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    Anmerkungen zur Transkription


    Im Original gesperrter bzw. kursiver Text ist _so ausgezeichnet_.
    Im Original fettgedruckter Text ist =so markiert=.

    Die Schreibweise ^x bezeichnet einen hochgestellten, die
    Schreibweise _{x} einen tiefgestellten Index. [line](AB) bezeichnet
    eine Strecke, [arc](AB) eine Kurve.

    Der Text enthält mathematische Symbole, die nicht mit jedem
    Zeichensatz korrekt angezeigt werden können.

    Weitere Anmerkungen zur Transkription befinden sich am Ende des
    Buches.




Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter
Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von

        Dr. =W. Lietzmann=

        Direktor der Oberrealschule zu Göttingen

        und

        Dr. =A. Witting=

        Studienrat, Gymnasialprof. in Dresden

Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren. kl. 8. Kart. je M. 2.–

Hierzu Teuerungszuschlag des Verlages 120% (Abänderung vorbeh.) u. d.
Buchhandl.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge
herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den
mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer
Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene
hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung
solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung
oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie
Dinge behandeln, die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine
Kenntnisse zu steilen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik
einführen.

Bisher sind erschienen (1912/20):

    =Der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen
      Entwicklung.= Von _H. Wieleitner_. 2., durchgeseh. Aufl. (Bd.
      2.)

    =Ziffern und Ziffernsysteme.= Von _E. Löffler_. 2., neubearb.
      Aufl. I: Die Zahlzeichen der alten Kulturvölker. (Bd. 1.) II:
      Die Z. im Mittelalter und in der Neuzeit. (Bd. 34.)

    =Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen.= Von _H.
      Wieleitner_. 2. Aufl. (Bd. 7.)

    =Einführung in die Infinitesimalrechnung.= Von _A. Witting_.
      2. Aufl. I: =Die Differential-=, II: =Die Integralrechnung=.
      (Bd. 9 u. 41.)

    =Wahrscheinlichkeitsrechnung.= V. _O. Meißner_. 2. Auflage. I:
      Grundlehren. (Bd. 4.) II: Anwendungen. (Bd. 33.)

    =Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlentheorie.= Von _A.
      Leman_. (Bd. 19.)

    =Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das
      Fermatsche Problem.= Von _W. Lietzmann_. 2. Aufl. (Bd. 3.)

    =Darstellende Geometrie des Geländes und verw. Anwendungen der
      Methode der kotierten Projektionen.= Von _R. Rothe_. 2.,
      verb. Aufl. (Bd. 35/36.)

    =Methoden zur Lösung geometrischer Aufgaben.= Von _B. Kerst_.
      (Bd. 26.)

    =Einführung in die projektive Geometrie.= Von _M. Zacharias_.
      (Bd. 6.)

    =Konstruktionen in begrenzter Ebene.= Von _P. Zühlke_. (Bd. 11.)

    =Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene.= Von _W. Dieck_.
      (Bd. 31.)

    =Einführung in die Nomographie.= Von _P. Luckey_. I. Teil:
      Die Funktionsleiter. (Bd. 28.) II. Teil: Die Zeichnung als
      Rechenmaschine. (Bd. 37.)

    =Theorie und Praxis des logarithm. Rechenschiebers.= Von _A.
      Rohrberg_. 2. Aufl. (Bd. 23.)

    =Die Anfertigung mathemat. Modelle.= (Für Schüler mittl. Kl.)
      Von _K. Giebel_. (Bd. 16.)

    =Karte und Kroki.= Von _H. Wolff_. (Bd. 27.)

    =Die Grundlagen unserer Zeitrechnung.= Von _A. Baruch_. (Bd.
      29.)

    =Die mathemat. Grundlagen d. Variations- u. Vererbungslehre.=
      Von _P. Riebesell_. (24.)

    =Mathematik und Malerei.= 2 Teile in 1 Bande. Von _G. Wolff_.
      (Bd. 20/21.)

    =Der Goldene Schnitt.= Von _H. E. Timerding_. 2. Aufl. (Bd. 32.)

    =Beispiele zur Geschichte der Mathematik.= Von _A. Witting_ und
      _M. Gebhard_. (Bd. 15.)

    =Mathematiker-Anekdoten.= Von _W. Ahrens_. 2. Aufl. (Bd. 18.)

    =Die Quadratur d. Kreises.= Von _E. Beutel_. 2. Aufl. (Bd. 12.)

    =Wo steckt der Fehler?= Von _W. Lietzmann_ und _V. Trier_. 2.
      Aufl. (Bd. 10.)

    =Geheimnisse der Rechenkünstler.= Von _Ph. Maennchen_. 2. Aufl.
      (Bd. 13.)

    =Riesen und Zwerge im Zahlenreiche.= Von _W. Lietzmann_. 2.
      Aufl. (Bd. 25.)

    =Was ist Geld?= Von _W. Lietzmann_. (Bd. 30.)

    =Die Fallgesetze.= V. _H. E. Timerding_. (Bd. 5.)

    =Ionentheorie.= Von _P. Bräuer_. (Bd. 38.)

    =Das Relativitätsprinzip.= Leichtfaßlich entwickelt von _A.
      Angersbach_. (Bd. 39.)

    =Dreht sich die Erde?= Von _W. Brunner_. (17.)

    =Theorie der Planetenbewegung.= Von _P. Meth_. (Bd. 8.)

    =Beobachtung d. Himmels mit einfach. Instrumenten.= Von _Fr.
      Rusch_. 2. Aufl. (Bd. 14.)

    =Mathem. Streifzüge durch die Geschichte der Astronomie.= Von
      _P. Kirchberger_. (Bd. 40.)

In Vorbereitung:

    =Doehlemann=, Mathematik und Architektur. =Schips=, Mathematik
      und Biologie. =Winkelmann=, Der Kreisel. =Wolff=, Feldmessen
      und Höhenmessen.


Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Preise freibleibend.




    MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE
    BIBLIOTHEK

    HERAUSGEGEBEN VON =W. LIETZMANN= UND =A. WITTING=

    35/36

    DARSTELLENDE GEOMETRIE
    DES GELÄNDES

    UND VERWANDTE ANWENDUNGEN DER METHODE
    DER KOTIERTEN PROJEKTIONEN

    VON

    RUDOLF ROTHE

    DR. PHIL., O. PROFESSOR AN DER
    TECHN. HOCHSCHULE BERLIN

    ZWEITE, VERBESSERTE AUFLAGE

    MIT 107 FIGUREN IM TEXT

    [Illustration]

    1919
    LEIPZIG UND BERLIN
    VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER




Schutzformel für die Vereinigten Staaten von Amerika:

_Copyright 1919 by B. G. Teubner in Leipzig_.

    ALLE RECHTE,
    EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.




VORWORT ZUR ERSTEN UND ZWEITEN AUFLAGE


In der vorliegenden kleinen Schrift habe ich versucht, den Leser in
elementarer und leicht verständlicher Weise mit der zeichnerischen
Behandlung der topographischen Flächen nach der Methode der »kotierten
Projektionen« bekannt zu machen. Die glückliche Paarung zwischen
Rechnung und Zeichnung, auf der diese Methode beruht, die darin
begründete Freiheit, sich auch an kompliziertere Aufgaben mit Aussicht
auf Erfolg zu wagen, und daher weiter das unbewußte Gefühl, hier
wenigstens der »selbstgeschaffenen Schmerzen« der Mathematiker ledig
zu sein, das alles gibt diesem Schwestergebiete der darstellenden
Geometrie einen besonderen Reiz. Er wird noch erhöht durch die fast
unmittelbare Anwendbarkeit auf praktische Fragen. Ich habe auf diese
Anwendungen großes Gewicht gelegt; sie entstammen zum Teil dem
geologisch-bergmännischen Gesichtskreis und rühren aus der Zeit, als
ich an der Clausthaler Bergakademie einiges aus diesem Gebiete in
elementaren Vorlesungen über darstellende Geometrie vortrug ...

In der zweiten Auflage, die dem Büchlein trotz der Ungunst der
Zeiten beschieden ist, konnten mehrere sachliche und sprachliche
Verbesserungen und Ergänzungen angebracht werden; so insbesondere in
den §§ 63 und 64, wo, wie ich glaube, der Begriff des Talwegs jetzt
einwandfrei erklärt worden ist. Auch wurde auf mehrfach geäußerten
Wunsch ein kurzer Abschnitt über Anwendungen auf die zeichnerische
Analysis und die Nomographie hinzugefügt. Bezüglich der Abbildungen,
die schon wegen des Formates nicht mehr als einen bloßen Anhalt zum
Anfertigen von Reinzeichnungen geben wollen, konnte ich mich auch aus
äußeren Gründen nicht entschließen, größere Änderungen vorzunehmen. Wer
aus dem Buche ernsthaft lernen will, wird gewiß nicht unterlassen, sich
Reinzeichnungen im passenden Maßstabe selbst herzustellen. Übrigens ist
es ein Unterschied, ob es sich um eine Reinzeichnung handelt, wie sie
in den Übungen zur darstellenden Geometrie gefordert wird, oder um eine
Konstruktion an einer topographischen oder geologischen Geländekarte;
hier wird manche Zeichnung doch nicht viel größer ausfallen als die
Abbildungen dieses Bändchens.

Am Schluß ist ein alphabetisches Sachverzeichnis angefügt worden.
Der erweiterte Umfang hat es erfordert, das Buch als Doppelbändchen
herauszugeben.

    _Berlin_, im April 1919.

            RUDOLF ROTHE




INHALT


                                                                 Seite

    Einleitung                                                       1

    I. Grundbegriffe und elementare Konstruktionen über
    kotierte Projektionen §§ 1–22                                 2–18

    § 1. Kotierte Projektion. S. 2. § 2. Maßstab der Zeichnung. 3.
    § 3. Einschalten eines Punktes. 4. § 4. Stufung (Graduierung)
    einer Geraden. 4. § 5. Intervall. 5. § 6. Schnitt zweier
    Geraden. 5. § 7. Ebene. 6. § 8. Gefällemaßstab. 6. § 9.
    Aufgabe. 7. § 10. Böschung, Fallen und Streichen. 7.
    § 11. Aufgabe. 8. § 12 Schnittgerade zweier Ebenen. 8.
    § 13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben. 9. § 14. Ebenen
    gleicher Böschung. 10. § 15. Schnittpunkt einer Geraden mit
    einer Ebene. 10. § 16. Lot von einem Punkte auf eine
    Ebene. 11. § 17. Kürzester Abstand zweier windschiefer
    Geraden. 11. § 18. Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in
    die wagerechte Lage. 12. § 19. Schnittwinkel zweier
    Ebenen. 13. § 20. Böschungskegel. 15. § 21. Kreiszylinder,
    schiefer Kreiskegel, Kugel. 16. § 22. Andere Oberflächen. 16.

    II. Elementare Anwendungen §§ 23–34                          18–25

    § 23. Zweck der Anwendungen. 18. § 24. Aufführung eines
    Dammes. 18. § 25. Querprofil. 19. § 26. Anlage eines ebenen
    Platzes. 19. § 27. Weg gegebener Steigung. 20.
    § 28. Streichen und Fallen einer Ebene. 21.
    § 29. Dachausmittelung. 21. § 30. Aufgabe. 22.
    § 31. Fortsetzung. 22. § 32. Aufschüttung einer Halde. 22.
    § 33. Ausschachten einer Grube. 24. § 34. Tunnelmündung. 24.

    III. Darstellung der Geländeflächen §§ 35–73                 26–53

    § 35. Hauptschichtlinien. 26. § 36. zeichnerische
    Bemerkungen. 26. § 37. Storchschnabel. 27. § 38. Glatte
    Kurve. 27. § 39. Spiegellineal. 28. § 40. Tangente. 28.
    § 41. Hüllkurve. 28. § 42. Evolute. 29.
    § 43. Parallelkurven. 29. § 44. Berührungen im Raume. 29.
    § 45. Relief eines Geländes. 30. § 46. Kurven auf einer
    Geländefläche. 30. § 47. Darstellung einer Raumkurve. 30.
    § 48. Einschalten von Punkten und Konstruktion von
    Schichtlinien. 31. § 49. Böschung einer Raumkurve. 32.
    § 50. Böschungslinie. 32. § 51. Normalebene,
    Planierungsfläche. 32. § 52. Schmiegungsebene.
    33. § 53. Hauptnormale, Binormale. 34. § 54. Schnitt
    einer Fläche mit einer Ebene. 35. § 55. Anwendung. 36.
    § 56. Einschalten von Höhenlinien. 36.
    § 57. Berührungsebene und Normale einer Fläche. 37.
    § 58. Normalebene, Fallinien einer Fläche. 38.
    § 59. Schraffur einer Karte. 39. § 60. Krümmung einer
    Fläche. 39. § 61. Verlauf der Schicht- und Fallinien. 41.
    § 62. Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt. 41.
    § 63. Wasserscheide und Talweg. 42. § 64. Fortsetzung. 44.
    § 65. Böschungsfläche. 47. § 66. Böschungsstreifen. 48.
    § 67. Gratlinie. 48. § 68. Ebene Raumkurven. 48.
    § 69. Böschungsflächen einer Raumkurve. 49.
    § 70. Böschungslinien auf einer Fläche. 50.
    § 71. Aufgabe. 51. § 72. Schnitt zweier Flächen. 51.
    § 73. Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer
    Geländefläche. 52.

    IV. Aufgaben und Anwendungen §§ 74–88                        53–67

    § 74. Zweck der Aufgaben. 53. § 75. Aufschüttung und Abtrag
    eines Eisenbahndammes. 53. § 76. Die Ausstrichlinie einer
    Mulde mit dem Gelände zu bestimmen. 54. § 77. Schnittkurve
    einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände. 55. § 78. Um eine
    gegebene Geländefläche einen Zylinder mit wagerechten
    Mantelgeraden zu umschreiben. 56. § 79. Durch eine gegebene
    Gerade die Berührungsebenen an eine Geländefläche zu
    legen. 56. § 80. Umschriebener Zylinder mit beliebig
    gegebener Richtung der Mantelgeraden. 57.
    § 81. Berührungsebene. 58. § 82. Andere Konstruktion des
    umschriebenen Zylinders und der Berührungsebene. 59.
    § 83. Gebrauch einer Hilfskurve. 61.
    § 84. Schattengrenze. 62. § 85. Von einem gegebenen Punkte an
    eine Geländefläche den Berührungskegel zu zeichnen. 62.
    § 86. Beispiel. 64. § 87. Ansicht des Geländes.
    a) Parallelprojektion. 65. § 88. b) Zentralprojektion. 66.

    V. Maßbestimmungen und Beziehungen zur zeichnerischen
    Analysis §§ 89–107                                           67–89

    § 89. Längenmessung. 67. § 90. Flächenmessung.
    a) Quadratteilung. 68. § 91. b) Einteilung in Streifen
    gleicher Breite. 69. § 92. c) Andere Streifeneinteilung. 69.
    § 93. d) Planimeter. 70. § 94. Geneigte Fläche. 71.
    § 95. Flächeninhalt einer Böschungsfläche. 71.
    § 96. Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles. 72.
    § 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. 73.
    § 98. Ausführung der Aufgabe. 74. § 99. Zeichnerische
    Analysis. 77. § 100. Funktionsskale. 78. § 101. Konstruktion
    besonderer Funktionsskalen. 79. § 102. Aufgabe. 81.
    § 103. Zusammengesetzte Funktionsskalen. 82.
    § 104. Netzteilung. 83. § 105. Logarithmenpapier. 85.
    § 106. Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen
    durch ein Rechenblatt. 87. § 107. Rechenblatt mit
    ungleichmäßiger Teilung. 88.

    Alphabetisches Sachverzeichnis                                90–92




EINLEITUNG


Eine Landkarte, die einen nicht zu großen Teil der Erdoberfläche
darstellt, gibt im großen und ganzen das Bild wieder, das sich einem
senkrecht darüber befindlichen Beobachter aus solcher Höhe darbietet,
wo für ihn die Höhenunterschiede des Geländes unmerklich geworden
sind. Um diese Höhenunterschiede in der Karte dennoch kenntlich zu
machen, pflegt man eine genügende Anzahl von Punkten durch beigesetzte
Höhenzahlen (Koten) zu bezeichnen, die ihre senkrechte Entfernung von
einer gedachten Horizontalebene, meist dem Meeresspiegel, in einer
gewählten Längeneinheit, z. B. in Metern, angeben. Auf diese Weise
entsteht eine mehr oder weniger getreue Darstellung (kotierter Riß) der
Erdoberfläche mit ihren Erhebungen und Senken; oder in allgemeinerer
Bedeutung, es entsteht die Darstellung einer _Geländefläche_ oder
_topographischen Fläche_, worunter in der Regel eine solche verstanden
wird, die von jeder Senkrechten in genau einem Punkte geschnitten wird;
bei manchen, z. B. bei geologischen Betrachtungen, ist diese Bedingung
freilich nicht immer erfüllt.

Eine auf der Fläche gelegene Linie, deren sämtliche Punkte die
gleiche Höhe (Kote) haben, heißt _Höhenlinie_ (Schichtlinie,
Niveaulinie, Isohypse), bei Höhen unter dem Meeresspiegel auch
Tiefenlinie (Isobathe); sie ist die Schnittlinie der Geländefläche
mit einer horizontalen Ebene. Ein abgelassener Teich läßt oft solche
Schichtlinien, die Spuren früherer Wasserstände, an seinen Ufern
erkennen.

Die Brauchbarkeit und Anschaulichkeit der Darstellung einer
Geländefläche durch eine Karte gewinnt erheblich, wenn auf ihr eine
genügende Anzahl von Höhenlinien der Art verzeichnet ist, daß ihnen
eine Einteilung der Fläche in Schichten gleicher Dicke entspricht
(Schichtenplan). Auf dieser Darstellung einer Geländefläche durch ihre
Schichtlinien beruht die Möglichkeit, auf zeichnerisch-konstruktiven
Wegen eine große Anzahl von Fragen und Aufgaben zu beantworten, wie
sie in der Vermessungskunde, Kartenkunde, Geographie, militärischen
Topographie, Bauingenieurwissenschaft, Geologie, Bergbaukunde usw.
vorkommen können. Die Ausführung der Methoden, die zur zeichnerischen
Lösung solcher Fragen dienen, bildet ein wichtiges Mittel der
angewandten Geometrie, das sich aus praktischen Bedürfnissen heraus,
ursprünglich nautischen und militärischen, entwickelt hat, zuerst in
Frankreich, wo die Kenntnis derartiger Dinge noch bis vor hundert
Jahren militärisch geheim gehalten wurde.

In dieses Gebiet, das zum Verständnis im allgemeinen nur wenige
elementargeometrische Vorkenntnisse erfordert, und dessen Pflege
wegen der sofort in die Augen springenden praktischen Verwendbarkeit
besonders reizvoll und anregend ist, will die vorliegende Schrift eine
Einführung geben.

Es wird zweckmäßig sein, zunächst auch auf einige grundlegende
geometrische Begriffe und Konstruktionen einzugehen, auf denen die
alsdann zu besprechenden Aufgaben über Geländeflächen beruhen.




I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE KONSTRUKTIONEN ÜBER KOTIERTE
PROJEKTIONEN


§ 1. =Kotierte Projektion.= Ein Punkt _P'_ des Raumes ist durch Angabe
seiner senkrechten Grundrißprojektion _P_ auf eine Horizontalebene
(Rißebene, Zeichenebene) und der Maßzahl _k_ seines senkrechten
Abstandes (Höhenzahl, Kote) von der Ebene, gemessen in Einheiten des
Höhenmaßstabs, eindeutig bestimmt: _kotierte Projektion_. Eine Karte
mit Höhenangaben ist also eine geometrische Grundrißdarstellung eines
Geländes durch kotierte Projektionen: _kotierte Ebene_.

Zwei Punkte _P₁'_ und _P₂'_ bestimmen eine Gerade _g'_. Zur Ermittelung
des spitzen Winkels φ, unter dem _g'_ gegen die Horizontalebene
geneigt ist, und der Entfernung _P₁'P₂'_ (_Luftlinie_) konstruiert
man in der Zeichenebene das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten
_P₁P₂_ und _P₂P₂^*_ = _k₂_ – _k₁_, aus dem die gewünschten Größen mit
Transporteur und Maßstab zu entnehmen sind (Fig. 1 und 2).

[Illustration: Fig. 1.]

[Illustration: Fig. 2.]

Übrigens heißt φ der _Fallwinkel_, tg φ das _Gefälle_, der _Anstieg_
oder die _Böschung_ der Geraden _g'_.

Da man es im folgenden immer mit der Zeichnung in der Rißebene zu tun
hat, so spricht man in der Regel von dem Fallwinkel, dem Gefälle usw.
der gezeichneten Geraden _g_, der Projektion von _g'_, obwohl man
darunter natürlich stets die Größen meint, die _g'_ selbst zukommen.
Darauf ist in Zukunft zu achten.


§ 2. =Maßstab der Zeichnung.= Die Abmessungen der Zeichnung werden
meist mit denen der Wirklichkeit nicht übereinstimmen, sondern
geben sie in verkleinerten Maßstäben wieder. Verhalten sich z. B.
die Horizontalentfernungen der Zeichnung zu denen der Wirklichkeit
wie 1 : α (bei den preußischen Meßtischblättern wie 1 : 25000), die
gezeichneten Höhen zu den wirklichen wie 1 : β, so ist die wirkliche
Entfernung nicht mehr

    _l_ = √([line](_P₁P₂_)² + (_k₁_ – _k₂_)²),

sondern sie ist

    _L_ = √(α² · [line](_P₁P₂_)² + β² · (_k₁_ – _k₂_)²),

und der Neigungswinkel im allgemeinen nicht φ, so daß

    tg φ = (_k₂_ – _k₁_)/[line](_P₁P₂_),

sondern gleich Φ, so daß

    tg Φ = β/α · (_k₂_ – _k₁_)/[line](_P₁P₂_).

Nur wenn β = α, wenn also Horizontalentfernungen und Höhen im selben
Maßstab 1 : α aufgetragen sind, ist _L_ = α_l_, Φ = φ. Obwohl das
praktisch selten angängig ist – meist ist β > α; Überhöhung –, wird
es im folgenden, wo nichts anderes gesagt ist, doch der Einfachheit
wegen stets vorausgesetzt, zumal viele Konstruktionen von der Wahl der
Maßstäbe ganz unabhängig sind.


§ 3. =Einschalten eines Punktes.= Die Fig. 2 zeigt auch, wie man die
Kote _k_ eines beliebigen, auf _g_ gelegenen Punktes _P_ ermittelt,
denn es ist _PP^*_ = _k_ – _k₁_. Sie zeigt ferner, wie man bei
gegebener Höhenzahl _k_ den zugehörigen Punkt _P_ auf der Geraden
_g_ konstruiert: Man trägt, unter Rücksicht auf das Vorzeichen
der Kotenunterschiede, auf _P₂P₂^*_ = _k₂_ – _k₁_ die Strecke
_k₂_ – _k_ ab, entweder von _P₂^*_ aus bis _Q_ und zieht dann die
Parallele _QP^*_ zu _P₂P₁_, oder besser von _P₂_ aus bis _R_ und
zieht dann die Parallele _RP_ zu _P₂^*P₁_; wenn _k₂_ – _k₁_ und
_k₂_ – _k_ verschiedenes Vorzeichen haben, muß man _k₂_ – _k_ an
_P₂P₂^*_ verlängernd antragen, wie es bei der Konstruktion von (_P_)
geschehen ist. Übrigens sind diese Konstruktionen weder davon, daß
_P₂P₂^*_ ⊥ _P₂P₁_ ist, noch von dem gewählten Höhenmaßstab abhängig.
Auch rechnerisch, sehr bequem und ausreichend genau mittels des
Rechenschiebers, läßt sich die Kote von _P_ nach der Formel

    _k_ = _k₁_ + _P₂P_/(_P₁P₂_) · (_k₂_ – _k₁_)

bestimmen.


§ 4. =Stufung (Graduierung) einer Geraden.= Durch Wiederholung der
eben beschriebenen Konstruktion kann man auf einer durch zwei Punkte
_P₁P₂_ eines kotierten Risses gegebenen Geraden _g_ solche Punkte
bestimmen, deren Höhenzahlen von Einheit zu Einheit, oder von 10 zu
10 Einheiten oder dergleichen, fortschreiten, wie das in Fig. 3 mit
bestimmten Werten ausgeführt ist. In _P₂_ ist an _g_ unter beliebigem
Winkel die Strecke _P₂P₂^*_ in Länge von 22,6 – 18,7 = 3,9 beliebigen
Einheiten angetragen und auf ihr in denselben Einheiten 22,6 – 22
= 0,6, 22,6 – 21 = 1,6 usw. abgetragen; die Parallelen durch die
erhaltenen Punkte schneiden auf _g_ die _Stufung_ (_Graduierung_) oder
den _Gefällemaßstab_ aus. Die gestufte Gerade erscheint wie ein aus
großer Höhe gesehener Steigbaum mit Sprossen.

[Illustration: Fig. 3.]

Eine lotrechte Gerade hat als Projektion einen Punkt und ist durch
dessen Angabe eindeutig bestimmt. Eine wagerechte Gerade hat keinen
Gefällemaßstab; sie ist durch ihre Projektion und durch Angabe der Höhe
irgendeines ihrer Punkte eindeutig bestimmt.


§ 5. =Intervall.= Die Entfernung zweier aufeinanderfolgender Punkte des
Gefällemaßstabes einer gestuften Geraden, gemessen in der Rißebene,
heißt ihr _Intervall_ _i_, und eine leichte geometrische Überlegung
oder auch die in § 2 gegebene Formel für das Gefälle ergibt tg φ =
1 : _i_. Je steiler also die Gerade ansteigt, um so kleiner ist ihr
Intervall, um so enger ihre Graduierung.


§ 6. =Schnitt zweier Geraden.= Zwei Geraden _g₁'_, _g₂'_ des Raumes
schneiden sich dann und nur dann, wenn ihre Projektionen _g₁_, _g₂_
einen Punkt _mit gleicher Kote_ gemeinsam haben; sie sind parallel,
wenn ihre Gefällemaßstäbe durch Parallelverschiebung zur Deckung
gebracht werden können, d. h. wenn erstens _g₁_ parallel zu _g₂_,
zweitens _i₁_ = _i₂_ ist, und drittens die Graduierungen von _g₁_ und
_g₂_ denselben Richtungssinn haben. Ist die dritte Bedingung nicht
erfüllt, so sind die beiden Geraden _g₁'_, _g₂'_ nicht parallel,
sondern jede von ihnen ist zu der Geraden, die sich durch irgendeinen
ihrer Punkte parallel zur anderen ziehen läßt (z. B. _g₂''_ || _g₂'_),
symmetrisch bezüglich des Lotes durch diesen Punkt (Fig. 4).

[Illustration: Fig. 4.]

Wenn _g₁_ und _g₂_ zusammenfallen, liegen _g₁'_, _g₂'_ in derselben
lotrechten Ebene; der Winkel ψ von _g₁'_ und _g₂'_ ist in einem
Dreieck zu finden (Fig. 5 u. 6), dessen Grundlinie durch Zusammenfügen
von _i₁_ und _i₂_ (mit Berücksichtigung des Richtungssinns)
entsteht, und dessen Höhe, die in dem _i₁_ und _i₂_ gemeinsamen
Punkt zu errichten ist, gleich der Einheit des Höhenmaßstabes ist.
Der Schnittwinkel ψ ist ein rechter, wenn die Höhe 1 die mittlere
Proportionale zwischen _i₁_ und _i₂_ ist, d. h. wenn

    _i₂_ = 1 : _i₁_,

und überdies die Graduierungen entgegengesetzten Sinn haben.

[Illustration: Fig. 5.]

[Illustration: Fig. 6.]


§ 7. =Ebene.= Zwei sich schneidende oder parallele Geraden des Raumes
bestimmen eine Ebene. Nachdem die beiden Geraden gestuft sind, lassen
sich die _Schichtlinien_ der Ebene als Verbindungsgeraden der Punkte
gleicher Höhenzahlen konstruieren; sie sind also parallele Geraden.
Wenn umgekehrt die Verbindungsgeraden je zweier und daher aller Punkte
gleicher Höhenzahlen auf zwei gestuften Geraden einander parallel
sind, dann liegen die Geraden in einer Ebene, d. h. schneiden sich,
wie in Fig. 7 _g₁_ und _g₂_, oder sind parallel, wie _g₁_ und _g₃_;
andernfalls kreuzen sie sich, wie _g₂_ und _g₃_.

[Illustration: Fig. 7.]

[Illustration: Fig. 8.]


§ 8. =Gefällemaßstab.= Die zu den Schichtlinien senkrechten Geraden
der Ebene heißen ihre _Fallinien_[1]; durch die Schnittpunkte mit den
Schichtlinien werden sie graduiert. Eine Ebene ist durch eine gestufte
Fallinie, ihren _Gefälle-_ oder _Böschungsmaßstab_, eindeutig gegeben;
man pflegt ihn als gestufte Doppelgerade (Fig. 8) zu zeichnen, wobei
die stärker ausgezogene oder mit einer Pfeilspitze versehene als die
eigentliche Fallinie gelten soll. Der Gefällemaßstab einer Ebene
erscheint danach wie eine aus großer Höhe gesehene Leiter mit ihren
Sprossen.

    [1] In der Fig. 8 verläuft die Gerade 3,6 ... 9,6 zufällig wie
        eine Fallinie.


§ 9. _Aufgabe._ Durch drei kotierte Punkte eine Ebene zu legen.
Man verbindet die Punkte durch drei Geraden, graduiert diese nach
§ 4, zeichnet durch Verbindung gleichkotierter Punkte der Geraden
die Schichtlinien der Ebene und danach senkrecht zu diesen den
Gefällemaßstab (Fig. 8).


§ 10. =Böschung, Fallen und Streichen.= Der Fallwinkel φ der Fallinien
heißt das _Einfallen_ oder das _Fallen_ der Ebene, tg φ ihre
_Böschung_, die durch zunehmende Höhen gegebene Richtung der Fallinien
die _Anstiegsrichtung_ der Ebene. Unter Streichrichtung versteht man
diejenige Richtung der Schichtlinien – die daher bei der Ebene auch
_Streichlinien_ heißen –, von der aus man im mathematisch positiven, d.
h. dem Uhrzeigerlaufe entgegengesetzten Sinne um einen rechten Winkel
zu drehen hat, um die Anstiegsrichtung der Ebene zu erhalten. Der
Winkel σ, um den man von einer festen (SN)-Richtung aus im positiven
Sinne zu drehen hat, um die Streichrichtung zu erhalten, heißt das
_Streichen_ der Ebene (Fig. 9).

[Illustration: Fig. 9.]

[Illustration: Fig. 10.]

Die Begriffe und Bezeichnungen des Fallens und Streichens einer Ebene
sind, wenn auch nicht immer eindeutig genug erklärt, dem Bergmanne
und Geologen sehr geläufig, weil durch die leicht ausführbare Messung
dieser Winkel an einem der Lage nach bekannten Orte auch die Lage
der Ebene, z. B. einer erzführenden ebenen oder als nahezu eben
anzunehmenden Schicht, vollständig bestimmt ist.


§ 11. _Aufgabe._ Um die soeben angedeutete Aufgabe zu lösen, d. h.
um in einer Karte die Ebene zu konstruieren, von der man an einem
bekannten Punkte _A_ (_k_ = 5,4) das Fallen φ (= 30°) und Streichen
σ (= 125°) beobachtet hat, legt man zunächst durch Antragen des
Winkels σ an die SN-Richtung die Streichrichtung und weiter nach
positiver Drehung um 90° die Anstiegsrichtung der Ebene fest. Ein
rechtwinkliges Hilfsdreieck, in dem die Kathete die Höheneinheit, der
gegenüberliegende Winkel gleich φ ist, liefert als andere Kathete das
Intervall einer Fallinie. Wählt man als Gefällemaßstab der Ebene die
durch den Punkt _A_ hindurchgehende Fallinie, so hat man von _A_ aus
in der Anstiegsrichtung 0,6 · _i_ abzutragen, um den Punkt der runden
Höhenzahl 6 zu finden und danach die Stufung vorzunehmen (Fig. 10).


§ 12. =Schnittgerade zweier Ebenen.= Zwei nicht parallele Ebenen
schneiden sich in einer Geraden. In der Karte der Ebenen erhält man
diese Gerade und zugleich ihre Stufung im allgemeinen als Ort der
Schnittpunkte gleichkotierter Schichtlinien (Fig. 11).

[Illustration: Fig. 11.]

[Illustration: Fig. 12.]

Das Verfahren versagt jedoch um so mehr, je mehr die Schichtlinien der
beiden Ebenen einander parallel werden. Dann schneidet man die beiden
Ebenen (1) und (2) durch eine beliebige Hilfsebene (3) in geeigneter
Lage, bestimmt die Schnittgeraden (1, 3) und (2, 3) und deren
Schnittpunkt _A_, der auf der Schnittgeraden (1, 2) gelegen sein muß.
Eine zweite Hilfsebene (4) bestimmt ebenso die Schnittgeraden (1, 4)
und (2, 4) und deren Schnittpunkt _B_; durch _A_ und _B_ ist aber die
gesuchte Schnittgerade (1, 2) völlig bestimmt (Fig. 12). Zweckmäßig,
und in der Figur ist das so ausgeführt, wählt man die zweite Hilfsebene
(4) so, daß ihr Gefällemaßstab der gleiche, aber entgegengesetzt
gerichtete zu dem von (3) ist. Da er ganz willkürlich ist, so genügt
es zur wirklichen Ausführung der Konstruktion, die Schichtlinien der
beiden gegebenen Ebenen durch zwei Parallelen _p'_, _p''_ in beliebigem
Abstand zu schneiden.

[Illustration: Fig. 13.]

[Illustration: Fig. 14.]


§ 13. =Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben.= Dieses Verfahren ist
auch anwendbar, wenn die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen,
also auch ihre Gefällemaßstäbe genau parallel sind; man kann alsdann
_p'_, _p''_ mit diesen zusammenfallen lassen. Die Schnittgerade
steht jetzt senkrecht auf den beiden Gefällemaßstäben, weil sie die
gemeinsame Schichtlinie der beiden Ebenen ist (Fig. 13).

Für den Fall zweier Ebenen mit parallelen Schichtlinien läßt sich auch
folgende Konstruktion ausführen. Man denke sich die Punkte gleicher
Höhenzahlen der beiden parallelen Gefällemaßstäbe durch Geraden
verbunden; je zwei werden in ihrem Schnittpunkt wegen der Ähnlichkeit
der entstehenden Scheiteldreiecke im Verhältnis der Intervalle
der beiden Gefällemaßstäbe geteilt, sie haben also alle denselben
Schnittpunkt _P_. Er muß ein Punkt der gesuchten Schnittgeraden
sein, weil diese auch zwei Punkte gleicher Höhenzahlen verbindet.
Die Schnittgerade ist also das Lot durch _P_ auf den gegebenen
Gefällemaßstäben (Fig. 14).


§ 14. =Ebenen gleicher Böschung.= Jeder Punkt der Schnittgeraden zweier
Ebenen gleicher Böschung hat von zwei gleichkotierten Streichlinien der
Ebenen dieselbe Entfernung; denn (Fig. 15) _PA_ und _PB_ sind Stücke
zwischen gleichkotierten Punkten auf gleichgraduierten Fallinien. Die
Schnittgerade halbiert ferner in der Horizontalprojektion den Winkel
der beiden Schichtlinien; das folgt aus der Kongruenz der beiden
rechtwinkligen Dreiecke _PAC_ und _PBC_.

Diese Sätze gelten auch, wenn die gerichteten Fallinien der beiden
Ebenen miteinander einen gestreckten Winkel bilden. Die Schnittgerade
ist dann die Streichlinie, die durch den beiden Fallinien gemeinsamen
Punkt derselben Höhenzahl hindurchgeht.

[Illustration: Fig. 15.]

[Illustration: Fig. 16.]


§ 15. =Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.= Man legt durch
die gegebene Gerade _g_ (Fig. 16) eine beliebige Hilfsebene, von der
irgend zwei Streichlinien genügen, und ermittelt deren Schnittpunkte
mit den gleichkotierten Schichtlinien der gegebenen Ebene; damit ist
die Schnittgerade _s_ beider Ebenen bestimmt, und dadurch der gesuchte
Punkt _P_ als Schnittpunkt von _s_ mit _g_. Sind die Schnittgerade und
die gegebene Gerade einander parallel, wie in der Figur _s₁_ und _g₁_,
so ist auch die gegebene Gerade der Ebene parallel; der Gefällemaßstab
der Geraden kann durch Parallelverschiebung mit demjenigen zur Deckung
gebracht werden, den die Streichlinien der Ebene auf ihr ausschneiden.

Um den Abstand der Ebene von der parallelen Geraden zu bestimmen, ist
nur von irgendeinem ihrer Punkte ein Lot auf die Ebene zu fällen und
dessen Länge zu ermitteln, wie das sogleich gezeigt werden wird.


§ 16. =Lot von einem Punkte auf eine Ebene.= Man legt durch den
gegebenen Punkt _P_ (Fig. 17) eine Vertikalebene, die zugleich auf der
gegebenen senkrecht steht, sie demnach in einer Fallinie, also in einer
Parallelen zum gegebenen Gefällemaßstab _e_ der Ebene schneidet. Das
gesuchte Lot steht auf dieser Fallinie senkrecht; nach § 6 ist demnach
seine Graduierung entgegengesetzt und sein Intervall _i_ reziprok zu
dem des Gefällemaßstabes _e_, also aus dem in der Figur angegebenen
Dreieck _ABC_ zu entnehmen. Das gestufte Lot _l_ stellt zugleich
den Gefällemaßstab einer Ebene dar, die die gegebene längs einer
Schichtlinie schneidet, nämlich derjenigen, die durch den Fußpunkt _F_
des Lotes geht. Man zeichnet diese nach § 13, Fig. 14 und danach die
wahre Lotlänge _FQ_ nach § 1, wobei in der Figur _PR_ die Höheneinheit
ist.

[Illustration: Fig. 17.]

[Illustration: Fig. 18.]

Zur Konstruktion des Fußpunktes des Lotes ist übrigens nur
erforderlich, seinen Durchschnittspunkt mit der Ebene wie oben (§ 15)
zu ermitteln.


§ 17. =Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden.= Wenn man
(Fig. 18) durch die eine, _g₁_, der beiden gegebenen windschiefen
Geraden eine Ebene parallel zur anderen, _g₂_, legt und sodann von
irgendeinem Punkte _C_ der Geraden _g₂_ das Lot _CD_ auf diese Ebene
fällt, so hat _CD_ dieselbe Länge wie der gesuchte kürzeste Abstand
selbst. Wenn man ferner in der Ebene durch _D_ die Parallele zu _g₂_
zieht, so schneidet sie _g₁_ im Punkte _A_, dem einen Endpunkte des
gesuchten kürzesten Abstandes; der andere, _B_, liegt auf _g₂_ als
Schnittpunkt des in _A_ auf der Ebene errichteten Lotes _AB_. Die
Konstruktion ist danach folgendermaßen: Man legt durch einen beliebigen
Punkt (1) der einen Geraden _g₁_ eine Parallele _p_ zur zweiten _g₂_,
so daß also _p_ und _g₂_ gleiche Stufungen haben. Durch _p_ und _g₁_
ist eine zu _g₂_ parallele Ebene bestimmt, deren Schichtlinien sich
durch Verbindung gleichkotierter Punkte von _p_ und _g₁_ ergeben; _e_
sei ihr Gefällemaßstab. Nun fällt man von irgendeinem Punkte _C_ (= 3)
von _g₂_ das Lot _CD_ auf diese Ebene, entsprechend dem Vorhergehenden:
das Dreieck mit dem rechten Winkel bei _H_, dessen Höhe gleich der
Einheit des Höhenmaßstabes ist, liefert das (in der Figur stark
ausgezogene) Intervall, das zu dem von _e_ reziprok ist, und mit dem
die durch _C_ parallel zu _e_ gezogene Gerade _q_ entgegengesetzt zu
_e_ graduiert wird; vom Schnittpunkt _S_ der Verbindungsgeraden 2–2,
4–4 gleichkotierter Punkte auf _q_ und _e_ ist die Senkrechte _SD_ auf
_q_ gefällt, die den Fußpunkt _D_ des gesuchten Lotes ergibt. Durch ihn
zieht man die Parallele zu _g₂_, die _g₁_ im Fußpunkt _A_ des gesuchten
kürzesten Abstandes schneidet. Den anderen Endpunkt _B_ findet man
durch _AB_ || _CD_.

[Illustration: Fig. 19.]


§ 18. =Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in die wagerechte
Lage.= Es kommt oft vor, daß man in einer durch ihren Gefällemaßstab
gegebenen Ebene Messungen von Winkeln oder Längen, oder Konstruktionen
maßstäblicher Natur auszuführen hat; das ist nicht ohne weiteres
möglich, wenn die Ebene nicht zur Zeichenebene parallel, also
nicht wagerecht ist. Man hat sie vielmehr erst in die wagerechte
Lage zu bringen, zweckmäßig durch Drehung um eine Streichlinie. Es
sei (Fig. 19) _AB_ (Höhe 0) diese Streichlinie einer Ebene, deren
Gefällemaßstab rechts in der Figur zu sehen ist. Durch Drehung geht
die Schar der Streichlinien in eine andere dazu parallele Schar über,
die mit der ursprünglichen die Streichlinie _AB_ gemeinsam hat. In
wagerechter Lage der Ebene ist der Abstand zweier Streichlinien mit
dem ursprünglichen Höhenunterschied 1 die Hypotenuse in dem Dreieck,
dessen Katheten das ursprüngliche Intervall _i_ und die Einheit des
Höhenmaßstabes sind (in der Figur links angegeben). Bei der Drehung
beschreibt jeder Punkt _C_ einen Kreis, dessen Ebene zu _AB_ senkrecht
ist und daher die Rißebene in dem Lot _CH_ auf _AB_ schneidet. Um also
den Punkt _C^*_ zu finden, in den _C_ nach der Drehung übergeht, hat
man nur die mit _C_ gleichkotierte Schichtlinie (in der Figur die mit
der Höhenzahl 7) nach der Drehung mit diesem Lot zum Schnitt zu bringen.

Auf diese Weise läßt sich die wahre Gestalt einer Figur _CDEF_ der
gegebenen Ebene als _C^*D^*E^*F^*_ konstruieren; also auch z. B. die
wahre Größe des Schnittwinkels zweier Geraden _AC_ und _BC_ als Winkel
_AC^*B_. Eine nützliche Kontrolle besteht in der Konstruktion der
wahren Längen von _AC_ und _BC_ als _AC^*_ und _BC^*_ nach § 1, wie in
der Figur angegeben.

Durch Umkehrung der Konstruktion kann man eine gegebene Figur in eine
durch ihren Gefällemaßstab gegebene Ebene einzeichnen.


§ 19. =Schnittwinkel zweier Ebenen.= Wenn man von irgendeinem Punkte,
der auf keiner der beiden Ebenen gelegen ist, auf diese die beiden Lote
fällt, so schließen sie miteinander dieselben Winkel ein wie die beiden
Ebenen. In § 16 ist das Fällen eines Lotes auf eine Ebene gezeigt
worden. Durch diese beiden Lote ist eine Ebene bestimmt. Dreht man nun
diese Ebene der beiden Lote um eine ihrer Schichtlinien, d. h. um eine
Verbindungsgerade gleichkotierter Punkte der Lote, in die wagerechte
Lage (nach § 18), so erhält man die gesuchten Schnittwinkel in wahrer
Größe. Der Leser führe danach die Konstruktion aus.

Eine etwas andere Lösung der Aufgabe ist folgende. Man zeichnet zuerst
nach § 12 die Schnittgerade beider Ebenen als geometrischen Ort der
Schnittpunkte gleichhoher Streichlinien, sodann irgendeine, diese
Schnittgerade senkrecht schneidende Hilfsebene; ihr Böschungsmaßstab
läuft parallel zur Projektion der Schnittgeraden. Diese Hilfsebene
schneidet die beiden gegebenen Ebenen in zwei Geraden, die die
gesuchten Winkel miteinander einschließen. Dreht man also die
Hilfsebene um eine ihrer Schichtlinien in die wagerechte Lage, so
erhält man dadurch auch die Schnittwinkel der beiden gegebenen Ebenen
in wahrer Größe.

[Illustration: Fig. 20.]

Die Durchführung der Konstruktion ist aus der Fig. 20 zu entnehmen:
I und II sind die Gefällemaßstäbe der beiden gegebenen Ebenen, _s_
ihre Schnittgerade, _h_ der Gefällemaßstab der auf _s_ senkrechten
Hilfsebene, dessen Intervall reziprok und entgegengesetzt zu dem
von _s_ ist. Irgendeine Schichtlinie der Hilfsebene schneidet die
gleichhohen Schichtlinien von I und II in je einem Punkte _A₁_,
_A₂_. Ist _C_ die Projektion des Schnittpunktes der Hilfsebene mit
der Geraden _s_ (§ 15), so enthält das Dreieck, dessen Projektion
_A₁CA₂_ ist, bei _C_ einen der gesuchten Winkel, und man findet seine
wahre Größe durch Drehung dieses Dreiecks um die Gerade _A₁A₂_ in die
wagrechte Lage _A₁C^*A₂_. Den Punkt _C^*_ findet man einfach, wenn
man durch _s_ einen Vertikalschnitt legt und diesen in die wagerechte
Lage umklappt. Es entsteht das rechtwinklige Dreieck 233' (worin 33'
der Höheneinheit gleich ist), und das Lot, das vom Schnittpunkte
_B_ von _A₁A₂_ mit _s_ auf die Hypotenuse 23' gefällt werden kann,
gibt den Punkt _C'_, in den durch das Umklappen der Scheitel der
gesuchten Winkel übergegangen ist. _BC'_ ist also die Höhe des oben
erwähnten Dreiecks, und man hat mithin nur _BC^*_ = _BC'_ von _B_ auf
_s_ abzutragen, um den Punkt _C^*_ zu erhalten. Der Winkel _A₁C^*A₂_
und sein Supplementwinkel sind die gesuchten Schnittwinkel der beiden
Ebenen.


§ 20. =Böschungskegel.= Alle durch denselben Punkt gehenden
Ebenen gleichen Gefälles umhüllen einen geraden Kreiskegel, den
Böschungskegel. Die Böschung der Ebenen heißt auch die des Kegels.
Seine Schichtlinien werden in der Projektion durch konzentrische Kreise
dargestellt, deren Mittelpunkt die Projektion des Scheitels des Kegels
ist. Die Radien der Kreise stellen die Mantelgeraden des Kegels dar,
und stimmen, in geeigneter Weise durch die Schichtkreise des Kegels
gestuft, auch mit den Gefällemaßstäben der Ebenen überein.

Der Böschungskegel kann zur Konstruktion folgender Aufgaben benutzt
werden:

1. _In einer gegebenen Ebene durch einen gegebenen Punkt die Geraden
von gegebenem Anstieg zu zeichnen._ Man mache den Punkt zur Spitze
des Böschungskegels vom gegebenen Anstieg; seine Schnittlinien mit
der Ebene sind die gesuchten Geraden. Zu ihrer Konstruktion genügt
es, irgendeinen Schichtkreis des Kegels mit der gleichkotierten
Streichlinie der Ebene zum Schnitt zu bringen (Fig. 21).

[Illustration: Fig. 21.]

[Illustration: Fig. 22.]

2. _Durch eine gegebene Gerade die Ebenen von gegebener Böschung zu
legen._ Man mache irgendeinen Punkt der Geraden zur Spitze eines Kegels
der gegebenen Böschung; die gesuchten Ebenen sind diejenigen seiner
Berührungsebenen, die durch die gegebene Gerade gehen. Man konstruiert
sie, indem man von irgendeinem zweiten Punkte der Geraden die beiden
Tangenten an den mit ihm gleichkotierten Schichtkreis des Kegels legt
(Fig. 22).

Die Lösungen beider Aufgaben werden nicht reell, wenn die Böschung der
Ebenen kleiner ist als die der Geraden.


§ 21. =Kreiszylinder, schiefer Kreiskegel, Kugel.= Die Schichtlinien
eines schiefen Kreiszylinders mit wagerechter Grundfläche sind Kreise
vom selben Radius, deren Mittelpunkte auf der entsprechend der Neigung
gestuften Zylinderachse liegen. Ist der Zylinder gerade, so lagern sich
alle Schichtkreise kongruent übereinander.

[Illustration: Fig. 23.]

Die Schichtlinien eines schiefen Kreiskegels mit wagerechter
Grundfläche sind Kreise, deren Mittelpunkte auf der gestuften
Projektion der Kegelachse liegen, und deren Radien sich am einfachsten
aus demjenigen durch die Achse gelegten ebenen Schnitte ergeben, dessen
Schnittfigur ein gleichschenkliges Dreieck ist (Fig. 23).

Die Figur 24 zeigt die Darstellung der oberen Hälfte eines geraden
Kreiszylinders mit wagerechter Achse; seine Schichtlinien sind
parallele Geraden, seine Halbkreise stellen sich dar als Geraden, die
die Schichtlinien senkrecht durchsetzen und von ihnen nach einem leicht
aufzustellenden Gesetze ungleichmäßig gestuft werden.

Eine entsprechende Darstellung tritt offenbar auch auf bei einem
Zylinder mit beliebigem Querschnitt, wenn nur seine erzeugenden Geraden
horizontal verlaufen.

Sind die erzeugenden Geraden des Zylinders nicht horizontal, so
bestehen seine Schichtlinien aus kongruenten Kurven, die aus einer von
ihnen durch Verschiebung längs der erzeugenden Geraden hervorgehen; aus
der Fig. 79 S. 55 ist ein Beispiel dafür zu entnehmen.

[Illustration: Fig. 24.]

[Illustration: Fig. 25.]

Die Schichtlinien einer Halbkugel sind konzentrische Kreise, deren
Radien sich aus einem lotrechten Schnitt durch den Mittelpunkt der
Kugel ergeben (Fig. 25).


§ 22. =Andere Oberflächen.= Von andern gekrümmten Oberflächen, die
sich durch ihre Schichtlinien in einfacher Weise darstellen lassen,
seien hier nur beispielsweise folgende erwähnt:

1. Wenn man die gleichkotierten Punkte zweier windschiefer Geraden
geradlinig verbindet, so ergibt sich eine windschiefe Fläche mit
geradlinigen Schichtlinien, ein _hyperbolisches Paraboloid_ (Fig. 26).
Sein Umriß, aus sehr großer Höhe von oben gesehen, ist eine Parabel,
die auch in der Figur deutlich erkennbar ist.

[Illustration: Fig. 26.]

2. Der Leser versuche, die Schichtlinien einer gemeinen
_Schraubenfläche_ mit senkrechter Achse darzustellen, und zwar etwa
eine vollständige Windung mit der Ganghöhe 8 Höheneinheiten. Man kann
sie sich vorstellen als Wendeltreppe, von der je 8 Stufen einen Umgang
bilden.

[Illustration: Fig. 27.]

3. Die Darstellung einer _Umdrehungsfläche_ mit lotrechter Drehachse
durch ihre Schichtlinien ergibt ein System konzentrischer Kreise,
deren Radien aus einem Achsenschnitt der Fläche entnommen werden können
(Fig. 27). Über die Bedeutung der Linie _DD_ vgl. § 60 S. 41.




II. ELEMENTARE ANWENDUNGEN


§ 23. =Zweck der Anwendungen.= In diesem Abschnitte wird es sich darum
handeln, die Verwendbarkeit der vorher entwickelten Konstruktionen
an einigen einfachen Aufgaben zu zeigen. Der Leser wird finden, daß
diese Aufgaben fast sämtlich ihre Anregung gewissen praktischen Fragen
verdanken, von denen sie, freilich zunächst unter sehr vereinfachenden
Annahmen, sozusagen den geometrischen Kern bilden. Es wird für den
Leser, der sich damit auch nur ein wenig vertraut machen will, wohl
unerläßlich sein, die eine oder andere der Aufgaben selber zeichnerisch
in größerem Maßstabe auszuführen. Die einfachsten Zeichenmittel genügen
dazu.


§ 24. =Aufführung eines Dammes.= Zwei ebene geneigte Hänge mögen ein
Tal bilden, dessen tiefste Linie, der Talweg, die Schnittgerade der
beiden Ebenen (§ 12) ist. Es soll ein aus ebenen Flächen gebildeter
Damm von gegebenem trapezförmigen Querschnitte, oder auch von gegebener
Breite und gegebenen Böschungen (§ 10), aufgeführt werden, von dem
die Mittellinie der Dammkrone zwei gegebene gleichkotierte Punkte der
beiden Hänge geradlinig verbindet.

[Illustration: Fig. 28.]

[Illustration: Fig. 28 a.]

Man ziehe Parallelen zur Verbindungslinie der beiden gegebenen
Punkte _A_, _B_ (Fig. 28), und zwar zunächst die beiden die
Dammkrone begrenzenden Geraden, sodann je noch irgendeine andere der
Schichtgeraden beider Böschungen, deren senkrechte Abstände von der
Mittellinie aus dem gegebenen Dammprofil (Fig. 28 a) zu entnehmen sind.
Die Schnittpunkte dieser Schichtgeraden mit den gleichkotierten der
beiden gegebenen Ebenen (§ 12) sind mit den Ecken des Dammes durch
Geraden zu verbinden, die sich auf dem Talwege schneiden müssen.

[Illustration: Fig. 29.]

Bei der Ausführung der Zeichnung sind nur die sichtbaren Teile der
Schichtlinien auszuziehen.


§ 25. =Querprofil.= Durch die in der vorigen Figur 28 gegebene
Geländeanordnung längs einer gegebenen Richtung _MN_ einen
Vertikalschnitt (Querprofil) zu legen.

Da die Begrenzung des verlangten Querprofils nur aus geradlinigen
Stücken zusammengesetzt ist, genügt es, von jedem dieser Stücke zwei
Punkte zu ermitteln. Man zeichnet die wagerechte Gerade 6–6 und mittels
des gegebenen Höhenmaßstabs die erforderlichen Horizontalen in den
verschiedenen Höhen, auf denen man, ausgehend von _M_, die horizontalen
Abstände der Punkte des gesuchten Querprofils abzutragen hat (Fig. 29).


§ 26. =Anlage eines ebenen Platzes.= Konstruktion eines rechteckigen
ebenen Platzes in gegebener Höhe (5) in einem durch zwei ebene Hänge
begrenzten Gelände. Böschung (§ 10) des Planums im Auftrage 2 : 3, im
Abtrage 3 : 1.

[Illustration: Fig. 30.]

[Illustration: Fig. 30 a.]

Man bestimmt zunächst die Schnittpunkte _A_, _B_, _C_, _D_ der
gleichhohen Schichtlinien (5) der beiden Geländeebenen mit der
Begrenzungslinie des Platzes, wodurch ersichtlich wird, an welchen
Teilen aufgeschüttet und an welchen abgetragen werden muß (Fig. 30).
Nachdem man aus den gegebenen Böschungen die Intervalle (§ 5) und damit
die Gefällemaßstäbe (§ 8) der Böschungsebenen ermittelt hat (vgl. die
kleine Fig. 30 a), genügt es, von den Ebenen einige Streichlinien
(zur Kontrolle mehr als nötig) zu zeichnen und ihre Schnittgeraden
mit den Geländeebenen und untereinander zu bestimmen (§ 12); letztere
müssen (§ 14) die Schichtlinienwinkel (hier rechte), also auch die
(hier ebenfalls rechten) Winkel der Begrenzung des Platzes halbieren.
Zu beachten ist besonders die Konstruktion des Böschungseckpunktes
_X_ talaufwärts, der als Schnittpunkt von _AA'_, _BB'_ und dem Talweg
beider Geländeebenen erhalten wird, wobei _A'_, _B'_ die Schnittpunkte
der Böschungsschichtlinie 4 mit den, hier über den Talweg hinaus zu
verlängernden Streichlinien 4 der Geländeebenen sind.


§ 27. =Weg gegebener Steigung.= Auf einem gegebenen ebenen Hange
von einem gegebenen Punkte aus einen geraden Weg gegebener Steigung
anzulegen, dessen Breite und Böschungen gegeben sind. Steigung 20% =
1 : 5, Böschung im Abtrag 3 : 1, in der Aufschüttung 2 : 3 (Fig. 31).

[Illustration: Fig. 31.]

[Illustration: Fig. 31 a.]

Man stelle sich aus der gegebenen Steigung des Weges zunächst das
Intervall seiner Mittellinie her (Fig. 31 a) und zeichne sie in das
gegebene Gelände ein mittels der Böschungskegel, wie in § 20 angegeben:
zweckmäßig trägt man immer von dem gegebenen Punkte _A_ aus das
Intervall, sein Doppeltes, Dreifaches usw. ab, und stellt zur Kontrolle
fest, ob die erhaltenen Punkte der Streichlinien auf einer Geraden
liegen. In diesen Punkten trägt man senkrecht zur Mittelgeraden die
gegebene Wegebreite auf, wodurch die Berandungen des Weges gefunden
und zugleich graduiert werden. Durch diese hat man die Böschungsebenen
zu legen, ebenfalls mittels der Böschungskegel, wie in § 20 gezeigt.
Die Radien der zu zeichnenden Schichtkreise der Böschungskegel sind
gleichfalls aus der Fig. 31 a zu entnehmen.


§ 28. =Streichen und Fallen einer Ebene.= An den Böschungsebenen eines
Eisenbahneinschnitts beobachtet man die Grenzlinie (Ausbißlinie, d. h.
Schnitt mit der Oberfläche) einer ebenen geologischen Schicht. Es ist
Streichen und Fallen (§ 10) der Schicht zu bestimmen.

[Illustration: Fig. 32.]

Man ermittelt die Schichtlinien der gesuchten ebenen Schicht durch
Verbindung der gleichkotierten Schnittpunkte der beiden beobachteten
Geraden und der Schichtlinien der Böschungen. Jene Schichtlinien müssen
parallel und von gleichem Abstand sein, wenn anders die beobachtete
Schicht nicht eben ist. Dadurch ist der Gefällemaßstab und damit nach
§ 10 das Streichen und Fallen bestimmt. Der Streichwinkel ist in der
Fig. 32 durch einen Bogen angedeutet.


§ 29. =Dachausmittelung.= Unter Dachausmittelung versteht man im
darstellend-geometrischen Sinne die Konstruktion von (im allgemeinen)
ebenen Dachflächen gegebener Böschung auf einem gegebenen geradlinigen
Gebäudegrundriß. Hierbei wird hauptsächlich von den Sätzen des § 14
über den Schnitt zweier Ebenen gleichen Gefälles Gebrauch gemacht.
Jedoch ist zu bemerken, daß sich nicht allgemeine Gesichtspunkte zur
Konstruktion von Dachflächen angeben lassen, und vor allem, daß die
im folgenden ausgeführten Konstruktionen nicht immer in der Praxis
der Architekten Verwendung finden; das liegt sowohl in mancherlei
Zweckmäßigkeitsgründen wie auch an ästhetischen Rücksichten. Hier
sollen nur einige einfache Dachausmittelungen als Anwendungen gegeben
werden.


§ 30. _Aufgabe. Ein Gebäude mit viereckigem Grundriß und überall gleich
hohen Mauern zu decken._ Der Gefällemaßstab des Daches ist gegeben.

Nach § 14 sind die Schnittlinien benachbarter Dachflächen die
Winkelhalbierenden der Schichtlinien, zu denen auch die wagerechten
Begrenzungen gehören. Dadurch entstehen (Fig. 33) an den kürzeren
Vierecksseiten dreieckige Bedachungen, an den längeren viereckige,
deren Schnittgerade, die »Firstlinie« des Daches, durch Verbindung der
Dreiecksspitzen erhalten wird. Sie ist im allgemeinen nicht horizontal.
Aus ästhetischen Rücksichten pflegt man daher den über dem tiefsten
Punkt der Firstlinie gelegenen Dachteil gesondert mit so flachem
Gefälle zu decken, daß dieser Teil des Daches von unten praktisch nicht
sichtbar ist. Man führe eine solche Konstruktion aus.

[Illustration: Fig. 33.]


§ 31. _Fortsetzung._ Da sich drei nicht derselben Geraden parallele
Ebenen stets in einem Punkte treffen, so muß von dem Schnittpunkte
zweier Schnittlinien, die zwei Dachebenen miteinander bilden, stets
eine dritte Schnittlinie ausgehen. Daher geht auch die Firstlinie durch
den Schnittpunkt der beiden Dachkanten der in ihr zusammentreffenden
Dächer hindurch; sie halbiert auch deren Winkel (Fig. 33). Sind demnach
diese beiden Dachkanten parallel, so ist auch die Firstlinie parallel
und daher horizontal.

Diese Bemerkungen erleichtern oft die Konstruktionen. Ein Beispiel mit
einer einspringenden Ecke gibt die Fig. 34.

[Illustration: Fig. 34.]


§ 32. =Aufschüttung einer Halde.= Von einer wagerechten Ebene
(Fig. 35, Höhe 50), an die sich ein ebener Abhang anschließt, ist ein
horizontales Geleise _gg_ auf Trägern über den Abhang hinausgebaut,
um von dort Schlacken auf den Abhang zu kippen. Das Geleise geht erst
gerade, dann im Halbkreise, dann wieder gerade zurück. Die Böschung der
Halde ist gegeben.

[Illustration: Fig. 35.]

[Illustration: Fig. 35 a.]

Bei voller Aufschüttung besteht die Halde, soweit das Geleise
geradlinig ist, aus je zwei dachartig aneinandergesetzten Ebenen; ihr
Gefällemaßstab ist aus der gegebenen Böschung zu konstruieren. Längs
des halbkreisförmigen Geleises besteht die Halde aus zwei geraden
Kegeln, die einander längs des Geleises durchdringen. Ihre Böschung
stimmt mit der gegebenen ebenfalls überein; ihre Spitzen liegen
lotrecht zum Mittelpunkte des kreisförmigen Geleiseteils, im Querprofil
(Fig. 35 a) bei _S₁_ und _S₂_. Die Kegel schneiden die Geländeebenen
in zwei Kegelschnitten (Ellipsen – wie in der Fig. 35 –, Parabeln
oder Hyperbeln, je nachdem die Böschung des ebenen Abhanges kleiner,
ebensogroß oder größer als die der Halde ist); ihre großen Hauptachsen
liegen in der Symmetrieebene des Geleises. Ein Querschnitt durch diese
gibt auch die Längen dieser Hauptachsen und die Mitten der Ellipsen;
dazu senkrechte Querschnitte durch die Ellipsenmitten liefern die
Längen der kleinen Achsen. Daraus lassen sich bekanntlich die Ellipsen
konstruieren. Auf ihnen schneiden sich gleichkotierte Schichtlinien der
Geländeebene und der Haldenfläche, nämlich sowohl der Böschungsebenen
wie der Böschungskegel; diese Schnittpunkte werden daher beim Ziehen
der Ellipsen von Nutzen sein.


§ 33. =Ausschachten einer Grube.= An einem ebenen Abhang soll eine
Grube mit kreisförmiger wagerechter Grundfläche und gegebener Böschung
ausgeschachtet werden.

[Illustration: Fig. 36.]

[Illustration: Fig. 36 a.]

Die Lösung dieser Aufgabe ist der vorigen ähnlich und in Fig. 36
angegeben. Der Grubenrand ist eine Ellipse, deren Mittelpunkt und
Hauptachsen aus dem Querschnitt (Fig. 36 a) zu entnehmen sind.
Auf der Horizontalprojektion dieser Ellipse schneiden sich die
gleichkotierten Streichlinien der Geländeebene und die Schichtkreise
des Böschungskegels.


§ 34. =Tunnelmündung.= An einem ebenen geneigten Abhang soll eine
Tunnelmündung angelegt werden. Die horizontale Mittelachse des Tunnels
und sein Querschnitt sind gegeben; die Tunnelmündung ist auch in wahrer
Gestalt zu konstruieren.

In der Fig. 37 sei rechts der Gefällemaßstab der gegebenen
Geländeebene, _a_ (Höhe 6) die Tunnelachse, Fig. 37 a sei der gegebene
Querschnitt. Da die Gerade _aa_ zugleich die Schnittgerade der
vertikalen Schnittebene längs der Tunnelachse mit der Zeichenebene,
und nachdem sie durch die gegebenen Streichlinien gestuft ist, auch
mit der gegebenen Ebene angibt, braucht man nur senkrecht zu ihr
in den Punkten mit den entsprechenden Koten die Querdimensionen des
Tunnels, wie sie das Profil angibt, abzutragen und in den Endpunkten
Parallelen zur Tunnelachse zu ziehen; diese ergeben die Schichtlinien
des die Tunnelwand darstellenden Zylinders. Ihre Schnittpunkte mit
gleichkotierten Schichtlinien der gegebenen Ebene sind Punkte der
gesuchten Tunnelmündung. Die wahre Gestalt dieser Tunnelmündung ist
durch Drehen der Ebene um die Schichtlinie der Tunnelsohle in die
horizontale Lage nach § 18 zu bestimmen: der Abstand der Streichlinien
nach der Drehung ist die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Katheten
das ursprüngliche Intervall und die mit 1 bezeichnete, aus dem
gegebenen Profil zu entnehmende Einheit des Höhenmaßstabs sind (vgl.
links in der Fig. 37).

[Illustration: Fig. 37.]

[Illustration: Fig. 37 a.]

Bei der Ausführung des in Fig. 37 gezeichneten Beispiels, bei dem das
Profil aus einem symmetrischen Trapez und einem darüber gesetzten
Halbkreise besteht, genügt es, die vier Ecken des Trapezes und den
obersten Punkt des Halbkreises festzulegen. Denn die entstehenden
Figuren der Tunnelmündung in der Karte und in wahrer Gestalt bestehen
alsdann in einem Viereck und einer darübergesetzten Halbellipse, in
der die ursprünglichen horizontalen und vertikalen Kreishalbmesser
konjugierte Halbmesser geworden sind; die Ellipsen sind daher leicht zu
zeichnen, wie das in den Elementen der darstellenden Geometrie gezeigt
wird.




III. DARSTELLUNG DER GELÄNDEFLÄCHEN


§ 35. =Hauptschichtlinien.= In der Einleitung wurde bereits von
der Darstellung einer Geländefläche durch ihre Schichtlinien,
die Schnittkurven mit wagerechten Ebenen, gesprochen, und in den
vorhergehenden vorbereitenden Abschnitten ist davon auch schon bei der
Darstellung der einfachen Flächen – Ebene, Zylinder, Kegel, Kugel –
Gebrauch gemacht worden.

Im folgenden sei nun die Gestalt der Geländefläche willkürlich
angenommen, jedoch vorausgesetzt, daß sie im allgemeinen glatt genug
verlaufe, so daß man sie durch die _gezeichneten_ Schichtlinien als
hinreichend gegeben ansehen kann. Diese Schichtlinien, die gewöhnlich
Schichten gleicher Dicke entsprechen, und deren Höhenzahlen auch
gewöhnlich runde Zahlen sind, werden bisweilen _Hauptschichtlinien_ der
Fläche genannt.

Die kotierte Projektion der Hauptschichtlinien eines Geländes auf
eine wagerechte Zeichenebene liefert bei nötiger Verkleinerung eine
_Karte_ oder einen Plan des Geländes. Allen folgenden Betrachtungen
wird ein solcher Schichtenplan zugrunde gelegt; an ihm können alle
Konstruktionen usw. ausgeführt werden. Daher werden im Folgenden auch
unter Schichtlinien, Fallinien usw. schlechtweg ihre Abbildungen (d. h.
verkleinerten Projektionen) auf einer Karte verstanden, wenn nicht etwa
aus dem Zusammenhange hervorgeht, daß die Originale des Geländes selbst
gemeint sind.


§ 36. =Zeichnerische Bemerkungen.= Zunächst mögen einige Bemerkungen
über die zeichnerische Ausführung der Konstruktionen eingeflochten
werden, von denen im folgenden die Rede sein wird. In den beiden
vorhergehenden Abschnitten war fast alles mit dem Lineal, dem Zirkel,
Maßstab und Transporteur ausführbar. Diese elementaren Geräte werden
im folgenden nicht immer genügen, wie das in der Natur der Sache
liegt, wenn sich die Konstruktionen nicht auf gerade Linien und Kreise
beschränken sollen.

Oft wird es von Vorteil oder geboten sein, die Konstruktionen nicht an
der vorhandenen Karte selbst auszuführen. Dann zeichnet man sich den
erforderlichen Teil des Geländes auf ein besonderes Zeichenblatt ab,
entweder mittels Pauspapiers, nachdem man eine Anzahl wichtiger Punkte
und etwa das Gradnetz des Geländes besonders festgelegt hat, oder
besser und genauer mit einem Storchschnabel (Pantographen).

Man kann damit zugleich die herauszuzeichnenden Teile der Karte in
vergrößertem Maßstabe wiedergeben, was oft sehr nützlich ist.

[Illustration: Fig. 38.]


§ 37. Der =Storchschnabel= (Pantograph; Christoph Scheiner, † 1650)
besteht (Fig. 38) aus zwei durch eine Parallelogrammführung (_CD_ =
_ES_, _CE_ = _DS_) verbundenen Stangen _AC_ und _BC_ mit gemeinsamem
Drehpunkt _C_; aus der Ähnlichkeit der Dreiecke _ADS_ und _ACB_ folgt
_AS_ : _AB_ = _AD_ : _AC_. Wenn also der Punkt _A_ des Apparates am
Zeichentisch oder Reißbrett festgemacht wird, bei _S_ sich ein über
der abzuzeichnenden Karte beweglicher Fahrstift (scharfe Spitze, die
durch eine daneben angebrachte ein wenig längere Stütze dicht über der
Karte geführt wird), bei _B_ der auf dem Papier zeichnende Bleistift
befindet, so liefert der letztere eine Vergrößerung im Verhältnis
_AD_ : _AC_. Ist _SB'_ = _AC_, so beschreibt _B'_ dieselbe Figur wie
_S_.

Für die hier in Frage kommenden Zwecke genügt meist ein ganz
einfacher Apparat, wie er für weniges Geld zu haben ist. Man wird
ihn nötigenfalls ein wenig ausrichten und seine Vergrößerung prüfen
müssen. Dies geschieht, indem man mit dem Fahrstift eine bekannte
Strecke durchläuft und sie mit der vom Bleistift gezeichneten Strecke
vergleicht.


§ 38. =Glatte Kurve.= Oft wird verlangt, durch eine Reihe passend
gegebener Punkte eine glatte Kurve zu legen. Diese Aufgabe ist bis zu
einem gewissen Grade willkürlich, weil der Begriff der »glatten Kurve«
nicht bestimmt genug ist. Man zieht eine solche Kurve mit Benutzung
des _Kurvenlineals_. Auch die Schichtlinien sind so zu zeichnen, aber
nicht, wie es manchmal zu sehen ist, mit willkürlichen Wellen und
Zacken dazwischen, die viele Konstruktionen ganz unausführbar machen
würden.


§ 39. =Spiegellineal.= Um an eine durch Zeichnung gegebene ebene Kurve
in einem gegebenen Punkte die Tangente oder Normale zu konstruieren,
bedient man sich zweckmäßig eines Spiegellineals, d. h. eines Lineals,
das an einer _zur Zeichenebene senkrechten_ ebenen Seitenfläche das
Spiegelbild der gezeichneten Kurve erkennen läßt. Dreht man es so
lange um den gegebenen Punkt, bis Spiegelbild und gezeichnete Kurve
ohne merklichen Knick ineinander überzugehen scheinen, so ist die
Schnittgerade der Spiegel- und Zeichenebene Normale der Kurve, ihre
Senkrechte im gegebenen Berührungspunkte also die Tangente.

Als Spiegellineal läßt sich ein mit einer geraden Kante versehener,
und, damit die Vorderfläche, nicht die Hinterfläche spiegelt, schwarz
hinterlegter Spiegelglasstreifen verwenden; für viele Zwecke genügt
auch ein mitten auf die nicht abgeschrägte Zentimeterteilung eines
gewöhnlichen Rechenschiebers geklebtes geglättetes und mit dem Ballen
der Hand poliertes Stück Stanniol.


§ 40. =Tangente.= Von einem geeignet gegebenen Punkte, der nicht auf
einer gegebenen Kurve liegt, läßt sich zwar recht genau an diese
eine Tangente mit dem Lineal legen; doch bleibt dabei die Lage des
Berührungspunktes unscharf. Man findet ihn durch eine Korrektions- oder
Fehlerkurve, die man z. B. erhält, indem man eine Reihe von Sekanten
zieht, entweder durch den gegebenen Punkt, oder der gezeichneten
Tangente parallel, deren zwischen der Kurve gelegene Sehnen man
halbiert (Fig. 39).

[Illustration: Fig. 39.]


§ 41. =Hüllkurve.= Statt daß eine Kurve zeichnerisch durch eine
genügende Anzahl Punkte bestimmt wird, kommt es auch oft vor, sie zu
zeichnen, wenn eine hinreichende Anzahl Tangenten von ihr gegeben sind;
das wird ebenfalls durch passendes Anlegen des Kurvenlineals ausgeführt.

Man spricht in diesem Falle davon, daß die Tangenten die Kurve
einhüllen, letztere die Hüllkurve (Enveloppe) der Tangenten ist. Vgl.
z. B. die Fig. 26.

[Illustration: Fig. 40.]


§ 42. =Evolute.= Zeichnet man zu einer gegebenen Kurve, die von einem
Kreise oder einer Geraden verschieden ist, (mit dem Spiegellineal)
genügend viele Normalen, so hüllen sie im allgemeinen eine zweite
Kurve ein, die Evolute der ursprünglichen (Fig. 40). Der Punkt _M_,
in dem diese eine bestimmte, durch den Kurvenpunkt _P_ gehende
Normale berührt, heißt der zu _P_ gehörige Krümmungsmittelpunkt
der ursprünglichen Kurve, so daß also die Evolute der Ort der
Krümmungsmittelpunkte ist. Der Kreis mit dem Zentrum _M_ und dem Radius
_PM_ heißt Krümmungskreis und schmiegt sich an die gegebene Kurve in
_P_ inniger an als jeder andere Kreis, obwohl er im allgemeinen die
Kurve durchschneidet.


§ 43. =Parallelkurven.= Trägt man auf den Normalen einer Kurve von
dieser aus nach derselben Seite gleiche Stücke ab, so erhält man eine
äquidistante oder parallele Kurve. Alle Parallelkurven haben also
dieselben Normalen und demnach eine gemeinsame Evolute. Sie heißen auch
die zu der Evolute gehörigen _Evolventen_.

Auch andere Kurven, z. B. Kreise, können – natürlich ebenfalls nur
bei gewissen Anordnungen – einhüllende Kurven besitzen. Davon macht
man unter anderm zweckmäßig Gebrauch, um noch auf eine zweite Art zu
einer gegebenen eine parallele Kurve im gegebenen Abstand zu zeichnen.
Man zieht um eine genügende Anzahl von Punkten der gegebenen Kurve
Kreise, deren Radius der gegebene Abstand ist, und zeichnet die beiden
Hüllkurven dieser Kreise.


§ 44. =Berührungen im Raum.= Von den folgenden leicht nachzuweisenden
Sätzen, die über die Darstellung einer Berührung im Raume gelten,
wird in Zukunft oft stillschweigend Gebrauch gemacht, wenn
Berührungskonstruktionen statt auf der Geländefläche auf einem Plan von
ihr ausgeführt werden.

Eine beliebige Raumkurve, eine Tangente an ihr und der Berührungspunkt
gehen im allgemeinen bei der Projektion in eine ebene Kurve, eine
Tangente an dieser und den Berührungspunkt über, und zwar entsprechen
die beiden Kurven, die beiden Tangenten und die beiden Berührungspunkte
einander.

Daraus folgt: wenn zwei Raumkurven sich in einem Punkte berühren,
so berühren sich auch ihre Projektionen in einem Punkte, der die
Projektion jenes ist.


§ 45. =Relief eines Geländes.= Die topographische Aufnahme eines
Geländes geschieht meist durch Höhenmessung einer ausreichenden Anzahl
einzelner Punkte, deren geographische Lage (etwa Länge und Breite, oder
andere Koordinaten) bekannt ist. Danach werden dann die Schichtlinien
konstruiert, wovon nachher im § 48 noch die Rede sein wird.

Wenn man für jede Hauptschichtlinie gleich starke Lagen von Pappe oder
Holz, deren Dicke der Schichtendicke entspricht, so ausschneidet, wie
die Schichtlinie angibt, und sie dann richtig aufeinanderlegt, so
erhält man ein terrassenförmiges Gebilde, das angenähert ein Relief
des Geländes darstellt. Auf diese Weise werden nach Ausfüllung der
Terrassen meist Reliefs von gebirgigen Gegenden wirklich hergestellt.


§ 46. =Kurven auf einer Geländefläche.= Außer den Schichtlinien
sind natürlich noch eine ganze Reihe anderer Kurven im Zusammenhang
mit einer Geländefläche zu betrachten, die teils auf ihr gelegen
sind, teils sie durchdringen oder berühren: Wege auf dem Gelände,
Eisenbahnlinien, Schnittkurven mit anderen Flächen, scheinbare
Horizonte usw. Auch diese alle hat man sich in den Plan eingezeichnet
zu denken. Es wird zweckmäßig sein, zunächst die hauptsächlichsten
Eigenschaften solcher Raumkurven kennen zu lernen, da sie naturgemäß
bei den Konstruktionen an Geländeflächen fortgesetzt vorkommen.


§ 47. =Darstellung einer Raumkurve.= Eine beliebige Raumkurve ist durch
ihre Projektion gegeben, wenn zugleich für eine genügende Anzahl ihrer
Punkte die Höhenzahlen bekannt sind. Man denke etwa an die Darstellung
des Weges, den ein Luftschiff durchmessen hat.

Alle, die Punkte einer Raumkurve projizierenden lotrechten Strahlen
bilden einen Zylinder, den _projizierenden Zylinder_, und seine
Abwickelung gibt das Profil längs der Raumkurve, das _Längenprofil_.
Man zeichnet diese Abwickelung, indem man mittels einer genügend
kleinen Zirkelöffnung die Kurve in so kleine Stücke teilt, daß sie
innerhalb der Zeichengenauigkeit als geradlinig (vgl. § 85) betrachtet
werden können, trägt diese Stücke mittels derselben Zirkelöffnung längs
einer Geraden ab, bezeichnet dabei die kotierten Punkte und trägt in
ihnen die entsprechenden Höhen lotrecht auf. Die Endpunkte dieser Lote
bilden das erwähnte Längenprofil (Fig. 41 u. 41 a).

[Illustration: Fig. 41.]

[Illustration: Fig. 41 a.]


§ 48. =Einschalten von Punkten und Konstruktion von Schichtlinien.= Man
benutzt ein solches Längenprofil, um in die Kurve Punkte gegebener Kote
einzuschalten, z. B. die Punkte mit runden Höhenzahlen (Hauptpunkte),
wodurch dann eine Stufung der gegebenen Kurve in ähnlicher Weise
ausgeführt wird, wie das früher (§ 4) bei der geraden Linie geschehen
ist.

Davon macht man z. B. Gebrauch, um aus den vermessenen Punkten eines
Geländes seine Hauptschichtlinien zu konstruieren (vgl. § 45). Man
verbindet zu diesem Zwecke geeignete vermessene Punkte der Fläche
durch eine glatte Kurve, zeichnet deren Längenprofil, aus dem man
dann leicht die Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen entnehmen kann.
Das ist in der Fig. 41 z. B. an der Linie _AB_ näher ausgeführt.
Die Verbindungskurven sind möglichst quer zu den zu erwartenden
Schichtlinien zu wählen.

Ein derartiges Längenprofil wird ferner in praktischen Fällen oft
benutzt, um z. B. das Steigen und Fallen eines Weges oder einer
Eisenbahnstrecke unabhängig von den Krümmungen der Linienführung
darzustellen, oder um die geologische Gestaltung des Erdinnern längs
eines Tunnels oder Stollens zu verfolgen.


§ 49. =Böschung einer Raumkurve.= Unter dem _Anstieg_ (Böschung)
einer Raumkurve in einem ihrer Punkte versteht man den Anstieg der
Tangente in diesem Punkte. Die Projektion der Tangente fällt nach § 44
zusammen mit der Tangente der Projektion der Raumkurve. Da sie bei
der Abwickelung des projizierenden Zylinders auch in die Tangente des
Längenprofils übergeht, so kann damit ihre Stufung nach § 4 leicht
ausgeführt werden (vgl. Fig. 42).

[Illustration: Fig. 42.]

[Illustration: Fig. 43.]


§ 50. =Böschungslinie.= Unter dem _Intervall einer Raumkurve_ in einem
ihrer Punkte versteht man das Intervall der zugehörigen Tangente. Im
allgemeinen ändert es seine Größe längs der Kurve: je kleiner es ist,
um so steiler, je größer, um so flacher verläuft die Kurve in der Nähe
der betreffenden Stelle. Ist das Intervall längs der ganzen Kurve von
derselben Länge, so hat die Kurve konstante Steigung; sie heißt dann
eine _Böschungslinie_; ihr Längenprofil ist eine Gerade, wie das in
Fig. 43 gezeigt ist.

Bei genügend enger Graduierung ist das Intervall einer Raumkurve
in einem Punkte näherungsweise gleich der Entfernung der beiden
benachbarten Hauptpunkte.


§ 51. =Normalebene, Planierungsfläche.= Die auf der Tangente im
Berührungspunkte senkrechte Ebene heißt _Normalebene_ der Kurve; ihr
Gefällemaßstab ist nach § 6 zu konstruieren als die in einer lotrechten
Ebene gelegene Senkrechte zur Tangente im Berührungspunkte (vgl.
Fig. 44): das Intervall ist entgegengesetzt gerichtet und reziprok zu
dem der Tangente, wozu in der Figur das rechtwinklige Dreieck mit der
Höhe 1 (Einheit des Höhenmaßstabes) dient. Jede in der Normalebene
gelegene, die Kurve schneidende Gerade heißt _Normale_ der Kurve.

[Illustration: Fig. 44.]

[Illustration: Fig. 45.]

Sämtliche horizontalen Normalen bilden eine im allgemeinen windschiefe
Fläche, die die Kurve enthält, die _Planierungsfläche_. Die
Projektionen dieser Normalen sind die mittels des Spiegellineals leicht
in die Karte zu zeichnenden Normalen der gegebenen Projektion der
Kurve. Trägt man auf ihnen von der Kurve aus beiderseits dasselbe Stück
ab, so erhält man die Darstellung eines Weges, dessen Mittellinie die
gegebene Kurve ist (Fig. 45).

Im allgemeinen besteht die Planierungsfläche aus zwei Flügeln,
die längs derjenigen Raumkurve aneinanderstoßen, deren Projektion
die Evolute der gegebenen Projektion der Kurve ist. Längs dieser
Raumkurve durchdringt die Planierungsfläche sich selbst. Zum
Beispiel ist die Planierungsfläche einer gewöhnlichen zylindrischen
Schraubenlinie mit lotrechter Achse die gemeine Schraubenfläche, ihre
Selbstdurchdringungskurve die lotrechte Achse selbst.


§ 52. =Schmiegungsebene.= Ebenso wie die Tangente einer Kurve die
Grenzlage der Sekante ist für den Fall, daß der eine Kurvenpunkt
sich dem anderen mehr und mehr nähert, so ist die _Schmiegungsebene_
die Grenzlage aller durch drei Punkte der Kurve gehenden Ebenen für
den Fall, daß zwei der Punkte sich dem dritten mehr und mehr nähern,
übrigens, wenn von _einer_ Schmiegungsebene überhaupt die Rede sein
soll, gleichgültig, in welcher Weise diese Annäherung ausgeführt wird.
Daher ist die Tangente in der Schmiegungsebene gelegen.

Um die Schmiegungsebene in einem gegebenen Punkte der Kurve zu
konstruieren, wird man demnach zuerst die zugehörige Tangente zu
ziehen und nach § 49 zu graduieren haben. Die Schmiegungsebene wird
alsdann eindeutig bestimmt sein, sobald man die Richtung einer ihrer
Streichlinien kennt, z. B. derjenigen, die durch den gegebenen
Kurvenpunkt geht. Die Hauptstreichlinien sind zu dieser parallel und
gehen durch die Hauptpunkte der Tangente.

[Illustration: Fig. 46.]

Bei der Konstruktion der Schmiegungsebene muß man natürlich von ihrer
Erklärung Gebrauch machen und also eine Reihe von Ebenen zeichnen,
deren Grenzlage sie ist. Zum Beispiel kann man zweckmäßig solche
Ebenen wählen, deren einer Punkt der gegebene ist, während die beiden
anderen entgegengesetzt gleiche Höhenabstände von ihm haben. Das ist
in Fig. 46 ausgeführt, indem jedesmal die Verbindungsgerade der beiden
letztgenannten Punkte graduiert ist. Diese Ebenen hüllen eine Fläche
ein, auf der die gegebene Kurve gelegen ist, und auf der sich leicht
die Höhenlinien als Verbindungskurven der Punkte gleicher Höhenzahlen
zeichnen lassen, insbesondere auch die durch den gegebenen Kurvenpunkt
gehende. Irgendeine durch diesen Punkt gehende Sekante der Höhenlinie
ist in einer der besagten Ebenen als Schichtlinie enthalten. In dem
Grenzfall der Schmiegungsebene geht also diese Sekante in die Tangente
der erwähnten Schichtlinie im gegebenen Punkte über und wird zugleich
Schichtlinie der Schmiegungsebene. Danach ist diese leicht zu zeichnen.


§ 53. =Hauptnormale, Binormale.= Die Schmiegungsebene und die
Normalebene schneiden sich in der _Hauptnormalen_ der Kurve. Das Lot
auf der Schmiegungsebene im Berührungspunkte heißt _Binormale_ der
Kurve. Beide Geraden lassen sich nach § 12 und § 6 konstruieren.

Wer die angegebene Konstruktion der Tangente, Schmiegungsebene usw.
wirklich ausgeführt hat, wird unschwer bemerkt haben, daß dabei
die Genauigkeit der Zeichnung geringer ist als bei den bisherigen
Konstruktionen. Der Grund dafür liegt in den Erklärungen der Tangente
usw. als Grenzlagen gewisser Geraden usw. Diese Bemerkung gilt auch für
eine ganze Reihe von Konstruktionen an Kurven und Flächen, wie sie im
folgenden mitgeteilt werden.

[Illustration: Fig. 47.]


§ 54. =Schnitt einer Fläche mit einer Ebene.= Um die Schnittkurve
einer Fläche mit einer gegebenen Ebene zu konstruieren, bringt man die
Schichtlinien der Fläche mit den gleichkotierten Streichlinien der
Ebene zum Schnitt und verbindet die erhaltenen Punkte durch eine glatte
Kurve. Diese wird _Ausschnittlinie_, _Ausbißlinie_, _Verschneidung_ der
Ebene genannt (Fig. 47).

[Illustration: Fig. 48.]

[Illustration: Fig. 48 a.]

Wenn man die gegebene Fläche längs einer gegebenen Richtung durch
eine lotrechte Ebene schneidet und diese samt der Schnittfigur in
die Zeichenebene umklappt, so erhält man ein _Querprofil_ der Fläche
längs der gegebenen Richtung (Fig. 48). Oft ist es zweckmäßig, um die
Zeichnung nicht zu verwirren, oder bei Benutzung einer Karte, das
Querprofil auf eine besondere Zeichnung zu übertragen: das geschieht
längs der gegebenen Richtung mittels des Zirkels oder einfacher
mittels eines angelegten geraden Papierstreifens (Fig. 48 a).


§ 55. =Anwendung.= Die Konstruktion von Ausschnittlinien und
Querprofilen kommt sehr oft bei Aufgaben des Tiefbaues, bei
geologischen oder bergmännischen Fragen vor. Zum Beispiel, wenn man
an irgendeiner Stelle des Geländes das Streichen und Fallen einer (in
erster Annäherung als eben angenommen) geologischen Schicht beobachtet
hat, so ist es von Wichtigkeit, die (mutmaßliche) Ausbißlinie dieser
Schicht zu kennen, um dadurch zu wissen, an welchen Stellen des
Geländes man mit einiger Aussicht auf Erfolg durch Schürfarbeit die
Schicht bloßlegen und vielleicht abbauen kann; oder wie tief ein
Schacht, der an einer gegebenen, dem Verkehr zugänglichen Stelle
anzulegen ist, niedergebracht werden muß, bis er die Schicht erreicht.

[Illustration: Fig. 49.]

Man hat dann zunächst aus dem beobachteten Einfallen und Streichen
die Schichtlinien der Ebene und damit ihren Gefällemaßstab nach § 11
zu konstruieren, alsdann, wie im vorigen Paragraphen angegeben, ihre
Ausbißlinie (in der Figur gestrichelt) mit der Fläche herzustellen,
schließlich durch den Schacht in der durch die Fallinie der Ebene
gegebenen Richtung ein Querprofil durch das ganze Gelände zu legen.
Daraus ist dann die Teufe des Schachtes zu entnehmen. Dies ist in der
Fig. 49 ausgeführt.


§ 56. =Einschalten von Höhenlinien.= Für manche konstruktiven Zwecke
reichen oft die vorhandenen Höhenlinien nicht an allen Stellen der
Karte aus, um die verlangten Konstruktionen mit genügender Genauigkeit
auszuführen. Dann wird es erforderlich, zwischen die vorhandenen
noch andere Höhenlinien einzuschalten. Zweckmäßig kann das mit Hilfe
von Querprofilen geschehen, die man an den betreffenden Stellen der
Karte in genügender Anzahl legt, und aus denen man die erforderlichen
Punkte für die zu konstruierenden Zwischenschichtlinien entnimmt (vgl.
Fig. 50).

[Illustration: Fig. 50.]

[Illustration: Fig. 51.]

Wenn die Höhenlinien nur schwach gekrümmt sind, kann man mittels
eines einfach anzulegenden Maßstabes Punkte der einzuschaltenden
Schichtlinien mit genügender Annäherung auffinden, wie das aus der
Fig. 51 hervorgeht; bei geradlinigen Schichtlinien wäre dieses
Verfahren streng richtig.

Am genauesten und in jedem Falle anzuwenden sind die Längenprofile quer
zu den Schichtlinien (längs der Fallinien, vgl. § 58), und zwar so, wie
es im § 48 gezeigt worden ist.


§ 57. =Berührungsebene und Normale einer Fläche.= Um in einem gegebenen
Punkte der Fläche die Berührungsebene zu konstruieren, bedenke man, daß
diese von einer durch den Punkt gehenden wagerechten Ebene in einer
wagerechten Geraden geschnitten wird; diese Gerade ist eine Tangente
der Fläche in dem gegebenen Punkte, also auch eine Tangente an die
durch den Punkt gehende Höhenlinie der Fläche. Da den Berührungen auf
der Fläche auch Berührungen in der Karte entsprechen (§ 44), so ist
demnach auf dem Plane die Normale der Höhenlinie in dem gegebenen
Punkte (mit dem Spiegellineal zu zeichnen) die Projektion einer
Fallinie der gesuchten Berührungsebene. Konstruiert man das durch
die Richtung dieser Fallinie bestimmte Querprofil der Fläche nach
§ 54, so ist die Fallinie an ihm in dem gegebenen Punkte Tangente.
Ihr Böschungsmaßstab ist also auch der Gefällemaßstab der gesuchten
Berührungsebene (vgl. Fig. 52 u. 52 a).

[Illustration: Fig. 52.]

[Illustration: Fig. 52 a.]

Die Flächennormale ist das Lot auf der Berührungsebene im
Berührungspunkte. Da es in der eben erwähnten Profilebene liegt, fällt
seine Projektion mit der der Fallinie der Berührungsebene zusammen.
Sein Gefällemaßstab hat nach § 6 das reziproke Intervall desjenigen der
Berührungsebene, ist ihm entgegengesetzt gerichtet und daher wie dort
angegeben zu bestimmen.


§ 58. =Normalebene, Fallinien einer Fläche.= Irgendeine die
Flächennormale enthaltende Ebene heißt _Normalebene_ der Fläche; sie
schneidet die Fläche in einem _Normalschnitt_, die Berührungsebene in
einer Tangente der Fläche. Durch jeden Flächenpunkt gehen also unzählig
viele Tangenten, von denen im allgemeinen nur eine, die zugleich
Tangente der durch den Berührungspunkt gehenden Schichtlinie der Fläche
ist, horizontal läuft. Die anderen verlaufen paarweise mit demselben
Anstieg, bis auf eine, deren Gefälle mit dem der Ebene übereinstimmt.
Es ist zugleich das größte unter allen betrachteten und wird _Gefälle
der Fläche_ in dem betreffenden Punkte genannt. Geht man von einem
Punkte der Fläche in Richtung des eben erwähnten größten Gefälles, der
Fallrichtung, also senkrecht zur Schichtlinie, weiter zu einem Punkte
der nächsten Schichtlinie, von da in derselben Weise weiter und so
fort, so durchläuft man eine _Fallinie_ der Fläche.

Die Fallinien stehen auf den Schichtlinien senkrecht. Um sie zu
konstruieren (Fig. 53 u. 54), bedient man sich zweckmäßig des
Spiegellineals: man errichtet, von einem Punkte einer Schichtlinie
ausgehend, auf ihr mittels des Spiegellineals die Normale, setzt
an sie in einem Punkte, der etwa mitten bis zur nächstfolgenden
Schichtlinie gelegen ist, die Normale zu dieser an, usw. Diese
Normalen hüllen die gesuchte Fallinie ein, deren Tangenten sie sind
(§ 41). Dabei ist es erforderlich, daß genügend viele Schichtlinien zu
Verfügung stehen; nötigenfalls werden zuvor einige einzuschalten sein
(§ 56).

[Illustration: Fig. 53.]

[Illustration: Fig. 54.]


§ 59. =Schraffur einer Karte.= Die Fallinien einer Geländefläche geben
die Richtung des langsam herabfließenden Wassers an. Im allgemeinen
geht durch jeden Punkt der Fläche genau eine Fallinie; über die
besonders zu erwähnenden Ausnahmen s. weiter unten § 61.

Der Anstieg längs der Fallinien einer Fläche ist im allgemeinen
veränderlich; man pflegt in der Kartenkunde das stärkere oder
schwächere Gefälle des Geländes durch stärkeres oder schwächeres
Ausziehen der Fallinien kenntlich zu machen, um dadurch einen
erhabenen Eindruck der Karte hervorzurufen. Dazu benutzt man meistens
eine dem Gefälle entsprechend abgetönte Schraffur. Die Richtung der
Schraffenstriche stimmt mit der Richtung der Fallinien überein.


§ 60. =Krümmung einer Fläche.= Hinsichtlich der Punkte, die eine
Fläche außer dem Berührungspunkte in seiner Nachbarschaft mit der
Berührungsebene gemeinschaftlich haben kann, sind drei verschiedene
Fälle möglich, wenn man von besonderen Ausnahmen absieht.

Entweder hat die Oberfläche mit ihrer Berührungsebene in der
Umgebung des Berührungspunktes weiter gar keinen Punkt gemeinsam;
die Berührungsebene verläuft dort dann also ganz auf einer Seite der
Fläche. Dann heißt die Fläche in dem betrachteten Berührungspunkte
_bauchig_ (positiv oder elliptisch gekrümmt). Vgl. 55 und 55 a. Das
Ellipsoid gibt dafür ein Beispiel in jedem seiner Punkte.

[Illustration: Fig. 55.]

[Illustration: Fig. 55 a.]

Oder zweitens die Berührungsebene durchdringt in der Nähe des
Berührungspunktes die Fläche so, daß die Schnittkurve beider im
Berührungspunkte einen Doppelpunkt besitzt. Dann heißt die Fläche
daselbst _sattelförmig_ (negativ oder hyperbolisch gekrümmt). Vgl.
Fig. 56 und 56 a. Das einschalige Hyperboloid oder das hyperbolische
Paraboloid ist in jedem seiner Punkte sattelförmig; die Schnittkurve
besteht hier aus den beiden, sich im Berührungspunkte schneidenden
erzeugenden Geraden.

[Illustration: Fig. 56.]

[Illustration: Fig. 56 a.]

Oder drittens: die Berührungsebene dringt zwar ebenfalls in der Nähe
des Berührungspunktes in die Fläche ein, aber so, daß die Schnittkurve
beider nur einmal durch den Berührungspunkt geht. Dann heißt die
Fläche in dem betreffenden Punkte _parabolisch_ gekrümmt. Vgl. Fig. 57
und 57 a. Ein Kegel mit beliebiger Basis ist in jedem seiner Punkte
parabolisch gekrümmt. Flächenstücke, deren sämtliche Punkte parabolisch
gekrümmt sind, lassen sich ohne Dehnung und Faltung derartig verbiegen,
daß sie Teile einer Ebene werden, oder, was dasselbe besagt, man kann
sie auf eine Ebene abwickeln; daher heißen solche Flächen abwickelbar.

[Illustration: Fig. 57.]

[Illustration: Fig. 57 a.]

Es kann vorkommen, daß auf einer und derselben Fläche sowohl
bauchige wie sattelförmige Teile vorhanden sind. Sie werden dann
getrennt durch eine Kurve, die _Krümmungsgrenze_ (Demarkationslinie,
parabolische Kurve), in deren Punkten die Fläche parabolisch gekrümmt
ist. Ein Beispiel dafür ist die in der Fig. 27 auf S. 18 abgebildete
glockenförmige Umdrehungsfläche: _DD_ bezeichnet die Krümmungsgrenze,
der obere Teil ist bauchig, der untere sattelförmig.


§ 61. Der =Verlauf der Schicht- und Fallinien= längs einer
Geländefläche ist äußerst mannigfaltig und scheinbar sehr regellos.
Jedoch kann man oft aus dem bloßen Anblick dieser Linien in der Karte
geometrische Eigenschaften der Fläche an der betrachteten Stelle
herauslesen; und es ist für die Beschäftigung mit der Kartenkunde sehr
wichtig, sich darin eine gewisse Übung zu verschaffen.

Da die Schichtlinien als Linien gleichen Wasserstandes aufgefaßt werden
können, müssen sie auf einer nicht willkürlich begrenzten Geländefläche
stets geschlossen sein. Keine zwei Schichtlinien verschiedener Höhen
können sich schneiden. Bei Ausschluß überhängender Teile des Geländes
gilt dies auch von den Projektionen der Schichtlinien in der Karte. Im
allgemeinen geht durch jeden Punkt des Planes genau eine Schichtlinie;
es gibt jedoch gewisse Ausnahmepunkte.


§ 62. =Gipfel-, Mulden- und Jochpunkt.= Zunächst gibt es solche
Punkte, durch die keine Schichtlinie geht oder, genauer gesagt, deren
zugehörige Höhenlinie auf den Punkt selbst zusammengeschrumpft ist. Es
sind die Punkte, die höher oder tiefer liegen als sämtliche Punkte
ihrer Umgebung. Sie heißen _Gipfel-_ oder _Muldenpunkte_, je nachdem
die benachbarten Schichtlinien, von ellipsenähnlicher Gestalt, kleinere
oder größere Höhenzahlen haben (Fig. 58).

[Illustration: Fig. 58.]

[Illustration: Fig. 59.]

Sodann gibt es solche Punkte, durch die zwei, vielleicht auch mehrere
Schichtlinien (derselben Höhenzahl) hindurchgehen. Der gewöhnlichste
dieser Punkte ist der _Jochpunkt_, die tiefste Stelle zwischen zwei
Erhebungen und Ausgangsstelle zweier durch einen Bergrücken getrennter
Täler, oder auch, was dasselbe bedeutet, die höchste Stelle zwischen
zwei Tälern und Ausgangsstelle zweier durch ein Tal getrennter
Bergrücken (Fig. 59). Besondere Fälle treten ein, wenn mehrere Täler
und mehrere Bergrücken von einem gemeinsamen Punkte entspringen, wovon
die Fig. 60 ein Beispiel gibt.

[Illustration: Fig. 60.]

Die Berührungsebene in einem Gipfel- oder Mulden- oder Jochpunkte ist
wagerecht, wie sich auch aus einer Betrachtung der Querprofile sogleich
ergibt. Da sie in der Umgebung eines Gipfelpunktes ganz oberhalb der
Fläche, in der Umgebung eines Muldenpunktes ganz unterhalb liegt, so
ist die Fläche in diesen Punkten bauchig (§ 60). In einem Jochpunkt ist
sie dagegen sattelförmig.


§ 63. =Wasserscheide und Talweg.= Im allgemeinen geht durch jeden
Punkt einer Geländefläche genau eine Fallinie; aber auch hiervon
gibt es Ausnahmen. Durch jeden Gipfel- und jeden Muldenpunkt gehen
unzählig viele Fallinien, ebendie, welche die benachbarten elliptischen
Schichtlinien der Umgebung senkrecht durchschneiden. Die Fig. 61 zeigt
den Verlauf dieser Fallinien, wie ihn eine genauere Betrachtung,
die hier zu weit führen wurde, erkennen ließe: die Fallinien
berühren nämlich sämtlich die gemeinsame große Achse der Ellipsen
im Mittelpunkt, dem in Rede stehenden Gipfel- oder Muldenpunkt,
bis auf eine, die in Richtung der kleinen Achse verläuft. Wenn die
Schichtlinien in der Umgebung eines Gipfel- oder Muldenpunktes
angenähert konzentrische Kreise sind, wie es z. B. bei einer
Umdrehungsfläche mit senkrechter Drehachse (vgl. Fig. 27 Seite 18)
eintreten kann, dann verlaufen natürlich die Fallinien radial, und
keine von ihnen ist bevorzugt (Kreispunkt oder Nabelpunkt).

[Illustration: Fig. 61.]

In der Nähe eines Jochpunktes verlaufen die Schichtlinien der Fläche
angenähert wie Hyperbeln mit gemeinsamen Hauptachsenrichtungen und
gemeinsamem Mittelpunkt. Den Verlauf der Fallinien zeigt die Fig. 62:
durch den Jochpunkt selbst gehen zwei Fallinien in Richtung der
Hauptachsen.

[Illustration: Fig. 62.]

Auf manchen Flächen treten Fallinien auf, in deren Umgebung sich
die benachbarten um so enger zusammendrängen, je näher sie an jenen
liegen. Solche Fallinien sollen _ausgezeichnete Fallinien_ heißen.
Es kann ferner vorkommen, daß auf einer solchen ausgezeichneten
Fallinie ein oder mehrere Punkte liegen, in denen benachbarte Fallinien
wirklich einmünden oder aus denen sie entspringen, oder daß sich
ihr die benachbarten Fallinien asymptotisch nähern (in einem sehr
fernen Punkte einmünden). Eine derartige ausgezeichnete Fallinie mit
Mündungspunkten (einschließlich asymptotischen Einmündens) heißt
_Talweg_, falls die benachbarten Fallinien im Sinne abnehmender Höhen
einmünden oder sich ihr im absteigenden Sinne asymptotisch nähern.
Dagegen heißt sie _Kammweg_ (Rückenlinie, Wasserscheide), falls die
Fallinien im Sinne aufsteigender Höhen einmünden, d. h. aus ihnen
entspringen. Eine ausgezeichnete Fallinie kann in ihrem Verlauf teils
Talweg, teils Wasserscheide, teils keins von beiden sein. Der Name
Talweg, der übrigens als deutsches Fremdwort in die französische
Sprache eingedrungen ist (le thalweg), rührt von dem deutschen
Wasserbaumeister _Wiebeking_ († 1842) her. Die Begriffe des Talwegs und
der Wasserscheide spielen bei der Festsetzung politischer Grenzen eine
Rolle.


§ 64. _Fortsetzung._ Für jeden Gipfelpunkt, der kein Kreispunkt ist,
bildet die in der Längsrichtung des Gipfels hindurchgehende Fallinie
einen Kammweg; denn die benachbarten Fallinien entspringen, sie
berührend, aus ihr im Gipfelpunkte (vgl. Fig. 61). Und für jeden
Muldenpunkt, der nicht zugleich Kreispunkt ist, bildet die in der
Längsrichtung die Mulde durchziehende Fallinie einen Talweg. Die
Fig. 63 gibt den Verlauf eines Kammwegs _K_ und eines Talwegs _T_ mit
sehr fernen Ursprungs- und Mündungspunkten wieder. Einem solchen Talweg
entspricht in der Natur der Weg eines genügend langsam fließenden
und schmalen Baches, der durch allmähliche Vereinigung kleinerer
Wasseradern entsteht. Ein Kammweg bildet die Grenze zwischen zwei
Abflußgebieten des Geländes.

[Illustration: Fig. 63.]

Von einem Jochpunkte (Fig. 62) gehen zwei ausgezeichnete Fallinien
aus; der einen nähern sich benachbarte Fallinien im aufsteigenden, der
anderen im absteigenden Sinne. Man darf aber im allgemeinen weder die
erste als Kammweg noch die zweite als Talweg bezeichnen. Wenn die von
einem Jochpunkte nach einer Mulde herabführende ausgezeichnete Fallinie
die Mulde nicht in der Längsrichtung, sondern in der Querrichtung
durchläuft, ist sie gewiß in diesem Stücke des Geländes kein Talweg.
Die Fig. 64 gibt dies an; und die Fig. 65 das Gegenstück dazu, wo
wirklich die Joch und Mulde verbindende Fallinie ein Talweg ist.

[Illustration: Fig. 64.]

Auch wenn das von einem Joch herabziehende Tal sich so verflacht,
daß die Fallinien sich zwar der durch den Jochpunkt gehenden
ausgezeichneten Fallinie nähern, aber doch nicht in asymptotischer
Weise, kann diese nicht Talweg sein. In der Natur würde dem etwa ein
Tal entsprechen, das nicht zur Entstehung eines Wasserlaufes, sondern
zu einer Art Sumpfbildung Anlaß gibt. Umgekehrt können aus einem
Hochmoore Wasseradern abgehen, ohne daß dort von einer eigentlichen
Wasserscheide gesprochen werden kann (Fig. 66).

[Illustration: Fig. 65.]

Bemerkenswert ist noch der Fall, wenn auf einer ausgezeichneten
Fallinie ein parabolischer Punkt der Geländefläche gelegen ist (§ 60).
Die Fig. 67 gibt davon ein Beispiel. In dem parabolischen Punkte hat
hier die Schichtlinie, auf der er liegt, eine Spitze, und in ihr
endigen alle Fallinien, die – wie in der Figur angegeben – aus größeren
Höhen kommen. Die ausgezeichnete, durch den parabolischen Punkt gehende
Fallinie ist also in ihrem oberen Teile gewiß ein Talweg. Ob sie es
dagegen auch in ihrem unteren Teile ist, hängt davon ab, ob sich dort
ebenfalls ein Mündungspunkt befindet (in der Figur ist das nicht der
Fall).

[Illustration: Fig. 66.]

Da durch eine Karte immer nur ein beschränkter Teil des Geländes
gegeben sein kann, so wird es praktisch unmöglich sein, bei
Geländeflächen ein asymptotisches Einmünden genau festzustellen, und
man wird daher auch in dem Falle von einem Talweg und einem Kammweg
reden, wenn genügend viele benachbarte Fallinien der Zeichnung
innerhalb der Zeichengenauigkeit in die ausgezeichnete Fallinie
übergehen.

[Illustration: Fig. 67.]

[Illustration: Fig. 68.]

Um in einer Geländekarte alle Talwege und Wasserscheiden zu finden,
wird man unter den Fallinien zunächst die ausgezeichneten aufsuchen,
d. h. diejenigen, in deren Nähe sich die übrigen mehr und mehr
zusammendrängen. Unter ihnen hat man aber nur diejenigen beizubehalten,
auf denen Mündungspunkte der übrigen gelegen sind, oder in die
genügend viele benachbarte Fallinien innerhalb der Zeichengenauigkeit
übergehen. Talweg und Kammweg sind durch die Art der Annäherung, ob bei
fallender oder steigender Höhe, leicht zu unterscheiden.

Die Schichtlinien sowohl wie die Fallinien verlaufen immer stetig,
können aber Ecken, Doppelpunkte und dergleichen Ausnahmestellen haben.
Ecken treten ein, wenn das Gelände Grate oder scharf ausgeschnittene
Rinnen besitzt. Da in jedem Punkte eines einfachen Grates zwei
verschiedene Berührungsebenen an die Geländefläche möglich sind,
gehen durch diesen Punkt auch zwei verschiedene Fallinien; ein Grat
enthält daher die Ursprungspunkte von Fallinien und wird demnach zu
den Wasserscheiden zu rechnen sein, obwohl er im allgemeinen selbst
keine Fallinie ist. Dasselbe gilt entsprechend von einer Rinne
(vgl. Fig. 68). Die allgemeine Untersuchung solcher Stellen einer
Geländefläche ist schwierig, erfordert weitergehende Hilfsmittel und
würde daher hier zu weit führen.

[Illustration: Fig. 69.]


§ 65. =Böschungsfläche.= Eine Fläche, auf der sämtliche Fallinien
Geraden sind, heißt Böschungsfläche. Es genügt dazu offenbar nicht, daß
die Projektionen der Fallinien sämtlich gerade Linien sind, sondern
es ist weiter notwendig, daß die Schichtlinien auf jeder einzelnen
von ihnen jedesmal gleiche Stücke ausschneiden. Daraus folgt, daß die
Schichtlinien äquidistante Kurven sind (Fig. 69).

Alle Punkte derselben geradlinigen Fallinie haben dieselbe
Berührungsebene. Eine Böschungsfläche ist daher in jedem ihrer Punkte
parabolisch gekrümmt (§ 60). Sie ist demnach eine abwickelbare Fläche,
d. h. man kann eine bewegliche Ebene so auf ihr ohne Gleiten abrollen,
daß sie sie immer längs einer Geraden berührt; umgekehrt kann man daher
auch die Fläche auf einer Ebene so abwickeln, daß immer Berührung längs
einer Geraden besteht.

Von den Böschungsflächen macht man sehr häufig bei der Aufführung von
Erdarbeiten, bei der Aufschüttung von Dämmen, Halden u. dgl. Gebrauch.
Davon wird in den Aufgaben noch wiederholt die Rede sein.


§ 66. =Böschungsstreifen.= Bei der zeichnerischen Darstellung einer
Geländefläche durch ihre Schichtlinien ist es oft zweckmäßig, diese
nötigenfalls durch Einschalten nach § 56 so dicht nebeneinander
verlaufen zu lassen, daß jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Schichtlinien enthaltene Teil einer Fallinie innerhalb der
Zeichengenauigkeit als geradlinig zu betrachten ist. Das bedeutet
dann also, daß jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schichtlinien
enthaltene Streifen einer Geländefläche als Teil einer Böschungsfläche
anzusehen ist: Böschungsstreifen. Man kann demnach sagen, daß eine
Geländefläche durch ihre Schichtlinien »mit genügender Genauigkeit«
gegeben ist, wenn ein jeder innerhalb zweier aufeinanderfolgenden
Schichtlinien gelegene Streifen durch den zugehörigen Böschungsstreifen
ohne merklichen Fehler ersetzt werden kann.


§ 67. =Gratlinie.= Eine Böschungsfläche ist vollständig bestimmt,
wenn der Böschungswinkel und eine ihrer Höhenlinien gegeben ist;
denn die Fallinien sind die Normalen der gegebenen Höhenlinie, der
Böschungswinkel bestimmt ihre Stufung, und die Schichtlinien lassen
sich sodann als Parallelkurven zu der gegebenen Höhenlinie konstruieren
(§ 65). Alle ebenen Parallelkurven haben eine gemeinsame Evolute
(§ 43), die Hüllkurve ihrer gemeinsamen Normalen; faßt man also die
Parallelkurven und ihre Normalen als die Projektionen der Schicht- und
Fallinien einer Böschungsfläche auf, so entspricht der Evolute eine auf
der Fläche gelegene Raumkurve, längs der sich benachbarte Fallinien
schneiden. Sie bildet also einen scharfen Grat der Fläche und heißt
daher ihre _Gratlinie_. Eine aufgewehte Schneewächte gibt oft ein Bild
einer Böschungsfläche und ihrer Gratlinie (Fig. 69 bei _g_).

[Illustration: Fig. 70.]


§ 68. =Ebene Raumkurven.= Wenn eine Raumkurve und eine Fläche gegeben
sind, so ist leicht festzustellen, ob die Kurve auf der Fläche gelegen
ist. Denn dies ist nur der Fall, wenn die Punkte der Kurve auf den
gleichkotierten Schichtlinien der Fläche liegen.

Raumkurven, deren sämtliche Punkte derselben Ebene angehören,
heißen eben. Um von einer gegebenen Raumkurve festzustellen, ob sie
eben ist, hat man durch drei ihrer Punkte nach § 9 eine Ebene zu
legen und nachzusehen, ob ihre Streichgeraden die Kurve in Punkten
schneiden, deren Höhenzahlen mit denen der zugehörigen Schichtlinien
übereinstimmen (Fig. 70). Die Schmiegungsebene (§ 52) einer ebenen
Raumkurve fällt mit der Ebene der Kurve zusammen. Wenn die Ebene der
Kurve lotrecht steht, wird die Projektion der Kurve durch eine Gerade
mit im allgemeinen ungleichmäßiger Stufung dargestellt.


§ 69. =Böschungsfläche einer Raumkurve.= Zu jedem Punkte einer
gegebenen Raumkurve läßt sich ein Kegel gegebener Böschung
konstruieren, der den Punkt als Spitze hat. Sämtliche so konstruierten
Böschungskegel derselben Böschung hüllen eine Fläche ein, eine
_Böschungsfläche_ der Raumkurve; sie besteht aus zwei Teilen, die sich
längs der Raumkurve durchschneiden. Jede ihrer Schichtlinien ergibt
sich als Hüllkurve gleichkotierter Kreise, nämlich der Schichtkreise
jener Böschungskegel. In der Karte der Fläche liegen die Mittelpunkte
dieser Kreise auf der Projektion der Raumkurve, und ihre Radien
erhält man aus dem Höhenunterschiede zwischen Mittelpunkt und zu
konstruierender Schichtlinie durch Multiplikation mit dem gegebenen
Böschungsverhältnis (Fig. 71).

[Illustration: Fig. 71.]

Von jedem Punkte der Raumkurve geht nach beiden Seiten eine Fallinie
der Böschungsfläche aus; die beiden zugehörigen Berührungsebenen (vgl.
§ 65) schneiden sich in der zugehörigen Tangente der Raumkurve, und
die Projektion dieser Tangente halbiert den Winkel der Projektionen
der beiden Fallinien. Man beachte übrigens, daß im allgemeinen ein
die Projektion der Raumkurve normal durchsetzendes Querprofil der
Böschungsfläche nicht ein Dreieck ergibt, sondern eine krummlinige
Schnittfigur. Die Figur bringt das zum Ausdruck.

[Illustration: Fig. 72.]


§ 70. =Böschungslinien auf einer Fläche.= Auf einer durch ihre
Schichtlinien gegebenen Geländefläche lassen sich von jedem Punkte aus
zwei Kurven von konstantem Gefälle (Böschungslinien, § 50) ziehen,
wenn nur das Gefälle nicht größer ist als das der Fallinien der Fläche
in den Punkten der beiden Kurven. Um diese zu konstruieren, ermittle
man zunächst aus dem gegebenen Böschungsverhältnis das Intervall
der Böschungslinie. Unter der Voraussetzung, daß die Schichtlinien
genügend nahe gezeichnet sind, zieht man mit dem Intervall als Radius
um den gegebenen Punkt als Mittelpunkt einen Kreis. Entweder schneidet
dieser eine der beiden nächstfolgenden Hauptschichtlinien in zwei
Punkten, die auch zusammenfallen können, oder er schneidet sie nicht;
im letzteren Falle ist das gegebene Gefälle zu groß, im ersteren sind
reelle Böschungslinien der vorgeschriebenen Böschung von dem gegebenen
Flächenpunkte aus möglich, und man erhält weitere Punkte von ihnen,
indem man dieselbe Konstruktion von jedem der beiden Schnittpunkte
aus fortsetzt. Wenn man die erhaltenen Punkte in geeigneter Weise
verbindet, bekommt man die gesuchten Böschungslinien mit oder ohne
Kehren (Fig. 72). Im allgemeinen gehen von jedem Flächenpunkte zwei
verschiedene Böschungslinien aus, längs deren das Gefälle einen
gegebenen Wert hat.

Die auf einer Geländefläche angelegten Wege, Eisenbahnlinien u. dgl.
verlaufen in der Regel auf längere Strecken mit unveränderlichem
Gefälle. Die Konstruktion von Böschungslinien hat daher ein gewisses
praktisches Interesse. Wenn auch durch Aufschüttung und Abtrag des
Geländes größere Krümmungen eines anzulegenden Weges vermieden werden,
so wird seine Führung doch im allgemeinen durch eine Böschungslinie
bestimmt. Dabei wird besonders die im folgenden Paragraphen erörterte
Aufgabe benutzt.

[Illustration: Fig. 73.]


§ 71. _Aufgabe._ Bei der Lösung der Aufgabe, zwei gegebene Punkte
einer Fläche durch eine Kurve von konstanter Steigung zu verbinden,
hat man sich eines geometrischen Näherungsverfahrens zu bedienen.
Man konstruiert zunächst, von dem einen der gegebenen Punkte _A_
(Fig. 73) ausgehend, eine solche Böschungslinie, die in der Nähe des
andern gegebenen Punktes _B_ die durch diesen gehende Schichtlinie
schneidet. Die Ausführung der Konstruktion zeigt, ob das benutzte
Intervall zu groß oder zu klein ist, wonach man es zu verbessern hat.
Mit dem verbesserten Intervall wiederholt man dieselbe Konstruktion
usw., und nähert sich auf diese Weise mehr und mehr dem passenden
Werte des Intervalls. Zweckmäßig ist es dabei, den Punkt _B_ zwischen
zwei der gezeichneten Böschungslinien einzuschließen; _AB₁_, _AB₂_,
... seien solche Näherungskurven, _B₁'B₁_ und _B₂'B₂_ ... seien die
zugehörigen Intervalle. Man trage in den Punkten _B₁_, _B₂_, _B₃_ usw.
diese zugehörigen Intervalle normal zur Schichtlinie, also längs der
Fallinien auf und verbinde die erhaltenen Endpunkte durch eine glatte
Kurve (§ 38); diese gestattet das gesuchte Intervall zu entnehmen.


§ 72. =Schnitt zweier Flächen.= Das Verfahren, nach dem die
Schnittlinie einer Geländefläche mit einer Ebene konstruiert wird, läßt
sich genau ebenso anwenden auf die Bestimmung der Schnittkurve zweier
beliebiger Flächen miteinander. Denn die Punkte dieser Schnittkurve
gehören beiden Flächen gemeinsam an, müssen also auf den gleichhohen
Schichtlinien der beiden Flächen gelegen sein: man erhält sie als
Schnittpunkte gleichkotierter Schichtlinien.

Davon macht man sehr häufig Gebrauch bei der Bestimmung der Grenzlinie
einer Böschungsfläche mit der gegebenen Geländefläche. Darauf bezieht
sich die Fig. 74, in der die Aufschüttung einer Halde oder eines Dammes
mit wagerechter Krone dargestellt ist. Die wagerechte Verbindungslinie
der beiden Punkte _A_ und _B_ (Höhe 20) kann etwa als Führungslinie
eines auf einem Gestänge angelegten Schienengeleises für Kippwagen
aufgefaßt werden, von dem aus die Halde aufgestürzt wird. Kennt man
den Böschungswinkel, unter dem das Fördergut der Halde sich ablagert,
so kann man nach § 65 ihre Schichtlinien als Parallelkurven der
Geleisführung konstruieren. Die Schnittpunkte dieser Parallelkurven mit
den gleichkotierten Schichtlinien des Geländes bestimmen alsdann nach
dem oben Gesagten die Schnittkurve der Halde mit dem Gelände. – Die
damit gelöste Aufgabe ist eine Erweiterung der in § 32 besprochenen.

[Illustration: Fig. 74.]


§ 73. =Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer Geländefläche.=
Man legt durch die gegebene Raumkurve eine beliebige Fläche, bestimmt
deren Schnittkurve mit dem Gelände, wie in § 72 angegeben, und
konstruiert schließlich die gemeinsamen Punkte dieser Schnittkurve mit
der gegebenen Raumkurve. Offenbar wird man die Hilfsfläche selber nur
in der Nähe der Durchdringungspunkte benötigen.

[Illustration: Fig. 75.]

Als Hilfsfläche nimmt man zweckmäßig die windschiefe Planierungsfläche
(§ 51), weil ihre Schnittkurve mit dem Gelände, die _Nullinie_, am
besten darüber Aufschluß gibt, welche Teile der Raumkurve oberhalb des
Geländes und welche unterhalb gelegen sind (Fig. 75; die Nullinie ist
ganz gestrichelt).

Die Bestimmung der Durchstoßpunkte einer Kurve mit dem Gelände ist
oft bei der Linienführung einer Eisenbahnlinie oder dgl. in gebirgigem
Gelände auszuführen. Sie zeigt dann, an welchen Stellen die Bahnlinie
in den Erdkörper eindringt, welche Erdbewegungen, Tunnelanlagen u. dgl.
vorzunehmen sind.

Um zu bestimmen, ob ein Punkt des Geländes von irgendeinem anderen
Punkte aus _sichtbar_ ist, braucht man nur festzustellen, ob die
Verbindungsgerade das Gelände nicht trifft. Es genügt dazu, diese
Gerade zu graduieren und nachzusehen, ob in der Projektion für jeden
Punkt der Geraden die Höhenzahl auch nicht kleiner ist als für
denselben Punkt auf dem Gelände.




IV. AUFGABEN UND ANWENDUNGEN


§ 74. =Zweck der Aufgaben.= In den folgenden Paragraphen werden
eine Reihe von Aufgaben besprochen, die zu ihrer Lösung der in den
früheren Abschnitten entwickelten Konstruktionen bedürfen. Zumeist
sind sie praktischen Fragen entsprungen oder doch unmittelbar auf
solche anwendbar, die sich bei der Benutzung der Karte eines Geländes
darbieten. Der Kürze wegen sind den gestellten Aufgaben nicht die
Lösungen in ausführlicher Darstellung, sondern nur allgemeine Angaben
über den einzuschlagenden Weg beigegeben, die indessen in jedem Falle
zur Konstruktion ausreichen. Der Leser wird gut tun, die angedeutete
Lösung wirklich zeichnerisch auszuführen, und zwar dürfte es sich in
der Regel empfehlen, den Maßstab mindestens doppelt so groß zu wählen,
als ihn die Figuren angeben, die ja nur als Skizzen dienen sollen.


§ 75. =Aufschüttung und Abtrag eines Eisenbahndammes= zu konstruieren,
von dem die Führungslinie, die Breite, das Gefälle und die
Dammböschungen gegeben sind. Die Dammkrone bildet einen Streifen der
zur gegebenen Führungslinie gehörigen Planierungsfläche (vgl. § 51).
Man graduiert die Führungslinie nach dem gegebenen Gefälle – in der
Figur ist das Gefälle in der Kurve geringer angenommen als auf der
geraden Strecke –, wodurch dann zugleich auch die beiden Begrenzungen
der Dammkrone mit graduiert sind. Jetzt zeichnet man nach § 69
beiderseits die Böschungsflächen der Dammbegrenzungen, schließlich
nach § 72 die Schnittlinien mit dem Gelände. In der Figur 76 sind die
ursprünglichen, aber durch den Damm verschütteten oder durch den Abtrag
weggenommenen Schichtlinien des Geländes punktiert gezeichnet; und die
ausgezogenen Schichtlinien stellen somit diejenigen des Geländes _nach_
der Anlage des Dammes dar.

[Illustration: Fig. 76.]


§ 76. =Die Ausstrichlinie einer Mulde mit dem Gelände zu bestimmen.=
Die Mulde soll ellipsoidische Gestalt haben mit einer lotrechten
Hauptachse; ihre Abmessungen sind durch zwei lotrechte Hauptschnitte
gegeben (Fig. 77).

[Illustration: Fig. 77.]

Die Schichtlinien der Mulde sind Ellipsen (Fig. 78), deren Hauptachsen
aus den beiden gegebenen Querprofilen zu entnehmen sind. Die Ellipsen
werden hier am einfachsten nach der bekannten Papierstreifenmethode
gefunden. Durch die Schnittpunkte dieser Ellipsen mit den
gleichkotierten Höhenlinien des Geländes ist dann, wie in der vorigen
Aufgabe, die gesuchte Verschneidung bestimmt. Wenn es nur auf diese
Verschneidung ankommt, braucht man von den Ellipsen ersichtlich
jedesmal nur die Punkte in der Nähe der gleichkotierten Schichtlinien
zu bestimmen.

[Illustration: Fig. 78.]


§ 77. =Schnittkurve einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände.= Diese
Aufgabe kommt in der Geologie vor, wenn es sich darum handelt, die
Ausstrichlinie einer gefalteten Schicht (Sattelfalte) zu ermitteln.
Durch die Beobachtung gefunden seien das Streichen und Einfallen
der Schicht an irgendeinem Punkte, d. h. Streichen und Fallen der
Zylindergeraden; ferner sei gegeben ein scheinbares Profil der
Schicht, d. h. die Schnittkurve des Zylinders mit einer beliebig
gegebenen Ebene. In der Fig. 79 sei _g_ eine Zylindergerade, deren
Graduierung aus dem beobachteten Streichen und Fallen ermittelt sei.
Der Gefällemaßstab der Ebene des aufgenommenen Profils _p_ sei (_E_),
ebenfalls aus den beobachteten Daten konstruiert. Um die gesuchte
Schnittkurve zu zeichnen, bestimme man zunächst die Höhenlinien des
Zylinders. Zu dem Zwecke ziehe man durch die Punkte des scheinbaren
Profils _p_, das durch die Streichlinien seiner Ebene (_E_) gestuft
ist, die erzeugenden Geraden des Zylinders, d. h. man ziehe Parallelen
zu _g_, und graduiere diese, von den Punkten des Profils _p_ ausgehend,
mit dem gleichen Intervalle wie _g_. Die Verbindung der Punkte gleicher
Höhenzahlen dieser Geraden ergibt die erwähnten Schichtlinien (in der
Figur gestrichelt); sie sind untereinander kongruent und gehen aus
einer von ihnen durch Parallelverschiebung längs der Richtung _g_
hervor (vgl. § 21). Sie schneiden die gleichkotierten Höhenlinien des
Geländes in Punkten der gesuchten Grenzkurve.

[Illustration: Fig. 79.]

Wenn man sich aus steifem Papier ein Muster der Schichtlinie des
Zylinders ausschneidet und darauf mindestens zwei Punkte bezeichnet,
durch die die entsprechenden Mantelgeraden gehen sollen, so kann
man sich damit die Konstruktion der Grenzkurve sehr erleichtern.
Denn durch Parallelverschiebung des Musters längs zweier gestufter
Mantelgeraden kann man die Schnittpunkte der Geländeschichtlinien mit
den gleichkotierten des Zylinders unmittelbar finden, ohne erst diese
zeichnen zu müssen.


§ 78. =Um eine gegebene Geländefläche einen Zylinder mit wagerechten
Mantelgeraden zu umschreiben.= Die Richtung _g_ der wagerechten
Mantelgeraden des Zylinders sei gegeben. Man hat dann nur an die
Schichtlinien der Geländefläche Tangenten zu legen, die der gegebenen
Richtung parallel sind. Der geometrische Ort der Berührungspunkte ist
die Berührungskurve der Fläche und des Zylinders. Sie ist der _Umriß_
der Fläche, wenn diese in der gegebenen Richtung aus sehr weiter Ferne
betrachtet wird (Fig. 80 gestrichelt).

[Illustration: Fig. 80.]

[Illustration: Fig. 81.]


§ 79. =Durch eine gegebene wagerechte Gerade die Berührungsebenen an
eine Geländefläche zu legen.= Die gesuchten Berührungsebenen stimmen
mit denen überein, die sich durch dieselbe Gerade _g_ an den der
Fläche umschriebenen Zylinder legen lassen, dessen Mantelgeraden
ebenfalls wagerecht und zu _g_ parallel sind. Man konstruiere also
diesen Zylinder, wie in § 78 angegeben. Man lege weiter senkrecht zu
den Mantelgeraden ein Querprofil (§ 54). Es wird auch die gegebene
Gerade _g_ in einem bestimmten Punkte schneiden. Die Tangenten von
diesem Punkte an das Querprofil sind die Durchschnittsgeraden der
gesuchten Berührungsebenen mit der Querschnittsebene. Daraus sind die
Berührungspunkte und die Gefällemaßstäbe der Berührungsebenen leicht zu
entnehmen (Fig. 80 u. 81).


§ 80. =Umschriebener Zylinder mit beliebig gegebener Richtung der
Mantelgeraden.= Die gegebene Richtung sei durch eine gestufte Gerade
_g_ dargestellt. Man legt parallel zu ihr eine genügende Anzahl
Vertikalschnitte durch die gegebene Geländefläche, zeichnet die
zugehörigen Profile (§ 54) und legt an sie Tangenten in Richtung der
gegebenen Geraden. Die Berührungspunkte _B_ überträgt man aus der
Profilzeichnung wieder in die Karte der Fläche und erhält so darin
diejenige Kurve _b_, möglicherweise mehrere, längs denen der oder die
Zylinder die Fläche berühren (Fig. 82 und 83). In der Figur sind vier
zu _g_ parallele Querprofile gezeichnet, die mit 1 bis 4 angemerkt
sind; der Deutlichkeit wegen ist 3 um 30 und 4 um 10 Höheneinheiten
niedriger gelegt, als der Wirklichkeit entspricht. An jedes Profil
lassen sich hier zwei zu _g_ parallele Tangenten legen, es kommen also
je zwei Berührungspunkte _B_, zwei Berührungskurven _b_ und daher auch
zwei Zylinder zum Vorschein, von denen der eine von unten, der andere
von oben der Fläche umschrieben ist.

Überträgt man zu den Berührungspunkten _B_ auch ihre Höhenzahlen aus
der Profilzeichnung, so läßt sich sehr leicht für jeden Zylinder die
Schar der Schichtlinien konstruieren. Da jede Schar aus kongruenten
Kurven besteht, die auseinander durch Parallelverschiebung längs der
Richtung _g_ hervorgehen, so genügt es, je eine der Schichtlinien
zu zeichnen. Man hat zu dem Zweck durch die Punkte _B_ die zu _g_
parallelen Erzeugenden zu ziehen und sie, von _B_ ausgehend mit
demselben Intervall wie _g_ zu graduieren. Die Verbindungslinien der
Punkte gleicher Höhenzahlen ergeben die gesuchten Schichtlinien _s_; in
der Figur ist für den einen Zylinder die Schichtlinie _s_ = 110, für
den anderen die Schichtlinie _s_ = 50 gezeichnet worden.

[Illustration: Fig. 82.]


§ 81. =Berührungsebene.= Man kann die eben ausgeführte Konstruktion des
umgeschriebenen Zylinders benutzen, um an eine gegebene Geländefläche
eine Berührungsebene zu legen, die durch eine gegebene Gerade geht.
– Ist _g_ die gegebene Gerade, so konstruiert man zunächst, wie
eben gezeigt, den umschriebenen Zylinder, dessen Mantelgeraden die
Richtung _g_ haben. Eine Schichtlinie _s_ dieses Zylinders genügt zur
Konstruktion der gesuchten Berührungsebene. Denn zieht man von dem
Punkte der gegebenen Geraden _g_, der genau die Höhe _s_ hat, an die
Schichtlinie _s_ die Tangente (in der Figur 82: _s_ = 110 und _s_ =
50, Berührungspunkte _T_), so ist diese eine Streichlinie der durch
_g_ gehenden Berührungsebene des Zylinders. Diese Berührungsebene
berührt aber auch die gegebene Geländefläche, und man findet ihren
Berührungspunkt _B^*_ als Schnittpunkt der Mantelgeraden _TB^*_ mit der
Berührungskurve _b_. In der Figur sind zwei solche Berührungspunkte
(_B^*_ und _W_) und demnach zwei verschiedene Berührungsebenen
vorhanden; ihre Gefällemaßstäbe (in der Figur angegeben) sind leicht zu
zeichnen.


§ 82. =Andere Konstruktion des umschriebenen Zylinders und der
Berührungsebene.= Die eben auseinandergesetzte Konstruktion der
Berührungsebene ist wegen der zahlreichen Querschnitte, die zu zeichnen
sind, wenig bequem und auch wenig genau; doch ist sie, etwa zur Prüfung
des folgenden Verfahrens, dann gut brauchbar, wenn man die ungefähre
Lage der Berührungspunkte kennt und daher mit wenigen Vertikalschnitten
auskommt.

[Illustration: Fig. 83.]

Der zweite Weg zur Lösung der Aufgabe, an eine Geländefläche eine
Berührungsebene zu legen, die durch eine gegebene Gerade geht, ist
zwar etwas weniger leicht verständlich, aber zeichnerisch einfacher
und meist auch genauer als der obige. – Wenn man von den Punkten
der gegebenen Geraden _g_ an die gleichkotierten Schichtlinien der
Fläche Tangenten legt, so stellen diese die Schichtlinien einer
geradlinigen Fläche dar, die durch die Gerade _g_ geht und die
Geländefläche berührt. Die Berührungskurve (_hh_ in der Fig. 82) ist
als Ort der Berührungspunkte leicht zu zeichnen. Auf ihr muß auch
der Berührungspunkt der gesuchten Tangentialebene liegen; und da
diese durch _g_ geht, ist sie auch berührende Ebene der geradlinigen
Hilfsfläche und hat mit ihr die durch den Berührungspunkt gehende
Gerade _ḡ_ gemeinsam, die, da sie horizontal verläuft, zugleich eine
ihrer Schichtlinien ist. Demnach ist die Aufgabe gelöst, wenn die durch
_g_ gehenden Berührungsebenen der Hilfsfläche gefunden sind.

Man betrachte nun alle durch _g_ gehenden Ebenen, das Ebenenbüschel
mit der Achse _g_; jede von ihnen ist bestimmt durch den Winkel, den
sie mit einer festen ebenfalls durch _g_ gehenden Ebene bildet, etwa
derjenigen (_E_), auf der _g_ eine Fallinie ist. Jede der Ebenen ist
daher auch bestimmt durch den Winkel α, den ihre Streichlinien mit
denen der genannten festen Ebene (_E_) bilden, d. h. mit der zu _g_
senkrechten Richtung.

Zu diesen Ebenen gehören auch alle solche, deren Streichlinien zugleich
der geradlinigen Hilfsfläche angehören, also auch die gesuchten
Berührungsebenen. Man fasse eine solche Ebene ins Auge und verfolge
den Verlauf der geradlinigen Hilfsfläche in der Nähe der Geraden _ḡ_,
die sie mit der Ebene gemeinsam hat. Dann sind drei Möglichkeiten
vorhanden: entweder berührt die Ebene die Fläche von unten, dann
liegen die zu _ḡ_ benachbarten Geraden der Fläche sämtlich oberhalb
der Ebene; oder die Ebene berührt die Fläche von oben, dann verlaufen
die zu _ḡ_ benachbarten Geraden der Fläche sämtlich unterhalb der
Ebene; oder drittens die Ebene durchsetzt berührend die Fläche in
der Geraden _ḡ_, was eintritt, wenn die Fläche hier sattelförmig
verläuft. Im erstgenannten Falle ist der oben erwähnte Winkel α für
die Berührungsebene kleiner als für benachbarte durch _g_ gehende
Ebenen; im zweiten Falle ist er größer. In diesen beiden Fällen wird
man demnach zur Konstruktion der Berührungsebenen die Veränderungen des
Winkels α zu verfolgen haben, den die von Punkten der Geraden _g_ an
die gleichkotierten Schichtlinien der Fläche gezogenen Berührenden mit
der auf _g_ senkrechten Richtung einschließen, und darunter diejenigen
Winkel auszusuchen haben, die größer oder kleiner als die benachbarten
sind, d. h. die ein Maximum oder Minimum bilden. Das Aussuchen dieser
größten und kleinsten Werte des Winkels α nach dem Augenmaß erfordert
ziemliche Übung, wenn die danach ausgeführte Konstruktion einigermaßen
genau sein soll. Man lege dann ein Zeichendreieck gegen _g_ unter dem
Winkel α an, den man als größten oder kleinsten geschätzt hat, und
prüfe durch Parallelverschieben des Dreiecks längs eines zweiten die
Richtigkeit der Schätzung.


§ 83. =Gebrauch einer Hilfskurve.= Durch die folgende Überlegung und
das Zeichnen einer Hilfskurve kommt man genauer zum Ziel (Fig. 82).
Statt den Verlauf des Winkels α selber kann man nämlich auch den
Verlauf einer stetigen Funktion von α, etwa tg α verfolgen, z. B.
indem man eine zu tg α proportionale Strecke jedesmal als Ordinate zur
Höhenzahl als Abszisse aufträgt, die die zugehörige Streichlinie hat.
Zu dem Zweck ziehe man in einem beliebigen nicht zu kleinen Abstand zu
_g_ eine Parallele _g'_; das rechtwinklige Dreieck _kAC_, das bestimmt
wird durch den auf _g_ gelegenen Punkt der Höhe _k_ und die durch ihn
gehenden Streichlinien _Ck_ der Hilfsfläche und _Ak_ (senkrecht auf
_g_) der Ebene (_E_), ergibt

    _CA_ = _kA_ · tg α,

und da für alle so entstehenden Dreiecke die entsprechenden Stücke
_kA_ konstante Längen haben, so sind die _CA_ entsprechenden Stücke
proportional zu tg α. Man trägt die Stücke _CA_ von _A_ aus auf _kA_
ab (_C₁A_ = _CA_) und erhält so eine Kurve (1), die den Verlauf von
tg α wiedergibt. Die Maxima, Minima dieser Kurve und, für den erwähnten
dritten Fall einer sattelförmigen Berührung, die Wendepunkte mit einer
zu _g_ parallelen Tangente geben diejenigen Werte von _kA_ · tg α,
zu denen eine einer Berührungsebene zukommende Streichlinie der
Hilfsfläche gehört. Um sie zu zeichnen, hat man nur durch einen solchen
Punkt _M₁_ der Kurve eine Senkrechte _k_{m}M₁D_ zu _g_, _g'_ zu ziehen,
_DE_ = _DM₁_ zu machen, dann ist _k_{m}E_ die gesuchte Streichlinie;
sie schneidet die Berührungskurve _hh_ im Berührungspunkte _B_
der gesuchten Berührungsebene, deren Gefällemaßstab danach leicht
herzustellen ist. Dieselbe Konstruktion ist bei dem Wendepunkt _W₁_
ausgeführt: man zieht _k_{w}W₁G_ senkrecht zu _g_, _g'_, macht _GH_ =
_GW₁_ und zieht _k_{w}H_, die Streichlinie der gesuchten berührenden
Ebene, wodurch zugleich deren Berührungspunkt _W_ als Schnitt mit
der Kurve _hh_ erhalten wird. Die Genauigkeit der Konstruktion kann
noch leicht verbessert werden, wenn man die symmetrische Kurve (2)
zeichnet; man macht _C₂A_ = _CA_ usw.

Übrigens ist noch eine dritte Kontrolle für die gesuchten
Berührungspunkte dadurch gegeben, daß die Berührungskurve _hh_ der
Hilfsfläche und die Berührungskurven _b_ der umschriebenen Zylinder
(§ 80) sich in den gesuchten Punkten _B^*_ und _W_ schneiden müssen.


§ 84. =Schattengrenze.= Wenn die als parallel anzunehmenden
Sonnenstrahlen ein hügeliges Gelände in einer gegebenen Richtung
bescheinen, so liegt ein Teil des Geländes im Schatten. Die Grenze
dieses Schattens ist die Schnittkurve der Geländefläche mit dem
Zylinder, der ihr in der Richtung der Strahlen von oben umschrieben
werden kann. Nachdem man diesen Zylinder nach § 80 oder 82 bestimmt
hat, wozu eine Schichtlinie und zwei gestufte Mantelgeraden genügen,
findet man die gesuchte Schnittkurve mit dem Gelände nach § 77,
am einfachsten nach dem Verfahren des verschiebbaren Musters. Der
Leser führe die Konstruktion an der Fig. 82 aus: mindestens zwei der
Mantelgeraden 1 bis 4 sind zu stufen, indem von der Schichtlinie _s_ =
110 des oberen Zylinders das Intervall von _g_ wiederholt abgetragen
wird; von der genannten Schichtlinie ist auf steifem Papier ein
Muster zu verfertigen, dieses von Stufe zu Stufe der Mantelgeraden zu
verschieben, die Schnittpunkte mit den gleichkotierten Schichtlinien
des Geländes sind aufzusuchen und diese Punkte durch eine glatte Kurve
zu verbinden. Die Schattengrenze wird hier im unteren Teile der Fig. 82
gelegen sein.


§ 85. =Von einem gegebenen Punkte an eine Geländefläche den
Berührungskegel zu zeichnen. Scheinbarer Umriß, Horizont.= Eine
Lösung dieser Aufgabe liegt auf der Hand: man führt durch den im
Raume gegebenen Punkt _A'_ genügend viele Vertikalschnitte, zeichnet
die zugehörigen Profile der Fläche und legt an diese von _A'_ aus
Tangenten; die Berührungspunkte, in die Karte übertragen, ergeben
die gesuchte Berührungskurve. Zweckmäßig nimmt man die Profile, die
in der Karte durch die Tangenten von _A_, der Projektion von _A'_,
an die Schichtlinien der Fläche bestimmt sind, weil man an ihnen
am leichtesten verfolgen kann, wie weit es nötig ist, die Profile
wirklich zu zeichnen. Aber dieses Verfahren ist aus denselben Gründen,
wie sie oben beim umschriebenen Zylinder (§ 82) angegeben wurden,
praktisch wenig bequem und von geringer Genauigkeit. Folgender Weg ist
bequemer, oft auch genauer. Er beruht auf einer Überlegung, die eine
Erweiterung der in § 82 angegebenen darstellt.

[Illustration: Fig. 84.]

Es sei _A'_ (Höhe 45) der gegebene Punkt des Raumes, _A_ seine
Projektion und _AC_ eine gegebene Richtung in der Karte. Man kann die
Aufgabe, von _A'_ aus eine Tangente mit der Projektion _AC_ an die
gegebene Geländefläche zu legen, in der üblichen Weise durch Zeichnung
des Profils in der Richtung _AC_ lösen.[2] Man denke sich nun in der
Karte durch _A_ eine beliebige Gerade _g_ gelegt und ihre Punkte mit
den gleichkotierten des Profils geradlinig verbunden. Diese Geraden
sind die Schichtlinien einer geradlinigen Fläche, und jede von ihnen
kann als Streichlinie einer durch _g_ hindurchgehenden Ebene aufgefaßt
werden. Wie in § 82 wird jede dieser Ebenen bestimmt durch den Winkel
α, den ihre Streichlinien mit denen der Ebene bilden, auf der _g_ eine
Fallinie ist. Diejenigen der genannten Ebenen, die durch die Tangenten
hindurchgehen, die man von _A'_ aus in der Profilebene _A'AC_ an
die Fläche legen kann, liegen im allgemeinen höher oder tiefer als
die benachbarten unter ihnen; der Winkel α ist also für sie größer
oder kleiner als für die benachbarten. Man kann also jene Ebenen und
damit die Berührungspunkte _B_ der Tangenten finden, indem man für α
die größten oder kleinsten Werte aufsucht, wozu man sich des in § 83
angegebenen Verfahrens der Hilfskurve bedienen kann (Fig. 84).

    [2] Beim Umklappen des Profils in die Zeichenebene möge _A'_ in
        den durch den kleinen Kreis und die beigeschriebene Kote 45
        bezeichneten Punkt übergehen.

Will man nun von _A'_ aus den Berührungskegel an die gegebene Fläche
legen, so wird man durch _A_ eine Schar von Geraden _AC_ ziehen und
nach dem eben beschriebenen Verfahren die Berührungspunkte _B_ der von
_A_ aus zu ziehenden Tangenten bestimmen. Dabei kann man sich beständig
derselben Hilfsgeraden _g_ bedienen. Einschaltung von Schichtlinien in
der Nähe von _B_ erhöht die sonst nicht große Zeichengenauigkeit.


§ 86. =Beispiel.= Die eben besprochene Aufgabe der Konstruktion des
Berührungskegels einer Geländefläche findet ihre praktische Anwendung
in der für militärische Zwecke wichtigen Frage nach dem _Horizont_, der
von einem bestimmten Punkte aus sichtbar ist. Die Fig. 85 gibt dafür
ein Beispiel. Bei _A_ (Höhe 85) ist ein 20 Meter hoher Standplatz,
Aussichtsturm oder dgl. errichtet; in der Karte ist der vor und nach
Errichtung des Turmes von _A_ aus sichtbare Horizont eingezeichnet.
Die von der Turmspitze aus nicht sichtbaren Geländeteile sind durch
Schraffur hervorgehoben.

[Illustration: Fig. 85 a.]

[Illustration: Fig. 85.]

Selbstverständlich stimmen die Ergebnisse dieser Konstruktion mit
der Wirklichkeit nur dann angenähert überein, wenn der gefundene
Gesichtskreis genügend klein ist; andernfalls spielt natürlich die
Krümmung der Erdoberfläche, die dann nicht mehr vernachlässigt werden
darf, eine gewisse Rolle.


§ 87. =Ansicht des Geländes.= Aus einer gegebenen Karte die Ansicht des
Geländes zu konstruieren. Unter Ansicht wird die Projektion auf eine
vertikale Bildfläche verstanden. – Bei einer Ansicht aus sehr weiter
Ferne wird es sich um eine Parallelprojektion handeln, während bei
gegebenem Aussichtspunkt eine Zentralprojektion in Frage kommt, deren
Zentrum eben dieser Punkt ist.

[Illustration: Fig. 86.]

=a) Parallelprojektion.= Es genügt, die Richtung der projizierenden
Strahlen zur Bildebene senkrecht anzunehmen, da die schiefe
Parallelprojektion in ähnlicher Weise auszuführen ist. Man zeichnet
(Fig. 86) den Grundriß der Bildebene als Gerade _xx_ in den Plan und
projiziert zunächst genügend viele Punkte des Planes auf sie, besonders
den Umriß (§ 78; man zeichne an die Schichtlinien Tangenten, die
auf _xx_ senkrecht stehen) und einzelne hervortretende Stellen des
Geländes. Auf die anzufertigende Ansicht (Aufriß) überträgt man sodann
jeden der projizierten Punkte mittels einer Senkrechten auf _xx_,
deren Länge gleich der zugehörigen Kote ist. Die Höhenlinien würden in
wagerechte Geraden des Bildes übergehen.

In der Fig. 86 ist noch der Verlauf eines Weges, die Lage eines
umfriedigten Platzes und eines hohen Gebäudes angegeben. Das letztere,
dessen Dachspitze 30 m über dem Boden angenommen ist, ragt nur mit
einem Teile über dem Horizont hervor.


§ 88. =b) Zentralprojektion.= Man zeichnet (Fig. 85) wieder den
Grundriß der Bildebene als Gerade _xx_ in den Plan, und projiziert vom
Projektionszentrum _A_ (Höhe 85 + 20 = 105) aus genügend viele Punkte
auf sie; dazu hat man die Verbindungsgeraden von _A_ mit jedem der zu
projizierenden Punkte _P_ zu graduieren und dadurch die Höhenzahlen
der Schnittpunkte _P'_ mit der Bildebene zu bestimmen. Nach § 3 kann
man das zeichnerisch ausführen, wie auch in der Figur angedeutet ist.
Man zieht im Grundriß _AP_ bis zum Schnittpunkte _X_ mit der Geraden
_xx_, errichtet senkrecht zu _AP_ in _A_ die zu _A_, in _P_ die zu _P_
gehörige Höhe und verbindet ihre Endpunkte. Diese Verbindungsgerade
schneidet das auf _AP_ in _X_ errichtete Lot in _P''_, und es ist
_XP''_ gleich der Höhe des Bildpunktes _P'_ über _xx_. Man kann
aber auch rechnerisch verfahren; im vorliegenden Falle ist dies
besonders mit dem Rechenschieber sehr bequem, wenn man gleich mit den
Höhendifferenzen gegen _A_ rechnet und die Ergebnisse von der Geraden
_yy_ an aufträgt, die im Bilde der Höhe von _A_ entspricht.

Besonders ist auch der von _A_ aus sichtbare Horizont zu zeichnen, wie
in § 86 angegeben. Die Fig. 85 a stellt ein Bild der zu § 86 gehörigen
Fig. 85 dar, oder genauer gesagt, eine Ansicht des Geländes von der
Spitze (Höhe 105) des in _A_ errichteten Turmes, und zwar innerhalb
des durch die Bildgrenzen bestimmten Ausschnittes. Die gestrichelte
Kurve des Bildes zeigt den vor Errichtung des Turmes von der Stelle _A_
(Höhe 85) aus sichtbaren Horizont; er verdeckt den ganzen Hintergrund
des Geländes und läßt deutlich erkennen, welche Wirkung es hat,
wenn der Standplatz bei _A_ um 20 m erhöht wird. In der Figur sind
ferner der Verlauf eines Weges und die Ansicht zweier im Grundriß
gleich großer umfriedigter Plätze angegeben. Dies läßt die bekannte
Tatsache erkennen, daß die in der Nähe von _A_ gelegenen Gegenstände
größer erscheinen als die entfernteren; aber man sieht auch, daß die
Zeichengenauigkeit um so geringer ist, je weiter der abzubildende
Gegenstand von der Bildebene entfernt ist. Übrigens ist daran zu
erinnern, daß den Geraden des Grundrisses im allgemeinen keineswegs
gerade Linien im Bilde entsprechen; z. B. sind die Umzäunungen der
Plätze nicht geradlinig, weil diese auf gekrümmten Flächen gelegen sind.




V. MASZBESTIMMUNGEN UND BEZIEHUNGEN ZUR ZEICHNERISCHEN ANALYSIS


Die nächsten Paragraphen sollen kurz zeigen, in welcher Weise man
Maßbestimmungen der Längen, Flächen- und Rauminhalte an einer
Geländefläche auszuführen hat.

[Illustration: Fig. 87.]


§ 89. =Längenmessung.= Um die Länge eines ebenen Kurvenbogens
zu bestimmen, ersetzt man ihn durch einen aus genügend kleinen
geradlinigen Stücken bestehenden Polygonzug, dessen Teile, längs
einer Geraden aneinandergesetzt, die gesuchte Länge angenähert
ergeben (Rektifikation). Man kann den Kurvenbogen auf die Gerade
durch Abgreifen mit einer genügend kleinen Zirkelöffnung übertragen.
Dabei hat man jedoch zu beachten, daß sich zwar, je kleiner die
Zirkelöffnung, um so mehr der kleine Bogen der zugehörigen Sehne
anschmiegt, aber sich auch um so mehr die durch vielmaliges
Aneinandersetzen des Zirkels entstehenden Fehler häufen. Das Übertragen
auf die Gerade kann man vermeiden, wenn man den Zirkel selbst zur
Summierung der Sehnen benutzt. Ist (Fig. 87) _ABCD...U_ der zu messende
Bogen, so setzt man zuerst den Zirkel in _A_ und _B_ ein, lüftet ihn
bei _A_ und dreht ihn um _B_ in die Lage _BA'_, die Kurventangente in
_B_; dann lüftet man ihn bei _B_ und öffnet ihn bis _C_, lüftet ihn bei
_A'_ und dreht ihn um _C_ in die Lage _CA''_, die Tangente in _C_, usw.
Die Punkte _A_, _A'_, _A''_, ... _A^*_ liegen angenähert auf einer
Evolvente der gegebenen Kurve (§ 42), und es ist der gesuchte Bogen

    [arc](_AU_) ≈ [line](_A^*U_).

Besser ist ein kleines gekordetes Meßrädchen (Kurvimeter), mit dem
man, die Radebene senkrecht zur Papierebene haltend, den Kurvenbogen
abfährt, wobei die ganzen Umdrehungen durch ein Zählwerk angegeben
werden. Man prüft das Kurvimeter durch Ausmessen einer geradlinigen
oder kreisförmigen Strecke bekannter Länge. – Die Länge eines
Kurvenbogens auf einer Geländefläche bestimmt man, indem man das
Längenprofil der Kurve konstruiert (§ 47) und dieses rektifiziert.

_Aufgabe._ Ein Flugzeug hat einen in die Karte des überflogenen
Geländes eingetragenen Weg zurückgelegt, wobei zugleich die erreichten
Höhen an genügend vielen Stellen vermerkt sind. Es soll die wirkliche
Länge des Luftweges ermittelt werden.

Man hat dazu nur nötig, das Längenprofil der Raumkurve entsprechend dem
gezeichneten Wege und den darin vermerkten Höhenangaben zu zeichnen,
wie in § 47 angegeben, und die Bogenlänge dieses Profils nach dem
soeben Auseinandergesetzten zu ermitteln.


§ 90. =Flächenmessung.= Zur praktischen Ausmessung eines ebenen
willkürlich begrenzten Flächenstückes hat man sich gewisser
Annäherungsmethoden zu bedienen, deren Berechtigung in der
Integralrechnung streng bewiesen wird, oder man benutzt ein Planimeter.

=a) Quadratteilung.= Fast für alle hier in Frage kommenden
Zwecke ausreichend ist es, ein Blatt Millimeterpauspapier über
das Flächenstück zu decken. Man zählt die eingeschlossenen
Quadratmillimeter ab und nimmt von den durch die Begrenzungslinie
durchschnittenen entweder die Hälfte zu oder schätzt ihre Anteile ab.
Das ergibt angenähert den Flächeninhalt in Quadratmillimetern; um ihn
in den Flächeneinheiten des Maßstabes der Karte zu erhalten, hat man
zu ermitteln, wie viele Quadratmillimeter auf eine Flächeneinheit der
Karte gehen. Für den häufigeren Gebrauch im selben Maßstab zeichnet man
ein dazu gehöriges genügend engmaschiges Quadratnetz auf Pauspapier
oder ritzt es mit der Zirkelspitze auf eine dünne Zelluloidplatte, wie
sie etwa zu photographischen Films verwendet wird und also leicht zu
beschaffen ist. Man legt die geritzte Seite auf die Karte.


§ 91. =b) Einteilung in Streifen gleicher Breite.= Statt der
Quadrateinteilung kann man auch eine Anzahl paralleler Geraden in
gleichem genügend kleinen Abstande δ auf Pauspapier oder einen Film
zeichnen; zwischen je zwei Geraden fügt man noch die Mittellinien (in
der Fig. 88 gestrichelt) ein. Abgesehen von den Kappenstücken, die
nicht mehr die Breite δ haben (geschrafft), kann man den zwischen zwei
Geraden _a_ und _b_ enthaltenen Flächenteil nach der _Simpsonschen
Regel_ (Th. Simpson 1743, Joh. Kepler hat schon 1615 dieselbe Regel
zur Raumberechnung benutzt – Keplersche Faßregel) bestimmen. Man nimmt
das Mittel der Anfangs- und Endsehne, ½(_a_ + _b_), sodann die Summe
aller ausgeschnittenen Sehnen, ∑_s_, endlich noch die doppelte Summe
der Mittellinien aller Streifen, 2∑_m_; die Gesamtsumme dieser drei
Werte, mit ⅓δ multipliziert, liefert den Flächeninhalt meist mit großer
Genauigkeit:

    _F_ ≈ ⅓δ((_a_ + _b_)/2 + ∑_s_ + 2∑_m_).

Die beiden Summen ∑_s_ und ∑_m_ kann man durch einen angelegten
Papierstreifen messen, auf dem man die einzelnen Sehnen durch
Aneinanderfügen schon beim Anlegen summiert, oder auch mit dem
Streckenrädchen des Kurvimeters, oder auch mit der Millimeterteilung
des Rechenschiebers, nachdem man an dem Glasläufer einen kleinen über
der Millimeterteilung schleifenden Papierzeiger befestigt hat.

[Illustration: Fig. 88.]

Die abgeschnittenen Kappen können oft mit genügender Annäherung als
Parabelabschnitte aufgefaßt und alsdann nach der Lambertschen Regel zu
⅔_a_α und ⅔_b_β berechnet werden, wobei α und β ihre Breiten bedeuten
(Joh. Heinr. Lambert 1727–1777).


§ 92. =c) Andere Streifeneinteilung.= Statt daß man das Flächenstück
in gleich breite Streifen zerlegt, kann man oft einfacher und nicht
minder genau als nach der Simpsonschen Regel nach folgendem von C.
Runge angegebenen zeichnerischen Ausgleichungsverfahren vorgehen. Man
ersetzt das Stück der Begrenzungslinie zwischen den beiden Geraden des
Streifens durch eine senkrecht zu ihnen verlaufende gerade Strecke
der Art, daß die in der Fig. 89 mit Schraffen versehenen dreieckigen
Zipfel einander flächengleich werden. Wenn es sich um genügend kleine
Dreiecke handelt, kann die Abgleichung nach dem Augenmaß sehr genau
ausgeführt werden, und wenn vollends die Figur auf Millimeterpapier
gezeichnet ist, hat man durch Auszählung und Abschätzung der wenigen
in den Zipfeln befindlichen Quadratmillimeter eine gute Prüfung. Man
verwandelt auf diese sehr empfehlenswerte Art das krummlinig begrenzte
Flächenstück in eine Summe von Rechtecken, deren Breite man oft, wenn
die Kurve weniger gekrümmt verläuft, ziemlich groß annehmen kann.
Danach läßt sich der Inhalt leicht berechnen:

    _F_ ≈ ∑δ_y_.

[Illustration: Fig. 89.]

[Illustration: Fig. 90.]


§ 93. =d) Planimeter.= Am schnellsten und auch wohl am genauesten
bedient man sich zur Flächenmessung eines Planimeters, wie es in
seiner einfachsten Form des _Polarplanimeters_ in Fig. 90 angedeutet
ist. _PD_ ist eine um den Nadelspitzpol _P_ drehbare Stange beliebiger
Länge, so daß also _D_ einen Kreis beschreibt; _DF_ ist eine in _D_
drehbare Stange der Länge _l_, deren Fahrstift _F_ die Berandung des
auszumessenden Flächenstückes einmal umfährt; _R_ ist ein auf der
Zeichenebene rollendes, nicht gleitendes Rad vom Radius _r_, dessen
Winkeldrehung ω an einer Teilung abgelesen werden kann. Man zeigt mit
Hilfe der Integralrechnung, daß, wenn der Pol _P_ außerhalb der zu
umfahrenden Fläche liegt, der gesuchte Flächeninhalt gleich _l_ · ω_r_
ist; meist gibt die Teilung der Meßrolle dieses Produkt unmittelbar an.


§ 94. =Geneigte Fläche.= Wenn die Ebene der auszumessenden ebenen
Fläche unter dem Winkel α gegen die Horizontalebene der Karte geneigt
ist, so ergibt sich der wahre Flächeninhalt aus dem seiner Projektion,
indem man diese durch cos α dividiert. Das sieht man sogleich ein,
wenn man sich die Fläche und ihre Projektion durch Ebenen, die auf
der Schnittgeraden der Fläche und der Projektionsebene senkrecht
stehen, in genügend schmale Streifen der Breite δ zerlegt denkt. Die
mittleren Längen des Streifens und seiner Projektion verhalten sich wie
1 : cos α, daher, da die Breite dieselbe ist, auch ihre Flächeninhalte,
daher auch die Flächen selbst.

Diese Bemerkung kann man bisweilen benutzen, um praktisch von einem
begrenzten Teile einer Geländefläche den Flächeninhalt zu bestimmen,
nämlich dann, wenn sie sich in Bezirke teilen läßt, innerhalb deren die
Horizontalneigung genügend konstant ist, was sich übrigens sehr leicht
am Verlauf der Fallinien erkennen läßt.

[Illustration: Fig. 91.]


§ 95. =Flächeninhalt einer Böschungsfläche.= Wie in § 65 gezeigt,
ist jede Böschungsfläche auf eine Ebene abwickelbar, und zwar so,
daß nach und nach jede ihrer geradlinigen Fallinien in die Ebene zu
liegen kommt. Da bei der Abwickelung außer den Längen die Winkel
zwischen den Kurven der Böschungsfläche sich nicht ändern, so gehen
die Schichtlinien in Kurven über, die auf den geradlinigen Fallinien
auch nach der Abwickelung senkrecht stehen. Man betrachte nun einen
von zwei beliebigen Schichtlinien und zwei geradlinigen Fallinien
begrenzten Streifen einer Böschungsfläche. Sein Flächeninhalt bleibt
bei der Abwickelung in die Zeichenebene, wodurch die Figur _ACDB_
(Fig. 91) entstehen möge, ebenfalls ungeändert. Es seien _MP_, _NQ_ die
Abwickelungen zweier naher Fallinien von der Länge _l_; sie schneiden
das Flächenstück _MPQN_ aus, das um so mehr als Trapez betrachtet
werden kann, je näher _MP_ und _NQ_ aneinander liegen. Ist _RS_ die
Mittellinie des Trapezes, _m_ ihre Länge, so ist seine Fläche gleich
_l_ · _m_; demnach der Flächeninhalt des ganzen Stückes _ABCD_ gleich
_l_ · ∑_m_, wo ∑_m_ nichts anderes als die Bogenlänge der mittleren
Schichtlinie _EF_ ist. Man findet daher den Flächeninhalt einer von
zwei Schichtlinien und zwei Fallinien der wahren Länge _l_ begrenzten
Böschungsfläche, indem man _l_ mit der Bogenlänge der mittleren
Schichtlinie multipliziert.

Die Ausführung kann unmittelbar an der Karte der Böschungsfläche
vorgenommen werden, da ja bei jeder Fläche die Schichtlinien mit ihren
Projektionen kongruent sind. Übrigens braucht man die erwähnte mittlere
Schichtlinie nicht erst zu konstruieren, sondern nimmt einfacher
und genauer aus den Bogenlängen der begrenzenden Schichtlinien das
arithmetische Mittel. Sind λ die aus der Karte zu entnehmende konstante
Horizontalentfernung der beiden Schichtlinien, _k₁_ und _k₂_ ihre
Höhenzahlen, so ist _l_ = √(λ² + (_k₁_ – _k₂_)²), also als Hypotenuse
eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten λ und (_k₁_ – _k₂_),
diese in Einheiten des Höhenmaßstabes gemessen, leicht zu zeichnen.

Da man nach § 66 eine Geländefläche, die durch genügend viele
Schichtlinien gegeben ist, gleich der erachten kann, die aus schmalen
Streifen von Böschungsflächen zusammengesetzt ist, so läßt sich das
eben auseinandergesetzte Verfahren auch benutzen, um angenähert die
Inhalte beliebiger gekrümmter Flächenstücke zu bestimmen. Eine große
Genauigkeit wird man freilich nicht zu erwarten haben.


§ 96. =Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles.= Es ist eine
wichtige Aufgabe der technischen Praxis, den Rauminhalt von Erdmassen
zu bestimmen. Wenn die Begrenzung ganz willkürlich ist, muß man sich
wie beim Flächeninhalt gewisser Annäherungsmethoden bedienen, deren
Berechtigung und Genauigkeit in der Integralrechnung gezeigt wird. Man
denkt sich den auszumessenden Körper in eine Anzahl so dünner Schichten
zerlegt, daß sie ohne merklichen Fehler als zylindrische Scheiben
betrachtet werden können, deren Inhalt gleich dem Produkt aus ihrer
Dicke δ und ihrem Querschnitt _q_ ist. Haben alle Schichten des Körpers
die gleiche Dicke δ, so ist das Volumen des Körpers _v_ = δ · ∑_q_, wo
∑_q_ die Summe aller Querschnitte bedeutet. Die gewöhnliche Zerlegung
ist die in wagerechte Schichten. Die Querschnitte werden also durch
die Schichtlinien der Fläche begrenzt. Man kann jeden Querschnitt nach
irgendeinem der in §§ 90 bis 93 angegebenen Verfahren bestimmen. Aber
auch _v_ selber kann man nach denselben Verfahren ermitteln. Denn
trägt man die gemessenen Werte der Querschnitte als Ordinaten zu den
zugehörigen Höhenzahlen als Abszissen auf und verbindet ihre Endpunkte
durch eine glatte Kurve, so ist die Maßzahl des Flächeninhalts, der
von dieser Kurve, der Abszissenachse und den Anfangs- und Endordinaten
begrenzt wird, gleich _v_.


§ 97. =Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte.= Zur Erläuterung der
in den letzten Paragraphen besprochenen Maßbestimmungen soll jetzt
eine dem bergmännischen Anwendungsgebiet entnommene Aufgabe etwas
ausführlicher besprochen werden.

Eine nutzbare unterirdische Lagerstätte wird in der Regel durch eine
Anzahl von Bohrlöchern erschlossen, die erkennen lassen, wie weit sich
die Lagerstätte in wagerechter und lotrechter Richtung erstreckt.
Da mit Rücksicht auf die Kosten die Zahl solcher Bohrlöcher auf das
Mindestmaß beschränkt werden muß, wird aus den Bohrergebnissen die
Gestalt der Lagerstätte nur in groben Umrissen entnommen werden
können, und daher werden alle darauf bezüglichen Konstruktionen und
Maßbestimmungen nur als erste Annäherungen an die Wirklichkeit zu
betrachten sein; das ist auch bei der Lösung der folgenden Aufgabe
nicht zu vergessen.

Ein Kohlenlager ist durch eine Reihe von Bohrlöchern angefahren und
durchteuft. Man soll den Rauminhalt des Lagers ermitteln.

Zunächst einige allgemeine Bemerkungen zur Ausführung der Aufgabe. Man
wird vor allem die beiden topographischen Flächen zu bestimmen suchen,
die den oberen Teil (das Hangende) und den unteren (das Liegende) der
Lagerstätte begrenzen, indem man nach § 48 die Schichtlinien durch
Längenprofile ermittelt. Das geschieht am besten in einer besonderen
Karte, nachdem man darin die Lage der Bohrlöcher übertragen und die
Tiefenangaben vermerkt hat, in denen jedesmal die Lagerstätte angebohrt
und durchteuft wurde. Nunmehr bestimmt man die Schichtenquerschnitte
nach § 90 bis 93, trägt die Werte graphisch zu den Höhenzahlen als
Ordinaten auf, und planimetriert zur Bestimmung des Rauminhalts die
entstehende Kurve, wie in § 96 angegeben.

[Illustration: Fig. 92.]


§ 98. =Ausführung der Aufgabe.= Es verlohnt sich, die nähere Ausführung
etwas eingehender zu besprechen, weil dabei eine Menge Nutzanwendungen
der früheren Sätze zum Vorschein kommen. Das soll nun jetzt geschehen.
– Gegeben ist die Karte des Geländes (Fig. 92 – Schichtlinien
ausgezogen –) und darin verzeichnet die Lage der Bohrlöcher, so daß man
daraus die Höhenzahlen ihrer Mundlöcher entnehmen kann. Außerdem sind
zu jedem Bohrloch gegeben die Koten (Teufen), in denen das Hangende
angebohrt sowie das Liegende erreicht ist. Das folgende Verzeichnis
enthält diese Angaben für die 13 mit _A_ bis _N_ bezeichneten
Bohrlöcher.

    +---------+----------+-----------+-----------+
    |Bohrloch | Mundloch | Hangendes | Liegendes |
    +=========+==========+===========+===========+
    |   _A_   |  + 90 m  |  +47 m    |   –30 m   |
    |   _B_   |  +103 m  |  +26 m    |   – 6 m   |
    |   _C_   |  +112 m  |  +12 m    |   +10 m   |
    |   _D_   |  + 72 m  |  +70 m    |   –25 m   |
    |   _E_   |  + 55 m  |  +50 m    |   + 1 m   |
    |   _F_   |  + 87 m  |  +42 m    |   –14 m   |
    |   _G_   |  + 98 m  |  +15 m    |   + 7 m   |
    |   _H_   |  + 85 m  |  +45 m    |   –15 m   |
    |   _I_   |  + 84 m  |  +20 m    |   + 7 m   |
    |   _K_   |  + 60 m  |  +11 m    |   + 9 m   |
    |   _L_   |  +108 m  |  +10 m    |   + 5 m   |
    |   _M_   |  +103 m  |  +20 m    |   – 2 m   |
    |   _N_   |  + 71 m  |  +40 m    |     0 m   |
    +---------+----------+-----------+-----------+

Zur Bestimmung der Schichtlinien wird man möglichst solche
Längenprofile wählen, die nahezu in Richtung der Fallinien verlaufen;
man wird also für das Liegende vom Punkte tiefster Kote (_A_), für das
Hangende vom Punkte höchster Kote (_D_) möglichst radial ausgehen, also
z. B. namentlich das Profil _CBADEK_ benutzen, sodann den Linienzug
_IHFG_, wobei man die aus dem vorigen Linienzug interpolierte Höhenzahl
des Kreuzungspunktes von _AD_ und _FH_ schon als bekannt benutzen darf,
usw. Hat man genügend viele Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen
ermittelt, so zeichnet man zuerst die Schichtlinien, von denen die
meisten Punkte bekannt sind. Das erleichtert auch die Zeichnung der
übrigen an den Stellen, an denen sie sich nicht durch Querschnitte
genügend scharf bestimmen lassen.

Im vorliegenden Fall hat die Lagerstätte die Form einer
unregelmäßig gestalteten Linse, wie es in der Natur manchmal bei
Braunkohlenlagerstätten vorkommt. In der Fig. 92 sind die Schichtlinien
des Liegenden gestrichelt, die des Hangenden punktiert gezeichnet.
In der Zeichnung findet sich sowohl eine Schichtlinie +10 für das
Hangende wie auch eine für das Liegende; von jeder gehört aber nur
ein Teil der eigentlichen Lagerstätte an; das kommt daher, daß
sich Hangendes und Liegendes in einer Raumkurve durchsetzen, deren
Projektion zwischen den beiden Schichtlinien +10 verläuft. Man
konstruiert ihre genauere Lage (– · – ·) am einfachsten mittels einiger
Querschnitte, von denen in der Figur einer (bei _L_) angedeutet ist.

Wenn die Schichtlinien alle gezeichnet sind, kann die Planimetrierung
beginnen. Dabei treten in der vorliegenden Figur noch zwei kleine
Erschwerungen auf, die zu beachten sind. Erstens wird verlangt, daß
von dem Volumen nur derjenige Teil bestimmt wird, der innerhalb der
geradlinigen Grubengrenzen _gg_ und der dadurch bestimmten lotrechten
Ebenen gelegen ist. Die Querschnitte sind daher jedesmal nur bis zu
diesen Geraden zu planimetrieren. Zweitens aber tritt die Lagerstätte
zutage, und daher wird ihre Gestalt durch das Gelände beeinflußt. Die
Ausbißlinie _aa_ ist nach § 72 konstruiert worden; beim Planimetrieren
muß ersichtlich jedesmal der Teil der Schichtlinie des Hangenden, der
von der Ausbißlinie umfaßt wird, durch den entsprechenden Teil der
Schichtlinie des Geländes ersetzt werden. Das hat man beim Umfahren mit
einem Polarplanimeter berücksichtigt, und dann folgende Querschnitte in
willkürlichen Einheiten _p_ des Planimeternonius – Mittel aus mehreren
Beobachtungen – erhalten:

              Höhenzahl:     Querschnitt:

    Liegendes:   –30 m            21,5 p
                 –20 m           171   p
                 –10 m           336   p
                 ± 0 m           826   p
                 +10 m          1284,5 p

    Hangendes:   +10 m          1268   p
                 +20 m           977   p
                 +30 m           668,5 p
                 +40 m           434   p
                 +50 m           241   p
                 +60 m            77   p
                 +70 m             4,5 p

Zugleich ergab eine Fläche, die im Maßstab der Zeichnung gemessen 40000
m² entsprach, planimetriert 1598 _p_.

[Illustration: Fig. 93.]

Die graphische Darstellung dieser Werte in beliebigen Maßstäben
ergibt die Kurve der Fig. 93. Sie besteht aus zwei Ästen, einem für
das Hangende (rechter Ast) und einem für das Liegende (linker Ast),
die sich in einem Punkte schneiden. Zur Bestimmung des Rauminhalts
hat man die durch sie und die Abszissenachse begrenzte Fläche zu
ermitteln. Die Planimetrierung lieferte in willkürlichen Einheiten
_q_ des Planimeternonius, deren Wert übrigens von _p_ verschieden
sein kann, das Volumen 549 · _q_, während zugleich eine Fläche, die
1000 · _p_ · 100 m Kubikeinheiten entsprach – in der Figur durch das
Rechteck angezeigt –, 1097 · _q_ ergab. Daraus folgt für das gesuchte
Volumen der Wert

      549·_q_ · (100000·_p_·m)/(1097·_q_) · (40000 m²)/(1598·_p_)
    = 1253100 m³.

Es wäre sicher nicht richtig, das Schlußergebnis auf so viele Stellen
anzugeben, und man wird sich etwa mit der runden Zahl 1250000 m³
begnügen müssen, zumal eine Abschätzung der Genauigkeit auf Grund der
gegebenen Daten nicht einfach ist.


§ 99. =Zeichnerische Analysis.= Die in den vorstehenden Paragraphen
auseinandergesetzten und angewandten Verfahren der Projektionen mit
Höhenzahlen lassen sich nicht nur auf _geometrische_ Aufgaben, sondern
auch auf die praktisch zeichnerische Behandlung _analytischer_ Fragen
mit Nutzen anwenden. Man kann diesen Teil der angewandten Mathematik,
dessen Entstehung erst wenige Jahrzehnte zurückliegt, und dessen
Ausbau noch keineswegs abgeschlossen ist, passend als graphische oder
_zeichnerische Analysis_ bezeichnen. Ihre Ergebnisse finden in fast
allen Zweigen der Technik, in der Vermessungskunde, der technischen
Physik, der Ballistik usw. mehr und mehr Anwendung. Im Folgenden
mögen einige einfachere Gegenstände dieses Gebietes besprochen
werden, die mit den vorhergehenden Betrachtungen zum Teil aufs engste
zusammenhängen.


§ 100. =Funktionsskale.= Es bedeute _x_ eine reelle Veränderliche und
_y_ = _f_(_x_) eine beliebige eindeutig umkehrbare – d. h. zu jedem
Wert von _y_ gehört ein Wert von _x_ – reelle Funktion von _x_, gegeben
durch irgendeine Rechenvorschrift oder durch eine Zahlentafel, derart,
daß ihr zeichnerisch im rechtwinkligen Cartesischen Koordinatensystem
(_x_, _y_) eine Kurve zugeordnet werden kann. Einen Punkt _P_ der Kurve
(Fig. 94 mit _y_ = √_x_) mit der Abszisse _x_ (= 3) projiziere man
parallel zur Abszissenachse auf die Ordinatenachse nach _Q_, so daß
_OQ_ = _y_ (= √3 = 1,73) ist, schreibe aber an _Q_ den zu _P_ gehörigen
Abszissenwert _x_ (= 3). Wenn man so für genügend viele Punkte
verfährt, erhält man die Skale der Funktion _y_ = _f_(_x_). Die Fig. 94
stellt die Entstehung der Funktionsskale _y_ = √_x_ dar.[3]

    [3] Weitere Beispiele sind in dem Bändchen von Paul
        Luckey, Einführung in die Nomographie, dieser
        mathematisch-physikalischen Bibliothek zu finden.

[Illustration: Fig. 94.]

Auf der Vorderseite eines gewöhnlichen Rechenschiebers befinden
sich die Skalen der Funktion _y_ = log₁₀_x_ in zwei verschiedenen
Maßstabseinheiten.

Die Funktionsskalen tragen im allgemeinen eine ungleichmäßige
Einteilung; gleichmäßig ist sie nur im Falle einer linearen Funktion
_y_ = _ax_ + _b_, weil die zugehörige Kurve hier eine gerade Linie ist.

Wenn die Teilung einer Funktionsskale so dicht ist, daß eine
Zwischenschaltung weiterer Funktionswerte nach dem Augenmaße möglich
ist, kann man im Sinne der zeichnerischen Analysis die Funktion als
durch ihre Skale völlig bestimmt ansehen.

Denkt man sich die Fig. 94 um einen rechten Winkel aus der Papierebene
so geschwenkt, daß die _x_-Achse senkrecht zur Zeichenebene nach oben
gerichtet ist, dann stellt die Skale der Funktion nichts weiter dar
als die kotierte Projektion der Kurve (vgl. § 68), die durch die Skale
gestuft ist.

Um von irgendeiner analytisch oder tabellarisch gegebenen Funktion die
Skale herzustellen, ist es natürlich nicht erst nötig, die zugehörige
Kurve zu zeichnen. Man braucht nur auf der gewählten Geraden, dem
_Träger_ der Skale, von einem beliebig angenommenen Nullpunkte aus
mit der gewählten Maßstabseinheit den zu _x_ gehörigen Funktionswert
_f_(_x_) = _y_ abzutragen und an den Endpunkt dieser Strecke die Zahl
_x_ anzuschreiben.

[Illustration: Fig. 95.]

Wenn die Funktion nicht eindeutig umkehrbar ist, also zu einem Wert von
_y_ mehrere Zahlenwerte von _x_ gehören, ist ihre Darstellung durch
eine Skale zwar auch möglich, aber man muß dann mehrfach bezifferte
(gebrochene) Skalen in Kauf nehmen, die, auf demselben Träger
gezeichnet, sich ganz oder zum Teil überdecken (vgl. Fig. 95).


§ 101. =Konstruktion besonderer Funktionsskalen.= Einige Skalen lassen
sich leicht durch eine einfache geometrische Konstruktion finden. So z.
B. die Skalen für sin _x_ und tg _x_ für spitze Winkel, wie aus der
Fig. 96 ersichtlich ist. Die Skale für sin _x_ gibt zu gleich die für
cos _x_, wenn man neben den Strich mit der Zahl _x_ in Graden noch die
Zahl 90° – _x_ schreibt, und ebenso findet man die Skale für ctg _x_
aus der für tg _x_. Man kann diese z. B. dann benutzen, um für zwei
Punkte einer Karte eines ebenen Geländes, deren Höhenunterschied gleich
1 ist, den Fallwinkel φ zu bestimmen; denn die in der Karte gemessene
Entfernung der Projektionen beider Punkte ist gleich ctg φ.

[Illustration: Fig. 96.]

Besonders wichtig ist die Konstruktion der Skale für die linear
gebrochene Funktion

    _y_ = (_ax_ + _b_)/(_cx_ + _d_),

wo _a_, _b_, _c_, _d_ vier Konstanten sind, von denen es ersichtlich
genügt, die drei Verhältnisse _a_ : _b_ : _c_ : _d_ zu kennen. Wenn
_c_ = 0, so würde die Funktion eine ganze lineare sein, ihre Skale
also gleichmäßig geteilt. Wenn _c_ ≠ 0, aber _ad_ – _bc_ = 0, wäre die
Funktion gar nur eine Konstante, wie sofort aus dem Ausdruck

    _y_ = _a_/_c_ + (_ad_ – _bc_)/(_c_(_cx_ + _d_))

folgt, in den man die Funktion überführen kann. Sieht man von diesen
Ausnahmefällen ab, und bezeichnet man mit _y₁_, _y₂_, _y₃_, _y_ die
vier zu _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x_ gehörigen Funktionswerte, so ist – man
kann sich davon durch Ausrechnung leicht überzeugen –

      (_y₂_ – _y₁_)/(_y₃_ – _y₁_) : (_y₂_ – _y_)/(_y₃_ – _y_)
    = (_x₂_ – _x₁_)/(_x₃_ – _x₁_) : (_x₂_ – _x_)/(_x₃_ – _x_),

d. h. die Doppelverhältnisse von je vier Werten von _x_ und den
zugehörigen Werten von _y_ sind einander gleich, und daraus
folgt bekanntlich, daß die Punktreihe _P₁_, _P₂_, _P₃_, _P_ mit
den Abszissen _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x_ auf einer Geraden I aus der
Punktreihe _Q₁_, _Q₂_, _Q₃_, _Q_ mit den Abszissen _y₁_, _y₂_,
_y₃_, _y_ auf einer Geraden II durch Projizieren gewonnen werden
kann (Fig. 97). Zur Konstruktion einer _projektiven Skale_ _y_ =
(_ax_ + _b_) : (_cx_ + _d_) kann man also folgendermaßen verfahren.
Gegeben sei der Träger der Skale, die Gerade II, ferner der
Anfangspunkt der Skale, d. h. der Punkt mit dem Teilstrich 0, und der
Maßstab, wodurch zugleich der Punkt mit dem Teilstrich 1 der Skale
bestimmt ist. Nunmehr zeichnet man auf einer beliebigen Geraden I
irgendeine gleichmäßige Teilung. Man verbindet sodann miteinander die
Punkte der Teilstriche 0 und ebenso die Punkte der Teilstriche 1. Der
Schnittpunkt _S_ dieser Verbindungsgeraden ist der Mittelpunkt des
Strahlbüschels, das die Skale I auf die Skale II projiziert. (Fig. 98.)
Natürlich gibt es auf einer Geraden unzählig viele projektive Skalen
mit denselben Punkten 0 und 1; denn eine projektive Skale ist erst
durch die Angabe von drei Punkten eindeutig bestimmt, entsprechend den
drei Konstantenverhältnissen _a_ : _b_ : _c_ : _d_.

[Illustration: Fig. 97.]

[Illustration: Fig. 98.]


§ 102. _Aufgabe._ Eine Strecke _AB_ = 5 cm soll mit einer solchen
Skale versehen werden, daß an jedem Punkte abgelesen werden kann, in
welchem Teilverhältnis der beiden Abschnitte die Strecke durch ihn
geteilt wird. Ist _P_ ein Punkt der Strecke, _AP_ = _y_, und _x_ die
Skalenstelle von _P_, so soll _AP_ : _PB_ = _x_ oder

    _y_/(_AB_ – _y_) = _x_

sein; daher ist

    _y_ = _x_/(1 + _x_) · _AB_.

[Illustration: Fig. 99.]

Zur Konstruktion der Skale _y_ auf _AB_ überlegt man, daß dem Punkte
_A_ der Wert _x_ = 0, der Mitte von _AB_ der Wert _x_ = 1, dem Punkte
_B_ der uneigentliche Wert _x_ = ∞ beizuschreiben ist. Man zieht also
z. B. durch _A_ eine beliebige Gerade _AC_ mit gleichmäßiger Teilung,
die überdies auch in _A_ beginnen kann. Nun verbindet man den Teilpunkt
1 dieser Geraden _AC_ mit der Mitte von _AB_, den Teilpunkt ∞ der
Geraden mit dem Punkte _B_ (d. h. man zieht durch _B_ eine Parallele zu
_AC_); beide Verbindungslinien schneiden sich in _S_, dem Mittelpunkte
des projizierenden Strahlenbüschels (Fig. 99).

Der Leser mag ferner die Skale 1 : _x_ zeichnen.


§ 103. =Zusammengesetzte Funktionsskalen.= Wenn _y_ als Funktion von
_x_ durch eine Skale gegeben ist und ebenso _y_ als Funktion von
_u_, so kann man den funktionalen Zusammenhang zwischen _x_ und _u_
einfach dadurch graphisch herstellen, daß man die beiden Skalen mit
den zusammengehörigen Werten von _y_ aneinanderlegt. Ein einfaches
Beispiel dafür geben die drei Thermometerskalen nach Celsius, Réaumur
und Fahrenheit, wenn man sie sich auf demselben Thermometer angebracht
denkt (Fig. 100); sie entsprechen folgenden drei linearen Funktionen:

[Illustration: Fig. 100.]

    _C_ = _x_,   _R_ = 4/5_x_,   _F_ = 9/5_x_ + 32.

Auf der Vorderseite des gewöhnlichen Rechenschiebers findet sich im
oberen Teile die Skale _y_ = lg _x_, im unteren dieselbe Skale im
doppelten Maßstab, d. h. die Skale _y_ = 2 lg _u_; durch den Strich des
Glasläufers wird daher die Beziehung lg _x_ = 2 lg _u_ = lg _u²_ oder
_x_ = _u²_, _u_ = √_x_ vermittelt.

Ebenso leicht ist es auch, wenn _y_ = _f_(_x_) und _x_ = φ(_u_) je
durch eine Skale dargestellt sind, die Skale herzustellen, die den
funktionalen Zusammenhang _y_ = _f_(φ(_u_)) = ψ(_u_) zwischen _y_ und
_u_ liefert, oder, anders gesprochen, die graphische Elimination von
_x_ auszuführen. Es würde an sich genügen, neben die Bezifferung _x_
der Skale _y_ = _f_(_x_) den zugehörigen Wert von _u_ zu schreiben, wie
ihn die Skale φ(_u_) ergibt, nur würde man dann keine zur Interpolation
brauchbare Skale mit gleichen Unterschieden der Veränderlichen _u_
erhalten. Um die dazu erforderliche Zwischenschaltung der _u_-Werte mit
befriedigender Genauigkeit ausführen zu können, zeichnet man zuerst in
einem Koordinatensystem (_x_, _y_) mit einer _x_-Achse, die zugleich
Träger der Skale φ(_u_) ist, und einer _y_-Achse, die zugleich Träger
der Skale _f_(_x_) ist, die Kurve _y_ = _f_(_x_). Nun kann man leicht
zu jedem Teilstrich der Skale φ(_u_) den zugehörigen Teilstrich der
Skale ψ(_u_) auf dem in der Fig. 101 durch die Pfeile angedeuteten Wege
finden.

[Illustration: Fig. 101.]


§ 104. =Netzteilung.= Für viele Zwecke der zeichnerischen Analysis ist
es wichtig, eine Kurve (_K_), die in einem Koordinatensystem (_x_,
_y_) gezeichnet vorliegt, in eine andere (κ) zu verwandeln, die sich
auf ein Koordinatensystem (ξ, η) bezieht, wobei ξ = φ(_x_), η = ψ(_y_)
gegebene funktionale Beziehungen zwischen _x_ und ξ, _y_ und η bedeuten
sollen. Wäre die Gleichung der vorgelegten Kurve (_K_) bekannt, etwa
_F_(_x_, _y_) = 0, und wären auch die Funktionen φ(_x_) und ψ(_y_) in
analytischer Form gegeben, so würde man nur ξ, η an Stelle von _x_, _y_
einzuführen zu haben, um die Gleichung Φ(ξ, η) = 0 der verwandelten
Kurve (κ) zu erhalten. Aber hier handelt es sich darum, _zeichnerisch_
die Aufgabe zu lösen, wenn die Kurve (_K_) und die Funktionen φ(_x_)
und ψ(_y_) graphisch gegeben sind.

Man trägt auf einer ξ-Achse die Skale ξ = φ(_x_) auf und ebenso
auf einer η-Achse die Skale η = ψ(_y_), wodurch ein im allgemeinen
ungleichmäßig geteiltes Netz bestimmt ist, wie die Fig. 103 angibt.
Jedem Koordinatenpaar _x_, _y_ entspricht in diesem Netze ein Punkt,
der entweder auf einen Schnittpunkt der Netzgeraden fällt, oder dessen
Lage durch Schätzung leicht zu ermitteln ist. Auf diese Weise kann man
die gegebene Kurve (_K_) Punkt für Punkt in dieses Netz übertragen und
erhält so die verwandelte Kurve (κ).

[Illustration: Fig. 102.]

Beispielsweise geht die Ellipse mit den Halbachsen _a_ und _b_, deren
Hauptachsenrichtungen mit den Koordinatenachsen _x_, _y_ und deren
Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt, deren Gleichung also

    _x²_/_a²_ + _y²_/_b²_ = 1

lautet, durch Umzeichnung in ein Netz mit den Skalen ξ = _x²_, η = _y²_
in die Gerade mit der Gleichung

    η/_a²_ + ξ/_b²_ = 1

über, die die Skalen in den Teilstrichen _a²_ und _b²_ trifft und
also leicht zu zeichnen ist. Das wurde auch für schiefwinklige Achsen
gelten, wenn _a_, _b_ dann konjugierte Halbmesser bedeuten.

Man kann von dieser Bemerkung eine Anwendung auf folgende Aufgabe der
praktischen Mathematik machen. Es liegt eine eiförmige Kurve gezeichnet
vor, und es besteht die Vermutung, daß sie angenähert eine Ellipse sei;
wie ist das festzustellen? Man wird zunächst angenähert den Mittelpunkt
und zwei konjugierte Durchmesser der Kurve bestimmen, indem man ein ihr
umschriebenes Parallelogramm mit seinen Mittellinien zeichnet. Dadurch
ist zugleich ein schiefwinkliges Koordinatensystem _x_, _y_ gegeben,
durch das die Punkte der Kurve festgelegt werden können. Man zeichnet
jetzt das ungleichmäßig geteilte Netz ξ = _x²_, η = _y²_, und in dieses
trägt man genügend viele Punkte der eiförmigen Kurve ein; sie werden,
den vier Quadranten der Kurve entsprechend, angenähert auf vier Seiten
eines Parallelogramms liegen. Die Abweichung der Punkte von diesen
Geraden läßt auch die Abweichung der Eilinie von der Ellipse erkennen.
Wenn man über die Punkte, die angenähert auf einer Geraden liegen,
einen Faden spannt oder eine auf einen Film geritzte Gerade legt, kann
man in den meisten Fällen genau genug die Abweichungen ausgleichen
und dadurch die Längen für die konjugierten Halbmesser der Ellipse
bestimmen, die die Eilinie am besten darstellt (Fig. 103).

[Illustration: Fig. 103.]


§ 105. =Logarithmenpapier.= Besonders wichtig ist ein Netz
mit logarithmischer Einteilung. Solche Netze sind in Form von
Logarithmenpapier käuflich zu haben. Es gibt zwei Arten davon:
bei der einen ist sowohl die Abszissenachse, wie auch die
Ordinatenachse logarithmisch geteilt, bei der anderen nur die eine
der Koordinatenachsen. Ihre Verwendung wird aus folgenden Beispielen
hervorgehen.

Wenn es sich darum handelt, die polytropische Kurve mit der Gleichung

    _pv^κ_ = _c_

zu zeichnen, wo κ, _c_ zwei Konstanten, _p_ und _v_ aber Druck und
Volumen eines Gases bedeuten, das sich adiabatisch ausdehnt, so setze
man

    ξ = lg _v_,  η = lg _p_,  _C_ = lg _c_

und erhält

    η + κξ = _C_,

d. h. im Koordinatennetz ξ, η eine gerade Linie. Man wird hier also
die erste Art des doppelt logarithmisch geteilten Papiers benutzen
(Fig. 104).

[Illustration: Fig. 104.]

Wenn man mit einem gut eingeschossenen Gewehr nach einem Punkte _O_
einer ebenen senkrechten Scheibe oftmals schießt, so werden die
Einschläge sich in der Nähe von _O_ häufen und mit wachsendem Abstande
von _O_ an Zahl abnehmen. _Gauß_ hat als Maß für die Häufigkeit eines
Treffers im Abstande ξ von _O_ den Ausdruck (Fehlergesetz)

    _z_ = _e^{–ξ²}_

angegeben, dem die Häufigkeit proportional ist, unter der Annahme, daß
sie in allen von _O_ ausgehenden Richtungen dieselbe sei. Setzt man

    η = lg _z_,  lg _e_ = 0,4343,

so wird

    η = –0,4343 · ξ².

Bei Verwendung einfach logarithmisch geteilten Papiers ergibt dies
eine Parabel. Setzt man noch ξ = √ζ, d. h. bringt man noch auf der
gleichmäßig geteilten Skale des Logarithmenpapiers eine quadratische
Teilung an, so geht die Parabel in die Gerade

    η = –0,4343 · ζ

über (Fig. 105).

[Illustration: Fig. 105.]


§ 106. =Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch ein
Rechenblatt.= Es sei _z_ = _f_(_x_, _y_) die darzustellende Funktion
der beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen _x_ und _y_. Ihr
geometrisches Bild ist eine Fläche, wenn man die Werte von _z_ als
Höhen senkrecht über einer Ebene in den Punkten mit den Koordinaten
_x_, _y_ aufträgt. Zu jedem festen Werte von _z_ gehört eine Kurve
bestimmter Höhe auf der Fläche, d. h. eine ihrer Schichtlinien. Die
Projektionen der Schichtlinien auf die als Zeichenebene gedachte
_xy_-Ebene liefern die Karte der Fläche und somit eine geometrische
Darstellung der Funktion durch Schichtenlinien _f_(_x_, _y_) = konst.
im Koordinatensystem (_x_, _y_). An den Schichtenlinien hat man
sich die zugehörigen Werte von _z_ als Höhenzahlen angeschrieben zu
denken, genau so, wie es bisher bei der kartenmäßigen Darstellung der
Geländeflächen geschehen ist. Es ist nicht nötig, daß die Funktion in
entwickelter Form _z_ = _f_(_x_, _y_) gegeben sei; für eine Gleichung
der Form _F_(_x_, _y_, _z_) = 0 ist dieselbe Darstellung möglich. Diese
Darstellung hat man ein _Rechenblatt_ (Nomogramm, Abakus) der Funktion
oder der Gleichung genannt.

[Illustration: Fig. 106.]

In der Fig. 106 ist das Rechenblatt der Funktion z dargestellt, die
durch die Gleichung

    _z_² + _xz_ + _y_ = 0

gegeben ist. Die Schichtlinien sind alle Geraden. Man kann das
Rechenblatt zur zeichnerischen Auflösung einer beliebigen quadratischen
Gleichung mit reellen Wurzeln

    _z_² + _pz_ + _q_ = 0

nach der Unbekannten z gebrauchen. Man sucht im Rechenblatt den Punkt
mit den Koordinaten _p_, _q_ und sieht nach, welche Schichtgeraden
durch ihn hindurchgehen; die Zahlen der Schichtgeraden, die
nötigenfalls durch schätzendes Zwischenschalten zu bestimmen sind,
geben die reellen Wurzeln der Gleichung an. Liegt der Punkt auf
der einhüllenden Parabel _x_² = 4_y_, so hat die Gleichung eine
Doppelwurzel, liegt er im Innern dieser Parabel, so hat die Gleichung
keine reelle Wurzeln.

In ähnlicher Weise läßt sich die Gleichung

    _z^n_ + _xz^m_ + _y_ = 0

und noch allgemeiner die Gleichung

    φ(_z_) + _x_ψ(_z_) + _y_ = 0

behandeln, wo φ(_z_), ψ(_z_) beliebige Funktionen bedeuten können,
die analytisch oder tabellarisch oder auch zeichnerisch durch Kurven
oder Funktionsskalen gegeben sein können. In allen diesen Fällen sind
die Kurven des Rechenblattes gerade Linien. Solche Rechenblätter sind
natürlich besonders leicht herzustellen.


§ 107. =Rechenblatt mit ungleichmäßiger Teilung.= Auch wenn die Kurven
konstanter Werte von _z_ zunächst keine geraden Linien ergeben, kann
man doch häufig durch Benutzung von Skalen auf den Koordinatenachsen
bewirken, daß die Kurven des Rechenblattes Geraden werden. Zum Beispiel
wenn die Gleichung

    φ(_z_) + ξ(_x_) · ψ(_z_) + η(_y_) = 0

vorliegt, die eine Verallgemeinerung der vorhergehenden ist, so wird
man das Netz der Skalen ξ(_x_), η(_y_), wie in § 103 angegeben worden
ist, benutzen können; die Schichtlinien in diesem Netze ξ, η sind dann
gerade Linien, denn es ist

    φ(_z_) + ξ · ψ(_z_) + η = 0

für jeden Wert von _z_ die Gleichung einer Geraden.

Die Zustandsgleichung eines vollkommenen Gases lautet

    _pv_ = _RT_,

wobei _p_ den Druck, _v_ das Volumen, _R_ die Gaskonstante, _T_
die absolute Temperatur des Gases bedeuten. Die Isothermen _T_ =
konst. sind, im Koordinatensystem _p_, _v_ gezeichnet, gleichseitige
Hyperbeln; im System

    ξ = lg _p_,  η = lg _v_

dagegen ergeben sich dafür gerade Linien. Bei Benutzung doppelt
geteilten Logarithmenpapiers läßt sich mithin für die obige
Zustandsgleichung ein Rechenblatt mit dem Lineal allein herstellen.

Wenn man sich auf doppelt geteiltem Logarithmenpapier mit den Skalen
ξ = lg _x_, η = lg _y_ die Geraden _z_ = _xy_ zeichnet, so kann das
entstandene Rechenblatt als Multiplikationstafel dienen; denn in ihm
liegt der Punkt mit den Koordinaten _x_, _y_, den Faktoren, jedesmal
auf der Geraden mit der Höhenzahl _xy_, dem Produkte (Fig. 107).

[Illustration: Fig. 107.]




ALPHABETISCHES SACHVERZEICHNIS


            Abtrag und Aufschüttung 19.

            – – – eines Dammes 18, 53;
              einer Halde 22, 52.

            abwickelbare Flächen 41.

            Analysis, zeichnerische 77 ff.

            Ansicht des Geländes 65 ff.

            Anstieg einer Geraden 3;
              – einer Ebene 7;
              – einer Raumkurve 32.

            asymptotisches Einmünden 44.

            Ausbißlinie = Ausschnittlinie 21, 35, 54.

            ausgezeichnete Fallinien 43.

            Ausschachten einer Grube 24.


            bauchig gekrümmt 40.

            Berührungen im Raume 29.

            Berührungsebene einer Fläche 37.

            – durch eine gegebene Gerade 56, 58.

            Berührungskegel an einer Fläche 62.

            Binormale 35.

            Bogenlänge 67.

            Böschung einer Geraden 3;
              – einer Ebene 7;
              – einer Halde 23;
              – einer Raumkurve 32.

            Böschungsfläche 47;
              – einer Raumkurve 49.

            – Flächeninhalt 71.

            Böschungskegel 15.

            Böschungslinie 32, 50.

            Böschungsmaßstab einer Ebene 7.

            Böschungsstreifen 48.


            cos _x_, ctg _x_, Skale 80.


            Dachausmittelung 21.

            Demarkationslinie 41.

            Drehen einer Ebene 12.

            Drehfläche 17.

            Durchdringungspunkte einer Raumkurve mit einer
              Geländefläche 52.


            Ebene 6;
              –n gegebener Böschung 15;
              – gleicher Böschung 10;
              mit parallelen Gefällemaßstäben 9.

            ebener Platz, Anlage 19.

            Einfallen einer Ebene 7.

            Einschalten eines Punktes 4, 31.

            Ellipse 23, 24;
              angenäherte – 84.

            elliptisch gekrümmt 40.

            Enveloppe = Hüllkurve 28.

            Evolute und Evolvente 29.


            Fallen und Streichen einer Ebene 7.

            Fallinien 6, 37, 38, 41;
              ausgezeichnete – 43.

            Fallwinkel einer Geraden 3.

            Fehlergesetz, Gaußsches 86.

            Fehlerkurve 28.

            Firstlinie eines Daches 22.

            Flächen, krumme 17.

            Flächeninhalt einer Böschungsfläche 71.

            Flächenmessung 68.

            Flugzeug, durchmessener Weg 68.

            Funktionsskalen 78 ff.

            Funktion von zwei Veränderlichen, zeichnerische
              Darstellung 87.


            gebrochene Skale 79.

            Gefälle einer Geraden 3, 5;
              – einer Ebene 6, 15;
              – einer Fläche 38.

            – Kurven konstanten –s 50.

            Geländefläche 1, 26.

            geologische Schicht, Ausbißlinie einer 21, 36.

            Gipfelpunkt 41.

            glatte Kurve 27.

            Graduierung einer Geraden 4, = Stufung.

            Grat, Gratlinie 47, 48.

            Grenzlinie einer ebenen Schicht 21;
              – einer Böschungsfläche 51.

            Grube, Ausschachten einer – 24.


            Halde, Aufschüttung einer – 22.

            Hangendes einer Lagerstätte 73.

            Hauptnormale 34.

            Hauptpunkte 31.

            Hauptschichtlinien 26.

            Hilfskurve 61, 63.

            Höhenlinien 1;
              Einschalten von – 36.

            Höhenzahl 1, 2 = Kote.

            Horizont 62, 64.

            Hüllkurve 28.

            hyperbolisch gekrümmt 40.

            hyperbolisches Paraboloid 17.


            Intervall einer Geraden 5;
              – einer Raumkurve 32.

            Isobathe 1, = Tiefenlinie.

            Isohypse 1, = Höhenlinie, Schichtlinie.


            Jochpunkt 42.


            Kammweg 44.

            Karte eines Geländes 26.

            Keplersche Faßregel 69; = Simpsonsche Regel.

            Korrektionskurve 28.

            Kote 1, 2, = Höhenzahl.

            kotierte Projektion 2;
              – Ebene 2.

            Kreiskegel, Kreiszylinder 16.

            Kreispunkt 43.

            krumme Oberflächen 17.

            Krümmung einer Fläche 39.

            Krümmungsmittelpunkt, –kreis 29.

            Krümmungsgrenze = Demarkationslinie 41.

            Kurven im Gelände 30.

            Kurvimeter 68.

            kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden 11.


            Lagerstätte, Rauminhalt einer – 73 ff.

            Lambertsche Regel 69.

            Längenmessung 89.

            Längenprofil einer Raumkurve 31.

            Liegendes einer Lagerstätte 73.

            linear gebrochene Funktion, Skale 80 ff.

            Logarithmenpapier 85.

            Lot von einem Punkte auf eine Ebene 11.

            Luftlinie 3.


            Maßbestimmungen 67 ff.

            Maßstab der Zeichnung 3.

            Meßrädchen 68.

            Mulde, Ausstrichlinie einer – 54.

            Muldenpunkt 42.

            Multiplikationstafel 89.

            Mündungspunkt 44.


            Nabelpunkt 43.

            negativ gekrümmt 40.

            Netzteilung 83.

            Niveaulinien 1.

            Normale einer Kurve 33;
              – einer Fläche 37.

            Normalebene 32, 38.

            Normalschnitt 38.

            Nullinie 52.


            Pantograph = Storchschnabel 27.

            Paraboloid, hyperbolisches 17.

            parabolisch gekrümmt, –e Kurve 41;
              –er Punkt 45.

            parallele Gefällemaßstäbe 9.

            Parallelkurven 29.

            Parallelprojektion 65.

            Plan des Geländes 26.

            Planierungsfläche 32, 52.

            Planimeter 70.

            Planum = ebener Platz 19.

            polytropische Kurve 85.

            positiv gekrümmt 40.

            Profil = Querprofil 19, 35;
              scheinbares – 55.

            projektive Skale 81.

            projizierender Zylinder 30.


            quadratische Gleichung, zeichnerische Lösung 87 ff.

            Querprofil 19, 35.


            Rauminhalt 72;
              – einer Lagerstätte 73.

            Raumkurve, Darstellung 30.

            Rechenblatt 87 ff.

            Rechenschieberskalen 78, 82.

            Rektifikation 67.

            Relief eines Geländes 30.

            Rinne im Gelände 47.

            Rückenlinie 44.

            Rungesches Verfahren der Flächenmessung 70.


            sattelförmig gekrümmt 40.

            Sattelfalte 55.

            Schacht, Tiefes eines –es 36.

            Schattengrenze 62.

            scheinbares Profil 55;
             –rer Umriß 62.

            Schicht, Ausbißlinie einer geologischen – 21.

            Schichtenplan 1, 26.

            Schichtlinien 1, 6, 31, 41.

            Schmiegungsebene 33.

            Schnitt zweier Geraden 5;
              – einer Fläche mit einer Ebene 35;
              – zweier Flächen 51;
              – einer zylindrischen Fläche mit dem Gelände 55.

            Schnittgerade zweier Ebenen 8.

            Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 10.

            Schnittwinkel zweier Ebenen 13.

            Schraffur einer Karte 39.

            Schraubenfläche 17, 33.

            sichtbarer Teil des Geländes 53.

            Simpsonsche Regel 69.

            sin _x_, Skale 79.

            Skale einer Funktion 78 ff.

            Spiegellineal 28.

            Steigung, Weg gegebener – 20.

            Storchschnabel 27.

            Strahlbüschel 81.

            Streichen und Fallen einer Ebene 7, 21.

            Streichlinien einer Ebene 7.

            Stufung einer Geraden = Graduierung 4.


            Talweg 18, 43 ff.

            Tangente 28.

            Teilverhältnis, Skale 81.

            tg _x_, Skale 79.

            Thermometerskalen 82.

            Tiefenlinien 1.

            Träger einer Funktionsskale 79.

            Tunnelmündung 25.

            Turm, Aussicht von einem – 66.


            Überhöhung 4.

            Umdrehungsfläche 17.

            Umriß einer Fläche 56, 62.

            umschriebener Zylinder 56, 57, 59.


            Verbindungslinien konstanter Steigung 51.

            Verschneidung = Ausbißlinie 35, 54.

            Vertikalschnitt 19.


            wahre Gestalt einer Figur 13.

            Wasserscheide 42, 44.

            Weg gegebener Steigung 20.


            zeichnerische Bemerkungen 26;
              – Analysis 67 ff., 77 ff.

            Zentralprojektion 66.

            zusammengesetzte Funktionsskalen 82.

            Zylinder 16;
              projizierender – 30;
              Schnitt mit dem Gelände 55.




    =Feldmessen und Nivellieren.= Von Direktor Prof. _G.
      Volquardts_. (Leitfaden f. Baugewerkschulen Bd. 13.) 3. Aufl.
      Mit 38 Figuren. Steif geh. ℳ –.80

      Der Verfasser hat sich auf die Besprechung rein
      feldmesserischer Arbeiten einfachster Art beschränkt, wie sie
      der Hochschulbautechniker in der Praxis öfters auszuführen
      hat. Ein besonderer Wert wird darauf gelegt, die Meßgeräte
      auf ihre Richtigkeit zu prüfen.

    =Das Feldmessen d. Tiefbautechnikers.= Von Dipl.-Ing. Prof.
      _H. Friedrichs_. (Leitf. f. Baugewerkschulen Bd. 14 u. 22.)
      In zwei Teilen. Teil I: Reine Flächenaufnahmen. 2. Aufl. Mit
      177 Figuren und 1 farbigen Plan. Steif geh. ℳ 3.20. Teil II:
      Flächen- und Höhenaufnahmen. Mit Figuren und Tafeln. 3. Aufl.
      [U. d. Pr. 1919.]

    =Lehrbuch d. Vermessungskunde.= Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. _A.
      Baule_. 2. Aufl. Mit 280 Figuren. Geb. ℳ 8.80

      Das Buch soll dem Studierenden alles bieten, was in die
      niedere Vermessungskunde gehört, und dem Lehrer die
      Möglichkeit geben, bei Zugrundelegung eines Lehrbuches den
      Stoff zu bewältigen und durch Beispiele zu erläutern.

    =Leitfaden der technisch wichtigen Kurven.= Von Oberlehrer Dr.
      _F. Ebner_. Mit 93 Fig. Geb. ℳ 4.–

      »Das Buch ist außerordentlich klar geschrieben und jedem
      Techniker warm zu empfehlen, der sich mit den kinematischen
      Problemen, ohne deren Kenntnis die Bewegungen der Maschinen
      unverständlich sind, eingehender befassen wird.«

            (_Zeitschrift für gewerbl. Unterricht._)

    =Geodäsie.= Eine Anleitung zur geodät. Mess. f. Anfänger. Von
      Prof. Dr.-Ing. _H. Hohenner_. Mit 216 Fig. Geb. ℳ 12.–

      »Der Autor nennt seine ›Geodäsie‹ eine Anleitung für
      Anfänger; ich glaube, sie darf als Nachschlagebuch warm
      empfohlen werden ...«

            (_Zt. d. Vereins d. h. bayr. Vermessungsb._)

    =Einführung in die Geodäsie.= Von Prof. Dr. _O. Eggert_. Mit
      237 Fig. i. T. Geb. ℳ 10.–

      »Das in prägnanter Kürze eine ungeahnte Fülle des
      Wissenswerten zusammenfassende Buch wird ein vorzügliches
      Hilfsmittel in der Hand der Studierenden sein.«

            (_Archiv der Mathematik und Physik._)

    =Grundzüge der Geodäsie= mit Einschluß der
      Ausgleichungsrechnung. Von Prof. Dr. _M. Näbauer_. (Handbuch
      d. angew. Math. Bd. III.) Geh. ℳ 9.–, geb. ℳ 9.60

      »Die Darstellung ist klar und übersichtlich, die Figuren
      sind vortrefflich und belehrend, auch die Rechnungsbeispiele
      dürften sehr willkommen sein und sind nett angeordnet.«

            (_Literarisches Zentralblatt._)

    =Der Hohennersche Präzisionsdistanzmesser und seine Verbindung
      mit einem Theodolit= (D. R. P. Nr. 277000). Einrichtung
      und Gebrauch des Instrumentes für die verschiedenen
      Zwecke der Tachymetrie; mit Zahlenbeispielen sowie
      Genauigkeitsversuchen. Von Prof. Dr.-Ing. _H. Hohenner_. Mit
      7 Abb. i. T. u. 1 Taf. Geh. ℳ 3.20

      Die Abhandlung gibt die Beschreibung eines neuen optischen
      Entfernungsmessers, der im Gegensatz zu der langwierigen und
      wenig genauen Messungsmethode mit Latte und Band und mit den
      bisherigen Distanzmessern ein schnelles und ungemein präzises
      Arbeiten ermöglicht. Nach theoretischer Behandlung des
      Instruments wird seine prakt. Verwendungsmöglichkeit für die
      verschiedenen Zwecke der Tachymetrie erörtert und der Grad
      der mit dem Präzisionsdistanzmesser erreichbaren Genauigkeit
      an Hand zahlreicher Versuche abgeleitet.

    =Allgem. Kartenkunde.= Ein Abriß ihrer Geschichte u. ihrer
      Methoden. Von Dr. _H. Zondervan_. Mit 32 Fig. Geh. ℳ 4.60,
      geb. ℳ 5.20

      »Das Buch ermöglicht so jedem, sich rasch ein tieferes
      Verständnis für die Karte, ihre Entstehung, ihren Wert und
      ihre Benutzung zu verschaffen. Es wird daher für den Offizier
      wie für den Lehrer der Geographie sowie für jeden, der die
      Karte oft verwendet, ein unentbehrliches Hilfsmittel sein.«

            (_Bayr. Zeitschr. f. Realschulwesen._)

    =Leitfaden der Kartenentwurfslehre.= Bearbeitet von Prof.
      Dr. _K. Zöppritz_. Hrsg. von Dr. _A. Bludau_. I: Die
      Projektionslehre. 3. Aufl. Mit 154 Fig. u. zahlr. Tabellen.
      Geh. ℳ 9.–, geb. ℳ 10.–. II: Kartographie und Kartometrie. 2.
      Aufl. Mit 12 Fig., 2 Tabellen und 2 Tafeln. Geh. ℳ 3.60, geb.
      ℳ 4.40

    =Vermess.- u. Kartenkunde.= (ANuG 7 Bde.) Jed. Bd. m. Abb.
      Kart. je ℳ 1.60, geb. je ℳ 1.90 Geographische Ortsbestimmung.
      Von Prof. _Schmauder_. (Bd. 606.)

      Erdmessung. V. Prof. Dr. _Osw. Eggert_. (607.)

      Landmessung. V. Geh. Finanzr. _Suckow_. (608.)

      Ausgleichungsrechnung. Von Geh. Reg.-Rat Prof. _E. Hegemann_.
      (Bd. 609.)

      Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie. Von Dipl.-Ing. _H.
      Lüscher_. (Bd. 610.)

      Kartenkunde. Von Finanzrat Dr.-Ingenieur _A. Egerer_. I:
      Einführung i. d. Kartenverständnis. II: Kartenherstellung
      (Landesaufnahme). (Bd. 611/612.)

    =Karte u. Kroki.= Von Dozent Dr. _H. Wolff_. Mit 47 Fig.
      (Math.-phys. Bibl. Band 27.) ℳ 1.–

      Im ersten Teil wird ein Überblick über alle Arbeiten gegeben,
      die zur Herstellung unserer Generalstabskarten nötig sind.
      Auch die Benutzung der Karten, das Kartenlesen wird eingehend
      erklärt. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Anfertigung
      von Skizzen und Krokis.


Auf sämtliche Preise Teuerungszuschläge des Verlags und der
Buchhandlungen.


Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin


    =Grundzüge der Physiogeographie.= V. Prof. _W. M. Davis_
      u. Prof. Dr. _G. Braun_. 2. Aufl. in 2 Teilen I. Teil:
      Grundlagen u. Methodik. Zum Gebr. b. Stud. u. auf
      Exkursionen. Mit 89 Abb., 1 Taf. u. Hilfstab. Geb. M. 6.–.
      II. Teil: Morphologie. Z. Gebr. b. Stud. u. auf Exkursionen.
      Mit 94 Abb. u. 1 Tafel. Geb. M. 5.–

      »Man kann das Werk in Wirklichkeit als ein neues bezeichnen,
      und zwar nicht bloß wegen seiner häufigen Bezugnahme auf
      deutsche Verhältnisse, sondern auch der Sprache nach. Die
      Übersetzung ist eine sehr flüssige. Meisterhafte kleine
      Skizzen von Davis' Hand, welche zugleich Ansicht und Profil
      einer typischen Landschaft bieten, so Blockdiagramme, sind
      eingestreut. Daneben laufen Landschaftsbilder, Wiedergaben
      von Photographien.«

            (=A. Penck i. d. Zeitschr. d. Ges. f. Erdk., Berlin.=)

    =Praktische Übungen in physischer Geographie.= Von Prof. _W.
      M. Davis_. Übertragen und neu bearbeitet von Prof. Dr. _K.
      Oestreich_. Textheft und Atlas. Textheft geh. M. 2.80.
      Atlas mit 38 Tafeln geh. M. 3.80 Inhalt des Textbandes: Die
      Täler des Festlandes. Die Küstenebene. Die Täler in der
      Küstenebene. Tafelländer und Kanons. Skulptur der Gebirge.
      Vulkane und Lavaströme. Der Zyklus der Flüsse, Wasserfälle,
      Stromschnellen und ausgeglichene Flußläufe. Der Zyklus der
      Flüsse, Brücken, Täler und Ablenkung.

    =Die erklärende Beschreibung der Landformen.= Von _W. M.
      Davis_. Deutsch bearb. von Prof. Dr. _A. Rühl_. Mit 212 Abb.
      u. 13 Taf. Geb. M. 12.–

      »Das sehr große Tatsachenmaterial ist vortrefflich
      durchgearbeitet und gesichtet, so daß es den Leser nicht
      erdrückt. Wo es für das Verständnis förderlich war, sind
      veranschaulichende landschaftliche Aufrisse und Darstellungen
      dem Texte beigegeben, auch hier hat sich der Verfasser einer
      weisen Maßhaltung befleißigt.«

            (=Berliner Tageblatt.=)

    =Eine geographische Studienreise durch das westliche Europa.=
      Von _W. Hanns_, _A. Rühl_, _H. Spethmann_, _H. Waldbaur_. M.
      ein. Einl. v. _W. M. Davis_. Hrsg. v. Ver. d. Geogr. a. d.
      Univ. Leipzig. M. 37 Abb. Steif geh. M. 2.40

      Zunächst legt Davis selbst nochmals einige seiner
      wissenschaftlichen Grundanschauungen dar. Dann wird von
      den übrigen Verfassern das Snowdongebiet in Wales, der auf
      Cornwall fallende Teil der Exkursion, eine Fahrt von der
      Insel Jersey nach der Bretagne geschildert und zuletzt das
      großartige Bild einer typischen Gletscherlandschaft im
      Haslital entrollt.

    =Die Oberflächengestaltung des norddeutschen Flachlandes.=
      I. Teil: Das Gebiet zwischen Elbe und Oder. Von Dr. _E.
      Wunderlich_. Geh. M. 5.20

      Ausgehend von den in den letzten Jahren gewonnenen
      stratigraphisch-geologischen Ergebnissen sucht Verf. an der
      Hand einer systematischen Analyse der verschiedenen Gebiete
      in der Hauptsache die Frage zu beantworten, ob das Relief
      Norddeutschlands ausschließlich durch die letzte Vereisung
      bedingt ist oder mit dem Ausdehnungsbereich verschiedener
      Vereisungen in genetischer Beziehung steht.

    =Schichtenfolge Mitteldeutschlands.= Zu Tabellen
      zusammengestellt für den Gebrauch auf geologischen
      Wanderungen. Von Dr. _Th. Brandes_. Kart. M. –.50

    =Geographisches Wanderbuch.= Von Dr. _A. Berg_. Ein Führer für
      Wandervögel und Pfadfinder. 2. Aufl. Mit 212 Abbildungen.
      Geb. M. 4.40

      »Der Verfasser will die wandernde Jugend zu richtigen
      ›Forschungsreisenden‹ machen, die die heimatlichen Fluren
      mit beobachtenden Augen durchstreifen und nicht nur nach
      ihrem Stimmungsgehalt ausschöpfen, sie sollen zu höherem,
      bleibendem ästhetischen Genuß durchdringen ...«

            (=Der Knabenbündler.=)

    =Geologisches Wanderbuch.= Von Dir. Prof. Dr. _K. G. Volk_.
      I. Teil. Mit 169 Abbildungen. M. 4.– II. Teil. Mit 269
      Abbildungen. M. 4.40.

      »Der bekannte Verfasser hat hier mit viel Geschick ein Buch
      für junge Geologen geschaffen, an dem man seine _helle
      Freude_ haben muß. Nach grundlegenden Beobachtungen und
      Experimenten in Heimatflur und Studierstübchen durchwandert
      er mit uns die deutschen Mittelgebirge, und zwar so, daß
      er uns dabei ein anschauliches Bild von der geologischen
      Entwicklung unseres Vaterlandes vor die Seele zaubert.«

            (=Thüringer Lehrerzeitung.=)

    =Geographische Zeitschrift.= Herausgegeben von Prof. Dr.
      _Alfred Hettner_. XXV. Jahrgang. 1919. Jährlich 12 Hefte.
      Halbjährlich M. 10.–


Auf sämtliche Preise Teuerungszuschläge des Verlags und der
Buchhandlungen.


_Verlag von B. G. Teubner_ in _Leipzig und Berlin_




Teubners

Naturwissenschaftliche Bibliothek

Die Sammlung will Lust und Liebe zur Natur wecken und fördern, indem
sie in leichtfaßlicher Weise über die uns umgebenden Erscheinungen
aufklärt und die Selbsttätigkeit anzuregen sucht, sei es durch bewußtes
Schauen und sorgfältiges Beobachten in der freien Natur oder durch
Anstellung von planmäßiger Versuchen daheim. Zugleich soll der Leser
einen Einblick gewinnen in das Leben und Schaffen großer Forscher
und Denker, durch Lebensbilder, die von Ausdauer, Geduld und Hingabe
an eine große Sache sprechen. – Die mit zahlreichen Abbildungen
geschmückten Bändchen, die auf einen geordneten Anfangsunterricht in
der Schule aufgebaut sind, sind nicht nur für Schüler bestimmt, sie
werden auch erwachsenen Naturfreunden, denen daran liegt, die in der
Schule erworbenen Kenntnisse zu verwerten und zu vertiefen – vor allem
aber Studierenden und Lehrern –, nützlich sein.


Serie A. Für reifere Schüler, Studierende und Naturfreunde.

Alle Bände sind reich illustriert und geschmackvoll gebunden.


    =Große Physiker.= Von Direktor Prof. Dr. Joh. Keferstein. Mit
      12 Bildnissen

            M. 6.60

    =Physikalisches Experimentierbuch.= V. Studienr. Prof. H.
      Rebenstorff. In 2 Teilen. I. Teil. 2. Aufl. Mit Abb. (U. d.
      Pr.) II. Teil. Mit 87 Abb.

            M. 4.60

    =Chemisches Experimentierbuch.= Von Prof. Dr. Karl Scheid. In
      2 Teilen. I. Teil. 4. Auflage. Mit 77 Abb. M. 4.–. II. Teil.
      Mit 53 Abb.

            M. 3.–

    =An der Werkbank.= Von Prof. E. Gscheidlen. Mit 110 Abbildungen
      und 44 Tafeln

            M. 6.–

    =Hervorragende Leistungen der Technik.= Von Prof. Dr. K.
      Schreber. Mit 56 Abbildungen.

            M. 3.–

    =Vom Einbaum zum Linienschiff.= Streifzüge auf dem Gebiete der
      Schiffahrt und des Seewesens. Von Ing. Karl Radunz. Mit 90
      Abbildungen.

            M. 3.–

    =Die Luftschiffahrt.= Von Dr. R. Nimführ. Mit 99 Abbildungen

            M. 3.–

    =Aus dem Luftmeer.= Von Oberl. M. Sassenfeld. Mit 40 Abbildungen

            M. 3.–

    =Himmelsbeobachtung mit bloßem Auge.= Von Oberlehrer Franz
      Rusch. 2. Aufl. Mit zahlreichen Figuren. (U. d. Pr. 1921.)

    =An der See.= Geogr.-geologische Betrachtungen. Von Prof. Dr.
      P. Dahms. Mit 61 Abb.

            M. 3.–

    =Küstenwanderungen.= Biologische Ausflüge. Von Dr. V. Franz.
      Mit 92 Figuren

            M. 3.–

    =Geologisches Wanderbuch.= Von Dir. Prof. Dr. K. G. Volk. 2
      Teile. I. Mit Abb. u. 1 Orientierungstafel. 2. Aufl. (U. d.
      Pr. 1921.) II. Mit 193 Abbildungen

            M. 4.40

    =Große Geographen.= Bilder aus der Geschichte der Erdkunde.
      Von Prof. Dr. Felix Lampe. Mit 6 Porträts. 4 Abb. und
      Kartenskizzen.

            M. 4.–

    =Geographisches Wanderbuch.= Von Priv.-Doz. Dr. A. Berg. 2.
      Aufl. Mit 212 Abb.

            M. 4.40

    =Anleitung zu photograph. Naturaufnahmen.= V. Lehr. G. E. F.
      Schulz. M. 41 photogr. Aufn.

            M. 6.60

    =Vegetationsschilderungen.= Von Prof. Dr. P. Gräbner. Mit 40
      Abbildungen.

            M. 3.–

    =Unsere Frühlingspflanzen.= Von Prof. Dr. Fr. Höck. Mit 76
      Abbildungen

            M. 3.–

    =Große Biologen.= Bilder a. d. Geschichte d. Biologie. Von
      Prof. Dr. W. May. Mit 21 Bildnissen

            M. 3.–

    =Biologisches Experimentierbuch.= Anleitung z. selbst. Stud. d.
      Lebenserscheinung. f. jugendl. Naturfreunde. V. Prof. Dr. C.
      Schäffer. Mit 100 Abb.

            M. 6.60

    =Insektenbiologie.= Von Prof. Dr. Chr. Schröder. (U. d. Presse
      1921.)

    =Erlebte Naturgeschichte.= (Schüler als Tierbeobachter.) Von
      Rektor C. Schmitt. 2. Aufl. Mit 35 Abb. Kart.

            M. 6.60

    =Das Leben unserer Vögel.= Von J. Thienemann. (In Vorber.)


In Vorbereitung:

=Große deutsche Industriebegründer.= Von C. Matschoß. – =Große
Mathematiker.= Von E. Löffler. =Große Chemiker.= Von O. Ohmann und R.
Winderlich.


Serie B. Für jüngere Schüler und Naturfreunde.

    =Physikalische Plaudereien für die Jugend.= Von Oberlehrer L.
      Wunder. Mit 15 Abb.

            Kart. M. 2.–

    =Chemische Plaudereien für die Jugend.= Von Oberlehrer L.
      Wunder. Mit 5 Abb.

            Kart. M. 1.–

    =Mein Handwerkszeug.= Von Prof. O. Frey. Mit 12 Abbildungen

            Kart. M. 1.–

    =Vom Tierleben in den Tropen.= Von Prof. Dr. K. Guenther. Mit 7
      Abbildungen.

            Kart. M. 1.–

    =Versuche mit lebenden Pflanzen.= Von Dr. M. Oettli. Mit 7
      Abbildungen

            Kart. M. 1.–

    =Jungdeutschland im Gelände.= Unter Mitarbeit von E.
      Doernberger, R. Loeser, M. Sassenfeld, Chr. C. Silberhorn
      hrsg. von Prof. Dr. Bastian Schmid. Mit 36 Abb. u. 8 Karten.
      Kart. M. 2.–. 10 Expl. u. mehr je 1.80 Pf., 25 Expl. u. mehr
      je 1.60 Pf., 50 Expl. u. mehr je 1.40 Pf., 100 Expl. u. mehr
      je 1.20 Pf.


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