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generously made available for scanning by the Department
of Mathematics at the University of Glasgow.)









MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATICIENS




DU MÊME AUTEUR À LA MÊME LIBRAIRIE


LES FEMMES DANS LA SCIENCE

  Un beau vol. in-8, IX-362 pp.,
  orné de portraits, autographes et fac-simile         5 fr.




MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATICIENS


PENSÉES ET CURIOSITÉS

Recueillies

Par

A. REBIÈRE




TROISIÈME ÉDITION

AMÉLIORÉE




  PARIS
  LIBRAIRIE NONY & Cie
  17, RUE DES ÉCOLES, 17
  1898

  (Tous droits réservés)




_Nous n'avons pas voulu grossir encore un volume déjà trop gros. Nous
nous sommes bornés à améliorer l'édition précédente, par la méthode
des substitutions. Les lecteurs trouveront ainsi des parties nouvelles
aux pages 14, 22, 166, 228, 261, 289, 302, 362, 418, 422, etc., etc._

_M. de Tilly a dit: «Les Mathématiques régissent le monde, mais elles
le régissent sans l'amuser.» Stendhal l'avait déjà déclaré: «C'est la
patrie du bâillement et du raisonnement triste.» Nous nous sommes
permis quand même, sur un sujet austère, quelques sourires mesurés._

_Nous venons de donner à notre livre un frère, ou plutôt une soeur,
qui s'appelle_ Les femmes dans la science. _Voulez-vous connaître les
mathématiciennes et autres savantes? Aimez-vous les portraits et les
autographes?_

                                        _Paris, le 15 mars 1897._




MORCEAUX CHOISIS ET PENSÉES




Les généralités qui suivent se rapportent aux principes, aux méthodes,
à la classification, à l'enseignement et à l'histoire des
Mathématiques. Nous les avons puisées à bonne source, dans les savants
et les penseurs anciens et modernes.




OBJET ET CARACTÈRE DES MATHÉMATIQUES


De quoi s'occupent les mathématiques, si ce n'est de la proportion et
de l'ordre?

                                                        ARISTOTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Je me demandai d'abord ce que tout le monde entendait précisément par
ce mot (mathématiques), et pourquoi on regardait comme faisant partie
des mathématiques, non seulement l'arithmétique et la géométrie, mais
encore l'astronomie, la musique, l'optique, la mécanique et plusieurs
autres sciences.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il n'est personne, pour peu qu'il ait touché seulement le seuil des
écoles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se
présentent à lui, ceux qui se rattachent aux mathématiques, et ceux
qui appartiennent aux autres sciences. En réfléchissant à cela, je
découvris enfin qu'on ne devrait rapporter aux mathématiques que
toutes les choses dans lesquelles on examine l'ordre ou la mesure, et
qu'il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les
astres, les sons ou dans tout autre objet qu'on cherche cette mesure.

                                                       DESCARTES.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les spéculations mathématiques ont pour caractère commun et essentiel
de se rattacher à deux idées ou catégories fondamentales: l'idée
d'_ordre_ sous laquelle il est permis de ranger... les idées de
situation, de configuration, de forme et de combinaison; et l'idée de
_grandeur_ qui implique celles de quantité, de proportion et de
mesure.

                                                         COURNOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La validité de l'analyse algébrique dépend, non de l'interprétation
des symboles employés, mais uniquement des lois de leurs
combinaisons... La mathématique abstraite et générale n'a pas
seulement pour objet des notions de quantités numériques, géométriques
ou mécaniques: elle traite des opérations en elles-mêmes,
indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être
appliquées.

                                                           LIARD.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nous sommes donc parvenus maintenant à définir avec exactitude la
science mathématique, en lui assignant pour but la mesure _indirecte_
des grandeurs et en disant qu'on s'y propose constamment de
_déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les
relations précises qui existent entre elles_. Cet énoncé, au lieu de
donner l'idée d'un _art_, caractérise immédiatement une véritable
_science_, et la montre sur-le-champ composée d'un immense
enchaînement d'opérations intellectuelles qui pourront évidemment
devenir très compliquées, à raison de la suite d'intermédiaires qu'il
faudra établir entre les quantités inconnues et celles qui comportent
une mesure directe... D'après cette définition, l'esprit mathématique
consiste à regarder toujours comme liées entre elles, toutes les
quantités que peut présenter un phénomène quelconque, dans la vue de
les déduire les unes des autres.

                                                      AUG. COMTE.

                       ¤---¤---¤

À propos de cette citation, Hoppe, de Berlin, fait remarquer qu'il
s'agit aussi en Mathématiques de l'équivalence des opérations.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La définition la plus généralement reçue des mathématiques est
celle-ci: les mathématiques sont la _science des grandeurs_. Cette
définition est vraie au fond, mais elle est superficielle et demande
explication.

De quelles grandeurs s'agit-il en mathématiques? Est-ce de toute
grandeur en général? Non, car alors tout serait objet des
mathématiques, puisque tout est grandeur, si du moins on se contente
de définir la grandeur comme on le fait d'ordinaire: «ce qui est
susceptible d'augmentation ou de diminution;» car cela s'applique à
tout; une chose peut être _plus ou moins_ belle, une action _plus ou
moins_ bonne, un plaisir _plus ou moins_ vif, un homme _plus ou moins_
spirituel; ce ne sont pas là des grandeurs mathématiques. Pourquoi?
Parce que ce ne sont pas là des grandeurs _mesurables_. Qu'est-ce
qu'une grandeur mesurable et, en général, qu'est-ce que mesurer? C'est
comparer une grandeur quelconque à une grandeur donnée prise pour
unité. Mesurer une route, c'est comparer la longueur de la route à une
unité de longueur qu'on appelle le _mètre_, et dire combien de fois
elle comprend cette unité. Mais qui pourra dire, par exemple, combien
de fois le talent de Catulle est contenu dans le génie d'Homère?

Il n'y a donc que les grandeurs mesurables qui soient l'objet des
mathématiques. De là cette nouvelle définition: c'est la science _de
la mesure des grandeurs_.

Cette définition est plus juste que la précédente; mais elle est
encore superficielle. En effet, mesurer ne semble guère en réalité
qu'une opération purement mécanique. Or c'est là l'objet d'un _art_ et
non d'une _science_. L'arpentage n'est pas la géométrie. C'est
l'arpenteur qui mesure, c'est le géomètre qui fournit les moyens de
mesurer. La mesure n'est donc pas l'objet immédiat de la science. Elle
n'en est que l'objet indirect et éloigné. Voyons comment elle peut
devenir un objet vraiment scientifique.

La comparaison directe et immédiate d'une grandeur quelconque à
l'unité est, la plupart du temps, impossible. Par exemple, si je
demande combien il y a d'arbres dans une forêt, je ne puis le savoir
qu'en comptant les arbres un à un, ce qui demanderait un temps infini.
Il en est de même dans la plupart des cas. Prenons le plus facile: la
mesure d'une ligne droite par la superposition d'une de ses parties.
Cela suppose: 1º que nous pouvons parcourir la ligne, ce qui exclut
les longueurs inaccessibles (par exemple la distance des corps
célestes); 2º que la ligne ne soit ni trop grande, ni trop petite,
qu'elle soit convenablement située: par exemple horizontale, non
verticale. Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus
forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus
forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces
quantités peuvent-elles être mesurées? C'est là le problème qui rend
nécessaire les mathématiques.

Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de
ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs
immédiatement mesurables. C'est par là qu'elles sont une science. En
effet, l'intervalle qui sépare une grandeur à mesurer de la grandeur
immédiatement mesurable peut être plus ou moins grand. De là une série
de réductions, depuis la grandeur la plus éloignée jusqu'à la plus
prochaine; et c'est la réduction de ces grandeurs les unes aux autres
qui constitue la science; soit, par exemple, à mesurer la chute
verticale d'un corps pesant. Il y a ici deux quantités distinctes: la
hauteur d'où le corps est tombé, et le temps de la chute. Or ces deux
quantités sont liées l'une à l'autre; elles sont, comme on dit en
mathématique, _fonction_ l'une de l'autre. D'où il suit que l'on peut
mesurer l'une par l'autre; par exemple dans le cas d'un corps tombant
dans un précipice, on mesure la hauteur de la chute par le temps qu'il
met à tomber; en d'autres cas, au contraire, le temps n'étant pas
directement observable, sera déduit de la hauteur. Si donc on trouve
une loi qui lie ces deux quantités et qui permette de conclure de
l'une à l'autre, on aura réduit une grandeur non mesurable directement
à une autre qui peut l'être. C'est là un problème mathématique. Autre
exemple. Comment mesurer la distance des corps célestes qui sont
inaccessibles? On regardera cette distance comme faisant partie d'un
triangle, dont on connaîtra un côté et deux angles. Or, la géométrie
nous apprend dans ce cas à découvrir les deux côtés du triangle, et
par conséquent nous donne le moyen de construire le triangle dans
lequel il suffira de tirer une ligne du sommet à la base pour avoir la
distance réelle. Maintenant, la distance étant connue, on peut, du
diamètre apparent conclure le diamètre réel, passer de là au volume et
même au poids, en y ajoutant d'autres éléments.

                                                      PAUL JANET.

                       ¤---¤---¤

Le mathématicien prépare d'avance des moules que le physicien viendra
plus tard remplir.

                                                           TAINE.

                       ¤---¤---¤

En d'autres termes, l'ordre mathématique inspire la conception de
l'ordre physique.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques offrent ce caractère particulier et bien remarquable
que tout s'y démontre par le raisonnement seul, sans qu'on ait besoin
de faire aucun emprunt à l'expérience, et que néanmoins tous les
résultats obtenus sont susceptibles d'être confirmés par l'expérience,
dans les limites d'exactitude que l'expérience comporte. Par là, les
mathématiques réunissent au caractère de science rationnelle, celui de
science positive, dans le sens que la langue moderne donne à ce mot.

                                                         COURNOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques forment pour ainsi dire un pont entre la
métaphysique et la physique.

                                                            KANT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

D'après Leibniz, il n'y a de mesure que «là où il y a antérieurement
de l'ordre.» On peut dire, par suite, que les mathématiques sont _la
science de l'ordre_.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Quelques-uns ont prétendu que toute la partie des mathématiques qui
n'est susceptible d'aucune vérification expérimentale devrait être
transportée dans la philosophie. Tels seraient les nombres
incommensurables et, à plus forte raison, les nombres négatifs et
imaginaires. Mais on est arrivé à interpréter ces symboles d'une
façon concrète, et du reste cette limitation si étroite et si
arbitraire des mathématiques les restreindrait à presque rien.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les vérités géométriques sont en quelque sorte l'_asymptote_ des
vérités physiques, c'est-à-dire le terme dont celles-ci peuvent
indéfiniment approcher, sans jamais y arriver exactement.

                                                      D'ALEMBERT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les figures géométriques sont de pures conceptions de l'esprit et
cependant la géométrie n'est pas seulement une science spéculative
très propre à développer les facultés intellectuelles.....; mais elle
est encore utile par ses nombreuses applications aux arts. Cela tient
à ce que les volumes de certains corps, leurs surfaces, les portions
communes à deux portions de ces surfaces peuvent être regardés comme
étant _sensiblement_ des volumes, des surfaces et des lignes
géométriques.

                                                       COMPAGNON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Avec des définitions précises et des axiomes certains, la Mathématique
établit des déductions sûres tant que le raisonnement se maintient
dans les voies de l'évidence logique. C'est pourquoi la science des
grandeurs porte, à l'exclusion de toute autre, le titre glorieux
d'«exacte».

Cela signifie surtout que, moins qu'aucune autre, elle est sujette à
l'erreur. La perception a ses méprises, la conception ses lacunes,
l'induction ses témérités, l'opinion ses dissidences, l'observation
ses mécomptes, l'expérience ses égarements. Seule, la déduction ne
trompe point, quand elle suit la loi du raisonnement. La science
qu'elle établit progresse avec plus ou moins de lenteur; mais ses
vérités une fois démontrées, sont parfaites, définitives, et ne
changent plus.

La théorie des grandeurs est l'unique exemple d'une construction
scientifique ne laissant rien à désirer..... À ce titre, elle méritait
le nom de «science par excellence» (_mathésis_) que les Grecs lui
avaient donné. Elle est la science type, l'idéal de connaissance
certaine proposé pour modèle à toutes les sciences de fait, mais dont
celles-ci ne se rapprochent qu'en lui empruntant sa méthode et en
subordonnant leurs mensurations à ses lois.

                                                        BOURDEAU.

                       ¤---¤---¤

Dire que les mathématiques ne laissent rien à désirer, c'est trop
dire. Là aussi, il reste encore des questions à élucider.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Ce qui est acquis dans les sciences de démonstration, dans les
mathématiques, par exemple, est absolument parfait; ce qui est acquis
dans les sciences d'observation est indéfiniment perfectible et
conséquemment variable, ou du moins conserve ce caractère jusqu'au
moment où la démonstration devient possible.

                                                     DUVAL-JOUVE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques ont des inventions très subtiles et qui peuvent
beaucoup servir, tant à contenter les curieux qu'à faciliter tous les
arts et à diminuer le travail des hommes.

                                                       DESCARTES.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les objets de la Géométrie, disent-ils, n'ont aucune réalité et ne
peuvent exister; des lignes sans largeur, des surfaces sans
profondeur, un point mathématique, c'est-à-dire sans longueur,
largeur, ni épaisseur, sont des êtres de raison, de pures chimères. Il
en est de même des figures dont la Géométrie démontre les propriétés;
il n'y a et il ne saurait y avoir aucun cercle parfait, aucune sphère
parfaite: ainsi, concluent-ils, cette science ne s'occupe que d'objets
chimériques et impossibles...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Il importe peu aux géomètres qu'il existe physiquement une sphère
parfaite, un plan parfait; ces figures ne sont que les limites
intellectuelles des grandeurs matérielles qu'ils considèrent, et ce
qu'ils démontrent à l'égard de ces limites est d'autant plus vrai
pour les corps matériels, qu'ils en approchent davantage...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Mais insistera-t-on peut-être... demandera-t-on si ces corps doués
de figures parfaites sont possibles?...

... Il suffit aux Géomètres que l'idée métaphysique de ces figures
soit claire et évidente pour servir de fondement à leurs recherches,
et pour que leurs conséquences jouissent de la même évidence et de la
même clarté.

                                                        MONTUCLA.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les ennemis de la Géométrie, ceux qui ne la connaissent
qu'imparfaitement, regardent les problèmes théoriques, qui en forment
la partie la plus difficile, comme des jeux d'esprit qui absorbent un
temps et des méditations qu'on pourrait mieux employer; opinion fausse
et très nuisible au progrès des sciences, si elle pouvait
s'accréditer. Mais, outre que les propositions spéculatives, d'abord
stériles en apparence, finissent souvent par s'appliquer à des objets
d'utilité publique, elles subsisteront toujours comme un des moyens
les plus propres à développer et à faire connaître toutes les forces
de l'intelligence humaine.

                                                          BOSSUT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La science des grandeurs, considérée dans son ensemble, a une parfaite
unité que le mot «Mathématiques» (au pluriel) paraît méconnaître, en
faisant présumer un groupe de sciences plutôt qu'une science unique.

Il serait préférable, comme l'avait proposé Condorcet, et comme
Auguste Comte en donne l'exemple, de dire «la Mathématique», afin de
mieux marquer l'unité générale de la science des grandeurs. Il est
d'ailleurs à noter que cette réforme nous remet dans le vrai courant
de la langue.

Le terme «Mathématique» était usité au XVIIe siècle et se lit trois
fois dans une page de la notice sur Pascal, par Mme Périer, sa soeur.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La Mathématique n'est pas seulement _une_ science, mais _la science_;
et son nom ne signifie que cela; car pour les Grecs c'était la seule
science.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le matelot qu'une exacte observation de la longitude préserve du
naufrage, doit la vie à une théorie conçue, deux mille ans
auparavant[1], par les hommes qui avaient en vue de simples
spéculations géométriques.

                                                       CONDORCET.

[Note 1: Il s'agit des courbes appelées _coniques_, déjà étudiées
par les Grecs.]

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

C'est par les sciences mathématiques qu'il convient de commencer la
série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent
pour point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre
d'idées. De plus, on peut étudier les vérités dont elles se composent
sans recourir aux autres branches de nos connaissances, et celles-ci
leur empruntent, au contraire, de nombreux secours, tels par exemple
que les théorèmes et les calculs sur lesquels s'appuient les sciences
physiques et industrielles; la mesure des champs et le calendrier, si
nécessaires à l'agriculture; la mesure précise des différents degrés
de probabilité de celles de nos connaissances qui ne sont pas
susceptibles d'une certitude complète, et les exemples les plus
frappants de la diversité des méthodes que la philosophie doit
examiner; la détermination des lieux et des temps, bases de la
géographie et de l'histoire; et, parmi les sciences politiques, où
leurs applications sont si nombreuses, quels indispensables secours ne
prêtent-elles pas surtout à toutes les parties de l'art militaire?

                                                          AMPÈRE.




NOTIONS PRIMITIVES


On trouvera peut-être étrange que la géométrie[2] ne puisse définir
aucune des choses qu'elle a pour principaux objets; car elle ne
définit ni le mouvement, ni le nombre, ni l'espace; et cependant ces
trois choses sont celles qu'elle considère particulièrement... Mais on
n'en sera pas surpris, si l'on remarque que cette admirable science ne
s'attachant qu'aux choses les plus simples, cette même qualité qui les
rend dignes d'être ses objets, les rend incapables d'être définies; de
sorte que le manque de définition est plutôt une perfection qu'un
défaut, parce qu'il ne vient pas de leur obscurité, mais au contraire
de leur extrême évidence...

[Note 2: Le mot est pris ici dans le sens général de
mathématiques; on dit de même géomètre pour mathématicien.]

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Quand elle (la géométrie) est arrivée aux premières vérités
connues, elle s'arrête là et demande qu'on les accorde, n'ayant rien
de plus clair pour les prouver; de sorte que tout ce que la géométrie
propose est parfaitement démontré, ou par la lumière naturelle, ou par
les preuves. De là vient que si cette science ne définit et ne
démontre pas toutes choses, c'est par cette seule raison que cela nous
est impossible.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Se tenir dans ce milieu de ne point définir les choses claires et
entendues de tous les hommes et de définir toutes les autres; et de ne
point prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver
toutes les autres. Contre cet ordre pèchent également ceux qui
entreprennent de tout définir et de tout prouver, et ceux qui
négligent de le faire dans les choses qui ne sont pas évidentes
d'elles-mêmes.

                                                          PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il est des notions premières qu'on est en droit de supposer aux
élèves. Elles serviront à leur donner d'autres connaissances. Nous ne
chercherons pas à les éclaircir elles-mêmes, parce que les
explications n'ont pour but que de ramener ce que l'on ne connaît pas
à ce que l'on connaît et qu'il faut par conséquent admettre _a priori_
certaines notions, certaines idées par leur simple énoncé, ou par la
simple dénomination par laquelle on les a désignées.

                                                         DUHAMEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La figure est inhérente à l'objet, le nombre dépend de l'unité.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

C'est dans la sphère propre de l'esprit, et bien au delà des
résultats de l'observation, non dans ces résultats eux-mêmes, qu'il
faut chercher la véritable source des idées géométriques, quoique leur
point d'application soit plus bas, dans la sphère expérimentale, là où
la matière et l'esprit se joignent et où les idées, prenant corps,
nous deviennent en quelque sorte palpables.

Le monde idéal a son autonomie, ses lois distinctes, comme le monde
physique. Mais ils s'appellent l'un l'autre, l'harmonie règne entre
eux, jusqu'à un haut degré d'approximation qui d'ailleurs nous
échappe.

                                                      BOUSSINESQ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'origine des notions mathématiques a donné lieu à des controverses
encore pendantes parmi les philosophes. Pour les uns, nombres et
figures sont des types créés de toutes pièces par l'esprit, et qui
s'imposent aux choses de l'expérience, en vertu d'une mystérieuse
concordance entre la pensée et la réalité extérieure. Pour les autres,
au contraire, nombres et figures ne font pas exception à cette loi
générale d'après laquelle toute connaissance dériverait, soit
directement, soit indirectement, de l'expérience sensible. Dans un
cas, les notions mathématiques seraient des modèles; dans l'autre,
elles seraient des copies.

Ce n'est pas le lieu d'entrer dans cette controverse et de peser les
raisons invoquées de part et d'autre. Il nous suffira de constater
deux faits: en premier lieu, quelque opinion qu'on professe sur
l'origine des notions mathématiques, on ne contestera pas qu'elles ne
sont pas des représentations absolument exactes des réalités
extérieures. L'unité est divisible en parties rigoureusement égales;
il n'en est pas ainsi d'un objet réel; jamais la moitié, le quart, le
dixième de cet objet ne sera rigoureusement égal à l'autre moitié, à
chacun des trois autres quarts, à chacun des neuf autres dixièmes, et
même plus les subdivisions se multiplieront, plus l'inégalité réelle
des parties augmentera. Le cercle des géomètres a des rayons
absolument égaux; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'un cercle
réel; tous les points d'une surface sphérique sont équidistants du
centre; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'une sphère matérielle.
En second lieu, le mathématicien considère souvent des nombres et des
figures dont il n'a jamais trouvé les modèles dans la réalité. Toute
division d'un objet réel en parties égales a une limite que nos sens
et nos instruments de précision, même les plus perfectionnés, sont
impuissants à franchir; cette limite, la pensée du mathématicien la
franchit aisément, et au delà des plus petites divisions possibles
d'un objet, il conçoit d'autres divisions encore et toujours à
l'infini; de même il est des limites à l'addition des objets; il n'en
est pas à celle des unités mathématiques; la nature a bien vite cessé
de fournir; la numération ne s'arrête jamais. De même en géométrie, si
variées que soient les formes réalisées dans la nature, il en est dont
le géomètre étudie les propriétés, sans les avoir jamais rencontrées
dans le monde extérieur. Qui a vu un polygone régulier d'un millier de
côtés?

Il résulte de ce double fait que, même dans le cas où l'esprit
tirerait de l'expérience les premiers éléments dont il compose les
notions mathématiques, il les élabore, les transforme, et ne tarde
pas à s'affranchir des suggestions expérimentales. Il procède alors
comme s'il les tirait de son propre fonds. Aussi, sans prendre ici
part dans ce conflit de doctrines sur l'origine première des notions
mathématiques, on peut et on doit considérer ces notions comme des
_constructions_ faites par l'esprit suivant des lois qu'il pose,
constructions qui sont en partie, mais en partie seulement et
imparfaitement reproduites par la réalité sensible.

                                                           LIARD.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'étendue n'existe qu'avec trois dimensions; mais, pour la considérer
suivant la méthode analytique, on commence par la dépouiller de deux
de ses dimensions et en la réduisant ainsi à une seule, on a l'idée de
_la ligne_. Si, dans cette idée, on écarte tout rapport avec deux
dimensions, on a l'idée de _la ligne droite_; car, quoiqu'une ligne
courbe n'ait qu'une dimension, cependant l'idée de courbure suppose
nécessairement la considération de deux dimensions. L'extrémité de la
ligne forme le _point_, qui est la dernière abstraction de
l'entendement dans la considération de l'étendue. La _surface_ est
l'étendue envisagée avec deux dimensions et si, dans cette idée, on
fait entièrement abstraction de la troisième, on a l'idée du _plan_.
Enfin l'étendue avec ses trois dimensions forme le _solide_.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'espace étant nécessairement homogène, il suit qu'on peut le
concevoir divisé en deux parties telles qu'on ne puisse rien dire de
l'une qui ne puisse se dire également de l'autre; telles, de plus, que
leur limite commune ait à chacune d'elles les mêmes rapports, soit
qu'on la considère en son entier, soit qu'on n'en considère qu'une
partie. C'est cette limite qu'on appelle _plan_, et le plan, comme
l'espace, peut être conçu divisé en deux parties telles, qu'on ne
puisse rien dire de l'une qui ne puisse se dire également de l'autre;
telles, de plus, que leur limite commune ait à chacune d'elles les
mêmes rapports, soit qu'on la considère en son entier, soit qu'on n'en
considère qu'une partie...

                                             BERTRAND, de Genève.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La série des axiomes géométriques habituellement adoptée est à la fois
insuffisante et surabondante. Elle est insuffisante parce que, en
réalité, on suppose plusieurs faits non énoncés; mais elle est en même
temps surabondante, parce qu'on y admet des faits qui peuvent être
rigoureusement démontrés au moyen de ceux qu'il faut admettre comme
axiomes....

Les axiomes de la géométrie peuvent se réduire à _trois_, savoir:
celui de la distance et de ses propriétés essentielles, celui de
l'augmentation indéfinie de la distance et celui de la parallèle
unique.

                                                        DE TILLY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'étude de la mécanique, succédant à la géométrie, peut être
considérée comme le développement de trois idées fondamentales, qui
existent dans l'esprit humain antérieurement à tout enseignement
scientifique: ce sont les idées de force, de temps et de masse. Ces
idées sont irréductibles et on ne peut pas plus définir la force, le
temps ou la masse qu'on ne peut définir l'étendue.

                                                       CH. SIMON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Quelque objet que les mathématiques considèrent, elles le dépouillent
de toutes ses qualités sensibles, de toutes ses propriétés
individuelles; bientôt il n'est plus qu'un rapport abstrait de nombre
ou de grandeur: on désigne ce rapport par une lettre ou une ligne;
l'objet lui-même est alors oublié, il cesse d'exister pour les
mathématiques. Ces signes, arbitraires en apparence, sont l'unique
objet de leurs méditations; c'est sur eux seuls qu'elles opèrent, et
ce n'est qu'après être parvenu au dernier résultat que revenant sur
leurs premières opérations, elles appliquent ce résultat à l'objet
réel dont elles avaient cessé de s'occuper. Les vérités certaines,
trouvées par cette méthode, paraissent au premier coup d'oeil n'être
que des vérités intellectuelles et abstraites: on a pu les prendre
pour des propositions identiques, en oubliant que les combinaisons
diverses des mêmes éléments ne sont pas une même chose. On serait
encore plus tenté de croire qu'elles n'appartiennent point à la nature
réelle. Mais ce serait une erreur: car elles sont des vérités réelles,
si l'objet auquel vous les avez appliquées existe dans la nature tel
que vous l'avez supposé.

                                                       CONDORCET.




MÉTHODES


1º N'entreprendre de définir aucune des choses tellement connues
d'elles-mêmes, qu'on n'ait point de termes plus clairs pour les
exprimer.

2º N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques, sans
définition.

3º N'employer dans les définitions que des termes parfaitement connus
ou déjà expliqués.

4º N'omettre aucun des principes nécessaires, sans avoir demandé si on
l'accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être.

5º Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes
d'elles-mêmes.

6º N'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement
évidentes d'elles-mêmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les
prouver.

7º Prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'employant à
leur preuve que des axiomes très évidents d'eux-mêmes ou des
propositions déjà démontrées ou accordées.

8º N'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquant de
substituer mentalement les définitions qui les restreignent et les
expliquent.

                                                          PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Lorsque l'on aura à trouver la démonstration d'une proposition
énoncée, on cherchera d'abord si elle peut se déduire comme une
conséquence nécessaire de propositions admises, auquel cas, elle devra
être admise elle-même, et sera par conséquent démontrée. Si l'on
n'aperçoit pas de quelles propositions connues elle pourrait être
déduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourra
l'être, et alors la question sera ramenée à démontrer la vérité de
cette dernière. Si celle-ci peut se déduire de propositions admises,
elle sera reconnue vraie, et par suite la proposée; sinon, on
cherchera de quelle proposition non encore admise elle pourrait être
déduite, et la question serait ramenée à démontrer la vérité de cette
dernière. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à une
proposition reconnue vraie: et alors la vérité de la proposée sera
démontrée.

On voit que cette méthode, que l'on appelle _analyse_, consiste à
établir une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut
démontrer, finissant à une proposition connue et telle qu'en partant
de la première, chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui
la suit; d'où il résulte que la première est une conséquence de la
dernière, et, par conséquent, vraie comme elle.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La _méthode synthétique_ consiste à partir de propositions reconnues
vraies, à en déduire d'autres comme conséquences nécessaires, de
celles-ci de nouvelles, jusqu'à ce qu'on parvienne à la proposée, qui
se trouve alors reconnue elle-même comme vraie. Elle n'est donc qu'une
méthode de déduction. D'où l'on voit que, si l'on connaissait la
démonstration analytique d'un théorème, on en obtiendrait
immédiatement la démonstration synthétique en renversant l'ordre des
propositions.

                                                         DUHAMEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité,
que Platon passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et
qu'il a définie ainsi: _Regarder la chose cherchée, comme si elle
était donnée, et marcher de conséquences en conséquences, jusqu'à ce
que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée._ Au contraire, la
synthèse se définit: _Partir d'une chose donnée, pour arriver, de
conséquences en conséquences, à trouver une chose cherchée._

                                                           VIÈTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On peut remarquer que la méthode analytique qui est une méthode
rigoureuse par _réduction_, en réalité identique à la méthode
synthétique par _déduction_, n'est pas la même que l'analyse des
Anciens, qui était déductive et était une sorte d'expérimentation sur
la vérité à démontrer.

Aujourd'hui nous ne faisons plus de synthèse, parce qu'il est de règle
de ne procéder en analyse que par conclusions immédiatement
réversibles. «Si A est vrai, B est vrai» n'est employé que si l'on
peut dire: «B est vrai, donc A est vrai.» Il est rare que les Anciens
aient été assez assurés de la pratique de leurs procédés pour se
croire dispensés de la contre-épreuve, la synthèse après l'analyse.

                                                      P. TANNERY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Si vous substituez à une proposition ou à une question, une
proposition ou une question plus générale, vous pouvez trouver des
solutions en plus, des solutions étrangères.

Par contre, si la nouvelle proposition ou la nouvelle question est
moins générale, vous pouvez perdre des solutions.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Voici, d'après la _Logique de Port-Royal_, quelques défauts qui se
rencontrent dans la méthode des géomètres:

1º Avoir plus de soin de la certitude que de l'évidence, et de
convaincre l'esprit que de l'éclairer.

2º Démonstration par l'impossible.

3º Démonstrations tirées par des voies trop longues.

4º N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature.

5º Ne point se servir de divisions et de partitions.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il serait à désirer qu'on ne laissât pas autant dans l'oubli certains
résultats des travaux des géomètres des siècles passés, et qu'on
revînt un peu sur les principes presque toujours faciles et souvent
ingénieux à l'aide desquels les grands hommes de ces temps-là y
étaient parvenus; car ce ne sont pas tant les vérités particulières
que les méthodes qu'il ne faut pas laisser périr.

                                                        PONCELET.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Pour bien faire sentir la différence entre les résultats de la méthode
expérimentale et inductive et les résultats de la méthode
mathématique, supposons qu'un malin génie..... se plaise à nous
embrouiller dans nos opérations, à créer ou à annihiler un objet entre
nos doigts, au moment où nous comptons quel nombre d'objets font deux
groupes de cinq objets, à faire varier les angles du triangle que nous
mesurons, ou les angles du rapporteur qui nous sert d'unité de mesure;
nous n'aurons aucun moyen de découvrir la supercherie, nous
enregistrerons ingénument les divers résultats obtenus, et nous
conclurons en toute sécurité de conscience, que les angles d'un
triangle valent tantôt deux droits, tantôt plus, tantôt moins; et que
cinq et cinq font, suivant le cas, dix, douze ou tout autre nombre.

Mais si nous avons une fois _démontré_ rationnellement que cinq et
cinq font dix, que les angles d'un triangle valent deux angles droits,
alors, quand même un malin génie, intervenant lorsque nous voulons
vérifier expérimentalement ces vérités, brouillerait nos comptes et
nos mesures, nous n'en maintiendrions pas moins la vérité absolue de
notre démonstration faite dans l'abstrait, et nous en conclurions
seulement que, pour des raisons à nous inconnues, ces vérités se
trouvent modifiées dans le concret par l'association, dans les objets
réels, de propriétés de divers genres aux propriétés mathématiques.

                                                          RABIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les questions aisées doivent être traitées par des moyens également
faciles; il faut réserver l'analyse savante pour les questions qui
exigent les grands moyens et il ne faut pas ressembler à ce personnage
de la Fable, qui, pour se délivrer d'une puce, voulait emprunter à
Jupiter sa foudre ou à Hercule sa massue.

                                                        DELAMBRE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

C'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches
mathématiques: ces quantités auxiliaires, ces calculs longs et
difficiles où l'on se trouve entraîné, y sont presque toujours la
preuve que notre esprit n'a point, dès le commencement, considéré les
choses en elles-mêmes et d'une vue assez directe, puisqu'il nous faut
tant d'artifices et de détours pour y arriver; tandis que tout
s'abrège et se simplifie, sitôt que l'on se place au vrai point de
vue.

                                                         POINSOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les définitions géométriques ne précèdent jamais l'apparition des
figures qu'il s'agit d'étudier; elles les suivent, au contraire, et
les fixent. Ce n'est qu'après avoir démontré qu'une figure est
_possible_ et _unique_, qu'il est permis de résumer par un mot, le
résultat de cette démonstration, et de regarder conventionnellement ce
mot comme l'équivalent ou comme la définition de la figure.

                                                    J. F. BONNEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il semble que dans l'état actuel des sciences mathématiques, le seul
moyen d'empêcher que leur domaine devienne trop vaste pour notre
intelligence, c'est de généraliser de plus en plus les théories que
ces sciences embrassent, afin qu'un petit nombre de vérités générales
et fécondes soit, dans la tête des hommes, l'expression abrégée de la
plus grande variété de faits particuliers.

                                                   CHARLES DUPIN.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'étendue et les progrès de la géométrie sont tels que, plutôt que de
se refuser à toute étude des nouvelles méthodes, il faudra peut-être
avant peu tenir compte seulement des méthodes générales, afin d'avoir
en sa possession un plus grand nombre de moyens pour arriver à la
connaissance des vérités dont on a besoin. Il est effectivement
impossible désormais d'avoir présentes à l'esprit toutes les vérités
qui sont découvertes.

                                                      BELLAVITIS.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme
déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent
nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues
qu'aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces
lignes connues et inconnues..... on cherche à exprimer une même
quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation..... On doit
trouver autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui
étaient inconnues.

                                                       DESCARTES.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Certaines parties d'une figure, considérées dans un état général de
construction, peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires. Or
il arrive souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de la
réalité, à la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration
n'a plus lieu quand ces mêmes parties deviennent imaginaires. Alors on
dit qu'en vertu du _principe de continuité_ le théorème démontré dans
le premier cas s'étend au second, et on l'énonce d'une manière
générale. Quelquefois le contraire a lieu, et c'est quand certaines
parties d'une figure sont imaginaires, que l'on y trouve les éléments
d'une démonstration facile, dont on applique les conséquences, en
vertu du _principe de continuité_, au cas où ces mêmes parties sont
réelles et où la démonstration n'existe plus.

                                                         CHASLES.

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Un jour qu'il présidait un concours d'agrégation, Poisson, oubliant un
instant le candidat qu'il avait à juger, prit la parole et développa
ceci: qu'il y a en géométrie quatre méthodes: méthode de
superposition; méthode de réduction à l'absurde; méthode des limites;
méthode infinitésimale. La superposition, disait-il, n'est applicable
que dans très peu de cas; la réduction à l'absurde suppose la vérité
connue, et prouve alors qu'il ne peut pas en être autrement, mais sans
montrer pourquoi. La méthode des limites, plus généralement applicable
que les deux autres, suppose la vérité connue, et ce n'est, par
conséquent, pas davantage une méthode d'investigation; ce sont trois
méthodes de démonstration applicables chacune, dans certains cas, aux
vérités déjà connues. Au contraire, la méthode des _infiniment petits_
se trouve être à la fois une méthode, générale et toujours applicable,
et de démonstration et d'investigation.

                                                          GRATRY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On peut établir dans les Mathématiques une autre classification,
fondée non plus sur l'objet de la science, mais sur ses méthodes. À ce
nouveau point de vue, nous aurions à distinguer deux sortes d'Analyse:

1º Celle des quantités discontinues;

2º Celle des quantités continues.

Dans la première, on cherche les relations qui existent entre
certaines quantités fixes données _a priori_. Cette méthode est
employée dans les parties élémentaires des Mathématiques, et plus
spécialement en Arithmétique et au début de la Géométrie, sauf pour un
petit nombre de théorèmes fondamentaux, dont la démonstration exige la
notion des quantités incommensurables.

Dans l'Analyse des quantités continues, on considère au contraire les
éléments de la question proposée comme susceptibles de varier par
degrés insensibles et l'on cherche à déterminer les lois qui régissent
leurs variations simultanées.

Cette méthode dont Euclide et Archimède avaient donné autrefois de
remarquables exemples, était tombée en oubli pendant plusieurs
siècles, lorsque la mémorable découverte de Descartes sur
l'application de l'Algèbre à la théorie des courbes obligea les
géomètres à y revenir, pour résoudre les deux questions qui
s'imposaient à eux, le problème des tangentes et celui des
quadratures.

                                                          JORDAN.




GÉOMÉTRIE ET ANALYSE


On a dit que la géométrie était l'art _de raisonner juste sur des
figures fausses_. Une figure grossière n'est tracée que pour soutenir
l'attention et on raisonne en réalité sur la figure idéale et
parfaite.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Celui-là est indigne du nom d'homme, a dit Platon, qui ignore que la
diagonale du carré est incommensurable avec son côté.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite, la géométrie n'est qu'une
algèbre figurée.

                                                  SOPHIE GERMAIN.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'Algèbre emploie des signes abstraits, elle représente les grandeurs
absolues par des caractères qui n'ont aucune valeur par eux-mêmes, et
qui laissent à ces grandeurs toute l'indétermination possible; par
suite elle opère et raisonne forcément sur les signes de
non-existence comme sur des quantités toujours absolues, toujours
réelles: _a_ et _b_ par exemple, représentant deux quantités
quelconques, il est impossible, dans le cours des calculs, de se
rappeler et de reconnaître quel est l'ordre de leurs grandeurs
numériques; l'on est, malgré soi, entraîné à raisonner sur les
expressions _a-b_, _[[V¯]a-b]_, etc., comme si c'étaient des
quantités toujours absolues et réelles. Le résultat doit donc lui-même
participer de cette généralité, et s'étendre à tous les cas possibles,
à toutes les valeurs des lettres qui y entrent; de là aussi ces formes
extraordinaires, ces êtres de raison, qui semblent l'apanage exclusif
de l'Algèbre.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dans la Géométrie ordinaire, qu'on nomme souvent la _synthèse_, les
principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus sévère;
la figure est décrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on
raisonne sur des grandeurs, des formes réelles et existantes, et
jamais on ne tire de conséquences qui ne puissent se peindre, à
l'imagination ou à la vue, par des objets sensibles; on s'arrête dès
que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue, une
existence physique. La rigueur est même poussée jusqu'au point de ne
pas admettre les conséquences d'un raisonnement établi dans une
certaine disposition générale des objets d'une figure, pour une autre
disposition également générale de ces objets, et qui aurait toute
l'analogie possible avec la première; en un mot, dans cette Géométrie
restreinte, on est forcé de reprendre toutes la série des
raisonnements primitifs, dès l'instant où une ligne, un point ont
passé de la droite à la gauche d'un autre, etc.

                                                        PONCELET.

                       ¤---¤---¤

Le célèbre auteur du _Traité des propriétés projectives des figures_
montre ensuite comment les modernes se sont efforcés de donner à la
Géométrie la généralité de l'Algèbre.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'exactitude de toute relation entre des grandeurs concrètes
quelconques est indépendante de la valeur des _unités_ auxquelles on
les rapporte pour les exprimer en nombres. Par exemple, la relation
qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle a lieu, soit
qu'on les évalue en mètres, ou en lignes, ou en pouces, etc.

Il suit de cette considération générale, que toute opération qui
exprime la loi analytique d'un phénomène quelconque doit jouir de
cette propriété de n'être nullement altérée, quand on fait subir
simultanément à toutes les quantités qui s'y trouvent le changement
qu'éprouveraient leurs unités respectives. Or, ce changement consiste
évidemment en ce que toutes les quantités de même espèce deviendraient
à la fois _m_ fois plus petites, si l'unité qui leur correspond
devenait _m_ fois plus grande, ou réciproquement. Ainsi, toute
équation qui représente une relation concrète quelconque, doit offrir
ce caractère de demeurer la même quand on y rend _m_ fois plus grandes
toutes les quantités qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs
entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les
nombres qui désignent les _rapports_ mutuels de ces grandeurs,
lesquels restent invariables dans le changement des unités. C'est dans
cette propriété que consiste la _loi de l'homogénéité_, suivant son
acception la plus étendue..

                                                   AUGUSTE COMTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

C'est une simplification intéressante que de résoudre par le second
livre de Géométrie un problème, placé ordinairement dans le troisième.
Citons, par exemple, la circonférence, passant par deux points et
tangente à une droite. Nous voyons ainsi que l'ordre logique des
propositions n'est pas aussi fixé qu'on l'admet généralement.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'Algèbre plane pour ainsi dire également sur l'Arithmétique et sur la
Géométrie: son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des
quantités cherchées, mais le système d'opérations à faire sur les
quantités données pour en déduire les valeurs des quantités que l'on
cherche. Le tableau de ces opérations, représentées par les caractères
algébriques, est ce que l'on nomme en Algèbre une _formule_.

                                                        LAGRANGE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

«L'Algèbre est généreuse, a dit d'Alembert, elle donne souvent plus
qu'on ne lui demande.» On interprète alors les solutions dites
étrangères et qui sont celles du problème élargi, généralisé. Le
calcul ne tient nul compte de nos restrictions.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les extensions successives que l'on fait subir aux opérations et aux
définitions mathématiques doivent être soumises au principe de la
_permanence des règles de calcul_.

                                                          HANKEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les _formules_ sont un secours admirable pour l'esprit, elles le
dispensent de toute attention pénible, il n'a qu'à les suivre: elles
ne le dirigent pas seulement, elles le portent. Il n'a besoin que de
l'attention nécessaire pour ne pas manquer à la formule et à ses
règles et cette attention est presque matérielle: elle est des yeux
plutôt que de l'esprit. Les formules, en un mot, sont des espèces de
machines avec lesquelles on opère presque machinalement.

                                                       CONDORCET.

                       ¤---¤---¤

Il faut pouvoir, au besoin, raisonner directement chaque cas
particulier.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On dit que l'_analyse_ mathématique est un instrument. Cette
comparaison peut être admise, pourvu qu'on admette que cet instrument,
comme le Protée de la fable, doit sans cesse changer de forme.

                                                           ARAGO.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'emploi du calcul est comparable à celui d'un instrument dont on
connaît exactement la précision.

                                                      J. FOURIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dans les opérations on peut distinguer le signe indiquant l'opération,
le nombre, c'est-à-dire le sujet sur lequel on opère, et le résultat
obtenu. On peut faire abstraction des deux dernières choses, qui
paraissent pourtant les plus importantes, et ne raisonner que sur les
_signes indicateurs_. On a alors des théorèmes, de nature
philosophique, qui constituent le _calcul des opérations_.

Exemple: _[[mV¯][nV¯]] = [[nV¯][mV¯]] = [mnV¯]_

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les formules d'algèbre, dans leur étroite enceinte, contiennent toute
la courbe dont elles sont la loi.

                                                           TAINE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'Algèbre est une langue bien faite, et c'est la seule. L'analogie,
qui n'échappe jamais, conduit insensiblement d'expression en
expression... La simplicité du style en fait toute l'élégance.

                                                       CONDILLAC.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Parmi les mathématiciens, les uns ont une prédilection exclusive pour
les symboles les plus généraux et les plus abstraits et ils évitent
les interprétations géométriques, comme imparfaites et limitées; les
autres, au contraire, ne jugent claires, que celles des conceptions
analytiques qui sont susceptibles d'une traduction concrète. Il faut
avouer que ces derniers se font une idée bien étroite de la science de
l'ordre.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'algèbre est la plus générale des sciences mathématiques, puisqu'elle
étudie non pas _telle ou telle_ quantité, mais _la_ quantité.

La géométrie n'est qu'une science mathématique particulière, puisque
son objet, l'étendue, n'est qu'une sorte de quantité.

L'algèbre est à la fois un art et une science: une science parce
qu'elle se compose d'un ensemble de vérités; et un art, parce qu'elle
fournit un grand nombre de règles infaillibles pour résoudre un grand
nombre de difficultés.

Arrivé à ce point, Descartes fut naturellement amené à penser que
toute question de géométrie pouvait se ramener à une question
d'algèbre, et il conjectura justement qu'à cause du caractère
méthodique de l'algèbre une telle substitution serait toujours ou du
moins presque toujours avantageuse. Telles furent les vues à la fois
très élevées et très simples qui firent concevoir à Descartes le
dessein d'appliquer l'algèbre à la géométrie.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les sciences mathématiques ne furent plus un assemblage de
spéculations isolées; elles formèrent un corps dans lequel les parties
furent dans une dépendance mutuelle et facile à saisir.

                                               T. V. CHARPENTIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

En géométrie, comme en algèbre, la plupart des idées différentes ne
sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus fécondes
sont pour nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine
avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul.

                       ¤---¤---¤

Le calcul n'est qu'un instrument qui ne produit rien par lui-même, et
qui ne rend en quelque sorte que les idées qu'on lui confie. Si nous
n'avons que des idées imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la
question que d'un point de vue borné, ni l'analyse, ni le calcul ne
lui apporteront plus de lumière, et ne donneront à nos résultats plus
de justesse ou plus d'étendue: au contraire, on peut dire que cet art
de réaliser en quelque sorte par le calcul de vagues conceptions n'est
propre qu'à rendre l'erreur plus durable, en lui donnant pour ainsi
dire une consistance.

                       ¤---¤---¤

Sitôt qu'un auteur ingénieux a su parvenir directement et simplement à
quelque vérité nouvelle, n'est-il pas à craindre que le calculateur le
plus stérile ne s'empresse d'aller la chercher dans ses formules comme
pour la découvrir une seconde fois et à sa manière, qu'il dit être la
bonne et la véritable; de sorte qu'on ne s'en croit plus redevable
qu'à son analyse, et que l'auteur lui-même, quelquefois peu exercé à
ce langage et à ce symbole, sous lesquels on lui dérobe ses idées, ose
à peine réclamer ce qui lui appartient et se retire presque confus,
comme s'il avait mal inventé ce qu'il a si bien découvert.

                                                         POINSOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les ressources puissantes que la Géométrie a acquises depuis une
trentaine d'années sont comparables, sous plusieurs rapports, aux
méthodes analytiques, avec lesquelles cette science peut rivaliser
désormais, sans désavantage, dans un ordre très étendu de questions...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation
inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui
se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre
admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est
sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle sur
tous les points, la méthode géométrique. Mais, convaincu qu'on ne
saurait avoir trop de moyens d'investigation dans la recherche des
vérités mathématiques, qui toutes peuvent devenir également faciles et
intuitives quand on a trouvé et suivi la voie étroite qui leur est
propre et naturelle, nous avons pensé qu'il ne pouvait être qu'utile
de montrer... que les doctrines de la pure Géométrie offrent souvent,
et dans une foule de questions, cette voie simple et nouvelle qui,
pénétrant jusqu'à l'origine des vérités, met à nu la chaîne
mystérieuse qui les unit entre elles et les fait connaître
individuellement de la manière la plus lumineuse et la plus complète.

                       ¤---¤---¤

Cette troisième branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce
que nous appelons la _Géométrie récente_, est exempte de calculs
algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations
numériques des figures que de leurs relations de situation; mais elle
ne considère que des rapports de distance rectiligne, d'un certain
genre, qui n'exigent ni les symboles, ni les opérations de l'Algèbre.
Cette Géométrie est la continuation de l'_Analyse géométrique_ des
Anciens, sur laquelle elle offre d'immenses avantages par la
généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses méthodes.

                       ¤---¤---¤

La méthode par le calcul a le merveilleux privilège de négliger les
propositions intermédiaires dont la méthode géométrique a toujours
besoin, et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet
avantage si beau et si précieux de l'Analyse a son côté faible, comme
toutes les conceptions humaines: c'est que cette marche pénétrante et
rapide n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse
ignorer les vérités intermédiaires qui rattachent le point de départ à
la vérité trouvée, et qui doivent former avec l'un et l'autre, un
ensemble complet et une véritable théorie. Car, est-ce assez dans
l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir qu'une
chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et
quelle place elle occupe dans l'ordre des vérités auquel elle
appartient?

                                                         CHASLES.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il est certain que l'analyse de situation est une chose qui manque à
l'algèbre ordinaire: c'est ce défaut qui fait qu'un problème paraît
souvent avoir plus de solutions qu'il n'en doit avoir dans les
circonstances où on le considère. Il est vrai que cette abondance de
l'algèbre, qui donne ce qu'on ne lui demande pas, est admirable à
plusieurs égards; mais aussi elle fait souvent qu'un problème qui n'a
réellement qu'une solution, en prenant son énoncé à la rigueur, se
trouve renfermé dans une équation de plusieurs dimensions et, par là,
ne peut en quelque manière être résolu. Il serait fort à souhaiter que
l'on trouvât moyen de faire entrer la situation dans le calcul des
problèmes.

                                                      D'ALEMBERT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La géométrie et l'algèbre ont entre elles des relations nécessaires
sur lesquelles il importe d'être fixé.

Faut-il ériger en principe les vues de Pythagore sur les nombres, puis
essayer d'y rattacher les vues géométriques?

Faut-il, au contraire, suivre la voie tracée par Descartes et déduire
les éléments de l'algèbre des premières données de la géométrie pure?

De ces deux méthodes, la seconde semble être la plus rationnelle.

En effet, si peu qu'elle interroge l'expérience, la Géométrie n'en est
pas moins une science d'observation. Elle considère les corps, leurs
parois, leurs arêtes afin d'en abstraire les solides, les surfaces et
les lignes; puis elle commence par étudier ces figures et finit par
les mesurer pour en faciliter la comparaison. Descartes est donc
autorisé par là même à fonder l'Algèbre sur la considération des
droites et des opérations qu'elles comportent. Mais, ce qui fait
surtout le mérite de sa méthode, c'est qu'elle se guide uniquement
sur les allures de la grandeur continue pour en conclure toutes les
propriétés du nombre et les lois qui le régissent; tandis qu'en
suivant la loi contraire, on est bien vite réduit à ne raisonner que
sur de purs symboles.

                                                         MOUCHOT.




LES NOMBRES, LES SYMBOLES

ET LES FONCTIONS


L'apparition d'un nombre suppose l'existence d'une grandeur
mathématique soumise à une opération simple qu'on nomme sa mesure.
S'il n'y avait pas de grandeurs mathématiques, il n'y aurait pas de
nombres, tandis que les grandeurs mathématiques existent, même pour
celui qui n'a pas l'idée de nombre. L'emploi des nombres tire
principalement son utilité de ce que ceux-ci ne conservent pas la
trace des grandeurs qui leur ont donné naissance; d'où il résulte que
les combinaisons qu'on peut en faire, et les conséquences qu'on tire
de leurs combinaisons, ont un certain degré de généralité, qui permet
de les appliquer à toutes les espèces de grandeurs et que ne sauraient
avoir les opérations effectuées directement sur les grandeurs mêmes.

                                                    J. F. BONNEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Aucun nombre entier élevé au carré ne donne 2, et l'on démontre
qu'aucun nombre fractionnaire ne le donne non plus.

Nous résignerons-nous à conclure que 2 n'a pas de racine carrée?

Si nous nous bornons à dire que [[V¯]2] est _incommensurable_,
nous n'en donnerons pas une définition.

Dirons-nous que [[V¯]2] est le nombre qui multiplié par lui-même
produit 2? Ce serait faire un cercle vicieux, puisque pour comprendre
la multiplication par [[V¯]2], il faut avoir préalablement défini
[[V¯]2].

Nous définissons d'abord la racine carrée de 2 à un dixième près, le
plus grand nombre de dixièmes dont le carré est contenu dans 2; nous
définissons ensuite de même la racine carrée de 2 à un centième, à un
millième près, etc.

La racine carrée de 2 est maintenant pour nous la _limite_ de ses
racines carrées à un dixième, à un centième près, etc.

Voici la définition rigoureuse: «La racine carrée d'un nombre est la
limite des nombres dont les carrés ont pour limite le nombre proposé.»

On prouve, bien entendu, que la limite existe et qu'elle est unique.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Cournot a rapproché l'extension de l'idée de multiplication aux
fractions et l'extension des règles de calcul aux nombres négatifs.
Ces deux généralisations permettent de rendre les relations entre les
grandeurs, indépendantes de l'unité et du zéro-origine choisis.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les nombres incommensurables donnent déjà de la généralité à
l'arithmétique. Le vrai passage à l'algèbre se fait lorsqu'apparaissent
les nombres négatifs, permettant de généraliser davantage les règles et
les formules. Viennent ensuite les imaginaires et les autres symboles
qui étendent de plus en plus la généralisation.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les signes + et - modifient la quantité devant laquelle ils sont placés,
comme l'adjectif modifie le substantif.

                                                          CAUCHY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il convient de considérer le signe-précédant un coefficient comme
soudé au coefficient.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le signe-s'explique en géométrie en rétrogradant et les solutions
par-reculent là où les solutions par + avançaient.

                                             ALBERT GIRARD, 1629.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

À l'inverse des autres sciences, l'algèbre a une manière toute
spéciale et bien caractéristique de traiter les impossibilités; si tel
problème d'algèbre est impossible, si telle équation est insoluble,
l'algèbre, au lieu de s'arrêter là pour passer à une autre question,
accorde droit de cité à ces solutions impossibles et en enrichit son
domaine au lieu de les exclure.

Le moyen qu'elle emploie est le _symbole_.

Dès les équations du premier degré à une inconnue, au lieu de diviser
les équations en deux classes, suivant les valeurs des lettres
qu'elles renferment, celles qui admettent une solution et celles qui
n'en admettent pas, l'algèbre dit que toute équation du premier degré
admet une solution, cette solution pouvant être négative ou infinie et
étant, dans ce dernier cas, _symbolique_.

Dans un grand nombre d'équations du second degré, il semblerait qu'on
doit être arrêté net, l'impossibilité se manifestant d'une manière
pour ainsi dire absolue; l'algèbre admet pourtant ces solutions comme
elle a déjà fait pour le premier degré, et, toujours à l'aide de
symboles, elle donne droit de cité aux incommensurables et aux
imaginaires.

                                                       DE CAMPOU.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Convenons de représenter à l'aide du symbole

  (1)    _ai + bj + c = a'i + b'j + c'_

la triple égalité

         _a = a',   b = b',   c = c',_

sans attacher aux lettres _i_, _j_ d'autre sens que celui de
séparation. Les signes _i_, _j_, qui pourraient être en plus grand
nombre, ont reçu de Cauchy le nom de _clefs_. Les formules telles que
(1) portent le nom d'_égalités symboliques_, et l'on dit, pour abréger
le langage, que _a_ et _a'_ sont les coefficients de _i_ et que _b_ et
_b'_ sont les coefficients de _j_. L'ensemble des quantités qui
forment le premier membre de la formule (1) s'appelle une _quantité
imaginaire_.

Ainsi, pour nous, une quantité imaginaire se compose de l'ensemble de
plusieurs nombres qui, dans un calcul ultérieur, doivent être
respectivement égalés à des nombres donnés.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les clefs tendent à s'introduire tous les jours davantage dans
l'analyse; leur emploi donne beaucoup d'élégance et de simplicité au
calcul.

De toutes les clefs, celle qui a été le mieux étudiée, celle qui est
le plus anciennement connue, est celle que l'on est convenu de
représenter par le symbole [[V¯]-1].

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hamilton est le créateur d'un système d'imaginaires auxquelles il a
donné le nom de _quaternions_; ces imaginaires contiennent trois
clefs; elles sont par conséquent de la forme

  _ai + bj + ck + d._

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Autrefois, les quantités imaginaires avaient en elles quelque chose de
fantastique: elles ne représentaient rien, elles servaient
d'instrument dans les recherches; mais à la suite d'une découverte due
à l'emploi des imaginaires, les géomètres amis de la rigueur
réclamaient une confirmation du résultat obtenu, par d'autres voies:
c'est ce qui a valu leur nom à ce genre de quantités.

                                                      H. LAURENT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Je montre au début ce qui constitue vraiment la ligne de séparation de
l'arithmétique et de l'algèbre.

Tant que les grandeurs ne sont considérées que dans leurs _modules_,
c'est-à-dire dans leurs rapports abstraits avec l'unité choisie, on
fait de l'arithmétique ou de l'arithmologie. On établit les règles de
calcul sur les modules ou sur les nombres; on étudie les propriétés
diverses des nombres entiers auxquels tous les autres se ramènent.

Quand, à la considération du module, on joint celle de la direction et
que l'on représente les grandeurs directives par un symbole complexe
qui donne à la fois le module et l'_argument_, c'est-à-dire un signe
marquant nettement le sens de la grandeur, on fait de l'algèbre.

Les grandeurs directives que l'on étudie dans les diverses branches
des sciences peuvent être classées en plusieurs groupes:

1º Les unes, et c'est le plus grand nombre, ne sont susceptibles que
de deux sens opposés l'un à l'autre... On pourrait les désigner sous
le nom de grandeurs _diodes_...

2º D'autres grandeurs, qu'on pourrait nommer _polyodes_, peuvent avoir
toute direction, soit sur un plan, soit dans l'espace...

... On les représente par des droites de longueurs déterminées suivant
leurs modules, portées dans certaines directions, à partir d'un
point-origine.

Il faut distinguer particulièrement les grandeurs _polyodes planes_...
Ces grandeurs polyodes planes comprennent évidemment les grandeurs
diodes, comme cas particulier.

3º Les grandeurs absolues, dans l'étude desquelles l'idée de direction
n'intervient pas, peuvent aussi être regardées comme un cas
particulier des grandeurs polyodes planes, car on peut toujours
représenter leur module par la longueur d'une droite et porter ce
module dans une même direction, sur un axe indéfini, à partir d'une
origine fixe. Les grandeurs absolues ainsi représentées pourraient
être appelées _monodes_.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'algèbre, comme nous l'entendons, a pour but de donner les règles de
calcul des grandeurs polyodes planes...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les considérations un peu nouvelles que j'ai développées... renferment
implicitement les règles du calcul des _équipollences_ de M.
Bellavitis.

Les idées philosophiques qui m'ont guidé... me conduisaient
naturellement à la considération des symboles propres à représenter
les grandeurs polyodes de l'espace, c'est-à-dire aux _quaternions_
d'Hamilton.

                                                      J. BOURGET.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Ce n'est plus l'algèbre qui est responsable de cette manifestation de
résultats impossibles, c'est nous-mêmes qui y donnons lieu par
l'introduction de certaines contradictions dans nos demandes. Cette
circonstance dans laquelle l'esprit du calculateur intervient comme
partie au débat, nous paraît mériter une attention toute
particulière. Il est intéressant d'étudier comment, dans ce cas, la
réaction de l'algèbre cherche à se mettre en équilibre avec l'action
égarée de notre intelligence; comment elle se maintient dans le vrai
alors que nous voudrions l'entraîner dans le faux, comment du moins
elle refuse de nous suivre dans cette voie, et par quels moyens,
toujours logique et toujours utile, tout en nous disant que nous
l'avons frappée d'impuissance, elle nous indique en quoi consiste
l'erreur que nous n'avions pas même soupçonnée.

                                                          VALLÈS.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les difficultés relatives à plusieurs symboles singuliers auxquels
conduisent les calculs algébriques et notamment aux expressions dites
_imaginaires_, ont été, ce me semble, beaucoup exagérées par suite des
considérations purement métaphysiques qu'on s'est efforcé d'y
introduire, au lieu d'envisager ces résultats anormaux sous leur vrai
point de vue, comme de simples faits analytiques. En les considérant
ainsi, il est aisé de reconnaître, en thèse générale, que l'esprit de
l'analyse mathématique consistant à considérer les grandeurs sous le
seul point de vue de leurs relations, et indépendamment de toute idée
de valeur déterminée, il en résulte nécessairement pour les analystes,
l'obligation constante d'admettre indifféremment toutes les sortes
d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons
algébriques. S'ils voulaient s'en interdire une seule à raison de sa
singularité apparente, comme elle est toujours susceptible de se
présenter d'après certaines suppositions particulières sur les
valeurs des quantités considérées, ils seraient contraints d'altérer
la généralité de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans
chaque raisonnement, une suite de distinctions vraiment étrangères,
ils feraient perdre à l'analyse mathématique son principal avantage
caractéristique, la simplicité et l'uniformité des idées qu'elle
combine.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Relativement aux quantités _négatives_ qui ont donné lieu à tant de
discussions déplacées... il faut distinguer, en considérant toujours
le simple fait analytique, entre leur signification abstraite et leur
interprétation concrète qu'on a presque toujours confondues jusqu'à
présent. Sous le premier rapport, la théorie des quantités négatives
peut être établie d'une manière complète par une seule vue algébrique.
Quant à la nécessité d'admettre ce genre de résultats, concurremment
avec tout autre, elle dérive de la considération générale que je viens
de présenter: et quant à leur emploi comme artifice analytique pour
rendre les formules plus étendues, ce mécanisme de calcul ne peut
réellement donner lieu à aucune difficulté sérieuse. Ainsi, on peut
envisager la théorie abstraite des quantités négatives comme ne
laissant rien d'essentiel à désirer, mais il n'en est nullement de
même pour leur théorie concrète.

                                                      AUG. COMTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Partons de l'échelle des nombres entiers; entre deux échelons
consécutifs intercalons un ou plusieurs échelons intermédiaires, puis
entre ces échelons nouveaux d'autres encore et ainsi de suite
indéfiniment. Nous aurons ainsi un nombre illimité de termes, ce
seront les nombres que l'on appelle fractionnaires, rationnels ou
commensurables. Mais ce n'est pas assez encore; entre ces termes qui
sont pourtant déjà en nombre infini, il faut encore en intercaler
d'autres, que l'on appelle irrationnels ou incommensurables.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On dira peut-être que les mathématiciens qui se contentent de cette
définition (du continu mathématique) sont dupes de mots, qu'il
faudrait dire d'une façon précise ce que sont chacun de ces échelons
intermédiaires, expliquer comment il faut les intercaler et démontrer
qu'il est possible de le faire. Mais ce serait à tort; la seule
propriété de ces échelons qui intervienne dans leurs raisonnements,
c'est celle de se trouver avant ou après tels échelons...

                                                     H. POINCARÉ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dans une même question, on a souvent à considérer deux sortes de
grandeurs, les constantes et les variables. Une _constante_ possède
une valeur fixe et déterminée; une _variable_ peut recevoir
successivement diverses valeurs.

Une quantité est dite _fonction_ d'une autre quantité, lorsqu'elle
varie avec elle et qu'elle acquiert une ou plusieurs valeurs
déterminées pour chaque valeur attribuée à _la variable_.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La science, en tant qu'elle n'envisage que les éléments isolés de
l'objet, peut être nommée _statique_; en tant qu'elle compare les
éléments et cherche comment les variations des uns déterminent les
variations des autres, elle est _dynamique_, car elle représente alors
le mouvement même des choses et les suit dans leur développement.
Cette distinction fondamentale permet de classer les connaissances
humaines en deux catégories bien nettes et en montre aussi le point de
contact: le _nombre_, ou rapport invariable, la _fonction_, ou rapport
variable, résument en deux mots les deux faces de la science.

                                                          LAUGEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On étudie, en mathématiques, une fonction pour elle-même. Peut-être
plus tard un phénomène mieux connu s'exprimera par cette fonction.
Béranger a dit:

  Combien de temps une pensée,
  Vierge obscure, attend son époux!

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les nombres imitent l'espace, qui est de nature si différente.

                                                          PASCAL.




LA LIMITE, L'INFINIMENT GRAND

ET L'INFINIMENT PETIT


On appelle _limite_ d'une grandeur variable, une grandeur fixe dont la
grandeur variable se rapproche indéfiniment, de façon à pouvoir en
différer aussi peu qu'on voudra, mais sans jamais l'atteindre.

On appelle _infiniment petit_ une quantité variable qui a pour limite
zéro.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de même et les
infinis ou infiniment petits ne signifient que des grandeurs qu'on
peut prendre aussi grandes ou aussi petites que l'on voudra.....

..... On entend par infiniment petit l'état de l'évanouissement ou du
commencement d'une grandeur, conçue à l'imitation des grandeurs déjà
formées.

                                                         LEIBNIZ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire un mystère en
Mathématiques, se réduit à ceci: Après chaque nombre entier, il y en a
un autre.

                                                      J. TANNERY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

C'est l'élan de l'esprit au-delà de ce que montre l'observation,
au-delà même de tout ce qu'elle est capable de donner, qui seul a pu
nous faire connaître la série des nombres entiers, celle des grandeurs
continues, et nous conduire par là aux idées d'infiniment petit, de
point, de ligne, de surface, limites de quantités indéfiniment
décroissantes ou d'étendues dont certaines dimensions diminuent
jusqu'à zéro. Ces notions se présentent donc à nous comme des
créations de l'intelligence dans sa recherche de la simplicité et de
la perfection absolue pour ce qui concerne les grandeurs, comme des
données que la vue des choses n'implique pas logiquement, c'est-à-dire
déductivement, mais qu'elle suggère à notre faculté d'intuition
idéale, ou, si l'on veut, à notre pouvoir de généralisation.
L'infiniment petit, notamment, n'est pas le zéro pur, le zéro
considéré isolément, mais bien le zéro en tant que limite des
décroissements d'une grandeur, ou en tant que point de départ d'une
quantité qui naît et augmente.

                                                      BOUSSINESQ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La continuité d'une grandeur est une propriété purement idéale, en ce
sens qu'il n'y a pas dans la nature de grandeur qui soit
matériellement continue. Cette continuité n'existe que dans
l'imagination du géomètre.

                                                    J.-F. BONNEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On est conduit à l'idée des infiniment petits, lorsqu'on considère
les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de
continuité. Ainsi le temps croît par degrés moindres qu'aucun
intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les
espaces parcourus par les différents points d'un corps croissent aussi
par des infiniment petits, car chaque point ne peut aller d'une
position à une autre sans traverser toutes les positions
intermédiaires; et l'on ne saurait assigner aucune distance, aussi
petite que l'on voudra, entre deux positions successives. Les
infiniment petits ont une existence réelle; ils ne sont pas seulement
un moyen d'investigation imaginé par les géomètres.

                                                         POISSON.

                       ¤---¤---¤

Opinion isolée et inexacte. La continuité d'une grandeur est une
fiction de l'esprit; il n'y a pas dans la nature, de grandeur
rigoureusement continue.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le cercle n'est que le composé d'une infinité de triangles dont le
sommet est au centre et dont les bases forment la circonférence; le
cône est composé d'une infinité de pyramides, appuyées sur des
triangles infiniment petits de la base circulaire et ayant leur sommet
commun avec celui du cône, tandis que le cylindre de même base et de
même hauteur est formé d'un pareil nombre de petits prismes appuyés
sur les mêmes bases et ayant même hauteur qu'elles.

                                                          KEPLER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les quantités sont appelées _infinitésimales_ non point parce qu'on
les regarde comme très petites, ce qui est fort indifférent, mais
parce qu'on peut les considérer comme aussi petites que l'on voudra,
sans qu'on soit obligé de rien changer à la valeur des quantités,
telles que les paramètres, les coordonnées, normales, sous-tangentes,
rayons de courbure, etc., dont on cherche la relation. Il suit de là
que toute quantité dite _infiniment petite_ peut se négliger dans le
courant du calcul, vis-à-vis de ces mêmes quantités dont on cherche la
relation, sans que le résultat du calcul puisse en aucune manière s'en
trouver affecté.

                                                     LAZ. CARNOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nous avons distingué les différentes manières dont les grandeurs à
mesurer, ou celles auxquelles on les ramène, pouvaient être
considérées comme limites de variables d'une espèce plus simple, et
nous avons dit qu'elles pouvaient en général se réduire à trois. La
première, employée dans quelques cas par Euclide et Archimède,
consiste à regarder les grandeurs comme limites de séries; la
deuxième, due à Archimède, comme limites de sommes de quantités
infiniment petites; la troisième, comme limites de rapports
d'infiniment petits. Les deux premières se sont présentées à propos de
la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphère,
des volumes des corps engendrés par la révolution de sections
coniques, etc. La troisième, due aux modernes, s'est présentée à
l'occasion du problème des tangentes, et s'applique à beaucoup
d'autres questions.

                                                         DUHAMEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

C'est en cherchant à déterminer les tangentes des courbes, que les
géomètres sont parvenus au calcul différentiel, qu'on a présenté
depuis sous des points de vue très variés; mais quelle que soit
l'origine qu'on lui assigne, il reposera toujours sur un _fait
analytique_ antérieur à toute hypothèse, comme la chute des corps
graves vers la surface de la terre est antérieure à toutes les
explications qu'on en a données; et ce fait est précisément la
propriété dont jouissent toutes les fonctions, d'admettre une limite
dans les rapports que leurs accroissements ont avec ceux de la
variable dont elles dépendent. Cette limite, différente pour chaque
fonction, et toujours indépendante des valeurs absolues des
accroissements, caractérise d'une manière qui lui est propre, la
_marche_ de la fonction dans les divers états par lesquels elle peut
passer.

                                                         LACROIX.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nous avons des idées nettes de la grandeur, nous voyons que les choses
en général peuvent être augmentées ou diminuées, et l'idée d'une chose
devenue plus grande ou plus petite, est une idée qui nous est présente
et aussi familière que celle de la chose même; une chose quelconque
nous étant donc présentée ou étant seulement imaginée, nous voyons
qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrête,
rien ne détruit cette possibilité, on peut toujours concevoir la
moitié de la plus petite chose et le double de la plus grande chose;
on peut même concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois,
cent mille fois plus petite ou plus grande, et c'est cette propriété
d'augmentation sans bornes en quoi consiste la véritable idée qu'on
doit avoir de l'infini; cette idée nous vient de l'idée du fini; une
chose finie est une chose qui a des termes, des bornes, une chose
infinie n'est que cette même chose finie à laquelle nous ôtons ses
termes et ses bornes; ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de
privation et n'a point d'objet réel. Ce n'est pas ici le lieu de faire
voir que l'espace, le temps, la durée, ne sont pas des infinis réels;
il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement
infini ou infiniment petit.....

On ne doit donc considérer l'infini, soit en petit, soit en grand que
comme une privation, un retranchement à l'idée du fini, dont on peut
se servir comme d'une supposition qui peut aider à simplifier les
idées, et doit généraliser leurs résultats dans la pratique des
sciences.

                                                          BUFFON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'idée d'infini apparaît dès le seuil des mathématiques: il y a une
infinité de nombres entiers; la ligne droite doit être conçue comme
prolongée indéfiniment.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Au fond, les motifs des répugnances manifestées contre les infiniment
petits se résument dans cette pensée de Lagrange, qu'on a «le grand
inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles
cessent, pour ainsi dire, d'être quantités,» autrement dit, les
infiniment petits n'existent pas. Il me paraît qu'il y a là un
malentendu. Veut-on parler des quantités _naturelles_, ou de l'objet
de nos conceptions _rationnelles_? Si l'on entend que dans la nature
il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui
existe est déterminé et par conséquent fini. Mais à ce point de vue,
il n'y a pas non plus de quantité variable: une quantité, par cela
seul qu'elle est, a une valeur actuelle précise. Notre esprit seul
crée la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantités
voisines et les regardant comme les valeurs successives d'une même
quantité. La notion de variable n'est pas plus légitime que celle
d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes
les deux.

                                                    DE FREYCINET.




MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES


Le vaste champ des mathématiques embrasse, d'une part, les théories
abstraites; de l'autre, leurs nombreuses applications. Par cette
dernière face, ces sciences intéressent au plus haut degré la
généralité des hommes; aussi les voit-on, à toutes les époques,
cherchant, suggérant, proposant sans cesse de nouveaux problèmes,
puisés dans l'observation des phénomènes naturels ou dans les besoins
de la vie commune...

                                                           ARAGO.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des
découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux
recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions
vagues et les calculs sans issue, elle est encore un moyen assuré de
former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous
importe le plus de connaître et que cette science doit toujours
conserver: ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent
dans tous les effets naturels.

                                                      J. FOURIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La géométrie et surtout l'algèbre, sont la clef de toutes les
recherches sur la grandeur. Ces sciences qui ne s'occupent que de
rapports abstraits et d'idées simples, peuvent paraître infructueuses
tant qu'elles ne sortent point, pour ainsi dire, du monde
intellectuel; mais les mathématiques mixtes, qui descendent à la
matière et qui considèrent les mouvements des astres, l'augmentation
des forces mouvantes,..... en un mot toutes les sciences qui
découvrent des rapports particuliers de grandeurs sensibles, vont
d'autant plus loin et plus sûrement, que l'art de découvrir des
rapports en général est plus parfait. L'instrument universel ne peut
devenir trop étendu, trop maniable, trop aisé à appliquer à tout ce
qu'on voudra.

                                                      FONTENELLE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'artillerie est mise ordinairement au nombre des branches des
mathématiques..... On y considère principalement le chemin décrit par
le projectile que lance le canon, et l'on conclut les règles suivant
lesquelles il faut diriger le canon pour que le boulet frappe un lieu
donné. Or on suppose, dans cette recherche, que le projectile décrit
une parabole, ainsi que Galilée l'a démontré. Mais cela n'est pas
conforme à la vérité dès que le mouvement n'a pas lieu dans le vide.
On est donc induit grandement en erreur par les règles et les Tables
fondées sur cette hypothèse, leurs auteurs mêmes l'avouent; ils
rejettent l'erreur sur le compte de la théorie, et s'imaginent qu'elle
n'a de valeur que lorsque la pratique la corrige. Or l'air nous
paraît être un fluide trop subtil pour produire une résistance
sensible; et pourtant dans les mouvements très rapides tels que ceux
des boulets et des bombes, la résistance de l'air est assez grande
pour que les projectiles décrivent une courbe très différente de la
parabole. Pour corriger cette erreur notable, pour suppléer à l'emploi
inopportun de la parabole, il faut introduire la courbe véritable
suivant laquelle le projectile se meut dans l'air. Newton paraît avoir
fait beaucoup d'efforts pour la découvrir, et cependant son extrême
habileté dans l'analyse supérieure ne lui suffit pas pour résoudre ce
problème. Il laissa l'honneur de cette découverte au célèbre Jean
Bernoulli. Nous voyons par là combien doit être versé dans les
mathématiques supérieures celui qui veut résoudre les questions
d'artillerie.

                                                           EULER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les _Mathématiques pures_ se bornent à spéculer sur les grandeurs
abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de
notions primitives, d'axiomes, sans rien emprunter à l'expérience. Ses
branches sont l'arithmétique, la géométrie et l'analyse (algèbre et
calcul infinitésimal).

                       ¤---¤---¤

La mécanique et l'astronomie forment ce qu'on appelle les _Sciences
physico-mathématiques_.

Viennent ensuite les nombreuses _Applications des mathématiques_. Nous
allons rapidement énumérer les principales.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Calcul des probabilités._--La théorie des probabilités a dit Laplace,
n'est que le bon sens réduit en calcul: elle fait apprécier avec
exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte
d'instinct.

Le calcul des probabilités est utile dans toutes les sciences et aussi
dans la vie sociale.

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_Physique mathématique._--La physique, enfin maîtresse de ses
principes, tend à s'absorber dans les mathématiques. On fait la
théorie analytique de la chaleur, de l'électricité, de la lumière, de
l'élasticité, de l'acoustique, etc.

La chimie commence à suivre le bon exemple, grâce à la thermochimie.

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_Statistique et économie politique._--Quelques lois ont été
découvertes, il y a tendance à plus de précision dans ces utiles
études. Cependant Cournot et Walras se sont trop pressés d'appliquer
l'Algèbre à des données encore un peu flottantes; on dit assez
heureusement que la monnaie sert de dénominateur commun aux diverses
valeurs.

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_Loterie; jeux._--On peut raisonner les chances de la loterie et du
jeu, mais on ne corrige guère les amateurs. La Science a obtenu la
suppression de la loterie d'État, mais il nous reste d'autres
loteries, les valeurs à lots, etc.

Quant aux jeux de combinaisons, ils se rattachent à la géométrie et à
l'analyse indéterminée.

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_Arithmétique appliquée et commerciale._--Il faut considérer, non
comme théorie, mais comme applications, les règles de trois,
d'alliage, de partage, etc., et le système métrique.

D'autre part, la tenue des livres de commerce a une grande importance
pratique.

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_Finances._--Intérêts simples et composés; annuités; banques,
établissements de crédit et de prévoyance; assurances sur les choses
et sur la vie; rentes viagères.

La Bourse.

Répartition des impôts; budget, etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Calcul mental._--Il est bon d'acquérir une certaine habileté à
calculer de tête, sans chiffrer hors de propos. Il y a quelques
méthodes, mais c'est surtout affaire d'exercice.

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_Géométrie et trigonométrie pratiques._--Comme en arithmétique, on
mêle trop, en géométrie, les applications à la théorie.

Instruments pour les tracés sur le papier et sur le terrain.

Arpentage, levé des plans, nivellement; le cadastre; partage des
terrains, etc.

Les divers mesurages: métrage, cubage; fûts, troncs d'arbre, tas de
pierres, etc.

Application de la trigonométrie au levé des plans.

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_Géométrie descriptive._--Par la méthode des projections, on peut
représenter rigoureusement par un tracé plan les figures et les
constructions dans l'espace.

Application aux ombres, à la perspective, à la charpente, à la coupe
des pierres, etc.

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_Dessin._--Les divers dessins constituent une langue très étendue et
très expressive.

Le dessin dit géométrique l'emporte sur les autres par sa précision.

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_Les graphiques._--Une courbe, parlant aux yeux, résume de nombreuses
observations numériques. Aussi, se sert-on, dans toutes les études,
de ces tracés commodes.

Par exemple, les Guides de chemins de fer donnent bien des résultats
isolés, mais les employés s'aident de graphiques pour se rendre compte
des rapports entre les divers trains.

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_Arts mécaniques._--Il convient que l'ouvrier sache raisonner ses
mesures et ses tracés, au lieu de se servir de règles empiriques et de
patrons.

Ferblantiers, menuisiers, tourneurs, etc.

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_Les machines._--Quelle variété, quelle délicatesse et quelle
puissance, depuis les machines à coudre, à calculer, à écrire,
jusqu'aux machines qui soulèvent les cuirassés ou creuseront le
Panama!

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_Constructions civiles et militaires._--C'est aux ingénieurs et aux
architectes que nous devons surtout notre civilisation matérielle.
Ponts et chaussées, chemins de fer, canaux, construction des
monuments, etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Géographie._--Cartes géographiques, surtout celle de l'État-Major,
que tout le monde devrait savoir lire.

Topographie, géodésie, etc.

De nos jours, la géographie devient enfin une science. «Ici, dit
Drapeyron, le corps c'est la topographie, l'âme c'est la géographie
mathématique.»

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Navigation._--Constructions navales, conduite du navire (déterminer à
un moment quelconque la position et la route); tables astronomiques,
etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Chronologie, horlogerie, gnomonique._--Calendrier, comput
ecclésiastique; montres, horloges, chronomètres; cadrans solaires.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Arts militaires._--Le fusil et le canon perfectionnés; balistique ou
questions du tir.

Stratégie, dont le problème dépend d'éléments si variés.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Après trente ans de travail, le regretté M. Sonnet a publié sous le
titre de _Dictionnaire des Mathématiques appliquées_, en un seul
volume, le plus riche et le plus précis des répertoires connus sur ces
matières.




SYSTÈME MÉTRIQUE


La réflexion et l'expérience font connaître les _conditions d'un bon
ensemble de mesures_. Nous allons passer en revue les plus importantes
de ces conditions et justifier ainsi l'excellence des mesures
métriques.

1º _Unités parfaitement définies et fixes._--Les anciennes mesures de
longueur se déduisaient des dimensions du corps humain (toises,
coudées, mains, pouces, doigts, etc.) ou des dimensions de certains
temples. Ces bases étaient vagues et variables, les modèles n'en
étaient point arrêtés. On a pu dire que, sous l'ancien régime, il y
avait autant d'arpents et de boisseaux que de villages. Le mètre,
fraction déterminée de la circonférence terrestre, est une longueur
précise, immuable, indépendante du temps et des nations. «On
retrouverait le mètre, dit Arago, quand même des tremblements de
terre, des cataclysmes épouvantables viendraient à bouleverser notre
planète et à détruire les étalons prototypes religieusement conservés
aux Archives.»

2º _Unités d'espèces différentes liées entre elles._--La géométrie
ramène la mesure des surfaces et des volumes à la mesure de certaines
longueurs, qu'on appelle les dimensions de ces figures. Les règles
simples qu'on établit supposent qu'on prend pour unités les carrés et
les cubes construits sur l'unité linéaire.--On se servait de la toise
carrée et de la toise cube, avant de connaître le mètre carré et le
mètre cube. Il y a plus, les unités de poids et de monnaie dérivent
aussi du mètre, quoique moins directement. On pourrait, à la rigueur,
avec les monnaies, peser les corps et mesurer les longueurs. Nos
mesures s'enchaînent ainsi complètement et leur ensemble mérite le nom
de _système_.

3º _Unités assez nombreuses pour chaque espèce de grandeur._--Il
convient de rapporter chaque grandeur particulière à une unité
proportionnée, parce que l'esprit ne voit clairement et rapidement que
les nombres ordinaires, ni trop grands, ni trop petits. De là
l'utilité d'unités secondaires, substituées souvent à l'unité
principale.--Nous avons actuellement des multiples et des
sous-multiples de chaque unité; la plupart sont des instruments
effectifs de mesurage; tandis que les autres ne sont pas fabriqués
(huit règles pour les longueurs, treize vases pour les capacités,
vingt-quatre poids et quatorze monnaies).

4º _Unités de même nature liées simplement._--Dans l'ancien système,
l'échelle était parfois bizarre et variable d'un genre d'unité à un
autre (exemple: les longueurs et les poids). De là le _calcul des
nombres complexes_, assez pénible, malgré les simplifications
provenant des diviseurs de douze.--Les unités nouvelles procèdent
toutes de dix en dix, comme notre système de numération. Les grandeurs
s'expriment par suite en nombres décimaux, aussi faciles à combiner
que les entiers. Les changements d'unité se traduisent par un simple
déplacement de la virgule.--On comprend pourquoi le système métrique
s'appelle aussi système décimal des poids et mesures. (On avait même
proposé de diviser décimalement le temps, jour de vingt heures, heure
de cent minutes, etc., et le cercle en quatre cents grades de cent
minutes chacun, etc.)

5º _Nomenclature expressive et ne comprenant qu'un petit nombre de
mots._--Les mesures antérieures portaient des noms très variés et
n'indiquant pas les rapports, qu'il fallait retenir à part. Nous
n'avons maintenant que six mesures principales: le mètre, l'are, le
litre, le stère, le gramme et le franc; à ces six mots il suffit de
joindre sept abréviations, tirées du grec ou du latin, pour composer
les noms des multiples et des sous-multiples. _Déca_ signifie dix,
_hecto_ cent, _kilo_ mille, _myria_ dix-mille; _déci_ signifie
dixième, _centi_ centième et _milli_ millième. Dès qu'on parle du
décamètre et du décimètre, chacun se rappelle qu'il s'agit de dix
mètres et du dixième du mètre.--Cependant, quelque commode que soit la
nomenclature précédente, elle n'est pas essentielle au système
métrique, qui réside dans les choses et non dans les mots.

6º _Mesures obligatoires et soigneusement contrôlées._--Depuis 1840,
les mesures métriques sont définitivement imposées par la loi, sur
tout le territoire français, et les dénominations mêmes des anciennes
mesures sont prohibées. Les instruments de mesure sont conformes à des
modèles dont les règlements précisent la valeur, les dimensions, la
forme et la substance. Sur ces mesures sont inscrits non seulement le
nom de la mesure mais encore celui du fabricant responsable, et ces
instruments sont soumis à un contrôle au début, puis à un contrôle
périodique, faits par des _vérificateurs des poids et mesures_.--Notre
système justifie la qualification de système _légal_ des poids et
mesures.

7º _Système offrant un caractère international._--Base ne dépendant
d'aucune nationalité particulière, puisqu'elle est prise dans la
nature. Organisation par des savants de tous les pays qui ont signé
les rapports et se sont distribué cent douze des mètres nouveaux. Mots
provenant d'une langue morte, du grec ou du latin. «Si la mémoire des
travaux venait à s'effacer, dit Laplace, si les résultats seuls en
étaient conservés, ils n'offriraient rien qui pût faire connaître
quelle nation en a eu l'idée, en a suivi l'exécution.»--L'adoption par
tous les peuples des mêmes mesures faciliterait grandement les
relations commerciales et scientifiques. Le système métrique est déjà
adopté, entièrement ou partiellement, par les pays suivants: Belgique,
Hollande, Espagne, Portugal, Grèce, Allemagne, Danemark, Suède,
Mexique, Brésil, Républiques de l'Amérique du Sud, Égypte, etc.
Ajoutons que dans les États anglais et dans les États-Unis l'usage de
nos mesures est facultatif.




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE


Une figure plane peut être représentée sur une surface plane sans
aucune altération dans les proportions de ses parties.

... Il n'en est pas de même d'un corps à trois dimensions, d'un corps
ayant longueur, largeur et profondeur. Sa représentation sur une
surface plane est inévitablement altérée. Des lignes qui sur le corps
sont égales entres elles, peuvent être extrêmement inégales dans la
représentation plane. Les angles formés dans l'espace par les arêtes
ou par les diagonales du corps n'éprouvent pas de moindres altérations
comparatives, quand elles viennent à être figurées sur un plan.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Des hommes de génie, Desargues en tête, réussirent enfin à rattacher
aux règles de la géométrie élémentaire la plupart des méthodes, des
tracés en usage dans la coupe des pierres et dans la charpente.
Malheureusement leurs démonstrations étaient longues, embarrassées;
elles devaient toujours rester hors de la portée des simples ouvriers.

À quoi tenaient ces complications? Elles tenaient à ce qu'on était
obligé de créer la science tout entière, à l'occasion de chaque
problème. Adoptez cette méthode dans telle autre branche quelconque
des mathématiques, et la plus inextricable confusion en sera aussi la
conséquence inévitable.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Monge débrouilla ce chaos. Il fit voir que les solutions graphiques de
tous les problèmes de la géométrie à trois dimensions se fondaient sur
un très petit nombre de principes qu'il exposa avec une merveilleuse
clarté. Désormais aucune question, parmi les plus complexes, ne devait
être l'apanage exclusif des esprits d'élite; avec des instruments bien
définis et une méthode de recherche uniforme, la géométrie
descriptive, dont Monge devint le créateur, pénétra jusque dans les
rangs nombreux de la classe ouvrière.

                                                           ARAGO.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Une branche considérable de la géométrie, qui se recommande par des
applications nombreuses, et que cultivaient par instinct plutôt que
méthodiquement tous les ouvriers employés aux arts de construction, a
été réduite en corps de doctrine.. On sent qu'il s'agit ici de la
théorie et de la pratique des opérations qui résultent de la
combinaison des lignes, des plans et des surfaces dans l'espace, et
que M. Monge a fait connaître sous le nom de _géométrie descriptive_.
La coupe des pierres, la charpente, certaines parties de la
fortification et de l'architecture, la perspective, la gnomonique: en
un mot, toutes les parties des mathématiques, soit pures, soit
appliquées, dans lesquelles on considère l'espace avec ses trois
dimensions, sont du ressort de ce complément nouveau de la géométrie
élémentaire qui jusque-là s'était arrêtée à la mesure des aires et des
volumes... Ce n'est pas qu'avant M. Monge, les géomètres n'eussent
connu la méthode des projections et ne l'eussent employée à la
résolution de plusieurs problèmes..., mais cette théorie... n'avait
pas encore cette indépendance et cet enchaînement de questions qui en
ont fait une véritable science...

                                                        DELAMBRE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La Géométrie descriptive donne des méthodes pour représenter
exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d'une définition
précise, et pour déduire de cette représentation les véritables
grandeurs des diverses parties du corps que l'on considère.

C'est à l'aide de pareils dessins faits sur des aires planes, que les
tailleurs de pierre et les charpentiers parviennent à donner aux
matériaux solides des formes déterminées.

La Géométrie descriptive est donc aussi utile à l'ouvrier qui exécute
un projet qu'à l'ingénieur qui l'a conçu. Ses principales applications
sont la perspective, la théorie des ombres, la charpente, la coupe des
pierres, le tracé des routes dans les pays accidentés, le défilement
dans l'art des fortifications, etc., etc.

                                                          ROUCHÉ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Selon la manière dont la position des sommets des angles d'un solide
est définie, la construction de leurs projections peut être plus ou
moins facile, et la nature de l'opération doit dépendre de celle de la
définition. Il en est précisément de cet objet comme de l'Algèbre,
dans laquelle il n'y a aucun procédé général pour mettre un problème
en équations. Dans chaque cas particulier, la marche dépend de la
manière dont la relation entre les quantités données et celles qui
sont inconnues est exprimée; et ce n'est que par des exemples variés
que l'on peut accoutumer les commençants à saisir ces relations et à
les écrire par des équations. Il en est de même pour la Géométrie
descriptive. C'est par des exemples nombreux et par l'usage de la
règle et du compas dans les salles d'exercice que l'on peut acquérir
l'habitude des constructions, et qu'on s'accoutume au choix des
méthodes les plus simples et les plus élégantes, dans chaque cas
particulier. Mais aussi, de même qu'en Analyse, lorsqu'un problème est
mis en équations, il existe des procédés pour traiter ces équations,
et pour en déduire les valeurs de chaque inconnue; de même aussi, dans
la Géométrie descriptive, lorsque les projections sont faites, il
existe des méthodes générales pour construire tout ce qui résulte de
la forme et de la position respective des corps.

Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Géométrie
descriptive à l'Algèbre; ces deux sciences ont les rapports les plus
intimes. Il n'y a aucune construction de Géométrie descriptive, qui ne
puisse être traduite en Analyse; et lorsque les questions ne
comportent pas plus de trois inconnues, chaque opération analytique
peut être regardée comme l'écriture d'un spectacle en Géométrie.

                                                           MONGE.




MÉCANIQUE


On connaît la déclaration attribuée à Archimède: «Donnez-moi un point
d'appui et je soulèverai le monde.» Je ne veux pas en contester la
beauté littéraire, mais quand on songe au nombre de tentatives
insensées dont elle a été la cause, il peut être permis de dire que,
pratiquement, elle est absolument vaine.

                                                PRIVAT-DESCHANEL.

                       ¤---¤---¤

Le monde, il s'agit sans doute de la terre. Comment l'homme
pourrait-il prendre un point d'appui extérieur? Du reste la force d'un
homme étant extrêmement petite par rapport au poids du globe, le
déplacement de celui-ci serait insignifiant. Le mot célèbre n'exprime
qu'une vue théorique.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On ne gagne rien avec les instruments, d'autant que, si l'on applique
une petite force à un grand fardeau, il faut beaucoup de temps, et
que, si on veut le transporter en très peu de temps, il faut une
grande force...

Néanmoins les machines sont utiles, pour mouvoir de grands fardeaux
tout d'un coup sans les diviser, parce que _l'on a souvent beaucoup
de temps et peu de force_. Mais celui-là se tromperait qui voudrait
abréger le temps en n'usant que d'une petite force, et montrerait
qu'il n'entend pas la nature des machines ni la raison de leurs
effets...

Il faut conclure de tout ce discours que _l'on ne peut rien gagner en
force qu'on ne le perde en temps_, et conséquemment que ceux qui
travaillent à suppléer la force et le temps tout ensemble, ne méritent
nullement d'avoir du temps, puisqu'ils l'emploient si mal.

                                                         GALILÉE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On pousse un corps avec la main, et l'on voit qu'il se meut dans une
direction définie. À première vue, il semble qu'il n'y ait pas moyen
de douter de la réalité de son mouvement ni de la direction qu'il
suit. Cependant il est facile de montrer que non seulement nous
pouvons avoir tort, mais que d'ordinaire nous avons tort de porter
l'un ou l'autre de ces deux jugements. Voici par exemple un vaisseau
que, pour plus de simplicité, nous supposerons mouillé à l'équateur,
l'avant tourné vers l'ouest. Quand le capitaine va de l'avant à
l'arrière, dans quelle direction se meut-il? Vers l'est, répondra-t-on
évidemment, et pour le moment cette réponse peut passer. Mais on lève
l'ancre et le vaisseau vogue vers l'ouest avec une vitesse égale à
celle du capitaine qui marche vers l'est. Dans quelle direction se
meut à présent le capitaine, quand il va de l'avant à l'arrière de son
navire? Nous ne pouvons plus dire: l'est, comme tout à l'heure,
puisque tandis qu'il va vers l'est, le vaisseau l'emporte vers
l'ouest; et réciproquement nous ne pouvons pas dire: l'ouest. Par
rapport à l'espace ambiant il ne bouge pas, quoiqu'il paraisse se
mouvoir pour tout ce qui est à bord. Mais sommes-nous tout à fait sûrs
de cette conclusion? Le capitaine est-il réellement toujours au même
point? Quand nous tenons compte du mouvement de la terre autour de son
axe nous voyons que loin d'être stationnaire, le capitaine voyage vers
l'est à raison de 1000 milles par heure; de sorte que la perception de
celui qui le regarde, pas plus que celle de celui qui tient compte du
mouvement du vaisseau, ne se rapproche de la vérité. De plus, un
examen plus attentif nous fera voir que cette conclusion corrigée ne
vaut pas mieux que les autres. En effet, nous avons oublié le
mouvement de la terre dans son orbite. Comme il est de 68000 milles
par heure, il s'en suit qu'en supposant qu'il soit midi, le capitaine
se meut non pas à raison de 1000 milles à l'heure vers l'est, mais à
raison de 67000 milles vers l'ouest. Et pourtant nous n'avons pas
encore trouvé le vrai sens et la vraie vitesse de son mouvement. Au
mouvement de la terre dans son orbite il faut joindre celui du système
solaire tout entier vers la constellation d'Hercule, et si nous le
faisons, nous voyons que le capitaine ne va ni vers l'est ni vers
l'ouest, mais qu'il suit une ligne inclinée sur le plan de
l'écliptique, et qu'il va avec une vitesse plus grande ou moindre
(suivant l'époque de l'année) que celle que nous avons donnée. À cela,
il faut encore ajouter que si les arrangements dynamiques de notre
système sidéral nous étaient complètement connus, nous découvririons
probablement que la direction et la vitesse du mouvement réel
diffèrent encore considérablement des résultats obtenus.

                                                 HERBERT SPENCER.

                       ¤---¤---¤

Nous n'observons que des mouvements relatifs. Lorsque nous croyons
marcher en ligne droite dans notre chambre, notre trajectoire dans
l'espace est en réalité une ligne courbe compliquée. En effet, la
terre se déplace rapidement dans l'espace, en emportant nos maisons.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Si on est fortement penché d'un côté, le corps se porte de l'autre
pour faire le contrepoids, et se balance lui-même en diverses
manières, pour prévenir une chute, ou pour la rendre moins incommode.
Par la même raison, si l'on porte un grand poids d'un des côtés, on se
sert de l'autre à contre-peser. Une femme qui porte un seau d'eau
pendu à la droite étend le bras gauche et se penche de ce côté-là.
Celui qui porte sur le dos se penche en avant; et, au contraire, quand
on porte sur la tête, le corps se tient naturellement droit. Enfin, il
ne manque jamais de se situer de la manière la plus convenable pour se
soutenir; en sorte que les parties ont toujours un même centre de
gravité, qu'on prend au juste, comme si l'on savait la Mécanique.

                                                         BOSSUET.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science (la
Mécanique), et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à
des formules générales, dont le simple développement donne toutes les
équations nécessaires pour la solution de chaque problème.

On ne trouve point de figure dans cet Ouvrage (_Mécanique
analytique_). Les méthodes que j'y expose ne demandent ni
constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais
seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche
régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir
la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en
avoir étendu ainsi le domaine.

                                                        LAGRANGE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dans la mécanique, le calcul différentiel est le passage de l'effet à
la cause, de l'espace parcouru dans un temps donné à la vitesse
acquise et de cette vitesse à la force accélératrice. Inversement, le
calcul intégral est le passage de la cause à l'effet, de la force à la
vitesse qu'elle produit, et de cette vitesse à l'espace parcouru en
vertu de cette vitesse elle-même.

                                                     E. JACQUIER.




ASTRONOMIE


J'ai pensé, puisque d'autres avant moi ont osé imaginer une foule de
cercles pour démontrer les phénomènes astronomiques, que je pourrais
me permettre aussi d'essayer si, en supposant la Terre immobile, on ne
parviendrait pas à trouver, sur la révolution des corps célestes, des
démonstrations plus solides que celles qui ont été mises en avant.
Après de longues recherches, je me suis enfin convaincu: que le Soleil
est une étoile fixe, entourée de planètes qui tournent autour d'elle,
et dont elle est le centre et le flambeau; qu'outre les planètes
principales, il en est d'autres de second ordre, qui circulent d'abord
comme satellites autour de leurs planètes principales, et avec
celles-ci autour du Soleil; que la Terre est une planète principale,
assujettie à un triple mouvement; et que tous les phénomènes du
mouvement diurne et annuel, le retour périodique des saisons, toutes
les vicissitudes de la lumière et de la chaleur de l'atmosphère qui
les accompagnent sont des résultats de la rotation de la Terre autour
de son axe et de son mouvement périodique autour du Soleil.

                                                        COPERNIC.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Quand Newton mit au jour cette grande pensée (l'attraction
universelle) appuyée sur une géométrie neuve et sublime, l'astronomie
changea de face, et les cieux parurent raconter pour la première fois
la gloire de leur Auteur: cependant, la théorie n'avait pas rempli
toute sa tâche, il s'en fallait bien; des phénomènes importants lui
échappaient; d'étonnantes exceptions, des désordres inexplicables la
troublaient; la loi mal assurée semblait quelquefois se déconcerter et
se contredire. Un siècle s'était écoulé depuis la publication des
_Principes mathématiques de la philosophie naturelle_, et, dans ce
siècle, plusieurs générations de grands géomètres, d'observateurs
infatigables, avaient réuni leurs efforts gigantesques contre les
difficultés, et ils n'avaient pu les vaincre toutes. Il y avait
encore, il n'y a pas trente ans, des scandales dans le ciel; il y
avait des planètes réfractaires aux tables des astronomes. Bien plus,
en promulguant la loi de gravitation, Newton avait douté qu'elle fût
capable de porter ce poids du monde qu'il lui imposait; il avait pensé
qu'elle vieillirait comme les lois humaines, et qu'un jour viendrait,
il l'a écrit, où il faudrait que la main du Créateur s'étendît _pour
remettre les choses en place_.

Newton se trompait, Messieurs. Non, _pour remettre le système en
ordre_, il ne sera pas besoin de la main du Créateur; il suffira d'un
autre Newton. M. Laplace est venu, et, par ses immenses travaux, par
la puissance et les ressources de son génie, l'astronomie réduite à un
problème de mécanique, ne découvre plus dans les cieux que
l'accomplissement mathématique de lois invariables. Jupiter et ses
satellites, Saturne, la Lune sont domptés dans leurs écarts; ce qui
paraissait exception est la règle même; ce qui semblait désordre est
un ordre plus savant; partout la simplicité de la cause triomphe dans
la complication infinie des effets. Enfin, et c'est le comble de la
gloire de M. Laplace, il lui a été réservé d'absoudre la loi de
l'univers, c'est-à-dire la sagesse divine, de ces reproches
d'imprévoyance ou d'impuissance où le génie de Newton était tombé; le
premier, il a démontré que le système solaire reçoit, dans les
conditions qui lui sont imposées, le gage de son imperturbable durée.

                                                   ROYER-COLLARD.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand
problème de mécanique...; sa solution dépend à la fois de l'exactitude
des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe
extrêmement d'en bannir tout empirisme, et de la réduire à n'emprunter
de l'observation que les données indispensables.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La plus magnifique confirmation qu'aient reçue les théories
astronomiques a été la découverte de la planète Neptune par Leverrier
en 1846.

Les observations prolongées de la planète Uranus avaient montré un
désaccord constant entre le calcul et les faits. Cette planète pas
plus qu'une autre ne décrit exactement l'ellipse de Kepler; elle
éprouve des perturbations de la part des autres astres du système
solaire. Mais on avait beau tenir compte de toutes celles qui
pouvaient être produites par les planètes connues, on n'arrivait pas à
faire disparaître ce désaccord et à pouvoir construire des tables
suffisamment exactes; il subsistait constamment des différences
sensibles et inexpliquées. On en vint à penser que la cause de ces
différences résidait probablement dans l'existence d'une planète
encore inconnue.

Ce fut Leverrier qui eut la gloire de transformer cette supposition en
certitude. Renversant le problème ordinaire du calcul des
perturbations, il parvint à déterminer la masse et l'orbite de la
planète inconnue, d'après les effets qu'elle produisait sur Uranus; il
alla jusqu'à pouvoir assigner la place qu'elle devait occuper dans le
ciel à une date qu'il désigna. Il suffit à M. Galle, de Berlin, de
diriger une lunette vers cette place pour apercevoir tout près de là
un astre, invisible à l'oeil nu, qui n'était marqué sur aucune carte
du ciel: les observations des jours suivants montrèrent qu'il se
déplaçait parmi les étoiles; c'était donc bien une planète.

                                                       GUIRAUDET.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

En réfléchissant au mouvement diurne auquel tous les corps célestes
sont assujettis, on reconnaît évidemment l'existence d'une cause
générale qui les entraîne ou qui paraît les entraîner autour de l'axe
du monde. Si l'on considère que ces corps sont isolés entre eux, et
placés loin de la terre, à des distances très différentes; que le
soleil et les étoiles en sont beaucoup plus éloignés que la lune, et
que les variations des diamètres apparents des planètes indiquent de
grands changements dans leurs distances; enfin que les comètes
traversent librement le ciel dans tous les sens; il sera très facile
de concevoir qu'une même cause imprime à tous ces corps un mouvement
commun de rotation. Mais les astres se présentent à nous de la même
manière, soit que le ciel les entraîne autour de la terre supposée
immobile, soit que la terre tourne en sens contraire, sur elle-même;
il paraît beaucoup plus naturel d'admettre ce dernier mouvement et de
regarder celui du ciel comme une apparence.

La terre est un globe dont le rayon n'est pas de sept millions de
mètres: le soleil est, comme on l'a vu, incomparablement plus gros. Si
son centre coïncidait avec celui de la terre, son volume embrasserait
l'orbe de la lune, et s'étendrait une fois plus loin, d'où l'on peut
juger de son immense grandeur: il est d'ailleurs éloigné de nous
d'environ vingt-trois mille rayons terrestres. N'est-il pas infiniment
plus simple de supposer au globe que nous habitons un mouvement de
rotation sur lui-même, que d'imaginer, dans une masse aussi
considérable et aussi distante que le soleil, le mouvement extrêmement
rapide qui lui serait nécessaire pour tourner, en un jour, autour de
la terre? Quelle force immense ne faudrait-il pas alors pour le
contenir et balancer sa force centrifuge? Chaque astre présente des
difficultés semblables qui sont toutes levées par la rotation de la
terre.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Entraînés par un mouvement commun à tout ce qui nous environne, nous
ressemblons au navigateur que les vents emportent avec son vaisseau
sur les mers. Il se croit immobile; et le rivage, les montagnes et
tous les objets placés hors du vaisseau, lui paraissent se mouvoir.
Mais en comparant l'étendue du rivage et des plaines, et la hauteur
des montagnes à la petitesse de son vaisseau, il reconnaît que leur
mouvement n'est qu'une apparence produite par son mouvement réel. Les
astres nombreux répandus dans l'espace céleste, sont, à notre égard,
ce que le rivage et les montagnes sont par rapport au navigateur; et
les mêmes raisons par lesquelles il s'assure de la réalité de son
mouvement nous prouvent celui de la terre.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Pendant des siècles on a fait de la Terre le centre du monde, en
obligeant les planètes, le soleil et jusqu'aux étoiles à tourner
autour d'elle. Copernic est survenu et dès lors la Terre a pris une
place des plus modestes dans le cortège des planètes que gouverne le
soleil. Voici maintenant que le soleil à son tour n'est plus qu'une
des innombrables étoiles de la Voie lactée....

                                                    F. TISSERAND.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Toutes nos notions, en fait de distances célestes ou terrestres,
reposent, en dernière analyse, sur quelques bases mesurées çà et là,
principalement par des Français.

                                                            FAYE.




PROBABILITÉS


Il y a des jeux où dix personnes mettant chacune un écu, il n'y en a
qu'une qui gagne le tout et toutes les autres perdent: ainsi chacun
des joueurs n'est au hasard que de perdre un écu, et pour en gagner
neuf. Si l'on ne considérait que la perte et le gain en soi, il
semblerait que tous y ont de l'avantage; mais il faut de plus
considérer que si chacun peut gagner neuf écus, et n'est au hasard que
d'en perdre un, il est aussi neuf fois plus probable, à l'égard de
chacun, qu'il perdra son écu et ne gagnera pas les neuf. Ainsi, chacun
a pour soi neuf écus à espérer, un écu à perdre, neuf degrés de
probabilité de perdre un écu et un seul de gagner les neuf écus: ce
qui met la chose dans une parfaite égalité.

Tous les jeux qui sont de cette sorte sont équitables, autant que les
jeux peuvent l'être, et ceux qui sont hors de cette proportion sont
manifestement injustes; et c'est par là qu'on peut faire voir qu'il y
a une injustice évidente dans ces espèces de jeux qu'on appelle
loteries, parce que le maître de loterie prenant d'ordinaire sur le
tout une dixième partie pour son préciput, tout le corps des joueurs
est dupé de la même manière que si un homme jouait un jeu égal,
c'est-à-dire où il y a autant d'apparence de gain que de perte, dix
pistoles contre neuf. Or si cela est désavantageux à tout le corps,
cela l'est aussi à chacun de ceux qui le composent, puisqu'il arrive
de là que la probabilité de la perte surpasse plus la probabilité du
gain que l'avantage qu'on espère ne surpasse le désavantage auquel on
s'expose, qui est de perdre ce qu'on y met.

                                           Logique de Port-Royal.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons
ces deux cas: si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous
ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter.

--Cela est admirable: oui, il faut gager; mais je gage peut-être trop.

--Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte, si vous
n'aviez qu'à gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager.
Mais s'il y en avait trois à gagner, il faudrait jouer (puisque vous
êtes dans la nécessité de jouer) et vous seriez imprudent, lorsque
vous êtes forcé à jouer, de ne pas hasarder votre vie pour en gagner
trois à un jeu où il y a pareil hasard de perte et de gain.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mais il y a ici une infinité de vies infiniment heureuses à gagner, un
hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que
vous jouez est fini. Cela est tout parti: partout où est l'infini et
où il n'y a pas une infinité de hasards de perte contre celui de
gain, il n'y a point à balancer, il faut tout donner; et ainsi, quand
on est forcé à jouer, il faut renoncer à la raison, pour garder la vie
plutôt que de la hasarder pour le gain infini aussi prêt à arriver que
la perte du néant.

Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si l'on gagnera, et
qu'il est certain qu'on hasarde, et que l'infinie distance qui est
entre la _certitude_ de ce qu'on s'expose et l'_incertitude_ de ce
qu'on gagnera égale le bien fini qu'on expose certainement à l'infini
qui est incertain. Cela n'est pas ainsi: tout joueur hasarde avec
certitude pour gagner avec incertitude; et néanmoins il hasarde
certainement le fini pour gagner incertainement le fini, sans pécher
contre la raison. Il n'y a pas infinité de distance entre cette
certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est
faux. Il y a, à la vérité, infinité de distance entre la certitude de
gagner et la certitude de perdre. Mais l'incertitude de gagner est
proportionnée à la certitude de ce qu'on hasarde, selon la proportion
des hasards de gain et de perte; et de là vient que s'il y a autant de
hasard d'un côté que de l'autre, le parti est à jouer égal contre
égal; et alors la certitude de ce qu'on expose est égale à
l'incertitude du gain; tant s'en faut qu'elle soit infiniment
distante. Et ainsi notre proposition est dans une force infinie, quand
il y a le fini à hasarder à un jeu où il y a pareils hasards de gain
que de perte, et l'infini à gagner. Cela est démonstratif; si les
hommes sont capables de quelques vérités, celle-là l'est.

                                                          PASCAL.

                       ¤---¤---¤

     Nous devions citer ce morceau célèbre, mais nous nous empressons
     d'y joindre le commentaire de M. J. Bertrand:

«On a cru, dans une page de Pascal, voir l'application du calcul des
probabilités à la démonstration de l'existence de Dieu. C'est lui
prêter injustement un ridicule. Pascal, acceptant, comme hypothèse, le
doute sur l'existence de Dieu, doit, la logique l'exige, rencontrer le
dilemme: Ou Dieu existe ou il n'existe pas. L'incrédule hésite! Chaque
opinion est donc pour lui plus ou moins probable; Pascal ne tente
nullement l'examen du problème pour le réduire en formule et en
chiffres. Il n'associe au mot probabilité rien qui tienne à l'algèbre;
la mesure exacte ou approchée des chances reste en dehors de son
argument. Puisque deux hypothèses sont possibles, on pourrait établir
un pari. Il y a deux choses dans un pari: la chance de gagner et la
somme hasardée. Pascal ne s'occupe que de l'enjeu. L'impie qui parie
pour l'athéisme, sera damné s'il perd. Rien n'est trop cher, quelles
que soient les chances, pour se soustraire à ce formidable risque.»

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées
à l'observation des principes éternels de raison, de justice et
d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand
avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvénients à
s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre expérience,
on y verra tous les faits venir à l'appui de ce résultat du calcul.
Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison
et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les
établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne
foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur
conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une
scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûtés. Quel
immense crédit au dedans! Quelle prépondérance au dehors! Voyez au
contraire dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent
précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes
les fois qu'une grande puissance enivrée de l'amour des conquêtes
aspire à la domination universelle, le sentiment de l'indépendance
produit, entre les nations menacées, une coalition dont elle devient
presque toujours la victime.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a
forcé les géomètres à recourir à des approximations qui laissent
toujours à craindre que les quantités négligées n'aient une influence
sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence, par les
observations, ils sont revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils
ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; ils en ont
déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l'observation, en
découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi
l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à la perfection
analytique des théories fondées sur la pesanteur universelle; et
c'est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce
principe admirable.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il est bien important de tenir compte, dans chaque branche de
l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont
produits les divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant
d'expériences faites en grand par les gouvernements. Appliquons aux
sciences politiques et morales la méthode fondée sur l'observation et
sur le calcul, méthode qui nous a si bien servi dans les sciences
naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent
dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières; mais ne
changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les
usages auxquels nous sommes depuis si longtemps pliés. Nous
connaissons bien par l'expérience du passé les inconvénients qu'ils
présentent; mais nous ignorons quelle est l'étendue des maux que leur
changement peut produire. Dans cette ignorance, la théorie des
probabilités prescrit d'éviter tout changement: surtout il faut éviter
tout changement brusque qui, dans l'ordre moral, comme dans l'ordre
physique, ne s'opère jamais sans une grande perte de force vive.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité
des voix, des lumières et de l'impartialité des membres qui la
composent. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si
souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul
cette probabilité. Il y a cependant quelques résultats généraux dictés
par le simple bon sens, et que le calcul confirme. Si, par exemple,
l'assemblée est très peu éclairée sur l'objet soumis à sa décision; si
cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce
point est contraire à des préjugés reçus, en sorte qu'il y ait plus
d'un à parier contre un que chaque votant s'en écartera; alors la
décision de la majorité sera probablement mauvaise, et la crainte à
cet égard sera d'autant plus fondée, que l'assemblée sera plus
nombreuse. Il importe donc à la chose publique, que les assemblées
n'aient à se prononcer que sur des sujets à la portée du plus grand
nombre: il lui importe que l'instruction soit généralement répandue,
et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience
éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables
ou à les gouverner, et les prémunissent d'avance contre les faux
aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savants ont de
fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent
souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Cependant l'induction, en faisant découvrir les principes généraux des
sciences, ne suffit pas pour les établir en rigueur... Je citerai
pour exemple un théorème de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand
géomètre, qui avait longuement médité sur leur théorie, cherchait une
formule qui, ne renfermant que des nombres premiers, donnât
directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable.
L'induction le conduisit à penser que deux, élevé à une puissance qui
était elle-même une puissance de deux, formait avec l'unité un nombre
premier.

Ainsi deux, élevé au carré, plus un, forme le nombre premier cinq;
deux, élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le
nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la
huitième et la seizième puissance de deux, augmentées de l'unité; et
cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques,
lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant il avoua qu'il
ne l'avait pas démontré. En effet, Euler a reconnu que cela cesse
d'avoir lieu pour la trente-deuxième puissance de deux, qui, augmentée
de l'unité, donne 4294967297, nombre divisible par 641.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le physicien Jacobi raconte que son frère, le grand mathématicien,
croyant avoir découvert une loi générale des nombres, l'essaya sur un
nombre pris au hasard. Ce nombre la mit en défaut, tandis que beaucoup
d'autres nombres essayés à leur tour la vérifièrent. Plus tard, le
grand Jacobi reconnut que le nombre pris d'abord appartenait à la
seule catégorie de nombres formant _exception_ à la loi considérée.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Un paradoxe singulier rend ce jeu,--le _problème de
Saint-Pétersbourg_, c'est le nom qu'on lui donne,--mémorable et
célèbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions: Pierre jettera
une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle
montre le côté face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera
un écu; si ce n'est qu'au second, deux écus; s'il faut attendre au
troisième coup, il en donnera quatre, huit au quatrième, toujours en
doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux
de Pierre? La science consultée par Daniel Bernoulli, donne pour
réponse: une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacré,
est au-dessus de toute mesure.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..... Il faut approuver absolument et simplement la réponse réputée
absurde. Pierre possède, je suppose, un million d'écus et les donne à
Paul en échange des promesses convenues. Il est fou! dira-t-on. Le
placement est aventureux, mais excellent; l'avantage infini est
réalisable. Qu'il joue obstinément, il perdra une partie, mille, mille
millions de milliards peut-être; qu'il ne se rebute pas, qu'il
recommence un nombre de fois que la plume s'userait à écrire, qu'il
diffère surtout le règlement des comptes, la victoire pour lui est
certaine, la ruine de Paul inévitable. Quel jour? quel siècle? On
l'ignore; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera
colossal.

                                                     J. BERTRAND.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'application du calcul aux décisions judiciaires est, dit Stuart
Mill, le scandale des mathématiques. L'accusation est injuste. On peut
peser du cuivre et le donner pour de l'or, la balance reste sans
reproche. Dans leurs travaux sur la théorie des jugements, Condorcet,
Laplace et Poisson n'ont pesé que du cuivre.

La réunion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est
remplacée dans leurs études par des urnes où l'on puise des boules
blanches ou noires.....

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..... Mais une autre objection est sans réplique: l'indépendance des
tirages est supposée; les urnes, dans les calculs, échappent à toute
influence commune. Les juges, au contraire, s'éclairent les uns les
autres, les mêmes faits les instruisent, les mêmes sollicitations les
tourmentent, la même éloquence les égare, c'est sur les mêmes
considérants qu'ils font reposer la vérité ou l'erreur. L'assimilation
est impossible.

                                                     J. BERTRAND.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les
joueurs auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.

Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le
nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.

Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.

La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le
jeu enrichit l'autre; en s'exposant à perdre une fortune, on a
l'espoir de la doubler.

Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est doublée, le
théorème s'y applique avec la même certitude; elle peut doubler
encore, centupler peut-être, tout sera emporté à la fois par un
caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait; la probabilité
augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude.

                                                     J. BERTRAND.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les philosophes, qui veulent déterminer l'avenir indéfini de l'espèce
humaine par la seule observation du passé, sont dans une grande
erreur... Ils ne s'occupent du présent qu'après avoir _découvert_
l'avenir. C'est comme si, pour connaître les affections de la courbe
des observations, on se servait du prolongement conjectural de cette
courbe, qui peut n'avoir rien de commun avec ce qui résulterait de la
loi inconnue du phénomène...

Rien ne serait plus dangereux que de confier la direction de la
société à des chefs qui se seraient fait un type bien arrêté de l'état
définitif de la société et la pousseraient sans ménagement dans cette
voie.

                                                         DUHAMEL.




ENSEIGNEMENT


Nous estimons que l'étude complète de toute science devrait comprendre
une période préparatoire ou d'amorce, une période théorique ne portant
que sur les parties à la fois importantes et simples et une période
complémentaire où la discussion s'aiguiserait et se généraliserait.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les premières notions de mathématiques doivent faire partie de
l'éducation des enfants. Les chiffres et les lignes parlent plus qu'on
ne croit à leur imagination naissante et c'est un moyen sûr de
l'exercer sans l'égarer.

                                                       CONDORCET.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La longue formation de l'humanité recommence en chaque petit enfant...

Le premier calculateur n'a pas débuté par les règles abstraites qu'on
trouve dans les livres d'école. Il est assez évident qu'il a dû se
trouver d'abord en présence de problèmes pratiques, dont il n'a pu se
tirer qu'en tendant tous les ressorts de son intelligence pour créer
la règle, et qu'il n'a pas fait de l'art pour l'art. Faire débuter
l'enfant par la règle abstraite, et lui poser ensuite les problèmes à
résoudre, c'est aller au rebours de la marche de l'esprit humain, qui
en est chez lui au point où il en était dans l'enfance de l'espèce.

Alors, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligence, ainsi brusquée, se
refuse à l'abstraction qui se présente avant l'heure, et que sa
mémoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et
de pratiques dont le sens lui échappe.

La vraie méthode est donc ici de le replacer dans les conditions du
commencement, et de le faire assister en quelque sorte à la création
de l'arithmétique.

                                                         J. MACÉ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie
élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et
invariable, toujours soumis aux règles de la plus sévère logique, et
où les difficultés ne se montreraient qu'à mesure que les esprits
seraient préparés à les aborder.

Pour cela, l'étude de la géométrie devrait être reprise à divers
points de vue, correspondant aux divers degrés d'initiation des
élèves. Pour les commençants, il s'agit avant tout de se familiariser
avec les figures et leurs dénominations, d'apprendre des faits,
d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus
immédiates, celles surtout qui se rapportent aux usages de la vie
ordinaire.

On devra donc au début multiplier les axiomes, employer, au lieu de
démonstrations, les vérifications expérimentales, l'analogie,
l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition
est essentiellement provisoire. On exercera l'élève aux tracés
graphiques, à la solution de divers problèmes de levé des plans et
d'arpentage, à la construction des figures en relief... Le maître
saura proportionner au degré de développement intellectuel de l'élève
la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement dans
cette première ébauche des études géométriques.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le premier enseignement sera donc exclusivement expérimental, et peu à
peu on fera voir à l'élève comment toutes les vérités n'ont pas besoin
d'être séparément constatées par l'expérience, et comment elles sont
les conséquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on
restreindra de plus en plus, à mesure que l'on avancera dans l'étude
de la science, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux axiomes fondamentaux,
dont le nombre ne peut plus être réduit.

                                                           HOÜEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

J'ai dit que la Géométrie n'était pas à la portée des enfants; mais
c'est notre faute. Nous ne sentons pas que leur méthode n'est point la
nôtre, et que ce qui devient pour nous l'art de raisonner ne doit être
pour eux que l'art de voir. Au lieu de leur donner notre méthode, nous
ferions mieux de prendre la leur; car notre manière d'apprendre la
géométrie est bien autant une affaire d'imagination que de
raisonnement. Quand la proposition est énoncée, il faut en imaginer
la démonstration, c'est-à-dire trouver de quelle proposition déjà sue
celle-là doit être une conséquence, et, de toutes les conséquences
qu'on peut tirer de cette proposition, choisir précisément celle dont
il s'agit.

De cette manière le raisonneur le plus exact, s'il n'est inventif,
doit rester court. Aussi qu'arrive-t-il de là? Qu'au lieu de nous
faire trouver les démonstrations, on nous les dicte; qu'au lieu de
nous apprendre à raisonner, le maître raisonne pour nous et n'exerce
que notre mémoire.

Faites des figures exactes, combinez-les, posez-les l'une sur l'autre,
examinez leurs rapports; vous trouvez toujours la géométrie
élémentaire en marchant d'observation en observation, sans qu'il soit
question ni de définitions, ni de problèmes, ni d'aucune autre forme
démonstrative que la simple superposition. Pour moi, je ne prétends
point apprendre à Émile la géométrie, c'est lui qui me l'apprendra; je
chercherai des rapports et il les trouvera, car je les chercherai de
manière à les lui faire trouver. Par exemple, au lieu de me servir
d'un compas pour tracer un cercle, je le tracerai avec une pointe au
bout d'un fil tournant sur un pivot. Après cela, quand je voudrai
comparer les rayons entre eux, Émile se moquera de moi, et il me fera
comprendre que le même fil toujours tendu ne peut avoir tracé des
distances inégales.

Si je veux mesurer un angle de soixante degrés, je décris du sommet de
cet angle, non pas un arc mais un cercle entier; car avec les enfants
il ne faut jamais rien sous-entendre. Je trouve que la portion de
cercle comprise entre les deux côtés de l'angle est la sixième partie
du cercle. Après cela, je décris du même sommet un autre plus grand
cercle, et je trouve que ce second arc est encore la sixième partie de
son cercle. Je décris un troisième arc concentrique sur lequel je fais
la même épreuve; et je la continue sur de nouveaux cercles, jusqu'à ce
qu'Émile, choqué de ma stupidité, m'avertisse que chaque arc, grand ou
petit, compris par le même angle, sera toujours la sixième partie de
son cercle...

Nous voilà tout à l'heure à l'usage du rapporteur.

Pour prouver que les angles de suite sont égaux à deux droits, on
décrit un cercle; moi, tout au contraire, je fais en sorte qu'Émile
remarque cela premièrement dans le cercle, et puis je lui dis: si l'on
ôtait le cercle, et qu'on laissât les lignes droites, les angles
auraient-ils changé de grandeur? etc... On néglige la justesse des
figures, on la suppose, et l'on s'attache à la démonstration. Entre
nous, au contraire, il ne sera jamais question de démonstration; notre
plus importante affaire sera de tirer des lignes bien droites, bien
justes, bien égales; de faire un carré parfait, de tracer un cercle
bien rond. Pour vérifier la justesse de la figure, nous l'examinerons
par toutes ses propriétés sensibles; et cela nous donnera l'occasion
d'en découvrir chaque jour de nouvelles. Nous plierons par le diamètre
les deux demi-cercles; par la diagonale, les deux moitiés du carré:
nous comparerons nos deux figures pour voir celle dont les bords
conviennent le plus exactement et par conséquent la mieux faite; nous
distinguerons si cette égalité de partage doit avoir toujours lieu
dans les parallélogrammes, dans les trapèzes, etc... On essaiera
quelquefois de prévoir le succès de l'expérience avant de la faire, on
tâchera de trouver des raisons, etc...

La géométrie n'est pour mon élève que l'art de se bien servir de la
règle et du compas...

                                                  J.-J. ROUSSEAU.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il est temps d'entrer dans le vif de la question pédagogique: _Comment
convient-il d'étudier une figure avec les commençants?_ Vous
m'excuserez si je numérote les parties successives de la réponse.--1º
Avant tout, montrez le modèle matériel, faites-le circuler et manier,
puis, dessinez-le au tableau et que toute la classe vous imite.--2º
Faites dégager la propriété principale de la figure, celle qui servira
de définition. Cette propriété est jointe à d'autres, simples aussi,
et il faudra parfois aider un peu l'enfant.--3º L'essentiel de la
figure étant connu, prononcez son nom, pour la première fois. On
s'empresse autour de vous d'écrire le nom sur la chose. Vous demandez
des exemples familiers, etc.--4º Vous invitez un élève à formuler la
définition. Elle est un peu embarrassée, cette définition; vous la
rectifiez et vous la dictez, pour qu'elle soit apprise par coeur. La
définition se borne ainsi à résumer nettement ce qui est déjà su.--5º
Il faut ensuite connaître la figure plus en détail. Faites deviner ou
remarquer les autres propriétés, sans les démontrer, c'est-à-dire sans
les déduire de la propriété fondamentale. Les nouvelles propriétés
sont seulement constatées et vérifiées.--6º Terminez enfin par les
constructions et les problèmes simples, se rattachant à la figure
soumise à vos investigations.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On peut enseigner d'abord une algèbre modeste et, pour ainsi dire,
préliminaire, où les règles découlent d'exemples particuliers et non
de raisonnements généraux et abstraits. Voici les indications
principales pour un enseignement dirigé dans cet esprit.

1º _Généraliser lentement._--Je ne saurais trop le répéter, l'esprit
se refuse aux abstractions brusquement imposées. C'est graduellement
qu'on passe d'une de ces idées à la suivante: trois chevaux, le nombre
_trois_ en général, un nombre quelconque représenté par _a_ ou par
_x_.

2º _Laisser de côté les nombres négatifs, 0/0, m/0 et les
imaginaires._--Ces symboles sont délicats à comprendre et il faut les
réserver pour une étude approfondie de l'algèbre. Composez, en
conséquence, des exercices et problèmes ne présentant pas
d'impossibilités arithmétiques.

3º _Supprimer les discussions._--Ces examens à fond des questions, de
toutes leurs particularités et de toutes leurs exceptions, supposent
des esprits aiguisés. Reportons-les aussi, sans hésiter, à la seconde
période d'enseignement.

4º _Dès le début, de petits problèmes résolus à l'aide de x._--Vous
amorcez ainsi le nouveau sujet au moyen d'un chapitre, pour ainsi
dire complémentaire de l'arithmétique. Le calcul algébrique ne vient
qu'ensuite.

5º _Glisser sur la théorie du calcul algébrique._--Ce sujet est assez
aride; il est, du reste, peu important pour le moment. C'est la
pratique qui importe, en évitant les opérations trop longues.

Insister sur le carré d'un binome et passer sous silence la division
des polynomes.

6º _Raisonner directement des problèmes gradués._--La méthode des
équations s'accuse ainsi d'elle-même plus clairement qu'en la
formulant _a priori_.

7º _Équations abstraites._--Nous pouvons maintenant passer aux
équations séparées des problèmes concrets leur servant de supports. On
n'a qu'à reprendre des raisonnements déjà faits, mais en les
présentant d'une façon plus générale. Se borner à énoncer les
principes qui sont presque évidents.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La Géométrie est peut-être, de toutes les parties des mathématiques,
celle que l'on doit apprendre la première; elle me paraît très propre
à intéresser les enfants, pourvu qu'on la leur présente principalement
par rapport à ses applications, soit sur le papier, soit sur le
terrain. Les opérations de _tracé_ et de _mesurage_ ne manqueront pas
de les occuper agréablement, et les conduiront ensuite, comme par la
main, au raisonnement.

                       ¤---¤---¤

Les éléments de Géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode
des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans
cette circonstance.....

                                                         LACROIX.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens
les éléments de la géométrie; il voulut remonter à la source, et
suivre la marche de nos découvertes et des besoins qui les ont
produites.

Cette méthode paraît agréable et utile; mais elle n'a pas été suivie;
elle exige chez le maître une flexibilité d'esprit qui sait se
proportionner, et un agrément rare dans ceux qui suivent la routine de
leur profession.

                                                        VOLTAIRE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il y a deux manières d'étudier les mathématiques et deux époques pour
faire ces études avec des fruits divers.

On peut les étudier matériellement, machinalement, en demeurant dans
les faits mathématiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les
formules d'un enseignement sans plénitude et sans élévation.....

Ou bien, on peut les étudier intellectuellement, originalement, en
comparant le sens et le lien des mots, des idées et des choses, en
s'élevant aux grandes et aux simples lumières de la science, en
saisissant, pénétrant, possédant réellement la vérité.

                                                       DUPANLOUP.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Aujourd'hui la partie philosophique de la science est très négligée;
les moyens de briller dans un examen ou concours marchent en première
ligne; sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus
à familiariser les élèves avec le mécanisme du calcul qu'à leur en
faire sonder les principes. Je ne sais, en vérité, si l'on ne pourrait
pas dire de certaines personnes qu'elles emploient l'analyse comme la
plupart des manufacturiers se servent de la machine à vapeur, sans se
douter de son mode d'action. Et qu'on ne prétende pas que cet
enseignement vicieux soit un sacrifice obligé à la passion dominante
de notre époque, à la rage d'aller vite en toutes choses.

                                                           ARAGO.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Préférez, dans l'enseignement, les méthodes les plus générales.
Attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous
verrez en même temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les exemples instruisent mieux que les préceptes.

                                                          NEWTON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Au moyen-âge et jusqu'au XVIIe siècle, l'enseignement portait sur les
sept arts libéraux et il comprenait le _Trivium_ (grammaire,
rhétorique et dialectique) et le _Quadrivium_ (arithmétique,
géométrie, musique et astronomie).

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Sommes-nous revenus au système de Ptolémée?

Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier
volume d'un de nos plus savants traités d'astronomie, voyant l'auteur
toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt,
de sa révolution diurne, de ses mouvements annuels, progrès, stations
et rétrogradations, croyait, d'après cet exposé, que l'Académie des
sciences était revenue au système de Ptolémée.

Pourquoi commencer par décrire longuement et minutieusement à l'élève
des apparences dont il apprendra ensuite la fausseté? Pourquoi ne pas
lui dire tout de suite et franchement ce qui en est?

                                                          GRATRY.

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  _Ne dites pas:_                  _Dites:_

  Une ligne (pour une droite),
  un cercle (pour une circonférence).
                                   Une droite, une circonférence.

  Je mène par un point _une_ perpendiculaire
  à une droite, _une_ parallèle...
                                   _La_ perpendiculaire, _la_ parallèle...

  7 × 8: ne se lit pas 7 qui multiplie 8.
                                   7 multiplié par 8.

  Le lieu des points est _sur_  telle ligne.
                                   Le lieu des points est telle ligne.

  Le lieu des points est le segment circulaire, etc.
                                   L'arc du segment circulaire, etc.

  Inscrire _dans_ ...
                                   Inscrire _à_ ...

  Je divise l'équation par tel nombre.
                                   Je divise les deux membres de
                                   l'équation ...

  La racine négative de l'équation du second degré.
                                   La racine où le radical est précédé
                                   du signe -.

  Les puissances impaires.
                                   À exposant impair.

  Plus grand ou égal à (>=).
                                   Supérieur ou égal à.

  7 x 3/11 x 3.--Je multiplie la fraction par _trois_.
                                   Je multiplie les deux termes de la
                                   fraction par _trois_.

  4/15 et 8/30.--La plus grande fraction.
                                   La fraction qui a des termes plus
                                   grands.

  _a/b, a'/b', a''/b''_ puis _(a+a'+a'')/(b+b'+b'')_.--Ajouter
  les fractions. Etc., etc.
                                   Ajouter les fractions terme à terme.
                                   Etc., etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dans le domaine des Mathématiques pures, on peut distinguer deux
parties: l'une, la plus élevée, qui s'augmente constamment, presque
toujours par degrés insensibles, ne regarde que les mathématiciens;
l'autre, longtemps immuable, s'accroît brusquement, à des intervalles
éloignés, par l'adoption de quelque théorie nouvelle: c'est la matière
de l'enseignement, ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les
hommes qui s'adonnent aux sciences et, sans cultiver les
Mathématiques, ont toujours besoin de les connaître.

                                                         HALPHEN.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de
propositions simples irréductibles à d'autres plus simples, appelées
axiomes, et sur les définitions. Ces éléments, convenablement mis en
oeuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus
complexes, qui ne sont donc, en définitive, que des composés logiques
de ces éléments. Dans la géométrie élémentaire, l'arithmétique, la
statique et plus généralement dans toutes les sciences où l'on fait
usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on
prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on
s'élève de proche en proche, jusqu'aux propositions les plus
complexes...

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Frappé de cette difficulté que les élèves éprouvent à saisir
l'ensemble et les déductions du Cours, j'ai souvent employé avec
succès un mode d'exercice, que j'appelle la recherche des antécédents
d'une proposition et qui n'est en quelque sorte que l'_analyse_ d'une
proposition trouvée d'abord par la _synthèse_... On prend une
proposition quelconque et l'on relève toutes les propositions
antécédentes (lemmes, théorèmes, corollaires), toutes les définitions
et tous les axiomes invoqués dans la démonstration. On a ainsi une
première analyse de la proposition donnée. On reprend ensuite chacune
des propositions antécédentes invoquées, on les analyse à leur tour et
l'on continue de la sorte jusqu'à ce que l'on arrive à n'avoir plus
que des axiomes et des définitions.

                                                       JABLONSKI.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

«Allez en avant, a dit d'Alembert, la foi vous viendra.» Le
remarquable morceau qui suit est un commentaire de ce conseil parfois
contesté.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Quoique les vérités mathématiques se déduisent, dans un ordre
rigoureux, d'un petit nombre de principes réputés évidents, on ne
parvient point à les posséder pleinement, en en suivant pas à pas les
déductions, en allant toujours dans le même sens du connu à l'inconnu,
sans jamais revenir en arrière sur un chemin où l'on n'a rien laissé
d'obscur. Le sens et la portée des principes échappent au débutant,
qui saisit mal la distinction entre ce qu'on lui demande d'accorder et
les conséquences purement logiques des hypothèses ou des axiomes;
parfois, la démonstration lui paraît plus obscure que l'énoncé; c'est
en vain qu'il s'attarderait dans la région des principes pour la mieux
connaître, il faut que son esprit acquière des habitudes qu'il n'a
pas, qu'il aille en avant sans trop savoir ni où il va, ni d'où il
part; il prendra confiance dans ce mode de raisonnement auquel il lui
faut plier son intelligence, il s'habituera aux symboles et à leurs
combinaisons. Revenant ensuite sur ses pas, il sera capable de voir,
du point de départ et d'un seul coup d'oeil, le chemin parcouru:
quelques parties de la route resteront pour lui dans l'ombre,
quelques-unes même seront peut-être entièrement obscures, mais
d'autres sont vivement éclairées; il sait clairement comment on peut
arriver de cette vérité à cette autre; il sait où il doit porter son
attention; ses yeux, mieux exercés, parviennent à voir clair dans ces
passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre maître, s'il
ne les avait franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou
de suivre une autre direction; il entre en possession des vérités
nouvelles qui s'ajoutent aux vérités anciennes et qui les éclairent;
il s'étonne parfois des perspectives inattendues qui s'ouvrent devant
lui et lui laissent voir, sous un aspect nouveau, des régions qu'il
croyait connaître entièrement; peu à peu les ombres disparaissent et
la beauté de la science, si une dans sa riche diversité lui apparaît
avec tout son éclat.

Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui étudie les mathématiques
n'est que l'image de ce qui s'est passé dans la création et dans
l'organisation de la science; dans ce long travail, la rigueur
déductive n'a pas été seule à jouer un rôle. On peut raisonner fort
bien et fort longtemps sans avancer d'un pas, et la rigueur n'empêche
pas un raisonnement d'être inutile. Même en mathématiques, c'est
souvent par des chemins peu sûrs que l'on va à la découverte. Avant de
faire la grande route qui y mène, il faut connaître la contrée où l'on
veut aller; c'est cette connaissance même qui permet de trouver les
voies les plus directes; c'est l'expérience seule qui indique les
points où il faut porter l'effort; ce sont les difficultés parfois
imprévues qui se dressent devant les géomètres qui les forcent à
revenir au point de départ, à chercher une route nouvelle qui permette
de tourner l'obstacle. S'imagine-t-on, par exemple, les inventeurs du
calcul différentiel et intégral s'acharnant, avant d'aller plus loin,
sur les notions de dérivée et d'intégrale définie?

                                                      J. TANNERY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La science même la plus exacte renferme quelques principes généraux
que l'on saisit par une sorte d'instinct qui ne permet pas d'en
douter, et auquel il est bon de se livrer d'abord. Après les avoir
suivis dans toutes leurs conséquences et s'être fortifié l'esprit par
un long exercice dans l'art de raisonner, on peut sans danger revenir
sur ces principes qui se présentent alors dans un plus grand jour...

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

J'avoue même que j'attacherai moins de prix à mettre dans la
démonstration d'un théorème cette rigueur extrême, si recherchée
maintenant, qu'à faire clairement apercevoir la raison de ce théorème
et ses connexions avec les autres vérités mathématiques. Je prie donc
que l'on m'accorde quelquefois, pour la commodité de l'exposition et
pour ne point décourager dès le début mes jeunes lecteurs, des
démonstrations qui ont satisfait si longtemps les plus grands
géomètres.

                                                         COURNOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il ne faut pas prévenir à contre-temps des difficultés trop subtiles.

                                                     J. BERTRAND.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Voulez-vous simplifier une théorie, une méthode, inscrivez-la dans
les programmes. Les professeurs se chargeront de l'éclairer et de la
réduire à sa plus simple expression.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Je me défie un peu des démonstrations trop élégantes, trop
symétriques, reposant sur une heureuse notation. Elles empêchent
parfois de réfléchir au fond des choses, elles persuadent plus
qu'elles n'éclairent.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il importe de bien comprendre l'importance de la condition
_nécessaire_ et _suffisante_ ou de la réciprocité des conditions ou,
comme on dit encore, de la propriété caractéristique. Combien de
raisonnements faux ou incomplets entraîne une analyse imparfaite!

La démonstration des réciproques--lorsqu'elles sont vraies--est trop
négligée.

Pour établir un lien mathématique, il faut deux propositions dont la
seconde est, à volonté, la réciproque ou la contraire de la première.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Ce n'est pas dans la manière de figurer les nombres, de les habiller
pour ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmétique de l'Algèbre,
mais c'est surtout dans l'essence même des nombres, dans la manière de
les concevoir. La ligne de démarcation de l'Arithmétique et de
l'Algèbre provient de l'idée que l'on se fait du nombre, suivant
qu'on le considère comme grandeur ou seulement comme numéro d'ordre,
c'est-à-dire suivant que l'on accepte ou que l'on refuse la notion de
continuité; c'est ainsi que la doctrine des nombres irrationnels, des
logarithmes, etc., appartient exclusivement au domaine de l'Algèbre,
c'est-à-dire des fonctions analytiques.

                                                        E. LUCAS.




HISTOIRE


Dès les temps les plus reculés, les hommes ont compté les objets et
mesuré grossièrement l'étendue et le temps. Ces notions ont commencé à
se préciser chez les Phéniciens, commerçants et calculateurs, chez les
Égyptiens, arpenteurs (inondations du Nil) et architectes (Pyramides);
enfin chez les Chaldéens, pasteurs et observateurs des astres. Tels
seraient les commencements de l'arithmétique, de la géométrie et de
l'astronomie.

Les premiers documents historiques nous montrent la Géométrie prenant
son admirable développement chez les Grecs. Presque oubliées pendant
le Moyen âge, les Mathématiques renaissent au seizième siècle chez les
Occidentaux. Le siècle suivant voit paraître la Géométrie analytique
et le Calcul infinitésimal, grandes découvertes qui renouvellent et
étendent la science.

Nous allons esquisser les principales périodes de l'histoire des
mathématiques.

I. PHILOSOPHES GRECS.--Ils étaient aussi presque tous géomètres et
astronomes.

On attribue à _Thalès_ (600 ans av. J.-C.) et à son École ionienne
les propositions les plus simples de la Géométrie, les premières
mesures de distances inaccessibles et des observations astronomiques
au gnomon.

_Pythagore_ (550 ans av. J.-C.) et les Pythagoriciens connaissent la
somme des angles d'un triangle, le carré de l'hypoténuse, les
polyèdres réguliers et l'un au moins des deux mouvements de la Terre.

_Platon_ (400 ans av. J.-C.) et les Platoniciens dégagent la méthode
d'analyse en Géométrie; ils imaginent les coniques et d'autres lieux
géométriques pour opérer la duplication du cube; ils raisonnent déjà
les incommensurables.

II. L'ÉCOLE GRECQUE D'ALEXANDRIE.--Dans cette célèbre École, qui dure
plus de mille ans, les Mathématiques brillent du plus vif éclat et
atteignent leur apogée.

_Euclide_ (300 ans av. J.-C.) coordonne, dans ses _Éléments_, toute la
Géométrie, sauf les coniques. Ce livre domine encore l'enseignement de
nos jours.

_Archimède_ (250 ans av. J.-C), le plus grand peut-être de tous les
mathématiciens, mesure le cercle et la sphère; fait la quadrature de
la parabole; étudie la première série; fonde la statique sur la
théorie du levier, etc.

_Apollonius_ de Perge (200 ans av. J.-C.) résume, dans son _Traité des
coniques_, les propriétés déjà connues de ces courbes et celles plus
cachées qu'il découvre à son tour.

_Hipparque_ (150 ans av. J.-C.) refait toutes les observations
astronomiques et, malgré l'imperfection de ses instruments, il trouve
des nombres assez exacts pour servir de base à la théorie.

_Ptolémée_ (150 ans ap. J.-C.) admet, dans son _Almageste_, la fixité
de la Terre et parvient néanmoins à représenter les mouvements
célestes, à l'aide d'un système compliqué de cercles.

_Diophante_ (350 ans ap. J.-C), surnommé le Père de l'Algèbre, crée
enfin cette nouvelle branche dans ses _Arithmétiques_.

La science pâlit ensuite à Alexandrie. Il n'y a plus que des
commentateurs, parmi lesquels on doit distinguer _Pappus_: il nous
conserve, dans ses _Collections mathématiques_, des fragments
d'ouvrages perdus.

III. LES AUTRES PEUPLES JUSQU'À LA RENAISSANCE.--Les _Égyptiens_
possèdent des connaissances arithmétiques et géométriques, bien des
siècles avant notre ère, comme le prouve le papyrus d'Ahmès, récemment
déchiffré. Ils restent stationnaires, tandis que les Grecs, qui leur
font des emprunts, progressent rapidement.

De même, les _Chinois_ paraissent savoir des Mathématiques dès
l'antiquité la plus reculée; mais ce peuple, lui aussi, reste
immobile.

Les _Hindous_, tels que Aryabhata, Bramagupta et Bascara, ont, de
temps immémorial, la curiosité des grands nombres; ils cultivent
l'Algèbre et résolvent les équations des deux premiers degrés.

Les _Arabes_, tels que Mohamed-ben-Musa, Aboul-Wefa, etc., servent
d'intermédiaires entre les Grecs et les Indiens d'une part et les
Occidentaux de l'autre.

En _Europe_, le Moyen-âge reste obscur et stérile. Citons cependant
_Gerbert_ qui s'instruit, vers l'an 1000, auprès des Maures d'Espagne
et apporte aux Chrétiens les chiffres modernes. Citons encore les
Algébristes italiens, _Léonard de Pise_, qui fait le commerce en
Orient au douzième siècle, et _Lucas de Burgo_ (quinzième siècle).

IV. LE SEIZIÈME SIÈCLE.--La science reprend enfin son essor, et les
grandes découvertes se préparent.

Le Polonais _Copernic_ (1473-1543) propose le véritable système du
monde et en montre l'admirable simplicité.

L'Italien _Cardan_ (1501-1576) établit la formule de résolution des
équations du 3e degré; il tenait la règle de Tartaglia.

_Viète_ (1540-1603), né dans le Bas-Poitou, entrevoit les propriétés
générales des équations, résout par l'algèbre les problèmes de
géométrie et complète la trigonométrie.

L'Écossais _Neper_ (1550-1617), inventeur des logarithmes, double,
pour ainsi dire, la vie des calculateurs.

_Harriot_ (1568-1621), d'Oxford, trouve les relations entre les
coefficients et les racines des équations, et il calcule les racines
entières et fractionnaires.

_Galilée_, de Florence (1564-1642), étudie le pendule, découvre les
lois de la chute des corps et des projectiles; il confirme le système
de Copernic, par ses observations astronomiques.

V. LE DIX-SEPTIÈME SIÈCLE.--Ce siècle, aussi grand dans les sciences
que dans les lettres, nous donne d'une part la géométrie analytique et
le calcul infinitésimal, de l'autre les lois de Kepler et de
l'attraction universelle.

L'Allemand _Kepler_ (1571-1630), utilisant les observations de
Tycho-Brahe, trouve les trois lois du mouvement des planètes autour du
soleil.

Notre grand _Descartes_ (1596-1650) étend l'algèbre pure et il crée la
Géométrie analytique ou étude des courbes à l'aide de leurs équations.

_Fermat_, de Toulouse (1601-1665), résout aussi les problèmes des
tangentes et des maximums, et il révèle les propriétés les plus
secrètes des nombres.

_Pascal_ (1623-1662) crée l'analyse combinatoire et le calcul des
probabilités; il perfectionne la géométrie des courbes.

Le Hollandais _Huygens_ (1629-1695) fait progresser à la fois la
géométrie, la mécanique et l'astronomie.

Le grand _Newton_ (1642-1727) invente le Calcul infinitésimal ou des
_fluxions_, et découvre la loi de l'attraction universelle. Il a
autant de génie que le vieil Archimède.

_Leibniz_ (1646-1716) imagine le nouveau Calcul presque en même temps
que Newton, et avec une notation plus heureuse.

VI. LE DIX-HUITIÈME SIÈCLE.--Les mathématiciens appliquent l'analyse
infinitésimale aux questions les plus variées et les plus difficiles.

Le Suisse _Euler_ (1707-1783) fait de nombreuses recherches sur les
fonctions, les séries, les intégrales, etc.

_D'Alembert_ (1717-1783) traite la précession des équinoxes par le
calcul, et il ramène l'étude du mouvement à celle de l'équilibre.

_Lagrange_ (1736-1813) manie avec une rare élégance l'algèbre et le
calcul infinitésimal; il crée la mécanique rationnelle.

_Monge_ (1746-1818) fonde la géométrie descriptive, si utile aux
ingénieurs.

_Laplace_ (1749-1827) se rend célèbre par sa _Mécanique céleste_ ou
application du calcul au système du monde.

_Carnot_ (1753-1823), géomètre-philosophe, cherche à préciser les
nombres négatifs et imaginaires, les intégrales, etc.

VII. PREMIÈRE MOITIÉ DU DIX-NEUVIÈME SIÈCLE.--Cette période se fait
remarquer à la fois par des vues très générales et par la curiosité du
détail.

L'Allemand _Gauss_ (1777-1855) étudie les équations binomes et la
théorie des nombres.

Le général _Poncelet_ (1788-1867) étend la géométrie par les méthodes
de transformation.

_Cauchy_ (1789-1857) se livre à de profondes recherches sur les
séries, les imaginaires et l'infini.

L'Allemand _Jacobi_ (1804-1851) s'occupe de fonctions nouvelles et, en
particulier, des fonctions elliptiques.

_Chasles_ (1793-1880) systématise, dans sa _Géométrie supérieure_, la
convention des signes, le rapport anharmonique, l'homographie,
l'involution, etc.

Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la
physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la
recherche se particularise et s'aiguise de plus en plus, on creuse les
propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul
infinitésimal porte tous ses fruits.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

     Nous allons passer une revue rapide des _plus grands
     mathématiciens_, de ces génies créateurs qui ont découvert et
     fondé la science. Nous essaierons de caractériser chacun d'eux en
     reproduisant un jugement compétent et en citant l'oeuvre
     capitale.

_Euclide_ (300 av. J.-C.) ou la Géométrie élémentaire.

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que
les _Éléments d'Euclide_. Ils ont été traduits et commentés dans
toutes les langues, enseignés exclusivement pendant des siècles dans
toutes les Écoles de Mathématiques: on les suit encore en Angleterre.

                                                          ROUCHÉ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Archimède_ (287-212 av. J.-C.) ou la Géométrie infinitésimale.

Ceux qui sont en état de comprendre Archimède admirent moins les
découvertes des plus grands hommes modernes.

                                                         LEIBNIZ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Apollonius_ (de Perge) (200 av. J.-C.) ou la Géométrie des coniques.

L'ouvrage d'Apollonius sur les _sections coniques_ est pour ainsi dire
le couronnement de la Géométrie grecque.... Tout y est coordonné
symétriquement; l'unité du plan reflète, jusque dans les moindres
détails, la pensée directrice de l'auteur, qui tend à lier entre elles
toutes les sections du cône.

                                                          HOEFER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Hipparque_ (150 av. J.-C.) ou les Observations astronomiques.

Quand on réunit tout ce qu'il a inventé ou perfectionné, et qu'on
songe au nombre de ses ouvrages, à la grande quantité de calculs
qu'ils supposent, on trouve dans Hipparque un des hommes les plus
étonnants de l'Antiquité, et le plus grand de tous dans les sciences
qui ne sont pas purement spéculatives.

                                                        DELAMBRE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Ptolémée_ (150 ap. J.-C.) ou l'Astronomie géométrique.

L'édifice astronomique élevé par Ptolémée a subsisté pendant près de
quatorze siècles; aujourd'hui même qu'il est entièrement détruit, son
_Almageste_... est un des plus précieux monuments de l'Antiquité.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Diophante_ (350 ap. J.-C.) ou l'Algèbre naissante.

On ne peut pas dire que l'Algèbre, même élémentaire, soit sortie
constituée de ses mains, et cependant on ne peut nier qu'elle n'y ait
pris un développement très remarquable.

                                                        M. MARIE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Viète_ (1540-1603) ou l'Algèbre en progrès.

C'est dans son ouvrage d'analyse, intitulé _Isagoge in artem
analyticam_, que l'auteur expose pour la première fois une des
théories les plus profondes et les plus abstraites que l'esprit humain
ait inventées.

                                                      J. FOURIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Galilée_ (1564-1642) ou la Mécanique.

La théorie générale du mouvement varié, inconnue aux Anciens, prit
naissance entre les mains de Galilée. Il trouva la loi de
l'accélération des corps qui tombent librement par la pesanteur ou qui
glissent sur des plans inclinés et il établit à ce sujet les
propriétés générales du mouvement uniformément accéléré.

                                                          BOSSUT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Descartes_ (1596-1650) ou la Géométrie analytique.

Ce qui a surtout immortalisé le nom de ce grand homme, c'est
l'application qu'il a su faire de l'algèbre à la géométrie, idée des
plus vastes et des plus heureuses que l'esprit humain ait jamais eues,
et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non
seulement dans la géométrie, mais dans toutes les sciences
physico-mathématiques.

                                                      D'ALEMBERT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Fermat_ (1601-1665) ou l'Arithmétique supérieure.

Cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques...
pour moi, je confesse que cela me dépasse de bien loin.

                                                          PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Pascal_ (1623-1662) ou l'Algèbre supérieure.

C'est le génie le plus étonnant, unique dans les Lettres, dans la
Philosophie, la Religion et aussi dans les Mathématiques où sa
profondeur est incroyable.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Newton_ (1642-1727) ou le Calcul infinitésimal.

Newton était maître de la méthode des fluxions avant que Leibniz fût
en possession du Calcul différentiel, mais l'invention de Leibniz
était indépendante de celle de Newton et l'avait précédée comme
publication.

                                                            BIOT.

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_Monge_ (1746-1818) ou la Géométrie descriptive.

Les constructeurs de toutes les professions, les architectes, les
mécaniciens, les tailleurs de pierre, les charpentiers, soustraits
désormais à des préceptes routiniers, à des méthodes sans
démonstration, se rappelleront avec reconnaissance que s'ils savent,
que s'ils parlent la langue de l'ingénieur, c'est Monge qui l'a créée,
qui l'a rendue accessible à tout le monde, qui l'a fait pénétrer dans
les plus modestes ateliers.

                                                           ARAGO.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Laplace_ (1749-1827) ou la Mécanique céleste.

La loi newtonienne explique aujourd'hui tous les phénomènes connus.
Plus les observations sont précises, plus elles sont conformes à la
théorie. Laplace est de tous les géomètres celui qui a le plus
approfondi ces grandes questions; il les a pour ainsi dire terminées.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Laplace était né pour tout perfectionner, pour tout approfondir, pour
reculer toutes les limites, pour résoudre ce que l'on aurait pu croire
insoluble. Il aurait achevé la science du ciel (dans sa _Mécanique
céleste_), si cette science pouvait être achevée.

                                                      J. FOURIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Lagrange_ (1736-1813) ou la Mécanique rationnelle.

Le trait distinctif de son génie consiste dans l'unité et la grandeur
des vues. Il s'attachait en tout à une pensée simple, juste et très
élevée. Son principal ouvrage, la _Mécanique analytique_, pourrait
être nommé la Mécanique philosophique, car il ramène toutes les lois
de l'équilibre et du mouvement à un seul principe; et, ce qui n'est
pas moins admirable, il les soumet à une seule méthode de calcul dont
il est lui-même l'inventeur. Toutes ses compositions mathématiques
sont remarquables par une élégance singulière, par la symétrie des
formes et la généralité des méthodes et, si l'on peut parler ainsi,
par la perfection du style analytique.

                                                      J. FOURIER.

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_Cauchy_ (1789-1857) ou les Symboles.

Mathématicien très profond, mais parfois un peu obscur; son oeuvre
est considérable: de fidèles disciples élucident et précisent des vues
nouvelles et hardies qui fixeront la science.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

_Chasles_ (1793-1876) ou la Géométrie supérieure.

Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrès continus
réalisés par la Géométrie depuis soixante ans. Il suffit de citer
l'_Aperçu historique_, la _Géométrie supérieure_... La Géométrie... a
regagné sur l'analyse le terrain perdu.

                                                          ROUCHÉ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Charlemagne substitua aux mesures romaines le pied-de-roi ou
pied-de-Paris, emprunté aux Arabes, et les dérivés de cette longueur.
Il chercha à répandre dans son vaste empire ces unités qui devaient
durer dix siècles, mais en s'altérant et en se compliquant beaucoup.

Les États généraux réclamèrent maintes fois l'ordre dans les poids et
les monnaies.

Louis XI, François Ier et Louis XIV tentèrent en vain, dans leurs
édits royaux, d'imposer partout les mesures de Paris.

À l'occasion de la mesure du méridien par Picard, «on fit en 1668, dit
Saigey, une toise en fer portant une arête à chaque bout, et on la
fixa au bas du grand escalier du Châtelet, pour servir de régulateur
au commerce et à la justice.»

La toise qui, après avoir été comparée à celle du Châtelet, avait été
employée dans les mesures méridiennes du Pérou, par Bouguer et La
Condamine, servit à son tour d'étalon, et quatre-vingts modèles en
furent expédiés aux parlements de France et aux astronomes étrangers.
C'était un premier pas vers l'uniformité, et bientôt la toise du
Pérou, comme on l'appelait, servit à l'étalonnage du mètre.

Parmi les réformes urgentes, demandées dans les cahiers de 1789, on
retrouve sans cesse celle des poids et des mesures: on les veut
«simples et les mêmes dans tout le pays».

Le 8 mai 1790, sur la proposition de Talleyrand, l'Assemblée
constituante engage les rois de France et d'Angleterre à se concerter
pour adopter la même unité. Cette mesure (par exemple, la longueur du
pendule à seconde proposée autrefois par Picard) eût été fixée par une
commission composée, en nombre égal, d'académiciens de Paris et de
membres de la Société royale de Londres.

L'Académie des sciences discuta seule la question, et sa commission
(Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Lavoisier) rejeta le pendule «pour
ne pas mêler à une question de longueur des considérations de
mouvement et de temps», et elle proposa la dix-millionième partie du
quart du méridien. La tradition attribue à Laplace la conception de
l'ensemble du système, à Borda le plan des opérations géodésiques, et
à Lavoisier le kilogramme.

Le 26 mars 1791, un décret de l'Assemblée constituante adopta la
circonférence terrestre comme base et prescrivit les travaux
nécessaires.

«Prendre pour unité de longueur usuelle la dix-millionième partie du
quart du méridien et rapporter la pesanteur de tous les corps à celle
de l'eau distillée, en reliant par l'échelle décimale toutes les
mesures principales aux mesures plus grandes ou plus petites.»

Dès 1792, Delambre et Méchain furent chargés, par leurs collègues de
l'Académie des sciences, de mesurer l'arc de Dunkerque à Barcelone, en
Espagne, qui comprend dix degrés environ[3]. La triangulation s'appuya
sur deux bases, près de Melun et de Perpignan. Aux mesures directes
devaient succéder un long travail de comparaison aux mesures
antérieures, de réductions et de calculs. Sans attendre la fin de ce
travail, l'Académie calcula provisoirement le mètre d'après les
observations anciennes, «avec une exactitude suffisante pour tous les
besoins de la société»; d'autre part elle avait déterminé, par des
expériences précises, la longueur du pendule à seconde et le poids
d'un centimètre cube d'eau distillée: c'étaient les éléments de toutes
les autres mesures. Les observations nouvelles ne pouvaient apporter à
leurs valeurs que des corrections insensibles.» (Biot.)

[Note 3: Le général Perrier, mort en 1888, a réuni géodésiquement
l'Espagne à l'Algérie, par dessus la Méditerranée. Nous connaissons
maintenant la longueur d'un arc de méridien allant du nord de
l'Angleterre au Sahara.]

Dans la séance du 1er août 1793, la Convention, sur un rapport
présenté par Arbogast au nom du Comité d'instruction publique, vota
l'établissement du système métrique dans toute l'étendue de la
République. Toutefois, le système ne fut rendu obligatoire que par le
décret du 18 germinal an III (7 avril 1795). Ce décret fixa
définitivement la nomenclature; il y est dit que «l'étalon sera une
règle de platine, exécutée avec la plus grande précision d'après les
expériences et les observations de la commission. On le déposera près
le Corps législatif, ainsi que le procès-verbal des opérations qui
auront servi à le déterminer.»

Une commission générale de trente-deux membres, tant français
qu'étrangers, avait été chargée des calculs définitifs.

Le 4 messidor an VII (22 juin 1799), cette commission, par l'organe de
ses rapporteurs, le hollandais Swiden et le suisse Trallès, annonça
aux deux conseils législatifs de la République que le quart du
méridien valait 5130740 toises, d'où se déduisait la longueur du
mètre. Les deux délégués présentèrent aussi les étalons du mètre et du
kilogramme, en platine; la règle doit être prise à zéro et le poids
cylindrique doit être pesé dans le vide. «Ces deux _prototypes_
furent, le même jour, placés dans une boîte fermant à clef, et déposés
aux Archives de la République dans la double armoire en fer, fermant à
quatre clefs.»

Sous le Consulat, la loi du 2 novembre 1801 se borna à _autoriser_
l'usage des nouvelles mesures de préférence aux anciennes; et sous
l'Empire, le décret rétrograde du 12 février 1812 organisa un système
mixte et bâtard qui devait retarder de vingt-cinq ans l'avènement du
vrai système métrique. Il y eut une toise métrique, une livre
métrique, etc.

Enfin, la loi célèbre du 4 juillet 1837, reprenant les traditions de
la Révolution, remit en vigueur le système métrique pur, et prohiba,
non seulement l'emploi de toutes les anciennes mesures, mais même
leurs dénominations.

Depuis le 1er janvier 1840, le nouveau système est imposé par la loi
à tous les citoyens français, et les délinquants sont punis de
l'amende ou de la prison.

En 1869, l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg proposa une
révision européenne du mètre. Delambre, disait-elle, a adopté un
aplatissement de la terre un peu trop faible, et en outre une erreur
matérielle s'est glissée dans les calculs de réduction. L'allemand
Bessel, discutant toutes les mesures du méridien, et en particulier
celles de Biot et Arago (1808) a trouvé 5131180 toises au lieu de
5130740 toises; le nombre fondamental du système métrique est ainsi
trop petit de 440 toises. De plus, le kilogramme doit être rapporté à
zéro, non à 4°. Il est regrettable, ajoutait l'Académie de
Saint-Pétersbourg, que les nouvelles mesures ne soient pas établies
par des savants de toutes les nations, travaillant en commun. Les
étalons envoyés de Paris aux gouvernements étrangers sont imparfaits,
ils sont relevés sur le mètre du Conservatoire des arts et métiers et
non sur celui des Archives, et par des procédés qu'il faudrait
perfectionner.--À ces critiques, l'Académie des sciences de Paris
répondit que la différence entre les nombres de Delambre et de Bessel
était assez légère, que tout nombre nouveau devrait d'ailleurs être
modifié plus tard, par suite du progrès de la science: or on ne peut
pas changer de mètre chaque siècle. Des savants de tous les pays ont
collaboré avec les savants français, et l'unité qu'ils ont arrêtée
ensemble peut être transmise très exactement.--À la suite de cet
échange d'observations, les deux Académies se mirent d'accord pour
demander la réunion d'un congrès du mètre, devant étudier la question
des mesures et de leurs meilleurs étalons.

La première réunion à Paris du _Congrès international du mètre_ ayant
été interrompue par la guerre, une seconde réunion eut lieu en 1872.
Vingt États y furent représentés. Il fut résolu qu'on ne ferait pas
une nouvelle mesure du méridien; que le mètre et le kilogramme actuels
seraient perpétués tels quels; que les étalons seraient en platine
iridié, de 102 centimètres pour limiter le mètre à deux traits, etc.

En 1873, les chimistes Deville et Debray coulèrent, à une température
dépassant 2000°, les premiers mètres internationaux, à l'École normale
supérieure. Ces mètres ont la même valeur scientifique, sinon
historique, que le prototype des Archives qu'ils reproduisent
parfaitement, et ils font loi à l'étranger.

Un musée du mètre a été, dans ces dernières années, réuni à
l'Observatoire par M. Wolf.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les prêtres me dirent encore que Sésostris fit le partage des terres,
assignant à chaque Égyptien une portion égale et quarrée, qu'on tirait
au sort, à la charge néanmoins, de lui payer tous les ans une certaine
redevance qui composerait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait
à quelqu'un une portion de son lot, il allait trouver Sésostris pour
lui exposer l'accident, et le Roi envoyait sur les lieux des
Arpenteurs pour mesurer de combien l'héritage était diminué, afin de
ne faire payer la redevance convenue qu'à proportion du fonds qui
restait. Voilà, je crois, l'origine de la géométrie, qui a passé de ce
pays en Grèce.

                                                        HÉRODOTE.

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Les débuts de la science ont dû être bien humbles. Il est probable,
par exemple, que la légitimité de l'interversion des facteurs du
produit de plusieurs nombres n'a été établie pendant longtemps que par
des vérifications répétées. On a dû aussi reconnaître par l'expérience
que la longueur du fil entourant la circonférence contient toujours le
même nombre de fois celle du diamètre.

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Nicétas de Syracuse croyait, au rapport de Théophraste, que le ciel,
le soleil, la lune, les étoiles, en un mot tous les corps qui sont
au-dessus de nous, sont immobiles, et que la terre seule est en
mouvement dans l'Univers; qu'elle tourne sur son axe avec une extrême
vitesse et produit les mêmes _apparences_ que si elle était immobile
et le ciel en mouvement.

                                                         CICÉRON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Hankel, l'historien des mathématiques, mort il y a quelques années,
admettait, contrairement à l'opinion reçue, l'évolution et le progrès
_continu_. D'abord les Grecs géomètres, puis les Hindous purs
algébristes, et enfin les Modernes qui unissent l'algèbre et la
géométrie. De son côté, Chasles avait déjà dit: «Les Grecs étaient
surtout géomètres; ce n'est que très tard qu'on trouve chez eux le
Traité d'Algèbre de Diophante. Leur géométrie était pure, sans mélange
de calcul... Chez les Hindous, au contraire, l'Algèbre paraît être la
science la plus cultivée; les théories algébriques s'y trouvent dans
une perfection surprenante... (dans les temps modernes) une rénovation
générale des mathématiques leur a donné, avec le caractère
d'abstraction et de généralité qui leur convient, des ressources
puissantes dont les Grecs n'avaient point eu l'idée.»

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les géomètres grecs spéculaient sur les grandeurs elles-mêmes, jamais
sur leurs mesures.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les douze cents ans qui séparent Pappus de Viète, de Descartes et de
Galilée ne sont qu'une longue nuit.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il serait impossible de méconnaître la rare habileté des Hindous dans
les recherches relatives soit aux propriétés des nombres, soit aux
transformations algébriques; mais si l'on considère... leur
quasi-nullité en géométrie... on ne peut s'empêcher de les mettre
infiniment au-dessous des Grecs.

                                                        M. MARIE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques anciennes nous offrent l'exemple d'une décadence
profonde après un brillant apogée; et l'on peut affirmer, de ce point
de vue, que le vrai problème qui s'impose aujourd'hui dans l'histoire
des mathématiques est de préciser les circonstances et de déterminer
les causes de la décadence passée, en vue de connaître les précautions
à prendre pour éviter une décadence future.

                                                      P. TANNERY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La découverte en mathématiques a atteint deux maximums, l'un en
géométrie pure aux temps d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius, et
l'autre au XVIIe siècle, qui nous a donné l'Application de l'Algèbre à
la Géométrie, le Calcul infinitésimal et le Principe de l'attraction.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La résolution des équations du troisième et du quatrième degré, le
dénoûment du fameux cas irréductible furent la grande affaire des
algébristes du XVIe siècle.

                                                       LIOUVILLE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'idée préconçue que les mouvements célestes devaient être circulaires
et uniformes a égaré les Grecs.

La même hypothèse d'une certaine simplicité des lois de la nature a,
au contraire, guidé Kepler. S'il avait su combien sont complexes, les
mouvements perturbés des planètes, il n'aurait pas découvert les lois
qui donnent une première approximation de ces mouvements.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les philosophes qui, dans l'antiquité, soutenaient l'opinion du
mouvement de la terre furent taxés d'impiété; au XVIe siècle, il se
trouve encore des esprits assez malavisés pour commettre la même faute
et pour transformer en question religieuse une question purement
scientifique. On alla chercher dans les livres sacrés des textes dont
on se fit des arguments; chacun les interpréta suivant sa fantaisie,
et l'on vit tout à coup surgir les disputes les plus âpres et les plus
déraisonnables, au détriment commun de la science et de la religion.

                                                          VALSON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

À dire vrai, nous n'avons fait depuis les Grecs, que trois grandes
découvertes en Mathématiques pures, mais elles ont une immense portée.

Descartes a inventé la _Géométrie analytique_, en représentant chaque
courbe par une équation en _x_ et _y_, qui est la relation constante
entre les coordonnées d'un point quelconque de la courbe. Toute
question de géométrie est alors transformée en une question d'algèbre.

Leibniz et Newton ont, presque simultanément, trouvé le _Calcul
infinitésimal_ qui permet d'analyser si finement la variation continue
des fonctions.

Enfin de nos jours, Cauchy a su donner à l'Analyse, grâce aux
imaginaires mieux comprises, une admirable et complète généralité.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les histoires générales des mathématiques les plus importantes sont
celles de Montucla en quatre volumes (dont les deux derniers sont de
Lalande); de Bossut, plus courte; de Hankel, malheureusement inachevée
à la mort de l'auteur; de Maximilien Marie (12 vol.) et de Moriz
Cantor. Ce dernier livre, fruit de longues recherches est le plus
complet, le plus approfondi.

M. Eneström publie à Stockholm un journal d'histoire des
mathématiques, la _Bibliotheca mathematica_.

Nous devons aussi citer les nombreux travaux d'érudition et de
critique de Paul Tannery et de Charles Henry.

Enfin le prince Balthasar Boncompagni a publié plus de vingt volumes
de son _Bulletin de bibliographie et d'histoire des mathématiques_.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les _Éloges des académiciens_ par Fontenelle ont leur place marquée
dans la bibliothèque de l'homme de goût. L'auteur a popularisé le
premier les savants et la Science. Son influence a été plus grande
qu'on ne le croit, il l'a exercée délicatement et discrètement en
parsemant de pensées brillantes un fond sérieux. Voltaire compare ces
éloges à «ces moissons abondantes où les fleurs croissent
naturellement avec les épis».

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

M. P. Lafitte traite au Collège de France de l'histoire générale des
Sciences, au point de vue positiviste. Nous n'avons, à vrai dire,
aucune chaire d'histoire des mathématiques. C'est là une lacune
regrettable dans notre haut enseignement.

En Belgique, à l'université de Gand, M. Mansion fait un cours régulier
d'histoire des mathématiques et ce cours est obligatoire pour les
étudiants scientifiques.

«Combien ai-je vu, dit M. Bertrand, d'anciens candidats à l'École
Polytechnique qui, connaissant fort bien un traité d'algèbre classique
et n'ayant rien lu au delà, ignoraient les noms d'Euler et de
Bernoulli, et mettaient sur le même plan dans leur souvenir Newton et
Bezout, Descartes et Budan, Cauchy et Sarrus.»

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les sciences mathématiques ont composé longtemps tout le domaine des
idées exactes; partout ailleurs on ne retrouvait que les vains efforts
du génie pour arriver à la connaissance de la vérité, et les erreurs
sans nombre que les doctrines insuffisantes des premiers inventeurs
traînaient à leur suite. Le langage mystérieux employé par les
philosophes formait avec la langue précise et claire des sciences
exactes, un contraste singulier qui inspirait au géomètre le plus
profond mépris pour les autres sciences. Mais, lorsque les phénomènes
célestes vinrent se ranger sous les lois du calcul, l'étude des
mathématiques devint plus générale, et les bons esprits furent
frappés d'une manière d'argumenter si différente de celle de l'École.

La langue mathématique est celle de la raison dans toute sa pureté;
elle interdit la divagation, elle signale l'erreur involontaire; il
faudrait ne pas la connaître pour la faire servir à l'imposture.

                                                  SOPHIE GERMAIN.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

À l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance, le roi de Suède et
de Norvège a institué un grand prix de mathématiques et tous les
géomètres de l'Europe ont été invités à concourir. Le prix a été
obtenu par M. Poincaré et la seconde récompense, une médaille d'or,
par M. Appell. (Février 1889.)

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les principaux journaux de mathématiques sont, en France: le _Journal
de Mathématiques pures et appliquées_, fondé par Liouville et dirigé
par Jordan; le _Bulletin des Sciences mathématiques_, fondé et dirigé
par Darboux; les _Nouvelles annales de Mathématiques_, fondées par O.
Terquem et Gérono et dirigées par Laisant et Antomari; le _Journal de
Mathématiques élémentaires et spéciales_, fondé par J. Bourget et
dirigé par G. de Longchamps; la _Revue de Mathématiques spéciales_
rédigée par E. Humbert; le _Journal de Mathématiques élémentaires_,
dirigé par notre collaborateur Vuibert, etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'_Académie des sciences_, à l'Institut de France, comprend cinq
sections pour les Mathématiques. Voici les noms des membres par ordre
de nomination:

_Géométrie._--Hermite; Jordan; Darboux; Poincaré; Émile Picard;
Appell.

_Mécanique._--Maurice Lévy; Boussinesq; Deprez; Sarrau; Léauté;
général Sebert.

_Astronomie._--Faye; Janssen; Loevy; Wolf; Callandreau; Radau.

_Géographie et navigation._--Bouquet de La Grye; Grandidier; de Bussy;
Bassot; Guyou; Hatt.

_Physique générale._--Cornu; Mascart; Lippmann; A.-H. Becquerel;
Potier; Violle.

_Secrétaires perpétuels de l'Académie._--J. Bertrand, pour les
sciences mathématiques, et Berthelot, pour les sciences physiques.

Parmi les _Académiciens libres_, on remarque de Freycinet; Haton de la
Goupillière; amiral de Jonquières; Rouché, etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Parmi les Mathématiciens vivants, nous citerons: en Belgique, Mansion
et Neuberg; en Angleterre, Forsight, Sylvester et Salmon; en Norvège,
S. Lie (actuellement à Leipzig), Bjirknes, Syllow; en Suède, Bäcklund,
Lindsteedt; en Danemark, Petersen, Zeuthen; en Russie, Liapounoff,
Markoff; en Allemagne, Dedekind; Fuchs; Gordan; Klein; Schwarz; Weber;
Wemgarten; en Italie, Beltrami, Brioschi et Cremona, etc., etc.

Voici les noms de quelques autres mathématiciens français: D. André,
Borel, Brisse, Brocard, Fouret, Goursat, Hadamard, G. Humbert, le P.
Joubert, Koenigs, Laisant, H. Laurent, de Longchamps, Mannheim, Méray,
Moutard, Painlevé, J. Tannery, etc., etc.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On a organisé à Paris, en 1872, une _Société mathématique_ qui compte
près de trois cents membres et qui publie le Bulletin de ses travaux.
Les séances ont lieu deux fois par mois. Le siège est rue des
Grands-Augustins, 7.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

     Le 24 décembre 1892, on a fêté, à la Sorbonne, les soixante et
     dix ans de notre grand géomètre Hermite. Nous extrayons du
     discours du Ministre de l'Instruction publique le passage
     suivant:

Pascal voit dans la géométrie «le plus haut exercice de
l'intelligence»; il place les géomètres au premier rang «des princes
de l'esprit». C'est l'honneur de notre France d'avoir produit plus
qu'aucune autre nation, de ces génies subtils et puissants, capables
d'embrasser l'ensemble des vérités qui constituent les lois des
nombres et de l'étendue. Déjà au dix-septième siècle, Descartes,
Pascal et Fermat nous permettent de n'envier personne, pas même
l'intelligence suprême de Newton; au dix-huitième siècle nous prenons
décidément le premier rang avec d'Alembert, avec Lagrange, avec
Laplace, et le siècle dont nous sommes a vu affirmer et consolider
cette maîtrise française de la géométrie par une suite de savants
illustres, les Monge, les Carnot, les Ampère, les Cauchy, les Chasles,
les Liouville, pour ne citer que quelques-uns de ceux qui ne sont
plus...

                                                       CH. DUPUY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'_Intermédiaire des mathématiciens_, dirigé par MM. Laisant et E.
Lemoine, contient les questions les plus variées et les plus
difficiles puis les réponses venues de divers côtés.




PHILOSOPHIE ET MORALE.--MÉLANGES


Vous avez disposé toutes choses avec nombre, poids et mesure.

                                                           BIBLE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les nombres gouvernent le monde.

                                                          PLATON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il y a de la géométrie partout.

                                                         LEIBNIZ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dieu, le grand géomètre.--Dieu géométrise sans cesse.

                                                          PLATON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dieu est un cercle dont le centre est partout et la circonférence
nulle part.

                                     RABELAIS; MONTAIGNE; PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il n'y a point de nombre aux yeux de Dieu. Comme il voit tout à la
fois, il ne compte rien.

                                                       CONDILLAC.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Au milieu de causes variables et inconnues, que nous comprenons sous
le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière la marche
des événements, on voit naître à mesure qu'ils se multiplient une
régularité frappante qui semble tenir d'un dessein, et que l'on a
considérée comme une preuve de la providence.

                                                         LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Je ne puis concevoir comment de si habiles mathématiciens nieraient un
mathématicien éternel.

                                                        VOLTAIRE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Platon avait écrit sur la porte de son école de philosophie ces mots:
_Que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre._

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Sans les mathématiques, on ne pénètre point au fond de la philosophie:
sans la philosophie, on ne pénètre point au fond des mathématiques;
sans les deux, on ne pénètre au fond de rien.

                                                BORDAS-DEMOULINS.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le nombre réside dans tout ce qui est connu. Sans lui, il est
impossible de rien penser, de rien connaître.... Le nombre et
l'harmonie repoussent l'erreur; le faux ne convient pas à leur nature.
L'erreur et l'envie sont filles de l'indéfini, sans pensée, sans
raison; jamais le faux ne peut pénétrer dans le nombre, il est son
éternel ennemi. La vérité seule convient à la nature du nombre et est
née avec lui.

                                                       PHILOLAÜS.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les lignes et les figures de la géométrie sont très propres pour
représenter à l'imagination les rapports qui sont entre les grandeurs,
ou entre les choses qui diffèrent du plus et du moins, comme les
espaces, les temps, les poids, etc., tant à cause que ce sont des
objets très simples, qu'à cause qu'on les imagine avec beaucoup de
facilité. On pourrait même dire à l'avantage de la géométrie, que les
lignes peuvent représenter à l'imagination plus de choses que l'esprit
n'en peut connaître, puisque les lignes peuvent exprimer les rapports
des grandeurs incommensurables, c'est-à-dire des grandeurs dont on ne
peut connaître les rapports à cause qu'elles n'ont aucune commune
mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ce qui ne peut se faire qu'en beaucoup de temps par l'arithmétique se
fait en un moment par l'algèbre et l'analyse, sans que l'esprit se
brouille par le changement des chiffres et par la longueur des
opérations. Une opération particulière d'arithmétique ne découvre
qu'une vérité, une semblable opération d'algèbre en découvre une
infinité.

L'algèbre... apprend à faire sur les grandeurs littérales tous les
calculs qui servent à déduire les rapports les plus difficiles et les
plus composés qu'on puisse désirer de savoir des mêmes grandeurs qui
sont déjà connues. Ses calculs sont les plus simples, les plus faciles
et en même temps les plus généraux qu'on puisse concevoir.

                                                     MALEBRANCHE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les plus grands géomètres n'ont pas été exempts de ce préjugé qui fait
regarder l'analyse algébrique comme une sorte d'oracle qui ne fait pas
toujours des réponses intelligibles, mais dont les énigmes doivent
toujours renfermer un sens dont il faut s'étudier à pénétrer le
mystère.

                                                         DUHAMEL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il y a beaucoup de différence entre l'esprit de géométrie et l'esprit
de finesse. En l'un, les principes sont palpables, mais éloignés de
l'usage commun; de sorte qu'on a peine à tourner la tête de ce
côté-là, manque d'habitude; mais, pour peu qu'on s'y tourne, on voit
les principes à plein; et il faudrait avoir tout à fait l'esprit faux
pour mal raisonner sur des principes si gros qu'il est presque
impossible qu'ils échappent.

Mais, dans l'esprit de finesse, les principes sont dans l'usage
commun et devant les yeux de tout le monde. On n'a que faire de
tourner la tête, ni de se faire violence. Il n'est question que
d'avoir bonne vue, mais il faut l'avoir bonne, car les principes sont
si déliés et en si grand nombre qu'il est presque impossible qu'il
n'en échappe. Or, l'omission d'un principe mène à l'erreur: ainsi il
faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite
l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes
connus.

Tous les géomètres seraient donc fins s'ils avaient la vue bonne et
les esprits fins seraient géomètres s'ils pouvaient plier leur vue
vers les principes inaccoutumés de la géométrie.

Ce qui fait que certains esprits fins ne sont pas géomètres, c'est
qu'ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de géométrie;
mais ce qui fait que des géomètres ne sont pas fins, c'est qu'ils ne
voient pas ce qui est devant eux; et qu'étant accoutumés aux principes
nets et grossiers de la géométrie, et à ne raisonner qu'après avoir
bien vu et manié leurs principes, ils se perdent dans les choses de
finesse, où les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit
à peine, on les sent plutôt qu'on ne les voit: ce sont choses
tellement délicates et si nombreuses, qu'il faut un sens bien délié et
bien net pour les sentir, et sans pouvoir le plus souvent les
démontrer par ordre comme en géométrie, parce qu'on n'en possède pas
ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de
l'entreprendre. Il faut tout d'un coup voir la chose d'un seul regard,
et non pas par progrès de raisonnement, au moins jusqu'à un certain
degré. Et ainsi il est rare que les géomètres soient fins, et que les
esprits fins soient géomètres; à cause que les géomètres veulent
traiter géométriquement les choses fines, et se rendent ridicules,
voulant commencer par les définitions, et ensuite par les principes;
ce qui n'est pas la manière d'agir dans cette sorte de raisonnement.
Ce n'est pas que l'esprit ne le fasse; mais il le fait tacitement,
naturellement et sans art, car l'expression en passe tous les hommes,
et le sentiment n'en appartient qu'à peu.

Et les esprits fins, au contraire, ayant accoutumé à juger d'une seule
vue, sont si étonnés quand on leur présente des propositions où ils ne
comprennent rien, et où, pour entrer, il faut passer par des
définitions et des principes stériles, et qu'ils n'ont pas accoutumé
de voir ainsi en détail, qu'ils s'en rebutent et s'en dégoûtent. Mais
les esprits faux ne sont jamais ni fins ni géomètres.

Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l'esprit droit, mais
pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par définitions et par
principes: car ils ne sont droits que sur les principes bien
éclaircis. Et les esprits fins qui ne sont que fins, ne peuvent avoir
la patience de descendre jusqu'aux premiers principes des choses
spéculatives et d'imagination, qu'ils n'ont jamais vues dans le monde
et dans l'usage.

                                                          PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

On peut regarder la géométrie comme une logique pratique, parce que
les vérités dont elle s'occupe, étant les plus simples et les plus
sensibles de toutes, sont par cette raison, les plus susceptibles
d'une application facile et palpable des règles du raisonnement.

                                                      D'ALEMBERT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

J'ai insinué que les Mathématiques étaient fort utiles pour accoutumer
l'esprit à raisonner juste et avec ordre; ce n'est pas que je croie
nécessaire que tous les hommes deviennent des mathématiciens: mais
lorsque par cette étude, ils ont acquis la bonne méthode du
raisonnement, ils peuvent l'employer dans toutes les autres parties de
nos connaissances...

L'algèbre donne de nouvelles vues et fournit de nouveaux secours à
l'entendement...

                                                           LOCKE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il existe des vérités autres que les vérités de l'algèbre, des
réalités autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les
sciences mathématiques, sans vouloir les étendre au-delà de leur
domaine; et n'allons pas nous imaginer qu'on puisse attaquer
l'histoire avec des formules, ni donner pour sanction à la morale des
théorèmes d'algèbre et de calcul intégral.

                                                          CAUCHY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Des éléments de Géométrie traités ainsi deviendraient en quelque sorte
d'excellents éléments de logique, et seraient peut-être les seuls
qu'il faudrait étudier. Lorsque l'esprit est naturellement juste, il
porte avec lui la faculté de reconnaître si une proposition simple est
vraie ou non. Il est beaucoup plus utile d'exercer cette faculté que
de disserter à perte de vue sur sa nature. Si l'on voulait remporter
le prix de la course, on penserait plutôt sans doute à exercer ses
jambes qu'à raisonner sur le mécanisme de la marche. «Les règles, dit
Condillac, sont comme des garde-fous mis sur les ponts, non pas pour
faire marcher les voyageurs, mais pour les empêcher de tomber.» Si
cela est, ainsi qu'il n'est pas permis d'en douter, il faut que les
règles soient fort simples et en petit nombre. Celles de Descartes et
de Pascal me paraissent suffisantes pour les esprits droits; quant aux
autres, la Géométrie ne saurait exister pour eux.

                                                         LACROIX.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nous voyons par expérience qu'entre esprits égaux, et toutes choses
pareilles, celui qui a de la géométrie l'emporte et acquiert une
vigueur toute nouvelle.

                                                          PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

SOCRATE.--Faisons donc une loi à ceux qui sont destinés chez nous à
remplir les premières places de s'appliquer à la science du calcul, de
l'étudier, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce que, par le
moyen de la pure intelligence, ils soient parvenus à connaître
l'essence des nombres; non pour faire servir cette science, comme les
marchands et les négociants, aux ventes et aux achats, mais pour
l'appliquer aux besoins de la guerre, et faciliter à l'âme la route
qui doit la conduire de la sphère des choses périssables à la
contemplation de la vérité et de l'être.

GLAUCON.--Fort bien.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SOCRATE.--Si l'on demande à ceux qui s'occupent de cette science: «De
quel nombre parlez-vous? Où sont ces unités telles que vous les
supposez, parfaitement égales entre elles, sans qu'il y ait la moindre
différence, et qui ne sont point composées de parties?» Mon cher
Glaucon, que crois-tu qu'ils répondent?

GLAUCON.--Je crois qu'ils répondraient qu'ils parlent de ces nombres
qui ne tombent pas sous les sens et qu'on ne peut saisir autrement que
par la pensée.

SOCRATE.--Ainsi, tu vois, mon cher ami, que nous ne pouvons absolument
nous passer de cette science, puisqu'il est évident qu'elle oblige
l'âme à se servir de l'entendement pour connaître la vérité.

GLAUCON.--Il est certain qu'elle est merveilleusement propre à
produire cet effet.

SOCRATE.--As-tu aussi observé que ceux qui sont nés calculateurs,
ayant l'esprit de combinaison, ont beaucoup de facilité pour presque
toutes les autres sciences et que même les esprits pesants, lorsqu'ils
se sont exercés et rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage
d'acquérir plus de facilité et de pénétration?

GLAUCON.--La chose est ainsi.

SOCRATE.--Au reste, il te serait difficile de trouver beaucoup de
sciences qui coûtent plus à apprendre et à approfondir que celle-là.

GLAUCON.--Je le crois.

SOCRATE.--Ainsi, par toutes ces raisons nous ne devons pas la
négliger; mais il faut y appliquer de bonne heure ceux qui seront nés
avec un excellent caractère.

GLAUCON.--J'y consens.

                                                          PLATON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Ceux qui ne voient dans les mathématiques que leur utilité
d'application ordinaire, en ont une idée bien imparfaite; ce serait,
en vérité, acquérir bien peu de chose à grands frais; car, excepté les
savants et quelques artistes, je ne vois guère personne qui ait besoin
de la Géométrie ou de l'Algèbre une fois dans sa vie. Ce ne sont donc
ni les théories, ni les procédés, ni les calculs en eux-mêmes, qui
sont véritablement utiles, c'est leur admirable enchaînement, c'est
l'exercice qu'ils donnent à l'esprit, c'est la bonne et fine logique
qu'ils y introduisent pour toujours.

Les mathématiques jouissent de cet avantage inappréciable, et sans
lequel il serait le plus souvent superflu de les étudier, c'est qu'il
n'est pas nécessaire de les savoir actuellement pour en ressentir les
avantages, mais il suffit de les avoir bien sues; toutes les
opérations, toutes les théories qu'elles nous enseignent peuvent
sortir de la mémoire, mais la justesse et la force qu'elles impriment
à nos raisonnements restent; l'esprit des mathématiques demeure comme
un flambeau qui nous sert de guide au milieu de nos lectures et de nos
recherches; c'est lui, qui, dissipant la foule oiseuse des idées
étrangères, nous découvre si promptement l'erreur et la vérité; c'est
par lui que les esprits attentifs dans les discussions les plus
irrégulières reviennent sans cesse à l'objet principal qu'ils ne
perdent jamais de vue; c'est ainsi qu'ils abrègent le temps et
l'ennui, recueillent sans peine le fruit des bons ouvrages et
traversent ces vains et nombreux volumes où se perdent les esprits
vulgaires. Si les mathématiques ont trouvé beaucoup de détracteurs,
c'est que leurs lumières importunes détruisent tous les vains systèmes
où se complaisent les esprits faux. C'est que si les mathématiques
cessaient d'être la vérité même, une foule d'ouvrages ridicules
deviendraient très sérieux; plusieurs même commenceraient d'être
sublimes; mais il était bien naturel que les esprits supérieurs et les
meilleurs écrivains ne parlassent des sciences exactes qu'avec une
sorte d'admiration; les grands hommes, dans quelque genre que ce soit,
ne ravalent jamais les grandes choses; ils tâchent de s'y élever.

                                                         POINSOT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques;
car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé
de recommencer.

                                                        F. BACON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'avancement, le perfectionnement des mathématiques sont liés à la
prospérité de l'État.

                                                        NAPOLÉON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Une rigoureuse discipline de l'esprit prépare aux devoirs militaires,
et l'on ne peut douter que les études mathématiques contribuent à
former cette faculté d'abstraction indispensable aux chefs pour se
faire une représentation intérieure, une image de l'action, par
laquelle ils se dirigent en oubliant le danger, dans le tumulte et
l'obscurité du combat.

                                                         HERMITE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le siècle est plus que jamais dominé par les mathématiques

                                                         RAMBAUD.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Lors de la création de l'Université impériale, on dut enseigner «le
français, le latin et les mathématiques.» Ce n'était pas assez, mais
nous enseignons trop de choses maintenant.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nul n'atteindra la gloire de Newton, dit Lagrange, car il n'y avait
qu'un monde à découvrir.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Ce qui passe la géométrie nous surpasse.

                                                          PASCAL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Aucune investigation humaine ne doit s'appeler vraie science, si elle
ne passe pas par les démonstrations mathématiques.

                                                LÉONARD DE VINCI.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Mesurer, c'est savoir.

                                                          KEPLER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'action de nos sens et celle de notre entendement ont des bornes; le
calcul n'en a pas.

                                                        PORTALIS.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Nous devons plutôt nous fier au calcul algébrique qu'à notre jugement.

                                                           EULER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques.

                                                         POISSON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le commentaire de Bachet sur Diophante ne fera pas diminuer le prix du
pain, remarquait le judicieux Malherbe.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le dessin, dit Condorcet, est la géométrie des yeux, la musique est
celle des oreilles.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'Art est la plus haute expression d'une arithmétique intérieure et
inconsciente.

                                                         LEIBNIZ.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

... tous nos esprits mathématiques, polytechniques, soi-disant
positifs, tous ceux qu'on a appelés spirituellement de bons esprits
faux.

                                                    SAINTE-BEUVE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le calcul est nécessaire à tous ceux qui ne savent pas, ou qui ne
peuvent pas, ou qui ne veulent pas beaucoup penser.

                                                       DE RAMSAY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le bon sens ne perd jamais ses droits: opposer à l'évidence une
formule démontrée, c'est à peu près comme si, pour refuser à un homme
le droit de vivre, on alléguait devant lui un acte de décès
authentique.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les mathématiques ne doivent pas dégénérer en une débauche de logique.

                                                     J. BERTRAND.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'analyse pure, c'est l'esprit du nombre s'aiguisant lui-même.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Je comparerai volontiers les lumières des mathématiques à ces pâles
soleils du nord, sous lesquels on reste glacé... Ils ne font éclore
que des fleurs sans parfum et des fruits sans saveur.

                                                       DUPANLOUP.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Une logique rigoureuse, la recherche et l'amour de la vérité pour
elle-même, forment la partie _morale_ des mathématiques, qui par là
appartiennent essentiellement à l'école stoïque. Offrir à la jeunesse,
au début de la vie, des applications _utiles_, des méthodes
d'_approximation_, comme objet principal d'étude, c'est dénaturer le
but de l'éducation et cela peut avoir de funestes résultats.
Toutefois, il ne faut pas confondre cette _rigueur_ avec la manie
démonstrative, qui, se défiant du sens commun, enlève au lecteur toute
spontanéité.... Savoir ce qu'il ne faut pas dire est un art difficile,
qu'on rencontre rarement.

                                                      O. TERQUEM.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'idéal de l'amitié, c'est de se sentir un et de rester deux.

                                                   Mme SWETCHINE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Celui qui compte dix amis, n'en a pas un.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Un homme est un chiffre: deux hommes placés à côté l'un de l'autre
valent dix fois davantage; trois hommes en valent cent, quand ils ont
mis ensemble leur esprit, leur argent et leur bonne volonté.

                                                     B. FRANKLIN.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La vie morale de l'égoïste est l'équivalent exact de l'unité
multipliée par elle-même.

                                                         SAUVAGE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dans tout ce que l'on entreprend, il faut donner les deux tiers à la
raison et l'autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction,
vous serez pusillanime; augmentez la seconde, vous serez téméraire.

                                                        NAPOLÉON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Par la définition du point, de la ligne, de la surface, et par
d'autres principes très familiers, nous parvenons à des connaissances
qui mesurent enfin le ciel et la terre.

                                                     LA FONTAINE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les transformations de l'âme sont lentes; elles ne se font qu'avec la
douleur multipliée par le temps.

                                                     LE P. DIDON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques pures sont une clef d'or qui ouvre toutes les
sciences.

                                                        V. DURUY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Créer en nous l'art de raisonner, et surtout de raisonner
géométriquement, n'est qu'une bien faible partie de l'éducation. Ce
sont les sentiments qui nous mènent, et non pas la logique ni la
géométrie.

                                                      A. CROISET.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Rien n'est moins applicable à la vie qu'un raisonnement mathématique.
Une proposition, en fait de chiffres, est décidément fausse ou vraie;
sous tous les autres rapports, le vrai se mêle avec le faux...

                                                    Mme DE STAËL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La géométrie est la meilleure et la plus simple de toutes les
logiques, la plus propre à donner de l'inflexibilité au jugement et à
la raison. C'est la lime sourde de tous les préjugés populaires.....

                                                         DIDEROT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

La logique a emprunté les règles de la géométrie sans en comprendre la
force..... Je suis bien éloigné de mettre les logiciens en parallèle
avec les géomètres qui apprennent la véritable manière de conduire la
raison..... La méthode de ne point errer est recherchée de tout le
monde. Les logiciens font profession d'y conduire, les géomètres seuls
y arrivent, et hors de leur science il n'y a point de véritable
démonstration.

                                                          PASCAL.

                       ¤---¤---¤

Pascal confond l'art avec la science, et parce que les logiciens ne
conduisent pas infailliblement au vrai, il immole la logique à ses
chères mathématiques. C'est Leibniz qui a pleine raison quand il dit,
contrairement à Pascal: «La logique des géomètres est une extension ou
promotion particulière de la logique générale.» Les mathématiques
empruntent donc la puissance de leur forme à la logique, loin de la
lui donner.

                                        BARTHÉLEMY SAINT-HILAIRE.

                       ¤---¤---¤

La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus
favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la
contemplation familière peut seule disposer l'esprit à rendre les
autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature.

                                                      AUG. COMTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

En mathématiques, comme ailleurs, la raison profonde des choses, le
fond mystérieux de l'être sur lequel nous spéculons ou que nous
observons, nous échappera peut-être toujours; peut-être aussi
l'inquiétude qui en résulte pour nos intelligences est-elle
l'aiguillon secret de cette passion que les savants apportent dans
leurs recherches.

                                                      J. TANNERY.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il est toujours utile de penser juste, même sur des sujets inutiles.
Quand les nombres et les lignes ne conduiraient absolument à rien, ce
seraient toujours les seules connaissances certaines qui aient été
accordées à nos lumières naturelles, et elles serviraient à donner à
notre raison la première habitude et le premier pli du vrai.....

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'esprit géométrique n'est pas si attaché à la géométrie qu'il n'en
puisse être tiré et transporté à d'autres connaissances. Un ouvrage de
morale, de politique, de critique, peut-être même d'éloquence, en sera
plus beau, toutes choses d'ailleurs égales, s'il est fait de main de
géomètre.

                                                      FONTENELLE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le raisonnement mathématique est si particulier et si exclusif qu'une
fois maître d'un cerveau, il s'en empare en entier et le rend inapte,
pour ainsi dire, aux autres manières, pourtant aussi légitimes,
d'arriver à la vérité.

                                                        DELBOEUF.

                       ¤---¤---¤

Ne restons pas mathématicien partout et quand même. Il y a un vieil
adage: _purus mathematicus, purus asinus_. Montucla dit plus
poliment que «parmi les hommes qui se sont distingués en
mathématiques, il y en a toujours eu un grand nombre dont la sagacité
ne sortait pas du domaine géométrique.»

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le goût de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions
vagues, de s'attacher à des hypothèses quelque séduisantes qu'elles
soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions
et le but où elles tendent, sont les fruits les plus précieux de
l'étude des mathématiques.

                                                         LACROIX.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les nuances délicates des idées morales échappent à la rigueur des
raisonnements mathématiques, et une habitude trop exclusive de ceux-ci
porte assez souvent l'esprit à vouloir tout réduire à des règles
invariables, à des principes absolus; méthode si dangereuse, quand on
l'applique au gouvernement des sociétés humaines, ou seulement aux
rapports particuliers qui nous lient avec les autres hommes.

                                                         CUVIER.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'étude des mathématiques nous accoutume à un enchaînement de
déductions logiques dans lequel chaque anneau se rattache au
précédent; elle donne ainsi de la continuité à l'attention, de la
cohérence aux idées; elle apprend à l'intelligence à saisir les points
fondamentaux d'un raisonnement, et à classer avec ordre les divers
éléments de conviction, en leur accordant leur juste degré
d'importance; qualités que l'on rencontre trop rarement dans le monde.

                                                        WHEWELL.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques donneront une fausse précision, une rigueur
apparente qui masque la faiblesse des raisonnements, une raideur
inflexible qui multiplie les erreurs, les rend irréparables et empêche
la juste notion des choses. Hélas! qu'il y a peu de mathématiques dans
les choses de la vie: elles sont complexes, changeantes, faites de
finesses, de sous-entendus, de détails, et impossibles à exprimer par
une formule.

                                                        CHANDOS.

                       ¤---¤---¤

Les mathématiques partout, une chimère de quelques esprits simplistes.
Il ne faut pas abuser des meilleures choses.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Dans les Mathématiques, la censure et la critique ne peuvent être
permises à tout le monde; les discours des rhéteurs et les défenses
des avocats n'y valent rien.

                                                          VIÈTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les vérités mathématiques doivent être jugées par des mathématiciens.

                                                       COPERNIC.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Depuis huit jours, j'ai vu le premier rayon de lumière; depuis trois,
j'ai vu le jour; enfin, à cette heure, je vois le soleil de la plus
admirable contemplation. Rien ne me retient plus, je m'abandonne à mon
enthousiasme; je veux braver les mortels par l'aveu franc que j'ai
dérobé les vases d'or des Égyptiens, pour en former à mon Dieu un
tabernacle loin de l'Égypte idolâtre. Si l'on me pardonne, je m'en
réjouis; si l'on s'irrite, je me résigne. Le sort en est jeté, j'écris
mon livre. On le lira dans l'âge présent ou dans l'avenir, que
m'importe! Il peut attendre son lecteur: Dieu n'a-t-il pas attendu six
mille ans pour se donner un contemplateur de ses oeuvres?

                                                         KEPLER.

                       ¤---¤---¤

Certains prétendent que les mathématiques dessèchent le coeur.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Il me semble que je n'ai été qu'un enfant jouant sur le bord de la mer
et trouvant, tantôt un caillou plus poli, tantôt un coquillage plus
joli que les autres, tandis que le vaste océan de la Vérité s'étendait
inexploré devant moi.

                                                         NEWTON.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

L'étude des mathématiques peut distraire des grandes douleurs: elle
absorbe l'homme tout entier.

                                                         BOISTE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et, à
ce titre, une question de la théorie des nombres vaut autant qu'une
question du système du monde.

                                                         JACOBI.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

Les mathématiques sont une forte école de logique appliquée: elles
nous forment indirectement à bien raisonner sur d'autres sujets que
les nombres et les lignes.

                       ¤---¤---¤

Vous aimez, vous voulez le vrai; il importe que vous soyez pénétrés de
la méthode à l'aide de laquelle on le découvre et on l'établit. Cette
méthode est la même, qu'il s'agisse des plus hautes spéculations ou
des questions de la vie ordinaire; ce n'est pas le syllogisme presque
exclusivement détaillé jadis: il condamne la déduction lorsqu'elle est
fautive, mais il n'apprend pas à la mettre en mouvement, pour
augmenter la connaissance. La méthode générale, c'est l'analyse, non
pas l'insuffisante analyse de Condillac, qui se borne à décomposer le
tout en ses parties pour le mieux étudier, mais cette analyse plus
large et plus féconde que les Anciens nous ont transmise.

Chaque fois que l'esprit veut chercher ou prouver, il substitue à
plusieurs reprises à la chose en question une chose dont elle est la
conséquence jusqu'à ce qu'il arrive à une chose connue. Le succès
dépend du choix des relais; c'est un art précieux, dit Leibniz, que
celui de s'aviser quand il faut de ce qu'on sait. On peut ainsi
définir rapidement l'analyse pour la rappeler à ceux qui la
connaissent, mais une pratique longue et attentive est seule capable
d'en faire une habitude aisée et définitive.

Les mathématiques, par la clarté et le petit nombre des données
primitives,--car là non plus on ne définit pas tout et on ne prouve
pas tout,--les mathématiques fournissent la première application,
l'application commode, je dirai même indispensable de l'analyse.
Platon écrivant sur la porte de son école: «que nul n'entre ici s'il
n'est géomètre», déclarait incapable d'aborder les questions
philosophiques ceux qui n'avaient pas d'abord appris à raisonner en
géométrie.

On admet au début quelques notions, quelques propositions qui brillent
par elles-mêmes et c'est avec elles seules que toute la science se
fait. Nous devons ainsi à Euclide et à ses successeurs une trame
serrée de vérités utiles ou curieuses, enchaînées dans un bel ordre.
Mais ce n'est pas assez de comprendre la doctrine des maîtres, il faut
pouvoir y rattacher vous-mêmes les problèmes nouveaux et découvrir
aussi à votre tour: voilà pourquoi on soumet à vos efforts des
exercices mathématiques nombreux et gradués. D'une part, vous
apprenez, par la démonstration des théorèmes et la vérification des
problèmes, à tirer d'un principe ses conséquences, et de l'autre vous
apprenez, par l'invention des problèmes et par l'exposition des
théorèmes,--lorsque le professeur cherche devant vous,--à rattacher un
fait particulier aux principes d'où il découle. Plus tard, je le
crains et je m'y résigne, vous oublierez le détail de Legendre et vos
propres travaux, mais toute cette géométrie aura aiguisé votre esprit,
vous serez experts sur tout sujet à dégager d'une idée ce qu'elle
contient, à substituer à une question d'autres questions plus aisées,
à avancer vers la solution. Cette solution, vous ne l'atteindrez pas
toujours, mais vous aurez d'autant plus de chances de l'atteindre que
vous serez mieux dressés à chercher, à chercher patiemment,
méthodiquement. Tout au moins, vous n'humilierez pas la raison, en
tirant le faux du vrai.

Presque toujours et quel que soit l'objet qui vous occupe, vous aurez
recours à une analyse progressive, tenace, prudente qui vous
préservera des aventures. Il ne faut pas cependant bannir de la
recherche, dans les sciences et ailleurs, une certaine hardiesse,
l'audace même. Parfois l'inventeur, heureusement inspiré, court vers
le but et l'atteint en sautant les intermédiaires. Mais il doit
ensuite serrer la chaîne logique, autrement sa découverte ne serait
définitive, ni pour les autres ni pour lui-même.

                       ¤---¤---¤

Trois groupes d'esprits ne méritent pas qu'on leur livre des vérités.
Les premiers n'en font aucun usage, ils sont inertes, ils ne vont
jamais en avant, ce sont des enfants trop faibles pour marcher seuls.
Les seconds croyant raisonner rencontrent l'erreur, ils marchent,
mais, hélas! c'est pour tomber souvent. Les troisièmes ne sont plus à
plaindre mais à flétrir, ils faussent le vrai de parti pris, ce sont
des sophistes, ils connaissent la route, mais ils suivent les chemins
tortueux qui les mènent où leur passion veut. Une consciencieuse
fréquentation des sciences vous évitera d'être classés dans ces
catégories: vous saurez et vous voudrez marcher seuls et marcher
droit.

Vous repousserez non seulement le faux, mais encore l'incomplet,
l'approximatif, le vague qui nous envahissent. Voilà l'ennemi de tous
les jours, ennemi fuyant, insaisissable. Que d'assertions qui ne sont
pour ainsi dire, ni vraies ni fausses, que de pensées à peine
ébauchées, échappant par là même à la réfutation! La faute en est aux
hommes seulement littéraires, sans lest scientifique, ils sont
frivoles et vains, ils dissertent avec facilité sur ce qu'ils
ignorent. Vous vous tairez, lorsque vous n'aurez rien à dire; mais
lorsque vous parlerez, lorsque vous écrirez, ce sera judicieusement,
fermement, «chaque mot signifiera».

                       ¤---¤---¤

J'ai jusqu'ici supposé expressément des principes faciles, clairs et
certains, comme le sont ceux des sciences formées, mais, dans beaucoup
de spéculations, on n'a pas cette commodité. De là un péril grave
contre lequel vous vous tiendrez en garde. Les esprits rigoureux, qui
sont mal partis, avancent héroïquement en ligne droite; sûrs de leurs
déductions, ils sont d'une ténacité déplorable, ils proclament, ils
imposent leurs conclusions telles quelles, comme des dogmes. Un
historien irrité est allé jusqu'à accuser les hommes de science des
malheurs de la patrie vers la fin du siècle dernier. Vous vous
arrêterez donc dès le seuil,--c'est absolument indispensable,--vous
vous arrêterez longtemps sur les idées et les assertions
fondamentales, et vous ferez porter directement sur elles tout
l'effort de votre attention. Cette étude intrinsèque des principes est
souvent compliquée, quelquefois impuissante, mais malheur à qui la
néglige. Il n'y a presque rien à dire de général sur cette étude; elle
dépend de la justesse, de la force, de la finesse native ou acquise de
l'esprit; mais elle dépend surtout de la nature des questions: vous
invoquerez tantôt des axiomes, tantôt l'observation, cette grande
maîtresse, tantôt des conventions, tantôt des hypothèses. Quoi qu'il
en soit, n'oubliez jamais que, tant valent les prémisses, tant valent
les déductions; pesez de votre mieux ces prémisses, et si elles sont
seulement probables, recevez aussi comme seulement probable tout ce
que vous en tirerez. Le raisonnement garde dans tous les cas sa valeur
relative, et, au pis aller, vous aurez cette consolation de ne pas
ajouter à l'imperfection des données.

                       ¤---¤---¤

Le domaine de la pure raison est vaste et soumis à des règles
absolues, mais il y a à côté des domaines plus libres. Vous ne serez
pas positif toujours et quand même, vous ne traiterez pas avec une
rigueur trop grande des sujets qui ne comportent pas cette rigueur.

Je veux parler d'abord des études dont les éléments sont trop
complexes: la politique, une fois d'accord avec la morale, doit être
flexible et tenir grand compte des races, des moeurs, des traditions;
la médecine s'occupe de la matière animée que les lois physiques
ordinaires ne régissent pas seules, elle varie ses prescriptions
d'après le tempérament et l'esprit du malade; le droit lui-même laisse
beaucoup à l'appréciation du juge, parce que nos codes, malgré leur
étendue, ne peuvent pas prévoir tous les cas, toutes les
circonstances.

Je veux parler en second lieu des questions toutes de nuance et
d'impression personnelle: de certains sentiments qui naissent et
grandissent mystérieusement dans l'âme, de l'art qui choisit et épure
les belles réalités, du goût individuel, de la poésie. Il faut laisser
en paix l'humanité, croire, espérer, rêver. N'allez pas criant à tout
propos et hors de propos: Pourquoi cela? Qu'est-ce que cela prouve?
Mot de je ne sais quel mathématicien après la lecture de l'_Iphigénie_
de Racine. Lorsque votre imagination s'éveille, laissez-la voler à sa
fantaisie. Ne prenez pas de grosses balances pour peser des toiles
d'araignée.

Ces idées dont j'ai fait deux classes et qui, pour des motifs
différents, échappent à la déduction formelle, ont leur grande
importance, leur irrésistible attrait; vous vous garderez de les
dédaigner, comme incertaines ou futiles. Pascal a tort d'affirmer que
«ce qui passe la géométrie nous surpasse.»

                       ¤---¤---¤

Quelques-uns ont une estime outrée, exclusive, pour la forme du
raisonnement en mathématiques, forme concise, sèche, nerveuse et tout
à fait déplacée dans beaucoup de questions susceptibles pourtant de
précision. Du reste, la rigueur est dans le fond même du
raisonnement, et, s'il est faible, vous aurez beau le couper de
conjonctions et lui donner un faux dehors scientifique. Spinosa ne
fortifie guère sa philosophie en la disposant par théorèmes et par
corollaires, il rend seulement son accès plus difficile. N'imitez pas
ces formalistes impitoyables qui distinguent, divisent, subdivisent et
arrivent parfois à sacrifier le fond à la forme et à quelle forme! Ils
font comprendre ce vers paradoxal:

  Et le raisonnement en bannit la raison.

Vous voilerez cet appareil et vous craindrez de compromettre une bonne
cause par une argumentation peut-être exacte mais raide, hérissée,
rebutante. Il convient, dans la vie, de varier, de délayer un peu les
preuves, de les fleurir discrètement, enfin d'avoir raison avec un
certain agrément.

Il est un autre travers du même genre, mais plus spécial. C'est celui
d'invoquer le secours de l'Algèbre, de ses signes et de ses équations,
là où elle n'a rien à voir. Ne s'est-on pas avisé de traiter
algébriquement l'économie politique? Pour qu'un problème puisse être
mis en équation, il faut que ses données soient d'une simplicité,
d'une netteté bien rares. Presque toujours les nombreuses équations de
condition, alors qu'on pourrait les écrire, embarrasseraient le calcul
qui se traînerait péniblement. N'oubliez pas d'ailleurs que le calcul
n'est qu'un instrument, il ne facilite pas l'analyse par une vertu
propre, il ne dirige pas l'esprit, il doit être dirigé par lui. Cet
instrument ne travaille que quelques matières, mais alors que vous
pourriez lui soumettre des conceptions peu précises qu'il aiderait à
déployer, il ne leur donnerait aucune consistance.

En résumé, les mathématiques, par leurs types excellents d'analyse,
nous apprennent, suivant l'expression de Descartes, «à conduire par
ordre nos pensées» et nous préparent ainsi aux divers travaux de
l'esprit et aux affaires de la vie, parce que l'_analyse sert
partout_.

Il y a cependant quelques périls, quelques abus à signaler: l'adhésion
trop confiante aux principes, le traitement trop rigoureux de certains
sujets, un goût trop prononcé pour la forme du raisonnement
géométrique et pour la mise en formules.




VARIÉTÉS ET ANECDOTES




Quittant la région sévère des généralités, des principes et des
abstractions, reposons-nous, en observant les Savants et la Science
par le côté familier.

Nous faisons un petit classement des aperçus et des anecdotes réunis
ici, mais le lecteur peut feuilleter au hasard.




MOEURS, OPINIONS. DISTRACTIONS DE SAVANTS


UN GÉOMÈTRE

Je passais l'autre jour sur le Pont-Neuf avec un de mes amis: il
rencontra un homme de sa connaissance qu'il me dit être un géomètre;
et il n'y avait rien qui y parût, car il était dans une rêverie
profonde: il fallut que mon ami le tirât longtemps par la manche et le
secouât pour le faire descendre jusqu'à lui, tant il était préoccupé
d'une courbe qui le tourmentait peut-être depuis plus de huit
jours!...

Son esprit régulier toisait tout ce qui se disait dans la
conversation. Il ressemblait à celui qui, dans un jardin, coupait
avec son épée la tête des fleurs qui s'élevaient au-dessus des autres.
Martyr de sa justesse, il était offensé d'une saillie, comme une vue
délicate est offensée par une lumière trop vive. Rien ne lui était
indifférent, pourvu qu'il fût vrai. Aussi, sa conversation était-elle
singulière. Il était arrivé ce jour-là de la campagne avec un homme
qui avait vu un château superbe et des jardins magnifiques; et il
n'avait vu, lui, qu'un bâtiment de soixante pieds de long sur
trente-cinq de large et un bosquet long de dix arpents (_sic_); il
aurait souhaité que les règles de la perspective eussent été tellement
observées, que les allées des avenues eussent paru partout de même
largeur; et il aurait donné pour cela une méthode infaillible. Il
parut fort satisfait d'un cadran qu'il y avait démêlé; et il
s'échauffa fort contre un savant qui était auprès de moi, qui
malheureusement lui demanda si ce cadran marquait les heures
babyloniennes. Un nouvelliste lui parla du bombardement du château de
Fontarabie; et il nous donna soudain les propriétés de la ligne que
les bombes avaient décrite en l'air; et charmé de savoir cela, il
voulut en ignorer entièrement le succès.

                                                    MONTESQUIEU.

                       ¤---¤---¤

Le mathématicien exclusif ne voit en chaque chose qu'un prétexte pour
calculer.

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ROUTE ROYALE

Le roi Ptolémée ayant demandé à Euclide de lui rendre plus faciles les
mathématiques, celui-ci répondit: «Il n'y a pas de route royale en
Géométrie.»

Il était meilleur courtisan que l'Alexandrin, ce chimiste professant
devant un prince: «Monseigneur, ces gaz vont avoir l'honneur de se
combiner devant vous.»

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

DERNIÈRE CONVERSATION

«J'ai été bien mal avant-hier, dit Lagrange, je me sentais mourir; mon
corps s'affaiblissait peu à peu, mes facultés morales et physiques
s'éteignaient insensiblement; j'observais avec plaisir la progression
bien graduée de la diminution de mes forces, et j'arrivais au terme
sans douleur, sans regrets, et par une pente bien douce; c'est une
dernière fonction qui n'est ni pénible ni désagréable...

«Quelques instants de plus, et il n'y avait plus de fonctions, la mort
était partout... Je voulais mourir, oui, je voulais mourir; mais ma
femme n'a pas voulu: j'eusse préféré une femme moins bonne, moins
empressée à ranimer mes forces, et qui m'eût laissé finir doucement.

«J'ai fourni ma carrière; j'ai acquis quelque célébrité dans les
mathématiques. Je n'ai haï personne; je n'ai point fait de mal; il
faut bien finir.»

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IL EST FACILE DE VOIR

Une fois, ayant demandé à Laplace quelque explication sur sa mécanique
céleste, je le vis passer près d'une heure à tâcher de ressaisir la
chaîne des raisonnements qu'il avait supprimés en disant négligemment:
_il est facile de voir que..._

                                                           BIOT.

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DÉFIS ET PARIS

Autrefois les mathématiciens se proposaient des problèmes les uns aux
autres, ils cachaient leurs propres solutions et le gagnant recevait
une somme d'argent. Les correspondances des savants au XVIe et au
XVIIe siècles sont pleines de piquants détails à ce sujet. Le P.
Mersenne était souvent pris pour arbitre. L'Académie des sciences a
maintenant régularisé ces concours, en proposant des questions et en
donnant des prix.

Pascal soumit aux recherches des savants ses problèmes sur la
cycloïde, en promettant une forte somme. Wallis seul trouva les
principales réponses.

Le grand Descartes, au service de la Hollande en 1617, vit contre un
mur une affiche en flamand qu'il se fit traduire par un passant. Il
s'agissait d'un problème difficile proposé par un géomètre. Descartes
le résolut sur le champ.

Jean Bernoulli tenait en médiocre estime les travaux de son fils
Daniel. Un jour que le père et le fils avaient concouru dans un de ces
tournois, le mémoire du fils fut préféré à celui du père qui ne
pardonna jamais à Daniel de l'avoir emporté sur lui.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

AUTOBIOGRAPHIE

On lit dans celle que Leibniz a laissée: «Taille moyenne. Figure
pâle. Mains froides. Pieds et doigts longs. Cheveux d'un brun foncé,
droits et non frisés. Vue basse dès l'enfance. Corps maigre. Voix
mince, mais claire, haute plutôt que forte. Difficulté de prononcer
les gutturales et le _R_.

Aimant les odeurs fortes, les spiritueux; les choses sucrées et le
sucre. Ayant l'habitude de mettre du sucre dans son vin.

N'est jamais ni trop gai, ni trop triste.

Se passionne promptement en pensées et en paroles et peut à peine se
modérer, mais devient bientôt calme et doux.

Goût médiocre pour la conversation, mais la préférant aux jeux de
cartes et aux exercices qui exigent du mouvement.

Menant et aimant de préférence une vie sédentaire.

Souriant plus souvent que riant.

Colère prompte et courte.

Commençant une entreprise avec hésitation et la continuant ferme, avec
persévérance.

Mémoire médiocre.

Plus affecté d'un petit mal présent que d'un grand mal passé.»

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DÉPUTÉ MUET

On raconte que Newton, qui fut membre de la Chambre des Communes, y
restait silencieux et distrait. Il n'ouvrit la bouche qu'une fois pour
prier un huissier de fermer une fenêtre qui produisait un courant
d'air.

Peu parlementaire, quoique anglais, mais pratique.

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DOUZE FOIS DOUZE?

Lagny, le mathématicien, était à l'agonie; on le croyait déjà mort,
lorsqu'un de ses confrères lui demanda: «Douze fois douze?» «Cent
quarante-quatre», répondit faiblement le moribond.

D'autres prétendent que l'expérience a été faite sur l'abbé Bossut.

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LE TONNEAU

«Comme je venais de me marier, dit Kepler, la vendange étant abondante
et le vin à bon marché, il était du devoir d'un bon père de famille
d'en faire provision et de garnir ma cave. Ayant donc acheté plusieurs
tonneaux, quelques jours après, je vis arriver mon vendeur pour fixer
le prix en mesurant leur capacité: sans exécuter aucun calcul, il
plongeait une baguette de fer dans chaque tonneau et déclarait
immédiatement leur contenance.

Sous l'influence d'un bon génie qui sans doute était géomètre, les
constructeurs de tonneaux leur ont précisément donné la forme qui,
pour une même longueur donnée à la ligne mesurée par les jauges, leur
assure la plus grande capacité possible; et comme aux environs du
maximum les variations sont insensibles, les petits écarts accidentels
n'exercent aucune influence appréciable sur la capacité, dont la
mesure expéditive est par suite suffisamment exacte.

..... Qui peut nier que la nature seule, sans aucun raisonnement,
puisse engendrer la géométrie, lorsqu'on voit nos tonneliers, conduits
par leurs yeux et par l'instinct du beau, deviner la forme qui se
prête le mieux à une mesure exacte!»

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GÉOMÈTRE AU POUVOIR

Géomètre de premier rang, Laplace ne tarda pas à se montrer
administrateur plus que médiocre; dès son premier travail, nous
reconnûmes que nous nous étions trompé. Laplace ne saisissait aucune
question sous son véritable point de vue; il cherchait des subtilités
partout, n'avait que des idées problématiques, et portait enfin
l'esprit des _infiniment petits_ jusque dans l'administration.

                                                       NAPOLÉON.

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MODESTIE

«Je vais dans quelques jours entrer dans ma quatre-vingtième année;
j'ai déjà vécu près de deux ans de plus que M. de Lagrange qui n'a
vécu que soixante-dix-sept ans et soixante-dix-sept jours, et d'un an
de plus que M. de Laplace qui a vécu soixante-dix-huit ans moins
dix-huit jours; je dois donc compter un à un les jours qu'il plaira à
Dieu de m'accorder, et je n'ai pas un moment à perdre pour achever la
tâche que j'ai entreprise dans la vue de compléter, par un dernier
effort, mes travaux sur les fonctions elliptiques et sur les
transcendantes analogues..... C'est, en effet, la gloire de M. Abel
que je mettrai dans tout son jour, en faisant voir que son théorème
généralise à l'infini tous ceux que l'immortel Euler avait découverts
sur les fonctions elliptiques. Une nouvelle branche d'analyse, bien
plus vaste que celle des fonctions elliptiques, est ouverte par ce
théorème admirable.»

                                                       LEGENDRE.

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AVEUGLES

Saunderson, quoique aveugle, fut professeur de mathématiques et
d'optique, à l'Université de Cambridge.

Le célèbre Euler était aveugle, lorsqu'il composa son algèbre, si
simple et si attrayante.

Plateau, de Gand, atteint de cécité, a continué ses recherches sur les
figures d'équilibre des liquides.

Le jeune aveugle Penjon, qui suivait les cours du lycée Charlemagne, a
eu en 1806 un prix de mathématiques au concours général et il a été
nommé professeur de ces sciences au lycée d'Angers.

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L'homme pense plus librement lorsqu'il ferme les yeux: il est moins
distrait par les choses extérieures.

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On appelle problème de Molyneux (géomètre anglais du XVIIIe siècle) le
problème suivant: Un aveugle-né devenu subitement clairvoyant par une
opération, pourrait-il tout d'abord et sans le secours du toucher
distinguer une sphère d'un cube et dire: Voici la sphère et voilà le
cube?

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SUR L'ÉCHAFAUD

Le 12 novembre 1793, lorsque l'astronome Bailly, ancien maire de
Paris, fut conduit à l'échafaud, un des gardes l'interpella: «Tu
trembles, Bailly.» «Oui, je tremble, répondit ce dernier, mais c'est
de froid.»

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SAVANTS FOUS

Le célèbre algébriste Cardan, qui était médecin, a cherché si les
remèdes agissent d'après les progressions arithmétiques ou
géométriques des doses. Ayant foi en l'astrologie, il avait tiré son
horoscope et réglé en conséquence sa fortune. Mais le terme qu'il
avait fixé étant arrivé, il se trouva réduit à une si grande misère
qu'il dut mettre fin à ses jours.

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Un autre, Fatio de Duiller, avait annoncé qu'il ressusciterait un
mort, mais le mort résista.

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Il y a peu d'années, l'Académie des sciences a décerné le prix dans un
concours de hautes mathématiques à un mémoire dont l'auteur s'est
trouvé être un pensionnaire de la maison nationale de Charenton. Il
n'y avait pas d'inadvertance. Le mémoire était de tout premier mérite,
d'autre part, l'auteur n'avait pas du tout songé à protester d'une
façon détournée contre son sort. Sa raison était atteinte, mais non
pas le casier des mathématiques. Et qui sait si ce n'est pas
l'activité de cette portion privilégiée de la matière cérébrale qui
avait atrophié une partie du reste?

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DEUX TRISTES PERSONNAGES

L'un est le trop fameux Libri, savant et érudit, auteur d'une histoire
des Mathématiques en Italie, qui a pillé nos bibliothèques dont il
était l'Inspecteur. Il s'est sauvé en Angleterre, il a été condamné
par les tribunaux, et il est mort misérablement en 1869. Notre
Bibliothèque nationale a pu racheter la plupart des livres rares dont
elle avait été dépouillée.

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L'autre est l'escroc Vrain Lucas qui a mystifié le géomètre Chasles en
lui vendant, de 1867 à 1869, des autographes d'après lesquels Pascal
aurait fait la plupart des découvertes attribuées à Newton. Le
faussaire a été condamné à deux ans de prison: il avait avoué avoir
fait et trafiqué plus de vingt mille faux autographes.

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MARIAGE

Dans ce temps-là, sauf de rares exceptions, les savants, les
mathématiciens surtout, étaient regardés dans le monde comme des êtres
d'une nature à part. On aurait voulu leur interdire le concert, le
bal, le spectacle, comme à des ecclésiastiques. Un géomètre qui se
mariait semblait enfreindre un principe de droit. Le célibat passait
pour la condition obligée de quiconque s'adonnait aux sublimes
théories de l'analyse. Le tort était-il tout entier du côté du public?
Les géomètres ne l'avaient-ils pas eux-mêmes excité à voir la question
sous ce jour-là?...

D'Alembert reçoit indirectement de Berlin la nouvelle que Lagrange
vient de donner son nom à une de ses jeunes parentes. Il est quelque
peu étonné qu'un ami avec lequel il entretient une correspondance
suivie ne lui en ait rien dit. Cela même ne le détourne pas d'en
parler avec moquerie: «J'apprends, lui écrit-il, que vous avez fait ce
qu'entre nous philosophes nous appelons le saut périlleux... Un grand
mathématicien doit, avant toutes choses, savoir calculer son bonheur.
Je ne doute pas qu'après avoir fait ce calcul, vous n'ayez trouvé pour
solution le mariage.»

Lagrange répond de cette étrange manière: «Je ne sais pas si j'ai bien
ou mal calculé, ou, plutôt, je crois ne pas avoir calculé du tout; car
j'aurais peut-être fait comme Leibniz qui, à force de réfléchir, ne
put jamais se déterminer. Je vous avouerai que je n'ai jamais eu de
goût pour le mariage,... mais les circonstances m'ont décidé... à
engager une de mes parentes... à venir prendre soin de moi et de tout
ce qui me regarde. Si je ne vous en ai pas fait part, c'est qu'il m'a
paru que la chose était si indifférente d'elle-même, qu'il ne valait
pas la peine de vous en entretenir.»

                                                          ARAGO.

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RECONSTRUCTION

Le général Poncelet, officier du génie sous le premier empire, fut
fait prisonnier pendant la terrible guerre de Russie et interné à
Saratof, sur le Volga. Lorsque, pour se distraire, il voulut
travailler les mathématiques, il constata qu'il les avait complètement
oubliées, par suite du froid et de la fatigue. Alors, sans aucun
livre, il reconstitua peu à peu toutes ces sciences à sa manière. Il a
conservé et publié ses notes, pleines d'aperçus nouveaux et tout à
fait personnels.

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PORTRAITS

Le _mathématicien_, du flamand Bol, est au musée du Louvre. Le savant,
en noir, tient d'une main une règle et de l'autre il montre une figure
géométrique; il est grave et semble méditer.--Il y a aussi _un
mathématicien_, de Vélasquez, au musée de Besançon.

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UNE CASQUETTE

Lorsqu'en 1826, Abel, mathématicien suédois, vint à Paris voir nos
savants, il était coiffé d'une casquette étrange qui lui nuisit
beaucoup.

Abel, mort jeune, avait du génie: c'est lui qui a découvert les
fonctions dites abéliennes et établi l'impossibilité de la résolution
_algébrique_ des équations de degré supérieur au quatrième.

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DÉNOMINATEUR À LA MAISON

Dans un cours public, le professeur, M. Lefébure de Fourcy, écrivant
au tableau d'après ses notes une très longue formule, dut s'excuser en
disant: «Messieurs, j'ai oublié le dénominateur à la maison.»

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DISTRACTIONS

Distrait comme un mathématicien, est un dicton justifié. Le grand
Newton a donné le mauvais exemple: un jour, ne voulant pas interrompre
son travail, il se préparait un oeuf à la coque, lorsqu'au bout d'un
moment, il s'aperçut qu'il tenait l'oeuf à la main et qu'il avait fait
cuire sa montre à secondes, bijou du plus grand prix, à cause de sa
précision.

Le même Newton avait habitué ses chats à s'installer sans façon dans
son cabinet de travail, mais la longueur des calculs du savant lassait
souvent leur patience proverbiale. Les vieux matous allaient se mettre
en expectative près de la porte; les plus jeunes, plus impatients,
miaulaient impérieusement pour qu'on leur ouvrît. Continuellement
interrompu, le savant se décida à faire une chattière juste assez
grande pour laisser passer les petits félins qui étaient les plus
turbulents de la troupe. Mais les gros, qui voyaient les petits aller
et venir à leur guise, se livrèrent à un tel sabbat que Newton prit
enfin le parti de faire pratiquer une grande chattière _à côté de la
petite_.

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Ampère, surnommé le distrait, remarqua, une fois qu'il se rendait à
son cours, un petit caillou sur son chemin, et comme il n'était pas un
savant exclusif, il le ramassa et l'examina. Tout à coup, le cours
qu'il doit faire revient à son esprit, il tire sa montre, s'apercevant
que l'heure approche, il double précipitamment le pas, remet le
caillou dans sa poche et lance sa montre par-dessus le parapet du pont
des Arts.

Ampère ne manquait jamais, lorsqu'il avait terminé une démonstration
sur le tableau, à l'École polytechnique, d'essuyer les chiffres avec
son mouchoir et de remettre dans sa poche le torchon traditionnel,
toutefois, bien entendu, après s'en être préalablement servi.

Enfin Ampère se mit un jour à calculer sur la caisse noire d'un
fiacre, avec le bout de craie qu'il portait toujours sur lui. Le
fiacre se mettant en marche, le mathématicien le suivit en courant
pour continuer ses équations.

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Mais, voici qui est plus fort: on raconte qu'un géomètre, dont le nom
nous échappe, quittant Paris pour aller se marier en province et
craignant d'oublier la chose, avait écrit en grosses lettres sur son
calepin «me marier en passant à Tours.»

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AUTEUR EMBARRASSÉ

De tous les métiers actuels, le plus dur est celui d'écrire des livres
de mathématiques, et surtout des livres astronomiques.

Si, en effet, vous oubliez d'observer la rigueur propre des
propositions et de leur enchaînement, des démonstrations et des
conclusions, le livre n'offre pas le caractère mathématique. Si, au
contraire, vous en tenez compte, la lecture devient très pénible...

Moi-même,... lorsque je viens à relire le présent ouvrage, je sens les
forces de mon esprit s'affaiblir pendant que je rappelle à mon
souvenir, en voyant les figures, les éléments des démonstrations que,
dès l'origine, j'avais tirées de mon esprit, pour les traduire... en
langage ordinaire. Aussi, pendant que je remédie à l'obscurité du
sujet par un tissu de circonlocutions, me semble-t-il que, par un
défaut contraire, je deviens trop verbeux en matière mathématique.

Or la prolixité a aussi son obscurité, non moins que la concision
extrême....

                                                         KEPLER.

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DE L'ARGENT

La reine d'Angleterre, ayant daigné visiter une nuit l'Observatoire de
Greenwich, exprima à Bradley l'intention de lui faire allouer un
traitement plus convenable. «Je supplie Votre Majesté de ne pas donner
suite à son projet, répliqua Bradley. Si la place de Directeur
rapportait de l'argent, ce ne serait plus un astronome qui demeurerait
ici.»

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NEZ PERDU

L'astronome Tycho-Brahe, voyageant en Allemagne, se prit de querelle
avec un savant, à propos d'un théorème. Un duel s'en suivit, et le
pauvre Tycho y perdit son nez! Il dut s'en faire mouler un en cire.

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BONS JOUEURS

C'est une idée très généralement répandue que la plupart des
personnes que l'on sait adonnées aux mathématiques passent aussi pour
être habiles au jeu d'échecs. Ce jugement est habituellement formulé
par des gens qui, ne connaissant pas le jeu d'échecs, s'imaginent
qu'en raison de sa difficulté et de la grande attention qu'il exige,
il emprunte nécessairement des ressources à l'emploi des
mathématiques, qu'il ne saurait être convenablement joué que par des
mathématiciens, et enfin, qu'il doit être naturellement joué par des
mathématiciens.

Il est pourtant bien établi que le jeu d'échecs n'a aucune relation
avec les mathématiques. Il n'y a pas eu et il n'y aura sans doute
jamais d'ouvrage traitant de la théorie mathématique du jeu d'échecs,
pas plus d'ailleurs que du jeu de dames; tandis qu'il existe des
études mathématiques du jeu d'écarté (Dormoy), du jeu de billard
(Coriolis), et de certains autres.

Il est à présumer que si les mathématiciens passent pour connaître ou
aimer le jeu d'échecs, c'est sans doute parce que les mathématiciens
ayant l'esprit familiarisé avec les notions de rapport et de
combinaison, aperçoivent rapidement le pour et le contre de chaque
trait du jeu. Mais, encore une fois, s'il existe,--et nous en
connaissons,--des mathématiciens très habiles au jeu d'échecs, il ne
s'en suit vraiment pas qu'on puisse étendre cette qualité à tous les
mathématiciens indistinctement.

Voir, dans Edgar Poe, l'_Automate joueur d'échecs_. «Aucun coup dans
le jeu des échecs ne résulte nécessairement d'un autre coup
quelconque.»

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BONHOMIE

L'académicien Ozanam, l'auteur des _Récréations mathématiques_, disait
qu'il appartient à la Sorbonne de disputer, au pape de décider et au
mathématicien d'aller au ciel en ligne perpendiculaire.

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MODESTIE

Sturm, lorsqu'il parlait du célèbre théorème qu'il a découvert,
disait: le théorème dont j'ai l'honneur de porter le nom.

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COUP DE FOUDRE

Parfois le mathématicien réfléchit longtemps sur une question sans
parvenir à rien trouver et tout à coup, parfois même au moment où il y
songe le moins, une idée se présente à son esprit et l'envahit tout
entier; puis, sans être arrêtée par aucun obstacle, elle se développe
et amène après elle la série de ses conséquences logiques: c'est un
trait de lumière; tout ce qui avait embarrassé le savant devient
clair, tout s'explique et s'enchaîne; il est dans une sorte d'ivresse
délicieuse, de transport, d'extase. Mais parfois il est pris de
craintes et de scrupules: il tremble d'avoir cru trop vite aux
suggestions de son imagination et d'avoir été la dupe d'une illusion;
tout cela lui semble trop beau pour être vrai. Il revient en arrière,
il contrôle par le raisonnement l'exactitude de conjectures et il en
reconnaît la justesse, c'est-à-dire la rigueur logique.

                                                       E. JOYAU.

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HUMILITÉ

Je demande que cet ouvrage soit lu avec indulgence, et que les défauts
inévitables dans une matière aussi difficile, soient moins un sujet de
blâme qu'une occasion de tentatives nouvelles et de recherches plus
heureuses.

                                                         NEWTON.

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Cet extrait de la préface du grand livre des _Principes_ nous montre
combien les hommes de génie sont modestes.

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MORT D'ARCHIMÈDE

Archimède était seul, occupé à réfléchir sur une figure de géométrie,
les yeux et la pensée tout entiers à cette méditation, et ne
s'apercevant ni du bruit des Romains qui couraient par la ville, ni de
la prise de Syracuse. Tout à coup un soldat se présente et lui ordonne
de le suivre devant Marcellus. Archimède voulut résoudre auparavant le
problème, et en établir la démonstration; mais le soldat en colère
tira son épée et le tua.

D'autres disent que le Romain arriva droit sur lui l'épée nue pour le
tuer; qu'Archimède le pria, le conjura d'attendre un instant, pour
qu'il ne laissât pas son problème inachevé et sans démonstration, mais
que le soldat, ne se souciant pas du problème, l'égorgea.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quoi qu'il en soit, tout le monde s'accorde à dire que Marcellus en
fut vivement affligé; qu'il repoussa, comme sacrilège, le meurtrier
d'Archimède, et qu'il fit chercher et traita honorablement les parents
de la victime.

                                                      PLUTARQUE.

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EFFORTS GLORIEUX

Il est bien rude le travail que j'ai déjà accompli, et bien rude celui
que j'entreprends d'accomplir encore. Ce n'est ni le labeur ni la
mémoire qui me conduiront au but: ils ne sont que d'humbles esclaves
au service de l'idée pure qui se dirige elle-même. Mais la méditation
opiniâtre, celle qui brise le front, exige plus de puissance que le
labeur le plus soutenu. Si grâce à un exercice continuel de cette
méditation, j'y ai acquis quelque force, qu'on ne dise pas qu'elle me
soit devenue facile par quelque heureux don de la nature. C'est un
rude, bien rude travail qu'il me faut soutenir, et le tourment
d'esprit que me causent ces efforts a souvent ébranlé gravement ma
santé. Mais la conscience de la force acquise me donne de mon travail
la plus belle récompense, et m'encourage de nouveau à le poursuivre
sans relâche. Des hommes sans idées, pour qui ce travail et par suite
cette conscience qu'on a de sa force sont choses tout à fait
inconnues, cherchent à détruire cette consolation, qui seule pourtant
peut empêcher l'esprit de se laisser défaillir dans cette pénible
carrière, en rendant odieuse, sous les noms de présomption et
d'orgueil, la conscience qu'on a d'être indépendant et libre; car
c'est par le mouvement seul de la pensée que l'homme est libre et
s'appartient. Quiconque porte en soi l'idée d'une science, ne peut
manquer d'apprécier les choses d'après la manière dont l'intelligence
humaine s'y révèle: de ce point de vue élevé, bien des choses devront
lui paraître futiles, qui peuvent sembler aux autres d'un assez grand
prix.

                                         CHARLES-GUSTAVE JACOBI.

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POSTILLON

En 1829, quand le grand mathématicien (Ampère), atteint des premiers
symptômes d'une maladie de larynx, voyageait sur la route d'Hyères, où
il allait chercher le repos et le soleil, assis au fond d'une calèche
à côté de son fils qui l'accompagnait, il se chargeait volontiers de
payer les postillons. Aux portes d'Avignon, dans ce pays déjà
méridional, où le langage populaire se colore et s'accentue
d'épithètes énergiques, André Ampère essayait laborieusement de régler
ses frais de route; mais d'un côté la distraction, de l'autre
l'impatience, embrouillaient incessamment toutes ses additions.

L'affaire s'arrange enfin au gré de l'Avignonnais, qui reçoit son
pourboire et dit d'un air de superbe dédain: «En voilà un _mâtin_ qui
n'est pas malin! Où celui-là a-t-il appris à _carculer_?»

Tout entier à l'admiration que m'inspirait le génie de mon père,
disait notre ami (J.-J. Ampère), en rappelant ses souvenirs, je
l'écoutais parler sur la classification des connaissances humaines,
quand cet incident vint nous interrompre.

                                                       Mme H. C.

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PARESSE

Les grands géomètres connaissent cette espèce de paresse, qui préfère
la peine de découvrir une vérité à la contrainte peu agréable de la
suivre dans l'ouvrage d'autrui. En général ils se lisent peu les uns
les autres, et peut-être perdraient-ils à lire beaucoup: une tête
pleine d'idées empruntées n'a plus de place pour les siennes propres,
et trop de lecture peut étouffer le génie.

                                                     D'ALEMBERT.

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DÉSINTÉRESSEMENT

Au retour de son voyage astronomique au Cap de Bonne-Espérance, l'abbé
La Caille avait obtenu la faveur de faire passer en France toutes ses
malles, affranchies des droits de visite. Il pouvait, à cette
occasion, faire un gain considérable et l'on fut surpris, lorsqu'au
lieu de prendre des marchandises, il se borna à remplir une grande
valise de paille et d'instruments. Quoique doux, il reçut fort mal un
particulier qui lui offrit alors cent mille livres comptant, s'il
voulait lui transmettre secrètement son privilège.

On avait alloué à l'astronome dix mille livres pour tous ses frais et
ceux de son aide pendant l'expédition qui dura quatre ans (1750-1754).
Il ne dépensa que 9145 livres et il s'empressa de rembourser le
restant au trésor. Il paraît qu'on fit des difficultés pour accepter,
le cas n'étant pas prévu par les règlements.

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ZOZO

Le recteur de Montpellier, nommé Gergonne, était un de ces types
complets de la vieille Université. Son visage orné d'un long nez en
forme de bec à corbin, ne se déridait jamais; ses lèvres serrées et
dédaigneuses ne s'ouvraient que pour laisser passer la critique, le
reproche ou des mots piquants. Malheur au professeur qui osait
s'écarter des bornes du programme ou quitter les routes battues!
Jubinal, titulaire du cours de littérature étrangère, en fit l'épreuve
à ses dépens. Instruit de la forme un peu légère et de la désinvolture
de son enseignement, le vieux Gergonne vint l'entendre un jour; puis
le faisant appeler, le réprimanda vertement et le somma de devenir
plus sérieux, sous peine de suspension. Jubinal, ayant répondu, pour
s'excuser, qu'il y avait beaucoup de monde à son cours:--Monsieur, dit
Gergonne, de sa voix aigre et mordante comme des tenailles, Zozo, le
charlatan du Peyrou, en a encore plus que vous!

Ce fut un mot malheureux pour le professeur de littérature étrangère,
que les étudiants n'appelèrent plus que Zozo.

                                                     MARY-LAFON.

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ROBINSON

Encore enfant, Lacroix s'était ému à la lecture des aventures
romanesques de Robinson Crusoë. Lui aussi, il voulait trouver cette
île fortunée où il serait possible de mener, dans la compagnie de sa
mère, une vie plus tranquille et moins éprouvée par la pauvreté. Cette
idée qui a inspiré plus d'un beau rêve à de jeunes esprits, captiva
son ardente imagination et excita son ardeur pour le travail. La
construction du vaisseau qui devait le transporter vers ces rives
enchantées exigeait des connaissances approfondies, il les chercha
dans des traités spéciaux; les termes de géométrie l'arrêtaient
fréquemment, il en demanda l'explication et le commentaire aux cours
que Mauduit faisait alors au Collège de France. C'est sur les bancs de
cette école que son rêve devait finir... À dix-sept ans, Lacroix
professait les mathématiques à l'École des Gardes de la Marine à
Rochefort.

                                                     J. LORIDAN.




PROFESSEURS ET ÉTUDIANTS


EXAMINATEUR

On trouvait Monge inflexible chaque fois que l'intérêt public semblait
exiger qu'il fît prévaloir les décisions de l'examinateur. «Vous avez
refusé un candidat qui appartient à de bien puissantes familles, lui
disait le maréchal de Castries, ministre de la marine. Votre décision
me donne mille tracas; je suis accablé de réclamations.--Vous êtes
parfaitement le maître, repartit l'austère examinateur, d'admettre le
candidat qui m'a paru inacceptable; mais si vous prenez cette
décision, Monsieur le maréchal, il faudra supprimer en même temps la
place que j'occupe. Les fonctions que je remplis ne seraient plus
ensuite ni utiles ni acceptables.» Le candidat inadmissible ne fut pas
admis.

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RÉCOMPENSÉ

Dans ma longue carrière de professeur et d'examinateur, dit Lamé, rien
ne m'a plus étonné que la brusque et subite apparition de la faculté
du raisonnement mathématique chez un élève que je suivais depuis
plusieurs années, plein de bonne volonté, de zèle pour le travail, du
désir de comprendre ce qu'il était forcé d'abandonner à la mémoire,
seule active chez lui. Un jour, à un certain instant, au milieu d'une
démonstration mainte fois répétée, une porte s'ouvrit tout à coup dans
son esprit: il comprenait! La joie, l'émotion de l'élève ne sauraient
se décrire... Dès le lendemain son élan était pris, et il regagnait à
pas de géant les retards du passé, de manière à primer tous ses
camarades.

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PONCTUALITÉ

Poisson avait un genre de mérite dont se dispensent trop souvent
ceux-là mêmes qui ne pourraient invoquer pour excuse le rang qu'ils
occupent dans la science: l'exactitude. Jamais il ne manqua une leçon
sans être retenu au lit par la maladie; jamais, tant que sa voix put
se faire entendre, il ne confia à un suppléant la satisfaction
d'initier à la science la jeunesse studieuse. On pourrait vraiment, en
y changeant un seul mot, appliquer à ce savant les paroles qui
terminent l'éloge d'Euler par Condorcet: «Tel jour, Poisson cessa de
professer et de vivre.»

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TOUCHANTE RÉCIPROQUE

Jamblique raconte que Pythagore, ayant distingué un ouvrier, lui
enseigna les mathématiques, en le payant trois oboles par théorème:
c'était le prix de la journée de l'ouvrier. Bientôt, pour éprouver son
élève, le philosophe feignit d'être tombé dans la misère et le jeune
homme lui offrit à son tour trois oboles pour chaque nouveau théorème.

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RAIDEUR

Nous empruntons à Arago, le récit de ses examens d'entrée et de sortie
à l'École Polytechnique.

Mon camarade, intimidé, échoua complètement. Lorsqu'après lui, je me
rendis au tableau, il s'établit entre M. Monge (le jeune),
l'examinateur et moi, la conversation la plus étrange: «Si vous devez
répondre comme votre camarade, il est inutile que je vous interroge.

--Monsieur, mon camarade en sait beaucoup plus qu'il ne l'a montré;
j'espère être plus heureux que lui, mais ce que vous venez de me dire
pourrait bien m'intimider et me priver de tous mes moyens.

--La timidité est toujours l'excuse des ignorants; c'est pour vous
éviter la honte d'un échec que je vous ai fait la proposition de ne
pas vous examiner.

--Je ne connais pas de honte plus grande que celle que vous m'infligez
en ce moment. Veuillez m'interroger, c'est votre devoir.

--Vous le prenez de bien haut, monsieur! Nous allons voir tout à
l'heure si cette fierté est légitime.

--Allez, monsieur, je vous attends!»

M. Monge m'adressa alors une question de géométrie à laquelle je
répondis de manière à affaiblir ses présomptions. De là, il passa à
une question d'algèbre, à la résolution d'une équation numérique. Je
savais l'ouvrage de Lagrange sur le bout du doigt....

J'étais depuis deux heures et quart au tableau; M. Monge passant d'un
extrême à l'autre, se leva, vint m'embrasser et déclara solennellement
que j'occuperais le premier rang sur sa liste.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L'examinateur était cette fois l'illustre géomètre Legendre.

... On venait d'emporter un élève complètement évanoui.

«Comment vous appelez-vous? me dit-il brusquement.--Arago,
répondis-je.--Vous n'êtes donc pas Français...»

M'ayant fait une question qui exigeait l'emploi des intégrales
doubles, il m'arrêta en me disant: «La méthode que vous suivez ne vous
a pas été donnée par le professeur. Où l'avez-vous prise?--Dans un de
vos mémoires.--Pourquoi l'avez-vous choisie? Était-ce pour me
séduire?--Non, rien n'a été plus éloigné de ma pensée. Je l'ai adoptée
parce qu'elle m'a paru préférable.--Si vous ne parvenez pas à
m'expliquer les raisons de votre préférence, je vous déclare que vous
serez mal noté, du moins pour le caractère.»

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Un professeur anglais avait habitué ses élèves à se lever à chaque
grand nom de mathématicien qu'il prononçait et à pousser un hurrah
lorsqu'il était question d'Archimède ou de Newton.

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PETITS MANDARINS

En Chine, tous les trois ans, le 8e jour de la 8e lune, les candidats
sont enfermés dans des espèces de niches qui les isolent complètement.
À la porte, se tient un soldat armé d'une lance.

Si deux jeunes gens parvenaient à se communiquer leurs copies, ils
seraient, assure un voyageur, condamnés à mort et exécutés sur le
champ (?)

Chaque candidat jugé par trop faible est puni, dit-on, de cinquante
coups de bambou sur la plante des pieds.

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PRÉSIDENT

M. Thiers, le président de la République, était comme Chevreul un
vieil étudiant. La géométrie lui était enseignée sur le tard par l'un
de nos savants, M. Mannheim, qui lui parla un jour des diverses
sections du cône, mais M. Thiers répliqua: «Allons donc, chacun sait
que la section d'un cône de révolution par un plan est toujours un
cercle!» «Vous croyez, M. le Président, hé bien, nous allons faire
l'expérience sur une carotte.»

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CORRESPONDANCE

Un maître d'école des environs de Mayence rencontra quelques
difficultés dans l'arithmétique qu'il enseignait aux enfants du
village. Il en écrivit à un homme considérable attaché à l'Électeur et
qui avait la réputation d'être très versé dans les sciences de calcul.
À quelques semaines de là, l'homme considérable s'excuse auprès du
maître d'école sur ses nombreuses occupations, de n'avoir pas répondu
plus tôt, et entre ensuite dans tous les détails nécessaires pour
faire disparaître les difficultés arithmétiques.

Cet homme considérable se nommait Leibniz.

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À LA HALLE

Un polytechnicien, marchandant un bouquet et insulté par la poissarde,
répliqua gravement, comme s'il récitait un théorème: «Eh! vas donc,
vieux parallélogramme pyramide tronquée, octaèdre régulier, espèce de
secteur, équation binome, tangente, etc.» Stupéfaction de la femme.

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UN EXAMEN PÉRILLEUX

Bezout, examinateur de la marine, arrive à Toulon. Un des élèves était
retenu au lit par la petite vérole; s'il n'est pas examiné sur le
champ, sa carrière est perdue. Bezout n'a pas eu la petite vérole, il
redoute extrêmement les atteintes de cette terrible maladie;
néanmoins il se rend dans la chambre de l'élève, l'examine et le
reçoit.

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SENIOR WRANGLER

À l'Université de Cambridge, les étudiants d'élite terminent leurs
études par une série d'examens sur les hautes mathématiques et le
lauréat, ou _senior wrangler_, est encore plus fêté que notre Prix
d'honneur au concours général. En 1890, les examinateurs ont déclaré
que, s'ils avaient eu le droit de comprendre dans le classement final
les jeunes filles autorisées seulement à prendre une part platonique
au concours, c'est miss Philippa Fawcett qui aurait remporté la
victoire.

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LES TROIS HUIT

Certains pédagogues américains ont résumé ainsi l'emploi du temps
qu'ils proposent pour la jeunesse et qui consiste à répartir la
journée également entre le travail, le repos ordinaire et le sommeil.

On sait que, de leur côté, des socialistes réclament aussi la
réduction à huit heures de la journée du travailleur, même lorsqu'il
est agriculteur ou pêcheur.

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DANS L'INDE

Il n'est pas rare... de voir des opérations de mathématiques,
multiplications de facteurs à plusieurs chiffres, transformations
algébriques ou trigonométriques faites de tête en un clin d'oeil par
de très jeunes enfants.

                                                    LE P. GOUBÉ.

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Les petits Indiens marchent ainsi sur les traces de leurs ancêtres.

Consulter _Les Mathématiques aux Indes_, par Delbos.

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RESPONSABILITÉ

Chargé de corriger les compositions écrites du concours d'admission à
l'École polytechnique, Le Verrier écrit à son père: «Le concours écrit
dont je suis seul chargé est une sorte de magistrature que j'exerce et
dont je comprends toute la portée; je ne dormirais plus, si je pensais
que, par distraction, j'ai pu commettre une de ces injustices si
cruelles pour un jeune homme et qui tuent son avenir. J'ai trop
ressenti, il y a peu d'années, les douleurs d'un candidat pour ne pas
considérer leurs droits comme sacrés.»

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FORT EN THÈME

Nous lisons dans un petit livre anonyme sur l'enseignement: Le fort en
thème et le fort en _x_ vivent en assez bonne intelligence, en se
faisant des concessions réciproques. Le premier ne croit point à la
supériorité réelle de son émule. Le second est d'une indulgence
écrasante pour les toquades de l'autre.

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GRAND'SOIF

Aux examens de l'École polytechnique, en 1833, l'Examinateur M.
Reynaud, ayant appelé un candidat absent, demande un élève de bonne
volonté, pour le remplacer. Le jeune Catalan, poussé par ses
camarades, se risque, quoiqu'il n'ait jamais assisté à un examen.
Pauvrement et grotesquement vêtu, il a l'air d'un jeune sauvage. Il
hésite au début, puis il se relève et même il brille. Après avoir
longuement parlé, il aperçoit un verre, une carafe d'eau, du sucre,
et... il se prépare un verre d'eau sucrée. M. Reynaud accourt, et
s'écrie: «Êtes-vous indisposé?» «Non, Monsieur, mais voilà longtemps
que je parle: j'ai grand'soif!» L'apparente effronterie n'était que de
la naïveté. La légende dura plusieurs années: «Catalan qui boit le
verre d'eau de l'examinateur!»




ENFANTS ET IGNORANTS


ENFANT TERRIBLE

Toto était interrogé avec bonhomie par son père sur la soustraction:
«Si tu as huit pommes et que tu m'en donnes trois, combien t'en
reste-t-il?»--Le tout petit réplique aussitôt: «Si j'ai cinq-z-yeux et
que tu m'en crèves six, combien qu'i'm'en reste?»

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TROP COURT

On dit à un enfant de faire une mesure avec le mètre, il essaye mais
en vain: le mètre n'était pas assez long!

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REP... D'MATH...

_Loulou._--Répétiteur d'math...

_Papa._--Hein?

_Loulou_, condescendante.--... ématique... mathématiques... nous
disons math... c'est plus court...

_Papa._--En effet...

_Loulou._--C'est du reste pour toi qu'j'avais dit répétiteur
d'math... car on doit dire: «l'rep... d'math...» c'est le vrai
genre...

_Papa._--Ah!... c'est le genre!... et pourquoi as-tu un répétiteur de
math... puisque math... il y a?

_Loulou._--Parc'que c'est ce qui me chante l'moins!... j'suis obligée
d'les bûcher très dur, ces sales math!...

                                                            GYP.

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PAROLE D'HONNEUR

Lorsqu'au temps jadis, le duc d'Angoulême fut nommé grand-maître de la
Marine, on s'aperçut avec stupeur qu'il savait à peine compter.
Immédiatement le plus célèbre géomètre de France fut mandé pour
l'instruire _en la mathématique_, comme on disait alors. Mais c'est en
vain qu'il tenta d'en démontrer les principes les plus élémentaires à
son auguste disciple. Celui-ci l'écoutait avec une exquise politesse,
mais en hochant la tête avec un doux air d'incrédulité.--Un jour, à
bout d'arguments, le pauvre maître s'écria: «Monseigneur, je vous en
donne ma parole!» «Que ne le disiez-vous plus tôt! Monsieur, répondit
le duc en s'inclinant: je ne me permettrai plus jamais d'en douter.»

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FACÉTIES GÉOMÉTRIQUES

Deux paysans ont échangé leurs champs, l'un carré de 6m de côté,
l'autre rectangulaire de 9m de long sur 3 de large, chacun des champs
ayant ainsi 24m de tour. Le second paysan se prétend lésé.

Mon arrière-grand-père, ayant emprunté un sac de blé de 6 pieds de
haut sur 4 pieds de large, en a ensuite rendu quatre de 6 pieds aussi
de haut et d'un pied de large chacun. Le prêteur n'a pas accepté.

Un jardinier a droit à l'eau que lui apporte un conduit circulaire. Il
paye pour avoir le double d'eau et il double à cet effet le diamètre
du conduit. On lui fait un procès.

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ENTÊTEMENT

Bernardin de Saint-Pierre ne comprenait pas la question du rayon de
courbure de l'ellipsoïde terrestre et il fatiguait l'Institut de ses
notes. «Apprenez le calcul différentiel, lui dit un jour Napoléon, et
vous lèverez vous-même vos ridicules objections.»

Voir la préface de _La chaumière indienne_ où l'on trouve
l'explication des marées par la fonte des neiges polaires.

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PEU INTELLIGENT

Arago, qui fut un admirable vulgarisateur dans ses cours de
l'Observatoire, regardait toujours celui de ses auditeurs qui lui
paraissait être le moins intelligent, et lorsque cet auditeur lui
semblait avoir compris, il était assuré de la clarté de sa
démonstration.

Or, un jour, dans un salon où il venait de raconter ce fait, un jeune
homme entra, qu'il ne connaissait pas et dont il eut à subir les
saluts les plus empressés.

--À qui ai-je l'honneur de parler? lui demanda-t-il.

--Oh! monsieur Arago, vous devez bien me connaître, car j'assiste
assidûment à vos leçons, et vous ne cessez de me regarder pendant tout
le temps.

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CHEZ LES TURCS

On rapporte qu'un ambassadeur, visitant une école supérieure de
Constantinople, proposa de démontrer que la somme des angles d'un
triangle est égale à deux angles droits. Après mûres réflexions, le
collège des Muhendis ou des géomètres conclut à l'exactitude de la
proposition pour le triangle équilatéral.

Olry Terquem, auquel nous empruntons l'anecdote, s'est trompé. Le
baron de Tott dit, dans ses mémoires, qu'il lui fut répondu: «C'est
selon le triangle.»

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POLICE VOLÉE

D'après un journal de la Triplice (ne pas confondre avec la triple
_x_), la police russe a fait emprisonner un voyageur porteur d'une
Table de logarithmes qu'elle considère comme une longue correspondance
chiffrée des plus compromettantes.

Nous faisions à l'École, un usage plus gai de nos tables de
logarithmes: nous les chantions... d'après la méthode Chevé.

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DÉCIMÈTRE CARRÉ

Sous le gouvernement de Juillet, il a été promulgué une loi sur le
Timbre et l'Enregistrement dans le texte de laquelle le décimètre
carré était confondu avec le dixième du mètre carré. Les instituteurs
ont bien ri.

Plus récemment, la Chambre a imposé les verres à vitre dont la surface
est supérieure à 50 centimètres de côté.

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JEUNE ANGLAIS

Dickens raconte qu'un étudiant, ayant négligé l'arithmétique,
procédait toujours par addition. Il entra un jour dans une boutique
d'épicerie et l'utilité de la multiplication lui fut enfin révélée.

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COMPLAISANCES ASTRONOMIQUES

Un monsieur porteur d'une carte d'entrée à l'Observatoire pour
observer une éclipse arriva trop tard: «Je connais particulièrement
Arago, affirma-t-il, il aura la bonté de recommencer pour moi.»

                       ¤---¤---¤

Des signaux de triangulation ayant été établis près du château de M.
X..., député, on s'exclamait sur sa grande influence qui lui avait
permis de faire passer le méridien dans son domaine.

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Un orateur de club, voulant échapper au bon plaisir des
administrateurs municipaux d'Auxerre, demandait que les noms des
quartiers du Nord, de l'Est, du Sud et de l'Ouest fussent tirés au
sort.

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COMÈTES

Un jour viendra où le cours des comètes sera connu et assujetti à des
règles comme celui des planètes.

                                                        SÉNÈQUE.

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  Je viens vous annoncer une grande nouvelle:
  Nous l'avons, en dormant, Madame, échappé belle.
  Un monde près de nous a passé tout du long,
  Est chu tout au travers de notre tourbillon;
  Et s'il eût en chemin rencontré notre terre,
  Elle eût été brisée en morceaux comme verre.
                                                        MOLIÈRE.

Nous avons ici une comète qui est bien étendue, c'est la plus belle
queue qu'il soit possible de voir. Tous les plus grands personnages
sont alarmés et croient que le ciel, bien occupé de leur perte, en
donne des avertissements par cette comète. On dit que le cardinal
Mazarin, étant désespéré des médecins, les courtisans crurent qu'il
fallait honorer son agonie d'un prodige, et lui dirent qu'il
paraissait une grande comète qui leur faisait peur. Il eut la force de
se moquer d'eux, et leur dit plaisamment que cette comète lui faisait
trop d'honneur. En vérité on devrait en dire autant que lui, et
l'orgueil humain se fait aussi trop d'honneur de croire qu'il y ait de
grandes affaires dans les astres quand on doit mourir.

                                                 Mme DE SÉVIGNÉ.

                       ¤---¤---¤

  Comètes que l'on craint à l'égal du tonnerre,
  Cessez d'épouvanter les peuples de la Terre:
  Dans une ellipse immense achevez votre cours;
  Remontez, descendez près de l'astre du jour;
  Lancez vos feux, volez et revenant sans cesse,
  Des mondes épuisés ranimez la vieillesse.
                                                       VOLTAIRE.

                       ¤---¤---¤

  D'avance, à l'avenir, nous écrivons leur route:
  Nous disons à celui qui n'est pas encor né,
  Quel jour, au point du ciel, tel astre ramené
  Viendra de sa lueur éclairer l'étendue,
  Et rendre au firmament son étoile perdue.
                                                      LAMARTINE.

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OPINIONS AMÈRES

L'enseignement mathématique fait l'homme machine et dégrade la pensée.
L'âme d'un peuple n'est pas ce chiffre muet et mort à l'aide duquel il
compte des quantités et mesure des étendues: la toise et le compas en
font autant.

                                                      LAMARTINE.

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Défiez-vous des ensorcellements et des attraits diaboliques de la
géométrie.

                                                        FÉNELON.

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Un mathématicien de plus, un homme de moins.

                                                      DUPANLOUP.

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Le naturaliste Owen demandait en souriant une sous-classe, celle de
l'_homo mathematicus_.

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ASTROLOGIE

L'astrologie est la fille de l'astronomie, mais c'est la fille très
folle d'une mère très sage.

                                                       VOLTAIRE.

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De quoi vous plaignez-vous, philosophes délicats, si une fille que
vous estimez folle soutient et nourrit sa mère qui est sage mais
pauvre? Les hommes ne sont-ils pas encore plus fous de ne pouvoir
supporter la mère qu'à cause des folies de sa fille? Pensez-vous
qu'ils eussent jamais étudié la science pour elle-même, s'ils
n'eussent espéré d'arriver ainsi à lire l'avenir dans le ciel? Si vous
prétendez que la science vous mène à la philosophie, vous attendrez
longtemps.

                                                         KEPLER.

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Le grand Kepler, pour se procurer quelque argent et continuer ses
travaux, dut se résigner à publier des almanachs avec des prophéties.

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ARCHITECTE MAL PAYÉ

Le premier des czars, Ivan IV, demanda à un géomètre combien il
faudrait de briques pour construire un bâtiment régulier dont il lui
indiqua les dimensions. La réponse fut rapide et l'expérience la
justifia, aussi Ivan, dit le terrible, fit-il brûler le
calculateur..... comme sorcier.

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ÉGAL À ZÉRO

Un gentilhomme, membre amateur de l'Ancienne Académie des Sciences,
ayant entendu disserter sur les équations, n'abordait plus ses
confrères de mathématiques qu'en leur demandant: «Est-ce que c'est
toujours égal à zéro?»

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ÉCLIPSE DU COLONEL

On annonçait une éclipse de soleil. La veille au soir, le colonel d'un
régiment fait venir tous les sergents et leur dit: «Une éclipse de
soleil aura lieu demain matin. Le régiment se réunira sur la place
d'armes en petite tenue. Je viendrai moi-même expliquer l'éclipse
avant l'exercice. Si le temps est couvert, on se réunira au manège
comme d'habitude.»

Aussitôt les sergents de rédiger leur ordre du jour:

«Une éclipse de soleil aura lieu demain matin, par ordre du colonel.
Le régiment se réunira sur la place d'armes, où le colonel viendra
diriger l'éclipse en personne. Si le temps est couvert, l'éclipse aura
lieu dans le manège.»

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À DIX MOIS

Bien avant de savoir compter, l'enfant se fait une certaine idée des
nombres. M. Preyer parle d'un petit de dix mois auquel il était
impossible d'emporter une de ses neuf quilles sans qu'il s'en aperçût.
À dix-huit mois, cet enfant avait été habitué à apporter à sa mère
deux mouchoirs qu'il remportait ensuite à leur place; il ne lui en fut
rendu un jour qu'un seul, il vint chercher le second avec un regard et
des intonations qui indiquaient son désir de l'obtenir.

Voir sur les idées enfantines de grandeur et de nombre les expériences
de M. Binet, dans la _Revue philosophique_ de juillet 1890.

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VALEUR RELATIVE

Un marin, arrivant d'Australie, avec une caisse de coquillages
précieux, en prend un et se rend chez un marchand de curiosités.

«--Voulez-vous m'acheter ce coquillage?

--Certainement, c'est superbe, j'en donne vingt-cinq francs.

--Vingt-cinq francs, s'écrie le marin avec joie, mais me voilà riche,
j'en ai apporté six mille.

--Doucement, dit le marchand, si vous en avez six mille... ça vaut
deux sous pièce.»

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CANCRE

Il passait pour tel, ce pauvre garçon, jusqu'à l'incident qu'il nous
raconte ainsi:

«Mon attention était si tendue, que par moment je retenais mon
haleine, comme un plongeur. Pas à pas, je suivis la démonstration, et
je fus littéralement abasourdi, lorsque le professeur arriva à la
conclusion, en m'apercevant que j'avais tout compris jusqu'au dernier
mot.

Après la joie de découvrir la vérité par lui-même, la plus grande joie
pour un homme, dans l'ordre des joies de l'esprit, est celle de
concevoir la vérité démontrée. Il est probable que mon contentement se
marqua sur ma figure car, lorsque le professeur se retourna de notre
côté, il me sembla que c'était moi qu'il regardait plus
particulièrement.

Quand il demanda, comme d'habitude: «Quelqu'un désire-t-il venir au
tableau pour reprendre cette démonstration?» quelques mains se
levèrent, la mienne fut du nombre. Pourquoi? Comment? Je ne saurais
vraiment le dire, car lorsque je m'en aperçus, il me sembla qu'elle
s'était levée spontanément, de sa propre autorité, sans me demander
mon assentiment. Ce fut moi que le professeur désigna d'un signe de
tête plein de bienveillance.»

                                                 JULES GIRARDIN.

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FIN DU MONDE

Lalande avait préparé en 1773 pour l'Académie des sciences un mémoire
qu'une circonstance quelconque l'empêcha de lire. Le bruit se répandit
dans le public que l'astronome y prédisait à courte échéance la
destruction de notre planète. L'émotion fut telle que le lieutenant de
police demanda à lire le mémoire; il n'y trouva rien d'alarmant et,
pour calmer les esprits, il en ordonna la publication immédiate.
Toutefois beaucoup de personnes restèrent persuadées qu'on avait
supprimé le passage menaçant. On lit dans une chanson de l'époque:

  Oui, de vous landerirette
  Monsieur Lalande rira.

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TREIZE À TABLE

  Voyez-vous treize humains en troupe,
  Attablés et mangeant la soupe,
  Sachez que l'un d'iceux sera
  Trépassé quand l'an finira.

Le _Club des treize_ a été fondé à Londres pour combattre les
superstitions: les tables comportent toujours treize couverts et le
menu est toujours composé de treize plats.

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LENTEMENT

L'enfant ne fait d'abord de distinction qu'entre l'objet simple et la
pluralité. À l'âge de 18 mois seulement il distingue entre un, deux et
plusieurs. En Europe, il faut arriver à l'âge de 10 ans pour apprécier
l'idée de centaine. L'enfant peut sans doute répéter par coeur la
série avant ce moment, mais sans déterminer intellectuellement le
nombre dans son abstraction.

                                                        HOUZEAU.

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LONGÉVITÉ

Nous lisons dans une pièce de vers à Louis XVIII:

  Grand Dieu, c'est pour Louis que mon zèle t'implore
          Prolonge ses jours précieux!
  Laisse-nous en jouir quelques siècles encore!

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VITE

C'est à deux lieues, mon petit ami.--Mais en marchant vite, bien vite?

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NAÏF

On a surpris un pauvre enfant s'acharnant à réduire une fraction, une
seule fraction,.. au même dénominateur!

Le même, interrogé sur les triangles semblables, traça un seul
triangle au tableau: soit le triangle semblable ABC....

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CONSCIENCIEUSE

Madame ***, qui a du temps à perdre, mesure chaque fois le diamètre et
la circonférence. N'essayez pas de lui expliquer... Elle fait comme
ses aïeules.

Une autre dame, moins consciencieuse, faisait ainsi le compte de son
âge: «Je me suis mariée à 18 ans; mon mari en avait trente et il en a
maintenant le double... donc j'ai 36 ans.» Vous devez vous tromper,
Madame, vous paraissez plus jeune que vous ne dites.




PHILOSOPHIE


SALADE

Hier, raconte Kepler, fatigué d'écrire et l'esprit troublé par des
méditations sur les atomes, je fus appelé pour dîner, et ma femme
Barbara apporta sur la table une salade.--Penses-tu, lui dis-je, que
si, depuis la création, des plats d'étain, des feuilles de laitues,
des grains de sel, des gouttes d'huile et de vinaigre et des fragments
d'oeufs durs, flottaient dans l'espace, le hasard pût les rapprocher
aujourd'hui pour former une salade?--Pas si bonne, à coup sûr, me
répondit ma belle épouse, ni si bien faite que celle-ci.

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COMPAS

  Nul ne peut d'hérésie accuser le compas,
  Ni décréter qu'un corps tournant ne tourne pas.
                                             PONSARD: _Galilée._

                       ¤---¤---¤

  La terre, nuit et jour à sa marche fidèle,
  Emporte Galilée et son juge avec elle!
                                                  RACINE _fils_.

                       ¤---¤---¤

  Plus d'une erreur passe et repasse
  Entre les branches d'un compas.
                                                       BÉRANGER.

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UN FAUX PAS

Je venais de lire, dans la _Revue scientifique_, un article de
mécanique sur l'art de descendre d'omnibus. J'essayai cette fois de
descendre par principes et..... je me foulai un pied.

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DÉTERMINISME

Le monde matériel est soumis à des lois rigoureuses. Celui qui
connaîtrait les positions exactes de tous les corps, leur masse et les
forces qui les sollicitent, pourrait prédire minutieusement les plus
petits mouvements des plus petits d'entre eux.

«Tous les événements, dit Laplace, ceux mêmes qui, par leur petitesse,
semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite
aussi nécessaire que les révolutions du soleil.... La courbe décrite
par une simple molécule d'air ou de vapeur est réglée d'une manière
aussi certaine que les orbites planétaires: il n'y a de différence
entre elles que celle qu'y met notre ignorance.»

Le même savant dit encore ailleurs: «Une intelligence qui pour un
instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée
et les situations respectives des êtres qui la composent, si,
d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à
l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus
grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome: rien ne serait
incertain pour elle, et l'avenir comme le passé seraient présents à
ses yeux.»

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MORT DE LA SCIENCE

  Et toi, divine mort, où tout rentre et s'efface,
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Délivre-nous du temps, du nombre et de l'espace.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                               LECONTE DE LISLE.

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ALGÈBRE MORALE

Je divise en deux colonnes, par un trait, une feuille de papier;
j'écris en tête de l'une de ces colonnes le mot _pour_, en tête de
l'autre le mot _contre_..... Lorsque j'ai réuni sur ce petit mémorial
une masse suffisante de raisons contradictoires, je me mets en devoir
de peser leurs valeurs respectives; si je trouve que _deux_ raisons
(une de chaque côté) soient de même poids, je les élimine toutes les
deux; qu'_une_ raison _pour_ égale deux raisons _contre_, je supprime
le tout; que _deux_ raisons _contre_ égalent _trois_ raisons _pour_,
j'efface les _cinq_, et ainsi de suite, jusqu'à ce que je trouve enfin
de quel côté penche la balance.

                                                    B. FRANKLIN.

                       ¤---¤---¤

L'arithmétique est d'un besoin journalier et continuel dans le moral
autant que dans les affaires; car, en cette vie, où tout est mêlé de
probabilités et de doutes, de projets et d'obstacles, de demi-plaisir
et de peine, tout est affaire de calcul.

                                                        DIDEROT.

                       ¤---¤---¤

La morale est l'arithmétique du bonheur.

                                                          VINET.

                       ¤---¤---¤

Il y a une morale plus haute.

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RELATIVITÉ

Lorsque nous disons d'un arbre qu'il est grand ou petit, nous le
comparons implicitement à la moyenne stature des arbres au-dessus ou
au-dessous de laquelle nous entendons exprimer qu'il se trouve, et
nous ne pouvons nous exprimer ainsi que parce que la hauteur des
arbres a deux limites qui même ne se trouvent pas très distantes l'une
de l'autre; mais il ne saurait plus en être de même d'objets dont la
grandeur ou la petitesse n'ont plus de limites nécessaires et celui
qui, par exemple, demanderait une ligne droite de grandeur ordinaire,
ferait une question dont l'ineptie serait manifeste pour tout le
monde.

Nous ne connaissons donc des grandeurs que les rapports qui existent
entre elles, et c'est aussi tout ce qu'il nous est possible d'en faire
connaître à autrui. En vain tenterait-on de torturer la langue, d'y
introduire des mots ou des tours nouveaux, jamais on ne parviendrait
à lui faire exprimer une grandeur indépendamment de quelque autre
grandeur de sa nature.

                                                        TERQUEM.

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TROP POSITIF

Il faut bien distinguer entre la géométrie utile et la géométrie
curieuse... Carrez des courbes tant qu'il vous plaira: vous montrez
une extrême sagacité. Vous ressemblez à un arithméticien qui examine
les propriétés des nombres au lieu de compter sa fortune...

Un bon ingénieur vaut mieux que tous ces calculateurs de fadaises si
difficiles.

                                                       VOLTAIRE.

                       ¤---¤---¤

Je demandais un jour à un grand géomètre, à quoi servent les
mathématiques au-delà des Éléments d'Euclide et de l'arithmétique
décimale.--Monsieur, me répondit-il, cela sert à faire des livres qui
ne sont lus que par une demi-douzaine de personnes, à faire arriver
leur auteur à l'Académie des Sciences...--J'entends bien à quoi cela
peut vous servir; mais à moi, à tout autre, à quoi cela sert-il?

                                                      J.-B. SAY.

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Cet utilitarisme étroit a été déjà réfuté plusieurs fois.

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LES JEUX

Après les jeux qui dépendent uniquement des nombres, viennent les jeux
où entre la situation, comme dans le tric-trac, dans les dames, et
surtout dans les échecs... Mais à quoi bon cela? dira-t-on. Je
réponds: À perfectionner l'art d'inventer; car il faudrait avoir des
méthodes pour venir à bout de tout ce qui se peut trouver par raison.
Après les jeux où n'entrent que le nombre et la situation, viendraient
les jeux où entre le mouvement comme dans le jeu de billard, le jeu de
paume, etc. Enfin, il serait à souhaiter qu'on eût un cours entier des
jeux, traités mathématiquement...

                                                        LEIBNIZ.

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TRIANGLE ET POÉSIE

  Je forme un triangle, ô merveille!
  Le peuple des lois endormi
  S'agite avec lenteur, s'éveille
  Et se déroule à l'infini.

  Avec trois lignes sur le sable,
  Je connais, je ne doute plus!
  Un triangle est donc préférable
  Aux mots sonores que j'ai lus?
                                                SULLY-PRUDHOMME.

Du même poète:

  Et la terre suffit à soutenir la base
  D'un triangle où l'algèbre a dépassé l'extase;
  L'astronomie atteint où ne meut plus l'azur.
  ................

C'est par une triangulation grandiose que nous calculons la distance
des astres, qui se meuvent dans l'éther.

Du même encore:

  Ils répondent: «La cause et la fin sont dans l'ombre,
  Rien n'est sûr que le poids, la figure et le nombre;
  Nous voulons conquérir un chiffre seulement.»

Il s'agit des positivistes qui se bornent aux faits et aux lois, sans
remonter aux causes premières.

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ÉGALITÉ CIRCULAIRE

Le cercle, qui est le symbole de l'éternité, est aussi quelquefois le
symbole de l'égalité.

Les anciens, pour ne donner de préférence à personne, ni aux dieux, ni
à leurs amis, écrivaient leurs noms sur un cercle, de sorte que, ne
leur donnant point de rang, on ne pouvait pas dire qui était le
premier, ni le second, ni le dernier dans leur estime. Tout était
égal, et l'honneur également partagé.

L'institution des chevaliers de la Table ronde était fondée sur un
principe d'égalité et la table était un symbole.

Dans les congrès, la table des ambassadeurs est ordinairement ronde,
afin d'éviter, autant que possible, les distinctions trop marquées de
préséance.

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UNE ROYAUTÉ

Les géomètres ont plus que d'autres besoin d'être jugés par leurs
pairs: la géométrie en effet est un arcane. Elle tient ses assises à
part, décerne ses prix sans phrases, et contemplant avec une juste
fierté l'unité soumise en ses plus intimes profondeurs aux lois dont
elle a saisi l'enchaînement, se réfugie, calme et impassible, dans sa
royauté silencieuse. C'est bien une royauté, en effet, et une royauté
absolue qu'exerce cette science maîtresse qui ne connaît pas le doute
comme ses soeurs et n'a jamais, depuis le temps d'Euclide, bâti sur le
sable.

                                          JURIEN DE LA GRAVIÈRE.

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GÉOMÉTRIE ET MORALE

«Il y a, dit Leibniz, de la géométrie partout et de la morale
partout.» C'est-à-dire qu'il y a du géométrique jusque dans le moral
et du moral jusque dans le géométrique. En effet, les choses morales,
les choses de l'âme et de la volonté, en tant qu'il s'y rencontre des
rapports d'identité et de différence, d'égalité et d'inégalité, sont
sujettes à la nécessité géométrique; et, d'autre part, si la géométrie
est exclusive, dans son développement, de toute nécessité purement
morale, néanmoins, à en juger par les travaux où on l'a récemment le
plus approfondie, elle semble avoir pour premier fondement des
principes d'harmonie qu'on doit peut-être concevoir, ainsi que l'avait
sans doute compris Descartes, qui faisait tout dépendre du libre
décret de Dieu, comme l'expression sensible de l'absolue et infinie
volonté. «On prétend, disait Aristote, que les mathématiques n'ont
absolument rien de commun avec l'idée du bien. L'ordre, les
proportions, la symétrie, ne sont-ce pas de très grandes formes de
beauté?»

                                                   F. RAVAISSON.

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NOTRE PETITE TERRE

Séduit par les illusions des sens et de l'amour-propre, l'homme s'est
regardé longtemps comme le centre du mouvement des astres; et son vain
orgueil a été puni par les craintes qu'ils lui ont inspirées. Enfin
plusieurs siècles de travaux ont fait tomber le voile qui lui cachait
le système du monde. Alors il s'est vu sur une planète presque
imperceptible dans le système solaire, dont la vaste étendue n'est
elle-même qu'un point insensible dans l'immensité de l'espace. Les
résultats sublimes auxquels cette découverte l'a conduit sont bien
propres à le consoler du rang qu'elle assigne à la terre, en lui
montrant sa propre grandeur dans l'extrême petitesse de la base qui
lui a servi pour mesurer les cieux.

                                                        LAPLACE.

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CHEVEUX

Je dis un jour à Madame de Longueville que je pouvais parier et
démontrer qu'il y avait dans Paris au moins deux habitants qui avaient
le même nombre de cheveux, quoique je ne puisse pas marquer quels sont
ces deux hommes. Elle me dit que je ne pouvais jamais en être assuré
qu'après avoir compté les cheveux de ces deux hommes. Voici ma
démonstration, lui dis-je: je pose en fait que la tête la mieux garnie
de cheveux n'en a pas plus de deux cent mille, et que la moins garnie
est celle qui n'a qu'un cheveu. Si maintenant vous supposez que deux
cent mille têtes ont toutes un nombre de cheveux différent, il faut
qu'elles aient chacune un des nombres de cheveux qui vont depuis un
jusqu'à deux cent mille, car si on supposait qu'il y en avait deux
parmi les deux cent mille qui eussent le même nombre de cheveux,
j'aurais gagné le pari. Or en supposant que ces deux cent mille
habitants ont tous un nombre différent de cheveux, si j'y apporte un
seul habitant de plus qui ait des cheveux et qui n'en ait pas plus de
deux cent mille, il faut nécessairement que le nombre des cheveux,
quel qu'il soit, se trouve de un jusqu'à deux cent mille, et, par
conséquent, soit égal au nombre de cheveux de l'une des deux cent
mille têtes, or au lieu d'un habitant en sus des deux cent mille, il y
en a tout près de huit cent mille, vous voyez bien qu'il faut qu'il y
ait beaucoup de têtes égales en nombre de cheveux, quoique je ne les
aie pas comptées.

                                                         NICOLE.

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Il paraît que la célèbre duchesse n'a jamais pu comprendre le
raisonnement, un peu copieux, du philosophe.

Schopenhauer a dit: «La femme a les cheveux longs et les idées
courtes.»

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MYSTÈRE

Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent
toutes par un mystère: le mathématicien tâtonne sur les bases du
calcul des quantités imaginaires, quoique ses opérations soient très
justes; il comprend encore moins le principe du calcul infinitésimal,
l'un des instruments les plus puissants que Dieu ait confiés à
l'homme...

                                              JOSEPH DE MAISTRE.

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Ces prétendus mystères sont devenus de moins en moins mystérieux.

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PLUS TARD

Lorsque les lois générales de la nature ont été une fois bien saisies
par l'esprit, lorsqu'il s'est familiarisé avec le plus grand nombre
des réalités matérielles de l'univers, l'étude des hautes
mathématiques devient pour lui extraordinairement attrayante: c'est
alors qu'il aperçoit les utiles applications des nombreuses vérités de
cette science. Au contraire, les jeunes gens qui se livrent d'abord à
l'étude des mathématiques pures et abstraites trouvent le plus souvent
cette étude d'une aridité excessive; elle devient pour eux aussi
fatigante que le serait pour d'autres la lecture du vocabulaire d'une
langue qu'ils seraient certains de ne jamais parler.....

                                                  DE GRANDSAGNE.

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MOURANT

On dit que Barrow, voyant approcher la mort, en témoigna de la joie en
disant qu'il allait enfin apprendre, dans le sein de la divinité, la
solution de beaucoup de problèmes de géométrie et d'astronomie..... Il
aimait tellement la géométrie qu'il avait écrit ces mots à la tête de
son Apollonius..... «Ô Seigneur, quel géomètre tu es! Car, quoique la
géométrie n'ait point de bornes, tu vois, par une simple intuition,
les vérités admirables qu'elle renferme.»

                                                       MONTUCLA.

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APPLICABLE À TOUT

Si l'on croit que la méthode des géomètres n'est pas applicable à
tout, on se trompe; si l'on prétend qu'il ne faut pas l'appliquer à
tout, on a raison. Chaque sujet a sa manière d'être traité; la méthode
géométrique serait trop sèche pour les matières d'agrément et nos
langues trop imparfaites pour s'y prêter, les acceptions des mots trop
vagues, trop indéterminées pour comporter cette rigueur. Mais si l'on
doit se dispenser souvent de l'employer, il ne faut jamais la perdre
de vue; c'est la boussole d'un bon esprit, c'est le frein de
l'imagination.

                                                        DIDEROT.

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FICTIF ET BORNÉ

Lorsqu'on préconise les mathématiques, comme le modèle par excellence
d'une méthode pour apprendre à raisonner, sait-on bien à quelles
conditions la logique de la géométrie est si rigoureuse, pourquoi ses
démonstrations sont si évidentes? Ces sciences qui se sont décorées du
nom d'exactes, ne doivent cette exactitude qu'à l'absence de réalité
des objets sur lesquels elles opèrent. Ces objets ne sont que des
pures abstractions, des points de vue de l'esprit, des entités idéales
mais qui n'ont pas d'existence dans la nature. Toutes les propriétés
sont rigoureusement déterminées à l'avance par la convention qui les
nomme et qui les définit. Certainement la géométrie est exacte; mais
elle n'est pas réelle. Avez-vous rencontré quelque part le triangle
abstrait et la ligne droite des géomètres? Où résident les nombres
séparés des êtres réels dont les propriétés sont si multiples et si
complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir être
dénombrés? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathématiques?
C'est l'étroite simplicité des faits dont elles raisonnent; leurs
formules ne sont si précises, et si rigoureuses que parce que leur
point de vue est borné.

Vous avez sous les yeux dix personnes, dix animaux même ou dix
plantes, et vous êtes théologien ou poète. Tandis que votre esprit est
entraîné à travers les mille jugements divers que ce spectacle suggère
au philosophe ou à l'artiste, moi, algébriste, je raisonne des
propriétés du nombre dix. Dans une opération aussi simple, aussi
pauvre, à côté du monde de pensées qui s'élève en vous, aurai-je grand
sujet de me vanter si mes conclusions sont plus nettes, sont plus
exactes que les vôtres?

                                                     DE LAPRADE.

                       ¤---¤---¤

Les notions mathématiques ont, dans l'esprit, une réalité absolue. De
ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés
du nombre et de la forme, jusqu'aux plus fines et aux plus complexes.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

NATURALISTES

Le mathématicien se plaît à suivre un raisonnement rigoureux dans une
direction unique. Le naturaliste, comme l'historien ou le
jurisconsulte, est un homme disposé à comparer plusieurs faits, dont
aucun n'est absolument prouvé, et plusieurs arguments, dont aucun
n'est absolument rigoureux. Son travail consiste à estimer des
probabilités, pour conclure dans le sens le plus vraisemblable.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les uns cherchent le raisonnement étroit, profond et rigoureux des
mathématiques....; les autres préfèrent le raisonnement large et
plutôt diffus, varié mais peu rigoureux des sciences d'observation. Il
faut aux uns plus de force de raisonnement pour réussir, aux autres
plus de jugement.

                                                    DE CANDOLLE.

                       ¤---¤---¤

Par le jugement, on pèse le pour et le contre; par le raisonnement on
suit les idées corrélatives. Le mathématicien qui raisonne juste a
quelquefois peu de jugement.

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MÉTAPHORES

La géométrie sert entre autres choses à éprouver l'esprit, comme le
creuset sert à éprouver l'or; les bons esprits s'y raffinent, les
esprits faux s'y évaporent.

Les géomètres travaillent sur un terrain si solide qu'après y avoir
posé la première pierre, ils élèvent sans crainte leurs bâtiments
jusqu'aux cieux.

Sur un terrain bien différent, les Philosophes bâtissent des édifices
superbes qu'on appelle systèmes: ils commencent par les fonder en
l'air, et quand ils croient être parvenus au solide, le bâtiment
s'évanouit, et l'architecte tombe des nues.

                                                    R. DUFRESNY.

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HYPOTHÈSES

Dans les autres sciences, dit Dugald Stewart, les propositions à
établir doivent exprimer des faits, tandis que celles que les
mathématiques démontrent, énoncent seulement une _connexion_ entre
certaines _suppositions_ et certaines _conséquences_... Elles ont pour
but, non de constater des _vérités_ concernant des existences réelles,
mais de déterminer la filiation logique qui découle d'une _hypothèse_
donnée. Si, partant de cette hypothèse, nous raisonnons avec
exactitude, il est manifeste que rien ne pourrait manquer à l'évidence
du résultat.

Kant fait remarquer qu'il n'y a que le concept de _quantité_ qui se
prête à une construction _a priori_.

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DÉBAT PÉDAGOGIQUE

L'étude des mathématiques est-elle favorable au développement
intellectuel du jeune homme? Peut-elle servir de pivot à l'éducation
libérale? Trois philosophes anglais ont débattu entre eux la question.
Whewell veut beaucoup de mathématiques, Hamilton les repousse
(Fragments de philosophie traduits par Peisse) et Stuart Mill les
exalte à son tour. Nous ne pouvons résumer cette célèbre discussion;
nous nous bornons à trois extraits.

                       ¤---¤---¤

«Toute personne qui s'est occupée de mathématiques doit voir
clairement la différence qui existe entre les mathématiques et les
faits empiriques, entre l'évidence des propriétés d'un triangle et
celle des lois générales de la structure des plantes. Le caractère
spécial de la vérité mathématique est qu'elle est nécessairement et
inévitablement vraie; et une des leçons les plus importantes qu'on
puisse retirer des études mathématiques est de connaître qu'il y a des
vérités de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et leur
caractère.

                                                        WHEWELL.

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L'étude des mathématiques, poursuivie avec modération et efficacement
contrebalancée, peut être utile pour détruire un défaut, et développer
la qualité correspondante. Ce défaut est l'habitude de la distraction;
la qualité, l'habitude de l'attention soutenue. C'est là le seul
avantage auquel puisse justement prétendre cette étude dans la culture
de l'esprit.

                                                       HAMILTON.

                       ¤---¤---¤

Si nous voulons bien dresser une intelligence, l'étude qui se
recommande le plus à nous est celle qui a l'avantage d'habituer de
bonne heure l'esprit à conserver en lui-même un type de preuve
complète. Un esprit ainsi meublé, s'il n'est pas suffisamment instruit
des autres sujets peut commettre l'erreur de croire qu'il trouvera
dans toutes les preuves une ressemblance parfaite avec le type qui lui
est familier. On peut et on doit élargir ce type par une grande
variété d'études, mais celui qui ne l'a jamais acquis n'a pas le
sentiment juste de la différence qui sépare le prouvé du non prouvé:
le premier fondement des habitudes scientifiques n'a pas été jeté.

                                                    STUART MILL.

                       ¤---¤---¤

..... Déjà Platon (République, livre VII) faisait observer que la
science des nombres, en obligeant l'homme à raisonner sur les nombres
en soi et sur des vérités qui ne sont ni visibles ni palpables, a la
vertu d'élever l'âme. Les mathématiques donnent au jeune homme la
claire notion de la démonstration et l'habituent à former de longues
suites d'idées et de raisonnements, méthodiquement enchaînés et
soutenus par la certitude finale du résultat. Aussi a-t-on pu dire,
que celui qui n'a pas fait de géométrie n'a pas le sentiment rigoureux
de la certitude. Au point de vue moral, rien n'est plus propre que
cette notion pour donner le respect absolu de la vérité.

Les mathématiques, l'algèbre et l'analyse infinitésimale
principalement suscitent à un haut degré la conception des signes et
des symboles, instruments nécessaires qui augmentent la puissance et
la portée de l'esprit humain, en résumant sous une forme condensée et
en quelque sorte mécanique tout un ensemble de relations: ces
auxiliaires sont surtout précieux en mathématiques, parce qu'ils y
sont adéquats à leurs définitions; caractères qu'ils ne possèdent pas
au même degré dans les sciences physiques et naturelles. Quoi qu'il en
soit, il y a là tout un ensemble de facultés qui ne sauraient être
pleinement mises en jeu que par l'enseignement des mathématiques.

                                                      BERTHELOT.

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CULTURE D'EUCLIDE

Quand un jeune homme d'un talent ordinaire commence à étudier Euclide,
tout l'étonne d'abord. Sa conception est incertaine et son jugement
faible, il s'appuie en partie sur l'évidence de la chose, et en partie
sur l'autorité du maître. Mais à mesure qu'il avance à travers les
définitions, les axiomes, les propositions élémentaires, une plus
grande lumière frappe ses regards. Le langage lui devient plus
familier et produit des conceptions plus claires et plus nettes; son
jugement s'affermit: il commence à comprendre ce que c'est qu'une
démonstration, et il est impossible qu'il le comprenne sans s'y
plaire; il s'aperçoit que c'est une espèce d'évidence indépendante de
l'autorité; il lui semble qu'il sort d'un esclavage, et il se sent si
fier de croire ainsi, qu'il se révolte contre l'autorité, et voudrait
avoir des démonstrations pour toutes les vérités; il faut que
l'expérience lui apprenne qu'une foule de choses ne sont pas
susceptibles de cette sorte d'évidence et qu'il doit se résigner à des
probabilités dans les choses qui lui importent le plus.

                                                       TH. REID.

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CALCULS DES OUVRIERS

Il faut que l'ouvrier calcule le produit comme l'emploi de ses ans, de
ses mois, de ses jours, et je dirais presque de ses heures et de ses
minutes. Il faut qu'il calcule ses forces et ses mouvements, pour n'en
rien perdre, et pour en tirer les plus puissants résultats. Il faut
qu'il calcule et mesure les dimensions et la figure soit de ses
outils, soit des objets auxquels il va donner la forme et la position
requises; il faut qu'il calcule, à chaque instant, des distances et
des longueurs, des superficies et des volumes; il faut enfin qu'il
suppute, et la quantité des matières premières, et le prix de son
travail, évalués d'après les principes de la géométrie.

                                                      CH. DUPIN.

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MÉTAPHYSIQUE ET MORALE

Si quelqu'un voulait écrire en mathématicien dans la métaphysique ou
dans la morale, rien ne l'empêcherait de le faire avec rigueur. Si on
l'entreprenait comme il faut, je crois qu'on n'aurait pas lieu de s'en
repentir.

                                                        LEIBNIZ.

                       ¤---¤---¤

Le conseil nous paraît plus facile à donner qu'à suivre.

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INTUITION

L'intuition géométrique c'est cette propriété de notre esprit qui nous
permet de voir intuitivement derrière les formes réelles et
contingentes de notre univers physique, d'autres formes très peu
différentes mais simplifiées, idéales et se prêtant, par suite de
leurs définitions rigoureuses, à la déduction géométrique.

                                                        CALINON.

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CALCUL

Si calculer est raisonner, raisonner n'est pas calculer..... Un calcul
n'est pas seulement un raisonnement, c'est un raisonnement sur des
idées de quantité, et susceptible, par cette circonstance, d'être fait
avec des signes particuliers; en un mot, c'est un raisonnement ayant
des caractères qui lui sont propres..... Le raisonnement est le genre,
le calcul n'est que l'espèce. C'est pour cela que vous pouvez
transformer tout calcul en un raisonnement, mais que vous ne pouvez
transformer tout raisonnement en un calcul.

                                                  DESTUTT-TRACY.

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La quantité étant par essence divisible en parties égales, les idées
de grandeur jouissent de l'incommunicable propriété de pouvoir être
exactement représentées dans des symboles, chiffres ou lettres. Cette
exacte rigueur d'expression permet à l'esprit de concentrer son
attention sur les symboles seuls, et en les combinant d'après des
règles très simples, ce qui constitue _le calcul_. C'est ce qui fait
que la forme, en mathématiques, prend une si grande importance: une
notation simplifiée peut y amener une révolution, comme il est arrivé
en algèbre par l'introduction des exposants numériques, due à
Descartes. Telle est cette vertu merveilleuse des symboles, qu'on peut
les employer avec succès sans être en état d'en saisir la vraie
nature. Longtemps le calcul différentiel a dévoilé les secrets les
plus cachés de la quantité, avant qu'on fût parvenu à lui assigner une
base rationnelle.

                                                         F. HUET.

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MOTS ET SIGNES

Les signes et les mots, employés dans les raisonnements mathématiques,
représentent véritablement les choses elles-mêmes; dans ce cas,
lorsque nous employons le langage ou les signes, nous n'introduisons
pas, en en faisant usage, des notions étrangères; nous n'excluons non
plus, à raison de cette circonstance, rien qui se rapporte au fait
dont il s'agit.

                                                    W. HERSCHEL.

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SYLLOGISMES

Voyez dans les _Lettres d'Euler à une princesse d'Allemagne_
l'ingénieuse représentation de la théorie du syllogisme par les
positions relatives des cercles.

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Leibniz rappelle le mémorable exploit de deux logiciens zélés mais de
lourde cervelle, Herlinus et Dasypodius, qui mirent en syllogismes
formels les six premiers livres d'Euclide.

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PLUS HAUT

Vous apprenez les principes des sciences, soit mathématiques, soit
physiques, qui contiennent les lois de la nature: ce n'est pas
proprement pour en connaître l'usage matériel; c'est surtout pour
apprendre et vérifier que tout dans la nature est nombre, proportion,
harmonie; c'est, davantage encore, pour acquérir, en considérant les
nombres qui constituent les corps, une plus pleine conscience de ces
autres nombres que notre âme renferme, et par lesquels elle juge ceux
du dehors, comme l'ont dit Platon et Shaftsbury; c'est enfin pour
acquérir cet usage des rapports et des proportions intellectuels qui
est l'exercice propre de la raison et qu'on appelle la logique.

                                                   F. RAVAISSON.

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RAISONNEMENT

Les études suivies à l'École polytechnique sont loin d'être uniquement
destinées à faire connaître une suite de calculs, de formules, de
figures, de phénomènes physiques et chimiques. Leur utilité principale
est d'exercer cette faculté de l'intelligence à laquelle on donne le
nom de raisonnement.

                                                           LAMÉ.

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PARFAITEMENT

Un avantage de l'étude de la géométrie est de porter l'esprit à croire
qu'on ne sait suffisamment que ce qu'on sait parfaitement.

                                                 Abbé TERRASSON.

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LE NOMBRE!

Ôtez le _nombre_, vous ôtez les arts, les sciences, la parole et par
conséquent l'intelligence. Ramenez-le: avec lui apparaissent ses deux
filles célestes, l'harmonie et la beauté, le cri devient _chant_, le
bruit reçoit le nom de _rythme_, le saut est _danse_, la force
s'appelle _dynamique_, et les lignes sont des _figures_.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Jadis, un navigateur, jeté par le naufrage sur une île qu'il croyait
déserte, aperçut en parcourant le rivage une figure de géométrie
tracée sur le sable: il reconnut l'homme et rendit grâce à Dieu. Si
cette figure n'eût point été géométrique, elle n'eût été pour lui
qu'une trace muette, oeuvre du hasard et non de l'intelligence; mais
elle lui attestait le _nombre_ et par cela même lui attesta l'homme.

                                                  J. DE MAISTRE.

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MESURE DE L'ESPRIT

La géométrie a par elle-même une beauté réelle, indépendante de toute
utilité vraie ou prétendue: quand elle n'aurait d'autres
prérogatives, que de nous offrir sans aucun mélange des connaissances
évidentes et certaines, un si grand avantage ne la rendrait-il pas
digne de notre étude? Elle est pour ainsi dire la mesure la plus
précise de notre esprit, de son degré d'étendue, de sagacité, de
profondeur et de justesse. Si elle ne peut nous donner ces qualités,
on conviendra du moins qu'elle les fortifie, et fournit les moyens les
plus faciles de nous assurer nous-mêmes, et de faire connaître aux
autres, jusqu'à quel point nous les possédons.

                                                     D'ALEMBERT.

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Ces considérations justifient l'importance attribuée aux Mathématiques
dans la plupart des examens.

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ORIGINE

Les mathématiques, dit-on, ne peuvent avoir leur première origine dans
l'observation: car les objets qu'elles étudient sont fort différents
de ceux que l'observation nous montre. Les mathématiques raisonnent
sur des cercles et des triangles parfaits; mais, dans la nature, aucun
objet n'est parfaitement circulaire ni parfaitement triangulaire; les
mathématiques n'ont donc pu prendre leur objet à l'observation de la
nature, et les idées sur lesquelles elles raisonnent sont de pures
créations de l'esprit.

Voici la réponse qu'il convient de faire à cette objection. Sans
doute, aucun objet matériel n'est terminé par des lignes parfaitement
droites, par des surfaces parfaitement planes; mais chacun dévie de
la ligne droite, de la surface plane dans un sens différent; si bien
que, quand on fond en une idée unique les idées de ces divers objets,
ces déviations en sens contraire se neutralisent.

                                                       R. WORMS.

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On a tenté bien des fois, depuis Hume, d'expliquer les vérités
géométriques par les seules données de l'expérience.

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GÉNÉRALITÉ

Nous allons chez le gros mathématicien qui fume; nous le saluons et
nous l'abordons ainsi: «Monsieur, nous sommes philosophes,
c'est-à-dire fort embarrassés et à court. Il s'agit des propositions
nécessaires; si vous en connaissez, comment les découvrez-vous?

--Messieurs, c'est mon métier, je n'en découvre pas d'autres; prenez
des chaises; je vais en trouver devant vous.

Avec de la craie, je trace sur le tableau un triangle ABC; par le
sommet C je mène la parallèle à la base... Donc la deuxième somme qui
est celle des angles du triangle, égale deux angles droits. Donc,
nécessairement et universellement, la somme des trois angles égale
deux angles droits.

--Monsieur, comment avez-vous fait?

--J'ai tracé un triangle particulier, déterminé, contingent,
périssable ABC pour retenir mon imagination et préciser mes idées.
J'ai extrait de lui le triangle en général; pour cela, je n'ai
considéré en lui que des propriétés communes à tous les triangles, et
je n'ai fait sur lui que des constructions, dont tout triangle
pourrait s'accommoder. Analysant ces propriétés générales et ces
constructions générales, j'en ai extrait une vérité ou rapport
universel et nécessaire. J'ai retiré le triangle général compris dans
le triangle particulier; ce qui est une abstraction. J'ai retiré un
rapport universel et nécessaire, contenu dans les propriétés générales
de la construction générale, ce qui est encore une abstraction. Pour
découvrir une propriété générale et nécessaire, il suffit donc
d'employer l'abstraction.

                                                          TAINE.

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DISCIPLINE

L'étude de la géométrie est indispensable pour accoutumer l'esprit à
marcher pas à pas, à ne rien admettre sans preuve, à ne se plaire
qu'au vrai. Elle a de plus l'avantage d'exercer les forces de
l'esprit, de l'accoutumer à l'attention et de le rendre inventif, car
rien n'exige plus d'invention que la solution des problèmes: elle
habitue à deviner le vrai, lors même que, pour le découvrir, on a
recours à des hypothèses, parce que le résultat fait toujours
connaître si ces hypothèses ont été bien choisies; enfin elle met un
frein à l'imagination et nous force à la soumettre à la raison.

                                                        DELEUZE.

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DÉMONSTRATION ET SYLLOGISME

La méthode des sciences mathématiques est la démonstration.

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Le but de la démonstration est d'établir des vérités nécessaires; elle
le fait en montrant que ces vérités sont les conséquences logiques
d'autres vérités admises comme évidentes ou précédemment démontrées.

On voit par là en quoi la démonstration, bien qu'elle se présente sous
forme déductive, diffère du syllogisme. Dans le syllogisme proprement
dit, où n'intervient aucune considération touchant la vérité objective
des propositions traitées, la conclusion sort _nécessairement_ des
prémisses; étant donné que A est B, et que B est C, il ne se peut pas
que A ne soit pas C; mais une connaissance nécessaire peut fort bien
n'être pas une vérité nécessaire; la vérité des deux prémisses d'où
sort nécessairement la conclusion n'est pas garantie; il suffit au
logicien que la conséquence soit extraite des prémisses, conformément
aux lois de la pensée. Tout autre est la démonstration; elle est un
instrument de science, et à ce titre, elle n'a pas seulement à tirer
des conséquences logiques, mais à établir des vérités; elle est
astreinte à toutes les règles de la procédure logique; mais en même
temps elle a des principes qu'elle ne trouve pas dans le syllogisme
proprement dit, principes nécessaires comme les vérités qu'elle
établit.

                                                          LIARD.




MÉTHODES


DIVISEUR ET RAMASSE-TOUT

Jean Macé, dans l'_Arithmétique de grand papa_, personnifie ainsi
l'analyse et la synthèse: le livre est enfantin, mais il est ingénieux
et charmant.

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LA DIVISION

Jadis, la division, qu'on appelait l'_épine_ de l'arithmétique,
s'effectuait à la française, à la portugaise ou à l'italienne. La
règle actuelle de l'opération a été résumée, par Leslie, en un seul
vers:

  Divide, multiplica, subduc, transferque secantem.

Un professeur, pour faire retenir la théorie réputée difficile de la
division, disait: «Dans le second cas, vous coupez la tête du diviseur
et, dans le troisième, vous coupez la tête du quotient.»

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ANATOMISTES

O. Terquem écrivait quelques jours avant sa mort: L'ouvrage de
Borelli (_De motu animalium_) est un petit chef-d'oeuvre qui me
procure des heures délicieuses; on voit l'avantage qu'il y a aux
anatomistes d'être géomètres. Il est à désirer qu'on fasse sur le même
plan une nouvelle édition de l'_Anatomie descriptive de Richerand_, ce
serait une excellente acquisition. Malheureusement, nos anatomistes
sont peu géomètres et nos médecins de faibles chimistes.

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FROMAGE

M. Mannheim raconte qu'un ingénieur embarrassé pour pratiquer un
escalier tournant dans une voûte hémisphérique, dit au conducteur de
préparer l'épure. Le subalterne creusa dans un bloc de gruyère une
cavité en forme de bassin, dressa dans l'axe une vis de pressoir qu'il
fit tourner. La trouée à pratiquer dans le dôme de pierre se dessina
ainsi très nettement.

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EXPÉRIENCE GÉOMÉTRIQUE

Pour trouver l'aire de la cycloïde, Galilée pesa avec une grande
précision deux lames minces de même matière, dont l'une était égale au
cercle et l'autre à la cycloïde engendrée. Il constata par cette
expérience que le poids de cette dernière est le triple de celui du
cercle, résultat prouvé plus tard théoriquement par Pascal. Le succès
de l'expédient tint à la simplicité du rapport, non seulement
commensurable, mais entier.

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JETONS BARDOT

Ce sont des cubes en bois, les uns blancs et les autres noirs, à
l'aide desquels on explique matériellement la numération aux
commençants. Dix de ces jetons, réunis en une baguette, forment une
_dizaine_; dix baguettes, réunies en une plaque, forment une
_centaine_; dix plaques superposées composent un cube qui est un
_mille_. Continuons: si l'on groupait dix de ces gros cubes qui sont
des mille, on aurait une _dizaine de mille_; si l'on juxtaposait dix
dizaines de mille, la grande plaque serait une _centaine de mille_; si
l'on étageait enfin dix des plaques précédentes, on aurait un cube
énorme qui serait un _million_. Ainsi de suite pour la _dizaine de
millions_, la _centaine de millions_, le _billion_, etc., etc.

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MACHINES ARITHMÉTIQUES

On remarque, parmi les petites machines, les réglettes de Neper,
l'inventeur des logarithmes, de Mannheim, de Lalanne, de Grenaille et
d'Ed. Lucas, etc. Dans certains pays, tous les contremaîtres se
servent couramment d'une règle à calcul.

Les machines plus considérables sont d'abord celle de Pascal,
simplifiée par de Lépine et récemment par Roth, qui en a réduit le
volume; puis celle de Thomas de Colmar, à l'aide de laquelle on
multiplie en une demi-minute deux nombres de dix chiffres: on s'en
sert aux Magasins du Louvre, à l'Observatoire, aux Compagnies
d'Assurances, etc.; on en vend plus d'une centaine par an. Il y a
aussi la machine à mouvement continu de Tchebychef.

Toute machine arithmétique se compose de quatre organes essentiels: le
générateur, le reproducteur, le renverseur et l'effaceur.

On a reconnu que pour un calculateur exercé, il faut 7 minutes 19
secondes pour multiplier un nombre de 14 chiffres par un nombre de 8
chiffres. Les agents inorganiques, eux, ne se fatiguent guère et ne se
trompent pas, à moins que les ressorts ne se faussent. Mais, il y a
les machines géométriques, sans ressorts, et l'admirable machine de
Tchebychef, qui se romprait plutôt que de ne pas dire vrai.

Voir M. d'Ocagne: _Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen
des abaques._

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INTÉGRATEURS ET INTÉGRAPHES

Les intégrateurs sont des instruments qui effectuent mécaniquement la
sommation d'une série infinie de grandeurs infiniment petites, qu'il
s'agisse d'une aire limitée par une courbe, d'un travail mécanique,
etc. Mais les planimètres, les totaliseurs dynamométriques, etc., ne
donnent que le résultat final de l'intégration. Abdank-Abakonowicz est
allé plus loin: ses intégraphes donnent, sous forme d'un tracé
graphique, la loi complète qui régit la sommation, en un mot ce qu'on
peut appeler la courbe intégrale.

Le planimètre polaire d'Amsler est celui qui semble être appelé à
l'emploi le plus fréquent. Les applications des planimètres sont
nombreuses; les contributions directes, les administrations du
cadastre et des forêts, le service topographique du génie, les
architectes, les ingénieurs, les géomètres arpenteurs ont recours à
ces instruments pour résoudre ce problème si délicat de la
détermination des aires planes à contours curvilignes.

En Allemagne, on possède un planimètre comme on a une boîte de compas.

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ARITHMÉTIQUE POLITIQUE

Étant données la population, les moeurs, la religion, la situation
géographique, les relations politiques, les richesses, les bonnes et
mauvaises qualités d'une nation, trouver les lois qui lui conviennent.

                                                  J. DE MAISTRE.

                       ¤---¤---¤

Nous ne demandons à nos législateurs qu'une solution par
approximations successives du problème posé.

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OPÉRATIONS ABRÉGÉES

On faisait remarquer à un candidat qu'il aurait pu employer les
opérations _abrégées_. Il répliqua qu'il n'avait pas eu le temps.

Lorsqu'on est pressé, on préfère la grande route qu'on connaît bien au
chemin de traverse dont on n'est pas sûr.

                       ¤---¤---¤

La réflexion suivante de J.-J. Rousseau s'applique aux calculateurs
de profession: «.... alors on trouve des méthodes abrégées dont
l'invention flatte l'amour-propre, dont la justesse satisfait l'esprit
et qui font faire avec plaisir un travail ingrat par lui-même.»

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GAUFRES

Je n'oublierai jamais d'avoir vu à Turin un jeune homme à qui, dans
son enfance, on avait appris les rapports des contours et des surfaces
en lui donnant chaque jour à choisir, dans toutes les figures
géométriques, des gaufres isopérimètres. Le petit gourmand avait
épuisé l'art d'Archimède, pour trouver dans laquelle il y avait le
plus à manger.

                                                 J.-J. ROUSSEAU.

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PLAIES

Aristote dit que le médecin constate que les plaies circulaires sont
les plus longues à guérir, et le géomètre démontre qu'il ne peut en
être autrement, puisque de toutes les figures qui ont un périmètre
égal, le cercle est celle qui présente la plus grande surface.

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TACHYMÉTRIE

L'ingénieur Lagout, mort depuis quelques années, est l'auteur d'une
tentative de rénovation des mathématiques, dans l'intention de les
simplifier en les matérialisant, pour les mettre à la portée du plus
humble ouvrier. Il a eu quelques idées ingénieuses: son matériel et
ses tableaux en couleur sont saisissants. Malheureusement, grisé par
son système, l'inventeur a cru, bien à tort, être aussi rigoureux
qu'Euclide. Son _prompt-mesurage_ n'est qu'un aperçu populaire qui
parle aux yeux.

M. C. Rey a porté sur la méthode ce jugement piquant et plus sévère:
«La Géométrie est la science qui apprend à raisonner juste, même sur
des figures qui sont fausses, tandis que la Tachymétrie est un art qui
apprend à raisonner faux, sur des figures qui sont justes.»

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VINGT CENTIMES

Quand, sous le second empire, on frappa pour la première fois des
pièces de vingt centimes, un homme d'esprit s'écria: on dira
maintenant cinq fois quatre font vingt et non plus quatre fois cinq
font vingt.

J'ai lu dans un livre belge cette question inquiétante: Le produit de
un franc par un franc est-il égal au produit de cent centimes par cent
centimes?

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POTAGE

Dans son explication de l'addition, un élève avait oublié de dire
qu'on n'ajoute que des choses de même espèce, le professeur lui
demanda: Combien font 150 grammes de navets, 200 grammes de carottes
et 225 grammes de pommes de terre?--Réponse: Cela ferait un excellent
potage.

Autre exemple. Un soldat aveugle portait cet écriteau: batailles 8;
blessures 10; enfants 6; total 24.

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ANARCHIE

Le cinquième livre de la géométrie fait le désespoir des élèves et des
examinateurs, tant l'ordre et l'énoncé des propositions varient.
Legendre et Rouché ne s'accordent nullement et il y a beaucoup
d'opinions intermédiaires. On demande un dictateur pour imposer une
théorie unique.

Dernière nouvelle: on annonce des préliminaires de paix.

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MÈTRES CARRÉS

C'est grâce à la géométrie que les marchands de mesures ne vendent ni
mètres carrés ni mètres cubes.

Quelques dames confondent encore le mètre courant, le mètre carré et
le mètre cube.

Un mot spirituel: le professeur avait fait écrire au tableau le nombre
1000000000; il s'agit de mètres carrés, dit-il, combien cela
pèse-t-il? Bien peu de craie, répondit l'élève.

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ANXIÉTÉ

On ne peut baser aucun raisonnement sur une série divergente,
c'est-à-dire sur une suite régulière de termes dont la somme croît
au-delà de toute limite. Les géomètres du XVIIIe siècle n'ont guère
tenu compte de la convergence des séries et c'est Cauchy qui a éclairé
le premier la question. On raconte qu'après une communication de ce
dernier à l'Académie, Laplace quitta brusquement ses confrères, et se
renferma chez lui pendant près d'un mois, pour vérifier la convergence
de toutes les séries sur lesquelles est fondée sa mécanique céleste.
Heureusement, aucune n'était divergente!

Abel a dit que: «Avec une série divergente, on prouve tout ce qu'on
veut, l'impossible aussi bien que le possible.»

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IMPOSSIBLE

En mathématiques, il n'y a de vraiment impossible que le
contradictoire. On peut lever l'impossibilité provisoire provenant
d'une vue trop étroite de la question: Pourquoi exiger le résultat
sous une certaine forme ou entre certaines limites? D'autre part, si
vous ne trouvez pas la solution rigoureuse d'un problème, vous pouvez
chercher des valeurs de plus en plus approchées et raisonner
l'approximation.

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RELIEFS

Il s'agissait de passer au cubage des corps solides, et ceci fut plus
difficile; les figures du tableau ne suffisaient plus; les enfants ne
se rendaient pas compte de toutes les formes que représentait un
simple tracé. L'idée me vint de parler au vieux cuvelier Sylvestre,
qui tout de suite comprit ce que je lui demandais; il me fit des
cubes, des prismes, des cônes en bois, capables de se monter et de se
démonter, comme on le voulait; tout devint clair, sensible pour les
élèves. Nous raisonnions des choses, les pièces en main, et nous
faisions ensuite nos calculs. Ce système de fabriquer des figures
géométriques en bois s'est depuis répandu partout; des centaines
d'ouvriers de la Forêt-Noire ne font plus que cela. Quelques-uns ont
poussé la chose jusqu'à fabriquer des figures en cristal, afin d'en
voir du premier coup d'oeil les arêtes et les angles opposés.

                                              ERCKMANN-CHATRIAN.

                       ¤---¤---¤

On veut enseigner aux enfants ce que c'est qu'un cône, comment on le
coupe, le volume de la sphère, et on leur montre des lignes, des
lignes! Donnez-leur le cône en bois, la figure en plâtre,
apprenez-leur cela comme on découpe une orange!

                                                      J. VALLÈS.

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COTON ET MUSIQUE

La fonction d'une variable indépendante la plus importante à Liverpool
est peut-être le prix du coton. Une courbe montrant le prix du coton,
s'élevant quand ce prix est élevé, s'abaissant quand il est bas,
montre à l'oeil toutes les variations si complexes de cette fonction.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Songez à la complexité de l'effet produit par un orchestre qui joue
(un orchestre de cent instruments), et deux cents voix qui chantent en
choeur, accompagnées par l'orchestre. Songez à l'état de l'air; songez
combien il est déchiré quelquefois... Une simple courbe, dessinée de
la même manière que celle des prix du coton, représente tout ce que
l'oreille peut entendre dans l'exécution la plus compliquée.

                                                     W. THOMSON.

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RÈGLES DE BOIS

Ces pauvres instruments, avec lesquels il a réformé l'astronomie,
Copernic les avait taillés et divisés lui-même. Tycho-Brahe les a
célébrés en vers latins: «C'est avec ces frêles morceaux de bois,
ouvrage grossier et sans art, que Copernic entreprit de donner des
lois au ciel et de régler le cours des astres; il est parvenu, par son
génie, à une hauteur où nul mortel n'avait atteint avant lui.

Ô monuments inestimables d'un si grand homme! Ils sont faits d'un bois
vulgaire, et cependant l'or le plus pur pâlirait devant eux!»

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ALPHABET

Lorsqu'on apprend à un enfant à lire et à écrire, on peut lui donner
quelques notions géométriques, en lui faisant analyser les formes des
majuscules romaines. Dans A, il y a un triangle dont deux côtés sont
prolongés; C est un arc; D un demi-cercle, avec son diamètre; E
présente des angles droits; H des parallèles et une perpendiculaire; M
des angles aigus, etc.

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TRAVAIL PERSONNEL

On félicitait le chimiste Regnault de sa force en mathématiques. Il
répondit: «Notre principal professeur à l'École polytechnique était si
obscur que les sergents devaient se réunir après chaque leçon pour la
refaire. C'est moi qui ai rédigé, pendant quelque temps, les cahiers
pour mes camarades. Vous pouvez vous figurer combien cela m'a fait
travailler.»

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RÉACTIFS

On sait que le chimiste introduit des réactifs contenant des éléments
souvent étrangers au produit qu'il veut obtenir, mais dont la présence
favorise les transformations intermédiaires que doit subir le
phénomène: le même rôle appartient aux lignes auxiliaires que trace le
géomètre, diagonales, droites parallèles ou perpendiculaires à des
directions déterminées, etc., ces lignes séparent les éléments
primitifs, suggèrent entre eux des groupements nouveaux,
parallélogrammes, triangles égaux ou semblables, etc., et de ces
figures l'analyse dégage certaines propriétés qui ont un rapport plus
direct avec la conclusion visée.

                                                      H. HARANT.

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FAGOTS ET FAGOTS

Un profane n'aperçoit que des coefficients dans les équations; tous lui
paraissent égaux en importance, et s'il veut se renseigner sur les
solutions, il se figure qu'il faut aller les interroger séparément, de
même qu'on arrête dans la rue le premier ouvrier venu pour lui demander
son chemin. Mais non, il y a des chefs qu'on n'aperçoit pas; c'est à
leur bureau qu'il faut s'adresser. Soient, par exemple, dix équations
littérales du premier degré à dix inconnues. L'opérateur..... veut
savoir si les solutions sont possibles, ou impossibles, ou
indéterminées. Qu'il n'aille donc pas interroger la vile plèbe des
coefficients. Non; il y a un personnage considérable qui sait le secret;
c'est un polynome, le dénominateur commun. On l'appelle le _déterminant_
du système; et ce nom est bien choisi, car c'est lui _qui vous sert à
déterminer_ la nature des solutions.

                                                  LE P. POULAIN.

                       ¤---¤---¤

Le déterminant est aidé par le conseil des numérateurs, assistés
eux-mêmes de déterminants mineurs, etc.

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PLURALITÉ DES MONDES

Les astronomes qui calculent les mouvements apparents des astres dans
leur passage de chaque jour au méridien, ceux qui annoncent l'arrivée
des éclipses, des phénomènes célestes, des comètes périodiques, ceux
qui observent avec tant de soin les positions précises des étoiles et
des planètes aux divers degrés de la sphère céleste, ceux qui
découvrent des comètes, des planètes, des satellites, des étoiles
variables, ceux qui recherchent et déterminent les perturbations
apportées aux mouvements de la terre par l'attraction de la lune et
des planètes, ceux qui consacrent leurs veilles à découvrir les
éléments fondamentaux du système du monde, tous, observateurs ou
calculateurs, sont des précurseurs de l'astronomie nouvelle. Ce sont
d'immenses travaux, des labeurs dignes d'admiration et de
transcendantes oeuvres. Mais c'est l'armée du passé. Mathématiciens et
géomètres, désormais le coeur des savants va battre pour une conquête
plus noble encore. Tous ces grands esprits, en étudiant le ciel, ne
sont en réalité, pas sortis de la Terre. Le but de l'Astronomie n'est
pas de nous montrer la position apparente de points brillants, ni de
peser des pierres en mouvement dans l'espace, ni de nous faire
connaître d'avance les éclipses, les phases de la lune ou des marées.
Tout cela est beau mais insuffisant.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le jour viendra, et très prochainement, puisque tu es appelé à le
voir, où cette étude des conditions de la vie dans les diverses
provinces de l'univers sera l'objet essentiel--et le grand charme--de
l'Astronomie.

                                                     FLAMMARION.

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TRANSFORMATIONS

Dans la Géométrie ancienne les vérités étaient isolées; de nouvelles
étaient difficiles à imaginer, à créer; et ne devenait pas géomètre
inventeur qui voulait.

Aujourd'hui chacun peut se présenter, prendre une vérité quelconque
connue, et la soumettre aux divers principes généraux de
transformation; il en retirera d'autres vérités, différentes ou plus
générales; et celles-ci seront susceptibles de pareilles opérations;
de sorte qu'on pourra multiplier, presqu'à l'infini, le nombre des
vérités nouvelles déduites de la première.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Peut donc qui voudra, dans l'état actuel de la science, généraliser et
créer en géométrie; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une
pierre à l'édifice.

                                                        CHASLES.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INVISIBLE

L'astronomie de l'invisible, n'est, pour ainsi parler, pas plus
difficile que celle des astres observables. Le géomètre dans son
cabinet de travail, n'a pas besoin de voir les astres pour en calculer
la marche. Le Verrier l'a prouvé en découvrant Neptune par le calcul,
Bessel en démontrant l'existence du compagnon de Sirius. Tous deux
ont vu l'astre inconnu, comme Christophe Colomb voyait l'Amérique des
rivages de l'Espagne, et, avec la même foi, ils ont osé assigner la
place où devait les voir l'oeil émerveillé de l'astronome.

                                                           WOLF.

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PRÉCISION

Si de Parme comme centre, avec un rayon égal à 60 lieues, on décrit
une demi-circonférence, cette demi-circonférence passe par les sommets
des Alpes.

                                                       NAPOLÉON.

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DEUX TENDANCES

Il semble que l'on puisse aujourd'hui distinguer, dans les
mathématiciens, deux tendances d'esprit différentes. Les uns se
préoccupent principalement d'élargir le champ des notions connues;
sans se soucier toujours des difficultés qu'ils laissent derrière eux,
ils ne craignent pas d'aller en avant et cherchent de nouveaux sujets
d'étude. Les autres préfèrent rester, pour l'approfondir davantage,
dans le domaine de notions mieux élaborées; ils veulent en épuiser les
conséquences, et s'efforcent de mettre en évidence dans la solution de
chaque question les véritables éléments dont elle dépend. Ces deux
directions de la pensée mathématique s'observent dans les différentes
branches de la science; on peut dire toutefois, d'une manière
générale, que la première tendance se rencontre le plus souvent dans
les travaux qui touchent au calcul intégral et à la théorie des
fonctions; les travaux d'algèbre moderne et de géométrie analytique
relèvent surtout de la seconde.

                                                      E. PICARD.

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EN PROBLÈMES

Exposez toute science de raisonnement sous forme de problèmes proposés
d'abord, et résolus ensuite, la théorie régulière et suivie ne venant
qu'après pour coordonner et classer les vérités acquises. Sous la
forme vive et saisissante de problèmes, la science pénètre plus
profondément dans l'esprit dont les facultés inventives sont
d'ailleurs toujours en pleine action.

                                                       DESBOVES.

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COEFFICIENTS DE CORRECTION

Si l'on peut dire de la géométrie rationnelle, telle qu'elle est
enseignée depuis l'antiquité, que c'est l'art de faire des
raisonnements exacts sur des figures fausses, par opposition on peut
dire de la géométrie pratique, dont on fait usage dans les levers de
terrain, que c'est l'art de faire des figures exactes avec des
instruments infidèles.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En géométrie, n'y aurait-il pas un grand avantage à faire inscrire des
hexagones réguliers dans des circonférences, avant de démontrer que le
côté de ces polygones est égal au rayon? Cette marche ne
mettrait-elle pas en garde, contre les affirmations trop absolues de
la théorie, l'esprit d'un élève qui aurait constaté, par sa propre
expérience, que rarement, à la fin de l'opération la pointe du compas
retombe sur le point de départ? Cela ne le ferait-il pas réfléchir aux
causes d'insuccès de cette opération? Son professeur ne serait-il pas
obligé de les lui expliquer? Et peu à peu n'en viendrait-il pas à se
familiariser avec ce principe d'expérience, que, dans les applications
des vérités les mieux démontrées, de celles qui présentent le
caractère le plus indubitable de la vérité absolue, on doit toujours
compter, si je puis m'exprimer ainsi, avec les résistances passives
contre lesquelles il faut lutter dans chaque action matérielle.

Si je ne me trompe, l'enseignement dirigé dans cette voie,
développerait le jugement, le tact pratique. En tout cas, il éviterait
des illusions fréquentes à ceux qui acceptent comme des vérités
absolues les résultats des recherches physico-mathématiques,
recherches dans lesquelles on néglige tant de choses.

                                                        GOULIER.

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Le célèbre topographe ne restait guère dans les régions de l'idéal. Il
faisait la part des résistances de la matière et des défaillances de
l'opérateur.




HISTOIRE


LE TRIBUNAL DES MATHÉMATIQUES

Les instruments dont le tribunal des mathématiques fait actuellement
usage, pour rédiger l'almanach présenté à S. M. Kouang-Siu et désigner
les jours fastes ou néfastes, ont été construits en 1670, sous la
direction du Père Verbiest, missionnaire belge. Ils ne permettent
qu'une précision de dix minutes de degré tandis que nous pouvons
évaluer à l'aide des nôtres jusqu'aux dixièmes de seconde, d'où une
précision six mille fois plus grande. On ne s'occupe guère à Pékin que
de calendrier et d'astrologie et on est porté à y croire la Terre
toujours immobile au centre de l'espace céleste.

Nous avons tenu entre les mains une table de sinus de l'empereur de
Chine, Kang-Hi. Le texte, imprimé en Europe, est précédé de 4
feuillets (8 pages), contenant des chiffres arabes et chinois tracés à
l'encre de Chine. Chaque page imprimée des tables de sinus et
tangentes est précédée et suivie de caractères chinois tracés au
pinceau rouge. D'après une note ancienne qui se lit sur la garde et
dont voici le texte, ces caractères seraient tracés par l'empereur
lui-même: «L'empereur Kang-Hi se servit de ce livre lorsqu'il
calculait à l'européenne. Les caractères rouges sont de sa main.»

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UNE CALOMNIE

Sous prétexte de mesurer un degré du méridien, si bien déterminé par
les Anciens, ils (les charlatans académiques) se sont fait accorder
par le ministre 100 000 écus pour les frais de l'opération, petit
gâteau qu'ils se partageront en frères.

                                         MARAT, l'ami du peuple.

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DODÉCAÈDRE

Les doctrines mathématiques des pythagoriciens devaient être tenues
secrètes. Un des initiés (leur signe de reconnaissance était le
pentagone étoilé), nommé Hippasos, ayant dévoilé la construction du
dodécaèdre inscrit dans la sphère, fut noyé en mer.

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JARDINIERS, QUINCAILLIERS, ETC.

Le duc d'Argyle, ayant trouvé les _Principia_ de Newton sur une
pelouse de son château, interrogea le jardinier _Stone_: cet homme de
trente ans avait appris seul les éléments de mathématiques, le latin
et il comprenait Newton! Dans la suite, Stone a composé un traité de
calcul différentiel, qu'on a traduit en français pour compléter celui
de de l'Hôpital.

Aux États-Unis, le commis quincaillier _Bowdwitch_, parvint aussi seul
à lire Newton. Après s'être enrichi à Boston, dans une compagnie
d'assurances, il publia à ses frais sa traduction de la Mécanique
céleste de Laplace, augmentée de commentaires.

_Éléazar Féronce_ vivait vers 1625, aux environs de Grenoble; il était
jardinier dans un château; il faisait des observations à l'aide
d'instruments qu'il se construisait lui-même.

Le cordonnier hollandais, _Théodore Rembrandsz_, né vers 1610, publia
un ouvrage étendu sur le système de Copernic.

Un ouvrier pelletier-fourreur, _Jean Jordan_, de Stuttgard, fut un
mathématicien et un mécanicien ingénieux.

Un tisserand de Lisieux, nommé _Jean Lefèvre_, était assez fort
mathématicien pour calculer une table des passages de la lune au
méridien. On l'attacha au bureau de la Connaissance des temps.

Vers 1710, un berger d'Écosse, _Jacques Fergusson_ s'était construit
en bois des instruments d'astronomie; il s'adonna aux mathématiques et
devint membre de la Société royale de Londres.

Le cultivateur saxon, _Jean-Georges Palitzch_, né en 1723,
mathématicien et astronome, correspondant de la Société royale de
Londres, employait ses loisirs à étudier; il n'abandonna jamais le
métier de laboureur.

L'astronome _Jean-Louis Pons_, né en 1761, d'abord concierge à
l'Observatoire de Marseille, a découvert 37 comètes.

Un simple cordonnier, _Rigaut_, qui s'était instruit seul, a présenté
à l'Académie des sciences de bons mémoires de mathématiques.

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MATHÉMATICIENNES

Sous le titre de _Les femmes dans la Science_, nous venons de publier,
chez l'éditeur Nony, un volume de 350 pages, orné de portraits et
d'autographes. Voici un extrait de l'avant-propos.

«Depuis plus de quinze siècles, nous honorons Hypatie, cette grecque
d'Alexandrie, si belle et si savante, lapidée par une populace
stupide. Les travaux d'astronomie et de mécanique de la marquise du
Châtelet défendent sa mémoire. Marie Agnesi, après avoir enseigné le
calcul infinitésimal à l'Italie, est morte comme une sainte. À
l'occasion d'un problème posé par Napoléon, Sophie Germain a créé, une
des premières, la physique mathématique. Mary Somerville a composé,
après Laplace, une mécanique céleste. Une russe, Mme Kowalewski,
couronnée par notre Académie des Sciences, a été enlevée, il y a
quelques années, en pleine floraison de son génie.

Nous avons réuni, pour la première fois, ces belles et nobles figures.
Nous avons tracé, de ces femmes hors pair et de quelques autres, des
notices à grands traits, sans détails techniques. Le groupe d'élite a
été encadré dans un tableau assez complet des autres savantes:
l'armée en marche, avec son état-major.

Nous avons surtout étudié les savantes professionnelles, qui ont
consacré aux études scientifiques la plus grande partie de leur vie,
mathématiciennes, physiciennes, naturalistes et philosophes. Puis sont
venues les simples curieuses qui, à l'occasion, ont dit leur mot sur
les sciences; les collaboratrices qui ont aidé les savants,
discrètement et activement; les professeurs, les vulgarisatrices,
modestes et utiles; enfin les protectrices, princesses ou riches
bourgeoises, qui ont fondé des prix dans les académies ou répandu
leurs bienfaits sous d'autres formes. Les unes et les autres, par des
moyens divers, ont exercé une heureuse influence sur le progrès des
sciences.

Deux notes, provenant d'une collaboration variée, terminent le livre.
Dans l'une, nous avons réuni des opinions opposées sur cette question:
_Si la femme est capable de science._ La seconde note est formée de
_Menus propos sur les femmes et les sciences_, aperçus divers,
citations, anecdotes, pensées, etc.»

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SONS

Ayant remarqué, un jour qu'il passait devant un atelier de forgerons,
que les sons des marteaux formaient la quarte, la quinte et l'octave,
Pythagore eut l'idée de peser les trois marteaux et, des rapports de
leur poids, il conclut une théorie mathématique de l'harmonie des
sons.

On sait que le même philosophe a, dit-on, composé la table qui fait le
désespoir des petits enfants, et, ce qui est plus important, qu'il a
découvert le carré de l'hypoténuse. À l'occasion de cette admirable
proposition, Pythagore a sacrifié une hécatombe aux dieux.

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DEUX DYNASTIES

Depuis le milieu du XVIIe siècle jusqu'à nos jours, les Bernoulli,
d'origine suisse, ont été des savants distingués. Les ancêtres, les
deux frères Jacques et Jean, mathématiciens de premier ordre, ont
développé le calcul infinitésimal. Ensuite sont venus Nicolas II,
Daniel, Jean II, Jean III, Jérôme, Jacques II et Christophe. Le
dernier descendant des grands Bernoulli, physicien et naturaliste, est
mort à Bâle en 1863.

Jean-Dominique Cassini, célèbre astronome, fut le premier membre
marquant de la famille. Son fils Jacques fut aussi astronome, son
petit-fils César-François Cassini de Thury devint membre de l'Académie
des sciences à vingt-deux ans. Enfin son arrière-petit-fils
Jacques-Dominique, directeur de l'Observatoire, termina la carte de
France.

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RECOMMANDATION

«Sire, les princes éclairés et généreux aiment à découvrir le mérite
modeste et à réparer envers lui les torts de la fortune. Ils se
plaisent à donner à l'homme de génie les moyens de jeter sur les
sciences cet éclat qu'elles recevront de ses travaux et qui réfléchit
sur leur gouvernement. À ce titre, les soussignés, membres de
l'Institut de France, se permettent de signaler à la royale
bienveillance de Votre Majesté un jeune géomètre M. Abel, dont les
productions annoncent un esprit de premier ordre, et qui néanmoins
languit à Christiania dans un poste peu digne de son rare et précoce
mérite.»

                                     LEGENDRE, POISSON, LACROIX.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

La Convention établit, en 1794, l'_École centrale des travaux
publics_, à l'instigation de Monge, Lamblardie, Carnot et Prieur.
Placée au Palais-Bourbon, ne recevant que des externes, l'école devait
d'abord alimenter seulement le corps des ingénieurs civils et
militaires. C'est en 1795 que l'école prit son nom d'_École
polytechnique_ et son caractère actuel. Nous ne pouvons pas raconter
ici sa glorieuse histoire, et nous allons nous borner à quelques
anecdotes.

Dans la période du début, chaque candidat doit faire constater par la
municipalité de sa ville natale «qu'il a constamment manifesté l'amour
de la liberté et de l'égalité et la haine des tyrans». On lit dans un
rapport de l'époque: «La manifestation du patriotisme a été
généralement nulle. Ils sont presque tous ignorants ou indifférents,
tandis que les enfants eux-mêmes balbutient déjà les principes et les
hymnes de la liberté! C'est en vain que j'ai tâché, par des questions
brusques, imprévues et même captieuses, de suppléer à l'insuffisance
des papiers qu'ils ont produits; presque tous m'ont montré qu'ils
avaient toujours été indifférents au bonheur de leurs semblables, à
leur propre bonheur et même aux événements... Quarante de ces jeunes
gens, par leur insouciance de tout ce qui est bon, vertueux et utile,
méritent d'être rejetés!»

«Jeunes citoyens, disait plus tard un Ministre de l'Intérieur dans un
discours, ayez toujours l'amour de la patrie. Si cet amour agit par
sentiment sur le reste des hommes, il est permis de penser que c'est
grâce aux savants que cet amour est géométriquement démontré. Je peux
le dire ici, dans la langue qui vous est familière, la liberté est le
théorème donné par la nature, la République en est la démonstration,
l'amour de la patrie en est le corollaire.»

Le dimanche matin, l'ordinaire est augmenté d'une omelette au lard,
transformation économique du plat qu'on appelait le cochon de Mme
Laplace. En effet, la veuve de l'illustre géomètre, lorsqu'elle avait
fondé un prix pour l'élève sortant le premier et consistant dans les
oeuvres de Laplace, avait disposé d'une somme dont le revenu devait
être employé à donner un plat supplémentaire le dimanche. Ce plat
consista au début en côtelettes de porc frais.

En 1894, il y a eu de belles fêtes polytechniciennes, à l'occasion du
centenaire de la fondation de l'École. Des livres commémoratifs ont
été publiés.

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ÉCOLE NORMALE

Créée à Paris par la Convention, ses quinze cents élèves externes
reçurent au Muséum les leçons des maîtres les plus illustres et ces
leçons, qui ont été recueillies, sont encore consultées. La plupart de
ces élèves enseignèrent, à leur sortie, dans les Écoles centrales des
départements. C'est en 1808, que Napoléon réorganisa l'école qui,
beaucoup moins nombreuse, devint un internat dans le Lycée
Louis-le-Grand et dont les élèves suivirent les cours du Collège de
France, de l'École polytechnique et du Muséum. Elle a été transférée à
la rue d'Ulm, en 1847, et l'enseignement de ses Maîtres de conférences
est devenu à peu près indépendant des cours extérieurs.

Pendant la dernière guerre, les élèves Lande et Szymanski ont gagné la
médaille militaire, M. Burdeau a été décoré de la légion d'honneur et
Lemoine a été tué à l'ennemi. Deux plaques de marbre noir portent les
noms de Lemoine et de Thuillier, élève de M. Pasteur, mort pour la
science à Alexandrie où il était allé étudier le choléra.

À la fin des vacances de Pâques de 1895, l'École normale a fêté
joyeusement son centenaire. Un grand et beau livre illustré,
historique et biographique a été publié chez Hachette, grâce à une
collaboration variée. Nous avions ouvert une souscription, en famille,
pour faire face aux dépenses. Le reliquat a été déposé dans la caisse
de l'Association des anciens élèves.

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SCIENCES MILITAIRES

Le maréchal Vaillant proposait de créer à l'Institut une section des
sciences militaires.--Je ne connais pas cela, s'écria M. Chasles. Il
y a la science, puis viennent les applications.--On eut beau faire, il
ameuta tout le monde contre le projet des spécialistes.

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BROUETTES ET OMNIBUS

La brouette, grâce à laquelle le manoeuvre ne s'épuise plus à
transporter directement les fardeaux, et l'omnibus, le vulgaire
omnibus chanté comme symbole du progrès par Edmond About, ces deux
inventions fort pratiques sont dues, dit-on, au grand Pascal.

Le fait a été contesté (voir l'_Intermédiaire des chercheurs et des
curieux_ du 10 mai 1891).

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BONNE POLITIQUE

Sous le second Empire, Cauchy, professeur à la Faculté des sciences,
fut dispensé d'un serment qu'il avait refusé en 1830. La même
exception fut faite en faveur d'Arago, directeur de l'Observatoire,
vulgarisateur et historien des sciences.

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PRÉCOCITÉ

Pascal enfant ayant demandé ce que c'était que la géométrie, on
s'était borné à lui répondre qu'il s'agissait de faire des figures
exactes et de trouver les proportions qu'elles avaient entre elles.
Sur cette seule indication et sans aucun livre, Pascal devina tout le
commencement d'Euclide jusqu'à la trente-deuxième proposition.

Lagrange disait en 1801 à propos de Cauchy: vous voyez ce petit jeune
homme, eh bien! il nous remplacera tous, tant que nous sommes de
géomètres.

Parmi les mathématiciens précoces on peut citer encore Huygens,
Clairaut et J. Bertrand.

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TOMBEAU D'ARCHIMÈDE

Je mis tous mes soins à découvrir ce tombeau. Les Syracusains
m'affirmaient qu'il n'existait point. À force de recherches, je le
trouvai enfin, couvert de ronces et de broussailles. Je fus guidé,
dans cette découverte, par quelques lignes d'une inscription qu'on
disait avoir été gravées sur le monument, et qui se rapportaient à une
sphère et à un cylindre, posés au sommet du tombeau. Parcourant des
yeux les nombreux tombeaux qui se trouvent vers la porte d'Agrigente,
j'aperçus une petite colonne qui s'élevait au-dessus des buissons: il
y avait la figure d'une sphère et d'un cylindre[4]. Je m'écriai
aussitôt devant les principaux habitants de Syracuse qui
m'accompagnaient. Voilà ce que je cherche! Beaucoup se jetèrent alors
sur les broussailles pour les couper et mettre l'emplacement à
découvert. Ce travail achevé, nous nous approchâmes de la colonne.
Nous vîmes l'inscription à moitié rongée par le temps. Ainsi, la plus
noble et jadis la plus instruite des cités de la Grèce ignorerait la
place du tombeau du plus ingénieux de ses citoyens, si un inconnu
d'Arpinum n'était pas venu la lui apprendre.

                                                        CICÉRON.

[Note 4: Archimède a démontré que toute sphère est les 2/3 du
cylindre circonscrit.]

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ATTRACTION UNIVERSELLE

Nous sommes redevables de cette importante découverte à feu M. Newton.
Ce grand philosophe et mathématicien anglais se trouvait un jour
couché dans un jardin, sous un pommier, une pomme lui tomba sur la
tête, et lui fournit l'occasion de faire plusieurs réflexions. Il
conçut bien que c'était la pesanteur qui avait fait tomber la pomme,
après qu'elle eut été dégagée de la branche, peut-être par le vent ou
quelque autre cause. Cette idée paraissait fort naturelle, et tout
paysan aurait peut-être fait la même réflexion; mais le philosophe
anglais allait plus loin. Il faut, dit-il, que l'arbre ait été fort
haut; et c'est ce qui lui fit former la question si la pomme serait
aussi tombée en bas dans le cas où l'arbre aurait été encore beaucoup
plus haut, ce dont il ne pouvait pas douter.

Mais si l'arbre avait été si haut qu'il parvînt jusqu'à la lune, il se
trouva embarrassé de décider si la pomme tomberait ou non. En cas
qu'elle tombât, ce qui lui paraissait pourtant fort vraisemblable,
puisqu'on ne saurait concevoir un terme, dans la hauteur de l'arbre,
où la pomme cesserait de tomber; dans ce cas, il faudrait que la pomme
eût encore quelque pesanteur qui la pousserait vers la terre: donc,
parce que la lune se trouverait au même endroit, il faudrait qu'elle
fût poussée vers la terre par une force semblable à celle de la lune.
Cependant, comme la lune ne lui tombait point sur la tête, il comprit
que le mouvement en pourrait être la cause, de la même manière qu'une
bombe peut passer au-dessus de nous sans tomber verticalement en bas.
Cette comparaison du mouvement de la lune avec une bombe le détermina
à examiner plus attentivement la chose, et, aidé des secours de la
plus sublime géométrie, il trouva que la lune suivait dans son
mouvement les mêmes règles qu'on observe dans le mouvement d'une
bombe; de sorte que s'il était possible de jeter une bombe à la
hauteur de la lune et avec la même vitesse, la bombe aurait le même
mouvement que la lune. Il a seulement remarqué cette différence, que
la pesanteur de la bombe à cette distance de la terre serait beaucoup
plus petite qu'ici-bas.

                                                          EULER.

                       ¤---¤---¤

On rapporte que Newton, voulant calculer la quantité dont la lune
tombe vers la terre en une seconde et ayant disposé les opérations
arithmétiques, reconnut qu'il allait obtenir ce qu'il pressentait. Son
émotion fut si grande qu'il ne put continuer le calcul et qu'il fallut
qu'un de ses élèves l'achevât.

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TOUT PAR DIX

Lors de la création du système métrique, on avait songé à diviser le
jour en vingt heures, chaque heure en cent minutes, etc., et la
circonférence en quatre cents _grades_, le grade en cent minutes, etc.
Cette question de la décimalisation du temps et de la circonférence
revient sur l'eau aujourd'hui.

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PRÊTRES MENACÉS

Au plus fort de la Terreur, Lalande, quoique paroissien médiocre,
cacha à l'Observatoire plusieurs prêtres menacés de mort. «Je vous
ferai passer, leur dit-il, pour des élèves astronomes: nous nous
occupons du Ciel, vous et moi.»

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CIEL EN CRISTAL

Le ciel est ce qui tourne incessamment autour de la terre et de la mer
sur deux pivots qui forment les extrémités d'un axe: car en ces
endroits, la puissance qui gouverne la nature a fabriqué et mis ces
pivots comme deux centres, l'un au-dessus de la terre et de la mer, en
haut du ciel et derrière les étoiles du septentrion, l'autre à
l'opposé, sous la terre, vers le midi; et autour de ces deux pivots,
comme autour de deux centres, elle a mis de petits moyeux, pareils à
ceux d'une roue et d'un tour, sur lequel le ciel tourne
continuellement.

                                                        VITRUVE.

                       ¤---¤---¤

On voit, par ce passage, que les anciens ont cru à l'existence de
cieux solides de cristal, tournant sur deux pivots matériels.

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À ATHÈNES

Lysias apprit à la fois l'arithmétique par principes et en se jouant:
car pour en faciliter l'étude aux enfants, on les accoutume tantôt à
partager entre eux, selon qu'ils sont en plus grand ou en plus petit
nombre, une certaine quantité de pommes ou de couronnes; tantôt à se
mêler, dans leurs exercices, suivant des combinaisons données, de
manière que le même occupe chaque place à son tour. Apollodore ne
voulut pas que son fils connût ni ces prétendues propriétés que les
Pythagoriciens attribuent aux nombres, ni l'application qu'un intérêt
sordide peut faire du calcul aux opérations du commerce. Il estimait
l'arithmétique, parce qu'entre autres avantages elle augmente la
sagacité de l'esprit et le prépare à la connaissance de la géométrie
et de l'astronomie.

Lysias prit une teinture de ces deux sciences. Avec le secours de la
première, il pourrait plus aisément asseoir un camp, presser un siège,
ranger des troupes en bataille, les faire rapidement mouvoir dans une
marche ou dans une action. La seconde devait la garantir des frayeurs
que les éclipses et les phénomènes extraordinaires inspiraient il n'y
a pas longtemps aux soldats.

                                                ABBÉ BARTHÉLEMY.

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PORTRAIT CHERCHÉ

La ville de Dax, patrie du chevalier de Borda, né en 1733 et mort en
1799, devait élever une statue à cet illustre ingénieur, géomètre et
marin.

Le comité chargé de recueillir les souscriptions a rapidement trouvé
les fonds nécessaires, mais il a été en présence d'une difficulté
sérieuse, qui a menacé même de réduire à néant ses patriotiques
intentions: on ne possédait aucun portrait du chevalier de Borda. Le
comité fit appel à tous ceux qui pouvaient détenir un buste, un
portrait ou une miniature. Peine inutile: Borda n'avait jamais songé à
poser devant un statuaire ou un peintre quelconque.

On se trouvait donc exposé à un avortement imprévu quand on se souvint
qu'il y avait à Brest un vaisseau portant le nom de Borda, à bord
duquel était installée l'école navale. On sut que la poulaine de ce
navire était ornée d'un buste doré: ce ne pouvait être que celui du
chevalier de Borda. On s'adressa donc à la marine pour en obtenir une
photographie. La difficulté allait donc être tranchée. Erreur! Le
vaisseau le _Borda_, avant de recevoir ce nom illustre, avait été
baptisé du nom de Valmy et l'on apprit en même temps que le buste qui
en ornait la poulaine était celui de Kellermann, le vainqueur des
Prussiens en 1792. Mais en poursuivant les recherches, on parvint à
trouver dans le Musée naval du port de Brest, où Borda a longtemps
servi comme ingénieur et comme inspecteur général des constructions,
non pas un buste mais bien deux, portant son nom, au milieu de
beaucoup d'autres bustes portant les noms illustres de Jean-Bart, de
Vauban, etc. Mais, nouvelle cause d'indécision, ces deux bustes ne se
ressemblent pas: l'un représente les traits d'un personnage gras et
suffisamment joufflu; l'autre présente l'aspect d'un homme maigre et
fluet. Lequel des deux bustes est le bon? Les deux assurément, si ce
que l'on suppose est fondé, à savoir que l'un, le fluet, a dû
représenter Borda dans sa jeunesse, et l'autre, le joufflu, dans son
âge mûr, à une époque où le chevalier a dû prendre de l'embonpoint. À
moins que ce ne soit ni l'un ni l'autre, ce qui serait regrettable
mais ce qu'on ne saurait supposer.

Quoi qu'il en soit, la Marine se rendant au désir de la ville de Dax,
a expédié au comité d'organisation la photographie des deux bustes
dissemblables qu'elle possède. On a choisi et la statue de Borda a été
érigée le 24 mai 1891.

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SURSUM CORDA.

Une grande erreur est de penser que l'enthousiasme est inconciliable
avec les vérités mathématiques. Je suis persuadé qu'il est tel
problème, de calcul, d'analyse de Kepler, de Galilée, de Newton,
d'Euler, la solution de telle équation, qui supposent autant
d'invention, d'inspiration que la plus belle ode de Pindare. Ces pures
et incorruptibles formules, qui étaient avant que le monde fût, qui
seront après lui, qui dominent tous les temps, tous les espaces, qui
sont, pour ainsi dire, une partie intégrante de Dieu, ces formules
sacrées qui survivront à la ruine de tous les univers, mettent le
mathématicien qui mérite ce nom, en communication avec la pensée
divine. Dans ces vérités immuables, il savoure le plus pur de la
création; il prie dans sa langue. Il dit au monde comme cet ancien:
«Faisons silence, nous entendrons le murmure des dieux!»

                                                  EDGARD QUINET.

                       ¤---¤---¤

Il est des vérités scientifiques, dit Descartes, qui sont des
batailles gagnées; racontez aux jeunes gens les principales et les
plus héroïques de ces batailles: vous les intéresserez aux résultats
mêmes des sciences, et vous développerez chez eux l'esprit
scientifique, au moyen de l'enthousiasme pour la conquête de la
vérité; vous leur ferez comprendre la puissance de raisonnement qui a
amené les découvertes actuelles et en amène d'autres. Quel intérêt
prendraient l'arithmétique et la géométrie, si l'on joignait un peu de
leur histoire à l'exposition de leurs principales théories, si l'on
assistait aux efforts des Pythagore, des Platon, des Euclide, ou, plus
tard des Viète, des Pascal, des Leibniz! Les grandes théories, au lieu
d'être des abstractions mortes et anonymes, deviendraient des vérités
vivantes, humaines, ayant leur histoire, comme une statue qui est de
Michel-Ange, comme un tableau qui est de Raphaël.

                                               ALFRED FOUILLIÉE.

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PRÉCURSEUR

D'après Grégori et Maclaurin, Pythagore aurait deviné la loi précise
de la gravitation universelle. Voici un curieux extrait du premier de
ces savants:

Une corde de musique, dit Pythagore, donne les mêmes sons qu'une
autre corde, dont la longueur est double, lorsque la tension ou la
force avec laquelle la dernière est tendue est quadruple; et, la
_gravitation d'une planète est quadruple de la gravitation d'une
autre, qui est à distance double_. En général, pour qu'une corde de
musique puisse devenir à l'unisson d'une corde plus courte de même
espèce, sa tension doit être augmentée dans la même proportion que le
carré de sa longueur est plus grand; et _afin que la gravité d'une
planète devienne égale à celle d'une autre planète plus proche du
soleil, elle doit être augmentée à proportion que le quarré de sa
distance au soleil est plus grand_. Si donc nous supposons des cordes
de musique _tendues du soleil à chaque planète_, pour que ces cordes
deviennent à l'unisson, _il faudrait augmenter leur tension, dans les
mêmes proportions qui seraient nécessaires pour rendre les gravités
des planètes égales_. C'est de la similitude de ces rapports que
Pythagore a tiré sa doctrine de l'harmonie des sphères.

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COURTISANS

Louis XVIII dit, un jour, à un mathématicien célèbre: «Monsieur, vous
pourriez peut-être m'aider à résoudre un problème? Comment se fait-il
qu'ayant été accompagné par une cinquantaine de personnes quand je
suis parti pour Gand, j'en trouve aujourd'hui dix mille qui prétendent
y avoir été avec moi?»

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UN DUEL

Né en 1811, Évariste Galois, mathématicien de génie, est mort à vingt
ans dans un duel. M. P. Dupuy a publié, en 1896, une notice sur
Galois, dans les Annales de l'École normale supérieure et il a
reconstitué, avec un soin extrême, une vie malheureuse et peu connue.

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VÉRITÉ HISTORIQUE

Dans le premier volume de son _Cours d'études historiques_, Daunou
explique assez longuement pourquoi, suivant lui, le calcul n'est pas
applicable à l'appréciation des témoignages en histoire.

On trouve sur le même sujet, dans _les Indications de Clio_ par
Zchokke, cette anecdote assez curieuse. Un amateur avait enregistré,
d'après les journaux du temps, le nombre des victimes de la Révolution
et des guerres de l'Empire. Il était arrivé ainsi au total de
142.214.817 morts et il allait publier ce grand nombre avec détails et
preuves à l'appui, lorsqu'un ami lui fit remarquer l'absurdité du
résultat. L'Europe ne comptait que cent quatre-vingts millions, de
sorte que les journalistes l'avaient presque dépeuplée en vingt ans!

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LÉGENDE

J'ai entendu dire qu'aux environs de Naucratis d'Égypte exista un des
plus anciens dieux, celui auquel est consacré l'oiseau qu'on appelle
Ibis: que son nom est Theut, et que le premier, il avait découvert le
Nombre, le Calcul, la Géométrie, les Dames et les Dés.

                                                PLATON (Phèdre.)

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INVENTEURS

N'est-il pas, pour le moins, aussi nécessaire d'enseigner les
ressources employées, à diverses époques, par les hommes de génie,
pour parvenir à la vérité, que les efforts pénibles qu'ils ont été
ensuite obligés de faire pour la démontrer selon le goût des esprits
ou timides ou peu capables de se mettre à leur portée?

                                                       PONCELET.

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DOCUMENTS

Que, dans l'étude des mathématiques, on fasse table rase du passé,
qu'on les enseigne dégagées de tout document historique, cela n'est
pas sans inconvénients.

                                                    J.-B. DUMAS.

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NAPOLÉON

Arago rapporte ces paroles de Napoléon à M. Lemercier, membre de
l'Institut:

«Pensez-vous que si je n'étais pas devenu général en chef et
l'instrument d'un grand peuple, j'aurais couru les bureaux et les
salons pour me mettre dans la dépendance de qui que ce fût, en
qualité de ministre ou d'ambassadeur? Non, non! je me serais jeté dans
l'étude des sciences exactes, j'aurais fait mon chemin dans la route
des Galilée et des Newton; et puisque j'ai réussi constamment dans mes
grandes entreprises, eh bien! je me serais hautement distingué aussi
par des travaux scientifiques; j'aurais laissé le souvenir de belles
découvertes: aucune autre gloire n'aurait pu tenter mon ambition.»

On conserve aux Archives de l'Institut un rapport de Laplace,
Bonaparte et Lacroix (23 octobre 1799) sur un mémoire de Biot
intitulé: _Considérations sur les équations aux différences mêlées._

Napoléon trouvait avec une facilité prodigieuse la solution de
problèmes géométriques très compliqués. Il étonnait Monge lui-même.

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EXPÉRIMENTONS

Les progrès des sciences expérimentales ont insensiblement amené les
esprits à concevoir toute science sur leur modèle. Le type de
certitude scientifique était autrefois la démonstration géométrique;
c'est maintenant la vérification expérimentale. Non que les
mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible
rigueur, et d'ailleurs, la possibilité d'une mesure exacte avec la
réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe
d'une théorie scientifique faite; mais nous regardons moins volontiers
du côté de la géométrie pure.

                                                   OLLÉ-LAPRUNE.

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Les mathématiques, transcendantes surtout, ne conduisent à rien de
précis sans l'expérience: c'est une espèce de métaphysique générale où
les corps sont dépouillés de leurs qualités individuelles;--il
resterait à faire un grand ouvrage qu'on pourrait appeler
l'_Application de l'Expérience à la Géométrie ou Traité de
l'Aberration des Mesures_.

                                                        DIDEROT.

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À l'aide de quelques axiomes, tirés soit de l'esprit humain, soit de
l'observation et en procédant uniquement par voie de raisonnement, la
géométrie avait commencé, dès le temps des Grecs, à élever ce
merveilleux édifice, qui a subsisté et qui subsistera toujours sans
aucun changement essentiel. La logique règne ici en souveraine, mais
c'est dans le monde des abstractions. Les déductions mathématiques ne
sont certaines que pour leur ordre même; elles n'ont aucune existence
effective en dehors de la logique. Si on les applique à l'ordre des
réalités, elles y constituent un instrument puissant, mais elles ne
sont pas autre chose; leurs affirmations tombent aussitôt sous la
condition commune, c'est-à-dire que les prémisses doivent être tirées
de l'observation, et que la conclusion doit être contrôlée par cette
même observation.

                                                      BERTHELOT.

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Les sciences de la matière relèvent toutes, sans exception, des
sciences de l'esprit, parmi lesquelles on doit ranger les
mathématiques... Pas une application ne serait possible sans le
secours de leurs formules abstraites, pas le plus petit progrès sans
leur concours et leur permission.

                                                       CHARRAUX.

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Dans les mathématiques, on suit surtout une méthode déductive.

Une science ne peut être considérée comme arrivée à la perfection que
quand, à l'exemple des mathématiques, toutes les vérités partielles
peuvent être démontrées à l'aide de quelques axiomes généraux.

La division des sciences en inductives et déductives ne se rapporte
qu'à leur développement successif. Plus la science est parfaite, plus
la déduction y a d'application.

                                                        BOUGAEV.

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HARDIESSE

La théorie des parallèles n'a fait aucun progrès depuis Euclide
jusqu'au commencement de notre siècle. Tous les efforts pour démontrer
le _postulatum_ d'Euclide ou une proposition équivalente étaient
restés infructueux, lorsque Lobattcheffsky en 1829 et Bolyai en 1832,
changeant résolument de voie, conçurent et exécutèrent séparément le
projet hardi de supposer que la proposition n'était pas vraie et de
constituer un nouveau système de géométrie non contradictoire, en
poussant jusqu'à ses dernières limites le développement de leur
hypothèse. Gauss qui par ses propres méditations avait obtenu les
mêmes résultats dès 1792, sans toutefois avoir rien publié sur ce
sujet, assura par son patronage le succès de l'oeuvre de
Lobattcheffsky qui, écrivait-il à Schumacher «avait traité la matière
de main de maître». Depuis lors, un grand nombre de géomètres, parmi
lesquels il faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont
considérablement agrandi le champ de ces spéculations.

                                                         ROUCHÉ.

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PREMIÈRE SCIENCE

Les mathématiques étant une science de raisonnement, dans laquelle
l'observation n'a presque rien, et l'expérience absolument rien à
faire, a dû être constituée longtemps avant les autres sciences. Il
est clair que pour compter ou pour comparer des grandeurs entre elles,
l'homme n'a pas eu besoin de connaître la nature. Le calcul et la
géométrie se sont donc formés dans une indépendance absolue vis-à-vis
des autres catégories de connaissances. Mais, par cela même, le calcul
et la géométrie ont eu pendant des siècles, un développement de
perfection très supérieur à ce qu'exigeaient les besoins de la vie en
société. Chez les Anciens, les seuls esprits cultivés jouissaient de
la contemplation des vérités abstraites formulées par Pythagore,
Archimède et Euclide. Aussi ces vérités indispensables à
l'établissement des sciences d'observation comme l'astronomie, et des
sciences expérimentales comme la physique, étaient-elles condamnées à
attendre que le développement de la vie collective eût acquis des
proportions convenables.

                                                         FOUCOU.

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CANONISÉS

Saint Anatolius est l'auteur d'_Institutions arithmétiques_.

Gerbert, devenu pape sous le nom de Saint Sylvestre II, était un
remarquable mathématicien.

Saint Guillaume d'Hirschau a écrit sur le comput ecclésiastique et
inventé des instruments d'astronomie.

Enfin, d'après Cantor, l'historien des mathématiques, Boèce, et
Symmaque, auraient aussi été canonisés.

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Voici un extrait de la préface janséniste d'une géométrie réformatrice
due à Arnauld:

«Entre les exercices humains qui peuvent le plus disposer l'esprit à
recevoir les vérités Chrestiennes avec moins d'opposition et de
dégoust, il semble qu'il n'y en ait guères de plus propre que la
géométrie. Car rien n'est plus capable de détacher l'âme de cette
application aux sens, qu'une autre application à un objet qui n'a rien
d'agréable selon les sens; et c'est ce qui se rencontre parfaitement
dans cette science. Elle n'a rien du tout qui puisse favoriser tant
soit peu la pente de l'âme vers les sens; son objet n'a aucune liaison
avec la concupiscence; elle est incapable d'éloquence et d'agrément
dans le langage; rien n'y excite les passions; elle n'a rien du tout
d'aimable que la vérité, et elle la présente à l'âme toute nue et
détachée de tout ce que l'on aime de plus dans les autres choses.»

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Agripa, l'auteur du _Traité de la vanité des sciences_, est d'avis
différent:

«Combien que ces disciplines (les mathématiques) n'aient causé en
l'Église de Dieu guères d'hérésies, ou point du tout, si est ce que
comme dit Saint Augustin, elles sont inutiles à notre salut, plutôt
nous détournant de Dieu, et induisant à pécher que autrement; et ne
sont ainsi que Saint Hierome affirme, sciences de personnes craignans
Dieu.»

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Michelet fait, dans son _Journal_, cette déclaration assez inattendue
de sa part. «J'aime assez ce régime: les mathématiques et l'Évangile;
il y a là tout ce qu'il faut pour l'âme.»




LANGUE ET LITTÉRATURE


ÉTYMOLOGIES

_Calcul_ vient du mot latin signifiant _caillou_, parce qu'on comptait
jadis avec des cailloux, d'où le titre l'_Arénaire_ d'un ouvrage
d'Archimède. Au XIIe siècle, l'indien Bhâscara a fait un livre, le
_Bijaganitam_, sur le comptage à l'aide des graines.

Au XVIe siècle, nous nous servions de jetons: «Enseigne l'arithmétique
et calcul, tant au jet qu'à la plume.» Au début de la comédie de
Molière, c'est à l'aide de jetons que le malade imaginaire additionne
le compte de son apothicaire. Madame de Sévigné écrit à sa fille
qu'elle vient de faire le compte de sa fortune «avec les jetons de
l'abbé (de Coulanges), qui sont si justes et si bons.»

Le mot calcul a conservé son sens étymologique, lorsqu'il s'agit des
petites pierres qui se forment dans la vessie. (Maladie de la pierre.)

Les étymologies de calcul, arithmétique et géométrie, sont claires,
mais _algèbre_ viendrait de l'arabe _Al-jèbr_, raccorder un membre,
rétablir le tout d'après ses parties? En espagnol, algébriste signifie
chirurgien.

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TRIGONOMÉTRIE DRAMATIQUE

Lisez le roman de Jules Verne intitulé: _Histoire de trois Russes et
de quatre Anglais._ Il est question des angles adjacents à la base du
8e triangle, du 103e logarithme de la table de Volaston, d'un
calculateur menacé par les crocodiles, de deux registres volés par des
singes, etc., etc. «Trianguler ou mourir», voilà la devise de ces
fiers opérateurs.

Les aventures réelles de Delambre et Méchain, puis de Biot et Arago
sont autrement émouvantes. (Voyez _La mesure du mètre_, un petit livre
de W. de Fonvielle.)

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BIEN RÉDIGER

À la suite d'une étude de M. J. Liouville, élève-ingénieur, insérée en
1830 dans les _Annales de Mathématiques_, le rédacteur, Gergonne avait
écrit.

«Je crois devoir m'excuser vis-à-vis du lecteur de lui livrer un
mémoire aussi maussadement, je puis dire aussi inintelligiblement
rédigé...

Je ne prétends contester aucunement la capacité mathématique de M.
Liouville: mais à quoi sert cette capacité, si elle n'est accompagnée
de l'art de disposer, de l'art de se faire lire, entendre et goûter.
Malheureusement, il n'est aujourd'hui que trop de jeunes gens, de
beaucoup de mérite d'ailleurs qui regardent, comme un accessoire
indifférent ce que je regarde, moi, comme le mérite essentiel, le
mérite par excellence, au défaut duquel tout le reste n'est
absolument rien.»

On sait que Liouville a fondé le célèbre Journal de Mathématiques qui
porte encore son nom.

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THÉÂTRE SCIENTIFIQUE

Sous ce titre, M. de Mirval a essayé de dramatiser plusieurs épisodes
de la vie des savants, par exemple, les persécutions de Kepler.
Ponsard avait déjà fait un _Galilée_ en cinq actes. Enfin Louis
Figuier, le célèbre vulgarisateur, a aussi publié des pièces curieuses
à données scientifiques: _la Science au théâtre_, 2 vol.

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UN VAUDEVILLE

Lors de l'invention du calcul infinitésimal, il donna lieu à un
vaudeville et à un air intitulé: _les Infiniment petits_, où l'on
plaisantait sur la frêle santé du marquis de l'Hôpital et sur les
caprices de la marquise.

Madame de l'Hôpital a réfuté, dans le _Journal des Savants_ de 1691,
les théories géométriques d'un nommé Lamontre.

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LES MATHÉMATICIENS

C'est là le titre d'une comédie du hollandais Langendick (1715); il
s'agit d'un tuteur bafoué, comme d'habitude, par son pupille, pendant
qu'il disserte sur les sciences avec un vieil ami.

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ÊTRE SUR SON TRENTE ET UN

Au moyen-âge, des règlements fort sévères punissaient non seulement
les ouvriers qui avaient employé dans leur fabrication des matières
premières avariées, mais encore ceux qui ne donnaient pas à leurs
produits les formes et les dimensions requises. En ce qui concernait
les tisserands de laine, ces règlements allaient jusqu'à fixer le
nombre de fils dont devait se composer la trame.

On trouve à ce sujet des détails curieux dans l'_Histoire de
l'industrie française_, d'Alexis Monteil. Le collage de la chaîne, le
foulage, le feutrage, le soufrage, le calendrage, tout est prévu, sans
oublier la longueur ni la largeur de la pièce; et le contrevenant
pouvait être condamné, en certain cas, à avoir le poing coupé, «ce qui
était bien fait, car les honnêtes tisserands voulaient conserver leurs
deux mains».

Suivant la qualité des draps, la trame devait se composer de 1400 ou
de 1800 fils. Pour le drap fin destiné aux vêtements de luxe, le
nombre de fils était de 30 fois 100 fils; ce qui fit donner à ce drap
le nom de _trentain_.

Porter du _trentain_ était donc le fait d'un homme riche qui ne
regardait pas aux dépenses de la toilette.

_Trentain_, terme technique, se métamorphosa facilement en trente-un
dans la bouche de ceux qui ne connaissaient pas l'origine de cette
appellation; et comme l'usage a prévalu de dire _trente et un_, ces
mots sont restés pour désigner une toilette soignée.

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BIBLIOGRAPHIE

Ne pas prendre le _Traité de la Roulette_, de Pascal, pour une étude
sur le jeu du même nom: il s'agit de la courbe appelée aussi
_cycloïde_.

Bien se garder de confondre le _Traité des Fluxions_, de Newton ou de
Maclaurin, ni une étude sur les Caustiques, avec un livre de médecine.

Les deux plus anciens manuscrits français d'algorithme et de géométrie
sont à la Bibliothèque Sainte-Geneviève. Ils datent de 1275 et ont été
publiés par M. Charles Henry.

On a un traité d'arithmétique imprimé à Trévise en 1478 et deux à
Bamberg en 1482 et 1483. L'allemand Ratdolt, mort en 1505, a imprimé
le premier des figures dans un texte de mathématiques.

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RÉPERTOIRE

D'après le Répertoire bibliographique des sciences mathématiques, en
voie de publication, les écrits sont répartis d'après leur objet,
_indépendamment des méthodes_, en _classes_ désignées par une lettre
capitale; les classes seront subdivisées en _sous-classes_ désignées
par la lettre capitale de la classe affectée d'un exposant; les
classes et les sous-classes sont partagées en _divisions_ désignées
par un chiffre arabe; les divisions en _sections_ désignées par une
minuscule latine; les sections en _sous-sections_ représentées par
une minuscule grecque. La notation relative à un écrit mathématique
est notée dans un encadrement rectangulaire. Ainsi

  L^{1}4_b[¯alpha¯]_

est la notation qui désigne un mémoire traitant des propriétés du lieu
géométrique d'un angle droit circonscrit à une conique.

En effet L signifie _coniques et quadriques_; L^{1}, _coniques_;
L^{1}4, _tangentes aux coniques_; L^{1}4_b_, _tangentes aux coniques
faisant un angle donné_; la sous-section [¯alpha¯] traite du cas où
l'angle est droit.

Les auteurs ou éditeurs d'écrits mathématiques originaux sont priés
d'accompagner le titre de ces écrits de la notation symbolique qui
indique leur place dans la classification du répertoire.

Le Secrétaire de la commission permanente du Répertoire est M.
Laisant, 162, avenue Victor Hugo, à Paris.

Le répertoire paraît chez Gauthier-Villars par séries de 100 fiches
in-32, à 2 fr. la série. Les 5 premières séries sont en vente.

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FIGURES

On ne saurait contester les relations des mathématiques avec la
littérature. La rhétorique sacrée ou profane lui emprunte ses plus
belle _figures_. Le Nouveau-Testament abonde en _paraboles_; les
écrivains anciens et modernes ont fait avec succès usage de
l'_ellipse_ et du _cercle_; tel orateur véhément a recours à
l'_hyperbole_; tel autre a fait briller ses arguments sous les vives
couleurs du _prisme_. Certain grand général n'a-t-il pas eu l'heureuse
inspiration d'associer la beauté géométrique des _pyramides_ à leur
fabuleuse antiquité?

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GRAVITATION

  Dans le centre éclatant de ces orbes immenses,
  Qui n'ont pu nous cacher leur marche et leurs distances,
  Luit cet astre du jour par Dieu même allumé,
  Qui tourne autour de soi sur son axe enflammé;
  De lui partent sans fin des torrents de lumière;
  Il donne, en se montrant, la vie à la matière,
  Il dispense les jours, les saisons et les ans
  À des mondes divers autour de lui flottants.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Par delà tous ces cieux, le Dieu des cieux réside.
                                                       VOLTAIRE.

  Pourquoi ces mouvements et ces orbes divers
  Que six mondes errants tracent dans l'univers?
  Quel pouvoir auprès d'eux retient leurs satellites?
  Où l'ardente comète a-t-elle ses limites?
  Pourquoi l'astre du jour, sur son axe agité,
  Vers le centre commun semble-t-il arrêté?
  Tout fut lancé des mains du créateur suprême.
  Tout pèse, attire, fuit, par un destin pareil;
  Le moindre grain de sable attire le soleil.
  Soumis aux mêmes lois, doués d'une puissance
  Qui s'accroît par leur masse et perd par la distance,
  Les astres voyageurs dans les plaines du ciel
  Exercent l'un sur l'autre un effort mutuel.
                                                           DARU.

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ÉVANOUISSEMENT

«Que dites-vous? Comment? Je n'y suis pas: vous plairait-il de
recommencer? Vous voulez, Acis, me dire qu'il fait froid; que ne
disiez-vous: il fait froid!»

Ce passage de La Bruyère m'est revenu en mémoire à l'occasion d'une
locution nouvelle déjà fort répandue, et qui consiste à nommer
_variété évanouissante_ le cas particulier d'une conique qui se réduit
à un point ou à deux droites. J'avoue que je n'ai pas compris tout
d'abord. En bon français, une _variété évanouissante_ devrait vouloir
dire une variété qui s'évanouit, qui cesse d'exister, en sorte qu'une
ellipse qui cependant est un genre et non une variété cesserait d'être
une variété quand elle se réduirait à un point. Quel galimatias!
Revenons à La Bruyère. «Vous voulez dire, Acis, que votre courbe se
réduit à un point ou à deux droites: dites qu'elle se réduit à un
point ou à deux droites. Mais, répondez-vous, cela est bien uni et
bien clair, et d'ailleurs qui ne pourrait en dire autant? Qu'importe,
Acis? Est-ce un si grand mal d'être entendu quand on parle et de
parler comme tout le monde?»

                                                        PROUHET.

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APOLOGUE ORIENTAL

DÉDIÉ À LA COMMISSION DES EXERCICES PHYSIQUES

Un savant s'embarque sur une nacelle pour traverser un large fleuve.
Il dit au batelier:

--Connais-tu l'histoire?

--Non.

--Alors tu as perdu la moitié de ta vie. Connais-tu les mathématiques?

--Non.

--Alors tu as perdu les trois quarts de ta vie!

À peine le savant avait-il prononcé ces mots qu'un coup de vent fit
chavirer la barque.

--Sais-tu nager? demande à son tour le batelier, au pauvre professeur
qui se débattait dans les flots.

--Hélas, non.

--Eh bien, tu as perdu ta vie tout entière.

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DIVINE PROPORTION

La locution «Moyenne et extrême raison» viendrait de ce que si l'on
considère la petite partie, la grande partie et la droite entière, on
peut dire que, dans cet ordre, la raison de l'extrême égale la raison
de la moyenne. Quoi qu'il en soit, Lucas de Burgo consacre 66 pages
aux mérites d'une proportion qu'il qualifie de divine.

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Un moderne, M. de Bonald affirme, dans sa _Législation primitive_ une
autre proportion, obscure mais merveilleuse aussi, qui réglerait tout.
«On doit donc établir cette proportion générale: _la cause est au moyen,
ce que le moyen est à l'effet_; ce qu'on peut considérer comme une
expression algébrique A : B :: B : C, dont on fait l'application à toute
sorte de valeurs.»

                       ¤---¤---¤

J.-J. Rousseau avait déjà dit qu'il y a «proportion continue entre le
souverain, le prince et le peuple.» Mais il avait ajouté qu'on ne doit
pas conclure à une moyenne proportionnelle calculable par racine
carrée. «En empruntant un moment des termes de géométrie, je n'ignore
pas que la précision géométrique n'a pas lieu dans les quantités
morales.»

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PHOBOS ET DEIMOS

Ces deux satellites de Mars, récemment découverts, ont été devinés,
grâce à un hasard singulier, par Voltaire dans son roman de
_Micromegas_ et par Swift qui en attribue l'observation aux astronomes
de Laputa.

On lit dans Micromegas: «En côtoyant la planète Mars... nos deux
voyageurs virent deux lunes qui servent de satellites à cette planète,
et qui ont échappé aux regards de nos astronomes.» Or, ce n'est qu'en
1877 que Hall a découvert les deux satellites de Mars.

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FOUGUEUX

Il se livrait à son tempérament d'algébriste. Ce n'était point des
chiffres minuscules qu'il employait dans ses calculs, non! c'étaient
des chiffres fantaisistes, gigantesques, tracés d'une main fougueuse.
Ses 2 et ses 3 s'arrondissaient comme des cocottes de papier; ses 7 se
dessinaient comme des potences, et il n'y manquait qu'un pendu; ses 8
se recourbaient comme de larges lunettes; ses 6 et ses 9 se
parafaient de queues interminables.

Et les lettres avec lesquelles il établissait ses formules, les
premières de l'alphabet, _a_, _b_, _c_, qui lui servaient à
représenter les quantités connues ou données, et les dernières, _x_,
_y_, _z_, dont il se servait pour les quantités inconnues ou à
déterminer, comme elles étaient accusées d'un trait plein, sans
déliés, et plus particulièrement ses _z_, qui se contorsionnaient en
zig-zags fulgurants! Et quelle tournure, ses lettres grecques, les
[pi], les [lambda], les [oméga] etc., dont un Archimède ou un Euclide
eussent été fiers!

Quant aux signes, tracés d'une craie pure et sans tache, c'était tout
simplement merveilleux. Ses + montraient bien que ce signe marque
l'addition de deux quantités. Ses-, s'ils étaient plus humbles,
faisaient encore bonne figure. Ses X se dressaient comme des croix de
Saint-André. Quant à ses =, leurs deux traits, rigoureusement égaux,
indiquaient vraiment que J.-T. Maston était d'un pays où l'égalité
n'est pas une vaine formule, du moins entre types de race blanche.
Même grandiose de facture, pour ses <, ses >, pour ses [>/<] dessinés dans
des proportions extraordinaires. Quant au signe [V¯], qui indique la
racine d'un nombre ou d'une quantité, c'était son triomphe, et,
lorsqu'il le complétait de la barre horizontale pour cette formule:

  [V¯¯]

il semblait que ce bras indicateur dépassant la limite du tableau
noir, menaçait le monde entier de le soumettre à ses équations
furibondes!

Et ne croyez pas que l'intelligence mathématique de J.-T. Maston se
bornât à l'horizon de l'algèbre élémentaire! Non! Ni le calcul
différentiel, ni le calcul intégral, ni le calcul des variations ne
lui étaient étrangers, et c'est d'une main sûre qu'il traçait ce
fameux signe de l'intégration; cette lettre effrayante dans sa
simplicité,

[¯intégrale¯]

somme d'une infinité d'éléments infiniment petits!

Il en était de même du signe [¯sigma¯], qui représente la somme d'un
nombre fini d'éléments finis, du signe [¯infini¯] par lequel les
mathématiciens désignent l'infini, et de tous les symboles mystérieux
qu'emploie cette langue incompréhensible du commun des mortels.

                                                    JULES VERNE.

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J.-T. Maston est le héros du roman _Sans dessus dessous_ (1889): des
américains achètent la calotte polaire qu'ils veulent utiliser, après
avoir changé la direction de l'axe de la terre, à l'aide d'un choc
formidable. Malheureusement le calculateur a donné par mégarde 40.000
mètres au lieu de 40.000 kilomètres à la circonférence terrestre.

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NERF DE LA GUERRE

Je dois avant tout louer l'activité et le dévouement du vaillant
capitaine Tycho-Brahe, qui, sous les auspices des souverains de
Danemark, Frédéric et Christian, a, pendant vingt années successives,
étudié, chaque nuit et presque sans relâche, toutes les habitudes de
l'ennemi, dévoilé ses plans de campagne et découvert les mystères de
ses marches. Les observations, qu'il m'a léguées, m'ont aidé à bannir
cette crainte vague et indéfinie qu'on éprouve d'abord pour un ennemi
inconnu...

Enfin l'ennemi se résigna à la paix, et par l'intermédiaire de sa mère
la nature, il m'envoya l'aveu de sa défaite, se rendit prisonnier sur
parole, et l'Arithmétique et la Géométrie l'escortèrent sans
résistance jusque dans notre camp. Depuis lors, il a montré qu'on peut
se fier à sa parole; content de son sort, il ne demande qu'une grâce à
Votre Majesté: toute sa famille est dans le ciel; Jupiter est son
père, Saturne son aïeul, Mercure son frère, et Vénus son amie et sa
soeur; habitué à leur auguste société, il brûle de les retrouver et
voudrait les voir avec lui, jouissant, comme il le fait aujourd'hui,
de votre hospitalité; il faut pour cela profiter de nos succès et
poursuivre la guerre avec vigueur; elle n'offre plus de périls,
puisque Mars est en notre pouvoir. Mais je supplie Votre Majesté de
songer que l'argent est le nerf de la guerre, et de vouloir bien
commander à son trésorier de livrer à votre général les sommes
nécessaires pour la levée de nouvelles troupes.

                                                         KEPLER.

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BARÊME SUFFIT

  Tu me crois obsédé par un mauvais génie,
  Alcippe, tu te plains de l'étrange manie
  Qui fait qu'en ma maison devenu prisonnier,
  D'un flot d'_x_ et d'_y_ je couvre mon papier.
  Laisse là, me dis-tu, l'algèbre et ses formules,
  Laisse là ton compas, laisse là tes modules;
  C'est un emploi bien triste et des nuits et des jours
  Que d'intégrer sans fin et de chiffrer toujours.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Mais ont-ils ces mortels que le destin caresse,
  Au calcul intégral demandé la richesse?
  Vois ce vieux financier. Sans cesse à son comptoir,
  Il revient supputer son doit et son avoir.
  D'enchérir sur Euclide il n'a point la folie;
  Il ajoute, soustrait, divise ou multiplie,
  Et, de Barême seul écoutant la leçon,
  Laisse dormir en paix Descartes et Newton.
                                                         CAUCHY.

                       ¤---¤---¤

M. Faurie, mort il y a quelques années, avait composé, dit-on, un
poème épique sur la guerre de Crimée.

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CARRÉ LONG

Ma chambre est située sous le quarante-huitième degré de latitude,
selon les mesures du père Beccaria; sa direction est du levant au
couchant; elle forme un carré long qui a trente-six pas de tour, en
rasant la muraille de bien près. Mon voyage en contiendra cependant
davantage; car je la traverserai souvent en long et en large, ou bien
diagonalement, sans suivre de règle ni de méthode.--Je ferai même des
zig-zags, et je parcourrai toutes les lignes possibles en géométrie,
si le besoin l'exige.

                                                  X. DE MAISTRE.

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BEAUX ESPRITS

L'esprit géométrique donne beaucoup de flegme, de modération,
d'attention et de circonspection.

... Tout ce qui fera donc ces esprits brillants, à qui on a donné par
privilège le titre de beaux esprits, je veux dire l'abondance, la
variété, la liberté, la promptitude, la vivacité; tout cela est
directement opposé aux opérations géométriques, qui sont simples,
lentes, sèches, forcées et nécessaires.

                                                        D. HUET.

                       ¤---¤---¤

Je sais qu'on me dira que les mathématiques rendent particulièrement
appliqué; mais elles n'habituent pas à rassembler, à apprécier, à
concentrer: l'attention qu'elles exigent, est, pour ainsi dire, en
ligne droite.

                                                   Mme DE STAËL.

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ÉPIGRAMME

Deux rois de France, Charles VI et Louis XV, ont reçu à tort le surnom
de _bien-aimé_.

Les Parisiens firent au dernier cet épitaphe:

  Ci-gît Louis le quinzième,
  Du nom de bien-aimé le deuxième;
  Dieu nous préserve du troisième!

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IMAGE

Platon dit que la ligne droite est celle «dont les points milieux
ombragent les extrêmes». Il dit aussi que «le plan est une surface
dont les parties du milieu ombragent les extrêmes». Ces définitions,
qui font image, sont pleines de grâce et de poésie.

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ICONOLOGIE

La géométrie est représentée par une femme, d'âge moyen, couverte
d'un voile blanc et transparent. Un globe est à ses pieds et elle
trace, avec un compas, un cercle sur un papier où sont déjà d'autres
figures.

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TROIS-SIX

On désigne, sous cette brève indication, l'alcool dont la force est
telle qu'avec trois parties de cet alcool et trois d'eau, on fait six
parties d'alcool ordinaire.

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SYNTAXE

La syntaxe française est incorruptible. C'est de là que résulte cette
admirable clarté, base éternelle de notre langue... On dirait que
c'est d'une géométrie tout élémentaire, de la simple ligne droite, que
s'est formée la langue française.

                                                        RIVAROL.

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SCIENCES OU LETTRES?

Votre république dose, mesure et règle l'homme; la mienne l'emporte en
plein azur; c'est la différence qu'il y a entre un théorème et un
aigle.

--Tu te perds dans le nuage.

--Et vous dans le calcul.

--Il y a du rêve dans l'harmonie.

--Il y en a aussi dans l'algèbre.

Je voudrais l'homme fait par Euclide.

--Et moi, dit Gauvain, je l'aimerais mieux fait par Homère.

--.........

--.........

--..... La république, c'est deux et deux font quatre. Quand j'ai
donné à chacun ce qui lui revient...

                                                    VICTOR HUGO.

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ADMIRATION

L'étrangeté de cette science m'étonnait; rien ne m'y avait préparé
dans ma vie. Tout était également nouveau, inattendu, comme si j'eusse
respiré sur une autre planète perdue aux confins de l'univers. Et je
n'étais pas assez fantasque pour ne pas jouir de ces vérités
inébranlables, les mêmes partout, les seules qui m'eussent donné
jusque là le sentiment de la certitude. C'étaient à mes yeux comme des
colonnes d'émeraude, fixes, immuables, qui se dressaient tout à coup
au milieu du chaos que mon intelligence enfermait. Je m'appuyais avec
sécurité sur ces colonnes; le monde se raffermissait à mes yeux, et
j'osais m'engager plus avant.

J'aimais comme un Pythagoricien la pureté incorruptible de la
géométrie. M. Clerc, intraitable sur les figures que nous devions
tracer comme au burin, faisait de cette incorruptibilité un devoir. La
langue de l'algèbre, mystérieuse et lumineuse, me saisissait. Ce que
j'admirais surtout dans cet idiome, c'est qu'il ne consent à exprimer
que des vérités générales, universelles, et qu'il dédaigne les vérités
particulières. Je lui attribuais en cela une fierté que je refusais
aux idiomes humains; à ce point de vue l'algèbre me semblait la langue
du Dieu de l'esprit.

Je comprenais assez bien aussi le genre de style propre à l'algèbre;
j'étais frappé de l'art avec lequel les mathématiciens éloignent,
rejettent, éliminent peu à peu tout ce qui est inutile pour arriver à
exprimer l'absolu, avec le plus petit nombre possible de termes, tout
en conservant dans l'arrangement de ces termes un choix, un
parallélisme, une symétrie qui semble être l'élégance et la beauté
visible d'une idée éternelle.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si l'algèbre m'avait frappé, je fus ébloui par l'application de
l'algèbre à la géométrie... L'idée, la possibilité d'exprimer une
ligne, une courbe par des termes algébriques, par une équation, me
parut aussi belle que l'Iliade. Quand je vis cette équation
fonctionner et se résoudre, pour ainsi dire, toute seule, entre mes
mains, et éclater en une infinité de vérités, toutes également
indubitables, également éternelles, également resplendissantes, je
crus avoir en ma possession le talisman qui m'ouvrait la porte de tous
les mystères.

                                                  EDGARD QUINET.

                       ¤---¤---¤

E. Quinet s'est préparé à l'École polytechnique, comme Victor Hugo et
Sully-Prudhomme.

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EN MORALE

Les mathématiques rendent l'esprit juste en mathématiques, tandis que
les lettres le rendent juste en morale.

                                                     J. JOUBERT.

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PASCAL

Il y avait un homme qui, à douze ans, avec des barres et des ronds
avait créé les mathématiques; qui, à seize, avait fait le plus savant
traité des coniques qu'on eût vu, depuis l'antiquité; qui, à dix-neuf,
réduisait en machine une science qui existe tout entière dans
l'entendement; qui, à vingt-trois, démontra les phénomènes de la
pesanteur de l'air et détruisit une des plus grandes erreurs de
l'ancienne physique; qui, à cet âge où les autres hommes commencent à
peine à naître, ayant achevé de parcourir le cercle des connaissances
humaines, s'aperçut de leur néant et tourna toutes ses pensées vers la
religion.

                                                  CHATEAUBRIAND.

                       ¤---¤---¤

Peut-être ce singulier phénomène (la supériorité de Pascal comme
écrivain) doit-il en partie s'expliquer par l'influence même des
études abstraites qu'avait embrassées Pascal à une époque où ces
hautes connaissances, destituées encore de la perfection et de la
facilité des méthodes, imposaient à l'esprit l'effort d'une création
continuelle. Tout était originalité dans une étude incomplète et
renaissante. Une sorte d'enthousiasme et d'imagination élevée
s'attachait à tous les essais de la science. L'amour de la vérité est
une source sublime à laquelle Pascal puisait; il en tira son
éloquence. Le bon goût, le mépris des faux ornements et de la vaine
Rhétorique naquirent pour lui de la grandeur des objets dont il avait
occupé son intelligence. L'originalité le suivit de la Géométrie dans
les lettres; il inventa son langage comme il avait trouvé ses
méthodes en géométrie, et il enleva à sa science favorite cette
vigueur de déduction et ces raisonnements irrésistibles qui devinrent
les armes de sa parole.

                                                      VILLEMAIN.

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HEUREUX

Que les Géomètres sont heureux!

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oh! produire une indiscutable beauté, comme celle d'un théorème
démontré avec une simplicité ingénieuse, avec élégance en un mot, et
d'une si haute portée que la prédiction d'un mouvement céleste en
dépende! Vous est-il permis, à vous autres artistes, à vous surtout
poètes, de goûter jamais le tranquille orgueil d'une création
pareille?

                                                SULLY-PRUDHOMME.

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BEAUTÉ DE LA SCIENCE

De l'oeuvre d'un Fresnel, d'un Ampère, d'un Cauchy, d'un Chasles, d'un
Bernard, d'un Pasteur, d'un Berthelot, pour ne citer que des noms
appelés à rester l'éternel honneur de notre pays et de notre temps,
pouvons-nous admirer la beauté moins que la grandeur et l'utilité
incomparables? En lisant les mémoires de Gauss, dont l'âge bientôt
séculaire n'a pas encore terni l'exquise fraîcheur, ne retrouvons-nous
pas à la fois, dans les détails, ces splendides arabesques enlacées
par l'imagination inépuisable des artistes de l'Orient; dans
l'ensemble, un de ces temples merveilleux que les architectes de
Périclès élevaient aux divinités helléniques?

                                                      CH. MÉRAY.




RÉSULTATS


NOMBRES CURIEUX

M. Badoureau, ingénieur des Mines, donne les nombres suivants, dans
son livre _Les Sciences expérimentales en 1889_: l'aile de la mouche
peut faire 230 révolutions par seconde.--La vitesse des trains atteint
quelquefois 30m par seconde et approche de la vitesse maximum des
hirondelles.--Le zéro absolu serait à -273°: on n'a pu refroidir aucun
corps jusqu'à cette température.--L'homme brûle actuellement 400
millions de tonnes de charbon par an.--La distance des deux molécules
voisines d'eau liquide est de un millième de micron (Tait).--Ne
produisent de la lumière que les vibrations d'éther dont la durée est
comprise entre 1/394 et 1/758 de trillionième de seconde.--Nous voyons
des corps situés à 100 quintillions de mètres.--Le nombre des
molécules dans un mètre cube de charbon, à la surface de la Terre,
comprend 26 ou 27 chiffres.

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PATIENCE

Un américain a consacré, pendant trois ans, huit heures par jour à
compter les versets, mots et lettres de la Bible. Il a trouvé 31.175
versets, 773.692 mots, 3.556.480 lettres, 6.855 fois le nom Jehova,
46.227 fois la conjonction _et_, etc.

Les Musulmans ont, de leur côté, un tel respect pour le Koran qu'ils
savent jusqu'au nombre des mots et même des lettres qui le composent:
77.639 mots et 323.015 lettres.

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UN COMPTEUR

Un homme qui consacrerait sa vie à énoncer ou à écrire la suite des
nombres atteindrait à peine un milliard: le temps lui manquerait pour
aller plus loin.

Notre dette publique exige 1.292.319.475 francs par an sur un
budget qui s'élève à trois milliards onze millions neuf cent
soixante-quatorze mille huit cent vingt-huit francs.

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PYRAMIDES

La grande pyramide carrée présente des particularités qui supposent
une science avancée(?)

Chaque face triangulaire est équivalente au carré de la hauteur de la
pyramide.

La section méridienne est à l'aire de la base dans le rapport de 1 à
[¯pi¯].

Son poids est à celui de la terre dans le rapport de 1 à 10^{15}.

Elle est exactement orientée suivant le méridien et le parallèle à 30
degrés.

Elle contient les éléments de la distance de la terre au soleil, etc.,
etc.

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LOXODROMIE

Les navigateurs ne suivent pas le plus court chemin sur la sphère, qui
est l'arc de grand cercle entre les points extrêmes, mais la courbe
appelée _loxodromie_ qui coupe tous les méridiens sous le même angle
et qui est figurée par une droite sur la carte marine: ce qui permet
de diriger facilement le navire.

Cependant sur les bateaux à vapeur, on réalise une économie de charbon
en suivant l'arc de grand cercle.

La raison commerciale l'emporte ainsi sur la raison démonstrative.

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CALENDRIER

Le bourgeois gentilhomme de Molière demandait à son maître de
philosophie de lui enseigner le calendrier. Ce n'est pas si simple
qu'on croit et on peut consulter sur le sujet une notice scientifique
d'Arago.

Lorsqu'en 1582, le pape Grégoire XIII fit sa célèbre réforme, les
protestants résistèrent d'abord, préférant, a-t-on dit, être en
désaccord avec le soleil que d'être d'accord avec le pape.

On craignait des objections populaires, lorsqu'en 1816 le temps moyen
fut substitué au temps vrai pour les horloges et les montres, mais la
réforme passa inaperçue.

Ne réglez pas votre montre sur un cadran solaire. Il obéit au soleil
et marque le temps _vrai_, tandis que nos horloges marquent le temps
_moyen_: l'écart peut atteindre vingt minutes.

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ÉQUATION DU 45e DEGRÉ

Un fait qui se rattache à la vie scientifique de Viète, et que je vais
vous raconter, révèle en même temps l'estime dont Henri IV honorait
son savant conseiller. Ce roi montrait, un jour, à Fontainebleau, à un
ambassadeur de Hollande, les splendides et coûteuses curiosités du
palais, et l'entretenait en même temps de quelques-unes des célébrités
de son royaume. L'ambassadeur se permit de faire sur ce dernier sujet
une réserve aux éloges du roi: «Sire, dit-il, vous n'avez pas
cependant ici de mathématicien. Un géomètre flamand, nommé Adrien
Romanus, vient de publier un ouvrage dans lequel il défie tous les
savants de l'Europe de résoudre un problème qu'il leur propose, et de
tous les mathématiciens de notre temps cités dans son livre, je n'en
ai trouvé aucun qui fût français.»--«Si fait, si fait, répondit
vivement le roi, nous en avons un excellent; qu'on aille quérir M.
Viète.» On soumit à notre savant qui avait suivi la cour à
Fontainebleau, le problème de Romanus. Pour tout autre que le savant
et érudit Fontenaisien, l'énigme eût été embarrassante. Il ne
s'agissait de rien moins que de résoudre une équation du 45e degré,
renfermant 24 termes dont l'un est arbitraire et dont les autres sont
multipliés par des nombres, la plupart de neuf chiffres, c'est-à-dire
de plusieurs centaines de millions d'unités.

Viète, après avoir examiné attentivement cette équation, eut le
plaisir de retrouver une ancienne connaissance. C'était une des
nombreuses équations auxquelles donne lieu la division des arcs de
cercle en parties égales. Il aperçut aussitôt la solution qui faisait
seule l'objet du problème d'Adrien Romanus...

... Mais ce qu'il y eut de plus piquant, fut la remarque de Viète que
ce problème admettait vingt-deux autres solutions auxquelles le bon
Romanus n'avait pas songé.

                                                       ALLEGRET.

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STATISTIQUE FUNÈBRE

Il meurt un être humain par chaque seconde, sur l'ensemble du globe
terrestre, soit 86.400 par jour, soit environ 31 millions par an, ou
plus de 3 milliards par siècle.

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UNIFICATION DE L'HEURE

On a distribué à la Chambre des députés un projet de loi, contresigné
par tous les ministres, ayant pour objet l'adoption de l'heure, temps
moyen de Paris, comme heure légale en France et en Algérie. C'est, en
langage vulgaire, l'unification de l'heure sur toute l'étendue du
territoire français, en Corse et en Algérie, que propose le
gouvernement.

La diversité des heures, dit l'exposé des motifs, se justifiait à une
époque où la vie locale était prédominante, où les relations
extérieures ne comportaient pas les mêmes exigences que de nos jours,
où, du reste, les moyens pratiques d'avoir rapidement l'heure de la
capitale eussent fait défaut. Le développement du commerce et de
l'industrie, l'établissement des lignes télégraphiques et des chemins
de fer ont désormais rendu inévitable l'adoption de l'heure unique.
Déjà, tout ce qui tient aux relations par lettres ou par télégrammes,
c'est-à-dire presque toute la vie active, a continuellement besoin et
se sert de l'heure de Paris. L'administration des postes et
télégraphes règle les pendules ou cartels de tous ses établissements
d'après l'heure, temps moyen de Paris. Cette heure est transmise, au
début de la journée, dans les bureaux télégraphiques et les bureaux
mixtes. Elle est prise aux horloges des gares de chemins de fer et
portée par des courriers aux bureaux de poste non pourvus de
télégraphes. Il en résulte que la plupart des agglomérations ont les
plus grandes facilités à avoir l'heure, sans observations, sans
cadrans solaires et sans calculs.

D'ailleurs, l'unification horaire est adoptée déjà par de nombreuses
villes et le monde savant réclame instamment cette réforme qui a fait
l'objet de voeux émanant d'associations scientifiques et du bureau des
longitudes.

L'exposé des motifs fait remarquer que cette modification sera à peine
sensible sur la plupart des points du territoire et que l'inconvénient
passager qu'elle présente aura pour contrepoids des avantages positifs
qui le compenseront largement. Il répond au surplus à la principale
objection par l'observation très judicieuse qui suit:

Quant à l'objection qu'après la réforme le midi légal ne coïncidera
plus jamais avec le passage du soleil au méridien, on ne voit pas en
quoi ce nouveau midi, milieu du jour, perd à ne point s'accorder avec
la culmination du soleil. Ce phénomène astronomique n'arrive à Paris à
peu près à midi que _quatre fois par an_, au moment où l'équation du
temps s'évanouit, et ce ne sera point la différence de hauteur du
soleil à ce moment qui pourra, sans instruments, indiquer la
modification survenue dans l'heure du lieu. Il n'y aurait de réelle
objection que si l'adoption de l'heure unique devait modifier la
régularité de la vie agricole, le soleil réglant d'ordinaire les
travaux des champs. Mais cette régularisation de la journée par le
soleil n'est pas absolue; le paysan n'a besoin de l'heure qu'à une
demi-heure près; il se lève même, l'été, avant que le soleil paraisse,
et les changements apportés à ses habitudes ne seront pas
appréciables.

                       ¤---¤---¤

Voici l'article unique de la loi promulguée le 14 mars 1891:

«L'heure légale en France et en Algérie est l'heure temps moyen de
Paris.»

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ANCÊTRES

Des esprits peu réfléchis se doutent-ils qu'il n'est pas un de nous à
la 20e génération par exemple, qui n'ait 1 048 576 ancêtres? Ce simple
calcul, très connu dans la doctrine de la consanguinité, établit
véritablement cet étonnant résultat. Tout le monde peut s'en
convaincre par une progression géométrique dont le premier terme est 2
et qui doit toujours croître en raison double, puisque chaque individu
a deux premiers ancêtres, son père et sa mère, qui doivent aussi le
jour à deux personnes. Cette progression est donc [÷÷] 2, 4, 8, 16,
32, 64, 128, 256..., etc. On trouvera, en la suivant, que chaque homme
a, dans le vingtième degré de parenté ou la vingtième génération, un
million quarante-huit mille cinq cent soixante et seize ancêtres.
Cette combinaison a été donnée pour exacte dans un ouvrage de
Mirabeau. _Lett. de cachet_, p. 281.

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FIL DE SOIE

Un curieux a fait le calcul ci-après, qu'il est peut-être peu facile
de vérifier.

--La ville de Lyon consomme annuellement un million de kilogrammes de
soie montée ou tordue de différentes manières. Il faut quatre cocons
pour produire un gramme de soie; la consommation lyonnaise en absorbe
donc à elle seule 4 milliards 200 millions. La longueur du fil de soie
d'un cocon est en moyenne de 500 mètres. Les quatre milliards 200
millions filés annuellement pour l'industrie lyonnaise formeraient
ensemble, d'après cela, un fil de 2100 milliards de mètres ou 2
milliards 100 millions de kilomètres.

Cette longueur fait quatorze fois la distance de la terre au soleil,
et 5494 fois celle de la lune à la terre. Elle ferait aussi 52505 fois
le tour de la terre sur l'équateur, et 200 mille fois le tour de la
lune.

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MORTS

Un oisif a calculé que depuis la création du monde, il est mort 26
quatrillions 628 trillions 843 billions 285 millions 75 mille 840
individus de l'espèce humaine. Nous récrivons ci-dessous ce grand
nombre:

  26 628 843 285 075 840.

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THÉORÈME MILITAIRE

Deux troupes s'équivalent quand le produit de leur coefficient
mécanique par leur courage et par le carré de leur effectif est le
même.

                                                      STÉPHANOS.

Le courage est-il une grandeur mesurable?




FANTAISIES


LA SAVANTE

  Vous devriez....
  M'ôter, pour faire bien, du grenier de céans,
  Cette longue lunette à faire peur aux gens,
  Et cent brinborions dont l'aspect importune:
  Ne point aller chercher ce qu'on fait dans la lune
  Et vous mêler un peu de ce qu'on fait chez vous,
  Où nous voyons aller tout sans dessus dessous.
                                                        MOLIÈRE.

                       ¤---¤---¤

  Elle résout d'un mot, en plaçant sa fontange,
  Ces grandes questions qui terrassent Lagrange.
  On voit sur sa toilette un Euler, un Pascal,
  Salis et barbouillés de rouge végétal.
  Elle trouve en Newton je ne sais quoi d'aimable
  Et l'algèbre a pour elle un charme inexprimable.
  Le soir dans un donjon, d'un regard curieux,
  Au bout d'une lunette interrogeant les cieux,
  Son oeil observateur y poursuit la comète;
  Lalande tous les ans lui vole une planète.
                                                         COLNET.

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UN OUBLI

Le régiment d'artillerie en garnison dans notre ville est parti pour
les grandes manoeuvres, _en oubliant d'emporter les trajectoires_.

  (_Extrait d'un journal de Toulouse,
  lors de la guerre de Tunisie_.)

                       ¤---¤---¤

D'après J. Janin: M. Arago, l'oeil à la lunette, voit la planète
décrire, _à la fois_, les deux axes de son ellipse.

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VENGEANCE

Tout le monde a entendu parler des automates de Vaucanson, des joueurs
de flûte, de tambourin ou d'échecs; des canards qui barbottaient,
avalaient le grain et le digéraient, etc. L'ingénieur mécanicien
inventa aussi des machines pour la fabrication des soieries de Lyon,
mais les ouvriers s'ameutèrent contre lui. Il répondit en construisant
un âne qui exécutait une étoffe à fleurs.

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NEPTUNE

On cite quelquefois ce vers de Lemierre, poète oublié,

  Le trident de Neptune est le sceptre du monde.

Ce vers (solitaire) a été appliqué à l'astronome Le Verrier, tout
puissant sous le second empire. C'était un savant illustre, le
continuateur de Laplace: on lui a élevé une statue dans la cour de
l'Observatoire de Paris.

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MADRIGAL ALGÉBRIQUE

  Sans doute vous serez célèbre
  Par les grands calculs de l'algèbre,
  Où votre esprit est absorbé:
  J'oserai m'y livrer moi-même;
  Mais, hélas! A + C - B
  N'est pas = à je vous aime.
                                                       VOLTAIRE.

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PLUS QUE PROBABLE

Un bonhomme, ayant rêvé qu'il gagnerait un terne à la Loterie,
consulte un ami sur le choix du numéro. L'autre est d'avis qu'un fou
pourra, sur ce point, donner un bon conseil. Ils vont aux
Petites-Maisons. Le pensionnaire les écoute attentivement, puis il
écrit un chiffre sur un bout de papier... et l'avale. «Revenez demain,
dit-il, je vous assure que le numéro sera sorti.»

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VIEUX REFRAINS

    Te souvient-il alors
  Du théorème de Taylor?
  Nous n'y vîmes tous deux
        Que du feu.

  Par des témoins je me suis laissé dire
  Que parfois Sturm et le bon Gérono
  Allaient chercher, pleins d'un charmant délire,
  Un théorème au fond d'un vieux tonneau.

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DIPLOMATIE ET POLITIQUE

Quelques-uns affirment encore, dit en souriant le diplomate, que le
plus court chemin est la ligne droite. N'en croyez rien, mon jeune
ami.

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LES MODÉRÉS

Deux et deux font quatre, assure l'un; l'autre réplique avec énergie
que deux et deux ne font que trois; l'homme du juste milieu conclut
que deux et deux font trois et demi.

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SOURD PARLANT

  La Condamine est aujourd'hui
  Reçu dans la troupe immortelle;
  Il est bien sourd,--tant mieux pour lui!
  Mais non muet,--tant pis pour elle.
                                                          PIRON.

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ZÉRO ACADÉMIQUE

  Quant Labruyère se présente
  Pourquoi faut-il crier haro?
  Pour faire un nombre de quarante
  Ne fallait-il pas un zéro!

Variante:

  Trente-neuf joints à zéro,
  Si j'entends bien mon numéro,
  N'ont jamais pu faire quarante;
  D'où je conclus, troupe savante,
  Qu'ayant à vos côtés admis
  Cottin, cette masse pesante,
  Le digne cousin de Louis,
  La place est encor vacante.

Dans le même ordre d'idées, on peut citer ce madrigal de Boufflers à
Mme de Staël:

  Je vois l'Académie où vous êtes présente;
  Si vous m'y recevez, mon sort est assez beau.
  Nous aurons à tous deux de l'esprit pour quarante,
  Vous comme quatre et moi comme zéro.

Les variantes sont nombreuses:

Ils sont là quarante qui ont de l'esprit comme quatre.

N'oublions pas le distique de Fontenelle:

  Sommes-nous trente-neuf, on est à nos genoux,
  Et sommes-nous quarante, on se moque de nous.

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TIERS ET DEMI

Quel est le tiers et demi de cent?

C'est cinquante, puisque le tiers d'une chose plus la moitié de ce
tiers, c'est tout simplement la moitié de la chose.

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AMUSETTES

1º [¯pi¯] est incommensurable, en effet: vache = [¯bêta¯][¯pi¯]; d'où
vachel = [¯bêta¯][¯pi¯]_l_; changeant l'ordre des facteurs, cheval =
[¯bêta¯][¯pi¯]_l_; d'où [¯pi¯] = cheval/[¯bêta¯]_l_=cheval/oiseau.

2º bouteille 1/2 pleine = bouteille 1/2 vide, d'où, en divisant les
deux membres par 1/2, bouteille pleine = bouteille vide.

3º 10 centimes = 2 sous; d'où, en élevant au carré, 100 centimes ou un
franc = 4 sous.

4º Pour peupler un colombier, il suffit de décrire une circonférence
avec un jonc pour rayon; en effet, on a ainsi: deux pigeons.

5º Dire l'étendue et le prix d'un champ où du champagne a été bu à
minuit par trois cardinaux.--Réponse: 1 hectare, 7 ares, 3 centiares.

6º Si six scies scient six cigares, six cent six scies scient six cent
six cigares: ce n'est plus une règle de trois, c'est une règle de six
ou de scies.

7º Trois joueurs jouent ensemble toute une nuit. Après la dernière
partie, il se trouve qu'ils ont gagné chacun 20 fr.--C'étaient trois
joueurs de violon.

8º Obtenir le nombre 21 avec trois villes de France et seulement 20
en ajoutant une quatrième.--Troyes, Foix, Cette, Autun.

Etc., etc.

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BON PLACEMENT

«Voilà de l'argent bien placé!» s'écria le duelliste, en sentant la
balle s'aplatir sur une pièce de cinq francs, placée dans la poche de
son gilet.

                                                           MÉRY.

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SPECTACLE TOURNANT

Quelquefois, par exemple, je me figure que je suis suspendu en l'air,
et que j'y demeure sans mouvement, pendant que la terre tourne sous
moi en vingt-quatre heures. Je vois passer sous mes yeux tous ces
visages différents, les uns blancs, les autres noirs, les autres
olivâtres. D'abord ce sont des chapeaux, et puis des turbans, et puis
des têtes chevelues, et puis des têtes rasées; tantôt des villes à
clocher, tantôt des villes à longues aiguilles qui ont des croissants,
tantôt des villes à tours de porcelaine, tantôt de grands pays qui
n'ont que des cabanes; ici de vastes mers, là des déserts
épouvantables; enfin toute cette variété infinie qui est sur la
surface de la terre.

                                                     FONTENELLE.

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OISEAUX

De six oiseaux, en tuant trois, combien en demeure? Il n'en demeure
aucun, les autres s'enfuient.

                                                        TABARIN.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

JOUETS MATHÉMATIQUES

E. Lucas nous a encore donné récemment la Fasioulette, la Pipopipète,
la Tour d'Hanoï, l'Icosagonal et l'Arithmétique diabolique. C'est
drôle et instructif.

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X, Y ET Z

  X... est mon nom; je ne sais quel caprice
  Me fit donner un nom si dur, si sec;
  J'eus pour cadet un frère qu'en nourrice
  On baptisa du joli nom d'Y...
  Pour compléter cette liste gentille
  Il nous survint un tiers frère puîné
  Qu'on nomma Z..., et voilà la famille
  Dont j'ai l'honneur, Messieurs, d'être l'aîné.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Je suis tout ce que l'on ignore,
  Ce que l'imprudente Pandore
  Cherchait au fond de son écrin
  . . . . . . . . . . . . . . . .
  Je disparais sitôt qu'on m'a tenu,
  Et plus l'esprit marche et progresse
  Plus devant lui j'agrandis l'inconnu.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cette boutade, dont nous ne citons que quelques vers, est due à un de
nos grands anciens à l'École polytechnique (Promotion de 1834).

                       ¤---¤---¤

Vacquerie, ancien candidat, dit en parlant de lui-même:

  On le tordit, depuis les ailes jusqu'au bec,
  Sur l'affreux chevalet des x et des y.

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RASSURANT

--Docteur, là, vraiment, est-ce que j'en reviendrai?

--Infailliblement! répond le médecin qui tire un imprimé de sa poche.

Et faisant lire ce papier au malade:

--Tenez, voilà la statistique de votre cas. Vous voyez qu'on en guérit
un sur cent.

--Eh bien! fait le malade effrayé.

--Eh bien! vous êtes le centième que j'ai entre les mains et les 99
premiers sont morts.

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PLAIDOIRIE EN CHIFFRES

Le docteur Flamand, garde national, ayant manqué à son service le 5
février, adressa l'épître suivante au conseil de discipline:

  Mes manquements, Messieurs, ne sont pas très comm.....  1
  Aujourd'hui je demande indulgence pour................  2
  Ma mère était malade en la ville de...................  3
  Pour partir à l'instant j'ai fait le diable à.........  4
  Vous m'avez, il est vrai, commandé pour le............  5
  Mais auprès d'un malade il faut être pré..............  6
  Pour appliquer à temps l'onguent et la lan............  7
  Dieu merci! j'ai vaincu la fièvre et la pit...........  8
  J'ai fait à la malade un estomac tout ................  9
  Vous pardonnerez bien mon zèle, cadé.................  10
  Et, pour un fils, vos coeurs ne seront pas de br.....  11
  Alors je monterai des gardes par.....................  12 (aines).

Le conseil de discipline, qui était ce jour-là plus spirituel que de
coutume, lui répliqua en ces termes:

  Vous fûtes, on le sait, autrefois pour chaque.........  1
  Un modèle de zèle, et c'est vraiment hi...............  2
  Qu'il n'en soit plus ainsi; votre maman de............  3
  N'est qu'un prétexte ici, dont sans vous mettre en....  4
  Vous auriez dû parler en termes plus suc..............  5
  En effet, vous vit-on jamais aux exer.................  6
  Aux gardes! Non, sans doute, ainsi votre pla..........  7
  Ne peut mettre à néant la citation du.................  8
  À l'hôtel Bazancourt vous irez donc le................  9
  La cour vous y condamne: là vous irez, san............ 10
  Méditer à loisir si nous sommes de br................. 11
  Et vous y resterez, Monsieur, jusques au.............. 12

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

LE CAFÉ

  Il peut du philosophe égayer les systèmes,
  Rendre aimables, badins, les géomètres mêmes
  Par lui l'homme d'État, dispos après dîner,
  Forme l'heureux projet de nous mieux gouverner.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  Il peut de l'astronome éclaircissant la vue
  L'aider à retrouver son étoile perdue.
                                                       BERCHOUX.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

SILENCIEUX

Il y avait à Amadan une célèbre Académie, dont le premier statut était
conçu en ces termes: _Les Académiciens penseront beaucoup, écriront
peu, et ne parleront que le moins possible._ On l'appelait l'_Académie
silencieuse_, et il n'était point en Perse de vrai savant qui n'eût
l'ambition d'y être admis. Le docteur Zeb, auteur d'un petit livre
excellent, intitulé le Bâillon, apprit, au fond de sa province, qu'il
vaquait une place dans l'Académie silencieuse. Il part aussitôt; il
arrive à Amadan, et, se présentant à la porte de la salle où les
Académiciens sont assemblés, il prie l'huissier de remettre au
président ce billet: _Le docteur Zeb demande humblement la place
vacante._ L'huissier s'acquitta sur-le-champ de la commission; mais le
docteur et son billet arrivaient trop tard; la place était déjà
remplie.

L'Académie fut désolée de ce contre-temps; elle avait reçu, un peu
malgré elle, un bel esprit de la Cour, dont l'éloquence vive et légère
faisait l'admiration de toutes les ruelles, et elle se voyait réduite
à refuser le docteur Zeb, le fléau des bavards, une tête si bien
faite, si bien meublée! Le président chargé d'annoncer au docteur
cette nouvelle désagréable, ne pouvait presque s'y résoudre, et ne
savait comment s'y prendre. Après avoir un peu rêvé, il fit remplir
une grande coupe, mais si remplie, qu'une goutte de plus eût fait
déborder la liqueur; puis il fit signe qu'on introduisît le candidat.
Il parut avec un air simple et modeste, qui annonce presque toujours
le vrai mérite. Le président se leva, et, sans proférer une seule
parole, il lui montra d'un air affligé la coupe emblématique, cette
coupe si exactement pleine. Le docteur comprit de reste qu'il n'y
avait plus de place dans l'Académie; mais, sans perdre courage, il
songeait à faire comprendre qu'un académicien surnuméraire n'y
dérangerait rien. Il voit à ses pieds une feuille de rose, il la
ramasse, il la pose délicatement sur la surface de l'eau, et fait si
bien qu'il n'en échappe pas une seule goutte.

À cette réponse ingénieuse, tout le monde battit des mains, on laissa
dormir les règles pour ce jour-là, et le docteur Zeb fut reçu par
acclamation. On lui présenta sur-le-champ le registre de l'Académie,
où les récipiendaires devaient s'inscrire eux-mêmes. Il s'y inscrivit
donc, et il ne lui restait plus qu'à prononcer suivant l'usage, une
phrase de remerciement. Mais, en académicien vraiment silencieux, le
docteur Zeb remercia sans dire mot. Il écrivit en marge le nombre
_cent_, c'était celui de ses nouveaux confrères; puis en mettant un
zéro devant le chiffre, il écrivit au-dessous: _Ils n'en vaudront ni
moins, ni plus_ (0100). Le président répondit au modeste docteur avec
autant de politesse que de présence d'esprit. Il mit le chiffre _un_
devant le nombre _cent_ et il écrivit: _ils en vaudront dix fois
davantage_ (1100).

                            ABBÉ BLANCHET (apologues orientaux):

Nous pensons que ce président dut écrire: ils en vaudront mille de
plus.




PARADOXES ET SINGULARITÉS




Nous passons maintenant aux exceptions, aux fantaisies et aux
étrangetés qui peuvent nous intéresser aussi dans une certaine mesure.

Cette troisième partie du livre se distingue parfois assez faiblement
de la précédente.

Les idées hardies et neuves, qui sont les paradoxes d'aujourd'hui,
seront peut-être les vérités de demain.




PHILOSOPHIE


AXIOMES ET THÉORÈMES

Qu'est-ce que la plupart de ces axiomes dont la géométrie est si
orgueilleuse, si ce n'est l'expression d'une même idée simple par deux
signes ou mots différents? Celui qui dit que _deux et deux font
quatre_ a-t-il une connaissance de plus que celui qui se contenterait
de dire que _deux et deux font deux et deux_? Les idées de tout, de
partie, de plus grand et de plus petit ne sont-elles pas, à proprement
parler, la même idée simple et individuelle, puisqu'on ne saurait
avoir l'une sans que les autres se présentent toutes en même temps?
Nous devons, comme l'ont observé quelques philosophes, bien des
erreurs à l'abus des mots; c'est peut-être à ces mêmes abus que nous
devons les axiomes. Je ne prétends point cependant en condamner
absolument l'usage: je veux seulement faire observer à quoi il se
réduit; c'est à nous rendre les idées simples plus familières, par
l'habitude, et plus propres aux différents usages auxquels nous
pouvons les appliquer.

J'en dis à peu près autant avec les restrictions convenables, des
théorèmes mathématiques. Considérés sans préjugés, ils se réduisent à
un assez petit nombre de vérités primitives. Qu'on examine une suite
de propositions de géométrie déduites les unes des autres, en sorte
que deux propositions voisines se touchent immédiatement et sans aucun
intervalle, on s'apercevra qu'elles ne sont que la première
proposition qui se défigure, pour ainsi dire, successivement et peu à
peu, dans le passage d'une conséquence à la suivante, mais qui
pourtant n'a point été réellement multipliée par cet enchaînement et
n'a fait que recevoir différentes formes...

... On peut donc regarder l'enchaînement de plusieurs vérités
géométriques comme des traductions plus ou moins différentes et plus
ou moins compliquées de la même proposition, et souvent de la même
hypothèse.

Ces traductions sont au reste fort avantageuses par les divers usages
qu'elles nous mettent à la portée de faire du théorème qu'elles
expriment; usages plus ou moins estimables, à proportion de leur
importance et de leur étendue. Mais tout en convenant du mérite réel
de la traduction mathématique d'une proposition, il faut reconnaître
aussi que ce mérite réside originairement dans la proposition même.
C'est ce qui doit nous faire sentir combien nous sommes redevables aux
génies inventeurs qui, en découvrant quelqu'une de ces vérités
fondamentales, source et, pour ainsi dire, original d'un grand nombre
d'autres, ont réellement enrichi la géométrie et étendu son domaine.

                                                     D'ALEMBERT.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

COMPTABLE

Les vérités mathématiques... sont moins des vérités que des outils
pour en acquérir, puisque, faisant abstraction de la nature des
choses, elles ne s'occupent que de leur grandeur ou de leur forme.
Elles me laissent, au regard du monde, comme ferait un comptable, qui,
voulant dresser l'état de sa caisse, établirait le nombre de ses
billets, sans se préoccuper de leur valeur.

                                                      J. WALLON.

                       ¤---¤---¤

Les mathématiques ne développent l'esprit que sous une face. Elles ont
pour unique objet la _forme_ et la _quantité_. Elles s'arrêtent donc
pour ainsi dire à la surface des choses, sans pénétrer jusqu'à leurs
qualités essentielles, jusqu'à leurs relations internes, de beaucoup
les plus importantes.

                                                         KLUMPF.

                       ¤---¤---¤

Après cette première étape, indispensable, on ira plus loin, si l'on
peut.

                       ¤---¤---¤

LOGIQUES ANGLAISES

Certains de nos contemporains d'outre-Manche ont tenté de régénérer la
logique, en lui donnant un caractère mathématique.

                       ¤---¤---¤

De Morgan, après avoir rappelé que, dans toute langue, il y a des noms
positifs et des noms négatifs, comme vertébré et invertébré, dit que
tout nom, sans exception, doit être considéré comme pouvant être pris
positivement ou négativement. Le mot _homme_, par exemple, s'applique
positivement à Alexandre et négativement à Bucéphale, qui était un
non-homme. Si U est la totalité considérée et X sa partie positive, sa
partie négative U - X est désignée par _x_. Les propositions s'écrivent
alors symboliquement sous forme d'égalités.

                       ¤---¤---¤

Boole généralise le problème de la déduction qui n'est d'abord que
l'élimination d'un terme moyen dans un système de trois termes. Il
considère un nombre quelconque de termes et se propose d'éliminer
autant de termes moyens qu'on voudra. Le logicien s'est ainsi proposé
d'appliquer l'algèbre à la logique: il adopte les symboles 1 (tout) et
0 (rien), puis _x_, _y_, _z_, etc., pour représenter les choses, en
tant que sujets de nos conceptions, et les signes, +, -, ×, =, pour les
appliquer aux opérations de l'esprit.

                       ¤---¤---¤

Enfin Stanley Jevons a imaginé, à l'instar des machines arithmétiques,
une _machine logique_ qui est un petit piano à 21 touches, les unes
correspondant aux termes positifs ou négatifs (sujets ou prédicats)
et les autres aux opérations: copules, etc. On raisonne pour ainsi
dire mécaniquement, en jouant de ce piano.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

AVANT LEIBNIZ ET NEWTON

On a vraiment lieu de s'étonner que le _Calcul infinitésimal_ n'ait
pas été inventé plus tôt, surtout quand on songe que ceux qui, par
métier, se livrent à des travaux d'une certaine précision, auraient dû
y être conduits comme par la main. Ainsi, tout charpentier ou tailleur
de pierre est journellement à même de voir qu'il est à peu près
impossible que l'outil, destiné à suivre la marque pour diviser une
planche ou une pierre, entame exactement le milieu de la ligne tracée,
qu'il y a presque toujours des déviations, plus ou moins sensibles
autour de ce milieu, et que la somme de ces déviations peut devenir
très marquée. Un marchand qui aune un morceau d'étoffe, et le coupe
suivant la marque tracée, n'ignore pas combien il lui est facile de
retenir à son profit une fraction de mesure qui échappe à l'oeil de
l'acheteur le plus vigilant; et il sait qu'à la longue les sommes de
ces quantités imperceptibles peuvent faire des aunes ou des mètres
entiers. Il en est de même du détaillant qui vend les denrées au
poids: des grains de poussière, salissant le plateau d'une balance,
s'ajoutent au poids, et les sommes de ces infinitésimales,
indéfiniment répétées, n'échappent pas à l'esprit mercantile.

Il est à regretter que ces détails de la vie matérielle, qui ont leur
importance, aient toujours été jugés indignes d'un penseur. Si les
philosophes, à l'époque où la philosophie comprenait toutes les
connaissances humaines, avaient daigné y porter leur attention, ils
auraient devancé les grands philosophes géomètres du XVIIe siècle.

                                                      F. HOEFER.

                       ¤---¤---¤

Confusion entre le très petit et l'infiniment petit.

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PÉDANT

Un instituteur, après avoir fait compter des billes et autres objets
matériels aux bambins, s'écria, avant de passer aux nombres isolés:
«Attention, je vais faire des abstractions!»

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L'HARMONIEN

Le Civilisé (homme actuel) est à l'Harmonien (homme perfectionné?)
comme 12 est à 32, c'est-à-dire comme l'addition est à la
multiplication, car le nombre 32 est le produit de 8 par 4,
c'est-à-dire du premier cube par le premier carré, tandis que 12 n'est
que la somme de ces deux chiffres.

                                                   A. TOUSSENEL.

                       ¤---¤---¤

Les attractions sont proportionnelles aux destinées.

                                                CHARLES FOURIER.

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LA MÉTAGÉOMÉTRIE

Quelques mathématiciens philosophes se sont proposé de reconstituer la
géométrie, sans admettre que par un point on ne peut mener qu'une
parallèle à une droite. De là des _géométries non euclidiennes_ où la
somme des angles d'un triangle n'est plus égale à deux droits: dans
celle de Riemann, elle est plus petite que deux droits et dans celle
de Lobatschewski, elle est plus grande. On peut interpréter ces
hypothèses singulières en prenant pour surface fondamentale
l'ellipsoïde et l'hyperboloïde à deux nappes.

                       ¤---¤---¤

On a aussi parlé d'une géométrie à plus de trois dimensions et
considéré ce qu'on appelle l'_hyperespace_. Il s'agit simplement des
équations à plus de trois variables, mais les calculs ne sont
susceptibles d'aucune traduction concrète.

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«La géométrie euclidienne est, _à leur sens_, une première
approximation, applicable en toute rigueur aux figures infiniment
petites et, avec une approximation suffisante, aux figures finies dont
les dimensions ne dépassent pas certaines limites... En dehors de ces
limites, la même géométrie usuelle peut au contraire, d'après eux,
tomber complètement en défaut, ou conduire aux erreurs les plus
grossières pour des figures assez grandes.»

                                                     BOUSSINESQ.

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Des trois axiomes de la géométrie, le premier seul (celui de la
distance et de ses propriétés essentielles) est un _axiome principal_,
c'est-à-dire indispensable pour l'établissement d'un système
quelconque de géométrie. Les deux autres (celui de l'augmentation
indéfinie de la distance et celui de la parallèle unique) sont
secondaires ou de simplification. Ils servent uniquement à écarter
des systèmes de géométrie plus compliqués que le système usuel, mais
cependant complets, logiquement possibles et conduisant en pratique
aux mêmes résultats que la géométrie usitée, dans les limites de nos
moyens de mesure...

La géométrie générale se divise en trois branches: la géométrie
usitée, la géométrie abstraite et la géométrie doublement abstraite.
Dans la seconde on ne se prive que du troisième axiome, tandis que
dans la troisième on se prive aussi du second. Les trois géométries
s'appellent quelquefois euclidienne, gaussienne et riemanienne.

                                                       DE TILLY.

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Je ne parlerai point de la Géométrie à _n_ dimensions; ce n'est que de
l'Analyse, sous des noms empruntés à la Géométrie. Cette étude remonte
aux _lieux analytiques_ de Cauchy, qui, du moins, ne cherchait pas à
cacher sa pensée et à donner le change par des démonstrations absurdes
(_Comptes-rendus_, 1847). Au moyen de ces espaces, dont nous ne
pouvons avoir aucune idée, et aussi, peut-être, au moyen de la
considération des points et des lignes à distance _infinie_ ou
_imaginaire_, dont je crains que les modernes n'aient un peu _abusé_,
on dépouille la Géométrie de ce qui forme son meilleur avantage et son
charme particulier, de la propriété de donner une représentation
sensible aux résultats de l'Analyse et l'on remplace cette qualité par
le défaut contraire, puisque des résultats qui n'auraient rien de
choquant, sous leur forme analytique, n'offrent plus de prise à
l'esprit ou paraissent _absurdes_ lorsqu'on les exprime par une
nomenclature géométrique, supposant des points, des lignes ou des
espaces qui n'ont aucune existence réelle, et dont l'admission répugne
au bon sens ou dépasse l'intelligence.

                                                       GENOCCHI.

                       ¤---¤---¤

Quelqu'un a dit que les hommes pourraient douter des vérités
mathématiques, s'ils y avaient intérêt; ce n'est pas assez dire, ils
peuvent en douter, par curiosité d'esprit et par simple liberté de
supposer.

                                                      RENOUVIER.

                       ¤---¤---¤

«Tout l'objet des néogéomètres, dit encore le même philosophe, est de
s'exercer à des analyses mathématiques sur des hypothèses variées,
sans se préoccuper d'aucune autre vérité que de celle du rapport des
conclusions aux prémisses.»

                       ¤---¤---¤

Les géométries singulières qui ont surgi dans ces dernières années
(géométries fin-de-siècle) ne doivent inquiéter aucun esprit. Ce sont
de purs exercices de logique: des chercheurs paradoxaux se sont
demandé ce qu'il resterait de la géométrie, si l'on refusait
d'admettre le postulatum des parallèles.

La géométrie non euclidienne n'est, suivant M. Mouret, qu'un art, une
sorte de poésie géométrique ou de jeu intellectuel.

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LOI DE MALTHUS

L'économiste Malthus a _prétendu_ que, tandis que la subsistance
croissait en progression arithmétique, la population croissait en
progression géométrique, c'est-à-dire beaucoup plus vite, de là une
rupture d'équilibre à redouter. Le remède consisterait à ralentir
l'accroissement de la population.--Crainte chimérique, la population
peut croître librement. Sa vitesse d'accroissement a diminué, hélas,
en France.

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L'ÂME ET LA VIE

Pour peindre plus exactement la différence entre l'âme et la vie,
Lordat fait usage d'une comparaison empruntée à la géométrie. Il
représente la vie comme un fuseau, qui a un diamètre presque nul à son
extrémité commençante, va en se renflant sans cesse jusqu'au milieu,
puis décroît insensiblement et finit par redevenir presque nul. Au
contraire, l'âme est représentée par une parabole. Partie d'un point
imperceptible, la parabole se développe lentement, émettant deux
lignes symétriques, qui s'allongent sans cesse pour se perdre dans
l'infini.

                                                     L. FIGUIER.

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Voir l'_Alliance entre l'âme pensante et la force vitale_, par Lordat.
Ce médecin philosophe admet que l'âme gagne en force chez le
vieillard, tandis que la vie s'affaiblit.

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SCEPTICISME

Ce sont des triangles, des carrés, des cercles et d'autres figures
semblables; ils les mêlent et les confondent en forme de labyrinthes.
Ce sont aussi des lettres rangées comme un bataillon séparé en
plusieurs compagnies: c'est par ces momeries qu'ils éblouissent les
sots.

                                                         ERASME.

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Qui pourra jamais me persuader que d'un amas confus de petites lignes,
de croix, etc., de chiffres, etc., dont leurs livres sont remplis et
qui peut-être sont mis au hasard (sic), on puisse jamais déduire des
inventions utiles aux hommes et avantageuses à la société?

                                               SEXTUS EMPIRICUS.

                       ¤---¤---¤

Je te ferai voir, dans ce traité, qu'il n'y a pas moins de sujets de
doute en mathématiques qu'en physique, en morale, etc.

                                                         HOBBES.

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Nous démontrons les vérités mathématiques, parce que nous les faisons.

                                                           VICO.

                       ¤---¤---¤

Ce qu'on appelle vérités mathématiques se réduit à des identités
d'idées, et n'a aucune réalité.

                                                         BUFFON.

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Le géomètre avance de supposition en supposition, et retournant sa
pensée sous mille formes, c'est en répétant sans cesse _le même est le
même_, qu'il opère tous ses prodiges.

                                                      CONDILLAC.

                       ¤---¤---¤

«Rien n'est moins exact, dit M. Liard, que cette doctrine qui ne
tendrait à rien moins qu'à faire du système entier des mathématiques
une vaste tautologie, où tout progrès apparent se réduirait à une
éternelle répétition. Les notions qu'unissent les propositions
mathématiques ne sont pas des redites les unes des autres; si le
nombre 10 est égal à 5 + 5, il diffère de la somme 5 + 5 par la forme
imposée à la réunion des 10 unités ici assemblées en un seul nombre,
là groupées en deux nombres égaux;.... si la somme des trois angles
d'un triangle est équivalente à deux angles droits, autre chose est
tracer dans l'espace les trois angles de ce triangle, autre chose y
tracer deux angles droits.»

                       ¤---¤---¤

Lorsque Archimède démontre que le cercle équivaut au triangle qui
aurait pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, il ne
s'agit là ni d'identité, ni d'égalité: un cercle et un triangle ne
sont pas une seule et même chose!

Ampère repoussait bien loin ce qu'il appelait «_la ridicule
identité_».

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AVENIR

L'avenir tient dans le présent, comme les propriétés du triangle
tiennent dans sa définition.

                                                     P. BOURGET.

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Aphorisme inconciliable avec la liberté humaine.

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BORNÉ

L'homme ne voit pas faux, comme le supposent les sceptiques
subjectifs; il voit borné. Il juge son univers grand et vieux; ce
n'est pourtant que _a_ dans la formule [¯infini¯] + _a_, or, dans ce
cas, _a_ = 0.

                                                          RENAN.

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NOMBRE INFINI

Tout nombre, c'est-à-dire toute somme d'unités réelles, est
essentiellement fini; car, puisque chacun des nombres obtenus par des
additions successives ne diffère du précédent que par une unité, tous
ces nombres successifs sont donc nécessairement finis à la fois, le
second par le premier, le troisième par le second, etc. Tout nombre
est nécessairement pair ou impair, premier ou non premier; s'il est
pair, il ne contiendra pas tous les nombres impairs; s'il est premier,
il ne contiendra pas le dernier des nombres premiers, car la série des
nombres premiers est illimitée. En tous cas, qu'il soit premier ou non
premier, il ne contiendra pas son carré, son cube, sa quatrième
puissance; il ne sera donc pas plus grand que tout nombre donné; il ne
sera pas infini, mais fini. Tout nombre est essentiellement fini, donc
le nombre des hommes qui ont existé sur la terre est fini et il y a eu
un premier homme; donc le nombre des révolutions de la terre _autour
du soleil_ est fini et il y a eu une première révolution....

                                                    ABBÉ MOIGNO.

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LES PRINCIPES

On peut dire _a priori_ qu'il est absurde d'essayer de démontrer par
l'analyse les principes de la géométrie et de la mécanique. Ces
principes sont évidents ou résultent de l'expérience. Tout calcul les
présuppose.

Nous admettons difficilement des géométries sans aucune figure et des
mécaniques où l'on ne parle que d'équations différentielles.

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TULIPES

Vous savez que le tout est plus grand que sa partie et que, qui ajoute
choses égales à choses égales, les touts sont égaux: vous savez toutes
les mathématiques...

Les tulipes qui naissent à présent étaient bien enveloppées dans
celles qui fleurissaient il y a 600 ans. Ainsi les équations de
l'algèbre sont-elles bien enveloppées dans les propositions que je
viens de vous dire; mais il ne tient qu'à les en tirer. Elles y sont:
vous voyez les plus simples et les plus aisées en sortir, puis les
autres. Je ne vous apprends rien, mais je vous fais voir jusqu'où va
ce que vous saviez.

                                                     FONTENELLE.

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Toutes les vérités mathématiques sont _implicitement_ contenues dans
les premières notions, soit, mais il s'agit de les dégager!

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LIGNE DE CONDUITE

La ligne courbe représente le cours de la vie pratique, toute de
nécessité, de rapport avec nos proches, nos semblables, ou pleine de
ménagement pour autrui, de concessions réciproques, de sacrifices
mutuels. La ligne droite représente la vie théorique, l'idéal, l'idée
indépendante, absolue.

                                            Mme PAPE-CARPENTIER.

                       ¤---¤---¤

Cet extrait est tiré du livre _Le secret des grains de sable_ où
l'auteur recherche «les heureuses corrélations qui relient la
géométrie et le sentiment».

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MOULIN

On peut comparer les mathématiques à un moulin d'un travail admirable,
capable de moudre à tous les degrés de finesse; mais ce qu'on en tire
dépend de ce qu'on y a mis, et comme le plus parfait moulin du monde
ne peut donner de la farine de froment si l'on n'y met que des cosses
de pois, de même des pages de formules ne tireront pas un résultat
certain d'une donnée incertaine.

                                                         HUXLEY.

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Les mathématiques sont comme un moulin à café qui moud admirablement
ce qu'on lui donne à moudre, mais qui ne rend pas autre chose que ce
qu'on lui a donné.

                                                        FARADAY.

                       ¤---¤---¤

Il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les
équations, c'était jouer un air en tournant une manivelle.

                                                 J.-J. ROUSSEAU.

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Lorsqu'on raisonne, on ne peut demander aux prémisses que ce qu'elles
contiennent.

Le calcul constitue une _méthode_ rapide d'analyse, pour résoudre les
problèmes. On pourrait, après coup, rétablir tous les intermédiaires.

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SANS AXIOMES

_La Géométrie sans axiomes_ est le titre d'un livre anglais de
Perronet Thomson, traduit par Van Tenac, où les axiomes, incorporés
dans les définitions, ne sont pas formellement énoncés.

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IMAGES LOINTAINES

Supposez maintenant que vous vous éloigniez de la terre avec une
vitesse _supérieure_ à celle de la lumière, qu'arrivera-t-il? Vous
retrouverez, à mesure que vous avancerez dans l'espace, les rayons
partis avant vous, c'est-à-dire les photographies, qui, de seconde en
seconde, d'instant en instant, s'envolent dans l'étendue.

Si, par exemple, vous partez en 1867 avec une vitesse égale à celle de
la lumière, vous garderez éternellement l'année 1867 avec vous. Si
vous allez plus vite, vous retrouverez les rayons partis aux années
antérieures et qui emportent avec eux les photographies de ces années.

Pour mieux mettre en évidence la réalité de ce fait, je vous prie de
considérer plusieurs rayons lumineux partis de la Terre à différentes
époques. Le premier est je suppose, celui d'un instant quelconque, du
1er janvier 1867. À raison de 75000 lieues par seconde, il a, au
moment où je vous parle, déjà fait un certain trajet depuis le moment
de son départ et se trouve maintenant à une certaine distance, que
j'exprimerai par la lettre A. Considérons maintenant un second rayon
parti de la Terre cent ans auparavant, le 1er janvier 1767: il est de
cent ans _en avance_ sur le premier, et il se trouve à une distance
beaucoup plus grande, distance que j'exprimerai par la lettre B. Un
troisième rayon, celui, je suppose, du 1er janvier 1667, est encore
_plus loin_, d'une longueur égale au trajet que parcourt la lumière en
cent ans. J'appelle C le lieu où en est ce troisième rayon. Enfin, un
quatrième, un cinquième, un sixième, sont respectivement des 1er
janvier 1567, 1467, 1367, etc., et sont échelonnés à des distances
égales, D, E, F, s'enfonçant de plus en plus dans l'infini.

Voilà donc une série de photographies terrestres échelonnées sur une
même ligne, de distance en distance, dans l'espace. Or _l'esprit_ qui
s'éloigne en passant successivement par les points A, B, C, D, E, F, y
retrouve successivement l'histoire séculaire de la Terre à ces
époques.

                                                     FLAMMARION.

                       ¤---¤---¤

Un moraliste, plus ingénieux que solide, puise dans les considérations
précédentes un encouragement au bien. En effet, l'image d'un meurtre
ne disparaît plus et, à l'éternelle honte du meurtrier, cette image
qui s'envole dans l'espace proclame le crime jusqu'aux astres les plus
lointains.

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LOI DES SENSATIONS

Les sensations sont proportionnelles aux logarithmes des impressions
ou des excitations.

                                                          WEBER.

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C'est là un énoncé curieux et obscur attribué aussi à Fechner et qui a
été généralement contesté.

«C'est le propre des phénomènes vitaux, assure Bichat, d'échapper à
tous les calculs.» L'assertion est trop absolue, mais il faut être
prudent en ces délicates matières.

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PLUS GRANDS ET PLUS PETITS

La suite continue des nombres entiers, fractionnaires,
incommensurables, où le cas simple est très exceptionnel, est une
conception délicate.

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Quelque petit que soit un nombre, il y a exactement autant de nombres
plus petits que lui que de nombres plus grands, puisque à un nombre
quelconque correspond son inverse.

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On trouve dans les mathématiques des régions philosophiques--ce ne
sont pas les plus claires--où se complaisent certains esprits.

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NOMBRE MYSTÉRIEUX

Que celui qui a de l'intelligence compte le nombre de la bête... son
nombre est six cent soixante-six.

Il s'agit de l'Antechrist.

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ÊTRE OU NÉANT

Qu'est-ce que l'élément infinitésimal? C'est la grandeur décroissante
jusqu'à s'évanouir, et prise au moment où elle s'évanouit, car avant,
ce serait trop tôt, et après ce serait trop tard. C'est la grandeur
prise au moment où, cessant d'être quelque chose, elle n'est pas
encore rien du tout, c'est-à-dire au moment où elle participe à la
féconde identité de l'être et du néant.

                                                          HEGEL.

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Très subtil et peu clair.

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CONCILIATION

Le mouvement dans l'espace d'un corps soumis à l'action d'une force
donnée et partant d'une position aussi donnée doit être absolument
déterminé. C'est donc par une sorte de _paradoxe_ que les équations
différentielles dont ce mouvement dépend peuvent être satisfaites par
plusieurs équations qui remplissent en outre les conditions initiales
du mouvement.

                                                        POISSON.

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On peut rattacher à cette remarque deux travaux
philosophico-mathématiques plus ingénieux que solides. 1º _Accord de
la liberté morale avec les lois du mécanisme_, par Saint-Venant
(_Comptes rendus_ du 15 mars 1877); 2º _Conciliation du véritable
déterminisme avec l'existence de la vie et de la liberté morale_, par
Boussinesq (_Comptes rendus_ du 19 février et du 5 mars 1877.)

M. J. Bertrand dit à propos de ces tentatives:

«Quand une table rigide et pesante repose par plus de trois pieds sur
un sol parfaitement dur, l'effort supporté par chaque pied est
indéterminé. Le calcul l'affirme mais ni les physiciens ni les
géomètres ne l'ont cru un instant; ils se sont bien gardés surtout de
supposer à chaque pied la faculté de choisir, en lui prêtant une
volonté devenue indispensable».

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CERTITUDES ANTÉRIEURES

Il y a des certitudes qui ne reposent pas sur l'expérience. Je sais
qu'il y a des polygones de 7, de 11, de 13 côtés, etc., tout en
sachant qu'on ne peut, actuellement du moins, les construire
géométriquement. On admet qu'il y a un carré égal à un cercle donné,
et personne ne s'avisera plus de chercher ce carré. Rien de plus aisé
que de former une équation du _m_^{e} degré, en se donnant au
préalable _m_ racines réelles ou imaginaires; l'équation une fois
formée, on sait qu'elle a ces racines et pourtant on ne peut pas
toujours les dégager.

Or, comment sait-on qu'il y a des polygones réguliers de 7, de 11, de
13 côtés, etc., qu'il y a un carré égal à un cercle donné...? Par un
raisonnement d'analogie et d'induction, celui-ci par exemple: Je sais
diviser une droite en 7 parties égales; si la circonférence était
rectifiée, je pourrais la diviser en 7 parties égales. Y a-t-il une
droite égale à une circonférence donnée? Oui, car une circonférence
est finie et peut croître indéfiniment par infiniment petits; une
ligne droite est dans le même cas, donc on peut faire croître une
ligne droite de manière à lui donner la longueur de la circonférence
proposée.

                                                    J. DELBOEUF.

                       ¤---¤---¤

On peut être sûr de l'existence d'une figure sans savoir la
construire, d'un nombre sans savoir le calculer.

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COMMENCEMENT

Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas remplis, et ces
lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de
plus près aux connaissances préliminaires à la géométrie.

                                                       PONCELET.

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CONTINUITÉ

D'après le principe de continuité de Leibniz, le repos serait un
mouvement infiniment petit; la coïncidence, une distance infiniment
petite; l'égalité, la dernière des inégalités, etc.

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MUNITO

C'était surtout la manière dont ce chien faisait une addition qui
était curieuse à voir! Des chiffres étaient marqués sur des morceaux
d'os de la grandeur des dominos. Son maître lui posait trois ou quatre
rangées de trois ou quatre chiffres chacun, Munito regardait, puis,
s'il avait:

    3
    9
    7

il allait prendre un carré d'os, et apportait au bas un neuf; puis il
retenait un, et allait ainsi jusqu'au bout sans la moindre erreur.

                                                 JAMES ROUSSEAU.

                       ¤---¤---¤

D'après Delboeuf, les serins ne comptent que jusqu'à trois et une
chienne intelligente ne sait pas distinguer trois de quatre.

Houzeau croit que les mulets savent compter au moins jusqu'à cinq. Le
garde-chasse Leroy admet cette limite supérieure pour les corbeaux.
Romanes a enseigné à un chimpanzé à compter jusqu'à cinq.

Nous ne garantissons pas ces diverses assertions.

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SCEPTICISME MATHÉMATIQUE

Autrefois on prenait pour base de la géométrie abstraite l'espace
réel, avec les lois que l'expérience révèle, avec les trois dimensions
auxquelles sont soumis tous les corps qui tombent sous nos sens.
Aujourd'hui les géomètres s'affranchissent de ces conditions
vulgaires; ils supposent des espaces différents, à quatre, cinq, six
dimensions ou davantage; ils appliquent à ces hypothèses fantastiques
l'analyse mathématique, et les voilà partis, dans un monde imaginaire,
à la poursuite de conclusions très logiquement déduites, mais devant
lesquelles l'esprit se perd.

Puis, quand ils reviennent à ce vieil espace traditionnel au sein
duquel nous habitons, ils prétendent que ces lois n'ont pas, devant la
raison, plus de valeur que les espaces étranges où la somme des angles
d'un triangle est inférieure ou supérieure à deux angles droits, où
une courbe peut servir de parallèle à une ligne droite. Le résultat de
cette débauche d'analyse, c'est le scepticisme mathématique.

                                                        D'HULST.

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CHIMÈRES

La pierre philosophale, le mouvement perpétuel, la quadrature du
cercle, le désintéressement parfait, etc.

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DEUX ET DEUX

Vous ne rencontrez nulle part dans la nature deux objets identiques:
dans l'Ordre Naturel, _deux et deux ne peuvent jamais faire quatre_,
car il faudrait assembler des unités exactement pareilles, et vous
savez qu'il est impossible de trouver deux feuilles semblables sur un
même arbre..... Vous pouvez ajouter le ducat du pauvre au ducat du
riche, et vous dire au trésor public que ce sont deux quantités
égales; mais aux yeux du penseur l'un est certes moralement plus
considérable que l'autre.

                                                   H. DE BALZAC.

                       ¤---¤---¤

Les mathématiques sont la science des formes et des quantités; le
raisonnement mathématique n'est autre que la simple logique appliquée
à la forme et à la quantité. La grande erreur consiste à supposer que
les vérités qu'on nomme _purement_ algébriques sont des vérités
abstraites ou générales. Et cette erreur est si énorme, que je suis
émerveillé de l'unanimité avec laquelle elle est accueillie. Les
axiomes mathématiques ne sont pas des axiomes d'une vérité générale.
Ce qui est vrai d'un rapport de forme ou de quantité est souvent une
grossière erreur relativement à la morale. Par exemple, dans cette
dernière science, il est communément faux que la somme des fractions
soit égale au tout.... Il y a une foule d'autres vérités mathématiques
qui ne sont des vérités que dans des limites de rapport. Mais le
mathématicien argumente incorrigiblement d'après ses _vérités finies_,
comme si elles étaient d'une application générale et absolue...

                                  EDGAR POE (_La lettre volée_).

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CRITÉRIUM

Quelques-uns disent que le mouvement excentrique ou d'extension paraît
indiquer une supériorité physique ou morale. Un professeur de
géométrie prétend qu'il juge très vite du caractère d'un élève par sa
manière de tracer spontanément une circonférence au tableau: les
_forts_ la tracent de dedans en dehors, les _mous_ de dehors en
dedans.

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ÂME DE LA TERRE

Kepler croyait que la terre a une âme qui la guide. «Cette âme,
dit-il, a le sentiment des raisons et des proportions géométriques;
c'est ainsi que la terre peut apprécier les distances, évaluer les
angles et reconnaître s'ils sont harmoniques ou incongrus.»

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COEUR ET RAISON

Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace, et que les
nombres sont infinis; et la raison démontre ensuite qu'il n'y a point
deux nombres carrés dont l'un soit double de l'autre. Les principes se
sentent, les propositions se concluent; et le tout avec certitude,
quoique par différentes voies. Et il est aussi ridicule que la raison
demande au coeur des preuves de ces premiers principes pour vouloir y
consentir, qu'il serait ridicule que le coeur demandât à la raison un
sentiment de toutes les propositions qu'elle démontre, pour vouloir
les recevoir.

                                                         PASCAL.

                       ¤---¤---¤

Il a été donné à bien peu d'hommes de sentir aussi vivement les choses
abstraites.

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ABSTRACTIONS

Qu'est-ce que les mathématiques? Des sciences toutes _formelles_.
L'arithmétique et l'algèbre sont la rhétorique des nombres. On
raisonne et on raisonne, on déduit et on déduit, étant donné n'importe
quoi dans l'abstrait. On applique les principes généraux à des
problèmes particuliers et la solution de ces problèmes devient un
petit talent mécanique, comme la syllogistique du moyen âge, ou comme
la machine à raisonner de Raymond Lulle. La science même du mouvement,
la reine du siècle, la mécanique, roule encore sur des relations
formelles dans l'espace et dans le temps, et elle ne cesse pas de
déduire, de raisonner à perte de vue sur une hypothèse qui est
l'équivalent scientifique d'une matière de discours latin. Il est vrai
que, dans un cas, il faut raisonner juste; dans l'autre, ce n'est pas
nécessaire, et même, quand la cause à soutenir est mauvaise, il est
bon de déraisonner. Mais le mathématicien ne raisonnera pas mieux
qu'un autre dans la vie réelle parce qu'il sera habitué à raisonner
dans l'abstrait, à déduire des conséquences rectilignes d'une
hypothèse, non à observer et à réunir toutes les données de
l'expérience, non à induire, à deviner, à apprécier les probabilités.
L'esprit mathématique, dans la vie privée et dans la vie publique,
c'est l'art de ne voir qu'un des côtés de la question. Dans les
sciences mathématiques, nous faisons nous-mêmes nos définitions; dans
la réalité, c'est l'expérience qui nous les impose et, sans cesse, les
transforme, les corrige par des déterminations nouvelles. Nous
trouvons toujours dans les résultats plus que nous n'avions mis dans
nos définitions et dans nos principes. Nous avions dit: deux et deux
font quatre, et nous trouvons cinq; nos étroites formules sont
débordées par la nature et par la vie.

                                               ALFRED FOUILLIÉE.

                       ¤---¤---¤

Selon d'Alembert, pour acquérir la sagacité, cette qualité première de
l'esprit, il faut s'exercer aux démonstrations rigoureuses, mais ne
pas s'y borner.

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BENZINE

La benzine, pour l'allemand, c'est C^{6}H^{6}, un hexagone ou un
parallélépipède, puisque cette tendance amène à représenter les corps
chimiques par des images géométriques ou des formules d'algèbre; la
benzine, pour l'anglais, est un produit qui sert à détacher.

                                                 LÉON A. DAUDET.

                       ¤---¤---¤

On connaît le mot de Lagrange: la chimie devient aussi facile que de
l'algèbre.

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SYMBOLES

Dans les mathématiques le raisonnement est devenu automatique à un si
haut degré, que les mathématiciens ont presque tous perdu de vue le
point de départ, et qu'on les étonne beaucoup, quand on leur rappelle
que les symboles des mathématiques ne sont pas de pures créations de
l'esprit... qu'un symbole n'est un symbole qu'autant qu'il symbolise
quelque chose, et que sous chaque signe il y a la chose signifiée.

Malgré cet oubli de la chose et le souci du signe, les raisonnements
des mathématiciens sont cependant rigoureux et les résultats auxquels
ils parviennent sont exacts, mais on ne peut dire qu'ils aient une
notion adéquate de la science sur laquelle s'exercent leurs efforts.

                                                      G. MOURET.

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AXIOMES

Quel est le fondement de notre croyance aux axiomes? Sur quoi repose
leur évidence? Je réponds: Ce sont des vérités expérimentales, des
généralisations de l'observation.

                                               JOHN STUART MILL.

                       ¤---¤---¤

La géométrie est fondée sur l'observation; mais sur une observation si
familière et si évidente que les notions premières qu'elle fournit
pourraient sembler intuitives.

                                                         LESLIE.

                       ¤---¤---¤

Assertions très contestables. Nous les avons déjà discutées.

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PASSIONS

Si la géométrie s'opposait autant à nos passions et à nos intérêts
présents que la morale, nous ne la contesterions et nous ne la
violerions guère moins, malgré toutes les démonstrations d'Euclide et
d'Archimède.

                                                        LEIBNIZ.

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CONCEPTIONS

La géométrie ne prouve rien du tout de l'existence des choses, mais
seulement ce qu'elles sont, supposé qu'elles existent réellement.

                                                  LE P. BUFFIER.

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HYPERESPACE

Imaginons un être réduit à un point, mais doué d'intelligence et de
sens, assujetti à pouvoir se déplacer sur une ligne droite pour fixer
les idées, mais ne pouvant sortir de cette droite; supposons que ses
sens soient tels qu'ils ne lui permettent pas d'avoir conscience du
monde extérieur à son domaine qui est la droite en question. Si cet
être est conduit à faire de la géométrie, il ne fera que de la
géométrie à une dimension; appelons cet être A. On peut de même
imaginer un être B assujetti à se mouvoir dans un monde réduit à une
simple surface et n'ayant pas conscience du monde extérieur à cette
surface. Si B fait de la géométrie, cette géométrie sera à deux
dimensions. Nous autres, nous pouvons faire de la géométrie à trois
dimensions, parce que notre espace est constitué de telle sorte que
trois quantités sont nécessaires pour définir la position d'un point;
B fait de la géométrie à deux dimensions, parce que deux quantités
seulement lui sont nécessaires pour définir la position d'un point
dans l'espace dont il a conscience. On peut donc se demander si ce que
nous considérons comme notre univers ne serait pas une variété d'un
espace à plus de trois dimensions, dont l'organisation simple de nos
sens nous empêcherait d'avoir connaissance.

                                                     H. LAURENT.

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CHERCHEUR

La vie la plus belle, la mieux remplie, la moins sujette aux
déceptions, est encore celle du fou sublime qui cherche à déterminer
l'inconnue d'une équation à racines imaginaires.

                                                   H. DE BALZAC.

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LES MARIER

On pourrait se passer complètement de l'idée de nombre et emprunter
tout à l'idée d'espace.

L'algèbre est une symbolie ou écriture hiéroglyphique qui exprime les
faits de déplacement dans des espaces à nombre variable de dimensions:
l'arithmétique raconte ce qui se passe dans un espace à une dimension;
l'algèbre des fonctions algébriques dans des espaces à deux
dimensions; l'algèbre des quantités complexes, dans un espace à _n_
dimensions.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

À qui la palme? À la symbolie? À la graphie? Il serait bien difficile
de décider, chacun suivant son organisation cérébrale peut accorder
son vote à l'une ou à l'autre. Pour éviter des discussions
interminables, le mieux serait, je crois, de les marier.

                                                         ARNOUX.

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GRADGRIND

C'est dans son roman _Les temps difficiles_ que Dickens nous présente
ce personnage.

«Thomas Gradgrind, monsieur, l'homme des faits, l'homme qui procède
d'après le principe: deux et deux font quatre, rien de plus, et
qu'aucun raisonnement n'amènera jamais à concéder une fraction en sus!
Thomas Gradgrind, monsieur, avec une règle et des balances, et une
table de multiplication dans la poche, monsieur, toujours prêt à
mesurer et à peser le premier colis humain venu et à vous en donner
exactement la jauge...»

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VALEUR VARIABLE

Un franc, considéré aujourd'hui, ne valait pas encore un franc hier et
il vaudra plus d'un franc demain, du moins dans certaines questions de
finance. L'hypothèse du placement continuel à intérêts composés est
une fiction hardie et certains pessimistes attribuent une partie des
souffrances de la société moderne, à l'exécrable fécondité de
l'argent.

J'ai deux voisins; l'un se lamente de ce que l'argent ne rapporte plus
que 2%; l'autre réclame le prêt gratuit.




HISTOIRE


CALCUL MENTAL

Mme de Lautré, dont parle Mme de Genlis, faisait dans les salons, des
multiplications de nombres de huit chiffres.

Diner, le berger de Stuttgard, devint péniblement maître d'école.
N'ont pas percé davantage les autres petits calculateurs prodiges:
Annich, Buxton, Colburn, Bidder, Pughiesi, Magiamele, etc. Malgré les
meilleures leçons, Henri Mondeux n'a pas pu s'élever au dessus des
calculs numériques.

De nos jours, c'est Inaudy, qu'on promène comme une curiosité: il a
été présenté à l'Académie des Sciences, comme son prédécesseur. Inaudy
n'est pas un visuel, c'est un auditif: il a pu retenir _d'un seul
coup_ jusqu'à 42 chiffres. La capacité de sa mémoire est le secret de
sa force.

Dans leur enfance, Gauss et Ampère ont calculé très vite, mais cette
faculté s'est ralentie chez eux dès qu'ils se sont livrés à la
recherche mathématique.

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Un de nos amis, lorsqu'il voyageait, décomposait de tête les numéros
des wagons en facteurs premiers, en prenait la racine carrée, etc.

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TAUTOCHRONE ET BRACHISTOCHRONE

La _cycloïde_ ou roulette, qui a été étudiée par Pascal, jouit de deux
propriétés bien curieuses. Un point pesant descendant le long de sa
concavité arrive toujours dans le même temps au sommet inférieur, de
quelque hauteur qu'il parte. De plus, c'est cette courbe, et non une
ligne droite, que doit décrire un point pesant pour descendre dans le
moins de temps possible.

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QUADRATURE DU CERCLE

Il est dit, dans la Bible, qu'il y avait, dans le Temple de Salomon,
un grand bassin hémisphérique dont le diamètre était de dix coudées et
la circonférence de trente.

                       ¤---¤---¤

«J'étais semblable à ce géomètre qui s'efforce de quarrer le cercle et
cherche en vain dans sa pensée le principe qui lui manque.»

                                                          DANTE.

                       ¤---¤---¤

PISTHÉTÉROS.--Mais, dites-moi, quels instruments avez-vous là?

MÉTON.--Ce sont des règles pour mesurer le ciel... J'appliquerai une
règle droite et je prendrai si bien mes dimensions, que _je ferai d'un
cercle un carré_.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PISTHÉTÉROS.--...Croyez-moi, retirez-vous au plus vite.

                                                    ARISTOPHANE.

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Plutarque affirme qu'Anaxagore avait trouvé la quadrature du cercle.
Roger Bacon parle de la question comme si elle était complètement
connue de son temps. Or il est maintenant prouvé qu'on ne peut
résoudre le célèbre problème avec la règle et le compas.

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LONGUES FORMULES

Dans la _Théorie de la lune_, de l'astronome Delaunay (qui s'est noyé
en se baignant à Cherbourg) il y a une formule dont le second membre
occupe 138 pages.

L'oeuvre de Delaunay comprend dans le premier volume l'expression de
la longitude de la lune et, dans le second, celle de sa latitude.

On m'a parlé d'un mémoire d'Olbers qui se compose d'une seule phrase.

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CONCESSION

L'Académie des Sciences de Paris se refusa pendant quelque temps à
admettre une doctrine (il s'agit des infiniment petits) qui semblait
altérer la pureté géométrique; elle vit naître d'ardentes discussions
dans lesquelles plusieurs de ses membres, s'attachant avec obstination
à de fausses idées qu'ils s'étaient formées, et à des locutions qui
les choquaient sans qu'ils voulussent considérer le fond des choses,
contestèrent non seulement la rigueur des raisonnements, mais encore
l'exactitude des règles de Leibniz. Cette opposition fut utile, en
forçant les _géomètres infinitésimaux_ à donner une forme nette aux
principes contestés, qui peut-être n'avaient été mal compris des uns
que pour avoir été jusque-là mal expliqués par les autres. Leibniz
lui-même, que les plus grands géomètres de l'Europe avaient enfin
admiré et compris, loin de s'envelopper dans sa gloire et de mépriser
les critiques, ne dédaigna pas de répliquer avec courtoisie à des
adversaires qu'il estimait malgré la faiblesse de leurs arguments. Sa
réponse au _Journal de Trévoux_ est restée célèbre par une concession
singulière qui semblerait passer condamnation sur le manque de rigueur
qu'on lui reprochait; il assimile en effet les infiniment petits des
divers ordres à des grandeurs incomparables à cause de leur extrême
inégalité, comme le serait un grain de sable par rapport au globe de
la terre. Un tel langage, il faut l'avouer, ne signifie rien de précis
et conduirait à confondre l'infiniment petit avec le très petit.
Leibniz ressemble dans cette circonstance, dit Fontenelle, à un
architecte qui a fait un bâtiment si hardi qu'il n'ose lui-même s'y
loger, tandis que d'autres, plus confiants que lui, s'y logent sans
crainte, et qui plus est, sans accident. Mais à cette citation, on
doit ajouter que, la lettre de Leibniz n'étant pas écrite pour des
géomètres, la concession qui semble trop timide n'était peut-être que
prudente.

                                                    J. BERTRAND.

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PIERRE À AIGUISER

Robert Record (auquel nous devons le signe =, _égale_) a publié, en
1557, la seconde partie de son arithmétique, sous le titre de
_Whetstone of wit_ c'est-à-dire Pierre à aiguiser l'esprit. C'est un
dialogue, et, l'élève étant surpris par les deux racines de l'équation
du second degré, le maître lui répond: «Cette variété de racines fait
voir qu'une seule équation peut servir à deux questions différentes.
La nature de la question vous indiquera facilement laquelle de ces
deux racines vous devez prendre; et il est des cas où vous pourrez les
prendre toutes les deux.»

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CHOSE

Les premiers algébristes italiens appelaient l'inconnue «la chose», de
là le nom de _cossites_ donné à ces initiateurs.

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CHICANE

Qu'Euclide se donne la peine de démontrer que deux cercles qui se
coupent n'ont pas le même centre, qu'un triangle renfermé dans un
autre a la somme de ses côtés plus petite que celle des côtés du
triangle dans lequel il est renfermé, on n'en sera pas surpris. Ce
géomètre avait à combattre des sophistes obstinés, qui se faisaient
gloire de se refuser aux vérités les plus évidentes; il fallait
qu'alors la Géométrie eût, comme la logique, le secours des
raisonnements en forme, pour fermer la bouche à la chicane.

                                                       CLAIRAUT.

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QUADRATURES ET RECTIFICATIONS

Je ne cite pas ici comme une véritable quadrature celle que découvrit
Hippocrate de Chio d'un espace terminé par des arcs de cercle
(lunules), qui retranchent d'un côté d'un espace rectiligne, ce qu'ils
y avaient ajouté de l'autre; cette quadrature, et d'autres semblables
que l'on a données depuis, ne sont que des espèces de tours de
passe-passe.

Mais la subtilité d'Archimède lui fit trouver un espace curviligne
véritable quarrable. C'était l'espace parabolique, dont il détermina
exactement la mesure.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Découvrir, comme a découvert le subtil Bernoulli, que la circonférence
du cercle est à son diamètre comme une quantité imaginaire (le
logarithme de moins un) est à une autre quantité imaginaire (la racine
carrée de moins un), ce n'est qu'un jeu d'esprit qui nous rejette dans
des abîmes plus profonds que ceux dont nous voulions sortir.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Descartes, à qui la géométrie doit tant, sut qu'il y avait des courbes
dont on déterminait les aires: mais il crut qu'il n'y en avait aucune
dont on pût déterminer la longueur; et assura l'impossibilité de toute
rectification. Cependant un géomètre qui n'était pas à lui comparer,
rectifia une courbe qui porte encore son nom (la parabole de Neil); et
bientôt après une infinité d'autres courbes furent rectifiées.

                                                     MAUPERTUIS.

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AVATAR DU NOMBRE

Voici, d'après Ed. Lucas, quelques-unes des transformations curieuses et
subtiles du nombre: au début, on fit des marques sur les arbres et des
stries sur les os des animaux; le nombre prit plus tard la forme
digitale (Alcuin); il devint ensuite successivement mystique
(Pythagore), nuptial (Platon); magique (Persans), abracadabrant
(Zoroastre); premier ou composé, entier ou fractionnaire, commensurable
ou incommensurable, exact ou approché (Euclide); triangulaire, carré,
pentagonal, polygonal, pyramidal (Diophante); cubo-cubique (Indiens);
ortho-triangulaire, congruent (Arabes); sourd, aveugle (Moyen-Âge);
plaisant et délectable (Bachet), récréatif (Ozanam); indivisible
(Cavalieri); différentiel, incrémentiel (Leibniz), fluent (Newton);
exponentiel, logarithmique, rhabdologique (Neper); parfait, amiable,
abondant, déficient, aliquotaire (Fermat, Frénicle, etc.); congru ou
incongru (Gauss); complexe, idéal, norme (Kummer); réel ou imaginaire,
équivalent, anastrophique (Cauchy); équipollent (Bellavitis); quaternion
(Hamilton); enfin hypertranscendantal (Hermite).

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AU BRÉSIL

La république a été proclamée au Brésil, le 15 novembre 1889. Le
promoteur du mouvement révolutionnaire fut Benjamin Constant Botelho
de Magalhâes, né en 1833 d'un père portugais et d'une mère
brésilienne. Élève de l'École militaire puis astronome à
l'Observatoire, il avait une aptitude distinguée pour les
mathématiques. Il avait été classé le premier à la suite d'un concours
pour une chaire de calcul infinitésimal.

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QUADRATEUR

Au XVIIIe siècle, le chevalier de Caussans, prétendit avoir résolu la
quadrature du cercle et déposa mille écus chez un notaire pour celui
qui prouverait la fausseté de sa solution. Une dame fit la preuve et
actionna Caussans devant le Châtelet. Les juges indulgents déclarèrent
le pari nul et le quadrateur mourut dans l'impénitence finale.

«Ceux qui ne savent pas de mathématiques, dit La Caille, n'ont que
trop souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle
refusée aux autres.»

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ÉRUDITS

Baïardi avait cherché le point du Ciel où Dieu plaça le soleil, lors
de la création. «Il venait de découvrir ce point, dit l'abbé
Barthélemy, et il me le montra sur un globe.»

Moreri affirme que: «Adam avait une profonde connaissance des sciences
et surtout de l'astronomie dont il apprit plusieurs secrets à ses
enfants, et il grava sur deux tables diverses observations qu'il avait
faites sur le cours des astres.»

Ils croient savoir bien des choses, les érudits.

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MOUJIK

Je ne dois savoir qu'une chose, ma langue et celle de l'Église, avec
les lois du calcul; quant aux autres sciences, si j'en ai besoin, je
les apprendrai moi-même.

                                                        TOLSTOÏ.

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CLUB

À la Société populaire de Colmar, Bach employa presque toute une
séance à réfuter un citoyen du Mont-Adour qui avait envoyé un procédé
pour évaluer exactement la racine carrée de 2. (Étude, de M.
Véron-Réville, sur la Révolution dans le Haut-Rhin.)

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CERCLE DE POPILIUS

Popilius, envoyé du peuple romain et porteur d'une sommation du Sénat
à l'adresse d'Antiochus, traça un cercle autour de ce roi, en lui
prescrivant de répondre, avant de sortir du cercle.

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VIEUX COMPTE

Parmi les objets découverts par Lartet dans la célèbre grotte
sépulcrale d'Aurignac, appartenant à la période quaternaire et à la
fin de l'âge du Mammouth, on remarque une lame de bois de renne
«présentant sur l'une de ses faces planes, de nombreuses raies
transversales, également distancées, avec une lacune d'interruption
qui les divise en deux séries; sur chacun des bords latéraux ont été
entaillées de champ d'autres séries d'encoches plus profondes et
régulièrement espacées. On serait tenté, dit Lartet, de voir là des
signes de numération exprimant des valeurs diverses ou s'appliquant à
des objets distincts.»

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MARÉCHAL DE SAXE

Le maréchal est mort à cinquante-cinq ans et l'on s'est amusé à
composer ainsi son épitaphe en vers blancs:

  Son courage l'a fait admirer de chac................  1
  Il eut des ennemis mais il triompha.................  2
  Les rois qu'il défendit sont au nombre de...........  3
  Pour Louis son grand coeur se serait mis en.........  4
  Des victoires par an il gagna plus de...............  5
  Il fut fort comme Hercule et beau comme Thyr........  6
  Pleurez, braves soldats, ce grand homme _hic ja_....  7
  Il mourut en novembre et de ce mois le..............  8
  Strasbourg contient son corps en un tombeau tout....  9
  Pour tant de _te Deum_, pas un _de profun_.......... 10
                                                       --
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MÉTHODES


DÉMONSTRATIONS FAUSSES

1º Deux tétraèdres de bases équivalentes et de hauteurs égales sont
équivalents: on partage la hauteur commune en beaucoup de parties
égales, on mène des plans parallèles aux bases et l'on considère comme
des prismes les troncs partiels extrêmement minces.--On n'a jamais le
droit de considérer comme parallèles des droites qui dès leur origine
diffèrent de direction.

2º Pour démontrer qu'une fraction qui a pour termes des nombres
premiers entre eux est irréductible, il ne suffit pas de dire qu'alors
on ne peut plus diviser les deux termes par un même nombre.--En effet,
peut-être pourrait-on simplifier une fraction autrement que par voie
de division, par exemple en retranchant aux deux termes des nombres
convenables.

3º Il ne faut pas dire, pour arriver au volume de la sphère par la
méthode des limites, qu'on inscrit à la sphère un polyèdre _régulier_
dont on augmente indéfiniment le nombre des faces.--Il n'y a en effet
que cinq polyèdres réguliers et celui qui a le plus de faces en a
vingt.

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DANS LA RUE

Chasles exagère un peu, lorsqu'il affirme, dans son _Aperçu
historique_, qu'on ne peut se flatter d'avoir éclairé et réduit
convenablement une théorie, tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu
de mots à un passant dans la rue.

Poinsot déclare, de son côté, en parlant des mathématiques, que «ce
n'est jamais assez simple».

Il faut pourtant reconnaître que certaines conceptions mathématiques
ne deviendront jamais accessibles à tous. (Chimère de l'instruction
intégrale.)

«Les hautes mathématiques, dit M. Richet, deviennent de plus en plus
difficiles et il n'y a guère plus d'une vingtaine de personnes dans le
monde qui soient en état de comprendre tous leurs développements.»

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NOMBRE INDISPENSABLE

Voici un quatrain mnémonique pour retenir le rapport [pi] de la
circonférence au diamètre:

  Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
  Immortel Archimède, artiste ingénieur,
  Qui de ton jugement peut priser la valeur?
  Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.

Les nombres de lettres de chaque mot donnent les chiffres successifs.

  [¯pi¯] = 3,14159265....

Si l'on ne veut que les cinq premières décimales de [¯pi¯], retenir que:
un quatre, un cinq font neuf.

Pour l'inverse, 1/[¯pi¯], souvent utile,

  1/[¯pi¯] = 0,3183098..,

on peut se dire, sans faire de politique, que les trois journées de
1830 sont un 89 renversé.

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SANS CHIFFRES

Je voudrais qu'on fît faire toute l'arithmétique aux enfants avant
qu'ils connussent la forme d'un chiffre.

                                                          HEISS.

                       ¤---¤---¤

On raconte que Alcuin faisait compter jusqu'à dix mille, avec les dix
doigts.

Il vaut mieux compter de tête, en se rappelant que le calcul mental
commence par la gauche, c'est-à-dire par les unités les plus fortes.

                       ¤---¤---¤

Voici une boutade d'un anonyme sur les chiffres:

Le nombre, réduit à la condition de chiffre, a cessé d'être l'_Ordre_
et a perdu sa vertu surnaturelle.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quand l'huissier griffonne ses sommations, la blanchisseuse ses
mémoires, l'épicier ses factures, quand le traiteur enfle l'addition
de ses menus, ce sont des chiffres que je vois tomber de toutes parts;
je relève le front et regarde les cieux, ce sont les nombres que j'y
vois resplendir.

                                                      NEMZETSEG.

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NUMÉROTAGE

Ces signes + et - n me rappellent ces poteaux qui indiquent au piéton
la route qu'il doit suivre; et, si j'en crois mes jambes, une lieue à
droite est aussi longue qu'une lieue à gauche.

Dans les villes, ces poteaux sont remplacés par des plaques où sont
inscrits les noms des rues et les numéros des maisons. À Paris, par
exemple, lorsqu'on va de la Bastille à la Madeleine, on rencontre
successivement sur les boulevards: la rue du Temple à gauche en même
temps que la rue du Faubourg-du-Temple à droite, puis les rues
Saint-Martin et du Faubourg-Saint-Martin, etc.

Eh bien! l'algèbre donne à la Ville de Paris un moyen bien simple de
supprimer ce nom de faubourg qui ne saurait convenir à de belles rues
qui ne sont pas au-delà de son enceinte. Pour cela, il suffit de
donner, par exemple, le signe + aux numéros de la rue Montmartre, et
le signe-à ceux de la rue dite Faubourg-Montmartre. La chose une fois
convenue, on pourra effacer le mot faubourg sans le moindre
inconvénient.

                                                        REDOULY.

                       ¤---¤---¤

En chronologie, on considère comme positives les dates postérieures à
Jésus-Christ et comme négatives celles qui sont antérieures.

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LE POSTULATUM

Le postulatum des parallèles fait, depuis tant de siècles, le scandale
de la géométrie et le désespoir des géomètres.

                                                     D'ALEMBERT.

                       ¤---¤---¤

Au commencement de ce siècle, Lobatschewski et Bolyai ont enfin établi
l'impossibilité de la démonstration du postulatum d'Euclide.

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Autre aspect de la question:

Les lignes parallèles peuvent être considérées selon deux notions
différentes: l'une négative et l'autre positive. La négative est de ne
se rencontrer jamais, quoique prolongées à l'infini. La positive est
d'être toujours également distantes l'une de l'autre.

On a ainsi essayé de faire la théorie des parallèles en les
définissant par l'équidistance: la difficulté ne serait que déplacée.

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DÉSORIENTÉ

Un élève commençait une démonstration du premier livre de géométrie en
disant: «je prends le milieu de la droite AB...», lorsqu'il fut
interrompu par cette objection: «Vous n'êtes pas censé savoir prendre
le milieu d'une droite, c'est une construction du second livre.»

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SYSTÈMES DE NUMÉRATION

Le système décimal est adopté par tous les hommes, à cause des dix
doigts de la main.

Leibniz admirait beaucoup le système binaire.

Il a été publié une arithmétique tétractique, c'est-à-dire à base
quatre.

Le Protée d'Homère comptait par cinq les phoques qu'il conduisait.

Huit a eu des partisans, mais c'est douze qui a le plus lutté contre
dix: on a fait justement remarquer les nombreux facteurs de douze,
mais Lagrange a répliqué plaisamment que si l'on prenait la base onze
et en général un nombre premier, toutes les fractions auraient le même
dénominateur!

                       ¤---¤---¤

Auguste Comte remarque qu'on pourrait, pour compter, tirer meilleur
parti des doigts divisés en phalanges et il compare le pouce et les
autres doigts au caporal commandant ses quatre hommes.

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«Une arithmétique, dont l'échelle aurait eu le nombre douze pour
racine, aurait été bien plus commode, les plus grands nombres auraient
occupé moins de place, et en même temps les fractions auraient été
plus rondes; les hommes ont si bien senti cette vérité, qu'après avoir
adopté l'arithmétique dennaire, ils ne laissent pas de se servir de
l'échelle duodénaire; on compte souvent par douzaines, par douzaines
de douzaines ou grosses; le pied est dans l'échelle duodénaire la
troisième puissance de la ligne, le pouce la seconde puissance.
L'année se divise en douze mois, le jour en douze heures, le zodiaque
en douze signes, le sou en douze deniers: toutes les plus petites
mesures affectent le nombre douze, parce qu'on peut le diviser par
deux, par trois, par quatre et par six...

                                                         BUFFON.

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On a des exemples d'animaux qui, attachés à une meule, à un
tourne-broche, à une corde de puits, etc., apprennent à calculer leur
tâche avec la dernière précision. Ces animaux n'ont aucun système de
numération, comment donc savent-ils compter?

                                                       PROUDHON.

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UN IRRÉGULIER

Que faisiez-vous dans l'allée des soupirs?

--Une assez triste figure.

--Au sortir de là vous battiez le pavé.

--D'accord.

--Vous donniez des leçons de mathématiques.

--Sans en savoir un mot. N'est-ce pas là que vous voulez en venir?

--Justement.

--J'apprenais en montrant aux autres et j'ai fait quelques bons
élèves.

                                                        DIDEROT.

                       ¤---¤---¤

Le paradoxal écrivain affirme ailleurs qu'il est plus facile
d'apprendre la géométrie que d'apprendre à lire.

On trouve dans ses oeuvres complètes cinq mémoires de mathématiques.

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ÉGOÏSME

_Il me disait:_ Quand vous aurez trouvé une nouvelle vérité
mathématique ou la solution d'une question importante, gardez-vous
d'en simplifier l'exposition. Présentez-la, au contraire, avec toute
sa complication originelle. Vos contemporains apprécieront d'autant
mieux votre découverte qu'ils auront plus de peine à la bien saisir.
Il est vrai que l'avenir lui restituera toujours sa véritable valeur;
mais la belle avance, si ceux avec lesquels vous devez vivre, trompés
par l'imprudente simplification que vous serez parvenu à lui donner,
l'accueillent comme une niaiserie! N'imitez donc ni Lagrange, ni
Poinsot, suivez plutôt l'exemple de Laplace et celui de Poisson, dont
la lucidité n'atteignait toute sa perfection que lorsqu'ils exposaient
les travaux des autres...

... C'est une véritable duperie que de se livrer à des travaux
toujours très pénibles et très difficiles de concentration et de
simplification. Si leur publication a pour effet d'accélérer
notablement l'oeuvre scientifique d'une époque, c'est toujours au
détriment de l'auteur qui semble d'autant moins profond mathématicien
qu'on le lit plus facilement.

                                                           LAMÉ.

                       ¤---¤---¤

En d'autres termes: plus on est obscur, plus on paraît savant.

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UN NOUVEL ENSEIGNEMENT

Tous les hommes apportent en naissant la faculté des mathématiques.
Elle se développe chez quelques-uns et s'atrophie, chez la plupart,
par défaut d'exercice et d'enseignement. Le but de cette faculté est
la découverte successive des lois qui régissent le monde.

Cela posé, cherchons quel mode d'enseignement peut accroître le nombre
de géomètres _inventeurs_, les diriger vers le but signalé, et cela le
plus promptement possible...

Le nouvel enseignement doit essentiellement satisfaire aux deux
conditions suivantes:

1º _Écarter à tout jamais la division de la science en Mathématiques
pures et en Mathématiques appliquées._

La première classe n'existe plus aujourd'hui. L'arithmétique est
éminemment pratique; la théorie des nombres elle-même retrouve ses
plus beaux théorèmes dans l'étude des vibrations. La Géométrie et la
Mécanique sont deux branches de la Physique mathématique qui étudient
deux propriétés distinctes de la matière, l'étendue et le mouvement.
L'Algèbre, le Calcul différentiel, ne sont que les instruments
analytiques, indispensables, inséparables, de toutes les théories
physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus générales des
phénomènes qu'on étudie. Le Calcul intégral, traité isolément, est un
non-sens, car chacun de ses progrès a son origine naturelle dans une
application.

2º _Présenter toutes les parties de chaque science à l'aide de leurs
propres méthodes d'invention, en se gardant soigneusement de ne parler
que des méthodes d'après-coup ou de pure vérification, dites plus
rigoureuses, mais complètement stériles._

Il ne saurait exister de méthode générale pour inventer. Chaque
découverte a la sienne, qui lui est propre et même exclusive. Le seul
moyen d'exercer l'esprit de recherche consiste à retracer toutes les
découvertes déjà connues, telles qu'elles ont été faites. La
multiplicité de ces exemples peut seule éveiller la faculté d'en
accroître le nombre. Et si, dans la série des méthodes d'invention,
l'Analyse et la Géométrie agissent, tantôt réunies, tantôt isolées, il
faut conserver religieusement cet ordre naturel.

                                                           LAMÉ.

                       ¤---¤---¤

C'est en vain qu'on espère un grand profit dans les sciences en
greffant toujours sur le vieux tronc que l'on surcharge; il faut tout
renouveler, jusqu'aux plus profondes racines, à moins que l'on ne
veuille toujours tourner dans le même cercle, avec un progrès sans
importance et presque digne de mépris.

                                                          BACON.

                       ¤---¤---¤

Tout ce qu'on peut espérer des bases actuelles a été ressassé, et l'on
tombera toujours dans la même ornière. Il faut refaire la science, la
placer sur un nouveau piédestal, en tirer toutes les conséquences,
sauf à intercaler les anciens résultats. On ne peut envisager une
théorie sous un nouveau point de vue, sans qu'il en découle une foule
de résultats inattendus, et il serait à désirer que ce fût un homme
nouveau, qui fût étranger au mouvement et au progrès des sciences et
n'en connût que les premiers éléments, qui s'en occupât.

                                                        LAPLACE.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

MATHÉMATIQUES DE ROBINSON

Nous soumettons à M. Tissandier, directeur du journal _La Nature_, une
idée qui lui sourira. Il a enseigné avec succès la mécanique, la
physique et la chimie à l'aide d'expériences amusantes. Ne pourrait-il
pas, sans théorie abstraite, donner aussi un aperçu des mathématiques,
à l'aide de problèmes faciles et piquants?

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TROP SCRUPULEUX

Quelques savants semblent trouver banales et incomplètes les
propositions et les démonstrations habituelles. Ils ont un goût
maladif pour le difficile, le rare, l'exceptionnel. Ils font penser à
un naturaliste qui n'étudierait que les monstres et à un casuiste qui
se chercherait toujours des péchés.

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BALANCE FAUSSE

Chaque jour on pèse très exactement avec une balance fausse, en
procédant par la méthode des _doubles pesées_, due à Borda; aucune
pesée un peu précise ne se fait autrement.

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PHOTOGRAPHIES CÉLESTES

Les cartes célestes exigent un très grand nombre de mesures précises.
On se borne maintenant, grâce aux frères Henry, à photographier le
ciel avec toutes ses étoiles. Un congrès d'astronomes s'est réuni à
l'Observatoire de Paris pour régler tous les détails de l'ingénieuse
opération.

Voir _La carte photographique du ciel_, par Ch. Trépied, dans les
n^{os} du 30 août et du 15 septembre 1892 de la _Revue générale des
sciences_.

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MESURE DE LA SIMPLICITÉ

Voici en gros comment M. Em. Lemoine procède à cette mesure qui semble
paradoxale.

La simplicité d'une _démonstration_ dépend du nombre des syllogismes
par lesquels on déduit des vérités premières le théorème considéré.

La simplicité d'une _construction_ dépend du nombre des constructions
élémentaires à l'aide desquelles on résout le problème proposé.

Ne pas considérer toujours une démonstration et une construction comme
d'autant plus simples qu'elles s'expriment dans un langage plus
simple.

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MOUVEMENT PERPÉTUEL

Supposons qu'une machine ait été mise en mouvement d'une manière
quelconque, et que les forces mouvantes viennent à disparaître. Alors
à cause des résistances passives qu'on ne peut éviter, la vitesse de
la machine ira en diminuant et finira par devenir nulle. Il est
chimérique de chercher à construire une machine qui puisse se passer
de moteur.

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VRAI MAXIMUM

En mathématiques, le maximum peut ne pas être la plus grande de toutes
les valeurs et le minimum peut être plus grand que le maximum: c'est
qu'on compare chaque valeur seulement aux valeurs infiniment voisines
de part et d'autre. Ainsi les mathématiciens diront que le carré
inscrit dans un carré donné n'a pas de maximum et cependant il est
clair qu'il ne peut surpasser le carré primitif.

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D'ABORD LA SPHÈRE

C'est par la sphère qu'il conviendrait, paraît-il, de commencer la
géométrie, parce que son étude est indépendante du postulatum
d'Euclide (?). De la géométrie et de la trigonométrie sphériques, on
déduirait ensuite la géométrie et la trigonométrie planes.

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MOINS QUE RIEN

«Cet homme possède moins que rien» est une locution populaire, pour
dire qu'il a des dettes.--«_Retirer_ 4 fois une _dette_ de 12 fr.
c'est _ajouter_ 4 fois 12 francs», ce qui correspond à (-12) × (-4) =
+ (12 × 4).--On a rappelé aussi pour justifier la règle moins par
moins que «deux négations valent une affirmation.»

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LOUPS

Dans un prochain avenir, le fantôme des imaginaires aura disparu des
écoles françaises, comme autrefois les loups furent chassés
d'Angleterre.

                                                   J.-F. BONNEL.

                       ¤---¤---¤

L'imaginaire tend à absorber le réel, de même que le général comprend
le particulier. Peut être faudrait-il changer des dénominations
étroites et vieillies?

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SERRURIER

La collection des théorèmes peut-être comparée à une sorte de
trousseau de clefs que l'on essaye aux serrures _à secret_ des
problèmes, mais un habile serrurier n'essaye que quelques-unes des
clefs.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

ERRATUM

M. Poincaré vient de démontrer que les séries servant à calculer les
perturbations, en Mécanique céleste, sont divergentes, quoique leurs
premiers termes forment des suites convergentes. Ces séries permettent
bien de prévoir les mouvements et les positions des astres, plusieurs
années à l'avance, mais elles n'assurent plus la stabilité indéfinie
du système du monde. (Voir _Les Méthodes nouvelles de la Mécanique
céleste_.)

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PROCÉDÉ SINGULIER

Pour trouver le rapport de la circonférence au diamètre, tracez des
parallèles équidistantes, prenez une aiguille cylindrique de longueur
moindre que l'équidistance des parallèles et jetez-la, au hasard, _un
grand nombre de fois_, sur les parallèles. Comptez combien de fois
l'aiguille rencontre l'une quelconque des parallèles et multipliez le
rapport de ce nombre au nombre total des jets par le double du rapport
de la longueur de l'aiguille à l'équidistance des parallèles.

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RÉFORMONS

Écoutez: Jeunes élèves, on vous trompe!

La meilleure sphère n'est pas la sphère d'Archimède!

Disons plus et disons mieux: il n'y a pas de sphère, il n'y a que
l'équidomoïde!

C'est-à-dire que la sphère n'a pas droit à une existence indépendante,
elle n'est que le corollaire de l'équidomoïde.

L'équidomoïde est le générateur polygonal de la sphère.

Écrivons et méditons ceci:

Équidomoïde : sphère :: prisme : cylindre.

                                                        L. HUGO.

                       ¤---¤---¤

L'auteur appelle équidomoïde un cristalloïde dont les onglets sont
concaves vers l'axe.

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CALCUL INFAILLIBLE

Nos calculs n'ont pas tant besoin que l'on pense d'être éclairés; ils
portent avec eux une lumière propre et c'est d'ordinaire de leur sein
même que sort toute celle que l'on prétend répandre sur eux.... Ce
n'est pas le calcul qui nous trompe, quand il est bien fait; il n'a
pas besoin d'être appuyé par des raisonnements; mais, d'ordinaire, ce
sont les raisonnements qui nous trompent, et qui ne doivent nous
déterminer qu'autant qu'ils sont appuyés par le calcul.

                                                         SAURIN.

                       ¤---¤---¤

Le calcul est un raisonnement abrégé et il ne vaut que par le
raisonnement qu'il condense.

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CITÉ MODÈLE

Savez-vous pourquoi Platon exige que sa ville idéale se compose de
cinq mille quarante citoyens libres, ni plus ni moins? C'est que cet
heureux nombre est exactement divisible par les dix premiers nombres!

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PERRUQUIERS

Grâce à une ingénieuse préparation des formules et à un système de
vérification réciproque des calculs, de Prony est parvenu à faire
exécuter, par des hommes fonctionnant comme des machines, les
magnifiques tables de logarithmes du cadastre. Il put employer,
dit-on, à ce travail peu récréatif les garçons perruquiers que la
suppression de la poudre et des queues avait laissés sans ouvrage,
dans le cours de la Révolution.

                                                W. DE FONVIELLE.

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MESURES SUBTILES

Buffon dit dans la préface de son Arithmétique morale: «La mesure des
choses incertaines fait ici mon objet: je vais tâcher de donner
quelques règles pour estimer les rapports de vraisemblance, les degrés
de probabilité, le poids des témoignages, l'influence des hasards,
l'inconvénient des risques, et juger en même temps la valeur réelle de
nos craintes et de nos espérances.»

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VUE DIRECTE

L'esprit de calcul émousse toujours le génie: or, c'est le génie qui
fait les véritables découvertes; le calcul, à la vérité, facilite les
choses, aide à développer, à étendre, à épuiser ce que l'on a déjà
trouvé; mais il y a beaucoup de mécanique à tout cela, et pour ce qui
s'appelle découvrir, il faut voir, pénétrer, ce qui est l'affaire du
génie.

                                                   LE P. CASTEL.

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ALLÉGORIE

On peut comparer le calcul dans la Géométrie, aux troupes auxiliaires
dans les Armées romaines. Tant que ces troupes ne furent
qu'auxiliaires et le tiers tout au plus d'une Légion, Rome s'agrandit
et conquit l'Univers. Mais la Paresse gagna les Légions avec les
richesses des Nations. On déposa donc le casque, la cuirasse et le
courage; et les troupes étrangères et barbares, les Huns, les Goths,
les Visigoths, les Arabes sous le nom d'Auxiliaires, gagnèrent les
Armées, les remplirent, les anéantirent, et, le tiers, devenant le
tout, le tout fut réduit à rien et il n'y eut plus d'Empire romain.

C'est le train que prend la Géométrie, depuis qu'elle est
métamorphosée en calcul arabe et presque ostrogoth et que le tiers y
est devenu aussi le tout. La tête presque délivrée du soin de penser,
devient paresseuse et l'esprit laisse aller les doigts: on se repose
de tout sur les formules.

                                                   LE P. CASTEL.

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À TOUTES LES SOURCES

À l'Association Britannique pour l'Avancement des Sciences, en 1868,
il y eut un curieux débat entre deux professeurs célèbres.

Le naturaliste Huxley, suivant l'opinion traditionnelle, affirma que
la Science Mathématique est seulement déductive et qu'elle n'emprunte
rien à l'observation, rien à l'expérience, rien à l'induction. Alors
le mathématicien Sylvester répliqua, avec vivacité et humour, que
l'Analyse mathématique invoque constamment le secours de nouveaux
principes, d'idées nouvelles et de nouvelles méthodes; qu'elle fait un
appel incessant aux facultés d'observation et de comparaison; que son
arme principale est l'induction; enfin qu'elle offre un champ illimité
à l'exercice des plus hauts efforts de l'imagination et de
l'invention. À l'appui de sa thèse hardie, Sylvester cita l'exemple de
Lagrange, si profondément convaincu de l'importance, pour le
mathématicien, de la faculté d'observation; celui de Gauss appelant
les Mathématiques la science de l'oeil; celui de Riemann considérant
l'espace, non comme une forme de l'entendement, mais comme une
réalité physique objective. Il dit avoir trouvé lui-même jusque dans
ses conceptions les plus abstraites, un fond géométrique et finit par
conclure que la plupart, sinon la totalité, des grandes idées
mathématiques, ont leur origine dans l'observation.

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PARTAGE

Un chasseur, riche et affamé, rencontre deux bergers; l'un avait
_cinq_ fromages et l'autre _trois_ qu'ils allaient manger. Le chasseur
déjeune avec les bergers puis il leur donne _huit_ pièces d'or, pour
payer les _huit_ fromages. Il s'agit de partager cet or inattendu.

Le premier berger dit qu'il prendrait _cinq_ pièces et laisserait les
_trois_ autres à son camarade.--Ce dernier répliqua qu'il fallait
d'abord partager également les pièces, quatre à chacun, et que, lui,
il rembourserait le prix d'un fromage.--L'instituteur dut les mettre
d'accord: Vous avez partagé chaque fromage en trois parts égales, et
vous avez mangé, le chasseur et vous, chacun huit parts. Vous, le
premier berger qui aviez cinq fromages ou quinze parts, vous en avez
cédé sept au chasseur. Vous, le second berger, qui n'aviez que trois
fromages ou neuf parts, vous n'avez pu qu'en donner une au chasseur.
Le premier de vous a donc gagné _sept_ pièces d'or et le second _une_
seule.--Qu'aurait fait le juge de La Fontaine? Il se serait fait
d'abord remettre les huit pièces; il en aurait cédé une au greffier
qui aurait payé les fromages aux bergers et gardé la monnaie. Quant à
lui, le juge, il se serait payé avec les sept autres pièces d'or.

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SIMULTANÉMENT

J'ai abandonné la distinction d'usage entre la géométrie plane et la
géométrie dans l'espace. Outre qu'elle n'est pas dans la réalité des
choses, puisque la nature ne nous offre que des figures dans l'espace,
elle met un long intervalle entre la théorie de la ligne droite et
celle du plan, dont chacune cependant est nécessaire à la parfaite
intelligence de l'autre; elle nécessite même une interruption dans
l'étude de la ligne droite. Enfin, elle est encore plus nuisible dans
l'enseignement professionnel, car la pratique des arts réclame bien
plus la connaissance des principales combinaisons de droites et de
plans, que celle de propositions théoriques comme les propriétés des
sécantes du cercle. Ces inconvénients m'ont paru surpasser de beaucoup
les avantages que cette méthode peut avoir comme artifice didactique;
si elle divise et aplanit un peu les premières difficultés de la
Géométrie, on ne peut nier qu'elle soit pour beaucoup dans la lenteur
que mettent les élèves à acquérir la faculté de _lire dans l'espace_.

                                                       C. MÉRAY.

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PARAPLUIES

Un marchand de parapluies, de la Xaintrie (Corrèze), meurt en
laissant trois fils et un testament ainsi conçu: Je lègue 17
parapluies à mes trois fils et je stipule que l'aîné en aura la
moitié, le second le tiers et le troisième le neuvième.--Grand
embarras des fils qui ne savent comment réduire des parapluies en
fractions. On s'en rapporte au notaire qui, aussi malin que Salomon,
commence par emprunter un 18e parapluie, puis effectue ainsi le
partage: l'aîné reçoit la moitié de 18, soit 9 parapluies; le second
le tiers, soit 6; le troisième le neuvième, soit 2; total 17.
L'opération faite, le notaire rend le parapluie qu'il avait emprunté
et les héritiers ont la satisfaction d'avoir reçu plus qu'il ne leur
revenait.

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SERPENT D'ÉGLISE

La vérité d'une proposition est absolument indépendante du tracé de la
figure. Ce n'est jamais à cette figure, bien ou mal exécutée, que
s'applique le raisonnement ou la démonstration, mais toujours au
contraire à la figure idéale dont le tracé est et ne peut être qu'une
représentation grossière, propre à aider l'intelligence et à soulager
la mémoire... L'un de mes principaux soins dans mes leçons, c'est
d'éviter cette erreur à mes élèves... Je repousse comme une peste, les
règles, les équerres, les compas et je trace des figures très informes
et en pleine contradiction avec l'énoncé. Je fais des lignes droites
grosses de toute la largeur de la craie et droites comme un serpent
d'église.

                                                      DELEZENNE.

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Ne pas suivre ce mauvais exemple.

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LIGNES DE L'ÉQUERRE

Un jour, Delezenne, professeur à Lille, montrant une équerre à ses
élèves, leur demanda combien de lignes elle offrait. Les réponses se
croisèrent: trois, six, neuf. Faidherbe, le futur général, trouva
qu'en ajoutant aux neuf lignes de l'équerre, considérée comme un
volume, les deux circonférences du trou, on obtenait onze lignes.
C'était la réponse que le professeur attendait et il augura bien de
l'avenir scientifique du jeune Faidherbe.

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IRRATIONNEL

Je ne connais rien de plus insupportable en mathématiques que les
nombres irrationnels; leur introduction en arithmétique est un
véritable scandale; dans ce domaine si élémentaire, à côté de cette
notion du nombre entier qui est la plus claire du monde, à côté de ces
propositions si précises, de ces démonstrations si nettes que les plus
grands mathématiciens ont pris à coeur d'accroître et de simplifier,
et qui ont toute la beauté, toute la perfection de celles que les
Grecs nous ont léguées, voici venir tout le cortège du transcendant et
de l'infini. C'est là, non ailleurs, que sont condensées toutes les
difficultés des idées de limite, de convergence, de continuité. Que
faire pourtant si l'on veut seulement écrire [[V¯]2] + [[V¯]3]? Nous
n'y pouvons rien, et c'est en vain qu'on se révoltera: cette idée de
l'infini est dans la nécessité des choses; on la réduira si l'on veut
à ses termes les plus simples, à dire qu'après un nombre entier il y
en a un autre, on ne s'en débarrassera pas, pas plus en Arithmétique
qu'ailleurs.

À vrai dire, la sagesse est de reconnaître les difficultés là où elles
sont, et l'honnêteté dans l'enseignement ne consiste pas à dire tantôt
_on verra plus tard_, tantôt _on a déjà vu_, sans jamais rien
montrer..... À chaque longueur est attaché un nombre rationnel ou non;
à chaque nombre rationnel ou non, une longueur est attachée: cette
longueur sert à définir l'égalité, comme l'addition et la
soustraction: d'ailleurs, on montre comment on peut se passer de cette
considération concrète, au moyen d'opérations arithmétiques effectuées
sur des nombres rationnels, et poursuivies jusqu'à l'infini.

                                                     J. TANNERY.




OBJECTIONS


MOYEU DE LA ROUE

Mairan, successeur de Fontenelle comme secrétaire de l'Académie des
Sciences, eut, nous l'avons déjà dit, une discussion avec Madame du
Châtelet sur les forces vives et ce fut Madame de Geoffrin qui le
calma: «Que pensera-t-on de vous, si vous tirez l'épée contre un
éventail?» Nous lisons dans un éloge de cet estimable savant quelques
lignes sur un vieux paradoxe:

On savait bien qu'un cercle qui avance en ligne droite sur un plan, et
qui tourne en même temps autour de son centre, décrit sur ce plan une
ligne droite égale à sa circonférence. Lorsque ce cercle emporte avec
lui un plus petit cercle qui lui est concentrique, et qui n'a pas
d'autre mouvement que celui qu'il emprunte au premier (ce qu'on voit
dans une roue de carrosse, qui emporte son moyeu), celui-ci décrira
une ligne droite égale non à sa circonférence, mais à celle de la
roue, puisque c'est le même centre qui avance en ligne droite, dans
l'un et l'autre cas. Mais comment concevoir que la petite roue,
quoique plus petite, puisse parcourir autant de chemin que la grande?
Aristote avait senti cette difficulté sans la résoudre; Galilée...
l'avait tenté en vain; elle va s'évanouir devant le génie de Mairan.
Il démontrera que la petite roue a un autre mouvement que le
roulement, le mouvement de glissement ou de razion; mouvement qui ne
doit point paraître puisqu'il est mêlé avec le roulement _per intimâ_,
et qu'il l'affecte à chaque instant infiniment petit. Ainsi, Mairan
parvint à résoudre ce problème qui avait paru insoluble à Aristote et
à tous les savants.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

MOINS PAR MOINS

Il ne faudra plus dire que _moins par moins_ donne _plus_, fausse
règle qui a toujours choqué l'oreille et la raison, mis en déroute les
plus fameux calculateurs, occasionné des contestations et des disputes
interminables sur les quantités négatives, les racines imaginaires, le
cas irréductible, les exposants et les logarithmes négatifs, etc.

                                                          PORRO.

                       ¤---¤---¤

L'oreille est peut-être choquée, mais non la raison, puisqu'on
constate le fait, dans la multiplication algébrique.

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OBJECTION

Dans la proportion -1/1 = 1/-1, le premier terme est plus petit que le
second, tandis que le troisième est plus grand que le quatrième, ce
qui est contradictoire.

                                                     D'ALEMBERT.

                       ¤---¤---¤

On peut tirer de la proportion précédente

  [[V¯]-1]/[[V¯]1] = [[V¯]1]/[[V¯]-1]

d'où

  ([[V¯]-1])^{2} = ([[V¯]1])^{2}

  -1 = 1.

Un nombre positif égal à un nombre négatif! Continuons et ajoutons 2
aux deux membres

  -1 + 2 = 1 + 2

ou enfin

  1 = 3.

Conclusion visiblement fausse.

Variante: Partons de

  4 - 10 = 9 - 15

Nous en concluons

  (2 - 5/2)^{2} = (3 - 5/2)^{2}

donc

  2 = 3!

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IMAGINAIRE ÉGAL AU RÉEL

D'après les règles ordinaires du calcul, on aurait

  [[4V¯]_a_][[V¯]-1] = [[4V¯]_a_][[4V¯](-1)^{2}] = [[4V¯]_a_],

résultat contradictoire, puisque, si _a_ est positif, le premier
membre est imaginaire et le second réel.

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TOUS LES NOMBRES SONT ÉGAUX

Posons

  _a - b = c_,

multiplions les deux membres par _a - b_, il vient

  (_a - b_)(_a - b_) = _ca - cb_

  d'où    _a_(_a - b - c_) = _b_(_ a - b - c_)

  et enfin       _a = b_.

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LE CAS IRRÉDUCTIBLE

On doit à Cardan (qui l'avait dérobée à Tartaglia) une formule
exprimant les trois racines de l'équation du troisième degré, mais,
dans le cas où les trois racines sont réelles, la formule, les
présentant sous une forme compliquée d'imaginaires, n'est plus utile.

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ASYMPTOTES

Je lui répliquay lors que j'aimois mieulx suyvre les effects que la
raison. Or ce sont choses qui se chocquent souvent: et l'on ma dict
qu'en la géométrie (qui pense avoir gaigné le hault poinct de
certitude parmi les sciences), il se trouve des démonstrations
inévitables, subvertissant la vérité de l'expérience: comme Jacques
Peletier me disoit chez moy, qu'il avoit trouvé deux lignes
s'acheminant l'une vers l'autre pour se joindre, qu'il vérifioit
toutesfois ne pouvoir jamais, jusques à l'infinité, arriver à se
toucher.

                                                      MONTAIGNE.

                       ¤---¤---¤

Il n'y a aucun mystère dans l'existence des asymptotes.

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DEMI-CIRCONFÉRENCE

Ayant divisé le diamètre d'une demi-circonférence en un certain nombre
de parties égales, et décrit sur chacune des parties comme diamètre
une demi-circonférence, il est facile de voir que la grande
demi-circonférence est égale à la somme des autres. Cela est vrai,
quelque nombreuses que soient les divisions du diamètre, et par
suite vrai encore à la limite, lorsque la somme des petites
demi-circonférences s'est réduite au diamètre de la demi-circonférence
primitive.--Donc toute demi-circonférence est égale à son diamètre.

Paradoxe analogue suivant lequel un côté d'un triangle serait égal à
la somme des deux autres.

L'explication consiste en ce que la limite d'un nombre _infini_ de
parties peut ne pas être égale à la somme des limites. Ainsi, divisez
un rectangle en petits rectangles égaux très minces dont vous
augmenterez indéfiniment le nombre, alors chaque rectangle tendra vers
zéro et pourtant leur somme ne sera pas nulle, puisqu'elle égale
toujours le rectangle total.

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SÉRIE ÉTRANGE

Posons

  _x_ = 1 - 1 + 1 - 1 + .....

Il vient successivement

  _x_ = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + .....) = 1 - _x_

d'où

  2_x_ = 1

  _x_ = 1/2

Ainsi, en additionnant ou en soustrayant des nombres entiers, on
obtiendrait une fraction.

La faute provient de ce que la série n'est pas convergente; la somme
des termes est alternativement 1, 0, 1, 0, etc.

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TORTUE D'ACHILLE

Le sophiste Zénon prouvait ainsi qu'Achille ne rattrapera jamais la
tortue, qui a une lieue d'avance, quoiqu'il marche dix fois plus vite:
lorsqu'Achille a fait la première lieue, la tortue a fait 1/10 de
lieue et garde ainsi une avance de 1/10 de lieue; lorsqu'Achille fait
ce 1/10 de lieue, la tortue fait un 1/10 de ce dixième de lieue et
garde ainsi une avance de un centième de lieue; lorsqu'Achille fait ce
centième de lieue, la tortue fait 1/10 de ce centième et garde ainsi
une avance de un millième de lieue, etc., indéfiniment. La tortue ne
sera jamais atteinte, puisqu'elle aura toujours une avance égale au
dixième du chemin qu'aura parcouru Achille.

Quiconque connaît la limite de la somme des termes d'une progression
géométrique décroissante voit le vice de ce singulier raisonnement.

Consulter le mémoire de M. Brochard sur les arguments de Zénon contre
le mouvement. Outre l'Achille, il y en a trois autres: la Dichotomie,
la Flèche, et enfin le Stade.

Voir aussi l'étude de M. Frontera sur le même sujet.

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DIMINUER EN MULTIPLIANT

Tous les arithméticiens déclarent qu'en multipliant un nombre par une
fraction proprement dite on le diminue.

M. Berdellé propose de remplacer les mots multiplier et multiplication
par les mots _prorater_ et _proratation_.

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L'HEURE EN EUROPE

La France a conservé, jusqu'à nouvel ordre, son heure nationale,
d'après le méridien de Paris. Les autres nations européennes viennent
d'adopter le système américain des fuseaux, d'après lequel il y a, à
partir de Greenwich, trois zones d'heure, celles de l'ouest, du centre
et de l'est. Par suite, en passant maintenant de France en Suisse,
l'heure avance brusquement de 50 minutes 30 secondes.

Un Français allant à Constantinople a le plaisir de changer trois fois
d'heure. Il paraît vieillir par soubresauts. La vitesse de
l'_Express-Orient_ est surpassée dans le cas suivant, où le paradoxe
s'aiguise à outrance.

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Sans télégraphe ni chemin de fer, Alexandre Dumas fils voyage très
vite:

«Si avec une voiture à deux chevaux je vais de Paris à Saint-Cloud en
une demi-heure, avec quatre chevaux j'y serai en un quart d'heure,
avec huit chevaux j'y serai tout de suite, avec seize chevaux me voilà
revenu avant d'être arrivé et même avant d'être parti.»

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ANTIPODES

Jamais vous ne persuaderez à un ignorant que d'autres hommes marchent
les pieds et la tête opposés à ses propres pieds et à sa propre tête.
Le poète Lucrèce, quoique sans préjugés, affirme que la doctrine des
antipodes est une folie.

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JOUR PERDU OU GAGNÉ

Voici quelques détails sur l'erreur de date que commirent à leur
retour les premiers navigateurs qui firent le tour du monde. Le
Portugais Magellan, parti le 20 septembre 1519, traversa l'Atlantique,
rencontra la côte orientale de l'Amérique, découvrit au sud de ce
continent le détroit qui porte son nom, aborda aux îles Philippines,
et fut tué dans l'une d'elles, l'île Zébu, par les naturels.
L'expédition fut continuée par l'un de ses compagnons, Sébastien del
Cano, qui ramena les matelots par le cap de Bonne-Espérance. À leur
retour en Europe, le livre de bord marquait le 5 septembre 1522, et
cependant la véritable date était le 6 septembre. C'est que les
navigateurs, ayant fait le tour de la terre vers l'ouest, c'est-à-dire
en sens contraire de la rotation du globe, avaient accompli une
révolution de moins autour de la ligne des pôles que s'ils étaient
restés en place; ils avaient vu un lever et un coucher de soleil de
moins. De même les voyageurs qui font le tour du monde vers l'est
tournent une fois de plus qu'un point fixe du globe autour de l'axe
terrestre, et comptent un jour de plus.

Pour éviter les erreurs de ce genre, il est de règle dans la
navigation d'avancer ou de retarder la date d'un jour lorsqu'on
franchit le 180e degré de longitude vers l'ouest ou vers l'est: le
méridien qui répond à cette longitude s'appelle _ligne de
démarcation_.

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On lit dans _Le tour du monde en 80 jours_, de Jules Verne:

Philéas Fogg avait «sans s'en douter» gagné un jour sur son
itinéraire,--et cela uniquement parce qu'il avait fait le tour du
monde en allant vers l'_Est_, et il eût au contraire perdu ce jour en
allant en sens inverse, soit vers l'_Ouest_.

En effet, en marchant vers l'Est, Philéas Fogg allait au-devant du
soleil, et, par conséquent, les jours diminuaient pour lui d'autant de
fois quatre minutes qu'il franchissait de degrés dans cette direction.
Or on compte trois cent soixante degrés sur la circonférence
terrestre, et ces trois cent soixante degrés multipliés par quatre
minutes, donnent précisément vingt-quatre heures,--c'est-à-dire ce
jour inconsciemment gagné. En d'autres termes, pendant que Philéas
Fogg, en marchant vers l'est, voyait le soleil passer _quatre-vingts
fois_ au méridien, ses collègues restés à Londres ne le voyaient
passer que _soixante-dix-neuf_ fois. C'est pourquoi, ce jour-là même,
qui était le samedi et non le dimanche, comme le croyait M. Fogg,
ceux-ci l'attendaient dans le salon de Reform-Club.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

CONTOURS TROMPEURS

Des géographes ont été repris par les géomètres, pour avoir cru que la
dimension des îles était suffisamment indiquée par le circuit de la
navigation. En effet, plus une forme est parfaite, plus elle a de
capacité. Si donc le contour figure une circonférence, qui est la
courbe plane la plus parfaite, elle embrassera un plus grand espace,
que si elle trace un carré d'égale longueur; à son tour le carré en
renfermera plus que le triangle, et le triangle à côtés égaux, plus
que le triangle à côtés inégaux.

                                                     QUINTILIEN.

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SOPHISMES SIMPLES

1º _Le tas de blé:_ un grain de blé ajouté à un autre grain de blé ne
fait pas un tas; un autre grain ajouté ne le fait pas non plus, et
ainsi de suite; donc on ne fera jamais un tas de blé avec des grains
de blé.

2º _Le chauve:_ en ôtant un cheveu à une tête garnie de cheveux, on ne
rend pas un homme chauve; en en ôtant deux, trois, pas davantage; donc
on peut lui ôter tous les cheveux de la tête sans le rendre chauve.

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COLOMBE

Les corps lancés de haut en bas, tandis que la terre tourne et
s'éloigne, ne devraient pas retomber au point d'où ils sont partis.

Cette objection des ignorants en mécanique a été poétisée par Buchanan
dans son poème sur _La Sphère_: «La tourterelle n'oserait quitter son
nid et s'élever dans l'air dans la crainte de ne plus revoir ses
petits.»

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MOUVEMENT SINGULIER

On établit, très simplement et très exactement, que dans l'hypothèse
de l'attraction inversement proportionnelle au cube de la distance, un
mobile décrirait une spirale logarithmique: «Bien que le mobile
décrive une infinité de révolutions autour du centre, le temps au bout
duquel il l'atteindra est fini.» (Faye, Cours d'Astronomie. T. II,
page 120.)

On se fait difficilement une idée du temps _fini_, suffisant pour
accomplir un nombre _infini_ de révolutions autour d'un centre.
D'ailleurs, rassurons-nous. Il s'agit d'un _point matériel_ parcourant
une trajectoire asymptotique à un point. Tout peut se passer aisément
dans le domaine de la théorie.




DESIDERATA


À DÉMONTRER

Fermat affirme, sans démonstration, qu'au-dessus du carré, la somme
des puissances semblables de deux nombres n'est jamais la puissance
semblable d'un troisième nombre. La proposition est-elle vraie? Fermat
en possédait-il une démonstration? Quoi qu'il en soit, les plus
habiles mathématiciens n'ont pu démontrer, d'une manière générale, le
_Théorème de Fermat_.

Il ne faut pas, bien entendu, confondre le théorème précédent avec un
autre du même savant, qu'on établit dans les Cours.

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NOMBRE DE PLATON

Ce nombre mystérieux, sur lequel les traducteurs et les commentateurs
sont loin d'être d'accord, paraît lié à l'égalité

  3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3},

analogue à celle de Pythagore

  3^{2} + 4^{2} = 5^{2}.

Il s'agirait d'une période réglant les mariages et les naissances
(d'où le nom de nombre nuptial) ou de la grande année au bout de
laquelle le soleil, la lune et les planètes reprennent les mêmes
positions relatives dans le ciel.

Voici quelques-unes des valeurs proposées;

12960000; 1728; 8128; 216; 5040; 864; 7500; 2700; 760000. (Voir les
mémoires de M. J. Dupuis sur _Le nombre géométrique de Platon_.)

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UN GRAND NOMBRE

On lit dans une lettre au Père Mersenne: «Vous me demandez si le
nombre 100895598169 est premier ou non, et une méthode pour découvrir
dans l'espace d'un jour, s'il est premier ou composé. À cette
question, je réponds que ce nombre est composé et se fait du produit
de ces deux: 898423 et 112303 qui sont premiers. Je suis toujours, mon
révérend Père, votre très humble et très affectionné serviteur,
_Fermat_.

La question pourrait embarrasser nos contemporains, et on ignore la
méthode suivie par Fermat.

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Parlons d'un autre grand nombre. Lorsqu'on place bout à bout les
dominos, de façon que deux consécutifs quelconques se touchent par des
points équivalents, le dernier élément est toujours égal au premier.
Le problème de Reiss consiste à trouver le nombre de combinaisons,
lorsque la rangée se termine à un double indiqué. M. G. Tarry a résolu
la question assez simplement, et il trouve jusqu'au double-huit, ce
nombre de combinaisons.

10.752.728.122.249.860.612.096.000

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

MOQUERIE

Quel est cet an quarante dont on se moque tant?

Pourquoi se moque-t-on aussi du tiers et du quart?

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PÉRIHÉLIE

Le mouvement anormal du périhélie de Neptune attend encore une
explication. La loi de Newton n'a pas permis, jusqu'à présent, d'en
rendre compte.

Il en est de même, depuis Clairaut, du mouvement du périgée de la
lune. En deux siècles, la lune s'écarte progressivement de la position
calculée, mais sans que la différence dépasse une seconde de temps.




LANGUE, LITTÉRATURE ET BEAUX-ARTS


GARGANTUA

En ce moyen entra en affection d'icelle science numérale, et touts les
jours après disner et souper y passait temps aussi plaisantement qu'il
soulait, en dez ou ès chartes. À tant sceut d'icelle et théoricque et
practicque, que Tunstal Anglois, qui en avait amplement escript,
confessa que vrayement en comparaison de luy il n'y entendoit que le
hault Alemant.

                                                       RABELAIS.

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INCOMMENSURABLE

Beaucoup de personnes voulant parler d'un très grand nombre disent un
nombre incommensurable. La locution est mauvaise, puisqu'il y a des
nombres incommensurables petits et grands, ainsi [[V¯]2] vaut
1,4142..., et [¯pi¯] vaut 3,141592..., etc.

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LES INCONNUES

Les anciens Indiens désignaient toutes les inconnues par la même
syllabe _ya_ (initiale du mot), mais diversement colorée.

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ESTHÉTIQUE

Le problème de l'esthétique des formes revient évidemment à celui-ci:
quelles sont les lignes les plus agréables?

Mais d'abord qu'est-ce qu'une ligne?

Jamais nous n'avons vu de lignes; nos yeux ne connaissent que des
directions. Ce que nous appelons une ligne est la synthèse de deux
sens parallèles et contraires. La réalité, c'est la direction, ce sont
ce que les géomètres contemporains appellent des _demi-droites_. Je ne
vois pas de cercles mais je vois des cercles décrits dans un sens ou
dans un autre, ce que l'on appelle des _cycles_. Par exemple, le
cercle euclidéen, le cercle abstrait, peut avoir quatre tangentes
parallèles entre elles; le cercle réel, le cycle, ne peut en avoir que
deux. Donner quatre tangentes parallèles entre elles à un cercle,
c'est faire une figure détestable, parce que cette figure oblige
l'oeil à changer deux fois de direction; donner deux tangentes au
cycle, c'est faire une figure agréable.

                                                       C. HENRY.

                       ¤---¤---¤

Les nombres harmoniques sont ceux qui sont formés uniquement des
facteurs premiers 2, 3 et 5 et dont la formule est par suite 2^{_a_} ×
3^{_b_} × 5^{_c_}.

Nombres harmoniques: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20,
24, 25, 27, 30...

Nombres qui ne sont pas harmoniques: 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22,
23, 26, 28, 29, 31...

Tout est harmonie dans la nature, tout s'y règle par des nombres
harmoniques. Exemples: cristallographie, acoustique, etc.

Telles sont les affirmations du vieil Euler, d'après l'idée vague de
la simplicité dans la nature. Helmholtz a réfuté ces opinions quant à
la musique et, d'après un théoricien nouveau, Charles Henry, elles
sont aussi inexactes pour l'esthétique des formes.

À la conception primitive d'un ordre très simple partout, succède peu
à peu celle d'un ordre plus savant et plus délicat.

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MESURE DE L'ÂNE

Il paraît que cette mesure est le kilomètre, auquel, trompés par une
faute d'orthographe, nous attribuons la signification de mille mètres.
«Quant au kilomètre, disent MM. Brachet et Dussouchet, on peut hésiter
pour son étymologie entre mesure de l'âne (killos-metron) ou mesure du
foin (chilos-metron). Le vrai mot eût été _chiliomètre_, mille
mètres.»

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ARGOT DES ÉCOLES

Deux camarades qui vivent et travaillent dans la même salle sont deux
_binomes_.

Les élèves de mathématiques spéciales s'appellent des _taupins_, sans
doute parce qu'ils sont presque tous myopes comme des taupes. En
première année, ils sont _bizuth_, puis ils deviennent _carrés_, et
quelquefois, hélas, _cubes_ et même _bicarrés_.

Les candidats font, ensemble, après les examens de l'École
polytechnique, une promenade à travers Paris. Cette longue file qui
serpente en chantant, c'est le joyeux _monome_!

Les élèves de l'École polytechnique sont des _x_, la tangente au côté.

Nous signalons ici avec plaisir un curieux livre illustré, _L'Argot de
l'X_, par Albert Lévy et G. Pinet.

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TIRADE

  Géométrie! algèbre! arithmétique! Zone
  Où l'invisible plan coupe le vague cône,
  Où l'asymptote cherche, où l'hyperbole fuit;
  Cristallisation du prisme dans la nuit;
  Mer dont le polyèdre est l'affreux madrépore;
  Nuée où l'univers en calculs s'évapore.
                                  VICTOR HUGO (_Toute la lyre._)

Nous ne donnons qu'un échantillon. Le discours continue hardi et
obscur...

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PROFESSEUR DE TRIANGLE (MONOLOGUE)

Je suis professeur!--«Professeur, de quoi?»--De quoi? Je vous le donne
en mille... Eh bien, je suis professeur de triangle..., oui, de
triangle!

J'ai toujours adoré le triangle; cela doit venir de ce que, en
nourrice, on m'avait fait un petit triangle avec des faveurs roses et
des grelots, pour m'amuser; je m'en souviens encore, comme si j'y
étais, de mon petit triangle.

Lorsque je commençais à marcher, je m'amusais à tracer des triangles
sur le sable. Plus tard au collège, lorsqu'on jouait aux billes, je ne
jouais jamais qu'au triangle. En géométrie, je ne savais que ce qui
avait rapport aux triangles.

Ah! que de douces heures il m'a fait passer mon triangle, mon cher
triangle; grâce à lui, je suis devenu chef de fanfare, chef
d'orchestre, etc., etc.

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OEUF

Prenons un oeuf en nos mains. Cette forme elliptique, la plus
compréhensive, la plus belle, celle qui offre le moins de prise à
l'attaque extérieure... Les choses inorganiques n'affectent guère
cette forme parfaite.

                                                       MICHELET.

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Rien n'est rond dans la nature, excepté le globe de l'oeil... et,
encore, il n'est pas rond.

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BUSES GRAVES

Tel est le titre d'une parodie des _Burgraves_, de Victor Hugo. On y
lit:

  Je possède zéro, prenez-en la moitié.

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STATUE PÉRIODIQUE

Un sculpteur doit faire la statue de Charlemagne, assis sur son trône,
couronne en tête, tenant d'une main le globe du monde, de l'autre le
sceptre surmonté d'une réduction _exacte_ de la même statue _avec tous
ses accessoires_.

L'artiste a consenti à n'être payé que lorsqu'il aura complètement
terminé le travail...

                                                       BERDELLÉ.

                       ¤---¤---¤

Le vrai symbole de l'infini, dit le même auteur, c'est l'enseigne du
barbier facétieux: Ici on rasera gratis demain.

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PARURE

Qui le croirait? c'est par des lignes arides, c'est par l'austère
géométrie que doit commencer l'étude de la parure. Cette jolie femme
est enfermée à son insu dans un réseau de parallèles, comme le serait
un oiseau dans sa cage, un invisible treillis de verticales et
d'horizontales emprisonne sa beauté mouvante et libre.

                                                  CHARLES BLANC.

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COULEURS

On suppose le plan d'un territoire divisé en autant de parcelles que
l'on voudra. Quel est le minimum de couleurs distinctes qu'il faudra
employer pour colorier ces parcelles, sans qu'aucune des parcelles
contiguës ne possède la même couleur?

Réponse: quatre.

Ainsi, avec quatre couleurs seulement, on peut colorier une carte
quelconque de France en départements ou en arrondissements, ou en
communes ou même le plan cadastral de la France.

Les personnes auxquelles on pose cette question à brûle-pourpoint ont
toujours quelque peine à concevoir que quatre couleurs seulement
puissent suffire.

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RAISON SOCIALE

Ce «nouveau venu» était une raison sociale. Nous nous amusions, en ce
temps, à écrire à propos d'Erckmann-Chatrian et des frères de
Goncourt:

«Les _deux_ romanciers peut-être les plus remarquables de ce temps,
sont _quatre_.»

                                                    J. CLARETIE.

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PERDU!

Dans ses écrits mathématiques, Sylvester est parfois éloquent. Son
style est fleuri. Ses mémoires sont fréquemment coupés de courtes
pièces de poésie, citées d'autrui ou de sa propre composition. Ainsi
dans son article dans _Nature_, janvier 1886, il y a un court poème
«sur un terme perdu dans une famille de groupes de termes d'une
formule algébrique.»

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REBUFFADE

À propos des visites des candidats à l'Académie française, M. Jules
Simon raconte l'anecdote suivante:

Il y avait des rebuffades célèbres. Celle entre autres d'un
académicien qui dit à un auteur dramatique: «Je ne vais pas dans ces
théâtres-là!» Le pauvre auteur avait pourtant été joué à la Comédie
française. Je me rappelle même, après soixante-trois ans, trois de ces
vers qui étaient célèbres à l'École normale:

  Élève distingué d'une célèbre école,
  Charle est ingénieur et dans tout ce qu'il dit
  De la polytechnique on reconnaît l'esprit

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CONTRADICTIONS

L'auteur d'un livre sur les événements de 1870 raconte qu'il sortit
vers deux heures du matin de la Chambre après la séance de nuit du 4
septembre où fut prononcée la déchéance de l'Empire: «Au bout du pont
de la Concorde, j'aperçois M. Thiers penché à la portière de sa
voiture, il raconte Sedan.... et là-bas, dans le fond, derrière les
tours de Notre-Dame et derrière la flèche de la Sainte-Chapelle,
derrière les clochetons du Palais-de-Justice, dans l'azur plein
d'étoiles glisse doucement la lune.»

Or le 4 septembre, dès 11 heures du soir, la lune se trouvait dans la
direction du Champ-de-Mars à l'opposé de la Sainte-Chapelle, réplique
un astronome.

Menu détail, est-ce que les peintres se préoccupent de placer comme il
faut les cornes de la lune?

Lamartine a dit: Vénus _se lève_ à l'horizon...

Dans un roman: «La lune, à son zénith, annonçait minuit.» À son
zénith! Puis, l'heure du passage de la lune au méridien varie chaque
jour.

Ces naïvetés astronomiques ont été relevées par des membres de la
Société d'astronomie de M. Vinot.

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CHEMINS

L'homme n'arrive jamais à une idée simple et vraie qu'à force de
détour; pour lui, la ligne courbe est le chemin qui conduit à la ligne
droite.

                                                       SAINTINE.

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RÉGULIER

Pour moi, à ne consulter même que mes yeux, je ne vois rien de si beau
qu'une figure qui seule renferme toutes les autres, qui n'a rien de
coupé par des angles, rien qui aille de biais, rien de raboteux, point
d'inégalité, point de bosse, point de creux. Ainsi les deux figures
les plus estimées, savoir le globe parmi les solides, et le cercle
parmi les planes, sont les seules dont toutes les parties soient
semblables entre elles, et où le bas et le haut soient également
éloignés du centre. Que peut-on imaginer de plus juste?

                                                        CICÉRON.

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ABRÉGEONS

Un professeur connu disait, pour abréger, _perpenculaire_ et on
l'appelait lui-même le _père pencu_. Un autre prononçait _portionnel_
pour proportionnel. Un troisième rejetant parallélipipède et
parallélépipède préférait _parlipède_; pourquoi pas _spath_, comme les
Allemands, d'après la cristallographie?

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PROTESTATION

  S'il n'en est plus que mille, eh bien! j'en suis; si même
  Ils ne sont plus que cent, je brave encor Scylla;
  S'il en demeure dix, je serai le dixième,
  Et s'il n'en reste qu'un, je serai celui-là!
                                 VICTOR HUGO (_Les Châtiments_).

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CLAIR-OBSCUR

On sait ce que fut la révolution cartésienne: le Nombre prenant
possession de la Géométrie, acceptant l'héritage des Anciens, mais
sous bénéfice d'inventaire et comme pour soumettre toutes les vérités
reçues à ses vérifications; poussant ensuite au-delà, avec nous,
tantôt menant et infaillible, tantôt mené et n'oubliant rien derrière
soi; nous abandonnant, il est vrai, le choix de nos problèmes, se
réservant, lui, pour les résoudre: admirable géomètre qui, portant la
géométrie à une impossible perfection, la supprimait du même coup si,
capable comme il l'est de répondre à toutes nos questions, il ne
devenait muet à la fin, se refusant à nous suppléer davantage et nous
laissant l'interprétation de ses oracles. Ainsi fait le Nombre. Ce
qu'il sait le mieux, c'est encore son commencement. Toutes les
obscurités dont il nous délivre, de prime abord, il nous les laisse
pour la fin, accumulées en un même point: quelquefois plus
transparentes, s'il s'agit d'une chose simple, ou déjà connue, ou
seulement supposée; plus opaques d'autres fois et d'une densité telle
que, même en connaissant d'avance ce que l'on cherche, on ne le
retrouve point.

                                                      P. SERRET.

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PAN!

«Nous jouons à compter, dit Charlotte, attention! Je commence de
droite à gauche: vous comptez! Chacun son chiffre! À mesure que le
tour lui vient, celui qui hésite ou qui se trompe, un soufflet! et
ainsi de suite jusqu'à mille.» C'était amusant à voir. Elle parcourait
le cercle le bras tendu. Le premier dit: «Un.--Deux, fit le
second.--Trois, poursuivit l'autre; et toujours ainsi.» Mais bientôt
elle commença d'aller plus vite: il y en eut un qui se trompa, pan! un
soufflet et tous de rire; le suivant aussi, pan! et toujours plus
vite...

                                                         GOETHE.

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TOUT ET MOITIÉ

  Je ne connais de biens que ceux que l'on partage.
  Coeurs dignes de sentir le prix de l'Amitié,
            Retenez cet ancien adage:
            Le tout ne vaut pas la moitié.
                                                        FLORIAN.

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DIX-HUIT

En argot, un _dix-huit_, c'est un habit dégraissé, un chapeau retapé,
etc. Étymologie: dix-huit, c'est deux fois neuf.

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BATAILLE OU RANÇON?

On lit, dans _Le Siège de Paris_, par le vicomte d'Arlincourt:

  Pour chasser de ces murs les farouches normands,
  Le roi Charles s'avance avec vingt mille francs.

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VERS NOMBREUX

Un vers nombreux est un vers bien rythmé, on dit des vers nombreux
lorsqu'il s'agit de beaucoup de vers, nous nous permettons de
qualifier ici de _nombreux_ des vers qui contiennent des nombres.
Boileau surtout avait le goût du numérique et celles de nos citations
dont les auteurs ne sont pas nommés doivent être attribuées à Nicolas.

LE NOMBRE 1.

  Qu'en 1 lieu, qu'en 1 jour, 1 seul fait accompli
  Tienne jusqu'à la fin le théâtre rempli.

  Brontin tient 1 maillet, et Boirude 1 marteau.

(On pourrait continuer longtemps ces citations.)

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LE NOMBRE 2.

  Que Rheinberg et Wesel, terrassés en 2 jours,
  D'1 joug déjà prochain menacent tout son cours.

  Sur 1 pont en 2 jours trompa tous tes efforts.

  C'est donc trop peu, dit-il, que l'Escaut, en 2 mois,
  Ait appris à couler sous de nouvelles lois.

  2 marmitons crasseux, revêtus de serviettes,
  Lui servaient de massiers, et portaient 2 assiettes.

  2 nobles campagnards, grands lecteurs de romans.

  1 lit et 2 placets composaient tout son bien.

  Qui des 2, en effet, est le plus aveuglé?

  1 ais sur 2 pavés forme un étroit passage.

  Où sont ces 2 amants? Pour couronner ma joie,
  Dans leur sang, dans le mien, il faut que je me noie.
                                                    (J. RACINE.)

  2 voyageurs à jeun rencontrèrent une huître.
  Tous 2 la contestaient, lorsque dans leur chemin
  La Justice passa, la balance à la main.
  Devant elle à grand bruit ils expliquent la chose:
  Tous 2 avec dépens veulent gagner leur cause.
                                                  (LA FONTAINE.)

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LE NOMBRE 3.

  Dans 3 jours nous verrons le phénix des guerriers.

  Elle a vu 3 guerriers, ennemis de la paix.

  Mais les 3 champions, pleins de vie et d'audace.

  Si dans les droits du roi, sa funeste science
  Par 2 ou 3 avis n'eût ravagé la France.

  Et que l'1 des Capets, pour honorer leur nom,
  Ait de 3 fleurs de lys doté leur écusson.

  À 3 longueurs de trait, tayaut, voilà d'abord
  Le cerf donné aux chiens. J'appuie et sonne fort.
                                                      (MOLIÈRE.)

  Mais 3 fois plus heureux le jeune homme prudent.
                                                      (GILBERT.)

  Il faut voir ce marchand, philosophe en boutique
  Qui, déclarant 3 fois sa ruine authentique,
  3 fois s'est enrichi d'un heureux déshonneur,
  Trancher du financier, jouer le grand seigneur.
                                                      (GILBERT.)

  Que vouliez-vous qu'il fît contre 3?--Qu'il mourût....
                                                    (CORNEILLE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 4.

  4 boeufs attelés, d'un pas tranquille et lent,
  Promenaient dans Paris le monarque indolent.

  1 valet le portait, marchant à pas comptés
  Comme 1 recteur suivi des 4 facultés.

  Bientôt 4 bandits, lui serrant les côtés.

  Les 4 contenaient 4 choeurs de musique.
                                                    (CORNEILLE.)

  Laissez-leur prendre 1 pied chez vous,
  Ils en auront bientôt pris 4.
                                                  (LA FONTAINE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 5.

  J'avais pris 5 bateaux pour mieux tout ajuster.
                                                    (CORNEILLE.)

  De 5 autres beautés la sienne fut suivie.
                                                    (CORNEILLE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 6.

  Sur 1 lièvre flanqué de 6 poulets étiques
  S'élevaient 3 lapins, animaux domestiques.

  6 chevaux attelés à ce fardeau pesant
  Ont peine à l'émouvoir sur le pavé glissant.

  Il n'est fort, entre ceux que tu prends par centaines,
  Qui ne puisse arrêter un rimeur 6 semaines.

  Vous saurez seulement qu'en ce lieu de délices
  On servit 12 plats, et qu'on fit 6 services.
  Cependant que les eaux, les rochers et les airs
  Répondaient aux accents de nos 4 concerts.
                                                    (CORNEILLE.)

  Dans cette cage resserrée
  On peut former jusqu'à 6 pas.
                                                      (GRESSET.)

  6 brins de paille délabrée
  Tressés sur 2 vieux échalas.
                                                      (GRESSET.)

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LE NOMBRE 7.

  Ni sans raison d'écrire en quel affreux pays
  Par 7 bouches l'Euxin reçoit le Tanaïs.

  5 et 4 font 9, ôtez 2, reste 7.

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 8.

  Je n'ai rien fait en vers; mais j'ai lieu d'espérer
  Que je pourrai bientôt vous montrer en amie
  8 chapitres du plan de notre académie.
                                                      (MOLIÈRE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 9.

  Les 9 trompeuses soeurs dans leur douce retraite

  Ou de 30 feuillets, réduits peut-être à 9,
  Parer demi-rongés les rebords du Pont-Neuf.

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 10.

  Firent plus en 10 ans que Louis en 10 jours.

  De ces gens qui, suivis de 10 hourets galeux
  Disent Ma meute, et font les chasseurs merveilleux.
                                                      (MOLIÈRE.)

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LE NOMBRE 15.

  C'est elle qui, m'ouvrant le chemin qu'il faut suivre
  M'inspira, dès 15 ans, la haine d'un sot livre.

  Un clerc, pour 15 sous, sans craindre le holà.

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LE NOMBRE 20.

  Et le teint plus jauni que de 20 ans de hâle.
  20 fois sur le métier remettez votre ouvrage.

  Voulez-vous sur la scène étaler des ouvrages
  Où tout Paris en foule apporte ses suffrages
  Et qui, toujours plus beaux, plus ils sont regardés,
  Soient au bout de 20 ans encore redemandés?

  En vain pour te louer ma muse toujours prête
  20 fois de la Hollande a tenté la conquête.

  À ce triste discours, qu'un long soupir achève,
  La Mollesse, en pleurant, sur un bras se relève,
  Ouvre un oeil languissant, et, d'une faible voix,
  Laisse tomber ces mots qu'elle interrompt 20 fois.

  Ils atteignaient déjà le superbe portique
  Où Ribou, le libraire, au fond de sa boutique
  Sous 20 fidèles clefs garde et tient en dépôt
  L'amas toujours entier des écrits de Hainaut.

  Ainsi recommençant un ouvrage 20 fois,
  Si j'écris 4 mots, j'en effacerai 3.

  Je me suis vu 20 fois prêt à quitter la table.

  La Seine, au pied des monts que son flot vient laver
  Voit du sein de ses eaux 20 îles s'élever,
  Qui partageant son cours en diverses manières,
  D'une rivière seule y forment 20 rivières.

  Et maudissant 20 fois le démon qui m'inspire.

  C'est encor pis 20 fois en quittant la maison.

  20 carrosses bientôt arrivant à la file.

  Je saute 20 ruisseaux, j'esquive, je me pousse.

  Achille mit 20 fois tout Ilion en deuil.

  Et 20 fois, comme ouvrages nouveaux
  J'ai lu des vers de vous qu'il n'a point trouvés beaux.
                                                    (MOLIÈRE.)

  20 familles enfin couleraient d'heureux jours.
                                                      (GILBERT.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 30.

  Là, depuis 30 hivers, un hibou retiré
  Trouvait contre le jour un refuge assuré.

  Par ses soins cependant 30 légers vaisseaux.
  Et que tantôt, aux yeux du chapitre assemblé,
  Il soit sous 30 mains en plein jour accablé.

  Elle a d'une insolence à nulle autre pareille
  Après 30 leçons, insulté mon oreille.
                                                      (MOLIÈRE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 32.

  Et tel est le sublime siège
  D'où, flanqué des 32 vents,
  L'auteur de l'Almanach de Liège
  Lorgne l'histoire du beau temps.
                                                      (GRESSET.)

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LE NOMBRE 40.

  Puisqu'ainsi dans 2 mois tu prends 40 villes,
  Assuré des bons vers dont ton bras me répond,
  Je t'attends dans 2 ans au bord de l'Hellespont.

  Qu'au bout de 40 ans, Cinna, Pompée, Horace
  Reviennent à la mode et retrouvent leur place.
                                                    (CORNEILLE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 50.

  50 rats à mon oreille
  Ronflent en faux bourdon.
                                                      (GRESSET.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 100.

  N'avons-nous pas 100 fois, en faveur de la France,
  Comme lui dans nos vers pris Memphis et Bysance.

  Horace eut 100 talents; mais la nature avare
  Ne vous a rien donné qu'un peu d'humeur bizarre.

  J'aime mieux mettre encore 100 arpents au niveau.

  Tu pourras les répandre et par 20 et par 100.

  Ce pays où 100 murs n'ont pu te résister.

  Nous l'avons vu, dit-il, affronter la tempête
  De 100 foudres d'airain, tournés contre sa tête.

  Il voit 100 bataillons qui, loin se défendre,
  Attendent sur des murs l'ennemi pour se rendre.

  100 guerriers s'y jetant signalent leur audace.

  Bientôt victorieux de 100 peuples altiers.

  De morts et de mourants 100 montagnes plaintives.

  En 100 lieux contre lui les cabales s'amassent.

  Balzac en fait l'éloge en 100 endroits divers.

  De 100 coups de marteau me va fendre la tête.

  Entre 100 vieux appuis dont l'affreuse grand'salle
  Soutient l'énorme poids de sa voûte infernale.

  Et ses ruses perçant et digues et remparts,
  Par 100 brèches déjà rentrent de toutes parts.

  Thémis a vu 100 fois chanceler sa balance.

  Et leur art, attirant le culte des mortels,
  À sa gloire en 100 lieux vit dresser des autels.

  Comme on voit qu'en un bois que 100 routes séparent.

  D'Hozier lui trouvera 100 aïeux dans l'histoire.

  Aussitôt 100 chevaux, dans la foule appelés.

  100 francs au denier 5 combien font-ils?--20 livres.

  Non; mais 100 fois la bête a vu l'homme hypocondre.

  Dont les noms en 100 lieux, placés comme en leurs niches.

  Qui, sans sujet, courant chez 100 peuples divers.

  En transposant 100 fois et le nom et le verbe.

  Et j'en ai refusé 100 pistoles, crois-moi.
                                                      (MOLIÈRE.)

  N'as-tu pas dû 100 fois te le faire redire?
                                                    (J. RACINE.)

  Aux filles de 100 rois je vous ai préférée.
                                                    (J. RACINE.)

                              On me menace
  Si je ne sors d'ici, de me bailler 100 coups.
                                                      (MOLIÈRE.)

  Là, 100 figures d'air en leurs moules gardées.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Le peuple rentre et sort en 100 parts divisé.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Un mourant qui comptait plus de 100 ans de vie.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Eh! n'as-tu pas 100 ans? Trouve-moi dans Paris
  2 mortels aussi vieux; trouve-m'en 10 en France.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Prenez ces 100 écus; gardez-les avec soin,
          Pour vous en servir au besoin.
  Le savetier crut voir tout l'argent que la terre
          Avait, depuis plus de 100 ans
          Produit pour l'usage des gens.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Rendez-moi, lui dit-il, mes chansons et mon somme,
          Et reprenez vos 100 écus.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Et 100 brimborions dont l'aspect importune.
                                                      (MOLIÈRE.)

  Et 100 portes d'airain s'ouvrent à ses regards.
                                                     (VOLTAIRE.)

  Dans cette pédantesque rue
  Où 30 faquins d'imprimeurs
  Avec un air de conséquence
  Donnent froidement audience
  À 100 faméliques auteurs.
                                                      (GRESSET.)

  Et tous ces demi-dieux que l'Europe en délire
  A depuis 100 hivers l'indulgence de lire.
                                                      (GILBERT.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 1000

  1000 oiseaux effrayants, 1000 corbeaux funèbres.

  Lorsqu'un cri tout à coup suivi de 1000 cris.

  Et de 1000 remparts mon onde environnée.

  Je fais 1000 serments de ne jamais écrire.

  Malheureux 1000 fois celui dont la manie
  Veut aux règles de l'art asservir son génie.

  1000 de ces beaux traits, aujourd'hui si vantés

  Et 1000 autres qu'ici je ne puis faire entrer.

  Au pied du mont Adule, entre 1000 roseaux.

  Mieux que vous 1000 fois, dit le noble en furie.

  Venez de 1000 aïeux; et, si ce n'est assez,
  Feuilletez à loisir tous les siècles passés.

  Son coeur, toujours flottant entre 1000 embarras.

  Au comble de son art, est 1000 fois monté.

  Le poète s'égaye en 1000 inventions.

  Et qui de 1000 auteurs retenus mot pour mot.

  S'est couvert 1000 fois d'une noble poussière.

  Eh bien! je m'adoucis. Votre race est connue;
  Depuis quand? Répondez: Depuis 1000 ans entiers,
  Et vous pouvez fournir 2 fois 16 quartiers.

  Va par 1000 beaux faits mériter son estime.

  Enfin sous 1000 crocs, la maison abîmée
  Entraîne aussi le feu, qui se perd en fumée.

  Et pour 1 que je veux, j'en trouve plus de 1000.

  1 stupide animal, sujet à 1000 maux.

  En vain il a reçu l'encens de 1000 auteurs.

  De posséder enfin 1000 dons précieux.

  On a vu 1000 fois des fanges Méotides
  Sortir des conquérants goths, vandales, gépides.

  Sans le secours des vers, leurs noms tant publiés
  Seraient depuis 1000 ans avec eux oubliés.

  Tu viens m'embarrasser de 1000 autres vertus.

  À peine dans Gombaut, Maynard et Malleville,
  En peut-on admirer 2 ou 3 entre 1000.

  La Fable offre à l'esprit 1000 agréments divers.

  Et sur son bois détruit bâtit 1000 procès.

  Découvrir la nature en 1000 expériences.
                                                      (MOLIÈRE.)

  Après 1000 ans et plus de guerre déclarée.
                                                  (LA FONTAINE.)

  La Seine au flot royal, la Loire dans son sein
  Incertaine, et la Saône, et 1000 autres enfin.
                                                      (GILBERT.)

  Après qu'on eut mangé, 1000 et 1000 fusées.
                                                    (CORNEILLE.)

  Il nous faudrait 1000 personnes
  Pour éplucher tout ce canton.
                                                  (LA FONTAINE.)

  Au sein de ses amis répandre 1000 choses.
                                                  (LA FONTAINE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 6000

  Fuyez le Char glacé des 7 astres de l'Ourse:
  Embrassez dans le cours de vos longs mouvements
  200 siècles entiers par delà 6000 ans.
                                                     (VOLTAIRE.)

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 100 000

  J'ai 100 000 vertus en louis bien comptés.

                       ¤---¤---¤

LE NOMBRE 1000000

  Qu' 1000000 comptant par ses fourbes acquis,
  De clerc, jadis laquais, a fait comte et marquis.

                       ¤---¤---¤

LES FRACTIONS

  Rien ne me fâche tant que les cérémonies,
  Et si l'on m'en croyait, elles seraient bannies.
  C'est un maudit usage, et la plupart des gens
  Y perdent sottement les 2/3 de leur temps.
                                                      (MOLIÈRE.)

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Les trop nombreuses citations précédentes sont empruntées aux seuls
classiques. Qu'on nous permette de citer encore le premier vers du
Cromwel de Victor Hugo et trois vers de son Ruy Blas.

  Demain 25 juin mil six cent cinquante-sept.

  La maison de la reine, ordinaire et civile,
  Coûte par an six cent soixante-quatre mille
  Soixante-six ducats: c'est un pactole obscur.




CURIOSITÉS ET ÉTRANGETÉS


COURBE RENAISSANTE

Lorsqu'on transforme la _spirale logarithmique_, pour construire sa
_développée_ et sa _caustique_, on retrouve la première courbe.
Jacques Bernoulli voyait là comme un symbole de la résurrection et
aurait voulu qu'on gravât la courbe sur son tombeau avec ces mots:
_Eadem mutata resurgo._

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CARRÉS MAGIQUES

On donne ce nom à tout carré divisé en cases où sont inscrits des
nombres tels qu'en les prenant dans une colonne verticale, une rangée
horizontale ou une diagonale, on ait toujours le même total. Voici par
exemple un carré magique à neuf cases et à la somme constante 15; il
est formé des neuf premiers nombres.

  ===============
  || 4 | 3 | 8 ||
  ||---|---|---||
  || 9 | 5 | 1 ||
  ||---|---|---||
  || 2 | 7 | 6 ||
  ===============

Remarquons que le carré reste _magique_ si l'on ajoute un même nombre
à tous ses nombres ou si on les multiplie par un même nombre.

On a donné dans l'Antiquité une importance symbolique à ces
combinaisons qu'on retrouve dans presque tous les talismans.

Les carrés magiques deviennent _diaboliques_, s'ils sont tels que si
on divise le carré en deux rectangles égaux ou inégaux et qu'on
échange les deux parties, le carré reste magique.

Exemple:

  =======================
  || 15 |  6 |  9 |  4 ||
  ||----|----|----|----||
  || 10 |  3 | 16 |  5 ||
  ||----|----|----|----||
  ||  8 | 13 |  2 | 11 ||
  ||----|----|----|----||
  ||  1 | 12 |  7 | 14 ||
  =======================

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CHARLES XII

Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon
mathématicien; il avait sans doute beaucoup de pénétration dans
l'esprit, mais la preuve que l'on donne de ses connaissances en
mathématiques n'est pas bien concluante; il voulait changer la manière
de compter par dizaines et il proposait à la place le nombre
soixante-quatre, parce que ce nombre contenait à la fois un cube et un
carré et, qu'étant divisé par deux, il était enfin réductible à
l'unité. Cette idée prouvait seulement qu'il aimait en tout
l'extraordinaire et le difficile.

                                                       VOLTAIRE.

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NOMBRES GÉOMÉTRIQUES

On appelle nombres triangulaires des nombres tels que

                   *
          *       * *
   *     * *     * * *
  * *   * * *   * * * *  etc.

   3      6       10

C'est ainsi rangées que voyagent les grues.

Il y a aussi les nombres _quadrangulaires_, _pyramidaux_, etc.

On croit tous les nombres semblables, mais Leibniz insiste sur leurs
dissemblances.

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COURBE BANALE

Malgré son nom savant, la cycloïde est banale.

En effet, chaque clou de chaque roue de voiture décrit la courbe en
question, lorsque la voiture roule.

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PLANÈTES HABITÉES

Il y a d'abord la terre sur laquelle nous vivons. Quant aux autres
planètes, elles sont peut-être occupées par des êtres plus ou moins
analogues aux hommes. C'est là l'objet d'hypothèses en l'air, sur
lesquelles Fontenelle badine agréablement.

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LES AUTRES ET SOI

Aimer, c'est préférer autrui à soi-même. La grandeur de l'amour est
une fraction dont le numérateur,--mes préférences, mes sympathies pour
autrui,--ne dépend pas de moi, tandis que mon amour pour moi-même peut
être agrandi ou réduit par moi à l'infiniment petit, suivant
l'importance que j'attache à mon individualité... Les raisonnements du
monde sur l'amour et ses degrés sont des raisonnements sur la valeur
des fractions, selon les numérateurs seuls, sans tenir compte des
dénominateurs.

                                                        TOLSTOÏ.

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GÉOMÉTRIE DES ABEILLES

C'est le titre d'un ouvrage anglais de Taylor dans lequel sont
expliqués les divers problèmes auxquels donne lieu la construction des
ruches.

Les remarquables propriétés géométriques des alvéoles des abeilles ont
été décrites par plusieurs observateurs: Pappus (IVe siècle av.
J.-C.); Maraldi (1712), Réaumur (1702-1739); Mac-Laurin; Castillon et
Lhuillier (1781); Lord Brougham (1858); Terquem (1856-1860); Hultman
(1868); Mullenhoff (1883); Hennessy (1885).

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PAIR OU IMPAIR

Il vaut mieux parier pour impair, parce qu'on démontre que, dans un
nombre donné de combinaisons, il y en a une de plus où les choses
sont prises en nombre impair.

En matière de rythme poétique, Verlaine n'est pas moins affirmatif:

  De la musique avant toute chose,
  Et pour cela préfère l'Impair,
  Plus vague et plus soluble dans l'air,
  Sans rien en lui qui pèse ou qui pose.

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NOMBRES PARFAITS

Ce sont les nombres entiers qui sont égaux chacun à la somme de leurs
diviseurs.

Exemples: 6, 28, 496, etc.

On ne connaît actuellement que neuf nombres parfaits:

2 x 3, 4 x 7, 16 x 31, 64 x 127, 4096 x 8191, 65536 x 131071,
262144 x 524287, 1073741824 x 2147483647 et 2^{60}(2^{61}-1).

On sait, depuis Euclide, que les nombres parfaits sont de la forme
2^{n}(2^{n + 1} - 1), à condition que _n + 1_ et 2^{n + 1} - 1 soient
des nombres premiers.

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NOMBRES AMIABLES

On dit que deux nombres sont amiables lorsque chacun est égal à la
somme des diviseurs de l'autre. On en connaît trois paires: 234 et
220; 17296 et 18416; 9363584 et 9437056.

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ARITHMOMANIE

M. de W... est âgé de 45 ans. Il est presque continuellement renfermé
dans son cabinet où on le croit adonné à de sérieux travaux... En
réalité, il passe tout son temps à compter combien de fois les mêmes
lettres tantôt l'S, tantôt le T, tantôt le G, tantôt le Z, etc., sont
répétées dans la _Genèse_, dans l'_Exode_, dans le _Lévitique_, etc.;
combien de pages dans telle édition commencent par un P, combien par
un B, combien par un A, etc.; combien finissent par un P, combien par
un G, etc.

                                                      Dr TRÉLAT.

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Il lui vint à l'esprit l'idée de la fatalité du nombre 13 et
quelquefois, avant de se coucher, il touchait 13 fois sa table de nuit
ou 13 objets différents épars dans sa chambre. Peu à peu, il lui est
arrivé de répéter plusieurs fois de suite ces 13 contacts et
finalement il passait des nuits entières pour satisfaire à cette
obsession.

Le nombre 13 le domine de plus en plus: il évite de mettre 13 mots
dans une phrase et s'il en a écrit 12, sans compléter le sens, il se
hâte d'en ajouter au moins deux pour dépasser 13, par crainte que le
treizième ne soit cause d'un malheur. Il en est de même pour le
langage, il compte de manière à éviter les phrases de 13 mots. Ce
travail fatigant et ridicule le détourne de toute occupation sérieuse.

                                                      Dr MAGNAN.

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RÉSOLUTION ÉLECTRIQUE

M. Félix Lucas se sert de l'électricité pour résoudre, à l'aide d'un
seul graphique et sans calcul, une équation numérique de degré
quelconque. (Comptes-rendus de l'Académie les sciences du 5 mars et du
9 avril 1888 et aussi du 22 décembre 1889.) Le moyen est fondé sur la
production de figures par l'électrolyse.

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CÉSARINE

... Cette petite, servant d'Égérie au vieux licencié et plus _trapue
en x_ que les candidats à Polytechnique et à Normale, cette petite est
Césarine en personne...

... Vacquant lui-même, dit-il, Vacquant (c'est le professeur de
spéciales) n'est que de la gnognotte auprès d'elle.

... Certains ouvrages qu'elle seule peut lire couramment... Elle est
si étonnante, un génie mathématique. Son père était fort lui-même,
seulement trop imbu de Wronski[5].

«Tout se résout en somme, dans la vie, même les actes les plus
extraordinaires, par des équations bien faites.» (Mot de Césarine)...
De ces équations morales, je n'ai vu moi que les _inconnues_ dégagées,
je veux dire les faits... je ne puis ainsi que noter des _points_, en
laissant à de plus perspicaces le soin de retrouver les _coordonnées_
psychologiques.

                                                       RICHEPIN.

[Note 5: Lagrange et Laplace ont jugé incompréhensible la
philosophie des mathématiques de Wronski.]

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PASSIONS

L'_amitié_ et l'_amour_, qui agissent dans une sphère circonscrite,
qui se préoccupent exclusivement de la génération présente, d'un
nombre limité d'individus, sont représentés par le _cercle_ et
l'_ellipse_, courbes finies, fermées, embrassant un espace nettement
circonscrit.

La _parabole_ et l'_hyperbole_, au contraire, sont des courbes qui ne
se terminent pas, qui s'allongent indéfiniment, comme le _familisme_
qui songe aux arrière-neveux, comme l'_ambition_ qui rêve la
postérité.

Dans le groupe d'_amitié_ règnent l'égalité et la confusion des rangs.
Dans le cercle tous les rayons sont égaux, tous partent du centre et
se réfléchissent au centre.

L'ellipse présente deux foyers. Tout ce qui part de l'un se réfléchit
à l'autre, image exacte de ce qui se passe entre deux coeurs unis par
l'_amour_. Si le plan de l'ellipse s'incline de plus en plus sur une
des arêtes du cône, un des foyers s'éloigne et va se perdre à
l'infini. Alors l'ellipse se transforme en une parabole. C'est ainsi
que l'amour dégénère insensiblement et conduit au _familisme_, c'est
ainsi que l'affection qui rayonnait sur un seul être tend à s'élargir,
à en embrasser plusieurs, à l'infini, dans le temps, comme les rayons
de la parabole qui vont chercher le second foyer à l'infini dans
l'espace.

Le rayon parti du foyer de l'hyperbole remonte en s'éloignant de
l'axe, après avoir été réfléchi sur la courbe; il remonte d'autant
plus qu'il a atteint déjà, du premier jet, un point plus élevé. C'est
ainsi que l'_ambitieux_ tend toujours à dépasser le point où il est
parvenu et que ses désirs se grossissent de tous ses succès
précédents.

L'hyperbole, comme l'ellipse, a pour limite la parabole, parce que
l'ambition, comme l'amour, conduit au familisme. L'ambitieux, quand il
n'a plus rien à espérer pour lui-même, songe à ses descendants, à sa
maison, à son nom qu'il veut remettre aux âges futurs.

                                                      H. RENAUD.

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IMPÔT CUBIQUE

Un socialiste a imaginé ce système d'impôt unique d'après lequel
chaque citoyen ne payerait plus qu'une somme basée sur le nombre des
mètres cubes qui lui seraient nécessaires pour se loger, faire un
commerce, etc.

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SYSTÈME BINAIRE

Leibniz crut voir l'image de la création dans son arithmétique binaire
où il n'employait que les deux caractères zéro et l'unité. Il imagina
que Dieu pouvait être représenté par l'unité, et le néant par zéro;
l'Être suprême avait tiré du néant tous les êtres, comme l'unité avec
le zéro exprime les nombres dans ce système d'arithmétique. Cette idée
plut tellement à Leibniz, qu'il en fit part au jésuite Grimaldi,
président du Tribunal de mathématiques de la Chine, dans l'espérance
que cet emblème de la création convertirait au christianisme
l'empereur qui aimait particulièrement les sciences.

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UNE CHENILLE

Les naturalistes ont nommé chenille géomètre une chenille qui, en
marchant, semble mesurer ou arpenter le terrain avec la longueur de
son corps.

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LAPUTA

De là nous entrâmes dans l'École de Mathématiques dont le Maître
enseignait à ses disciples une méthode que les Européens auront de la
peine à s'imaginer. Chaque proposition, chaque démonstration était
écrite sur du pain à chanter, avec une certaine encre de teinture
céphalique. L'écolier à jeun était obligé, après avoir avalé ce pain à
chanter, de s'abstenir de boire et de manger pendant trois jours, en
sorte que le pain à chanter étant digéré, la teinture céphalique pût
monter au cerveau et y porter avec elle la proposition et sa
démonstration.

                                                          SWIFT.

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Les philosophes, disait Bacbuc à Panurge, prescheurs et docteurs de
vostre monde, vous paissent de belles paroles par les aureilles, ici
nous réalement incorporons nos préceptions par la bouche. Pourtant je
ne vous di lisez ce chapitre, entendez ceste glose: je vous di
«goustez ce chapitre, avalez ceste glose.» Jadis un antique mangea un
livre et fut clerc jusques aux dents; présentement vous emboirez un,
et serez clerc jusques au foye. Venez, ouvrez les mandibules.

                                                       RABELAIS.

                       ¤---¤---¤

Nous ne parlerons pas de certains préparateurs au baccalauréat, dits
marchands de soupe.

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PARLER DE CE QU'ON SAIT

Voici trois citations étranges de Chateaubriand:

1º Le _trois_ est une fraction qui n'est point engendrée et qui
engendre toutes les autres fractions.

2º Le calcul décimal peut convenir à un peuple mercantile, mais il
n'est ni beau ni commode, dans les autres rapports de la vie et dans
les équations célestes. La nature l'emploie rarement, il gêne l'année
et le cours du soleil; et la loi de la pesanteur ou de la gravitation,
peut-être l'unique loi de l'univers, s'accomplit par le carré et non
par le quintuple des distances.

3º Ce globe à la longue année (Jupiter) qui ne marche qu'à la lueur de
quatre torches pâlissantes; cette terre en deuil (Saturne) qui, loin
des rayons du jour, porte un anneau comme une veuve inconsolable...

                       ¤---¤---¤

Le même Chateaubriand dit dans ses _Mémoires d'Outre-tombe_:

Je fis des progrès rapides en mathématiques où j'apportai une clarté
de conception qui étonnait l'abbé Leprince..... J'appris par coeur mes
tables de logarithmes...

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GÉOMÈTRES AU POUVOIR

La France doit devenir un État républicain et que les géomètres
gouverneront, en soumettant toutes les opérations au calcul
infinitésimal.

                                                    FRÉDÉRIC II.

                       ¤---¤---¤

Le grand Frédéric de Prusse n'aimait pas les mathématiques supérieures
et il a écrit contre elles une longue et lourde satire.

Il est amusant dans sa dernière lettre à Voltaire:

«Euler calcula l'effort des roues pour faire monter l'eau dans un
bassin d'où elle devait retomber, par des canaux, afin de jaillir à
_Sans-souci_. Mon moulin a été exécuté géométriquement, et il n'a pas
pu élever une goutte d'eau à cinquante pas du bassin. Vanité des
vanités! Vanité de la Géométrie!»

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NOMBREUSE FAMILLE

Vauban, dans ses _Oisivetés_, commence un petit chapitre sous ce
titre: «La cochonnerie ou calcul estimatif pour connaître jusqu'où
peut aller la production d'une truie pendant dix années de temps.»

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MATHÉMATIQUES EN VERS

                            .... Une convention
  Explique avec clarté la Numération.
  À la gauche d'un autre, un chiffre a l'avantage;
  Sa valeur est décuple, ainsi le veut l'usage.
  Alors, quand _cinq_ se place à la gauche de _huit_,
  Il vaut _cinquante_, plus le chiffre qui le suit.

                       ¤---¤---¤

  La perpendiculaire se pique
  D'être plus courte que l'oblique.

                       ¤---¤---¤

  L'angle dont le sommet à la courbe se rend
  A moitié des degrés de l'arc qu'il comprend.

                       ¤---¤---¤

  Le carré de l'hypoténuse
  Est égal, si je ne m'abuse,
  À la somme des carrés
  Construits sur les autres côtés.

                       ¤---¤---¤

  À l'abri de l'envie, en compagnes fidèles,
  On voit marcher de front, deux droites parallèles.

                       ¤---¤---¤

                  .... Deux camps bien ordonnés
  Rangent, en force égaux, leurs groupes enchaînés;
  Voici qu'une inconnue entre avec eux masquée,
  Souvent multiple, en plus d'un endroit embusquée.
  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il s'agit d'une équation et de la poursuite de l'inconnue. La
conclusion est un peu dure mais philosophique:

                .... en ce grand domaine
  L'impossible est possible, et le sort nous amène
  Tantôt le positif, ou son signe opposé
  Ou l'incommensurable ou le sens précisé,
  Tantôt c'est l'infini, tantôt l'imaginaire.
  _On joue avec cela._ Chose extraordinaire,
  Ce qui n'existe pas est soumis à nos lois!

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DROITE BIZARRE

On ne peut pas la tracer avec la règle; la distance de deux
quelconques de ses points est nulle; elle fait un angle constant avec
une nouvelle droite quelconque; elle est perpendiculaire à sa propre
direction, etc.

(On dit que l'équation x + y [[V¯]-1] = 0 représente une droite
_imaginaire_: elle jouit des propriétés indiquées.)

On peut demander aussi de trouver sur une conique un point tel que la
tangente et la normale en ce point se confondent.

(C'est un point _imaginaire_ de rencontre de la courbe et d'une de ses
directrices.)

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La droite de l'infini, la circonférence de l'infini, les deux ombilics
du plan ou points circulaires à l'infini possèdent aussi des
propriétés qui semblent contradictoires.

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TITRE SINGULIER

J'ouvre, dit le P. Gratry, le livre de Saint Augustin qui porte ce
titre étrange: «Des dimensions de l'âme». J'aperçois des figures de
géométrie mêlées au texte...

Herbart a orné sa philosophie de cercles, de carrés, de chiffres et de
signes algébriques.

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SÉCANTE

La justice et la miséricorde de Dieu sont deux parallèles qui peuvent
s'unir par une sécante appelée le repentir.

                                                     LACORDAIRE.

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ÉTOILE AVALÉE

L'étoile bleue avale une autre étoile très petite et, bientôt après,
elle la rend. Voilà comment les Sibériens interprètent l'éclipse d'un
satellite de Jupiter.

Nos paysans de Vivarais désignent sous le nom de _casserole_ la
constellation de l'Ourse, à cause de sa forme.

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PRIX DU BLÉ

On a cherché si les taches solaires produisent sur la terre des effets
notables: c'est ainsi que W. Herschel essaya d'établir un rapport
entre le prix du blé et le nombre des taches.

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ROND ET TRIANGULAIRE

Le monde, dit un prédicateur du XVIe siècle, ne saurait remplir le
coeur de l'homme par la raison que le monde étant rond et le coeur
triangulaire, un rond inscrit dans un triangle ne le remplit pas.

Nous lisons, dans un écrit moderne, qu'en affaires il faut être rond
et carré.

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INCOMPRÉHENSIBLE

D'après Pythagore, l'âme est un nombre qui se meut sur lui-même; la
vertu, un nombre carré, et la justice, une proportion géométrique.

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HENRI IV

Ce diable à quatre qui eut le triple talent..., est né le 14 décembre,
14 siècles, 14 décades et 14 ans après Jésus-Christ.

Il est mort le 14 mai.

Son nom était composé de 14 lettres (Henri de Bourbon).

Il a vécu 4 fois 14 ans, 4 fois 14 jours, et 14 semaines.

Il a été roi de France et de Navarre trois fois 14 ans.

Il a été blessé par Châtel 14 jours après le 14 décembre, en l'année
1594.

Entre ce jour et celui de sa mort, il y a eu 14 ans, 14 mois et 5 fois
14 jours.

Il a gagné la bataille d'Ivry le 14 mars.

Le dauphin est né 14 jours après le 14 septembre et a été baptisé le
14 août.

Henri a été assassiné le 14 mai, 14 siècles et 14 olympiades après
l'Incarnation.

Le crime a eu lieu 2 fois 14 heures après l'entrée de la reine à
Saint-Denis.

Ravaillac a été exécuté 14 jours après la mort du roi, et dans l'année
1610, qui est divisible par 14.

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FIN DU MONDE

On a essayé d'appliquer le calcul à l'appréciation des témoignages
historiques. Un géomètre anglais, Jean Craig, persuadé que, par la
nature même des faits de l'ordre politique ou moral, leur crédibilité
s'affaiblit à mesure qu'ils se transmettent d'une génération à
l'autre, a cru prouver que certains événements, qui remontent au
commencement de notre ère vulgaire, cesseront tout à fait d'être
croyables l'an de cette même ère 9153 et en conséquence il a indiqué
cette année-là comme l'époque assurée de la fin ou de la rénovation du
monde.

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LE SPHÉRIQUE

Froebel, le pédagogue, a publié en 1811 son _Traité du sphérique_; on
y lit: «La sphère apparaît comme le prototype, comme l'unité de tous
les corps et de toutes les formes. Pas un angle, pas une ligne, pas un
plan, pas une surface ne se montre en elle, et cependant elle a tous
les points et toutes les surfaces.»

À cette obscure géométrie, succèdent des vues sur les rapports
mystérieux de la sphère et de la vie morale. «Travailler
consciencieusement au développement de la nature sphérique d'un être,
c'est faire son éducation.» Comprendra qui pourra!

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TESTAMENT ASTRONOMIQUE

On lit dans le testament de Madame Guzman, morte à Pau, en juin 1891:

Un prix de 100.000 francs est légué à l'Institut de France (section
des sciences) pour la personne de n'importe quel pays qui trouvera le
moyen, d'ici à dix années, de communiquer avec un astre (planète ou
autre) et d'en recevoir réponse. La testatrice désigne spécialement la
planète Mars, sur laquelle se portent déjà l'attention et les
investigations de tous les savants.

                       ¤---¤---¤

Voici le commentaire de M. Flammarion:

«Pour entrer en communication avec les habitants de Mars, il faut leur
photophoner: «êtes-vous là?» Et puis.... il faut aussi qu'ils y soient
et qu'ils comprennent.

Déjà Mars communique avec la Terre, par l'attraction et par la
lumière. Les astronomes analysent ces deux ordres de communication. Ce
que l'on pourrait souhaiter maintenant et ce qui arrivera probablement
quelque jour, ce serait un mode plus subtil, plus humain.

L'idée n'a rien d'absurde en elle-même, et elle est peut-être moins
hardie que celle du téléphone, du phonographe, du photophone et du
cinétographe. Elle a été émise, pour la première fois, à propos de la
lune.

Un triangle tracé sur le sol lunaire, par trois lignes lumineuses, de
douze à quinze kilomètres chacune, serait visible d'ici, à l'aide de
nos télescopes. Nous observons même des détails beaucoup plus petits,
par exemple les singuliers dessins topographiques remarqués dans le
cirque lunaire auquel on a donné le nom de Platon. Donc, un triangle,
un carré, un cercle de cette dimension, construits par nous sur une
vaste plaine, à l'aide de points lumineux, soit pendant le jour en
réfléchissant la lumière solaire, soit pendant la nuit, à l'aide de la
lumière électrique, seraient visibles pour les astronomes de la Lune,
si ces astronomes existent, et s'ils ont des instruments d'optique
équivalents aux nôtres.

La suite du raisonnement est des plus simples. Si nous observions sur
la lune un triangle correctement construit, nous en serions quelque
peu intrigués, nous croirions avoir mal vu, nous nous demanderions si
le hasard des formations géologiques et sélénologiques peut avoir
donné naissance à une figure régulière. Sans doute finirions-nous par
admettre cette possibilité exceptionnelle. Mais si, tout d'un coup,
nous voyions le triangle se changer en carré, puis, quelques mois plus
tard être remplacé par un cercle, alors nous admettrions logiquement
qu'un effet intelligent prouve une cause intelligente, et nous
penserions avec quelque raison que de telles figures révèlent, à n'en
pas douter, la présence de géomètres sur ce monde voisin.

De là à chercher la raison du tracé de pareils dessins à la surface du
sol lunaire, de là à nous demander pourquoi et dans quel but nos
frères inconnus formeraient ces figures, il n'y a qu'un pas, bien vite
franchi. Serait-ce dans l'idée d'entrer en relations avec nous?
L'hypothèse n'est pas déraisonnable. On l'émet, on la discute, on la
repousse comme arbitraire, on la défend comme ingénieuse. Et pourquoi
pas, après tout? Pourquoi les habitants de la Lune ne seraient-ils pas
aussi curieux que nous, plus intelligents peut-être, plus élevés dans
leurs aspirations, moins empêtrés que nous dans la glu des besoins
matériels? Pourquoi n'auraient-ils pas supposé que la terre peut être
habitée aussi bien que leur monde, et pourquoi ces appels géométriques
n'auraient-ils pas pour but de nous demander si nous existons?
D'ailleurs il n'est pas difficile d'y répondre. On nous montre un
triangle: reproduisons-le ici. On nous trace un cercle: imitons-le. Et
voilà une communication établie entre le ciel et la terre, pour la
première fois depuis le commencement du monde.

La géométrie étant la même pour les habitants de tous les mondes,
deux et deux faisant quatre dans toutes les régions de l'infini, et
partout les trois angles d'un triangle étant égaux à deux angles
droits, les signaux ainsi échangés entre la terre et la lune
n'auraient même pas l'obscurité des hiéroglyphes déchiffrés par
Champollion, et la communication établie deviendrait vite régulière et
féconde.»

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On a proposé de communiquer avec les habitants des planètes en traçant
et en illuminant sur la terre une immense figure du _carré de
l'hypoténuse_.

                       ¤---¤---¤

M. Fèvre, dans sa pièce _L'Étoile rouge_, a tenté de transporter ces
idées sur le théâtre.

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ONZE MILLE

Sainte Ursule fut martyrisée avec sa compagne _Undecimilla_, dont le
nom a donné lieu à la légende des onze mille vierges.




FANTAISIES


L'ÂGE DU CAPITAINE

Sous ce nom l'on désigne tout problème ridicule et complètement
indéterminé. Il paraît, en effet, difficile, connaissant la vitesse
d'un vaisseau, la hauteur du grand mât, la latitude et la longitude,
d'en conclure l'âge du capitaine.

On causait de cette énigme, lorsque tout à coup, Léon Gozlan assura
que le problème venait d'être résolu à Marseille. Stupéfaction de
tous.--Pas possible!--C'est comme je vous l'affirme.--Contez-nous
cela.--Ce fut à l'occasion d'un navire qui paraissait suspect au
conseil de salubrité; l'équipage fut mis en quarantaine; le capitaine
supporta sa claustration pendant quelques jours; mais enfin
l'impatience le gagna, et il quitta le lazaret en transgressant la
consigne.

Ici le narrateur s'arrêta tout court, au grand étonnement de la
galerie.--Eh bien?... fit quelqu'un.--Hé bien, dit Gozlan, le problème
était résolu.--Comment cela? Comment cela? demandèrent plusieurs
voix.--C'est tout simple: le capitaine avait franchi la quarantaine.

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L'UNITÉ EST UN NOMBRE

Un major de place avait indiqué l'exercice pour telle heure. Il arrive
et ne voit qu'un trompette: «Parlez donc, messieurs, pourquoi
n'êtes-vous qu'un?»

                                                      CHAMPFORT.

                       ¤---¤---¤

  En arrivant à Melun,
    Nous étions un;
  En arrivant à Carcassonne,
    Nous étions personne.
                                                     R. PONCHON.

                       ¤---¤---¤

Victor Hugo avait déjà rimé des nombres moins problématiques:

  En partant du golfe d'Otrante,
        Nous étions trente;
  Mais en arrivant à Cadix,
        Nous étions dix.

                       ¤---¤---¤

À propos de cette discussion: _si l'unité est un nombre_, voir la
Logique de Port-Royal, où l'opinion de Stevin est combattue.

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FONCTIONS TRANSCENDANTES

Si je nomme un logarithme, une exponentielle, un cosinus, une
différentielle, une intégrale, on me demandera quels sont ces êtres
inconnus? Vont-ils à deux ou à quatre pieds? Cela vole-t-il,
rampe-t-il ou nage-t-il dans la mer ou dans l'eau douce? Sont-ce des
êtres saisissables à nos sens, pesants, sonores, blancs ou noirs,
chauds ou froids? Si ce sont des êtres métaphysiques, que peuvent-ils
faire dans le monde matériel auquel ils sont étrangers? La pensée ne
transporte point les montagnes et ce n'est pas avec des formules
mathématiques que la nature meut et conserve le monde.

                                                        BABINET.

                       ¤---¤---¤

Propos ironique.

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AUX ENCHÈRES

Dernièrement un astronome allemand a fait annoncer dans les journaux
qu'ayant découvert une nouvelle planète, il lui donnerait le nom de la
personne qui lui offrirait la plus forte somme d'argent. Ajoutons que
le savant désirait acheter des instruments plus puissants pour son
observatoire.

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MOITIÉ PLUS UN

Aujourd'hui le nombre est une religion. Le droit est une question
d'arithmétique. La moitié plus un est persuadée qu'elle est la raison
et la justice, par cela seul qu'elle est la moitié plus un.

                                                   PAUL LAFITTE.

                       ¤---¤---¤

L'arithmétique est un procédé trop sec de gouvernement.

                                                         ROMIEU.

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BOUTADES

On raconte que le roi Alphonse, fatigué de cette complication de
cercles et d'épicycles qui figuraient dans les conceptions de
Ptolémée, s'écria: «Si Dieu m'eût consulté au moment de la création,
je lui eusse donné de bons avis.» On a bien à tort taxé d'impiété
cette boutade qui visait les hypothèses de l'astronome grec.

                                                          ARAGO.

                       ¤---¤---¤

Laplace n'était pas un athée comme Lalande. Il ne faudrait pas prendre
au pied de la lettre la réponse qu'il fit, dit-on, à Napoléon lui
demandant pourquoi il n'avait pas nommé Dieu dans sa Mécanique
céleste: «Sire, je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse.»

(Voir la préface de la _Vie de Cauchy_, par Valson).

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NORD ET SUD

Le Nord et le Sud sont les points les plus diamétralement opposés à
l'horizon.

(_Extrait d'un dictionnaire._)

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Voici un vers assez drôle, qui date du premier empire:

  Et du pôle glacé jusqu'au pôle brûlant.

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SEMAINE DES TROIS JEUDIS

Quoi qu'on en pense, il peut y avoir trois jeudis dans une même
semaine, mais pour trois personnes différentes. Il suffit de supposer
qu'il est jeudi dans un port, le lendemain et la veille du retour de
deux vaisseaux qui ont parcouru la terre, l'un d'Orient en Occident,
l'autre en sens contraire, à raison de trois degrés de longitude par
jour.

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AVOCAT

Les données des problèmes algébriques sont nécessairement antérieures
et supérieures à l'Algèbre. Pour les géomètres, mécaniciens,
astronomes, physiciens et autres, ces données ne sauraient être
arbitraires. Pour les algébristes proprement dits, toutes les données
qui peuvent être mises en équation sont également bonnes. À ce titre,
il en est de l'algébriste comme de l'avocat, qui est prêt à plaider
toutes causes.

                                                 J. A. LANGLOIS.

                       ¤---¤---¤

J'ai eu des relations avec les premiers mathématiciens du siècle, et
il me semble qu'il y avait presque chez tous un petit grain de folie.
Les calculs ont beau ne présenter aucune erreur, ils ne justifient pas
les données imparfaites: or, les données ne sont assises que sur
l'observation, l'expérience et le jugement. Sur une donnée que l'on
croit vraie et qui ne l'est pas, on fait des calculs en l'air.

                                                      J. B. SAY.

                       ¤---¤---¤

Le raisonnement algébrique n'accuse pas toujours la fausseté des
prémisses.

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FINANCIERS

Quand on sait bien les quatre règles, on est un aigle en finances.

                                                       MIRABEAU.

                       ¤---¤---¤

    Prends-moi le bon parti. Laisse là tous les livres.
    Cent francs au denier cinq, combien font-ils? vingt livres.
    C'est bien dit. Vas, tu sais tout ce qu'il faut savoir
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    C'est ainsi qu'à son fils un usurier habile
    Trace vers la richesse une route facile:
    Et souvent tel y vient qui sait pour tout secret,
    Cinq et quatre font neuf, ôtez deux: reste sept.
                                                        BOILEAU.

       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤       ¤

CE PAUVRE ROTHSCHILD

  Il fait le compte, ô ciel! de ses deux milliards,
              Cette somme en démence,
  Et si le malheureux s'est trompé de deux liards,
              Il faut qu'il recommence.
                                   DE BANVILLE (_Occidentales._)

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AU BACCALAURÉAT

--Quelle est la ligne la plus courte d'un point à un autre?

Le candidat, après un instant d'hésitation:

--C'est une ligne de chemin de fer.

Le professeur:--Vous oubliez la ligne télégraphique.

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HUMOUR

Si vous êtes du nombre de ces esprits positifs qui ne se contentent
que des vérités absolues, et qui ne recevraient pas une idée frappée
au coin de Montaigne et de Platon sans lui faire subir l'épreuve du
trébuchet...

Si vous faites plus de cas d'une bonne addition que d'une similitude
ou même que d'une comparaison... Eh, mon Dieu! vous n'avez qu'à
parler! Il faut seulement s'entendre sur un point de départ,
c'est-à-dire sur le calcul de Dioclès de Smyrne qui représente
l'esprit de l'homme par le nombre _mille_.

    Valeur en compte...........................    1000

  Passons à l'analyse:

    Soit Théodore, ou mon imagination..........       0

    Soit don Pic de Fanferluchio ou ma mémoire.       1

    Soit Breloque, ou mon jugement.............     999

Je n'ai pas besoin de faire la synthèse devant vous; mais vous pouvez
la vérifier facilement avec votre professeur de mathématiques, ou avec
votre intendant, ou avec votre blanchisseuse.

Je pose donc hardiment le total!.. 1000.

                                                     CH. NODIER.

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DANSEUR

On pense à moi pour une place, mais par malheur j'y étais propre: il
fallait un calculateur, ce fut un danseur qui l'obtint!

                                                   BEAUMARCHAIS.

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VIN

Diogène avait demandé à Platon quelques bouteilles de vin, Platon lui
en envoya trois douzaines. Diogène le rencontrant le lendemain, lui
dit _quand on vous demande combien font deux fois deux, au lieu de
répondre quatre, vous répondez vingt_: en faisant semblant de le
remercier, il lui reprochait la longueur de ses dialogues.

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CUISINE

Combien de grains de sel faut-il mettre dans un oeuf? demande Argand,
dans Molière.--Six, huit, dix, par les nombres pairs, répond
Diafoirus, comme dans les médicaments par les nombres impairs.

Voici, d'autre part, une fière déclaration que Hugues Le Roux met dans
la bouche de nos maîtres queux:

«Mais patience! La cuisine aura son Chevreul. Un homme de génie
démontrera que les saveurs, comme les sons, comme les couleurs sont
des vibrations. Toutes les vérités mathématiques qui règlent les
combinaisons musicales et lumineuses seront appliquées aux saveurs. On
verra des élèves de l'École normale écrire au tableau des formules de
sauces inconnues, que nous autres nous chercherons dans notre creuset,
dans la casserole. Le siècle ne sera pas tourné que l'on ne pourra
plus être un grand cuisinier si l'on n'est un grand mathématicien.
Avant dix ans, notre corps se recrutera parmi les anciens élèves de
l'École polytechnique.»

                       ¤---¤---¤

Charles Dupin indique sérieusement quelque part le profit que les
cuisiniers peuvent retirer des mathématiques.

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IMPERTINENCE

On demandait à Galilée à quoi servait la Géométrie. _À peser, à
mesurer et à compter_, répondit-il, à peser les ignorants, à mesurer
les sots et à compter les uns et les autres.

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PREMIER VENU

Un solliciteur demande un emploi et cherche à se faire valoir:

--Croyez bien, dit-il, que je ne suis pas le premier venu...

--En effet, vous êtes le douzième depuis ce matin...




PROBLÈMES CURIEUX

ET HUMORISTIQUES




Nos ancêtres goûtaient les _récréations mathématiques_ et en
particulier les problèmes plaisants et délectables (sic) de Bachet de
Méziriac.

Nous proposons ici quelques questions de ce genre, en avertissant
qu'un énoncé qui paraît facile conduit parfois à une équation
supérieure.




ARITHMÉTIQUE


Combien faut-il de chiffres pour écrire les 10, les 100, les 1000, les
10000 premiers nombres, etc.?

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Si l'on écrit bout à bout les nombres successifs, quel sera le chiffre
occupant dans la suite un rang donné?--On trouvera, par exemple, que
le 75872e chiffre est 4.

Étendons la question: on a écrit par ordre tous les nombres de 1 à
99999. Combien a-t-on écrit de chiffres en tout? Quel est le 40000e
chiffre écrit? À quel nombre appartient-il? Enfin, combien y a-t-il de
0, de 1, de 2..... et de 9 dans la suite considérée?

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Vaincus par les Romains, quarante juifs et l'historien Josèphe se
réfugièrent dans une caverne, bien décidés à se tuer plutôt que de se
rendre. Ils se mirent sur un seul rang, se comptèrent trois par trois,
et tuèrent chaque fois le troisième. On demande quelle place choisit
Josèphe pour échapper au massacre?

Josèphe se plaça au 16e ou au 31e rang et il resta finalement avec un
seul homme qui devait se laisser tuer à son tour, mais qui préféra se
rendre à l'ennemi.

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Un navire est menacé de sombrer. Il faut sacrifier la moitié de
l'équipage.

Il y a 32 marins, 16 blancs et 16 noirs. Le capitaine les fait ranger
sur une seule ligne pour les _décimer_. Dans quel ordre, pour sauver
les 16 blancs?

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Parmi les nombres 1; 11; 111; 1111... uniquement formés avec le
chiffre 1, quels sont ceux qui sont _composés_, c'est-à-dire qui ne
sont pas premiers?

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Rendre compte de la particularité que présentent les produits de
12345679 par 9 et chacun des multiples de 9 jusqu'à 81.

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Combien faut-il de temps pour compter jusqu'à un trillion, en
supposant qu'on compte 200 nombres à la minute?

_Réponse:_ 9512 ans.

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3 ouvriers mettent 5 heures pour aller de Paris à Versailles. Combien
d'heures mettront 7 ouvriers pour faire le même voyage?

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Le 26 mai 1876, l'âge de Louis était les 55/71 de l'âge de son frère
Jean. Le 26 juillet suivant, il n'en était plus que les 7/9. Trouver
la date de la naissance de chacun d'eux.

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Faire écrire, par exemple, 7 nombres de 5 chiffres, puis en écrire
soi-même, immédiatement, 7 autres de façon que la somme des 14 nombres
égale (7 × 99999 ou) 499993.

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Expliquer pourquoi tous les produits de 37 par 3 et ses multiples
sont chacun formés de plusieurs fois le même chiffre.--De même, pour
les produits de 12345679 par 9 et ses puissances.

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Une fontaine était formée d'un lion en bronze, portant cette
inscription: «Je puis jeter de l'eau par les yeux, par la gueule et
par le pied droit. Si j'ouvre l'oeil droit, je remplirai mon bassin en
deux jours et, si j'ouvre le gauche, en trois jours; avec mon pied il
me faudrait quatre jours et avec ma gueule six heures. Dites combien
il me faudrait de temps pour remplir le bassin en jetant de l'eau à la
fois par les yeux, par la gueule et par le pied.»

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Deviner la date de la naissance d'une personne.

Faites écrire bout à bout les nombres obtenus en ajoutant
respectivement 30, 60 et 50 au quantième, au numéro du mois et à
l'âge, puis retranchez 306050 du nombre obtenu, il suffit ensuite de
lire le reste.

Exemple: 18 mars 1842, alors 18 + 30 = 48, puis mars étant le 3e mois,
3 + 60 = 63 et enfin puisque, en 1890, l'âge est 48, 48 + 50 = 98; on
écrit 486398 dont on retranche 306050, il reste 18348, soit le 18 du
3e mois et la personne est âgée de 48 ans.

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Trouver la racine carrée de 2/3 à 1/3 près, de 3/4 à 1/4 près, de 5/6
à 1/6 près, etc., en général de _n - 1/n_ à _1/n_.--Même question pour
la racine cubique, la racine quatrième, etc.

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Une femme doit partager un héritage de 350000 fr. avec son enfant à
naître: si elle a un fils, elle ne recevra que la moitié de la part de
ce fils, mais si elle a une fille elle prendra au contraire le double
de la part de sa fille. Il advient que la femme a deux jumeaux, un
fils et une fille. Comment répartira-t-on l'héritage?

_Réponse._--À la mère 100 000 fr., au fils 200 000 fr., à la fille 50
000 fr.

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Montrer que la différence des deux escomptes égale l'escompte en
dehors de l'escompte en dedans et qu'elle égale aussi l'escompte en
dedans de l'escompte en dehors.

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On appelait _règle d'or_ notre vulgaire _règle de trois_, qui est un
problème et non une règle, et où il s'agit généralement de plus de
trois nombres.

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Voir dans Taine (_De l'Intelligence_, t. 1) la philosophie de la règle
de trois.

«J'ai un jardin enclos de haies, et on me vole mes fruits; je me
décide à l'entourer d'un mur, je prends ce que je trouve d'ouvriers
dans le village, quatre par exemple et je vois au bout d'un jour
qu'ils m'ont fait ensemble seulement douze mètres. J'envoie chercher
six autres ouvriers au village voisin...»

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Le _fameux_ 45 peut être divisé en 4 parties telles qu'on obtienne le
même résultat, en ajoutant 2 à la première, en retranchant 2 à la
seconde, en multipliant la 3e par 2 et enfin en divisant la 4e par 2.
(Question analogue pour 75 et 4.)

En second lieu, on a:

  987654321 45
  123456789 45
  ---------
  864197532 45

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Trouver _m_ nombres entiers consécutifs dont aucun ne soit premier.

Former N = 2 × 3 × 4 × 5 × 6... × _m_ × (_m_ + 1), puis prendre N +
2, N + 3, N + 4,... N + _m_ + 1.

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D'un nombre de trois chiffres, on retranche le nombre renversé et on
donne le nombre des unités de la différence. Deviner les deux autres
chiffres.

_Réponse:_ Dans la différence, le chiffre des dizaines est toujours 9
et la somme des deux autres chiffres est toujours 9.

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Combien y avait-il de pêches dans un panier que j'ai distribué à mes
trois enfants? Le premier a reçu la moitié du tout plus la moitié
d'une pêche; le second la moitié du reste plus la moitié d'une pêche;
enfin le 3e la moitié du reste plus la moitié d'une pêche. Il m'est
alors resté quatre pêches et je n'ai eu à couper aucune pêche.

_Réponse:_ 39.--Autres solutions, lorsqu'on n'indique plus le nombre
des pêches restantes: 7; 15; 23; 34; 47... Généralisation pour _n_
enfants.

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Les enfants _montrent_ que 6 et 7 font 9; que 6 et 3 font 8; que 4 et
2 font 1, etc. Pour cela, ils tracent autant de petits traits
verticaux que l'indique le premier des trois nombres et ils les
joignent convenablement par autant de traits horizontaux ou inclinés
que l'indique le second nombre, de façon à écrire, en lettres
capitales, le troisième nombre.

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Sur le bord d'une rivière se trouvent trois rois et trois valets. Ces
derniers ont projeté de tuer les rois. Il n'y a qu'un bateau si petit
que deux personnes seules peuvent y tenir. Il s'agit d'opérer
l'embarquement de telle sorte que les valets ne soient jamais sur une
rive en nombre supérieur aux maîtres.

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Trouver un nombre de trois chiffres sachant qu'il est divisible par 5
et que le quotient est le nombre formé par les deux derniers chiffres
du nombre demandé.

Les seules solutions sont 125, 250 et 375.

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Trouver deux nombres sachant que l'un d'eux surpasse l'autre de 13-1/2
et le contient 13 fois 1/2.

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Vous demandez mon âge et mon prénom?

Mon âge est égal à son tiers plus le produit de son neuvième par les
deux tiers de son septième. Quant à mon prénom, vous le trouverez dans
le calendrier si à la moitié du nombre des jours écoulés depuis le
commencement de l'année vous ajoutez le tiers des jours à courir du
jour de ma fête jusqu'à la fin de l'année ordinaire.

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Trouver un nombre de 4 chiffres égal au carré du nombre formé par ses
deux derniers chiffres.

_Réponse:_ 5776.

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De combien de marches se compose un escalier quand en le montant de
deux en deux, il en reste une; de trois en trois, il en reste deux; de
quatre en quatre, il en reste trois; de cinq en cinq, il en reste
quatre; de six en six, il en reste cinq; et de sept en sept il n'en
reste pas.

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Trouver un nombre égal au cube de la somme de ses chiffres.

_Réponse:_ 6859; 4913; 1; 512; 17576; 19683.

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Dans son Monte-Christo, Alexandre Dumas demande d'établir une addition
composée de tous les neuf premiers chiffres sans les répéter et sans
employer le zéro, de façon que le total soit cent.

_Réponse:_ 74; 25; 3/6; 9/18.

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Les nombres 49; 4 [48/] 9; 44 [48/] 89; 444 [48/] 889 etc.,
obtenus en insérant 48 au milieu du précédent sont des carrés
parfaits.

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Trouver un nombre entier _x_ tel que la somme des _x_ premiers nombres
entiers se compose de 3 chiffres égaux.

_Réponse:_ seulement _x = 36_ et alors la somme des 36 premiers
nombres est 666.

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Un nombre quelconque étant donné, si on le récrit en plaçant le 1er
chiffre sous le 4e et si l'on ajoute, on a le nombre primitif
multiplié par 7 × 11 × 13.

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Dans un compte, on trouve l'article suivant:

  _{*}1 à 2^{f},_{*}8 ci............ _{*}98^{f},38.

Les astérisques indiquent des chiffres effacés ou illisibles qu'il
s'agit de rétablir.

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Trois frères ont 30 ans, 20 ans et 6 ans; dans combien d'années la
somme des âges des deux plus jeunes égalera-t-elle l'âge de l'aîné?

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Combien faut-il de chiffres pour paginer un livre de 1645 pages?

Il en faut 5473.

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Quel est le nombre de pages d'un dictionnaire dont la pagination a
nécessité 15321 chiffres?

4107 pages.

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On demande le nombre de 3 chiffres dont le double représente le nombre
des chiffres de tous les nombres non supérieurs au nombre cherché.

_Réponse:_ 108.

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Trouver deux nombres entiers tels que leur somme égale leur
produit.--Même question pour trois nombres.

_Réponses:_ 1º 2 et 2; 2º 1, 2 et 3.

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Trouver un nombre entier de deux chiffres qui soit égal au double
produit de ses chiffres.

_Réponse:_ 36.

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Une brebis, un agneau et deux lapins mangeraient l'herbe d'un enclos,
la première en 30 jours, le 2e en 45 jours et les deux derniers en 90
jours, si cette herbe ne poussait pas; mais l'herbe se renouvellerait
en 60 jours. Dans combien de jours, l'herbe de l'enclos sera-t-elle
épuisée?

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Quels sont les nombres égaux à la somme des chiffres de leurs cubes?

Ce sont 1, 8, 17, 18, 26 et 27.

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Un escargot grimpant le long d'un poteau de 12 mètres fait 3 mètres le
jour et redescend 2 mètres la nuit. Au bout de combien de jours et de
nuits aura-t-il atteint le sommet du poteau?

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Une ficelle a 30m de long; chaque jour, d'un coup de ciseau, on en
coupe un mètre. Dans combien de jours aura-t-on fini?

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Un arabe laisse à ses trois fils 17 chameaux. Le premier doit en avoir
la moitié, le second le tiers et le troisième le neuvième. Comment
répartir les 17 chameaux?

Le cadi appelé arrive monté sur son chameau, il y a alors 18 chameaux,
le premier des frères en reçoit 9, le deuxième 6 et le troisième 2. Le
cadi remonte sur son propre chameau et rentre sous sa tente.

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Y a-t-il sur le globe deux hommes ayant le même nombre de cheveux?

Soit 100 000, par exemple, le nombre de cheveux maximum sur une seule
tête, alors il n'y a pas plus de 100 000 individus ayant un nombre de
cheveux différent, or la terre compte plus de 100 000 habitants...

Question proposée par Nicole à la duchesse de Longueville.--Auguste
Comte en parle aussi.

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Trouver 6 fois 13 en 12.

Écrire les 12 premiers nombres, prendre les produits des extrêmes et
ceux des nombres qui en sont équidistants.

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Les trois Grâces, portant chacune le même nombre de couronnes,
rencontrent les neuf Muses et leur distribuent des couronnes de façon
que chaque Grâce et chaque Muse en ait autant l'une que l'autre. On
demande combien chaque Grâce portait d'abord de couronnes?

Extrait de l'_Anthologie grecque_.

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Sur le bord d'une rivière se trouvent un loup, une chèvre et un chou;
il n'y a qu'un bateau si petit, que le batelier seul et l'un d'eux
peuvent y tenir. Il s'agit de les passer tous les trois, de telle
sorte que le loup ne mange pas la chèvre, ni la chèvre le chou en
l'absence du batelier.

Ce problème de Bachet a peut-être donné lieu à la locution: «Ménager
la chèvre et le chou», à moins qu'il n'ait été inspiré par elle.

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Trois piétons, marchant ensemble, ont fait 24 lieues; combien chacun
a-t-il fait de lieues?

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Nous empruntons aux _Récréations scientifiques_ de M. Lagarrigue, le
problème suivant:

Trois femmes vont au marché pour vendre des oranges; la 1re en a 50,
la 2e 30 et la 3e 10. Comment pourront-elles faire pour vendre leurs
oranges au même prix et pour rapporter cependant chacune la même
somme?

_Réponse._--Les femmes vendent leurs moins belles oranges à 7 pour 5
centimes autant de fois que possible, puis le reste à 15 centimes
pièce.

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Un cuisinier donne la moitié de ses oeufs et la moitié d'un oeuf, à
son 1er aide; au 2e aide, la moitié du reste des oeufs et la moitié
d'un oeuf; au 3e aide, encore la moitié du reste des oeufs et la
moitié d'un oeuf. Combien le cuisinier avait-il d'oeufs et comment
a-t-il pu procéder, pour ne pas casser d'oeufs?

_Réponse._--39 oeufs, par exemple, et il en reste ensuite 4 au
cuisinier.




GÉOMÉTRIE


Diviser un triangle en deux parties qui aient à la fois même périmètre
et même surface.

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Construire un triangle, un pentagone, et plus généralement un polygone
d'un nombre impair de côtés, connaissant les milieux de tous les
côtés.

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Quelle est la graduation de l'arc qui a la même longueur que le rayon?

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Tout triangle dont deux des bissectrices sont égales est isoscèle.

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Connaissant le rayon d'un rouleau de papier peint et le nombre des
feuilles, déterminer la longueur du rouleau.

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Décrire une route circulaire équidistante de quatre points.

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Étant donné un point sur une sphère impénétrable, construire le point
diamétralement opposé, en se servant du compas sphérique.

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Trouver avec le compas seulement les points de division d'une
circonférence en quatre parties égales.--De même, en cinq, huit,
douze, etc. parties égales.

On peut résoudre des problèmes avec le compas seul; on peut aussi en
résoudre avec la règle seule.

On a ainsi la _géométrie du compas_ et la _géométrie de la règle_.

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Inscrire dans un cercle un polygone régulier de dix-sept côtés.

_Gauss_, dans ses _Disquisitiones arithmeticæ_, démontre qu'on peut
construire, avec la règle et le compas, le côté de tout polygone
régulier inscrit dont le nombre des côtés est premier de la forme
_2^{m} + 1_.

Il y a de curieuses relations entre les équations binomes et
l'inscription des polygones réguliers.

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Le triangle de Pythagore a pour côtés les nombres consécutifs 3, 4 et
5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on
obtient une infinité de triangles rectangles, à côtés entiers.

Ce triangle simple permet d'élever, à l'aide de trois cordeaux, la
perpendiculaire en un point d'une droite.

On déduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle à côtés
entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour côtés de
l'angle droit la différence des carrés des deux côtés primitifs et le
double produit de ces mêmes côtés. On trouve 7, 24 et 25.

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Si les côtés de trois polygones semblables sont proportionnels à 3, 4
et 5, la surface du plus grand vaut la somme des surfaces des deux
autres.

Proposition analogue pour quatre polyèdres semblables dont les côtés
sont proportionnels à 3, 4, 5 et 6. On considère alors les volumes.

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Deux villages occupent des positions connues des deux côtés d'un
ruisseau, établir un pont qui soit équidistant de chacun d'eux.

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Étant donné un triangle isoscèle, construire un second triangle
isoscèle de même surface et de même périmètre que le premier.

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Un gourmet paye un franc une botte d'asperges, entourée d'une ficelle;
le lendemain, il demande pour deux francs une botte des mêmes
asperges, qui soit entourée d'une ficelle double. Est-ce équitable?

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Couper une pyramide quadrangulaire quelconque suivant un
parallélogramme.

Couper un cube suivant un hexagone régulier.

Couper un prisme suivant un triangle équilatéral.

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On propose de recouvrir entièrement une portion de plan avec un
carrelage formé de polygones réguliers de même espèce, ou d'espèces
différentes.

Montrer qu'on peut exécuter un pavage avec des triangles équilatéraux,
ou avec des carrés, ou avec des hexagones réguliers, mais qu'on ne le
peut avec des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus
de six côtés.

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M. X... laisse à sa mort un pré carré dont on doit donner le quart aux
pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du défunt, en
quatre parties de même surface et de même forme.

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Trouver un triangle rectangle dont les côtés soient des nombres
entiers et dont l'aire soit exprimée par le même nombre que le
contour.

_Réponses:_ 5, 12 et 13; 6, 8 et 10.

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Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données.

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Décrire trois circonférences telles que chacune touche les deux autres
et soit tangente à un côté d'un triangle donné.

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Construire un triangle connaissant ses trois médianes ou ses trois
hauteurs.

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Tracer sur le terrain l'_ovale de jardinier_ avec trois piquets et un
cordeau.

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Inscrire un carré à un triangle.--Sur lequel côté s'appuie le plus
grand carré?

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Décomposer un pentagone régulier en sept parties, de façon
qu'assemblées convenablement, elles forment un carré.

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Trouver la surface d'une figure qu'il est impossible de décomposer en
figures géométriques calculables.--Même question pour le volume.

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Trouver la distance des centres de deux sphères données, en ne se
servant que de la règle et du compas.

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1º Mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut pas prolonger les
côtés jusqu'à leur point de rencontre.

2º Mener par un point donné une droite qui irait passer par le sommet
de l'angle précédent.

3º Distance d'un point à un point inaccessible.

4º Distance de deux points inaccessibles.

5º Hauteur d'une tour dont le pied est accessible.

6º Hauteur d'une tour ou d'une montagne dont le pied est inaccessible.

7º Rayon d'un bassin inaccessible.

8º Prolonger une droite au-delà d'un obstacle.

9º Déterminer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser.

10º Reconnaître si quatre points sont dans un même plan, puis s'ils
sont sur une même circonférence.

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  Au grand soleil, je viens de mettre
  La lance de mon étendard;
  Sa longueur vaut trois fois le mètre;
  Son ombre a cinq mètres un quart.
  Vois aussi la tour de l'église:
  Par son nombre elle marque cent.
  Calcule la hauteur précise
  Du vieux clocher retentissant.
                                                         VITREY.

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Décomposer un carré en portions telles, qu'en les réunissant
convenablement, on forme: 1º huit carrés égaux, 2º cinq carrés égaux,
3º trois carrés égaux.

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Un jour d'été, une pie aperçoit de l'eau dans un trou conique de 3
pouces de diamètre au fond. Elle accourt et constate que l'eau a une
surface de 6 pouces de diamètre et s'élève à une hauteur de 2 pouces.
La pie ne pourrait atteindre l'eau que si sa surface avait 8 pouces de
diamètre. Elle vole vers un trésor qu'elle a découvert, combien
faudra-t-il qu'elle y prenne de pièces de monnaie d'une ligne
d'épaisseur et de 16 pouces de diamètre pour qu'en les portant dans
l'eau elle puisse boire à son aise?

Cette pie n'était pas curieuse du système métrique.

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Un étang a la forme d'un carré; au sommet de chacun des angles est
planté un arbre extérieur. Donner à l'étang une surface double sans
changer sa forme et sans déplacer les arbres qui doivent toujours
rester en dehors de l'étang.

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Faire un dodécagone équilatéral et rectangulaire.

(Il est concave: c'est la croix de Genève.)

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Au milieu d'une pièce d'eau carrée de 10 pieds de longueur et de
largeur pousse un roseau qui s'élève d'un pied au-dessus de l'eau. En
le tirant vers le milieu d'un côté, il atteint juste le bord. Quelle
est la profondeur de l'eau?

La réponse à ce très ancien problème chinois est 12 pieds.

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Partager un cercle en un nombre donné quelconque de parties ayant
toutes le même périmètre et la même surface.

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Étant donnés deux sommets d'un carré, déterminer les deux autres à
l'aide du compas seul.




ALGÈBRE


  Passant, sous ce tombeau repose Diophante,
  Et quelques vers tracés par une main savante
  Vont te faire connaître à quel âge il est mort;
  Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
  Le sixième marqua le temps de son enfance;
  Le douzième fut pris par son adolescence.
  Des sept parts de sa vie une encore s'écoula,
  Puis, s'étant marié, sa femme lui donna
  Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
  Reçut de jours, hélas! deux fois moins que son père.
  De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut:
  Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

SOLUTION

  Représente par _x_ le nombre en question
  Et, sans rien oublier, pose une équation
  Où dans le premier membre on trouve le sixième,
  Puis le douzième d'_x_, augmentés du septième.
  Ajoutes-y neuf ans: le tout égalera
  La moitié d'_x_. Transpose, ajoute... et cætera.
  Tu verras aisément, sans qu'on puisse en rabattre,
  Que l'âge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre.

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Un mulet et un âne portent des charges de quelques quintaux. L'âne se
plaint de la sienne et dit au mulet: il ne me manque que de porter
encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit le double de la
tienne. Le mulet répond: et moi, si je prends un quintal de ta charge,
la mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils
portent chacun.

                                                          EULER.

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En supposant qu'il faille 24 clous, pour ferrer un cheval, et que le
maréchal prenne un centime pour le 1er clou, 2 centimes pour le 2e, 4
centimes pour le 3e, etc., en doublant toujours. À combien reviendront
le 24e clou et tous les clous ensemble?

_Réponse:_ 83.886 fr. 08 et 167.772 fr. 15.

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Quelqu'un a un vase de douze litres plein de vin; il veut faire un
cadeau de six litres ou de la moitié, mais il n'a pour mesurer les six
litres que deux vases, l'un de huit litres, l'autre de cinq. Comment
s'y prendre pour mettre les six litres dans le vase de huit?

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Un gentilhomme fait faire deux habits, l'un bleu et l'autre écarlate,
mais il n'en fait garnir qu'un en or. Le bleu vaut 84 fr., sans le
galon. Si l'on pose le galon sur le bleu, son prix est double de celui
de l'autre. Si, au contraire, le galon est mis sur l'habit écarlate,
le prix de celui-ci sera triple de celui du bleu. Calculer séparément
le prix de l'habit écarlate et le prix du galon.

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Il y a actuellement près d'un milliard trois cents millions d'hommes
et l'augmentation annuelle de la population est d'environ 1/200.
Combien y a-t-il d'années que vivaient Adam et Ève?

_Réponse:_ 4.100 ans.

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            Bacchus, ayant vu Silène
            Auprès de sa cuve endormi,
            Se mit à boire sans gêne
            Au dépens de son ami.
  Ce jeu dura pendant le triple du cinquième
  Du temps qu'à boire seul Silène eut employé;
  Il s'éveille bientôt, et son chagrin extrême
  Dans le reste du vin est aussitôt noyé.
            S'il eût bu près de Bacchus même,
            Ils auraient, suivant le problème,
            Achevé six heures plus tôt;
      Alors Bacchus eût bu, pour son écot,
            Deux tiers de ce qu'à l'autre il laisse.
            Ce qui maintenant m'intéresse,
            Est de savoir exactement,
  Le temps qu'à chaque drôle il faut séparément
            Pour vider la cuve entière,
  Sans le secours de son digne confrère.

Voici la réponse, par un élève du lycée Charlemagne:

  Dans cette occasion Silène eut tout l'honneur.
  En quinze heures, Bacchus acheva la besogne;
  Il n'en fallut que dix au digne précepteur:
  J'en conclus qu'il était de moitié plus ivrogne!

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Un maître promet à son valet 360 fr. par an et une livrée; il le
renvoie au bout de 10 mois et en lui donnant 290 fr. et la livrée.
Combien valait cette livrée?

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Combien doit-on à un maçon qui s'était engagé à creuser un puits de 20
mètres de profondeur et qui tombe malade après avoir creusé le dixième
mètre?

_Réponse:_ 125 francs, si l'on suppose qu'on paye cinq francs pour
creuser une profondeur d'un mètre et pour emporter la terre.

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Construire avec un carton carré, la boîte de capacité maximum.--Cas où
le carton est rectangulaire.

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Construire avec une toile carrée la tente régulière carrée de capacité
maximum.

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À quelle distance du pied de la colonne Vendôme, un vieux soldat
doit-il se placer pour voir son Empereur sous le plus grand angle
possible?

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Une dame, ayant laissé tomber un bijou dans le lac de Genève, promet
100 fr. aux plongeurs qui le lui rapporteront. Trois sociétés de
bateliers se présentent, l'une de Genève, la 2e de Suisse et la 3e de
Savoie. Les bateliers de la société qui fera la découverte recevront 5
fr. par tête et le reste sera partagé également entre les autres. Si
les Genevois réussissent, les autres auront 2^{f}(1/4); si ce sont les
Suisses, les autres auront 1^{f}(2/3); enfin si ce sont les
Savoisiens, les autres auront 1 fr. par tête. On demande de combien de
bateliers se compose chaque société.

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Deux horloges A et B sonnent l'heure en même temps; A avance de 3
secondes sur B. Les coups de l'horloge A se succèdent à 5 secondes
d'intervalle, ceux de B à 4 secondes, d'ailleurs lorsque l'intervalle
qui sépare deux coups ne surpasse pas une seconde, l'oreille ne
perçoit qu'un son. On a entendu 14 coups; quelle heure est-il?

_Réponse:_ 10 heures.

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Comment deviner un nombre pensé?

1º Du carré du nombre immédiatement supérieur, faites retrancher le
carré du nombre; on vous dit la différence, vous retrancherez un, puis
vous prenez la moitié.

2º Vous pouvez aussi faire multiplier le nombre immédiatement
supérieur par le nombre immédiatement inférieur; on vous dit le
produit, vous ajoutez un, puis vous prenez la racine carrée.

3º Autrement: faites tripler le nombre pensé, retranchez ensuite un,
triplez le nouveau résultat et ajoutez ensuite le nombre pensé;
demandez ce qu'on a ainsi obtenu, ajoutez 3 au résultat et prenez les
dizaines du nombre obtenu.

4º On peut encore faire tripler le nombre, prendre la moitié du
triple, tripler cette moitié et enfin prendre le neuvième du résultat:
en doublant ce neuvième, on aura le nombre primitif.

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Dans une cage de lapins et de faisans, il y a en tout 35 têtes et 94
pattes.

Combien y a-t-il d'animaux de chaque espèce?

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Lorsqu'un ouvrier travaille tous les jours, même le lundi, il
économise 5 francs par semaine; mais quand il ne travaille pas le
lundi, il se met en retard de 3 fr. Au bout de 12 semaines il a
épargné 36 fr.; combien a-t-il eu de bonnes semaines?

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Combien un piéton fait-il de kilomètres à l'heure, sachant qu'ayant
fait 24 kilomètres, s'étant reposé une heure et ayant fait ensuite 15
kilomètres en marchant deux fois moins vite, son voyage a duré 14
heures et demie?

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Archimède, voulant connaître la composition en or et en argent de la
couronne du roi Hiéron, constata qu'elle pesait 20 livres dans l'air
et qu'elle perdait une livre 1/4, lorsqu'on la pesait dans l'eau. Les
densités de l'argent et de l'or sont 10,5 et 19. Quelle était la
composition de la couronne?

(On sait qu'un corps plongé dans un liquide perd une partie de son
poids égale à celui du liquide qu'il déplace.)

C'est Vitruve qui nous a fait connaître l'expérience d'Archimède.

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Deux localités A et B étant distantes de 225 kilomètres, le quintal de
charbon coûte 3 fr. 75 en A et 4 fr. 25 en B et le transport 0 fr. 08
par tonne et par kilomètre. On demande le point entre A et B où le
charbon revient au même prix, qu'on le fasse venir de A ou de
B.--Montrer que c'est en ce point que le charbon revient le plus cher.

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On vous nomme un nombre, faites écrire à la suite le nombre renversé
et diviser le nombre total successivement par 7, par 11 et par 13.
Deviner le dernier quotient.

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Un vieillard, fin spéculateur, qui a ses trente-deux dents, fait le
marché suivant: les sommes qu'il touchera pour chaque _dent extraite_
de sa bouche seront en progression géométrique de premier terme et de
raison 2. Mais pour chaque dent _non extraite_ de la même bouche, les
sommes à payer au dentiste seront en progression géométrique de
premier terme et de raison 3. Contrairement à ses prévisions, le
vieillard se trouve mal après l'extraction de la dix-neuvième dent et
renonce à continuer. Calculez: 1º la somme qui eût été gagnée si
l'extraction des trente-deux dents avait été complète; 2º la somme à
payer au dentiste par suite des treize dents non arrachées.

(Ce problème de dentiste est baroque.)

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18 boeufs ont mangé en 2 jours l'herbe contenue dans 55 ares de
terrain, plus l'herbe qui y a poussé pendant ces 5 jours.--15 boeufs
ont mangé en 8 jours l'herbe contenue dans 70 ares de terrain, plus
l'herbe qui y a poussé pendant ces 8 jours.--Combien faudra-t-il de
boeufs pour manger en 20 jours l'herbe contenue dans 385 ares de pré,
plus l'herbe qui y pousserait pendant ces 20 jours?

_Réponse:_ 39 boeufs.

                                                         NEWTON.

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Un banquier qui fait pour 10 millions d'affaires par an, veut savoir
ce qu'il gagne à renouveler le placement de ses capitaux 2 fois, 3
fois, 4 fois, etc., par an et enfin en les replaçant _à chaque
instant_. (Les intérêts se composent à 6%.)

_Réponse:_ Au lieu de 10600000 fr., le banquier a au bout de l'année
10612080 fr., etc., etc., et enfin 10618365 fr.

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Trouver entre 1000 et 2000 deux nombres consécutifs dont la différence
des cubes soit un carré?

M. L. Thomas trouve 1455 et 1456.

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Un marchand de bestiaux achète 40 moutons à 32 fr. pièce; il en perd
un certain nombre et revend les autres en augmentant par tête le prix
d'achat d'autant de francs qu'il a perdu de moutons. Il gagne ainsi 15
fr. sur son marché. Combien avait-il perdu de moutons?

Même question, en supposant que le marchand ne gagne ni ne perd sur
son marché.

Même question encore, en supposant que le marchand perd 20 fr. sur son
marché.

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Un voyageur, d'une taille de 1m,80, s'avance vers un phare allumé; au
début son ombre est de 3m et, lorsqu'il a avancé de 100 mètres, son
ombre est de 2m,20; à quelle distance est-il du phare dans sa seconde
position et quelle est la hauteur du phare?--Même question lorsqu'on
ne donne pas la taille de l'homme et qu'on ne demande pas la hauteur
du phare.

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Trouver l'âge, en 1892, d'une personne, sachant qu'il est égal à la
somme des chiffres de l'année de la naissance.

_Réponse:_ 19 ans.

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Une montre à trois aiguilles marque deux heures; à quelle heure
l'aiguille des secondes sera-t-elle bissectrice de l'angle des deux
autres?--Les pointes des trois aiguilles peuvent-elles former un
triangle équilatéral?

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D'après l'article 757 du Code civil, le droit de l'enfant naturel est
d'un tiers de la portion héréditaire qu'il aurait eue s'il eût été
légitime. Partager en conséquence la succession d'une personne qui
laisse _l_ enfants légitimes et _n_ enfants naturels.

_Réponse._--En prenant l'héritage pour unité, M. Catalan trouve
pour la part d'un enfant légitime:

  (1/_l_)-(_n_/3_l_(_l_+1))+(_n_(_n_+1)/3^{2}_l_(_l_+1)(_l_+2))-...
  ±(_n_(_n_-1)...3.2.1/3^{_n_}_l_(_l_+1)...(_l_+_n_)_)

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Un renard poursuivi par un lévrier a 60 sauts d'avance; le renard fait
9 sauts pendant que le lévrier en fait 6, mais trois sauts du lévrier
en valent 7 du renard. Après combien de sauts le lévrier
atteindra-t-il le renard?

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Un lévrier vient d'atteindre un lièvre qui avait 77 sauts d'avance. On
sait que 12 sauts du lévrier en valent 17 du lièvre et que pendant que
le lévrier aurait fait autant de sauts qu'en a fait le lièvre,
celui-ci en aurait fait 216 de plus. Combien le lièvre avait-il fait
de sauts avant d'être atteint?

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Un père a 49 ans et son fils en a 10. Dans combien d'années l'âge du
père sera-t-il le quadruple de celui du fils?

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À quel prix un bouquiniste avait-il acheté un vieux livre, sachant
que, l'ayant revendu 171 fr., il a gagné autant pour cent que le livre
lui avait coûté?

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Deux bureaux de bienfaisance ont distribué chacun 1200 francs à des
pauvres; le second en a secouru 40 de plus que le premier, mais il a
donné 5 francs de moins à chacun. Combien chaque bureau a-t-il secouru
de pauvres?

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Quand les deux orifices sont ouverts, un réservoir est vidé en 15
heures; le petit étant seul ouvert, met 16 heures de plus que le grand
pour vider le bassin. Combien de temps chaque orifice met-il seul pour
vider le bassin?

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Le roi des Perses ayant demandé à Sessa, l'inventeur du jeu des
échecs, quelle récompense il désirait, Sessa répondit qu'il désirait
un grain de blé pour la première case, deux pour la seconde, quatre
pour la troisième, huit pour la quatrième et ainsi de suite, en
doublant toujours jusqu'à la soixante-quatrième case.

Le roi sourit; or, en faisant le calcul, on trouve 2^{64}-1 =
18.446.744.073.709.551.615 grains de blé, huit fois plus que la terre
ne produirait en un an, si toute sa surface était ensemencée en blé.

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Un tonneau contient cinquante litres de vin pur; on en retire deux
litres qu'on remplace par de l'eau; du nouveau vin on retire encore
deux litres qu'on remplace par de l'eau; on agit de même une troisième
fois, on demande la composition en vin et en eau du mélange final.

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Combien a-t-on eu de mètres d'étoffe pour 180 fr.; sachant que si,
pour ce prix on avait eu 2 mètres de plus, chaque mètre aurait coûté 3
francs de moins?

                                                          EULER.

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Combien une horloge, sonnant les heures, les quarts, les demies, les
trois quarts, frappe-t-elle de coups pendant le tour du cadran?

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Déterminer sur la droite qui joint deux lumières le point également
éclairé.

                                                       CLAIRAUT.

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Trouver un triangle ayant pour côtés trois nombres entiers consécutifs
et dont le plus grand angle soit double du plus petit.

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Un arpenteur, après avoir mesuré un terrain rectangulaire, en a oublié
les dimensions, mais il sait que leur somme est 650 mètres et que la
superficie du terrain est de 10 hectares 46 ares 45 centiares.
Calculer les deux dimensions du champ.

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  Des singes s'amusaient: de la troupe bruyante
  Un huitième au carré gambadait dans le bois;
        Douze criaient tous à la fois
  Au haut de la colline verdoyante.
        Combien étaient-ils au total?

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            D'un essaim de mouches à miel
            Prends la moitié, puis la racine;
  Dans un champ de jasmin, cette troupe butine.
  Huit neuvièmes du tout voltigent dans le ciel.
            Une abeille solitaire
  Entend, dans un lotus, son mari bourdonner:
  Attiré par le miel, pendant la nuit dernière,
            Il s'était fait emprisonner.
  De combien est l'essaim, le saurais-tu, ma chère?

Ce problème et le précédent sont traduits par M. L. Rodet du Lilawâti,
recueil mathématique en vers que l'hindou Bhâscara, vivant au XIIe
siècle, dédia à sa fille.

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Trouver les rayons d'un cylindre et d'un cône, de même hauteur connue,
sachant qu'ils sont équivalents en volume et en surface.

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Le prix du diamant étant proportionnel au carré de son poids, un
diamant cassé en deux morceaux quelconques perd de sa valeur; dans
quel cas la dépréciation est-elle la plus grande possible?

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Quelle annuité faut-il payer pour réduire de moitié, au bout d'un
temps donné, une dette contractée à intérêts composés à un certain
taux?

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Dans le trajet d'une voiture, on a remarqué que la roue du devant, qui
a 2m,20 de tour, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrière,
qui a 4 mètres de tour. Quelle est la longueur du trajet?

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On fait une première saignée et on pèse la partie solide du sang
coulé; on injecte un poids connu d'eau distillée: on fait une seconde
saignée de même poids que la première et on pèse encore la partie
solide. Calculer d'après ces expériences, le poids du sang circulant
dans le corps.

                                                       VALENTIN.

À l'aide de données numériques que nous omettons, on trouve 14
kilogrammes, nombre un peu trop fort parce qu'on néglige l'eau
transsudée pendant les cinq minutes nécessaires pour que l'eau se
répartisse dans tout le sang.

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Pour calculer la profondeur d'un puits, on peut noter, avec une montre
à secondes, combien de temps il s'écoule entre l'instant où on laisse
tomber une pierre à l'ouverture du puits et l'instant où l'on entend
le choc contre le fond.

                                                         NEWTON.

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Calculer la vitesse propre d'un bateau, sachant que pour descendre 24
kilomètres sur une rivière dont le courant est de 3 kilomètres par
heure et pour remonter ensuite 13 kilomètres, il a fallu en tout 7
heures au bateau.

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Trouver un nombre de deux chiffres égal au produit de la somme de ses
chiffres par leur différence.

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Sur le bord d'une rivière s'élève une colonne surmontée d'une statue;
un observateur, placé sur la rive opposée, voit sous un même angle la
statue et un soldat placé au pied de la colonne: on demande,
connaissant les hauteurs de la colonne, de la statue et du soldat, de
calculer la largeur de la rivière.

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Voici un joli tour: il s'agit de deviner une carte _pensée_.

On prend au hasard 21 cartes que l'on range en 3 paquets de 7 cartes,
en en plaçant d'abord 3 à côté l'une de l'autre, puis les 3 cartes
suivantes successivement sur les 3 premières et ainsi de suite. On
demande à une personne de penser une des cartes qu'elle voit ainsi
ranger et on lui demande dans quel paquet se trouve la carte pensée.
On met alors les 3 paquets l'un au-dessus de l'autre, en ayant soin de
placer au milieu le paquet contenant la carte pensée, les rectos des
cartes étant tous du même côté. On range de nouveau les cartes en 3
paquets de 7 cartes en procédant comme tout à l'heure, on demande
encore dans quel paquet se trouve la carte pensée, on place ce paquet
entre les deux autres et on recommence une troisième fois la même
manoeuvre.--Finalement, la carte pensée se trouve être la onzième!




MÉCANIQUE


Deux courriers marchant uniformément sur deux droites, quelle position
occupent-ils lorsque leur distance est minimum?

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Faire tourner les deux pieds autour des talons restant fixes, jusqu'à
ce que la base d'appui soit maximum: c'est alors que la stabilité est
la mieux assurée.

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Une marchande de cerises a perdu ses poids; arrivée sur le marché,
elle trouve un grès de 40 livres, le partage en quatre morceaux et
vend au détail la marchandise: Quels sont les poids des quatre
fragments qui servent pour les pesées entre 1 et 40 livres?

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À deux de ses clients, un marchand pèse un même poids de marchandise,
avec une balance à bras inégaux. Il intervertit dans les deux cas
l'usage des plateaux. Le marchand, en procédant ainsi, gagne-t-il ou
perd-il?

Il perd.

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Centre de gravité d'une sphère dans l'intérieur de laquelle est
pratiquée une cavité sphérique; 2º lorsque la cavité est remplie de
substance différente.

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Calculer l'heure indiquée par une horloge, sachant que les aiguilles
sont dirigées: la petite dans l'intervalle entre les chiffres XI et
XII du cadran, la grande dans celui entre les chiffres XII et I et que
la marche naturelle du mécanisme peut à un autre instant les
substituer l'une à l'autre.

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Un commerçant se servant d'une balance fausse gagne 11% de plus que si
elle était exacte. Mais s'il changeait de plateau, la marchandise et
les poids, son gain serait nul. Quel serait le gain pour cent, si la
balance était exacte?

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Expliquer la suspension des cerfs-volants sous l'action du vent et de
la traction de la corde.

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Faire voir qu'en orientant convenablement la voile, on peut, sous
l'action d'un vent de direction donnée, faire prendre à un bateau des
directions presque en sens contraire.

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Les deux problèmes suivants sont dûs à M. G. Tarry:

3 ballons se meuvent uniformément en ligne droite; on donne leurs
positions à 2 instants différents. Construire une droite qui puisse
être parcourue uniformément par un ballon, de façon que les trois
premiers ballons paraissent immobiles à l'aéronaute du 4e.

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4 trains se meuvent uniformément sur des voies rectilignes; on donne
leurs positions à 2 instants différents. Construire une voie
rectiligne qui puisse être parcourue uniformément par un train de
façon qu'à tout instant les 4 premiers trains paraissent immobiles
aux voyageurs du 5e.




ASTRONOMIE


On demande combien de kilomètres par minute parcourt un paralytique du
Pérou, qui se croit cloué sur son fauteuil.

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Les aiguilles coïncident à midi, on demande l'heure exacte de
leur prochaine rencontre, puis de leur position en ligne
droite.--Qu'arriverait-il si elles marchaient en sens contraire l'une
de l'autre?

En supposant trois aiguilles, à quelle heure l'aiguille des secondes
divisera-t-elle en deux parties égales l'angle des deux autres?

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Trouver, en un point donné, le jour du plus petit crépuscule.

                                                   NONIUS, 1573.

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Quel est le dernier jour de la semaine? Quel jour finira le XIXe
siècle?

Henri Heine, se vieillissant de quelques jours, prétendait être né le
1er janvier 1800, pour pouvoir se dire le premier homme de son siècle.
Faute analogue de calcul de la part de Victor Hugo, né en 1802,
lorsqu'il en conclut: «Ce siècle avait deux ans...»

Le XIXe siècle a commencé le 1er janvier 1801, et non en 1800, car
aucune année ne porte le numéro zéro; il finira le 31 décembre 1900.

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Se servir du cadran solaire comme d'un cadran lunaire, connaissant
l'_âge_ de la lune.

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Quelle heure est-il, sachant qu'il reste encore à s'écouler de la
journée les quatre tiers de ce qui s'est écoulé?

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À quelle distance deux marins dont les vaisseaux marchent en sens
contraire cessent-ils de s'apercevoir? On connaît leur hauteur commune
au-dessus du niveau de la mer.

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Calculer la différence des chemins parcourus par le sommet et le pied
de la tour Eiffel, haute de 300 mètres, pendant une rotation de la
terre sur elle-même.--Calculer aussi la surface alors engendrée par
l'axe de la tour.

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Quelles seraient les apparences astronomiques pour un observateur
situé sur la lune?

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Un habitant de Nogent-le-Rotrou fait, par son testament, légataire
universel, l'aîné de ses deux neveux, qu'il ne désigne pas autrement.
L'un est né à Nancy à six heures du matin et l'autre le même jour à
Brest à cinq heures et demie du matin (heures locales). Lequel des
deux doit hériter?




MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES


Une caisse parallélépipédique, étant remplie d'un très grand nombre de
petites boules égales, on demande quelle partie de la caisse est
occupée par les boules.

_Réponse:_ [¯pi¯]/3[[V¯]2], environ les 3/4.

Même question, avec des cercles dans le plan.

Conclure qu'on ne peut remplir le plan avec des cercles, ni l'espace
avec des sphères.

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Huit personnes, contentes de dîner ensemble, se proposent de s'inviter
mutuellement, jusqu'à ce qu'elles aient épuisé toutes les façons de se
placer à table.

_Réponse:_ 40 320 dîners, soit 110 ans.

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On casse au hasard une barre en trois morceaux; quelle est la
probabilité pour qu'on puisse former un triangle avec les trois
morceaux?

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Disposer 30 prunes et 10 pêches, de façon à avoir toutes les pêches en
les prenant de 12 en 12.

_Réponse:_ Pêches aux places 7. 8. 11. 12. 21. 22. 24. 26. 37.

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Au jeu d'échecs, faire parcourir au cavalier les 64 cases, l'une après
l'autre, sans le faire passer deux fois dans la même.

Chacun sait qu'un cavalier placé sur une case d'une certaine couleur
ne peut passer que sur les cases de l'autre couleur qui sont à deux
rangs de la sienne.

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Deux tonneaux de capacité différente sont pleins de deux vins
différents, trouver quel même nombre de litres il faut prendre dans
les deux pour qu'après l'échange les deux pièces aient la même
composition.

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Même question en supposant une proportion différente de même vin et
d'eau dans les deux tonneaux.

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Le nombre des décès étant de 1/42 de la population et le nombre des
naissances de 1/35, on demande en combien de temps la population d'un
pays sera doublée.

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Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage; l'urne contient
_m_ bulletins favorables à Pierre; _n_ favorables à Paul; _m_ est plus
grand que _n_, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que,
pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un
ordre tel que Pierre ne cessera pas un seul instant d'avoir
l'avantage?

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On tire à la cible. L'arme, sans être parfaite, ne présente aucun
défaut systématique; les déviations ont en tous sens la même
probabilité. Quelle est la probabilité pour que le point frappé soit à
une distance du but comprise entre _r_ et _r + dr_?

Données insuffisantes.

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Combien y a-t-il de mots formés de neuf lettres? (les mots peuvent
n'avoir aucune signification et même ne pas être prononçables).

_Réponse:_ 98 956 601 600 mots.

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Trouver l'arc double de sa corde.

Ce problème donne lieu à une équation transcendante; il ne peut pas
être résolu avec la règle et le compas. De même pour les trois
exercices suivants.

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Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes par une parallèle
au diamètre.

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Quelle doit être la longueur de la longe d'un cheval pour qu'en la
fixant au contour d'un pré circulaire l'animal ne puisse tondre que la
moitié du pré?

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Percer une voûte hémisphérique de quatre fenêtres égales de façon que
le reste de la surface soit exactement carrable. (Fenêtres de
Viviani.)

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Dans un pays qui compte 10 millions d'électeurs, on en désigne 20.000
par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En
supposant que le pays soit partagé entre deux opinions, 4.500.000 d'un
côté et 5.500.000 de l'autre, quelle est la probabilité pour que le
candidat élu appartienne à la minorité?

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Dans la question des _intérêts composés continus_, on demande ce que
devient, au bout d'un nombre donné d'années, un capital placé à un
taux connu, en supposant que l'intérêt se capitalise d'_instant en
instant_.

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Trouver le diamètre d'un cercle, étant données les longueurs de trois
cordes formant un contour fermé terminé aux extrémités de ce diamètre.

                                                         NEWTON.

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On place, bout à bout, _n_ couples de cartes inclinées l'une sur
l'autre et une carte entre deux couples; par dessus, on met _n - 1_
couples dont on assure la stabilité de même, et ainsi de suite.
Combien faudra-t-il de cartes pour faire ce château?

Même question pour un château à étages carrés, la stabilité étant
obtenue en remplaçant chaque couple par un nombre de couples égal à
celui des couples primitifs.

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Un chien part d'un point en dehors de la route et court vers son
maître qui chemine uniformément. Étudier la _courbe du chien_.

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Trouver le lieu du point tel que le produit de ses distances à
plusieurs droites données soit dans un rapport constant avec le
produit de ses distances à d'autres droites données.

Ce problème, qui avait occupé les Anciens, est traité par Descartes au
commencement de sa Géométrie.

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Comment passer successivement sur tous les ponts de Paris, sans passer
deux fois sur aucun d'eux?

Cas où l'on ne tient pas compte du pont en bois de l'Estacade et cas
où l'on en tient compte.

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Donner un triangle dont les trois côtés et la surface soient
représentés par des nombres entiers. Il suffit de prendre pour côtés
3, 4 et 5 ou 13, 14 et 15.

Voici une autre solution donnée par M. Catalan:

_a = 12355_, _b = 12363_, _c = 34_, _s = 204204_.

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Des enfants dansent en rond en se donnant la main, autour d'un autre
placé au centre. Comment faut-il disposer les enfants, dans leurs
rondes successives, pour que chacun d'eux se trouve une fois au
centre, et deux fois voisin de tous ses camarades?

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Quinze jeunes filles se promènent journellement trois par trois; on
demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que
chaque jeune fille se trouve successivement une seule fois en
compagnie avec toutes les autres.

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On sacrifiait à Apollon sur un autel cubique en or. Pendant une
épidémie, on fit demander au dieu, pour l'apaiser, ce qu'il désirait;
l'oracle répondit: Doublez l'autel.

Les prêtres construisirent un autel de côté double, mais la peste ne
cessa point.

Le problème de la _duplication du cube_ n'est pas _élémentaire_,
c'est-à-dire qu'il ne peut pas se résoudre avec la règle et le compas,
en traçant seulement des droites et des circonférences.

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Diviser un angle en trois parties égales. Problème de la _trisection_.

Même observation que pour la question précédente: on ne peut que
procéder approximativement.

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Construire le carré équivalent à un cercle de rayon donné: tel est le
problème de la _quadrature du cercle_.

Il faudrait savoir d'abord rectifier la circonférence, c'est-à-dire
tracer la droite de même longueur qu'une circonférence de rayon donné,
puis prendre la moyenne proportionnelle entre cette droite et la moitié
du rayon.--Voici une solution très approchée, due au jésuite polonais
Koskanski: aux extrémités du diamètre d'une demi-circonférence, élevez
les perpendiculaires égales au triple du rayon et au demi-côté de
l'hexagone régulier, la distance des deux points obtenus a sensiblement
même longueur que la demi-circonférence.

On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle
est impossible avec la règle et le compas. Ce n'est pas seulement
parce que [pi] est incommensurable, puisqu'on sait construire
rigoureusement certains nombres incommensurables.

Les Anciens avaient imaginé, pour résoudre les trois problèmes
précédents, les courbes appelées _cissoïde_, _conchoïde_ et
_quadratrice_.

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Un jardin circulaire renferme un puits à son centre. Le jardinier
puise de l'eau dans le puits et s'en sert pour arroser le jardin.
Combien mettra-t-il de temps pour l'arroser en entier?

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Un bon bourgeois fait faire dans sa cave un casier de neuf cases
disposées en carrés; la case du milieu était destinée à recevoir les
bouteilles vides provenant de la consommation de soixante bouteilles
pleines, qu'il disposa dans les huit autres cases en mettant six
bouteilles dans chaque case des angles et neuf dans chacune des autres
cases. Son domestique enleva d'abord quatre bouteilles qu'il vendit,
et disposa les bouteilles restantes de manière qu'il y en eût toujours
vingt et une sur chaque côté du carré. Le maître, trompé par cette
disposition, pensa que son domestique n'avait fait qu'une
transposition de bouteilles, et qu'il y en avait toujours le même
nombre. Le domestique profita de la simplicité de son maître pour
enlever de nouveau quatre bouteilles, et ainsi de suite jusqu'à ce
qu'il n'y fût plus possible d'en enlever quatre sans que le nombre
vingt et un cessât de se trouver sur chaque côté du carré. On demande
comment il s'y prit à chaque fois et de combien de bouteilles il fit
tort à son maître.

                                             BACHET DE MÉZIRIAC.

L'erreur provenait de ce que les bouteilles placées dans les coins
comptaient double.

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Déterminer toutes les manières possibles de placer huit reines sur
l'échiquier ordinaire, de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse
être prise par une autre.

                                                          GAUSS.

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Faire rapidement la somme des piles de boulets _sphériques_: piles
carrées, rectangulaires ou triangulaires.

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Le problème du déblai et du remblai a beaucoup occupé les
mathématiciens. Il s'agit de partager la tranchée à creuser et le
remblai à élever en volumes élémentaires, se correspondant deux à
deux, de façon qu'en multipliant la masse de chacun des volumes
élémentaires du déblai par le chemin qui le sépare du volume
équivalent du remblai, la somme des produits obtenus soit la plus
petite possible. Les frais de transformation du déblai en remblai
seront alors minimums.

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Discuter l'équation de la _courbe du diable_:

_y^{4} - x^{4} + ay^{2} + bx^{2} = 0_.

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De combien de manières peut-on replier sur un seul une bande d'un
nombre donné de timbres-poste?

Nous croyons qu'on n'a pas encore pu résoudre ce problème proposé par
M. Em. Lemoine.




NOTE BIBLIOGRAPHIQUE


Aux renseignements sur les livres célèbres de mathématiques, épars
dans cet ouvrage, nous allons ajouter les titres seulement de quelques
livres sur la philosophie, l'histoire, les applications,
l'enseignement et les curiosités des mathématiques.


PHILOSOPHIE DES MATHÉMATIQUES

AMPÈRE.--Philosophie des sciences, 2 vol.

J. F. BONNEL.--De l'imagination dans les principes des sciences
exactes.

DE BROGLIE (abbé).--Influence du 1er livre d'Euclide sur la formation
philosophique des esprits.

DE CAMPOU.--Théorie des nombres négatifs.

L. CARNOT.--Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal.

T.-V. CHARPENTIER.--Descartes.

CHASLES.--Géométrie supérieure.

COYTEUX.--Exposé des vrais principes des mathématiques.

A. COMTE.--Philosophie positive (fin du premier volume et commencement
du second).

DELBOEUF.--Prolégomènes philosophiques de la géométrie.

EVELLIN.--Infini et quantité.

DE FREYCINET.--Essai sur la métaphysique du haut calcul.

GIGON.--Nombres incommensurables.

HOÜEL.--Essai de critique sur les principes fondamentaux de la
géométrie élémentaire.--Théorie élémentaire des quantités complexes.

L. HUGO.--Du symbolisme licite en mathématiques.

JACQUIER.--De l'esprit des mathématiques supérieures.

LAGUERRE.--Recherches sur la géométrie de direction.

LAISANT.--Théorie des quaternions.

LIARD.--1º Définitions géométriques et définitions empiriques; 2º
Descartes; 3º Les logiciens anglais contemporains.

MOIGNO (abbé).--De l'impossibilité du nombre actuellement infini.

MOUREY.--La vraie théorie des quantités négatives et des quantités
prétendues imaginaires.

PASCAL.--Presque toutes ses oeuvres.

PONCELET.--Traité des propriétés projectives.

DE TILLY.--Essai sur les principes fondamentaux de la géométrie et de
la mécanique.

F. VALLÈS.--Des formes imaginaires en algèbre.

WOLF.--Les hypothèses cosmogoniques.


HISTOIRE

ALLEGRET.--Pascal, Viète, Newton et Leibniz.

MARIE AGNESI.--Traité de calcul infinitésimal (Traduction de Bossut).

F. ARAGO.--Notices biographiques.

J. BERTRAND.--Les fondateurs de l'astronomie moderne.

BOSSUT.--Histoire des mathématiques (2 vol., 1810).

CHASLES.--Aperçu sur les méthodes en géométrie.

CANTOR.--Histoire des mathématiques (en allemand).--Les deux premiers
volumes, jusqu'en 1668.

DELAMBRE.--Rapport sur les progrès des sciences mathématiques (1810).

DESBOVES.--Étude sur Pascal.

ENESTRÖM.--Programme d'un cours universitaire d'histoire des
mathématiques. Stockholm, 1890.

LOUIS FIGUIER.--Vies des savants illustres (cinq volumes).

FONTENELLE.--Éloges des académiciens.

GARNIER.--Trisection de l'angle (1809).

DE FONVIELLE.--La mesure du mètre.

SOPHIE GERMAIN.--Mémoire sur les surfaces élastiques.

CHARLES HENRY.--Lettres de Lagrange, de Laplace, d'Euler; les deux
plus anciens traités français de mathématiques; introduction à une
esthétique scientifique, etc.

HERMITE.--Discours à l'inauguration de la nouvelle Sorbonne.

G. HUMBERT.--Progrès des mathématiques en France de 1878 à 1888. (Dans
le compte rendu du Congrès bibliographique.)

E. LEBON.--Notions sur l'histoire de l'astronomie. (Dans le _Bulletin
scientifique_.)

MAINDRON.--L'Académie des sciences.

MANSION.--Précis de l'histoire des Mathématiques.

MAXIMILIEN MARIE.--Histoire des sciences mathématiques (12 volumes).

MONTUCLA.--Histoire des Mathématiques (4 volumes).

PINET.--Histoire de l'École polytechnique.

SAVÉRIEN.--Progrès de l'esprit humain dans les sciences exactes.

P. TANNERY.--La géométrie grecque.

VALSON.--Essai sur la vie et les travaux de Cauchy.


APPLICATIONS

AMIGUES.--À travers le ciel.

Annuaire du bureau des longitudes. (Petit mémorial indispensable, avec
des notes scientifiques.)

J. BERTRAND.--Calcul des probabilités.

BUFFON.--Essai d'arithmétique politique.

CHARLON.--Théorie mathématique des opérations financières.

COLLET.--La carte dite de l'État-Major.

COURNOT.--Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des
richesses.

DORMOY.--Théorie mathématique des assurances sur la vie.

CHARLES DUPIN.--Géométrie et mécanique des Arts et métiers (4
volumes).

FLAMMARION.--Études et lectures sur l'astronomie (9 petits vol.).

DE LA GOURNERIE ET E. LEBON.--Arches biaises.

GUYOU ET SIMART.--Géométrie du navire.

LABOSNE.--Instruction sur la règle à calcul.

LAPLACE.--Exposition du système du monde; Essai philosophique sur le
calcul des probabilités.

SÉBASTIEN LECLERC.--Pratique de la géométrie sur le papier et sur le
terrain (1764).

MAURICE LÉVY.--La statique graphique (4 vol.).

ÉDOUARD LUCAS.--Application de l'arithmétique à la construction de
l'armure des satins réguliers.

G. DE LONGCHAMPS.--Essai sur la géométrie de la règle et de l'équerre.

MAHISTRE.--L'art de tracer les cadrans solaires.

AMIRAL MOUCHEZ.--La photographie astronomique.

PERRY.--Physiologie mathématique.

A. PICARD.--Introduction aux principes mathématiques du monde
physique.

LE P. SECCHI.--Le soleil.

SONNET.--Dictionnaire des mathématiques appliquées.

F. THOMAN.--Théorie des intérêts composés et des annuités.


ENSEIGNEMENT

DAUGE.--Méthodologie mathématique.

DEVELAY.--Arithmétique et algèbre d'Émile. (Avec cette épigraphe: Que
mon élève n'apprenne pas la science; qu'il l'invente).

DUHAMEL.--Des méthodes dans les sciences de raisonnement (5 vol.).

JOANET.--Traité des réciproques de la géométrie de Legendre.

LACROIX.--Essai sur l'enseignement des mathématiques.

LAGOUT.--Tachimétrie.

REDOULY.--ABC de l'X: Grammaire et logique des mathématiques.

PAUL SERRET.--Des méthodes en géométrie.


CURIOSITÉS

BACHET DE MÉZIRIAC.--Problèmes plaisants et délectables.

BALL.--Récréations et problèmes. (En Anglais).

BERGERY.--L'arithmétique sans chiffres.

BOISSIÈRE.--Rhythmomachie ou combat des nombres.

PRINCE BONCOMPAGNI.--Cinq lettres de Sophie Germain à Gauss.

BOUCHET (Ch.)--La poésie des mathématiques.

BUSSCHOP.--Recherche sur le jeu du solitaire (Bruges, 1879).

CALINON.--Étude sur la sphère, la ligne droite et le plan.

CARLET.--Application des Mathématiques à la Médecine.

Carrés magiques.--Frénicle, Sauveur, Euler, Violle, Thompson, Horner,
Laquière, Frolow, etc.

CARTAUD.--Pensées critiques sur les mathématiques.

CHAM.--Arithmétique illustrée.

CHAVIGNAUD.--Nouvelle arithmétique mise en vers.

CLOAREC.--Dynamique intellectuelle ou application de l'algèbre à la
Théologie.

CORIOLIS.--Théorie mathématique du billard.

COSSERAT.--Sur le cercle considéré comme élément générateur de
l'espace.

DELBOEUF.--Sur le théorème de d'Alembert.

VAN ETTEN.--Récréations mathématiques (1633).

FLAMMARION.--Lumen.

FLEURY.--Clé du taquin (Marseille, 1880).

FONTENELLE.--Entretiens sur la pluralité des mondes.

FOUCHER.--La géométrie métaphysique. La géométrie en vers techniques
(1807).

GAUKES.--De medicinâ ad certitudem mathematicam evehenda.

GUYOT.--Nouvelles récréations mathématiques.

DU HAYS.--Sur le jeu du loto.

Intégration de God save the queen.

JACOBY.--Henri Mondeux.

DE LABOURDONNAYE.--Traité du jeu des échecs (1833).

LAISANT.--Géométrie des quinconces.

LAMBERG.--Courbe algébrique reproduisant les traits d'un visage.

DE LA LANDELLE.--Phylon Binome.

LAQUIÈRE.--Géométrie de l'échiquier.

LEIBNIZ.--Arithmétique binaire.

EM. LEMOINE.--Mesure de la simplicité en mathématiques.

ÉDOUARD LUCAS.--Récréations mathématiques (4 vol.).

LUYA.--Amusements arithmétiques et algébriques de la campagne
(Genève, 1799).

MARIAGE.--Numération par huit.

MASCHERONI.--La géométrie du compas.

LE P. MERSENNE.--Questions inouyes (1633).

MEYNIEZ.--Paradoxes contre les mathématiciens qui abusent la jeunesse.

DE MIRVAL.--Théâtre scientifique.

MONTUCLA.--Histoire des recherches sur la quadrature du cercle.

MYDORGE.--Récréations mathématiques.

OZANAM.--Récréations mathématiques (4 vol.).

J. B. PÉRÈS.--Comme quoi Napoléon n'a jamais existé.

DE POLIGNAC.--Sur la course du cavalier au jeu des échecs.

POTT.--Le système numéral quinaire et vigésimal.

REISS.--Combinaisons au jeu des 28 dominos.

RICARD (DOMINIQUE).--La sphère, poème en huit chants.

STOMMA.--Les échecs.

STUPUY.--Oeuvres philosophiques de Sophie Germain.

TARNIER.--Le langage des nombres.

THOMSON.--La géométrie sans axiomes.

Trois livres d'arithmétique de Tahiti, en langue indigène (Oahu,
1836).

VINOT.--Récréations mathématiques.

VITREY.--Contes et comptes; 148 problèmes en vers.

WEIGEL.--Arithmétique tétractique.

H. DE WRONSKI.--Technie de l'algorithmie (1811).




INDEX


Cette table analytique comprend les noms de choses et ceux de
_personnes_, ces derniers en italique. On pourra ainsi suivre le même
sujet dans tout le livre, en se reportant aux divers renvois.


  A

  _Abdank-Abakonowicz_, 255

  Abeilles, 443

  _Abel_, 185, 190, 260, 275

  _Aboul-Wefa_, 121

  _About_, 279

  Abrégeons, 427

  Abstractions, 20, 365

  Absurde (Par l'), 26, 31

  Académie, 132, 143, 182, 219, 229, 290, 330, 335, 374, 529

  Addition, 258, 465

  Admiration, 313

  _Achille_, 410

  Âge du capitaine, 460

  _Agnesi (Marie)_, 273, 528

  _Agripa_, 295

  _Ahmès_, 121

  _Albert Girard_, 47

  _Albert-Lévy_, 422

  _Alcuin_, 384

  _D'Alembert_, 10, 36, 42, 113, 123, 127, 144, 151, 188, 199, 247,
    341, 385, 406

  _Alexandrie_ (École d'), 120

  Algèbre, 297, 493

  Algèbre morale, 227

  Allégorie, 398

  _Allegret_, 321, 528

  Almageste, 121, 126

  Alphabet, 263

  Amateurs (Appel aux), 1

  Âme de la terre, 364

  L'âme et la vie, 350

  _Amigues_, 529

  Amitié, 160, 443

  _A. Ampère_, 14, 145, 191, 198, 316, 352, 372, 527

  _J. Ampère_, 198

  _Amsler_, 255

  Amusettes, 331

  Analyse, 4, 24, 33, 42, 113, 168

  Anarchie, 259

  Anatomistes, 252

  _Anaxagore_, 374

  Ancêtres, 324

  _D. André_, 144

  Âne (sa mesure), 421

  Anecdotes, 177

  Anglais (Jeune), 215

  _Angoulême_ (Duc d'), 212

  Animaux (Savent-ils compter?), 361, 387

  Annuaire du Bureau des longitudes, 529

  Anonyme, 71, 106, 119, 130, 168

  An quarante, 418

  Antechrist, 358

  Anthologie grecque, 483

  Antipodes, 412

  Anxiété, 260

  L'Aperçu historique, 130, 383

  _Apollonius_, 120, 125, 138, 236, 273

  Apologue, 304

  _Appell_, 142, 143

  Applicable à tout, 236

  Applications, 12, 63, 529

  Approximations, 94, 160

  Arabes, 121

  _Arago_, 37, 63, 71, 75, 110, 128, 188, 204, 213, 215, 279, 298, 462, 528

  _Arbogast_, 132

  _Archimède_, 32, 79, 120, 125, 138, 196, 206, 297, 352, 377, 499

  Architecte mal payé, 218

  Arénaire, 297

  Argent (De l'), 193, 353

  Argot, 421, 429

  Argot de l'X, 422

  Argument, 50

  _Aristophane_, 373

  _Aristote_, 3, 232, 257

  Arithmétique, 67, 471, 531

  Arithmétique de grand-papa, 252

  Arithmétique politique, 256

  Arithmomanie, 444

  _D'Arlincourt_, 430

  _Arnauld_, 295

  _Arnoux_, 369

  Arpentage, 6, 68, 135, 505

  Artillerie, 64

  Arts (Beaux), 159, 419

  Arts mécaniques, 69

  Arts militaires, 70

  _Aryabhata_, 121

  Assemblées délibérantes, 95

  Assurances, 67, 529

  Astrologie, 218

  Astronomie, 84, 513

  Asymptotes, 10, 408

  À Athènes, 284

  Attraction universelle, 123, 281, 288, 303, 418

  _Saint-Augustin_, 296, 453

  Auteur embarrassé, 192

  Autobiographie, 182

  Autres et soi, 443

  Auxerre, 215

  Avant Leibniz et Newton, 345

  Avatar du nombre, 378

  Avenir, 352

  Aveugles, 186

  Avocat, 166, 464

  Axiomes, 21, 102, 341, 347, 356, 367


  B

  _Babinet_, 461

  Baccalauréat, 465

  _Bacchus et Silène_, 495

  _Bach_, 380

  _Bachet de Méziriac_, 158, 471, 523, 530

  _Bäcklund_, 143

  _F. Bacon_, 156, 391

  _R. Bacon_, 374

  _Badoureau_, 318

  _Bailly_, 187

  Balances, 99, 392, 510, 511

  Balistique, 70

  _Ball_, 530

  Ballottage, 518

  _H. de Balzac_, 363, 369

  Banques, 67, 501

  _De Banville_, 465

  _Barbara_, 225

  _Bardot_, 254

  Barème suffit, 309

  _Barrow_, 236

  Abbé _Barthélemy_, 284, 379

  _Barthélemy Saint-Hilaire_, 163

  _Bassot_, 143

  Bataille ou rançon? 430

  _Beaumarchais_, 466

  Beauté de la science, 316

  Beaux esprits, 310

  _Becquerel_, 143

  _Bellavitis_, 29, 51

  _Beltrami_, 143

  Benzine, 366

  _Béranger_, 55, 226

  _Berchoux_, 335

  _Berdellé_, 411, 424

  _Bergery_, 530

  _Cl. Bernard_, 316

  _Bernardin de Saint-Pierre_, 213

  Les _Bernoulli_, 98, 141, 182, 275, 377, 440

  _Berthelot_, 143, 241, 292, 316

  _Bertrand_ (de Genève), 20

  _Joseph Bertrand_, 92, 98, 99, 116, 141, 143, 159, 280, 359, 374,
    528, 529

  _Bessel_, 266

  _Bezout_, 141, 207

  _Bhâscara_, 121, 297, 506

  Bible, 146, 318, 373

  Bibliographie, 301, 302, 527

  _Bichat_, 358

  Billard, 194, 531

  _Binet_, 220

  _Biot_, 128, 181, 298

  _Bjirknes_, 143

  _Charles Blanc_, 424

  _Blanchet_, 335

  Blé (Prix du), 158, 454

  _Bowdwich_, 272

  _Boileau_, 430, 464

  _Boissière_, 531

  _Boiste_, 168

  _Bol_, 190

  _Bolyai_, 293, 386

  _de Bonald_, 305

  _Prince Boncompagni_, 140, 531

  Bonhomie, 195

  _J.-F. Bonnel_, 29, 45, 57, 394, 527

  Bon sens, 14

  _Boole_, 344

  _Borda_, 131, 284

  _Bordas-Demoulin_, 147

  _Borel_, 144

  _Borelli_, 252

  Borné, 352

  _Bossuet_, 82

  _Bossut_, 13, 127, 140, 184, 273, 528

  _Bouchet_, 531

  _de Boufflers_, 330

  _Bougaev_, 293

  _Bouguer_, 130

  _Bouquet de la Grye_, 143

  _Bourdeau_, 10

  _J. Bourget_, 50, 142

  _P. Bourget_, 352

  Bourse (La), 67

  _Boussinesq_, 17, 57, 143, 347, 359

  Boutades, 462

  Brachistochrone, 373

  _Bradley_, 193

  _Bramagupta_, 121

  Brésil, 378

  _Brioschi_, 143

  _Brisse_, 142, 144

  _Brocard_, 144

  _Brochard_, 410

  _De Broglie_, 527

  Brouette, 279

  _Buchanan_, 415

  _Budan_, 141

  Budget, 67

  Le P. _Buffier_, 368

  _Buffon_, 60, 351, 387, 397, 529

  _Burdeau_, 278

  Buses graves, 423

  _Busschop_, 531


  C

  Cadastre, 68, 425

  Cadrans solaires, 70

  Café, 335

  Calcul, 244, 297, 356

  Calculateur, 423, 466

  Calcul infaillible, 149, 396

  Calcul infinitésimal, 123, 128, 139, 345

  Calcul mental, 67, 372

  Calculs des ouvriers, 243

  Calendrier, 70, 320

  _Calinon_, 244, 531

  _Callandreau_, 143

  Calomnie, 271

  Cambridge, 208

  _de Campou_, 47, 527

  Cancre, 220

  _de Candolle_, 238

  Canonisés, 295

  _Cantor_, 140, 295, 528

  Caractère des mathématiques, 3

  _Cardan_, 122, 187, 408

  Cardinaux (Points), 216, 463

  _Carlet_, 531

  Carnavalet (Musée), 283

  _Laz. Carnot_, 58, 124, 145

  Carré de l'hypoténuse, 452, 459

  Carré long, 310

  Carrer, 229

  Carrés diaboliques, 441

  Carrés magiques, 440

  _Cartaud_, 531

  Carte de l'État-Major, 69, 529

  Carte pensée, 508

  Cartes géographiques, 69

  Cas irréductible, 138, 408

  Casquette, 190

  Casserole, 454

  _Cassini_, 275

  _Le P. Castel_, 398

  _Maréchal de Castries_, 202

  _Catalan_, 210

  _Catulle_, 6

  _Cauchy_, 47, 48, 124, 129, 139, 141, 145, 152, 260, 279, 309, 316

  _de Caussans_, 379

  Caustiques, 301, 440

  Centenaires, 144, 277, 278

  Cercle, 231, 358, 364

  Cercle de Popilius, 380

  Certitudes antérieures, 360

  _Césarine_, 446

  Chaldéens, 119

  _Cham_, 531

  _Champfort_, 461

  _Chandos_, 166

  Charenton, 187

  _Charlemagne_, 130

  _Charles VI_, 311

  _Charles XII_, 441

  _Charlon_, 529

  Charpente, 68

  _T. V. Charpentier_, 39, 527

  _Charraux_, 292

  _Chasles_, 30, 41, 124, 130, 136, 266, 278, 316, 527, 528

  _Chateaubriand_, 315, 450

  Châteaux de cartes, 520

  _du Châtelet (Marquise)_, 273, 405

  Chats, 191

  Chaumière indienne, 213

  _Chavignau_, 531

  Chemin de fer, 69, 512

  Chemins, 69

  Chenille, 449

  Chercheur, 369

  Cheval, 519

  _Chevé_, 214

  Cheveux, 233, 482

  Chèvre et chou, 483

  _Chevreul_, 206

  Chicane, 376

  Chien (sa courbe), 520

  Chiffres, 384, 530

  Chinois, 121

  Chose, 376

  _Christophe Colomb_, 267

  Chronologie, 70

  _Cicéron_, 136, 280, 427

  Ciel en cristal, 283

  Cinq mille quarante, 397

  Cinquième livre, 259

  Cité modèle, 397

  Civilisé, 346

  Civisme, 276

  _Clairaut_, 108, 109, 280, 376, 505

  Clair-obscur, 428

  _J. Claretie_, 425

  Classification, 31

  Clefs, 48, 162, 395

  _Cloarec_, 531

  Club, 215, 222, 380

  Code civil, 502

  Coefficients de correction, 268

  Coeur et raison, 365

  _Collet_, 529

  _Colnet_, 327

  Colombe, 331, 415

  Combinaisons, 67, 417

  Comètes, 216

  Commencements, 361

  _Compagnon_, 10

  Compas, 225, 532

  Complaisances astronomiques, 215

  Comptable, 343

  Comptes (Vieux), 380, 480

  Compteur, 319

  _Aug. Comte_, 5, 14, 35, 52, 163, 387, 527

  Conceptions, 368

  Concepts mathématiques, 16

  Concession, 374

  Conciliation, 359

  Concours général, 208

  _Condillac_, 38, 147, 153, 168, 351

  Condition nécessaire et suffisante, 117

  _Condorcet_, 14, 22, 37, 101, 159, 203

  Cône, 506

  Coniques, 14, 120, 125, 447

  Consciencieuse, 223

  Conservation et progrès, 95

  Conservatoire des Arts-et-Métiers, 134

  _Benjamin Constant_, 379

  Constante, 54

  Constantinople, 214

  Construction, 20, 239

  Constructions civiles et militaires, 69

  Constructions navales, 70

  Contes et comptes, 532

  Continuité, 30, 32, 57, 118, 361

  Continu mathématique, 53

  Contours trompeurs, 414

  Contradictions, 426

  Conversation (Dernière), 181

  _Copernic_, 84, 89, 122, 167, 262

  _Coriolis_, 194, 531

  _Cornu_, 143

  Correspondance, 207

  Cosmographie, 84, 513

  _Cosserat_, 531

  Cossistes, 376

  Coton et musique, 261

  _Cottin_, 330

  Couleurs, 420, 424

  Coup de foudre, 195

  Coupe des pierres, 68, 76

  Courbe banale, 442

  Courbe du diable, 525

  Courbe renaissante, 440

  _Cournot_, 4, 9, 46, 66, 116, 529

  Courtisans, 180, 288

  _Coyteux_, 527

  _Craig_, 455

  _Cremona_, 143

  Critérium, 364

  _A. Croiset_, 162

  Cuisine, 467, 484, 488

  Culture d'Euclide, 242

  Curiosités, 440, 530

  _Cuvier_, 165

  Cyclides, 274

  Cycloïde, 253, 301, 373, 442

  Cylindre, 506


  D

  Dames, 230, 290

  Danse en rond, 521

  Danseur, 466

  _Dante_, 373

  _Darboux_, 142, 143

  _Daru_, 303

  _Dasypodius_, 245

  _L. A. Daudet_, 366

  _Dauge_, 530

  _Daunou_, 289

  Dax, 284

  Débat pédagogique, 240

  Déblai et remblai, 524

  _Debray_, 135

  Décadents, 444

  Décimètre carré, 215

  Décisions judiciaires, 99

  Découverte après coup, 40

  _Dedekind_, 143

  Déduction, 10, 25, 293

  Définir (On ne peut pas tout), 17

  Définition, 29

  Défis, 182

  De froid, 187

  _Delambre_, 28, 76, 126, 132, 134, 298, 528

  _Delaunay_, 374

  _Delboeuf_, 164, 360, 362, 527, 531

  _Delbos_, 209

  _Deleuze_, 250

  _Delezenne_, 402

  Demi-circonférence, 409

  Démonstration et syllogisme, 250

  Démonstrations fausses, 382

  Démontrer, 24, 27, 117

  Démontrer (On ne peut pas tout), 16

  Dénominateur à la maison, 190

  _Deprez_, 143

  Députés, 95, 183

  Dernière conversation, 181

  _Desargues_, 75

  _Desboves_, 268, 528

  _Descartes_, 3, 12, 30, 32, 39, 123, 127, 139, 141, 144, 153, 175,
    182, 287, 377, 527

  Desiderata, 416

  Désintéressement, 199

  Désorienté, 386

  Dessins, 68

  _Destut-Tracy_, 244

  Déterminant, 264

  Déterminisme, 226

  Deux droits, 459

  Deux et deux, 329, 341, 363, 459

  _Develay_, 530

  Développée, 440

  _H. Deville_, 135

  Diagonale du carré, 33

  Diamant, 506

  _Dickens_, 215, 371

  Dictionnaire, 70, 463, 530

  _Diderot_, 162, 228, 236, 292, 388

  _Le P. Didon_, 161

  _Dieu_, 85, 91, 146, 147, 236, 303

  _Diogène_, 466

  _Diophante_, 121, 126, 137, 158, 493

  Diplomatie, 329

  Discipline, 250

  Disquisitiones arithmeticæ, 486

  Distractions, 179, 191

  Dites et ne dites pas, 111

  Divine proportion, 305

  Diviseur et ramasse-tout, 252

  Division, 252

  Dix (Tout par), 282

  Dix-huit, 429

  Dix-huitième siècle, 123, 144

  Dix mois (A), 219

  Dix-neuvième siècle, 124, 144, 514

  Dix-septième siècle, 122, 138, 144

  Documents, 290

  Dodécaèdre, 271

  Dominos, 417

  _Dormoy_, 194, 529

  Double pesée, 392

  Douze, 387

  Douze fois douze, 184

  _Drapeyron_, 70

  Droite bizarre, 452

  Un duel, 289

  _Dufresny_, 239

  _Dugald-Stewart_, 239

  _Duhamel_, 17, 24, 59, 100, 149, 530

  _Du Hays_, 531

  _Alexandre Dumas, fils_, 411

  _Alexandre Dumas, père_, 479

  _J.-B. Dumas_, 290

  _Dupanloup_, 109, 160, 217

  _Charles Dupin_, 29, 243, 467, 529

  Duplication du cube, 120, 521

  _Ch. Dupuy_, 144

  _J. D. Dupuis_, 417

  _V. Duruy_, 162

  _Duval-Jouve_, 11

  Dynasties (Deux), 275


  E

  Sur l'échafaud, 187

  Échecs, 193, 517, 524, 532

  Éclipse du colonel, 219

  École normale, 277

  École polytechnique, 209, 246, 263, 276, 529

  Économie politique, 66

  Efforts glorieux, 197

  Égal à zéro, 219

  Égalité circulaire, 231

  Égoïsme, 388

  Égyptiens, 119, 121, 135, 167, 289

  Eiffel (Tour), 514

  Élections, 207, 518

  Élégance et symétrie, 38

  Ellipse, 87

  _Émile_, 104, 105

  _Sextus Empiricus_, 351

  En avant, 113

  Enchères, 462

  _Eneström_, 140, 528

  Enfant terrible, 211

  Enfants (Géométrie des), 103

  Enfants et ignorants, 101, 211

  Enseignement, 101, 530

  Enseignement (Nouvel), 389

  Entêtement, 213

  Enthousiasme, 167

  Épigramme, 311

  Épine, 252

  Équations, 35, 138, 262, 264, 321, 445, 452

  Équidomoïde, 396

  Équipollence, 51

  _Erasme_, 350

  _Erkmann-Chatrian_, 261, 425

  Erratum, 395

  Érudits, 379

  Escalier, 253

  Espace, 16

  Esprit (Sa mesure), 247

  Esprit de finesse et de géométrie, 149

  Esprit mathématique, 5

  Esprit qui s'égare, 156

  Esthétique, 420

  Étapes pédagogiques, 101

  Étoile avalée, 453

  Étrangetés, 440

  Être et néant, 359

  Étudiants, 202

  Étymologies, 297

  _Euclide_, 32, 120, 125, 169, 180, 229, 242, 246, 280, 376, 394, 444

  _Euler_, 64, 97, 123, 141, 158, 186, 203, 245, 281, 451, 493, 505, 531

  Évanouissement, 304

  _Evellin_, 527

  Évolution, 136

  Exactes (Sciences), 10

  Exagérations, 158

  Examen périlleux, 207

  Examens (Préparation aux), 110

  Examinateur, 202

  Exceptions, 97

  Expérience, 17, 18

  Expérience géométrique, 253

  Expérimentons, 291

  Extension du raisonnement mathématique, 168


  F

  Facéties géométriques, 212

  Facile de voir, 181

  Facultés intellectuelles, 148

  Fagots et fagots, 264

  _Faidherbe_, 403

  Famille (Nombreuse), 451

  Fantaisies, 327, 460

  _Faraday_, 355

  _Fatio de Duillier_, 187

  _Faurie_, 310

  _Miss Fawcett_, 208

  _Faye_, 89, 143, 415

  _Fechner_, 358

  _Fénelon_, 217

  Fenêtre, 519

  _Fergusson_, 272

  _Fermat_, 97, 123, 127, 273, 416, 417

  _Féronce_, 272

  _Fèvre_, 459

  Fictif et borné, 236

  _L. Figuier_, 299, 350, 528

  Figures, 10, 17, 33, 247, 302

  Fil de soie, 325

  Finances, 67, 464, 529

  Fin de siècle, 349, 514

  Fin du monde, 221, 455

  _Flammarion_, 265, 356, 456, 529, 531

  _H. Fleury_, 531

  _Florian_, 429

  Fluxions, 123, 301

  Fonctions, 8, 45, 54, 55

  Fonctions transcendantes, 461

  Fontainebleau, 321

  _Fontenelle_, 64, 140, 164, 330, 332, 354, 528, 531

  _Fonvielle (De)_, 298, 397, 529

  Force, 22

  _Forsight_, 143

  Forêt-Noire, 261

  Formules, 36, 37, 374

  Fort en thème, 209

  _Foucher_, 531

  _Foucou_, 294

  Fougueux, 306

  _Fouilliée_, 287, 365

  _Fouret_, 144

  _Charles Fourier_, 346

  _Joseph Fourier_, 37, 63, 126, 128, 129

  Fous, 187

  _François Ier_, 130

  _Franklin_, 161, 227

  _Frédéric II_, 451

  _Fresnel_, 316

  _De Freycinet_, 61, 143, 527

  _Froebel_, 456

  Fromage, 253, 400

  _Frontera_, 410

  _Fuchs_, 143

  Fuseaux américains, 411


  G

  _Galilée_, 64, 79, 122, 127, 225, 253, 468

  _Galle_, 87

  _E. Galois_, 289

  Gamma (Point), 277

  Garde nationale, 334

  Gargantua, 419

  _Garnier_, 528

  Gaufres, 257

  _Gaukes_, 531

  _Gauss_, 124, 273, 293, 316, 372, 399, 486, 524

  _Genaille_, 254

  Généraliser, 29, 47

  Généralité, 249

  Généralités, 3

  _Mme de Genlis_, 372

  _Genocchi_, 348

  Géodésie, 69

  _Mme Geoffrin_, 405

  Géographie, 69

  Géomètre (Un), 179

  Géomètres, 144, 179, 316

  Géomètres au pouvoir, 185, 450

  Géométrie, 33, 68, 480

  Géométrie analytique, 39, 127, 139

  Géométrie des abeilles, 443

  Géométrie des enfants, 103

  Géométrie des chiens, 520

  Géométrie descriptive, 68, 75, 128

  Géométrie et analyse, 33

  Géométrie et morale, 232

  Géométrie infinitésimale, 58

  Géométries non euclidiennes, 346

  _Gerbert_, 121, 295

  _Gergonne_, 200, 298

  _Sophie Germain_, 33, 141, 273, 529, 531

  _Gérono_, 142, 329

  _Gigon_, 527

  _A. Girard_, 47

  _J. Girardin_, 220

  _Glaucon_, 154

  Gnomonique, 70

  _Goethe_, 429

  _De Goncourt_, 425

  _Gordan_, 143

  _Le P. Goubé_, 208

  _Goulier_, 268

  _De la Gournerie_, 529

  _Goursat_, 144

  Gouvernement des géomètres, 185, 450

  _Gozlan_, 460

  _Gradgrind_, 371

  Grâces, 483

  Grandeurs, 4, 5

  Grandeurs (Leur mesure indirecte), 5

  Grandeurs directives, 47, 50

  _Grandidier_, 143

  _De Grandsagne_, 235

  Graphiques, 68

  _Le P. Gratry_, 31, 111

  Gravitation (voir Attraction universelle).

  Grecs, 11, 14, 119, 136, 137, 138, 231, 529

  Greenwich, 193

  _Pape Grégoire XIII_, 320

  _Grégory_, 287

  _Le P. Grimaldi_, 448

  Grues, 442

  _Guiraudet_, 86

  _Guyot_, 531

  _Guyou_, 143, 529

  _Mme Guzman_, 456

  _Gyp_, 211


  H

  Habitabilité des planètes, 263, 442

  _Hadamard_, 144

  Halle (À la), 207

  _Halphen_, 112

  _Hamilton_, 49, 51, 240

  _Hankel_, 37, 136, 140

  _H. Harant_, 263

  Hardiesse, 293

  Harmonie des sphères, 288

  Harmonien (L'), 346

  Harmoniques (Nombres), 420

  _Hariot_, 122

  _Haton de la Goupillière_, 143

  _Hatt_, 143

  _Hegel_, 359

  _H. Heine_, 513

  _Heiss_, 384

  _Henri IV_, 321, 454

  _Charles Henry_, 140, 301, 420, 529

  _Henry_ (Les frères), 392

  _Herbart_, 453

  _Hercule_, 81

  _Herlinus_, 245

  _Hermite_, 143, 144, 157, 529

  _Hérodote_, 135

  _W. Herschel_, 245, 454

  Heure européenne, 411

  Heure nationale, 322, 515

  Heureux, 316

  Hindous, 121, 136, 137, 208

  _Hipparque_, 120, 126

  _Hippasos_, 271

  _Hippocrate_, 377

  Histoire, 119, 140, 270, 372, 528

  _Hobbes_, 351

  _Hoefer_, 125, 345

  _Homère_, 6, 386

  Homogénéité, 36

  Homo mathematicus, 217

  _Mme de l'Hôpital_, 299

  _Marquis de l'Hôpital_, 272, 299

  _Hoppe_, 5

  Horlogerie, 70, 180, 320, 497, 502, 511

  _Hoüel_, 102, 528

  _Houzeau_, 222, 362

  _F. Huet_, 244

  _D. Huet_, 310

  _L. Hugo_, 396, 528

  _V. Hugo_, 312, 422, 423, 428, 482

  _Hugues le Roux_, 467

  _d'Hulst_, 362

  Huit (Les trois), 208

  Huit reines, 524

  _E. Humbert_, 142

  _G. Humbert_, 144, 529

  _Hume_, 249

  Humilité, 196

  Humour, 465

  _Huxley_, 355, 399

  _Huygens_, 123, 280

  _Hypatie_, 273

  Hyperespace, 347, 368

  Hypothèses, 239, 528


  I

  Ibis, 290

  Iconologie, 311

  Idées géométriques, 10, 17, 18

  Identité, 351

  Ignorants, 211

  Image, 311

  Images lointaines, 356

  Imaginaires, 9, 34, 49, 52, 377, 394, 407, 528

  Impertinence, 468

  Impossible, 47, 51, 260

  Impôt cubique, 448

  Inaccessibles, 490

  _Inaudy_, 372

  Incommensurables, 33, 45, 148, 331, 419, 527

  Incompréhensible, 446, 454

  Inconnues, 419

  Inde (Dans l'), 208

  Indéfini, 358

  Index alphabétique, 533

  Indiens (voir Hindous)

  Induction, 96

  Infini, 56, 61, 424, 453

  Infiniment grands, 56

  Infiniment petits, 31, 56

  Infinitésimale (Décomposition), 58, 59

  Initiés, 271

  Instrument, 37

  Intégraphes, 255

  Intégrateurs, 255

  Intellectuel (Perfectionnement), 155

  Intelligent (Peu), 213

  Intérêts composés, 354, 501, 523, 530

  Intérêts composés continus, 519

  L'Intermath, 145

  Intermédiaire des chercheurs et des curieux, 279

  Interprétation, 36, 38

  Interversion des facteurs, 136

  Intuition, 244

  Inventeurs, 290

  Invisible, 266

  _Iphigénie_, 159, 173

  Irrationnel, 403

  Irrégulier (Un), 388

  Isagoge in artem analyticam, 126

  Isopérimètres, 212, 257, 414

  Italiens, 122

  _Ivan_ le terrible, 218


  J

  _Jablonski_, 112

  _Jacobi_, 97, 124, 168, 197

  _Jacoby_, 531

  _E. Jacquier_, 83, 528

  _Jamblique_, 203

  _P. Janet_, 5, 358

  _Janssen_, 143

  Jardiniers, 213, 271

  Jetons, 297

  Jetons Bardot, 254

  Le jeu, 66

  Jeune anglais, 215

  Jeunes filles, 521

  Les jeux, 66, 230

  _Jevons_, 344

  _Joanet_, 530

  _De Jonquières_, 143

  _C. Jordan_, 31, 142, 143

  _J. Jordan_, 272

  _Josèphe_, 472

  _Le P. Joubert_, 144

  _J. Joubert_, 314

  Jouets mathématiques, 333

  Joueur (La ruine du), 99

  Joueurs (Bons), 193

  Journal des savants, 299

  Journaux de mathématiques, 142

  Jour perdu ou gagné, 412, 463

  _Joyau_, 195

  _Jubinal_, 200

  Jupiter, 86, 453

  _Jurien de la Gravière_, 231


  K

  _Kang-Hi_, 270

  _Kant_, 9, 239

  _Kepler_, 58, 87, 123, 138, 158, 167, 184, 192, 218, 225, 308, 364

  _Klein_, 143

  _Klumpf_, 343

  _Koenigs_, 144

  Le Koran, 319

  _Le P. Koskanski_, 522

  _Mme de Kowalewski_, 274

  _Kuang Siu_, 270


  L

  _Labosne_, 530

  _De Labourdonnaye_, 531

  _La Bruyère_, 330

  _La Caille_, 199

  _La Condamine_, 130, 330

  _Lacordaire_, 453

  _Lacroix_, 60, 108, 152, 165, 201, 275, 378, 530

  _Paul Lafitte_, 462

  _Pierre Lafitte_, 141

  _La Fontaine_, 161, 400

  _Lagarrigue_, 484

  _Lagny_, 184

  _Lagout_, 257, 530

  _Lagrange_, 36, 82, 123, 129, 131, 144, 157, 181, 185, 189, 205, 280, 399

  _Laguerre_, 528

  _Laisant_, 144, 145, 302, 528, 531

  _Lalande_, 140, 221, 283, 463

  _De La Landelle_, 531

  _Lalanne_, 254

  _Lamartine_, 217

  _Lamberg_, 531

  _Lamé_, 202, 246, 388, 389

  _Lande_, 278

  Langage (Fautes de), 111

  _Langendick_, 299

  _J.-A. Langlois_, 464

  Langue, 38, 111, 297, 419

  Lapins et faisans, 498

  _Laplace_, 20, 66, 86, 87, 93, 94, 95, 96, 110, 116, 123, 126, 128,
     147, 181, 185, 226, 233, 391, 449, 463, 530

  _De Laprade_, 236

  _Laputa_, 449

  _Laquière_, 531

  _Lartet_, 380

  _Laugel_, 55

  _H. Laurent_, 48, 144, 368

  _Mme de Lautré_, 372

  _Lavoisier_, 131

  _Léauté_, 143

  _E. Lebon_, 529

  _S. Leclerc_, 530

  _Leconte de Lisle_, 227

  _Lefébure de Fourcy_, 190

  _Lefèvre_, 272

  Légende, 289

  _Legendre_, 170, 185, 205, 259, 275

  _Leibniz_, 9, 56, 123, 125, 139, 146, 159, 169, 182, 207, 230, 232,
    243, 245, 345, 361, 368, 375, 386, 442, 448, 531

  _Lemercier_, 290

  _Lemierre_, 328

  _Lemoine_, 145, 278, 302

  _E. Lemoine_, 393, 525, 531

  Lentement, 222

  _Léonard de Pise_, 122

  _Léonard de Vinci_, 158

  _De Lépine_, 254

  _Leslie_, 252, 368

  Levé des plans, 68

  _Le Verrier_, 86, 209, 266, 328

  Levier, 79

  _M. Lévy_, 143

  _Liapounoff_, 143

  _Liard_, 4, 18, 250, 351, 528

  _Libri_, 188

  _S. Lie_, 143

  Lièvres et lévriers, 503

  Lignes de conduite, 354

  Lignes de l'équerre, 403

  _Lilawâti_, 506

  Limite, 31, 46, 56, 59

  _Linsteedt_, 143

  Lion, 474

  _Liouville_, 138, 142, 145, 298

  _Lippmann_, 143

  Lire dans l'espace, 401

  Littérature, 297, 419

  _Lobatschewski_, 293, 386

  _Locke_, 152

  _Loevy_, 143

  Logarithmes, 122, 214, 397, 440, 450

  Logique, 162

  Logique de Port-Royal, 26, 90

  Logiques anglaises, 344

  Lois sociales et morales, 93

  _G. de Longchamps_, 142, 144, 530

  Longévité, 223

  _Duchesse de Longueville_, 233

  _Lordat_, 350

  _Loridan_, 201

  Loterie, 66, 329

  _Louis XVIII_, 223, 288

  _Louis XV_, 311

  _Loulou_, 211

  Loups, 394

  Loxodromie, 320

  _E. Lucas_, 117, 254, 378, 530, 531

  _F. Lucas_, 445

  _Lucas de Burgo_, 122, 305

  _Lucrèce_, 412

  Lune, 86, 374, 418, 515

  Lunules, 377

  _Luya_, 531


  M

  _J. Macé_, 101, 252

  Machines, 69, 79

  Machines arithmétiques, 254

  Machines logiques, 344

  _Mac Laurin_, 287, 301, 443

  Madrigal algébrique, 328, 330

  _Dr Magnan_, 445

  _Mahistre_, 530

  _Maindron_, 529

  _Mairan_, 273, 405

  _J. de Maistre_, 235, 247, 256

  _X. de Maistre_, 310

  _Malebranche_, 148

  _Malfatti_, 489

  _Malherbe_, 158

  _Malthus_, 349

  Mandarins (Petits), 206

  _Mannheim_, 144, 206, 253, 254

  _Mansion_, 141, 143, 529

  _Marat_, 271

  _Marcellus_, 196

  _Maréchal de Saxe_, 381

  Mariage, 188, 192, 369

  _Mariage_, 532

  _M. Marie_, 126, 137, 140, 529

  _Markoff_, 143

  Mars, 456

  Marseille, 460

  _Mary-Lafon_, 200

  _Mascart_, 143

  _Mascheroni_, 532

  Masse, 22

  Matelot et coniques, 14

  Mathématiciens (Les), 299

  Mathématiciens (Les grands), 125

  Mathématiciens de Laputa, 449

  Mathématiciens vivants, 143

  Mathématiciennes, 273

  Mathématique (La), 4, 10, 13, 14, 212

  Mathématique (Esprit), 5

  Mathématiques appliquées, 63, 390

  Mathématiques en vers, 451, 531

  Mathématiques de Robinson, 391

  Mathématiques supérieures, 516

  Mathésis, 11

  _Mauduit_, 201

  _Maupertuis_, 377

  Maximum, 138, 393, 496, 510

  Mayence, 207

  _Mazarin_, 216

  Mécanique, 21, 79, 127, 129, 510

  Mécanique céleste, 128, 271

  _Méchain_, 132, 298

  Médecine, 507, 531

  Mélanges, 146, 504

  _Méray_, 144, 316, 401

  Méridien, 215

  _Le P. Mersenne_, 182, 417, 532

  _Méry_, 332

  Mesurages, 68, 211

  Mesure, 5, 6

  Mesure de l'esprit, 247

  Mesures subtiles, 393, 397

  Métagéométrie, 346

  Métaphores, 239

  Métaphysique, 9, 243, 527

  Méthodes, 23, 110, 252, 382

  Mètre, 71, 211

  Mètres carrés, 259

  _Meyniez_, 532

  _Michelet_, 296, 423

  Micromegas, 306

  Micron, 318

  Militaires (Sciences), 278

  _Stuart Mill_, 99, 241, 367

  Mille, 466

  _Mirabeau_, 324, 464

  _de Mirval_, 299, 532

  _Mittag-Leffler_, 143

  Mnémonique, 383

  Modérés, 329

  Modestie, 195

  Module, 50

  Moeurs des savants, 179

  _Mohamed ben Musa_, 121

  _Abbé Moigno_, 353, 528

  Moins (Signe), 47

  Moins par moins, 394, 406

  Moins que rien, 394

  Moitié plus un, 462

  _Molière_, 216, 297, 327, 467

  _Molyneux_, 186

  Monde (Soulever le), 79

  _H. Mondeux_, 372, 531

  _Monge_, 76, 77, 124, 128, 131, 145, 202, 204

  Monnaie, 66, 258

  Monologue, 422

  Monome (Le), 422

  _Montaigne_, 146, 408, 465

  Monte-Carlo, 99

  _Monteil_, 300

  _Montesquieu_, 179

  _Montucla_, 12, 140, 165, 236, 529, 532

  Moquerie, 418

  Morale, 146, 160, 243, 314

  Morceaux choisis, 1

  _Moreri_, 379

  _De Morgan_, 344

  Mort d'Archimède, 196

  Mort de la Science, 227

  Morts, 325

  Mots et signes, 245

  _Mouchot_, 43

  _Amiral Mouchez_, 530

  Moujik, 380

  Moulin, 355

  Mourant, 236

  _Mouret_, 367

  _Mourey_, 528

  _Moutard_, 144

  Moutons, 501

  Mouvement, 16

  Mouvement diurne, 87

  Mouvement perpétuel, 362, 393

  Mouvement singulier, 415

  Moyeu de la roue, 405

  Muhendis, 214

  Mulet, 362

  Multiplication, 46, 411

  _Munito_, 361

  Muses, 483

  Musique, 274

  _Mydorge_, 532

  Mystère, 235


  N

  Naïf, 223

  _Napoléon_, 157, 161, 185, 213, 267, 290, 463, 532

  Naturalistes, 238

  Nature (son étude mathématique), 63

  Navigation, 70, 80, 472, 529

  _Neil_, 378

  _Nemzetseg_, 384

  Néogéomètres, 349

  _Neper_, 122, 254

  Neptune, 86, 328, 418

  Nerf de la guerre, 308

  _Neuberg_, 143

  _Newton_, 85, 110, 123, 128, 139, 141, 144, 157, 167, 183, 191, 196,
    206, 281, 345, 418, 500, 520

  Nez perdu, 193

  _Nicétas_, 136

  _Nicole_, 233

  Nil, 119, 135

  Nivellement, 68

  _Ch. Nodier_, 465

  Nombre (Un grand), 417

  Nombre (son avatar), 378

  Le nombre! 247

  Nombre de Platon, 416

  Nombre indispensable, 383

  Nombre infini, 353

  Nombre mystérieux, 358, 454

  Nombre pensé, 497

  Nombres, 16, 17, 45, 247

  Nombres (Théorie des), 417

  Nombres amiables, 444

  Nombres curieux, 318

  Nombres harmoniques, 420

  Nombres géométriques, 442

  Nombres négatifs, 9, 34, 47, 53, 384, 394, 527

  Nombres parfaits, 444

  Nomographie, 255

  _Nonius_, 513

  Nord et Sud, 463

  Notions primitives, 16

  Numération (Systèmes de), 386, 441

  Numérotage, 384


  O

  Objections, 405, 406

  Objet des mathématiques, 3

  Observatoire, 213, 215, 328, 462

  _d'Ocagne_, 255

  Oeuf, 423

  Oiseaux, 332, 362

  Oisivetés, 451

  _Olbers_, 374

  _Ollé-Laprune_, 291

  Omnibus, 226, 279

  Onze mille, 459

  Opérations (Calcul des), 4, 38

  Opérations abrégées, 256

  Opinions amères, 217

  Opinions des savants, 179

  Oracle, 149, 428

  Ordre et mesure, 3, 4, 5

  Ordre mathématique, 8

  Ordre physique, 8

  Origine, 18, 135, 248

  Oubli, 327

  Ourse, 454

  _Owen_, 217

  _Ozanam_, 195, 532


  P

  _Painlevé_, 144

  Pair ou impair? 443

  _Palitzch_, 272

  Pan! 429

  Panama (Le), 69

  _Mme Pape-Carpentier_, 354

  _Pappus_, 121, 137, 443

  Parabole, 64, 180

  Paradoxes, 339

  Parallèles, 293, 385

  Parapluies, 401

  Paresse, 199

  Parfaitement, 247

  Paris et Défis, 182

  Parler de ce qu'on sait, 450

  Parole d'honneur, 212

  Partage, 400, 401, 475

  Parure, 424

  Pas (Faux), 226

  _Pascal_, 14, 16, 23, 91, 123, 127, 128, 146, 149, 153, 158, 162,
    173, 182, 254, 279, 301, 315, 365, 528

  Passions, 368, 446

  _Pasteur_, 278, 316

  Patience, 318

  Paume (Jeu de), 230

  Pédant, 346

  _Penjon_, 186

  Pensées, 1

  Pentagone étoilé, 271

  Perdu, 425

  _J. B. Pérès_, 532

  _Mme Périer_, 14

  Périhélie, 418

  Permanence des règles, 37

  _Père Pencu_, 427

  _Général Perrier_, 132

  Perruquiers, 397

  Personnages (Tristes), 188

  Perspective, 68, 180

  _Petersen_, 143

  Perturbations célestes, 87

  Petites-Maisons, 329

  Phare, 501

  Phéniciens, 119

  _Philolaüs_, 148

  Philosophie, 146, 225, 341

  Phobos et Deimos, 306

  Photographies célestes, 392

  Physique, 8, 9, 66

  Pi, 331, 383, 395, 419

  _A. Picard_, 530

  _E. Picard_, 143, 267

  _J. Picard_, 130

  Pie, 491

  Pierre à aiguiser, 376

  _Pinet_, 422, 529

  _Piron_, 330

  Placement (Bon), 332

  Placements répétés, 501

  Plaidoirie en chiffres, 334

  Plaies, 257

  Plan et droites (Leur notion), 20, 21

  Planètes, 462

  Planimètres, 255

  _Plateau_, 186

  _Platon_, 25, 33, 120, 146, 147, 153, 241, 289, 311, 397, 416, 466

  Pluralité des mondes, 265, 442, 457

  Plus haut, 246

  Plus tard, 235

  _Plutarque_, 196, 374

  _Poe_, 194, 363

  _H. Poincaré_, 53, 142, 143, 395

  _Poinsot_, 28, 39, 155, 383

  _Poisson_, 31, 57, 158, 203, 275, 359

  Police, 214

  _De Polignac_, 532

  Politique, 279, 329

  _Poncelet_, 27, 33, 124, 189, 290, 361, 528

  _R. Ponchon_, 461

  Ponctualité, 203

  _Pons_, 272

  _Ponsard_, 225, 299

  Pont, 9, 153, 179

  Pontes, 99

  Ponts (Passage des), 521

  Ponts et chaussées, 69

  _Popilius_, 380

  Porcs, 451

  _Porro_, 406

  _Portalis_, 158

  Portrait cherché, 284

  Portraits, 190

  Port-Royal (Logique de), 26, 90

  Positifs (Trop), 229

  Positivistes, 141, 231

  Postillon, 198

  Postulatum, 293, 385

  Potage, 258

  _Potier_, 143

  _Pott_, 532

  _Le P. Poulain_, 264

  Précision, 267

  Précocité, 279

  Précurseur, 287

  Préface, 1

  Premier venu, 468

  Président, 206, 336

  Prêtres menacés, 283

  _Preyer_, 219

  Principes (Les), 253

  Principes mathématiques de la philosophie naturelle, 85, 196, 271

  _Privat-Deschanel_, 79

  Prix, 142, 158

  Probabilités (Calcul des), 66, 90, 516, 518, 529

  Probable (Plus que), 329

  Problèmes (En), 268

  Problèmes curieux et humoristiques, 469

  Procédé singulier, 395

  Professeur de triangle, 422

  Professeurs et étudiants, 202

  Progrès et conservation, 95

  _De Prony_, 397

  Proportion, 3

  Proportion divine, 305

  Proposition (Son étude analytique), 112

  Protestation, 428

  Prototype, 133

  _Proudhon_, 387

  _Prouhet_, 304

  Providence, 147

  _Ptolémée_, 111, 121, 126, 273, 462

  _Roi Ptolémée_, 180

  Puits (Problème du), 507

  Pyramides, 119, 319

  _Pythagore_, 43, 120, 203, 271, 274, 287, 454


  Q

  Quadrateur, 379

  Quadrature du cercle, 373, 522

  Quadratures, 32, 377

  Quadrivium, 111

  Quantité, 4

  Quarantaine, 460

  Quarante-cinq, 476

  Quaternions, 49, 51, 528

  Quatorze, 454

  Quincaillier, 271

  _Quinet_, 286, 313

  _Quintilien_, 414


  R

  _Rabelais_, 146, 419, 449

  _Rabier_, 27

  _Racine_, 159, 173

  _Racine fils_, 225

  Racines, 45

  Raideur, 204

  Raisonnement, 246

  Raison sociale, 425

  _Rambaud_, 157

  _De Ramsay_, 159

  Rapport de la circonférence au diamètre, 136, 331, 383, 395, 419

  Rassurant, 334

  _Ratdolt_, 301

  _Ravaisson_, 232, 246

  Réactifs, 263

  Rebuffade, 425

  Réciprocité, 203

  Réciproques, 117

  Réciproque touchante, 203

  Recommandation, 275

  Récompensé, 202

  Reconstruction, 189

  _Record_, 376

  Récréations mathématiques, 195, 531

  Rectifications, 377

  Rédiger (Bien), 298

  _Redouly_, 384, 530

  Réduction, 25

  Réformons, 396

  Refrains (Vieux), 329

  Règle à calcul, 530

  Règle d'or ou de trois, 475

  Règle et compas, 522

  Règles de bois, 262

  Règles pour les mathématiques, 23

  _Regnault_, 263

  Régulier, 427

  _Th. Reid_, 242

  _Reiss_, 417, 532

  Relativité, 228

  Reliefs, 261

  _Rembrandsz_, 272

  _Renan_, 352

  _H. Renaud_, 446

  _Renouvier_, 349

  Rep... d'math..., 211

  Répertoire bibliographique, 301

  Résolution électrique, 445

  Responsabilité, 209

  Résultats, 318

  Revue scientifique, 226

  _C. Rey_, 258

  _Reynaud_, 210

  _D. Ricard_, 532

  _Richepin_, 446

  _Richerand_, 253

  _Richet_, 383

  _Riemann_, 347, 399

  Rien ne se perd, 356

  _Rigaut_, 273

  _Rivarol_, 312

  Robinson, 201, 391

  _Rodet_, 506

  Romains, 231, 472

  _Romanus_, 321

  _Romieux_, 462

  Rond et triangulaire, 454

  Rotation de la terre, 87

  _Roth_, 254

  _Rothschild_ (Ce pauvre), 465

  _Rouché_, 77, 125, 130, 143, 144, 259, 293

  Roulette (voir cycloïde)

  _J.-J. Rousseau_, 103, 256, 257, 305, 355

  Route royale, 180

  Royauté (Une), 231

  _Royer-Collard_, 85

  Rue (Dans la), 383

  Ruine du joueur, 99


  S

  _Saigey_, 130

  _Sainte-Beuve_, 159

  _Saintine_, 427

  Saint-Pétersbourg (Paradoxe de), 98

  _Saint-Venant_, 359

  Salade, 225

  _Salmon_, 143

  Sang (sa mesure), 507

  Sans-Souci, 451

  _Sarrau_, 143

  _Sarrus_, 141

  Saturne, 86, 450

  _Saunderson_, 186

  _Saurin_, 396

  _Sauvage_, 161

  Savante (La), 327

  Savant modeste, 185

  Savants fous, 187

  _Savérien_, 529

  _J.-B. Say_, 229, 464

  Scandale, 99

  Scepticisme mathématique, 362

  Sceptiques, 350

  _Schopenhauer_, 234

  _Schumacher_, 294

  _Schwarz_, 143

  Science (Première), 294

  Science (Statique ou dynamique), 55

  Sciences exactes, 10

  Sciences militaires, 278

  Sciences ou lettres? 312

  Scrupuleux (Trop), 392

  _Sebert_, 143

  Sécante, 453

  _Le P. Secchi_, 530

  Seizième siècle, 122, 138, 139, 454

  Semaine des trois jeudis, 463

  _Sénèque_, 216

  Senior Wrangler, 208

  Sensations, 358

  Séries, 59, 409

  Serpent d'église, 402

  _P. Serret_, 428, 530

  Serrurier, 395

  _Sésostris_, 135

  _Sessa_, 504

  _Mme de Sévigné_, 216, 297

  _Shaftsbury_, 246

  Sibériens, 453

  Signes, 47, 245

  Silencieux, 335

  _Simart_, 529

  _Ch. Simon_, 21

  _J. Simon_, 425

  Simplicité, 28

  Simplicité (Mesure de la), 393

  Simplification, 36, 116

  Simultanément, 401

  Singularités, 339

  Sirius, 266

  Six cent soixante-six, 358

  Socialistes, 100, 208, 346, 448

  Société mathématique, 144

  _Socrate_, 153

  Soif, 210

  Soldat (Problème du vieux), 496

  Soleil, 288

  _Somerville (Mary)_, 274

  _Sonnet_, 70, 530

  Sons, 274

  Sophismes, 414

  Sorcier, 218

  Sources (À toutes les), 399

  Sourd parlant, 330

  Soustraction, 211, 332

  Spectacle tournant, 332

  Spéculation et application, 10, 64

  _Herbert Spencer_, 80

  Sphère, 394, 532

  Sphérique (Le), 456

  _Spinoza_, 174

  Stabilité du monde, 85, 395

  _Mme de Staël_, 162, 311, 330

  Statistique, 66, 322, 334

  Statue périodique, 424

  _Stendhal_, I

  _Stéphanos_, 326

  _Stevin_, 461

  _Stomma_, 532

  Stratégie, 70

  _Stone_, 271

  _Stupuy_, 532

  _Sturm_, 195

  _Sully-Prudhomme_, 230, 314, 316

  Superposition, 31

  Surfaces élastiques, 273

  Sursum corda, 286

  _Mme Swetchine_, 160

  _Swiden_, 133

  _Swift_, 449

  Syllogismes, 245, 250

  _Syllow_, 143

  _Sylvester_, 143, 399, 425

  Symboles, 4, 38, 45, 48, 129, 367

  Syntaxe, 312

  Synthèse, 25

  Syracuse, 136

  Système binaire, 448

  Système métrique, 71, 130

  _Szymanski_, 278


  T

  _Tabarin_, 332

  Table des matières, 557

  Table ronde, 231

  Tables astronomiques, 374

  Tachymétrie, 257, 530

  Tahiti, 532

  _Taine_, 8, 38, 249, 475

  Tangentes, 32, 60, 422

  _J. Tannery_, 56, 114, 144, 163, 403

  _P. Tannery_, 25, 137, 140, 529

  _Tarnier_, 532

  _G. Tarry_, 417, 512

  _Tartaglia_, 408

  Tautochrone, 373

  _Taylor_, 329, 443

  _Tchebycheff_, 254

  Temps, 22, 320, 322

  Tendances (Deux), 267

  Tenue des livres, 67

  _O. Terquem_, 142, 160, 214, 228, 252, 443

  _Terrasson_, 247

  Terre (Notre petite), 233

  Testament astronomique, 456

  _Thalès_, 119

  Théâtre scientifique, 299, 532

  _Théon_, 25, 273

  _Théophraste_, 136

  Théorème militaire, 326

  Théorèmes, 341

  Thermochimie, 66

  _Theut_, 290

  _Thiers_, 206, 426

  _Thoman_, 530

  _L. Thomas_, 501

  _Thomas (de Colmar)_, 254

  _Thomson_, 261, 356

  _Thuillier_, 278

  Tiers et demi, 331

  _De Tilly_, I, 21, 347, 528

  Timbre et Enregistrement, 215

  Timbres-poste, 525

  Tirade, 422

  _Tissandier_, 391

  _F. Tisserand_, 89

  Titre singulier, 453

  Toise, 130

  _Tolstoï_, 380, 443

  Tombeau d'Archimède, 280

  Tonneau, 184, 329, 517

  Topographie, 69, 268

  Tortue, 410

  Torture, 333

  _Toto_, 211

  _Tott_, 214

  _H. Toussenel_, 346

  Tout et moitié, 429

  Trajectoire, 327

  _Trallès_, 133

  Transformations, 39, 266

  Travail personnel, 263

  Treize, 222, 445

  _Dr Trélat_, 444

  Trente et un, 300

  _Trépied_, 392

  Triangle et poésie, 230

  Triangle de Pythagore, 486

  Triangulation, 215, 230, 298

  Tribunal, 99

  Tribunal des mathématiques, 270, 448

  Tric-trac, 230

  Trigonométrie dramatique, 298

  Trigonométrie pratique, 68

  Trisection de l'angle, 522, 528

  Tristes personnages, 188

  Trivium, 110

  Trois découvertes depuis les Grecs, 139

  Trois-Huit, 208

  Trois-Six, 312

  Trop court, 211

  Tulipes, 354

  Turcs, 214

  _Tycho Brahe_, 193, 262, 308


  U

  _Undecimilla_, 459

  Unification de l'heure, 322

  L'Unité est un nombre, 461

  Université (L'), 157

  Uranus, 86

  Urne, 99


  V

  _Vacquerie_, 333

  _Vaillant_, 278

  _Valentin_, 507

  Valeur relative, 220

  _F. Vallès_, 51, 528

  _J. Vallès_, 261

  _Valson_, 139, 463, 529

  _Van Etten_, 531

  Variable, 54, 353

  Variétés, 177

  _Vauban_, 285, 451

  _Vaucanson_, 328

  Vaudeville, 299

  _Vélasquez_, 190

  Vénération, 206

  Vengeance, 328

  _Le P. Verbiest_, 270

  Vérification, 9, 73, 136

  Vérité historique, 289

  _Verlaine_, 444

  _Jules Verne_, 298, 306, 413

  Vers nombreux, 430

  _Vico_, 351

  _Viète_, 25, 122, 126, 137, 166, 321

  _Villemain_, 315

  Vin, 466, 494

  _Vinet_, 228

  Vingt centimes, 258

  _Vinot_, 427, 532

  _Violle_, 143

  Vis, 253

  Vite, 223

  Vitre, 215

  _Vitrey_, 491, 532

  _Vitruve_, 283, 499

  _Viviani_ (Fenêtres de), 519

  _Voltaire_, 109, 140, 147, 217, 218, 229, 303, 306, 328, 441, 451

  _Vrain-Lucas_, 188

  Vue directe, 398

  _Vuibert_, 142


  W

  _Wallis_, 182

  _J. Wallon_, 343

  _Walras_, 66

  _Weber_, 143, 358

  _Weigel_, 532

  _Whewell_, 165, 240

  _Wolf_, 135, 143, 266, 528

  _Worms_, 248

  _Wronski_, 446, 532


  X, Y, Z

  Xaintrie (La), 401

  _x, y, z_, 333

  _Zchokke_, 289

  _Zeb_, 334

  Zéro, 219, 330, 448

  _Zeuthen_, 143

  _Zozo_, 200




TABLE DES MATIÈRES


PRÉFACE 1


MORCEAUX CHOISIS ET PENSÉES

  Objet et caractère des mathématiques (Aristote, Descartes,
  Cournot, Liard, A. Comte, P. Janet, Kant, d'Alembert, Montucla,
  Bossut, Condorcet)                                                 3

  Notions primitives (Pascal, Duhamel, Boussinesq, Laplace, de
  Tilly)                                                            16

  Méthodes (Pascal, Duhamel, Viète, P. Tannery, Port-Royal,
  Poncelet, Delambre, Poinsot, Dupin, Bellavitis, Descartes,
  Chasles, Poisson)                                                 23

  Géométrie et Analyse (Platon, Chasles, A. Comte, Lagrange,
  Hankel, Condorcet, Arago, J. Fourier, Poinsot)                    33

  Les nombres, les symboles et les fonctions (Cournot, Cauchy, A.
  Girard, J. Bourget, A. Comte)                                     45

  La limite, l'infiniment grand et l'infiniment petit (Leibniz,
  J. Tannery, Poisson, Kepler, Laz, Carnot, Duhamel, Lacroix)       56

  Mathématiques appliquées (Arago, J. Fourier, Fontenelle, Euler,
  Sonnet)                                                           63

  Système métrique (Anonyme)                                        71

  Géométrie descriptive (Arago, Delambre, Rouché, Monge)            75

  Mécanique (Galilée, Lagrange)                                     79

  Astronomie (Copernic, Royer-Collard, Laplace, F. Tisserand,
  Faye)                                                             84

  Probabilités (Port-Royal, Pascal, Laplace, J. Bertrand,
  Duhamel)                                                          90

  Enseignement (Condorcet, Hoüel, J.-J. Rousseau, Anonyme,
  Lacroix, Voltaire, Dupanloup, Arago, Laplace, Newton,
  d'Alembert, J. Tannery, Cournot, J. Bertrand)                    101

  Histoire (Rouché, Leibniz, Hoefer, Delambre, M. Marie, J.
  Fourier, Bossut, Pascal, d'Alembert, Biot, Arago, Rouché,
  Hérodote, Hankel, Chasles, P. Tannery, Liouville, Cantor, C.
  Henry, Fontenelle, Sophie Germain)                               119

  Philosophie et Morale.--Mélanges (Bible, Platon, Leibniz,
  Rabelais, Montaigne, Pascal, Condillac, Laplace, Voltaire,
  Malebranche, Duhamel, Locke, Cauchy, Lacroix, F. Bacon,
  Napoléon, Newton, Kepler, Euler, Poinsot, Poisson,
  Sainte-Beuve, J. Bertrand, Dupanloup, O. Terquem, Franklin, La
  Fontaine, Duruy, Mme de Staël, Diderot, Barthélemy
  Saint-Hilaire, A. Comte, J. Tannery, Fontenelle, Cuvier,
  Whewell, Viète, Copernic, Jacobi, Anonyme)                       146


VARIÉTÉS ET ANECDOTES


MOEURS, OPINIONS, DISTRACTIONS DES SAVANTS

  Un géomètre                                                      179

  Route royale                                                     180

  Dernière conversation                                            181

  Facile de voir                                                   181

  Défis et paris                                                   182

  Autobiographie                                                   182

  Député muet                                                      183

  Douze fois douze                                                 184

  Le tonneau                                                       184

  Géomètre au pouvoir                                              185

  Modestie                                                         185

  Aveugles                                                         186

  Sur l'échafaud                                                   187

  Savants fous                                                     187

  Deux tristes personnages                                         188

  Mariage                                                          188

  Reconstruction                                                   189

  Portraits                                                        190

  Une casquette                                                    190

  Dénominateur à la maison                                         190

  Distractions                                                     191

  Auteur embarrassé                                                192

  De l'argent                                                      193

  Nez perdu                                                        193

  Bons joueurs                                                     193

  Bonhomie                                                         195

  Modestie                                                         195

  Coup de foudre                                                   195

  Humilité                                                         196

  Mort d'Archimède                                                 196

  Efforts glorieux                                                 197

  Postillon                                                        198

  Paresse                                                          199

  Désintéressement                                                 199

  Zozo                                                             200

  Robinson                                                         201


PROFESSEURS ET ÉTUDIANTS

  Examinateur                                                      202

  Récompensé                                                       202

  Ponctualité                                                      203

  Touchante réciproque                                             203

  Raideur                                                          204

  Vénération                                                       206

  Petits mandarins                                                 206

  Président                                                        206

  Correspondance                                                   207

  À la halle                                                       207

  Un examen périlleux                                              207

  Senior wrangler                                                  208

  Les trois huit                                                   208

  Dans l'Inde                                                      208

  Responsabilité                                                   209

  Fort en thème                                                    209

  Grand'soif                                                       210


ENFANTS ET IGNORANTS

  Enfant terrible                                                  211

  Trop court                                                       211

  Rep... d'math...                                                 211

  Parole d'honneur                                                 212

  Facéties géométriques                                            212

  Entêtement                                                       213

  Peu intelligent                                                  213

  Chez les Turcs                                                   214

  Police volée                                                     214

  Décimètre carré                                                  215

  Jeune Anglais                                                    215

  Complaisances astronomiques                                      215

  Comètes                                                          216

  Opinions amères                                                  217

  Astrologie                                                       218

  Architecte mal payé                                              218

  Égal à zéro                                                      219

  Éclipse du colonel                                               219

  À dix mois                                                       219

  Valeur relative                                                  220

  Cancre                                                           220

  Fin du monde                                                     221

  Treize à table                                                   222

  Lentement                                                        222

  Longévité                                                        223

  Vite                                                             223

  Naïf                                                             223

  Consciencieuse                                                   223


PHILOSOPHIE

  Salade                                                           225

  Compas                                                           225

  Un faux pas                                                      226

  Déterminisme                                                     226

  Mort de la science                                               227

  Algèbre morale                                                   227

  Relativité                                                       228

  Trop positif                                                     229

  Les jeux                                                         230

  Triangle et poésie                                               230

  Égalité circulaire                                               231

  Une royauté                                                      231

  Géométrie et morale                                              232

  Notre petite terre                                               233

  Cheveux                                                          233

  Mystère                                                          235

  Plus tard                                                        235

  Mourant                                                          236

  Applicable à tout                                                236

  Fictif et borné                                                  236

  Naturalistes                                                     238

  Métaphores                                                       239

  Hypothèses                                                       239

  Débat pédagogique                                                240

  Culture d'Euclide                                                242

  Calculs des ouvriers                                             243

  Métaphysique et morale                                           243

  Intuition                                                        244

  Calcul                                                           244

  Mots et signes                                                   245

  Syllogismes                                                      245

  Plus haut                                                        246

  Raisonnement                                                     246

  Parfaitement                                                     247

  Le nombre!                                                       247

  Mesure de l'esprit                                               247

  Origine                                                          248

  Généralité                                                       249

  Discipline                                                       250

  Démonstration et syllogisme                                      250


MÉTHODES

  Diviseur et ramasse-tout                                         252

  La division                                                      252

  Anatomistes                                                      252

  Fromage                                                          253

  Expérience géométrique                                           253

  Jetons Bardot                                                    254

  Machines arithmétiques                                           254

  Intégrateurs et intégraphes                                      255

  Arithmétique politique                                           256

  Opérations abrégées                                              256

  Gaufres                                                          257

  Plaies                                                           257

  Tachimétrie                                                      257

  Vingt centimes                                                   258

  Potage                                                           258

  Anarchie                                                         259

  Mètres carrés                                                    259

  Anxiété                                                          260

  Impossible                                                       260

  Reliefs                                                          261

  Coton et musique                                                 261

  Règles de bois                                                   262

  Alphabet                                                         263

  Travail personnel                                                263

  Réactifs                                                         263

  Fagots et fagots                                                 264

  Pluralité des mondes                                             265

  Transformations                                                  266

  Invisible                                                        266

  Précision                                                        267

  Deux tendances                                                   267

  Problèmes (En)                                                   268

  Coefficients de correction                                       268


HISTOIRE

  Tribunal des mathématiques                                       270

  Une calomnie                                                     271

  Dodécaèdre                                                       271

  Jardiniers, quincailliers, etc.                                  271

  Mathématiciennes                                                 273

  Sons                                                             274

  Deux dynasties                                                   275

  Recommandation                                                   275

  École polytechnique                                              276

  École normale                                                    277

  Sciences militaires                                              278

  Brouettes et omnibus                                             279

  Bonne politique                                                  279

  Précocité                                                        279

  Tombeau d'Archimède                                              280

  Attraction universelle                                           281

  Tout par dix                                                     282

  Prêtres menacés                                                  283

  Ciel en cristal                                                  283

  À Athènes                                                        284

  Portrait cherché                                                 284

  Sursum corda                                                     286

  Précurseur                                                       287

  Courtisans                                                       288

  Un duel                                                          289

  Vérité historique                                                289

  Légende                                                          289

  Inventeurs                                                       290

  Documents                                                        290

  Napoléon                                                         290

  Expérimentons                                                    291

  Hardiesse                                                        293

  Première science                                                 294

  Canonisés                                                        295


LANGUE ET LITTÉRATURE

  Étymologies                                                      297

  Trigonométrie dramatique                                         298

  Bien rédiger                                                     298

  Théâtre scientifique                                             299

  Un vaudeville                                                    299

  Les Mathématiciens                                               299

  Trente et un                                                     300

  Bibliographie                                                    301

  Répertoire bibliographique                                       301

  Figures                                                          302

  Gravitation                                                      303

  Évanouissement                                                   304

  Apologue oriental                                                304

  Divine proportion                                                305

  Phobos et Deimos                                                 306

  Fougueux                                                         306

  Nerf de la guerre                                                308

  Barême suffit                                                    309

  Carré long                                                       310

  Beaux esprits                                                    310

  Épigramme                                                        311

  Image                                                            311

  Iconologie                                                       311

  Trois-Six                                                        312

  Syntaxe                                                          312

  Sciences ou lettres?                                             312

  Admiration                                                       313

  En morale                                                        314

  Pascal                                                           315

  Heureux                                                          316

  Beauté de la science                                             316


RÉSULTATS

  Nombres curieux                                                  318

  Patience                                                         318

  Un compteur                                                      319

  Pyramides                                                        319

  Loxodromie                                                       320

  Calendrier                                                       320

  Équation du 45e degré                                            321

  Funèbre statistique                                              322

  Unification de l'heure                                           322

  Ancêtres                                                         324

  Fil de soie                                                      325

  Morts                                                            325

  Théorème militaire                                               326


FANTAISIES

  La savante                                                       327

  Un oubli                                                         327

  Vengeance                                                        328

  Neptune                                                          328

  Madrigal algébrique                                              328

  Plus que probable                                                329

  Vieux refrains                                                   329

  Diplomatie et politique                                          329

  Les Modérés                                                      329

  Sourd parlant                                                    330

  Zéro académique                                                  330

  Tiers et demi                                                    331

  Amusettes                                                        331

  Bon placement                                                    332

  Spectacle tournant                                               332

  Oiseaux                                                          332

  Jouets mathématiques                                             333

  X, Y et Z                                                        333

  Rassurant                                                        334

  Plaidoirie en chiffres                                           334

  Café                                                             335

  Silencieux                                                       335


PARADOXES ET SINGULARITÉS

PHILOSOPHIE

  Axiomes et théorèmes                                             341

  Comptable                                                        343

  Logiques anglaises                                               344

  Avant Leibniz et Newton                                          345

  Pédant                                                           346

  L'harmonien                                                      346

  La métagéométrie                                                 346

  Loi de Malthus                                                   349

  L'âme et la vie                                                  350

  Scepticisme                                                      350

  Avenir                                                           352

  Borné                                                            352

  Nombre infini                                                    353

  Principes (Les)                                                  353

  Tulipes                                                          354

  Ligne de conduite                                                354

  Moulin                                                           355

  Sans axiomes                                                     356

  Images lointaines                                                356

  Loi des sensations                                               358

  Grands et petits                                                 358

  Nombre mystérieux                                                358

  Être et néant                                                    359

  Conciliation                                                     359

  Certitudes antérieures                                           360

  Commencement                                                     361

  Continuité                                                       361

  Munito                                                           361

  Scepticisme mathématique                                         362

  Deux et deux                                                     363

  Critérium                                                        364

  Âme de la terre                                                  364

  Coeur et raison                                                  365

  Abstractions                                                     365

  Benzine                                                          366

  Symboles                                                         367

  Axiomes                                                          367

  Passions                                                         368

  Conceptions                                                      368

  Hyperespace                                                      368

  Chercheur                                                        369

  Les marier                                                       369

  _Gradgrind_                                                      370

  Valeur variable                                                  371


HISTOIRE

  Calcul mental                                                    372

  Tautochrone et brachistochrone                                   373

  Quadrature du cercle                                             373

  Longues formules                                                 374

  Concession                                                       374

  Pierre à aiguiser                                                376

  Chose                                                            376

  Chicane                                                          376

  Quadratures et rectifications                                    377

  Avatar du nombre                                                 378

  Au Brésil                                                        378

  Quadrateur                                                       379

  Érudits                                                          379

  Moujik                                                           380

  Club                                                             380

  Cercle de Popilius                                               380

  Vieux compte                                                     380

  Maréchal de Saxe                                                 381


MÉTHODES

  Démonstrations fausses                                           382

  Dans la rue                                                      383

  Nombre indispensable                                             383

  Sans chiffres                                                    384

  Numérotage                                                       384

  Le postulatum                                                    385

  Désorienté                                                       386

  Systèmes de numération                                           386

  Un irrégulier                                                    388

  Égoïsme                                                          388

  Un nouvel enseignement                                           389

  Mathématiques de Robinson                                        391

  Trop scrupuleux                                                  392

  Balance fausse                                                   392

  Photographies célestes                                           392

  Mesure de la simplicité                                          393

  Mouvement perpétuel                                              393

  Vrai maximum                                                     393

  D'abord la sphère                                                394

  Moins que rien                                                   394

  Loups                                                            394

  Serrurier                                                        395

  Erratum                                                          395

  Procédé singulier                                                395

  Réformons                                                        396

  Calcul infaillible                                               396

  Cité modèle                                                      397

  Perruquiers                                                      397

  Mesures subtiles                                                 397

  Vue directe                                                      398

  Allégorie                                                        398

  À toutes les sources                                             399

  Partage                                                          400

  Simultanément                                                    401

  Parapluies                                                       401

  Serpent d'église                                                 402

  Lignes de l'équerre                                              403

  Irrationnel                                                      403


OBJECTIONS

  Moyeu de la roue                                                 405

  Moins par moins                                                  406

  Objection                                                        406

  Imaginaire égal au réel                                          407

  Tous les nombres sont égaux                                      407

  Le cas irréductible                                              408

  Asymptotes                                                       408

  Demi-circonférence                                               409

  Série étrange                                                    409

  Tortue d'Achille                                                 410

  Diminuer en multipliant                                          411

  L'heure européenne                                               411

  Antipodes                                                        412

  Jour perdu ou gagné                                              412

  Contours trompeurs                                               414

  Sophismes simples                                                414

  Colombe                                                          415

  Mouvement singulier                                              415


DESIDERATA

  À démontrer                                                      416

  Nombre de Platon                                                 416

  Un grand nombre                                                  417

  Moquerie                                                         418

  Périhélie                                                        418


LANGUE, LITTÉRATURE ET BEAUX-ARTS

  Gargantua                                                        419

  Incommensurable                                                  419

  Les inconnues                                                    419

  Esthétique                                                       420

  Mesure de l'âne                                                  421

  Argot des écoles                                                 421

  Tirade                                                           422

  Professeur de triangle                                           422

  L'oeuf                                                           423

  Buses graves                                                     423

  Statue périodique                                                424

  Parure                                                           424

  Couleurs                                                         424

  Raison sociale                                                   425

  Perdu!                                                           425

  Rebuffade                                                        425

  Contradictions                                                   426

  Chemins                                                          427

  Régulier                                                         427

  Abrégeons                                                        427

  Protestation                                                     428

  Clair-obscur                                                     428

  Pan!                                                             429

  Tout et moitié                                                   429

  Dix-huit                                                         429

  Bataille ou rançon?                                              430

  Vers nombreux                                                    430


CURIOSITÉS ET ÉTRANGETÉS

  Courbe renaissante                                               440

  Carrés magiques et diaboliques                                   440

  Charles XII                                                      441

  Nombres géométriques                                             442

  Courbe banale                                                    442

  Planètes habitées                                                442

  Les autres et soi                                                443

  Géométrie des abeilles                                           443

  Pair ou impair?                                                  443

  Nombres parfaits                                                 444

  Nombres amiables                                                 444

  Arithmomanie                                                     444

  Résolution électrique                                            445

  Césarine                                                         446

  Passions                                                         446

  Impôt cubique                                                    448

  Système binaire                                                  448

  Chenille                                                         449

  Laputa                                                           449

  Parler de ce qu'on sait                                          450

  Géomètres au pouvoir                                             450

  Nombreuse famille                                                451

  Mathématiques en vers                                            451

  Droite bizarre                                                   452

  Titre singulier                                                  453

  Sécante                                                          453

  Étoile avalée                                                    453

  Prix du blé                                                      454

  Rond et triangulaire                                             454

  Incompréhensible                                                 454

  Henri IV                                                         454

  Fin du monde                                                     455

  Le sphérique                                                     456

  Testament astronomique                                           456

  Onze mille                                                       459


FANTAISIES

  Âge du capitaine                                                 460

  L'unité est un nombre                                            461

  Fonctions transcendantes                                         461

  Aux enchères                                                     462

  Moitié plus un                                                   462

  Boutades                                                         462

  Nord et Sud                                                      463

  Semaine des trois jeudis                                         463

  Avocat                                                           464

  Financiers                                                       464

  Ce pauvre Rothschild                                             465

  Au baccalauréat                                                  465

  Humour                                                           465

  Danseur                                                          466

  Vin                                                              466

  Cuisine                                                          467

  Impertinence                                                     468

  Premier venu                                                     468


PROBLÈMES CURIEUX ET HUMORISTIQUES

  Arithmétique                                                     471

  Géométrie                                                        485

  Algèbre                                                          493

  Mécanique                                                        510

  Astronomie                                                       513

  Mathématiques supérieures                                        516


NOTE BIBLIOGRAPHIQUE

  Philosophie des mathématiques                                    527

  Histoire                                                         528

  Applications                                                     529

  Enseignement                                                     530

  Curiosités                                                       530


  INDEX ALPHABÉTIQUE                                               533

  TABLE MÉTHODIQUE                                                 557


FIN


BAR-LE-DUC.--IMPRIMERIE COMTE-JACQUET.




Notes aux lecteurs de ce fichier numérique:

Les mots en italique sont encadrés par des tirets bas: _italique_.

Signes utilisés pour représenter les symboles mathématiques:

--[V¯]n : Racine carrée de n.

--[xV¯]n : Racine x (cubique, etc.) de n.

--^{exposant ou lettre supérieure}.

--_{indice}.

--[¯nom du signe¯].

--[>/<] "Supérieur à" sur "Inférieur à".

--Ligne 1677: La phrase "Les nombres imitent l'espace qui sont de nature
si différente." a été corrigée: "Les nombres imitent l'espace, qui est
de nature si différente."





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