ÜBER DIE

                       GEOMETRIE DER ALTEN ÆGYPTER

                            ------------------

                                 VORTRAG

                             GEHALTEN IN DER

     FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN

                                    AM

                          XXIX. MAI MDCCCLXXXIV

                                   VON

                              DR. EMIL WEYR

    WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

                            ------------------

                                   WIEN

                 AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

                  IN COMMISSION BEI KARL GEROLD’S SOHN,

        BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

                                   1884






Möge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu
entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des
Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur
Darstellung bringen soll; und möge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit
einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen
als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden
bescheidenen, weil schwachen Kräften entspringenden Leistung obwalten!

So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung
der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in
jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in
welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wäre. Sind
doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der
geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kürzesten Entfernung; jene
des Mehr und Weniger bei Quantitäten der Entfernungen, Höhen, Neigungen,
und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in
seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen,
welche durch die Möglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung
jene Stabilität erhielten, die sie befähigte, als erste Fundamente der
geometrischen Kenntnisse zunächst, und der Geometrie als Wissenschaft
später aufzutreten.

Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den
verschiedensten Orten. Denn überall, wo der menschliche Geist sich zu
entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Höhe erreichte, auf
welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden
Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen
und krummen Flächen. Denn überall in der Natur boten sich dem erwachenden
Menschen Repräsentanten dieser Begriffe in grösserer oder geringerer
Genauigkeit dar. Während der Anblick der auf- und untergehenden Sonne,
sowie des vollen Mondes in südlichen Gegenden fast täglich das Bild der
»vollkommensten«, der »schönsten« Linie, der Kreislinie vorführte,
stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glänzende
Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen
Lagenverhältnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten
Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden
und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner nächsten
Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklänge; das Gewebe
der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Fäden, die sechseckige
Bienenzelle, die beim Fallen eines Körpers in ruhendes Wasser entstehenden
concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach
und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur
Beobachtung gesetzmässiger geometrischer Formen führen.

Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im
Besonderen wird Aegypten angeführt; doch ist die Zeit längst vorbei, wo
man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte,
vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem
Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch
praktische Bedürfnisse gezwungen war. Die Höhe, zu welcher sich die
einzelnen Völker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen
vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des
Bedürfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einflüsse religiöser
Verhältnisse ab.

Und so mag sich zunächst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche
allen Völkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil
auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von
Bauten überall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten
zu können. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands,
mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in
dem Maasse besessen haben, wie sie zur Aufführung von Wasserbauten,
Dämmen, Canälen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet,
nothwendig waren.

Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwärts, so
dürfen wir nicht überrascht sein, dass man bei dem uns bekannten ältesten
Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar
an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns über
diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem
Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spärliche zu nennen.

Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und
Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es
lässt sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Späteren auf Frühere sich
stützen, und wir es möglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte
fortgeführten Nachricht zu thun haben.

Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fünften vorchristlichen
Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie
von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas später (393
v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter »die
Aelteren (unter ihren Priestern) über die wichtigsten Angelegenheiten
setzten, dagegen die Jüngeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnügens,
sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschäftigen«.

In *Platon*’s _Phädrus_ sagt *Sokrates*: »Ich habe vernommen, zu Naukratis
in Aegypten sei einer der dortigen alten Götter gewesen, dem auch der
Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, während der Gott selbst den
Namen Teuth führt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden
und Geometrie und Astronomie«(3), und einen directen Hinweis finden wir
bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) »Daher
entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier
war den Priestern die dazu nöthige Müsse vergönnt.«

Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der
Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Künste zu,
worüber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste,
bemerkt: »Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der
Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso
seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften
und Künste erfunden worden.«

Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsächlich
diejenigen Berichte zu erwähnen, welche sich auf die Art der
wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen.

Da sagt zunächst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Könige
*Sesostris* durchgeführte Ländereintheilung: »Auch sagten sie, dass dieser
König das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein
gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einkünfte bezogen
habe, indem er eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der
Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und
das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen
hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war, damit der Inhaber
von dem übrigen nach Verhältniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus
erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas
kam.«

Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden
Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklärlicherweise,
vorzüglich an den einen, die Nilüberschwemmungen betreffenden Theil obiger
Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der
unmittelbare Anstoss für alle geometrischen Arbeiten der Aegypter
hingestellt. Und doch scheint es uns viel näherliegend, die einerseits
behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den
Veränderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden
Flächenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu
erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der
Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden
Nilüberschwemmungen vorgekommenen Terrainveränderungen mit Vortheil
benutzt worden sein mögen.

Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmückung des, jene
Nilüberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*’schen Berichtes,
wenn man die Aufzeichnungen späterer Gewährsmänner näher betrachtet.

Zunächst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezügliche
Stelle(7): »Die früheste Geometrie beschäftigte sich, wie uns die alte
Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Ländereien,
woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung nämlich
ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des
Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der Flussschwelle offen dalagen,
verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken
desselben zum Vorschein, und es war nicht immer möglich, über die
Identität derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den
Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.«

Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir
übrigens auch über andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter
belehrt werden; *Diodor* sagt: »Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei
Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewöhnlich lernt. Mit
Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. Denn indem der
Fluss jährlich das Land vielfach verändert, veranlasst er viele und
mannigfache Streitigkeiten über die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese
können nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den
wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient
ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsätzen der Geometrie;
auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde
beschäftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und
Bewegungen der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, so ist es bei
den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen
Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen
seit alten Zeiten her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist.
Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstände der Planeten, auch
den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre
guten und schädlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig beobachtet.«

Am innigsten verknüpft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den
Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, »dass es
einer sorgfältigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung
bedurfte, wegen der beständigen Verwüstung der Grenzen, die der Nil bei
seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt,
und die Gestalt verändert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht,
wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man müsse
daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden
sein.«

Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als
feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehörtem
die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie
beschäftigte, während eine andere, die der Feldmesser, die von den
Ersteren aufgestellten und sorgsam gehüteten geometrischen Principien
praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir später sehen
werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten
und Berechnungsregeln betrafen, möglicherweise nur insoweit enthüllt, dass
bei deren Verwendung nur annäherungsweise richtige Resultate zum Vorschein
kamen.

Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die
unläugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den
Nilüberschwemmungen und der ägyptischen Geometrie im Auge behaltend, die
Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprüche
in das Gebiet der Fabel verwiesen.

Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten über die
Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten
unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse
aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen
vertraut machen zu lassen?

*Eudemus von Rhodos*(10), einer der ältesten Peripatetiker, schrieb eine
Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11),
einen Philosophen des fünften nachchristlichen Jahrhunderts, ein
Bruchstück erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das
uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in
den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewährt. Hierin heisst es
unter Anderem: »*Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die
Geometrie nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem
aber überlieferte er die Anfänge seinen Nachfolgern; das Eine machte er
allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar.« Hundert Jahre nach dem
Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): »Man könnte,
wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges von der Heiligkeit
aegyptischer Priester anführen, welche ich weder allein noch zuerst
erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter
denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr
Schüler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen
verpflanzte.«

Während der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch
noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) bestätiget wird, nennt uns
*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; »Die aegyptischen
Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den
heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*,
*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den
Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen
*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der
Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides
von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen
Bildnisse von den Anderen Orte und Gebäude, die nach ihnen benannt sind.
Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet
hat, führen sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den
Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben.« Aus diesen
Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten
zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu
lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Männer angeführt
wurden.

Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgerücktem Alter, und nachdem er
als Handelsmann früher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich
daselbst behufs seiner Studien zu längerem Aufenthalt niederlies, ist
merkwürdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angeführt, und könnte
man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von
Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*,
*Daidalos* und *Homer* angeführt erscheinen. Diese letzteren konnten
jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse
vom Berichterstatter eigenwillig beigefügt worden sein, um dadurch das
hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen.

Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit
für die Exactheit obiger Aussprüche in Bezug auf einzelne Namen, dürfte
jedenfalls das als unumstössliche Wahrheit gelten, dass die ägyptischen
Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der
Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen
Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht
verschmähte, die, für damalige Verhältnisse nicht unbedeutende Reise nach
Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter
Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter
anzueignen.

Stellt man nun zunächst die Frage nach Quantität und Qualität des
geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit
nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der
unmittelbar nachpythagoräischen Geometrie, äusserst Weniges gewesen zu
sein.

*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der
Begründer der ionischen Schule, *Thales*, welcher für das Jahr 585
v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen
wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in
Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Sätze über die Gleichheit
der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit
der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie
ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt
erscheint, diese Erörterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf
dem Meere benützend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen
Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Höhe der Pyramiden aus der
Länge des Schattens gemessen haben, höchst wahrscheinlich in dem Momente,
wo die Schattenlänge eines senkrechten Stabes der Stablänge gleich
ist,(17) möglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu
einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss
des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein
rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in
Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermöglichten, die genannten Sätze
als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen
Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann.

Es wäre jedoch voreilig, aus der Geringfügigkeit der Thaletischen
geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die
Aegypter nicht viel mehr gewusst hätten. Man kann wohl annehmen, dass die
aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenüber beobachteten
Zurückhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer könnte jedoch
bemessen, in welchem Verhältnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen
stand? Der Ansicht *Montucla*’s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter
den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen
gehüteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht
unberücksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen
auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu
unterschätzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht
Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur
Verfügung stellten, unverstanden bleiben konnte.

Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den
Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierüber Klarheit
verschaffen zu können, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus
den Anfängen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen
zurückzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen dürfte, mit
nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint.

Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver
Natur war, ähnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21)
dürfte sich nicht als stichhältig erweisen; es möge jedoch gleich jetzt
darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer
Formen nicht unbewandert sein konnten.

So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420
v. Chr. G.: »Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den
Voraussetzungen zu ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen,
selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter«; und *Theon* von
*Smyrna*(23) erzählt, dass »Babylonier, Chaldäer und Aegypter eifrig nach
allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den
Erscheinungen genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch,
dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und über die
zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich
arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldäer, die Anderen
construirender wie die Aegypter«.

Aus diesen und ähnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die
Anfänge der griechischen Geometrie selbst hauptsächlich constructiver
Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit
unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe
der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl
einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses
System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese
Constructionen dürften ihrem grösseren Theile nach, und zwar jenem Theile
nach, welcher, wenn auch ohne Begründung Gemeingut der die Künste und
Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem
praktischen Bedürfnisse dienen konnten, also zumeist
Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen
regelmässiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemälden, wie sie sich
z. B. als färbige Zeichnungen aus den Zeiten der fünften Dynastie, also
unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G.
etwa vorfinden.(24)

Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren
eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer
Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus
der Zeit von der zwölften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine
Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, längs der Diagonale
centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine
Zusammenstellung von um fünfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten,
sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in
gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunächst durch zwei oder vier
Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in späteren Zeiten auch
durch sechs Durchmesser in zwölf gleiche Ausschnitte; die in den
Zeichnungen vorkommenden Wagenräder besitzen zumeist sechs, seltener vier
Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in
sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint.

In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater
*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab
*Belzoni*)(25) finden wir die Wände behufs Anbringung von Reliefarbeiten
mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem
Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines
Verkleinerungs- beziehungsweise Vergrösserungsmaassstabes zu thun haben.

Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des
Kreises höchst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem
inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein dürften, so ist doch
gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das
Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann
schon eine ziemliche Selbstständigkeit erreicht haben musste, als die
vorerwähnte Anwendung von Proportionalmaassstäben in Uebung kam.

Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen Figuren einen
geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter
Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz
von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus
der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und
huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim
Ausspruche des erwähnten, für uns freilich höchst einfach klingenden
Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete
Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden
Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften getheilt zu werden.

Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der früher citirte
selbstgefällige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer
ungerechtfertigten Unterschätzung aegyptischer Constructionsgewandtheit
bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*’ Angabe könnte allenfalls jenes
Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im
Alterthume Männer geben mochte, die ihre Berühmtheit vorzugsweise und oft
nur der Hochschätzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken
gezollt, Männer, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so
unermüdlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein
Kreis von Gläubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Füssen
einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter führten, so ist doch die
Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen
Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem
einfallen wird, seine Autorität als die eines gründlichen Kenners der
Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den
geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz
allgemein klingenden Titel erhalten.

Während uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der
Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes
Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* »über Geometrie«, »über Zahlen«,
»über den Unterschied des Gnomon oder über die Berührung des Kreises und
der Kugel«, sowie zwei Bücher »über irrationale Linien und die dichten
Dinge« geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns über ihren
Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen
Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so müssen
wir von *Demokritos* als von einem »in der Geometrie vollkommenen Manne«
voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher
ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen
vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der »Anlegung der
Flächen«, welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsätzen aus der
Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der
Abhängigkeit der Flächeninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen
voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras*
zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, sogenannten
kosmischen Körper sein, woraus sich weiter schliessen lässt, dass auch
einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Körper
eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmässigen,
jene Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes dem
*Demokritos* nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction des Letzteren
erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese
den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch
selbst nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er
nun anderseits sagt: »im Construiren hätte ihn Niemand, selbst nicht die
Harpedonapten der Aegypter übertroffen«, so dürfen wir hieraus mit
Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen
Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos*
sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte.

Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums,
welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen
zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs,
aus denen vielleicht Schlüsse gezogen werden könnten auf Wesen und Umfang
aegyptischer Geometrie.

Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse
des Engländers *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen
werthvollen Rollen in Aegypten käufllich an sich gebracht haben dürfte.
Der erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik, ist, wie
es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein »mathematisches
Handbuch« der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus
nennt sich selbst eine Nachahmung älterer mathematischer Schriften, denn
es heisst in der Einleitung: »Verfasst wurde diese Schrift im Jahre
dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter König Ra-a-us, Leben
gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Königs ...ât vom
Schreiber Aahmes verfasst die Schrift.«

Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch
einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der
Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr.
*Eisenlohr* einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden
Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft,
unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezüglich des Alters
des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des
unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen
Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung auf das Wort König
folgenden Lücke, würde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original
entstanden ist, der König *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit
*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us*
in den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht vorkommt, sah man sich, um
die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annähernd angeben zu
können, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die
Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen
Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes*
des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus
vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die
Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren
Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der
Hyksoskönig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* dürfte seinen Namen von dem,
kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige *Amasis* entlehnt haben.

Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem
achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus,
welche lauten: »Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge,
aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenständen«, sowie die
Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an
welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst,
konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es
vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand
jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in
gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren
Lösungen und den zugehörigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder
Lehrsätze und Beweise vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum als
eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für Praktiker erscheinen.
Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe
bei Abfassung dieser Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie
unzugänglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des
grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse und Bedürfnisse der
Landwirthschaft berücksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus,
welcher sagt: »Fange das Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das
verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Wärme, Wind und hohes
Wasser«.

Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte
der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen müsste, zu thun
haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an
Definitionen, Lehrsätzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklärung,
sondern auch aus dem Umstände, dass neben der richtigen Lösung einzelner
Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Lösungen derselben oder
ähnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei
verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens
Anklänge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die
Astronomie, zu finden sein müssten. Doch ist von diesem Theile der
Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklärungen
über den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele
Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung über die Entstehung der uns
beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des französischen
Aegyptologen Eugène *Revillout*.(32)

Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos gelöstes
Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann
gewöhnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die
einem Schulpensum in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der
Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und
zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe
als die berechneten Resultate erscheinen, drängt sich uns mit *Eugène
Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder
Aufgabenhefte eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu thun
haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung geschieht, und in denen
die Schüler, welche später Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder
Constructeure werden wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn
notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses
Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit bestimmt sein
konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen Autornamen und keine
Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezüglich der Zeitperiode,
in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung
betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem
Abschreiber *Aahmes* herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte
nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz
unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufügend.
Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen
Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des
ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen
haben mochte, so können wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des
dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das
Original der Abschrift entstanden sein dürfte. Ob *Aahmes* die Abschrift
mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und
gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an
irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen,
lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit
der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der
Mathematik herrührenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglückten
Uebungen eines Schülers enthält, eines Schülers überdies, der nicht zu den
hervorragenden seiner Glasse gehört haben mochte. Und wie kostbar ist
dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze
seines Inhaltes vorführen sollen, so müssen wir zunächst die sich auf acht
Columnen der oben erwähnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2
durch die Zahlen von 3 bis 99 erwähnen; jeder auftretende Bruch erscheint
in zwei bis vier sogenannte Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins,
zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer
grösseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs
Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen
l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf
in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergänzungsrechnung, in
welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen
Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene
Zahlenwerthe liefern. Die nächsten 15 Beispiele gehören der sogenannten
*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen
linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten
*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehörige Beispiele belehren uns
darüber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht
fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele
über Geometrie und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also 19
Aufgaben über die wir später noch einige Worte sagen müssen.

Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien
entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die
Berechnung des Werthes von Schmuckgegenständen, abermals Vertheilungen von
Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden
Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslöhnen,
Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. Einer besonderen
Ankündigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei
Beispiele; das eine derselben(33) lässt keinen Zweifel darüber aufkommen,
dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen
vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten(34) unter der
Aufschrift »eine Leiter« die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7
hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene
Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu führen scheinen.

Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende
Benützung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts
ausschreitender Beine für Addition und Subtraction, drei horizontale
Pfeile für Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht
unähnliches Gleichheitszeichen.

Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der Anordnung des Papyrus
nicht folgend, die Flächenberechnungen von Feldern hervor. Die
vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige,
kreisrunde und trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren
Längenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über die Berechnung
des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundfläche
diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite
mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die
Fläche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier
zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der
Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen
involvirt.

Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, wie wir sie im Grabe
*Belzoni* bemerken konnten, hätte die alten Aegypter, die mit Gleichungen
und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Fläche
eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen mit Nothwendigkeit führen
müssen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der
diesbezüglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehörige Lösung beigefügt ist,
durchaus nicht beirren lassen.

Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende
Methode der Flächenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten
Aegypter mit ziemlicher Annäherung den Kreis zu quadriren wussten, in der
That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Länge ableiten,
welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des Kreises
gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes
Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl,
welcher dem richtigen Werthe gegenüber um nicht ganz zwei Hundertstel (um
0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das dritte Jahrtausend
v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch
mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 späterer römischer Geometer,
jedenfalls eine nicht zu unterschätzende Annäherung an den richtigen
Werth.

Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des Dreieckes, wobei das
Resultat als das Product zweier Seitenlängen gefunden wird. Die hier
beigefügte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges
langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte
Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes
betrachtet werden.

Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36)
acceptirt worden. Darnach würde sich die Methode der Dreiecksberechnung
der alten Aegypter nur als eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch
von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That
nicht bedeutende Fehler ermittelt worden.

Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung.

Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des
Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen
ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmässigkeit
seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen
Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck
vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung ist durch den
Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges
Dreieck gemeint sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande,
dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den
Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels
angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte um ein gleichschenkliges
Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei
beiden Schenkeln zu finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der
Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung eines Trapezes
eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez
handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen
Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht
die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt
haben?

Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste
sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten
Rechteckes, von selbst die Regel zur Flächenbestimmung des rechtwinkligen
Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck
durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts
leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckfläche aus
Basis und Höhe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des
Höhenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den
alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt zunächst aus der grossen
Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) für alle Operationen der praktischen
Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten
das Winkelmaass erwähnt finden, sieht man auch Könige abgebildet, das
Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise
durch symbolische Benützung geehrt wurde, wie der Kaiser von China
alljährlich einmal den Pflug zu führen pflegt. Ein solches Winkelmaass
sieht man übrigens auch auf einem Wandgemälde abgebildet, das eine
Schreinerwerkstätte darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass
dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fällen von
Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den
Aegyptern die Construction rechter Winkel geläufig sein; sowohl die
Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und
wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in
festlicher Weise vom Könige unter Beihilfe der Bibliotheksgöttin *Safech*
vollzogen, mit den Worten: »Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel
des Schlägels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Göttin
*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem
Sternbilde des grossen Bären angekommen ist, und erfüllt ist der mir
bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte
Deines Gotteshauses.«

In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so
hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat
*Cantor*(39) in höchst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es
erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim
Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten auf dem
Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die
Seitenlängen drei, vier und fünf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel
sein müsse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch
den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so berühmten
Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G.
entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G.
etwa zurückgeführt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an
diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu dem erwähnten
als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen
Seitenlängen geführt haben, und scheint uns die Möglichkeit nicht
ausgeschlossen, dass der berühmte und berüchtigte Satz des *Pythagoras*
über die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden
Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen ist.

Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die
Fläche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen
sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch
die Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande
waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche bildenden Kreisfläche, so
muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen
Anwendungen mit Näherungen begnügte, welche im Laufe der Zeiten so
ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde.

Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt
*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau
aus den Zeiten der Ptolomäer. Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte *Horus*
geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren
Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen Pylonflügel eine
Inschrift trägt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig
Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Königs *Ptolomäus XI. Alexander
I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches
hier *Horus* und den übrigen Göttern von *Edfu* verliehen wird, besteht
aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlängen
nebst Flächeninhalten angegeben erscheinen.

Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch ist mit dem Producte
der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach
*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um
Vierecke bei der Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu
können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht,
dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen.

Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden
Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder
verhältnissmässig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom
Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen
Resultate somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen Flächenwerth
darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht auf die bei *Sesostris*
bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade
diese oder eine ihr zunächst kommende Form der Felder sei die auch damals
schon beliebte gewesen.

Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied der Gegenseiten
ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit
einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in
manchen Fällen ein nicht unbedeutender ist.

Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flächenformel für
das Viereck erhält, wenn man dasselbe zunächst durch eine Diagonale in
zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige
Flächenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten
liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt und
dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem ähnlichen Vorgange
durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhält, das arithmetische
Mittel construirt.

Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die
Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten,
so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flächen der
in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt
erscheinen?

Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass es überhaupt möglich
war, die Flächenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen
Methode durchzuführen. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit
*Platon*s, einer der gebildetsten Männer, einer der hervorragendsten
Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der
Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, die Fläche einer Insel nach
der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der
Geometrie *Gerbert*’s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden
wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen Dreieckes
durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch
schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre früher die richtige Formel
für diese Berechnung kennt.

Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine ganze Reihe ähnlicher
Beispiele anführen, nur um zu zeigen, wie übereilt es wäre, aus den oft
nur schwache Annäherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er
Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den
in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt
gewesen.

Doch zurück zum Papyrus *Rhind*.

Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, bei denen der
Inhalt durch Multiplication einer Fläche mit einer Länge bestimmt wird,
weil wir es für müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche
Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über die Form jener
Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt ist.

Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das
höchste Interesse, besonders nach den glänzenden Untersuchungen, welchen
*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir,
entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46)
acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und
natürlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter
beleuchten.

Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen einer
quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Länge eines
der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der
sich zur Länge des anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der
Basisseite der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben.

Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine
gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, während der andere
Schenkel, der Pyramidenhöhe entsprechend, und als Einheit betrachtet,
ungetheilt blieb.

Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Länge der
Basisseite durch die Pyramidenhöhe dividirt und mit dem erhaltenen
Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels
des Winkelmaasses multiplicirt.

Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für einen geraden
Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Höhe bestimmt erscheint)
als Verhältniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des
Neigungswinkels der Seitenfläche der Pyramide, respective der Kegelkante
zur Basis.

Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht
Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch
anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien,
wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und
erscheint uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die dem
Milesier *Thales* zugeschriebene Höhenmessung der Pyramiden als ein ganz
glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis,
Höhe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint.

Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so müssen
wir aus der quellenmässig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die
ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen
Geometern rückhaltlos zollten, wir müssen aus der unanfechtbaren
Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und
Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir müssen im Hinblicke auf
das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich
mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen
der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem öffentlichen
Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhältnissmässig
bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich aus
dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift
eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden,
mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen
Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den
Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher schliessen lässt, wir
können und müssen aus allen diesen Umständen den allgemeinen Schluss
ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die
arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen
für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen.

Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth
weitgehende Annäherung bei der Berechnung der Kreisfläche beobachten, wir
finden mit vollständiger Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des
Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst
wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger
Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu
handhabende Annäherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des
Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Körper und erkennen die
Anfänge der Aehnlichkeitslehre.

Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die
Construction der früher beobachteten regelmässigen Figuren und dürfen
weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Fällen von
Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler
rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flächen
behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war.

Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die
Hälftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der
besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der
Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer
Pyramiden, und wohl noch manches Andere.

Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der,
noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen
letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer
Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so
gelingen noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen
Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, der Aegypter zu
gewinnen!

Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der
Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit
erscheint!





    1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109.

    2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9.

_    3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246.

    4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1.

    5 DIODOR, I, 69.

    6 Herodot l. c.

_    7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p.
      138.

    8 DIODOR,  I, 81.

    9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098.

_   10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L.
      Spengel. Berlin 1870.

_   11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37.

   12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11.

   13 STRABON, XIV, 1. 16.

   14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3.

   15 DIODOR, I, c. 96.

   16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157.

   17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17.

   18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174.

   19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25.

   20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. édit. t. I, p. 49.

   21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11.
      Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR’s: _Vorlesungen über
      Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken
      entnommen.

   22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357.

   23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272.

   24 PRISSE D’AVENNES, _Hist. de l’art Egypt. d’après les monuments._

   25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p.
      313.

   26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20.

   27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47.

   28 CANTOR, _Vorlesungen über Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159
      (Leipzig 1880).

   29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877.

   30 BIRCH, in Lepsius’ _Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum_,
      1868, p. 108.

   31 LEPSIUS, _ägypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63.

   32 REVILLOUT, EUGÈNE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p.
      304.

   33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64.

   34 ibid. Nr. 79.

   35 ibid. p. 125.

   36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49.

   37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144.

   38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift
      für ägypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.)

   39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55.

   40 ÉD. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593.

   41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von
      __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69.

   42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884.

   43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1.

   44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460.

_   45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_
      (ed. Hultsch, Berlin 1864).

   46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Länge
      in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. äg. Sp._
      1884. 1. Heft.)