis \& Sonorum.
Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola
(per Prop.\ XLI. \& XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea
quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quŕm aeris
pulsus propagati, per Prop.\ XLIII\@. Confirmatur id ex tremoribus
quos excitant in corporibus objectis, si modň vehementes sint \& graves,
% -----File: 378.png---
quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores \&
breviores difficilius excitantur. Sed \& sonos quosvis, in chordas
corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum
est. Confirmatur etiam ex velocitate sonorum. Nam cům pondera
specifica Aqu{\ae} pluvialis \& Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad
$13\frac{2}{3}$ circiter, \& ubi \textit{Mercurius} in \textit{Barometro} altitudinem attingit digitorum
\textit{Anglicorum} 30, pondus specificum Aeris \& aqu{\ae} pluvialis
sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris
\& argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi
sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum
subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu
pedum \textit{Anglicorum} 29042. Estque h{\ae}c altitudo illa ipsa quam in
constructione superioris Problematis nominavimus $A$. Circuli radio
29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et
cum Pendulum digitos $39\frac{1}{5}$ longum, oscillationem ex itu \& reditu
compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti
notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500,
longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundorum
$188\frac{4}{7}$ absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progrediendo
conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi
pedes 968. Scribit \textit{Mersennus}, in Balistic{\ae} su{\ae} Prop.\ XXXV. se factis
experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis
hexapedas \textit{Gallicas} 1150 (id est pedes \textit{Gallicos} 6900) percurrat.
Unde cum pes \textit{Gallicus} sit ad \textit{Anglicum} ut 1068 ad 1000, debebit sonus
tempore minuti unius secundi pedes \textit{Anglicos} 1474 conficere.
Scribit etiam idem \textit{Mersennus Robervallum} Geometram clarissimum
in Obsidione \textit{Theodonis} observasse tormentorum fragorem exauditum
esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cům tamen
vix dimidiam \textit{Leucam} ab illis Tormentis abfuerit. Continet \textit{Leuca
Gallica} hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secundorum,
ex Observatione \textit{Robervalli}, confecit pedes \textit{Parisienses} 7500,
ac tempore minuti unius secundi pedes \textit{Parisienses} 560, \textit{Anglicos}
% -----File: 379.png---
verň 600 circiter. Multum differunt h{\ae} Observationes ab invicem,
\& computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii nostri
pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno
recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni
quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digitorum
longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo \&
ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratč definire
nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes
nimis celeres esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam.
Unde sonus eundo \& redeundo confecit pedes 416 minore tempore
quŕm pendulum digitorum novem, \& majore quŕm pendulum digitorum
quatuor oscillatur; id est minore tempore quŕm $28\frac{3}{4}$ minutorum
tertiorum, \& majore quŕm $19\frac{1}{6}$; \& propterea tempore minuti
unius secundi conficit pedes \textit{Anglicos} plures quŕm 866 \& pauciores
quŕm 1272, atque adeň velocior est quŕm pro Observatione
\textit{Robervalli,} ac tardior quŕm pro Observatione \textit{Mersenni}. Quinetiam
accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo penduli
major esse deberet quŕm digitorum quinque cum semisse, \&
minor quŕm digitorum octo; adeoque quňd sonus tempore minuti
unius secundi confecit pedes \textit{Anglicos} plures quŕm 920 \& pauciores
quŕm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geometricum
superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum
Ph{\ae}nomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cům motus
iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni
non in motu {\ae}theris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris totius
agitatione consistat.

Refragari videntur experimenta qu{\ae}dam de sono in vasis aere
vacuis propagato, sed vasa aere omni evacuari vix possunt; \& ubi
satis evacuantur soni notabiliter imminui solent; \textit{Ex.\ gr.}\ Si aeris totius
pars tantům centesima in vase maneat, debebit sonus esse centuplo
languidior, atque adeň non minus audiri quŕm si quis sonum
eundem in aere libero excitatum audiendo, subinde ad decuplam
% -----File: 380.png---
distantiam ŕ corpore sonoro recederet. Conferenda sunt igitur
corpora duo {\ae}qualiter sonora, quorum alterum in vase evacuato,
alterum in aere libero consistat, \& quorum distanti{\ae} ab auditore
sint in dimidiata ratione densitatum aeris: \& si sonus corporis prioris
non superat sonum posterioris objectio cessabit.

Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pulsuum.
Scribit \textit{Mersennus} (Lib.\ I. Harmonicorum Prop.\ IV.) se
(factis experimentis quibusdam qu{\ae} ibidem describit) invenisse
quod nervus tensus vicibus 104 recurrit spatio minuti unius secundi,
quando facit Unisonum cum organica Fistula quadrupedali aperta
vel bipedali obturata, quam vocant Organarii \textit{C fa ut}. Sunt igitur
pulsus 104 in spatio pedum 968, quos sonus tempore minuti secundi
describit: adeoque pulsus unus occupat spatium pedum $9\frac{1}{4}$
circiter; id est duplam circiter longitudinem fistul{\ae}. Unde verisimile
est quňd latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum
sonis, {\ae}quentur duplis longitudinibus fistularum.

Porrň cur Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque
diutiůs audiuntur ubi longissimč distamus ŕ corporibus sonoris,
quŕm cum proximč absumus, patet ex Corollario Propositionis
XLVIII. Libri hujus. Sed \& cur soni in Tubis Stenterophonicis
valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim
omnis reciprocus singulis recursibus ŕ causa generante augeri solet.
Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tardiůs
amittitur \& fortius recurrit, \& propterea ŕ motu novo singulis
recursibus impresso magis augetur. Et h{\ae}c sunt pr{\ae}cipua Ph{\ae}nomena
Sonorum.


% -----File: 381.png---




\sectpage{IX.}

\begin{center}{\textit{De motu Circulari Fluidorum.}}\end{center}


\condpagelarge{Hypothesis.}

\textit{Resistentiam, qu{\ae} oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi,
c{\ae}teris par\-ibus, proportionalem esse velocitati, qua partes Fluidi
separantur ab invicem.}

\propnopage{Prop.\ LI\@. Theor.\ XXXVIII.}

\textit{Si Cylindrus solidus infinitč longus in fluido uniformi \& infinito circa
axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, \& ab hujus impulsu
solo agatur Fluidum in Orbem, perseveret autem fluidi pars unaqu{\ae}que
uniformiter in motu suo; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt
ut ipsarum distanti{\ae} ab axe cylindri.}

\pngright{381.png}{1267}{1253}{-24}
%Illustration

Sit $AFL$ cylindrus uniformiter
circa axem $S$ in orbem
actus, \& circulis concentricis
$BGM$, $CHN$, $DIO$,
$EKP$, \&c.\ distinguatur fluidum
in orbes cylindricos innumeros
concentricos solidos
ejusdem crassitudinis. Et
quoniam homogeneum est
Fluidum, impressiones contiguorum
orbium in se mutuň
fact{\ae}, erunt (per Hypothesin)
ut eorum translationes ab invicem \& superficies contigu{\ae} in
quibus impressiones fiunt. Si impressio in Orbem aliquem major
% -----File: 382.png---
est vel minor, ex parte concava quŕm ex parte convexa, pr{\ae}valebit
impressio fortior, \& motum Orbis vel accelerabit vel retardabit
prout in eandem regionem cum ipsius motu, vel in contrariam dirigitur.
Proinde ut Orbis unusquisque in motu suo uniformiter
perseveret, debent impressiones ex parte utraque sibi invicem {\ae}quari,
\& fieri in regiones contrarias. Unde cům impressiones sunt ut
contigu{\ae} superficies \& harum translationes ab invicem, erunt
translationes inversč ut superficies, hoc est inversč ut superficierum
distanti{\ae} ab axe. Sunt autem differenti{\ae} motuum angularium circa
axem ut h{\ae} translationes applicat{\ae} ad distantias, sive ut translationes
directč \& distanti{\ae} inversč; hoc est (conjunctis rationibus)
ut quadrata distantiarum inversč. Quare si ad infinit{\ae} rect{\ae}
$SABCDEQ$ partes singulas erigantur perpendicula $Aa$, $Bb$, $Cc$,
$Dd$, $Ee$, \&c.\ ipsarum $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, \&c.\ quadratis
reciprocč proportionalia, \& per terminos perpendicularium duci
intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt summ{\ae} distantiarum,
hoc est motus toti angulares, ut respondentes summ{\ae} linearum $Aa$,
$Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$: id est, si ad constituendum Medium uniformiter
fluidum orbium numerus augeatur \& latitudo minuatur in infinitum,
ut are{\ae} Hyperbolic{\ae} his summis Analog{\ae} $AaQ$, $BbQ$, $CcQ$,
$DdQ$, $EeQ$, \&c.\ \& tempora motibus angularibus reciprocč proportionalia
erunt etiam his areis reciprocč proportionalia. Est igitur
tempus periodicum particul{\ae} cujusvis $D$ reciprocč ut area $DdQ$,
hoc est, (per notas Curvarum quadraturas) directč ut distantia $SD$.
\QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciprocč
ut ipsarum distanti{\ae} ab axe Cylindri, \& velocitates absolut{\ae}
sunt {\ae}quales.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinit{\ae} contineantur,
\& cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur
autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum
tempora ut ipsorum semidiametri, \& perseveret fluidi pars
unaqu{\ae}que in motu suo: erunt partium singularum tempora periodica
ut ipsarum distanti{\ae} ab axe cylindrorum.
% -----File: 383.png---

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Si cylindro \& fluido ad hunc modum motis addatur vel
auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo
motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur
motus partium inter se. Nam translationes partium ab invicem
pendent ab attritu. Pars qu{\ae}libet in eo perseverabit motu, qui
attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur
quŕm retardatur.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Unde si toti cylindrorum \& fluidi Systemati auferatur
motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi
in cylindro quiescente.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Igitur si fluido \& cylindro exteriore quiescentibus,
revolvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus
circularis fluido, \& paulatim per totum fluidum propagabitur; nec
prius desinet augeri quŕm fluidi partes singul{\ae} motum Corollario
quarto definitum acquirant.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius
propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi
violenter detentus; \& accelerabitur ejus motus quoad usque tempora
periodica cylindri utriusque {\ae}quentur inter se. Quod si cylindrus
exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare,
\& nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecůs impressa motum
illum conservet, efficiet ut idem paulatim cesset.

Qu{\ae} omnia in aqua profunda stagnante experiri licet.

\condpagelarge{Prop.\ LII\@. Theor.\ XXXIX.}

\textit{Si Sph{\ae}ra solida, in fluido uniformi \& infinito, circa axem positione
datum uniformi cum motu revolvatur, \& ab hujus impulsu solo agatur
fluidum in orbem; perseveret autem fluidi pars unaqu{\ae}que uniformiter in
motu suo: dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata
distantiarum ŕ centro Sph{\ae}r{\ae}.} Fig.\ Prop.\ LI.

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Sit $AFL$ sph{\ae}ra uniformiter circa axem $S$ in orbem acta,
\& circulis concentricis $BGM$, $CHN$, $DIO$, $EKP$, \&c.\ distinguatur
% -----File: 384.png---
fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis.
Finge autem orbes illos esse solidos; \& quoniam homogeneum
est fluidum, impressiones contiguorum Orbium in se mutuň
fact{\ae}, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem
\& superficies contigu{\ae} in quibus impressiones fiunt. Si impressio
in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava quŕm ex
parte convexa, pr{\ae}valebit impressio fortior, \& velocitatem Orbis
vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipsius
motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unusquisque in
motu suo perseveret uniformiter, debebunt impressiones ex parte
utraque sibi invicem {\ae}quari, \& fieri in regiones contrarias. Unde
cum impressiones sint ut contigu{\ae} superficies \& harum translationes
ab invicem; erunt translationes inversč ut superficies, hoc est
inversč ut quadrata distantiarum superficierum ŕ centro. Sunt autem
differenti{\ae} motuum angularium circa axem ut h{\ae} translationes
applicat{\ae} ad distantias, sive ut translationes directč \& distanti{\ae} inversč;
hoc est (conjunctis rationibus) ut cubi distantiarum inversč.
Quare si ad rect{\ae} infinit{\ae} $SABCDEQ$ partes singulas erigantur
perpendicula $Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$, \&c.\
ipsarum $SA$, $SB$, $SC$,
$SD$, $SE$, \&c.\ cubis reciprocč proportionalia, erunt summ{\ae} distantiarum,
hoc est, motus toti angulares, ut respondentes summ{\ae} linearum
$Aa$, $Bb$, $Cc$, $Dd$, $Ee$: id est (si ad constituendum Medium
uniformiter fluidum, numerus Orbium augeatur \& latitudo
minuatur in infinitum) ut are{\ae} Hyperbolic{\ae} his summis analog{\ae}
$AaQ$, $BbQ$, $CcQ$, $DdQ$, $EeQ$, \&c. Et tempora periodica
motibus angularibus reciprocč proportionalia erunt etiam his
areis reciprocč proportionalia. Est igitur tempus periodicum orbis
cujusvis $DIO$ reciprocč ut area $DdQ$, hoc est, (per notas Curvarum
quadraturas) directč ut quadratum distanti{\ae} $SD$. Id quod
volui primň demonstrare.

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}A centro Sph{\ae}r{\ae} ducantur infinit{\ae} rect{\ae} quam plurim{\ae},
qu{\ae} cum axe datos contineant angulos, {\ae}qualibus differentiis se mutuň
superantes; \& his rectis circa axem revolutis concipe orbes in annulos
% -----File: 385.png---
innumeros secari; \& annulus unusquisque habebit annulos
quatuor sibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem \&
duos laterales. Attritu interioris \& exterioris non potest annulus
unusquisque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, {\ae}qualiter
\& in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus
primi. Et propterea annulorum series qu{\ae}libet ŕ globo in infinitum
rectŕ pergens movebitur pro lege casus primi, nisi quatenus
impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege
facto, attritus annulorum ad latera nullus est, neque adeň motum,
quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui ŕ centro {\ae}qualiter
distant, vel citiůs revolverentur vel tardiůs juxta polos quŕm
juxta {\ae}quatorem; tardiores accelerarentur, \& velociores retardarentur
ab attritu mutuo, \& sic vergerent semper tempora periodica
ad {\ae}qualitatem, pro lege casus primi. Non impedit igitur hic
attritus quo minus motus fiat secundum legem casus primi, \&
propterea lex illa obtinebit: hoc est annulorum singulorum tempora
periodica erunt ut quadrata distantiarum ipsorum ŕ centro globi.
Quod volui secundo demonstrare.

\textit{Cas.\fsp{}3.}\wsp{}Dividatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis
in particulas innumeras constituentes substantiam absolutč \&
uniformiter fluidam; \& quoniam h{\ae} sectiones non spectant ad
legem motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo
conducunt, perseverabit motus circularis ut priůs. His sectionibus
annuli omnes quamminimi asperitatem \& vim attritus mutui aut
non mutabunt aut mutabunt {\ae}qualiter. Et manente causarum
proportione manebit effectuum proportio, hoc est proportio motuum
\& periodicorum temporum. \QEDit C{\ae}terum cum motus
circularis, \& abinde orta vis centrifuga, major sit ad Eclipticam
quŕm ad polos; debebit causa aliqua adesse qua particul{\ae} singul{\ae}
in circulis suis retineantur, ne materia qu{\ae} ad Eclipticam est recedat
semper ŕ centro \& per exteriora Vorticis migret ad polos, indeque
per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi
sunt reciprocč ut quadrata distantiarum ŕ centro globi, \& velocitates
% -----File: 386.png---
absolut{\ae} reciprocč ut eadem quadrata applicata ad distantias
ab axe.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Si globus in fluido quiescente similari \& infinito circa
axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communicabitur
motus fluido in morem Vorticis, \& motus iste paulatim propagabitur
in infinitum; neque prius cessabit in singulis fluidi partibus
accelerari, quŕm tempora periodica singularum partium sint
ut quadrata distantiarum ŕ centro globi.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem suam
velocitatem atterunt \& urgent exteriores, motumque ipsis ea actione
perpetuň communicant, \& exteriores illi eandem motus quantitatem
in alios adhuc exteriores simul transferunt, eaque actione
servant quantitatem motus sui planč invariatam; patet quod motus
perpetuň transfertur ŕ centro ad circumferentiam Vorticis, \& per
infinitatem circumferenti{\ae} absorbetur. Materia inter sph{\ae}ricas
duas quasvis superficies Vortici concentricas nunquam accelerabitur,
eň quod motum omnem ŕ materia interiore acceptum transfert
semper in exteriorem.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Proinde ad conservationem Vorticis constanter in eodem
movendi statu, requiritur principium aliquod activum ŕ quo globus
eandem semper quantitatem motus accipiat quam imprimit in materiam
vorticis. Absque tali principio necesse est ut globus \& Vorticis
partes interiores, propagantes semper motum suum in exteriores,
neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paulatim
\& in orbem agi desinant.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Si globus alter huic Vortici ad certam ab ipsius centro
distantiam innataret, \& interea circa axem inclinatione datum vi aliqua
constanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in vorticem:
\& primň revolveretur hic vortex novus \& exiguus una cum
globo circa centrum alterius, \& interea latiůs serperet ipsius motus,
\& paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi.
Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius,
raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo circa
intermedium aliquod punctum revolverentur, seque mutuň ob motum
% -----File: 387.png---
illum circularem fugerent, nisi per vim aliquam cohibiti. Postea
si vires constanter impress{\ae}, quibus globi in motibus suis perseverant,
cessarent, \& omnia legibus Mechanicis permitterentur, languesceret
paulatim motus globorum (ob rationem in Corol.\ 3.\ \& 4.\
assignatam) \& vortices tandem conquiescerent.

\textit{Corol.\fsp{}6.}\wsp{}Si globi plures datis in locis circum axes positione datos
certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices totidem
in infinitum pergentes. Nam globi singuli, eadem ratione
qua unus aliquis motum suum propagat in infinitum, propagabunt
etiam motus suos in infinitum, adeň ut fluidi infiniti pars
unaqu{\ae}que eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus
resultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, sed in se
mutuň paulatim excurrent; globi{\que} per actiones vorticum in se
mutuň, perpetuň movebuntur de locis suis; uti in Lemmate superiore
expositum est; ne{\que} certam quamvis inter se positionem servabunt,
nisi per vim aliquam retenti. Cessantibus autem viribus
illis qu{\ae} in globos constanter impress{\ae} conservant hosce motus,
materia ob rationem in Corollario tertio \& quarto assignatam paulatim
requiescet \& in vortices agi desinet.

\textit{Corol.\fsp{}7.}\wsp{}Si Fluidum similare claudatur in vase sph{\ae}rico, ac globi
in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus
autem \& vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur,
sint{\que} eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum: partes
fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine acceleratione
\& retardatione, quŕm sint eorum tempora periodica ut quadrata
distantiarum ŕ centro vorticis. Alia nulla Vorticis constitutio potest
esse permanens.

\textit{Corol.\fsp{}8.}\wsp{}Si vas, Fluidum inclusum \& globus servent hunc motum,
\& motu pr{\ae}terea communi angulari circa axem quemvis datum
revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus
partium fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter
se. Nam translationes partium inter se pendent ab attritu.
Pars qu{\ae}libet in eo perseverabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere
non magis tardetur quŕm acceleretur attritu ex altero.
% -----File: 388.png---

\textit{Corol.\fsp{}9.}\wsp{}Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus
fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi \& motu
contrario revolvi; \& pone tempus revolutionis hujus esse ad
summam hujus temporis \& temporis revolutionis globi, ut quadratum
semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi: \& tempora
periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata
distantiarum suarum ŕ centro globi.

\textit{Corol.\fsp{}10.}\wsp{}Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel
circa diversum aliquem, data cum velocitate quacun{\que} moveatur,
dabitur motus fluidi. Nam si Systemati toti auferatur vasis motus
angularis, manebunt motus omnes iidem inter se qui prius, per
Corol.\ 8. Et motus isti per Corol.\ 9.\ dabuntur.

\textit{Corol.\fsp{}11.}\wsp{}Si vas \& fluidum quiescant \& globus uniformi cum
motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum
in vas, \& circumagetur vas nisi violenter detentum, ne{\que} prius
desinent fluidum \& vas accelerari, quŕm sint eorum tempora periodica
{\ae}qualia temporibus periodicis globi. Quod si vas vi aliqua
detineatur vel revolvatur motu quovis constanti \& uniformi, deveniet
Medium paulatim ad statum motus in Corollariis 8.\ 9 \&
10 definiti, nec in alio unquam statu quocun{\que} perseverabit. Deinde
verň si, viribus illis cessantibus quibus vas \& globus certis motibus
revolvebantur, permittatur Systema totum Legibus Mechanicis;
vas \& globus in se invicem agent mediante fluido, ne{\que} motus
suos in se mutuň per fluidum propagare prius cessabunt, quŕm eorum
tempora periodica {\ae}quantur inter se, \& Systema totum ad instar
corporis unius solidi simul revolvatur.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem
\& fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem
eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes \&
{\ae}quales, ad {\ae}quales semper ŕ se distantias, ubivis in fluido constitutus,
propagare possit. Conatur quidem materia per motum suum
% -----File: 389.png---
circularem recedere ab axe Vorticis, \& propterea premit materiam
omnem ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior \&
separatio ab invicem difficilior; \& per consequens diminuitur materi{\ae}
fluiditas. Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores,
fluiditas ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes
separentur ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem
vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione restitui
suppono. Hoc nisi fiat, materia ubi minůs fluida est magis
coh{\ae}rebit \& segnior erit, adeo{\que} motum tardiůs recipiet \& longiůs
propagabit quŕm pro ratione superiůs assignata. Si figura
vasis non sit Sph{\ae}rica, movebuntur particul{\ae} in lineis non circularibus
sed conformibus eidem vasis figur{\ae}, \& tempora periodica
erunt ut quadrata mediocrium distantiarum ŕ centro quamproximč.
In partibus inter centrum \& circumferentiam, ubi latiora sunt spatia,
tardiores erunt motus, ubi angustiora velociores; neque tamen
particul{\ae} velociores petent circumferentiam. Arcus enim describent
minus curvos, \& conatus recedendi ŕ centro non minus diminuetur
per decrementum hujus curvatur{\ae}, quŕm augebitur per
incrementum velocitatis. Pergendo ŕ spatiis angustioribus in latiora
recedent paulň longiůs ŕ centro, sed isto recessu tardescent; \&
accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur, \& sic
per vices tardescent \& accelerabuntur particul{\ae} singul{\ae} in perpetuum.
H{\ae}c ita se habebunt in vase rigido. Nam in fluido infinito
constitutio Vorticum innotescit per Propositionis hujus Corollarium
sextum.

Proprietates autem Vorticum hac Propositione investigare conatus
sum, ut pertentarem siqua ratione Ph{\ae}nomena c{\oe}lestia per
Vortices explicari possint. Nam Ph{\ae}nomenon est quod Planetarum
circa Jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione
sesquialtera distantiarum ŕ centro Jovis; \& eadem Regula obtinet
in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem h{\ae} Regul{\ae}
in Planetis utrisque quam accuratissimč, quatenus observationes
Astronomic{\ae} hactenus prodidęre. Ideo{\que} si Planet{\ae} illi ŕ Vorticibus
circa Jovem \& Solem revolventibus deferantur, debebunt etiam
% -----File: 390.png---
hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium
Vorticis prodierunt in ratione duplicata distantiarum ŕ centro
motus: neque potest ratio illa diminui \& ad rationem sesquialteram
reduci, nisi vel materia vorticis eo fluidior sit quo longius distat
ŕ centro, vel resistentia, qu{\ae} oritur ex defectu lubricitatis partium
fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi separantur ab invicem,
augeatur in majori ratione quŕm ea est in qua velocitas augetur.
Quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur. Partes
crassiores \& minus fluid{\ae} (nisi graves sint in centrum) circumferentiam
petent; \& verisimile est quod, etiamsi Demonstrationum gratia
Hypothesin talem initio Sectionis hujus proposuerim ut Resistentia
velocitati proportionalis esset, tamen Resistentia in minori
sit ratione quŕm ea velocitatis est. Quo concesso tempora periodica
partium Vorticis erunt in majori quŕm duplicata ratione distantiarum
ab ipsius centro. Quod si vortices (uti aliquorum est opinio)
celeriůs moveantur prope centrum, dein tardiůs usque ad certum
limitem, tum denuň celeriůs juxta circumferentiam; certč nec ratio
sesquialtera neque alia qu{\ae}vis certa ac determinata obtinere potest.
Viderint ita{\que} Philosophi quo pacto Ph{\ae}nomenon illud rationis
sesquialter{\ae} per Vortices explicari possit.


\condpagelarge{Prop.\ LIII\@. Theor.\ XL.}

\textit{Corpora qu{\ae} in Vortice delata in orbem redeunt ejusdem sunt densitatis
cum Vortice, \& eadem lege cum ipsius partibus (quoad velocitatem \&
cursus determinationem) moventur.}

Nam si vorticis pars aliqua exigua, cujus particul{\ae} seu puncta
physica datum servant situm inter se, congelari supponatur: h{\ae}c,
quoniam ne{\que} quoad densitatem suam, neque quoad vim insitam
aut figuram suam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: \& contra,
si Vorticis pars congelata \& solida ejusdem sit densitatis cum
reliquo vortice, \& resolvatur in fluidum; movebitur h{\ae}c eadem
lege ac prius, nisi quatenus ipsius particul{\ae} jam fluid{\ae} fact{\ae} moveantur
inter se. Negligatur igitur motus particularum inter se, tanquam
% -----File: 391.png---
ad totius motum progressivum nil spectans, \& motus totius
idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum Vorticis
partium ŕ centro {\ae}qualiter distantium, propterea quod solidum
in Fluidum resolutum fit pars Vorticis c{\ae}teris partibus consimilis.
Ergo solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia Vorticis, eodem
motu cum ipsius partibus movebitur, in materia proximč ambiente
relative quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere
ŕ centro Vorticis quŕm priůs; adeo{\que} Vorticis vim illam, qua
priůs in Orbita sua tanquam in {\ae}quilibrio constitutum retinebatur,
jam superans, recedet ŕ centro \& revolvendo describet Spiralem, non
amplius in eundem Orbem rediens. Et eodem argumento si rarius
sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem nisi
sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est,
quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi ŕ centro Vorticis
{\ae}qualiter distantibus. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Ergo solidum quod in Vortice revolvitur \& in eundem
Orbem semper redit, relativč quiescit in fluido cui innatat.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem
ad quamlibet ŕ centro Vorticis distantiam revolvi potest.


\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

\pngright{392.png}{1118}{1272}{-24}
%Illustration

Hinc liquet Planetas ŕ Vorticibus corporeis non deferri. Nam
Planet{\ae} secundum Hypothesin \textit{Copernic{\ae}am} circa Solem delati revolvuntur
in Ellipsibus umbilicum habentibus in Sole, \& radiis ad
Solem ductis areas describunt temporibus proportionales. At partes
Vorticis tali motu revolvi nequeunt. Designent $AD$, $BE$, $CF$,
orbes tres circa Solem $S$ descriptos, quorum extimus $CF$ circulus
sit Soli concentricus, \& interiorum duorum Aphelia sint $A$, $B$, \&
Perihelia $D$, $E$. Ergo corpus quod revolvitur in orbe $CF$, radio
ad Solem ducto areas temporibus proportionales describendo, movebitur
uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur in
Orbe $BE$, tardiůs movebitur in Aphelio $B$ \& velociůs in Perihelio
$C$, secundum leges Astronomicas; cum tamen secundum leges Mechanicas
materia Vorticis in spatio angustiore inter $A$ \& $C$ velociůs
% -----File: 392.png---
moveri debeat quŕm in spatio latiore inter $D$ \& $F$; id est, in Aphelio
velociůs quŕm in Perihelio. Qu{\ae} duo repugnant inter se. Sic
in principio Signi Virginis, ubi
Aphelium Martis jam versatur,
distantia inter orbes Martis \&
Veneris est ad distantiam eorundem
orbium in principio Signi
Piscium ut tria ad duo circiter,
\& propterea materia Vorticis inter
Orbes illos in principio Piscium
debet esse velocior quŕm in
principio Virginis in ratione trium
ad duo. Nam quo angustius
est spatium per quod eadem
Materi{\ae} quantitas eodem revolutionis
unius tempore transit, eo majori cum velocitate transire
debet. Igitur si Terra in hac Materia c{\oe}lesti relativč quiescens ab
ea deferretur, \& una circa Solem revolveretur, foret hujus velocitas
in principio Piscium ad ejusdem velocitatem in principio Virginis in
ratione sesquialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in principio
Virginis major esset quŕm minutorum primorum septuaginta,
\& in principio Piscium minor quŕm minutorum quadraginta \&
octo: cum tamen (experientia teste) apparens iste Solis motus major
sit in principio Piscium quŕm in principio Virginis, \& propterea
Terra velocior in principio Virginis quŕm in principio Piscium.
Ita{\que} Hypothesis Vorticum cum Ph{\ae}nomenis Astronomicis omninň
pugnat, \& non tam ad explicandos quŕm ad perturbandos
motus c{\oe}lestes conducit. Quomodo verň motus isti in spatiis liberis
absque Vorticibus peraguntur intelligi potest ex Libro primo,
\& in Mundi Systemate pleniůs docebitur.

\pagelines

% -----File: 393.png---




\begin{center}{\large DE}\end{center}

\begin{center}{\Huge Mundi Systemate}\end{center}


\condpagelarge{\gesperrt{LIBER}{3} \gesperrt{TERTIUS}{3}}


In Libris pr{\ae}cedentibus principia Philosophi{\ae} tradidi, non
tamen Philosophica sed Mathematica tantum, ex quibus videlicet
in rebus Philosophicis disputari possit. H{\ae}c sunt
motuum \& virium leges \& conditiones, qu{\ae} ad Philosophiam
maximč spectant. Eadem tamen, ne sterilia videantur, illustravi
Scholiis quibusdam Philosophicis, ea tractans qu{\ae} generalia sunt,
\& in quibus Philosophia maximč fundari videtur, uti corporum
densitatem \& resistentiam, spatia corporibus vacua, motumque
Lucis \& Sonorum. Superest ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem
Systematis Mundani. De hoc argumento composueram
Librum tertium methodo populari, ut ŕ pluribus legeretur.
Sed quibus Principia posita satis intellecta non fuerint, ij vim consequentiarum
minimč percipient, neque pr{\ae}judicia deponent quibus
ŕ multis retro annis insueverunt: \& propterea ne res in disputationes
trahatur, summam libri illius transtuli in Propositiones, more Mathematico,
ut ab iis solis legantur qui principia prius evolverint.
Veruntamen quoniam Propositiones ibi quam plurim{\ae} occurrant,
qu{\ae} Lectoribus etiam Mathematicč doctis moram nimiam injicere
possint, author esse nolo ut quisquam eas omnes evolvat; suffecerit
siquis Definitiones, Leges motuum \& sectiones tres priores Libri primi
sedulň legat, dein transeat ad hunc Librum de Mundi Systemate,
\& reliquas Librorum priorum Propositiones hic citatas pro lubitu
consulat.
% -----File: 394.png---


\condpagelarge{HYPOTHESES.}

Hypoth.\fsp{}I\@.\wsp{}\textit{Causas rerum naturalium non plures admitti debere, quŕm
qu{\ae} \& vera sint \& earum Ph{\ae}nomenis explicandis sufficiunt.}

Natura enim simplex est \& rerum causis superfluis non luxuriat.

% creative use of \spreadout to avoid unsplittable causae giving Overfull hbox
Hypoth.\fsp{}II\@.\wsp{}\textit{Ideoque\spreadout{effectuum naturalium ejusdem generis e{\ae}dem sunt}
caus{\ae}.}

Uti respirationis in Homine \& in Bestia; descensus lapidum in
\textit{Europa} \& in \textit{America}; Lucis in Igne culinari \& in Sole; reflexionis
lucis in Terra \& in Planetis.

Hypoth.\fsp{}III\@.\wsp{}\textit{Corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus
transformari posse, \& qualitatum gradus omnes intermedios sucessivč induere.}

Hypoth.\fsp{}IV\@.\wsp{}\textit{Centrum Systematis Mundani quiescere.}

Hoc ab omnibus concessum est, dum aliqui Terram alii Solem
in centro quiescere contendat.

Hypoth.\fsp{}V\@.\wsp{}\textit{Planetas circumjoviales, radiis ad centrum Jovis ductis,
areas describere temporibus proportionales, eorumque tempora periodica esse
in ratione sesquialtera distantiarum ab ipsius centro.}

Constat ex observationibus Astronomicis. Orbes horum Planetarum
non differunt sensibiliter ŕ circulis Jovi concentricis, \&
motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora
verň periodica esse in sesquialtera semidiametrorum orbium
consentiunt Astronomici: \& \textit{Flamstedius}, qui omnia Micrometro
\& per Eclipses Satellitum accuratius definivit, literis ad me
datis, quinetiam numeris suis mecum communicatis, significavit
rationem illam sesquialteram tam accuratč obtinere, quŕm sit possibile
sensu deprehendere. Id quňd ex Tabula sequente manifestum
est.
% -----File: 395.png---

\condpagelarge{\textit{Satellitum tempora periodica.}}

\begin{tabular}{ l l l l}
1d.\ 18h.\ $28\minute\frac{3}{5}$. &
3d.\ 13h.\ $17\minute\frac{9}{10}$. &
7d.\ 3h.\ $59\minute\frac{3}{5}$. &
16d.\ 18h.\ $5\minute\frac{1}{5}$.
\end{tabular}


\condpagelarge{\textit{Distanti{\ae} Satellitum ŕ centro Jovis.}}

\noindent\begin{tabular}{@{}l|l|l|l|ll}
\textit{Ex Observationibus} & 1.   & 2      & 3      & 4       \\
\hline
Cassini                            & 5.   & 8.   & 13.  & 23.   \\
Borelli                            & $5\frac{2}{3}$. & $8\frac{2}{3}$. & 14.  & $24\frac{2}{3}$. \\
Tounlei \textit{per Micromet.}     & $5\decimals{51}$. & $8\decimals{78}$. & $13\decimals{47}$. & $24\decimals{72}$. & Semidiam. \\
Flamstedii \textit{per Microm.}    & $5\decimals{31}$. & $8\decimals{85}$. & $13\decimals{98}$. & $24\decimals{23}$. & Jovis. \\
Flamst.\ \textit{per Eclips.\ Satel.}& $5\decimals{578}$. & 8$\decimals{876}$. & $14\decimals{159}$.& $24\decimals{903}$. \\
\hline
\textit{Ex temporibus periodicis.} & $5\decimals{578}$. & $8\decimals{878}$. & $14\decimals{168}$.& $24\decimals{968}$.
\end{tabular}

\vspace{\baselineskip}

Hypoth.\fsp{}VI\@. \textit{Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Martem,
Jovem \& Saturnum Orbibus suis Solem cingere.}

Mercurium \& Venerem circa Solem revolvi ex eorum phasibus
lunaribus demonstratur. Plenâ facie lucentes ultra Solem siti sunt,
dimidiatâ č regione Solis, falcatâ cis Solem; per discum ejus ad modum
macularum nonnunquam transeuntes. Ex Martis quoque
plena facie prope Solis conjunctionem, \& gibbosa in quadraturis,
certum est quod is Solem ambit. De Jove etiam \& Saturno idem
ex eorum phasibus semper plenis demonstratur.

Hypoth.\fsp{}VII\@.\wsp{}\textit{Planetarum quinque primariorum, \& (vel Solis circa
Terram vel) Terr{\ae} circa Solem tempora periodica esse in ratione sesquialtera
mediocrium distantiarum ŕ Sole.}

H{\ae}c ŕ \textit{Keplero} inventa ratio in confesso est apud omnes. Eadem
utique sunt tempora periodica, e{\ae}dem{\que} orbium dimensiones,
sive Planet{\ae} circa Terram, sive iidem circa Solem revolvantur. Ac
de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter Astronomos
universos. Magnitudines autem Orbium \textit{Keplerus} \& \textit{Bullialdus}
omnium diligentissimč ex Observationibus determinaverunt:
\& distanti{\ae} mediocres, qu{\ae} temporibus periodicis respondent, non
% -----File: 396.png---
differunt sensibiliter ŕ distantiis quas illi invenerunt, suntque inter
ipsas ut plurimum intermedi{\ae}; uti in Tabula sequente videre licet.


\condpagelarge{\textit{Planetarum ac Telluris Distanti{\ae} mediocres ŕ Sole.}}

\noindent\begin{tabular}{@{}l @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c @{\hspace{0.3em}}c}
 & $\saturn$ & $ \jupiter$ & $ \mars$ & $ \earth$ & $ \venus$ & $ \mercury$ \\
Secundum \textit{Keplerum} & 951000. & 519650. & 152350. & 100000. & 72400. & 38806. \\
Secundum \textit{Bullialdum} & 954198. & 522520. & 152350. & 100000. & 72398. & 38585. \\
Secundum tempora periodica & 953806. & 520116. & 152399. & 100000. & 72333. & 38710.
\end{tabular}
\vspace{\baselineskip}


De distantiis Mercurii \& Veneris ŕ Sole disputandi non est locus,
cum h{\ae} per eorum Elongationes ŕ Sole determinentur. De
distantiis etiam superiorum Planetarum ŕ Sole tollitur omnis disputatio
per Eclipses Satellitum Jovis. Etenim per Eclipses illas determinatur
positio umbr{\ae} quam Jupiter projicit, \& eo nomine habetur
Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem
Heliocentrica \& Geocentrica inter se collatis determinatur distantia
Jovis.

Hypoth.\fsp{}VIII\@.\wsp{}\textit{Planetas primarios radiis ad Terram ductis areas describere
temporibus minimč proportionales; at radiis ad Solem ductis areas
temporibus proportionales percurrere.}

Nam respectu terr{\ae} nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt,
nunc etiam regrediuntur: At Solis respectu semper progrediuntur,
idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen
in Periheliis ac tardius in Apheliis, sic ut arearum {\ae}quabilis sit descriptio.
Propositio est Astronomis notissima, \& in Jove apprimč demonstratur
per Eclipses Satellitum, quibus Eclipsibus Heliocentricas
Planet{\ae} hujus longitudines \& distantias ŕ Sole determinari diximus.

Hypoth.\fsp{}IX\@.\wsp{}\textit{Lunam radio ad centrum terr{\ae} ducto aream tempori
proportionalem describere.}

Patet ex Lun{\ae} motu apparente cum ipsius diametro apparente
collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum ŕ vi
Solis, sed errorum insensibiles minutias Physicis in hisce Hypothesibus
negligo.
% -----File: 397.png---


\condpagelarge{Prop.\ I\@. Theor.\ I.}

\textit{Vires, quibus Planet{\ae} circumjoviales perpetuo retrahuntur ŕ motibus rectilineis
\& in orbibus suis retinentur, respicere centrum Jovis, \& esse
reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro.}

Patet pars prior Propositionis per Hypoth.\ V. \& Prop.\ II. vel
III. Lib.\ I. \& pars posterior per Hypoth.\ V. \& Corol.\ 6.\ Prop.\ IV.
ejusdem Libri.


\condpagelarge{Prop.\ II\@. Theor.\ II.}

\textit{Vires, quibus Planet{\ae} primarii perpetuo retrahuntur ŕ motibus rectilineis,
\& in Orbibus suis retinentur, respicere Solem, \& esse reciproce ut quadrata
distantiarum ab ipsius centro.}

Patet pars prior Propositionis per Hypoth.\ VIII. \& Prop.\ II. Lib.\
I. \& pars posterior per Hypoth.\ VII. \& Prop.\ IV. ejusdem Libri.
Accuratissimč autem demonstratur h{\ae}c pars Propositionis per quietem
Apheliorum. Nam aberratio quam minima ŕ ratione duplicata
(per \label{wasp405}Corol.\ 1.\ Prop.\ XLV. Lib.\ I.) motum Apsidum in singulis
revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere deberet.


\condpagelarge{Prop.\ III\@. Theor.\ III.}

\textit{Vim qua Luna retinetur in Orbe suo respicere terram, \& esse reciprocň ut
quadratum distanti{\ae} locorum ab ipsius centro.}

Patet assertionis pars prior, per Hypoth.\ IX. \& Prop.\ II. vel III.
Lib.\ I. \& pars posterior per motum tardissimum Lunaris Apog{\ae}i.
Nam motus ille, qui singulis revolutionibus est graduum tantum
trium in consequentia, contemni potest. Patet enim, per Corol.\ 1.\
Prop.\ XLV. Lib.\ I. quod si distantia Lun{\ae} ŕ centro Terr{\ae} dicatur
% -----File: 398.png---
$D$, vis ŕ qua motus talis oriatur, sit reciproce ut $D^{2\frac{4}{243}}$, id est reciprocč
ut ea ipsius $D$ dignitas, cujus index est $2\frac{4}{243}$, hoc est in ratione
distanti{\ae} paulo majore quam duplicata inverse, sed qu{\ae} vicibus
$60\frac{3}{4}$ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Tantillus
autem accessus meritň contemnendus est. Oritur verň ab actione
Solis (uti posthac dicetur) \& propterea hic negligendus est.
Restat igitur ut vis illa, qu{\ae} ad Terram spectat, sit reciprocč ut
$D^2$; id quod etiam plenius constabit, conferendo hanc vim cum vi
gravitatis, ut fit in Propositione sequente.


\condpagelarge{Prop.\ IV\@. Theor.\ IV.}

\textit{Lunam gravitare in terram, \& vi gravitatis retrahi semper ŕ motu
rectilineo, \& in orbe suo retineri.}

Lun{\ae} distantia mediocris ŕ centro Terr{\ae} est semidiametrorum
terrestrium, secundum plerosque Astronomorum 59, secundum
\textit{Vendelinum} 60, secundum \textit{Copernicum} $60\frac{1}{3}$, secundum \textit{Kircherum}
$62\frac{1}{2}$, \& secundum \textit{Tychonem} $56\frac{1}{2}$. Ast \textit{Tycho}, \& quotquot
ejus Tabulas refractionum sequuntur, constituendo refractiones
Solis \& Lun{\ae} (omnino contra naturam Lucis) majores quam
fixarum, idque scrupulis quasi quatuor vel quinque, auxerunt Parallaxin
Lun{\ae} scrupulis totidem, hoc est quasi duodecima vel decima
quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur iste error, \&
distantia evadet quasi 61 semidiametrorum terrestrium, fere ut ab
aliis assignatum est. Assumamus distantiam mediocrem sexaginta
semidiametrorum; \& Lunarem periodum respectu fixarum compleri
diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab Astronomis
statuitur; atque ambitum Terr{\ae} esse pedum Parisiensium
123249600, uti ŕ Gallis mensurantibus nuper definitum est: \& si
Luna motu omni privari fingatur, ac dimitti ut, urgente vi illa
omni qua in Orbe suo retinetur, descendat in terram; h{\ae}c spatio minuti
primi cadendo describet pedes Parisienses $15\frac{1}{12}$. Colligitur
% -----File: 399.png---
hoc ex calculo, vel per Propositionem xxxvi Libri primi, vel (quod
eodem recedit) per Scholium Propositionis quart{\ae} ejusdem Libri,
confecto. Unde cum vis illa accedendo ad terram augeatur in
duplicata distanti{\ae} ratione inversâ, adeoque ad superficiem Terr{\ae}
major sit vicibus $60 \times 60$ quam ad Lunam, corpus vi illa in regionibus
nostris cadendo describere deberet spatio minuti unius primi
pedes Parisienses $60 \times 60 \times 15\frac{1}{12}$, \& spatio minuti unius secundi pedes
$15\frac{1}{12}$. Atqui corpora in regionibus nostris vi gravitatis cadendo
describunt tempore minuti unius secundi pedes Parisienses $15\frac{1}{12}$, uti
\textit{Hugenius}, factis pendulorum experimentis \& computo inde inito,
demonstravit: \& propterea vis qua Luna in orbe suo retinetur, illa
ipsa est quam nos gravitatem dicere solemus. Nam si gravitas ab
ea diversa est, corpora viribus utrisque conjunctis Terram petendo
duplo velocius descendent, \& spatio minuti unius secundi cadendo
describent pedes Parisienses $30\frac{1}{6}$: omnino contra experientiam.

Calculus hic fundatur in Hypothesi quod Terra quiescit. Nam
si Terra \& Luna circa Solem moveantur, \& interea quoque circa
commune gravitatis centrum revolvantur: distantia centrorum
Lun{\ae} ac Terr{\ae} ab invicem erit $60\frac{1}{2}$ semidiametrorum terrestrium;
uti computationem (per Prop.\ LX. Lib.\ I.) ineunti patebit.

\condpagelarge{Prop.\ V\@. Theor.\ V.}

\textit{Planetas circumjoviales gravitare in Jovem, \& circumsolares in Solem, \&
vi gravitatis su{\ae} retrahi semper ŕ motibus rectilineis, \& in orbibus
curvilineis retineri.}

Nam revolutiones Planetarum circumjovialium circa Jovem, \&
Mercurii ac Veneris reliquorumque circumsolarium circa Solem
sunt Ph{\ae}nomena ejusdem generis cum revolutione Lun{\ae} circa Terram;
\& propterea per Hypoth.\ II. ŕ causis ejusdem generis dependent:
pr{\ae}sertim cům demonstratum sit quod vires, ŕ quibus
revolutiones ill{\ae} dependent, respiciant centra Jovis ac Solis, \& recedendo
% -----File: 39A.png---
ŕ Jove \& Sole decrescant eadem ratione ac lege, qua vis
gravitatis decrescit in recessu ŕ Terra.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur gravitas datur in Planetas universos. Nam Venerem,
Mercurium c{\ae}terosque esse corpora ejusdem generis cum
Jove nemo dubitat. Certe Planeta Hugenianus, eodem argumento
quo Satellites Jovis gravitant in Jovem, gravis est in Saturnum.
Et cum attractio omnis (per motus legem tertiam) mutua sit, Saturnus
vicissim gravitabit in Planetam Hugenianum. Eodem argumento
Jupiter in Satellites suos omnes, Terraque in Lunam, \&
Sol in Planetas omnes primarios gravitabit.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Gravitatem, qu{\ae} Planetam unumquemque respicit, ese
reciprocč ut quadratum distanti{\ae} locorum ab ipsius centro.

\condpagelarge{Prop.\ VI\@. Theor.\ VI.}

\textit{Corpora omnia in Planetas singulos gravitare, \& pondera eorum in eundem
quemvis Planetam, paribus distantiis ŕ centro Planet{\ae}, proportionalia
esse quantitati materi{\ae} in singulis.}

Descensus gravium omnium in Terram (dempta saltem in{\ae}quali
retardatione qu{\ae} ex Aeris perexigua resistentia oritur) {\ae}qualibus
temporibus fieri jamdudum observarunt alii; \& accuratissimč
quidem notare licet {\ae}qualitatem temporum in Pendulis. Rem
tentavi in auro, argento, plumbo, vitro, arena, sale communi,
ligno, aqua, tritico. Comparabam pixides duas ligneas rotundas
\& {\ae}quales. Unam implebam ligno, \& idem auri pondus suspendebam
(quŕm potui exactč) in alterius centro oscillationis. Pixides
ab {\ae}qualibus pedum undecim filis pendentes constituebant
Pendula, quoad pondus, figuram \& aeris resistentia omnino paria:
Et paribus oscillationibus juxta posit{\ae} ibant unŕ \& redibant
diutissime. Proinde copia materi{\ae} in auro (per Corol.\ 1.\ \& 6.\ Prop.\
XXIV. Lib.\ II.) erat ad copiam materi{\ae} in ligno, ut vis motricis
actio in totum aurum ad ejusdem actionem in totum lignum; hoc
% -----File: 39B.png---
est ut pondus ad pondus. Et sit in c{\ae}teris. In corporibus ejusdem
ponderis differentia materi{\ae}, qu{\ae} vel minor esset quŕm pars millesima
materi{\ae} totius, his experimentis manifestň deprehendi potuit.
Jam verň naturam gravitatis in Planetas eandem esse atque in Terram
non est dubium. Elevari enim fingantur corpora h{\ae}c Terrestria
ad usque Orbem Lun{\ae}, \& una cum Lunâ motu omni privata
demitti, ut in Terram simul cadant; \& per jam ante ostensa
certum est quod temporibus {\ae}qualibus describent {\ae}qualia Spatia
cum Luna, adeoque quod sunt ad quantitatem materi{\ae} in Luna, ut
pondera sua ad ipsius pondus. Porrň quoniam Satellites Jovis
temporibus revolvuntur qu{\ae} sunt in ratione sesquialtera distantiarum
a centro Jovis, erunt eorum gravitates acceleratrices in Jovem
reciprocč ut quadrata distantiarum ŕ centro Jovis; \& propterea in
{\ae}qualibus ŕ Jove distantiis eorum gravitates acceleratrices evaderent
{\ae}quales. Proinde temporibus {\ae}qualibus ab {\ae}qualibus altitudinibus
cadendo describerent {\ae}qualia Spatia, perinde ut fit in gravibus,
in hac Terra nostra. Et eodem argumento Planet{\ae} circumsolares
ab {\ae}qualibus ŕ Sole distantiis dimissi, descensu suo in Solem {\ae}qualibus
temporibus {\ae}qualia spatia describerent. Vires autem, quibus
corpora in{\ae}qualia {\ae}qualiter accelerantur, sunt ut corpora; hoc est
pondera ut quantitates materi{\ae} in Planetis. Porrň Jovis \& ejus
Satellitum pondera in Solem proportionalia esse quantitatibus materi{\ae}
eorum, patet ex motu Satellitum quam maxime regulari; per
Corol.\ 3.\ Prop.\ LXV. Lib.\ I\@. Nam si horum aliqui magis traherentur
in Solem pro quantitate materi{\ae} su{\ae} quŕm c{\ae}teri, motus Satellitum
(per Corol.\ 2.\ Prop.\ LXV. Lib.\ I.) ex in{\ae}qualitate attractionis
perturbarentur. Si (paribus ŕ Sole distantiis) Satelles aliquis gravior
esset in Solem pro quantitate materi{\ae} su{\ae}, quam Jupiter pro quantitate
materi{\ae} su{\ae}, in ratione quacunque data, puta $d$ ad $e$: distantia
inter centrum Solis \& centrum Orbis Satellitis major semper foret
quam distantia inter centrum Solis \& centrum Jovis in ratione
dimidiata quam proximč; uti calculis quibusdam initis inveni. Et
si Satelles minus gravis esset in Solem in ratione illa $d$ ad $e$, distantia
% -----File: 400.png---
centri Orbis Satellitis ŕ Sole minor foret quŕm distantia centri Jovis
ŕ Sole in ratione illa dimidiata. Igitur si in {\ae}qualibus ŕ Sole distantiis,
gravitas acceleratrix Satellitis cujusvis in Solem major esset
vel minor quŕm gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum
millesima gravitatis totius; foret distantia centri Orbis Satellitis ŕ
Sole major vel minor quŕm distantia Jovis ŕ Sole parte $\frac{1}{2600}$ distanti{\ae}
totius, id est parte quinta distanti{\ae} Satellitis extimi ŕ centro
Jovis: Qu{\ae} quidem Orbis excentricitas foret valde sensibilis.
Sed Orbes Satellitum sunt Jovi concentrici, \& propterea gravitates
acceleratrices Jovis \& Satellitum in Solem {\ae}quantur inter se. Et
eodem argumento pondera Saturni \& Comitis ejus in Solem, in
{\ae}qualibus ŕ Sole distantiis, sunt ut quantitates materi{\ae} in ipsis: Et
pondera Lun{\ae} ac Terr{\ae} in Solem vel nulla sunt, vel earum massis
accuratč proportionalia.

Quinetiam pondera partium singularum Planet{\ae} cujusque in alium
quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam
si partes aliqu{\ae} plus gravitarent, ali{\ae} minus, quŕm pro quantitate
materi{\ae}, Planeta totus, pro genere partium quibus maximč abundet,
gravitaret magis vel minus quŕm pro quantitate materi{\ae} totius.
Sed nec refert utrum partes ill{\ae} extern{\ae} sint vel intern{\ae}. Nam
si verbi gratia corpora Terrestria, qu{\ae} apud nos sunt, in Orbem Lun{\ae}
elevari fingantur, \& conferantur cum corpore Lun{\ae}: Si horum
pondera essent ad pondera partium externarum Lun{\ae} ut quantitates
materi{\ae} in iisdem, ad pondera verň partium internarum in majori
vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lun{\ae} totius in majori
vel minori ratione: contra quam supra ostensum est.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis
\& texturis. Nam si cum formis variari possent, forent majora
vel minora pro varietate formarum in {\ae}quali materia; omninň contra
experientiam.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Igitur corpora universa qu{\ae} circa Terram sunt, gravia
sunt in Terram; \& pondera omnium, qu{\ae} {\ae}qualiter ŕ centro Terr{\ae}
distant, sunt ut quantitates materi{\ae} in iisdem. Nam si {\ae}ther
% -----File: 401.png---
aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino destitueretur vel
pro quantitate materi{\ae} su{\ae} minus gravitaret, quoniam id non differt
ab aliis corporibus nisi in forma materi{\ae}, posset idem per mutationem
form{\ae} gradatim transmutari in corpus ejusdem conditionis
cum iis qu{\ae} pro quantitate materi{\ae} quam maximč gravitant,
(per Hypoth.\ III.) \& vicissim corpora maxime gravia, formam illius
gradatim induendo, possent gravitatem suam gradatim amittere.
Ac proinde pondera penderent ŕ formis corporum, possentque cum
formis variari, contra quam probatum est in Corollario superiore.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Itaque Vacuum necessariň datur. Nam si spatia omnia
plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob
summam densitatem materi{\ae}, nil cederet gravitati specific{\ae} argenti
vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque densissimi; \& propterea
nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descendere
posset. Nam corpora in fluidis, nisi specificč graviora sint,
minimč descendunt.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Gravitatem diversi generis esse ŕ vi magnetica. Nam
attractio magnetica non est ut materia attracta. Corpora aliqua
magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Estque vis
magnetica longe major pro quantitate materi{\ae} quam vis gravitatis:
sed \& in eodem corpore intendi potest \& remitti; in recessu verň ŕ
magnete decrescit in ratione distanti{\ae} plusquam
duplicata, per Prop.\ LXXXV. Lib.\ I.; propterea
quod vis longe fortior sit in contactu, quam cum attrahentia
vel minimum separantur ab invicem.


\condpagelarge{Prop.\ VII\@. Theor.\ VII.}

\textit{Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse quantitati
materi{\ae} in singulis.}

Planetas omnes in se mutuň graves esse jam ante probavimus, ut
\& gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciprocč ut
quadratum distanti{\ae} locorum ŕ centro Planet{\ae}. Et inde consequens
% -----File: 402.png---
est, (per Prop.\ LXIX. Lib.\ I. \& ejus Corollaria) gravitatem in omnes
proportionalem esse materi{\ae} in iisdem.

Porrň cum Planet{\ae} cujusvis $A$ partes omnes graves sint in Planetam
quemvis $B$, \& gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius,
ut materia partis ad materiam totius, \& actioni omni reactio
(per motus Legem tertiam) {\ae}qualis sit; Planeta $B$ in partes omnes
Planet{\ae} $A$ vicissim gravitabit, \& erit gravitas sua in partem unamquamque
ad gravitatem suam in totum, ut materia partis ad materiam
totius. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Oritur igitur \& componitur gravitas in Planetam totum
ex gravitate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus in
attractionibus Magneticis \& Electricis. Oritur enim attractio omnis
in totum ex attractionibus in partes singulas. Res intelligetur
in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Globum
coire \& Planetam majorem componere. Nam vis totius ex
viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod
corpora omnia, qu{\ae} apud nos sunt, hac lege gravitare deberent in
se mutuň, cům tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur: Respondeo
quod gravitas in h{\ae}c corpora, cum sit ad gravitatem in
Terram totam ut sunt h{\ae}c corpora ad Terram totam, longe minor
est quam qu{\ae} sentiri possit.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Gravitatio in singulas corporis particulas {\ae}quales est
reciprocč ut quadratum distanti{\ae} locorum ŕ particulis. Patet per
Corol.\ 3.\ Prop.\ LXXIV. Lib.\ I.


\condpagelarge{Prop.\ VIII\@. Theor.\ VIII.}

\textit{Si Globorum duorum in se mutuň gravitantium materia undique, in regionibus
qu{\ae} ŕ centris {\ae}qualiter distant, homogenea sit: erit pondus Globi
alterutrius in alterum reciprocč ut quadratum distanti{\ae} inter centra.}

Postquam invenissem gravitatem in Planetam totum oriri \&
componi ex gravitatibus in partes; \& esse in partes singulas reciprocč
% -----File: 403.png---
proportionalem quad\-rat\-is distantiarum ŕ partibus: dubitabam an
reciproca illa proportio duplicata obtineret accuratč in vi tota ex
viribus pluribus composita, an verň quam proximč. Nam fieri
posset ut proportio illa in majoribus distantiis satis obtineret, at
prope superficiem Planet{\ae}, ob in{\ae}quales particularum distantias \&
situs dissimiles, notabiliter erraret. Tandem verň, per Prop.\ LXXV.
Libri primi \& ipsius Corollaria, intellexi veritatem Propositionis
de qua hic agitur.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc inveniri \& inter se comparari possunt pondera
corporum in diversos Planetas. Nam pondera corporum
{\ae}qualium circum Planetas in circulis revolventium sunt (per
Prop.\ IV. Lib.\ I.) ut diametri circulorum directč \& quadrata
temporum periodicorum inversč; \& pondera ad superficies Planetarum
aliasve quasvis ŕ centro distantias majora sunt vel minora
(per hanc Propositionem) in duplicata ratione distantiarum
inversa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum
$224\frac{2}{3}$, Satellitis extimi circumjovialis circa Jovem dierum $16\frac{3}{4}$, Satellitis
Hugeniani circa Saturnum dierum 15 \& horarum $22\frac{2}{3}$, \&
Lun{\ae} circa Terram 27 \textit{dier.}\ 7 \textit{hor.}\ 43 \textit{min.}\ collatis cum distantia
mediocri Veneris ŕ Sole; cum Elongatione maxima Heliocentrica
Satellitis extimi circumjovialis, qu{\ae} (in mediocri Jovis ŕ Sole distantia
juxta observationes \textit{Flamstedii}) est $8\minute.$ $13\second$; cum elongatione maxim{\ae}
Heliocentrica Satellitis Saturnii $3\minute.$ $20\second$; \& cum distantia Lun{\ae}
ŕ Terra, ex Hypothesi quod Solis parallaxis horizontalis seu semidiameter
Terr{\ae} č Sole vis{\ae} sit quasi $20\second$; calculum ineundo inveni
quod corporum {\ae}qualium \& ŕ Sole, Jove, Saturno ac Terra
{\ae}qualiter distantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram
forent ad invicem ut 1, $\frac{1}{1100}$,
$\frac{1}{2360}$ \& $\frac{1}{28700}$ respectivč. Est autem
Solis semidiameter mediocris apparens quasi $16\minute.$ $6\second$. Illam
Jovis č Sole visam \textit{Flamstedius}, ex umbr{\ae} Jovialis diametro per
Eclipses Satellitum inventa, determinavit esse ad elongationem
Satellitis extimi ut 1 ad $24\decimals{9}$ adeoque cum elongatio illa sit $8\minute.$
$13\second$ semidiameter Jovis č Sole visi erit $19\second\frac{3}{4}$. Diameter Saturni
% -----File: 404.png---
est ad diametrum Annuli ejus ut 4 ad 9, \& diameter annuli č
Sole visi (mensurante \textit{Flamstedio}) $50\second$, adeoque semidiameter Saturnie
č Sole visi $11\second$. Malim dicere $10\second$ vel $9\second$, propterea quod
globus Saturni per lucis in{\ae}qualem refrangibilitatem nonnihil dilatatur.
Hinc inito calculo prodeunt ver{\ae} Solis, Jovis, Saturni ac
Terr{\ae} semidiametri ad invicem ut 10000, 1063, 889, \& 208.
Unde cum pondera {\ae}qualium corporum ŕ centris Solis, Jovis, Saturni
ac Telluris {\ae}qualiter distantium sint in Solem, Jovem, Saturnum
ac Terram ut 1, $\frac{1}{1100}$, $\frac{1}{2360}$, $\frac{1}{28700}$ respective, \& auctis vel
diminutis distantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata
ratione; erunt pondera eorundem {\ae}qualium corporum in Solem,
Jovem, Saturnum \& Terram, in distantiis 10000, 1063, 889 \&
208 ab eorum centris, atque adeo in eorum superficiebus versantium,
ut 10000, $804\frac{1}{2}$, 536 \& $805\frac{1}{2}$ respectivč. Pondera corporum
in superficie Lun{\ae} ferč duplo minora esse quam pondera
corporum in superficie Terr{\ae} dicemus in sequentibus.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Igitur pondera corporum {\ae}qualium, in superficiebus
Terr{\ae} \& Planetarum, sunt fere in ratione dimidiata diametrorum
apparentium č Sole visarum. De Terr{\ae} quidem diametro č Sole
visa nondum constat. Hanc assumpsi $40\second$, propterea quod observationes
\textit{Kepleri}, \textit{Riccioli} \& \textit{Vendelini} non multo majorem esse permittunt;
eam \textit{Horroxii} \& \textit{Flamstedii} observationes paulo minorem
adstruere videntur. Et malui in excessu peccare. Quňd si fortč
diameter illa \& gravitas in superficie Terr{\ae} mediocris sit inter diametros
Planetarum \& gravitatem in eorum superficiebus: quoniam
Saturni, Jovis, Martis, Veneris \& Mercurii č Sole visorum
diametri sunt $18\second$, $39\second\frac{1}{2}$, $8\second$, $28\second$, $20\second$ circiter, erit diameter
Terr{\ae} quasi $24\second$, adeoque Parallaxis Solis quasi $12\second$, ut \textit{Horroxius}
\& \textit{Flamstedius} propemodum statuere. Sed diameter paulo
major melius congruit cum Regula hujus Corollarii.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Innotescit\spreadout{etiam quantitas materi{\ae} in Planetis singulis. Nam} \\
quantitates ill{\ae} sunt ut Planetarum Vires in distantiis
ŕ se {\ae}qualibus; id est in Sole, Jove, Saturno ac Terra ut 1,
% -----File: 405.png---
$\frac{1}{1100}$, $\frac{1}{2360}$, $\frac{1}{28700}$ respectivč. Si Parallaxis Solis statuatur minor
quam $20\second$, debebit quantitas materi{\ae} in Terra diminui in triplicata
ratione.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Innotescunt etiam densitates Planetarum. Nam corporum
{\ae}qualium \& homogeneorum pondera in Sph{\ae}ras homogeneas
in superficiebus Sph{\ae}r\-ar\-um, sunt ut Sph{\ae}rarum diametri per
Prop.\ LXXII. Lib.\ I. ideoque Sph{\ae}rarum heterogenearum densitates
sunt ut pondera applicata ad diametros. Erant autem ver{\ae}
Solis, Saturni, Jovis ac Terr{\ae} diametri ad invicem ut 10000,
889, 1063 \& 208, \& pondera in eosdem ut 10000, 536,
$804\frac{1}{2}$ \& $805\frac{1}{2}$, \& propterea densitates sunt ut 100, 60, 76,
387. Densitas autem Terr{\ae}, qu{\ae} hic colligitur, non pendet ŕ Parallaxi
Solis, sed determinatur per parallaxin Lun{\ae}, \& propterea
hic recte definitur. Est igitur Sol paulo densior quŕm Jupiter, \&
Terra multo densior quŕm Sol.

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Planetarum autem densitates inter se fere sunt in ratione
composita ex ratione distantiarum ŕ Sole \& ratione dimidiata
diametrorum apparentium č Sole visarum. Nempe Saturni, Jovis,
Terr{\ae} \& Lun{\ae} densitates 60, 76, 387 \& 700, fere sunt ut
distantiarum reciproca $\frac{1}{9538}$, $\frac{1}{5201}$, $\frac{1}{1000}$ \& $\frac{1}{1000}$, ducta in radices diametrorum
apparentium $18\second$, $39\second\frac{1}{2}$, $40\second$, \& $11\second$. Diximus utique,
in Corollario secundo, gravitatem ad superficies Planetarum
esse quam proximč in ratione dimidiata apparentium diametrorum
č Sole visarum; \& in Lemmate quarto densitates esse ut gravitates
ill{\ae} applicat{\ae} ad diametros veras: ideoque densitates fere
sunt ut radices diametrorum apparentium applicat{\ae} ad diametros
veras, hoc est reciproce ut distanti{\ae} Planetarum ŕ Sole duct{\ae}
in radices diametrorum apparentium. Collocavit igitur
Deus Planetas in diversas distantiis ŕ Sole, ut quilibet pro gradu
densitatis calore Solis majore vel minore fruatur. Aqua nostra, si
Terra locaretur in orbe Saturne, rigesceret, si in orbe Mercurii in
vapores statim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis
est, septuplo densior est in orbe Mercurii quŕm apud nos; \& Thermometro
% -----File: 406.png---
expertus sum quod septuplo Solis {\ae}stivi calore aqua
ebullit. Dubium verň non est quin materia Mercurii ad calorem
accommodetur, \& propterea densior sit hac nostra; cum materia
omnis densior ad operationes Naturales obeundas majorem calorem
requirat.


\condpagelarge{Prop.\ IX\@. Theor.\ IX.}

\textit{Gravitatem pergendo ŕ superficiebus Planetarum deorsum decrescere
in ratione distantiarum ŕ centro quam proximč.}

Si materia Planet{\ae} quoad densitatem uniformis esset, obtineret
h{\ae}c Propositio accuratč: per Prop.\ LXXIII. Lib.\ I\@. Error igitur
tantus est, quantus ab in{\ae}quabili densitate oriri possit.


\condpagelarge{Prop.\ X\@. Theor.\ X.}

\textit{Motus Planetarum in C{\oe}lis diutissimč conservari posse.}

In Scholio Propositionis XL. Lib.\ II. ostensum est quod globus
Aqu{\ae} congelat{\ae} in Aere nostro, liberč movendo \& longitudinem
semidiametri su{\ae} describendo, ex resistentia Aeris amitteret motus
sui partem $\frac{1}{3200}$.
Obtinet autem eadem proportio quam proximč
(per Prop.\ XL. Lib.\ II.) in globis utcunque magnis \& velocibus.
Jam verň Globum Terr{\ae} nostr{\ae} densiorem esse quam si totus ex
Aqua constaret, sic colligo. Si Globus hicce totus esset aqueus,
qu{\ae}cunque rariora essent quŕm aqua, ob minorem specificam gravitatem
emergerent \& supernatarent. Eaque de causa Globus
terreus aquis undique coopertus, si rarior esset quam aqua, emergeret
alicubi, \& aqua omnis inde defluens congregaretur in regione
opposita. Et par est ratio Terr{\ae} nostr{\ae} maribus magna ex parte
circumdat{\ae}. H{\ae}c si densior non esset, emergeret ex maribus, \&
parte sui pro gradu levitatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in
% -----File: 407.png---
regionem oppositam confluentibus. Eodem argumento macul{\ae}
Solares leviores sunt quŕm materia lucida Solaris cui supernatant.
Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior,
quo tempore massa tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum
Terra communis suprema quasi duplo gravior sit quam aqua, \&
paulo inferius in fodinis quasi triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo
gravior reperiatur: verisimile est quod copia materi{\ae} totius
in Terra quasi quintuplo vel sextuplo major sit quŕm si tota ex
aqua constaret; pr{\ae}sertim cum Terram quasi quintuplo densiorem
esse quŕm Jovem jam ante ostensum sit. Igitur si Jupiter
paulo densior sit quŕm aqua, hic spatio dierum viginti \& unius,
quibus longitudinem 320 semidiametrorum suarum describit,
amitteret in Medio ejusdem densitatis cum Aere nostro motus
sui partem fere decimam. Verum cum resistentia Mediorum
minuatur in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, qu{\ae} vicibus
$13\frac{2}{3}$ levior est quŕm argentum vivum, minus resistat in
eadem ratione; \& aer, qui vicibus 800 levior est quŕm aqua, minus
resistat in eadem ratione: si ascendatur in c{\oe}los ubi pondus
Medii, in quo Planet{\ae} moventur, diminuitur in immensum, resistentia
prope cessabit.


\condpagelarge{Prop.\ XI\@. Theor.\ XI.}

\textit{Commune centrum gravitas Terr{\ae} Solis \& Planetarum
omnium quiescere.}

Nam centrum illud (per Legum Corol.\ 4.)\ vel quiescet vel
progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper
progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hypothesin
quartam.

% -----File: 40A.png---
\condpagelarge{Prop.\ XII\@. Theor.\ XII.}

\textit{Solem motu perpetuo agitari sed nunquam longe recedere ŕ communi
gravitatis centro Planetarum omnium.}

Nam cum, per Corol.\ 3.\ Prop.\ VIII. materia in Sole sit ad materiam
in Jove ut 1100 ad 1, \& distantia Jovis ŕ Sole sit ad
\label{wasp418}semidiametrum
Solis in eadem ratione circiter; commune centrum
gravitatis Jovis \& Solis incidet fere in superficiem Solis. Eodem
argumento cům materia in Sole sit ad materiam in Saturno ut
2360 ad 1, \& distantia Saturni ŕ Sole sit ad semidiametrum
Solis in ratione paulo minori: incidet commune centrum gravitatis
Saturni \& Solis in punctum paulo infra superficiem Solis.
Et ejusdem calculi vestigiis insistendo si Terra \& Planet{\ae} omnes
ex una Solis parte consisterent, commune omnium centrum gravitatis
vix integra Solis diametro ŕ centro Solis distaret. Aliis in
casibus distantia centrorum semper minor est. Et propterea cum
centrum illud gravitatis perpetuo quiescit, Sol pro vario Planetarum
situ in omnes partes movebitur, sed ŕ centro illo nunquam longe recedet.

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc commune gravitatis centrum Terr{\ae}, Solis \& Planetarum
omnium pro centro Mundi habendum est. Nam cům Terra,
Sol \& Planet{\ae} omnes gravitent in se mutuň, \& propterea,
pro vi gravitatis su{\ae}, secundum leges motűs perpetuň agitentur:
perspicuum est quod horum centra mobilia pro Mundi centro quiescente
haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum esset
in quod corpora omnia maximč gravitant (uti vulgi est opinio)
privilegium istud concedendum esset Soli. Cum autem Sol moveatur,
eligendum erit punctum quiescens, ŕ quo centrum Solis
quam minimč discedit, \& ŕ quo idem adhuc minus discederet, si
modň Sol densior esset \& major, ut minus moveretur.

% -----File: 40B.png---
\condpagelarge{Prop.\ XIII\@. Theor.\ XIII.}

\textit{Planet{\ae} moventur in Ellipsibus umbilicum habentibus in centro Solis,
\& radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporibus proportionales.}

Disputavimus supra de his motibus ex Ph{\ae}nomenis. Jam
cognitis motuum principiis, ex his colligimus motus c{\oe}lestes ŕ
priori. Quoniam pondera Planetarum in Solem sunt reciprocč ut
quadrata distantiarum ŕ centro Solis; si Sol quiesceret \& Planet{\ae}
reliqui non agerent in se mutuň, forent orbes eorum Elliptici, Solem
in umbilico communi habentes, \& are{\ae} describerentur temporibus
proportionales (per Prop.\ I. \& XI, \& Corol.\ 1.\ Prop.\ XIII.
Lib.\ I\@.) Actiones autem Planetarum in se mutůo perexigu{\ae} sunt
(ut possint contemni) \& motus Planetarum in Ellipsibus circa Solem
mobilem minus perturbant (per Prop.\ LXVI. Lib.\ I.) quŕm si
motus isti circa Solem quiescentem peragerentur.

Actio quidem Jovis in Saturnum non est omnino contemnenda.
Nam gravitas in Jovem est ad gravitatem in Solem (paribus
distantiis) ut 1 ad 1100; adeoque in conjunctione Jovis \&
Saturni, quoniam distantia Saturni ŕ Jove est ad distantiam Saturni
ŕ Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem
Saturni in Solem ut 81 ad $16 \times 1100$ seu 1 ad 217 circiter.
Error tamen omnis in motu Saturni circa Solem, ŕ tanta in
Jovem gravitate oriundus, evitari fere potest constituendo umbilicum
Orbis Saturni in communi centro gravitatis Jovis \& Solis
(per Prop.\ LXVII. Lib.\ I.) \& propterea ubi maximus est vix superat
minutos duos primos. In conjunctione autem Jovis \& Saturni
gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum
\& Jovis in Solem sunt fere ut 16, 81 \& $\frac{16 \times 81 \times 2360}{25}$ seu 122342,
adeoque differentia gravitatum Solis in Saturnum \& Jovis in Saturnum
est ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 122342 seu 1 ad 1867.
% -----File: 408.png---
Huic autem differenti{\ae} proportionalis est maxima Saturni efficacia
ad perturbandum motum Jovis, \& propterea perturbatio orbis Jovialis
longe minor est quŕm ea Saturnii. Reliquorum orbium perturbationes
sunt adhuc longe minores.


\condpagelarge{Prop.\ XIV\@. Theor.\ XIV.}

\textit{Orbium Aphelia \& Nodi quiescunt.}

Aphelia quiescunt, per Prop.\ XI. Lib.\ I. ut \& orbium plana, per
ejusdem Libri Prop.\ I. \& quiescentibus planis quiescunt Nodi. Attamen
ŕ Planetarum revolventium \& Cometarum actionibus in se
invicem orientur in{\ae}qualitates aliqu{\ae}, sed qu{\ae} ob parvitatem contemni
possunt.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Quiescunt etiam Stell{\ae} fix{\ae}, propterea quod datas ad
Aphelia Nodosque positiones servant.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex
Terr{\ae} motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum
distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione Systematis nostri.


\condpagelarge{Prop.\ XV\@. Theor.\ XV.}

\textit{Invenire Orbium transversas diametros.}

Capiend{\ae} sunt h{\ae} in ratione sesquialtera temporum periodicorum
per Prop.\ XV. Lib.\ I. deinde sigillatim augend{\ae} in ratione
summ{\ae} massarum Solis \& Planet{\ae} cujusque revolventis ad primam
duarum medič proportionalium inter summam illam \& Solem,
per Prop.\ LX. Lib.\ I.
% -----File: 409.png---


\condpagelarge{Prop.\ XVI\@. Prob.\ I.}

\textit{Invenire Orbium Excentricitates \& Aphelia.}

Problema confit per Prop.\ XVIII. Lib.\ I.


\condpagelarge{Prop.\ XVII\@. Theor.\ XVI.}

\textit{Planetarum motus diurnos uniformes esse, \& librationem Lun{\ae}
ex ipsius motu diurno oriri.}

Patet per motus Legem I, \& Corol.\ 22.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I\@.
Quoniam verň Lun{\ae}, circa axem suum uniformiter revolventis, dies
menstruus est; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis
ipsius semper respiciet, \& propterea pro situ umbilici illius deviabit
hinc inde ŕ Terra. H{\ae}c est libratio in longitudinem. Nam libratio
in latitudinem orta est ex inclinatione axis Lunaris ad planum
orbis. Porrň h{\ae}c ita se habere, ex Ph{\ae}nomenis manifestum
est.

\condpagelarge{Prop.\ XVIII\@. Theor.\ XVII.}

\textit{Axes Planetarum dimetris qu{\ae} ad eosdem axes normaliter
ducuntur minores esse.}

Planet{\ae} sublato omni motu circulari diurno figuram Sph{\ae}ricam,
ob {\ae}qualem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per
motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta {\ae}quatorem
ascendere conentur. Ideoque materia si fluida sit ascensu suo
ad {\ae}quatorem diametros adaugebit, axem verň descensu suo ad
polos diminuet. Sic Jovis diameter (consentientibus observationibus
\textit{Cassini} \& \textit{Flamstedii}) brevior deprehenditur inter polos quŕm ab
oriente in occidentem. Eodem argumento, nisi Terra nostra
% -----File: 410.png---
paulň altior esset sub {\ae}quatore quŕm ad polos, Maria ad polos
subsiderent, \& juxta {\ae}quatorem ascendendo, ibi omnia inundarent.


\condpagelarge{Prop.\ XIX\@. Prob.\ II.}

\textit{Invenire proportionem axis Planet{\ae} ad diametros eidem perpendiculares.}

\pngright{410.png}{748}{860}{-24}
%Illustration

Ad hujus Problematis solutionem requiritur computatio multiplex,
qu{\ae} facilius exemplis quŕm pr{\ae}ceptis addiscitur. Inito igitur
calculo invenio, per Prop.\ IV. Lib.\ I. quod vis centrifuga partium
Terr{\ae} sub {\ae}quatore, ex motu diurno oriunda, sit ad vim gravitatis
ut 1 ad $290\frac{4}{5}$. Unde si $APBQ$ figuram Terr{\ae} designet revolutione
Ellipseos circa axem minorem $PQ$ genitam; sitque $ACQqca$
canalis aqu{\ae} plena, ŕ polo $Qq$ ad centrum $Cc$, \& inde ad {\ae}quatorem
$Aa$ pergens: debebit pondus aqu{\ae} in canalis crure $ACca$
esse ad pondus aqu{\ae} in crure altero $QCcq$ ut 291 ad 290, eň quňd
vis centrifuga ex circulari motu orta partem
unam č ponderis partibus 291 sustinebit
\& detrahet, \& pondus 290 in altero
crure sustinebit partes reliquas. Porrň
(ex Propositionis XCI. Corollario secundo,
Lib.\ I.) computationem ineundo, invenio
quod si Terra constaret ex uniformi
materia, motuque omni privaretur,
\& esset ejus axis $PQ$ ad diametrum $AB$
ut 100 ad 101: gravitas in loco $Q$ in
Terram, foret ad gravitatem in eodem loco $Q$ sph{\ae}ram centro
$C$ radio $PC$ vel $QC$ descriptam, ut $126\frac{2}{15}$ ad $125\frac{2}{15}$. Et eodem
argumento gravitas in loco $A$ in Sph{\ae}roidem, convolutione Ellipseos
$APBQ$ circa axem $AB$ descriptam, est ad gravitatem in eodem loco
$A$ in Sph{\ae}ram centro $C$ radio $AC$ descriptam, ut $125\frac{2}{15}$ ad $126\frac{2}{15}$.
Est autem gravitas in loco $A$ in Terram, media proportionalis inter
gravitates in dictam Sph{\ae}roidem \& Sph{\ae}ram, propterea quod
% -----File: 411.png---
Sph{\ae}ra, diminuendo diametrum $PQ$ in ratione 101 ad 100, vertitur
in figuram Terr{\ae}; \& h{\ae}c figura diminuendo in eadem ratione diametrum
tertiam, qu{\ae} diametris duabus \textit{AP, PQ} perpendicularis
est, vertitur in dictam Sph{\ae}roidem, \& gravitas in $A$, in casu utroque,
diminuitur in eadem ratione quam proximč. Est igitur gravitas
in $A$ in Sph{\ae}ram centro $C$ radio $AC$ descriptam, ad gravitatem
in $A$ in Terram ut 126 ad $125\frac{1}{2}$, \& gravitas in loco $Q$ in Sph{\ae}ram
centro $C$ radio $QC$ descriptam, est ad gravitatem in loco $A$ in Sph{\ae}ram
centro $C$ radio $AC$ descriptam, in ratione diametrorum
(per Prop.\ LXXII. Lib.\ I.) id est ut 100 ad 101: Conjungantur
jam h{\ae} tres rationes, $126\frac{2}{15}$ ad $125\frac{2}{15}$, $125\frac{1}{2}$ ad 126 \& 100 ad 101
\& fiet gravitas in loco $Q$ in Terram ad gravitatem in loco
$A$ in Terram, ut $126 \times 126 \times 100$ ad $125 \times 125\frac{1}{2} \times 101$, seu ut 501
ad 500.

Jam cum per Corol.\ 3.\ Prop.\ XCI. Lib.\ I. gravitas in canalis
crure utrovis $ACca$ vel $QCcq$ sit ut distantia locorum ŕ centro
Terr{\ae}; si crura illa superficiebus transversis \& {\ae}quidistantibus distinguantur
in partes totis proportionales, erunt pondera partium
singularum in crure $ACca$ ad pondera partium totidem in crure altero,
ut magnitudines \& gravitates acceleratrices conjunctim; id est
ut 101 ad 100 \& 500 ad 501, hoc est ut 505 ad 501. Ac proinde
si vis centrifuga partis cujusque in crure $ACca$ ex motu diurno
oriunda, fuisset ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eň ut de
pondere partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret;
manerent pondera in utroque crure {\ae}qualia, \& propterea
fluidum consisteret in {\ae}quilibrio. Verum vis centrifuga partis cujusque
est ad pondus ejusdem ut 1 ad 290. Hoc est, vis centripeta
qu{\ae} deberet esse ponderis pars $\frac{4}{505}$ est tantum pars $\frac{1}{290}$, \& propterea
dico, secundum Regulam auream, quod si vis centrifuga $\frac{4}{505}$ faciat ut
altitudo aqu{\ae} in crure $ACca$ superet altitudin aqu{\ae} in crure
$QCcq$ parte centesima totius altitudinis: vis centrifuga $\frac{1}{290}$ faciet ut
excessus altitudinis in crure $ACca$ sit altitudinis in crure altero $QCcq$
pars tantum $\frac{3}{689}$. Est igitur diameter Terr{\ae} secundum {\ae}quatorem
% -----File: 412.png---
ad ipsius diametrum per polos ut 692 ad 689. Ideoque cům Terr{\ae}
semidiameter mediocris, juxta nuperam Gallorum mensuram,
sit pedum Parisiensium 19615800 seu milliarium 3923 (posito
quod milliare sit mensura pedum 5000;) Terra altior erit ad {\ae}quatorem
quŕm ad polos, excessu pedum 85200 seu milliarium 17.

Si Planeta vel major sit vel densior, minorve aut rarior quŕm
Terra, manente tempore periodico revolutionis diurn{\ae}, manebit
proportio vis centrifug{\ae} ad gravitatem, \& propterea manebit etiam
proportio diametri inter polos ad diametrum secundum {\ae}quatorem.
At si motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur,
augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa
ratione, \& propterea differentia diametrorum augebitur in eadem
duplicata ratione. Unde cum Terra respectu fixarum revolvatur
horis 23, $56\minute$ \textit{Jupiter} autem horis 9, $56\minute$, sintque temporum quadrata
ut 29 ad 5, differentia diametrorum \textit{Jovis} erit ad ipsius diametrum
minorem ut $\frac{29 \times 3}{5 \times 689}$ ad 1, seu 1 ad $39\frac{3}{5}$. Est igitur diameter
\textit{Jovis} ab oriente in occidentem ducta, ad ipsius diametrum inter
polos ut $40\frac{3}{5}$ ad $39\frac{3}{5}$ quam proximč. H{\ae}c ita se habent ex Hypothesi
quod uniformis sit Planetarum materia. Nam si materia densior
sit ad centrum quŕm ad circumferentiam, diameter, qu{\ae} ab
oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major.


\condpagelarge{Prop.\ XX\@. Prob.\ III.}

\textit{Invenire \& inter se comparare pondera corporum in regionibus diversis.}

Quoniam pondera in{\ae}qualium crurum canalis aque{\ae} $ACQqca$
{\ae}qualia sunt; \& pondera partium, cruribus totis proportionalium
\& similiter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum,
adeoque etiam {\ae}quantur inter se; erunt pondera {\ae}qualium \& in
cruribus similiter sitarum partium reciprocč ut crura, id est reciprocč
ut 692 ad 689. Et par est ratio homogeneorum \& {\ae}qualium quorumvis
\& in canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum
% -----File: 413.png---
pondera sunt reciprocč ut crura, id est reciprocč ut distanti{\ae} corporum
ŕ centro Terr{\ae}. Proinde si corpora in supremis canalium partibus,
sive in superficie Terr{\ae} consistant; erunt pondera eorum ad
invicem reciprocč ut distanti{\ae} eorum ŕ centro. Et eodem argumento
pondera, in aliis quibuscunque per totam Terr{\ae} superficiem
regionibus, sunt reciprocč ut distanti{\ae} locorum ŕ centro; \& propterea,
ex Hypothesi quod Terra Sph{\ae}rois sit, dantur proportione.

Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis, pergendo
ab {\AE}quatore ad Polos, sit quam proximč ut Sinus versus latitudinis
duplicat{\ae}, vel quod perinde est ut quadratum Sinus recti
Latitudinis. Exempli gratia, Latitudo \textit{Luteti{\ae} Parisiorum} est 48 \textit{gr.}\
45$\minute$: Ea Insul{\ae} \textit{Goree} prope \textit{Cape Verde} 14 \textit{gr.}\ $15\minute$: ea \textit{Cayenn{\ae}} ad
littus \textit{Guian{\ae}} quasi 5 \textit{gr.}\ ea locorum sub Polo 90 \textit{gr.} Duplorum
$97\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ $28\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ 10 \textit{gr.}\ \& 180 \textit{gr.}\ Sinus versi sunt 11305, 1211,
152, \& 20000. Proinde cum gravitas in Polo sit ad gravitatem
sub {\AE}quatore ut 692 ad 689, \& excessus ille gravitatis sub Polo
ad gravitatem sub {\AE}quatore ut 3 ad 689; erit excessus gravitatis
\textit{Luteti{\ae}}, in Insula \textit{Goree} \& \textit{Cayenn{\ae}}, ad gravitatem sub {\ae}quatore
ut $\frac{3 \times 11305}{20000}$, $\frac{3 \times 1211}{20000}$ \& $\frac{3 \times 152}{20000}$ ad 689, seu 33915, 3633, \& 456 ad
13780000, \& propterea gravitates tot{\ae} in his locis erunt ad invicem
ut 13813915, 13783633, 13780456, \& 13780000.
Quare cum longitudines Pendulorum {\ae}qualibus temporibus oscillantium
sint ut gravitates, \& \textit{Luteti{\ae} Parisiorum} longitudo penduli
singulis minutis secundis oscillantis sit pedum trium Parisiensium
\& $\frac{17}{24}$ partium digiti; longitudines Pendulorum in Insulâ \textit{Goree},
in illâ \textit{Cayenn{\ae}} \& sub {\AE}quatore, minutis singulis secundis
oscillantium superabuntur ŕ longitudine Penduli Parisiensis excessibus
$\frac{81}{1000}$, $\frac{89}{1000}$ \& $\frac{90}{1000}$ partium digiti. H{\ae}c omnia ita se habebunt, ex
Hypothesi quod Terra ex uniformi materia constat. Nam si materia
ad centrum paulň densior sit quŕm ad superficiem, excessus
illi erunt paulň majores; propterea quod, si materia ad centrum
redundans, qua densitas ibi major redditur, subducatur \& seorsim
spectetur, gravitas in Terram reliquam uniformiter densam erit
% -----File: 414.png---
reciprocč ut distantia ponderis ŕ centro; in materiam verň redundantem
reciprocč ut quadratum distanti{\ae} ŕ materia illa quam proximč.
Gravitas igitur sub {\ae}quatore minor erit in materiam illam
redundantem quŕm pro computo superiore, \& propterea Terra
ibi propter defectum gravitatis paulň altius ascendet quŕm in pr{\ae}cedentibus
definitum est. Jam verň Galli factis experimentis invenerunt
quod Pendulorum minutis singulis secundis oscillantium
longitudo \textit{Parisiis} major sit quŕm in Insula \textit{Goree}, parte decima digiti,
\& major quŕm \textit{Cayenn{\ae}} parte octava. Paulň majores sunt h{\ae}
differenti{\ae} quam differenti{\ae} $\frac{81}{1000}$ \& $\frac{89}{1000}$ qu{\ae} per computationem superiorem
prodiere: \& propterea (si crassis hisce Observationibus
satěs confidendum sit) Terra aliquanto altior erit sub {\ae}quatore
quŕm pro superiore calculo, \& densior ad centrum quŕm in fodinis
prope superficiem. Si excessus gravitatis in locis hisce Borealibus
supra gravitatem ad {\ae}quatorem, experimentis majori cum
diligentia institutis, accuratč tandem determinetur, deinde excessus
ejus ubique sumatur in ratione Sinus versi latitudinis duplicat{\ae};
determinabitur tum Mensura Universalis, tum {\AE}quatio temporis
per {\ae}qualia pendula in locis diversis indicati, tum etiam proportio
diametrorum Terr{\ae} ac densitas ejus ad centrum; ex Hypothesi
quod densitas illa, pergendo ad circumferentiam, uniformiter decrescat.
Qu{\ae} quidem Hypothesis, licet accurata non sit, ad ineundum
tamen calculum assumi potest.


\condpagelarge{Prop.\ XXI\@. Theor.\ XVIII.}

\textit{Puncta {\AE}quinoctialia regredi, \& axem Terr{\ae} singulis revolutionibus nutando
bis inclinari in Eclipticam \& bis redire ad positionem priorem.}

Patet per Corol.\ 20.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I\@. Motus tamen iste nutandi
perexiguus esse debet, \& vix aut ne vix quidem sensibilis.
% -----File: 415.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXII\@. Theor.\ XIX.}

\textit{Motus omnes Lunares, omnesque motuum in{\ae}qualitates ex allatis Principiis
consequi.}

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios
minores circum se revolventes Planetas deferre, \& minores illos in
Ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere
patet per Prop.\ LXV. Lib.\ I\@. Actione autem Solis perturbabuntur
eorum motus multimode, iisque adficientur in{\ae}qualitatibus qu{\ae}
in Luna nostra notantur. H{\ae}c utique (per Corol.\ 2, 3, 4, \& 5
Prop.\ LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto describit
aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvam,
atque adeň propius accedit ad Terram, in Syzygiis quŕm in Quadraturis,
nisi quatenus impedit motus Excentricitatis. Excentricitas
enim maxima est (per Corol.\ 9.\ Prop.\ LXVI.) ubi Apog{\ae}um Lun{\ae}
in Syzygiis versatur, \& minima ubi idem in Quadraturis consistit;
\& inde Luna in Perig{\ae}o velocior est \& nobis propior, in
Apog{\ae}o autem tardior \& remotior in Syzygiis quŕm in Quadraturis.
Progreditur insuper Apog{\ae}um, \& regrediuntur Nodi, sed motu in{\ae}quabili.
Et Apog{\ae}um quidem (per Corol.\ 7 \& 8 Prop.\ LXVI.)
velocius progreditur in Syzygiis suis, tardius regreditur in Quadraturis,
\& excessu progressus supra regressum annuatim fertur in consequentia.
Nodi autem (per Corol.\ 11.\ Prop.\ LXVI.) quiescunt
in Syzygiis suis, \& velocissimč regrediuntur in Quadraturis. Sed \&
major est Lun{\ae} latitudo maxima in ipsius Quadraturis (per Corol.\
10.\ Prop.\ LXVI.) quŕm in Syzygiis: \& motus medius velocior
in Perihelio Terr{\ae} (per Corol.\ 6.\ Prop.\ LXVI.) quŕm in ipsius
Aphelio. Atque h{\ae} sunt in{\ae}qualitates insigniores ab Astronomis
notat{\ae}.

Sunt etiam ali{\ae} qu{\ae}dam nondum observat{\ae} in{\ae}qualitates, quibus
motus Lunares adeň perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Regulam
% -----File: 416.png---
aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim seu motus
horarii Apog{\ae}i \& Nodorum Lun{\ae}, \& eorundem {\ae}quationes,
ut \& differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis \& minimam
in Quadraturis, \& in{\ae}qualitas qu{\ae} Variatio dicitur, augentur
ac diminuuntur annuatim (per Corol.\ 14.\ Prop.\ LXVI.) in triplicata
ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio pr{\ae}terea augetur
vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas
quam proximč (per Corol.\ 1 \& 2.\ Lem.\ X. \& Corol.\ 16.\ Prop.\
LXVI. Lib.\ I\@.) Sed h{\ae}c in{\ae}qualitas in calculo Astronomico, ad
Prostaph{\ae}resin Lun{\ae} referri solet, \& cum ea confundi.


\condpagelarge{Prop.\ XXIII\@. Prob.\ IV.}

\textit{Motus in{\ae}quales Satellitum Jovis \& Saturni ŕ motibus
Lunaribus derivare.}

Ex motibus Lun{\ae} nostr{\ae} motus analogi Lunarum seu Satellitum
Jovis sic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis extimi
Jovialis est ad motum medium Nodorum Lun{\ae} nostr{\ae}, in ratione
composita ex ratione duplicata temporis periodici Terr{\ae} circa
Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, \& ratione simplici
temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum
Jovis circa Solem, \& ratione simplici temporis periodici Satellitis
circa Jovem ad tempus periodicum Lun{\ae} circa Terram: (per Corol.\
16.\ Prop.\ LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus iste
9 \textit{gr.}\ $34\minute.$ in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum
sunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad
tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, \& inde dantur.
Motus autem Augis Satellitis cujusque in consequentia est ad motum
Nodorum ipsius in antecedentia ut motus Apog{\ae}i Lun{\ae} nostr{\ae}
ad hujus motum Nodorum (per idem Corol.)\ \& inde datur.
Diminui tamen debet motus Augis sic inventus in ratione 5 ad 9
vel 1 ad 2 circiter, ob causam quam hic exponere non vacat.
% -----File: 417.png---
{\AE}quationes maxim{\ae} Nodorum \& Augis Satellitis cujusque fere
sunt ad {\ae}quationes maximas Nodorum \& Augis Lun{\ae} respectivč,
ut motus Nodorum \& Augis Satellitum, tempore unius revolutionis
{\ae}quationum priorum, ad motus Nodorum \& Apog{\ae}i Lun{\ae} tempore
unius revolutionis {\ae}quationum posteriorum. Variatio Satellitis
č Jove spectati, est ad Variationem Lun{\ae} ut sunt toti motus
Nodorum temporibus periodicis Satellitis \& Lun{\ae} ad invicem, per
idem Corollarium, adeoque in Satellite extimo non superat $6\second.$ $22\third$.
Parvitate harum in{\ae}qualitatum \& tarditate motuum fit ut motus
Satellitum summč regulares reperiantur, utque Astronomi recentiores
aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissimč retrogradum.
Nam \textit{Flamstedius} collatis suis cum \textit{Cassini} Observationibus
Nodos tarde regredi deprehendit.


\condpagelarge{Prop.\ XXIV\@. Theor.\ XX.}

\textit{Fluxum \& refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lun{\ae} oriri debere.}

Mare singulis diebus tam Lunaribus quŕm Solaribus bis intumescere
debere ac bis defluere patet per Corol.\ 19.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I.
ut \& aqu{\ae} maximam altitudinem, in maribus profundis \& liberis,
appulsum Luminarium ad Meridianum loci minori quŕm sex horarum
spatio sequi, uti fit in Maris \textit{Atlantici} \& \textit{{\AE}thiopici} tractu toto
orientali inter \textit{Galliam} \& Promontorium \textit{Bon{\ae} Spei}, ut \& in Maris
\textit{Pacifici} littore \textit{Chilensi} \& \textit{Peruviano}: in quibus omnibus littoribus
{\ae}stus in horam circiter tertiam incidit, nisi ubi motus per loca vadosa
propagatus aliquantulum retardatur. Horas numero ab appulsu
Luminaris utriusque ad Meridianum loci, tam infra Horizontem
quŕm supra, \& per horas diei Lunaris intelligo vigesimas
quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum
loci revolvitur.

Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernentur
distinctč, sed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium
% -----File: 418.png---
Conjunctione vel Oppositione conjugentur eorum effectus, \& componetur
fluxus \& refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet
aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; \& ex
effectuum differentia {\ae}stus omnium minimus orietur. Et quoniam,
experientia teste, major est effectus Lun{\ae} quŕm Solis, incidet aqu{\ae}
maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Extra Syzygias \&
Quadraturas, {\ae}stus maximus qui sola vi Lunari incidere semper deberet
in horam tertiam Lunarem, \& sola Solari in tertiam Solarem,
compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod
terti{\ae} Lunari propinquius est; adeoque in transitu Lun{\ae} ŕ Syzygiis
ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris pr{\ae}cedit tertiam Lunarem,
maxima aqu{\ae} altitudo pr{\ae}cedet etiam tertiam Lunarem, idque
maximo intervallo paulo post Octantes Lun{\ae}; \& paribus intervallis
{\ae}stus maximus sequetur horam tertiam Lunarem in transitu Lun{\ae}
ŕ Quadraturis ad Syzygias. H{\ae}c ita sunt in mari aperto. Nam
in ostiis Fluviorum fluxus majores c{\ae}teris paribus tardius ad \textgreek{\as km\hg n}
venient.

Pendent autem effectus Luminarium ex eorum distantiis ŕ Terra.
In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in
majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium.
Igitur Sol tempore hyberno, in Perig{\ae}o existens, majores
edit effectus, efficitque ut {\ae}stus in Syzygiis paulo majores sint,
\& in Quadraturis paulo minores (c{\ae}teris paribus) quŕm tempore
{\ae}stivo; \& Luna in Perig{\ae}o singulis mensibus majores ciet {\ae}stus
quŕm ante vel post dies quindecim, ubi in Apog{\ae}o versatur. Unde
fit ut {\ae}stus duo omnino maximi in Syzygiis continuis se mutuo non
sequantur.

Pendet etiam effectus utriusque Luminaris ex ipsius Declinatione
seu distantia ab {\AE}quatore. Nam si Luminare in polo constitueretur,
traheret illud singulas aqu{\ae} partes constanter, absque actionis
intensione \& remissione, adeoque nullam motus reciprocationem
cieret. Igitur Luminaria recedendo ab {\ae}quatore polum versus effectus
suos gradatim amittent, \& propterea minores ciebunt {\ae}stus
% -----File: 419.png---
in Syzygiis Solstitialibus quŕm in {\AE}quinoctialibus. In Quadraturis
autem Solstitialibus majores ciebunt {\ae}stus quŕm in Quadraturis
{\AE}quinoctialibus; eň quod Lun{\ae} jam in {\ae}quatore constitut{\ae} effectus
maxime superat effectum Solis. Incidunt igitur {\ae}stus maximi
in Syzygias \& minimi in Quadraturas Luminarium, circa tempora
{\AE}quinoctii utriusque. Et {\ae}stum maximum in Syzygiis comitatur
semper minimus in Quadraturis, ut experientiâ compertum est. Per
minorem autem distantiam Solis ŕ Terra, tempore hyberno quŕm
tempore {\ae}stivo, fit ut {\ae}stus maximi \& minimi s{\ae}pius pr{\ae}cedant
{\AE}quinoctium vernum quŕm sequantur, \& s{\ae}pius sequantur autumnale
quŕm pr{\ae}cedant.

\pngright{419.png}{1259}{1023}{-24}
%Illustration

Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. Designet
$ApEP$ Tellurem aquis profundis undique coopertam; $C$
centrum ejus; $Pp$, polos; $AE$ {\AE}quatorem; $F$ locum quemvis extra
{\AE}quatorem; $Ff$ parallelum loci; $Dd$ parallelum ei respondentem
ex altera parte {\ae}quatoris; $L$ locum quem Luna tribus ante
horis occupabat; $H$ locum Telluris ei perpendiculariter subjectum;
$h$ locum huic oppositum;
$K$, $k$ loca inde gradibus
90 distantia, $CH$, $Ch$
Maris altitudines maximas
mensuratas ŕ centro Telluris;
\& $CK$, $Ck$ altitudines minimas;
\& si axibus $Hh$, $Kk$
describatur Ellipsis, deinde
Ellipseos hujus revolutione
circa axem majorem $Hh$ describatur
Sph{\ae}rois $HPKhpk$; designabit h{\ae}c figuram Maris
quam proximč, \& erunt $CF$, $Cf$, $CD$, $Cd$ altitudines Maris in locis
$F$, $f$, $D$, $d$. Quinetiam si in pr{\ae}fata Ellipseos revolutione punctum
quodvis $N$ describat circulum $NM$, secantem parallelos $Ff$,
$Dd$ in locis quibusvis $R$, $T$, \& {\ae}quatorem $AE$ in $S$; erit $CN$ altitudo
Maris in locis omnibus $R$, $S$, $T$, sitis in hoc circulo. Hinc in
% -----File: 420.png---
revolutione diurna loci cujusvis $F$, affluxus erit maximus in $F$, hora
tertia post appulsum Lun{\ae} ad Meridianum supra Horizontem; postea
defluxus maximus in $Q$ hora tertia post occasum Lun{\ae}; dein
affluxus maximus in $f$ hora tertia post appulsum Lun{\ae} ad Meridianum
infra Horizontem; ultimň defluxus maximus in $Q$ hora tertia
post ortum Lun{\ae}; \& affluxus posterior in $f$ erit minor quŕm
affluxus prior in $F$. Distinguitur enim Mare totum in duos omnino
fluctus Hemisph{\ae}ricos, unum in Hemisph{\ae}rio $KHkC$ ad Boream
vergentem, alterum in \label{wasp432}Hemisph{\ae}rio opposito $KhkC$; quos
igitur fluctum Borealem \& fluctum Australem nominare licet. Hi
fluctus semper sibi mutuň oppositi veniunt per vices ad Meridianos
locorum singulorum, interposito intervallo horarum Lunarium duodecim.
Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem,
\& Australes magis Australem, inde oriuntur {\ae}stus alternis
vicibus majores \& minores, in locis singulis extra {\ae}quatorem. {\AE}stus
autem major, Lunâ in verticem loci declinante, incidet in horam
circiter tertiam post appulsum Lun{\ae} ad Meridianum supra Horizontem,
\& Lunâ declinationem mutante vertetur in minorem. Et
fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solstitiorum; pr{\ae}sertim
si Lun{\ae} Nodus ascendens versatur in principio Arietis. Sic
experientiâ compertum est, quod {\ae}stus matutini tempore hyberno
superent vespertinos \& vespertini tempore {\ae}stivo matutinos, ad \textit{Plymuthum}
quidem altitudine quasi pedis unius, ad \textit{Bristoliam} verň altitudine
quindecim digitorum: Observantibus \textit{Colepressio} \& \textit{Sturmio}.

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim
illam reciprocationis aquarum, qua Maris {\ae}stus, etiam cessantibus
Luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio
h{\ae}cce motus impressi minuit differentiam {\ae}stuum alternorum;
\& {\ae}stus proximč post Syzygias majores reddit, eosque proximč
post Quadraturas minuit. Unde fit ut {\ae}stus alterni ad \textit{Plymuthum} \&
\textit{Bristoliam} non multo magis differant ab invicem quŕm altitudine
pedis unius vel digitorum quindecim; utque {\ae}stus omnium maximi
in iisdem portubus non sint primi ŕ Syzygiis sed tertii. Retardantur
% -----File: 421.png---
etiam motus omnes in transitu per vada, adeň ut {\ae}stus omnium
maximi, in fretis quibusdam \& Fluviorum ostiis, sint quarti vel etiam
quinti ŕ Syzygiis.

Porrň fieri potest ut {\ae}stus propagetur ab Oceano per freta diversa
ad eundem portum, \& citius transeat per aliqua freta quŕm per
alia, quo in casu {\ae}stus idem, in duos vel plures successive advenientes
divisus, componere possit motus novos diversorum generum.
Fingamus {\ae}stus duos {\ae}quales ŕ diversis locis in eundem portum venire,
quorum prior pr{\ae}cedat alterum spatio horarum sex, incidatque
in horam tertiam ab appulsu Lun{\ae} ad Meridianum portus.
Si Luna in hocce suo ad Meridianum appulsu versabatur in {\ae}quatore,
venient singulis horis senis {\ae}quales affluxus, qui in mutuos refluxus
incidendo eosdem affluxibus {\ae}quabunt, \& sic spatio diei illius
efficient ut aqua tranquillč stagnet. Si Luna tunc declinabat
ab {\AE}quatore, fient {\ae}stus in Oceano vicibus alternis majores \&
minores, uti dictum est; \& inde propagabuntur in hunc portum
affluxus bini majores \& bini minores, vicibus alternis. Affluxus
autem bini majores component aquam altissimam in medio inter
utrumque, affluxus major \& minor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem
altitudinem in Medio ipsorum, \& inter affluxus binos minores
aqua ascendet ad altitudinem minimam. Sic spatio viginti
quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel tantum perveniet
ad maximam altitudinem \& semel ad minimam; \& altitudo
maxima, si Luna declinat in polum supra Horizontem loci, incidet
in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lun{\ae} ad Meridianum,
atque Lunâ declinationem mutante mutabitur in defluxum.
Quorum omnium exemplum, in portu regni \textit{Tunquini} ad
\textit{Batsham}, sub latitudine Boreali 20 \textit{gr.}\ 50 \textit{min.}\ \textit{Halleius} ex Nautarum
Observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum Lun{\ae} per
{\AE}quatorem sequente stagnat, dein Lunâ ad Boream declinante incipit
fluere \& refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel
singulis diebus; \& {\ae}stus incidit in occasum Lun{\ae}, defluxus maximus
in ortum. Cum Lun{\ae} declinatione augetur hic {\ae}stus, usque ad
% -----File: 422.png---
diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem
gradibus decrescit, quibus antea creverat; \& Lunâ declinationem
mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde
defluxus in occasum Lun{\ae} \& affluxus in ortum, donec Luna iterum
mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina
duplex patet, alter ab Oceano \textit{Sinensi} inter Continentem \& Insulam
\textit{Luconiam}, alter ŕ Mari \textit{Indico} inter Continentem \& Insulam \textit{Borneo}.
An {\ae}stus spatio horarum duodecim ŕ Mari \textit{Indico}, \& spatio horarum
sex ŕ Mari \textit{Sinensi} per freta illa venientes, \& sic in horam tertiam
\& nonam Lunarem incidentes, componant hujusmodi motus;
sitne alia Marium illorum conditio, observationibus vicinorum
littorum determinandum relinquo.

Hactenus causas motuum Lun{\ae} \& Marium reddidi. De quantitate
motuum jam convenit aliqua subjungere.

\condpagelarge{Prop.\ XXV\@. Prob.\ V.}

\textit{Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lun{\ae}.}

\label{wasp434}\pngright{422.png}{1488}{795}{-24}
%Illustration

Designet $Q$ Solem, $S$ Terram, $P$ Lunam, $PADB$ orbem
Lun{\ae}. In $QP$ capiatur $QK$ {\ae}qualis $QS$; sitque $QL$ ad $QK$
in duplicata ratione
$QK$ ad $QP$ \& ipsi
$PS$ agatur parallela
$LM$; \& si
gravitas acceleratrix
Terr{\ae} in Solem exponatur
per distantiam
$QS$ vel $QK$,
erit $QL$ gravitas acceleratrix
Lun{\ae} in Solem. Ea componitur ex partibus $QM$, $LM$,
quarum $LM$ \& ipsius $QM$ pars $SM$ perturbat motum Lun{\ae}, ut
in Libri primi Prop.\ LXVI. \& ejus Corollariis expositum est.
% -----File: 423.png---
Quatenus Terra \& Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur,
perturbabitur motus Terr{\ae} circa centrum illud ŕ viribus
consimilibus; sed summas tam virium quŕm motuum referre
licet ad Lunam, \& summas virium per lineas ipsis analogas $SM$
\& $ML$ designare. Vis $ML$ (in mediocri sua quantitate) est ad
vim gravitatis, qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem ad
distantiam $PS$ revolvi posset, in duplicata ratione temporum periodicorum
Lun{\ae} circa Terram \& Terr{\ae} circa Solem, (per Corol.\
17.\ Prop.\ LXVI. Lib.\ I.) hoc est in duplicata ratione dierum
27.\ \textit{hor.}\ 7.\ \textit{min.}\ 43.\ ad dies 365.\ \textit{hor.}\ 6.\ \textit{min.}\ 9.\ id est ut 1000 ad
178725, seu 1 ad $178\frac{8}{11}$. Vis qua Luna in orbe suo circa Terram
quiescentem, ad distantiam $PS$ semidiametrorum terrestrium
$60\frac{1}{2}$ revolvi posset, est ad vim, qua eodem tempore ad distantiam
semidiametrorum 60 revolvi posset, ut $60\frac{1}{2}$ ad 60; \& h{\ae}c vis ad
vim gravitatis apud nos ut 1 ad $60 \times 60$. Ideoque vis mediocris
$ML$ est ad vim gravitatis in superficie Terr{\ae}, ut $1 \times 60\frac{1}{2}$ ad
$60 \times 60 \times 60 \times 178\frac{8}{11}$ seu 1 ad $638092\decimals{6}$. Unde ex proportione
linearum $SM$, $ML$ datur etiam vis $SM$: \& h{\ae} sunt vires Solis
quibus motus Lun{\ae} perturbantur. \QEIit


\condpagelarge{Prop.\ XXVI\@. Prob.\ VI.}

\textit{Invenire incrementum are{\ae} quam Luna radio ad Terram
ducto describit.}

\pngright{424.png}{1816}{1526}{-24}
%Illustration

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit,
esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione
Solis turbatur. In{\ae}qualitatem momenti (vel incrementi horarii)
hic investigandam proponimus. Ut com\-putatio facilior reddatur,
fingamus orbem Lun{\ae} circularem esse, \& in{\ae}qualitates omnes negligamus,
ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem verň
Solis distantiam pon\-amus etiam lineas $QP$, $QS$ sibi in\-vicem parallelas
esse. Hoc pacto vis $LM$ reducetur semper ad mediocrem
% -----File: 424.png---
suam quantitatem $SP$, ut \& vis $SM$ ad mediocrem suam quantitatem
$3PK$. H{\ae} vires, per Legum Corol.\ 2.\ componunt vim
$SL$; \& h{\ae}c vis, si in radium $SP$ demittatur perpendiculum $LE$,
resolvitur in vires $SE$, $EL$, quarum $SE$, agendo semper secundum
radium $SP$, nec accelerat nec retardat descriptionem are{\ae} $QSP$
radio illo $SP$ factam; \& $EL$ agendo secundum perpendiculum,
accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam.
Acceleratio illa Lun{\ae}, in transitu ipsius ŕ Quadratura $C$ ad conjunctionem
$A$, singulis temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans
$EL$, hoc est ut $\frac{3PK \times SK}{SP}$. Exponatur tempus per motum medium
Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum $CSP$,
vel etiam per arcum $CP$. Ad $CS$ erigatur Normalis $CG$ ipsi $CS$
{\ae}qualis. Et diviso arcu quadrantali $AC$ in particulas innumeras
{\ae}quales $Pp$ \&c.\ per quas {\ae}quales totidem particul{\ae} temporis exponi
possint, ductâque $pk$ perpendiculari ad $CS$, jungatur $SG$
ipsis $KP$, $kp$ productis occurrens in $F$ \& $f$; \& erit $Kk$ ad $PK$ ut
$Pp$ ad $Sp$, hoc est in data ratione, adeoque $FK \times Kk$ seu area
$FKkf$ ut $\frac{3PK \times SK}{SP}$ id est ut $EL$; \& compositč, area tota $GCKF$ ut
% -----File: 425.png---
summa omnium virium $EL$ tempore toto $CP$ impressarum in Lunam,
atque adeň etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut
acceleratio descriptionis are{\ae} $CSP$, seu incrementum momenti. Vis
qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam $SP$, tempore
suo periodico $CADBC$ dierum 27.\ hor.\ 7.\ min.\ 43.\ revolvi posset,
efficeret ut corpus, tempore $CS$ cadendo, describeret longitudinem
$\frac{1}{2}CS$, \& velocitatem simul acquireret {\ae}qualem velocitati, qua Luna
in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol.\ Prop.\ IV. Lib.\ I\@.
Cum autem perpendiculum $Kd$ in $SP$ demissum sit ipsius $EL$
pars tertia, \& ipsius $SP$ seu $ML$ in octantibus pars dimidia, vis
$EL$ in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim $ML$ in ratione
3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico
circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad $\frac{2}{3} \times 17872\frac{1}{2}$ seu
11915, \& tempore $CS$ velocitatem generare deberet qu{\ae} esset pars
$\frac{100}{11915}$ velocitatis Lunaris, tempore autem $CPA$ velocitatem majorem
generaret in ratione $CA$ ad $CS$ seu $SP$. Exponatur vis maxima
$EL$ in Octantibus per aream $FK \times Kk$ rectangulo $\frac{1}{2}SP \times Pp$
{\ae}qualem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis $CP$ generare
posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor $EL$ eodem tempore
generat ut rectangulum $\frac{1}{2}SP \times CP$ ad aream $KCGF$: tempore
autem toto $CPA$, velocitates genit{\ae} erunt ad invicem ut rectangulum
$\frac{1}{2}SP \times CA$ \& triangulum $SCG$, sive ut arcus quadrantalis $CA$ ad
radium $SP$. Ideoque (per Prop.\ IX. Lib.\ V. Elem.)\ velocitatis posterior,
toto tempore genita, erit pars $\frac{100}{11915}$ velocitatis Lun{\ae}. Huic
Lun{\ae} velocitati, qu{\ae} are{\ae} momento mediocri analoga est, addatur
\& auferatur dimidium velocitatis alterius; \& si momentum mediocre
exponatur per numerum 11915 summa 11915 + 50 seu
11965 exhibebit momentum maximum are{\ae} in Syzygia $A$, ac
differentia 11915 - 50 seu 11865 ejusdem momentum minimum
in Quadraturis. Igitur are{\ae} temporibus {\ae}qualibus in Syzygiis \&
Quadraturis descript{\ae}, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad
momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad momentorum
differentiam 100 ut trapezium $FKCG$ ad triangulum
% -----File: 426.png---
$SCG$ (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus $PK$ ad quadratum
Radii $SP$, id est ut $Pd$ ad $SP$) \& summa exhibebit momentum
are{\ae}, ubi Luna est in loco quovis intermedio $P$.

H{\ae}c omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol \& Terra quiescunt,
\& Luna tempore Synodico dierum 27.\ \textit{hor.}\ 7.\ \textit{min.}\ 43.\ revolvitur.
Cum autem periodus Synodica Lunaris verč sit dierum
29.\ \textit{hor.}\ 12.\ \& \textit{min.}\ 44.\ augeri debent momentorum incrementa
in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum, quod erat
pars $\frac{100}{11915}$ momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars $\frac{100}{11023}$. Ideoque
momentum are{\ae} in Quadratura Lun{\ae} erit ad ejus momentum in
Syzygia ut 11023 - 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073, \&
ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio $P$ versatur,
ut 10973 ad 10973 + $Pd$, existente videlicet $SP$ {\ae}quali
100.

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis
particulis {\ae}qualibus describit, est quam proximč ut summa numeri
$219\frac{46}{100}$ \& Sinus versi duplicat{\ae} distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadratura
proxima, in circulo cujus radius est unitas. H{\ae}c ita se habent ubi
Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi
major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in eadem
ratione.

\condpagelarge{Prop.\ XXVII\@. Prob.\ VII.}

\textit{Ex motu horario Lun{\ae} invenire ipsius distantiam ŕ Terra.}

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis,
describit, est ut motus horarius Lun{\ae} \& quadratum distanti{\ae}
Lun{\ae} ŕ Terrâ conjunctim; \& propterea distantia Lun{\ae} ŕ
Terrâ est in ratione compositâ ex dimidiatâ ratione Are{\ae} directč
\& dimidiatâ ratione motus horarii inversč. \QEIit

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc datur Lun{\ae} diameter apparens: quippe qu{\ae} sit
reciprocč ut ipsius distantia ŕ Terra. Tentent Astronomi quŕm
probč h{\ae}c Regula cum Ph{\ae}nomenis congruat.

% -----File: 427.png---
\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiůs ex Ph{\ae}nomenis
quŕm antehac definiri potest.


\condpagelarge{Prop.\ XXVIII\@. Prob.\ VIII.}

\textit{Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.}

\pngright{427.png}{1238}{1692}{-24}
%Illustration

%!!Page reference

Curvatura Trajectori{\ae}, quam mobile, si secundum Trajectori{\ae}
illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directč \&
quad\-ratum velocitatis inversč. Curvaturas linearum pono esse inter
se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum
contactuum ad radios {\ae}quales pertinentium,
ubi radii illi in infinitum diminuuntur.
Attractio autem Lun{\ae} in Terram in Syzygiis est excessus
gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem $2PK$ (Vide \textit{Figur.\
pag.\ \pageref{wasp434}.})\ qua gravitas acceleratrix Lun{\ae} in Solem superat gravitatem
acceleratricem Terr{\ae}
in Solem. In Quadraturis
autem attractio illa est
summa gravitatis Lun{\ae} in
Terram \& vis Solaris $KS$,
qua Luna in Terram trahitur.
Et h{\ae} attractiones, si
$\frac{AS + CS}{2}$ dicatur $N$, sunt ut
$\frac{178725}{ASq.} - \frac{2000}{CS \times N}$
\& $\frac{178725}{CSq.} + \frac{1000}{AS \times N}$ quam proxime;
seu ut $178725N$ in $CSq.
- 2000ASq.$ in $CS$, \&
$178725N$ in $ASq. +
1000 CSq. \times AS$. Nam
se gravitas acceleratrix Terr{\ae} in Solem exponatur per numerum
178725, vis mediocris $ML$, qu{\ae} in Quadraturis est $PS$
% -----File: 428.png---
vel $SK$ \& Lunam trahit in Terram, erit 1000, \& vis mediocris
$SM$ in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris
$ML$ subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur
ŕ Terra, quamque jam ante nominavi $2PK$. Velocitas autem
Lun{\ae} in Syzygiis $A$ \& $B$ est ad ipsius velocitatem in Quadraturis
$C$ \& $D$ ut $CS$, ad $AS$ \& momentum are{\ae} quam Luna radio
ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem are{\ae}
in Quadraturis conjunctim; id est ut $11073CS$ ad $10973AS$.
Sumatur h{\ae}c ratio bis inversč \& ratio prior semel directč, \& fiet
Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in
Quadraturis ut $120407 \times 178725ASq. \times CSq. \times N - 120407
\times 2000AS \opit{qq.} \times CS$ ad $122611 \times 178725ASq. \times CSq. \times N$ +
$122611 \times 1000CS \opit{qq.} \times AS$, id est ut $2151969AS \times CS \times N -
24081AS \opit{cub.}$ ad $2191371AS \times CS \times N + 12261CS \opit{cub.}$

% creative use of \spreadout to avoid unsplittable DBCA giving Overfull hbox
Quoniam\spreadout{figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin} \\
$DBCA$, in cujus centro $S$ Terra collocetur, \& cujus axis
major $DC$ Quadraturis, minor $AB$ Syzygiis interjaceat. Cum autem
planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur,
\& Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet
in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda
erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit
in hoc plano, hoc est Figura $Cpa$, cujus puncta singula $p$ inveniuntur
capiendo punctum quodvis $P$ in Ellipsi, quod locum Lun{\ae}
representet, \& ducendo $Sp$ {\ae}qualem $SP$, ea lege ut angulus $PSp$
{\ae}qualis sit motui apparenti Solis ŕ tempore Quadratur{\ae} $C$ confecto;
vel (quod eodem fere recidit) ut angulus $CSp$ sit ad angulum $CSP$
ut tempus revolutionis Synodic{\ae} Lunaris ad tempus revolutionis
Periodic{\ae} seu 29 \textit{d.}\ 12.\ \textit{h.}\ $44\minute$, ad 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$. Capiatur igitur
angulus $CSa$ in eadem ratione ad angulum rectum $CSA$, \& sit
longitudo $Sa$ {\ae}qualis longitudini $SA$; \& erit $a$ Apsis ima \& $C$ Apsis
summa orbis hujus $Cpa$. Rationes autem ineundo invenio quod
differentia inter curvaturam orbis $Cpa$ in vertice $a$, \& curvaturam
circuli centro $S$ intervallo $SA$ descripti, sit ad differentiam inter
% -----File: 429.png---
curvaturam Ellipseos in vertice $A$ \& curvaturam ejusdem circuli, in
duplicata ratione anguli $CSP$ ad angulum $CSp$; \& quod curvatura
Ellipseos in $A$ sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione
$SA$ ad $SC$; \& curvatura circuli illius ad curvaturam circuli
centro $S$ intervallo $SC$ descripti ut $SC$ ad $SA$; hujus autem
curvatura ad curvaturam Ellipseos in $C$ in duplicata ratione $SA$
ad $SC$; \& differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice $C$ \&
curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam
figur{\ae} $Spa$ in vertice $C$ \& curvaturam ejusdem circuli, in duplicata
ratione anguli $CSP$ ad angulum $CSp$. Qu{\ae} quidem rationes ex Sinubus
angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilč colliguntur.
Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura
figur{\ae} $Cpa$ in $a$ ad ipsius curvaturam in $C$, ut $AS \opit{cub.} + \frac{16824}{100000}CSq.
\times AS$ ad $CS \opit{cub.} + \frac{16824}{100000}ASq. \times CS$. Ubi numerus $\frac{16824}{100000}$ designat
differentiam quadratorum angulorum $CSP$ \& $CSp$ applicatam ad
Quadratum anguli minoris $CSP$, seu (quod perinde est) differentiam
Quadratorum temporum 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$, \& 29 \textit{d.}\ 12 \textit{h.}\ $44\minute$,
applicatam ad Quadratum temporis 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$.

Igitur cum $a$ designet Syzygiam Lun{\ae}, \& $C$ ipsius Quadraturam,
proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvatur{\ae}
Orbis Lun{\ae} in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam
supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio $CS$ ad $AS$, duco
extrema \& media in se invicem. Et termini prodeuntes ad
$AS \times CS$ applicati, fiunt $2062\decimals{79}CS \opit{qq.} - 2151969N \times CS \opit{cub.} +
368682N \times AS \times CSq. + 36342ASq. \times CSq. - 362046N \times
ASq. \times CS + 2191371N \times AS \opit{cub.} + 4051\decimals{4}AS \opit{qq.} = 0$.
Hic pro terminorum $AS$ \& $CS$ semisummâ $N$ scribo 1, \& pro eorundem
semidifferentia ponendo $x$, fit $CS = 1 + x$, \& $AS =
1 - x$: quibus in {\ae}quatione scriptis, \& {\ae}quatione prodeunte resolutâ,
obtinetur $x$ {\ae}qualis $0\decimals{0072036}$, \& inde semidiameter $CS$ fit
$1\decimals{0072}$, \& semidiameter $AS$ $0\decimals{9928}$, qui numeri sunt ut $69\frac{11}{12}$ \&
$68\frac{11}{12}$ quam proximč. Est igitur distantia Lun{\ae} ŕ Terra in Syzygiis
ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis
consideratione) ut $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$, vel numeris rotundis ut 69
ad 70.
% -----File: 430.png---




\condpagelarge{Prop.\ XXIX\@. Prob.\ IX.}

\textit{Invenire Variationem Lun{\ae}.}

Oritur h{\ae}c in{\ae}qualitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris,
partim ex in{\ae}qualitate momentorum are{\ae}, quam Luna radio ad
Terram ducto describit. Si Luna $P$ in Ellipsi $DBCA$ circa Terram
in centro Ellipseos quiescentem moveretur, \& radio $SP$ ad
Terram ducto describeret aream $CSP$ tempori proportionalem;
esset autem Ellipseos semidiameter
maxima $CS$ ad semidiametrum
minimam\spreadout{$SA$ ut $69\frac{11}{12}$ ad $68\frac{11}{12}$: foret Tangens anguli $CSP$ ad Tangentem ang-}

\pngright{432.png}{2117}{1907}{-12}
%Illustration

\noindent
uli motus medii ŕ quadratura
$C$ computati, ut Ellipseos
semidiameter $SA$ ad
ejusdem semidiametrum $SC$
seu $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$. Debet autem
descriptio are{\ae} $CSP$, in
progressu Lun{\ae} ŕ Quadratura
ad Syzygiam, ea ratione
accelerari, ut ejus momentum
in Syzygia Lun{\ae} sit ad ejus
momentum in Quadratura
ut 11073 ad 10973, ut{\que} excessus
momenti in loco quovis intermedio $P$ supra momentum in
Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli $CSP$. Id quod satis accuratč
fiet, si tangens anguli $CSP$ diminuatur in dimidiata ratione
numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri
$68\frac{5958}{10000}$ ad numerum $68\frac{11}{12}$. Quo pacto tangens anguli $CSP$ jam
erit ad tangentem motus medii ut $68\frac{5958}{10000}$ ad $69\frac{11}{12}$, \& angulus $CSP$
% -----File: 431.png---
in Octantibus, ubi motus medius est 45 \textit{gr.}\ invenietur 44 \textit{gr.}\ $27\minute.$ $29\second$:
qui subductus de angulo motus medii 45 \textit{gr.}\ relinquit Variationem
$32\minute.$ $31\second$. H{\ae}c ita se haberent si Luna, pergendo ŕ Quadratura ad
Syzygiam, describeret angulum $CSA$ graduum tantum nonaginta.
Verum ob motum Terr{\ae}, quo Sol in antecedentia motu apparente
transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum
$CSa$ angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodic{\ae}
ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 \textit{d.}\ 12 \textit{h.}\ $44\minute.$
ad 27 \textit{d.}\ 7 \textit{h.}\ $43\minute$. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum $S$ dilatantur
in eadem ratione, \& Variatio qu{\ae} secus esset $32\minute.$ $31\second.$
jam aucta in eadem ratione, fit $35\minute.$ $9\second$. H{\ae}c ab Astronomis constituitur
$40\minute$, \& ex recentioribus Observationibus $38\minute$. \textit{Halleius}
autem recentissimč deprehendit esse $38\minute$ in Octantibus versus oppositionem
Solis, \& $32\minute$ in Octantibus Solem versus. Unde mediocris
ejus magnitudo erit $35\minute$: qu{\ae} cum magnitudine ŕ nobis inventa
$35\minute.$ $9\second$ probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem
computavimus, neglectis differentiis, qu{\ae} ŕ curvaturâ Orbis magni,
majorique Solis actione in Lunam falcatam \& novam quam in
Gibbosam \& plenam, oriri possint.


\condpagelarge{Prop.\ XXX\@. Prob.\ X.}

\textit{Invenire motum horarium Nodorum Lun{\ae} in Orbe circulari.}

Designet $S$ Solem, $T$ Terram, $P$ Lunam, $NPn$ Orbem Lun{\ae},
$Npn$ vestigium Orbis in plano Ecliptic{\ae}; $N$, $n$, Nodos,
$nTNm$ lineam Nodorum infinitč productam, $PI$, $PK$; perpendicula
demissa in lineas $ST$, $Qq$; $Pp$ perpendiculum demissum in
planum Ecliptic{\ae}; $Q$, $q$ Quadraturas Lun{\ae} in plano Ecliptic{\ae} \&
$pK$ perpendiculum in lineam $Qq$ Quadraturis intrajacentem. Et
vis Solis ad perturbandum motum Lun{\ae} (per Prop.\ XXV.) duplex
erit, altera line{\ae} $2IT$ vel $2Kp$, altera line{\ae} $PI$ proportionalis.
Et Luna vi priore in Solem, posteriore

\label{wasp444}\pngright{432.png}{2117}{1907}{-12}
%Illustration

\noindent in lineam $ST$ trahitur.
% -----File: 432.png---
Componitur autem vis posterior $PI$ ex viribus $IT$ \& $PT$, quarum
$PT$ agit secundum planum orbis Lunaris, \& propterea situm
plani nil mutat. H{\ae}c igitur negligenda est. Vis autem $IT$ cum
vi $2IT$ componit vim totam $3IT$, qua planum Orbis Lunaris
perturbatur. Et h{\ae}c vis per Prop.\ XXV. est ad vim qua Luna in
circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi
posset, ut $3IT$ ad Radium circuli multiplicatum per numerum
$178\decimals{725}$, sive ut $IT$ ad Radium multiplicatum per $59\decimals{575}$. C{\ae}terum
in hoc calculo \& eo omni qui sequitur, considero lineas omnes
ŕ Luna ad Solem ductas tanquam parallelas line{\ae} qu{\ae} ŕ Terra
ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferč minuit
effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; \& Nodorum
motus mediocres qu{\ae}rimus, neglectis istiusmodi minutiis,
qu{\ae} calculum nimis impeditum redderent.

% -----File: 433.png---

Designet jam $PM$ arcum, quem Luna dato tempore quam minimo
describit, \& $ML$ lineolam quam Luna, impellente vi pr{\ae}fata
$3IT$, eodem tempore describere posset. Jungantur $PL$, $MP$,
\& producantur e{\ae} ad $m$ \& $l$, ubi secent planum Ecliptic{\ae}; inque $Tm$
demittatur perpendiculum $PH$. Et quoniam $ML$ parallela est ipsi
$ST$, si $ml$ parallela sit ipsi $ML$, erit $ml$ in plano Ecliptic{\ae}, \&
contra. Ergo $ml$, cum sit in plano Ecliptic{\ae}, parallela erit ipsi
$ML$, \& similia erunt triangula $LMP$, $Lmp$. Jam cum $MPm$
sit in plano Orbis, in quo Luna in loco $P$ movebatur, incidet punctum
$m$ in lineam $Nn$ per Orbis illius Nodos $N$, $n$, ductam. Et
quoniam vis qua lineola $LM$ generatur, si tota simul \& semel in
loco $P$ impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus
Chorda esset $LP$, atque adeň transferret Lunam de plano $MPmT$
in planum $LPlT$; motus Nodorum ŕ vi illa genitus {\ae}qualis erit
angulo $mTl$. Est autem $ml$ ad $mP$ ut $ML$ ad $MP$, adeoque cum
$MP$ ob datum tempus data sit, est $ml$ ut rectangulum $ML \times
mP$, id est ut rectangulum $IT \times mP$. Et angulus $mTl$, si modo
angulus $Tml$ rectus sit, est ut $\frac{ml}{Tm}$, \& propterea ut $\frac{IT \times Pm}{Tm}$ id est
(ob proportionales $Tm$ \& $mP$, $TP$ \& $PH$) ut $\frac{IT \times PH}{TP}$, adeoque
ob datam $TP$, ut $IT \times PH$. Quod si angulus $Tml$, seu
$STN$ obliquus sit, erit angulus $mTl$ adhuc minor, in ratione Sinus
anguli $STN$ ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut
$IT \times PH$ \& Sinus anguli $STN$ conjunctim, sive ut contentum
sub sinubus trium angulorum $TPI$, $PTN$ \& $STN$.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis \& Luna in Syzygia existentibus,
recti sint, lineola $ml$ abibit in infinitum, \& angulus $mTl$
evadet angulo $mPl$ {\ae}qualis. Hoc autem in casu, angulus $mPl$
est ad angulum $PTM$, quem Luna eodem tempore motu suo apparente
circa Terram describit ut 1 ad $59\decimals{575}$. Nam angulus
$mPl$ {\ae}qualis est angulo $LPM$, id est angulo deflexionis Lun{\ae} ŕ
recto tramite, quam pr{\ae}fata vis Solaris $3IT$ dato illo tempore generare
possit; \& angulus $PTM$ {\ae}qualis est angulo deflexionis
% -----File: 434.png---
Lun{\ae} ŕ recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur,
eodem tempore generat. Et h{\ae} vires, uti supra diximus,
sunt ad invicem ut 1 ad $59\decimals{575}$. Ergo cum motus medius horarius
Lun{\ae} (respectu fixarum) sit $32\minute.$ $56\second.$ $27\third.$ $12\fourth\frac{1}{2}$, motus horarius
Nodi in hoc casu erit $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ $12\fifth$. Aliis autem in casibus
motus iste horarius erit ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ $12\fifth.$ ut contentum sub
sinibus angulorum trium $TPI$, $PTN$, \& $STN$ (seu distantiarum
Lun{\ae} ŕ Quadratura, Lun{\ae} ŕ Nodo \& Nodi ŕ Sole) ad cubum
Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum,
deque
negativo\spreadout{in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum}

\pngright{434.png}{1602}{1417}{-24}
%Illustration

\noindent \& progressivus in regressivum mutari. Unde
fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram
\& Nodum Quadratur{\ae} proximum versatur. Aliis in casibus
regrediuntur, \& per excessum regressus supra progres\-sum, singulis
mensibus feruntur in ante\-cedentia.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si a dati arcus quam minimi $PM$ terminis $P$ \& $M$
ad lineam Quadraturas jungentem $Qq$ demittantur perpendicula
$PK$, $Mk$, eademque producantur donec secent lineam Nodorum
$Nn$ in $D$ \& $d$;
erit motus horarius
Nodorum
ut area $MPDd$
\& quadratum
line{\ae} $AZ$ conjunctim.
Sunto
enim $PK$, $PH$
\& $AZ$ pr{\ae}dicti
tres Sinus. Nempe
$PK$ Sinus
distanti{\ae} Lun{\ae}
ŕ Quadratura,
$PH$ Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Nodo, \& $AZ$ Sinus distanti{\ae} Nodi ŕ
Sole: \& erit velocitas Nodi ut contentum $PK \times PH \times AZ$. Est
% -----File: 435.png---
autem $PT$ ad $PK$ ut $PM$ ad $Kk$, adeoque ob datas $PT$ \& $PM$
est $Kk$ ipsi $PK$ proportionalis. Est \& $AT$ ad $PD$ ut $AZ$ ad
$PH$, \& propterea $PH$ rectangulo $PD \times AZ$ proportionalis, \&
conjunctis rationibus, $PK \times PH$ est ut contentum $Kk \times PD \times
AZ$, \& $PK \times PH \times AZ$ ut $Kk \times PD \times AZ \opit{qu.}$ id est ut area
$PDdM$, \& $AZ \opit{qu.}$ conjunctim. \QEDit

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}In data quavis Nodorum positione, motus horarius
mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lun{\ae}, ideoque est
ad $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ ut quadratum Sinus distanti{\ae} Nodorum ŕ
Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ Nam si
Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum $QAq$, summa
omnium arearum $PDdM$, quo tempore Luna pergit ŕ $Q$ ad $M$,
erit area $QMdE$ qu{\ae} ad circuli tangentem $QE$ terminatur; \& quo
tempore Luna attingit punctum $n$, summa illa erit area tota $EQAn$
quam linea $PD$ describit; dein Luna pergente ab $n$ ad $q$, linea
$PD$ cadet extra circulum, \& aream $nqe$ ad circuli tangentem $qe$
terminatam describet; qu{\ae}, quoniam Nodi prius regrediebantur,
jam verň progrediuntur, subduci debet de area priore, \& cum {\ae}qualis
sit are{\ae} $QEN$, relinquet semicirculum $NQAn$. Igitur summa
omnium arearum $PDdM$, quo tempore Luna semicirculum describit,
est area semicirculi; \& summa omnium quo tempore Luna
circulum describit est area circuli totius. At area $PDdM$, ubi
Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu $PM$ \& radio
$MT$; \& summa omnium huic {\ae}qualium arearum, quo tempore
Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota \&
radio circuli; \& hoc rectangulum, cum sit {\ae}quale duobus circulis,
duplo majus est quŕm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum
velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus,
spatium duplo majus describerent quŕm revera describunt; \&
propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur,
spatium ŕ se in{\ae}quabili cum motu revera confectum describere possent,
est semissis motus quem habent in Syzygiis Lun{\ae}. Unde cum
motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis versantur, sit
$33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ $12\fifth$, motus mediocris horarius in hoc casu erit
% -----File: 436.png---
$16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth$. Et cum motus horarius Nodorum semper sit
ut $AZ \opit{qu.}$ \& area $PDdM$ conjunctim, \& propterea motus horarius
Nodorum in Syzygiis Lun{\ae} ut $AZ \opit{qu.}$ \& area $PDdM$ conjunctim,
id est (ob datam aream $PDdM$ in Syzygiis descriptam)
ut $AZ \opit{qu.}$ erit etiam motus mediocris ut $AZ \opit{qu.}$ atque adeo hic motus,
ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$
$36\fifth.$ ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu}$. \QEDit




\condpagelarge{Prop.\ XXXI\@. Prob.\ XI.}

\textit{Invenire motum horarium Nodorum Lun{\ae} in Orbe Elliptico.}

\pngright{436.png}{2104}{2256}{-24}
%Illustration

Designet $Qpmaq$ Ellipsim, axe majore $Qq$, minore $ab$ descriptam,
$QAq$ circulum circumscriptum, $T$ Terram in utriusque
centro communi, $S$ Solem, $p$ Lunam in Ellipsi moventem, \& $pm$
arcum quem data temporis particula quam minima describit, $N$ \& $n$
% -----File: 437.png---
Nodos linea $Nn$ junctos, $pK$ \& $mk$ perpendicula in axem $Qq$ demissa
\& hinc inde producta, donec occurrant circulo in $P$ \& $M$, \&
line{\ae} Nodorum in $D$ \& $d$. Et si Luna, radio ad Terram ducto,
aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi
ut area $pDdm$.

Nam si $PF$ tangat circulum in $P$, \& producta occurrat $TN$ in
$F$, \& $pf$ tangat Ellipsin in $p$ \& producta occurrat eidem $TN$ in
$f$, conveniant autem h{\ae} Tangentes in axe $TQ$ ad $Y$; \& si $ML$ designet
spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum describit
arcum $PM$, urgente \& impellente vi pr{\ae}dicta $3IT$, motu
transverso describere posset, \& $ml$ designet spatium quod Luna in
Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi $3IT$, describere
posset; \& producantur $LP$ \& $lp$ donec occurrant plano Ecliptic{\ae}
in $G$ \& $g$; \& jungantur $FG$ \& $fg$, quarum $FG$ producta
secet $pf$, $pg$ \& $TQ$ in $c$, $e$ \& $R$ respectivč, \& $fg$ producta secet
$TQ$ in $r$: Quoniam vis $3IT$ seu $3PK$ in circulo est ad vim $3IT$
seu $3pK$ in Ellipsi, ut $PK$ ad $pK$, seu $AT$ ad $aT$; erit spatium
$ML$ vi priore genitum, ad spatium $ml$ vi posteriore genitum, ut
$PK$ ad $pK$, id est ob similes figuras $PYKp$ \& $FYRc$, ut $FR$ ad
$cR$. Est autem $ML$ ad $FG$ (ob similia triangula $PLM$, $PGF$) ut
$PL$ ad $PG$, hoc est (ob parallelas $Lk$, $PK$, $GR$) ut $pl$ ad $pe$,
id est (ob similia triangula $plm$, $cpe$) ut $lm$ ad $ce$; \& inversč
ut $LM$ est ad $lm$, seu $FR$ ad $cR$, ita est $FG$ ad $ce$. Et propterea
si $fg$ esset ad $ce$ ut $fY$ ad $cY$, id est ut $fr$ ad $cR$, (hoc est
ut $fr$ ad $FR$ \& $FR$ ad $cR$ conjunctim, id est ut $fT$ ad $FT$ \&
$FG$ ad $ce$ conjunctim,) quoniam ratio $FG$ ad $ce$ utrinque ablata
relinquit rationes $fg$ ad $FG$ \& $fT$ ad $FT$, foret $fg$ ad $FG$ ut
$fT$ ad $FT$; propterea quod anguli, quos $FG$ \& $fg$ subtenderent
ad Terram $T$, {\ae}quarentur inter se. Sed anguli illi (per ea qu{\ae} in
pr{\ae}cedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo
tempore Luna in circulo arcum $PM$, in Ellipsi arcum $pm$ percurrit:
\& propterea motus Nodorum in Circulo \& Ellipsi {\ae}quarentur
inter se. H{\ae}c ita se haberent, si modo $fg$ esset ad $ce$ ut $fY$ ad $cY$,
% -----File: 438.png---
id est si $fg$ {\ae}qualis esset $\frac{ce \times fY}{cY}$. Verum ob similia triangula $fgp$,
$cep$, est $fg$ ad $ce$ ut $fp$ ad $cp$; ideoque $fg$ {\ae}qualis est $\frac{ce \times fp}{cp}$, \&
propterea angulus, quem $fg$ revera subtendit, est ad angulum priorem,
quem $FG$ subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad
motum Nodorum in Circulo, ut h{\ae}c $fg$ seu $\frac{ce \times fp}{cp}$ ad priorem $fg$
seu $\frac{ce \times fY}{cY}$, id est ut $fp \times cY$ ad $cp \times fY$, seu
$fp$ ad $fY$ \& $cY$ ad $cp$;
hoc est, si $pb$ ipsi $TN$ parallela occurrat $FP$ in $b$, ut $Fb$ ad $FY$
\& $FY$ ad $FP$; hoc est ut $Fb$ ad $FP$ seu $Dp$ ad $DP$, adeoque ut
area $Dpmd$ ad aream $DPMd$.
Et propterea, cum area posterior
proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis
motui Nodorum in Ellipsi. \QEDit

\textit{Corol.}\spreadout{Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium are-} \\
\noindent arum $pDdm$, quo tempore Luna pergit ŕ Quadratura ad locum
quemvis $m$, sit area $mpQEd$, qu{\ae} ad Ellipseos Tangentem $QE$
terminatur; \& summa omnium arearum illarum, in revolutione
integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in
Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis
ad circulum, id est ut $Ta$ ad $TA$, seu $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$. Et propterea,
cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad $16\second.$ $35\third.$
$16\fourth.$ $36\fifth.$ ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ si capiatur angulus $16\second.$ $21\third.$ $2\fourth.$ $36\fifth.$
ad angulum $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ ut $68\frac{11}{12}$ ad $69\frac{11}{12}$, erit motus mediocris
horarius Nodorum in Ellipsi ad $16\second.$ $21\third.$ $2\fourth.$ $36\fifth.$ ut $AZq.$
ad $ATq.$; hoc est ut quadratum Sinus distanti{\ae} Nodi ŕ Sole ad
quadratum Radii.

C{\ae}terum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit
in Syzygiis quŕm in Quadraturis, \& eo nomine tempus in Syzygiis
contrahitur, in Quadraturis producitur; \& una cum tempore
motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum
are{\ae} in Quadraturis Lun{\ae} ad ejus momentum in Syzygiis
ut 10973 ad 11073; \& propterea momentum mediocre in Octantibus
est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut
numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifferentiam 50.
% -----File: 439.png---
Unde cum tempus Lun{\ae} in singulis Orbis particulis {\ae}qualibus sit
reciprocč ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad
excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab
hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo
autem ŕ Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum
are{\ae} in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis,
sit ut quadratum Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadrantibus quam
proximč; \& propterea differentia inter momentum in loco quocunque
\& momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia inter
quadratum Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadraturis \& quadratum Sinus
graduum 45, seu semissem quadrati Radii; \& incrementum
temporis in locis singulis inter Octantes \& Quadraturas, \& decrementum
ejus inter Octantes \& Syzygias est in eadem ratione. Motus
autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis
particulas {\ae}quales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione
temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit $PM$, (c{\ae}teris
paribus) ut $ML$, \& $ML$ est in duplicata ratione temporis. Quare
motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna
datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione
numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad motum
reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verň totum ut 100
ad 11073 quam proximč. Decrementum autem in locis inter
Octantes \& Syzygias, \& incrementum in locis inter Octantes \&
Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus
in locis illis ad motum totum in Syzygiis \& differentia inter
quadratum Sinus distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ Quadratura \& semissem quadrati
Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in
Quadraturis versentur, \& capiantur loca duo {\ae}qualiter ab Octante
hinc inde distantia, \& alia duo ŕ Syzygiâ \& Quadraturâ iisdem intervallis
distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter
Syzygiam \& Octantem, subducantur incrementa motuum in locis
reliquis duobus, qu{\ae} sunt inter Octantem \& Quadraturam; decrementum
reliquum {\ae}quale erit decremento in Syzygia: uti rationem
% -----File: 440.png---
ineunti facilč constabit. Proindeque decrementum mediocre,
quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta
decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis
(ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem
describere supponebatur) erat $32\second.$ $42\third.$ $5\fourth.$ $12\fifth$. Et decrementum
motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior describit
idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad
11073; adeoque decrementum illud est $17\third.$ $43\fourth.$ $10\fifth$, cujus
pars quarta $4\third.$ $25\fourth.$ $48\fifth$, motui horario mediocri superius invento
$16\second.$ $21\third.$ $2\fourth.$ $36\fifth.$ subducta, relinquit $16\second.$ $16\third.$ $36\fourth.$ $48\fifth.$ motum
mediocrem horarium correctum.

Si Nodi versantur extra Quadraturas, \& spectentur loca bina ŕ
Syzygiis hinc inde {\ae}qualiter distantia; summa motuum Nodorum,
ubi Luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi Luna
in iisdem locis \& Nodi in Quadraturis versantur, ut $AZ \opit{qu.}$
ad $AT \opit{qu.}$ Et decrementa motuum, ŕ causis jam expositis oriunda,
erunt ad invicem ut ipsi motus, adeoque motus reliqui erunt ad
invicem ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$ \& motus mediocres ut motus reliqui.
Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque
Nodorum situ, ad $16\second.$ $16\third.$ $36\fourth.$ $48\fifth.$ ut $AZ \opit{qu.}$ ad $AT \opit{qu.}$;
id est ut quadratum Sinus distanti{\ae} Nodorum ŕ Syzygiis ad quadratum
Radii.


\condpagelarge{Prop.\ XXXII\@. Prob.\ XII.}

\textit{Invenire motum medium Nodorum Lun{\ae}.}

Motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum
mediocrium in anno. Concipe Nodum versari in $N$, \& singulis
horis completis retrahi in locum suum priorem, ut non obstante
motu suo proprio, datum semper servet situm ad Stellas Fixas. Interea
verň Solem $S$, per motum Terr{\ae}, progredi ŕ Nodo, \& cursum
annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem $Aa$
arcus datus quam minimus, quem recta $TS$ ad Solem semper ducta,
% -----File: 441.png---
intersectione sua \& circuli $NAn$, dato tempore quam minimo describit:
\& motus horarius mediocris (per jam ostensa) erit ut $AZq.$
id est (ob proportionales $AZ$, $ZY$) ut rectangulum sub $AZ$ \&
$ZY$, hoc est ut area $AZYa$. Et summa omnium horariorum motuum
mediocrium
ab initio, ut
summa omnium
arearum $aYZA$,
id est ut area
$NAZ$. Est
autem maxima
$AZYa$ {\ae}qualis
rectangulo sub
arcu $Aa$ \& radio
circuli; \&
propterea summa
omnium rectangulorum
in circulo toto ad summam totidem maximorum,
ut area circuli totius ad rectangulum sub circumferentia tota \& radio;
id est ut 1 ad 2. Motus autem horarius, rectangulo maximo
respondens, erat $16\second.$ $16\third.$ $36\fourth.$ $48\fifth$. Et hic motus, anno toto sidereo
dierum 365.\ 6 \textit{hor.}\ 9 \textit{min.}\ fit 39 \textit{gr.}\ $38\minute.$ $5\second.$ $39\third$. Ideoque hujus
dimidium 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$ est motus medius Nodorum
circulo toti respondens. Et motus Nodorum, quo tempore Sol
pergit ab $N$ ad $A$, est ad 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$ ut area $NAZ$ ad circulum
totum.

\pngright{441.png}{1580}{1350}{-24}
%Illustration

H{\ae}c ita se habent, ex Hypothesi quod Nodus horis singulis in
locum priorem retrahitur, sic ut Sol anno toto completo ad Nodum
eundem redeat ŕ quo sub initio digressus fuerat. Verum per
motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, \& computanda
jam est abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat
360 gradus, \& Nodus motu maximo eodem tempore conficeret
39 \textit{gr.}\ $38\minute.$ $5\second.$ $39\third.$ seu $39\decimals{6349}$ gradus; \& motus mediocris Nodi
% -----File: 442.png---
in loco quovis $N$ sit ad ipsius motum mediocrem in Quadraturis
suis, ut $AZq.$ ad $ATq.$ erit motus Solis ad motum Nodi in $N$, ut
360 $ATq.$ ad $39\decimals{6349}$ $AZq.$; id est ut $9\decimals{0829032}$ $ATq.$ ad $AZq$.
Unde si circuli totius circumferentia $NAn$ dividatur in particulas
{\ae}quales $Aa$, tempus quo Sol percurrat particulam $Aa$, si circulus
quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si circulus
una cum Nodis circa centrum $T$ revolvatur, reciprocč ut
$9\decimals{0829032}$ $ATq.$ ad $9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq$. Nam tempus est
reciprocč ut velocitas qua particula percurritur, \& h{\ae}c velocitas est
summa velocitatum Solis \& Nodi. Igitur si tempus, quo Sol absque
motu Nodi percurreret arcum $NA$, exponatur per Sectorem
$NTA$, \& particula temporis quo percurreret arcum quam minimum
$Aa$, exponatur per Sectoris particulam $ATa$; \& (perpendiculo
$aY$ in $Nn$ demisso) si in $AZ$ capiatur $dZ$, ejus longitudinis
ut sit rectangulum $dZ$ in $ZY$ ad Sectoris particulam $ATa$ ut $AZq.$
ad $9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq.$ id est ut sit $dZ$ ad $\frac{1}{2}AZ$ ut $ATq.$ ad
$9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq.$; rectangulum $dZ$ in $ZY$ designabit
decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto
quo arcus $Aa$ percurritur. Et si punctum $d$ tangit curvam $NdGn$,
area curvilinea $NdZ$ erit decrementum totum, quo tempore arcus
totus $NA$ percurritur; \& propterea excessus Sectoris $NAT$ supra
aream $NdZ$ erit tempus illud totum. Et quoniam motus
Nodi tempore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam
area $AaYZ$ diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur in
$AZ$ longitudo $eZ$, qu{\ae} sit ad longitudinem $AZ$ ut $AZq.$ ad
$9\decimals{0829032}$ $ATq. + AZq$. Sic enim rectangulum $eZ$ in $ZY$ erit
ad aream $AZYa$ ut decrementum temporis, quo arcus $Aa$ percurritur,
ad tempus totum, quo percurreretur si Nodus quiesceret:
Et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus Nodi.
Et si punctum $e$ tangat curvam $NeFn$, area tota $NeZ$, qu{\ae}
summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti,
quo tempore arcus $AN$ percurritur; \& area reliqua $NAe$ respondebit
motui reliquo, qui verus est Nodi motus quo tempore arcus
% -----File: 443.png---
totus $NA$, per Solis \& Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam
verň si circuli radius $AT$ ponatur 1, erit area semicirculi $1\decimals{570796}$;
\& area figur{\ae} $NeFnT$, per methodum Serierum infinitarum qu{\ae}sita,
prodibit $0\decimals{1188478}$. Motus autem qui respondet circulo toti
erat 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$; \& propterea motus, qui figur{\ae} $NeFnT$
duplicat{\ae} respondet, est 1 \textit{gr.}\ $29\minute.$ $57\second.$ $51\third\frac{1}{2}$. Qui de motu priore
subductus relinquit 18 \textit{gr.}\ $19\minute.$ $4\second.$ $58\third.$ motum totum Nodi inter
sui ipsius Conjunctiones cum Sole; \& hic motus de Solis motu
annuo graduum 360 subductus, relinquit 341 \textit{gr.}\ $40\minute.$ $55\second.$ $2\third.$
motum Solis inter easdem Conjunctiones. Iste autem motus est
ad motum annuum 360 \textit{gr.}\ ut Nodi motus jam inventus 18 \textit{gr.}\
$19\minute.$ $4\second.$ $58\third.$ ad ipsius motum annuum, qui propterea erit 19 \textit{gr.}\
$18\minute.$ $0\second.$ $22\third$. Hic est motus medius Nodorum in anno sidereo.
Idem per Tabulas Astronomicas est 19 \textit{gr.}\ $20\minute.$ $31\second.$ $1\third$. Differentia
minor est parte quadringentesima motus totius, \& ab Orbis
Lunaris Excentricitate \& Inclinatione ad planum Ecliptic{\ae} oriri
videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur,
\& per ejus Inclinationem vicissim retardatur aliquantulum,
\& ad justam velocitatem reducitur.


\condpagelarge{Prop.\ XXXIII\@. Prob.\ XIII.}

\textit{Invenire motum verum Nodorum Lun{\ae}.}

In tempore quod est ut area $NTA - NdZ$, (\textit{in Fig.\ pr{\ae}ced.})\
motus iste est ut area $NAeN$, \& inde datur. Verum ob nimiam
calculi difficultatem, pr{\ae}stat sequentem Problematis constructionem
adhibere. Centro $C$, intervallo quovis $CD$, describatur
circulus $BEFD$. Producatur $DC$ ad $A$, ut sit $AB$ ad $AC$ ut
motus medius ad semissem motus veri mediocris, ubi Nodi sunt
in Quadraturis: (id est ut 19 \textit{gr.}\ $18\minute.$ $0\second.$ $22\third.$ ad 19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$
$49\third\frac{1}{2}$, atque adeo $BC$ ad $AC$ ut motuum differentia 0 \textit{gr.}\ $31\minute.$ $2\second.$
$27\third\frac{1}{2}$, ad motum
posteriorem
19 \textit{gr.}\ $49\minute.$ $2\second.$ $49\third\frac{1}{2}$, hoc est, ut 1.\
% -----File: 444.png---
ad $38\frac{1}{3}$) dein per punctum $D$ ducatur infinita $Gg$, qu{\ae}
tangat\spreadout{circulum in $D$; \& si capiatur angulus $BCE$ vel $BCF$ {\ae}qualis semissi}

\pngright{444.png}{1680}{1070}{-12}
%Illustration

\noindent distanti{\ae} Solis ŕ
loco Nodi, per
motum medium
invento; \& agatur
$AE$ vel $AF$
secans perpendiculum
$DG$ in $G$;
\& capiatur angulus
qui sit ad
motum Nodi
inter ipsius Syzygias (id est ad 9 \textit{gr.}\ $10\minute.$ $40\second.$) ut tangens $DG$ ad
circuli $BED$ circumferentiam totam, atque angulus iste ad motum
medium Nodorum addatur; habebitur eorum motus verus. Nam
motus verus sic inventus congruet quam proximč cum motu vero
qui prodit exponendo tempus per aream $NTA - NdZ$, \& motum
Nodi per aream $NAeN$; ut rem perpendenti constabit. H{\ae}c
est {\ae}quatio annua motus Nodorum. Est \& {\ae}quatio menstrua, sed
qu{\ae} ad inventionem Latitudinis Lun{\ae} minimč necessaria est. Nam
cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae} duplici
in{\ae}qualitati obnoxia sit, alteri annu{\ae}, alteri autem menstru{\ae};
hujus menstrua in{\ae}qualitas \& {\ae}quatio menstrua Nodorum ita se
mutuň contemperant \& corrigunt, ut amb{\ae} in determinanda Latitudine
Lun{\ae} negligi possint.

\textit{Corol.}\wsp{}Ex hac \& pr{\ae}cedente Propositione liquet quod Nodi in
Syzygiis suis quiescunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu
horario $16\second.$ $18\third.$ $41\fourth\frac{1}{2}$. Et quod {\ae}quatio motus Nodorum in
Octantibus sit 1 \textit{gr.}\ $30\minute$. Qu{\ae} omnia cum Ph{\ae}nomenis c{\oe}lestibus
probč quadrant.
% -----File: 445.png---




\condpagelarge{Prop.\ XXXIV\@. Prob.\ XIV.}

\textit{Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad
planum Ecliptic{\ae}.}

\pngright{445.png}{2131}{2020}{-24}
%Illustration

Designent $A$ \& $a$ Syzygias; $Q$ \& $q$ Quadraturas; $N$ \& $n$ Nodos;
$P$ locum Lun{\ae} in Orbe suo; $p$ vestigium loci illius in plano
Ecliptic{\ae}, \& $mTl$ motum momentaneum Nodorum ut supra.
Et si ad lineam $Tm$ demittatur perpendiculum $PG$, jungatur $pG$,
\& producatur ea donec occurrat $Tl$ in $g$, \& jungatur etiam $Pg$:
erit angulus $PGp$ inclinatio orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae}, ubi
Luna versatur in $P$; \& angulus $Pgp$ inclinatio ejusdem post momentum
temporis completum, adeoque angulus $GPg$ Variatio
% -----File: 446.png---
momentanea inclinationis. Est autem hic angulus $GPg$ ad angulum
$GTg$ ut $TG$ ad $PG$ \& $Pp$ ad $PG$ conjunctim. Et propterea
si pro momento temporis substituatur hora; cum angulus
$GTg$ (per Prop.\ XXX.) sit ad angulum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $IT \times
PG \times AZ$ ad $AT \opit{cub.}$ erit angulus $GPg$ (seu inclinationis horaria
Variatio) ad angulum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $IT \times AZ \times TG \times \frac{Pp}{PG}$ ad
$AT \opit{cub.}$ \QEIit

H{\ae}c ita se habent ex Hypothesi quod Luna in Orbe circulari
uniformiter gyratur. Quod si orbis ille Ellipticus sit, motus mediocris
Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem;
uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam
Sinus $IT$. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per
decrementum Sinus $IT$, quantum diminuitur per decrementum
motus Nodorum; \& propterea idem manebit atque prius.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Si ad $Nn$ erigatur perpendiculum $TF$, sitque $pM$ motus
horarius Lun{\ae} in plano Ecliptic{\ae}; \& perpendicula $pK$, $Mk$
in $QT$ demissa \& utrinque producta occurrant $TF$ in $H$ \& $h$:
erit $Kk$ ad $Mp$ ut $pK$ seu $IT$ ad $AT$, \& $TZ$ ad $AT$ ut $TG$ ad
$Hp$; ideoque $IT \times TG$ {\ae}quale $\frac{Kk \times Hp \times TZ}{Mp}$, hoc est {\ae}quale are{\ae}
$HpMh$ duct{\ae} in rationem $\frac{TZ}{Mp}$: \& propterea inclinationis Variatio
horaria ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $HpMh$ ducta in $AZ \times \frac{TZ}{Mp} \times \frac{Pp}{PG}$
ad $AT \opit{cub.}$

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Ideoque si Terra \& Nodi singulis horis completis retraherentur
ŕ locis suis novis, \& in loca priora in instanti semper
reducerentur, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum,
datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore mensis illius foret
ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth$, ut aggregatum omnium arearum $HpMh$,
in revolutione puncti $p$
\label{wasp458}generatarum, \& sub signis propriis + \& -
conjunctarum, ductum in $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$, ad $Mp \times AT \opit{cub.}$ id
est ut circulus totus $QAqa$ ductus in $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$ ad $Mp \times AT
% -----File: 447.png---
cub.$ hoc est ut circumferentia $QAqa$ ducta in $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$ ad
$2MP \times AT \opit{quad.}$

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Proinde in dato Nodorum situ, Variatio mediocris horaria,
ex quâ per mensem uniformiter continuatâ Variatio illa
menstrua generari posset, est ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $AZ \times TZ \times \frac{Pp}{PG}$
ad $2ATq.$ id est (cum $Pp$ sit ad $PG$ ut Sinus Inclinationis pr{\ae}dict{\ae}
ad Radium, \& $\frac{AZ \times TZ}{AT}$ sit ad $\frac{1}{2}AT$ ut sinus duplicati anguli
$ATn$ ad Radium) ut inclinationis ejusdem Sinus ductus in Sinum
duplicat{\ae} distanti{\ae} Nodorum ŕ Sole, ad quadruplum quadratum
Radii.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Quoniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in
Quadraturis versantur, est (per Propositionem superiorem) ad angulum
$33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $IT \times AZ \times TG \times \frac{Pp}{PG}$ ad $AT \opit{cub.}$ id est ut
$\frac{IT \times TG}{AT} \times \frac{Pp}{PG}$ ad $AT$; hoc est ut Sinus duplicat{\ae} distanti{\ae} Lun{\ae}
ŕ Quadraturis ductus in $\frac{Pp}{PG}$ ad radium duplicatum: summa omnium
Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc situ Nodorum
transit ŕ Quadratura ad Syzygiam, (id est spatio horarum
$177\frac{1}{6}$,) erit ad summam totidem angulorum $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ seu
$5878\second\frac{1}{2}$, ut summa omnium sinuum duplicat{\ae} distanti{\ae} Lun{\ae} ŕ
Quadraturis ducta in $\frac{Pp}{PG}$ ad summam totidem diametrorum; hoc
est ut diameter ducta in $\frac{Pp}{PG}$, ad circumferentiam; id est si inclinatio
sit 5 \textit{gr.}\ $2\minute$, ut $7 \times \frac{876}{10000}$ ad 22, seu 279 ad 10000. Proindeque
Variatio tota, ex summa omnium horariarum Variationum tempore
pr{\ae}dicto conflata, est $164\second$, seu $2\minute.$ $44\second.$
% -----File: 448.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXXV\@. Prob.\ XV.}

\textit{Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae}.}

\pngright{450.png}{1679}{613}{-24}
%Illustration

Sit $AD$ Sinus inclinationis maxim{\ae}, \& $AB$ Sinus Inclinationis
minim{\ae}. Bisecetur $BD$ in $C$, \& centro $C$, intervallo $BC$, describatur
Circulus
$BGD$. In $AC$
capiatur $CE$ in
ea ratione ad $EB$
quam $EB$ habet
ad $2BA$: Et si
dato tempore
constituatur angulus $AEG$ {\ae}qualis duplicat{\ae} distanti{\ae} Nodorum
ŕ Quadraturis, \& ad $AD$ demittatur perpendiculum $GH$: erit
$AH$ Sinus inclinationis qu{\ae}sit{\ae}.

Nam $GEq.$ {\ae}quale est $GHq. + HEq.$ = $BHD + HEq.$
= $HBD + HEq. - BHq.$ = $HBD + BEq. - 2BH \times
BE$ = $BEq. + 2EC \times BH$ = $2EC \times AB + 2EC \times BH$ = $2EC
\times AH$. Ideoque cum $2EC$ detur, est $GEq.$ ut $AH$. Designet jam
$AEg$ distantiam Nodorum ŕ Quadraturis post datum aliquod
momentum temporis completum, \& arcus $Gg$, ob datum angulum
$GEg$, erit ut distantia $GE$. Est autem $Hh$ ad $Gg$ ut $GH$ ad
$GC$, \& propterea $Hh$ est ut contentum $GH \times Gg$ seu $GH \times GE$;
id est ut $\frac{GH}{GE} \times GE \opit{qu.}$ seu $\frac{GH}{GE} \times AH$, id est ut $AH$ \& sinus anguli
$AEG$ conjunctim. Igitur si $AH$ in casu aliquo sit Sinus inclinationis,
augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis,
per Corol.\ 3.\ Propositionis superioris, \& propterea sinui illi {\ae}qualis
semper manebit. Sed $AH$ ubi punctum $G$ incidit in punctum alterutrum
$B$ vel $D$ huic Sinui {\ae}qualis est, \& propterea eidem semper
{\ae}qualis manet. \QEDit
% -----File: 449.png---

In hac demonstratione supposui angulum $BEG$, qui distantia
est Nodorum ŕ Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes in{\ae}qualitatum
minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum
$BEG$ rectum esse, \& $Gg$ esse augmentum horarium distanti{\ae}
Nodorum \& Solis ab invicem; \& inclinationis Variatio horaria
(per Corol.\ 3.\ Prop.\ novissim{\ae}) erit ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut contentum
sub inclinationis Sinu $AH$ \& Sinu anguli recti $BEG$, qui est
duplicata distantia Nodorum ŕ Sole, ad quadruplum quadratum
Radii; id est ut mediocris inclinationis Sinus $AH$ ad radium quadruplicatum;
hoc est (cum inclinatio illa mediocris sit quasi 5 \textit{gr.}\
$8\minute\frac{1}{2}.$) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, sive ut
224 ad 10000. Est autem Variatio tota, Sinuum differenti{\ae}
$BD$ respondens, ad variationem illam horariam ut diameter $BD$
ad arcum $Gg$; id est ut diameter $BD$ ad semicircumferentiam
$BGD$ \& tempus horarum 2080, quo Nodus pergit ŕ Quadraturis
ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc est ut 7 ad 11 \&
2080 ad 1. Quare si rationes omnes conjungantur, fiet Variatio
tota $BD$ ad $33\second.$ $10\third.$ $33\fourth.$ ut $224 \times 7 \times 2080$ ad 110000, id est
ut 2965 ad 100, \& inde Variatio illa $BD$ prodibit $16\minute.$ $24\second$.

H{\ae}c est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lun{\ae} in
Orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si Nodi in Syzygiis
versantur, nil mutatur ex vario situ Lun{\ae}. At si Nodi in Quadraturis
consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis,
quŕm ubi ea versatur in Quadraturis, excessu $2\minute.$ $44\second$; uti in Propositionis
superioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus excessus
dimidio $1\minute.$ $22\second$ Variatio tota mediocris $BD$ in Quadraturis
Lunaribus diminuta fit $15\minute.$ $2\second$, in ipsius autem Syzygiis aucta fit
$17\minute.$ $46\second$. Si Luna igitur in Syzygiis constituatur, Variatio tota, in
transitu Nodorum ŕ Quadraturis ad Syzygias, erit $17\minute.$ $46\second.$ adeoque
si Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis versantur, sit 5 \textit{gr.}\ $17\minute.$ $46\second.$
eadem, ubi Nodi sunt in Quadraturis, \& Luna in Syzygiis, erit 5 \textit{gr.}
Atque h{\ae}c ita se habere confirmatur ex Observationibus. Nam
statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Ecliptic{\ae},
% -----File: 450.png---
ubi Nodi sunt in Quadraturis \& Luna in oppositione Solis,
esse quasi 5 \textit{gr.} Ubi verň Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent
esse 5 \textit{gr.}\ $17\minute\frac{1}{2}$ vel 5 \textit{gr.}\ $18\minute$.

Si jam desideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzygiis \&
Nodi ubivis versantur; fiat $AB$ ad $AD$ ut Sinus 5 \textit{gr.}\ ad Sinum
5 \textit{gr.}\ $17\minute.$ $46\second$, \&
capiatur angulus
$AEG$ {\ae}qualis
duplicat{\ae} distanti{\ae}
Nodorum ŕ
Quadraturis; \&
erit $AH$ Sinus Inclinationis
qu{\ae}sit{\ae}. Huic Orbis Inclinationi {\ae}qualis est ejusdem Inclinatio,
ubi Luna distat 90 \textit{gr.}\ ŕ Nodis. Aliis in Lun{\ae} locis in{\ae}qualitas
menstrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo
Latitudinis Lun{\ae} compensatur \& quodammodo tollitur per in{\ae}qualitatem
menstruam motus Nodorum, (ut supra diximus) adeoque
in calculo Latitudinis illius negligi potest.

\condpagelarge{\textit{Scholium.}}

Hactenus de motibus Lun{\ae} quatenus Excentricitas Orbis non
consideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apog{\ae}um
ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur singulis
diebus $23\minute$ respectu Fixarum; ubi verň in Quadraturis est, regreditur
singulis diebus $16\frac{1}{3}$ circiter: quodque ipsius motus medius
annuus sit quasi 40 \textit{gr.} Per Tabulas Astronomicas ŕ \textit{Cl.\ Flamstedio} ad
Hypothesin \textit{Horroxii} accommodatas, Apog{\ae}um in ipsius Syzygiis
progreditur cum motu diurno $24\minute.$ $28\second$, in Quadraturis autem regreditur
cum motu diurno $20\minute.$ $12\second$, \& motu medio annuo 40 \textit{gr.}\
$41\minute$ fertur in consequentia. Quod differentia inter motum diurnum
progressivum Apog{\ae}i in ipsius Syzygiis, \& motum diurnum
regressivum in ipsius Quadraturis, per Tabulas sit $4\minute.$ $16\second$, per
computationem verň nostram $6\minute\frac{2}{3}$, vitio Tabularum tribuendum esse
% -----File: 451.png---
suspicamur. Sed neque computationem nostram satis accuratam
esse putamus. Nam rationem quandam ineundo prodiere Apog{\ae}i
motus diurnus progressivus in ipsius Syzygiis, \& motus diurnus regressivus
in ipsius Quadraturis, paulo majores. Computationes
autem, ut nimis perplexas \& approximationibus impeditas, neque
satis accuratas, apponere non lubet.


\condpagelarge{Prop.\ XXXVI\@. Prob.\ XVI.}

\textit{Invenire vim Solis ad Mare movendum.}

Solis vis $ML$ seu $PS$, in Quadraturis Lunaribus, ad perturbandos
motus Lunares, erat (per Prop.\ XXV. hujus) ad vim gravitatis
apud nos ut 1 ad
$638092\decimals{6}$. Et vis
$SM - LM$ seu $2PK$
in Syzygiis Lunaribus
est duplo major.
H{\ae} autem vires, si
descendatur ad superficiem
Terr{\ae}, diminuuntur
in ratione
distantiarum ŕ centro Terr{\ae}, id est in ratione $60\frac{1}{2}$ ad 1; adeoque
vis prior in superficie Terr{\ae} est ad vim gravitatis ut 1 ad
38604600. Hac vi Mare deprimitur

\pngright{451.png}{1486}{775}{-12}
%Illustration

\noindent in locis qu{\ae} 90 \textit{gr.}\ distant ŕ
Sole. Vi alterâ qu{\ae} duplo major est Mare elevatur, \& sub Sole
\& in regione Soli opposita. Summa virium est ad vim gravitatis
ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum,
sive ea deprimat Aquam in regionibus qu{\ae} 90 \textit{gr.}\ distant ŕ Sole,
sive elevet eandem in regionibus sub Sole \& Soli oppositis, h{\ae}c
summa erit tota Solis vis ad Mare agitandum; \& eundem habebit
effectum ac si tota in regionibus sub Sole \& Soli oppositis mare elevaret,
in regionibus autem qu{\ae} 90 \textit{gr.}\ distant ŕ Sole nil ageret.
% -----File: 452.png---

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc cum vis centrifuga partium Terr{\ae} ŕ diurno Terr{\ae}
motu oriunda, qu{\ae} est ad vim gravitatis ut 1 ad 291, efficiat ut altitudo
Aqu{\ae} sub {\AE}quatore superet ejus altitudinem sub polis mensura
pedum Parisiensium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum
sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam
centrifugam ut 291 ad 12868200 seu 1 ad 44221, efficiet ut altitudo
aqu{\ae} in regionibus sub Sole \& Soli oppositis superet altitudinem
ejus in locis qu{\ae} 90 gradibus distant ŕ Sole, mensura tantum
pedis unius Parisiensis \& digitorum undecim. Est enim h{\ae}c mensura
ad mensuram pedum 85200 ut 1 ad 44221.


\condpagelarge{Prop.\ XXXVII\@. Prob.\ XVII.}

\textit{Invenire vim Lun{\ae} ad Mare movendum.}

Vis Lun{\ae} ad mare movendum colligenda est ex ejus proportione
ad vim Solis, \& h{\ae}c proportio colligenda est ex proportione motuum
maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante ostium fluvii \textit{Avon{\ae}},
ad lapidem tertium infra \textit{Bristoliam}, tempore verno \& autumnali
totus aqu{\ae} ascensus in Conjunctione \& Oppositione Luminarium
(observante \textit{Samuele Sturmio}) est pedum plus minus 45, in Quadraturis
autem est pedum tantum 25: Altitudo prior ex summa
virium, posterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur \&
Lun{\ae} in {\AE}quatore versantium \& mediocriter ŕ Terra distantium,
sunto vires $S$ \& $L$. Et quoniam Luna in Quadraturis, tempore
verno \& autumnali extra {\AE}quatorem in declinatione graduum plus
minus $23\frac{1}{2}$ versatur, \& Luminaris ab {\AE}quatore declinantis vis ad
mare movendum minor sit, idque (quantum sentio) in duplicata
ratione Sinus complementi declinationis quam proximč, vis Lun{\ae}
in Quadraturis, (cum sinus ille sit ad radium ut 91706 ad 100000)
erit $\frac{841}{1000} L$, \& summa virium in Syzygiis erit $L + S$, ac differentia
in Quadraturis $\frac{841}{1000} L - S$, adeoque $L + S$ erit ad $\frac{841}{1000} L - S$ ut 45
ad 25 seu 9 ad 5, \& inde $5L + 5S$ {\ae}qualis erit $\frac{7569}{1000} L - 9S$, \&
% -----File: 453.png---
$14S$ {\ae}qualis $\frac{2569}{1000} L$, \& propterea $L$ ad $S$ ut 14000 ad 2569 seu
$5\frac{7}{15}$ ad 1. In Portu \textit{Plymuthi} {\ae}stus maris (ex observatione \textit{Samuelis
Colepressi}) ad pedes plus minus sexdecim, altitudine mediocri attollitur,
ac tempore verno \& autumnali altitudo {\ae}stus in Syzygiis
Lun{\ae} superare potest altitudinem ejus in Quadraturis pedibus septem
vel octo. Si excessus mediocris his temporibus sit pedum septem
cum dimidio; {\ae}stus in Syzygiis ascendet ad pedes $19\frac{3}{4}$, in Quadraturis
ad pedes $12\frac{1}{4}$, \& sic $L + S$ erit ad $\frac{841}{1000} L - S$ ut $19\frac{3}{4}$ ad $12\frac{1}{4}$,
\& inde $L$ ad $S$ ut 734 ad 100 seu $7\frac{1}{3}$ ad 1. Est igitur vis Lun{\ae} ad
vim Solis per computationem priorem ut $5\frac{7}{15}$ ad 1, per posteriorem
ut $7\frac{1}{3}$ ad 1. Donec aliquid certius ex Observationibus accuratius institutis
constiterit, usurpabimus proportionem mediocrem $6\frac{1}{3}$ ad 1.
Unde cum vis Solis sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis
Lun{\ae} erit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Igitur cum aqua vi Solis agitata ad altitudinem pedis
unius \& undecim digitorum ascendat, eadem vi Lun{\ae} ascendet ad
altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris
motus excitandos abunde sufficit, \& quantitati motuum probe respondet.
Nam in maribus qu{\ae} ab Oriente in Occidentem latč
patent, uti in Mari \textit{Pacifico}, \& Maris \textit{Atlantici} \& \textit{{\AE}thiopici} partibus
extra Tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex, novem
duodecim vel quindecim. In mari autem \textit{Pacifico}, quod profundius
est \& latius patet, {\ae}stus dicuntur esse majores quŕm in \textit{Atlantico}
\& \textit{{\AE}thiopico}. Etenim ut plenus sit {\ae}stus, latitudo Maris ab
Oriente in Occidentem non minor esse debet quŕm graduum nonaginta.
In Mari \textit{{\AE}thiopico}, ascensus aqu{\ae} intra Tropicos minor
est quŕm in Zonis temperatis, propter angustiam Maris inter \textit{Africam}
\& Australem partem \textit{Americ{\ae}}. In medio Mari aqua nequit ascendere
nisi ad littus utrumque \& orientale \& occidentale simul
descendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus
nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus \& refluxus
in Insulis, qu{\ae} ŕ littoribus longissimč absunt, perexiguus esset solet.
In Portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca
% -----File: 454.png---
vadosa, ad Sinus alternis vicibus implendos \& evacuandos, influere
\& effluere cogitur, fluxus \& refluxus sunt solito majores, uti ad
\textit{Plymuthum} \& pontem \textit{Chepstow{\ae}} in \textit{Anglia}; ad montes \textit{S. Michaelis}
\& urbem \textit{Abrincatuorum} (vulgo \textit{Auranches}) in \textit{Normania}; ad \textit{Cambaiam}
\& \textit{Pegu} in \textit{India} orientali. His in locis mare, magna cum velocitate
accedendo \& recedendo, littora nunc inundat nunc arida
relinquit ad multa Milliaria. Neque impetus influendi \& remeandi
prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes
30, 40 vel 50 \& amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum
\& vadosorum, uti \textit{Magellanici} \& ejus quo \textit{Anglia} circundatur. {\AE}stus
in hujusmodi portubus \& fretis per impetum cursus \& recursus supra
modum augetur. Ad littora verň qu{\ae} descensu pr{\ae}cipiti ad
mare profundum \& apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi
\& remeandi attolli \& subsidere potest, magnitudo {\ae}stus respondet
viribus Solis \& Lun{\ae}.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Cum vis Lun{\ae} ad mare movendum sit ad vim gravitatis
ut 1 ad 2031821, perspicuum est quod vis illa sit longč minor
quŕm qu{\ae} vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis
aut Hydrostaticis quibuscunque sentiri possit. In {\ae}stu solo marino
h{\ae}c vis sensibilem edit effectum.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Quoniam vis Lun{\ae} ad mare movendum est ad Solis
vim consimilem ut $6\frac{1}{3}$ ad 1, \& vires ill{\ae} sunt ut densitates corporum
Lun{\ae} \& Solis \& cubi diametrorum apparentium conjunctim;
erit densitas Lun{\ae} ad densitatem Solis ut $6\frac{1}{3}$ ad 1 directč \& cubus
diametri Solis ad cubum diametri Lun{\ae} inversč, id est (cum diametri
mediocres apparentes Solis \& Lun{\ae} sint $31\minute.$ $27\second.$ \& $32\minute.$ $12\second.$)
ut 34 ad 5. Densitas autem Solis erat ad densitatem Terr{\ae} ut 100
ad 387, \& propterea densitas Lun{\ae} est ad densitatem Terr{\ae} ut
600 ad 387, seu 9 ad 5 quam proximč. Est igitur corpus Lun{\ae}
densius \& magis terrestre quŕm Terra nostra.

\textit{Corol.\fsp{}4.}\wsp{}Unde cum vera diameter Lun{\ae} sit ad veram diametrum
Terr{\ae} ut 1 ad $3\decimals{6\frac{1}{2}}$, erit massa Lun{\ae} ad massam Terr{\ae} ut 1 ad 26
quam proximč.
% -----File: 455.png---

\textit{Corol.\fsp{}5.}\wsp{}Et gravitas acceleratrix in superficie Lun{\ae}, erit quasi
duplo minor quŕm gravitas acceleratrix in superficie Terr{\ae}.


\condpagelarge{Prop.\ XXXVIII\@. Prob.\ XVIII.}

\textit{Invenire figuram corporis Lun{\ae}.}

Si corpus Lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis Terr{\ae}
ad fluidum illud in partibus \& citimis \& ultimis elevandum, esset
ad vim Lun{\ae}, qua mare nostrum in partibus \& sub Luna \& Lun{\ae}
oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lun{\ae} in Terram ad
gravitatem acceleratricem Terr{\ae} in Lunam \& diameter Lun{\ae} ad
diametrum Terr{\ae} conjunctim; id est ut 26 ad 1 \& 5 ad 18 conjunctim
seu 65 ad 9. Unde cum mare nostrum vi Lun{\ae} attollatur
ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi Terr{\ae} attolli deberet
ad pedes fere nonaginta. Eaque de causa figura Lun{\ae} Sph{\ae}rois
esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum Terr{\ae},
\& superaret diametros perpendiculares excessu pedum 180.
Talem igitur figuram Luna affectat, eamque sub initio induere
debuit. \QEIit

\textit{Corol.}\wsp{}Inde verň fit ut eadem semper Lun{\ae} facies in Terram obvertatur.
In alio enim situ corpus Lunare quiescere non potest,
sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes
ob parvitatem virium agitantium essent longč tardissim{\ae}: adeň ut
facies illa, qu{\ae} Terram semper respicere deberet, possit alterum
orbis Lunaris umbilicum, ob rationem superius allatam respicere,
neque statim abinde retrahi \& in Terram converti.


\condpagelarge{Lemma I.}

\pngright{458.png}{964}{1252}{-24}
%Illustration

\textit{Si $APEp$ Terram designet uniformiter densam, centroque $C$ \& polis
$P$, $p$ \& {\ae}quatore $AE$ delineatam; \& si centro $C$ radio $CP$ describi
intelligatur sph{\ae}ra $Pape$; sit autem $QR$ planum, cui recta ŕ centro
% -----File: 456.png---
Solis ad centrum Terr{\ae} ducta normaliter insistit; \& Terr{\ae} totius exterioris
$PapAPepE$, qu{\ae} Sph{\ae}râ modň descriptâ altior est, particul{\ae}
singul{\ae} conantur recedere hinc inde ŕ
plano $QR$, sitque conatus particul{\ae} cujusque
ut ejusdem distantia ŕ plano: erit
vis \& efficacia tota particularum omnium,
ad Terram circulariter movendam,
quadruplo minor quŕm vis tota
particularum totidem in {\AE}quatoris circulo
$AE$, uniformiter per totum circuitum
in morem annuli dispositarum, ad
Terram consimili motu circulari movendam.
Et motus iste circularis circa
axem in plano $QR$ jacentem, \& axi
$Pp$ perpendiculariter insistentem, peragetur.}

Sit enim $IK$ circulus minor {\AE}quatori $AE$ parallelus, sitque $L$
particula Terr{\ae} in circulo illo extra globum $Pape$ sita. Et si in
planum $QR$ demittatur perpendiculum $LM$, vis tota particul{\ae}
illius ad Terram circa ipsius centrum convertendum proportionalis
erit eidem $LM$: \& si h{\ae}c vis $LM$ (per Legum Corol.\ 2.)\ distinguatur
in vires $LN$, $NM$; efficacia virium $MN$ particularum
omnium $L$, in circuitu Terr{\ae} totius extra globum $Pape$ consistentium,
ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem literarum
$ApEP$ convertendam, erit ad efficaciam virium $LN$ particularum
omnium $L$, ad Terram circa ipsius centrum secundum
ordinem contrarium earundem literarum convertendam, ut tria ad
duo. Ideoque efficacia virium omnium $MN$ erit ad excessum efficaci{\ae}
hujus supra efficaciam virium omnium $LN$ ut tria ad unum.
Et si particul{\ae} ill{\ae} omnes locarentur in {\AE}quatore, efficacia virium
omnium $LN$ evanesceret, \& efficacia virium omnium $MN$ augeretur
in ratione quatuor ad tria. Quare excessus ille, qui est efficacia
absoluta particularum in locis propriis, est pars quarta efficaci{\ae}
particularum earundem in {\AE}quatore. Motus autem {\ae}quinoctiorum
% -----File: 457.png---
est ut h{\ae}c efficacia. Singula examinet qui volet. Brevitati
consulo.


\condpagelarge{Lemma II.}

\textit{Motus autem Terr{\ae} totius circa axem illum, ex motibus particularum
omnium compositus, erit ad motum annuli circa axem eundem, in ratione
composita ex ratione materi{\ae} in Terra ad materiam in annulo, \& ratione
trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque, ad duo quadrata
ex diametro; id est in ratione materi{\ae} ad materiam \& numeri
925275 \& 1000000.}

Est enim motus Cylindri circa axem suum immotum revolventis,
ad motum Sph{\ae}r{\ae} inscript{\ae} \& simul revolventis, ut qu{\ae}libet
quatuor {\ae}qualia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis: \&
motus Cylindri ad motum annuli tenuissimi, Sph{\ae}ram \& Cylindrum
ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum
materi{\ae} in Cylindro ad triplum materi{\ae} in annulo; \& annuli motus
iste circa axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejusdem
motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore
periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri.


\condpagelarge{Lemma III.}

\textit{Si annulus, Terra omni reliqua sublata, solus in orbe Terr{\ae} motu annuo
circa Solem ferretur, \& interea circa axem suum, ad planum
Ecliptic{\ae} in angulo graduum $23\frac{1}{2}$ inclinatum, motu diurno revolveretur:
idem foret motus Punctorum {\AE}quinoctialium sive annulus iste fluidus esset,
sive is ex materia rigida \& firma constaret.}
% -----File: 458.png---


\condpagelarge{Prop.\ XXXIX\@. Prob.\ XIX.}

\textit{Invenire Pr{\ae}cessionem {\AE}quinoctiorum.}

Motus mediocris horarius Nodorum Lun{\ae} in Orbe circulari,
ubi Nodi sunt in Quadraturis, erat $16\second.$ $35\third.$ $16\fourth.$ $36\fifth.$ \& hujus
dimidium $8\second.$ $17\third.$ $38\fourth.$ $18\fifth.$ (ob rationes \& supra explicatas) est motus
medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto sidereo
20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second$. Quoniam igitur Nodi Lun{\ae} in tali Orbe conficerent
annuatim 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second.$ in antecedentia; \& si plures essent
Lun{\ae} motus Nodorum cujusque, per Corol.\ 16.\ Prop.\ LXVI.
Lib.\ I. forent reciprocč ut tempora periodica; \& propterea si Luna
spatio diei siderei juxta superficiem Terr{\ae} revolveretur, motus annuus
Nodorum foret ad 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second.$ ut dies sidereus horarum
23.\ $56\minute.$ ad tempus periodicum Lun{\ae} dierum 27.\ 7 hor.\ $43\minute$; id est
ut 1436 ad 39343. Et par est ratio Nodorum annuli Lunarum
Terram ambientis; sive Lun{\ae} ill{\ae} se mutuň non contingant, sive
liquescant \& in annulum continuum formentur, sive denique annulus
ille rigescat \& inflexibilis reddatur.

\pngright{458.png}{964}{1252}{-24}
%Illustration

%!!Page reference

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materi{\ae}
{\ae}qualis sit Terr{\ae} omni $PapAPepE$,
qu{\ae} globo $PapE$ superior est; \&
quoniam globus iste est ad Terram
illam superiorem ut $aC \opit{qu.}$ ad $AC \opit{qu.} - aC \opit{qu.}$
id est (cum Terr{\ae} diameter
minor $PC$ vel $aC$ sit ad diametrum
majorem $AC$ ut 689 ad 692) ut
4143 ad 474721 seu 1000 ad
114585; si annulus iste Terram secundum
{\ae}quatorem cingeret, \& uterque
simul circa diametrum annuli
revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per
% -----File: 459.png---
hujus Lem.\ II.) ut 4143 ad 474721 \& 1000000 ad 925275
conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli
esset ad summam motuum annuli \& globi, ut 4143 ad 443991.
Unde si annulus globo adh{\ae}reat, \& motum suum, quo ipsius
Nodi seu puncta {\ae}quinoctialia regrediuntur, cum globo communicet:
motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem
ut 4143 ad 443391; \& propterea motus punctorum {\ae}quinoctialium
diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum
{\ae}quinoctialium corporis ex globo \& annulo compositi, ad
motum 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$ $46\second$, ut 1436 ad 39343 \& 4143 ad 443391
conjunctim, id est ut 1 ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lunarum
(ut supra explicui) atque adeň quibus puncta {\ae}quinoctialia
annuli regrediuntur (id est vires $3IT$, \textit{in Fig.\ pag.\ \pageref{wasp444}.})\ sunt in
singulis particulis ut distanti{\ae} particularum ŕ plano $QR$, \& his viribus
particul{\ae} ill{\ae} planum fugiunt; \& propterea (per Lem.\ I.) si
materia annuli per totam globi superficiem, in morem figur{\ae}
$PapAPepE$, ad superiorem illam Terr{\ae} partem constituendam
spargeretur, vis \& efficacia tota particularum omnium ad Terram
circa quamvis {\AE}quatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda
puncta {\ae}quinoctialia, evaderet quadruplo minor quŕm prius.
Ideoque annuus {\ae}quinoctiorum regressus jam esset ad 20 \textit{gr.}\ $11\minute.$
$46\second.$ ut 1 ad 11728, ac proinde fieret $6\second.$ $12\third.$ $2\fourth$. H{\ae}c est pr{\ae}cessio
{\AE}quinoctiorum ŕ vi Solis oriunda. Vis autem Lun{\ae} ad
mare movendum erat ad vim Solis ut $6\frac{1}{3}$ ad 1, \& h{\ae}c vis pro quantitate
sua augebit etiam pr{\ae}cessionem {\AE}quinoctiorum. Ideoque
pr{\ae}cessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione
$7\frac{1}{3}$ ad 1, \& sic erit $45\second.$ $24\third.$ $15\fourth$. Hic est motus punctorum {\ae}quinoctialium
ab actionibus Solis \& Lun{\ae} in partes Terr{\ae}, qu{\ae} globo
$Pape$ incumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis
in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest.

\pngright{460.png}{1049}{1057}{-12}
%Illustration

Designet jam $APEp$ corpus Terr{\ae} figurâ Ellipticâ pr{\ae}ditum,
\& ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figuras
innumeras Ellipticas concentricas \& consimiles, $APEp$, $BQbq$,
% -----File: 460.png---
$CRcr$, $DSds$, \&c.\ quarum diametri sint in progressione Geometrica:
quoniam figur{\ae} consimiles sunt, vires Solis \& Lun{\ae},
quibus puncta {\ae}quinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum
reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem {\ae}quinoctialia eadem
cum velocitate regrederentur. Et
par est ratio motus orbium singulorum
$AQEq$, $BRbr$, $CScs$,
\&c.\ qui sunt figurarum illarum
differenti{\ae}. Orbis uniuscujusque,
si solus esset, puncta {\ae}quinoctialia
eadem cum velocitate
regredi deberent. Nec refert utrum
orbis quilibet densior sit an
rarior, si modň ex materia uniformiter
densa confletur. Unde
etiam si orbes ad centrum densiores sint quŕm ad circumferentiam,
idem erit motus {\ae}quinoctiorum Terr{\ae} totius ac prius; si
modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter
densa constet, \& figura orbis non mutetur. Quod si figur{\ae} orbium
mutentur, Terraque ad {\ae}quatorem $AE$, ob densitatem materi{\ae}
ad centrum, jam altius ascendat quŕm prius; regressus {\ae}quinoctiorum
ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis
seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materi{\ae} juxta orbis
illius {\ae}quatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis
materi{\ae} juxta {\ae}quatorem orbis non extimi $AQEq$, non intimi
$Gg$, sed mediocris alicujus $CScs$. Terram autem ad centrum
densiorem esse, \& propterea sub {\AE}quatore altiorem esse quŕm ad
polos in majore ratione quŕm 692 ad 689, in superioribus insinuavimus.
Et ratio majoris altitudinis colligi ferč potest ex majore
diminutione gravitatis sub {\ae}quatore, quŕm qu{\ae} ex ratione 692 ad
689 consequi debeat. Excessus longitudinis penduli, quod in Insula
\textit{Goree} \& in illâ \textit{Cayenn{\ae}} minutis singulis secundis oscillatur, supra
longitudinem Penduli quod \textit{Parisiis} eodem tempore oscillatur, ŕ
% -----File: 461.png---
\textit{Gallis} inventi sunt pars decima \& pars octava digiti, qui tamen ex
proportione 692 ad 689 prodiere $\frac{81}{1000}$ \& $\frac{89}{1000}$. Major est itaque
longitudo Penduli \textit{Cayenn{\ae}} quŕm oportet, in ratione $\frac{1}{8}$ ad $\frac{89}{1000}$, seu
1000 ad 712; \& in Insula \textit{Goree} in ratione $\frac{1}{10}$ ad $\frac{81}{1000}$ seu 1000 ad
810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda
erit gravitas Terr{\ae} ad {\ae}quatorem, \& ibidem augenda ejus altitudo,
in ratione 1000 ad 760 quam proximč. Unde motus
{\ae}quinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis
Terr{\ae}, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad intermedium
aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non
in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad $8\frac{1}{3}$
vel 6 ad 5, evadet annuatim $54\second.$ $29\third.$ $6\fourth$.

Rursus hic motus, ob inclinationem plani {\AE}quatoris ad planum
Ecliptic{\ae}, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi inclinationis
ad Radium. Nam distantia particul{\ae} cujusque terrestris
ŕ plano $QR$, quo tempore particula illa ŕ plano Ecliptic{\ae} longissimč
distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminuitur,
per inclinationem planorum Ecliptic{\ae} \& {\AE}quatoris ad invicem,
in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Et in
ratione distanti{\ae} illius diminuitur etiam vis particul{\ae} ad {\ae}quinoctia
movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium particul{\ae}
ejusdem, in locis hinc inde ŕ Tropico {\ae}qualiter distantibus:
uti ex pr{\ae}demonstratis facilč ostendi possit: \& propterea vis tota
particul{\ae} illius, in revolutione integrâ, ad {\ae}quinoctia movenda, ut
\& vis tota particularum omnium, \& motus {\ae}quinoctiorum ŕ vi
illa oriundus, diminuitur in eadem ratione. Igitur cum inclinatio
illa sit $23\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ diminuendus est motus $54\second.$ $29\third.$ in ratione Sinus
91706 (qui sinus est complementi graduum $23\frac{1}{2}$) ad Radium
100000. Qua ratione motus iste jam fiet $49\second.$ $58\third$. Regrediuntur
igitur puncta {\ae}quinoctiorum motu annuo (juxta computationem
nostram) $49\second.$ $58\third$, fere ut Ph{\ae}nomena c{\oe}lestia requirunt. Nam
regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est $50\second$.

Descripsimus jam Systema Solis, Terr{\ae} \& Planetarum: superest
ut de Com\-et\-is nonnulla adjiciantur.
% -----File: 462.png---


\condpagelarge{Lemma IV.}

\textit{Cometas esse Lunâ superiores \& in regione Planetarum versari.}

Ut defectus Parallaxeos diurn{\ae} extulit Cometas supra regiones
sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in
regiones Planetarum. Nam Comet{\ae} qui progrediuntur secundum
ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito
tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos \& Solem, at justo
celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et č contra, qui pergunt
contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis,
si Terra versatur inter ipsos \& Solem; \& justo tardiores
vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc
maximč ex motu Terr{\ae} in vario ipsius situ, perinde ut fit in Planetis,
qui, pro motu Terr{\ae} vel conspirante vel contrario, nunc
retrogradi sunt, nunc tardiůs moveri videntur, nunc verň celeriůs.
Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, \& motu angulari
circa Solem celerius fertur, Cometa č Terra spectatus, ob motum
suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra
tardiůs
fertur, motus Comet{\ae}, (detracto motu Terr{\ae}) fit

\pngright{462.png}{1330}{987}{-24}
%Illustration

\noindent saltem tardior.
At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior
apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado
distantia Comet{\ae} in
hunc modum colligitur.
Sunto $\aries QA$, $\aries QB$, $\aries QC$
observat{\ae} tres longitudines
Comet{\ae}, sub initio motus,
sitque $\aries QF$ longitudo
ultimň observata, ubi
Cometa videri desinit. Agatur
recta $ABC$, cujus partes
$AB$, $BC$ rectis $QA$ \&
% -----File: 463.png---
$QB$, $QB$ \& $QC$ interject{\ae}, sint ad invicem ut tempora inter observationes
tres primas. Producatur $AC$ ad $G$, ut sit $AG$ ad $AB$
ut tempus inter observationem primam \& ultimam, ad tempus inter
observationem primam \& secundam, \& jungatur $QG$. Et si
Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quiesceret,
vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrederetur;
foret angulus $\aries QG$ longitudo Comet{\ae} tempore Observationis
ultim{\ae}. Angulus igitur $FQG$, qui longitudinum differentia
est, oritur ab in{\ae}qualitate motuum Comet{\ae} ac Terr{\ae}. Hic autem
angulus, si Terra \& Cometa in contrarias partes moventur, additur
angulo $AQG$, \& sic motum apparentem Comet{\ae} velociorem
reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, eidem
subducitur, motumque Comet{\ae} vel tardiorem reddit, vel
forte retrogradum; uti modň exposui. Oritur igitur hic angulus
pr{\ae}cipuč ex motu Terr{\ae}, \& idcirco pro parallaxi Comet{\ae} meritň
habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento
nonnullo, quod ŕ Comet{\ae}
motu in{\ae}quabili in orbe proprio oriri possit. Distantia

\pngright{463.png}{880}{1335}{-24}
%Illustration

\noindent verň Comet{\ae} ex hac
parallaxi sic colligitur. Designet
$S$ Solem, $acT$ Orbem magnum,
$a$ locum Terr{\ae} in observatione prima,
$c$ locum Terr{\ae} in observatione secunda,
$T$ locum Terr{\ae} in observatione
ultima, \& $T\aries$ lineam rectam versus
principium Arietis ductam. Sumatur
angulus $\aries TV$ {\ae}qualis angulo $\aries QF$,
hoc est {\ae}qualis longitudini Comet{\ae}
ubi Terra versatur in $T$. Jungatur $ac$,
\& producatur ea ad $g$, ut sit $ag$ ad $ac$
ut $AG$ ad $AC$, \& erit $g$ locus quem
Terra tempore observationis ultim{\ae},
motu in recta $ac$ uniformiter continuato,
attingeret. Ideoque si ducatur $g\aries$ ipsi $T\aries$ parallela, \&
capiatur angulus $\aries gV$ angulo $\aries QG$ {\ae}qualis, erit hic angulus $\aries gV$
% -----File: 464.png---
{\ae}qualis longitudini Comet{\ae} č loco $g$ spectati; \& angulus $TVg$ parallaxis
erit, qu{\ae} oritur ŕ translatione Terr{\ae} de loco $g$ in locum $T$:
ac proinde $V$ locus erit Comet{\ae} in plano Ecliptic{\ae}. Hic autem locus
$V$ orbe Jovis inferior esse solet.

Idem colligitur ex curvatura vi{\ae} Cometarum. Pergunt h{\ae}c corpora
propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius;
at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa qu{\ae} ŕ parallaxi
oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem,
deflectere solent ab his circulis, \& quoties Terra movetur
in unam partem abire in partem contrariam. Oritur h{\ae}c deflexio
maximč ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terr{\ae}; \&
insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas
satis longč infra Jovem. Unde consequens est quňd in Perig{\ae}is \&
Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt s{\ae}pius infra orbes Martis
\& inferiorum Planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum.
Nam corporis c{\oe}lestis ŕ Sole illustrati \& in regiones longinquas
abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distanti{\ae}:
in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam ŕ Sole,
\& in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem.
Unde si detur \& lucis quantitas \& apparens diameter Comet{\ae},
dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planet{\ae}
in ratione integra diametri ad diametrum directč \& ratione dimidiata
lucis ad lucem inversč. Sic minima Capillitii Comet{\ae} anni
1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum ŕ \textit{Cl.\ Flamstedio}
observata \& micrometro mensurata, {\ae}quabat $2\minute.$ $0\second$. Nucleus
autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis
hujus occupabat, adeoque lata erat tantum $11\second$ vel $12\second$. Luce verň
\& claritate capitis superabit caput Comet{\ae} anni 1680, stellasque
prim{\ae} vel secund{\ae} magnitudinis {\ae}mulabatur. Ponamus Saturnum
cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: \& quoniam
lux annuli propemodum {\ae}quabat lucem globi intermedii, \& diameter
apparens globi sit quasi $21\second$, adeoque lux globi \& annuli
% -----File: 465.png---
conjunctim {\ae}quaret lucem globi, cujus diameter esset $30\second$: erit
distanti{\ae} Comet{\ae} ad distantiam Saturni ut 1 ad $\surd 4$ inversč, \& $12\second$
ad $30\second$ directč, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa
anni 1665 mense \textit{Aprili}, ut Author est \textit{Hevelius}, claritate sua pene
fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris
videlicet longč vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero
illo, qui in fine anni pr{\ae}cedentis apparuerat \& cum stellis prim{\ae}
magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi $6\minute$, at
nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat
Jove, \& nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi {\ae}qualis
judicabatur. Porrň cum diameter Capillitii Cometarum rarň
superet $8\minute$ vel $12\minute$, diameter verň Nuclei seu stell{\ae} centralis sit
quasi decima vel fortč decima quinta pars diametri capillitii, patet
Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis
cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarň
conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod
Comet{\ae} omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint,
vel non longe supra. Errant igitur toto c{\oe}lo qui Cometas in regionem
Fixarum prope ablegant: qua certč ratione non magis illustrari
deberent ŕ Sole nostro, quŕm Planet{\ae}, qui hic sunt, illustrantur
ŕ Stellis fixis.

H{\ae}c disputavimus non considerando obscurationem Cometarum
per fumum illum maximč copiosum \& crassum, quo caput
circundatur, quasi per nubem obtusč semper lucens. Nam quanto
obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad
Solem accedat necesse est, ut copia lucis ŕ se reflexa Planetas {\ae}muletur.
Inde verisimile fit Cometas longe infra Sph{\ae}ram Saturni
descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verň quam maximč
confirmatur ex Caudis. H{\ae} vel ex reflexione fumi sparsi per
{\ae}thera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est
distantia Cometarum, ne fumus ŕ Capite semper ortus per spatia
nimis ampla incredibili cum velocitate \& expansione propagetur.
In posteriore referenda est lux omnis tam caud{\ae} quŕm capillitii ad
% -----File: 466.png---
Nucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari
\& intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certč,
quoties caudam maximam \& fulgentissimam emittit, Jovem ipsum
splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro
apparente plus lucis emittens, multň magis illustrabitur ŕ Sole,
adeoque erit Soli multň propior. Quinetiam capita sub Sole delitescentia,
\& caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium
ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento infra
orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in
stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres
plures conjunctas quandoque superaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum
ŕ Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu ŕ
Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observante
\textit{Hevelio},) ex quo conspici c{\ae}pit, remittebat semper de
motu suo, adeoque pr{\ae}terierat Perig{\ae}um; Splendor verň capitis
nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus
desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem
\textit{Hevelio}, in fine Mensis \textit{Julii} ubi primum conspectus est, tardissimč
movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in
orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo
augebatur usque ad \textit{Sept.~4.}\ quando evasit graduum quasi quinque.
Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat.
Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur:
quippe quam \textit{Hevelius} reperit \textit{Aug.~6.}\ esse tantum $6\minute.$ $5\second$ inclusâ
comâ, at \textit{Sept.~2.}\ esse $9\minute.$ $7\second$. Caput igitur initio longe minus
apparuit quŕm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe
lucidius extitit quŕm circa finem, ut refert idem \textit{Hevelius}. Proinde
toto hoc tempore, ob recessum ipsius ŕ Sole, quoad lumen decrevit,
non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618
circa medium Mensis \textit{Decembris}, \& iste Anni 1680 circa finem ejusdem
Mensis, celerrimč movebantur, adeoque tunc erant in Perig{\ae}is.
Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere
% -----File: 467.png---
septimanas, ubi modň exierant de radiis Solaribus; \& splendor maximus
caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Comet{\ae}
prioris, juxta observationes \textit{Cysati}, \textit{Decem.~1.}\ majus videbatur
stellis prim{\ae} magnitudinis, \& \textit{Decem.~16.}\ (jam in Perig{\ae}o existens)
magnitudine parům, splendore seu claritate luminis plurimum
defecerat. \textit{Jan.~7.}\ \textit{Keplerus} de capite incertus finem fecit observandi.
Die 12 mensis \textit{Decemb.}\ conspectum \& ŕ \textit{Flamstedio} observatum
est caput Comet{\ae} posterioris, in distantia novem graduum
ŕ Sole; id quod stell{\ae} terti{\ae} magnitudinis vix concessum fuisset.
\textit{Decem.~15 \& 17} apparuit idem ut stella terti{\ae} magnitudinis,
diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentum.
\textit{Decem.~26.}\ velocissimč motus, inque Perig{\ae}o propemodum existens,
cedebat ori Pegasi, Stell{\ae} terti{\ae} magnitudinis. \textit{Jan.~3.}\ apparebat ut
Stella quart{\ae}, \textit{Jan.~9.}\ ut Stella quint{\ae}, \textit{Jan.~13.}\ ob splendorem
Lun{\ae} crescentis disparuit. \textit{Jan.~25.}\ vix {\ae}quabat Stellas magnitudinis
septim{\ae}. Si sumantur {\ae}qualia ŕ Perig{\ae}o hinc inde tempora,
capita qu{\ae} temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob
{\ae}quales ŕ Terra distantias, {\ae}qualiter lucere debuissent, in plaga
Solis maximč splenduere, ex altera Perig{\ae}i parte evanuere. Igitur
ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis
\& Comet{\ae} vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis
esse solet, \& maxima apparere ubi capita velocissimč moventur,
atque adeo sunt in Perig{\ae}is; nisi quatenus ea major est in vicinia
Solis.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Splendent igitur Comet{\ae} luce Solis ŕ se reflexa.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Ex dictis etiam intelligitur cur Comet{\ae} tantopere frequentant
regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longč ultra
Saturnum deberent s{\ae}pius apparere in partibus Soli oppositis. Forent
enim Terr{\ae} vicinioris qui in his partibus versarentur, \& Sol
interpositus obscuraret c{\ae}teros. Verum percurrendo historias Cometarum
reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt
in Hemisph{\ae}rio Solem versus, quŕm in Hemisph{\ae}rio opposito,
pr{\ae}ter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum
% -----File: 468.png---
in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque
adeo illustrantur ŕ Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant,
quŕm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo
circa Solem descripti pars longč major sita est ŕ latere Terr{\ae}
quod Solem respicit; inque parte illa majore Comet{\ae} Soli ut plurimum
viciniores magis illuminari solent.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Hinc etiam manifestum est, quod c{\oe}li resistentia destituuntur.
Nam Comet{\ae} vias obliquas \& nonnunquam cursui Planetarum
contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimč, \& motus
suos etiam contra cursum Planetarum diutissimč conservant. Fallor
ni genus Planetarum sint, \& motu perpetuo in orbem redeant.
Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum ŕ
capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur.
Capita Cometarum Atmosph{\ae}ris ingentibus cinguntur; \& Atmosph{\ae}r{\ae}
infernč densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa
Cometarum corpora, in quibus mutationes ill{\ae} visuntur. Sic Terra
si č Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet,
\& corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula
Jovis in nubibus Planet{\ae} illius formata, situm mutant inter
se, \& firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et
multo magis corpora Cometarum sub Atmosph{\ae}ris \& profundioribus
\& crassioribus abscondi debent.


\condpagelarge{Prop.\ XL\@. Theor.\ XXI.}

\textit{Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri,
\& radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.}

Patet per Corol.\ 1.\ Prop.\ XIII. Libri primi, collatum cum
Prop.\ VIII, XII \& XIII. Libri tertii.

\textit{Corol.\fsp{}1.}\wsp{}Hinc si Comet{\ae} in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses,
\& tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum
in ratione \label{wasp480}sesquialtera
transversorum axium. Ideoque Comet{\ae} maxima
% -----File: 469.png---
ex parte supra Planetas versantes, \& eo nomine orbes axibus
majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Comet{\ae}
sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis
Comet{\ae} erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30,
ut $4\surd 4$ (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

\textit{Corol.\fsp{}2.}\wsp{}Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum
vice Parabol{\ae} absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

\textit{Corol.\fsp{}3.}\wsp{}Et propterea, per Corol.\ 7.\ Prop.\ XVI. Lib.\ I. velocitas
Comet{\ae} omnis erit semper ad velocitatem Planet{\ae} cujusvis circa
Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicat{\ae} distanti{\ae}
Comet{\ae} ŕ centro Solis ad distantiam Planet{\ae} ŕ centro Solis
quamproximč. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in
qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium
100000000, \& Terra motu suo diurno mediocri describet partes
1720212, \& motu horario partes $71675\frac{1}{2}$. Ideoque Cometa in
eadem Telluris ŕ Sole distantia mediocri, ea cum velocitate qu{\ae}
sit ad velocitatem Telluris ut $\surd 2$ ad 1, describet motu suo diurno
partes 2432747, \& motu horario partes $101364\frac{1}{2}$. In majoribus
autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius
erit ad hunc motum diurnum \& horarium in dimidiata ratione distantiarum
respectivč, ideoque datur.


\condpagelarge{Lemma V.}

\textit{Invenire lineam curvam generis Parabolici, qu{\ae} per data
quotcunque puncta transibit.}

Sunto puncta illa $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, \&c.\ \& ab iisdem ad rectam
quamvis positione datam $HN$ demitte perpendicula quotcunque
$AH$, $BI$, $CK$, $DL$, $EM$, $FN$.

\pngright{470.png}{1326}{1171}{-12}
%Illustration

\textit{Cas.\fsp{}1.}\wsp{}Si punctorum $H$, $I$, $K$, $L$, $M$, $N$ {\ae}qualia sunt intervalla
$HI$, $IK$, $KL$, \&c.\ collige perpendiculorum $AH$, $BI$,
$CK$ \&c.\ differentias primas $b$, $2b$, $3b$, $4b$, $5b$, \&c.\ secundas $c$,
% -----File: 470.png---
$2c$, $3c$, $4c$, \&c.\ tertias $d$, $2d$, $3d$, \&c.\ id est, ita ut sit $HA - BI
= b$, $BI - CK = 2b$, $CK - DL = 3b$, $DL + EM = 4b$,
$- EM + FN = 5b$, \&c.\ dein $b - 2b = c$ \&c.\
\& sic pergatur ad differentiam ultimam, qu{\ae} hic est $f$.
Deinde erecta
quacunque perpendiculari
$RS$, qu{\ae} fuerit ordinatim
applicata ad curvam qu{\ae}sitam:
ut inveniatur hujus
longitudo, pone intervalla
$HI$, $IK$, $KL$, $LM$, \&c.\
unitates esse, \& dic $AH
= a$, $- HS = p$, $\frac{1}{2}p$ in $- IS = q$, $\frac{1}{3}q$ in $+ SK
= r$, $\frac{1}{4}r$ in $+ SL = s$, $\frac{1}{5}s$ in $+ SM = t$; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum
$ME$, \& pr{\ae}ponendo signa negativa terminis $HS$, $IS$, \&c.\
qui jacent ad partes puncti $S$ versus $A$, \& signa affirmativa terminis
$SK$, $SL$, \&c.\ qui jacent ad alteras partes puncti $S$. Et signis
probe observatis erit $RS = a + bp + cq + dr + es + ft$ \&c.

\textit{Cas.\fsp{}2.}\wsp{}Quod si punctorum $H$, $I$, $K$, $L$, \&c.\ in{\ae}qualia sint intervalla
$HI$, $IK$, \&c.\ collige perpendiculorum $AH$, $BI$, $CK$, \&c.\
differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas $b$, $2b$, $3b$,
$4b$, $5b$; secundas per intervalla bina divisas $c$, $2c$, $3c$, $4c$, \&c.\ tertias
per intervalla terna divisas $d$, $2d$, $3d$, \&c.\ quartas per intervalla
quaterna divisas $e$, $2e$, \&c.\ \& sic deinceps; id est ita ut sit $b =
\frac{AH - BI}{HI}$, $2b = \frac{BI - CK}{IK}$,
$3b = \frac{CK - DL}{KL}$ \&c.\ dein $c = \frac{b - 2b}{HK}$, $2c
= \frac{2b - 3b}{IL}$, $3c = \frac{3b - 4b}{KM}$ \&c.
Postea $d = \frac{c - 2c}{HL}$, $2d = \frac{2c - 3c}{IM}$
\&c. Inventis differentiis, dic $AH = a$, $- HS = p$, $p$ in $- IS
= q$, $q$ in $+ SK = r$, $r$ in \label{wasp482}$+ SL =
s$,
$s$ in $+ SM = t$; pergendo
scilicet ad usque perpendiculum penultimum $ME$, \& erit
ordinatim applicata $RS = a + bp + cq + dr + es + ft$, \&c.

\textit{Corol.}\wsp{}Hinc are{\ae} curvarum omnium inveniri possunt quamproximč.
Nam si curv{\ae} cujusvis quadrand{\ae} inveniantur puncta aliquot,
% -----File: 471.png---
\& Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabol{\ae}
hujus eadem quam proximč cum area curv{\ae} illius quadrand{\ae}. Potest
autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricč.


\condpagelarge{Lemma VI.}

\textit{Ex observatis aliquot locis Comet{\ae} invenire locum ejus ad tempus
quodvis intermedium datum.}

Designent $HI$, $IK$, $KL$, $LM$ tempora inter observationes,
(\textit{in Fig.\ pr{\ae}ced.})\ $HA$, $IB$, $KC$, $LD$, $ME$, observatas quinque
longitudines Comet{\ae}, $HS$ tempus datum inter observationem primam
\& longitudinem qu{\ae}sitam. Et si per puncta $A$, $B$, $C$, $D$, $E$
duci intelligatur curva regularis $ABCDE$; \& per Lemma superius
inveniatur ejus ordinatim applicata $RS$, erit $RS$ longitudo
qu{\ae}sita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur
latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parv{\ae} sint differenti{\ae}, puta graduum
tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad
inveniendam longitudinem \& latitudinem novam. Sin majores
sint differenti{\ae}, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes
quinque adhiberi.
% -----File: 472.png---


\condpagelarge{Lemma VII.}

\pngright{472.png}{922}{920}{-24}
%Illustration

\textit{Per datum punctum $P$ ducere rectam lineam $BC$, cujus partes
$PB$, $PC$, rectis duabus positione datis $AB$, $AC$ absciss{\ae}, datam habeant
rationem ad invicem.}

A puncto illo $P$ ad rectarum alterutram
$AB$ ducatur recta qu{\ae}vis
$PD$, \& producatur eadem versus rectam
alteram $AC$ usque ad $E$, ut sit
$PE$ ad $PD$ in data illa ratione. Ipsi
$AD$ parallela sit $EC$; \& si agatur
$CPB$, erit $PC$ ad $PB$ ut $PE$ ad
$PD$. \QEFit


\condpagelarge{Lemma VIII.}

\textit{Sit $ABC$ Parabola umbilicum habens $S$. Chordâ $AC$ bisectâ in $I$
abscindatur segmentum $ABCI$, cujus diameter sit $I\mu$ \& vertex $\mu$. In
$I\mu$ productâ capiatur $\mu O$ {\ae}qualis dimidio ipsius $I\mu$. Jungatur $OS$, \&
producatur ea ad $\xi$, ut sit $S\xi$ {\ae}qualis $2SO$. Et si Cometa $B$ moveatur in
arcu $CBA$, \& agatur $\xi B$ secans $AC$ in $E$: dico quod punctum $E$ abscindet
% -----File: 473.png---
de chorda $AC$ segmentum $AE$ tempori proportionale quamproximč.}

\pngcent{474.png}{2266}{1192}
%Illustration

Jungatur enim $EO$ secans arcum Parabolicum $ABC$ in $Y$, \& erit
area curvilinea $AEY$ ad aream curvilineam $ACY$ ut $AE$ ad $AC$
quamproximč. Ideoque cum triangulum $ASE$ sit ad triangulum
$ASC$ in eadem ratione, erit area tota $ASEY$ ad aream totam
$ASCY$ ut $AE$ ad $AC$ quamproximč. Cum autem $\xi O$ sit ad $SO$
ut 3 ad 1 \& $EO$ ad $YO$ prope in eadem ratione, erit $SY$ ipsi $EB$
parallela quamproximč, \& propterea triangulum $SEB$, triangulo
$YEB$ quamproximč {\ae}quale. Unde si ad aream $ASEY$ addatur
triangulum $EYB$, \& de summa auferatur triangulum $SEB$, manebit
area $ASBY$ are{\ae} $ASEY$ {\ae}qualis quamproximč, atque adeo
ad aream $ASCY$ ut $AE$ ad $AC$. Sed area $ASBY$ est ad aream
$ASCY$ ut tempus descripti arcus $AB$ ad tempus descripti arcus totius.
Ideoque $AE$ est ad $AC$ in ratione temporum quamproximč.
\QEDit


\condpagelarge{Lemma IX.}

\textit{Rect{\ae} $I\mu$ \& $\mu M$ \& longitudo $\frac{AIC}{4S\mu}$ {\ae}quantur inter se. Nam
$4S\mu$ est latus rectum Parabol{\ae} pertinens ad verticem $B$.}

\condpagelarge{Lemma X.}

\textit{Si producatur $S\mu$ ad $N$ \& $P$, ut $\mu N$ sit pars tertia ipsius $\mu I$, \&
$SP$ sit ad $SN$ ut $SN$ ad $S\mu$. Cometa quo tempore describit arcum
$A\mu C$, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine
ipsi $SP$ {\ae}quali, describeret longitudinem {\ae}qualem chord{\ae} $AC$.}

Nam si velocitate quam habet in $\mu$, eodem tempore progrediatur
uniformiter in recta qu{\ae} Parabolam tangit in $\mu$; area quam
Radio ad punctum $S$ ducto describeret, {\ae}qualis esset are{\ae} Parabolic{\ae}
$ASC\mu$. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente descripta
% -----File: 474.png---
\& longitudine $S\mu$, esset ad contentum sub longitudinibus
$AC$ \& $SM$, ut area $ASC\mu$ ad triangulum $ASCM$, id est ut $SN$
ad $SM$. Quare $AC$ est ad longitudinem in tangente descriptam
ut $S\mu$ ad $SN$. Cum autem velocitas Comet{\ae} in altitudine $SP$
sit ad velocitatem in altitudine $S\mu$ in dimidiata ratione $SP$ ad $S\mu$
inversč, id est in ratione $S\mu$ ad $SN$, longitudo hac velocitate eodem
tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam
ut $S\mu$ ad $SN$. Igitur $AC$ \& longitudo hac nova velocitate descripta,
cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem
ratione, {\ae}quantur inter se. \QEDit

\textit{Corol.}\wsp{}Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine
$S\mu + \frac{2}{3}I\mu$, eodem tempore describeret chordam $AC$ quamproximč.


\condpagelarge{Lemma XI.}

\textit{Si Cometa motu omni privatus de altitudine $SN$ seu $S\mu + \frac{1}{3}I\mu$ demitteretur,
ut caderet in Solem, \& ea semper vi uniformiter continuata
urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo
describat arcum $AC$, descensu suo describeret spatium longitudini $I\mu$
{\ae}quale.}

Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum $AC$,
eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine $SP$ (per
% -----File: 475.png---
Lemma novissimum) describet chordam $AC$, adeoque eodem tempore
in circulo cujus semidiameter esset $SP$ revolvendo, describeret
arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam $AC$ in dimidiata
ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod
habet in Solem in altitudine $SP$, cadendo de altitudine illa in Solem,
describeret eodem tempore (per Scholium Prop.\ IV. Lib.\ I.) spatium
{\ae}quale quadrato semissis chord{\ae} illius applicato ad quadruplum
altitudinis $SP$, id est spatium $\frac{AIq.}{4SP}$. Unde cum pondus Comet{\ae}
in Solem in altitudine $SN$ sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine
$SP$, ut $SP$ ad $S\mu$: Cometa pondere quod habet in altitudine
$SN$ eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium $\frac{AIq.}{4S\mu}$,
id est spatium longitudini $I\mu$ vel $M\mu$ {\ae}quale. \QEDit

\condpagelarge{Prop.\ XLI\@. Prob.\ XX.}

\textit{Comet{\ae} in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus
observationibus determinare.}

Problema hocce longe difficillimum multimodč aggressus, composui
Problemata qu{\ae}dam in Libro primo qu{\ae} ad ejus solutionem
spectant. Postea solutionem sequentem paulň simpliciorem excogitavi.

Seligantur tres observationes {\ae}qualibus temporum intervallis ab
invicem quamproximč distantes. Sit autem temporis intervallum illud
ubi Cometa tard\-ius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut
temporum differentia sit ad summam temporum ut summa
\label{wasp487}temporum
ad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non
pr{\ae}sto sint, inveniendus est novus Comet{\ae} locus per Lemma
sextum.

\pngcent{476.png}{2385}{2116}
%Illustration

Designent $S$ Solem, $T$, $t$, $\tau$ tria loca Terr{\ae} in orbe magno,
$TA$, $tB$, $\tau C$ observatas tres longitudines Comet{\ae}, $V$ tempus inter
observationem primam \& secundam, $W$ tempus inter secundam ac
% -----File: 476.png---
tertiam, $X$ longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum
velocitate quam habet in mediocri Telluris ŕ Sole distantia, describere
posset, \& $tV$ perpendiculum in chordam $T\tau$. In longitudine
media $tB$ sumatur utcunque punctum $B$, \& inde versus Solem $S$
ducatur linea $BE$, qu{\ae} sit ad Sagittam $tV$, ut contentum sub $SB$ \&
$St$ quadrato ad cubum hypotenus{\ae} trianguli rectanguli, cujus latera
sunt $SB$ \& tangens latitudinis Comet{\ae} in observatione secunda ad
radium $tB$. Et per punctum $E$ agatur recta $AEC$, cujus partes $AE$,
$EC$ ad rectas $TA$ \& $\tau C$ terminat{\ae}, sint ad invicem ut tempora $V$
\& $W$: Tum per puncta $A$, $B$, $C$, duc circumferentiam circuli, eamque
biseca in $i$, ut \& chordam $AC$ in $I$. Age occultam $Si$ secantem
$AC$ in $\lambda$, \& comple parallelogrammum $iI\lambda\mu$. Cape $I\sigma$ {\ae}qualem
$3I\lambda$, \& per Solem $S$ age occultam $\sigma\xi$ {\ae}qualem $3S\sigma + 3i\lambda$. Et
deletis jam literis $A$, $E$, $C$, $I$, ŕ puncto $B$ versus punctum $\xi$ duc occultam
% -----File: 477.png---
novam $BE$, qu{\ae} sit ad priorem $BE$ in duplicata ratione distanti{\ae}
$BS$ ad quantitatem $S\mu + \frac{1}{3}i\lambda$. Et per punctum $E$ iterum
duc rectam $AEC$ eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes $AE$
\& $EC$ sint ad invicem ut tempora inter observationes, $V$ \& $W$.

Ad $AC$ bisectam in $I$ erigantur perpendicula $AM$, $CN$, $IO$, quarum
$AM$ \& $CN$ sint tangentes latitudinum in observatione prima
ac tertia ad radios $TA$ \& $\tau\alpha$. Jungatur $MN$ secans $IO$ in $O$. Constituatur
rectangulum $iI\lambda\mu$ ut prius. In $IA$ producta capiatur
$ID$ {\ae}qualis $S\mu + \frac{2}{3}i\lambda$, \& agatur occulta $OD$. Deinde in $MN$
versus $N$ capiatur $MP$, qu{\ae} sit ad longitudinem supra inventam $X$
in dimidiata ratione mediocris distanti{\ae} Telluris ŕ Sole (seu semidiametri
orbis magni) ad distantiam $OD$. Et in $AC$ capiatur $CG$
ipsi $NP$ {\ae}qualis, ita ut puncta $G$ \& $P$ ad easdem partes rect{\ae} $NC$
jaceant.

Eadem methodo qua puncta $E$, $A$, $C$, $G$, ex assumpto puncto
$B$ inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis
$b$ \& $\beta$ puncta nova $e$, $a$, $c$, $g$,
\& $\epsilon$, $\alpha$, $\kappa$, $\gamma$. Deinde si per $G$, $g$, $\gamma$ ducatur
circumferentia circuli $Gg\gamma$ secans rectam $\tau C$ in $Z$: erit $Z$ locus
Comet{\ae} in plano Ecliptic{\ae}. Et si in $AC$, $ac$, $\alpha\kappa$ capiantur
$AF$, $af$, $\alpha\varphi$ ipsis $CG$, $cg$, $\kappa\gamma$ respectivč {\ae}quales, \& per puncta
$F$, $f$, $\varphi$ ducatur circumferentia circuli $Ff\varphi$ secans rectam $AT$ in $X$;
erit punctum $X$ alius Comet{\ae} locus in plano Ecliptic{\ae}. Ad puncta
$X$ \& $Z$ erigantur tangentes latitudinum Comet{\ae} ad radios $TX$
\& $\tau Z$; \& habebuntur loca duo Comet{\ae} in orbe proprio. Denique
(per Prop.\ XIX. Lib.\ I.) umbilico $S$, per loca illa duo describatur
Parabola, \& h{\ae}c erit Trajectoria Comet{\ae}. \QEIit

Constructionis hujus demonstratio ex Lemmatibus consequitur:
quippe cum recta $AC$ secetur in $E$ in ratione temporum, per Lemma
VIII: \& $BE$ per Lem.\ XI. sit pars rect{\ae} $BS$ in plano Ecliptic{\ae}
arcui $ABC$ \& chord{\ae} $AEG$ interjecta; \& $MP$ (per Lem.\ VIII.)
longitudo sit chord{\ae} arcus, quem Cometa in orbe proprio inter
observationem primam ac tertiam describere debet, ideoque ipsi
$MN$ {\ae}qualis fuerit, si modň $B$ sit verus Comet{\ae} locus in plano
Ecliptic{\ae}.
% -----File: 478.png---

C{\ae}terum puncta $B$, $b$, $\beta$ non qu{\ae}libet, sed vero proxima eligere
convenit. Si angulus $AQt$ in quo vestigium orbis in plano Ecliptic{\ae}
descriptum secabit rectam $tB$ pr{\ae}terpropter innotescat, in angulo
illo ducenda erit recta occulta $AC$, qu{\ae} sit ad $\frac{4}{3}Tt$ in dimidiata
ratione $St$ ad $SQ$. Et agendo rectam $SEB$ cujus pars $EB$
{\ae}quetur longitudini $Vt$, determinabitur punctum $B$ quod prima
vice usurpare licet. Tum rectâ $AC$ deletâ \& secundum pr{\ae}cedentem
constructionem iterum ductâ, \& inventâ insuper longitudine
$MP$; in $tB$ capiatur punctum $b$, ea lege, ut si $TA$, $TC$ se
mutuň secuerint in $Y$, sit distantia $Yb$ ad distantiam $YB$ in ratione
composita ex ratione $MN$ ad $MP$ \& ratione dimidiata $SB$ ad
$Sb$. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium $\beta$; si
modň operationem tertiň repetere lubet. Sed hac methodo operationes
du{\ae} ut plurimum suffecerint. Nam si distantia $Bb$
perexigua obvenerit, postquam inventa sunt puncta $F$, $f$ \& $G$, $g$,
act{\ae} rect{\ae} $Ff$ \& $Gg$, secabunt $TA$ \& $\tau C$ in punctis qu{\ae}sitis
$X$ \& $Z$.


\condpagelarge{\textit{Exemplum.}}

Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum ŕ \textit{Flamstedio} observatum
Tabula sequens exhibet.

\vspace{\baselineskip}

\noindent\begin{tabular}{@{}r|r|r|r|r|r|}
                 &Tem. &Temp.  &     Long.     &      Long.     &Lat. \\
                 &appar.&ver\={u}  & Solis &Comet{\ae}&Comet{\ae} \\
\hline
1680 \textit{December} 12& $4.46\phantom{\frac{1}{2}}$ & 4.46.00 &$\capricornus$ \phantom{0}1.53.\phantom{0}2 &$\capricornus$  \phantom{0}6.33.\phantom{0}0&  8.26.\phantom{0}0 \\
 21& $6.32\frac{1}{2}$& 6.36.59 &   11.\phantom{0}8.10 &$\aquarius$  \phantom{0}5.\phantom{0}7.38& 21.45.30 \\
                  24& $6.12\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.17.52 &   14.10.49 &    18.49.10& 25.23.24 \\
                  26& $5.14\phantom{\frac{1}{2}}$ & 5.20.44 &   16.10.38 &    28.24.\phantom{0}6& 27.00.57 \\
                  29& $7.55\phantom{\frac{1}{2}}$ & 8.03.\phantom{0}2 &   19.20.56 &$\pisces$ 13.11.45& 28.10.05 \\
                  30& $8.\phantom{0}2\phantom{\frac{1}{2}}$ & 8.10.26 &   20.22.20 &    17.37.\phantom{0}5& 28.11.12 \\
1681 \textit{January} \phantom{0}5& $5.51\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.\phantom{0}1.38 &   26.23.19 &$\aries$  \phantom{0}8.49.10& 26.15.26 \\
   9& $6.49\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.\phantom{0}0.53 &$\aquarius$ \phantom{0}0.29.54 &    18.43.18& 24.12.42 \\
                  10& $5.54\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.\phantom{0}6.10 &    1.28.34 &    20.40.57& 23.44.00 \\
                  13& $6.56\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.\phantom{0}8.55 &    4.34.\phantom{0}6 &    25.59.34& 22.17.36 \\
                  25& $7.44\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.58.42 &   16.45.58 &$\taurus$ \phantom{0}9.55.48& 17.56.54 \\
                  30& $8.07\phantom{\frac{1}{2}}$ & 8.21.53 &   21.50.\phantom{0}9 &$\taurus$ 13.19.36& 16.40.57 \\
\textit{February} \phantom{0}2& $6.20\phantom{\frac{1}{2}}$ & 6.34.51 &   24.47.\phantom{0}4 & 15.13.48& 16.02.02 \\
                   5& $6.50\phantom{\frac{1}{2}}$ & 7.\phantom{0}4.41 &   27.49.51 &    16.59.52& 15.27.23 \\
\hline
\end{tabular}

\vspace{\baselineskip}

% -----File: 479.png---

In his observationibus \textit{Flamstedius} eâ usus est diligentiâ, ut postquam
bis observasset distantiam Comet{\ae} ŕ Stella aliqua fixa, deinde
etiam distantiam bis ab alia stella fixa, rediret ad stellam priorem
\& distantiam Comet{\ae} ab eadem iterum observaret, idque
bis, ac deinde ex distanti{\ae} illius incremento vel decremento tempori
proportionali colligeret distantiam tempore intermedio, quando
distantia ŕ stella altera observabatur. Ex hujusmodi observationibus
loca Comet{\ae} festinanter computata \textit{Flamstedius} primň cum
amicis communicavit, \& postea easdem ad examen revocatas calculo
diligentiore correxit. Nos loca correcta hic descripsimus.

\begin{center}{His adde observationes quasdam č nostris.}\end{center}

\begin{tabular}{@{}r|r|r|r|}
         & Temp. &              &            \\
         & appar. &Comet{\ae} Longit.&Com.\ Lat. \\
\hline
Febru.\ 25&  8$^\mathrm{h}$.$30\minute$&$\taurus$ 26.$19\minute.22\second$& $12.46\frac{7}{8}$ \\
       27&  8\phantom{$^\mathrm{h}$}.$15\phantom{\minute}$ &    $27.\phantom{0}4\phantom{\minute}.28\phantom{\second}$ & $12.36\phantom{\frac{7}{8}}$      \\
Mart.\ \phantom{0}1& 11\phantom{$^\mathrm{h}$}.$\phantom{0}0\phantom{\minute}$ &    $27.53\phantom{\minute}.\phantom{0}8\phantom{\second}$ & $12.24\frac{3}{4}$  \\
        2&  8\phantom{$^\mathrm{h}$}.$\phantom{0}0\phantom{\minute}$ &    $28.12\phantom{\minute}.29\phantom{\second}$ & $12.19\frac{1}{2}$  \\
        5& 11\phantom{$^\mathrm{h}$}.$30\phantom{\minute}$ &    $29.20\phantom{\minute}.51\phantom{\second}$ & $12.\phantom{0}2\frac{2}{3}$  \\
        9&  8\phantom{$^\mathrm{h}$}.$30\phantom{\minute}$ &$\gemini$ $\phantom{0}0.43.\phantom{\minute}\phantom{0}2\phantom{\second}$ & $11.44\frac{3}{5}$
\end{tabular}

\vspace{\baselineskip}

H{\ae} observationes Telescopio septupedali, \& Micrometro filisque
in foco Telescopii locatis paract{\ae} sunt: quibus instrumentis \&
positiones fixarum inter se \& positiones Comet{\ae} ad fixas determinavimus.
Designet $A$ stellam in sinistro calcaneo Persei (\textit{Bayero} $o$)
$B$ stellam sequentem in sinistro pede (\textit{Bayero} $\zeta$) \& $C$, $D$, $E$, $F$, $G$,
$H$, $I$, $K$, $L$, $M$, $N$ stellas alias minores in eodem pede. Sintque
$P$, $Q$, $R$, $S$, $T$ loca Comet{\ae} in observationibus supra descriptis:
\& existente distantiâ $AB$ partium $80\frac{7}{12}$, erat $AC$ partium $52\frac{1}{4}$, $BC$
$58\frac{5}{6}$, $AD$ $57\frac{5}{12}$, $BD$ $82\frac{6}{11}$, $CD$ $23\frac{2}{3}$, $AE$ $29\frac{4}{7}$,
$CE$ $57\frac{1}{2}$, $DE$ $49\frac{11}{12}$,
$AK$ $38\frac{2}{3}$, $BK$ 43, $CK$ $31\frac{5}{9}$, $FK$ 29, $FB$ 23, $FC$ $36\frac{1}{4}$, $AH$
$18\frac{6}{7}$, $DH$ $53\frac{5}{11}$, $BN$ $46\frac{5}{12}$, $CN$ $31\frac{1}{3}$, $BL$ $45\frac{5}{12}$, $NL$ $31\frac{5}{7}$. $LM$
erat ad $LB$ ut 2 ad 9 \& producta transibat per stellam $H$. His
determinabantur positiones fixarum inter se.
% -----File: 480.png---

\pngcent{480.png}{2140}{1464}
%Illustration

Die Veneris \textit{Feb.~25.}\ St.\ vet.\ Hor.\ $8\frac{1}{2}$ P.M. Comet{\ae} in $p$ existentis
distantia ŕ stella $E$ erat major quŕm $\frac{3}{13} AE$, minor quŕm $\frac{1}{5} AE$,
adeoque {\ae}qualis $\frac{3}{14} AE$ proximč; \& angulus $ApE$ nonnihil
obtusus erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur ad $pE$ perpendiculum
ab $A$, distantia Comet{\ae} ŕ perpendiculo illo erat $\frac{1}{5} pE$.

Eadem nocte, horâ $9\frac{1}{2}$, Comet{\ae} in $P$ existentis distantia ŕ stella
$E$ erat major quŕm $\frac{1}{4\frac{1}{2}} AE$, minor quŕm $\frac{1}{5\frac{1}{4}} AE$, adeoque {\ae}qualis
$\frac{1}{4\frac{7}{8}} AE$, seu $\frac{8}{39} AE$ quamproximč. A perpendiculo autem ŕ Stella
$A$ ad rectam $PE$ demisso distantia Comet{\ae} erat $\frac{4}{5} PE$.

Die $\mars^{\mathrm{tis}}$, \textit{Mart.~1}, hor.\ 11.\ P.M. Cometa in $R$ existens, stellis
$K$ \& $C$ accuratč interjacebat, \& rect{\ae} $CRK$ pars $CR$ paulo major
erat quŕm $\frac{1}{3} CK$, \& paulo minor quam $\frac{1}{3} CK$ + $\frac{1}{8} CR$, adeoque
{\ae}qualis $\frac{1}{3} CK + \frac{1}{16} CR$ seu $\frac{16}{45} CK$.

%reduced width
\pngcent{481.png}{3200}{2350}
%Illustration

Die $\mercury^{\mathrm{ii}}$, \textit{Mart.~2.}\ hor.\ 8.\ P.M. Comet{\ae} existentis in $S$, distantia
ŕ stella $C$ erat $\frac{4}{9} FC$ quamproximč. Distantia stell{\ae} $F$ ŕ recta $CS$
producta erat $\frac{1}{24} FC$; \& distantia stell{\ae} $B$ ab eadem recta erat quintuplo
major quŕm distantia stell{\ae} $F$. Item recta $NS$ producta
% -----File: 482.png---
transibat inter stellas $H$ \& $I$, quintuplo vel sextuplo propior existens
stell{\ae} $H$ quŕm stell{\ae} $I$.

Die $\saturn^{\textrm{ni}}$, \textit{Mart.~5.}\ hor.\ $11\frac{1}{2}$. P.M. Cometa existente in $T$, recta
$MT$ {\ae}qualis erat $\frac{1}{2}ML$, \& recta $LT$ producta transibat inter $B$ \&
$F$, quadruplo vel quintuplo propior $F$ quŕm $B$, auferens ŕ $BF$
quintam vel sextam ejus partem versus $F$. Et $MT$ producta transibat
extra spatium $BF$ ad partes stell{\ae} $B$, quadruplo propior existens
stell{\ae} $B$ quam stell{\ae} $F$. Erat $M$ stella perexigua qu{\ae} per Telescopium
videri vix potuit, \& $L$ stella major quasi magnitudinis
octav{\ae}.

Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum \&
computationes (posito quod stellarum $A$ \& $B$ distantia esset 2 \textit{gr.}\
$6\frac{4}{5}$, \& stell{\ae} $A$ longitudo $\taurus$ 26 \textit{gr.}\ $41\minute.$ $48\second$ \& latitudo borealis
12 \textit{gr.}\ $8\minute\frac{1}{2}$, stell{\ae}que $B$ longitudo $\taurus$ 28 \textit{gr.}\ $40\minute.$ $16\second.$ \& latitudo
borealis 11 \textit{gr.}\ $17\frac{1}{5}$; quemadmodum ŕ \textit{Flamstedio} observatas accepi)
derivabam longitudines \& latitudines Comet{\ae}. Micrometro parum
affabre constructâ usus sum, sed Longitudinum tamen \& Latitudinum
errores (quatenus ab observationibus nostris oriantur) dimidium
minuti unius primi vix superant, pr{\ae}terquam in observatione
ultimâ \textit{Mart.~9.}\ ubi positiones fixarum ad stellas $A$ \& $B$ minus
accuratč determinare potui. \textit{Cassinus} qui Cometam eodem tempore
observavit, se declinationem ejus tanquam invariatam manentem
parum diligenter definivisse fassus est. Nam Cometa (juxta
observationes nostras) in fine motus sui notabiliter deflectere c{\ae}pit
boream versus, ŕ parallelo quem in fine Mensis \textit{Februarii} tenuerat.

Jam ad Orbem Comet{\ae} determinandum; selegi ex observationibus
hactenus descriptis tres, quas \textit{Flamstedius} habuit \textit{Dec.~21}, \textit{Jan.~5},
\& \textit{Jan.~25}. Ex his inveni $St$ partium $9842\decimals{1}$ \& $Vt$ partium 455,
quales 10000 sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem
primam assumendo $tB$ partium 5657, inveni $SB$ 9747, $BE$
prima vice 412, $S\mu$ 9503, $i\lambda$ = 413: $BE$ secunda vice 421,
$OD$ 10186, $X$ $8528\decimals{4}$, $MP$ 8450, $MN$ 8475, $NP$ -25.
Unde ad operationem secundam collegi distantiam $tb$ 5640. Et
% -----File: 483.png---
per hanc operationem inveni tandem distantias $TX$ 4775 \& $\tau Z$
11322. Ex quibus orbem definiendo inveni Nodos ejus in $\cancer$ \& $\capricornus$ 1 \textit{gr.}\
$53\minute$; Inclinationem plani ejus ad planum Ecliptic{\ae} 61 \textit{gr.}\ $20\frac{1}{3}$; verticem
ejus (seu perihelium Comet{\ae}) in
$\sagittarius$ 27 \textit{gr.}\
$43\minute$ cum latitudine
australi 7 \textit{gr.}\ $34\minute$; \& ejus latus rectum $236\decimals{8}$, aream{\que} radio ad
Solem ducto singulis diebus descriptam 93585; Cometam verň
\textit{Decemb.}\ 8 \textit{d.}\ 0 \textit{h.}\ $4\minute.$ P.M. in vertice orbis seu perihelio fuisse. H{\ae}c
omnia per scalam partium {\ae}qualium \& chordas angulorum ex Tabula
Sinuum naturalium collectas determinavi graphicč; construendo
Schema satis amplum, in quo videlicet semidiameter orbis
magni (partium 10000) {\ae}qualis esset digitis $16\frac{1}{3}$ pedis Anglicani.

Tandem ut constaret an Cometa in Orbe sic invento verč moveretur,
collegi per operationes partim Arithmeticas partim Graphicas,
loca Comet{\ae} in hoc orbe ad observationum quarundam
tempora: uti in Tabula sequente videre licet.

\vspace{\baselineskip}

\noindent\begin{tabular}{@{}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|@{\hspace{0.4em}}r@{\hspace{0.4em}}|}
\multicolumn{8}{c}{COMET{\AE}}        \\
       & Distant. &         &         &         &          &       &        \\
       & Comet{\ae} &Lon.   &Lat.   &  Long. &   Lat. &Differ.&Differ. \\
       & ŕ Sole     &Collect. &Collect. &   Obs. &   Obs. &Long. &Lat.  \\
\hline
Decemb.\ 12 &
2792 &
$\capricornus \phantom{0}6.32\phantom{\frac{1}{2}}$ &
$8.18\frac{1}{2}$ &
$\capricornus \phantom{0}6.33\phantom{\frac{1}{2}}$ &
$8.26\phantom{\frac{1}{12}}$ &
$-2$ &
$-\phantom{0}7\frac{1}{2}$ \\
29 &
8403 &
$\pisces 13.13\frac{2}{3}$ &
$28.\phantom{0}0\phantom{\frac{1}{2}}$ &
$\pisces 13.11\frac{3}{4}$ &
$28.10\frac{1}{12}$ &
$+2$ &
$-10\frac{1}{2}$ \\
Febr.\ \phantom{0}5 &
16669 &
$\taurus 17.\phantom{0}0\phantom{\frac{1}{2}}$ &
$15.29\frac{2}{3}$ &
$\taurus 16.59\frac{7}{8}$ &
$15.27\frac{2}{5}$ &
0 &
+$\phantom{0}2\frac{1}{5}$ \\
Mar.\ \phantom{0}5 &
21737 &
$\taurus 29.19\frac{3}{4}$ &
$12.\phantom{0}4\phantom{\frac{1}{2}}$ &
$\taurus 29.20\frac{6}{7}$ &
$12.\phantom{0}2\frac{2}{3}$ &
$-1$ &
$+\phantom{0}1\frac{1}{3}$
\end{tabular}

\vspace{\baselineskip}

Pr{\ae}terea cum \textit{Cl.\ Flamstedius} Cometam, qui Mense \textit{Novembri}
apparuerat, eundem esse cum Cometa mensium subsequentium,
literis ad me datis aliquando disputaret, \& Trajectoriam quamdam
ab orbe hocce Parabolico non longe aberrantem delinearet, visum
est loca Comet{\ae} in hoc orbe Mense \textit{Novembri} computare, \& cum
Observationis conferre. Observationes ita se habent.

\textit{Nov.~17.}\ St.\ Vet.\ \textit{Ponth{\ae}us} \& alii hora sexta matutina \textit{Rom{\ae}}, (id
est hora 5.\ $10\minute$ \textit{Londini}) Cometam observarunt in $\libra$ 8 \textit{gr.}\ $30\minute$ cum
latitudine Australi 0 \textit{gr.}\ $40\minute$. Extant autem eorum observationes
in tractatu quem \textit{Ponth{\ae}us} de hoc Cometa in lucem edidit. Eadem
horâ \textit{Galletius} etiam \textit{Rom{\ae}}, Cometam vidit in $\libra$ 8 \textit{gr.}\ sine Latitudine.

% -----File: 484.png---

\textit{Nov.~18.}\ \textit{Ponth{\ae}us} \& Socii horâ matutinâ 6, $30\minute$ \textit{Rom{\ae}} (\textit{i.~e.}\ hor.\
5.\ $40\minute$ \textit{Londini}) Cometam viderunt in $\libra$ $13\frac{1}{2}$ cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\
$20\minute$. Eodem die \textit{R.~P. Ango} in Academia \textit{Flechensi} apud \textit{Gallos}, horâ
quintâ matutinâ, Cometam vidit in medio Stellarum duarum parvarum,
quarum una media est trium in recta linea in Virginis Australi
manu, \& altera est extrema al{\ae}. Unde Cometa tunc fuit in $\libra$
12 \textit{gr.}\ $46\minute$ cum Lat.\ Austr.\ $50\minute$. Eodem die \textit{Bostoni{\ae}} in \textit{Nova Anglia}
in Lat.\ $42\frac{1}{3}$, horâ quintâ matutinâ (id est \textit{Londini} hora Mat.\ $9\frac{2}{3}$)
Cometa visus est in $\libra$ 14 circiter, cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $30\minute$; uti ŕ
\textit{Cl.\ Halleio} accepi.

\textit{Nov.~19.}\ hora Mat.\ $4\frac{1}{2}$ \textit{Cantabrigi{\ae}}, Cometa (observante juvene
quodam) distabat ŕ Spica $\virgo$ quasi 2 \textit{gr.}\ Boreazephyrum versus.
Eodem die hor.\ 5.\ Mat.\ \textit{Bostoni{\ae}} in \textit{Nova-Anglia} Cometa distabat ŕ
Spica $\virgo$ gradu uno, differentiâ latitudinum existente $40\minute$, atque adeo
differentia Long.\ $44\minute$ circiter. Unde Cometa erat in $\libra$ 18 \textit{gr.}\ $40\minute$
cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $19\minute$. Eodem die D. \textit{Arthurus Storer} ad fluvium
\textit{Patuxent} prope \textit{Hunting-Creek} in \textit{Mary-Land}, in Confinio \textit{Virgini{\ae}}
in Lat.\ $38\frac{1}{2}$ \textit{gr.}\ horâ quintâ matutinâ (id est horâ $10^{\textrm{a}}$ \textit{Londini})
Cometam vidit supra Spicam $\virgo$, \& cum Spica propemodum conjunctum,
existente distantia inter eosdem quasi $\frac{3}{4}$ \textit{gr.}\ Observator idem,
eadem horŕ diei sequentis, Cometam vidit quasi 2 \textit{gr.}\ inferiorem
Spicâ. Congruent h{\ae} observationes cum observationibus in \textit{Nova
Anglia} factis, si modň distanti{\ae} (pro motu diurno Comet{\ae}) nonnihil
augeantur, ita ut Cometa die priore superior esset Spica $\virgo$ altitudine
$52\minute$ circiter, ac die posteriore inferior eadem stellâ altitudine
perpendiculari 2 \textit{gr.}\ $40\minute$.

\textit{Nov.~20.}\ D. \textit{Montenarus} Astronomi{\ae} Professor \textit{Paduensis}, hora
sexta Mat\-ut\-ina, \textit{Venetiis} (id est hora 5.\ $10\minute$ \textit{Londini}) Cometam vidit
in $\libra$ 23 \textit{gr.}\ cum Lat.\ Austr.\ 1 \textit{gr.}\ $30\minute$. Eodem die \textit{Bostoni{\ae}} distabat
Cometa ŕ Spica $\virgo$, 4 \textit{gr.}\ longitudinis in orientem, adeoque erat in $\libra$
23 \textit{gr.}\ 24 circiter.

\textit{Nov.~21.}\ \textit{Ponth{\ae}us} \& Socii hor.\ mat.\ $7\frac{1}{4}$ Cometam observarunt
in $\libra$ 27 \textit{gr.}\ $50\minute$ cum Latitudine Australi 1 \textit{gr.}\ $16\minute$. \textit{Ango} horâ
% -----File: 485.png---
quintâ mat.\ in $\libra$ 27 \textit{gr.}\ $45\minute$. \textit{Montenarus} in $\libra$ 27 \textit{gr.}\ $51\minute$. Eodem
die in Insulâ \textit{Jamaicâ} visus est prope principium Scorpii, eandemque
circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id est 1 \textit{gr.}\ $59\minute$.

\textit{Novem.~22.}\ Visus est ŕ \textit{Montenaro} in $\scorpio$ 2°.\ $33\minute$. \textit{Bostoni{\ae}} autem
in \textit{Novâ Angliâ} apparuit in $\scorpio$ 3 \textit{gr.}\ circiter, eadem fere cum latitudine
ac prius.

Deinde visus est ŕ \textit{Montenaro} \textit{Novem.~24.}\ in $\scorpio$ 12 \textit{gr.}\ $52\minute.$ \&
\textit{Nov.~25.}\ in $\scorpio$ 17 \textit{gr.}\ $45\minute$. Latitudinem \textit{Galletius} jam ponit 2 \textit{gr.}
Eandem \textit{Ponth{\ae}us} \& \textit{Galletius} decrevisse, \textit{Montenarus} \& \textit{Ango} semper
crevisse testantur. Crass{\ae} sunt horum omnium observationes, sed
e{\ae} \textit{Montenari}, \textit{Angonis} \& observatoris in \textit{Nova-Anglia} pr{\ae}ferend{\ae}
videntur. Ex omnibus autem inter se collatis, \& ad meridianum
\textit{Londini}, hora mat.\ 5.\ $10\minute$ reductis, colligo Cometam hujusmodi
cursum quamproximč descripsisse.

\vspace{\baselineskip}

\begin{tabular}{@{}r|r|l|}
               &   Long.\ Com. & Latit.\ Com. \\
\hline
\textit{Nov.}\ 17 &$\libra$     \phantom{0}8.0\phantom{0} & 0.45 Austr. \\
            18 &          12.52 & 1.\phantom{0}2         \\
            19 &          17.48 & 1.18         \\
            20 &          22.45 & 1.32         \\
            21 &          27.46 & 1.44         \\
            22 &$\scorpio$  \phantom{0}2.48 & 1.55         \\
            23 &           7.50 & 2.\phantom{0}4         \\
            24 &          12.52 & 2.12         \\
            25 &          17.45 & 2.18
\end{tabular}

\vspace{\baselineskip}

Loca autem Comet{\ae} iisdem horis in orbe Parabolico inventa
ita se habent.

\vspace{\baselineskip}

\begin{tabular}{@{}r|r|r|}
               &  Comet.\ Lon. & Com.\ Lat.     \\
\hline
\textit{Nov.}\ 17 &$\libra$   \phantom{0}8.\phantom{0}3 &  0.23 \textit{A}  \\
              21 &$\libra$   28.\phantom{0}0 &  1.22 \textit{A}  \\
              25 &$\scorpio$ 18.17 &  2.\phantom{0}6 \textit{A}
\end{tabular}

\vspace{\baselineskip}

Congruunt igitur observationes tam mense \textit{Novembri}, quam
mensibus tribus subsequentibus cum motu Comet{\ae} circa Solem in
Trajectoriâ hacce Parabolicâ, atque adeo hanc esse veram hujus
Comet{\ae} Trajectoriam confirmant. Nam differentia inter loca observata
% -----File: 486.png---
\& loca computata tam ex erroribus observationum quam
ex erroribus operationum Graphicarum in Orbe definiendo admissis,
facilč oriri potuere.

C{\ae}terum Trajectoriam quam Cometa descripsit, \& caudam veram
quam singulis in locis projecit, visum est annexo schemate in
plano Trajectori{\ae} opticč delineatas exhibere: observationibus sequentibus
in cauda definienda adhibitis.

% creative use of \spreadout to avoid unsplittable DBCA giving Overfull hbox
\textit{Nov.~17.}\spreadout{Cauda gradus amplius quindecim longa \textit{Ponth{\ae}o} apparuit.} \\
\textit{Nov.~18.}\ cauda 30 \textit{gr.}\ longa, Solique directe opposita in \textit{Nova
Anglia} cernebatur, \& protendebatur usque ad stellam $\mars$, qui tunc
erat in $\virgo$ 9 \textit{gr.}\ $54\minute$. \textit{Nov.~19} in \textit{Mary-Land} cauda visa fuit gradus
15 vel 20 longa. \textit{Dec.~10.}\ cauda (observante \textit{Flamstedio}) transibat
per medium distanti{\ae} inter caudam serpentis Ophiuchi \& stellam
$\delta$ in Aquil{\ae} australi ala, \& desinebat prope stellas $A$, $\omega$, $b$ in Tabulis
\textit{Bayeri}. Terminus igitur erat in $\capricornus$ $19\frac{1}{2}$ cum lat.\ bor.\ $34\frac{1}{4}$ \textit{gr.}\
circiter. \textit{Dec.~11.}\ surgebat ad usque caput sagitt{\ae} (\textit{Bayero}, $\alpha$, $\beta$,) desinens
in $\capricornus$ 26 \textit{gr.}\ $43\minute$ cum lat.\ bor.\ 38 \textit{gr.}\ $34\minute$. \textit{Dec.~12.}\ transibat
per medium Sagitt{\ae}, nec longe ultra protendebatur, desinens in $\aquarius$
4°, cum lat.\ bor.\ $42\frac{1}{2}$ circiter. Intelligenda sunt h{\ae}c de longitudine
caud{\ae} clarioris. Nam luce obscuriore, in c{\oe}lo forsan magis sereno,
cauda \textit{Dec.~12.}\ hora 5, $40\minute$ \textit{Rom{\ae}} (observante \textit{Ponth{\ae}o}) supra cygni
Uropygium ad \textit{gr.}\ 10.\ sese extulit; atque ab hac stella ejus latus ad
occasum \& boream min.\ 45.\ destitit. Lata autem erat cauda his
diebus \textit{gr.}\ 3.\ juxta terminum superiorem, ideoque medium ejus
distabat ŕ Stella illa 2 \textit{gr.}\ $15\minute$ austrum versus, \& terminus superior
erat in $\pisces$ 22 \textit{gr.}\ cum lat.\ bor.\ 61 \textit{gr.} \textit{Dec.~21.}\ surgebat fere ad cathedram
\textit{Cassiopei{\ae}}, {\ae}qualiter distans ŕ $\beta$ \& \textit{Schedir}, \& distantiam ab
utraque distanti{\ae} earum ab invicem {\ae}qualem habens, adeoque
desinens in $\pisces$ 24 \textit{gr.}\ cum lat.\ $47\frac{1}{2}$ \textit{gr.} \textit{Dec.~29.}\ tangebat \textit{Scheat} sitam
ad sinistram, \& intervallum stellarum duarum in pede boreali
\textit{Andromed{\ae}} accuratč complebat, \& longa erat 54 \textit{gr.}\ adeoque desinebat
in $\taurus$ 19 \textit{gr.}\ cum lat.\ 35.\ \textit{gr.} \textit{Jan.~5.}\ tetigit stellam $\pi$ in pectore
\textit{Andromed{\ae}}, ad latus suum dextrum \& stellam $\mu$ in ejus cingulo
ad latus sinistrum; \& (juxta observationes nostras) longa erat
% -----File: 487.png---
40 \textit{gr.}; curva autem erat \& convexo latere spectabat ad austrum.
Cum circulo per Solem \& caput Comet{\ae} transeunte angulum confecit
graduum 4 juxta caput Comet{\ae}; at juxta terminum alterum
inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 grad.\ \& chorda
caud{\ae} cum circulo illo continebat angulum graduum octo.
\textit{Jan.~13.}\ Cauda luce satis sensibili terminabatur inter \textit{Alamech} \& \textit{Algol},
\& luce tenuissima desinebat č regione stell{\ae} $\kappa$ in latere \textit{Persei}. Distantia
termini caud{\ae} ŕ circulo Solem \& Cometam jungente erat
3 \textit{gr.}\ $50\minute$, \& inclinatio chord{\ae} caud{\ae} ad circulum illum $8\frac{1}{2}$ \textit{gr.}
\textit{Jan.~25 \& 26} luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7;
\& ubi c{\oe}lum valde serenum erat, luce tenuissimâ \& {\ae}gerrimč sensibili
attingebat longitudinem graduum duodecim \& paulo ultra.
Dirigebatur autem ejus axis ad Lucidam in humero orientali Aurig{\ae}
accuratč, adeoque declinabat ab oppositione Solis Boream versus
in angulo graduum decem. Denique \textit{Feb.~10.}\ caudam oculis
armatis aspexi gradus duos longam. Nam lux pr{\ae}dicta tenuior
per vitra non apparuit. \textit{Ponth{\ae}us} autem \textit{Feb.~7.}\ se caudam ad longitudinem
\textit{gr.}\ 12.\ vidisse scribit.

Orbem jam descriptum spectanti \& reliqua Comet{\ae} hujus Ph{\ae}nomena
in animo revolventi haud difficulter constabit quod corpora
Cometarum sunt solida, compacta, fixa ac durabilia ad instar
corporum Planetarum. Nam si nihil aliud essent quŕm vapores
vel exhalationes Terr{\ae}, Solis \& Planetarum, Cometa hicce in
transitu suo per viciniam Solis statim dissipari debuisset. Est enim
calor Solis ut radiorum densitas, hoc est reciprocč ut quadratum
distanti{\ae} locorum ŕ Sole. Ideoque cum distantia Comet{\ae} ŕ Sole
\textit{Dec.~8.}\ ubi in Perihelio versabatur, esset ad distantiam Terr{\ae} ŕ
Sole ut 6 ad 1000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore
erat ad calorem Solis {\ae}stivi apud nos ut 1000000 ad 36, seu
28000 ad 1. Sed calor aqu{\ae} ebullientis est quasi triplo major
quŕm calor quem terra arida concipit ad {\ae}stivum Solem; ut expertus
sum: \& calor ferri candentis (si rectč conjector) quasi triplo
vel quadruplo major quam calor aqu{\ae} ebullientis; adeoque calor
quem terra arida apud Cometam in perihelio versantem ex radiis
% -----File: 488.png---
Solaribus concipere posset; quasi 2000 vicibus major quŕm calor
ferri candentis. Tanto autem calore vapores \& exhalationes, omnisque
materia volatilis statim consumi ac dissipari debuissent.

Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad Solem
concepit, \& calorem illum diutissimč conservare potest. Nam
globus ferri candentis digitum unum latus, calorem suum omnem
spatio hor{\ae} unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem
major calorem diutius conservaret in ratione diametri, propterea
quod superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis
refrigeratur) in illa ratione minor est pro quantitate materi{\ae}
su{\ae} calid{\ae} inclus{\ae}. Ideoque globus ferri candentis huic Terr{\ae}
{\ae}qualis, id est pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem,
\& idcirco annis 50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod
duratio Caloris ob causas latentes augeatur in minore ratione quam
ea diametri: \& optarim rationem veram per experimenta investigari.

Porrň notandum est quod Cometa Mense \textit{Decembri}, ubi ad Solem
modň incaluerat, caudam emittebat longe majorem \& splendidiorem
quŕm antea Mense \textit{Novembri}; ubi perihelium nondum attigerat.
Et universaliter caud{\ae} omnes maxim{\ae} \& fulgentissim{\ae} č
Cometis oriuntur, statim post transitum eorum per regionem Solis.
Conducit igitur calefactio Comet{\ae} ad magnitudinem caud{\ae}. Et inde
colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus,
quem caput seu Nucleus Comet{\ae} per calorem suum emittit.

C{\ae}terum de Cometarum caudis triplex est opinio, eas vel jubar
esse Solis per translucida Cometarum capita propagatum; vel oriri
ex refractione lucis in progressu ipsius ŕ capite Comet{\ae} in Terram:
vel denique nubem esse seu vaporem ŕ capite Comet{\ae} jugiter surgentem
\& abeuntem in partes ŕ Sole aversas. Opinio prima eorum
est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum. Nam jubar
Solis in cubiculo tenebroso non cernitur nisi quatenus lux reflectitur
č pulverum \& fumorum particulis per aerem semper volitantibus:
adeoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est, \& sensum
% -----File: 489.png---
fortius ferit; in aere clariore tenuius est \& {\ae}grius sentitur: in c{\oe}lis
autem absque materia reflectente nullum esse potest. Lux non
cernitur quatenus in jubare est, sed quatenus inde reflectitur ad
oculos nostros. Nam visio non fit nisi per radios qui in oculos
impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione
Caud{\ae}, ne c{\oe}lum totum luce Solis illustratum uniformiter splendeat.
Opinio secunda multis premitur difficultatibus. Caud{\ae} nunquam
variegantur coloribus: qui tamen refractionum solent esse
comites inseparabiles. Lux Fixarum \& Planetarum distinctč ad nos
transmissa demonstrat medium c{\oe}leste nulla vi refractiva pollere.
Nam quod dicitur fixas ab \textit{{\AE}gyptiis} comatas nonnunquam visas
fuisse, id quoniam rarissimč contingit, ascribendum est nubium refractioni
fortuit{\ae}. Fixarum quoque radiatio \& scintillatio ad refractiones
tum Oculorum tum aeris tremuli referend{\ae} sunt: quippe
qu{\ae} admotis oculo Telescopiis evanescunt. Aeris \& ascendentium
vaporum tremore fit ut radii facile de angusto pupilli spatio per vices
detorqueantur, de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam.
Inde est quod scintillatio in priori casu generetur, in posteriore
autem cesset: \& cessatio in posteriore casu demonstrat regularem
transmissionem lucis per c{\oe}los absque omni refractione sensibili.
Nequis contendat quod caud{\ae} non soleant videri in Cometis
cum eorum lux non est satis fortis, quia tunc radii secundarii
non habent satis virium ad oculos movendos, \& propterea caudas
fixarum non cerni: sciendum est quod lux fixarum plus centum vicibus
augeri potest mediantibus Telescopiis, nec tamen caud{\ae} cernuntur.
Planetarum quoque lux copiosior est, caud{\ae} verň null{\ae}:
Comet{\ae} autem s{\ae}pe caudatissimi sunt, ubi capitum lux tenuis est
\& valde obtusa: sic enim Cometa Anni 1680, Mense \textit{Decembri},
quo tempore caput luce sua vix {\ae}quabat stellas secund{\ae} magnitudinis,
caudam emittebat splendore notabili usque ad gradus 40, 50,
60 longitudinis \& ultra: postea \textit{Jan.~27 \& 28} caput apparebat ut
stella septim{\ae} tantum magnitudinis, cauda verň luce quidem pertenui
sed satis sensibili longa erat 6 vel 7 gradus, \& luce obscurissima,
% -----File: 490.png---
qu{\ae} cerni vix posset, porrigebatur ad gradum usque duodecimum
vel paulo ultra: ut supra dictum est. Sed \& \textit{Feb.\ 9.\ \& 10} ubi caput
nudis oculis videri desierat, caudam gradus duos longam per Telescopium
contemplatus sum. Porro si cauda oriretur ex refractione
materi{\ae} c{\oe}lestis, \& pro figura c{\oe}lorum deflecteretur de Solis oppositione,
deberet deflexio illa in iisdem c{\oe}li regionibus in eandem
semper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 \textit{Decemb.~28} hora
$8\frac{1}{2}$ P.M. \textit{Londini}, versabatur in $\pisces$ 8 \textit{gr.}\ 41 cum latitudine boreali
28 \textit{gr.}\ $6\minute$, Sole existente in $\capricornus$ 18 \textit{gr.}\ $26\minute$. Et Cometa Anni 1577
\textit{Dec.~29.}\ versabatur in $\pisces$ 8 \textit{gr.}\ $41\minute$ cum latitudine boreali 28 \textit{gr.}\ $40\minute$.
Sole etiam existente in $\capricornus$ 18 \textit{gr.}\ $26\minute$ circiter. Utroque in casu Terra
versabatur in eodem loco \& Cometa apparebat in eadem c{\oe}li
parte: in priori tamen casu cauda Comet{\ae} (ex meis \& aliorum
observationibus) declinabat angulo graduum $4\frac{1}{2}$ ab oppositione Solis
Aquilonem versus; in posteriore verň (ex Observationibus \textit{Tychonis})
declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata
c{\oe}lorum refractione, superest ut Ph{\ae}nomena Caudarum ex materia
aliqua reflectente deriventur.

Caudas autem ŕ capitibus oriri \& in regiones ŕ Sole aversas ascendere
confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis
orbium Cometarum per Solem transeuntibus jacentes, deviant ab
oppositione Solis in eas semper partes quas capita in orbibus illis
progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto apparent
in partibus ŕ Sole directč aversis; digrediente autem spectatore
de his planis, deviatio paulatim sentitur, \& indies apparet major.
Quod deviatio c{\ae}teris paribus minor est ubi cauda obliquior
est ad orbem Comet{\ae}, ut \& ubi caput Comet{\ae} ad Solem propius
accedit; pr{\ae}sertim si spectetur deviationis angulus juxta caput Comet{\ae}.
Pr{\ae}terea quod caud{\ae} non deviantes apparent rect{\ae}, deviantes
autem incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est
deviatio, \& magis sensibilis ubi cauda c{\ae}teris paribus longior est:
nam in brevioribus curvatura {\ae}gre animadvertitur. Quod deviationis
angulus minor est juxta caput Comet{\ae}, major juxta caud{\ae}
% -----File: 491.png---
extremitatem alteram, atque adeň quod cauda convexo sui latere
partes respicit ŕ quibus fit deviatio, qu{\ae}que in rectâ sunt lineâ ŕ Sole
per caput Comet{\ae} in infinitum ductâ. Et quod caud{\ae} qu{\ae} prolixiores
sunt \& latiores, \& luce vegetiore micant, sint ad latera convexa
paulň splendidiores \& limite minus indistincto terminat{\ae}
quam ad concava. Pendent igitur Ph{\ae}nomena caud{\ae} ŕ motu capitis,
non autem ŕ regione c{\oe}li in qua caput conspicitur; \& propterea
non fiunt per refractionem c{\oe}lorum, sed ŕ capite suppeditante
materiam oriuntur. Etenim ut in aere nostro fumus corporis cujusvis
igniti petit superiora, idque vel perpendiculariter si corpus
quiescat, vel obliquč si corpus moveatur in latus; ita in c{\oe}lis ubi
corpora gravitant in Solem, fumi \& vapores ascendere debent ŕ
Sole (uti jam dictum est) \& superiora vel rectâ petere, si corpus fumans
quiescit; vel obliquč, si corpus progrediendo loca semper deserit
ŕ quibus superiores vaporis partes ascenderant. Et obliquitas ista
minor erit ubi ascensus vaporis velocior est: nimirum in vicinia Solis
\& juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diversitate incurvabitur
vaporis columna: \& quia vapor in column{\ae} latere pr{\ae}cedente
paulo recentior est, ideo etiam is ibidem aliquanto densior
erit, lucemque propterea copiosius reflectet, \& limite minus indistincto
terminabitur. De caudarum agitationibus subitaneis \&
incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoque
describunt, hic nihil adjicio; propterea quod vel ŕ mutationibus
aeris nostri, \& motibus nubium caudas aliqua ex parte obscurantium
oriantur; vel forte ŕ partibus Vi{\ae} Lacte{\ae}, qu{\ae} cum caudis
pr{\ae}tereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes spectari.

Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufficiant, ex
Cometarum Atmosph{\ae}ris oriri posse, intelligetur ex raritate aeris
nostri. Nam aer juxta superficiem Terr{\ae} spatium occupat quasi
850 vicibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris columna
Cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aqu{\ae}
columna pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad summitatem
Atmosph{\ae}r{\ae} assurgens {\ae}quat pondere suo columnam aqu{\ae}
% -----File: 492.png---
pedes 33 altam circiter; \& propterea si column{\ae} totius aere{\ae} pars
inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua superior {\ae}quabit
pondere suo columnam aqu{\ae} altam pedes 32. Inde verň (ex Hypothesi
multis experimentis confirmata, quod compresso aeris sit ut
pondus Atmosph{\ae}r{\ae} incumbentis, quodque gravitas sit reciproce
ut quadratum distanti{\ae} locorum ŕ centro Terr{\ae}) computationem
per Corol.\ Prop.\ XXII. Lib.\ II. ineundo, inveni quod aer, si ascendatur
ŕ superficie Terr{\ae} ad altitudinem semidiametri unius terrestris,
rarior sit quŕm apud nos in ratione longe majori, quŕm spatii omnis
infra orbem Saturni ad globum diametro digiti unius descriptum.
Ideoque globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate
quam haberet in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret
omnes Planetarum regiones ad usque sph{\ae}ram Saturni \& longe ultra.
Proinde cum aer adhuc altior in immensum rarescat; \& coma
seu Atmosph{\ae}ra Comet{\ae}, ascendendo ab illius centro, quasi decuplo
altior sit quŕm superficies nuclei, deinde cauda adhuc altius
ascendat, debebit cauda esse quŕm rarissima. Et quamvis, ob longe
crassiorem Cometarum Atmosph{\ae}ram, magnamque corporum gravitationem
Solem versus, \& gravitationem particularum Aeris \&
vaporum in se mutuo, fieri possit ut aer in spatiis c{\oe}lestibus inque
Cometarum caudis non adeo rarescat; perexiguam tamen
quantitatem aeris \& vaporum ad omnia illa caudarum ph{\ae}nomena
abunde sufficere ex hac computatione perspicuum est. Nam \&
caudarum insignis raritas colligitur ex astris per eas translucentibus.
Atmosph{\ae}ra terrestris luce Solis splendens, crassitudine sua paucorum
milliarium, \& astra omnia \& ipsam Lunam obscurat \& extinguit
penitus: per immensam verň caudarum crassitudinem, luce
pariter Solari illustratam, astra minima absque claritatis detrimento
translucere noscuntur. Neque major esse solet caudarum plurimarum
splendor, quam aeris nostri in tenebroso cubiculo latitudine digiti
unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis.

Quo tempore vapor ŕ capite ad terminum caud{\ae} ascendit, cognosci
fere potest ducendo rectam ŕ termino caud{\ae} ad Solem, \& notando
% -----File: 493.png---
locum ubi recta illa Trajectoriam secat. Nam vapor in termino
caud{\ae}, si rectŕ ascendat ŕ Sole, ascendere c{\ae}pit ŕ capite quo
tempore caput erat in loco intersectionis. At vapor non rectŕ ascendit
ŕ Sole, sed motum Comet{\ae}, quem ante ascensum suum habebat,
retinendo, \& cum motu ascensus sui eundem componendo, ascendit
oblique. Unde verior erit Problematis solutio, ut recta illa
qu{\ae} orbem secat, parallela sit longitudini caud{\ae}, vel potius (ob
motum curvilineum Comet{\ae}) ut eadem ŕ linea caud{\ae} divergat.
Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caud{\ae} \textit{Jan.~25.}\
ascendere c{\ae}perat ŕ capite ante \textit{Decemb.~11.}\ adeoque ascensu suo
toto dies plus 45 consumpserat. At cauda illa omnis qu{\ae} \textit{Dec.~10.}\
apparuit, ascenderat spatio dierum illorum duorum, qui ŕ tempore
perihelii Comet{\ae} elapsi fuerant. Vapor igitur sub initio in vicinia
Solis celerrimč ascendebat, \& postea cum motu per gravitatem suam
semper retardato ascendere pergebat; \& ascendendo augebat
\label{wasp504}longitudinem
caud{\ae}: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni
constabat qui ŕ tempore perihelii ascenderat; \& vapor, qui primus
ascendit, \& terminum caud{\ae} composuit, non prius evanuit quŕm
ob nimiam suam tam ŕ Sole illustrante quam ab oculis nostris distantiam
videri desiit. Unde etiam caud{\ae} Cometarum aliorum
qu{\ae} breves sunt, non ascendunt motu celeri \& perpetuo ŕ capitibus
\& mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum \& exhalationum
column{\ae}, ŕ capitibus lentissimo multorum dierum motu propagat{\ae},
qu{\ae}, participando motum illum capitum quem habuere sub initio,
per c{\oe}los una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rursus colligitur
spatia c{\ae}lestia vi resistendi destitui; utpote in quibus non solum
solida Planetarum \& Cometarum corpora, sed etiam rarissimi
caudarum vapores motus suos velocissimos liberrimč peragunt ac
diutissimč conservant.

Ascensum caudarum ex Atmosph{\ae}ris capitum \& progressum in
partes ŕ Sole aversas \textit{Keplerus} ascribit actioni radiorum lucis materiam
caud{\ae} secum rapientium. Et auram longe tenuissimam in
spatiis liberrimis actioni radiorum cedere, non est ŕ ratione prorsus
% -----File: 494.png---
alienum, non obstante quod substanti{\ae} crass{\ae}, impeditissimis in regionibus
nostris, ŕ radiis Solis sensibiliter propelli nequeant. Alius
particulas tam leves quam graves dari posse existimat, \& materiam
caudarum levitare, perque levitatem suam ŕ Sole ascendere. Cům
autem gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus,
ideoque servata quantitate materi{\ae} intendi \& remitti nequeat,
suspicor ascensum illum ex rarefactione materi{\ae} caudarum potius
oriri. Ascendit fumus in camino impulsu aeris cui innatat. Aer
ille per calorem rarefactus ascendit, ob diminutam suam gravitatem
specificam, \& fumum implicatum rapit secum. Quidni cauda Comet{\ae}
ad eundem modum ascenderit ŕ Sole? Nam radii Solares non
agitant Media qu{\ae} permeant, nisi in reflexione \& refractione. Particul{\ae}
reflectentes ea actione calefact{\ae} calefacient auram {\ae}theream
cui implicantur. Illa calore sibi communicato rarefiet, \& ob diminutam
ea raritate gravitatem suam specificam qua prius tendebat in
Solem, ascendet \& secum rapiet particulas reflectentes ex quibus
cauda componitur: Ad ascensum vaporum conducit etiam quod
hi gyrantur circa Solem \& ea actione conantur ŕ Sole recedere, at
Solis Atmosph{\ae}ra \& materia c{\oe}lorum vel plane quiescit, vel motu
solo quem ŕ Solis rotatione acceperint, tardius gyratur. H{\ae} sunt
caus{\ae} ascensus caudarum in vicinia Solis, ubi orbes curviores sunt, \&
Comet{\ae} intra densiorem \& ea ratione graviorem Solis Atmosph{\ae}ram
consistunt, \& caudas quŕm longissimas mox emittunt. Nam
caud{\ae} qu{\ae} tunc nascuntur, conservando motum suum \& interea versus
Solem gravitando, movebuntur circa Solem in Ellipsibus pro
more capitum, \& per motum illum capita semper comitabuntur \&
iis liberrimč adh{\ae}rebunt. Gravitas enim vaporum in Solem non
magis efficiet ut caud{\ae} postea decidant ŕ capitibus Solem versus,
quam gravitas capitum efficere possit ut h{\ae}c decidant ŕ caudis.
Communi gravitate vel simul in Solem cadunt, vel simul in ascensu
suo retardabuntur, adeoque gravitas illa non impedit, quo minus
caud{\ae} \& capita positionem quamcunque ad invicem ŕ causis jam
descriptis aut aliis quibuscunque facillimč accipiant \& postea liberrime
servent.
% -----File: 495.png---

Caud{\ae} igitur qu{\ae} Cometarum periheliis nascuntur, in regiones
longinquas cum eorum capitibus abibunt, \& vel inde post longam
annorum seriem cum iisdem ad nos redibunt, vel potius ibi
rarefacti paulatim evanescent. Nam postea in descensu capitum
ad Solem caud{\ae} nov{\ae} breviuscul{\ae} lento motu ŕ capitibus propagari
debebunt, \& subinde, in Periheliis Cometarum illorum qui adus{\que}
Atmosph{\ae}ram Solis descendunt, in immensum augeri. Vapor enim
in spatiis illis liberrimis perpetuň rarescit ac dilatatur. Qua ratione
fit ut cauda omnis ad extremitatem superiorem latior sit quam juxta
caput Comet{\ae}. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum
diffundi tandem \& spargi per c{\oe}los universos, deinde paulatim
in Planetas per gravitatem suam attrahi \& cum eorum Atmosph{\ae}ris
misceri rationi consentaneum videtur. Nam quemadmodum Maria
ad constitutionem Terr{\ae} hujus omnino requiruntur, idque ut ex
iis per calorem Solis vapores copiose satis excitentur, qui vel in nubes
coacti decidant in pluviis, \& terram omnem ad procreationem
\label{wasp506}vegetabilium irrigent \& nutriant;
vel in frigidis montium verticibus
condensati (ut aliqui cum ratione philosophantur) decurrant in
fontes \& flumina: sic ad conservationem marium \& humorum in
Planetis Comet{\ae} requiri videntur; ex quorum exhalationibus \& vaporibus
condensatis, quicquid liquoris per vegetationem \& putrefactionem
consumitur \& in terram aridam convertitur, continuň suppleri
\& refici possit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino
crescunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefactionem
abeunt, \& limus ex liquoribus putrefactis perpetuň decidit.
Hinc moles Terr{\ae} arid{\ae} indies augetur, \& liquores, nisi aliunde
augmentum sumerent, perpetuň decrescere deberent, ac tandem deficere.
Porrň suspicor spiritum illum, qui aeris nostri pars minima
est sed subtilissima \& optima, \& ad rerum omnium vitam requiritur,
ex Cometis pr{\ae}cipue venire.

Atmosph{\ae}r{\ae} Cometarum in descensu eorum in Solem excurrendo
in caudas diminuuntur, \& (ea certe in parte qu{\ae} Solem respicit)
% -----File: 496.png---
angustiores redduntur: \& vicissim in recessu eorum ŕ Sole,
ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; si modň Ph{\ae}nomena
eorum \textit{Hevelius} recte notavit. Minim{\ae} autem apparent ubi capita
jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas \& fulgentissimas
abiere, \& nuclei fumo forsan crassiore \& nigriore in Atmosph{\ae}rarum
partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti
calore excitatus crassior \& nigrior esse solet. Sic caput Comet{\ae} de
quo egimus, in {\ae}qualibus ŕ Sole ac Terrâ distantiis, obscurius apparuit
post perihelium suum quam antea. Mense enim \textit{Decem.}\
cum stellis terti{\ae} magnitudinis conferri solebat, at Mense \textit{Novem.}\
cum stellis prim{\ae} \& secund{\ae}. Et qui utrum{\que} viderant, majorem
describunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam \textit{Cantabrigiensi}
\textit{Novem.~19.}\ Cometa hicce luce sua \label{wasp507}quantumvis plumbea \& obtusa
{\ae}quabat Spicam Virginis, \& clarius micabat quŕm postea. Et
\textit{D. Storer} literis qu{\ae} in manus nostras incidęre, scripsit caput ejus
Mense \textit{Decembri}, ubi caudam maximam \& fulgentissimam emittebat,
parvum esse \& magnitudine visibili longe cedere Comet{\ae} qui
Mense \textit{Novembri} ante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem
esse conjectabatur quod materia capitis sub initio copiosior esset \&
paulatim consumeretur.

Eodem spectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui
caudas maximas \& fulgentissimas emiserunt, describantur subobscura
\& exigua. Nam Anno 1668 Mart.\ 5.\ St.\ nov.\ hora septima
Vesp.\ \textit{R.~P. Valentinus Estancius}, \textit{Brasili{\ae}} agens, Cometam vidit Horizonti
proximum ad occasum Solis brumalem, capite minimo \& vix
conspicuo, cauda verň supra modum fulgente, ut stantes in littore
speciem ejus č mati reflexam facilč cernerent. Speciem utique habebat
trabis splendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in
austrum vergens, \& Horizonti fere parallela. Tantus autem splendor
tres solum dies durabat, subinde notabiliter decrescens; \& interea
decrescente splendore aucta est magnitudine cauda. Unde etiam
in \textit{Portugallia} quartam fere c{\oe}li partem (id est gradus 45) occupasse
dicitur, ab occidente in orientem splendore cum insigni protensa;
% -----File: 497.png---
nec tamen tota apparuit, capite semper in his regionibus
infra Horizontem delitescente. Ex incremento caud{\ae} \& decremento
splendoris manifestum est quod caput ŕ Sole recessit, eique proximum
fuit sub initio, pro more Comet{\ae} anni 1680. Et similis legitur
Cometa anni 1101 vel 1106, \textit{cujus Stella erat parva \& obscura}
(ut ille anni 1680) \textit{sed splendor qui ex ea exivit valde clarus \& quasi
ingens trabs ad orientem \& Aquilonem tendebat}, ut habet \textit{Hevelius} ex
\textit{Simeone Dunelmensi} Monacho. Apparuit initio Mensis \textit{Feb.}\ circa vesperam
ad occasum Solis brumalem. Inde verň \& ex situ caud{\ae} colligitur
caput fuisse Soli vicinum. \textit{A Sole}, inquit Matth{\ae}us Parisiensis,
\textit{distabat quasi cubito uno, ab hora tertia} [rectius sexta] \textit{usque ad
horam nonam radium ex se longum emittens}. Talis etiam erat ardentissimus
ille Cometa ab \textit{Aristotele} descriptus Lib.\ 1.\ Meteor.\ 6.\ \textit{cujus caput
primo die non conspectum est, eo quod ante Solem vel saltem sub radiis
solaribus occidisset, sequente verň die quantum potuit visum est. Nam
quam minimâ fieri potest distantiâ Solem reliquit, \& mox occubuit. Ob nimium
ardorem} [caud{\ae} scilicet] \textit{nondum apparebat capitis sparsus ignis,
sed procedente tempore} (ait Aristoteles) \textit{cum} [cauda] \textit{jam minus flagraret,
reddita est} [capiti] \textit{Comet{\ae} sua facies. Et splendorem suum ad tertiam
usque c{\oe}li partem} [id est ad 60 gr.]\ \textit{extendit. Apparuit autem
tempore hyberno, \& ascendens usque ad cingulum Orionis ibi evanuit.} Cometa
ille anni 1618, qui č radiis Solaribus caudatissimus emersit,
stellas prim{\ae} magnitudinis {\ae}quare vel paulo superare videbatur,
sed majores apparuere Comet{\ae} non pauci qui caudas breviores habuere.
Horum aliqui Jovem, alii Venerem vel etiam Lunam {\ae}quasse
traduntur.

Diximus Cometas esse genus Planetarum in Orbibus valde excentricis
circa Solem revolventium. Et quemadmodum č Planetis non
caudatis, minores esse solent qui in orbibus minoribus \& Soli proprioribus
gyrantur, sie etiam Cometas, qui in Periheliis suis ad Solem
propius accedunt, ut plurimum minores esse \& in orbibus minoribus
revolvi rationi consentaneum videtur. Orbium verň transversas
diametros \& revolutionum tempora periodica ex collatione Cometarum
% -----File: 498.png---
in iisdem orbibus post longa temporum intervalla redeuntium
determinanda relinquo. Interea huic negotio Propositio sequens
Lumen accendere potest.




\condpagelarge{Prop.\ XLII\@. Prob.\ XXI.}

\textit{Trajectoriam Comet{\ae} graphicč inventam corrigere.}

\textit{Oper.\fsp{}1.}\wsp{}Assumatur positio plani Trajectori{\ae}, per Propositionem
superiorem graphicč inventa; \& seligantur tria loca Comet{\ae} observationibus
accuratissimis definita, \& ab invicem quam maximč
distantia; sitque $A$ tempus inter primam \& secundam, ac $B$ tempus
inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo
in Perig{\ae}o versari convenit, vel saltem non longe ŕ Perig{\ae}o abesse.
Ex his locis apparentibus inveniantur per operationes Trigonometricas
loca tria vera Comet{\ae} in assumpto illo plano Trajectori{\ae}.
Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per
operationes Arithmeticas, ope Prop.\ XXI. Lib.\ I. institutas, describatur
Sectio Conica: \& ejus are{\ae}, radiis ŕ Sole ad loca inventa ductis
terminat{\ae}, sunto $D$ \& $E$; nempe $D$ area inter observationem primam
\& secundam, \& $E$ area inter secundam ac tertiam. Sitque $T$
tempus totum quo area tota $D + E$, velocitate Comet{\ae} per Prop.\
XVI. Lib.\ I. inventa, describi debet.

\textit{Oper.\fsp{}2.}\wsp{}Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectori{\ae}, additis
ad longitudinem illam $20\minute$ vel $30\minute$, qu{\ae} dicantur $P$; \& servetur
plani illius inclinatio ad planum Ecliptic{\ae}. Deinde ex pr{\ae}dictis
tribus Comet{\ae} locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca
tria vera (ut supra): deinde etiam orbis per loca illa transiens, \& ejusdem
are{\ae} du{\ae} inter observationes descript{\ae}, qu{\ae} sint $d$ \& $e$, nec non
tempus totum $t$ quo area tota $d + e$ describi debeat.

\textit{Oper.\fsp{}3.}\wsp{}Servetur\spreadout{Longitudo Nodorum in operatione prima, \& augeatur} \\
inclinatio Plani Trajectori{\ae} ad planum Ecliptic{\ae}, additis
ad inclinationem illam $20\minute$ vel $30\minute$, qu{\ae} dicantur $Q$. Deinde ex observatis
% -----File: 499.png---
pr{\ae}dictis tribus Comet{\ae} locis apparentibus, inveniantur in
hoc novo Plano loca tria vera, Orbisque per loca illa transiens, ut
\& ejusdem are{\ae} du{\ae} inter observationes descript{\ae}, qu{\ae} sint $\delta$ \& $\epsilon$,
\& tempus totum $\tau$ quo area tota $\delta$ + $\epsilon$ describi debeat.

Jam sit $C$ ad 1 ut $A$ ad $B$, \& $G$ ad 1 ut $D$ ad $E$, \& $g$ ad 1 ut $d$ ad
$e$, \& $\gamma$ ad 1 ut $\delta$ ad $\epsilon$; sitque $S$ tempus verum inter observationem
primam ac tertiam; \& signis + \& - probe observatis qu{\ae}rantur
numeri $m$ \& $n$, ea lege ut sit $G - C$ = $mG - mg + nG - n\gamma$,
\& $T - S$ {\ae}quale $mT - mt + nT - n\tau$. Et si, in operatione
prima, $I$ designet inclinationem plani Trajectori{\ae} ad planum Ecliptic{\ae},
\& $K$ longitudinem Nodi alterutrius: erit $I + nQ$ vera inclinatio
Plani Trajectori{\ae} ad Planum Ecliptic{\ae}, \& $K + mP$ vera
longitudo Nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac
tertia, quantitates $R$, $r$ \& $\rho$ designent Latera recta Trajectori{\ae}, \&
quantitates $\frac{1}{L}$, $\frac{1}{l}$, $\frac{1}{\lambda}$ ejusdem Latera transversa respectivč: erit $R +
mr - mR + n\rho - nR$ verum Latus rectum,
\& $\frac{1}{L + ml - mL + n\lambda - nL}$
verum Latus transversum Trajectori{\ae} quŕm Cometa describit.
Dato autem Latere transverso datur etiam tempus periodicum Comet{\ae}.
\QEIit

\tblong

\begin{center}{\LARGE \textit{FINIS.}}\end{center}
% -----File: 500.png---







\tblong

\newpage
\pagestyle{empty}

\begin{center}{\large Corrections made to printed original.}\end{center}

\begin{center}\textit{The errata of the printed work have been incorporated in the main text. These are additional errors found during transciption.}\end{center}

p.\fsp\pageref{wasp6}.\wsp{}IV. ``cum Velocitate partium 10010'': `Volocitate' in original.

p.\fsp\pageref{wasp16}.\wsp{}``differenti{\ae} contrariorum 17 - 1 \& 18 - 2'': `contrario-' at end of page in original, the `rum' is only in the catchword.

p.\fsp\pageref{wasp11}.\wsp{}``At si attenderetur ad filum'': `attenderatur' in original.

p.\fsp\pageref{wasp22}.\wsp{}``si corpora ibant ad eandem plagam'': `eandam' in original.

p.\fsp\pageref{wasp27}.\wsp{}Lemma II. ``\& curva $acE$ comprehensa'': `$AcE$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp27bis}. Lemma III. ``ubi parallelogrammorum latitudines'': `parallelogramomrum' in original.

p.\fsp\pageref{wasp54}.\wsp{}``occurrentem tum diametro $YPG$'': `occurentem' in original.

p.\fsp\pageref{wasp66}.\wsp{}``ad illius umbilicorum intervallum'': `il-ius' on line break in original.

p.\fsp\pageref{wasp69}.\wsp{}``in secundo casu abeunte in infinitum'': `abeun-in' on line break in original.

p.\fsp\pageref{wasp77}.\wsp{}Lemma XXI. ``describent sectionem Conicam'': `sec-ionem' in original, across page break: the catchword has the missing t.

p.\fsp\pageref{wasp79}.\wsp{}Prob.\ XIV. ``occurrentes in $T$ \& $R$'': `occurentes' in original.

p.\fsp\pageref{wasp106}.\wsp{}``\& sic in infinitum.'': `infinium' in original.

p.\fsp\pageref{wasp112}.\wsp{}``Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis'': `porportionalis' in original.

p.\fsp\pageref{wasp112bis}.\wsp{}``Postea capiatur tum angulus $F$ ad angulum $B$'': `augulus $F$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp113}.\wsp{}``Asymptotos $CK$'': `Asymtotos' in original.

p.\fsp\pageref{wasp146}.\wsp{}``pro ratione distantiarum {\ae}quales viribus quibus corpora unaqua{\que} trahuntur'': `undiqua{\que}' in original.

p.\fsp\pageref{wasp176}.\wsp{}Corol.\ 2. ``ultimo in consequentia transeundo a $B$ ad $C$'': `conseqentia' in original.

p.\fsp\pageref{wasp180}.\wsp{}``auget{\que} Excentricitatem Ellipseos'': `Ellipsieos' in original.

p.\fsp\pageref{wasp184}.\wsp{}``non mutantur motus Augis \& Nodorum sensibiliter'': `sensibilitur' in original.

p.\fsp\pageref{wasp219}.\wsp{}``erit attractio corpusculi $P$ in circulum ut $\frac{1}{PA^{n-2}} - \frac{PA}{PH^{n-1}}$.'': First term `$\frac{1}{PA^{n-1}}$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp222}.\wsp{}``Et pari ratione'': `pari-' at end of line in original.

p.\fsp\pageref{wasp226}.\wsp{}``resolvo in Seriem infinitam ... $\frac{m}{n}{OA}$ ...'': `$\frac{n}{m}$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp254}.\wsp{}Prop.\ VIII. ``spatium totum descriptum distinguatur'': `descriptnm' in original.

p.\fsp\pageref{wasp271}.\wsp{}Reg.\ 7. ``determinandi hanc Hyperbolam ex Ph{\ae}nomenis'': `Ph{\ae}nominis' in original.

p.\fsp\pageref{wasp271bis}.\wsp{}``in angulis diversis $HAK$, $hAk$'': The second `$hAK$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp272}.\wsp{}Reg.\ 8. ``quarum $AC$ deorsum tendat'': `tandat' in original.

p.\fsp\pageref{wasp294}.\wsp{}Corol.\ 4. ``par est ratio omnium ejusdem magnitudinis'': `magitudinis' in original.

p.\fsp\pageref{wasp297}.\wsp{}``densitates $AH$, $DL$, $QT$ erunt continue proportionales'': Last reads `$QO$' in original - the point near $Q$ was marked $O$ in original but changed to $T$ by errata.

p.\fsp\pageref{wasp306}.\wsp{}Corol. ``accelerabatur in descensu'': `desensu' in original.

p.\fsp\pageref{wasp312}.\wsp{}Theor.\ XXIII. ``in arcuum eorundem semisummam'': `eorundam' in original.

p.\fsp\pageref{wasp320}.\wsp{}Corol.\ 2. ``augerentur in duplicata ratione velocitatis'': `augerenter' in original.

p.\fsp\pageref{wasp331}.\wsp{}``Et si {\ae}quales illi motus applicentur'': `applicenter' in original.

p.\fsp\pageref{wasp340}.\wsp{}``ita ut ascensu ultimo describeret'': `describaret' in original.

p.\fsp\pageref{wasp341}.\wsp{}``ut $0\decimals{0002097}V + 0\decimals{0008955}V^{\frac{3}{2}} + ...$'': Exponent `$\frac{2}{3}$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp345}.\wsp{}``id est 7 ad $\frac{2}{3}$'': `7 ad $\frac{3}{2}$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp366}.\wsp{}``vim suam elasticam mediocrem'': `medio-' at end of line in original, 'crem' missing.

p.\fsp\pageref{wasp405}.\wsp{}Prop.\ II. Theor.\ II. ``(per Corol.\ 1. Prop.\ XLV. Lib.\ I.)'': `Coral' in original.

p.\fsp\pageref{wasp418}.\wsp{}``sit ad semidiametrum Solis in eadem ratione circiter'': `semediametrum' in original.

p.\fsp\pageref{wasp432}.\wsp{}``alterum in Hemisph{\ae}rio opposito'': `H{\ae}misph{\ae}rio' in original.

p.\fsp\pageref{wasp458}.\wsp{}Corol.\ 2. ``in revolutione puncti $p$ generatarum'': `genetarum' in original.

p.\fsp\pageref{wasp480}.\wsp{}Corol.\ 1. ``in ratione sesquialtera'': `sequialtera' in original.

p.\fsp\pageref{wasp482}.\wsp{}Cas.\ 2. ``$r \operatorname{in} + SL = s$, $s \operatorname{in} + SM = t$'': `$r \operatorname{in} + SL = S$, $S \operatorname{in} + SM = t$' in original.

p.\fsp\pageref{wasp487}.\wsp{}Prob.\ XX. ``summa temporum ad dies'': `tempo-porum' on line break in original.

p.\fsp\pageref{wasp504}.\wsp{}``ascendendo augebat longitudinem caud{\ae}'': `longi-dinem' on line break in original.

p.\fsp\pageref{wasp506}.\wsp{}``ad procreationem vegetabilium irrigent \& nutriant'': `vegitabilium' in original.

p.\fsp\pageref{wasp507}.\wsp{}``luce sua quantumvis plumbea'': `quamtumvis' in original.

\newpage
\small
\pagenumbering{Roman}
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica, by Isaac Newton

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS ***

***** This file should be named 28233-pdf.pdf or 28233-pdf.zip *****
This and all associated files of various formats will be found in:
        http://www.gutenberg.org/2/8/2/3/28233/

Produced by Jonathan Ingram, Keith Edkins and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net


Updated editions will replace the previous one--the old editions
will be renamed.

Creating the works from public domain print editions means that no
one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
(and you!) can copy and distribute it in the United States without
permission and without paying copyright royalties.  Special rules,
set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to
protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark.  Project
Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
charge for the eBooks, unless you receive specific permission.  If you
do not charge anything for copies of this eBook, complying with the
rules is very easy.  You may use this eBook for nearly any purpose
such as creation of derivative works, reports, performances and
research.  They may be modified and printed and given away--you may do
practically ANYTHING with public domain eBooks.  Redistribution is
subject to the trademark license, especially commercial
redistribution.



*** START: FULL LICENSE ***

THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK

To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free
distribution of electronic works, by using or distributing this work
(or any other work associated in any way with the phrase "Project
Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project
Gutenberg-tm License (available with this file or online at
http://gutenberg.org/license).


Section 1.  General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm
electronic works

1.A.  By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm
electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to
and accept all the terms of this license and intellectual property
(trademark/copyright) agreement.  If you do not agree to abide by all
the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy
all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession.
If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project
Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the
terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or
entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.

1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It may only be
used on or associated in any way with an electronic work by people who
agree to be bound by the terms of this agreement.  There are a few
things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
even without complying with the full terms of this agreement.  See
paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
works.  See paragraph 1.E below.

1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
collection are in the public domain in the United States.  If an
individual work is in the public domain in the United States and you are
located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
copying, distributing, performing, displaying or creating derivative
works based on the work as long as all references to Project Gutenberg
are removed.  Of course, we hope that you will support the Project
Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by
freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of
this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with
the work.  You can easily comply with the terms of this agreement by
keeping this work in the same format with its attached full Project
Gutenberg-tm License when you share it without charge with others.

1.D.  The copyright laws of the place where you are located also govern
what you can do with this work.  Copyright laws in most countries are in
a constant state of change.  If you are outside the United States, check
the laws of your country in addition to the terms of this agreement
before downloading, copying, displaying, performing, distributing or
creating derivative works based on this work or any other Project
Gutenberg-tm work.  The Foundation makes no representations concerning
the copyright status of any work in any country outside the United
States.

1.E.  Unless you have removed all references to Project Gutenberg:

1.E.1.  The following sentence, with active links to, or other immediate
access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently
whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the
phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project
Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed,
copied or distributed:

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org

1.E.2.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived
from the public domain (does not contain a notice indicating that it is
posted with permission of the copyright holder), the work can be copied
and distributed to anyone in the United States without paying any fees
or charges.  If you are redistributing or providing access to a work
with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the
work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1
through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the
Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or
1.E.9.

1.E.3.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted
with the permission of the copyright holder, your use and distribution
must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional
terms imposed by the copyright holder.  Additional terms will be linked
to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the
permission of the copyright holder found at the beginning of this work.

1.E.4.  Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm
License terms from this work, or any files containing a part of this
work or any other work associated with Project Gutenberg-tm.

1.E.5.  Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this
electronic work, or any part of this electronic work, without
prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
active links or immediate access to the full terms of the Project
Gutenberg-tm License.

1.E.6.  You may convert to and distribute this work in any binary,
compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any
word processing or hypertext form.  However, if you provide access to or
distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than
"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version
posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org),
you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a
copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon
request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other
form.  Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm
License as specified in paragraph 1.E.1.

1.E.7.  Do not charge a fee for access to, viewing, displaying,
performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works
unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.

1.E.8.  You may charge a reasonable fee for copies of or providing
access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided
that

- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
     the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
     you already use to calculate your applicable taxes.  The fee is
     owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
     must be paid within 60 days following each date on which you
     prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
     sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
     address specified in Section 4, "Information about donations to
     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."

- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
     you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
     does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm
     License.  You must require such a user to return or
     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
     and discontinue all use of and all access to other copies of
     Project Gutenberg-tm works.

- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
     of receipt of the work.

- You comply with all other terms of this agreement for free
     distribution of Project Gutenberg-tm works.

1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
works, and the medium on which they may be stored, may contain
"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual
property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by
your equipment.

1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right
of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all
liability to you for damages, costs and expenses, including legal
fees.  YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
PROVIDED IN PARAGRAPH F3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
DAMAGE.

1.F.3.  LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a
written explanation to the person you received the work from.  If you
received the work on a physical medium, you must return the medium with
your written explanation.  The person or entity that provided you with
the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
refund.  If you received the work electronically, the person or entity
providing it to you may choose to give you a second opportunity to
receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
opportunities to fix the problem.

1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia  %
% Mathematica, by Isaac Newton                                            %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK PHILOSOPHIAE NATURALIS ***      %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 28233-t.tex or 28233-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/8/2/3/28233/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration
@ControlwordReplace = (
  ['\\QEDit',' Q. E. D. '],
  ['\\QEFit',' Q. E. F. '],
  ['\\QEIit',' Q. E. I. '],
  ['\\QEDup',' Q. E. D. '],
  ['\\QEFup',' Q. E. F. '],
  ['\\QEIup',' Q. E. I. '],
  ['\\QEOup',' Q. E. O. '],
  ['\\tblong',"\n*  *  *\n"],
  ['\\tbshort',"\n*  *  *\n"],
  ['\\pagelines',"\n*  *  *\n"],
  ['\\que','que'],
  ['\\fsp',' ']
  ['\\wsp',' ']
  );
@ControlwordArguments = (
  ['\\spreadout',1,1,' ',''],
  ['\\gesperrt',1,1,'','',1,0,'',''],
  ['\\sectpage',1,1,'SECT. ',''],
  ['\\sectnopage',1,1,'SECT. ',''],
  ['\\pngrightsc',1,0,'[Illustration]','',1,0,'','',1,0,'','',1,0,'','',1,0,'',''],
  ['\\pngright',1,0,'[Illustration]','',1,0,'','',1,0,'','',1,0,'',''],
  ['\\pngcent',1,0,'[Illustration]','',1,0,'','',1,0,'','']
  );

###
This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5) (format=pdflatex 2008.5.6)  1 MAR 2009 11:21
entering extended mode
**28233-t.tex
(./28233-t.tex
LaTeX2e <2003/12/01>
Babel <v3.8g> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, greek, monogreek, ancientgreek, ibycus, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo
File: bk10.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks14
\ex@=\dimen103
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen104
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count88
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count89
\leftroot@=\count90
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count91
\DOTSCASE@=\count92
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen105
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count93
\c@MaxMatrixCols=\count94
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count95
\dspbrk@lvl=\count96
\tag@help=\toks15
\row@=\count97
\column@=\count98
\maxfields@=\count99
\andhelp@=\toks16
\eqnshift@=\dimen106
\alignsep@=\dimen107
\tagshift@=\dimen108
\tagwidth@=\dimen109
\totwidth@=\dimen110
\lineht@=\dimen111
\@envbody=\toks17
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks18
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/05/21 v3.8g The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/05/21 v3.8g Babel common definitions
\babel@savecnt=\count100
\U@D=\dimen112
) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
/tex/generic/babel/lgrenc.def
File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/latin.ldf
File: latin.ldf 2005/03/30 v2.0f Latin support from the babel system

Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
(babel)                the language `Latin'
(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.

\l@latin = a dialect from \language0
Package babel Info: Making " an active character on input line 182.
))

LaTeX Warning: You have requested, on input line 71, version
               `2008/07/06' of package babel,
               but only version
               `2005/05/21 v3.8g The Babel package'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks19
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 80.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/pdftex.def
File: pdftex.def 2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
\Gread@gobject=\count101
))
\Gin@req@height=\dimen113
\Gin@req@width=\dimen114
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
))

LaTeX Warning: You have requested, on input line 73, version
               `2006/05/05' of package inputenc,
               but only version
               `2004/02/05 v1.0d Input encoding file'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/needspace.sty
Package: needspace 2003/02/18 v1.3a reserve vertical space
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/teubner/teubner.sty
Package: teubner 2004/09/14 v.2.2b extensions for Greek philology
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/exscale.sty
Package: exscale 1997/06/16 v2.1g Standard LaTeX package exscale
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 52.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/cmex/m/n on input line 52.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/cmex/m/n on input line 52.
\big@size=\dimen115
)
LaTeX Info: Redefining \textlatin on input line 101.
LaTeX Info: Redefining \: on input line 588.
LaTeX Info: Redefining \; on input line 589.
LaTeX Info: Redefining \| on input line 598.
\Uunit=\dimen116
LaTeX Info: Redefining \star on input line 771.
\c@verso=\count102
\c@subverso=\count103
\versoskip=\skip46
LaTeX Info: Redefining \breve on input line 972.
\br@cedmetrics=\skip47
LaTeX Info: Redefining \Greeknumeral on input line 1051.
LaTeX Info: Redefining \greeknumeral on input line 1054.
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 75, version
               `2008/02/10' of package teubner,
               but only version
               `2004/09/14 v.2.2b extensions for Greek philology'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wasysym/wasysym.sty
Package: wasysym 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package
\symwasy=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `wasy' in version `bold'
(Font)                  U/wasy/m/n --> U/wasy/b/n on input line 90.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen117
\WF@size=\dimen118
\c@WF@wrappedlines=\count104
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks20
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
\every@verbatim=\toks21
\verbatim@line=\toks22
\verbatim@in@stream=\read1
)
\c@wrapwidth=\count105
\Zw=\count106
\Zh=\count107
(./28233-t.aux)
\openout1 = `28233-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 223.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 223.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.tex (/usr/share/texmf-texli
ve/tex/context/base/supp-mis.tex
loading : Context Support Macros / Miscellaneous (2004.10.26)
\protectiondepth=\count108
\scratchcounter=\count109
\scratchtoks=\toks23
\scratchdimen=\dimen119
\scratchskip=\skip48
\scratchmuskip=\muskip11
\scratchbox=\box29
\scratchread=\read2
\scratchwrite=\write3
\zeropoint=\dimen120
\onepoint=\dimen121
\onebasepoint=\dimen122
\minusone=\count110
\thousandpoint=\dimen123
\onerealpoint=\dimen124
\emptytoks=\toks24
\nextbox=\box30
\nextdepth=\dimen125
\everyline=\toks25
\!!counta=\count111
\!!countb=\count112
\recursecounter=\count113
)
loading : Context Support Macros / PDF (2004.03.26)
\nofMPsegments=\count114
\nofMParguments=\count115
\MPscratchCnt=\count116
\MPscratchDim=\dimen126
\MPnumerator=\count117
\everyMPtoPDFconversion=\toks26
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8
] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] <images/021.png, id=70, 203.5605pt x 1
18.7637pt>
File: images/021.png Graphic file (type png)
<use images/021.png>
LaTeX Font Info:    External font `cmex7' loaded for size
(Font)              <7> on input line 999.
LaTeX Font Info:    External font `cmex7' loaded for size
(Font)              <5> on input line 999.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 999.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 999.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+wasy on input line 999.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wasysym/uwasy.fd
File: uwasy.fd 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions
) <images/022.png, id=72, 245.2362pt x 245.9589pt>
File: images/022.png Graphic file (type png)
<use images/022.png> [17 <./images/021.png (PNG copy)> <./images/022.png (PNG c
opy)>] [18] [19] [20] <images/029.png, id=97, 279.9258pt x 180.9159pt>
File: images/029.png Graphic file (type png)
<use images/029.png> [21 <./images/029.png (PNG copy)>] [22] [23] [24] <images/
035.png, id=113, 194.1654pt x 260.172pt>
File: images/035.png Graphic file (type png)
<use images/035.png> [25 <./images/035.png (PNG copy)>] <images/036.png, id=121
, 380.1402pt x 263.5446pt>
File: images/036.png Graphic file (type png)
<use images/036.png>
Underfull \hbox (badness 1048) in paragraph at lines 1553--1554
\OT1/cmr/m/it/10 in-scrib-an-tur (ut supra) du^^Z par-al-lel-o-
 []

[26 <./images/036.png (PNG copy)>] <images/037.png, id=128, 185.0112pt x 252.22
23pt>
File: images/037.png Graphic file (type png)
<use images/037.png> <images/038.png, id=130, 254.6313pt x 102.1416pt>
File: images/038.png Graphic file (type png)
<use images/038.png>
File: images/037.png Graphic file (type png)
<use images/037.png> [27 <./images/037.png (PNG copy)> <./images/038.png (PNG c
opy)>] <images/039.png, id=140, 252.945pt x 282.0939pt>
File: images/039.png Graphic file (type png)
<use images/039.png> [28 <./images/039.png (PNG copy)>] <images/041.png, id=148
, 153.2124pt x 312.6882pt>
File: images/041.png Graphic file (type png)
<use images/041.png> [29 <./images/041.png (PNG copy)>] [30] [31] <images/045.p
ng, id=168, 395.5578pt x 364.4817pt>
File: images/045.png Graphic file (type png)
<use images/045.png> [32 <./images/045.png (PNG copy)>] [33] <images/049.png, i
d=178, 240.9pt x 302.0886pt>
File: images/049.png Graphic file (type png)
<use images/049.png> [34 <./images/049.png (PNG copy)>] [35] <images/052a.png, 
id=197, 277.035pt x 225.0006pt>
File: images/052a.png Graphic file (type png)
<use images/052a.png> <images/052b.png, id=199, 251.7405pt x 134.904pt>
File: images/052b.png Graphic file (type png)
<use images/052b.png> [36 <./images/052a.png (PNG copy)> <./images/052b.png (PN
G copy)>] <images/053.png, id=208, 251.2587pt x 159.4758pt>
File: images/053.png Graphic file (type png)
<use images/053.png> <images/054.png, id=210, 253.6677pt x 215.3646pt>
File: images/054.png Graphic file (type png)
<use images/054.png> [37 <./images/053.png (PNG copy)> <./images/054.png (PNG c
opy)>] <images/055.png, id=220, 258.7266pt x 127.1952pt>
File: images/055.png Graphic file (type png)
<use images/055.png> <images/056.png, id=222, 371.9496pt x 390.0171pt>
File: images/056.png Graphic file (type png)
<use images/056.png> [38 <./images/055.png (PNG copy)>]
Underfull \hbox (badness 3049) in paragraph at lines 2369--2379
[]\OT1/cmr/m/it/10 Corol. 2. \OT1/cmr/m/n/10 Et ^^Zqualia erunt rev-o-lu-
 []


Underfull \hbox (badness 1072) in paragraph at lines 2369--2379
\OT1/cmr/m/n/10 tion-um in Fig-uris uni-ver-sis cir-ca cen-
 []

[39 <./images/056.png (PNG copy)>]
File: images/056.png Graphic file (type png)
<use images/056.png> <images/060.png, id=235, 417.9615pt x 622.0038pt>
File: images/060.png Graphic file (type png)
<use images/060.png> [40]
Underfull \hbox (badness 1308) in paragraph at lines 2461--2503
\OT1/cmr/m/n/10 si $\OML/cmm/m/it/10 EC$ \OT1/cmr/m/n/10 par-al-lela, ob ^^Zqua
les $\OML/cmm/m/it/10 CS$\OT1/cmr/m/n/10 ,
 []

<images/062.png, id=241, 423.5022pt x 246.4407pt>
File: images/062.png Graphic file (type png)
<use images/062.png> [41 <./images/060.png (PNG copy)>]
File: images/062.png Graphic file (type png)
<use images/062.png>
Underfull \hbox (badness 3690) in paragraph at lines 2560--2588
[][]\OT1/cmr/m/n/10 Maneat con-struc-tio Lem-ma-tis,
 []

[42 <./images/062.png (PNG copy)>] [43] [44] <images/067.png, id=261, 358.941pt
 x 190.0701pt>
File: images/067.png Graphic file (type png)
<use images/067.png> [45 <./images/067.png (PNG copy)>] [46] <images/069.png, i
d=271, 216.0873pt x 191.2746pt>
File: images/069.png Graphic file (type png)
<use images/069.png> <images/070a.png, id=273, 287.1528pt x 295.1025pt>
File: images/070a.png Graphic file (type png)
<use images/070a.png> [47 <./images/069.png (PNG copy)> <./images/070a.png (PNG
 copy)>] <images/070b.png, id=282, 149.358pt x 228.3732pt>
File: images/070b.png Graphic file (type png)
<use images/070b.png> <images/071.png, id=284, 254.8722pt x 129.3633pt>
File: images/071.png Graphic file (type png)
<use images/071.png> <images/072.png, id=286, 258.2448pt x 217.7736pt>
File: images/072.png Graphic file (type png)
<use images/072.png> [48 <./images/070b.png (PNG copy)> <./images/071.png (PNG 
copy)> <./images/072.png (PNG copy)>] <images/073.png, id=297, 266.9172pt x 174
.4116pt>
File: images/073.png Graphic file (type png)
<use images/073.png> <images/074.png, id=299, 533.3526pt x 328.1058pt>
File: images/074.png Graphic file (type png)
<use images/074.png>
Underfull \hbox (badness 1565) in paragraph at lines 2983--2995
\OT1/cmr/m/n/10 scrip-t^^Z. In tan-gen-tem
 []

[49 <./images/073.png (PNG copy)> <./images/074.png (PNG copy)>] <images/075.pn
g, id=309, 253.4268pt x 254.3904pt>
File: images/075.png Graphic file (type png)
<use images/075.png> <images/076.png, id=311, 215.3646pt x 157.3077pt>
File: images/076.png Graphic file (type png)
<use images/076.png> [50 <./images/075.png (PNG copy)>] <images/077.png, id=318
, 352.9185pt x 232.7094pt>
File: images/077.png Graphic file (type png)
<use images/077.png> [51 <./images/076.png (PNG copy)> <./images/077.png (PNG c
opy)>] <images/078.png, id=327, 249.5724pt x 254.8722pt>
File: images/078.png Graphic file (type png)
<use images/078.png> <images/079a.png, id=329, 254.1495pt x 248.127pt>
File: images/079a.png Graphic file (type png)
<use images/079a.png> [52 <./images/078.png (PNG copy)> <./images/079a.png (PNG
 copy)>] <images/079b.png, id=338, 237.0456pt x 224.2779pt>
File: images/079b.png Graphic file (type png)
<use images/079b.png> <images/080.png, id=340, 276.0714pt x 275.5896pt>
File: images/080.png Graphic file (type png)
<use images/080.png> [53 <./images/079b.png (PNG copy)> <./images/080.png (PNG 
copy)>] <images/082.png, id=352, 283.2984pt x 294.3798pt>
File: images/082.png Graphic file (type png)
<use images/082.png> [54 <./images/082.png (PNG copy)>] <images/083.png, id=359
, 249.5724pt x 264.0264pt>
File: images/083.png Graphic file (type png)
<use images/083.png> <images/084.png, id=361, 303.7749pt x 251.0178pt>
File: images/084.png Graphic file (type png)
<use images/084.png> [55 <./images/083.png (PNG copy)> <./images/084.png (PNG c
opy)>] <images/086.png, id=370, 333.1647pt x 379.4175pt>
File: images/086.png Graphic file (type png)
<use images/086.png> [56 <./images/086.png (PNG copy)>] <images/087.png, id=377
, 334.6101pt x 292.2117pt>
File: images/087.png Graphic file (type png)
<use images/087.png>
File: images/086.png Graphic file (type png)
<use images/086.png> [57 <./images/087.png (PNG copy)>] <images/090a.png, id=38
4, 287.3937pt x 302.5704pt>
File: images/090a.png Graphic file (type png)
<use images/090a.png> [58 <./images/090a.png (PNG copy)>] <images/090b.png, id=
391, 423.0204pt x 421.0932pt>
File: images/090b.png Graphic file (type png)
<use images/090b.png> <images/091.png, id=393, 285.4665pt x 275.5896pt>
File: images/091.png Graphic file (type png)
<use images/091.png> <images/092.png, id=395, 260.172pt x 330.2739pt>
File: images/092.png Graphic file (type png)
<use images/092.png> [59 <./images/090b.png (PNG copy)> <./images/091.png (PNG 
copy)>] <images/093.png, id=404, 333.8874pt x 245.2362pt>
File: images/093.png Graphic file (type png)
<use images/093.png>
Underfull \hbox (badness 1048) in paragraph at lines 3733--3758
[][]\OT1/cmr/m/n/10 Transmutanda sit figu-ra qu^^Zvis $\OML/cmm/m/it/10 HGI$\OT
1/cmr/m/n/10 .
 []

[60 <./images/092.png (PNG copy)> <./images/093.png (PNG copy)>] <images/096.pn
g, id=413, 256.5585pt x 277.9986pt>
File: images/096.png Graphic file (type png)
<use images/096.png> [61] <images/097.png, id=419, 283.0575pt x 244.7544pt>
File: images/097.png Graphic file (type png)
<use images/097.png> [62 <./images/096.png (PNG copy)>] <images/098.png, id=426
, 365.2044pt x 285.2256pt>
File: images/098.png Graphic file (type png)
<use images/098.png> [63 <./images/097.png (PNG copy)> <./images/098.png (PNG c
opy)>] <images/100.png, id=435, 363.0363pt x 227.6505pt>
File: images/100.png Graphic file (type png)
<use images/100.png> <images/101.png, id=437, 413.1435pt x 416.2752pt>
File: images/101.png Graphic file (type png)
<use images/101.png> [64 <./images/100.png (PNG copy)> <./images/101.png (PNG c
opy)>] <images/102.png, id=446, 323.5287pt x 375.5631pt>
File: images/102.png Graphic file (type png)
<use images/102.png> [65 <./images/102.png (PNG copy)>] <images/104a.png, id=45
3, 318.4698pt x 251.4996pt>
File: images/104a.png Graphic file (type png)
<use images/104a.png> <images/104b.png, id=455, 351.4731pt x 413.6253pt>
File: images/104b.png Graphic file (type png)
<use images/104b.png> [66 <./images/104a.png (PNG copy)> <./images/104b.png (PN
G copy)>] <images/106.png, id=464, 546.6021pt x 253.6677pt>
File: images/106.png Graphic file (type png)
<use images/106.png>
Underfull \hbox (badness 2134) in paragraph at lines 4221--4225
\OML/cmm/m/it/10 DEF$\OT1/cmr/m/n/10 , qu^^Zq; a rec-tis
 []

<images/108.png, id=466, 545.6385pt x 411.6981pt>
File: images/108.png Graphic file (type png)
<use images/108.png>
Underfull \hbox (badness 5231) in paragraph at lines 4241--4266
[][]\OT1/cmr/m/n/10 Dentur po-si-tione rec-t^^Z
 []

[67 <./images/106.png (PNG copy)> <./images/108.png (PNG copy)>] <images/109.pn
g, id=476, 435.0654pt x 405.9165pt>
File: images/109.png Graphic file (type png)
<use images/109.png> [68 <./images/109.png (PNG copy)>] <images/110.png, id=483
, 475.7775pt x 442.0515pt>
File: images/110.png Graphic file (type png)
<use images/110.png>
Underfull \hbox (badness 3333) in paragraph at lines 4343--4363
\OML/cmm/m/it/10 fghi$\OT1/cmr/m/n/10 , qu^^Z sim-ilis sit line^^Z
 []


Underfull \hbox (badness 2698) in paragraph at lines 4343--4363
\OML/cmm/m/it/10 GH$\OT1/cmr/m/n/10 , $\OML/cmm/m/it/10 HI$ \OT1/cmr/m/n/10 sim
-i-les & pro-por-
 []

[69 <./images/110.png (PNG copy)>] <images/111.png, id=490, 550.4565pt x 285.46
65pt>
File: images/111.png Graphic file (type png)
<use images/111.png> [70 <./images/111.png (PNG copy)>] <images/112.png, id=497
, 221.1462pt x 312.6882pt>
File: images/112.png Graphic file (type png)
<use images/112.png> [71 <./images/112.png (PNG copy)>] [72] <images/116.png, i
d=507, 512.3943pt x 300.8841pt>
File: images/116.png Graphic file (type png)
<use images/116.png> [73 <./images/116.png (PNG copy)>] <images/118.png, id=515
, 419.4069pt x 283.7802pt>
File: images/118.png Graphic file (type png)
<use images/118.png> [74 <./images/118.png (PNG copy)>] <images/119.png, id=522
, 384.4764pt x 268.3626pt>
File: images/119.png Graphic file (type png)
<use images/119.png> <images/121.png, id=524, 249.0906pt x 211.0284pt>
File: images/121.png Graphic file (type png)
<use images/121.png> [75 <./images/119.png (PNG copy)>] [76 <./images/121.png (
PNG copy)>] <images/123.png, id=536, 154.176pt x 447.1104pt>
File: images/123.png Graphic file (type png)
<use images/123.png> <images/126.png, id=538, 255.1131pt x 423.5022pt>
File: images/126.png Graphic file (type png)
<use images/126.png>
Underfull \hbox (badness 3333) in paragraph at lines 4853--4861
[]\OT1/cmr/m/it/10 Cas. 3. \OT1/cmr/m/n/10 Et sim-ili ar-gu-men-to si figu-ra $
\OML/cmm/m/it/10 RPB$
 []

[77 <./images/123.png (PNG copy)> <./images/126.png (PNG copy)>]
File: images/123.png Graphic file (type png)
<use images/123.png>
File: images/126.png Graphic file (type png)
<use images/126.png> [78] <images/127.png, id=554, 137.0721pt x 407.3619pt>
File: images/127.png Graphic file (type png)
<use images/127.png> <images/128a.png, id=556, 253.9086pt x 453.6147pt>
File: images/128a.png Graphic file (type png)
<use images/128a.png> [79 <./images/127.png (PNG copy)> <./images/128a.png (PNG
 copy)>] <images/128b.png, id=566, 108.8868pt x 303.2931pt>
File: images/128b.png Graphic file (type png)
<use images/128b.png> <images/129a.png, id=568, 140.9265pt x 452.892pt>
File: images/129a.png Graphic file (type png)
<use images/129a.png> <images/129b.png, id=570, 172.7253pt x 178.5069pt>
File: images/129b.png Graphic file (type png)
<use images/129b.png> [80 <./images/128b.png (PNG copy)> <./images/129a.png (PN
G copy)>] <images/130.png, id=579, 210.0648pt x 397.2441pt>
File: images/130.png Graphic file (type png)
<use images/130.png> [81 <./images/129b.png (PNG copy)> <./images/130.png (PNG 
copy)>] [82] <images/136.png, id=591, 575.9919pt x 406.6392pt>
File: images/136.png Graphic file (type png)
<use images/136.png> [83 <./images/136.png (PNG copy)>]
File: images/136.png Graphic file (type png)
<use images/136.png> [84] <images/138.png, id=603, 421.8159pt x 340.6326pt>
File: images/138.png Graphic file (type png)
<use images/138.png> [85] [86 <./images/138.png (PNG copy)>] <images/140.png, i
d=614, 325.6968pt x 343.7643pt>
File: images/140.png Graphic file (type png)
<use images/140.png>
File: images/140.png Graphic file (type png)
<use images/140.png> [87 <./images/140.png (PNG copy)>] [88] <images/145.png, i
d=626, 222.3507pt x 193.6836pt>
File: images/145.png Graphic file (type png)
<use images/145.png> [89 <./images/145.png (PNG copy)>] [90] [91] [92] [93] <im
ages/153.png, id=652, 344.7279pt x 352.6776pt>
File: images/153.png Graphic file (type png)
<use images/153.png> [94 <./images/153.png (PNG copy)>]
File: images/153.png Graphic file (type png)
<use images/153.png> [95] <images/156.png, id=664, 693.792pt x 580.569pt>
File: images/156.png Graphic file (type png)
<use images/156.png> [96 <./images/156.png (PNG copy)>] <images/159.png, id=671
, 420.8523pt x 480.1137pt>
File: images/159.png Graphic file (type png)
<use images/159.png> [97 <./images/159.png (PNG copy)>] [98] <images/161.png, i
d=682, 258.0039pt x 182.8431pt>
File: images/161.png Graphic file (type png)
<use images/161.png> <images/162.png, id=684, 482.7636pt x 189.8292pt>
File: images/162.png Graphic file (type png)
<use images/162.png> [99 <./images/161.png (PNG copy)> <./images/162.png (PNG c
opy)>] [100] <images/165.png, id=696, 411.4572pt x 478.4274pt>
File: images/165.png Graphic file (type png)
<use images/165.png> [101 <./images/165.png (PNG copy)>] <images/167.png, id=70
3, 211.0284pt x 359.4228pt>
File: images/167.png Graphic file (type png)
<use images/167.png> <images/168.png, id=705, 320.397pt x 433.62pt>
File: images/168.png Graphic file (type png)
<use images/168.png> [102 <./images/167.png (PNG copy)>] [103 <./images/168.png
 (PNG copy)>] [104] <images/172.png, id=721, 468.5505pt x 176.5797pt>
File: images/172.png Graphic file (type png)
<use images/172.png> [105] [106 <./images/172.png (PNG copy)>] [107] [108] <ima
ges/177.png, id=737, 291.0072pt x 203.3196pt>
File: images/177.png Graphic file (type png)
<use images/177.png> [109 <./images/177.png (PNG copy)>] [110] <images/185.png,
 id=748, 359.4228pt x 194.1654pt>
File: images/185.png Graphic file (type png)
<use images/185.png>
Underfull \hbox (badness 1776) in paragraph at lines 6914--6967
\OT1/cmr/m/n/10 & $\OML/cmm/m/it/10 Q$ \OT1/cmr/m/n/10 in eo-dem plano cir-ca m
ax-i-mum
 []

[111 <./images/185.png (PNG copy)>] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [
119]
File: images/185.png Graphic file (type png)
<use images/185.png>
Underfull \hbox (badness 1484) in paragraph at lines 7454--7474
\OT1/cmr/m/n/10 Prop. LXVI, sed ar-gu-men-to pro-lix-iore,
 []

[120] [121] [122] <images/201.png, id=792, 227.6505pt x 252.4632pt>
File: images/201.png Graphic file (type png)
<use images/201.png> <images/202.png, id=794, 571.6557pt x 199.7061pt>
File: images/202.png Graphic file (type png)
<use images/202.png> [123 <./images/201.png (PNG copy)> <./images/202.png (PNG 
copy)>] [124] <images/204.png, id=806, 183.8067pt x 236.3229pt>
File: images/204.png Graphic file (type png)
<use images/204.png> [125 <./images/204.png (PNG copy)>] <images/207.png, id=81
3, 424.2249pt x 213.9192pt>
File: images/207.png Graphic file (type png)
<use images/207.png> [126 <./images/207.png (PNG copy)>] <images/210.png, id=82
0, 262.8219pt x 199.7061pt>
File: images/210.png Graphic file (type png)
<use images/210.png>
Underfull \hbox (badness 1158) in paragraph at lines 7897--7898
\OT1/cmr/m/it/10 cen-tripet^^Z pro-por-tionales dis-tan-ti-is punc-to-rum a
 []

[127 <./images/210.png (PNG copy)>] [128] <images/215.png, id=831, 438.438pt x 
277.035pt>
File: images/215.png Graphic file (type png)
<use images/215.png> [129] [130 <./images/215.png (PNG copy)>]
File: images/215.png Graphic file (type png)
<use images/215.png> <images/216.png, id=842, 198.2607pt x 245.9589pt>
File: images/216.png Graphic file (type png)
<use images/216.png> [131] <images/217.png, id=848, 213.4374pt x 229.0959pt>
File: images/217.png Graphic file (type png)
<use images/217.png> [132 <./images/216.png (PNG copy)> <./images/217.png (PNG 
copy)>]
File: images/215.png Graphic file (type png)
<use images/215.png> <images/220.png, id=858, 217.2918pt x 308.352pt>
File: images/220.png Graphic file (type png)
<use images/220.png> [133] [134 <./images/220.png (PNG copy)>] [135] <images/22
4.png, id=873, 251.2587pt x 238.491pt>
File: images/224.png Graphic file (type png)
<use images/224.png> [136 <./images/224.png (PNG copy)>] <images/226.png, id=88
0, 246.9225pt x 271.0125pt>
File: images/226.png Graphic file (type png)
<use images/226.png> [137 <./images/226.png (PNG copy)>] <images/228.png, id=88
7, 273.1806pt x 224.7597pt>
File: images/228.png Graphic file (type png)
<use images/228.png> [138 <./images/228.png (PNG copy)>] <images/229.png, id=89
4, 323.7696pt x 260.4129pt>
File: images/229.png Graphic file (type png)
<use images/229.png>
Underfull \hbox (badness 1112) in paragraph at lines 8657--8681
[][]\OT1/cmr/m/it/10 Corol. 2. \OT1/cmr/m/n/10 Hinc eti-am vis in-notesc-it qua

 []

<images/230.png, id=896, 216.3282pt x 212.2329pt>
File: images/230.png Graphic file (type png)
<use images/230.png> [139 <./images/229.png (PNG copy)> <./images/230.png (PNG 
copy)>] <images/231.png, id=906, 298.4751pt x 176.3388pt>
File: images/231.png Graphic file (type png)
<use images/231.png> [140 <./images/231.png (PNG copy)>] [141] [142] <images/23
5.png, id=919, 315.0972pt x 360.8682pt>
File: images/235.png Graphic file (type png)
<use images/235.png> <images/237.png, id=921, 309.3156pt x 270.0489pt>
File: images/237.png Graphic file (type png)
<use images/237.png> [143 <./images/235.png (PNG copy)>] <images/238.png, id=92
8, 311.4837pt x 154.176pt>
File: images/238.png Graphic file (type png)
<use images/238.png> [144 <./images/237.png (PNG copy)> <./images/238.png (PNG 
copy)>] <images/240.png, id=937, 186.6975pt x 141.8901pt>
File: images/240.png Graphic file (type png)
<use images/240.png> [145 <./images/240.png (PNG copy)>] <images/241a.png, id=9
45, 315.8199pt x 130.5678pt>
File: images/241a.png Graphic file (type png)
<use images/241a.png> <images/241b.png, id=947, 320.8788pt x 205.2468pt>
File: images/241b.png Graphic file (type png)
<use images/241b.png> [146 <./images/241a.png (PNG copy)> <./images/241b.png (P
NG copy)>] [147] [148] <images/246a.png, id=962, 154.8987pt x 140.9265pt>
File: images/246a.png Graphic file (type png)
<use images/246a.png> <images/246b.png, id=964, 286.671pt x 228.855pt>
File: images/246b.png Graphic file (type png)
<use images/246b.png> <images/247.png, id=966, 297.9933pt x 244.2726pt>
File: images/247.png Graphic file (type png)
<use images/247.png> [149 <./images/246a.png (PNG copy)> <./images/246b.png (PN
G copy)>] <images/249.png, id=975, 295.5843pt x 290.0436pt>
File: images/249.png Graphic file (type png)
<use images/249.png> [150 <./images/247.png (PNG copy)>] [151 <./images/249.png
 (PNG copy)>] <images/280.png, id=988, 194.8881pt x 106.9596pt>
File: images/280.png Graphic file (type png)
<use images/280.png> [152 <./images/280.png (PNG copy)>] [153] <images/254.png,
 id=998, 228.6141pt x 248.127pt>
File: images/254.png Graphic file (type png)
<use images/254.png> [154 <./images/254.png (PNG copy)>] <images/256.png, id=10
05, 281.6121pt x 254.8722pt>
File: images/256.png Graphic file (type png)
<use images/256.png> [155 <./images/256.png (PNG copy)>] [156] [157] <images/26
3.png, id=1019, 559.6107pt x 532.6299pt>
File: images/263.png Graphic file (type png)
<use images/263.png> [158] [159 <./images/263.png (PNG copy)>]
File: images/263.png Graphic file (type png)
<use images/263.png> [160] [161] <images/271.png, id=1037, 286.671pt x 232.7094
pt>
File: images/271.png Graphic file (type png)
<use images/271.png> [162 <./images/271.png (PNG copy)>] [163] [164] [165] <ima
ges/275.png, id=1054, 415.3116pt x 413.8662pt>
File: images/275.png Graphic file (type png)
<use images/275.png>
Underfull \hbox (badness 2237) in paragraph at lines 10269--10316
\OT1/cmr/m/n/10 rect-an-gu-lum $\OML/cmm/m/it/10 XV$ \OT1/cmr/m/n/10 in $\OML/c
mm/m/it/10 VG$ \OT1/cmr/m/n/10 dabitur.
 []

[166 <./images/275.png (PNG copy)>] [167]
File: images/280.png Graphic file (type png)
<use images/280.png> [168]
File: images/275.png Graphic file (type png)
<use images/275.png> <images/281.png, id=1070, 231.264pt x 300.1614pt>
File: images/281.png Graphic file (type png)
<use images/281.png> [169 <./images/281.png (PNG copy)>] [170] <images/283.png,
 id=1082, 243.7908pt x 255.5949pt>
File: images/283.png Graphic file (type png)
<use images/283.png> [171 <./images/283.png (PNG copy)>] <images/285.png, id=10
89, 289.8027pt x 340.1508pt>
File: images/285.png Graphic file (type png)
<use images/285.png> [172 <./images/285.png (PNG copy)>] <images/286.png, id=10
96, 365.9271pt x 336.2964pt>
File: images/286.png Graphic file (type png)
<use images/286.png> <images/287.png, id=1098, 281.3712pt x 403.7484pt>
File: images/287.png Graphic file (type png)
<use images/287.png> [173 <./images/286.png (PNG copy)> <./images/287.png (PNG 
copy)>] [174] [175] <images/292.png, id=1114, 294.3798pt x 279.9258pt>
File: images/292.png Graphic file (type png)
<use images/292.png>
File: images/292.png Graphic file (type png)
<use images/292.png> [176 <./images/292.png (PNG copy)>] [177] <images/295.png,
 id=1126, 363.9999pt x 380.3811pt>
File: images/295.png Graphic file (type png)
<use images/295.png>
Underfull \hbox (badness 1014) in paragraph at lines 10982--11013
[][]\OT1/cmr/m/it/10 Corol. 7. \OT1/cmr/m/n/10 Si cor-pus, in Medio cu-jus
 []

[178 <./images/295.png (PNG copy)>] [179] [180] <images/299.png, id=1139, 182.1
204pt x 213.9192pt>
File: images/299.png Graphic file (type png)
<use images/299.png> [181 <./images/299.png (PNG copy)>] <images/301.png, id=11
47, 184.2885pt x 229.0959pt>
File: images/301.png Graphic file (type png)
<use images/301.png> [182 <./images/301.png (PNG copy)>] [183] <images/304.png,
 id=1157, 153.9351pt x 261.1356pt>
File: images/304.png Graphic file (type png)
<use images/304.png> [184] <images/305.png, id=1162, 284.9847pt x 300.6432pt>
File: images/305.png Graphic file (type png)
<use images/305.png> [185 <./images/304.png (PNG copy)> <./images/305.png (PNG 
copy)>] <images/306.png, id=1171, 436.029pt x 328.5876pt>
File: images/306.png Graphic file (type png)
<use images/306.png> [186 <./images/306.png (PNG copy)>] <images/309.png, id=11
78, 281.6121pt x 188.6247pt>
File: images/309.png Graphic file (type png)
<use images/309.png> [187 <./images/309.png (PNG copy)>] [188] [189] [190] <ima
ges/313.png, id=1195, 344.2461pt x 260.6538pt>
File: images/313.png Graphic file (type png)
<use images/313.png> [191 <./images/313.png (PNG copy)>] [192] <images/317.png,
 id=1205, 361.35pt x 275.3487pt>
File: images/317.png Graphic file (type png)
<use images/317.png> [193 <./images/317.png (PNG copy)>] [194] <images/321.png,
 id=1216, 321.3606pt x 209.3421pt>
File: images/321.png Graphic file (type png)
<use images/321.png> [195 <./images/321.png (PNG copy)>] [196] [197] [198] [199
] [200] [201] <images/333.png, id=1242, 431.6928pt x 303.534pt>
File: images/333.png Graphic file (type png)
<use images/333.png> [202 <./images/333.png (PNG copy)>] <images/334.png, id=12
49, 154.8987pt x 161.403pt>
File: images/334.png Graphic file (type png)
<use images/334.png> <images/335.png, id=1251, 308.8338pt x 207.174pt>
File: images/335.png Graphic file (type png)
<use images/335.png> [203 <./images/334.png (PNG copy)>] [204 <./images/335.png
 (PNG copy)>] [205] [206] <images/341.png, id=1270, 401.0985pt x 578.6418pt>
File: images/341.png Graphic file (type png)
<use images/341.png>
Underfull \hbox (badness 2875) in paragraph at lines 12687--12738
[][]\OT1/cmr/m/n/10 Defluat aqua de vase Cylin-dri-
 []

[207 <./images/341.png (PNG copy)>] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [
215] [216] [217] [218] [219] [220] <images/362.png, id=1318, 170.7981pt x 145.2
627pt>
File: images/362.png Graphic file (type png)
<use images/362.png> <images/365.png, id=1320, 542.5068pt x 489.5088pt>
File: images/365.png Graphic file (type png)
<use images/365.png>
Underfull \hbox (badness 1348) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 a-gat^^Z pars ali-qua ob-stac-
 []


Underfull \hbox (badness 2573) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 qua qu^^Z non in-ter-cip-itur
 []


Underfull \hbox (badness 1466) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 di-var-i-cabit in spa-tia pone
 []


Underfull \hbox (badness 1014) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 ob-stac-u-lum. Id quod sic
 []


Underfull \hbox (badness 3375) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 eti-am demon-strari pot-est.
 []


Underfull \hbox (badness 7576) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 A punc-to $\OML/cmm/m/it/10 A$ \OT1/cmr/m/n/10 propage-tur
 []


Underfull \hbox (badness 2334) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 pres-sio quaqua-ver-sum, id-
 []


Underfull \hbox (badness 1867) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 que si fieri potest se-cun-
 []


Underfull \hbox (badness 1292) in paragraph at lines 13504--13532
\OT1/cmr/m/n/10 dum lin-eas rec-tas, & ob-
 []

[221 <./images/362.png (PNG copy)> <./images/365.png (PNG copy)>]
File: images/365.png Graphic file (type png)
<use images/365.png>
Underfull \hbox (badness 1655) in paragraph at lines 13542--13565
[][]\OT1/cmr/m/it/10 Cas. 1. \OT1/cmr/m/n/10 Propage-tur mo-
 []

[222] [223] <images/369.png, id=1338, 560.8152pt x 216.3282pt>
File: images/369.png Graphic file (type png)
<use images/369.png>
Underfull \hbox (badness 1688) in paragraph at lines 13677--13699
\OT1/cmr/m/n/10 es canalis & cru-rum,
 []

[224 <./images/369.png (PNG copy)>] [225] [226] <images/374.png, id=1351, 141.1
674pt x 1047.915pt>
File: images/374.png Graphic file (type png)
<use images/374.png>
Underfull \hbox (badness 1735) in paragraph at lines 13824--13858
[]\OT1/cmr/m/n/10 Designent $\OML/cmm/m/it/10 AB$\OT1/cmr/m/n/10 , $\OML/cmm/m/
it/10 BC$\OT1/cmr/m/n/10 , $\OML/cmm/m/it/10 CD$\OT1/cmr/m/n/10 , &c. pul-su-um
 suc-ces-sivo-rum
 []

<images/373.png, id=1353, 167.1846pt x 207.4149pt>
File: images/373.png Graphic file (type png)
<use images/373.png> [227 <./images/374.png (PNG copy)>] [228 <./images/373.png
 (PNG copy)>] [229] [230] [231] <images/381.png, id=1375, 305.2203pt x 301.8477
pt>
File: images/381.png Graphic file (type png)
<use images/381.png> [232 <./images/381.png (PNG copy)>] [233] [234] [235] [236
] [237] <images/392.png, id=1398, 269.3262pt x 306.4248pt>
File: images/392.png Graphic file (type png)
<use images/392.png> [238 <./images/392.png (PNG copy)>] [239] [240] [241] [242
] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] <images/410.png, 
id=1452, 180.1932pt x 207.174pt>
File: images/410.png Graphic file (type png)
<use images/410.png> [253 <./images/410.png (PNG copy)>] [254] [255] [256] [257
] <images/419.png, id=1472, 303.2931pt x 246.4407pt>
File: images/419.png Graphic file (type png)
<use images/419.png> [258 <./images/419.png (PNG copy)>] [259] <images/422.png,
 id=1486, 358.4592pt x 191.5155pt>
File: images/422.png Graphic file (type png)
<use images/422.png> [260 <./images/422.png (PNG copy)>] <images/424.png, id=14
93, 437.4744pt x 367.6134pt>
File: images/424.png Graphic file (type png)
<use images/424.png>
Underfull \hbox (badness 2799) in paragraph at lines 15839--15904
\OT1/cmr/m/n/10 dio ad Ter-ram duc-to de-scrib-it,
 []


Underfull \hbox (badness 2065) in paragraph at lines 15839--15904
\OT1/cmr/m/n/10 in-ves-ti-gan-dam pro-pon-imus. Ut
 []

[261 <./images/424.png (PNG copy)>] [262] <images/427.png, id=1503, 298.2342pt 
x 407.6028pt>
File: images/427.png Graphic file (type png)
<use images/427.png> [263 <./images/427.png (PNG copy)>] <images/432.png, id=15
10, 509.9853pt x 459.3963pt>
File: images/432.png Graphic file (type png)
<use images/432.png> [264]
Underfull \hbox (badness 1072) in paragraph at lines 16072--16111
\OT1/cmr/m/n/10 semidi-am-e-ter $\OML/cmm/m/it/10 SA$ \OT1/cmr/m/n/10 ad ejus-
 []


Underfull \hbox (badness 1755) in paragraph at lines 16072--16111
\OT1/cmr/m/n/10 mo-men-tum in Quadratu-ra
 []

File: images/432.png Graphic file (type png)
<use images/432.png> [265 <./images/432.png (PNG copy)>]
Underfull \hbox (badness 2932) in paragraph at lines 16130--16146
\OT1/cmr/m/n/10 or $\OML/cmm/m/it/10 PI$ \OT1/cmr/m/n/10 ex viribus $\OML/cmm/m
/it/10 IT$ \OT1/cmr/m/n/10 &
 []


Underfull \hbox (badness 1087) in paragraph at lines 16130--16146
\OT1/cmr/m/n/10 pore suo pe-ri-od-i-co re-volvi
 []

[266] <images/434.png, id=1526, 385.9218pt x 341.3553pt>
File: images/434.png Graphic file (type png)
<use images/434.png>
Underfull \hbox (badness 4217) in paragraph at lines 16198--16203
\OT1/cmr/m/n/10 sum, sin-gulis men-si-bus fer-un-tur in
 []

[267 <./images/434.png (PNG copy)>] <images/436.png, id=1533, 506.8536pt x 543.
4704pt>
File: images/436.png Graphic file (type png)
<use images/436.png>
Underfull \hbox (badness 2521) in paragraph at lines 16277--16287
[][]\OT1/cmr/m/n/10 Designet $\OML/cmm/m/it/10 Qpmaq$ \OT1/cmr/m/n/10 El-lip-
 []

[268 <./images/436.png (PNG copy)>] [269] [270] <images/441.png, id=1546, 380.6
22pt x 325.215pt>
File: images/441.png Graphic file (type png)
<use images/441.png> [271 <./images/441.png (PNG copy)>] <images/444.png, id=15
54, 404.712pt x 257.763pt>
File: images/444.png Graphic file (type png)
<use images/444.png> [272] <images/445.png, id=1559, 513.3579pt x 486.618pt>
File: images/445.png Graphic file (type png)
<use images/445.png>
Underfull \hbox (badness 1173) in paragraph at lines 16582--16598
\OT1/cmr/m/n/10 pen-dicu-lum $\OML/cmm/m/it/10 PG$\OT1/cmr/m/n/10 , jun-gatur
 []

[273 <./images/444.png (PNG copy)> <./images/445.png (PNG copy)>] [274] <images
/450.png, id=1571, 404.4711pt x 147.6717pt>
File: images/450.png Graphic file (type png)
<use images/450.png> [275 <./images/450.png (PNG copy)>] <images/451.png, id=15
78, 357.9774pt x 186.6975pt>
File: images/451.png Graphic file (type png)
<use images/451.png> [276] [277 <./images/451.png (PNG copy)>] [278] <images/45
8.png, id=1592, 232.2276pt x 301.6068pt>
File: images/458.png Graphic file (type png)
<use images/458.png> [279 <./images/458.png (PNG copy)>] [280]
File: images/458.png Graphic file (type png)
<use images/458.png> <images/460.png, id=1603, 252.7041pt x 254.6313pt>
File: images/460.png Graphic file (type png)
<use images/460.png> [281] [282 <./images/460.png (PNG copy)>] <images/462.png,
 id=1614, 320.397pt x 237.7683pt>
File: images/462.png Graphic file (type png)
<use images/462.png> [283 <./images/462.png (PNG copy)>] <images/463.png, id=16
22, 211.992pt x 321.6015pt>
File: images/463.png Graphic file (type png)
<use images/463.png> [284 <./images/463.png (PNG copy)>] [285] [286] <images/47
0.png, id=1635, 319.4334pt x 282.0939pt>
File: images/470.png Graphic file (type png)
<use images/470.png> [287] [288 <./images/470.png (PNG copy)>] <images/472.png,
 id=1645, 222.1098pt x 221.628pt>
File: images/472.png Graphic file (type png)
<use images/472.png> <images/474.png, id=1647, 545.8794pt x 287.1528pt>
File: images/474.png Graphic file (type png)
<use images/474.png> [289 <./images/472.png (PNG copy)> <./images/474.png (PNG 
copy)>] [290] <images/476.png, id=1660, 574.5465pt x 509.7444pt>
File: images/476.png Graphic file (type png)
<use images/476.png> [291 <./images/476.png (PNG copy)>] [292] [293] <images/48
0.png, id=1673, 515.526pt x 352.6776pt>
File: images/480.png Graphic file (type png)
<use images/480.png> <images/481.png, id=1675, 1549.7097pt x 566.115pt>
File: images/481.png Graphic file (type png)
<use images/481.png> [294 <./images/480.png (PNG copy)> <./images/481.png (PNG 
copy)>] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306]
[307] [308] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (./28233-t.aux) ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 4338 strings out of 95148
 51694 string characters out of 1184452
 106859 words of memory out of 1000000
 7270 multiletter control sequences out of 10000+50000
 9815 words of font info for 36 fonts, out of 500000 for 2000
 73 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,12n,29p,322b,297s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s
PDF statistics:
 1753 PDF objects out of 300000
 0 named destinations out of 131072
 1941 words of extra memory for PDF output out of 10000
</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/public/cb/grmn1000.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/public/wasy/wasy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy5
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ty
pe1/bluesky/cm/cmti7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti10
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmtt9.pfb>
Output written on 28233-t.pdf (316 pages, 4017826 bytes).
