% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% Project Gutenberg's Theorie der Abel'schen Functionen, by Karl Weierstrass
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Title: Theorie der Abel'schen Functionen                                %
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% Author: Karl Weierstrass                                                %
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% Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780]                            %
% Most recently updated: June 11, 2021                         %
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% Language: German                                                        %
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% Character set encoding: UTF-8                                           %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN ***
%                                                                         %
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\def\ebook{29780}
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%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%%                                                                  %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  Font encoding, for German hyphenation. Required.       %%
%% babel:    German hyphenation rules. Required.                    %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS math environments, symbols, and fonts. Required.   %%
%% amsthm:   AMS theorem-defining macros. Required.                 %%
%%                                                                  %%
%% pxfonts:  Palatino fonts. Required.                              %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% soul:     Spaced out and underlined text. Optional.              %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% footmisc: Enhanced footnotes. Required.                          %%
%% manyfoot: Multiple footnote series. Required.                    %%
%% perpage:  Restart footnote numbering on each page. Required.     %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments: A few pages require visual inspection.      %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Things to Check:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% Tables on pp. 85-86 are on pages in pairs      OK                %%
%%                                                                  %%
%% Spellcheck: .................... Archaic Variants                %%
%% Smoothreading pool: ......................... Yes                %%
%%                                                                  %%
%% lacheck: ..................................... OK                %%
%%   False positives:                                               %%
%%   Do not use @ in LaTeX macro names  (2 instances)               %%
%%   punctuation mark "!" [in] math mode (1 instance)               %%
%%   possible unwanted space at "{"  (~130 instances)               %%
%%                                                                  %%
%% Lprep/gutcheck: .............................. OK                %%
%% ToC page numbers: ............................ OK                %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 121 (ForPrinting = false)                             %%
%% PDF page size: US Letter                                         %%
%% PDF bookmarks: Created                                           %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Images: 1 PDF (title page decoration)                            %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Nine underfull vboxes.                                         %%
%% * Five overfull hboxes.                                          %%
%%   The three largest overfull hboxes come from the tables on      %%
%%   pp. 85-86. The other two are small enough not to be visible.   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Formatting notes:                                                %%
%%                                                                  %%
%% * The file is set up to use Palatino (pxfonts). In many cases,   %%
%%   delimiters have been explicitly sized for pxfonts, the default %%
%%   being too large.                                               %%
%%                                                                  %%
%% * Sub- and super-scripts are set in larger than default size.    %%
%%   See \DeclareMathSizes line below. Exponentiation macros are    %%
%%   coded in (\Pow, \Powfr), but remain unused.                    %%
%%                                                                  %%
%% * Special display fraction macros are used (\smfrac, \fnfrac)    %%
%%   to fine-tune sizes, particularly in exponents.                 %%
%%                                                                  %%
%% * There is effectively no internal hyperlinking: The book has    %%
%%   no table of contents, many sectional units are unnamed, and    %%
%%   equations are sometimes numbered inconsistently (duplicated    %%
%%   or missing numbers). Code for a simple table of contents is    %%
%%   provided but switched off. Re-define ToC=true to activate.     %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% April, 2008: adhere (Andrew D. Hwang)                            %%
%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x2 (Run pdflatex twice)                             %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2009: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 29780-t.tex ..... TWO times                           %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listfiles

% N.B. global german, letterpaper options
\documentclass[leqno,12pt,germanb,letterpaper]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05]
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage{babel}[2005/11/23]

\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
\usepackage{amsthm}[2004/08/06]

\usepackage{pxfonts}[2005/01/03]

\usepackage{alltt}[1997/06/16]

\IfFileExists{soul.sty}{% load soul package for letterspaced headings
  \usepackage{soul}[2003/11/17]
  }{% fallback for missing soul package
  \providecommand{\so}[1]{\textbf{##1}}
}

% for \Section
\usepackage{ifthen}[2001/05/26]

% for footnotes
\usepackage[multiple]{footmisc}[2005/03/17] %% Use \dagger for changes to text
\usepackage[para]{manyfoot}[2005/09/11]
\usepackage{perpage}[2006/07/15]

% for thoughtbreak
\usepackage{graphicx}[1999/02/16]

% for running heads,
\usepackage{fancyhdr}

% but we'll handle the hrule at page top when we need it
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      Interlude:  Set up user-configurable options       %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% Compile a table of contents?
\newboolean{ToC}

%% UNCOMMENT the \setboolean{ToC} line for a simple table of contents %%
%% Entfernen Sie die nächste Zeile, um ein einfaches
%% Inhaltsverzeichnis zu erhalten.
%\setboolean{ToC}{true}

\ifthenelse{\boolean{ToC}}{%
  % No number on first page of Table of Contents
  \AtBeginDocument{\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{empty}}}%
}{}% Else no ToC, nothing to do


%%%%  PRINTING or SCREEN VIEWING (default) %%%%
% ForPrinting=true                     false (default)
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks (ToC only)
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
\newboolean{ForPrinting}

%% UNCOMMENT the \setboolean line below for a PRINT-OPTIMIZED VERSION %%
%% Entfernen Sie die nächste Zeile, um eine Druckversion zu erhalten. %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNoteText}{%
  Diese PDF-Datei wurde für den Bildschirm optimiert, kann bei Bedarf
  aber leicht für den Drucker angepasst werden. Bitte finden Sie
  weitergehende Informationen am Anfang des LaTeX-Quelltexts.}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
  Diese PDF-Datei wurde für den Drucker optimiert, kann bei Bedarf
  aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Bitte finden Sie
  weitergehende Informationen am Anfang des LaTeX-Quelltexts.}
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% text block size carefully chosen for good breaks at pp. 85-86.
\usepackage[hscale=0.675,vscale=0.72,\Margins]{geometry}[2002/07/08]

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Theorie der Abel'schen Functionen},
  pdfauthor={Karl Weierstrass},
  pdfkeywords={K. F. Greiner, Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,
  linktocpage=true,
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

% Re-crop screen-formatted version
% [** PP: Needs adjustment? Eqn #s on p. 42 extend into left margin.]
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {}
  {\hypersetup{pdfpagescrop= 60 85 552 757}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}


%%%% Translation strings for PDF bookmarks %%%%
\newcommand{\FrontMatter}{Titelseite}
\newcommand{\Boilerplate}{PG Titelblatt}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkung der Korrekturleser}
\newcommand{\TransNotes}{Anmerkungen der Korrekturleser}

\newcommand{\BackMatter}{Anhänge}
\newcommand{\License}{PG Lizenz}


% large, but more or less matches the book
\setlength{\parindent}{3em}

\newtheoremstyle{th}{12pt}{\topsep}{\itshape}{\parindent}{\upshape}%
{\ }{\newline}{\hfill\thmname{#1}\hfill}

\theoremstyle{th}
\newtheorem*{theorem}{\so{Theorem}.}

\newtheoremstyle{proof}{12pt}{\topsep}{}{\parindent}{\upshape}%
{\ }{\newline}{\hfill\thmname{#1}\hfill}

\theoremstyle{proof}
\newtheorem*{beweis}{\so{Beweis}.}


% Subdivisions
\newcommand{\Chapter}[1]{%
  \section*{\centering #1}%
% ToC entry or PDF bookmark
  \ifthenelse{\boolean{ToC}}{%
    \phantomsection%
    \label{chapter:#1}%
    \addcontentsline{toc}{chapter}{\protect{#1}}%
  }% else create manual bookmark
  {\pdfbookmark[0]{#1}{chapter:#1}}%
}

\newcounter{Section}

\newcommand{\Section}[1]{%
  \refstepcounter{Section}%
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\subsection*{\centering #1}}%
  \subsubsection*{\centering\S.~\theSection.}%
  \label{section:\theSection}%
% ToC entry or PDF bookmark
  \ifthenelse{\boolean{ToC}}{%
    \phantomsection%
    \addcontentsline{toc}{section}{Abschnitt~\theSection}%
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\medskip\par\noindent\quad\textit{{\bfseries #1}.}}


%% Footnote formatting: Number per page, use symbols, format *)
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% for Change notes
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% Put equation tag in left margin; must come just after \[ (or equiv.)
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% Accommodate unusual over/undersets and exponents
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% globally adjust size of super- and sub-scripts
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% macros (and stubs) for exponents and fractions, obviated by previous
% command but laborious to remove from file
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\newcommand{\Pow}[2]{{#1}^{#2}}   % for inline exponents

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\newcommand{\Defn}[1]{{\normalfont\bfseries\itshape #1}}

% Math Font
\newcommand{\MF}[1]{\boldsymbol{#1}}

% and miscellaneous consequent symbols
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%\newcommand{\pbar}{\overline{\vphantom{l}\MF{p}}} % ugly, but matches scan
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% expression appears repeatedly; raise bottom of radical slightly
\newcommand{\sqrtRx}{\sqrt{\vphantom{\MF{R}(x_2)}\smash[b]{\MF{R}(x_\varrho)}}}

\DeclareMathOperator{\Al}{\mathfrak{Al}}
\DeclareMathOperator{\Alrm}{Al}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\pagenumbering{Roman}
\pagestyle{empty}

\phantomsection
\pdfbookmark[0]{\FrontMatter.}{front}

\pdfbookmark[1]{\Boilerplate.}{bplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Project Gutenberg's Theorie der Abel'schen Functionen, by Karl Weierstrass

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Theorie der Abel'schen Functionen

Author: Karl Weierstrass

Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: German

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage

\begin{PGtext}
Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson
and the Online Distributed Proofreading Team at
\end{PGtext}

\vfill

\phantomsection
\pdfbookmark[1]{\TransNote.}{transnote}

\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\subsubsection*{\centering \TransNote}

\small
\raggedright

\TransNoteText
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter

\pagenumbering{roman}
\pagestyle{empty}

\allowhyphens

% Table of contents not in original; put before title page
\ifthenelse{\boolean{ToC}}{%
  \tableofcontents
  \cleardoublepage
}{} % else do nothing

%% {-----File: 001.png---(Title page)-------}

\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{center}
\LARGE \textbf{\so{Theorie}} \\[48pt]

\Huge \textbf{der Abel'schen Functionen} \\[64pt]

\footnotesize von \\[48pt]

\Large \textbf{Karl Weierstraß.} \\[48pt]

\rule{0.2\textwidth}{0.5pt} \\[48pt]

\normalsize\so{Erstes Heft}. \\[24pt]

\scriptsize
Abdruck aus dem "`Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' \\[48pt]

\includegraphics[width=4.5in]{images/tb} \\[12pt]
%% thoughtbreak symbol

\normalsize\textbf{\so{Berlin}}. \\[12pt]

\footnotesize Druck und Verlag von Georg Reiner. \\[12pt]

\normalsize\textbf{1856}.
\end{center}
\end{minipage}
\vfill

%% {-----File: 002.png---Folio xx-------}
%[Blank Page]
%% {-----File: 003.png---Folio 1-------}


\mainmatter

\pagenumbering{arabic}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\setlength{\headheight}{14.5pt}
\fancyhead[C]{---\quad\thepage\quad---}
\thispagestyle{empty}

\section*{\centering\so{Einleitung}}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Einleitung.}{chapter:0}

\hspace*{\parindent}{\Huge\textbf{D}}as \Auth{Abel}'sche Theorem über die hyperelliptischen Integrale bildet die
Grundlage für die Theorie einer neuen Gattung analytischer Functionen, die
deswegen passend \Defn{Abel'sche Functionen} genannt, und folgendermaßen definirt
werden können.

Es bedeute
\[
\MF{R}(x) = \MF{A}_0(x-a_1)(x-a_2)\dotsm(x-a_{2\varrho+1})
\]
eine ganze Function $(2\varrho+1)$ten Grades von~$x$, wobei angenommen werde,
daß unter den Größen
\[
a_1,\quad a_2,\quad \dots,\quad a_{2\varrho+1}
\]
keine zwei gleiche sich finden, während sie im Übrigen beliebige (reelle und
imaginäre) Werthe haben können. Ferner seien $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ $\varrho$~unbeschränkt
veränderliche Größen, und zwischen diesen und eben so vielen von
ihnen abhängigen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ die nachstehenden Differential-Gleichungen,
in denen
\[
\MF{P}(x) \quad\text{das Product}\quad (x-a_1)(x-a_2)\dotsm(x-a_\varrho)
\]
bedeutet, gegeben:
\begin{align*}
d\MF{u}_1
&=  \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_1} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}}
  + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_1} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}}
  + \dots
  + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\varrho - a_1}
      \centerdot \frac{dx_\varrho}{\sqrtRx}, \\
d\MF{u}_2
&=  \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_2} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}}
  + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_2} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}}
  + \dots
  + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\varrho - a_2}
      \centerdot \frac{dx_\varrho}{\sqrtRx}, \\
\multispan{2}{\dotfill} \\
d\MF{u}_\varrho
&=  \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_1)}{x_1 - a_\varrho} \centerdot \frac{dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}}
  + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_2)}{x_2 - a_\varrho} \centerdot \frac{dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}}
  +\dots
  + \frac{1}{2}\frac{\MF{P}(x_\varrho)}{x_\rho - a_\varrho}
      \centerdot\frac{dx_\varrho}{\sqrtRx};\footnotemark
% [** Final numerator subscript missing in scan]
\end{align*}
\footnotetext{Man kann diesen Differential-Gleichungen mancherlei verschiedene Formen geben;
die hier gewählte vereinfacht die Rechnung nicht unwesentlich, ohne daß, wie später
soll gezeigt werden, der Allgemeinheit Abbruch geschieht.}%
%% {-----File: 004.png---Folio 2-------}
mit der Bestimmung, daß $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dots,~a_{\varrho}$ annehmen
sollen, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$ sämmtlich verschwinden.

Alsdann sind $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ als die Wurzeln einer Gleichung von
der Form
\[
x^\varrho + \MF{P}_1 x^{\varrho-1} + \MF{P}_2 x^{\varrho-2} + \dots + \MF{P}_{\varrho} = 0
\]
zu betrachten, wo $\MF{P}_1$, $\MF{P}_2$, $\dots,~\MF{P}_{\varrho}$ eindeutige analytische Functionen von
$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$ bedeuten; während eine zweite ganze Function von~$x$ des
$(\varrho-1)$ten Grades
\[
\MF{Q}_1 x^{\varrho-1} + \MF{Q}_2 x^{\varrho-2} + \dots + \MF{Q}_{\varrho}\,,
\]
deren Coefficienten eben solche Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots~\MF{u}_{\varrho}$ sind, wenn
man $x=x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ setzt, die zugehörigen Werthe von
\[
\sqrt{\MF{R}(x_1)},\quad \sqrt{\MF{R}(x_2)},\quad \dots,\quad \sqrtRx
\]
giebt.\footnote{Den ersten Theil dieses Satzes hat bereits \Auth{Jacobi} ausgesprochen, und dadurch
den wahren analytischen Charakter der Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ klar gemacht.}

Hiernach ist jeder rational und symmetrisch aus
\[
x_1, x_2, \dots, x_\varrho \quad\text{und}\quad
\sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dots, \sqrtRx
\]
zusammengesetzte Ausdruck als eine eindeutige Function von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots~\MF{u}_{\varrho}$
anzusehn. Insbesondere aber zeigt es sich, daß das Product
\[
(a_\frakr - x_1) (a_\frakr - x_2) \dotsm (a_\frakr - x_{\varrho}),
\]
wo $\frakr$ eine der Zahlen $1$, $2$, $\dots~2\varrho + 1$ bedeutet, das \Defn{Quadrat} einer solchen
ist. Betrachtet man demgemäß, indem man
\[
\varphi(x) = (x - x_1) (x - x_2) \dotsm (x - x_{\varrho})
\]
setzt, und unter $h_1$, $h_2$, $\dots,~h_{2\varrho+1}$ Constanten versteht, die Größen
\[
\sqrt{h_1 \varphi(a_1)},\quad
\sqrt{h_2 \varphi(a_2)},\quad
\dots,\quad
\sqrt{\vphantom{h_2\varphi}\smash[b]{h_{2\varrho+1} \varphi(a_{2\varrho+1})}}
\]
als Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_{\varrho}$, so kann man nicht nur aus denselben
die Coefficienten der Gleichung, deren Wurzeln $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_{\varrho}$ sind, leicht
zusammensetzen, sondern sie zeichnen sich auch gleich den \Defn{elliptischen}
$ \sin\am\MF{u}$, $\cos\am\MF{u}$, $\Delta\am\MF{u}$, auf welche sie sich für $\varrho = 1$ reduciren, und
denen sie überhaupt vollkommen analog sind, durch eine solche Menge merkwürdiger
und fruchtbarer Eigenschaften aus, daß man ihnen und einer Reihe
anderer, im Zusammenhange mit denselben stehenden, vorzugsweise den Namen
"`\Defn{Abel'sche Functionen}'' zu geben berechtigt ist, und sie zum Hauptgegenstande
der Betrachtung zu machen aufgefordert wird.

%% {-----File: 005.png---Folio 3-------}

Die nächste Aufgabe, welche sich nun darbietet, betrifft die wirkliche
Darstellung der im Vorstehenden definirten Größen, sowie die Entwicklung
ihrer hauptsächlichsten Eigenschaften. Sodann ist es auch erforderlich, das
Integral
\[
\int\Biggl\{
    \frac{\MF{F}(x_1)\, dx_1}{\sqrt{\MF{R}(x_1)}}
  + \frac{\MF{F}(x_2)\, dx_2}{\sqrt{\MF{R}(x_2)}}
  + \dots
  + \frac{\MF{F}(x_\varrho)\, dx_\varrho}{\sqrtRx}
  \Biggr\},
\]
wo $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeutet, als Function von
$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ auszudrücken. Beide Probleme finden in der gegenwärtigen
Schrift, deren Resultate ich zum Theil schon früher in zwei kleinern Abhandlungen\footnote{%
Programm des \textit{Braunsberger} Gymnasiums v.~J.~1849 und \textit{Crelle}'s Journal Bd.~47.}
bekannt gemacht habe, ihre vollständige Erledigung, und zwar auf
einem Wege, welcher von dem für die \Auth{Abel}'schen Functionen \textit{zweier} Argumente
von \Auth{Göpel} und \Auth{Rosenhain} betretenen gänzlich verschieden ist. Die
genannten Mathematiker gehen nämlich von unendlichen Reihen aus, die sie
aus denen, durch welche \Auth{Jacobi} die elliptischen Functionen auszudrücken
gelehrt hat, durch eine von tiefer analytischer Einsicht zeugende Verallgemeinerung
erhalten, und zeigen dann, wie sich aus denselben, die zwei veränderliche
Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$ enthalten, die Coefficienten einer quadratischen
Gleichung so zusammensetzen lassen, daß zwischen deren Wurzeln und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$
zwei Differential-Gleichungen von der oben aufgestellten Form bestehen.
Dagegen war mein Bestreben von Anfang an auf die Auffindung einer Methode
gerichtet, die geeignet sei, unmittelbar von den genannten Differential-Gleichungen
aus für jeden Werth von $\varrho$ auf einem einfachen, alle Willkührlichkeit
ausschließenden Wege zur Darstellung der Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ als
Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ in einer für alle Werthe der letztern gültig
bleibenden Form zu führen. Durch weitere Ausbildung eines Verfahrens,
dessen ich mich bereits früher zur directen Entwicklung der elliptischen
Functionen, ohne Voraussetzung der Multiplications -- und Transformations-Formeln
mit gutem Erfolge bedient hatte, gelang es mir, das Ziel, welches
ich mir gesteckt, vollständig zu erreichen; wo sich denn als schließliches Resultat
meiner Untersuchungen ergab, daß sich sämmtliche \Auth{Abel}'sche Functionen
einer bestimmten Ordnung auf eine einzige, in einfacher Form darstellbare
Transcendente zurückführen lassen. Damit ist aber für sie dasselbe erreicht,
was für die elliptischen Functionen \Auth{Jacobi} gethan hat, und was \Auth{Lejeune
Dirichlet} in seiner Gedächtnißrede auf den großen Mathematiker mit Recht
als eine der bedeutendsten Leistungen desselben bezeichnet.

%% {-----File: 006.png---Folio 4-------}

Die vorliegende Arbeit ist unter mancherlei äußern Hemmungen entstanden,
die mir nur von Zeit zu Zeit, und oftmals nach langer Unterbrechung,
mit derselben mich zu beschäftigen gestatteten. Ohne Zweifel wird man Spuren
davon an nicht wenigen Stellen entdecken. Gleichwohl hoffe ich, daß ihr die
Sachkundigen auch in der Gestalt, wie ich sie jetzt ihrer Beurtheilung vorlege,
nicht ganz ihren Beifall versagen, und wenigstens \textit{ein} Ergebniß derselben mit
Befriedigung aufnehmen werden, die Thatsache nämlich, daß sich die elliptischen
und die \Auth{Abel}'schen Functionen nach einer für alle Ordnungen gleich
bleibenden und zugleich directen Methode behandeln lassen; und ich trage kein
Bedenken, zu gestehen, daß ich auf \textit{dieses} Resultat meiner Arbeit einigen
Werth lege, und es als ein für die Wissenschaft nicht unbedeutendes betrachte.

\begin{center}{\rule{0.2\textwidth}{0.5pt}}\end{center}%

\Chapter{Erstes Kapitel.}

\Section{Erklärung der Abel'schen Functionen; Bestimmung der
analytischen Form derselben.}

Ich beginne mit der Ermittelung der Form, unter welcher der Zusammenhang
zwischen den Größen $x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho$ und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$ dargestellt
werden kann. Zuvörderst aber möge, zur Vermeidung von Wiederholungen,
hier ein für allemal in Betreff einiger Bezeichnungen, die ich im Verlaufe
der ganzen Abhandlung unverändert beibehalten werde, Folgendes festgestellt
werden.

Die ersten Buchstaben des deutschen Alphabets, $\fraka$, $\frakb$, $\frakc~\dots$ sollen,
sobald nicht ausdrücklich etwas Anderes bestimmt wird, ausschließlich Zahlen
aus der Reihe
\[
1,\quad 2,\quad \dots,\quad \varrho
\]
bedeuten, in der Art, daß jeder derselben, wo er in einer Formel vorkommt,
unabhängig von den übrigen etwa in ihr sich findenden, sämmtliche dieser
Reihe angehörigen Werthe durchlaufen kann. Ein Ausdruck, der einen oder
mehrere dieser Buchstaben enthält, repräsentirt demnach, je nachdem die Zahl
derselben~$1$, oder~$2$, oder~$3$ u.~s.~w.\ ist, $\varrho$, oder~$\varrho^2$, oder~$\varrho^3$ u.~s.~w.\ Werthe.
Die Summe aller dieser Werthe soll dann ferner durch ein dem Ausdrucke
%% {-----File: 007.png---Folio 5-------}
vorgesetztes $\sum$ bezeichnet werden, und zwar in der Regel ohne besondere
Andeutung der Buchstaben, auf welche es sich bezieht, was nur in dem Falle
nicht unterbleiben darf, wenn außer derselben noch andere deutsche Buchstaben
vorkommen. Hiernach ist z.~B.
\begin{align*}
  \tsum \MF{F}(\fraka)
  &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} \MF{F}(\fraka) \\
%
  \tsum \MF{F}(\fraka, \frakb)
  &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho}
     \tsum\limits_{\frakb=1}^{\frakb=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb).
  \intertext{Dagegen soll}
  \tsum\limits_{\fraka} \MF{F}(\fraka, \frakb)
  &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb) \\
%
  \tsum\limits_{\fraka, \frakb} \MF{F}(\fraka, \frakb, \frakc)
  &= \tsum\limits_{\fraka=1}^{\fraka=\varrho}
     \tsum\limits_{\frakb=1}^{\frakb=\varrho} \MF{F}(\fraka, \frakb, \frakc)
\end{align*}
sein; u.~s.~w.

Kommt es in einem besondern Falle vor, daß bei einer solchen Summation
ein Buchstabe von den festgesetzten Werthen irgend einen bestimmten
nicht annehmen darf, so soll darauf durch ein dem $ \sum $ oben beigefügtes ($'$)
aufmerksam gemacht, und zugleich der auszuschließende Werth neben der
Summenformel angegeben werden; wonach z.~B. die Bedeutung der Formel
\[
  {\sum_\fraka}' \biggl(\frac{1}{a_\fraka - a_\frakb} \biggr)\;,
  \quad (\fraka \gtrless \frakb)
\]
klar ist.

Endlich bemerke ich noch, daß eine Gleichung, die einen, oder zwei
u.~s.~w.\ der in Rede stehenden deutschen Buchstaben enthält, ein System von
$\varrho$, oder $\varrho^2$ u.~s.~w.\ Gleichungen darstellt; so daß z.~B.\ die in der Einleitung
aufgestellten Differential-Gleichungen sämmtlich in der folgenden
\[
\tag{1.}
d\MF{u}_\frakb = \sum_\fraka
\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb}
      \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
\]
enthalten sind.

Dies vorausgeschickt soll nun zunächst gezeigt werden, daß sich
$x_1$, $x_2$, $\dots,~x_\varrho $ bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dots,~\MF{u}_\varrho$  nach ganzen
positiven Potenzen dieser Größen in convergirende Reihen entwickeln lassen.

Wenn die Differenz $x - a_\frakr$, wo $\frakr$ irgend eine der Zahlen $1$,~$2$, $\dots,~2\varrho+1$ bezeichnen soll, dem absoluten Betrage\footnote
{Unter dem absoluten Betrage oder Werthe einer complexen (imaginären) Größe
verstehe ich hier den analytischen Modul derselben, wie er sonst genannt wird. Der
Umstand, daß das Wort \textit{Modul} in so verschiedenem Sinne gebraucht wird, und namentlich
in der Theorie der elliptischen und \Auth{Abel}'schen Functionen bereits eine feststehende Bedeutung
hat, möge die Einführung der vorgeschlagenen Benennung entschuldigen.} nach kleiner ist als die
%% {-----File: 008.png---Folio 6-------}
Differenz zwischen $ a_\frakr$ und jeder andern der Größen $a_1$, $a_2$, $\dots,~a_{2\varrho+1}$ (was
durch den Ausdruck "`es befinde sich $x$ in der Nähe von $a_\frakr$'' bezeichnet werden
möge), so läßt sich
\begin{gather*}
  \frac{1}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
    \quad \text{durch eine convergirende Reihe von der Form} \\
  \frac{1}{\sqrt{\MF{R}'(a_\frakr)(x - a_\frakr)}}
    \centerdot \Bigl\{1 + (\frakr)_1\, (x - a_\frakr)
                   + (\frakr)_2\, (x - a_\frakr)^2 + \dotsb \Bigr\}
\end{gather*}
darstellen, wo $\MF{R}'(x) = \smfrac{\partial \MF{R}(x)}{\partial x}$, und $(\frakr)_1$, $(\frakr)_2$ u.~s.~w.\ rational aus $a_\frakr$ und den
Coefficienten von $\MF{R}(x)$ zusammengesetzte Ausdrücke sind.

Wird daher angenommen, es befinde sich $x_1$ in der Nähe von $a_1$, $x_2$
in der Nähe von $a_2$ u.~s.~w., und setzt man,
\[
\frac{\MF{R}(x)}{\MF{P}(x)}
  = \MF{A}_0(x - a_{\varrho+1}) \dotsm (x - a_{2\varrho+1})
    \quad\text{mit}\quad \MF{Q}(x),\qquad
    \dfrac{\partial \MF{P}(x)}{\partial x} \quad\text{mit}\quad\MF{P}'(x)
\]
bezeichnend,
\[
\tag{2.}
\sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)} (x_\fraka - a_\fraka)\biggr)}
= s_\fraka\,,
\]
so hat man
\[
\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - x_\frakb}
  \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
  = \Bigl((\fraka, \frakb)_0
        + (\fraka, \frakb)_1\, s_\fraka^2
        + (\fraka, \frakb)_2\, s_\fraka^4 + \dotsb \Bigr)\, ds_\fraka\,,
\]
wo $(\fraka, \frakb)_0$, $(\fraka, \frakb)_1$ u.~s.~w.\ rationale, aus $a_\fraka$, $a_\frakb$ und den Coefficienten von
$\MF{P}(x)$, $\MF{Q}(x)$ zusammengesetzte Ausdrücke bedeuten, und insbesondere
\[
(\fraka, \fraka)_0 = 1, \quad
(\fraka, \frakb)_0 = 0, \quad\text{wenn $\fraka \gtrless \frakb$,}
\]
ist. Hiernach geben die Gleichungen (1.) durch Integration
\[
\tag{3.}
\left\{
\begin{aligned}
\MF{u}_1 &= s_1 + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty}
  {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, 1)_\frakn}{2\frakn+1}\,
    s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}, \\[1ex]
%
\MF{u}_2 &= s_2 + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty}
  {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, 2)_\frakn}{2\frakn+1}\,
    s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}, \\[1ex]
%
\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex]
%
\MF{u}_\varrho
&= s_\varrho + \Underset{\frakn = 1 \dotsc \infty}
  {\mathbf{S}\, \Biggl\{ \sum \frac{(\fraka, \varrho)_\frakn}{2\frakn+1}\,
    s_\fraka^{2\frakn+1} \Biggr\}}.
\end{aligned}
\right.
\]
Aus diesen Reihen erhält man dann ferner durch Umkehrung die folgenden,
in denen $(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\frakn$ eine ganze homogene Function $\frakn$ten Grades von
$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bezeichnen soll.
%% {-----File: 009.png---Folio 7-------}
\[
\tag{4.}
\left\{
\begin{aligned}
  s_1 &= \sqrt{\biggl(\frac{{\MF{P}}'(a_1)}{\MF{Q}(a_1)} (x_1-a_1)\biggl)}
       = \MF{u}_1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3
                  + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb, \\[1ex]
%
  s_2 &= \sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_2)}{\MF{Q}(a_2)} (x_2-a_2)\biggl)}
       = \MF{u}_2 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3
                  + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb, \\[1ex]
%
\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex]
%
  s_\varrho
  &= \sqrt{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\varrho)}{\MF{Q}(a_\varrho)} (x_\varrho-a_\varrho)\biggl)}
       = \MF{u}_\varrho + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3
                        + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb.
\end{aligned}
\right.
\]
Ferner, da sich
\begin{gather*}
  \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
    \quad\text{in eine Reihe von der Form} \\
  s_\fraka + (\fraka)_1\, s_\fraka^3 + (\fraka)_2\, s_\fraka^5 + \cdots
\end{gather*}
entwickeln läßt,
\[
\tag{5.}
\Underset{ (\fraka=1, 2, \dotsc, \varrho) }
         { \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
         = \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{\MF{Q}(x_\fraka)}
         = \MF{u}_\fraka + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_3
                    + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_5 + \dotsb
}\;. % [** PP: Added period]
\]
Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$
convergiren, sondern nur für solche, die gewisse Bedingungen erfüllen. Es
ist aber für den gegenwärtigen Zweck nicht erforderlich, diese aufzusuchen;
es genügt vielmehr anzunehmen, daß die Reihen~(3 -- 5) für \textit{irgend welche}
Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, deren absolute Beträge durch $\MF{U}_1$, $\MF{U}_2$, $\dotsc,~\MF{U}_\varrho$
bezeichnet werden mögen, sämmtlich convergent seien -- wozu man nach
einem allgemeinen Satze über die Reihenentwicklungen von Functionen, die
algebraischen Differential-Gleichungen genügen, berechtigt ist\footnote{%
Vergl.\ meine Abhandlung über die analytischen Facultäten in \textit{Crelle}'s Journal
Bd.~51.\ S.~43.%
}.
Dann sind
sie es auch unbedingt, sobald man für $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ nur solche Werthe
zuläßt, die dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich $\MF{U}_1$, $\MF{U}_2$, $\dotsc,~\MF{U}_\varrho$
sind, und geben unter dieser Voraussetzung
\[
  x_1,\ x_2,\ \dotsc,\ x_\varrho,\quad
  \sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dotsc, \sqrtRx
\]
als völlig bestimmte, eindeutige Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$. Wenn man
aber die vorstehenden Größen für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ innerhalb
der bezeichneten Gränzen berechnen kann, so ist durch das \Auth{Abel'sche Theorem}
die Möglichkeit gegeben, dieses auch für \textit{beliebig große} Werthe der genannten
Veränderlichen auszuführen.


\Section{} % \S.~2.

Um dieses nachzuweisen, nehme man statt $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho\,(2\mu)$ Reihen
von je $\varrho$ solchen veränderlichen Größen
%% {-----File: 010.png---Folio 8-------}
\[
\tag{1.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
&\MF{u}'_1,          && \MF{u}'_2,          && \dotsc,      && \MF{u}'_\varrho,  \\
&\MF{u}''_1,         && \MF{u}''_2,         && \dotsc,      && \MF{u}''_\varrho, \\
\multispan{8}{\dotfill\quad}\\[1ex]
&\MF{u}^{(2\mu)}_1,\ && \MF{u}^{(2\mu)}_2,\ && \dotsc,\quad && \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho
\end{alignedat}\right.
\]
an, die keiner andern Beschränkung unterworfen sein sollen, als daß
\[
\MF{u}'_\fraka,\ \MF{u}''_\fraka,\ \dotsc,\ \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka
\]
sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}_\fraka$ vorausgesetzt werden.
Ferner bezeichne man, wenn $\frakm$ eine der Zahlen $1$, $2$, $\dotsc,~2\mu$ bedeutet, mit
\iffalse % matches scan
\begin{alignat*}{4}
& s^{(\frakm)}_1, && s^{(\frakm)}_2, && \dotsc, && s^{(\frakm)}_\varrho, \\
& x^{(\frakm)}_1, && x^{(\frakm)}_2, && \dotsc, && x^{(\frakm)}_\varrho, \\
 & \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_1)       },\
&& \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_2)       },\ &&  \dotsc,\quad
&& \sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_\varrho) }
\end{alignat*}
\fi
% [** PP: centered entries]
\[
\begin{array}{cccc}
s^{(\frakm)}_1, & s^{(\frakm)}_2, & \dotsc, & s^{(\frakm)}_\varrho, \\[1ex]
x^{(\frakm)}_1, & x^{(\frakm)}_2, & \dotsc, & x^{(\frakm)}_\varrho, \\[1ex]
\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_1)},\  &
\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_2)},\  & \dotsc, &
\sqrt{ \MF{R}(x^{(\frakm)}_\varrho) }
\end{array}
\]
die Größen, welche man für
\iffalse % matches scan
\begin{alignat*}{4}
&  s_1, && s_2, && \dotsc, && s_\varrho, \\
&  x_1, && x_2, && \dotsc, && x_\varrho, \\
& \sqrt{ \MF{R}(x_1) },\ && \sqrt{ \MF{R}(x_2) },\ && \dotsc,\quad && \sqrt{ \MF{R}(x_\varrho) }
\end{alignat*}
\fi
% [** PP: centered entries]
\[
\begin{array}{cccc}
s_1, & s_2, & \dotsc, & s_\varrho, \\[1ex]
x_1, & x_2, & \dotsc, & x_\varrho, \\[1ex]
\sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_1)}, &
\sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_2)}, & \dotsc, &
\vphantom{\big|}\sqrtRx % \varrho subscript causes radical to descend too far
\end{array}
\]
vermittelst der Reihen $(4, 5)$ des vorhergehenden \S.\ erhält, wenn man dort
$\MF{u}^{(\frakm)}_1$, $\MF{u}^{(\frakm)}_2$, $\dotsc,~\MF{u}^{(\frakm)}_\varrho$ an die Stelle von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ setzt. Sodann hat
man zwei ganze Functionen $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ von der Form
\[
\tag{2.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  \MF{M}(x) &= x^{\mu\varrho} +{} && \MF{M}_1 x^{\mu\varrho-1} && {}+ \dots +{} & \MF{M}_{\mu\varrho}, \\
  \MF{N}(x) &=                    && \MF{N}_1 x^{\mu\varrho-1} && {}+ \dots +{} & \MF{N}_{\mu\varrho}, \\
\end{alignedat}\right.
\]
vermittelst der folgenden $(2\mu\varrho)$ Gleichungen
\[
\tag{3.}
\left\{\Underset{ (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho) }{%
\begin{alignedat}{4}
  & \MF{M}(x'_\fraka)  & \frac{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka) }}{\MF{Q}(x'_\fraka) } +{} & \MF{N}(x'_\fraka) && = 0,
\\[1ex]
  & \MF{M}(x''_\fraka) & \frac{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}}{\MF{Q}(x''_\fraka)} +{} & \MF{N}(x''_\fraka) && = 0,
\\[1ex]
\multispan{6}{\dotfill}
\\[1ex]
  & \MF{M}(x^{(2\mu)}_\fraka)
& \frac{\sqrt{ \MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka) }}
       {       \MF{Q}(x^{(2\mu)}_\fraka)  } +{} & \MF{N}(x^{(2\mu)}_\fraka) && = 0,
\end{alignedat}}\right.
\]
zu bestimmen, worauf die ganze Function $(2\mu\varrho + \varrho)$ten Grades
\[
\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x)
\]
für $x=x'_1$, $\dotsc,~x'_\varrho$, $x''_1$, $\dotsc,~x''_\varrho$, $\dotsc,~x^{(2\mu)}_1$, $\dotsc,~x^{(2\mu)}_\varrho$ Null wird, und daher
%% {-----File: 011.png---Folio 9-------}
durch das Product
\[
  (x-x'_1)         \dotsm (x-x'_\varrho)
  (x-x''_1)        \dotsm (x-x''_\varrho) \dotsm
  (x-x^{(2\mu)}_1) \dotsm (x-x^{(2\mu)}_\varrho),
\]
welches durch $\mathit{\Pi}(x)$ bezeichnet werden möge, theilbar ist, so daß man
\[
\tag{4.}
\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x) = \mathit{\Pi}(x)\,\varphi(x)
\]
setzen kann, wo $\varphi(x)$ eine ganze Function von der Form
\[
x^\varrho + \MF{P}_1 x^{\varrho-1} + \MF{P}_2 x^{\varrho-2} + \dotsb + \MF{P}_\varrho
\]
bedeutet, in der $\MF{P}_1$, $\MF{P}_2$, $\dotsc,~\MF{P}_\varrho$ rational aus
\[
\tag{5.}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x'_\varrho)}}
& x'_1,  && x'_2,  && \dotsc,  && x'_\varrho,\\
\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x''_\varrho)}}
& x''_1,  && x''_2,  && \dotsc,  && x''_\varrho,\\
\multispan{8}{\strut\dotfill\ }\\[.5ex]
\vphantom{\sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_\varrho)}}
& x^{(2\mu)}_1,\ && x^{(2\mu)}_2,\ && \dotsc,\ && x^{(2\mu)}_\varrho,
\end{alignedat}\right.
\quad\text{und}\quad
\begin{alignedat}{4}
& \sqrt{\MF{R}(x'_1)},  && \sqrt{\MF{R}(x'_2)},  &&\dotsc,  && \sqrt{\MF{R}(x'_\varrho)},\\
& \sqrt{\MF{R}(x''_1)},  && \sqrt{\MF{R}(x''_2)}, &&\dotsc, && \sqrt{\MF{R}(x''_\varrho)},\\
\multispan{8}{\strut\dotfill\ }\\[.5ex]
&\sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_1)},\ && \sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_2)},\ &&\dotsc,\ && \sqrt{\MF{R}(x^{(2\mu)}_\varrho)},
\end{alignedat}
\]
zusammengesetzt, und daher auch als eindeutige Functionen der Größen (1.)
zu betrachten sind. Bezeichnet man jetzt mit $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ die $\varrho$ Wurzeln
der Gleichung
\[
\varphi(x) = 0,
\]
so gelten nach dem \Auth{Abel'schen Theorem} die $\varrho$ Gleichungen, die sich aus
der nachstehenden
\[
\tag{6.}
\sum_\fraka \frac{1}{2} \Biggl\{
  \dfrac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a_\frakb} \centerdot
  \dfrac{dx'_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka)}} +
  \dfrac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka-a_\frakb} \centerdot
  \dfrac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} + \dotsb \Biggr\}
= \sum_\fraka \frac{1}{2}\,
  \dfrac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb} \centerdot
  \dfrac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
\]
ergeben, indem man $\frakb = 1$, 2, $\dotsc,~\varrho$ setzt, unter der Bedingung, daß man
der Wurzelgröße $\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}$ den durch die Gleichung
\[
  \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}
= \frac{\MF{P}(x_\fraka)\, \MF{M}(x_\fraka)}{\MF{N}(x_\fraka)}
= \frac{\MF{Q}(x_\fraka)\, \MF{N}(x_\fraka)}{\MF{M}(x_\fraka)}
\tag{7.}
\]
bestimmten Werth beilege\footnotemark. Nun ist aber
\footnotetext{In Betreff des Beweises dieses Satzes verweise ich auf \Auth{Abel's} Abhandlung: %** NB fixed obvious typo in Abe'ls
% [** PP: Italicizing Crelle]
Remarques sur quelques propriétés etc.\ in \textit{Crelle}'s Journal, B.~3, S.~313 und {\OE}uvres
complètes, tome~I, 288. Einen auf ganz andern Principien beruhenden Beweis des
Satzes werde ich später geben.}
\[
{\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\,
  \frac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a_\frakb} \centerdot
  \frac{dx'_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x'_\fraka)}}
= d\MF{u}'_\frakb,
\quad
{\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\,
  \frac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka-a_\frakb} \centerdot
  \frac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}}
= d\MF{u}''_\frakb,~\text{u.~s.~w.}
\]
%% {-----File: 012.png---Folio 10-------}
Daher
\[
\tag{8.}
\Underset{(\frakb = 1,  2, \dotsc, \varrho)}{%
  d\MF{u}'_\frakb + d\MF{u}''_\frakb + \dotsb + d\MF{u}^{(2\mu)}_\frakb
= {\sum\limits_\fraka} \frac{1}{2}\,
        \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\frakb}
  \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}.
}
\]
Bevor aber aus diesen Gleichungen weitere Folgerungen gezogen werden,
ist es nothwendig, die Zusammensetzungsweise der Coefficienten von $\MF{M}(x)$,
$\MF{N}(x)$, $\varphi(x)$ aus den Größen~(5.) oder (1.) einer nähern Betrachtung zu
unterwerfen.

\Section{} % \S.~3.

Es läßt sich, wenn $x$ in der Nähe von $a_{\fraka}$ angenommen und
\[
\tag{1.}
  \sqrt{
    \biggl(\frac{\MF{P}'(a_{\fraka})}{\MF{Q}(a_{\fraka})}
    (x - a_{\fraka} )\biggr)} = s, \qquad
  x = a_{\fraka} + \frac{\MF{Q}(a_{\fraka})}{\MF{P}'(a_{\fraka})}\, s^2
\]
gesetzt wird,
\[
  \frac{ \sqrt{\MF{R}(x)}}{\MF{Q}(x)} \quad \text{oder}\quad
  \frac{\MF{P}(x)}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
\]
in eine convergirende Reihe
\[
\tag{2.}
  s + (\fraka)_1\, s^3 + (\fraka)_2\, s^5 + \cdots
\]
entwickeln, welche mit $\MF{R}_{\fraka}(s)$ bezeichnet werden möge, so wie auch die
Functionen von $s$, in welche $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$, $\MF{P}(x)$, $\MF{Q}(x)$ durch die Substitution
\[
  x = a_{\fraka}
    + \frac{\MF{Q}(a_{ \fraka})}{\MF{P}' (a_{ \fraka})}\, s^2
\]
übergehen, durch $\MF{M}_{\fraka}(s)$, $\MF{N}_{\fraka}(s)$, $\MF{P}_{\fraka}(s)$, $\MF{Q}_{\fraka}(s)$ angedeutet werden sollen. Ferner
setze man
\[
\tag{3.}
\left\{\begin{aligned}
(s - s'_{\fraka}) (s - s''_{\fraka}) \dotsm (s - s^{(2 \mu)}_{\fraka})
&=  \pi_{\fraka}(s), \\
\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s) + \MF{N}_{\fraka}(s)
&= f_{\fraka}(s),
\end{aligned}\right.
\]
so kann auch $f_{\fraka}(s)$ für jeden Werth von $s$, der so beschaffen ist, daß der
zugehörige Werth von $x$ in der Nähe von $a_{\fraka}$ liegt, in eine convergirende
Reihe entwickelt werden. Es ist klar, daß $s'_{\fraka}$, $s''_{\fraka}$, u.~s.~w.\ in Folge der
oben in Betreff der Größen (1, §.~2.) gemachten Annahme sämmtlich zu diesen
Werthen von $s$ gehören.

Angenommen nun, es sei überhaupt $f(s)$ eine Function von $s$, die sich
für alle Werthe dieser Veränderlichen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner
als ein bestimmter Gränzwerth $\mathrm{S}$ sind, durch eine convergirende Reihe von
der Form
\[
\MF{A}_0 + \MF{A}_1 s + \MF{A}_2 s^2 + \cdots
\]
%% {-----File: 013.png---Folio 11-------}
%[** PP: Changing several ``n''s to \frakn
darstellen lasse, und $\pi(s)$ bedeute eine ganze Function $\frakn$ten Grades, wobei
zugleich angenommen werde, daß die Wurzeln der Gleichung $\pi(s)=0$ sämmtlich
dem absoluten Betrage nach kleiner als $\mathrm{S}$ seien. Alsdann läßt sich für
jeden Werth von $s$, der seinem absoluten Betrage nach größer als jede dieser
Wurzeln ist,
\[
\frac{1}{\pi(s)} = \MF{C}_0 s^{-\frakn} + \MF{C}_1 s^{-\frakn-1} + \MF{C}_2 s^{-\frakn-2} + \cdots
= \Underset{\frakm = 0 \dotsc \infty }
           {\mathbf{S}\, \MF{C}_\fraka\, s^{-\frakn-\frakm} }
\]
setzen (wo $\frakm$, so wie überhaupt im Folgenden die Buchstaben $\frakm$, $\frakn$, $\frakp$, eine
ganze Zahl, die alle Werthe zwischen den Gränzen 0 und $\infty$ annehmen
kann,
bezeichnet), und man erhält daher, indem man diese Reihe mit der für $f(s)$
multiplicirt, wenn der absolute Werth von $s$ zugleich kleiner als $\mathbf{S}$ ist,
\[
\begin{split}
  \frac{f(s)}{\pi(s)}
  = \MF{D}_0 &+ \MF{D}_1 s + \MF{D}_2 s^2 + \dotsb  \\
             &+ \MF{E}_0 s^{-1} + \MF{E}_1 s^{-2} + \dotsb,
\end{split}
\]
welche Reihen-Entwicklung von $\dfrac{f(s)}{\pi(s)}$ durch
\[
\left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]
\]
angedeutet werden möge, so wie durch
\[
\left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{\Pow{s}{\pm\frakm}}
\]
der Coefficient von $s^{\pm\frakm}$ in derselben. Ist nun
\[
\pi(s) = \MF{B}_0 + \MF{B}_1 s + \dotsb + \MF{B}_\frakn s^\frakn,
\]
so müssen, wenn man die Reihe $\left[\smfrac{f(s)}{\pi(s)}\right]$ mit $\pi(s)$ multiplicirt, aus dem Producte
alle Glieder mit negativen Potenzen von $s$ fortfallen, und daher
\[
  \MF{B}_0 \MF{E}_\frakm
+ \MF{B}_1 \MF{E}_{\frakm + 1} + \dotsb
+ \MF{B}_\frakn \MF{E}_{\frakm + \frakn} = 0
\]
sein, indem der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung der Coefficient
von $s^{-\frakm-1}$ in dem gedachten Producte ist. Diese Relation lehrt aber,
daß die Coefficienten $\MF{E}_0$, $\MF{E}_1$ u.~s.~w.\ \textit{sämmtlich} gleich Null sind, \textit{sobald
dies mit den $\frakn$ ersten der Fall ist}. Denn da $\MF{B}_\frakn$ nicht Null ist, so erhellt
unmittelbar, daß $\MF{E}_{\frakm+\frakn} = 0$ sein muß, wofern $\MF{E}_\frakm$, $\MF{E}_{\frakm+1}$, $\dotsc,~\MF{E}_{\frakm+\frakn-1}$ sämmtlich
verschwinden; woraus, indem man der Reihe nach $\frakm = 0, 1, 2$, u.~s.~w.\
setzt, das Behauptete sofort sich ergiebt. Dann hat man
\[
\frac{f(s)}{\pi(s)} = \MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \MF{D}_2 s^2 + \dotsb,
\]
%% {-----File: 014.png---Folio 12-------}
oder
\[
f(s) = (\MF{B}_0 + \MF{B}_1 s + \dotsb)(\MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \dotsb)
\]
für alle Werthe von $s$ innerhalb der bezeichneten Gränzen. Die letztere Gleichung
kann aber nicht anders bestehen, als wenn in der Reihe, die aus der
Entwicklung des Products auf der rechten Seite hervorgeht, die Coefficienten
mit den gleichstelligen von $f(s)$ übereinstimmen. Dann aber gilt sie, und
mit ihr auch die vorhergehende überhaupt für alle Werthe von $s$, bei denen
die Reihen
\[
  \MF{A}_0 + \MF{A}_1 s + \dotsb, \quad \MF{D}_0 + \MF{D}_1 s + \dotsb
\]
beide convergiren. Für die letztere steht dies aber, ihrer Herleitung nach,
fest, wenn der absolute Betrag von $s$ zwischen zwei Gränzen, von denen
die obere $\mathrm{S}$ ist, enthalten ist; es muß daher für \textit{alle} Werthe von $s$, die dem
absoluten Betrage nach unter $\mathrm{S}$ liegen, der Fall sein. Hiermit ist folgender
Hülfssatz bewiesen, der bei mancherlei Untersuchungen mit Nutzen angewandt
werden kann:

\textit{Wenn die oben näher charakterisirten Functionen $f(s)$, $\pi(s)$ so
beschaffen sind, daß man}
\[
%[**F2: Added a little kerning.]
  \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad
  \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-2}} \mspace{-10mu} = 0, \quad\dotsc,\quad
  \left[\frac{f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-\frakn}} \mspace{-10mu} = 0,
\]
\textit{oder auch}
\[
  \left[\frac{ f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad
  \left[\frac{sf(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad
  \dotsc,\quad
  \left[\frac{s^{\frakn-1}f(s)}{\pi(s)}\right]_{s^{-1}}
                                                 \mspace{-10mu} = 0,
\]
\textit{hat, so läßt sich der Quotient}
\[
\frac{f(s)}{\pi(s)}
\]
\textit{für alle Werthe von $s$, bei denen die Reihe für $f(s)$ convergirt, ebenfalls
durch eine nur ganze positive Potenzen von $s$ enthaltende convergirende
Reihe darstellen. Umgekehrt ist dies nicht der Fall, sobald die vorstehenden
Bedingungsgleichungen nicht sämmtlich befriedigt werden.}

Für die durch die Formeln (3.) definirten Functionen $f_\fraka(s)$, $\pi_\fraka(s)$ ist
nun, nach dem oben Bemerkten, die Bedingung erfüllt, daß die Wurzeln der
Gleichung $\pi_\fraka(s) = 0$ sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner sind als der
Gränzwerth, unter dem $s$ bleiben muß, damit die Reihe für $f_\fraka(s)$ unbedingt
convergire. Wenn daher die Coefficienten von $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ so bestimmt
werden können, daß die folgenden $(2\mu\varrho)$ Gleichungen
%% {-----File: 015.png---Folio 13-------}
\[
\tag{4.} %[**F2: Missing period added.]
\Underset{(\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho)}
{
  \left[ \frac{f_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad
  \left[ \frac{sf_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0, \quad
\dotsc,\quad
\left[ \frac{s^{2\mu-1}f_\fraka(s)}{\pi_\fraka(s)} \right]_{s^{-1}} \mspace{-10mu} = 0,
}
\]
befriedigt werden; so hat man für alle Werthe von $s$, bei denen die Reihe
für $f_\fraka(s)$ convergirt
\[
% [** PP: another equation (5.) follows]
\tag{5.}
f_\fraka(s) = \pi_\fraka(s)\overline{f_\fraka}(s),
\]
wo $\overline{f_\fraka}(s)$ eine als unendliche Reihe von derselben Form wie die für $f_\fraka(s)$
darstellbare Function bedeutet. Nun darf man aber in dieser Gleichung $(-s)$
für $s$ setzen, und erhält
\[
f_\fraka(s)\, f_\fraka(-s)
= \pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)\;
  \overline{f_\fraka}(s)\, \overline{f_\fraka}(-s),
\]
oder da
\[
\MF{M}_\fraka(-s) = \MF{M}_\fraka(s),  \quad
\MF{N}_\fraka(-s) = \MF{N}_\fraka(s),  \quad
\MF{R}_\fraka(-s) =-\MF{R}_\fraka(s),
\]
ist,
\[
  \MF{N}_\fraka^2(s) - \MF{M}_\fraka^2(s)\, \MF{R}_\fraka^2(s)
= \pi_\fraka  (s) \pi_\fraka(-s)\;
  \overline{f_\fraka}(s) \overline{f_\fraka}(-s),
\]
oder auch, indem
\[
  \MF{R}_\fraka^2(s)
= \frac{\MF{P}_\fraka(s)}{\MF{Q}_\fraka(s)}
\]
ist, durch Multiplication dieser Gleichung mit $-\MF{Q}_\fraka(s)$
\[
\tag{5.}
%[**F2: The equation numbers in this section are messed up.
%   This is the second #5; later he skips #17 and duplicates #18.]
  \MF{P}_\fraka(s) \MF{M}_\fraka^2(s)
- \MF{Q}_\fraka(s) \MF{N}_\fraka^2(s)
= \pi_\fraka(s) \pi_\fraka(-s)\, \chi_\fraka(s),
\]
wo
\[
 \chi_\fraka(s)
= -\MF{Q}_\fraka(s)\; \overline{f_\fraka}(s) \overline{f_\fraka}(-s)
\]
gesetzt ist. Nun gehört jeder Werth von $s$, der $\pi_\fraka(s)=0$ oder $\pi_\fraka(-s)=0$
macht, zu denen, für welche die Reihen-Entwicklungen von $f_\fraka(s)$, $f_\fraka(-s)$
und somit auch die von $\overline{f_\fraka}(s)$, $\overline{f_\fraka}(-s)$, $\chi_\fraka(s)$ convergiren; es behält daher der
Quotient
\[
\frac{\MF{P}_\fraka(s)\, \MF{M}_\fraka^2(s)
    - \MF{Q}_\fraka(s)\, \MF{N}_\fraka^2(s)}
     {\pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)}
\]
auch dann noch einen endlichen Werth, wenn der Divisor verschwindet; und
da Dividendus und Divisor desselben beide ganze Functionen von $s^2$ sind, so
muß der erstere durch den letzteren theilbar, und somit $\chi_\fraka(s)$ ebenfalls eine
ganze Function von $s^2$ sein. Daraus folgt denn, daß die Gleichung~(5.) für
\textit{jeden} Werth von $s$ besteht. Setzt man nun in derselben
\[
\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}(x-a_\fraka) \quad\text{für}\quad s^2,
\]
so geht der Ausdruck auf der linken Seite in
\[
\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x),
\]
%% {-----File: 016.png---Folio 14-------}
und
\[
\pi_\fraka(s)\, \pi_\fraka(-s)
  = (s^2 - s'^2_\fraka)(s^2 - s''^2_\fraka) \dotsm,
\]
abgesehen von einem constanten Factor, in
\[
(x - x'_\fraka)(x - x''_\fraka) \dotsm (x - x^{(2\mu)}_\fraka)
\]
über, während sich $\chi_\fraka(s)$ ebenfalls in eine ganze Function von $x$ verwandelt.
Demnach wird, wenn die Gleichungen~(4.) sämmtlich bestehen, der Ausdruck
\[
\MF{P}(x)\, \MF{M}^2(x) - \MF{Q}(x)\, \MF{N}^2(x)
  \quad\text{durch}\quad \mathit{\Pi}(x)
\]
theilbar, und es gilt die Gleichung~(4.) des §.~2. Die Anzahl dieser Gleichungen
ist aber $(2\mu\varrho)$, d.~h.\ gleich der Anzahl der Coefficienten von $\MF{M}(x)$,
$\MF{N}(x)$ und sie werden daher zur Bestimmung der letzteren hinreichen.

Nun hat die Reihe
\begin{gather*}
\left [\frac{1}{\pi_{\fraka}(s)} \right ]  \quad\text{die Form}
\\
\tag{6.}
  s^{-2\mu}(1 + \sigma_{\fraka, 1} s^{-1}
              + \sigma_{\fraka, 2} s^{-2} + \cdots )
= \Underset{ \frakn= 0 \dotsc \infty }
           { \mathbf{S}\left( \sigma_{\fraka, \frakn}\,
                               s^{-2\mu-\frakn} \right) },
\end{gather*}
wo $\sigma_{\fraka, \frakn}$ eine ganze homogene und symmetrische Function $\frakn$ten Grades von
\[
s'_\fraka, \quad s''_\fraka, \quad \dotsc, \quad s^{(2 \mu)}_\fraka
\]
bedeutet. Setzt man daher
\[
\tag{7.}
  f_{\fraka}(s) = \MF{F}_{\fraka, 0} + \MF{F}_{\fraka, 1}s + \MF{F}_{\fraka, 2} s^2 + \cdots
= \Underset{ \frakm=0\dotsc \infty }
           { \mathbf{S} \MF{F}_{\fraka, \frakm} s^{\frakm} },
\]
wo die Ausdrücke $\MF{F}_{\fraka, 0}$, $\MF{F}_{\fraka, 1}$ u.~s.~w.\ lineare Functionen von
\[
\begin{array}{cccc}
\MF{M}_1, & \MF{M}_2, & \dotsc, & \MF{M}_{\mu \varrho},\\[1ex]
\MF{N}_1, & \MF{N}_2, & \dotsc, & \MF{N}_{\mu \varrho}
\end{array}
\]
sind, mit Coefficienten, die rational aus $a_\fraka$ und den Coefficienten von $\MF{P}(x)$
und $\MF{R}(x)$ zusammengesetzt werden, so wird
\begin{align*}
\tag{8.}
\left[\frac{s^{2\mu-\frakp-1}f_{\fraka}(s)}{ \pi_{\fraka}(s)} \right]
\phantom{{}_s^{-1}}\mspace{-10mu}
&= \Underset{\frakm = 0 \dotsc \infty,\ \frakn = 0 \dotsc \infty}
{\mathbf{S} \Bigl\{
  \sigma_{\fraka,\frakn}\, \MF{F}_{\fraka,\frakm}\, s^{\frakm-\frakn-\frakp-1}
  \Bigr\},}
\\
\tag{9.}
\left[\frac{s^{2\mu-\frakp-1}f_{\fraka}(s)}{\pi_{\fraka}(s)}\right]_{s^{-1}}
\mspace{-10mu}
&= \Underset{\frakn = 0 \dotsc \infty}
{\mathbf{S} \Bigl\{
  \sigma_{\fraka,\frakn}\, \MF{F}_{\fraka,\frakp+\frakn}
\Bigr\},}
\end{align*}
und man erhält demnach, indem man $\frakp=0,\ 1, \dotsc,\ 2\mu-1$ setzt, zur Bestimmung
der Coefficienten von $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ die $(2\mu\varrho)$ Gleichungen, welche
%% {-----File: 017.png---Folio 15-------}
durch die folgende
\[
\tag{10.}
\MF{F}_{\fraka, \frakp}
+ \Underset{\frakn = 1\dotsc\infty}
           {\mathbf{S} \Bigl\{
             \sigma_{\fraka, \frakn}\, \MF{F}_{\fraka, \frakp+\frakn}
             \Bigr\}
           } = 0 \quad
  \left(
  \begin{aligned}
    \fraka &= 1, 2, \dotsc, \varrho \\
    \frakp &= 0, 1, \dotsc, 2\mu-1
  \end{aligned}
  \right)
\]
repräsentirt werden. Diese kann man durch Zusammenziehung der Glieder,
welche dieselbe Unbekannte enthalten, auf die Form
\begin{align*}
\tag{11.}
(\fraka, \frakp)_0
&+ (\fraka, \frakp)_1 \MF{M}_1 + \dotsb
 + (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho}\, \MF{M}_{\mu\varrho} \\[1ex]
%
&+ (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+1} \MF{N}_1
 + \dotsb + (\fraka, \frakp)_{2\mu\varrho}\, \MF{N}_{\mu\varrho} = 0
\end{align*}
bringen, wo die Ausdrücke $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ sämmtlich Reihen von
der Form
\[
g_0 + g_1 \sigma_{\fraka, 1} + g_2 \sigma_{\fraka, 2} + \dotsb
\]
sind. Bezeichnet man nun mit $\frakM_\frakm$ die Determinante des Systems, welches
aus dem folgenden
\[
\tag{12.}
\left\{ \begin{array}{llll}
  \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{(0)}{(1, 0)_0\rule{0pt}{3ex}}$}
& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{(1)}{(1, 0)_1\rule{0pt}{3ex}}$}
& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$\overset{\mbox{\normalsize\dots}}{\dots\rule{0pt}{3ex}}$}
& \raisebox{0ex}[0ex][0ex]{$ \overset{(2\mu\varrho)}{(1, 0)_{2\mu\varrho} \rule{0pt}{3ex}}$}
\\  \hdotsfor[2]{4}  \\[.5ex]
  (1, 2\mu-1)_0 & (1, 2\mu-1)_1 & \dotsc
& (1, 2\mu-1)_{2\mu\varrho}
\\  \hdotsfor[2]{4}  \\  \hdotsfor[2]{4}  \\  \hdotsfor[2]{4}  \\[.5ex]
  (\varrho, 0)_0 & (\varrho, 0)_1 & \dotsc
& (\varrho, 0)_{2\mu\varrho}
\\[.5ex]
  (\varrho, 1)_0 & (\varrho, 1)_1 & \dotsc
& (\varrho, 1)_{2\mu\varrho}
\\  \hdotsfor[2]{4}  \\[.5ex]
  (\varrho, 2\mu-1)_0 & (\varrho, 2\mu-1)_1 & \dotsc
& (\varrho,2\,\mu-1)_{2\mu\varrho}
\end{array} \right\}
\]
dadurch sich ergiebt, daß man die mit $(\frakm)$ bezeichnete Vertikal-Reihe fortläßt,
und zugleich die darauf folgenden, ohne ihre Aufeinanderfolge zu ändern, vor
die mit $(0)$ überschriebenen setzt; so erhält man
\[
\tag{13.}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
  {\MF{M}_1} &= \dfrac{\frakM_1}{\frakM_0},
& {\MF{M}_2} &= \dfrac{\frakM_2}{\frakM_0}, &\dotsc,\quad
& {\MF{M}_{\mu\varrho}} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho}}{\frakM_0}\,,
\\[1ex]
  {\MF{N}_1} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho+1}}{\frakM_0},\quad
& {\MF{N}_2} &= \dfrac{\frakM_{\mu\varrho+2}}{\frakM_0},\quad &\dotsc,\quad
& {\MF{N}_{\mu\varrho}} &= \dfrac{\frakM_{2\mu\varrho}}{\frakM_0}\,,
\end{alignedat}
\right.
\]
wo $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ als rationale und ganze aus $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\
gebildete Ausdrücke gleich den letztern nach ganzen positiven Potenzen der
%% {-----File: 018.png---Folio 16-------}
Größen
\[
\tag{14.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  & s'_1,   && s'_2,    && \dotsc, && s'_\varrho \\
  & s''_1,  && s''_2,   && \dotsc, && s''_\varrho \\
  \multispan{8}{\dotfill}\\
  & s^{(2\mu)}_1, \quad && s^{(2\mu)}_2, \quad && \dotsc, \quad && S^{(2\mu)}_\varrho
\end{alignedat}\right.
\]
in convergirende Reihen entwickelt werden können\footnote{%
Vergl.\ den Satz (5, B, §.~7) in der angeführten Abhandlung über die Facultäten.}.
Hier ist es nun von
besonderer Wichtigkeit, die Anfangsglieder dieser Reihen, d.~h.\ die Werthe,
welche sie annehmen, wenn die Größen~(14.) sämmtlich verschwinden, zu
ermitteln. Offenbar erhält man dieselben, die mit
\[
\ofrakM_0, \quad \ofrakM_1, \quad \dotsc, \quad \ofrakM_{2\mu\varrho}
\]
bezeichnet werden mögen, wenn man bei der Bildung von $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\
die Reihen für $(\fraka, \frakp)_0$, $(\fraka, \frakp)_1$ u.~s.~w.\ auf ihre Anfangsglieder reducirt, oder,
was dasselbe ist, wenn man die Gleichungen~(11.), die mit den unter (10.)
aufgestellten identisch sind, durch die folgenden ersetzt
\[
\tag{15.}
\Underset{(\fraka=1,\ 2,\ \dotsc,\ \varrho)}
{\MF{F}_{\fraka, 0}=0, \quad \MF{F}_{\fraka, 1}=0,
\quad \dotsc, \quad \MF{F}_{\fraka, 2\mu-1}=0,}
\]
und dann aus den Coefficienten derselben $\ofrakM_0$, $\ofrakM_1$, u.~s.~w.\ so zusammensetzt,
wie $\frakM_0$, $\frakM_1$ u.~s.~w.\ aus den Coefficienten der Gleichungen~(11.).

Nun sind aber $\MF{F}_{\fraka, 0}$, $\MF{F}_{\fraka, 1}$, u.~s.~w.\ die Coefficienten der Reihen-Entwicklung
von
\[
f_{\fraka}(s)=\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s)+\MF{N}_{\fraka}(s),
\]
und die Gleichungen (15.) drücken also aus, daß die $(2\mu)$ ersten Glieder
derselben verschwinden sollen. Dies kann, da $\MF{N}_{\fraka}(s)$ und $\MF{M}_{\fraka}(s)$ gerade
Functionen von $s$ sind, $\MF{R}_{\fraka}(s)$ aber eine ungerade, in deren Entwicklung der
Coefficient von $s^1$ nicht Null ist, nur unter der Bedingung geschehen, daß in
den Entwicklungen von $\MF{M}_{\fraka}(s)$ und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ nach Potenzen von $s$ alle Glieder
von einer niedrigern als der $(2\mu)$ten Ordnung verschwinden. Da aber $\MF{M}_{\fraka}(s)$
und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ aus $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ durch die Substitution
\[
x=a_{\fraka} + \frac{\MF{P}'(a_{\fraka})}{\MF{Q}(a_{\fraka})}s^2
\]
%% {-----File: 019.png---Folio 17-------}
hervorgehn, so muß man, damit die genannten Glieder Null werden,
\begin{alignat*}{4}
  \MF{M}(a_\fraka) &= 0, \quad & \MF{M}'(a_\fraka) &= 0, &
  \quad & \dotsc, \quad & \MF{M}^{(\mu-1)}(a_\fraka) &= 0, \\
  \MF{N}(a_\fraka) &= 0, \quad & \MF{N}'(a_\fraka) &= 0, &
  \quad & \dotsc, \quad & \MF{N}^{(\mu-1)}(a_\fraka) &= 0
\end{alignat*}
haben, d.~h.\ es müssen $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ beide durch $(x-a_{\fraka})^{\mu}$ theilbar sein. Hiernach
sagen die Gleichungen (15.) aus, es sollen die Coefficienten von $\MF{M}(x)$
und $\MF{N}(x)$ so bestimmt werden, daß beide durch
\[
(x-a_1)^\mu(x-a_2)^\mu \dotsm (x-a_\varrho)^\mu = \MF{P}^\mu(x)
\]
theilbar werden. Dies kann aber, da $\MF{M}(x)$ vom $(\mu\varrho)$ten, $\MF{N}(x)$ vom $(\mu\varrho-1)$ten
Grade, und der Coefficient von $x^{\mu\varrho}$ in $\MF{M}(x)$ der Einheit gleich sein soll, nicht
anders geschehen, als wenn man
\[
\MF{N}_1 = 0, \quad \MF{N}_2 = 0, \quad \dotsc, \quad \MF{N}_{\mu\varrho} = 0,
\]
und
\[
\MF{M}(x)=\MF{P}^\mu(x)
\]
annimmt. Hiernach liefern die Gleichungen (15.) für $\MF{M}_1$, $\MF{N}_1$, $\MF{M}_2$, $\MF{N}_2$ u.~s.~w.\
völlig bestimmte endliche Werthe. Daraus folgt zunächst, daß $\ofrakM_0$ oder das
Anfangsglied von $\frakm_0$ nicht Null sein kann, indem, wenn dieses der Fall wäre,
die Gleichungen (15.) entweder \textit{gar nicht}, oder auf \textit{mehr als eine} Weise
befriedigt werden könnten; und daher ergiebt sich
\[
\tag{16.}
\left\{
\begin{aligned}
  & \ofrakM_0 x^{\mu\varrho} + \ofrakM_1 x^{\mu\varrho-1}
    + \dotsb + \ofrakM_{\mu\varrho} = \ofrakM_0 \MF{P}^\mu(x), \\
  & \ofrakM_{\mu\varrho+1} = \ofrakM_{\mu\varrho+2} = \dots
    = \ofrakM_{2\mu\varrho} = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Mithin kann man, wenn man
\[%[** missing \tag{17.}?]
\frac{\frakM_0}{\ofrakM} = \MF{M}_0
\]
setzt, $\MF{M}(x)$ und $\MF{N}(x)$ auf die Form
\[
\tag{18.}
\left\{
\begin{aligned}
  \MF{M}(x) &= \MF{P}^\mu(x) + \dfrac{\frakM(x)}{\MF{M}_0}, \\
  \MF{N}(x) &= \dfrac{\frakN(x)}{\MF{M}_0}
\end{aligned}
\right.
\]
bringen, wo jetzt $\frakM(x)$, $\frakN(x)$ ganze Functionen des $(2\mu\varrho-1)$ten Grades
von $x$ bedeuten, deren Coefficienten sich gleich wie $\MF{M}_0$ nach ganzen positiven
Potenzen der Größen (14.) in convergirende Reihen entwickeln lassen. Dabei
reducirt sich $\MF{M}_0$ auf die Einheit, wenn diese Größen sämmtlich den Werth
Null annehmen, während die Coefficienten von $\frakM(x)$ und $\frakN(x)$ dann ebenfalls
sämmtlich verschwinden.

%% {-----File: 020.png---Folio 18-------}

Hierzu bemerke ich noch Folgendes. Die Formel (7.) lehrt, indem
\[
f_{\fraka}(s)=\MF{M}_{\fraka}(s)\, \MF{R}_{\fraka}(s)+\MF{N}_{\fraka}(s)
\]
und $\MF{N}_{\fraka}(s)$ eine gerade, $\MF{M}_{\fraka}(s)\,\MF{R}_{\fraka}(s)$ eine ungerade Function von $s$ ist, daß
für einen \textit{geraden} Werth von ${\frakm}$
\[
F_{\fraka, \frakm} \quad\text{die Form}\quad
  f_1\MF{N}_1+f_2\MF{N}_2+ \dots + f_{\mu\varrho}\MF{N}_{\mu\varrho},
\]
und für einen \textit{ungeraden}
\[
F_{\fraka, \frakm} \quad\text{die Form}\quad
  f_0 + f_1\MF{M}_1 + f_2\MF{M}_2 + \dotsb + f_{\mu\varrho}\MF{M}_{\mu\varrho},
\]
hat. Ferner ist $\sigma_{\fraka, \frakn}$ eine gerade oder ungerade Function von $s'_\fraka$, $s''_\fraka$, $\dotsc,~s^{(2\mu)}_\fraka$,
jenachdem $\frakn$ eine gerade oder ungerade Zahl ist. Aus der Gleichung~(10.)
folgt daher, daß
\begin{alignat*}{4}
&(\fraka, \frakp)_0 && (\fraka, \frakp)_1 && \dots && (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho} \quad \text{\textit{gerade},}
\intertext{und}
&(\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+1} \quad && (\fraka, \frakp)_{\mu\varrho+2} \quad
    && \dotsc \quad && (\fraka, \frakp)_{2\mu\varrho} \quad \text{\textit{ungerade}}
\end{alignat*}
Functionen der eben genannten Größen sind, wenn $\frakp$ eine \textit{ungerade} Zahl
ist; daß sich dies aber umgekehrt verhält, sobald $\frakp$ \textit{gerade} ist. Es ändert
sich also jeder Coefficient der Gleichungen~(11.) gar nicht, oder wechselt nur
sein Zeichen, wenn man $s'_\fraka$, $s''_\fraka$, $\dotsc,~s^{(2\mu)}_\fraka$ in
\[
-s'_\fraka,\ -s''_\fraka,\ \dotsc,\ -s^{(2\mu)}_\fraka
\]
verwandelt; und zwar geht dadurch, wenn man mit
\[
\overline{\frakm} \quad\text{die Zahl 0 oder 1}
\]
bezeichnet, je nachdem $\frakm \leqq \mu\varrho$ oder $\frakm > \mu\varrho$ ist,
\[
(\fraka, \frakp)_\frakm \quad\text{in}\quad
  \Pow{(-1)}{\frakp - 1 + \overline{\frakm}}(\fraka, \frakp)_\frakm
\]
über. Der Ausdruck $\frakM_\frakm$ ist nun ein Aggregat von Gliedern, deren jedes
die Form
\[
\pm (\fraka_1, \frakp_1)_{\frakm_1}\,
%[** should be a_1 ?][F2: Typo corrected: a_\lambda to a_1 .]
    (\fraka_2, \frakp_2)_{\frakm_2}
    \dotsm
    (\fraka_\lambda, \frakp_\lambda)_{\frakm_\lambda}
\]
hat, wo $\lambda=2\mu\varrho$ ist und die Reihe der Indices $\frakm_1$, $\frakm_2$, $\dotsc,~\frakm_\lambda$ sämmtliche
Zahlen der Reihe 0, 1, $\dotsc,~2\mu\varrho$ enthält, mit Ausnahme von $\frakm$, während für
\[
\fraka_1, \frakp_1 \quad
\fraka_2, \frakp_2 \quad
\dotsc \quad
\fraka_\lambda, \frakp_\lambda
\]
die in der folgenden Zusammenstellung enthaltenen Verbindungen zu setzen sind:
\[
\begin{array}{llll}
1,\ 0\quad & 1,\ 1 & \dotsc & 1,\ 2\mu-1, \\
2,\ 0\quad & 2,\ 1 & \dotsc & 2,\ 2\mu-1, \\
\hdotsfor[2]{4} \\
\varrho,\ 0 & \varrho,\ 1 & \dotsc & \varrho,\ 2\mu-1.
\end{array}
\]
%% {-----File: 021.png---Folio 19-------}
Giebt man daher jeder der unter (14.) zusammengestellten Größen den entgegengesetzten
Werth, so erfährt das vorstehende Product dadurch dieselbe
Veränderung als wenn es mit
\[
\Pow{(-1)}{\frakp_1 -1 + \frakp_2 -1 + \dotsb + \frakp_\lambda
      - 1 + \overline{\frakm}_1 + \overline{\frakm}_2 +
      \dots + \overline{\frakm}_\lambda}
\]
multiplicirt wird. Aber
\begin{gather*}
  \frakp_1 + \frakp_2 + \dots + \frakp_\lambda =
    \varrho\bigl(0 + 1 + 2 + \dots + (2\mu-1)\bigr) = \mu\varrho(2\mu-1),
\\
  \overline{\frakm}_1 + \overline{\frakm}_2 + \dots +
    \overline{\frakm}_\lambda = \overline{0} + \overline{1} +
% [** PP: Widen overline to cover all three factors]
    \dotsb + (\overline{2\mu\varrho}) - \overline{\frakm} =
    \mu\varrho - \overline{\frakm},
\end{gather*}
und daher
\[
\Pow{(-1)}{\frakp_1 -1 + \dots + \frakp_\lambda - 1 +
  \overline{\frakm}_1 + \dots + \overline{\frakm}_\lambda}
= \Pow{(-1)}{2\mu\varrho(\mu-1)-\overline{\frakm}}
= \Pow{(-1)}{\overline{\frakm}}.
\]
Man sieht also, daß die Glieder von $\frakM_\frakm$ nach der Zeichenänderung der
Größen (14.) sämmtlich unverändert bleiben, wenn $\frakm\raisebox{1ex}{\scalebox{1}[-1]{${}\leqq{}$}} \mu\varrho$, und nur ihr
Zeichen wechseln, wenn $\frakm > \mu\varrho$; d.~h.\ mit andern Worten, daß
\[
\frakM_0, \quad \frakM_1, \quad \dotsc, \quad \frakM_{\mu\varrho}
\]
und somit auch $\MF{M}_0$ und die Coefficienten von $\frakM(x)$ \textit{gerade}, dagegen die
Coefficienten von $\frakN(x)$ \textit{ungerade} Functionen der genannten Größen sind.

Hierdurch ist nun die Zusammensetzungsweise der Functionen $\MF{M}(x)$,
$\MF{N}(x)$ für den vorliegenden Zweck hinlänglich festgestellt. Aus denselben
kann man ferner die Function $\varphi(x)$ leicht erhalten.

Da der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (4, \S.~2) durch
$\mathit{\Pi}(x)$ theilbar ist, $\mathit{\Pi}(x)$ aber die Form
\[
x^{\mu\varrho} + \mathfrak{P}_1 x^{\mu\varrho-1}
      + \dotsb + \mathfrak{P}_{\mu\varrho}
\]
hat, wo $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$ u.~s.~w.\ ganze Functionen von $x'_1$, $x''_1$ u.~s.~w.\ und somit
auch der Quadrate von $s'_1$, $s''_2$ u.~s.~w.\ sind, von denen, nachdem man den
gedachten Ausdruck durch $\mathit{\Pi}(x)$ dividirt, in dem Quotienten nur ganze
positive Potenzen vorkommen; so sieht man, daß man
\[\tag{18.}
\varphi(x) = x^\varrho + \frac{\MF{P}^{(1)}}{\MF{M}_0^2}x^{\varrho-1} +
  \frac{\MF{P}^{(2)}}{\MF{M}_0^2}x^{\varrho-2} + \dots + \frac{\MF{P}^{(\varrho)}}{\MF{M}_0^2}
\]
erhalten muß, wo $\MF{P}^{(1)}$, $\MF{P}^{(2)}$, $\dotsc,~\MF{P}^{(\varrho)}$ ganz dieselbe Gestalt haben wie die
Coefficienten von $\frakM(x)$.

Man kann aber dieser Function noch eine andere, sehr bemerkenswerthe
Form geben. Setzt man nämlich in der Gleichung (4, \S.~2)
\[
x = a_\fraka, \quad a_{\varrho+\fraka}, \quad a_{2\varrho+1},
\]
%% {-----File: 022.png---Folio 20-------}
so erhält man
\[
\tag{19.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}
  &= \frac{\MF{N}^2(a_\fraka)}{\mathit{\Pi}(a_\fraka)}
 &&= \frac{\frakN^2(a_\fraka)}{\MF{M}_0^2\mathit{\Pi}(a_\fraka)}\;,
\\
\frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})}
  &= \frac{\MF{M}^2(a_{\varrho+\fraka})}{\mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})}
 &&= \frac{\bigl(\MF{M}_0\,\MF{P}^\mu(a_{\varrho+\fraka})+\frakM(a_{\varrho+\fraka})\bigr)^2}
          {\MF{M}_0^2\, \mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})},
\\
\frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})}
  &= \frac{\MF{M}^2(a_{2\varrho+1})}{\mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})}
 &&= \frac{\bigl(\MF{M}_0\,\MF{P}^\mu(a_{2\varrho+1})+\frakM(a_{2\varrho+1})\bigr)^2}
          {\MF{M}_0^2\, \mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})}.
\end{alignedat}\right.
\]
Nun ist
\[
\frac{1}{(a_\fraka-x'_\fraka) (a_\fraka-x''_\fraka)
    \dotsm(a_\fraka-x^{(2\mu)}_\fraka)} =
    \Biggl\{\biggl(\frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}\biggr)^\mu
    \centerdot \frac{1}{s'_\fraka s''_\fraka \dotsm s^{(2\mu)}_\fraka}\Biggr\}^2,
\]
und, wenn $\frakb$ von $\fraka$ verschieden,
\begin{gather*}
  \frac{1}{(a_\fraka-x'_\frakb)
           (a_\fraka-x''_\frakb)
     \dotsm(a_\fraka-x^{(2\mu)}_\frakb)}
  \\[1ex]
  {}= \Biggl\{ \biggl( \frac{1}{a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^\mu
    \biggl(1 - \frac{x'_\frakb-a_\frakb}
                   { a_\fraka-a_\frakb} \biggr)^{-\frac{1}{2}} \dots
    \biggl(1-\frac{x^{(2\mu)}_\frakb-a_\frakb}
                 {         a_\fraka-a_\frakb} \biggr)^{-\frac{1}{2}}\Biggr\}^2.
\end{gather*}
Aber
\[
\biggl(1-\frac{x'_\frakb-a_\frakb}
    {a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^{-\frac{1}{2}}, \qquad
\biggl(1-\frac{x''_\frakb-a_\frakb}
    {a_\fraka-a_\frakb}\biggr)^{-\frac{1}{2}} \quad\text{u.~s.~w.}
\]
sind, weil $x'_\frakb$, $x''_\frakb$ u.~s.~w.\ sämmtlich in der Nähe von $a_\frakb$ sich befinden, nach
ganzen positiven Potenzen von $(x'_\frakb-a_\frakb)$, $(x''_\frakb-a_\frakb)$ u.~s.~w., und somit auch
von $s'^2_\frakb$, $s''^2_\frakb$ u.~s.~w.\ in convergirende Reihen entwickelbar. Folglich kann man
\[
\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_\fraka)} =
    \frac{1}{\MF{Q}^{2\mu}(a_\fraka)}
    \Biggl(\frac{\mathbf{S}_\fraka}
                {s'_\fraka\,s''_\fraka\dots s^{(2\mu)}_\fraka}\Biggr)^2
\]
setzen, wo $\mathbf{S}_\fraka$ eine convergirende, nur ganze positive und gerade Potenzen
der Größen~(14.) enthaltende Reihe bedeutet. In ähnlicher Weise findet man
\[
\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_{\varrho+\fraka})} =
    \frac{\mathbf{S}^2_{\varrho+\fraka} }
         {  \MF{P}^{2\mu}(a_{\varrho+\fraka})}, \qquad
\frac{1}{\mathit{\Pi}(a_{2\varrho+1})} =
    \frac{\mathbf{S}^2_{2\varrho+1}}{\MF{P}^{2\mu}(a_{2\varrho+1})}\;,
\]
wo $\mathbf{S}_{\varrho+\fraka}$, $\mathbf{S}_{2\varrho+1}$ Reihen von ähnlicher Gestalt wie $\mathbf{S}_\fraka$ bedeuten.

Aus (19.) ergiebt sich nun
\[
\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}
  = \Biggl(
    \frac{\frakN(a_\fraka)\mathbf{S}_\fraka}
         {\MF{Q}^\mu(a_\fraka)\, s'_\fraka\dotsm s^{(2\mu)}_\fraka \MF{M}_0}
    \Biggr)^2,
\]
und aus (18.)
\[
\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}
  = \frac{\varphi^{(\fraka)}}{\MF{M}_0^2},
\]
wo $\varphi^{(\fraka)}$ eine nur ganze positive Potenzen von $s'_1$, $s''_1$, u.~s.~w.\ enthaltende
Reihe bezeichnet. Mithin muß
%% {-----File: 023.png---Folio 21-------}
\[
\varphi^{(\fraka)}
  = \Biggl(
    \frac{\frakN(a_{\fraka}) \mathbf{S}_{\fraka}}
         {\MF{Q}^\mu(a_\fraka)\, s'_\fraka\dotsm s^{(2\mu)}_\fraka}
    \Biggr)^2,
\]
und daher $\frakN(a_{\fraka}) \mathbf{S}_{\fraka}$ durch
    $s'_{\fraka} \dots s^{(2\mu)}_{\fraka}$ theilbar sein. Bemerkt man nun, daß
$\frakN(a_{\fraka})$ eine ungerade, $\mathbf{S}_\fraka$,
    $(s'_{\fraka} \dots s^{(2\mu)}_{\fraka})$, $\MF{M}_0$, $\frakM(a_{\varrho+\fraka})$,
    $\frakM(a_{2\varrho+1})$  aber gerade
Functionen der Größen (14.) sind, so erkennt man, daß man
\[
\tag{20.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  & \frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} &&=
    \Biggl\{ \frac{\mathbf{S}^{(\fraka)}_1 +
        \mathbf{S}^{(\fraka)}_3 + \dots +
        \mathbf{S}^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb}
    {1  + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}
    \Biggr\}^2 = \varphi^2_\fraka\;,
  \\[1ex]
  & \frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} &&=
%[** PP: Fixed index; see Changenotetext below]
    \Biggl\{ \frac{ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_0 +
        \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_2 + \dots +
        \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_{2\frakm} + \dotsb}
    {1  + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}
    \Biggr\}^2 = \varphi^2_{\varrho+\fraka}\;,\qquad\Changenotemark
  \\[1ex]
  & \frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})} &&=
    \Biggl\{\frac{ \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_0 +
        \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_2 + \dots +
        \mathbf{S}^{(2\varrho+1)}_{2\frakm} + \dotsb}
    {1 + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}
    \Biggr\}^2 = \varphi^2_{2\varrho+1}\;. % [** PP: Added period]
\end{alignedat}\right.
\]
hat, wo $\mathbf{S}^{(\frakr)}_{\frakm}$ eine ganze homogene Function $\frakm$ten Grades der Größen
% [** PP: Note text prints on following page]
\Changenotetext{$\dfrac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\fraka})}=%
\Biggl\{ \dfrac{ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_0 %
+ \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(\varrho+\fraka)}_{2\frakm} + \dotsb}%
{1  + \mathbf{S}^{(0)}_2 + \dots + \mathbf{S}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb}%
\Biggr\}^2 = \varphi^2_{\varrho+\fraka}$}%
\[
\tag{21.}
\left\{\begin{array}{llll}
s'_1, & s''_1, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_1  \\[0.5ex]
s'_2, & s''_2, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_2  \\
\hdotsfor[2]{4} \\
s'_\varrho, & s''_\varrho, & \dotsc, & s^{(2\mu)}_\varrho
\end{array}\right.
\]
bezeichnen soll. Es ist aber
\[
\tag{22.}
\frac{\varphi(x)}{\MF{P}(x)}
  = 1 + \sum \frac{\varphi(a_\fraka)}{(x-a_\fraka)\MF{P}'(a_\fraka)};
\]
und so erhält man
\[
\tag{23.}
\varphi(x) = \MF{P}(x) - \sum \left\{
  \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot
  \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\fraka}\, \varphi^2_\fraka\right\}. % [** PP: Added period]
\]
Drückt man nun die Größen (21.) durch die folgenden
\[
\tag{24.}
\left\{\begin{array}{llll}
\MF{u}'_1, & \MF{u}''_1, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex]
\MF{u}'_2, & \MF{u}''_2, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_2 \\
\hdotsfor[2]{4} \\
\MF{u}'_\varrho, & \MF{u}''_\varrho, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho \\
\end{array}\right.
\]
aus (vermittelst der Formeln (4.) des §.~1), so erhält man
% [** Omitting redundant parentheses around radicands]
\[
\tag{25.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  & \varphi_\fraka &&=
    \sqrt{ \frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)} } &&=
    \frac{\MF{U}^{(\fraka)}_1 + \MF{U}^{(\fraka)}_3 + \dots +
      \MF{U}^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb}
    {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb }
  \\[1ex]
  & \varphi_{\varrho+\fraka} &&=
    \sqrt{ \frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}
        {\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})} } &&=
    \frac{\MF{U}^{(\varrho+\fraka)}_0 + \MF{U}^{(\varrho + \fraka)}_2 + \dots +
      \MF{U}^{(\varrho + \fraka)}_{2\frakm} + \dotsb}
    {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb }
  \\[1ex]
  & \varphi_{2\varrho+1} &&=
    \sqrt{ \frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}
        {\MF{P}(a_{2\varrho+1})} } &&=
    \frac{\MF{U}^{(2\varrho+1)}_0 + \MF{U}^{(2\varrho + 1)}_2 + \dots +
%[**F2: Should first term be U.._0 ?][** PP: Yes, change made]
      \MF{U}^{(2\varrho + 1)}_{2\frakm} + \dotsb}
    {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb }
\end{alignedat}\right.
\]
%% {-----File: 024.png---Folio 22-------}
\[
\tag{26.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  \MF{M}(x) &= {}& \MF{P}^\mu(x) + {}&
    \frac{\MF{U}_2(x) + \dots + \MF{U}_{2\frakm}(x) + \dotsb}
      {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb},
  \\[1ex]
  \MF{N}(x) &= && \frac{\MF{U}_1(x) + \dots + \MF{U}_{2\frakm +1}(x) + \dotsb}
    {1 + \MF{U}^{(0)}_2 + \dots + \MF{U}^{(0)}_{2\frakm} + \dotsb},
\end{alignedat}\right.
\]
wo jetzt %[** typo: jetzt?][** PP: Yes, fixed]
$\MF{U}^{(\frakr)}_\frakm$, $\MF{U}_\frakm(x)$ ganze homogene Functionen $\frakm$ten Grades der Größen~(24.)
sind, die zweite aber zugleich auch eine ganze Function $\bigl((\mu\varrho-1)$ten Grades$\bigr)$
von $x$ ist, und sämmtliche in diesen Ausdrücken vorkommenden unendlichen
Reihen unbedingt convergiren, sobald die absoluten Werthe der genannten
Veränderlichen unterhalb der oben für sie festgesetzten Gränzen liegen.\footnote{%
Wenn $\MF{F}(s_1, s_2, \dotsc)$ eine Function mehrerer veränderlichen Größen $s_1$, $s_2$, $\dotsc$
ist, die für alle Werthe derselben, die ihrem absoluten Betrage nach unter gewissen
Gränzwerthen $\mathbf{S}_1$, $\mathbf{S}_2$, $\dotsc$ liegen, durch eine convergirende Reihe von der Form
\[
\underset{\mbox{\scriptsize$\frakn_1 = 0\dotsc\infty,\ \frakn_2 = 0\dotsc\infty, \dotsc$}}
{\mathbf{S}\left\{\MF{A}(\frakn_1, \frakn_2, \dotsc)
    s^{\frakn_1}_1 s^{\frakn_2}_2\dotsm\right\}}
\]
dargestellt werden kann; und man substituirt für $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ ebenso gebildete Potenz-Reihen
beliebig vieler anderer Veränderlichen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, und ordnet nach Potenzen
dieser letztern; so convergirt die so sich ergebende Reihe, sobald man für die absoluten
Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$ solche Gränzen festsetzt, daß nicht nur die Reihen für $s_1$, $s_2$, $\dotsc$ %
sämmtlich convergent sind, sondern ihre Summen auch zu denjenigen Werthen von
$s_1$, $s_2$, $\dotsc$ gehören, für welche die angegebene Darstellung von $\MF{F}(s_1, s_2, \dotsc)$ gültig ist.} %endfootnote
Dabei
kann man bemerken, daß die Coefficienten von $\MF{U}^{(\frakr)}_\frakm$ und $\MF{U}_\frakm(x)$ aus
$a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$, und den Coefficienten von $\MF{Q}(x)$ rational zusammengesetzt
sind, wie man leicht sieht, wenn man die vorhergehenden Entwicklungen in
dieser Beziehung überblickt.


\Section{} % \S.~4.

Nachdem nun ermittelt worden, welche Gestalt die Coefficienten von
$\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$, $\varphi(x)$, als Functionen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$ u.~s.~w.\ betrachtet, haben\footnote{%
Wenn man die in Rede stehenden Größen direct durch Auflösung der Gleichungen
(3, §.~2) bestimmen, und in den so sich ergebenden Formeln $x'_1$, $x''_1$, \dots
$\sqrt{\MF{R}(x'_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x''_1)}$, $\dotsc$ durch $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$, $\dotsc$ ausdrücken wollte, so würden sie die Gestalt
von Brüchen erhalten, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig verschwänden, sobald man
in zweien oder mehreren der unter (1, §.~2) aufgestellten Reihen die gleichstelligen Glieder
einander gleich setzte. Um diesen Uebelstand zu vermeiden, der sich schon bei Anwendung
des \Auth{Abel}'schen Theorems zur Herleitung der sog. Additions-Formeln für die
elliptischen Functionen zeigt, ist das im vorhergehenden §.~auseinandergesetzte, allerdings
etwas umständliche Verfahren gewählt worden. Wie man übrigens die Gleichungen (3, §.~2),
auch ohne $\sqrt{\MF{R}(x'_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x''_1)}$, $\dotsc$ in unendliche Reihen aufzulösen, so umformen kann,
daß derselbe Zweck erreicht wird, soll für den besonders wichtigen Fall, wo $\mu=1$ ist,
später gezeigt werden.
}, %endfootnote
kehre ich zu den Gleichungen (8.) des §.~2. zurück.

%% {-----File: 025.png---Folio 23-------}

Wenn die Größen (1.) des §.~2. sämmtlich verschwinden, so reduciren
sich, nach den Formeln (25, §.~3) $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\dotsc,~\varphi_\varrho$ ebenfalls sämmtlich auf
Null, und daher (nach (23.) desselben §.) $\varphi(x)$ auf $\MF{P}(x)$, so daß alsdann
$x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ erhalten. Man kann daher
$x_\fraka-a_\fraka$, $\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}$ -- die letztere Größe mit Hülfe der Formel (7, §.~2) -- bei
hinlänglich kleinen Werthen der genannten Veränderlichen nach ganzen
positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln, die gleichzeitig mit ihnen verschwinden,
und $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ als in der Nähe beziehlich von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$
liegend betrachten. Dann aber führen die Gleichungen (8, §.~2) indem man
ganz denselben Weg verfolgt wie bei den Entwicklungen des §.~1., und wieder
\[
\sqrt{\biggl(
  \frac{\MF{P}'(a_\fraka)}{\MF{Q}(a_\fraka)}(x_\fraka-a_\fraka)
\biggr)}
= s_\fraka
\]
setzt, zu den folgenden
\begin{gather*}
  \MF{u}'_\frakb + \MF{u}''_\frakb + \dotsb \MF{u}^{(2\mu)}_\frakb
  = s_\frakb + \Underset{\frakn = 1 \dots \infty}
    {\mathbf{S}\Biggl\{
      \sum_\fraka \frac{(\fraka, \frakb)_\frakn}{2\frakn+1}s_\fraka^{2\frakn+1}
      \Biggr\}
    }
  \quad (\frakb = 1, \dotsc, \varrho),
\\
  \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{\MF{Q}(x_\fraka)} =
  s_\fraka + (\fraka)_1 s^3_\fraka + \dotsb,
\end{gather*}
und man sieht daher, daß man, unter der Voraussetzung, es seien nicht nur
$\MF{u}'_\fraka$, $\MF{u}''_\fraka$, $\dotsc,~\MF{u}^{(2\mu)}_\fraka$, sondern auch
    $\MF{u}'_\fraka + \MF{u}''_\fraka + \dots + \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka$ dem absoluten Betrage
nach kleiner als $\MF{U}_\fraka$, durch Auflösung der Gleichung $\varphi(x)=0$ und Anwendung
der Formel (7, §.~2) zu denselben Werthen von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$,
$\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ gelangen muß, die man für diese Größen
vermittelst der Formeln (4, 5, §.~1) erhält, wenn man in diesen
\begin{alignat*}{10}
  \MF{u}'_1 &+ \MF{u}''_1 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_1 &\quad\text{an die Stelle von}\quad && \MF{u}_1 \\
  \MF{u}'_2 &+ \MF{u}''_2 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_2
&\text{\phantom{ }\rlap{\;--}\phantom{an d}\rlap{--}\phantom{ie St}\rlap{--}\phantom{elle }\rlap{\:--}\phantom{von }}
&& \MF{u}_2 \\
\multispan{10}{\dotfill}\\
  \MF{u}'_\varrho &+ \MF{u}''_\varrho &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho
&\text{\phantom{ }\rlap{\;--}\phantom{an d}\rlap{--}\phantom{ie St}\rlap{--}\phantom{elle }\rlap{\:--}\phantom{von }}
&& \MF{u}_\varrho \\
\end{alignat*}
setzt. Aus den so eben angeführten Formeln erhält man ferner
\[
%[**F2: Changing surd to sqrt made the braces redundant, so I removed them; also the parens in the paragraph at the top of the page.]
\tag{1.}
\left\{\begin{gathered}
\sqrt{
\frac{(a_\fraka-x_1) (a_\fraka-x_2)\dots (a_\fraka-x_\varrho)}
     {-\MF{Q}(a_\fraka)}
}
\\
= \MF{u}_\fraka + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\fraka)}_3 + \dots +
    (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\fraka)}_{2\frakm-1} + \dotsb,
\\[2ex]
\sqrt{
\frac{(a_{\varrho+\fraka}-x_1) (a_{\varrho+\fraka}-x_2) \dots (a_{\varrho+\fraka}-x_\varrho)}
     {\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})}
}
\\
= 1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\varrho + \fraka)}_2 + \dots +
    (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\varrho + \fraka)}_{2\frakm} + \dotsb,
\\[2ex]
\sqrt{
\frac{(a_{2\varrho+1}-x_1) (a_{2\varrho+1}-x_2) \dots (a_{2\varrho+1}-x_\varrho)}
     {\MF{P}(a_{2\varrho+1})}
}
\\
= 1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(2\varrho+1)}_2 + \dots +
    (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(2\varrho+1)}_{2\frakm} + \dotsb,
\end{gathered}\right.
\]
%% {-----File: 026.png---Folio 24-------}
wo wieder $(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)^{(\frakr)}_\frakm$ eine homogene ganze Function $\frakm$ten Grades von
$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bedeutet, deren Coefficienten aus denen von $\MF{Q}(x)$, und aus
$a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ rational zusammengesetzt sind. Macht man nun in diesen
Ausdrücken die angegebene Substitution, so ersieht man aus der Vergleichung
der so hervorgehenden Formeln mit den unter (25.) des vorhergehenden §.
aufgestellten, wenn man die letztern nach Potenzen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$, u.~s.~w.\ sich
entwickelt denkt, daß
\[
\MF{U}_1^{(\fraka)} = \pm(\MF{u}'_\fraka + \MF{u}''_\fraka + \dots + \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka),
\quad \MF{U}^{(\varrho+\fraka)}_0 = \pm 1,
\quad \MF{U}^{(2\varrho+1)}_0 = \pm 1
\]
sein muß. Setzt man nun fest, es solle jeder der Wurzelgrößen
\[
% [** PP: Omitting redundant parentheses around radicands]
\sqrt{\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}}, \quad
\sqrt{\frac{\varphi(a_{\varrho+\fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho+\fraka})}},\quad
\sqrt{\frac{\varphi(a_{2\varrho+1})}{\MF{P}(a_{2\varrho+1})}}
\]
von den beiden Werthen, die sie haben kann, derjenige beigelegt werden,
bei dem in den vorstehenden Formeln die obern Zeichen gelten, so sind dieselben
jetzt als völlig bestimmte eindeutige Functionen von $\MF{u}'_1$, $\MF{u}''_1$ u.~s.~w.\ zu
betrachten, welche bei hinlänglich kleinen Werthen dieser Veränderlichen mit
den unter (1.) aufgestellten übereinstimmen, wofern man in den letztern
\begin{alignat*}{8}
  \MF{u}_1 &= \MF{u}'_1 &&+ \MF{u}''_1 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_1 \\[0.5ex]
  \MF{u}_2 &= \MF{u}'_2 &&+ \MF{u}''_2 &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_2 \\
  \multispan{8}{\dotfill} \\
  \MF{u}_\varphi &= \MF{u}'_\varphi &&+ \MF{u}''_\varphi &&+ \dotsb &&+ \MF{u}^{(2\mu)}_\varphi
\end{alignat*}
setzt.

Angenommen nun, man habe für die absoluten Werthe der veränderlichen
Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ irgend welche Gränzen $\MF{T}_1$, $\MF{T}_2$, $\dotsc,~\MF{T}_\varrho$, die
sie nicht überschreiten sollen, festgestellt, so kann man die Zahl $\mu$ so groß
annehmen, daß
\[
\MF{T}_1 < 2\mu \MF{U}_1, \quad \MF{T}_2 < 2\mu \MF{U}_2, \quad \dotsc, \quad \MF{T}_\varrho < 2\mu \MF{U}_\varrho.
\]
Dann darf man
\begin{alignat*}{10}
  \MF{u}'_1 &= \MF{u}''_1 &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_1
           &&= \frac{\MF{u}_1}{2\mu}\;, \\[1ex]
  \MF{u}'_2 &= \MF{u}''_2 &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_2
           &&= \frac{\MF{u}_2}{2\mu}\;, \\
  \multispan{10}{\dotfill} \\
  \MF{u}'_\varrho &= \MF{u}''_\varrho &&= \dotsb &&= \MF{u}^{(2\mu)}_\varrho
           &&= \frac{\MF{u}_\varrho}{2\mu}
\end{alignat*}
setzen, und es werden, wenn man die Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in
%% {-----File: 027.png---Folio 25-------}
welche dadurch die Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichungen~(25.)
des vorhergehenden §. sich verwandeln, mit
\[
\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_1 \quad
\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2 \quad
\dots \quad
\varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho+1},
\]
oder auch kürzer mit
\[
\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad
\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad
\dots \quad
\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho+1},
\]
bezeichnet, dieselben die Gestalt
\[
\tag{2.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka
  &&= \frac{\MF{u}_\fraka + \frakU_3^{(\fraka)} + \dots +
            \frakU_{2\frakm-1}^{(\fraka)} + \dotsb}
      {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb}
  \\[1ex]
  & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka}
  &&= \frac{1 + \frakU_2^{(\varrho + \fraka)} + \dots +
            \frakU_{2\frakm}^{(\varrho + \fraka)} + \dotsb}
      {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb}
  \\[1ex]
  & \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1}
  &&= \frac{1 + \frakU_2^{(2\varrho + 1)} + \dots +
            \frakU_{2\frakm}^{(2\varrho + 1)} + \dotsb}
      {1 + \frakU_2^{(0)} + \dots + \frakU_{2\frakm}^{(0)} + \dotsb}
\end{alignedat}\right.
\]
haben, in welchen Formeln $\frakU_\frakm^{(\frakr)}$ eine ganze homogene Function $\frakm$ten Grades
von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bedeutet, und die unendlichen Reihen, welche den Nenner
und die Zähler bilden, für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, die ihrem absoluten
Betrage nach die Gränzen $\MF{T}_1$, $\MF{T}_2$, $\dotsc,~\MF{T}_\varrho$ nicht überschreiten, unbedingt
convergent sind. Für hinlänglich kleine Werthe der genannten Veränderlichen
lassen sich $\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2,$ u.~s.~w.\ nach ganzen positiven
Potenzen derselben in convergirende Reihen entwickeln, welche mit den entsprechenden
unter (1.) aufgestellten übereinstimmen.

Durch Auflösung der Gleichung
\[
\varphi(x) = 0,
\]
wo
\[
\tag{3.}
\varphi(x) = \MF{P}(x) - {\sum} \left\{
    \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot
    \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\fraka} \varphi^2
    (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka \right\}
\]
ist, und man
\[
\tag{4.}
% [** PP: Omitting redundant parentheses around radicands]
\left\{\begin{aligned}
  \sqrt{
    \frac{\varphi(a_\fraka)}{\ -\MF{Q}(a_\fraka)\ } }
    &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka
  \\
  \sqrt{
    \frac{\varphi(a_{\varrho + \fraka})}{\,\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})\ } }
    &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka}
  \\
  \sqrt{
    \frac{\varphi(a_{2\varrho + 1})}{\MF{P}(a_{2\varrho + 1})} }
    &= \varphi(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1}
\end{aligned}\right.
\]
hat, ergeben sich sodann $\varrho$ Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, welche den Differential-Gleichungen
%% {-----File: 028.png---Folio 26-------}
\[
\tag{5.}
\left\{\begin{aligned}
  d\MF{u}_1 &= {\sum \frac{1}{2}}\,
    \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_1} \centerdot
    \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} }
  \\[1ex]
  d\MF{u}_2 &= {\sum \frac{1}{2}}\,
    \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_2} \centerdot
    \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} }
  \\[1ex]
  \multispan{2}{\dotfill}
  \\[1ex]
  d\MF{u}_\varrho &= {\sum \frac{1}{2}}\,
    \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a_\varrho} \centerdot
    \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} }
\end{aligned}\right.
\]
genügen, und zugleich die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ annehmen, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$,
$\dotsc$, $\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden. Die Werthe, welche die Wurzelgrößen in
diesen Gleichungen haben müssen, erhält man ohne Zweideutigkeit, indem
man mit
\[
\MF{M}(x, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho), \quad \MF{N}(x, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
\]
die Functionen bezeichnet, in welche die Ausdrücke (26, §.~3) durch die angegebene
Substitution übergehen, durch die Formel
\[
\tag{6.}
\frac{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} }{\MF{Q}(x_\fraka)} =
    \frac{\MF{N}(x_\fraka, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)}
         {\MF{M}(x_\fraka, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)}
    \quad (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho).
\]

Hierzu ist jetzt noch eine wesentliche Bemerkung zu machen. Der
Nenner und die Zähler in den Ausdrücken von
\[
\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad \varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad \text{u.~s.~w.}
\]
hängen, außer von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{}  noch von der Zahl $\mu$ ab. Gleichwohl läßt
sich nachweisen, daß die Werthe dieser Functionen selbst stäts dieselben
bleiben, welchen Werth man auch dieser Zahl geben möge, wenn derselbe
nur groß genug genommen wird, um die in den in Rede stehenden Ausdrücken
vorkommenden Reihen convergent zu machen.

Wenn nämlich $\MF{F}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{G}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{F}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$, $\MF{G}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)$
eindeutige Functionen mehrerer Veränderlichen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$ sind, die sich nach
ganzen positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln lassen, und es gilt
die Gleichung
\[
\frac{\MF{F}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}{\MF{G}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)} =
\frac{\MF{F}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}{\MF{G}'(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc)}
\]
für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner
als gewisse Größen sind; so muß sie überhaupt für alle Werthe der genannten
Veränderlichen bestehen, bei denen die Reihen für $\MF{F}$, $\MF{G}$, $\MF{F}'$, $\MF{G}'$ sämmtlich
convergiren. Denn es folgt aus ihr
\[
\MF{F}\MF{G}' = \MF{G}\MF{F}',
\]
%% {-----File: 029.png---Folio 27-------}
und wenn diese Gleichung für beliebige unendlich kleine Werthe von  $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{}
richtig sein soll, so müssen die Reihen, in welche $\MF{F}\MF{G}'$ und $\MF{G}\MF{F}'$ nach ganzen
positiven Potenzen dieser Größen entwickelbar sind, in den gleichstelligen
Coefficienten übereinstimmen, woraus denn folgt, daß sie, und mit ihr auch
die ursprüngliche
\[
\frac{\MF{F}}{\MF{G}} = \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'}
\]
gilt, sobald nur $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots{} solche Werthe haben, daß die Entwicklungen von
$\MF{F}$, $\MF{G}$, $\MF{F}'$, $\MF{G}'$ sämmtlich convergent sind.

Bezeichnet man nun die Reihen, welche in dem Ausdrucke irgend
einer der Functionen $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_2$ u.~s.~w., bei einem bestimmten
Werthe von $\mu$, den Zähler und den Nenner bilden, mit $\MF{F}$, $\MF{G}$, sowie mit $\MF{F}'$,
$\MF{G}'$ dieselben Reihen für irgend einen andern Werth von $\mu$, so stimmen, nach
dem oben Bemerkten, die Reihen, in welche die Brüche
\[
\frac{\MF{F}}{\MF{G}}\;, \quad \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'}
\]
bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ entwickelt werden können,
vollständig überein, und es besteht daher die Gleichung
\[
\frac{\MF{F}}{\MF{G}} = \frac{\MF{F}'}{\MF{G}'}
\]
jedenfalls für alle Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, deren absoluten Beträge kleiner
als gewisse Größen sind, und somit, nach dem so eben Bewiesenen, überhaupt
für diejenigen Werthe dieser Veränderlichen, bei denen die Reihen $\MF{F}$, $\MF{G}$,
$\MF{F}'$, $\MF{G}'$ alle vier convergiren -- wodurch die Richtigkeit des Behaupteten
dargethan ist.

In ähnlicher Weise läßt sich ferner zeigen, daß man nach Bestimmung
von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ auch für die Wurzelgrößen $\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$,
$\dotsc,~\sqrtRx$ vermittelst der Formel (6.) stäts dieselben Werthe erhalte, welche
Zahl $\mu$ man auch bei Bildung der Functionen $\MF{M}$, $\MF{N}$ anwenden möge. Es
ist aber bemerkenswerth, daß man aus der Function $\varphi(x)$ eine andere vom
$(\varrho-1)$ten Grade und mit Coefficienten von demselben analytischen Charakter
wie die von $\varphi(x)$ selbst ableiten kann, welche jene Wurzelgrößen liefert,
wenn man $x=x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ setzt.

Es werde $\dfrac{\partial\varphi(x)}{\partial x} = \varphi'(x)$ gesetzt, und nachdem man die Gleichung
\[
d\MF{u}_\frakb = {\sum\limits_\frakc\frac{1}{2}}\,
  \frac{\MF{P}(x_\frakc)}{x_\frakc-a_\frakb} \centerdot
  \frac{dx_\frakc}{\sqrt{\MF{R}(x_\frakc)}}
\]
%% {-----File: 030.png---Folio 28-------}
mit
\[
\frac{\varphi(a_\frakb)}{(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}.
\]
multiplicirt, auf beiden Seiten in Beziehung auf $\frakb$ summirt. Dies giebt
\[
  {\sum\limits_\frakb}
  \frac{ \varphi(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_{\frakb}) } \centerdot
  \frac{ d\MF{u}_\frakb }{ x_\fraka - a_\frakb }
= {\sum\limits_{\frakb,\frakc} \frac{1}{2}}\,
  \frac{ \varphi(a_\frakb) \MF{P}(x_\frakc) }
       { (x_\fraka - a_\frakb)
         (x_\frakc - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) }
  \centerdot \frac{ dx_\frakc }{ \sqrt{\MF{R}(x_\frakc)} }.
%/** F2 that sqrt is a standalone surd, but sqrt{R(x)} conveys the meaning **/
\]
Nun ist aber
\[
  \frac{\varphi(x)}{ (x_\fraka - x) \MF{P}(x) }
= {\sum\limits_\frakb}
  \frac{ \varphi(a_\frakb) }
       { (x_\fraka - a_\frakb)
         (x        - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}\;,
\]
und daher, wenn man $x = x_\frakc$ setzt,
\begin{align*}
  {\sum\limits_\frakb}
  \frac{ \varphi(a_\frakb) }
       { (x_\frakc - a_\frakb)
         (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) } &= 0,
\quad\text{wofern } \frakc \gtrless \fraka
\\
\text{und }
  {\sum\limits_\frakb}
  \frac{ \varphi(a_\frakb) }
       { (x_\fraka - a_\frakb)
         (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) }
&= -\frac{ \varphi'(x_\fraka) }{ \MF{P}(x_\fraka) }.
\end{align*}
Hiernach reducirt sich die rechte Seite der vorhergehenden Differential"=Gleichung
auf
\[
-\frac{1}{2}\, \frac{\varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}},
\]
und man erhält
\[
  \varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka
= -2 {\sum\limits_\frakb}
  \frac{\varphi(a_\fraka) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
       {(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}\, d\MF{u}_\frakb. % [** PP: Added period]
\]
Hieraus folgt
\begin{align*}
  \varphi'(x_\fraka)
  \frac{ \partial x_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb }
&= -\frac{ 2\varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} }
         { (x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) }\;,
\\[1ex]
-\sum_\frakb \varphi'(x_\fraka)\frac{\partial x_\fraka }{\partial\MF{u}_\frakb}
&= 2\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} \centerdot
   \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}
                    {(x_\fraka - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb)}. %[** PP: Added period]
\end{align*}
Aber
\[
\frac{\varphi(x)}{\MF{P}(x)}
  = 1 + \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}{(x-a_\frakb)\MF{P}'(a_\frakb)}\;,
\]
und daher für $x = x_\fraka$
\[
\sum_\frakb\frac{\varphi(a_\frakb)}{(x_\fraka - a_\frakb)\MF{P}'(a_\frakb)}
  = -1. %[** PP: Added period]
\]
Folglich
\[
\sum_\frakb\varphi'(x_\fraka)\frac{\partial x_\fraka}{\partial\MF{u}_\frakb}
  = 2\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}. %[** PP: Added period]
\]
Nun ist, nach dem Vorhergehenden, $\varphi(x)$ eine eindeutige Function von $x$
und $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, und man hat, weil $\varphi(x_\fraka)=0$ ist,
\[
  \varphi'(x_\fraka)
  \frac{\partial x_\fraka}{\partial \MF{u}_\frakb}
= -\biggl( \frac{\partial \varphi(x)}
               {\partial \MF{u}_\frakb} \biggr)_{x=x_\fraka}. %[** PP: Added period]
\]
%% {-----File: 031.png---Folio 29-------}
Somit giebt die vorhergehende Gleichung, wenn man
\[
\tag{7.}
\frac{1}{2}\, \biggl(
   \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_1}
 + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_2} + \cdots
 + \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_{\varrho}}
 \biggr) = \psi (x)
\]
setzt, wo dann $\psi(x)$ eine ganze Function $(\varrho-1)$ten Grades von $x$ ist, deren
Coefficienten gleich denen von $\varphi(x)$ eindeutige Functionen der Größen $\MF{u}_1$,
$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sind,
\[
\tag{8.}
\sqrt{\MF{R}(x_{\fraka})}
  = -\psi(x_\fraka)\quad (\fraka = 1, 2, \dotsc, \varrho).
\]
Da nun die Werthe der Coefficienten von $\varphi(x)$, die aus den Functionen
$\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\dotsc,~\varphi(\MF{u}_1, \dotsc)_\varrho$ zusammengesetzt werden, von $\mu$ unabhängig sind,
so gilt dasselbe auch hinsichtlich der Coefficienten von $\varphi(x)$. Und so ist erwiesen,
daß die Werthe der Größen
\[
x_1, x_2, \dotsc, x_{\varrho},\
\sqrt{\MF{R}(x_1)}, \sqrt{\MF{R}(x_2)}, \dotsc, \sqrtRx,
\]
wenn man dieselben vermittelst der im Vorhergehenden entwickelten Formeln
berechnet, nur von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in keinerlei Weise aber von der dabei
gebrauchten Zahl $\mu$ abhängen. %[** PP: umlaut added]

Die Functionen $\varphi (\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\varphi (\MF{u}_1, \dotsc)_2$, u.~s.~w., auf welche, der vorstehenden
Darstellung nach, das \Auth{Abel}'sche Theorem fast mit Nothwendigkeit
führt, können durch die Formeln~(2.) für \textit{alle} Werthe von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$
als vollständig definirt betrachtet werden, indem man, wie auch die letztern
angenommen werden mögen, stäts $\mu$ so groß wählen kann, daß die in den
Ausdrücken jener Functionen vorkommenden unendlichen Reihen convergiren.
Für $\varrho = 1$ gehen sie, wenn
\[
\sqrt{(a_3 - a_1)\MF{A}_0}\centerdot \MF{u}_1 = \MF{u}
\]
gesetzt wird, in die \textit{elliptischen}
\[
  \sin\am\MF{u} \qquad \cos\am\MF{u} \qquad \varDelta\am\MF{u}
\]
% [** PP: Manually hyphenating Abel'sche]
über. Aus diesem Grunde mögen sie vorzugsweise "`\Defn{hyperelliptische oder
Abel'\-sche Functionen der Argumente} $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$'' genannt werden.
Ferner sollen, der letztern Benennung entsprechend, für dieselben von nun an
die Bezeichnungen
\[
  \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_1 \quad
  \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_2 \quad  \dotsm \quad
  \al(\MF{u}_1, \,\MF{u}_2, \dotsc, \,\MF{u}_{\varrho})_{2\varrho + 1},
\]
oder auch kürzer
\[
\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1 \quad \al (\MF{u}_1, \dotsc)_2 \quad  \dotsm \quad \al (\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho + 1}
\]
gebraucht werden.\footnote{
  Die Form, welche ich in der vorliegenden Abhandlung den \Auth{Abel}'schen Functionen
  gegeben habe, stimmt nicht ganz mit derjenigen überein, in welcher sie der frühern,
im 47sten Bande des \textit{Crelle}'schen Journals abgedruckten, aufgestellt sind. Die letztere
dürfte, an sich betrachtet, einige Vorzüge haben; ich habe sie aber geändert, um den
nicht unwesentlichen Vortheil zu erreichen, daß jede \Auth{Abel}'sche Function für $\varrho = 1$ geradezu
in eine der elliptischen von der gebräuchlichen Form übergehe -- was bei den dortigen
$\al(\MF{u}_1, \dotsc)_0$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, u.~s.~w.\ nicht der Fall ist, indem diese vielmehr für $\varrho=1$
mit den von \Auth{Abel} in dessen erster Abhandlung über die elliptischen Transcendenten
gebrauchten Formen überein kommen -- und auf diese Weise die Vergleichung jedes
gefundenen Resultats mit einem aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannten
erleichtert werde.}

%% {-----File: 032.png---Folio 30-------}

Durch die bisherigen Entwicklungen ist jetzt das in der Einleitung ausgesprochene,
die Form des Abhängigkeitsverhältnisses, welches zwischen den
Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ und  $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ durch die daselbst aufgestellten
Differential-Gleichungen begründet ist, betreffende Theorem strenge erwiesen.
Dasselbe möge, in noch bestimmterer Weise gefaßt, hier wiederholt und mit
einer übersichtlichen Zusammenstellung der wichtigsten Formeln verbunden
werden.

\textit{Es sei}
\[
\tag{I.}
\left\{\begin{aligned}
\MF{R}(x)
  &= \MF{A}_0 (x - a_1)(x - a_2) \dotsm (x - a_{2\varrho + 1}), \\[0.5ex]
\MF{P}(x)
  &= (x - a_1)(x - a_2) \dotsm (x - a_{\varrho}),
      \quad \frac{\partial \MF{P}(x)}{\partial x} = \MF{P}'(x), \\[0.5ex]
\MF{Q}(x)
  &= \MF{A}_0 (x - a_{\varrho + 1})(x - a_{\varrho + 2})
      \dotsm (x - a_{2\varrho + 1}),
\end{aligned}\right.
\]
\textit{so lassen sich die Größen $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, welche die Differential-Gleichungen}
\[
\tag{II.}
\left\{\begin{aligned}
d\MF{u}_1
  &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_1}
    \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} \\[1ex]
d\MF{u}_2
  &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_2}
    \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}} \\[1ex]
\multispan{2}{\dotfill} \\[1ex]
d\MF{u}_{\varrho}
  &= \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_{\fraka})}{x_{\fraka} - a_{\varrho}}
    \centerdot \frac{dx_{\fraka}}{\sqrt{ \MF{R} (x_{\fraka})}}
\end{aligned}\right.
\]
\textit{befriedigen, und zugleich die Werthe $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ annehmen, wenn
$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden, als die Wurzeln einer Gleichung
$\varrho$ten Grades betrachten, welcher man die Form}
\[
\tag{III.}
\sum \Biggl\{ \frac{\MF{Q}(a_{\fraka})}{\MF{P}'(a_{\fraka})}
  \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka}
                  {x - a_\fraka} \Biggr\} = 1
\]
\textit{geben kann. In dieser bedeuten}
\[
\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_1 \quad
\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 \quad \dots \quad
\al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{\varrho}
\]
%% {-----File: 033.png---Folio 31-------}
\textit{eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Argumente $\MF{u}_1$,
$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche für alle innerhalb irgend eines endlichen Bereichs
liegenden Werthe dieser Größen in der Form}
\[
\Lmargintag{IV.}
\left\{\begin{aligned}
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_1
  &= \frac{\MF{u}_1
     + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_3 ^{(1)}
     + \dotsb
     + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm-1}^{(1)}
     + \dotsb {}}% End of numerator
  {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 ^{(0)}
     + \dotsb
     + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm}^{(0)}
     + \dotsb {}}, \\[1ex]
\multispan{2}{\dotfill}\\[1ex]
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{\varrho}
  &= \frac{\MF{u}_\varrho
     + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_3 ^{(\varrho)}
     + \dotsb
     + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm-1}^{(\varrho)}
     + \dotsb {}}% End of numerator
  {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_2 ^{(0)}
     + \dotsb
     + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_{\varrho})_{2\frakm}^{(0)}
     + \dotsb {}},
\end{aligned}\right.
\]
\textit{wo durch $(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\frakm}^{(\frakr)}$
eine homogene ganze Function $\frakm$ten Grades
bezeichnet wird, dargestellt werden können}.

\textit{Setzt man ferner}
\[
\tag{V.}
(x-x_1)(x-x_2) \dotsm (x-x_{\varrho}) = \varphi(x),
\]
\textit{wo denn}
\[
\tag{VI.}
\varphi(x) = \MF{P}(x) - \sum \Biggl\{
    \frac{\MF{Q} (a_{\fraka})}
         {\MF{P}'(a_{\fraka})}
    \centerdot \frac{\MF{P}(x)}
                    {x - a_\fraka}
    \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka
  \Biggr\}
\]
\textit{und}
\[
\Lmargintag{VII.}
% [** PP: Omitting redundant parentheses/braces around radicands]
\sqrt{\frac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}}
% [** PP: Change x to a in last numerator factor, see Changenotetext]
  = \sqrt{\frac{(a_\fraka - x_1)(a_\fraka - x_2) \dotsm (a_\fraka - x_\varrho)}
    {-\MF{A}_0(a_\fraka - a_{\varrho+1}) \dotsm (a_\fraka - a_{2\varrho+1})}}
  = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\qquad\Changenotemark
\]
\Changenotetext{$\sqrt{\dfrac{\varphi(a_\fraka)}{-\MF{Q}(a_\fraka)}}
= \sqrt{\dfrac{(a_\fraka - x_1)(a_\fraka - x_2) \dotsm (x_\fraka - x_\varrho)}
       {-\MF{A}_0(a_\fraka - a_{\varrho+1}) \dotsm (a_\fraka - a_{2\varrho+1})}} = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka$}%
\textit{ist, und}
\[
\tag{VIII.}
\sum \frac{1}{2}\, \frac{\partial\varphi(x)}{\partial\MF{u}_\fraka} = \psi(x),
\]
\textit{oder, indem man}
\[
\tag{IX.}
  \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka}
       {\partial\MF{u}_1} + \dotsb
+ \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka}
       {\partial\MF{u}_\varrho}
  \quad\text{\textit{mit}}\quad
  \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka
\]
\textit{bezeichnet,}
\[
\tag{X.}
\psi (x) = \sum \Biggl\{
  \frac{-\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
  \centerdot \frac{\MF{P}(x)}{x - a_\fraka}
          \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\,
\overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka
\Biggr\},
\]
\textit{so giebt die Formel}
\[
\tag{XI.} \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} = -\psi(x_\fraka)
\]
\textit{nach Bestimmung von $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ diejenigen Werthe der Wurzelgrößen
$\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc$, $\sqrtRx$, welche diesen in den obigen Differential-Gleichungen
{\upshape(II.)} beigelegt werden müssen. Weiter hat man}
%% {-----File: 034.png---Folio 32-------}
\[
\tag{XII.}
\left\{
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{\varphi(a_{\varrho + \fraka})}{\MF{P}(a_{\varrho + \fraka})}}
&= \sqrt{\frac{(a_{\varrho + \fraka} - x_1)
               (a_{\varrho + \fraka} - x_2) \dotsm
               (a_{\varrho + \fraka} - x_\varrho)}
              {(a_{\varrho + \fraka} - a_1)
               (a_{\varrho + \fraka} - a_2) \dotsm
               (a_{\varrho + \fraka} - a_\varrho)}} \\
&\quad
  = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + \fraka}, \\[1ex]
\sqrt{\frac{\varphi(a_{2\varrho + 1})}{\MF{P}(a_{2\varrho + 1})}}
&= \sqrt{\frac{(a_{2\varrho + 1} - x_1)
               (a_{2\varrho + 1} - x_2) \dotsm
               (a_{2\varrho + 1} - x_\varrho)}
              {(a_{2\varrho + 1} - a_1)
               (a_{2\varrho + 1} - a_2) \dotsm
               (a_{2\varrho + 1} - a_\varrho)}} \\
&\quad
  = \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1},
\end{aligned}
\right.
\]
\textit{wo $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\varrho + 1}$, $\dotsc,~\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{2\varrho +1}$ Functionen derselben Art wie $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$
u.~s.~w.\ sind, die sich in der Form}
\[
\tag{XIII.}
\left\{
\begin{gathered}
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\varrho + 1} \\
{} = \frac{1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(\varrho + 1)}
    + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(\varrho + 1)}
    + \dotsb}
          {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(0)}
    + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(0)}
    + \dotsb}, \\[1ex]
\dotfill \\
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\varrho + 1} \\
{} = \frac{1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(2\varrho + 1)}
    + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(2\varrho + 1)}
    + \dotsb}
          {1 + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_2^{(0)}
    + \dotsb + (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{2\frakm}^{(0)}
    + \dotsb}
\end{gathered}
\right.
\]
\textit{darstellen lassen, wo der Nenner derselbe ist wie in den Ausdrücken~\textup{(IV.)}.}
Diesen Formeln füge ich noch die folgenden hinzu.

Bezeichnet man mit $\alpha$ irgend eine der Zahlen $1, 2, \dotsc, 2\varrho+1$,
und setzt
\[
\tag{XIV.}
-\MF{Q}(a_\fraka) = l_\fraka, \quad
 \MF{P}(a_{\varrho  + \fraka}) = l_{\varrho + \fraka}, \quad
 \MF{P}(a_{2\varrho  + 1}) = l_{2\varrho +1},
\]
\[
\tag{XV.}
\frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha}
     {\partial\MF{u}_1}
  + \dotsb
  + \frac{\partial\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha}
         {\partial\MF{u}_\varrho}
  = \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha,
\]
so ist
\[
\tag{XVI.}
\left\{
\begin{aligned}
\varphi (a_\alpha)
&= l_\alpha \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha, \\
\psi (a_\alpha)
&= l_\alpha \al  (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha \,
  \overline{\al} (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha,
\end{aligned}
\right.
\]
so daß man auch, wenn $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc,~\alpha_\varrho$ \ $\varrho$ verschiedene Werthe von $\alpha$
sind, und
\[
\tag{XVII.}
(x - a_{\alpha_1}) \dotsm (x - a_{\alpha_{\varrho}}) = \MF{R}_1(x)
\]
gesetzt wird,
\[
\tag{XVIII.}
\left\{
\begin{aligned}
\varphi(x)
&= \MF{R}_1(x) + \sum \Biggl\{
    \Underset{\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho}
             {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)}
                \centerdot \frac{\MF{R}_1(x)}{x - a_\alpha}
                \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha}
             \Biggr\}, \\[1ex]
\psi(x)
&= \sum \Biggl\{
    \Underset{\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho}
             {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1 (a_\alpha)}
              \centerdot \frac{\MF{R}_1(x)}
                              {x - a_\alpha}
              \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha\,
    \overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha}
        \Biggr\},
\end{aligned}
\right.
\]
hat.

%% {-----File: 035.png---Folio 33-------}

Ferner ist, indem
\[
  \frac{\psi(x)}{\varphi(x)}
= \sum \frac{\psi(x_\fraka)}{(x - x_\fraka)\, \varphi'(x_\fraka)}\;,
  \quad\text{wo}\quad
  \varphi'(x) = \frac{\partial\varphi(x)}{\partial x},
\]
in Folge (X, XVI.)
\begin{gather*}
\tag{XIX.}
  \frac{\psi(x)}{\varphi(x)}
= \sum \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}{(x_\fraka - x)\,\varphi'(x_\fraka)}\;,
\\[1ex]
\tag{XX.}
  \frac{\overline{\al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha}
       {          \al (\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha}
= \sum \frac{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
            {(x_\fraka - a_\alpha)\,\varphi'(x_\fraka)}.
\end{gather*}
Nun ist oben bei Herleitung der Gleichung (8.) gefunden worden
\[
  \biggl(\frac{ \partial\varphi(x) }
             { \partial \MF{u}_\frakb} \biggr)_{x=x_\fraka}
= -\varphi'(x_\fraka)
   \frac{ \partial x_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb }
%
=  \frac{2\varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} }
        { (x_\fraka - a_\frakb) {\MF{P}'}(a_\frakb) }
%
= -\frac{2\varphi(a_\frakb) \psi(x_\fraka) }
        { (x_\fraka - a_\frakb) {\MF{P}'}(a_\frakb) }.
\]
woraus man schließt, daß für jeden Werth von $x$
\[
\tag{XXI.}
  \frac{1}{2}\, \frac{ \partial\varphi(x) }{ \partial \MF{u}_\frakb }
= \frac{ \psi(a_\frakb)\, \varphi(x) - \varphi(a_\frakb)\, \psi(x) }
       { (x - a_\frakb) \MF{P}'(a_\frakb) }
\]
ist, indem die beiden einander gleichgesetzten Ausdrücke ganze Functionen
$(\varrho - 1)$ten Grades von $x$ sind, welche für $\varrho$ Werthe dieser Größe, $x_1$, $x_2$,
$\dotsc$, $x_\varrho$, der vorstehenden Formel gemäß übereinstimmen, also identisch sein
müssen. Aus dieser Gleichung folgt, wenn man die durch (XIX.) gegebenen
Ausdrücke von $\psi(a_\frakb)$ und $\psi(x)$ substituirt
\[
\tag{XXII.}
\frac{1}{2}\, \frac{\partial \varphi(x)}{\partial \MF{u}_\frakb}
= -\frac{ \varphi(a_\frakb)\, \varphi(x) }{ \MF{P}'(a_\frakb) }
   \sum_\fraka \Biggl\{
     \frac{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} }
          { (x_\fraka - x) (x_\fraka - a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka) }
   \Biggr\}.
\]
Ferner, wenn man $x = a_\alpha$ setzt,
\iffalse
\[
\Lmargintag{XXIII.}
\frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha }
     { \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha \partial \MF{u}_\frakb }
%
= \frac{ -{\MF{Q}}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) }
  \centerdot \frac{ \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha
     \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb
             - \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb
     \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }{ a_\alpha - a_\frakb },
\]
\fi
\begin{multline}
\tag{XXIII.}
\frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_\alpha }
     { \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha \partial \MF{u}_\frakb } \\
%
= \frac{ -{\MF{Q}}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) }
  \centerdot \frac{ \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha
     \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb
             - \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb
     \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }{ a_\alpha - a_\frakb },
\end{multline}
vorausgesetzt, daß $\alpha$ von $\frakb$ verschieden sei; oder wenn man, unter der Annahme,
daß $\beta \gtrless \alpha$,
\iffalse
\[
\Lmargintag{XXIV.}
\frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta
     - \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta \, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }
     { a_\alpha - a_\beta } \quad\text{durch}\quad
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta}
\]
\fi
\begin{multline}
\tag{XXIV.}
\frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta
     - \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta \, \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha }
     { a_\alpha - a_\beta } \\
\text{durch }
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta}
\end{multline}
bezeichnet, wo denn, zufolge (XX.)
\[
\tag{XXV.}
\al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta}
= -\sum \Biggl\{
  \frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha\, \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\beta
    \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
       { (x_\fraka - a_\alpha)(x_\fraka - a_\beta)\, \varphi'(x_\fraka) }
  \Biggr\}
\]
ist, und man
\[
\tag{XXVI.}
  \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\alpha\beta}
= \al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)_{\beta\alpha}
\]
hat:
%% {-----File: 036.png---Folio 34-------}
\[
\tag{XXXVII.}
\Underset{(\frakb \gtrless \alpha)}{
  \frac{\partial \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha} {\partial \MF{u}_\frakb} =
- \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
  \al (\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\frakb}, }
\]
aus welcher Gleichung, wenn man $\alpha = \fraka$ setzt und auf beiden Seiten mit
$\smfrac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka$ multiplicirt, noch
\[
\tag{XXVIII.}
  \frac{ \partial\biggl( \dfrac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka) }
         \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka \biggr) }
       { \partial \MF{u}_\frakb }
= \frac{ \partial\biggl( \dfrac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb) }
         \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb\biggr)}
       { \partial \MF{u}_\fraka }
\]
folgt.

Die in dem Vorstehenden eingeführten Functionen
\[
            \al (\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha, \quad
  \overline{\al}(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha, \quad
            \al (\MF{u}_1, \dotsc)_{\alpha\beta}
\]
können (nach den Formeln XVI, XX, XXIV) sämmtlich algebraisch durch
$x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ ausgedrückt werden; es müssen daher unter ihnen so viele
algebraische Relationen bestehen, als Functionen vorhanden sind, weniger $\varrho$.
Diese sollen in dem folgenden §. entwickelt und zusammengestellt werden.


\Section{} % \S.~5.
\subsubsection*{\centering\normalfont Algebraische Relationen unter den \Auth{Abel}'schen %
  Functionen und deren ersten Differential-Coefficienten.}

\indent Es werde der Kürze wegen
\[
\al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha = \MF{p}_\alpha \quad
\overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha = \pbar_\alpha \quad
\al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\beta} = \MF{p}_{\alpha\beta}
\]
gesetzt; dann gelten folgende Sätze.


\Subsection{I}
\textit{Durch je $\varrho$ von den Quadraten der Größen $\MF{p}_\alpha$ können die übrigen
linear ausgedrückt werden}.

Aus der Formel (XVIII.) des vorhergehenden §. folgt nämlich, wenn
man $x = a_\beta$ setzt, und $\beta$ nicht unter den Zahlen $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc,~\alpha_\varrho$ begriffen
ist, mit Berücksichtigung von (XVI.)
\[
\frac{l_\beta}{\MF{R}_1(a_\beta)} \centerdot \MF{p}^2_\beta
= 1 - \sum\Biggl\{
  \Underset{\alpha =\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_\varrho}
           {\frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)}
            \centerdot \frac{\MF{p}^2_\alpha}{a_\alpha - a_\beta}}
  \Biggr\}.
\]

\Subsection{II}
\textit{Eben so können durch je $\varrho$ von den Größen
\[
\MF{p}^2_\gamma, \quad \MF{p}^2_{1\gamma}, \quad \MF{p}^2_{2\gamma}, \quad \dotsc, \quad \MF{p}^2_{(2\varrho+1)\gamma}
\]
(wo $\MF{p}_{\gamma\gamma}$ fortzulassen ist) die übrigen linear ausgedrückt werden,
vermittelst der Formeln}
%% {-----File: 037.png---Folio 35-------}
\begin{align*}
  \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma
  &= \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma \MF{R}_1(a_\gamma)}
   - \sum_\alpha \Biggl\{
     \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)} \MF{p}^2_{\alpha\gamma}
   \Biggr\}, % [** PP: Added comma]
\\[1ex]
  \frac{(a_\gamma - a_\beta)\, l_\beta}{\MF{R}_1(a_\beta)}
     \MF{p}^2_{\beta\gamma}
  &= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma + \sum_\alpha \Biggl\{
     \frac{a_\gamma - a_\alpha}{a_\beta - a_\alpha}
     \centerdot \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)}
     \MF{p}^2_{\alpha\gamma}
   \Biggr\}
\\
  &= \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma \MF{R}_1(a_\gamma)}
   + \sum_\alpha \Biggl\{
     \frac{a_\gamma - a_\beta}{a_\beta - a_\alpha}
     \centerdot \frac{l_\alpha}{\MF{R}'_1(a_\alpha)}
     \MF{p}^2_{\alpha\gamma}
   \Biggr\}, % [** PP: Added comma]
\end{align*}
\textit{in denen sich das Summenzeichen auf dieselben Werthe von $\alpha$ bezieht
wie in (I.), und $\gamma$ sowohl als $\beta$ nicht unter diesen begriffen
sein darf.}

In Folge der Gleichung
\[
\psi(x_\fraka) = -\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)} \quad (\fraka=1, 2, \dotsc, \varrho)
\]
wird die Function $\MF{R}(x)-\psi^2(x)$ für $x=x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ gleich Null, und
ist daher durch $\varphi(x)$ theilbar. Setzt man nun
\[
\psi_\gamma(x)
  = \frac{\pbar_\gamma\, \varphi(x)
          - \MF{p}_\gamma\, \psi(x)}{x - a_\gamma},
\]
so wird der Zähler dieses Ausdruckes für $x=a_\gamma$ (zufolge der Formel XVI.
des vorhergehenden §.) gleich Null, und es ist somit $\psi_\gamma(x)$ eine ganze
Function $(\varrho-1)$ten Grades. Dann hat man
\begin{gather*}
  \MF{p}^2_\gamma \MF{R}(x) - (x-a_\gamma)^2 \psi^2_\gamma(x)
\\
  {} = \MF{p}^2_\gamma \bigl(\MF{R}(x) - \psi^2(x)\bigr)
  + \pbar_\gamma \varphi(x)\,
    \bigl(2\MF{p}_\gamma \psi(x) - \pbar_\gamma \varphi(x) \bigr),
\end{gather*}
und es ist also der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung ebenfalls
durch $\varphi(x)$ theilbar, wie auch durch $x-a_\gamma$, so daß man setzen kann
\[
\MF{p}^2_\gamma\frac{\MF{R}(x)}{x-a_\gamma} - (x-a_\gamma)\, \psi^2_\gamma(x)
  = \varphi(x)\, \varphi_\gamma(x),
\]
und dann $\varphi_\gamma(x)$ eine ganze Function $\varrho$ten Grades bedeutet. Nimmt man nun
$x=a_\alpha$, $\alpha\gtrless\gamma$ vorausgesetzt, so ergiebt sich (zufolge Formel XVI. d.~v.\ §.)
\[
\varphi_\gamma(a_\alpha)
  = (a_\gamma - a_\alpha)\, l_\alpha \MF{p}^2_{\alpha\gamma},
\]
indem
\[
\psi_\gamma(a_\alpha) = l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma}
\]
ist. Ferner erhält man für $x=a_\gamma$
\[
\varphi_\gamma(a_\gamma) = \frac{\MF{R}'(a_\gamma)}{l_\gamma}.
\]
Bemerkt man nun noch, daß der Coefficient des höchsten Gliedes von $\varphi_\gamma(x)$
gleich $\MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma$ ist, und man daher
%% {-----File: 038.png---Folio 36-------}
\begin{align*}
   \frac{\varphi_\gamma(x)}{\MF{R}_1(x)}
&= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma
 + \sum_\alpha
   \frac{\varphi_\gamma(a_\alpha)}{(x-a_\alpha)\,{\MF{R}'}_1(a_\alpha)}
\\
&= \MF{A}_0 \MF{p}^2_\gamma
 + \sum_\alpha
   \frac{a_\gamma - a_\alpha}{(x - a_\alpha)}
   \centerdot \frac{l_\alpha}{{\MF{R}'}_1(a_\alpha)} \MF{p}_{\alpha\gamma}
\end{align*}
hat, so ergeben sich die zu beweisenden Relationen, indem man $x = a_\gamma$ und
$x = a_\beta$ setzt.


\Subsection{III}
\textit{Aehnliche Relationen finden Statt unter den in der Reihe
\[
\MF{p}_1\MF{p}_{1\gamma},\quad
\MF{p}_2\MF{p}_{2\gamma},\quad \dotsc,\quad
\MF{p}_{2\varrho+1}\MF{p}_{(2\varrho+1)\gamma}
\]
enthaltenen Producten.}

Setzt man nämlich in der Gleichung
\[
  \frac{\psi_\gamma(x)}{\MF{R}_1(x)}
= \sum_\alpha \frac{\psi_\gamma(a_\alpha)}{(x-a_\alpha)\MF{R}'_1(a_\alpha)}
= \sum_\alpha \frac{ l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} }
                   { (x - a_\alpha) \MF{R}'_1(a_\alpha) }
\]
$x = a_\beta$, so ergiebt sich
\[
\frac{l_\gamma}{\MF{R}_1(a_\beta)} \MF{p}_\beta  \MF{p}_{\beta\gamma}
  = \sum_\alpha    \frac{ l_\alpha \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\alpha\gamma} }
                        { (a_\beta - a_\alpha) \MF{R}'_1(a_\alpha) }\;,
\]
wo hinsichtlich der Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ dasselbe gilt wie bei der vorhergehenden Nr.


\Subsection{IV}
\textit{Unter je sechs Functionen $\MF{p}_\alpha$, $\MF{p}_\beta$,
$\MF{p}_\gamma$, $\MF{p}_{\beta\gamma}$, $\MF{p}_{\gamma\alpha}$,
$\MF{p}_{\alpha\beta}$, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$
verschiedene Werthe haben müssen, findet die Relation
\[
  (a_\beta  - a_\gamma)\MF{p}_\alpha \MF{p}_{\beta\gamma}
+ (a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_\beta  \MF{p}_{\gamma\alpha}
+ (a_\alpha - a_\beta )\MF{p}_\gamma \MF{p}_{\alpha\beta} = 0,
\]
oder
\[
\MF{p}_{\alpha\beta}
  = \frac{ (a_\gamma - a_\beta) \MF{p}_\alpha \MF{p}_{\beta\gamma}
         - (a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_\beta  \MF{p}_{\alpha\gamma} }
         { (a_\alpha - a_\beta) \MF{p}_\gamma }
\]
Statt}.

Denn es ist (vermöge Formel XXIV. des v.~§.)
\begin{align*}
   \frac{(a_\alpha - a_\beta) \MF{p}_{\alpha\beta}}{\MF{p}_\alpha\MF{p}_\beta}
&= \frac{ \pbar_\beta  }{ \MF{p}_\beta  }
 - \frac{ \pbar_\alpha }{ \MF{p}_\alpha }\;, % [** PP: Added comma]
\\
   \frac{(a_\beta  - a_\gamma)\MF{p}_{\beta\gamma}}{\MF{p}_\beta \MF{p}_\gamma}
&= \frac{ \pbar_\gamma }{ \MF{p}_\gamma }
 - \frac{ \pbar_\beta  }{ \MF{p}_\beta  }\;, % [** PP: Added comma]
\\
  \frac{(a_\gamma - a_\alpha)\MF{p}_{\gamma\alpha}}{\MF{p}_\gamma\MF{p}_\alpha}
&= \frac{ \pbar_\alpha }{ \MF{p}_\alpha }
 - \frac{ \pbar_\gamma }{ \MF{p}_\gamma }
\end{align*}
aus welchen Gleichungen, wenn man sie durch Addition verbindet, die aufgestellte
Relation sofort folgt.


\Subsection{V}
\textit{Endlich ergeben sich noch folgende Gleichungen, in denen
\[
\fraka' \quad\text{irgend eine der Zahlen}\quad
    \varrho+1, \varrho+2, \dotsc, 2\varrho+1
\]
%% {-----File: 039.png---Folio 37-------}
bedeuten soll},
\begin{align*}
\pbar_\fraka
&= \sum_\frakb \frac{ \partial\MF{p}_\fraka }{ \partial\MF{u}_\frakb }
 = (a_{\fraka'} - a_\fraka) \MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'}
   + {\sum_\frakb}' \Biggl\{
     \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)}
       {\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
       \centerdot \frac{a_\fraka - a_\frakb}{a_\frakb - a_{\fraka'}}
       \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb}
       }
     \Biggr\}, % [** PP: Added comma]
\\[1ex]
%
\frac{\partial \MF{p}_\fraka}{\partial \MF{u}_\fraka}
&= (a_{\fraka'} - a_\fraka) \MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'}
   + {\sum_\frakb}' \Biggl\{
     \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)}
       {\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
       \centerdot \frac{a_\fraka - a_{\fraka'}}{a_\frakb - a_{\fraka'}}
       \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb}
       }
     \Biggr\}, % [** PP: Added comma]
\\[1ex]
%
\pbar_{\fraka'}
&= \sum_\frakb \frac{\partial\MF{p}_{\fraka'}}{\partial \MF{u}_\frakb}
 = \sum_\frakb \Biggl\{
     \frac{-\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
       \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka'\frakb}
     \Biggr\}. % [** PP: Added period]
\end{align*}

Man hat nämlich (Formel~XXVII d.~v.~\S.)
\[
\frac{\partial\MF{p}_{\fraka'}}{\partial\MF{u}_\frakb}
  = -\frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
    \MF{p}_\frakb \MF{p}_{\fraka\frakb}
  \qquad (\frakb \gtrless \fraka). % [** PP: Added period]
\]
Hieraus folgt, wenn man $\alpha = \fraka'$ setzt, sofort die dritte der vorstehenden Gleichungen.
Aus (VI.) aber folgt, wenn man $x = a_{\fraka'}$ nimmt und $\frakb$ statt $\fraka$ schreibt,
\[
\MF{p}^2_{\fraka'}
  = 1 - \sum_\frakb
  \Biggl\{
    \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
      \centerdot \frac{\MF{p}^2_\frakb}{a_{\fraka'} - a_\frakb}
  \Biggr\}, % [** PP: Added comma]
\]
und hieraus, wenn man nach $\MF{u}_\fraka$ differentiirt,
\[
\MF{p}_{\fraka'} \MF{p}_{\fraka\fraka'}
  = \frac{\dfrac{\partial \MF{p}_\fraka}{\partial \MF{u}_\fraka}}
         {a_{\fraka'} - a_\fraka}
    - {\sum_\frakb{}}' \Biggl\{
        \frac{\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
        \centerdot \frac{\MF{p}_\frakb\MF{p}_{\fraka\frakb}}{a_{\fraka'} - a_\frakb}
      \Biggr\},
\qquad (\frakb \gtrless \fraka),
\]
woraus sich die zweite Gleichung ergiebt, aus der dann weiter die erste folgt.


% [** PP: Italicizing for consistency]
\Subsection{VI}
\textit{Von den vorstehenden Relationen mögen nun die folgenden besonders
hervorgehoben werden, in denen der Kürze wegen}
\[
2\varrho +      1 \quad\text{durch}\quad \fraka_0,\quad
 \varrho + \fraka \quad\text{durch}\quad \fraka',\quad
 \varrho + \frakb \quad\text{durch}\quad \frakb'
\]
\textit{bezeichnet ist}.
\[
\tag{1.}
\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0}
  = 1 - \sum_\fraka \Biggl\{
    \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
    \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a_{\fraka_0} - a_{\fraka} }
  \Biggr\}
\]
\[
\tag{2.}
\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka'}
  = 1 - \sum_\fraka \Biggl\{
    \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
    \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a_{\fraka'} - a_\fraka}
  \Biggr\}
\]
\[
\tag{3.}
\MF{A}_0 \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0}
  = \frac{\MF{Q}'(a_{\fraka_0})}{\MF{P}(a_{\fraka_0})} +
    \sum_\fraka \Biggl\{
    \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
    \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka}
  \Biggr\}
\]
\begin{align*}
\tag{4.}
(a_{\fraka_0} - a_{\fraka'}) &\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}
\\
&=
  \MF{A}_0 \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0} - \sum_\fraka \Biggl\{
  \frac{a_{\fraka_0} - a_\fraka}{a_{\fraka'} - a_\fraka}
  \centerdot \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
  \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka}
  \Biggr\}
\\
&=\frac{\MF{Q}'(a_{\fraka_0}) }{\MF{P}(a_{\fraka_0})} -
  \sum_\fraka \Biggl\{\frac{a_{\fraka_0} - a_{\fraka'}}{a_{\fraka'} - a_\fraka}
  \centerdot \frac{\MF{Q}(a_\fraka) }{\MF{P}'(a_\fraka)}
  \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_{\fraka_0\fraka} \Biggr\}
\end{align*}
%% {-----File: 040.png---Folio 38-------}
\[
\tag{5.}
\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}
  = \sum_\fraka \Biggl\{
      \frac{ \MF{Q}(a_{\fraka}) }{ \MF{P}'(a_{\fraka}) }
      \centerdot \frac{ \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka
                   \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}}
                 { a_\fraka - a_{\fraka'}   }
      \Biggr\}
\]
%
\begin{multline}
\tag{6.}
  \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka\frakb} \\
  = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_\frakb )
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0\frakb}
  - ( a_{\fraka_0} - a_\fraka )
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0\fraka}}
       { a_\fraka - a_\frakb }
\end{multline}
%
\begin{multline}
\tag{7.}
  \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'\frakb} \\
  = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_\frakb )
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb}
  - ( a_{\fraka_0} - a_{\fraka'} )
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}}
       { a_{\fraka'} - a_\frakb}
\end{multline}
%
\begin{multline}
\tag{8.}
  \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka' \frakb'} \\
  = \frac{ ( a_{\fraka_0} - a_{\frakb'} )
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb'}
  - ( a_{\fraka_0} - a_{\fraka'} )
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\frakb'} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka'}}
       { a_{\fraka'} - a_{\frakb'} }
\end{multline}
\[
\tag{9.}
\left\{ \begin{aligned}
  \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka }{ \partial \MF{u}_\frakb }
  &= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) }
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka \frakb}
    \qquad (\frakb \gtrless \fraka)
\\[1ex]
  \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc )_{\fraka_0} }
       { \partial \MF{u}_\frakb }
  &= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) }
    \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \frakb}
\\[1ex]
  \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka'} }
       { \partial \MF{u}_\frakb }
&= -\frac{ \MF{Q}(a_\frakb) }{ \MF{P}'(a_\frakb) }
   \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\frakb
   \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka' \frakb}
\\[1ex]
  \frac{ \partial \al(\MF{u}_1, \dotsc)_\fraka }
       { \partial \MF{u}_\fraka }
&= (a_{\fraka_0} - a_\fraka)
   \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0} \al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\fraka_0 \fraka }
% [** PP: Changed to a_0a]
\\
&-{\sum_\frakb}'
  \Underset{(\frakb \gtrless \fraka)}
           { \Biggl\{
      \frac{ \MF{Q}(a_{\frakb}) }{ \MF{P}'(a_{\frakb}) }
      \centerdot \frac{ a_\fraka - a_{\fraka_0} }
                 { a_{\fraka_0} - a_\frakb }
      \al(\MF{u}_1, \dotsc )_\frakb
      \al(\MF{u}_1, \dotsc )_{\fraka\frakb} \Biggr\}
  }. % [** PP: Added period]
\end{aligned} \right.
\]
Von diesen Gleichungen gehen Nr.\ (1, 2, 3, 4, 5) aus (I, II, III) hervor,
wenn man in diesen $\MF{R}_1(x) = \MF{P}(x)$ setzt; Nr.\ (6, 7, 8) sind die Relationen
(IV.), wenn man $\gamma = \fraka_0$ nimmt, und die unter Nr.\ (9.) finden sich unter
(XXVII.) des v.~§.\ und (V.). Sie stellen, wie man sofort übersieht, so viel
Relationen unter den Functionen $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_{\alpha\beta}$ und den ersten
Differential-Coefficienten von $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$ dar, als nöthig sind, um alle diese
Größen algebraisch durch
\[
\al(\MF{u}_1, \dots )_1 \qquad \al(\MF{u}_1, \dots )_2 \qquad \dots \qquad \al(\MF{u}_1, \dots )_{\varrho}
\]
(an deren Stelle je $\varrho$ andere der Functionen $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_\alpha$ treten könnten) auszudrücken,
ohne daß in den betreffenden Formeln die Argumente $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc$,
$\MF{u}_\varrho$ selbst vorkommen; woraus unmittelbar weiter folgt, daß auch die höheren
Differential-Coefficienten der \Auth{Abel}'schen Functionen algebraisch durch je $\varrho$
der letztern ausdrückbar sein werden.

%% {-----File: 041.png---Folio 39-------}

%§. 6.
\Section{}
\subsubsection*{\centering\normalfont Die \Auth{Abel}'schen Integral-Functionen.}

Das Integral
\[
\int \Biggl\{
   \frac{\MF{F}(x_1)\, dx_1}{\sqrt{ \MF{R}(x_1) }}
 + \frac{\MF{F}(x_2)\, dx_2}{\sqrt{ \MF{R}(x_2) }}
 + \dotsb
 + \frac{\MF{F}(x_\varrho)\, dx_\varrho}{\sqrtRx}
\Biggr\},
\]
wo $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeuten soll, geht, wenn
man $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, $\sqrt{ \MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{ \MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ vermittelst der Formeln
des §.~4.\ durch $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ ausdrückt, in eine Function dieser Argumente
über, welche man eine "`\Defn{Abel'sche Integral-Function}'' derselben nennen
kann, und deren analytischer Charakter jetzt näher untersucht werden soll.

Man kann, wie weiter unten wird nachgewiesen werden, jede in der
vorstehenden Formel enthaltene Function auf eine einzige zurückführen, die mit
\[
\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
  \quad\text{oder kürzer}\quad \Al(\MF{u}_1, \dotsc)
\]
bezeichnet werden soll, und durch die folgende Gleichung
\[
\tag{1.}
d\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
  = \sum \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)}
    \centerdot \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a}
    \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
\]
definirt wird, mit der nähern Bestimmung, daß $\Al(\MF{u}_1, \dotsc)$ den Werth Null
erhalte, wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ sämmtlich verschwinden. Die Constante $a$
kann jeden beliebigen Werth haben, mit Ausnahme von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{2\varrho + 1}$,
und auch das Zeichen der Wurzelgröße $\sqrt{\MF{R}(a)}$ willkührlich bestimmt werden.
Ist es nöthig, $a$ in die Bezeichnung der erklärten Function mit aufzunehmen,
so soll dieselbe $Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho;\, a)$ geschrieben werden.

Nimmt man zunächst die Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ so klein an, daß
nicht nur $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ in der Nähe von $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$ sich befinden,
und dieselben daher, so wie $\sqrt{\MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{\MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ durch die unendlichen
Reihen (4,~5) des §.~1.\ ausgedrückt werden können, sondern auch die
Differenzen $x_1 - a_1$, $x_2 - a_2$, $\dotsc,~x_\varrho - a_\varrho$ dem absoluten Betrage nach kleiner
als beziehlich $a - a_1$, $a - a_2$, $\dotsc,~a - a_\varrho$ sind; so erhält man, indem
\[
\frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a}
  = \frac{x_\fraka - a_\fraka}{x_\fraka - a}
    \centerdot \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\fraka}
\]
und
\begin{align*}
   \frac{x_\fraka - a_\fraka}{x_\fraka - a}
&= \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a}
   \Biggl\{ 1
 + \biggl( \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} \biggr)
 + \biggl( \frac{x_\fraka - a_\fraka}{a_\fraka - a} \biggr)^2
 + \dotsb \Biggr\}
\\[1ex]
&= \frac{\MF{Q}(a_\fraka)\centerdot s^2_\fraka }
        { (a_\fraka - a) \MF{P}'(a_\fraka) }
   \Underset{\frakm = 1\dots\infty}
     {\Biggl\{ 1 + \mathbf{S}
                     \biggl(\frac{ \MF{Q}(a_\fraka)}
                                 {(a - a_\fraka) \MF{P}'(a_\fraka)}
                     \biggr)
     \centerdot s^{2\frakm}_\fraka \Biggr\},}
\end{align*}
%% {-----File: 042.png---Folio 40-------}
\[
\frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a_\fraka}
  \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }}
  = \bigl( 1 + (\fraka, \fraka)_1 s^2_\fraka
             + (\fraka, \fraka)_2 s^4_\fraka + \dotsb\bigr)\, ds_\fraka
  \quad (\S.~1.)
\]
ist:
\begin{align*}
\tag{2.}
  \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
  &= \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ \MF{P}(a) }
  \centerdot \bigl\{\mathbf{S}_3 + \mathbf{S}_5 + \dotsb
             + \mathbf{S}_{2\frakm+1} + \dotsb \bigr\}
\\[1ex]
\notag
  &= \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ \MF{P}(a) }
  \centerdot \bigl\{\frakU_3 + \frakU_5 + \dotsb
             + \frakU_{2\frakm+1} + \dotsb \bigr\},
\end{align*}
wo durch $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$ eine homogene ganze Function $(2\frakm+1)$ten Grades von $s_1$,
$s_2$, $\dotsc,~s_\varrho$ und durch $\frakU_{2\frakm+1}$ eine eben solche von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ bezeichnet
wird. Die Coefficienten von $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$, $\frakU_{2\frakm+1}$ werden rational aus $a$, $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\varrho$
und den Coefficienten von $\MF{Q}(x)$ zusammengesetzt; nach fallenden Potenzen
von $a$ entwickelt, fangen $\mathbf{S}_{2\frakm+1}$, $\frakU_{2\frakm+1}$ mit Gliedern an, die mit $a^{-\frakm}$ multiplicirt
sind.

Nun aber findet, wenn man jetzt wieder unter
\iffalse % matches scan
\begin{alignat*}{4}
  \MF{u}'_\fraka, && \MF{u}''_\fraka, && \dotsc, && \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka
  \\
  x'_\fraka, && x''_\fraka, && \dotsc, && x^{(2\mu)}_\fraka
  \\
  \sqrt{ \MF{R}(x'_\fraka)}, &&\ \sqrt{ \MF{R}(x''_\fraka)}, &&\
    \dotsc, &&\ \sqrt{ \MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka)}
  \\[0.5ex]
  \MF{M}(x), && \MF{N}(x), && \multispan{4}{$\qquad\varphi(x)$}
  \\
  x_\fraka, && \sqrt{ \MF{R}(x_\fraka)}
\end{alignat*}
\fi
\[ % [** PP: Centered columns]
\begin{array}{cccc}
  \MF{u}'_\fraka, & \MF{u}''_\fraka, & \dotsc, & \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka \\[1ex]
  x'_\fraka, & x''_\fraka, & \dotsc, & x^{(2\mu)}_\fraka \\[1ex]

  \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x'_\fraka)}, &
  \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x''_\fraka)}, & \dotsc, &
  \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x^{(2\mu)}_\fraka)} \\[0.5ex]
  \MF{M}(x), & \MF{N}(x), & \multispan{2}{\qquad$\varphi(x)$} \\
  x_\fraka,  & \sqrt{\vphantom{\big|}\MF{R}(x_\fraka)} & &
\end{array}
\]
dieselben Größen versteht wie in §.~2, nach dem \Auth{Abel}'schen Theoreme nicht
bloß die dort unter (6.) aufgestellte Gleichung Statt, sondern auch die folgende
\begin{multline}
\tag{3.}
\sum_\fraka \frac{1}{2}\, \Biggl\{
   \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot
   \frac{\MF{P}(x'_\fraka)}{x'_\fraka - a} \centerdot
   \frac{dx'_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x'_\fraka) }}
 + \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot
   \frac{\MF{P}(x''_\fraka)}{x''_\fraka - a} \centerdot
   \frac{dx''_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x''_\fraka)}} + \dotsb \Biggr\}
\\[1ex]
{} = \sum_\fraka \Biggl\{
  \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot
  \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} \centerdot
  \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} \Biggr\}
  + \tfrac{1}{2}\, d \log \biggl(
  \frac{\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) + \MF{N}(a) \sqrt{ \MF{R}(a) }}
       {\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) - \MF{N}(a) \sqrt{ \MF{R}(a) }}
  \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{multline}
Werden daher
\[
\MF{u}^{(\frakp)}_1, \quad \MF{u}^{(\frakp)}_2, \quad
\dotsc, \quad \MF{u}^{(\frakp)}_\varrho,
\]
wo $\frakp$ irgend eine der Zahlen $1$, $2$, $\dotsc,~2\mu$ bezeichnet, so klein angenommen,
daß die Reihen auf der rechten Seite der Gleichung (2.), wenn man darin
diese Größen an die Stelle von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ setzt, convergiren, so hat man
\begin{multline}
  \tag{4.}
  \sum\Biggl\{\frac{1}{2}\,
  \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{\MF{P}(a)} \centerdot
  \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} \centerdot
  \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }} \Biggr\}
\\
{} = d\Al(\MF{u}'_1, \dotsc) + d\Al(\MF{u}''_1, \dotsc) + \dotsb +
  \tfrac{1}{2} d\log \biggl(
  \frac{\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) - \MF{N}(a)\, \sqrt{ \MF{R}(a) }}
       {\MF{M}(a)\, \MF{P}(a) + \MF{N}(a)\, \sqrt{ \MF{R}(a) }}
  \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{multline}
Jetzt setze man, wie in §.~4,
\[
  \MF{u}'_\fraka
= \MF{u}''_\fraka = \dots
= \MF{u}^{(2\mu)}_\fraka = \frac{\MF{u}_\fraka}{2\mu}\;,
\]
%% {-----File: 043.png---Folio 41-------}
und nehme $\mu$ so groß an, daß nicht nur die unendlichen Reihen, welche in
den dortigen Ausdrücken von $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_1$, $\al(\MF{u}_1, \dotsc)_2$ u.~s.~w.\ und von $\MF{M}(x, \MF{u}_1, \dotsc)$,
$\MF{N}(x, \MF{u}_1, \dotsc)$ vorkommen, convergent werden, sondern auch die für $\Al\biggl(\dfrac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc\biggr)$;
so verwandeln sich die Größen
\[
x_1, \quad x_2, \quad \dotsc, \quad x_\varrho, \quad \sqrt{ \MF{R}(x_1)}, \quad
\sqrt{ \MF{R}(x_2)}, \quad \dotsc, \quad \sqrtRx
\]
der Gleichung (4.) in die durch die Gleichungen (III, XI) des genannten §.
bestimmten; und es ergiebt sich durch Integration
\begin{multline}
\tag{5.}
\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
= 2\mu\Al\biggl(\frac{\MF{u}_1}{2\mu}, \frac{\MF{u}_2}{2\mu}, \dotsc,
                \frac{\MF{u}_\varrho}{2\mu}\biggr)
\\
{} + \tfrac{1}{2} \log \biggl(
  \frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)\, \MF{P}(a)
       - \MF{N}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) \sqrt{ \MF{R}(a) }}
       { \MF{M}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)\, \MF{P}(a)
       + \MF{N}(a, \MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho) \sqrt{ \MF{R}(a) }}
\biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{multline}
Eine Constante ist nach der Integration nicht hinzuzufügen, indem die Function,
deren Logarithmus in dieser Gleichung vorkommt, sich auf die Einheit reducirt,
wenn $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, \dots $\MF{u}_\varrho$, sämmtlich verschwinden, wie aus den unter (26, §.~2.)
gegebenen Ausdrücken von $\MF{M}(x)$, $\MF{N}(x)$ zu ersehen ist.

Setzt man
\[
\tag{6.}
\frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1, \dotsc)\, \MF{P}(a)
     - \MF{N}(a, \MF{u}_1, \dotsc) \sqrt{ \MF{R}(a) }}
     { \MF{M}(a, \MF{u}_1, \dotsc)\, \MF{P}(a)
     + \MF{N}(a, \MF{u}_1, \dotsc) \sqrt{ \MF{R}(a) }}
  \centerdot \Powfr{e}{4\mu\Al\Bigl(\fnfrac{\MF{u}_1}{2\mu}, \dotsc \Bigr)}
= \overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho),
\]
so ist
\[
\tag{7.}
\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
= \tfrac{1}{2}\log\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho),
\]
und es bezeichnet alsdann $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$ eine eindeutige Function von $\MF{u}_1$,
$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche, wenn für die absoluten Werthe dieser Veränderlichen
irgend welche Gränzen festgesetzt werden, die sie nicht übersteigen sollen, in
der Form eines Bruches ausdrückbar ist, dessen Zähler und Nenner nach ganzen
positiven Potenzen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, in convergirende Reihen sich
entwickeln lassen. Für hinlänglich kleine Werthe der Argumente hat man
\[
\tag{8.}
\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) =
\Pow{e}{2(\frakU_3 + \frakU_5 + \dotsb + \frakU_{2\frakm+1} + \dotsb)
\fnfrac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)}},
\]
woraus sich leicht erweisen läßt, ganz in derselben Weise, wie dies in §.~4.\
für die Functionen $\varphi(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha$ geschehen ist, daß der Werth von $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$,
obwohl in dem Ausdrucke dieser Function, wie er durch die Formel~(6.) gegeben
ist, die Zahl $\mu$ vorkommt, dennoch von derselben ganz unabhängig ist.
Man hat daher folgenden Satz:

\textit{Es giebt eine eindeutige Function $\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)$ der un\-be\-schränkt
ver\-än\-der\-lichen Größen $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$, welche der Differential-Gleichung}
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\[
\tfrac{1}{2} d\log\overline{\Al}(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
= \sum \Biggl\{
  \frac{1}{2}\, \frac{\sqrt{ \MF{R}(a) }}{ {\MF{P}'}(a)}
    \centerdot \frac{ \MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a}
    \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{ \MF{R}(x_\fraka) }}
  \Biggr\},
\]
\textit{in der $x_1$, $x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$, $\sqrt{ \MF{R}(x_1)}$, $\sqrt{ \MF{R}(x_2)}$, $\dotsc,~\sqrtRx$ die durch die Gleichungen
{\upshape(III, XI)} des §.~4.\ bestimmten Functionen von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$
sind, genügt und, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden,
den Werth $1$ annimmt}.

Wenn nun $\MF{F}(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ ist, so kann
man dieselbe stäts als ein Aggregat von Gliedern von der Form
\[
\frac{\MF{A}}{(x-a)^m} \quad\text{und}\quad \MF{B}x^{m-1}
\]
darstellen, wo $m$ eine ganze positive Zahl, und $\MF{A}$, $\MF{B}$, $a$ Constanten bedeuten.
Mit Unterscheidung derjenigen Werthe von $a$, welche $\MF{R}(a) = 0$ machen, von
denen, bei welchen dies nicht der Fall ist, kann man daher als den allgemeinsten
Ausdruck von $\MF{F}(x)$ den folgenden annehmen
\begin{align*}
\tag{9.}
  \MF{F}(x) &= \sum
  \Underset{\frakm=1\dots m_1}{\Biggl\{
    \frac{ \Atop{1}{\MF{A}}_\frakm }{ (x-\Atop{1}{a})^\frakm }
  \Biggr\}}
  + \sum
  \Underset{\frakm=1\dots m_2}{\Biggl\{
    \frac{ \Atop{2}{\MF{A}}_\frakm }{ (x-\Atop{2}{a})^\frakm }
  \Biggr\}} + \dotsb
\\[1ex]
&= \sum
   \Underset{\frakm=1\dots n_1}{\Biggl\{
    \frac{ \Atop{1}{\MF{B}}_\frakm }{ (x-a_1)^\frakm }
  \Biggr\}}
  + \sum
  \Underset{\frakm=1\dots n_2}{\Biggl\{
    \frac{ \Atop{2}{\MF{B}}_\frakm }{ (x-a_2)^\frakm }
  \Biggr\} } + \dotsb
\\[1ex]
&= \sum
  \Underset{\frakm=1\dots n}{\Bigl\{
    \MF{C}_\frakm\, x^{\frakm - 1}
  \Bigr\}},
\end{align*}
wo $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~n$, $n_1$, $n_2$, $\dots$ ganze positive Zahlen (Null ausgeschlossen)
und $\Atop{1}{\MF{A}}_\frakm$, $\Atop{2}{\MF{A}}_\frakm$,
$\dotsc,~\Atop{1}{\MF{B}}_\frakm$, $\Atop{2}{\MF{B}}_\frakm$,
$\dotsc,~\MF{C}_\frakm$, $\Atop{1}{a}$, $\Atop{2}{a}$, $\dotsc$ Constanten bedeuten, und
angenommen wird, daß $\Atop{1}{a}$, $\Atop{2}{a}$, $\dotsc$ nicht zu den Größen $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{2\varrho+1}$,
den Wurzeln der Gleichung $\MF{R}(x)=0$, gehören.

Nun ist
\begin{align*}
\tag{10.}
  d\frac{ \sqrt{\MF{R}(x)} }{ (x-a)^{\frakm} }
&= \biggl( \frac{1}{2} \frac{ \MF{R}'(x) }{ (x-a)^\frakm }
        - \frakm\frac{ \MF{R}(x) }{ (x+1)^{\frakm+1} } \biggr)
   \frac{ dx }{ \sqrt{\MF{R}(x)} }
\\[1ex]
&= \sum
  \Underset{\frakr=0\dots(2\varrho+1)}{ \Biggl\{
    \Bigl( \frac{\frakr}{2} - \frakm \Bigr)\,
    \MF{R}^{(\frakr)}(a) (x-a)^{-\frakm+\frakr-1}
  \Biggr\} } \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }},
\end{align*}
wenn man
\[
\MF{R}(x) = {\tsum}
  \Underset{\frakr = 0 \dots 2\varrho+1}{ \MF{R}^{(\frakr)}(a) (x-a)^\frakr }
\]
setzt. Da nun $\MF{R}^{(0)}(a) = \MF{R}(a)$ ist, so übersieht man aus dieser Formel sofort,
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daß sich, wenn $\MF{R}(a)$ nicht Null ist, indem man $\frakm = 1,\ 2,\dotsc,\ m - 1$
setzt,
% [** PP: Possible mismatches of m vs. \frakm in indices]
\[
\tag{11.}
  \frac{dx}{(x-a)^m \sqrt{\MF{R}(x)}} \quad\text{auf die Form}\quad
  \biggl( \frac{\MF{G}_0}{x-a} + \MF{G}_1(x)\biggr) \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
+ d\centerdot \frac{\MF{G}_2(x) \sqrt{\MF{R}(x)}}{(x-a)^{m-1}}
\]
wird bringen lassen, wo $\MF{G}_0$ eine Constante, $\MF{G}_1(x)$ und $\MF{G}_2(x)$ aber ganze
Functionen von $x$ bedeuten, die erste vom $(2\varrho - 1)$ten und die zweite vom
$(m - 2)$ten Grade, wobei man für $m = 1$,  $\MF{G}_0 = 1$, $\MF{G}_1(x) = 0$, $\MF{G}_2(x) = 0$ hat.
%[**F2: Missing comma--------------------^?][** PP: Added]

Setzt man aber $a = a_\alpha$, so ist $\MF{R}(a) = 0$, nicht aber $\bigl(\frac{1}{2}-\frakm\bigr) \MF{R}^{(1)}(a)$,
und es erhellt aus der Formel~(10.), wenn man jetzt $\frakm = 1, 2, \dotsc, m$ nimmt,
daß man
\[
\tag{12.}
  \frac{dx}{(x-a_\alpha)^m \sqrt{ \MF{R}(x) }}
= \frac{\MF{G}_1(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
+ d \centerdot \frac{\MF{G}_2(x)\sqrt{\MF{R}(x)}}{(x-a_\alpha)^m}
\]
erhalten muß, wo $\MF{G}_1(x)$, $\MF{G}_2(x)$ wieder ganze Functionen sind, die erste vom
$(2\varrho - 1)$ten und die andere vom $(m - 1)$ten Grade. Namentlich hat man
\[
\tag{13.}
  \frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(a_\alpha)\, dx}{(x-a_\alpha)\sqrt{ \MF{R}(x) }}
= \biggl(\frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(x)}{x-a_\alpha}
       + \frac{1}{2}\, \frac{\MF{R}'(a_\alpha)}{x-a_\alpha}
       -               \frac{\MF{R} (x)}{(x-a_\alpha)^2}    \biggr)
  \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} - d\frac{\sqrt{\MF{R}(x)}}{x-a_\alpha}. % [** PP: Added period]
\]

Ferner ist
\[
  d\left( x^{m-1} \sqrt{\MF{R}(x)}\, \right)
= \frac{ (m-1) x^{m-2} \MF{R}(x) + \tfrac{1}{2} x^{m-1} \MF{R}'(x) }{\sqrt{\MF{R}(x)}}\, dx
\]
oder, wenn man
\[
\MF{R}(x) = {\tsum}
       \Underset{ \frakr=0 \dots 2\varrho+1}
                { \MF{A}_{\frakr} x^{2\varrho+1-\frakr} }
\]
setzt,
\[
\tag{14.}
  d\left( x^{m-1} \sqrt{ \MF{R}(x) }\, \right)
= \sum
  \Underset{ \frakr=0 \dots 2\varrho+1 \rule{10pt}{0ex} }{
    \biggl( \Bigl( \varrho + m - \frac{\frakr+1}{2} \Bigr)\,
           \MF{A}_\frakr x^{2\varrho + m - \frakr - 1} \biggr) }
  \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}\;,
\]
und man hat daher
\[
\tag{15.}
  \frac{x^{2\varrho - 1 + m}\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }}
= \frac{\MF{G}_1(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }}
+ d\left( \MF{G}_2(x) \sqrt{ \MF{R}(x) }\, \right),
\]
wo gleichfalls $\MF{G}_1(x)$, $\MF{G}_2(x)$ ganze Functionen sind, die erste vom $(2\varrho - 1)$ten
und die andere vom $(m - 1)$ten Grade.

Aus den Formeln (11, 12, 15) folgt nun sofort, daß sich
\begin{multline*}
\tag{16.}
  \frac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }} \quad\text{auf die Form}\quad
  \Bigg( \frac{\Atop{1}{\MF{G}}_0}{x-\Atop{1}{a}}
       + \frac{\Atop{2}{\MF{G}}_0}{x-\Atop{2}{a}} + \cdots \Bigg)\,
  \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
\\[1ex]
+ \frac{\Atop{2\varrho-1}{\MF{G}}\!(x)\, dx}{\sqrt{ \MF{R}(x) }}
+ d\left( \Bigl( \MF{G}_0(x) + \frac{\MF{G}(x)}{\MF{R}_0(x) H(x)} \Bigr)
  \sqrt{\MF{R}(x)} \right)
\end{multline*}
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bringen läßt, wo $\Atop{1}{\MF{G}}_0$, $\Atop{2}{\MF{G}}_0$, $\dotsc$ Constanten,
\begin{alignat*}{4}
  \MF{H}(x) &= (x-\Atop{1}{a})^{m_1-1}&&(x-\Atop{2}{a})^{m_2-1} &&\ \dotsc,
  \\
  \MF{R}_0(x) &= (x-a_1)^{n_1} &&(x-a_2)^{n_2} &&\ \dotsc,
\end{alignat*}
und $\!\Atop{2\varrho-1}{\MF{G}}\!(x)$, $\MF{G}(x)$, $\MF{G}_0(x)$ ganze Functionen sind, von denen die erste von
nicht höherem als dem $(2\varrho - 1)$ten Grade, die zweite von einem niedrigern als
$\MF{R}_0(x)$\ $\MF{H}(x)$ ist, und die dritte sich auf Null reducirt, wenn $n \leqq 2\varrho$, während
sie vom $(n - 2\varrho - 1)$ten Grade ist, sobald $n > 2\varrho$.

Da man ferner
\[
  \frac{dx}{(x-a)\sqrt{\MF{R}(x)}} = \frac{\MF{P}(x)}{\MF{P}(a)} \centerdot
  \frac{dx}{(x-a)\sqrt{\MF{R}(x)}} - \frac{\MF{P}(x)-\MF{P}(a)}{(x-a)\MF{P}(a)}
\centerdot \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
\]
hat, wo $\dfrac{\MF{P}(x)-\MF{P}(a)}{x-a}$ eine ganze Function $(\varrho - 1)$ten Grades ist, und man, wenn
$f(x)$ eine Function $(2\varrho - 1)$ Grades bedeutet,
\[
f(x) = f_1(x)\, \MF{P}(x) + f_2(x)
\]
setzen kann, wo $f_1(x)$, $f_2(x)$ beide vom $(\varrho - 1)$ten Grade sind, und
\[
f_2(x) = \sum\frac{f_2(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
\centerdot \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\frakb}
\]
ist; so erhellt, daß man dem Differential $\dfrac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}$ auch die Form
\begin{align*}
\tag{17.}
\frac{\MF{F}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}
&=  \MF{F}_1 \frac{\sqrt{\MF{R}(\Atop{1}{a})}}{2\MF{P}(\Atop{1}{a})} \centerdot
    \frac{\MF{P}(x)}{x-\Atop{1}{a}} \centerdot
    \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} +
    \MF{F}_2 \frac{\sqrt{\MF{R}(\Atop{2}{a})}}{2\MF{P}(\Atop{2}{a})} \centerdot
    \frac{\MF{P}(x)}{x-\Atop{2}{a}} \centerdot
    \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} + \dotsb
\\[1ex]
&\quad
  + \sum \Underset{\frakb = 1 \dots \varrho}
    {\biggl( \frac{1}{2}\, \MF{G}_\frakb
    \frac{x^{\frakb-1}\, \MF{P}(x)\, dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}}\biggr)} +
    \sum \Underset{\frakb = 1 \dots \varrho}
    {\biggl( \frac{1}{2}\, \MF{H}_\frakb
    \frac{\MF{P}(x)}{x-a_\frakb} \centerdot
    \frac{dx}{\sqrt{\MF{R}(x)}} \biggr)}
\\[1ex]
&\ \ + d \left\{\biggl(
    \MF{G}_0(x) + \frac{\MF{G}(x)}{\MF{R}_0(x)\, \MF{H}(x)}\biggr)\sqrt{\MF{R}(x)}\right\}
\end{align*}
geben kann, wo $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$, $\dotsc,~\MF{G}_\frakb$, $\MF{H}_\frakb$ Constanten bedeuten.

Nun folgt aus der Gleichung (1.)
\[
\tag{18.}
\sum_\fraka\Biggl\{\frac{1}{2}\,
  \frac{x^{\frakb-1}_\fraka \MF{P}(x_\fraka)\, dx_\fraka}
       {\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
  \Biggr\}
= d\, \biggl[
\frac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}}
\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2, \dotsc, \MF{u}_\varrho)
\biggr]_{a^{-\frakb}}\;,
\]
wo $\biggl[\dfrac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}} \Al(\MF{u}_1,\dotsc)\biggr]_{a^{-\frakb}}$
    den Coefficienten von $a^{-\frakb}$ in derjenigen Entwicklung
der eingeklammerten Größe, welche für sehr große Werthe von $a$ gilt, bezeichnet.
Aus den Formeln (2, 6) ersieht man, daß dieser Coefficient (indem
\[
\frac{\MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}{\MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)} \centerdot
\frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{\MF{P}(a)} = 0
\quad\text{wird für}\quad a=\infty, \quad\text{und}
\]
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man daher für alle Werthe von $a$, die ihrem absoluten Betrage nach eine
gewisse Gränze übersteigen,
\[
\begin{split}
  \frac{\MF{P}(a)}{2\sqrt{\MF{R}(a)}} \log\biggl(
    \frac{ \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)\, \MF{P}(a)
         - \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) \sqrt{\MF{R}(a)} }
         { \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)\, \MF{P}(a)
         + \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) \sqrt{\MF{R}(a)} } \biggr)
\\[1ex]
= -\mathbf{S} \Underset{\frakm=0\dots\infty}{\Biggl\{
    \frac{1}{2\frakm+1}
    \biggl( \frac{ \MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc) }{ \MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc) }
    \biggr)^{2\frakm+1}
    \biggl( \frac{\MF{Q}(a)}{\MF{P}(a)} \biggr)^\frakm \Biggr\}}
\end{split}
\]
hat, so wie auch $\bigl($nach (2.)$\bigr)$
\[
  \frac{2\mu\, \MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(a)}}\,
  \Al\biggl( \frac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc \biggr)
= 2\mu\,\Underset{\frakm=0\dots\infty}{
    \mathbf{S}\biggl( \frakU
      \Bigl( a, \frac{\MF{u}_1}{2\mu},\dotsc \Bigr)_{2\frakm+3}
    \biggr)}\;,
\]
und die in Beziehung auf $a$ rationalen Functionen
\[
  \biggl( \frac{\MF{N}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}{\MF{M}(a, \MF{u}_1,\dotsc)}
  \biggr)^{2\frakm+1}
  \biggl( \frac{\MF{Q}(a)}{\MF{P}(a)} \biggr)^\frakm, \qquad
  \frakU\biggl( a, \frac{\MF{u}_1}{2\mu}, \cdots
  \biggr)_{2\frakm+3}\;,
\]
wenn man sie nach fallenden Potenzen von $a$ entwickelt, beide mit einem
Gliede anfangen, welches mit $a^{-\frakm-1}$ multiplicirt ist) \textit{eine eindeutige ungerade
Function von $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ ist, welche für alle Werthe dieser Größen,
die ihrem absoluten Betrage nach beliebig festgesetzte Gränzen nicht
überschreiten, als Quotient zweier, nach ganzen positiven Potenzen derselben
entwickelbare Reihen dargestellt werden kann.}


Berücksichtigt man ferner, daß
\[
   \tsum \left( f(x_\fraka) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}\, \right)
= -\tsum        f(x_\fraka) \psi(x_\fraka),
\]
wenn $f(x)$ eine beliebige rationale Function von $x$ ist, rational durch die
Coefficienten von $\varphi(x)$ und $\psi(x)$ dargestellt werden kann; so ergiebt sich,
wenn man
\[
\tag{19.}
  \biggl[
    \frac{-\MF{P}(a)}{\sqrt{\MF{R}(x)}} \Al(\MF{u}_1,\dotsc)
  \biggr]_{a^{-\frakb}}
= \Al^{(\frakb)} (\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)
\]
setzt, aus (17.)
\begin{align*}
\tag{20.}
\int \sum \frac{ \MF{F}(x_\fraka)\, dx_\fraka }{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} }
&= \MF{F}_1 \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho;\, \Atop{1}{a})
 + \MF{F}_2 \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho;\, \Atop{2}{a}) + \cdots \\[-1ex]
&+ {\tsum}
   \left( \MF{G}_\frakb \mathfrak{Al^{(b)}}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)
        + H_\frakb \MF{u}_\frakb \right)
\\[1ex]
&+ \mathfrak{F} \left( \al(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka,\ \overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka \right),
\end{align*}
wo $\mathfrak{F}$ eine rationale Function von $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\overline{\al}(\MF{u}_1,\dotsc)_1$ u.~s.~w.\ bedeutet.
Man sieht also, daß in der That, wie oben bemerkt worden, \textit{eine jede Abel'sche
Integral-Function auf die mit $\Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)$ bezeichnete, zurückgeführt
werden kann.}

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Es ist in (§.~4.) bei Herleitung der dortigen Gleichung (8.) die Formel
\[
  \varphi'(x_\fraka)\, dx_\fraka
= -2 \sum_\frakb
  \frac{ \varphi(a_\frakb) \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
       {(x_\fraka-a_\frakb)\, \MF{P}'(a_\frakb)}\, d\MF{u}_\frakb,
\]
oder
\[
  \frac{1}{2}\, \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
= - \sum_\frakb \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
  \centerdot \frac{d\MF{u}_\frakb}{(x_\fraka-a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka)}
\]
gefunden worden. Diese Gleichung werde mit
$\smfrac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a}$ auf beiden Seiten multiplicirt,
so findet sich, wenn man dann in Beziehung auf $\fraka$ summirt,
\[
  \sum \frac{1}{2}\,
  \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a} \centerdot
  \frac{ dx_\fraka }{ \sqrt{\MF{R}(x_\fraka)} }
= - \sum_{\fraka,\frakb}
  \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)} \centerdot
  \frac{ \MF{P}(x_\fraka)\, d\MF{u}_\frakb }
       { (x_\fraka-a) (x_\fraka - a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka) }\;.
% [** PP: Added period]
\]
Nun ist aber
\[
  \frac{\MF{P}(x)}{(x-a)\, \varphi(x)}
= \frac{\MF{P}(a)}{(x-a)\, \varphi(a)}
+ \sum \frac{\MF{P}(x_\fraka)}
            { (x_\fraka-a) (x_\fraka-a_\fraka)\, \varphi'(x_\fraka)}\;,
\]
und daher für $x = a_{\frakb}$
\[
\sum_\fraka
   \frac{\MF{P}(x_\fraka)}
        { (x_\fraka-a) (x_\fraka-a_\frakb)\, \varphi'(x_\fraka)}
= -\frac{\MF{P}(a)}{(a-a_\frakb)\, \varphi(a)}\;.
% [** PP: Added period]
\]
Mithin
\[
  \sum \frac{1}{2}\, \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka-a}
    \centerdot \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
= \sum \frac{\MF{P}(a)}{\varphi(a)}
    \centerdot \frac{\varphi(a_\frakb)}{\MF{P}'(a_\frakb)}
    \centerdot \frac{d\MF{u}_\frakb}{a-a_\frakb}\;,
\]
oder auch, wenn man jetzt auf der rechten Seite $\fraka$ statt $\frakb$ schreibt,
\begin{align*}
\tag{21.}
  \sum \frac{1}{2}\,
  \frac{\MF{P}(x_\fraka)}{x_\fraka - a} \centerdot
  \frac{dx_\fraka}{\sqrt{\MF{R}(x_\fraka)}}
&= \sum
  \frac{\MF{P}(a)}{\varphi(a)} \centerdot
  \frac{\varphi(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)} \centerdot
  \frac{d\MF{u}_\fraka}{a - a_\fraka}
\\[1ex]
&= \frac{\displaystyle \sum\Biggl\{
  -\frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
   \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka\, d\MF{u}_\fraka }
                   { a-a_\fraka }
   \Biggr\} }% end of numerator
   { 1 - \displaystyle\sum \Biggl\{
     \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
     \centerdot \frac{ \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka }{ a-a_\fraka }
   \Biggr\} }. % [** PP: Added period]
\end{align*}
Hieraus folgt
\[
\tag{22.}
  \frac{ \partial \Al(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) }
       { \partial \MF{u}_\frakb }
= \frac{\sqrt{\MF{R}(a)}}{(a-a_\frakb)\, \MF{P}(a)} \centerdot
  \frac{ \dfrac{-\MF{Q}(a_\frakb)}{\MF{P}(a_\frakb)}\,
         \al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\frakb}% end of numerator
       { 1 - \displaystyle\sum\Biggl\{
         \frac{\MF{Q} (a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
           \centerdot \frac{\al^2(\MF{u}_1,\dotsc)_\fraka}{a-a_\fraka}
       \Biggr\} }. % [** PP: Added period]
\]
Ferner ersieht man aus der Gleichung (21.), daß die partiellen Differential-Coefficienten
von
$\Al^{(1)}(\MF{u}_1,\dotsc)$,
$\Al^{(2)}(\MF{u}_1,\dotsc)$ u.~s.~w.\ rationale und ganze Functionen
von $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_1$, $\al(\MF{u}_1,\dotsc)_2$, $\dotsc,~al(\MF{u}_1,\dotsc)_\varrho$ sind. Namentlich hat man
\[
\tag{23.}
  \frac{ \partial \Al^{(1)}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho) }
       { \partial \MF{u}_\fraka }
= \frac{\MF{Q}(a_\fraka)}{\MF{P}'(a_\fraka)}
  \al^2(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varrho)_\fraka\;,
\]
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so daß man die Gleichung~(III.) des \S.~4, deren Wurzeln die Größen $x_1$,
$x_2$, $\dotsc,~x_\varrho$ sind, auch folgendermaßen
\[
\tag{24.}
\sum \Biggl\{
\frac{\partial \Al^{(1)}(\MF{u}_1, \MF{u}_2,\dotsc, \MF{u}_\varphi)}
     {(x-a_\fraka)\, \partial\MF{u}_\fraka} \Biggr\} = 1
\]
ausdrücken kann. Auf diese merkwürdige Form der in Rede stehenden Gleichung
werde ich später noch zurückkommen.


\Chapter{Zweites Kapitel.}

% [** PP: Re-breaking title]
\Section{Einige allgemeine Betrachtungen über die Darstellung \\
eindeutiger analytischer Functionen durch Reihen; \\
Digression über die elliptischen Transcendenten.} % \S.~7.

Die im vorhergehenden Kapitel durchgeführten Untersuchungen haben
hauptsächlich den Zweck, für die Functionen
\[
\al(\MF{u}_1,\dotsc)_\alpha \quad
\al(\MF{u}_1,\dotsc)_{\alpha\beta} \quad
\Al(\MF{u}_1,\dots;\, a) \quad
\Al^{(\fraka)}(\MF{u}_1, \dotsc),
\]
durch welche sich, wie gezeigt worden ist, alle \Auth{Abel}'schen Transcendenten
ausdrücken lassen, zu einer völlig bestimmten, auf beliebige Werthe von $\MF{u}_1$,
$\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ anwendbare \textit{Erklärung} zu führen, und die analytische Form
derselben in so weit festzustellen, als hierfür und zum Behufe der weitern
Entwicklungen erforderlich ist. Die in §.~4.\ und §.~6.\ gegebenen Formeln
genügen für \textit{diesen} Zweck zwar vollständig, nicht aber, wenn verlangt wird,
die genannten Größen in einer ihrem wahren analytischen Charakter entsprechenden,
für alle Werthe der Argumente $\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ unverändert dieselbe
bleibenden Form darzustellen. Diese bleibt vielmehr noch zu ermitteln.

Der Umstand, daß die unendlichen Reihen, welche in den Formeln
(IV, XIII, §.~4) und (6, §.~6) vorkommen, für um so größere Werthe von
$\MF{u}_1$, $\MF{u}_2$, $\dotsc,~\MF{u}_\varrho$ convergent bleiben, je größer man die Zahl $\mu$ annimmt, begründet
die Vermuthung, es werde sich jede derselben, wenn $\mu=\infty$ gesetzt
wird, in eine für \textit{alle} Werthe der genannten Veränderlichen convergirende
Reihe verwandeln, und sich auf diese Weise eine Darstellung der in Rede
stehenden Functionen in der gesuchten Form ergeben. Es dürfte vielleicht
möglich sein, durch eine genauere Untersuchung jener Reihen die Richtigkeit
dieser Vermuthung strenge zu erweisen; ich gehe jedoch hierauf nicht ein,
%% {-----File: 050.png---Folio 48-------}
weil man, wenn es auch gelänge, dadurch noch nicht dahin kommen würde,
für jede \textit{einzelne} der beiden Functionen, als deren Quotient alsdann irgend
eine \Auth{Abel}'sche Function sich darstellen ließe, eine analytische Definition zu
gewinnen. Es tritt uns hier vielmehr eine Aufgabe entgegen, welche, so viel
ich weiß, noch nicht allgemein behandelt worden, und doch für die Theorie
der Functionen von besonderer Wichtigkeit ist.

Die einfachsten transcendenten Functionen sind solche, welche sich
nach ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in \textit{beständig} convergirende
Reihen entwickeln lassen und somit im Wesentlichen den Charakter der \textit{ganzen}
rationalen Functionen besitzen. Nach ihnen kommen diejenigen, welche
aus mehreren dieser Art in rationaler Weise zusammengesetzt und daher
als Quotienten aus zweien dargestellt werden können. Man kann sie als
transcendente Größen vom Charakter der \textit{gebrochenen} rationalen Functionen
bezeichnen.

Oftmals aber ist eine Function in der Art definirt -- und so verhält
es sich, der vorhergehenden Darstellung nach, mit den \Auth{Abel}'schen -- daß
zwar die Möglichkeit gegeben ist, sobald jedes ihrer Argumente auf einen
endlichen, übrigens beliebig groß anzunehmenden Bereich beschränkt wird,
dieselbe in der Gestalt eines Bruches, dessen Zähler und Nenner nach ganzen
positiven Potenzen der Argumente entwickelte Reihen sind, auszudrücken, während
eine \textit{stäts} gültig bleibende Darstellungsform noch unbekannt ist. Angenommen
nun, es sei eine derartige Function durch eine (algebraische) Differential-Gleichung
definirt, (oder auch im Vereine mit andern durch mehrere
solche), so kann man untersuchen, ob sie vielleicht zu den gebrochenen
rationalen, in dem eben erklärten Sinne, gehöre. Hierfür aber reichen die
gewöhnlichen Entwicklungs-Methoden nicht aus. Es handelt sich dann darum,
zu entscheiden, ob man, nachdem in die gegebene Differential-Gleichung statt
der gesuchten Function ein Bruch, dessen Zähler und Nenner noch zu bestimmende
Größen sind, eingeführt worden, dieselbe in zwei andere, aus
denen sie wieder folgt, so zerfällt werden könne, daß die genannten Größen
beide den Charakter einer ganzen Function erhalten. Dazu kann man in vielen
Fällen mit Hülfe eines allgemeinen Satzes gelangen, der verdient, bei dieser
Gelegenheit entwickelt zu werden.

Wenn $f(\MF{u})$ eine Function von $\MF{u}$ ist, welche durch eine nur ganze
positive Potenzen dieser Veränderlichen enthaltende und beständig convergirende
Reihe dargestellt werden kann, so wird der Differential-Quotient
%% {-----File: 051.png---Folio 49-------}
\[
\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda},
\]
wo $\lambda$ eine ganze positive Zahl bezeichnet, nur für solche Werthe von $\MF{u}$ unendlich
groß, bei denen $f(\MF{u})$ verschwindet. Es sei $a$ einer dieser Werthe,
so kann man setzen
\[
f(a+k) = gk^m + g_1 k^{m+1} + \dotsb,
\]
wo $m$ eine ganze positive Zahl bedeutet und $g$ nicht Null ist, und hat also
\[
\log f(a+k) = m\log k + \log g + \frac{g_1}{g}k + \dotsb,
\]
wo die nicht hingeschriebenen Glieder nur positive ganze Potenzen von $k$ enthalten;
woraus folgt
\[
\biggl(\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}
            {\partial \MF{u}^\lambda}\biggr)_{\MF{u}=a+k}
= m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda}
+ \begin{gathered}
\text{\{Glieder mit nur positiven} \\
\text{\ ganzen Potenzen von $k$\},}
\end{gathered}
\]
welche Reihe convergirt, sobald der absolute Betrag von $k$ kleiner ist als
eine gewisse Größe, auf deren nähere Bestimmung es nicht ankommt. Dieselbe
Darstellung gilt aber auch für jeden andern Werth von $a$; nur ist
dann $m = 0$.

Dieser Satz läßt sich nun in folgender Weise umkehren.

\begin{theorem}
Wenn eine eindeutige Function $\MF{F}(\MF{u})$ der unbeschränkt veränderlichen
Größe $\MF{u}$ die Eigenschaft besitzt, daß
\[
\MF{F}(a+k),
\]
wo $a$ irgend einen besondern Werth von $\MF{u}$, $k$ aber eine Veränderliche
bezeichnet, für hinlänglich kleine Werthe der letztern in eine convergirende
Reihe von der Form
\[
m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda}
+ \Underset{\frakm = 0\dots \infty}{\mathbf{S}\, h_\frakm k^\frakm},
\]
wo $m$ entweder Null oder eine ganze positive Zahl bedeuten soll, entwickelbar
ist; so läßt sich eine \so{beständig} convergirende Reihe
\[
   f_0\, \MF{u}^\mu
 + f_1\, \MF{u}^{\mu+1} + \dotsb
 + f_\frakm\, \MF{u}^{\mu+\frakm} + \dotsb
 = f(\MF{u}),
\]
in der $\mu$ den zu $a = 0$ gehörigen Werth von $m$ bezeichnet, dergestalt
%% {-----File: 052.png---Folio 50-------}
bestimmen, daß
\[
\frac{\partial^\lambda \log f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}(\MF{u})
\]
ist. Und zwar erhält man den allgemeinsten Ausdruck von $f(\MF{u})$, indem
man, unter der Voraussetzung, daß für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$
\[
\MF{F}(\MF{u}) = \mu\, \frac{\partial^\lambda \log\MF{u}}{\partial \MF{u}^\lambda} +
\Underset{\frakm = 0 \dots \infty}
{\mathbf{S}\, \MF{F}_\frakm \MF{u}^\frakm}
\]
gefunden sei, die Formel
\[
\MF{u}^\mu \Powfr{e}{\mathbf{S}
\Bigl\{
\fnfrac{\MF{F}_\frakm\, \MF{u}^{\lambda+\frakm}}
       {(\frakm + 1)\dots(\frakm + \lambda)}
\Bigr\}
  + \MF{C}_0 + \MF{C}_1\MF{u} + \dotsb
  + \MF{C}_{\lambda - 1}\MF{u}^{\lambda-1}},
\]
in der $\MF{C}_0$, $\MF{C}_1$, $\dotsc,~\MF{C}_{\lambda-1}$ willkührliche Constanten bezeichnen, nach Potenzen
von $\MF{u}$ entwickelt, wenn auch die dabei gebrauchte Reihe
\[
\mathbf{S}\,
\Biggl\{\frac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}}
             {(\frakm+1)\dots(\frakm + \lambda)}
\Biggr\}
\]
nicht für alle Werthe von $u$ convergirt.
\end{theorem}

\begin{beweis}
Es seien $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{\sigma}$ unter den Werthen von $\MF{u}$, für welche $\MF{F}(\MF{u})$
unendlich groß wird, diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner
als eine beliebig angenommene Größe $\MF{U}$ sind, den Werth Null, wenn er
auch zu denselben gehört, ausgeschlossen. Es ist leicht zu erweisen, daß es
nur eine endliche Anzahl solcher Werthe geben kann. Denn sonst müßte
sich in dem angegebenen Bereiche von $\MF{u}$ wenigstens \textit{ein} Werth $a$ finden, in
dessen Nähe eine unbegränzte Menge derselben vorhanden wäre. Dann aber
ließe sich $\MF{F}(a + k)$, wie klein auch $k$ angenommen werde, nicht nach ganzen
Potenzen dieser Größe in eine convergirende Reihe entwickeln, die, wie doch
vorausgesetzt wird, nur eine endliche Zahl Glieder mit negativen Potenzen
von $k$ enthält. Bezeichnet man nun mit $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~m_{\sigma}$ die zu $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_{\sigma}$
gehörigen Werthe der Zahl $m$ in den Entwicklungen von
\[
\MF{F}(a_1+k), \quad \MF{F}(a_2+k), \quad \dotsc, \quad \MF{F}(a_\sigma+k),
\]
und setzt
\[
\MF{u}^\mu
\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_1}\biggr)^{m_1}
\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_2}\biggr)^{m_2} \dotsm
\biggl(1-\frac{\MF{u}}{a_\sigma}\biggr)^{m_\sigma} = \pi(\MF{u}),
\]
so hat man nach dem oben Bemerkten
\[
\biggl(
  \frac{\partial^\lambda \log\pi(\MF{u})}{\partial\MF{u}^\lambda}
\biggr)_{\MF{u}=a+k}\kern -1em
= m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda}
+ \text{\{Glieder mit ganzen positiven Potenzen von $k$\},}
\]
%% {-----File: 053.png---Folio 51-------}
wo $m = \mu$, $m_1$, $m_2$, $\dotsc,~m_\sigma$ ist für $a = 0$, $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\sigma$, und Null für
jeden andern Werth von $a$. Setzt man daher
\[
\MF{F}(\MF{u}) - \frac{\partial^\lambda\log\pi(\MF{u})}
                      {\partial\MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1(\MF{u}),
\]
so ist $\MF{F}_1(a+k)$ bei jedem Werthe von $a$, dessen absoluter Betrag kleiner
als $\MF{U}$ ist, in eine nur ganze positive Potenzen von $k$ enthaltende Reihe entwickelbar.
Daraus folgt, daß $\MF{F}_1(\MF{u})$, so lange der absolute Betrag von $\MF{u}$
unterhalb der genannten Gränze bleibt, stäts einen endlichen Werth hat und
sich continuirlich mit $\MF{u}$ ändert. Dasselbe gilt von $\smfrac{\partial\MF{F}_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}}$ (so wie von den
höhern Differential-Coefficienten dieser Function). Nach einem \Auth{Cauchy}'schen
Satze läßt sich daher $\MF{F}_1(\MF{u})$ für alle jene Werthe von $\MF{u}$ durch eine convergirende
Reihe
\[
\Underset{\frakm=0\dots\infty}
         {\mathbf{S}\, \MF{G}_\fraka \MF{u}^\frakm}
\]
darstellen. Wird daher
\[
f_1(\MF{u}) = \pi(\MF{u})\, \Powfr{e}{\mathbf{S}\,
  \Bigl\{\fnfrac{\MF{G}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}}
        {(\frakm+1)\dotsm(\frakm+\lambda)}\Bigr\}}
\]
gesetzt, so ist $f_1(\MF{u})$ in eine, jedenfalls für dieselben Werthe von $\MF{u}$ convergirende
Reihe von der Form
\[
f_1(\MF{u}) = \MF{u}^\mu +
\Underset{\frakm=0\dots\infty}
         {\mathbf{S}\,\Atop{1}{f}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}}
\]
entwickelbar,\footnote{%
S.~die Sätze des §.~7.\ der Abhandlung über die Facultäten.} und man hat
\[
\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} =
\frac{\partial^\lambda \log \pi(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} +
\MF{F}_1(\MF{u}) = \MF{F}(\MF{u}). % [** PP: Added period]
\]
Nun kann man aber, wenn $\MF{u}$ dem absoluten Betrage nach kleiner als jede
der Größen $a_1$, $a_2$, $\dotsc,~a_\sigma$ ist, $\MF{F}(\MF{u})$ durch eine convergirende Reihe
\[
\mu\frac{\partial^\lambda \log \MF{u}}{\partial \MF{u}^\lambda} +
\mathbf{S}\, \MF{F}_\frakm \MF{u}^\frakm
\]
ausdrücken, wo $\mu$ Null oder eine ganze positive Zahl ist. Nimmt man daher
für $f(\MF{u})$ die aus der Entwicklung des Ausdrucks
\[
\MF{u}^\mu \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{
\fnfrac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda+\frakm}}
       {(\frakm+1)\dotsm(\frakm+\lambda)}\Bigr\}
  + \MF{C}_0 + \MF{C}_1 \MF{u} + \dotsb
  + \MF{C}_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}}
\]
hervorgehende Reihe, so convergirt dieselbe sicher bei den eben genannten
%% {-----File: 054.png---Folio 52-------}
Werthen von $\MF{u}$, und man hat für dieselben
\[
\frac{\partial^\lambda\log f(\MF{u})}{\partial\MF{u}^\lambda}
  = \MF{F}(\MF{u}),
\]
und mithin auch
\[
\frac{\partial^\lambda \log   f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} =
\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda},
\]
woraus durch Integration %[** PP: Corrected typo from Iutegration]
\begin{align*}
  \log f(\MF{u})
  &= \log f_1(\MF{u}) + \MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb
                      + \MF{C}'_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}, \\
  f(\MF{u})
  &= f_1(\MF{u})\centerdot \Pow{e}{\MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb
                            + \MF{C}'_{\lambda-1} \MF{u}^{\lambda-1}}
\end{align*}
folgt, wo $\MF{C}'_0$, $\MF{C}'_1$, $\dotsc,~\MF{C}'_{\lambda-1}$ gleich $\MF{C}_0$, $\MF{C}_1$, $\dotsc,~\MF{C}_{\lambda-1}$ Constanten sind, und
aus den für $f(\MF{u})$ und $f_1(\MF{u})$ aufgestellten Ausdrücken sofort erhellt, daß
man, wenn
\[
  \log \biggl( \frac{\pi(\MF{u})}{\MF{u}^\mu}\biggr)
= c_1\, \MF{u} + c_2\, \MF{u}^2 + \dotsb
\]
ist,
\[
\MF{C}'_0 + \MF{C}'_1 \MF{u} + \dotsb
          + \MF{C}'_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}
=
\MF{C}_0 + \MF{C}_1 \MF{u} + \dotsb
         + \MF{C}_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}
         - c_1 \MF{u} - \dotsb - c_{\lambda-1}\MF{u}^{\lambda-1}
\]
hat. Der Exponential-Factor in dem vorstehenden Ausdrucke von $f(\MF{u})$ läßt
sich aber nach Potenzen von $\MF{u}$ in eine beständig convergirende Reihe entwickeln;
folglich muß auch das Product aus derselben und der Reihe für
$f_1(\MF{u})$, das heißt die mit $f(\MF{u})$ bezeichnete Reihe convergiren, sobald der absolute
Werth von $\MF{u}$ kleiner als $\MF{U}$ ist. Aber $\MF{U}$ kann beliebig groß angenommen
werden, während die Coefficienten von $f(\MF{u})$ stäts dieselben bleiben,
welchen Werth auch $\MF{U}$ haben möge. Mithin muß die Reihe für $f(\MF{u})$ eine
\textit{beständig} convergirende sein, wenn auch die bei der Bildung ihrer Coefficienten
gebrauchte
\[
\mathbf{S}\, \Biggl\{
\frac{\MF{F}_\frakm \MF{u}^{\lambda + \frakm}}
     {(\frakm + 1)\dots(\frakm + \lambda)}\Biggr\}
\]
es nicht ist.

Zugleich sieht man aus der vorhergehenden Darstellung, daß die aufgestellte
Formel den allgemeinsten Ausdruck der Function $f(\MF{u})$ liefert. Denn
gesetzt, es sei $f_0(\MF{u})$ irgend eine andere, welche auch der Differential-Gleichung
\[
\frac{\partial^\lambda \log f_0(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda}
= \MF{F}(\MF{u})
\]
genügt, so muß, wie gezeigt,
\[
f_0(\MF{u}) = f(\MF{u})\, \Pow{e}{\chi(\MF{u})}
\]
sein, wo $\chi(\MF{u})$ eine ganze Function $(\lambda-1)$ten Grades bedeutet, wonach $f_0(\MF{u})$
in dem für $f(\MF{u})$ gegebenen Ausdrucke mit einbegriffen ist.
\end{beweis}

%% {-----File: 055.png---Folio 53-------}

\so{Anmerkung}. Hätte die Function $\MF{F}(\MF{u})$ nicht für \textit{alle} Werthe von $\MF{u}$,
sondern nur für alle dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen
Gränze liegenden, die angegebenen Eigenschaften; so folgt aus dem vorstehenden
Beweise, daß die auf die angezeigte Weise gebildete Reihe $f(\MF{u})$ jedenfalls
für die bezeichneten Werthe von $\MF{u}$ convergent sein und der Differential-Gleichung
$\smfrac{\partial^\lambda f(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}(\MF{u})$ genügen würde.

Der bewiesene Satz kann nun, wenn zwischen zwei veränderlichen
Größen $x$ und $\MF{u}$ eine algebraische Differential-Gleichung besteht, dazu gebraucht
werden, um zu entscheiden, ob sich wirklich $x$ als eine Function von
$\MF{u}$, die den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen hat, betrachten
lasse, und um, wenn das Letztere der Fall ist, zur Bestimmung des
Zählers und des Nenners \textit{zwei} Differential-Gleichungen zu ermitteln. Denn
immer wird sich aus der gegebenen Differential-Gleichung für irgend einen
$\lambda$ten Differential-Coefficienten von $\log x$ ein Ausdruck von der Form
\[
\frac{\partial^\lambda \log x}{\partial \MF{u}^\lambda} =
\MF{F}\biggl(\MF{u},\ x,\ \frac{\partial x}{\partial \MF{u}},\ \dotsc,\ %
\frac{\partial^{\lambda-1}x}{\partial \MF{u}^{\lambda-1}}\biggr)
\]
herleiten lassen, wo $\MF{F}$ eine rationale Function von $x$, $\smfrac{\partial x}{\partial \MF{u}}$ u.~s.~w.\ bezeichnen
soll, deren Coefficienten Constanten oder eindeutige analytische Functionen
von $\MF{u}$ sind. Wenn nun $x$ in der Gestalt
\[
\frac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}\;,
\]
wo unter $f_1(\MF{u})$, $f_2(\MF{u})$ zwei nach ganzen positiven Potenzen von $\MF{u}$ in beständig
convergirende Reihen entwickelbare Functionen zu verstehen sind,
darstellbar sein soll, so muß, indem dann
\[
\frac{\partial^\lambda \log x}{\partial \MF{u}^\lambda} =
\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} -
\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda}
\]
ist, $\MF{F}$ sich auf die Form $\MF{F}_1 - \MF{F}_2$ in der Art bringen lassen, daß $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$
Functionen von der in dem aufgestellten Satze beschriebenen Art sind. Gelingt
es nun, $\MF{F}$ in dieser Weise umzuformen, wo denn im Allgemeinen
$\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ Functionen von $\MF{u}$, $x$, $\smfrac{\partial x}{\partial \MF{u}}$, $\dotsc$,
  $\smfrac{\partial^{\lambda-1}x}{\partial \MF{u}^{\lambda-1}}$ sein werden, und der Nachweis,
daß sie die in Rede stehende Beschaffenheit haben, mit Hülfe dessen,
was hinsichtlich des zwischen $x$ und $\MF{u}$ bestehenden Abhängigkeits-Verhältnisses
aus der gegebenen Differential-Gleichung folgt, oder sonst bekannt ist,
%% {-----File: 056.png---Folio 54-------}
geliefert werden muß; so kann man
\[
\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1, \quad
\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_2
\]
setzen, und dann, indem man für $x$ diejenige Entwicklung nach Potenzen von
$\MF{u}$ sucht, welche für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ gilt, und hierauf die
entsprechenden Entwicklungen von $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$ ausführt, die Reihen für $f_1(\MF{u})$,
$f_2(\MF{u})$ in der beschriebenen Weise bilden -- oder man kann auch, in $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$
$\smfrac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}$ statt $x$ einführend, aus den so sich ergebenden Gleichungen die Coefficienten
der gesuchten Reihen, deren Form und beständige Convergenz ja bereits
vor ihrer Entwicklung feststeht, nach irgend einer passenden Methode ableiten;
worauf man bei gehöriger Constanten-Bestimmung $x=\smfrac{f_1(\MF{u})}{f_2(\MF{u})}$ haben wird.

Wenn man im Stande ist, von der Größe $x$ vor ihrer Entwicklung
nachzuweisen, daß sie eine eindeutige Function von $\MF{u}$ ist, welche sich für
alle in der Nähe eines beliebigen besondern Werthes $a$ liegenden Werthe
dieses Arguments durch eine convergirende Reihe von der Form
\[
  \MF{A}_0\, (\MF{u}-a)^\mu + \MF{A}_1\,(\MF{u}-a)^{\mu+1}
+ \MF{A}_2\, (\MF{u}-a)^{\mu+2} + \dotsb,
\]
wo $\mu$ eine ganze (positive oder negative) Zahl bedeutet, ausdrücken läßt; so
genügt es, $\MF{F}$ als die Differenz zweier andern ähnlich gebildeten Ausdrücke $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$
darzustellen, von denen sich zeigen läßt, daß der erste nur für solche Werthe
von $x$ unendlich groß werde, bei denen $x = 0$, der andere nur für diejenigen,
bei denen $x = \infty$ wird -- und man kann überzeugt sein, \textit{daß die aus den
Gleichungen
\[
\frac{\partial^\lambda \log f_1(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_1
\qquad
\frac{\partial^\lambda \log f_2(\MF{u})}{\partial \MF{u}^\lambda} = \MF{F}_2
\]
auf die beschriebene Weise für $f_1(\MF{u})$, $f_2(\MF{u})$ sich ergebenden Reihen beständig
convergent sein werden.}

Denn bei der angenommenen Beschaffenheit von $x$ hat man für jeden
Werth von $a$
\begin{align*}
\biggl(\frac{\partial^\lambda \log x}
            {\partial \MF{u}^\lambda}\biggr)_{\MF{u}=a+k}
&= \pm m\, \frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda}
 +
 \begin{aligned}
   &\text{\{Glieder mit nur ganzen} \\
   &\quad\text{positiven Potenzen von $k$\}}
 \end{aligned} \\
&= \MF{F}_1(a+k) - \MF{F}_2(a+k),
\end{align*}
% [** PP: Added comma after $\MF{u}=a$ below]
wo $m$ eine ganze positive Zahl ist, wenn für $\MF{u} = a$, $x = 0$ oder ${}= \infty$ wird,
und das obere Zeichen im ersten, das untere im andern Falle gilt, während
%% {-----File: 057.png---Folio 55-------}
man $m = 0$ für jeden andern Werth von $a$ hat. Ferner geben $\MF{F}_1$, $\MF{F}_2$, wenn
man in denselben $\MF{u} = a+k$ setzt und nach Potenzen von $k$ entwickelt,
Reihen mit nur ganzen Potenzen von $k$, wobei jedoch, da $\MF{F}_1$ und $\MF{F}_2$ für
keinen Werth von $\MF{u}$ beide unendlich groß werden, niemals in beiden zugleich
negative Potenzen von $k$ vorkommen können. Daher folgt aus der vorstehenden
Gleichung, wenn $\MF{F}_1(a) = \infty$ ist, (indem man mit $(k)$ eine Reihe von
der Form $h_0+h_1\, k+h_2\, k^2 + \dotsb$ andeutet)
\[
\MF{F}_1(a+k) = m\frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + (k),
\quad
\MF{F}_2(a+k) = (k);
\]
und wenn $\MF{F}_2(a) = \infty$,
\[
\MF{F}_2(a+k) = m\frac{\partial^\lambda \log k}{\partial k^\lambda} + (k), \quad
\MF{F}_1(k) = (k),
\]
während man für jeden andern Werth von $a$
\[
\MF{F}_1(a+k) = (k), \quad \MF{F}_2(a+k) = (k)
\]
hat. Es besitzen also $\MF{F}_1(\MF{u})$, $\MF{F}_2(\MF{u})$ die bei dem entwickelten Satze für die
Function $\MF{F}(\MF{u})$ vorausgesetzte Beschaffenheit.

Wenn sich nur nachweisen ließe, daß man $x$ für alle Werthe von $\MF{u}$,
die dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen Gränze liegen, als
eine Function dieser Veränderlichen von der angegebenen Beschaffenheit anzusehen
habe; so würde man, in der beschriebenen Weise verfahrend, zu einer
jedenfalls für alle jene Werthe von $\MF{u}$ geltenden Darstellung von $x$ gelangen.

Sind für mehrere Functionen $x_1$, $x_2$, $\dotsc$\ von $\MF{u}$ eben so viele algebraische
Differential-Gleichungen gegeben, so kann man bei deren Entwicklung
in ganz ähnlicher Weise verfahren. Auch ist es möglich, in dem Falle, wo
es sich um Functionen von mehr als einem Argumente handelt, die Untersuchung
auf den hier betrachteten zurückzuführen, wie dies an dem Beispiel der
\Auth{Abel}'schen Functionen wird gezeigt werden. Ich halte es jedoch für zweckmäßig,
zuvor die Fruchtbarkeit des im Vorhergehenden entwickelten Princips
für die Darstellung der eindeutigen Functionen in seiner Anwendung auf die
\textit{elliptischen} Transcendenten klar zu machen.


\Section{} %§. 8
\subsubsection*{\centering\normalfont Zur Theorie der elliptischen Functionen.}

Die in (§.~1 -- 4.) behandelten Differential-Gleichungen reduciren sich
für $\varrho = 1$ auf eine einzige, und zwar, wenn man in diesem Falle $\MF{u}$, $x$ statt
%% {-----File: 058.png---Folio 56-------}
$\MF{u}_1$, $x_1$ schreibt, und
\[
\MF{A}_0 = \frac{1}{a_3 - a_1}
\]
nimmt, so daß man
\[
\tag{1.}
\MF{R}(x) = \frac{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)}{a_3-a_1},\ %
\MF{P}(x) = x-a_1,\ \MF{Q}(x) = \frac{(x-a_2)(x-a_3)}{a_3-a_1}
\]
hat, auf die folgende
\[
\tag{2.}
d\MF{u} = \frac{1}{2}\, \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x)}}. % [** PP: Added period]
\]
Nach den Schlußformeln des §.~4. kann man, bei der Annahme, daß $x=a_1$
werde für $\MF{u} = 0$, die erstere Größe in der Form
\[
\tag{3.}
x = a_1 + (a_2 - a_1)\, \al^2 (\MF{u})_1
\]
ausdrücken, wo $\al(\MF{u})_1$ eine eindeutige Function des unbeschränkt veränderlichen
Arguments $\MF{u}$ bezeichnet, wobei dann
\[
\tag{4.}
\sqrt{ \MF{R}(x)} = (a_2-a_1)\al(\MF{u})_1 \frac{\partial \al(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}}
\]
zu nehmen ist, und man ferner
\[
\tag{5.}
\left\{\begin{aligned}
  a_2 - x &= (a_2 - a_1)\, \al^2(\MF{u})_2, &
  a_3 - x &= (a_3 - a_1)\, \al^2(\MF{u})_3, \\
  \al^2(\MF{u})_2 &= 1 - \al^2(\MF{u})_1, &
  \al^2(\MF{u})_3 &= 1 - \frac{a_3-a_2}{a_3-a_1} \al^2(\MF{u})_1
\end{aligned}\right.
\]
hat, wo $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ Functionen derselben Art wie $\al(\MF{u})_1$ sind. Für hinlänglich
kleine Werthe von $\MF{u}$ haben $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ die Form
\[
\tag{6.}
\left\{\begin{alignedat}{10}
  \al(\MF{u})_1 &= \MF{u} && {}+ f_1\, \MF{u}^3 && {}+ f_2\, \MF{u}^5 && {}+ \dotsb +
    f_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm-1} + \dotsb
  \\
  \al(\MF{u})_2 &= 1 && {}+ g_1\, \MF{u}^2 && {}+ g_2\, \MF{u}^4 && {}+ \dotsb +
    g_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb
  \\
  \al(\MF{u})_3 &= 1 && {}+ h_1\, \MF{u}^2 && {}+ h_2\, \MF{u}^4 && {}+ \dotsb +
    h_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb,
\end{alignedat}\right.
\]
wo die Coefficienten der unendlichen Reihen rational aus $a_1$, $a_2$, $a_3$ (welche
Größen beliebige complexe Werthe haben können) zusammengesetzt werden.
Und wenn man für den absoluten Betrag von $\MF{u}$ irgend eine beliebig anzunehmende
Gränze, die er nicht überschreiten soll, festsetzt, so kann man
$\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ in der Form
\[
\tag{7.}
\left\{\begin{aligned}
  \al(\MF{u})_1 &=
    \frac{\MF{u} + \MF{F}_1\, \MF{u}^3 + \dots + \MF{F}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm-1} + \dotsb}
         {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb}
  \\[1ex]
  \al(\MF{u})_2 &=
    \frac{1 + \MF{G}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{G}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb}
         {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb}
  \\[1ex]
  \al(\MF{u})_3 &=
    \frac{1 + \MF{H}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{H}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb}
         {1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dots + \MF{E}_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb}
\end{aligned}\right.
\]
%% {-----File: 059.png---Folio 57-------}
ausdrücken, wo die unendlichen Reihen
\[
\MF{u} + \MF{F}_1\, \MF{u}^3 + \dotsb, \quad
1 + \MF{G}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, \quad
1 + \MF{H}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb, \quad
1 + \MF{E}_1\, \MF{u}^2 + \dotsb,
\]
deren Coefficienten gleichfalls rational aus $a_1$, $a_2$, $a_3$ zusammengesetzt werden,
für alle Werthe von $\MF{u}$ innerhalb des auf die angegebene Weise begränzten
Bereiches convergiren.

Dieses vorausgesetzt werde die Gleichung (2.) auf die Form
\[
\tag{8.}
\biggl(\frac{dx}{d\MF{u}}\biggr)^2 = 4 \MF{R}(x)
\]
gebracht, so folgt
\begin{gather*}
\tag{9.}
\frac{d^2 x}{d \MF{u}^2} = 2 \MF{R}'(x),
\\[1ex]
\tag{10.}
\frac{(x-a_1)\, d^2 x - dx\,dx}{2(x-a_1)^2\, d\MF{u}^2} =
\frac{\MF{R}'(x)}{x-a_1} - \frac{2\MF{R}(x)}{(x-a_1)^2}. % [** PP: Added period]
\end{gather*}
Aber
\begin{align*}
     \frac{\MF{R}'(x)}{x-a_1}
  &= \frac{\MF{R}'(a_1)}{x-a_1} + \MF{R}''(a_1)
   + \tfrac{1}{2}\MF{R}'''(a_1)(x-a_1) \\[1ex]
   - \frac{2\MF{R}(x)}{(x-a_1)^2} &=
     \frac{-2\MF{R}'(a_1)}{x-a_1} - \MF{R}''(a_1)
   - \tfrac{1}{3}\MF{R}'''(a_1)(x-a_1),
\end{align*}
und daher, indem $\MF{R}'''(a_1)=\dfrac{6}{a_3-a_1}$ ist,
\[
\tag{11.}
\frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_1)}{d\MF{u}^2} =
\frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_1)}{x-a_1}. % [** PP: Added period]
\]
Nimmt man $a_2$, $a_3$ statt $a_1$, so erhält man ebenso
\begin{alignat*}{4}
  \tag{12.}
  \frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_2)}{d\MF{u}^2} &=
  \frac{x-a_2}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_2)}{x-a_2} &&=
  \frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_2)}{x-a_2} - \frac{a_2-a_1}{a_3-a_1}\;, % [** PP: Added comma]
  \\[1ex]
  \tag{13.}
  \frac{1}{2}\, \frac{d^2 \log(x-a_3)}{d\MF{u}^2} &=
  \frac{x-a_3}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_3)}{x-a_3} &&=
  \frac{x-a_1}{a_3-a_1} - \frac{\MF{R}'(a_3)}{x-a_3} - 1. % [** PP: Added period]
\end{alignat*}
Führt man nun in diese Gleichungen $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ ein, und setzt
\[
\tag{14.}
\frac{a_2-a_1}{a_3-a_1} = k^2, \quad
\frac{a_3-a_2}{a_3-a_1} = 1 - k^2,
\]
so finden sich, indem
\begin{gather*}
  \MF{R}'(a_1) = a_2-a_1, \quad
  \MF{R}'(a_2) = \frac{(a_2-a_1)(a_2-a_3)}{a_3-a_1} = -(a_2-a_1)(1-k^2),
  \\
  \MF{R}'(a_3) = (a_3-a_2) = (a_3-a_1)(1-k^2)
\end{gather*}
ist, die folgenden

%% {-----File: 060.png---Folio 58-------}
\begin{alignat*}{4}
  \tag{15.}
  \frac{d^2\log\al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} &=
    k^2\al^2(\MF{u})_1 - \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} &&=
    - \frac{1}{\mspace{10mu} \al^2(\MF{u})_1 \mspace{10mu}}
    - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr), % [** PP: Added comma]
  \\[1ex]
  \tag{16.}
  \frac{d^2\log\al(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} &=
    k^2\al^2(\MF{u})_1 - \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 &&=
    - \frac{\al^2(\MF{u})_3} %[**typo? (u)_3?][** PP: Changed]
    {\mspace{10mu} \al^2(\MF{u})_2 \mspace{10mu}}
    - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr), % [** PP: Added comma]
  \\[1ex]
  \tag{17.}
  \frac{d^2\log\al(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} &=
    k^2\al^2(\MF{u})_1 + \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 &&=
    - \frac{k^2\al^2(\MF{u})_2}{\al^2(\MF{u})_3}
    - \bigl( -k^2\al^2(\MF{u})_1 \bigr). % [** PP: Added period]
\end{alignat*}
Indem nun
\begin{alignat*}{8}
- \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1} &= \infty
\text{ wird nur für solche Werthe von}\ &&\MF{u}, \text{ die } \al^2(\MF{u})_1 &&= 0 &\text{ machen},
\intertext{und}
- k^2\al^2(\MF{u})_1 &= \infty
\phantom{\ w}\rlap{--}\phantom{ird\ }\rlap{--}\phantom{nur\ }\rlap{--}\phantom{fur\ s}\rlap{--}\phantom{olche\ }\rlap{\ --}\phantom{Werth}\rlap{--}
&& \MF{u},
\text{ die } \al^2(\MF{u})_1 &&= \infty & - \quad,
\end{alignat*}
so kann man, nach dem im vorhergehenden \S.\ bewiesenen Lehrsatze,
%[** PP: Lehrsätze seems correct, but scan and two SRers disagree]
zwei
Functionen $\Al(\MF{u})$, $\Al(\MF{u})_1$, \textit{die sich nach ganzen positiven Potenzen von $\MF{u}$
in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen}, bestimmen, welche
die Gleichungen
\begin{align*}
  \tag{18.}
  \frac{d^2\log\Al(\MF{u})}{d\MF{u}^2} = -k^2\al^2(\MF{u})_1 \\[1ex]
  \tag{19.}
  \frac{d^2\log\Al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} = - \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1}
\end{align*}
befriedigen. Ebenso giebt es, weil
\begin{gather*}
-k^2\al^2(\MF{u})_1 = k^2\bigl( \al^2(\MF{u})_2 - 1 \bigr) = \infty
\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,}
\\
\text{für die $\al^2(\MF{u})_2 = \infty$ ist,}
\\
- \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 = \infty
\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,}
\\
\text{für die $\al^2(\MF{u})_2 = 0$ ist,}
\intertext{und}
-k^2\al^2(\MF{u})_1 = \al^2(\MF{u})_3 - 1 = \infty
\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,}
\\
\text{für die $\al^2(\MF{u})_3 = \infty$ ist,}
\\
\frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 = \infty
\quad\text{wird nur für solche Werthe von $\MF{u}$,}
\\
\text{für die $\al^2(\MF{u})_3 = 0$ ist,}
\end{gather*}
noch zwei Functionen $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ von derselben Art wie $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$,
welche den Gleichungen
\begin{alignat*}{6}
  \tag{20.}
  \frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} ={} & {}- &&
   \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2 &&=
    - \frac{\al^2(\MF{u})_3}{\al^2(\MF{u})_2}
  \\[1ex]
  \tag{21.}
  \frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} ={} & &&
    \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1 &&=
    - \frac{k^2\al^2(\MF{u})_2}{\al^2(\MF{u})_3}
\end{alignat*}
%% {-----File: 061.png---Folio 59-------}
genügen. Um dieselben darzustellen hat man die Functionen auf der rechten
Seite dieser 4 Differential-Gleichungen nach Potenzen von $\MF{u}$ in Reihen zu
entwickeln, die bei hinlänglich kleinen Werthen von $\MF{u}$ convergiren, wodurch
man, nach den Formeln~(6.),
\[
\tag{22.}
\left\{\begin{aligned}
  -k^2\al^2(\MF{u})_1
  &= \mathbf{S}\, \MF{P}_\frakm \MF{u}^{2\frakm + 2},
  &- \frac{1}{\al^2(\MF{u})_1}
  &= -\frac{1}{\MF{u}^2} + \mathbf{S}\, \MF{P}'_\frakm \MF{u}^{2\frakm},
  \\[1ex]
  - \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_2} - k^2
  &= \mathbf{S}\,
    \Underset{\frakm=0\dots\infty\strut}{\MF{P}''_\frakm \MF{u}^{2\frakm},}
  & \frac{1-k^2}{\al^2(\MF{u})_3} - 1
  &= \mathbf{S}\, \MF{P}'''_\frakm \MF{u}^{2\frakm}
\end{aligned}\right.
\]
erhält; und kann dann für $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$,
$\Alrm(\MF{u})_3$ die aus der Entwicklung
der Ausdrücke
\[
\tag{23.}
\left\{\begin{aligned}
  \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{
        \fnfrac{\MF{P}_\frakm\,    \MF{u}^{2\frakm+4}}
               {(2\frakm+3)(2\frakm+4)}\Bigr\}}, &&
  \MF{u} \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{
        \fnfrac{\MF{P}'_\frakm\,   \MF{u}^{2\frakm+2}}
               {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}}
  \\[1ex]
  \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{
        \fnfrac{\MF{P}''_\frakm\,  \MF{u}^{2\frakm+2}}
               {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}}, &&
  \Powfr{e}{\mathbf{S}\, \Bigl\{
        \fnfrac{\MF{P}'''_\frakm\, \MF{u}^{2\frakm+2}}
               {(2\frakm+1)(2\frakm+2)}\Bigr\}}
\end{aligned}\right.
\]
hervorgehenden Reihen nehmen. Dann ist
\[
\tag{24.}
\left\{\begin{aligned}
    \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} &=
    \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} -
    \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})  }{d\MF{u}^2}
  \\[1ex]
    \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} &=
    \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} -
    \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})  }{d\MF{u}^2}
  \\[1ex]
    \frac{d^2 \log \al(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} &=
    \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} -
    \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})  }{d\MF{u}^2},
\end{aligned}\right.
\]
aus welchen Gleichungen man, mit Berücksichtigung des Umstandes, daß in
den Entwicklungen von
\[
\frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})}, \qquad
\frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})}, \qquad
\frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})}
\]
nach Potenzen von $\MF{u}$ die Coefficienten von $\MF{u}^0$ und $\MF{u}^1$ dieselben sein müssen
wie in den Reihen (6) für $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$,
\[
\tag{25.}
\al(\MF{u})_1 = \frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} \qquad
\al(\MF{u})_2 = \frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})} \qquad
\al(\MF{u})_3 = \frac{\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})}
\]
erhält. Man sieht also, \textit{daß man für $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$, sobald nur
feststeht, daß sie eindeutige analytische Functionen von $\MF{u}$, in dem oben
angegebenen Sinne, sind, unmittelbar aus den Differential-Gleichungen,
durch welche sie definirt werden, zu Darstellungen gelangen kann, die
für alle Werthe von $\MF{u}$ ihre Gültigkeit behalten}.

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Führt man die gefundenen Ausdrücke von $\al(\MF{u})_1$, $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$ in die
Gleichungen (18 -- 21) ein, so verwandeln sich dieselben in die folgenden:
\[
\tag{26.}
\left\{\begin{alignedat}{8}
  &\Alrm(\MF{u}) &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}^2} && {}-
    \frac{d\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} && {}+
    k^2 \Alrm^2(\MF{u})_1 = 0
  \\[1ex]
  &\Alrm(\MF{u})_1 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} && {}-
    \frac{d\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}} && {}+
    \Alrm^2(\MF{u}) = 0
  \\[1ex]
  &\Alrm(\MF{u})_2 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} && {}-
    \frac{d\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}} && {}+
    \Alrm^2(\MF{u})_3 = 0
  \\[1ex]
  &\Alrm(\MF{u})_3 &&\frac{d^2\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} && {}-
    \frac{d\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}} && \centerdot\frac{d\Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}} && {}+
    k^2 \Alrm^2(\MF{u})_2 = 0,
\end{alignedat}\right.
\]
wobei zu bemerken ist, daß in Folge der Relationen (5.)
\[
\tag{27.}
\Alrm^2(\MF{u})_2 = \Alrm^2(\MF{u}) - \Alrm^2(\MF{u})_1, \quad
\Alrm^2(\MF{u})_3 = \Alrm^2(\MF{u}) - k^2 \Alrm^2(\MF{u})_1
\]
ist. Berücksichtigt man nun, daß die Reihen für $\Alrm (\MF{u})$ u.~s.~w.\ nach den
Formeln~(23.) die Gestalt
\[
\tag{28.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  &\Alrm(\MF{u})   &&= 1 &&{}+ \MF{A}_2 \MF{u}^4 &&{}+ \dots + \MF{A}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb
  \\[1ex]
  &\Alrm(\MF{u})_1 &&= \MF{u} &&{}+ \MF{B}_1 \MF{u}^3 &&{}+ \dots + \MF{B}_\frakm \MF{u}^{2\frakm + 1} + \dotsb
  \\[1ex]
  &\Alrm(\MF{u})_2 &&= 1 &&{}+ \MF{C}_1 \MF{u}^2 &&{}+ \dots + \MF{C}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb
  \\[1ex]
  &\Alrm(\MF{u})_3 &&= 1 &&{}+ \MF{D}_1 \MF{u}^2 &&{}+ \dots + \MF{D}_\frakm \MF{u}^{2\frakm} + \dotsb
\end{alignedat}\right.
\]
haben, so ist ersichtlich, daß die Gleichungen (26.) zur Bestimmung der
Coefficienten dieser Reihen hinreichen, und daß dieselben ganze Functionen
von $k^{2}$ mit rationalen Zahl-Coefficienten sind.

Aus den Gleichungen (1 -- 5) folgt noch, wenn man
% [** PP: Removing parentheses around radicands]
\[
\al(\MF{u})_1 = \sqrt{ \frac{x-a_1}{a_2-a_1} } = \xi
\]
setzt,
% [** PP: Removing parentheses around radicands]
\[
\tag{29.}
\al(\MF{u})_2 = \sqrt{1-\xi^2}, \quad \al(\MF{u})_3 = \sqrt{1-k^2\xi^2}
\]
und
\[
\tag{30.}
\left\{\begin{aligned}
  \frac{d \al (\MF{u})_1}{d\MF{u}} &= \al (\MF{u})_2 \al (\MF{u})_3
  \\[1ex]
  \frac{d \al (\MF{u})_2}{d\MF{u}} &= -\al (\MF{u})_1 \al (\MF{u})_3
  \\[1ex]
  \frac{d \al (\MF{u})_3}{d\MF{u}} &= - k^2 \al (\MF{u})_1 \al (\MF{u})_2
  \\[1ex]
% [** PP: Removing parentheses around radicands]
  d\MF{u} &= \frac{d\xi}{ \sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2} }. % [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
Es sind also
\[
\al(\MF{u})_1 \quad \al(\MF{u})_2 \quad \al(\MF{u})_3
\]
%% {-----File: 063.png---Folio 61-------}
die von \Auth{Jacobi} mit
\[
\sin\am\MF{u} \qquad  \cos\am\MF{u} \qquad \varDelta\am\MF{u},
\]
und von \Auth{Gudermann} mit
\[
\sn\MF{u} \qquad \cn\MF{u} \qquad \dn\MF{u}
\]
bezeichneten \Defn{elliptischen Functionen}. Nach der vorstehenden Darstellung ist
man im Stande, nicht nur gleich im Eingange der Theorie von denselben
eine allgemeine, gleichmäßig auf alle reellen und imaginären Werthe des
Arguments wie des Moduls sich erstreckende Definition zu geben, sondern
sie auch sofort wirklich zu entwickeln, und zwar in einer stäts gültig bleibenden
und den wahren analytischen Charakter dieser Größen klar hervortreten
lassenden Form. Dadurch ist aber für die weitere Theorie derselben
eine sichere Grundlage gewonnen, und namentlich die Schwierigkeit beseitigt,
welche bei dem gewöhnlichen Verfahren, wenn man $\sin\am\MF{u}$ vermittelst der
Gleichung
\[
\MF{u} = \int^{\sin \am \MF{u}}_0 \frac{d\xi}{\sqrt{ 1-\xi^2} \sqrt{ 1-k^2 \xi^2}}
%[**F2: Changing surd to sqrt made parens redundant.]
\]
definirt, aus der \textit{Vieldeutigkeit} eines Integrals von dieser Form entspringt.
Nachdem nämlich $\sin\am\MF{u}$ als eine eindeutige Function von $\MF{u}$ erkannt ist, hält
es nicht schwer, den richtigen Sinn, in welchem die vorstehende Gleichung
aufzufassen ist, festzustellen. Hierauf gehe ich aber hier nicht näher ein, indem
dieser Gegenstand weiter unten für die \Auth{Abel}'schen Functionen überhaupt
zur Sprache kommen muß. Dagegen möge schon jetzt erwähnt werden, daß
von den Functionen $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus ein directer Weg zu den \Auth{Jacobi}'schen
$\Theta$ Functionen führt, sowie überhaupt zu allen Darstellungen der elliptischen
Transcendenten, die auf deren periodischem Verhalten beruhen.

Bei den Entwicklungen dieses §.\ habe ich, mit Rücksicht darauf, daß
sie vorbereitend für die folgenden sein sollen, die für die \Auth{Abel}'schen Functionen
überhaupt gewonnenen und aus dem \Auth{Abel}'schen Theoreme hervorgehenden Ergebnisse
der bisherigen Untersuchungen vorausgesetzt. Es beruht aber die
Anwendbarkeit des im vorhergehenden §.\ begründeten Entwicklungs-Verfahrens
auf die Differential-Gleichung
\[
d\MF{u} = \frac{1}{2}\, \frac{dx}{\sqrt{ \MF{R}(x)}}
\]
wesentlich nur darauf, daß vorher \textit{Zweierlei} festgestellt sein muß. Zunächst
%% {-----File: 064.png---Folio 62-------}
ist zu zeigen, daß sich für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$
\[
  \sqrt{ \frac{x-a_1}{a_2-a_1} }, \quad
  \sqrt{ \frac{a_2-x}{a_2-a_1} }, \quad
  \sqrt{ \frac{a_3-x}{a_3-a_1} }
\]
in Reihen von der unter (6.) aufgestellten Gestalt entwickeln lassen, und dann
muß die Möglichkeit nachgewiesen werden, Ausdrücke von der Form
\[
\frac{p}{s}, \quad \frac{q}{s}, \quad \frac{r}{s}
\]
in denen $p$, $q$, $r$, $s$ ähnlich gestaltete, für alle Werthe von $\MF{u}$, die ihrem absoluten
Betrage nach eine willkührlich angenommene Gränze nicht übersteigen,
convergirende Reihen sein sollen, in der Art zu bestimmen, daß sie nach
Potenzen von $\MF{u}$ entwickelt in jene drei Reihen übergehen. Denn dies reicht
hin, um die Existenz eindeutiger analytischer Functionen $\al(\MF{u})_1$,
    $\al(\MF{u})_2$, $\al(\MF{u})_3$,
durch welche $x$ und $\sqrt{ \MF{R}(x)}$ in der durch die Formeln (3, 4, 5) angegebenen
Weise ausgedrückt werden können, zu erweisen. \textit{Beides läßt sich nun in
der That durch bloße Betrachtung der aufgestellten Differential-Gleichung
in aller Strenge bewerkstelligen; und man kann daher, unmittelbar von
dieser Gleichung aus, ohne irgend eine andere Eigenschaft der elliptischen
Functionen als bekannt vorauszusetzen, und bloß mit Hülfe allgemeiner
Entwicklungs-Principien, zu der hier gegebenen Darstellung dieser Transcendenten
gelangen.} Ich kann jedoch dieses, wie es mir scheint, wichtige
Ergebniß hier nicht näher begründen, gedenke aber später darauf zurückzukommen,
wenn es mir, was bisher noch nicht vollständig der Fall war, gelingen
sollte, für die \Auth{Abel}'schen Functionen aller Ordnungen ein ähnliches
Resultat zu erhalten. Es möge aber, da man bei den elliptischen Functionen
so mancherlei Methoden versucht hat, erlaubt sein, bei dieser Gelegenheit noch
ein anderes Verfahren anzudeuten, welches ich in einer bereits im Jahre 1840
verfaßten Prüfungsarbeit zur Entwicklung derselben angewandt habe, und das
mir so einfach und elementar zu sein scheint, als man nur wünschen kann.


\Section{} %§. 9.
\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.}

Ausgehend von den Differential-Gleichungen
\[
\tag{1.}
\frac{d\xi}{d\MF{u}} = \eta \zeta, \quad
\frac{d\eta}{d\MF{u}} = - \xi \zeta, \quad
\frac{d\zeta}{d\MF{u}} = - k^2 \xi \eta,
\]
welche, wenn man noch hinzufügt, daß für $\MF{u}=0$, $\xi=0$, $\eta=1$, $\zeta=1$
%% {-----File: 065.png---Folio 63-------}
sein sollen, zu den folgenden
\[
\tag{2.}
d\MF{u} = \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}}\;, \qquad
\sqrt{1-\xi^2} = \eta, \quad \sqrt{1-k^2\xi^2} = \zeta
%[**F2: Changing surd to sqrt made parens redundant.]
\]
führen, kann man $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zunächst in der Form gewöhnlicher Potenzreihen
\[
\tag{3.}
\xi = \MF{u} + f_1 \MF{u}^3 + \dotsb, \ %
\eta = 1+g_1 \MF{u}^2 + \dotsb, \ %
\zeta = 1 + h_1 \MF{u}^2 + \dotsb \ %
\text{(S. Gl.\ 6 d.\ v.\ §.)}
\]
entwickeln, deren Coefficienten ganze Functionen von $k^2$ sind. Es ist leicht
nachzuweisen, daß dieselben für alle Werthe von $\MF{u}$, deren absoluter Betrag
unter einer gewissen Größe $\MF{U}$, deren genauere Kenntniß nicht erforderlich
ist, bleibt, unbedingt convergiren. Beschränkt man nun $\MF{u}$ zunächst auf diese
Werthe, so stellen die Reihen eindeutige Functionen von $\MF{u}$ dar, die jetzt
nach \Auth{Gudermann} mit
\[
\sn\MF{u} \qquad \cn\MF{u} \qquad \dn\MF{u}
\]
bezeichnet werden mögen.

Nun hat man die Formeln herzuleiten, vermittelst welcher, wenn
\[
\MF{u} = \MF{v} + \MF{w}
\]
ist,
\[
\sn\MF{u},\ \cn\MF{u},\ \dn\MF{u} \quad\text{durch}\quad
\sn\MF{v},\ \cn\MF{v},\ \dn\MF{v},\ \sn\MF{w},\ \cn\MF{w},\ \dn\MF{w}
\]
ausgedrückt werden können, nämlich
\[
\tag{4.}
\left\{\begin{aligned}
  \sn\MF{u} &= \frac{\sn\MF{v}\, \cn\MF{w}\, \dn\MF{w}
                   + \cn\MF{v}\, \dn\MF{v}\, \sn\MF{w}}
                    {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}}
\\[1ex]
  \cn\MF{u} &= \frac{\cn\MF{v}\, \cn\MF{w}
                   - \sn\MF{v}\, \dn\MF{v}\, \sn\MF{w}\, \dn\MF{w}}
                    {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}}
\\[1ex]
  \dn\MF{u} &= \frac{\dn\MF{v}\, \dn\MF{w}
                   - k^2 \sn\MF{v}\, \cn\MF{v}\, \sn\MF{w}\, \cn\MF{w}}
                    {1 - k^2 \sn^2\MF{v}\, \sn^2\MF{w}},
\end{aligned}\right.
\]
wobei vorläufig $\MF{u}$, $\MF{v}$, $\MF{w}$ alle drei dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$
vorauszusetzen sind. Aus denselben übersieht man sofort, auch ohne die
Rechnung auszuführen, daß man, wenn $m$ eine ganze positive Zahl bedeutet,
$\sn \MF{u}$, $\cn \MF{u}$, $\dn \MF{u}$ rational durch
$\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$,
$\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$,
$\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ ausdrücken kann, in
der Form
\[
\tag{5.}
\sn \MF{u} = \frac{\MF{P}}{\mathbf{S}} \quad
\cn \MF{u} = \frac{\MF{Q}}{\mathbf{S}} \quad
\dn \MF{u} = \frac{\MF{R}}{\mathbf{S}}\;,
\]
wo $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ ganze Functionen von
$\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$,
$\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ und
$\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ bedeuten.
Man kann ferner leicht nachweisen, daß $\mathbf{S}$ und auch $\MF{P}^2$, $\MF{Q}^2$, $\MF{R}^2$ ganze
Functionen von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ sind, und daß sie, als solche betrachtet, keinen
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gemeinschaftlichen Factor haben. (S.~\Auth{Abel}, Précis etc. §.~4, und \Auth{Gudermann},
Theor.\ d, Modular-F. §.~149.) Aus den Gleichungen
\[
\tag{6.}
\left\{\begin{aligned}
  & \frac{d\sn\MF{u}}{d\MF{u}} =     \cn\MF{u}\, \dn\MF{u}, &&
    \frac{d\cn\MF{u}}{d\MF{u}} =    -\sn\MF{u}\, \dn\MF{u}, &&
    \frac{d\dn\MF{u}}{d\MF{u}} = -k^2\sn\MF{u}\, \cn\MF{u}
\\[1ex]
  & \sn^2\MF{u} + \cn^2\MF{u} = 1, &&
    k^2 \sn^2\MF{u} + \dn^2\MF{u} = 1
\end{aligned}\right.
\]
leitet man sodann die Ausdrücke für $\dfrac{d^2\log\sn\MF{u}}{d\MF{u}^2}$ u.~s.~w.\ ab (s.\ Gl.~15, 16, 17
d.~v.\ §.), und führt in dieselben $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ ein, wodurch man
\[
\tag{7.}
\frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} + \frac{\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2} =
\frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} + \frac{\MF{R}^2}{\MF{Q}^2} =
\frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} + \frac{k^2 \MF{Q}^2}{\MF{R}^2} =
\frac{d^2 \log \mathbf{S}}{d\MF{u}^2} + \frac{k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2}
\]
erhält. Setzt man
\[
\frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{P}_1}{\MF{P}^2}\;, \quad
\frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{Q}_1}{\MF{Q}^2}\;, \quad
\frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} = \frac{\MF{R}_1}{\MF{R}^2}\;, \quad
\frac{d^2 \log \mathbf{S}}{d\MF{u}^2} = \frac{\mathbf{S}_1}{\mathbf{S}^2}\;,
\]
so ist zunächst $\mathbf{S}_1$ eine ganze Function von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, indem $\mathbf{S}$,
$\Biggl(\dfrac{d\sn^2 \Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)}{d\MF{u}^2}\Biggr)^2$,
$\vphantom{\Bigg|}\dfrac{d^2\sn^2 \Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)}{d\MF{u}^2}$, solche sind, und dann zeigen die
    vorstehenden Gleichungen~(7.),
daß $\dfrac{d^2\log \MF{P}}{d\MF{u}^2}$, $\dfrac{d^2\log \MF{Q}}{d\MF{u}^2}$, $\dfrac{d^2\log \MF{R}}{d\MF{u}^2}$
    rationale, und daher $\MF{P}_1$, $\MF{Q}_1$, $\MF{R}_1$ ganze Functionen
von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ sind. Die Gleichungen
\[
\frac{\MF{P}_1+\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2} =
\frac{\MF{Q}_1+\MF{R}^2}{\MF{Q}^2} = \frac{\MF{R}_1 + k^2 \MF{Q}^2}{\MF{R}^2} =
\frac{\mathbf{S}_1 + k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2}
\]
lehren dann, indem $\MF{P}^2$, $\MF{Q}^2$, $\MF{R}^2$, $\mathbf{S}^2$ keinen gemeinschaftlichen Factor haben,
daß in diesen Ausdrücken die Zähler durch die Nenner theilbar sind, und der
Quotient eine ganze Function von $\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ ist. Die Kenntniß des letztern ist
nicht unumgänglich erforderlich; man findet aber, wenn man den Grad von
$\MF{P}^2$ und von $\mathbf{S}^2$ bestimmt und dann von den Entwicklungen der Ausdrücke
$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2\log\MF{P}^2}{d\MF{u}^2} + \dfrac{\mathbf{S}^2}{\MF{P}^2}$,
$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{d^2\log\mathbf{S}^2}{d\MF{u}^2} + \dfrac{k^2 \MF{P}^2}{\mathbf{S}^2}$
nach steigenden und fallenden Potenzen von
$\vphantom{\bigg|}\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ bloß die Anfangsglieder mit einander vergleicht, daß derselbe
$k^2\sn^2\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$
ist. Man hat daher
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\[
\tag{8.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  \frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2} +{} &\ \frac{1}{\sn^2 \MF{u}}
&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2} +{} &\ \frac {\dn^2\MF{u}}{\cn^2 \MF{u}}
&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2} +{} & \frac {k^2 cn^2\MF{u}}{\cn^2 \MF{u}}
&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \MF{S}}{d\MF{u}^2} +{} & k^2 \sn^2 \MF{u}
&& - k^2 \sn^2 \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) = 0. % [** PP: Added period]
\end{alignedat}\right.
\]
Bildet man nun, ganz so wie im vorhergehenden \S., die 4 Functionen $\Alrm(\MF{u})$,
$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, so daß man
\[
\tag{9.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})  }{d\MF{u}^2} + k^2 \sn^2 \MF{u} &= 0,  \qquad
& \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} +{}&\ \frac{1}{\sn^2 \MF{u}}\ &&= 0,
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2} +\ \frac{\dn^2 \MF{u}}{\cn^2\MF{u}}\ &= 0,
& \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2} +{}& \frac{k^2 \cn^2 \MF{u}}{\dn^2 \MF{u}} &&= 0
\end{alignedat}\right.
\]
hat, so geben die Gleichungen (8.)
\[
\tag{10.}
\left\{ \begin{alignedat}{2}
  \frac{d^2 \log \MF{P}}{d\MF{u}^2}
  &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2}
  &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2}
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \MF{Q}}{d\MF{u}^2}
  &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_2}{d\MF{u}^2}
  &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2}
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \MF{R}}{d\MF{u}^2}
  &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})_3}{d\MF{u}^2}
  &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2}
\\[1ex]
  \frac{d^2 \log \MF{S}}{d\MF{u}^2}
  &= \frac{d^2 \log \Alrm(\MF{u})\;{}}{d\MF{u}^2}
  &&- m^2 \frac{d^2 \log \Alrm\Bigl( \smfrac{\MF{u}}{m} \Bigr)}{d\MF{u}^2}. % [** PP: Added period]
\end{alignedat}\right.
\]
Hieraus aber folgt, mit Rücksicht auf die ersten Glieder in den Reihen"=Entwicklungen
der vorkommenden Größen,
\[
\tag{11.}
\left\{\begin{aligned}
  \Alrm(\MF{u}_1) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{P}
\quad
& \Alrm(\MF{u}_2) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{Q}
\\[1ex]
  \Alrm(\MF{u}_3) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{R}
& \Alrm(\MF{u}  ) &= \Alrm^{mm} \biggl( \frac{\MF{u}}{m} \biggr) \centerdot \MF{S}
\end{aligned}\right.
\]
und somit (gemäß 5)
\[
\tag{12.}
  \sn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})}  \qquad
  \cn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})}  \qquad
  \dn \MF{u} = \frac{\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})}. % [** PP: Added period]
\]
%% {-----File: 068.png---Folio 66-------}
\[
\tag{13.}
\left\{ \begin{alignedat}{2}
  d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_1          }{\Alrm(\MF{u})} \biggr)
&=  && \frac{\Alrm(\MF{u})_2\,\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u}
\\[1ex]
  d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_2          }{\Alrm(\MF{u})} \biggr)
&= -&& \frac{\Alrm(\MF{u})_1\,\Alrm(\MF{u})_3}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u}
\\[1ex]
  d\, \biggl(\frac{\Alrm(\MF{u})_3          }{\Alrm(\MF{u})} \biggr)
&= -&& \frac{k^2 \Alrm(\MF{u})_1\,\Alrm(\MF{u})_2}{\Alrm(\MF{u})\, \Alrm(\MF{u})}\, d\MF{u}. % [** PP: Added period]
\end{alignedat}\right.
\]

Alle diese Gleichungen sind zunächst nur unter der Voraussetzung erwiesen,
daß $u$ dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ sei, weil ja nur für
solche Werthe des Arguments die Functionen $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ bis jetzt definirt
sind. Aber $\MF{P}$, $\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ sind ganze Functionen von $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\dn\Bigr( \smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$,
und können daher nach Potenzen von $\MF{u}$ in Reihen entwickelt werden, welche
convergiren, sobald der absolute Werth von $\MF{u}$ kleiner als $m\MF{U}$ ist. Für die
Werthe, die dem absoluten Betrage nach kleiner als $\MF{U}$ sind, convergirt ferner
auch die Reihe, welche aus der für $(-k^2 \sn^2 \MF{u})$ durch zweimalige Integration
hervorgeht, und die in dem Ausdrucke von $\Alrm(\MF{u})$, der im vorhergehenden \S.\
unter Nr.~(23.) gegeben ist, den Exponenten von $e$ bildet. Da nun die Exponential-Reihe
eine \textit{beständig} convergirende ist, so muß die für $\Alrm(\MF{u})$ hervorgehende
Reihe jedenfalls für die genannten Werthe von $\MF{u}$ convergiren.
Die für $\Alrm\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, und somit auch die für $\Alrm^{mm}\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ muß es also, sobald der
absolute Betrag von $\MF{u}$ kleiner als $m\MF{U}$ ist, und die Gleichungen~(11.) lehren
sodann, daß die Reihen für $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, $\Alrm(\MF{u})$ ebenfalls für diese
Werthe von $\MF{u}$ noch convergent sind. Daraus folgt unmittelbar, daß diese
letzteren Reihen \textit{beständig} convergiren müssen, indem einerseits $m\MF{U}$ beliebig
groß gemacht werden kann, und anderseits die Coefficienten der genannten
Reihen in keinerlei Weise von $m$ abhängen. %[** PP: abhängen]
Nach der in \S.~4.\ in Betreff der
dort mit $\MF{F}(\MF{u}_1, \dotsc)$, $\MF{G}(\MF{u}_1, \dotsc)$, $\MF{F}'(\MF{u}_1,\dotsc)$, $\MF{G}'(\MF{u}_1,\dotsc)$ bezeichneten Functionen
gemachten Bemerkung gelten daher die Gleichungen~(13.) jetzt für \textit{alle} Werthe
von $\MF{u}$; und wenn man nunmehr $\sn \MF{u}$, $\cn \MF{u}$, $\dn \MF{u}$ allgemein durch die Gleichungen~(12.)
definirt, so genügen dieselben nicht nur den Differential-Gleichungen
\[
\frac{d \sn\MF{u}}{d\MF{u}} =  \cn\MF{u}\, \dn\MF{u}, \qquad
\frac{d \cn\MF{u}}{d\MF{u}} = -\sn\MF{u}\, \dn\MF{u}, \qquad
\frac{d \dn\MF{u}}{d\MF{u}} = -k^2 \sn\MF{u}\, \cn\MF{u},
\]
sondern es haben für dieselben, die für hinlänglich kleine Werthe von $\MF{u}$ $\bigl($in
Folge der Gleichungen (11, 5)$\bigr)$ mit den ursprünglich so bezeichneten und
durch die Reihen~(3.) dargestellten übereinstimmen, auch alle übrigen im
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Vorhergehenden entwickelten Gleichungen (namentlich Nr.~4, 6, 9) unbedingte
Gültigkeit.

Verfährt man auf die im Vorstehenden angegebene Weise, so braucht
man, um zur Entwicklung der elliptischen Functionen zu gelangen, nur einige
wenige, auf die Convergenz der gewöhnlichen Potenz-Reihen sich beziehenden
und sehr einfach zu erweisenden Sätze vorauszusetzen. (S.\ die mehrfach
angeführte Abhandlung über die Facultäten, \S.~7.) Dagegen sind die Formeln,
welche $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ durch $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\cn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, $\dn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$, auszudrücken lehren,
etwas genauer zu untersuchen, als sich dies bei den analogen, für die \Auth{Abel}'schen
Functionen geltenden füglich ausführen läßt. Aus diesem Grunde suchte
ich die Ableitung der Functionen $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus den ursprünglichen-Differential-Gleichungen
von aller speciell auf den betrachteten Einzelfall sich
beziehenden Rechnung möglichst frei zu machen, und kam so auf die im vorhergehenden
\S.\ befolgte Methode, deren allgemeinere Anwendbarkeit sich
deutlich genug herausstellt.


\Section{} %\S. 10.
\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.}

Die Bestimmung der Coefficienten in den Reihen-Entwicklungen von
$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ mit Hülfe der Gleichungen (\S.~7, 26 oder 22, 23) ist zwar
ausführbar, aber beschwerlich. Obgleich man nun wohl niemals zur \textit{numerischen
Berechnung} einer elliptischen Function sich dieser Reihen bedienen
wird, so ist es doch nicht ohne Interesse, daß es zur wirklichen Darstellung
derselben noch einen andern, die Rechnung ungemein erleichternden Weg
giebt. \Auth{Jacobi} hat nämlich zur Bestimmung der im vorhergehenden \S.\ mit $\MF{P}$,
$\MF{Q}$, $\MF{R}$, $\mathbf{S}$ bezeichneten Größen eine \textit{lineare} Differential-Gleichung gegeben,
in der dieselben außer nach $\sn\Bigl(\smfrac{\MF{u}}{m}\Bigr)$ oder $\MF{u}$, auch noch in Beziehung auf den
Modul $k$ differentiirt erscheinen. Da nun die angeführten Ausdrücke für $m=\infty$,
nach den Formeln~(11.) des v.~\S., in $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, $\Alrm(\MF{u})$ übergehen,
so muß es auch ähnliche partielle Differential-Gleichungen für diese
Functionen geben. Man kann dieselben in einfacher Weise aus den obigen
Gleichungen (18 -- 21.) herleiten, und sie dann selbst wieder benutzen, um
die erwähnten Gleichungen \Auth{Jacobi's} aus den unter Nr.~8.\ des v.~\S.\ aufgestellten
herzuleiten (so wie auch die analogen, welche zur Bestimmung der
Zähler und des Nenners in den Transformations-Formeln dienen und ebenfalls
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von \Auth{Jacobi} ohne Beweis mitgetheilt sind). Auch dieses habe ich in der erwähnten
Arbeit ausgeführt; ich begnüge mich aber hier, nur die Ableitung
der für $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ geltenden partiellen Differential-Gleichungen selbst zu
geben, und zwar aus dem Grunde, weil das Verfahren, \textit{gegebene Differential-Gleichungen
nach einer darin vorkommenden Constanten zu differentiiren,
und durch Combinationen der so erhaltenen mit den ursprünglichen andere
Gleichungen zu ermitteln, welche für die Reihen-Entwicklung der
zu bestimmenden Größen eine geeignetere Form haben,} einer weitern Anwendbarkeit
fähig sein dürfte.

Es werde
\[
  \Alrm(\MF{u})_1 = p,  \quad  \Alrm(\MF{u})_2 = q,  \quad
  \Alrm(\MF{u})_3 = r,  \quad  \Alrm(\MF{u}) = s,  \frac{Al(\MF{u})_1}{\Alrm(\MF{u})} = \xi
\]
gesetzt, so hat man (\S.~8, 30)
\[
\tag{1.}
  \biggl(\frac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}\biggr)
= (1-\xi^2) (1-k^2\xi^2) = 1 - (1+k^2)\, \xi^2 + k^2\xi^4,\
  \frac{\partial^2\xi}{\partial \MF{u}^2} = -(1+k^2)\, \xi + 2k^2\xi^3. % [** PP: Added period]
\]
Differentiirt man jetzt diese Gleichung, indem man $\xi$, sowie $p$, $q$, $r$, $s$ als
Functionen von $\MF{u}$ und $k$ betrachtet, in Beziehung auf $k$, so erhält man
\begin{gather*}
  \frac{\partial   \xi}{\partial \MF{u}} \centerdot
  \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}\,\partial k}
= \bigl( -(1+k^2)\xi + 2k^2\xi^3 \bigr)\, \frac{\partial\xi}{\partial k}
- k\xi^2(1-\xi^2), % [** PP: Added comma]
\\[1ex]
  \frac{\partial   \xi}{\partial \MF{u}} \centerdot
  \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}\,\partial k}
- \frac{\partial   \xi}{\partial k} \centerdot
  \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}^2} = -k\xi^2(1-\xi^2), % [** PP: Added comma]
\\[1ex]
  \frac{ \partial\, \biggl( \dfrac{\partial \xi}{\partial k}
                          : \dfrac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr) }
       { \partial \MF{u} }
= -\frac{k\xi^2}{1-k^2\xi^2}
= -\frac{1}{k} \biggl( \frac{1}{1-k^2\xi^2} - 1 \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{gather*}
Nach (\S.~8, 17) hat man aber, indem $\al^2(\MF{u})_3= 1-k^2\xi^2$ ist,
\[
  \frac{1}{2}\, \frac{\partial^2\log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}^2}
= k^2\xi^2 + \frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} - 1
=-\frac{\partial^2\log s}{\partial \MF{u}^2} + \frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2} -1,
\]
oder
\[
\frac{1-k^2}{1-k^2\xi^2}
= \frac{ \partial\, \biggl(
    \dfrac{\partial\log s}{\partial \MF{u}}
  + \frac{1}{2}\, \dfrac{\partial\log(1-k^2\xi^2)}
                        {\partial \MF{u}} + \MF{u}\biggr) }% end of numerator
          { \partial \MF{u} }. % [** PP: Added period]
\]
Multiplicirt man daher die zweitvorhergehende Gleichung noch mit $k(1-k^{2})$,
und integrirt in Beziehung auf $\MF{u}$, so kommt
\[
  k(1-k^2)
  \frac{\partial\xi}{\partial k} : \frac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}
= -\frac{\partial\log s}{\partial \MF{u}}
- \frac{1}{2}\, \frac{\partial\log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}} - k^2\MF{u},
\]
oder wenn man mit $\dfrac{\partial\xi}{\partial \MF{u}}$ multiplicirt, indem
%% {-----File: 071.png---Folio 69-------}
\[
- \frac{1}{2}\, \frac{\partial \log(1-k^2\xi^2)}{\partial \MF{u}} \centerdot
  \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}
= \frac{k^2\xi}{1-k^2 \xi^2} \biggl(\frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr)^2
= k^2 \xi (1 - \xi^2)
\]
ist,
\[
\tag{2.}
k(1-k^2)\frac{\partial \xi}{\partial k}
= k^2 \xi (1 - \xi^2) - \biggl(
  k^2 \MF{u} + \frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}
\biggr) \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}.
\]
Diese Gleichung multiplicire man mit $4k^2\xi$, so folgt, weil (§.~8, 18)
\[
\tag{3.}
\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} + k^2\xi^2 = 0,
\]
und daher
\[
2k^2 \xi\, \frac{\partial \xi}{\partial k} =
  - \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^2\, \partial k} - 2k\xi^2, \quad
2k^2 \xi \frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}} =
  - \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3}
\]
ist,
\[
2k(1-k^2)\,   \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^2\, \partial k} +
2k^2 \MF{u}\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} +
2\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} \centerdot
\frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3} +
4k^2 \xi^2 - 4k^4 \xi^4 = 0,
\]
oder da
\begin{align*}
  2k^2 \MF{u}\, \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3}
  &= 2\frac{\partial^2 \biggl(k^2 \MF{u}
     \dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)}
           {\partial \MF{u}^2}
   - 4k^2\, \frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2}
\\[1ex]
  2\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}
  \centerdot \frac{\partial^3 \log s}{\partial \MF{u}^3}
  &= \frac{\partial^2\centerdot
             \biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2}
          {\partial \MF{u}^2}
   - 2\biggl(\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2}\biggr)^2
  \\
  &= \frac{\partial^2\centerdot\biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2}{\partial \MF{u}^2}
    - 2k^4 \xi^4
\end{align*}
ist,
\[
\frac{\partial^2 \left\{2k(1-k^2) \dfrac{\partial \log s}{\partial k} +
    2k^2 \MF{u} \dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} +
    \biggl(\dfrac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 \right\}}{\partial \MF{u}^2} +
    4k^2(1+k^2)\xi^2 - 6k^4\xi^4 = 0. % [** PP: Added period]
\]
Aber
\[
\frac{\partial^4 \log s}{\partial \MF{u}^4} = -2k^2\xi \frac{\partial^2 \xi}{\partial \MF{u}^2} -
2k^2\biggl(\frac{\partial \xi}{\partial \MF{u}}\biggr)^2
  = -2k^2 + 4k^2(1+k^2)\, \xi^2 - 6k^4 \xi^4,
\]
und man kann daher die vorstehende Gleichung zweimal in Beziehung auf $\MF{u}$
integriren, wodurch man
\[
\frac{\partial^2 \log s}{\partial \MF{u}^2} + 2k(1-k^2)\frac{\partial \log s}{\partial k} +
    2k^2 \MF{u} \frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}} +
    \biggl(\frac{\partial \log s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2 + k^2\MF{u}^2 = 0
\]
erhält. Durch Betrachtung der ersten Glieder in der Reihen-Entwicklung von
$s$ überzeugt man sich, daß bei keiner dieser Integrationen eine Constante hinzuzufügen
ist. Multiplicirt man nun die vorstehende Gleichung noch mit $s$,
so ergiebt sich die folgende lineare partielle Differential-Gleichung für $s$
%% {-----File: 072.png---Folio 70-------}
\[
\tag{4.}
  \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u}} +
2k(1-k^2)\frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}s = 0. % [** PP: Added period]
\]
Setzt man nun in (2.) $\xi = \dfrac{p}{s}$, so ergiebt sich
\[
  k(1-k^2) \frac{ s\dfrac{\partial p}{\partial k}
                - p\dfrac{\partial s}{\partial k} }{ s^2 }
+ \biggl( k^2\MF{u} + \frac{1}{s}\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)\,
  \frac{ s\dfrac{\partial p}{\partial \MF{u}}
       - p\dfrac{\partial s}{\partial \MF{u}} }{ s^2 }
- k^2\frac{p}{s} + k^2\frac{\MF{p}^3}{s^3} = 0,
\]
oder wenn man mit $2ps^3$ multiplicirt,
\begin{gather*}
  ps^2\biggl( 2k^2\MF{u}    \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
           + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} \biggr)
- s\MF{p}^2\biggl( 2k^2\MF{u}    \frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
           + 2k(1-k^2)\, \frac{\partial s}{\partial k} \biggr)
\\[1ex]
     {}+ 2ps \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
\centerdot        \frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
- 2\MF{p}^2\biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2
- 2k^2\MF{p}^2s^2 + 2k^2\MF{p}^4 = 0. % [** PP: Added period]
\end{gather*}
Aus der Gleichung (1.) aber folgt
\[
  s^2\biggl(\frac{\partial p}{\partial \MF{u}}\biggr)^2
+ \MF{p}^2\biggl(\frac{\partial s}{\partial \MF{u}}\biggr)^2
- 2ps \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}\centerdot \frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
= s^4 - (1 + k^2)\MF{p}^2s^2 + k^2\MF{p}^4,
\]
und man erhält daher, wenn man vermittelst dieser Gleichung aus der vorhergehenden
das Glied $\biggl( 2p \dfrac{\partial p}{\partial \MF{u}} \centerdot \dfrac{\partial s}{\partial \MF{u}}\biggr)$ eliminirt,
\begin{align*}
   & ps^2\biggl( 2k^2\MF{u}\frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
          + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} + (1-k^2)p \biggr)
   + s^2\biggl(      \frac{\partial p}{\partial\MF{u}} \biggr)^2 - s^4
\\[1ex]
={}& s\MF{p}^2\biggl( 2k^2\MF{u}\frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
          + 2k(1-k^2)\frac{\partial p}{\partial k} \biggr)
   + \MF{p}^2\biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2 - k^2\MF{p}^4.
% [** PP: Added period]
\end{align*}
Aber (§.~8, 26)
$\biggl( \dfrac{\partial   p}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2
     = p\dfrac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + s^2$,
$\biggl( \dfrac{\partial   s}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2
     = s\dfrac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + k^2\MF{p}^2$; daher verwandelt
sich die vorstehende Gleichung in die folgende:
\begin{align*}
  & s\, \biggl(      \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2}
         + 2k^2\MF{u}\frac{\partial   p}{\partial \MF{u}  } + 2k(1-k^2)p
        \biggr)
\\[1ex]
&\quad=
    p\, \biggl(      \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2}
         + 2k^2\MF{u}\frac{\partial   s}{\partial \MF{u}  }
         + 2k(1-k^2) \frac{\partial   s}{\partial \MF{u}  }
        \biggr),
\end{align*}
woraus wegen der 4ten
\[
\tag{5.}
             \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2}
+ 2k^2\MF{u} \frac{\partial   p}{\partial \MF{u}  }
+ 2k(1-k^2)  \frac{\partial   p}{\partial k  } + (1-k^2+k^2\MF{u}^2)p = 0
\]
folgt. Ferner hat man (§.~8, 27) $s^2=\MF{p}^2+q^2$, woraus sich
\begin{align*}
& s\frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
= p\frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
+ q\frac{\partial q}{\partial \MF{u}}, \quad
  s\frac{\partial s}{\partial k}
= p\frac{\partial p}{\partial k}
+ q\frac{\partial q}{\partial k},
\\[1ex]
&       s\frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2}
+ \biggl( \frac{\partial   s}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2
=       p\frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2}
+ \biggl( \frac{\partial   p}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2
+       q\frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2}
+ \biggl( \frac{\partial   q}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2
\end{align*}
%% {-----File: 073.png---Folio 71-------}
findet, und da, wenn man in der dritten dieser Gleichungen
\begin{gather*}
  \biggl( \frac{\partial   p}{ \partial \MF{u}  } \biggr)^2
= p      \frac{\partial^2 p}{ \partial \MF{u}^2} + s^2,
\qquad
  \biggl( \frac{\partial   q}{ \partial \MF{u}  } \biggr)^2
= q      \frac{\partial^2 q}{ \partial \MF{u}^2} + r^2
= q      \frac{\partial^2 q}{ \partial \MF{u}^2} + s^2 - k^2\MF{p}^2,
\\[1ex]
  \biggl( \frac{\partial   s}{ \partial   \MF{u}} \biggr)^2
= s      \frac{\partial^2 s}{ \partial \MF{u}^2} + k^2\MF{p}^2
\end{gather*}
setzt, sich
\[
  s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2}
= p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + (1 - k^2)\MF{p}^2
+ q \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2} + q^2
\]
ergiebt,
\begin{gather*}
  s\,\biggl(        \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2}
      + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
      + 2k(1-k^2)   \frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}^2 s \biggr)
\\[1ex]
= p\,\biggl(        \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2}
      + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
      + 2k(1-k^2)   \frac{\partial p}{\partial k}
      + (1-k^2 + k^2\MF{u}^2) p \biggr)
\\[1ex]
+ q\,\biggl(        \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2}
      + 2k^2 \MF{u} \frac{\partial q}{\partial \MF{u}}
      + 2k(1-k^2)   \frac{\partial q}{\partial k}
      + (1+ k^2\MF{u}^2) q \biggr);
\end{gather*}
woraus mit Rücksicht auf (4, 5)
\[
\tag{6.}
            \frac{\partial^2 q}{\partial \MF{u}^2}
+ 2k^2 \MF{u}    \frac{\partial q}{\partial \MF{u}}
+ 2k(1-k^2) \frac{\partial q}{\partial k} + (1+ k^2\MF{u}^2)q = 0
\]
folgt.

Endlich ist
\begin{gather*}
s^2 = k^2\MF{p}^2 + r^2
\\
     s \frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
= k^2p \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
+    r \frac{\partial r}{\partial \MF{u}},
\qquad
     s \frac{\partial s}{\partial k}
= k^2p \frac{\partial p}{\partial k}
+    r \frac{\partial r}{\partial k} + k\MF{p}^2
\\[1ex]
       s \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2}
+ \biggl( \frac{\partial   s}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2
=   k^2p \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2}
+ k^2 \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} \biggr)^2
+      r \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2}
+ \biggl( \frac{\partial   r}{\partial \MF{u}  } \biggr)^2,
\end{gather*}
oder weil
\begin{gather*}
  \biggl( \frac{\partial s}{\partial \MF{u}} \biggr)^2
= s      \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2} + k^2 \MF{p}^2,
\qquad
  \biggl( \frac{\partial p}{\partial \MF{u}} \biggr)^2
= p      \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2} + s^2,
\qquad
  \biggl(\frac{\partial r}{\partial \MF{u}} \biggr)^2
= r     \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2} + k^2s^2 - k^2 \MF{p}^2,
\\[1ex]
  s\, \biggl(        \frac{\partial^2 s}{\partial \MF{u}^2}
       + 2k^2\MF{u}  \frac{\partial s}{\partial \MF{u}}
       + 2k(1 - k^2) \frac{\partial s}{\partial k} + k^2\MF{u}^2s \biggr)
\\[1ex]
= k^2p\, \biggl(     \frac{\partial^2 p}{\partial \MF{u}^2}
       + 2k^2\MF{u}  \frac{\partial p}{\partial \MF{u}}
       + 2k(1 - k^2) \frac{\partial p}{\partial k}
       + (1 - k^2 + k^2\MF{u}^2) p \biggr)
\\[1ex]
+ r\, \biggl(        \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2}
       + 2k^2\MF{u}  \frac{\partial r}{\partial \MF{u}}
       + 2k(1 - k^2) \frac{\partial r}{\partial k}
       + (k^2 + k^2\MF{u}^2) r \biggr),
\end{gather*}
woraus
\[
\tag{7.}
              \frac{\partial^2 r}{\partial \MF{u}^2}
+ 2k^2 \MF{u}      \frac{\partial r}{\partial \MF{u}}
+ 2k(1 - k^2) \frac{\partial r}{\partial k} + (k^2 + k^2 \MF{u}^2)r = 0
\]
folgt. Mit Hülfe dieser Gleichungen (4 -- 7), die hier nun noch einmal
%% {-----File: 074.png---Folio 72-------}
zusammengestellt werden mögen:
\[
\Lmargintag{8.}
\left\{\begin{alignedat}{10}
\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})}{\partial \MF{u}^2} &+
    2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})}{\partial \MF{u}} &&+
    2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})}{\partial k} &&+
    k^2 \MF{u}^2 \Alrm(\MF{u}) = 0
\\[1ex]
\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}^2} &+
    2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_1}{\partial \MF{u}} &&+
    2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_1}{\partial k} &&+
    (1 - k^2 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_1 = 0
\\[1ex]
\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_2}{\partial \MF{u}^2} &+
    2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_2}{\partial \MF{u}} &&+
    2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_2}{\partial k} &&+
    (1 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_2 = 0
\\[1ex]
\frac{\partial^2 \Alrm(\MF{u})_3}{\partial \MF{u}^2} &+
    2k^2 \MF{u} \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_3}{\partial \MF{u}} &&+
    2k(1-k^2) \frac{\partial \Alrm(\MF{u})_3}{\partial k} &&+
    (k^2 + k^2 \MF{u}^2) \Alrm(\MF{u})_3 = 0
\end{alignedat}\right.
\]
lassen sich nunmehr die Reihen für $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ ohne Mühe
entwickeln, wobei man noch mit Vortheil die leicht zu erweisenden Relationen
\[
\tag{9.}
\left\{\begin{aligned}
\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_1 &= k \Alrm(\MF{u}, k)_1 &
\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_2 &=   \Alrm(\MF{u}, k)_3
\\[1ex]
\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)_3 &= \phantom{k}\Alrm(\MF{u}, k)_2 &
\Alrm \Bigl( k\MF{u}, \smfrac{1}{k} \Bigr)\phantom{_1}   &=   \Alrm(\MF{u}, k)
\end{aligned}\right.
\]
benutzen kann. Die Resultate der leicht auszuführenden Rechnung sind folgende.

Es seien $\frakm$, $\frakn$ ganze Zahlen, die unabhängig von einander alle Werthe
von $0$ bis $+\infty$ zu durchlaufen haben, so ist
\[
\tag{10.}
\left\{\begin{aligned}
  \Alrm(\MF{u})   &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm+\frakn}
    a_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm + 2} \centerdot
    \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 4}}{(2\frakm + 2\frakn + 4)!} \right\}
  \\[1ex]
  \Alrm(\MF{u})_1 &=  \phantom{1 -{}}\mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn}
    b_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm} \centerdot
    \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 1}}{(2\frakm + 2\frakn + 1)!} \right\}
  \\[1ex]
  \Alrm(\MF{u})_2 &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn}
    c_{\frakm, \frakn} k^{2\frakm} \centerdot
    \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 2}}{(2\frakm + 2\frakn + 2)!} \right\}
  \\[1ex]
  \Alrm(\MF{u})_3 &= 1 - \mathbf{S} \left\{ \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn}
    c_{\frakm, \frakn} k^{2\frakn + 2} \centerdot
    \frac{\MF{u}^{2\frakm + 2\frakn + 2}}{(2\frakm + 2\frakn + 2)!} \right\}. % [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
In diesen Formeln ist mit $\frakn!$ das Product $(1\centerdot 2\dotsm\frakn)$ bezeichnet, und
\[
a_{\frakm, \frakn} \quad b_{\frakm, \frakn} \quad c_{\frakm, \frakn}
\]
sind ganze Zahlen, welche vermittelst der folgenden Recursions-Formeln zu
berechnen sind:
\[
\Lmargintag{11.}
\left\{\begin{alignedat}{10}
  a_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 4) a_{\frakm, \frakn-1} &&+
    (2\frakn + 4) a_{\frakm-1, \frakn} &&-
    (2\frakm + 2\frakn + 1)(2\frakm + 2\frakn + 2)
    a_{\frakm-1, \frakn-1}
  \\
  b_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 1) b_{\frakm, \frakn-1} &&+
    (2\frakn + 1) b_{\frakm-1, \frakn} &&-
    (2\frakm + 2\frakn - 2)(2\frakm + 2\frakn - 1)
    b_{\frakm-1, \frakn-1}
  \\
  c_{\frakm, \frakn} &= (4 \frakm + 1) c_{\frakm, \frakn-1} &&+
    (4\frakn + 4) c_{\frakm-1, \frakn} &&-
    (2\frakm + 2\frakn - 1)(2\frakm + 2\frakn)
    c_{\frakm-1, \frakn-1}. % [** PP: Added period]
\end{alignedat}\right.
\]
Beim Gebrauche dieser Formeln hat man
\[
a_{0, 0} = 2, \quad b_{0, 0} = 1, \quad c_{0, 0} = 1, \quad
c_{1, 0} = 2, \quad c_{0, 1} = 1
\]
%% {-----File: 075.png---Folio 73-------}
zu setzen, so wie jedem Coefficienten, bei dem einer der Indices negativ wird,
den Werth Null beizulegen. Ferner muß in der ersten $\frakm+\frakn>0$, eben so
in der zweiten, und in der dritten $\frakm+\frakn>1$ sein. Auch ist
\[
  a_{\frakm, \frakn} = a_{\frakn, \frakm} \qquad
  b_{\frakm, \frakn} = b_{\frakn, \frakm}. % [** PP: Added period]
\]
Da es nützlich sein kann, die Reihen für $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ in einer Anzahl von
Gliedern wirklich dargestellt zu haben, so mögen hier noch für die 10 ersten
Coefficienten derselben die vollständig berechneten Ausdrücke Platz finden.

%\newpage
\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\[
\Alrm(\MF{u})
  = 1 - \MF{A}_2 \frac{\MF{u}^4}{4!}
      + \MF{A}_3 \frac{\MF{u}^6}{6!} - \dotsb
      + \Pow{(-1)}{\frakm-1} \MF{A}_\frakm
        \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \dotsb
\]
\begin{flalign*}
&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}}\\[-\baselineskip]
& \MF{A}_2\phantom{{}_1} = 2\,k^2 \\
& \MF{A}_3\phantom{{}_1} = 8(k^2+k^4) \\
& \MF{A}_4\phantom{{}_1} = 32(k^2+k^6) + 68\,k^4 \\
& \MF{A}_5\phantom{{}_1} = 128 (k^2 + k^8) + 480(k^4 + k^6) \\
& \MF{A}_6\phantom{{}_1} = 512 (k^2 + k^{10}) + 3008 (k^4 + k^8) + 5400\,k^6 \\
%**  obviously missing +----------------------^
& \MF{A}_7\phantom{{}_1} = 2048(k^2+k^{12}) + 17408(k^4 + k^{10})
                    + 49568(k^6 + k^8) \\
& \MF{A}_8\phantom{{}_1} = 8192 (k^2+k^{14}) + 95232 (k^4 + k^{12})
                    + 395520 (k^6 + k^{10}) + 603376\,k^8  \\
% [** PP: Coefficient 395520 badly smudged in scan]
& \MF{A}_9\phantom{{}_1} = 32768 (k^2+k^{16})+ 499712(k^4+k^{14})
                    + 2853888(k^6+k^{12})+5668096 (k^8 + k^{10}) \\
& \MF{A}_{10} = 131072 (k^2+k^{18}) + 2539520 (k^4+k^{16})
         + 19097600 (k^6 + k^{14})  \\
&\multispan{1}{$\hfill {}+ 38153728 (k^8 + k^{12}) + 42090784\,k^{10}$}
\end{flalign*}
u.~s.~w.
\end{minipage}
%
\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\[
\Alrm(\MF{u})_1
  = \MF{u} - \MF{B}_1 \frac{\MF{u}^3}{3!}
           + \MF{B}_2 \frac{\MF{u}^5}{5!} - \dotsb
           + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{B}_\frakm
             \frac{\MF{u}^{2\frakm+1}}{(2\frakm+1)!} \dotsb
\]
\begin{flalign*}
&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}}\\[-\baselineskip]
& \MF{B}_1\phantom{{}_1} = 1+k^2 \\
& \MF{B}_2\phantom{{}_1} = 1+k^4 + 4\,k^2 \\
& \MF{B}_3\phantom{{}_1} = 1+k^6+ 9 (k^2+k^4) \\
& \MF{B}_4\phantom{{}_1} = 1+k^8 + 16 (k^2+k^6) - 6\,k^4 \\
& \MF{B}_5\phantom{{}_1} = 1+k^{10} + 25 (k^2+k^8) - 494 (k^4+k^6) \\
& \MF{B}_6\phantom{{}_1} = 1 +k^{12} + 36 (k^2+k^{10}) - 5781 (k^4+k^8)
                    - 12184\,k^6 \\
& \MF{B}_7\phantom{{}_1} = 1+k^{14} + 49 (k^2+k^{12}) - 55173 (k^4+k^{10})
                    - 179605 (k^6+k^8) \\
& \MF{B}_8\phantom{{}_1} = 1 + k^{16} + 64 (k^2+k^{14})
            - 502892 (k^4+k^{12}) - 2279488 (k^6+k^{10})-3547930\,k^8 \\
& \MF{B}_9\phantom{{}_1} = 1+k^{18}+81(k^2+k^{16}) - 4537500 (k^4+k^{14})
                    - 27198588(k^6+k^{12}) \\
&\multispan{1}{$\hfill {}- 59331498 (k^8+k^{10})$} \\
& \MF{B}_{10} = 1 + k^{20}+ 100(k^2 + k^{18}) - 40856715 (k^4+ k^{16})
         - 313180080(k^6+k^{14}) \\
&\multispan{1}{$\hfill {}- 909015270 (k^8 + k^{12}) - 1278530856\,k^{10}$}
\end{flalign*}
u.~s.~w.\
%** obviously missing '-'^ [F2: obviously missing sign, dunno whether it's plus or minus.][** PP: Guessing minus on slight evidence]
\end{minipage}

%% {-----File: 076.png---Folio 74-------}

\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\[
\Alrm(\MF{u})_2
  =  1 - \MF{C}_1\frac{\MF{u}^2}{2!}
       + \MF{C}_2\frac{\MF{u}^4}{4!} - \dotsb
       + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{C}_\frakm
         \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \cdots
\]
\begin{flalign*}
&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}} &&\\[-\baselineskip]
& \MF{C}_1\phantom{{}_1} = 1  \\
& \MF{C}_2\phantom{{}_1} = 1+2\,k^2 \\
& \MF{C}_3\phantom{{}_1} = 1+6\,k^2+8\,k^4 \\
& \MF{C}_4\phantom{{}_1} = 1 + 12\,k^2 + 60\,k^4 + 32\,k^6  \\
& \MF{C}_5\phantom{{}_1} = 1 + 20\,k^2 + 348\,k^4+ 448\,k^6 + 128\,k^8 \\
& \MF{C}_6\phantom{{}_1} = 1 + 30\,k^2+ 2372\,k^4+ 4600\,k^6+ 2880\,k^8
      + 512 \,k^{10}\\
& \MF{C}_7\phantom{{}_1} = 1 + 42\,k^2+19308\,k^4 + 51816\,k^6
      + 45024\,k^8 + 16896\,k^{10} + 2048\,k^{12}\\
%& \MF{C}_8\phantom{{}_1} = 1 + 56\,k^2 + 169320\,k^4+ 628064\,k^6+ 757264\,k^8
%      + 370944\,k^{10}\\
%&\multispan{1}{$\hfill {}+ 93184\,k^{12}+8192\,k^{14} $}  &&\\
& \MF{C}_8\phantom{{}_1} = 1 + 56\,k^2 + 169320\,k^4+ 628064\,k^6+ 757264\,k^8
      + 370944\,k^{10} + 93184\,k^{12}+8192\,k^{14}  &&\\
& \MF{C}_9\phantom{{}_1} = 1 + 72\,k^2+ 1515368\,k^4+7594592\,k^6
      + 12998928\,k^8 + 9100288\,k^{10}\\
&\multispan{1}{$\hfill {}+ 2725888\,k^{12} + 491520\,k^{14}
      + 32768\,k^{16} $}  &&\\
& \MF{C}_{10} = 1 + 90\,k^2 + 13623480\,k^4 + 89348080\,k^6 + 211064400\,k^8
      + 219361824\,k^{10}\\
&\multispan{1}{$\hfill {}+ 100242944\,k^{12} + 18450432\,k^{14} + 2506752\,k^{16} + 131072\,k^{18} $}  &&
\end{flalign*}
u.~s.~w.
\[
\Alrm(\MF{u})_3
  =  1 - \MF{D}_1\frac{\MF{u}^2}{2!}
       + \MF{D}_2 \frac{\MF{u}^4}{4!} - \dotsb
       + \Pow{(-1)}{\frakm} \MF{D}_\frakm
         \frac{\MF{u}^{2\frakm}}{(2\frakm)!} \dotsb
\]
\begin{flalign*}
&\multispan{1}{\rule{\textwidth}{0pt}} &&\\[-\baselineskip]
& \MF{D}_1\phantom{{}_1} = k^2 \\
& \MF{D}_2\phantom{{}_1} = 2\,k^2 + k^4 \\
& \MF{D}_3\phantom{{}_1} = 8\,k^2 + 6\,k^4 + k^6 \\
& \MF{D}_4\phantom{{}_1} = 32\,k^2+ 60\,k^4+ 12\,k^6+ k^8 \\
& \MF{D}_5\phantom{{}_1} = 128\,k^2 + 448\,k^4 + 348\,k^6+ 20\,k^8+ k^{10} \\
& \MF{D}_6\phantom{{}_1} = 512\,k^2+ 2880\,k^4+ 4600\,k^6+ 2372\,k^8
      + 30\,k^{10}+k^{12} \\
& \MF{D}_7\phantom{{}_1} = 2048\,k^2+ 16896\,k^4+ 45024\,k^6+ 51816\,k^8
      + 19308\,k^{10}+ 42\,k^{12} + k^{14} \\
%& \MF{D}_8\phantom{{}_1} = 8192\,k^2+ 93184\,k^4+ 370944\,k^6 + 757264\,k^8
%      + 628064\,k^{10} \\
%&\multispan{1}{$\hfill {}+ 169320\,k^{12} + 56\,k^{14} + k^{16} $}  &&\\
& \MF{D}_8\phantom{{}_1} = 8192\,k^2+ 93184\,k^4+ 370944\,k^6 + 757264\,k^8
      + 628064\,k^{10} + 169320\,k^{12} + 56\,k^{14} + k^{16}  &&\\
& \MF{D}_9\phantom{{}_1} = 32768\,k^2 + 491520\,k^4+ 2725888\,k^6+ 9100288\,k^8
      + 12998928\,k^{10} \\
&\multispan{1}{$\hfill {}+ 7594592\,k^{12} + 1515368\,k^{14}+ 72\,k^{16}
      + k^{18} $}  &&\\
& \MF{D}_{10} = 131072\,k^2 + 2506752\,k^4+ 18450432\,k^6
      + 100242944\,k^8+219361824\,k^{10} \\
&\multispan{1}{$\hfill {}+ 211064400\,k^{12} + 89348080\,k^{14}
      + 13623480\,k^{16} + 90\,k^{18} + k^{20} $}  &&
\end{flalign*}
u.~s.~w.
\end{minipage}

Ordnet man diese Ausdrücke von $\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ nach Potenzen von
$k$, so erscheinen die Coefficienten als unendliche Reihen, die sich aber summiren
lassen.

%% {-----File: 077.png---Folio 75-------}

\Section{} %§.~11.
\subsubsection*{\centering\normalfont Uebergang zu den \Auth{Jacobi}'schen Reihen.}

Nunmehr möge gezeigt werden, wie man von den Functionen $\Alrm(\MF{u})$,
$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ aus zu den unendlichen Reihen gelangen kann, durch
welche \Auth{Jacobi} die elliptischen Functionen auszudrücken gelehrt hat. Dabei
nehme ich jedoch an, daß der absolute Betrag des Moduls $k$ kleiner als Eins
sei, was erlaubt ist, weil man vermittelst der Formeln
\begin{align*}
  \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_{\phantom{1}}   &= \Alrm(\MF{u}, k)   &
  \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_2 &=   \Alrm(\MF{u}, k)_3 \\
  \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_1 &= k \Alrm(\MF{u}, k)_1 &
  \Alrm\left(k\MF{u}, \smfrac{1}{k}\right)_3 &=   \Alrm(\MF{u}, k)_2 \\
\end{align*}
jede der 4 genannten Functionen, wenn der absolute Betrag des Moduls die
Einheit übersteigt, auf eine andere zurückführen kann, bei welcher derselbe
kleiner als 1 ist.

Es werde nun, unter dieser Voraussetzung,
\[
\tag{1.}
% [** Removed parentheses around radicands]
  \int_0^1 \frac{d\xi}{\sqrt{1 - \xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{K}, \quad
  \int_1^{\fnfrac{1}{k}}
           \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2 - 1} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{K}'
\]
gesetzt, wobei, um diesen Integralen eine ganz bestimmte Bedeutung zu geben,
festgestellt werden möge, es solle bei beiden Integrationen für $\sqrt{1-k^2\xi^2}$
der durch die Reihe
\[
1 - \frac{1}{2}k^2\, \xi^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}k^4\, \xi^4 -
\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}k^6\, \xi^6 - \dotsb
\]
gegebene Werth dieser Wurzelgröße, und bei der ersten
\[
\sqrt{1-\xi^2} = 1 - \frac{1}{2}\xi^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}\xi^4 -
\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\xi^6 - \dotsb,
\]
so wie bei der zweiten
\[
\sqrt{\xi^2-1} = \xi - \frac{1}{2}\xi^3 - \frac{1}{2\centerdot 4}\xi^5 -
\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\xi^7 - \dotsb
\]
genommen werden. Dann erhält man, wenn man die Reihe
\[
1 + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 k^2 +
\biggl(\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4}\biggr)^2 k^4 + \dots +
\biggl(\frac{1\centerdot 3 \dotsm (2n-1)}{2\centerdot 4 \dotsm\hfill 2n\hfill}\biggr)^2 k^{2n} + \dotsb
\quad\text{mit}\quad \mathfrak{K},
\]
und die Summe ihrer $(n + 1)$ ersten Glieder
\[
1 + \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 k^2 +
\biggl(\frac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4}\biggr)^2 k^4 + \dots +
\biggl(\frac{1\centerdot 3 \dotsm (2n-1)}{2\centerdot 4 \dotsm\hfill 2n\hfill}
  \biggr)^2 k^{2n}
%[**F2:  ^^----Missing ^2 ?][** PP: Yes]
\quad\text{mit}\quad \mathfrak{K}_n
\]
bezeichnet,
%% {-----File: 078.png---Folio 76-------}
\[
\tag{2.}
\left\{\begin{aligned}
  \MF{K}\phantom{'} &= \frac{\pi}{2} \mathfrak{K} \\
  \MF{K}' &= \mathfrak{K} \log \biggl(\frac{4}{k}\biggr) - (\mathfrak{K} - 1) -
  \frac{2}{3\centerdot 4}(\mathfrak{K} - \mathfrak{K}_1) -
  \frac{2}{5\centerdot 6}(\mathfrak{K} - \mathfrak{K}_2) - \dotsb,
\end{aligned}\right.
\]
und es ergeben sich die folgenden Gleichungen
\[
\tag{3.}
\left\{\begin{aligned}
  & \sn(\MF{K}) = 1
  && \cn(\MF{K}) = 0
  && \dn(\MF{K}) = k'
  \\
  & \sn(\MF{K}-i\MF{K}') = \smfrac{1}{k}
  && \cn(\MF{K}-i\MF{K}') = \smfrac{k'i}{k}
  && \dn(\MF{K}-i\MF{K}') = 0,
\end{aligned}\right.
\]
in denen
\[
\tag{4.}
k' = \sqrt{1-k^2} = 1 - \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{2\centerdot 4}k^4 - \dotsb
\]
ist.

Die Herleitung derselben, so wie auch die Entwicklung der Reihen für
$\MF{K}$ und $\MF{K}'$, muß bei dem hier eingeschlagenen Wege, die Theorie der elliptischen
Functionen zu begründen, in einer etwas andern als der gewöhnlichen
Weise geschehen. Doch gehe ich hierauf nicht näher ein, sondern verweise
auf das folgende Kapitel, wo man alles, was hier zu bemerken wäre, in
den daselbst anzustellenden allgemeinern Untersuchungen gehörig erörtert finden
wird.

Die Formeln für $\sn(\MF{u}\pm \MF{v})$, $\cn(\MF{u}\pm \MF{v})$, $\dn(\MF{u}\pm \MF{v})$ führen sodann, wenn
man $\MF{v}=\MF{K}$, und $\MF{v}=\MF{K}-i\MF{K}'$ setzt, zu den Relationen
\begin{gather*}
  \tag{5.}
  \left\{\begin{aligned}
\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}&
\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}
\\[-\baselineskip]
    \sn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{\cn \MF{u}}{\dn \MF{u}} &
    \sn(\MF{u}-\MF{K}) &= - \frac{\cn \MF{u}}{\dn \MF{u}} \\[1ex]
    \cn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{-k' \sn \MF{u}}{\dn \MF{u}} &
    \cn(\MF{u}-\MF{K}) &= \frac{k' \sn \MF{u}}{\dn \MF{u}} \\[1ex]
    \dn(\MF{u}+\MF{K}) &= \frac{k'}{\dn \MF{u}} &
    \dn(\MF{u}-\MF{K}) &= \frac{k'}{\dn \MF{u}}
  \end{aligned}\right. \\[1.5ex]
  \tag{6.}
  \left\{\begin{aligned}
\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}&
\multispan{2}{\rule{13em}{0pt}}
\\[-\baselineskip]
    \sn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= \frac{\dn \MF{u}}{k \cn \MF{u}} &
    \sn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= - \frac{\dn \MF{u}}{k \cn \MF{u}} \\[1ex]
    \cn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= \frac{k'i}{k \cn \MF{u}} &
    \cn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= \frac{k'i}{k \cn \MF{u}} \\[1ex]
    \dn(\MF{u}+\MF{K}-i\MF{K}') &= - \frac{ik' \sn \MF{u}}{\cn \MF{u}} &
    \dn(\MF{u}-\MF{K}+i\MF{K}') &= \frac{ik' \sn \MF{u}}{\cn \MF{u}}. % [** PP: Added period]
  \end{aligned}\right.
\end{gather*}
Und wenn man in diesen letztern Formeln $\MF{u}-\MF{K}$, sowie auch $\MF{u}+\MF{K}$ für $\MF{u}$
setzt, so erhält man
%% {-----File: 079.png---Folio 77-------}
\[
\tag{7.}
\left\{ \begin{alignedat}{4}
& \sn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \Neg \frac{1}{k \sn\MF{u}} \qquad
& \sn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{1}{k \sn\MF{u}}
\\[1ex]
& \cn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \frac{-i\dn\MF{u}}{\sn\MF{u}} \qquad
& \cn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{ i\dn\MF{u}}{\sn\MF{u}}
\\[1ex]
& \dn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \frac{-i\cn\MF{u}}{\sn\MF{u}} \qquad
& \dn(\MF{u} - i\MF{K}') &= \frac{ i\cn\MF{u}}{\sn\MF{u}}. % [** PP: Added period]
\end{alignedat}\right.
\]
Aus (5, 7) folgt nun
\[
\tag{8.}
\left\{ \begin{aligned}
  \sn(\MF{u} +  \MF{K})  &=    -\sn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad
  \sn(\MF{u} + i\MF{K}') &= \Neg\sn(\MF{u}-i\MF{K}')
\\[1ex]
  \cn(\MF{u} +  \MF{K})  &=    -\cn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad
  \cn(\MF{u} + i\MF{K}') &=    -\cn(\MF{u}-i\MF{K}')
\\[1ex]
  \dn(\MF{u} +  \MF{K})  &= \Neg\dn(\MF{u}- \MF{K}) &\qquad
  \dn(\MF{u} + i\MF{K}') &=    -\dn(\MF{u}-i\MF{K}')
\end{aligned}\right.
\]
und hieraus, indem man $\MF{u}+\MF{K}$ und $\MF{u}+i\MF{K}'$ für $\MF{u}$ setzt,
\[
\tag{9.}
\left\{
  \begin{aligned}
  \sn(\MF{u} +  2\MF{K})  &=    -\sn \MF{u} &\qquad
  \sn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &= \Neg\sn \MF{u}
\\[1ex]
  \cn(\MF{u} +  2\MF{K})  &=    -\cn \MF{u} &\qquad
  \cn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &=    -\cn \MF{u}
\\[1ex]
  \dn(\MF{u} +  2\MF{K})  &= \Neg\dn \MF{u} &\qquad
  \dn(\MF{u} + 2i\MF{K}') &=    -\dn \MF{u}. % [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
Diese Gleichungen führen endlich zu den folgenden allgemeinern, in denen
$\frakm$, $\frakn$ beliebige ganze Zahlen bedeuten:
\[
\tag{10.}
\left\{
\begin{aligned}
  \sn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')
&= \Pow{(-1)}{\frakm}\sn \MF{u}  \\
  \cn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')
&= \Pow{(-1)}{\frakm + \frakn}\cn \MF{u}  \\
  \dn(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')
&= \Pow{(-1)}{\frakn}\dn \MF{u}. % [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
Man hat ferner, wenn man
\begin{gather*}
  \frac{d\, \Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}} \quad\text{mit $\Alrm'(\MF{u})$ bezeichnet},
\\[1ex]
\tag{11.}
  d\, \frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} = -k^2 \sn^2 \MF{u}\, d\MF{u},
\end{gather*}
oder wenn
\begin{gather*}
  \xi = \sn \MF{u},  \\[1ex]
\tag{12.}
  d\, \frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})}
= \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}}. % [** PP: Added period]
\end{gather*}
Wird daher
\[
\tag{13.}
\int_0^1 \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{1-\xi^2} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{J},
\quad
\int_0^{\fnfrac{1}{k}}
  \frac{k^2 \xi^2\, d\xi}{\sqrt{\xi^2-1} \sqrt{1-k^2\xi^2}} = \MF{J}',
\]
gesetzt, mit der Bestimmung, daß bei jeder dieser Integrationen $\xi$ und die
%% {-----File: 080.png---Folio 78-------}
Wurzelgrößen dieselben Werthe durchlaufen sollen, wie bei der entsprechenden,
durch welche man bezieht. $\MF{K}$ oder $\MF{K}'$ findet; so ergiebt sich
\[
\tag{14.}
\frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} = -\MF{J} \quad
\frac{\Alrm'(\MF{K}-i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{K}-i\MF{K}')} = -\MF{J}+i\MF{J}'. % [** PP: Added period]
\]
Aus den Gleichungen (11, 8) aber folgt
\[
d \frac{\Alrm'(\MF{u}+\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+\MF{K})} =
d \frac{\Alrm'(\MF{u}-\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}-\MF{K})},
\]
und daher
\[
\frac{\Alrm'(\MF{u}+\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+\MF{K})} =
\frac{\Alrm'(\MF{u}-\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}-\MF{K})} + \MF{C},
\]
wo $\MF{C}$ eine von $\MF{u}$ unabhängige Größe bedeutet. Indem man $\MF{u} = 0$ nimmt,
und bemerkt, daß $\Alrm(\MF{u})$ eine gerade, $\Alrm'(\MF{u})$ aber eine ungerade Function
von $\MF{u}$ ist, findet sich
\[
\MF{C} = \frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} -
\frac{\Alrm'(-\MF{K})}{\Alrm(-\MF{K})} =
2\frac{\Alrm'(\MF{K})}{\Alrm(\MF{K})} = -2\MF{J}.
\]
Setzt man nun in der vorhergehenden Gleichung $\MF{u}+\MF{K}$ für $\MF{u}$, so ergiebt sich
\[
\tag{15.}
\frac{\Alrm'(\MF{u}+2\MF{K})}{\Alrm(\MF{u}+2\MF{K})} =
\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\MF{J}. % [** PP: Added period]
\]
In ganz ähnlicher Weise findet sich
\[
\tag{16.}
\frac{\Alrm'(\MF{u}+2\MF{K}-2i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{u}+2\MF{K}-2i\MF{K}')} =
\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\MF{J} + 2i\MF{J}'. % [** PP: Added period]
\]
Und wenn man in dieser Gleichung $\MF{u}+2i\MF{K}'$ an die Stelle von $\MF{u}$ setzt, so
kommt
\[
\tag{17.}
\frac{\Alrm'(\MF{u}+2i\MF{K}')}{\Alrm(\MF{u}+2i\MF{K}')} =
\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2i\MF{J}',
\]
worauf man dann aus (15, 17) die allgemeinere Relation
\[
\tag{18.}
\frac{\Alrm'(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')}
     {\Alrm(\MF{u} + 2\frakm \MF{K} + 2\frakn i\MF{K}')} =
\frac{\Alrm'(\MF{u})}{\Alrm(\MF{u})} - 2\frakm \MF{J} + 2\frakn i\MF{J}'
\]
herleiten kann.

Jetzt werde zur Abkürzung
\[
\tag{19.}
\left\{\begin{alignedat}{2}
  \frakm \MF{K} &+ \frakn i\MF{K}' &&= \omega \\
  \frakm \MF{J} &+ \frakn i\MF{J}' &&= \eta
\end{alignedat}\right.
\]
gesetzt. Dann folgt aus der vorstehenden Gleichung
\[
\Alrm(\MF{u} + 2\omega) = \MF{C} \centerdot \Pow{e}{-2\eta \MF{u}}\Alrm(\MF{u}),
\]
wo $\MF{C}$ eine Constante bedeutet. Zur Bestimmung derselben setze man $\MF{u}=-\omega$,
%% {-----File: 081.png---Folio 79-------}
so findet sich
\[
\Alrm(\omega) = \MF{C}\Pow{e}{2\eta\omega}\Alrm(-\omega)
  = \MF{C}\Pow{e}{2\eta\omega}\Alrm(\omega),
\]
und daher, wofern nicht $\Alrm(\omega) = 0$ ist, $\MF{C} = \Pow{e}{-2\eta\omega}$. Es wird aber, wie aus
der Gleichung
\[
\frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})}{d\MF{u}^2} = -k^2\sn^2 \MF{u}
\]
folgt, $\Alrm(\omega)$ nur dann ${}=0$, wenn $\sn\omega=\infty$ ist; was, wie die Formeln
(7, 10) lehren, nur der Fall ist, wenn für $\frakm$ eine gerade und für $\frakn$ eine
ungerade Zahl angenommen wird. Dann aber ist, wie die Gleichung
\[
\frac{d^2\log\Alrm(\MF{u})_1}{d\MF{u}^2} = - \frac{1}{\sn^2 \MF{u}}
\]
zeigt, $\Alrm(\omega)_1$ nicht ${}=0$; und da man, nach (10.), jetzt $\sn(\MF{u}+2\omega) = \sn \MF{u}$
hat, und somit aus der vorstehenden Gleichung für $\Alrm(\MF{u}+2\omega)$
\[
\Alrm(\MF{u}+2\omega)_1 = \MF{C}\Pow{e}{-2\eta\MF{u}}\Alrm(\MF{u})_1
\]
folgt, so findet sich jetzt, wenn man wieder $\MF{u}=-\omega$ setzt, $\MF{C}=-\Pow{e}{-2\eta\omega}$.
Demgemäß hat man
\[
\Alrm(\MF{u}+2\omega) = \pm \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)}\Alrm(\MF{u}),
\]
in welcher Gleichung das untere Zeichen gilt, wenn $\frakm$ gerade und gleichzeitig
$\frakn$ ungerade, oder wenn das Product $(\frakm+1)\frakn$ ungerade ist. Daher
\[
\Alrm(\MF{u}+2\omega) = \Pow{(-1)}{(\frakm+1)\frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u}). % [** PP: Added period]
\]
Verbindet man nun mit dieser Gleichung die unter (10.) aufgestellten, so
ergeben sich für die Functionen $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$,
    $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$ folgende Relationen:
\[
\tag{20.}
\left\{
\begin{aligned}
  \Alrm(\MF{u}+2\omega)_{\phantom{1}} &=
    \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u}) \\
  \Alrm(\MF{u}+2\omega)_1 &=
    \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakm + \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_1 \\
  \Alrm(\MF{u}+2\omega)_2 &=
    \Pow{(-1)}{\frakm \frakn + \frakm} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_2 \\
  \Alrm(\MF{u}+2\omega)_3 &=
    \Pow{(-1)}{\frakm \frakn} \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)} \Alrm(\MF{u})_3\;. % [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
Diese Gleichungen sprechen charakteristische Eigenschaften der Functionen
$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ aus, und führen in einfacher Weise zur Darstellung derselben
durch die \Auth{Jacobi}'schen Reihen. Dabei ist die bekannte unter den Größen
$\MF{K}$, $\MF{K}'$, $\MF{J}$, $\MF{J}'$ statt findende Relation von wesentlicher Bedeutung, die man
aus den vorhergehenden Formeln folgendermaßen erhält.

%% {-----File: 082.png---Folio 80-------}

Aus (20.) folgt
\begin{align*}
  \Alrm(\MF{u} + 2 \MF{K} )_3 &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+ \MF{K} )} \Alrm(\MF{u})_3  \\
  \Alrm(\MF{u} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2i\MF{J}'(\MF{u}+i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u})_3.
\intertext{Setzt man in der ersten dieser Gleichungen $\MF{u}+2i\MF{K}'$, und in der andern
$\MF{u}+2\MF{K}$ für $\MF{u}$, so kommt }
\Alrm(\MF{u} + 2\MF{K} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+2i\MF{K}'+ \MF{K} )} \Alrm(\MF{u}+2i\MF{K}')_3 \\
                     &= \Pow{e}{-2 \MF{J} (\MF{u}+2i\MF{K}'+ \MF{K} )-2i\MF{J}'(\MF{u}+i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u})_3, \\[1ex]
\Alrm(\MF{u} + 2\MF{K} + 2i\MF{K}')_3 &= \Pow{e}{-2i\MF{J} (\MF{u}+2\MF{K}  +i\MF{K}')} \Alrm(\MF{u}+2\MF{K})_3 \\
                     &= \Pow{e}{-2i\MF{J}'(\MF{u}+2\MF{K}  +i\MF{K}')-2\MF{J}(\MF{u}+\MF{K})} \Alrm(\MF{u})_3. % [** PP: Added period]
\intertext{Folglich muß }
  \Pow{e}{-4     \MF{J}\MF{K}'i} &= \Pow{e}{-4\MF{K}\MF{J}'i} \\
  \Pow{e}{ 4(\MF{K}\MF{J}'-\MF{J}\MF{K}')i} &= 1,
\intertext{d.~h.\ es muß }
  \MF{K}\MF{J}' - \MF{J}\MF{K}' &= \mu\, \frac{\pi}{2}
\end{align*}
sein, wo $\mu$ eine ganze Zahl bedeutet. Nun aber erhält man, wenn man die
Größen $\MF{J}$, $\MF{J}'$ in ähnlicher Weise wie $\MF{K}$, $\MF{K}'$ in Reihen entwickelt
\[
\tag{21.}
\left\{\begin{aligned}
  \MF{J}  &= \frac{\pi}{2}\, \frakJ \\
  \MF{J}' &= \frakJ\log \frac{4}{k} + 1 - (\frakJ - \frakJ_1)
      - \frac{2}{3\centerdot 4} (\frakJ - \frakJ_2)
      - \frac{2}{5\centerdot 6} (\frakJ - \frakJ_3)- \cdots
\end{aligned}\right.
\]
wo
\begin{align*}
\multispan{2}{\rule{.9\textwidth}{0pt}} \\[-1.5\baselineskip]
  \frakJ_{\phantom{1}} &= \tfrac{1}{2}k^2 +
  \tfrac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 +
  \tfrac{5}{6}\biggl(\frac{1\centerdot3}{2\centerdot4}\biggr)^2\! k^6 +
  \tfrac{7}{8}\biggl(\frac{1\centerdot3\centerdot5}
                         {2\centerdot4\centerdot6}\biggr)^2\! k^8 +\cdots
\\
  \frakJ_1 &= \tfrac{1}{2} \centerdot \tfrac{1}{2}k^2, \qquad
  \frakJ_2  = \tfrac{1}{2}k^2
            + \tfrac{1}{2}\centerdot \tfrac{3}{4}
              \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 \quad\text{etc.}
\\
  \frakJ_n &=  \tfrac{1}{2} k^2
            +  \tfrac{3}{4}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\! k^4 + \dotsb +
               \frac{2n-3}{2n-2}\biggl(
                 \frac{1\centerdot3\dotsm(2n-5)}
                      {2\centerdot4\dotsm(2n-4)} \biggr)^2\! k^{2n-2}
%[** PP: Added parentheses around 2n-5, 2n-4 factors]
\\
\multispan{2}{\hfill${}
  + \tfrac{1}{2}\dfrac{2n-1}{2n}
    \biggl( \dfrac{1\centerdot3\dotsm(2n-3)}
                 {2\centerdot4\dotsm(2n-2)} \biggr)^2\! k^{2n} $}
\end{align*}
ist; und man hat daher
\[
\left.\begin{aligned}
\MF{K}' &= \frac{2\MF{K}}{\pi}\log\biggl(\frac{4}{k}\biggr) + {}  \\[1ex]
\MF{J}' &= 1 + \frac{2\MF{J}}{\pi}\log\biggl(\frac{4}{k}\biggr) + {}\
\end{aligned}\right\}
\quad\text{Glieder, welche für $k = 0$ verschwinden.}
\]
Substituirt man diese Ausdrücke %[** probable typo Ansdrücke corrected]
in die vorstehende Gleichung, so findet sich,
%% {-----File: 083.png---Folio 81-------}
daß $\mu = 1$ ist. Mithin hat man
\[
\tag{22.}
\MF{K}\MF{J}'-\MF{J}\MF{K}' = \frac{\pi}{2},
\]
aus welcher Gleichung sich, wenn man
\begin{align*}
\omega &= \frakm \MF{K}   + \frakn i\MF{K}' &
\eta &= \frakm \MF{J}  + \frakn i\MF{J}' \\
\omega' &= \frakm'\MF{K} + \frakn'i\MF{K}' &
\eta' &= \frakm'\MF{J} + \frakn'i\MF{J}'
\end{align*}
setzt, und nun unter $\frakm$, $\frakn$, $\frakm'$, $\frakn'$
    ganz willkührliche Größen versteht, die
allgemeinere
\[
\tag{23.}
\omega\,\eta' - \eta\,\omega' = (\frakm\,\frakn' - \frakn\,\frakm')\,\frac{\pi}{2}i
\]
ergiebt.


\Section{} %§. 12.
\subsubsection*{\centering\normalfont Fortsetzung.}

Man bezeichne jetzt mit $\MF{F}(\MF{u})$ irgend eine der Functionen $\Alrm(\MF{u})$,
$\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, so hat man nach dem Vorhergehenden,
    wenn $\frakm$, $\frakn$
zwei beliebige ganze Zahlen bedeuten, und
\[
\frakm \MF{K} + \frakn i\MF{K}' = \omega \qquad
\frakm \MF{J} + \frakn i\MF{J}' = \eta
\]
gesetzt wird,
\[
\MF{F}(\MF{u} + 2\omega) = \Pow{e}{-2\eta(\MF{u}+\omega)+m\pi i} \MF{F}(\MF{u}),
\]
wo $m$ für jede Function durch die Formeln (20.) bestimmt ist. Diese Gleichung
läßt sich folgendermaßen darstellen:
\[
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta}{2\omega}(\MF{u}+2\omega)^2
     - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}(\MF{u}+2\omega)} \MF{F}(\MF{u}+2\omega)
= \Powfr{e}{\fnfrac{\eta\MF{u}^2}{2\omega}
     - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}}           \MF{F}(\MF{u}),
\]
und zeigt dann, daß
\[
\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}
   - \fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u})
\]
eine \textit{periodische} Function von $\MF{u}$ ist. Nun gilt aber folgender allgemeiner Satz:
\begin{quote}
\textit{Eine eindeutige periodische Function einer unbeschränkt veränderlichen
Größe $\MF{u}$ läßt sich, mag nun die Periode, die durch $a$ bezeichnet
werde, reell oder imaginär sein, wenn sie zugleich den
Charakter einer ganzen rationalen Function -- in dem oben erklärten
Sinne des Worts -- besitzt, stäts, und zwar nur auf eine
einzige Weise, durch eine für jeden Werth von $\MF{u}$ convergirende
Reihe von der Form
\[
{\tsum\limits_\nu}
\Biggl\{\MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{2\nu\pi}{a}\MF{u}i}\Biggr\}
\]
%% {-----File: 084.png---Folio 82-------}
darstellen, wo der Zeiger $\nu$, auf den sich das Summenzeichen bezieht,
die Reihe der ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ durchlaufen
hat, und die Coefficienten $\MF{A}_\nu$ von $\MF{u}$ unabhängig sind}.
\end{quote}

Zum Beweise werde die Function, in welche die in Rede stehende
durch die Substitution
\[
\MF{u}=\frac{a}{2\pi}\MF{v}
\]
übergeht, mit $f(\MF{v})$ bezeichnet, so hat man
\[
f(\MF{v} + 2\pi) = f(\MF{v}). % [** PP: Added period]
\]
Setzt man nun
\[
\MF{v} = t+ si,
\]
und versteht unter $t$, $s$ reelle Größen, so hat man nach dem \Auth{Fourier}'schen
Satze, indem $f(t+si)$ eine continuirliche Function von $t$, $s$ ist, welche in
Beziehung auf $t$ die Periode $2\pi$ besitzt,
\[
2\pi i\centerdot f(t+si) = \tsum \MF{B}_\nu\, \Pow{e}{\nu ti},
\]
wo
\[
\MF{B}_\nu  \int_0^{2\pi} f(t+si)\, \Pow{e}{-\nu ti}\,dt
\]
ist. Zugleich weiß man, daß sich $f(t+si)$ auf keine andere Weise in dieser
Form darstellen läßt. Nun ist aber nicht nur $f(t+si)$ eine continuirliche
Function von $t$, $s$, sondern auch, nach dem, was hinsichtlich des analytischen
Charakters von $f(\MF{v})$ angenommen worden ist,
\[
\frac{\partial f(t+si)}{\partial t} \quad\text{und}\quad
\frac{\partial f(t+si)}{\partial s} =
i\,\frac{\partial f(t+si)}{\partial t}. % [** PP: Added period]
\]
Mithin müssen auch $\MF{B}_\nu$ und $\dfrac{\partial \MF{B}_\nu}{\partial s}$ continuirliche Functionen von $s$ sein, und
man hat daher
\begin{align*}
   \frac{\partial\centerdot \MF{B}_\nu\, \Pow{e}{\nu s}}{\partial s}
&= \frac{\partial \int_0^{2\pi} f(t+si)\,\Pow{e}{-\nu(t+si)i}\,dt}{\partial s} \\
&= \int_0^{2\pi}\biggl(\frac{\partial f(t+si)}{\partial s}
 + \nu f(t+si)\biggr)\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt. % [** PP: Added period]
\end{align*}
Aber
\begin{align*}
\int_0^{2\pi} \frac{\partial f(t+si)}{\partial s}\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt
&= i\int_0^{2\pi} \frac{\partial f(t+si)}{\partial t}\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt \\
&= -\nu \int_0^{2\pi} f(t+si)\, \Pow{e}{-\nu(t+si)i}\, dt,
\end{align*}
%% {-----File: 085.png---Folio 83-------}
indem $f(t+si)\,\Pow{e}{-\nu (t+si)i}$ für $t=0$ und $t=2\pi$ denselben Werth hat. Daher ist
\[
\frac{\partial \centerdot \MF{B}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu s}}{\partial s} = 0,
\]
d.~h.\ der Werth von $\MF{B}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu s}$ ist unabhängig von $s$, und bleibt, weil $\MF{B}_\nu$ eine
continuirliche Function dieser Größe ist, für jeden Werth von $s$ derselbe.
Bezeichnet man ihn durch $2\pi i \MF{A}_\nu$, wo man dann, indem $s=0$ genommen wird,
\begin{align*}
  2\pi i \MF{A}_{\nu} &= \int_0^{2 \pi} f(t)\, \Pow{e}{-\nu ti}\, dt
\intertext{erhält, so ist }
  \MF{B}_{\nu} &= 2\pi i\MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{-\nu s},
\intertext{und es ergiebt sich }
  f(t+si) &= \tsum\limits_{\nu} \MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu(t+si)i}
\intertext{für alle Werthe von $t$, $s$, oder }
f(\MF{v}) &= \tsum\limits_{\nu} \MF{A}_{\nu}\, \Pow{e}{\nu \MF{v}i}
\end{align*}
für jeden complexen Werth von $\MF{v}$, woraus, wenn man $\smfrac{2\pi\MF{u}}{a}$ für $\MF{v}$ setzt, die
angegebene Reihe für die ursprüngliche Function sich unmittelbar ergiebt\footnotemark.
\footnotetext{Setzt man $\Powfr{e}{\fnfrac{2\pi \MF{u}i}{a}}\!\! = x$, so gehören zu jedem Werthe von $x$ zwar unendlich
viele von $\MF{u}$, für die aber, da sie sich nur um ein Vielfaches von $a$ unterscheiden, die
betrachtete Function denselben Werth hat. Man kann daher die letztere als eine eindeutige
Function von $x$ ansehn, die durch $\varphi(x)$ bezeichnet werden möge. Dann ist
leicht zu zeigen, daß nicht nur $\varphi(x)$, sondern auch $\smfrac{\partial \varphi (x)}{\partial x}$ sich continuirlich mit $x$ ändert,
ohne jemals unendlich groß zu werden, sobald man nur für den absoluten Betrag von $x$
irgend eine, wenn auch noch so kleine Gränze festsetzt, oberhalb welcher er bleiben soll.
Dies reicht aber, nach einem von \Auth{Cauchy} gegebenen Theorem hin, um nachzuweisen,
daß sich $\varphi(x)$ durch eine für jeden Werth von $x$, der nicht Null ist, convergirende
Reihe
\[
\tsum \Underset{\nu = -\infty \dots + \infty}{ \{\quad \MF{A}_\nu\, x^\nu \quad\} }
\]
darstellen läßt; woraus der aufgestellte Satz unmittelbar folgt. Ich habe es aber hier
vorgezogen, denselben aus dem \Auth{Fourier}'schen abzuleiten.}

Uebrigens ist leicht zu zeigen, daß sich eine Reihe von der betrachteten
Form, wenn sie für \textit{jeden} Werth von $\MF{u}$ convergirt, immer in eine andere
von der Gestalt
\[
\tsum \Underset{\nu = 0 \dots \infty}
               { \Bigl\{\: \MF{A}'_\nu\, \MF{u}^\nu \:\Bigr\} },
\]
\textit{die ebenfalls beständig convergent ist,} umwandeln %[**Typo? umwandeln]
läßt; woraus erhellt,
daß der bewiesene Satz eben nur dann gilt, wenn die Function, um die es
sich handelt, den Charakter einer ganzen rationalen hat.

%% {-----File: 086.png---Folio 84-------}

Hiernach läßt sich
\[
\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}
    -\fnfrac{m\pi i}{2\omega}\MF{u}} \MF{F}(\MF{u})
\]
in eine beständig convergirende Reihe
\[
{\tsum\limits_\nu} \Bigl\{
  \MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu\pi \MF{u}i}{\omega}}
\Bigr\}
\]
entwickeln, und es handelt sich jetzt um die Bestimmung der Coefficienten
derselben. Dazu gelangt man auf folgende Weise. Man darf unbeschadet der
Allgemeinheit annehmen, daß $\frakm$, $\frakn$ keinen gemeinschaftlichen Factor haben.
Dann kann man zwei andere ganze Zahlen $\frakm'$, $\frakn'$ dergestalt bestimmen, daß
\[
\frakm\, \frakn' - \frakn\, \frakm' = 1
\]
ist, und es gelten, wenn man mit $\omega'$, $\eta$', $m'$ die Größen bezeichnet, in welche
$\omega$, $\eta$, $m$ übergehn, indem $\frakm'$, $\frakn'$ an die Stelle von
    $\frakm$, $\frakn$ treten, für $\MF{F}(\MF{u})$ die
beiden Gleichungen
\[
\tag{1.}
\left\{
\begin{aligned}
  \MF{F}(\MF{u}+2\omega)
    &= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega )+m \pi i}\MF{F}(\MF{u})
\\
  \MF{F}(\MF{u}+2\omega')
    &= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega')+m'\pi i}\MF{F}(\MF{u}),
\end{aligned}\right.
\]
während zugleich die Größen $\omega$, $\eta$, $\omega'$, $\eta'$ der Formel (23.) des v.~§.\ gemäß
durch die Relation
\[
\tag{2.}
\omega\,\eta' - \eta\,\omega' = \frac{\pi}{2}i
\]
mit einander verbunden sind. Man kann dabei bemerken, daß diese Gleichungen
bestehen bleiben, wenn
\begin{alignat*}{8}
&&\omega'\!,&&\ -\omega,&&\ \eta'\!,&&\ -\eta,&&\ m'\!,&&\ -m \\
\text{an die Stelle von} \quad && \omega,&&\quad \omega'\!,&&\quad \eta,&&\quad \eta'\!,&&\quad m,&&\quad m'
\end{alignat*}
treten, wie man sofort sieht, sobald man nur in der ersten $\MF{u}-2\omega$ für $\MF{u}$ setzt,
und $\Pow{e}{-2\eta(\MF{u}-\omega)+m\pi i}$ auf die andere Seite bringt. Man wird daher aus jeder
Gleichung, welche eine Folge der vorstehenden (1, 2) ist, sofort eine neue
ableiten können, indem man in ihr die angegebenen Substitutionen macht.

Es werde jetzt
\[
\tag{3.}
\frac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \frac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} =
\frac{\pi i\MF{u}^2}{4\omega\omega'} \quad\text{mit}\quad \chi(\MF{u})
\]
bezeichnet, und
%% {-----File: 087.png---Folio 85-------}
\begin{align*}
\tag{4.}
\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega } + \chi(\MF{u}-m'\omega)}\MF{F}(\MF{u})
&= f(\MF{u})
\\[1ex]
\tag{5.}
\Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \chi(\MF{u}-m \omega')}\MF{F}(\MF{u})
&= f'(\MF{u})
\end{align*}
gesetzt. Dann hat man für beliebige Werthe von $p$, $q$
\[
\tag{6.}
\left\{ \begin{alignedat}{4}
&  \chi(\MF{u} + p\omega) &&- \chi (\MF{u})
&&= \frac{p \pi i}{2 \omega'} \biggl( \MF{u} + \frac{p\omega}{2} \biggr)
\\[1ex]
&  \chi(\MF{u} + p\omega') &&- \chi (\MF{u})
&&= \frac{q \pi i}{2 \omega} \biggl( \MF{u} + \frac{q\omega'}{2} \biggr),
\end{alignedat}\right.
\]
woraus weiter
\[
\tag{7.}
\left\{ \begin{alignedat}{4}
&   \chi(\MF{u} + p\omega + q\omega') &&- \chi(\MF{u} + q\omega')
&&= \chi(\MF{u} + p\omega) &&- \chi(\MF{u}) + \frac{pq}{2} \pi i,
\quad\text{oder}
\\[1ex]
&   \chi(\MF{u} + p\omega + q\omega') &&- \chi(\MF{u} + p\omega)
&&= \chi(\MF{u} + q\omega') &&- \chi(\MF{u}) + \frac{pq}{2} \pi i
\end{alignedat}\right.
\]
folgt.

Die Gleichung (4.) läßt sich nun auch so schreiben:
\[
f(\MF{u})
  = \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}
  + \chi(\MF{u}-m' \omega) - \chi (\MF{u})} \MF{F}(\MF{u}),
\]
und man hat daher, indem
\[
  \frac{\eta' (\MF{u} + 2 \omega')^2}{2\omega'}
= \frac{\eta' \MF{u}^2}{2 \omega'} + 2\eta' (\MF{u}+ \omega'),
\]
und nach (7.), wenn $p =-m'$, $q=2$ genommen wird
\[
  \chi(\MF{u} - m' \omega + 2 \omega') - \chi (\MF{u} + 2 \omega')
= \chi(\MF{u} - m' \omega ) - \chi (\MF{u}) -m' \pi i
\]
ist, in Folge von (1.)
\[
\tag{8.}  f(\MF{u} + 2 \omega' ) = f(\MF{u}). % [** PP: Added period]
\]
Ebenso, oder wenn man die vorhin angegebenen Substitutionen macht, wodurch
sich $\chi(\MF{u})$ in $-\chi(\MF{u})$, $f(\MF{u})$ in $f'(\MF{u})$ und $f'(\MF{u})$ in $f(\MF{u})$ verwandelt, erhält man
\[
\tag{9.}
  f'(\MF{u} - 2 \omega) = f'(\MF{u}) \text{, oder auch }
  f'(\MF{u} + 2 \omega) = f'(\MF{u}). % [** PP: Added period]
\]
Ferner folgt aus (4.), wenn man bemerkt, daß nach (7.)
\[
  \chi( \MF{u} - m' \omega + m \omega')
= \chi (\MF{u} + m \omega') + \chi( \MF{u} - m \omega' )
- \chi (\MF{u}) - \frac{mm'}{2} \pi i
\]
ist, und
\[
\tag{10.}  m \omega' - m' \omega = \Atop{0}{ \omega}
\]
setzt,
%% {-----File: 088.png---Folio 86-------}
\[
\tag{11.}
\left\{ \begin{aligned}
  f(\MF{u})
&= \Powfr{e}{ \fnfrac{mm'}{2} \pi i + \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} f'(\MF{u}), % [** PP: Added comma]
\\
  f'(\MF{u})
&= \Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2} \pi i - \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} f(\MF{u}). % [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
Der Gleichung (9.) gemäß kann man nun $f'(\MF{u})$ durch eine Reihe
\[
  \tsum\limits_\nu
  \left\{ \MF{A}_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi}{\omega}ui} \right\}
\]
darstellen. Man hat aber nach (6.)
\[
\tag{12.}
  \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega')
- \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega})
= \frac{\nu \pi i}{\omega} (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + \nu \omega'). % [** PP: Added period]
\]
Folglich, wenn man
\[
\MF{A}_{\nu} = \MF{C}_\nu\,
  \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi i}{\omega} (\Atop{0}{\omega} + \nu \omega') }
\]
setzt,
\[
\tag{13.}
  f'(\MF{u})
= {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{
  \MF{C}_\nu\, \Pow{e}{ \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega')
                   - \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega}) }
  \Bigr\},
\]
und daher (nach 11.)
\[
\tag{14.}
  f(\MF{u})
= \Powfr{e}{\fnfrac{mm'}{2} \pi i} {\tsum} \Bigl\{
    \MF{C}_\nu\, \Pow{e}{\chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2 \nu \omega')}
    \Bigr\}. % [** PP: Added period]
\]
In dieser Gleichung werde jetzt $\MF{u}+2\omega'$ für $\MF{u}$ gesetzt, und zugleich $\nu-1$
für $\nu$, was erlaubt ist, weil $\nu-1$ so gut als $\nu$ jede ganze Zahl repräsentirt,
so kommt mit Berücksichtigung von (8.)
\[
  f(\MF{u})
= \Powfr{e}{\fnfrac{mm'}{2} \pi i} {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{
  \MF{C}_{\nu-1}\, \Pow{e}{\chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu \omega')}
  \Bigr\}. % [** PP: Added period]
\]
In dieser Reihe muß aber jeder Coefficient mit dem gleichstelligen der vorhergehenden
übereinstimmen, weil sich, wenn dies nicht der Fall wäre, aus
ihr durch Multiplication mit $\Pow{e}{-\chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega})}$ für $f'(\MF{u})$ eine zweite Reihe von der Form
\[
  \tsum\limits_{\nu}
  \Bigl\{ \MF{A}'_\nu\, \Powfr{e}{\fnfrac{\nu \pi \MF{u}i}{\omega}} \Bigr\}
\]
ergeben würde, welche es nicht giebt. Daher muß $\MF{C}_\nu = \MF{C}_{\nu-1}$ sein, woraus
folgt, daß sämmtliche Coefficienten $\MF{C}_\nu$ denselben Werth haben, der durch
\[
g\Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2} \pi i}
\]
bezeichnet werden möge. Somit erhält man, wenn zugleich statt $f(\MF{u})$ wieder
$\MF{F}(\MF{u})$ eingeführt wird,
%% {-----File: 089.png---Folio 87-------}
\[
\tag{15.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}+\chi(\MF{u}-m'\omega)} \MF{F}(\MF{u})
= g\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{
    \Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega')}
  \Bigr\},
\]
oder, da
\[
\tag{16.}
  \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + \nu\omega') - \chi(\MF{u}-m'\omega)
= \frac{2\nu+m}{2}\centerdot\frac{\pi i}{\omega}
  \biggl( \MF{u} - m'\omega + \frac{2\nu+m}{2}\omega' \biggr)
\]
ist,
\[
\tag{17.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u})
= g\centerdot {\tsum\limits_\nu}\left\{
  \Powfr{e}{\fnfrac{2\nu+m}{2}\centerdot\fnfrac{\pi i}{\omega}
       \left( \MF{u} - m'\omega + \fnfrac{2\nu+m}{2}\omega' \right)}
    \right\}. %[** PP: Added period]
\]

Da $m$ eine ganze Zahl ist, so darf man in dieser Reihe $(-\nu-m)$
statt $\nu$ setzen; verbindet man dann die so sich ergebende Gleichung mit der
vorstehenden, so kommt
\[
\tag{18.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u})
= g\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \left\{
    \Powfr{e}{-\left( \nu+\fnfrac{m}{2} \right)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i}}\,
    \cos(2\nu+m)\,\biggl( \frac{\MF{u}}{2\omega} - \frac{m'}{2} \biggr)\,\pi
  \right\}. % [** PP: Added period]
\]
Aus diesen Gleichungen (15, 16, 17) erhält man nun sofort drei neue, indem
man die oben angegebene Substitution $\omega'$ für $\omega$ u.~s.~w.\ macht, wobei
zugleich ($-\nu$) für $\nu$ geschrieben, und der Werth, den die Constante $g$ alsdann
annehmen muß, mit $g'$ bezeichnet werde.
\begin{gather*}
\tag{19.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'} - \chi(\MF{u}+m\omega')} \MF{F}(\MF{u})
= g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle
  \Bigl\{ \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega)} \Bigr\}
\\
\tag{20.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u})
= g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{
    \Powfr{e}{-\fnfrac{2\nu-m'}{2}\centerdot\fnfrac{\pi i}{\omega'}
         \left( \MF{u}+m\omega'+\fnfrac{2\nu-m'}{2}\omega \right)} \Bigr\}
\\
\tag{21.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'\MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u})
= g'\centerdot \tsum\limits_\nu\displaystyle \Bigl\{
    \Powfr{e}{-\left(\nu-\fnfrac{m'}{2}\right)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'}}
    \cos(2\nu-m') \biggl( \frac{\MF{u}}{2\omega'} + \frac{m}{2} \biggr)\,\pi
  \Bigr\}
\end{gather*}
Man sieht also, daß die Function $\MF{F}(\MF{u})$, bei dem vorausgesetzten analytischen
Charakter derselben, durch die Gleichungen (1, 2) völlig bestimmt ist, bis auf
eine Constante ($g$ oder $g'$), welche ebenfalls vermittelst der vorstehenden
Formeln gefunden wird, sobald man für irgend einen besondern Werth von
$\MF{u}$ den von $\MF{F}(\MF{u})$ kennt, vorausgesetzt, daß der letztere nicht Null ist. Man
kann dabei bemerken, daß die Gleichungen (15, 17, 19, 20) auch dann noch
eine strenge Folgerung aus den eben genannten bleiben, wenn auch unter $m$,
$m'$ nicht mehr ganze Zahlen verstanden werden.

%% {-----File: 090.png---Folio 88-------}

Da die erhaltenen Reihen für jeden Werth von $\MF{u}$ convergiren, so
kann man schließen, daß $\smfrac{\omega'}{\omega i}$, wie auch der Modul $k$ beschaffen sein möge,
entweder eine reelle positive Größe sein muß, oder eine imaginäre, deren
reeller Theil positiv ist. Umgekehrt sind die Reihen stäts wirklich convergent,
sobald man für $\omega$, $\omega'$ beliebige Größen annimmt, welche diese Bedingung erfüllen,
abgesehen davon, ob sie in der oben angegebenen Form durch $\MF{K}$ und
$\MF{K}'$ ausgedrückt werden können oder nicht. Stellt man sich nun vor, man
bestimme, indem man mit $h$ irgend eine (complexe) Größe, deren reeller
Theil positiv ist, bezeichnet, bei willkührlicher Annahme von $\omega$, $\eta$ (wobei jedoch
für $\omega$ der Werth Null auszuschließen ist) $\omega'$, $\eta'$ durch die Gleichungen
\[
\tag{22.}
  \frac{\omega'}{\omega i}=h, \quad
  \frac{\eta'}{\omega'} - \frac{\eta}{\omega}
= \frac{\pi i}{ 2\omega \omega'}, \quad
  \eta' = h \eta + \frac{\pi i}{2 \omega}\;,
\]
und definire dann, $m$, $m'$, $g$ ebenfalls beliebig annehmend (also auch die Voraussetzung,
daß $m$, $m'$ ganze Zahlen seien, fallen lassend) eine Function $\MF{F}(\MF{u})$
durch die Gleichung~(15.) oder (17.); so besitzt dieselbe den Charakter einer
ganzen rationalen Function, und es läßt sich zeigen, daß sie stäts auch die
Gleichungen~(1.) befriedigt, und daß daher für sie auch die Gleichungen
(19, 20.) gelten.

Denn die Gleichung (17.) -- und es ist ganz einerlei, ob man von
dieser oder von Nr.~(15.) ausgeht, indem jede von ihnen eine unmittelbare
Folge der andern ist -- zeigt, daß man
\[
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta(\MF{u} + 2 \omega)^2}{2 \omega}} \MF{F}(\MF{u} + 2 \omega)
= \Powfr{e}{\fnfrac{ \eta \MF{u}^2}{2 \omega} + m \pi i}  \MF{F}(\MF{u})
\]
hat, was die erste der genannten Gleichungen ist, indem jedes Glied der Reihe
auf der Rechten, wenn man $\MF{u} + 2\omega$ für $\MF{u}$ setzt, dieselbe Veränderung erfährt,
als wenn es mit $\Pow{e}{(2\nu + m)\pi i}\! = \Pow{e}{m \pi i}$ multiplicirt wird. In der Reihe auf
der Rechten der Gleichung~(15.) aber darf man $\nu - 1$ für $\nu$ setzen, und
wenn man dann $\MF{u} + 2\omega'$ an die Stelle von $\MF{u}$ treten läßt, so sieht man, daß
\[
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta(\MF{u} + 2\omega')^2}{2\omega}
    + \chi(\MF{u} - m'\omega + 2\omega') } \MF{F}(\MF{u} + 2\omega')
= \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega} + \chi (\MF{u} -m'\omega)} \MF{F}(\MF{u})
\]
ist, woraus, da man
\begin{gather*}
  \chi(\MF{u} - m'\omega + 2\omega') - \chi (\MF{u} - m'\omega)
= \chi(\MF{u} + 2\omega') -\chi (\MF{u}) - m' \pi i
\\[1ex]
  \frac{\eta \MF{u}^2}{2 \omega} + \chi (\MF{u})
= \frac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}, \qquad
  \frac{\eta (\MF{u} + 2 \omega')^2}{2 \omega} + \chi (\MF{u} + 2 \omega')
= \frac{\eta'(\MF{u} + 2 \omega')^2}{2 \omega'}
\end{gather*}
hat,
%% {-----File: 091.png---Folio 89-------}
\[
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta'(\MF{u}+2\omega')^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u} + 2\omega')
= \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'} + m'\pi i} \MF{F}(\MF{u})
\]
folgt, was die zweite der Gleichungen (1) ist. Von denselben sind aber die
unter (18 -- 21) angegebenen eine Folge.

Hätte man bei willkührlicher Annahme von $\omega'$, $\eta'$, $m$, $m'$, $g'$ die Größen
$\eta$, $\omega$ vermittelst der Formeln~(22) bestimmt, und dann $\MF{F}(\MF{u})$ durch die
Gleichung~(19) oder (20) definirt; so würde sich eben so ergeben, daß
für $\MF{F}(\MF{u})$ die Gleichungen~(1) gelten, und somit auch (15, 17, 18).

Betrachten wir jetzt insbesondere die Function, welche durch die Gleichung~(17)
bei der Annahme
\[
  2\omega = 1,\quad \eta = 0,\quad 2\omega' = hi,\quad \eta' = \pi i,\quad
  m = 0,\quad m' = 0,\quad g = 1
\]
definirt wird, welche die einfachste von allen ist, und nach dem Vorschlage
\Auth{Lejeune Dirichlet's}, weil sie von \Auth{Jacobi} in die Analysis eingeführt worden
ist, die \Auth{Jacobi'sche Function} genannt, und dieser Benennung entsprechend
durch
\[
\MF{J}c (\MF{u}, h)
\]
bezeichnet werden möge; wo man dann
\[
\tag{23.}
  \MF{J}c (\MF{u}, h) = \tsum\limits_{\nu}
    \Bigl\{ \Pow{e}{(- \nu^2 h + 2\nu \MF{u}i) \pi} \Bigr\}
= \tsum\limits_{\nu}
    \Bigl\{ \Pow{e}{- \nu^2 h \pi} \cos 2 \nu \MF{u} \pi \Bigr\}
\]
hat, und wenn die Größe $h$, die, wie bemerkt, stäts eine positive reelle, oder
eine imaginäre, deren reeller Theil positiv ist, sein muß, im Verlaufe einer
Untersuchung denselben Werth beibehält, kürzer auch bloß $\MF{J}c(\MF{u})$ schreiben
kann. Die Gleichungen~(1) gestalten sich dann folgendermaßen
\[
\tag{24.}
\left\{ \begin{alignedat}{2}
& \MF{J}c(\MF{u} + 1, \, h) &&= \MF{J}c(\MF{u}, \, h)  \\
& \MF{J}c(\MF{u} + hi, h) &&= \Pow{e}{-(2\MF{u} + hi) \pi i} \MF{J}c(\MF{u}, \, h). % [** PP: Added period]
\end{alignedat} \right.
\]
Ferner ist jetzt nach (19), indem $\chi (\MF{u}) = \dfrac{\pi}{h}\MF{u}^2$, $\dfrac{\eta'}{2 \omega'} = \dfrac{\pi}{h}$\;,
\[
  \MF{J}c(\MF{u}, h) =  g'\centerdot \tsum\limits_\nu
    \Bigl\{ \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u} + \nu)^2} \Bigr\},
\]
wo die Constante $g'$, nach \Auth{Jacobi}, auf folgende Weise ermittelt wird. Es
ist, wenn man sich jetzt unter $\MF{u}$ eine reelle Größe denkt,
\[
\int_0^1 \MF{J}c(\MF{u}, \, h)\, d\MF{u}
 = \sum_\nu \int_0^1 \Pow{e}{- \nu^2 h \pi} \cos 2\nu \MF{u} \pi\centerdot d\MF{u}
 = 1. % [** PP: Added period]
\]
Daher muß
%% {-----File: 092.png---Folio 90-------}
\begin{gather*}
  \frac{1}{g'} = \int_0^1 \sum_\nu \left\{
    \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u}+ \nu )^2} \right\}\, d\MF{u}
= \sum_\nu \int_0^1 \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}(\MF{u}+\nu)^2}\, d\MF{u}
\\[1ex]
= \sum_\nu
  \int_{\nu}^{\nu + 1}     \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u}
= \int_{-\infty}^{+\infty} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u}
\end{gather*}
sein. Aber
\[
  \int_{-\infty}^{+\infty} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2}\, d\MF{u} = \sqrt{h},
\]
wo, wenn $h$ reell ist, der positive Werth der Wurzel, und, wenn $h$ imaginär,
derjenige, dessen reeller Theil positiv ist, genommen werden muß. Folglich
hat man
\[
\tag{25.}
\sqrt{ h}\centerdot \MF{J}c(\MF{u}, h)
  = {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{ \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h} (\MF{u} + \nu)^2} \Bigr\}. % [** PP: Added period]
\]
Nach der Formel (15.) aber ist
\[
\tag{26.}
\Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h} \MF{u}^2} \MF{J}c(\MF{u}, h)
  = \tsum\limits_\nu \Bigl\{ \Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h} (\MF{u} + \nu hi)^2} \Bigr\}
  = \tsum\limits_\nu \Bigl\{
      \Powfr{e}{-h\pi \Bigl( \fnfrac{\MF{u}}{hi} + \nu \Bigr)^2}
    \Bigr\}. % [** PP: Added period]
\]
Aber
\[
  {\tsum\limits_\nu}
  \Bigl\{ \Powfr{e}{-h\pi \Bigl(\fnfrac{\MF{u}}{hi} + \nu \Bigr)^2 } \Bigr\}
= \frac{1}{\sqrt h} \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{hi}, \frac{1}{h} \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\]
Daher
\begin{gather*}
\tag{27.}
  \MF{J}c(\MF{u}, h)
= \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot
  \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{hi}, \frac{1}{h} \biggr)
= \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot
  \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}i}{h}, \frac{1}{h} \biggr)
\\[1ex]
\tag{28.}
  \MF{J}c(\MF{u}i, h)
= \frac{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h}\centerdot
  \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{h}, \frac{1}{h} \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{gather*}
In der Reihe (23) bleibt ferner das allgemeine Glied ungeändert, wenn man
$\MF{u}+\smfrac{\tau}{2}$ für $\MF{u}$, und zugleich $h+\tau i$ für $h$ setzt, $\tau$ aber eine ganze Zahl bedeutet.
Denn dadurch wird dasselbe nur mit $\Pow{e}{-\nu(\nu+1)\tau\pi i}=1$ multiplicirt. Folglich
hat man
\[
\tag{29.}
  \MF{J}c(\MF{u}, \,h) = \MF{J}c \biggl( \MF{u}+\frac{\tau}{2}, h+\tau i \biggr),
\]
%% {-----File: 093.png---Folio 91-------}
und erhält aus (27.)
\begin{align*}
\tag{30.}
\MF{J}c(\MF{u}, h) &= \frac{\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi}{h}\MF{u}^2}}{\sqrt h} \centerdot
           \MF{J}c \biggl( \frac{\MF{u}}{hi} + \frac{\tau}{2}, h_1 \biggr), \\
\text{wenn} \quad h_1 &= \frac{1}{h} + \tau i \quad\text{ist.}
\end{align*}
In den vorstehenden Formeln (23 -- 30) sind die wichtigsten Eigenschaften
der \Auth{Jacobi}'schen Function ausgesprochen. Durch dieselbe lassen sich nun die
obigen Reihen (15, 17, 19, 20) leicht ausdrücken. Man hat nämlich
\begin{align*}
  \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu\omega') &=
  - \frac{\omega'\pi}{\omega i}
    \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}\omega}{2\omega'} + \nu \biggr)^2
  \\
  - \chi (\MF{u} + \Atop{0}{\omega} + 2\nu\omega) &=
  - \frac{\omega i\pi}{\omega'}
    \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}\omega}{2\omega } + \nu \biggr)^2,
\end{align*}
und daher
\begin{align*}
\tag{31.}
{\tsum\limits_\nu}
  \Bigl\{\Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega)} \Bigr\}
  &=
  \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} \centerdot \MF{J}c
  \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i}\biggr)
\\[1ex]
\tag{32.}
{\tsum\limits_\nu}
  \Bigl\{\Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}+2\nu\omega')} \Bigr\}
  &=
  \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot \MF{J}c
  \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{align*}
Nach (27) aber ist
\[
\tag{33.}
\sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}} \centerdot
\MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) =
\Powfr{e}{-\chi(\MF{u})} \MF{J}c \Bigl(\frac{\MF{u}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'} \Bigr),
\]
und daher
\begin{gather*}
  \tag{34.}
  {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{
  \Powfr{e}{ \fnfrac{2\nu + m}{2} \centerdot \fnfrac{\pi i}{\omega}
  \Bigl(\MF{u} - m' \omega + \fnfrac{2\nu + m}{2} \omega' \Bigr)}
  \Bigr\}
= \Pow{e}{\chi (\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi(\MF{u} - m' \omega)} \MF{J}c
  \biggl(
    \frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i}
  \biggr)
\\[1ex]
  \tag{35.}
  {\tsum\limits_\nu} \Bigl\{
  \Powfr{e}{-\fnfrac{2\nu - m'}{2} \centerdot \fnfrac{\pi i}{\omega'} \Bigl(
  \MF{u} + m \omega' + \fnfrac{2\nu - m'}{2} \omega \Bigr)}
  \Bigr\}
= \Pow{e}{\chi (\MF{u}+m\omega') - \chi(\MF{u} + \Atop{0}{\omega})} \MF{J}c
  \biggl(
    \frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'}
  \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{gather*}
Hiernach geben die Gleichungen (15, 17, 19, 20)
\begin{align*}
  \tag{36.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \MF{F}(\MF{u}) &=
  g\Pow{e}{\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi(\MF{u}-m'\omega)}
  \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr)
  \\[1ex]
  &= g \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} %[** PP: Fixed inverted omega]
  \centerdot \Powfr{e}{-\chi(\MF{u}-m'\omega)}
                       \MF{J}c \biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'},
  \frac{\omega i}{\omega'} \biggr)
\end{align*}
%% {-----File: 094.png---Folio 92-------}
\begin{align*}
  \tag{37.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \MF{F}(\MF{u}) &=
  g' \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) + \chi(\MF{u}+m\omega')}
  \MF{J}c\biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega'}, \frac{\omega i}{\omega'}\biggr)
  \\[1ex]
  &= g' \sqrt{\frac{\omega'}{\omega i}}
  \centerdot \Pow{e}{\chi(\MF{u}+m\omega')}
  \MF{J}c\biggl(\frac{\MF{u}+\Atop{0}{\omega}}{2\omega}, \frac{\omega'}{\omega i} \biggr)\;. % [** PP: Added period]
\end{align*}
Aus der Vergleichung dieser Ausdrücke ergiebt sich noch, indem
\[
\chi (\MF{u}+\Atop{0}{\omega}) - \chi (\MF{u}-m'\omega) - \chi(\MF{u}+m\omega') =
-\chi(\MF{u}) - \frac{mm'}{2}\pi i
\]
ist,
\[
\tag{38.}
g' = \Powfr{e}{-\fnfrac{mm'}{2}\pi i} \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot g. % [** PP: Added period]
\]
Das Ergebniß der vorstehenden Untersuchung ist also, daß sich jede Function,
welche die im Anfange dieses §.\ angegebenen Eigenschaften besitzt, welche
Werthe auch die Größen $\omega$, $\omega'$, $\eta$, $\eta'$, $m$, $m'$ haben
    mögen, auf die \Auth{Jacobi}'sche
zurückführen läßt.


\Section{} %§.~13.
\subsubsection*{\centering\normalfont Schluß der die elliptischen Functionen betreffenden Entwicklungen.}

Die specielle Anwendung der entwickelten Formeln auf die Functionen
$\Alrm(\MF{u})$ u.~s.~w.\ will ich hier nur kurz andeuten. Zuerst bemerke ich, daß
$(\frakm + 1)\frakn + \frakm$ und $(\frakm' +1)\frakn' + \frakm'$ aus dem Grunde, weil
    weder $\frakm$, $\frakn$ noch
$\frakm'$, $\frakn'$ einen gemeinschaftlichen Theiler haben, beide ungerade Zahlen sind,
und man daher
\[
\tag{1.}
\left\{ \begin{aligned}
  \frakm\frakn + \frakn \equiv \frakm + 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakn' \equiv \frakm + 1 \\
  \frakm\frakn + \frakm + \frakn \equiv 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakm' + \frakn' \equiv 1 \\
  \frakm\frakn + \frakm \equiv \frakn + 1 &\qquad \frakm'\frakn' + \frakm' \equiv \frakn' + 1 \\
% [** PP: Adding primes in the second equation]
  \frakm\frakn \equiv \frakm + \frakn + 1 &\qquad \frakm'\frakn' \equiv \frakm' + \frakn' + 1
\end{aligned} \right. \qquad \text{(mod.~2)}
\]
hat. Nimmt man daher
\[
\tag{2.}
\left\{\begin{aligned}
m &\equiv \frakm + 1 & m' &\equiv \frakm' + 1 & l &= 1 - m - n \\
n &\equiv \frakn + 1 & n' &\equiv \frakn' + 1 & l' &= 1 - m' - n',
\end{aligned}\right.
\]
wobei man jeder der Zahlen $m$, $n$, $m'$, $n'$ einen der Werthe 0, 1 beilegen
kann, und dann auch $l$ sowohl als $l'$ entweder $= 0$, oder $= 1$ erhält; so
geben die Gleichungen~(20) d.\ §.~11.

%% {-----File: 095.png---Folio 93-------}
\[
\Lmargintag{3.}
\left\{ \begin{alignedat}{4}
& \Alrm(\MF{u}+2\omega )   &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) + m \pi i}\Alrm(\MF{u})
\quad
&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')   &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') + m'\pi i}\Alrm(\MF{u})
\\
& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_1 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) + \pi i}\Alrm(\MF{u})_1
\quad
&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_1 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') + \pi i}\Alrm(\MF{u})_1
\\
& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_2 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) +n \pi i}\Alrm(\MF{u})_2
\quad
&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_2 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') +n'\pi i}\Alrm(\MF{u})_2
\\
& \Alrm(\MF{u}+2\omega )_3 &&= \Pow{e}{-2\eta (\MF{u}+\omega ) +l \pi i} \Alrm(\MF{u})_3
\quad
&&\Alrm(\MF{u}+2\omega')_3 &&= \Pow{e}{-2\eta'(\MF{u}+\omega') +l'\pi i} \Alrm(\MF{u})_3. % [** PP: Added period]
\end{alignedat} \right.
\]
Es ist leicht nachzuweisen, daß die Combinationen
\begin{align*}
&&  m,&\ \ m'  &  n,&\ \ n'  &   l,&\ \ l' &&
\intertext{mit den folgenden }
&&  0,&\ \  1   &  1,&\ \ 0   &   0,&\ \ 0  &&
\end{align*}
übereinstimmen müssen, abgesehen von der Aufeinanderfolge. Hiernach geben
die Formeln (15, 17, 18, 19, 20, 21, 36, 37) d.~v.~§.\ unmittelbar die Ausdrücke
von $\Alrm(\MF{u})$, $\Alrm(\MF{u})_1$, $\Alrm(\MF{u})_2$, $\Alrm(\MF{u})_3$, sobald die Constanten $g$, $g'$ für
jede einzelne dieser Functionen bestimmt sind. Dies kann aber unter Andern
für die 1ste, 3te und 4te dadurch geschehen, daß man $\MF{u} = 0$ setzt, indem
die letztern dann den Werth 1 erhalten.

Zur Abkürzung werde
\begin{align*}
\tag{4.}
  \Pow{e}{\chi(\MF{u}+p\omega'-q\omega) - \chi(\MF{u}-q\omega)}
  \MF{J}c\biggl( \frac{\MF{u}+p\omega'-q\omega}{2\omega},
           \frac{\omega'}{\omega i} \biggr) &= \Theta(\MF{u})_{p, q}
\\[1ex]
\tag{5.}
  \Pow{e}{-\chi(\MF{u}+p\omega'-q\omega) + \chi(\MF{u}+q\omega')}
  \MF{J}c \biggl( \frac{\MF{u}+p\omega'-q\omega}{2\omega},
            \frac{\omega i}{\omega'} \biggr) &= \Theta'(\MF{u})_{q, p}
\end{align*}
gesetzt, wo $p$, $q$ beliebige Zahlen bedeuten, und man in Folge von (33.)
und (7.) d.~v.~§.  % [** PP: Added periods to eqn numbers]
\[
\tag{6.}
\Theta(\MF{u})_{p, q} = \sqrt{\frac{\omega i}{\omega'}} \centerdot
  \Powfr{e}{-\chi(\MF{u}) - \fnfrac{pq}{2}\pi i}\, \Theta'(\MF{u})_{q, p}
\]
hat. Dann erhält man aus den Gleichungen (36, 37) nach dem eben Bemerkten
\begin{align*}
\tag{6.} % [** PP: N.B. Second equation (6.)]
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta  \MF{u}^2}{2\omega }} \Alrm(\MF{u})_{\phantom{1}}
&= \frac{\Theta(\MF{u})_{m, m'}}{\Theta(0)_{m, m'}}   &\qquad
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_{\phantom{1}}
&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{m', m}}{\Theta'(0)_{m', m}}
\\[1ex]
\tag{7.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_2
&= \frac{\Theta(\MF{u})_{n, n'}}{\Theta(0)_{n, n'}}  &\qquad
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_2
&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{n', n}}{\Theta'(0)_{n', n}}
\\[1ex]
\tag{8.}
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_3
&= \frac{\Theta(\MF{u})_{l, l'}}{\Theta(0)_{l, l'}}  &\qquad
  \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_3
&= \frac{\Theta'(\MF{u})_{l', l}}{\Theta'(0)_{l', l}}. % [** PP: Added period]
\end{align*}
Ferner hat man
\[
\Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_1 = g\Theta(\MF{u})_{1, 1}
\]
%% {-----File: 096.png---Folio 94-------}
und daher
\[
  \sn \MF{u} = g \Theta(0)_{m, m'} \centerdot \frac{\Theta(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta(\MF{u})_{m, m'}}. % [** PP: Added period]
\]
In dieser Gleichung setze man
\[
  \MF{u} = (n-1) \omega' - (n'-1) \omega,
\]
so erhält man aus (42, 43) nach einigen Reductionen
\[
  \sn\bigl( (n-1)\omega' - (n'-1)\omega \bigr) =
  i^{(n-1)(1-m')} \frac{g\Theta(0)_{m, m'}\, \Theta(0)_{n, n'}}{\Theta(0)_{l, l'}}. % [** PP: Added period]
\]
Aber
\[
  (n-1)\omega' - (n'-1)\omega =
  \bigl( (n-1)\frakm' - (n'-1)\frakm \bigr)\,\MF{K} +
  \bigl( (n-1)\frakn' - (n'-1)\frakn \bigr)\,\MF{K}'i,
\]
oder mit Berücksichtigung der Gleichung $\frakm\,\frakn' - \frakn\,\frakm' = 1$,
\[
  (n-1)\omega' - (n'-1)\omega = (2\frakr - 1)\,\MF{K} + 2\frakr' \MF{K}'i,
\]
wo
\[
\tag{9.}
\left\{\begin{alignedat}{4}
  &2\frakr  &&= (\frakn' + 1 - n')\,\frakm && - (\frakn + 1 - n)\,\frakm' \\
  &2\frakr' &&= (\frakn' + 1 - n')\,\frakn && - (\frakn + 1 - n)\,\frakn'
\end{alignedat}\right.
\]
ist, und aus (40) sich ergiebt, daß $\frakr$, $\frakr'$ ganze Zahlen sind. Daher hat man
\[
  \sn\bigl( (n-1)\omega' - (n'-1)\omega \bigr) =
  \sn(-\MF{K} + 2\frakr \MF{K} + 2\frakr' \MF{K}' i) = \Pow{(-1)}{\frakr-1}.
% [** PP: Added period]
\]
Damit ist der Werth von $g$ bestimmt, und man erhält
\[
  \tag{10.}
  \left\{\begin{aligned}
    \Powfr{e}{\fnfrac{\eta \MF{u}^2}{2\omega}} \Alrm(\MF{u})_1 &=
    \frac{\Pow{(-1)}{\frakr-1}}{i^{(n-1)(1-m')}} \centerdot
    \frac{\Theta(0)_{l, l'}}{\Theta(0)_{m, m'}} \centerdot
    \frac{\Theta(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta(0)_{n, n'}}
    \\[1ex]
    \Powfr{e}{\fnfrac{\eta' \MF{u}^2}{2\omega'}} \Alrm(\MF{u})_1 &=
    \frac{\Pow{(-1)}{\frakr-1}}{i^{(n-1)(1-m')+1}} \centerdot
    \frac{\Theta'(0)_{l', l}}{\Theta'(0)_{m', m}} \centerdot
    \frac{\Theta'(\MF{u})_{1, 1}}{\Theta'(0)_{n', n}}. % [** PP: Added period]
  \end{aligned}\right.
\]
Die zweite dieser Gleichungen ergiebt sich aus der ersten vermittelst der Relation
(6), wobei zu bemerken ist, daß nach dem Obigen $mm' = 0$, $nn' = 0$,
$ll' = 0$ ist.

Wenn $p$, $q$ ganze Zahlen sind, so erhält man nach dem, was im vorhergehenden
§.\ in Betreff der Ableitung der Formeln (18, 21) aus den unter
(17, 20) aufgestellten bemerkt ist
\[
\tag{11.}
\left\{\begin{aligned}
  \Theta(\MF{u})_{p, q} &= {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Powfr{e}{-\Bigl(\nu + \fnfrac{p}{2}\Bigr)^2\fnfrac{\omega' \pi}{\omega i}}
  \cos(2\nu + p)\left(\frac{\MF{u}}{2\omega } - \frac{q}{2}\right)\pi \Biggr\}
\\[1ex]
  \Theta'(\MF{u})_{p, q} &= {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Powfr{e}{-\Bigl(\nu - \fnfrac{q}{2}\Bigr)^2\fnfrac{\omega i \pi}{\omega'}}
  \cos(2\nu - q)\left(\frac{\MF{u}}{2\omega'} + \frac{p}{2}\right)\pi \Biggr\}.
% [** PP: Added period]
\end{aligned}\right.
\]
%% {-----File: 097.png---Folio 95-------}
Und hieraus
\begin{align*}
\tag{12.}
&\left\{ \begin{aligned}
& \Theta(\MF{u})_{0, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} }
  \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\}
\\[1ex]
& \Theta(\MF{u})_{0, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Pow{(-1)}{\nu} \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} }
  \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\}
\\[1ex]
& \Theta(\MF{u})_{1, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Powfr{e}{ -\Bigl(\nu+\fnfrac{1}{2}\Bigr)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i} }
  \cos(2\nu+1) \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\}
\\[1ex]
& \Theta(\MF{u})_{1,1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ \Pow{(-1)}{\nu}
  \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu+\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega'\pi}{\omega i}}
  \sin(2\nu+1) \frac{\MF{u}\pi}{2\omega} \Biggr\}, % [** PP: Added comma]
\end{aligned} \right.
\\[1.5ex]
\tag{13.}
&\left\{ \begin{aligned}
& \Theta'(\MF{u})_{0, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Powfr{e}{ -\nu^2\fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} }
  \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\}
\\[1ex]
& \Theta'(\MF{u})_{0, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Pow{(-1)}{\nu} \Powfr{e}{ -\nu^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} }
  \cos2\nu \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\}
\\[1ex]
& \Theta'(\MF{u})_{1, 0} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{
  \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu-\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} }
  \cos(2\nu-1) \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\}
\\[1ex]
& \Theta'(\MF{u})_{1, 1} = {\tsum\limits_\nu} \Biggl\{ \Pow{(-1)}{\nu}
  \Powfr{e}{ -\Bigl( \nu-\fnfrac{1}{2} \Bigr)^2 \fnfrac{\omega i\pi}{\omega'} }
  \sin(2\nu-1) \frac{\MF{u}\pi}{\omega'} \Biggr\}. % [** PP: Added period]
\end{aligned} \right.
\end{align*}
Nimmt man $\omega = \MF{K}$, $\omega' = i\MF{K}'$, so erhält man die von \Auth{Jacobi} in den Fundamentis
zur Darstellung von $\sn\MF{u}$, $\cn\MF{u}$, $\dn\MF{u}$ gegebenen Reihen.

Die in den Formeln (6, 7, 8, 10) vorkommenden Größen $\Theta(0)_{0,  0}$
u.~s.~w.\ lassen sich bekanntlich durch $k$, $k'$, $\MF{K}$, $\MF{K}'$ ausdrücken; was aber
für beliebige Werthe von $\frakm$, $\frakn$, $\frakm'$, $\frakn'$ einige Erörterungen nöthig macht, in
die ich hier nicht eingehn kann.

Hiermit breche ich die auf die elliptischen Functionen sich beziehenden
Entwicklungen ab, die, obwohl die Resultate bekannt sind, hier einen Platz
gefunden haben, weil die dabei befolgte Methode im Wesentlichen dieselbe
ist, welche im Folgenden auch bei den \Auth{Abel}'schen Functionen zur Anwendung
kommen wird.
%% {-----File: 098.png---Folio 96-------}

Ehe ich mich nun aber wieder zu diesen wende, darf ich nicht unerwähnt
lassen, daß ursprünglich eine Bemerkung \Auth{Abel's}\footnote{%
S. die Einleitung zu dessen Précis d'une théorie des fonctions elliptiques, {\OE}uvr.\
compl.\ Tom.~I, pag.~234, sowie auch Lettre à Mr.~Legendre, ib.\ Tom.~II, pag.~259.%
}%
, in der er auf die
in (§.\ 8 -- 10) hergeleitete Darstellungsform der elliptischen Transcendenten
hinweist, es gewesen ist, die mich zu einer neuen Behandlung dieser Functionen
in der vorgetragenen Weise veranlaßte, und so auf den Weg führte,
der mir auch in die Theorie der hyperelliptischen den Eingang eröffnete.

\cleardoublepage

\phantomsection
\pdfbookmark[0]{\BackMatter.}{backmatter}

\subsubsection*{\centering Anmerkungen der Korrekturleser}

% ToC entry and bookmark
\ifthenelse{\boolean{ToC}}{%
  \phantomsection%
  \label{transnotes}%
  \addcontentsline{toc}{chapter}{Anmerkungen der Korrekturleser}%
  }% else create manual bookmark
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Nummern) wurden unverändert übernommen. Surd-Zeichen wurden durch
Wurzeln ersetzt und in den meisten Fällen wurden Klammern um den
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The original book has no table of contents. The LaTeX source file
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Inconsistencies in equation numbering (missing or duplicated numbers)
have been retained. Equation punctuation has been added. Surd signs
have been replaced by square roots, and in most cases parentheses
around the radicands have been removed.
\fi

\cleardoublepage


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\fancyhead[C]{\scshape PG License}

\phantomsection
\pdfbookmark[1]{\License.}{license}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abel'schen Functionen, by 
Karl Weierstrass

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN ***

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providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
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harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abel'schen Functionen, by 
% Karl Weierstrass                                                        %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL'SCHEN FUNCTIONEN ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 29780-t.tex or 29780-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/9/7/8/29780/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration
@MathEnvironments = (
  ['\\begin{theorem}', '\\end{theorem}', '<THEOREM>'],
  ['\\begin{proof}',   '\\end{proof}',   '<PROOF>'],
  ['\\begin{beweis}',  '\\end{beweis}',  '<BEWEIS>']
  );
@ControlwordReplace = (
  ['\\TransNote',""],
  ['\\TransNotes',""],
  ['\\TransNoteText',""],
  ['\\FrontMatter',""],
  ['\\BackMatter',""],
  ['\\Boilerplate',""],
  ['\\License',""],
  ['\Tbreak',""],
  ['\bigTbreak',""]
  );
@ControlwordArguments = (
  ['\\Auth',1,0,'',''],
  ['\\Defn',1,0,'',''],
  ['\\Theorem',1,0,'',''],
  ['\\Chapter',1,1,'\n\n ','\n'],
  ['\\Section',1,1,'\n\n ','\n'],
  ['\\Changenotemark',1,0,'',''],
  ['\\Changenotetext',1,0,'','']
  );

###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25)  26 AUG 2009 05:37
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**29780-t.tex
(./29780-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
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\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen104
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen105
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count89
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count90
\leftroot@=\count91
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count92
\DOTSCASE@=\count93
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen106
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count94
\c@MaxMatrixCols=\count95
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count96
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\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty
Package: amsthm 2004/08/06 v2.20
\thm@style=\toks21
\thm@bodyfont=\toks22
\thm@headfont=\toks23
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\thm@headpunct=\toks25
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\thm@headsep=\skip48
\dth@everypar=\toks26
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/pxfonts.sty
Package: pxfonts 2005/01/03 v1.1
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `operators' on input line 20.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/pxr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
(Font)                  OT1/pxr/m/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 21.
\symitalic=\mathgroup4
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `italic' in version `bold'
(Font)                  OT1/pxr/m/it --> OT1/pxr/bx/it on input line 25.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 28.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 28.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/pxr/bx/n on input line 28.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathit on input line 29.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/pxr/m/it on input line 29.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/pxr/m/it on input line 29.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
(Font)                  OT1/pxr/m/it --> OT1/pxr/bx/it on input line 30.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathsf on input line 39.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/pxss/m/n on input line 39.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/pxss/m/n on input line 39.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
(Font)                  OT1/pxss/m/n --> OT1/pxss/b/n on input line 40.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathtt on input line 49.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/pxtt/m/n on input line 49.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/pxtt/m/n on input line 49.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
(Font)                  OT1/pxtt/m/n --> OT1/pxtt/b/n on input line 50.
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `letters' on input line 57.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/pxmi/m/it on input line 57.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/pxmi/m/it on input line 57.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
(Font)                  OML/pxmi/m/it --> OML/pxmi/bx/it on input line 58.
\symlettersA=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `lettersA' in version `bold'
(Font)                  U/pxmia/m/it --> U/pxmia/bx/it on input line 66.
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `symbols' on input line 76.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/pxsy/m/n on input line 76.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/pxsy/m/n on input line 76.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
(Font)                  OMS/pxsy/m/n --> OMS/pxsy/bx/n on input line 77.
\symAMSa=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `AMSa' in version `bold'
(Font)                  U/pxsya/m/n --> U/pxsya/bx/n on input line 93.
\symAMSb=\mathgroup7
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `AMSb' in version `bold'
(Font)                  U/pxsyb/m/n --> U/pxsyb/bx/n on input line 102.
\symsymbolsC=\mathgroup8
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbolsC' in version `bold'
(Font)                  U/pxsyc/m/n --> U/pxsyc/bx/n on input line 112.
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 119.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/pxex/m/n on input line 119.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/pxex/m/n on input line 119.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
(Font)                  OMX/pxex/m/n --> OMX/pxex/bx/n on input line 120.
\symlargesymbolsA=\mathgroup9
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbolsA' in version `bold'
(Font)                  U/pxexa/m/n --> U/pxexa/bx/n on input line 128.
LaTeX Info: Redefining \not on input line 996.
LaTeX Info: Redefining \textsquare on input line 1016.
LaTeX Info: Redefining \openbox on input line 1017.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks27
\SOUL@lasttoken=\toks28
\SOUL@cmds=\toks29
\SOUL@buffer=\toks30
\SOUL@token=\toks31
\SOUL@spaceskip=\skip49
\SOUL@ttwidth=\dimen113
\SOUL@uldp=\dimen114
\SOUL@ulht=\dimen115
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks32
\footnotemargin=\dimen116
\c@pp@next@reset=\count101
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ncctools/manyfoot.sty
Package: manyfoot 2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ncctools/nccfoots.sty
Package: nccfoots 2005/02/03 v1.2 NCC Footnotes Package (NCC)
)
\MFL@columnwidth=\dimen117
\footglue=\skip50
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/bigfoot/perpage.sty
Package: perpage 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page
\c@abspage=\count102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks33
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count103
))
\Gin@req@height=\dimen118
\Gin@req@width=\dimen119
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip51
\f@ncyO@elh=\skip52
\f@ncyO@erh=\skip53
\f@ncyO@olh=\skip54
\f@ncyO@orh=\skip55
\f@ncyO@elf=\skip56
\f@ncyO@erf=\skip57
\f@ncyO@olf=\skip58
\f@ncyO@orf=\skip59
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count104
\Gm@cntv=\count105
\c@Gm@tempcnt=\count106
\Gm@bindingoffset=\dimen120
\Gm@wd@mp=\dimen121
\Gm@odd@mp=\dimen122
\Gm@even@mp=\dimen123
\Gm@dimlist=\toks34
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen124
\Hy@linkcounter=\count107
\Hy@pagecounter=\count108
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count109
\Field@Width=\dimen125
\Fld@charsize=\dimen126
\Choice@toks=\toks35
\Field@toks=\toks36
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count110
\c@Item=\count111
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count112
)
\c@Section=\count113
\c@pp@a@footnote=\count114
\footinsCh=\insert233
\c@footnoteCh=\count115
(./29780-t.aux)
\openout1 = `29780-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/pxmi/m/it on input line 410.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OML+pxmi on input line 410
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omlpxmi.fd
File: omlpxmi.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/pxsy/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+pxsy on input line 410
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxsy.fd
File: omspxsy.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/pxex/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMX+pxex on input line 410
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omxpxex.fd
File: omxpxex.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/pxexa/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pxexa on input line 410.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxexa.fd
File: upxexa.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+pxr on input line 410.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxr.fd
File: t1pxr.fd 2000/12/14 v1.0
) (/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count116
\scratchdimen=\dimen127
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count117
\nofMParguments=\count118
\everyMPshowfont=\toks37
\MPscratchCnt=\count119
\MPscratchDim=\dimen128
\MPnumerator=\count120
\everyMPtoPDFconversion=\toks38
)
-------------------- Geometry parameters
paper: letterpaper
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 99.822pt, 0.675\paperwidth , 99.822pt
v-parts: 89.03625pt, 0.72\paperheight , 133.55438pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  614.295pt
\paperheight 794.96999pt
\textwidth  414.65099pt
\textheight 572.37935pt
\oddsidemargin  27.55202pt
\evensidemargin 27.55202pt
\topmargin  -15.10753pt
\headheight 12.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 410.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count121
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 410.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 410.
(./29780-t.out) (./29780-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `29780-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+pxtt on input line 422.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/t1pxtt.fd
File: t1pxtt.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OT1+pxr on input line 443.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/ot1pxr.fd
File: ot1pxr.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pxmia on input line 443.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxmia.fd
File: upxmia.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pxsya on input line 443.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsya.fd
File: upxsya.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pxsyb on input line 443.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyb.fd
File: utxsyb.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+pxsyc on input line 443.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/upxsyc.fd
File: upxsyc.fd 2000/12/14 v1.0
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] <images/tb.pdf, id=110, 240.9pt x 7.02625pt>
File: images/tb.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/tb.pdf> [1

 <./images/tb.pdf>] [1

] [2] [3]
Underfull \vbox (badness 1460) has occurred while \output is active []

[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]
Underfull \vbox (badness 3635) has occurred while \output is active []

[16] [17]
Overfull \hbox (0.145pt too wide) in paragraph at lines 1503--1505
[]\T1/pxr/m/n/12 Nun sind aber $[][]$, $[][]$, u. s. w. die Co-ef-fi-cien-ten d
er Reihen-Entwicklung
 []

[18] [19] [20] [21] [22]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+pxr on input line 1836
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pxfonts/omspxr.fd
File: omspxr.fd 2000/12/14 v1.0
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/pxr/m/n' in size <7> not available
(Font)              Font shape `OMS/pxsy/m/n' tried instead on input line 1836.

[23] [24] [25] [26]
Underfull \vbox (badness 2922) has occurred while \output is active []

[27]
Underfull \vbox (badness 2837) has occurred while \output is active []

[28] [29] [30] [31] [32]
Overfull \hbox (3.08228pt too wide) in paragraph at lines 2371--2376
\T1/pxr/m/n/12 Da nun die Wert-he der Co-ef-fi-cien-ten von $\OML/pxmi/m/it/12 
'\OT1/pxr/m/n/12 (\OML/pxmi/m/it/12 x\OT1/pxr/m/n/12 )$\T1/pxr/m/n/12 , die aus
 den Func-tio-nen $\OML/pxmi/m/it/12 '\OT1/pxr/m/n/12 ([][]\OML/pxmi/m/it/12 ; 
[] \OT1/pxr/m/n/12 )[]$\T1/pxr/m/n/12 ,
 []

[33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48]
[49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64]
[65] [66] [67]
Underfull \vbox (badness 1845) has occurred while \output is active []

[68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78]
Underfull \vbox (badness 1132) has occurred while \output is active []

[79] [80] [81]
Underfull \vbox (badness 1655) has occurred while \output is active []

[82] [83] [84]
Overfull \hbox (12.73749pt too wide) in paragraph at lines 5623--5623
[] 
 []


Overfull \hbox (12.73749pt too wide) in paragraph at lines 5656--5656
[] 
 []


Overfull \hbox (22.73749pt too wide) in paragraph at lines 5591--5659
$[]$ 
 []


Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[85] [86] [87]
Underfull \vbox (badness 2790) has occurred while \output is active []

[88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [
103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[112

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[113]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[114]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[115]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[116]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[117] [118] (./29780-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
  amsthm.sty    2004/08/06 v2.20
 pxfonts.sty    2005/01/03 v1.1
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
manyfoot.sty    2005/09/11 v1.10 Many Footnote Levels Package (NCC)
nccfoots.sty    2005/02/03 v1.2 NCC Footnotes Package (NCC)
 perpage.sty    2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
 omlpxmi.fd    2000/12/14 v1.0
 omspxsy.fd    2000/12/14 v1.0
 omxpxex.fd    2000/12/14 v1.0
  upxexa.fd    2000/12/14 v1.0
   t1pxr.fd    2000/12/14 v1.0
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 29780-t.out
 29780-t.out
  t1pxtt.fd    2000/12/14 v1.0
  ot1pxr.fd    2000/12/14 v1.0
  upxmia.fd    2000/12/14 v1.0
  upxsya.fd    2000/12/14 v1.0
  upxsyb.fd
  upxsyc.fd    2000/12/14 v1.0
images/tb.pdf
  omspxr.fd    2000/12/14 v1.0
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6450 strings out of 94074
 80930 string characters out of 1165153
 153373 words of memory out of 1500000
 9144 multiletter control sequences out of 10000+50000
 92470 words of font info for 235 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 28i,24n,43p,235b,491s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texli
ve/fonts/type1/public/pxfonts/pxex.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu
blic/pxfonts/pxmia.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/pxs
y.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/pxsya.pfb></usr/shar
e/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/rpxi.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/public/pxfonts/rpxmi.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/publi
c/pxfonts/rpxr.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/pxfonts/rpxsc.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/txfonts/t1xtt.pfb></usr/share/t
exmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplb8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
s/type1/urw/palatino/uplbi8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/pala
tino/uplr8a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplri8a.pfb>
Output written on 29780-t.pdf (121 pages, 555423 bytes).
PDF statistics:
 1019 PDF objects out of 1200 (max. 8388607)
 414 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 198 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

