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% The Project Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der Elliptischen
% Funktionen, by Karl Bobek                                               %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
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%% titletoc : provides special sectioning, header, and toc appearance    %%
%% fixmath  : Provides italic style uppercase Greek (e.g. Pi). Required. %%
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%% Both pdflatex (to generate pdf) and latex (to generate dvi, and       %%
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%% Lacheck:                                                              %%
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%% 2008-May-02 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
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%% 2007-Jul-27 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)           %%
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%%                                                                       %%
%% June 2010: pglatex.                                                   %%
%%   Compile this project with:                                          %%
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%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                      %%
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\hyphenation{Rand-in-te-gral}

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\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der Elliptischen
Funktionen, by Karl Bobek

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

Author: Karl Bobek

Release Date: June 10, 2010 [EBook #32766]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN ***
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\end{center}

\clearpage

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{PGtext}
Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
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\cleardoublepage
\frontmatter
\pagenumbering{roman}

\thispagestyle{empty}
{\begingroup% stolen from titlepages package
\centering
\vspace*{0.14\textheight}
{\huge EINLEITUNG IN DIE THEORIE}\\[\baselineskip]
{\small DER}\\[2\baselineskip]
{\Huge ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN}\\[\baselineskip]
{\small VON}\\[2\baselineskip]
{\Large\textsc{KARL BOBEK,}}\\[0.2\baselineskip]
{\tiny PRIVATDOZENT FÜR MATHEMATIK IM ALLGEMEINEN.}\\[\baselineskip]
\vfill
{\Large LEIPZIG,}\\[\baselineskip]
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER\\[\baselineskip]
{\Large 1884.}\\[\baselineskip]
\vfill
\endgroup}
\clearpage
%%-----File: 006.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large Neuer Verlag von \textbf{B. G. Teubner} in Leipzig.
\large 1884. \normalsize
\end{center}

\begin{description}
\item[Bardey, Dr.\ Ernst,] \Title{zur Formation quadratischer Gleichungen.}
\hfill\break [VIII u. 390~S.] gr.~8. geh.~n. $\mathcal{M.}$~7.60.

\rule[3pt]{.5in}{.5pt} arithmetische Aufgaben nebst
Lehrbuch der Arithmetik, vorzugsweise für höhere Bürgerschulen,
Realschulen, Progymnasien und Prorealgymnasien. Dritte Auflage.
[X u. 268~S.] gr.~8. geh.~n. $\mathcal{M.}$~2.--

\item[Czuber, Emanuel,] \Title{geometrische Wahrscheinlichkeiten und
Mittelwerte.}\hfill\break Mit~115 in den Text gedruckten Figuren.
[VII u. 244~S.] gr.~8. geh.~n. $\mathcal{M.}$~6.80.

\item[Euclidis] \Title{opera omnia.} Ediderunt I.~L.~Heiberg et H.~Menge,
Euclidis elementa. Edidit et latine interpretatus est I.~L.~Heiberg,
Dr.~phil. Vol.~II. libros~V--IX.\ continens. [XXII u. 437~S.]
8. geh. $\mathcal{M.}$~4.50.

\item[Heiberg, Dr.\ J. L.,] \Title{philologische Studien zu griechischen
Mathematikern.} Besonderer Abdruck aus dem dreizehnten
Supplementbande der Jahr\-bü\-cher für classische Philologie. [37~S.]
gr.~8. geh. $\mathcal{M.}$~1.--

\item[Helm, Dr.\ Georg,] Oberlehrer an der Annenrealschule zu Dresden,
\Title{die Elemente der Mechanik und mathematischen Physik.}
Ein Lehr- und Uebungsbuch für höhere Schulen. Mit Figuren im
Text. [IV u.\ 222~S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$~3.60.

\item[Helmert, Dr.\ F. R.,] Professor an der technischen Hochschule zu
Aachen, \Title{die mathematischen und physikalischen Theorien
der höhern Geodäsie.} Zweiter Teil: Die physikalischen Theorien
mit Untersuchungen über die mathematische Erdgestalt auf Grund
der Beobachtungen. Mit in den Text gedruckten Figuren und
2~lithographierten Tafeln. [XVI
u. 610~S.] gr.~8. geh.~n. $\mathcal{M.}$~20.--

\item[Jahrbuch] \Title{des Königl.~Sächs.~meteorologischen Institutes~1883.}
Zweite Lieferung. Enthaltend: Abtheilung~I. Bogen~18
bis~$\nicefrac12$38. Abtheilung~II. Bogen~6 bis~8. gr.~4. geh.~n.
$\mathcal{M.}$~10.--(In Kommission.)
\end{description}
\clearpage
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%%-----File: 008.png-------------------------------
%%[Blank Page]
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%%-----File: 010.png-------------------------------
%%[Blank Page]
%%-----File: 011.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\large MEINEN}\\
\vspace{30pt}
{\Large HOCHVEREHRTEN LEHRER UND FREUNDE}\\
\vspace{30pt}
{\Large DEM HERRN}\\
\vspace{30pt}
{\LARGE \textbf{PROFESSOR KARL KÜPPER}}\\
\vspace{40pt}
{\large ALS ZEICHEN DER DANKBARKEIT}\\
\vspace{30pt}
{\small GEWIDMET.}
\end{center}
\clearpage
%%-----File: 012.png-------------------------------
%%[Blank Page]
%%-----File: 013.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\large \Emphasis{Vorwort}.}
\end{center}

Das vorliegende Buch verfolgt den Zweck, in kurzer
und übersichtlicher Weise die wichtigsten Lehrsätze aus der
Theorie der elliptischen Funktionen darzulegen, und so dem
Anfänger einen ersten Ueberblick über diesen Theil der
Funktionentheorie zu geben. Wenn in einer kurzen Einleitung
die später anzuwendenden Sätze aus der Theorie der
Funktionen einer komplexen Variablen zusammengestellt wurden,
so geschah diess hauptsächlich, um einen bequemen
Hinweis auf dieselben zu ermöglichen, ohne erst den Studirenden
zu veranlassen, in den einschlägigen Büchern des Langen
zu suchen. Zur gründlichen Einführung in diese Theorie
sei auf die »Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen
veränderlichen Grösse« von Dr.\ H.~\Person{Durège}, sowie auf
den I.~Theil der »Theorie der elliptischen Funktionen« von
L.~\Person{Königsberger} hingewiesen.

Von dem oben erwähnten Standpunkte aus erscheint es
auch gerechtfertigt, wenn in der Theorie der Integrale nicht
auf allgemeine Riemann'sche Flächen eingegangen wurde, sondern
nur für die speziell auftretende Irrationalität eine solche
konstruirt worden ist, da wohl für den Anfänger das richtige
Verständniss doch nur an speziellen Beispielen erlangt werden
kann.

Als Anhang wurde eine kleine Anwendung der entwickelten
Theorien auf die Geometrie algebraischer Kurven
gebracht, damit dem Studirenden Gelegenheit geboten werde
auch in dieses in neuester Zeit so ausserordentlich fruchtbare
Gebiet der Geometrie Einsicht zu erlangen.

In wiefern der angestrebte Zweck erreicht wurde, sei
dem geneigten Urtheile der Fachmänner überlassen.

\Place{Prag}, im Oktober 1884.
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\thispagestyle{empty}
\tableofcontents

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% === Einführung ===
%    Darstellung der komplexen Grössen
%    Funktion einer komplexen Variablen
%    Abbildung mittels einer Funktion einer komplexen Variablen
%    Beispiele für die Abbildung
%    Ein- und mehrdeutige Funktionen
%    Integrale komplexer Funktionen
%    Das geschlossene Integral um einen Punkt herum
%    Das Randintegral $\int f(z) dz$
%    Reihenentwicklung einer Funktion in der Umgebung einer
%      Stetigkeitsstelle
%    Das Null-und Unendlichwerden der Funktionen
%    Die rationale Funktion
%    Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion
%    Das Randintegral $\int d \log f(z)$
%    Die Summe der logarithmischen Residua drückt sich durch ein
%      Randintegral aus
%    Der Logarithmus einer komplexen Grösse
%    Bedingung, dass $\int_{z_0}^z R(z)dz$ eine rationale Funktion sei

% === I. Theil. ===
% Doppeltperiodische Funktionen.

% I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen
%    Primitive Perioden
%    Beschaffenheit der Perioden einer doppeltperiodischen Funktion
%    Die doppeltperiodische Funktion nimmt alle ihre Werte in
%      einem Periodenparallelogramme an
%    Andeutung des Weges, auf dem man zu doppeltperiodischen Funktionen
%      gelangen kann
% II. Theorie der Thetafunktionen
%    Reihenentwicklung der Thetafunktionen
%    Die vier \emph{Jacobi}'schen Thetafunktionen
%    Die allgemeine Thetafunktion
%    Verwandlungsformeln für die Thetafunktionen
%    Reihenentwicklung der Thetafunktionen nach Potenzen von
%      $q = e ^{\frac{w'}{w}\pi i}$
%    Das Verschwinden der Thetafunktionen
%    Aufstellung doppeltperiodischer Funktionen
% III. Fundamentale Sätze über doppeltperiodische Funktionen
%    Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird innerhalb des
%      Periodenparallelogrammes ebenso oft null als unendlich
%    Ordnung der doppeltperiodischen Funktion
%    Die Summe der logarithmischen Residua ist null. Doppeltperiodische
%      Funktionen erster Ordnung existiren nicht
%      Zusatz: Die Thetafunktion ist durch ihre Definitionsgleichungen
%      bestimmt
%    Der \emph{Liouville}'sche Satz
%    Der \emph{Hermite}'sche Satz
%    Doppeltperiodische Funktionen zweiter Ordnung und ihre Ableitung.
%      Nullwerte der letzteren
%    Doppeltperiodische Funktionen drücken sich rational durch
%      eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung und ihre
%      Ableitung aus
%    Das Quadrat der ersten Ableitung einer doppeltperiodischen
%      Funktion zweiter Ordnung drückt sich rational durch diese aus.
%      Alle höhern Ableitungen drücken sich rational durch die
%      Funktion und ihre Ableitung aus
%    Zwischen zwei doppeltperiodischen Funktionen mit denselben
%      Perioden besteht eine rationale Gleichung
%    Jede doppeltperiodische Funktion lässt sich durch irgend zwei mit
%      denselben Perioden rational ausdrücken
% IV. Elliptische Funktionen
%    Die elliptischen Funktionen $su$, $cu$, $\Delta u$, $s^{2}u$,
%      $c^{2}u$, $\Delta^{2}u$ sind rational durch einander ausdrückbar
%    Einführung der Modulo $\varkappa$, $\varkappa'$
%      Verwandlungsformeln der elliptischen Funktionen
%    Die Ableitungen der elliptischen Funktionen werden durch
%      diese ausgedrückt
% V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen
%    Die Existenz des Additionstheorems
%    Aufstellung der Formeln für die Additionstheoreme der elliptischen
%      Funktionen
%    $s(mu)$ drückt sich rational durch $su$ und $s'u$ aus
% VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen
%    Ableitung einiger Formeln für das Additionstheorem der Thetafunktionen
%      aus den Theoremen für die elliptischen Funktionen
%    Aufstellung der allgemeinen Additionsformel für die Produkte
%      von vier Thetafunktionen
%    Entwicklung des Additionstheorems der elliptischen Funktionen
%      aus jenem der Thetafunktionen
%    Bestimmungen von $G=\frac{\vartheta'_1 \vartheta_3}{\vartheta_0
%      \vartheta_2}$
% VII. Realitätsbetrachtungen für $su$, $cu$, $\Delta u$
%    Allgemeines üher die reellen Werte von $su$, $cu$, $\Delta u$
%    Behandlung des Falles einer reellen und einer rein, imaginären
%      Periode
%    Die Periode $\omega$ ist reell $\omega' = \omega + \omega_1'i$,
%      wo $\omega_1'$ reell ist
% VIII. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen durch
%   logarithmische Differentialquotienten der $\vartheta$-Funktionen
%    Jede doppeltperiodische Funktion mit den Perioden $\omega$, $\omega'$
%      lässt sich ausdrücken durch $Z(u-a) =
%      \frac{d\log\vartheta_1(u-\alpha)}{du}$ und die Ableitungen von
%      $Z(u-\alpha)$ nach $u$

% === II. Theil. ===
% Elliptische Integrale.

% I. Die \emph{Riemann}'sche Fläche der Funktion
%   $y = \sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}$
%    Das Integral $Gu = \int_a^\xi\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}$
%      definirt eine eindeutige Funktion $\zeta$ von $u$ für kleine Werte
%      von $u$ und $\zeta$
%    Das Verhalten der Funktion $y = \sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}$
%    Die Riemann'sche Fläche der Funktion $y$
%    Auf der construirten Riemann'schen Fläche existiren blos zwei
%      geschlossene Linien, die keinen Theil derselben vollständig begrenzen
% II. Funktionen auf der Riemann'schen Fläche
%    Die rationalen Funktionen von $x$ und $y$ sind eindeutige Funktionen
%      des Ortes auf der Fläche. Das Integral $w = \int_{x_0}^x \frac{dx}{y}$
%      ist unendlich vieldeutig in bestimmter Art
%    Nähere Bestimmung der Elementarperioden
%    Andere Zerschneidungen der Riemann'schen Fläche geben Perioden,
%      welche durch die früher gefundenen ausdrückbar sind
%    $w(x)= \int_{x_0}^x \frac{dx}{y}$ wird auf der Riemann'schen Fläche
%      nicht unendlich
%    $w(x)$ bildet die zerschnittene Riemann'sche Fläche auf eine
%      parallelogrammartige Figur ab
%    $x$ und $y$ sind eindeutige doppeltperiodische Funktionen von $w$
%      Jede eindeutige Funktion des Ortes auf der Riemann'schen Fläche
%      der Funktion $y$ ist eine rationale Funktion von $x$ und $y$
% III. Das elliptische Normalintegral
%    Das Normalintegral $u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-
%      \varkappa^2z^2)}}$ bestimmt $z$ als doppeltperiodische Funktion,
%      welche für $u$ und $2K-u$ dieselben Werte annimmt
%    Wert von $u$, für den $z = \infty$ wird
%    $z$ drückt sich durch Thetaquotienten von $u$ aus
%    Verwandlung des krummlinigen Parallelogrammes in ein geradliniges
%    Abbildung der Riemann'schen Fläche durch das Integral
%      $u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}$
%        wenn $\varkappa$ reell und kleiner als 1 ist
%        wenn $\varkappa$ rein imaginär ist
%    Transformation des Integrals $w = \int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{R(x)}}$
%      auf die Normalform [$R(x)$ vom 4. Grade]
%    Werte von $\varkappa$ bei gegebenem $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$
%    $R(x)$ ist vom dritten Grade
%    Das Legendre'sche Normalintegral und das ganze elliptische Integral
% IV. Integrale II. und III. Gattung
%    Das Normalintegral II. Gattung
%    Elliptische Integrale III. Gattung
%    Reduktion des allgemeinen elliptischen Integrals auf die drei
%      Normalintegrale
% V. Berechnung des Normalintegrals
%    Reihenentwicklung für $u=\int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-
%      \varkappa^2z^2)}}$
%    Berechnung von $q$ durch $\varkappa$
%    Berechnung des Normalintegrals II. Gattung durch das Normalintegral
%      I. Gattung
%    Berechnung des Normalintegrals III. Gattung durch das Normalintegral
%      I. Gattung
% VI. Das Additionstheorem für die Integrale I. und II. Gattung
%    Aus der Gleichung $\int_0^{z_1} \frac{dz}{y} + \int_0^{z_2}
%      \frac{dz}{y} = \int_0^{z_3} \frac{dz}{y}$ ergiebt sich eine
%      Relation zwischen $z_1, z_2, z_3$
%      $J(u + v) = J(u) + J(v) + susvs(u + v)$
% VII. Integrale doppeltperiodischer Funktionen
%    Das $\int F(u) du$, wo $F(u)$ eine eindeutige doppeltperiodische
%      Funktion von $u$ ist, mit den Perioden $\omega, \omega'$ lässt sich
%      durch Logarithmen der $\vartheta_1$-Funktion und $Z^{(n)}(u) =
%      \frac{d^n\log\vartheta_1(u)}{du}$ ausdrücken

% === Anhang ===
% Anwendung der Theorie der elliptischen Funktionen auf Kurven
% $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit $\tfrac{1}{2}n(n-3)$ Doppelpunkten.

% I. Kurven 3. Ordnung
%    Allgemeine Uebersicht der Aufgabe
%    Die Koordinaten der Punkte der Kurve 3. Ordnung drücken
%      sich durch $su, cu, \Delta u $ rational aus
%    Verlauf einer reellen Kurve 3. Ordnung
%    Die Koordinaten der Kurvenpunkte sind ausdrückbar durch je
%      ein Produkt von drei $\Theta$-Funktionen
%    Drei Produkte von $\Theta$-Funktionen, deren Nullstellen in gewisser
%      Weise von einander abhängen, können als homogene Koordinaten
%      der Punkte einer Kurve 3. Ordnung angenommen werden
%    Diese kann keinen Doppelpunkt besitzen
%    Nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $3n$ Punkte
%      von $C_3$ auf einer Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung liegen
%    Die Wendepunkte der Kurve 3. Ordnung
%    Eindeutige Transformationen der Kurve 3. Ordnung in sich
%    Die Gleichung der reellen Kurve 3. Ordnung kann in einer bestimmten
%      Art auf die Form $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + cx_1x_2x_3 = 0$
%      gebracht werden, so dass $c$ und das Koordinatendreieck reell ist
% II. Kurven $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit $\tfrac{1}{2}n(n-3)$ Doppelpunkten
%    Die Kurven $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit $\tfrac{1}{2}n(n-3)$
%      Doppelpunkten sind in eine Kurve 3. Ordnung ohne Doppelpunkt in
%      rational umkehrbarer Weise transformirbar
%    Die Koordinaten der Punkte einer Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit
%      $\tfrac{1}{2}n(n-3)$ Doppelpunkten sind als eindeutige
%      doppeltperiodische Funktionen $n^{\text{ter}}$ Ordnung eines
%      Parameters $u$ darstellbar
%    Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ein System von
%      Punkten auf der Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit
%      $\tfrac{1}{2}n(n-3)$ Doppelpunkten ein Schnittpunktsystem einer
%      Kurve $m^{\text{ter}}$ Ordnung ist
% Errata

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%%-----File: 019.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\pagenumbering{arabic}
{\begingroup% stolen from titlepages package
\centering
\vspace*{0.14\textheight}
{\Huge Einleitung}\\[1\baselineskip]
\rule{.2\textwidth}{.2pt}\\[2\baselineskip]
{\Large Sätze aus der Theorie der Funktionen einer
komplexen}\\[\baselineskip]
{\Large veränderlichen Grösse}\\[\baselineskip]
\vfill
\endgroup}
\section[Einleitung.]{}
\clearpage
%%-----File: 020.png-------------------------------
%%[Blank Page]
%%-----File: 021.png-------------------------------

\subsection[1.\ Darstellung der komplexen Grössen]{1.} Wenn die
unabhängige Variable $x$ alle reellen Werte
von $-\infty$ bis $+\infty$ durchläuft, so kann man ihren Wertvorrat
bildlich durch die einfach unendlich vielen Punkte
einer Geraden darstellen. Nehmen wir aber $z = x + iy$
($i = \sqrt{-1}$) als unabhängig veränderliche Grösse, in welcher
$x$ und $y$ reelle Grössen sind, so reichen wir zur Darstellung
dieses zweifach unendlichen Wertvorrates des $z$ nicht mit den
Punkten einer Geraden aus und gehen daher zu einem Gebilde,
welches zweifach unendlich viele Punkte enthält, zur
Ebene über. Legen wir in der Ebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem
fest, so ist jeder Punkt durch seine Koordinaten
$x$ und $y$ bestimmt; umgekehrt bestimmt jeder Punkt ein $x$
und ein $y$. Durchlaufen $x$ und $y$ unabhängig von einander
alle reellen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$, so werden die zugehörigen
Punkte alle Punkte der Ebene erschöpfen. Wir
ordnen nun jedem Punkte der Ebene mit den Koordinaten
$x, y$ den Wert $z = x + iy$ zu und haben so das Wertgebiet
der Variablen $z$ auf die Punkte der Ebene eindeutig bezogen.

\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
\includegraphics*[width=5.2cm,height=5cm]{images/fig01}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Wir wollen diese Ebene kurzweg die
$z$-Ebene nennen und den Punkt mit
den Koordinaten $(x, y)$ mit $z$ bezeichnen.
Wird $0z = \varrho, \: \varangle z0x = \varphi$
gesetzt, so ist (Fig.~1)
\[
z = \varrho\,(\cos \varphi + i\sin \varphi),
\]
wobei
\[
\varrho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tg \varphi = \frac{y}{x}
\]
ist. $\varrho$ heisst der \emph{Modul} von $z$ und soll auch durch $|z|$
bezeichnet
werden, $\varphi$ die \emph{Amplitude} von $z$. Setzt man
\[
  g = \log (\cos \varphi + i\sin \varphi),
\]
%%-----File: 022.png-------------------------------
so ist
\[
  \frac{dg}{d\varphi} =
    \frac{-\sin\varphi + i\cos\varphi}{\cos\varphi + i\sin\varphi} = i
\]
$g = i\varphi + c = \log(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ und für $\varphi =
0 \dots c = 0$.

Daher ist $\cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi}$ und mithin
\[
  z = \varrho\, e^{i\varphi}.
\]
Diese drei Darstellungen der complexen Grösse
\begin{gather*}
  z = x + iy = \varrho\,(\cos\varphi + i\sin\varphi) = \varrho\,
  e^{i\varphi} \\
  \varrho = \sqrt{x^2 + y^2}, \:\: \tg \varphi = \frac{y}{x}
\end{gather*}
werden im Folgenden abwechselnd gebraucht werden. Es
sei bemerkt, dass
\begin{gather*}
  e^{i(\varphi + \pi)} = - e^{i\varphi} \\
  e^{\frac{\pi i}{2}} = i;\:\: e^{\frac{-\pi i}{2}} = \frac{1}{i} =
  -i \quad\text{ist.}
\end{gather*}

\begin{wrapfigure}{r}{5.6cm}
\includegraphics*[width=5.6cm,height=5.3cm]{images/fig02}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
der komplexen Grössen kann, wenn man unter $z$ die Strecke
$\overrightarrow{0Z}$ nach Sinn und Richtung
auffasst, einfach durch die für
die Operationen mit solchen
Strecken geltenden Sätze veranschaulicht
werden. So ist
$Z = z_1 + z_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)$,
d.~h.\ $\overline{0Z} = \overline{0z_1} + \overline{0z_2}$ oder die
Strecke $\overline{0Z}$ ist die Schlussseite
des Dreieckes, dessen Seiten $\overline{0z_1}$
und $\overline{0z_2}$ sind; also ist der Punkt $Z$ der Eckpunkt des
Parallelogrammes
über $\overline{0z_1}, \overline{0z_2}$.

Ist
\[
  Z' = z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2) = re^{i\varphi}
\]
wobei
\begin{align*}
  r &= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \\
  \tg \varphi &= \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2},
\end{align*}
so erkennt man, dass $r$ gleich der Länge der Strecke $\overline{z_2z_1}$
%%-----File: 023.png-------------------------------
und $\varphi$ der Winkel, den die Strecke $\overrightarrow{z_2 z_1}$
mit der positiven
Achse bildet, ist. Also ist $0Z'$ parallel zu $z_2 z_1$ (Fig.~2).

\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
\includegraphics*[width=5.2cm,height=4.1cm]{images/fig03}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Es folgt
\[
  \overrightarrow{0Z'}
= \overrightarrow{0z_1} - \overrightarrow{0z_2}
= \overrightarrow{0z_1} + \overrightarrow{z_2 0},
\]
was die Regel für die Subtraktion der Strecken bedeutet.

Zur Ausführung der Multiplikation muss der Einheitspunkt festgelegt
werden.

Ist dann (Fig.~3)
\[
\begin{aligned}
  z_1 &= \varrho_1 e^{i\varphi_1}  \\
  z_2 &= \varrho_2 e^{i\varphi_2}
\end{aligned}
\]
so ist
\[
  Z = z_1 z_2 = \varrho_1 \varrho_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)} ,
\]
d.~h.\ $Z$ hat die Amplitude $\varphi_1 + \varphi_2$
und den Radiusvektor $\varrho_1 \varrho_2 = P$,
also ist $\varrho_2:P = 1:\varrho_1$, d.~h.\ die Dreiecke (Fig.~3)
$Z0z_2$ und
$z_1 01$ sind ähnlich.

\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
\includegraphics*[width=5.2cm,height=3.8cm]{images/fig04}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Für die Division ist
\[
  Z = \frac{z_1}{z_2}
  = \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \,e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
  = P e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}.
\]
Der Modul ist gleich dem Quotienten
der Modulen und die Amplitude
ist gleich der Differenz
der Amplituden, also gleich dem
Winkel $z_2 0 z_1$ (Fig.~4); es ist also
\[
  P = \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \text{ oder }
  P : 1 = \varrho_1 : \varrho_2,
\]
d.~h.\ das Dreieck $ZO1$ ist ähnlich
dem Dreiecke $z_2 0 z_1$ was
wieder die graphische Ausführung der Division lehrt.

Setzen wir
\[
  Z = \frac{z_1-z}{z_2-z}
= \frac{\varrho_1 e^{i\psi_1}}{\varrho_2 e^{i\psi_2}}
= \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \,e^{i(\psi_1-\psi_2)},
\]
so wissen wir, dass $\varrho_1$ und $\varrho_2$ die Strecken $\overline{z
z_1}$ und $\overline{z z_2}$ sind,
$\psi_1$ und $\psi_2$ aber die Neigungswinkel dieser Strecken gegen
die positive $x$-Achse. Es ist also $\psi_1 - \psi_2$ der Winkel,
welchen die Strecken mit einander bilden. Hieraus erkennt
man, dass im Falle der Quotient $\frac{z_1-z}{z_2-z}$ reell sein soll,
%%-----File: 024.png-------------------------------
$\psi_1 - \psi_2 = \varkappa\pi$ sein muss, wo $\varkappa$ irgend eine
ganze Zahl bedeutet,
da dann $\frac{z_1-z}{z_2-z} = (-1)^\varkappa
\frac{\varrho_1}{\varrho_2}$ wird.

\emph{Wenn aber $\psi_1 = \psi_2 + \varkappa\pi$ ist, dann müssen
die Punkte
$z$, $z_1$, $z_2$ in derselben Geraden liegen}, da nur dann die Richtung
$zz_1$ und $zz_2$ mit der $x$-Achse denselben Winkel bilden oder
einen um $180^{o}$ verschiedenen.

Umgekehrt: Liegen \emph{drei Punkte $z$, $z_1$, $z_2$ in einer Geraden,
so ist der Quotient $\frac{z_1-z}{z_2-z}$ der entsprechenden komplexen
Grössen reell}.

\subsection[2.\ Funktion einer komplexen Variablen]{2.} Nachdem wir so
eine einfache geometrische Darstellung
der complexen Variablen $z$ erhalten haben, wollen
wir zu den Funktionen dieser Variablen übergehen. \emph{Wir
definiren $f(z)$ als Funktion von $z$, wenn $\frac{df(z)}{dz}$ von $dz$
unabhängig
ist}. Da nämlich $z = x + iy$ ist, so wird
\[
  w = f(z) = f(x + iy)
\]
eigentlich eine Funktion der unabhängigen Variablen $x$ und $y$,
und es ist daher
\[
  \frac{dw}{dz}
= \frac{\frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial
x}dy }{dx + idy}
= \frac{\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial y}
\frac{dy}{dx}}{1 + i\frac{dy}{dx}};
\]
also würde $\frac{dw}{dz}$ von $\frac{dy}{dx}$ d.~h.\ von der Richtung,
in welcher
wir das $dz$ nehmen, abhängen, wenn $w$ eine ganz beliebige
Funktion von $x$ und $y$ wäre. \emph{Damit aber $\frac{dw}{dz}$ von
$\frac{dy}{dx}$ unabhängig
sei, muss $\frac{\partial w}{\partial y} = i\frac{\partial w}{\partial
x}$, denn dann wird
\[
  \frac{\partial w}{\partial z}
= \frac{\partial w}{\partial x}
= \frac{1}{i}\frac{\partial w}{\partial y} ,
\]
also von $dx$ sowohl als von $dy$ unabhängig}.

\emph{Ist umgekehrt $w$ eine Funktion von $x$, $y$ und ist
\[
  \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{i}\frac{\partial w}{\partial
  y},
\]
so ist $w$ eine Funktion von $z$,} d.~h.\ \emph{es kommt in $w$ das $x$ und
$y$ nur in der Verbindung $x + iy$ vor, oder} wenn ich $z = x + iy$
setze und ich führe in $w = f(x, y)\ x = z - iy$ ein, so dass
%%-----File: 025.png-------------------------------
ich $w = f(z - iy) = f_1(z, y)$ erhalte, so darf $f_1$ $y$ nicht mehr
enthalten. Diess ist aber leicht zu zeigen.

Es ist
\[
  dw = \frac{\partial w}{\partial x} dx + \frac{\partial w}{\partial y}
  dy = \frac{\partial w}{\partial x} (dx + idy).
\]
Da
\[
  i\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial y}
\]
ist, also
\[
  dw = \frac{\partial w}{\partial x} dz,
\]
ferner
\[
  dw = \frac{\partial f_1}{\partial z} dz + \frac{\partial f_1}{\partial
  y} dy,
\]
da $f_1$ eine Funktion von $z$ und $y$ sein soll, daher
\[
  \left(\frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial z}
  \right)dz +
    \frac{\partial f_1}{\partial y} dy = 0
\]
und da $z$ und $y$ unabhängige Variable sind, da es $x$ und $y$
waren, so folgt $\frac{\partial f_1}{\partial y} = 0$, d.~h.\ $f_1$
enthält $y$ nicht, ist also
Funktion von $z$ allein und es ist daher
\[
  \frac{\partial f_1}{\partial z} = \frac{df_1}{dz}= \frac{\partial
  w}{\partial x}.
\]

So ist $w = x^2 + y^2 + 2xyi$ keine Funktion von $x + iy$.
Denn es ist
\begin{align*}
  \frac{\partial w}{\partial x} &= 2(x  + iy) \\
  \frac{\partial w}{\partial y} &= 2(y  + ix) \\
 i\frac{\partial w}{\partial x} &= 2(-y + ix),
\end{align*}
also nicht gleich $2(y + ix)$.

Hingegen ist $w = x^2 - y^2 + 2ixy$ eine Funktion von
$x + iy$, denn es ist
\begin{align*}
  \frac{\partial w}{\partial x} &= 2(x  + iy) \\
  \frac{\partial w}{\partial y} &= 2(-y + ix) \\
 i\frac{\partial w}{\partial x} &= 2(-y + ix) = \frac{\partial w}{\partial
 y},
\end{align*}
in der That ist
%%-----File: 026.png-------------------------------
\begin{align*}
  w &= (x + iy)^2 = z^2 \\
  \frac{dw}{dz} &= 2z = 2(x + iy) = \frac{\partial w}{\partial x}.
\end{align*}

\emph{Die Bedingung $i\frac{\partial w}{\partial x} =
\frac{\partial w}{\partial y}$ ist also nothwendig und hinreichend
dafür, dass die Funktion $w$ von $x$} und \emph{$y$ eine Funktion
von $x + iy$ ist.} Wir sehen also, dass die Funktionen eines
komplexen Argumentes spezielle Funktionen zweier reeller
Variablen $(x, y)$ sind.

Ist nun $w = f(z)$ eine Funktion der komplexen Variablen
$z = x + iy$, so ist auch $z = \varphi(w)$ eine Funktion der komplexen
Variablen $w = u + iv$, wo $u$ und $v$ reelle Grössen
sind. Denn da $\frac{dw}{dz}$ von $dz$ unabhängig ist, wohl aber $dw$
von $dz$ abhängen muss, so ist auch $\frac{dz}{dw}$ von $dw$ unabhängig,
d.~h.\ $z$ ist eine Funktion des komplexen Argumentes
$w = u + iv$. Mit anderen Worten: jede Funktion $w$ von
$z = x + iy$ kann in die Form $w = u + iv$ gebracht werden,
in der $u$ und $v$ reelle Funktionen von $x$ und $y$ sind.

Aus der Bedingung $i\frac{\partial w}{\partial x} =
\frac{\partial w}{\partial y}$ folgt nun
\[
  i\left( \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}
  \right) =
    \frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial y},
\]
oder\footnote
  {Ist nämlich $P + iQ = 0$ und $P$ und $Q$ reell, so muss $P = 0$,
  $Q = 0$ sein, denn aus $P = iQ$ folgt $P^2 + Q^2 = 0$, was bei reellem
  $P$ und $Q$ nur durch $P = 0, Q = 0$ erfüllbar ist.

  Ist also $p + iq = p' + iq'$, so muss $p = p', q = q'$ sein.}
\[
  \frac{\partial u}{\partial x} =  \frac{\partial v}{\partial y}, \quad
  \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \:\:
\]
und hieraus folgt
\begin{align*}
  \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2}
  &= 0, \\
  \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2}
  &= 0.
\end{align*}
Von der Differentialgleichung $\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0$, welcher der
reelle Theil der Funktion $w = u + iv$ von $z = x + iy$ genügt,
ausgehend hat \Person{Riemann}, (1851) in seiner Dissertation,
%%-----File: 027.png-------------------------------
die Grundlagen einer allgemeinen Theorie der Funktionen
einer komplexen Variablen begründet.

\subsection[3.\ Abbildung mittels einer Funktion einer komplexen
Variablen]{3.} Wenn man $w = f(z) = u+iv$ setzt und die reellen
Grössen $u$, $v$ als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in
einer Ebene $w$ deutet, so wird jedem Punkte $z = x + iy$ der
$z$-Ebene im Allgemeinen ein bestimmter Punkt $w=f(z)=u+iv$
in der $w$-Ebene entsprechen. Die $z$-Ebene wird also durch
$w = f(z)$ auf die $w$-Ebene in bestimmter Weise abgebildet.
Wir wollen diese Art Abbildung näher betrachten. Es möge
dem Punkte $z$ der $z$-Ebene der Punkt $w$ der $w$-Ebene vermöge
$w = f(z) = u + iv$ entsprechen. Dann wird einer
unendlich kleinen Aenderung des $z$ im Allgemeinen eine
unendlich kleine Aenderung des $w$ entsprechen, d.~h.\ den
Punkten $z'z''$, die dem Punkte $z$ unendlich nahe sind, werden
zwei Punkte $w'w''$ entsprechen, die dem Punkte $w$ unendlich
nahe sind. Nun ist
\[
\frac{dw}{dz} = \frac{w'-w}{z'-z} = \frac{w''-w}{z''-z},
\]
da $\frac{dw}{dz}$ von der Richtung der Aenderung des $z$ unabhängig
ist. Ist nun $\frac{dw}{dz}$ weder null noch unendlich, so folgt aus
\[
\begin{aligned}
\frac{w'-w}{z'-z} & = \frac{w''-w}{z''-z}\\
\frac{w'-w}{w''-w} & = \frac{z'-z}{z''-z}
\end{aligned}
\]
oder
\[
\frac{\,\overline{ww'}\,}{\,\overline{ww''}\,}\,e^{i\varphi} =
\frac{\,\overline{zz'}\,}{\,\overline{zz''}\,}\,e^{i\psi}
\]
\begin{wrapfigure}{r}{5.7cm}
\includegraphics*[width=5.7cm,height=2.9cm]{images/fig05}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
wenn (Fig.~5) $\overline{ww'}$, $\overline{ww''}$, $\overline{zz'}$,
$\overline{zz''}$ die Strecken $\varphi$ und $\psi$, die Winkel $w''ww'$
res.\ $z''zz'$
sind. Aus der vorstehenden Gleichung folgt aber, dass
\[
\frac{\overline{ww'}}{\,\overline{ww''}\,} =
\frac{\overline{zz'}}{\,\overline{zz''}\,},\; \varphi = \psi,
\]
ist, d.~h.\ die unendlich kleinen Dreiecke $w''ww'$ und $z''z'$
sind einander ähnlich.

\emph{Die Abbildung der $z$-Ebene auf die $w$-Ebene ist also derartig,
dass einzelne Punkte ausgenommen} (in denen $\frac{dw}{dz}$ null
%%-----File: 028.png-------------------------------
oder unendlich ist), \emph{Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen
stattfindet}.

Diese Art von Abbildung nennt man eine \emph{isogonale} und
wenn diese Abbildung nur in einzelnen Punkten Ausnahme
erleidet, eine \emph{conforme}%
\footnote{Vergleiche über diesen Gegenstand: \Person{Gauss}: Allgemeine Lösung
der Aufgabe: die Theile einer gegebenen Fläche so abzubilden, dass
die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich
wird. \Person{Schumacher}s Astronomische Abhandlungen 3.~Heft. Sowie
gesammelte Werke Bd.~IV, S.~193. \Person{Dur\`{e}ge}: Elemente der Theorie
der Funktionen einer komplexen veränderlichen Grösse. Leipzig 1864.
\Person{Holzmüller}: Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaft.
Leipzig 1882, u.~a.
}.

\subsection[4.\ Beispiele für die Abbildung]{4.} Wir geben einige
Beispiele dieser Art von Abbildung.
Es sei $w =\frac{1}{z}$. Dann werden den reellen Werten von $z = x$
reelle Werte von $w = u = \frac{1}{x}$ entsprechen und den rein
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics*[width=10.5cm,height=4.6cm]{images/fig06}
\caption{\hskip1pt }
\end{figure}
imaginären Werten $z = iy$ werden rein imaginäre $w= iv = -\frac{i}{y}$
zugeordnet sein. Deuten also die Buchstaben an den Achsen die
positiven Richtungen an, so werden vermöge $w = \frac{1}{z}$ die positive
$u$-Achse der positiven $x$-Achse, aber die negative $v$-Achse
der positiven $y$-Achse entsprechen. Ist $0 a_0 = 1$ und $\mathfrak{K}$
der
mit dieser Länge beschriebene Kreis, so ist $z = a = e^{i\varphi}$, und
der entsprechende Punkt $a' = w = e^{-i\varphi}$ liegt daher auf einem
Kreise $\mathfrak{K}'$ vom Radius 1, hat aber die negative Amplitude.
Bewegt sich also $a$ in der $z$-Ebene von $a_0$ aus im positiven
%%-----File: 029.png-------------------------------
Drehungssinne, d.~h.\ von der positiven $x$-Achse zur positiven
$y$-Achse, so wird der entsprechende Punkt $a'$ im negativen
Sinne den Kreis $\mathfrak{K}'$ durchlaufen.

Allen Punkten der $z$-Ebene, die ausserhalb des Kreises
$\mathfrak{K}$ liegen, entsprechen Punkte der $w$-Ebene innerhalb
$\mathfrak{K}'$, und
umgekehrt: Punkten innerhalb $\mathfrak{K}$ entsprechen Punkte ausserhalb
$\mathfrak{K}'$. Denn ist
\[
  z = \varrho e^{i\varphi}, \text{ so ist } w =
  \frac{1}{\varrho}e^{-i\varphi},
\]
und wenn $\varrho > 1$, so ist $\frac{1}{\varrho} < 1$, der Punkt $w$
liegt innerhalb
$\mathfrak{K}'$; ist $\varrho < 1$, so ist $\frac{1}{\varrho} > 1$,
der Punkt $w$ liegt ausserhalb $\mathfrak{K}'$.
Es wird also die ganze unendliche $z$-Ebene ausserhalb $\mathfrak{K}$
auf die endliche Kreisfläche innerhalb $\mathfrak{K}$ abgebildet und dem
Punkte $z = \infty$ entspricht der Punkt $w = 0$. Jeder Richtung,
in der $z$ ins Unendliche wächst, entspricht eine bestimmte
Richtung, in der $w$ sich der Null nähert, und je zwei
Richtungen des $w$ bilden denselben Winkel mit einander, wie
die entsprechenden Richtungen von $z$.

Hieraus ist ersichtlich, dass bei unserer Deutung der
komplexen Grösse $z$ der Wert $z = \infty$ ein einziger bestimmter
Punkt ist, dessen Umgebung auf die Umgebung eines beliebigen
Punktes in den kleinsten Theilen ähnlich abgebildet
werden kann.

Wir setzen zweitens
\[
  w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z},
\]
wo $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ reelle oder komplexe Konstanten
bedeuten
sollen. Wir untersuchen vorerst, ob $\frac{dw}{dz}$ null oder unendlich
werden kann. Es ist
\[
  \frac{dw}{dz} = \frac{\beta\gamma - \alpha\delta}{(\gamma + \delta
  z)^2},
\]
also kann $\frac{dw}{dz} = 0$ werden für $z = \infty$, d.~h.\ die Umgebung
des Punktes $z = \infty$ könnte möglicher Weise nicht in den
kleinsten Theilen ähnlich auf die Umgebung des Punktes
$w = \frac{\beta}{\delta}$, welcher $z = \infty$ entspricht, abgebildet
werden.
%%-----File: 030.png-------------------------------

Wir setzen $z' = \frac{1}{z}$, dann wissen wir, dass die Umgebung
von $z = \infty$ isogonal auf die Umgebung von $z' = 0$
abgebildet wird. Können wir nun zeigen, dass die Umgebung
von $z' = 0$ auf die Umgebung $w = \frac{\beta}{\delta}$ in den
kleinsten Theilen ähnlich abgebildet wird, so wird auch die
Umgebung von $z = \infty$ auf die Umgebung von $w = \frac{\beta}{\delta}$
in
den kleinsten Theilen ähnlich abgebildet.

Nun ist aber
\[
  w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z} = \frac{\alpha z' +
    \beta}{\gamma z' + \delta} \cdots z = \frac{1}{z'},
\]
also
\[
  \frac{dw}{dz'} = - \frac{(\beta\gamma-\alpha\delta)}{(\gamma z'
  + \delta)}
\]
und $\frac{dw}{dz'}$ für $z' = 0$ endlich, daher die Abbildung der
Umgebung
von $z' = 0$ auf $w = \frac{\beta}{\delta}$ in den kleinsten Theilen
ähnlich.

Es wird ferner $\frac{dw}{dz} = \infty$ für $z = - \frac{\gamma}{\delta}$,
also könnte
die Abbildung der Umgebung des Punktes $z = - \frac{\gamma}{\delta}$ eine
Ausnahme erleiden. Da aber dieser Punkt zum entsprechenden
hat $w = \infty$, so führen wir wieder $w = \frac{1}{w'}$ ein und
ersehen, dass für
\[
  w' = \frac{1}{w} = \frac{\gamma + \delta z}{\alpha + \beta z},
\]
für welches
\[
  \frac{dw'}{dz} = \frac{\alpha\delta - \beta\gamma}{(\alpha + \beta z)^2}
\]
für $z = - \frac{\gamma}{\delta}$ endlich ist, die Umgebung des Punktes
$z = -\frac{\gamma}{\delta}$ auf die Umgebung $w' = 0$ in den kleinsten
Theilen ähnlich abgebildet wird, d.~h.\ dass auch die Umgebung
von $z = -\frac{\gamma}{\delta}$ auf die Umgebung von $w = \infty$
isogonal
abgebildet ist.
%%-----File: 031.png-------------------------------

\emph{Die lineare Funktion $w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta
z}$ bildet daher die $z$-Ebene
ausnahmslos in den kleinsten Theilen ähnlich auf die $w$-Ebene ab}.

Da aus
\begin{align*}
  w &= \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}  \\
  z &= \frac{\alpha - \gamma w}{-\beta + \delta w}
\end{align*}
folgt, so ergiebt sich, dass auch die $w$-Ebene auf die $z$-Ebene
ausnahmslos in den kleinsten Theilen ähnlich abgebildet
wird durch die Funktion
\[
  w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}.
\]

Um die Art dieser Abbildung näher zu betrachten, sollen
den Punkten $z_1$, $z_2$, $z_3$ die Punkte $w_1$, $w_2$, $w_3$
entsprechen. Diese
Festsetzung können wir in beliebiger Weise machen, da durch
sie die drei willkürlichen Konstanten $\alpha : \beta : \gamma : \delta$
festgelegt
sind. Es ist nämlich
\[
  \delta wz + \gamma w - \beta z - \alpha = 0,
\]
also für entsprechende Punkte
\begin{align*}
  \delta w_1 z_1 + \gamma w_1 - \beta z_1 - \alpha &= 0   \\
  \delta w_2 z_2 + \gamma w_2 - \beta z_2 - \alpha &= 0   \\
  \delta w_3 z_3 + \gamma w_3 - \beta z_3 - \alpha &= 0.
\end{align*}

Eliminirt man aus diesen vier Gleichungen $\delta$, $\gamma$, $-\beta$,
$-\alpha$,
so erhält man in
\[
\left|\,\begin{array}{llll}
  w z     ,&w   ,&z   ,&1  \\
  w_1 z_1 ,&w_1 ,&z_1 ,&1  \\
  w_2 z_2 ,&w_2 ,&z_2 ,&1  \\
  w_3 z_3 ,&w_3 ,&z_3 ,&1
\end{array}\,\right| = 0
\]
die lineare Relation, welche zwischen je zwei entsprechenden
Punkten $w$, $z$ stattfindet. Durch eine einfache Reduktion
kann man derselben die Form geben:
\[
\begin{vmatrix}
  \dfrac{z  -z_2}{z  -z_3} & \dfrac{w  -w_2}{w  -w_3}  \\[1em]
  \,\dfrac{z_1-z_2}{z_1-z_3} & \dfrac{w_1-w_2}{w_1-w_3}\,
\end{vmatrix}
= \frac{z  -z_2}{z  -z_3} \cdot \frac{w_1-w_2}{w_1-w_3}
- \frac{z_1-z_2}{z_1-z_3} \cdot \frac{w  -w_2}{w  -w_3}
\]
oder
%%-----File: 032.png-------------------------------
\[\label{doppel}
  \frac{w - w_2}{w - w_3} \cdot \frac{w_1 - w_3}{w_1 - w_2}
= \frac{z - w_2}{z - z_3} \cdot \frac{z_1 - z_3}{z_1 - z_2}.
\]

Bezeichnet man den Quotienten
$\frac{z - w_2}{z - z_3} \colon \frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3}$ als
\emph{»Doppelverhältnis«}
der vier Punkte $z$, $z_1$, $z_2$, $z_3$%
\footnote{\Person{Möbius}, Crelle'sches Journal Bd.~IV.\ S.~101 u.~ff.
--- \Person{Wedekind},
Math.\ Annal.\ Bd.~IX.\ S.~209.},
so sagt die obige
Gleichung aus, dass \emph{durch die lineare Beziehung der $z$-Ebene
auf die $w$-Ebene das Doppelverhältnis ungeändert bleibt}.

Wenn man in $f(z)$ für $z$ den Ausdruck
$w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}$ einsetzt,
so sagt man, man habe $z$ linear substituirt, und daher: \emph{»Das
Doppelverhältnis von vier Punkten wird durch lineare Substitution
nicht geändert.«}

Sind $z_1$, $z_2$, $z_3$ festgelegt, denen $w_1$, $w_2$, $w_3$ entsprechen
sollen, so giebt uns obige Gleichung den Punkt $w$, welcher
dem Punkte $z$ entspricht.

\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\includegraphics*[width=3.3cm,height=7.3cm]{images/fig07}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Wir drücken das Doppelverhältnis durch die Modulen
und die Amplitude aus. Es ist
\[
  \frac{z-z_2}{z-z_3}
= \frac{\,\overline{z_2 z}\,}{\,\overline{z_3 z}\,} \,e^{i\varphi}, \quad
  \frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}
= \frac{\,\overline{z_2 z_1}\,}{\,\overline{z_3 z_1}\,} \,e^{i\varphi_1},
\]
wobei $\varphi$ und $\varphi_1$ die Winkel $z_3 z z_2$ und
$z_3 z_1 z_2$
im Sinne der Pfeile (Fig.~7) genommen sind,
also demselben Sinne nach. Es ist also,
wenn analog für
\[
  \varangle w_3 w w_2 = \psi, \quad
  \varangle w_3 w_2 w_1 = \psi_1
\]
gesetzt wird,
\[
  \frac{\overline{w_2 w  }}{\,\overline{w_3 w  }\,} \cdot
  \frac{\,\overline{w_3 w_1}\,}{\overline{w_2 w_1}}
  \,e^{i(\psi-\psi_1)}
= \frac{\overline{z_2 z  }}{\,\overline{z_3 z  }\,} \cdot
  \frac{\,\overline{z_3 z_1}\,}{\overline{z_2 z_1}}
  \,e^{i(\varphi-\varphi_1)}.
\]

Setzen wir nun voraus, dass die vier Punkte $z$, $z_1$, $z_2$, $z_3$
auf einem Kreise liegen, so wird $\varphi = \varphi_1$ d.~h.\ das
Doppelverhältnis
$\frac{z-z_2}{z-z_3} = r$, wo $r$ eine reelle Grösse ist. Umgekehrt:
ist das Doppelverhältnis von vier Punkten reell, so
liegen diese auf einem Kreise. Daher liegen die vier Punkte
$w$, $w_1$, $w_2$, $w_3$, welche den vier Punkten $z$, $z_1$, $z_2$,
$z_3$ eines Kreises
entsprechen, selbst auf einem Kreise, wie auch daraus folgt,
dass aus $\varphi = \varphi_1$ auch $\psi = \psi_1$ sich ergiebt.
%%-----File: 033.png-------------------------------

\emph{Durchläuft der Punkt $z$ den Kreis $\mathfrak{K}$, welcher durch die
drei Punkte $z_1$, $z_2$, $z_3$ bestimmt ist, so durchläuft $w$ den Kreis
$\mathfrak{K}'$, welcher durch die drei Punkte $w_1$, $w_2$, $w_3$
gelegt ist}. Es
könnte hierbei eintreten, dass $w$ für einen speziellen Wert
von $z$ unendlich würde, was aus
\[
  w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z} \text{ für }
  z = -\frac{\gamma}{\delta}
\]
folgt. Dann ist aber
\[
  \left( \frac{w-w_2}{w-w_3} \cdot \frac{w_1-w_3}{w_1-w_2}
  \right)_{\!w=\infty}
= \frac{w_1-w_3}{w_1-w_2} = \text{ reell,}
\]
d.~h.\ die Punkte $w_1$, $w_2$, $w_3$ liegen auf einer Geraden. Da nun
\[
  \frac{w_1-w_3}{w_1-w_2} = r_1
\]
und
\[
  \frac{w -w_2}{w -w_3} \cdot \frac{w_1-w_3}{w_1-w_2} = r
\]
für alle Lagen von $w$ ist, so ist
\[
  \frac{w -w_2}{w -w_3} = \frac{r}{r_1},
\]
d.~h.\ der Punkt $w$ liegt mit $w_2 w_3$ immer auf einer Geraden,
auf welcher auch $w_1$ liegt.

Mit anderen Worten: \emph{Den Kreisen der $z$-Ebene, welche
durch den Punkt $z =-\frac{\gamma}{\delta}$ gelten, entsprechen in
der $w$-Ebene
Gerade}.

Umgekehrt entsprechen den Geraden der $z$-Ebene, für
die ja $\frac{z-z_2}{z-z_3}$ sowohl als $\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}$ reell
ist, also auch
\[
  \frac{z-z_2}{z-z_3} \cdot \frac{z_1-z_3}{z_1-z_2}
= \frac{w-w_2}{w-w_3} \cdot \frac{w_1-w_3}{w_1-w_2}
\]
reell wird, in der $w$-Ebene Kreise, welche alle durch den
Punkt gehen, der dem Punkte $z = \infty$ entspricht, d.~h.\ durch
den Punkt
\[
  w
= \left( \frac{\alpha +\beta z}{\gamma +\delta z} \right)_{\!z=\infty}
= \frac{\beta}{\delta}.
\]

Allen Kreisen und Geraden der $w$-Ebene werden auch
Kreise der $z$-Ebene entsprechen, und den Kreisen, welche durch
den Punkt $w = \frac{\beta}{\delta}$ gehen, entsprechen Gerade in der
$z$-Ebene.
%%-----File: 034.png-------------------------------

Den Geraden der $w$-Ebene, welche durch den Punkt
$w = \frac{\beta}{\gamma}$, entsprechen Gerade der $z$-Ebene, welche durch
den Punkt $z = -\frac{\gamma}{\delta}$ gehen. \emph{Diese zwei Büschel
von Geraden
sind die einzigen einander entsprechenden Geraden in der Verwandtschaft
der beiden Ebenen.}

Die Beziehung, in der die Ebenen stehen, nennt man die
\emph{Möbius'sche Kreisverwandtschaft}.

In $w = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}$ haben wir eine
Funktion von $z$ kennen
gelernt, welche die $z$-Ebene ausnahmslos so auf die $w$-Ebene
abbildet, dass Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen stattfindet.

Dass eine derartige Abbildung mittels einer Funktion,
für welche $\frac{dw}{dz}$ in einem Punkte null oder unendlich wird,
nicht notwendig stattfindet, zeigen wir mittels der Funktion
\[
  w = \sqrt{(1 - z)} = (1 - z)^{\frac{1}{2}},
\]
in dem wir festsetzen, dass $w = 1$ für $z = 0$ ist und dass
von $z = 0$ an $z$ stetig fortgesetzt wird, wodurch auch $w$
stetig sich ändert.

Nennen wir \emph{alle Punkte $z$, welche innerhalb eines Kreises
liegen, der mit dem Radius $\varrho$ um den Punkt $a$ geschlagen wird, die
Umgebung des Punktes $a$}, so können wir sagen: Die Umgebung
des Punktes $z = 0$ wird auf die Umgebung des
Punktes $w = 1$ in den kleinsten Theilen ähnlich abgebildet,
so lange $\varrho < 1$ ist. Denn für $\varrho  < 1$ ist
\[
  \frac{dw}{dz} = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-z}}
\]
stets endlich, da
\[
  \lvert z\rvert = \lvert \varrho e^{i\varphi}\rvert = \varrho < 1
\]
ist. Für $z = 1$ sehen wir, wird $\frac{dw}{dz} = \infty$, also ist $z =
1$ gerade
ein Ausnahmspunkt, den wir näher betrachten wollen.

Wir setzen zu diesem Zwecke
\[\label{bspsub4}
  z = 1 - \varrho e^{i\varphi},
\]
also
\[
  w = \varrho^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\varphi}{2}}.
\]
%%-----File: 035.png-------------------------------

\begin{wrapfigure}{r}{3.7cm}
\includegraphics*[width=3.7cm,height=6.3cm]{images/fig08}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Entspricht nun dem Punkte $\varphi = 0$, $z_1 = 1-\varrho$ der Punkt
$w_1 = \varrho^{\frac{1}{2}}$ so wird dem Punkte
$z_0 = 1-\varrho e^{i\varphi}$ der Punkt
$w_0 = \varrho^{\frac{1}{2}} e^{i\frac{\varphi}{2}}$ entsprechen, d.~h.\
der Winkel $w_1 0w_0$ (Fig.~8), den
die Richtungen $\overline{0w_1}$ und $\overline{0w_0}$
in der $w$-Ebene bilden, ist nur
halb so gross, als der Winkel,
den die Richtungen $\overline{1z_1}$ und $\overline{1z_0}$
mit einander in der $z$-Ebene
bilden. Hieraus folgt bereits,
dass die Umgebung des Punktes
$z = 1$ nicht in den kleinsten
Theilen ähnlich auf die Umgebung des Punktes $w = 0$
abgebildet wird, sondern dass zwei Richtungen, die von $z = 1$
ausgehend einen Winkel $\varphi$ mit einander bilden, in der $w$-Ebene
zwei Richtungen von $w = 0$ ausgehend entsprechen, welche
miteinander den Winkel $\frac{\varphi}{2}$ bilden. Wenn $z$ nach einem
Umlauf
nach $z_1$ zurückkehrt, also $\varphi = 2\pi$ ist, wird
\[
  w = \varrho^{\frac{1}{2}} e^{i\pi} = -\varrho^{\frac{1}{2}},
\]
so ist $w_1$ nicht in seinen Anfangswert zurückgekehrt, sondern
in $w_2$, und erst wenn $z$ noch einen Umlauf macht, $\varphi = 4\pi$
wird, so wird $w = \varrho^{\frac{1}{2}} = w_1$ seinen Anfangswert
erlangen. Es
ist also gleichsam die doppelte Umgebung des Punktes $z = 1$
auf die einfache Umgebung des Punktes $w = 0$ abgebildet.
Es werden jedem Punkte $z_0$ zwei Punkte $w_0$, $w'_0$ entsprechen,
die, wie man sieht, diametral gegenüber liegen in Bezug auf
$w = 0$.

Die Funktion
\[
  w = \left( \sqrt{1-z} \right)^3,
\]
für welche
\[
  \frac{dw}{dx} = -\frac{3}{2} \sqrt{1-z}
\]
für $z = 1$ verschwindet, verhält sich in der Umgebung des
Punktes $z = 1$ analog, nur dass für
%%-----File: 036.png-------------------------------
\[
  z = 1 - \varrho e^{i\varphi}, \quad
  w = \varrho^{\frac{3}{2}} e^{i\frac{3\varphi}{2}}
\]
ist, also zwei Richtungen, die von $z = 1$ ausgehend den Winkel
$\varphi$ mit einander bilden, in der $w$-Ebene zwei Richtungen von
$w = 0$ ausgehend entsprechen, welche den Winkel $\frac{3\varphi}{2}$ mit
einander bilden. Dem Punkte $z_1$ für den $\varphi = 0, 2\pi, 4\pi$ ist,
werden die Punkte
\[
  w_1  = \varrho^{\frac{3}{2}}, \quad
  w_2  = \varrho^{\frac{3}{2}} e^{i3\pi}  \quad\text{und}\quad
  w_1  = \varrho^{\frac{6}{2}} e^{i6\pi}
\]
entsprechen.

\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\includegraphics*[width=3.3cm,height=3.6cm]{images/fig09}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

\subsection[5.\ Ein- und mehrdeutige Funktionen]{5.} Ist $w = f(z)$
eine bestimmte Funktion von $z$, so dass
$\frac{dw}{dz}$ von $z$ unabhängig ist und $z_0$ ein Wert von $z$, für den
$\frac{dw}{dz}$ weder null noch unendlich ist, so wird $w_0 = f(z_0)$
einen
derartigen Wert besitzen, dass die Umgebung von $z_0$, die
wir so wählen, dass \emph{keiner} der Punkte, für den
$\frac{dw}{dz}
= \left\{ \begin{smallmatrix} 0 \\ \infty \end{smallmatrix} \right.$
wird, in dieselbe hineinfällt, in den kleinsten Theilen ähnlich
auf die Umgebung des Punktes $w_0$ durch die Funktion
$w = f(z)$ abgebildet wird. Lassen wir
$z$ durch stetige Aenderung von $z_0$ nach
$z_1$ übergehen (Fig.~9), ohne dass der
Weg $z_0 t z_1$ aus der vorhin bestimmten
Umgebung hinaustritt, so wird $w_0$ zu
einem Werte $w_1$ gelangen; es frägt sich,
ob, wenn wir einen anderen Weg $z_0 q z_1$
wählen, $w_0$ wieder den Wert $w_1$ erreicht.

Betrachten wir zunächst zwei Wege
des $z$, welche unendlich nahe aneinander
fortlaufen. $z_0 t z_1$ und $z_0 t'' z_1$.

Ist dann $tt'$ ein Element des ersten Weges und $t''$ der
$t$ benachbarte Punkt auf $z_0 t'' z_1$, so wird
\[
  \frac{f(t')-f(t)}{t'-t} = \frac{f(t'')-f(t)}{t''-t} = \varphi(t)
\]
von $(t'-t)$ oder $(t''-t)$ unabhängig sein, also ist
\begin{align*}
  f(t' ) - f(t) &= (t' -t) \varphi(t)   \\
  f(t'') - f(t) &= (t''-t) \varphi(t) ,
\end{align*}
%%-----File: 037.png-------------------------------
daher auch
\[
f(t') - f(t'') = (t' - t'') \varphi(t),
\]
d.~h.\ da $(t' - t'')$ unendlich klein ist, so sind $f(t')$ von $f(t'')$
in allen Punkten der beiden Wege, die einander benachbart
liegen, unendlich wenig verschieden, aber nicht gleich, da
ja $\varphi(t)$ nicht $\left\{ \zeroverinfty \right.$ sein kann. Im
Punkte $z_1$ müssen also
die Werte der beiden Funktionen übereinstimmen, weil $t'$ mit
$t''$ zusammenfällt, oder: auf den benachbarten Wegen $z_0tz_1$
und $z_0t''z_1$ erlangt $w$ denselben Wert $w_1$. Da nun innerhalb
der betrachteten Fläche $\mathfrak{A}$, die wir als Umgebung des
Punktes $z_0$ auffassten, $\frac{dw}{dz}$ nicht unendlich und nicht null
werden kann, so wird durch stetige Abänderung des Weges
$z_0t''z_1$ in $z_0qz_1$ überführt werden können, ohne dass ein Punkt
überschritten wird, für den $\frac{dw}{dz} = \left\{\zeroverinfty\right.$
ist, und da dann $w$
in $z_1$ immer den Wert $w_1$ annimmt, so ersehen wir, dass $w$,
unabhängig von der durchlaufenen Wertereihe des $z$, in $z_1$
den Wert $w_1$ annimmt.

Man sagt in diesem Falle $w$ ist eine \emph{eindeutige Funktion}
von $z$ innerhalb $\mathfrak{A}$ zum Unterschiede davon, wenn $w$ andere
Werte annimmt, sobald $z$ von $z_0$ nach $z_1$ verschiedene Wege
beschreibt; $w$ heisst dann eine \emph{mehrdeutige Funktion} von $z$.

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\includegraphics*[width=4cm,height=2.8cm]{images/fig10}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

So ist $w = (z - a)^n$, wenn $n$ eine ganze Zahl ist, eine
eindeutige Funktion in der ganzen Ebene. Jedenfalls ist sie
eindeutig, wenn $z$ von $a$ oder $\infty$ verschieden ist. Für die
Umgebung des Punktes $a$ setze man
\[
z - a = \varrho e^{i\varphi},\quad w = \varrho^n e^{i \varphi n},
\]
woraus ersichtlich, dass, wenn $\varphi$ sich um $2\pi$ ändert, $z$ also
einen geschlossenen Weg um $a$ beschreibt,
\[
w = \varrho^n e^{i \varphi n} \cdot e^{2\pi i n}
  = \varrho^n e^{i \varphi n}
\]
wieder seinen ursprünglichen Wert annimmt.
Hieraus folgt dann ohne weiters,
dass $w$ für einen Wert $z$ unabhängig von
der Wertereihe, welche $z$ durchläuft um
zu $z_1$ zu gelangen immer denselben Wert annimmt. Ist $z$
in der Umgebung des Punktes $\infty$, so setze man
%%-----File: 038.png-------------------------------
\[
\begin{array}{lll}
z = \dfrac{1}{z'}, &\quad&
w = \left( \dfrac{1}{z'} - a \right)^n =
  \dfrac{1}{z'^n} \left( 1 - az'\right)^n,
\\
\dfrac{1}{w} = z'^n \dfrac{1}{(1 - az')^n},
\end{array}
\]
woraus ersichtlich, dass $\frac{1}{w}$ eine eindeutige Funktion von $z'$
ist in der Umgebung von $z' = 0$ und also auch eine eindeutige
Funktion von $z$ in der Umgebung von $z = \infty$, und
mithin ist auch $w$ eine eindeutige Funktion von $z$ in der Umgebung
von $z = \infty$.

Die Funktion $w = (z - a)^{\frac{n}{p}}$, wo $n$ und $p$ relativ prim
sind und $p$ nicht gleich 1 ist, ist eine vieldeutige Funktion in
der Umgebung des Punktes $z = a$ und $z = \infty$. Denn setzt man
\[
z - a = \varrho e^{i\varphi},
\]
so wird
\[
w = \varrho^{\frac{n}{p}}e^{i\frac{\varphi n}{p}}.
\]

Da nun $e^{2\frac{n}{p}\pi i}$ nicht $= 1$ ist, so wird, wenn $z$
einen geschlossenen
Weg um den Punkt $a$ beschreibt, $\varphi$ also um $2\pi$
wächst, $w$ nicht seinen ursprünglichen Wert erlangen.

Die Werte von $w$ werden also von den Wegen, welche
$z$ beschreibt, ab\-hän\-gen. Hieraus ersieht man, dass
$w = (z - a)^n$
wohl eine eindeutige Funktion von $z$ ist, aber dass
$z - a = w^{\frac{1}{n}}$
\emph{nicht} eine eindeutige Funktion von $w$ ist. [Siehe das Beispiel
sub 4, S.~\pageref{bspsub4}.]

\subsection[6.\ Integrale komplexer Funktionen]{6.} Wir verstehen unter
\[
W = \int_{z_0}^z f(z)\,dz
\]
\begin{wrapfigure}[10]{r}{1.3cm}
\includegraphics*[width=1.3cm,height=3.3cm]{images/fig11}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
diejenige Funktion von $z$, für welche $\frac{dW}{dz} = f(z)$ ist. Es
frägt
sich, unter welchen Umständen wird $W$ von dem Integrationswege
abhängen. Nach Vorhergehendem ist
ersichtlich, dass zwei Wege, die von $z_0$ nach $z$ führen,
und die keinen der Punkte einschliessen, für welche
$f(z) = \left\{ {\zeroverinfty} \right.$ wird, denselben Wert des
Integrals liefern.

Bezeichnen wir mit $W(z_0 tz)$ das Integral, genommen
längs $z_0 tz$ (Fig.~11), so wird also
%%-----File: 039.png-------------------------------
\[
W(z_0tz) = W(z_0t'z).
\]
Da nun $W(z_0t'z) = -W(zt'z_0)$ ist, da $z$ dieselben Werte
in umgekehrter Reihenfolge durchläuft, so folgt
\[
W(z_0tz)+W(zt'z_0) = 0
\]
oder
\[
W(z_0tzt'z_0) = 0,
\]
d.~h.\ \emph{das Integral $\int f(z)dz$ genommen längs eines geschlossenen
Weges, welcher keinen Punkt einschliesst, für den
$f(z)= \left\{ \substack{0\\ \infty} \right.$ ist, ist gleich Null.}

\begin{wrapfigure}[11]{r}{1.3cm}
\includegraphics*[width=1.3cm,height=3.3cm]{images/fig11a}
{\caption*{Fig.~11a.}}{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Dieser Satz ist auch folgendermassen klar:
Ist (Fig.~11a) $z_0'$ ein unendlich naher Punkt
von $z_0$,
so ist, da der Weg $z_0tzt'z_0'$ in den Weg $z_0z_0'$ ohne
Überschreitung eines Ausnahmepunktes transformirbar
ist, $W(z_0tzt'z_0') = W(z_0z_0')$; rückt $z_0'$ nach $z_0$, so wird
$W(z_0z_0')$ und daher
\[
W(z_0tzt'z_0) = 0.
\]

\subsection[7.\ Das geschlossene Integral um einen Punkt herum]{7.}
Es sei nun $f(z)$ eine \Emphasis{eindeutige} Funktion innerhalb der
Umgebung des Punktes $z = a$ oder
innerhalb der Kontur $\mathfrak{A}$ (Fig.~12a),
die aus einem \Emphasis{einzigen} Zuge besteht,
damit jede geschlossene Linie,
welche $\mathfrak{A}$ nicht überschneidet, sich
auf einen Punkt innerhalb $\mathfrak{A}$ zusammenziehen
lasse, und es wäre
$b$ ein Ausnahmspunkt, für den
\[
f(b) = \left\{ \substack{0\\ \infty} \right.
\]

%[** TN: Ugly hacks to make wrapfigure place these higher on the page]
\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\raisebox{-2.5cm}{\smash{\includegraphics*[width=3.3cm,height=3.6cm]{images/fig12a}}}
\caption*{Fig.~12a.}{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.3cm,height=3.6cm]{images/fig12b}
\caption*{Fig.~12b.}{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
\setcounter{figure}{12}%
\noindent ist. Dann braucht $W(atzt'a)$ nicht
null zu sein. Ist $a'$ ein in der Nähe
von $a$ (Fig.~12b) gelegener Punkt,
so wird jedenfalls
\[
W(at'z_1ta'pqra) = 0,
\]
wenn die Wege
\[
at'z_1ta' \text{ und } arqpa'
\]
keinen weiteren Ausnahmspunkt einschliessen,
was wir voraussetzen wollen.
%%-----File: 040.png-------------------------------

Daher ist:
\[
W(at'z_1) + W(z_1ta') + W(a'p) + W(pqr) + W(ra) = 0.
\]
Lassen wir also also $a$ mit $a'$ zusammenfallen, so wird
\[
W(at'z_1) + W(z_1ta) + W(ap) + W(pqr) + W(ra) = 0.
\]
Da nun $r$ und $p$ einander unendlich nahe rücken und schliesslich
zusammenfallen sollen, $f(z)$ eine \textit{eindeutige} Funktion von
$z$ ist, also in $p$ denselben Wert annimmt, nachdem $z$ den
Weg $pqrp$ beschrieben hat als vordem, so wird
\[
W(ap) = -W(pa) = -W(ra),
\]
wenn $r$ mit $p$ zusammenfällt. Also ist
\[
W(at'z_1) + W(z_1ta) + W(pqrp) = 0.
\]
$W(pqrp)$ heisst das \textit{geschlossene} Integral um den Punkt $b$
herum, und obige Gleichung sagt in der Form
\[
W(atz_1t'a) = W(pqrp)
\]
aus: \textit{Das geschlossene Integral um einen Punkt $b$ herum ist
unabhängig
von dem Wege, welcher $b$ umgiebt, so lange dieser
keinen weiteren Ausnahmspunkt umschliesst.}

Aus der ersten Form der Gleichung ist ersichtlich, dass
\[
W(at'z_1) - W(atz_1) = -W(pqrp)
\]
ist, dass also die Integrale, von $a$ nach $z_1$ genommen, längs
zweier Wege, die zusammengenommen den Punkt $b$ umschliessen,
nur dann gleichen Wert besitzen, wenn
\[
W(pqrp) = 0
\]
ist. Wir wollen das geschlossene Integral, um den Punkt $b$
derartig genommen, dass der Punkt $b$ \textit{links} von der Richtung
des Integrationsweges bleibt, mit
\[
\int_{\overfrown{b}} f(z)\,dz
\]
bezeichnen und erhalten also
\[
\int_{atz_1} f(z)\,dz - \int_{at'z_1} f(z)\,dz = \int_{\overfrown{b}}
f(z)\,dz,
\]
wenn $f(z)$ eine \textit{eindeutige} Funktion ist und die Integrationswege
$atz_1$, $at'z_1$ nur den Ausnahmspunkt $b$ umschliessen,
ohne die Kontur von $\mathfrak{A}$ zu über\-schrei\-ten, $b$ muss von $atz_l$
links liegen.
%%-----File: 041.png-------------------------------

$\int_{\overfrown{b}} f(z) \,dz$ ist von dem Integrationswege, der $b$
umgiebt,
unabhängig. Wir setzen also diesen als kleinen Kreis um
$b$ herum mit dem Radius $\varrho$ voraus und wenn
\[
  z - b = \varrho e^{i\varphi},\quad z = b + \varrho e^{i\varphi}
\]
gesetzt wird, so ändert sich nur $\varphi$ von $0$ bis $2\pi$, also ist
\[
  \int_{\overfrown{b}} f(z) \,dz = i\varrho \int_0^{2\pi} f(b + \varrho
  e^{i\varphi}) \varrho e^{i\varphi} d\varphi.
\]

Es sei nun $f(b) = 0$, dann wird, wenn $\varrho$ klein ist,
\[
  \left\lvert f(b + \varrho e^{i\varphi}) \right\rvert = \varepsilon
\]
sein, wo $\varepsilon$ für $\varrho = 0$ null wird. Nun ist
\[
  f(b + \varrho e^{i\varphi}) = \varepsilon e^{i\psi},
\]
wo $\psi$ eine gewisse reelle Funktion von $\varphi$ und $\varrho$ ist,
also wird
\[
  \int_{\overfrown{b}} f(z)\,dz
= i\varrho \int_0^{2\pi} \varepsilon e^{i(\psi+\varphi)}
= i\varrho \int_0^{2\pi}
  \varepsilon \bigl( \cos (\varphi+\psi)
                   +i\sin (\varphi+\psi) \bigr) d\varphi
\]
nun hat das Integral jedenfalls einen endlichen Wert, da der
Integrand nicht unendlich werden kann, also ist, wenn $\varrho$ sich
der Null nähert, der Wert des Integrales unendlich klein, und
da dieser Wert unabhängig ist von der Form des Integrationsweges, so ist
\[
  \int_{\overfrown{b}} f(z)\,dz = 0,
\]
sobald $f(b) = 0$ ist. Würde aber $f(b) = \infty$ werden, so ist
nicht mehr
\[
  \int f(b + \varrho e^{i\varphi}) e^{i\varphi} d\varphi
\]
nothwendig endlich und
\[
  i\varrho \int f(b + \varrho e^{i\varphi}) e^{i\varphi} d\varphi
\]
nicht nothwendig null.

Ist also $f(z)$ eine \emph{eindeutige} Funktion von $z$ innerhalb
der einfachen Kontur $\mathfrak{A}$, so ist $\int_{z_0}^z f(z)$
unabhängig vom
Integrationswege, sobald $f(z)$ nicht $\infty$ wird innerhalb
$\mathfrak{A}$.
%\pagebreak
%%-----File: 042.png-------------------------------

\begin{wrapfigure}{r}{4.6cm}
\includegraphics*[width=4.6cm,height=4.7cm]{images/fig13}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

\subsection[8.\ Das Randintegral $\int f(z)\,dz$]{8.} Es werde nun $f(z)$
in den Punkten $b_1$, $b_2$, $b_3, \cdots b_n$ unendlich,
sei aber innerhalb $\mathfrak{A}$ \textit{eindeutig}
und sonst nirgends mehr unendlich.
Wir umgeben die Punkte
$b_1, b_2, b_3, \dotsc b_n$ (Fig.~13) mittels einer
Linie $\mathfrak{A}'$, welche ganz innerhalb $\mathfrak{A}$
verläuft und zwar so, dass zwischen
$\mathfrak{A}'$ und $\mathfrak{A}$ keiner der Punkte
$b_1, b_2, b_3, \dotsc b_n$ liegt. Wir wählen ferner
die Punkte $m_1m_1'; m_2'm_2 \dotsc m_nm_n'$,
so dass $m_h$ und $m_h'$ nahe beieinander
liegen und ziehen von $m_h$ eine
Linie $m_hb_hm_h'$, welche nur den Punkt $b_h$ umgiebt und in $m_h'$
endet, ohne dass diese Linie eine andere derartige schneidet.
Dann lässt sich der Linienzug
\[
m_1b_1m_1' m_2b_2m_2' m_3b_3m_3' \dotsc m_nb_nm_n' m_1
\]
auf einen Punkt zusammenziehen, ohne dass einer der Punkte
$b_1 \dotsc b_n$ überschritten wird, also ist
\[
W(m_1b_1m_1' m_2b_2m_2' \dotsc m_nb_nm_n' m_1)=0
\]
oder
\[
\begin{split}
W(m_1b_1m_1') + W(m_1'm_2) + W(m_2b_2m_2') + W(m_2'm_3)\\
+ \dotsb W(m_nb_nm_n') + W(m_n'm_1) = 0.
\end{split}
\]
Da nun
\[
W(m_h'm_h) + W(m_hm_h') = 0
\]
ist, so folgt, dass auch
\[
\begin{split}
W(m_1b_1m_1'm_1) + W(m_1m_1'm_2) + W(m_2b_2m_2'm_2)\\
+ \dotsb W(m_nb_nm_n'm_n) + W(m_n'm_1) = 0
\end{split}
\]
ist. Es ist aber
\[
W(m_1m_1'm_2) + W(m_2m_2'm_3) + \dotsb W(m_nm_1) = W(\mathfrak{A}')
\]
und
\[
W(m_hb_hm_h'm_h) = -\int_{\overfrown{b_h}} f(z)\,dz,
\]
da das Integral linker Hand so genommen ist, dass der
Punkt $b_h$ rechts vom Integrationswege liegt. Also ist
\[
W(\mathfrak{A}')
- \int_{\overfrown{b_1}} f(z)\,dz
- \int_{\overfrown{b_2}} f(z)\,dz \dotsb
- \int_{\overfrown{b_n}} f(z)\,dz = 0.
\]
%%-----File: 043.png-------------------------------
Beachtet man nun, dass das Integral längs $\mathfrak{A'}$ genommen
gleich ist dem Integral längs $\mathfrak{A}$ genommen, da $\mathfrak{A'}$
und $\mathfrak{A}$ in
einander überführbar sind ohne Ueberschreitung eines Unstetigkeitspunktes,
so ergibt sich
\[\label{p25}
  \int_{\mathfrak{A}} f(z)\,dz
= \sum_{h=1}^n
  \int_{\overfrown{b_h}} f(z)\,dz,
\]
wo die Integrale in der Richtung zu nehmen sind, dass die
Unstetigkeitspunkte \emph{links} liegen.

Es ist selbstverständlich, dass $\mathfrak{A}$ durch keinen der
Unstetigkeitspunkte
gehen darf, und dass innerhalb $\mathfrak{A}$ nur eine
endliche Anzahl von solchen Unstetigkeitspunkten liegen
dürfen, damit obiges Raisonnement ohne Abänderung giltig
bleibt.

\subsection[9.\ Reihenentwicklung einer Funktion in der Umgebung einer\\
Stetigkeitsstelle]{9.} Von dem eben abgeleiteten Satze wollen wir eine
Anwendung machen.

\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\includegraphics*[width=3.3cm,height=3.3cm]{images/fig14}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Es sei $F(z)$ eine eindeutige Funktion von $z$, welche für
$z = a$ den endlichen Wert $F(a)$ annimmt
und welche innerhalb des mit $R$ um $a$
geschlagenen Kreises $\mathfrak{K}$ (Fig.~14) nicht unendlich
wird. Es sei $t$ ein beliebiger
innerhalb $\mathfrak{K}$ gelegener Punkt, dann wird
\[
  f(z) = \frac{F(z)}{z-t}
\]
nur für $z = t$ unendlich und es ist daher
\[
  \int_{\mathfrak{K}} \frac{F(z)\,dz}{z-t}
= \int_{\overfrown{t}}  \frac{F(z)\,dz}{z-t}.
\]
Im zweiten Integral ist $F(t)$ der Voraussetzung nach eine
endliche Grösse, also ist, wenn $z-t = \varrho e^{i\varphi}$ gesetzt wird,
für kleine Werte von $\varrho$
\[
  F(z) = F(t+\varrho e^{i\varphi}) = F(t) + \varepsilon,
\]
wo $\varepsilon$ mit $\varrho$ gleichzeitig null wird, also ist, da
\[
  \frac{dz}{z-t} = i \,d\varphi
\]
ist,
\[
  \int_{\overfrown{t}} \frac{F(z)\,dz}{z-t}
= i\int_0^{2\pi} F(t) \,d\varphi + \int_0^{2\pi} \varepsilon \,d\varphi,
\]
%%-----File: 044.png-------------------------------
und mithin:
\[
F(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\mathfrak{K}} \frac{F(z)\,dz}{z - t},
\]
d.~h.\ der Wert der eindeutigen Funktion $F$ in einem Punkte
innerhalb $\mathfrak{K}$ lässt sich ausdrücken durch ein Integral genommen
längs der Linie $\mathfrak{K}$. Diese darf selbstverständlich durch
keinen Punkt gehen, für den $F(z) = \infty$ wird, ist im Uebrigen
höchst willkürlich, da das Integral vom Integrationswege unabhängig
bleibt, so lange kein Unstetigkeitspunkt überschritten
wird.

Wir transformiren das Integral. Da $z$ auf $\mathfrak{K}$ liegt, so ist
\[
\left| {z - a} \right| > \left| {t - a} \right|,
\]
setzt man daher
\[
\frac{t - a}{z - a} = \varrho e^{i\varphi},
\]
so ist $\varrho < 1$.

Da nun
\[
1 + \varrho + \varrho^2 + \cdots + \varrho^n
= \frac{1 - \varrho^n}{1 - \varrho}
\]
ist, so folgt für $n = \infty$, $\varrho < 1$
\[
1 + \varrho + \varrho^2 + \cdots = \frac{1}{1 - \varrho}.
\]

Da diese Reihe convergirt, so convergirt auch die Reihe
\begin{align*}
R_1 &= 1 + \varrho \cos \varphi + \varrho^2 \cos 2\varphi
          + \varrho^3 \cos 3\varphi + \cdots \\
\intertext{und}
R_2 &= \hphantom{1+}\varrho \sin \varphi + \varrho^2 \sin 2\varphi
          + \varrho^3 \sin 3\varphi + \cdots,
\end{align*}
mithin hat auch
\[
R_1 + iR_2 = 1 + \varrho e^{i\varphi} + (\varrho e^{i\varphi})^2
+ (\varrho e^{i\varphi})^3 + \cdots
\]
einen unendlichen Wert, den man ohne weiteres als
\[
\frac{1}{1 - \varrho e^{i\varphi}}
\]
erkennt.

Daher ist
\[
1 +            \frac{t - a}{z - a}
+ {\left(      \frac{t - a}{z - a} \right)}^2
+ {\left(      \frac{t - a}{z - a} \right)}^3 + \cdots
= \frac{1}{1 - \frac{t - a}{z - a}}
=              \frac{z - a}{z - t}
\]
oder
%%-----File: 045.png-------------------------------
\[
  \frac{1}{z-t} = \frac{1}{z-a} + \frac{t-z}{(z-a)^2}
+ \frac{(t-z)^2}{(z-a)^3} + \dotsb
\]
und da $F(z)$ für die in Betracht zu ziehenden Werte $z$ endlich ist,
\[
  \dotsb  \frac{F(z)}{z-t}
=         \frac{F(z)}{z-a}
+ (t-a)   \frac{F(z)}{(z-a)^2}
+ (t-a)^2 \frac{F(z)}{(z-a)^3} + \dotsb
\]
Setzt man also
\[
  A_n
= \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak{K}} \frac{F(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}} ,
\]
so wird
\[
  F(t) = A_0 + A_1(t-a) + A_2(t-a)^2 + A_3(t-a)^3 + \dotsb.
\tag{A}
\]
Es ist
\[
  A_0 = \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak{K}} \frac{F(z)\,dz}{z-a} = F(a)
\]
und da
\[
  F(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak{K}} \frac{F(z)\,dz}{z-t}
\]
ist, so folgt
\[
  \left[ \frac{d^n F(t)}{dt^n} \right]_{t=a}
= \frac{n!}{2\pi i}
  \left[ \int_{\mathfrak{K}} \frac{F(z)\,dz}{(z-t)^{n+1}} \right]_{t=a}
= n! A_n ,
\]
mithin
\[
  A_n = \frac{1}{n!} F^{(n)}(a) ,
\]
wobei
\[
  F^{(n)}(a) = \left[ \frac{d^n F(t)}{dt^n} \right]_{t=a}
\]
ist. Daher folgt aus (A):
\[
\begin{split}
  F(t) = F(a) + F'(a)(t-a) + F''(a)\frac{(t-a)^2}{1\cdot 2}  \\
+ F'''(a) \frac{(t-a)^3}{1\cdot 2\cdot 3} + \dotsb ,
\end{split}
\tag{B}
\]
welche Entwicklung so lange gilt, als $t$ innerhalb des um $a$
geschlagenen Kreises liegt, der keinen Unstetigkeitspunkt
enthält.

Umgekehrt ist jede Funktion $F(t)$, für welche obige
Entwicklung gilt, eine eindeutige Funktion von $t$, so lange
die Reihe rechter Hand convergirt.
%%-----File: 046.png-------------------------------

(A) ist eine Potenzreihe von $(t-a)$ und da, sobald
diese convergirt, auch alle ihre Ableitungen convergiren, so
ist in der Umgebung einer solchen Stelle $a$ die Funktion mit
allen ihren Ableitungen eindeutig.

Die oben aufgestellte Form der Reihe für $F(t)$ ist etwas
zu modificiren für den Fall, dass der Punkt $a$ der Punkt
$z = \infty$ wäre. Setzen wir nämlich voraus, dass $F(z)$ für
$z = \infty$ den endlichen Wert $A$ annehme und setzen $z' = \frac{1}{z}$,
so wird
\[
F(z) = F\left(\frac{1}{z'}\right) = \varphi(z')
\]
und es ist
\[
[F(s)]_{z=\infty} = [\varphi(z')]_{z'=0} = A,
\]
d.~h.\ $\varphi(z')$ ist in der Umgebung von $z' = 0$ als eindeutige
Funktion von $z'$ in eine Reihe entwickelbar. Wir haben also
\[
F\left(\frac{1}{z'}\right) = \varphi(z') =
A + A_1z' + A_2z'^2 + A_3z'^3 + \cdots,
\]
mithin für $z' = \frac{1}{z}$, giebt
\[
\varphi\left(\frac{1}{z}\right) = F(s) =
A + \frac{A_1}{z} + \frac{A_2}{z^2} + \frac{A_3}{z^3} + \cdots
\]
als Entwicklung von $F(z)$ in der Umgebung von $z = \infty$
d.~h.\ für solche Werte von $z$, deren Modul sehr gross ist.

\subsection[10.\ Das Null-\ und Unendlichwerden der Funktionen]{10.}
Wird eine Funktion von $z$ für $z = a$ so unendlich
gross, dass $(z-b)^nf(z)$ für $z=b$ endlich und von Null verschieden
ist, so heisst $b$ ein $n$-facher Unendlichkeitspunkt von
$f(z)$. Ist $b = \infty$, so heisst dieser Punkt ein $n$-facher
Unendlichkeitspunkt,
wenn $\frac{f(z)}{z^n}$ für $z=\infty$ endlich und von Null
verschieden ist.

Analog nennt man den Punkt $z = a$ oder $z = \infty$ eine
$n$-fache Nullstelle, wenn
\[
\left[ \frac{f(z)}{(z-a)^n} \right]_{z=b} \quad\text{resp.}
\quad\left[ {z^nf(z)} \right]_{z=\infty}
\]
endlich und von Null verschieden ist.

Ist $f(z)$ eine \textit{eindeutige} Funktion in der Umgebung der
Unendlichkeits- oder Nullstelle, so kann dieselbe nur so unendlich
oder null werden, dass $n$ eine \textit{ganze} Zahl bedeutet.
%%-----File: 047.png-------------------------------

Es sei $f(z)$ eine eindeutige Funktion in der Umgebung
von $z = a$ und
\[
\left[ \frac{f(z)}{(z-a)^n} \right]_{z=a} = A
\]
endlich und von Null verschieden.

Dann ist $\psi(z) = \int\varphi(z)\,dz$, wenn $\varphi(z) =
\frac{f(z)}{(z-a)^n}$  gesetzt
wird, in der Umgebung von $a$ jedenfalls eine \textit{eindeutige}
Funktion,
da $\frac{d\psi}{dz}$ weder null noch unendlich wird. Mithin ist auch
$\varphi(z) = \frac{d\psi(z)}{dz}$ in der Umgebung von $a$ eine eindeutige
Funktion
und da es auch $f(z)$ sein soll, so ist das nur möglich,
wenn $(z-a)^n$ eine eindeutige Funktion in der Umgebung
von $a$ ist d.~h.\ wenn $n$ eine ganze Zahl bedeutet.

In der Umgebung einer $n$-fachen Nullstelle hat also die
eindeutige Funktion $f(z)$ die Entwicklung
\[
f(z) = (z-a)^n[A + A_1(z-a) + A_2(z-a)^2 + \cdots],
\]
wo $A$ von Null verschieden ist; denn es ist
\[
\varphi(z) = A + A_1(z-a) + A_2(z-a)^2 + \cdots
\]

Ist $a = \infty$, so ist die Entwicklung der Funktion, welche
für $z = \infty$ $n$mal verschwindet,
\[
f(z) = \frac{1}{z^n}\left[ {A + \frac{A_1}{z} + \frac{A_2}{z^2} +
\cdots} \right],
\]
wo $A$ von Null verschieden ist.

Ist $f(z)$ in der Umgebung der $n$-fachen Unendlichkeitsstelle
eindeutig, so folgt wie früher, dass wenn
\[
(z-b)^nf(z) = \varphi(z),
\]
$\varphi(b) = B$ ist, wo $B$ endlich und von Null verschieden ist,
dass $\varphi(z)$ in der Umgebung von $z=b$ eindeutig ist und
daher
\[
\varphi(z) = B + B_1(z-b) + B_2(z-b)^2 + \cdots B_n(z-b)^n
+ B_{n+1}(z-b)^{n+1} \cdots
\]
also
\[
f(z) = \frac{B}{(z-b)^n} + \frac{B_1}{(z-b)^{n-1}} + \cdots
\frac{B_{n-1}}{z-b}
+ B_n + B_{n+1}(z-b) + \cdots
\]
%%-----File: 048.png-------------------------------
ist, woraus die Form der Entwicklung von $f(z)$ ersichtlich
und augenscheinlich ist, dass $f(b) = \infty$ wird, wie
$\frac{B}{(z-b)^n}$.

Ist $b=\infty$, so muss $\frac{f(z)}{z^n} = \psi(z)$ für $z = \infty$
endlich und
von Null verschieden sein, also ist
\begin{gather*}
  \psi(z) = B + \frac{B_1}{z} + \dotsb \frac{B_{n-1}}{z^{n-1}}
+ \frac{B_n}{z^n} + \frac{B_{n+1}}{z^{n+1}} + \dotsb
\\
  f(z) = B z^n + B_1 z^{n-1} + \dotsb B_{n-1} z + B_n
+ \frac{B_{n+1}}{z} + \dotsb,
\end{gather*}
woraus wieder die Art des Unendlichwerdens für $z = \infty$ ersichtlich.

\subsection[11.\ Die rationale Funktion]{11.} Eine \emph{eindeutige}
Funktion von $z$, welche für keinen
endlichen Wert von $z$ unendlich gross wird, und für $z = \infty$
nur unendlich wird von der $n^{\text{ten}}$ Ordnung, heisst eine
\emph{ganze rationale}
Funktion von $z$. Ihre Form ergiebt sich durch die
vorstehenden Sätze einfach.

Für sehr grosse Werte von $z$ ist
\[
\begin{split}
  f(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \dotsb + a_{n-1} z + a_n  \\
  + \frac{a_{n+1}}{z} + \frac{a_{n+2}}{z} + \dotsb
\end{split}
\]
Diese Entwicklung gilt für alle $z$, welche ausserhalb des um
den Punkt $z = 0$ geschlagenen Kreises liegen, der alle
Unendlichkeitspunkte
von $f(z)$ enthält. Da aber $f(z)$ keine Unendlichkeitspunkte
im Endlichen gelegen hat, so können wir diesen
Kreis auf den Nullpunkt zusammenziehen, d.~h.\ die Entwicklung
muss auch für $z = 0$ gelten und da $f(0)$ endlich ist,
so muss
\[
  a_{n+1} = 0, a_{n+2} = 0 \dotsc
\]
sein, d.~h.\ es ist
\[
  f(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \dotsb a_{n-1} z + a_n.
\]
Würde $f(z)$ auch für $z = \infty$ nicht unendlich, so müsste
\[
  a_0 = 0, a_1 = 0, \dotsc a_{n-1} = 0
\]
sein d.~h.\ $f(z) = a_n$ sein, oder: \emph{eine eindeutige Funktion
von $z$,
welche für keinen Wert von $z$ unendlich wird, ist eine Constante.}

Eine eindeutige Funktion von $z$, welche für die Punkte
\[
  z = b_1, b_2 \dotsc b_m
\]
%%-----File: 049.png-------------------------------
von den Ordnungen
\[
n_1, n_2 \dots n_m
\]
unendlich wird, und für $z = \infty$ von der Ordnung $p$ unendlich
wird, heisst eine \emph{gebrochene rationale Funktion}. Eine
rationale Funktion ist also eine \emph{eindeutige} Funktion von $z$,
welche nur für eine \emph{endliche} Anzahl Werte $z$ unendlich von
\emph{endlicher Ordnung} wird oder, wie man sich ausdrücken kann:
\emph{eine rationale Funktion ist eine eindeutige Funktion von $z$,
welche nur eine endliche Anzahl von Unendlichkeitsstellen hat}.
Hiebei wird jede $m$-fache Unendlichkeitsstelle als $m$ einfache
solcher Stellen gezählt.

Es wird
\[
\phi(z) = (z-b_1)^{n_1} (z-b_2)^{n_2}\cdots (z-b_m)^{n_m} f(z)
\]
für keinen endlichen Wert von $z$ mehr unendlich. Setzen wir
\[
n_1+n_2+n_3+\cdots + n_m = q,
\]
so wird
\[
\begin{split}
(z-b_1)^{n_1} (z-b_2)^{n_2}\cdots (z-b_m)^{n_m} =\\
= z^q + B_1z^{q-1} + \cdots B_{q-1}z + B_q
\end{split}
\]
eine ganze rationale Funktion, welche für $z=\infty$ von der
$q^\text{ten}$ Ordnung unendlich wird, und da $f(z)$ von der
$p^\text{ten}$ Ordnung
unendlich wird, so wird
\[
\varphi(z) = (z^q+ \cdots + B_q) f(z)
\]
von der ${p+q}^\text{ten}$ Ordnung unendlich für $z =\infty$ und sonst
nicht mehr, also ist
\[
\varphi(z) = Az^{p+q} + A_1 z^{p+q-1} + \cdots A_{p+q},
\]
und daher, wenn $p+q = r$ gesetzt wird,
\[
f(z) = \frac{Az^r + A_1z^{r-1}+ \ldots A_r}{z^q + B_1z^{q-1} +
\ldots B_q}.
\]
\[
\begin{aligned}
\qquad & \text{Ist $r \ge q$, so heisst $f(z)$ unecht gebrochen,}\\
\qquad & \text{ist $r < q$, so heisst $f(z)$ echt gebrochen,}
\end{aligned}
\]
für die letztere ist $f(\infty) = 0$.

Man kann durch Subtraktion einer ganzen rationalen
Funktion von $f(z)$ stets bewirken, dass der Rest eine echt
gebrochene Funktion ist.

Es sei nämlich für $z = \infty$ die Entwicklung
\[
f(z) = c_\nu z^\nu + c_{\nu-1} z^{\nu-1} + \cdots c_1 z +c_0 + \frac {d_1}
z + \frac{d_2}{z^2}+\cdots  ;
\]
%%-----File: 050.png-------------------------------
setzt man dann
\[
  \psi(z) = f(z) - (c_\nu z^\nu + c_{\nu-1} z^{\nu-1} +\dots+ c_1 z
  + c_0),
\]
so muss
\[
  \psi(z) = \frac{ a_\mu z^\mu + a_{\mu-1} z^{\mu-1} + \dotsb
                 + a_1 z + a_0 }{ z^q + B_1 z^{q-1} + \dotsb+ B_q }
\]
sein, wo $\mu < q$ ist, da $\psi(\infty) = 0$ ist. Es ist sodann
\[
\begin{split}
  f(z) = c_\nu z^\nu + c_{\nu-1} z^{\nu-1} + \dotsb c_1 z + c_0   \\
       + \frac{ a_\mu z^\mu + a_{\mu-1} z^{\mu-1} + \dotsb
              + a_1 z + a_0 }{ z^q + B_1 z^{q-1} + \dotsb +B_q }
\end{split}
\]

Die Koeffizienten $c_\nu, c_{\nu-1} \dotsc; a_\mu, a_0$ können aus der
Vergleichung beider Formen von $f(z)$ berechnet werden.

Aus der Definition der rationalen Funktion geht hervor,
dass Summen, Produkte und Quotienten einer endlichen Anzahl
von rationalen Funktionen ebenfalls rationale Funktionen sind.

\subsection[12.\ Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion]{12.}
Es sei $f(z)$ eine echt gebrochene rationale Funktion,
welche also für $z = \infty$ den Wert Null annimmt und
welche in den Punkten
\[
  z = a_1, a_2 \dotsc a_m
\]
von den Ordnungen
\[
  n_1, n_2 \dotsc n_m
\]
unendlich wird. Dann wird in der Umgebung des Punktes $a_1$
\[
\begin{split}
  f(z)
= \frac{M^{(1)}_0      }{(z-a_1)^{n_1  }}
+ \frac{M^{(1)}_1      }{(z-a_1)^{n_1-1}} + \dotsb
+ \frac{M^{(1)}_{n_1-1}}{(z-a_1)        }
\\
+ M^{(1)}_{n_1} + M^{(1)}_{n_1+1} (z-a  ) + \dotsb
\end{split}
\]
oder wenn
\[
  \psi(z, a_1)
= \frac{M^{(1)}_0      }{(z-a_1)^{n_1  }}
+ \frac{M^{(1)}_1      }{(z-a_1)^{n_1-1}} + \dotsb
+ \frac{M^{(1)}_{n_1-1}}{(z-a_1)        }
\]
gesetzt wird
\[
  f(z) = \psi(z, a_1) + M^{(1)}_{n_1} + M^{(1)}_{n_1-1}(z-a_1) +\dotsb
\]
d.~h.
\[
  \bigl[ f(z) - \psi(z, a_1) \bigr]_{z=a_1} = M^{(1)}_{n_1}
\]
%%-----File: 051.png-------------------------------
ist endlich. Es kann wohl $M_{n_1}^{(1)} = 0$ sein, was unwesentlich
ist.

$\psi(z_1, a_1)$ ist eine rationale Funktion von $z$, welche nur
für $z = a_1$ unendlich wird, für jeden anderen Wert von $z$
einen endlichen Wert besitzt und für $z = \infty$ null wird, da
$\psi(\infty, a_1) = 0$ ist.

Betrachten wir nun
\[
\varphi(z) = f(z) - [\phi(z, a_1) + \phi(z, a_2) + \cdots \phi(z, a_m)],
\]
wo $\psi(z, a_h)$ aus $\psi(z, a_1)$ erhalten wird, wenn $a_h$, $n_h$,
$M^{(h)}$
an Stelle von $a_1$, $n_1$, $M^{(1)}$ gesetzt wird.

Wie ohne weiteres ersichtlich, wird $\varphi(z)$ für
\[
z = a_1, a_2 \cdots, a_m
\]
nicht mehr unendlich, für jeden andern Wert von $z$ wird
aber $f(z)$, sowohl als jedes $\psi(z, a_h)$, also auch $\varphi(z)$ einen
endlichen Wert haben, und da $\varphi(z)$ eine rationale Funktion
ist, denn $f(z)$ und $\psi(z, a_h)$ sind solche, so ist $\varphi(z)$
eine ganze
rationale Funktion, mithin
\[
\varphi(z) = c_0z^\nu + c_1s^{\nu-1} + \cdots c_{\nu-1}z + c_\nu;
\]
nun ist aber
\[
\varphi(\infty) = f(\infty) - [\psi(\infty, a_1) + \psi(\infty, a_2)
\cdots + \psi(\infty, a_m)] = 0,
\]
es muss also
\[
c_0 = 0, c_1 = 0, \cdots c_{\nu-1} = 0, c_\nu = 0
\]
sein oder
\[
\varphi(z) = 0,
\]
und daher
\[
\begin{array}{rllcl}\label{pbz}
f(z) &\multicolumn{4}{l}{= \psi(z, a_1) + \psi(z, a_2) \cdots
   + \psi(z, a_m),}\\[1em]
&= \dfrac{M_0^{(1)}}{(z-a_1)^{n_1}} &+
   \dfrac{M_1^{(1)}}{(z-a_1)^{n_1-1}} &+
   \cdots + &\dfrac{M_{n_1-1}^{(1)}}{z-a_1} \\[1em]
&+ \dfrac{M_0^{(2)}}{(z-a_2)^{n_2}} &+
   \dfrac{M_1^{(2)}}{(z-a_2)^{n_2-1}} &+
   \cdots + &\dfrac{M_{n_2-1}^{(2)}}{z-a_2} \\
& \hdotsfor[2]{4}\\
&+ \dfrac{M_0^{(m)}}{(z-a_m)^{n_m}} &+
   \dfrac{M_1^{(m)}}{(z-a_m)^{n_m-1}} &+
   \cdots + &\dfrac{M_{n_m-1}^{(m)}}{z-a_m}
\end{array}
\]
sein, in welcher Form $f(z)$ in \textit{Partialbrüche} zerlegt erscheint,
d.~h.\ in Brüche, deren Zähler eine Konstante und deren
%%-----File: 052.png-------------------------------
Nenner eine lineare Funktion von $z$ ist, oder eine ganze Potenz
einer solchen Funktion.

\subsection[13.\ Das Randintegral $\int d\log f(z)$]{13.}
Ist $f(z)$ in der Umgebung des Punktes $b$ eine \emph{eindeutige}
Funktion von $z$, welche für $z = b$ nicht unendlich
wird, also
\[
  f(z) = B + B_1(z-b) + B_2(z-b)^2 + \dotsb,
\]
so wird
\[
  f'(z) = B_1 + 2B_2(z-b) + \dotsb
\]
d.~h.\ $f'(z)$ ist in der Umgebung von $b$ auch eine eindeutige
Funktion und wird für $z = b$ auch nicht unendlich. Ist aber
$f(z)$ für $z = b$ unendlich von der $n^{\text{ten}}$ Ordnung, also
\[
  f(z) = \frac{A}{(z-b)^n} + \frac{A_1}{(z-b)^{n-1}} + \dotsb
       + \frac{A_{n-1}}{z-b} + A_n + A_{n+1}(z-b) + \dotsb
\]
so ist
\[
\begin{split}
  f'(z) = \frac{-nA}{(z-b)^{n+1}} + \frac{-(n-1)A_1}{(z-b)^n} + \dotsb\\
        + \frac{A_{n-1}}{(z-b)^2} + A_{n+1} + 2A_{n+2}(z-b) + \dotsb
\end{split}
\]
eine eindeutige Funktion, welche für $z = b$ unendlich von
der $(n+1)^{\text{ten}}$ Ordnung ist.

Es kann also $f'(z)$ nur unendlich werden, wenn $f(z)$
unendlich wird. Daher sind die Differentialquotienten einer
rationalen Funktion wieder rationale Funktionen.

Setzen wir
\[
  (z-b)^n f(z) = \varphi(z),
\]
so wird $\varphi(b) = A$ und $\varphi(z)$ also in nächster Umgebung von
$z-b$ nicht verschwinden. Denken wir uns nun um $b$ einen
kleinen Kreis $\mathfrak{K}$ geschlagen, innerhalb dessen $f(z)$,
also auch
$\varphi(z)$ nicht null wird, und betrachten wir das $\int_{\mathfrak{K}}
d\log f(z)$ in
dem Sinne genommen, dass der Punkt $b$ bei dem Durchlaufen
der Peripherie \emph{links} liegen bleibt. Da
\[
  \log f(z) = -n \log (z-b) + \log \varphi(z)
\]
ist, so folgt:
\[
  \int_{\mathfrak{K}} d\log f(z)
= \int_{\mathfrak{K}} \frac{f'(z)}{f(z)}
= -n \int_{\mathfrak{K}} \frac{dz}{z-b}
+ \int_{\mathfrak{K}} \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)} \,dz
\]
Es ist $\frac{f'(z)}{f(z)}$ in der Umgebung von $b$ so lange eindeutig,
als
es $f(z)$ ist.
%%-----File: 053.png-------------------------------

Nun ist
\[
\int_{\mathfrak{K}} \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}\,dz = 0,
\]
denn  $\frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}$ wird innerhalb $\mathfrak{K}$
nicht unendlich, denn $\varphi(z)$ kann
nicht verschwinden und $\varphi'(z)$ nicht unendlich werden.

Um
\[
\int_{\mathfrak{K}} \frac{dz}{z-b}
\]
zu berechnen, setze man
\[
z-b = \varrho e^{i\varphi}
\]
und halte $\varrho$ konstant. Dann ist
\[
\frac{dz}{z-b} = i\,d\varphi,
\]
es wird also
\[
\int_{\mathfrak{K}} \frac{dz}{z-b} = i\int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi i,
\]
und mithin
\[\label{2npii}
\int_{\overfrown{b}} d \log f(z) = -2n\pi i.
\]

Wird $f(z)$ im Punkte $z = a$ null von der $m^\text{ten}$ Ordnung,
ist also
\[
\frac{f(z)}{(z-a)^m} = \varphi(z)
\]
und $\varphi(a) = A$ von Null verschieden, so ist
\[
  \int_{\overfrown{a}} d \log f(z)
= \int_{\overfrown{a}} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz
=m\int_{\overfrown{a}} \frac{dz}{z-a}
+ \int_{\overfrown{a}} \frac{\varphi'(z)\,dz}{\varphi(z)}
\]
oder wie früher
\[
\int_{\overfrown{a}} d \log f(z) = 2m\pi i.
\]

Für den Punkt $z = \infty$ bleiben die Integralwerte gerade
so, wie für $z = b$ oder $z = a$ erhalten.

Ist
\[
\frac{f(z)}{z^n} = \varphi(z) \text{ und } \varphi(\infty) = \Omega
\]
von Null und Unendlich verschieden, d.~h.\ wird $f(z)$ für
$z = \infty$ unendlich von der $n^\text{ten}$ Ordnung, so ist
%%-----File: 054.png-------------------------------
\[
\log f(z) = + n \log z + \log \varphi(z)
\]
und daher
\[
\int_\infty d \log f(z) = \int_{\overfrown{\infty}} \frac{dz}{z} +
\int_\infty \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}\,dz.
\]
Nun soll $\varphi(z)$ für sehr grosse Werte von $z$ von Null verschieden
sein, also ist
\[
\int_{\overfrown{\infty}} \frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}\,dz = 0.
\]
\begin{wrapfigure}{r}{3.7cm}
\includegraphics*[width=3.7cm,height=3.6cm]{images/fig15}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Setzen wir nun $z = Re^{i\varphi}$, wo $R$ sehr gross ist, so wird
\[
\frac{dz}{z} = i\,d\varphi.
\]
Also
\[
\int_{\overfrown{\infty}} d\log f(z) = ni\int_{\overfrown{\infty}}
\,d\varphi.
\]

Wenn wir aber (Fig.~15) längs des Kreises $\mathfrak{A}$ mit dem
Radius $R$
von $0$ bis $2\pi$ integriren, so haben
wir einen Integrationsweg gewählt,
bei welchem der Punkt
$z=\infty$ rechts liegt. Wir müssen
also von $2\pi$ bis $0$ integriren,
damit der Punkt $z = \infty$ links
liegt und daher ist
\[
\int_{\overfrown{\infty}} d\log f(z) = ni\int_{2\pi}^0 d\varphi =
-2n\pi i.
\]
Ebenso wird, wenn für grosse
Werte von $|z|$ $z^m f(z) = \psi(z)$
ist, so dass $\psi(\infty) = A$ von Null und Unendlich verschieden
ist, $f(z)$ also für $z = \infty$ von der $m^\text{ten}$ Ordnung null ist,
\[
\int_\infty d\log f(z) = 2m\pi i.
\]
Fasst man das Unendlichwerden von $f(z)$ als ein Nullwerden
mit \textit{negativem} Exponenten auf, so sagen die beiden Gleichungen
aus, dass $\int d \log f(z)$ um einen Punkt herum genommen,
in welchem $f(z)$ null von der $n^\text{ten}$ Ordnung ist, gleich
$2n\pi i$ ist. [Wird $f(z)$ in dem Punkte von der $n^\text{ten}$ Ordnung
unendlich, so hat man nur $-n$ an Stelle von $n$ zu setzen.]
%%-----File: 055.png-------------------------------

\begin{wrapfigure}[11]{r}{3.9cm}
\includegraphics*[width=3.9cm,height=3.2cm]{images/fig16}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Es werde nun die innerhalb $\mathfrak{A}$ (Fig.~16) \emph{eindeutige}
Funktion $f(z)$ in den Punkten
\[
  z = a_1, a_2, \dotsc a_\mu
\]
null von den Ordnungen
\[
  m_1, m_2, \dotsc m_\mu
\]
und in den Punkten
\[
  z = b_1, b_2 \dotsc b_\nu
\]
unendlich von den Ordnungen $n_1, n_2, \dotsc n_\nu$, wo
$m_1 \dotsc m_\mu$,
$n_1 \dotsc n_\nu$ positive ganze Zahlen bedeuten, wobei $\mu$ und $\nu$
endliche Zahlen sein müssen, und betrachten wir
\[
  \int_{\mathfrak{A}} d\log f(z)
= \int_{\mathfrak{A}} \frac{f'(z)}{f(z)} \,dz
\]
in der Richtung des Pfeiles genommen, so dass also die Unstetigkeitspunkte
links liegen. Diese sind die Punkte, für
welche $f(z) = 0$ oder $= \infty$ wird, d.~h.\ die Punkte
\[
  a_1, a_2, \dotsc a_\mu; \quad b_1, b_2, \dotsc b_\nu
\]
und mithin ist nach S.~\pageref{p25}, da
\[
  \frac{d\log f(z)}{dz} = \frac{f'(z)}{f(z)}
\]
innerhalb $\mathfrak{A}$ eindeutig ist:
\[
  \int_{\mathfrak{A}} d\log f(z)
= \sum_{h=1}^\mu \int_{\overfrown{a_h}} d\log f(z)
+ \sum_{x=1}^\nu \int_{\overfrown{b_x}} d\log f(z)
\]
Nun ist
\begin{gather*}\label{satz13}
  \int_{\overfrown{a_h}} d\log f(z) = 2m_h \pi i  \\
  \int_{\overfrown{b_\varkappa}} d\log f(z) =-2n_\varkappa \pi i ,
\end{gather*}
daher
\[
  \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak{A}} d\log f(z)
= \sum_{h=1}^\mu m_h + \sum_{\varkappa=1}^\nu n_\varkappa
\]

%[*TN: Hack to improve wrapfigure placement]
\noindent Nehmen wir beispielsweise eine rationale Funktion $R(z)$,
welche für $z = z_0$ einen endlichen von Null verschiedenen
Wert hat und nehmen als $\mathfrak{A}$ einen
\begin{wrapfigure}{r}{3.2cm}
\includegraphics*[width=3.2cm,height=3.2cm]{images/fig17}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Kreis um $z_0$ an (Fig.~17),
%%-----File: 056.png-------------------------------
der keinen Punkt einschliesst, für den
$R(z) =\left\{ {\zeroverinfty} \right.$
wäre, dann ist
\[
  \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak{A}} d\log f(z)
= \sum_{h=1}^\mu m_h
- \sum_{\varkappa=1}^\nu n_\varkappa
\]
das Integral in der Richtung des Pfeiles genommen,
da alle Null- und Unendlichkeitspunkte
von $R(z)$ ausserhalb $\mathfrak{A}$ liegen, also
links vom Integrationswege. Nun ist aber
\[
   \int_{\mathfrak{A}}  d\log R(z)
= -\int_{\overfrown{z_0}} d\log R(z) = 0,
\]
da das zweite Integral so zu erstrecken ist, dass der Punkt
$z_0$ links liegen bleibt, daher ist
\[
  \sum_{1}^\mu m_h
- \sum_{1}^\nu n_\varkappa = 0,
\]
oder die \emph{rationale Funktion wird eben so oft null als unendlich}.
Hierbei zählt ein $n$-facher Null- oder Unendlichkeitspunkt
als $n$ einfache Null- oder Unendlichkeitspunkte.

Ist
\[
  R(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0
\]
eine \emph{ganze rationale Funktion}, welche also nur für $z = \infty$
von der $n^{\text{ten}}$ Ordnung unendlich wird, und setzen wir voraus,
dass sie in jedem der Punkte $z_1, z_2, \dotsc z_m$ blos von der ersten
Ordnung verschwindet, so muss
\[
  \sum_{\varkappa=1}^m 1 = n
\]
sein, oder
\[
  m = n,
\]
d.~h.\ $R(z) = 0$ liefert genau $n$ Werte $z_1, z_2, \dotsc z_n$, welche
diese Gleichung befriedigen oder \emph{eine algebraische Gleichung
$n^{\mathrm{ten}}$ Grades hat $n$ Wurzeln}. Es ist dann
\[
  R(z) = a_n (z-z_1) (z-z_2) \dotsm (z-z_n) ,
\]
denn
\[
  \frac{ R(z) }{ a_n (z-z_1) (z-z_2) \dotsm (z-z_n) } = \varphi(z)
\]
wird für keinen endlichen Wert von $z$ unendlich, da für
%%-----File: 057.png-------------------------------
$z = z_\nu$ $R(z) = (z-z_\nu)\psi(z)$ ist und $\psi(z_\nu) = A_\nu$
von Null
verschieden ist, also ist
\[
\varphi(z_\nu) = \frac{A_\nu}
{
a_n(z_\nu - z_1) \cdots (z_\nu-z_{\nu-1}) (z_\nu+z_{\nu+1}) \cdots
(z_\nu-z_n)
}
\]
endlich. Für $z = \infty$ ist aber $\varphi(\infty)=1$, also ist überhaupt
$\varphi(z)=1$, was obige Behauptung erweist.

Würde $z_1 = z_2 = \cdots = z_\mu$ werden, so würde in der Umgebung
von $z_1$
\[
R(z) = (z - z_1)^\mu (A + A_1 (z - z_1) + \cdots)
\]
sein, d.~h.\ $R(z)$ würde $\mu$-mal verschwinden und $z_1$ heisst
dann eine $\mu$-fache Wurzel von $R(z)$. Es tritt dann in $R(z)$
der Faktor $(z - z_1)$ $\mu$-mal auf.

Sagt man also, eine Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades hat $n$ Wurzeln,
so ist jede $\mu$-fache Wurzel als $\mu$ einfache Wurzeln zu zählen.

\subsection[14.\ Die Summe der logarithmischen Residua drückt sich durch
ein Randintegral aus]{14.} Wir untersuchen nun noch $\int f(z)dz$
um einen Unstetigkeitspunkt
von $f(z)$ herum genommen. Ist $b$ ein Unendlichkeitspunkt
$n^{\text{ter}}$ Ordnung, so ist
\[
f(z) = \frac{A_n}{(z-b)^n} + \frac{A_{n-1}}{(z-b)^{n-1}} + \cdots
+ \frac{A}{z-b} + A_0 + B_1(z-b) + \cdots
\]
Nun ist
\[
J_\nu = \int_{\overfrown{b}} \frac{dz}{(z - b)^\nu} = 0,
\]
sobald $\nu$ von $+1$ verschieden ist. Denn setzt man
\begin{align*}
  & z - b = \varrho e^{i\varphi}  \\
  & dz = i\varrho e^{i\varphi}\; d\varphi,
\end{align*}
so ist
\[
J_\nu = i\varrho^{1-\nu} \int_0^{2\pi} e^{i(1-\nu)\varphi}d\varphi =
  \frac{\varrho^{1-\nu}}{1-\nu}\bigl[e^{i(1-\nu)2\pi} - 1\bigr] = 0
\]
für alle positiven oder negativen ganzen Zahlen $\nu$ mit Ausnahme
$\nu = 1$. Hingegen ist
\[
J_1 = \int_{\overfrown{b}} \frac{dz}{z-b} = i\int_0^{2\pi}d\varphi =
2\pi i.
\]
%%-----File: 058.png-------------------------------
Also ist
\[\label{unendl}
\begin{split}
\int_{\overfrown{b}}f(z)dz = A_n\int_{\overfrown{b}}\frac{dz}{(z-b)^n}
+ \cdots\\
+ A\int_{\overfrown{b}}\frac{dz}{z-b} + A_0\int_{\overfrown{b}}dz +
B_1\int_{\overfrown{b}}(z-b)\,dz + \cdots = 2\pi iA,
\end{split}
\]
da alle übrigen Integrale verschwinden. Man nennt $A$ oder
den Koeffizienten von $(z-b)^{-1}$ in der Entwicklung der eindeutigen
Funktion $f(z)$ in der Umgebung des Punktes $b$ das
\textit{logarithmische Residuum} des Punktes $b$ und zwar deshalb,
weil in
\[
\int f(z)\,dz = C - \frac{\frac{1}{n-1}A_n}{(z-b)^{n-1}} + \cdots +
A\log(z-b) + A_0z + \cdots,
\]
wo $C$ die Integrationskonstante bedeutet, $A$ der Koeffizient
des logarithmischen Gliedes ist, welches in der Entwicklung
des Integrals auftritt.

Da nun der Logarithmus, wie wir gleich sehen werden,
in der Umgebung eines Punktes, für welchen das Argument
verschwindet oder unendlich wird, nicht eindeutig ist, so verdankt
$\int f(z)dz$ in der Umgebung des Punktes $b$ seine Vieldeutigkeit
nur dem logarithmischen Gliede. Fehlt dieses
Glied, d.~h.\ ist $A = 0$, dann wird
\[
\int_{\overfrown{b}}f(z)\,dz = 0
\]
und das Integral ist dann auch in der Umgebung eines Unstetigkeitspunktes
eine undeutige Funktion.

Ist $b$ der unendlich ferne Punkt, so ist
\[
f(z) = a_nz^n + a_{n-1}z + \cdots + a_0 + \frac{B}{z} + \frac{B_1}{z^2}
+ \cdots
\]

Es ist aber
\[
J_\nu = \int_{\overfrown{\infty}}z^\nu \,dz = 0,
\quad \text{$\nu$ nicht $= -1$,}
\]
denn setzt man
\begin{eqnarray*}
z &=& Re^{i\varphi}\\
dz &=& Rie^{i\varphi}d\varphi,
\end{eqnarray*}
so ist\footnote
%%-----File: 059.png-------------------------------
  {Da $\int_{\overfrown{\infty}} z^\nu dz$ so zu nehmen ist,
  dass der Punkt $z = \infty$ links
  liegt, also $\varphi$ sich von $2\pi$ bis $0$ ändert.}%
\[
J_\nu
= -iR^{\nu+1} \int_0^{2\pi} e^{i(\nu+1)\varphi} \,d\varphi
= -\frac{R^{\nu+1}}{\nu+1}
\bigl[e^{i(\nu+1)\varphi}-1\bigr]_{\varphi=2\pi}
= 0,
\]
sobald $\nu$ nicht gleich $-1$ ist. Es ist aber
\[
J_{-1} = \int_{\overfrown{\infty}} \frac{dz}{z}
= i\int_{2\pi}^{0} d\varphi = -2\pi i
\]
und daher
\[\label{satz14}
\int_{\overfrown{\infty}}f(z)dz = -2\pi iB,
\]
wo $B$ wieder Koeffizient des Gliedes $\frac{1}{z}$ ist.

Bezeichnet man das logarithmische Residuum des Punktes
$b$ oder den Koeffizienten von $(z-b)^{-1}$ in der Entwicklung
von $f(z)$ nach Potenzen von $z-b$ mit
\[
[f(z)]_{(z-b)^{-1}},
\]
so kann man
\[
\int_{\overfrown{b}} f(z)\,dz = 2\pi i\,[f(z)]_{(z-b)^{-1}}
\]
und
\[
\int_{\overfrown{\infty}} f(z)\,dz = -2\pi i\,[f(z)]_{z^{-1}}
\]
setzen.

\begin{wrapfigure}[18]{r}{3.9cm}
\includegraphics*[width=3.5cm,height=3.2cm]{images/fig18}
\caption{\hskip1pt }
\medskip
\includegraphics*[width=3.9cm,height=3.9cm]{images/fig19}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Ist nun $f(z)$ innerhalb $\mathfrak{A}$ (Fig.~18) eindeutig und nur
in den Punkten $b_1$, $b_2$, $\dotsc$ $b_\nu$ unendlich, so
ist, wenn innerhalb $\mathfrak{A}$ der Punkt $z = \infty$
nicht liegt
\[
\int_{\mathfrak{A}} f(z)\,dz = \sum_h \int_{\overfrown{b_h}} f(z)\,dz,
\]
also
\[
\int_{\mathfrak{A}} f(z)\,dz = 2\pi i\sum_h [f(z)]_{(z-b_h)^{-1}}.
\]
Ist aber $\mathfrak{A}$ derartig beschaffen, dass der Punkt
$z=\infty$ darin liegt, wie z.~B.\ in der Fläche,
die $\mathfrak{K}$ ausschliesst, welche also links liegt,
wenn $\mathfrak{K}$ (Fig.~19) in der Richtung des Pfeiles
durchlaufen wird, und liegen $b_1, b_2, \dotsc b_\nu$ auch
links, so ist
%%-----File: 060.png-------------------------------
\begin{align*}\label{satz14}
  \int_{\mathfrak{K}} f(z)\,dz
&=\sum_h \int_{\overfrown{b_h}} f(z)\,dz + \int_\infty f(z)\,dz
\\
&=2\pi i \sum_h \,[f(z)]_{(z-b_h)^{-1}} - 2\pi i \,[f(z)]_{z^{-1}} .
\end{align*}

Ist beispielsweise $R(z)$ eine rationale Funktion, welche
für $z = z_0$ endlich ist und $\mathfrak{K}$ ein den Punkt $z_0$
so umgebender
Kreis, dass innerhalb desselben keiner der Unendlichkeitspunkte
von $R(z)$ liegt, so ist
\[
  -\int_{\mathfrak{K}} R(z)\,dz = 0,
\]
\enlargethispage{36pt}%[** TN: Tall footnote is breaking badly]
also
\[
  [R(z)]_{z^{-1}} = \sum_h \,[R(z)]_{(z-b_h)^{-1}} .
\]
Hieraus kann ebenfalls die Partialbruchzerlegung der rationalen
Funktion abgeleitet werden.\footnote
  {Man braucht, wenn $R(z)$ die vorgelegte rationale Funktion
  ist, den eben bewiesenen Satz auf $\frac{R(z)}{x-z}$ anzuwenden, wo $x$ irgend
  ein Wert von $z$ ist, für den $R(z)$ endlich und von Null verschieden
  ist. Nehmen wir der Einfachheit halber $R(\infty) = 0$, also die Funktion
  als echt gebrochen an, so wird, wenn $R(z) = \infty$ ist, für $z = b_1, b_2, \dotsm b_m$
  von den Ordnungen $n_1, n_2, \dotsm n_m$, $\frac{R(z)}{x-z}$ genau für dieselben Werte
  unendlich und noch für $z = x$, also ist
  \[
  \left[ \frac{R(z)}{x-z} \right]_{(z-x  )^{-1}}
  + \sum_{i=1}^m
  \left[ \frac{R(z)}{x-z} \right]_{(z-b_i)^{-1}} = 0 ,
  \]
  oder da
  \[
  \left[ \frac{R(z)}{x-z} \right]_{(z-x)^{-1}} = -R(x)
  \]
  ist,
  \[
  R(x) = \sum_{i=1}^m \left[ \frac{R(z)}{x-z} \right]_{(z-b_i)^{-1}}
  \]
  Nun ist für die Umgebung von $b_i$
  \[
  R(z) = \frac{A_1^{(i)}}{z-b_i} + \frac{A_2^{(i)}}{(z-b_i)^2} +\dotsb
  \frac{A_{n_i}^{(i)}}{(z-b_i)^{n_i}} + B_0 + B_1(z-b_i) + \dotsb
  \]
  und
  \[
  \frac{1}{x-z} = \frac{1}{x-b} + \frac{z-b_i}{(x-b_i)^2} + \dotsb
  \frac{(z-b_i)^{n_i-1}}{(x-b_i)^{n_i}} + \dotsb ,
  \]
  also
  \[
  \left[\frac{R(z)}{x-z}\right]_{(z-b_i)^{-1}}
  = \frac{A_1^{(i)}}{ x-b_i   } +
  \frac{A_2^{(i)}}{(x-b_i)^2} + \cdots
  + \frac{A_{n_i}^{(i)}}{(x-b_i)^{n_i}}
  \]
  und daher
  \[
  R(x) = \sum_{i=1}^m \left[
    \frac{A_1^{(i)}}{ x-b_i   } +
    \frac{A_2^{(i)}}{(x-b_i)^2} + \cdots +
    \frac{A_n^{(i)}}{(x-b_i)^{n_i}} \right],
  \]
  was mit der in 12 S.~\pageref{pbz} erhaltenen Formel übereinstimmt.}
%%-----File: 061.png-------------------------------

\subsection[15.\ Der Logarithmus einer komplexen Grösse]{15.}
Ich untersuche nun das Verhalten von
\[
w = \int_1^z\frac{dz}{z} = \log z.
\]
Das Integral ist in der Umgebung eines jeden von $0$ und $\infty$
verschiedenen Punktes eindeutig. Ist aber $z$ in die Nähe
von $0$ gerückt, so ist, da
\[
\int_{\overfrown{0}}\frac{dz}{z} = 2\pi i
\]
sich ergiebt, $w$ nicht mehr eindeutig. Es ändert sich das
Integral beim Umkreisen des Punktes $0$ um $2\pi i$, wenn das
Umkreisen derart stattfindet, dass der Punkt $0$ links liegen
bleibt, und um $-2\pi i$, wenn der Punkt $0$ rechts liegen bleibt.

Es ist ferner
\[
\int_{\overfrown{\infty}}\frac{dz}{z} = -2\pi i
\]
es ändert also $w$ seinen Wert um $-2\pi i$, wenn der Punkt
$z$ den Punkt $\infty$ so umkreist, dass dieser links liegen bleibt.
Ist also $w_1$ der Wert von $w$ für $z = z_1$, so ist $w = w_1 + 2m\pi i$
der Wert von $w$, welchen es überhaupt für $z = z_1$ annehmen
kann, wenn $m$ eine beliebige ganze $+$ oder $-$ Zahl bedeutet,
die davon abhängt, wie oft man mit $z$ den Punkt $0$ oder $\infty$
umkreist, bevor man in $z_1$ anlangt. Denn dass der Unterschied
der Werte überhaupt nur eine Konstante sein kann,
ersieht man daraus, dass $\frac{dw}{dz}=\frac{1}{z}$ eine eindeutige
Funktion ist.

$w$ ist also eine unendlich vieldeutige Funktion von $z$
und zwar kann
\[
w = \log z
\]
%%-----File: 062.png-------------------------------
für reelle Werte von $z$ reell genommen werden, sobald $z$ die
reelle Achse von $z = 1$ bis $z = x$ durchläuft, also%
\footnote{Unter $\smallintv_{z_0}^zf(z)\,dz$ soll das Integral auf dem
gradlinigen Wege
von $z_0$ nach $z$ verstanden werden.}
\[
w = \intv_1^x\frac{dz}{z} = \log x
\]
wird, so ist $w$ reell. Wir ersehen aber, dass der $\log x$ noch
unendlich viele komplexe Werte besitzt, welche in $\log x + 2m\pi i$
enthalten sind. Nun ist auch $z = f(w)$ eine Funktion der
komplexen Grösse $w = u + iv$ und zwar ist
\[
z = e^w.
\]

Wir sehen also, dass $z$ eine \emph{eindeutige} Funktion von $w$
ist, denn $z$ besitzt die Periode $2\pi i$, da $e^{2\pi i} = 1$ ist,
so wird
\[
z = e^{w+2m\pi i} = e^w.
\]

Die eindeutige Funktion $e^w$ wird für keinen endlichen
Wert von $y$ null oder unendlich, für $w=\infty$ wird sie aber
in einer ganz eigenthümlichen Art unendlich gross. Man
kann keine endliche ganze Zahl finden derart, dass
\[
\left[ \frac{1}{w^n} e^w \right]_{w=\infty}
\]
einen endlichen Wert erlangt. Man nennt einen Punkt von
der Beschaffenheit, wie der Punkt $w = \infty$ für $e^w$ ist, einen
\emph{wesentlich singulären Punkt} der Funktion $e^w$.

Es lässt sich leicht zeigen, dass $e^w$ in der Umgebung
des wesentlich singulären Punktes jeden Wert unendlich oft
annimmt. Um die Umgebung besser zu übersehen, betrachten
wir $e^{\frac{1}{w}}$, für welche Funktion $w=0$ der wesentlich
singuläre Punkt ist. Es sei
\[
A = e^\alpha e^{i\beta}
\]
der beliebig gegebene Wert, wo also $\alpha$ und $\beta$ reelle Grössen
sind. Setzen wir $w = \varrho (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, so muss
\[
e^\alpha e^{i\beta}
= e^{  \frac{\cos \varphi}{\varrho}}
  e^{-i\frac{\sin \varphi}{\varrho}}
\]
sein, also
%%-----File: 063.png-------------------------------
\begin{align*}
\alpha &= \frac{\cos\varphi}{\varrho}\\
2n\pi - \beta &= \frac{\sin\varphi}{\varrho},\\
\intertext{d.~h.}
\tg\varphi &= \frac{2n\pi-\beta}{\alpha},\\
\varrho^2 &= \frac{1}{\alpha^2 + (2n\pi-\beta)^2}.
\end{align*}

Aus diesen Gleichungen bestimmen sich also $\varphi$ und $\varrho$,
sobald $\alpha$ und $\beta$ gegeben sind. Da aber in beiden die
willkürliche
Zahl $n$ enthalten ist, so ersieht man, dass $\varrho$ und $\varphi$,
also auch $w$ unendlich viele Werte annehmen können, für
welche immer $e^{\frac{1}{w}} = A$ wird.

Hierbei wird, wenn $n$ sehr gross ist, $\varrho$ unendlich klein,
also $w$ in der Umgebung von $0$ sich befinden.

So wird für
\[
\alpha = -\infty,\quad \varrho = 0,\quad \varphi = \pi,\quad A = 0,
\]
d.~h.\ nähert man sich dem Punkte $w = 0$ von der Seite der
negativen reellen Zahlen, so wird $e^{\frac{1}{w}} = 0$. Ist aber $\alpha
= +\infty$,
so ist $\varrho = 0$, $\varphi = 0$, $e^{\frac{1}{w}} = \infty$, d.~h.\
nähert man sich dem
Punkte $w = 0$ von der Seite der $+$ reellen Zahlen, so ist
$e^{\frac{1}{w}} = \infty$. Nähert man sich dem Punkte $w = 0$ von der
Seite der positiven rein imaginären Zahlen, ist also $\varphi =
\frac{\pi}{2}$,
so ist
\[
\tg\varphi = \infty,\; \alpha = 0,\; \varrho = \frac{1}{2n\pi-\beta}.
\]
Setzt man $n = 0$, so ist $\varrho = -\frac{1}{\beta}$. Es wird also für
$\varrho = 0$
\[
e^{\frac{1}{w}} = A = e^{i\beta} = \cos\beta + i\sin\beta =
  \cos\frac{1}{\varrho} - i\sin\frac{1}{\varrho}
\]
vollständig unbestimmt.

\subsection[16.\ Bedingung, dass $\int_{z_0}^zR(z)\,dz$ eine
rationale Funktion sei]{16.} Ist
\[
w = \int_{z_0}^z R(z)dz
\]
%%-----File: 064.png-------------------------------
und $R(z)$ eine \textit{rationale} Funktion von $z$, so wird $w$, als
Funktion der oberen Grenze $z$ aufgefasst, in der Umgebung eines
jeden Punktes, für den $R(z)$ endlich ist, eine eindeutige
Funktion von $z$ sein.

Wird aber $R(z)$ für $z = b$ unendlich, so dass
\[
\begin{split}
R(z) = \frac{A_n}{(z-b)^n} + \frac{A_{n-1}}{(z-b)^{n-1}}
  + \cdots \frac{A_2}{(z-b)^2} + \frac{A_1}{z-b}  \\
  + B_0 + B_1(z-b) + \cdots
\end{split}
\]
ist, so wird
\[
\begin{split}
w = C - \frac{1}{n-1} \frac{A_n}{(z-b)^{n-1}}
      - \frac{1}{n-2} \frac{A_{n-1}}{(z-b)^{n-2}} - \cdots
      - \frac{A_2}{z-b}  \\
   + A_1\lg(z-b) + B_0(z-b) + \frac{1}{2}B_1(z-b)^2 + \cdots
\end{split}
\]
wo $C$ eine endliche Konstante bedeutet.

Umkreist nun $z$ ohne aus der Umgebung von $b$ herauszutreten
den Punkt~$b$, so wird sich der $\log(z-b)$ um $2\pi i$
ändern, also $w$ um $2\pi iA_1$ und $w$ kann daher nur eindeutig
sein, wenn $A_1 = 0$ ist.

Wird die rationale Funktion $R(z)$ \textit{unendlich} für $b_1$, $b_2,
\dotsc b_m$,
\textit{aber so, dass jeder Koeffizient $A_h$ von $(z-b_h)^{-1}$ in
der Entwicklung
von $R(z)$ nach Potenzen von $(z-b_h)$ verschwindet}
und für den Punkt $z = \infty$ in der Entwicklung der Koeffizient
von $z^{-1}$ daher null ist (Satz~14, S.~\pageref{satz14}),
\textit{dann wird $w$
für alle Werte von $z$ eine eindeutige Funktion sein, die in den
Punkten $b_1 \dotsc b_m$, $\infty$, nur von einer \Emphasis{endlichen
ganzzahligen}
Ordnung unendlich} wird, und muss daher auch für eine endliche
Anzahl von Werten verschwinden, d.~h.\ \textit{sie ist eine
\Emphasis{rationale} Funktion von $z$.}
\fivestar
%%-----File: 065.png-------------------------------
\clearpage
\thispagestyle{empty}
{\begingroup%
\centering
\vspace*{0.14\textheight}
{\Huge I. Theil}\\[1\baselineskip]
\rule{.2\textwidth}{.2pt}\\[2\baselineskip]
{\Large Doppeltperiodische Funktionen.}\\[\baselineskip]
\vfill
\endgroup}
\addcontentsline{toc}{part}{I. Theil}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Doppeltperiodische Funktionen}
\clearpage
%%-----File: 066.png-------------------------------
%%[Blank Page]
%%-----File: 067.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[I. Doppeltperiodische Funktionen im
Allgemeinen.]{I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen.}

\subsection[1. Primitive Perioden]{1.} Die allgemeine \textit{eindeutige}
doppeltperiodische Funktion
$F(u)$ genügt den beiden Gleichungen
\begin{eqnarray*}
F(u + \Omega)\, &=& F(u)\\
F(u + \Omega')  &=& F(u),
\end{eqnarray*}
d.~h.\ der Wert der Funktion bleibt ungeändert, wenn man
zu dem Argumente~$u$ die konstante Grösse $\Omega$ oder $\Omega'$ addirt.
$\Omega$, $\Omega'$ heissen die \textit{Perioden}. Es ist ohne weiteres
klar,
dass auch
\[
F(u + m\Omega + m'\Omega') = F(u)
\]
sein wird, wenn $m$ und $m'$ beliebige ganze positive oder
negative Zahlen bedeuten, denn da sich $F(u)$ nicht ändert
bei Addition von $\Omega$ oder $\Omega'$ zum Argument, so kann es sich
bei Subtraktion dieser Grössen vom Argumente auch nicht
ändern und ebensowenig bei wiederholter Addition oder Subtraktion.

Es besitzt also $F(u)$ nicht blos zwei Perioden, sondern
unendlich viele, aber alle übrigen Perioden sind ganzzahlige
Vielfache der beiden ersten Perioden $\Omega$ und $\Omega'$.

Die Perioden, aus denen sich alle übrigen als ganzzahlige
Vielfache ableiten lassen, heissen \textit{primitive Perioden}.

$\Omega$, $\Omega'$ sind primitive Perioden. Es giebt aber auch unendlich
viele primitive Perioden.

Denn setzt man
\[
\begin{array}{rcrl}
 m \Omega &+&  m' \Omega' &= \omega\\
\mu\Omega &+& \mu'\Omega' &= \omega'
\end{array}
\]
und bestimmt $\mu$, $\mu'$ so, dass, wenn $m$, $m'$ keinen
gemeinschaftlichen
Faktor haben,
%%-----File: 068.png-------------------------------
\[
m\mu' - m'\mu = 1
\]
ist, so folgt
\[
\begin{array}{ccrlcl}
\Omega  &=&    \mu'&\omega &-& m'\omega'\\
\Omega' &=& -  \mu &\omega &+& m \omega',
\end{array}
\]
d.~h.\ $\Omega$, $\Omega'$ sind ganzzahlige Vielfache von $\omega$,
$\omega'$ und daher
lassen sich alle Perioden, die ganzzahlige Vielfache von $\Omega$,
$\Omega'$
sind, auch als ganzzahlige Vielfache von $\omega$, $\omega'$ darstellen
oder
$\omega$, $\omega'$ sind \textit{primitive} Perioden.

\subsection[2.\ Beschaffenheit der Perioden einer
doppeltperiodischen Funktion]{2.} Damit eine doppeltperiodische
Funktion möglich ist,
welche die Perioden~$\Omega$, $\Omega'$ besitzt, \textit{darf der
Quotient~$\frac{\Omega}{\Omega'}$ nicht
reell sein}. Denn wäre erstens $\frac{\Omega}{\Omega'} = \frac{m}{n}$,
wo $m$ und $n$ ganze
rationale Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler sind, so bestimme
man zwei ganze Zahlen $\mu$ und $\nu$ so, dass
\[
m\nu + n\mu = 1
\]
ist und setze
\[
\begin{array}{rcrl}
\nu\Omega &+& \mu\Omega' &= \delta\\
  n\Omega &-&   m\Omega' &= 0,
\end{array}
\]
dann ist $\delta$ eine Periode und es folgt
\[
\begin{array}{cl}
\Omega  &= m\delta\\
\Omega' &= n\delta,
\end{array}
\]
d.~h.\ $\Omega$ und $\Omega'$ sind ganzzahlige Vielfache der einen
Periode $\delta$,
es ist also die Funktion, welche die Perioden $\Omega$, $\Omega'$ besitzt,
nur einfach periodisch und hat die Periode $\delta$.

Wäre zweitens $\frac{\Omega}{\Omega'}$ irrational, so kann man einen
Kettenbruch
bilden, der diesen Quotienten mit beliebiger Annäherung
darstellt. Ist $\frac{Z_n}{N_n}$ der $n^\text{te}$ Näherungswert, so wird
\[
\frac{\Omega}{\Omega'} - \frac{Z_n}{N_n} = \pm\frac{\varepsilon}{N_n^2}
\]
und $\varepsilon < 1$ sein, oder
\[
N_n\Omega - Z_n\Omega' = \pm\frac{\varepsilon\Omega'}{N_n}
\]
ist auch eine Periode. Da aber $N_n$ über alle Grenzen wächst,
so wird die Periode $N_n\Omega = Z_n\Omega'$ unendlich klein, d.~h.\ die
Funktion bleibt unverändert, wenn man das Argument um
unendlich wenig ändert, solche Funktionen wollen wir aber
%%-----File: 069.png-------------------------------
ausschliessen. Ist die Funktion eine Funktion des komplexen
Arguments $u = x + iy$, so muss sie eine Konstante sein, da
sie durch Änderung des Argumentes nicht blos in der Richtung
von $\Omega$, die mit der von $\Omega'$ zusammenfällt, konstant
bleibt, sondern zufolge der Grundeigenschaft der komplexen
Funktion bei der Änderung in jeder Richtung konstant bleiben
muss.%
\footnote{Es lässt sich auch zeigen, worauf hier nicht eingegangen werden
soll, dass eine eindeutige Funktion \emph{einer} Variablen mit mehr
als zwei
von einander unabhängigen Perioden nicht existiren kann. Vergl.
Königsberger, »Theorie der ellipt.\ Funktionen.« I.~Theil.\ S.~363.}

\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\includegraphics*[width=4.8cm,height=4.5cm]{images/fig20}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

\subsection[3.\ Die doppeltperiodische Funktion nimmt alle ihre
Werte in einem Periodenparallelogramme an]{3.}
Es ist also nur möglich, dass
$\frac{\Omega}{\Omega'} = \alpha + i\beta$ ist und $\beta$
von Null verschieden, d.~h.\ dass die Strecken $0\Omega$ und $0\Omega'$,
(Fig.~20), verschiedene Richtungen
haben, es also stets möglich
ist ein Parallelogramm zu
bilden, dessen Seiten $\Omega$ und $\Omega'$
sind.  Dieses Parallelogramm
heisse \emph{Periodenparallelogramm}.

Setzt man an das erste
Periodenparallelogramm an jede
Seite ein zweites, an diese erhaltenen
wieder andere, so erhält
man die ganze Ebene auf
diese Art lückenlos mit solchen Parallelogrammen überdeckt.

Ist $v$ ein beliebiger Punkt der Ebene, so kann man
\[
  v = m\Omega + m'\Omega' + \xi\Omega + \xi'\Omega'
\]
setzen, wo $m$ und $m'$ ganze Zahlen bedeuten und
\[
  0 \leqq \xi \leqq 1;\quad 0 \leqq \xi' \leqq 1
\]
ist, da $v$ notwendig in einem der konstruirten Parallelogramme
liegt. Dann ist aber
\begin{align*}
  F(v) &= f( m\Omega + m'\Omega' + \xi\Omega + \xi'\Omega' )  \\
       &= F( \xi\Omega + \xi'\Omega' ) = F(u),
\end{align*}
wenn $u = \xi\Omega + \xi'\Omega'$ gesetzt wird.

Der Punkt $u$ liegt aber zu Folge der Bedingung
\[
  0 \leqq \xi \leqq 1;\quad 0 \leqq \xi' \leqq 1
\]
%%-----File: 070.png-------------------------------
in dem Periodenparallelogramm, welches an den Anfangspunkt
angelegt ist, und man ersieht aus obiger Gleichung,
\emph{dass die doppeltperiodische Funktion $F(u)$ im ersten
Periodenparallelogramm
schon alle Werte annimmt, die sie überhaupt
annehmen kann}.

Es ist irrelevant, das Periodenparallelogramm geradlinig
anzunehmen. Denken wir uns von $0$ nach $\Omega$ und $0$ nach $\Omega'$
(Fig.~20) irgend eine sich nicht überschneidende Kurve $0t\Omega$
und $0s\Omega'$ gezogen, und die parallelen Seiten hinzu
$\Omega' t' \; \Omega + \Omega'$ und $\Omega s'\; \Omega +\Omega'$
konstruirt, so dass dieselben durch
Verschiebung um $\Omega'$ resp.\ $\Omega$ aus den ersteren hervorgehen,
so wird ein solches Parallelogramm ebenso dazu geeignet sein
die ganze Ebene durch seine kongruenten Reproduktionen
lückenlos zu überdecken; und innerhalb eines derselben nimmt
die doppeltperiodische Funktion $F(u)$ alle ihre Werte bereits an.

\subsection[4.\ Andeutung des Weges, auf dem man zu
doppeltperiodischen Funktionen gelangen kann]{4.}
Bevor wir dazu übergehen, die fundamentalen Eigenschaften
der doppeltperiodischen Funktionen zu entwickeln,
wollen wir spezielle doppeltperiodische Funktionen aufstellen,
damit an der Existenz der Funktionen kein Zweifel obwaltet.

Gesetzt wir hätten eine eindeutige einfach periodische
Funktion mit der Periode $\omega$ gefunden, welche den beiden
Gleichungen genügt:
\begin{align*}
  f(u + \omega ) &= f(u)  \\
  f(u + \omega') &= f(u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}
\end{align*}
und wir bilden die Funktion
\[
  F(u) = \frac{f(u)}{f(u+\frac{1}{2}\omega)} ,
\]
von der wir nachweisen können, dass sie keine Konstante
ist, dann wird
\[
\begin{array}{lcl}
  F(u + \omega )   &=& \hphantom{-}F(u)  \\
  F(u + \omega')   &=& -F(u) , \\
\end{array}
\]
also
\[
  F(u + 2 \omega') = F(u),
\]
d.~h.\ $F(u)$ wird eine doppeltperiodische Funktion mit den
Perioden $\omega, 2\omega'$ sein. Solche Funktionen $f(u)$, wie wir sie
forderten, können wir aber in der That leicht aufstellen. Es sind
das die \emph{Thetafunktionen}, zu denen wir daher übergehen wollen.

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 071.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section{II.\ Theorie der Thetafunktionen.}
\subsection[5.\ Reihenentwicklung der Thetafunktionen]{5.} Ist
\[
f(u) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} A_n e^{2n\frac{u}{\omega}\pi i}
\]
eine konvergente Reihe, so stellt sie eine eindeutige, einfach
periodische Funktion dar.

Denn es ist
\[
f(u+\omega) = f(u),
\]
da
\[
e^{2n\frac{u+\omega}{\omega}\pi i} = e^{2n\frac{u}{\omega}\pi i}e^{2n\pi
i}
  = e^{2n\frac{u}{\omega}\pi i}
\]
ist. Damit die Reihe konvergirt, ist notwendig und hinreichend,
dass die beiden Reihen
\[
\sum_{n=1}^\infty A_n e^{2n\frac{u}{\omega}\pi i}
\]
und
\[
A_0 + \sum_{n=-\infty}^{-1}A_n    e^{ 2n\frac{u}{\omega}\pi i} =
A_0 + \sum_{n= 1}^{ \infty}A_{-n} e^{-2n\frac{u}{\omega}\pi i}
\]
unbedingt konvergiren. Die Reihen konvergiren jedenfalls
gleichmässig und unbedingt, wenn%
\footnote{Vergl. Harnack: Elemente der Differential- und Integralrechnung.
Leipzig~1881. S.~129~ff.}
\begin{align*}
\lim\left| \frac{A_{n+1}}{A_n}e^{2\frac{u}{\omega}\pi i}
\right|_{n=\infty}
& < 1  \tag{A}\\
\intertext{resp.}
\lim\left| \frac{A_{-n+1}}{A_{-n}}e^{-2\frac{u}{\omega}\pi i}
\right|_{n=\infty}
& < 1.
\end{align*}

Wir legen nun $f(u)$ die zweite Bedingung auf, dass
%%-----File: 072.png-------------------------------
\[
f(u + \omega') = e^{-(2 u + \omega') \frac{\pi i}{\omega}} f(u)
\]
wird, und setzen $u$ der Bedingung (A) gemäss gewählt voraus.
Es ist
\[
f(u + \omega') = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} A_n e^{2 n \frac{u}{\omega}
\pi i + 2n \frac{\omega'}{\omega} \pi i}
\]
und
\[
e^{-(2 u + \omega') \frac{\pi i}{\omega}} f(u) =
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} A_n e^{2 (n-1) \frac{u}{\omega} \pi i -
\frac{\omega'}{\omega} \pi i}.
\]

Setzt man in der ersten Reihe $n-1$ an Stelle von $n$,
wodurch die Summationsgrenzen ungeändert bleiben, so muss
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} A_{n-1} e^{2 (n-1) \frac{u}{\omega}
\pi i} \cdot e^{2 (n-1) \frac{\omega'}{\omega} \pi i} =
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} A_n e^{2 (n-1) \frac{u}{\omega} \pi i} \cdot
e^{- \frac{\omega'}{\omega} \pi i}
\]
sein, daher\footnote{Setzt man $e^{2 \frac{n}{\omega}\pi i} = x$, so
ist der angewandte Satz ein bekannter
Satz über Potenzreihen.}
\[
A_{n-1} e^{2 (n-1) \frac{\omega'}{\omega} \pi i} = A_n e^{-
\frac{\omega'}{\omega} \pi i}
\]
oder
\[
A_n = A_{n-1} e^{(2n-1) \frac{\omega'}{\omega} \pi i},
\]
mithin
\[
\begin{array}{ccl}
A_{n-1} & = & A_{n-2} e^{(2n-3) \frac{\omega'}{\omega} \pi i}\\
A_{n-2} & = & A_{n-3} e^{(2n-5) \frac{\omega'}{\omega} \pi i}\\
\vdots & &  \\
A_{2} & = & A_{1} e^{3 \frac{\omega'}{\omega} \pi i}\\
A_{1} & = & A_{0} e^{\frac{\omega'}{\omega} \pi i}.
\end{array}
\]

Multiplizirt man die Gleichungen mit einander, so fällt
rechts und links das Produkt
\[
A_{n-1} A_{n-2} \ldots A_2 A_1
\]
aus, und es folgt%
\footnote{Setzt man $1 + 3 + 5 + \cdots + 2 n - 1 = s$, so ist
$n (2n + 1) = 1+2+3+ \cdots + 2n = s + 2 (1+2+\cdots+n)=s+n(n+1)$,
daher $s=n^2$.}
\[
A_{n}
= A_0 e^{(1+3+\cdots+2n-3+2n-1)\frac{\pi i}{\omega}}
= A_0 e^{n^2 \frac{\omega'}{\omega} \pi i},
\]
%%-----File: 073.png-------------------------------
folglich
\begin{align*}
f(u) &= A_0 \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
              e^{n^2 \frac{\omega'}{\omega} \pi i}
        \cdot e^{2 n \frac{u}{\omega} \pi i}\\
     &= A_0 \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
              e^{(n^2 \omega' + 2 n u)\frac{\pi i}{\omega}} .
\end{align*}

Wie man sich leicht überzeugt, besitzt auch $f(u)$ die
beiden verlangten Eigenschaften. Wir wollen die Bedingung
für die Konvergenz der Reihe aufstellen.

Zu dem Zwecke betrachten wir zuerst die Halbreihe
\[
\sum_{n=1}^{\infty} e^{(n^2 \omega' + 2 n u)\frac{\pi i}{\omega}}
\]
und wenden das Kriterium (A) an, dass die Reihe
\[
\sum_{n=1}^{\infty} v_n
\]
konvergirt, wenn
\[
\lim \left| \frac{v_{n+1}}{v_n} \right|_{n=\infty}
< 1
\]
ist. Nun ist
\[
  \frac{v_{n+1}}{v_n} = e^{[(2n+1)\omega' + 2u] \frac{\pi i}{\omega}}.
\]

Setzen wir
\[
\frac{\omega'}{\omega} = \alpha + i \beta, \quad
\frac{u}{\omega} = \xi + i \eta,
\]
so wissen wir, dass $\beta$ nicht null sein darf, damit wir $\omega$
und $\omega'$ zu Perioden einer doppeltperiodischen Funktion wählen
können. Es wird dann
\begin{align*}
\frac{v_{n+1}}{v_n}
&= e^{(2n+1)(\alpha+i\beta)\pi i + 2(\xi+i\eta)\pi i}\\
&= e^{-(2n+1)\beta \pi - 2 \eta \pi} \cdot
   e^{[(2n+1)\alpha+2\xi]\pi i},
\end{align*}
daher
\[
\left| \frac{v_{n+1}}{v_n} \right| = e^{-(2n+1)\beta\pi - 2\eta\pi}.
\]

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass
\[
\lim \left| \frac{v_{n+1}}{v_n} \right|_{n=\infty}
< 1
\]
%%-----File: 074.png-------------------------------
ist, ist daher
\[
  \beta > 0.
\]

Ist $\beta$ positiv, so wird
\[
  \lim \left\lvert \frac{v_n+1}{v_n} \right\rvert_{n=\infty}
= 0
\]
und die Reihe
\[
  \sum_1^\infty e^{ (n^2\omega' + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
\]
konvergirt für alle endlichen Werte von $u$.

Die zweite Halbreihe
\[
  \sum_{-\infty}^0    e^{ (n^2\omega' + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
= 1 +
  \sum_{-\infty}^{-1} e^{ (n^2\omega' + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
\]
transformiren wir durch die Substitution $n = -m$ in
\[
  1+\sum_{m=1}^\infty e^{ (m^2\omega' - 2mu) \frac{\pi i}{\omega} },
\]
wodurch die Summe dieselbe ist, wie die frühere, nur $-u$
statt $u$ gesetzt. Da aber die frühere Reihe, sobald $\beta > 0$ ist,
für jedes endliche~$u$ konvergirt, so konvergirt sie auch für~$-u$,
d.~h.\ die letzte Reihe konvergirt unter derselben Bedingung.
Wir haben also:

\emph{Die Reihe}
\[
  \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
  e^{ (n^2\omega' + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
\]
\emph{konvergirt unbedingt und gleichmässig für alle endlichen $u$, sobald
der Koeffizient von $i$ in $\frac{\omega'}{\omega}$ positiv ist.}

Wir setzen
\[
  \vartheta_3(u)
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
  e^{ (n^2\omega' + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
\tag{B}
\]
so ersehen wir, dass $\vartheta_3(u)$ eine eindeutige, für jedes endliche
$u$ endliche Funktion ist, welche die Eigenschaft besitzt, dass
\begin{align*}
  \vartheta_3(u+\omega ) &= \vartheta_3(u)  \\
  \vartheta_3(u+\omega') &= \vartheta_3(u)
  e^{ -(2u+\omega') \frac{\pi i}{\omega} }
\end{align*}
%%-----File: 075.png-------------------------------
ist. Diese Eigenschaften bestimmen, wie wir sehen werden,
die Funktion $\vartheta_3(u)$ bis auf einen konstanten Faktor, indem
die allgemeinste Funktion $f(u)$, welche diese Eigenschaften besitzt,
sich gleich
\[
  A_0 \vartheta_3(u) = f(u)
\]
ergiebt.

\subsection[6.\ Die vier \Person{Jacobi}schen Thetafunktionen]{6.}
Wir wollen aus der Funktion $\vartheta_3(u)$ durch Hinzufügen
von halben Perioden noch drei andere Funktionen ableiten.
Und zwar setzen wir
\begin{align*}
  \vartheta_0(u) = \vartheta_3(u-\tfrac{1}{2}\omega)
&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
   e^{ [n^2\omega' + 2n(u-\frac{1}{2}\omega)] \frac{\pi i}{\omega} }
\\
&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n
   e^{ (n^2\omega' + 2n u) \frac{\pi i}{\omega} }
\end{align*}
\begin{align*}
   \vartheta_2(u)
&= e^{ \frac{1}{2} ( 2u + \frac{1}{2}\omega) \frac{\pi i}{\omega} }
\cdot \vartheta_3(u+\tfrac{1}{2}\omega')
\\
&= e^{ \frac{1}{2} ( 2u + \frac{1}{2}\omega) \frac{\pi i}{\omega} }
   \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
   e^{ (n^2\omega' + n\omega' + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
\\
&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
   e^{ [n^2\omega' + n\omega' + \frac{1}{4}\omega' + (2n+1)u]
       \frac{\pi i}{\omega} }
\\
&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
   e^{ [(n+\frac{1}{2})^2\omega' + 2(n+\frac{1}{2})u]
       \frac{\pi i}{\omega} } ;
\end{align*}
\begin{align*}
  \vartheta_1(u)
&= \vartheta_2(u-\tfrac{1}{2}\omega)
 = e^{ \frac{1}{2}(2u - \omega + \frac{1}{2}\omega')
      \frac{\pi i}{\omega} }
\cdot \vartheta_3(u - \tfrac{1}{2}\omega + \tfrac{1}{2}\omega')
\\
&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
   e^{ [(n+\frac{1}{2})^2 \omega'
       + 2(n+\frac{1}{2}) (u-\frac{1}{2}\omega)]
       \frac{\pi i}{\omega} }
\\
&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^{-(n+\frac{1}{2})}
   e^{ [(n+\frac{1}{2})^2 \omega' + 2(n+\frac{1}{2})u]
       \frac{\pi i}{\omega} }
\\
&= \frac{1}{i} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n
   e^{ [(n+\frac{1}{2})^2 \omega' + 2(n+\frac{1}{2})u]
       \frac{\pi i}{\omega} }
\end{align*}

Mit Rücksicht auf das Verhalten von $\vartheta_3(u)$ gegenüber
den Perioden~$\omega$ und~$\omega'$ erhält man zufolge der
Definitionsgleichungen der $\vartheta_3$-Funktion die Gleichungen:
%%-----File: 076.png-------------------------------
\[
\begin{array}{lll}
  \vartheta_3 (u+\omega) &=
 &\vartheta_3 (u)  \\
  \vartheta_3 (u+\omega')&=
 &\vartheta_3 (u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}
\\[1em]
  \vartheta_0 (u+\omega) &=
 &\vartheta_0 (u)  \\
  \vartheta_0 (u+\omega')&=
-&\vartheta_0 (u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}
\\[1em]
  \vartheta_2 (u+\omega) &=
-&\vartheta_2 (u)  \\
  \vartheta_2 (u+\omega')&=
 &\vartheta_2 (u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}
\\[1em]
  \vartheta_1 (u+\omega) &= -&\vartheta_1 (u)  \\
  \vartheta_1 (u+\omega')&=
-&\vartheta_1 (u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}
\end{array}
\tag{I}\label{periodgl}
\]

Diese Gleichungen sind mit Hilfe der Reihenentwicklungen
der $\vartheta$-Funk\-ti\-o\-nen leicht zu verificiren. Umgekehrt
giebt jedes Paar von Gleichungen als Definitionsgleichungen
der Funktion $\vartheta$ die entsprechende Reihenentwicklung, wenn
der konstante Faktor $A_0 = 1$ gesetzt wird.

\subsection[7.\ Die allgemeine Thetafunktion]{7.} \label{sect7}
Setzt man
\[
\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon') = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}
  e^{\left[
     \left(n + \frac{\varepsilon}{2}\right)^2\omega' +
    2\left(n + \frac{\varepsilon}{2}\right)
     \left(u + \frac{\varepsilon'}{2}\omega\right)
   \right]\frac{\pi i}{\omega}}, \tag{1}
\]
so ist $\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')$ die \textit{allgemeine
Thetafunktion}, welche für spezielle
Werte von~$\varepsilon,\varepsilon'$ in die vier obigen $\vartheta$
übergeht. $\varepsilon,\varepsilon'$
heissen die \textit{Charakteristiken} der $\vartheta$-Funktion.

Es ist
\[
\begin{array}{lrl}
\vartheta(u,0, & 0) &=\vartheta_3(u)\\
\vartheta(u,1, & 0) &=\vartheta_2(u)\\
\vartheta(u,0, &-1) &=\vartheta_0(u)\\
\vartheta(u,1, &-1) &=\vartheta_1(u),
\end{array}
\tag{2}
\]
wie aus der Vergleichung der Reihen ohne weiteres folgt.

Man überzeugt sich, wie bei $\vartheta_3(u)$, dass die Reihe für
$\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')$ konvergirt, sobald nur der
Koeffizient von $i$ in $\frac{\omega'}{\omega}$
positiv ist.

Es ist ferner
\[
\begin{array}{lll}
 \vartheta(u,\varepsilon+2,\varepsilon')&=
 &\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')\\
 \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon'+2)&=(-1)^\varepsilon
 &\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon'),
\end{array}
\tag{3}
\]
denn ändert man $\varepsilon$ um 2 und schreibt $n-1$ an Stelle von $n$,
%%-----File: 077.png-------------------------------
wodurch die $\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')$ nicht geändert wird,
so ersieht man,
dass die erste der Gleichungen richtig ist. Um die zweite
zu verificiren beachte man, dass jeder Exponent von $e$ in (1)
um $(2\pi+\varepsilon)\pi i$ wächst und dass
\[
e^{(2n+\varepsilon)\pi i} = (-1)^\varepsilon
\]
ist. Man kann also alle $\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')$ mit
ganzzahligen Charakteristiken
auf die vier $\vartheta$ zurückführen mit den Charakteristiken
$(\varepsilon,\varepsilon')=(0,0)$, $(0,-1)$, $(1,0)$, $(1,-1)$,
welches genau unsere vier $\vartheta$-Funktionen sind.
Ersetzt man in~$\vartheta (u, \varepsilon, \varepsilon')$ das~$u$ durch
\[
u + \varkappa'\tfrac{\omega}{2} + \varkappa\tfrac{\omega'}{2},
\]
wo $\varkappa$ und $\varkappa'$ ganze Zahlen sein sollen, so wird der
Exponent
von $e$, abgesehen vom Faktor $\frac{\pi i}{\omega}$,
\[
\begin{split}
&\left(n+\tfrac{\varepsilon}{2}\right)^2\omega' +
  2\left(n+\tfrac{\varepsilon}{2}\right)
    \left(u+\varkappa'\tfrac{\omega}{2}+\varkappa\tfrac{\omega'}{2}
    +\varepsilon'\tfrac{\omega}{2}\right)
\\
= &\left(n+\tfrac{\varepsilon+\varkappa}{2}\right)^2\omega' +
  2\left(n+\tfrac{\varepsilon+\varkappa}{2}\right)
   \left(u+\tfrac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}\omega\right)
\\
&-\tfrac{\varkappa^2}{4}\omega' -
\varkappa\left(u+\tfrac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}\omega\right).
\end{split}
\]

Daher ist
\[
\begin{split}
&\vartheta\left(u + \varkappa'\tfrac{\omega}{2} +
\varkappa\tfrac{\omega'}{2}, \varepsilon,\varepsilon'\right)
\\
&= \sum_{-\infty}^{+\infty}
    e^{\left[\left(n+\frac{\varepsilon+\varkappa}{2}\right)^2\omega'
    + 2\left(n+\frac{\varepsilon+\varkappa}{2}\right)
\left(u+\frac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}\omega\right)\right] \frac{\pi
i}{\omega}}
\cdot
    e^{-\varkappa\left(u+\frac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}\omega +
    \frac{\varkappa}{4}\omega'\right)\frac{\pi i}{\omega}},
\end{split}
\]
also
\[\label{f4}
\begin{split}
&\vartheta\left(u + \varkappa'\tfrac{\omega}{2} +
\varkappa\tfrac{\omega'}{2}, \varepsilon,\varepsilon'\right)
\\
&= \vartheta(u, \varepsilon+\varkappa, \varepsilon'+\varkappa')
\cdot e^{-\varkappa\left(u+\frac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}\omega +
\frac{\varkappa}{4}\omega'\right)\frac{\pi i}{\omega}}.
\end{split} \tag{4}
\]

Hieraus folgt für $\varkappa = 0$, $\varkappa' = 2$ resp.\ $\varkappa = 2$, $\varkappa' = 0$,
\begin{align*}
\vartheta(u+\omega\phantom{'},\varepsilon,\varepsilon')
&= (-1)^\varepsilon \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')
\\
\vartheta(u+\omega',\varepsilon,\varepsilon')
&= (-1)^{\varepsilon'} \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')
\cdot e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}},
\tag{II}
\end{align*}
woraus man für die speziellen Werte der Charakteristiken
die vier Paar Definitionsgleichungen (I) für die vier
$\vartheta$-Funktionen
erhält.
%%-----File: 078.png-------------------------------

Es ist ferner
\[
\vartheta(-u,\varepsilon,\varepsilon') = \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{
  \left[ \left(n+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2\omega' +
         2\left(n + \frac{\varepsilon}{2}\right)
\left(-u + \frac{\varepsilon'}{2}\omega\right)
  \right]  \frac{\pi i}{\omega}
}.
\]

Da aber
\[
2\left(n + \tfrac{\varepsilon}{2}\right) \left(-u +
\tfrac{\varepsilon'}{2}\omega\right)
  = -2\left(n + \tfrac{\varepsilon}{2}\right) \left(u +
  \tfrac{\varepsilon'}{2}\omega\right)
  + 2\left(n + \tfrac{\varepsilon}{2}\right)\varepsilon'\omega
\]
ist, so folgt
\[
\vartheta(-u,\varepsilon,\varepsilon') =
  e^{2\left(n+\frac{\varepsilon}{2}\right)\varepsilon'\pi i}
  \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{
  \left[ \left(n+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2\omega' -
         2\left(n + \frac{\varepsilon}{2}\right) \left(u +
         \frac{\varepsilon'}{2}\omega\right)
  \right]  \frac{\pi i}{\omega}
},
\]
also
\[
\vartheta(-u,\varepsilon,\varepsilon') =
  (-1)^{\varepsilon\varepsilon'} \vartheta(-u,\varepsilon,\varepsilon'),
  \tag{5}
\]
da man in der Summe $n$ durch $-(n+\varepsilon)$ ersetzen kann,
sobald $\varepsilon, \varepsilon' \ldots$~$0$ oder~$1$ sind, was
blos die Ordnung der Summation ändert.

Von unseren vier $\vartheta$-Funktionen sind also drei gerade
und nur eine ungerade, denn es ist
\[
\begin{aligned}
 \vartheta_3(-u) &=&    \vartheta_3(u), \quad
 \vartheta_0(-u) &=  \hphantom{-}\vartheta_0(u) \\
 \vartheta_2(-u) &=&    \vartheta_2(u), \quad
 \vartheta_1(-u) &= -\vartheta_1(u). \\
\end{aligned} \tag{6}\label{formel6}
\]

\subsection[8.\ Verwandlungsformeln für die Thetafunktionen]{8.}
Die Formel
\[
\begin{split}
   \vartheta(u, \varepsilon+\varkappa, \varepsilon'+\varkappa)
\\
&= \vartheta\left( u + \varkappa'\tfrac{\omega}{2}
                     + \varkappa \tfrac{\omega}{2},
                   \varepsilon,\varepsilon' \right)
   e^{\varkappa\left( u + \frac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}\omega
                        + \frac{\varkappa}{4}\omega' \right)
      \frac{\pi i}{\omega}}
\\
&= (-1)^{\frac{\varkappa(\varepsilon'+\varkappa')}{2}}
   \vartheta\left( u + \varkappa'\tfrac{\omega}{2}
                     + \varkappa \tfrac{\omega}{2},
                   \varepsilon,\varepsilon' \right)
   e^{\varkappa\left( u + \frac{\varkappa}{4}\omega' \right)
      \frac{\pi i}{\omega}}
\end{split}
\tag{4}
\]
giebt uns die Verwandlungsformeln der vier $\vartheta$-Funktionen
ineinander.

\medskip
a) $\varepsilon = 0$, $\varepsilon' = 0$:
\[
\begin{array}{rcl}
 \vartheta(u,\varkappa,\varkappa')
&=& (-1)^{\frac{\varkappa\varkappa'}{2}}
  \vartheta_3\left( u + \varkappa'\tfrac{\omega}{2}
                      + \varkappa \tfrac{\omega}{2} \right)
  e^{\varkappa\left( u + \frac{\varkappa}{4}\omega' \right)
     \frac{\pi i}{\omega}}\\[0.5em]
\vartheta_0(u)
&=& \vartheta_3\left(u - \tfrac{\omega}{2}\right)
 = \vartheta_3\left(u + \tfrac{\omega}{2}\right)
\\
\vartheta_2(u)
&=& \vartheta_3\left(u + \tfrac{\omega'}{2}\right)
   e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\
\vartheta_1(u)
&=& \tfrac{1}{i}\vartheta_3\left( u - \tfrac{\omega}{2}
                                  + \tfrac{\omega'}{2}\right)
   e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}.
\end{array}
\tag{III}
\]
%%-----File: 079.png-------------------------------

b) $\varepsilon = 0$, $\varepsilon' = -1$:
\[
\begin{array}{rcl}
\vartheta(u,\varkappa,\varkappa'-1)
& =& (-1)^{\frac{\varkappa(\varkappa'-1)}{2}}
\vartheta_0\left(u+\varkappa'\tfrac{\omega}{2}
+\varkappa\tfrac{\omega'}{2}\right)
e^{\varkappa\left(u+\frac{\varkappa}{4}\omega'\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\[0.5em]
\vartheta_3(u) & =& \vartheta_0\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
= \vartheta_0\left(u-\tfrac{\omega}{2}\right)
\\
\vartheta_2(u) & =& \vartheta_0\left(u+\tfrac{\omega}{2}
+\tfrac{\omega'}{2}\right)
e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\
\vartheta_1(u) & =
&\tfrac{1}{i}\vartheta_0\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}.
\end{array}
\tag{IV}\label{formelIV}
\]

c) $\varepsilon = 1$, $\varepsilon' = 0$:
\[
\begin{array}{rcl}
\vartheta(u,1+\varkappa,\varkappa') &
= &(-1)^{\frac{\varkappa\varkappa'}{2}}
\vartheta_2\left(u+\varkappa'\frac{\omega}{2}
+\varkappa\frac{\omega'}{2}\right)
e^{\varkappa\left(u+\frac{\varkappa}{4}\omega'\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\
\vartheta_3(u) & = &\vartheta_2\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)
e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\
\vartheta_0(u) & = &\frac{1}{i}\vartheta_2\left(u-\frac{\omega}{2}
+\frac{\omega'}{2}\right) e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi
i}{\omega}}
\\[0.5em]
\vartheta_1(u) & = &\vartheta_2\left(u-\frac{\omega}{2}\right) =
-\vartheta_2\left(u+\frac{\omega}{2}\right).
\end{array}
\tag{V}
\]

d) $\varepsilon = 1$, $\varepsilon' = -1$:
\[
\begin{array}{rcl}
\vartheta(u,1+\varkappa,\varkappa'+1) &=
&(-1)^{\frac{\varkappa(\varkappa'-1)}{2}}
\vartheta_1\left(u+\varkappa'\frac{\omega}{2}
+\varkappa\frac{\omega'}{2}\right)
e^{\varkappa\left(u+\frac{\varkappa}{4}\omega'\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\
\vartheta_3(u) & =
&\vartheta_1\left(u+\frac{\omega}{2}+\frac{\omega'}{2}\right)
e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\
\vartheta_0(u) & = &\frac{1}{i}\vartheta_1\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)
e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}}
\\[0.5em]
\vartheta_2(u) & = &\vartheta_1\left(u+\frac{\omega}{2}\right) =
-\vartheta_1\left(u-\frac{\omega}{2}\right).
\end{array}
\label{formelVI}\tag{VI}
\]

\subsection[9.\ Reihenentwicklung der Thetafunktionen nach Potenzen von
$q=e^{\frac{\omega'}\omega\pi i}$]{9.}
Die Reihen für die $\vartheta$-Funktionen können noch in
anderer Form dargestellt werden.

Man setze mit Jacobi, dem Begründer der Theorie der
$\vartheta$-Funktionen,
\[
e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i} = q,
\]
so wissen wir, dass $\bmod{q} < 1$ ist, da $\frac{\omega'}{\omega}$
einen positiven
Koeffizienten von $i$ besitzt. Es wird dann
%%-----File: 080.png-------------------------------
\[
\begin{split}
  \vartheta_3(u)
=&\sum_{n=-\infty}^{+\infty}
  e^{ (n^2\omega + 2nu) \frac{\pi i}{\omega} }
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} q^{n^2} e^{ 2n \frac{u}{\omega} \pi i }
\\
=&\sum_{n=-\infty}^{-1} q^{n^2} e^{ 2n \frac{u}{\omega} \pi i } + 1
+ \sum_{n= 1}^{ \infty} q^{n^2} e^{ 2n \frac{u}{\omega} \pi i }
\end{split}
\]

Schreibt man in der ersten Summe $-n$ an Stelle von
$n$, so wird die Summe von $+\infty$ bis $+1$ zu erstrecken sein,
und es wird daher
\[
  \vartheta_3(u) = 1
+ \sum_{n=1}^{ \infty} q^{n^2} e^{-2n \frac{u}{\omega} \pi i }
+ \sum_{n=1}^{ \infty} q^{n^2} e^{ 2n \frac{u}{\omega} \pi i }.
\]

Da die Reihen aber unbedingt konvergiren für alle endlichen
$u$, so kann man die Glieder mit $q^{n^2}$ zusammenfassen
und hat
\[
  \vartheta_3(u) = 1
+ \sum_{n=1}^{ \infty} q^{n^2}
  \left( e^{ 2n \frac{u}{\omega} \pi i }
       + e^{-2n \frac{u}{\omega} \pi i } \right).
\]

Da nun
\[
  e^{x i} + e^{-x i} = 2\cos x
\]
ist, so ergiebt sich $\vartheta_3(u)$ in der Form
\[
  \vartheta_3(u)
= 1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} \cos 2n\tfrac{u}{\omega}\pi.
\]

Ändert man $u$ um $\frac{\omega}{2}$, so erhält man
\[
  \vartheta_3(u)
= 1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2} \cos 2n\tfrac{u}{\omega}\pi,
\]
da $\cos (n\pi + x) = (-1)^n \cos x$ ist.

Es war ferner
\[
\begin{split}
  \vartheta_2(u)
=&\sum_{n=-\infty}^{+\infty}
  e^{ \left[(n+\frac{1}{2})^2\omega' + 2(n+\frac{1}{2})u\right]
     \frac{\pi i}{\omega} }
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} q^{(n+\frac{1}{2})^2}
  e^{ 2(n+\frac{1}{2})u \frac{\pi i}{\omega} }
\\
=&\sum_{n=-\infty}^{-1}  q^{(n+\frac{1}{2})^2}
  e^{ 2(n+\frac{1}{2}) \frac{u}{\omega} \pi i }
+ \sum_{n= 0}^{ \infty}  q^{(n+\frac{1}{2})^2}
  e^{ 2(n+\frac{1}{2}) \frac{u}{\omega} \pi i } .
\end{split}
\]

In der ersten Summe setzen wir für $n$, $-n-1$, wodurch
sie von $+\infty$ bis $0$ für das neue $n$ zu erstrecken ist
und es ist
%%-----File: 081.png-------------------------------
\begin{eqnarray*}
\vartheta_2(u) &=&
    \sum_{n=\infty}^{0} q^{(n+\frac{1}{2})^2}
    e^{-2(n+\frac{1}{2})\frac{u}{\omega}\pi i}
  + \sum_0^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2}
  e^{2(n+\frac{1}{2})\frac{u}{\omega}\pi i}
\\
 &=& \sum_0^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2} \bigl(
         e^{ 2(n+\frac{1}{2})\frac{u}{\omega}\pi i} +
         e^{-2(n+\frac{1}{2})\frac{u}{\omega}\pi i}  \bigr),
\\
\vartheta_2(u) &=& 2\sum_0^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2}
  \cos(2n+1)\tfrac{u}{\omega}\pi
\\
 &=& 2q^{\frac{1}{4}} \sum_0^\infty q^{n(n+1)}
  \cos(2n+1)\tfrac{u}{\omega}\pi,
\end{eqnarray*}
oder, wenn man für $n \ldots\, n-1$ einführt,
\[
\vartheta_2(u) = 2q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=1}^{\infty}
q^{n(n-1)}\cos(2n-1)\tfrac{u}{\omega}\pi.
\]

Ändert man $u$ um $-\frac{\omega}{2}$, so wird
\[
\vartheta_1(u) = 2q^{\frac{1}{4}}
  \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} q^{n(n-1)}
  \sin(2n-1)\tfrac{u}{\omega}\pi,
\]
da
\[
\cos(2n-1) \left( x-\tfrac{\pi}{2} \right) = (-1)^{n-1}\sin(2n-1)x
\]
ist. Fassen wir die vier Formeln zusammen, so ist also
\[
\begin{aligned}
\vartheta_3(u) &= 1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}
 \cos 2n\tfrac{u}{\omega}\pi
\\
\vartheta_0(u) &= 1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}
 \cos 2n\tfrac{u}{\omega}\pi
\\
\vartheta_2(u) &= 2q^{\tfrac{1}{4}} \sum_{n=1}^\infty q^{n(n-1)}
 \cos(2n-1)\tfrac{u}{\omega}\pi
\\
\vartheta_1(u) &= 2q^{\tfrac{1}{4}} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}
q^{n(n-1)} \sin(2n-1)\tfrac{u}{\omega}\pi .
\end{aligned}
\tag{\text{VII}}
\]

Hieraus ersehen wir wie früher, dass
\begin{eqnarray*}
\vartheta_3(-u) =      \vartheta_3(u) \quad
\vartheta_0(-u) = &  & \vartheta_0(u)
\\
\vartheta_2(-u) =      \vartheta_2(u) \quad
\vartheta_1(-u) = & -& \vartheta_1(u)
\end{eqnarray*}
ist, d.~h.\ dass nur die Funktion $\vartheta_1(u)$ ungerade, die übrigen
gerade Funktionen von $u$ sind. Es ist ferner, wenn $\vartheta(0)
= \vartheta$
gesetzt wird,
%%-----File: 082.png-------------------------------
\begin{align*}
\tag{VIII}\label{formVIII}
  \vartheta_3 &= 1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}
= 1 + 2( q + q^4 + q^9 + q^{16} + q^{25} + \dotsb )
\\
  \vartheta_0 &= 1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}
= 1 - 2( q - q^4 + q^9 - q^{16} + \dotsb )
\\
  \vartheta_2 &= 2q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=1}^\infty q^{n(n-1)}
= 2q^{\frac{1}{4}} ( 1 + q^2 + q^6 + q^{12} + q^{20} + \dotsb )
\\
  \vartheta_1 &= 0.
\end{align*}

Diese Reihenentwicklungen für die $\vartheta(u)$ und $\vartheta$ sind
äusserst konvergent, da $\lvert q \rvert < 1$ ist und die Potenzen von
$q$ äusserst rasch wachsen.

\subsection[10.\ Das Verschwinden der Thetafunktionen]{10.}
Wir sahen soeben, dass
\[
  \vartheta_1(u-\alpha) \text{ für } u = \alpha
\]
verschwindet, da aber bei der Addition von $m\omega + m'\omega'$
($m$, $m'$ ganze Zahlen) zum Argument die $\vartheta_1$-Funktion sich
reproduzirt multiplizirt mit einem Exponentialfaktor, so muss
auch
\[
  \vartheta_1(u - \alpha + m\omega + m'\omega') = 0,
\]
sein für $u = \alpha$, d.~h.\ es ist
\[
  \vartheta_1(m\omega + m'\omega') = 0,
\]
wenn $m$ und $m'$ beliebige ganze Zahlen sind. Man ersieht
aber, dass, wenn $\vartheta_1(u-\alpha) = 0$ wäre für $u-\alpha = \beta$,
wo $\beta$
innerhalb des ersten Periodenparallelogramms läge, dass auch
\[
  \vartheta_1(\beta + m\omega + m'\omega') = 0
\]
wäre, d.~h.\ aus jeder Verschwindungsstelle der Funktion
$\vartheta_1(u - \alpha)$ innerhalb des ersten Periodenparallelogrammes
folgen unendlich viele, jede als eine dazu kongruente Stelle
in jedem der unendlich vielen Parallelogramme, die man aus
$\omega$, $\omega'$ konstruirend neben einander legen kann. Können wir
daher nachweisen, dass $\vartheta_1(u - \alpha)$ nur \emph{einmal}
innerhalb des
ersten Parallelogramms, nämlich für $u = \alpha$, \emph{verschwindet}, so
sind alle Nullstellen von $\vartheta_1(u)$ in der Formel
\[
  u = m\omega + m'\omega'
\]
enthalten, wo $m$, $m'$ ganze Zahlen sind.

Wir bemerken, dass $\vartheta_1(u)$ für keinen endlichen Wert $u$
unendlich wird.
%%-----File: 083.png-------------------------------

\begin{wrapfigure}{r}{4.9cm}
\includegraphics*[width=4.7cm,height=4.5cm]{images/fig21}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Nun ist $\int d\log\vartheta_1(u-\alpha)$ genommen längs der Begrenzung
einer Fläche, innerhalb welcher $\vartheta_1(u)$ eindeutig ist,
und die den Punkt $u=\infty$ nicht einschliesst, gleich $2\pi in$,
wenn $n$ die Anzahl der Nullstellen von $\vartheta_1(u-\alpha)$ ist
(vergl.\
Satz~13, S.~\pageref{2npii}),
da $\vartheta_1(u-\alpha)$
nicht unendlich werden kann.

Wir nehmen das Periodenparallelogramm
$0abc$ (Fig.~21),
als die Fläche, längs deren Begrenzung
das Integral zu erstrecken
ist, wobei
\[
0a = \omega = cb,\; 0c = \omega' = ab
\]
ist. Es ist%
\footnote{Unter $\smallintv_{0a}$ das längs der Geraden $0a$ hin
erstreckte Integral verstanden.}
\begin{eqnarray*}
2\pi in &&= \int_{0abc}d\log\vartheta_1(u-\alpha)
\\
\
  &&\begin{aligned}
     =\intv_{0a}d\log\vartheta_1(u-\alpha) +
      \intv_{ab}d\log\vartheta_1(u-\alpha) &+
      \intv_{bc}d\log\vartheta_1(u-\alpha) +\\
    &+\intv_{c0}^0d\log\vartheta_1(u-\alpha)
      \end{aligned}
\\
  &&\begin{aligned}
     =\intv_{0}^{\omega} d\log\vartheta_1(u-\alpha) +
      \intv_{\omega}^{\omega+\omega'} d\log\vartheta_1(u-\alpha) &+
      \intv_{\omega+\omega'}^{\omega'} d\log\vartheta_1(u-\alpha) +\\
    &+\intv_{\omega'}^{0} d\log\vartheta_1(u-\alpha).
    \end{aligned}
\end{eqnarray*}

Im dritten Integral setzen wir $u = u' + \omega'$, da dann
\[
\vartheta_1(u-\alpha) = \vartheta_1(u'-\alpha+\omega') =
  -\vartheta_1(u'-\alpha)e^{-(2u'-2\alpha+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}.
\]
ist, so ist
\begin{gather*}
\log\vartheta_1(u-\alpha) = \log(-1) + \log\vartheta_1(u'-\alpha) -
(2u'-2\alpha+\omega')\frac{\pi i}{\omega}
\\
d\log\vartheta_1(u-\alpha) = d\log\vartheta_1(u'-\alpha) - \frac{2\pi
i}{\omega}du'
\\
\begin{split}
   \intv_{\omega+\omega'}^{\omega'}d\log\vartheta_1(u-\alpha)
&= \intv_{\omega}^{0}d\log\vartheta_1(u'-\alpha)
 - \frac{2\pi i}{\omega} \intv_{\omega}^{0}du'
\\
&= -\intv_{0}^{\omega}d\log\vartheta_1(u'-\alpha)
 + 2\pi i.
\end{split}
\end{gather*}
%%-----File: 084.png-------------------------------

Im zweiten Integral setzen wir $u' + \omega = u$; da dann
\[
  d\log \vartheta_1(u'-\alpha) = d\log\vartheta_1(u-\alpha)
\]
wird, so ist
\[
  \int_\omega^{\omega+\omega'} d\log\vartheta_1(u -\alpha)
= \int_0^{\omega'}             d\log\vartheta_1(u'-\alpha).
\]

Führt man diese Werte der Integrale in obige Gleichung
ein, und ersetzt die Integrationsvariable $u'$ durch $u$, so wird
\begin{align*}
  2\pi in =& \int_{0abc} d\log \vartheta_1 (u-\alpha)
\\
&= \intv_0^{\omega } d\log \vartheta_1 (u-\alpha)
 - \intv_0^{\omega'} d\log \vartheta_1 (u-\alpha)
\\
&- \intv_0^{\omega } d\log \vartheta_1 (u-\alpha) + 2\pi i
 - \intv_0^{\omega'} d\log \vartheta_1 (u-\alpha)
\\
&= 2\pi i,
\end{align*}
d.~h.\ $n = 1$; es verschwindet also $\vartheta_1(u-\alpha)$ nur einmal
innerhalb des Periodenparallelogrammes und zwar für $u = \alpha$
und daher sind alle Werte von $u$, für welche
\[
  \vartheta_1(u) = 0
\]
ist, enthalten in
\[
  u = m\omega + m'\omega'.
\]

Betrachtet man die Formeln~(VI) S.~\pageref{formelVI}, so ergeben
sich hieraus die Werte, für welche die übrigen $\vartheta$-Funktionen
verschwinden. Wir erhalten auf diese Art:
\[\label{nullwerte}
\begin{array}{ccl}
  \vartheta_1(u) = 0 & \quad \text{für} \quad
& u = m\omega + m'\omega'
\\[0.5em]
  \vartheta_2(u) = 0 & \quad \text{ '' } \quad
& u = (m+\tfrac{1}{2})\omega + m'\omega'
\\[0.5em]
  \vartheta_3(u) = 0 & \quad \text{ '' } \quad
& u = (m+\tfrac{1}{2})\omega + (m'+\tfrac{1}{2})\omega'
\\[0.5em]
  \vartheta_0(u) = 0 & \quad \text{ '' } \quad
& u = m\omega + (m'+\tfrac{1}{2})\omega',
\\
\end{array}
\]
wobei $m$, $m'$ ganze positive oder negative Zahlen sind. Zugleich
sind die Werte von $u$ die \emph{einzigen}, für welche die
$\vartheta$-Funktionen verschwinden.

\subsection[11.\ Aufstellung doppeltperiodischer Funktionen]{11.}
Mit Hilfe der aufgestellten $\vartheta$-Funktionen ist es nun
leicht, doppeltperiodische Funktionen zu bilden. So ist
\[
  \varphi(u) = c\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)} ,
\]
$c$ eine beliebige von $u$ unabhängige Grösse, eine eindeutige
%%-----File: 085.png-------------------------------
Funktion von $u$, welche die Perioden $2\omega$ und $\omega'$ besitzt.
Dass $\varphi(u)$ keine Konstante ist ersieht man daraus, dass sie
für $u = \frac{\omega'}{2}$ unendlich und für $u=0$ null wird. Da ferner
\[
  \varphi(u+\omega)
  = c\frac{\vartheta_1 (u+\omega)}{\vartheta_0(u+\omega)}
  = -c\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}
  = -\varphi(u)
\]
ist, so ist
\[
  \varphi(u+2\omega)
  = -\varphi(u+\omega)
  = \varphi(u).
\]

Ebenso ist
\[
  \varphi(u+\omega')
  = c\frac{\vartheta_1(u+\omega')}{\vartheta_0(u+\omega')}
  = c\frac{-\vartheta_1(u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}}{
    -\vartheta_0(u) e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}}
  = c\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)},
\]
daher:
\[
  \varphi(u+\omega') = \varphi(u).
\]

In ganz derselben Weise erkennt man, dass die Quotienten:
\begin{alignat*}{7}
  &\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)},
  &\ &\frac{\vartheta_0(u)}{\vartheta_1(u)}
  &\ &\text{die}
  &\ &\text{Perioden}
  &\ &2\omega
  &\quad &\omega'
  &\ &\text{haben},\\
  &\frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_0(u)},
  &\ &\frac{\vartheta_0(u)}{\vartheta_2(u)}
  &\ &\phantom{\text{d}}\text{,,}
  &\ &\phantom{\text{Per}}\text{,,}
  &\ &2\omega
  &\quad &\omega+\omega'
  &\ &\phantom{\text{ha}}\text{,,}\\
  &\frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_0(u)},
  &\ &\frac{\vartheta_0(u)}{\vartheta_3(u)}
  &\ &\phantom{\text{d}}\text{,,}
  &\ &\phantom{\text{Per}}\text{,,}
  &\ &\omega
  &\quad &2\omega'
  &\ &\phantom{\text{ha}}\text{,,}\\
  &\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_2(u)},
  &\ &\frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_1(u)}
  &\ &\phantom{\text{d}}\text{,,}
  &\ &\phantom{\text{Per}}\text{,,}
  &\ &\omega
  &\quad &2\omega'
  &\ &\phantom{\text{ha}}\text{,,}\\
  &\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_3(u)},
  &\ &\frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_1(u)}
  &\ &\phantom{\text{d}}\text{,,}
  &\ &\phantom{\text{Per}}\text{,,}
  &\ &2\omega
  &\quad &\omega+\omega'
  &\ &\phantom{\text{ha}}\text{,,}\\
  &\frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_3(u)},
  &\ &\frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_2(u)}
  &\ &\phantom{\text{d}}\text{,,}
  &\ &\phantom{\text{Per}}\text{,,}
  &\ &2\omega
  &\quad &\omega'
  &\ &\phantom{\text{ha}}\text{,,}
\end{alignat*}
also mit beliebigen, von $u$ unabhängigen Grössen multiplizirt
doppeltperiodische Funktionen liefern.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 086.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section{III.\ Fundamentale Sätze über doppeltperiodische
  Funktionen.}
\subsection[12.\ Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird
innerhalb
eines Periodenparallelogramms ebenso oft null als unendlich]{12.}
\emph{Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird
  innerhalb
  eines Periodenparallelogramms\footnote{
    Wir setzen immer ein primitives Periodenparallelogramm voraus,
    d.~h.\ ein solches, dessen Seiten primitive Perioden sind. Die
    eine Ecke
    möge $u=0$ sein, was unwesentlich ist.}
  ebenso oft unendlich als null.}

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\includegraphics*[width=4.5cm,height=3.6cm]{images/fig22}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Wir wollen voraussetzen, dass jede Null- oder Unendlichkeitsstelle
der Funktion eine einfache ist, da, wenn dieselbe
mehrfach ist, dies bei dem Zählen derselben immer als ein
Zusammenrücken mehrerer einfacher aufgefasst werden kann.
Ist die Stelle $u=a$ eine $\nu$-fache Null- oder
Unendlichkeitsstelle,
so ist auch in obigem
Satze diese Stelle als $\nu$ Null- oder
Unendlichkeitswerte einzuführen.
Hat also die doppeltperiodische
Funktion $F(u)$ innerhalb
des Periodenparallelogrammes $0$,
$\Omega$, $\Omega+\Omega'$, $\Omega'$ $\dotsc m$ Nullstellen
und $n$ Unendlichkeitsstellen, so ist nach Satz~13 d.~E.,
S.~\pageref{satz13}
\[
  \int_\mathfrak{A} d\log F(u) = 2\pi i(m-n),
\]
unter $\mathfrak{A}$ die Kontur des krummlinigen Parallelogrammes
Fig.~22 verstanden. Nun ist%
\footnote{
    Sollte auf dem Integrationswege ein Unstetigkeitspunkt von
    $d \lg F(u)$ liegen, so kann man denselben so abändern, dass der neue
    Weg nicht hindurchgeht, wodurch der zu diesem parallele
    Weg auch
    durch keinen solchen Punkt führen wird.}
\[
  \int_\mathfrak{A} d\log F(u)
  = \int_0^\Omega d\log Fu
  + \int_\Omega^{\Omega+\Omega'} d\log Fu
  + \int_{\Omega+\Omega'}^{\Omega'} d\log Fu
  + \int_{\Omega'}^0 d\log Fu.
\]
%%-----File: 087.png-------------------------------
Im zweiten Integral bewegt sich die Integrationsvariable von
$\Omega$ nach $\Omega+\Omega'$, ersetzen wir sie durch $u'+\Omega'$,
so wird $u'$
von $0$ nach $\Omega'$ laufen und es ist dann
\[
  \int_\Omega^{\Omega+\Omega'} d\log Fu
  = \int_0^\Omega d\log F(u'+\Omega)
  = \int_0^{\Omega'} d\log Fu'
  = \int_0^{\Omega'} d\log Fu,
\]
da $F(u'+\Omega) = F(u')$ ist, und das bestimmte Integral von
der Integrationsvariablen unabhängig ist, denn der Weg derselben
ist vorgeschrieben. Ersetzt man in dem dritten Integral
$u$ durch $u'+\Omega'$, so wird $u'$ die Werte von $\Omega$ nach $0$
durchlaufen und da auch
\[
  F(u'+\Omega') = F(u')
\]
ist, so wird
\[
  \int_{\Omega+\Omega'}^{\Omega'} d\log F(u)
  = \int_\Omega^0 d\log F(u'+\Omega')
  = \int_\Omega^0 d\log F(u),
\]
also ist
\[
  \int_\mathfrak{A} d\log F(u)
  = \int_0^\Omega d\log Fu
  + \int_0^{\Omega'} d\log Fu
  + \int_\Omega^0 d\log Fu
  + \int_{\Omega'}^0 d\log Fu
  = 0,
\]
da sich das erste und dritte, sowie das zweite und letzte
Integral gegenseitig aufheben.

Mithin ist
\[
  m = n,
\]
wodurch der ausgesprochene Satz bewiesen ist.

\subsection[13.\ Ordnung der doppeltperiodischen Funktion]{13.}
\emph{Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion nimmt
einen beliebig gegebenen Wert $A$ eben so oft an, als sie unendlich
oder null wird.} Denn $F(u)-A$ ist eine doppeltperiodische
Funktion von $u$, welche genau so oft unendlich wird, wie
$F(u)$, also muss $F(u)-A=0$ eben so oft werden, als $F(u)$
unendlich oder $F(u)=0$ wird. Hierbei ist als Voraussetzung,
dass $F(u) = A$ für $u=a$ wird, aber so, dass $F'(a)$
nicht null ist, weil sonst $F(u)-A$ für $u=a$ zweimal null
werden würde. Ist also $A=F(a)$ und $F'(a)=0$, so ist
eine solche Stelle so zu zählen, dass $F(a)$ zweimal gleich
$A$ wird.

Man nennt eine doppeltperiodische Funktion, welche im
primitiven Periodenparallelogramm $n$-mal unendlich wird,
\emph{eine doppeltperiodische Funktion $n^\mathrm{ter}$ Ordnung}. In
dem Vorstehenden
%%-----File: 088.png-------------------------------
und Folgenden ist $n$ stets als endliche Zahl anzunehmen.
(Vergleiche die Bedingungen für den Satz 13 und
8 der Einleitung.) Dann können wir die Sätze 12 und 13
einfach so ausdrücken:

\emph{Eine doppeltperiodische Funktion $n^{\text{ter}}$ Ordnung nimmt
jeden
Wert genau $n$-mal in einem primitiven Periodenparallelogramme
an}, d.~h.\ wenn das Argument $u$ derselben nur Werte annimmt
von der Form $\xi\Omega + \xi'\Omega'$, wo
$0 \leqq \xi < 1, 0 \leqq \xi' < 1$.

\subsection[14.\ Die Summe der logarithmischen Residua ist null.
Doppeltperiodische Funktionen erster Ordnung existieren nicht.]{14.}
\label{sec14} \emph{Für jede eindeutige doppeltperiodische Funktion ist
die Summe der logarithmischen Residua null.}

Nach Satz 14 S.~\pageref{satz14} ist
\[
  \int_{\mathfrak{A}} F(u) \,du
= 2\pi i \sum_{\nu=1}^n \bigl[F(u)\bigr]_{(u-\alpha_\nu)^{-1}}
= 2\pi i \sum_{\nu=1}^n A_\nu,
\]
wenn $F(\alpha_\nu) = \infty$ ist und
$[F(u)]_{(u-\alpha_\nu)^{-1}} = A_\nu$ der Koeffizient
von $(u-\alpha_\nu)^{-1}$ in der Entwicklung von $F(u)$ in der
Umgebung von $\alpha_\nu$, da wir $\mathfrak{A}$ so wählen werden,
dass der
Punkt $u = \infty$ nicht innerhalb liegt. Wir nehmen als $\mathfrak{A}$
das Periodenparallelogramm (Fig.~22), und es ist
\[
  \int_{\mathfrak{A}}             F(u)\,du
= \!\int_0^\Omega                 \!\!F(u)\,du
+ \int_\Omega^{\Omega+\Omega'}    \!\!F(u)\,du
+ \int_{\Omega+\Omega'}^{\Omega'} \!F(u)\,du
+ \int_{\Omega'}^0                \!F(u)\,du = 0,
\]
da $F(u + \Omega) = F(u)$ und $F(u + \Omega') = F(u)$ ist. Mithin ist
\[
  \sum_1^n A_\nu = 0.
\]
Wäre nun jedes $A_\nu = 0$, so könnte $F(u)$ nur so unendlich
werden, dass jede Unendlichkeitsstelle eine mehrfache wird.

Wird $F(u)$ innerhalb des Periodenparallelogramms nicht
unendlich gross, so kann $F(u)$ für keinen Wert innerhalb
des Periodenparallelogramms auch verschwinden, d.~h.\ $F(u)$
wird überhaupt für keinen endlichen Wert von $u$ unendlich
gross oder null. Da also
$F(u) \bigl[ \text{ebenso } \frac{1}{F(u)} \bigr]$ als eindeutige
Funktion von $u$ für keinen endlichen noch so grossen Wert
von u unendlich werden kann, sondern stets dieselben endlichen
Werte annehmen muss, die es im ersten Parallelogramme
%%-----File: 089.png-------------------------------
hatte, so muss $F(u)$ von $u$ unabhängig, d.~h.\ eine
Konstante sein.%
\footnote{Denn da $F(u)$ für alle endlichen $u$ endlich bleibt und
eindeutig
ist, so gilt um den Punkt $a$ die Entwicklung
\[
  F(u) = A + A_1(u-a) + A_2(u-a)^2 + A_3(u-a)^3 + \dotsb
\]
für alle endlichen noch so grossen $u$. Wenn aber $u$ über alle Grenzen
wächst, so wird die Reihe rechts auch über alle Grenzen wachsen
müssen, d.~h.\ $F(u)$ selbst ins Unendliche wachsen müssen, wenn nicht
$A_1 = 0, A_2 = 0 \dotsc$, also $F(u) = A$ eine Konstante ist.} Daher:

\label{ssatz14}
\emph{Jede doppeltperiodische eindeutige Funktion, welche innerhalb
eines Periodenparallelogrammes nicht unendlich wird, ist
eine Konstante. Eindeutige doppeltperiodische Funktionen, welche
nur für einen Wert von $u$ innerhalb des Periodenparallelogrammes
einfach unendlich werden, existiren nicht.}

Denn soll $F(u)$ für $u = \alpha$ einfach unendlich werden,
so muss
\[
  F(u) = \frac{A}{u-\alpha} + B + B_1(u-\alpha) + \dotsb
\]
sein, da aber nach eben bewiesenem $\sum A_r = 0$ sein muss, so
müsste $A = 0$ sein, d.~h.\ $F(u)$ würde für $u = \alpha$ auch nicht
unendlich werden, müsste daher eine Konstante sein.

Doppeltperiodische Funktionen niedrigster Ordnung sind
daher die von der zweiten Ordnung. Sind die beiden Unendlichkeitspunkte
von einander verschieden, so muss
\begin{align*}
  F(u) &= \frac{A}{u-\alpha_1} + B  + B_1 (u-\alpha_1) + \dotsb  \\
  F(u) &= \frac{-A}{u-\alpha_2} + B' + B_1'(u-\alpha_2) + \dotsb
\end{align*}
sein in der Umgebung von $\alpha_1$ resp.\ $\alpha_2$. Sind aber die
beiden
Unendlichkeitspunkte nicht verschieden, dann wird $F(u)$ für
$u = \alpha$ von der zweiten Ordnung unendlich und es muss
\[
  F(u) = \frac{-A}{(u-\alpha)^2} + B + B_1(u-\alpha) + \dotsb ,
\]
sein, d.~h.\ das Glied mit $\frac{1}{u-\alpha}$ muss ausfallen.

\subsection[$\qquad$ Zusatz: Die Thetafunktion ist durch ihre
Definitionsgleichungen bestimmt]{Zusatz.}
Soll eine \emph{eindeutige} für alle \emph{endlichen} Werte
von $u$ \emph{endliche} Funktion von $u$ den beiden Gleichungen
%%-----File: 090.png-------------------------------
\begin{align*}
  \varphi(u + \omega ) &= (-1)^\varepsilon \varphi(u)  \\
  \varphi(u + \omega') &= (-1)^{\varepsilon'} \varphi(u)
\varepsilon^{ -(2u+\omega') \frac{\pi i}{\omega} }
\end{align*}
genügen, so muss
$\varphi(u) = C\cdot \vartheta(u, \varepsilon,\varepsilon')$
sein, wo $C$ eine von
$u$ unabhängige Grösse ist und $\vartheta(u, \varepsilon, \varepsilon')$
die in (7) S.~\pageref{sect7}
aufgestellte $\vartheta$-Funktion ist. Denn es ist
\[
  \frac{\varphi(u)}{\vartheta(u, \varepsilon,\varepsilon')} = f(u)
\]
eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden $\omega$ und $\omega'$;
also ist
\[
  \varphi(u) = f(u) \vartheta(u, \varepsilon,\varepsilon') .
\]
Nun soll $\varphi(u)$ nicht unendlich werden, also kann $f(u)$ nur
unendlich werden, wenn $\vartheta(u, \varepsilon,\varepsilon') = 0$ ist.
Wie wir sahen verschwindet aber $\vartheta(u, \varepsilon,\varepsilon')$
nur für einen Wert von $u$ \emph{einfach}
innerhalb des Periodenparallelogramms, also könnte
$f(u)$ nur für einen Wert von $u$ innerhalb des Periodenparallelogramms
unendlich von der ersten Ordnung werden,
und daher muss $f(u)$ eine von $u$ unabhängige Konstante
sein, folglich ist
\[
  \varphi(u) = C\cdot \vartheta(u, \varepsilon,\varepsilon').
\]

\subsection[15.\ Der \Person{Liouville}'sche Satz]{15.} \label{satz15}
\emph{Wird $F(u) = A$ nur für $u = u_1, u_2 \dotsc u_n$, ohne
dass $F'(u_\nu) = 0$ wäre, ist also $F(u)$ eine doppeltperiodische
Funktion $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung, so ist}
\[
  u_1 + u_2 + u_3 + \dotsb u_n = c,
\]
\emph{wo $c$ eine von $u$ und von $A$ unabhängige Grösse ist}
(Liouville'scher Satz).

Es sei $F(u) = \infty$ für $u = \alpha_1, \alpha_2 \dotsc \alpha_n$,
diese also lauter
einfache Unendlichkeitsstellen und alle im ersten
Periodenparallelogramm. Dann ist
\begin{multline*}
  J
= \int_{\mathfrak{A}} ud\log (F(u) - A)
= \int_{\mathfrak{A}} \frac{u F'(u)}{F(u) - A} \,du
\\
= 2\pi i \left[ \,\sum_{\nu=1}^n \int_{\overfrown{u_\nu}}
                \frac{u F'(u)}{F(u) - A} \,du
             \, + \,\sum_{\nu=1}^n \int_{\overfrown{\alpha_\nu}}
                \frac{u F'(u)}{F(u) - A} \,du   \right]
\end{multline*}
nach Satz 14 S.~\pageref{satz14}.
%%-----File: 091.png-------------------------------

Es ist aber
\[
  \int_{\overfrown{u_\nu}} \frac{u F'(u)}{F(u)-A} \,du
= 2\pi iu_\nu \left[ \frac{F'(u)}{F(u)-A} \right]_{(u-u_\nu)^{-1}}
= 2\pi iu_\nu,
\]
denn es ist $F'(u) - A = (u - u_\nu)\varphi(u)$, wo
$\varphi(u_\nu) = B \lessgtr 0$
ist, also ist
\[
  \frac{d}{du} \log (F(u) - A)
= \frac{1}{u-u_\nu} + \frac{\varphi'(u) }{\varphi(u) }
= \frac{F'(u)}{F(u)-A} \,du
\]
und $\varphi(u)$ verschwindet nicht in der Umgebung von $u_\nu$, wird
auch nicht unendlich, also ist $\frac{\varphi'(u)}{\varphi(u)}$
endlich. Genau so
ergibt sich
\[
  \int_{\alpha_\nu} \frac{u F'(u)}{F(u)-A} \,du = -2\pi i\alpha_\nu,
\]
da
\[
  \frac{d}{du} \log (F(u) - A)
= \frac{-1}{u-\alpha} + \frac{\varphi'(u)}{\varphi(u)}
= \frac{F'(u)}{F(u)-A} \,du
\]
ist. Also folgt, wenn wir $\mathfrak{A}$ als das Periodenparallelogramm
(Fig.~22) nehmen:
\[
  J = \int_{\mathfrak{A}} u\, d\log (F(u) - A)
= 2\pi i \left[ \,\sum_{\nu=1}^n u_\nu
              - \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu \right].
\]
Andrerseits können wir $J$ direkt berechnen. Es ist
\begin{multline*}
  J
= \int_{0}^{\Omega}              u d\log(F(u) - A)
+ \int_{\Omega}^{\Omega+\Omega'} u d\log(F(u) - A)
+ \int_{\Omega+\Omega'}^{\Omega} u d\log(F(u) - A)  \\
+ \int_{\Omega'}^{0}             u d\log(F(u)  - A) ;
\end{multline*}
ersetzt man im zweiten Integral $u$ durch $u + \Omega$, im dritten
durch $u + \Omega'$, so wird
\begin{align*}
  J
=&\int_{0}^{\Omega}            u\, d\log(F(u) - A)
+ \int_{0}^{\Omega'} (u + \Omega') d\log(F(u) - A)  \\
+&\int_{\Omega }^{0} (u + \Omega') d\log(F(u) - A)
+ \int_{\Omega'}^{0}           u\, d\log(F(u) - A)
\end{align*}
und wenn man die sich aufhebenden Integrale fortlässt
\[
  J
= \Omega \int_{0}^{\Omega'} d\log(F(u) - A)
- \Omega'\int_{0}^{\Omega } d\log(F(u) - A).
\]
%%-----File: 092.png-------------------------------

Setzt man nun
\[
  F(u) - A = e^z,
\]
wo $z$ die neue Integrationsvariable sein soll, so wird
\[
\begin{array}{ll}
  F(0)       &- A = e^{z_0}                     \\
  F(\Omega') &- A = e^{z_0 + 2\varkappa'\pi i}  \\
  F(\Omega ) &- A = e^{z_0 + 2\varkappa \pi i},
\end{array}
\]
wo $\varkappa$ und $\varkappa'$ ganze Zahlen sein müssen, da
\[
  F(0) = F(\Omega') = F(\Omega)
\]
ist. Dann wird
\begin{align*}
  J &= \Omega  \int_{z_0}^{z_0 + 2\varkappa'\pi i} dz
     - \Omega' \int_{z_0}^{z_0 + 2\varkappa \pi i} dz ,  \\
\intertext{d.~h.}
  J &= 2\pi i (\varkappa'\Omega - \varkappa \Omega').
\end{align*}
Nun folgt ohne weiteres, dass $J$ von $A$ unabhängig ist.
Denn ändert man $A$ unendlich wenig ab, so müsste, wenn
$J$ von $A$ abhängen würde, sich dieses auch im Allgemeinen
unendlich wenig ändern. Da aber $\varkappa$ und $\varkappa'$ ganze Zahlen
sind, so kann sich $J$ nur um $\Omega$ oder $\Omega'$ oder allgemein um
$m\Omega - m'\Omega'$ ändern, welche Grösse nie unendlich klein sein
kann, also kann $J$ von $\Omega$ nicht abhängen.

Es ist überdiess auch
\begin{align*}
  \frac{\partial J}{\partial A}
=&\Omega \int_0^\Omega \frac{d\operatorname{lg}(F(u) - A)}{F(u) - A}
- \Omega'\int_0^\Omega \frac{d\operatorname{lg}(F(u) - A)}{F(u) - A}
\\
=&\Omega \int_{z_0}^{z_0 + 2\varkappa'\pi i} e^{-z} dz
- \Omega'\int_{z_0}^{z_0 + 2\varkappa \pi i} e^{-z} dz = 0,
\end{align*}
also $J$ von $A$ unabhängig. Daher ist
\begin{align*}
 &\sum_{\nu=1}^n u_\nu
- \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu = \varkappa'\Omega - \varkappa\Omega' \\
\intertext{und }
 &\sum_{\nu=1}^n u_\nu
= \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu + \varkappa'\Omega - \varkappa\Omega',
\end{align*}
wodurch der Satz bewiesen.\footnote{Würde für
$u = u_\nu \dotsc F(u) - A
= (u-u_\nu)^\varkappa [ B + B_1(u-u_\nu) + \dotsb ]$
sein und $B$ von Null verschieden, d.~h.\ würde $F(u)$ für $u = u_\nu$ den
Wert A $\varkappa$-mal annehmen, also $F'(u_{\nu}) = 0$, $F''(u_{\nu})
= 0,
\ldots F^{(\varkappa-1)}(u_{\nu}) = 0$
sein, so ergibt sich $\int_{\overfrown{u_{\nu}}}ud\lg (F(u)-A)
 = 2\pi i\varkappa u_{\nu}$, d.~h.\ es würde in
der $\sum_{\nu=1}^n u_n$ das Argument $\varkappa u_{\nu}$ als Summand
auftreten, das ist genau
so, als ob $\varkappa$ der Werte $u_{\nu}$ einander gleich würden. Ebenso
verhält
es sich mit den Unendlichkeitsstellen, wenn $F(u)-A$ für $u =
\alpha_{\mu}$ unendlich
von der $\lambda^{\text{ten}}$ Ordnung wird, dann ist
$\int_{\overfrown{u_{\mu}}}ud\lg(F(u)-A) = -2\pi i\lambda\alpha_{\mu}$,
also tritt in der Summe der $\alpha$ die Grösse $\alpha_{\mu}$
$\lambda$-mal auf. Ist also jede
Stelle $u_{\nu}$ eine $\varkappa_{\nu}$-fache Nullstelle von $F(u)-A$
und jedes $\alpha_{\mu}$ eine
$\lambda_{\mu}$-fache Unendlichkeitsstelle von $F(u)-A$, so kann die
Gleichung
des Textes auch geschrieben werden:
$\sum_{\nu = 1}^{n'}\varkappa_{\nu}u_{\nu} =
\sum_1^{m'}\lambda_{\mu}\alpha_{\mu}+\varkappa'\Omega - \varkappa\Omega'$,
wobei $\sum_{\nu = 1}^{n'} \varkappa_{\nu} = \sum_1^{m'}\lambda_{\mu}
= n$ ist.}
%%-----File: 093.png-------------------------------

Wird also $F(u) = 0$ für $u = \beta_1,\beta_2 \ldots \beta_n$, so ist
\[
\sum_{\nu = 1}^n \beta_{\nu} = \sum_{\nu = 1}^n \alpha_{\nu} +
\varkappa'\Omega - \varkappa\Omega',
\]
also ist
\[
\sum_{\nu = 1}^n u_{\nu} = \sum_{\nu = 1}^n \beta_{\nu}.
\]

Wenn sich zwei Grössen $u$ und $v$ nur um ganzzahlige
Vielfache der Perioden $\Omega$, $\Omega'$ unterscheiden, wenn also
\[
v = u+m\Omega + m'\Omega'
\]
($m$, $m'$ ganze Zahlen), so wollen wir $v \equiv u$ (mod. $\Omega$,
$\Omega'$) schreiben
und $v$ congruent $u$ modulo Perioden nennen. Es ist also
\[
\sum_{\nu = 1}^n u_{\nu} \equiv
\sum_{\nu = 1}^n \alpha_{\nu} \pmod{\Omega,\,\Omega'}.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.1cm}
\includegraphics*[width=5.1cm,height=4.4cm]{images/fig22a}
\caption*{Fig.~22a.}{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}

Wir können nun immer einfach bewirken, dass die
Summe der Argumente, für welche eine Funktion einen bestimmten
Wert annimmt, $\equiv 0$ ist. Setzen wir nämlich
%%-----File: 094.png-------------------------------
\[
  v = u - \frac{ \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu }{n} ,
\]
so ist
\begin{flalign*}
&  \sum_{\nu=1}^n v_\nu = \sum_{\nu=1}^n u_\nu - \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu
\equiv 0 \pmod{\Omega, \Omega'}. &
\end{flalign*}

Die doppeltperiodische Funktion $F(u)$ wird
\[
  F(u)
= F\Bigl( v + \frac{\sum\alpha_\nu}{n} \Bigr)
= F_1(v)
\]
eine doppeltperiodische Funktion von $v$ mit denselben Perioden
$\Omega$, $\Omega'$, nur ist das Periodenparallelogramm dieser
gegen jenes verschoben.

$0$, $\Omega$, $\Omega+\Omega'$, $\Omega'$ sei das
Periodenparallelogramm für $F(u)$
(Fig.\ 22a), das Argument von
$a = \frac{\sum\alpha_\nu}{n}$ Dann ist das um
$0a$ in der Richtung $\overline{0a}$ mit sich
selbst parallel verschobene Parallelogramm
das Periodenparallelogramm für
$F_1(v) = F\bigl( v+\frac{\sum\alpha_\nu}{n} \bigr)$.

\subsection[16.\ Der \Person{Hermite}'sche Satz]{16.} \label{satz16}
\emph{Jede doppeltperiodische Funktion mit den Perioden
$\Omega$ und $\Omega'$ kann durch die $\vartheta$-Funktionen mit
denselben Perioden
ausgedrückt werden.} (Hermite'scher Satz.)

Es sei
\[
\begin{array}{lcl}
  F(u) = 0 & \text{ für } & u = \beta_1, \beta_2 \dotsc \beta_n  \\
  F(u) =\infty &\text{ '' } &u =\alpha_1,\alpha_2 \dotsc \alpha_n,
\end{array}
\]
jeder dieser Werte entspräche einer einfachen Null- resp.\
Unendlichkeitsstelle, $F(u)$ sei also von der $n^{\text{ten}}$ Ordnung;
dann
wissen wir, dass
\[
  \sum_{\nu=1}^n \beta_\nu - \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu
= \varkappa'\Omega - \varkappa \Omega'
\]
ist, wo $\varkappa$, $\varkappa'$ ganze Zahlen sind.
%%-----File: 095.png-------------------------------

Bilden wir die Funktion:
\[
  \varphi(u)
= \frac{ \vartheta_1(u-\beta_1) \,\vartheta_1(u-\beta_2)
         \dotsm \vartheta_1(u-\beta_n) }
       { \vartheta_1(u-\alpha_1) \,\vartheta_1(u-\alpha_2)
         \dotsm \vartheta_1(u-\alpha_n) }\,
  e^{2\varkappa \frac{u}{\Omega} \pi i} ,
\]
so ist
\begin{align*}
  \varphi(u+\Omega ) &= \varphi(u)  \\
  \varphi(u+\Omega')
&= \varphi(u) \cdot
   e^{ 2(\sum\beta - \sum\alpha) \frac{\pi i}{\Omega} } \cdot
   e^{ 2\varkappa\frac{\Omega'}{\Omega} \pi i}
\\
&= \varphi(u) e^{ 2(\varkappa'\Omega - \varkappa\Omega')
                  \frac{\pi i}{\Omega}
                + 2\varkappa\frac{\Omega'}{\Omega} \pi i}
\\
&= \varphi(u),
\end{align*}
d.~h.\ $\varphi(u)$ ist ebenfalls eine doppeltperiodische Funktion mit
den Perioden $\Omega$ und $\Omega'$.

Es wird
\[
\qquad \text{und}\qquad
\begin{array}{rlcl}
  \varphi(u) &= 0 \quad &\text{ für }
 &u = \beta_1, \beta_2 \dotsc \beta_n
\\[1em]
  \varphi(u) &= \infty \quad &\text{ ''  }
 &u = \alpha_1, \alpha_2 \dotsc \alpha_n
\end{array}
\]
und nur für diese Werte und zwar für jeden einfach null
resp.\ einfach unendlich. Daher wird die doppeltperiodische
eindeutige Funktion $\frac{F(u)}{\varphi(u)}$ für keinen Wert von $u$
innerhalb
des Periodenparallelogrammes null oder unendlich, sie ist
folglich eine Konstante, also ist
\[
  F(u) = c\varphi(u)
= c\frac{ \vartheta_1(u-\beta_1) \,\vartheta_1(u-\beta_2)
          \dotsm \vartheta_1(u-\beta_n) }
        { \vartheta_1(u-\alpha_1) \,\vartheta_1(u-\alpha_2)
          \dotsm \vartheta_1(u-\alpha_n) }\,
  e^{2\varkappa \frac{u}{\Omega} \pi i} ,
\]
wobei
\[
  \sum_{\nu=1}^n \beta_\nu - \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu
= \varkappa'\Omega - \varkappa \Omega'
\]
ist. Man erkennt hieraus, dass für eine doppeltperiodische
Funktion nicht alle Werte gegeben sein können, für welche
sie verschwindet und unendlich gross wird, sondern dass
einer dieser Werte der Bedingung gemäss
\[
  \textstyle\sum \beta_\nu - \textstyle\sum \alpha_\nu
\equiv 0 \pmod{\Omega, \Omega'}
\]
bestimmt werden muss, sobald alle übrigen gegeben sind.

Die obige Form von $F(u)$ lässt sich noch etwas
modificiren.

Nach 7, S.~\pageref{f4}, Formel (4) ist, wenn $\varepsilon = 1$,
$\varepsilon' = -1$
und $2\varkappa'$, $-2\varkappa$ an Stelle von $\varkappa'$, $\varkappa$
gesetzt werden:
%%-----File: 096.png-------------------------------
\begin{eqnarray*}
\vartheta_{1} (v+\varkappa'\Omega - \varkappa\Omega')
&=& \vartheta(v, 1-2\varkappa, -1+2\varkappa')
  e^{2\varkappa \left( v+\frac{2\varkappa'-1}{2}\Omega
  -\frac{\varkappa}{2}\Omega' \right) \frac{\pi i}{\Omega}}
\\
&=&(-1)^{\varkappa'-\varkappa} \,\vartheta_{1}(v)
  \,e^{2\varkappa \frac{v}{\Omega}\pi i -
  \varkappa^{2}\frac{\Omega'}{\Omega}\pi i} ,
\end{eqnarray*}
daher
\[
  e^{2\varkappa\frac{v}{\Omega}\pi i}
= (-1)^{\varkappa'-\varkappa}
  \,e^{\varkappa^{2}\frac{\Omega'}{\Omega}\pi i}
  \,\frac{\vartheta_{1}(v+\varkappa'\Omega - \varkappa
  \Omega')}{\vartheta_{1}(v)}\,;
\]
setzt man nun $v = u- \sum \beta_{\nu} = u- \sum \alpha_{\nu} -
(\varkappa'\Omega - \varkappa \Omega')$,
so wird
\[
  e^{2\varkappa\frac{u}{\Omega}\pi i}
= (-1)^{\varkappa'-\varkappa}
  \,e^{2\varkappa \frac{\sum\beta}{\Omega}\pi i}
  \,e^{\varkappa^{2} \frac{\Omega'}{\Omega}\pi i}
  \,\frac{\vartheta_{1}(u - \sum \alpha_{\nu})}
       {\vartheta_{1}(u - \sum  \beta_{\nu})},
\]
oder wenn
\[
  (-1)^{\varkappa'-\varkappa}
  e^{2\varkappa \frac{\sum \beta}{\Omega}\pi i}
  e^{\varkappa^{2} \frac{\Omega'}{\Omega}\pi i} = c
\]
gesetzt wird
\[
  e^{2\varkappa\frac{u}{\Omega}\pi i} = c
  \frac{\vartheta_{1}(u-\sum\alpha_{\nu})}
     {\vartheta_{1}(u-\sum \beta_{\nu})}.
\]

Setzt man nun diesen Wert für die Exponentielle in
$\varphi(u)$ ein, lässt $c$ in $C$ eingehen, so wird:
\[
  F(u) = C
 \frac{ \vartheta_{1}(u-\beta_{1})
        \vartheta_{1}(u-\beta_{2}) \ldots
        \vartheta_{1}(u-\beta_{n})
        \vartheta_{1}(u-\sum\alpha_{\nu}) }
      { \vartheta_{1}(u-\alpha_{1})
        \vartheta_{1}(u-\alpha_{2}) \ldots
        \vartheta_{1}(u-\alpha_{n})
        \vartheta_{1}(u-\sum\beta_{\nu}) },
\]
wo nur lauter $\vartheta_{1}$-Funktionen auftreten.

Man ersieht sehr leicht, dass, wenn $u = \beta_{1}$ eine $\mu$-fache
Nullstelle von-$F(u)$ wäre, dann statt $\vartheta_{1}(u-\beta_{1})$
der Faktor
$[\vartheta_{1}(u-\beta_{1})]^{\mu}$ aufzutreten brauchte, damit
dieselben Schlüsse,
wie früher, gelten, denn dann muss in $\sum \alpha_{\nu} \ldots
\alpha_{1}$ $\mu$-mal auf
treten, also $\sum \alpha_{\nu} = \mu \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}
+ \ldots \alpha_{n}$ sein.

\subsection[17.\ Doppeltperiodische Funktionen zweiter Ordnung und
ihre Ableitungen. Nullwerte der letzteren]{17.}
Die doppeltperiodischen Funktionen niedrigster Ordnung,
welche existiren, sind die \emph{zweiter} Ordnung. Es sei
$\varphi(u)$ eine solche Funktion, so wird dieselbe innerhalb des
Periodenparallelogramms $\Omega$, $\Omega'$ zweimal unendlich gross und
zwar sei diess für $u = \gamma_{1}, \gamma_{2}$ der Fall. Wir setzen
\[
 \gamma_{1} + \gamma_{2} = c .
\]
Soll nun $\varphi(u) = A$ und $\varphi(v) = A$ sein, so muss
\[
  u+v \equiv c \pmod{\Omega,\, \Omega'}),
\]
d.~h.
\[
  v = c - u + \varkappa' \Omega - \varkappa \Omega',
\]
daher ist
\[
  \varphi(u) = \varphi(c - u + \varkappa' \Omega - \varkappa \Omega')
  = \varphi(c-u).
\]
%%-----File: 097.png-------------------------------

Setzt man für $u \cdots \frac{c}{2} + u$ ein, so wird
\[
\varphi\left(\tfrac{c}{2}+u\right) = \varphi\left(\tfrac{c}{2}-u\right),
\]
d.~h.\ $\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$ ist eine \textit{gerade}
doppeltperiodische Funktion
zweiter Ordnung von $u$, welche unendlich wird für $u$ gleich
\[
  \tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2} \quad\text{ und }\quad
 -\tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2},
\]
denn es ist
\[
\varphi\left(\tfrac{c}{2} + \tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2}\right) =
\varphi(\gamma_1) = \infty, \quad
\varphi\left(\tfrac{c}{2} - \tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2}\right) =
\varphi(\gamma_2) = \infty.
\]

Sind $\gamma_1$ und $\gamma_2$ von einander \textit{verschieden}, so
wird $\varphi(u)$
für jede Stelle \textit{einfach} unendlich, dann werden  $\frac{\gamma_1 -
\gamma_2}{2}$ und
$-\frac{\gamma_1 - \gamma_2}{2}$ einander \textit{nicht} congruent nach
den Perioden sein;
denn wäre
\[
  \tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2} \equiv
 -\tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2}
  \pmod{\Omega,\, \Omega'},
\]
so müsste
\[
\gamma_1 - \gamma_2 \equiv 0 \pmod{\Omega,\, \Omega'}
\]
oder
\[
\gamma_1 \equiv \gamma_2 \pmod{\Omega,\, \Omega'}
\]
sein, was wir nicht voraussetzten; daher wird
$\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$
auch für zwei von einander \textit{verschiedene} Stellen des
Periodenparallelogramms
\textit{einfach} unendlich, an denen, für welche
\[
u \equiv \pm\tfrac{\gamma_1 - \gamma_2}{2} \pmod{\Omega,\, \Omega'}.
\]
Wäre aber $\gamma_1 = \gamma_2$, dann müsste $\varphi(u)$ für $u =
\gamma_1$ \textit{doppelt}
unendlich gross werden, dann wird aber auch
\[
  \varphi\left(\tfrac{c}{2}+u\right) = \varphi(\gamma_1+u)
\]
für $u = 0$ \emph{doppelt} unendlich gross.

Da
\[
  \varphi\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
= \varphi\left(\tfrac{c}{2}-u\right)
\]
ist, so ist
\[
   \varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
= -\varphi'\left(\tfrac{c}{2}-u\right),
\]
%%-----File: 098.png-------------------------------
$\varphi'(u) = \frac{d\varphi(u)}{du}$ gesetzt, d.~h.\
$\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ ist eine \emph{ungerade}
doppeltperiodische Funktion mit denselben Perioden wie
$\varphi\left( \frac{c}{2} + u \right)$ oder $\varphi(u)$. Wird $\gamma_1$
nicht gleich $\gamma_2$ angenommen,
d.~h.\ wird $\varphi(u)$, also auch
$\varphi\left( \frac{c}{2} + u \right)$ für zwei von einander
verschiedene Werte von $u$ unendlich gross, so ist
$\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$
eine doppeltperiodische Funktion \emph{vierter} Ordnung. Ist aber
$\gamma_1 = \gamma_2$, so ist
$\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ eine doppeltperiodische Funktion
\emph{dritter} Ordnung.

$\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ kann als Ableitung der
eindeutigen Funktion
$\varphi \left( \frac{c}{2} + u \right)$ nur unendlich werden, wenn
$\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ unendlich
wird (cf.\ Satz 13, S.~\pageref{satz13}). Da für die einfache
Unendlichkeitsstelle
$u \equiv \frac{\gamma_1-\gamma_1}{2} = \gamma'$, wo $\gamma'$ im ersten
Periodenparallelogramm liegen soll,
\begin{gather*}
  \varphi \left( \tfrac{c}{2} + u \right)
= \frac{A}{u-\gamma'} + B + B_1 (u-\gamma')^2 + \dotsb
\intertext{ist, so folgt}
  \varphi'\left( \tfrac{c}{2} + u \right)
= -\frac{A}{(u-\gamma')^2} + B_1 + \dotsb ,
\end{gather*}
d.~h.\ $\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ wird für jede der einfachen
Unendlichkeitsstellen
$u \equiv \pm \frac{\gamma_1-\gamma_2}{2}$ doppelt unendlich gross,
ist also von
der \emph{vierten} Ordnung.

Ist aber $\gamma_1 = \gamma_2$, dann muss
\begin{gather*}
  \varphi \left( \tfrac{c}{2} + u \right)
= \frac{A}{(u-\gamma_1)^2} + B_0 + B_1 (u-\gamma_1)^2 + \dotsb
\intertext{sein, indem das Glied mit $\frac{1}{(u-\gamma_1)}$ fehlen
muss und}
  \varphi'\left( \tfrac{c}{2} + u \right)
= \frac{-2A}{(u-\gamma_1)^3} + B_1 + \dotsb
\end{gather*}
wird für $u = \gamma_1$ dreifach unendlich gross und es fehlen die
Glieder zweiter und erster Ordnung,
$\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ ist also von
der \emph{dritten} Ordnung.
%%-----File: 099.png-------------------------------

Wir können auch die Nullstellen von
$\varphi'\left( \frac{c}{2}+u \right)$ einfach angeben.

a) $\varphi'\left( \frac{c}{2}+u \right)$ sei von der 4.~Ordnung, es
besitzt dann
vier Nullstellen. Nun ist
\[
   \varphi'\left( \tfrac{c}{2}+u \right)
=-\varphi'\left( \tfrac{c}{2}-u \right) ,
\]
setzt man $u = 0$, so folgt
\[
   \varphi'\left( \tfrac{c}{2} \right)
=-\varphi'\left( \tfrac{c}{2} \right) ,
\]
es muss also $\varphi'\left( \frac{c}{2} \right) = 0$ sein, da es nicht
unendlich sein
kann, denn die Unendlichkeitsstellen von
$\varphi'\left( \frac{c}{2}+u \right)$ sind
\[
  u \equiv \pm \tfrac{\gamma_1-\gamma_2}{2} .
\]

Setzt man ferner
$u =\frac{\Omega}{2}, \frac{\Omega'}{2}, \frac{\Omega+\Omega'}{2}$,
so ergiebt sich
\[
\begin{array}{llll}
    \varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega }{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} - \frac{\Omega }{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega }{2} \right) &= 0
\vspace{0.35cm}
\\
    \varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega'}{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} - \frac{\Omega'}{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega'}{2} \right) &= 0
\vspace{0.2cm}
\\[0.5em]
    \varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega+\Omega'}{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} - \frac{\Omega+\Omega'}{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega+\Omega'}{2} \right) &=
0 \vspace{0.2cm}
\end{array}
\]
aus demselben Grunde wie oben. Es wird daher:\footnotemark[1]
\[
\label{null099}
\begin{array}{lcl}
  \varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right) = 0      & \textnormal{ für }
&u = 0, \frac{\Omega}{2}, \frac{\Omega'}{2},
\frac{\Omega+\Omega'}{2},\vspace{0.4cm}
\\
  \varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right) = \infty & \textnormal{ '' }
&u \equiv \frac{ \gamma_1-\gamma_2}{2}, \frac{ \gamma_1-\gamma_2}{2},
\frac{-\gamma_1+\gamma_2}{2},\frac{-\gamma_1+\gamma_2}{2}
\end{array}
\]

Daher ist auch\footnotemark[1]
\[
\begin{array}{lccccc}
  \varphi'(u) = 0     & \text{ für }
& u \equiv \frac{c}{2},
& \frac{c}{2} + \frac{\Omega}{2},
& \frac{c}{2} + \frac{\Omega'}{2},
& \frac{c}{2} + \frac{\Omega+\Omega'}{2} \vspace{0.3cm}
\\
  \varphi'(u) = 0     & \text{ '' }
& u \equiv \gamma_1, & \gamma_1, & \gamma_2, & \gamma_2.
\end{array} \vspace{0.1cm}
\]
\footnotetext[1]{Es sollen für diese Werte diejenigen genommen werden, die
ins erste Periodenparallelogramm fallen.}

b) $\varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right)$ sei von der 3.\ Ordnung und
werde daher
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nur für $u = 0$ dreimal unendlich innerhalb des ersten
Periodenparallelogramms.

Da
\[
   \varphi'\left( \tfrac{c}{2} + u \right)
= -\varphi'\left( \tfrac{c}{2} - u \right)
\]
ist, so ergiebt sich, wie früher, dass für
\[
  u = \tfrac{\Omega}{2}, \tfrac{\Omega'}{2}, \tfrac{\Omega+\Omega'}{2}
\]
\[
\begin{array}{lll}
    \varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega }{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega }{2} \right) & = 0
\\[0.5em]
    \varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega'}{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega'}{2} \right) & = 0
\\[0.5em]
    \varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega+\Omega'}{2} \right)
&= -\varphi'\left( \frac{c}{2} + \frac{\Omega+\Omega'}{2} \right) &= 0
\end{array}
\]
sein muss. $u = 0$ ist hier keine Nullstelle, da
$\varphi'\left( \frac{c}{2} \right) = \infty$
ist. Es ist also
\[\label{null100}
\begin{array}{lclcc}
  \varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right) = 0      & \text{ für }
&u = \frac{\Omega}{2}, & \frac{\Omega'}{2}, & \frac{\Omega+\Omega'}{2}
\\[0.5em]
  \varphi'\left( \frac{c}{2} + u \right) = \infty & \text{ '' }
&u = 0, & 0, & 0,
\end{array}
\]
oder es ist
\[
\begin{array}{lclccl}
  \varphi'(u) = 0      & \text{ für }
&u \equiv
& \frac{c}{2} + \frac{\Omega}{2},
& \frac{c}{2} + \frac{\Omega'}{2},
& \frac{c}{2} + \frac{\Omega+\Omega'}{2}
\\[0.5em]
  \varphi'(u) = \infty & \text{ '' }
&u =  & \frac{c}{2}, & \frac{c}{2}, & \frac{c}{2},
\end{array}
\]
hierbei ist $ \frac{c}{2} = \gamma_1$ die dreifache Unendlichkeitsstelle
von $\varphi(u)$.

\subsection[18.\ Die doppeltperiodische Funktionen drücken sich rational
durch eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung und ihre
Ableitung aus]{18.} \label{satz18}
\emph{Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion $n^{\text{ter}}$ Ordnung
$F(u)$ lässt sich rational durch die doppeltperiodische
Funktion zweiter Ordnung $\varphi(u)$ und ihre Ableitung $\varphi'(u)$
ausdrücken, welche dieselben Perioden besitzen wie $F(u)$.}

Wir beweisen zuerst folgenden einfacheren Satz: Jede
\emph{gerade} doppeltperiodische Funktion lässt sich \emph{rational} durch
$\varphi\left( \frac{c}{2} + u \right)$ allein ausdrücken.

Ist nämlich $f(u) = f(-u)$, so wird
\[
\left.
\begin{array}{lcl}
  f(u) = 0      & \text{ für }
& u \equiv \pm\beta_1, \pm\beta_2 \dotsc \pm\beta_m
\\
  f(u) = \infty & \text{ für }
& u \equiv \pm\alpha_1, \pm\alpha_2 \dotsc \pm\alpha_m
\end{array}
\right\} \pmod{\Omega, \Omega'},
\]
%%-----File: 101.png-------------------------------
indem wir voraussetzen, dass, wenn $\beta_1$ im ersten
Periodenparallelogramme
liegt, man für $-\beta_1$  setzte: $m\Omega + m_1\Omega' - \beta_1$
und $m$, $m_1$ so als ganze Zahlen wähle, dass auch $m\Omega +
m_1\Omega_1' - \beta_1$
ins erste Periodenparallelogramm falle. Man sieht leicht ein,
dass $m$ und $m_1$ nur die Werte $0$, $1$ anzunehmen brauchen.
So denken wir uns alle Null- und Unendlichkeitsstellen von
$f(u)$ ins erste Periodenparallelogramm übertragen und setzten
vor der Hand voraus, dass keine derselben $\frac{\gamma_1-\gamma_2}{2}$
resp.\
$-\frac{\gamma_1-\gamma_2}{2}$ \big[den Unendlichkeitsstellen von
$\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$\big]  congruent
nach den Perioden $\Omega$, $\Omega'$ sei, dass ferner alle Null-
und Unendlichkeitsstellen \emph{einfache} sind, und daher keiner der
Werte $\beta$ mit den $\alpha$ zusammenfalle. Bilden wir dann
\[
\begin{split}
  &\psi(u) =\\
  &\frac{
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\beta_1)\right]
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\beta_2)\right] \dots
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\beta_m)\right]}{
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\alpha_1)\right]
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\alpha_2)\right] \dots
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\alpha_m)\right]},
\end{split}
\]
so ist $\psi(u)$ eine gerade doppeltperiodische Funktion von $u$
mit den Perioden $\Omega$, $\Omega'$, sie wird null für dieselben Werte,
für welche $f(u) = 0$ ist und unendlich für dieselben Werte,
für welche $f(u) = \infty$ ist. Sonst wird sie aber nicht unendlich,
da der Nenner sonst nicht verschwinden kann und der
Zähler nur unendlich wird, wenn
$\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)=\infty$ ist, dann
bleibt aber der Bruch endlich, da sich das Unendliche im
Zähler und Nenner gegeneinander weghebt.

Es wird daher $\frac{f(u)}{\psi(u)}$ eine Konstante sein, also
\[
  f(u) = c\frac{
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\beta_1)\right] \dots
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\beta_m)\right]}{
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\alpha_1)\right] \dots
    \left[\varphi(\frac{c}{2}+u)
        - \varphi(\frac{c}{2}+\alpha_m)\right]}
 = R\Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr),
\]
wenn $R$ eine rationale Funktion des Argumentes
$\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$
bedeutet. Die Koeffizienten von $R$ enthalten nur die gegebenen
Grössen $\varphi\left(\frac{c}{2}+\beta\right)$ und
$\varphi\left(\frac{c}{2}+\alpha\right)$.

Würde die Nullstelle $\beta_1$ $\mu$-mal auftreten, so ersieht man,
%%-----File: 102.png-------------------------------
dass nur
\[
\left[ \varphi\left( \tfrac{c}{2} + u       \right)
      - \varphi\left( \tfrac{c}{2} + \beta_1 \right) \right]^\mu
\]
in den Zähler zu
setzen ist, um dieselben Schlüsse anwenden zu können wie
eben. Die Funktion
$R\left( \varphi\left( \tfrac{c}{2} + u \right) \right)$
bleibt nach wie vor
eine rationale Funktion von $\varphi\left( \frac{c}{2} + u \right)$.

Treten unter den $\alpha$ oder $\beta$ aber die Stellen
$\frac{\gamma_1-\gamma_2}{2}$
und $-\frac{\gamma_1-\gamma_2}{2}$ auf, so hat man für den betreffenden
Faktor
\[
  \varphi\left( \tfrac{c}{2} + u      \right)
- \varphi\left( \tfrac{c}{2} + \alpha \right) \quad\text{ nur }
  \frac{1}{ \varphi\left( \frac{c}{2} + u \right) }
\]
zu setzen, um, wie man leicht ersieht, dieselben Schlüsse wie
früher wieder anwenden zu können. Würde unter den $\beta$
oder $\alpha$ einer der Werte
\[
  0, \tfrac{\Omega}{2}, \tfrac{\Omega'}{2}, \tfrac{\Omega+\Omega'}{2}
\]
vorkommen, so müsste die betreffende Stelle zweiter Ordnung sein, da
$\pm\alpha$ oder $\pm\beta$ auftritt und es ist
\[
\begin{array}{rcl}
  \frac{\Omega}{2}         &\equiv& -\frac{\Omega}{2}  \\[0.5em]
  \frac{\Omega'}{2}        &\equiv& -\frac{\Omega'}{2}  \\[0.5em]
  \frac{\Omega+\Omega'}{2} &\equiv& -\frac{\Omega+\Omega'}{2}.
\end{array}
\]
Für diese Werte wird aber auch
\[
  \varphi\left( \tfrac{c}{2} + u \right)
- \varphi\left( \tfrac{c}{2} + \alpha \right)
= (u-\alpha)^2
  \left\{ \tfrac{1}{2} \varphi''\left( \tfrac{c}{2} + \alpha \right)
       + \dotsb \right\} ,
\]
da
\[
  \varphi'\left( \tfrac{c}{2} + \alpha \right) = 0,
\]
wenn
\[
  \alpha \equiv 0, \tfrac{\Omega}{2}, \tfrac{\Omega+\Omega'}{2},
  \tfrac{\Omega'}{2}
\]
ist. Die obige Schlussweise bleibt also auch inalterirt.

Wir beweisen ferner folgenden zweiten Satz:

Jede \emph{ungerade} doppeltperiodische Funktion lässt sich
%%-----File: 103.png-------------------------------
ausdrücken durch eine \emph{rationale} Funktion von
$\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$
allein multiplizirt mit $\varphi'\left(\frac{c}{2}+u\right)$.

Denn ist
\begin{align*}
  f_1(u) &= -f_1(-u),\\
  \intertext{so ist, da}
   \varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
&=-\varphi'\left(\tfrac{c}{2}-u\right)\\
   \frac{f_1( u)}{\varphi'\left(\frac{c}{2}+u\right)}
&= \frac{f_1(-u)}{\varphi'\left(\frac{c}{2}-u\right)},
\end{align*}
d.~h.\
\[
  \frac{f_1(u)}{\varphi'\left(\frac{c}{2}+u\right)}
\]
ist eine \emph{gerade} doppeltperiodische Funktion von $u$ und es
ist daher
\[
  \frac{f_1(u)}{\varphi'\left(\frac{c}{2}+u\right)}
  = R_1\Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr)
\]
oder
\[
  f_1(u) = \varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
  \cdot R_1\Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr).
\]

Mit Hilfe dieser beiden Sätze ergiebt sich der Hauptsatz.
Ist $F(u)$ eine beliebige eindeutige doppeltperiodische Funktion
von $u$ mit denselben Perioden wie $\varphi(u)$, so ist
\begin{align*}
  f(u)\phantom{{}_1} &= \tfrac{1}{2}
  \left[F\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
      + F\left(\tfrac{c}{2}-u\right)\right]\\
  \intertext{eine \emph{gerade},}
  f_1(u) &= \tfrac{1}{2}
  \left[F\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
      - F\left(\tfrac{c}{2}-u\right)\right]
\end{align*}
eine \emph{ungerade} doppeltperiodische Funktion und daher
\[
  f(u) = R\Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr),\quad
  f_1(u) = \varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
  R_1 \Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr)
\]
und da
\[
  F\left(\tfrac{c}{2}+u\right) = f(u) + f_1(u)
\]
ist, so folgt
%%-----File: 104.png-------------------------------
\[
F\left(\tfrac{c}{2}+u\right) =
  R\Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr) +
  \varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
    R_1\Bigl(\varphi\bigl(\tfrac{c}{2}+u\bigr)\Bigr),
\]
oder
\[
  F(u) =      R  \bigl( \varphi(u) \bigr)
+ \varphi'(u) \,R_1\bigl( \varphi(u) \bigr).
\]
Die rational gebrochenen Funktionen $R$ und $R_1$ von $\varphi$
denken wir uns auf gleichen Nenner gebracht, dann wird auch
\[
F(u) = \frac{ r   \bigl( \varphi(u) \bigr)
            + \varphi'(u)
              \,r_1 \bigl( \varphi(u) \bigr) }
            { r_2 \bigl( \varphi(u) \bigr) }
\]
sein, wo $r$, $r_1$, $r_2$ \textit{ganze rationale} Funktionen von
$\varphi(u)$ sind.

\subsection[19.\ Das Quadrat der ersten Ableitung einer
doppeltperiodischen Funktion zweiter Ordnung drückt sich rational
durch diese aus. Alle höhern Ableitungen drücken sich rational durch
die Funktion und ihre Ableitung aus]{19.}
\textit{Das Quadrat der ersten Ableitung einer doppeltperiodischen
Funktion der zweiten Ordnung lässt sich rational
und gerne durch diese ausdrücken.}

Es ist $[\varphi'(u)]^2 = R\bigl( \varphi(u) \bigr)$, wo $R$ eine
\textit{ganze rationale}
Funktion von $\varphi$ der 4.\ oder 3.\ Ordnung ist.

Da
\[
 \varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right) =
 -\varphi'\left(\tfrac{c}{2}-u\right)
\]
ist, so ist
\[
\left[\varphi'\left(\tfrac{c}{2}+u\right)\right]^2
\]
eine \textit{gerade} doppeltperiodische Funktion von $u$ und als
solche also durch $\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$ allein
\textit{rational} auszudrücken, mithin
ist $[\varphi'(u)]^2$ durch $\varphi(u)$ allein rational ausdrückbar.

Wir setzen voraus, dass $\varphi(u) = \infty$ wird für $u = \gamma_1$
und $u = \gamma_2$, wo $\gamma_1$ und $\gamma_2$ verschiedene Werte von
$u$ im
ersten Periodenparallelogramm sind. Dann wird
\[\label{satz19}
\begin{array}{lcl}
  \varphi'(u)=\infty & \text{ für }
& u = \gamma_1, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_2
\\[0.5em]
  \varphi'(u)=0      & \text{ '' }
& u \equiv \frac{c}{2}, \frac{c}{2}+\frac{\Omega}{2},
\frac{c}{2}+\frac{\Omega'}{2}, \frac{c}{2}+\frac{\Omega+\Omega'}{2},
\end{array}
\]
wenn $\frac{c}{2}=\frac{\gamma_1+\gamma_2}{2}$ ist, und für die Werte
der zweiten Zeile
die Punkte im ersten Periodenparallelogramm eingesetzt
werden. Es ist also $[\varphi'(u)]^2$ eine doppeltperiodische Funktion
8.\ Ordnung, welche für $u = \gamma_1, \gamma_2$ je von der 4.\ Ordnung
unendlich und für
\[
u \equiv \tfrac{c}{2}, \tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega}{2},
\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega'}{2},
\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega+\Omega'}{2}
\]
je von der zweiten Ordnung null wird.
%%-----File: 105.png-------------------------------

Es wird $\left[\varphi(u) - \varphi\left(\frac{c}{2}\right)\right]$
für $u=\frac{c}{2}$ auch null von
der zweiten Ordnung, denn es ist $\varphi'\left(\frac{c}{2}\right)=0$
ebenso werden
\[
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega}{2}\right)\right],
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega'}{2}\right)\right],
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega+\Omega'}{2}\right)\right]
\]
zweimal null für $u=\frac{c}{2}+\frac{\Omega}{2}$,
resp.\ $\frac{c}{2}+\frac{\Omega'}{2}$, resp.\
$\frac{c}{2}+\frac{\Omega+\Omega'}{2}$,
d.~h.\ die doppeltperiodische Funktion
\begin{multline*}
\left[\varphi(u) -\varphi\left(\tfrac{c}{2}\right)\right]
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega}{2}\right)\right]
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega'}{2}\right)\right] \times\\
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega+\Omega'}{2}\right)\right]
\end{multline*}
von $u$ ist von der 8.~Ordnung und zwar wird sie nur für
$u = \gamma_1$, $\gamma_2$ je von der 4.~Ordnung unendlich und
verschwindet
für $u=\frac{c}{2}$, $\frac{c}{2}+\frac{\Omega}{2}$,
$\frac{c}{2}+\frac{\Omega'}{2}$, $\frac{c}{2}+\frac{\Omega+\Omega'}{2}$ je
von der zweiten Ordnung, also genau so wie $[\varphi(u)]^2$ und
daher muss
\[
\begin{split}
[\varphi'(u)]^2 = G^2
\left[\varphi(u) -\varphi\left(\tfrac{c}{2}\right)\right]
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega}{2}\right)\right]\\
\times
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega'}{2}\right)\right]
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\tfrac{c}{2}+\tfrac{\Omega+\Omega'}{2}\right)\right]
\end{split}
\]
sein, wo $G^2$ eine von $u$ unabhängige Konstante ist. $[\varphi'(u)]^2$
ist also eine ganze rationale Funktion 4.~Ordnung von $\varphi$.

Würde $\varphi(u)$ doppelt unendlich blos für $u=\gamma_1$, so
würde $\varphi'(u)$ für $u=\gamma$ dreifach unendlich und alle Schlüsse
im Vorhergehenden bleiben erhalten, bis darauf, dass $u = \gamma$
nicht eine Nullstelle von $[\varphi'(u)]^2$ ist, sondern eine
Unendlichkeitsstelle,
und es ergiebt sich
\[
\begin{split}
[\varphi'(u)]^2 = G^2
\left[\varphi(u) -\varphi\left(\gamma+\tfrac{\Omega}{2}\right)\right]
\left[\varphi(u) -\varphi\left(\gamma+\tfrac{\Omega'}{2}\right)\right],\\
\times
\left[\varphi(u)
-\varphi\left(\gamma+\tfrac{\Omega+\Omega'}{2}\right)\right]
\end{split}
\]
also eine ganze rationale Funktion 3.~Ordnung von $\varphi$.

Setzt man $z = \varphi(u)$ so wird entweder
\[
\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = G^2 (z^4 + Az^3 + Bz^2 + Cz + D), \tag{1}
\]
%%-----File: 106.png-------------------------------
oder
\[
\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = G^2(z^3 + Az^2 + Bz + C), \tag{1a}
\]
wo $G$, $A$, $B$, $C$, $D$ Konstanten sind. Wir werden in der
Theorie der elliptischen Integrale sehen, dass man diese
Konstanten beliebig wählen kann, und dass sie dann die
eindeutige Funktion $z = \varphi(u)$ bestimmen, welche der
Differentialgleichung
(1) oder (1a) genügt.

Da $[\varphi']^2 = r_1(\varphi)$ sich ergiebt, so folgt durch
Differentiation
nach $u$:
\[
\varphi'' = \tfrac{1}{2}r'_1(\varphi),
\]
wenn
\[
r'_1(\varphi) = \frac{dr_1(\varphi)}{d\varphi}
\]
gesetzt wird und hieraus, \textit{dass sich alle höheren als ersten
Ableitungen von $\varphi$ rational und ganz durch $\varphi$ und $\varphi'$
ausdrücken},
was auch aus dem Satze~18 folgt.

Denn da
\[
\varphi^{(n)}\left(\tfrac{c}{2}+u\right) =
(-1)^n \varphi^{(n)}\left(\tfrac{c}{2}-u\right)
\]
ist, so wird für jedes gerade $n = 2\nu$
\[
\varphi^{(2\nu)}\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
= \varphi^{(2\nu)}\left(\tfrac{c}{2}-u\right)
\]
sein, d.~h.\ $\varphi^{(2\nu)}\left(\frac{c}{2}+u\right)$ ist als gerade
doppeltperiodische
Funktion durch $\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$ allein ausdrückbar. Für
$n=2\nu+1$
aber ist
\[
 \varphi^{(2\nu+1)}\left(\tfrac{c}{2}+u\right)
 = -\varphi^{(2\nu+1)}\left(\tfrac{c}{2}-u\right),
\]
d.~h.\ $\varphi^{(2\nu+1)}\left(\frac{c}{2}+u\right)$ ist als rationale
Funktion von $\varphi\left(\frac{c}{2}+u\right)$
multiplizirt mit $\varphi'\left(\frac{c}{2}+u\right)$ ausdrückbar. Daher
ist
\begin{eqnarray*}
\varphi^{(2\nu)}(u) &=& r_\nu[\varphi(u)] \\
\varphi^{(2\nu+1)}(u) &=& \varphi'(u)\,\varrho_\nu[\varphi(u)],
\end{eqnarray*}
wo $r_\nu$ und $\varrho_\nu$ \textit{ganze rationale} Funktionen sind,
wie man ohne
weiteres daraus erkennt, dass $\varphi^{(n)}(u)$ nur unendlich werden
kann, wenn $\varphi(u)$ unendlich wird.

Für $r_\nu(\varphi)$ und $\varrho_\nu(\varphi)$ ergeben sich leicht
mittels (1)
%%-----File: 107.png-------------------------------
Rekursionsformeln zur Berechnung der Koeffizienten dieser
Funktionen.

\subsection[20.\ Zwischen zwei doppeltperiodischen Funktionen mit
denselben Perioden besteht eine rationale Gleichung]{20.}
\emph{Zwischen je zwei doppeltperiodischen Funktionen
$F(u)$, $\Phi(u)$ von $u$ mit denselben Perioden besteht eine rationale
Gleichung.}

Denn aus
\[
  F = \frac{r(\varphi) + \varphi' r_1(\varphi)}{r_2(\varphi)}
\]
folgt
\[
\tag{A}
  [Fr_2(\varphi) - r(\varphi)]^2 -(\varphi')^2 r_1^2(\varphi) = 0,    \]
welche Gleichung in $\varphi$ rational ist, da $(\varphi')^2$ sich
durch $\varphi$
rational ausdrückt. Da nun auch
\[
  \Phi = \frac{\varrho(\varphi) + \varphi' \varrho_1(\varphi)}
              {\varrho_2(\varphi)}
\]
ist, also
\[
\tag{A$'$}
  [\Phi \varrho_2(\varphi) - \varrho(\varphi)]^2
  - (\varphi')^2 \varrho_1^2(\varphi) = 0
\]
sich ergiebt, so kann man aus (A) und (A$'$) die darin
rational auftretende Grösse $\varphi$ eliminiren und erhält als
Resultat
\[
\tag{B}
  G(F, \Phi) = 0,
\]
eine in $F$ und $\Phi$ rationale Gleichung.

Ist $F(u)$ eine doppeltperiodische Funktion $n^{\text{ter}}$ Ordnung,
$\Phi(u)$ eine solche $m^{\text{ter}}$ Ordnung, so wird $\Phi$
höchstens im
$n^{\text{ten}}$ Grade, $F$ im $m^{\text{ten}}$ Grade in $G$, oder einen
Faktor von
$G$ wenn diese reduktibel wäre, eintreten, denn einem Werte
$F_1$ von $F(u)$ entsprechen $n$ Werte $u\colon u_1, u_2 \dotsc u_n$,
für die $\Phi$
im Allgemeinen $n$ verschiedene Werte liefert, die der Gleichung
$G(F_1, \Phi) = 0$ genügen, in der $F_1$ denselben Wert behält.

Die Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades in $\Phi$ und $m^{\text{ten}}$
Grades in $F$
ist aber nun leicht aufzustellen. Denn sei $F(u) = F$ für
$u = u_1, u_2 \dotsc u_n$, so sind
\[
\begin{array}{ccccccl}
  \multicolumn{3}{r}{\Phi(u_1) + \Phi(u_2)} &+ \dotsb +& \Phi(u_n) &=& A_1
\\
  \Phi(u_1)\Phi(u_2) &+& \Phi(u_1)\Phi(u_3) &+\dotsb+&
    \Phi(u_{n-1})\Phi(u_n) &=& A_2
\\
  \vdots  &   & \vdots &   & \vdots & \vdots &   \\
  \multicolumn{5}{c}{ \Phi(u_1)\Phi(u_2) \dotsm \Phi(u_n) } &=& A_n
\end{array}
\]
$A_1, A_2 \dotsc A_n$ symmetrische Funktionen von $F$, und $\Phi$ die
Wurzel der Gleichung
\[
  A_0 \Phi^n + A_1 \Phi^{n-1} + A_2 \Phi^{n-2} \dotsb + A_n = 0.
\]
%%-----File: 108.png-------------------------------
So besteht zwischen $F(u)$ und $F'(u) = \frac{dF}{du}$ eine rationale
Gleichung, in der $F'(u)$ bis zur $n^{\mathrm{ten}}$ Potenz ansteigt, wenn
$F(u)$ eine doppeltperiodische Funktion $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung
ist. Für
diese ist $A_0$ eine Konstante, da $F'(u)$ nur unendlich wird,
wenn $F(u)$ unendlich ist.

\subsection[21.\ Jede doppeltperiodische Funktion lässt sich durch
irgend zwei mit denselben Perioden rational ausdrücken]{21.}
\label{satz21}\textit{Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion mit den
Perioden $\Omega$, $\Omega'$ lässt sich \Emphasis{rational} durch irgend zwei
doppeltperiodische
Funktionen $F(u)$ und $\Phi(u)$ ausdrücken, die dieselben
Perioden besitzen.}

Wir werden beweisen, dass sich die doppeltperiodische
Funktion zweiter Ordnung $\varphi(u)$ und ihre Ableitung $\varphi'(u)$
durch $F(u)$ und $\Phi(u)$ rational ausdrücken lassen, wodurch
dann der Satz mit Rücksicht auf (18) bewiesen erscheint.

\textbf{Hilfssatz:} % made only appearance of 'Hülf' consistent with rest
  Wenn zwei irreduktibele\footnote{
  D.~h.\ solche Gleichungen, deren keine Wurzel einer Gleichung
  niedrigeren Grades, deren Koeffizienten sich rational aus denen der
  gegebenen zusammensetzen, genügt.}
algebraische Gleichungen
\begin{eqnarray*}
f(x)       &=& a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n = 0 \\
\varphi(x) &=& b_0 + b_1x + \cdots + b_mx^m = 0
\end{eqnarray*}
\textit{eine} Wurzel $x = \xi$ gemeinschaftlich haben, so wird für diese
das System der $m + n$ Gleichungen
\[
\begin{array}{rlllrl}
f(\xi) &= 0,\; \xi f(\xi) &= 0,\; \xi^2f(\xi) &= 0 &\;\cdots \xi^mf(\xi)
&= 0 \\
\varphi(\xi) &= 0,\; \xi\varphi(\xi) &= 0,\; \xi^2\varphi(\xi) &=
0 &\;\cdots \xi^n\varphi(\xi) &= 0
\end{array}
\]
bestehen; eliminirt man aus denselben die darin homogen
und linear auftretenden $(m + n + 1)$ Grössen:
\[
\xi^0,\; \xi^1,\; \xi^2 \cdots \xi^{m+n},
\]
so ist das Resultat
\[
R = \begin{vmatrix}
a_0 & a_1 & a_2    & \ldots & a_n    &       &        \\
    & a_0 & a_1    & a_2    & \dots  & a_n   &        \\
    &     & a_0    & a_1    & a_2    & \dots & a_n    \\
    &     &        & \vdots & \vdots &       & \vdots \\
b_0 & b_1 & b_2    & \ldots & b_m    &       &        \\
    & b_0 & b_1    & b_2    & \ldots & b_m   &        \\
    &     & b_0    & b_1    & b_2    & \dots & b_m    \\
    &     & \vdots &        & \vdots &       & \vdots \\
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
f(x)          & a_1 & a_2 & \ldots &        &       \\
xf(x)         & a_0 & a_1 & a_2    & \ldots &       \\
x^2f(x)       &     & a_0 & a_1    & a_2    & \dots \\
\vdots        &     &     & \vdots &        &       \\
\varphi(x)    & b_1 & b_2 & \ldots &        &       \\
x\varphi(x)   & b_0 & b_1 & b_2    & \ldots &       \\
x^2\varphi(x) &     & b_0 & b_1    & \ldots &       \\
\vdots        &     &     &        &        &       \\
\end{vmatrix}
= P \cdot f + Q \cdot \varphi,
\]
%%-----File: 109.png-------------------------------
wo die Determinante $m$ Zeilen der $a$ und $n$ Zeilen der $b$
enthält. Nun ist auch
\[
  S =
  \begin{vmatrix}
    a_0+ & a_1x & a_2 & a_3 & \ldots && \\
         & a_0x & a_1 & a_2 & a_3    & \ldots & \\
         &      & a_0 & a_1 & a_2    & \ldots & \\
    &&&&& \\
    b_0+ & b_1x & b_2 & b_3 & \ldots && \\
         & b_0x & b_1 & b_2 & b_3    & \ldots & \\
         &      & b_0 & b_1 & b_2    & b_3 & \ldots \\
    &&&&&
  \end{vmatrix}
  =
  \begin{vmatrix}
    f(x)          & a_2    & a_3 & \ldots &        & \\
    xf(x)         & a_1    & a_2 & a_3    & \ldots & \\
    x^2f(x)       & a_0    & a_1 & a_2    & a_3    & \ldots \\
                  & \vdots &     & \vdots & \vdots & \\
    \varphi(x)    & b_2    & b_3 & \ldots &        & \\
    x\varphi(x)   & b_1    & b_2 & b_3    & \ldots & \\
    x^2\varphi(x) & b_0    & b_1 & b_2    & b_3    & \ldots \\
    &&&&&
  \end{vmatrix}
  = P_1\cdot f + Q_1\cdot \varphi,
\]
wo die auftretenden Determinanten je eine Zeile der $a$ und $b$
und eine Colonne weniger haben als $R$ hat. Ist nun $f=0$,
$\varphi=0$, also auch $R=0$, d.~h.\ haben~$f$ und $\varphi$ \emph{eine}
gemeinschaftliche
Wurzel, so folgt auch $S=0$; da aber~$S$ die gemeinschaftliche
Wurzel nur linear enthält, so ist
\[
  S = S_0 + S_1x
\]
und es ergiebt sich aus $S=0 \dots x=-\frac{S_0}{S_1}$ als rationale
Funktion der $a$ und $b$. Es kann $S_1$ nicht verschwinden, ohne
dass $f(x)=0$ und $\varphi(x)=0$ zwei Wurzeln gemeinschaftlich
hätten.\footnote{
  Vergleiche: \Person{Baltzer}, Theorie der Determinanten, 4.~Auflage,
  S.~109.}

Sei nun
\begin{align*}
  F &= \frac{r(\varphi)+\varphi'r_1(\varphi)}{r_2(\varphi)},\tag{1}\\
  \Phi &= \frac{\varrho(\varphi)+\varphi'\varrho_1(\varphi)}
               {\varrho_2(\varphi)},\tag{2}
\end{align*}
so folgen die Gleichungen
\begin{align*}
  \left[F\cdot r_2(\varphi) - r(\varphi)\right]^2
  - {\varphi'}^2r_1^2(\varphi) &= 0,\tag{3}\\
  \left[\Phi\cdot \varrho_2(\varphi) - \varrho(\varphi)\right]^2
  - {\varphi'}^2r_1^2(\varphi) &= 0\tag{4}
\end{align*}
zwischen $F$, $\varphi$ und $\Phi$, $\varphi$. Es sei~(3) in $\varphi$ vom
$n^\text{ten}$, (4) vom
$m^\text{ten}$ Grade, nachdem man irgend etwa auftretende
gemeinschaftliche
Faktoren unterdrückt hat.

Dann werden einem Werte von $F$ im Allgemeinen $n$
Werte von $\varphi: \varphi_1, \varphi_2 \dotsc \varphi_n$ entsprechen
und aus~(1) ergeben
sich die zugehörigen Werte von $\varphi': \varphi_1', \varphi_2' \dotsc
\varphi_n'$. Soll nun
für einen Wert von $F$ die Gleichung~(3) zwei gleiche
%%-----File: 110.png-------------------------------
Wurzeln haben, also reduktibel sein\footnote{
  Denn diese Wurzel genügt $f(x)=0$, $\frac{df(x)}{dx}=0$, da
  $f(x)=0$ eine Doppelwurzel hat, und daher lässt sich diese rational
  durch die Koeffizienten von $f$ ausdrücken.}
als Gleichung in $\varphi$
aufgefasst, so muss sie auch reduktibel sein als Gleichung
für $F$ aufgefasst; das letztere kann aber nur dann stattfinden,
wenn entweder $\varphi'=0$ oder $r_1(\varphi)=0$ ist. Dann
wird aber jede sich aus $F\cdot r_2(\varphi) - r(\varphi) = 0$ ergebende
Wurzel $\varphi_1\dots \varphi_{n'}$ für den Wert von $F$ zwei gleiche
entgegengesetzt
bezeichnete $\varphi'$ liefern, wenn nicht $\varphi'$ selbst
null ist.

Analoge Betrachtungen gelten für die Gleichung~(4).
Schliessen wir nun die Werte von $F$ und $\Phi$ aus, welche
entweder $\varphi'(u) = 0$ oder $r_1(\varphi) = 0$ oder
$\varrho_1(\varphi) = 0$ machen,
so sind hierdurch nur eine \emph{endliche} Anzahl von Werten $F$
und $\Phi$ ausgeschlossen und für alle übrig bleibenden Werte
von $F$ und $\Phi$ haben sowohl (3) als (4) nur lauter verschiedene
Wurzeln.

Sei nun $F=F_1$ einer der zulässigen Werte, dann liefert
(3) $n$ von einander verschiedene Wurzeln $\varphi: \varphi_1,
\varphi_2 \dotsc \varphi_n$
und mit Hilfe derselben~(1) ebensoviele Werte von $\varphi': \varphi_1',
\varphi_2'\dotsc \varphi_n'$.

Setzen wir nun das Wertepaar $\varphi_1$, $\varphi_1'$ in~(2) ein, so
erhalten wir $\Phi = \Phi_1$, welches von den Werten $\Phi = \Phi_i$
verschieden
sein muss, die man erhält, wenn man $\varphi = \varphi_i$,
$\varphi' = \varphi_i'$ daselbst einsetzt, sobald $i\ne1$ ist. Setzen
wir nun
$\Phi = \Phi_1$ in~(4) ein, so genügt dieser Gleichung, als
Gleichung
für $\varphi$ aufgefasst, der Wert $\varphi = \varphi_1$ und nur dieser
aus der Reihe der Werte $\varphi_1$, $\varphi_2\dotsc \varphi_n$,
welche~(3) genügen;
denn würde ihr auch $\varphi = \varphi_i,\; i\neq1$ genügen, so
würde aus
derselben
\[
  \Phi_1 = \frac{\varrho(\varphi_i) + \varphi_i'\varrho_1(\varphi_i)}{
    \varrho_2(\varphi_i)} = \Phi_i
\]
folgen, was nicht möglich ist. Da also~(3) und~(4) die einzige
Wurzel $\varphi_1$ gemeinschaftlich haben, so lässt sich diese
nach dem Hilfssatze rational durch die Koeffizienten der
%%-----File: 111.png-------------------------------
Gleichungen, d.~h.\ rational durch $F_1$ und $\Phi_1$ ausdrücken,
oder es ist
\[
  \varphi(u) = R\bigl(F(u), \Phi(u)\bigr)
\]
für alle Werte von $u$, für welche $F$ und $\Phi$ die oben
ausgeschlossenen
Werte nicht besitzen, und da letztere nur eine
endliche Anzahl von Werten von $u$ darstellen, die Gleichung
aber für das übrig bleibende zweifach ausgedehnte komplexe
Gebiet von $u$ gilt, so gilt sie ganz allgemein.

Da nun aus~(1) sich $\varphi'$ rational durch $F$ und $\varphi$ ausdrückt,
so ist auch
\[
  \varphi' = R_1(F,\Phi).
\]

Wir haben also, wenn wir das in der vorigen und dieser
Nummer Erhaltene zusammenfassen, folgenden allgemeinen Satz:

\emph{Zwischen zwei beliebigen eindeutigen doppeltperiodischen
Funktionen $F(u)$, $\Phi(u)$ mit denselben Perioden besteht eine
rationale Gleichung
\[
  G(F,\Phi) = 0
\]
und jede beliebige eindeutige doppeltperiodische Funktion von $u$
mit denselben Perioden wie $F$ und $\Phi$ lässt sich rational durch
$F$ und $\Phi$ darstellen.}

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 112.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section{IV.\ Elliptische Funktionen.}
\subsection[22.\ Die elliptischen Funktionen $su$, $cu$ und $\Delta u$]
{22.} Wir gehen über zu den speziellen doppeltperiodischen
Funktionen zweiter Ordnung, die wir folgendermassen
definiren:
\[
  s(u) = c_1 \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)},\
  c(u) = c_2 \frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_0(u)},\
 \Delta(u) = c_3 \frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_0(u)},
\]
wobei $c_1$, $c_2$, $c_3$ so bestimmt werden sollen, dass
\[
  s\left(\tfrac{\omega}{2}\right) = 1,\
  c(0) = 1,\
  \Delta(0) = 1,
\]
ist, also
\[
  c_1 = \frac{\vartheta_0 \left(\frac{\omega}{2}\right)}
             {\vartheta_1 \left(\frac{\omega}{2}\right)},\
  c_2 = \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2},\
  c_3 = \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
\]
und nach den Formeln auf S.~\pageref{formelVI} ergiebt sich
\[
  \frac{\vartheta_0 \left(\frac{\omega}{2}\right)}
       {\vartheta_1 \left(\frac{\omega}{2}\right)}
  = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2},
\]
also wird
\[
  s(u) = \frac{\vartheta_3   }{\vartheta_2   }
         \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)};\
  c(u) = \frac{\vartheta_0   }{\vartheta_2   }
         \frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_0(u)};\
  \Delta(u) = \frac{\vartheta_0   }{\vartheta_3   }
              \frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_0(u)}. \tag{2}
\]

Diese drei Funktionen heissen \emph{elliptische Funktionen} und
sind \emph{eindeutig} in $u$ und zwar ist $s(u)$ eine ungerade, $c(u)$
sowie $\Delta(u)$ eine gerade Funktion von $u$, da
\[
  s(-u) = -s(u),\
  c(-u) = c(u),\
  \Delta(-u) = \Delta(u) \tag{3}
\]
ist, wie sich aus den Formeln~(6) S.~\pageref{formel6} ergiebt.

Aus den Periodengleichungen I für die $\vartheta$-Funktionen
S.~\pageref{periodgl}, folgt
\begin{align*}
  s(u+\omega) &= -s(u) &
  s(u+\omega') &= \phantom{-} s(u) \tag{4}\\
  c(u+\omega) &= -c(u) &
  c(u+\omega') &= -c(u)\\
  \Delta(u+\omega) &= \phantom{-} \Delta(u) &
  \Delta(u+\omega') &= -\Delta(u).
\end{align*}
%%-----File: 113.png-------------------------------

Daher ist
\[
\begin{aligned}
  s(u+2\omega) &= s(u) &\quad
  s(u+\omega') &= c(u)\\
  c(u+2\omega) &= c(u) &\quad
  c(u+\omega+\omega') &= c(u) \\
  \Delta(u+\omega) &= \Delta(u) &\quad
  \Delta(u+2\omega') &= \Delta(u),
\end{aligned}
\tag{5}
\]
d.~h.\ die Funktion
\[
\begin{array}{cc cc cc cc l}
  s(u) &\ & \text{hat} &\ & \text{die} &\ & \text{Perioden} &\ &2\omega,
  \omega'\\
  c(u) &\ &\text{''}&\ & \text{''} &\ &   \text{''}  &\ &\omega, \omega+\omega'\\
  \Delta(u) &\ &\text{''}&\ &\text{''}&\ &  \text{''}  &\ &\omega, 2\omega',
\end{array}
\]
die, wie wir gleich sehen werden, auch die kleinsten Perioden
sind.

Jede dieser Funktionen hat also ein anderes Periodenparallelogramm,
sie sind daher \emph{nicht rational} durch einander
ausdrückbar.

Die Funktionen sind alle von der zweiten Ordnung; denn
mit Rücksicht auf die Nullwerte der $\vartheta$-Funktionen,
S.~\pageref{nullwerte},
folgt, dass alle drei Funktionen einfach unendlich werden,
wenn
\[
  \vartheta_0(u) = 0,\quad\text{d.~h.} \quad
  u = m\omega + (m'+\tfrac{1}{2})\omega'
\]
wird. Also ist
\[
\begin{aligned}
  s(u) &= \infty &\quad
  u &= \tfrac{\omega'}{2},\
  \omega + \tfrac{\omega'}{2}
\\
  c(u) &= \infty &\quad
  u &= \omega + \tfrac{\omega'}{2},\
  2\omega + \tfrac{\omega'}{2}
\\
  \Delta(u) &= \infty &\quad
  u &= \tfrac{\omega'}{2},\
  \tfrac{3\omega'}{2}
\end{aligned}
\tag{6}
\]
und \emph{nur} für diese Werte innerhalb des zugehörigen ersten
Periodenparallelogrammes, wie aus den nebenstehenden Figuren~23a, b, c
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics*[width=13.5cm,height=5.4cm]{images/fig23}
\caption{\hskip1pt }
\end{figure}
ersichtlich, welche Periodenparallelogramme
der darunter stehenden Funktionen sind, und in denen die
%%-----File: 114.png-------------------------------
Werte von $u$, für welche die Funktionen unendlich werden,
durch~$\times$ bezeichnet sind. Hieraus folgt aber, dass diese
Periodenparallelogramme
für die doppeltperiodischen Funktionen
\emph{zweiter} Ordnung $su$, $cu$, $\Delta u$ \emph{primitive}
Periodenparallelogramme
sind, denn in jedem derselben wird die zugehörige Funktion
\emph{nur} zweimal unendlich.

Es wird ferner
\[
\begin{array}{rcll}
  s(u)=0 & \text{ für }
& u=0
&,\quad\hphantom{\tfrac12}\omega
\\[0.5em]
  c(u)=0 & \text{''}
& u=    \tfrac{1}{2}\omega
&,\quad \tfrac{3}{2}\omega
\\[0.5em]
  \Delta(u)=0 & \text{''}
& u=    \tfrac{1}{2}\omega+\tfrac{1}{2}\omega'
&,\quad \tfrac{1}{2}\omega+\tfrac{3}{2}\omega';
\end{array}
\tag{7}
\]
die betreffenden Werte von $u$ sind durch \DPtypo{o}{$0$} bezeichnet.

Für $s(u)$ ergiebt sich also
\[
  \gamma_1 = \tfrac{1}{2}\omega' \qquad
  \gamma_2 = \omega + \tfrac{1}{2}\omega',
\]
daher
\[
  c = \omega+\omega', \;
  \tfrac{c}{2} = \tfrac{\omega+\omega'}{2}.
\]
Mithin wird mit Rücksicht auf S.~\pageref{null100}, wenn
\[
  \Omega = 2\omega,\ \Omega' = \omega'
\]
gesetzt wird:
\[
  s'(u) = 0 \text{ für $u$ gleich: }
  \tfrac{\omega+\omega'}{2},\ \tfrac{3\omega+\omega'}{2},\
  \tfrac{\omega}{2},\ \tfrac{3\omega}{2}, \tag{8a}
\]
wenn man ganzzahlige Vielfache von $\omega'$ unterdrückt.

Ebenso findet man für $c(u)$, dass
\[
  c = 3\omega+\omega' \dotsb \tfrac{c}{2} = \tfrac{3\omega+\omega'}{2}
\]
ist, und wenn
\[
  \Omega = 2\omega,\ \Omega = \omega+\omega'
\]
gesetzt wird,
\[
  c'(u) = 0\ \text{ ist für } u = \tfrac{3\omega+\omega'}{2},\
  \tfrac{\omega+\omega'}{2},\ \omega,\ 0; \tag{8b}
\]
für $\Delta(u)$ ergiebt sich
\[
  c = 2\omega',\ \tfrac{c}{2}=\omega' \text{ und } \Omega = \omega,\
  \Omega = 2\omega'.
\]

Also ist
\[
  \Delta'(u) = 0 \text{ für } u = \omega',\
  \omega'+\tfrac{\omega}{2},\ 0,\ \tfrac{\omega}{2}, \tag{8c}
\]
wenn man ganze Perioden unterdrückt.
%%-----File: 115.png-------------------------------

\subsection[23.\ $s^2u$, $c^2u$, $\Delta^2u$ sind rational durch
einander ausdrückbar]{23.} Aus den Formeln~(4) ersieht man, dass
\begin{align*}
  s^2(u+\omega ) &= s^2(u) &
  s^2(u+\omega') &= s^2(u)\\
  c^2(u+\omega ) &= c^2(u) &
  c^2(u+\omega') &= c^2(u)\\
  \Delta^2(u+\omega ) &= \Delta^2(u) &\quad
  \Delta^2(u+\omega') &= \Delta^2(u),
\end{align*}
d.~h.\ $s^2(u)$, $c^2(u)$, $\Delta^2(u)$ sind doppeltperiodische
\emph{gerade} Funktionen
mit den gemeinschaftlichen primitiven Perioden $\omega$, $\omega'$.
Sie sind alle von der zweiten Ordnung, denn jede wird \emph{nur}
unendlich für $u=\frac{\omega'}{2}$ und zwar von der \emph{zweiten}
Ordnung,
wie $\vartheta_0^2(u)$ für $u=\frac{\omega'}{2}$.

Aus Satz~(18) folgt daher, dass je zwei der Funktionen
sich rational durch die dritte ausdrücken müssen.

Wir wollen $c^2(u)$ und $\Delta^2(u)$ durch $s^2(u)$ ausdrücken.

Es wird
\begin{alignat*}{3}
  c^2(u) &= \infty &\ &\text{für} &\ u &= \tfrac{\omega'}{2},\
  \tfrac{\omega'}{2}\\
  c^2(u) &= 0      &\ &\text{für} &\ u &= \tfrac{\omega }{2},\
  \tfrac{\omega }{2}
\end{alignat*}
nun wird
\[
  s^2\left(\tfrac{\omega}{2}\right) - s^2(u) \text{ für }
  u = \tfrac{\omega}{2}
\]
zweimal null, denn es ist
\[
  s^2(u) = s^2\left(\tfrac{\omega}{2}\right)
  + \left(\frac{ds^2(u)}{du}\right)_{u=\frac{\omega}{2}}
  \left(u-\tfrac{\omega}{2}\right)
  + \frac{1}{2}
  \left(\frac{d^2s(u)}{du^2}\right)_{u=\frac{\omega}{2}}
  \left(u-\tfrac{\omega}{2}\right)^2 + \dotsb
\]
also
\[
  s^2\left(\tfrac{\omega}{2}\right) - s^2(u)
  = \left(u-\tfrac{\omega}{2}\right)^2
  \left\{-\frac{1}{2}
    \left(\frac{d^2s^2(u)}{du^2}\right)_{u=\frac{\omega}{2}}
    + \dotsb\right\}.
\]
Da
\[
  \left(\frac{ds^2(u)}{du}\right)_{u=\frac{\omega}{2}}
  = 2\left(s'(u)s(u)\right)_{u=\frac{\omega}{2}}
  = 2s'  \left(\tfrac{\omega}{2}\right)
  \cdot s\left(\tfrac{\omega}{2}\right)
  = 0
\]
ist nach~(8a), d.~h.
\[
  \left[s^2\left(\tfrac{\omega}{2}\right) - s^2(u)\right]
\]
wird für $u=\frac{\omega}{2}$ gerade so oft null, wie $c^2(u)$, es
wird ferner
%%-----File: 116.png-------------------------------
nur für $u=\frac{\omega'}{2}$ unendlich von der zweiten Ordnung, besitzt
die Perioden $\omega$, $\omega'$; also muss
\[
  c^2(u) = \mathfrak{C} \left[1-s^2(u)\right],
\]
da $s\left(\frac{\omega}{2}\right)=1$ ist, sein. Nun ist $c^2(0)=1$,
also ist
$\mathfrak{C}=1$, daher
ergiebt sich:
\[
  c^2(u) = 1-s^2(u).\tag{9}
\]

Wir haben ferner
\begin{alignat*}{2}
  \Delta^2(u) &= \infty, &\quad
  u &= \tfrac{\omega'}{2},\ \tfrac{\omega'}{2}\\
  \Delta^2(u) &= 0\ , &\quad
  u &= \tfrac{\omega+\omega'}{2},\ \tfrac{\omega+\omega'}{2}.
\end{alignat*}

Es wird
\[
  s^2\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) - s^2(u) \text{ für }
  u = \tfrac{\omega+\omega'}{2}
\]
\emph{zweimal} null, da wieder
\[
  \left(\frac{d(s^2u)}{du}\right)_{u=\frac{\omega+\omega'}{2}}
    = 2s' \left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right)
       s  \left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) = 0
\]
ist, denn $s\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)$ ist endlich und
$s'\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right) = 0$ nach~(8a).

Also ist, da
\[
  \left[s^2\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) - s^2(u)\right]
\]
auch \emph{nur} für $u=\frac{\omega'}{2}$ unendlich von der
\emph{zweiten} Ordnung
wird, die Perioden $\omega$, $\omega'$ besitzt:
\[
  \Delta^2(u) = \mathfrak{C}
  \left[s^2\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) - s^2(u)\right].
\]
Da $\Delta^2(0)=1$ ist, so folgt
\begin{align*}
  \mathfrak{C} &= \frac{s^2u}{s^2
    \left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right)},\\
  \intertext{also}
  \Delta^2(u) &= 1 - \frac{s^2(u)}{s^2
    \left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right)}. \tag{10}
\end{align*}
Mittels~(9) und~(10) können wir je zwei der Grössen $s^2u$,
$c^2u$, $\Delta^2u$ durch die dritte rational ausdrücken.
%%-----File: 117.png-------------------------------

Wenn nun $c(u)$ und $\Delta(u)$ selbst \emph{nicht
 rational} durch
$s(u)$ ausdrückbar sind, so geben uns die Gleichungen~(9) und (10)
ein Mittel an die Hand, die erwähnten Funktionen \emph{irrational}
durch $s(u)$ auszudrücken. Denn es ist
\[
  c(u) = \pm \sqrt{1-s^2(u)},\quad
  \Delta(u) = \pm \sqrt{1 -
  \frac{s^2(u)}{s^2\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}}.
\]
Da für $u=0$
\[
  c(u) = +1,\quad \Delta(u) = +1
\]
ist, so ist für kleine Werte von $u$ das Zeichen $+$ der
Quadratwurzel
vorzusetzen. Da nun
\begin{gather*}
  c(u+\omega) = -cu,\quad
  c(u+\omega') = -cu,\quad
  \Delta(u+\omega) = \Delta(u),\\
  \Delta(u+\omega') = -\Delta u
\end{gather*}
nach~(4) folgt, so muss der Quadratwurzel ein anderes Vorzeichen
gegeben werden, sobald $u$ um $\omega$ resp.\ $\omega'$ sich ändert.

\begin{wrapfigure}{r}{5.7cm}
\includegraphics*[width=5.7cm,height=4.5cm]{images/fig24}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Und, zwar da
\[
  cu = +\sqrt{1-s^2u}
\]
jedenfalls innerhalb des Parallelogrammes
$ab'gd$, Fig.~24,
ist, wenn
\[
  ab' = b'b = \omega;\quad
  af = fd' = \omega'
\]
ist, so wird im Parallelogramm
$b'gcb$
\[
  cu = -\sqrt{1-s^2u},
\]
daher innerhalb des Parallelogrammes $ab'df$
\[
  cu = +\sqrt{1-s^2u}.
\]
Ebenso ist innerhalb des Parallelogrammes $ab'df$
\[
  \Delta u = +\sqrt{1 -
  \frac{s^2u}{s\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}}
\]
und innerhalb des Parallelogrammes $fdd'c'$
\[
  \Delta u = -\sqrt{1 -
  \frac{s^2u}{s\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}}.
\]
Mithin folgt für Werte
\[
  u = \xi\omega + \xi'\omega,\quad
  0 \leqq \xi < 1,\
  0 \leqq \xi' < 1
\]
%%-----File: 118.png-------------------------------
\begin{gather*}
  cu = +\sqrt{1-s^2u}\\
  \Delta u = +\sqrt{1 -
  \frac{s^2}{s\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}}
\end{gather*}
auch dem Zeichen nach.

Analog kann man $s(u)$ und $c(u)$ oder $s(u)$ und $\Delta(u)$
mittels einer Quadratwurzel ausdrücken durch $\Delta(u)$ resp.\ $c(u)$,
wobei dann beachtet werden muss, welches Vorzeichen der
Quadratwurzel zu geben ist.

\subsection[24.\ Einführung der Moduln $\varkappa,\varkappa'$]{24.}
Wir führen folgende Grössen, die eine wichtige
Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen spielen, ein,
indem wir
\[\label{form11}
  \sqrt{\varkappa}
  = \frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}
  = \frac{2q^\frac{1}{4} \sum_1^\infty q^{n(n-1)}}{
    1 + 2\sum_1^\infty q^{n^2}};\quad
  \sqrt{\varkappa'}
  = \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
  = \frac{1 + 2\sum_1^\infty (-1)^n q^{n^2}}{
    1 + 2\sum q^{n^2}} \tag{11}
\]
setzen, wobei der Quadratwurzel das Vorzeichen der rechten
Seite zukommt, die nur von
\[
  q = e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i}
\]
abhängt.

Da nun
\[
  s\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right)
  = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2} \cdot
  \frac{\vartheta_1\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}{
        \vartheta_0\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}
  = \left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\right)^2
\]
nach den Formeln auf S.~\pageref{null099} ist, so ist
\[
  s\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) = \frac{1}{\varkappa}
\]
und man kann daher
\begin{align*}
  c^2u + s^2u = 1, &\quad
  \Delta^2u + \varkappa^2s^2u = 1 \\
\intertext{oder }
  c(u) = \sqrt{1-s^2(u)}, &\quad
  \Delta(u) = \sqrt{1-\varkappa^2s^2(u)} \tag{12}
\end{align*}
setzen, wobei über das Vorzeichen der Quadratwurzeln die
früheren Festsetzungen zu beachten sind.

Es ist
\[
  \Delta\left(\tfrac{\omega}{2}\right) = +\sqrt{1-\varkappa^2},
\]
andrerseits aber
%%-----File: 119.png-------------------------------
\[
  \Delta\left(\tfrac{\omega}{2}\right)
  = \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
  \frac{\vartheta_3\left(\frac{\omega}{2}\right)}{
    \vartheta_0\left(\frac{\omega}{2}\right)}
  = \left(\frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}\right)^2
\]
nach den Formeln auf S.~\pageref{null099}, also ist nach~(11) auch
\[
  \varkappa' = \sqrt{1-\varkappa^2}
\]
oder
\[
  \varkappa^2 + \varkappa'^2 = 1, \tag{13}
\]
woraus nach~(11) folgt:
\[
  \vartheta_2^4 + \vartheta_0^4 = \vartheta_3^4.\tag{13a}\label{form13a}
\]

Durch die eingeführten Grössen können die
Definitionsgleichungen~(2)
auch geschrieben werden:
\[
  s(u) = \frac{1}{\sqrt{\varkappa}}
  \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)},\
  c(u) = \frac{\sqrt{\varkappa'}}{\sqrt{\varkappa}}
  \frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_0(u)},\
  \Delta(u) = \sqrt{\varkappa'}
  \frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_0(u)}.\tag{2a}
\]

\subsection[25.\ Verwandlungsformeln für die elliptischen Funktionen]{25.}
Von Wichtigkeit für die Rechnungen mit den elliptischen
Funktionen sind die Formeln für die Änderung derselben
bei Zugabe von $\frac{\omega}{2}$ resp.\ $\frac{\omega'}{2}$ zum
Argument der Funktion.
Wir wollen dieselben daher ableiten.

Wir haben hierzu immer nur die Formeln auf p.~60
und 61 wiederholt zu benutzen. Es ist
\begin{align*}
  s\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
 &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_1\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
         {\vartheta_0\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
  = \frac{\vartheta_3   }{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_3(u)}
  = \frac{c(u)}{\Delta(u)}.
\\
  c\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_2\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}{
        \vartheta_0\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
  = -\frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
     \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_3(u)}
  = -\varkappa'\frac{s(u)}{\Delta(u)}
\\
  \Delta\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
  &= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
     \frac{\vartheta_3\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
          {\vartheta_0\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
  =  \frac{\vartheta_0   }{\vartheta_3}
     \frac{\vartheta_0(u)}{\vartheta_3(u)}
  =  \frac{\varkappa'}{\Delta(u)};
\displaybreak[0]
\\[1em]
  s\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
     \frac{\vartheta_1\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)}{
           \vartheta_0\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)}
  =  \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
     \frac{\vartheta_0(u)}{\vartheta_1(u)}
  = \frac{1}{\varkappa s(u)}
\\
  c\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
     \frac{\vartheta_2\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)}{
           \vartheta_0\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)}
  = \frac{1}{i} \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_3(u)}{\vartheta_1(u)}
  = \frac{1}{i} \frac{\Delta(u)}{\varkappa s(u)}
\\
%%-----File: 120.png-------------------------------
  \Delta\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
  \frac{\vartheta_3\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)}{
    \vartheta_0\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)}
  = \frac{1}{i} \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
  \frac{\vartheta_2(u)}{\vartheta_1(u)}
  = \frac{1}{i} \frac{c(u)}{s(u)};
\displaybreak[0]
\\[1em]
  s\left(u+\tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{\varkappa s\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
  = \frac{\Delta(u)}{\varkappa c(u)}
\\
  c\left(u+\tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{i\varkappa}
  \frac{\Delta\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}{
    s\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
  = \frac{1}{i} \frac{\varkappa'}{\varkappa} \frac{1}{c(u)}
\\
  \Delta\left(u+\tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  &= \frac{1}{i}
  \frac{c\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}{
    s\left(u+\frac{\omega}{2}\right)}
  = -\frac{1}{i} \varkappa' \frac{s(u)}{c(u)}
  = i\varkappa' \frac{s(u)}{c(u)}.
\end{align*}
Wir stellen diese Formeln zusammen und erhalten:
\begin{gather*}\label{forms14}
  \left.
    \begin{aligned}
      s\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
      &= \frac{c(u)}{\Delta(u)}\\
      c\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
      &= -\varkappa' \frac{s(u)}{\Delta(u)}\\
      \Delta\left(u+\tfrac{\omega}{2}\right)
      &= \frac{\varkappa'}{\Delta(u)}
    \end{aligned}\tag{14a}
  \right\}\\[1em]
  \left.
    \begin{aligned}
      s\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
      &= \frac{1}{\varkappa s(u)}\\
      c\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
      &= \frac{1}{i} \frac{\Delta(u)}{\varkappa s(u)}\\
      \Delta\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
      &= \frac{1}{i} \frac{c(u)}{s(u)}
    \end{aligned}\tag{14b}
  \right\}\\[1em]
  \left.
    \begin{aligned}
      s\left(u+\tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2}\right)
      &= \frac{1}{\varkappa} \frac{\Delta(u)}{c(u)}\\
      c\left(u+\tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2}\right)
      &= \frac{1}{i} \frac{\varkappa'}{\varkappa} \frac{1}{c(u)}\\
      \Delta\left(u+\tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2}\right)
      &= i\varkappa' \frac{s(u)}{c(u)}
    \end{aligned}\tag{14c}
  \right\}
\end{gather*}

\subsection[26.\ Die Ableitungen der elliptischen Funktionen werden
durch diese ausgedrückt]{26.}
Nach dem allgemeinen Satze über doppeltperiodische
Funktionen zweiter Ordnung (Satz~19 S.~\pageref{satz19}) können wir
unter Rücksicht auf die Gleichungen~(8) $(s'u)^2$, $(c'u)^2$,
$(\Delta'u)^2$
leicht durch $su$, $cu$, $\Delta u$ ausdrücken.
%%-----File: 121.png-------------------------------

Es ergiebt sich
\[
  (s'u)^2 = G^2 \left(1-s^2(u)\right) \left(1-\varkappa^2s^2(u)\right),
\]
da
\begin{align*}
  s\left(\tfrac{\omega}{2}\right) = 1, &\quad
  s\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) = \frac{1}{\varkappa}\\
  s\left(3\tfrac{\omega}{2}\right) = -1, &\quad
  s\left(\omega+\tfrac{\omega'+\omega}{2}\right) = -\frac{1}{\varkappa}
\end{align*}
ist. Analog folgt:
\begin{align*}
  (c'u)^2 &= G_1^2 (1-c^2u)
  \left(1+\frac{\varkappa^2}{\varkappa'^2}c^2u\right),\\
  (\Delta'u)^2 &= G_2^2 (1-\Delta^2u)
  \left(1-\frac{1}{\varkappa'^2}\Delta^2u\right),
\end{align*}
wo $G^2$, $G_1^2$, $G_2^2$ von \emph{einer} unter ihnen abhängen.

Beachtet man, dass aus
\begin{alignat*}{2}
  c^2u &= 1-s^2u, &\quad
  \Delta^2u &= 1-\varkappa^2s^2u\\
  \intertext{folgt:}
  s^2u &= 1-c^2u, &\quad
  \varkappa^2s^2u &= 1-\Delta^2u\\
  c^2u &= -\frac{\varkappa'^2}{\varkappa'^2}
  \left(1-\frac{1}{\varkappa'^2}\Delta^2u\right), &\quad
  \Delta^2u &= \varkappa'^2
  \left(1+\frac{\varkappa^2}{\varkappa'^2}c^2u\right),
\end{alignat*}
so ergiebt sich
\begin{align*}
  (s'u)^2 &= G^2c^2u\, \Delta^2u\\
  (c'u)^2 &= \frac{1}{\varkappa'^2} G_1^2s^2u\, \Delta^2u\\
  (\Delta'u)^2 &= -\frac{\varkappa^4}{\varkappa'^2} G_2^2s^2u\, c^2u.
\end{align*}

Also ist
\[
  s'u = Gcu\, \Delta u;\quad
  c'u = \frac{1}{\varkappa'} G_1su\, \Delta u;\quad
  \Delta'u = \frac{i\varkappa^2}{\varkappa'} G_2su\, cu,
\]
indem wir voraussetzen, dass
\[
  s'(0) = G,\quad
  c'\left(\tfrac{\omega}{2}\right) = G_1,\quad
  \Delta'\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right) = G_2
\]
ist, da sich nach S.~\pageref{formelVI}:
\[
  c\left(\tfrac{\omega+\omega'}{2}\right)
  = \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_2\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}{
        \vartheta_0\left(\frac{\omega+\omega'}{2}\right)}
  = \frac{1}{i} \frac{\varkappa'}{\varkappa}
\]
ergiebt.

Da nun $s'u$ und $cu\, \Delta u$ beide eindeutige doppeltperiodische
Funktionen mit den Perioden $2\omega$, $\omega'$ sind und die Gleichung
%%-----File: 122.png-------------------------------
\[
  s'u = Gcu\, \Delta u
\]
jedenfalls im Parallelogramm $ab'df$ in Fig.~24 auch dem
Zeichen nach richtig ist, so besteht dieselbe für alle Werte
von $u$. Dasselbe gilt von den andern Gleichungen.

Aus $c^2u = 1-s^2u$ folgt aber
\[
  2cu\, c'u = -2su\, s'u = -2su\, Gcu\, \Delta u,
\]
also
\begin{align*}
  c'u &= -Gsu\, \Delta u.\\
  \intertext{\indent Analog aus}
  \Delta^2u &= 1-\varkappa^2s^2u\\
  \Delta'u &= -\varkappa^2Gsu\, cu,
\end{align*}
woraus folgt, dass
\[
  G_1 = -\varkappa'G,\quad
  G_2 = i\varkappa'G
\]
ist, und dass also
\[
  s'u =  Gcu\, \Delta u,\quad
  c'u = -Gsu\, \Delta u,\quad
  \Delta'u = -\varkappa^2Gsu\, cu\tag{15}
\]
sich ergiebt, daher
\[
  \left.
    \begin{aligned}
      s'u &= G \sqrt{1-s^2u} \sqrt{1-\varkappa^2s^2u},\\
      c'u &= -\varkappa'G \sqrt{1-c^2u}
      \sqrt{1+\frac{\varkappa^2}{\varkappa'^2}c^2u},\\
      \Delta'u &= i\varkappa'G \sqrt{1-\Delta^2u}
      \sqrt{1-\frac{1}{\varkappa'^2}\Delta^2u}
    \end{aligned}\tag{16}
  \right\}
\]
ist auch dem Zeichen nach im Parallelogramm $ab'df$ (Fig.~24)
richtig, für andere $u$ aber muss das Vorzeichen der Quadratwurzeln
erst bestimmt werden.

Für die Konstante $G$ ergiebt sich, da $G=s'(0)$ ist, und aus
\begin{align*}
  s(u) &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}\\
  s'(u) &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_0u\,\vartheta_1'u - \vartheta_1u\,\vartheta_0'u}{
    \vartheta_0^2u}
\end{align*}
folgt
\[
  G = s'(0) = \frac{\vartheta_3\vartheta_1'}{
    \vartheta_2\vartheta_0},\tag{17}\label{constG}
\]
denn es ist
\begin{align*}
  \vartheta_0(-u) &= \vartheta_0(u)\\
  \vartheta_0'(-u) &= -\vartheta_0'(u),
\end{align*}
und da $\vartheta_0'(u)$ für jedes endliche $u$ endlich sein muss,
\[
  \vartheta_0'(0) = -\vartheta_0'(0) = 0.
\]

Es hängt also $G$ von $q = e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i}$ ab.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 123.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section{V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen.}

\subsection[27.\ Die Existenz des Additionstheorems]{27.}
Das Additionstheorem für die eindeutige doppeltperiodische
Funktion $F(u)$ von $u$ ist in folgendem Satze enthalten:

\emph{$F(u+v)$ drückt sich rational durch $F(u)$, $F'(u)$, $F(v)$
$F'(v)$ aus, wobei $F'(u) = \frac{dF}{du}$} ist.

Wir fassen $F(u+v)$ als Funktion von $u$ auf, indem
wir dem $v$ einen beliebigen, aber konstanten Wert beilegen.
Als solche ist $F(u+v)$ eine doppeltperiodische eindeutige
Funktion von $u$ und lässt sich rational durch $F(u)$ und ihre
Ableitung $F'(u)$ ausdrücken (Satz~21 S.~\pageref{satz21}), d.~h.\ es ist
\[
  F(u+v) = R_1\bigl(F(u),F'(u)\bigr).
\]
Die Koeffizienten von $F(u)$ und $F'(u)$ in $R_1$ hängen von $v$
ab und müssen auch doppeltperiodische Funktionen von $v$
sein, denn $F(u+v)$ ändert sich nicht, wenn man $v$ um die
Perioden von $F(u)$ ändert. Daher lassen sich diese Koeffizienten
auch rational durch $F(v)$ und $F'(v)$ ausdrücken, und es wird
\[
  F(u+v) = R\bigl(F(u), F'(u), F(v), F'(v)\bigr)
\]
sein, wo die jetzt auftretenden Koeffizienten von $u$ und $v$
unabhängig
sind.

Es muss
\[
  R\bigl(F(u), F'(u), F(v), F'(v)\bigr)
= R\bigl(F(v), F'(v), F(u), F'(u)\bigr)
\]
sein und
\begin{align*}
F(u) &\equiv R\bigl(F(u), F'(u), F( 0), F'(0)\bigr)\\
     &\equiv R\bigl(F(0), F'(0), F'(u), F'(u)\bigr)
\end{align*}
sich ergeben.

\subsection[28.\ Aufstellung der Formeln für die Additionstheoreme der
elliptischen Funktionen]{28.}
Wir wollen die Formeln für das Additionstheorem
der elliptischen Funktionen wirklich aufstellen.
%%-----File: 124.png-------------------------------

Wir setzen
\[
  f(u) = s(v+u) + s(v-u),
\]
indem wir $v$ beliebig, aber vor der Hand konstant annehmen.
Dann ist $f(u)$ eine eindeutige doppeltperiodische Funktion
von $u$ mit den Perioden $2\omega$, $\omega'$, welche nur unendlich wird,
wenn $s(v+u)$ oder $s(v-u)$ unendlich wird.

Nun ist
\begin{alignat*}{4}
  s(v+u) &= \infty &\
  &\text{für} &\
  v+u &\equiv \tfrac{1}{2}\omega', &\
  &\omega+\tfrac{1}{2}\omega'\\
  s(v-u) &= \infty &\
  &\text{für} &\
  v-u &\equiv \tfrac{1}{2}\omega', &\
  &\omega+\tfrac{1}{2}\omega',
\end{alignat*}
d.~h.\ $f(u)$ wird im ersten Periodenparallelogramm nur unendlich
für
\[
  u \equiv -v+\tfrac{1}{2}\omega',\quad
  -v+\omega+\tfrac{1}{2}\omega',\quad
  v-\tfrac{1}{2}\omega',\quad
  v-\omega-\tfrac{1}{2}\omega'
\]
und da $v$ ganz willkürlich ist, so sind diese vier Werte einander
nicht kongruent nach den Perioden, denn wäre beispielsweise
\[
  -v+\tfrac{1}{2}\omega \equiv v-\tfrac{1}{2}\omega',
\]
so müsste
\[
  -2v \equiv 0 \pmod{2\omega,\omega'}
\]
sein, also $v$ einen der vier Werte
\[
  -\omega,\quad -\tfrac{\omega'}{2},\quad
   -\tfrac{\omega-\omega'}{2},\quad 0
\]
haben.

Unsere Funktion $f(u)$ ist also bei willkürlich gelassenem
$v$ von der 4.~Ordnung. Suchen wir nun die vier Nullstellen
derselben.

Soll
\begin{align*}
  f(u) &= s(v+u) + s(v-u) = 0\\
  \intertext{sein, so ist}
  s(v+u) &= -s(v-u) = s(v-u+\omega),\\
  \intertext{also}
  v+u &= v-u+\omega+2m\omega+m'\omega',
\end{align*}
wo $m$ und $m'$ ganze Zahlen bedeuten. Aus der letzten Gleichung
folgt
\begin{align*}
  2u &= (2m+1)\omega + m'\omega\\
  \intertext{oder}
  u &= (2m+1)\tfrac{\omega}{2} + m'\tfrac{\omega'}{2}.
\end{align*}
Von diesen Werten fallen in das Periodenparallelogramm
$2\omega$, $\omega'$ die vier folgenden:
%%-----File: 125.png-------------------------------
\[
  u = \tfrac{\omega}{2},\ \tfrac{3\omega}{2},\ \tfrac{\omega+\omega'}{2},\
  \tfrac{3\omega+\omega'}{2}.
\]
Diese vier Nullstellen müssen für $f(u)$ einfache Nullstellen
sein, da $f(u)$ von der 4.~Ordnung ist. Man überzeugt sich
übrigens leicht, dass $f'(u)$ für diese Werte von Null verschieden
ist. Diese Werte, welche $f(u)=0$ machen, sind
nach~(8a) S.~\pageref{null100} dieselben, welche $s'(u)=0$ machen. Für
die Werte, für welche $f(u)=\infty$ ist, wird
\[
  s^2\left(v+\tfrac{\omega'}{2}\right) - s^2(u)
\]
verschwinden und \emph{nur} für diese Werte; denn der angeschriebene
Ausdruck ist im Periodenparallelogramm $2\omega$, $\omega'$ eine
doppeltperiodische Funktion 4.~Ordnung von $u$, da er nur für
\[
  u = \tfrac{\omega'}{2},\quad \omega+\tfrac{\omega'}{2}
\]
je zweimal unendlich wird.

Es wird also
\[
  \frac{s'u}{s^2\left(v+\frac{\omega'}{2}\right) - s^2u}
\]
null und unendlich für dieselben Werte, wie $f(u)$ und sonst
nicht. Denn für
\[
  u = \tfrac{\omega'}{2} \quad\text{ oder }\quad \omega+\tfrac{\omega'}{2}
\]
werden Zähler und Nenner beide von der zweiten Ordnung
unendlich, der Bruch bleibt also endlich
. Daher ist
\[
  f(u) = s(v+u) + s(v-u) =
  C\frac{s'u}{s^2\left(v+\frac{\omega'}{2}\right) - s^2u},
\]
wo $C$ eine von $u$ unabhängige Grösse ist.

Nach den Formeln~(14b) ist
\[
  s\left(v+\tfrac{\omega'}{2}\right) = \frac{1}{\varkappa sv},
\]
also ist auch
\[
  s(v+u) + s(v-u) =
  c\frac{\varkappa^2\,s^2v\,s'u}{1-\varkappa^2\,s^2v\,s^2u}.
\]
Setzt man $u=0$, so wird
\[
  2sv = c\varkappa^2\,s^2v\,G,
\]
%%-----File: 126.png-------------------------------
da $s'(0)=G$ ist und daher
\[
  c\varkappa^2\,s^2v = \frac{2}{G}sv;
\]
also ist
\begin{align*}
    s(v+u) + s(v-u) &= \frac{1}{G}
    \frac{2sv\,s'u}{1-\varkappa^2\,s^2v\,s^2u},\\
\intertext{woraus}
  \tag{18a}
    s(v+u) + s(u-v) &= \frac{1}{G}
    \frac{2su\,s'v}{1-\varkappa^2\,s^2u\,s^2v}
\end{align*}
folgt, wenn man in der ersten $u$ mit $v$ vertauscht.

Beachtet man, dass nach Gleichung~(15)
\[
  s'u = Gcu\,\Delta u
\]
ist, so wird
\[
  \begin{aligned}
    s(u+v) + s(u-v) &= \frac{2su\,cv\Delta v}{1-\varkappa^2s^2u\,s^2v}\\
    s(u+v) - s(u-v) &= \frac{2sv\,cu\Delta u}{1-\varkappa^2s^2u\,s^2v}
  \end{aligned}\tag{18b}
\]
Durch Addition und Subtraktion ergiebt sich schliesslich
\[
  \begin{aligned}
    s(u+v) &= \frac{su\,cv\,\Delta v + sv\,cu\,\Delta u}{
      1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v}\\
    s(u-v) &= \frac{su\,cv\,\Delta v - sv\,cu\,\Delta u}{
      1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v},
  \end{aligned}\tag{19a}
\]
welche Formeln das \emph{Additionstheorem} für die Funktion $s(u)$
aussagen.

Setzt man
\begin{align*}
  c(v+u) + c(v-u) &= f(u)\\
  c(v+u) - c(v-u) &= \varphi(u),
\end{align*}
so ersieht man, dass $f(u)$ und $\varphi(u)$ nur unendlich werden,
wenn $c(v+u)$ oder $c(v-u)$ unendlich wird d.~h.\ für Werte
von $u$ für die
\[
  1 - \varkappa^2s^2v\,s^2u
\]
verschwindet, wie wir soeben bei der Funktion $s(v+u)$
sahen. Es wird
\begin{alignat*}{5}
  f(u) &= 0,&\quad u &= \tfrac{\omega}{2},&\ &\tfrac{3\omega}{2},&\
  &\omega+\tfrac{\omega'}{2},&\ &2\omega+\tfrac{\omega'}{2}\\
  \varphi(u) &= 0,&\quad u &= 0,&\ &\omega,&\
  &\tfrac{\omega+\omega'}{2},&\ &\tfrac{3\omega+\omega'}{2},
\end{alignat*}
also ist
\begin{align*}
  f(u) &= A\cdot \frac{cu}{1-\varkappa^2s^2v\,s^2u}\\
  \varphi(u) &= B\cdot \frac{c'u}{1-\varkappa^2s^2v\,s^2u}
  = -BG \frac{su\,\Delta u}{1-\varkappa^2s^2v\,s^2u}.
\end{align*}
%%-----File: 127.png-------------------------------
Setzt man in der ersten Gleichung $u = 0$, in der zweiten
$u = \frac{\omega}{2}$, so wird nach den Gleichungen (14)
\[
  2cv = A, \quad 2sv \,\Delta v = BG
\]
sich ergeben, und daher ist
\begin{align*}
  c(u+v) + c(u-v) &=  2\frac{cu\, cv}{1 - \varkappa^2 s^2u\,s^2v} \\
  c(u+v) - c(u-v)
&= -2\frac{su \,{\Delta} u\, sv \,{\Delta}v}
          {1 - \varkappa^2 s^2u\,s^2v} ,
\end{align*}
mithin
\[
\tag{20a}
  c(u+v)
= \frac{cu\,cv - su\,sv \,{\Delta} u\,{\Delta} v}
       {1 - \varkappa^2 s^2u \,s^2v} .
\]
Aendert man in $s(u+v)\; u$ um $\frac{\omega}{2}$, so erhält man
\[
  \frac{c(u+v)}{\,{\Delta}(u+v)}
= \frac{cu\,cv \,{\Delta} u\,{\Delta} v
       - \varkappa'^2 su\,sv}
       {\,{\Delta}^2 u - \varkappa^2 c^2 u \,c^2 v}
= \frac{cu\,cv \,{\Delta} u\,{\Delta} v
       - \varkappa'^2 su\,sv}
       {\varkappa'^2 + \varkappa^2 c^2 u\, c^2 v}.
\]

Mit Hilfe der Gleichungen (12) ergiebt sich
\[
\begin{split}
  & (cu\,cv \,{\Delta} u\,{\Delta} v - \varkappa'^2 su\,sv)
  ({\Delta} u\,{\Delta} v - \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv) \hfill
\\
&\quad = cu\,cv ({\Delta}^2 u\,{\Delta}^2 v
         + \varkappa^2 \varkappa'^2 s^2u \,s^2v)
         - su\,sv \,{\Delta} u\,{\Delta} v
           (\varkappa'^2 + \varkappa^2 c^2u \,c^2v)
\\
&\quad = (cu\,cv - su\,sv \,{\Delta} u\,{\Delta} v)
  (\varkappa'^2 + \varkappa^2 c^2u \,c^2v)
\end{split}
\]
also ist
\[
  \frac{c(u+v)}{\mathit{\Delta}(u+v)}
= \frac{cu\,cv - su\,sv \mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v}
       {\mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v
       - \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv}
\]
und zufolge (20a) daher
\[
\tag{21a}
  \mathit{\Delta}(u+v)
= \frac{\mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v
       - \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv}
       {1 - \varkappa^2 s^2u \,s^2v}.
\]
Diese Ausdrücke für $s(u+v)$, $c(u+v)$, $\mathit{\Delta}(u+v)$ kann
man zufolge der Gleichungen (12) noch auf andere Formen
bringen. Denn es ergeben sich leicht die Identitäten:
\begin{gather*}
\begin{split}
  (cu\,cv \mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v - \varkappa'^2 su\,sv)
  (\mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v - \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv) =  \\
= (cu\,cv - su\,sv \mathit{\Delta} u\mathit{\Delta}v)
  (\varkappa'^2 + \varkappa^2 c^2u \,c^2v),
\end{split}\\
\begin{split}
  (\mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v - \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv)
  (\mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v + \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv) =  \\
= (1 - \varkappa^2 s^2u \,s^2v)
  (\varkappa'^2 + \varkappa^2 c^2u \,c^2v),
\end{split}\\
\begin{split}
  (su\,cv \mathit{\Delta} v + sv\,cu \mathit{\Delta} u)
  (\mathit{\Delta} u\mathit{\Delta} v + \varkappa^2 su\,sv \,cu\,cv) =  \\
= (1 - \varkappa^2 s^2u \,s^2v)
  (su\,cv \mathit{\Delta} u + sv\,cu \mathit{\Delta} v),
\end{split}
\end{gather*}
und daher wird
%%-----File: 128.png-------------------------------
\begin{align*}
  s(u+v) &= \frac{su\, cv\Delta u + sv\, cu\Delta v}{
    \Delta u\Delta v + \varkappa^2su\, sv\, cu\, cv}\tag{19b}\label{19b}
\\[0.5em]
  c(u+v) &= \frac{cu\, cv\Delta u\Delta v - \varkappa'^2su\, sv}{
    \Delta u\Delta v + \varkappa^2su\, sv\, cu\, cv}\tag{20b}
\\[0.5em]
  \Delta(u+v) &= \frac{\varkappa'^2 + \varkappa^2c^2u\, c^2v}{
    \Delta u\Delta v + \varkappa^2su\, sv\, cu\, cv}.\tag{21b}
\end{align*}

Aus den folgenden Identitäten
\begin{gather*}
  (su\, cv\Delta v + sv\, cu\Delta u)
  (su\, cv\Delta v - sv\, cu\Delta u)\\
  = (s^2u - s^2v) (1 - \varkappa^2s^2u\, s^2v),\\[0.5em]
  (cu\, cv - su\, sv\Delta u\Delta v)
  (su\, cv\Delta v - sv\, cu\Delta u)\\
  = (su\, cu\Delta v - sv\, cv\Delta u)
    (1 - \varkappa^2s^2u\, s^2v),\\[0.5em]
  (\Delta u\Delta v - \varkappa^2su\, sv\, cu\, cv)
  (su\, cv\Delta v - sv\, cu\Delta u)\\
  = (su\, cv\Delta u - sv\, cu\Delta v) (1 - \varkappa^2s^2u\, s^2v)
\end{gather*}
ergeben sich dann die Formen
\begin{align*}
  s(u+v) &= \frac{s^2u - s^2 v}{
    su\, cv\Delta v - sv\, cu\Delta u}\tag{19c}\\[0.5em]
  c(u+v) &= \frac{su\, cu\Delta v - sv\, cv\Delta u}{
                  su\, cv\Delta v - sv\, cu\Delta u}\tag{20c}\\[0.5em]
  \Delta(u+v) &= \frac{su\, cv\Delta u - sv\, cu\Delta v}{
                       su\, cv\Delta v - sv\, cu\Delta v}.\tag{21c}
\end{align*}

Stellen wir die erhaltenen Formeln zusammen, indem
wir auch für $v$, $-v$ setzen, so erhalten wir:
\begin{align*}
  \left.
    \begin{aligned}
      s(u\pm v) &= \frac{su\,cv\Delta v \pm sv\,cu\Delta u}{
        1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v}\\[0.5em]
      &= \frac{su\,cv\Delta u \pm sv\,cu\Delta v}{
        \Delta u\Delta v \pm \varkappa^2su\,sv\,cu\,cv}\\[0.5em]
      &= \frac{s^2u - s^2v}{
        su\,cv\Delta v \mp sv\,cu\Delta u}
    \end{aligned}
  \right\} & \tag{19}
\\[0.5em]
  \left.
    \begin{aligned}
      c(u\pm v) &= \frac{cu\,cv \mp su\,sv\Delta u\Delta v}{
        1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v}\\[0.5em]
      &= \frac{cu\,cv\Delta u\Delta v \mp \varkappa'^2su\,sv}{
        \Delta u\Delta v \pm \varkappa^2su\,sv\,cu\,cv}\\[0.5em]
      &= \frac{su\,cu\Delta v \mp sv\,cv\Delta u}{
        su\,cv\Delta v \mp sv\,cu\Delta u}
    \end{aligned}
  \right\} & \tag{20}
\\[0.5em]
  \left.
    \begin{aligned}
      \Delta(u\pm v) &= \frac{\Delta u\Delta v \mp
      \varkappa^2su\,sv\,cu\,cv}{
        1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v}\\[0.5em]
      &= \frac{\varkappa'^2 + \varkappa^2c^2u\,c^2v}{
        \Delta u\Delta v \pm \varkappa^2 su\,sv\,cu\,cv}\\[0.5em]
      &= \frac{su\,cv\Delta u \mp sv\,cu\Delta v}{
        su\,cv\Delta v \mp sv\,cu\Delta u}
      \end{aligned}
    \right\} & \tag{21}
\end{align*}
%%-----File: 129.png-------------------------------
Jede dieser drei Formen geht über in die anderen lediglich
durch Benutzung der Gleichung~(12)
\[
  c^2u + s^2u = 1,\quad \Delta u + \varkappa^2s^2u = 1.
\]
Es ergiebt sich auch noch einfach
\[
  s(u+v) s(u-v) = \frac{s^2u-s^2v}{1-\varkappa^2s^2u\,s^2v},\tag{22}
\]
da
\begin{gather*}
  (su\,cv\Delta v + sv\,cu\Delta u) (su\,cv\Delta v - sv\,cu\Delta u)\\
  = (s^2u - s^2v) (1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v)
\end{gather*}
ist.

\medskip
\addcontentsline{toc}{subsection}{$\qquad s(mu)$ drückt sich rational
durch $su$ und $s'u$ aus}
Für jede ganze Zahl $m$ lässt sich $s(mu)$ rational durch
$su$ und $s'u$ ausdrücken. Es ist $\frac{s(mu)}{su}$ eine
\emph{gerade} doppeltperiodische
Funktion von $u$, welche die Perioden $2\omega$ und $\omega'$
besitzt. Dieselbe lässt sich also rational durch $s\left(u +
  \frac{\omega+\omega'}{2}\right)$
\emph{allein} ausdrücken [nach dem ersten Satz~18 S.~\pageref{satz18}]. Da
nun
\[
  s\left(u + \tfrac{\omega+\omega'}{2}\right)
  = \frac{1}{\varkappa} \frac{\Delta u}{cu}
  = \frac{1}{G\varkappa} \frac{s'u}{c^2u}
\]
ist, so lässt sich $\frac{s(mu)}{su}$ rational durch $s'u$ und
$s^2u$ ausdrücken,
so dass
\[
  s(mu) = su \left[R(s^2u) + s'u\,P(s^2u)\right]
\]
ist, wo $R$ und $P$ rationale Funktionen des Arguments $s^2$ sind.
Da nun
\[
  s(u+\omega) = -su,\quad
  s^2(u+\omega) = s^2u,\quad
  s'(u+\omega) = -s'u
\]
ist, so folgt für ein gerades $m=2\nu$
\[
  s\left[2\nu(u+\omega)\right]
  = s(2\nu u+2\nu\omega)
  = s(2\nu u)
  = -su\left[R(s^2)-s'(u)\,P(s^2)\right]
\]
d.~h.\ es muss $R(s^2) \equiv 0$ sein, also ist
\[
  s(2\nu u) = su\,s'u\,P(s^2u);
\]
für ein ungerades $m=2\nu
+1$ ergiebt sich dann
\[
  s\left[(2\nu+1)u\right]
  = su\,R(s^2u).
\]

Die explicite Darstellung der Funktionen $P$ und $R$ bietet
keine besondere Schwierigkeit, da alle Null- und Unendlichkeitsstellen
derselben bekannt sind, doch soll dieselbe hier
übergangen werden. Man vergleiche hierzu: \Person{Abel}, »Pr\'ecis
d'une th\'eorie des fonctions elliptiques« Grelle Bd.~4 S.~236,
sowie die neue Ausgabe seiner gesammelten Werke Christiania
1881 Bd.~I S.~518; \Person{Königsberger}, »Vorlesungen üb.\ die Theorie
der ellipt.\ Funktionen« Leipzig 1874 II.~Theil S.~204 u.~208 u.~a.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 130.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section{VI.\ Additionstheoreme der Thetafunktionen.}
\subsection[29.\ Ableitung einiger Formeln für das Additionstheorem
der Thetafunktionen aus den Additionstheoremen der elliptischen
Funktionen]{29.}
Aus dem Additionstheorem für die elliptischen Funktionen
ergeben sich Additionstheoreme für die $\vartheta$-Funktionen,
und umgekehrt ergiebt jedes Additionstheorem für die
$\vartheta$-Funktionen,
wie wir sehen werden, ein Additionstheorem für die
elliptischen Funktionen.

Führen wir in die Formel~(22) $\vartheta$-Funktionen ein, so
wird dieselbe, da
\begin{alignat*}{2}
  s(u+v) &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_1(u+v)}{\vartheta_0(u+v)}, &\quad
  s(u-v) &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_1(u-v)}{\vartheta_0(u-v)}\\
  su &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}, &\quad
  sv &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_1(v)}{\vartheta_0(v)}
\end{alignat*}
ist, lauten
\[
  \frac{\vartheta_1(u+v) \vartheta_1(u-v)}{
    \vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)}
  = \frac{\vartheta_1^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2u}{
    \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2v \,\vartheta_1^2u}.
\]

Da Zähler und Nenner rechter Hand für allgemeine Werte
von $u$ und $v$ keinen Faktor gemeinschaftlich haben und der
Zähler links und rechts für $u=v$ verschwindet, während der
Nenner endlich bleibt, so kann man
\begin{align*}
  \varrho\vartheta_1(u+v) \vartheta_1(u-v)
  &= \vartheta_1^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2u\\
  \varrho\vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)
  &= \vartheta_0^2v \,\vartheta_0^2u
  - \vartheta_1^2v \,\vartheta_1^2u
\end{align*}
setzen, wobei $\varrho$ zu bestimmen ist.

Nun ist
\[
  \varrho = \frac{\vartheta_1^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2u}{
    \vartheta_1(u+v) \vartheta_1(u-v)}
\]
aus der ersten Gleichung bestimmt, bei konstantem $v$ eine
doppeltperiodische Funktion von $u$, mit den Perioden $\omega$, $\omega'$.
Denn ändert man $u$ um $\omega$, so bleibt Zähler und Nenner
ungeändert.
Aendert man aber $u$ um $\omega'$, so wird
%%-----File: 131.png-------------------------------
\[
\begin{array}{ll}
\multicolumn{2}{l}{  \vartheta_1^2(u+\omega')\, \vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2(u+\omega') =}
\\
\qquad\qquad\qquad
& = (\vartheta_1^2u \,\vartheta_0^2v - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2u)
  e^{-2(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}}
\\[0.5em]
\multicolumn{2}{l}{  \vartheta_1(u+v+\omega') \,\vartheta_1(u-v+\omega')
=}
\\
 & = \vartheta_1(u+v) \,\vartheta_1(u-v)
  e^{-2(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}},
\end{array}
\]
also bleibt $\varrho$ auch ungeändert. Es kann nun $\varrho$ im
Periodenparallelogramm
$\omega$, $\omega'$ unendlich werden nur für $u \equiv v$ und
$u \equiv -v$; da aber für diese Werte der Zähler auch
verschwindet,
so kann $\varrho$ überhaupt für keinen Wert von $u$ im
Periodenparallelogramm unendlich werden, ist also von $u$
unabhängig.
Setzt man also $u=0$, so wird
\[
  \varrho = \vartheta_0^2
\]
auch von $v$ unabhängig und von Null verschieden.

Dieselbe Betrachtung ergiebt für $\varrho$ aus der zweiten
Gleichung denselben Wert. Also ist
\begin{align*}
  \vartheta_0^2\vartheta_1(u+v) \vartheta_1(u-v)
  &= \vartheta_1^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2u\\
  \vartheta_0^2\vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)
  &= \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v.\\
  \intertext{Ersetzt man in beiden $u$ durch $u-\frac{\omega}{2}$, so
    erhält man}
  \vartheta_0^2\vartheta_2(u+v) \vartheta_2(u-v)
  &= \vartheta_2^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2v \,\vartheta_3^2u\\
  \vartheta_0^2\vartheta_3(u+v) \vartheta_3(u-v)
  &= \vartheta_3^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_2^2u \,\vartheta_1^2v.
\end{align*}
Aendert man in diesen Formeln $u$ und $v$ jedes um $\frac{\omega}{2}$, so
bleibt die linke Seite bis aufs Vorzeichen ungeändert, während
rechts andere $\vartheta$-Funktionen auftreten; man erhält daher
für jede linke Seite zwei Ausdrücke. Es ergeben sich hierdurch
folgende Formeln
\[
  \left.
    \begin{aligned}
      \vartheta_0^2\vartheta_1(u+v) \vartheta_1(u-v)
   &= \vartheta_1^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2v \,\vartheta_0^2u
\\
   &= \vartheta_3^2u \,\vartheta_2^2v
    - \vartheta_3^2v \,\vartheta_2^2u
\\
      \vartheta_0^2\vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)
   &= \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v
\\
   &= \vartheta_3^2u \,\vartheta_3^2v
    - \vartheta_2^2u \,\vartheta_2^2v
\\
      \vartheta_0^2\vartheta_2(u+v) \vartheta_2(u-v)
   &= \vartheta_2^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2v \,\vartheta_3^2u
\\
   &= \vartheta_0^2u \,\vartheta_2^2v
    - \vartheta_1^2u \,\vartheta_3^2v
\\
      \vartheta_0^2\vartheta_3(u+v) \vartheta_3(u-v)
   &= \vartheta_3^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_2^2u \,\vartheta_1^2v
\\
   &= \vartheta_0^2u \,\vartheta_3^2v
    - \vartheta_1^2u \,\vartheta_2^2v
    \end{aligned}
  \right\}
\tag{22}
\]
%%-----File: 132.png-------------------------------

Die zweite Gleichung liefert uns eine bereits bekannte
Relation, wenn man $u=0$, $v=0$ setzt, nämlich
\[
  \vartheta_0^4 = \vartheta_3^4 - \vartheta_2^4
\]
oder
\[
  \vartheta_0^4 + \vartheta_1^4 = \vartheta_3^4,
\]
die wir auf S.~\pageref{form13a} (13a) bereits gefunden haben. Eine
Aenderung
von $u$ und $v$ um $\frac{\omega'}{2}$ lässt beide Seiten der
Gleichungen~(22)
ungeändert.

Die erste Formel~(18b) giebt, wenn man die elliptischen
Funktionen durch die $\vartheta$-Funktionen ersetzt:
\begin{gather*}
  \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\cdot
  \frac{\vartheta_1(u+v) \vartheta_0(u-v)
    + \vartheta_1(u-v) \vartheta_0(u+v)}{
    \vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)}\\
  = 2\frac{\vartheta_0^2}{\vartheta_2^2}\cdot
  \frac{\vartheta_0u \,\vartheta_1u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v}{
    \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v}
\end{gather*}
und zufolge der zweiten Gleichung~(22)
\begin{gather*}
  \vartheta_2\vartheta_3 \bigl[\vartheta_1(u+v) \vartheta_0(u-v)
    + \vartheta_1(u-v) \vartheta_0(u+v)\bigr]\\
  = 2\vartheta_0u \,\vartheta_1u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v,
\end{gather*}
woraus durch Vertauschung von $u$ und $v$ folgt
\begin{gather*}
  \vartheta_2\vartheta_3 \bigl[\vartheta_1(u+v) \vartheta_0(u-v)
    - \vartheta_1(u-v) \vartheta_0(u+v)\bigr]\\
  = 2\vartheta_0v \,\vartheta_1v \,\vartheta_2u \,\vartheta_3u.
\end{gather*}

Durch Addition und Subtraktion beider erhält man die
Gleichungen
\[
  \left.
    \begin{aligned}
      \vartheta_2\vartheta_3\vartheta_1(u+v) \vartheta_0(u-v)
      &= \vartheta_0u \,\vartheta_1u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v\\
      &+ \vartheta_0v \,\vartheta_1v \,\vartheta_2u \,\vartheta_3u\\
      \vartheta_2\vartheta_3\vartheta_1(u-v) \vartheta_0(u+v)
      &= \vartheta_0u \,\vartheta_1u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v\\
      &- \vartheta_0v \,\vartheta_1v \,\vartheta_2u \,\vartheta_3u\\
      \vartheta_2\vartheta_3\vartheta_2(u+v) \vartheta_3(u-v)
      &= \vartheta_3u \,\vartheta_2u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v\\
      &- \vartheta_0v \,\vartheta_1v \,\vartheta_1u \,\vartheta_0u\\
      \vartheta_2\vartheta_3\vartheta_3(u+v) \vartheta_2(u-v)
      &= \vartheta_3u \,\vartheta_2u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v\\
      &+ \vartheta_0v \,\vartheta_1v \,\vartheta_1u \,\vartheta_0u
    \end{aligned}
  \right\}
\tag{23}
\]
von welchen die letzten zwei aus den ersten zwei folgen
durch Aenderung von $u$ um $\frac{\omega}{2}$.

\subsection[30.\ Aufstellung der allgemeinen Additionsformel für die
Produkte von vier Thetafunktionen]{30.}
Die vorstehenden Formeln, welche aus dem Additionstheorem
für $s(u)$ folgten, werden wir späterhin allein
%%-----File: 133.png-------------------------------
verwenden. Doch soll hier, unabhängig von dem Vorhergehenden,
ganz selbständig ein Additionstheorem für die
$\vartheta$-Funktionen abgeleitet werden. Aus den Formeln, welche
wir für die $\vartheta$-Funktionen erhalten werden, ergiebt sich dann
umgekehrt das Additionstheorem für die Funktionen $su$, $cu$,
$\Delta u$. Die im Folgenden durchgeführte Ableitung des
Additionstheorems
ist die von Herrn Prim im Crelle'schen Journal
Bd.~93 S.~124 für $\vartheta$-Funktionen beliebig vieler Argumente
gegebene.

Wir definirten die allgemeine $\vartheta$-Funktion durch die
Gleichungen
\[
  \begin{split}
    \vartheta(u+\omega,\varepsilon,\varepsilon')
    &= (-1)^\varepsilon \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')\\
    \vartheta(u+\omega',\varepsilon,\varepsilon')
    &= (-1)^{\varepsilon'} \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')
    e^{-(2u+\omega')\frac{\pi i}{\omega}},
  \end{split}\tag{a}
\]
dann war
\begin{align*}
 &\left.
    \begin{array}{ll}
      \vartheta(u,\varepsilon+2\nu,\varepsilon')
      &= \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')\\[0.5em]
      \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon'+2\mu)
      &= (-1)^{\varepsilon\mu} \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon'),
    \end{array}\tag{b}
  \right\}\\
 &\left.\vartheta(-u,\varepsilon,\varepsilon')
  = (-1)^{\varepsilon\varepsilon'}
  \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')\right.\tag{c}
\end{align*}
\[
  \vartheta(u+\varkappa'\tfrac{\omega}{2}+\varkappa\tfrac{\omega'}{2},
  \varepsilon,\varepsilon')
  = (-1)^\frac{\varepsilon'+\varkappa'}{2}
  \vartheta(u,\varepsilon+\varkappa,\varepsilon'+\varkappa')
  e^{-\varkappa \left(u+\frac{\varkappa}{4}\omega'\right)
    \frac{\pi i}{\omega}}.\tag{d}
\]
Wir führen folgende Grössen ein:\\
%[** TN: Brittle hack to get intertext positioned w.r.t. braced grouping]
\smash{\raisebox{-6\baselineskip}{woraus}}
\[
  \left.
    \begin{aligned}
      u+v+w+t &= 2u'\\
      u+v-w-t &= 2v'\\
      u-v+w-t &= 2w'\\
      u-v-w+t &= 2t',\\[1em]
      u'+v'+w'+t' &= 2u\\
      u'+v'-w'-t' &= 2v\\
      u'-v'+w'-t' &= 2w\\
      u'-v'-w'+t' &= 2t
    \end{aligned}\tag{24}
  \right\}
\]
folgt. Betrachten wir für einen Augenblick $v$, $w$, $t$ als
konstant
und nur $u$ variabel, und setzen demgemäss
\[
  \vartheta(2u',\varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2v',\varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2w',\varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2t',\varepsilon,\varepsilon')
  = \varphi(2u,\varepsilon,\varepsilon').
\]
Ersetzt man nun $u$ durch $u+\frac{\omega}{2}$, so ändert sich
\[
  2u',\ 2v',\ 2w',\ 2t'
\]
%%-----File: 134.png-------------------------------
jedes um $\frac{\omega}{2}$, also wird nach~(d), da $\varkappa=0$ ist,
das Produkt
der vier Funktionen übergehen in
\begin{gather*}
  \vartheta(2u',\varepsilon,\varepsilon'+1)
  \vartheta(2v',\varepsilon,\varepsilon'+1)
  \vartheta(2w',\varepsilon,\varepsilon'+1)
  \vartheta(2t',\varepsilon,\varepsilon'+1)\\
  = \varphi(2u,\varepsilon,\varepsilon'+1)
\end{gather*}
oder es ist
\[
  \varphi(2u+\omega,\varepsilon,\varepsilon')
  = \varphi(2u,\varepsilon,\varepsilon'+1).
\]
Aendert man $u$ aber um $\frac{\omega'}{2}$, so wird nach~(d)
\[
  \varkappa = 0,\quad \varkappa' = 1,
\]
also
\begin{gather*}
  \vartheta\left(2u'+\tfrac{\omega'}{2}, \varepsilon,\varepsilon'\right)
  \vartheta\left(2v'+\tfrac{\omega'}{2}, \varepsilon,\varepsilon'\right)
  \vartheta\left(2w'+\tfrac{\omega'}{2}, \varepsilon,\varepsilon'\right)
  \vartheta\left(2t'+\tfrac{\omega'}{2}, \varepsilon,\varepsilon'\right)\\
  = \vartheta(2u', \varepsilon+1, \varepsilon')
  \vartheta(2v', \varepsilon+1, \varepsilon')
  \vartheta(2w', \varepsilon+1, \varepsilon')\\
  \times \vartheta(2t', \varepsilon+1, \varepsilon')
  e^{-(4u+\omega') \frac{\pi i}{\omega}},
\end{gather*}
daher ist
\begin{align*}
  \varphi(2u+\omega, \varepsilon,\varepsilon')
  &= \varphi(2u, \varepsilon, \varepsilon'+1)\\
  \varphi(2u+\omega', \varepsilon,\varepsilon')
  &= \varphi(2u, \varepsilon+1, \varepsilon')
  e^{-(4u+\omega') \frac{\pi i}{\omega}}. \tag{e}
\end{align*}

Nach Gleichung~(b) ergiebt sich ferner
\begin{align*}
  \varphi(2u, \varepsilon'+2\nu, \varepsilon')
  &= \varphi(2u, \varepsilon,\varepsilon')\\
  \varphi(2u, \varepsilon, \varepsilon'+2\mu)
  &= \varphi(2u, \varepsilon,\varepsilon'),
\end{align*}
d.~h.\ die $\varphi(2u, \varepsilon,\varepsilon')$ sind nur für Werte
$\varepsilon\varepsilon'$ von einander
verschieden, die $0$ oder $1$ sind. Wir wollen die vier Werte
\[
  \varphi(2u,0,0),\
  \varphi(2u,1,0),\
  \varphi(2u,0,-1),\
  \varphi(2u,1,-1)
\]
als die Fundamentalwerte annehmen, also ($\varepsilon$, $\varepsilon'$)
die Wertepaare
\[
  (0,0),\quad (1,0),\quad (0,-1),\quad (1,-1)
\]
durchlaufen lassen. In diesem Sinne setzen wir
\begin{align*}
  \mathit{\Phi}(2u) &= \sum_{\varepsilon,\varepsilon'}
  \varphi(2u, \varepsilon,\varepsilon'),\\
  \intertext{dann wird nach der Gleichung~(e)}
  \mathit{\Phi}(2u+\omega) &= \mathit{\Phi}(2u)\\
  \mathit{\Phi}(2u+\omega') &= \mathit{\Phi}(2u) e^{-(4u+\omega')\frac{\pi
  i}{\omega}}.
\end{align*}
%%-----File: 135.png-------------------------------
Mit Rücksicht auf die Gleichungen~(a) folgt hieraus, dass
\[
  \Phi(2u) = c\cdot\vartheta(2u,0,0)
\]
ist, wo $c$ von $u$ abhängig ist.

Führt man in $\varphi(2u,\varepsilon,\varepsilon')$ an Stelle von
$w', t'\ldots -w',
-t'$ ein, so wird das Produkt
\[
  \vartheta(2w', \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2t', \varepsilon,\varepsilon')
  = \vartheta(-2w', \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(-2t', \varepsilon,\varepsilon'),
\]
d.~h.\ $\varphi(2u,\varepsilon,\varepsilon')$ bleibt ungeändert.

Zufolge der Gleichungen~(24) tritt aber an Stelle von
$u\ldots v$. Daher ist $\Phi(2u)$ dieselbe Funktion von $v$, wie von
$u$, d.~h.\ es ist
\[
  \Phi(2u,2v) = c\vartheta(2v,0,0) \vartheta(2u,0,0),
\]
wo $c$ von $u$ und $v$ unabhängig sind.

Führt man nun $-v'$, $-t'$ an Stelle von $v'$, $t'$ und dann
$-v$, $-w'$ an Stelle von $v'$, $w'$ ein, so erkennt man, dass
$\Phi$ auch von $w$ und $t$ dieselbe Funktion sein muss, wie von
$u$ d.~h.\ dass
\[
  \Phi(2u,2v,2w,2t) = c \vartheta(2u,0,0) \vartheta(2v,0,0)
  \vartheta(2w,0,0) \vartheta(2t,0,0)
\]
ist, wo $c$ von $u$, $v$, $w$, $t$ unabhängig ist.

Wir erhalten mithin die Gleichung
\[\label{formf}
  \left.
    \begin{aligned}
      c\cdot\vartheta_3(2u) \vartheta_3(2v) \vartheta_3(2w)
      \vartheta_3(2t)&\\
      =\sum_{\varepsilon,\varepsilon'}
      \vartheta(2u',\varepsilon,\varepsilon')
      &\vartheta(2v',\varepsilon,\varepsilon')
      \vartheta(2w',\varepsilon,\varepsilon')
      \vartheta(2t',\varepsilon,\varepsilon')\\
      &= \vartheta_3(2u') \vartheta_3(2v')
      \vartheta_3(2w') \vartheta_3(2t')\\
      &= \vartheta_0(2u') \vartheta_0(2v')
      \vartheta_0(2w') \vartheta_0(2t')\\
      &= \vartheta_2(2u') \vartheta_2(2v')
      \vartheta_2(2w') \vartheta_2(2t')\\
      &= \vartheta_1(2u') \vartheta_1(2v')
      \vartheta_1(2w') \vartheta_1(2t').\\
    \end{aligned}\tag{f}
  \right\}
\]

Um $c$ zu bestimmen, können wir
\[
  u=0, \quad v=0, \quad w=0, \quad t=0,\\
\]
also auch
\[
  u'=0, \quad v'=0, \quad w'=0, \quad t'=0,\\
\]
setzen, dann folgt
\[
  c\vartheta_3^4 = \vartheta_3^4 + \vartheta_0^4 + \vartheta_2^4
\]
oder
\[
  (c-1)\vartheta_3^4 = \vartheta_0^4 + \vartheta_2^4,
\]
da wir aber auf S.~\pageref{form13a} fanden
\[
  \vartheta_3^4 = \vartheta_0^4 + \vartheta_2^4,
\]
so ersieht man, dass $c=2$ sein muss.
%%-----File: 136.png-------------------------------

Wir rekurriren hier aber nicht auf diese Formel, sondern
wollen vor der Hand $c$ in der Gleichung behalten, da
wir gleich ein Mittel bekommen, diese Konstante direkt aus
der Entwickelung zu bestimmen.

Vertauschen wir in der angeschriebenen Formel $u$, $v$, $w$, $t$
mit $u'$, $v'$, $w'$, $t'$, so muss dieselbe Geltung behalten, wie aus
den Gleichungen~(24) folgt. Es ist dann
\begin{multline*}
  c\vartheta(2u',0,0)
  \vartheta(2v',0,0)
  \vartheta(2w',0,0)
  \vartheta(2t',0,0)\\
  = \sum_{\varepsilon,\varepsilon'}
  \vartheta(2u,\varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2v,\varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2w,\varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2t,\varepsilon,\varepsilon')
\end{multline*}
Nun setzen wir an Stelle von
\[
  2u,\quad 2v,\quad 2w,\quad 2t
\]
die Grössen
\begin{alignat*}{2}
  &2u + \eta'\omega + \eta\omega',&\quad
  &2v + \varrho'\tfrac{\omega}{2} + \varrho\tfrac{\omega'}{2},\\
  &2w + \sigma'\tfrac{\omega}{2} + \sigma\tfrac{\omega'}{2},&\quad
  &2t - \tfrac{\varrho'+\sigma'}{2}\omega -
  \tfrac{\varrho+\sigma}{2}\omega,
\end{alignat*}
dann gehen nach~(24)
\[
  2u',\quad 2v',\quad 2w',\quad 2t'
\]
über in
\begin{alignat*}{2}
  &2u' + \eta'\tfrac{\omega}{2} + \eta\tfrac{\omega'}{2},&\quad
  &2v' + \tfrac{\eta'+\varrho'}{2}\omega +
  \tfrac{\eta+\varrho}{2}\omega',\\
  &2w' + \tfrac{\eta'+\sigma'}{2}\omega +
  \tfrac{\eta+\sigma}{2}\omega',&\quad
  &2t' + \tfrac{\eta'-\varrho'-\sigma'}{2}\omega +
  \tfrac{\eta-\varrho-\sigma}{2}\omega'.
\end{alignat*}
Zufolge der Gleichung~(d) wird daher
\begin{gather*}
  \vartheta\left(2u' + \eta'\tfrac{\omega}{2} + \tfrac{\eta}{2}\omega,
  0, 0\right)
  \vartheta\left(2v' + \tfrac{\eta'+\varrho'}{2}\omega +
  \tfrac{\eta+\varrho}{2}\omega', 0, 0\right) \times\\
  \vartheta\left(2w' + \tfrac{\eta'+\sigma'}{2}\omega +
  \tfrac{\eta+\sigma}{2}\omega', 0, 0\right)
  \vartheta\left(2t' + \tfrac{\eta'-\varrho'-\sigma'}{2}\omega +
  \tfrac{\eta-\varrho-\sigma}{2}\omega', 0, 0\right)\\
  = \vartheta(2u'; \eta, \eta')
  \vartheta(2v'; \eta+\varrho, \eta'+\varrho')
  \vartheta(2w'; \eta+\varrho, \eta'+\varrho')\\
  \times \vartheta(2t'; \eta-\varrho-\sigma, \eta'-\varrho'-\sigma')
  e^{-\frac{\pi i}{\omega}N},
\end{gather*}
wobei
\begin{align*}
  N &= \eta \left[ 2u' + \tfrac{\eta'}{2}\omega + \tfrac{\eta}{4}\omega'
  \right] + (\eta+\varrho)
  \left[ 2v' + \tfrac{\eta'+\varrho'}{2}\omega +
    \tfrac{\eta+\varrho}{4}\omega' \right]\\
  &\quad + (\eta+\sigma) \left[ 2w' + \tfrac{\eta'+\sigma'}{2}\omega +
    \tfrac{\eta+\sigma}{4}\omega' \right]\\
  &\quad (\eta-\varrho-\sigma) \left[ 2t' +
    \tfrac{\eta'-\varrho'-\sigma'}{2}\omega +
    \tfrac{\eta-\varrho-\sigma}{4}\omega' \right]
\end{align*}
%%-----File: 137.png-------------------------------
ist. Ferner ist
\begin{gather*}
  \vartheta\left( 2u + \eta'\omega + \eta\omega',
    \varepsilon,\varepsilon' \right)
  \vartheta\left( 2v + \tfrac{\varrho'}{2}\omega +
    \tfrac{\varrho}{2}\omega', \varepsilon,\varepsilon' \right) \times\\
  \vartheta\left( 2w + \tfrac{\sigma'}{2}\omega +
    \tfrac{\sigma}{2}\omega', \varepsilon,\varepsilon' \right)
  \vartheta\left( 2t - \tfrac{\varrho'+\sigma'}{2}\omega -
    \tfrac{\varrho+\sigma}{2}\omega', \varepsilon,\varepsilon' \right)\\
  = \vartheta\left( 2u, \varepsilon+2\eta, \varepsilon'+2\eta' \right)
  \vartheta\left( 2v, \varepsilon+\varrho, \varepsilon'+\varrho'
  \right) \times\\
  \vartheta\left( 2w, \varepsilon+\sigma, \varepsilon'+\sigma' \right)
  \vartheta\left( 2t, \varepsilon-\varrho-\sigma,
    \varepsilon'-\varrho'-\sigma' \right)
  e^{\frac{-\pi i}{\omega}M_{\varepsilon\varepsilon'}},
\end{gather*}
wobei
\begin{align*}
  M_{\varepsilon\varepsilon'} &= 2\eta \left[ 2u +
    \tfrac{\varepsilon'+2\eta'}{2}\omega + \tfrac{\eta}{2}\omega' \right]
  + \varrho \left[ 2v + \tfrac{\varepsilon'+\varrho'}{2}\omega +
    \tfrac{\varrho}{4}\omega' \right]\\
  &\quad + \sigma \left[ 2w + \tfrac{\varepsilon'+\sigma'}{2}\omega +
    \tfrac{\sigma}{4}\omega' \right]
  -(\varrho+\sigma) \left[ 2t +
    \tfrac{\varepsilon'-\varrho'-\sigma'}{2}\omega -
    \tfrac{\varrho+\sigma}{4}\omega' \right].
\end{align*}
Setzen wir dieses in die frühere Gleichung ein, so wird
\begin{multline*}
  c\vartheta(2u', \eta,\eta')
  \vartheta(2v', \eta+\varrho, \eta'+\varrho')
  \vartheta(2w', \eta+\sigma, \eta'+\sigma') \times\\
  \vartheta(t', \eta-\varrho-\sigma, \eta'-\varrho'-\sigma')=\\
  \sum_{\varepsilon,\varepsilon'}
  \vartheta(2u, \varepsilon+2\eta, \varepsilon'+2\eta') \times
  \vartheta(2v, \varepsilon+\varrho, \varepsilon'+\varrho')\times\\
  \vartheta(2w, \varepsilon+\sigma, \varepsilon'+\sigma')
  \vartheta(2t, \varepsilon-\varrho-\sigma,
  \varepsilon'-\varrho'-\sigma')
  e^{-\frac{\pi i}{\omega}[M_{\varepsilon\varepsilon'}-N]}.
\end{multline*}
Wir reduciren nun die Exponentielle. Es ist
\begin{align*}
  M_{\varepsilon\varepsilon'} &= 2\left[ 2\eta u + \varrho(v-t) +
    \sigma(w-t) \right]
  + \left[ \eta^2 + \tfrac{\varrho^2}{4} + \tfrac{\sigma^2}{4} +
    \tfrac{(\varrho+\sigma)^2}{4} \right]\omega'\\
  &\quad + \left[ \eta(\varepsilon'+2\eta') +
    \varrho\tfrac{\varepsilon'+\varrho'}{2} +
    \sigma\tfrac{\varepsilon'+\sigma'}{2} -
    (\varrho+\sigma)\tfrac{\varepsilon'-\varrho'-\sigma'}{2}
    \right]\omega.
\end{align*}

Aus den Gleichungen~(24) führe man für $u$, $v$, $w$, $t$ die
$u'$, $v'$, $w'$, $t'$ ein, so wird
\begin{align*}
  M_{\varepsilon\varepsilon'} &= 2\left[ \eta u' + (\eta+\varrho)v' +
    (\eta+\sigma)w' + (\eta-\varrho-\sigma)t' \right]\\
  &\quad + \left[ \eta^2 + \tfrac{\varrho^2}{4} + \tfrac{\sigma^2}{4} +
    \tfrac{(\varrho+\sigma)^2}{4} \right]\omega'
  + \left[ 2\eta\eta' + \varrho\varrho' + \sigma\sigma' +
    \tfrac{\varrho\sigma'+\sigma\varrho'}{2} + \varepsilon'\eta
  \right]\omega.
\end{align*}
Nun kann man $N$ umformen in
\begin{align*}
  N &= 2\left[ \eta u' + (\eta+\varrho)v' + (\eta+\sigma)w' +
    (\eta-\varrho-\sigma)t' \right]\\
  &\quad + \left[ \tfrac{\eta^2}{4} + \tfrac{(\eta+\varrho)^2}{4} +
    \tfrac{(\eta+\sigma)^2}{4} + \tfrac{(\eta-\sigma-\varrho)^2}{4}
  \right]\omega'\\
  &\quad + \left[ \tfrac{\eta\eta'}{2} +
    (\eta+\varrho)\tfrac{\eta'+\varrho'}{2} +
    (\eta+\sigma)\tfrac{\eta'+\sigma'}{2} +
    (\eta-\varrho-\sigma)\tfrac{\eta'-\varrho'-\sigma'}{2}
  \right]\omega\\
  &= 2\left[ \eta u' + (\eta+\varrho)v' + (\eta+\sigma)w' +
    (\eta-\varrho-\sigma)t' \right]\\
  &\quad + \left[ \eta^2 + \tfrac{\varrho^2}{4} + \tfrac{\sigma^2}{4} +
    \tfrac{(\varrho+\sigma)^2}{4} \right]\omega'
  + \left[ 2\eta\eta' + \varrho\varrho' + \sigma\sigma' +
    \tfrac{\varrho\sigma'+\varrho'\sigma}{2} \right]\omega.
\end{align*}
%%-----File: 138.png-------------------------------

Mithin ist
\[
  M_{\varepsilon\varepsilon'} - N = \varepsilon'\eta\omega,
\]
also
\[
  e^{-\frac{\pi i}{\omega} [M_{\varepsilon\varepsilon'}-N]}
  = e^{-\varepsilon'\eta\pi i}
  = (-1)^{-\varepsilon'\eta}
  = (-1)^{\varepsilon'\eta}
\]
und da
\[
  \vartheta(2u, \varepsilon+2\eta, \varepsilon'+2\eta')
  = (-1)^{\varepsilon\eta'} \vartheta(2u, \varepsilon,\varepsilon')
\]
ist nach der Gleichung~(b), so folgt einfach
\begin{gather*}
  c\vartheta(2u', \eta,\eta')
  \vartheta(2v', \eta+\varrho, \eta'+\varrho')
  \vartheta(2w', \eta+\sigma, \eta'+\sigma') \times\\
  \vartheta(2t', \eta-\varrho-\sigma, \eta'-\varrho'-\sigma')
  = \sum_{\varepsilon,\varepsilon'}
  (-1)^{\varepsilon\eta'+\varepsilon'\eta}
  \vartheta(2u, \varepsilon,\varepsilon') \times\\
  \vartheta(2v, \varepsilon+\varrho, \varepsilon'+\varrho')
  \vartheta(2w, \varepsilon+\sigma, \varepsilon'+\sigma')
  \vartheta(2t, \varepsilon-\varrho-\sigma,
  \varepsilon'-\varrho'-\sigma').
\end{gather*}

Hierbei sind $\eta\eta'$, $\varrho\varrho'$, $\sigma\sigma'$ beliebige
ganze Zahlen, die
man aber nicht grösser als $0$ und $1$ zu nehmen braucht.

Die vorstehende Gleichung giebt uns ein Mittel an die
Hand, die Konstante $c$ zu bestimmen. Wir setzen in derselben
$\varrho=0$, $\varrho'=0$, $\sigma=0$, $\sigma'=0$ und erhalten:
\begin{multline*}
  c\vartheta(2u', \eta,\eta')
  \vartheta(2v', \eta,\eta')
  \vartheta(2w', \eta,\eta')
  \vartheta(2t', \eta\eta')\\
  = \sum_{\varepsilon\varepsilon'}
  (-1)^{\varepsilon\eta'+\varepsilon'\eta}
  \vartheta(2u, \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2v, \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2w, \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2t, \varepsilon,\varepsilon').
\end{multline*}

Wir summiren nun rechts und links über alle zulässigen
$\eta$, $\eta'$ und erhalten, wenn wir rechts die Summation über
$\eta,\eta'$
mit der über $\varepsilon,\varepsilon'$ vertauschen:
\begin{gather*}
  c\sum_{\eta,\eta'}
  \vartheta(2u', \eta,\eta')
  \vartheta(2v', \eta,\eta')
  \vartheta(2w', \eta,\eta')
  \vartheta(2t', \eta,\eta')\\
  = \sum_{\varepsilon,\varepsilon'} \sum_{\eta,\eta'}
  (-1)^{\varepsilon\eta'+\varepsilon'\eta}
  \vartheta(2u, \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2v, \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2w, \varepsilon,\varepsilon')
  \vartheta(2t, \varepsilon,\varepsilon')\\
  = \sum_{\varepsilon,\varepsilon'} \left[
    \vartheta(2u, \varepsilon,\varepsilon')
    \vartheta(2v, \varepsilon,\varepsilon')
    \vartheta(2w, \varepsilon,\varepsilon')
    \vartheta(2t, \varepsilon,\varepsilon')
    \cdot \sum_{\eta,\eta'}
    (-1)^{\varepsilon\eta'+\varepsilon'\eta} \right].
\end{gather*}

Der zu jedem Summanden für ein bestimmtes $\varepsilon\varepsilon'$
zutretende
Faktor
\[
  \sum_{\eta,\eta'} (-1)^{\varepsilon\eta'+\varepsilon'\eta}
\]
ist aber null, sobald nicht $\varepsilon=0$, $\varepsilon'=0$ ist,
denn es ist
\[
  \sum_{\eta,\eta'} (-1)^{\varepsilon'\eta+\varepsilon\eta'}
  = (-1) + (-1)^{\varepsilon'} + (-1)^{-\varepsilon} +
  (-1)^{\varepsilon-\varepsilon'} = 0,
\]
%%-----File: 139.png-------------------------------
wenn nicht $\varepsilon=0$, $\varepsilon'=0$ ist. Für
$\varepsilon=0$, $\varepsilon'=0$ wird
\[
  \sum_{\eta,\eta'} (-1)^{\varepsilon'\eta+\varepsilon\eta'} = 4
\]
und daher ist:
\begin{multline*}
  c \sum_{\eta,\eta'}
  \vartheta(2u', \eta,\eta')
  \vartheta(2v', \eta,\eta')
  \vartheta(2w', \eta,\eta')
  \vartheta(2t', \eta,\eta')\\
  = 4
  \vartheta(2u, 0, 0),\
  \vartheta(2v, 0, 0),\
  \vartheta(2w, 0, 0),\
  \vartheta(2t, 0, 0).
\end{multline*}

Aus der Gleichung~(f) auf Seite~\pageref{formf} folgt aber, wenn
man beide Seiten mit $c$ multiplizirt und $\eta\eta'$ statt
$\varepsilon\varepsilon'$ schreibt:
\begin{multline*}
  c \sum_{\eta,\eta'}
  \vartheta(2u', \eta,\eta')
  \vartheta(2v', \eta,\eta')
  \vartheta(2w', \eta,\eta')
  \vartheta(2t', \eta,\eta')\\
  = c^2
  \vartheta(2u, 0, 0)\
  \vartheta(2v, 0, 0)\
  \vartheta(2w, 0, 0)\
  \vartheta(2t, 0, 0),
\end{multline*}
daher ist
\[
  c^2 = 4 \text{ und } c = \pm 2.
\]

Welches Vorzeichen zu nehmen ist, entscheidet man
leicht, da aus der Gleichung~(f) für
\[
  u=0,\ v=0,\ w=0,\ t=0
\]
folgt
\[
  c\vartheta_3^4 = \vartheta_3^4 + \vartheta_0^4 + \vartheta_2^4,
\]
und nach den Gleichungen auf S.~\pageref{formVIII}
\begin{gather*}
  c \left[ 1 + 2\sum_1^\infty q^{n^2} \right]^4\\
  = \left[ 1 + 2\sum_1^\infty q^{n^2} \right]^4
  + \left[ 1 + 2\sum_1^\infty (-1)^n q^{n^2} \right]^4
  + 16q \left[ \sum_1^\infty q^{n(n-1)} \right]^4
\end{gather*}
für $q=0$, $c=+2$ folgt.

Wir erhalten daher als Schlussgleichung
\[
  \begin{gathered}
    2\vartheta(2u', \eta,\eta') \vartheta(2v', \eta+\varrho,
    \eta'+\varrho')
    \vartheta(2w', \eta+\sigma, \eta'+\sigma')\\
    \times \vartheta(2t', \eta-\varrho-\sigma, \eta'-\varrho'-\sigma')\\
    = \sum_{\varepsilon,\varepsilon'}
    (-1)^{\varepsilon'\eta+\varepsilon\eta'}
    \vartheta(2u, \varepsilon,\varepsilon')
    \vartheta(2v, \varepsilon+\varrho, \varepsilon'+\varrho')\\
    \times \vartheta(2w, \varepsilon+\sigma, \varepsilon'+\sigma'),
    \vartheta(2t,
    \varepsilon-\varrho-\sigma, \varepsilon'-\varrho'-\sigma'),
  \end{gathered}\tag{25}
\]
wobei zwischen den Argumenten die Relationen stattfinden:
\[
  \begin{split}
    u+v+w+t &= 2u'\\
    u+v-w-t &= 2v'\\
    u-v+w-t &= 2w'\\
    u-v-w+t &= 2t'
  \end{split}
  \dotsb
  \begin{split}
    u'+v'+w'+t' &= 2u\\
    u'+v'+w'-t' &= 2v\\
    u'-v'+w'-t' &= 2w\\
    u'-v'-w'+t' &= 2t.
  \end{split}\tag{24}
\]
%%-----File: 140.png-------------------------------

Die Formel~(25) enthält 20 von einander wesentlich verschiedene
$\vartheta$-Relationen. Man kann linker Hand drei der $\vartheta$
beliebig annehmen, dann ist die vierte bestimmt, da $\eta\eta'$,
$\varrho\varrho'$, $\sigma\sigma'$ durch diese Annahme bestimmt
sind. Wählt man
alle drei $\vartheta$ mit denselben Charakteristiken
, so hat die vierte $\vartheta$
auch dieselbe Charakteristik. Denn ist
\[
\begin{array}{ccccccccccccc}
\eta & = & \eta & + & \varrho & + & 2\nu & = & \eta & + & \sigma & + &
2\mu \\
\eta' & = & \eta' & + & \varrho' & + & 2\nu' & = & \eta' & + & \sigma'
& + & 2\mu'
\end{array}
\]
($\mu$ $\mu'$, $\nu$ $\nu'$ ganze Zahlen), so folgt:
\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
\eta & - & \varrho & - & \sigma & = & \eta & - & 2(\mu & - & \nu & - &
\sigma) \\
\eta' & - & \varrho' & - & \sigma' & = & \eta' & - & 2(\mu' & - & \nu'
& - & \sigma')
\end{array}
\]
d.~h.\ die Charakteristik der vierten $\vartheta$ ist auch $(\eta,\eta')$.

Wählt man zwei der $\vartheta$ mit denselben Charakteristiken,
so haben die zwei übrigen auch gleiche Charakteristiken.
Denn ist
\[
\begin{array}{ccccccc}
\eta & + & \varrho & = & \eta & + & 2\nu \\
\eta' & + & \varrho' & = & \eta' & + & 2\nu'
\end{array}
\]
so folgt, dass
\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
\eta & - & \varrho & - & \sigma & = & \eta & + & \sigma & - & 2(\nu &
+ & \sigma) \\
\eta' & - & \varrho' & - & \sigma' & = & \eta' & + & \sigma' & - & 2(\nu'
& + & \sigma')
\end{array}
\]
ist, und dass also die anderen zwei $\vartheta$ gleiche Charakteristik
besitzen.

Hieraus folgt: Nimmt man bei drei der $\vartheta$ verschiedene
Charakteristiken an, so hat die vierte $\vartheta$ die noch
übrigbleibende
vierte Charakteristik.

In der Formel~(25) sind also 20 verschiedene Formeln
enthalten, nämlich:
\begin{alignat*}{7}
  4& &\
  &\text{Formeln,} &\
  &\text{in} &\
  &\text{denen} &\
  &\text{linker} &\
  &\text{Hand} &\
  &\text{dieselbe $\vartheta$-Funktion auftritt,}\\
  4& &\
  &\hphantom{\text{For}}\text{,,}
  &\ &\text{,,} &\
  &\hphantom{\text{de}}\text{,,} &\
  &\hphantom{\text{lin}}\text{,,} &\
  &\hphantom{\text{H}}\text{,,} &\
  &\text{vier verschiedene,}\\
  2\cdot6& &\
  &\hphantom{\text{For}}\text{,,} &\
  &\text{,,} &\
  &\hphantom{\text{de}}\text{,,} &\
  &\hphantom{\text{lin}}\text{,,} &\
  &\hphantom{\text{H}}\text{,,} &\
  &\text{zwei gleiche}
\end{alignat*}
$\vartheta$-Funktionen auftreten.

Wir wollen diese Formeln hier folgen lassen.

Setzt man zur Abkürzung:
\begin{flalign*}
  &\text{und} &
  \begin{split}
    \Pi_\varkappa &=
    \vartheta_\varkappa(2u)
    \vartheta_\varkappa(2v)
    \vartheta_\varkappa(2w)
    \vartheta_\varkappa(2t)\\
    \Pi'_\varkappa &=
    \vartheta_\varkappa(2u')
    \vartheta_\varkappa(2v')
    \vartheta_\varkappa(2w')
    \vartheta_\varkappa(2t'),
  \end{split}\tag{26a} &&
\end{flalign*}
%%-----File: 141.png-------------------------------
so ergiebt sich aus der Formel (25):
\[
\begin{array}{lcl}
  2\Pi'_3 = \Pi_3 + \Pi_2 + \Pi_1 + \Pi_0   &\text{ für }
& \eta = 0, \eta' = 0; \varrho = 0, \varrho' = 0;  \\
& & \sigma = 0, \sigma' = 0;\\
  2\Pi'_2 = \Pi_3 + \Pi_2 - \Pi_1 - \Pi_0   &\text{ '' }
& \eta = 1, \eta' = 0; \varrho = 0, \varrho' = 0;  \\
& & \sigma = 0, \sigma' = 0;\\
  2\Pi'_1 = \Pi_3 - \Pi_2 + \Pi_1 - \Pi_0   &\text{ '' }
& \eta = 1, \eta' = -1; \varrho = 0, \varrho' = 0;  \\
& & \sigma = 0, \sigma' = 0;\\
  2\Pi'_0 = \Pi_3 - \Pi_2 - \Pi_1 + \Pi_0   &\text{ '' }
& \eta = 0, \eta' = -1; \varrho = 0, \varrho' = 0;  \\
& & \sigma = 0, \sigma' = 0;
\tag{26}
\end{array}
\]
Diese Gleichungen (26) sind dieselben, wie die Gleichungen (24),
wenn man $u$, $v$, $w$, $t$ durch $\Pi_3$, $\Pi_2$, $\Pi_1$, $\Pi_0$
ersetzt, und aus
ihnen folgt auch in genau derselben Weise die Auflösung
nach den $\Pi_x$, nämlich
\[
\begin{array}{ll}
  &2\Pi_3 = \Pi'_3 + \Pi'_2 + \Pi'_1 + \Pi'_0  \\
  &2\Pi_2 = \Pi'_3 + \Pi'_2 - \Pi'_1 - \Pi'_0  \\
  &2\Pi_1 = \Pi'_3 - \Pi'_2 + \Pi'_1 - \Pi'_0  \\
  &2\Pi_0 = \Pi'_3 - \Pi'_2 - \Pi'_1 + \Pi'_0 .
\tag{26}
\end{array}
\]

Jede Relation, die sich zwischen den Grössen $u$, $v$, $w$, $t$;
$u'$, $v'$, $w'$, $t'$ als Folge der Gleichungen (24) ergiebt, besteht
auch notwendig zwischen den $\vartheta$-Produkten, und umgekehrt.

Setzt man
\[
\begin{array}{ll}
&P_3= \vartheta_3(2u)\vartheta_2(2v)\vartheta_0(2w)\vartheta_1(2t) \\
&P_2= \vartheta_2(2u)\vartheta_3(2v)\vartheta_1(2w)\vartheta_0(2t) \\
&P_1= \vartheta_1(2u)\vartheta_0(2v)\vartheta_2(2w)\vartheta_3(2t) \\
&P_0= \vartheta_0(2u)\vartheta_1(2v)\vartheta_3(2w)\vartheta_2(2t),
\tag{27a}
\end{array}
\]
so ergiebt die Gleichung (25)
\[
\begin{array}{rr}
  2\vartheta_1(2u') \vartheta_0(2v') \vartheta_2(2w') \vartheta_3(2t')
= P_1 + P_2 + P_3 + P_0  & \\
  2\vartheta_2(2u') \vartheta_3(2v') \vartheta_1(2w') \vartheta_0(2t')
= P_1 + P_2 - P_3 - P_0  & \\
  2\vartheta_3(2u') \vartheta_2(2v') \vartheta_0(2w') \vartheta_1(2t')
= P_1 - P_2 + P_3 - P_0  & \\
  2\vartheta_0(2u') \vartheta_1(2v') \vartheta_3(2w') \vartheta_2(2t')
= P_1 - P_2 - P_3 + P_0  & \\
  \text{für } \eta = 1, \eta' = -1; \varrho = 0, \varrho' = -1;
  \sigma = 1, \sigma' = 0; & \\
  \text{''  } \eta = 0, \eta' = -1; \varrho = 0, \varrho' = -1;
  \sigma = 1, \sigma' = 0;& \\
  \text{''  } \eta = 0, \eta' =  0; \,\varrho = 0, \varrho' = -1; \,
  \sigma = 1, \sigma' = 0; & \\
  \text{''  } \eta = 1, \eta' =  0; \,\varrho = 0, \varrho' = -1; \,
  \sigma = 1, \sigma' = 0.
\tag{27}
\end{array}
\]
%%-----File: 142.png-------------------------------

Durch Auflösung dieser erhält man, wenn $P'_\varkappa$ aus $P_\varkappa$
hervorgeht, durch Vertauschung der $u$, $v$, $w$, $t$ mit $u'$, $v'$,
$w'$, $t'$:
\[
\tag{27}
\begin{aligned}
  2P_1 &= P'_1 + P'_2 + P'_3 + P'_0  \\
  2P_2 &= P'_1 + P'_2 - P'_3 - P'_0  \\
  2P_3 &= P'_1 - P'_2 + P'_3 - P'_0  \\
  2P_0 &= P'_1 - P'_2 - P'_3 + P'_0 .
\end{aligned}
\]

Diese Gleichungen gehen über in die Gleichung (24),
wenn man
\[
  P_1, P_2, P_3, P_0; P'_1, P'_2, P'_3, P'_0
\]
resp.\ ersetzt durch
\[
  u, v, w, t; u', v', w', t'
\]
und jeder Relation zwischen den $u$, $v$, $w$, $t$ und $u'$, $v'$,
$w'$, $t'$
muss daher einer Relation zwischen $P$ und $P'$ entsprechen.

Wir setzen ferner:
\begin{align*}
  \Pi_{i\,h}  &= \vartheta_i(2u ) \vartheta_i(2v )
                 \vartheta_h(2w ) \vartheta_h(2t )  \\
  \Pi'_{i\,h} &= \vartheta_i(2u') \vartheta_i(2v')
                 \vartheta_h(2w') \vartheta_h(2t'),
\end{align*}
so ergiebt die Gleichung (25) für leicht zu bestimmende
Werte die Charakteristiken:
\begin{align*}
\tag{28}
\left.
\begin{aligned}
  2\Pi'_{03} &= \Pi_{03} + \Pi_{12} + \Pi_{21} + \Pi_{30}  \\
  2\Pi'_{12} &= \Pi_{03} + \Pi_{12} - \Pi_{21} - \Pi_{30}  \\
  2\Pi'_{21} &= \Pi_{03} - \Pi_{12} + \Pi_{21} - \Pi_{30}  \\
  2\Pi'_{30} &= \Pi_{03} - \Pi_{12} - \Pi_{21} + \Pi_{30}
\end{aligned}
\right\}
\\
\tag{29}
\left.
\begin{aligned}
  2\Pi'_{02} &= \Pi_{02} + \Pi_{13} + \Pi_{20} + \Pi_{31}  \\
  2\Pi'_{13} &= \Pi_{02} + \Pi_{13} - \Pi_{20} - \Pi_{31}  \\
  2\Pi'_{20} &= \Pi_{02} - \Pi_{13} + \Pi_{20} - \Pi_{31}  \\
  2\Pi'_{31} &= \Pi_{02} - \Pi_{13} - \Pi_{20} + \Pi_{31}
\end{aligned}
\right\}
\\
\tag{30}
\left.
\begin{aligned}
  2\Pi'_{32} &= \Pi_{32} + \Pi_{23} + \Pi_{10} + \Pi_{01}  \\
  2\Pi'_{23} &= \Pi_{32} + \Pi_{23} - \Pi_{10} - \Pi_{01}  \\
  2\Pi'_{10} &= \Pi_{32} - \Pi_{23} + \Pi_{10} - \Pi_{01}  \\
  2\Pi'_{01} &= \Pi_{32} - \Pi_{23} - \Pi_{10} + \Pi_{01}
\end{aligned}
\right\}
\end{align*}

Es ist ohne weiters klar, wie man jede Relation zwischen
den $u'$, $v'$, $w'$, $t'$, $u$, $v$, $w$, $t$ durch solche zwischen
den Grössen
$\Pi_{i\,h}$ und $\Pi'_{i\,h}$ ersetzen kann.
%%-----File: 143.png-------------------------------

Hier einige Relationen zwischen den Grössen, die sich
aus den Gleichungen (24) ohne Mühe ergehen:
\begin{align*}
  u + v &= u' + v' & u - v &= w' + t'  \\
  u + w &= u' + w' & u - w &= v' + t'  \\
  u + t &= u' + t' & u - t &= v' + w'
\end{align*}
\begin{align*}
  uv - wt &= u'v' - w't'  \\
  uw - vt &= u'w' - v't'  \\
  ut - vw &= u't' - v'w'
\end{align*}
\begin{align*}
  u^2 + v^2 + w^2 + t^2 &= u'^2 + v'^2 + w'^2 + t'^2  \\
  2(uv + wt)            &= u'^2 + v'^2 - w'^2 - t'^2  \\
  2(uw + vt)            &= u'^2 - v'^2 + w'^2 - t'^2  \\
  2(ut + vw)            &= u'^2 - v'^2 - w'^2 + t'^2 .
\end{align*}

Aus diesen ergeben sich die reciproken durch Vertauschung von $u$, $v$,
$w$, $t$ mit $u'$, $v'$, $w'$, $t'$.

\subsection[31.\ Entwicklung des Additionstheorems der elliptischen
Funktionen aus jenem der Thetafunktionen]{31.}
Aus den eben abgeleiteten Formeln für die $\vartheta$-Funktionen ergehen
sich die Additionsformeln für die elliptischen
Funktionen $su$, $cu$, ${\Delta} u$.

Setzt man beispielsweise in den Formeln (27)
\[
  u = v, w = t,
\]
wodurch
\[
  u' = u + w, v' = u - w, w' = 0, t' = 0
\]
wird, so giebt die erste Gleichung, wenn $\frac{1}{2}u$, $\frac{1}{2}w$
an Stelle
von $u$ und $w$ geschrieben wird,
\[
\begin{split}
  \vartheta_2 \vartheta_3 \vartheta_1(u+&w) \vartheta_0(u-w)  \\
&= \vartheta_1 u \,\vartheta_0 u \,\vartheta_2 w \,\vartheta_3 w
+ \vartheta_2 u \,\vartheta_3 u \,\vartheta_1 w \,\vartheta_0 w .
\end{split}
\tag{31}
\]

Macht man dieselbe Substitution in den Gleichungen (26),
so folgt, da
\[
  \Pi'_1 = 0
\]
wird, also
\[
  \Pi_0 - \Pi_1 = \Pi_3 - \Pi_2
\]
ist,
\[
  \Pi'_0 = \Pi_3 - \Pi_2 = \Pi_0 - \Pi_1 ,
\]
oder:
\[
  \vartheta_0^2 \vartheta_0(u+w) \vartheta_0(u-w)
= \vartheta_0^2 u \,\vartheta_0^2 w - \vartheta_1^2 u \,\vartheta_1^2 w.
\tag{32}\label{form32}
\]

Dividirt man beide Gleichungen durch einander, so folgt:
%%-----File: 144.png-------------------------------
\begin{align*}
  \frac{\vartheta_2\vartheta_3}{\vartheta_0^2}
  \frac{\vartheta_1(u+w)}{\vartheta_0(u+w)}
  &= \frac{\vartheta_1u \,\vartheta_0u \,\vartheta_2w \,\vartheta_3w
    + \vartheta_2u \,\vartheta_3u \,\vartheta_1w \,\vartheta_0w}{
    \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2w
    - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2w}\\
  \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_1(u+w)}{\vartheta_0(u+w)}
  &= \frac{\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_1u}{\vartheta_0u}
    \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_2w}{\vartheta_0w}
    \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
    \frac{\vartheta_0w}{\vartheta_0w}
    + \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_2u}{\vartheta_0u}
    \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
    \frac{\vartheta_3u}{\vartheta_0u}
    \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_1w}{\vartheta_0w}}{
    1 - \frac{\vartheta_2^4}{\vartheta_3^4}
    \frac{\vartheta_3^2}{\vartheta_2^2}
    \frac{\vartheta_1^2u}{\vartheta_0^2u}
    \frac{\vartheta_3^2}{\vartheta_2^2}
    \frac{\vartheta_1^2w}{\vartheta_0^2w}},\\
  \intertext{daher}
  s(u+w) &= \frac{su\,cw\Delta w + sw\,cu\Delta
  u}{1-\varkappa^2s^2u\,s^2w}.
\end{align*}

Setzt man in der ersten Gleichung~(29)
\[
  u = w,\quad v = t,
\]
also
\[
  u' = u+v,\quad
  v' = 0,\quad
  w' = u-v,\quad
  t' = 0
\]
und ersetzt dann $u$ und $v$ durch $\frac{1}{2}u$, und $\frac{1}{2}v$,
so wird, da
\[
  \Pi_{31}' = 0
\]
ist, also
\[
  \Pi_{02} + \Pi_{31} = \Pi_{13} + \Pi_{20}
\]
sich ergiebt,
\[
  \Pi_{02}' = \Pi_{02} + \Pi_{31} = \Pi_{13} + \Pi_{20},
\]
oder
\[
  \vartheta_0 \vartheta_2 \vartheta_0(u+v) \vartheta_2(u-v)
  = \vartheta_0u \,\vartheta_0v \,\vartheta_2u \,\vartheta_2v
  + \vartheta_1u \,\vartheta_1v \,\vartheta_3u \,\vartheta_3v
\]
und da nach eben hingeschriebener Relation
\[
  \vartheta_0^2 \vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)
  = \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v
\]
ist, so folgt:
\begin{align*}
  \frac{\vartheta_2}{\vartheta_0}
  \frac{\vartheta_2(u-v)}{\vartheta_0(u-v)}
  &= \frac{\vartheta_0u \,\vartheta_0v \,\vartheta_2u \,\vartheta_2v
    + \vartheta_1u \,\vartheta_1v \,\vartheta_3u \,\vartheta_3v}{
    \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v}\\
  \intertext{oder}
  \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
  \frac{\vartheta_2(u-v)}{\vartheta_0(u-v)}
  &= \frac{\frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_2u}{\vartheta_0u}
    \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_2v}{\vartheta_0v}
    + \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_1u}{\vartheta_0u}
    \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
    \frac{\vartheta_1v}{\vartheta_0v}
    \cdot \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
    \frac{\vartheta_3u}{\vartheta_0u}
    \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}
    \frac{\vartheta_3v}{\vartheta_0v}}{
    1 - \frac{\vartheta_2^4}{\vartheta_3^4}
    \frac{\vartheta_3^2}{\vartheta_2^2}
    \frac{\vartheta_1^2u}{\vartheta_0^2u}
    \cdot \frac{\vartheta_3^2}{\vartheta_2^2}
    \frac{\vartheta_1^2v}{\vartheta_0^2v}},\\
  \intertext{daher}
  c(u-v) &= \frac{cu\,cv + su\,sv\Delta u\Delta
  v}{1-\varkappa^2s^2u\,s^2v}.
\end{align*}

Durch dieselbe Substitution, wie sie eben vorgenommen
wurde, ergiebt die erste Gleichung~(28), da
\begin{align*}
  \Pi_{21}' &= 0\\
  \intertext{ist, also}
  \Pi_{03} + \Pi_{21} &= \Pi_{12} + \Pi_{30},\\
  \Pi_{03}' &= \Pi_{03} + \Pi_{21},
\end{align*}
oder
%%-----File: 145.png-------------------------------
\begin{align*}
  \vartheta_0 \vartheta_3 \vartheta_0(u+v) \vartheta_3(u-v)
  &= \vartheta_0u \,\vartheta_0v \,\vartheta_3u \,\vartheta_3v
  + \vartheta_2u \,\vartheta_2v \,\vartheta_1u \,\vartheta_1v\\
  \intertext{und}
  \vartheta_0^2 \vartheta_0(u+v) \vartheta_0(u-v)
  &= \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
  - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v,\\
  \intertext{also}
  \frac{\vartheta_3}{\vartheta_0}
  \frac{\vartheta_3(u-v)}{\vartheta_0(u-v)}
  &= \frac{\vartheta_0u \,\vartheta_0v \,\vartheta_3u \,\vartheta_3v
    + \vartheta_1u \,\vartheta_1v \,\vartheta_2u \,\vartheta_2v}{
    \vartheta_0^2u \,\vartheta_0^2v
    - \vartheta_1^2u \,\vartheta_1^2v},
  \intertext{woraus}
  \Delta(u-v)
  &= \frac{\Delta u\Delta v + \varkappa^2su\,sv\,cu\,cv}{
    1 - \varkappa^2s^2u\,s^2v}
\end{align*}
folgt.

Nach dem Vorstehenden ist leicht ersichtlich, wie man
die anderen in (19), (20), (21) hingeschriebenen Formen des
Additionstheorems unserer doppeltperiodischen Funktionen
erhält.

\subsection[32.\ Bestimmungen von
$G=\frac{\vartheta'_1\vartheta_3}{\vartheta_0\vartheta_2}$]{32.}
Wir wollen die Relationen zwischen den
$\vartheta$-Funktionen
noch dazu benutzen, um die S.~\pageref{constG} berechnete Konstante
\[
  G = \frac{\vartheta_1'\vartheta_3}{\vartheta_0\vartheta_2}
\]
in einfacherer Form darzustellen.

Wenn wir die Gleichung
\[
  \vartheta_2 \vartheta_3 \vartheta_1(u+v) \vartheta_0(u-v)
  = \vartheta_0u \,\vartheta_1u \,\vartheta_2v \,\vartheta_3v
  + \vartheta_0v \,\vartheta_1v \,\vartheta_2u \,\vartheta_3u
\]
nach $v$ differentiiren und $\frac{d\vartheta v}{dv} = \vartheta'v$
setzen, wobei also
\[
  \frac{d\vartheta(u+v)}{dv}
  = \frac{d\vartheta(u+v)}{d(u+v)}
  = \vartheta'(u+v)
\]
folgt, da $u$ als konstant betrachtet wird, während
\[
  \frac{d\vartheta(u-v)}{dv}
  = -\vartheta'(u-v)
\]
ist, so ergiebt sich
\[
\begin{split}
  \vartheta_2 \vartheta_3
  &\left[ \vartheta_1'(u+v) \vartheta_0(u-v)
    - \vartheta_1(u+v) \vartheta_0'(u-v) \right]\\
  = &\vartheta_0u \,\vartheta_1u
  \left[ \vartheta_2'v \,\vartheta_3v + \vartheta_2v \,\vartheta_3'v
  \right]
  + \vartheta_2u \,\vartheta_3u
  \left[ \vartheta_0'v \,\vartheta_1v + \vartheta_0v \,\vartheta_1'v
  \right].
\end{split}
\]

Setzt man nun $v=0$, so wird, da
\[
  \vartheta_0'(0) = 0,\quad
  \vartheta_3'(0) = 0,\quad
  \vartheta_2'(0) = 0
\]
ist, denn $\vartheta_0'(v)$, $\vartheta_3'(v)$, $\vartheta_2'(v)$ sind
ungerade Funktionen von $v$,
\[
  \vartheta_2 \vartheta_3
  \left[ \vartheta_1'u \,\vartheta_0u - \vartheta_1u \,\vartheta_0'u
  \right]
  \vartheta_0 \,\vartheta_1' \vartheta_2u \,\vartheta_3u.
\]

Diese Gleichung zweimal nach $u$ differentiirt liefert:
%%-----File: 146.png-------------------------------
\begin{multline*}
  \vartheta_2 \vartheta_3
  \left[ \vartheta_1'''u \,\vartheta_0u
    + \vartheta_1''u \,\vartheta_0'u
    - \vartheta_1'u \,\vartheta_0''u
    - \vartheta_1u \,\vartheta_0'''u \right]\\
  = \vartheta_0 \,\vartheta_1'
  \left[ \vartheta_2''u \,\vartheta_3u
    + 2\vartheta_2'u \,\vartheta_3'u
    + \vartheta_2u \,\vartheta_3''u \right].
\end{multline*}

Es ist aber auch
\[
  \vartheta_0''' = 0,\quad \vartheta_1'' = 0,
\]
da beide Funktionen $\vartheta_0'''(u)$ und $\vartheta_1''(u)$
ungerade Funktionen
von $u$ sind, man erhält also, wenn $u=0$ gesetzt wird,
\[
  \vartheta_2 \vartheta_3
  \left[ \vartheta_1''' \vartheta_0 - \vartheta_1' \vartheta_0'' \right]
  = \vartheta_0 \vartheta_1'
  \left[ \vartheta_2'' \vartheta_3 + \vartheta_2 \vartheta_3'' \right]
\]
und da $\vartheta_1'$, $\vartheta_2$, $\vartheta_3$, $\vartheta_0$
nicht null sind, die Relation
\[
  \frac{\vartheta_1'''}{\vartheta_1'}
  = \frac{\vartheta_2''}{\vartheta_2}
  + \frac{\vartheta_3''}{\vartheta_3}
  + \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}.\tag{33}
\]

Es ist die allgemeine $\vartheta$-Funktion durch die Gleichung
definirt gewesen:
\[
  \vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')
  = \sum_{m=-\infty}^{+\infty}
  e^{\left[ \left( m+\frac{\varepsilon }{2} \right)^2\omega'
         + 2\left( m+\frac{\varepsilon }{2} \right)
            \left( u+\frac{\varepsilon'}{2}\omega \right) \right]
    \frac{\pi i}{\omega}}.
\]

Die Reihe rechter Hand konvergirt für alle Werte von $u$
unbedingt und gleichmässig, kann also differentiirt werden,
und die Summe der Differentialquotienten der Glieder ist der
Differentialquotient der Reihe, also ist
\begin{align*}
  \frac{d\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')}{du}
  &= \left(\frac{2\pi i}{\omega}\right)
  \sum_{-\infty}^{+\infty} \left(m+\tfrac{\varepsilon}{2}\right)
  e^{\left[ \left( m+\frac{\varepsilon}{2} \right)^2\omega'
      + 2\left( m+\frac{\varepsilon}{2} \right)
      \left( u+\frac{\varepsilon}{2}\omega \right) \right]
    \frac{\pi i}{\omega}}\\
  \intertext{und}
  \frac{d^2\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')}{du^2}
  &= \left(\frac{2\pi i}{\omega}\right)^2
  \sum_{-\infty}^{+\infty} \left(m+\tfrac{\varepsilon}{2}\right)^2
  e^{\left[ \left( m+\frac{\varepsilon}{2} \right)^2\omega'
      + 2\left( m+\frac{\varepsilon}{2} \right)
      \left( u+\frac{\varepsilon'}{2}\omega \right) \right]
    \frac{\pi i}{\omega}},
\end{align*}
da die Reihe rechts wieder gleichmässig konvergirt. Wir
sahen nun, dass $\omega'$ nur der Bedingung unterworfen war,
damit die Reihe konvergire, dass $\frac{\omega'}{\omega}$ einen
positiven Koeffizienten
von $i$ habe. Ändert sich also $\omega'$ derartig, dass diese
Bedingung erfüllt bleibt, so wird die neue $\vartheta$-Reihe wieder
gleichmässig konvergiren. Es ist daher
$\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')$ auch eine
stetige Funktion von $\omega'$, wenn $\omega'$ innerhalb eines gewissen
Gebietes bleibt, z.~B.\ wenn $\omega$ reell und positiv ist, wenn
$\omega' = \alpha + i\beta$ oberhalb der Axe der reellen Zahlen liegt,
d.~h.\
wenn $\beta$ positiv ist. Differentiirt man nun die
\[
  \sum  e^{\left[ \left( m+\frac{\varepsilon}{2} \right)^2\omega'
      + 2\left( m+\frac{\varepsilon}{2} \right)
      \left( u+\frac{\varepsilon'}{2}\omega \right) \right]
    \frac{\pi i}{\omega}},
\]
%%-----File: 147.png-------------------------------
nach $\omega'$, wodurch man
\[
  \frac{\pi i}{\omega}
  \sum      \left(m+\tfrac{\varepsilon}{2}\right)^2
  e^{\left[ \left(m+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2\omega'
         + 2\left(m+\frac{\varepsilon}{2}\right)
            \left(u+\frac{\varepsilon}{2}\omega\right) \right]
    \frac{\pi i}{\omega}}
\]
erhält, so konvergirt diese Reihe für dieselben $\omega'$, wie die
erste, und für alle endlichen $u$ und daher ist:
\[
  \frac{d\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')}{d\omega'}
  = \frac{\pi i}{\omega}
  \sum_{-\infty}^{+\infty} \left(m+\tfrac{\varepsilon}{2}\right)^2
  e^{\left[ \left(m+\frac{\varepsilon}{2}\right)^2\omega'
         + 2\left(m+\frac{\varepsilon}{2}\right)
            \left(u+\frac{\varepsilon'}{2}\omega\right) \right]
    \frac{\pi i}{\omega}}.
\]

Vergleicht man die Reihen rechter Hand in dieser und
der früheren Gleichung, so ergiebt sich
\[
  \frac{d^2\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')}{du^2}
  = \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta(u,\varepsilon,\varepsilon')}{d\omega'},\tag{34}
\]
also für die vier $\vartheta$-Funktionen:
\begin{alignat*}{2}
  \vartheta_3''u
  &= \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_3u}{d\omega'},&\quad
  \vartheta_0''u
  &= \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_0u}{d\omega'},\\[0.5em]
  \vartheta_2''u
  &= \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_2u}{d\omega'},&\quad
  \vartheta_1''u
  &= \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_1u}{d\omega'},
\end{alignat*}
daher für die Nullwerte des Argumentes:
\[
  \vartheta_3''
  = \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_3'}{d\omega'},\quad
  \vartheta_0''
  = \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_0'}{d\omega'},\quad
  \vartheta_2''
  = \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_2}{d\omega'}.
\]

Die letzte liefert $\vartheta_1''=0$, wird sie aber noch einmal
nach $u$ differentiirt, so ergiebt sich
\begin{align*}
  \vartheta_1'''u
  &= \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_1'u}{d\omega'}\\
  \intertext{und daher}
  \vartheta_1'''
  &= \frac{4\pi i}{\omega}
  \frac{d\vartheta_1'}{d\omega'}.
\end{align*}

Führt man die eben erhaltenen Werte in~(33) ein, so
nimmt diese die Gestalt an:
\[
  \frac{1}{\vartheta_1'}
  \frac{d\vartheta_1'}{d\omega'}
  = \frac{1}{\vartheta_3}
  \frac{d\vartheta_3}{d\omega'}
  + \frac{1}{\vartheta_2}
  \frac{d\vartheta_2}{d\omega'}
  + \frac{1}{\vartheta_0}
  \frac{d\vartheta_0}{d\omega'},
\]
in welcher Form sie eine vollständige Differentialgleichung
nach $\omega'$ darstellt, die integrirt
\begin{align*}
  \log\vartheta_1'
  &= \log c\vartheta_3 \vartheta_2 \vartheta_0\\
  \intertext{oder}
  \vartheta_1'
  &= c\vartheta_3 \vartheta_2 \vartheta_0
\end{align*}
liefert, wobei $c$ von $\omega'$ unabhängig ist. Da nun
%%-----File: 148.png-------------------------------
\begin{alignat*}{2}
  \vartheta_1'
  &= \frac{4\pi}{\omega}
  \sum_0^\infty (-1)^n (n+\tfrac{1}{2}) q^{(n+\frac{1}{2})^2}
  &&= \frac{2\pi}{\omega} q^\frac{1}{4} (1 - 3q^2 + \dotsb)\\
  \vartheta_0
  &= 1 + 2\sum_1^\infty (-1)^n q^{n^2}
  &&= 1 - 2q + 2q^4 - \dotsb\\
  \vartheta_3
  &= 1 + 2\sum_1^\infty q^{n^2}
  &&= 1 + 2q + 2q^4 + \dotsb\\
  \vartheta_2
  &= 2q^\frac{1}{4} \sum_1^\infty q^{n(n-1)}
  &&= 2q^\frac{1}{4} (1 + q^2 + q^6\dotsb)
\end{alignat*}
ist, so folgt aus der Gleichung für $\vartheta_1'$:
\begin{align*}
  \frac{2\pi}{\omega} q^\frac{1}{4} (1-3q^2+\dotsb)
  &= 2cq^\frac{1}{4} (1+q^2+\dotsb) (1+2q+\dotsb) (1-2q+\dotsb)\\
  \intertext{oder}
  \frac{\pi}{\omega} (1-3q^2+\dotsb)
  &= c (1+q^2\dotsb) (1+2q+\dotsb) (1-2q+\dotsb).
\end{align*}

Setzt man in dieselbe
\[
  \frac{i\omega'}{\omega} = -\infty,
\]
also
\[
  q = e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i} = 0,
\]
wobei $\omega$ endlich bleiben soll, so wird
\[
  c = \frac{\pi}{\omega}
\]
und es ist daher
\[
  \vartheta_1' = \frac{\pi}{\omega} \vartheta_0 \vartheta_2
  \vartheta_3.\tag{35}
\]

Macht man von dieser Gleichung Gebrauch, so ergiebt sich
\[
  G = \frac{\vartheta_1' \vartheta_3}{\vartheta_0 \vartheta_2}
  = \frac{\pi}{\omega} \vartheta_3^2.\tag{36}\label{form36}
\]

Es hängt $\vartheta_3$ blos von $\frac{\omega'}{\omega}$ ab, ändert
sich also nicht,
wenn dieser Quotient konstant bleibt. Nimmt man daher
für die willkürliche Konstante $G$ irgend einen Wert an und
setzt $\frac{\omega'}{\omega}$ als bekannt voraus, so ergiebt die
Gleichung~(36)
den Wert für $\omega$ und aus dem bekannten Quotienten
$\frac{\omega'}{\omega}$ ergiebt
sich $\omega'$. Nimmt man beispielsweise $G=1$ und berechnet
den Wert von $\omega$ mit $\omega_1$, so wird
%%-----File: 149.png-------------------------------
\[
  \omega_1 = \pi\vartheta_3^2
\]
und da für ein beliebiges $G$
\[
  \omega = \frac{\pi}{G}\vartheta_3^2
\]
folgt, so wird bei konstantem Quotienten
\begin{gather*}
  \frac{\omega_1'}{\omega_1} = \frac{\omega'}{\omega} = a,\\
  \omega = \frac{\omega_1}{G},\quad
  \omega' = \frac{\omega_1'}{G} = \omega a = \frac{\omega_1}{G}a
\end{gather*}
sich ergeben. Hieraus ersieht man, wie von der doppeltperiodischen
Funktion, für welche
\[
  s'u = \sqrt{1 - s^2u\cdot1 - \varkappa^2s^2u}
\]
ist, überzugehen ist zu derjenigen, für welche
\[
  s'u = G \sqrt{1 - s^2u\cdot1 - \varkappa^2s^2u}
\]
ist.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 150.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section{VII.\ Realitätsbetrachtungen für die Funktionen $su,
  cu, \Delta u$.}

\subsection[33.\ Allgemeines über die reellen Werte von $su$, $cu$, $du$\\
$\qquad$ 1) Behandlung des Falles einer reellen und einer rein imaginären
Periode]{33.} Es sollen hier noch Betrachtungen über die reellen
und komplexen Werte der elliptischen Funktionen angestellt
werden. Es ist
\begin{align*}\label{form37}
  su
  &= \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2} \frac{\vartheta_1u}{\vartheta_0u}
  = \frac{1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}}{
    \sum_{n=1}^\infty q^{n(n-1)}}
  \cdot \frac{\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} q^{n(n-1)}
    \sin(2n-1)\frac{u}{\omega}\pi}{
    1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}
    \cos2n\frac{u}{\omega}\pi}\\[0.5em]
  cu
  &= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_2} \frac{\vartheta_2u}{\vartheta_0u}
  = \frac{1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}}{
    \sum_{n=1}^\infty q^{n(n-1)}}
  \cdot \frac{\sum_{n=1}^\infty q^{n(n-1)}
  \cos(2n-1)\frac{u}{\omega}\pi}{
    1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}
  \cos2n\frac{u}{\omega}\pi}\tag{37}\\[0.5em]
  \Delta u
  &= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3} \frac{\vartheta_3u}{\vartheta_0u}
  = \frac{1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}}{
    1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}}
  \cdot \frac{1 + 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}
  \cos2n\frac{u}{\omega}\pi}{
    1 + 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}
  \cos2n\frac{u}{\omega}\pi},
\end{align*}
wobei $q = e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i}$ ist. Setzt man in diese
Gleichungen
\[
  \frac{u}{\omega} = x + iy,\quad
  q = e^{(\alpha+\beta i)\pi i}
  = e^{-\beta\pi} (\cos\alpha\pi + i\sin\alpha\pi)
\]
ein, wenn $\frac{\omega'}{\omega} = \alpha + i\beta$ gesetzt wird, und
trennt die reellen
und imaginären Theile, so nehmen jede der drei Funktionen
die Form $P+iQ$ an. $P$ und $Q$ sind reelle Funktionen von
$x$, $y$. Will man nun die Werte von $u$ haben, welche den
reellen Werten der doppeltperiodischen Funktion entsprechen,
so hat man nur $Q=0$ zu setzen, wodurch man eine Relation
%%-----File: 151.png-------------------------------
zwischen $x$ und $y$ erhält. Zu jedem Werte $x$ würden
sich ein oder mehrere Werte von $y$ ergeben, so dass für den
Wert $\frac{u}{\omega} = x+iy$ die doppeltperiodische Funktion einen
reellen Wert annimmt. Man ersieht hieraus, dass die Werte
von $u$, für welche die doppeltperiodische Funktion reelle Werte
annimmt, innerhalb des Periodenparallelogrammes gewisse
Linien erfüllen.

Diese Linien müssen für $su$ jedenfalls durch
\[
  u = 0,\quad
  u = \tfrac{\omega}{2},\quad
  u = \omega,\quad
  u = 3\tfrac{\omega}{2}
\]
und
\[
  u = \tfrac{\omega'}{2},\quad
  u = \omega + \tfrac{\omega'}{2}
\]
gehen, denn es ist
\begin{gather*}
  s(0) = 0,\quad
  s\left(\tfrac{\omega}{2}\right) = 1,\quad
  s(\omega) = 0,\quad
  s\left(\tfrac{3\omega}{2}\right) = -1,\\
  s\left(\tfrac{\omega'}{2}\right) = \infty,\quad
  s\left(\omega+\tfrac{\omega'}{2}\right) = \infty,
\end{gather*}
welches reelle Werte von $su$ sind. Ebenso müssen diese
Linien für $cu$ durch
\[
  u = 0,\quad
  u = \tfrac{\omega}{2},\quad
  u = \omega,\quad
  u = 3\tfrac{\omega}{2},\quad
  u = \omega+\tfrac{\omega'}{2},\quad
  u = 2\omega+\tfrac{\omega'}{2},
\]
für $\mathit{\Delta} u$ durch
\[
  u = 0,\quad
  u = \tfrac{\omega}{2}+\tfrac{\omega'}{2},\quad
  u = \tfrac{\omega}{2}+\tfrac{3\omega'}{2},\quad
  u = \tfrac{\omega'}{2},\quad
  u = \omega',\quad
  u = \tfrac{3\omega'}{2}
\]
gehen, da für diese Argumente die Funktionen reell sind.

Ich will zwei spezielle Fälle wegen ihres häufigen und
fast ausschliesslichen Vorkommens in der Anwendung der
elliptischen Funktionen besonders hervorheben.

\smallskip
\begin{wrapfigure}{r}{4.7cm}
\includegraphics*[width=4.7cm,height=4.5cm]{images/fig25}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
1. Es sei $\omega$ reell positiv und $\omega' = \widetilde{\omega}'i$ rein
imaginär,
also $\widetilde{\omega}'$ reell. Dann wird
\[
  q = e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i}
  = e^{-\frac{\widetilde{\omega}'}{\omega}\pi}
\]
reell und da es kleiner als $1$ sein muss,
so muss $\widetilde{\omega}'$ positiv sein. Das Periodenparallelogramm
$\omega$, $\omega'$ hat also die
Form eines Rechteckes (Fig.~25).
%%-----File: 152.png-------------------------------

Es wird
\begin{align*}
  \varkappa^2
  &= \frac{\vartheta_2^4}{\vartheta_3^4}
  = \frac{16q \left[ \sum_1^\infty q^{n(n-1)} \right]^4}{
    \left[1 + 2\sum q^{n^2} \right]^4}\\
  \varkappa'^2
  &= \frac{\vartheta_0^4}{\vartheta_3^4}
  = \frac{\left[1+ 2\sum (-1)^n q^{n^2} \right]^4}{
    \left[1 + 2\sum q^{n^2} \right]^4},
\end{align*}
also $\varkappa^2$ und $\varkappa'^2$ reell und positiv, mithin beide
kleiner als $1$,
da $\varkappa^2 + \varkappa'^2 = 1$ ist.

Die Formeln~(37) zeigen, dass für reelle Werte von $u$
die Funktionen $su$, $cu$, $\Delta u$ reell werden.

Da nach den Gleichungen~(14) S.~\pageref{forms14}
\[
  s\left(v + \tfrac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{1}{\varkappa sv},\quad
  c\left(v + \tfrac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{1}{i\varkappa} \frac{\Delta v}{sv},\quad
  \Delta\left(v + \tfrac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{1}{i} \frac{cv}{sv}
\]
ist, so ersieht man, dass für Werte von $u = v +
\frac{\widetilde{\omega}}{2}i$,  deren
imaginärer Theil konstant $\frac{\omega'}{2} =
\frac{\widetilde{\omega}'}{2}i$, ist, während $v$ reell ist,
$su$ reelle Werte annimmt, $cu$ und $\Delta u$ aber rein imaginär wird.

Es ist ferner $su$ eine ungerade Funktion von $u$, während
$cu$ und $\Delta u$ gerade Funktionen sind und in unserem Falle
enthalten diese Funktionen blos reelle Konstante. Setzt man also
\begin{align*}
  s(v+iu) &= P+iQ,\\
  \intertext{so ist}
  s(v-iu) &= P-iQ.\\
  \intertext{Ist also $v=0$, so ist}
  s(iu) &= R+iS\\
  s(-iu) &= R-iS\\
  \intertext{und da}
  s(-iu) &= -s(iu)
\end{align*}
ist, so muss $R=0$ sein, d.~h.\ $s(iu)$ ist rein imaginär.

Da ferner
\begin{align*}
  c(iu) &= R_1+iS_1\\
  c(-iu) &= R_1-iS_1,\\
  \intertext{aber}
  c(-iu) &= c(iu),\\
  \intertext{so ist}
  S_1 &= 0,
\end{align*}
also ist $c(iu) = R_1$ reell.
%%-----File: 153.png-------------------------------

Da
\begin{align*}
  \Delta(iu) &= R_2 + iS_2\\
  \Delta(-iu) &= R_2 - iS_2\\
  \intertext{und}
  \Delta(iu) &= \Delta(-iu),
\end{align*}
so ist auch $\Delta(iu) = R_2$ reell.

Nun ist
\begin{align*}
  s\left(v+\tfrac{\omega}{2}\right) &= \frac{cv}{\Delta v},\\
  \intertext{also}
  s\left(iu+\tfrac{\omega}{2}\right) &= \frac{c(iu)}{\Delta(iu)},
\end{align*}
d.~h.\ für reelle $u$ reell. Ebenso ist
\[
  s\left(iu+\tfrac{3\omega}{2}\right)
\]
reell, da
\[
  c(iu+\omega) = -c(iu),\quad
  \Delta(iu+\omega) = \Delta(iu)
\]
ist und $c(iu)$, $\Delta(iu)$ reell ist, wenn $u$ reell ist. Es ist
\[
  \Delta\left(\tfrac{\omega}{2}+iu\right) = \frac{\varkappa'}{\Delta iu},
\]
also ist auch
\[
  \Delta\left(\tfrac{\omega}{2}+iu\right)
\]
reell für reelle $u$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics*[width=13.5cm,height=6.2cm]{images/fig26}
\caption{\hskip1pt }
\end{figure}
Zeichnen wir die Periodenparallelogramme für die doppeltperiodischen
Funktionen $su$, $cu$, $\Delta u$, so kann man in denselben
leicht die Werte von $u$ markiren, für welche jede von
ihnen reelle Werte annimmt.

\label{fig26} In vorstehenden Figuren 26a, b, c sind die Linien, auf
welchen die Werte von $u$ liegen, für die die zugehörige
%%-----File: 154.png-------------------------------
Funktion reelle Werte annimmt, dick ausgezogen, die Linien,
auf denen die Funktion rein imaginäre Werte erhält, sind
punktirt. Die letztere ergiebt die folgende Betrachtung.

Da $s(iu)$ rein imaginär ist für reelle $u$, so ist auch
\[
  s(\omega+iu) = -s(iu)
\]
rein imaginär für reelle $u$. Es ist ferner
\[
  c\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{1}{i} \frac{\Delta u}{\varkappa su},\quad
  \Delta\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  = \frac{1}{i} \frac{cu}{su},
\]
also für reelle $u$ ist
\[
  c\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
  \text{ und }
  \Delta\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
\]
rein imaginär, daher auch
\[
  \Delta\left(u+\tfrac{3\omega'}{2}\right)
  = -\Delta\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right).
\]

Und da
\[
  c\left(iu+\tfrac{\omega}{2}\right)
  = -\varkappa'\frac{s(iu)}{\Delta(iu)}
\]
ist, so ist
\[
  c\left(iu+\tfrac{\omega}{2}\right)
\]
für reelle $u$ rein imaginär, ebenso
\[
  c\left(iu+\tfrac{3\omega}{2}\right),\quad
  c\left(iu+\tfrac{5\omega}{2}\right).
\]

\addcontentsline{toc}{subsection}{$\qquad$ 2) Die Periode~$\omega$
ist reell $\omega'=\omega+\omega_1'i$, wo $\omega_1'$ reell ist}
2. \label{sect2} Es sei $\omega$ reell und positiv und
\[
  \omega' = \omega+\omega_1' = \omega+\omega_2'i,
\]
wo $\omega_2'$ reell und positiv ist, dann wird
\[
  q = e^{\frac{\omega'}{\omega}\pi i}
  = -e^{-\frac{\omega_2'}{\omega}\pi}
\]
wesentlich negativ und absolut kleiner als $1$, da
$\frac{\omega_2'}{\omega}$ positiv
ist. Es ist daher
\begin{align*}
  \varkappa^2
  &= \frac{\vartheta_2^4}{\vartheta_3^4}
  = \frac{16q \left[ \sum q^{n(n-1)} \right]^4}{
    \left[ 1+2\sum q^{n^2} \right]^4}
  \intertext{\emph{negativ} und}
  \varkappa'^2
  &= \frac{\vartheta_0^4}{\vartheta_3^4}
  = \frac{\left[ 1+2\sum (-1)^n q^{n^2} \right]^4}{
    \left[ 1+2\sum q^{n^2} \right]^4}
\end{align*}
positiv, also ist $\varkappa$ rein imaginär von der Form
$i\varkappa_1$ und $\varkappa_1$
reell, während $\varkappa'$ reell ist.
%%-----File: 155.png-------------------------------

Die Funktionen $su$, $cu$, $\Delta u$ enthalten auch jetzt nur
reelle Konstante und sie sind also für reelle $u$ reell, und da
$su$ ungerade, $cu$, $\Delta u$ gerade Funktionen sind, so folgt, wie
früher, dass $s(iu)$ rein imaginär, $c(iu)$ und $\Delta(iu)$ reell sind
für reelle $u$.

Es ist aber
\[
  s\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) = \frac{1}{\varkappa su},
\]
also für reelle $u \cdots s\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)$ im
vorliegenden Falle rein
imaginär, da $\frac{1}{\varkappa} = \frac{1}{i\varkappa_1}$
ist. Ebenso ist
\[
  s(iu+\omega),\quad s(iu+2\omega)
\]
rein imaginär.
\[
  s\left(iu+\tfrac{\omega}{2}\right) = \frac{c(iu)}{\Delta(iu)}
\]
ist aber für reelle $u$ reell.

Wir haben also die Darstellung der Werte von $u$ im
Periodenparallelogramm (Fig.~27~a) für $su$. Die dickgezogenen
Linien stellen Werte von $u$ vor, für die $su$ reell wird, die
punktirten, für welche $su$ rein imaginär ist.

$cu$ und $\Delta u$ sind reell für reelle und rein imaginäre
Werte von $u$, also sind
\[
  cu,\quad
  c(iu),\quad
  c(iu+\omega),\quad
  c(iu+2\omega),\quad
  c(iu+3\omega)
\]
reell und da
\[
  c\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) = \frac{1}{i\varkappa}
  \frac{\Delta u}{su}
\]
ist, so ist auch $c\left(u+\frac{\omega'}{2}\right)$ für reelle $u$ reell.
\[
  c\left(iu+\tfrac{\omega}{2}\right)
  = -\varkappa' \frac{s(iu)}{\Delta(iu)}
\]
ist rein imaginär, ebenso
\[
  c\left(iu+\tfrac{3\omega}{2}\right),\quad
  c\left(iu+\tfrac{5\omega}{2}\right)\dotsc
\]
Es ist
\[
  \Delta u,\quad
  \Delta(u+\omega'),\quad
  \Delta(iu),\quad
  \Delta(iu+\omega),\quad
  \Delta(iu+2\omega)\dotsc
\]
reell und da
\[
  \Delta\left(iu+t\tfrac{\omega}{2}\right)
  = \frac{\varkappa'}{\Delta(iu)},
\]
so ist auch
\[
  \Delta\left(iu+\tfrac{\omega}{2}\right),\quad
  \Delta\left(iu+\tfrac{3\omega}{2}\right)\dotsc
\]
für reelle $u$ reell.
%%-----File: 156.png-------------------------------
\[
  \mathit{\Delta} \left( u + \tfrac{\omega'}{2} \right)
= \frac{1}{i} \frac{c u}{s u}
\]
ist rein imaginär für reelle $u$.

Die Periodenparallelogramme für die Funktionen $cu$, $\mathit{\Delta} u$
haben in den Figuren 27 b, c nach früherer Art die Werte
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics*[width=9.5cm,height=6.6cm]{images/fig27}
\caption{\hskip1pt }
\label{fig27}
\end{figure}
von $u$ eingezeichnet, für die die Funktionen reell resp.\ imaginär
werden.

Hat $\omega'$ irgend einen anderen komplexen Wert, so wird
$q$ imaginär und $su$, $cu$, $\mathit{\Delta} u$ enthalten imaginäre
Konstanten.

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 157.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[VIII.\ Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen
etc.]{VIII.\ Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen \\
durch logarithmische Differentialquotienten der \\
$\vartheta$-Funktionen.}

\subsection[34.\ Jede doppeltperiodische Funktion mit den
Perioden~$\omega,\omega'$ lässt sich ausdrücken durch
$Z(u-\alpha)=\frac{d\log\vartheta_1(u-\alpha)}{du}$ und die
Ableitungen von~$Z(u-\alpha)$ nach~$u$]{34.}
Es möge hier noch eine Art der Darstellung der
doppeltperiodischen Funktionen dargelegt werden. Wir setzen
\[
  Z(u)
= \frac{d\log \vartheta_1(u)}{du}
= \frac{\vartheta'_1 u}{\vartheta_1 u} ,
\]
so ist $Z(u)$ eine eindeutige Funktion von $u$, welche im
Periodenparallelogramm $\omega$, $\omega'$ nur für $u = 0$ unendlich wird.
Es ist ferner
\begin{align*}
  Z(u + \omega) &= Z(u)  \\
  Z(u + \omega')&= Z(u) - \frac{2\pi i}{\omega} ,
\end{align*}
wie sich aus den Formeln (I) auf S.~\pageref{periodgl} ohne weiteres
ergiebt,
d.~h.\ $Z'(u) = \frac{dZ(u)}{du} = \frac{d^2\log \vartheta_1 u}{du_2}$,
$Z''(u)$, $Z'''(u) \dotsc Z^{(n)}(u)$ sind
lauter doppeltperiodische eindeutige Funktionen von $u$ mit den
Perioden $\omega$, $\omega'$, welche nur für $u = 0$ unendlich werden.

Es wird $Z(u)$ für $u = 0$ unendlich von der ersten Ordnung. Denn es
ist für kleine Werte von $u$:
\[
  \vartheta_1(u)
= u\vartheta_1' + \frac{1}{3!} u^3 \vartheta_1''' + \dotsb,
\]
da $\vartheta_1 = 0$, $\vartheta_1'' = 0 \dotsc$ ist, es wird
\begin{align*}
  \vartheta_1(u)
&= u\left[ \vartheta_1' + \frac{1}{3!} u^2 \vartheta_1''' + \dotsb
    \right]
\\
  \log\vartheta_1(u)
&= \log u + \log\left( \vartheta_1' + \frac{1}{6} u^2 \vartheta_1'''
                     + \dotsb \right)
\\
&= \log u + \log\vartheta_1'
 + \frac{1}{6} \frac{\vartheta_1'''}{\vartheta_1'}u^2 + Bu^4 + \dotsb
\end{align*}
da das Argument des zweiten Logarithmus in der ersten
Gleichung für $u = 0$ nicht verschwindet; daher ist:
%%-----File: 158.png-------------------------------
\[
Z(u) = \frac{d\log\vartheta_1 u}{du} = \frac{1}{u} +
\frac{1}{3}\frac{\vartheta_1'''}{\vartheta_1'}u + \cdots
\]
wo nur positive ungerade Potenzen von $u$ folgen.

Mithin wird $[uZ(u)]_{u=0}=1$ und $Z(u)$ ist für $u = 0$ unendlich
von der ersten Ordnung. $Z^{(n)}(u)$, wird daher für $u = 0$
unendlich von der $(n + 1)^{\text{ten}}$ Ordnung, da
\[
Z^{(n)}(u) = \frac{(-1)^n(n)!}{u^{n+1}} + A_1 + \cdots \text{pos. Pot.}
(u)
\]
ist. $Z^{(n)}(u)$ ist mithin eine eindeutige doppeltperiodische Funktion
$(n+1)^{\text{ter}}$ Ordnung mit den Perioden $\omega$, $\omega'$.

Es sei nun $F(u)$ eine eindeutige doppeltperiodische
Funktion von $u$ mit den Perioden $\omega$, $\omega'$, welche für $u =
\alpha_1$,
$\alpha_2 \dots \alpha_n$ unendlich wird und zwar, wie wir vor der Hand
voraussetzen wollen, stets von der ersten Ordnung.

Es sei also für kleine Werte des Moduls $\left| u - \alpha_i \right|$
\[
F(u) = \frac{A_i}{\alpha_i-u} + B + B_1(\alpha_i-u) + \cdots.
\]
Da $Z(u - \alpha_i) = -\frac{1}{\alpha_i-u} + \cdots \text{pos. Pot.}
(\alpha_i-u)$
ist, so ist
\[
F(u) + A_iZ(u-\alpha_i) \quad\text{ für }\quad u=\alpha_i
\]
nicht mehr unendlich, daher ist
\[
\varphi(u) = F(u) + \sum_{i=1}^n A_iZ(u-\alpha_i)
\]
für keinen der Werte $\alpha_1, \alpha_2 \dots \alpha_n$ unendlich,
und da $Z(u-\alpha_i)$
nur für diese Werte unendlich werden kann, ebenso $F(u)$,
so wird $\varphi(u)$ für keinen Wert von $u$ innerhalb des
Periodenparallelogrammes
$\omega, \omega'$ unendlich. $\varphi(u)$ ist aber eine eindeutige
doppeltperiodische Funktion von $u$, denn es ist
\begin{eqnarray*}
\varphi(u+\omega) &=& \varphi(u)\\
\varphi(u+\omega')&=& \varphi(u) - \frac{2\pi i}{\omega}\sum_{i=1}^n A_i,
\end{eqnarray*}
da jedes $Z(u-\alpha_i+\omega') = Z(u-\alpha_i) - \frac{2\pi i}{\omega}$
ist.

Da aber $\sum_{i=1}^{n}A_i$ als Summe der logarithmischen Residuen
%%-----File: 159.png-------------------------------
für jede eindeutige doppeltperiodische Funktion null ist
(pg.~\pageref{sec14},
Sekt.~14), so ist
\begin{align*}
  \varphi(u + \omega) &= \varphi(u)\\
  \varphi(u + \omega')&= \varphi(u).
\end{align*}

$\varphi(u)$ wird aber nicht unendlich innerhalb des
Periodenparallelogrammes, also ist $\varphi(u) = C$ und daher
\[
  F(u) = C - \sum_{i=1}^n A_i Z(u-\alpha_i).
\tag{I}
\]

Wir nehmen nun an, $F(u)$ werde für
$u = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_m$
von den Ordnungen $n_1, n_2, \dotsc n_m$ unendlich; so dass für die
Umgebung von $\alpha_i$ die Entwicklung gilt
\[
  F(u)
= \frac{A_{i,n_i-1}}{(\alpha_i-u)^{n_i  }}
+ \frac{A_{i,n_i-2}}{(\alpha_i-u)^{n_i-1}} + \dotsb
+ \frac{A_{i      }}{ \alpha_i-u         }
+ B + \dotsb \text{ pos. Pot.}(\alpha_i-u).
\]
Da nun
\[
  Z^{(h)}(u-\alpha_i)
= -\frac{h!}{(\alpha_i-u)^{h+1}} + \text{ pos. Pot}(\alpha_i-u)
\]
ist, so wird
\begin{multline*}
  \frac{A_{i,n_i-1}}{(n_i-1)!} Z^{(n_i-1)} (u-\alpha_i)
+ \frac{A_{i,n_i-2}}{(n_i-2)!} Z^{(n_i-2)} (u-\alpha_i) + \dotsb
  \frac{A_{i      }}{      0!} Z           (u-\alpha_i)
\\
=-\left[ \frac{A_{i,n_i-1}}{(\alpha_i-u)^{n_i  }}
         +\frac{A_{i,n_i-2}}{(\alpha_i-u)^{n_i-1}}
         + \cdots +
         \frac{A_{i      }}{ \alpha_i-u         }
  \right] + B_1 + \text{ p.P.}(\alpha_i-u),
\end{multline*}
daher wird:
\[
  F(u) + \sum_{\varkappa=1}^{n_i}
  \frac{A_{i,n_i-\varkappa}}{(n_i-\varkappa)!}
                               Z^{(n_i-\varkappa)} (u-\alpha_i),
\]
oder auch
\[
  F(u) + \sum_{h=1}^{n_i-1} \frac{A_{i,h}}{h!} Z^{(h)} (u-\alpha_i)
                            \dotsm A_{i,0}
= A_i
\]
für $u = \alpha_i$ nicht mehr unendlich und mithin wird
\[
  F(u) + \sum_{i=1}^m \sum_{  0}^{n_i-1} \frac{A_{i,h}}{h!} Z^{(h)}
                                         (u-\alpha_i)
\]
für keinen Wert von $u$ innerhalb des Periodenparallelogrammes
$\omega$, $\omega'$ unendlich, und da es eine doppeltperiodische
eindeutige
Funktion von $u$ ist, ist dieselbe eine Konstante. Die doppelte
%%-----File: 160.png-------------------------------
Periodizität folgt daraus, dass jedes $Z^{(h)}(u-\alpha_i) (h>0)$
doppeltperiodisch ist, dass aber die Summe der Koeffizienten von
$Z(u-\alpha_i)$, d.~h.\ $\sum_1^m A_i = 0$ ist. Daher ist
\[
  F(u) = C - \sum_{i=1}^m \sum_{h=1}^{n_i-1} \frac{A_{i,h}}{h!}
                                             Z^{(h)} (u-\alpha_i).
\tag{II}
\]

Hierdurch ist die doppeltperiodische Funktion $F(u)$ in
eine Summe von Funktionen $Z^{(h)}(u-\alpha_i)$ zerlegt, die nur
für einen Wert des Argumentes unendlich werden.

Diese Zerlegung ist ganz analog der Zerlegung einer
\emph{rationalen Funktion} von $z$ in \emph{Partialbrüche}, nur dass hier
$Z(u-\alpha_i)$ an Stelle von $\frac{1}{z-\alpha_i}$bei der rationalen
Funktion
tritt. \label{result1}(Vgl. Einleitung S.~\pageref{pbz}.)

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 161.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
{\begingroup%
\centering
\vspace*{0.14\textheight}
{\Huge II.\ Theil}\\[1\baselineskip]
\rule{.2\textwidth}{.2pt}\\[2\baselineskip]
{\Large Elliptische Integrale.}\\[\baselineskip]
\vfill
\endgroup}
\addcontentsline{toc}{part}{II.\ Theil}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Elliptische Integrale}
\clearpage
%%-----File: 162.png-------------------------------
%[Blank Page]
%%-----File: 163.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[I. Die Riemann'sche Fläche der Funktion
$y$.]
{I. Die Riemann'sche Fläche der Funktion\\
$y = \sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}$.}

\subsection[35.\ Das Integral $Gu=\int_0^\xi
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}$
definirt eine eindeutige Funktion~$\zeta$ von~$u$]{35.}

Indem wir $z = s(u) =
\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}$
setzten, fanden
wir, dass $z$ einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
\[
\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = G^2(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2), \tag{1}
\]
oder
\[
\left(\frac{dz}{du}\right) = G\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}
\]
\[
G = \frac{\pi}{\omega}\vartheta_3^2,
 \varkappa^2 = \frac{\vartheta_2^4}{\vartheta_3^4}
\]
genügt, und dass für kleine Werte von $u$ sich $z$ als Potenzreihe
von $u$ darstellen lässt in der Form
\[
z = z(u) = Gu + \frac{1}{3!}A_3u^3 + \frac{1}{5!}A_5u^5 + \cdots,
\]
denn man kann $\vartheta_1(u)$ und $\vartheta_0(u)$ in Potenzreihen von
$u$ entwickeln,
und zufolge der Bedingung
\[
s(-u) = -su
\]
müssen alle geraden Potenzen aus der Entwicklung ausfallen.

Sei nun umgekehrt die Differentialgleichung (1) gegeben,
in der wir $G$ beliebig und $\left|\varkappa^2\right| < 1$ voraussetzen
wollen, so
wird aus derselben
\[
G\frac{du}{dz} = \frac{1}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
und
\[
Gu = \int\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} + C
\]
folgen. Setzen wir fest, dass $u = 0$ sein soll für $z = 0$, so
%%-----File: 164.png-------------------------------
stellt sich $u$ als bestimmtes Integral zwischen Null und dem
komplexen Werte $z = \zeta$ dar.

Es wird
\[
Gu = \int_0^\zeta \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}. \tag{2}
\]
Durch dieses Integral ist für kleine Werte von $\zeta u$ als eine
\textit{eindeutige} Funktion von $\zeta$ in der Umgebung von $\zeta =
0$ dargestellt.
Denn so lange $\left| z \right| < 1$ ist, kann man
\begin{eqnarray*}
(1 - z^2)^{-\frac{1}{2}} &=& 1 + \tfrac{1}{2}z^2 + \cdots \\
(1 - \varkappa^2z^2)^{-\frac{1}{2}} &=& 1 + \tfrac{1}{2}\varkappa^2z^2
+ \cdots
\end{eqnarray*}
als konvergente Potenzreihen entwickeln, und es wird
\[
[(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)]^{-\frac{1}{2}} = 1 +
\tfrac{1}{2}(1+\varkappa^2)z^2 + \cdots,
\]
also
\[
Gu = \zeta + \tfrac{1}{6}(1+\varkappa^2)\zeta^3 + \cdots \tag{A}
\]
sich ergeben, mithin $u$ in der Umgebung des Punktes $\zeta = 0$
innerhalb des Kreises, dessen Radius gleich 1 ist, sobald
$\left| \varkappa \right|<1$ ist, eine eindeutige \textit{ungerade}
Funktion von $\zeta$ sein,
da in der Potenzreihe, wie man sieht, nur ungerade Potenzen
vorkommen.

Da nun zwei verschiedenen Werten von $\zeta$, die in der
Umgebung von $\zeta~=~0$ liegen, stets zwei verschiedene Werte
von $u$ in der Umgebung von $u~=~0$ entsprechen und
$\bigl(\frac{du}{d\zeta}\bigr)$
für $\zeta~=~0$ nicht verschwindet und nicht unendlich ist, so
wird auch $\zeta$ für kleine Werte von $u$ eine \emph{eindeutige} Funktion
von $u$ sein und sich daher in der Umgebung der Stelle
$u = 0$ in eine Potenzreihe der Form
\[
\zeta = Gu + B_2u^2 + B_3u^3 + B_4u^4 + \cdots \tag{B}
\]
entwickeln lassen. Da aber für $\zeta = -\zeta'$ auch $u = -u'$
aus (A) folgt, so müssen in (B) alle gradzahligen Potenzen
ausfallen, d.~h.\ es ist
\[
\zeta = Gu + B_3u^3 + B_5u^5 + \cdots,
\]
also für kleine Werte von $u$ eine eindeutige ungerade Funktion
von $u$.

Die Gleichung (2) definirt also für kleine Werte von $u$
%%-----File: 165.png-------------------------------
und $\zeta$ die obere Grenze $\zeta$ des Integrals als eindeutige Funktion
von $u$, welche der Differentialgleichung (1) genügt.

Können wir direkt zeigen, dass bei beliebig gegebenem
$G$ und $\varkappa$ die Gleichung (2) durch die obere Grenze $\zeta$ des
Integrals eine eindeutige doppeltperiodische Funktion definirt,
dann werden uns die Perioden dieser Funktion ein Mittel
an die Hand geben, die $\vartheta$-Funktionen, welche ihnen entsprechen,
zu konstruiren und dadurch $\zeta$ als doppeltperiodische
Funktion von $u$ in anderer Form, als es die Gleichung (2)
thut, darzustellen, nämlich in der Form
\[
  \zeta = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
          \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)} .
\]

Diesen Weg wollen wir nun einschlagen und zwar in
etwas allgemeinerer Form.

\subsection[36.\ Das Verhalten der Funktion\\ $y =
\sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}$]{36.} Wir setzen
\[
  y^2 = A(x-a_1) (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4),
\tag{3}
\]
wo $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ irgend welche reelle oder komplexe Grössen
sein mögen, die durch die Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ in der
$x$-Ebene, wo wir die komplexe Veränderliche $x$ deuten, dargestellt
seien. Indem, wir dann das $\int_{x_0}^x \frac{dx}{y}$ betrachten wollen,
müssen wir uns über die Funktion $y$ vorerst orientiren.

Wie wir ersehen ist $y$ keine eindeutige Funktion von $x$,
denn jedem $x$ entsprechen die beiden Werte
\[
\left.
\begin{aligned}
  y &= +\sqrt{A(x-a_1) (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)}  \\
  y &= -\sqrt{A(x-a_1) (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)} ,
\end{aligned}
\quad\right\}
\tag{4}
\]
welche beide der Gleichung (3) genügen. Diese Werte sind
im Allgemeinen von einander verschieden und können nur
gleich werden, wenn $y = 0$, d.~h.\ $x$ einer der Werte
$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ ist.

Es sind die beiden Werte für alle $x$ von einander verschieden,
die ausserhalb eines Kreises $K$ liegen, der um den
Anfangspunkt $x = 0$ geschlagen ist, und der die Punkte
$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ einschliesst.

Setzt man um diess deutlicher zu ersehen $x' = \frac{1}{x}$,
%%-----File: 166.png-------------------------------
so wird $x'$ kleine Werte annehmen, wenn $x$ ausserhalb
$K$ liegt.

Da nun
\[
  (x'^2y)^2 = A(1-a_1x') (1-a_2x') (1-a_3x') (1-a_4x')
\]
ist, so wird
\[
  (x'^2y)_{x'=0} \text{ entweder } +\sqrt{A} \text{ oder } -\sqrt{A}
  \text{ sein.}
\]

Da ferner für kleine $\lvert x' \rvert$
\[
\begin{split}
  &\sqrt{A(1-a_1x') (1-a_2x') (1-a_3x') (1-a_4x')}\\
  & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \sqrt{A} + Bx' + Cx'^2 + \dotsb
\end{split}
\]
eine konvergente Potenzreihe ist, so wird $(x'^2y)$ für kleine $x'$
die Entwicklungen\label{f166}
\begin{align*}
  x'^2y &= +\sqrt{A} + Bx' + Cx'^2 + \dotsb\\
  x'^2y &= -\sqrt{A} - Bx' - Cx'^2 - \dotsb
\end{align*}
haben, oder die beiden Werte $y_1$ und $y_2$, welche kleinen
Werten $x' = \frac{1}{x}$, also grossen Werten von $x$ entsprechen,
sind in der Form
\begin{align*}
  y_1 &= + \frac{\sqrt{A}}{x'^2} + \frac{B}{x'} + C + \text{ pos.~Pot.}\\
  y_1 &= - \frac{\sqrt{A}}{x'^2} - \frac{B}{x'} - C - \text{ pos.~Pot.}
\end{align*}
entwickelbar, also eindeutige Funktionen von $x'$, daher auch
von $x$, so lange $x$ ausserhalb $K$ liegt.

Ist ferner $x=x_0$ irgend ein endlicher Wert von $x$, der
von den Punkten $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ verschieden ist, und setzt
man fest, dass für $x=x_0$
\[
  y = y_0 = \sqrt{A(x_0-a_1) (x_0-a_2) (x_0-a_3) (x_0-a_4)} = b
\]
auch dem Zeichen nach gegeben ist, so wird in der Umgebung
von $x_0$ auch $y$ eine eindeutige Funktion von $x$ sein
und zwar so lange als $x$ innerhalb eines Kreises um $x_0$
liegt, der alle Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ ausschliesst.

Denn da sowohl $y$ als $\frac{dy}{dx}$ für $x=x_0$ endliche und
ganz bestimmte Werte haben, da $y=b$ für $x=x_0$ werden
soll, so kann man $y$ in der Form
%%-----File: 167.png-------------------------------
\[
  y = b + A_1(x-x_0) + A_2(x-x_0)^2 + \dotsb
\]
entwickeln, woraus die Eindeutigkeit klar ist. Würde man
festsetzen, dass $y=-b$ werden soll für $x=x_0$, dann
würde die Entwicklung
\[
  y = - b - A_1(x-x_0) - A_2(x-x_0)^2 - \dotsb
\]
lauten und diese würde wieder eine eindeutige Funktion von
$x$ sein, in einer bestimmten Umgebung von $x_0$.

\begin{wrapfigure}[12]{r}{5.9cm}
\includegraphics*[width=5.9cm,height=4.5cm]{images/fig28}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Nennt man die beiden Werte $y_1=y$ und $y_2=-y$,
welche die Funktion $y$ für jedes $x$ annimmt, die \emph{Zweige} der
\emph{algebraischen} Funktion $y$, so kann man sagen: \emph{In der
  Umgebung
  aller Punkte $x_0$ der $x$-Ebene werden von den Zweigen
  der Funktion $y$ jeder eine eindeutige Funktion von $x$ sein,
  wenn $x_0$ von den Punkten $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ verschieden ist.}

Wir untersuchen nun das Verhalten der beiden Zweige
der Funktion $y$ in der Umgebung der Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$.
Wir machen die Untersuchung für $a_1$ sie gilt genau so auch
für $a_2$, $a_3$, $a_4$.

Um $a_1$ schlagen wir (Fig.~28) einen Kreis $\mathfrak{K}$, so
beschaffen, dass er die Punkte
$a_2$, $a_3$, $a_4$ ausschliesst. Sein Radius
sei $R$.

Wir setzen
\[
  x - a_1 = \varrho e^{i\varphi},
\]
dann werden alle $x$, für die $\varrho < R$
ist, innerhalb $\mathfrak{K}$ liegen, d.~h.\ $x$ wird
von $a_2$, $a_3$, $a_4$ stets verschieden bleiben.

Es wird innerhalb $\mathfrak{K}$
\begin{gather*}
  \sqrt{A(x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)}\\
  = \sqrt{A(a_1-a_2+\varrho e^{i\varphi})
    (a_1-a_3+\varrho e^{i\varphi}) (a_1-a_4+\varrho e^{i\varphi})}
  = F(\varrho,\varphi)
\end{gather*}
eine \emph{eindeutige} Funktion von $\varrho$, $\varphi$ sein, die
immer denselben
Wert annimmt, sobald $\varrho$ seinen ursprünglichen Wert erhält
und $\varphi$ entweder wieder den ursprünglichen Wert erhält oder
gleich $\varphi + 2n\pi$ wird, wo $n$ eine beliebige ganze Zahl ist,
d.~h.\ es ist $F(\varrho, \varphi + 2n\pi) = F(\varrho, \varphi)$. Da
dann $x$ auch
immer denselben Wert erhält, so ist auch $F(\varrho, \varphi) = F_1(x)$
%%-----File: 168.png-------------------------------
eine eindeutige Funktion von $x$. Sollte nämlich $F_1$ für
irgend ein Wertepaar $\varrho$, $\varphi$ und $\varrho$,
$\varphi+2n\pi$ verschiedene
Werte haben, so könnten sich dieselben nur im Vorzeichen
unterscheiden, da $F_1^2$ eine rationale Funktion von $x$ ist,
daher müsste, wenn wir das $\varphi$ stetig von $\varphi$ bis
$\varphi+2n\pi$
ändern, notwendig für irgend ein $\varrho$ die Funktion
$F(\varrho,\varphi)$
verschwinden (da sie nicht unendlich werden kann) um ihr
Zeichen zu ändern.
\begin{wrapfigure}[16]{r}{5.6cm}
\includegraphics*[width=5.6cm,height=4.9cm]{images/fig29}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Da dieses der Voraussetzung nach über
die zulässigen Werte $\varrho$ unmöglich ist, so kann
$F(\varrho,\varphi)$ auch
nur einen Wert für jedes $\varrho$ und $\varphi+2n\pi$ besitzen. Es
wird nun
\[
  y = e^{i\frac{\varphi}{2}} \varrho^\frac{1}{2} F(\varrho,\varphi)
\]
sich ergeben und wir wollen festsetzen, dass für
\[
  x = x_1 \dots \varrho = \varrho_1,\ \varphi = \varphi_1
\]
wird, und
\[
  y = y_1 = e^{i\frac{\varphi_1}{2}} \varrho_1^\frac{1}{2}
  F(\varrho_1,\varphi_1).
\]

Nun lassen wir $\varphi$ von $\varphi=\varphi_1$
ab sich ändern, indem wir $x$ von
$x=x_1$ längs der ganz innerhalb
$\mathfrak{K}$ verlaufenden Kurve $\mathfrak{C}$ (Fig.~29)
sich bewegen lassen. Kehrt $x$
nach $x_1$ zurück, so wird nach
diesem einzigen Umlauf des Punktes
$\varrho=\varrho_1$, aber $\varphi=\varphi_1+2\pi$, also
\[
  x - a_1
  = \varrho_1 e^{i(\varphi_1+2\pi)}
  = \varrho_1 e^{i\varphi_1}
  = x_1 - a_1
\]
$x=x_1$, wie es sein muss, hingegen wird
\begin{align*}
  y &= e^{i\frac{\varphi_1+2\pi}{2}} \varrho_1^\frac{1}{2}
  F(\varrho_1,\varphi_1+2\pi)\\
  \intertext{oder}
  y &= -e^{i\frac{\varphi_1}{2}} \varrho_1^\frac{1}{2}
  F(\varrho_1,\varphi_1),
\end{align*}
da $e^{\pi i} = -1$ ist, d.~h.\ es wird $y=-y_1$.

Umkreist daher die Variable $x$ den Punkt $a_1$ einmal, so
erhält $y$ den entgegengesetzten Wert. Erst wenn $x$ noch
eine zweite Umkreisung vollführt, wird $y = -(-y_1) = y_1$
den ursprünglichen Wert wieder annehmen.
%%-----File: 169.png-------------------------------

\emph{In der Umgebung der Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ ist also $y$
  keine eindeutige Funktion von $x$. Für alle andern Werte von
  $x$, für welche $y$ nicht verschwindet, ist die Fortsetzung von $y$ aus
  dem einmal angenommenen Werte $+y$ oder $-y$ eine vollständig
  bestimmte und eindeutige.}

\subsection[37.\ Die Riemann'sche Fläche der Funktion $y$]{37.}
Es fragt sich nun ob man man diese Zweideutigkeit,
welche bei unserer Funktion $y$ auftritt, nicht durch eine
passende Darstellung der Werte von $x$ beheben könnte,
indem aus dieser Darstellung ersichtlich wäre, dass $x$ nur
dann seinen ursprünglichen Ort erhält, wenn $y$ seinen
ursprünglichen
Wert annimmt.

Dieses ist in der That nach dem Vorgange von Riemann
sehr leicht mög\-lich\footnote{
  »Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen
  einer komplexen ver\-än\-der\-li\-chen Grösse.« Inauguraldissertation von
  B.~Riemann. Sowie auch: Crelle'sches Journal Band~54, S.~101.}.

Da für jeden Wert von $x$ zwei Werte von $y$ angenommen
werden können, so denken wir uns für $x$ nicht eine, sondern
zwei Ebenen oder Blätter dicht untereinander gelegt, in
denen wir die komplexe Variable $x$ deuten. Jedem Werte
$x$ entsprechen also zwei Punkte: einer in der oberen Ebene
$x'$, einer in der unteren $x''$. Es sei nun $x_0$ ein von $a_1$,
$a_2$, $a_3$, $a_4$
verschiedener Wert, dem die beiden Werte $+y_0$, $-y_0$ entsprechen.
Wir setzen fest, dass dem Punkte $x_0'$ in der
oberen Ebene der Wert $+y_0$ und dem Punkte $x_0''$ in der
unteren Ebene der Wert $-y_0$ entsprechen soll. $x_0'$ und $x_0''$
stellen den komplexen Wert $x_0$ dar. Bleibt nun $x'$ in der
Umgebung $\mathfrak{A}'$ von $x_0'$, und daher der entsprechende Punkt
$x''$ des unteren Blattes in der Umgebung von $x_0''$, so wird
die stetige Fortsetzung von $y$ in eindeutiger Weise vor sich
gehen und den Punkten der oberen Ebene wird immer $+y$,
den darunter liegenden der zweiten Ebene $-y$ entsprechen.
Wird $x'$ den Punkt $x_1'$, welcher in der Umgebung $\mathfrak{A}'$ von
$x_0'$ liegt, umkreisen, ohne aus $\mathfrak{A}'$ auszutreten, so wird,
wenn
$x'$ seinen ursprünglichen Wert erhält, auch $y$ den
ursprünglichen
Wert annehmen. Dasselbe gilt für die untere Ebene.
In dieser Weise werden je zwei Punkten $x'$ und $x''$ in der
oberen und unteren Ebene, welche denselben Wert von $x$
%%-----File: 170.png-------------------------------
repräsentiren, die Werte~$+y$ und $-y$ entsprechen. Die
Zweige der Funktion $y$ sind auf diese Art in der Umgebung
des Punktes $x_0$ auch in der Darstellung der Variablen $x$ getrennt.
Eine Schwierigkeit tritt für die Werte $x = a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$
auf, für welche beide Zweige der Funktion gleich werden
und welche man \emph{Verzweigungswerte} nennt.


\begin{wrapfigure}[13]{r}{5cm}
\includegraphics*[width=4.9cm,height=4.9cm]{images/fig30}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Diese Schwierigkeit wird folgendermassen behoben:
Nehmen wir den Punkt $x=a_1$. Da für diese beide Werte
$y$ null, also einander gleich werden, so lassen wir die
ursprünglich
getrennt verlaufenden Ebenen, in denen wir $x$
deuten, daselbst zusammenhängen. Sei nun $x_1$ ein Wert
von $x$, welcher so beschaffen ist, dass der Modul $\lvert x_1-a_1
\rvert$
kleiner sei als der Radius des Kreises $\mathfrak{K}_1$, der alle anderen
Punkte $a_2$, $a_3$, $a_4$ ausserhalb lässt, und seien $x_1'$, $x_1''$ die
beiden Punkte (Fig.~30) in der oberen und unteren Ebene,
welche diesen Wert repräsentiren und $+y_1$ und $-y_1$ die
zugehörigen Werte von~$y$.

Wir umkreisen nun mit $x'$, von $x_1'$ ausgehend, den
Punkt $a_1$, ohne aus $\mathfrak{K}_1$ hinauszutreten. Dabei wird,
wenn $x'$
in die ursprüngliche Lage $x_1'$ kommt.
\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
\includegraphics*[width=5.5cm,height=4.9cm]{images/fig31}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
$y$~nicht den ursprünglichen Wert $+y_1$
annehmen, sondern $-y_1$, d.~h.\ den
Wert, den wir dem Punkte $x_1''$ zugeordnet
haben. Könnten wir es nun
so einrichten, dass nach einmaliger
Umkreisung von $a_1$ der Punkt~$x'$ nicht
mit $x_1'$, sondern mit dem darunter
liegenden $x_1''$ zusammenfällt, so hätten
wir bewirkt, dass auch bei einmaliger Umkreisung von $a_1$
die Funktion $y$ eindeutig bleibt,
da ja~$x_1''$ mit $x_1'$ der Lage in
den Ebenen nach \emph{nicht} identisch
ist.

Das Verlangte ist aber
leicht zu erreichen. Denken wir
uns (Fig.~31) von $a_1$ aus eine
Gerade $\overline{aq}$ in beliebiger Richtung
gezogen bis über~$\mathfrak{K}_1$ hinaus und
längs dieser die beiden Ebenen
%%-----File: 171.png-------------------------------
zerschnitten. Hierdurch erhalten wir vier Ränder. Nun verbinden
wir jeden Rand des oberen Blattes mit dem gegenüberstehenden
Rande des unteren Blattes, wie nebenstehende Fig.~32
im Querschnitte zeigt. Hierdurch ist ein
Zusammenhang zwischen der oberen und
unteren Ebene längs der ganzen Linie $\overline{a_1q}$
bewirkt, derart, dass bei dem Ueberschreiten
dieser Linie man aus dem oberen Blatte stetig in das untere
und umgekehrt gelangt.

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\includegraphics*[width=2.9cm,height=1.8cm]{images/fig32}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Umkreisen wir nun mit $x'$ von $x_1'$ ausgehend den Punkt~$a_1$.
Sobald wir mit $x'$ an (Fig.~31) $\overline{a_1q}$ kommen und es
überschreiten
wollen, treten wir in das zweite untere Blatt ein und gelangen
auf der punktirt gezeichneten Linie nach $x_1''$, wo,
wie wir wissen, der Wert $-y_1$ stattfindet. Umkreisen wir
von $x_1''$ weitergehend im unteren Blatte wieder den Punkt
$a_1$ längs der punktirten Linie, so werden wir, sobald der
Punkt an die Linie $\overline{aq}$ gelangt, aus dem unteren Blatte in
das obere geführt und gelangen bei Fortsetzung des Weges
nach $x_1'$ im oberen Blatte zum Werte $+y_1$, was auch damit
übereinstimmt, dass bei zweimaliger Umkreisung von $a_1y$
den Wert $+y_1$ erhält.

Auf diese Weise ist die Zweideutigkeit von $y$ in der
Umgebung von $a_1$ behoben und jedem Repräsentanten von
$x$ entspricht nur ein Wert von $y$ je nachdem wir den $x$
repräsentirenden Punkt im oberen oder unteren Blatte nehmen.
Machen wir dasselbe für alle vier Punkte alt $a_1$, $a_2$, $a_3$,
$a_4$, so
wird hierdurch für $x$ eine Darstellung erhalten, so beschaffen,
dass jedem Punkte nur ein Wert von $y$ zugehört. Um die
Vorstellung des Zusammenhanges der beiden Blätter einfach
zu gestalten, wählen wir die Linien $\overline{aq}$, welche man auch
Verzweigungsschnitte nennt und auf deren Verlauf es nur
derart ankömmt, dass sie durch die Punkte $a$ und bis
über die Umgebung des Punktes hinausgehen, in spezieller
Weise.

\begin{wrapfigure}{r}{3.4cm}
\includegraphics*[width=3.4cm,height=2.5cm]{images/fig33}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Wir verbinden nämlich die Punkte $a_1a_2$ und $a_3a_4$ durch
Gerade und nehmen diese als Verzweigungsschnitte an.
Man kann es stets so einrichten, dass die Strecke $\overline{a_1a_2}$
von~$\overline{a_3a_4}$ nicht geschnitten wird. Längs der ganzen Strecke
$\overline{a_1a_2}$
%%-----File: 172.png-------------------------------
und~$\overline{a_3a_4}$ hängt also das obere Blatt mit dem unteren,
gegenüberliegenden
zusammen. Um die Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$
windet sich die aus den beiden zusammenhängenden Blättern
bestehende Fläche nach Art einer sehr niedrigen Schraubenfläche
herum, diese Punkte heissen
daher auch \emph{Windungspunkte}. Die ganze
Fläche, auf welcher wir nun $x$ zu
deuten haben, heisst \emph{Riemann'sche
Fläche} der Funktion $y$.

Wir können sagen: unsere Funktion
$y$ \emph{ist eine eindeutige Funktion von~$x$
auf der eben konstruirten Riemann'schen Fläche}. Sobald $x$
auf derselben einen geschlossenen Weg beschreibt, so erhält
auch $y$ denselben Wert.

Da für grosse Werte $x\dots y$ zwei verschiedene Werte
annimmt, so verlaufen im Unendlichen die beiden Blätter
der Riemann'schen Fläche getrennt von einander, es hängt
das obere mit den oberen, das untere mit dem unteren zusammen
und wir können daher sagen unsere Riemann'sche
Fläche hängt vollständig zusammen, wenn wir $x=\infty$ eben
als einen Punkt im oberen Blatte für den $y=+\infty$ wird
und einen zweiten im unteren Blatte für den~$y=-\infty$ wird,
deuten. Hierdurch ist das von der Darstellung der komplexen
Variablen $x$ Verlangte vollständig geleistet.

\subsection[38.\ Auf der construirten Riemann'schen Fläche existiren
blos zwei geschlossene Linien, die keinen Theil derselben
vollständig begrenzen $\qquad$]{38.}
Es tritt aber hier etwas auf, was von Bedeutung
für das Folgende wird. Man sagt: Eine oder mehrere geschlossene
Linien $C$ \emph{begrenzen} auf einer Fläche $T$ einen Theil
derselben \emph{vollständig}, wenn es unmöglich ist, aus diesem
Theile ohne Ueberschreitung der Linien $C$ an den Rand der
Fläche (wenn dieselbe einen besitzt) oder in einen anderen
Theil derselben zu gelangen. Sind $p$ und $p'$ einander
gegenüberliegende
Punkte der Ufer von $C$, so werden dieselben
verschiedenen Theilen von $T$ angehören, die $C$ begrenzt.
Kann man von $p$ sowohl als von $p'$ an den Rand der Fläche
kommen, dann \emph{begrenzen die Linien $C$ für sich allein genommen
keinen Theil vollständig}. Oder auch, kann man von
$p$ nach $p'$ auf einer Linie, die innerhalb $T$ verläuft, gelangen,
ohne~$C$ oder irgend einen Rand von $T$ zu überschreiten,
%%-----File: 173.png-------------------------------
\emph{so begrenzen die Linien~$C$ sicherlich keinen Theil von $T$
vollständig}.

\begin{wrapfigure}{r}{4.1cm}
\includegraphics*[width=3.7cm,height=3.2cm]{images/fig34}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4.1cm,height=3.3cm]{images/fig35}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
So begrenzt ein Kreis auf der Kugel jede der beiden
Calotten vollständig; hingegen begrenzt ein Meridiankreis
eines Torus keinen Theil desselben voll\-stän\-dig, denn ein
Parallelkreis desselben führt von einem Uferpunkte zu dem
gegenüberliegenden, ohne ersteren zu überschreiten. Auch
begrenzen beide zusammen, als Linien $C$ aufgefasst, keinen
Theil des Torus voll\-stän\-dig. Wohl aber begrenzen zwei
Meridiankreise zusammengenommen einen Theil vollständig.
Jede geschlossene Linie in der Zahlenebene, auf der wir die
komplexe Grösse $z$ deuten, begrenzt ebenfalls einen Theil
dieses Gebietes vollständig. Anders ist es bei unserer aus
zwei Blättern bestehenden Riemann'schen Fläche. Zieht man
eine geschlossene Linie, welche keinen der Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$,
$a_4$
einschliesst, so begrenzt, wie man sieht, diese den Theil, den
sie einschliesst, vollständig. Denn schneidet man längs dieser
Linie, welche ganz in einem Blatte verlaufen muss, die
Fläche durch, so fällt das Innere heraus, ein Beweis, dass
es mit der übrigen Fläche nicht zusammenhängt und man
also aus dem Inneren nicht hinausgelangen kann, ohne die
gezeichnete Linie zu überschreiten.

Ziehen wir aber die Kurve $A$, welche ganz im oberen
Blatte verläuft, und welche die Punkte
$a_1$, $a_2$ (Fig.~34) einschliesst, dann begrenzt
diese keinen Theil der Fläche vollständig.
Denn man kann von einem Punkte $m$,
der auf der einen Seite des Randes von~$A$
liegt, zu dem gegenüberliegenden $m'$ des
\begin{wrapfigure}[10]{r}{4.4cm}
\includegraphics*[width=4.4cm,height=3.2cm]{images/fig36}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
anderen Randes gelangen, ohne $A$
zu überschreiten, längs des Weges
$mnom'$, welcher bei $n$ ins untere Blatt
tritt und bei~$o$ aus diesem wieder ins obere. Da $A$ blos
im oberen verläuft, so trifft $mnom'$ die Linie $A$ nicht.

Durchschneiden wir also längs $A$ das obere Blatt, so
bleibt die Fläche noch zusammenhängend, und durchschneiden
wir die Fläche längs der Li\-nie $mnom'$, so bleibt sie auch
noch zusammenhängend, denn geht man von~$m$ am inneren
%%-----File: 174.png-------------------------------
Rande von~$A$ fort, so gelangt man notwendig an das
gegen\-über\-lie\-gen\-de
Ufer des Schnittes $mnom'$, was beweist, dass
die Fläche noch zusammenhängt.

Wir denken uns nun die Fläche $T$ längs der gezeichneten
Linien $A$ und~$B$ durchschnitten, so dass ein Ueberschreiten
des Randes nicht möglich ist. Die so erhaltene Fläche $T'$
hängt zusammen in allen ihren Theilen
und ihre Begrenzung besteht aus einem
Zuge $m\, n\, o\, p\, q\, r\, s\, t\, u\, v\, w\, x\, m$. In dieser
Flä\-che~$T'$ begrenzt jede geschlossene
Linie $C$ einen Theil vollständig; schneidet
man also $T'$ längs $C$ durch, so
fällt dieser Theil aus. Denn eine solche
Linie $C$ kann entweder blos in einem
Blatte verlaufen, dann ist das Gesagte
von vornherein klar, oder sie kann durch beide Blätter
laufen, dann kann sie entweder nur einen der Punkte $a$ einschliessen
und sich also in Form einer Spirale (Fig.~36) um
diesen herum winden. Durchschneidet man
längs dieser $T'$, so fällt der Theil, welcher
$a$ enthält, hinaus, daher begrenzt $C$ diesen
Theil vollständig.
\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
\includegraphics*[width=3.1cm,height=3.5cm]{images/fig37}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Oder $C$ umschliesst
mehrere Punkte $a$, dann muss sie parallel
dem durch die Schnitte $A$, $B$ entstandenen
Rande verlaufen und beim Durchschneiden längs derselben
fällt also ein Theil ab, d.~h.\ $C$ begrenzt einen Theil
vollständig.

Jede geschlossene Linie $D$ auf unserer Fläche $T$, die
also längs $A$ und $B$ noch zusammenhängt, begrenzt entweder
für sich allein oder in Gemeinschaft mit $A$ und~$B$
einen Theil von $T$ vollständig. Denn würde $D$ diess nicht
thun, so könnte man von einem Punkte $p$ (Fig.~37) am inneren
Rande zu dem gegenüberliegenden Punkte~$p'$ am
äusseren Rande von $D$ auf einer in $T$ verlaufenden
und $A$, $B$, $D$ nicht schneidenden
Linie $L$ gelangen. Durchschneidet man nun
$T$ längs $A$ und $B$, so treffen diese Schnitte
$L$ nicht, und man kann daher längs $D$ fortgehend,
%%-----File: 175.png-------------------------------
nöthigenfalls an den Rand von $T'$ weiterschreitend\footnote{
  Es könnte nämlich $D$ von $A$ in $a$ geschnitten werden und
  hierdurch würde beim
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\hfil\raisebox{-1.5cm}{\smash{\includegraphics*[width=1.5cm,height=2cm]{images/fig38}}}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
  Durchschnitte der Punkt $a$ (Fig.~38) in die
  Punkte $a'$, $a''$ auf entgegengesetzten Ufern von $A$ getrennt
  werden. Da man aber längs des Randes von $T'$, der eine
  einfache zusammenhängende Linie ist, von $a''$ ausgehend
  sicher nach $a'$ gelangen kann, so kann man auch von
  jedem Punkte der Linie $D$ aus diese durchlaufen, ohne den
  Rand von $T'$ zu überschreiten.}
von einem Ufer von $L$ zu dem anderen gelangen, d.~h.\ $L$
ist eine geschlossene in $T'$ verlaufende Linie, die für sich
allein genommen keinen Theil von $T'$ vollständig begrenzt,
was, wie wir zeigten, nicht stattfinden kann. Es muss also
\emph{jede geschlossene Linie $D$ in $T$ für sich allein oder mit~$A$
und~$B$ zusammengenommen einen Theil von $T$ vollständig
begrenzen}.

\begin{wrapfigure}{r}{5.3cm}
\includegraphics*[width=5.3cm,height=3.9cm]{images/fig39}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Hieraus folgt aber, dass wir auf unserer Fläche $T$ \emph{nicht
mehr als zwei geschlossene Linien finden können, die für sich
sowohl, als zusammengenommen keinen Theil der Fläche vollständig
begrenzen}. Denn seien $A'$, $B'$, $C'$ irgend drei Linien,
welche keinen Theil von $T$ weder für sich noch zusammengenommen
vollständig begrenzen. Dann kann man von dem
Randpunkte~$p$ (Fig.~39) von $A'$ zu dem gegenüberliegenden $p'$ auf
einer Kurve $L$ gelangen, welche $A$ in
$m$ schneiden möge, die aber $B'$, $C'$
nicht trifft, was nach der Voraussetzung,
dass $A'$, $B'$, $C'$ keinen Theil
von~$T$ vollständig begrenzen, stets
möglich ist. Durchschneidet man nun
$T$ längs $A$, $B'$, $C'$, lässt aber längs
$A'$ den Zusammenhang bestehen, so kann die Fläche durch
diesen Schnitt längs $A$ nicht zerfallen; denn die Linie $L$,
welche bei $p'p$ die Kurve~$A'$ übersetzt, führt von einem
Randpunkte $m$ zu dem gegenüberliegenden, ohne einen der
entstandenen Ränder zu überschreiten, da sie $B'$ und $C$
nicht schneidet, daher werden $A$, $B'$, $C'$ auch keinen Theil
der Fläche vollständig begrenzen. Verfährt man nun auch
so mit $B$ und $B'$, so sieht man, dass auf Grund der Voraussetzung
auch $A$, $B$, $C'$ zusammengenommen keinen Theil
%%-----File: 176.png-------------------------------
der Fläche vollständig begrenzen können, was nicht angeht.
Daher können auf $T$ nicht mehr als \emph{zwei} geschlossene Linien
existiren, welche weder einzeln noch zusammen keinen Theil
der Fläche vollständig begrenzen. Mit jeder weiteren geschlossenen
Linie begrenzen dieselben dann \emph{notwendig} einen
Theil vollständig.

Existiren auf einer Fläche $n$ geschlossene Kurven, welche
zusammengenommen
keinen Theil derselben vollständig begrenzen,
welche aber im Vereine mit jeder anderen geschlossenen
Linie einen Theil vollständig begrenzen, so heisst die Fläche
nach \Person{Riemann} $n + 1$-fach zusammenhängend. Unsere Fläche
$T$ ist also dreifach zusammenhängend, die Fläche $T'$ ist einfach
zusammenhängend. Die Fläche $T$ kann aber auch nicht
durch mehr als zwei Schnitte, z.~B.\ längs $A$ und $B$, in eine
\emph{einfach zusammenhängende} verwandelt werden; denn wie wir
eben zeigten, existiren höchstens zwei Linien, welche zusammengenommen
noch keinen Theil vollständig begrenzen,
mit denen aber zusammengenommen jede dritte einen Theil
von $T$ vollständig begrenzt. Zerschneidet man also $T$ längs
allen drei Linien, so muss ein Theil herausfallen.

Die vorstehenden Betrachtungen bezogen sich blos auf
unsere geschlossene Fläche $T$, lassen sich aber ohne weiteres
auf berandete Flächen beliebigen Zusammenhanges erweitern,
worauf aber nicht eingegangen werden soll\footnote{
  Vergleiche: \Person{Riemann}: l.~c., \Person{Neumann}: Theorie der Abelschen
  Integrale. \Person{Dur\`ege}: Elemente der Theorie der Funktionen einer
  komplexen Variablen, u.~a.}.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 177.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}

\section[II.\ Funktionen auf der Riemann'schen Fläche]{II.\ Funktionen
auf der Riemann'schen Fläche.}

\subsection[39.\ Die rationalen Funktionen von~$x$ und~$y$ sind eindeutige
Funktionen des Ortes auf der Fläche. Das Integral
$w=\int_{x_0}^x\frac{dx}{y}$
ist unendlich vieldeutig in bestimmter Art]{39.}
Auf unserer Fläche $T$ haben wir $x$ gedeutet und
jedem Punkte auf derselben entsprach ein bestimmter Wert
von $x$ und $y$.

Wir sagen: \emph{Es ist $y$ eine eindeutige Funktion des
Ortes auf der Riemann'schen Fläche}, indem wir unter \emph{Ort}
einen \emph{Punkt} der Fläche verstehen, dem ein \emph{bestimmter} Wert
der komplexen Variabeln $x$ zugehört, dem aber auch ein \emph{bestimmter}
Wert $y$ entspricht. Ist nun $R(xy)$ eine beliebige
rationale Funktion von $x$ und $y$, so wird diese auch eine
\emph{eindeutige} Funktion des \emph{Ortes} auf unserer Riemann'schen
Fläche
sein, denn jedem Punkte derselben ist ein bestimmtes $x$ und
$y$ zugeordnet, also auch ein bestimmter Wert von $R(xy)$.
\emph{Auf der Riemann'schen Fläche $T$ der Funktion $y$ ist also jede
rationale Funktion von $x$ und $y$ eine eindeutige Funktion des
Ortes.} Wir werden später die Umkehr dieses Satzes beweisen
(vgl.~44, S.~\pageref{umkehr2}\label{umkehr1}).

Betrachten wir nun das Integral
\[
  w = \int_{x_0}^x \frac{dx}{y},
\]
so ist dieses auf $T$ keine eindeutige Funktion des Ortes mehr,
wohl aber auf der zerschnittenen Fläche $T'$. Denn auf $T'$
bildet jede geschlossene Linie die vollständige Begrenzung
eines Theiles der Fläche $T'$, auf derselben ist ferner $y$ eine
eindeutige Funktion von $x$. Erstrecken wir daher das Integral
$w$ einmal längs des Weges $x_0ax$, das anderemal längs
$x_0bx$, so wird die geschlossene Linie $x_0axbx_0$ einen Theil
der Fläche vollständig begrenzen und durch stetige Aenderung
innerhalb dieses Theiles kann man den Weg $x_0bx$ in den
Weg $x_0ax$ überführen.
%%-----File: 178.png-------------------------------

Es tritt nur ein Bedenken auf, nämlich das, dass bei
dieser Ueberführung einer der Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$
für den
$y = 0$ wird oder der Punkt $x = \infty$ überschritten wird. Wir
sahen aber (Einleitung 14, S.~\pageref{unendl}), dass ein Punkt, für
den der
Integrand unendlich wird, immer vom Integrationswege überschritten
werden kann, wenn das geschlossene Integral
\[
\int_{\overfrown{a}} f(x)\,dx = 0
\]
ist. Dies trifft aber für die Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ zu. Denn
setzen wir z.~B.\
\[
x - a_1 = \varrho e^{i\varphi}
\]
und halten $\varrho$ konstant, so ist
\[
y = \varrho^{\frac{1}{2}} e^{i\frac{\varphi}{2}} F(x),
\]
wo $F(a_1)$ endlich ist.

Es wird
\[\label{form160}
\int_{\overfrown{a_1}}\frac{dx}{y} =
  \varrho^{\frac{1}{2}} \int_{\varphi_0}^{\varphi_0 + 4\pi}
    \frac{id\varphi e^{-i\frac{\varphi}{2}} }{F(x)},
\]
d.~h.\ das geschlossene Integral wird unendlich klein, sobald
$\varrho$ unendlich klein wird und ist mithin null. Wir können
daher mit dem Integrationswege einen solchen Punkt überschreiten.

Aehnliches gilt für den Punkt $x=\infty$, denn es ist
\[
\int_{\overfrown{\infty}} \frac{dx}{y} = 0.
\]

Setzt man nämlich
\begin{align*}
x' &= \frac{1}{x} \\
y' &= \sqrt{A(1-a_1x')(1-a_2x')(1-a_3x')(1-a_4x')},
\end{align*}
so wird
\[
  \frac{dx'}{y'} = -\frac{dx}{y}
\]
und da für $x=\infty \ldots x'=0$ ist, so folgt
\[
\int_{\overfrown{ 0 }}\frac{dx'}{y'} = \int_{\overfrown{\infty}}\frac{dx
}{y } .
\]
%%-----File: 179.png-------------------------------
Es ist aber $y'$ für $x'=0$ endlich und von Null verschieden,
daher
\[
\int_{\overfrown{0}} \frac{dx'}{y'}=0.
\]

Nehmen wir nun das Integral
\[
w(x)=\int_{x_0}^{x} \frac{dx}{y}
\]
innerhalb $T$ auf irgend einem Integrationswege von $x_0$ nach
$x$ hin erstreckt, so kann bei Abänderung des Integrationsweges
innerhalb $T$ der Wert des Integrales sich nur um von
$x$ unabhängige Grössen ändern, die von der Form des Integrationsweges
abhängen. Denn da
\[
\frac{dw(x)}{dx}=\frac{1}{y}
\]
eine eindeutige Funktion des Ortes auf $T$ ist, so wird stets
$\frac{dw(x)}{dx}$ denselben Wert haben, wie immer wir die Variable
von $x_0$ nach $x$ führen, und folglich können sich die verschiedenen
Werte von $w(x)$ nur um Grössen unterscheiden,
die von $x$ unabhängig sind.

Wir wollen nun zeigen, dass alle diese Grössen sich als
ganzzahlige Vielfache \emph{zweier} bestimmter
Konstanten darstellen lassen.

\begin{wrapfigure}[13]{r}{4.5cm}
\includegraphics*[width=4.5cm,height=5.2cm]{images/fig40}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Wir wissen, dass
\[
w(x)=\int_{x_0}^{x} \frac{dx}{y}
\]
innerhalb der zerschnittenen Fläche
$T'$ eine eindeutige Funktion des Ortes
ist, also unabhängig von dem Integrationswege,
der für $x$ vorgeschrieben
ist. Es sei $w(m'')$ und $w(m')$
der Wert von $w(x)$ in zwei Punkten $m'$, $m''$ von $T'$ (Fig.~40),
die einander gegenüber auf den Ufern von $A$ liegen, die
gleichsam als die Punkte aufzufassen sind, die aus einem
Punkte der Linie $A$ durch Zerschneidung entstanden sind.
%%-----File: 180.png-------------------------------
Da der Wert des Integrals $w(m'')$ von dem Integrationswege
innerhalb $T'$ unabhängig ist, so können wir das Integral
$w(x)$ von $x_0$ nach $m'$ und von da nach $m''$ führen und erhalten,
wenn wir als letztern Integrationsweg $m' n_1 n_2 n_3 n_4 m''$
wählen,
\[
  w(m'')
= w(m') + w(\overline{m' n_1}) + w(\overline{\vphantom{m'}n_1 n_2
n_3 n_4})
+ w(\overline{n_4 m''}),
\]
wo $w(\overline{m' n_1})$ das von $m'$ nach $n_1$ erstreckte Integral
ist. Da
nun $\frac{dw(x)}{dx}$ im $m''$ und $m'$ denselben Wert besitzt, so
wird das
Integral, von $m'$ nach $n_1$ erstreckt, denselben Wert haben,
wie das von $m''$ nach $n_4$ hin erstreckte und daher ist
\[
  w(\overline{m' n_1})
= w(\overline{m'' n_4})
=-w(\overline{n_4 m''})
\]
Es folgt somit aus der obigen Gleichung
\[
  w(m'') = w(m') = w(\overline{n_1 n_2 n_3 n_4})
\]
für alle Punkte $m'$, $m''$, die einander auf den Ufern von $A$
gegenüberliegen.

Wir setzen
\[
  w(\overline{n_1 n_2 n_3 n_4}) = \int_B \frac{dx}{y} = C,
\]
indem wir das Integral längs der geschlossenen Linie $B$ im
Sinne $n_1 n_2 n_3 n_4$ hin erstrecken und $n_1$ mit $n_4$ zusammenfallend
denken.

Wenn wir also unserer Variabeln $x$ erlauben, von $m'$
nach $m''$ über $A$ hinüber zu gehen, d.~h.\ wenn wir $x$ in $T$
variiren, so wird bei diesem Ueberschreiten sich $w(x)$ plötzlich
um $C$ ändern.

Es ist klar, dass bei dem Ueberschreiten der Linie $A$ in
entgegengesetzter Richtung von $m''$ nach $m'$ sich $w(x)$ plötzlich um
$-C$ ändert. Aehnliches gilt für das Ueberschreiten
der Linie $B$ von $p'$ nach $p''$. Setzt man
\[
  w(\overline{n_1 m' n}) = \int_A \frac{dx}{y} = C_1,
\]
so wird
\[
  w(p'') = w(p') + C_1.
\]

Aendert sich also $x$ in $T$, so wird bei dem Uebertritt des
$x$ von $p'$ nach $p''$ sich das Integral plötzlich um $C_1$ ändern.
%%-----File: 181.png-------------------------------

Da sonst die Aenderung von $w(x)$ in $T$ und $T'$ dieselbe
ist, so erhalten wir das Resultat:

\emph{Ist $w(x)$ der Wert des Integrals von $x_0$ nach $x$ innerhalb
$T'$ auf irgend einem Wege $J$ erstreckt und $w_1(x)$ der erlangte
Wert auf irgend einem Wege $J_1$ innerhalb $T$, so wird}
\[
w(x) = w_1(x) + nC + n_1 C_1,
\]
\emph{wo $n$ und $n_1$ ganze Zahlen sind.}

Es möge $J_1$ die Linien $A$ und $B$ resp. $m + m_1$ und
$m' + m_1'$mal schneiden und zwar, wenn wir $J_1$ von $x_0$ nach
$x$ durchlaufen, $m$ resp. $m'$mal in positiver, $m_1$ resp.\ $m_1'$mal
in negativer Richtung, wobei wir unter positiver Ueberschreitungsrichtung
die im Sinne der Pfeile der Fig.~40 verstehen.

Wollen wir den Weg $J_1$ nun so in $J_2$ abändern, dass
er auch in $T'$ intakt bleibt, also beim
Zerschneiden von $T$ nicht in getrennte
Theile zerfällt, so
\begin{wrapfigure}[11]{r}{4cm}
\includegraphics*[width=4cm,height=3.7cm]{images/fig41}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
müssen wir bei jedem
Ueberschreitungspunkte von $s$ nach $t$
(Fig.~41) den Weg $ss_1s_2s_3s_4t$ hinzufügen,
wobei also $w(x)$ um $C$ oder $C_1$ wächst,
wenn die Ueberschreitung von $A$ resp.\
$B$ in positiver Richtung stattfand oder
um $-C, -C_1$, wenn diese Ueberschreitungen
in negativer Richtung erfolgten.

Hierdurch wird aber $w_1(x)$ den Wert
\[
w_1(x) + (m - m')C + (m_1 - m_1')C_1
\]
erhalten auf $J_2$ und da $J_2$ auch in $T'$ zusammenhängend
bleibt, so muss dies derselbe Wert sein, den $w(x)$ auf $J$ erhält,
da $w(x)$ in $T'$ eindeutig ist, also ist
\[
w(x) = w_1(x) + nC + n_1C_1.
\]

Wir wollen $C$ und $C_1$ die \emph{Elementarperioden} des Integrals
$w(x)$ nennen und $nC + n_1C_1$ die Konstante, um die
sich überhaupt die Werte von $w(x)$ in einem Punkte von $T$
unterscheiden können, sollen \emph{Perioden} des Integrals heissen.
Dann ersehen wir, dass \emph{alle Perioden des Integrals $w(x)$
ganzzahlige
Vielfache der Elementarperioden $C$ und $C_1$ sind.}
%%-----File: 182.png-------------------------------

\begin{wrapfigure}{r}{3.8cm}
\includegraphics*[width=3.8cm,height=3.5cm]{images/fig42}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
\subsection[40.\ Nähere Bestimmung der Elementarperioden]{40.}
Wir wollen diese Konstanten $C$ und $C_1$ näher betrachten.
Es ist
\[
  C = -\int_B \frac{dx}{y}
\]
das Integral in der Richtung des Pfeiles (Fig.~42) erstreckt.
Da aber die Linie $B_1$ genau in derselben
Weise von einem Ufer von $A$
zu dem entgegengesetzten führt, so ist
auch
\[
  C = -\int_{B_1} \frac{dx}{y} .
\]
Nun lassen wir $B_1$ aus der Geraden $\overline{12}$,
dem kleinen Kreise $234$, der Geraden
$\overline{45}$ im unteren Blatte von $T$ und dem kleinen Kreise $561$
bestehen. Dabei setzen wir voraus, dass $4$ unterhalb $2$ und
$5$ unterhalb $1$, also die ganze Gerade $\overline{45}$ unterhalb
$\overline{21}$ liege.
Es wird also
\[
  -C
= \intv_1^2 \frac{dx}{y} + \int_{234} \frac{dx}{y}
+ \intv_4^5 \frac{dx}{y} + \int_{561} \frac{dx}{y}  .
\]
Die Integrale längs der kleinen Kreise $234$ und $561$ sind mit
dem Radius dieser Null als Integrale um den Punkt $a_2$ resp.\
$a_3$, wie wir S.~\pageref{form160} sahen.

In zwei untereinanderliegenden Punkten der Geraden $\overline{12}$
und $\overline{45}$ wird $y$ gleiche, aber entgegengesetzt bezeichnete
Werte besitzen. Ist also $y$ der Wert für $x$ im oberen und
$y'$ im unteren Blatte, so wird
\[
  \frac{dx}{y} = -\frac{dx}{y},
\]
also
\[
  \intv_1^2 \frac{dx}{y}
=-\intv_5^4 \frac{dx}{y'} ,
\]
wobei das erste Integral im oberen, das zweite im unteren
Blatte zu erstrecken ist. Es wird mithin
\[
  \intv_1^2 \frac{dx}{y}
= \intv_4^5 \frac{dx}{y}.
\]
%%-----File: 183.png-------------------------------
Lässt man nun $1$ und also auch $5$ mit $a_2$, sowie $2$ und $4$
mit $a_3$ zusammenfallen, so wird
\[
  C = -2\intv_{a_2}^{a_3}\frac{dx}{y},
\]
wobei das geradlinige Integral im oberen Blatte zu erstrecken
ist.

Genau so verfahren wir mit
\[
  C_1 = \int_A \frac{dx}{y}.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{3.9cm}
\smash{\raisebox{-2cm}{\includegraphics*[width=3.9cm,height=3.6cm]{images/fig43}}}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Wir ersehen, da $C_1$ auch das
Integral erstreckt längs $1\,2\,3\,4\,5\,6\,1$
ist, wobei $5$ resp.~$4$ unterhalb $1$ resp.
$2$ liegen sollen (Fig.~43).

Also ist
\[
  C_1
= \intv_1^2 \frac{dx}{y} + \int_{234} \frac{dx}{y}
+ \intv_4^5 \frac{dx}{y} + \int_{561} \frac{dx}{y},
\]
und da genau so wie früher
\[
  \intv_1^2 \frac{dx}{y}
= \intv_4^5 \frac{dx}{y}
\]
folgt, und wenn wir $1$ und $2$ mit $a_1$ resp.\ $a_2$ zusammenfallen
lassen, die Integrale längs $2\,3\,4$ und $5\,6\,1$ also verschwinden,
so ergiebt sich
\[
  C_1 = \intv_{a_1}^{a_2} \frac{dx}{y}
\]
das Integral im oberen Blatte links von der Geraden
$\overline{a_1 a_2}$
hin zu erstrecken.

\subsection[41.\ Andere Zerschneidungen der Riemann'schen Fläche geben
Perioden, welche durch die früher gefundenen ausdrückbar sind]{41.}
Wir hätten unsere Riemann'sche Fläche $T$ durch
irgend zwei andere dieselbe nicht zerstückelnde Schnitte $A'$,
$B'$ in eine einfach zusammenhängende~$T_1$ verwandeln können
und hätten dadurch zwei andere Konstanten
\[
  C' = \int_{B'} \frac{dx}{y} ,\quad C_1' = \int_A \frac{dx}{y}
\]
als Elementarperioden erhalten.
%%-----File: 184.png-------------------------------

\begin{wrapfigure}{r}{3.75cm}
\includegraphics*[width=3.75cm,height=4.25cm]{images/fig44}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Nun sahen wir aber S.\ 157, dass man eine der Kurven
z.~B.\ $B'$ immer durch $B$ ersetzen kann,
d.~h.\ dass die Kurve $B'$ genau so von
einem Ufer von $A$ zu dem gegenüberliegenden
führt, ohne $A$ weiter zu
treffen, wie $B$ und also ist $C'= \pm C$
je nach dem Sinne, in dem $B'$ durchlaufen
wird. Dann wird aber $A'$ durch
$A$ ersetzbar und also auch $C_1' = \pm C_1$.
So z.~B.\ kann $A$ (Fig.~44) ersetzt
werden durch $A'$ auch dem Sinne
nach, da sie in derselben Weise $B$ überschreitet, d.~h.\ es ist
\[
  \int_A \frac{dy}{x} = \int_{A'} \frac{dy}{x} = C_1
\]
oder mit Rücksicht auf den in 40 gefundenen Wert, dem
sich ein analoger für $A'$ an die Seite stellt,
\[
  \intv_{a_1}^{a_2} \frac{dy}{x}
= \intv_{a_3}^{a_4} \frac{dy}{x}
\]
beide im oberen Blatte, das erste links, das andere rechts
von der Geraden hin erstreckt.

Ebenso hätte man $B$ durch $B'$, diese im entgegengesetzten
Sinne des
\begin{wrapfigure}[9]{r}{3.5cm}
\includegraphics*[width=3.45cm,height=3.63cm]{images/fig45}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Pfeiles (Fig.~44) ersetzen können, woraus
dann
\[
  \intv_{a_2}^{a_3} \frac{dy}{x}
= \intv_{a_1}^{a_4} \frac{dy}{x}
\]
folgt, beide Integrale im oberen Blatte, das erste rechts, das
zweite links von der Geraden hin erstreckt.

Hieraus ersehen wir aber, dass, wenn
wir die ursprüngliche Riemann'sche Fläche
statt mittels der Verzweigungsschnitte $\overline{a_1 a_2}$
und $\overline{a_3 a_4}$ zu bilden, mit Hilfe der Schnitte
$\overline{a_1 a_4}$ und $\overline{a_2 a_3}$ (Fig.~45) herstellen,
dadurch
die Elementarperioden für die nun etwa
auftretenden Kurven $A'$, $B'$ die Werte
$C_1' = -C$ und $C' = -C_1$ erhalten.
%%-----File: 185.png-------------------------------

Wir sehen also, dass die Elementarperioden unabhängig
sind von der Art der Zerschneidung von $T$ ebenso wie von
der Art, wie wir die Verzweigungsschnitte in $T$ annehmen,
wesentlich nur von den Werten $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ abhängen.

\subsection[42.\ $w(x)=\int_{x_0}^x\frac{dx}{y}$ wird auf der
Riemann'schen
Fläche nicht unendlich]{42.} \label{satz42} Die Funktion
\[
  w(x) = \int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{A (x-a_1) (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)}}
\]
wird, wie wir gleich zeigen werden, für \emph{keinen} Wert von $x$
unendlich und heisst \emph{»ein überall endliches Integral«} auf der
Riemann'schen Fläche $T$, welche zu der Funktion
\[
  y = \sqrt{A (x-a_1) (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)}
\]
gehört.

$w(x)$ könnte unendlich werden für $x=a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$
oder für $x=\infty$. Für alle anderen Werte verhält sich der
Integrand regulär und kann $w(x)$ daher nicht unendlich
werden.

Es sei $x$ in der Umgebung von $a_1$ gelegen. Wir nehmen
$x_1$ ebenfalls in der Umgebung von $a_1$ an und schreiben
\[
  w(x) = \int_{x_0}^{x_1} \frac{dx}{y} + \int_{x_1}^x \frac{dx}{y},
\]
wo der Integrationsweg des zweiten Integrals ganz in die
Umgebung von $a_1$ fallen soll. Da das erste Integral jedenfalls
\emph{endlich} ist, sobald wir voraussetzen, was wir thun wollen,
dass der Integrationsweg durch keinen der Punkte $a_1$, $a_2$, $a_3$,
$a_4$ oder $\infty$ führt, in denen wir das Verhalten noch nicht
kennen, so bleibt nur das $\int_{x_1}^x \frac{dx}{y}$ auf seine
Endlichkeit zu
untersuchen übrig.

Wir setzen
\[
  \frac{1}{\sqrt{A (a_1-a_2) (a_1-a_3) (a_1-a_4)}} = B,
\]
so ist $B$ endlich. Da die Funktion
\[
  \frac{1}{\sqrt{A (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)}}
\]
für $x=a_1$ endlich und von Null verschieden ist, ebenso ihre
%%-----File: 186.png-------------------------------
Differentialquotienten, so können wir dieselbe nach dem
Taylor'schen Theorem entwickeln und erhalten für die Umgebung
von $a_1$
\[
\frac{1}{\sqrt{A(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}} = B + B_1(x-a_1) + \cdots
\]
und daher wird
\begin{align*}
\frac{1}{y} &= \frac{1}{(x-a_1)^{\frac{1}{2}}}[B + B_1(x-a_1) + \cdots \\
	    &= \frac{B}{(x-a_1)^{\frac{1}{2}}} + B_1(x-a_1)^{\frac{1}{2}}
	    + \cdots,
\end{align*}
wobei es gleichgiltig ist, welchen Wert von $\sqrt{x-a_1}$ wir
nehmen. Es wird dann
\[
\int\frac{dx}{y} = N + 2B(x-a_1)^{\frac{1}{2}} +
\tfrac{2}{3}B_1(x-a_1)^{\frac{3}{2}} + \cdots,
\]
wenn $N$ die Integrationskonstante ist.

Indem wir
\[
0 = N + 2B(x_l-a_1)^{\frac{1}{2}} + \tfrac{2}{3}B_1(x_1-a_1)^{\frac{3}{2}}
+ \cdots
\]
setzen, wodurch $N$ endlich und bestimmt ist, da $x_1$ in der
Umgebung von $a_1$ liegt, sehen wir, dass
\[\label{reihe1}
\int_{x_1}^{x} \frac{dx}{y} = N + 2B(x-a_1)^{\frac{1}{2}} +
\tfrac{2}{3}B(x-a_1)^{\frac{3}{2}} + \cdots
\]
wird, und dass daher
\[
\int_{x_1}^{a_1} \frac{dx}{y} = N
\]
endlich ist. Dasselbe gilt für $a_2$, $a_3$, $a_4$.

Für $x = \infty$ betrachten wir das Integral vor Allem für
sehr grosse Werte von $x$, für welche also $x$ nicht mehr die
Werte alt $a_2$, $a_3$, $a_4$ annehmen kann. Wir setzen zu diesem
Behufe
\[
x = \frac{1}{x'},
\]
dann wird $x'$ sehr kleine Werte annehmen. Wir führen
ferner den Integrationsweg in $T$ von $x_0$ nach $x$ in bestimmter
Weise, dann wird sich auch $x'$ in bestimmter Weise von $x'_0$
bis $x'$ ändern. Es wird nun
%%-----File: 187.png-------------------------------
\[
dx = -\frac{dx'}{x'^2},
\]
\begin{multline*}
\sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}  \\
  = \frac{\sqrt{A(1-a_1x')(1-a_2x')(1-a_3x')(1-a_4x')}}{x'^2},
\end{multline*}
also
\begin{multline*}
\frac{dx}{\sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}}  \\
  = -\frac{dx'}{\sqrt{A(1-a_1x')(1-a_2x')(1-a_3x')(1-a_4x')}},
\end{multline*}
und daher\label{abcd}
\begin{multline*}
w(x) = \int_{x_0}^{x} \frac{dx}{\sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}}
\\
  = -\int{x'_0}^{x'}
  \frac{dx'}{\sqrt{A(1-a_1x')(1-a_2x')(1-a_3x')(1-a_4x')}},
\end{multline*}
wenn $x'$ den Weg beschreibt, der ihm vermöge der Beziehung
$x = \frac{1}{x'}$ zukommt. Aus der Gleichung sieht man
aber ohne weiteres, dass $w(x)$ für $x = \infty$ oder $x = 0$ endlich
bleibt, da das zweite Integral sich in der Umgebung von
$x' = 0$ ganz regulär verhält.

\subsection[43.\ $w(x)$ bildet die zerschnittene Riemann'sche Fläche
auf eine parallelogrammartige Figur ab]{43.}
Da das Integral $w(x)$ eine Funktion der komplexen
Variabeln $x$ ist, so wird durch dasselbe die Zahlenebene oder
die Riemann'sche Fläche, auf welcher wir $x$ deuten, konform
auf die Ebene, in der wir $w$ deuten, abgebildet. Bei dieser
Abbildung bleiben die Winkel im Allgemeinen erhalten und
nur für die Werte, für welche $\frac{dw}{dx} = 0$ oder $\infty$ ist,
findet eine
Ausnahme statt. Nun wird $\frac{dw}{dx} = \infty$ nur für $x = a_1$,
$a_2$, $a_3$, $a_4$.
Untersuchen wir daher die Abbildung der Umgebung von $a_1$
der Riemann'schen Fläche auf die Ebene von $w$. Wie wir
eben sahen, ist
\[
w - w_{a_1} = 2B(x-a_1)^{\frac{1}{2}} +
\tfrac{2}{3}B_1(x-a_1)^{\frac{3}{2}} + \cdots,
\]
wenn für $x=a_1\ldots w=w_{a_1}$ wird. Es entsprechen also jedem
$x$ zwei Werte von $w$, aber diese Werte von $w$ kommen in
der Umgebung von $w_{a_1}$ miteinander nicht in Kollision, sondern
%%-----File: 188.png-------------------------------
haben auf der schlichten Ebene um $w_{a_1}$ herum Platz;
denn die beiden Werte sind
\begin{align*}
w_1-w_{a_1} &= \phantom{-}
(x-a_1)^{\frac{1}{2}}\{2B+\tfrac{2}{3}B_1(x-a_1)+\cdots\}\\
w_2-w_{a_1} &= - (x-a_1)^{\frac{1}{2}}\{2B+\tfrac{2}{3}B_1(x-a_1)+\cdots\}
\end{align*}
\begin{wrapfigure}{r}{2.2cm}
\includegraphics*[width=2.2cm,height=2cm]{images/fig46}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
und liegen also (Fig.~46) stets diametral einander gegenüber
in Bezug auf $w_{a_1}$. Daher wird jedem Werte $w$
in der Umgebung von $w_{a_1}$ ein ganz bestimmter
Wert von $(x-a_1)$ entsprechen und dem diametral
gegenüberliegenden Wert $w'$ wird derselbe
Wert $(x-a_1)$ entsprechen, nur wird
\begin{align*}
w_1-w_{a_1} &= \phantom{-}
(x-a_1)^{\frac{1}{2}}\{2B+\tfrac{2}{3}B_1(x-a_1)+\cdots\}\\
w' -w_{a_1} &= - (x-a_1)^{\frac{1}{2}}\{2B+\tfrac{2}{3}B_1(x-a_1)+\cdots\}
\end{align*}
sein, d.~h.\ ordnet man dem Punkte $w$ den Punkt $x$ im oberen
Blatte der Riemann'schen Fläche zu, so wird $w'$ dem Punkte
$x$ im unteren Blatte entsprechen, da für diesen $y$, also auch
$\sqrt{x-a_1}$ das entsprechende Vorzeichen besitzt. Mit anderen
Worten: \emph{Die Umgebung von $a_1$ in den beiden übereinanderliegenden
Blättern der Riemann'schen Fläche wird auf die
schlichte Umgebung von $w_{a_i}$ durch das Integral $w$ abgebildet.}
Es hört in dem Punkte $x = a_1$ für $w = w_{a_1}$ die isogonale
Abbildung auf und zwei Werten von $x$ und $x'$, für welche
$\overline{a_1x}$ und $\overline{a_1x'}$ den Winkel $\varphi$ miteinander
bilden, entsprechen
die Werte $w$ und $w'$, so dass $\overline{w_{a_1}w}$ und
$\overline{w_{a_1}w'}$ den Winkel
$\frac{\varphi}{2}$ bilden. Denn setzt man
\[
\frac{x-a_1}{x'-a_1} = e^{i\varphi},
\]
so wird in erster Annäherung
\[
\frac{w-w_{a_1}}{w'-w_{a_1}} = e^{i\frac{\varphi}{2}},
\]
da man für sehr kleine Werte
\[
w - w_{a_1} = 2B(x-a_1)^{\frac{1}{2}}
\]
setzen kann.

Hieraus ergiebt sich, dass der Winkel
\[
(w'w_{a_1}w) = \tfrac{1}{2}(x'a_1x)
\]
ist.
%%-----File: 189.png-------------------------------

Da ferner $\frac{dw}{dx} = \frac{1}{y}$ nur null werden kann für
$x = \infty$,
so könnte noch dieser Wert eine Ausnahmsstelle geben. Wir
sahen aber (S.~\pageref{abcd}), dass sich für die Umgebung der Stelle
$x = \infty$ das Integral ganz regulär verhält, also, dass die Umgebung
dieses Punktes mit Erhaltung der Winkel auf die
Umgebung eines bestimmten Punktes $w$ abgebildet wird.

Wir denken uns nun (Fig.~47a) die Riemann'sche Fläche
längs der Kurven $A$ und $B$ durchschnitten, so dass wir aus
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics*[width=8.45cm,height=4.1cm]{images/fig47}
\caption{\hskip1pt }
\end{figure}
jeder Kurve $A$ und $B$ die beiden Begrenzungslinien $A_1 A_2$ und
$B_1 B_2$ erhalten, die zusammengenommen die ganze Begrenzung
von $T'$ bilden. Wir setzen voraus, dass $w$ im Punkte $m_1$, welcher
der Schnittpunkt der Begrenzungslinien $A_1 B_2$ ist, den Wert
$w_1$ haben soll, dann ist der Wert von $w$ in $m_4$ gleich $w_1 + C$.
Lassen wir nun $x$ die Linie $A_1$ durchlaufen, so wird $w$ von
$w_1$ aus irgend eine Kurve $A_1'$ beschreiben (Fig.~47b) und
nach $w_2$ gelangen, wenn $x$ nach $m_2$ gelangt. Denken wir
uns gleichzeitig mit $x$, welches längs $A_1$ läuft, einen Punkt
$x'$ verbunden, welcher längs $A_2$ läuft, so dass entsprechende
Punkte $x$ und $x'$ gerade einander gegenüber am Rande liegen,
so wird $w(x')$ auch eine Linie $A_2'$ durchlaufen, die aber
derartig mit $A_1'$ im Zusammenhange steht, dass die Punkte
$w(x)$ und $w(x')$ gerade immer um $C$ von einander abstehen.

Wird $x$ nach $m_2$, also $x'$ nach $m_3$ gelangen, so hat $w$
den Wert $w_2$ resp.\ $w_3$ erhalten, und es ist die Strecke
\[
  \overline{w_1 w_4} = \overline{w_2 w_3} = C
\]
nach unserer geläufigen Deutung der komplexen Grössen.

Von $m_2$, wo wir mit $x$ anlangten, durchlaufen wir
(Fig.~47a) nun die Linie $m_2 n_2 m_3$, wodurch $w$ (Fig.~47b)
%%-----File: 190.png-------------------------------
irgend eine von $w_2$ nach $w_3$ gehende Kurve $B_1'$ beschreibt. Der
Punkt $x'$ wird gleichzeitig die Kurve $B_2$ oder $m_1 n_4 m_4$
beschreiben,
also $w'$ eine Kurve $B_2'$, deren entsprechende Punkte um
die Konstante $C_1$ von denen von $B_1'$ entfernt sind. Es ist
\[
  \overline{w_2 w_1} = \overline{w_3 w_4} + C_1.
\]

Hierdurch ist die Begrenzung $m_1 n_1 m_2 n_2 m_3 n_3 m_4 n_4 m_1$ der
Fläche $T'$ in den Zug $w_1 w_2 w_3 w_4 w_1$ in der $w$-Ebene abgebildet.
Dieses krummlinige\label{krumm} Parallelogramm ist nun das Bild
der zerschnittenen Riemann'schen Fläche $T'$. Denn da auf
$T'$ das Integral $w$ nicht unendlich wird, so kann die Abbildung
von $T'$ mittels $w$ den Punkt $w = \infty$ nicht enthalten,
und das Bild muss eine zusammenhängende Begrenzungslinie
haben gerade so wie $T'$.

Die Punkte $w_{a_1}$, $w_{a_2}$, $w_{a_3}$, $w_{a_4}$, die den Punkten
$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$
von $T'$ entsprechen, sind ganz gewöhnliche Punkte der $w$-Ebene.

Die Winkel des krummlinigen Parallelogrammes $w_1 w_2 w_3 w_4$
müssen zusammengenommen $4$ Rechte geben, denn sie geben
zusammengenommen die isogonale Abbildung der Umgebung
des Punktes $m$, welcher zu den vier Zipfeln $m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$
in $T'$ wird, und der Punkt $m$ ist ein ganz gewöhnlicher
Punkt von $T$, es wird also seine Umgebung mit Erhaltung
der Winkel abgebildet.

Denken wir uns nun die Fläche $T$ unzerschnitten, aber
die Linien $A$ und
\begin{wrapfigure}{r}{5.15cm}
\includegraphics*[width=5.15cm,height=6cm]{images/fig48}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
$B$ markirt.
Wenn wir mit $x$ dann $A$ überschreiten,
so wird $w$ nicht mehr
im Parallelogramm $w_1 w_2 w_3 w_4$ liegen,
sondern, da man mit $x$ in
$T'$ an die Linie $A_2$ gelangen
würde und über dieselbe hinaustritt,
so wird $w$ die Linie $A_2'$ in
der Richtung des Pfeiles (Fig.~48)
überschreiten und wenn wir nun
wieder $T'$ abbilden wollen, so
müssen wir von $m_4$ d.~h.\ auf der
$w$-Ebene von $w_4$ anfangen und
erhalten das Parallelogramm $w_4 w_3 w_2' w_1'$, welches sich an
%%-----File: 191.png-------------------------------
das erste $w_1w_2w_3w_4$ längs $w_3w_4$ anlegt, und diesem kongruent
ist. Analog wird bei Ueberschreitung von $B$ in $T$
die Abbildung von $T'$ ein Parallelogramm $w_2w_3w''_4w''_1$ liefern,
das dem ersten kongruent ist.

Neben das Parallelogramm $\,\,w_4\,w_3\,w'_2\,w'_1\,\,$ wird sich nun wieder
längs $w_3w'_2$ ein anderes legen, welches auch $w_2w''_1w''_4w_3$
längs $w''_4w_3$ anliegt und dieses nicht überdeckt. Denn da
um $w_3$ sich die Winkel $w_2$, $w_1$, $w_4$ des ersten Parallelogrammes
lagern, so werden dieselben, da ihre Summe vier
Rechte ist, gerade die Umgebung von $w_3$ erschöpfen und die
vier kongruenten Parallelogramme lagern sich also lückenlos
um $w_3$ herum.

Auf diese Art erhalten wir die Rie\-mann'\-sche Fläche $T$
\emph{auf unendlich viele Parallelogramme in der Ebene $w$ abgebildet}
und diese lagern sich \emph{lückenlos} so nebeneinander, dass sie
die ganze $w$-Ebene \emph{überdecken}. Hierbei wird auf jedes derselben
die Riemann'sche Fläche $T$ vollständig abgebildet.

Nennt man Werte von $w$, welche von einander nur um
\emph{ganzzahlige} Vielfache von $C$ und $C_1$ verschieden, sind
\emph{einander
kongruente} Werte, so liegen die zu dem Punkte $w$ kongruenten
Punkte jeder in einem anderen Parallelogramm und alle die
Punkte kommen zur Deckung, sobald man die Parallelogramme
alle aufeinander legt. Solchen Werten von $w$ entspricht
derselbe Punkt der Riemann'schen Fläche, d.~h.\ derselbe
Wert von $x$ und $y$.

\subsection[44.\ $x$ und $y$ sind eindeutige doppeltperiodische Funktionen
von $w$]{44.} Betrachten wir nun in
\[
w = \int_{x_0}^{x} \frac{dx}{y}
\]
$w$ als unabhängige Variable, dann wird das Integral $x$ und
zufolge
\[
y = \sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)}
\]
auch $y$ als Funktion von $w$ definiren. Wir setzen
\begin{align*}
x &= f(w) \\
y &= F(w).
\end{align*}
Nach dem Vorstehenden erkennen wir nun, dass dem Werte
%%-----File: 192.png-------------------------------
$w$ und $w + mC + m_1C_1$, wo $m$ und $m_1$ ganze Zahlen sind,
derselbe Wert von $x$ und $y$ entsprechen muss, also
\begin{align*}
x = f(w) &= f(w + mC + m_1C_1) \\
y = F(w) &= F(w + mC + m_1C_1)
\end{align*}
d.~h.\ $x$ und $y$ sind \emph{doppeltperiodische Funktionen von $w$}. Da
aber jedem Werte von $w$ in einem Parallelogramm \emph{ein} und
\emph{nur ein} bestimmter Punkt auf $T$ entspricht, dem ein bestimmter
Wert von $x$ und $y$ zugehört, so sind $x$ und $y$ \emph{eindeutige
doppeltperiodische Funktionen von $w$}.

Da in jedem Blatte der Riemann'schen Fläche ein Punkt
$x = \infty$ existirt, so wird $x = f(w)$ nur für zwei Werte von
$w$ innerhalb eines jeden Periodenparallelogrammes unendlich
d.~h.\ $x$ ist eine \emph{doppeltperiodische Funktion zweiter} Ordnung
von $w$. Wie man aus
\[
y = \sqrt{A(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)},
\]
oder auch aus der Entwicklung S.~\pageref{f166} erkennt, muss $y$ eine
\emph{doppeltperiodische Funktion vierter Ordnung sein}.

\addcontentsline{toc}{subsection}{$\qquad$ Jede eindeutige Funktion des
Ortes auf der Riemann'schen Fläche der Funktion $y$ ist eine rationale
Funktion von $x$ und~$y$}
Soll $F$ eine \emph{eindeutige Funktion des Ortes} auf der Riemann'schen
Fläche $T$ sein, dann muss dieselbe ihren Wert wieder erhalten,
wenn $x$ auf einem beliebigen Wege auf $T$ in seinen Ausgangspunkt
zurückkehrt. Da aber $T$ auf die $w$-Ebene so abgebildet
ist, dass jedem Punkte von $T$ je ein Punkt in einem der Parallelogramme
entspricht, so wird dem Wege, den $x$ in $T$ beschreibt,
ein bestimmter Weg des $w$ in der $w$-Ebene entsprechen, der
möglicherweise aus einem der Parallelogramme in ein anderes
führt. Es ist aber $F$ als eindeutige Funktion von $x$ und $y$
auf $T$ auch eine eindeutige Funktion von $w$ auf der $w$-Ebene und
da $F$ in kongruenten Punkten der Parallelogramme denselben
Wert erhalten muss, so ist $F$ eine \emph{eindeutige doppeltperiodische
Funktion von $w$} und als solche daher rational durch $x$ und
$y$ ausdrückbar nach Satz 21 S.~\pageref{satz21}. Diess die Umkehr des
Satzes auf S.~\pageref{umkehr1}.\label{umkehr2}

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 193.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[III.\ Das elliptische Normalintegral]{III.\ Das elliptische
Normalintegral.}

\subsection[45.\ Das Normalintegral $u=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)
(1-\varkappa^2 z^2)}}$ bestimmt $z$ als doppeltperiodische Funktion,
welche
für $u$ und $2K-u$ dieselben Werthe annimmt]{45.}
Wir kehren zu unserer speziellen Funktion $z$ zurück,
für welche
\[
\frac{dz}{du} = G\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)} \tag{1}
\]
ist und setzen vor der Hand $G = 1$.\label{anm175}  Die Riemann'sche
Fläche der Funktion
\[
y = \sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)} \tag{2}
\]
hat in $z = \pm 1$, $z = \pm\frac{1}{\varkappa}$ ihre
Verzweigungspunkte. Wir
wollen die Verzweigungsschnitte (Fig.~49) von $+1$ nach
$+\frac{1}{\varkappa}$ und von $-1$ nach $-\frac{1}{\varkappa}$ führen,
und setzen fest, dass
im oberen Blatte für $x = 0$, $y = +1$ ist, also im darunter
liegenden Punkte $x = 0$, $y = -1$ ist.

\begin{wrapfigure}[10]{r}{5.9cm}
\includegraphics*[width=5.9cm,height=4.8cm]{images/fig49}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Wir haben dann
\begin{align*}
C   &= \int_B \frac{dz}{y} = 2\intv_{-1}^{+1} \frac{dz}{y} \\
C_1 &= \int_A \frac{dz}{y} = 2\int_{1}^{\frac{1}{\varkappa}} \frac{dz}{y}.
\end{align*}

Wir setzen%
\footnote{
  $K_1$ soll auf der \emph{linken} Seite von $1$ bis $\frac{1}{\varkappa}$
  im \emph{oberen} Blatte
  hinerstreckt sein und wird jedenfalls imaginär sein.}
\[
\left.
\begin{aligned}
K &= \intv_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} \\
K_1&=\intv_1^{\frac{1}{\varkappa}}
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}},
\end{aligned}
\right\} \tag{3}\label{form3}
\]
%%-----File: 194.png-------------------------------
dann wird, da
\[
  \intv_{-1}^{+1} \frac{dz}{y}
= \intv_{-1}^{ 0} \frac{dz}{y}
+ \int_{ 0}^{ 1}  \frac{dz}{y}
=2\intv_{ 0}^{ 1} \frac{dz}{y}
\]
ist, denn der Integrationsweg ver\-läuft $\,$ ganz im oberen Blatte
und geht durch $z = 0$, $y = +1$,
\[
  C = 4K, \quad C_1 = 2K_1
\]
und es sind mithin $z$ und $y$ \emph{eindeutige doppeltperiodische
Funktionen} von
\[
  u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{ (1-z^2) (1 - \varkappa^2 z^2) }}
\]
mit den Perioden $4K$ und $2K_1$, so dass also
\begin{align*}
  z &= f(u) = f(u + 4mK + 2m_1K_1)  \\
  y &= F(u) = F(u + 4mK + 2m_1K_1)
\end{align*}
ist, wenn $m$ und $m_1$ beliebige ganze Zahlen sind.

\begin{wrapfigure}{r}{5.75cm}
\includegraphics*[width=5.75cm,height=4.85cm]{images/fig50}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Wenn wir das Integral
\[
  u = \int_0^z \frac{dz}{y}
\]
(von $z = 0$, $y = +1$) längs
eines beliebigen Weges $0 z z_1$,
(Fig.~50) nehmen, so möge
es in $z_1$ den Wert
\[
  u_1 = \int_{0 z z_1} \frac{dz}{y}
\]
erhalten. Das Element des Integrales $\frac{dz}{y}$ besitzt in
untereinander
liegenden Punkten der Riemann'schen Fläche gleiche
und entgegengesetzt bezeichnete Werte, da $z = z'$ ist, aber
$y$ im oberen Blatte den Wert $y$, im unteren $y' = -y$ besitzt,
also ist
\[
  \frac{dz}{y} = -\frac{dz'}{y'} .
\]
Nehmen wir also das Integral im oberen und unteren Blatte
%%-----File: 195.png-------------------------------
längs Wegen, die genau unter einander verlaufen, denen
dasselbe $z$ und gleiche entgegengesetzt bezeichnete $y$ entsprechen,
so wird
\[
\int \frac{dz}{y}=-\int \frac{dz'}{y'} +A
\]
sein.

Wir wollen das erste Integral von (0, 1) bis zu ($z_1$, $y_1$),
das zweite von $z'=0$, $y'=1$, d.~h.\ $z=0$, $y=-1$ bis zu
$(z_{1}', y_{1}')=(z_1, -y_1)$ in der oben angedeuteten Art führen
und es wird daher
\[
\int_{(0, 1)}^{(z_1, y_1)} \frac{dz}{y} =
  -\int_{(0, -1)}^{(z_1, -y_1)} \frac{dz'}{y'} +A.
\]
Setzen wir nun $z_1=0$, $y_1=1$, so wird $A=0$ sich ergeben
und daher ist
\[
\int_{(0, 1)}^{(z, y)} \frac{dz}{y} =
  -\int_{(0, -1)}^{(z, -y)} \frac{dz'}{y'}.
\]

Wir setzen
\[
u = \int_{(0, 1)}^{(z, y)} \frac{dz}{y},\quad
v = \int_{(0, 1)}^{(z, -y)} \frac{dz'}{y'},
\]
so dass also, wenn $z=f(u)$, $y=F(u)$ die doppeltperiodischen
Funktionen von $u$ sind,
\[
z=f(v),\quad y=-F(v)
\]
wird, d.~h.\ $z$ nimmt für $u$ und $v$ dieselben Werte, $y$ gleiche
entgegengesetzt bezeichnete Werte an. Es kann
\[
\int_{(0, 1)}^{(z, -y)} \frac{dz'}{y'} =
\int_{(0, 1)}^{(0, -1)} \frac{dz'}{y'} +
\int_{(0, -1)}^{(z, -y)} \frac{dz'}{y'} =
\int_{(0, 1)}^{(0, -1)} \frac{dz'}{y'} -
\int_{(0, 1)}^{(z, y)} \frac{dz}{y}
\]
oder
\[
v=2K-u
\]
gesetzt werden, da
\[
\int_{(0, 1)}^{(0, -1)} \frac{dz'}{y'} =
2 \intv_{0}^{1} \frac{dz'}{y'} = 2K
\]
\begin{wrapfigure}[13]{r}{5.1cm}
\includegraphics*[width=5.1cm,height=4.5cm]{images/fig50a}
\caption*{Fig.~50a.}{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
sich ergiebt, wenn man das Integral rechter Hand so nimmt,
%%-----File: 196.png-------------------------------
dass der Integrationsweg die
nebenstehende gezeichnete Kurve $\,\,\,$
$(0,1)1(0,-1)$ ist.

Somit folgt, dass wenn
$f(u) = f(v)$ ist,
\[
\left.
\begin{array}{r}
u = -v + 2K + mAK + m_1 2K_1 \\
= -v -2K + (m+1)4K \\
 + m_1 2K_1
\end{array}
\right\} \tag{4}
\]
ist, wenn $u$ und $v$ nicht selbst
kongruente Werte sein sollen, d.~h.\ wenn
\[
u \neq v + m4K + m_1 2K_1
\]
sein soll. Die Werte $u$ und $2K-u$ oder $-2K-u$,
welch letztere nach den Perioden kongruent sind, liegen,
wie man sieht, in \emph{einem} der Parallelogramme, auf welche
die Riemann'sche Fläche abgebildet wird und sind diejenigen,
welche demselben $z$ und gleichen entgegengesetzt bezeichneten
$y$ angehören.

\emph{\label{result} Die Funktion $z = f(u)$ ist also doppeltperiodisch,
eindeutig
und von zweiter Ordnung, welche für} $u$ \emph{und} $2K-u$ \emph{dieselben
Werte annimmt.}

Es ist $f(0) = f(2K) = 0$ und $f(K) = 1$, da $u = \int_0^z \frac{dx}{y}$
für $z = 0$ verschwindet und für $z = 1$ den Wert $K$ annimmt.

\begin{wrapfigure}[12]{r}{5.05cm}
\raisebox{-4.5cm}{\smash{\includegraphics*[width=5.05cm,height=5.15cm]{images/fig51}}}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
\subsection[46.\ Wert von $u$, für den $z=\infty$ wird]{46.}
Es sei $u = \alpha$ für den Punkt $z = \infty$ des oberen
Blattes, dann wird $u = 2K-\alpha$ für den Punkt $z = \infty$ des
unteren Blattes. Es ist dann
\[
\alpha = \int_0^\infty \frac{dz}{y}.
\]
Wir erstrecken das Integral
längs $\,\,\,0\,m\,\infty\,\,\,$ (Fig.~51), welche
Kurve ganz im oberen Blatte
verlaufen soll, also ist
\[
\alpha = \int_{0m\infty}\frac{dz}{y}.
\]
%%-----File: 197.png-------------------------------
Wir konstruiren eine zweite Kurve $0n\infty$, welche aus der
ersten $0m\infty$ entsteht, wenn man auf dem Radiusvektor des
Punktes $m$ die Strecke $\overline{0m}$ in entgegengesetzter Richtung
nach $\overline{0n}$ abträgt. Dann wird, wenn man in $\alpha$ die
Substitution
$z = -z'$ macht,
\[
\alpha = -\int_{0n\infty}\frac{dz'}{y'},
\]
da $y$ das Vorzeichen nicht ändert, d.~h.\
\[
\alpha = -\int_{0n\infty}\frac{dz}{y},
\]
wenn die Integrationsvariable wieder mit $z$ bezeichnet wird.
Es ist daher
\[
2\alpha = \int_{0n\infty}\frac{dz}{y} + \int_{0m\infty}\frac{dz}{y}
   = \int_{0n\infty m\infty}\frac{dz}{y}.
\]

Nun begrenzen die Linien $A$ und $\infty n0m\infty$ zusammengenommen
einen Theil des oberen Blattes vollständig, d.~h.\
die Kurve $\infty n0m\infty$ ist in die Kurve $A$ durch stetige Umformung
überführbar, also ist
\[
\int_{\infty n0m\infty}\frac{dz}{y} = \int_{A}\frac{dz}{y} = 2K_1.
\]
Oder auch die Linie $\infty n0m\infty$ überschreitet (Fig.~51) bei $b$
die Kurve $B$, führt also gerade so wie die Kurve $A$ und in
derselben Richtung von einem Ufer von $B$ zum anderen,
also muss
\[
\int_{b0m\infty nb}\frac{dz}{y} = \int_{A}\frac{dz}{y} = 2K_1.
\]
sein. Es ist daher $\alpha = K_1$ und wir ersehen also, dass
$f(K_1) = f(2K \pm K_1) = \infty$ ist.

\subsection[47.\ $z$ drückt sich durch Thetaquotienten von $u$ aus]{47.}
Wir wissen aus der Theorie der doppeltperiodischen
Funktionen, wie solche zu konstruiren sind. Bestimmen wir
also $\vartheta$-Funktionen, deren Perioden $\omega = 2K$ und $\omega'
= 2K_1$
sind, für die
\[
q = e^{\pi\frac{\omega'}{\omega}i} = e^{\pi\frac{K_1}{K}i}
\]
ist, so wird\label{note197}%
\footnote{
  Sollte in $\frac{K_1}{K}$ der Koeffizient von $i$ negativ sein, so
  kann man
  für $K_1 \cdots -K_1$ einführen. Man kann übrigens zeigen, dass
  bei unserer
  Wahl der Grössen $K$ und $K_1$ der Koeffizient $i$ in $\frac{K_1}{K}$
  stets \emph{positiv} ist.
  Vergleiche hierüber: \Person{Königsberger}, »Theorie der elliptischen
  Funktionen«,
  I.~Theil, S.~295--299.}
%%-----File: 198.png-------------------------------
\[
z = f(u) = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\,
\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}
\]
sein; denn die Funktion rechter Hand ist doppeltperiodisch,
mit den Perioden $2\omega = 4K$, $\omega' = 2K_1$, sie ist eindeutig,
verschwindet für $u = 0$, $u = \omega = 2K$, wird unendlich für
\[
  u = K_1 = \frac{\omega'}{2},\quad
  u = \omega + \frac{\omega'}{2} = 2K + K_1
\]
und nimmt für $\frac{\omega}{2} = K$ den Wert $1$ an, wodurch sie
vollständig
bestimmt ist und mit $z = f(u)$ identisch sein muss.
Wir ersehen also, dass unsere Differentialgleichung
\[
\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = (1-z^2)(1-\varkappa^2z^2) \tag{1}
\]
durch die Funktion
\[
z = su = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
\frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)} \tag{5}
\]
integrirt wird. Dann liefert die Gleichung 36 S.~\pageref{form36}, da
$G = 1$ ist,
\[
\omega = 2K = \pi\vartheta_3^2.\label{formp180}
\]

Wäre die Differentialgleichung
\[
\left(\frac{dz}{dv}\right)^2 = G^2(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2) \tag{1a}
\]
vorgelegt, so würde sich $z = f(v)$ als eine doppeltperiodische
Funktion zweiter Ordnung von $v$ ergeben. Setzt man aber
$u = Gv$, so wird (1a) übergehen in
\[
\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = (1-z^2)(1-\varkappa^2z^2),
\]
deren Lösung
\[
z = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2} \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}
\]
ist. Also ist
\[
f(v) = \frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}
\frac{\vartheta_1(Gv)}{\vartheta_0(Gv)}
\]
%%-----File: 199.png-------------------------------
und die Perioden von $f(v)$ sind
\[
2\omega_1 = \frac{4K}{G}, \omega'_1 = \frac{2K_1}{G}.
\]
Dann ist mit Rücksicht auf $2K = \pi\vartheta_3^2$, da $\vartheta_3$
nur von
$\frac{K_1}{K} = \frac{\omega'_1}{\omega_1}$ abhängt, $G =
\frac{\pi}{\omega_1}\vartheta_3^2$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics*[width=9.95cm,height=4.9cm]{images/fig52}
\caption{\hskip1pt }
\end{figure}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Verwandlung des krummlinigen
Parallelogrammes in ein geradliniges}
Es würde nur noch zu erwähnen sein, dass wir früher
das Periodenparallelogramm auch gradlinig begrenzt annahmen,
während wir auf S.~\pageref{krumm} fanden, dass im Allgemeinen die
Begrenzungslinien unseres Parallelogrammes krumm sind.
Diess ist aber unwesentlich und kann das krummlinige Parallelogramm
einfach in ein geradliniges verwandelt werden.
Denn seien $u_1, u_2, u_3, u_4$ die Ecken des Parallelogrammes
(Fig.~52 b), dessen Seiten $A'_1, A'_2, B'_1, B'_2$ den beiden Ufern
$A_1, A_2, B_1, B_2$, der Schnitte $A$ und $B$ entsprechen; so verbinden
wir $u_1u_2$ durch die Gerade $\mathsf{A}'_1$. Einem Punkte $u$ dieser
Geraden
wird, wie wir wissen, ein bestimmter Punkt $x = f(u)$,
$y = F(u)$ der Riemann'schen Fläche entsprechen. Lassen
wir also $u$ von $u_1$ aus die Gerade $\overline{u_1u_2}$ durchlaufen,
so wird
$(xy)$ von $m$ aus irgend eine Kurve $\mathsf{A}$ auf der Riemann'schen
Fläche beschreiben, die von $m$ ausgeht und wenn $u$ nach $u_2$
gelangt, wieder in $m$ endigt. Da das Integral von $u_1$ bis $u_2$
um $u_2 - u_1 = C_1$ gewachsen ist, so muss die Linie $\mathsf{A}$ gerade
so wie $A$ von einem Ufer von $B$ zum anderen führen, kann
also bei der Zerschneidung der Riemann'schen Fläche an
Stelle von $A$ gesetzt werden. Thut man letzteres, so wird
die längs $\mathsf{A}$ und $B$ zerschnittene Riemann'sche Fläche sich
%%-----File: 200.png-------------------------------
auf die $u$-Ebene so abbilden, dass die beiden Ufer von $\mathsf{A}$
die Geraden $\overline{u_1u_2}$ und $\overline{u_4u_3}$ zu Bildern haben
werden. Ersetzt
man ebenso $B$ durch eine Linie $\mathsf{B}$, welche das Bild
der Geraden $\overline{u_2u_3}$ ist, so ersieht man, dass die längs
$\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$
zerschnittene Riemann'sche Fläche sich auf die $u$-Ebene in
ein geradliniges Parallelogramm abbildet, dessen Seiten die
Längen $C_1$ und $C$ haben, also die Repräsentanten der Perioden
des Integrales $u$ sind.

Wir sind also stets im Stande, die Riemann'sche Fläche
derart zu zerschneiden, dass das Periodenparallelogramm ein
geradliniges wird.

\subsection[48.\ Abbildung der Riemann'schen Fläche durch das
Integral\hfill\break
$u=\int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}$\hfill\break
$\qquad\qquad$1) wenn $\varkappa$ reell und kleiner als $1$ ist]{48.}
Wir wollen die Abbildung der Riemann'schen
Fläche mittels des Integrals $u$ auf die Zahlenebene von $u$
in zwei Fällen besonders betrachten.

1. Es sei $\varkappa$ reell und kleiner als 1. (Wir werden sehen,
dass man stets den Modul von $\varkappa$ kleiner als 1 machen kann.)

Es wird
\[
u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
so lange $z^2<1$ ist und $z$ reelle Werte annimmt, auch reell
sein. Sobald $z$ reell und $\frac{1}{\varkappa^2}>z^2>1$ ist, wird
der reelle
Theil von $u$ konstant bleiben und es wird sich blos der rein
imaginäre Theil ändern, denn es wird
\begin{gather*}
u = \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} +
i\int_1^z \frac{dz}{\sqrt{(z^2-1)(1-\varkappa^2z^2)}}\\
u = K + i\int_1^z \frac{dz}{\sqrt{(z^2-1)(1-\varkappa^2z^2)}},
\end{gather*}
also das von $z$ abhängende Integral reell unter obiger Voraussetzung.
$K$ selbst ist nach Früherem reell, und
\[
K_1 =
\intv_1^{\frac{1}{\varkappa}} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
=
i\intv_1^{\frac{1}{\varkappa}} \frac{dz}{\sqrt{(z^2-1)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
rein imaginär.
%%-----File: 201.png-------------------------------

Die Verzweigungspunkte der Rie\-mann'\-schen Flä\-che sind
in diesem Falle alle auf der Achse der reellen Zahlen gelegen.
Wir führen nun (Fig.~53)
die
\begin{wrapfigure}{r}{6.3cm}
\includegraphics*[width=5.94cm,height=6.18cm]{images/fig53}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Schnitte $B$ und $A$ so,
dass sie durch die Achse der
reellen Zahlen gehen. In der
Figur sind sie knapp an dieselbe
gezeichnet. In $m$ hat
$u$ den reellen Wert $K$ und
auf der $u$-Ebene entspricht
also der Punkt $a = K$ dem
Punkte $m$. Durchläuft $z$ nun
von $m$ aus die Linie $B$, so
wird $u$ sich von $a$ reell
ändern bis es, sobald der
Punkt wieder in $m$ angelangt ist, um $4K$ gewachsen in
$b$ eintrifft, also ist $b - a = 4K$ und $b$ das Bild von $m$ als
auf dem anderen Ufer von $A$ gelegen betrachtet. Wenn $z$
von $m$ aus das eine Ufer von $A$ durchläuft, so wird sich
nur der imaginäre Theil von $u$ ändern, d.~h.\ das Bild dieses
Ufers wird eine durch $a$ oder $b$ (je nachdem auf welchem
Ufer von $B$ wir uns befinden) gehende zur Achse der rein
imaginären Zahlen parallele Gerade $\overline{ad}$ oder $\overline{bc}$
sein, deren
Länge $2K_1$ ist. Die Gerade, welche die Punkte $d$ und $c$
verbindet, ist das Bild des zweiten Ufers von $B$.

Wir ersehen also, dass unsere Riemann'sche Fläche, sobald
$\varkappa$ reell und $< 1$ ist, derart zerschnitten, dass die reelle
Achse die Schnittlinien bildet, sich mittels des Integrals $u$
auf ein Rechteck abbildet. \emph{Das Periodenparallelogramm der
Funktion $z = f(u)$ ist also ein Rechteck}. Dass, wenn das
Periodenparallelogramm ein Rechteck ist, unsere Funktion
$su$ so beschaffen ist, dass $\varkappa$ reell wird, haben wir früher
gesehen
(S.~\pageref{form37} u.~ff.).

\addcontentsline{toc}{subsection}{$\qquad$ 2) wenn $\varkappa$ rein
imaginär ist}
2. Es sei $\varkappa = i\varkappa_1$ und $\varkappa_1$ reell. Dann wird
\[
u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
  = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1+\varkappa_1^2z^2)}}
\]
reell sein, sobald $z$ reelle Werte, die absolut kleiner als $1$
%%-----File: 202.png-------------------------------
sind, durchläuft. Also ist
\[
K = \intv_0^1\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
reell. Hingegen
\[
K_1 =
\intv_1^{\frac{1}{\varkappa}}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
komplex.

Nun kann man, statt das Integral auf dem geradlinigen
Wege von $1$ bis $\frac{1}{\varkappa}$ links von dem Verzweigungsschnitte
(vgl.\ Anm.\ S.\ \pageref{anm175}), es auch rechts von diesem im oberen
Blatte
erstrecken, wenn man nur beachtet, dass die Quadratwurzel
auf dieser Seite des Verzweigungsschnittes das entgegengesetzte
Vorzeichen besitzt und dass also dann
\[
K_1 = -\int_1^{\frac{1}{\varkappa}}
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
    =  \int_{\frac{1}{\varkappa}}^1
    \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
zu setzen ist, sobald man das Integral im oberen Blatte
rechts von der Linie $\overline{1\frac{1}{\varkappa}}$ erstreckt. Dieser
Weg aber ist
(Fig.\ 54) stetig in den gebrochenen Weg $\frac{1}{\varkappa}01$
überführbar,
ohne dass einer der Punkte $\pm 1$, $\pm\frac{1}{\varkappa}$ überschritten
wird.

Also ist
\[
\begin{split}
K_1 =
\intv_{\frac{1}{\varkappa}}^0\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
    + \intv_0^1
    \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}\\
= K - \intv_0^\frac{1}{\varkappa}
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}};
\end{split}
\]
nun ist im zweiten Integral $z$ rein imaginär, also $z = iz'$,
wo $z'$ reelle Werte annimmt, daher ist
%%-----File: 203.png-------------------------------
\[
K_1 = K - i\intv_0^{\frac{1}{i\varkappa}}
      \frac{dz'}{\sqrt{(1+z'^2)(1+\varkappa^2z'^2)}}
    = K - i\intv_0^{-\frac{1}{\varkappa_1}}
      \frac{dz'}{\sqrt{(1+z'^2)(1-\varkappa^2z'^2)}}.
\]
Setzt man also
\[
- \intv_0^{-\frac{1}{\varkappa_1}}
      \frac{dz'}{\sqrt{(1+z'^2)(1-\varkappa^2z'^2)}}
= i\intv_0^{-\frac{1}{\varkappa_1}}
      \frac{dz'}{\sqrt{(1+z'^2)(1-\varkappa^2z'^2)}} = K_2,
\]
so ist $K_2$ reell und positiv, da $z'^2 < \frac{1}{\varkappa_1^2}$
ist und $z'$ reelle
Werte durchläuft. Es ist dann
\[
K_1 = K + iK_2.
\]

Bildet man nun wieder, wie früher, die Riemann'sche
Fläche auf die $u\text{-Ebene}$ ab, so wird der Kurve $B$ (Fig.\ 54)
die Achse der reellen Zahlen $ab$ entsprechen und einer gewissen
Kurve $A$ wird die Gerade $\overline{ad}$ resp.\ $\overline{bc}$
entsprechen,
so zwar, dass $\overline{ad}$ die Summe aus $2K$ und $2iK_2$ ist.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics*[width=11.37cm,height=5.82cm]{images/fig54}
\caption{\hskip1pt }
\end{figure}
Wir wissen aus Früherem, dass wenn
\[
\omega' = \omega + i\omega_2 \quad\text{ist, oder}\quad 2K_1 = 2(K
+ iK_2),
\]
wo $\omega_1$, $\omega_2$ resp. $K$ und $K_2$ reell sind, dann die
doppeltperiodische
%%-----File: 204.png-------------------------------
Funktion $s(u)$ ein Parallelogramm besitzt, das wie
$abcd$ beschaffen ist (S.~\pageref{sect2} u.~ff.).

\subsection[49.\ Transformation des Integrals
$w=\int_{x_0}^x\frac{dx}{\sqrt{R(x)}}$ auf die Normalform---$R(x)$ vom
4.~Grade]{49.}
Wir wollen nun noch folgenden wichtigen Satz
beweisen:

\emph{»Jedes Integral}
\[
  w = \int_{x_0}^x \frac{dz}{\sqrt{R(x)}} ,
\]
\emph{worin $R(x)$ eine ganze rationale Funktion vierten oder dritten
Grades in $x$ ist, lässt sich durch eine lineare Transformation
in das Integral}
\[
  v = M\int_{z_0}^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2 z^2)}}
\]
\emph{verwandeln; wobei $M$ eine Konstante und}
\[
  x = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z} ,\quad
  x_0 = \frac{\alpha + \beta z_0}{\gamma + \delta z_0}
\]
\emph{ist. $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sind bestimmte
Grössen.«}

Wir setzen
\[
  R(x) = A(x-a_1) (x-a_2) (x-a_3) (x-a_4)
\tag{7}
\]
und führen $z$ durch die Gleichung
\[
  x = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}
\tag{8}
\]
ein. Dann wird
\[
  R(x) = \frac{R_1(z)}{(\gamma + \delta z)^4}
\tag{9}
\]
wobei $R_1(z)$ wieder eine ganze rationale Funktion des
4.\ Grades von $z$ wird, die $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$
als willkürliche Konstanten
enthält. Wir verfügen nun über die letzteren so, dass
\[
\begin{split}
  R_1(z) &= B(1 - z) (1 + z) (1 - \varkappa z) (1 + \varkappa z)  \\
	 &= B(1 - z^2) (1 - \varkappa^2 z^2)  \\
	 &= B[1 - (1+\varkappa^2) z^2 + \varkappa^2 z^4]
\end{split}
\]
wird. Hierdurch sind für $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ drei
Gleichungen gegeben,
in denen sie homogen vorkommen, und aus welchen
sich die drei Verhältnisse
$\alpha\colon \beta\colon \gamma\colon \delta$ ergeben. Die Gleichungen
selbst ergeben sich aus der Bedingung, dass in $R_1(z)$ die
Koeffizienten von $z^3$ und $z$ verschwinden sollen und der
%%-----File: 205.png-------------------------------
Koeffizient von $z^2$ gleich sein muss der entgegengesetzt bezeichneten
Summe aus den Koeffizienten von $z^0$ und $z^4$.

Diese Bedingungen sind nun noch alle verträglich mit
der, dass der Modul von $\lvert\varkappa\rvert	< 1$ ist. In der That,
soll
\[
R(x) = B \frac{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )}{(\gamma + \delta z^2 )^4}
\]
und
\[
x = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}
\]
sein, so muss, wenn $R(x) = 0$, also $x = a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ ist,
auch $(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 ) = 0$ sein, daher $s = \pm 1$, $\pm
\frac{1}{\varkappa}$,
d.~h.\ den Werten $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ von $x$ entsprechen in irgend
einer Reihenfolge die Werte $+1$, $-1$, $+\frac{1}{\varkappa}$,
$-\frac{1}{\varkappa}$. Setzen
wir also fest, dass für
\begin{align*}
x &= a_1, a_2, a_3, a_4 \\
z &= +1, -1, \frac{1}{\varkappa}, -\frac{1}{\varkappa},
\end{align*}
wird, so muss nach dem in der Einleitung sub 5, S.~\pageref{doppel}
bewiesenen
Satze das Doppelverhältnis erhalten bleiben, also
\[
\left( \frac{\varkappa-1}{\varkappa+1} \right)^2 =
\frac{a_1 - a_3}{a_1 - a_4} \cdot \frac{a_2 - a_4}{a_2 - a_3} =
\varepsilon
\tag{10}
\]
sein. Diese Gleichung ist für $\varkappa$ eine reziproke und lässt sich
also $\varkappa$ stets so bestimmen, dass $\lvert\varkappa\rvert <
1$ wird.
Hat man $\varkappa$ bestimmt, so folgt aus (8)
\[
 d x = \frac{\beta\gamma - \alpha\delta}{(\gamma + dz)^2} dz
\]
und da
\[
\sqrt{R(x)} = \frac{\sqrt{B}\sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )}}{(\gamma +
\delta z)^2}
\tag{11}
\]
sich ergiebt, so folgt
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{dx}{\sqrt{R(x)}}
&= \frac{\beta\gamma - \alpha\delta}{\sqrt{B}}
   \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )}}  \\
&= M \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2 )(1-x^2 z^2 )}}
\end{aligned}
\right\}
\tag{12}
\]
wo $M$ eine Konstante ist.

Um diese zu bestimmen, braucht man nur ein Paar entsprechender
Werte von $x$ und $z$ zu kennen, für die nicht
%%-----File: 206.png-------------------------------
$R(x)$ und $R(z)$ verschwinden. Es sei für $z=0$,
$x=\frac{\alpha}{\beta}=x_1$,
dann folgt
\[
\left( \frac{dx}{dz} \right)_{z=0}=M \sqrt{R(x_1)},
\]
woraus $M$ bestimmbar.

Nun soll $z=1,\ -1$ werden für $x = a_1,\ a_2$, also muss
\[
\tag{13a}
\frac{x-a_1}{x-a_2}=A_{12}\frac{z-1}{z+1}
\]
sein, wo $A_{12}$ eine Konstante ist.

Da aber für
\[
x=a_3,\ a_4;\ z=\frac{1}{\varkappa} ,\ -\frac{1}{\varkappa}
\]
wird, so ist
\begin{align*}
  \frac{a_3-a_1}{a_3-a_2}=A_{12}\frac{1-\varkappa}{1+\varkappa} \\
  \frac{a_4-a_1}{a_4-a_2}=A_{12}\frac{1+\varkappa}{1-\varkappa},
\end{align*}
also ist
\[A_{12}=\sqrt{\frac{(a_3-a_1)(a_4-a_1)}{(a_3-a_2)(a_4-a_2)}}, \]
wobei das Vorzeichen der Wurzel sich aus
\[ \frac{x_1-a_1}{x_1-a_2}=-A_{12} \]
bestimmt, (da $x = x_1$ und $z=0$ entsprechende Werte sind)
oder auch, wenn $\varkappa$ bekannt ist, aus den Gleichungen~(13a)
sich ergiebt.

Man sieht ohne weiteres, dass wenn
\[\frac{x-a_2}{x-a_1}=A_{21}\frac{z+1}{z-1}, \]
gesetzt wird, $A_{21}A_{12}=1$ ist. Setzt man ebenso
\[
\tag{13b}
\frac{x-a_3}{x-a_4}=A_{34}\frac{1-\varkappa z}{1+\varkappa z},
\]
so ergiebt sich
\[A_{34}=\sqrt{\frac{(a_1-a_3)(a_2-a_3)}{(a_1-a_4)(a_2-a_4)}}\]
und
\[\frac{x_1-a_3}{x_1-a_4}=A_{34}.\]
%%-----File: 207.png-------------------------------
Differentiirt % made consistent throughout the book
man die Gleichungen (13), so folgt
\[\frac{a_1-a_2}{(x-a_2)^2}dx=A_{12}\frac{2}{(z+1)^2}dz,\]
also
\[\frac{dx}{dz}=\frac{2A_{12}}{a_1-a_2}\frac{(x-a_2)^2}{(z+1)^2};\]
analog ergiebt sich
\begin{eqnarray*}
\frac{dx}{dz}	&=&
-\frac{2A_{21}}{a_2-a_1}\frac{(x-a_1)^2}{(z-1)^2} \\
\frac{dx}{dz}	&=&		-\frac{2 \varkappa
A_{34}}{a_3-a_4}\frac{(x-a_4)^2}{(1+\varkappa z)^2} \\
\frac{dx}{dz}	&=&		\quad \frac{2 \varkappa
A_{43}}{a_4-a_3}\frac{(x-a_3)^2}{(1-\varkappa z)^2}.
\end{eqnarray*}

Multiplizirt man alle vier Gleichungen mit einander,
so folgt
\begin{align*}
\Bigl( \frac{dx}{dz} \Bigr)^4	&=
16\frac{\varkappa^2}{(a_1-a_2)^2(a_3-a_4)^2}
				\frac{(x-a_1)^2(x-a_2)^2(x-a_3)^2(x-a_4)^2}{(1-z^2)^2(1-\varkappa^2
				z^2)^2} \\
				&=
				16\frac{\varkappa^2}{(a_1-a_2)^2(a_3-a_4)^2}
				\frac{R^2(x)}{A^2(1-z^2)(1-\varkappa^2
				z^2)^2}
\end{align*}
also ist
\[ \Bigl(\frac{dx}{dz}\Bigr)_{z=0} =
   \frac{2\sqrt{\varkappa}\sqrt{R(x_1)}}{\sqrt{A(a_1-a_2)(a_3-a_4)}}
					 = M\sqrt{R(x_1)},
\]
woraus
\[
\label{equation_14}
  M=\frac{2\sqrt{\varkappa}}{\sqrt{A(a_1-a_2)(a_3-a_4)}}
\]
folgt.

Ist nun für $x=x_0 \ldots z=z_0$ und setzt man
\[ \int^{z_0}_0 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2 z^2)}}=u_0\]
und
\[ \int^z_0 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2 z^2)}}=u\]
so folgt aus
\[\frac{dx}{\sqrt{R(x)}}=M\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2 z^2)}}\]
%%-----File: 208.png-------------------------------
\[w=\int_{x_0}^x
\frac{dx}{\sqrt{R(x)}}=M\int_{z_0}^z\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2
z^2)}}\]
\[=M \Bigl[ \int_{z_0}^0\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-n^2z^2)}} +
\int_{0}^z\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2 z^2)}} \Bigr], \]
oder
\[
\label{equation_15}
w=M(u-u_0)
\]
da man den Integrationsweg von $z_0$ nach $z$, welcher dem
von $x_0$ nach $x$ führenden entspricht, so abändern kann, dass
er durch den Punkt $z = 0$ geht, ohne den Wert des Integrales wesentlich
zu beeinträchtigen, denn es können dann
nur ganzzahlige Vielfache von Perioden hinzukommen.

Nun wissen wir aber, dass aus
\[u=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}\]
\[z=su\]
folgt, also ist
\[x=\frac{\alpha+\beta su}{\gamma+\delta su}\]
und
\[u=\frac{w}{M} + u_0.\]

Will man $x$ direkt mit $z$ in Verbindung bringen, ohne
zuerst $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ zu
berechnen, so ersieht man, dass
\[\frac{x-a_2}{x-a_3}\frac{a_1-a_3}{a_1-a_2}=\frac{1+z}{1-\varkappa
z}\frac{1-\varkappa}{2}\]
gesetzt werden kann.

\subsection[50.\ Werte von $\varkappa$ bei gegebenem
$a_1,a_2,a_3,a_4$]{50.}
Aus (10) ergiebt sich
\[
  \frac{1-\varkappa}{1+\varkappa} =
  \sqrt{\frac{(a_1-a_3)(a_2-a_4)}{(a_2-a_3)(a_1-a_4)}}=\sqrt{\epsilon}
\]
und
\[ \varkappa = \frac{1-\sqrt{\epsilon}}{1+\sqrt{\epsilon}} \]
bei der bestimmten Anordnung, dass den Punkten
\[ x=a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4 \]
die Punkte
\[ z=1,\ -1,\ \frac{1}{\varkappa},\ -\frac{1}{\varkappa} \]
%%-----File: 209.png-------------------------------
entsprechen. In welcher Weise ändert sich nun $\varkappa$, wenn die
Zuordnung eine andere wird? Die Aenderung des Doppelverhältnisses
$\varepsilon$ ist uns bekannt, es treten nämlich bei den
$4! = 24$ Permutationen der $a_1, a_2, a_3, a_4$ im Ganzen blos sechs
verschiedene Werte auf, die, wenn $\varepsilon$ einer der Werte ist,
\[
\varepsilon, \frac{1}{\varepsilon}, 1 - \varepsilon, \frac{1}{1 -
\varepsilon},
\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}, \frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1}
\]
sind. Also wird $\varkappa$ die Werte haben:
\[
\frac{1 - \sqrt{\varepsilon}}{1 + \sqrt{\varepsilon}},
\frac{\sqrt{\varepsilon} - 1}{\sqrt{\varepsilon} + 1},
\frac{1 - \sqrt{1 - \varepsilon}}{1 + \sqrt{1 - \varepsilon}},
\frac{\sqrt{1 - \varepsilon} - \varepsilon}{\sqrt{1 - \varepsilon}
+ \varepsilon},
\frac{\sqrt{\varepsilon} - \sqrt{1 - \varepsilon}}{\sqrt{\varepsilon}
+ \sqrt{1 - \varepsilon}},
\frac{\sqrt{\varepsilon-1} - \sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{\varepsilon-1}
+ \sqrt{\varepsilon}},
\]
da aber $\frac{1}{\varkappa}$ und $-\frac{1}{\varkappa}$ gleichzeitig
in $R_1(z)$ auftreten, so werden
wir blos drei verschiedene Werte von $\varkappa$ erhalten, wenn
wir die Zuordnung der Grossen $x = a_1, a_2, a_3, a_4$ und
$z = 1, -1, \frac{1}{\varkappa}, -\frac{1}{\varkappa}$ in beliebiger
Weise vornehmen.

Nun wissen wir, dass das Doppelverhältnis $\varepsilon$ dann und
\emph{nur} dann reell ist, wenn die vier Punkte $a_1, a_2, a_3, a_4$ auf
einem Kreise liegen. Ist diess also der Fall, so ist einer
der Werte $\varepsilon$ oder $1 - \varepsilon$ positiv und daher ist
\[
\varkappa = \frac{1 - \sqrt{\varepsilon}}{1 + \sqrt{\varepsilon}}
\quad\text{oder}\quad
\varkappa = \frac{1 - \sqrt{1 - \varepsilon}}{1 + \sqrt{1 + \varepsilon}}
\]
reell und absolut genommen kleiner als $1$. Liegen die vier
Punkte nicht auf einem Kreise, so wird das Doppelverhältnis
komplex und auch $\varkappa$ ist komplex.

\subsection[51.\ $R(x)$ ist vom dritten Grade]{51.} Ist
\[
R(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = A(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)
\]
blos vom dritten Grade, so ändert das die Betrachtungen
nicht wesentlich. Setzt man
\[
x = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z},
\]
so wird
\[
R(x) = \frac{R_1(z)}{(\gamma + \delta z)^3}
     = \frac{(\gamma + \delta z)R_1(z)}{(\gamma + \delta z)^4},
\]
wobei $R_1(z)$ jetzt blos vom dritten Grade in $z$ ist. Nun
kann man aber wieder
%%-----File: 210.png-------------------------------
\[
  (\gamma + \delta z) (R_1 z) = \mathsf{A}(1-z^2) (1- \varkappa^2 z^2)
\]
setzen und erhält
\[
  R(x) = \frac{ \mathsf{A} (1-z^2) (1- \varkappa^2 z^2) }
	      { (\gamma + \delta z)^4 },
\]
worauf dieselben Betrachtungen wie früher folgen.

Den Werten:
\[
  x = a_1, a_2, a_3, \infty
\]
werden die Werte
\[\label{ref192}
  z = 1, -1, \frac{1}{\varkappa}, -\frac{1}{\varkappa}
\]
zugeordnet sein, denn $(\gamma + \delta z)$ muss verschwinden, wenn
eine der Grössen $1-z$, $1 + z$, $1-\varkappa z$, $1+\varkappa z$
verschwindet,
also z.~B.\ wenn
\[
  z = -\frac{1}{\varkappa}
\]
ist, muss
\[
  \gamma + \delta z = 0
\]
sein, also
\[
  z = -\frac{\gamma}{\delta},
\]
d.~h.\ es ist
\[
  x = \infty.
\]
Aus dem Doppelverhältnis der vier Wertepaare folgt
\[
  \left( \frac{1-\varkappa}{1+\varkappa} \right)^2
= \frac{a_1-a_3}{a_2-a_4} = \varepsilon
\]
die Gleichung für $\varkappa$.

\subsection[52.\ Das Legendre'sche Normalintegral und das ganze
elliptische Integral]{52.} Das Integral
\[
  u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}}
\]
nennt man nach \Person{Legendre} das \textit{Normalintegral I. Gattung},
indem auf diese Form jedes elliptische Integral von der Art
\[
  w = \frac{1}{M} \int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{R(x)}},
\]
worin $R(x)$ eine \emph{rationale ganze} Funktion dritten oder vierten
Grades ist, zurückgeführt werden kann. Wir sahen, dass $u$
und $w$ für keinen Wert von $z$ unendlich werden. Ersteres
soll das \emph{überall endliche Normalintegral}, letzteres das
\emph{allgemeine überall endliche Integral} heissen. Man nennt
%%-----File: 211.png-------------------------------
$\varkappa$ den \emph{Modul} des Integrals. Ich will noch eine Umformung
des Integrals $u$ erwähnen, die von \Person{Legendre} eingeführt
wurde. Setzt man
\begin{align*}
z &= \sin\varphi,  \\
\intertext{so wird }
dz &= \cos\varphi \,d\varphi = \sqrt{1-z^2}\,d\varphi,
\end{align*}
also
\[
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} =
\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\varkappa^2\sin^2\varphi}}
\]
und folglich, da für $z = 0$ auch $\varphi = 0$ ist,
\[
u = \int_0^\varphi
\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\varkappa^2\sin^2\varphi}}. \tag{17}
\]
\Person{Jacobi} nannte $\varphi$ als Funktion von $u$ betrachtet die
\emph{Amplitude}
von $u$ und schrieb
\[
\varphi = am\, u. \tag{18}
\]
Da $z = \sin \varphi$ gesetzt wurde, so folgt
\[
z = \sin am\, u \tag{19}\label{form19}
\]
und wir sehen, dass diese Funktion von $u$ unsere Funktion
$su$ ist. Da $\cos\varphi = \sqrt{1-\sin^2 \varphi}$ ist, so ersieht
man, dass
unsere Funktion $cu$ als $\cos am\,u$ zu bezeichnen ist, da
$\varphi = am\, u$ ist. Ebenso haben wir die \Person{Jacobi}'sche Funktion
$\varDelta\, am\, u = \sqrt{1-\varkappa^2 \sin am\, u}$ mit $\varDelta
u$ bezeichnet.

Die Periodentheile $K$ und $K_1$ ergaben sich
\[
K = \intv_0^1\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} ,\quad
K_1 = \int_0^{\frac{1}{\varkappa}}
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
und da für $z = 1 \cdots \varphi = \frac{\pi}{2}$ folgt, so ist
\[
K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1 -
\varkappa^2\sin\varphi}}.
\tag{20a}
\]
\Person{Jacobi} nannte $K$ das \emph{ganze elliptische} Integral.

$K_1$ lässt sich aber genau auf die Form von $K$ bringen.
Setzt man nämlich
\[
z' = \frac{1}{\varkappa'}\sqrt{1 - \varkappa^2z^2}, \tag{21}
\]
%%-----File: 212.png-------------------------------
wobei $\varkappa'^2 + \varkappa^2 = 1 \ldots \varkappa'
= \sqrt{1 - \varkappa^2}$ gesetzt wird, so wird
\[
dz' = \frac{-\varkappa^2}{\varkappa'}
\frac{z\,dz}{\sqrt{1-\varkappa^2z^2}}.
\]
Da ferner
\[
\varkappa'\sqrt{1 - z'^2} = i\varkappa\sqrt{1 - z^2}
\]
und
\[
\sqrt{1 - \varkappa'^2z'^2} = \varkappa z
\]
ist, so folgt durch Multiplikation beider Gleichungen
\[
\varkappa'\sqrt{(1-z'^2)(1-\varkappa'^2z'^2)} = i\varkappa^2z\sqrt{1-z^2},
\]
also ist
\[
\frac{dz'}{\sqrt{(1-z'^2)(1-\varkappa'^2z'^2)}} = i\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2
)(1-\varkappa^2 z^2 )}}. \tag{21a}
\]

Nun wird für $z = 1 \cdots z' = 1$, für $z = \frac{1}{\varkappa} \cdots
z'=0$, also ist
\begin{align*}
\int_1^{\frac{1}{\varkappa}} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
&= \frac{1}{i}
   \int_1^0 \frac{dz'}{\sqrt{(1-z'^2)(1-\varkappa'^2z'^2)}}\\
&=i\int_0^1 \frac{dz'}{\sqrt{(1-z'^2)(1-\varkappa'^2z'^2)}}.
\end{align*}
Hierbei ist vermöge (21) dem Integrationswege von $z$ der von
$z'$ zugeordnet. Durchläuft $z$ die reellen Werte von $1$ bis
$\frac{1}{\varkappa}$,
so wird, im Falle $\varkappa^2$ reell ist, auch $z'$ die reellen Werte von
$1$ bis $0$ durchlaufen.

Setzt man
\[
\int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa'^2z^2)}} = K',
\]
wobei $K'$ von $\varkappa'$ gerade so abhängt, wie $K$ von $\varkappa$,
so wird
$K_1 = iK'$, und wenn $z = \sin\varphi$ gesetzt wird,
\[
K' = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1 -
\varkappa'^2\sin^2\varphi}}. \tag{20b}
\]

Wir ersehen also, dass wenn $\varkappa$ reell und kleiner als $1$ ist,
sowohl $K$ als $K'$ reell sind, da dann auch $\varkappa'$ kleiner als
$1$ ist.
Es sind überdiess beide Grössen positiv.

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 213.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[IV.\ Integrale II.\ und III.\ Gattung]{IV.\ Integrale II.\ und
III.\ Gattung.}

\subsection[53.\ Das Normalintegral II.~Gattung]{53.}
Neben dem Integral I.~Gattung, welches für keinen
Wert von $(x, y)$ auf der Riemann'schen Fläche unendlich
wird, und welches sich stets auf das Normalintegral I.~Gattung
reduziren lässt, führte Legendre noch zwei andere Normalformen
von elliptischen Integralen ein, die er Normalintegrale
II.\ und III.\ Gattung nannte, und die wir nun betrachten
wollen.

Als Normalintegral II.~Gattung führte er das Integral
\[
\tag{22}
  J = \int_0^z \frac{z^2 \,dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}}
\]
ein. Dieses Integral ist dadurch charakterisirt, dass es unendlich
wird, wie $z$ für $z = \infty$, d.~h.\ einfach algebraisch,
für gewisse Punkte auf der Riemann'schen Fläche der Funktion
\[
  y = \sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}.
\]

Für $z = 1$, $-1$, $\frac{1}{\varkappa}$, $-\frac{1}{\varkappa}$ erkennen
wir, wie auf S.~\pageref{satz42},
dass $J$ nicht unendlich wird.

Betrachten wir aber jetzt den Punkt $z = \infty$ und setzen
wir zu dem Behufe
\[
  z = \frac{1}{\zeta}
\]
und sei $\zeta_1$ ein kleiner Wert, dem also ein sehr grosser Wert
$z = z_1$ entspricht. Das Integral
\[
  J_1 = \int_0^{z_1} \frac{z^2 \,dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}}
\]
hat einen endlichen Wert und es ist
%%-----File: 214.png-------------------------------
\[
  J = J_1 + \int_{z_1}^{z} \frac{z^2 \,dz}{\sqrt{(1 - z^2)(1 - \varkappa^2
  z^2)}},
\]
oder
\[
  z = \frac{1}{\zeta}\cdots dz = -\frac{d\zeta}{\zeta^2}
\]
gesetzt,
\[
  J = J_1 - \int_{\zeta_1}^{\zeta} \frac{d\zeta}{\zeta^2 \sqrt{(\zeta^2 -
  1)(\zeta^2 - \varkappa^2)}}.
\]

Nun entwickeln wir die Wurzelgrösse in der Umgebung
$\zeta = 0$, indem wir den Zweig derselben wählen, für welchen
dieselbe sich auf $\varkappa$ reduzirt für $\zeta = 0$, der andere
ist durch
den Wert $-\varkappa$ für $\zeta = 0$ bestimmt.

Dann ist
\[
 \frac{1}{\sqrt{(\zeta^2-1)(\zeta^2-\varkappa^2)}} = \frac{1}{\varkappa}
 + A_1 \zeta + A_2 \zeta^2 + A_3 \zeta^3 + \cdots.
\]

Die Entwicklung muss in der Umgebung von $\zeta = 0$ so
lange $\lvert\zeta\rvert < \lvert\varkappa\rvert$ gelten, da
$\lvert\varkappa\rvert < 1$ ist, also auch für $-\zeta$,
d.~h.\ es ist auch
\[
  \frac{1}{\sqrt{(\zeta^2-1)(\zeta^2-\varkappa^2)}} = \frac{1}{\varkappa}
  - A_1 \zeta + A_2 \zeta^2 - A_3 \zeta^3 + \cdots .
\]

Beide Gleichungen können nur bestehen, wenn
\[
  A_1 = 0,\ A_3 = 0\cdots,\ A_{2\nu+1} = 0
\]
ist. Mithin ist
\[ \frac{1}{\sqrt{(\zeta^2-1)(\zeta^2-\varkappa^2)}} = \frac{1}{\varkappa}
+ A_2 \zeta^2 + A_4 \zeta^4 + \cdots
\]
und
\begin{align*}
 \int \frac{dz}{\zeta^2 \sqrt{(\zeta^2 - 1)(\zeta^2 - \varkappa^2)}}
&= \frac{1}{\varkappa} \int \frac{d\zeta}{\zeta^2}
+ A_2 \int d\zeta + A_4 \int \zeta^2 d\zeta + \cdots \\
&= \frac{1}{\varkappa\zeta} + A_2 \zeta + \frac{1}{3} A_4 \zeta^3 + \cdots
\end{align*}
und daher ist
\[
 J = J_1 + C - \frac{1}{\varkappa\zeta} - A_2 \zeta - \frac{1}{3} A_4
 \zeta^3 - \cdots,
\]
wo $C$ die Integrationskonstante bedeutet, die dadurch bestimmt ist,
dass $J= J_1$ für $\zeta = \zeta_1$ ist.

Aus der obigen Entwicklung nun sieht man, dass $J$ für
$\zeta = 0$, d.~h.\ $z = \infty$ unendlich wird wie $\frac{1}{\zeta}$
resp.\ wie $z$, d.~h.\
%%-----File: 215.png-------------------------------
\emph{das Integral} $J$ \textit{wird für} $z = \infty$ \textit{in dem
einen und anderen
Blatte der Riemannschen Fläche der Funktion}
\[
y = \sqrt{(1 - z^2)(1 - \varkappa^2 z^2)}
\]
\textit{einfach unendlich.}

Die Entwicklung im anderen Blatte, für das $-\varkappa$ gilt
für $\zeta = 0$, ist:
\[
J = J_2 + C_1 + \frac{1}{\varkappa\zeta} + A_2\zeta +
\frac{1}{3}A_4\zeta^3 + \cdots.
\]

Dieses Integral $J$ verdient den Namen \textit{Normalintegral}
insofern, als sich jedes Integral von der Form
\[
J_m = \int_0^x \frac{x^m \,dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\varkappa^2 x^2)}}
\]
auf dasselbe und eine rationale Funktion von $x$ und
\[
  y = \sqrt{(1 - x^2)(1 - \varkappa^2 x^2)}
\]
zurückführen lässt, wozu noch das Normalintegral I.~Gattung
treten kann.

Vor allem ist klar, dass für ein ungerades $m = 2n + 1$
das Integral $J_m$ kein elliptisches ist. Denn setzt man
\begin{align*}
x^2 &= z, \\
\intertext{so wird }
x \,dx &= \tfrac{1}{2}dz \\
J_{2n+1} &= \int_0^x \frac{x^{2n+1}\,dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\varkappa^2x^2)}}
= \frac12 \int_0^z \frac{z^n\,dz}{\sqrt{(1-z)(1-\varkappa^2z)}}
\end{align*}
in welchem der Ausdruck unter der Wurzel blos zum zweiten
Grade steigt und durch die Substitution
\[\label{subst}
z = \frac{1 - t^2}{\varkappa^2 - t^2}
\]
in das Integral
\[
J_{2n+1} = -\int_1^t \frac{2(1-t^2)^n}{(\varkappa^2 - t^2)^{n+1}}\,dt
\]
verwandelt wird, das als Integrand eine rationale Funktion
enthält.

Wir haben also blos Integrale von der Form
\[
J_n = \int_0^z \frac{z^{2n}dz}{\sqrt{(1 - z^2)(1 - \varkappa^2 z^2)}}
\]
zu betrachten.
%%-----File: 216.png-------------------------------

Setzt man
\[
  y = \sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )},
\]
so ist
\[
  \frac{d}{dz} (z^{2n-3} y) = (2n-1) \varkappa^2 \frac{z^{2n}}{y} -
  (1+\varkappa^2 )(2n-2) \frac{z^{2n-2}}{y} + (2n-3) \frac{z^{2n-4}}{y} .
\]

Multiplizirt man diese Gleichung mit $dz$ und integrirt
in Bezug auf $z$ von $0$ bis $z$, so ergiebt sich
\[
  z^{2n-3} y = (2n-1)\varkappa^2 J_n -2(n-1)(1+\varkappa^2 )J_{n-1} +
  (2n-3)J_{n-2}
\]
und hieraus
\[
\tag{22}
  J_n = \frac{1}{(2n-1)\varkappa^2} z^{2n-3} y +
  \frac{2(n-1)(1+\varkappa^2 )}{2n-1)\varkappa^2} J_{n-1} -
  \frac{(2n-3)}{(2n-1)\varkappa^2} J_{n-2} .
\]

Diese Gleichung zeigt, dass man $J_n$ aus $J_{n-1}$ und $J_{n-2}$
berechnen kann. Da nun $J_1$ das Normalintegral II.~Gattung
und $J_0$ das Normalintegral I.~Gattung ist, so kann man $J_2$
aus diesen beiden, $J_3$ aus $J_2$ und $J_1$ u.~s.~w.\ berechnen und
man erhält $J_n$ ausgedrückt durch eine rationale Funktion
von $z$ und $y$ und durch $J$ und $u$:
\[
  J=\int_0^z \frac{z^2 dz}{\sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )}} , \quad
  u=\int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )}} .
\]

\subsection[54.\ Elliptische Integrale III.~Gattung]{54.}
Elliptische Integrale III.~Gattung nennt man solche
Integrale aus einer \textit{rationalen} Funktion von $y$ und $z$, welche
logarithmisch unendlich werden, d.~h.\ welche für $z = a$ so
unendlich werden, wie $\log(z-a)$. Ein solches Integral ist
\[
  \Pi = \int_0^z \frac{dz}{(z-a)y}
\]
\[
  y= \sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )},
\]
wenn $a$ von den Werten $1$, $-1$, $\frac{1}{\varkappa}$,
$-\frac{1}{\varkappa}$ verschieden ist.
Denn entwickeln wir $\frac{1}{y}$ in der Umgebung von $z = a$, so ist
dieses, sobald das Blatt der Riemann'schen Fläche festgesetzt
ist, nur in einer Weise möglich. Ist $y = b$ für $z = a$ im
ersten Blatte, also $y =-b$ für $z = a$ im zweiten Blatte, so ist:
%%-----File: 217.png-------------------------------
\begin{align*}
\frac{1}{y} &= \frac{1}{b} + A_1 (z-a) + A_2 (z-a)^2 + \ldots \\
\frac{dz}{(z-a)y} &= \frac{1}{b} \frac{1}{z-a} +A_1 + A_2 (z-a) +
\ldots \\
\Pi &= C + \frac{1}{b} \log (z-a) +A_1 (z-a) + \frac{1}{2} A_2 (z-a)^2 +
\ldots ,
\end{align*}
wo $C$ eine Konstante bedeutet, die dadurch bestimmt ist, dass
$\Pi = \Pi_1$ für $z=z_1$ ist, wenn $z_1$ ein Punkt der Umgebung
von $a$ ist und
\[
  \Pi_1 = \int_0^{z_1} \frac{dz}{(z-a)y} .
\]

Aus der Entwicklung sehen wir aber, dass $\Pi$ so unendlich
wird wie $\frac{1}{b} \log (z-a)$ für $z = a$, $y = b$. Für den Punkt der
Riemann'schen Fläche $z = a$, $y =-b$ wird $\Pi$ unendlich, wie
$\frac{1}{b} \log (z-a)$.

Ein Integral III.~Gattung, welches in \emph{weniger} als \emph{zwei}
Punkten der Riemann'schen Fläche der Funktion
\[
  y=\sqrt{(1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )}
\]
logarithmisch unendlich wird, \emph{existirt nicht}.

Denn setzen wir voraus, dass das Integral $\Pi$ nur für
\begin{align*}
z &= a_1 , a_2 \ldots a_n \\
y &= b_1 , b_2 \ldots b_n
\end{align*}
auf der Riemann'schen Fläche unendlich wird für ($z=a_k$, $y=b_k$),
wie
\[
\begin{split}
  \frac{A_k^{(n  )}}{(z-a_k )^n    }
+ \frac{A_k^{(n-1)}}{(z-a_k )^{n-1}} + \dots
+ \frac{A_k^{(2  )}}{(z-a_k )^2    }
+ \frac{A_k^{(1  )}}{(z-a_k )	   }  \\
+ M_k \log (z-a_k ),
\end{split}
\]
so wird die rationale Funktion von $z$ und $y\frac{d\Pi}{dz}$ für $z=a_k$,
$y = b_k$ unendlich wie
\[
\begin{split}
 -n    \frac{A_k^{(n  )}}{(z-a_k )^{n-1}}
-(n-1) \frac{A_k^{(n-1)}}{(z-a_k )^{n-2}} - \dots
-2     \frac{A_k^{(2  )}}{(z-a_k )^{3  }}
\\
-      \frac{A_k^{(1  )}}{(z-a_k )^{2  }} + \frac{M_k}{z-a_k}
\end{split}
\]
und kann sonst nur noch für $z=\pm 1$, $\pm\frac{1}{\varkappa}$
unendlich werden.
%%-----File: 218.png-------------------------------

Dann gilt die Relation
\[ M_1 + M_2 + M_3 + \cdots + M_n = 0. \]

Denn umgeben wir die Punkte $(a_k, b_k)$, welche in einem
bestimmten Blatte der Riemann'schen Fläche liegen, mit
kleinen Kreisen, welche nur je einen Punkt umgeben, und
thun wir dasselbe mit den Punkten $1$, $-1$, $\frac{1}{\varkappa}$,
$-\frac{1}{\varkappa}$,
so wird $\frac{d\Pi}{dz}$ in dem ausgeschlossenen Gebiete der
Riemann'schen Fläche
sonst nicht unendlich, da $\Pi$ stets endlich bleibt. Nehmen
wir also das $\int d\Pi$ längs allen diesen Kreisen, so muss
\[ \int d\Pi = 0 \]
sein.
Nun ist für den Punkt $(a_k, b_k)$
\[ \frac{d\Pi}{dz} = - \frac{n A_k^{(n)}}{(z - a_k)^{n+1}} + \cdots -
\frac{A_k^{(1)}}{(z - a_k)^2} + \frac{M_k}{z - a_k}
    + B_k^{(0)} + B_k^{(1)}(z - a_k) + \cdots,
\]
also
\[ \int_{\overfrown{a_k}} d\Pi = 2\pi i M_k.
\]

Für die Punkte $1$, $-1$, $\frac{1}{\varkappa}$, $-\frac{1}{\varkappa}$
soll $\Pi$ endlich
sein, also kann $\frac{d\Pi}{dz}$ nur so unendlich werden, dass,
wenn $\alpha$
einer derselben ist,
\[ \frac{d\Pi}{dz} = \frac{A}{(z - \alpha)^\frac{1}{2}} + B(z -
\alpha)^{\frac{1}{2}} + \cdots
\]
ist, da sich $y$ für diese Punkte nur nach gebrochenen Potenzen
von $(x - \alpha)$ entwickeln lässt, wie wir schon früher
(S.~\pageref{reihe1}) sahen. Würden in $\frac{d\Pi}{dz}$ Potenzen von
der Form
$\frac{A_m}{(z - \alpha)^{\frac{m}{2}}}$ auftreten, wobei $m > 1$ wäre,
so würde
\[ \frac{d\Pi}{dz} = \frac{A_m}{(z - \alpha)^\frac{m}{2}} + \frac{A_{m
- 1}}{(z - \alpha)^\frac{m - 1}{2}} + \cdots + \frac{A}{(z -
\alpha)^\frac{1}{2}} + \cdots
\]
und
\[
   \Pi = -\frac{2}{m + 1} \frac{A_m}{(z - \alpha)^\frac{m + 1}{2}} -
   \frac{2}{m} \frac{A_{m - 1}}{(z - \alpha)^\frac{m}{2}} - \cdots +
   2 A (z - \alpha)^\frac{1}{2} + \cdots
\]
%%-----File: 219.png-------------------------------
für $z = a$ unendlich; da dieses nicht stattfinden soll, so muss
$A_m = 0$, $A_{m-1} = 0 \ldots, A_2 = 0$ und die gegebene Form die
stattfindende sein.

Dann ist aber
\[
   \int_{\overfrown{\alpha}}d\Pi=0,
\]
da kein Glied in der Entwicklung $\frac{d\Pi}{dz}$ auftritt, welches von
der ersten Ordnung unendlich würde.

Würde aber selbst $\Pi$ für $z = \alpha$ unendlich, so sieht man
aus der Entwicklung, dass man nur den Koeffizienten des
Gliedes $(z-\alpha)^{-1}$ zu beachten braucht und wenn dieser von
Null verschieden ist, ihn mit unter die $M_k$ aufzunehmen, um
die Richtigkeit der weiteren Schlüsse nicht zu alteriren.

Daher ist
\[ \int d\Pi=2\pi i(M_1+M_2+\dots+M_n)=0, \]
d.~h.
\[ M_1+M_2+\dots+M_n=0. \]

Würde also ein Integral $\Pi$ blos in $(a_1,b_1)$ wie $M_1 \log (z-a_1)$
unendlich, so müsste $M_1 = 0$ sein, d.~h.\ das Glied $M_1 \log (z-a_1)$
würde in der Entwicklung von $\Pi$ fehlen, also würde $\Pi$ nicht
ein Integral III.~Gattung sein. Hieraus folgt beiläufig: das
Integral einer rationalen Funktion von $z$ und $y$, welche in
Punkten der Riemann'schen Fläche nur so unendlich wird,
dass der Koeffizient der $-1^{\text{ten}}$ Potenz überall null ist, lässt
sich immer durch eine rationale Funktion von $x$, $y$, Integrale
II.~und I.~Gattung ausdrücken. Wir werden bald die Richtigkeit dieses
Satzes noch auf andere Art einsehen.

Das anfänglich angeschriebene Integral
\begin{gather*}
   \Pi=\int_0^z\frac{dz}{(z-a)\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} \\
\begin{tabular}{rrrr}
wird für $z = a$, $y =$ &  $b$ & unendlich wie & $\frac 1b\log (z-a)$ \\
,,\quad,,\ \ $z = a$, $y =$ &  $-b$ & ,,\quad\quad,,\quad\ & $-\frac
1b\log (z-a)$
\end{tabular}
\end{gather*}
und es ist in der That
\[M_1+M_2=\frac 1b-\frac 1b=0.\]
%%-----File: 220.png-------------------------------

Als Normalintegral III.~Gattung wurde von Legendre
eingeführt das Integral
\[
  \Pi_{a}=\int_{0}^{z} \frac{dz}{\left( z^2-a^2 \right) \sqrt{\left(
  1-z^2 \right) \left( 1-\varkappa^2 z^2 \right) }}, \tag{23}
\]
welches für
\begin{gather*}
  z=+a, y=+b \\
  z=-a, y=+b \\
  z=+a, y=-b \\
  z=-a, y=-b
\end{gather*}
unendlich wird wie $\pm \frac{1}{b} \log \left( z-a \right)$ resp. $\pm
\frac{1}{b} \log \left( z+a \right)$,
also in vier Punkten der Riemann'schen Fläche.

Man nennt \textit{a} den \textit{Parameter} des Integrals.

\subsection[55.\ Reduktion des allgemeinen elliptischen Integrals auf die
drei Normalintegrale $\quad$]{55.}\label{satz55} Ist
\[
   y^2 = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E
\]
und $B$ von Null verschieden, wenn $A$ verschwindet, so dass
$y^2$ eine rationale Funktion des 4. oder 3.~Grades von $x$ ist,
so nennt man
\[
   U=\int f \left( x,y \right) dx, \tag{24}
\]
wo $f$ eine rationale Funktion von $x$ und $y$ ist, ein
\textit{allgemeines
elliptisches Integral}.

Wir beweisen folgenden Satz:

\textit{Jedes elliptische Integral von der Form~(24) lässt sich
zurückführen auf eine rationale Funktion von $x$ und $y$, einen
Logarithmus einer solchen Funktion, ein Normalintegral I.~und
II.~Gattung und auf Integrale III.~Gattung mit bestimmten
Parametern.}

Wir transformiren vor allem $R\left( x \right)$ durch die Substitution
\[
   x = \frac{\alpha+\beta z}{\gamma+\delta z}
\]
in die Form
\[
   R\left( x \right)=\frac{R_1 \left( z \right)}{\left( \gamma+\delta
   z \right)^4}
   = A \frac{(1-z^2)(1-\varkappa^2 z^2)}{\left( \gamma+\delta z
   \right)^4},
\]
wodurch
\[
   U=\int f_1 \bigl( z,\sqrt{P(z)} \bigr)\,dz,
\]
wird, wenn wir
%%-----File: 221.png-------------------------------
\[
   \eta^2 = P(z) = (1-z^2 )(1-\varkappa^2 z^2 )
\]
setzen.

Nun ist, wenn $r_i (z)$ eine rationale ganze Funktion von $z$ bedeutet,
\[
   f_1 \bigl(z, \sqrt{P(z)}\bigr) = \frac{r_1 (z) + r_2 (z)
   \sqrt{P(z)}}{r_3 (z) + r_4 (z) \sqrt{P(z)}} ,
\]
da durch
\[
   \left[\sqrt{P(z)}\right]^{2n+1} = P(z)^n \cdot \sqrt{P(z)}
\]
alle höheren als 1$^{\mathrm{sten}}$ Potenzen der $\sqrt{P(z)}$
verschwinden, indem
sie als rationale Funktionen von $z$ in die Funktion $f_1$
eintreten. Multiplizirt man Zähler und Nenner mit
\[
   r_3 (z) - r_4 (z) \sqrt{P(z)} ,
\]
so wird
\begin{eqnarray*}
f_1 \bigl(z , \sqrt{P(z)} \bigr) &=& \frac{\bigl[r_1 (z) + r_2 (z)
\sqrt{P(z)}\bigr]\bigl[r_3 (z) - r_4 (z) \sqrt{P(z)}\bigr]}{r_3^2 (z)
- r_4^2 (z) P(z)} \\
&=& \frac{R_1 (z) + R_2 (z) \sqrt{P(z)}}{R_3 (z)} .
\end{eqnarray*}

Also ist
\[
   U= \int \frac{R_1 (z)}{R_3 (z)} \,dz + \int \frac{R_2 (z)P(z)}{R_3
   (z) \sqrt{P(z)}} \,dz.
\]

Das erste Integral ist von einer rationalen Funktion von $z$ zu
nehmen, also durch logarithmische und rationale Ausdrücke
von $z$ darstellbar. Wir wollen es mit $V(z)$ bezeichnen, so dass
\[
   U=V(z) + \int \frac{R_2 (z)P(z)}{R_3 (z) \sqrt{P(z)}} dz.
\]
ist. Da aus
\[
   x=\frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z} , \quad z = \frac{\alpha
   -\gamma x}{-\beta + \delta x}
\]
folgt, so ist
\[
   V(z) = \int \frac{R_1 (z)}{R_2 (z)} \,dz = \int R(x) \,dx = V_1 (x)
\]
auch das Integral einer rationalen Funktion von $x$ allein.
Das Integral
\[
   W=\int \frac{R_2 (z) P(z)}{R_3 (z)} \frac{dz}{\eta}
\]
behandeln wir weiter. Es ist
\[
   \frac{R_2 (z) P(z)}{R_3 (z)} = \frac{R_2 (z) P(z) R_3 (-z)}{R_3 (z)
   R_3 (-z)}
\]
und da $R_3 (z) R_3 (-z)$ eine \emph{gerade} Funktion von $z$ ist, so
enthält sie blos $z^2$, also kann man
%%-----File: 222.png-------------------------------
\[
   R_3(z)R_3(-z) = \Psi(z^2)
\]
setzen und
\[
   R_2(z)P(z)R_3(-z) = \Phi_1(z^2) + z\Phi_2(z^2),
\]
so dass
\[
   W = \int\frac{\Phi_1(z^2) + z\Phi_2(z^2)}{\Psi(z^2)}\frac{dz}{\eta}
  = \int\frac{z\Phi_2(z^2)}{\Psi(z^2)}\frac{dz}{\eta} +
    \int\frac{\Phi_1(z^2)}{\Psi(z^2)}\frac{dz}{\eta}
\]
wird.

Im ersten Integrale führen wir $\zeta = z^2$ ein, wodurch es in
\[
\int\frac{\Phi_2(z^2)dz}{\Psi(z^2)\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
=\frac{1}{2}\int\frac{\Phi_2(\zeta)d\zeta}{\Psi(\zeta)\sqrt{(1-\zeta)(1-\varkappa^2\zeta)}}
\]
übergeht, welches Integral sich durch die auf S.~\pageref{subst}
angegebene
Substitution $z = \frac{1-t^2}{\varkappa^2-t^2}$ als Integral aus einer
rationalen Funktion von $t$ darstellen lässt, und mit
\[
V'(\zeta, \sqrt{(1-\zeta)(1-\varkappa^2\zeta)} =
\int\frac{\Phi_2(\zeta)d\zeta}{\Psi(\zeta)\sqrt{(1-\zeta)(1-\varkappa^2\zeta)}}
\]
bezeichnet sei. Durch die Substitution $\zeta = z^2$ wird
\[
V'(\zeta, \sqrt{(1-\zeta)(1-\varkappa^2\zeta)} = V'(z^2, \eta),
\]
so dass
\[
U = V(z) + V'(z^2, \eta) +
\int\frac{\Phi_1(z^2)}{\Psi(z^2)}\frac{dz}{\eta}
\]
sich ergiebt. Das letzte Integral führt nun auf \textit{elliptische}
Integrale.

Wir wissen, dass die rationale Funktion
\[
\frac{\Phi_1(\zeta)}{\Psi(\zeta)} = a_0 + a_1\zeta + \cdots a_\nu\zeta^\nu
 + \frac{p(\zeta)}{q(\zeta)}
\]
gesetzt werden kann, wo $p(\zeta)$ und $q(\zeta)$ rationale Funktionen
von $\zeta$ sind und erstere wenigstens um eine Einheit niedriger
in $\zeta$ als letztere ist.

Nun lässt sich
\[
   J_2 = \int\frac{z^{2\lambda}dz}{\eta}
\]
durch eine rationale Funktion von $z$ und $\eta$ und durch $J$ und
$u$ ausdrücken, d.~h.\ es ist
\[
   J_\lambda = r_\lambda(z, \eta) + A_\lambda J + B_\lambda u,
\]
daher ist
%%-----File: 223.png-------------------------------
\begin{align*}
\int \frac{\Phi_1 (z^2 )}{\Psi (z^2 )} \frac{dz}{\eta}
&= a_0 \int \frac{dz}{\eta} + a_1 \int \frac{z^2 dz}{\eta} + \dots
+ a_\nu \int \frac{z^{2\nu} dz}{\eta}
+ \int \frac{p (z^2 )}{q(z^2 )} \frac{dz}{\eta} \\
&= \varrho (z,\eta) + AJ + Bu
+ \int \frac{p(z^2 )}{q(z^2 )} \frac{dz}{\eta} ,
\end{align*}
wenn $\varrho$ eine rationale Funktion von $z$ und $y$ bedeutet und $A$
und $B$ gewisse aus $A_\lambda$, $B_\lambda$ und $a_0 \ldots a_\nu$
und $\varkappa^2$ zusammengesetzte
Konstanten sind.

Was das letzte Integral anbelangt, so führt dieses auf
elliptische Integrale III.~Gattung.

Denn es ist
\[
\frac{p(\zeta)}{q(\zeta)}
= \frac{A_1}{\zeta - a_1^2}
+ \frac{A_2}{\zeta - a_2^2}
+ \frac{A_3}{\zeta - a_3^2} + \ldots
  \frac{A_n}{\zeta - a_n^2} ,
\]
wenn
\[
q(\zeta) = A(\zeta -a_1^2 )(\zeta - a_2^2 ) \cdots (\zeta - a_n^2 )
\]
ist. Da $p(\zeta)$ höchstens vom $(n-1)^{\text{ten}}$ Grade ist, so muss
\[
A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n = 0
\]
sein. Wenn
\[
\Pi_{a_\nu} (z) = \int \frac{dz}{(z^2 - a_\nu^2 )\sqrt{(1-z^2
)(1-\varkappa^2 z^2 )}}
\]
gesetzt wird, so wird
\[
\int \frac{p(z^2 )}{q(z^2 )} \frac{dz}{\eta} = A_1 \Pi_{a_1} (z) +
A_2 \Pi_{a_2} (z) + \cdots + A_n \Pi_{a_n} (z),
\]
so dass wir schliesslich erhalten
\[
U=V(z) + V^\prime (z^2 ,\eta) + \varrho(z,\eta) +AJ +Bu + \sum_{\nu=1}^n
A_\nu \Pi_{a_\nu} (z),
\tag{25}
\]
was das ausgesprochene Theorem beweist.
Wenn man bedenkt, dass aus
\[
x = \frac{\alpha + \beta z}{\gamma + \delta z}, \quad
z = \frac{\alpha -\gamma x}{-\beta + \delta x} ,
\]
und aus
\[
y=\frac{A\eta}{(\gamma + \delta z)^4}, \quad
\eta = \frac{y}{A} (\gamma + \delta z)^4
= \frac{y}{(-\beta + \delta x)^4} \frac{(\alpha\delta - \beta\gamma)^4}{A}
\]
folgt, dass somit $z$ und $\eta$ sich rational durch $x$ und $y$
ausdrücken,
also in den obigen Funktionen jene durch diese ersetzt
werden können, so ersieht man, dass obige Funktionen
in (25) ihre Art beibehalten als Funktionen von $x$ und~$y$.
\pagebreak
%%-----File: 224.png-------------------------------

Wir sehen mithin, dass wir das allgemeine elliptische
Integral
\[
U = \int_{x_0}^{x} f\bigl(x, \sqrt{R(x)} \bigr)\,dx
\]
zu berechnen im Stande sind, sobald wir die drei Normalintegrale
berechnen können.\footnote{
  Hierbei ist von der Ausführbarkeit der algebraischen Operationen,
  als z.~B.\ das Auflösen der Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades $q(\zeta)
  = 0$, um
  $a_1^2 \cdots a_n^2$ zu finden, abgesehen. Sollte die Gleichung
  $q(\zeta) = 0$ eine
  $\nu$-fache Wurzel $\zeta = \alpha^2$ haben, so würde
\[
\frac{p(\zeta)}{q(\zeta)}
= \frac{A^{(\nu  )}}{(\zeta-\alpha^2)^\nu    }
+ \frac{A^{(\nu-1)}}{(\zeta-\alpha^2)^{\nu-1}} + \cdots
+ \frac{A^{(1)}}{\zeta-\alpha^2}
+ \frac{A_1}{\zeta-a_1^2} + \cdots
\]
  als Partialbruchzerlegung sich ergeben. Man sieht nun leicht, dass
  durch bekannte Rekursionsformeln jedes der
\[
\int\frac{A^{(\lambda)}}{(z^2-\alpha^2)^\lambda} \frac{dz}{\eta}
\]
auf die Normalintegrale reduzirt werden kann.}

Diess letztere wollen wir nun darlegen.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 225.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[V.\ Berechnung des Normalintegrals]
{V.\ Berechnung der Integrale I., II.\ und III.\ Gattung.}
\subsection[56.\ Reihenentwicklung für
$u=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}$]{56.}
Wir schreiten zuerst zur Berechnung des Integrales I. Gattung
\[
u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} \tag{26}
\]
unter der Voraussetzung, dass $|x| < 1$ ist, was, wie wir
sahen, durch eine passende Transformation stets bewirkt
werden kann.

%[** TN: Brittle hack to get intertext placed w.r.t. equation group]
Unter dieser Voraussetzung ist\\
\smash{\raisebox{-4\baselineskip}{und}}
\[
\begin{aligned}
  &K = \intv_0^1\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1 -
    \varkappa^2\sin^2\varphi}} \\
  &K' = \intv_0^1\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa'^2z^2)}}
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1 -
    \varkappa'^2\sin^2\varphi}}
\end{aligned}
\tag{27}
\]
reell und positiv, wenn $\varkappa$ reell ist. Für imaginäre $\varkappa$
ist
aber in
\[
\frac{K_1}{K} = \frac{iK'}{K}
\]
der Koeffizient von $i$ stets positiv. (Vergleiche die Note
S.~\pageref{note197}.)

Setzt man nun
\[
2K = \omega,\quad 2K_1 = 2iK' = \omega'
\]
und konstruirt die $\vartheta$-Funktionen mit Hilfe von $\omega,
\omega'$, was
möglich ist, da der Koeffizient von $i$ in $\frac{\omega'}{\omega} =
i\frac{K'}{K}$ positiv ist,
so kann man für jeden gegebenen Wert von $u$
\[
z = \frac{\vartheta_2}{\vartheta_3} \frac{\vartheta_1(u)}{\vartheta_0(u)}
\tag{28}
\]
%%-----File: 226.png-------------------------------
berechnen und das Integral~(26) giebt uns umgekehrt für
jeden Wert von $z$ bis auf Vielfache von $4K$ und $2K_1$ das
zugehörige $u$. Um einen der Werte von~$u$ in eine konvergente
Reihe zu entwickeln, verfahren wir folgendermassen.

Für Werte von $z$, die der Bedingung $\lvert\varkappa z \rvert < 1$
genügen,
wird die Reihe
\[
(1-\varkappa^2z^2)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}(\varkappa z)^2
+ \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}(\varkappa z)^4 + \cdots + \frac{1\cdot
3\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdots 2n}(\varkappa z)^{2n} + \cdots
\]
konvergiren, und es wird
\[
\int^z_0 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} = \int^z_0
\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\left[1 + \frac{1}{2}\varkappa^2z^2 +
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\varkappa^4z^4 + \cdots\right] \tag{a}
\]
sein.

Nun ist
\[
\frac{2\cdot 4\cdots 2n}{1\cdot 3\cdots
2n-1}\frac{z^{2n}dz}{\sqrt{1-z^2}} =
\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}-d\left[G_n(z)\sqrt{1-z^2}\right],
\]
wobei
\[
\left.
\begin{aligned}
G_1(z) & = z\\
G_2(z) & = z + \tfrac{2}{3}z^3\\
\vdots & \\
G_n(z) & = z + \tfrac{2}{3} z^3 + \tfrac{2\cdot 4}{3\cdot 5}z^5 +
\cdots \tfrac{2\cdot 4\cdots 2n-2}{1\cdot 3\cdots 2n-1}z^{2n-1}
\end{aligned}
\right\}
\tag{29}
\]
sich ergiebt.

Setzt man
\[
C_n = \frac{1\cdot 3\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdots 2n},
\]
so wird
\begin{align*}
\int^z_0 \frac{z^{2n}dz}{\sqrt{1-z^2}} & = C_n\int^z_0
\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}-C_nG_n(x)\cdot\sqrt{1-z^2}\\
& = C_n\arcsin z - C_n\sqrt{1-z^2}\,G_n(x);
\end{align*}
eine Konstante ist rechter Hand zuzufügen nicht nöthig.

Führt man diesen Wert des Integrales in die rechte
Seite von (a) ein, und setzt
\begin{align*}
\mathfrak{K} & = 1 + c_1^2\varkappa^2 + c_2^2\varkappa^4 + \cdots\\
& = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\varkappa^2 +
\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\varkappa^4 +
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\varkappa^6
+ \cdots,
\end{align*}
%%-----File: 227.png-------------------------------
so wird
\begin{eqnarray*}
u = \mathfrak R \arcsin z - \sqrt{1-z^2} \,\sum^\infty_{n=1}
C_n^2\varkappa^{2n}G_n(z),
\end{eqnarray*}
wo die Summe der rechten Seite wegen der Grösse $\varkappa^2$, deren
Modul kleiner als 1 ist, für kleine Werte von $|z|$ gut konvergirt.
Sie konvergirt jedenfalls, so lange $| \varkappa z | < 1$ ist, also
für $z = 1$, und da $u = K$ wird, so folgt
\begin{eqnarray*}
K = \mathfrak{K} \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
und daher
\[
u = \frac{2K}{\pi}\arcsin z -
\sqrt{1-z^2}\,\sum^\infty_{n=1}C_n^2\varkappa^{2n}G_n(z)\tag{30}
\]
\[
\frac{2K}{\pi} = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\varkappa^2 + \cdots
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdot 6\cdots
2n}\right)^2\varkappa^{2n}.
\]

Aus dieser Gleichung ersieht man nun auch die Vieldeutigkeit
von $u$. Dieselbe hängt nämlich von der von $\arcsin z$ und
$\sqrt{1-z^2}$ ab. Behält die letztere ihr Vorzeichen, so ist
$\arcsin z$ unbestimmt um $2\pi$, indem
\begin{eqnarray*}
\varkappa = \arcsin z + 2n\pi
\end{eqnarray*}
stets $z = \sin \varkappa$ liefert und also ist $u$ unbestimmt um $4K$.

Da auch
\begin{eqnarray*}
\int^z_0 \frac{dz}{\sqrt{1-z^2}} = \frac{1}{i}\log\bigl(z -
i\sqrt{1-z^2}\bigr) + \frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
ist, so kann man
\[
u - K = \frac{2K}{\pi i}\log\bigl(z - i\sqrt{1-z^2}\bigr) -
\sqrt{1-z^2} \,\sum^\infty_{n=1}C^2_n\varkappa^{2n}G_n(z)
\tag{(30a)}
\]
setzen, woraus die Vieldeutigkeit wieder ersichtlich, da der
Logarithmus um $2\pi i$ unbestimmt ist. Aus dieser Form ersieht
man aber auch einfach das Verhalten von $u$, wenn an Stelle von
$+\sqrt{1-z^2}$ gesetzt wird $-\sqrt{1-z^2}$. Denn da
\begin{eqnarray*}
\log\bigl(z-i\sqrt{1-z^2}\bigr) + \log\bigl(z + i\sqrt{1-z^2}\bigr)\\
= \log\bigl(z - i\sqrt{1-z^2}\bigr)\bigl(z + i\sqrt{1-z^2}\bigr)
= 0
\end{eqnarray*}
ist, so folgt, dass für diese Zeichenänderung
%%-----File: 228.png-------------------------------
\begin{align*}
u'-K &= \frac{2k}{\pi i} \log(z+i\sqrt{1-z^2})
+\sqrt{1-z^2}\sum^\infty_{1}C_n^2\varkappa^{2n}G_n(z)\\
&= -\left[ \frac{2K}{\pi i} \log(z-i\sqrt{1-z^2})
-\sqrt{1-z^2}\sum^\infty_{1}C^2_n\varkappa^{2n}G_n(z) \right]
\end{align*}
wird, oder
\[
u'-K=-(u-K),
\]
d.~h.\ bleibt $z$ dasselbe und wird für
\[
y = \sqrt{1-z^2}\cdot\sqrt{1-\varkappa	z^2}
\]
eingeführt,
\[
-\sqrt{1-z^2}\cdot\sqrt{1-\varkappa^2z^2},
\]
so geht $u$ über in $u' = 2K-u$. Dies stimmt mit den S.~\pageref{result}
gefundenen Resultaten vollkommen überein.

Aenderungen um die andere Periode $2K_1$ können hier
nicht auftreten, da wir $\lvert \varkappa z \rvert < 1$ als
Konvergenzbedingung
aufstellten, also $z$ den Punkt $\frac{1}{\varkappa}$ nicht umkreisen
kann, mithin
ein Unbestimmtheit derart nicht eintreten kann, dass $z$ einen
der Linie $A$, Fig.~49, äquivalenten Weg beschreibt, weil $z$
immer innerhalb des mit der Länge $\lvert \frac{1}{\varkappa} \rvert$
beschriebenen Kreises
bleiben muss.

Es lassen sich übrigens Reihenentwickelungen aufstellen,
die dieser Beschränkung für $z$ nicht unterliegen, und die für
jedes $z$ konvergiren, wie Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen
über elliptische Funktionen gezeigt hat. Diese lassen
auch die Unbestimmtheit von $u$ bezüglich der anderen Periode
$2K_1$ ersehen.

\subsection[57.\ Berechnung von $q$ durch $\varkappa$]{57.}
Wollten wir nun zur Berechnung der Integrale II.\
und III.\ Gattung übergehen, so würden wir sehen, dass wir
hierzu die $\vartheta$-Funktionen für einen beliebigen Wert von $u$ zu
berechnen im Stande sein müssen. Nun schreiten die $\vartheta$-Funktionen
nach Potenzen von
\[
q = e^{\pi i\frac{\omega'}{\omega}}  = e^{-\pi \frac{K'}{K}}
\]
fort.

Man könnte nun diese Grösse berechnen, indem man $K$
und $K_1$ berechnet. Aber wie die Formel~(30) zeigt, konvergirt
die Reihe für $K$ schlecht, wenn $\varkappa$ grösser als $\frac{1}{2}$
ist.
%%-----File: 229.png-------------------------------
Man könnte eine ähnliche Reihe für $K'$ aufstellen, die
von $\varkappa'$ genau so abhängt wie in (30) $K$ von $\varkappa$.
Ueberdiess
ist, da $K'$ und $K$ von $\varkappa$ abhängen, $q$ blos eine Funktion
von $\varkappa$ und es ist ein Umweg, zuerst $K$ und $K'$ zu berechnen
um dann $q$ berechnen zu können. Es ist wünschenswert $q$
direkt aus $\varkappa$ durch eine hinreichend konvergente
Reihenentwicklung
zu berechnen. Diess wollen wir thun.

Wir setzen $\varkappa^2 = \lambda$ und stützen uns auf die
S.~\pageref{form11} aufgestellte
Formel
\begin{gather*}
\sqrt{\varkappa}  = \sqrt[4]{\lambda} = \frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}
= \frac{2q^{\frac{1}{4}}\sum^\infty_0 q^{n(n-1)}}{1+2\sum^\infty_1
q^{n^2}}
\\
\lambda^{\frac{1}{4}}
= \frac{2q^{\frac{1}{4}}(1+2q^2+2q^6 + \cdots)}
       {1+2q+2q^4+2q^9 + \cdots},
\tag{a}
\end{gather*}
indem wir voraussetzen, dass in den $\vartheta$-Funktionen
\[
q = e^{\frac{\omega'}{\omega}i\pi} = e^{-\pi\frac{K'}{K}}
\]
eingeführt wurde. Unsere Aufgabe wird sein, aus der Gleichung für
$\sqrt{\varkappa}$ den Wert $q$ zu berechnen.

Erhebt man beiderseits zur 4.~Potenz, so wird
\[
\lambda = \frac{16q(1+q^2+q^6+\cdots)^4}{(1+2q+2q^4 \cdots)^4}.
\]

Für sehr kleine Werte von $\lvert q \rvert$ wird, da der Nenner
nahezu 1 ist, $\lvert \lambda \rvert$ sehr kleine Werte annehmen, also
kann man
\[
\lambda = 16q(1 + aq + aq^2 + \cdots)
\]
setzen. Aus dieser Beziehung folgt aber, dass in erster Annäherung
für sehr kleine $\lvert q \rvert$
\[
q = \frac{1}{16}\lambda
\]
wird, also dass für kleine $\lvert \lambda \rvert$ eine
Reihenentwicklung
\[
q = \frac{1}{16}\lambda(1 + \alpha\lambda + \beta\lambda^2 +
\cdots)
\]
existirt, die für kleine $\lvert \lambda \rvert$ konvergirt. Wir
setzen
\[
q = \frac{1}{16}\lambda[1+\mathfrak{P}(\lambda)],
\tag{b}
\]
wobei $\mathfrak{P}(\lambda)$ die Potenzreihe $\alpha\lambda +
\beta\lambda^2 + \cdots$ bedeutet, also
$\mathfrak{P}(0) = 0$ ist. Wir wollen nun zeigen, dass
$\mathfrak{P}(\lambda)$ auch noch
%%-----File: 230.png-------------------------------
für $\lambda = 1$ konvergirt und lauter positive Glieder besitzt, sobald
$\varkappa$ reell ist, welchen Fall wir für das Folgende der Einfachheit
wegen vorauszusetzen.

Führen wir neben $\lambda^{\frac{1}{4}} = \sqrt{x}$ auch
\[
(1-\lambda)^{\frac{1}{4}} = \lambda'^{\frac{1}{4}} = \sqrt{\varkappa'}
= \frac{\vartheta_0}{\vartheta_3} =
\frac{1 + 2\sum_1^\infty (-1)^n q^{n^2}}
     {1 + 2\sum_1^\infty q^{n^2}}
\]
ein und setzen
\[
\lambda_1^{\frac{1}{4}} = \frac{1 - \lambda'^{\frac{1}{4}}}
				{1 + \lambda'^{\frac{1}{4}}} .
\tag{c}
\]
Da wir wissen, dass für reelle Werte von $\varkappa$ auch $\varkappa'$
reell
und positiv ist, so ist $\lambda'^{\frac{1}{4}}$ reell und
$\lambda_1^{\frac{1}{4}}$ auch reell und kleiner
als $1$.

Nun ist
\[
\frac{1 - \lambda'^{\frac{1}{4}}}{1 + \lambda'^{\frac{1}{4}}} =
\frac{\vartheta_3 - \vartheta_0}{\vartheta_3 + \vartheta_0}
\]
und da
\[
\begin{array}{l}
\vartheta_3 = 1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + 2q^{16} + \cdots + 2q^{n^2} \\
\vartheta_0 = 1 - 2q + 2q^4 - 2q^9 + 2q^{16} - \cdots + (-1)^n2q^{n^2}
\\  \hline
\end{array}
\]
so ist
\begin{align*}
\vartheta_3 - \vartheta_0
&= 4q\bigl[1 + q^8 + q^{24} + \cdots + q^{4n(n-1)} + \cdots\bigr]
\\
\vartheta_3 + \vartheta_0
&= 2 \bigl[1 +2q^4 +2q^{16} + \cdots +2q^{4n^2} + \cdots\bigr],
\end{align*}
mithin
\[
\lambda_1^{\frac{1}{4}} =
  \frac{1 - (1 - \lambda)^{\frac{1}{4}}}
       {1 + (1 - \lambda)^{\frac{1}{4}}} =
  \frac{2q(1 + q^{4\cdot 2} + q^{4\cdot 6} + q^{4n(n-1)} + \cdots)}
       {1 + 2q^4 + 2q^{4\cdot 4} + \cdots + 2q^{4n^2} + \cdots}
       . \tag{a$_1$}
\]
Aus dieser Gleichung ersehen wir, dass der Uebergang von
$\lambda$ zu $\lambda_1$ äquivalent ist dem Uebergange von $q$ zu $q^4$,
wie man
aus dem blossen Anblick der Formeln (a) und ($\text{a}_1$) ersieht.

Nun ist für sehr kleine $\lambda$ der Werte $(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}$
nahezu
gleich $1$ und daher $1-(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}$ oder
$\lambda_1^{\frac{1}{4}}$ selbst sehr klein
und es wird sich $q$ daher als eine Potenzreihe von $\lambda_1$ entwickeln
lassen, die mit $\lambda_1$ selbst verschwindet. Nach der
%%-----File: 231.png-------------------------------
obigen Bemerkung aber, dass bei dem Uebergange von $\lambda$ zu
$\lambda_1 \ldots q$ übergeht in $q^4$, ersieht man aus (b), dass
\[
q^4 = \frac{\lambda_1}{16}
\bigl[1+\mathfrak{P}(\lambda_1)\bigr],\quad \mathfrak{P}(0) = 0
\tag{b$_1$}
\]
wird.

Geht man nun von $\lambda_1$ zu $\lambda_2$ auf dieselbe Art über,
wie man von $\lambda$ zu $\lambda_1$ überging, d.~h.\ setzt man
\[
\lambda_2 =
\frac{1-(1-\lambda_1)^{\frac{1}{4}}}
     {1+(1-\lambda_1)^{\frac{1}{4}}},
\tag{a$_2$}
\]
so muss
\[
q^{(4)^2} = \frac{\lambda_2}{16}
\bigl[1+\mathfrak{P}(\lambda_2)\bigr],\quad \mathfrak{P}(0) = 0
\tag{b$_2$}
\]
und also, wenn man zu $\lambda_n$ angelangt ist,
\[
q^{4^n} = \frac{\lambda_n}{16}
\bigl[1+\mathfrak{P}(\lambda_n)\bigr]\ldots \mathfrak{P}(0) = 0
\tag{b$_{\text{n}}$}
\]
oder
\[
4^n\log q = \log \frac{\lambda_n}{16} + \varphi (\lambda_n),
\]
sein, wenn man
\[
\log \bigl[1+ \mathfrak{P}(\lambda_n)\bigr] = \varphi(\lambda_n)
\]
setzt, wobei $\varphi(\lambda_n)$ wieder eine für kleine
$\lambda_n$ konvergente Potenzreihe
sein wird und
\[
\varphi(0) = \log 1 = 0
\]
ist. Aus $(b_n)$ folgt nun
\[
\log q = \frac{1}{4^n}\log\frac{\lambda_n}{16} +
\frac{1}{4^n}\varphi(\lambda_n),
\]
und da bei wachsendem $n\ldots\lambda_n$ stets kleiner als 1 bleibt, also
$\varphi(\lambda_n)$ noch konvergirt, so ist
\[
\log q = \lim\left[\frac{1}{4^n}\log\frac{\lambda_n}{16}\right]_{n
= \infty}.
\tag{d}
\]
Den Grenzwert rechter Hand berechnen wir nun auf andere Weise. Es
ist
\[
\lambda_1^{\frac{1}{4}} =
\frac{1-(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}}
     {1+(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}}
\tag{c}
\]
und
\[
\tfrac{1}{4}\log\lambda_1 =
\log\left[1-(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}\right] -
\log\left[1+(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}\right],
\]
%%-----File: 232.png-------------------------------
also
\begin{align*}
\frac{1}{4} \frac{d\lambda_1}{\lambda_1}
&= \frac{d\lambda}{4} \left[
   \frac{  (1-\lambda)^{-\frac{3}{4}} }
	{1-(1-\lambda)^{ \frac{1}{4}} }
 + \frac{  (1-\lambda)^{-\frac{3}{4}} }
	{1+(1-\lambda)^{ \frac{1}{4}} }\right]
\\
&=  \frac{d\lambda}{2} \frac{  (1-\lambda)^{-\frac{3}{4}} }
			     {1-(1-\lambda)^{ \frac{1}{2}} }
\\
&= \frac{d\lambda}{\lambda} \tfrac{1}{2}
   [   1-\lambda]^{-\frac{3}{4}}
   [1+(1-\lambda)^{ \frac{1}{2}}]
\\
&= \frac{d\lambda}{\lambda} \tfrac{1}{2}
   [(1-\lambda)^{-\frac{3}{4}}
 +  (1-\lambda)^{-\frac{1}{4}}].
\end{align*}
Da nun für $\lvert \varkappa \rvert < 1$ sowohl
\begin{eqnarray*}
(1-\lambda)^{-\frac{3}{4}} = 1+\frac{3}{4}\lambda+ \cdots
\end{eqnarray*}
als auch
\begin{eqnarray*}
(1-\lambda)^{-\frac{1}{4}} = 1+\frac{1}{4}\lambda+ \cdots
\end{eqnarray*}
lauter positive Koeffizienten enthalten, so wird dasselbe für
\begin{eqnarray*}
  \tfrac{1}{2} [ (1-\lambda)^{-\frac{3}{4}}
	       + (1-\lambda)^{-\frac{1}{4}} ] =
  1 + \tfrac{1}{2}\lambda + \cdots = 1 + \lambda\psi'(\lambda)
\end{eqnarray*}
gelten ($\psi'(\lambda)$ eine Potenzreihe mit positiven Potenzen). Hieraus
ergiebt sich
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{4}\frac{d\lambda_1}{\lambda_1} =
\frac{d\lambda}{\lambda}+\psi'(\lambda)\,d\lambda,
\end{eqnarray*}
also ist
\begin{eqnarray*}
\tfrac{1}{4} \log\lambda_1 = \log\lambda + \log c + \psi(\lambda),
\end{eqnarray*}
wo $\psi(0)=0$ sein soll und $\psi(\lambda)$ eine Potenzreihe mit lauter
positiven Koeffizienten ist. Um $c$ zu bestimmen, ersehen wir,
dass aus
\begin{eqnarray*}
\lambda_1^{\frac{1}{4}} = c\lambda e^{\psi(\lambda)}\ldots c =
\left[\frac{\lambda_1^{\frac{1}{4}}}{\lambda}\right]_{\lambda = 0}
\end{eqnarray*}
folgt. Nun folgt aber aus (c)
\begin{eqnarray*}
\left[\frac{\lambda_1^{\frac{1}{4}}}{\lambda}\right]_{\lambda = 0}
=
\frac{1}{2}
\left[\frac{1-(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}}{\lambda}\right]_{\lambda=0}
= \frac{1}{8}
\end{eqnarray*}
und daher $c = \frac{1}{8}$, somit dass
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{4}\log\lambda_1 = \log\frac{\lambda}{8} +
\psi(\lambda)\ldots\psi(0) = 0
\end{eqnarray*}
ist. $\psi(\lambda)$ konvergirt noch für $\lambda = 1$, denn da
$\psi(\lambda)$ für alle
Werte kleiner als 1 konvergirt und für $\lambda = 0$ verschwindet,
so stellt sie stets die Funktion
%%-----File: 233.png-------------------------------
\[
\frac{1}{4}\log\lambda_1 - \log\frac{\lambda}{8}
\]
dar, so lange $|\lambda| < 1$. Nun hat die $\psi(\lambda)$ lauter
positive Koeffizienten
und
\[
\frac{1}{4}\log\lambda_1 - \log\frac{\lambda}{8}
\]
wird für $\lambda = 1$ \emph{endlich}, nämlich gleich $\log 8$, also
muss auch
$\psi(1) = \log 8$ sein.

Da ferner aus
\[
\lambda_1^{\frac{1}{4}} = \frac{\lambda}{8} e^{\psi^{(\lambda)}}
\]
\[
\lambda_1 = \frac{\lambda^4}{8^4}\left[1 + \mathfrak{Q}(\lambda)\right]
\]
folgt, so ersieht man, dass auch $\mathfrak{Q}(\lambda)$ lauter positive
Koeffizienten
besitzt, $\mathfrak{Q}(0) = 0$ ist und $\mathfrak{Q}(1)$ noch konvergirt.

Aus
\[
\frac{1}{4}\log\lambda_1 = \log\frac{\lambda}{8} + \psi(\lambda)
\]
und
\[
\frac{1}{4}\log 16 = \log 2
\]
folgt
\[
\frac{1}{4}\log\frac{\lambda_1}{16} = \log\frac{\lambda}{16} +
\psi(\lambda).
\]

Gehen wir nun von $\lambda_1$ zu $\lambda_2$ über, hiervon zu $\lambda_3$
u.~s.~w.\ so erhalten wir folgende Reihe von Gleichungen
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{4}\log\frac{\lambda_1}{16} &=& \log\frac{\lambda}{16} +
\psi(\lambda)\\
\frac{1}{4}\log\frac{\lambda_2}{16} &=& \log\frac{\lambda_1}{16} +
\psi(\lambda_1)\\
\frac{1}{4}\log\frac{\lambda_3}{16} &=& \log\frac{\lambda_2}{16} +
\psi(\lambda_2)\\
\vdots & & \vdots \\
\frac{1}{4}\log\frac{\lambda_n}{16} &=& \log\frac{\lambda_{n-1}}{16}
+ \psi(\lambda_{n-1}),
\end{aligned}
\]
wo die Potenzreihen rechts alle noch konvergiren für $\lambda_i = 1$.

Multiplizirt man die Gleichungen der Reihe nach mit
\[
1, \frac{1}{4}, \frac{1}{4^2}, \frac{1}{4^3}, \cdots
\frac{1}{4^{n-}}
\]
%%-----File: 234.png-------------------------------
und addirt sie, so erhält man
\[
  \frac{1}{4^n} \log \frac{\lambda_n}{16}
= \log \frac{\lambda}{16}
+ \sum_{\nu=0}^{n-1} \frac{1}{4^\nu} \psi(\lambda_\nu)
\]
Die Summe rechter Hand konvergirt, wenn $n$ ins Unendliche
wächst. Denn da $\lvert \lambda \rvert \leqq 1$ ist, so sind alle
$\lambda_1$, $\lambda_2 \dotsc \lambda_n \dotsc \lambda_\infty$
kleiner oder gleich als $1$ und die Potenzreihen $\psi(\lambda_\nu)$
konvergiren
alle, sind also alle endlich. Sei $g$ eine Grösse, die
gleich oder grösser ist als die grösste von den $\psi(\lambda_\nu)$, so
dass also
\[
  g \geqq \lvert \psi(\lambda_\nu) \rvert
\]
für alle $\nu$, dann wird
\[
  \sum_0^{n-1} g\frac{1}{4^\nu} \geqq
  \sum_0^{n-1} \frac{1}{4^\nu} \lvert \psi(\lambda_\nu) \rvert ,
\]
d.~h.
\[
  \frac{4}{3} g\left( 1 - \frac{1}{4^\nu} \right) \geqq
  \sum_0^{n-1} \frac{1}{4^\nu} \lvert \psi(\lambda_\nu) \rvert
\]
und mithin
\[
  \frac{4}{3} g \geqq
  \sum_0^\infty \frac{1}{4^\nu} \lvert \psi(\lambda_\nu) \rvert ,
\]
d.~h.\ die Reihe
\[
  \sum_0^\infty \frac{1}{4^\nu} \psi(\lambda_\nu)
\]
konvergirt. Daher erhalten wir
\[
  \lim \left[ \frac{1}{4^\nu}
	      \log \frac{\lambda_n}{16} \right]_{n=\infty}
= \log \frac{\lambda}{16}
+ \sum_0^\infty \frac{1}{4^\nu} \psi(\lambda_\nu)
\]
und mit Rücksicht auf die Gleichung (d)
\[
  \log q
= \log \frac{\lambda}{16}
+ \sum_0^\infty \frac{1}{4^\nu} \psi(\lambda_\nu) .
\]
Nun ist
\[
  \lambda_1 = \frac{\lambda^4}{8^4} [1+\mathfrak{Q}(\lambda)]
\text{ und } \mathfrak{Q}(0) = 0,
\]
$\mathfrak{Q}(1)$ endlich. Ebenso
\[
  \lambda_2 = \frac{\lambda_1^4}{8^4} [1+\mathfrak{Q}(\lambda_1)] .
\]
%%-----File: 235.png-------------------------------

Führt man in diese Reihenentwicklung für $\lambda_1$ die erste
ein, so kann man, da für $\lvert\lambda\rvert \leqq 1$ die Potenzreihen
konvergiren,
das Resultat nach Potenzen von $\lambda$ ordnen und erhält
\[
\lambda_2 = \frac{\lambda^{16}}{8^{20}}\left[ 1 + \mathfrak{Q}_1(\lambda)
\right],
\]
wo $\mathfrak{Q}_1(\lambda)$ konvergirt für $\lvert\lambda\rvert \leqq 1$.

Dasselbe gilt für $\lambda_3\ldots \lambda_4\ldots$, alle sind
Potenzreihen von
$\lambda$, die für $\lvert\lambda\rvert \leqq 1$ konvergiren und alle
haben nur positive
Koeffizienten.

Denkt man sich diese Potenzreihen in
\[
\psi(\lambda_1),\; \psi(\lambda_2),\; \psi(\lambda_3) \ldots
\]
eingeführt und ordnet in
\[
\sum_{\nu=0}^\infty \frac{1}{4^\nu} \psi(\lambda_\nu)
\]
alles nach $\lambda$, was erlaubt ist, da alle Potenzreihen für
$\lvert\lambda\rvert \leqq 1$
konvergiren, so erhält man eine Potenzreihe $\Pi(\lambda)$ mit lauter
positiven Koeffizienten, so dass also
\[
\sum_0^\infty \frac{1}{4^\nu} \psi(\lambda_\nu) = \Pi(\lambda)
\]
ist, und
\[
\log q = \log\frac{\lambda}{16} + \Pi(\lambda) \tag{\text{d}}
\]
folgt.

Nun ist für
\[
\lambda = 1: \lambda_1 = 1,\; \lambda_2 = 1 \ldots \lambda_\nu = 1
\text{ und } \psi(1) = \log 8,
\]
daher
\[
\left[ \sum_1^\infty \frac{1}{4^{\nu-1}} \psi(\lambda_\nu)
\right]_{\lambda = 1}
= \log 8 \sum_0^\infty\frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}\log 8 = \log 16,
\]
d.~h.\
\[
\Pi(1) = \log 16.
\]

Unsere Potenzreihe $\Pi(\lambda)$ konvergirt also auch für $\lambda = 1$
und giebt in der Gleichung (d) den richtigen Wert von $q$,
nämlich $\log q = 0$, also $q=1$ für $\lambda = 1$.

Es ist, da $\psi(0) = 0$ ist, auch $\Pi(0) = 0$.
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Aus (d) folgt schliesslich
\[
\tag{e}
  q
= \frac{\lambda}{16} e^{\Pi(\lambda)}
= \frac{\lambda}{16} (1 + \mathfrak{P}(\lambda))
\]
als Potenzreihe von $\lambda$, von der wir nun wissen, dass sie
nicht blos für $\lvert \lambda \rvert < 1$, sondern auch für
$\lvert \lambda \rvert = 1$ konvergirt,
da es $\Pi(\lambda)$ thut und dass sie gerade so wie $\Pi(\lambda)$ lauter
positive Koeffizienten besitzt. Es ist $\mathfrak{P}(0) = 0$ und
$\mathfrak{P}(1) = 15$.

Da wir nun den Konvergenzbereich der Potenzreihe, also
die Giltigkeit der Entwicklung (e) kennen, so können wir
auch die Koeffizienten der Potenzreihe $\mathfrak{P}(\lambda)$ bestimmen.

Setzen wir für einen Augenblick $\lambda_1^{\frac14} = y$, so wird
\[
  y = \frac{2q(1 + q^8 + q^{24} + \dotsb)}
	   { 1 + 2q^4 + 2q^{16} + \dotsb }
\]
und
\begin{gather*}
  (1 + 2q^4 + 2q^{16} + \dotsb)y = 2q(1 + q^8 + q^{24} + \dotsb)  \\
  q = \tfrac12 y + (q^4 + q^{16} + \dotsb)y - (q^9 + q^{25} + \dotsb),
\tag{d}
\end{gather*}
also in erster Annäherung
\[
  q_1 = \tfrac12 y;
\]
geht man mit diesem Werte in die Gleichung (d) ein, so folgt
\[
  q = \tfrac12 y
    + (q_1^4 + q_1^{16} + \dotsb) y
    - (q_1^9 + q_1^{25} + \dotsb)
\]
oder, wenn man wieder nur die nächste Annäherung nimmt,
\[
  q_2 = \frac12 y + \frac{1}{2^4} y^5 .
\]
Geht man mit dieser wieder in die Gleichung ein, so findet man
\[
  q_3 =		 \frac{y}{2}
      + 2 \left( \frac{y}{2} \right)^5
      + 15\left( \frac{y}{2} \right)^9
\]
und sodann
\[
  q_4 =		  \frac{y}{2}
      + 2  \left( \frac{y}{2} \right)^5
      + 15 \left( \frac{y}{2} \right)^9
      + 150\left( \frac{y}{2} \right)^{13} ,
\]
so dass man durch analoges Verfahren die Potenzreihe von
$y$ beliebig weit fortsetzen kann und
\[
  q =		\frac{y}{2}
    + 2  \left( \frac{y}{2} \right)^5
    + 15 \left( \frac{y}{2} \right)^9
    + 150\left( \frac{y}{2} \right)^{13} + \dotsb
\tag{e}
\]
oder
\[
  q = \frac12	      \lambda_1^{\frac14}
    + 2  \left( \frac{\lambda_1^{\frac14}}{2} \right)^5
    + 15 \left( \frac{\lambda_1^{\frac14}}{2} \right)^9
    + 150\left( \frac{\lambda_1^{\frac14}}{2} \right)^{13} + \dotsb
\tag{f}
\]
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erhält, wobei
\[
\lambda_1^{\frac{1}{4}} =
\frac{1-(1-\lambda)^{\frac{1}{4}}}
     {1+(1+\lambda)^{\frac{1}{4}}} \cdots\lambda = k^2
\]
ist. Wir wissen, dass unsere Reihe für $\lambda = 1$ d.~h.\
$\lambda_1^\frac{1}{4} = 1$
auch noch konvergirt und gleich 1
wird, so dass
\[
1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^4} + \frac{15}{2^9} +
\frac{150}{2^{13}}+\cdots
\]
sich ergeben muss. Brechen wir nun die Reihe (f) bei dem
Gliede
\[
150\left(\frac{\lambda_1^{ \frac{1}{4} }}{2}\right)^{13}
\]
ab, so werden wir dabei einen Fehler machen, der desto
grösser ist, je grösser $\lambda_1$ ist, da die Reihe lauter positive
Glieder besitzt, daher am grössten, wenn $\lambda_1 = 1$ ist. Dieser
Fehler ist aber
\[
1-\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^4} + \frac{15}{2^9} +
\frac{150}{2^{13}}\right) = \frac{1847}{2^{12}}
\]

Nun tritt zu diesem Fehler in der Reihe $f$ noch $\left(\frac{\lambda_1^{
\frac{1}{4} }}{2}\right)$
zu einer Potenz, die grösser ist als 13 ist, als Faktor hinzu,
d.~h.\ der begangene Fehler ist jedenfalls kleiner als
\[
\left(\frac{\lambda_1^{ \frac{1}{4} }}{2}\right)^{13} \frac{1847}{2^{13}}
\text{ oder } \lambda_1^{\frac{13}{4}}\cdot \frac{1847}{2^{25}},
\]
was in Anbetracht dessen, dass $\lvert\lambda_1\rvert < 1$ ist, eine
sehr kleine
Grösse ist. Die Reihe (f) ist also eine sehr gute zur Berechnung
von $q$.\footnote{
  Die vorstehende Entwicklung ist nach den Vorträgen des Herrn
  Prof.\ Weierstrass durchgeführt.}

Wenn wir aber auf diese Art $q$ direkt aus $\varkappa$ erhalten
können, so können wir auch $K$ und $K'$ einfacher berechnen.
Es ist nämlich
\[
q = e^{-\pi\frac{K'}{K}},
\]
also
\[
\log q = -\pi\frac{K'}{K}
\]
und
\[
K' = -\frac{K}{\pi}\log q. \tag{g}
\]
%%-----File: 238.png-------------------------------

Kennen wir also $K$ und $q$, so ist $K'$ auch gegeben. Nun
haben wir auf S.~\pageref{formp180} gesehen, dass
\[
\frac{2K}{\pi} = \vartheta_3^2 = (1 + 2q^2 + 2q^4 + \cdots)^2
\]
ist, und daher liefert die Gleichung
\[
\sqrt{\frac{2K}{\pi}} = 1 + 2q^2 + 2q^4 + 2q^9 + 2q^{16} + \cdots
\tag{h}
\]
den Wert von $K$, sobald $q$ aus (f) bestimmt ist. Wir sehen
also, dass sobald $q$ gegeben ist, auch die Grössen $K$ und $K'$
daraus berechenbar sind.

\subsection[58.\ Berechnung des Normalintegrals II.~Gattung durch das
Normalintegral I.~Gattung]{58.}
Wir gehen nun dazu, die elliptischen Normalintegrale
II.\ und III.\ Gattung durch das elliptische Integral
I.\ Gattung auszudrücken.

Als Normalintegral II.\ Gattung nahmen wir nach Legendre
das Integral
\[
J = \int^z_0 \frac{z^2dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
an.

Setzt man $z = su$, so wird, da
\[
du = \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
ist,
\[
J = \int^u_0 s^2u\,du.
\]

Wenn wir nun $s^2u$ in integrabler Form durch die
$\vartheta$-Funktionen ausdrücken, so haben wir das Verlangte geleistet.

Wir haben auf S.~\pageref{form32} Formel 32 erhalten
\[
\vartheta_0^2\vartheta_0(u+v)\vartheta_0(u-v) =
\vartheta_0^2u\,\vartheta_0^2v - \vartheta_1^2u\,\vartheta_1^2v.
\]

Beachtet man, dass
\begin{align*}
\frac{d\vartheta_0(u+v)}{du} &= \frac{d\vartheta_0(u+v)}{dv} =
\vartheta_0'(u+v)\\
\frac{d\vartheta_0(u-v)}{du} &= -\frac{d\vartheta_0(u-v)}{dv} =
\vartheta_0'(u-v)
\end{align*}
ist, wo
%%-----File: 239.png-------------------------------
\[
  \vartheta_0'(\alpha) = \frac{d\vartheta_0(\alpha)}{d(\alpha)}
\]
sein soll, so liefert die angesetzte Gleichung durch Differentiation
nach $v$
\begin{multline*}
  \vartheta_0^2 [ \vartheta_0'(u+v) \vartheta_0 (u-v)
		- \vartheta_0 (u+v) \vartheta_0'(u-v) ]  \\
= 2[ \vartheta_0^2 u \,\vartheta_0 v \,\vartheta_0' v
   - \vartheta_1^2 u \,\vartheta_1 v \,\vartheta_1' v ]
\end{multline*}
und durch nochmalige Differentiation nach $v$, wenn man dann
$v = 0$ setzt und beachtet, dass
\[
  \vartheta_0' = 0, \quad \vartheta_1'' = 0
\]
ist,
\[
  \vartheta_0^2 [ \vartheta_0 u \,\vartheta_0'' u
		-(\vartheta_0'u)^2 ]
= \vartheta_0 \vartheta_0'' \vartheta_0^2 u
- \vartheta_1'^2 \vartheta_1^2 u
\]
oder, wenn man durch $\vartheta_0^2 \vartheta_0^2 u$ dividirt,
\[
  \frac{1}{\vartheta_0 u} \frac{d^2 \vartheta_0 u}{du^2}
- \left[ \frac{1}{\vartheta_0 u} \frac{d\vartheta_0 u}{du} \right]^2
= \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}
- \left( \frac{\vartheta_1'}{\vartheta_0} \right)^2
  \frac{\vartheta_1^2 u}{\vartheta_0^2 u} .
\]
In andrer Form geschrieben
\[
  \frac{d^2 \log\vartheta_0 u}{du^2}
= \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}
- \left( \frac{\vartheta_2 \vartheta_1'}
	      {\vartheta_0 \vartheta_3 } \right)^2 s^2 u.
\]
Da nun
\[
  \vartheta_1' = \frac{\pi}{2K} \vartheta_0 \vartheta_2 \vartheta_3
\]
ist, so folgt
\[
  \frac{\vartheta_1' \vartheta_2}{\vartheta_0 \vartheta_4}
= \frac{\pi}{2K} \vartheta_2^2
= \frac{\vartheta_2^2}{\vartheta_3^2} = \varkappa
\]
und
\[
  \frac{d^2 \log\vartheta_0 u}{du^2}
= \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} - \varkappa^2 s^2 u,
\tag{a}\label{forma}
\]
hieraus
\[
  s^2 u
= \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}
- \frac{1}{\varkappa^2} \frac{d^2 \log\vartheta_0 u}{du},
\]
mithin
\[
  \int_0^u s^2 u\,du
= \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} u
- \frac{1}{\varkappa^2} \frac{d\log\vartheta_0 u}{du}
\tag{31}\label{form31}
\]

Es ergiebt sich also
\begin{gather*}
  J(u)
= \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} u
- \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0' u}{\vartheta_0 u}
\tag{31}
\\
  u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}}.
\end{gather*}
%%-----File: 240.png-------------------------------

Hat man für irgend einen Wert von $z$ das zugehörige
$u$ berechnet, so liefert die Formel (31) den Wert von $J$ für
dasselbe $z$.

Es ist
\[
J\left(\frac{\omega}{2}\right) = J(K) = E =
   \frac{1}{\varkappa^2}\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}K,
\]
da
\[
\vartheta_0\left(u-\frac{\omega}{2}\right) = \vartheta_3(u),
\]
also
\[
\vartheta_0'\left(u-\frac{\omega}{2}\right) = \vartheta_3'(u),
\]
ist, mithin
\[
\vartheta_0'\left(-\frac{\omega}{2}\right) =
   -\vartheta_0'\left(\frac{\omega}{2}\right) = \vartheta_3'(0) = 0
\]
sich ergiebt.

Man nennt $E$ das ganze elliptische Integral II.~Gattung
und es ist
\[
E = \frac{K}{\varkappa^2}\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}
  = \int_0^1 \frac{z^2dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}},
\]
da für $u = \frac{\omega}{2} = K$ sich $z = 1$ ergiebt.

Führt man $E$ ein, so wird (31) die Form
\[
J(u) = \frac{E}{K}u -
\frac{1}{\varkappa^2}\frac{\vartheta_0'(u)}{\vartheta_0(u)}
\]
annehmen.

Beachtet man, dass
\begin{align*}
\vartheta_0(u+\omega) &= \vartheta_0(u)\\
\vartheta_0(u+\omega') &= -\vartheta_0(u)e^{-(2u+\omega')\frac{\pi
i}{\omega}},
\end{align*}
also
\begin{align*}
\frac{d\log\vartheta_0(u+\omega)}{du} &=
   \frac{\vartheta_0'(u+\omega)}{\vartheta_0(u+\omega)} =
   \frac{\vartheta_0'(u)}{\vartheta_0(u)} \\
\frac{d\log\vartheta_0(u+\omega')}{du} &=
   \frac{\vartheta_0'(u+\omega')}{\vartheta_0(u+\omega)} =
   \frac{\vartheta_0'(u)}{\vartheta_0(u)} - \frac{2\pi i}{\omega}
\end{align*}
ist, und da
\[
\omega = 2K,\; \omega' = 2K_1
\]
gesetzt wurde, so ergiebt sich
\begin{align*}
J(u+4K)   &= J(u) + 4E \\
J(u+2K_1) &= J(u) + 2E\frac{K_1}{K} + \frac{\pi i}{\varkappa^2K}.
\tag{32}
\end{align*}
%%-----File: 241.png-------------------------------
Es ist also $J(u)$ eine eindeutige Funktion von $u$, welche für
$z$ und $y$ unendlich vieldeutig wird, indem denselben Werten
von $z$ und $y$ unendlich viele $u$ von der Form
\[
   u + 4mK + 2m'K_1
\]
entsprechen und $J(u)$ bei Aenderung von $u$ um eine oder
die andere der Grössen sich um
\[
   4E \quad\text{oder}\quad 2E\frac{K_1}{K} + \frac{\pi i}{\varkappa^2K}
\]
nach (32) ändert.

Es wird $J(u) = \infty$ für $u = \frac{\omega'}{2} = K_1$, da
$\vartheta_0\left(\frac{\omega'}{2}\right) = 0$
ist. Das entspricht dem Werte
\[
   z = s(K_1) = \infty.
\]
Da aber $z$ noch für den Wert $2K + K_1$ im Periodenparallelogramm
unendlich wird, und
\[
\vartheta_0\left(\omega + \frac{\omega'}{2}\right) = \vartheta_0(2K+K_1)
= 0
\]
ist, so wird $J(2K + K_1)$ auch unendlich.

Für $u = K_1$ wird $J(u)$ so unendlich wie $\frac{1}{\vartheta_0 u}$,
also einfach
algebraisch. Denn es ist
\[
\begin{array}{rcl}
\vartheta_0\left(\nu + \frac{\omega'}{2}\right) &=& i
\vartheta_1(\nu)e^{-\left(\nu + \frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi
i}{\omega}} \\[0.5em]
 &=& i\left[\nu\vartheta'_1 + \nu^3\frac{\vartheta'''_1}{3!} +
 \cdots\right] \left[1 + B\nu + \cdots\right] \\[0.5em]
\vartheta_0\left(\nu + \frac{\omega'}{2}\right) &=& \nu i \vartheta'_1
[1 + B\nu + \cdots] \\[0.5em]
\dfrac{1}{\vartheta_0\left(\nu + \frac{\omega'}{2}\right)} &=&
\dfrac{1}{i\vartheta'_1} \,\dfrac{1}{\nu} \,\dfrac{1}{1 + B\nu \cdots} ,
\end{array}
\]
also wird für $\nu = 0$
\[
\left[\frac{\nu}{\vartheta_0\left(\nu + \frac{\omega'}{2}\right)}\right]
\]
endlich und von Null verschieden, daher auch
\[
\left[\nu J\left(\nu + \frac{\omega'}{2}\right)\right]_{\nu = 0}
\]
was eben ausdrückt, dass $J(u)$ für
%%-----File: 242.png-------------------------------
\[
u = \frac{\omega'}{2} = K_1
\]
einfach algebraisch unendlich wird. Dasselbe gilt für\footnote
  {Es sind die elliptischen Integrale II.\ Gattung diejenigen, welche
  zuerst von dem Mathematiker Fagnano (1700---1766) betrachtet wurden
  und später von Euler (1761) als eigentümliche Transcendenten
  erkannt, von Legendre ausführlicher studirt und alle derartigen Integrale
  auf die drei Normalintegrale zurückgeführt worden sind. Das
  Integral zweiter Gattung trat bei der Berechnung des Ellipsenbogens
  auf. Indem man
  \begin{align*}
    x &= a \sin\varphi\\
    y &= b \cos\varphi
  \end{align*}
  als Gleichungen der Ellipse ansetzt, erhält man für den von der $y$-Achse
  aus gezählten Ellipsenbogen
  \[
    S = \int^\varphi_0 \sqrt{\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 +
      \left(\frac{dy}{d\varphi}\right)^2}d\varphi = a\int^\varphi_0
    \sqrt{1-\varkappa^2\sin\varphi}d\varphi,\qquad
    \varkappa^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2}
  \]
  Führt man
  \[
  u = \int^\varphi_0 \frac{d\varphi}{\sqrt{1-\varkappa^2\sin^2\varphi}}
  \]
  und
  \[
  z = \sin\varphi = su
  \]
  ein, so wird
  \[
  S = a\int^u_0 (1-\varkappa^2s^2u)du = a[u-\varkappa^2J(u)],
  \]
  also bis auf das Integral I.\ Gattung unser Normalintegral II.\ Gattung.
  Hieraus entsprang auch der Name \emph{elliptische Integrale}, den man dann
  auf alle Integrale von der Form
  \[
  \int f[x,\sqrt{R(x)}]dx
  \]
  ausdehnte, in denen $f$ eine rationale Funktion von $x$ und $\sqrt{R(x)}$
  ist,
  wobei $R(x)$ den 4.~Grad nicht übersteigt. Jacobi führte (1826) die
  Umkehr $z$ des elliptischen Integrals
  \[
  u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
  \]
  ein indem er dieselbe als \emph{elliptische Funktion} von $w$ mit
  \[
  z = \sin am\:u
  \]
  bezeichnete. (Vgl.\ S.~\pageref{form19}.)}
\[
u = 2K + K_1 = \omega + \frac{\omega'}{2}.
\]
%%-----File: 243.png-------------------------------

\subsection[59.\ Berechnung des Normalintegrals III.~Gattung durch das
Normalintegral I.~Gattung]{59.}
Wir schreiten zur Berechnung der elliptischen Integrale
III.~Gattung.

Wir gehen aus von der schon benutzten Gleichung~32
auf S.~\pageref{form32}
\[
\vartheta_0^2\vartheta_0(\alpha+u)\vartheta_0(\alpha-u) =
\vartheta_0^2\alpha\,\vartheta_0^2u - \vartheta_1^2\alpha\,\vartheta_1^2u,
\]
indem wir in derselben $v = \alpha$ setzen und dann $u$ mit $\alpha$
vertauschen.
Aus denselben folgt
\[
  \vartheta_0^2
  \frac{\vartheta_0(\alpha+u)\vartheta_0(\alpha-u)}
       {\vartheta_0\alpha\,\vartheta_2^0u}
= 1-\varkappa^2s^2\alpha \,s^2u.
\]
Nimmt man beiderseits den Logarithmus und differentiirt dann
nach $\alpha$, so erhält man
\[
\frac{\vartheta_0'(\alpha+u)}{\vartheta_0(\alpha+u)} +
\frac{\vartheta_0'(\alpha-u)}{\vartheta_0(\alpha-u)} -
2\frac{\vartheta_0'\alpha}{\vartheta_0\alpha} =
-\frac{2\varkappa^2\,s\alpha \,s'\alpha \,s^2u}{1-\varkappa^2\,s^2\alpha
\,s^2u}.
\tag{b}\label{formb}
\]
Integrirt man diese Gleichung nach $u$ von 0 bis $u$, so wird
\[
\varkappa^2\,s'\alpha \,s\alpha\int_0^u
\frac{s^2u\,du}{1-\varkappa^2\,s^2\alpha \,s^2u}
= \frac{\vartheta_0'\alpha}{\vartheta^0\alpha}u -
\frac{1}{2}\log\frac{\vartheta_0(\alpha+u)}{\vartheta_0(\alpha-u)}.
\]
oder wenn man
\begin{gather*}
u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\\
z = su,\quad a = \frac{1}{\varkappa s\alpha}
\end{gather*}
setzt, so wird
\begin{multline*}
P(u,a)	= \int_0^z \frac{z^2dz}{(a^2-z^2)\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\\
= \int_0^u \frac{\varkappa^2\,s^2\alpha
\,s^2du}{1-\varkappa^2\,s^3\,s^2u} = \frac{s\alpha}{s'\alpha}
\left[\frac{\vartheta_0'\alpha}{\vartheta_0\alpha}u
- \frac{1}{2}
\log\frac{\vartheta_0(\alpha+u)}{\vartheta_0(\alpha-u)}\right].
\tag{33}
\end{multline*}
Dieses Integral $P(u, a)$ dritter Gattung wurde von \Person{Jacobi}
seiner leichten Berechnung halber als Normalintegral eingeführt.
Will man das \Person{Legendre}'sche Normal integral berechnen,
so ergiebt sich dieses einfach aus $P(u, a)$. Es ist
\begin{align*}
P(u,a) &= \int_0^z \frac{z^2dz}{(a^2-z^2)y} = \int_0^z
\left(-1+\frac{a^2}{a^2-z^2}\right)\frac{dz}{y}
\\
&= a^2\int_0^z \frac{dz}{(a^2-z^2)y} - \int_0^z \frac{dz}{y}.
\end{align*}
%%-----File: 244.png-------------------------------
\begin{gather*}
  P(u, a) = -a^2 \mathit{\Pi}(u, a) - u  \\
  \mathit{\Pi}(u, a) = -\frac{P(u,a)}{a^2} - \frac{u}{a^2}
= -\varkappa^2 s^2 \alpha [P(u, a) + u].
\tag{34}
\end{gather*}
Daher ist
\begin{align*}
& \mathit{\Pi}(u, a)
= \int_0^z \frac{dz}{(z^2-a^2) \sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}}
\\
&= -\frac{\varkappa^2 s^3 \alpha}{c\alpha \mathit{\Delta}\alpha}
  \left[ \frac{c\alpha \mathit{\Delta}\alpha}{s\alpha}
       + \frac{\vartheta_0' \alpha}{\vartheta_0 \alpha} \right] u
+ \frac{1}{2} \varkappa^2 \frac{s^3 \alpha}{c\alpha \mathit{\Delta}\alpha}
  \log \frac{\vartheta_0 (\alpha+u)}{\vartheta_0 (\alpha-u)};
\tag{35}
\\
& u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)}}, \quad
  z = su, \quad a = \frac{1}{\varkappa s\alpha} = s(\alpha+K_1).
\end{align*}
Die logarithmischen Unstetigkeitspunkte des Integrals sind
\[
  u = -\alpha + K_1
\]
und
\[
  u = +\alpha + K_1,
\]
für welche
\[
  \vartheta_0(\alpha + u) \quad\text{ resp. }\quad \vartheta_0(\alpha - u)
\]
verschwindet. Für diese ist
\[
  z = s(-\alpha + K_1) = -a
\]
und
\[
  z = s(\alpha + K_1) = a.
\]

Wie man aus (35) ersieht, wird das Integral III.~Gattung
durch Einführung des Integrals I.~Gattung nur insofern vieldeutig,
als es einen Logarithmus enthält, während es als
Funktion von $z$ und $y$ noch unendlich vieldeutig ist in Bezug
auf Periodenvielfache, da einem $z$ und $y$ alle Werte
\[
  u + m4K + m_1 2K_1
\]
entsprechen, für welche $\mathit{\Pi}(u, a)$ seinen Wert ändert

Wir haben also folgendes Resultat:

\emph{Ist}
\[
  y^2 = (1-z^2) (1-\varkappa^2 z^2)
\]
\emph{und führt man}
\[
  u = \int_0^z \frac{dz}{y}
\]
\emph{als unabhängige Variable ein, so werden $z$ und $y$ eindeutige
Funktionen von $u$ und infolge dessen auch alle rationalen Funktionen
%%-----File: 245.png-------------------------------
von $z$ und $y$. Es wird auch das unendlich vieldeutige
Integral II.~Gattung}
\[
J = \int_0^z \frac{z^2 dz}{y}
\]
\emph{eine eindeutige Funktion von $u$ und das Integral III.~Gattung}
\[
\Pi_a = \int_0^z \frac{dz}{(z^2 - a^2)y}
\]
\emph{behält nur die Vieldeutigkeit eines Logarithmus einer eindeutigen
Funktion.}

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 246.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[VI.\ Das Additionstheorem für die Integrale
I.\ und II.\ Gattung]{VI.\ Das Additionstheorem für die Integrale \\
I.\ und II.\ Gattung.}
\subsection[60.\ Aus der Gleichung $\int_0^{z_1}\frac{dx}{y}$+
$\int_0^{z_2}\frac{dx}{y}$=$\int_0^{z_3}\frac{dx}{y}$ ergiebt sich
eine Relation zwischen $z_1,z_2,z_3$]{60.} Wenn wir
\[
u = \int_0^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}},\quad
v = \int_0^{z_2} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
setzen, so ergiebt sich
\[
z_1 = su, \quad z_2 = sv
\]
und nach dem Additionstheoreme für die Funktion $s(u+v)$
S.~\pageref{19b}
\begin{align*}
s(u + v) &= \frac{su\,cv\Delta v + sv\,cu\Delta u}{1 -
\varkappa^2s^2v\,s^2u}
\\
&= \frac{z_1\sqrt{1-z_2^2}\sqrt{1-\varkappa^2z_2^2}
       + z_2\sqrt{1-z_1^2}\sqrt{1-\varkappa^2z_1^2}}
       {1-\varkappa^2z_1^2z_2^2}.
\end{align*}
Setzt man also $z_3 = s(u+v)$, d.~h.\
\[
u + v = \int_0^{z_3} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}},
\]
so kann man zufolge des Additionstheorems der Funktion $s(u)$
das Additionstheorem für das Integral I.~Gattung folgendermassen
aussprechen:

\emph{Ist}
\begin{multline*}
  \int_0^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
+ \int_0^{z_2} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}  \\
= \int_0^{z_3} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}} \tag{36}
\end{multline*}
\emph{so findet zwischen $z_1$, $z_2$, $z_3$ die Gleichung}
\[
z_3 = \frac {z_1\sqrt{1-z_2^2}\sqrt{1-\varkappa^2z_2^2} +
	       \sqrt{1-z_1^2}\sqrt{1-\varkappa^2z_1^2}}
	    {1 - \varkappa^2z_1^2z_2^2}
\tag{37}
\]
\emph{statt.}
%%-----File: 247.png-------------------------------

Man kann umgekehrt, wenn man die Richtigkeit der
Gleichung~(37) direkt beweist, aus dieser das Additionstheorem
für die doppeltperiodischen Funktionen ableiten.
Dies that (1761) Euler, Jacobi (1826) erkannte erst die
Wichtigkeit dieses Satzes für elliptische Funktionen.

Das Additionstheorem für die Integrale II.~Gattung ergiebt
sich einfach aus der Gleichung (b) S.~\pageref{formb}; wenn man
in derselben $v$ statt $\alpha$ setzt, lautet dieselbe nämlich
\[
  \frac{\vartheta_0'(u+v)}{\vartheta_0 (u+v)}
- \frac{\vartheta_0'(u-v)}{\vartheta_0 (u-v)}
= 2\frac{\vartheta_0' v}{\vartheta_0 v}
- 2\varkappa^2 su\, sv \frac{s'v\, su}{1-\varkappa^2 s^2v\, s^2u}
\]
und wenn $u$ und $v$ vertauscht werden
\[
  \frac{\vartheta_0'(u+v)}{\vartheta_0 (u+v)}
- \frac{\vartheta_0'(v-u)}{\vartheta_0 (v-u)}
= 2\frac{\vartheta_0' u}{\vartheta_0 u}
- 2\varkappa^2 su\, sv \frac{s'u\, sv}{1-\varkappa^2 s^2v\, s^2u}.
\]
Addirt man beide Gleichungen, so ergiebt sich
\[
  \frac{\vartheta_0'(u+v)}{\vartheta_0 (u+v)}
= \frac{\vartheta_0' u}{\vartheta_0 u}
+ \frac{\vartheta_0' v}{\vartheta_0 v}
- \varkappa^2 su\, sv\, s(u+v).
\tag{38}
\]
Nun liefert die Gleichung (31) S.~\pageref{form31}
\[
  J(u+v)
= \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} (u+v)
- \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0'(u+v)}{\vartheta_0 (u+v)}
\]
und mit Rücksicht auf (38)
\[
= \left[ \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} u
       - \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0'u}{\vartheta_0 u}
  \right]
+ \left[ \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} v
       - \frac{1}{\varkappa^2} \frac{\vartheta_0'v}{\vartheta_0 v}
  \right]
+ su\, sv\, s(u+v),
\]
also ist
\[
  J(u+v) = J(u) + J(v) + su\, sv\, s(u+v).
\tag{39}\label{form39}
\]

\fivestar
\clearpage
%%-----File: 248.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[VII.\ Integrale doppeltperiodischer Funktionen]{VII.\ Integrale
doppeltperiodischer Funktionen.}
\subsection[61.\ Das $\int F(u)\,du$, wo $F(u)$ eine eindeutige
doppeltperiodische Funktion von $u$ ist, mit den Perioden $\omega,\omega'$
läßt sich durch Logarithmen der $\vartheta_1$-Funktion und
$Z^{(n)}(u)=\frac{d^n\log\vartheta_1(u)}{du}$ ausdrücken]{61.}
Es sei $F(u)$ eine eindeutige doppeltperiodische
Funktion von $u$, welche die Perioden $\omega$ und $\omega^\prime$
besitzt, die
wir unseren $\vartheta$-Funktionen (S.~\pageref{periodgl}) zu Grunde
legten. Dann
wird
\[
V=\int F(u)du
\]
ausgedrückt durch doppeltperiodische Funktionen mit den
Perioden $\omega$ und $\omega^\prime$, durch Integrale I., II.\ und
III.\ Gattung.

Die doppeltperiodischen Funktionen können alle durch
irgend zwei mit denselben Perioden rational ausgedrückt
werden.

Der Satz ergiebt sich sehr einfach mit Rücksicht auf
die in 34 S.~\pageref{result1} erhaltenen Resultate.

Nach Gleichung II.\ kann man
\[
F(u) = C - \sum_{i=1}^n \sum_{h=1}^{n_{i-1}} \frac{A_{i,h}}{h!} Z^{(h)}
(u-\alpha)
\]
setzen, wobei
\[
Z^{(h)} (u) = \frac{d^{h+1} \log\vartheta_1 (u)}{du^{h+1}}
\]
ist. Da ferner $F(u)$ eine eindeutige Funktion sein soll mit
den Perioden $\omega$, $\omega^\prime$, so ergiebt sich nach 14
S.~\pageref{sec14}, dass
\[
\sum_{i=1}^m A_{i,0} = 0
\]
ist.

Wir schreiben
\[
\begin{split}
F(u) = C
- \sum_{i=1}^m A_{i,0} \frac{d\log \vartheta_1 (u-\alpha_i )}{du}
- \sum_{i=1}^m A_{i,1} \frac{d^2 \log \vartheta_1 (u-\alpha_i )}{du^2} \\
- \sum_{i=1}^m \sum_{h=2}^{n_i -1} \frac{A_{i,h}}{h!} \frac{d^{h+1}
\log \vartheta_1 (u-\alpha_i )}{du^{h+1}} ,
\end{split}
\]
%%-----File: 249.png-------------------------------
dann folgt
\[
\begin{split}
V = C_1 + Cu
  - \sum_{i=1}^m A_{i,0}\log\vartheta_1(u - \alpha_i)
  - \sum_{i=1}^m A_{i,1}\frac{d\log\vartheta_1(u - \alpha_i)}{du}
\\
  - \sum_{i=1}^m \sum_{h=2}^{n_i - 1} \frac{A_{i, h}}{h!}
    \frac{d^h	\log\vartheta_1(u - \alpha_i)}{du^h}
\end{split}
\]
und da
\[
\sum_{i=1}^{m} A_{i, 0} = 0
\]
ist, also auch
\[
\sum_{i=1}^m A_{i,0}\log\vartheta_1(u-\beta) = 0
\]
ist, wenn $\beta$ ein beliebiger Wert ist, so kann man $v$ auch in
der Form schreiben
\[
\begin{split}
V = C_1 + Cu - \sum_{i=1}^m
A_{i,0}\log\frac{\vartheta_1(u-\alpha_i)}{\vartheta_1(u-\beta)}
  - \sum_{i=1}^m A_{i,1}Z(u - \alpha_i)
\\
  - \sum_{i=1}^m \sum_{h=2}^{n_i - 1} \frac{A_{i, h}}{h!} Z^{(h-1)}(u
  - \alpha_i).
\end{split}
\tag{40}
\]

Nun ist, wie wir sahen, $Z^{(h-1)}(u - \alpha_i)$, sobald $h \geqq 2$
ist, eine doppeltperiodische Funktion von $u$ mit den Perioden
$\omega$, $\omega'$, welche für $u = \alpha_i$, unendlich von der
$h^{\text{ten}}$ Ordnung
wird und daher sich rational durch irgend zwei doppeltperiodische
Funktionen mit denselben Perioden z.~B.\ $Z'(u)$
und $Z''(u)$ ausdrücken lässt.

Es ist mithin
\[
\sum_{i=1}^m \sum_{h=2}^{n_i - 1} \frac{A_{i, h}}{h!} Z^{(h-1)}(u -
\alpha_i) = \varrho(Z', Z''),
\]
wo $\varrho$ eine rationale Funktion der Argumente $Z'$, $Z''$ bedeutet.

$Z(u - \alpha_i)$ ist ein Integral II.\ Gattung, welches für $u =
\alpha_i$
einfach algebraisch unendlich wird, welches sich aber stets
auf das Normalintegral II.\ Gattung $J(u)$, ein Integral I.\ Gattung
und eine rationale Funktion von $Z'$, $Z''$ zurückführen lässt.

Aus den Formeln VI S.~\pageref{formelVI} ersehen wir, dass
%%-----File: 250.png-------------------------------
\[
\vartheta_0(u) = \frac{1}{i} \vartheta_1\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
e^{\left(u+\frac{\omega'}{4}\right)\frac{\pi i}{\omega}},
\]
also ist
\[
\frac{d\log\vartheta_0(u)}{du} =
\frac{d\log\vartheta_1\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)}{du}
+ \frac{\pi i}{\omega}
\]
und hieraus folgt mit Rücksicht auf Gleichung~(31) S.~\pageref{form31},
dass
\[
Z\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) = - \varkappa^2J(u) +
\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}u - \frac{\pi i}{\omega}
\tag{41}
\]
ist. Aus dieser Gleichung ergiebt sich
\[
Z\left(u+v+\tfrac{\omega'}{2}\right) =
-\varkappa^2 J(u+v) \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} (u+v)
- \frac{\pi i}{\omega}
\]
und mit Rücksicht auf die Gleichung~(39) S.~\pageref{form39}
\begin{gather*}
\begin{split}
Z\left(u+v+\tfrac{\omega'}{2}\right)
&= -\varkappa^2 J(u) + \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}u
-\varkappa^2 J(v) + \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}v
\\
&- \frac{\pi i}{\omega} - \varkappa^2 su\, sv\, s(u+v)
\end{split}
\\
= Z\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
+ Z\left(v+\tfrac{\omega'}{2}\right) + \frac{\pi i}{\omega}
- \varkappa^2 su\, sv\, s(u+v).
\end{gather*}
Setzt man $v-\frac{\omega'}{2}$ an Stelle von $v$, so wird
\[
Z(u+v) = Z\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) + Z(v)+\frac{\pi i}{\omega}
- \frac{su}{sv\, s(u+v)}.
\tag{42}
\]
Hieraus folgt, $v = -\alpha_i$ gesetzt,
\[
Z(u-\alpha_i) = Z\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) - Z(\alpha_i) +
\frac{\pi i}{\omega} - \frac{1}{s\alpha_i} \frac{1-\varkappa^2 s^2\alpha_i
s^2u}{s'\alpha_i + s\alpha_i\frac{s'u}{su}}.
\]

Nun lässt sich $s^2u$ und $\frac{s'u}{su}$ rational durch $Z'(u)$ und
$Z''(u)$ ausdrücken, denn aus der obigen Gleichung
\[
\frac{d\log\vartheta_0(u)}{du}
= \frac{d\log\vartheta_1\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)}{du} +
\frac{\pi i}{\omega}
\]
folgt
\[
\frac{d^2\log\vartheta_0(u)}{du^2  } =
\frac{d^2\log\vartheta_0\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)}{du^2}
\]
und mit Rücksicht auf die Gleichung~(a) S.~\pageref{forma}
\[
Z'\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) = \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}
- \varkappa^2s^2u,
\]
also wenn $u-\tfrac{\omega'}{2}$ an Stelle von $u$ gesetzt wird,
%%-----File: 251.png-------------------------------
\begin{align*}
Z'(u) & = \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} - \frac{1}{s^2u}\\
Z''(u) & = 2\frac{s'u}{s^3u},
\end{align*}
also
\begin{align*}
\frac{1}{s^2u} & = \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} - Z'(u)\\
\frac{s'u}{su} & =
\frac{1}{2}\frac{Z''(u)}{\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} - Z'(u)}.
\tag{43}
\end{align*}
Mithin ist
\[
Z(u-\alpha_i) = Z\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) - Z(\alpha_i) +
\frac{\pi i}{\omega} - r_i(Z'Z''),
\]
wenn $r_i$ die leicht herzustellende rationale Funktion von
$Z'$, $Z''$ bedeutet. Daher kann man
\[
\sum_{i=1}^{m} A_{i,1}Z(u-\alpha_i) = AZ\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right)
- B - r(Z',Z'')
\]
setzen, wenn
\begin{gather*}
A = \sum_{i = 1}^m A_{i,1};\; B = \sum_{i = 1}^m A_{i,1}\left(Z(\alpha_i)
- \frac{\pi i}{\omega}\right)
\\
r(Z',Z'') = \sum_{i = 1}^m A_{i,1}r_i(Z',Z'')
\end{gather*}
gesetzt wird. Vereinigt man nun die Konstanten $C_1$, $B$ und
$r(Z', Z'')$, $\varrho(Z', Z'')$ zu einer einzigen rationalen Funktion
$R(Z', Z'')$ von $Z'$ und $Z''$, so kann man die Gleichung~(40)
auch schreiben
\[
\begin{split}
&V = \int F(u)\,du
\\
&= Cu + AZ\left(u+\tfrac{\omega'}{2}\right) - \sum_{i = 1}^m A_{i,1}
\log\frac{\vartheta_1(u-\alpha_i)}{\vartheta_1(u-\beta)}
+ R(Z',Z''),
\end{split}
\tag{44}
\]
in welcher Form sie den Satz~55 S.~\pageref{satz55} aussagt.

Denn $F(u)$ ist als doppeltperiodische Funktion von $u$
mit den Perioden $\omega$, $\omega'$ durch $Z'$, $Z''$ rational
ausdrückbar,
und da
\[
\frac{dZ'}{du} = Z''\; \mathrm{ oder }\; du = \frac{dZ'}{Z''}
\]
ist, so folgt
\[
\int F(u)du = \int P(Z',Z'')\frac{dZ'}{Z''},
\]
wo $P(Z', Z'')$ eine rationale Funktion von $Z'$, $Z''$ ist.
%%-----File: 252.png-------------------------------

Die $\log\frac{\vartheta_1(u-\alpha_i)}{\vartheta_1(u-\beta)}$ führen
auf Integrale III.\ Gattung,
können aber durch Vereinigung auch Logarithmen rationaler
Funktionen von $Z'$ und $Z''$ geben.

Die rationale Gleichung, welche zwischen $Z''$ und $Z'$
bestehen muss, wird, da $Z'$ von der zweiten Ordnung unendlich
für $u = 0$ wird, von der Form sein
\[
(Z'')^2 = G^2(Z'^3 + BZ'^2 + CZ' +D),
\]
wobei sich $B$, $C$, $D$ leicht aus den Gleichungen (43) bestimmen,
denn es ist
\begin{align*}
Z'(u) &- \frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0} = -\frac{1}{s^2u}\\
(Z''u)^2 &= 4\frac{(s'u)^2}{s^6u} =
4\frac{(1-s^2u)(1-\varkappa^2s^2u)}{s^6u}\\
&= 4\left(1-\frac{1}{s^2u}\right) \left(\varkappa^2 -
\frac{1}{s^2u}\right)\frac{1}{s^2u}.
\end{align*}
Also ist
\[
(Z'')^2 = -4\left(Z'+1-\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}\right) \left(Z'
+ \varkappa^2-\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}\right) \left(Z' -
\frac{\vartheta_0''}{\vartheta_0}\right),
\]
welches die verlangte Gleichung ist.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 253.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
{\begingroup%
\centering
\vspace*{0.14\textheight}
{\Huge Anhang}\\[1\baselineskip]
\rule{.2\textwidth}{.2pt}\\[2\baselineskip]
{\Large Anwendung der Theorie der elliptischen Funktionen auf\\
Kurven $n$ter Ordnung mit $\frac12n(n-3)$ Doppelpunkten.}\\[\baselineskip]
\vfill
\endgroup}
\addcontentsline{toc}{part}{Anhang}
\addcontentsline{toc}{section}{Anwendung der Theorie der elliptischen
Funktionen auf\\
Kurven $n$ter Ordnung mit $\frac12n(n-3)$ Doppelpunkten.}
\clearpage
%%-----File: 254.png-------------------------------
%%[Blank Page]
%%-----File: 255.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[I.\ Kurven dritter Ordnung]{I.\ Kurven dritter Ordnung.}
\subsection[1.\ Allgemeine Uebersicht der Aufgabe.]{1.}
Die Kurven dritter Ordnung zerfallen in zwei wesentlich
verschiedene Geschlechter. Die einen besitzen einen
Doppelpunkt und werden daher von jeder durch diesen
gehenden Geraden in \emph{einem} variablen Punkte geschnitten,
dessen Koordinaten sich dann als rationale Funktionen eines
Parameters darstellen lassen, als welchen man den Parameter
des Strahles durch den Doppelpunkt benutzen kann. Umgekehrt
muss jede Kurve dritter Ordnung, deren Gleichung
$x = R(t)$, $y = R_1(t)$ ist, in der $R$ und $R_1$ rationale Funktionen
von $t$ sind, einen Doppelpunkt besitzen.\label{note255}\footnote{
Jede Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung, deren Koordinaten rationale
Funktionen
\emph{eines} Parameters sind, hat $\tfrac{1}{2}(n-1)(n-2)$ Doppelpunkte.
Denn ist ihre Gleichung $x = \frac{r(t)}{\varrho(t)}$, $y =
\frac{r_1(t)}{\varrho(t)}$, wobei $r$, $r_1$, $\varrho$ rationale
Funktionen $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $t$ sind, so wird für einen
Doppelpunkt
$t$ die Werte $t'$ und $t'' \ne t'$ haben, während $x$ und $y$ dieselben
bleiben. Daher müssen $t'$ und $t''$ die Gleichungen:
\begin{align*}
  \frac{1}{t'-t''}\left[
  \frac{r(t' )}{\varrho(t' )}
- \frac{r(t'')}{\varrho(t'')} \right] & = 0
\\
  \frac{1}{t'-t''}\left[
  \frac{r_1(t' )}{\varrho(t' )}
- \frac{r_1(t'')}{\varrho(t'')} \right] & = 0
\\
\intertext{oder }
  \frac{1}{t'-t''} [r(t')\varrho(t'') - r(t'')\varrho(t')] & = 0 \\
  \frac{1}{t'-t''} [r_1(t')\varrho(t'') - r_1(t'')\varrho(t')] & = 0
\end{align*}
befriedigen. Hiervon sind nur auszuscheiden die $(n-1)$ Werte $t$, die
ausser einer Wurzel $t''$ noch $\varrho(t) = 0$ befriedigen. Eliminirt man
aus den Gleichungen $t''$, welches in ihnen ebenso wie $t'$ im
$(n-1)^{\text{ten}}$
Grade auftritt, so erhält man $G(t') = 0$, welche Gleichung $t'$ in
der Ordnung $(n-1)^2$ enthält. Scheidet man obige $(n-1)$ Werte, die
$\varrho(t) = 0$ befriedigen, aus, so werden die $(n-1)(n-2)$ übrigen
  Werte $t'$, welche $G(t') = 0$ machen, die verlangten Gleichungen
  befriedigen.
  Würde man aber $t'$ eliminirt haben, dann würde sich
  $G(t'') = 0$ ergeben haben, wo $G = 0$ dieselbe Gleichung für $t''$, wie
  früher für $t'$ wäre, d.~h.\ die $(n-1)(n-2)$ Wurzeln von $G(t') = 0$
  sind gleichzeitig Wurzeln von $G(t'') = 0$ oder die Wertepaare $t'$ und
  $t''$ geben $\frac{1}{2}(n-1)(n-2)$ Doppelpunkte der Curve
  $n^{\text{ter}}$ Ordnung.
}
%%-----File: 256.png-------------------------------

Die Kurven dritter Ordnung ohne Doppelpunkt bilden
ein anderes Geschlecht.

Da jede Gerade, die durch einen Punkt der Kurve geht,
noch immer in zwei variablen Punkten schneidet, so ist es
nicht möglich, die Koordinaten der Punkte der Kurve als
rationale Funktionen eines Parameters darzustellen; versucht
man es, so muss man auf Irrationalitäten stossen, wie wir
gleich sehen werden. Da nun die irrationalen Funktionen
nicht eindeutig sind, so ist ein Rechnen mit denselben nicht
so einfach und es ist stets vom Vortheil, wenn man statt
vieldeutiger Funktionen eindeutige einführen kann, selbst
wenn diese einem höheren Gebiete entnommen sind. Wir
werden nun sehen, dass man die Koordinaten der Punkte
der Kurve dritter Ordnung als \emph{eindeutige doppeltperiodische
Funktionen} eines Parameters darstellen kann, und hierdurch
die irrationale algebraische Funktion durch eine eindeutige
Transcendente ersetzt hat.

Die allgemeine Gleichung der Kurve dritter Ordnung
hat die Form:
\[
\begin{split}
f(x,y) &= A_3y^3 + B_3xy^2 + C_3x^2y + D_3x^3 + A_2x^2
\\
&+ 2B_2xy + C_2y^2 + A_1x + 2B_1y + A_0 = 0,
\end{split}
\tag{1}\label{form1}
\]
dieselbe besitzt bei allgemeinen Werten der Koeffizienten
keinen Doppelpunkt, denn für einen solchen müsste
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x} &= B_3y^2 + 2C_3xy + 3D_3x^2 + 2A_2x +
2B_2y + A_1 = 0\\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 3A_3y^2 + 2B_3xy + C_3x^2 + 2B_2x +
2C_2y + 2B_1 = 0
\end{aligned}
\right\}
\tag{2}
\]
sein für Werte $x$, $y$, die auch (1) genügen. Eliminirt man
daher aus (2) und (1) die Koordinaten $x$, $y$, so erhält man
eine Relation zwischen den Koeffizienten der Gleichung, die
nicht stattfinden muss, sobald die Koeffizienten beliebig sind.
%%-----File: 257.png-------------------------------
Findet sie statt, so hat die Kurve einen Doppelpunkt; wir
wollen diesen Fall ausschliessen.

Setzen wir die Kurve reell voraus, so sind in (1) reelle
Koeffizienten vorhanden. Ist $a$ ein beliebiger Punkt der
Kurve, so wird seine Tangente die Kurve noch in einem
Punkte $a'$ treffen. Wir denken uns nun eine derartige Projektion
der Kurve gemacht, dass die Tangente $\overline{aa'}$ ins Unendliche
fällt und die Punkte $a$, $a'$ in zu einander senkrechten
Richtungen liegen, die wir zu Richtungen der Koordinatenachsen
nehmen wollen, $a$ soll auf der $x$-Achse, $a'$ auf der
$y$-Achse liegen.

Um die Form der Gleichung einer so projizirten Kurve
zu erhalten, auf welche die allgemeine Gleichung stets reduzirt
werden kann, durch eine reelle lineare Substitution für
die $x$ und $y$, setzen wir in (1), in welcher wir die Koeffizienten
nach der Transformation mit $A',B'\dotsc$ bezeichnen,
für $y$ und $x\cdots \frac{y}{t}$, $\frac{x}{t}$ ein, und multipliziren
mit $t^3$, dann muss
für $t = 0$ die Gleichung
\[
  A_3' y^3 + B_3' xy^2 + C_3' x^2y + D_3' x^3 = 0
\]
für $\left(\frac{y}{x}\right)$ die drei Werte $0$, $0$, $\infty$ liefern,
da die Gerade $y = 0$
den Berührungspunkt $a$ der unendlich fernen Geraden $t = 0$
enthält, und $x = 0$ den Punkt $a'$. Es muss also
\[
  D_3' = 0,\quad C_3' = 0,\quad A_3' = 0
\]
sein, d.~h.\ die Gleichung einer reellen Kurve dritter Ordnung
kann in der Form
\[
  f(x, y)
= B_3 xy^2 + A_2 x^2 + 2B_2 xy + C_2 y^2 + A_1 x + 2B_1 y + A_0 = 0
\tag{3}
\]
angenommen werden, in der die Koeffizienten reell sind. Die
Tangenten parallel zur $y$-Achse haben Berührungspunkte,
deren Koordinaten sich aus
\[
  \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial y}
= B_3 xy + B_2 x + C_2 y + B_1 = 0
\tag{4}
\]
und aus (3) ergeben. Berechnet man aus (4) $y$ und setzt
es in (3) ein, so erhält man
\[
  (A_2 x^2 + A_1 x + A_0) (B_3 x + C_2) - (B_2 x + B_1)^2 = 0,
\tag{5}
\]
für die Abscissen $x$ eine Gleichung dritten Grades, welche
%%-----File: 258.png-------------------------------
drei von einander verschiedene Wurzeln $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$
besitzt.
Denn würde eine Wurzel $x = \alpha$ Doppelwurzel von (5) sein,
so müsste sie die Ableitung dieser Gleichung auch befriedigen,
d.~h.\ es müsste für $x = \alpha$ die Gleichung (3), (4) und
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\frac{\partial f}{\partial
y}\right)_{x=\alpha} = \left[B_3y + B_2 + (B_3x +
C_2)\frac{dy}{dx}\right]_{x = \alpha} = 0
\]
bestehen und da
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f}{\partial x}: \frac{\partial
f}{\partial y}
\]
ist, so müsste
\[
\frac{\frac{1}{\partial f}}{\partial y}\left[(B_3y+B_2)\frac{\partial
f}{\partial y} - (B_3x+C_2)\frac{\partial f}{\partial x}\right] = 0
\]
sein. Da aber $\frac{\partial f}{\partial y}$ nicht unendlich ist für $x =
\alpha$, sondern
null, so muss
\[
(B_3\alpha + C_2)\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{x = \alpha}
= 0
\]
sein. Der Wert $\alpha = -\frac{C_2}{B_3}$ genügt aber $f(x,y) = 0$ nicht,
also muss $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{x = \alpha} = 0$
sein, d.~h.\ für einen solchen Wert
$x = \alpha$ würde
\[
f(x,y) = 0,\quad
\frac{\partial f}{\partial x} = 0,\quad
\frac{\partial f}{\partial y} = 0
\]
folgen oder die Kurve hätte einen Doppelpunkt, für den
$x = \alpha$ sich ergäbe. Diesen Fall haben wir aber ausgeschlossen.

Ist nun $\alpha_3 < \alpha_2 < \alpha_1$, wenn diese Grössen reell
sind, und
$\alpha_3$ die reelle Wurzel, wenn zwei konjugirt imaginär sind, so
nehme man die Gerade, welche durch $x = \alpha_3$ parallel zur
$y$-Achse geht, zur neuen $y$-Achse und die durch den Berührungspunkt
parallel zur $x$-Achse gehende Gerade zur
neuen $x$-Achse. Auf dieses Koordinatensystem bezogen wird
die Gleichung der Kurve die Form haben
\[
f(x,y) = B_3xy^2 + C_2y^2 + 2B_2xy + A_2x^2 + A_1x = 0.
\tag{6}
\]
Die Gleichung (5) wird
\[
(A_2x + A_1)(B_3x+C_2)x - B_2^2x^2 \equiv A_2B_2x(x-a_1)(x-a_2) = 0,
\]
wobei
\[
a_1 = \alpha_1 - \alpha_3, \quad a_2 = \alpha_2-\alpha_3, \text{ also }
a_1 > a_2 > 0,
\]
%%-----File: 259.png-------------------------------
wenn $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ reell waren und $a_1 = a + ib$,
$a_2 = a-ib$,
wenn $\alpha_1$, $\alpha_2$ konjugirt imaginär waren.

\begin{wrapfigure}{r}{5.8cm}
\includegraphics*[width=5.8cm,height=5.13cm]{images/fig55}
\caption{\hskip1pt }
\end{wrapfigure}
Der Punkt $M$, dessen Koordinaten
\[
x = -\frac{C_2}{B_3} = m,\quad y = -\frac{A_1+A_2m}{2B_2} = n
\]
sind, ist der reelle Schnittpunkt der Asymptote des unendlich
fernen Punktes der Kurve $C_3$ auf der $y$-Achse (Fig.~55).

Die Koordinaten
\[
y = 0,\; x = -\frac{A_1}{A_2} = l
\]
gehören dem dritten Schnittpunkte
$L$ der Kurve mit der
$x$-Achse an.

Wird
\[
-\frac{2n}{m-l} = \lambda,
\]
gesetzt, so wird die Gleichung
(6) die Form annehmen:
\[
\varrho(x-m)y^2 + 2xy + \lambda x(x-l) = 0,
\]
wobei
\[
\varrho = \frac{B_3}{B_2}.
\]
Setzt man für $\varrho y$ einfach $y$, so hat die Gleichung auch die Form
\[
(x-m)y^2 + 2xy + \lambda\varrho x(x-l) = 0.
\]
Hierbei kann $\lambda\varrho$ stets positiv gemacht werden, denn wäre
$\lambda\varrho < 0$, so würde die Substitution $x' = -x$, $y' = y$ auf
die Gleichung
\[
(x'+m)y'^2 + 2x'y' - \lambda\varrho x'(x'+l) = 0
\]
führen. Setzt man daher $\lambda\varrho = c^2$, so kann $c$ stets reell
angenommen werden, wenn die Kurve dritter Ordnung reell
ist und ihre Gleichung kann daher stets auf die reelle
Form
\[
(x-m)y^2 + 2xy + c^2x(x-l) = 0
\tag{7}
\]
gebracht werden und es ist
\[
c^2(x-l)(x-m)-x\equiv c^2(x-a_1)(x-a_2),
\]
wobei $a_1 > a_2$ sein soll, wenn beide Grössen reell sind. Aus
(7) ergiebt sich
%%-----File: 260.png-------------------------------
\[
\left.
\begin{aligned}
y = \frac{-x\pm\sqrt{x[x-c^2(x-l)(x-m)]}}{x-m}\\
y = \frac{-x\pm c\sqrt{-x(x-a_1)(x-a_2)}}{x-m}
\end{aligned}
\quad\right\}
\tag{8}
\]
also $y$ eine irrationale Funktion von $x$.

Setzen wir aber
\[
Y = \sqrt{-x(x-a_1)(x-a_2)}
\]
und
\[
w = \int_{x_0}^x \frac{dx}{Y},
\]
so wissen wir, dass $x$ und $Y$ \emph{eindeutige} doppeltperiodische
Funktionen des Argumentes $w$ werden, dass also
\begin{align*}
& x = \varphi(w), \quad Y = \psi(w),  \\
\intertext{mithin auch }
& y = \Phi(w)
\end{align*}
eine eindeutige doppeltperiodische Funktion von $w$ wird.

Um eine bekannte Form dieser Funktion zu erhalten,
brauchen wir nur $w$ auf die Normalform zu transformiren.

\subsection[2.\ Die Koordinaten der Punkte der Kurve 3.~Ordnung
drücken sich durch $su,cu,\Delta u$ rational aus]{2.} Wir setzen
\[
x = \frac{\alpha+\beta z}{\gamma+\delta z}
\]
und haben die Transformation dadurch bestimmt, dass
\[
w = \int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{-x(x-a_1)(x-a_2)}} \text{ in }
\frac{(u-u_0)}{a} = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\]
übergehen soll, also nach S.~\pageref{ref192}, dass den Werten
\begin{align*}
& x = 0,\; a_2,\quad a_1,\quad \infty  \\
\intertext{die Werte }
& z = 1,\; \frac{1}{\varkappa},\; -\frac{1}{\varkappa},\; -1
\end{align*}
entsprechen sollen.

Hieraus ergiebt sich vor allem
\[
\left(\frac{1-\varkappa}{1+\varkappa}\right)^2 = \frac{a_2}{a_1}
\]
und
\[
\varkappa =\frac{\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}}
		{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}},
\tag{9}
\]
%%-----File: 261.png-------------------------------
also für reelle $a_1$ und $a_2$ reell und kleiner als 1; für konjungirt
komplexe $a_1$ und $a_2$ aber von der Form $i\varkappa_1$, wo
$\varkappa_1$
reell ist. Setzt man nun
\[
x = N_1\frac{1-z}{1+z},
\]
so folgt für $z = \frac{1}{\varkappa}$, also $x = a_2$
\[
a_2 = N_1\frac{\varkappa-1}{\varkappa+1} =
-N_1\frac{\sqrt{a_2}}{\sqrt{a_1}},
\quad\text{d.~h.}\quad
 N_1 = -\sqrt{a_1a_2};
\]
da ferner
\begin{align*}
x - a_1 &= N_2\frac{1+\varkappa z}{1+z}\\
x - a_2 &= N_3\frac{1-\varkappa z}{1+z}
\end{align*}
sein muss, so folgt aus diesen für $x = 0$ und $z = 1$
\begin{gather*}
a_2a_1 = N_2N_3 \frac{1-\varkappa^2}{4}\\
N_2N_3 = \frac{4a_1a_2}{1-\varkappa^2} =
\sqrt{a_1a_2}\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\right)^2.
\end{gather*}
Daher ergiebt sich
\[
-x(x-a_1)(x-a_2) = a_1a_2\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\right)^2
\frac{(1-z)(1-\varkappa^2z^2)}{(1+z)^3}
\]
und wenn
\[
a_1a_2\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\right)^2 = \frac{b^2}{c^2}
\]
gesetzt wird, da es, für eine reelle Kurve stets positiv ist,
so wird
\[
Y = \sqrt{-x(x-a_1)(x-a_2)} =
\frac{b}{c}\frac{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}{(1+z)^2}
\]
und
\[
\frac{dx}{\sqrt{-x(x-a_1)(x-a_2)}} = \frac{2c\sqrt{a_1a_2}}{b}
\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\tag{10}
\]
oder
\[
aw = u-u_0,
\]
wenn
\begin{gather*}
a = \frac{b}{2c\sqrt{a_1a_2}},\quad
u = \int_0^z \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}\\
u_0 = \int_0^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\varkappa^2z^2)}}
\end{gather*}
%%-----File: 262.png-------------------------------
gesetzt wird, und $z_0$ der Wert ist, welcher $x = x_0$, $Y=Y_0$
entspricht. Dann ist aber
\[
z = su,\quad Y = \frac{b}{c}\frac{cu\,\Delta u}{(1+su)^2},
\]
also
\[
\left.
\begin{aligned}
x &= -\sqrt{a_1a_2}\frac{1-su}{1+su}\\
y &= -\frac{cu}{1+su}\; \frac{cu+2ac\Delta u}
{(1-su)+\frac{m}{\sqrt{a_1a_2}}(1+su)} .
\end{aligned}
\right\}
\tag{11}
\]
Diese Gleichungen kann man noch etwas transformiren. Da
$x = m$, $y = n$ die Koordinaten des Punktes $M$ (Fig.~55)
sind, dem ein Wert $u = \mu$ entsprechen soll, so muss
\begin{align*}
m &= \sqrt{a_1a_2} \frac{1-s\mu}{1+s\mu}\\
n &= -\frac{c\mu}{1+s\mu}\;
\frac{c\mu+2ac\Delta\mu}{(1-\mu)+\frac{m}{\sqrt{a_1a_2}}(1+s\mu)}
\end{align*}
sein; nun giebt die erste
\[
\frac{m}{\sqrt{a_1a_2}}(1+s\mu)+(1-s\mu) = 0,
\]
d.~h.\ die zweite würde $n = \infty$ geben, wenn nicht
\[
c\mu+2ac\Delta\mu = 0
\]
wäre. Da $n$ endlich ist, so muss also
\[
2ac = -\frac{c\mu}{\Delta\mu} \quad\text{und} \quad
\frac{m}{\sqrt{a_1a_2}} = -\frac{1-s\mu}{1+s\mu}
\]
sein. Dann nehmen die Gleichungen (11) die Gestalt an:
\[
\left.
\begin{aligned}
x &= -\sqrt{a_1a_2}\frac{1-su}{1+su} &&= \varphi(u)\\
y &= \frac{cu}{1+su}\; \frac{cu\,\Delta\mu - c\mu\,\Delta u}{su-s\mu}
\;\frac{1+s\mu}{\Delta\mu} &&= \Phi(u) .
\end{aligned}
\right\}
\tag{12}
\]

Es bietet weiter für uns kein Interesse diese Funktionen
von $u$ in solche von $w$ zu verwandeln. Da die Gleichungen
(12), resp.\ (11) die Gleichung (8) oder (7) identisch erfüllen
für alle Werte von $u$, sobald nur $\varkappa$ aus der Gleichung (9)
bestimmt ist, so haben wir in (12) die Koordinaten der
Kurve dritter Ordnung, deren Gleichung, ohne die Allgemeinheit
der Kurve zu beeinträchtigen, in der Form (7)
%%-----File: 263.png-------------------------------
angenommen werden kann, als doppeltperiodische Funktionen
eines Parameters dargestellt.

\subsection[3.\ Verlauf einer reellen Kurve 3.~Ordnung]{3.} \label{ref245}
Die Form der Gleichungen (11) oder (12) erlauben
auch den Verlauf der Kurve dritter Ordnung $C_3$ zu übersehen.
Wir setzen die letztere reell voraus, also in (7)
reelle Koeffizienten, und unterscheiden zwei Fälle.
\begin{itemize}
\item[I.] $a_1$, $a_2$ sind reell, $\varkappa$ also reell und kleiner als 1. Die
Periode $4K$ ist reell, $2iK'$, rein imaginär.

Die Gleichungen (11), in denen $\sqrt{a_1a_2}$, $2ac$, $m$ reelle
Grössen sind, zeigen, dass $x$ und $y$ \emph{nur} dann reell sind,
wenn $su$, $c^2u$ und $cu\Delta u$ gleichzeitig reell sind. Ein
Blick auf die Figuren~26, S.~\pageref{fig26} lässt uns erkennen,
dass diess nur der Fall ist für reelle Werte von $u$
und $u-iK'$. Umgekehrt müssen sich für $u$ reelle
Werte oder solche von der Form $u+iK'$ ($u$ reell)
ergeben, wenn $x$ und $y$ (d.~h.\ der Punkt der Kurve)
reell sind.

In diesem Falle besteht also die Kurve dritter Ordnung
aus zwei getrennten Zügen, von denen der eine
reellen Werten $u$, der andere Werten $u+iK'$ ($u$ reell)
entspricht.

Da der Punkt $M$ (Fig.~55) $x = m$, $y = n$ ein
reeller Punkt der Kurve ist, so ist $\mu$ oder $\mu-iK'$
reell.

\item[II.] $a_1$, $a_2$ sind konjugirt imaginär, $\varkappa$ ist rein
imaginär, $K$
reell und $K_1 = 2K + iK'$, $K'$ wieder reell.

Die Figuren~27, S.~\pageref{fig27} lehren uns, dass $su$, $c^2u$
und $cu\Delta u$ nur reell sind für reelle Werte von $u$, dass
also die Kurve in diesem Falle nur aus einem reellen
Zuge besteht, dessen Punkte den reellen Werten von
$u$ entsprechen.

$\mu$ muss in diesem Falle reell sein.
\end{itemize}

Da die Funktionen $\varphi(u)$ und $\Phi(u)$ blos reelle Konstanten
enthalten, so werden Werten von $u$ von der Form
$u + iu''$ und $u'-iu''$ auch konjugirt imaginäre Werte von
$\varphi(u)$ und $\Phi(u)$ entsprechen, d.~h.\ die den Argumenten
$u'+iu''$ und $u-iu''$ entsprechenden imaginären Punkte
von $C_3$ liegen auf einer reellen Geraden.
%%-----File: 264.png-------------------------------
\subsection[4.\ Die Koordinaten der Kurvenpunkte sind ausdrückbar
durch je ein Produkt von \Emphasis{drei} $\Theta$-Funktionen]{4.}
Wir können die Null- und Unendlichkeitspunkte
der Funktionen $\varphi(u)$ und $\Phi(u)$ leicht angeben und dann
diese Funktionen direkt durch $\vartheta$-Funktionen ausdrücken.

Es wird
\[
\begin{array}{lclrr}
\varphi(u)  =  \infty &\quad\text{für}\quad & u = & K, &K,\\
\varphi(u)  =  0 & & u = &3K, &3K.
\end{array}
\]
Jede dieser Stellen ist eine doppelte.
\[
\begin{array}{lclclrcr}
\Phi(u) &\quad\text{wird}\quad & \infty &\quad\text{für}\quad
&u  = &3K, &\quad\text{und}\quad &2K-\mu,\\
\Phi(u) & & \infty &
&u  = &K, & & -\mu.
\end{array}
\]
Der Wert $u = 3K$ ist für $\Phi(u)$ nur eine einfache
Unendlichkeitsstelle,
denn es ist
\[
\frac{cu}{1+su} = \frac{1-su}{cu}
\]
und $cu$ wird für $u = 3K$ einfach null.

Bezeichnet man mit $\Theta_1(u)$, $\Theta_2(u)$, $\Theta_3(u)$,
$\Theta_0(u)$, die vier
Thetafunktionen, welche die Gleichungen I, S.~\pageref{periodgl}
definiren,
wenn man statt $\omega$, $\omega'$ einführt, $\Omega = 4K$ und $\Omega'
= 2K_1$
wobei $K$ und $K_1$ die Bedeutung haben, die wir ihnen S.~\pageref{form3}
zu Grunde legten, so wird
\begin{eqnarray*}
x = \Phi(u) & = &
-\sqrt{a_1a_2}\left[\frac{\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{4}\right)}
{\Theta_1\left(u-\frac{3\Omega}{4}\right)}\right]^2\\
x = \Phi(u) & = &
A\frac{\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{4}\right)\Theta_1(u+\mu)}
{\Theta_1\left(u-\frac{3\Omega}{4}\right)\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{2}+\mu\right)},
\end{eqnarray*}
wo $A$ eine Konstante ist, die sich für $u = 0$ bestimmt.

Führt man also homogene Koordinaten
\[
x_1 : x_2 : x_3 = x : y : 1
\]
ein, so kann man
\[
\left.
\begin{array}{llll}
\varrho x_1 = & A_1&\left[\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{4}\right)\right]^2
&\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{2}+u\right)\\[0.5em]
\varrho x_2 = & A_2&\;\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{4}\right)
&\Theta_1\left(u-\frac{3\Omega}{4}\right)\Theta_1(u+\mu)\\[0.5em]
\varrho x_3 = & &\left[\Theta_1\left(u-\frac{3\Omega}{4}\right)\right]^2
&\Theta_1\left(u-\frac{\Omega}{2}+\mu\right)
\end{array}
\right\}
\tag{13}
\]
setzen, wo die $\Theta_1$-Funktion den Gleichungen
%%-----File: 265.png-------------------------------
\[
\left.
\begin{aligned}
\Theta_1(u+\Omega) &= -\Theta_1(u) \\
\Theta_1(u+\Omega')&= -\Theta_1(u)e^{-(2u+\Omega')\frac{\pi i}{\Omega}}
\end{aligned}
\right\} \tag{14}
\]
gemäss sich verhält. Die Konstanten $A_1$, $A_2$ bestimmen
sich leicht.

\subsection[5.\ Drei Produkte von $\Theta$-Funktionen, deren Nullstellen
in gewisser Weise von einander abhängen, können als homogene Koordinaten
der Punkte einer Kurve 3.~Ordnung angenommen werden]{5.}
Setzt man überhaupt
\[
\left.
\begin{aligned}
\varrho x_1 &=
A_1\Theta_1(u-\alpha_1)\Theta_1(u-\alpha_2)\Theta_1(u-\alpha_3)
e^{2\mu\frac{\pi i}{\Omega}u} \\
\varrho x_2 &=
A_1\Theta_1(u-\beta_1)\Theta_1(u-\beta_2)\Theta_1(u-\beta_3)
e^{2\nu\frac{\pi i}{\Omega}u} \\
\varrho x_3 &=
A_1\Theta_1(u-\gamma_1)\Theta_1(u-\gamma_2)\Theta_1(u-\gamma_3)
\end{aligned}
\right\} \tag{15}\label{forms15}
\]
und
\begin{align*}
\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 &= \alpha \\
\beta_1  + \beta_2  + \beta_3  &= \beta  \\
\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 &= \gamma
\end{align*}
so sind unter der Bedingung%
\footnote{Führt man statt $u \ldots u' + \tfrac{1}{3}\gamma$ ein, so
wird $\alpha'_i = \alpha_i - \tfrac{1}{3}\gamma$,
$\beta'_i = \beta_i - \tfrac{1}{3}\gamma$, $\gamma'_i = \gamma_i -
\tfrac{1}{3}\gamma$ und daher $\alpha' = \alpha - \gamma = \mu'\Omega
- \mu\Omega'$,
$\beta' = \beta - \gamma = \nu'\Omega - \nu\Omega'$ und $\gamma' = 0$
so dass die Annahme $\gamma = 0$
keine Beschränkung ist.}
\[
\left.
\begin{aligned}
\alpha &= \gamma + \mu'\Omega - \mu\Omega' \\
\beta  &= \gamma + \nu'\Omega - \nu\Omega'
\end{aligned}
\right\} \tag{15a}
\]
die Quotienten $\frac{x_1}{x_3}$ und $\frac{x_2}{x_3}$ doppeltperiodische
Funktionen
von $u$ mit den Perioden $\Omega$, $\Omega'$, wenn $\Theta_1(u)$
den Gleichungen
(14) genügt. (Siehe Satz 16, S.~\pageref{satz16}.) Folglich besteht
zwischen $\frac{x_1}{x_3}$ und $\frac{x_2}{x_3}$ eine rationale Gleichung,
die den dritten
Grad nicht übersteigt. Denn ist
\[
f\left(\frac{x_1}{x_3} , \frac{x_2}{x_3}\right) = 0
\]
diese Gleichung, so wird dieselbe durch die doppeltperiodischen
Funktionen
\begin{align*}
\frac{x_1}{x_3} = \varphi(u) &= \frac{A_1}{A_3}\;
\frac{\Theta_1(u-\alpha_1)\Theta_1(u-\alpha_2)\Theta_1(u-\alpha_3)}
{\Theta_1(u-\gamma_1)\Theta_1(u-\gamma_2)\Theta_1(u-\gamma_3)}
e^{2\mu\frac{u}{\Omega}\pi i}
\\
\frac{x_2}{x_3} = \Phi(u) &= \frac{A_2}{A_3}\;
\frac{\Theta_1(u-\beta_1)\Theta_1(u-\beta_2)\Theta_1(u-\beta_3)}
{\Theta_1(u-\gamma_1)\Theta_1(u-\gamma_2)\Theta_1(u-\gamma_3)}
e^{2\nu\frac{u}{\Omega}\pi i}
\end{align*}
identisch erfüllt.
%%-----File: 266.png-------------------------------

Ist nun
\[
ax_1 + bx_2 + cx_3 = 0
\]
die Gleichung einer beliebigen Geraden, so wird
\[
\Psi(u) = a\varphi(u) + b\Phi(u) + c
\]
eine doppeltperiodische Funktion von $u$ der dritten Ordnung
sein, die für $u = \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ unendlich wird,
und die also
auch für drei Werte $u = u_1, u_2, u_3$ verschwindet, d.~h.\ die
Koordinaten
\begin{align*}
\frac{x_1}{x_3} &= \varphi(u_1),\varphi(u_2), \varphi(u_3) \\
\frac{x_2}{x_3} &= \Phi(u_1),\Phi(u_2), \Phi(u_3)
\end{align*}
genügen sowohl der Gleichung der Kurve
\[
f\left(\frac{x_1}{x_3}, \frac{x_2}{x_3}\right) = 0,
\]
als der Gleichung der Geraden
\[
a\frac{x_1}{x_3} + b\frac{x_2}{x_3} + c = 0,
\]
d.~h.\ jede Gerade schneidet die Kurve nur in drei Punkten.

Setzt man nun
\begin{align*}
F\left(\frac{x_1}{x_3}, \frac{x_2}{x_3}\right) \equiv
   A_1\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^3 &\!+
   A_2\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2\left(\frac{x_2}{x_3}\right) \!+
   A_3\left(\frac{x_1}{x_3}\right)\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2 \!+
   A_4\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^3 \\
&\!+ B_1\left(\frac{x_1}{x_3}\right)^2 +
   B_2\left(\frac{x_1}{x_3}\right)\left(\frac{x_2}{x_3}\right) +
   B_3\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^2 \\
&\!+ C_1\left(\frac{x_1}{x_3}\right) +
   C_2\left(\frac{x_2}{x_3}\right)
\end{align*}
mit neun willkürlichen Konstanten $A, B, C$ an, so kann man
diese so bestimmen, dass die doppeltperiodische Funktion
9. Ordnung
\[
\chi(u) = F\left(\varphi(u), \Phi(u)\right)
\]
eine Konstante wird. Denn $\chi(u)$ wird für $u = \gamma_i$ unendlich,
so zwar, dass
\[
\chi(u) = \frac{L_i}{(u-\gamma_1)^3} + \frac{M_i}{(u-\gamma_i)^2} +
\frac{N_i}{u-\gamma_i} + P + \cdots \; \mathrm{pos.\;Pot.}\;(u-\gamma_i)
\]
wird, wo $L_i, M_i, N_i$ lineare homogene Funktionen der
$A, B, C$ sind. Setzt man nun $i = 1, 2, 3$ und
%%-----File: 267.png-------------------------------
\[
\left.
\begin{array}{lll}
  L_1 = 0,\; &L_2 = 0,\; &L_3 = 0  \\
  M_1 = 0,\; &M_2 = 0,\; &M_3 = 0  \\
  N_1 = 0,\; &N_2 = 0,\; &N_3 = 0
\end{array}
\right\}
\tag{S}
\]
so erhält man für die neun Konstanten $A$, $B$, $S$ neun
Gleichungen, in denen sie linear und homogen vorkommen.
Von diesen neun Gleichungen ist eine der letzten Folge der
übrigen. Denn bestimmt man die acht Verhältnisse der neun
Konstanten aus den acht ersten Gleichungen, so wird die so
bestimmte doppeltperiodische Funktion $\chi(u)$ nur mehr für
$u = \gamma_3$ \emph{einfach} unendlich werden können. Da aber nach
Satz 14, S.~\pageref{ssatz14} eine solche Funktion sich auf eine von $u$
unabhängige Konstante reduziren muss, so ist auch $N_3 = 0$
erfüllt. Wird also $\chi(u) = C$ gesetzt, so folgt
\[
  f\left( \frac{x_1}{x_3}, \frac{x_2}{x_3} \right)
= F\left( \frac{x_1}{x_3}, \frac{x_2}{x_3} \right) - C = 0
\]
als Gleichung der Kurve dritter Ordnung, welche durch die
Gleichung (15) dargestellt wird.

Für spezielle Werte von $\alpha_i$ $\beta_i$, $\gamma_i$ kann es sehr
einfach
gelingen, die rationale Gleichung aufzustellen. Ist z.~B.
\begin{align*}
  \gamma_1 &=	0, \;
& \gamma_2 &=	\tfrac{\Omega'}{3}, \;
& \gamma_3 &= - \tfrac{\Omega'}{3}
\\
  \beta_1 &=	       -  \tfrac{2\Omega	}{3}, \;
& \beta_2 &=	       -  \tfrac{2\Omega-\Omega'}{3}, \;
& \beta_3 &=	       -  \tfrac{2\Omega+\Omega'}{3},
\\
  \alpha_1 &= \phantom{-} \tfrac{2\Omega	}{3}, \;
& \alpha_2 &= \phantom{-} \tfrac{2\Omega+\Omega'}{3}, \;
& \alpha_3 &= \phantom{-} \tfrac{2\Omega-\Omega'}{3},
\end{align*}
also
\begin{align*}
  \alpha &= \phantom{-} 2\Omega  \\
  \beta  &=	     -	2\Omega  \\
  \gamma &= \phantom{-} 0
\end{align*}
und setzt man
\[
\left.
\begin{array}{lcl}
  \varrho x_1 =
& \Theta_1\left( u - \frac{2\Omega	  }{3} \right)
  \Theta_1\left( u - \frac{2\Omega+\Omega'}{3} \right)
  \Theta_1\left( u - \frac{2\Omega-\Omega'}{3} \right)
& = \varphi_1(u)
\\[0.5em]
  \varrho x_2 =
& \Theta_1\left( u + \frac{2\Omega	  }{3} \right)
  \Theta_1\left( u + \frac{2\Omega-\Omega'}{3} \right)
  \Theta_1\left( u + \frac{2\Omega+\Omega'}{3} \right)
& = \varphi_2(u)
\\[0.5em]
  \varrho x_3 =
& \Theta_1     ( u			     )
  \Theta_1\left( u - \frac{\Omega'}{3} \right)
  \Theta_1\left( u + \frac{\Omega'}{3} \right)
& = \varphi_3(u),
\end{array}
\right\}
\tag{16}
\]
so kann man die Gleichung der Kurve dritter Ordnung in
rationaler Form durch folgende Betrachtungen aufstellen.
%%-----File: 268.png-------------------------------

Es ist
\[
\varphi_3(u)=\varphi_1(u+\tfrac{2\Omega}{3})=\varphi_2(u-\tfrac{2\Omega}{3})
\]
und
\[
\left.
\begin{aligned}
&\varphi_1(u+\Omega)=-\varphi_1(u) \\
&\varphi_2(u+\Omega)=-\varphi_2(u) \\
&\varphi_3(u+\Omega)=-\varphi_3(u) \\
&\varphi_1(u+\tfrac{\Omega'}{3})=-\varepsilon\varphi_1(u)e^{(2u+\frac{\Omega'}{3})\frac{\pi
i}{\Omega}} \\
&\varphi_2(u+\tfrac{\Omega'}{3})=-\varepsilon^2\varphi_2(u)e^{(2u+\frac{\Omega'}{3})\frac{\pi
i}{\Omega}} \\
&\varphi_3(u+\tfrac{\Omega'}{3})=-\varphi_3(u)e^{(2u+\frac{\Omega'}{3})\frac{\pi
i}{\Omega}}
\end{aligned}
\right\}
\tag{17a}
\]
wobei
\[
\varepsilon = e^\frac{2\pi i}{3},\, \varepsilon^3=1
\]
ist. Ferner ergiebt sich
\[
\left.
\begin{aligned}
&\varphi_1(-u)=-\varphi_2(u)\\
&\varphi_2(-u)=-\varphi_1(u)\\
&\varphi_3(-u)=-\varphi_3(u)
\end{aligned}
\right\}
\tag{17b}
\]
Vermöge der Gleichungen (17a) erkennt man, dass
\[
\chi(u)=\frac{[\varphi_1(u)]^3+[\varphi_2(u)]^3+[\varphi_3(u)]^3}
	     {\varphi_1(u)\,\varphi_2(u)\,\varphi_3(u)}
\]
eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden $\Omega$ und
$\frac{1}{3}\Omega'$ ist. Dieselbe kann nur unendlich werden, wenn eine
der Funktionen $\varphi_i(u)$ verschwindet. Es ist aber
\[
\begin{array}{lclclll}
\varphi_1(u)=0 &\quad\text{für}\quad &u= &\frac{2\Omega}{3},
&\frac{2\Omega}{3}+\frac{\Omega'}{3},
&&\frac{2\Omega}{3}-\frac{\Omega'}{3}\\[0.5em]
\varphi_2(u)=0 & &u= &-\frac{2\Omega}{3}, -
&\frac{2\Omega}{3}+\frac{\Omega'}{3},
&-&\frac{2\Omega}{3}-\frac{\Omega'}{3}\\[0.5em]
\varphi_2(u)=0 & & u= &0,
&\frac{\Omega'}{3} , &-&\frac{\Omega'}{3}
\end{array}
\]
und für die um ganzzahlige Vielfache von $\Omega$, $\Omega'$ verschiedenen
Werte von $u$. Von diesen Werten fallen aber in
das Parallelogramm $\Omega$, $\frac{\Omega'}{3}$ nur $u=0$,
$u=\frac{\Omega}{3}$, $u=\frac{2\Omega}{3}$,
also kann $\chi(u)$ nur für diese Werte unendlich werden. Es
ist aber
\[
\varphi_1(0)=-\varphi_2(0),\quad\varphi_3(0)=0,
\]
%%-----File: 269.png-------------------------------
wie aus den Gleichungen (17b) folgt, also verschwindet für
$u = 0$ auch der Zähler von $\chi(u)$ und da der Nenner nur
einfach null wird, so wird $\chi(0)$ nicht unendlich gross sein.
Es ist auch
\[
\begin{aligned}
\varphi_2\left(\tfrac{\Omega}{3}\right) & = 0,\; \;
  \varphi_1\left(\tfrac{\Omega}{3}\right)  = -
  \varphi_3\left(\tfrac{\Omega}{3}\right) \\
\varphi_1\left(\tfrac{2\Omega}{3}\right) & = 0,\; \;
  \varphi_2\left(\tfrac{2\Omega}{3}\right) = -
  \varphi_3\left(\tfrac{2\Omega}{3}\right),
\end{aligned}
\]
d.~h.\ $\chi(u)$ wird auch für $u = \frac{\Omega}{3}$ und $u =
\frac{2\Omega}{3}$ \emph{nicht} unendlich
und muss daher eine Konstante $C$ sein.

Diese ist von Null verschieden, denn setzt man $u = \frac{\Omega}{2}$,
so wird, wenn man beachtet, dass
\[
\varphi_1\left(\tfrac{\Omega}{2}\right) =
\varphi_2\left(\tfrac{\Omega}{2}\right) \]
ist,
\[
c = \frac{\varphi_3^3\left(\frac{\Omega}{2}\right) +
2\varphi_2^3\left(\frac{\Omega}{2}\right)}
	 {\varphi_3\left(\frac{\Omega}{2}\right)\varphi_2^2\left(\frac{\Omega}{2}\right)}
  =
  \left[\frac{\varphi_3\left(\frac{\Omega}{2}\right)}{\varphi_2\left(\frac{\Omega}{2}\right)}\right]^2
    +
    2\frac{\varphi_2\left(\frac{\Omega}{2}\right)}{\varphi_3\left(\frac{\Omega}{2}\right)},
\tag{18a}
\]
also eine endliche ganz bestimmte Grösse.

Es besteht somit für alle $u$ die Identität
\[
[\varphi_1(u)]^3 + [\varphi_2(u)]^3 + [\varphi_3(u)]^3
- c\varphi_1(u)\,\varphi_2(u)\,\varphi_3(u) = 0
\]
d.~h.\ die Gleichung
\[
x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - cx_1x_2x_3 = 0,
\tag{18}
\]
wird durch die Werte von $x_1: x_2: x_3$ aus (16) identisch
erfüllt oder (18) ist die Gleichung der Kurve dritter Ordnung,
deren Koordinaten in (16) als doppeltperiodische eindeutige
Funktionen von $u$ dargestellt sind.

Die Argumente der $\Theta_1$-Funktion sind so gewählt, dass
für die reelle Kurve dritter Ordnung, für die $\Omega$ reell, $\Omega'$
entweder rein imaginär oder von der Form $\frac{1}{2}\Omega + \Omega'$ ist
wo $\Omega'$ rein imaginär ist, reellen Werten von $u$ reelle Punkte
der Kurve entsprechen. Mit Rücksicht auf die Formeln IV
(S.~\pageref{formelIV}) folgt, dass im ersten Falle auch Werten von der
Form $u+\frac{\Omega'}{2}$, wo $u$ reell ist, reelle Punkte der Kurve
zugehören.
In diesen Fällen ist auch $c$ reell.
%%-----File: 270.png-------------------------------

\addcontentsline{toc}{subsection}
{$\qquad$Diese kann keinen Doppelpunkt besitzen}
Die Kurve dritter Ordnung, deren Gleichungen die
Form (15) haben, kann \emph{einen Doppelpunkt nicht} besitzen.
Denn hätte sie einen solchen und wären
\begin{eqnarray*}
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 = 0\\
b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3 = 0
\end{eqnarray*}
irgend zwei durch denselben gehende Gerade, also
\[
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 - \lambda(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3) = 0
\tag{A}
\]
die Gleichung des Strahlenbüschels, der durch ihn geht, so
würde jede Gerade desselben die Kurve nur in einem Punkte
treffen, d.~h.\ für jeden Wert von $\lambda$ ergiebt sich aus der
Gleichung der Kurve
\[
f(x_1,x_2,x_3) =0
\]
und der Gleichung (A) nur ein bestimmtes Wertepaar von
$\frac{x_1}{x_3}$ und $\frac{x_2}{x_3}$ und also aus (15) nur ein
bestimmter Wert
von $u$, da dieser den Punkten der Kurve eindeutig zugeordnet
ist.\label{note252}\footnote{
Da $\frac{x_1}{x_3}$ und $\frac{x_2}{x_3}$ doppeltperiodische Funktionen
mit den Perioden
$4K = \Omega$ und $2K_1 = \Omega'$ sind, so lassen sich $s(u)$ und $s'(u)$
rational durch $\frac{x_1}{x_3}$ und $\frac{x_2}{x_3}$ ausdrücken und
durch die Werte von $s(u)$
und $s'(u)$ ist das Argument $u$ bis auf ganzzahlige Vielfache von
Perioden bestimmt.}
Das heisst aber, die eindeutige doppeltperiodische
Funktion
\[
\lambda =
\frac{a_1\varphi(u)+a_2\Phi(u)+a_3}{b_1\varphi(u)+b_2\Phi(u)+b_3}
\]
nimmt jeden Wert $\lambda$ nur für einen Wert von $u$ an, wäre
also eine doppeltperiodische Funktion erster Ordnung, die
aber nach Satz 14, S.~\pageref{ssatz14} nicht existiren kann, wenn sie
sich nicht auf eine Konstante reduzirt.

\subsection[6.\ Nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $3n$
Punkte von $C_3$ auf einer Kurve $n$ter Ordnung liegen]{6.} Es seien
\[
x = \frac{x_1}{x_3} = \varphi(u),\; y = \frac{x_2}{x_3} = \Phi(u)
\]
die Gleichungen (15) der Kurve dritter Ordnung
\[
f(x,y) = 0,
\]
und
\[
F(x,y) = 0
\]
sei die Gleichung einer beliebigen Kurve $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung, in
%%-----File: 271.png-------------------------------
der also wenigstens ein Glied $n^{\mathrm{ter}}$ Dimension vorkommen
muss. Die Funktion
\[
F\bigl(\varphi(u),\Phi(u)\bigr) = \chi(u)
\]
wird eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden
$\Omega$, $\Omega'$ wie $\varphi(u)$ und $\Phi(u)$ sein, ihre Ordnung
ist $3n$, denn
sie wird für $u = \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ je von der
$n^{\mathrm{ten}}$ Ordnung unendlich,
da ein Glied von der Form $x^ky^{n-k}$ in $F(x, y)$ auftreten muss.

Es wird also $\chi(u)$ auch für $3n$ Werte von $u:u_1,u_2\ldots u_{3n}$
verschwinden, wenn wir voraussetzen, dass jeder Wert $u_k$,
für den nicht blos $\chi(u)$, sondern auch
\[
\frac{d\chi}{du},\;
\frac{d^2\chi}{du^2},\ldots\frac{d^{h-1}\chi}{du^{h-1}}
\]
verschwindet, als $h$-facher Nullpunkt gezählt wird, da in ihm
$\chi(u)$ $h$-mal verschwindet.

Für jeden Wert $u_1$, für den $\chi(u_1) = 0$ ist, ergeben
sich nun
\[
x_1 = \varphi(u_1),\; y_1 = \Phi(u_1)
\]
als Koordinaten eines Punktes von $f = 0$, die auch der
Gleichung
\[
F(x,y) = F\bigl(\varphi(u), \Phi(u)\bigr) = 0
\]
genügen, d.~h.\ die auch auf der Kurve $F(x,y) = 0$ liegen.
Für jeden Wert $u_k$, für den $\chi (u_k)$ $h$-mal verschwindet, wird
$F(x,y) = 0$ die Kurve $f(x,y) = 0$ in $h$ aufeinander folgenden
Punkten schneiden, der Punkt zählt also als soviel Schnittpunkte
beider Kurven, als $u_k$ in die Reihe $u_1, u_2 \ldots u_{3n}$
eingeht.

Da $\chi(u)$ für $u = \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ nur je von der
$n^{\mathrm{ten}}$ Ordnung
unendlich wird, so muss nach Satz 15, S.~\pageref{satz15}
\[
u_1+u_2+u_3+ \dots + u_{3n} \equiv n\gamma\;(\mathrm{mod.}\; \Omega,
\Omega')
\tag{A}
\]
sein.

Es ist nun wichtig die Umkehr dieses Satzes zu beweisen,
d.~h.: \emph{Hat man $3n$ beliebige Argumente $u_1, u_2, \ldots, u_{3n}$,
welche der Gleichung (A) genügen, so liegen die ihnen entsprechenden
Punkte der Kurve dritter Ordnung stets auf
einer Kurve $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung.} Denn legt man durch die $3n-1$
Punkte, denen die Argumente $u_1, u_2 \ldots u_{3n-1}$ entsprechen,
%%-----File: 272.png-------------------------------
eine Kurve $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung, was stets möglich ist, [da
diese durch
$\frac{1}{2}n(n + 3)$ Punkte bestimmt ist und $\frac{1}{2}n(n + 3) > 3n-1$
ist, sobald $n > 2$ für $n = 2$ und $n = 1$ ist, aber
$\frac{1}{2}n(n+3) = 3n-1$], so wird dieselbe die Kurve dritter
Ordnung noch in einem einzigen Punkte schneiden, dessen
Argument $u'$ der Gleichung genügen muss
\[
u_1+u_2+\dots+u_{3n-1} + u' = n\gamma+k\Omega+k\Omega'\;(k,
k'\;\mathrm{ganze\;Zahlen})
\]
und da zwischen $u_1 \ldots u_{3n-1}, u_{3n}$ die Kongruenz (A) besteht,
so folgt aus derselben und der eben hingeschriebenen Gleichung
\[
u' = u_{3n} = \lambda\Omega + \lambda'\Omega',
\]
wo $\lambda, \lambda'$ irgend welche ganze Zahlen sind. Da aber
$\varphi(u)$
und $\Phi(u)$ die Perioden $\Omega$ und $\Omega'$ besitzen, so ist
der Punkt,
dessen Argument $u'$ ist, derselbe wie der, dem das Argument
$u_{3n}$ zukömmt.

Sollen also drei Punkte auf einer Geraden liegen, so ist
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
ihnen zukommenden Argumente der Bedingung genügen
\[
u_1+u_2+u_3 \equiv \gamma\; (\mathrm{mod.}\; \Omega, \Omega).
\]
Soll also eine Gerade die Kurve dritter Ordnung in drei zusammenfallenden
Punkten schneiden, so wird das Argument
dieses Punktes gegeben sein durch die Gleichung
\[
3u = \gamma + \nu\Omega + \nu'\Omega',
\]
wo $\nu, \nu'$ irgend welche ganze Zahlen sind.

Also folgt
\[
u = \frac{1}{3}\gamma + \frac{\nu\Omega + \nu'\Omega'}{3}.
\]
Da man $u$ um ganze Vielfache von Perioden vermehren oder
vermindern kann, ohne einen anderen Punkt der Kurve
dritter Ordnung zu erhalten, so hat man $\nu$ und $\nu'$ nur die
Werte 0, 1, 2 beizulegen und erhält im Ganzen neun Werte
von $u$, denen also \emph{neun Wendepunkte} der Kurve dritter Ordnung
entsprechen.

Ist die Gleichung der Kurve in der Formel (16) angenommen,
dann ist $\gamma = 0$, also die Argumente der Wendepunkte
sind in der Form
\[
u = \frac{\mu\Omega + \mu'\Omega'}{3}
\]
enthalten, d.~h.\ $u = 0$ ist ein Wendepunkt.
%%-----File: 273.png-------------------------------

Die neun Wendepunkte liegen dann auf den drei Seiten
des Fundamentaldreieckes und zwar auf
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{ccccc}
$x_1 = 0$ & die Wendepunkte mit den Argumenten & $\frac{2\Omega}{3},$&
$\frac{2\Omega + \Omega'}{3}$, & $\frac{2\Omega + 2\Omega'}{3}$\\[0.5em]
$x_2 = 0$ & '' & $\frac{\Omega}{3}$,& $\frac{\Omega + \Omega'}{3},$ &
$\frac{\Omega + 2\Omega'}{3}$\\[0.5em]
$x_3 = 0$ & '' & 0,& $\frac{\Omega'}{3}, $& $\frac{2\Omega'}{3}$
\end{tabular}
\end{table}

Für diese Darstellungsform wird die Bedingung (A) die
Form haben
\[
u_1 + u_2 + \dots + u_{3n} \equiv 0\; (\mathrm{mod.}\; \Omega, \Omega').
\tag{A}
\]

Man kann nun leicht einsehen, dass jede Gerade, welche
durch zwei Wendepunkte geht, noch einen dritten enthält,
dass es also $\frac{1}{3}\cdot\frac{8\cdot 9}{2} = 12$ solcher Geraden
giebt und dass zu
jeder Geraden, die drei Wendepunkte trägt, sich noch 2
andere zuordnen, die die 6 übrigen Wendepunkte tragen, so
dass wir 4 Dreiecke haben, deren Seiten je alle 9 Wendepunkte
tragen. Das Fundamentaldreieck, auf das die Kurve durch
die Gleichung (18) bezogen ist, ist ein solches \emph{Wendepunktsdreieck.}

\subsection[7.\ Die Wendepunkte der Kurve 3.~Ordnung]{7.}
Nimmt man die Darstellung (13) oder (12), von der
wir wissen, in welcher Beziehung sie zur reellen Kurve dritter
Ordnung steht, so ist
\[
\gamma = 7K-\mu\equiv-(\mu+K),
\]
also die Argumente der Wendepunkte sind
\[
u = -\frac{\mu+K}{3}+\frac{\nu 4K + \nu'2K_1}{3}
\]
oder
\[
\left.
\begin{array}{lll}
-\frac{\mu+K}{3}, &-\frac{\mu+K}{3}+\frac{4K}{3}, &
\frac{\mu+K}{3}+\frac{8K}{3}\\[0.5em]
-\frac{\mu+K}{3} + \frac{2K_1}{3},
&-\frac{\mu+K}{3}+\frac{2K_1}{3}+\frac{4K}{3},
&\frac{\mu+K}{3}+\frac{2K_1}{3}+\frac{8K}{3}\\[0.5em]
-\frac{\mu+K}{3}+\frac{4K_1}{3},
&-\frac{\mu+K}{3}+\frac{4K_1}{3}+\frac{4K}{3},
&-\frac{\mu+K}{3}+\frac{4K_1}{3}+\frac{8K}{3}
\end{array}
\right\}
\tag{S}
\]
und für drei Punkte, die auf einer Geraden liegen, muss
\[
u_1 + u_2 + u_3 \equiv 7K-\mu \equiv -(\mu+K)
\]
sein.

Ist also
%%-----File: 274.png-------------------------------
\begin{itemize}
\item[I.] Die Kurve zweitheilig und $\mu$ reell, dann sind die Wendepunkte
mit den Argumenten
\[
-\tfrac{\mu+K}{3}, \quad -\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{4K}{3},\quad
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{8K}{3}
\]
reell, alle übrigen sind imaginär und zwar zu Folge der
Bemerkung auf S.~\pageref{ref245} sind die Wendepunkte mit den
Argumenten
\[
\begin{aligned}
-\tfrac{\mu+K}{3} & +i\tfrac{2K'}{3},\;
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{4K}{3}+i\tfrac{2K'}{3},\\
& -\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{8K}{3}+i\tfrac{2K'}{3}
\end{aligned}
\]
konjugirt imaginär zu den Wendepunkten
\[
\begin{aligned}
-\tfrac{\mu+K}{3} & -i\tfrac{2K'}{3},\;
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{4K}{3}-i\tfrac{2K'}{3},\\
& -\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{8K}{3}-i\tfrac{2K'}{3}
\end{aligned}
\]
und liegen daher mit je dem darüberstehenden auf
einer reellen Geraden, die durch einen der reellen Wendepunkte
geht. Diese drei Geraden bilden das einzige
\emph{reelle} Wendepunktsdreieck.

Ist aber $\mu-iK'$ reell, dann werden die Wendepunkte,
deren Argumente in der dritten Zeile von (S) stehen, reell,
denn diese kann man schreiben:
\[
\begin{aligned}
-\tfrac{\mu+K-iK'}{3} & +iK',\; -\tfrac{\mu+K-iK'}{3}+iK'+\tfrac{4K}{3},\\
& -\tfrac{\mu+K-iK'}{3}+iK'+\tfrac{8K}{3}.
\end{aligned}
\]

Die Wendepunkte, deren Argumente in der ersten
und zweiten Zeile von (S) stehen, werden wieder konjugirt
imaginär, da man die der ersten Zeile schreiben kann
\[
\begin{aligned}
-\tfrac{\mu+K-iK'}{3} & - i\tfrac{K'}{3},\; -\tfrac{\mu+K-iK'}{3}-
i\tfrac{K'}{3}+\tfrac{4K}{3},\\
& -\tfrac{\mu+K-iK'}{3}- i\tfrac{K'}{3}+\tfrac{8K}{3}
\end{aligned}
\]
und die der zweiten Zeile die Form haben
\[
\begin{aligned}
-\tfrac{\mu+K-iK'}{3} & + i\tfrac{K'}{3},\; -\tfrac{\mu+K-iK'}{3}+
i\tfrac{K'}{3}+\tfrac{4K}{3},\\
& -\tfrac{\mu+K-iK'}{3}- i\tfrac{K'}{3}+\tfrac{8K}{3}
\end{aligned}
\]

Diese liegen wieder mit dem dritten reellen, dessen
%%-----File: 275.png-------------------------------
Argument in derselben Kolonne in $S$ steht, auf einer
reellen Geraden. Diese drei Geraden bilden das \textit{einzige}
reelle Wendepunktsdreieck.

Die drei reellen Wendepunkte liegen auf einer Geraden,
deren zugehöriges Wendepunktsdreieck imaginär
ist, indem nur noch die gegenüberliegende Ecke reell
ist, da man leicht erkennt, dass die imaginären Seiten
desselben konjugirt sind, denn zu jedem Wendepunkte
der einen imaginären Geraden liegt der konjugirte auf
der anderen.

\item[II.] Ist die Kurve eintheilig, $4K$ reell, $2K_1 = 2K + iK'$
und $K'$ auch reell, dann ist $\mu$ reell und die Wendepunkte,
deren Argumente
\[
-\tfrac{\mu+K}{3}, -\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{4K}{3},
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{8K}{3}
\]
sind, sind die einzigen reellen. Die anderen sind konjugirt
imaginär und zwar sind die mit den Argumenten:
\[
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{4K}{3}+i\tfrac{2K'}{3},
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{8K}{3}+i\tfrac{2K'}{3},
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{12K}{3}+i\tfrac{2K'}{3}
\]
konjugirt denen, deren Argumente in der letzten Zeile
stehen, die die Form annehmen (wenn man $2K_1$ subtrahirt)
\[
-\tfrac{\mu+K}{3}+\tfrac{4K}{3}-i\tfrac{2K'}{3},
-\tfrac{\mu+K}{3}-\tfrac{4K}{3}-i\tfrac{2K'}{3},
-\tfrac{\mu+K}{3}-i\tfrac{2K'}{3}.
\]

Je zwei, deren Argumente hier untereinander stehen,
liegen also mit einem der reellen Wendepunkte auf
einer reellen Geraden und diese drei Geraden bilden das
\textit{einzige} reelle Wendepunktsdreieck.

Die Gerade, welche die drei reellen Wendepunkte
trägt, gehört zu einem imaginären Wendepunktsdreieck,
von dem noch die gegenüberliegende Ecke reell ist.
\end{itemize}

Es sind also von den neun Wendepunkten einer reellen
Kurve dritter Ordnung stets \textit{drei} und \textit{nur drei reell}
und von
den vier Wendepunktsdreiecken ist \textit{eines} stets ganz
\textit{reell}, dessen
Seiten jede durch einen der reellen Wendepunkte gehen.
%%-----File: 276.png-------------------------------

\subsection[8.\ Eindeutige Transformationen der Kurve 3.~Ordnung
in sich]{8.}
Setzt man zwischen den Argumenten $u$ und $v$ die
Beziehung fest
\[
u = \pm v+c
\]
wo $c$ eine beliebige Grösse ist, so wird jedem Punkte der
Kurve dritter Ordnung ein anderer in ganz bestimmter und
eindeutiger Weise zugeordnet. Die Beziehung ist auch eindeutig
umkehrbar. Soll umgekehrt zwischen den Punkten
einer Kurve dritter Ordnung eine ein-eindeutige Beziehung
bestehen, so muss zwischen den Parametern derselben die Relation
$u = \pm v+c$ statthaben. Denn wäre $u = \alpha v+c$, so
würden dem Punkte, dessen Argument $v + \mu\Omega + \mu'\Omega'$ ist,
alle Punkte, deren Argumente $u = \alpha v
+\alpha(\mu\Omega+\mu'\Omega')+c$
entsprechen; sollen alle nur ein bestimmter Punkt sein, so
muss $\alpha$ eine ganze Zahl sein. Dann folgt aber, dass dem
Punkte, dessen Argument $u$ ist, alle Punkte, deren Argumente
$\frac{1}{\alpha} (u+\nu\Omega + \nu'\Omega' - c) = v$ sind, entsprechen,
d.~h.\ die Punkte
mit den Argumente
$n\frac{1}{\alpha}(u-c)+\frac{\nu\Omega+\nu'\Omega'}{\alpha}$ und
diese sind
$\alpha^2$ verschiedene Punkte, wenn $\nu, \nu'$ alle ganzen Zahlen
durchlaufen.
Sollen also auch diese nur einen Punkt geben, so
muss $\alpha^2 = 1$, d.~h.\ $\alpha = \pm1$ sein.

Diese \emph{eindeutige Transformation der Curve dritter Ordnung
in sich} ist keine lineare bei beliebigem $c$. Denn sind
$v_1, v_2, v_3$ die Argumente dreier beliebiger Punkte der Kurve
dritter Ordnung, welche auf einer Geraden liegen, für die also
\[
v_1+v_2+v_2\equiv\gamma
\]
ist, so wird für die entsprechenden Punkte $u_1,u_2,u_3$ die
Kongruenz bestehen
\[
u_1+u_2+u_3\equiv\pm\gamma+3c,
\]
d.~h.\ die Punkte liegen bei beliebigem $c$ nicht auf einer
Geraden. Setzt man aber für die Transformation
\[
S\cdots u = v+c, \quad c = \frac{\mu\Omega+\mu'\Omega'}{3},
\]
für
\[
T\cdots u = -v+c, \quad c =
\frac{2\gamma}{3}+\frac{\mu\Omega+\mu'\Omega'}{3},
\]
dann wird für beide
\[
u_1+u_2+u_3\equiv\gamma
\]
%%-----File: 277.png-------------------------------
folgen aus
\[
v_1+v_2+v_3\equiv\gamma
\]
d.~h.\ drei Punkten, die in einer Geraden liegen, werden drei
Punkte entsprechen, die wieder in einer Geraden liegen, die
Transformation ist also dann in der Ebene der Kurve eine
\emph{lineare} (eine Kollineation), welche die Kurve ungeändert
lässt. Da $\mu, \mu'$ in beiden Formeln nur Werte 0, 1, 2
anzunehmen brauchen, um alle Werte $c$, die zulässig sind, zu
erschöpfen, so haben wir 18 Kollineationen der Ebene, welche
die Kurve dritter Ordnung in sich überführen (die Identität
$S\cdots c = 0$ mit gezählt). Andere giebt es nicht, wie man
leicht ersieht.

Da die Argumente der Wendepunkte $w_{\nu,\nu_1}$ durch die
Kongruenz
\[
w_{\nu,\nu_1}\equiv\frac{1}{3}\gamma+\frac{\nu\Omega +
\nu'\Omega'}{3} \quad (\nu,\nu' = 0,1,2)
\]
gegeben sind, so wird die Transformation
\[
u = v+\frac{\mu\Omega +\mu'\Omega'}{3}
\]
den Wendepunkt $v=w_{\nu,\nu'}$ in den Wendepunkt
\[
w_{\lambda,\lambda'}\equiv\frac{1}{3}\gamma + \frac{\lambda\Omega
+ \lambda'\Omega'}{3} \quad (\lambda = \mu+\nu, \;\lambda' = \mu'+\nu')
\]
transformiren und die Transformation
\[
u = -v+\frac{2\gamma}{3}+\frac{\mu\Omega+\mu'\Omega'}{3}
\]
den Wendepunkt $v = w_{\nu,\nu'}$ in den Wendepunkt
\[
w_{\varrho,\varrho'}\equiv\frac{1}{3}\gamma + \frac{\varrho\Omega
+ \varrho'\Omega'}{3} \quad (\varrho = \mu-\nu, \;\varrho' = \mu'-\nu')
\]
überführen, d.~h.\ diese Transformationen verwandeln das System
der neun Wendepunkte in sich selbst, wie es ja von vorn
herein klar ist, dass durch Kollineation ein Wendepunkt nur
in einen Wendepunkt übergeführt werden kann.

Da aus
\[
T\cdots u = -v+c
\]
die Relation
\[
u+v+(\gamma-c)\equiv\gamma
\]
folgt, so liegen die entsprechenden Punkte der Kurve dritter
Ordnung mit dem Punkte, dessen Argument $y-c$ ist, auf
%%-----File: 278.png-------------------------------
einer Geraden, und die Transformation $T$ ist die, welche
durch ein Strahlenbüschel, dessen Scheitel auf der Kurve
liegt, bewirkt wird.

Wendet man zwei Transformationen $T$ hintereinander an:
\[
\begin{aligned}
T_1\cdots u = & -v+c_1\\
T_2\cdots v = & -w+c_2\\
\end{aligned}
\]
so wird das Resultat einer Transformation $S$:
\[
u = w+(c_1-c_2)
\]

Führt man also eine \emph{gerade} Anzahl von Transformationen
$T$ hintereinander auf einen Punkt aus, so gelangt man stets
zu einer Transformation $S$.

Eine Transformation $S$ mit einer $T$ kombinirt giebt eine
Transformation $T$; denn ist für
\[
T_1\cdots u = -v+c_1
\]
und für
\[
S_1\cdots v = w+c_2,
\]
so wird das Resultat der beiden Transformationen
\[
u = -w+(c_1-c_2)
\]
eine Transformation $T$ sein. Daher giebt eine \emph{ungerade}
Anzahl von Transformationen $T$ hintereinander ausgeführt wieder
eine Transformation $T$. Die Transformation $S$ wiederholt
angewendet giebt nur Transformationen von derselben Art $S$.

Für jede Transformation $T$ giebt es vier Punkte der
Kurve dritter Ordnung, welche mit ihren entsprechenden
zusammenfallen, denn soll $u \equiv v$ sein, so wird
\[
2u+(\gamma-c)\equiv\gamma
\]
sein müssen und also
\[
u\equiv\frac{c}{2} + \frac{\nu\Omega +\nu'\Omega'}{2},
\]
d.~h.\ $u$ hat die vier Werte
\[
\tfrac{1}{2}c,\; \tfrac{1}{2}c+\tfrac{\Omega}{2},\;
\tfrac{1}{2}c+\tfrac{\Omega'}{2},\;
\tfrac{1}{2}c+\tfrac{\Omega+\Omega}{2};
\]
zufolge der Kongruenz
\[
2u + (\gamma-c)\equiv\gamma
\]
ersieht man aber, dass diese vier Punkte Tangenten besitzen,
welche durch den Punkt, dessen Argument $(\gamma-c)$ ist, hindurch
%%-----File: 279.png-------------------------------
gehen und da von einem beliebigen Punkte der Kurve
an dieselbe nur vier Tangenten
gehen\footnote{Denn soll die Tangente eines Punktes $u$ durch den
Punkt $v$
gehen, so muss $2u + v \equiv \gamma$ sein, d.~h.\ $u$ kann nur die
vier Werte
\[
-\tfrac{1}{2}(v-\gamma), \;
-\tfrac{1}{2}(v-\gamma)+\tfrac{\Omega}{2},\;
-\tfrac{1}{2}(v-\gamma)+\tfrac{\Omega'}{2},\;
-\tfrac{1}{2}(v-\gamma)+\tfrac{\Omega+\Omega'}{2}
\]
haben. Vergl.\ des weitern: Harnack, Mathematische Annalen, Bd.\ IX,
S.~1. Ist der Punkt $v$ ein Wendepunkt, also
\[
v = \tfrac{1}{3}\gamma + \tfrac{\nu\Omega+\nu'\Omega'}{3},
\]
so überzeugt man sich leicht, dass einer der vier Punkte mit ihm
zusammenfällt, und dass die drei übrigen dann auf einer Geraden
liegen.}, so sind die vier zusammenfallenden
Punkte der Transformation $T$ diejenigen,
in welchen die Geraden des Büschels, welcher die Transformation
$T$ hervorbringt, die Kurve berühren.

In $S$ können zwei entsprechende Elemente \emph{nicht} zusammenfallen,
da aus $u \equiv v$ auch $c \equiv 0$ folgen würde, also $S$ die
Identität wäre. Die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte
hüllen im Allgemeinen eine Kurve 6. Klasse ein, die 3. Klasse
wird, wenn $c$ eine halbe Periode ist. [Vergl.\ Harnack, Math.\
Ann.\ Bd.~IX, S.~96.]

Man erkennt nun leicht, dass die neun Kollineationen
\[
u = -v+\frac{2}{3}\gamma+\frac{\mu\Omega + \mu'\Omega'}{3}
\]
\emph{involutorische Centralkollineationen} mit einem Wendepunkte als
Kollineationscentrum sind, deren Kollineationsaxe die harmonische
Polare des Wendepunktes ist, d.~h.\ die Gerade, welche
die Berührungspunkte der drei vom Wendepunkte noch an die
Kurve gehenden Tangenten enthält. Diese Gerade muss daher
jeden Strahl durch den zugehörigen Wendepunkt so schneiden,
dass der Schnittpunkt den Wendepunkt harmonisch trennt
von den zwei andern Schnittpunkten des Strahles mit der Kurve.

Kombinirt man irgend zwei dieser centralen Kollineationen, so
erhält man eine Kollineation $S$, für die
\[
u = v+\frac{\mu\Omega + \mu'\Omega'}{3}
\]
%%-----File: 280.png-------------------------------
ist, also im Ganzen die acht Kollineationen der zweiten Art,
wenn man die Identität weglässt.

\subsection[9.\ Die Gleichung der reellen Kurve 3.~Ordnung kann in
einer bestimmten Art auf die Form $x_1^3+x_2^3+x_3^3+cx_1x_2x_3=0$
gebracht werden, so dass $c$ und das Koordinatendreieck reell ist]{9.}
Die Gleichung~(1) S.~\pageref{form1} der Kurve dritter Ordnung
ohne Doppelpunkt enthält neun willkürliche Konstanten.
In den Gleichungen (15) S.~\pageref{forms15} muss die gleiche Anzahl
auftreten, hier erscheinen sie aber in ausserwesentliche (dem
Koordinatensystem anhaftende) und wesentliche getrennt.

In erster Reihe treten die zwei Konstanten $A_1: A_2: A_3$
und sieben willkürliche Grössen $\alpha_i,\: \beta_i,\: \gamma_i$, auf,
da zwischen den
letzteren die zwei Gleichungen (15a) stattfinden. Führt man
aber in (15) $u + c$ statt $u$ ein, so kann man einer von den
eben erwähnten neun Konstanten einen beliebigen Wert beilegen,
ohne die Form der rationalen Gleichung der Kurve
zu alteriren. Wir haben also acht willkürliche Konstanten,
welche auf die Gestalt der rationalen Gleichung der Kurve
Einfluss haben, und mit Hilfe deren wir acht Konstanten
der letzteren willkürliche Werte (innerhalb gewisser Grenzen)
beilegen können. Diese acht Grössen haften dem jeweilig
gewählten Koordinatensystem an, und ändern sich mit
der Wahl dieses. Die $\alpha_i,\: \beta_i,\: \gamma_i$, sind geradezu
die Werte des
Parameters $u + c$ für die Schnittpunkte der Kurve mit dem
Fundamentaldreiecke und die $A_i$ bestimmen den Einheitspunkt
des Koordinatensystems. Geht man nun von einem
Fundamentaldreiecke zu einem anderen über, so hat man
durch die lineare Transformation der Koordinaten acht Konstanten
zur Verfügung, die also im Allgemeinen hinreichen,
um den obigen acht Konstanten $A_i,\: \alpha_i,\: \beta_i,\: \gamma_i$
vorgegebene
Werte zu ertheilen.

Als neunte wesentliche Konstante für die Kurve tritt
die Grösse $\frac{\Omega'}{\Omega}$ auf, von welcher die
$\Theta_1$-Funktion allein abhängt,
und die durch die linearen Transformationen der
$x_1,\: x_2,\: x_3$ ungeändert bleibt.

Man kann daher den $A_i,\: \alpha_i,\: \beta_i,\: \gamma_i$ die Werte
geben, die sie
in den Gleichungen (16) haben, und weiss dann, dass die
Gleichungen (15) in diese durch lineare Transformation der
Koordinaten übergehen. Das Fundamentaldreieck für die
Gleichungen (16) ist ein Wendepunktsdreieck und da es deren
%%-----File: 281.png-------------------------------
vier giebt, so kann man die Gleichungen einer Kurve 3. Ordnung
ohne Doppelpunkt auf vier verschiedene Arten auf die
Form (16) bringen. Wie man sich leicht überzeugt, wird die
Form der rationalen Gleichung stets (18) sein. Da es aber
nur \emph{ein} vollständig reelles Wendepunktsdreieck giebt (das in
(16) zu Grunde gelegt wurde), so kann man nur auf \emph{eine}
ganz bestimmte Art die Gleichung einer reellen Kurve 3. Ordnung
ohne Doppelpunkt durch eine reelle Koordinatentransformation
auf die Form (18) bringen, in welcher dann $c$
sowohl als das Koordinatendreieck $x_1 = 0,\; x_2 = 0, x_3 = 0$
reell ist.

Die einzige auftretende Konstante $c$ kann durch lineare
Transformation nicht beliebige Werte für eine gegebene
Kurve annehmen, sie ist die einzige \emph{wesentliche} Konstante der
Kurve, ihr Zusammenhang mit $\frac{\Omega'}{\Omega}$, der früher als
solche
erkannten, ist durch (18a) gegeben.

Die Gleichung (18) hat die Eigenschaft, dass sie bei
allen Kollineationen, welche die Kurve 3. Ordnung in sich
verwandeln, ungeändert bleibt.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 282.png-------------------------------
\thispagestyle{empty}
\section[II.\ Kurven $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit $\frac{1}{2}n(n-3)$
Doppelpunkten]{II.\ Kurven $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit
$\frac{1}{2}n(n-3)$
Doppelpunkten.}
\subsection[10.\ Die Kurven $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit $\frac12n(n-3)$
Doppelpunkten sind in eine Kurve 3.~Ordnung ohne Doppelpunkt in rational
umkehrbarer Weise transformirbar]{10.}
Hat eine Kurve $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung
\[
F(x_1,x_2,x_3) = 0 \tag{1}
\]
$\frac{1}{2}n(n-3) = d$ Doppelpunkte, so kann man durch diese und
$n-3$ feste Punkte derselben Kurven $(n-2)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung legen,
von denen noch
\[
\tfrac{1}{2}(n-1)(n+2) - \tfrac{1}{2}n(n-3)-(n-3) = 2
\]
Punkte beliebig sind, und von denen jede auch durch Annahme
von zwei Punkten im Allgemeinen bestimmt ist. Sind daher
\[
\begin{aligned}
\varphi_1(x_1,x_2,x_3) & = 0\\
\varphi_2(x_1,x_2,x_3) & = 0\\
\varphi_3(x_1,x_2,x_3) & = 0
\end{aligned}
\]
die Gleichungen von drei beliebigen Kurven $(n-2)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung,
welche durch die $d$ Doppelpunkte und die $(n-3)$
festen Punkte gehen, und die keinem Büschel von Kurven
$(n-2)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung angehören, d.~h.\ zwischen denen bei
konstanten $\lambda_1\:, \lambda_2,\: \lambda_3$ die Identität
\[
\lambda_1\varphi_1(x_1,x_2,x_3) + \lambda_2\varphi_2(x_1,x_2,x_3)
  + \lambda_3\varphi_3(x_1,x_2,x_3) \equiv 0
\]
nicht bestehen kann, so ist es möglich, die Gleichung einer
jeden Kurve $(n-2)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung, welche durch die $d$
Doppelpunkte und die $(n-3)$ festen Punkte geht,
\[
\varphi(x_1,x_2,x_3) = 0
\]
in der Form
\[
\varphi(x_1,x_2,x_3) \equiv \lambda_1\varphi_1(x_1,x_2,x_3) +
  \lambda_2\varphi_2(x_1,x_2,x_3) + \lambda_3\varphi_3(x_1,x_2,x_3)
  = 0 \tag{2}
\]
darzustellen, und umgekehrt wird jede Kurve der
$(n-2)^{\mathrm{ten}}$
%%-----File: 283.png-------------------------------
Ordnung, deren Gleichung von der Form (2) ist, durch die
$d$ Doppelpunkte und $(n-3)$ festen Punkte gehen.

Setzt man nun
\[
\begin{aligned}
\mu\xi_1 &= \varphi_1(x_1, x_2, x_3) \\
\mu\xi_2 &= \varphi_2(x_1, x_2, x_3) \\
\mu\xi_3 &= \varphi_3(x_1, x_2, x_3)
\end{aligned}
\tag{3}
\]
und lässt zwischen den Koordinaten $x$ die Gleichung
\[
F(x_1, x_2, x_3) = 0 \tag{1}
\]
bestehen, so wird jedem Punkte, dessen Koordinaten $x_1, x_2, x_3$
die Gleichung (1) befriedigen, ein bestimmter Punkt, dessen
Koordinaten $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ sind, entsprechen. Durchläuft also der
Punkt $x$ die Kurve $F = 0$, so wird der Punkt $\xi$ eine gewisse
Kurve
\[
f(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = 0 \tag{4}
\]
durchlaufen. Eliminirt man $x_1, x_2, x_3, \mu$ aus den Gleichungen
(3) und (1), so erhält man eine Gleichung
\[
G(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = 0,
\]
die den rationalen Faktor $f(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ enthält, der gleich
Null
gesetzt, eben die Gleichung der Kurve giebt. Diese Kurve
ist von dritter Ordnung.

Denn ist
\[
\lambda_1\xi_1 + \lambda_2\xi_2 + \lambda_3\xi_3 = 0
\]
die Gleichung einer beliebigen Geraden der Ebene, in welcher
die Kurve $f = 0$ liegt, so entspricht dieser in der Ebene der
Kurve $F = 0$ eine Kurve $(n-2)^{\text{ter}}$ Ordnung vermöge (3),
deren Gleichung
\[
\lambda_1\varphi_1(x_1,x_2,x_3) + \lambda_2\varphi_2(x_1,x_2,x_3)
  + \lambda_3\varphi_3(x_1,x_2,x_3) = 0
\]
ist, und diese schneidet ausser in den Doppelpunkten und
den festen Punkten die Kurve $F = 0$ nur in
\[
n(n-2) - 2d - (n-3) = 3
\]
Punkten, die mit $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ variiren, die sich
also von Kurve
zu Kurve ändern. Diesen drei Punkten von $F = 0$ entsprechen
aber drei Punkte von $f = 0$, die auf der beliebig
angenommenen Geraden liegen.

Die Gleichungen (3) transformiren also in \textit{rationaler eindeutiger}
Weise die Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung $F = 0$ in die Kurve
%%-----File: 284.png-------------------------------
3. Ordnung $f = 0$, so dass jedem Punkte von $F = 0$ ein bestimmter
Punkt von $f = 0$
entspricht.\footnote{Es könnte ein Zweifel für die festen Punkte und
die Doppelpunkte
entstehen, da für diese alle $\varphi$ verschwinden, aber auch diesen
entsprechen bestimmte Werte des Verhältnisses $\xi_1:\xi_2:\xi_3$. Denn
setzt man
\[
\xi = \frac{\xi_1}{\xi_3},\; \eta = \frac{\xi_2}{\xi_3},\;
  x = \frac{x_1}{x_3}, \; y = \frac{y_2}{y_3}
\]
so werden die Formeln (2) auch in der Form
\[
\xi  = \frac{\varphi_1(x,y,1)}{\varphi_2(x,y,1)},\;
\eta = \frac{\varphi_2(x,y,1)}{\varphi_3(x,y,1)}
\]
geschrieben werden können. Es sei nun für einen der festen Punkte
$x = x_1,\: y = y_1$ für die also
\[
\varphi_1(x_1,y_1,1) = 0,\; \varphi_2(x_1,y_1,1) = 0,\;
\varphi_3(x_1,y_1,1) = 0
\]
ist, dann ist aber
\[
\begin{aligned}
\xi & = \left[\frac{\varphi_1(x,y,1)}{\varphi_3(x,y,1)}\right]_{\binom{x =
x_1}{y = y_1}}
    & = \left[\frac{\frac{\partial\varphi_1}{\partial x}
	+ \frac{\partial\varphi_1}{\partial y}\frac{dy}{dx}}
	{\frac{\partial\varphi_3}{\partial x}
	+ \frac{\partial\varphi_3}{\partial
	y}\frac{dy}{dx}}\right]_{\binom{x = x_1}{y = y_1}} \\
\eta & = \left[\frac{\varphi_2(x,y,1)}{\varphi_3(x,y,1)}\right]_{\binom{x
= x_1}{y = y_1}}
     & = \left[\frac{\frac{\partial\varphi_2}{\partial x}
	 + \frac{\partial\varphi_2}{\partial y}\frac{dy}{dx}}
	 {\frac{\partial\varphi_3}{\partial x}
	 + \frac{\partial\varphi_3}{\partial
	 y}\frac{dy}{dx}}\right]_{\binom{x = x_1}{y = y_1}}
\end{aligned}
\]
wo
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F(x,y,1)}{\partial x}}
		      {\frac{\partial F(x,y,1)}{\partial y}}
\]
ist, vollständig bestimmt, wenn $(x_1,y_1)$ kein Doppelpunkt ist. Ist aber
letzteres der Fall, dann wird $\frac{dx}{dy}$ die Form $\frac{0}{0}$
annehmen und man hat
dann für $\frac{dy}{dx}$ die beiden Werte zu setzen, die sich ergeben,
wenn man
sich dem Doppelpunkte auf dem einen oder andern Zuge, d.~h.\ in der
Richtung der Doppelpunktstangenten nähert, wodurch für die beiden
Richtungen sich zwei verschiedene Werte von $\xi,\: \eta,$ also zwei
verschiedene
Punkte der Kurve $f = 0$ ergeben.} Lässt man den
Punkt $x$ die Kurve $F = 0$ durchlaufen, so wird $\xi$ die Kurve
$f = 0$ durchlaufen, und wenn man auf dem einen oder anderen
Zuge, der $F = 0$, in einen Doppelpunkt gelangt, wird man
zu verschiedenen Punkten der Kurve $f = 0$ kommen.

Da nun durch einen Punkt $\xi$ der $f = 0$ ein Büschel
%%-----File: 285.png-------------------------------
von Geraden bestimmt ist, dem in der Ebene von $F = 0$ ein
Büschel von Kurven $(n-2)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung entspricht, die sich
nur in einem auf $F = 0$ gelegenen Punkte schneiden, während
die anderen Schnittpunkte ausserhalb $F=0$ fallen, so werden
auch die Punkte von $F=0$ den Punkten von $f=0$ eindeutig
entsprechen oder die Gleichungen (3) sind mit Rücksicht auf
die Gleichung (1) rational nach den $x$ auflösbar, d.~h.\ es
folgt aus denselben\footnote
  {Der Beweis lässt sich etwa so führen: Sei $F(x,y,1) = 0$ die
  Gleichung der Kurve, in der wir $x$ und $y$ bis zur $n^{\mathrm{ten}}$
  Potenz
  aufsteigend annehmen und es sei
  \[
  \xi  = \frac{\varphi_1(x,y,1)}{\varphi_3(x,y,1)}, \;
  \eta = \frac{\varphi_2(x,y,1)}{\varphi_3(x,y,1)}.
  \]

  Wir nehmen nun einen Wert $x_1$ derartig beschaffen, dass die Gerade
  $x = x_1$ die Kurve $F = 0$ in $n$ von einander \emph{verschiedenen}
  Punkten
  schneidet, für die $y$ die Werte $y_1,\: y_2,\: \ldots,\: y_n$ besitzt,
  die alle von
  einander \emph{verschieden} sind und Wurzeln der Gleichung $F(x_1, y,
  1) = 0$
  sind. Bilden wir nun
  \begin{multline*}
    \bigl[\varphi_1(x_1,y_1,1)-\xi\varphi_3(x_1,y_1,1)\bigr]\times\\
    \times\bigl[\varphi_1(x_1,y_2,1)-\xi\varphi_3(x_1,y_2,1)\bigr]\cdots\times\\
    \times\bigl[\varphi_1(x_1,y_n,1)-\xi\varphi_3(x_1,y_n,1)\bigr] =
    G_1(x_1,\xi)
  \end{multline*}
  \begin{multline*}
    \bigl[\varphi_2(x_1,y_1,1)-\eta\varphi_3(x_1,y_1,1)\bigr]\times\\
    \times\bigl[\varphi_2(x_1,y_2,1)-\eta\varphi_3(x_1,y_2,1)\bigr]\cdots\times\\
    \times\left[\varphi_2(x_1,y_n,1)-\eta\varphi_3(x_1,y_n,1)\right] =
    G_2(x_1,\eta),
  \end{multline*}
  so sind $G_1$ und $G_2$ rationale Funktionen von $x_1$, und $\xi$ resp.\
  $\eta$, da sie
  beide symmetrische Funktionen von $y_1,\: y_2,\: \ldots,\: y_n$ sind,
  welche durch
  die Koeffizienten von $y$ in der Gleichung $F(x_1,y,1) = 0$ ersetzt werden
  können.

  Giebt man nun dem $\xi$ und $\eta$ solche Werte, dass z.~B.\
  \[
  \begin{aligned}
    \varphi_1(x_1,y_k,1) - \xi\varphi_3(x_1,y_k,1) & = 0\\
    \varphi_2(x_1,y_k,1) - \eta\varphi_3(x_1,y_k,1) & = 0
  \end{aligned}
  \]
  ist, d.~h.\ dass je eine Kurve der Büschel
  \[
  \begin{aligned}
    \varphi_1(x,y,1) - \xi\varphi_3(x,y,1) & = 0\\
    \varphi_2(x,y,1) - \eta\varphi_3(x,y,1) & = 0
  \end{aligned}
  \]
  durch den Punkt mit den Koordinaten $(x_1, y_k)$ geht, so wird jede
  dieser Kurven $F=0$ noch in zwei anderen Punkten schneiden, die aber
  nicht auf der Geraden $x = x_1$ liegen werden, d.~h.\ die Gleichungen
  \[
  \begin{aligned}
    G_1(x_1,\xi) & = 0\\
    G_2(x_1,\eta) & = 0
  \end{aligned}
  \]
%%-----File: 286.png-------------------------------
  haben für die betrachteten Werte $\xi$ und $\eta$ nur die eine Wurzel
  $x_1$ gemeinschaftlich,
  die auch der Gleichung $F(x_1,y, 1) = 0$ genügt. Daher
  kann man
  \[
  x_1 = R(\xi,\eta)
  \]
  setzen, wo $R$ eine rationale Funktion von $\xi,\eta$ und den
  Koeffizienten von
  $G_1,\: G_2$ also auch den Koeffizienten von $\varphi_1,\: \varphi_2,\:
  \varphi_3$ und $F$ ist. Ebenso
  folgt aber
  \[
  y_1 = R_1(\xi,\eta)
  \]
  und da diese Gleichungen für alle Werte $(x_1, y_1)$ gelten, für die
  $F(x,y,1) = 0$ befriedigt wird, bis auf die speziellen, für welche
  mehrere Wurzeln $y$ (oder $x$) von $F(x, y, 1) = 0$ einander gleich
  werden,
  dieses aber nur eine endliche Anzahl von Werten ausschliesst, so gilt
  allgemein
  \[
  x = R(\xi,\eta),\; y = R_1(\xi,\eta)
  \]
  und wenn man die beiden rationalen Funktionen auf gleiche Nenner
  bringt, so kann man
  \[
  x = \frac{\psi_1(\xi,\eta,1)}{\psi_3(\xi,\eta,1)},\;
  y = \frac{\psi_2(\xi,\eta,1)}{\psi_3(\xi,\eta,1)}
  \]
  setzen, was die Gleichung (2) giebt.}
\[
\begin{aligned}
\nu x_1 = & \psi_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\\
\nu x_2 = & \psi_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\\
\nu x_3 = & \psi_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)
\end{aligned}
\tag{5}
\]

Die Kurve $f(\xi_1,\xi_2,\xi_3) = 0$ kann keinen Doppelpunkt
besitzen, ohne dass $F(x_1,x_2,x_3) = 0$ auch noch einen Doppelpunkt
hätte. Denn würde $f = 0$ einen Doppelpunkt haben,
dann könnte man die Koordinaten der Funkte derselben
rational durch einen Parameter ausdrücken, d.~h.\ man könnte
\[
\begin{aligned}
\mu\xi_1 & = & r_1(t)\\
\mu\xi_2 & = & r_2(t)\\
\mu\xi_3 & = & r_3(t)
\end{aligned}
\]
setzen, dann würde aus (5)
\[
\begin{aligned}
\nu x_1 & = & R_1(t)\\
\nu x_2 & = & R_2(t)\\
\nu x_3 & = & R_3(t)
\end{aligned}
\]
folgen, d.~h.\ die Koordinaten der Kurve $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung würden
auch als rationale Funktionen eines Parameters ausdrückbar
sein und $F = 0$ müsste $\frac{1}{2}n(n-3)+1$ Doppelpunkte besitzen.
[Vgl.\ Anmerkung S.~\pageref{note255}.]

\subsection[11.\ Die Koordinaten der Punkte einer Kurve $n^{\text{ter}}$
Ordnung mit $\frac12n(n-3)$ Doppelpunkten sind als eindeutige
doppeltperiodische Funktionen $n^{\text{ter}}$ Ordnung eines Parameters
$u$ darstellbar.]{11.}
Hat nun $f=0$ keinen Doppelpunkt, dann kann
man die Koordinaten der Punkte als eindeutige doppeltperiodische
Funktion dritter Ordnung darstellen und man kann
%%-----File: 287.png-------------------------------
\[
\begin{array}{rll}
\sigma\xi_1 &= \Theta_1(u-\alpha_1) \Theta_1(u-\alpha_2)
\Theta_1(u-\alpha_3) e^{2\nu\frac{u}{\Omega}\pi i} &= \phi_1(u) \\
\sigma\xi_2 &= \Theta_1(u-\beta_1) \Theta_1(u-\beta_2) \Theta_1(u-\beta_3)
e^{2\mu\frac{u}{\Omega}\pi i} &= \phi_2(u) \\
\sigma\xi_3 &= \Theta_1(u-\gamma_1) \Theta_1(u-\gamma_2)
\Theta_1(u-\gamma_3) &= \phi_3(u)
\end{array}
\]
setzen, wobei
\begin{eqnarray*}
\Sigma\gamma_1 &=& 0 \\
\Sigma\alpha_1 &=& \nu'\Omega - \nu\Omega' \\
\Sigma\beta_1 &=& \mu'\Omega - \mu\Omega'
\end{eqnarray*}
(vgl.\ Anmerkung S.~\pageref{forms15}) angenommen werden kann, so dass
\[
\frac{\varphi_1(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},\quad
\frac{\varphi_2(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},\quad
\frac{\varphi_3(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3}
\]
doppeltperiodische Funktionen dritter Ordnung sind, die nur
für $u = 0$ unendlich von der dritten Ordnung werden. Dann
liefern die Gleichungen (5)
\[
\begin{array}{rll}
\nu x_1 =& \psi_1\left(\frac{\varphi_1(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},
		       \frac{\varphi_2(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},
		       \frac{\varphi_3(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3}
		\right) &= \Psi_1(u) \\
\nu x_2 =& \psi_1\left(\frac{\varphi_1(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},
		       \frac{\varphi_2(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},
		       \frac{\varphi_3(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3}
		\right) &= \Psi_2(u) \\
\nu x_3 =& \psi_1\left(\frac{\varphi_1(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},
		       \frac{\varphi_2(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3},
		       \frac{\varphi_3(u)}{\left[\Theta_1(u)\right]^3}
		\right) &= \Psi_3(u) ,
\end{array}
\]
wo $\Psi_i(u)$ eindeutige doppeltperiodische Funktionen sind, die
nur für $u = 0$ unendlich werden. Ihre Ordnung kann, wenn
man gemeinschaftlich in allen drei auftretende Faktoren in
$\nu$ eingehen lässt, $n$ nicht übersteigen.

Denn es ist für alle Werte von $u$
\[
F\bigl(\Psi_1(u), \Psi_2(u), \Psi_3(u)\bigr) \equiv 0,
\]
also sind für jedes $u$ die Werte $\nu x_i = \Psi_i(u)$ Koordinaten
eines bestimmten Punktes von $F = 0$, und umgekehrt entspricht
jedem Punkte von $F = 0$ ein ganz bestimmter Wert
von $u$, denn zufolge (3) entspricht diesem Punkte ein bestimmter
Punkt von $f = 0$ und diesem, wie wir wissen, ein
bestimmter Wert von $u$. (Vgl.\ S.~\pageref{note252}. Note 1.)

Würde nun $\Psi_1(u)$ eine doppeltperiodische Funktion
$n'^{\text{ter}}$ Ordnung sein, so müsste sie auch für $n'$ Werte $u_1,
u_2 \ldots u_{n'}$
verschwinden, d.~h.\ die Gerade $x_1 = 0$ würde die Kurve
%%-----File: 288.png-------------------------------
$F = 0$ in $n'$ Punkten schneiden und da $F$ von $n^{\mathrm{ter}}$
Ordnung
ist, so muss $n' \leqq n$ sein.

Nun können aber nicht alle drei Funktionen $\Psi_i(u)$ von
niedrigerer als der $n^{\mathrm{ten}}$ Ordnung sein, denn dann würde jede
Gerade, deren Gleichung
\[
a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = 0
\]
ist, die Kurve in weniger als $n$ Punkten treffen, also könnte
die Kurve nicht von $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung sein.

Man kann daher
\[
\begin{aligned}
\varrho x_1 & =
A_1\Theta_1(u-a_1)\Theta_1(u-a_2)\ldots\Theta_1(u-a_n)e^{2\nu\frac{u}{\Omega}\pi
i} & = \Phi_1(u)\\
\varrho x_2 & =
A_2\Theta_1(u-b_1)\Theta_1(u-b_2)\ldots\Theta_1(u-b_n)e^{2\mu\frac{u}{\Omega}\pi
i} & = \Phi_2(u)\\
\varrho x_3 & =
A_3\Theta_1(u-c_1)\Theta_1(u-c_2)\ldots\Theta_1(u-c_n)e^{2\lambda\frac{u}{\Omega}\pi
i} & = \Phi_3(u)
\end{aligned}
\tag{6}
\]
setzen, wenn man den bei allen drei Funktionen $\Psi(u)$ auftretenden
Nenner $[\Theta_1(u)]^n$ in $\varrho$ aufgehen lässt. Hiebei ist
\[
\begin{aligned}
\sum_{i = 1}^n a_i = & \nu'\Omega - \nu\Omega',\\
\sum_{i = 1}^n b_i = & \mu'\Omega - \mu\Omega',\\
\sum_{i = 1}^n c_i = & \lambda'\Omega - \lambda\Omega'.
\end{aligned}
\tag{6a}
\]
Es sind dann
\[
\frac{\Phi_1(u)}{[\Theta_1(u)]^n},\;
\frac{\Phi_2(u)}{[\Theta_1(u)]^n},\;
\frac{\Phi_3(u)}{[\Theta_1(u)]^n}
\tag{6b}
\]
die doppeltperiodischen Funktionen $n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung, von denen
wir eben sprachen.

Einem Doppelpunkte von $F = 0$ entsprechen, wie wir
sahen, zwei Punkte von $f = 0$, also auch zwei verschiedene
Werte von $u$; wir wollen diese Werte mit
\[
\alpha_1\beta_1,\; \alpha_2\beta_2\; \ldots \alpha_d\beta_d
\]
bezeichnen. Da nun für einen Doppelpunkt die Koordinatenverhältnisse
dieselben sein müssen, so müssen die Relationen
statthaben
%%-----File: 289.png-------------------------------
\[
\begin{aligned}
\Phi_1(\alpha_i) & = \sigma\Phi_1(\beta_i) &\qquad\\
\Phi_2(\alpha_i) & = \sigma\Phi_2(\beta_i) & \qquad i = 1,2,3
\ldots\tfrac{1}{2}n(n-3).\\
\Phi_3(\alpha_i) & = \sigma\Phi_3(\beta_i) & \qquad
\end{aligned}
\]

Durch die $\frac{1}{2}n(n-3)$ Doppelpunkte ist nun gerade eine
Kurve der $(n-3)^{\text{ten}}$ Ordnung bestimmt, deren Gleichung
\[
C(x_1,x_2,x_3) = 0
\]
sei. Diese schneidet die $F=0$ ausser in den Doppelpunkten
nicht mehr, daher wird die doppeltperiodische Funktion
$n(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung
\[
C_1(u) = C\left(\frac{\Phi_1(u)}{[\Theta_1(u)]^n},\;
\frac{\Phi_2(u)}{[\Theta_1(u)]^n}, \;
\frac{\Phi_3(u)}{[\Theta_1(u)]^n}\right),
\]
die nur für $u=0$ von der $n(n-3)^{\text{ten}}$ Ordnung unendlich wird,
für die $n(n-3)$ Werte
\[
u = \alpha_i,\beta_i, \;\; i = 1,2,\ldots\tfrac{1}{2}n(n-3),
\]
verschwinden, oder es ist
\begin{multline*}
C_1(u) =\\
A\frac{\Theta_1\!(u-\alpha_1)\Theta_1\!(u-\beta_1)
\Theta_1\!(u-\alpha_2)\Theta_1\!(u-\beta_2)\cdots
\Theta_1\!(u-\alpha_d)\Theta_1\!(u-\beta_d)}
	       {[\Theta_1(u)]^{n(n-3)}}e^{2c\frac{u}{\Omega}\pi i}
\tag*{\!\!\!(7)}
\end{multline*}
die doppeltperiodische Funktion $n(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung, und
daher muss
\[
\sum_{i=1}^d \alpha_i + \sum_{i=1}^d \beta_i = c'\Omega - c\Omega', \;\;
  d = \tfrac{1}{2}n(n-3),
\tag{8}
\]
sein ($c, c'$ ganze Zahlen).

\subsection[12.\ Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass
ein System von Punkten auf der Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit
$\frac12n(n-3)$ Doppelpunkten ein Schnittpunktsystem einer Kurve
$m^{\text{ter}}$ Ordnung ist]{12.} Es sei
\[
f(x_1,x_2,x_3) = 0
\]
die Gleichung einer beliebigen Kurve $m^{\text{ter}}$ Ordnung, welche
durch $\pi'$ Doppelpunkte der Kurve $F = 0$ geht, denen die
Argumente
\[
\alpha_1\beta_1,\: \alpha_2\beta_2, \ldots \alpha_{\pi'}\beta_{\pi'}
\]
angehören, während sie durch die $\pi = \frac{1}{2}n(n-3)-\pi'$
Doppelpunkte mit den Argumenten
\[
\alpha_{\pi'+1}\beta_{\pi'+1}, \: \alpha_{\pi'+2}\beta_{\pi'+2}, \ldots
\alpha_d\beta_d
\]
%%-----File: 290.png-------------------------------
\emph{nicht} hindurchgeht. Dann ist
\[
f\left(\frac{\Phi_1(u)}{[\Theta_1(u)]^n},\;
\frac{\Phi_2(u)}{[\Theta_1(u)]^n}\;
\frac{\Phi_3(u)}{[\Theta_1(u)]^n}\right) = f_1(u)
\]
eine doppeltperiodische Funktion der $mn^{\text{ten}}$ Ordnung, die nur
für $u = 0$ unendlich wird, und für $mn$ Werte $u$ verschwinden
muss. Da aber die Werte
\[
u = \alpha_i, \beta_i
\]
$i = 1, 2 \ldots \pi'$ Punkten von $F = 0$ angehören, die auch auf
$f = 0$ liegen, so wird $f_1(u)$ für diese $2\pi'$ Werte verschwinden,
also nur noch für
\[
k = mn-2\pi'
\]
andere Werte von $u$ null sein, die mit
\[
u_1, u_2 \ldots u_k
\]
bezeichnet sein sollen.

Dann wird
\begin{multline*}
f_1(u) = \\
A\frac{\Theta_1(u-u_1)\Theta_1(u-u_2)\dots\Theta_1(u-u_k)
\prod_1^{\pi'} \Theta_1(u-\alpha_i)\Theta_1(u-\beta_i)}
	       {[\Theta_1(u)]^{mn}} e^{2\mu\frac{u}{\Omega}\pi i}
\end{multline*}
sein und
\[
\sum_{i = 1}^k u_i + \sum_{i = 1}^{\pi'} (\alpha_i + \beta_i) = \mu'\Omega
- \mu\Omega'.
\]

Da für
\[
u = \alpha_{\pi'+h}\: \text{und}\: u = \beta_{\pi'+h},\: (h = 1,2
\ldots \pi)
\]
die Koordinaten $x_1:x_2:x_3$ dieselben Werte annehmen, so
muss auch
\[
f_1(\alpha_{\pi'+h}) = f_1(\beta_{\pi'+h}), \; h = 1,2 \ldots \pi,
\]
sein. Nun ist
\begin{multline*}
f_1(\alpha_{\pi'+h}) =\\
A\frac{\prod_{i = 1}^k
\Theta_1(\alpha_{\pi'+h}-u_i) \prod_{i = 1}^{\pi'}
\Theta_1(\alpha_{\pi'+h}-\alpha_i) \Theta_1(\alpha_{\pi'+h}-\beta_i)}
			       {[\Theta_1(\alpha_{\pi'+h})]^{mn}}
			       e^{2\mu\frac{\alpha_{\pi'+h}}{\Omega}\pi
			       i}
\end{multline*}
\begin{multline*}
f_1(\beta_{\pi'+h}) =\\
A\frac{\prod_{i = 1}^k
\Theta_1(\beta_{\pi'+h}-u_i) \prod_{i = 1}^{\pi'}
\Theta_1(\beta_{\pi'+h}-\alpha_i) \Theta_1(\beta_{\pi'+h}-\beta_i)}
			       {[\Theta_1(\beta_{\pi'+h})]^{mn}}
			       e^{2\mu\frac{\beta_{\pi'+h}}{\Omega}\pi
			       i}
\end{multline*}
%%-----File: 291.png-------------------------------
und daher muss\\
%[** TN: Brittle hack]
\smash{\raisebox{-8\baselineskip}{und}}
\[
\left.
\begin{aligned}
\frac{\prod_{i = 1}^k \Theta_1(\alpha_{\pi'+h}-u_i)}
     {\prod_{i = 1}^k \Theta_1(\beta_{\pi'+h}-u_i)}& \\
= \left[\frac{\Theta_1(\alpha_{\pi'+h})}
	     {\Theta_1(\beta_{\pi'+h})}\right]^{mn} &
     \frac{\prod_{i = 1}^{\pi'}
     \Theta_1(\beta_{\pi'+h}-\alpha_i)\Theta_1(\beta_{\pi'+h}-\beta_i)}
	  {\prod_{i = 1}^{\pi'}
	  \Theta_1(\alpha_{\pi'+h}-\alpha_i)\Theta_1(\alpha_{\pi'+h}-\beta_i)}
   \cdot e^{2\mu\frac{\beta_{\pi'+h} - \alpha_{\pi'+h}}{\Omega}\pi i} \\
h & = 1,2 \ldots \pi\\[2ex]
u_1+u_2+u_3 \cdots + u_k & = \\
& \sum_{h = 1}^{\pi} (\alpha_{\pi'+h}+\beta_{\pi'+h})+(\mu'-c')\Omega -
(\mu-c)\Omega'
\end{aligned}
\right\}
\rlap{(A)}
\]
sein. Aus
\[
\sum_{i = 1}^k u_i + \sum_1^{\pi'} (\alpha_i+\beta_i) = \mu'\Omega -
\mu\Omega'
\]
und (8)
\[
\sum_{i=1}^{\pi'}(\alpha_i+\beta_i)+
\sum_{h=1}^{\pi}(\alpha_{\pi'+h}+\beta_{\pi'+h}) = c'\Omega - c\Omega'
\]
folgt nämlich
\[
\sum_{i = 1}^k u_i = \sum_{h =
1}^{\pi}(\alpha_{\pi'+h}+\beta_{\pi'+h})+(\mu'-c'
)\Omega - (\mu-c)\Omega'.
\]

Es sind also zwischen den $k = mn-2\pi'$ Argumenten
$u_i$ der Schnittpunkte der Kurve $m^{\text{ter}}$ Ordnung mit der Kurve
$n^{\text{ter}}$ Ordnung $\pi+1$ Relationen (A) vorhanden, die höchstens
$\pi+1$ der Argumente bestimmen, wenn die übrigen
\[
k -\pi-1 = mn-2\pi'-\pi-1
\]
gegeben sind. Ist nun $m > n-3$, so gehen durch
\[
mn-2\pi'-\pi-1
\]
beliebig zu wählenden Punkte auf $F = 0$ und $\pi'$ Doppelpunkte
noch Kurven $m^{\text{ter}}$ Ordnung, von denen
%%-----File: 292.png-------------------------------
\[
\nu = \tfrac{1}{2}m(m+3) - [mn-\pi'-\pi-1] = \tfrac{1}{2}(m-n+1)(m-n+2)
\]
Punkte beliebig in der Ebene angenommen werden können,
und welche die $F = 0$ noch in
\[
mn - [mn - 2\pi' - \pi - 1] - 2\pi' = \pi+1
\]
Punkten schneiden. Zwischen den Argumenten dieser Punkte
müssen aber die $\pi + 1$ Gleichungen (A) bestehen, in denen
die $k-\pi-1$ übrigen Argumente der Schnittpunkte für
alle Kurven $m^{\text{ter}}$ Ordnung fest sind, und welche daher die
$\pi+1$ Argumente auch im Allgemeinen bestimmen, d.~h.:
\emph{Legt man durch $\pi'$ Doppelpunkte und $mn-2\pi'-\pi-1$
feste Punkte der Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit $\frac{1}{2}n(n-3)$
Doppelpunkten
$[\pi+\pi' = \frac{1}{2}n(n-3)]$ beliebige Kurven $m>n-3^{\text{ter}}$
Ordnung, so schneiden alle die Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung noch in
$\pi+1$ festen Punkten.}

Gehen die Kurven $m^{\text{ter}}$ Ordnung durch alle Doppelpunkte,
ist also $\pi=0$, in welchem Falle sie dann \emph{»adjungirte«} Kurven
heissen, so schneiden alle adjungirten Kurven $m^{\text{ter}}$ Ordnung,
welche durch $mn-n(n-3)-1$ feste Punkte und die $d$
Doppelpunkte gehen, die Kurve $n^{\text{ter}}$ Ordnung noch in
\emph{einem}
festen Punkte.

Für die weitere Behandlung dieser Kurven vergleiche
man: »\Person{Clebsch}, Ueber diejenigen Kurven, deren Koordinaten
sich als elliptische Funktionen eines Parameters darstellen
lassen«. Crelle'sches Journal Bd.\ 64 S.~210.
\fivestar
\clearpage
%%-----File: 293.png-------------------------------
\pagestyle{empty}
\section*{Druckfehlerverzeichnis des Originaltexts.}

(Diese Druckfehler wurden im Text bereits korrigiert.)

\begin{longtable}{ccccccp{.5\linewidth}}
Seite & 3 & Zeile & 6 & v.~o. & lies & zur statt mit der.\\
'' & 29 & '' & 2 & v.~u. & '' & $\frac{B_{n-1}}{z-b}$ statt
$\frac{B_{n-1}}{(z-b)^n}$.\\
'' & 40 & '' & 9 & v.~o. & '' & $\frac{\frac{1}{n-1}A_n}{(z-b)^{n-1}}$
statt $\frac{(n-1)A_n}{(z-b)^{n-1}}$.\\
'' & 45 & '' & 11 & v.~o. & '' & $n$ statt $m$.\\
'' & 57 & '' & 1 & v.~u. & '' & der $\vartheta_3$-Funktion statt der
einzelnen $\vartheta$-Funktionen.\\
'' & 69 & '' & 4 & v.~o. & ist & in dem 3.\ und 4.\ Integral die obere
Grenze $\Omega'$.\\
'' & 71 & '' & 16 & v.~o. & lies & so muss statt so ist.\\
'' & 73 & '' & 3 & v.~o. & '' & $\varphi(u_{\nu}) = B\gtrless 0$ statt
$\varphi(u_{\nu}) = A\gtrless 0$.\\
'' & 87 & '' & 3 & v.~u. & '' & von $\varphi$ statt für $\varphi$.\\
'' & 91 & '' & 3 & v.~o. & '' & $a_0+a_1x,a_2,a_3\ldots$ statt
$a_0+a_1x$,$a_1$,$a_2\ldots$\\
'' & 92 & '' & 23 & v.~o. & '' & $i\neq1$ statt $i = 1$.\\
'' & 100 & '' & 13 & v.~o. & '' & Seite  ''  Reihe.\\
'' & 113 & '' & 12 & v.~u. & '' & linke  ''  rechte.\\
'' & '' & '' & 11 & v.~u. & '' & rechts  ''  links.\\
'' & 134 & '' & 15 & v.~u. & '' & $s(v-iu) = P-iQ$ statt $s(v-iu)
= P-iQ_1$.\\
'' & 135 &  &  &  &  ist & in der Figur 26a auch die Gerade $0, \omega,
2\omega$ dick zu denken.\\
'' & 140 & Zeile & 15 & v.~o. & lies & $Z(u-\alpha_i)$ statt
$Z(u)-\alpha_i)$.\\
'' & 160 & '' & 15 & v.~o. & '' & $\int_{\varphi_0}^{\varphi_0+4\pi}$
statt $\int_{\varphi_0}^{\varphi_0+2\pi}$.\\
'' & 173 & '' & 19 & v.~o. & '' & sind, statt, sich.\\
'' & 174  &  und & 175 & soll & in & den Figuren 49 und 60 die Kurve B
von dem Verzweigungsschnitte $1\frac{1}{\varkappa}$ aus punktirt
 sein, wie in Fig.\ 51 S.\ 178.\\
'' & 203 & Zeile & 3 & v.~o. & lies & rationale ganze Funktion statt
rationale Fkt.\\
'' & 217 & '' & 7 & v.~u. & '' &
$\left[\sum_0^{\infty}\frac{1}{4^{\nu}}\Psi(\lambda_{\nu})\right]_{\lambda
= 1}$
   statt $\left[\sum_0^{\infty}
   \frac{1}{4^{\nu-1}}\Psi(\lambda_{\nu})\right]_{\lambda = 1}$.\\
'' & 229 & '' & 2 & v.~o. & '' & (37) statt (34).\\
'' & 242 & '' & 7 & v.~o. & '' & $\int_{x_0}^x \frac{dx}{Y}$ statt
$\int_{x_0}^x \frac{dx}{y}$.\\
\end{longtable}
\clearpage

\section*{Anmerkungen zur Transkription}
Folgende Änderungen wurden u.~a.\ zusätzlich in der Gutenberg-Fassung
vorgenommen
(Oxxx = Originalseite):
\begin{itemize}
\item überall im Buch wurde die Schreibweise
$\vartheta(x,\varepsilon\varepsilon')$ nach
$\vartheta(x,\varepsilon,\varepsilon')$
geändert, um Verwechslungen mit der Multiplikation zu vermeiden
\item O005 Einführung Abschnitt 1 Fig.~4 Punkte $z_1,z_2$ vertauscht
\item O006 Einführung Abschnitt 2 »denn dann wird«:
$\frac{dw}{\partial z}$ muss $\frac{\partial w}{\partial z}$ heißen
\item O012 Einführung Abschnitt 4 »also«: Minus zu Plus im rechten Nenner
geändert
\item O021 Einführung Abschnitt 6 Fig.~10a nach 11a umbenannt
\item O031 Einführung Abschnitt 11 »und daher, wenn $p+q=r$ gesetzt wird«:
im Zähler fehlte ein Pluszeichen
\item O032 Einführung Abschnitt 11 »setzt man dann«: Term in
Klammern muss $c_\nu z^\nu + c_{\nu-1} z^{\nu-1} +\dots+ c_1 z + c_0$
heißen
\item O032 Einführung Abschnitt 12 »Dann wird in der Umgebung des
Punktes $a_1$«: Letzter Term in Klammern $z-a$ muss $z-a_1$ heißen
\item O033 Einführung Abschnitt 12 Gleichung
»$\varphi(\infty)=\dots$«: $\sigma$~muss $\psi$ heißen
\item O039 Einführung Abschnitt 14 Erste Gleichung: Nenner des zweiten
Terms
$(z-b)$ muss $(z-b)^{n-1}$ lauten
\item O051 1.Teil\DPnote{****} Abschnitt 3 an mehreren Stellen $o$ zu $0$ geändert
\item O059 1.Teil Abschnitt 7 »$\ldots$ mit den Charakteristiken
($\varepsilon,\varepsilon')=\ldots$«: Klammern zur besseren
Übersichtlichkeit
hinzugefügt
\item O060 1.Teil Abschnitt 7 »Es ist ferner«: Letzte Klammer im Exponent
$(-u+\frac\varepsilon2\omega)$ muss $(-u+\frac{\varepsilon'}2\omega)$
heißen
\item O065 1.Teil Abschnitt 10 »da $\vartheta_1(u-\alpha)$ nicht unendlich
werden kann«: $\alpha$ war im Original $a$
\item O086 1.Teil Abschnitt 18 »ist, so folgt«: zweiter Term
$R(\varphi(\frac cu+u))$ muss $R(\varphi(\frac c2+u))$ lauten
\item O090 1.Teil Abschnitt 21 Erste Determinantengleichung: zwei\-te Reihe
der 1.Determinante $a_0\, a_2\, a_1 \dots$ muss $a_0\, a_1\, a_2 \dots$
heißen
\item O094 1.Teil Abschnitt 22 Gleichung
$c_3=\frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}$
war im Original $c_3=\frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}$
\item O112 1.Teil Abschnittsnummer 29 fehlte im Original
\item O120 1.Teil Abschnitt 30 »vertauschen:«: zweite Zeile $2v$
ist doppelt
und muss einmal $2w$ lauten; am Ende der Zeile war $\varepsilon$ mit
$\varepsilon'$ vertauscht
\item O136 1.Teil Abschnitt 33/2 Rechte Seite der Gleichung $\varkappa^2=
\frac{\vartheta_2^4}{\vartheta_3^4}=$: Nenner hatte Exponent 2 im Original
\item O178 2.Teil Abschnitt 45 Doppelte Fig.~50 nach 50a umbenannt
\item O231 2.Teil Abschnitt 61 »dann folgt«: Zähler des letzten Terms
$d\log\dots$ muss $d^h\log\dots$ heißen
\item O232 2.Teil Abschnitt 61 »folgt«: Nenner des 1.Terms $du$ muss
$du^2$
lauten
\item O248 Anhang Abschnitt 5 »als der Gleichung der Geraden«: zweiter
Term $b\frac{x_1}{x_3}$ muss $b\frac{x_2}{x_3}$ heißen
\item O273 Anhang Abschnitt 12 »und (8)«: letzter Term $c\Omega$ muss
$c\Omega'$ heißen; darunter: vorletzter Term $(\mu'-c)\Omega$ in
$(\mu'-c')\Omega$ geändert
\end{itemize}
\clearpage
%%-----File: 294.png-------------------------------
%%[Blank Page]
%%-----File: 295.png-------------------------------
\begin{description}
\item[Klein, Felix,] o.~ö.\ Professor der Geometrie a.~d.\ Universität
Leipzig,
\Title{Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der
Gleichungen vom fünften Grade}. Mit einer lithographirten Tafel.
[VIII u.\ 260 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 8.---

\item[Koher, Dr.\ Julius,] Direktor der Realschule zu Großenhain,
\Title{Leitfaden
der ebenen Geometrie mit über 700 Übungssätzen und
Aufgaben}. Mit 32 in den Text gedruckten Figuren. Zweite Auflage.
[86 S.] gr.~8.\ geh.\ $\mathcal{M.}$ 1.---

\item[Kohlrausch, Dr.\ F.,] ord.\ Professor an der Universität zu
Würz\-burg,
\Title{Leitfaden der praktischen Physik}. Mit einem Anhange: das
elektrische und magnetische absolute Maaß-System. Mit in den
Text gedruckten Figuren. Fünfte vermehrte Auflage. [XV u.
360 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 5.60.

\item[Marinelli, Dr.\ G.,] Professor an der Universität Padua, \Title{die
Erdkunde
bei den Kirchenvätern}. Vortrag, gehalten in der italienischen
geographischen Gesellschaft zu Rom am 12. März 1882. Deutsch
von Dr.\ Ludwig Neumann, Professor am Gymnasium zu Heidelberg.
Mit einem Vorworte von S.\ Günther. [Mit Holzschnitten
im Text und 2 lithographirten Karten, VIII u.\ 87~S.] gr.~8.\
geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 3.60.

\item[Neumann, Dr.\ G.,] Professor der Mathematik an der Universität
zu Leipzig,
\Title{Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen
Integrale}. Zweite vollständig umgearbeitete und wesentlich
vermehrte Auflage. Mit einer lithographirten Tafel und in den
Text gedruckten Figuren. [XIV u.\ 472 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$
12.---

\item[\rule{.5in}{.5pt} Dr.\ Franz,] Prof.\ der Physik und Mineralogie,
\Title{Vorlesungen
über elektrische Ströme}, gehalten an der Universität zu
Königsberg. Herausgegeben von Dr.\ K.\ von der Mühll, ausserordentl.
Professor an der Uni\-ver\-si\-tät Leipzig. Mit in den Text
gedruckten Figuren. [X u.\ 310 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 9.60.

\item[Ransenberger, Dr.\ Otto,] \Title{Lehrbuch der Theorie der
periodischen
Functionen einer Variabeln mit einer endlichen Anzahl wesentlicher
Discontinuitätspunkte nebst einer Einleitung in die allgemeine
Functionentheorie}. Mit in den Text gedruckten Figuren.
[VIII u. 476 S.] geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 10.80.

\item[Reidt, Dr.\ Friedrich.,] Professor am Gymnasium und dem
Realgymnasium
in Hamm, \Title{Sammlung von Aufgaben und Beispielen
aus der Trigonometrie und Stereometrie}. Erster Teil: Trigonometrie.
Dritte Auflage. [VIII u.\ 250 S.] gr.~S.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 4.---

\item[Schwering, Dr.\ Karl,] Oberlehrer in Coesfeld, \Title{Theorie
und Anwendung
der Liniencoordinaten in der analytischen Geometrie
der Ebene}. Mit in den Text gedruckten Figuren und
zwei Figurentafeln. [VI u.\ 96 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 2.80.
\end{description}
%%-----File: 296.png-------------------------------
\begin{description}
\item[Serret, J.\ A.,] membre de l'Institut et du Bureau des longitudes,
\Title{Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung}. Mit
Genehmigung des Verfassers deutsch bearbeitet von \textsc{Axel Harnack},
Dr.\ und Professor am Polytechnikum zu Dresden. Erster
Band.\ Differentialrechnung. Mit in den Text gedruckten Figuren.
[X u.\ 567 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 10.---

\item[Weyrauch., Dr.\ Jacob J.,] Professor an der Polytechnischen Schule
in Stuttgart, \Title{Theorie elastischer Körper}. Eine Einleitung
zur mathematischen Physik und technischen Mechanik. Mit
42 Figuren im Text. [VIII u.\ 279 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 7.20.

\item[Wiener, Dr.\ Christian,] Geh.\ Hofrath und Professor an der Grossh.\
polytechnischen Schule in Karlsruhe, \Title{Lehrbuch der darstellenden
Geometrie}. In zwei Bänden.\ I.\ Band: Geschichte
der darstellenden Geometrie, ebenflächige Gebilde, krumme Linien
(erster Theil), projektive Geometrie. Mit Figuren im Text. [XX
u.\ 477 S.] gr.~8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 12.---

\item[Wünsche, Dr.\ Otto,] Oberlehrer am Gymnasium zu Zwickau,
\Title{Schulflora
von Deutschland}. Nach der analytischen Methode bearbeitet.
Die Phanerogamen. Vierte Auflage. [XLIII u.\ 428 S.]
8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 4.---

\item[Zöppritz, Dr.\ Karl,] ord. Professor der Erdkunde an der Universität
zu Königsberg i.\ Pr., \Title{Leitfaden der Kartenentwurfslehre
für Studierende der Erdkunde und deren Lehrer bearbeitet}. Mit
Figuren im Text und einer lithographischen Tafel. [VIII u. 162 S.]
gr 8.\ geh.~n.\ $\mathcal{M.}$ 4.40.
\end{description}
\clearpage
\markboth{\textsc{Project Gutenberg Licensing.\hfil}}{\hfil\textsc{Project Gutenberg Licensing.}}

{\small
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der
Elliptischen Funktionen, by Karl Bobek

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN ***

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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
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because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
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Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
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Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

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any statements concerning tax treatment of donations received from
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methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
}

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% End of the Project Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der     %
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% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN ***     %
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% ***** This file should be named 32766-t.tex or 32766-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
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% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
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ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
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LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
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(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks21
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count101
))
\Gin@req@height=\dimen113
\Gin@req@width=\dimen114
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty
Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
\captionmargin=\dimen115
\captionmarginx=\dimen116
\captionwidth=\dimen117
\captionindent=\dimen118
\captionparindent=\dimen119
\captionhangindent=\dimen120
))

LaTeX Warning: You have requested, on input line 100, version
               `2008/08/24' of package caption,
               but only version
               `2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen121
\WF@size=\dimen122
\c@WF@wrappedlines=\count102
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks22
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks23
\footnotemargin=\dimen123
\c@pp@next@reset=\count103
\c@@fnserial=\count104
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titlesec.sty
Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
\ttl@box=\box29
\beforetitleunit=\skip46
\aftertitleunit=\skip47
\ttl@plus=\dimen124
\ttl@minus=\dimen125
\titlewidth=\dimen126
\titlewidthlast=\dimen127
\titlewidthfirst=\dimen128
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 104, version
               `2007/08/12' of package titlesec,
               but only version
               `2005/01/22 v2.6 Sectioning titles'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titletoc.sty
Package: titletoc 2005/01/22 v1.5 TOC entries
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/was/fixmath.sty
Package: fixmath 2000/04/11 v0.9 (WaS)
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Gamma on input line 27.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Delta on input line 28.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Theta on input line 29.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Lambda on input line 30.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Xi on input line 31.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Pi on input line 32.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Sigma on input line 33.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Upsilon on input line 34.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Phi on input line 35.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Psi on input line 36.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Omega on input line 37.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \alpha on input line 38.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \beta on input line 39.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \gamma on input line 40.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \delta on input line 41.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \epsilon on input line 42.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \zeta on input line 43.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \eta on input line 44.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \theta on input line 45.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \iota on input line 46.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \kappa on input line 47.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \lambda on input line 48.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \mu on input line 49.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \nu on input line 50.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \xi on input line 51.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \pi on input line 52.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \rho on input line 53.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \sigma on input line 54.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \tau on input line 55.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \upsilon on input line 56.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \phi on input line 57.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \chi on input line 58.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \psi on input line 59.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \omega on input line 60.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varepsilon on input line 61.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \vartheta on input line 62.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varpi on input line 63.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varphi on input line 64.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varrho on input line 65.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varsigma on input line 66.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/units/nicefrac.sty
Package: nicefrac 1998/08/04 v0.9b Nice fractions
\L@UnitsRaiseDisplaystyle=\skip48
\L@UnitsRaiseTextstyle=\skip49
\L@UnitsRaiseScriptstyle=\skip50
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wasysym/wasysym.sty
Package: wasysym 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package
\symwasy=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `wasy' in version `bold'
(Font)                  U/wasy/m/n --> U/wasy/b/n on input line 90.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/bezos/accents.sty
Package: accents 2006/05/12 v1.3 Math Accent Tools
\cc@skew=\dimen129
\cc@wd=\dimen130
\cc@code=\count105
\cc@group=\count106
\cc@skewchar=\count107
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/longtable.sty
Package: longtable 2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
\LTleft=\skip51
\LTright=\skip52
\LTpre=\skip53
\LTpost=\skip54
\LTchunksize=\count108
\LTcapwidth=\dimen131
\LT@head=\box30
\LT@firsthead=\box31
\LT@foot=\box32
\LT@lastfoot=\box33
\LT@cols=\count109
\LT@rows=\count110
\c@LT@tables=\count111
\c@LT@chunks=\count112
\LT@p@ftn=\toks24
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/ttlps.def
File: ttlps.def 2005/01/22

Package titlesec Warning: You are using an old interface for page styles
(titlesec)                You could proceed but don't complain if you run
(titlesec)                into errors.

) (./32766-t.aux)
\openout1 = `32766-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 204.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 204.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 204.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 204.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 204.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 204.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 204.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 204.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 204.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 204.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 204.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 204.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count113
\scratchdimen=\dimen132
\scratchbox=\box34
\nofMPsegments=\count114
\nofMParguments=\count115
\everyMPshowfont=\toks25
\MPscratchCnt=\count116
\MPscratchDim=\dimen133
\MPnumerator=\count117
\everyMPtoPDFconversion=\toks26
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
)
\CenteringLeftskip=\skip55
\RaggedLeftLeftskip=\skip56
\RaggedRightLeftskip=\skip57
\CenteringRightskip=\skip58
\RaggedLeftRightskip=\skip59
\RaggedRightRightskip=\skip60
\CenteringParfillskip=\skip61
\RaggedLeftParfillskip=\skip62
\RaggedRightParfillskip=\skip63
\JustifyingParfillskip=\skip64
\CenteringParindent=\skip65
\RaggedLeftParindent=\skip66
\RaggedRightParindent=\skip67
\JustifyingParindent=\skip68
)
Package caption Info: longtable package v3.15 (or newer) detected on input line
 204.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 233.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 233.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+wasy on input line 233.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wasysym/uwasy.fd
File: uwasy.fd 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1


] [2

] [3

] [4

] (./32766-t.toc [5


] [6] [7] [8])
\tf@toc=\write3
\openout3 = `32766-t.toc'.

[9] [10] [1

] <images/fig01.pdf, id=60, 263.98625pt x 254.9525pt>
File: images/fig01.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig01.pdf> [2

 <./images/fig01.pdf>] <images/fig02.pdf, id=71, 279.0425pt x 266.9975pt>
File: images/fig02.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig02.pdf> <images/fig03.pdf, id=73, 259.97125pt x 204.765pt>
File: images/fig03.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig03.pdf> <images/fig04.pdf, id=75, 262.9825pt x 190.7125pt>
File: images/fig04.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig04.pdf> [3 <./images/fig02.pdf> <./images/fig03.pdf>] [4 <./imag
es/fig04.pdf>] [5] [6] <images/fig05.pdf, id=101, 285.065pt x 147.55125pt>
File: images/fig05.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig05.pdf> [7] <images/fig06.pdf, id=109, 525.965pt x 233.87375pt>
File: images/fig06.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig06.pdf>
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 1034.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [8 <./images/fig05.pdf> <./images/fig06.pdf>] [9] [10] <images/fig07.pdf, id=
129, 165.61874pt x 365.365pt>
File: images/fig07.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig07.pdf> [11] [12 <./images/fig07.pdf>] [13] <images/fig08.pdf, i
d=145, 178.6675pt x 315.1775pt>
File: images/fig08.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig08.pdf> [14 <./images/fig08.pdf>] <images/fig09.pdf, id=154, 165
.61874pt x 178.6675pt>
File: images/fig09.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig09.pdf> [15 <./images/fig09.pdf>] <images/fig10.pdf, id=163, 200
.75pt x 139.52126pt>
File: images/fig10.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig10.pdf> [16 <./images/fig10.pdf>] <images/fig11.pdf, id=172, 67.
25125pt x 166.6225pt>
File: images/fig11.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig11.pdf> [17 <./images/fig11.pdf>] <images/fig11a.pdf, id=181, 67
.25125pt x 166.6225pt>
File: images/fig11a.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig11a.pdf> <images/fig12a.pdf, id=183, 163.61125pt x 178.6675pt>
File: images/fig12a.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig12a.pdf> <images/fig12b.pdf, id=185, 163.61125pt x 178.6675pt>
File: images/fig12b.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig12b.pdf>
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 1638--1640
[]
 []

[18 <./images/fig11a.pdf> <./images/fig12a.pdf> <./images/fig12b.pdf>] [19] <im
ages/fig13.pdf, id=206, 229.85875pt x 233.87375pt>
File: images/fig13.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig13.pdf> [20] [21 <./images/fig13.pdf>] <images/fig14.pdf, id=218
, 168.63pt x 168.63pt>
File: images/fig14.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig14.pdf> [22 <./images/fig14.pdf>] [23] [24] [25] [26] [27] [28] 
[29] [30] [31] <images/fig15.pdf, id=256, 186.6975pt x 179.67125pt>
File: images/fig15.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig15.pdf> [32] <images/fig16.pdf, id=261, 194.7275pt x 158.5925pt>
File: images/fig16.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig16.pdf> [33 <./images/fig15.pdf> <./images/fig16.pdf>] <images/f
ig17.pdf, id=274, 160.6pt x 158.5925pt>
File: images/fig17.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig17.pdf> [34 <./images/fig17.pdf>] [35] [36] <images/fig18.pdf, i
d=290, 175.65625pt x 161.60374pt>
File: images/fig18.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig18.pdf> <images/fig19.pdf, id=292, 195.73125pt x 193.72375pt>
File: images/fig19.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig19.pdf> [37] [38 <./images/fig18.pdf> <./images/fig19.pdf>]
Overfull \vbox (16.06343pt too high) has occurred while \output is active []

[39] [40] [41] [42] [43

] [44

] <images/fig20.pdf, id=333, 242.9075pt x 226.8475pt>
File: images/fig20.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig20.pdf> [45] [46 <./images/fig20.pdf>] [47] [48

] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] <images/fig21.pdf, id=385, 
234.8775pt x 226.8475pt>
File: images/fig21.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig21.pdf> [59] [60 <./images/fig21.pdf>] [61] [62] [63] <images/fi
g22.pdf, id=407, 224.84pt x 179.67125pt>
File: images/fig22.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig22.pdf>
Overfull \hbox (8.6664pt too wide) detected at line 4397
[][] \OML/cmm/m/it/12 d [] F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 
) = [][] \OML/cmm/m/it/12 d [] Fu \OT1/cmr/m/n/12 + [][] \OML/cmm/m/it/12 d [] 
Fu \OT1/cmr/m/n/12 + [][] \OML/cmm/m/it/12 d [] Fu \OT1/cmr/m/n/12 + [][] \OML/
cmm/m/it/12 d [] Fu:
 []

[64

 <./images/fig22.pdf>] [65]
Overfull \hbox (0.45473pt too wide) detected at line 4495
[][] \OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) \OM
L/cmm/m/it/12 du \OT1/cmr/m/n/12 =  [][]   \OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\
OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cmm/m/it/12 du \OT1/cmr/m/n/12 + [][]  
 \OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cm
m/m/it/12 du \OT1/cmr/m/n/12 + [][]  \OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cm
m/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cmm/m/it/12 du \OT1/cmr/m/n/12 + [][]  \OML/c
mm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) \OML/cmm/m/it/
12 du \OT1/cmr/m/n/12 = 0\OML/cmm/m/it/12 ;
 []

[66] [67]
Overfull \hbox (9.094pt too wide) detected at line 4663
 []$[]  \OML/cmm/m/it/12 J \OT1/cmr/m/n/12 = [][] \OML/cmm/m/it/12 ud []\OT1/cm
r/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 
) \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 A\OT1/cmr/m/n/12 ) + [][] \OML/cmm/m/it
/12 ud []\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u
\OT1/cmr/m/n/12 ) \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 A\OT1/cmr/m/n/12 ) + []
[] \OML/cmm/m/it/12 ud []\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 F\OT1/cmr/m/n/12 (\O
ML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 A\OT1/c
mr/m/n/12 )$ 
 []

[68] [69] [70] <images/fig22a.pdf, id=436, 257.96375pt x 221.82875pt>
File: images/fig22a.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig22a.pdf>
Overfull \hbox (7.42023pt too wide) in paragraph at lines 4798--4798
[] 
 []


Underfull \hbox (badness 4416) in paragraph at lines 4800--4801
[]\OT1/cmr/m/n/12 Die dop-pelt-pe-ri-odi-sche Funk-ti-on $\OML/cmm/m/it/12 F\OT
1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 )$
 []

[71 <./images/fig22a.pdf>] [72] [73] [74] [75] [76]
Overfull \hbox (4.46597pt too wide) in paragraph at lines 5312--5312
[] 
 []

[77]
Overfull \hbox (5.58821pt too wide) detected at line 5335
\OML/cmm/m/it/12 f\OT1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u\OT1/cmr/m/n/12 ) = \OML/c
mm/m/it/12 c[] \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 R[]'[][] \OT1/cmr/m/n/12 + \O
ML/cmm/m/it/12 u[][];
 []

[78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88

] <images/fig23.pdf, id=500, 791.95876pt x 316.18124pt>
File: images/fig23.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig23.pdf> [89 <./images/fig23.pdf>] [90] [91] [92] <images/fig24.p
df, id=519, 289.08pt x 227.85126pt>
File: images/fig24.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig24.pdf> [93 <./images/fig24.pdf>] [94] [95] [96] [97] [98] [99] 
[100

] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108

] [109] [110] [111] [112] [113] [114]
Overfull \hbox (4.89552pt too wide) in paragraph at lines 7753--7753
[] 
 []

[115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [
128] [129] [130

] <images/fig25.pdf, id=645, 234.8775pt x 226.8475pt>
File: images/fig25.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig25.pdf> [131 <./images/fig25.pdf>] [132] <images/fig26.pdf, id=6
57, 704.6325pt x 321.2pt>
File: images/fig26.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig26.pdf> [133 <./images/fig26.pdf>] [134] [135] <images/fig27.pdf
, id=673, 955.57pt x 668.4975pt>
File: images/fig27.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig27.pdf> [136 <./images/fig27.pdf>] [137

] [138] [139] [140] [141

] [142

] [143] [144] <images/fig28.pdf, id=707, 345.29pt x 268.00125pt>
File: images/fig28.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig28.pdf> [145 <./images/fig28.pdf>] <images/fig29.pdf, id=717, 28
1.05pt x 246.9225pt>
File: images/fig29.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig29.pdf> [146 <./images/fig29.pdf>] [147] <images/fig30.pdf, id=7
29, 246.9225pt x 246.9225pt>
File: images/fig30.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig30.pdf> <images/fig31.pdf, id=731, 279.0425pt x 246.9225pt>
File: images/fig31.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig31.pdf> [148 <./images/fig30.pdf> <./images/fig31.pdf>] <images/
fig32.pdf, id=744, 145.54375pt x 91.34125pt>
File: images/fig32.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig32.pdf> <images/fig33.pdf, id=746, 162.6075pt x 127.47626pt>
File: images/fig33.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig33.pdf> [149 <./images/fig32.pdf> <./images/fig33.pdf>] <images/
fig34.pdf, id=759, 188.705pt x 163.61125pt>
File: images/fig34.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig34.pdf> <images/fig35.pdf, id=761, 205.76875pt x 164.615pt>
File: images/fig35.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig35.pdf> [150 <./images/fig34.pdf> <./images/fig35.pdf>] <images/
fig36.pdf, id=774, 221.82875pt x 161.60374pt>
File: images/fig36.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig36.pdf>
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 9906--9912
[]\OT1/cmr/m/n/12 anderen Ran-des ge-lan-gen, oh-ne $\OML/cmm/m/it/12 A$ \OT1/c
mr/m/n/12 zu
 []


Underfull \hbox (badness 2343) in paragraph at lines 9913--9922
\OT1/cmr/m/n/12 re Blatt, so bleibt die Fl[]ache noch zu-sam-
 []

<images/fig37.pdf, id=776, 157.58875pt x 175.65625pt>
File: images/fig37.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig37.pdf> <images/fig38.pdf, id=778, 73.27374pt x 98.3675pt>
File: images/fig38.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig38.pdf> [151 <./images/fig36.pdf> <./images/fig37.pdf>] <images/
fig39.pdf, id=792, 268.00125pt x 194.7275pt>
File: images/fig39.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig39.pdf> [152 <./images/fig39.pdf> <./images/fig38.pdf>] [153] [1
54

] <images/fig40.pdf, id=811, 457.71pt x 521.95pt>
File: images/fig40.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig40.pdf> [155] [156 <./images/fig40.pdf>] <images/fig41.pdf, id=8
24, 400.49625pt x 373.395pt>
File: images/fig41.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig41.pdf> [157 <./images/fig41.pdf>] <images/fig42.pdf, id=835, 37
9.4175pt x 346.29375pt>
File: images/fig42.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig42.pdf> [158 <./images/fig42.pdf>] <images/fig43.pdf, id=845, 38
8.45125pt x 358.33875pt>
File: images/fig43.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig43.pdf> [159 <./images/fig43.pdf>] <images/fig44.pdf, id=855, 37
7.41pt x 425.59pt>
File: images/fig44.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig44.pdf> <images/fig45.pdf, id=857, 346.29375pt x 364.36125pt>
File: images/fig45.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig45.pdf> [160 <./images/fig44.pdf> <./images/fig45.pdf>] [161] [1
62] <images/fig46.pdf, id=878, 109.40875pt x 98.3675pt>
File: images/fig46.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig46.pdf> [163] <images/fig47.pdf, id=884, 849.1725pt x 412.54124p
t>
File: images/fig47.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig47.pdf> [164 <./images/fig46.pdf>] [165 <./images/fig47.pdf>] <i
mages/fig48.pdf, id=901, 517.935pt x 605.26125pt>
File: images/fig48.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig48.pdf>
Underfull \hbox (badness 4872) in paragraph at lines 10739--10759
[]$\OML/cmm/m/it/12 B$ \OT1/cmr/m/n/12 mar-kirt. Wenn wir mit $\OML/cmm/m/it/12
 x$ \OT1/cmr/m/n/12 dann $\OML/cmm/m/it/12 A$
 []

[166 <./images/fig48.pdf>] [167] [168] <images/fig49.pdf, id=917, 590.205pt x 4
84.81125pt>
File: images/fig49.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig49.pdf> [169

 <./images/fig49.pdf>] <images/fig50.pdf, id=928, 578.16pt x 484.81125pt>
File: images/fig50.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig50.pdf> [170 <./images/fig50.pdf>] <images/fig50a.pdf, id=938, 5
11.9125pt x 406.51875pt>
File: images/fig50a.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig50a.pdf> <images/fig51.pdf, id=940, 505.89pt x 514.92375pt>
File: images/fig51.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig51.pdf> [171 <./images/fig50a.pdf>] [172 <./images/fig51.pdf>] [
173] <images/fig52.pdf, id=961, 999.735pt x 490.83376pt>
File: images/fig52.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig52.pdf> [174 <./images/fig52.pdf>] [175] <images/fig53.pdf, id=9
76, 596.2275pt x 620.3175pt>
File: images/fig53.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig53.pdf> [176 <./images/fig53.pdf>] [177] <images/fig54.pdf, id=9
89, 1141.26375pt x 584.1825pt>
File: images/fig54.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig54.pdf> [178 <./images/fig54.pdf>] [179] [180] [181] [182] [183]
[184] [185] [186] [187] [188

] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200

] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213]
[214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221

] [222] [223

] [224] [225] [226] [227] [228

] [229

] [230] [231] <images/fig55.pdf, id=1167, 582.175pt x 514.92375pt>
File: images/fig55.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig55.pdf> [232 <./images/fig55.pdf>] [233] [234] [235] [236] [237]
[238] [239]
Overfull \hbox (11.43456pt too wide) in paragraph at lines 14865--14865
[] 
 []

[240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [
253] [254] [255

] [256] [257] [258] [259] [260]
Overfull \hbox (16.87874pt too wide) detected at line 16204
 []$[]\OML/cmm/m/it/12 A[]e[]$ []  
 []

[261] [262]
Overfull \hbox (23.74475pt too wide) detected at line 16323
[] []
 []

[263] [264] [265]
Underfull \hbox (badness 6063) in paragraph at lines 16410--16412
[]|$\OML/cmm/m/it/12 a[] \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 a[]x; a[]; a[] []$ 
\OT1/cmr/m/n/12 statt $\OML/cmm/m/it/12 a[] \OT1/cmr/m/n/12 +
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 16431--16435
[]|$[][]$ \OT1/cmr/m/n/12 statt
 []

[266

] [267]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 1644
6.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 16446
.
[268

] [269]
Underfull \hbox (badness 2065) in paragraph at lines 16546--16552
[]\OT1/cmr/m/n/12 Prof. der Phy-sik und Mi-ne-ra-lo-gie, \OT1/cmr/m/it/12 Vor-l
e-sun-
 []

[270

] [271]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 ***** This file should be named 32766-pdf.pdf or 32766-pd
f.zip *****[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 one owns a United States copyright in these works, so the
 Foundation[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 set forth in the General Terms of Use part of this licens
e, apply to[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 charge for the eBooks, unless you receive specific permis
sion.  If you[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 research.  They may be modified and printed and given awa
y--you may do[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribution of electronic works, by using or distributin
g this work[] 
 []

[272

]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of th
e Full Project[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 1.  General Terms of Use and Redistributing Proje
ct Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work, you indicate that you have read, underst
and, agree to[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 (trademark/copyright) agreement.  If you do not agree to 
abide by all[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the terms of this agreement, you must cease using and ret
urn or destroy[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in yo
ur possession.[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be b
ound by the[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It 
may only be[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 used on or associated in any way with an electronic work 
by people who[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 things that you can do with most Project Gutenberg-tm ele
ctronic works[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can d
o with Project[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of 
this agreement[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and help preserve free future access to Project Gutenberg
-tm electronic[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (
"the Foundation"[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection
 of Project[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual
 works in the[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 individual work is in the public domain in the United Sta
tes and you are[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 located in the United States, we do not claim a right to 
prevent you from[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copying, distributing, performing, displaying or creating
 derivative[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 works based on the work as long as all references to Proj
ect Gutenberg[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm mission of promoting free access to electron
ic works by[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance w
ith the terms of[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name 
associated with[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the work.  You can easily comply with the terms of this a
greement by[] 
 []

[273]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.D.  The copyright laws of the place where you are locat
ed also govern[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 what you can do with this work.  Copyright laws in most c
ountries are in[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 a constant state of change.  If you are outside the Unite
d States, check[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 before downloading, copying, displaying, performing, dist
ributing or[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm work.  The Foundation makes no representatio
ns concerning[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.1.  The following sentence, with active links to, or 
other immediate[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to, the full Project Gutenberg-tm License must app
ear prominently[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any wor
k on which the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phr
ase "Project[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, perform
ed, viewed,[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give
 it away or[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.2.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
work is derived[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 from the public domain (does not contain a notice indicat
ing that it is[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted with permission of the copyright holder), the work
 can be copied[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and distributed to anyone in the United States without pa
ying any fees[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or charges.  If you are redistributing or providing acces
s to a work[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the phrase "Project Gutenberg" associated with or ap
pearing on the[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, you must comply either with the requirements of par
agraphs 1.E.1[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.3.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
work is posted[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the permission of the copyright holder, your use and
 distribution[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and 
any additional[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 terms imposed by the copyright holder.  Additional terms 
will be linked[] 
 []

[274]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 permission of the copyright holder found at the beginning
 of this work.[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.4.  Do not unlink or detach or remove the full Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 License terms from this work, or any files containing a p
art of this[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.5.  Do not copy, display, perform, distribute or redi
stribute this[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 prominently displaying the sentence set forth in paragrap
h 1.E.1 with[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form
, including any[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 word processing or hypertext form.  However, if you provi
de access to or[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a for
mat other than[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www
.gutenberg.org),[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 you must, at no additional cost, fee or expense to the us
er, provide a[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copy, a means of exporting a copy, or a means of obtainin
g a copy upon[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 form.  Any alternate format must include the full Project
 Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic
 works provided[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 the use of Project Gutenberg-tm works calculated usi
ng the method[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you already use to calculate your applicable taxes. 
 The fee is[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 owed to the owner of the Project Gutenberg-tm tradem
ark, but he[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Roya
lty payments[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 returns.  Royalty payments should be clearly marked 
as such and[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 sent to the Project Gutenberg Literary Archive Found
ation at the[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 address specified in Section 4, "Information about d
onations to[] 
 []

[275]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide a full refund of any money paid by a user w
ho notifies[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you in writing (or by e-mail) within 30 days of rece
ipt that s/he[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full
 refund of any[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 money paid for a work or a replacement copy, if a de
fect in the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work is discovered and reported to you wi
thin 90 days[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Proje
ct Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend
 considerable[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 effort to identify, do copyright research on, transcribe 
and proofread[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 corrupt data, transcription errors, a copyright or other 
intellectual[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 property infringement, a defective or damaged disk or oth
er medium, a[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except 
for the "Right[] 
 []

[276]
Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT
 WILL NOT BE[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL
, PUNITIVE OR[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBI
LITY OF SUCH[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 defect in this electronic work within 90 days of receivin
g it, you can[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 written explanation to the person you received the work f
rom.  If you[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 received the work on a physical medium, you must return t
he medium with[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 your written explanation.  The person or entity that prov
ided you with[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the defective work may elect to provide a replacement cop
y in lieu of a[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 refund.  If you received the work electronically, the per
son or entity[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 receive the work electronically in lieu of a refund.  If 
the second copy[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 is also defective, you may demand a refund in writing wit
hout further[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.4.  Except for the limited right of replacement or re
fund set forth[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' 
WITH NO OTHER[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT
 NOT LIMITED TO[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 warranties or the exclusion or limitation of certain type
s of damages.[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 If any disclaimer or limitation set forth in this agreeme
nt violates the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 law of the state applicable to this agreement, the agreem
ent shall be[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 interpreted to make the maximum disclaimer or limitation 
permitted by[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the applicable state law.  The invalidity or unenforceabi
lity of any[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 provision of this agreement shall not void the remaining 
provisions.[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the F
oundation, the[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works
 in accordance[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with this agreement, and any volunteers associated with t
he production,[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electr
onic works,[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 harmless from all liability, costs and expenses, includin
g legal fees,[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 that arise directly or indirectly from any of the followi
ng which you do[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or cause to occur: (a) distribution of this or any Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []

[277]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, (b) alteration, modification, or additions or delet
ions to any[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic works in formats readable by the widest variet
y of computers[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 assistance they need, are critical to reaching Project Gu
tenberg-tm's[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 remain freely available for generations to come.  In 2001
, the Project[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg Literary Archive Foundation was created to prov
ide a secure[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and permanent future for Project Gutenberg-tm and future 
generations.[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 To learn more about the Project Gutenberg Literary Archiv
e Foundation[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 3.  Information about the Project Gutenberg Liter
ary Archive[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax ide
ntification[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Proje
ct Gutenberg[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees a
re scattered[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-
1887, email[] 
 []

[278]
Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 increasing the number of public domain and licensed works
 that can be[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely distributed in machine readable form accessible by
 the widest[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 array of equipment including outdated equipment.  Many sm
all donations[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 considerable effort, much paperwork and many fees to meet
 and keep up[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 While we cannot and do not solicit contributions from sta
tes where we[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 have not met the solicitation requirements, we know of no
 prohibition[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 against accepting unsolicited donations from donors in su
ch states who[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 5.  General Information About Project Gutenberg-t
m electronic[] 
 []

[279]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Professor Michael S. Hart is the originator of the Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 concept of a library of electronic works that could be fr
eely shared[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 16976--16976
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Most people start at our Web site which has the main PG s
earch facility:[] 
 []

[280] (./32766-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
titlesec.sty    2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
titletoc.sty    2005/01/22 v1.5 TOC entries
 fixmath.sty    2000/04/11 v0.9 (WaS)
nicefrac.sty    1998/08/04 v0.9b Nice fractions
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 wasysym.sty    2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package
 accents.sty    2006/05/12 v1.3 Math Accent Tools
longtable.sty    2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
   ttlps.def    2005/01/22
supp-pdf.tex
ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
   uwasy.fd    2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions
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images/fig02.pdf
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    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
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  omscmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
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 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
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 56643 string characters out of 1165154
 127743 words of memory out of 1500000
 7380 multiletter control sequences out of 10000+50000
 26410 words of font info for 100 fonts, out of 1200000 for 2000
 646 hyphenation exceptions out of 8191
 34i,21n,38p,417b,333s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
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1/bluesky/cm/cmss12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy5.pfb></usr/share/tex
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 1443 PDF objects out of 1728 (max. 8388607)
 0 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 650 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

