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% Project Gutenberg's Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE ***
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%% PDF pages, excl. Gutenberg boilerplate:  164                          %%
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%% 2009-Aug-12 rwst. Compiled with TeXShop v. 2.26                       %%
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%% 2007-May-01 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
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%% August 2009, adhere (Andrew D. Hwang)                                 %%
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Project Gutenberg's Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Elemente der Absoluten Geometrie

Author: Johannes Frischauf

Release Date: August 26, 2009 [EBook #29806]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE ***
\end{verbatim}
\clearpage

\chapter*{}
\section*{Dank} %% Credits
\thispagestyle{empty}
\begin{verbatim}
Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
\end{verbatim}
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{\begingroup% stolen from titlepages package
\centering
\vspace*{0.14\textheight}
{\huge ELEMENTE}\\[1.5\baselineskip]
{\small DER}\\[2\baselineskip]
{\Huge ABSOLUTEN GEOMETRIE}\\[2\baselineskip]
{\small VON}\\[2\baselineskip]
{\Large\textsc{Dr.~J. FRISCHAUF},}\\[0.2\baselineskip]
{\tiny PROFESSOR A. D. UNIVERSITÄT GRAZ.}\\[\baselineskip]
\vfill
{\Large LEIPZIG.}\\[\baselineskip]
{\large DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.}\\[\baselineskip]
{\large 1876.}\\[\baselineskip]
%\vfill
%{EIN EBOOK VON PROJECT GUTENBERG}\par
\endgroup}
\clearpage
% LEIPZIG
% DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
%-----File: 004.png--------------------------------------------
%-----File: 005.png--------------------------------------------

\chapter*{Vorwort.}
\begin{center}\rule[1ex]{1cm}{.5pt}\end{center}
\thispagestyle{empty}
Die Grundlage der vorliegenden Schrift bildet meine vor
mehr als drei Jahren erschienene freie Bearbeitung von J.
\so{Bolyai}'s absoluter Raumlehre.\footnote
  {\so{Absolute Geometrie} nach J.~\so{Bolyai} bearbeitet. Leipzig,
  Verlag von B.~G. Teubner. 1872.}
Zu dieser Arbeit veranlasste
mich der damals in der »Zeitschrift für den mathematischen
und naturwissenschaftlichen Unterricht« in höchst
unduldsamer und leidenschaftlicher Weise geführte Streit über
die zweckmässigste Behandlung der Lehre von den Parallelen;
dadurch wollte ich Klarheit in diese wichtige Frage
bringen, namentlich das Unnütze der Beweis-Versuche für
das elfte euclidische Axiom darlegen.

Da gegenwärtig die richtige Ansicht über die Parallelen-Frage
in die meisten Kreise gedrungen ist, so glaubte ich,
dass eine vollständige Untersuchung der geometrischen Voraussetzungen
und eine übersichtliche Zusammenstellung der
Resultate der darauf bezüglichen Arbeiten nicht ohne Interesse
sein dürfte.

Die Literatur, soweit sie sich auf den hier in engen
Grenzen behandelten Stoff bezieht, konnte Dank der vielfachen
Unterstützung meiner Freunde ziemlich vollständig berücksichtigt
werden. Besonders dankend muss ich die Bereitwilligkeit
des Herrn Dr.\ J. \so{Hoüel} (Professor in Bordeaux)
rühmen, der mir nebst anderen wichtigen Schriften das
Manuscript seiner Uebersetzung des in russischer Sprache
erschienenen Hauptwerkes von \so{Lobatschewsky}'s »Neue
Principien der Geometrie nebst einer vollständigen Theorie
der Parallelen« für meine Studien zur Verfügung stellte.
%-----File: 006.png--------------------------------------------

Die Darstellungsweise wurde durch die Rücksicht bestimmt,
dass meine Schrift Lesern gewidmet sei, welche mit
der gewöhnlichen Behandlung der Geometrie vertraut, das
Bedürfniss einer Aufklärung der Dunkelheiten in den Principien
fühlen; diesen Zweck glaubte ich durch eine kurze,
alles überflüssige Detail vermeidende Schreibweise am besten
zu erreichen. Dass ich unter diesen Umständen bei der Wahl
der aus den Elementen als bekannt vorauszusetzenden Theorien
manchmal nach der einen oder anderen Richtung etwas
zu weit ging, möge der geehrte Leser entschuldigen. Als
das Endziel meiner Schrift halte ich die Erkenntniss des Einflusses
einer jeden einzelnen geometrischen Voraussetzung:
denn nur dadurch können die den verschiedenen Formen der
Erfahrung entsprechenden Theorien aufgebaut werden. Die
für die letzteren eben erwähnten Fragen höchst wichtigen
Untersuchungen von \so{Riemann} und \so{Helmholtz} fanden hier
eine ungleiche Berücksichtigung. Für die erstere suchte ich
durch erläuternde Bemerkungen und die Angabe der Schriften,
welche die bei Riemann unterdrückten Rechnungen enthalten,
dem Leser das Studium dieser Abhandlung zu erleichtern.
Die Arbeit von Helmholtz wurde (mit Ausnahme
der Schlussfolgerungen) hier desshalb vollständig mitgetheilt,
weil sie den Zusammenhang der analytischen und synthetischen
Voraussetzungen der Geometrie aufklärt, und weil es
möglich ist, die analytischen Entwicklungen in zwei wesentlichen
Punkten zu vereinfachen, wodurch diese Untersuchung
an Klarheit und Uebersichtlichkeit bedeutend gewinnt.

Bei der Correctur des Druckes wurde ich vom Herrn
A.~v.\ \so{Frank}, Lehrer an der hiesigen Gewerbeschule, auf
das freundlichste unterstützt, wofür ich ihm meinen innigsten
Dank ausspreche.

\so{Graz}, im März 1876.

\begin{flushright}
\so{Johannes Frischauf}.\mbox{\qquad}
\end{flushright}
%-----File: 007.png--------------------------------------------
\tableofcontents

%% Inhalt.
%%
%% Erstes Buch.
%%
%% Voraussetzungen und Grundgebilde.
%%                                             Seite
%%
%% Einleitende Bemerkungen ...................  1
%%
%% Kugelfläche und Kreislinie ...................  8
%%
%% Gerade und Ebene ......................  13
%%
%% Zweites Buch.
%%
%% Erster Abschnitt.
%%
%% Parallelen-Axiom und euclidische Geometrie.
%%
%% Das geradlinige Dreieck ....................  21
%%
%% Nichtschneidende Gerade in derselben Ebene, parallele Gerade  .  24
%%
%% Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden ...  28
%%
%% Zusammenhang der Parallelen und der Winkelsumme des Dreiecks  29
%%
%% Euclidische Geometrie .....................  30
%%
%% Zweiter Abschnitt.
%%
%% Nichteuclidische Geometrie.
%%
%% Historische Bemerkungen ...................  33
%%
%% Parallele, Nichtschneidende und Linien gleichen Abstandes ...  35
%%
%% Winkelsumme und Fläche des Dreiecks ............  38
%%
%% Unendlich ferne Punkte ....................  42
%%
%% Sätze aus der Stereometrie ..................  44
%%
%% Ebenen durch parallele Gerade ................  46
%%
%% Grenzfläche, Grenzlinie .....................  50
%%
%% Figuren auf der Grenzfläche .................  53
%%
%% Anwendung auf das geradlinige und sphärische Dreieck ....  55
%%
%% Verhältniss zweier Grenzbögen ................  56
%%
%% Beziehung zwischen Distanz und Parallelwinkel ........  58
%%
%% Linien und Flächen gleichen Abstandes ............  59
%%
%% Kreisumfang  .........................  61
%%
%% Ebene Trigonometrie .....................  62
%%
%% Unendlich kleine Figuren, absolute Geometrie im Sinne Bolyai's
%% und Lobatschewsky's ...................  65
%%
%% Aufgaben über Parallele und Nichtschneidende .........  68
%%
%% Punkt und Linien-Element in der Ebene ............  72
%%
%% Grenzlinie ..........................  73
%%
%% Gleichung der Geraden ....................  74
%%
%% Entfernung zweier Punkte .................... 79
%%
%% Kreis und Krümmung .....................  82
%%
%% Punkt und Linien-Element im Raume .............  85
%%
%% Gerade und Ebene ......................  86
%%
%% Andere Coordinaten-Systeme .................  88
%%
%% Flächenbestimmung ebener Figuren ..............  90
%%
%% Flächenbestimmung räumlicher Figuren ............  96
%%
%% Inhaltsbestimmung ......................  98
%%
%% Drittes Buch.
%%
%% Endlicher Raum und absolute Geometrie.
%%
%% Absolute Sphärik ..................... 101
%%
%% Planimetrie des endlichen Raumes ............... 105
%%
%% Absolute Geometrie ..................... 106
%%
%% Absolute Projektivität ................... 109
%%
%% Versinnlichung der Geometrie ................ 110
%%
%% Riemann's und Helmholtz's Raumtheorien .......... 120
%%
%% Anhang ........................... 134
%%
%-----File: 009.png--------------------------------------------



\chapter{Erstes Buch.}

\setcounter{page}{0}%
\pagenumbering{arabic}%

\subchapter{Voraussetzungen und Grundgebilde.}

\section{Einleitende Bemerkungen.}

\subsection{1.}

\thispagestyle{empty}

Die Erfahrung führt uns zur Idee, die Körper ohne Rücksicht
auf ihre besonderen Eigenschaften blos nach der Möglichkeit
der Zusammensetzung zu einem anderen und der
Zerlegung in Theile zu betrachten. Die Erfahrung lässt uns
auch erkennen, dass jeder Körper einen gewissen Raum einnimmt,
nämlich einen Theil des durch die Erfahrung gegebenen
Raumes. Dadurch gelangen wir zur Idee eines Raumes, in
welchem Körper sein können, aber nicht sein müssen. Dieser
Raum ist, da wir ihn durch das Wegdenken der in demselben
sich befindlichen Dinge erhalten, ein leerer Raum;
man nennt ihn desshalb auch den \so{idealen}.

In dem idealen Raume kann man sich einzelne Theile
denken, die durch die Körper der Erfahrung ausgefüllt werden
können. Diese Theile kann man unter einander gleichartig
voraussetzen --- weil sie eben durch keine bestimmten
Körper ausgefüllt sind. Den idealen Raum stellt man sich
daher überall gleichartig und ohne Unterbrechung zusammenhängend,
d.~i.\ \so{stetig} vor. Derselbe ist daher auch \so{theilbar}
bis zu beliebig kleinen Theilen.


\subsection{2.}

Ein aus dem (idealen) Räume ausgeschiedener (d.~i.\ für
sich betrachteter) Theil heisst ein (mathematischer) \so{Körper},
das ihn vom Gesammtraume Abgrenzende heisst die \so{Oberfläche}
des Körpers.
%-----File: 010.png--------------------------------------------

Durch einen Schnitt $\GothS$ kann ein Körper $\mathbf{K}$ in zwei Theile
$\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ zerlegt werden, welche letztere wieder durch Zusammenfügung
den ersten Körper $\mathbf{K}$ bilden. Man sagt: die
Körper $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ \so{berühren} sich im Schnitte $\GothS$. Der Schnitt
$\GothS$ heisst auch eine \so{Fläche}, die Körper $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ bestimmen
die entgegengesetzten Seiten derselben.

\begin{wrapfigure}{r}{2cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2cm,height=2cm]{images/fig01}
\end{wrapfigure}
Bei zwei Schnitten $\GothS$ und $\GothS'$ desselben Körpers $\mathbf{K}$
können zwei Fälle eintreten. Liegt der eine Schnitt vollständig
auf der einen Seite des ersten, so wird der dieser
Seite zugehörige Theil von $\mathbf{K}$ wieder in zwei, also der ursprüngliche
Körper in \so{drei} Theile zerlegt. Liegt jedoch der
eine Schnitt zu beiden Seiten des anderen, d.~h.\ geht er durch
den anderen Schnitt hindurch, so wird jeder der beiden Theilkörper
wieder in zwei Körper, also der ursprüngliche Körper
in \so{vier} Theile zerlegt. Die beiden Schnitte $\GothS$ und $\GothS'$ schneiden
sich in einer \so{Linie}~$l$, welche die \so{Durchschnittslinie}
der beiden Schnittflächen heisst. Sind $\mathbf{A}$ und
$\mathbf{B}$ die Theile von $\mathbf{K}$, erhalten durch den ersten
Schnitt $\GothS$, $\mathbf{A}'$ und $\mathbf{A}''$, $\mathbf{B}'$ und $\mathbf{B}''$ die Theile in
Folge eines zweiten Schnittes $\GothS'$ der zweiten
Art, so \so{berühren} sich die Körperpaare $\mathbf{A}'$
und $\mathbf{B}''$, $\mathbf{A}''$ und $\mathbf{B}'$, welche zu entgegengesetzten
Seiten der beiden Schnitte liegen, in der gemeinsamen Linie
$l$ dieser Schnitte.

Ein dritter Schnitt $\GothS''$ kann derart geführt werden, dass
er jeden der vier Theilkörper der beiden ersten Schnitte, also
auch die beiden ersten Schnitte selbst, mithin auch ihre
Durchschnittslinie in einem \so{Punkte}~$P$ schneidet. Der ursprüngliche
Körper $\mathbf{K}$ wird dadurch in \so{acht} Theile zerlegt;
je zwei Theil-Körper der vier Paare, welche zu entgegengesetzten
Seiten der drei Schnitte liegen, \so{berühren} sich in
dem Punkte~$P$.

Denkt man sich von den Theilen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ des Körpers
$\mathbf{K}$ fortgesetzt ohne Ende Theile abgeschnitten ohne den Schnitt
$\GothS$ zu treffen, so erhält man den Begriff der Fläche $\GothS$ als
eines selbstständigen Gebildes im Raume. In gleicher Weise
kann man von zwei Körpern, die sich in einer Linie $l$ berühren,
fortgesetzt Theile abschneiden, ohne diese Linie $l$ zu
treffen, und dadurch zum Begriffe der Linie im Raume gelangen.
%-----File: 011.png--------------------------------------------
Den Punkt im Raume kann man als das Endresultat
der Schnitte betrachten, die fortgesetzt an zwei in einem
Punkte sich berührenden Körpern derart geführt werden, dass
sie den Punkt nicht treffen.


\subsection{3.}

Die Oberfläche eines Körpers kann als der Inbegriff der
Schnitte, welche den Körper vom Raume abtrennen, betrachtet
werden. Jede Fläche kann daher als Theil der Oberfläche
eines Körpers angesehen werden, sie wird von letzterem durch
einen Inbegriff von Linien abgetrennt, welche der \so{Umfang}
der Fläche heisst. Wird eine Fläche durch einen Schnitt in
zwei Flächen zerlegt, so bestimmen die letzteren die beiden
entgegengesetzten Seiten der Linie, welche der Schnitt auf
der gegebenen Fläche bildet. Ein Schnitt trifft eine Linie
in einem Punkte, die beiden Theile der Linie bestimmen die
entgegengesetzten Seiten des Punktes.

Die entgegengesetzten Seiten der Oberfläche eines Körpers,
welche durch den Körper und den ihn umgebenden
Raum bestimmt sind, werden resp.\ die \so{innere} und die \so{äussere}
Seite der Oberfläche genannt. In gleicher Weise nennt
man die beiden entgegengesetzten Seiten des Umfanges einer
Fläche, welche durch die Fläche und den sie ergänzenden
Theil der Oberfläche des (hinzugedachten) Körpers bestimmt
sind, resp.\ die \so{innere} und die \so{äussere} Seite der Fläche.


\subsection{4.}

Punkt, Linie, Fläche und Körper sind die \so{Grundgebilde}
der Geometrie. Jedes Gebilde kann von einem Orte
des Raumes an einen anderen gebracht werden; zwei Gebilde,
etwa $A$ und $B$, welche sich nur durch die Orte, an denen
sie sich befinden, unterscheiden, werden \so{congruente} Gebilde
genannt und durch $A \cong B$ bezeichnet. Diese vorausgesetzte
Beweglichkeit ermöglicht die Einführung von Gebilden,
welche aus lauter congruenten Elementen in gleicher
Weise zusammengesetzt sind, und welche man »an allen
Stellen gleichartig« nennt. Zwei solche Gebilde können ohne
Rücksicht auf ihre Grenzen zur Deckung gebracht und mit
einander verglichen d.~i.\ gemessen werden. Man prüft z.~B.
%-----File: 012.png--------------------------------------------
eine an allen Stellen als gleichartig vorausgesetzte Fläche
hinsichtlich dieser Eigenschaft dadurch, dass jeder beliebige
Theil derselben durch Verschiebung auf der Fläche mit jedem
beliebigen Theil der ungeänderten Fläche zur Deckung gebracht
werden kann. Bei dieser Verschiebung fällt die äussere
oder innere Seite des verschobenen Theils resp.\ mit der
inneren oder äusseren Seite der ganzen betrachteten Fläche
zusammen. In gleicher Weise kann auf einer solchen Fläche
in einer an allen Stellen gleichartigen Linie jeder ihrer Theile
mit einem beliebigen anderen zur Deckung gebracht werden.
Beispiele hierzu sind die Kugelfläche und der auf ihr liegende
Kreis nach unseren gewöhnlichen Vorstellungen.

Eine Fläche heisst \so{umkehrbar}, wenn --- dieselbe zweimal
gedacht --- die inneren oder äusseren Seiten zur Deckung
gebracht werden können.

Zwei Gebilde, welche aus congruenten Theilen in beliebiger
Weise zusammengefügt sind, werden \so{gleich} genannt,
und zwar \so{inhaltsgleich} oder \so{flächengleich}, je nachdem
Körper oder Flächenräume in Betracht kommen.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Die Voraussetzung der Congruenz ist bei allen auf
Grössenbe\-stim\-mun\-gen bezüglichen Untersuchungen unerlässlich; denn
jede Grössenbestimmung setzt die Mög\-lich\-keit des Abtragens der Grösseneinheit
von einer (zu messenden) gegebenen Grösse, also die Unabhängigkeit
der Grössen vom Orte voraus.

Dieselbe Voraussetzung liegt auch der Arithmetik zu Grunde, ob
man nun die Zahl als das Ergebniss der wiederholten Setzung eines
Dinges oder als Beziehung eines Gliedes einer Reihe zu einem Anfangsgliede
betrachtet. Denn im ersteren Falle hat man eine Menge
identischer Objecte; im zweiten Falle gelangt man nur dann zum Zahl-Begriff,
wenn die Beziehung zwischen immer je zweien der Objecte
in der Reihe unverändert bleibt. In beiden Fällen hat man es also
mit Identitäten zu thun. Die Anwendung der Rechnung auf die Geometrie
setzt also vor allem anderen die Möglichkeit der Congruenz
voraus.

Die Messung der Raumgrössen beruht auf der Voraussetzung der
Zusammensetzung aus congruenten Elementen. Es werden daher alle
Linien aus congruenten Linien-Ele\-men\-ten, alle Flächen aus congruenten
Flächen-Elementen und consequentermassen alle Körper aus congruenten
Körper-Elementen zusammengesetzt betrachtet.\footnote
  {Ausführlichere Untersuchungen über die mathematischen Voraussetzungen
sollen im dritten Buche folgen.}
\end{Small}
%-----File: 013.png--------------------------------------------

\subsection{5.}

Die Gebilde werden in \so{begrenzte} und \so{unbegrenzte},
\so{endliche} und \so{unendliche} unterschieden. Der Ausgang
dieser Benennung stammt von dem Reihenbegriffe. Eine \so{Reihe}
ist der Inbegriff von Grössen $A$, $B$, $C$,~.~.\ $K$, $L$, $M$,~.~.\ in welchem
jede einzelne Grösse d.~i.\ jedes Glied, etwa $L$, nach
einem und demselben Bildungsgesetze durch seine Beziehung
zu seinem vorausgehenden $K$ oder nachfolgenden $M$ bestimmt
ist. Die Möglichkeit des successiven Ueberganges durch alle
Glieder einer Reihe findet auch bei den geometrischen Gebilden
statt; man kann von einem Theil eines Gebildes zum
nächsten, u.~s.~w.\ übergehen, d.~h.\ die auf einander folgenden
Theile des Gebildes als die Glieder einer Reihe betrachten.
Es genügt daher die oben angeführten Unterschiede bei den
Reihen zu erörtern.

Eine Reihe heisst \so{unbegrenzt}, wenn man --- ohne
Umkehrung des Uebergangsprocesses --- fortgesetzt von einem
Gliede zu einem nächsten übergehen kann. Gelangt man bei
diesem Uebergang zum Ausgangs-Gliede zurück, so ist die
Reihe eine \so{endliche}; gestattet jedoch die Reihe ein fortgesetztes
Uebergehen von einem Gliede zu einem andern,
ohne dass man zu einem früheren Gliede zurückkommt, so
heisst die Reihe eine \so{unendliche}. Als Beispiel einer endlichen
(unbegrenzten) Reihe können die (gleichen) Theile
einer Kreislinie dienen; als unendliche Reihe erscheint die
unbegrenzt fortgesetzte Reihe der ganzen Zahlen. Jede unendliche
Reihe ist unbegrenzt, da man in einer solchen
Reihe fortgesetzt von einem Gliede zu einem anderen übergehen
kann.

Dem idealen Raume wird mit Recht die Eigenschaft der
»Unbegrenztheit« zugesprochen. Denn eine Grenze würde
eine Ungleichheit mit den übrigen Theilen voraussetzen, was
unseren Vorstellungen widerspricht. Daraus folgt keineswegs
die Unendlichkeit des Raumes, letztere Eigenschaft müss\-te
erst besonders nachgewiesen werden.

\begin{Small}
\so{Anmerkung 1.} Die Unterscheidung zwischen »unbegrenzt« und
»unendlich« \linebreak wurde zuerst von B.~\so{Riemann} in seiner Habilitationsschrift
»Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen«
(vorgelesen zu Göttingen am 10.~Juni 1854) gemacht. Berücksichtigt
%-----File: 014.png--------------------------------------------
man, dass im Unbegrenzten in Folge des fortgesetzt wiederholten
Uebergangs-Processes auch das Moment des Unendlichen vorkommt,
indem zur Darstellung dieser Wiederholung die Reihe der
ganzen Zahlen gewählt werden kann, so darf man sich nicht wundern,
wenn mit der Unbegrenztheit des Raumes demselben auch zugleich
die Eigenschaft der Unendlichkeit zuerkannt wurde.

\so{Anmerkung 2.} Die Eigenschaften des idealen Raumes sind
durch die in ihm befindlichen Gebilde bedingt. Es ist mindestens
in der Geometrie unnütz, ihm andere Eigenschaften noch zuzusprechen.
Man wird daher den idealen Raum dann als unendlich voraussetzen,
wenn unendliche Gebilde in Betracht gezogen werden.
\end{Small}

\subsection{6.}

Aus den Erklärungen des vor.\ Art.\ folgt:

\begin{itemize}
\item[a)] Die Oberfläche eines vollständig begrenzten Körpers kann
als eine unbegrenzte Fläche betrachtet werden. Gleiches
gilt auch von dem Umfang einer Fläche eines Körpers.

\item[b)] Sind auf einer Fläche zwei unbegrenzte Linien gegeben,
und schneidet die eine den Umfang der durch die andere
bestimmten Fläche einmal, so muss sie denselben
mindestens nochmals schneiden. Denn im Momente des
Schneidens geht die unbegrenzte schneidende Linie aus
dem Aeussern ins Innere der Fläche, sie muss also, um
zu den Punkten im Aeussern wieder zurückzukehren,
den Umfang beim Austritte nochmals schneiden.
\end{itemize}

Da die unbegrenzte schneidende Linie nach dem Austritte
die Fläche der zweiten Linie nochmals schneiden kann,
u.~s.~w., so gilt allgemein der Satz: Zwei unbegrenzte Linien
auf derselben Fläche schneiden sich in einer geraden Anzahl
von Punkten, wenn sie sich einmal schneiden.
\begin{itemize}
\item[c)] Analog wie in b) wird bewiesen: Eine unbegrenzte Linie
schneidet die Oberfläche eines Körpers in einer geraden
Anzahl von Punkten, wenn sie dieselbe einmal schneidet.
\end{itemize}

\subsection{7.}

Die Aufgabe der Geometrie besteht in der Erforschung
der Eigenschaften der Gebilde, sowol
der einfachen unmittelbar
gegebenen, als auch solcher, welche aus diesen durch
Verbindung und unter Voraussetzung des Congruenz-Axioms
erhalten werden. Man beginnt ihre Entwicklung gewöhnlich
derart, dass man gewisse einfache Gebilde durch ihre Definitionen
%-----File: 015.png--------------------------------------------
einführt. Es wird die Existenz von Linien und
Flächen, die resp.\ aus congruenten Theilen zusammengesetzt
sind, vorausgesetzt. Nennt man, wie dies fast allgemein geschieht,
\so{Gerade} diejenige Linie, die durch zwei Punkte bestimmt
ist --- die also aus congruenten Stücken zusammengesetzt,
mithin an allen Stellen gleichartig ist ---, ferner
\so{Ebene} diejenige Fläche, dass die geradlinige Verbindung
zweier Punkte vollständig in ihr liegt; so sind mit der Unbegrenztheit
und Unendlichkeit der Geraden die Unbegrenztheit
und Unendlichkeit der Ebene ausgesprochen. Da die
Unbegrenztheit des idealen Raumes aus dessen Gleichartigkeit
an allen Theilen folgt, so kann der Geraden, also auch
der Ebene die Eigenschaft der Unbegrenztheit zuerkannt
werden. Die Eigenschaften der Endlichkeit und Unendlichkeit
müssen besonders vorausgesetzt werden, und daher die bezüglichen
Formen der Geometrie einzeln entwickelt werden.

An der Stelle dieses gewöhnlichen Verfahrens sollen
diese Gebilde aus einfacheren Voraussetzungen hergeleitet werden,
wodurch auch ihre Eigenschaften vollständiger und naturgemässer
entwickelt werden.

\begin{Small}
\so{Anmerkung 1.} Diese Ableitung wurde in gelungener Weise
zuerst von W.~\so{Bolyai} und \so{Lobatschewsky} durchgeführt. Der
Grundgedanke, welcher bereits von \so{Leibniz} (s.~Uylenbrök »Christiani
Hugenii aliorumque seculi XVII virorum celebrium exercitationes mathematicae
et philosophicae« Hagae MDCCCXXXIII, Fasc.~II, p.~8) bei
der Erklärung der geometrischen Orte angedeutet wurde, besteht in
Folgendem: Um die Ebene zu erhalten, denke man sich von zwei
Punkten $O$ und $O'$ (als Mittelpunkte) fortgesetzt (concentrische) Kugelflächen
mit (demselben aber) immer grösser werdenden Radius beschrieben.
Der Inbegriff der Durchschnittslinien je zweier Kugelflächen
mit gleichem Radius ist eine \so{Ebene}. Dreht man die sämmtlichen
Durchschnittslinien d.~h.\ Kreise um die durch die Endpunkte eines
Durchmessers eines dieser Kreise bestimmte Gerade als Axe, so bleiben
bei dieser Bewegung die Punkte der Axe in Ruhe, während alle
übrigen Punkte der Ebene ihre Lage verändern.

Die ziemlich übereinstimmende Darstellung der beiden oben genannten
Mathematiker wurde auch in dieser Schrift befolgt.

\so{Anmerkung 2.} Die Versinnlichung von geometrischen Figuren
und ihren Beziehungen durch Zeichnung hat nur den Zweck, eine
Uebersicht der Lagenverhältnisse und der Anordnung im Allgemeinen
zu vermitteln. Daraus folgt, dass es nicht nöthig ist, die wahren Dimensionen
(oder deren Verhältnisse) der Figuren durch eine Zeichnung
%-----File: 016.png--------------------------------------------
darzustellen --- was für räumliche Gebilde auch unmöglich ist ---;
sondern es genügt, wenn die Linien, Winkel,~.~.\  der Figur durch Linien,
Winkel,~.~.\ in der Zeichnung versinnlicht sind, ohne dass man
sich zu sehr um die Richtigkeit der einzelnen Verhältnisse zu kümmern
braucht. Diese Verzerrung kann sogar in den einzelnen Theilen
der Zeichnung wechseln; namentlich für diejenigen Theile der Figur,
welche in der vorliegenden Untersuchung gar nicht in Betracht kommen,
kann die Abweichung ziemlich bedeutend werden, während es
zweckmässig ist, von den in Untersuchung gezogenen Theilen der Figur
eine möglichst richtige Zeichnung zu liefern. Diese beiläufige Andeutung
der Lagenverhältnisse der Figuren findet in der absoluten
Geometrie häufig statt. Aber auch in den angewandten mathematischen
Wissenschaften verfährt man ja auf dieselbe Art. Z.~B. Die nahezu
kreisförmigen Planetenbahnen werden bei der Untersuchung der elliptischen
Bewegung durch stark excentrische Ellipsen, hingegen, wenn
es sich um die Anordnung der Bahnen im Sonnensystem handelt, durch
Kreise, deren Radien nicht in den Verhältnissen der mittleren Entfernungen
stehen, sondern so gewählt werden, dass man eine bequeme
Zeichnung erhält, versinnlicht.
\end{Small}

\section{Kugelfläche und Kreislinie.}

\subsection{8.}

Um die gegenseitige Lage zweier Punkte $A$ und $B$ zu
fixiren, denke man sich dieselbe durch eine beliebige feste
Linie (die man sich nach Art.~2 aus einem Körper geschnitten
denken kann) verbunden. Diese Verbindung soll durch $\overline{AB}$
bezeichnet werden. Sind die Punkte $A$, $B$, $C$,~.~.\ eines Gebildes
durch beliebige Paare Linien in feste Verbindung gesetzt,
was durch $\overline{ABC}$~.~.\ ausgedrückt werden soll, so kann dieses
Gebilde aus irgend einem Theile des Raumes in einen anderen
Raum-Theil übertragen werden. Sind nach Ausführung
dieser Uebertragung $A'$, $B'$, $C'$,~.~.\ die entsprechenden Punkte
des Gebildes in dem anderen Raumtheil, so nennt man nach
Art.~4 die Gebilde $\overline{ABC}\dots$ und $\overline{A'B'C'}\dots$
\so{congruent} und
bezeichnet dies durch $\overline{ABC}\dots\cong\overline{A'B'C'}\dots$.

Sind $A$ und $B$, $A'$ und $B'$ zwei Punktpaare im Raume
von der Eigenschaft, dass $\overline{AB}\cong\overline{A'B'}$ ist, so sagt man: die
Punkte $A'$ und $B'$ haben \so{gleichen Abstand} mit den
Punkten $A$ und $B$.

Der Inbegriff aller Punkte $M$, welche von einem gegebenen
Punkt $O$ gleichen Abstand haben, heisst eine \so{Kugelfläche}.
%-----File: 017.png--------------------------------------------
Diese ist an allen Stellen gleichartig, stetig und
theilt den Raum in zwei Bestandteile: in einen allseitig begrenzten
und einen unbegrenzten. Jeder Punkt des begrenzten
Theils kann nur in den unbegrenzten gelangen, wenn er
durch die Kugelfläche geht. Der Punkt $O$ heisst der \so{Mittelpunkt},
der unveränderliche Abstand der Punkte $O$ und $M$ ---
durch $OM$ bezeichnet --- der \so{Radius} der Kugelfläche. Der
durch die Kugelfläche abgegrenzte (körperliche) Raum wird
eine \so{Kugel} genannt.

Durch den Mittelpunkt und den Radius ist die Kugelfläche,
also auch die Kugel \so{eindeutig} bestimmt.

Zu jeder Kugelfläche kann man sich aus demselben Mittelpunkte
eine zweite die erstere einschliessende denken, man
sagt dann: die zweite hat einen \so{grösseren} Radius als die erste.

Zwei Theile von Kugelflächen mit verschiedenen Radien
können nicht (ohne Rücksicht auf die Grenzen) zur Deckung
gebracht werden. Denn ergänzte man diese Theile zu ihren
Kugelflächen, so müssten im Falle der Möglichkeit der Deckung
der Theile auch die ganzen Kugelflächen sich decken können.


\subsection{9.}

Zwei Kugelflächen $\GothS$ und $\GothS'$ mit verschiedenen Mittelpunkten
$O$ und $O'$, von denen die eine theilweise innerhalb,
theilweise ausserhalb der andern liegt, schneiden sich in einer
Linie $k$, welche eine \so{Kreislinie} genannt wird. Die Kreislinie
ist (nach dem Grundsatze »gleiche Bestimmungen erzeugen
Gleiches«) an allen Stellen gleichartig. Daraus folgt:
\begin{itemize}
\item[a)] Sind $M$ und $N$ zwei beliebige Punkte der Kreislinie,
so kann das Gebilde $\overline{OO'M}$ mit dem Gebilde $\overline{OO'N}$
zur Deckung gebracht werden.
\item[b)] Denkt man sich von einem ihrer Punkte, etwa $A$, zwei
Punkte $M$ und $M'$ nach entgegengesetztem Sinne in
gleicher Weise bewegt, so treffen sie in einem Punkte
$B$ derart zusammen, dass sie durch die beiden Punkte
$A$ und $B$ in zwei congruente Theile zerlegt wird. Man
sagt: die Kreislinie ist von $A$ aus in $B$ halbirt.
\end{itemize}

In ähnlicher Weise kann jedes der beiden Stücke $AMB$
und $AM'B$ in zwei congruente Theile zerlegt werden, u.~s.~w.,
%-----File: 018.png--------------------------------------------
d.~h.\ man kann sich die Kreislinie aus congruenten Stücken
bestehend denken.

Jede der beiden Kugelflächen $\GothS$ und $\GothS'$ wird durch die
Kreislinie $k$ in zwei Flächen-Segmente zerlegt; es seien $\mathfrak{B}$ und
$\mathfrak{B'}$ die Segmente von $\GothS$. Das von der Fläche $\GothS'$ eingeschlossene
Segment, etwa $\mathfrak{B}$, wird mit der stetigen Vergrösserung
des Radius der Kugelfläche $\GothS'$ so lange stetig wachsen, bis
die ganze Fläche $\GothS$ von der Fläche $\GothS'$ eingeschlossen ist.
Durch stetige Verminderung des Radius von $\GothS'$ wird das eingeschlossene
Segment $\mathfrak{B}$ der Fläche $\GothS$ bis zum Verschwinden
abnehmen, in welchem Momente die beiden Flächen $\GothS$
und $\GothS'$ sich berühren\footnote
  {Ob diese Berührung in einem oder in mehreren Punkten stattfindet,
  wird im Folgenden erwiesen.}
und zwar von \so{innen} oder von
\so{aussen}, je nachdem der Punkt $O'$ im Inneren oder Aeusseren
der Kugelfläche liegt. Bei fortgesetzter Abnahme des
Radius der Fläche $\GothS'$ wird die zugehörige Kugel entweder
ganz innerhalb oder ganz ausserhalb der Fläche $\GothS$ liegen.
Daraus folgt, dass eine Fläche $\GothS'$ existiren muss, für welche
die beiden Segmente $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{B'}$ einander gleich werden; die
zugehörige Kreislinie $k$ halbirt also die Fläche $\GothS$ und wird
dann eine \so{Hauptlinie} dieser Fläche genannt.

\subsection{10.}

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4cm,height=4cm]{images/fig02}
\end{wrapfigure}
Es sei $\mathfrak{B}$ das kleinere Segment der Kugelfläche $\GothS$. Von
einem beliebigen Punkt $C$ der Linie $k$ lasse man einen Punkt
$D$ in der Linie $k$ bewegen und beschreibe
aus $C$ mit dem jedesmaligen Radius $CD$
eine Kugelfläche; diese schneidet die Fläche
$\GothS$ in einer Kreislinie $l$ und bestimmt in
der Linie $k$ auf der mit $D$ entgegengesetzten
Seite des Punktes $C$ einen Punkt
$D'$ derart, dass $CD = CD'$ ist. Das auf
dem Segmente $\mathfrak{B}$ liegende Stück $DD'$ der
Kreislinie $l$ halbire man im Punkte $M$ (indem man von $D$
und $D'$ aus Punkte in gleicher Weise bewegen lässt, welche
in der Mitte $M$ zusammentreffen). Diese Punkte $M$ construire
man stetig vom Radius Null bis zu jenem Radius,
%-----File: 019.png--------------------------------------------
der durch die beiden Punkte $C$ und $C'$, wo $C'$ der zu $C$ zugehörige
Halbirungspunkt von $k$ ist, bestimmt wird. Der Inbegriff
aller Mitten $M$ ist eine stetige Linie $m$, welche sich
in allen Punkten der Linie $k$ auf gleiche Weise errichten
lässt, so dass ein Punkt $C$ in der Linie $k$ gehend sie auf der
Fläche $\GothS$ mitführen kann. Jeder Punkt der Linie $m$ bleibt
bei dieser Bewegung entweder an demselben Ort, d.~h.\ ist ein
Ruhepunkt, oder er ist hinsichtlich der Punkte $O$ und $O'$
gleich bestimmt und bildet daher auf der Fläche $\GothS$ eine Kreislinie.
Ein Ruhepunkt $R$ muss existiren; denn sonst wäre eine
letzte Kreislinie vorhanden, auf welche man wieder das vorige
Verfahren der Construction der Linie $m$ anwenden könnte.
Durch die Bewegung der Linie $CR$ auf der Fläche $\GothS$ bis
zur Rückkehr des Punktes $C$ wird das ganze Segment $\mathfrak{B}$ beschrieben.
Daraus folgt, dass auf dem Segment $\mathfrak{B}$ kein zweiter
Ruhepunkt $T$ existiren kann, weil sonst dasselbe Segment $\mathfrak{B}$
durch die Bewegung der Linien $CR$ und $CT$ beschrieben
würde.

Die Linie $m$ erstreckt sich vom Punkte $C$ an durch den
Punkt $R$ hindurch bis zum Punkte $C'$; im Punkte $R$ wird
die Linie $m$ halbirt, so dass also $CR = C'R$ ist. In gleicher
Weise wird durch diese Linie die Fläche $\mathfrak{B}$ halbirt.

Sind die beiden Segmente $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{B}'$ einander gleich, so
kann man durch Halbiren des auf dem Segmente $\mathfrak{B}'$ liegenden
Stückes $CD$ der jedesmaligen Kreislinie $l$ einen Inbegriff
von Punkten $M'$ erhalten, welcher ebenfalls eine stetige Linie
$m'$ bildet, durch deren Bewegung das Segment $\mathfrak{B}'$ beschrieben
werden kann und für welche ebenfalls ein Ruhepunkt $R'$
existirt. Die Linienstücke $CR$ und $CR'$ zusammen erzeugen,
während der Punkt $C$ durch die ganze Kreislinie $k$ hindurch
bewegt wird, die ganze Fläche $\GothS$. Bei dieser Bewegung
bleiben die Punkte $R$ und $R'$ in Ruhe; während jeder andere
Punkt dieser Linie eine Kreislinie beschreibt.

Man nennt jede Bewegung eines Gebildes, bei welcher
gewisse Punkte des Gebildes in Ruhe bleiben, eine \so{Drehung}.
Die Drehung kann bis zur Rückkehr in die Anfangslage fortgesetzt
werden; den durchlaufenen Weg nennt man eine \so{Umdrehung}
des Gebildes um die festen Punkte, und die durch
Umdrehung einer Linie erzeugte Fläche eine \so{Rotationsfläche}.
%-----File: 020.png--------------------------------------------
Aus dem Vorhergehenden erhellt, dass die Kugelfläche
als eine Rotationsfläche betrachtet werden kann.


\subsection{11.}

Als Umkehrung des vorigen Art.\ gilt folgender Satz:
Sind $O$ und $O'$ zwei fest verbundene Punkte, sind ferner $A$
und $B$ zwei verschiedene Punkte des Raumes derart, dass
\[
  \overline{OA}  = \overline{OB},\quad
  \overline{O'A} = \overline{O'B}
\]
ist, so schneiden sich die aus den Mittelpunkten $O$ und $O'$
mit den resp.\ Radien $OA$ und $O'A$ beschriebenen Kugelflächen
$\GothS$ und $\GothS'$ in einer Kreislinie, in welcher die beiden
Punkte $A$ und $B$ liegen; es kann daher der Punkt $A$ in dieser
Kreislinie durch den Punkt $B$ hindurch bis zur Rückkehr
bewegt werden\footnote
  {Man kann diesen Satz nicht als evident erklären, ohne die Voraussetzung
  zu machen, dass zwei Kugelflächen nicht zwei Punkte gemein
  haben können, ohne sich zu schneiden.}.

Es seien die Radien $OA$ und $O'A$ einander gleich. Ist
$L$ ein Punkt von $\GothS$, welcher ausserhalb der Kugelfläche $\GothS'$
liegt, so beschreibe man mit einem Radius, welcher zwischen
$O'A$ und $O'L$ liegt, eine Kugelfläche $\GothS''$, welche die Kugelfläche
$\GothS$ in einer Kreislinie $k$ schneidet.

Sind die beiden Radien $OA$ und $O'A$ ungleich, und ist
$O'A$ der kleinere Radius, so beschreibe man aus $O'$ mit dem
Radius gleich OA eine Kugelfläche $\GothS''$, welche die Kugelfläche
$\GothS$ in einer Kreislinie $k$ schneidet.

Die Punkte $A$ und $B$ liegen gleichzeitig in einem der
beiden Segmente $\mathfrak B$ und $\mathfrak B'$, in welche die Fläche $\GothS$ durch
die Kreislinie $k$ zerlegt wird. Construirt man daher eine
Linie $m$, so muss der Punkt $A$ vom Ruhepunkt $R$ verschieden
sein, weil sonst auch $B$ mit $R$ identisch sein müsste, was
gegen die Voraussetzung ist, dass $A$ und $B$ verschiedene
Punkte sind. Jedem der Punkte $A$ und $B$ entspricht daher
bei der Bewegung von $m$ eine Kreislinie, diese beiden Linien
müssen (der gleichen Bestimmung von $A$ und $B$ gegen $O$
und $O'$ wegen) mit einander identisch sein.

\Paragraph{Zusatz.} Aus dem eben bewiesenen Satze erhellt, dass
zwei Kugelflächen sich nur in \so{einem} Punkte berühren
können.
%-----File: 021.png--------------------------------------------


\section{Gerade und Ebene.}

\subsection{12.}

Es sei $O$ der Mittelpunkt einer Kugelfläche $\GothS$, $O'$ ein
beliebiger Punkt derselben: aus dem Punkt $O'$ als Mittelpunkt
beschreibe man mit dem Radius $O'O$ eine zweite Kugelfläche
$\GothS'$; beide Kugeln sind von einander verschieden und jede
liegt theilweise innerhalb, theilweise ausserhalb der anderen,
sie schneiden sich daher in einer Kreislinie $k$. Ebenso schneiden
sich die beiden Kugelflächen $\Sigma$ und $\Sigma'$, welche aus den
Mittelpunkten $O$ und $O'$ mit gleichen Radien $>OO'$ beschrieben
werden, in einem Kreise $\varkappa$; denn alle Punkte der
Kugelfläche $\GothS'$, also auch der Kugel $\Sigma'$, welche innerhalb
der Kugelfläche $\GothS$ liegen, liegen auch innerhalb der Fläche $\Sigma$.

Das soeben erhaltene System von Kugeln, Kugelflächen
und Kreislinien wird nicht geändert, wenn man die Mittelpunkte
$O$ und $O'$ sammt ihren Kugelflächen vertauscht.

Daraus folgt: Ist A ein beliebiger Punkt der Kreislinie
$k$ der Flächen $\GothS$ und $\GothS'$, $B$ der zu $A$ zugehörige Halbirungspunkt
von $k$, so können die Mittelpunkte $O$ und $O'$ sammt
ihren Kugeln um die ruhenden Punkte $A$ und $B$ derart bewegt
werden, dass der Punkt $O$ nach $O'$ und der Punkt $O'$
nach $O$ kommt; dabei fällt die Kreislinie $k$ mit ihrer ursprünglichen
Lage zusammen. Aber auch in jeder Kreislinie $\varkappa$
eines jeden Flächenpaares $\Sigma$ und $\Sigma'$ gibt es ein Punktpaar
$P$ und $Q$, welches bei dieser Bewegung in Ruhe bleibt, so
dass, wenn $M$ einer dieser beiden Punkte ist, es keinen von
$M$ verschiedenen Punkt $M'$ gibt derart, dass $\overline{ABM} \cong \overline{ABM'}$
ist. Ein solcher Punkt $M$ wird ein \so{Einziges} von $AB$ genannt.\footnote
  {Benennung von W. \so{Bolyai}.}

\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.5cm,height=2cm]{images/fig03}
\end{wrapfigure}
Diese Punktpaare $P$ und $Q$ werden für jede Kreislinie $\varkappa$
auf die folgende Art bestimmt: Ist $K$ ein beliebiger Punkt
von $\varkappa$ und nicht ein Einziges von $\overline{AB}$, so kann nach
Art.~11 $K$ um $\overline{AB}$ bis zur Rückkehr bewegt werden. Bei
der oben erwähnten Bewegung des Kugelsystems falle der
Punkt $K$ nach $K'$; durch diese Punkte wird die Linie
%-----File: 022.png--------------------------------------------
$\varkappa$ in zwei Theile zerlegt: es sei $P$ die
Mitte des einen und $Q$ die Mitte des
anderen; die Punkte der Linie $PK$ fallen
in der neuen Lage mit den Punkten $PK'$
der ursprünglichen Lage zusammen, die
Punkte $P$ und $Q$ sind die Ruhepunkte der
Drehung.

Die Punkte $P$ folgen von einem der Punkte $A$ oder $B$,
etwa von $A$, und die Punkte $Q$ von $B$ an, stetig auf einander,
wenn die Flächenpaare $\Sigma$ und $\Sigma'$ stetig, vom Flächenpaare
$\GothS$ und $\GothS'$ an, auf einander folgen.

Die zwischen den Punkten $A$ und $B$ dieser beiden Linien
befindliche Lücke kann dadurch ausgefüllt werden, dass man
fortgesetzt Kugelflächen $\Sigma$ und $\Sigma'$ mit stetig kleiner werdenden
Radien beschreibt. Die Reihe dieser Radien beginnt von
$OO'$ an und endet mit dem kleinsten Radius, in dem Momente,
wo die beiden Flächenpaare sich berühren. Durch
Bestimmung der Ruhepunkte erhält man ein Linienstück
$AB$, welches mit den (unbegrenzten) Linien $AP$ und $BQ$
eine einzige unbegrenzte Linie bildet, welche die Eigenschaft
hat, dass sie sämmtliche Ruhepunkte des Kugelsystemes enthält,
welches durch die fortgesetzten Kugelflächenpaare $\Sigma$
und $\Sigma'$ bestimmt ist.

\subsection{13.}

Im vorigen Art.\ ist die Existenz von Linien nachgewiesen,
welche ihre Lage nicht ändern, wenn sie in zwei
Punkten festgehalten werden. Diese versuchte Lagenänderung
ist derart zu verstehen, dass eine solche Linie, wenn
sie zugleich einem Flächen- oder Körpergebilde angehörig
ist, bei der Bewegung des Gebildes (um die festen Punkte)
lauter Ruhepunkte enthält. Jede Linie von der erwähnten
Eigenschaft wird eine \so{Gerade} genannt.

Zwei Gerade $g_1$ und $g_2$, welche zwei Punkte $M$ und $N$
gemeinsam haben, fallen in allen Punkten zusammen. Denn
bringt man die beiden Geraden mit der durch das Kugelsystem
der Punkte $O$ und $O'$ des vorigen Art.\ bestimmten
Geraden $g$ in eine solche Lage, dass die gemeinsamen Punkte
$M$ und $N$ in diese Gerade $g$ fallen, so müssen sämmtliche
%-----File: 023.png--------------------------------------------
Punkte der Geraden $g_1$ und $g_2$ mit den Punkten der Geraden
$g$ zusammenfallen. Denn im entgegengesetzten Falle müssten
die Punkte der Geraden $g_1$ oder $g_2$ oder beider Geraden,
welche ausserhalb der Geraden $g$ fallen, als Punkte des
Kugelsystems betrachtet bei der Bewegung von $O$ und $O'$
von den Ruhepunkten verschieden sein.

Die Gerade kann aus congruenten Stücken zusammengesetzt
gedacht werden, nach den beiden entgegengesetzten
Richtungen ins Unbegrenzte ver\-län\-gert und jedes zwischen
zwei Punkten enthaltene Stück, welches eine \so{Strecke} genannt
wird, ins Unbegrenzte getheilt werden.

Der \so{Abstand} zweier Punkte wird durch die zwischen
ihnen enthaltene Strecke bestimmt.

\subsection{14.}

\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.5cm,height=2.5cm]{images/fig04}
\end{wrapfigure}
Der Inbegriff aller Kreislinien $\varkappa$, welche als die Schnitte
der Flächenpaare $\Sigma$ und $\Sigma'$ erscheinen, bildet eine Fläche,
welche eine \so{Ebene} genannt wird. Dieselbe kann durch
Bewegung der Geraden $PABQ$ (d.~i.\ durch Bewegung der
Kugelflächen um die Punkte $O$ und $O'$) erzeugt werden.
Daraus erhellt, dass die Ebene vermittelst der Geraden auf
die folgende Art erhalten werden kann: Eine Kreislinie als
Durchschnittslinie zweier gleicher Kugelflächen werde in den
Punkten $A$ und $B$ halbirt. Durch die Punkte
$A$ und $B$ ist eine Gerade bestimmt; es sei
ferner $C$ die Mitte der Strecke $AB$. Eine
der beiden Hälften der Kreislinie werde in
$D$ halbirt, so ist durch die Punkte $C$ und $D$
eine zweite Gerade $CD$ bestimmt, welche
\so{senkrecht} auf der Geraden $AB$ genannt wird. Dreht man
die erhaltene Figur um $AB$, so beschreibt die Gerade $CD$
eine \so{Ebene}.

Die Ebene ist eine umkehrbare Fläche. Vertauscht man
nämlich die Punkte $O$ und $O'$ sammt ihren Kugelflächen
untereinander, so fallen die Kreislinien $\varkappa$ wieder zusammen.
Für die eben erwähnte Erzeugung der Ebene denke man sich
die vorige Figur nochmals und lege sie mit der ersten so zusammen,
dass die Geraden $AB$ und $BA$ sich decken; dann
werden auch die beiden Ebenen sich decken. Die beiden
%-----File: 024.png--------------------------------------------
(entgegengesetzten) Seiten der Ebene sind daher gleichartig;
jedem Punkt des Raumes auf der einen Seite der Ebene
entspricht ein gleichliegender Punkt auf der entgegengesetzten
Seite.

Die Gerade $AB$ heisst »senkrecht auf der Ebene im
Punkte $C$«.

\subsection{15.}

Für die Entwicklung der übrigen fundamentalen Eigenschaften
der Ebene sind einige vorbereitende Sätze nöthig.

Durch drei Punkte und die drei von je zwei Punkten
bestimmten Strecken ist ein Gebilde bestimmt, welches ein
\so{Dreieck} genannt wird. Die drei Strecken heissen die \so{Seiten}
des Dreiecks. Aus Art.~11 folgt, dass zwei Dreiecke,
welche die drei Seiten wechselweise gleich haben, congruent
sind.

Zwei von einem Punkte $A$ ausgehende Gerade $AB$ und
$AM$ bilden einen \so{Winkel}; der gemeinsame Punkt heisst
der \so{Scheitel}, die von ihm ausgehenden Geraden heissen
die \so{Schenkel} des Winkels, derselbe wird durch $MAB$
oder $BAM$ bezeichnet. Werden die Schenkel als starre
(d.~i.\ feste) Linien gedacht, so kann der Winkel an einen
beliebigen anderen Ort des Raumes gebracht werden; bleibt
der Scheitel $A$ und \so{ein} Schenkel $AB$ ungeändert, so ist die
Lagenänderung eine Drehung des zweiten Schenkels $AM$ um
den ersten $AB$. Wegen der Gleichartigkeit und Stetigkeit
des Raumes wird durch die Umdrehung des bewegten
Schenkels eine zusammenhängende Fläche (Kegelfläche) beschrieben;
sind $M$ und $N$ zwei beliebige Punkte derselben,
so sind die Winkel $MAB$ und $NAB$ einander gleich. Umgekehrt:
Zwei Winkel sind einander gleich, wenn sie in eine
solche Lage gebracht werden können, dass ihre Scheitel und
Schenkel zusammenfallen.

Daraus folgt: Zwei Dreiecke sind congruent, wenn sie
zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel
wechselweise gleich haben.

\subsection{16.}

1) Eine Gerade, welche zwei Punkte M und N mit einer
Ebene $\mathfrak{E}$ gemein hat, liegt vollständig in der Ebene $\mathfrak{E}$.
%-----File: 025.png--------------------------------------------

\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.8cm,height=3.8cm]{images/fig05}
\end{wrapfigure}
Es sei die Gerade $AB$ auf der Ebene $\mathfrak{E}$ im Punkte $C$
senkrecht, dabei werde $AC = BC$ vorausgesetzt. Für jeden
beliebigen Punkt $P$ der Geraden $MN$ ist
nur zu beweisen, dass die Gerade $CP$ im
Punkte $C$ auf der Geraden $AB$ senkrecht
steht, indem dann nach Art.~14 die Gerade
$CP$ als eine specielle Lage der die
Ebene $\mathfrak{E}$ erzeugenden Geraden betrachtet
werden kann. Mit Berücksichtigung des
vorigen Artikels erhält man nach einander
\begin{alignat*}{2}
\Triangle &ACM &&\cong \Triangle BCM,\\
\Triangle &ACN &&\cong \Triangle BCN,\\
\Triangle &AMN &&\cong \Triangle BMN,\\
\Triangle &AMP &&\cong \Triangle BMP,\\
\Triangle &ACP &&\cong \Triangle BCP;
\end{alignat*}
woraus die Gleichheit der Winkel $ACP$ und $BCP$ folgt.
Die Gerade $CP$ ist daher auf der Geraden $AB$ im Punkte
$C$ senkrecht.

2) Durch drei Punkte $A$, $B$, $C$, die nicht in einer Geraden liegen,
ist eine und nur \so{eine} Ebene bestimmt. Hätten
zwei Ebenen $\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E'}$ die drei Punkte $A$, $B$, $C$ gemeinsam,
so hätten sie auch die drei Geraden $AB$, $BC$, $CA$ gemeinsam,
welche auf jeder der beiden Ebenen ein Dreieck $ABC$
abgrenzen. Ist $P$ ein beliebiger Punkt der Ebene $\mathfrak{E}$, so liegt
derselbe entweder innerhalb oder ausserhalb des Umfanges
des Dreiecks $ABC$. Liegt $P$ innerhalb, so ziehe man die
Gerade $AP$ und verlängere dieselbe von $P$ an ins Unbegrenzte,
wodurch die Gerade $BC$ in einem Punkte, etwa $D$,
geschnitten wird. Die Gerade $AD$, also auch der Punkt $P$,
liegen in beiden Ebenen. Liegt der Punkt $P$ ausserhalb der
Figur $ABC$ und z.~B.\ auf der entgegengesetzten Seite von
$BC$ mit dem Punkte $A$, so ziehe man die Gerade $PA$,
welche also die Gerade $BC$ in einem Punkte, etwa $D$,
schneidet; u.~s.~w.

3) Zwei verschiedene Ebenen $\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E'}$, welche einen
Punkt $A$ gemeinsam haben, schneiden sich in einer Geraden.
Denn zieht man in der Ebene $\mathfrak{E}$ durch den Punkt $A$ eine
%-----File: 026.png--------------------------------------------
Gerade $MN$, wo der Punkt $A$ auf der Strecke $MN$ vorausgesetzt
wird, so liegen die Theile $MA$ und $AN$ auf den
entgegengesetzten Seiten der Ebene $\mathfrak{E}'$. Ist $P$ ein Punkt
der Ebene $\mathfrak{E}$, ausserhalb der Geraden $MN$, der mit $M$ auf
derselben Seite von $\mathfrak{E}'$ liegt, so schneidet die Gerade $PN$
die Ebene $\mathfrak{E}'$ in einem Punkte, etwa $B$. Die Gerade $AB$
ist daher die Durchschnittslinie der beiden Ebenen $\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E}'$.

\Paragraph{Zusatz 1.} In jedem (beliebigen) Punkte $C$ einer Ebene
ist eine und nur \so{eine} auf dieser Ebene senkrechte Gerade
$AB$ möglich. Macht man die Strecken $CA$ und $CB$ einander
gleich, so können die Punkte $A$ und $B$ als die Mittelpunkte
der die Ebene erzeugenden Kugelflächen betrachtet
werden.

\Paragraph{Zusatz 2.} Dreht man in einer Ebene eine Strecke
derart, dass der eine Endpunkt in unveränderter Lage bleibt,
so beschreibt der andere Endpunkt eine Kreislinie, welche
als der Durchschnitt zweier Kugelflächen mit gleichen Radien
betrachtet werden kann; der unveränderliche Punkt
heisst der \so{Mittelpunkt}, die gedrehte Strecke des \so{Radius}
der Kreislinie; das erzeugte Gebilde wird ein \so{Kreis}
genannt.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Ist die Kreislinie der Durchschnitt zweier Kugelflächen
mit verschiedenen Radien, so ist zum Nachweis, dass sie eine
ebene Linie ist, der Satz, »dass von einem Punkte ausserhalb einer
Geraden nur eine Senkrechte möglich ist,« erforderlich.
\end{Small}

\subsection{17.}

\begin{wrapfigure}{r}{3.25cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.25cm,height=2.75cm]{images/fig06}
\end{wrapfigure}
Im Art.~15 wurde eine vorläufige Definition des
Winkels zweier Geraden gegeben. Aus der Existenz der
Ebene folgt, dass ein solcher Winkel ein ebenes Gebilde ist.
Gewöhnlich wird derselbe entweder als ein Lagengebilde oder
als das Mass der Drehung einer Geraden oder als Mass der
(unbegrenzten) Fläche zwischen seinen Schenkeln angesehen.
Alle diese Massbegriffe sind aus dem Satze »die Kreislinie
ist aus congruenten Theilen zusammengesetzt« entlehnt.
Aus dieser Eigenschaft folgt, dass zwei Theile derselben
Kreislinie in gleicher Weise wie zwei Strecken gemessen
werden können. Man kann daher das Verhältniss eines
Kreisbogens $AB$ zum Umfange $u$ durch eine (rationale
%-----File: 027.png--------------------------------------------
oder irrationale) Zahl darstellen.
Für eine zweite concentrische Kreislinie
welche den Geraden $OA$ und $OB$ in
den Punkten $A'$ und $B'$ begegnet, hat
das Verhältniss des Bogens $A'B'$ zum
zugehörigen Umfang $u'$ denselben Werth;
es ist daher
\[
AB : u = A'B' : u'.
\]
Gleiches gilt auch von den Flächen concentrischer Kreistheile
begrenzt von den in dieselben Geraden fallenden Radien
und den zugehörigen Kreisbögen.

Durch diese für alle concentrischen Kreise constanten
Verhältnisszahlen des Bogens $AB$ zum Umfang $u$, der
Fläche des Kreisausschnittes $AOB$ zur Fläche des ganzen
Kreises wird der Winkel der Geraden $OA$ und $OB$ gemessen.
Ist die Masszahl $= \frac{1}{4}$, so wird der Winkel $AOB$ ein rechter
genannt, und durch $R$ bezeichnet. Die Linien $OA$ und $OB$
sind im Punkte $O$ auf einander senkrecht, man bezeichnet
dies durch $OB \perp OA$ oder $OA \perp OB$.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Bei der Auswerthung oder Vergleichung zweier
Winkel durch Zahlen ist immer zu berücksichtigen, dass sie durch
Bögen oder Flächen von Kreisen mit gleichen Radien gemessen
werden, falls man sie nicht einzeln durch die Masszahlen an ihren
Kreisen ausdrückt.
\end{Small}

\subsection{18.}

\begin{wrapfigure}{r}{3.45cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=3.45cm]{images/fig07}
\end{wrapfigure}
Zwei Ebenen, welche durch dieselbe Gerade gehen, bilden
einen \so{Keil} (oder Flächenwinkel). Die Gerade heisst die
\so{Kante}, die beiden durch sie halbbegrenzten Ebenen die
\so{Seiten} des Keils.

Errichtet man in einem beliebigen
Punkt $A$ der Kante des Keils in den
beiden Seiten Senkrechte $AB$ und $AC$
auf die Kante, so ist der Winkel $BAC$
von unveränderlicher Grösse für jede
Lage des Punktes $A$; dieser Winkel ist
daher das \so{Mass} des Keils.

Es sei $A'$ ein beliebiger zweiter Punkt der Kante, $A'B'$
und $A'C'$ seien die Senkrechten in den Seiten des Keils
%-----File: 028.png--------------------------------------------
$A''$ die Mitte der Strecke $AA'$ und $A''B''$ und $A''C''$ die
zugehörigen Senkrechten in den Seiten. Man kann nun das
Gebilde $B''A''C''$ $B'A'C'$ so mit dem Gebilde $C''A''B''$
$CAB$ zur Deckung bringen, dass die Geraden
\[
        A''B'',\;\; A''C'',\;\; A''A
\]
des einen Gebildes, mit den Geraden
\[
        A''C'',\;\; A''B'',\;\; A''A'
\]
des anderen Gebildes zusammenfallen, wodurch auch der
Scheitel und die Schenkel des Winkels $BAC$ mit dem Scheitel
und den Schenkeln des Winkels $C'A'B'$ zusammenfallen.


\subsection{19.}

Zwei Ebenen stehen auf einander \so{senkrecht}, wenn
sie einen \so{rechten} Keil bilden.

1) Zieht man in einem beliebigen Punkte $A$ der Durchschnittslinie
$a$ zweier senkrechten Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A'}$ eine
Gerade $\alpha$ senkrecht auf die eine Ebene $\mathfrak{A}$, so liegt diese
Gerade in der zweiten Ebene $\mathfrak{A'}$.

2) Ist eine Gerade auf einer Ebene $\mathfrak{A}$ senkrecht, so ist
jede durch die Gerade gelegte Ebene $\mathfrak{B}$ auf der gegebenen
Ebene $\mathfrak{A}$ senkrecht.

3) Die Durchschnittslinie $a$ zweier auf einer dritten
Ebene $\mathfrak{B}$ senkrechten Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A'}$ steht auf derselben
Ebene $\mathfrak{B}$ senkrecht.

4) Zwei Gerade $a$ und $a'$, welche auf einer Ebene $\mathfrak{A}$
senkrecht stehen, liegen in einer auf dieser senkrechten
Ebene $\mathfrak{A'}$.

Die Beweise dieser Sätze ergeben sich aus dem vorigen
Art.~mit Zuziehung des Satzes, dass in einer Ebene in
einem Punkt einer Geraden auf diese nur eine einzige Senkrechte
möglich ist.
%-----File: 029.png--------------------------------------------

\chapter[Zweites Buch.]{Zweites Buch.\\
Unendlicher Raum.}

\subchapter{\so{Erster Abschnitt.}\\
Parallelen-Axiom und euclidische Geometrie.\footnote{In
diesem Abschnitte sind alle bekannten und leicht beweisbaren
Sätze, besonders, wenn sie sich nicht auf die Parallelentheorien
beziehen, weggelassen. Ebenso sind alle nicht erklärten Bezeichnungen
im gewöhnlichen Sinne zu nehmen.}}

\section{Das geradlinige Dreieck.}

\subsection{20.}
\thispagestyle{empty}

\begin{wrapfigure}{r}{4.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4.9cm,height=2.5cm]{images/fig08}
\end{wrapfigure}
1) Man kann jedes Dreieck $ABC$
in ein flächengleiches $ABE$ verwandeln,
in welchem die Summe der Winkel
$A$ und $E$ gleich dem Winkel $A$
des gegebenen Dreiecks $ABC$ ist.

Verbindet man die Mitte $D$ der Seite $BC$ mit dem
Punkt $A$ und macht die Verlängerung $DE = AD$, so ist
\[
\Triangle ADC \cong \Triangle EDB;
\]
addirt man dazu das Dreieck $ABD$, so erhält man den
obigen Satz.

2) Es sei $A$ der kleinste Winkel des Dreiecks $ABC$,
dieser wird in zwei Theile $EAB$ und $EAC = AEB$ zerlegt,
welche entweder gleich oder verschieden sein können.
Wendet man das obige Verfahren auf das Dreieck $ABE$
derart an, dass man wieder den kleinsten Winkel in zwei
Theile zerlegt, so erhält man ein neues Dreieck, dessen
Fläche und Winkelsumme gleich ist der Fläche und Winkelsumme
des ursprünglichen Dreiecks $ABC$ und in welchem
%-----File: 030.png--------------------------------------------
zwei Winkel zusammen gleich oder kleiner sind als die
Hälfte des kleinsten Winkels $A$ des gegebenen Dreiecks.
Durch $n$-malige
Anwendung dieser Operation erhält man ein
Dreieck $LMN$, welches mit dem Dreiecke $ABC$ gleiche
Fläche und Winkelsumme hat und in welchem die Summe
zweier Winkel, etwa $M$ und $N$ kleiner ist als $A : 2^n$, also
(für ein hinreichend grosses $n$) kleiner gemacht werden kann
als jede noch so kleine gegebene Grösse.

Daraus folgt: Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks
$ABC$ kann nicht grösser sein als zwei Rechte. Denn
wäre die Winkelsumme $= 2 R + \alpha$, so könnte man aus
dem Dreiecke $ABC$ ein Dreieck $LMN$ erhalten, in welchem
die Summe zweier Winkel kleiner als $\alpha$, der dritte Winkel
also grösser als $2 R$ sein müsste.

Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist daher entweder
gleich oder kleiner als zwei Rechte.

Der Aussenwinkel eines Dreiecks ist entweder gleich
oder grösser als die Summe der beiden inneren nicht anliegenden
Winkel.

\bigskip
\subsection{21.}

\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4.8cm,height=2.3cm]{images/fig09}
\end{wrapfigure}
Durch einen Punkt $B$ ausserhalb
einer Geraden $AA'$ kann
man eine Gerade $BM$ derart
ziehen, dass sie mit der Geraden
$AA'$ einen beliebig kleinen
Winkel bildet.

Man ziehe willkürlich die Gerade $BC$, welche mit der
Geraden $AA'$ den spitzen Winkel $ACB$ bildet, mache
$CD=BC$, so ist in dem gleich\-schenk\-li\-gen Dreieck $BCD$
nach Art.~20 der Winkel $D \leqq \frac{1}{2} ACB$.

Durch fortgesetzte Wiederholung dieser Construction erhält
man schliess\-lich eine Gerade $BM$, die mit der Geraden
$AA'$ einen Winkel bildet, der kleiner ist als jede beliebig
kleine Grösse.

\bigskip
\subsection{22.}

\begin{wrapfigure}[7]{r}{3.3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.3cm,height=2.25cm]{images/fig10}
\end{wrapfigure}
Ist in \so{einem} Dreieck $ABC$ die Summe der Winkel
gleich zwei Rechte, so ist auch die Summe der Winkel
eines \so{jeden} Dreiecks gleich zwei Rechte.

1) Be\-trägt die Winkelsumme des Dreiecks $ABC$ zwei
%-----File: 031.png--------------------------------------------
Rechte, so beträgt dieselbe auch in jedem
vom Dreieck $ABC$ abgeschnittenen
Dreiecke wie $ADC$, $ADE$ zwei
Rechte.

Denn würde die Winkelsumme der Dreiecke $ADC$ und
$DBC$ resp.\ $2R - x$ und $2R - y$ betragen, so erhielte man
durch Addition der Winkelsummen der beiden Dreiecke
$2R-(x+y)$ als Winkelsumme des Dreiecks $ABC$. Dasselbe
gilt auch vom Dreiecke $ADE$.

2) Zerlegt man das Dreieck $ABC$ durch die Höhe $CD$
in zwei rechtwinklige Dreiecke, so kann
man eines derselben, etwa $ADC$ durch
Anlegung eines congruenten zu einem
Viereck $ADCE$ ergänzen, in welchem
jeder Winkel ein rechter ist.

\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.3cm,height=2.25cm]{images/fig11}
\end{wrapfigure}

Aus dem Vierecke $ADCE$ kann durch
fortgesetzte Anlegung des gegebenen ein
anderes Viereck mit vier rechten Winkeln und den in eine
Ecke zusammenpassenden Seiten von der Länge $mAE$ und
$EC$ und aus diesem wieder ein Viereck mit abermals vier
rechten Winkeln und den in eine Ecke zusammenstossenden
Seiten $mAE$ und $nEC$, wo $m$ und $n$ beliebig grosse Zahlen
sind, erhalten werden. Dieses Viereck wird durch eine Diagonale
in zwei congruente rechtwinklige Dreiecke getheilt,
für welche die Winkelsumme je $2R$ beträgt. Von einem
solchen Dreieck kann man jedes beliebige andere rechtwinklige
abschneiden; die Winkelsumme eines jeden rechtwinkligen,
also auch jedes beliebigen Dreiecks beträgt daher
zwei Rechte.

Daraus folgt mit Berücksichtigung des Art.\ 20, 2): die
Summe der Winkel eines Dreiecks ist entweder in jedem
Dreieck \so{gleich} zwei Rechte oder sie ist in jedem Dreieck
\so{kleiner} als zwei Rechte.

Die Entscheidung, welche von diesen beiden Annahmen
in der Wirklichkeit stattfindet, steht im Zusammenhang mit
der Untersuchung der einander nicht schneidenden Geraden,
welche in derselben Ebene liegen.
%-----File: 032.png--------------------------------------------

\section{Nicht schneidende Gerade in derselben Ebene, parallele
Gerade.}

\subsection{23.}
1) Zwei Gerade $AA'$ und $BB'$, welche von einer dritten
Geraden $AB$ derart geschnitten werden, dass die Summe der
innern Winkel, welche auf derselben Seite
der schneidenden Geraden $AB$ liegen, zwei
Rechte beträgt, können sich nicht schneiden.

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.2cm,height=4.3cm]{images/fig12}
\end{wrapfigure}

Sind $AA''$ und $BB''$ die Rückverlängerungen
von $AA'$ und $BB'$, so können
die Gebilde $A'ABB'$ und $B''BAA''$ zur
Deckung gebracht werden. Würden sich daher
$AA'$ und $BB'$ schneiden, so müssten sich
auch $AA''$ und $BB''$ schneiden. Es ist daher
die Existenz von einander nicht schneidenden
Geraden in derselben Ebene nachgewiesen.

2) Ist $C$ die Mitte von $AB$, und $DE$ eine beliebige durch
$C$ gezogene Gerade, welche die Gerade $A'A''$ also (wegen der
Congruenz der Gebilde $A'ABB'$ und $B''BAA''$) auch die
Gerade $B'B''$ schneidet, so beträgt auch die Summe der beiden
auf derselben Seite von $DE$ liegenden Winkel zwei Rechte.

Aus \; $\Triangle CAD \cong \Triangle CBE$ \; folgt Winkel \; $ADC = CEB$,
also
\[
  A'DE + B'ED = A'DE + (2R - A'DE) = 2R.
\]

\subsection{24.}

\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=4.3cm]{images/fig13}
\end{wrapfigure}

Man kann nach dem vorigen Artikel in einer Ebene
durch einen Punkt $A$ ausserhalb einer Geraden
$B'B''$ mindestens \so{eine} die Gerade
$BB'$ nicht schneidende Gerade $A'A''$ ziehen,
indem man etwa $AB \perp B'B''$ und $A'A'' \perp AB$
zieht. Alle im Punkte $A$ halbbegrenzten
Geraden auf derselben Seite der
Geraden $AB$, welche ausserhalb des Streifens
$A'A''$ und $B'B''$ fallen, schneiden die
Gerade $BB'$ nicht; hingegen kann man
innerhalb der halbbegrenzten Fläche $A'ABB'$
Gerade (wie $AC$ in der Figur) ziehen, welche
%-----File: 033.png--------------------------------------------
die Gerade $BB'$ schneiden; d.~h.\ man kann alle auf derselben
Seite der Geraden $AB$ liegenden im Punkte $A$ halbbegrenzten
Geraden in zwei Classen bringen: 1) in solche,
welche die Gerade $BB'$ nicht schneiden, und 2) in solche,
welche die Gerade $BB'$ schneiden. Die gemeinsame Grenzlinie
dieser beiden Classen wird die \so{Parallele} zur Geraden
$BB'$ genannt; diese Grenzlinie ist nun entweder mit der
Geraden $AA'$ identisch oder liegt innerhalb des Streifens
$A'ABB'$, in diesem Falle sei etwa die Gerade $AD$ die
Parallele. In jedem Falle besteht das Kennzeichen der Parallelen
durch einen Punkt $A$ zu einer Geraden $BB'$ darin,
dass sie der Geraden $BB'$ nicht begegnet, dass aber jede
andere Gerade, wie z.~B.\ die Gerade $AC$, die man gegen
die Gerade $BB'$ hin unter einem noch so kleinen Winkel
resp.\ $CAA'$ oder $CAD$ mit der Parallelen zieht, die Gerade
$BB'$ schneidet.

Ist die Parallele die Gerade $AA'$, dann werden alle
übrigen durch den Punkt $A$ gezogenen Geraden die Gerade
$B'B''$ schneiden.

Ist eine von $AA'$ verschiedene Gerade, etwa die Gerade
$AD$ die Parallele, so mache man auf der entgegengesetzten
Seite von $AB$ den Winkel $BAE = BAD$. Die Gerade
$AE$ ist dann die Parallele zur Geraden $BB''$ und sind $AD'$
und $AE$ die Rückverlängerungen von $AD$ und $AE$, so werden
alle innerhalb der Winkel $DAE'$ und $EAD'$ gezogenen
Geraden (mit sammt ihren Rückverlängerungen) nicht schneidende
Gerade zur Geraden $B'B''$ sein, während die übrigen
Geraden (oder ihre Rückverlängerungen) die Gerade $B'B''$
schneiden. Man erhält in diesem Falle für den Punkt $A$
ausserhalb der Geraden $B'B''$ folgende Classen von Geraden:
1) \so{Schneidende} Gerade, 2) \so{Nichtschneidende} Gerade,
3) Zwei durch den Punkt $A$ gehende \so{parallele} Gerade,
nämlich die Gerade $AD$ parallel zur Geraden $BB'$ und die
Gerade $AE$ parallel zur Geraden $BB''$ (die Rückverlängerung
von $BB'$). In diesem Falle muss man ausserdem die Richtung
des Parallelismus berücksichtigen, während dies im vorigen
Falle überflüssig ist.

Dass die Gerade $AB$ --- in der Richtung von $A$ nach
%-----File: 034.png--------------------------------------------
$B$ --- zur Geraden $CD$ --- in der Richtung von $C$ nach $D$
--- parallel ist, wird durch
\[
AB \parallel CD
\]
bezeichnet.

\subsection{25.}

\begin{wrapfigure}[7]{r}{4.5cm}
\vspace*{-0.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4.5cm,height=2.7cm]{images/fig14}
\end{wrapfigure}

Aus der Definition für Parallele ergeben sich folgende
Eigenschaften:

1) Eine Gerade $AA'$ ist an
allen ihren Punkten zu einer Geraden
$BB'$ parallel, d.~h.\ ist
$AA' \parallel BB'$, so ist auch $A_1A' \parallel BB'$,
$A_2A' \parallel BB'$,~.~.\ wo $A_1$, $A_2$,~.~.\
beliebige Punkte der nach beiden
Richtungen unbegrenzten Geraden
$AA'$ sind.
\begin{itemize}
\item[a)] Liegt der Punkt $A_1$ auf der Geraden $AA'$, so ziehe man
die Gerade $A_1C$ unter einem beliebig kleinen Winkel
$A'A_1C$. Für jeden Punkt $C$ der halbbegrenzten Geraden
$A_1C$ schneidet die Gerade $AC$ die Gerade $BB'$
etwa in $D$. In das Dreieck $ABD$, wo $AB \perp BB'$
ist, tritt die unbegrenzte Gerade $A_1C$ ein, sie muss daher
den Umfang desselben nochmals und zwar in einem
Punkte der Seite $BD$, etwa in $E$, schneiden.

\item[b)] Liegt der Punkt $A_2$ in der Rückverlängerung der Geraden
$AA'$, so ziehe man die Gerade $A_2F$ unter einem
so kleinen Winkel, dass die Gerade $AB$ in $F$ geschnitten
wird. Macht man den Winkel $A'AD = A'A_2F$, so
schneidet die unbegrenzte Gerade $A_2F$ den Umfang des
Dreiecks $ABD$ nochmals und zwar in einem Punkte
der Seite $BD$, etwa in $G$.
\end{itemize}

2) Zwei Gerade sind stets gegenseitig parallel; d.~h.\ ist
$AA'\parallel BB'$, so ist auch $BB'\parallel AA'$.

Ist $AA'\parallel BB'$, so kann man für jeden beliebigen Punkt
$A$ der Geraden $AA'$ einen Punkt $B$ der Geraden $BB'$ derart
finden, dass Winkel $A'AB = B'BA$ ist. Nach Art.~22,
kann man eine Gerade $AC$ so ziehen, dass der Winkel
$A'AC < ACB'$ ist. Macht man auf der Geraden $CB$ von $C$
%-----File: 035.png--------------------------------------------
aus die Strecke $CD = AC$, so ist der Winkel $B'DA =
DAC < DAA'$. Bewegt man nun den Punkt $C$ bis $D$, und
verbindet seinen jedesmaligen Ort
mit dem Punkte $A$, so erhält man
für einen auf der Strecke $CB$ liegenden
Punkt, etwa $B$, eine Verbindungslinie
$AB$ derart, dass
$A'AB = B'BA$ ist, woraus unmittelbar
die Eigenschaft der Gegenseitigkeit
des Parallelismus folgt.

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4cm,height=3cm]{images/fig15}
\end{wrapfigure}

Ist $M$ die Mitte der Strecke $AB$, $MM' \perp AB$, so ist
$MM' \parallel AA'$ und $MM' \parallel BB'$. Denn würde die Gerade $AA'$
die Gerade $MM'$ schneiden, so müsste auch die $BB'$ die
$MM'$ in demselben Punkte schneiden. Zieht man $AC$ unter
einem beliebig kleinen Winkel $A'AC$, so begegnet dieselbe
der Geraden $BB'$, also auch der Geraden $MM'$.

3) Zwei Gerade $BB'$ und $CC'$, welche einer und derselben
Geraden $AA'$ nach derselben Richtung parallel sind,
sind zu einander parallel.
\begin{itemize}
\item[a)] Die drei Geraden $AA'$, $BB'$, $CC'$ liegen in derselben
Ebene.
\end{itemize}

Dass die Geraden $BB'$ und $CC'$ sich nicht schneiden
können, folgt unmittelbar daraus, weil sonst durch den Durchschnittspunkt
nach derselben Seite mit der Geraden $AA'$
zwei Parallele möglich wären.

Folgen die drei Geraden in der Ordnung $AA'$, $BB'$, $CC'$
auf einander, so ziehe man von einem Punkte $C$ der Geraden
$CC'$ die Gerade $CD$ unter einem beliebig kleinen Winkel
$C'CD$ gegen die Gerade $AA'$, welche also diese Gerade, etwa
in $D$, mithin auch die Gerade $BB'$, etwa in $E$, schneidet.

Folgen die Geraden in der Ordnung $BB'$, $AA'$, $CC'$ auf
einander, so ziehe man von einem beliebigen Punkt der Geraden
$BB'$ oder $CC'$, etwa vom Punkt $C$ der Geraden $CC'$,
eine Gerade unter einem beliebig kleinen Winkel $DCC'$ gegen
die Gerade $AA'$, welche also die Gerade $AA'$, etwa in $D$,
schneidet. Die Verlängerung der Geraden $CD$ schneidet,
wegen $AA' \parallel BB'$, die Gerade $BB'$ in einem Punkte, etwa
in $E$.
%-----File: 036.png--------------------------------------------

\begin{itemize}
\item[b)] Die Ebenen $A'AB$ und $A'AC$ bilden mit einander
einen Winkel.
\end{itemize}

Zunächst ist zu beweisen, dass die Geraden $BB'$ und
$CC'$ in einer Ebene liegen.

\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.3cm,height=3.6cm]{images/fig16}
\end{wrapfigure}

Ist $BD$ eine Gerade in der Ebene der Parallelen $AA'$ und
$BB'$, so begegnet diese der Geraden $AA'$
etwa in $D$. Die Ebene $CBD$ begegnet
der Ebene der Parallelen $AA'$ und $CC'$
in der Geraden $CD$.

Man bewege die Ebene $CBD$ so
lange, bis der Durchschnittspunkt $D$ verschwindet;
dies ist der Fall, wenn die
Gerade $BD$ mit der Geraden $BB'$, also
die Ebene $CBD$ mit der Ebene $CBB'$
zusammenfällt. Auf gleiche Weise fällt
dann die Ebene $BCD$ mit der Ebene $BCC'$ zusammen. Die
Geraden $BB'$ und $CC'$ liegen daher in dieser Endlage der
Ebene $BCD$.

Dass $BB' \parallel CC'$ ist, folgt nun so: Wäre in der Ebene
der Geraden $BB'$ und $CC'$ die Gerade $BB'' \parallel CC'$, so müssten
(nach dem eben bewiesenen, wegen $AA' \parallel CC'$,) die Geraden
$BB''$ und $AA'$ in derselben Ebene liegen; die beiden Ebenen
$BB'CC'$ und $AA'BB'$ hätten dann zwei Gerade $BB'$ und
$BB''$ gemeinsam, was unmöglich ist.

\Paragraph{Zusatz.} Aus b) kann a) so erhalten werden: Es sei
$DD'$ ausserhalb der Ebene $AA'$, $BB'$, $CC'$ und $DD' \parallel AA'$.
Dann ist, wegen $AA' \parallel BB'$, $AA' \parallel DD'$, nach b) $DD' \parallel BB'$.
Auf gleiche Weise folgt $DD' \parallel CC'$ und damit wieder nach
b) $BB' \parallel CC'$.

\section{Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden.}

\subsection{26.}

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.7cm,height=3.5cm]{images/fig17}
\end{wrapfigure}

Ist für irgend zwei Parallele $AA'$ und $BB'$
die Summe der inneren Winkel $A$ und $B$ auf
derselben Seite einer schneidenden Geraden $AB$
gleich zwei Rechte, so ist dies auch für jedes
andere Paar Parallele $CC'$ und $DD'$ der Fall.

Man kann nach Art.~23, 2) immer voraussetzen,
dass der Winkel $A'AB = C'CD$ ist.
%-----File: 037.png--------------------------------------------
Legt man die Figur $CC'DD'$ so auf die Figur $AA'BB'$, dass
die Geraden $AA'$ und $CC'$, $CD$ und $AB$ in ihrer Richtung
zusammenfallen, so falle der Punkt $D$ auf $E$ und die Gerade
$DD'$ nach $EE'$.

Liegt der Punkt $E$ auf der Strecke $AB$, so folgt nach
Art.~25, 3) aus
\[
AA' \parallel BB',\ CC' \text{ oder }AA' \parallel DD'\text{ oder }EE',\ AA' \parallel EE' \parallel BB'.
\]

Ist die Summe der inneren Winkel $A'AE + E'EA =
2R-x$, $E'EB + B'BE = 2R-y$, wo $x$ und $y$ positiv
sind, so erhält man durch Addition
\[
A'AB + B'BA = 2 R-(x + y),
\]
also
\[
x + y = 0;
\]
was nur möglich ist, für $x = 0$ und $y = 0$.

Fällt der Punkt $D$ in den Punkt $B$, so fällt die Gerade
$DD'$ mit der Geraden $BB'$ zusammen.

Fällt der Punkt $D$ ausserhalb der Strecke $AB$, so kann
man aus der Figur $A'ABB'$, indem man mit ihr congruente
Figuren zusammenfügt, eine derartige erhalten, dass der Punkt
$E$ auf die Strecke $AB$ oder in den Endpunkt $B$ der neuen
Figur fällt. Vergl.\ Art.~22.

Daraus folgt, dass die Summe der inneren Winkel zweier
Parallelen mit einer schneidenden Geraden
entweder jedesmal
zwei Rechte beträgt oder jedesmal kleiner als zwei Rechte ist.

\section{Zusammenhang der Parallelen und der Winkelsumme des
Dreiecks.}

\subsection{27.}

Beträgt die Summe der inneren Winkel zweier Parallelen
mit einer schneidenden Geraden zwei Rechte, so ist durch
jeden Punkt ausserhalb einer Geraden nur eine einzige
Parallele möglich, und alle andern (in derselben Ebene) durch
diesen Punkt gezogenen Geraden schneiden die gegebene Gerade.
Unter dieser Voraussetzung beträgt auch die Winkelsumme
eines jeden Dreiecks zwei Rechte.

Zieht man nämlich durch eine Spitze, etwa $B$, die Gerade
%-----File: 038.png--------------------------------------------
$B'B''$ parallel zur gegenüberliegenden Seite $AC$ des Dreiecks
$ABC$, so ist
\[
\text{Winkel } A = ABB',\ C = CBB',
\]
also
\[
A + B + C = 2R.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=5.4cm,height=2.7cm]{images/fig18}
\end{wrapfigure}

\Paragraph{Umgekehrt.} Be\-trägt die Winkelsumme
eines Dreiecks zwei Rechte, so
ist die Summe der inneren Winkel
zweier Parallelen mit einer schneidenden
Geraden gleich zwei Rechte.

Wäre nämlich für $AA' \parallel BB'$ Winkel $A'AB + B'BA
= 2R-\alpha$, so könnte man nach dem Art.~21 ein Dreieck
$ABC$ construiren, in welchem der Winkel $C < \alpha$ vorausgesetzt
werden kann, also der Winkel $ABC > ABB'$ sein
müsste, was unmöglich ist, da $BC$ innerhalb der Figur $A'ABB'$
fallen muss.

Die beiden Voraussetzungen: 1) die Summe der inneren
Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden beträgt
zwei Rechte, und 2) die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt
zwei Rechte, sind daher mit einander identisch.
Dasselbe gilt von der Voraussetzung: durch einen Punkt
ausserhalb einer Geraden ist nur eine einzige, die gegebene
Gerade nicht schneidende Gerade möglich.

\section{Euclidische Geometrie.}

\subsection{28.}

Aus den Voraussetzungen des vorigen Artikels, welche
mit dem sogenannten elften Axiom Euclid's »Zwei Gerade,
welche von einer dritten so geschnitten werden, dass die beiden
innern an einerlei Seite liegenden Winkel zusammen kleiner
als zwei Rechte sind, schneiden sich hinreichend verlängert
an eben dieser Seite« identisch sind, erhält man die gewöhnliche
\so{»euclidische«} Geometrie. In dieser haben die Punkte
der Parallelen gleiche Abstände, und umgekehrt: der Ort
aller Punkte, welche von einer Geraden gleichen Abstand
haben, ist eine zur ersteren parallele Gerade.

Die euclidische Geometrie hielt man bis in dieses Jahrhundert
als die einzig mögliche Form der Raumwissenschaft.
%-----File: 039.png--------------------------------------------
Man huldigte fast allgemein der Ansicht, dass das Parallelen-Axiom
eine Folge der Eigenschaft der Geraden, also mit Hülfe
der übrigen Grundsätze und Axiome beweisbar sei\footnote
  {Dass die Einreihung dieses Satzes unter die Grundsätze (Axiome)
  nur auf einem Versehen einiger Handschriften über Euclid beruhte,
  hat H.~\so{Hankel} in seinen »Vorlesungen über complexe Zahlen und
  ihre Functionen« S.~52 nachgewiesen.}. Dass
diese Beweisversuche erfolglos sein mussten, wird im zweiten
Abschnitte dieses Buches nachgewiesen; hier mag nur bemerkt
werden, dass die auf der erwähnten Ansicht basirten Parallelentheorien
mit Ausnahme von \so{Legendre} kaum etwas
wissenschaftlich Bemerkenswerthes zu Tage förderten.

\subsection{29.}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=2.4cm]{images/fig19}
\end{wrapfigure}
Bei dem Unvermögen, einen wissenschaftlicher Strenge
genügenden Beweis für das Parallelen-Axiom zu liefern\footnote
  {Eine ziemlich vollständige Zusammenstellung der hieher gehörigen
  Literatur findet man in dem Sohnke'schen Artikel »Parallel« der
  Encyklopädie von \so{Ersch} und \so{Gruber}. An diese reiht sich noch an
% [** Typo Memoires]
  die Theorie von \so{Bouniakowsky} (Mémoires de l'~Académie de Pétersbourg.
  Série~VI, Sciences mat.\ et phys., tome~IV.), welche zugleich
  eine Kritik der Theorie des \so{Bertrand} von Genf enthält, und dessen
  Bemerkungen über die nicht-euclidische Geometrie (Mémoires\ldots\
  Série~VII, tome~XVIII).}, ersetzte
man dasselbe durch Voraussetzungen, die mehr Anschaulichkeit
besitzen.

Am meisten erwähnenswerth ist der Versuch von \so{Legendre},
welcher folgenden Satz voraussetzt: »Durch einen
Punkt innerhalb der Schenkel eines spitzen Winkels kann
immer eine Gerade derart gezogen werden, dass sie die beiden
Schenkel des Winkels schneidet.« Damit lässt sich beweisen,
dass die Summe der Winkel eines Dreiecks $ABC$
nicht kleiner als $2R$ sein kann. Man lege an das Dreieck
$ABC$ das congruente $BCD$ an und ziehe
durch $D$ eine Gerade $EF$, welche die
Schenkel $AB$ und $AC$ schneidet. Wäre
die Winkelsumme des Dreiecks $ABC =
2R - x$, die der Dreiecke $BDE$ und
$CDF$ resp.\ $2R - y$ und $2R - z$, so
wäre $2R - 2x - y - z$ die Winkelsumme
des Dreiecks $AEF$, dieselbe also
$< 2R - 2x$. Durch $n$malige Anwendung dieses Verfahrens
erhält man ein Dreieck $AMN$, in welchem die Winkelsumme
%-----File: 040.png--------------------------------------------
kleiner als $2R - 2^n x$, also für ein hinreichend grosses $n$ auch
negativ sein könnte.

\subsection{30.}

Das anschaulichste Axiom hat W.\ \so{Bolyai}\footnote
  {Kurzer Grundriss eines Versuchs etc.\ S.\ 46 wird bei der Aufzählung
  der vom Parallelen-Axiom unabhängigen Sätze folgender aus
  der Theorie der Grenzflächen entnommene Satz ausgesprochen; »könnten
  jede 3 Punkte, die nicht in einer Geraden sind, in eine Sphäre
  fallen; so wäre das Eucl.\ Ax.~XI.\ bewiesen.«} ausgesprochen:
»Drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, liegen
immer auf einer Kugelfläche.«

\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=4cm]{images/fig20}
\end{wrapfigure}

Die beiden Voraussetzungen: »1) Drei Punkte, die nicht
in einer Geraden liegen, liegen auf einer Kugelfläche; 2) drei
Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, liegen in dem
Umfange eines Kreises« sind mit einander identisch. Denn
die Senkrechte von dem Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene
der drei Punkte bestimmt den Mittelpunkt des Kreises, in
dessen Umfang die drei gegebenen Punkte liegen; und umgekehrt:
jeder Punkt der Senkrechten im Mittelpunkt des
Kreises auf die Ebene dieser drei Punkte kann als Mittelpunkt
der Kugel genommen werden.

Es seien in einer Ebene die beiden Geraden
$AA'$ und $BB'$ gegeben, ferner sei $C$
ein beliebiger Punkt der Geraden $BB'$ und
die Gerade $CA \perp AA'$. Ist nun der Winkel
$ACB'$ spitz, so schneiden sich die Geraden
$AA'$ und $BB'$. Denn eine Senkrechte vom
Punkte $A$ auf die Gerade $CB'$ bestimmt (durch
ihren Fusspunkt und den Punkt $C$) auf letzterer
eine Strecke von der Eigenschaft, dass
für jeden beliebigen Punkt $B$ dieser Strecke
der Winkel $ABB'$ spitz ist. Eine Gerade $BD \perp BB'$ fällt
in das Innere des Winkels $ABC$ des Dreiecks $ABC$, schneidet
daher hinreichend verlängert die Seite $AC$ in einem Punkte,
etwa $D$. Verlängert man die Strecke $DA$ um $AE = DA$
und die Strecke $DB$ um $BF=DB$, so liegen die drei Punkte
%-----File: 041.png--------------------------------------------
$D$, $E$, $F$ in dem Umfange eines Kreises: die Senkrechten vom
Mittelpunkt desselben auf die Seiten $DE$ und $DF$ des Dreiecks
$DEF$ sind mit den Geraden $AA'$ und $BB'$ identisch.
Diese Geraden schneiden sich daher in einem Punkte.

Daraus folgt (mit Zuziehung des Art.~26) unmittelbar
der Beweis des elften euclidischen Axioms.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Dass unter Voraussetzung der nichteuclidischen
Geometrie nicht jede drei Punkte, die nicht in einer Geraden sind, in
dem Umfange eines Kreises liegen, wird in der Anmerkung des Art.~52
näher erläutert.
\end{Small}

\subchapter{\so{Zweiter Abschnitt.}\\
Nichteuclidische Geometrie.}

\section{Historische Bemerkungen.}

\subsection{31.}

Die Erfolglosigkeit aller Bemühungen eines Beweises des
elften euclidischen Axioms haben schliesslich dahin geführt,
die zweite noch mögliche --- diesem Axiom entgegenstehende
--- Voraussetzung, »dass die Summe der innern Winkel zweier
Parallelen mit einer schneidenden Geraden oder die Summe
der Winkel eines geradlinigen Dreiecks kleiner als zwei Rechte
ist«, zu untersuchen. Die consequente Durchführung der letzteren
Voraussetzung liefert ebenfalls eine in sich widerspruchfreie
Geometrie, welche von C.~F.\ \so{Gauss} (der sich seit 1792
damit beschäftigte) die \so{nichteuclidische}\footnote
  {Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher. Briefe vom Jahre
  1831 und 1846; besonders interessant ist der Brief vom 12.~Juli 1831.},
von N.~\so{Lobatschewsky}
die \so{imaginäre}\footnote
  {Zum erstenmale am 12.~Februar 1826 in einem Vortrag der
  phys.\ math.\ Facultät in Kazan auseinandergesetzt. Darstellungen dieser
  Theorie finden sich: Kazaner Bote 1829 und 1830. Gelehrte Schriften
  der Universität Kazan 1836--1838, welche das Hauptwerk (russisch)
  unter dem Titel »Neue Principien der Geometrie nebst einer vollständigen
  Theorie der Parallelen« enthalten. Géométrie imaginaire.
  Crelle J.~B.\ 17. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien,
  Berlin 1840. Pangéometrie, ou Précis de Géométrie fondée
  sur une théorie générale des parallèles; Kazan 1855. Ins Italienische
  übersetzt von Battaglini (Giornale di Matematiche.\ Vol.~V). Eine neue
  vollständige Ausgabe der Schriften Lobatschewsky's wird gegenwärtig
  von M.~\so{Janichewsky} besorgt. Vergl.\ den Art.\ von Hoüel »Notice
  sur la vie et les travaux de N.~J.~Lobatschefsky« in dem Bulletin des
  sciences, tome~I, Paris.}
und von J.~\so{Bolyai} die
%-----File: 042.png--------------------------------------------
\so{absolute Raumlehre}\footnote
  {In dem Anhange zu dem »Tentamen« seines Vaters W.~Bolyai.
Der vollständige Titel dieses Werkes lautet: »Tentamen Juventutem
studiosam in elementa Matheseos purae, elementaris ac sublimioris,
methodo intuitiva, evidentique huic propria, introducendi. Cum Appendice
triplici. Auctore Professore Matheseos et Physices, Chemiaeque
Publ.\ Ordinario. Tomus Primus. Maros Vásárhelyini 1832. Typis
Collegii Reformatorum per \so{Josephum} et \so{Simeonem} \so{Kali} de Felsö
Vist.« 8°. Mit 4 Kupfertafeln. Tentamen Juventutem etc.\, Tomus Secundus,
ibidem 1833. Mit 10 Kupfertafeln.

Dem ersten Bande folgt ein Anhang seines Sohnes mit folgendem
Titel: »Appendix, scientiam spatii \textit{absolute veram} exhibens: a veritate
aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda)
independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica.
Auctore \so{Johanne Bolyai} de eadem, Geometrarum in Exercitu
Caesareo Regio Austriaco Castrensium Capitaneo«. Derselbe enthält
26 Seiten Text mit einer Figurentafel und 2 Seiten Errata.

Als ein Auszug und Bericht des Tentamen ist die Schrift: »Kurzer
Grundriss eines Versuches, I) die Arithmetik, durch zweckmässig construirte
Begriffe, von eingebildeten und unendlichkleinen Grössen gereinigt,
anschaulich und logisch-streng darzustellen. II) In der Geometrie
die Begriffe der geraden Linie, der Ebene, des Winkels allgemein,
der winkellosen Formen und der Krummen, der verschiedenen
Arten der Gleichheit u.\ dgl.\ nicht nur scharf zu bestimmen sondern
auch ihr Sein im Raume zu beweisen: und da die Frage, \so{ob zwei
von der dritten geschnittene Geraden, wenn die Summa
der inneren Winkel nicht $= 2R$, sich schneiden oder nicht}?
Niemand auf der Erde ohne ein Axiom, wie Euclid das XI., aufzustellen
beantworten wird; die davon unabhängige Geometrie abzusondern,
und eine auf die Ja-Antwort, andere auf das \so{Nein} so zu bauen,
dass die Formeln der letzten auf einen Wink auch in der ersten gültig
seien. --- Nach einem lateinischen Werke von 1829, Maros-Vásárhely,
und eben daselbst gedrucktem ungarischen, Maros-Vásárhely 1851.«
(8°, mit 88 Seiten Text) zu betrachten, welche auch einen Vergleich
der Appendix mit Lobatschewsky's »Geometrische Untersuchungen«
enthält.

Sämmtliche Schriften von W. Bolyai sind ohne Namen des Verfassers
erschienen. Eine ausführliche Biographie der beiden Bolyai hat
\so{Franz Schmidt} in Grunerts Archiv, Theil XLVIII, gegeben. Französische
und italienische Uebersetzungen der Appendix wurden resp.\
von J.~\so{Hoüel} und im Giornale di Matematiche Vol.~V geliefert.}
genannt wurde. Eine Uebereinstimmung
der beiden Geometrien kann nur in den auf die
%-----File: 043.png--------------------------------------------
Congruenz allein sich stützenden Betrachtungen vorkommen,
wobei jedoch zu beachten ist, dass die Congruenzen nicht
vermittelst Sätze, die das Parallelen-Axiom voraussetzen, erhalten
werden dürfen. In allen Theilen der Geometrie, welche
sich auf eine Voraussetzung der Parallelen (oder der Winkelsumme
des Dreiecks) stützen, muss --- wegen des Gegensatzes
der euclidischen und nichteuclidischen Annahme ---
zwischen den beiden Geometrien Verschiedenheit eintreten.
Scheinbare Ausnahmen, d.~i.\ Ueberstimmung der beiden Geometrien
in diesen Theilen werden sich aus der Stetigkeit der
beiden Voraussetzungen erklären lassen\footnote
  {Ausser den bereits angeführten älteren Schriften sind höchst
beachtenswerth: \so{Tilly}, Études de méchanique abstraite. Mémoires
couronnés de l'Académie royale belgique; tome~XXI. A.~\so{Genocchi},
dei primi principii della meccanica e della geometria in relazione al
postulato d'~Euclide, Firenze, 1869, Memoria estratta dei volumi dell'
Accademia da XL residente in Modena, Serie~III, tomo~II, Parte~I.
C.~\so{Flye} S$^\text{te}$ \so{Marie}, Études analytiques sur la théorie des parallèles.
Paris, 1871.}.

\section{Parallele, Nichtschneidende und Linien gleichen Abstandes.}

\subsection{32.}

Aus der Voraussetzung des Stattfindens der nichteuclidischen
Geometrie ergeben sich für die parallelen Geraden
folgende Eigenschaften:

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=1.7cm]{images/fig21}
\end{wrapfigure}

1) Ist $A$ ein Punkt ausserhalb einer Geraden
$BB'$, $AA' \parallel BB'$ und $AB \perp BB'$ so
heisst der Winkel $A'AB$ zwischen der Parallelen
$AA'$ und der Senkrechten $AB$ der
\so{Parallelwinkel}\footnote
  {Nach \so{Lobatschewsky}.}.

Nimmt die Distanz $AB$ zu oder ab, so nimmt der Parallelwinkel
ab oder zu. Ist nämlich $CB < AB$, so muss
für $CC' \parallel BB'$ der Winkel $C'CB > A'AB$ sein. Denn wäre
$C'CB = A'AB$ oder $C'CB > A'AB$, so wäre für die Parallelen
$AA'$ und $CC'$ die Summe der innern Winkel $A$ und
$C$ gleich oder grösser als zwei Rechte. Für \so{jede} Distanz $p$
(eines Punktes von einer Geraden) gibt es also \so{einen} bestimmten
Parallelwinkel und umgekehrt. Man bezeichnet den
%-----File: 044.png--------------------------------------------
der Distanz $p$ entsprechenden Parallelwinkel durch $\Pi(p)$. Für
$p = 0$ wird $\Pi(p) = R$, da die Parallele mit der Geraden $BB'$
zusammenfällt; nähert sich $p$ dem Unendlichen, so nähert
sich $\Pi(p)$ dem Werthe Null.

\begin{wrapfigure}[8]{r}{3.6cm}
\vspace*{-0.25cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.6cm,height=2.7cm]{images/fig22}
\end{wrapfigure}
2) Parallele nähern sich einander auf der Seite ihres
Parallelismus immer mehr.

Sind nämlich $AB = A'B'$ und $\perp AA'$, so ist die Gerade
$BB'$ eine nicht schneidende Gerade zur
Geraden $AA'$. Denn ist $C$ die Mitte der
Strecke $AA'$ und $CD \perp AA'$, so können
die Vierecke $ACDB$ und $A'CDB'$ zur
Deckung gebracht werden; es ist daher
zugleich $CD \perp BB'$, also die Gerade
$BB'$ eine nicht schneidende Gerade. Die
Parallele $BB''$ liegt näher gegen die Gerade
$AA'$, sie begegnet also der Senkrechten $A'B'$ in einem
Punkte $B''$ derart, dass $A'B'' < A'B'$ ist.

Die Distanzen der Punkte einer Geraden von einer ihr
Parallelen werden daher in der Richtung des Parallelismus
immer kleiner --- die zugehörigen Parallelwinkel also immer
grösser; man sagt daher auch: Zwei Parallele schneiden sich
im Unendlichen. Die zwischen zwei Parallelen enthaltene
(unbegrenzte) Fläche der unbegrenzten Ebene wird ein \so{Streifen}
genannt. Zwei Streifen können zur Deckung gebracht
werden.

\subsection{33.}

Der Ort aller Punkte, welche von einer Geraden gleichen
Abstand haben, ist eine krumme Linie.

In dem Vierecke $ACDB$ der Figur des vorigen Art.\
ist der Winkel $B$ spitz. Trägt man auf der Geraden $CD$
die Strecke $CE = AB = A'B'$ ab, so fällt der Punkt $E$ auf
die Verlängerung der Strecke $CD$. Das Viereck $ACEB$
kann nämlich mit dem Viereck $CABE$ zur Deckung gebracht
werden, woraus die Gleichheit der Winkel $B$ und $E$ folgt;
jeder dieser Winkel ist daher spitz, also liegt der Punkt $E$
ausserhalb der Strecke $CD$. Eine Linie, deren Punkte $B$,
$E$, $B'$~.~.\ von einer Geraden $AA'$ gleichen Abstand haben,
ist daher keine Gerade. Den gleichen Strecken $AC$ und $CA'$
%-----File: 045.png--------------------------------------------
der Geraden $AA'$ entsprechen gleiche Stücke $BE$ und $EB'$
dieser krummen Linie. Ist der constante Abstand gleich Null,
so fällt die Linie mit der Geraden zusammen; je grösser der
Abstand wird, desto kleiner werden die Winkel der Sehne
$BE$ mit den Senkrechten $AB$ und $CE$, da, wie aus Art.~22,
1)~hervorgeht, von zwei Vielecken von gleich viel Seiten,
von denen das eine innerhalb des andern liegt, das kleinere
die grössere Winkelsumme hat.

Nähert sich der Punkt $B'$ immer mehr dem Punkte $B$,
so werden die Winkel $B$ und $B'$ immer grösser, die Gerade
$BB'$ nähert sich immer mehr der Tangente im Punkte $B$.
Die Tangente in $B$ steht daher auf der Geraden $BA$ senkrecht.

\subsection{34.}

Zwei nicht schneidende Gerade haben einen kleinsten
Abstand.

\begin{wrapfigure}{r}{3.1cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.1cm,height=1.85cm]{images/fig23}
\end{wrapfigure}

Jede Verbindungslinie des Punktes $B$ mit einem Punkte,
etwa $M$, der Strecke $B'B''$ (des Art.~32, 2) ist eine nicht
schneidende Gerade. Die Entfernungen der Punkte der Geraden
$BM$ von der Geraden $AA'$ nehmen in der Richtung
$BM$ ab, diese Abnahme kann nicht unbegrenzt sein, weil sich
sonst die beiden Geraden $AA'$ und $BM$ schneiden müssten;
es können auch nicht die Punkte irgend einer Strecke gleichen
Abstand haben, weil man sonst ein Viereck wie $AA'B'B$
erhielte, in welchem die Senkrechten in $A$, $A'$, $C$ gleich wären,
jedes der Vierecke $ACDB$ und $A'B'DC$ hätte dann vier
Rechte. Es muss daher für einen gewissen Punkt $Q$ der
Geraden $BM$ die Entfernung $QP$ von
der Geraden $AA'$ eine kleinste sein, dabei
muss $PQ \perp BM$
sein, weil sonst die Senkrechte
von $P$ auf die Gerade $BM$ kleiner
wäre. Die beiden Figuren $APQB$ und
$A'PQM$ sind congruent; versinnlicht man
sich (nach Anmerkung des Art.~7) die beiden
Geraden durch krumme Linien, so ist ihr Verhalten so
wie in der beigegebenen Figur.
%-----File: 046.png--------------------------------------------

\section{Winkelsumme und Fläche des Dreiecks.}

\subsection{35.}

Die Linien gleichen Abstandes gestatten eine Auffindung
der Beziehung zwischen der Winkelsumme und der Fläche
eines geradlinigen Dreiecks.

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=2.3cm]{images/fig24}
\end{wrapfigure}

1) Sind $AB$ und $CD$ die beiden
Linien gleichen Abstandes $h$ von einer
gegebenen Geraden $PQ$, so wird jede
Strecke $MN$ zwischen diesen Linien
von der Geraden $PQ$ im Punkte $O$
halbirt. Denn zieht man $MM'$ und
$NN' \perp PQ$, so ist
\[
\Triangle OMM' \cong \Triangle ONN',
\]
also
\[
MO = ON.
\]
Aus dieser Congruenz erhält man ausserdem
\[
\text{Winkel }AMN = MND.
\]

Daraus folgt: Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks
$MNR$, dessen eine Seite $NR$ ein Stück einer Linie
$CD$ gleichen Abstandes von einer Geraden $PQ$ und dessen
gegenüberliegende Spitze $M$ ein Punkt der zweiten Linie $AB$
desselben gleichen Abstandes von der Geraden $PQ$ ist, beträgt
zwei Rechte. Denn es ist
\[
N + M + R = AMN + NMR + RMB = 2R.
\]

Zieht man die Sehne $NR$, so beträgt also die Winkelsumme
des geradlinigen Dreiecks $MNR$ weniger als zwei
Rechte.

2) Macht man den Bogen $MS = NR$, so kann man auf
das (gemischtlinige) Viereck $NRMS$ die Sätze für die (geradlinigen)
Parallelogramme der gewöhnlichen Geometrie anwenden.
Daraus folgt: Alle Dreiecke, welche eine Sehne $NR$
eines Bogens der einen Linie $CD$ gleichen Abstandes von
der Geraden $PQ$ als Grundlinie und ihre Spitze in einem
beliebigen Punkte $M$ der anderen Linie $AB$ (desselben) gleichen
Abstandes haben, sind flächengleich und haben dieselbe
Winkelsumme.

\Paragraph{Zusatz.} Damit kann man die auf die Verwandlung von
Dreiecken in flä\-chen\-glei\-che bezüglichen Aufgaben lösen; z.~B.:
%-----File: 047.png--------------------------------------------
\begin{itemize}
\item[a)] Ein Dreieck in ein gleichschenkliges zu verwandeln.
\item[b)] Ein Dreieck in ein rechtwinkliges zu verwandeln u.~s.~w.
\end{itemize}

\subsection{36.}

Zwei flächengleiche Dreiecke  $ABC$  und  $ABD$, welche
dieselbe Grundlinie $AB$ haben, haben gleiche Winkelsumme.

\begin{wrapfigure}{r}{3.8cm}
\vskip-15pt
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.8cm,height=3.1cm]{images/fig25}
\end{wrapfigure}

Sind $M$ und $N$ die Mitten der
Seiten $AC$  und  $BC$, so sind die Abstände
der Punkte  $A$, $B$, $C$ von der
Geraden $MN$ einander gleich, etwa
$= h$. Alle Dreiecke, welche die gemeinsame
Grundlinie  $AB$  und ihre
Spitze in der durch den Punkt  $C$  gezogenen
Linie  $PQ$  vom gleichen Abstand
$= h$  haben, sind flächengleich
und haben gleiche Winkelsumme. Es ist also zu beweisen,
dass der Punkt  $D$  in der Linie  $PQ$  liegt.\footnote
  {Der Punkt $D$ ist in der Figur, weil er mit dem Punkte $E$ als
  identisch nachgewiesen wird, nicht bezeichnet; ebenso sind einige überflüssige
  Linien weggelassen worden.}
Dieser Beweis
geschieht indirect. Wäre $D$ kein Punkt dieser Linie, so ziehe
man die Gerade $BD$.

1) Schneidet die Gerade  $BD$  die Gerade  $MN$, so schneidet
sie auch die Linie  $PQ$, etwa im Punkte  $E$. Aus
\begin{align*}
\Triangle ABC &= \Triangle ABE\\
\Triangle ABC &= \Triangle ABD,
\intertext{folgt}
\Triangle ABE &= \Triangle ABD,
\end{align*}
was unmöglich ist, wenn der Punkt  $D$  auf der Strecke  $BE$
liegt.

2) Schneidet die Gerade  $BD$  nicht die Gerade  $MN$, so
nehme man für den Punkt  $C$  den Durchschnittspunkt der
Senkrechten in der Mitte der Seite  $AB$  mit der Linie  $PQ$,
d.~h.\ man setze das Dreieck  $ABC$  als gleichschenklig voraus.
Nun wähle man auf den Geraden  $MA$  und  $NB$  die Punkte
$M'$  und  $N'$  derart, dass  $MM' = NN'$  ist und die Gerade
$BD$  die Gerade  $M'N'$  schneidet. Legt man durch den Punkt
$C'$, wo $M'C' = M'A$ vorausgesetzt ist, eine Linie $C'E'$ gleichen
%-----File: 048.png--------------------------------------------
Abstandes zur Geraden $M'N'$, welche der Geraden $BD$
im Punkte $E'$ begegnet, so ist
\begin{alignat*}{2}
& \Triangle ABC' &&= \Triangle ABE'\\
& \Triangle ABD  &&< \Triangle ABE'\\
& \Triangle ABC' &&< \Triangle ABC,
\intertext{also auch}
& \Triangle ABD  &&< \Triangle ABC,
\end{alignat*}
was gegen die Voraussetzung ist. Der Punkt $D$ der Geraden
$BD$ muss daher in die Linie $PQ$, etwa nach $E$, fallen.

\Paragraph{Zusatz.} Nicht congruente Dreiecke von gleicher Grundlinie
$AB$ und gleicher Höhe sind nicht flächengleich. Die
Linien gleichen Abstandes durch den Punkt $C$ zu den Geraden
$AB$ und $MN$ sind verschieden.

\subsection{37.}

1) Zwei flächengleiche Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ haben
gleiche Winkelsumme.

\begin{wrapfigure}{r}{2.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.9cm,height=3cm]{images/fig26}
\end{wrapfigure}

Man kann die Voraussetzung machen, dass
in beiden Dreiecken die Geraden durch die
Mitten $M$ und $N$, $M'$ und $N'$ der Seiten $AC$
und $BC$, $A'C'$ und $B'C'$ auf den Seiten $AC$
und $A'C'$ senkrecht stehen.

Ist $AC < A'C'$, so bestimme man in der
Linie $CD$ gleichen Abstandes zur Geraden $MN$
den Punkt $D$ derart, dass $AD = A'C'$ wird.
Aus der Gleichheit der Flächen der Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$,
$ABC$ und $ABD$, also auch der der Dreiecke $A'B'C'$ und
$ABD$, folgt nach dem vorigen Artikel die Gleichheit der
Winkelsummen der Dreiecke $ABC$, $ABD$, $A'B'C'$.

2) Zwei Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$, welche gleiche Winkelsumme
haben, sind flächengleich.

Wäre $\Triangle ABC > \Triangle A'B'C'$, so sei $\Triangle ABE = \Triangle A'B'C$
wo der Punkt $E$ in der Seite $BC$ vorausgesetzt wird.

Nach 1) haben die Dreiecke $ABC$ und $ABE$ gleiche
Winkelsumme, was nach Art.~22, 1) nur möglich ist, wenn
die Winkelsumme des Dreiecks $ACE$ zwei Rechte beträgt.

\subsection{38.}

Die Flächen zweier Dreiecke verhalten sich wie die Unterschiede
ihrer Winkelsummen von zwei Rechten; d.~h.\ ist
%-----File: 049.png--------------------------------------------
\[
A + B + C= 2R - u,\; A' + B' + C' = 2R - u',
\]
so ist
\[
\Triangle ABC : \Triangle A'B'C' = u:u'.
\]

Ist das Verhältniss der Flächen der Dreiecke gleich dem
Verhältnisse der Zahlen $m$ und $m'$, so theile man das Dreieck
$ABC$ durch Gerade von der Spitze $C$ aus in $m$ gleiche Dreiecke
$\alpha$ und analog das Dreieck $A'B'C'$ durch Gerade von
der Spitze $C'$ aus in $m'$ gleiche Dreiecke $\alpha'$. Aus
\[
\Triangle ABC = m\alpha,\; \Triangle A'B'C' = m'\alpha'
\]
folgt die Gleichheit der Flächen und Winkelsummen der
Dreiecke $\alpha$ und $\alpha'$. Ist $2R - E$ die Winkelsumme eines
dieser Dreiecke, so erhält man für die Winkelsumme des
Dreiecks $ABC$ den Werth
\[
m(2R - E) - (m - 1)2R = 2R - mE
\]
und für die Winkelsumme des Dreiecks $A'B'C'$ den Werth
$2 R - m'E$; es ist also
\[
u = mE',\; u' = m'E
\]
und
\[
u:u' = m:m'.
\]

Ist $f$ die Fläche des Dreiecks, so ist daher
\[
f=\lambda u,
\]
wo $\lambda$ eine Constante ist.

\subsection{39.}

Aus dem vorigen Art.~folgt, dass $u=0$ wenn $f=0$ ist,
und umgekehrt. Die Fläche eines Dreiecks verschwindet, wenn
zwei Seiten endlich sind und die dritte verschwindet, oder
wenn alle drei Seiten verschwinden (siehe Anhang, Art.~1).

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3cm,height=1.7cm]{images/fig27}
\end{wrapfigure}

Dass der Grenzwerth der Winkelsumme eines Dreiecks,
dessen Seiten sich dem Verschwinden nähern, zwei Rechte
beträgt, kann auch unmittelbar ohne jede
Parallelen-Voraussetzung bewiesen werden.\footnote
  {\so{Flye}, Études analytiques sur la théorie des parallèles. Paris, 1871.}
Denn verschwinden die Seiten des
Dreiecks $ABC$, so reducirt sich dessen
Fläche auf einen Punkt $M$ und die Richtungen
der Seiten auf drei durch diesen
Punkt $M$ gehende Gerade $a$, $b$, $c$. Sind
%-----File: 050.png--------------------------------------------
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ die Grenzwerthe des Winkel des Dreiecks, so folgt,
wegen
\[
\alpha + \gamma' + \beta = 2R,
\]
da $\gamma'$ der zu $\gamma$ zugehörige Scheitelwinkel ist,
\[
\alpha + \beta + \gamma = 2R.
\]

\begin{wrapfigure}[7]{r}{3.2cm}
\vspace{-3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.9cm]{images/fig28}
\vspace{0.25cm}
\caption{\hskip1pt }
\hskip20pt\includegraphics*[width=2cm]{images/fig29}
\end{wrapfigure}

Für $A = B = C = 0$, wird die
Fläche des Dreiecks ein \so{Maximum}.
Um dieses Dreieck zu construiren, ziehe
man in einem Punkte $A$ einer Geraden
$A'A''$ die Gerade $AB \perp A'A''$ und die
Geraden $CD$ und $EF$ derart, dass
\begin{alignat*}{2}
  CD &\parallel AA'' &,\  DC &\parallel AB  \\
  EF &\parallel AA'  &,\  FE &\parallel AB
\end{alignat*}
ist. Durch krumme Linien wird ein solches
Dreieck durch die beistehende Figur versinnlicht.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Die wirkliche Ausführung der eben erwähnten
Construction der Parallelen $CD$ und $EF$ wird im Art.~68 gelehrt.
\end{Small}

\section{Unendlich ferne Funkte.}

\subsection{40.}

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=1.9cm,height=3.5cm]{images/fig30}
\end{wrapfigure}

Die Voraussetzungen, dass in der euclidischen Geometrie
durch jeden Punkt ausserhalb einer Geraden eine und in der
nichteuclidischen Geometrie \so{zwei} Parallele möglich sind, sind
mit den Voraussetzungen, dass jede Gerade
\so{einen} resp.\ \so{zwei} unendlich ferne Punkte
besitzt, identisch. Denn zieht man in der
nichteuclidischen Geometrie durch den Punkt
$A$ ausserhalb der Geraden $B'B''$ die beiden
Parallelen $AD \parallel BB'$, $AE \parallel BB''$, so nähern
sich die Punkte der Geraden $AD$ immer mehr
denen der Geraden $BB'$ und ebenso die der
Geraden $AE$ denen der Geraden $BB''$; man
kann daher jede der Geraden $AD$ und $AE$
als eine die Gerade $B'B''$ in unendlich fernen
Punkten schneidende Gerade betrachten. Diese beiden unendlich
fernen Punkte müssen als verschiedene betrachtet
werden, weil die beiden Geraden $AD$ und $AE$ in der nichteuclidischen
Geometrie als zwei verschiedene vorausgesetzt
%-----File: 051.png--------------------------------------------
werden. In der euclidischen Geometrie bilden die Geraden
$AD$ und $AE$ eine einzige Gerade; lässt man nun das Princip
der Geraden »dass sie durch zwei Punkte bestimmt ist« allgemein
gelten, so erfordert die Erhaltung dieses Principes
die Voraussetzung, dass die beiden unendlich fernen Punkte
der Geraden $B'B''$ einen einzigen Punkt bilden, etwa als die
beiden entgegengesetzten Seiten eines Punktes betrachtet
werden. Zählt man die Strecken auf einer Geraden $B'B''$
von einem Punkte $B$ als Anfang positiv auf der einen, negativ
auf der entgegengesetzten Seite, so kann man in der
euclidischen Geometrie sowohl beim Durchgang durch den
Punkt Null als auch beim Durchgang durch den Punkt Unendlich
vom Positiven ins Negative gelangen, während in
der nichteuclidischen Geometrie dieser Uebergang nur durch
den Punkt Null möglich ist, da die beiden unendlich entfernten
Punkte zwei getrennte Punkte sind. Nichts hindert
jedoch diese Punkte durch ein ideales Stück einer Linie zu
verbinden, deren Punkte vom Anfang der Zählung durch
imaginäre Werthe bestimmt sind.\footnote
  {\so{Battaglini}, Giornale di Matematiche, t.~V, p.~22.}

Dreht man die eben erhaltene Figur um die Gerade $AB$
als Axe, so beschreibt die Gerade $B'B''$ eine Ebene und jeder
endlich liegende Punkt einen Kreis. In der euclidischen Geometrie
fallen die unendlich fernen Punkte einer jeden Lage
der Geraden $B'B''$ zusammen, ihr Inbegriff bildet daher eine
Linie, die von jeder Geraden in einem einzigen Punkte geschnitten
wird, d.~i.\ eine Gerade. In der nichteuclidischen
Geometrie sind die beiden unendlichen Punkte einer jeden
Lage der Geraden $B'B''$ getrennt und einander gegenüberliegend,
ihr Inbegriff bildet einen Kreis, dessen Mittelpunkt
ein beliebiger Punkt $B$ der Ebene ist und dessen Radius unendlich
ist.

Denkt man sich durch den Punkt $B$ sämmtliche Ebenen
gelegt und für jede die unendlichen Punkte bestimmt, so bilden
in der euclidischen Geometrie die unendlich fernen Punkte
eine Fläche, die von jeder Geraden in einem (unendlich fernen)
Punkte und von jeder Ebene in einer (unendlich fernen)
Geraden geschnitten wird, d.~i.\ eine Ebene; während sie in
%-----File: 052.png--------------------------------------------
der nichteuclidischen Geometrie eine Kugelfläche bilden, deren
Mittelpunkt ein beliebiger Punkt $B$ des Raumes und deren
Radius unendlich ist.

\begin{Small}
\so{Anmerkung 1.} Der Nutzen, den die unendlich fernen Punkte
in der euclidischen Geometrie gewähren, ist hinreichend bekannt.
Dieselben gestatten hauptsächlich die Zusammenfassung von Sätzen
über sich schneidende und parallele Gebilde, die sonst getrennt behandelt
werden müssten.

Da der unendlich ferne Punkt kein auf der Geraden erreichbarer
Punkt ist, so kann man denselben in der euclidischen Geometrie als
Inbegriff aller auf der Geraden nicht erreichbaren Punkte erklären.
Sind daher $A$, $B$ zwei beliebige gegebene Punkte einer Geraden, $M$ ihr
unendlich entfernter Punkt, so bedeutet das Verhältniss $AM:BM$
die positive Einheit. In der nichteuclidischen Geometrie kann man
die beiden unendlich entfernten Punkte einer Geraden in gleicher
(aber entgegengesetzter) Entfernung von jedem endlichen Punkte derselben
Geraden voraussetzen.

\so{Anmerkung 2.} In den Beweisen der Sätze der Artikel 20, 21
u.~s.~w.\ ist die stillschweigende Voraussetzung der Unendlichkeit des
Raumes gemacht. Unter dieser Voraussetzung und der eben gemachten
für die unendlich fernen Punkte konnte auch das Princip der Geraden
erhalten werden. Wird der Baum als unbegrenzt aber endlich vorausgesetzt,
so kann dieses Princip für jede beliebige Lage zweier Punkte
nicht mehr erhalten werden, wie dies in der Folge bewiesen wird.
\end{Small}

\section{Sätze aus der Stereometrie.}

\subsection{41.}

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.8cm,height=4.2cm]{images/fig31}
\end{wrapfigure}

Ist eine Gerade $MA$ senkrecht auf
einer Ebene und $BC$ eine beliebige Gerade
dieser Ebene, so ist, wenn
\begin{itemize}
\item[a)] $AD \perp BC$ ist, auch $MD \perp BC$,
\item[b)] $MD \perp BC$ ist, auch $AD \perp BC$.
\end{itemize}

Beweis: Macht man $DB = DC$, so
erhält man
\begin{flalign*}
&\indent\quad\text{a) aus} & \Triangle ADB &\cong \Triangle ADC && \indent\phantom{a) aus}\\
&&\Triangle MAB &\cong \Triangle MAC.&&\\
&\indent\quad\text{b) aus} & \Triangle MDB &\cong \Triangle MDC && \phantom{b) aus}\\
&&\Triangle MAB &\cong \Triangle MAC.&&
\end{flalign*}

\so{Folgerungen:} 1) Von einem Punkte $M$ auf eine Ebene $\mathfrak{A}$ eine Senkrechte
zu ziehen. Man ziehe in der Ebene $\mathfrak{A}$ eine beliebige
%-----File: 053.png--------------------------------------------
Gerade $BC$ auf diese die Geraden $MD$ und (in der Ebene $\mathfrak{A}$)
$DA$ senkrecht. Die Gerade $MA \perp DA$ ist die gesuchte
Senkrechte. Denn die Gerade $BC$, also auch die Ebene $\mathfrak{A}$
ist senkrecht auf der Ebene $ADM$.

2) In einem Punkte $A$ einer Ebene $\mathfrak{A}$ eine Senkrechte
zu errichten. Man ziehe von einem beliebigen Punkt $M$
ausserhalb der Ebene $\mathfrak{A}$ eine Senkrechte $MN$ auf die Ebene
$\mathfrak{A}$. In der Ebene $MNA$ ziehe man $AB \perp NA$, so ist nach
Art.~19, 4) $AB$ die gesuchte Senkrechte.

\subsection{42.}

\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
\vskip-40pt\hskip10pt
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.1cm,height=3.5cm]{images/fig32}
\end{wrapfigure}

Die Durchschnittslinie $a$ zweier gegebenen Ebenen $\mathfrak{A}$
und $\mathfrak{A}'$ kann auf die folgende Art bestimmt werden: Die
Senkrechten $MA$ und $MA'$ von einem beliebigen Punkt $M$
auf die Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$ liegen in einer auf der Durchschnittslinie
$a$ dieser Ebenen senkrechten
Ebene $\mathfrak{B}$. Errichtet man auf die Geraden
$MA$ und $MA'$ Senkrechte in der Ebene $\mathfrak{B}$
in den Punkten $A$ und $A'$, so schneiden
sich diese in einem Punkte $X$ der Durchschnittslinie
$a$. Eine Senkrechte im Punkte
$X$ auf die Ebene $\mathfrak{B}$ ist die Durchschnittslinie
$a$ der Ebenen $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$.

\Paragraph{Zusatz.} Schneiden sich diese Senkrechten in den Punkten
$A$ und $A'$ nicht, so schneiden sich auch nicht die Ebenen
$\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{A}'$.

\subsection{43.}

\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.55cm,height=2.7cm]{images/fig33}
\end{wrapfigure}

Der Durchschnitt einer Kugel mit einer Ebene ist ein
Kreis. Drei gröss\-te Kreise bilden auf der Ku\-gel\-flä\-che \so{acht}
sphärische Dreiecke, von denen immer je
zwei gegenüberliegende, deren Spitzen also
die Endpunkte dreier Durchmesser bilden,
\so{flächengleich} sind.


In zwei Gegendreiecken $ABC$ und
$A'B'C'$ sind nämlich die Seiten und Winkel
in derselben Ordnung aber im entgegengesetzten
Drehungssinne einander gleich. Eine Senkrechte
vom Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene der drei Spitzen
%-----File: 054.png--------------------------------------------
$A$, $B$, $C$ des einen Dreiecks trifft die Kugelfläche in den
Punkten $D$ und $D'$ derart, dass
\[
DA=DB=DC=D'A'=D'B'=D'C'
\]
ist. Die Dreiecke $DAB$, $DBC$, $DCA$ sind mit den Dreiecken
$D'A'B'$, $D'B'C'$, $D'C'A'$ congruent, woraus die Gleichheit
der Flächen der Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ folgt.

\subsection{44.}

Die Summe der drei durch die Winkel des sphärischen
Dreiecks bestimmten Zweiecke gibt die halbe Kugelfläche
vermehrt um die doppelte Dreiecksfläche.

Theilt man die ganze Kugelfläche in 360 gleiche Zweiecke
(deren Winkel also je 1° beträgt), so erhält man für
die Fläche des Dreiecks $ABC$
\[
f= \tfrac{1}{2} (A+B+C-180°),
\]
wo $A$, $B$, $C$ die in Graden ausgedrückten Winkel des Dreiecks
sind.

\section{Ebenen durch parallele Gerade.}

\subsection{45.}

Aus dem Satze des Art.~25, 3) folgt die Existenz des
räumlichen Gebildes, erzeugt durch drei Ebenen, die sich in
drei nach derselben Richtung parallelen Geraden schneiden,
d.~i.\ eines Gebildes begrenzt von drei Streifen. Solche Gebilde
bieten eine Reihe von Analogien mit dem ebenen Dreiecke
der euclidischen Geometrie dar, wenn man die Seiten
und Winkel des letzteren mit Streifen und Keilen des ersten
vertauscht, wobei jedoch auf die Modificationen vermöge der
Gleichheit aller unbegrenzten Streifen (Art.~32, 2) zu achten ist.

Den beiden ersten Congruenzsätzen des Dreiecks können
folgende Sätze gegenübergestellt werden: Zwei Streifen-Gebilde
sind congruent, wenn sie
\begin{itemize}
\item[a)] den zwischen zwei gleichliegenden Streifen eingeschlossenen
Keil,
\item[b)] zwei einem Streifen anliegende Keile
\end{itemize}
wechselweise in derselben Ordnung und demselben Drehungssinne
gleich haben. Für die Gleichheit der Lage der Streifen
ist erforderlich, dass mit der Deckung des einen Paares zugleich
%-----File: 055.png--------------------------------------------
die Deckung des zweiten Paares durch Drehung um
die gemeinsame Kante (ohne Verschiebung) erfolgt.

\subsection{46.}

Schneiden sich drei Ebenen in parallelen Geraden, so
ist die Summe der drei (innern) Keile nicht grösser als zwei
Rechte.

Sind $AA'$, $BB'$, $CC'$ parallele Gerade und $A$, $B$, $C$ die
anliegenden Keile, so kann man in der durch die Gerade
$AA'$ und die Mittellinie $DD'$ des Streifens $BB'$ und $CC'$
bestimmten Ebene eine Gerade $EE' \parallel AA'$ derart ziehen, dass
die Gerade $DD'$ die Mittellinie der Geraden $AA'$ und $EE'$
ist. Der Durchschnitt des durch die Geraden $AA',~.~.\ EE'$
bestimmten Gebildes mit einer (durch einen beliebigen
Punkt) auf der Geraden $DD'$ senkrechten Ebene gibt eine
Figur wie in Art.~20. Alle Schlüsse dieses Artikels lassen
sich auf das vorliegende Gebilde anwenden, indem man Winkel,
Seite,,~.~.\ Dreieck,,~.~.\ mit Keil, Streifen,,~.~.\ von drei Streifen
bestimmtes Gebilde,,~.~.\ vertauscht.

\subsection{47.}

1) Zwei Ebenen $\alpha$ und $\beta$, welche von einer dritten Ebene
in zwei parallelen Geraden $AA' \parallel BB'$ derart geschnitten
werden, dass die Summe der beiden auf derselben Seite der
schneidenden Ebene $AA'BB'$ liegenden Keile zwei Rechte
beträgt, können sich nicht schneiden.

2) Ist $CC'$ die Mittellinie des Streifens $AA'BB'$, so beträgt
für jede durch $CC'$ gelegte Ebene, welche die Ebene
$\alpha$ also auch die Ebene $\beta$ schneidet, die Summe der beiden
auf derselben Seite liegenden Keile zwei Rechte.

Beweis von 1) ganz analog wie in Art.~23, 1). Für den
Beweis von 2) kann man das eine der beiden erhaltenen
Streifengebilde um die gemeinsame Kante $CC'$ derart drehen,
dass es mit dem anderen zusammenfällt, worauf dann unmittelbar
die Schlüsse des Art.~23, 2) angewendet werden können.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Statt $CC'$ kann man jede zwischen $AA'$ und $BB'$
liegende parallele Gerade $C_1 C_1'$ nehmen. Nur muss man dann das
eine Gebilde in der Geraden $C_1 C_1'$ so lange verschieben, bis $C_1 C_1'$ die
Mittellinie von $AA'$ und $BB'$ wird.
\end{Small}
%-----File: 056.png--------------------------------------------

\subsection{48.}

Ist die Summe der innern Keile, welche zwei beliebige
durch zwei parallele Gerade $AA'$ und $BB'$ gelegte Ebenen
$\alpha$ und $\beta$ mit der Ebene $AA'BB'$ der beiden Parallelen bilden,
kleiner als zwei Rechte, so schneiden sich die beiden
Ebenen $\alpha$ und $\beta$.

1) Es sei einer der beiden Keile, etwa der an der Ebene
$\alpha$ ein Rechter, also der an der Ebene $\beta$ spitz.

\begin{wrapfigure}{r}{2.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.9cm,height=2.6cm]{images/fig34}
\end{wrapfigure}

Zieht man $AC \perp BB'$, und in der
Ebene $\beta$ $CD \perp BB'$, so ist der Winkel
$ACD$ der Keil der Ebene $\beta$ mit der Ebene
der Parallelen $AA'$ und $BB'$, also ein
spitzer Winkel. Zieht man $AD \perp CD$,
so ist daher die Strecke $AD < AC$ also
auch $< AB$, wenn $BA \perp AA'$ vorausgesetzt
wird. Eine Ebene $\gamma$ durch die
Punkte $A$, $B$, $D$ schneidet die Ebene $\alpha$ in einer Geraden,
etwa $AA''$, (wobei $BA \perp AA''$ ist) und die Ebene $\beta$ in
der Geraden $BD$. Dreht man die Ebene $\gamma$ um die Gerade
$AB$, so beschreibt die Gerade $AA''$ die Ebene $\alpha$ und,
wenn diese Gerade mit der Geraden $AA'$ zusammenfällt, so
fällt die Gerade $BD$ in die Ebene der Parallelen $AA'$ und
$BB'$, wobei der Punkt $D$ zwischen $AA'$ und $BB'$ liegt.
Die Gerade $BD$ schneidet in dieser neuen Lage die Gerade
$AA'$ also schneidet auch die Gerade $BD$ in ihrer ursprünglichen
Lage die Gerade $AA''$. Der Durchschnittspunkt liegt
in den Ebenen $\alpha$ und $\beta$, letztere schneiden sich daher in
einer Geraden.

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.7cm,height=2.45cm]{images/fig35}
\end{wrapfigure}

2) Sind beide Keile der Ebenen $\alpha$ und $\beta$ spitz, so lege
man durch die Mittellinie $CC'$ eine Ebene senkrecht auf die
Ebene $AA'BB'$, welche also jede der
Ebenen $\alpha$ und $\beta$, etwa $\alpha$ in der Geraden
$JJ'$ und $\beta$ in der Geraden $KK'$, schneidet,
wobei etwa $KK'$ näher der Geraden
$CC'$ liegt. Die unbegrenzte Ebene
$\beta$ geht (in der Geraden $KK'$) in das
Innere des Streifengebildes der Parallelen
$AA'$, $CC'$, $JJ'$, muss also die Ebene $\alpha$ beim Austritt
in einer Geraden $LL'$ schneiden. Versinnlicht ist in der
%-----File: 057.png--------------------------------------------
beistehenden Figur die Lage der Linien durch einen auf der
Geraden $CC'$ senkrechten Schnitt.

\begin{wrapfigure}{r}{2.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.9cm,height=2cm]{images/fig36}
\end{wrapfigure}

3) Ist einer der Keile, etwa der an $\alpha$ stumpf, so lege
man durch die Mittellinie $CC'$ die Ebene $\gamma \perp \alpha$, welche die
Ebene $\alpha$ in der Geraden $A_1A_1'$ schneidet.
Der Keil an $CC'$ des Streifengebildes $AA'$,
$CC'$, $A_1 A_1'$ ist spitz, also auch sein Scheitelkeil.
Die Ebene $\gamma$ schneidet daher die
Ebene $\beta$ nach 2) in einer Geraden $B_1B_1'$.
Nach dem vorigen Artikel kann auf die
Ebenen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ der Satz 1) angewendet
werden. Versinnlichung analog wie in 2).

\Paragraph{Zusatz.} Andere Beweise von 2) und 3): Sind a) die
Keile der Ebenen $\alpha$ und $\beta$ spitz, oder ist b) ein Keil, etwa
der an $\alpha$, stumpf, so lege man durch die Gerade $BB'$ eine
Ebene $\gamma \perp \alpha$, welche derselben in den Geraden $A_1A_1' \parallel
AA' \parallel BB'$ begegnet. Für den Fall a) erhält man unmittelbar,
dass der Keil der Ebenen $\beta$ und $\gamma$ spitz ist. Für den
Fall b) wird dies mit Zuziehung der vorigen Artikel nachgewiesen.

Sind nämlich $\alpha$ und $\beta$ die Keile der Ebenen $\alpha$ und $\beta$
mit der Ebene $AA'BB'$, $\alpha'$ und $\beta'$ die ihnen anliegenden
Keile des Streifengebildes $AA'$, $BB'$, $A_1A_1'$, so ist
\begin{align*}
& \alpha  + \beta < 2R\\
 &\alpha' + \beta' \leqq R,
\end{align*}
woraus durch Addition $\beta + \beta' < R$ folgt. Es schneiden sich
daher die Ebenen $\alpha$ und $\beta$.

Aus dem Vorhergehenden erhellet die Analogie der Gebilde
erzeugt durch Ebenen, die sich in parallelen Geraden
schneiden, mit den geradlinigen Figuren der euclidischen Planimetrie.
Speciell erhält man: Die Summe der drei Keile
von drei Ebenen, welche sich in parallelen Geraden schneiden,
beträgt zwei Rechte.

\subsection{49.}

Bestimmt man auf den Geraden $AA' \parallel BB' \parallel CC'$ für
einen gegebenen Punkt $A$ der Geraden $AA'$ die Punkte $B$
und $C$ auf den Geraden $BB'$ und $CC'$ derart, dass
%-----File: 058.png--------------------------------------------
\[
A'AB = B'BA, A'AC = C'CA
\]
ist, so ist auch
\[
B'BC = C'CB.
\]
\begin{wrapfigure}{r}{3.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.9cm,height=3.5cm]{images/fig37}
\end{wrapfigure}

1) Die Geraden $AA'$, $BB'$
$CC'$ seien nicht in einer Ebene.

Die Ebenen senkrecht durch
die Mittellinien $DD'$ und $EE'$
der Streifen $AA'BB'$ und $AA'CC'$
schneiden sich in einer auf der
Ebene $ABC$ senkrechten Geraden
$FF' \parallel DD' \parallel EE'$. Ist $F$
der Durchschnittspunkt dieser
Geraden mit der Ebene $ABC$,
so ist $BF=AF=CF$.\footnote
  {Die drei Linien $AF$, $BF$, $CF$ sind der Deutlichkeit halber in
der Figur weggelassen worden.}

Zieht man $FG \perp BC$, so ist $BG = GC$ und die Gerade
$BC$ senkrecht auf der Ebene $F'FG$ also auch senkrecht auf
der Geraden $GG' \parallel FF'$. Die Geraden $BB'$ und $CC'$ sind
parallel zur Geraden $GG'$ und dabei ist $GG'$ senkrecht in
der Mitte $G$ der Strecke $BC$; es ist daher auch $B'BC = C'CB$.

\Paragraph{Zusatz.} Der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt des durch
die drei Punkte $A$, $B$, $C$ gehenden Kreises. Von diesen drei
Punkten kann der eine, etwa $A$, auf der Geraden $AA'$ willkürlich
genommen werden, die beiden andern, $B$ und $C$, sind
dann auf den Geraden $BB'$ und $CC'$ eindeutig bestimmt.

2) Sind die Geraden $AA'$, $BB'$, $CC'$ in derselben Ebene,
so ziehe man die Gerade $DD' \parallel AA'$ ausserhalb dieser Ebene
und bestimme in dieser Geraden den Punkt $D$ derart, dass
$D'DA = A'AD$ ist. Dann folgt aus $D'DB = B'BD$ und
$D'DC = C'CD$ die Gleichheit von $B'BC$ und $C'CB$.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Die in den Artikeln 45--49 enthaltenen Sätze sind
im absoluten Sinne richtig, d.~h.\ ohne Rücksicht auf das Parallelen-Axiom.
\end{Small}

\section{Grenzfläche, Grenzlinie.}

\subsection{50.}

Ist $AA'$ eine beliebige Gerade und bestimmt man auf
jeder Geraden $MM' \parallel AA'$ zu einem gegebenen Punkt $A$ der
%-----File: 059.png--------------------------------------------
ersten Geraden einen Punkt $M$ auf der Geraden $MM'$ derart,
dass Winkel
\[
M'MA = A'AM
\]
ist, so erhält man als den Ort der Punkte $M$ eine Fläche,
welche die \so{Grenzfläche} heisst.\footnote
  {Nach \so{Lobatschewsky}, J.~\so{Bolyai} nennt sie die Fläche $F$.
} Die Gerade $AA'$ heisst
die \so{Axe} der Grenzfläche, und umgekehrt: die eben erhaltene
Grenzfläche heisst »Grenzfläche für die Axe $AA''$«. Sind $B$
und $C$ zwei beliebige Punkte der Grenzfläche $BB' \parallel CC'$
nach der Richtung der Axe, so ist nach Art.~49 auch Winkel
$B'BC = C'CB$; d.~h.\ man kann jede der parallelen Geraden
$AA'$, $BB'$, $CC'$,~.~.\ als Axe der Grenzfläche betrachten.

\subsection{51.}
\begin{wrapfigure}{r}{3.1cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.1cm,height=3.2cm]{images/fig38}
\end{wrapfigure}

Der Schnitt der Grenzfläche mit einer durch eine Axe
gelegten Ebene ist eine Linie, welche \so{Grenzlinie} genannt
wird\footnote
  {J. \so{Bolyai} nennt sie eine Linie $L$ auf der Fläche $F$.
}; jede Grenzlinie hat die Eigenschaft, dass die Senkrechten
in den Mitten der Sehnen parallel
den Axen sind. Um daher eine
Grenzlinie zu erhalten zieht man zu einer
gegebenen Geraden $AA'$ als Axe die Gerade
$AB$ unter einem beliebigen Winkel
$A'AB$ und wählt die Strecke $AC$ derart,
dass die Gerade $CC' \perp AB \parallel AA'$ ist;
macht man auf der Geraden $AB$ die
Strecke $BC = AC$, so ist der Punkt $B$
ein Punkt der Grenzlinie.

1) Ist $A'AB = R$, so ist $AC$ also auch $AB = 0$, d.~i.\
die Tangente eines Punktes $A$ der Grenzlinie steht senkrecht
auf der Axe; jede auf der Axe in $A$ nicht senkrechte Gerade,
wie $AB$, schneidet die Grenzlinie in zwei Punkten
($A$ und $B$).

2) Die Grenzlinie ist aus congruenten Stücken zusammengesetzt;
zieht man nämlich die Gerade $BD$ derart, dass
$DBB' = BAA'$ ist und macht die Strecke $BD = AB$, so
ist der Punkt $D$ ebenfalls ein Punkt der Grenzlinie.

Die Grenzlinie ist zu beiden Seiten einer jeden Axe symmetrisch.
%-----File: 060.png--------------------------------------------
Alle Grenzlinien sind congruent. Zwei Grenzlinien
decken sich, wenn ein Punkt und dessen Axe der einen
mit einem Punkte und dessen Axe der andern zusammenfällt.

3) Schneidet man auf den Axen $AA'$, $BB'$,~.~.\ gleiche
Stücke $AA_1 = BB_1 =$~.~.\ ab, so liegen die Punkte $A_1$, $B_1$,~.~.\
in einer Grenzlinie. Denn man kann die Figur $A'ABB'$
mit der Figur $B'BAA'$ zur Deckung bringen, dabei fällt
die Strecke $A_1B_1$ mit der Strecke $B_1A_1$ zusammen. Der
Punkt $B_1$ ist daher ein Punkt der Grenzlinie für die Axe $A_1A'$.

4) Ein Kreis, dessen Halbmesser ins Unbegrenzte wächst,
geht in die Grenzlinie über. (Der Beweis folgt unmittelbar
aus Art.~32, 2.)

\subsection{52.}

Der Schnitt der Grenzfläche mit einer nicht durch eine
Axe gelegten Ebene ist ein Kreis.

Sind nämlich $A$, $B$, $C$ drei beliebige Punkte der Schnittlinie,
so erhält man (nach Art.~49) in der Ebene $ABC$ einen
Punkt $F$ derart, dass $FA = FB = FC$ und die Senkrechte
$FF'$ im Punkte $F$ der Ebene $ABC \parallel AA'$, $BB'$, $CC'$ ist;
der Punkt $F$ ist daher der Mittelpunkt des durch die Punkte
$A$, $B$, $C$ gelegten Kreises. Dreht man die Ebene $F'FA$ um
die Gerade $FF'$, so beschreibt die Gerade $FA$ die Ebene
$ABC$ und der Punkt $A$ die durch die Punkte $A$, $B$, $C$ gelegte
Kreislinie, deren Punkte sämmtlich auf der Grenzfläche
liegen, da die Gerade $AA'$ immer parallel zur Geraden $FF'$
bleibt; ausser diesen Punkten liegt (nach Art.~32, 1)) kein
Punkt der Ebene $ABC$ auf der Grenzfläche.

Die Grenzfläche wird daher auch erhalten, indem man
eine Grenzlinie um eine ihrer Axen dreht.

Eine Kugel, deren Halbmesser ins Unbegrenzte wächst,
geht in die Grenzfläche über.

\begin{Small}
\so{Anmerkung 1.} Unter Voraussetzung des elften euclidischen
Axioms sind die Grenzlinie und Grenzfläche resp.\ mit der Geraden
und Ebene, welche auf den Axen senkrecht stehen, identisch; in der
nichteuclidischen Geometrie gehören sie zu den krummen Gebilden.
Z.~B. Die drei Punkte $A$, $B$, $D$ der Grenzlinie des Art.~51 liegen
nicht in einer Geraden. Durch zwei Punkte $A$ und $B$ einer Ebene
sind in dieser zwei Grenzlinien möglich --- entsprechend den beiden
entgegengesetzten Richtungen der Senkrechten in der Mitte der durch
%-----File: 061.png--------------------------------------------
die beiden Punkte $A$ und $B$ bestimmten Strecke ---; durch drei Punkte,
welche in dem Umfang eines Kreises liegen, sind zwei Grenzflächen
bestimmt. Alle Punkte der Ebene, welche zugleich innerhalb der beiden
Grenzlinien oder zugleich ausserhalb derselben liegen, können
mit den beiden Punkten $A$ und $B$ nicht im Umfang eines Kreises
liegen. Analog erhält man diejenigen Punkte des Raumes, welche
mit zwei gegebenen Punkten nicht auf einer Kugelfläche liegen.

\so{Anmerkung 2.} Die wirkliche Ausführung der in diesen Artikeln
vorkommenden Constructionen --- deren Möglichkeit aus dem Vorhergehenden
klar ist --- wird später (in den Art.~67--69) gegeben werden.
\end{Small}

\section{Figuren auf der Grenzfläche.}

\subsection{53.}

1) Auf der Grenzfläche ist durch \so{zwei} Punkte \so{eine}
Grenzlinie bestimmt.

\begin{wrapfigure}{r}{2.6cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.6cm,height=2.3cm]{images/fig39}
\end{wrapfigure}

2) Zwei Grenzlinien $AM$ und $BN$, deren Summe der
innern Winkel, welche sie mit einer dritten sie schneidenden
Grenzlinie $AB$ (auf derselben Seite der schneidenden)
bilden, kleiner als zwei Rechte ist,
schneiden sich.

Denn die Ebenen der Grenzlinien $AM$ und
$BN$ bilden mit der Ebene der Grenzlinie $AB$
innere Winkel, deren Summe kleiner als $2R$
ist, die beiden Ebenen schneiden sich nach
Art.~48 in einer Geraden, also die Grenzlinien $AM$ und $BN$
in einem Punkte.

3) Aus 1) und 2) folgt: Auf der Grenzfläche gelten die
Sätze der euclidischen Planimetrie, wenn man die Gerade
durch die Grenzlinie und die Strecke durch das zwischen zwei
Punkten enthaltene Stück der Grenzlinie ersetzt. Z.~B.
\begin{itemize}
\item[a)] Die Summe der drei Winkel eines (von drei Grenzbögen
gebildeten) Dreiecks ist gleich $2R$.
\item[b)] Der Umfang eines Kreises, dessen Radius das Stück $r$
eines Grenzbogens ist, beträgt $2\pi r$, wo $\pi = 3,14159\ldots$ ist.
\end{itemize}

\begin{wrapfigure}{r}{2.4cm}
\vskip-25pt
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.4cm,height=2.8cm]{images/fig40}
\end{wrapfigure}

Ist $O$ der Mittelpunkt des Kreises auf der Grenzfläche
$M$ ein beliebiger Punkt des Umfanges, sind $MM' \parallel OO'$ die
Axen der Punkte $M$ und $O$, so erhält man den Kreis durch
Umdrehung des Grenzbogens $MO = r$ um $OO'$ als Axe.
%-----File: 062.png--------------------------------------------
Ist $MP \perp OO'$, so beschreibt bei dieser Umdrehung die
Gerade $MP = y$ einen Kreis von gleichem Umfange.
Bezeichnet man den Umfang dieses Kreises
mit $\mcirc y$, so ist also
\[
\mcirc y = 2\pi r.
\]

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Die goniometrischen Functionen und
ihre Eigenschaften sind von jeder geometrischen Betrachtung
unabhängig. Es bedeuten nämlich z.~B.\ $\sin x$,
$\cos x$,~.~.\ die Reihen
\begin{align*}
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,
\end{align*}
welche sich auch in der Form geben lassen:
\begin{align*}
\sin x &= \frac{e^{xi} - e^{-xi}}{2i}\\
\cos x &= \frac{e^{xi} + e^{-xi}}{2}.
\end{align*}

Diese Reihen sind für jeden beliebigen Werth von $x$ convergent,
besitzen alle Eigenschaften der in der euclidischen Geometrie eingeführten
goniometrischen Functionen, also auch eine gemeinsame
reelle Periode $= 2\pi$, wo $\pi = 3,14159\ldots$ die bekannte Ludolf'sche Zahl
bedeutet. Die Zahl $x$ heisst Argument und entspricht dem Winkel
zweier Geraden in der euclidischen Geometrie. Die Einheit von $x$ ist
dadurch bestimmt, dass dem vollen Winkel $= 360°$ die Zahl $2\pi$ entspricht.
Ist daher $x°$ der dem Argumente $x$ entsprechende Winkel
(in Graden ausgedrückt), so ist
\[
x : x° = 2\pi : 360°.
\]

Gleiches gilt auch von den sogenannten hyperbolischen Functionen
\begin{align*}
\fsin x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
\fcos x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \text{\; u.~s.~w.}\\
\intertext{d.~i.\ von den Reihen}
\fsin x &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\\
\fcos x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots,
\end{align*}
welche die Periode $2\pi i$ haben, und in der absoluten Geometrie die
gleiche Verwendung finden wie die Kreisfunctionen in der gewöhnlichen
Geometrie. (Siehe Anhang Art.~2.)
%-----File: 063.png--------------------------------------------

Auf der Grenzfläche lässt sich daher die gewöhnliche ebene Trigonometrie
und analytische Geometrie auf Gebilde, in welchen die
Geraden (der gewöhnlichen Geometrie) durch Grenzlinien und die
Strecken durch Grenzbögen ersetzt sind, unmittelbar anwenden.
\end{Small}

\section{Anwendung auf das geradlinige und sphärische Dreieck.}

\subsection{54.}

In jedem Dreiecke verhalten sich die Umfänge der Kreise,
welche die Seiten zu Radien haben, wie die Sinuse der gegenüberliegenden
Winkel.

\begin{wrapfigure}{r}{3.4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.4cm,height=3.8cm]{images/fig41}
\end{wrapfigure}

1) Ist das Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig, so ziehe
man in einem der Punkte $A$ oder $B$, etwa in $A$, die Gerade
$AA' \perp$ auf die Ebene $ABC$ und ziehe
$BB'$, $CC' \parallel AA'$. Durch den Punkt $B$
lege man für $BB'$ als Axe eine Grenzfläche,
welche den Geraden $AA'$ und $CC'$
in den Punkten $A_1$ und $C_1$ begegnet.
Dadurch erhält man auf der Grenzfläche
ein Dreieck $A_1BC_1$, in welchem der Winkel
$A_1$ gleich ist dem Winkel $A$ des geradlinigen
Dreiecks $ABC$. Es ist daher
\begin{align*}
BC_1 &= BA_1\sin A,
\intertext{also auch}
2\pi BC_1 &= 2\pi BA_1\sin A.
\end{align*}

Die Umfänge $2\pi BC_1$ und $2\pi BA_1$ der Kreise auf der
Grenzfläche sind resp.\ gleich den Umfängen $\mcirc BC$, $\mcirc AB$
der ebenen Kreise mit den Radien $BC$ und $AB$. Es ist
daher
\[
\mcirc BC = \mcirc AB\sin A.
\]

2) Zerlegt man ein Dreieck durch die Höhen in rechtwinklige,
so erhält man, wenn mit $a$, $b$, $c$ die Seiten und mit
$A$, $B$, $C$ die ihnen ge\-gen\-ü\-ber\-lie\-gen\-den Winkel bezeichnet
werden,
\[
\mcirc\, a : \mcirc\, b : \mcirc\, c = \sin A : \sin B : \sin C.
\]

\subsection{55.}
\begin{wrapfigure}[4]{r}{3.1cm}
\vspace{-2.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.1cm,height=2.9cm]{images/fig42}
\end{wrapfigure}

Ist das sphärische Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig, so
ziehe man von einem der Punkte $A$ oder $B$, etwa von $B$,
%-----File: 064.png--------------------------------------------
die Geraden $BA_1 \perp OA$, $BC_1 \perp OC$ und verbinde die Punkte
$A_1$ und $C_1$, wodurch man das bei $C_1$ rechtwinklige
Dreieck $A_1BC_1$ erhält, in welchem
$A_1$ gleich dem Winkel $A$ ist. Nach
Art.~54 ist
\[
\mcirc BC_1 = \mcirc BA_1 \sin A.
\]

Aus den Dreiecken $OBA_1$ und $OBC_1$
folgt
\[
\mcirc BA_1 = \mcirc\, OB\sin c,\quad \mcirc BC_1 = \mcirc\, OB\sin a;
\]
und damit durch Substitution in obige
Gleichung
\[
\sin a = \sin c\, \sin A.
\]

Aus dieser Gleichung folgt die ganze sphärische
Trigonometrie,
welche also vom Parallelen-Axiom unabhängig ist.
(Siehe Anhang, Art.~3.)

\section{Verhältniss zweier Grenzbögen.}

\subsection{56.}

Sind $AM$ und $A'M'$ zwei Grenzbögen, welche zwischen
denselben Axen $AA'$ und $MM'$ liegen, so entsprechen nach
Art.~51, 3) gleichen Sehnen $AB$ und $BC$ der ersten Grenzlinie
gleiche Sehnen $A'B'$ und $B'C'$ der zweiten Grenzlinie,
dabei ist
\[
AA' = BB' = CC'.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{3.7cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.7cm,height=2.2cm]{images/fig43}
\end{wrapfigure}

Theilt man den Grenzbogen $AM$ in $m$~gleiche Theile,
so wird durch die Axen der Theilungspunkte der zugehörige
Grenzbogen $A'M'$ ebenfalls in $m$~gleiche Theile getheilt; das
Verhältniss zweier zusammengehörigen Grenzbögen ist daher
von der Grösse der Bögen unabhängig
--- also nur abhängig von
der Entfernung $AA'$ der beiden
Grenzlinien.

Um dieses Verhältniss zu bestimmen,
theile man die Entfernung
$AA' = x$ in $n$~gleiche Theile;
es sei $AA_1 = A_1A_2 = \cdots\ A_{n-1}A' = a$, ferner seien $AB = s$,
$A_1B_1 = s_1$, $\ldots$, $A'B' = s'$ die den Theilungspunkten zugehörigen
Grenzbögen. Dann ist
%-----File: 065.png--------------------------------------------
\[
  \frac{s}{s_1} = \frac{s_1}{s_2} = \cdots = \frac{s_{n-1}}{s_n} = \lambda,
\]
wo $\lambda$ das der Entfernung $a$ entsprechende Verhältniss zweier
Grenzbögen ist. Multiplicirt man diese $n$ Gleichungen mit
einander, so folgt
\[
  \frac{s}{s'} = \lambda^n.
\]

Ist $k$ die Entfernung zweier Grenzbögen, deren Verhältniss
gleich einer gegebenen Zahl $e$ ist, so sei $k = ma$;
dann ist
\[
  e = \lambda^m \text{ und } \lambda = e^{\frac{1}{m}},
\]
also
\[
  \frac{s}{s'} = e^{\frac{n}{m}} = e^{\frac{x}{k}}.
\]
Diese Entfernung $k$ kann derart gewählt werden, dass die
Zahl $e$ gleich der Basis des natürlichen Logarithmensystems
\[
  e = 2.718281828459 \ldots
\]
wird.

\Paragraph{Zusatz.} Setzt man
\[
  e^{\frac{x}{k}} = \xi, \ e^{\frac{y}{k}} = \eta,
\]
so sind wegen
\[
  \xi \eta = e^{\frac{x+y}{k}}, \ \xi : \eta = e^{\frac{x-y}{k}}
\]
$\xi\eta$ und $\xi : \eta$ die den Entfernungen $x+y$ und $x-y$ entsprechenden
Verhältnisse der Grenzbögen.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Drückt man $x$ in Theilen von $k$ aus, so erhält
man $s = s'e^x$.
\end{Small}

\subsection{57.}

Sind $AB$ und $A'B'$ zwei Grenzbögen
zwischen denselben Axen $AA'$ und $BB'$,
so ist ihr Verhältniss bestimmt durch
\[
  AB : A'B' = \sin AA'B : \sin A'BB'.
\]

\begin{wrapfigure}[6]{r}{3.3cm}
\vspace{-1.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.3cm,height=3cm]{images/fig44}
\end{wrapfigure}

Zieht man nämlich die Geraden
$BD \perp AA'$,  $A'E \perp BB'$, so ist
\begin{align*}
  \mcirc BD  &= \mcirc A'B \sin AA'B  \\
  \mcirc A'E &= \mcirc A'B \sin A'BB',
\end{align*}
also
%-----File: 066.png--------------------------------------------
\[
\mcirc BD : \mcirc A'E = \sin AA'B : \sin A'BB'.
\]
Berücksichtigt man, dass
\[
\mcirc BD = 2\pi AB, \quad \mcirc A'E = 2\pi A'B'
\]
ist, so erhält man unmittelbar den ausgesprochenen Satz.

\section{Beziehung zwischen Distanz und Parallelwinkel.}

\subsection{58.}

Ist $p$ die Distanz eines Punktes von einer Geraden,
$\Pi(p)$ der zugehörige Parallelwinkel, so ist
\[
\cot \tfrac{1}{2} \Pi (p) = e^\frac{p}{k}.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{3.2cm}
\vskip-20pt
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.2cm,height=1.9cm]{images/fig45}
\end{wrapfigure}

Der Beweis beruht auf folgenden Gründen:

1) Ist $A$ ein Punkt ausserhalb der
Geraden $B'B''$, dabei $AB \perp B'B''$,
$AA' \parallel BB'$, $AA'' \parallel BB''$, und sind
$AC$, $BD$, $CE$ die Grenzbögen für die
Axen $AA'$, $BB''$, $CB''$, so ist
\[
AD = DE = BC.
\]

Denn zieht man den Grenzbogen
$AF$ für die Axe $AA''$, so ist
\[
CB = BF,\;  CB = ED,\;  BF = DA.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.7cm}
\vskip-20pt
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4.75cm,height=3.1cm]{images/fig46}
\end{wrapfigure}

2) Es sei $AA' \parallel BB'$ und $A'AB = B'BA$. Ist $C$ die
Mitte von $AB$, so ist $CC' \perp AB$ parallel zu $AA'$ und $BB'$.
Ist $BB''$ die Verlängerung
von $AB$, und $BD$ die Halbirungslinie
des Winkels
$B'BB''$, so kann man die
Distanz $BD$ derart bestimmen,
dass die Gerade $D'D''
\perp BD$ die Eigenschaft hat,
dass
\[
BB' \parallel DD',\;  BB'' \parallel DD'',
\]
also auch $AB'' \parallel DD''$ und
(wegen $AA' \parallel BB'$) $AA' \parallel DD'$ ist. Die Gerade $AE \perp D'D''$
halbirt daher den Winkel $A'AB$.

3) Beschreibt man eine Grenzlinie für $AA'$ als Axe, so
geht diese durch den Punkt $B$ und schneidet die Gerade
$D'D''$, etwa in $F$. Schneiden die Grenzlinien für die Axen
%-----File: 067.png--------------------------------------------
$ED''$ und $FD''$ die Gerade $AB''$ in den Punkten $G$ und $H$,
so ist nach 1)
\[
AH = 2AG = 2GH.
\]
Ist ausserdem $K$ der Durchschnittspunkt der Geraden $AB''$
mit der Grenzlinie für die Axe $DD''$, so ist auf gleiche Weise
\[
BH = 2BK = 2KH.
\]
Daraus folgt
\[
AB = AH - BH = 2(AG - BK).
\]

4) Setzt man $AB = 2p$, $AG = x$, $BK = y$, so ist
\[
p = x - y.
\]

Nach Art.~57 folgt für die den Distanzen $AG$ und $BK$
entsprechenden Verhältnisse der Grenzbögen
\begin{align*}
&e^\frac{x}{k} = \sin R : \sin \tfrac{1}{2} \Pi (p) = 1 : \sin \tfrac{1}{2} \Pi (p)\\
&e^\frac{y}{k} = \sin R : \sin \tfrac{1}{2} [2R - \Pi (p)] = 1 : \cos \tfrac{1}{2} \Pi (p).
\end{align*}
Daraus erhält man nach Zusatz des Art.~56
\[
e^\frac{p}{k} = \cot \tfrac{1}{2} \Pi (p).
\]

\Paragraph{Zusatz.} Aus den Gleichungen
\[
  \sin \alpha = \frac{2\cot\dfrac{\alpha  }{2} }
%[**F2: Missing ^2?---------------------^^. PP: The equations don't hold either way...]
                     { \cot\dfrac{\alpha^2}{2}+1 }, \quad
  \cos \alpha = \frac{ \cot\dfrac{\alpha^2}{2}-1 }
                     { \cot\dfrac{\alpha^2}{2}+1 },
\]
folgt
\[
  \sin \Pi (p) = \fsec \frac{p}{k}, \quad
  \cos \Pi (p) = \ftan \frac{p}{k}.
\]

\section{Linien und Flächen gleichen Abstandes.}

\subsection{59.}

Im Art.~33 ist bereits nachgewiesen worden, dass eine
Linie $BB'$, deren Punkte von einer gegebenen
Geraden $AA'$ gleichen Abstand
$= h$ haben, eine krumme Linie ist.

\begin{wrapfigure}{r}{2.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.9cm,height=2.8cm]{images/fig47}
\end{wrapfigure}

Es sei der Punkt $C$ die Mitte der Strecke
$AA'$ und $E$ der zugehörige Punkt der Linie
gleichen Abstandes, dreht man diese Linie
um die Gerade $CE$ als Axe, so beschreibt
sie eine Fläche, deren Punkte von der durch
die Gerade $AC$ erzeugten Ebene gleichen
Abstand $= h$ haben; diese Fläche heisst daher eine \so{Fläche
%-----File: 068.png--------------------------------------------
gleichen Abstandes} $= h$. Jeder Punkt, z.~B.\ $B$, der Linie
$BB'$ beschreibt dabei einen Kreis, dessen Punkte von dem
durch den Punkt $A$ erzeugten Kreis gleichen Abstand haben.

Das Verhältniss eines Stückes der Linie gleichen Abstandes
zum zu\-ge\-hö\-ri\-gen Stück der Geraden ist von der Grösse dieser
Stücke unabhängig; man kann daher dafür auch das Verhältniss
der Umfänge dieser beiden Kreise setzen.

Der erste Umfang ist $= \mcirc BD$, der zweite $= \mcirc AC$.
Nun ist
\[
\mcirc BD = \mcirc BC \sin BCE, \; \mcirc AC = \mcirc BC \sin ABC,
\]
also das erwähnte Verhältniss
\[
\mcirc BD : \mcirc AC = \sin BCE : \sin ABC.
\]

Ist der Punkt $A$ fest und entfernt sich der Punkt $C$
immer mehr vom Punkte $A$, so wird der Winkel $ACB$ immer
kleiner, der Winkel $BCE$ also immer grö\-sser, und, wenn
der Punkt $C$ im Unendlichen liegt, so wird $BCE = R$ und
$ABC = \Pi (AB) = \Pi (h)$. Es ist daher das erwähnte unveränderliche
Verhältniss der Linie gleichen Abstandes zur zugehörigen
Strecke ihrer Geraden
\[
1 : \sin \Pi (h) = \tfrac{1}{2}(e^\frac{h}{k} + e^{-\frac{h}{k}}) = \fcos \frac{h}{k}.
\]

Für $h = 0$ fällt die Linie $BB'$ mit der Geraden $AA'$
zusammen. Ist $BU \parallel EC$, so liegt die Gerade $BU$ näher
zur Geraden $EC$ als (die nicht schneidende Gerade) $BA$;
die Grenzlinie durch die Punkte $B$ und $B'$ (deren Tangente
im Punkte $B$ auf der Geraden $BU$ senkrecht steht) liegt
ausserhalb der Linie gleichen Abstandes. Sind die Punkte
$B$ und $B'$ fest und legt man durch dieselben fortgesetzt für
alle Abstände $h$ von $h = 0$ an bis $h = \infty$ die entsprechenden
Linien gleichen Abstandes, so werden diese immer stärker
gekrümmt (d.~h.\ die von ihnen und der zugehörigen Strecke
$BB'$ bestimmten Flächenstücke werden immer grösser) und
für $h = \infty$ geht die Linie gleichen Abstandes in die durch
die Punkte $B$, $B'$ gelegte Grenzlinie über, deren Axe $BU \parallel DC$
ist; denn für $h = \infty$ ist das Verhältniss $= \infty$, also $AA' = 0$,
d.~h.\ die Geraden $BA$ und $B'A'$ schneiden sich im Unendlichen.
%-----File: 069.png--------------------------------------------

\Paragraph{Zusatz.} Setzt man $BCE = R - ACB$, so folgt für
das obige Verhältniss
\[
\cos ACB : \sin ABC = \fcos \frac{h}{k};
\]
d.~h.\ wird in dem bei $A$ rechtwinkligen Dreieck $ABC$ die
Seite $AB = h$ als unveränderlich vorausgesetzt, so bleibt
das Verhältniss $\cos C : \sin B$ ebenfalls unveränderlich.

\section{Kreisumfang.}

\subsection{60.}
\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.8cm,height=2.7cm]{images/fig48}
\end{wrapfigure}

Ist die Gerade $AB \perp AC$, so ist für jeden beliebigen
Punkt $C_1$ der Geraden $AC$ zufolge des Zusatzes
des vorigen Artikels
\[
\cos ACB : \sin ABC = \cos AC_1B : \sin ABC_1,
\]
oder
\[
\cos ACB : \cos AC_1B = \sin ABC : \sin ABC_1.
\]

Nun ist
\begin{align*}
\mcirc AC : \mcirc AB &= \sin ABC : \sin ACB\\
\mcirc AC_1 : \mcirc AB &= \sin ABC_1 : \sin AC_1B,
\end{align*}
also
\[
\mcirc AC : \mcirc AC_1 = \frac{\sin ABC}{\sin ABC_1} : \frac{\sin ACB}{\sin AC_1B}
\]
oder nach der obigen Gleichung
\[
\mcirc AC : \mcirc AC_1 = \cot ACB : \cot AC_1B.
\]
Beschreibt man die Grenzbögen $CD$ und $C_1D_1$ für die
Geraden $CC'$ und $C_1C_1' \parallel AB$ als Axen, so ist das Verhältniss
dieser Bögen
\[
CD : C_1D_1 = \mcirc AC : \mcirc AC_1,
\]
also
\[
CD : C_1D_1 = \cot ACB : \cot AC_1B.
\]
Setzt man der Kürze halber
\begin{gather*}
  AC  = y,   \ \ AC_1 = y_1\\
  CD  = r,   \ \ C_1D_1 = r_1\\
  ACB = \varphi,\ \ AC_1B = \varphi_1,
\end{gather*}
es ist also
\[
\mcirc\, y : \mcirc\, y_1 = r : r_1 = \cot \varphi : \cot \varphi_1.
\]

Wird $AB$ unendlich, so gehen die Winkel $\varphi$ und $\varphi_1$ in
%-----File: 070.png--------------------------------------------
die den Abständen $y$ und $y_1$ entsprechenden Parallelwinkel
$ACC'$ und $A C_1 C_1'$ über; es ist daher
\[
r : \cot \Pi(y) = r_1 : \cot \Pi(y_1) = C,
\]
wo $C$ eine constante Zahl ist. Daraus folgt
\begin{align*}
r &= C \cot \Pi(y) = C \fsin \frac{y}{k},\\
\mcirc\, y &= 2 \pi r = 2 \pi C \fsin \frac{y}{k}.
\end{align*}

Um die Constante $C$ zu bestimmen, berücksichtige man,
dass das Ver\-hält\-niss
\[
\frac{r}{y} = \frac{C \fsin \dfrac{y}{k}}{y}
\]
für den Grenzwerth $y = 0$ in die Einheit übergeht. Es ist
daher
\[
\left. C = \frac{y}{\fsin \dfrac{y}{k}} \right\} \text{für } y = 0.
\]

Nun ist allgemein
\[
\frac{\fsin \dfrac{y}{k}}{y} = \frac{1}{k} + \frac{y^2}{3!k^3} + \ldots,
\]
daraus folgt $C = k$ und
\[
\mcirc\, y = 2 \pi k \fsin \frac{y}{k}.
\]

\section{Ebene Trigonometrie.}

\subsection{61.}

Für das bei $C$ rechtwinklige Dreieck $ABC$ erhält man
aus Art.~54, 1)
\[
\mcirc\, a =  \mcirc\, c \sin A.
\]

Setzt man für $\mcirc\, a$ und $\mcirc\, c$ nach Art.~60 ihre Werthe, so ist
\begin{align*}
\tag*{\quad 1)}
  \fsin \frac{a}{k} &= \fsin \frac{c}{k} \sin A,
\intertext{ebenso}
  \fsin \frac{b}{k} &= \fsin \frac{c}{k} \sin B.
\end{align*}

Ferner ist nach Art.~59, Zusatz
\begin{align*}
\tag*{\quad 2)}
  \cos A : \sin B &= \fcos \frac{a}{k},
\intertext{ebenso}
  \cos B : \sin A &= \fcos \frac{b}{k}.
\end{align*}
%-----File: 071.png--------------------------------------------

Aus diesen Gleichungen folgt
\begin{align*}
\tag*{\quad $1'$)} \sin A &= \frac{\fsin \dfrac{a}{k}}{\fsin \dfrac{c}{k}}\\
\tag*{\quad $2'$)} \cos A &= \fcos \frac{a}{k}\cdot
  \frac{\fsin \dfrac{b}{k}}{\fsin \dfrac{c}{k}},
\end{align*}
welche Werthe in
\[
\sin A^2 + \cos A^2 = 1
\]
gesetzt, geben
\[
\fsin \frac{c^2}{k} = \fsin \frac{a^2}{k} + \fcos \frac{a^2}{k} \fsin \frac{b^2}{k}.
\]
Addirt man zu beiden Seiten die Zahl 1, so erhält man mit
Berücksichtigung, dass
\begin{align*}
\fcos x^2 &= 1 + \fsin x^2,\\
\fcos \frac{c^2}{k} &= \fcos \frac{a^2}{k} \fcos \frac{b^2}{k};
\end{align*}
woraus, da $\fcos x$ für jeden reellen Werth von $x$ positiv ist,
\[
\tag*{\quad 3)} \fcos \frac{c}{k} = \fcos \frac{a}{k} \fcos \frac{b}{k}
\]
folgt.

Durch Division der Gleichungen 1') und 2') folgt
\[
\tan A = \frac{\ftan \dfrac{a}{k} }{ \fsin \dfrac{b}{k}}
\]
oder
\[
\tag*{\quad 4)} \ftan \frac{a}{k} = \fsin \frac{b}{k} \tan A.
\]
Aus den Gleichungen 2') und 3) folgt
\[
\tag*{\quad 5)} \ftan \frac{a}{k} = \ftan \frac{c}{k} \cos B.
\]

Vermittelst der Gleichungen 1) bis 5) können sämmtliche
auf das rechtwinklige Dreieck bezüglichen Aufgaben
gelöst werden.

\subsection{62.}

Ein beliebiges Dreieck kann durch Zerlegung in zwei
rechtwinklige aufgelöst werden, ebenso können aus den Formeln
für das rechtwinklige Dreieck die für das beliebige
%-----File: 072.png--------------------------------------------
Dreieck geltenden hergeleitet werden. Diese Ableitung wird
durch folgende Bemerkung\footnote
  {\so{Lobatschewsky}, geometrische Untersuchungen, S.~60.}
erleichtert: Die Formeln für das
rechtwinklige geradlinige Dreieck gehen in die Formeln für
das rechtwinklige sphärische Dreieck über, wenn man in den
Verhältnissen der Seiten $\dfrac{a}{k}$, $\dfrac{b}{k}$, $\dfrac{c}{k}$ die Constante $k$ in $ki$
(wo $i = \sqrt{-1}$ ist) verwandelt und für $k$ den Radius der
Kugel setzt. Man kann daher bei der Ableitung der allgemeinen
Gleichungen der ebenen Trigonometrie aus denen des
rechtwinkligen Dreiecks nicht nur denselben Gang einschlagen,
wie bei der Ableitung der allgemeinen Gleichungen für das
sphärische Dreieck aus denen des rechtwinkligen, sondern
sogar aus den allgemeinen Gleichungen für das sphärische
Dreieck die für das ebene erhalten, indem man für den Radius
der Kugel die Constante $ki$ setzt, oder falls der Radius
$= 1$ gesetzt ist, indem man $\dfrac{ai}{k}$, $\dfrac{bi}{k}$, $\dfrac{ci}{k}$ statt der Seiten
$a$, $b$, $c$ setzt. Die Kreisfunctionen der Seiten verwandeln sich
in hyperbolische Functionen, während die Functionen der
Winkel ungeändert bleiben.

Man erhält dadurch folgende Gleichungen der ebenen
Trigonometrie
\begin{align*}
&\fsin \frac{a}{k} : \fsin \frac{b}{k} : \fsin \frac{c}{k} = \sin A : \sin B : \sin C\\
&\fcos \frac{a}{k} = \fcos \frac{b}{k} \fcos \frac{c}{k} - \fsin \frac{b}{k} \fsin \frac{c}{k} \cos A\\
&\fsin \frac{a}{k} \cos B = \fcos \frac{b}{k} \fsin \frac{c}{k} - \fsin \frac{b}{k} \fcos \frac{c}{k} \cos A\\
&\cos A \cos B + \cos C = \fcos \frac{c}{k} \sin A \sin B.
\end{align*}
\[
\tan \frac{u}{2} = \frac{\ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{b}{k} \ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{c}{k} \sin A}{1 - \ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{b}{k} \ftan \tfrac{1}{2} \dfrac{c}{k} \cos A}
\]
\[
\tan \frac{u}{4} = \sqrt{
    \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s  }{k}
    \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s-a}{k}
    \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s-b}{k}
    \ftan\tfrac{1}{2}\dfrac{s-c}{k} }.
\]
wo $a + b + c = 2s$, $\pi - (A + B + C) = u$ gesetzt wird.

Die Auflösung der Aufgaben geschieht auf ganz ähnlichem
%-----File: 073.png--------------------------------------------
Wege wie bei den entsprechenden Aufgaben der sphärischen
Trigonometrie.

\Paragraph{Zusatz.} Die vorstehenden Gleichungen stimmen mit
den von Lobatschewsky gegebenen überein, wenn man statt
\[
\fsin \frac{x}{k}, \fcos \frac{x}{k}, \ftan \frac{x}{k}
\]
resp.
\[
\cot \Pi (x),\; 1 : \sin \Pi (x),\; \cos \Pi (x)
\]
setzt. Aus den Gleichungen 1) bis 3) erhält man für das
rechtwinklige Dreieck
\begin{align*}
&\cot \Pi (a) = \cot \Pi (c) \sin A\\
&\sin \Pi (b) \cos B = \sin A\\
&\sin \Pi (c) = \sin \Pi (a) \sin \Pi (b),
\end{align*}
und analog für das schiefwinklige Dreieck
\begin{align*}
&\cot \Pi(a) : \cot \Pi(b) = \sin A : \sin B\\
&\cos A \cos \Pi(b) \cos \Pi(c) + \frac{\sin \Pi(b) \sin \Pi(c) }{ \sin \Pi(a)} = 1\\
&\cot A \sin B \sin \Pi(c) + \cos B = \frac{\cos \Pi(c) }{ \cos \Pi (a)}\\
&\cos A \cos B + \cos C = \frac{\sin A \sin B }{ \sin \Pi(c)}.
\end{align*}

\section{Unendlich kleine Figuren, absolute Geometrie im Sinne
Bolyai's und Lobatschewsky's.}

\subsection{63.}

Setzt man in den vorhergehenden Formeln die Verhältnisse
$\dfrac{a}{k}$, $\dfrac{b}{k}$, $\dfrac{c}{k}$ sehr klein voraus, so erhält man die Gleichungen
\begin{align*}
& a : b = \sin A : \sin B\\
& a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\
& c = a \cos B + b \cos A\\
& \cos A \cos B + \cos C = \sin A \sin B.
\end{align*}

Die beiden letzteren lassen sich auf die Form bringen
\begin{align*}
& a \sin (A + B) = c \sin A\\
& \cos (A + B) + \cos C = 0.
\end{align*}

Daraus folgt
\begin{align*}
a \sin (A + B + C) &= a \sin (A + B) \cos C + a \cos (A + B) \sin C\\
&= c \sin A \,[\cos C + \cos (A + B)] = 0,
\end{align*}
%-----File: 074.png--------------------------------------------
d.~h.
\[
A + B + C = 2R.
\]

Die Formeln der nichteuclidischen Trigonometrie gehen
also in die der euclidischen Trigonometrie über, wenn man
die Verhältnisse der Seiten $a$, $b$, $c$ zur Grösse $k$ als sehr klein
voraussetzt.

Dieselben Resultate erhält man auch aus Art.~58, indem
der Ausdruck
\[
1 : \sin \Pi (p) = 1 + \frac{p^2}{2k^2} + \ldots
\]
für sehr kleine Werthe des Verhältnisses $\dfrac{p}{k}$ in die Einheit
übergeht, also
\[
\Pi (p) = R
\]
wird. Ebenso geht das Verhältniss der Linie gleichen Abstandes
zu ihrer Basis des Art.~59 für sehr kleine Werthe
von $\dfrac{h}{k}$ in die Einheit über, wodurch für das bei $C$ rechtwinklige
Dreieck $ABC$ folgt
\[
\cos A : \sin B = 1 \text{ d.~h.\ } A + B = R.
\]

Diese Kleinheit der Verhältnisse tritt ein, wenn entweder
für ein endliches $k$ die Seiten $a$, $b$, $c$ sehr klein sind, oder
für endliche Seiten $a$, $b$, $c$ die Grösse $k$ als sehr gross vorausgesetzt
wird.

Aus der ersten Voraussetzung folgt: Für unendlich kleine
Figuren gilt die gewöhnliche Geometrie unabhängig vom
Parallelen-Axiom. Die zweite Voraussetzung gestattet die
Auffassung der gewöhnlichen (euclidischen) Geometrie als
speciellen Fall der nichteuclidischen Geometrie, indem man
nur die Constante $k$ so gross voraussetzt, dass man für unsere
Messungen mit den obigen genäherten Formeln ausreicht.
Aus diesem Grunde kann die nichteuclidische Geometrie
die \so{absolute} Geometrie genannt werden, indem sie
vom Parallelen-Axiom, dessen Unbeweisbarkeit hier unmittelbar
klar ist, als unabhängig betrachtet werden kann.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Da das Nichtstattfinden der euclidischen Geometrie
in der Wirklichkeit an grossen Figuren sich zeigen müsste, so hat
\so{Lobatschewsky} aus astronomischen Beobachtungen Dreiecke gebildet,
deren kleinste Seiten ungefähr von der Grösse der doppelten
Entfernung der Erde von der Sonne waren. Als Resultat dieser Untersuchung
hat sich ergeben, dass bei solchen Dreiecken die Winkelsumme
%-----File: 075.png--------------------------------------------
noch immer nicht von zwei Rechten um eine solche Grösse
abweicht, welche die aus den Beobachtungsfehlern herrührenden Grenzen
übersteigt. (Siehe Anhang Art.~4.) Auch W.~\so{Bolyai} bemerkt,
dass man sich wegen der Uebereinstimmung der auf das euclidische
Axiom sich stützenden astronomischen Rechnungen mit den Beobachtungen
in der Praxis mit um so grösserer Sicherheit der gewöhnlichen
Geometrie bedienen könne.
\end{Small}

\subsection{64.}

Aus dem Vorstehenden ist unmittelbar klar, in welchen
Theilen die euclidische und die nichteuclidische Geometrie
übereinstimmen. Dass dieses in allen auf Congruenz allein
sich stützenden Beziehungen der Fall ist, wurde bereits im
Art.~31 erwähnt. In Beziehungen, die eine Parallelen-Voraussetzung
erfordern, kann eine Uebereinstimmung nur bei unendlich
kleinen Figuren oder bei solchen endlichen, welche
durch unendlich kleine ersetzt werden können, eintreten.
Beispiele hierzu sind folgende Sätze:

1) Zwei Gerade $BB'$ und $CC'$, welche mit einer dritten
$AA'$ nach derselben Richtung parallel sind, sind mit einander
parallel. (Vergl.\ Art.~25, 3.) Man gehe in der Geraden $AA'$
(in der Richtung des Parallelismus) bis zu einem Punkte,
dessen Entfernungen von den Geraden $BB'$ und $CC'$ unendlich
klein sind (Art.~32, 2). Eine senkrechte Ebene auf
die Gerade $AA'$ in diesem Punkte ist auch senkrecht auf
$BB'$ und $CC'$, also $BB' \parallel CC'$.

2) Die Summe der drei Keile dreier Ebenen, die sich in
parallelen Geraden schneiden, ist gleich zwei Rechte. Beweis
wie 1).

3) Die sphärische Trigonometrie ist unabhängig vom
Parallelen-Axiom. Man beschreibe eine concentrische Kugel
mit unendlich kleinem Radius; durch das gegebene Dreieck
ist ein unendlich kleines sphärisches Dreieck bestimmt, welches
mit ihm gleiche Seiten und gleiche Winkel hat.

Bei endlichen Figuren, die sich nicht durch unendlich
kleine ersetzen lassen, müssen die unter Voraussetzung des
euclidischen elften Axioms abgeleiteten Beziehungen von den
unter Voraussetzung der nichteuclidischen Geometrie erhaltenen
verschieden sein.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Die Congruenz-Voraussetzung erfordert, dass für
ein System der Geometrie die im Art.~56 eingeführte Grösse $k$ unveränderlich
%-----File: 076.png--------------------------------------------
bleibt; denn $k$ bedeutet die bestimmte Entfernung zweier
zusammengehöriger Grenzbögen, deren Verhältniss eine gegebene Zahl
$= e$ ist. Für die verschiedenen Werthe von $k$ erhält man verschiedene
Systeme der Geometrie, für $k = \infty$ erhält man die euclidische
Geometrie.

Im Falle des Stattfindens eines dieser Systeme der Geometrie in
der Wirklichkeit, müsste für die Lösung der Aufgaben auf dem Wege
der Rechnung die Grösse $k$ gegeben sein. Die Aufgaben der ebenen
Trigonometrie und ihre Lösungen sind dann ganz analog denen der
sphärischen Trigonometrie.
\end{Small}

\section{Aufgaben über Parallele und Nichtschneidende.}

\subsection{65.}

Sind $p = AB$ und $p' = A'B'$ die Entfernungen zweier
Punkte $B$ und $B'$ von der Geraden $AA' \parallel BB'$, so ist
$AA' = a$ gesetzt
\[
\ftan \frac{p'}{k} = \ftan \frac{p}{k}e^{-\frac{a}{k}}.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.9cm,height=1.95cm]{images/fig49}
\end{wrapfigure}

Denn zieht man $AC$ und $A'C'
\perp BB'$, so ist
\[
\fsin \frac{AC}{k} = \fsin \frac{AB}{k} \,\sin ABC
\]
oder, wegen $\sin ABC = 1 : \fcos \dfrac{p}{k}$,
\[
\fsin \frac{AC}{k} = \ftan \frac{p}{k};
\]
also ist
\[
\fsin \frac{AC}{k} : \fsin \frac{A'C'}{k} = \ftan \frac{p}{k} : \ftan \frac{p'}{k}.
\]

Nun ist das erste Verhältniss gleich dem der Grenzbögen
zu den Punkten $A$ und $A'$, d.~i.\ gleich $e^{-\frac{a}{k}}$.

\subsection{66.}

Ist die Gerade $BB'$ eine Nichtschneidende zur Geraden
$AA'$, und $p$ der kleinste Abstand, so ist $AA' = a$ gesetzt,
\[
\ftan \frac{p'}{k} = \ftan\frac{p}{k}\cos\frac{a}{k}.
\]

Denn es ist
\begin{align*}
&\ftan \frac{p\rlap{$'$}}{k} = \ftan\frac{AB'}{k}\cos AB'A'\\
&\ftan \frac{p}{k} = \ftan \frac{AB'}{k}\cos BAB' = \ftan\frac{AB'}{k}\sin A'AB',
\end{align*}
%-----File: 077.png--------------------------------------------
also
\[
\ftan\dfrac{p'}{k} : \ftan \dfrac{p}{k} = \cos AB'A':\sin A'AB' =\fcos \frac{AA'}{k}.
\]

\subsection{67.}

Aus dem Art.\ 59 ergibt sich unmittelbar die Lösung der
Aufgabe:

\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.5cm,height=3cm]{images/fig50}
\end{wrapfigure}

Durch einen Punkt $B$ ausserhalb einer Geraden
$AC$ eine Parallele $BG$ zur Geraden $AC$
zu ziehen, d.~h.\ zu einer gegebenen Distanz den
zugehörigen Parallelwinkel zu finden.

Ist nämlich $BA \perp AC$, $BD \perp BA$, $D$ ein
beliebiger Punkt der Geraden $BD$ und $DC \perp CA$,
so ist
\[
  \mcirc BD : \mcirc AC = 1 : \sin \Pi(h),
\]
wo $h = AB$ der Abstand und $\Pi(h)$ der zugehörige Parallelwinkel
ist. Da $1 > \sin \Pi(h)$ ist, so folgt $BD > AC$.

Beschreibt man aus dem Punkte $C$ mit dem Radius $BD$
einen Kreis, so schneidet dieser die Gerade $AB$ in einem
Punkte, etwa $F$. Im Dreiecke $ACF$ ist dann
\[
\mcirc\, CF : \mcirc\, CA = 1 : \sin AFC,
\]
also
\[
  \Pi(h) = AFC.
\]

Zieht man durch den Punkt $B$ die Gerade $BG$ derart,
dass der Winkel $ABG = AFC$ ist, so ist $BG \parallel AC$.

\subsection{68.}

Zu einem gegebenen Winkel als Parallelwinkel die zugehörige
Distanz zu finden.

\so{Hülfssätze:}

1) Sind von den drei Senkrechten $DD'$, $EE'$, $FF'$,
welche in den Mitten $D$, $E$, $F$ der
Seiten $AB$, $AC$, $BC$ eines Dreiecks
$ABC$ errichtet sind, zwei zu
einander parallel, so sind alle drei
parallel.

\begin{wrapfigure}{r}{3.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.9cm,height=3.4cm]{images/fig51}
\end{wrapfigure}

Zieht man von den Spitzen $A$,
$B$, $C$ des Dreiecks parallele Gerade
$AA'$, $BB'$, $CC'$ zu den beiden als
parallel vorausgesetzten Senkrechten, so folgt der Beweis unmittelbar
aus Art.~49, 2).
%-----File: 078.png--------------------------------------------

2) Sind $2a$, $2b$, $2c$ die Längen der den Winkeln $A$, $B$,
$C$ gegenüberliegenden Seiten und ist $A$ der grösste Winkel,
so finden in diesem Falle zwischen den Seiten und Winkeln
folgende Gleichungen statt
\begin{align*}
  A &= \Pi(b) + \Pi(c)  \\
  B &= \Pi(c) - \Pi(a)  \\
  C &= \Pi(b) - \Pi(a).
\end{align*}

3) Macht man nun $A'AG = B'BC = \Pi(a)$, so schneiden
sich die Geraden $AG$ und $BC$ in einem Punkte, etwa
$G$; dabei ist im Dreieck $ACG$, wegen $GAC = \Pi(b) - \Pi(a)
= C$, $AG = CG$.

Daraus folgt die Lösung der vorliegenden Aufgabe auf
folgende Art: Ist $B'BC$ der gegebene Winkel, so kann man
(vermittelst des vorigen Artikels) für eine hinreichend kleine
Distanz BD einen Parallelwinkel $B'BD > B'BC$ erhalten.
Macht man $DA = BD$, $AA' \parallel BB'$, $A'AG = B'BC$ und
(auf der Geraden $BC$) $GC = AG$, so bestimmt die Mitte $F$
der Strecke $BC$ die dem Winkel $B'BC$ entsprechende Distanz
$BF$.

\subsection{69.}

Es sei die Gerade $AA' \parallel BB'$; zu einem gegebenen Punkte
$A$ der Geraden $AA'$ soll der Punkt $B$ der Geraden $BB'$
derart bestimmt werden, dass Winkel $A'AB = B'BA$.

\begin{wrapfigure}{r}{3.4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.4cm,height=2.9cm]{images/fig52}
\end{wrapfigure}

Man ziehe ausserhalb der Ebene $AA'\:BB'$ die Gerade
$CC' \parallel AA,$ mache $AC \perp CC'$, $CD
= AC$ und $DD' \parallel  CC'$. Durch die
Gerade $CC'$ lege man eine Ebene derart,
dass sie mit der Ebene $AA'CC'$
denselben Winkel bildet wie die Ebene
$DD'BB'$ und bestimme nach Art.~42
ihre Durchschnittslinie $MM'$ mit der
Ebene $AA'BB'$. Die Gerade $AB \perp MM'$
bestimmt den gesuchten Punkt $B$.

Legt man nämlich durch den Punkt $A$ für die Axe $AA'$
eine Grenzfläche, so bilden auf derselben die vier Ebenen
$AA'DD'$, $AA'BB'$, $DD'BB'$, $CC'MM'$ zwei ähnliche
Grenzdreiecke, woraus (wegen $AC = CD$) $AM = MB$, also
auch $A'AB = B'BA$ folgt.
%-----File: 079.png--------------------------------------------

\begin{Small}
Anmerkung. Durch die Lösung dieser drei Aufgaben ist die
directe Ausführung der in den Art.~25, 2), 39, 49--51, 58, 2) u.~s.~w.\
vorkommenden Constructionen ermöglicht.
\end{Small}

\subsection{70.}

Denkt man sich auf der Grenzfläche die Grenzbögen
durch ihre Endpunkte allein bestimmt --- analog wie in der
Ebene die Strecke ---, so kann auf die in dem vorigen Artikel
enthaltenen Aufgaben die Lösung der nachstehenden
zurückgeführt werden:

1) Einen Grenzbogen zu bestimmen, welcher gleich ist
der Summe zweier durch ihre Endpunkte bestimmten Grenzbögen
$AB$ und $CD$.

Man bestimme nach Art.\ 67 die den Strecken $\frac{1}{2} AB$ und
$\frac{1}{2}  CD$ entsprechenden Parallelwinkel $\Pi(\frac{1}{2} AB)$ und $\Pi(\frac{1}{2} CD)$
und lege die Strecken $AB$ und $CD$ unter dem Winkel
$\Pi(\frac{1}{2} AB) + \Pi(\frac12 CD)$ an einander. Der Anfangspunkt $A$
der ersten Strecke und der Endpunkt $D$ der zweiten Strecke
bestimmen dann die beiden Endpunkte des gesuchten Grenzbogens.

Auf analoge Art wird ein Grenzbogen bestimmt, welcher
gleich ist dem Unterschiede zweier Grenzbögen.

2) Zu drei Grenzbögen $SA$, $AB$, $SC$ die vierte geometrische
Proportionale $CD$ zu finden.

Dazu dient dasselbe Verfahren wie in der euclidischen
Planimetrie. Man lege in einer Ebene $\mathfrak{A}$ (vermittelst zweimaliger
Anwendung des Art.~67) die Sehnen der Bögen $SA$
und $AB$ so an einander, dass die Punkte $S$, $A$, $B$ in einer
Grenzlinie liegen, d.~h.\ dass der Winkel $SAB = \Pi(\frac{1}{2} SA)
+ \Pi(\frac{1}{2} AB)$ ist. Ist $SS'$ die Axe dieses Grenzbogens, so
lege man durch dieselbe eine beliebige Ebene $\mathfrak{A}'$  und ziehe
in dieser die Gerade $CC' \parallel SS'$ derart, dass $SC$ gleich der
Sehne des dritten Bogens und der Winkel $S'SC = C'CS$,
also $= \Pi(\frac{1}{2} SC)$ ist. Legt man durch $BB'$ eine Ebene unter
derselben Neigung mit der Ebene $\mathfrak{A}$  wie die der Ebene
$BB'CC'$ und bestimmt nach Art.~42 deren Durchschnittslinie
$DD'$ mit der Ebene $\mathfrak{A}'$, so erhält man die gesuchte vierte
Proportionale $CD$, wenn nach der Aufgabe des Art.~69 der
Punkt $D$ derart bestimmt wird, dass Winkel $D'DC = C'CD$ ist.
%-----File: 080.png--------------------------------------------

In ähnlicher Weise kann die mittlere geometrische Proportionale,
u.~s.~w.\ construirt werden. Berücksichtigt man
ausserdem die Sätze des Art.~53, so erhält man folgenden
allgemeinen Satz:

Auf der \so{Grenzfläche} kann man --- ohne Rücksicht
auf das euclidische Axiom --- alle Constructionen ausführen,
welche in der euclidischen Planimetrie möglich sind. Es ist
also auch die Theilung von $4R$ in gleiche Theile in denselben
Fällen möglich.

\begin{wrapfigure}{r}{1.8cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=1.8cm,height=2.2cm]{images/fig53}
\end{wrapfigure}

\Paragraph{Beispiel.} Es sei $A'AB = \frac{1}{3} R$, ferner $AB$ so gewählt,
dass $BB' \perp AB$ und $\parallel AA'$ ist; bestimmt
man auf der Geraden $BB'$ den Punkt $C$ derart,
dass $A'AC = B'CA$ ist, so ist $BC = x$
gesetzt, nach Art.~57
\[
e^{\frac{x}{k}} = 1 : sin \tfrac{1}{3} R = 2,
\]
also $x$ geometrisch construirt.

Wählt man den Winkel $A'AB$ derart, dass
\[
\sin A'AB = \frac{1}{e}\text{, d.\ i.\ }A'AB = 21°\: 35' \:5''.63
\]
ist (was näherungsweise möglich ist), so wird $x = k$.


\section{Punkt und Linien-Element in der Ebene.}

\subsection{71.}
\begin{wrapfigure}{r}{3.2cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.2cm,height=2cm]{images/fig54}
\end{wrapfigure}

Für die Bestimmung der Punkte einer Ebene denke man
sich in derselben eine bestimmte unbegrenzte Gerade $XX'$
als \so{Axe} und in dieser einen bestimmten
Punkt $O$ als \so{Anfang} gegeben.

Um den Punkt $M$ zu bestimmen,
ziehe man $MP \perp XX'$; die Strecken
$OP = x$ und $PM = y$ bestimmen die
Lage des Punktes $M$ eindeutig, wenn
die Grösse $x$ auf der einen Seite des
Punktes $O$ positiv, auf der entgegengesetzten
negativ, die Grösse $y$ auf der einen Seite der Geraden
$XX'$ positiv, auf der entgegengesetzten negativ genommen
wird.
%-----File: 081.png--------------------------------------------

Die Grössen $x$ und $y$ heissen die Coordinaten des
Punktes $M$, es soll dies durch $M = (x,\, y)$ bezeichnet werden.

Eine Gleichung $y = f(x)$, wo $y$ eine stetige Function
von $x$ ist, hat zu ihrem geometrischen Orte eine stetige Linie.

Ist $M'$ ein zweiter Punkt, sind $OP' = x'$ und $M'P' = y'$
dessen Coordinaten, so ist $PP' = x' - x = \Delta\, x$. Legt man
durch den Punkt $M$ eine Linie $MN$ gleichen Abstandes $= y$
zur Geraden $XX'$, welche die Gerade $M'P'$ im Punkte $N$
schneidet, so ist $M'N = y' - y = \Delta\, y$. Dabei ist nach
Art.~59 der Bogen
\[
MN = \frac{1}{2} \fcos \frac{y}{k} \Delta\, x.
\]

Sind $M$ und $M'$ zwei unendlich nahe liegende Punkte,
so erhält man für das unendlich kleine (bei $N$ rechtwinklige)
Dreieck $MM'N$
\[
\overline{MM'}^2 = \overline{MN}^2 + \overline{M'N}^2
\]
oder, wenn $MM' = ds$ gesetzt wird,
\[
ds^2 = \fcos\frac{ y^2}{k} dx^2 + dy^2.
\]

Sind $M$ und $M'$ Punkte einer Linie, deren Gleichung
$y = f(x)$ (oder $\varphi\, (x, \,y) = 0)$ gegeben ist, so kann man $ds$
durch eine Variable und deren Differential ausdrücken.


\section{Grenzlinie.}

\subsection{72.}

Ist $OX$ eine Axe der Grenzlinie, so erhält man
aus Art.~57
\[
  e^{\frac{x}{k}} = 1 : \sin \Pi(y)
\]
aus Art.\ 58, 4)
\[
  e^{\frac{y}{k}} = 1 : \cot \tfrac{1}{2}\Pi(y)
\]

Eliminirt man $\Pi(y)$ so erhält man als Gleichung der
Grenzlinie
\[
e^{\frac{x}{k}} = \fcos \dfrac{y}{k}.
\]

Durch Differentiation folgt
\[
dx= \ftan \frac{y}{k} dy,
\]
also
\[
ds = \fcos \frac{y}{k }dy.
\]
%-----File: 082.png--------------------------------------------

Integrirt man, so erhält man wie in Art.\ 60 für den von
$O$ an gezählten Grenzbogen
\[
s = k \fsin \frac{y}{k} = k \cot \Pi(y).
\]

\section{Gleichung der Geraden.}

\subsection{73.}

Die Gleichung der Geraden kann entweder nach einem
der gewöhnlichen (euclidischen) Geometrie entsprechenden
Verfahren oder direct aus dem analytischen Ausdrucke für
das Linienelement erhalten werden. Im ersteren Falle muss
man unterscheiden, ob die Gerade eine die $x$-Axe schneidende
oder eine zu ihr parallele, oder eine nichtschneidende Gerade ist.

1) Schneidet die Gerade die $x$-Axe im Punkte $A$, so ist
$OA = l$, $MAX = \alpha$ gesetzt, für jeden Punkt $M=(x,\,y)$
\[
\ftan \frac{y}{k} = \fsin \frac{x-l}{k} \,\tan \alpha,
\]
welche Gleichung sich auf die Form bringen lässt
\[
\ftan \frac{y}{k} = m \fcos \frac{x}{k} + n \fsin \frac{x}{k},
\]
wo $m$ und $n$ Constante sind.

2) Ist die Gerade parallel zur (positiven) $x$-Axe, so ist
\[
\ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{y_0}{k} \,e^{-\frac{x}{k}},
\]
wo $y_0$ die Ordinate im Anfange bedeutet.

3) Für eine die $x$-Axe Nichtschneidende erhält man
\[
\ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{p}{k} \fcos \frac{x-l}{k} ,
\]
wo für $x = l$ die Ordinate $y = p$ ein Minimum ist.

\subsection{74.}

Zur Erläuterung der Untersuchungen im dritten Buche
sollen die Gleichung der Geraden und ihre Eigenschaften auch
aus dem Ausdrucke für das Linienelement hergeleitet werden.

Die Gleichung der Geraden erhält man in diesem Falle
aus ihrer Eigenschaft, dass sie die kürzeste Verbindung zweier
Punkte $M_1 = (x_1,\,y_1)$ und $M_2 = (x_2,\,y_2)$ bestimmt. Es muss
daher für die Gerade das Integral
%-----File: 083.png--------------------------------------------
\[
J = \int\sqrt{ \fcos \frac{y^2}{k} \,dx^2 + dy^2}
\]
zwischen den den Punkten $M_1$ und $M_2$ entsprechenden Grenzen
ein Minimum werden. Betrachtet man $x$ als Function von
$y$ und setzt der Kürze halber
\[
\frac{dx}{dy} = x', \; \sqrt {\fcos \frac{y^2}{k} \,{x'}^2 + 1} = V,
\]
so muss also das Integral
\[
J = \int \limits^{y_2}_{y_1} V\, dy
\]
ein Minimum werden. Die Bedingung dafür ist
\[
\delta J -  \int \limits^{y_2}_{y_1} \frac{\partial V}{\partial x'} \,\text{\raisebox{2pt}{$\centerdot$}}\, \frac{d\,\delta x}{dy} \,dy = 0,
\]
oder
\[
  \frac{\partial V}{\partial x'} \delta x \mathop{\bigg\}}\limits^{y_2}_{y_1}
- \int \limits ^{y_2}_{y_1}
       \frac{ d}{dy} \left( \frac{\partial V}{\partial x'}\right)
       \delta x\, dy = 0 ;
\]
also, wegen $\delta x_1 = \delta x_2 = 0$,
\[
\frac{d}{dy} \left( \frac{\partial V}{\partial x'}\right) = 0,
\]
oder
\[
\frac{\partial V}{\partial x' }= C,
\]
wo $C$ eine willkürliche Constante bedeutet. Entwickelt man
$\dfrac{\partial V}{ \partial x'}$, so erhält man
\[
\frac{x' \fcos \dfrac{y^2}{k}}{\sqrt {\fcos \dfrac{y^2}{k} x'^2 + 1} }= C;
\]
mithin
\[
dx = \frac{C\, dy }{\fcos \dfrac{y}{k} \sqrt {\fcos \dfrac{y^2}{k}- C^2}}
\]
oder
\[
dx = \frac{C\dfrac{ dy}{\fcos \dfrac{y^2}{k}}}{\sqrt{ 1 - \dfrac{C^2}{\fcos \dfrac{y^2}{k}}}}.
\]
%-----File: 084.png--------------------------------------------

Setzt man
\[
\ftan \dfrac{y}{k} = z,
\]
so wird
\[
dx = \frac{kC\,dz}{\sqrt{1-C^2 + C^2z^2}}
\]

Integrirt man, so wird
\[
x+D= k\log \left(C\ftan \frac{y}{k} + \sqrt{1-C^2 + C^2\ftan \frac{y^2}{k}} \right),
\]
wo $D$ eine willkürliche Constante bedeutet. Daraus folgt,
wenn
\[
\frac{e^{\frac{D}{k}}}{C} = a, \quad 1-\frac{1}{C^2}= ab
\]
gesetzt wird und die Wurzel absolut genommen wird
\[
\tag*{\quad 1)}
  ae^{\frac{x}{k}}
= \ftan \frac{y}{k} \pm \sqrt{\ftan \frac{y^2}{k} -ab}
\]

Schafft man die Wurzel weg, so erhält man
\[
\tag*{\quad 2)}
  2 \ftan \frac{y}{k} = ae^{\frac{x}{k}} + be^{-\frac{x}{k}}.
\]

\begin{Small}
\so{Anmerkung.}  Für sehr grosse Werthe von $k$ folgt aus der
Gleichung~2)
\[
y = c + dx,
\]
wo
\[
a + b = \frac{2c}{k}, \quad  a - b = 2d
\]
ist.
\end{Small}

\subsection{75.}

Aus der Gleichung 1) des vorigen Art.\ folgt: Damit
$e^{\frac{x}{k}}$ reell ist, muss die Bedingung erfüllet werden
\[
\ftan \frac{y^2 }{ k} - ab > 0.
\]

1) Sind $a$ und $b$ verschieden bezeichnet, so ist $e^{\frac{x}{k}}$ immer
reell; damit jedoch $x$ reell ist, muss $e^{\frac{x}{k}}$ positiv sein.

Ist $a$ positiv, so ist für das obere Zeichen $x$ reell; ist $a$
negativ, so ist für das untere Zeichen $x$ reell.
%-----File: 085.png--------------------------------------------

Für $y = 0$, erhält man
\[
e^{\frac{x}{k}}=\sqrt{-\frac{b}{a}}.
\]
Die Gerade schneidet daher die $x$-Axe.

Die Gleichung der Geraden lässt sich in diesem Falle
umformen in
\[
\ftan \dfrac{y}{k}=m\fsin \dfrac{x-l}{k},
\]
indem man
\[
  \frac{a-b}{2} = m\fcos \frac{l}{k}, \quad
  \frac{a+b}{2} = -\fsin \frac{l}{k}
\]
setzt. Ist $\alpha$ der Neigungswinkel der Geraden zur $x$-Axe; $l$
die Abscisse des Durchschnittspunktes, so ist
\[
  a =  \tan \alpha e^{-\frac{l}{k}} , \quad
  b = -\tan \alpha e^{ \frac{l}{k}}.
\]

Setzt man $y = \pm \infty$, so wird
\[
\fsin \frac{x-l}{k} = \pm \frac{1}{m};
\]
die diesen beiden Werthen von $x$ entsprechenden Ordinaten
sind zur Geraden parallel.

2) Sind $a$ und $b$ gleich bezeichnet und zwar positiv, so
ist für ein positives $y$ der Ausdruck $e^{\frac{x}{k}}$ reell, wenn
\[
\ftan \frac{y}{k} \geqq\sqrt{ab},
\]
d.~h.\ wenn $y\geqq y_0$ ist, wo
\[
\ftan \frac{y_0}{k} = \sqrt{ab}.
\]

Für jeden Werth von $y$, welcher dieser Bedingung entspricht,
sind beide Werthe von $e^{\frac{x}{k}}$ positiv, d.~h.\ jedem (positiven)
$y$ entsprechen zwei zugehörige Werthe von $x$. Ist $\xi$
die Mitte der beiden Werthe von $x$, welche mit $x_1$ und $x_2$
bezeichnet werden sollen, also $2\xi = x_1 + x_2$, so folgt aus
der Gleichung der Geraden
\[
  e^{\frac{x_1 +x_2}{k}} = \frac{b}{a}   \text{\: oder \:}
  e^{\frac{\xi}{k}}      = \sqrt{\frac{b}{a}},
\]
welcher Werth von $y$ unabhängig ist.
%-----File: 086.png--------------------------------------------

Die Gleichung der Geraden lässt sich umformen in
\[
2\ftan \frac{y}{k} = \sqrt{ab}
    \left( \sqrt{\dfrac{a}{b}e^{ \frac{x}{k}}}
         + \sqrt{\dfrac{b}{a}e^{-\frac{x}{k}}} \right),
\]
d.~h.\ in
\[
\ftan\frac{x}{k} = \ftan \frac{y_0}{k}\fcos\frac{x-\xi}{k}.
\]

Da $\fcos u$ immer positiv und grösser als Eins ist, so ist
$y > y_0$, d.~h.\  für $x = \xi$ ist $y = y_0$ ein Minimum.

Setzt man $y = \infty$, so wird
\[
\fcos \frac{x-\xi}{k}=\fcot \frac{y_0}{k},
\]
aus welcher Gleichung zwei Werthe von $x - \xi$ erhalten
werden: ist $x'$ der eine Werth, so ist $-x'$ der andere.

3) Ist eine der Zahlen $a$ oder $b$ gleich Null, so erhält
man resp.
\[
2\ftan \frac{y}{k} = be^{-\frac{x}{k}}  \text{ \:oder\:\:}
2\ftan \frac{y}{k} = ae^{ \frac{x}{k}}.
\]
Die erste Gerade ist parallel der positiven, die zweite
parallel der negativen $x$-Axe. Ist $y_0$ der Werth von $y$ für
$x = 0$, so erhält man als Gleichung der Geraden
\[
\ftan \frac{y}{k} =\ftan \frac{y_0}{k}e^{-\frac{x}{k}}\text{ \:oder\:}
\ftan \frac{y}{k} =\ftan \frac{y_0}{k}e^{ \frac{x}{k}}.
\]

\Paragraph{Zusatz.} Aus der Gleichung 2) erhellet unmittelbar,
dass eine Vertauschung der Zeichen von $a$ und $b$ in die
entgegengesetzten die Ordinate $+y$ in $-y$ verwandelt.

\subsection{76.}

1) Der Winkel, welchen eine Gerade mit der durch
einen ihrer Punkte zur $x$-Axe gezogenen Linien gleichen
Abstandes bildet, ist bestimmt durch
\[
  \tan\varphi = \frac{dy}{\fcos \dfrac{y}{k}dx}
= \tfrac{1}{2} \left( ae^{ \frac{x}{k}}
                    - be^{-\frac{x}{k}} \right) \fcos\frac{y}{k}.
\]

2) Schneiden sich die beiden Geraden
\begin{align*}
  2\ftan \frac{y}{k} &= a e^{\frac{x}{k}} + b e^{-\frac{x}{k}}  \\
  2\ftan \frac{y}{k} &= a'e^{\frac{x}{k}} + b'e^{-\frac{x}{k}}
\end{align*}
%-----File: 087.png--------------------------------------------
im Punkte $(x_1,\, y_1)$, so erhält man
\[
  e^{\frac{x_1}{k}} = \sqrt{ \dfrac{b'-b}{a-a'}},  \quad
  2\ftan \frac{y_1}{k} = \frac{ab'-a'b}{\sqrt{(a-a')(b'-b)}}
\]
Damit $x_1$ und $y_1$ reell sind, müssen die Differenzen $a - a'$
und $b - b'$ entgegengesetzt bezeichnet sein.

3) Ist $\psi$ der Neigungswinkel der beiden Geraden, so ist
\[
  \psi = \varphi - \varphi',
\]
wo die Werthe von $\varphi$ und $\varphi'$ für den Durchschnittspunkt
$(x_1, \,y_1)$ zu nehmen sind. Damit erhält man
\[
\tan\psi =\frac{\sqrt{4(a-a')(b'-b)-(ab'-a'b)^2}}{ab'+a'b -2}.
\]

\section{Entfernung zweier Punkte.}

\subsection{77.}

Analog der Aufstellung der Gleichung der Geraden kann
die Distanz $d$ zweier Punkte $M_1 = (x_1, \,y_1)$ und $M_2 = (x_2, \,y_2)$
auf zweifache Art bestimmt werden. Zieht man (wie in
der gewöhnlichen Geometrie) vom Punkte $M_1$ die Gerade
$M_1Q \perp P_2M_2$, wobei $OP_1 = x_1$, $P_1M_1 = y_1$, $OP_2 = x_2$,
$P_2M_2 = y_2$ vorausgesetzt wird, so ist
\begin{gather*}
\fcos\frac{d}{k}    = \fcos\frac{M_1Q}{k}    \fcos\frac{QM_2}{k}\\
\ftan\frac{M_1Q}{k} = \ftan\frac{x_2-x_1}{k} \fcos\frac{P_2Q}{k}\\
\ftan\frac{P_2Q}{k} = \ftan\frac{y_1}{k} :   \fcos\frac{x_2-x_1}{k}\\
QM_2 = P_2M_2 - P_2Q.
\end{gather*}

Aus diesen Gleichungen folgt
\[
  \fcos\frac{d}{k}
= \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k}
- \fsin\frac{y_2}{k} \fsin\frac{y_1}{k}.
\]

\subsection{78.}

Für die zweite Methode verfährt man so: Setzt man in
\[
ds = dy\,\sqrt{\fcos\frac{y^2}{k}x'^2+1}
\]
für $x'$ den Werth aus der Differentialgleichung der Geraden
%-----File: 088.png--------------------------------------------
\[
x' = \frac{C}{\fcos \dfrac{y}{k} \,\sqrt{\fcos \dfrac{y^2}{k} - C^2}},
\]
so erhält man
\[
ds = \frac{\fcos \dfrac{y}{k} \,dy}{\sqrt{\fcos \dfrac{y^2}{k} - C^2}}
\]
oder
\[
ds = \frac{k\,du}{\sqrt{u^2 + m^2}},
\]
wenn
\[
\fsin \frac{y}{k} = u,  \quad  1 - C^2 = m^2
\]
gesetzt wird.

Daraus folgt durch Integration für die von einem beliebigen
Punkt der Geraden (als Anfang) gezählte Entfernung
des Punktes $(x,\, y)$ der Geraden
\[
e^{\frac{s+E}{k}} = \fsin \frac{y}{k} + \sqrt{\fcos \frac{y^2}{k} - C^2},
\]
wo $E$ eine willkürliche Constante bedeutet.

Aus der Gleichung der Geraden folgt
\[
\sqrt{\fcos \frac{y^2}{k} - C^2} = Ca\fcos \frac{y}{k} \;e^{\frac{x}{k}} - C \fsin \frac{y}{k};
\]
damit erhält man
\[
e^{\frac{s+E}{k}} = Ca\fcos \frac{y}{k} \;e^{x}{k} + (1-C)\fsin \frac{y}{k} = CZ,
\]
wo
\[
Z = a \fcos \frac{y}{k} \;e^{\frac{x}{k}} + (1-C) \fsin \frac{y}{k}.
\]

Drückt man die Constante $C$ durch die Constanten $a$
und $b$ aus und bezieht den Factor $C$ in die Constante $E$ ein,
so erhält man
\[
e^{\frac{s+E}{k}} = Z,
\]
wo
\[
Z = a\fcos \frac{y}{k} \;e^{\frac{x}{k}} + (\sqrt{1-ab} - 1)\fsin \frac{y}{k}.
\]

Sind $M_1 = (x_1,\, y_1)$ und $M_2 = (x_2,\, y_2)$ zwei Punkte,
$d = s_2 - s_1$ deren Entfernung, $Z_1$ und $Z_2$ die zugehörigen
%-----File: 089.png--------------------------------------------
Werthe von $Z$, so erhält man
\[
e^{\frac{d}{k}}=\frac{Z_2}{Z_1}.
\]

Bestimmt man aus den Gleichungen
\begin{align*}
  2\ftan \frac{y_1}{k} &= ae^{\frac{x_1}{k}} + be^{-\frac{x_1}{k}}\\
  2\ftan \frac{y_2}{k} &= ae^{\frac{x_2}{k}} + be^{-\frac{x_2}{k}}\\
\end{align*}
die Constanten $a$ und $b$ und setzt sie in die obige Gleichung
für die Distanz $d$, so erhält man letztere ausgedrückt durch
die Coordinaten der Punkte $M_1$ und $M_2$.

Diese Rechnung wird auf folgende Art durchgeführt:
\begin{align*}
a &= \frac{ \ftan\dfrac{y_2}{k} e^{-\frac{x_1}{k}}
          - \ftan\dfrac{y_1}{k} e^{-\frac{x_2}{k}} }
          { \fsin\dfrac{x_2-x_1}{k} }
\\
b &= \frac{-\ftan\dfrac{y_2}{k} e^{\frac{x_1}{k}}
          + \ftan\dfrac{y_1}{k} e^{\frac{x_2}{k}} }
          { \fsin\dfrac{x_2-x_1}{k} }
\end{align*}
\vskip-12pt
\begin{align*}
   \fsin\frac{x_2-x_1}{k} Z_2
&= -\fcos\frac{y_2}{k} \ftan\frac{y_1}{k}
 +  \fsin\frac{y_2}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k}
 \pm\fsin\frac{y_2}{k} N
\\
   \fsin\frac{x_2-x_1}{k} Z_1
&=  \fcos\frac{y_1}{k} \ftan\frac{y_2}{k}
 -  \fsin\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k}
 \pm\fsin\frac{y_1}{k} N,
\end{align*}
\[
N = \sqrt{ \fsin\frac{x_2-x_1  }{k}
         + \ftan\frac{y^2_2}{k}
         + \ftan\frac{y^2_1}{k}
         -2\ftan\frac{y_2}{k} \ftan\frac{y_1}{k}
           \fcos\frac{x_2-x_1}{k} },
\]
wobei das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem
$x_2 - x_1$ positiv oder negativ ist.

Die Grösse $N$ lässt sich umformen in
\begin{gather*}
  \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} N
\\
=\sqrt{\left(
        \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k}
      - \fsin\frac{y_2}{k} \fsin\frac{y_1}{k} \right)^2 - 1 }
= \fsin\frac{u}{k},
\end{gather*}
wo der Kürze halber
\[
  \fcos\frac{u}{k}
= \fcos\frac{y_2}{k} \fcos\frac{y_1}{k} \fcos\frac{x_2-x_1}{k}
- \fsin\frac{y_2}{k} \fsin\frac{y_1}{k}
\]
gesetzt wird.

Daraus folgt
%-----File: 090.png--------------------------------------------
\begin{align*}
  \fsin \frac{x_2-x_1}{k} Z_2
&= \frac{ \fsin \dfrac{y_2}{k} \,e^{\frac{u}{k}}
        - \fsin \dfrac{y_1}{k} }
        { \fcos \dfrac{y_2}{k} \fcos \dfrac{y_1}{k} }
\\[2ex]
  \fsin \frac{x_2-x_1}{k} Z_1
&= \frac{ \fsin \dfrac{y_2}{k}
        - \fsin \dfrac{y_1}{k} \,e^{-\frac{u}{k}} }
        { \fcos \dfrac{y_2}{k} \fcos \dfrac{y_1}{k} }
\end{align*}
also
\[
  e^{\frac{d}{k}}
= \frac{ \fsin \dfrac{y_2}{k} \,e^{\frac{u}{k}} - \fsin \dfrac{y_1}{k} }
       { \fsin \dfrac{y_2}{k} - \fsin \dfrac{y_1}{k} \,e^{-\frac{u}{k}} }
= e^{\frac{u}{k}};
\]
d.\ h.\ $d = u$ oder
\[
  \fcos \frac{d}{k}
= \fcos \frac{y_2}{k} \fcos \frac{y_1}{k} \fcos \frac{x_2-x_1}{k}
- \fsin \frac{y_2}{k} \fsin \frac{y_1}{k}.
\]

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Für sehr grosse Werthe von $k$ folgt aus der obigen
Formel der Distanz die Gleichung
\[
d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.
\]
\end{Small}

\section{Kreis und Krümmung.}

\subsection{79.}

Betrachtet man in dem Ausdrucke für die Entfernung
zweier Punkte $M_1$ und $M_2$ einen der beiden Punkte, etwa
den Punkt $M_1$, als fest und bestimmt alle Punkte $M_2$, deren
Entfernung $d$ von $M_1$ constant $= r$ ist, so erhält man die
Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt der Punkt $M_1$ und
dessen Radius $= r$ ist.

Für $M_1 = (\alpha,\,\beta)$, $M_2 = (x,\,y)$, erhält man als Kreisgleichung
\[
  \fcos\frac{r}{k}
= \fcos\frac{y}{k} \fcos\frac{\beta}{k} \fcos\frac{x-\alpha}{k}
- \fsin\frac{y}{k} \fsin\frac{\beta}{k}.
\]

1) Ist $\beta=0$, $\alpha=r$, so ist der Coordinaten-Anfangspunkt
ein Punkt der Kreislinie, die Gleichung wird
\[
  \fcos\frac{r}{k} = \fcos\frac{y}{k} \fcos\frac{x-r}{k}.
\]

Für $r = \infty$, geht die Kreislinie in die Grenzlinie über,
deren Gleichung also
%-----File: 091.png--------------------------------------------
\[
  \fcos \frac{y}{k} = e^{\frac{x}{k}}
\]
ist. Vergl.\ Art.\ 72.

2) Setzt man $\beta = \dfrac{\pi}{2} ki$, so erhält man als Kreisgleichung
\[
  \fcos \frac{r}{k} = i \fsin\frac{y}{k},
\]
welcher Gleichung genügt wird, wenn
\[
  r = a + \frac{\pi}{2} ki
\]
gesetzt wird, woraus dann folgt
\[
y = a;
\]
d.\ h.\ man kann die »Linien gleichen Abstandes« als Kreise
betrachten, deren Radius die Form $a + \dfrac{\pi}{2} ki$ hat, wo $a$ den
constanten Abstand bezeichnet. Für $a = 0$ geht die Linie
gleichen Abstandes in eine Gerade über; man kann daher
letztere als eine Kreislinie vom Radius $\dfrac{\pi}{2} ki$ betrachten, der
zugehörige Umfang wird nach Art.~60 gleich $2\pi ki$.

Durch Umdrehung der Kreislinie um einen Durchmesser
erhält man: Die Fläche gleichen Abstandes kann man als
eine Kugelfläche vom Radius $a + \dfrac{\pi}{2} ki$ betrachten, u.~s.~w.

\Paragraph{Zusatz.} Ist $AB = 2a$ eine Sehne, $O$ der Mittelpunkt
des Kreises, Winkel $OAB = \omega$, so ist
\[
  \ftan\frac{ a}{k} = \ftan\frac{r }{k}\,\cos \omega\,;
\]
durch dieselbe Gleichung ist auch der Radius $a$ des Schnittes
einer Ebene mit einer Kugelfläche bestimmt, der durch eine
Tangente eines Hauptkreises gelegt wird, und der mit der
Ebene des letzteren den spitzen Winkel $\omega$ bildet.

Setzt man $r = h + \dfrac{\pi}{2} ki$, so wird
\[
  \ftan \frac{a}{k} = \fcot \frac{h}{k} \,\cos \omega\,.
\]

Für $\omega > \omega_0$, wo $\cos \omega_0 = \ftan \dfrac{h}{k}$ gesetzt wird, ist $a$
reell\footnote
  {Die Bestimmung der reellen Kreisschnitte kann auch direct aus
  Art.~75 und 76 erhalten werden.};
für $\omega = \omega_0$, wird $a = \infty$, d.~h.\ die Schnittebene
%-----File: 092.png--------------------------------------------
ist zur Grundfläche parallel (vergl.\ Art.~58) und die
Schnittlinie ist eine Grenzlinie.

Für $\omega < \omega_0$, wird $a$ complex. Setzt man
\[
  a = h' + \frac{\pi}{2}ki,
\]
so wird
\[
  \fcot \frac{h'}{k} = \fcot \frac{h}{k} \cos \omega.
\]

Von $\omega = \omega_0$ bis $\omega = 0$ nimmt $h'$ von $\infty$ bis $h$ ab.

\subsection{80.}

\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.5cm,height=3.9cm]{images/fig55}
\end{wrapfigure}

Es seien $M$ und $M'$ zwei Punkte einer Kreislinie, $MT$
und $M' T'$ ihre zugehörigen Tangenten,
welche sich im Punkte $N$ schneiden. Der
Winkel $TNT'$ ist die Aenderung der
Lage der Tangente $MT$, wenn sie nach
$M' T'$ bewegt wird: dieser Winkel ist die
Krümmung des Bogens $MM'$. Setzt man
\[
  TNT' = \pi - 2MNO = 2 \alpha,\; MN = t,\; NO = \rho,
\]
so ist
\[
  \ftan \frac{t}{k} = \ftan \frac{\rho}{k} \cos MNO = \ftan \frac{\rho}{k} \sin \alpha,
\]
oder
\[
  \frac{\sin \alpha}{\ftan \dfrac{t}{k}}  =  \fcot \frac{\rho}{k}.
\]

Sind die Punkte $M$ und $M'$ unendlich nahe, so ist
$MM' = ds = 2MN = 2t$, $\rho = r$, woraus für das Mass der
Krümmung des Kreises folgt
\[
  m = \frac{1}{k} \fcot \frac{r}{k}.
\]

1) Ist $r$ endlich, so ist $\fcot \dfrac{r}{k} > 1$, also $m > 1 : k$.

2) Für $r = \infty$, folgt $m = 1 : k$; d.~h.\ das Mass der
Krümmung der Grenzlinie ist $= 1 : k$.

3) Setzt man $m < 1 : k$ voraus, so folgt
\[
  e^\frac{2r}{k}  =  -  \frac{1 + km}{1 - km}  =  - \mu,
\]
woraus
\[
  r  =  \frac{k}{2} \log \mu + \frac{\pi}{2} ki
\]
%-----File: 093.png--------------------------------------------
erhalten wird. Setzt man $\dfrac{k}{2} \log \mu = a$, so folgt
\[
  m = \frac{1}{k} \ftan \frac{a}{k}.
\]

Die Linien gleichen Abstandes sind daher Kreislinien
mit der Krümmung $< 1 : k$, die Gerade selbst besitzt die
Krümmung »Null«.

Die Kreislinie (sammt Grenzlinie), die Linie gleichen Abstandes
und die Gerade sind in der Geometrie die einzigen
an allen Stellen gleichartigen (d.~i.\ aus congruenten Stücken
zusammengesetzten) ebenen Linien; durch diese kann die
Krümmung einer beliebigen stetigen Linie bestimmt werden.
Aus dem Vorhergehenden erhellt, dass jedes unendlich kleine
Stück einer krummen Linie mit einem Kreisbogen zusammenfällt,
welcher entweder zu einem wirklichen Kreise oder zu
einer Linie gleichen Abstandes gehört, je nachdem das Krümmungsmass
grösser oder kleiner als $1:k$ ist.

\section{Punkt und Linien-Element im Raume.}

\subsection{81.}

Um die Lage eines Punktes im Raume zu bestimmen,
denke man sich eine bestimmte Ebene als \so{Grundebene}, in
dieser eine bestimmte Gerade als \so{Axe} und in letzterer einen
bestimmten Punkt als \so{Anfang}.

Von dem zu bestimmenden Punkt $M$ ziehe man eine
Senkrechte $MP = z$ auf die Grundebene, welche positiv genommen
wird auf der einen Seite der Grundebene, negativ
auf der entgegengesetzten. In der Grundebene werden die
Coordinaten $x$, $y$ des Punktes $P$ nach Art.~71 bestimmt. Die
Grössen $x$, $y$, $z$ heissen die \so{Coordinaten} des Punktes $M$.

Ist $M' = (x', y', z')$ ein zweiter Punkt, so lege man
durch den Punkt $M$ eine Fläche gleichen Abstandes = $z$ zur
Grundebene, welche der Senkrechten $M'P' = z'$ im Punkte
$N$ begegnet; dabei ist nach Art.~59 der Bogen
\[
  MN = \fcos \frac{z}{k} PP'.
\]

Sind $M$ und $M'$ zwei unendlich nahe Punkte, $ds$ deren
Entfernung, so ist
\[
  ds^2 = \overline{MN}^2 + \overline{M'N}^2.
\]
%-----File: 094.png--------------------------------------------
\[
  ds^2 = \fcos \frac{z^2}{k} \overline{PP'}^2 + dz^2.
\]

Nach Art.~71 ist
\[
  \overline{PP'}^2 = \fcos \frac{y^2}{k} dx^2 + dy^2,
\]
also
\[
  ds^2 = \fcos \frac{y^2}{k} \fcos \frac{z^2}{k} dx^2 + \fcos \frac{z^2}{k} dy^2 + dz^2.
\]

Sind die Gleichungen einer Linie gegeben, so erhält man
durch Integration die Länge des Bogens zwischen zwei Punkten.


\section{Gerade und Ebene.}

\subsection{82.}

Die Gleichungen der Geraden können vermittelst der
Variationsrechnung aus der Bedingung der kürzesten Entfernung
zweier Punkte erhalten werden. Bequemer erhält
man jedoch dieselben mit Zuziehung der Resultate der Art.~74
und 77.

Man kann nämlich die Gerade $MM'$ durch die Gleichung
der Geraden $PP'$ in der Grundebene (d.~i.\ ihrer Projection)
und durch die Gleichung der Geraden $MM'$ auf die Gerade
$PP'$ bezogen bestimmen.

1) Die Gleichung der Geraden $PP'$ sei
\[
  2 \ftan \frac{y}{k} = ae^\frac{x}{k} + be^{-\frac{x}{k}}.
\]

2) Ist $u$ die Entfernung des Punktes $P$ von irgend einem
festen Punkte $A$ der Geraden $PP'$ als Anfang, so ist die
Gleichung der Geraden $MM'$ für die Axe $PP'$
\[
  2 \ftan \frac{z}{k} = ce^\frac{u}{k} + de^{-\frac{u}{k}},
\]
wo $c$ und $d$ Constante sind.

Setzt man in diese Gleichung für $u$ seinen Werth nach
Art.~77
\[
  u = K + k \log Z,
\]
so erhält man die Gleichung der Geraden $MM'$ für die Axe
$PP'$ in den Coordinaten $x$, $y$, $z$ gegeben; die Constanten
$e^\frac{K}{k}$ und $e^{-\frac{K}{k}}$ können in die Constanten $c$ und $d$ einbezogen
werden.
%-----File: 095.png--------------------------------------------

Die vier Constanten $a$, $b$, $c$, $d$ können durch Bedingungen,
welchen die Gerade $MM'$ unterworfen ist, bestimmt werden.

In ähnlicher Weise kann die Entfernung zweier Punkte
bestimmt werden. Man erhält durch zweimalige Anwendung
der Formel des Art.~77
\[
\begin{aligned}
  \fcos \frac{d}{k} &= \fcos \frac{z_2}{k} \fcos \frac{z_1}{k} \fcos \frac{d'}{k} - \fsin \frac{z_2}{k} \fsin \frac{z_1}{k}
\\[1ex]
  \fcos \frac{d'}{k} &= \fcos \frac{y_2}{k} \fcos \frac{y_1}{k} \fcos \frac{x_2-x_1}{k} - \fsin \frac{y_2}{k} \fsin \frac{y_1}{k},
\end{aligned}
\]
dabei bedeutet $d'$ die Projection der Strecke $d$ auf die $xy$-Ebene.

Für die Entfernung $r$ des Punkts $M = (x, y, z)$ vom
Anfang $O$ erhält man
\[
  \fcos \frac{r}{k} = \fcos \frac{x}{k} \fcos \frac{y}{k} \fcos \frac{z}{k}.
\]

\subsection{83.}

Es seien $p = OP$ und $r = OM$ zwei vom Coordinaten-Anfang
$O$ gezogene Strecken, dabei werde $p$ so gewählt, dass
das Dreieck $OMP$ bei $P$ rechtwinklig ist. Setzt man $P =
(a, b, c)$, $M = (x, y, z)$, $PM = d$, so ist
\[
  \fcos \frac{r}{k} = \fcos \frac{p}{k} \fcos \frac{d}{k}.
\]

Drückt man nach dem vorigen Artikel die Grössen $r$, $p$, $d$
durch die Coordinaten der Punkte $M$ und $P$ aus, so erhält
man
\[
\tag*{\quad1)}
\begin{aligned}
  \ftan \frac{p^2}{k} &= \ftan \frac{a}{k} \ftan \frac{x}{k}
      + \frac{ \ftan \dfrac{b}{k} }{ \fcos \dfrac{a}{k} }
  \cdot \frac{ \ftan \dfrac{y}{k} }{ \fcos \dfrac{x}{k} }
\\[1ex]
     &+ \frac{ \ftan \dfrac{c}{k} }{ \fcos \dfrac{a}{k} \fcos \dfrac{b}{k}}
  \cdot \frac{ \ftan \dfrac{z}{k} }{ \fcos \dfrac{x}{k} \fcos \dfrac{y}{k} }.
\end{aligned}
\]

Man ziehe im Punkte $O$ eine Gerade $ZZ'$ senkrecht auf
die $xy$-Ebene und lege durch $ZZ'$ eine Ebene senkrecht auf
die $x$-Axe, welche die $xy$-Ebene in der Geraden $YY'$
schneidet. Die drei durch den Punkt $M$ auf den Axen $XX'$,
$YY'$, $ZZ'$ senkrechten Ebenen bestimmen drei von $O$ aus
gezählte Strecken $x'$, $y'$, $z'$. Bezeichnet man mit $(r, x)$ den
Winkel der Geraden $OM$ und $OX$, so ist
%-----File: 096.png--------------------------------------------
\[
  \ftan \frac{x'}{k} = \ftan \frac{r}{k} \cos (r, x)\textrm{ u.~s.~w.}
\]

Berücksichtigt man die Gleichungen
\[
  x = x',\;
  \ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{x'}{k} \fcos \frac{x}{k},\;
  \ftan \frac{z}{k} = \ftan \frac{z'}{k} \fcos \frac{x}{k} \fcos \frac{y}{k}
\]
und die analogen für $(a', b', c')$, so erhält man
\begin{gather*}
  \cos (p, r) = \cos (p, x) \cos (r, x) + \cos (p, y) \cos (r, y) \\
+ \cos (p, z) \cos (r, z).
\end{gather*}

Sind $a$, $b$, $c$ also auch $p$ Constante, so stellt die Gleichung
1) die Gleichung der \so{Ebene} dar.


\section{Andere Coordinaten-Systeme.}

\subsection{84.}

Die in den vorhergehenden Untersuchungen vorausgesetzten
Coordinaten entsprechen der gewöhnlichen graphischen
Darstellung der Functionswerthe; es mögen daher
noch andere Coordinaten in Kürze erwähnt werden.

Statt durch die Abstände $OP = x$, $PM = y$ den Punkt
$M$ einer Ebene zu bestimmen, kann man letztere als den
Durchschnittspunkt der beiden Senkrechten auf zwei unter
einem rechten Winkel sich schneidende Axen betrachten und
die Abschnitte $OP = x'$, $OQ = y'$ oder noch zweckmässiger
die hyperbolischen Tangenten der Verhältnisse dieser Abschnitte
zu $k$ als Coordinaten $\xi$, $\eta$ wählen\footnote
  {\so{Escherich}, die Geometrie auf den Flächen constanter negativer
  Krümmung. Sitzb.\ der kais.\ Akad.\ der Wissensch.\ Bd.~LXIX.},
so dass
\[
\xi = \ftan \frac{x'}{k},\; \eta = \ftan \frac{y'}{k}.
\]

Sind $\xi$ und $\eta$ zugleich $< 1$, so wird ein reeller Punkt,
ist eine oder jede Coordinate $> 1$, so wird ein idealer Punkt
dargestellt.

Bezeichnet man mit $\varphi$ den Winkel $MOX$ und setzt
$OM = r$, $\ftan \dfrac{r}{k} = \rho$, so ist
\[
\xi = \rho \cos \varphi,\; \eta = \rho \sin \varphi;
\]
d.~i.\ die Transformation in Polarcoordinaten.

Die Transformation in Coordinaten des ursprünglichen
Systems ist gegeben durch
%-----File: 097.png--------------------------------------------
\[
  x = x',\;\ftan \frac{y}{k} = \ftan \frac{y'}{k} \fcos \frac{x}{k}.
\]
Die Gleichung der Geraden wird
\[
  \eta = a\xi + b.
\]

Der Ausdruck für das Linien-Element nimmt die Form an
\[
  ds^2 = E\,dx'^2 + 2F\,dx'dy' + G\,dy'^2,
\]
wo $F$ von Null verschieden ist, da der Winkel $PMQ$ spitz ist.

Für räumliche Figuren betrachte man die im vorigen
Artikel mit $x'$, $y'$, $z'$ bezeichneten Abschnitte auf den Axen
$XX'$, $YY'$, $ZZ'$ als Coordinaten. Statt dieser Grössen kann
man die Functionen $\xi$, $\eta$, $\zeta$, wo
\[
  \xi = \ftan \frac{x'}{k}, \;  \eta = \ftan \frac{y'}{k}, \; \zeta = \ftan \frac{z'}{k}
\]
ist, einführen. Dadurch wird z.~B. die Gleichung der Ebene
\[
A\xi + B\eta + C\zeta = D.
\]
In gleicher Weise gehen die Gleichungen der Geraden in
zwei lineare Gleichungen zwischen den Functionen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ über.

\subsection{85.}

Nimmt man in einer Ebene eine Grenzlinie zur $x$-Axe
und in dieser einen bestimmten Punkt $O$ als Anfang, so kann
der Punkt $M$ auf die folgende Art bestimmt werden.\footnote
  {\so{Flye} S\textsuperscript{\,t.}\so{-Marie}, Études analytiques sur la théorie des parallèles.
  Paris, 1871.}
Man
ziehe vom Punkte $M$ eine Axe, welche die Grenzlinie im
Punkte $P$ schneidet. Das Stück $OP$ der Grenzlinie und die
Strecke $PM$ der Axe --- diese Grössen sammt Vorzeichen
genommen --- können als Coordinaten $x$,~$y$ des Punktes $M$
betrachtet werden.

Die bezüglichen Transformationsformeln lassen sich ohne
Schwierigkeit entwickeln, für den Ausdruck des Linien-Elementes
erhält man
\[
  ds^2 = e^\frac{2y}{k} dx^2 + dy^2,
\]
woraus ganz analog wie im Art.~74 die Gleichung der Geraden
und die Entfernung zweier Punkte gefunden wird.

Für räumliche Gebilde nimmt man eine Grenzfläche als
$xy$-Fläche und zieht durch den zu bestimmenden Punkt $M$
%-----File: 098.png--------------------------------------------
eine Axe der Grenzfläche, welche von letzterer im Punkte $P$
geschnitten wird. Die rechtwinkligen Coordinaten $x$,~$y$ des
Punktes $P$ auf der Grenzfläche --- für welche die gewöhnliche
Geometrie gilt --- und die Strecke $PM$ (sammt Vorzeichen)
dienen als Coordinaten $x$, $y$, $z$ des Punktes $M$.

Ist $M'$ ein zu $M$ unendlich naher Punkt, so ist
\begin{align*}
& P\overline{P'}^2 = dx^2 + dy^2,\\
&ds^2 = e^{\frac{2z}{k}} \left(dx^2 + dy^2\right) + dz^2.
\end{align*}

\section{Flächenbestimmung ebener Figuren.}

\subsection{86.}

Die Bestimmung der Fläche einer ebenen Figur wird
durch Zerlegung der gegebenen Fläche in unendlich kleine
Elemente, auf welche man also die gewöhnliche Geometrie
anwenden kann, durchgeführt.

Um die Fläche $z$ einer ebenen Figur, begrenzt von zwei
Ordinaten einer krummen Linie, dem Bogen derselben und
der Abscissenaxe zu bestimmen, zerlege man die Fläche
zwischen zwei unendlich nahen Ordinaten $MP$ und $M'P'$
(Figur des Art.~71) durch unendlich nahe Linien gleichen
Abstandes mit der Axe $XX'$ in rechteckige Elemente. Ist $h$
der Abstand einer dieser Linien, $dh$ die Entfernung je zweier
Linien gleichen Abstandes, so ist die Fläche des zugehörigen
Elementes
\[
  d^2 z = \fcos \frac{h}{k} dx\, dh.
\]

Daraus folgt für die Grösse $dz$ des Streifens zwischen
den beiden Ordinaten $MP$ und $M'P'$, indem man von $h = 0$
bis $h = y$ integrirt,
\[
  dz = k \fsin \frac{y}{k} \,dx.
\]

1) Für die Linie gleichen Abstandes ist
\[
y = p = \text{Const}.,
\]
also
\[
  z = kx \fsin \frac{p}{k}.
\]

2) Für
\[
  \ftan\frac{y}{k}  = \ftan \frac{y_0}{k} \fcos \frac{x}{k},
\]
%-----File: 099.png--------------------------------------------
ist
\[
dz = \frac{k^2 m\, du }{ \sqrt{ 1 - m^2 - m^2u^2}},
\]
wo $\ftan \dfrac{y_0}{k} = m$, $\fsin \dfrac{x}{k} = u$ gesetzt ist. Daraus folgt
\[
z = k^2 \arcsin \left( \fsin \frac{x}{k} \fsin \frac{y_0}{k} \right).
\]
Das Doppelte dieser Fläche ist gleich der Fläche des Rechteck-Analogon,
dessen Basis $= 2x$ und dessen mittlere (d.~i.\ kleinste)
Höhe $= y_0$ ist.

3) Für die Grenzfläche ist
\[
\fcos \frac{y}{k} = e^\frac{x}{k},
\]
\begin{flalign*}
&\text{also }&  &dz  = k \,\sqrt{ e^\frac{2x}{k} - 1}\;dx
                     = k^2 \frac{u^2du }{ 1 + u^2} & \phantom{also }&\\
&&              &u^2 = e^\frac{2x}{k} - 1&\\
&&              &z   = k^2 \left( \fsin \frac{y}{k} - \arctan\, \fsin \frac{y}{k} \right).&
\end{flalign*}

\subsection{87.}

\Paragraph{Kreisfläche.} Die Fläche eines Kreises kann durch concentrische
Kreise in unendlich schmale Ringe und jeder dieser
Ringe durch unendlich nahe Radien in unendlich kleine rechteckige
Elemente zerlegt werden.

Man erhält dadurch für die Fläche eines Ringes vom
Radius $x$ und von der Breite $dx$ den Werth
\[
\mcirc x\,dx = 2 \pi k \fsin \frac{x}{k} \,dx,
\]
integrirt man von $x = 0$ bis $x = r$, so erhält man die Fläche
des Kreises vom Radius $r$
\[
  2 \pi k^2 \left( \fcos \frac{r}{k} - 1 \right) = 4 \pi k^2 \fsin \frac{r^2}{2k}.
\]

\Paragraph{Zusatz.} Ist $\rho$ die Länge eines Grenzbogens, dessen
Sehne $= r$ ist, so ist nach Art.~60
\[
\frac{\rho }{2} = k \cot \Pi \left( \frac{r}{2} \right) = k \fsin \frac{r}{2k},
\]
also
\[
\pi \rho^2 = 4 \pi k^2 \fsin \frac{r^2}{2k};
\]
%-----File: 100.png--------------------------------------------
d.~h.\ ein Kreis auf der Grenzfläche mit dem Radius $\rho$ ist
flächengleich dem ebenen Kreis, dessen Radius die Sehne $r$
des Grenzbogens $\rho$ ist.

\subsection{88.}

Um die Fläche zwischen den zwei Grenzbögen $AB = s$
und $A'B' = s'$ und den Axenstücken $AA' = BB' = l$ zu
bestimmen, theile man (wie in Art.~56) die Strecke $AA'$ in
unendlich kleine Theile $= dx$ und lege durch die Theilungspunkte
Grenzbögen.  Ist $x$ die Entfernung eines Grenzbogens
vom Bogen $A'B'$, so ist
\[
  s' e^{\frac{x}{k}}dx
\]
die zwischen den Grenzbögen, deren Abstände $x$ und $x + dx$
sind, enthaltene Fläche, also das zwischen den Grenzen 0
und $l$ genommene Integral
\[
  ks'(e^{\frac{l}{k}} - 1) = sk - s'k
\]
die Gesammtfläche. Um die von einem Bogen $s$ und den
Axen der Endpunkte bestimmte Fläche zu erhalten, setze
man $s' = 0$.

\subsection{89.}

Für die \so{Dreiecksfläche} ist die Bestimmung des constanten
Ver\-hält\-nis\-ses $\lambda$ der Fläche $f$ eines Dreiecks zu ihrem
Unterschiede $u$ der Winkelsumme von $2R$ (vergl.\ Art.~38)
nöthig. Diese Berechnung geschieht am einfachsten auf die
folgende Art:

Setzt man in dem Ausdrucke Art.\ 62
\[
\tan \frac{u}{4} = \sqrt{ \ftan\tfrac{1}{2}\frac{ s   }{k}
                          \ftan\tfrac{1}{2}\frac{(s-a)}{k}
                          \ftan\tfrac{1}{2}\frac{(s-b)}{k}
                          \ftan\tfrac{1}{2}\frac{(s-c)}{k} }
\]
die Seiten $a$, $b$, $c$ also auch $s$ sehr klein voraus, so erhält man
\[
u=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{k^2}=\frac{f}{k^2},
\]
\begin{flalign*}
&\text{also} & \lambda &= k^2.  &&\phantom{also }
\end{flalign*}

Andere Methode: Man denke sich ein Dreieck $ABC$, wo
der der Seite $AB$ anliegende Winkel $B = R$ ist und der
%-----File: 101.png--------------------------------------------
Punkt $C$ im Unendlichen liegt, d.~h.\ der Winkel $C = 0$ oder
$AC \parallel BC$ ist. Ist $AE \perp AB$, so ist der Winkel
\[
  EAC = 2R - A - B = u.
\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=2.7cm,height=3.2cm]{images/fig56}
\end{wrapfigure}

Zieht man den Grenzbogen $AD$, so ist
nach Art.~60
\[
  AD = k \cot \Pi(AB) = k \tan u.
\]

Die Fläche $S$ begrenzt vom Grenzbogen
$AD$ und den Axen $AC$ und $DC$ ist nach
Art.~88
\[
  S = k \cdot AD = k^2 \tan u,
\]
mithin das Verhältniss
\[
  \frac{S}{ABC} = \frac{k^2 \tan u}{\lambda u} =  \frac{k^2}{\lambda} \cdot \frac{\tan u}{u}.
\]

Mit dem Verschwinden der Seite $AB$ geht das Verhältniss
$\dfrac{AD}{AB}$, also auch die Verhältnisse $\dfrac{S}{ABC}$ und $\dfrac{\tan u}{u}$ in
die Einheit über. Es ist daher
\[
  \lambda = k^2,
\]
also die Fläche $f$ eines beliebigen Dreiecks, dessen Winkel
$A$, $B$, $C$ sind,
\[
  f = k^2 u = k^2 (\pi - A - B - C).
\]

\Paragraph{Zusatz.} Ist das Dreieck gleichschenklig d.~h.\ $a = b$
und die Basis $c$ unendlich klein, so kann man
\[
s = a + \frac{c}{2} = a,\;  s - a = s - b = \frac{c}{2},\;  s - c = a - \frac{c}{2} = a
\]
setzen. Man erhält damit
\[
\begin{aligned}
  \tan \frac{u}{4} &= \ftan {\textstyle\frac{1}{4}} \frac{c}{k} \ftan {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{a}{k} \\
  k^2 u &= c k \ftan {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{a}{k}.
\end{aligned}
\]

Damit kann die Fläche des Kreissectors bestimmt werden.
Zerlegt man den Bogen $l$ des Sectors in unendlich
kleine Stücke $c$, so erhält man durch Addition der Dreiecke
für die Fläche des Sectors
\[
  lk \ftan {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{r}{k}.
\]
%-----File: 102.png--------------------------------------------

\Paragraph{Vieleck.} Sind $A_1$, $A_2$, \ldots$A_n$ die (innern) Winkel eines
hohlwinkligen $n$-Eckes, so ist die Fläche
\[
  f=k^2 [(n-2) \pi - A_1 - A_2 - \dots - A_n].
\]

Ist das Vieleck regulär, so ist $A_1 = A_2 = \ldots = A_n = A$,
also
\[
  f=k^2[(n-2) \pi - nA].
\]

Für $A_1 = A_2 = \ldots = A_n = 0$ wird die Fläche $= (n-2) \pi k^2$
ein Maximum.

\Paragraph{Anwendungen:} 1) Zufolge der im Art.~70 enthaltenen
Aufgaben ist die Construction eines regulären Vierecks möglich,
dessen Fläche $= \pi k^2$ d.~i.\ gleich der grössten Dreiecksfläche
ist.

Es werde in dem bei $C$ rechtwinkligen Dreiecke $ABC$
der Winkel $A = \frac{1}{2}R$, $B = \frac{1}{4}R$ vorausgesetzt. Aus Art.~61
Gleichung~2)
\[
  \frac{\cos\frac{1}{2}R}{\sin\frac{1}{4}R} = \fcos\frac{a}{k}
\]
folgt, indem man für $\cos\frac{1}{2}R$ und $\sin\frac{1}{4}R$ die Werthe
\[
  \cos\tfrac{1}{2}R = \tfrac{1}{2}\surd{2} \text{ und } \sin\tfrac{1}{4}R = \tfrac{1}{2}\sqrt{2 - \surd{2}}
\]
setzt,
\[
  e^\frac{a}{k} + e^{-\frac{a}{k}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2 - \surd{2}}};
\]
und daraus
\[
  e^\frac{a}{k} = \sqrt{\frac{\sqrt[4]{2}+1}{\sqrt[4]{2}-1}},
\]
welcher Ausdruck --- da nur zweite Wurzeln vorkommen ---
geometrisch construirt werden kann. Damit erhält man dann
(analog wie im Beispiele des Art.~70) die Seite $a$.

Die Fläche des eben construirten Dreiecks ist $= \frac{1}{8} \pi k^2$.
Durch Anlegung eines congruenten Dreiecks $A'B'C'$, dessen
Hypotenuse $A'B'$ mit der Seite $AB$ zusammenfällt, erhält
man ein Viereck $ACBC'$, in welchem drei rechte Winkel
und ein Winkel $= \frac{1}{2}R$ sind, und aus vier solchen Vierecken
kann man ein reguläres Viereck zusammensetzen, dessen Seiten
$= 2a$ und dessen Winkel $= \frac{1}{2}R$ sind.

2) In ganz analoger Weise kann man ein reguläres $n$-Eck
%-----File: 103.png--------------------------------------------
von der Fläche $\pi k^2$ construiren, wenn $n = 2^\nu \cdot 3^\alpha \cdot  5^\beta \cdot  17^\gamma \ldots$
ist, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\ldots = 0$ oder 1 ist.

Denn aus
\[
f = \pi k^2 = k^2 [(n-2)\pi - nA]
\]
folgt
\[
A = (n-3) \frac{2R}{n}.
\]

Vermöge der von \so{Gauss} entdeckten Kreistheilung\footnote
  {Disquisitiones arithm. ---
  \so{Frischauf}, Vorlesungen über Zahlentheorie.
  --- \so{Bachmann}, die Lehre von der Kreistheilung. Leipzig, 1872.}
können
in diesem Falle die Functionen $\cos \dfrac{2R}{n}$ und $\sin \dfrac{2R}{n}$ u.~s.~w.\
durch zweite Wurzeln ausgedrückt werden; ist $x$ die Seite
eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen gegenüberliegender Winkel
$= \dfrac{2R}{n}$ und dessen anliegender Winkel $= (n-3)\dfrac{ R}{n}$ ist,
so kann der Ausdruck $X$, wo
\[
X = \fcos \dfrac{x}{k} = \frac{\cos \dfrac{2R}{n} }{\sin(n-3)\dfrac{R}{n}}
\]
ist, also auch $e^{\tfrac{x}{k}}$ und mithin auch $x$ geometrisch construirt
werden. Das $2n$~fache dieses Dreiecks ist gleich $\pi k^2$.

Unter der Voraussetzung der obigen Form für die Zahl
$n$ kann also die Fläche $\pi k^2$ in $n$ gleiche Theile getheilt werden.
Es ist daher auch die Construction eines Vielecks von
der Fläche
\[
f = \frac{m}{n} \pi k^2,
\]
wo $m$ beliebig und $n$ von der obigen Form ist, möglich.

3) Bedeutet $\varrho$ den zur Sehne $r$ gehörigen Grenzbogen,
so ist die Fläche des ebenen Kreises vom Radius $r$ (nach
Art.~87, Zusatz)
\[
\pi \varrho^2 = \pi k^2 \tan u^2,
\]
wo mit Beibehaltung der Figur des Art.~89, $u = EAC$ und
die Sehne $AD = r$ ist.

Da man (nach Art.\ 67) den Winkel $u$ für jeden Werth
von $r$ durch Construction erhält, so kann man $\tan u$ als das
Verhältniss zweier Grenzbögen also auch $\tan u^2$ geometrisch
construiren. Die Fläche eines ebenen Kreises ist daher geometrisch
quadrirt vermittelst einer geradlinigen Figur $(=\pi k^2)$
%-----File: 104.png--------------------------------------------
und vermittelst gleichförmiger Linien derselben Art (Grenzbögen,
welche bezüglich ihrer Vergleichung sich wie Strecken
verhalten). Da $\pi\varrho^{2}$ die Fläche eines Kreises auf der Grenzfläche
ist, so ist auf dieselbe Art auch der Kreis auf der
Grenzfläche quadrirt.

Ist $\tan u^2$ eine ganze Zahl oder ein Bruch $\dfrac{m}{n}$, wo der
Nenner $n$ die erwähnte Gauss'sche Form hat, so kann man
nach dem Vorigen ein (ebenes) Vieleck construiren, dessen
Fläche der Fläche des Kreises gleich ist.

\section{Flächenbestimmung räumlicher Figuren.}

\subsection{91.}

Um das constante Verhältniss einer Fläche gleichen Abstandes
$= h$ zur zugehörigen Fläche ihrer Grund-Ebene zu
bestimmen, grenze man auf letzterer ein unendlich kleines
Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ ab.

Die zugehörigen Seiten $a'$ und $b'$ des Flächenelements
der Fläche gleichen Abstandes sind durch
\[
  a' = a \fcos \dfrac{h}{k}, \quad b'  = b \fcos \dfrac{h}{k},
\]
das Flächenelement also durch
\[
  a'b' = ab \fcos \dfrac{h^2}{k}
\]
bestimmt.

\subsection{92.}

Die krumme Oberfläche $z$, welche von dem Stück $q$ einer
Linie gleichen Abstandes $= h$ durch Umdrehung um ihre
Gerade erzeugt wird, ist
\begin{gather*}
z=\mcirc\, h\cdot q\\
z=2\pi k \fsin \dfrac{h}{k} \cdot p\fcos \dfrac{h}{k}=\pi kp\fsin \dfrac{2h}{k},\\
\end{gather*}
wo $p$ das dem Bogen $q$ entsprechende Stück der Geraden ist.

\subsection{93.}

\Paragraph{Kugelabschnitt.} Es sei $A$ der Pol des Kugelabschnittes,
$AOB =  \varphi$ der halbe Mittelpunktswinkel, $p$ der Umfang des
grössten Kreises. Ist $BC\perp OA$, so ist
\[
\mcirc BC =p\sin \varphi.
\]
%-----File: 105.png--------------------------------------------

\begin{wrapfigure}[11]{r}{3.9cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.9cm]{images/fig57}
\end{wrapfigure}
Ist $x$ die Länge des Kreisbogens $AB$, so ist
\[
x:p=\varphi:2\pi,
\]
also
\[
dx=\frac{p}{2\pi}\,d\varphi.
\]

Die Fläche $dz$ der durch das Bogenelement
$dx$ bestimmten Kugelzone ist
\[
  dz = \mcirc BC \,dx = p\sin\varphi \cdot \frac{p}{2\pi}\,d\varphi,
\]
oder
\[
  dz = \frac{p^2}{2\pi}\sin\varphi \,d\varphi.
\]

Das Integral von 0 bis $\varphi$ giebt die krumme Fläche des
Kugelabschnittes
\[
  z = \frac{p^2}{2\pi}(1-\cos\varphi).
\]

Für $\varphi=\pi$ erhält man die gesammte Kugelfläche
\[
f=\frac{p^2}{\pi}.
\]

Daraus folgt (nach Art.\ 44) für die Fläche eines
sphärischen Dreiecks
\[
\frac{p^2}{4\pi^2}(A+B+C-\pi).
\]

\Paragraph{Zusatz.} Der Ausdruck für die krumme Fläche eines
Kugelabschnittes lässt sich auf folgende Art umformen:
Durch den Umfang des grössten Kreises der Zeichnung denke
man sich eine Grenzfläche gelegt, welche von den durch die
Radien $OA$ und $OB$ auf die Ebene des Kreises senkrechten
Ebenen in den Grenzbögen $O'A$ und $O'B$ geschnitten wird.
Zieht man den Grenzbogen $BD \perp AO'$, so erhält man ein
Grenzdreieck $BO'D$, in welchem
\[
\text{Winkel }O'=\varphi,\quad p = 2\pi O'B,
\]
also \hfill $\dfrac{O'D}{O'B} = \cos \varphi$, \hfill \phantom{also}
\[
1-\cos\varphi =\frac{AD}{O'B}=\dfrac{2\pi AD}{p}
\]
und
\[
z= AD \cdot p = \pi A D \cdot AA'
\]
ist, wo $AA'$ den Grenzbogen $AO'A'$ bedeutet. Ist $AB$ der
Grenzbogen zwischen den Punkten $A$ und $B$\footnote
  {Dieser Grenzbogen ist in der Figur nicht gezeichnet, derselbe
  ist von dem Kreisbogen $AB$ verschieden. },
so ist
%-----File: 106.png--------------------------------------------
\[
\overline{AB}^2 = AD\centerdot AA',
\]
also
\[
z=\pi\,\overline{AB}^2.
\]

Durch Anwendung des Zusatzes des Art.\ 87 folgt: Die
krumme Fläche eines Kugelabschnittes ist gleich der Fläche
eines (ebenen) Kreises, dessen Radius gleich der Strecke
zwischen dem Pol und einem Punkte des Umfanges des
Schnittkreises ist.


\section{Inhaltsbestimmung.}

\subsection{94.}

Der Inhalt des Körpers, begrenzt von einer ebenen Figur
als Grundfläche, wird dadurch bestimmt, dass man durch
Flächen gleichen Abstandes zur Basis den Körper in Elemente
zerlegt. Ist $y$ der Abstand, $p$ der der Fläche zugehörige
Theil der Grundebene, so ist das Körperelement
\[
dv=p\fcos \dfrac{y^2}{k}dy
\]
Drückt man $p$ durch $y$ aus, so erhält man durch Integration
den Inhalt des Körpers.

Ist $p =$ Const., so gibt das Integral von 0 bis $h$
\[
v=\tfrac{1}{4}kp\fsin 2\dfrac{h}{k}+\tfrac{1}{2}ph
\]
den Inhalt des Analogon des geraden Prismas der gewöhnlichen
Geometrie, wo $p$ die Basis und $h$ die Höhe bedeutet.


\subsection{95.}
\begin{wrapfigure}{r}{3.1cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.1cm,height=3.9cm]{images/fig58}
\end{wrapfigure}

In ähnlicher Weise wird der Inhalt
der Pyramide bestimmt. Es sei $SABC$
die gegebene Pyramide, wobei $SA\perp ABC$
vorausgesetzt wird. Zerschneidet man die
Pyramide durch Flächen gleichen Abstandes
$A'B'C'$ in Elemente, so ist
\[
dv=A'B'C' \,dy
\]
das Element des Inhaltes. Ist $B_1C_1$ die
Projection der Linie $B'C'$ auf die Basis,
so ist
\[
dv=AB_1C_1\fcos \dfrac{y^2}{k}\,dy.
\]
%-----File: 107.png--------------------------------------------
Setzt man $SA = h$, $AB= b$, $AC= c$, $AB_1 = x$, $AC_1= u$,
so kann man mit Zuziehung der Gleichungen
\[
  \frac{\ftan\dfrac{  y}{k}}{\ftan\dfrac{h}{k}}
= \frac{\fsin\dfrac{b-x}{k}}{\fsin\dfrac{b}{k}}
= \frac{\fsin\dfrac{c-u}{k}}{\fsin\dfrac{c}{k}}
\]
die Fläche $AB_1C_1$ durch $y$ ausdrücken. Das Integral von 0
bis $h$ gibt den Inhalt der Pyramide.

\subsection{96.}

Auf dieselbe Art wird der Inhalt des geraden Kegels
bestimmt. Im rechtwinkligen Dreiecke $SAO$ stelle $SO = h$
die Höhe, $AO = r$ den Radius der Basis und $SA = s$ die
Seite des Kegels dar. Ist $M$ ein Punkt der Seite $SA$, $MP \perp AO$,
so ist $p$ gleich der Kreisfläche mit dem Radius $OP = r - u$,
wenn $AP = u$ gesetzt wird. Daraus folgt
\[
dv=4\pi k^2\fsin\dfrac{r-u^2}{2k}\fcos\dfrac{y^2}{k} dy,
\]
dabei ist
\[
\ftan \dfrac{y}{k}
= \frac{\ftan\dfrac{h}{k}}{\fsin\dfrac{r}{k}}\fsin\dfrac{u}{k}
= m\fsin\dfrac{u}{k}.
\]

Drückt man die Grösse $u$ durch $y$ aus, so erhält man
\begin{gather*}
\frac{dv}{2\pi k^2}
= \fcos\dfrac{r}{k} \fcos\dfrac{y}{k}
  \sqrt{m^2+(m^2+1)\fsin\dfrac{y^2}{k}} \;\frac{dy}{m}.
\\
- \fsin\dfrac{r}{k} \fsin\dfrac{y}{k} \fcos\dfrac{y}{k} \dfrac{dy}{m}
- \tfrac{1}{2} \left( 1+\fcos 2\dfrac{y}{k} \right) dy.
\end{gather*}

Das Integral von 0 bis $h$ gibt für den Inhalt
\[
  v = \pi k^2 \left( s\ftan\dfrac{h}{k} \fcot\dfrac{s}{k} - h \right).
\]

\subsection{97.}

Den Inhalt des Rotationskörpers des Art.~92 erhält man
auf die folgende Art: Man zerlege die Fläche, begrenzt von
den Linien $p$ und $q$ und den Ordinaten der Endpunkte, durch
Linien gleichen Abstandes in Elemente, so bestimmen bei
der Umdrehung je zwei auf einander folgende Linien einen
ringförmigen Körper. Durch Ebenen, welche auf der Strecke $p$
der Umdrehungsaxe senkrecht sind, wird jeder Ring in
%-----File: 108.png--------------------------------------------
Körperelemente zerlegt. Ist $x$ der Abstand einer Linie $p'$
gleichen Abstandes von der Axe $p$, sind $dp$ und $dp'$ die
Stücke der Geraden $p$ und der Abstandslinie $p'$ zwischen je
zwei senkrechten Ebenen, so ist der Inhalt $dv$ des Körperelements
\[
  dv = \mcirc\, x \,dx \,dp' = \pi k \fsin 2\dfrac{x}{k} \,dx \,dp,
\]
also der Inhalt eines Ringes (indem man nach $p$ integrirt)
\[
=\pi kp\fsin 2\dfrac{x}{k},
\]
und die Summe der Ringe (indem man von 0 bis $h$ integrirt)
\[
v=\pi k^2 p\fsin\dfrac{h^2}{k}.
\]

\subsection{98.}

Die Kugel zerlege man durch concentrische Kugelflächen
in Elemente. Ist $x$ der Radius einer Kugelfläche, $dx$ die
Entfernung je zweier Kugelflächen, so ist der Inhalt des
Elementes enthalten zwischen diesen beiden Kugelflächen
(nach Art.~93)
\[
  f \,dx = 4\pi k^2 \fsin \dfrac{x^2}{k} \,dx
\]
also der Inhalt der Kugel
\[
v = \pi k^3\fsin 2\dfrac{r}{k}-2\pi k^2 r,
\]
wo $r$ der Radius ist.
%-----File: 109.png--------------------------------------------

\chapter{Drittes Buch.}

\subchapter{Endlicher Raum und absolute Geometrie.}

\section{Absolute Sphärik.}

\subsection{99.}
\thispagestyle{empty}

Für das leichtere Verständniss der später behandelten
Planimetrie des endlichen Raumes möge die nachstehende
Darstellung der Sätze der Sphärik ohne Benützung des
Mittelpunktes der Kugel vorausgeschickt werden.

Die Kugelfläche (Sphäre) ist eine endliche, unbegrenzte,
an allen Stellen gleichartige d.~i.\ aus congruenten Theilen
zusammengesetzte Fläche. Durch zwei beliebige Punkte derselben
ist im Allgemeinen \so{eine} grösste Kreislinie (Hauptkreis)
möglich, welcher eine unbegrenzte an allen Stellen
gleichartige Linie ist, so dass die beiden Theile der Kugelfläche
zu den beiden entgegengesetzten Seiten des Hauptkreises
vollkommen gleichartig sind, d.~h.\ zur Deckung gebracht
werden können.

Jede grösste Kreislinie theilt die Sphäre in zwei congruente
Stücke, alle grössten Kreislinien sind daher congruent
und folglich von gleicher Länge.

Schneidet eine grösste Kreislinie $AA'$ eine zweite $BB'$
in einem Punkte $M$, so muss nach Art.~6 die erste die
zweite mindestens nochmals in einem Punkte $M'$ schneiden.

Zwei beliebige grösste Kreislinien $AA'$ und $BB'$ schneiden
sich in zwei Punkten $M$ und $M'$, in welchen die beiden
Kreislinien halbirt werden. Zwei solche Punkte heissen
\so{Gegenpunkte}.

\begin{wrapfigure}[8]{r}{3.6cm}
\vspace{-0.25cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.6cm,height=2.5cm]{images/fig59}
\end{wrapfigure}

Denn würde die Linie $BB'$ auf derselben Seite von $AA'$
liegen, so müsste die halbe Sphäre und der zwischen $BB'$
%-----File: 110.png--------------------------------------------
und $AA'$ liegende Theil der Sphäre wieder gleich der halben
Sphäre sein.

Nimmt man von den halben Sphären auf der einen Seite
von $AA'$ und $BB'$ den ihnen gemeinsamen
zwischen den $MBM'$ und
$MAM'$ liegenden Theil der Sphäre
weg, so erhält man die Gleichheit
der zwischen den Linien $MA'M'$
und $MBM'$, $MAM'$ und $MB'M'$ liegenden Theile der Sphäre, woraus
folgt, dass die Durchschnittspunkte $M$ und $M'$ zwei Gegenpunkte
sind.

Der zwischen zwei in Gegenpunkten sich schneidenden
halben grössten Kreislinien enthaltene Theil der Sphäre heisst
ein (sphärisches) \so{Zweieck}.

Aus dem Vorhergehenden folgt: Durch zwei Gegenpunkte
einer Sphäre sind beliebig viele grösste Kreislinien möglich.
Zwei Punkte, die nicht Gegenpunkte sind, d.~h.\ nicht eine
durch sie gelegte grösste Kreislinie halbiren, bestimmen eine
und nur \so{eine} grösste Kreislinie. Durch jeden Punkt der
Sphäre kann man beliebige grösste Kreislinien ziehen, alle
diese Linien schneiden sich nochmals in dem zugehörigen
Gegenpunkte. Um zwei Gegenpunkte herum kann man die
Sphäre in eine beliebige Anzahl congruenter Theile getheilt
voraussetzen, --- ähnlich, wie die (geradlinigen) Winkel um
einen Punkt in einer Ebene unter Voraussetzung der gewöhnlichen
Geometrie. In diesem Sinne kann die Fläche
des Zweiecks als dessen Winkel (und umgekehrt) betrachtet
werden.


\subsection{100.}

Zwei (beliebige) grösste Kreislinien theilen die Sphäre
in vier Zweiecke; eine dritte grösste Kreislinie theilt jedes
dieser Zweiecke in zwei (sphärische) Dreiecke. Durch drei
grösste Kreislinien wird also die Sphäre in acht Dreiecke
zerlegt, von denen jedes durch drei Durchschnittspunkte und
die durch sie gelegten grössten Kreislinien bestimmt ist.
Der zwischen je zweien dieser Punkte enthaltene kleinere
Theil jeder Kreislinie heisst eine \so{Seite} des Dreiecks.

Ist $ABC$ eines dieser Dreiecke, so heisst das durch die
%-----File: 111.png--------------------------------------------
zugehörigen Gegenpunkte bestimmte Dreieck $A'B'C'$ das
dem ersteren \so{symmetrische}. Wegen
\[
AB = AA' - BA' = BB' - BA' = A'B'
\]
und der Gleichheit der Winkel eines Zweiecks in den Gegenpunkten
und der Scheitel-Zweiecke folgt, dass die beiden symmetrischen
Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ die entsprechenden Stücke
in derselben Ordnung einander gleich haben. Berücksichtigt
man, dass bei zwei schneidenden Linien (auf derselben Fläche)
die geschnittenen Theile der einen auf den entgegengesetzten
Seiten der anderen liegen, so folgt die Verschiedenheit des
Drehungssinnes bei symmetrischen Dreiecken. Verschiebt
man daher das Dreieck $A'B'C'$ derart, dass die Seite $A'B'$
mit der Seite $AB$ des Dreiecks $ABC$ zusammenfällt, so liegen
die Punkte $C$ und $C'$ auf den entgegengesetzten Seiten der
Linie $AB$.

Ist $AB = BC$ d.~h.\ das Dreieck $ABC$ --- also auch das
Dreieck $A'B'C'$ --- gleichschenklig, so sind beide einander
congruent, also $C' = A$; und, wegen $C = C'$, $A = C$; d.~h.\
im gleichschenkligen Dreiecke sind die den gleichen Seiten
gegenüberliegenden Winkel einander gleich.

\subsection{101.}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4cm,height=2.45cm]{images/fig60}
\end{wrapfigure}

Jedes sphärische Dreieck hat einen Mittelpunkt. Denn
die senkrechten gröss\-ten Kreislinien in
den Mitten $D$ und $E$ der Seiten $BC$
und $AC$ schneiden sich in einem Punkte
$O$, woraus $AO = CO = BO$ folgt. Verbindet
man die Mitte $F$ der Seite $AB$
durch eine grösste Kreislinie, so steht
$OF$ senkrecht auf $AB$. Man kann daher
den Punkt $O$ auch als den Durchschnittspunkt der drei
Senkrechten in den Mitten der Dreiecksseiten erklären.

\so{Folgerungen:}  a) Man kann jedes Dreieck in drei
gleichschenklige Dreiecke mit gemeinsamer Spitze und gleichen
Schenkeln $AO = BO = CO$ zerlegen. b)~Zwei symmetrische
Dreiecke $ABC$ und $A'B'C'$ sind flächengleich. Man bestimme
den Mittelpunkt $O$ des Dreiecks $ABC$ und mache auf
$A'B'$ das $ \Triangle A'B'O' \cong \Triangle ABO$ derart, dass der Punkt $O'$
mit dem Punkte $C'$ auf derselben oder entgegengesetzten
%-----File: 112.png--------------------------------------------
Seite von $A'B'$ liegt, wenn der Punkt $O$ mit dem Punkte $C$
auf derselben oder entgegengesetzten Seite von $AB$ liegt;
dann folgt (aus $AC = A'C'$ und $A = A'$), dass die Dreiecke
$ACO$ und $A'C'O'$ symmetrisch sind, also (wegen $AO = CO$)
$A'O' = C'O'$ d.~h., dass der Punkt $O'$ der Mittelpunkt des
Dreiecks $A'B'C'$ ist. Die Dreiecke $OAB$, $OBC$, $OCA$ sind
resp.\ mit den Dreiecken $O'A'B'$, $O'B'C'$, $O'C'A'$ congruent,
also die aus ihnen zusammengesetzten Dreiecke $ABC$
und $A'B'C'$ flächengleich.


\subsection{102.}

Bestimmung der Fläche eines sphärischen Dreiecks. Die
grösste Kreislinie durch zwei Spitzen $A$ und $B$ theilt die
Sphäre in zwei congruente Theile. Die grössten Kreislinien
durch die Punkte $A$ und $C$, $B$ und $C$ bestimmen mit der
ersteren auf der Halb-Sphäre der Punkte $A$, $B$, $C$ zwei Zweiecke
mit den Winkeln $A$ und $B$, welche die Fläche des
Dreiecks gemeinsam haben. Die Summe dieser beiden Zweiecke
vermindert um die Fläche dieses Dreiecks gibt die halbe
Sphäre vermindert um die Fläche des Dreiecks $A'B'C$,
welches letztere wieder gleich ist der Fläche des Zweiecks $C$
vermindert um das dem Dreiecke $ABC$ flächengleiche Dreieck
$A'B'C'$. Ist $F$ die Fläche der (ganzen) Sphäre, $f$ die Fläche
des Dreiecks $ABC$, so ist also
\begin{gather*}
A + B + C = \tfrac{1}{2}F + 2 f\\
f = \tfrac{1}{2}(A + B + C - \tfrac{1}{2}F).
\end{gather*}

Theilt man die Sphäre in zwei Gegenpunkten in 360
Zweiecke, von denen jedes ein Grad $= 1$° genannt wird, so ist
\[
f = \tfrac{1}{2}(A + B + C - \text{180°}),
\]
wo $A$, $B$, $C$ in Graden auszudrücken sind.

Da $f$ positiv ist so ist
\[
A + B + C > \text{180°}.
\]

Mit dem Verschwinden von $f$ wird die Winkelsumme des
sphärischen Dreiecks $= 180° =$ der des geradlinigen Dreiecks
in der euclidischen Geometrie.

Auch die Gleichungen der »sphärischen Trigonometrie«
können ohne Schwierigkeit unabhängig von jeder fremdartigen
Hülfe erhalten werden.
%-----File: 113.png--------------------------------------------

\section{Planimetrie des endlichen Raumes.}
\subsection{103.}

Unter der Voraussetzung, dass die Gerade zwar unbegrenzt
aber endlich ist, d.~i.\ unter der Voraussetzung des
endlichen aber unbegrenzten Raumes wird die Planimetrie
mit der Sphärik identisch. Erklärt man die Gerade als eine
Linie, die im Allgemeinen durch zwei Punkte bestimmt also
aus congruenten Stücken zusammengesetzt ist, so wird man
durch fortgesetzte Verlängerung einer Strecke wieder zu den
früheren Punkten zurück kommen. In gleicher Weise muss
dann auch der Ebene die Eigenschaft der Endlichkeit zugesprochen
werden, weil die geradlinige Verbindung zweier
Punkte einer Ebene vollkommen in die Ebene fällt.

Die Voraussetzungen für die ebene Geometrie sind daher
folgende:

1) Alle Geraden sind einander congruent also auch von
gleicher Länge, etwa $l = 2\pi k$.

2) Die Ebene ist aus congruenten in sich verschiebbaren
Theilen zusammengesetzt.

3) Durch zwei Punkte einer Ebene ist im Allgemeinen nur
eine Gerade möglich. Diese Gerade liegt mit allen ihren
Punkten in der Ebene.

Aus diesen Voraussetzungen folgt unmittelbar wie in
den vorigen Art., dass je zwei Gerade einer Ebene sich in
zwei Punkten, deren Entfernung $= \dfrac{l}{2}$ ist, schneiden; ferner,
dass die Ebene durch jede unbegrenzte Gerade in zwei (congruente)
Halbebenen getheilt wird, u.~s.~w. Man ersieht,
dass man alle Sätze der Sphärik unmittelbar auf die Planimetrie
übertragen kann, indem man grösste Kreislinie, Sphäre,
u.~s.~w.\ resp.\ durch Gerade, Ebene, u.~s.~w.\ ersetzt. Gleiches
gilt daher auch von den Winkeln, Dreiecken (bei welchen
dann ebenfalls zwischen Congruenz und Symmetrie unterschieden
werden muss), deren Flächen und Relationen zwischen
ihren Seiten und Winkeln. Speciell erhält man, wenn die
Fläche der Halbebene $= 180$° gesetzt wird, für die Fläche $f$
eines Dreiecks mit den Winkeln $A$, $B$, $C$ den Ausdruck
\[
  f = \tfrac{1}{2} (A + B + C - \text{180°}).
\]
%-----File: 114.png--------------------------------------------
Die Winkelsumme des geradlinigen Dreiecks ist daher grösser
als 180°. In gleicher Weise gehen die Relationen der sphärischen
Trigonometrie in die der Planimetrie über, indem man
statt des Umfanges des grössten Kreises die Länge der ganzen
Geraden setzt. Berücksichtigt man ferner, dass die Formeln
der Sphärik für sehr kleine Verhältnisse der Seiten einer
Figur zum Radius in die der euclidischen Planimetrie übergehen,
so folgt analog wie im Art.~63:

1) Für unendlich kleine Figuren gilt die gewöhnliche
(euclidische) Geometrie.

2) Man kann die gewöhnliche (euclidische) Geometrie
als speciellen Fall der endlichen Geometrie auffassen, indem
man die Länge der unbegrenzten Geraden so gross annimmt,
dass man für unsere Messungen mit den Näherungsformeln,
die sich aus der Sphärik ergeben, ausreicht.

\section{Absolute Geometrie.}

\subsection{104.}

Fasst man die in den vorhergehenden Artikeln gewonnenen
Resultate zusammen, so ergibt sich, dass die gewöhnlichen
Voraussetzungen (Axiome) der Congruenz sowie der
durch Definitionen eingeführten einfachsten Gebilde der Geraden,
Ebene, u.~s.~w.\ für den Aufbau der Geometrie nicht ausreichend
sind. Für die Gerade ist erforderlich, dass man ausser
der gewöhnlichen Erklärung: »sie ist eine durch zwei Punkte
bestimmte Linie« noch angibt, ob sie endlich oder unendlich ist.

Die Voraussetzung der Unendlichkeit der Geraden --- also
auch die der Ebene --- liefert die im Art.~63 als absolute
Geometrie im Sinne Bolyais bezeichnete allgemeine Geometrie,
in der die Gerade zwei unendlich ferne Punkte besitzt.

Die euclidische Geometrie erscheint als specieller Fall
dieser Geometrie dadurch, dass man mit voller Beibehaltung
des Axioms der Geraden die beiden unendlich fernen Punkte
einer Geraden als einen einzigen Punkt betrachtet.

Die Voraussetzung der Endlichkeit der Geraden liefert
eine Geometrie, in welcher das Axiom der Geraden nicht
mehr in voller Allgemeinheit erhalten werden kann. Auch
von dieser Geometrie kann man die euclidische als speciellen
Fall betrachten, indem man in letzterer der Geraden zwei
%-----File: 115.png--------------------------------------------
unendlich ferne Punkte beilegt und das Axiom der Geraden
nur für die im endlichen liegenden Punkte beibehält, während
man es für die unendlich fernen Punkte aufgibt. Unter
dieser Voraussetzung lautet die Definition der Geraden so:
Die Gerade ist eine Linie, die durch zwei im Endlichen
liegende Punkte bestimmt ist; liegen aber zwei Punkte im
Unendlichen, so sind durch sie beliebig viele Gerade möglich.

Die Geometrien des unendlichen und endlichen Baumes
sammt ihrem speciellen Fall der euclidischen Geometrie sind
analytisch durch dieselben Formeln gegeben, da nämlich die
Formeln der nichteuclidischen Geometrie und der Sphärik
(als Repräsentant der Geometrie des endlichen Raumes) durch
Umwandlung einer Constanten $k$ in $ki$ in einander übergehen.
Die euclidische Geometrie kann nun als Uebergangsfall
der beiden Geometrien betrachtet werden, indem der
Uebergang der Constanten $1 : k$ in $1 : ki$ (oder $1 : ki$ in $1 : k$)
% [** Typo Nulle]
durch die Null geschieht. Betrachtet man die Formeln der
nichteuclidischen Geometrie als die Ausgangsformeln, so erscheint,
falls der Uebergang in Null aus dem Reellen d.~i.\
aus $1 : k$ geschieht, die euclidische Geometrie als specieller
Fall der nichteuclidischen; geschieht hingegen dieser Uebergang
aus dem Imaginären (d.~i.\ aus $1 : ki$), so erscheint die
euclidische Geometrie als specieller Fall der Sphärik. Je nach
der einen oder anderen Fassung wird man der Geraden resp.\
einen oder zwei unendlich entfernte Punkte beilegen und das
Axiom der Geraden resp.\ vollständig oder auf endliche Punkte
beschränkt beibehalten.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Wegen der Analogie der Beziehungen der drei
Formen der Geometrie mit denen der Hyperbel, Ellipse und Parabel
hat \so{Felix Klein}\footnote
  {»Ueber die sogenannte nichteuclidische Geometrie.« Mathematische
  Annalen Bd.~4.}
die nichteuclidische, sphärische und euclidische
Geometrie resp.\ die hyperbolische, elliptische und parabolische Geometrie
genannt.
\end{Small}

\subsection{105.}

Ungeachtet der scheinbaren Selbstständigkeit der Geometrie
des endlichen Raumes kann doch die Geometrie Bolyai's und
Lobatschewsky's als der allgemeine Fall bezeichnet werden.
%-----File: 116.png--------------------------------------------

Da nämlich jede Wissenschaft ihren Gegenstand aus gewissen
hypothetischen Voraussetzungen und Gebilden aufbaut,
so muss von den verschiedenen möglichen Formen einer
Wissenschaft, die den verschiedenen Voraussetzungen entsprechen,
diejenige die allgemeinste genannt werden, welche
unter ihren Objecten die der übrigen Formen enthält.

Die auf Grundlage des unendlichen Raumes erhaltene
Geometrie besitzt unter ihren Gebilden die Sphäre (und die
von ihr eingeschlossene Kugel als Theil des Raumes) mit
genau denselben Eigenschaften als die selbstständige Form
des endlichen Raumes. Man kann daher die Geometrie des
endlichen Raumes als einen Theil der Untersuchungen der
Geometrie des unendlichen Raumes auffassen, d.~h.\ letztere
als die allgemeine Form betrachten.

Im Vorigen wurden in der Geometrie des endlichen
Raumes nur die »Gerade in der Ebene« betrachtet, wobei
letztere Fläche durch die im Art.~103 erwähnten Eigenschaften
definirt ist. Aus diesen Eigenschaften folgt noch nicht,
dass die Ebene auch durch drei Punkte, die nicht in einer
Geraden liegen, bestimmt ist. Diese Eigenschaft setzt nämlich
die Umkehrbarkeit der Ebene voraus, welche für den
endlichen Raum nicht stattfindet, da eine endliche unbegrenzte
gleichartige Fläche nicht umkehrbar ist, denn sonst müssten
in einer jeden Hauptlinie die beiden inneren Seiten der
Hälften zusammenfallen. Eine unbegrenzte und zugleich
umkehrbare Fläche muss daher unendlich ferne Elemente
enthalten, d.~i.\ unendlich sein.\footnote
  {Die Grenzfläche ist ein Beispiel einer unendlichen, gleichartigen
  aber nicht umkehrbaren Fläche; es gilt also nicht der Satz »jede unendlich
  gleichartige Fläche ist umkehrbar« allgemein, sondern nur in
  der euclidischen Geometrie.}

Für die Möglichkeit von Untersuchungen »aus der Stereometrie«
ist die vor\-her er\-wähn\-te Eigenschaft der Ebene un\-er\-läss\-lich,
woraus wieder die Zwecklosigkeit einer selbstständigen
Geometrie des endlichen Raumes hervorgeht.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Ob der wirkliche d.\ i.\ Erfahrungsraum unendlich
ist, ist hierdurch keineswegs nachgewiesen; aus dem Vorhergehenden
ist es jedoch vollkommen klar, dass der ideale Raum als unendlich
vorausgesetzt werden kann.
\end{Small}
%-----File: 117.png--------------------------------------------

\section{Absolute Projectivität.}

\subsection{106.}

Sind $A$ und $B$ zwei Punkte einer Geraden, so soll durch
die Zusammenstellung $AB$ die zwischen den Punkten $A$ und
$B$ enthaltene Strecke bezeichnet werden. Dieselbe wird positiv
oder negativ genommen, je nachdem der Punkt $B$ in der
positiven oder negativen Richtung auf den Punkt $A$ folgt.

Ist $C$ ein Punkt der Gerade $AB$, so ist das Verhältniss
\[
\fsin \dfrac{AC}{k} : \fsin \dfrac{CB}{k}
\]
positiv, wenn der Punkt $C$ auf der Strecke $AB$; negativ,
wenn der Punkt $C$ ausserhalb der Strecke liegt; dasselbe ist
absolut grösser als Eins, wenn der Punkt $C$ näher dem Punkte
$B$ als dem Punkte $A$ liegt. Für zwei fixe Punkte $A$ und $B$
ist also die Lage des Punktes $C$ für einen gegebenen Werth
des Verhältnisses eindeutig bestimmt.

Ist $D$ ein zweiter Punkt der Geraden $AB$, so heisst das
zusammengesetzte Verhältniss
\[
  \frac{\fsin\dfrac{AC}{k}}{\fsin\dfrac{CB}{k}}
: \frac{\fsin\dfrac{AD}{k}}{\fsin\dfrac{DB}{k}}
=\fsin \,(A,\,B,\,C,\,D)
\]
das \so{Doppel-Verhältniss} der vier Punkte $A$, $B$, $C$, $D$.

Ist $S$ der Mittelpunkt eines ebenen Strahlenbündels, sind
$a$, $b$, $c$, $d$, \ldots\ die zugehörigen Strahlen, ($a$, $b$) der Winkel der
Strahlen $a$ und $b$, so folgt aus Art.~62 für jede das Strahlenbüschel
in den Punkten $A$, $B$, $C$, $D$, \ldots\ schneidende Gerade
\[
  \fsin \,(A,\,B,\,C,\,D)= \sin \,(a, \,b, \,c, \,d),
\]
wobei
\[
  \sin \,(a, \,b, \,c, \,d)
= \frac{\sin \,(a, c)}{\sin \,(c, b)}
: \frac{\sin \,(a, d)}{\sin \,(d, b)}
\]
das Doppelverhältniss der vier Strahlen $a$, $b$, $c$, $d$ bedeutet.

Aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse der Strahlen
eines ebenen Strahlenbüschels mit den Punkten einer dasselbe
schneidenden Transversale folgt die Projectivität für die nichteuclidische
Geometrie.

\subsection{107.}

Analoge Beziehungen finden auf der Kugelfläche statt.
Unter $AB$ kann einer der beiden Kreisbogen, in welche eine
%-----File: 118.png--------------------------------------------
grösste Kreislinie durch zwei Punkte $A$ und $B$ getheilt wird,
mit Rücksicht auf das Vorzeichen verstanden werden. Ist $k$
der Radius der Kugel, so ist das Doppelverhältniss der vier
Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ einer grössten Kreislinie ausgedrückt durch
\[
  \sin \,(A, \,B, \,C, \,D)
= \frac{\sin\dfrac{AC}{k}}{\sin\dfrac{CB}{k}}
: \frac{\sin\dfrac{AD}{k}}{\sin\dfrac{DB}{k}}.
\]

Wird ein sphärisches Strahlenbüschel $a$, $b$, $c$, $d$, \ldots\ durch
eine grösste Kreislinie in den Punkten $A$, $B$, $C$, $D$, \ldots\ geschnitten,
so ist
\[
\sin\,(a,\,b,\,c,\,d) = \sin \,(A, \,B, \,C,\,D).
\]
Aus dieser Gleichung folgt wieder die Projectivität auf der
Kugelfläche d.~i.\ die Projectivität der Planimetrie des endlichen
Raumes.

Die Projectivität ist daher von dem Parallelenaxiom unabhängig.\footnote
  {Zuerst ausgesprochen von F.~\so{Klein} in den math.\ Annalen
  Bd.~IV, S.~623. Ueber absolute Projectivität vgl.\ die in Art.~84 citirte
  Abhandlung von \so{Escherich.}}

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Werden die Strahlen eines ebenen Strahlenbüschels
und die Durchschnittspunkte einer Transversalen einander
entsprechend gesetzt, so findet in den drei Geometrien folgendes statt:
In der nichteuclidischen Geometrie entsprechen den (reellen) Strahlen,
welche zur Transversale Nichtschneidende sind, ideale Punkte. In
der euclidischen Geometrie entspricht jedem Strahl ein reeller Punkt,
dabei wird der unendliche Punkt dem parallelen Strahl entsprechend
gesetzt. In der Sphärik entspricht jedem Elemente des einen Gebildes
ein reelles Element des anderen Gebildes.
\end{Small}

\section{Versinnlichung der Geometrie.}

\subsection{108.}

Da die Bestimmung der Constanten $k$ aus den Beobachtungen
zu geschehen hat, letztere aber nachweisen, dass wir
für alle unsere Messungen diese Constante gleich unendlich
setzen können, so können die Resultate der ebenen nichteuclidischen
Geometrie und der sphärischen Planimetrie nicht
in unserem Erfahrungsraume durch ebene Figuren in ihren
wahren Verhältnissen versinnlicht werden. Diese Versinnlichung
%-----File: 119.png--------------------------------------------
kann dagegen auf krummen Flä\-chen, in welchen die
kürzesten Linien den in einer Ebene liegenden Geraden entsprechen,
geschehen. Für die ebene Geometrie des endlichen
Raumes dient die Kugelfläche und die auf ihr gezogenen
kürzesten Linien d.~h.\ die grössten Kreise als Versinnlichung.
Alle Resultate der einen Untersuchung können unmittelbar
in entsprechende Untersuchungen des anderen Gebietes umgesetzt
werden. In gleicher Weise können auch die Resultate
der nichteuclidischen Geometrie auf gewissen krummen
Flächen interpretirt werden, wie dies durch E.~\so{Beltrami}'s\footnote
  {»Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea.« Giornale
  di matematiche. Vol.~VI, 1868. In's Französische übersetzt von
% [** Typo Ecole]
  J.~Hoüel in den »Annales de l'~École Normale supérieure« S.~VI, 1869.}
Untersuchung der constant negativ gekrümmten Flächen geschehen
ist.

\subsection{109.}

Den Ausgang dieser Arbeiten bildet die \so{Gauss}'sche
Untersuchung über die Krümmung der Flächen und die Anwendung
dieser Theorien auf die biegsamen Flächen.\footnote
  {\so{Gauss}, Disquisitiones generales circa superficies curvas --- Eine
  französische Uebersetzung mit Zusätzen gibt \so{Roger} 1870. Die hier
  nöthigen Sätze findet man vollständig in \so{Joachimsthal}'s »Anwendung
der Differential- und Integralrechnung etc.« Leipzig, 1872.}

Unter \so{Biegung} einer Fläche versteht man eine solche
Aenderung der Fläche, bei welcher die Längen aller auf ihr
liegenden Linien ungeändert bleiben. Ist daher auf einer
biegsamen Fläche eine von kürzesten Linien gebildete Figur
gegeben, so ändern sich bei der Biegung die Längen der
Seiten und die Winkel nicht. Letztere bleiben desshalb unverändert,
weil der Winkel zweier krummen Linien durch die
im Scheitel zusammenstossenden Linienelemente bestimmt ist
und diese sowie die Verbindung ihrer Endpunkte ihre Grösse
nicht ändern. Man kann daher die Flächen auch rücksichtlich
derjenigen Eigenschaften untersuchen, welche von der
Biegung unabhängig sind.

Zu diesen gehören die auf die Krümmung der Flächen
bezüglichen, da der Ausdruck für das Krümmungsmass nur
vom Ausdrucke für das Linienelement der Fläche abhängt.
Aber auch umgekehrt: Zwei Flächen, deren Punkte in einer
%-----File: 120.png--------------------------------------------
solchen Beziehung stehen, dass jedem Punkt der einen Fläche
ein Punkt der zweiten Fläche derart entspricht, dass je zwei
entsprechende Punkte dasselbe Krümmungsmass besitzen,
stehen im Verhältniss der Biegung zu einander.

Am deutlichsten erhellet dies aus dem Ausdrucke des
Linienelements einer Fläche
\[
ds^2 = du^2 + m^2dv^2;
\]
hier wird ein beliebiger Punkt $O$ der Fläche als Coordinaten-Anfang
genommen, durch $O$ werden auf der Fläche kürzeste
Linien $u$ gezogen und jeder Punkt $M$ der Fläche ist bestimmt
durch die Länge $OM$ der kürzesten Linie $u$ und
durch den Winkel $v$, welchen diese Linie mit einer als erste
kürzeste Linie gewählten Linie $OL$ im Punkte $O$ bildet. Die
Grösse $m$ erscheint als eine Function der Variablen $u$ und $v$.
Jede beliebige auf der Fläche liegende Linie wird durch eine
Gleichung zwischen den Grössen $u$ und $v$ ausgedrückt.

Das Mass der Krümmung im Punkte ($u$, $v$) ist bestimmt
durch
\[
  \varkappa = -\frac{1}{m}\frac{\partial^2m}{\partial u^2},
\]
dabei ist für $u = 0$ unabhängig von $v$
\[
m = 0, \: \frac{\partial m}{\partial u}= 1.
\]
Wird die Fläche gebogen, so bleiben für den Punkt $M$ die
Grössen $u$ und $v$ ungeändert, dasselbe gilt von jedem dem
Punkte $M$ unendlich nahen Punkte $M'$. Ist $ds_1$ das Element
der neuen Lage von $MM'$, so ist
\[
ds_1^2 = du^2 + m_1^2dv^2 = ds^2
\]
also $m_1 = m$,  d.\ h.\ $\varkappa_1 = \varkappa$.

Umgekehrt entsprechen bei zwei Flächen für dieselben
Werthe von $u$ und $v$ ein und derselbe Werth des Krümmungsmasses
$\varkappa$, so folgt aus der Gleichung
\[
  \varkappa = - \frac{1}{m }\frac{\partial^2 m}{\partial u^2}
\]
durch Integration mit Berücksichtigung der Werthe von $m$
und $\partial m:\partial u$ für $u = 0$, nur ein einziger bestimmter Werth
von $m$ d.~i.\ man erhält für beide Flächen denselben Ausdruck
des Linienelementes.
%-----File: 121.png--------------------------------------------

Letzteren Satz erhält man auch auf die folgende Art\footnote
  {Nach \so{Riemann} entwickelt. Siehe die im Art.~117 citirte Abhandlung.
}:
Statt der Grössen $u$ und $v$ führe man die Variabeln $x$ und $y$
ein, wobei
\[
x = u \cos v, \quad y = u \sin v
\]
ist. Dadurch geht der Ausdruck für das Linienelement über in
\[
ds^2=dx^2 + dy^2+\frac{1}{u^2}\left(\frac{m^2}{u^2}-1\right) (x\,dy-y\,dx)^2.
\]
Für sehr kleine Werthe von $u$ folgt
\[
m=u+au^2+bu^3+\ldots ,
\]
woraus
\[
  \varkappa = \frac{2a+6bu+\ldots}{u+au^2+\ldots}
\]
folgt. Soll im Punkte $O$ d.\ i.\ für $u = 0$ das Krümmungsmass
endlich sein, so muss $a = 0$ sein. Es ist daher
\[
  \varkappa_0 = 6b.
\]
Damit wird der Ausdruck für das Linienelement
\[
  ds^2 = dx^2 + dy^2 + (-\tfrac{4}{3}\varkappa_0+8cu+\ldots)\,\Delta^2,
\]
wo
\[
  \Delta = x\,dy - y\,dx
\]
die doppelte Fläche des Dreiecks (0, 0), ($dx$, $dy$), ($x$, $y$) bedeutet.

Für sehr kleine Werthe von $u$ erhält man folgende Annäherungen
\begin{align*}
&d{s_1}^2=dx^2+dy^2\\
&d{s_2}^2=d{s_1}^2-\tfrac{4}{3} \varkappa_0 \,\Delta^2,\text{ u.\ s.\ w.}
\end{align*}

Der erste Ausdruck bezieht sich auf das Linienelement
der Ebene, für diese ist an allen Stellen $\varkappa = 0$.

Im zweiten Ausdruck ist für sehr kleine Werthe von $x$
und $y$ die Grösse $\Delta$ von der zweiten Ordnung, also der
Unterschied $d{s_2}^2-d{s_1}^2$ d.~i.\ die Abweichung von der Ebenheit
eine kleine Grösse der vierten Ordnung. Das Mass der
Krümmung kann daher auch durch
\[
  \varkappa_0 = -\tfrac{3}{4}\frac{d{s_2}^2-d{s_1}^2}{\Delta^2}
\]
ausgedrückt werden. Besitzen daher zwei (nicht ebene)
Flächen in zwei entsprechenden Punkten dasselbe Krümmungsmass~$k_0$,
%-----File: 122.png--------------------------------------------
so können die an diesen Stellen befindlichen Elemente
zur Deckung gebracht werden. Unendlich kleine Elemente
können immer als eben angesehen werden.

\subsection{110.}

Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn das Krümmungsmass
für alle Punkte einer Fläche constant ist. Zwei
Flächen constanter Krümmung, welche dasselbe Krümmungsmass
besitzen, können durch Biegung zur Deckung gebracht
werden. Ist das Krümmungsmass gleich Null, so können die
Flächen durch Biegung in ebene Flächen verwandelt werden.
Ein Flächenstück von constanter positiver Krümmung $= 1:k$
lässt sich mit einer Kugelfläche, deren Radius $k$ ist, zur
Deckung bringen, und in dieser Lage ohne weitere Biegung
beliebig verschieben. Zwei Flächenstücke constanter negativer
Krümmung $= -1:k^2$ lassen sich zwar durch Biegung
zur Deckung bringen; allein ohne weitere Biegung kann das
erstere nicht auf dem zweiten bewegt werden. Denn in jedem
Punkte besitzen die Radien der beiden Krümmungslinien entgegengesetzte
Richtung.

\subsection{111.}

Die Geometrie der von kürzesten Linien gebildeten Figuren
auf einer Fläche constanter Krümmung erhält man am
einfachsten aus den Gauss'schen Gleichungen, welche aus dem
in Art.~109 angeführten Ausdrucke für das Linienelement
erhalten werden. Es ist
\[
  \varkappa = -\frac{1}{m} \frac{\partial^2 m}{\partial u^2}, \quad
  \frac{\partial m}{\partial u} + \frac{d\vartheta}{dv} = 0;
\]
wo
\[
  \frac{m\,dv}{du} = \tan\vartheta, \quad
  \frac{   du}{ds} = \cos\vartheta, \quad
  \frac{m\,dv}{ds} = \sin\vartheta
\]
ist, und $\vartheta$ den Winkel der Kürzesten $s$ mit der Kürzesten
$u$ bedeutet.

Ist $\varkappa = 1:k^2$ positiv, so erhält man durch Integration
\[
m=k\sin\frac{u}{k}.
\]
Betrachtet man, da $m$ nur von $u$ abhängt, in der Gleichung
%-----File: 123.png--------------------------------------------
der Kürzesten die Grösse $v$ also auch die Grösse $\vartheta$ als
eine Function von $u$, so geht die Gleichung der Kürzesten
über in
\[
  \frac{dm}{du} + \frac{d\vartheta}{du} : \frac{dv}{du} = 0,
\]
d.\ i.\ in
\[
  -\frac{1}{k} \cot\frac{u}{k} du = \cot\vartheta \,d\vartheta,
\]
deren Integral
\[
  \sin \frac{u}{k} \sin \vartheta = \text{Const}.
\]
ist. Daraus folgt für das Dreieck auf der Kugelfläche
\[
\sin\frac{a}{k}:\sin\frac{b}{k}:\sin\frac{c}{k}=\sin A:\sin B:\sin C.
\]

In gleicher Weise erhält man für die Flächen constanter
negativer Krüm\-mung gleich $-1 : k^2$ die Gleichung
\[
  \fsin\frac{a}{k} : \fsin\frac{b}{k} : \fsin\frac{c}{k}
= \sin A : \sin B : \sin C,
\]
aus welchen die übrigen Formeln folgen. Die Formeln der
Geometrie der Figuren von kürzesten Linien auf einer Fläche
constanter negativer Krümmung $-1 : k^2$ sind daher mit
denen der nichteuclidischen Geometrie identisch.\footnote
  {Diese Gleichungen wurden zuerst von M.~\so{Minding} (Crelle
  Journal, Bd.~XX, S.~325) ohne Beweis angegeben. Entwicklungen
geben M.~\so{Codazzi} (Annales de Tortolini, 1857, S.~354) und G.~\so{Escherich}
  (Sitzb.\ der k.~Akad.\ der Wissensch.\ Bd.~LXIX).}

\subsection{112.}

Die im vorigen Art.\ angeführte Uebereinstimmung der
nichteuclidischen Planimetrie und der Theorie der Flächen
constanter negativer Krümmung wurde von E.~\so{Beltrami}\footnote
  {»Saggio di interpretazione etc.«}
in folgender Weise erklärt. Die Planimetrie hat die beiden
Axiome der Congruenz und der Geraden zu ihren Grundlagen.
Letzteres Axiom wird aber nicht vollständig sondern
nur in folgender beschränkter Weise verwendet: Wenn zwei
%-----File: 124.png--------------------------------------------
Ebenen, welche jede eine Gerade enthalten, zusammenfallen,
so decken sich die beiden Geraden in allen Punkten, wenn
sie zwei Punkte gemeinsam haben. Durch diese Aussage ist
nur die Gerade in der Ebene und nicht die Gerade im
Raume zugleich bestimmt. Aehnliche Beziehungen wie bei
den Geraden in der Ebene finden auch bei den Flächen mit
constanter Krümmung statt; auch hier können die Theile
zur Deckung gebracht werden und es ist im Allgemeinen
durch zwei Punkte (besondere Lagen abgerechnet) nur \so{eine}
kürzeste Linie möglich.

Bei einer Fläche mit constanter \so{positiver} Krümmung
ist für zwei diametrale Punkte die Kürzeste nicht bestimmt,
während für jede andere Lage nur \so{eine} Kürzeste
möglich ist. Für Flächen mit constanter \so{negativer} Krümmung
lässt sich beweisen, dass solche Ausnahmspunkte nicht
existiren, so dass die beiden Voraussetzungen der (nichteuclidischen)
Planimetrie vollständig für diese Flächen giltig
sind. Daraus folgt, dass alle Sätze der nichteuclidischen
Planimetrie sich unmittelbar auf die Flächen constanter
negativer Krümmung übertragen lassen, und dass Resultate
der ersteren, welche in der Planimetrie mit unseren Anschauungen
unvereinbar scheinen, auf den letzteren Flächen
ihre (reelle) Interpretation finden. In gleicher Weise entspricht
der Uebergang von der nichteuclidischen Planimetrie
zur euclidischen dem Uebergange von den Flächen mit negativer
Krümmung zur Fläche mit der (constanten) Krümmung
Null.

\subsection{113.}

Der Beweis dieser Sätze folgt aus dem Ausdrucke für
das Linienelement einer Fläche constanter Krümmung. Für
die passende Wahl des Coordinatensystems dient folgende
Betrachtung. Eine Kugelfläche mit dem Radius $k$ besitzt an
allen Punkten die constante positive Krümmung $1 : k^2$. Projicirt
man ihre Punkte vom Mittelpunkte (als Projectionscentrum)
auf eine Ebene, so sind die Projectionen der grössten
Kreislinien d.~i.\ der Kürzesten Gerade.

Es sei $OA = a$ die Entfernung des Mittelpunktes von
der Projectionsebene, $N$ die Projection von $M$, $MB \perp OA$.
%-----File: 125.png--------------------------------------------
Aus $\Triangle OAN    \cong \Triangle OBM$ folgt
\[
ON : OM = OA : OB.
\]

\begin{wrapfigure}[8]{r}{3.2cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.2cm,height=3.4cm]{images/fig61}
\end{wrapfigure}
Ist $A$ der Anfang eines rechtwinkligen
Coordinatensystems in der
Projectionsebene, sind ferner $u$, $v$
die Coordinaten von $N$; $x$, $y$, $z$ die
Coordinaten von $M$ für den Punkt
$A$ als Anfang und der Geraden $AO$
als $z$-Axe, so ist
\begin{gather*}
x=\frac{k}{ON}u,\quad y=\frac{k}{ON}v, \quad z=\frac{k}{ON}a\\
ON=\sqrt{a^2+u^2+v^2}.
\end{gather*}

Setzt man statt $u$, $v$ resp.\ $u + du$, $v + dv$, so erhält
man $x + dx$, $y + dy$, $z + dz$. Das Linienelement
\[
  ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
\]
geht dadurch über in
\[
ds^2 = k^2\frac{ (a^2+v^2)\,du^2 - 2uv\,du\,dv + (a^2+u^2)\,dv^2 }
               { (a^2 + u^2 + v^2)^2 }
\]
oder in
\begin{gather*}
  ds^2 = k^2\frac{-dw  + du^2 + dv^2}{w^2}\\
  w^2 = a^2+u^2+v^2.
\end{gather*}

Da (nach Gauss) für das Linienelement
\[
  ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2
\]
das Mass der Krümmung durch die Grössen $E$, $F$, $G$ bereits
bestimmt ist, so wird der Ausdruck
\[
  ds^2 = k^2 \frac{ (a^2-v^2)\,du^2 + 2uv\,du\,dv + (a^2-u^2)\,dv^2}
                  { (a^2 - u^2 - v^2)^2 },
\]
welcher aus dem vorigen dadurch erhalten wird, indem man
$ki$ und $ai$ statt $k$ und $a$ setzt, einer Fläche von constanter
negativer Krümmung $= -1 : k^2$ angehören. Alle Untersuchungen,
die sich auf solche Eigenschaften beziehen, welche
von der Biegung einer Fläche unabhängig sind, können daher
aus dem hier gegebenen Ausdruck für das Linienelement
erhalten werden, und werden allgemein für alle Flächen von
constanter negativer Krümmung gelten.
%-----File: 126.png--------------------------------------------

\subsection{114.}

Der Ausdruck für das Linienelement
\begin{gather*}
ds^2=k^2\frac{dw^2+du^2+dv^2}{w^2}\\
w^2 + u^2 + v^2 = a^2
\end{gather*}
ist reell für alle Werthe von $u$ und $v$, welche der Bedingung
\[
u^2+v^2\leqq a^2
\]
genügen. Denkt man sich in einer Hülfsebene zu jedem
Punkt $u$, $v$ der Fläche einen Punkt $x$, $y$ construirt, wobei
\[
x = u,\quad y = v
\]
gesetzt wird, so wird für alle Punkte der vom Anfange mit
dem Radius $a$ construirten Kreisfläche die Grösse $ds$ reell.
Jede Kürzeste auf der Fläche ist durch eine lineare Gleichung
zwischen $u$ und $v$, also in der Hülfsebene durch eine lineare
Gleichung zwischen $x$ und $y$ bestimmt.

Setzt man
\[
u=r\sin\alpha,\quad v=r\cos\alpha,
\]
so wird
\[
ds^2=\left(\frac{ka}{a^2-r^2}\right)^2dr^2+\frac{k^2r^2}{a^2-r^2} \,d\alpha^2. \qquad (1)
\]

Für eine Kürzeste, welche durch den Punkt $u = 0$, $v = 0$
geht, ist $\alpha$ constant; ihre Länge $\rho$ bis zum Punkte $(u,\; v)$
%[F2: Font uses \varrho.]
erhält man aus
\[
  d\rho = k\frac{a\, dr}{a^2-r^2}
\]
durch Integration
\[
  \rho = \frac{k}{2}\log \frac{a+r}{a-r}
       = \frac{k}{2}\log \frac{a+\sqrt{u^2+v^2}}{a-\sqrt{u^2+v^2}}.
\]

Dieser Ausdruck wächst von $r = 0$ bis $r = a$ fortwährend;
für $r = a$ wird $\rho = \infty$; für $r > a$ wird $\rho$ imaginär.
Das ausserhalb der Kreisfläche in der Hülfsebene entsprechende
Gebiet der Fläche ist daher ideal.

Betrachtet man in den Gleichungen (1) die Grösse $r$ als
constant und den Winkel $\alpha$ als variabel, so erhält man für
den Bogen $\sigma$ auf der Fläche
\[
\sigma = \frac{kr\alpha}{\sqrt{a^2-r^2}},
\]
d.\ h.\ der Bogen $\sigma$ ist proportional dem Winkel $\alpha$. Die vom
Punkte $u = 0$, $v = 0$ aus gezogenen Linien $\rho$ bilden unter
%-----File: 127.png--------------------------------------------
einander denselben Winkel wie die zugehörigen Linien $r$ in
der Hülfsebene.

Aus den vorigen Gleichungen folgt
\[
r = a \ftan \frac{\rho}{k},\quad \fcos \frac{\rho}{k} = \frac{a}{w};
\]
damit wird
\[
\sigma = k \alpha \fsin \frac{\rho}{k}.
\]

Für $\alpha = 2\pi$ wird der Umfang des Kreises vom Radius $\rho$
\[
= 2 \pi k \fsin \frac{\rho}{k}.
\]

\subsection{115.}

Aus dem Vorhergehenden folgt unmittelbar die Uebereinstimmung
der nichteuclidischen Planimetrie mit der Theorie
der Flächen constanter negativer Krümmung. Jeder beliebige
Punkt derselben kann als Anfangspunkt d.~i.\ als der Punkt
$u = 0$, $v = 0$ genommen werden. Für eine nicht durch ihn
gehende Kürzeste existiren zwei durch den Punkt (0,~0) gehende
Kürzeste als die gemeinsame Grenze der schneidenden und
nicht schneidenden Kürzesten, welche den Parallelen der nichteuclidischen
Planimetrie entsprechen. In der Hülfsebene sind
der gegebene Punkt durch den Mittelpunkt des Kreises, die
Gerade durch eine Sehne und die beiden Parallelen durch die
an die Endpunkte gezogenen Radien versinnlicht. Da der
Winkel der beiden Radien kleiner als zwei Rechte ist, so ist
auf der krummen Fläche der Parallelwinkel spitz. Ist $p$ die
kürzeste Entfernung des Punktes von der gegebenen Kürzesten
$\Pi(p)$ der Grenzwinkel, so ist
\[
  \cos \Pi(p) = \frac{r}{a},
\]
wo $r$ der Abstand des Mittelpunktes von der Sehne ist. Setzt
man für $r$ den Werth, so erhält man
\[
  \cos \Pi (p) = \ftan \frac{p}{k}.
\]

\subsection{116.}

Für das Linienelement einer Fläche mit constanter Krümmung
lassen sich noch andere Ausdrücke aufstellen.

\subsubsection{I.}
Für die Flächen mit positiver Krümmung.
\begin{flalign*}
&\text{\indent 1)}& ds^2 &= d \rho ^2 + \left( k \sin \frac{\rho}{k}\right)^2 d\alpha^2.&\phantom{\indent 1)}
\end{flalign*}
%-----File: 128.png--------------------------------------------

2) Sind $\xi$, $\eta$ die Coordinaten der stereographischen Projection
des Punktes $M$, wenn die Projectionsebene parallel
zur früheren $xy$ Ebene die Kugel berührt, so ist
\[
  \xi  = d \cos \alpha, \quad
  \eta = d \sin \alpha, \quad
  d    = 2k \tan \frac{\rho}{2k},
\]
also
\[
ds^2 = \frac{d\xi^2 + d\eta^2}{1 - \dfrac{\xi^2 + \eta^2 }{4k^2}}.
\]

3) Setzt man
\[
  z = \rho \cos \alpha, \quad t = \rho \sin \alpha,
\]
so wird
\[
  ds^2 = dz^2 + dt^2
+ \frac{1}{\rho^2}
  \left(\left( \frac{k}{\rho} \sin\frac{\rho}{k} \right)^2 - 1 \right)
  (z\,dt - t\,dz)^2,
\]
oder entwickelt
\[
ds^2 = dz^2 + dt^2
- \frac{1}{3k^2}
  \left( 1- \frac{2\rho^2}{15k^2} + \ldots \right)
  (z\,dt-t\,dz)^2.
\]

\subsubsection{II.} Für die Flächen mit negativer Krümmung erhält man
\begin{flalign*}
&\indent 1)&
& ds^2 = d\rho^2 + \left(k \fsin \frac{\rho}{k} \right)^2 d\alpha^2.
&&\phantom{\indent 1)}
\\
&\indent 2)&
& \xi  = 2k \ftan \frac{\rho}{2k} \cos \alpha,\quad
  \eta = 2k \ftan \frac{\rho}{2k} \sin \alpha;&
\\
&& &ds^2 = \frac{d\xi^2 + d\eta^2 }{1 + \dfrac{\xi^2 + \eta^2}{4k^2}}. &\\
&\indent 3)&
& ds^2 = dz^2 + dt^2
+ \frac{1}{\rho^2}
  \left( \left( \frac{\rho}{k} \fsin\frac{\rho}{k}\right)^2 - 1\right)
  (z\,dt - t\,dz)^2&
\\
&& & ds^2 = dz^2 + dt^2
+ \frac{1}{3k^2} \left( 1 + \frac{2\rho^2}{15k^2} + \ldots \right)
  (z\,dt - t\,dz)^2.&
\end{flalign*}

\section{Riemann's und Helmholtz's Raumtheorien.}

\subsection{117.}

Die Resultate der Beltrami'schen Untersuchungen der
Flächen constanter Krümmung lassen sich auch aus dem Ausdrucke
für das Linienelement in rein analytischer Form durch
die Transformation der Differential-Ausdrücke ableiten. Diese
ursprünglich von jeder geometrischen Voraussetzung freien,
durch Gleichungen ausgedrückten Eigenschaften geben geometrisch
interpretirt die in dem vorigen Artikel angeführten
Sätze. Diese Methode gestattet auch eine Verallgemeinerung
für eine beliebige Anzahl von Variabeln und kann daher zur
%-----File: 129.png--------------------------------------------
Einführung des allgemeinen Raumbegriffes von einer beliebigen
Dimensionszahl dienen.

Die Veranlassung zu diesen Untersuchungen gab die classische
Arbeit von B.~\so{Riemann}\footnote
  {Habilitationsschrift, vorgelesen am 10.~Juni 1854, erschienen
  1867 im 13.~Bd.\ der Abhandlungen der k.~Gesellschaft der Wiss.\ zu
  Göttingen.}
»Ueber die Hypothesen,
welche der Geometrie zu Grunde liegen«. Der Raum wird
unter dem Begriff der mehrfach ausgedehnten Grössen gefasst.
Im Falle der Stetigkeit der unter einem solchen Begriff
gedachten Grössen werden die in der Geometrie gebräuchlichen
Benennungen verwendet. Das Einzelne der \so{Punkt}
wird durch eine gewisse Anzahl von unter einander unabhängigen
Messungen bestimmt. Die Anzahl dieser Messungen
heisst die \so{Dimensionszahl} der Grösse oder des Raumes,
die bei der Bestimmung des Punktes $M$ erhaltenen Masszahlen
$x_1$, $x_2$, $\ldots  x_n$ heissen die \so{Coordinaten} von $M$. Analytisch
ist der Punkt durch $n$ Gleichungen, welche im Speciellen
die Form
\[
x_1 = a_1, \quad x_2 = a_2, \quad \ldots x_n = a_n
\]
haben, bestimmt. Sind zwischen den Coordinaten $n - 1$
Gleichungen gegeben, so ist nur eine Variable willkürlich,
das aus der mehrfach ausgedehnten Grösse dadurch ausgeschiedene
Gebilde wird eine \so{Linie} genannt. Ist $\varphi (x_1, \ x_2, \ \ldots
x_n)$ irgend eine Ortsfunction von $M$, so entspricht einer stetigen
Bewegung des Punktes $M$ eine stetige Aenderung von
mindestens einer Coordinate und die Aenderung der Function
$\varphi (x_1, \ x_2, \ \ldots x_n)$ wird durch das Differential
\[
  \frac{\partial\varphi}{\partial x_1} \,dx_1
+ \frac{\partial\varphi}{\partial x_2} \,dx_2 + \dots
+ \frac{\partial\varphi}{\partial x_n} \,dx_n
\]
ausgedrückt, falls die Coordinaten $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$  in $x_1 + dx_1$,
$x_2 + dx_2$, $\ldots x_n + dx_n$ übergehen.

Für die Länge des Linienelementes wird ein positiver
Ausdruck von der Form
\begin{alignat*}{2}
ds^2 &= A_{11} \,d{x_1}^2 + A_{22} \,d{x_2}^2 +\dots\qquad
    &&+ A_{nn} \,d{x_n}^2\\
     &+ 2A_{12} \,dx_1 \,dx_2 + \ldots
    &&+ 2A_{n-1,\, n} \,dx_{n-1} \,dx_n,
\end{alignat*}
wo $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{nn}$ Functionen von $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ sind, angenommen.
%-----File: 130.png--------------------------------------------

Die\-se Voraussetzung ist die einfachste, wel\-che den Bedingungen
entspricht, dass $ds$ sich proportional än\-dert, wenn
$dx_1$, $dx_2$, $\ldots dx_n$ sich in demselben Verhältnisse ändern und
dass $ds$ ungeändert bleibt, wenn sämmtliche Grössen $dx_1$, $dx_2$,
$\ldots dx_n$ das Zeichen ändern.

Durch das Linienelement ist der Raum vollkommen bestimmt,
die Untersuchung der Eigenschaften des Raumes werden
vermittelst der Theorie der homogenen Differential-Ausdrücke
(erster Ordnung) zweiten Grades erhalten. Diese (durch
Gleichungen ausgedrückten und ursprünglich von jeder geometrischen
Voraussetzung unabhängigen) Eigenschaften werden
dann geometrisch interpretirt, zu welcher Interpretation
die euclidische Geometrie deshalb verwendet wird, weil in
Folge des thatsächlichen Stattfindens dieser Form der Geometrie
im Bereiche unserer (beschränkten) Erfahrung diese
Gleichungen eine anschauliche Deutung finden.

\subsection{118.}

Zur Anstellung ähnlicher --- ebenfalls auf die Grundlagen
der Geometrie bezüglicher --- Untersuchungen wurde auch
H.~\so{Helmholtz}\footnote
  {»Ueber die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen«.
  Nachrichten der königl.\ Gesellschaft der Wiss.\ zu Göttingen,
  1868. Anregung hierzu bot das System der Farben und die Ausmessung
  des Gesichtsfeldes durch das Augenmass.}
geführt; letztere dienen den Riemann'schen
insofern zur Ergänzung, als sie ausgehend von Voraussetzungen,
welche allen geometrischen Arbeiten zu Grunde liegen, zum
Riemannschen Ausgang d.~i.\ zur Voraussetzung des Ausdruckes
für das Linienelement führen.\footnote
  {Analogien dieser Behandlungsweisen bietet die theoretische Mechanik.
  Man kann alle Sätze dieser Wissenschaft entweder (analog
  mit Riemann) aus einem allgemeinen Princip ableiten, oder (analog
  mit Helmholtz) die einfachsten Voraussetzungen zu einem Princip zusammenfassen.}

Dieser Raum-Untersuchung liegt ebenfalls die Voraussetzung
der Mög\-lich\-keit der Anwendung der Rechnung sowol
der Analysis des Endlichen als auch des Unendlichkleinen,
welche durch die Homogenität der Differentialgleichungen
ihren Ausdruck findet, zu Grunde. In geometrischem Sinne
werden folgende Annahmen gemacht:
%-----File: 131.png--------------------------------------------

1) Der Punkt ist das Raum-Element und seine Lage ist
durch drei von einander unabhängige Messungen »Coordinaten«
bestimmt. Jeder Bewegung eines Punktes entspricht
eine stetige Aenderung mindestens einer seiner Coordinaten.

2) Bei einem in sich festen aber im Raume beweglichen
Körper haben je zwei Punkte einen bei jeder Bewegung des
Körpers unveränderlichen Abstand, welche Eigenschaft analytisch
durch eine von dieser Bewegung unabhängige Gleichung
zwischen den sechs Coordinaten der beiden Punkte
ausgedrückt wird.

3) Zur Bestimmung der Lage eines solchen Körpers
sind sechs Stellungsconstante erforderlich. Denn wird ein
Punkt willkürlich gestellt, so sind wegen der festen Verbindung
für einen zweiten Punkt nur mehr zwei Coordinaten
und für einen dritten Punkt nur eine Coordinate willkürlich,
alle übrigen Coordinaten sind dann bestimmt.

4) Sind in einem beweglichen Körper zwei Punkte fest, so
kann er durch fortgesetzte Bewegung --- ohne Umkehrung der
Bewegungsrichtung --- in seine Anfangs-Lage gebracht werden.

Aus den obigen Voraussetzungen sollen unter Beiziehung
des Congruenz-Axioms --- welches sich für starre und dabei
bewegliche Körper auch so aussprechen lässt: Zwei Körper,
die zu einander congruent sind für eine gewisse Lage des
ersten, sind auch noch congruent bei jeder beliebigen anderen
Lage des ersten --- für Punkte mit unendlich kleinen Coordinaten-Unterschieden
die ihnen entsprechenden analytischen
Folgerungen abgeleitet werden.

\subsection{119.}

Es seien ($u$, $v$, $w$) die Coordinaten eines Punktes des
Körpers in der ursprünglichen Lage, ($u + du$, $v + dv$,
$w + dw$) die eines dem ersteren unendlich nahen Punktes.
Wird der Körper in eine neue Lage gebracht, wobei der Punkt
($u$, $v$, $w$) fest bleibt, so sind die Coordinaten der Punkte in
der neuen Lage Functionen der ursprünglichen Coordinaten
und der drei Stellungs-Constanten $p_1$, $p_2$, $p_3$, welche die neue
Lage bestimmen. Sind also in der zweiten Lage ($u + \delta u$,
$v + \delta v$, $w + \delta w$) die Coordinaten des Punktes ($u + du$,
$v + dv$, $w + dw$) der ersten Lage, so ist
%-----File: 132.png--------------------------------------------
\[
u + \delta u = f(u + du, \ v + dv, \ w + dw, \ p_1, \;p_2, \;p_3), \;\text{u.\ s.\ w.}
\]
woraus mit Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung folgt
\begin{flalign*}
&\indent 1)& &\left.
\begin{aligned}
   \delta u &= A_0 du + B_0 dv + C_0 dw\\
   \delta v &= A_1 du + B_1 dv + C_1 dw\\
   \delta w &= A_2 du + B_2 dv + C_2 dw
\end{aligned} \ \ \right\} &\phantom{\indent 1)}&
\end{flalign*}
wobei $A_0$, $B_0$, $C_0$, $\ldots$  Functionen von $u$, $v$, $w$ und $p_1$, $p_2$, $p_3$
sind. Setzt man der Kürze halber
\begin{flalign*}
&\indent 2)& &\left.
\begin{aligned}
    \delta u &= \varepsilon x & \mspace{50mu} du &= \varepsilon \xi\\
    \delta v &= \varepsilon y &  dv &= \varepsilon \eta\\
    \delta w &= \varepsilon z &  dw &= \varepsilon \zeta
\end{aligned} \quad \right\} &\phantom{\indent 2)}&
\end{flalign*}
wo $\varepsilon$ eine verschwindend kleine Grösse ist, so gehen die
Gleichungen~1) über in
\begin{align*}
x &= A_0 \xi + B_0 \eta + C_0 \zeta\\
y &= A_1 \xi + B_1 \eta + C_1 \zeta\\
z &= A_2 \xi + B_2 \eta + C_2 \zeta.
\end{align*}

Aendert man die drei Stellungs-Constanten  $p_1$, $p_2$, $p_3$
um die verschwindend kleinen Grössen $dp_1$, $dp_2$, $dp_3$, so
ändert sich die zweite Lage des Körpers d.~i.\ $x$, $y$, $z$ um
$dx$, $dy$, $dz$. Ist $\vartheta$ eine neue Variable und setzt man
\[
\mathfrak{A}d \vartheta
= \frac{\partial A }{ \partial p_1} dp_1
+ \frac{\partial A }{ \partial p_2} dp_2
+ \frac{\partial A }{ \partial p_3} dp_3
\]
(und analog für $B$ und $C$), so wird
\begin{align*}
  \frac{dx}{d\vartheta} &= \mathfrak{A}_0 \xi + \mathfrak{B}_0 \eta + \mathfrak{C}_0 \zeta\\
  \frac{dy}{d\vartheta} &= \mathfrak{A}_1 \xi + \mathfrak{B}_1 \eta + \mathfrak{C}_1 \zeta\\
  \frac{dz}{d\vartheta} &= \mathfrak{A}_2 \xi + \mathfrak{B}_2 \eta + \mathfrak{C}_2 \zeta.
\end{align*}

Drückt man ferner $\xi$, $\eta$, $\zeta$ durch $x$, $y$, $z$ aus, so erhält
man
\begin{flalign*}
&\indent 3)& &\left.
\begin{aligned}
    \dfrac{dx}{d \vartheta} &= a_0x + b_0y + c_0z\\
    \dfrac{dy}{d \vartheta} &= a_1x + b_1y + c_1z \\
    \dfrac{dz}{d \vartheta} &= a_2x + b_2y + c_2z.
\end{aligned} \ \ \right\} &\phantom{\indent 3)}&
\end{flalign*}

In den letzteren Gleichungen ist jeder der Coefficienten
$a$, $b$, $c$ von der Form
\[
  a\,d\vartheta = \alpha_1 \,dp_1 + \alpha_2 \,dp_2 + \alpha_3 \,dp_3
\]
%-----File: 133.png--------------------------------------------
(und analog für $b$ und $c$), wo $dp_1$, $dp_2$, $dp_3$ willkürlich sind
es gibt daher unendlich viele Lagenänderungssysteme. Sind
(${a_0}'$, $\ldots {c_2}'$), (${a_0}''$, $\ldots {c_2}''$), (${a_0}'''$, $\ldots {c_2}'''$) drei solche Systeme,
so kann ein beliebiges viertes ($a_0$, $\ldots c_2$) immer ausgedrückt
werden durch
\[
a = fa' + ga'' + ha'''\text{ u.\ s.\ w.},
\]
wo $f$, $g$, $h$ Constante sind für sämmtliche Coefficienten des
vierten Systems. Umgekehrt: Sämmtliche Lagenveränderungssysteme
($a$, $\ldots c_2$) können aus drei von einander unabhängigen
($a'$, $\ldots {c_2}'$), ($a''$, $\ldots {c_2}''$),  ($a'''$, $\ldots {c_2}'''$) durch Multiplication
mit willkürlichen Constanten $f$, $g$, $h$ erhalten werden
(siehe Anhang, Art.~5).

\subsection{120.}

Aus den Raum-Voraussetzungen des Art.~118 folgt für
die Gleichungen~3)

1) Da nur der Punkt ($x = 0$, $y = 0$, $z = 0$) festgestellt
ist, so kann noch jeder beliebige zweite Punkt ($x_0$, $y_0$, $z_0$)
festgestellt werden; d.~h.\ man kann die Werthe $dp_1$, $dp_2$,
$dp_3$ derart wählen, dass
\begin{align*}
0 &= a_0 x_0 + b_0 y_0 + c_0 z_0\\
0 &= a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 z_0\\
0 &= a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2 z_0,
\end{align*}
was nur möglich ist, wenn für alle unendlich kleine Drehungen
\[
\begin{vmatrix}
\;a_0, & b_0, & c_0\;\\
\;a_1, & b_1, & c_1\;\\
\;a_2, & b_2, & c_2\;
 \end{vmatrix}= 0
\]

2) Die Variable $\vartheta$ bestimmt eine Stellung des Körpers,
$\vartheta + d\vartheta$ gibt eine unendlich kleine Verschiebung. Auf diese
Verschiebung lasse man fortgesetzt der ersteren gleiche Verschiebungen
folgen, welche also durch die Grössen $\vartheta + 2d\vartheta$,
$\vartheta + 3d\vartheta$, $\ldots$ bestimmt sind. Bezeichnet man mit $S_0$ die
ursprüngliche Stellung, mit $S_1$, $S_2$, $\ldots$ die verschobenen, so
fällt der Punkt $(x + dx$, $y + dy$, $z + dz)$ in $S_0$ mit demjenigen
Punkte von $S_1$ zusammen, der vor der ersten Verschiebung
die Coordinaten $x$, $y$, $z$ hatte. Man erhält daher
%-----File: 134.png--------------------------------------------
die Lage des Punktes ($x$, $y$, $z$) in $S_0$ nach Ablauf der zweiten
Verschiebung dadurch, dass man den Ort des Punktes
($x + dx$, $y + dy$, $z + dz$) in $S_0$ nach Ablauf der ersten
Verschiebung bestimmt, was dadurch geschieht, indem man
in den Gleichungen~3) $a_0$, $b_0$, $\ldots c_2$ als constant betrachtet
und ($x + dx$, $y + dy$, $z + dz$) statt ($x$, $y$, $z$) setzt; u.~s.~w.\
d.~h.\ man kann den Ort des Punktes ($x$, $y$, $z$) in $S_0$ nach
Ablauf der successiven durch $\vartheta + d\vartheta$,
$\vartheta + 2d\vartheta$, $\vartheta + 3d\vartheta$, $\dots$
ausgedrückten Verschiebungen dadurch bestimmen, indem die
Gleichungen~3) unter der Voraussetzung integrirt, dass man
die Coefficienten $a_0$, $b_0$, $\ldots c_2$ als constant und $x$, $y$, $z$ als
Functionen von $\vartheta$ betrachtet.

Zur Ausführung der Integration der Gleichungen~3) multiplicire
man selbe mit $l$, $m$, $n$ und addire ihre Producte.
Bestimmt man die Factoren $l$, $m$, $n$  derart, dass
\begin{align*}
lh &= la_0 + ma_1 + na_2\\
mh &= lb_0 + mb_1 + nb_2\\
nh &= lc_0 + mc_1 + nc_2
\end{align*}
wird, so erhält man die Grösse $h$ aus
\begin{flalign*}
&\indent 4)&
\left|\, \begin{alignedat}{3}
& a_0-h &&,\ \ a_1   &&,\ \ a_2  \\
& b_0   &&,\ \ b_1-h &&,\ \ b_2  \\
& c_0   &&,\ \ c_1   &&,\ \ c_2-h
\end{alignedat}\ \right|&=0 &&\phantom{\indent 4)}
\end{flalign*}
welche Gleichung drei Werthe von $h$ und damit drei zugehörige
Systeme von Werthen $l$, $m$, $n$ gibt. Aus den Differenzgleichungen
folgt, wenn man der Kürze halber
\[
lx + my + nz = U
\]
setzt,
\[
 \frac{dU}{ d\vartheta} = hU;
\]
woraus durch Integration
\[
U = Ahe^{h \vartheta},
\]
wo $A$ eine willkürliche Constante bedeutet, erhalten wird.

Vermöge der Gleichung 4) muss eine Wurzel $h_0 = 0$
sein, also der zugehörige Werth von $U$ d.~i.\ $U_0 = $Const.;
die beiden anderen Wurzeln haben die Form
\[
h_1 = \alpha + \omega i \text{ und }h_2 = \alpha - \omega i,
\]
woraus für die zugehörigen Werthe von $U$ die Ausdrücke
%-----File: 135.png--------------------------------------------
\begin{align*}
&U_1 + U_2 i = A e^{ ci} \cdot e^{(\alpha + \omega i) \vartheta},\\
&U_1 - U_2 i = A e^{-ci} \cdot e^{(\alpha - \omega i) \vartheta}\\
\intertext{oder}
&U_1 = A e^{\alpha \vartheta} \cos(\omega \vartheta + c)\\
&U_2 = A e^{\alpha \vartheta} \sin(\omega \vartheta + c),
\end{align*}
wo $A$ und $c$ willkürliche (reelle) Constante bedeuten, folgen.
Daraus erhält man
\[
U_1^2 + U_2^2 = A^2 e^{2 \alpha \vartheta},
\]
welche Gleichung mit der Voraussetzung, dass man durch
fortgesetzte Aenderung von $\vartheta$ wieder die früheren Werthe
von $x$, $y$, $z$ also auch von $U_1$ und $U_2$ erhält, in Widerspruch
steht. Es muss daher $\alpha = 0$ sein.

\subsection{121.}

Aus dem vorigen Artikel erhält man folgendes Resultat:
\begin{flalign*}
&\text{\indent 5)}&
\begin{aligned}
&U_0 = l_0 x + m_0 y + n_0 z\\
&U_1 = l_1 x + m_1 y + n_1 z\\
&U_2 = l_2 x + m_2 y + n_2 z
\end{aligned}
& &&\phantom{\indent 5)}
\end{flalign*}
drei lineare Functionen, und betrachtet man die Stellung des
Punktes ($x$, $y$, $z$) durch die drei Stellungsconstanten $p_1$, $p_2$,
$p_3$ bestimmt, so kann man die Differentialgleichungen, welche
eine Drehung um den Punkt ($u$, $v$, $w$) und einen beliebigen
Punkt bestimmen, auf die Form bringen
\[
  \frac{dU_0}{d\vartheta} =  0         , \quad
  \frac{dU_1}{d\vartheta} = -\omega U_2, \quad
  \frac{dU_2}{d\vartheta} =  \omega U_1;
\]
dabei bleiben also alle Punkte ($x$, $y$, $z$) in Ruhe, welche den
Gleichungen
\[
U_1 = 0\text{ und }U_2 = 0
\]
genügen.

Denkt man sich eine zweite Drehung des Systems, bei
welcher die Punkte
\[
U_0 = 0\text{ und }U_2 = 0
\]
in Ruhe bleiben, so sind die zugehörigen Differentialgleichungen
\[
  \frac{dU_0}{d\vartheta_1} =  \varphi U_2, \quad
  \frac{dU_1}{d\vartheta_1} =  0       , \quad
  \frac{dU_2}{d\vartheta_1} = -\varphi U_0,
\]
%-----File: 136.png--------------------------------------------
wo $\varphi$ eine Constante und $\vartheta_1$ die diese Drehung bestimmende
Variable ist. Für eine dritte Drehung, bei welcher die Punkte
\[
U_0 = 0\text{ und }U_1 = 0
\]
in Ruhe bleiben, hat man analog
\[
  \frac{dU_0}{d\vartheta_2} = -\psi U_1, \quad
  \frac{dU_1}{d\vartheta_2} =  \psi U_0, \quad
  \frac{dU_2}{d\vartheta_2} =  0.
\]

Denkt man sich die Stellungsconstanten $p_1$, $p_2$, $p_3$ als
Functionen der Grössen $\vartheta_0$, $\vartheta_1$, $\vartheta_2$ und berücksichtigt man,
dass aus drei Annahmen für die Coefficienten der Differentialgleichung
durch Multiplication mit willkürlichen Constanten
$f$, $g$, $h$ jedes beliebige mögliche System erhalten wird, so
erhält man alle unendlich kleinen Verschiebungen durch
\begin{align*}
  dU_0& =  \varphi U_2\,   d\vartheta_1 - \psi U_1\, d\vartheta_2\\
  dU_1 &= -\omega U_2\, d\vartheta_0 + \psi U_0\, d\vartheta_2\\
  dU_2 &=  \omega U_1\, d\vartheta_0 - \varphi U_0\, d\vartheta_1,
\end{align*}
wo die willkürlichen Factoren $f$, $g$, $h$ in die Constanten $\omega$, $\varphi$, $\psi$
einbezogen sind.

Aus diesen Gleichungen folgt
\begin{flalign*}
&               && U_0\,dU_0 + U_1\,dU_1 + U_2\,dU_2 = 0,   &&\phantom{d.~h.}\\
&\text{d.~h.}   && {U_0}^2 + {U_1}^2 + {U_2}^2 = \text{const.},  &
\end{flalign*}
oder, wenn man die Grössen $U_0$, $U_1$, $U_2$ vermöge 5) und 2)
durch $\delta u$, $\delta v$, $\delta w$ ausdrückt,
\begin{align*}
\text{\: const.}& = (l_0\, \delta u + m_0\,\delta v + n_0\,\delta w)^2\\
                     &+ (l_1\,\delta u + m_1\, \delta v + n_1\, \delta w)^2\\
                     &+ (l_2\,\delta u + m_2\,\delta v + n_2\, \delta w)^2;
\end{align*}
d.\ h.\ es existirt immer ein homogener quadratischer Ausdruck
der unendlich kleinen Coordinatenunterschiede ($\delta u$, $\delta v$, $\delta w$),
der bei allen Drehungen des Systems um den festen Punkt
($u$, $v$, $w$) constant bleibt. Diesen constanten Differentialausdruck
kann man als das Mass des Quadrats der Distanz der
Punkte($u$, $v$, $w$) und ($u + du$, $v + dv$, $w + dw$) des festen
Körpers betrachten.

Das Quadrat des Linienelement vom Punkte (0, 0, 0) bis
zum Punkte ($dx$, $dy$, $dz$) lässt sich daher bei passender Wahl
des Coordinatensystems $x$, $y$, $z$ von der Form voraussetzen
\[
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.
\]
%-----File: 137.png--------------------------------------------
Aus dieser Form folgt, dass unendlich kleine Raumtheile
ohne Rücksicht auf ihre Grenzen zur Deckung gebracht
werden können, dass also der Raum --- in analoger Weise,
wie alle Linien aus congruenten Linienelementen und alle
Flächen (nach Art.~109) aus congruenten Flächenelementen
--- aus congruenten Raumelementen zusammengesetzt ist.
Diese Eigenschaft wird nach Riemann »Ebenheit« genannt.
Auf solche unendlich kleine Raumtheile lässt sich die euclidische
Geometrie anwenden.

\begin{Small}
\so{Anmerkung.} Da die Homogenität des obigen Differentialausdruckes
von der Voraussetzung der Existenz von Differentialquotienten
abhängt, so folgt, dass für die Geometrie die Voraussetzungen der Anwendbarkeit
der Rechnung und der Existenz von Differentialquotienten
für die stetigen Functionen der Coordinaten resp.\ den Voraussetzungen
der Congruenz und der Existenz unendlich kleiner ähnlicher
Figuren entsprechen.\footnote
  {Beispiele stetiger Functionen ohne Differentialquotienten gibt
  H.~\so{Hankel} in seinen »Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden
  und unstetigen Functionen«. Tübingen, 1870.}
\end{Small}

\subsection{122.}

Wie bereits im Art.~117 erwähnt wurde, kann die Geometrie
einer Raumform irgend einer Dimension aus dem
Linienelemente, für welches nach Riemann ein homogener
quadratischer Ausdruck der Differentiale der Coordinaten angenommen
wird, erhalten werden. Für den Raum von drei
Dimensionen erhält diese Annahme durch die Untersuchung
von Helmholtz einen directen Beweis. Die Raumuntersuchungen
werden daher durch die Theorie dieser Differentialausdrücke
erledigt; letztere Untersuchungen wurden von E.~B.\ \so{Christoffel}\footnote
  {»Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke
  zweiten Grades« Crelle Journal Bd.~70. »Ueber ein die Transformation
  homogener Differentialausdrücke zweiten Grades betreffendes
  Theorem« Crelle Bd.~70.}
und R.~\so{Lipschitz}\footnote
  {»Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen
  von $n$ Differentialen.« Crelle Journal Bd.~70. »Entwicklung einiger
  Eigenschaften der quadratischen Formen von $n$~Differentialen«. Crelle
  Journal Bd.~71. »Fortgesetzte Untersuchungen in Betreff der ganzen
  homogenen Functionen von $n$ Differentialen«. Crelle Journal Bd.~72.
  Umarbeitungen des Verf.\ sind enthalten im Bulletin des sciences
  mathématiques et astronomiques. Tome~IV.}
in erschöpfender
%-----File: 138.png--------------------------------------------
Weise durchgeführt, wesshalb hier nur die Resultate angedeutet
werden sollen.

Da ein quadratischer Ausdruck mit $n$ Variabeln $dx_1$,
$dx_2$, $\ldots  dx_n$ --- also mit $\dfrac{(n+1) n }{ 2}$ Coefficienten, welche Functionen
der Grössen $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ sind, --- durch $n$ Gleichungen \[
  x_1 = \varphi_1 (y_1, \,y_2, \,\ldots y_n), \
  x_2 = \varphi_2 (y_1, \,y_2, \,\ldots y_n), \
  x_n = \varphi_n (y_1, \,y_2, \,\ldots y_n)
\]
wieder in einen homogenen Ausdruck der Grössen $dy_1$,
$dy_2$, $\ldots dy_n$ übergeht, so folgt, dass man bei zwei solchen
Ausdrücken durch Wahl der Functionen $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\ldots \varphi_n$ immer
$n$ Coefficienten gleich machen kann. Die Coefficienten des
Linienelementes sind daher durch $\dfrac{n(n-1)}{ 2}$ Functionen von
$x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ bestimmt.

Für $n = 2$ ist das Linienelement durch \so{eine} Function,
für $n = 3$ durch \so{drei} Functionen der Coordinaten des Anfangspunktes
bestimmt.

Man kann nun die Frage stellen: Welche Bedingungen
sind zu erfüllen, damit zwei homogene quadratische Ausdrücke
dasselbe Linienelement darstellen? In diesem Falle
muss jeder der beiden Ausdrücke in den anderen durch eine
Transformation der Coordinaten umgeformt werden können.

Für die beiden Ausdrücke
\begin{align*}
  ds^2 &= E \,du^2 + 2 F \,du\,dv + G \,dv^2\\
  ds^2 &= E'\,dx^2 + 2 F'\,dx\,dy + G'\,dy^2
\end{align*}
des Linienelementes einer krummen Fläche erhält man als
Bedingung die Gleichheit des Krümmungsmasses.

Für $n = 3$ sind drei Bedingungen, dass der eine Ausdruck
eine Transformation des zweiten ist. Dieser Fall wurde
von F.~\so{Suworof}\footnote
  {Die Charakteristiken der Systeme von drei Dimensionen. Die
  Original-Arbeit (114~S.\ mit vollständig ausgeführten Zwischenrechnungen)
  erschien russisch 1871 in Kazan. Ein vollständiger Auszug (vom
  Autor verfasst) findet sich in dem Bulletin des sciences mathématiques
  et astronomiques, tome~IV.}
behandelt.

\subsection{123.}

Zur Erläuterung der im Anfange des Art.~117 angedeuteten
Sätze soll die Beltrami'sche Theorie\footnote
  {Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante. Annali
  di Matematica Serio~II.\ Tomo~II.\ In's Französische übersetzt von J.~Hoüel
  in den »Annales de l'~École Normale supérieure«  t.~VI; 1869.}
der Räume
%-----File: 139.png--------------------------------------------
constanter Krümmung dienen, welche eine Verallgemeinerung
der Art.~114--116 ist.

Das Linienelement des $n$-Dimensionen-Raumes von constanter
negativer Krümmung $-1 : k^2$ ist gegeben durch
\begin{gather*}
ds^2 = k^2 \frac{dx^2 + d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + \dots + d{x_n}^2 }{x^2} \\
a^2 = x^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + \dots + {x_n}^2.
\end{gather*}

Die Bedingung, dass $s$ ein Minimum wird, ist durch $n-1$
lineare Gleichungen zwischen den Grössen $x_1$, $x_2$, $\ldots x_n$ ausgedrückt
(siehe Anhang Art.~6).

Die Entfernung $\rho$ der beiden Punkte $x^0$, ${x_1}^0$, $\ldots {x_n}^0$ und
$x$, $x_1$, $\ldots x_n$ erhält man durch die Gleichung
\[
  \fcos \frac{\rho}{ k}
= \frac{ a^2 - x_1 {x_1}^0 - x_2 {x_2}^0 - \dots - x_n {x_n}^0 }
       { \sqrt{ a^2 - {x_1}^2 - {x_2}^2 \dots - {x_n}^2 \vphantom{{x^0}^2} }
         \sqrt{ a^2 - {{x_1}^0}^2 - {{x_2}^0}^2\dots - {{x_n}^0}^2}}.
\]

Jeden beliebigen Theil des Raumes kann man in einen
andern Ort über\-tra\-gen und daselbst mit einem entsprechenden
Raumtheil zur Deckung bringen. Diese Uebertragung geschieht
analytisch durch eine sogenannte \so{homographische
Transformation}.

In gleicher Weise lassen sich die übrigen im Art.~116
angegebenen Transformationen durchführen. Speciell möge
der dem Ausdrucke~1) entsprechende angegeben werden.
Führt man statt der Grössen $x_1$, $x_2$, $\dots x_n$ die Variable
$r$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\dots \lambda_n$ ein, wo
\begin{gather*}
  x_1 = r\lambda_1, \ x_2 = r\lambda_2,\ \dots x_n = r\lambda_n\\
  {\lambda_1}^2 + {\lambda_2}^2 + \dots + {\lambda_n}^2 = 1
\end{gather*}
vorausgesetzt wird, so erhält man
\[
ds^2 = \left( \dfrac{ka\,dr }{ a^2-r^2} \right)^2 dr^2 + \frac{k^2r^2}{a^2-r^2} d\Lambda^2,
\]
wo $d\Lambda^2 = d{\lambda_1}^2 + d{\lambda_2}^2 + \dots+ d{\lambda_n}^2$ ist.

Ist $\rho$ die Entfernung des Punktes $x_1$, $x_2$, $\dots x_n$ vom
Coordinatenanfang, so ist
\[
  \frac{ka\,dr }{a^2-r^2} = d\rho, \quad
  \frac{r^2}{a^2-r^2} = \fsin \frac{\rho^2}{k};
\]
%-----File: 140.png--------------------------------------------
dadurch erhält man für das Linienelement den Ausdruck
\[
  ds^2 = d \rho^2 + \left( k \fsin \frac{\rho }{k} \right)^2 d\Lambda^2.
\]

Der Ausdruck
\begin{gather*}
  ds^2 = k^2 \frac{-dx^2 + d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + \dots + d{x_n}^2 }{ x^2}\\
  x^2 = a^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + \dots + {x_n}^2
\end{gather*}
bestimmt das Linienelement des $n$-Dimensionen-Raumes mit
constanter positiver Krümmung $+ 1 : k^2$. Für die Entfernung
zweier Punkte erhält man
\[
\cos \frac{\rho }{ k} = \frac{a^2 + x_1{x_1}^0 + x_2{x_2}^0 + \dots + x_n{x_n}^0 }
  { \sqrt{ a^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + \dots + {x_n}^2 \vphantom{{x^0}^2}}
    \sqrt{ a^2 + {{x_1}^0}^2 + {{x_2}^0}^2 + \dots + {{x_n}^0}^2}}.
\]

In diesem Ausdrucke können die Coordinaten $x_1$, $x_2$, $\ldots
x_n$ alle Werthe von $-\infty$ bis $+\infty$ annehmen. Die Grösse
$\rho$ bleibt immer endlich. Denn setzt man
\[
  {x_1}^0 = \lambda_1 \tau,\
  {x_2}^0 = \lambda_2 \tau, \ \ldots
  {x_n}^0 = \lambda_n \tau,
\]
wo
\[
  {\lambda_1}^2 + {\lambda_2}^2 + \dots + {\lambda_n}^2 = 1
\]
ist, so erhält man für $\tau = \infty$
\[
\cos \frac{\rho }{k} = \frac{\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \dots + \lambda_n x_n }
  { \sqrt{ a^2 + {x_1}^2 + \dots + {x_n}^2}};
\]
d.~h.\ $\rho$ gleich einer endlichen Grösse.

Durch zwei Punkte ist eine Kürzeste nicht immer eindeutig
bestimmt. Denn sind die Coordinaten der beiden
Punkte unendlich, so folgt aus den Gleichungen der Kürzesten
\[
  \frac{x_1}{x_n} = b_1 + \frac{b_1'}{x},\ \dots\quad
  \frac{x_{n-1}}{x_n} = b_{n-1} + \frac{b'_{n-1}}{x_n}
\]
für beide Punkte mit unendlichen Coordinaten im Falle der
Gleichheit der Verhältnisse $x_1 : x_n$, $\dots x_{n-1} : x_n$ die Unbestimmtheit
der Coefficienten $b_1'$, $\dots b'_{n-1}$; im Falle der
Verschiedenheit dieser Verhältnisse sind diese letzteren Coefficienten,
also auch sämmtliche Coordinaten der Punkte der
Kürzesten unendlich.

Der Raum constanter positiver Krümmung ist im Raume
constanter negativer Krümmung enthalten.\footnote
  {Dieser wichtige Satz bildet den Schluss der höchst interessanten
  Abhandlung von Beltrami.}
%-----File: 141.png--------------------------------------------

Denn setzt man
\[
\frac{a}{x} = y,\quad \frac{x_1}{x} = y_1,\ \dots \ \frac{x_n}{x} = y_n,
\]
so erhält man
\begin{gather*}
  ds^2 = k^2(dy^2 + d{y_1}^2 + \cdots + d{y_n}^2)\\
  y^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + \cdots + {y_n}^2 = 1.
\end{gather*}

Für den Raum constanter negativer Krümmung $-1 : {k_0}^2$ ist
\begin{gather*}
  ds^2 = d \rho^2
       + \left( k_0 \fsin \frac{\rho }{ k_0} \right)^2
         (d{\lambda_1}^2 + d{\lambda_2}^2 + \dots + d{\lambda_n}^2)\\
  {\lambda_1}^2 + {\lambda_2}^2 + \dots + {\lambda_n}^2 = 1.
\end{gather*}

Setzt man in diesem Ausdrucke $\rho =$ Const., so erhält
man einen $n-1$-Dimensionen-Raum von der constanten
Krümmung $-1:{k_0}^2$; letzterer ist nach der obigen Formel
ein $n-1$-Dimensionen-Raum von der Krümmung $1: k^2$, wo
\[
k = k_0 \fsin \frac{\rho }{ k_0}
\]
ist. Für $k_0 = \infty$ geht der Raum negativer Krümmung in
den euclidischen über, für diesen ist $k = \rho$.

\begin{Small}
\so{Anmerkung 1.} Aus diesem Satze erhellet am deutlichsten die
Unrichtigkeit der in manchen Kreisen gehegten Ansicht von der Selbstständigkeit
der drei Formen der Geometrie. Vergl.\ Art.~105.

\so{Anmerkung 2.} Von den Raumformen wurden bis jetzt die
\so{ebenen} Räume, welche als Verallgemeinerung des euclidischen Raumes
für eine beliebige Dimensionszahl erscheinen, am ausführlichsten
behandelt. Hierher gehörige Untersuchungen sind von \so{Kronecker}
(Monatshefte der Berliner Akademie, 1869), \so{Beez} (Mathematische Annalen,
Bd.~7) und A.\ angestellt. Eine Anzeige einer vollständigen
Darstellung gibt C.~\so{Jordan} in seinem »Essai sur la Géométrie à $n$
Dimensions.« Comptes rendus LXXV, p.~1614.
\end{Small}
%-----File: 142.png--------------------------------------------

\pagebreak
\subchapter*{Anhang.}
\addcontentsline{toc}{section}{\textbf{Anhang}}%

\subsection{1.}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=4cm,height=3cm]{images/fig62}
\end{wrapfigure}

Dasselbe folgt auch aus dem Lobatschewsky'schen Beweise
des Satzes, dass --- unter der Voraussetzung die Winkelsumme
eines endlichen Dreiecks ist kleiner als zwei Rechte
--- zu jedem Winkel als Parallelwinkel sich die zugehörige
Distanz finden lässt.\footnote
  {Geometrische Untersuchungen S.~19.}
Der Beweis wird daselbst auf folgende
Art geführt: »Ist $BAC$ der gegebene
Winkel, so sei in dem
bei $B$ rechtwinkligen Dreiecke
$ABC$ die Winkelsumme $= 2R
- \alpha$. Macht man $BD = AB$,
so ist die Winkelsumme des Dreiecks
$ADC=2R - 2 \alpha$, also die
des Dreiecks $ADE <2R - 2 \alpha$,
wo $D \perp EAD$ vorausgesetzt wird. Durch fortgesetzte Wiederholung
dieses Verfahrens muss man zu einer Senkrechten
gelangen, welche die Gerade $AC$ nicht mehr schneidet. Es
muss daher eine (näher an $A$ liegende) Grenzlinie $MN$
existiren, für welche die Senkrechten näher bei $A$ die Gerade
$AC$ schneiden; diese Senkrechte ist zu der Geraden $AC$
parallel. Denn zieht man die Gerade $MF$ unter einem beliebig
kleinen Winkel mit dieser Grenzlinie und ist $F$ ein
Punkt derselben, so erhält man, wenn durch $F$ die Gerade
$FG \perp AB$ gezogen wird, ein Dreieck $AGH$, in welches die
Gerade $MF$ eintritt, also hinreichend verlängert die Gerade
$AC$ in einem Punkte, etwa $K$, schneidet.«

Setzt man $AB = a$, so werden für die Dreiecke $ADE$,
$\ldots$ die Seiten $AD$, $\ldots$ resp.\ $2a$, $2^2a$, $\ldots$ Ist für $AP= 2^n a$
%-----File: 143.png--------------------------------------------
die Construction unmöglich, so muss $2R - 2^n\alpha - \ldots$ bereits
$< R + BAC$ geworden sein. Ist $a$ unendlich klein,
so muss $\alpha$ ebenfalls unendlich klein sein, weil sonst für eine
unendlich kleine Distanz $AP$ die Construction eines bei $M$
rechtwinkligen Dreiecks unmöglich wäre. Der Grenzwerth
der Winkelsumme des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ muss
daher mit dem Verschwinden der Seite $AB$ die Grösse $2R$
erreichen.

\subsection{2.}

Wegen der Wichtigkeit der hyperbolischen Functionen in
der absoluten Geometrie sollen die am häufigsten vorkommenden
Relationen zusammengestellt werden.
\begin{flalign*}
\indent & 1) &
   & \fsin x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad
     \fcos x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} &&\phantom{\indent 1) Ist}
\\
&& & \fcos x + \fsin x = e^x  &\\
&& & \fcos x - \fsin x = e^{-x}  &
\\
&& & \fsin x = x + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \ldots  &\\
&& & \fcos x = x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots
&\\
&& & \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \dfrac{\fsin x}{\fcos x}, \text{ u.\ s.\ w.}
&\\
& 2) &
   & \fsin x = \dfrac{1}{i} \sin xi, \quad
     \fcos x = \cos xi,
&\\
&& & \ftan x = \dfrac{1}{i} \tan xi, \quad
     \fcot x = i \cos xi.
&\\
& 3) &
   & \fsin 0 = 0, \quad \fcos 0 = 1, \quad \ftan 0 = 0,  &\\
&& & \fsin \infty = \infty, \quad \fcos \infty = \infty, \quad\ftan \infty=1.
&\\
& 4) &\text{Ist}
   &\fsin x = z\text{, so heisst }x = \farcsin z\text{ u.\ s.\ w.}
&\\
&& &\farcsin x = \log (x+\sqrt{x^2 + 1}),\\
&& &\farccos x = \log (x+\sqrt{x^2 - 1}),
&\\
&& & \farctan x = \tfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right).
&\\
& 5) &
   & \fcos x^2 - \fsin x^2 = 1, \quad \ftan x^2 + \fsec x^2=1.
\end{flalign*}
\begin{flalign*}
& 6) &
   & \fsin (x\pm y) = \fsin x\fcos y \pm \fcos x \fsin y\\
%-----File: 144.png--------------------------------------------
&&  &\fcos (x\pm y) = \fcos x \fcos y \pm \fsin x \fsin y\\
&&  &
\begin{aligned}
  \fcos 2x &=  \fcos x^2 +  \fsin x^2  \\
           &= 2\fcos x^2 -1 = 2 \fsin x^2 + 1
\end{aligned}
&\\
& 7) &
   & d \fsin x = \fcos x\,dx, \quad
     d \fcos x = \fsin x\,dx
&\\
& 8) &
   & d \ftan x =  \dfrac{dx}{\fcos x^2}, \quad
     d \fcos x = -\dfrac{dx}{\fsin x^2}
&\\
& 9) &
   & d \farcsin x = \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}}, \quad
     d \farccos x = \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}}
&\\
& \llap{1}0) &
   & d \farctan x = \dfrac{dx}{1-x^2}, \quad
     d \farccot x = -\dfrac{dx}{x^2-1}. &
\end{flalign*}

\begin{center} \rule[1\baselineskip]{6em}{.5pt}\rule{0em}{2em} \end{center}

Die hyperbolischen Functionen können in der euclidischen
Geometrie in gleicher Weise durch Linien einer gleichseitigen
Hyperbel mit den Halb-Axen $a = b = 1$ versinnlicht werden,
wie die goniometrischen Functionen am Kreise.

Beschreibt man über die grosse Axe $AA'$ einer Ellipse
als Durchmesser einen Kreis, so ist das Verhältniss der beiden
zwischen denselben zwei Senkrechten auf die Axe enthaltenen
Flächen $= b : a$. Gleiches gilt von den Dreiecken,
welche einen Punkt der Axe zur gemeinsamen Spitze und
die in dieselbe Gerade fallenden Ordinaten $y$ und $z$ zur Basis
haben. Ist $O$ der Mittelpunkt der Ellipse und des Kreises,
so ist daher für die in dieselbe Senkrechte auf die Axe fallenden
Punkte $M$ und $N$
\begin{align*}
&\text{Sector }AOM :\text{ Sector }AON = b : a\\
&\text{Sector }AON = \dfrac{a^2}{2}\arcsin  \dfrac{z}{2}\\
&\text{Sector }AOM = \dfrac{ab}{2} \arcsin  \dfrac{y}{b}.
\end{align*}
Daraus folgt, wenn Sector $AOM = \dfrac{u}{2}$ gesetzt wird,
\[
\dfrac{y}{b}=\sin \dfrac{u}{ab},
\]
ebenso
\[
\dfrac{x}{a}=\cos \dfrac{u}{ab}.
\]

Setzt man $bi$ statt $b$, so geht die Ellipse in eine Hyperbel
über und man erhält:
%-----File: 145.png--------------------------------------------
\begin{align*}
&\frac{y}{b}=\fsin \frac{u}{ab}\\
&\frac{x}{a}=\fcos \frac{u}{ab};
\end{align*}
für $a = b = 1$ stellen also die Coordinaten $x$ und $y$ des
Punktes $M$ der gleichseitigen Hyperbel die früher definirten
hyperbolischen Functionen dar, dabei bedeutet $u$ die doppelte
Fläche des Sectors $AOM$.\footnote
  {Ausführlichere Darstellungen der Theorie der hyperbolischen
  Functionen sind: 1)~\so{Gudermann}, Crelle Journal Bd.~6--9. 2)~\so{Grunert},
  Archiv B.~38. 3) C.~A. \so{Laisant}, Essai sur les Fonctions
  hyperboliques. Paris, 1874.}

\subsection{3.}
\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=3.3cm,height=3.3cm]{images/fig63}
\end{wrapfigure}

Dass aus dieser Gleichung die sämmtlichen Formeln für
das rechtwinklige Dreieck erhalten werden können, wird so
bewiesen: Es sei zunächst $a$ und $c < R$.
Man verlängere $BA$ und $BC$ derart,
dass $BA' = BC' = R$ wird; ist $D$ der
Durchschnittspunkt der Bögen $CA$ und
$C'A'$, der mit $A$ auf derselben Seite des
Bogens $BC$ liegt, so ist $A'C' = B$,
$CC' = R - a = D$.

Wendet man die erhaltene Gleichung
auf die Seiten $AA$' und $AD$ des bei $A'$ rechtwinkligen
Dreiecks $AA'D$ an, so erhält man
\begin{align*}
&\sin \,(R-c)=\sin \,(R-b)\sin\,(R-a)\\
&\sin\, (R-B)=\sin \,(R-b)\sin A
\end{align*}
oder
\begin{align*}
&\cos c =\cos b\cos a\\
&\cos B=\cos b \sin A.
\end{align*}

Auf analoge Weise wird der Beweis geführt, wenn
$c > R$ oder $a$ und $c > R$ sind.

\subsection{4.}

Hierbei wurde folgender Weg eingeschlagen. Es seien
$\alpha$ und $\alpha'$ zwei geometrische Breiten eines Sternes $S$, welche
zwei unmittelbar auf einander folgenden Positionen $A$ und $A'$
%-----File: 146.png--------------------------------------------
der Erde in demselben Breitenkreise des Sternes entsprechen,
so ist $AA' = 2a =$ nahe dem Durchmesser der Erdbahn.
Setzt man den Winkel $ASA' = \delta$, so folgt, falls die euclidische
Geometrie stattfindet,
\[
\alpha = \alpha' \pm \delta.
\]
Verschwindet die Entfernung $2a$ gegen die Entfernung $AS$
oder $A'S$, so ist $\delta = 0$, also $AS \parallel A'S$ und
\[
\alpha = \alpha'.
\]
Im Falle des Nichtstattfindens der euclidischen Geometrie,
ist $\alpha$ von $\alpha'$ verschieden; für $\alpha > \alpha'$ kann man $A'A$ um
eine solche Strecke $AB = x$ verlängern, dass $BB' \perp AB$
parallel $AS$ wird. Dann ist
\[
  \alpha = \Pi(x), \quad \alpha' = \Pi(x+2a)
\]
oder
\[
  \tan\tfrac{1}{2}\alpha = e^{-\tfrac{x}{k}}, \quad
  \tan\tfrac{1}{2}\alpha' = e^{-\tfrac{x}{k}-\tfrac{2a}{k}},
\]
also
\[
e^{\tfrac{2a}{k}}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan\alpha'};
\]
aus welcher Gleichung der Werth von $k$ folgen würde.

Auf jeden Fixstern mit verschwindender Parallaxe kann
diese Methode angewendet werden.

\subsection{5.}

Sind nämlich,
\[
  dp_1 : d\vartheta = q-1, \quad
  dp_2 : d\vartheta = q_2, \quad
  dp_3 : d\vartheta = q_3
\]
gesetzt,
\[
\left.
\begin{alignedat}{4}
& a'   &&= \alpha_1{q_1}'   &&+ \alpha_2{q_2}'   &&+ \alpha_3{q_3}'\\
& a''  &&= \alpha_1{q_1}''  &&+ \alpha_2{q_2}''  &&+ \alpha_3{q_3}''\\
& a''' &&= \alpha_1{q_1}''' &&+ \alpha_2{q_2}''' &&+ \alpha_3{q_3}'''
\end{alignedat}\ \right\}
\quad (1)
\]
drei bestimmte Annahmen für den Coefficienten $a$, ferner
\[
  a=\alpha_1q_1 + \alpha_2 q_2 + \alpha_3 q_3
\qquad (2)
\]
eine beliebige vierte, so erhält man aus den Gleichungen~(1)
die Grossen $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ in der Form
\[
\alpha =\beta' a' + \beta'' a'' + \beta''' a''',
\]
wo $\beta'$, $\beta''$, $\beta'''$ blos von den Grössen ${q_1}'$, ${q_2}'$, $\ldots {q_3}'''$ abhängen,
also für alle Coefficienten $a$, $b$, $c$ eines Transformationssystems
%-----File: 147.png--------------------------------------------
constant sind. Setzt man diese Ausdrücke in (2), so erhält
man
\[
\begin{alignedat}{3}
  a &= (\beta_1'q_1 &&+ \beta_2'q_2 &&+ \beta_3'q_3)\:a' \\
    &+ (\beta_1''q_1 &&+ \beta_2''q_2 &&+ \beta_3''q_3)\:a'' \\
    &+ (\beta_1'''q_1 &&+ \beta_2'''q_2 &&+ \beta_3'''q_3)\:a'''.
\end{alignedat}
\]
Setzt man
\[
  a = fa' + ga'' + ha''',
\]
so entspricht jeder Annahme von $q_1$, $q_2$, $q_3$ ein System von
Werthen für $f$, $g$, $h$ und umgekehrt.

\subsection{6.}

Das Integral
\begin{align*}
&  J = \int \frac{\sqrt{dx^2 + d{x_1}^2 + \dotsc + d{x_n}^2}}{x}, \\
&  x^2 + {x_1}^2 + \dotsc + x_n^2 = a^2,
\end{align*}
innerhalb der den beiden Endpunkten der kürzesten Linie
entsprechenden Grenzen, muss ein Minimum werden.

Betrachtet man $x$, $x_1 \dotsc x_n$ als Functionen einer Variablen
$t$, und setzt der Kürze halber
\begin{gather*}
\begin{aligned}
& \frac{dx}{dt} = x',\ \
  \frac{dx_1}{dt} = x'_1,\;\dotsc
  \frac{dx_n}{dt} = x'_n,
\\
& \sqrt{x'^2 + {x_1}'^2 + \dotsc + {x_n}'^2} = X \\
&\hspace{1em}x^2 + {x_1}^2 + \dotsc + {x_n}'^2 - a^2 = L
\end{aligned} \\
\frac{X}{x} + \lambda L = V,
\end{gather*}
wo $\lambda$ eine Function von $t$ bedeutet, so ist
\[
\delta J = \delta\smallint_{t_1}^{t_2} V dt = 0
\]

Entwickelt man $\delta J$, so wird
\[
\tag*{\indent 1)}
\begin{aligned}
     \frac{\partial V}{\partial x'}\delta x
  &+ \frac{\partial V}{\partial x_1'}\delta x_1
   + \dotsc
   + \left.\frac{\partial V}{\partial x_n'}\delta x_n \right\}_{t_1}^{t_2}
  \\
  &+ \int_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial V}{\partial x}
  - \frac{d}{dt}   \biggr(\frac{\partial V}{\partial x'}\biggl) \right) \delta x \,dt
  \\
  &+ \int_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial V}{\partial x_1}
  - \frac{d}{dt}   \biggr(\frac{\partial V}{\partial x_1'} \biggl) \right) \delta x_1 \,dt
  \\
  &+ \dotsc
  \\
  &+ \int_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial V}{\partial x_n}
  - \frac{d}{dt}   \biggr(\frac{\partial V}{\partial x_n'} \biggl) \right) \delta x_n \,dt = 0.
\end{aligned}
\]
%-----File: 148.png--------------------------------------------

Die integrirten Glieder fallen, wegen  $\delta x = 0$, $\delta x_1 = 0$,
$\dotsc \delta x_n = 0$  für $t = t_1$ und $t = t_2$, weg; die Gleichung~1)
zerfällt, da $\delta x$, $\delta x_1$, $\dotsc \delta x_n$  willkürlich sind, in
\[
\tag*{\indent 2)}
\begin{aligned}
&\frac{\partial V}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x'}\right) = 0 \\
&\frac{\partial V}{\partial x_1} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x_1'}\right) = 0 \\
& \hspace{3em}\dotsc \\
&\frac{\partial V}{\partial x_n} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial x_n'}\right) = 0.
\end{aligned}
\]

Nun ist
\begin{alignat*}{2}
& \frac{\partial V}{\partial x} = \frac{X}{x^2} + 2\lambda x, \qquad
&&\frac{\partial V}{\partial x'} = \frac{x'}{xX} \\
&\frac{\partial V}{\partial x_1} = 2\lambda x_1,
&&\frac{\partial V}{\partial x_1'} = \frac{x_1'}{xX} \\
&\frac{\partial V}{\partial x_n} = 2\lambda x_n,
&&\frac{\partial V}{\partial x_n'} = \frac{x_n'}{xX}.
\end{alignat*}

Dadurch gehen die Gleichungen 2) über in
\[
\tag*{\indent 3)}
\begin{aligned}
-\frac{X}{x^2} + 2\lambda x - \frac{d}{dt}\left(\frac{x'}{xX}\right) &= 0 \\
2\lambda x_1 - \frac{d}{dt}\left(\frac{x_1'}{xX}\right) &= 0 \\
2\lambda x_n - \frac{d}{dt}\left(\frac{x_n'}{xX}\right) &= 0
\end{aligned}
\]

Multiplicirt man die Gleichungen 3) resp.\ mit $x$, $x_1$, $\dotsc
x_n$ und addirt die Producte, so wird
\begin{align*}
\tag*{\indent 4)}
& x  \frac{d}{dt}\left(\frac{x'  }{xX}\right)
+ x_1\frac{d}{dt}\left(\frac{x_1'}{xX}\right) + \dotsc
+ x_n\frac{d}{dt}\left(\frac{x_n'}{xX}\right) \\
& = \frac{X}{x} - 2\lambda a^2.
\end{align*}
Berücksichtigt man, dass
\begin{gather*}
  \frac{d}{dt}\left(\frac{x_rx_r'}{xX}\right)
  = x_r\frac{d}{dt}\left(\frac{x_r'}{xX}\right) + \frac{x_r'^2}{xX} \\
  xx' + x_1x_1' + \dotsc + x_nx_n' = 0
\end{gather*}
ist, so geht die Gleichung 4) über in
\[
0 = - 2\lambda a^2 ,
\]
woraus $\lambda = 0$ folgt.

Die Differentialgleichungen 3) der Kürzesten werden
daher
%-----File: 149.png--------------------------------------------
\begin{align*}
\tag*{\indent 5)}
& \frac{X}{x^2} + \frac{d}{dt}\left(\frac{x'}{xX}\right) = 0
\\
\tag*{\indent 6)}
& \frac{d}{dt}\left(\frac{x_1'}{xX}\right) = 0, \;\dotsc\;
  \frac{d}{dt}\left(\frac{x_n'}{xX}\right) = 0.
\end{align*}

Die Gleichungen 6) geben
\[
\tag*{\indent 7)}
  x_1' = c_1xX, \;\dotsc\; x_n' = c_nxX,
\]
wo $c_1$, $c_2$, $\dotsc c_n$ willkürliche Constanten bedeuten, woraus
\[
  X = \pm \frac{x'}{\sqrt{1-c^2x^2}} ,
\]
wo $c^2 = {c_1}^2 + {c_2}^2 + \dotsc + {c_n}^2$ gesetzt wird, folgt; die Gleichung~5)
wird dadurch identisch erfüllt.

Ist $d\rho$ das Element der Kürzesten, so wird, wenn man
für wachsende $x_1$, $x_2$, $\dotsc x_n$ das untere Zeichen nimmt,
\[
  d\rho = k\frac{X}{x}dt = -k\frac{dx}{x\sqrt{1-c^2x^2}} ,
\]
woraus durch Integration
\[
  \rho - \rho_0 = k\log\left\{\frac{1+\sqrt{1-c^2x^2}}{cx}\right\}
\]
oder
\[
\tag*{\indent 8)}
  cx = \frac{1}{ \fcos\dfrac{\rho - \rho_0}{k} }
\]
folgt; $\rho_0$ bedeutet die Integrationsconstante.

Bezeichnet man mit $x_1^0$, $x_2^0$, $x_n^0$ den Punkt des Anfanges
der Linie $\rho$ (für welchen also $\rho = 0$ ist), mit $x^0$ die
entsprechende Function $x$, so wird
\[
  cx^0 = \frac{1}{\fcos\dfrac{\rho_0}{k}},
\]
woraus durch Elimination von $c$ aus 8) folgt
\[
\tag*{\indent 9)}
  \frac{x_0}{x} = \fcos\frac{\rho}{k} - \fsin\frac{\rho}{k}\ftan\frac{\rho_0}{k}.
\]

Die Gleichungen 7) der Kürzesten geben
\begin{gather*}
  dx_1 = c_1xX \,dt \\
  = \frac{c_1}{c_2}(cx)^2\frac{d\rho}{k} = \frac{c_1}{c_2}d\ftan\frac{\rho - \rho_0}{k},
\end{gather*}
woraus durch Integration
\[
  x_1 = \frac{c_1}{c_2}\ftan\frac{\rho - \rho_0}{k} + a_1,
\]
%-----File: 150.png--------------------------------------------
und analog $x_2$, $\dotsc x_n$, wo $a_1$, $a_2 \dotsc a_n$ die Integrationsconstante
bedeuten, folgt.

Daraus erhält man
\begin{align*}
  x_1 - {x_1}^0 &= c_1xx^0\fsin{\rho}{k} \\
  &\dotsm \\
  x_n - {x_n}^0 &= c_nxx^0\fsin{\rho}{k},
\end{align*}
deren Summe der Quadrate
\begin{gather*}
  2(a^2 - x_1{x_1}^0 - \dotsc - x_n{x_n}^0) - x^2 - x^{0^2} \\
  = c^2 x^2 x^{0^2} \fsin\frac{\rho^2}{k} \\
\tag*{\indent 10)}
  = \frac{ x^2 \fsin\dfrac{\rho^2}{k} }{\fcos\dfrac{\rho_0^2}{k}}
\end{gather*}
liefert. Eliminirt man $\rho_0$ aus den Gleichungen 9) und 10),
so erhält man
\[
  \fcos\frac{\rho}{k}
= \frac{ a_2 - x_1{x_1}^0 - \dotsc - x_n{x_n}^0 }
       { \sqrt{a^2 - {x_1}^2 - \dotsc - {x_n}^2 \vphantom{{x_1}^{0^2}} } \cdot
         \sqrt{a^2 - {x_1}^{0^2} - \dotsc - {x_n}^{0^2}}}
\]

\Paragraph{Zusatz.} Eliminirt man aus den obigen Gleichungen
der Kürzesten die \linebreak Grösse $\dfrac{\rho - \rho_0}{k}$, so erhält man
\[
  x_1 = b_1x_n + b_1', \;\dotsc\; x_{n-1} = b_{n-1}x_n + b'_{n-1},
\]
wo $b_1$, $b_1'$, $\dotsc b_{n-1}$, $b_{n-1}'$ Constante bedeuten. Dieselben
Gleichungen werden auch unmittelbar aus den Gleichungen
7) durch Elimination der Grösse $xX$ erhalten.

\clearpage
\section*{Anmerkungen der Korrekturleser} %% Transcribers' notes
\thispagestyle{empty}
Folgende Veränderungen wurden vorgenommen:
\begin{itemize}
\item Originalseite 89, Abschnitt 78: Formel hieß im Original
$$
N = \sqrt{ \fsin\frac{x_2-x_1^2}{k}
         + \ftan\frac{y^2_2}{k}
         + \ftan\frac{y^2_1}{k}
         -2\ftan\frac{y_2}{k} \ftan\frac{y_1}{k}
           \fcos\frac{x_2-x_1}{k} },
$$
\item Am Schluss hieß es im Original:
$$
  \fcos\frac{\rho}{k}
= \frac{ a_2 - x_1{x_1}^0 - \dotsc - x_n{x_n}^0 }
       { \sqrt{a^2 - {x_1}^2 - \dotsc - {x_n}^2 \vphantom{{x_1}^{0^2}} } \cdot
         \sqrt{a^2 - {x_1}^{0^2} - \dotsc - {x_n}^{2}}}
$$
\end{itemize}
\clearpage

\section*{Lizenz}
\thispagestyle{empty}
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Elemente der Absoluten Geometrie, by 
Johannes Frischauf

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE ***

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work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
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including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
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Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
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works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Elemente der Absoluten Geometrie, by 
% Johannes Frischauf                                                      %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 29806-t.tex or 29806-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/9/8/0/29806/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

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\DOTSCASE@=\count92
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen105
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count93
\c@MaxMatrixCols=\count94
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count95
\dspbrk@lvl=\count96
\tag@help=\toks15
\row@=\count97
\column@=\count98
\maxfields@=\count99
\andhelp@=\toks16
\eqnshift@=\dimen106
\alignsep@=\dimen107
\tagshift@=\dimen108
\tagwidth@=\dimen109
\totwidth@=\dimen110
\lineht@=\dimen111
\@envbody=\toks17
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks18
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count100
\U@D=\dimen112
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks19
\inpenc@posthook=\toks20
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks21
\SOUL@lasttoken=\toks22
\SOUL@cmds=\toks23
\SOUL@buffer=\toks24
\SOUL@token=\toks25
\SOUL@spaceskip=\skip46
\SOUL@ttwidth=\dimen113
\SOUL@uldp=\dimen114
\SOUL@ulht=\dimen115
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks26
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count101
))
\Gin@req@height=\dimen116
\Gin@req@width=\dimen117
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty
Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
\captionmargin=\dimen118
\captionmarginx=\dimen119
\captionwidth=\dimen120
\captionindent=\dimen121
\captionparindent=\dimen122
\captionhangindent=\dimen123
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen124
\WF@size=\dimen125
\c@WF@wrappedlines=\count102
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks27
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/yfonts/yfonts.sty
Package: yfonts 2003/01/08 v1.3 (WaS)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/marvosym/marvosym.sty
Package: marvosym 2006/05/11 v2.1 Martin Vogel's Symbols font definitions
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/was/fixmath.sty
Package: fixmath 2000/04/11 v0.9 (WaS)
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Gamma on input line 27.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Delta on input line 28.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Theta on input line 29.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Lambda on input line 30.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Xi on input line 31.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Pi on input line 32.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Sigma on input line 33.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Upsilon on input line 34.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Phi on input line 35.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Psi on input line 36.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Omega on input line 37.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \alpha on input line 38.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \beta on input line 39.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \gamma on input line 40.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \delta on input line 41.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \epsilon on input line 42.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \zeta on input line 43.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \eta on input line 44.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \theta on input line 45.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \iota on input line 46.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \kappa on input line 47.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \lambda on input line 48.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \mu on input line 49.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \nu on input line 50.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \xi on input line 51.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \pi on input line 52.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \rho on input line 53.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \sigma on input line 54.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \tau on input line 55.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \upsilon on input line 56.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \phi on input line 57.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \chi on input line 58.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \psi on input line 59.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \omega on input line 60.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varepsilon on input line 61.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \vartheta on input line 62.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varpi on input line 63.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varphi on input line 64.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varrho on input line 65.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varsigma on input line 66.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks28
\footnotemargin=\dimen126
\c@pp@next@reset=\count103
\c@@fnserial=\count104
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titlesec.sty
Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
\ttl@box=\box29
\beforetitleunit=\skip47
\aftertitleunit=\skip48
\ttl@plus=\dimen127
\ttl@minus=\dimen128
\titlewidth=\dimen129
\titlewidthlast=\dimen130
\titlewidthfirst=\dimen131
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/ttlps.def
File: ttlps.def 2005/01/22
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titletoc.sty
Package: titletoc 2005/01/22 v1.5 TOC entries
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
\every@verbatim=\toks29
\verbatim@line=\toks30
\verbatim@in@stream=\read1
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
)
\c@subchapter=\count105
(./29806-t.aux)
\openout1 = `29806-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LY/yfrak/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LYG/ygoth/m/n on input line 222.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 222.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count106
\scratchdimen=\dimen132
\scratchbox=\box30
\nofMPsegments=\count107
\nofMParguments=\count108
\everyMPshowfont=\toks31
\MPscratchCnt=\count109
\MPscratchDim=\dimen133
\MPnumerator=\count110
\everyMPtoPDFconversion=\toks32
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
)
\CenteringLeftskip=\skip49
\RaggedLeftLeftskip=\skip50
\RaggedRightLeftskip=\skip51
\CenteringRightskip=\skip52
\RaggedLeftRightskip=\skip53
\RaggedRightRightskip=\skip54
\CenteringParfillskip=\skip55
\RaggedLeftParfillskip=\skip56
\RaggedRightParfillskip=\skip57
\JustifyingParfillskip=\skip58
\CenteringParindent=\skip59
\RaggedLeftParindent=\skip60
\RaggedRightParindent=\skip61
\JustifyingParindent=\skip62
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2


] [1

]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 291.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 291.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [2


] [3] (./29806-t.toc [4

])
\tf@toc=\write3
\openout3 = `29806-t.toc'.

[5] <images/fig01.pdf, id=35, 324.41202pt x 324.87085pt>
File: images/fig01.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig01.pdf> [1

] [2 <./images/fig01.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig01.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [3] [4]
Overfull \hbox (0.54588pt too wide) in paragraph at lines 689--695
\OT1/cmr/m/n/12 aus folgt kei-nes-wegs die Un-end-lich-keit des Raum-es, letz-t
e-re Ei-gen-schaft m[]uss-
 []

[5] [6] [7]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 903.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [8] <images/fig02.pdf, id=73, 324.41202pt x 324.41202pt>
File: images/fig02.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig02.pdf> [9 <./images/fig02.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig02.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [10] [11] <images/fig03.pdf, id=89, 410.20488pt x 327.77097pt>
File: images/fig03.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig03.pdf> [12 <./images/fig03.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig03.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig04.pdf, id=99, 412.47533pt x 404.0734pt>
File: images/fig04.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig04.pdf> [13 <./images/fig04.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig04.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [14] <images/fig05.pdf, id=112, 246.9225pt x 348.30125pt>
File: images/fig05.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig05.pdf> [15 <./images/fig05.pdf>] <images/fig06.pdf, id=126, 320
.41159pt x 273.05063pt>
File: images/fig06.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig06.pdf> [16 <./images/fig06.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig06.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig07.pdf, id=135, 299.02496pt x 346.24416pt>
File: images/fig07.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig07.pdf> [17 <./images/fig07.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig07.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [18] <images/fig08.pdf, id=148, 323.2075pt x 168.63pt>
File: images/fig08.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig08.pdf> [19

 <./images/fig08.pdf>] <images/fig09.pdf, id=165, 306.4418pt x 137.71468pt>
File: images/fig09.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig09.pdf> <images/fig10.pdf, id=167, 214.8025pt x 150.5625pt>
File: images/fig10.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig10.pdf> [20 <./images/fig09.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig09.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig10.pdf>] <images/fig11.pdf, id=190, 214.8025pt x 149.55875pt>
File: images/fig11.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig11.pdf> <images/fig12.pdf, id=192, 145.18132pt x 287.71967pt>
File: images/fig12.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig12.pdf> [21 <./images/fig11.pdf>] <images/fig13.pdf, id=209, 203
.0598pt x 287.71967pt>
File: images/fig13.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig13.pdf> [22 <./images/fig12.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig12.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig13.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig13.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig14.pdf, id=222, 304.36816pt x 183.52922pt>
File: images/fig14.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig14.pdf> [23 <./images/fig14.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig14.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig15.pdf, id=231, 292.97302pt x 198.2388pt>
File: images/fig15.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig15.pdf> [24 <./images/fig15.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig15.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig16.pdf, id=241, 215.68404pt x 238.54369pt>
File: images/fig16.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig16.pdf> [25 <./images/fig16.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig16.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig17.pdf, id=250, 182.81758pt x 231.16985pt>
File: images/fig17.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig17.pdf> [26 <./images/fig17.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig17.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig18.pdf, id=259, 361.8195pt x 177.52084pt>
File: images/fig18.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig18.pdf> [27 <./images/fig18.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig18.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig19.pdf, id=268, 198.7425pt x 161.60374pt>
File: images/fig19.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig19.pdf> [28 <./images/fig19.pdf>] <images/fig20.pdf, id=285, 154
.76764pt x 197.76898pt>
File: images/fig20.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig20.pdf> [29 <./images/fig20.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig20.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [30] [31] <images/fig21.pdf, id=302, 293.778pt x 171.51538pt>
File: images/fig21.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig21.pdf> <images/fig22.pdf, id=304, 367.2818pt x 277.3592pt>
File: images/fig22.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig22.pdf> [32 <./images/fig21.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig21.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig22.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig22.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>]
Overfull \hbox (0.6858pt too wide) in paragraph at lines 2209--2217
\OT1/cmr/m/n/12 Par-al-lel-win-kel al-so im-mer gr[]osser; man sagt da-her auch
: Zwei Par-al-le-le schnei-
 []

[33] <images/fig23.pdf, id=321, 309.88445pt x 184.86949pt>
File: images/fig23.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig23.pdf> <images/fig24.pdf, id=323, 302.24564pt x 229.87787pt>
File: images/fig24.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig24.pdf> [34 <./images/fig23.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig23.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig24.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig24.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig25.pdf, id=336, 381.425pt x 314.17375pt>
File: images/fig25.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig25.pdf> [35 <./images/fig25.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig25.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig26.pdf, id=345, 288.07625pt x 297.11pt>
File: images/fig26.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig26.pdf> [36] [37 <./images/fig26.pdf>] <images/fig27.pdf, id=366
, 300.12125pt x 174.6525pt>
File: images/fig27.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig27.pdf> <images/fig28.pdf, id=368, 292.72362pt x 176.80032pt>
File: images/fig28.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig28.pdf> <images/fig29.pdf, id=370, 202.7575pt x 180.675pt>
File: images/fig29.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig29.pdf> [38 <./images/fig27.pdf> <./images/fig28.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig28.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig29.pdf>] <images/fig30.pdf, id=397, 186.10242pt x 344.42606pt>
File: images/fig30.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig30.pdf> [39 <./images/fig30.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig30.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [40] <images/fig31.pdf, id=409, 281.05pt x 418.56375pt>
File: images/fig31.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig31.pdf> <images/fig32.pdf, id=411, 314.49272pt x 357.30154pt>
File: images/fig32.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig32.pdf>
Overfull \hbox (2.84305pt too wide) in paragraph at lines 2693--2694
[][] 
 []

[41 <./images/fig31.pdf> <./images/fig32.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig32.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig33.pdf, id=432, 256.96pt x 273.02pt>
File: images/fig33.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig33.pdf>
Overfull \hbox (1.42416pt too wide) in paragraph at lines 2717--2718
[][] 
 []


Underfull \hbox (badness 1968) in paragraph at lines 2720--2726
[][]\OT1/cmr/m/n/12 Der Durch-schnitt ei-ner Ku-gel mit ei-ner Ebe-ne ist
 []

[42 <./images/fig33.pdf>] [43] <images/fig34.pdf, id=453, 292.65764pt x 261.268
08pt>
File: images/fig34.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig34.pdf> <images/fig35.pdf, id=455, 270.00874pt x 246.9225pt>
File: images/fig35.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig35.pdf> [44 <./images/fig34.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig34.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig36.pdf, id=464, 289.08pt x 199.74625pt>
File: images/fig36.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig36.pdf> [45 <./images/fig35.pdf> <./images/fig36.pdf>] <images/f
ig37.pdf, id=493, 388.38673pt x 343.86237pt>
File: images/fig37.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig37.pdf> [46 <./images/fig37.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig37.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig38.pdf, id=502, 311.1625pt x 323.41417pt>
File: images/fig38.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig38.pdf> [47 <./images/fig38.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig38.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [48] <images/fig39.pdf, id=515, 257.96375pt x 229.85875pt>
File: images/fig39.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig39.pdf> <images/fig40.pdf, id=517, 242.35187pt x 281.94531pt>
File: images/fig40.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig40.pdf>
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+mvs on input line 3157.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/marvosym/umvs.fd) [49 <./images/fig39.pdf> 
<./images/fig40.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig40.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [50] <images/fig41.pdf, id=543, 343.74045pt x 380.09505pt>
File: images/fig41.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig41.pdf> <images/fig42.pdf, id=545, 313.17pt x 295.1025pt>
File: images/fig42.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig42.pdf> [51 <./images/fig41.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig41.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig42.pdf>] <images/fig43.pdf, id=566, 369.17207pt x 218.24039pt>
File: images/fig43.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig43.pdf> [52 <./images/fig43.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig43.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig44.pdf, id=575, 220.08652pt x 203.3275pt>
File: images/fig44.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig44.pdf> [53 <./images/fig44.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig44.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig45.pdf, id=585, 325.05728pt x 189.5815pt>
File: images/fig45.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig45.pdf> <images/fig46.pdf, id=587, 477.11104pt x 314.03664pt>
File: images/fig46.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig46.pdf>
Overfull \hbox (1.42026pt too wide) in paragraph at lines 3435--3436
[][] 
 []

[54 <./images/fig45.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig45.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig46.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig46.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [55] <images/fig47.pdf, id=604, 416.37329pt x 345.53625pt>
File: images/fig47.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig47.pdf> [56 <./images/fig47.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig47.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] <images/fig48.pdf, id=613, 277.74934pt x 273.74715pt>
File: images/fig48.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig48.pdf> [57 <./images/fig48.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig48.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] <images/fig49.pdf, id=645, 290.2896pt x 1
94.2848pt>
File: images/fig49.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig49.pdf> [65 <./images/fig49.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig49.pdf): PDF inclusion: Page Group d
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>] <images/fig50.pdf, id=654, 246.9225pt x 299.1175pt>
File: images/fig50.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig50.pdf> <images/fig51.pdf, id=656, 388.38673pt x 338.99542pt>
File: images/fig51.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig51.pdf> [66 <./images/fig50.pdf>] <images/fig52.pdf, id=674, 338
.41219pt x 288.86778pt>
File: images/fig52.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig52.pdf> [67 <./images/fig51.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig51.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig52.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig52.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [68] <images/fig53.pdf, id=690, 181.86555pt x 219.1821pt>
File: images/fig53.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig53.pdf> <images/fig54.pdf, id=692, 317.83112pt x 198.95708pt>
File: images/fig54.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig54.pdf> [69 <./images/fig53.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig53.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
> <./images/fig54.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig54.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] <images/fig55.pd
f, id=743, 232.72171pt x 259.20352pt>
File: images/fig55.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig55.pdf> [82 <./images/fig55.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig55.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] <images/fig56.pdf, id=778, 268.00125
pt x 323.2075pt>
File: images/fig56.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig56.pdf> [91 <./images/fig56.pdf>] [92] [93] [94] <images/fig57.p
df, id=807, 392.38023pt x 319.02042pt>
File: images/fig57.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig57.pdf> [95] [96 <./images/fig57.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig57.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [97] <images/fig58.pdf, id=823, 311.53624pt x 395.34569pt>
File: images/fig58.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig58.pdf> [98 <./images/fig58.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig58.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [99] [100] <images/fig59.pdf, id=838, 362.39676pt x 252.08105pt>
File: images/fig59.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig59.pdf> [101

 <./images/fig59.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig59.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>] [102] <images/fig60.pdf, id=851, 398.48875pt x 246.9225pt>
File: images/fig60.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig60.pdf> [103 <./images/fig60.pdf>] [104] [105] [106] [107]
Overfull \hbox (2.24725pt too wide) in paragraph at lines 6120--6124
\OT1/cmr/m/n/12 vor-her er-w[]ahn-te Ei-gen-schaft der Ebe-ne un-er-l[]ass-lich
, wor-aus wie-der die Zweck-
 []

[108] [109] [110] [111] [112]
Overfull \hbox (0.65985pt too wide) in paragraph at lines 6411--6416
\OT1/cmr/m/n/12 Fl[]ache con-stan-ter Kr[]ummung erh[]alt man am ein-fach-sten 
aus den Gauss'schen
 []

[113] [114] <images/fig61.pdf, id=903, 319.1925pt x 345.29pt>
File: images/fig61.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig61.pdf> [115] [116 <./images/fig61.pdf>] [117] [118] [119] [120]

Overfull \hbox (2.70003pt too wide) in paragraph at lines 6813--6818
[]\OT1/cmr/m/n/12 Die-se Vor-aus-set-zung ist die ein-fach-ste, wel-che den Be-
din-gun-gen ent-spricht,
 []

[121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] <
images/fig62.pdf, id=977, 399.4925pt x 293.095pt>
File: images/fig62.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig62.pdf>
Underfull \hbox (badness 4505) in paragraph at lines 7446--7473
[][]\OT1/cmr/m/n/12 Dasselbe folgt auch aus dem Lo-bat-schew-
 []

[134 <./images/fig62.pdf>] [135] [136]
Underfull \hbox (badness 1205) in paragraph at lines 7598--7598
[][]\OT1/cmr/m/n/10 Ausf[]uhrlichere Dar-stel-lun-gen der Theo-rie der hy-per-b
o-li-schen Func-tio-nen sind:
 []

<images/fig63.pdf, id=1000, 330.87007pt x 330.89963pt>
File: images/fig63.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig63.pdf> [137 <./images/fig63.pdf

pdfTeX warning: pdflatex (file ./images/fig63.pdf): PDF inclusion: Page Group d
etected which pdfTeX can't handle. Ignoring it.
>]
Overfull \hbox (1.77289pt too wide) in paragraph at lines 7649--7654
\OT1/cmr/m/n/12 schie-den; f[]ur $\OML/cmm/m/it/12  > []$ \OT1/cmr/m/n/12 kan
n man $\OML/cmm/m/it/12 A[]A$ \OT1/cmr/m/n/12 um ei-ne sol-che Strecke $\OML/cm
m/m/it/12 AB \OT1/cmr/m/n/12 = \OML/cmm/m/it/12 x$ \OT1/cmr/m/n/12 verl[]angern
,
 []

[138] [139] [140] [141] [142] [143]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 7924
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 7924.

[144

] [145

] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] (./29
806-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
  yfonts.sty    2003/01/08 v1.3 (WaS)
marvosym.sty    2006/05/11 v2.1 Martin Vogel's Symbols font definitions
 fixmath.sty    2000/04/11 v0.9 (WaS)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
titlesec.sty    2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
   ttlps.def    2005/01/22
titletoc.sty    2005/01/22 v1.5 TOC entries
verbatim.sty    2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
supp-pdf.tex
ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
images/fig01.pdf
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
images/fig02.pdf
images/fig03.pdf
images/fig04.pdf
images/fig05.pdf
images/fig06.pdf
images/fig07.pdf
images/fig08.pdf
images/fig09.pdf
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images/fig19.pdf
images/fig20.pdf
images/fig21.pdf
images/fig22.pdf
images/fig23.pdf
images/fig24.pdf
images/fig25.pdf
images/fig26.pdf
images/fig27.pdf
images/fig28.pdf
images/fig29.pdf
images/fig30.pdf
images/fig31.pdf
images/fig32.pdf
images/fig33.pdf
images/fig34.pdf
images/fig35.pdf
images/fig36.pdf
images/fig37.pdf
images/fig38.pdf
images/fig39.pdf
images/fig40.pdf
    umvs.fd
images/fig41.pdf
images/fig42.pdf
images/fig43.pdf
images/fig44.pdf
images/fig45.pdf
images/fig46.pdf
images/fig47.pdf
images/fig48.pdf
images/fig49.pdf
images/fig50.pdf
images/fig51.pdf
images/fig52.pdf
images/fig53.pdf
images/fig54.pdf
images/fig55.pdf
images/fig56.pdf
images/fig57.pdf
images/fig58.pdf
images/fig59.pdf
images/fig60.pdf
images/fig61.pdf
images/fig62.pdf
images/fig63.pdf
  omscmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
 ***********


LaTeX Font Warning: Size substitutions with differences
(Font)              up to 4.0pt have occurred.

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 4335 strings out of 94074
 57968 string characters out of 1165153
 117463 words of memory out of 1500000
 7468 multiletter control sequences out of 10000+50000
 19538 words of font info for 73 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 34i,16n,38p,418b,368s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texmf
-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/te
xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t
ype1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi
7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/te
xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ty
pe1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy5.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb
></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti10.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/marvosym/m
arvosym.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/
share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm10.pfb></usr/share/texmf-texliv
e/fonts/type1/public/gothic/ygoth.pfb>
Output written on 29806-t.pdf (164 pages, 948049 bytes).
PDF statistics:
 1161 PDF objects out of 1200 (max. 8388607)
 0 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 694 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

